Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.45.0-wmf.9 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul 0 23117 108514 107742 2025-07-10T02:24:10Z Akuindo 8654 /* Rumus barisan dan deret aritmatika */ 108514 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret aritmatika == <math> \begin{align} u_n &= a + (n - 1)b \\ s_n &= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\ b &= u_n - u_{n-1} \\ u_n &= s_n - s_{n-1} \\ u_t &= \frac{u_1 + u_n}{2} \\ b &= \frac{a_n - a_k}{n - k} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> ; rataan :<math>R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}</math> ; suku dan beda baru :<math>n_b = n + (n-1)x</math> :<math>b_b = \frac{b}{x+1}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 <math> \begin{align} u_n &= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\ s_n &= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\ \end{align} </math> ;cara 2 *<math>a_n = an^2 + bn + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = an^3 + bn^2 + cn + d</math> (tingkat 3) == Rumus istimewa == {| class="wikitable" |+ |- ! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n |- | Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || <math>S_n = \frac{n(n+1)}{2}</math> |- | Bilangan asli persegi panjang || <math>1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}</math> |- | Bilangan asli segitiga || <math>1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}</math> |- | Bilangan asli balok || <math>1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}</math> |- | Kuadrat bilangan asli || <math>1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math> |- | Kubik bilangan asli || <math>1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3</math> || <math>S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2</math> |- | Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || <math>S_n = n^2</math> |- | Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n-2 + 2n || <math>S_n = n(n+1)</math> |} * <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}</math> * <math>\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}</math> (deret teleskop) * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n-1}{n}</math> * <math>\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}</math> * <math>\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})</math> (deret teleskop) * <math>\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}</math> * <math>\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}</math> (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama) * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1</math> * 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123 * 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246 * 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369 * 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234 * 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468 * 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702 * <math>\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}</math> * <math>\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2</math> ; contoh soal # kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 10 \\ a &= 15 \\ U_n &= U_{10} = 33 \\ b &= \frac{33-15}{10-1} \\ &= \frac{18}{9} \\ &= 2 \\ S_{10} &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\ &= \frac{10}{2}(15+33) \\ &= 5(48) \\ &= 240 \\ \text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 075zvqvttg33jawxsjcd88myebx8gzm 108516 108514 2025-07-10T03:21:05Z Akuindo 8654 108516 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret aritmatika == <math> \begin{align} U_n &= a + (n - 1)b \\ S_n &= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\ b &= U_n - U_{n-1} \\ U_n &= S_n - D_{n-1} \\ U_t &= \frac{U_1 + U_n}{2} \\ b &= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : b: beda suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ; rataan :<math>R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}</math> ; suku dan beda baru :<math>n_b = n + (n-1)x</math> :<math>b_b = \frac{b}{x+1}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 <math> \begin{align} U_n &= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\ S_n &= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\ \end{align} </math> ;cara 2 *<math>a_n = an^2 + bn + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = an^3 + bn^2 + cn + d</math> (tingkat 3) == Rumus istimewa == {| class="wikitable" |+ |- ! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n |- | Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || <math>S_n = \frac{n(n+1)}{2}</math> |- | Bilangan asli persegi panjang || <math>1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}</math> |- | Bilangan asli segitiga || <math>1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}</math> |- | Bilangan asli balok || <math>1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}</math> |- | Kuadrat bilangan asli || <math>1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math> |- | Kubik bilangan asli || <math>1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3</math> || <math>S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2</math> |- | Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || <math>S_n = n^2</math> |- | Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n-2 + 2n || <math>S_n = n(n+1)</math> |} * <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}</math> * <math>\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}</math> (deret teleskop) * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n-1}{n}</math> * <math>\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}</math> * <math>\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})</math> (deret teleskop) * <math>\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}</math> * <math>\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}</math> (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama) * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1</math> * 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123 * 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246 * 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369 * 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234 * 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468 * 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702 * <math>\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}</math> * <math>\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2</math> ; contoh soal # kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 10 \\ a &= 15 \\ U_n &= U_{10} = 33 \\ b &= \frac{33-15}{10-1} \\ &= \frac{18}{9} \\ &= 2 \\ S_{10} &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\ &= \frac{10}{2}(15+33) \\ &= 5(48) \\ &= 240 \\ \text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] d5c514x8r16ndf7o67nypmkvtjabvi1 108517 108516 2025-07-10T03:21:25Z Akuindo 8654 /* Rumus barisan dan deret aritmatika */ 108517 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret aritmatika == <math> \begin{align} U_n &= a + (n - 1)b \\ S_n &= \frac{n (2a + (n-1)b}{2} \\ b &= U_n - U_{n-1} \\ U_n &= S_n - S_{n-1} \\ U_t &= \frac{U_1 + U_n}{2} \\ b &= \frac{U_n - U_k}{n - k} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : b: beda suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ; rataan :<math>R = \frac{a_1+a_2+a_3+ \dots + a_n}{n}</math> ; suku dan beda baru :<math>n_b = n + (n-1)x</math> :<math>b_b = \frac{b}{x+1}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 <math> \begin{align} U_n &= a + \frac{(n - 1)b}{1!