Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.45.0-wmf.9 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul 0 7046 108467 37654 2025-07-09T08:03:05Z 182.253.86.14 108467 wikitext text/x-wiki [[Berkas:00098021 000.jpg|250px|thumb|right|Lukisan dinding Aita (kanan) bersama istrinya, Phersipnei.]] '''Aita''' atau Eita adalah dewa dan penguasa Dunia Bawah dalam mitologi Etruria, mirip dengan Hades dalam mitologi Yunani dan Pluto dalam mitologi Romawi. Dia digambarkan hanya dalam sedikit lukisan makam Etruria, misalnya pada makam Golini dari Orvieto dan makam Orcus II dari Tarquinia. Aita juga digambarkan bersama istrinya Phersipnei, padanan Etruria bagi Persefone dari Yunani atau Proserpina dari Romawi. Dia digambarkan sebagai pria berjanggut yang memakai topi kulit serigala. Dia ditampilkan bersama istrinya Phersipnei yang bermahkotakan ular pada lukisan pada Makam Orcus. Padanan Yunaninya, Hades, juga memiliki penutup kepala, namun topi kepala Hades memiliki kemampuan khusus, yaitu membuat pemakainya menjadi tak terlihat. Ada juga penggambaran Aita yang sedang menuntun para arwah menuju Dunia Bawah. {{Mitologi Etruria}} [[Kategori:Mitologi Etruria]] l7h2yv90s2rsktj0t85883b5ks2rr02 0 23135 108416 108415 2025-07-08T11:59:12Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108416 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! \frac{1-\sqrt{145}}{6} !! !! -\sqrt{6} !! !! 0 !! !! 1 !! !! \sqrt{6} !! !! \frac{1+\sqrt{145}}{6} !! 3 |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] lrd4kpd983pnvgm59wtxk35vvdwuts1 108417 108416 2025-07-08T12:01:36Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108417 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! 3 |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] muumgxpmw9iwz0oin7i0lyeq51sxk8s 108418 108417 2025-07-08T12:05:51Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108418 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] poimi7zxithptzukfr4siab2rnqj3p5 108419 108418 2025-07-08T12:07:25Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108419 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || ++* || |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 3855tdrvaakz6lpjv272nh8yvqy6x6u 108420 108419 2025-07-08T12:09:02Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108420 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 |- | +++ || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pij06qpjstpbqaein7ikr1uuy73fwcw 108421 108420 2025-07-08T12:11:48Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108421 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 10xyqcc0j17o78i8y09d1hvdwzwquwp 108422 108421 2025-07-08T12:13:18Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108422 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 81h6pfojvje52rj9fj078pegu5smlwo 108423 108422 2025-07-08T12:15:53Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108423 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] sldrdnelf23e3aeyoe0g0c3ltie27ee 108424 108423 2025-07-08T12:16:22Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108424 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ohx4n7y14d55zcvyvus3xg6dbigd4r5 108425 108424 2025-07-08T12:17:13Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108425 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] myoc272n4caq010w24iufo682kopjfs 108438 108425 2025-07-08T14:28:17Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108438 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 79rjh88s90egpsmexdtaewgm00mox32 108445 108438 2025-07-08T15:17:11Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108445 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] a3khmyt4xe9tjvu1aon2ellazgt74b2 108447 108445 2025-07-08T15:23:45Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108447 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] a5d0gux17ihptx2qcvoahuycookmi5s 108451 108447 2025-07-08T15:41:48Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108451 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hmh4mg68l15iyiagge0rbsanitfiu2v 108483 108451 2025-07-09T10:47:20Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108483 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 6 !! |- | —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7ngya6lxrqikbhfpojpyjg3z8zan5bt 108484 108483 2025-07-09T10:57:53Z Akuindo 8654 108484 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama (kombinasi perkalian) {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 3 !! |- |} * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 6 !! |- | —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 187vx6jd2l6coe2xzkk04w515z125fi 108485 108484 2025-07-09T11:02:42Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108485 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama (kombinasi perkalian) {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || +++ || || ——— || || +++ |} * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 6 !! |- | —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 5cnasa5lw4coqg4dbygz2oenwgdp38x 108486 108485 2025-07-09T11:06:11Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108486 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{dari kombinasi perkalian jadi } x \le -4, \frac{1-\sqrt{145}}{6} \le x \le \frac{1+\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama (kombinasi perkalian) {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || +++ || || ——— || || +++ |} * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || —— || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || —— || || —— || || -—- || || -—- || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || -—- || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 6 !! |- | —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] p1lhmvrygpl27btbot1u0ekn14mpoic 108487 108486 2025-07-09T11:14:37Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108487 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{dari kombinasi perkalian jadi } x \le -4, \frac{1-\sqrt{145}}{6} \le x \le \frac{1+\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama (kombinasi perkalian) {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || +++ || || ——— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -<math>\sqrt{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || || || || || || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 6 !! |- | —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pkis06ws4ulm37d7zujr2lmej497xl8 108488 108487 2025-07-09T11:16:12Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108488 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{dari kombinasi perkalian jadi } x \le -4, \frac{1-\sqrt{145}}{6} \le x \le \frac{1+\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 3 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama (kombinasi perkalian) {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || +++ || || ——— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -<math>\sqrt{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || || || || || || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 6 !! |- | —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] tfi8gd3umq8p2d63q0g7rz8od6ki6od 0 23137 108426 108393 2025-07-08T12:22:54Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108426 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{1}{27^(x+2)}\ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] n0qwf77v4v7awudlg2enbzuxor2j375 108427 108426 2025-07-08T12:24:00Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108427 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^(x+2)}} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] acd9c3oqkq5zxl7hbzr7eeed8epgnyd 108428 108427 2025-07-08T12:24:27Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108428 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{(x+2)}}} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 35ysx6fhzfet2p8jdqjw15skg74rt7x 108429 108428 2025-07-08T12:27:03Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108429 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x+2}}{9}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] dmiurm8dz6vpgeaxngr6nw3l8dmcsfa 108430 108429 2025-07-08T12:27:44Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108430 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] lh781by9ejuxy7itt11v9stulmhbygj 108431 108430 2025-07-08T12:56:03Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108431 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge -28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ao5m399cr81sqfmsj72pe405cmpz0dy 108432 108431 2025-07-08T12:56:23Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108432 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] df8jnwll9749euduhbi6rrru1zu1aau 108433 108432 2025-07-08T14:15:44Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108433 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ {\frac{1}{(3^3)^{x+2}}^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ {\frac{1}{(3^3)^{x+2}}^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] dwlcn7jyjx1lsb02c5ou9lmxp27nw93 108434 108433 2025-07-08T14:17:21Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108434 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] g85twyfgvsix50nhs4weqle9dq23vz3 108435 108434 2025-07-08T14:21:01Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108435 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] li2jnshrnym16m4xjqd32ddh7v97vt8 108436 108435 2025-07-08T14:26:23Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108436 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &ge x-4 \\ 2x &le 2 \\ x &le 1 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] m9ibd8megweeq8zdd32nooxqwh6bwnq 108437 108436 2025-07-08T14:27:16Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108437 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 0zezjpy3coag9buw4dp7nyj8ztszl93 108439 108437 2025-07-08T14:32:46Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108439 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1p1zbhogbc1c49u2l1o1wijw6xt2v2s 108440 108439 2025-07-08T14:36:29Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108440 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 5zd3ij0mi64sjlvrtj51hctpe9vb4z9 108441 108440 2025-07-08T14:37:31Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108441 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] dtg4hzapuqa41qbdwx64kfc9fac7xxx 108442 108441 