} + \frac{(n - 1)(n-2)c}{2!} + \dots \\ S_n &= \frac{an}{1!} + \frac{n(n-1)b}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)c}{3!} + \dots \\ \end{align} </math> ;cara 2 *<math>a_n = an^2 + bn + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = an^3 + bn^2 + cn + d</math> (tingkat 3) == Rumus istimewa == {| class="wikitable" |+ |- ! Bilangan !! Suku ke n !! Jumlah suku ke n |- | Bilangan asli || 1 + 2 + 3 + 4 + …. + (n-1) + n || <math>S_n = \frac{n(n+1)}{2}</math> |- | Bilangan asli persegi panjang || <math>1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}</math> |- | Bilangan asli segitiga || <math>1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n(n+1)}{2}</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}</math> |- | Bilangan asli balok || <math>1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + n(n+1)(n+2)</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}</math> |- | Kuadrat bilangan asli || <math>1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2</math> || <math>S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math> |- | Kubik bilangan asli || <math>1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + (n-1)^3 + n^3</math> || <math>S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2</math> |- | Bilangan ganjil || 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n + (2n-1) || <math>S_n = n^2</math> |- | Bilangan genap || 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n-2 + 2n || <math>S_n = n(n+1)</math> |} * <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}</math> * <math>\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}</math> (deret teleskop) * <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{n-1}{n}</math> * <math>\frac{1}{6 \times 10} + \frac{1}{10 \times 14} + \frac{1}{14 \times 18} + \frac{1}{18 \times 22} = \frac{1}{6 \times (6+4)} + \frac{1}{10 \times (10+4)} + \frac{1}{14 \times (14+4)} + \frac{1}{18 \times (18+4)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{6+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{10} - \frac{1}{10+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{14} - \frac{1}{14+4}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{18} - \frac{1}{18+4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{6} - \frac{1}{22}) = \frac{1}{33}</math> * <math>\frac{1}{n \times (n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})</math> (deret teleskop) * <math>\frac{6}{1 \times 4 \times 7} + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} + \frac{6}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{6}{94 \times 97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + \dots + \frac{1}{94 \times 97} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{97 \times 100} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9700} = \frac{2425-1}{9700} = \frac{2424}{9700} = \frac{606}{2425}</math> * <math>\frac{c-a}{a \times b \times c} = \frac{1}{a \times b} - \frac{1}{b \times c}</math> (a, b dan c adalah bilangan yang berurutan dengan selisih tetap pada tingkat pertama) * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{5}</math> * <math>\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} - \dots - \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n}</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1</math> * <math>\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1</math> * 1 + 11 + 111 = 123 x 1 = 123 * 2 + 22 + 222 = 123 x 2 = 246 * 3 + 33 + 333 = 123 x 3 = 369 * 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 x 1 = 1234 * 2 + 22 + 222 + 2222 = 1234 x 2 = 2468 * 3 + 33 + 333 + 3333 = 1234 x 3 = 3702 * <math>\frac{1}{4} + \frac{11}{44} + \frac{111}{444} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}</math> * <math>\frac{1}{3} + \frac{11}{33} + \frac{111}{333} + \dots + \frac{111.111}{333.333} = \frac{1}{3} \times 6 = 2</math> ; contoh soal # kursi pada gedung bioskop memiliki 10 baris, yang kapasitasnya membentuk barisan aritmatika. baris terdepan 15 kursi dan terbelakang 33 kursi maka berapa kapasitas kursi pada bioskop tersebut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 10 \\ a &= 15 \\ U_n &= U_{10} = 33 \\ b &= \frac{33-15}{10-1} \\ &= \frac{18}{9} \\ &= 2 \\ S_{10} &= \frac{n}{2}(a+U_n) \\ &= \frac{10}{2}(15+33) \\ &= 5(48) \\ &= 240 \\ \text{jadi kapasitas kursi pada bioskop adalah 240 kursi } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ci58iroeknkdap46cow3pfbdfqqvcrh 0 23118 108515 108390 2025-07-10T03:15:26Z Akuindo 8654 /* Rumus barisan dan deret geometri */ 108515 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} u_n &= ar^{n-1} \\ s_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ s_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{u_n}{u_{n-1}} \\ u_n &= s_n-s_{n-1} \\ u_t &= \sqrt{u_1 u_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{a_n}{a_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{bila} -1<r<1 </math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] seiooe8l6ii0m3yfpf36l3tw1ytx67j 108518 108515 2025-07-10T03:23:12Z Akuindo 8654 /* Rumus barisan dan deret geometri */ 108518 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{bila} -1<r<1 </math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gj68tccwzp1xvpdls4hbn45tmuogtlt 108519 108518 2025-07-10T07:16:09Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108519 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{bila} -1<r<1 </math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa panjang lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] fh2ln0y4majsze3ximuca3mrkkz7gzj 108520 108519 2025-07-10T07:19:50Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108520 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{bila} -1<r<1 </math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gj68tccwzp1xvpdls4hbn45tmuogtlt 108521 108520 2025-07-10T08:05:21Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108521 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{bila} -1<r<1 </math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] fdef13xm3rznvvk212cb033gcfcpdvo 108522 108521 2025-07-10T08:11:25Z Akuindo 8654 108522 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mlh028gomjzfuu1a4szzugyxusqhe75 108523 108522 2025-07-10T08:53:42Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108523 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \cdot</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \cdot = 3</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{3}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \cdot &= 3 \\ S_\infty &= 3 \\ \frac{a}{1-r} &= 3 \\ a &= 3-3r \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \cdot &= 3 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \cdot ) = 3 \\ a+ar+\frac{1}{3} &= 3 \\ a(1+r) &= 3-\frac{1}{3} \\ (3-3r)(1+r) &= \frac{8}{3} \\ -3r^2+3 &= &= \frac{8}{3} \\ -9r^2+9 &= &= 8 \\ 9r^2 &= 1 \\ r^2 &= \frac{1}{9} \\ r^2 &= (\frac{1}{3})^2 \\ r^2-(\frac{1}{3})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{3})(r-\frac{1}{3}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{3} &\text{ atau } r=\frac{1}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 53pwngbxncm58sdh9pu7tv45jbe2jfb 108524 108523 2025-07-10T08:54:47Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108524 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 3</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{3}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 3 \\ S_\infty &= 3 \\ \frac{a}{1-r} &= 3 \\ a &= 3-3r \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 3 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) = 3 \\ a+ar+\frac{1}{3} &= 3 \\ a(1+r) &= 3-\frac{1}{3} \\ (3-3r)(1+r) &= \frac{8}{3} \\ -3r^2+3 &= &= \frac{8}{3} \\ -9r^2+9 &= &= 8 \\ 9r^2 &= 1 \\ r^2 &= \frac{1}{9} \\ r^2 &= (\frac{1}{3})^2 \\ r^2-(\frac{1}{3})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{3})(r-\frac{1}{3}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{3} &\text{ atau } r=\frac{1}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 28b3ohpqa7gc0vo3x2s9806th56zsbo 108525 108524 2025-07-10T08:55:42Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108525 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 3</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{3}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 3 \\ S_\infty &= 3 \\ \frac{a}{1-r} &= 3 \\ a &= 3-3r \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 3 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 3 \\ a+ar+\frac{1}{3} &= 3 \\ a(1+r) &= 3-\frac{1}{3} \\ (3-3r)(1+r) &= \frac{8}{3} \\ -3r^2+3 &= &= \frac{8}{3} \\ -9r^2+9 &= &= 8 \\ 9r^2 &= 1 \\ r^2 &= \frac{1}{9} \\ r^2 &= (\frac{1}{3})^2 \\ r^2-(\frac{1}{3})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{3})(r-\frac{1}{3}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{3} &\text{ atau } r=\frac{1}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] aviprr3kdv4ayet1jswfky8led8bwpv 108526 108525 2025-07-10T08:58:25Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108526 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 3</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{3}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 3 \\ S_\infty &= 3 \\ \frac{a}{1-r} &= 3 \\ a &= 3-3r \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 3 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 3 \\ a+ar+\frac{1}{3} &= 3 \\ a(1+r) &= 3-\frac{1}{3} \\ (3-3r)(1+r) &= \frac{8}{3} \\ -3r^2+3 &= \frac{8}{3} \\ -9r^2+9 &= 8 \\ 9r^2 &= 1 \\ r^2 &= \frac{1}{9} \\ r^2 &= (\frac{1}{3})^2 \\ r^2-(\frac{1}{3})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{3})(r-\frac{1}{3}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{3} &\text{ atau } r=\frac{1}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 73oijixzhqlmws8g9e4ld3r3rp29fot 108527 108526 2025-07-10T09:32:21Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108527 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{3}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 2cz0zrdhg0vlbgko8t4pn6w0gm6wsad 108528 108527 2025-07-10T09:33:57Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108528 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 6yleojy44rf7el6260hdp8zk8jx3s8r 108529 108528 2025-07-10T09:38:27Z Akuindo 8654 /* Rumus barisan dan deret geometri */ 108529 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen; |r|<1) }</math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1lrv0rhnbkb4ga4pjz7n2ju0sodq3xk 108530 108529 2025-07-10T09:39:43Z Akuindo 8654 /* Rumus barisan dan deret geometri */ 108530 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hrfijdpihqmlki6t2tpkd1q5qtryhj0 108531 108530 2025-07-10T09:54:59Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108531 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: : <math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dits</math> : ³log (2x-1) : jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hhrkg3cdpajng9po873ragmmod0imxn 108532 108531 2025-07-10T09:55:49Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108532 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: : <math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> : ³log (2x-1) : jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] jvshrlev32f82qkc708g13z9dy94v7n 108533 108532 2025-07-10T09:56:33Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108533 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 5l4tz0tekj12kxhqyphujgjvfsnexur 108534 108533 2025-07-10T10:17:04Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108534 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 (|r|<1) \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{1-x} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{1-x}<1 \ -(1-x)<1<1-x \\ -1+x<1<1-x \\ -1+x<1 \\ x<2 \\ 1-x>1 \\ x>0 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] p0q9f97jgzti58atere8mnri4brkuw6 108535 108534 2025-07-10T10:17:54Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108535 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{1-x} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{1-x}<1 \ -(1-x)<1<1-x \\ -1+x<1<1-x \\ -1+x<1 \\ x<2 \\ 1-x>1 \\ x>0 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] jj62p7p2hljoowpgpmf8w55vhk58pqo 108536 108535 2025-07-10T10:19:16Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108536 