2025-07-08T14:59:34Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108442 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] a8y51yl629neh7hsfbtczb7u7xcgrji 108443 108442 2025-07-08T15:06:13Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108443 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 57oo30p1ftclddic9pw7lzmvqasy4j2 108444 108443 2025-07-08T15:15:37Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108444 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{syarat 1 } \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 54hh94d8v86d21ofkwaue60901skqmz 108446 108444 2025-07-08T15:22:14Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108446 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x > 0 \\ x(x-4) > 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) = 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] cotu4cwvk1he3khx8zrn4jeo951uuoc 108448 108446 2025-07-08T15:29:15Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108448 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! 0 !! !! 4 !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | Contoh || Contoh || Contoh |- | Contoh || Contoh || Contoh |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] qkwehwer3rr42yice10xzdlglvm2nl4 108449 108448 2025-07-08T15:34:46Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108449 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] j3aas0s9i5dk2vsvgv5up89ybwqqe7c 108450 108449 2025-07-08T15:36:46Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108450 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] lhmfh6eg5fgbs40p0nv5volu3ec8c6b 108452 108450 2025-07-08T15:50:04Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108452 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 \ge ^2log x \\ ^2log^2 x-^2log x—2 \ge 0 \\ (^2log x-2)(^2log x+1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x-2)(^2log x+1) = 0 \\ ^2log x=2 \text{atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x=2 \\ x=4 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x=-1 \\ x=\frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] sd3g8iqkh1uyvy8afttbsqs1p1aij3x 108453 108452 2025-07-08T15:51:14Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108453 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 \ge ^2log x \\ ^2log^2 x-^2log x—2 \ge 0 \\ (^2log x-2)(^2log x+1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x-2)(^2log x+1) = 0 \\ ^2log x=2 \text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x=2 \\ x=4 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x=-1 \\ x=\frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 6c9pwjdrqjuacu0teexd5efypsfsapl 108454 108453 2025-07-08T15:56:22Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108454 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x-^2log x—2 &\ge 0 \\ (^2log x-2)(^2log x+1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x-2)(^2log x+1) = 0 \\ ^2log x=2 \text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } x \le -1 v x \ge 2 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ge6spvxpumkeign8sux9oc7d7oj0xdj 108455 108454 2025-07-08T15:57:16Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108455 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] exnghoodzzs39dsbp7xiym7iu9te6i1 108456 108455 2025-07-08T16:00:33Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108456 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x-^2log x—2 &\ge 0 \\ (^2log x-2)(^2log x+1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x-2)(^2log x+1) = 0 \\ ^2log x=2 \text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mgk99tfu35yhmmssqppxz7vnyxas5wj 108457 108456 2025-07-08T16:11:02Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108457 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x-^2log x—2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) = 0 \\ ^2log x=2 \text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] fi669ofv6k1kibrsxa8o4kjcele6yol 108458 108457 2025-07-08T16:12:34Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108458 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) = 0 \\ ^2log x=2 \text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ls573af4azxnxatl60npeepglzppcy5 108459 108458 2025-07-08T16:17:42Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108459 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] nvhcsvgbh4ih8h7xwd2rty8uv3rtq6a 108460 108459 2025-07-08T16:21:45Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108460 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor dua {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] kejfm8gg1baf2g0frvo5t6ep9k9lktn 108461 108460 2025-07-08T16:23:31Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108461 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } 0 \le x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor dua {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] rf4vpbk5j407jcrrug6yhtn33h5cuaf 108463 108461 2025-07-08T23:11:04Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108463 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -14 \le x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } 0 \le x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor dua {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 