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{1-x} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{1-x}<1 \ -(1-x)<1<1-x \\ -1+x<1<1-x \\ -1+x<1 \\ x<2 \\ 1-x>1 \\ x>0 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ S_\infty &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] shppl1edjitqg8o00s4e2oaxqkrbfyd 108537 108536 2025-07-10T10:20:57Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108537 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 (|r|<1) \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{1-x} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{1-x}<1 \\ -(1-x)<1<1-x \\ -1+x<1<1-x \\ -1+x<1 \\ x<2 \\ 1-x>1 \\ x>0 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ S_\infty &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 5qyi5nv5bvnkk072y7qbge7x9xrt1xi 108538 108537 2025-07-10T10:46:56Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108538 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 (|r|<1) \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{x-1} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{x-1}<1 \\ \frac{1}{x-1}&>-1 \\ \frac{x}{x-1}&>0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ x&=0 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 1 \\ \frac{1}{x-1}&<1 \\ \frac{2-x}{x-1}&<1 \\ \text{harga nol pembilang } \\ 2-x&=0 \\ x&=2 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 1 \text{ atau } x > 2 \\ \text{kedua tergabung menjadi irisan yaitu } x<0 \text{ atau } x>2 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ * S_\infty &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pdk63e77jojgcfkpyfjtvtqphfpqj7h 108539 108538 2025-07-10T10:48:47Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108539 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 (|r|<1) \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{x-1} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{x-1}<1 \\ \frac{1}{x-1}&>-1 \\ \frac{x}{x-1}&>0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ x&=0 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 1 \\ \frac{1}{x-1}&<1 \\ \frac{2-x}{x-1}&<0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ 2-x&=0 \\ x&=2 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 1 \text{ atau } x > 2 \\ \text{kedua tergabung menjadi irisan yaitu } x<0 \text{ atau } x>2 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ * S_\infty &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] fnud1p46zz5oovvdj23kzde68of2u7s 108540 108539 2025-07-10T11:19:10Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108540 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 (|r|<1) \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{x-1} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{x-1}<1 \\ \frac{1}{x-1}&>-1 \\ \frac{x}{x-1}&>0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ x&=0 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 1 \\ \frac{1}{x-1}&<1 \\ \frac{2-x}{x-1}&<0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ 2-x&=0 \\ x&=2 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 1 \text{ atau } x > 2 \\ \text{kedua tergabung menjadi irisan yaitu } x<0 \text{ atau } x>2 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ * a=x \text{ dan } S_\infty = 10 \\ S_\infty &= 10 \\ \frac{x}{1-r} &= 10 \\ 1-r &= \frac{x}{10} \\ r &= \frac{10-x}{10} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{10-x}{10}<1 \\ -10<10-x<10 \\ -20<-x<0 \\ -20<-x \\ x>20 \\ -x<0 \\ x>0 \\ \{jadi } x>20 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gihbq9lshvp71075s95uiv23dksn3ux 108541 108540 2025-07-10T11:20:43Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 108541 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 (|r|<1) \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{x-1} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{x-1}<1 \\ \frac{1}{x-1}&>-1 \\ \frac{x}{x-1}&>0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ x&=0 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 1 \\ \frac{1}{x-1}&<1 \\ \frac{2-x}{x-1}&<0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ 2-x&=0 \\ x&=2 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 1 \text{ atau } x > 2 \\ \text{kedua tergabung menjadi irisan yaitu } x<0 \text{ atau } x>2 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ * a=x \text{ dan } S_\infty = 10 \\ S_\infty &= 10 \\ \frac{x}{1-r} &= 10 \\ 1-r &= \frac{x}{10} \\ r &= \frac{10-x}{10} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{10-x}{10}<1 \\ -10<10-x<10 \\ -20<-x<0 \\ -20<-x \\ x>20 \\ -x<0 \\ x>0 \\ \text{jadi } x>20 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 0zhso7t3qserufd97r3yxlm4rhadhfx 0 23135 108493 108488 2025-07-09T12:44:21Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108493 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{dari kombinasi perkalian jadi } x \le -4, \frac{1-\sqrt{145}}{6} \le x \le \frac{1+\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le 4 \text{ atau } x \ge 3 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama (kombinasi perkalian) {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || +++ || || ——— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -<math>\sqrt{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>-\sqrt{6}</math> !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 0 !! !! 1 !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\sqrt{6}</math> !! !! 3 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || || || || || || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 6 !! |- | —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] cny6bnvbom7047suqzqixeayd5gan4n 108494 108493 2025-07-09T14:17:05Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108494 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| = \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{dari kombinasi perkalian jadi } x \le -4, \frac{1-\sqrt{145}}{6} \le x \le \frac{1+\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge 3 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama (kombinasi perkalian) {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -4 !! !! <math>\frac{1-\sqrt{145}}{6}</math> !! !! <math>\frac{1+\sqrt{145}}{6}</math> !! !! 3 !! |- | +++ || || —— || || +++ || || ——— || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &= 0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 6 !! |- | —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol penyebut } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ae7cdlvzme69jqclpl227ujsuorqo6z 0 23137 108495 108482 2025-07-09T14:22:43Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108495 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 9kv24ro4vo8m9ed59ou57r8lcouhcs8 108496 108495 2025-07-09T14:40:38Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108496 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * ^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) &\ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10) \\ x^2-2x &\le x+10 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=5 \\ \text{jadi } -2 \ge x \ge 5 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-2x &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 \\ x=0 &text{ atau } x=2 \\ \ text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 2 \\ \text{syarat 2 } \\ x+10 &> 0 \\ x &> -10 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 5 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -10 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-10) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (2) !! !! 5 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 9c08jsqn9tm1dcohiuchgyr9p6p0j15 108497 108496 2025-07-09T14:42:11Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108497 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * ^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) &\ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10) \\ x^2-2x &\le x+10 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=5 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 5 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-2x &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=2 \\ \ text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 2 \\ \text{syarat 2 } \\ x+10 &> 0 \\ x &> -10 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 5 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -10 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-10) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (2) !! !! 5 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] i0v0wdjallx0r8ml49d62ktyj4vli9j 108498 108497 2025-07-09T14:46:44Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108498 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * ^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) &\ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10) \\ x^2-2x &\le x+10 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=5 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 5 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-2x &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 2 \\ \text{syarat 2 } \\ x+10 &> 0 \\ x &> -10 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -2 \le x < 0 \text{ atau } 2 < x \le 5 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 5 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -10 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-10) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (2) !! !! 5 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] s8yej2ruxqk9wkbhxgo99riof0b7gxt 108499 108498 2025-07-09T20:48:56Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108499 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>27^{\frac{x+4}{3}} \ge \frac{1}{81}^{\frac{x-10}{4}}</math> * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * ^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) &\ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10) \\ x^2-2x &\le x+10 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=5 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 5 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-2x &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 2 \\ \text{syarat 2 } \\ x+10 &> 0 \\ x &> -10 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -2 \le x < 0 \text{ atau } 2 < x \le 5 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 5 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -10 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-10) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (2) !! !! 5 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] e79tx62o4dbl3gf6doc5ozcnj4nagso 108500 108499 2025-07-09T20:55:45Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108500 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>27^{\frac{x+4}{3}} \ge \frac{1}{81}^{\frac{3x-8}{4}}</math> * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 27^{\frac{x+4}{3}} &\ge \frac{1}{81}^{\frac{3x-8}{4}} \\ (3^3)^{\frac{x+4}{3}} &\ge \frac{1}{3^4}^{\frac{3x-8}{4}} \\ 3^{x+4} &\ge (3^{-4})^{\frac{3x-8}{4}} \\ 3^{x+4} &\ge 3^{-(3x-8)} \\ x+4 &\ge -(3x-8) \\ x+4 &\ge -3x+8 \\ 4x &\ge 4 \\ x &\ge 1 \\ * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * ^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) &\ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10) \\ x^2-2x &\le x+10 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=5 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 5 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-2x &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 2 \\ \text{syarat 2 } \\ x+10 &> 0 \\ x &> -10 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -2 \le x < 0 \text{ atau } 2 < x \le 5 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 5 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -10 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-10) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (2) !! !! 5 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] k2b7nufg4z26tmube5cjtfxsgken625 108501 108500 2025-07-09T21:14:17Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108501 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>27^{\frac{x+4}{3}} \ge \frac{1}{81}^{\frac{3x-8}{4}}</math> * <math>\frac{1}{16}^{\frac{x^2}{4}-1} \ge \frac{1}{8}^{\frac{10-x}{3}}</math> * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 27^{\frac{x+4}{3}} &\ge \frac{1}{81}^{\frac{3x-8}{4}} \\ (3^3)^{\frac{x+4}{3}} &\ge \frac{1}{3^4}^{\frac{3x-8}{4}} \\ 3^{x+4} &\ge (3^{-4})^{\frac{3x-8}{4}} \\ 3^{x+4} &\ge 3^{-(3x-8)} \\ x+4 &\ge -(3x-8) \\ x+4 &\ge -3x+8 \\ 4x &\ge 4 \\ x &\ge 1 \\ * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * ^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) &\ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10) \\ x^2-2x &\le x+10 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=5 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 5 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-2x &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 2 \\ \text{syarat 2 } \\ x+10 &> 0 \\ x &> -10 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -2 \le x < 0 \text{ atau } 2 < x \le 5 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 5 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -10 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-10) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (2) !! !! 