23pssibpmd7ngcw9m6ndufwc8lziv0l 108464 108463 2025-07-08T23:12:12Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108464 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x \neq 0 \\ x(x-4) \neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x>0 \\ x(x-4)>0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4)=0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14>0 \\ x>-14 \\ \text{jadi } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x>0 \\ \text{jadi } 0 \le x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor dua {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 11x3k2n4exurz2s0fkhvk72y2mtrcii 108468 108464 2025-07-09T08:59:39Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108468 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &le log 4(3x+7) \\ x^2 &le 4(3x+7) \\ x^2 &le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{jadi } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{jadi } 0 \le x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -\frac{7}{3} !! !! -2 !! !! 0 !! !! 14 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -\frac{7}{3} !! !! -2 !! !! 0 !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gjblghevglgygj6i5xsfupzntviiyow 108469 108468 2025-07-09T09:01:17Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108469 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &le log 4(3x+7) \\ x^2 &le 4(3x+7) \\ x^2 &le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{jadi } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{jadi } 0 \le x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>-\frac{7}{3}</math> !! !! -2 !! !! 0 !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 6cu1a9v8qpb9to76rs0wi2fm91vzf8q 108470 108469 2025-07-09T09:02:48Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108470 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{jadi } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{jadi } 0 \le x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>-\frac{7}{3}</math> !! !! -2 !! !! 0 !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7rok1ejzac7v20ruhpuxadjckz1yyjw 108471 108470 2025-07-09T09:03:19Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108471 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{jadi } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{jadi } 0 \le x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>-\frac{7}{3}</math> !! !! -2 !! !! 0 !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -14 !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——- || || ——- || || +++ |- | +++ || || +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 3z9flhszmzz6dxgkebvb3e69txzhvi8 108472 108471 2025-07-09T09:10:42Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108472 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{jadi } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{jadi } 0 \le x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>-\frac{7}{3}</math> !! !! -2 !! !! 0 !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ |- | —— || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 4cbg9sqvzqwt7hpbvctzdqr2tneuo2j 108473 108472 2025-07-09T09:18:49Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108473 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{jadi } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{jadi } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>-\frac{7}{3}</math> !! !! -2 !! !! 0 !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7o56je2ewzdved7n3xh0rg1qcbdm5w4 108474 108473 2025-07-09T09:27:59Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108474 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] o7ai9ik91ydn3bjromv3l0mc6ow82dq 108475 108474 2025-07-09T09:36:15Z Akuindo 8654 /* Sistem persamaan */ 108475 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 9tvqqfadv86j7b265qarklll5x7wuf6 108476 108475 2025-07-09T09:37:15Z Akuindo 8654 /* Sistem persamaan */ 108476 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 82pihk371e3m71jzqu0nprqf8myf1x7 108477 108476 2025-07-09T09:44:19Z Akuindo 8654 /* Sistem persamaan */ 108477 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] t1bjpqk43rtq9yok19euiuukccxq06u 108478 108477 2025-07-09T09:56:07Z Akuindo 8654 108478 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || || || Ya |} </div></div> catatan: * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] a5r1k708i910vy3nb52oabyh5jbkacn 108479 108478 2025-07-09T09:57:39Z Akuindo 8654 108479 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} </div></div> catatan: * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pdsvnhgupfpj7yztzengk80m6f0if19 108480 108479 2025-07-09T10:10:14Z Akuindo 8654 /* Sistem persamaan */ 108480 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! \frac{1}{4} !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! \frac{1}{4} !