5 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] c9q9hcjpzsr78dl6cd2v78s7a391o97 108502 108501 2025-07-09T21:21:43Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108502 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>27^{\frac{x+4}{3}} \ge \frac{1}{81}^{\frac{3x-8}{4}}</math> * <math>\frac{1}{16}^{\frac{x^2}{4}-1} \ge \frac{1}{8}^{\frac{8-x}{3}}</math> * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 27^{\frac{x+4}{3}} &\ge \frac{1}{81}^{\frac{3x-8}{4}} \\ (3^3)^{\frac{x+4}{3}} &\ge \frac{1}{3^4}^{\frac{3x-8}{4}} \\ 3^{x+4} &\ge (3^{-4})^{\frac{3x-8}{4}} \\ 3^{x+4} &\ge 3^{-(3x-8)} \\ x+4 &\ge -(3x-8) \\ x+4 &\ge -3x+8 \\ 4x &\ge 4 \\ x &\ge 1 \\ * \frac{1}{16}^{\frac{x^2}{4}-1} &\ge \frac{1}{8}^{\frac{8-x}{3}} \\ \frac{1}{2^4}^{\frac{x^2}{4}-1} &\ge \frac{1}{2^3}^{\frac{8-x}{3}} \\ \frac{1}{2}^{4(\frac{x^2}{4}-1)} &\ge \frac{1}{2}^{3(\frac{8-x}{3})} \\ \frac{1}{2}^{4(\frac{x^2-4}{4})} &\ge \frac{1}{2}^{8-x} \\ \frac{1}{2}^{x^2-4} &\ge \frac{1}{2}^{8-x} \\ x^2-4 &\le 8-x \\ x^2+x-12 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * ^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) &\ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10) \\ x^2-2x &\le x+10 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=5 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 5 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-2x &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 2 \\ \text{syarat 2 } \\ x+10 &> 0 \\ x &> -10 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -2 \le x < 0 \text{ atau } 2 < x \le 5 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 5 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -10 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-10) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (2) !! !! 5 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] nr1cf0fbpgw585rp6hi105b108kkjt0 108503 108502 2025-07-09T21:26:54Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108503 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{syarat 2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat 1} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ \text{syarat 3} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat 1} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 2} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ \text{syarat 3} \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ \text{syarat 4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat 1} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{syarat 2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 3} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ \text{syarat 4} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ \text{syarat 5} \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || Ya |- | Ya || || || || || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* syarat 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! |- | ——- || || +++ |} ;total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{1}{4}</math> !! !! 2 !! !! 3 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- | ——- || || ++* |} ;* syarat 4 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>\frac{15}{2}</math> !! |- ! || || || || || || Ya |- | Ya || || || || Ya || || Ya |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>27^{\frac{x+4}{3}} \ge \frac{1}{81}^{\frac{3x-8}{4}}</math> * <math>\frac{1}{16}^{\frac{x^2}{4}-1} \ge \frac{1}{8}^{\frac{8-x}{3}}</math> * <math>\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} \ge \frac{3^{x-2}}{9}</math> * <math>3^{2x+1}+9 \ge 28 \cdot 3^x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 27^{\frac{x+4}{3}} &\ge \frac{1}{81}^{\frac{3x-8}{4}} \\ (3^3)^{\frac{x+4}{3}} &\ge \frac{1}{3^4}^{\frac{3x-8}{4}} \\ 3^{x+4} &\ge (3^{-4})^{\frac{3x-8}{4}} \\ 3^{x+4} &\ge 3^{-(3x-8)} \\ x+4 &\ge -(3x-8) \\ x+4 &\ge -3x+8 \\ 4x &\ge 4 \\ x &\ge 1 \\ * \frac{1}{16}^{\frac{x^2}{4}-1} &\ge \frac{1}{8}^{\frac{8-x}{3}} \\ \frac{1}{2^4}^{\frac{x^2}{4}-1} &\ge \frac{1}{2^3}^{\frac{8-x}{3}} \\ \frac{1}{2}^{4(\frac{x^2}{4}-1)} &\ge \frac{1}{2}^{3(\frac{8-x}{3})} \\ \frac{1}{2}^{4(\frac{x^2-4}{4})} &\ge \frac{1}{2}^{8-x} \\ \frac{1}{2}^{x^2-4} &\ge \frac{1}{2}^{8-x} \\ x^2-4 &\le 8-x \\ x^2+x-12 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } -4 \le x \le 3 \\ * \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}} &\ge \frac{3^{x-2}}{9} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge \frac{3^{x-2}}{3^2} \\ (\frac{1}{(3^3)^{x+2}})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (\frac{1}{(3^{x+2})^3})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ (3^{-3(x+2)})^{\frac{1}{3}} &\ge 3^{x-4} \\ 3^{-(x+2)} &\ge 3^{x-4} \\ -(x+2) &\ge x-4 \\ -x-2 &\ge x-4 \\ 2x &\le 2 \\ x &\le 1 \\ * 3^{2x+1}+9 &\ge 28 \cdot 3^x \\ 3 \cdot (3^x)^2-28 \cdot 3^x+9 &\ge 0 \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (3 \cdot 3^x-1)(3^x-9) &= 0 \\ 3^x=\frac{1}{3} &\text{ atau } 3^x=9 \\ \text{untuk } 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=\frac{1}{3} \\ 3^x=3^{-1} \\ x=-1 \\ \text{untuk } 3^x=9 \\ 3^x=9 \\ 3^x=3^2 \\ x=2 \\ \text{jadi } x \le -1 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>2 log x \le log (3x+7) + 2 log 2</math> * <math>^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) \ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10)</math> * <math>\frac{1}{^{x^2-4x}log3} \ge ^3log(x+14)</math> * <math>^2log^2 x-2 \ge ^2log x</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 log x &\le log (3x+7) + 2 log 2 \\ log x^2 &\le log (3x+7) + log 4 \\ log x^2 &\le log 4(3x+7) \\ x^2 &\le 4(3x+7) \\ x^2 &\le 12x+28 \\ x^2-12x-28 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-12x-28 &= 0 \\ (x+2)(x-14) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=14 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 14 \\ \text{syarat 1 } \\ x &> 0 \\ \text{syarat 2 } \\ 3x+7 &> 0 \\ x &> -\frac{7}{3} \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le 14 \\ * ^{\frac{1}{2}}log (x^2-2x) &\ge ^{\frac{1}{2}}log (x+10) \\ x^2-2x &\le x+10 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=5 \\ \text{jadi } -2 \le x \le 5 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-2x &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 2 \\ \text{syarat 2 } \\ x+10 &> 0 \\ x &> -10 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -2 \le x < 0 \text{ atau } 2 < x \le 5 \\ * \frac{1}{^{x^2-4x}log3} &\ge ^3log(x+14) \\ ^3log (x^2-4x) &\ge ^3log(x+14) \\ x^2-4x &\ge x+14 \\ x^2-4x-x-14 &\ge 0 \\ x^2-5x-14 &\ge 