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> catatan: * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ip2785ae97149icmsyc8ubi4rjrmanh 108481 108480 2025-07-09T10:13:24Z Akuindo 8654 /* Sistem persamaan */ 108481 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> catatan: * jawaban 4 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] be5q2guvs29vye7fpefp4zf3dqcp491 108482 108481 2025-07-09T10:20:32Z Akuindo 8654 /* Sistem persamaan */ 108482 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1767r86dqasbn15k0brfmsmdk3fbwd1 0 23155 108489 92487 2025-07-09T11:32:45Z Akuindo 8654 /* Bunga majemuk */ 108489 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>B = \frac{b}{M_o} \times 100</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # B adalah jasa modal * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + nb)</math> atau <math>M_n = M_o (1 + \frac{nb}{100})</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah suku bunga * besaran bunga yang diterima per periode <math>Bn = nB = n(bMo)</math> keterangan: # Bn adalah nominal bunga yang akan diterima dalam akhir periode ke n # B adalah bunga # Mo adalah modal awal contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: B = b x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B_n = n x B :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + \frac{nb}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{5 \cdot 11}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah bunga # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; Bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mn = tabungan setelah n periode # M_n-1 = tabungan setelah n-1 periode # Mo = modal awal # n = periode penyimpanan menabung # i = persentase bunga (suku bunga) contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^14 \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_10 - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_10 - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 3rj7qwhepeyp1aujygurr94gnmrbf7c 108490 108489 2025-07-09T11:36:06Z Akuindo 8654 /* Bunga majemuk */ 108490 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>B = \frac{b}{M_o} \times 100</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # B adalah jasa modal * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + nb)</math> atau <math>M_n = M_o (1 + \frac{nb}{100})</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah suku bunga * besaran bunga yang diterima per periode <math>Bn = nB = n(bMo)</math> keterangan: # Bn adalah nominal bunga yang akan diterima dalam akhir periode ke n # B adalah bunga # Mo adalah modal awal contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: B = b x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B_n = n x B :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + \frac{nb}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{5 \cdot 11}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah bunga # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; Bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mn = tabungan setelah n periode # M_n-1 = tabungan setelah n-1 periode # Mo = modal awal # n = periode penyimpanan menabung # i = persentase bunga (suku bunga) contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7c9xxppa1y1ngs67virpqf5tm5gbrac 0 25910 108462 108389 2025-07-08T21:48:44Z Astari28 36197 108462 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program '''''Bhumika Wiki: Wikibuku''''', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. == Diselenggarakan oleh == [[Berkas:Logo Komunitas Wikimedia Jawa Timur.svg|240x240px|center|frameless]] == Didukung oleh == {| class="plainlinks" style="background: transparent; margin: auto; width: 60%;" | [[Berkas:Wikimedia Foundation RGB logo with text.svg|135px|center|frameless]] | [[Berkas:Wikimedia Indonesia.svg|110px|center|frameless]] |} [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] 06fpv8tpt7rndc3n6vbde98t140gd3z 108465 108462 2025-07-09T05:55:27Z Astari28 36197 108465 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program '''''Bhumika Wiki: Wikibuku''''', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party, Bookclub Jember Membaca & Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. == Diselenggarakan oleh == [[Berkas:Logo Komunitas Wikimedia Jawa Timur.svg|240x240px|center|frameless]] == Didukung oleh == {| class="plainlinks" style="background: transparent; margin: auto; width: 60%;" | [[Berkas:Wikimedia Foundation RGB logo with text.svg|135px|center|frameless]] | [[Berkas:Wikimedia Indonesia.svg|110px|center|frameless]] |} [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] ngkyaabh3cwo9aprz1fxkensw1eupwi 108466 108465 2025-07-09T07:29:43Z Quraeni 37519 /* Jadwal dan Lokasi Kegiatan */ mmnambahkan mitra KLIP 108466 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program '''''Bhumika Wiki: Wikibuku''''', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party, Bookclub Jember Membaca & Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Makassar – (Jadwal masih dikonfirmasi) | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Malang – (Jadwal masih dikonfirmasi) | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. == Diselenggarakan oleh == [[Berkas:Logo Komunitas Wikimedia Jawa Timur.svg|240x240px|center|frameless]] == Didukung oleh == {| class="plainlinks" style="background: transparent; margin: auto; width: 60%;" | [[Berkas:Wikimedia Foundation RGB logo with text.svg|135px|center|frameless]] | [[Berkas:Wikimedia Indonesia.svg|110px|center|frameless]] |} [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] 7oj7mkdd10nrobx2k3hmxooln0oqhmc