0 \\ (x-7)(x+2) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (x+2)(x-7) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=7 \\ \text{jadi } x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ \text{syarat 1 } \\ x^2-4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 4 \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-4x &> 0 \\ x(x-4) &> 0 \\ \text{harga nol } \\ x(x-4) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=4 \\ \text{jadi } x<0 \text{ atau } x>4 \\ \text{syarat 3 } \\ x+14 &> 0 \\ x &> -14 \\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah } -14 < x \le -2 \text{ atau } x \ge 7 \\ * ^2log^2 x-2 &\ge ^2log x \\ ^2log^2 x - ^2log x - 2 &\ge 0 \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ (^2log x - 2)(^2log x + 1) &= 0 \\ ^2log x=2 &\text{ atau } ^2log x=-1 \\ \text{untuk } ^2log x=2 \\ ^2log x &= 2 \\ x &= 4 \\ \text{untuk } ^2log x=-1 \\ ^2log x &= -1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \text{jadi } x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \text{syarat } \\ x &> 0 \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah } 0 < x \le \frac{1}{2} \text{ atau } x \ge 4 \\ \end{align} </math> ;daerah arsiran untuk nomor satu ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 14 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! <math>(-\frac{7}{3})</math> !! !! -2 !! !! (0) !! !! 14 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || |- | || || || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor dua ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 5 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 0 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -10 !! |- | —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-10) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (2) !! !! 5 !! |- | || || || || Ya || || Ya || || Ya || || |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor tiga ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2 !! !! 7 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* syarat 2 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! (4) !! |- | +++ || || —— || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (-14) !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 7 !! |- | Ya || || Ya || || || || || || || || Ya |- | Ya || || Ya || || Ya || || || || Ya || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya || || Ya |} ;daerah arsiran untuk nomor empat ;* utama {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ;* total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! (0) !! !! 1/2 !! !! 4 !! |- | Ya || || Ya || || || || Ya |- | || || Ya || || Ya || || Ya |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] o7ymka83ggtlsxwb4d4s394egw7on6s 0 23155 108491 108490 2025-07-09T12:09:08Z Akuindo 8654 /* Bunga tunggal setoran tunggal */ 108491 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = i \cdot M_o</math> * besar bunga <math>B_n = n \times b</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # i adalah persentase bunga # Bn adalah besar bunga * besar bunga <math>B_n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga (suku bunga) # Bn adalah besar bunga * besaran bunga yang diterima per periode <math>Bn = nB = n(bMo)</math> keterangan: # Bn adalah nominal bunga yang akan diterima dalam akhir periode ke n # B adalah bunga # Mo adalah modal awal contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah bunga # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; Bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mn = tabungan setelah n periode # M_n-1 = tabungan setelah n-1 periode # Mo = modal awal # n = periode penyimpanan menabung # i = persentase bunga (suku bunga) contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] s13nzbck3xu1kvgbkzfs4kwaiwg5fd7 108492 108491 2025-07-09T12:11:56Z Akuindo 8654 /* Bunga tunggal setoran tunggal */ 108492 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = i \cdot M_o</math> * besar bunga <math>B_n = n \times b</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # i adalah persentase bunga # Bn adalah besar bunga * besar bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga (suku bunga) # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah bunga # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; Bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mn = tabungan setelah n periode # M_n-1 = tabungan setelah n-1 periode # Mo = modal awal # n = periode penyimpanan menabung # i = persentase bunga (suku bunga) contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] kmipwuednd9w79pkdyr4q6h2c4yzsil 108505 108492 2025-07-09T23:06:56Z Akuindo 8654 /* Bunga majemuk */ 108505 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = i \cdot M_o</math> * besar bunga <math>B_n = n \times b</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # i adalah persentase bunga # Bn adalah besar bunga * besar bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga (suku bunga) # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah bunga # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan setelah n periode # M_n-1 = tabungan setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 9m34291bx0n5jl0wfmwvay788gm9i78 108506 108505 2025-07-09T23:08:06Z Akuindo 8654 /* Aritmatika sosial */ 108506 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = i \cdot M_o</math> * besar bunga <math>B_n = n \times b</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # i adalah persentase bunga # Bn adalah besar bunga * besar bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga (suku bunga) # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah bunga # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan setelah n periode # M_n-1 = tabungan setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] i7wvgcr8w6i4a6vee2sfdm26iu4x9hk 108507 108506 2025-07-09T23:09:14Z Akuindo 8654 /* Bunga majemuk */ 108507 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = i \cdot M_o</math> * besar bunga <math>B_n = n \times b</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # i adalah persentase bunga # Bn adalah besar bunga * besar bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga (suku bunga) # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan # n adalah periode menabung # b adalah bunga # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode # M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gpcu13ijh17yvjtdcrfahmmrbid9lqk 108508 108507 2025-07-09T23:15:15Z Akuindo 8654 /* Bunga tunggal setoran berulang */ 108508 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = i \cdot M_o</math> * besar bunga <math>B_n = n \times b</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # i adalah persentase bunga # Bn adalah besar bunga * besar bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga (suku bunga) # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # n adalah periode menabung # b adalah bunga # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode # M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] rujrof5bdxnwtwd46uumzin5n2unf9m 108509 108508 2025-07-09T23:16:05Z Akuindo 8654 /* Bunga tunggal setoran berulang */ 108509 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = i \cdot M_o</math> * besar bunga <math>B_n = n \times b</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Mo adalah modal yang dibungakan # i adalah persentase bunga # Bn adalah besar bunga * besar bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal akhir <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga (suku bunga) # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # n adalah periode menabung # b adalah bunga setelah satu periode # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode # M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 2pbwxafsmtu732ei5zv0ltfwjx1tvd0 108510 108509 2025-07-09T23:21:49Z Akuindo 8654 108510 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = M_o \cdot i</math> * bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # i adalah persentase bunga (suku bunga) # n adalah periode penyimpanan menabung # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # n adalah periode menabung # b adalah bunga setelah satu periode # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode # M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] qktiu2gs9bw3mcjsg44q744pp3jen8o 108511 108510 2025-07-09T23:23:25Z Akuindo 8654 /* Bunga majemuk */ 108511 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = M_o \cdot i</math> * bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # i adalah persentase bunga (suku bunga) # n adalah periode penyimpanan menabung # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # n adalah periode menabung # b adalah bunga setelah satu periode # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode # M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mbfgkkls5gixn7uyekdxtahc6dfx46b 108512 108511 2025-07-09T23:26:31Z Akuindo 8654 108512 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = M_o \cdot i</math> * bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # i adalah persentase bunga (suku bunga) # n adalah periode penyimpanan menabung # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (ni + i + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga setelah satu periode # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (nb + b + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode # M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = besar bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] k4c7l0u9m1tox08vyj8vr0nb4f72pxa 108513 108512 2025-07-09T23:28:35Z Akuindo 8654 /* Bunga tunggal setoran berulang */ 108513 wikitext text/x-wiki Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. == Bunga tunggal == Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap. Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang. === Bunga tunggal setoran tunggal === * suku bunga (?) <math>\text{suku bunga} = \frac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100</math> * suku bunga per satuan waktu <math>b = M_o \cdot i</math> * bunga <math>B_n = b \cdot n = M_o \cdot i \cdot n</math> * modal <math>M_n = M_o (1 + in)</math> atau <math>M_n = M_o + B_n</math> keterangan: # b adalah suku bunga per satuan waktu # Bn adalah besar bunga yang diterima per periode # Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal) # i adalah persentase bunga (suku bunga) # n adalah periode penyimpanan menabung # Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode contoh # Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun? : Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun: :: b = i x M_o :: = 11/100 x 2.000.000 = 220.000 : Bunga dalam 5 tahun: :: B = n x b :: = 5 x 220.000 = 1.100.000 : Modal seluruhnya :: M_n = M_o + B_n :: = 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000 atau : <math>M_n = M_o (1 + in)</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 5}{100})</math> :: <math>M_5 = 2.000.000 \cdot (1,55)</math> :: <math>= 3.100.000</math> === Bunga tunggal setoran berulang === : Modal akhir <math>M_n = \frac{1}{2} n (ni + i + 2)A</math> keterangan: # Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode # n adalah periode menabung # i adalah persentase bunga setelah satu periode # A adalah setoran setiap bulan contoh # Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya? : <math>M_n = \frac{1}{2} n (ni + i + 2)A</math> :: <math>19.200.000 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (15 \cdot \frac{0,1}{12} + \frac{0,1}{12} + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (0,12 + 0,008 + 2) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 7,5 \cdot (2,128) \cdot A</math> :: <math>19.200.000 = 15,96 \cdot A</math> :: <math>A = \frac{19.200.000}{15,96}</math> :: <math>A = 1.2003.0007,51</math> Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran. == Bunga majemuk == ; bunga * <math>B = M_o \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}</math> ; modal * umum <math>M_n = M_o(1+i)^n</math> * besaran bunga kumulatif yang didapat <math>M_n - M_o = M_o(1+i)^n - M_o</math> <math>= M_o((1+i)^n - 1)</math> * besaran bunga per periode <math>M_n - M_{n-1} = M_o(1+i)^n - M_o(1+i)^{n-1}</math> <math>= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1})</math> keterangan: # B = besar bunga pada periode n # Mo = modal awal # Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode # M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode # i = persentase bunga (suku bunga) # n = periode penyimpanan menabung contoh # Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 100.000 \\ i &= 0,045 \\ \text{1 tahun = 4 triwulan} \\ \text{3,5 tahun = 14 triwulan} \\ n &= 14 \\ M_n &= M_o(1+i)^n \\ M_{14} &= 100.000 (1+0,045)^{14} \\ &= 100.000(1,045)^{14} \\ &= 185.194,492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} M_o &= 10.000.000 \\ i &= 0,05 \\ n &= 10 \\ M_n - M_{n-1} &= M_o((1+i)^n - (1+i)^{n-1}) \\ M_{10} - M_{10-1} &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^{10-1}) \\ M_{10} - M_9 &= 10.000.000((1+0,05)^{10} - (1+0,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^{10} - (1,05)^9) \\ &= 10.000.000((1,05)^9 (1,05 - 1)) \\ &= 775,664,108 \\ \end{align} </math> </div></div> == Aritmatika sosial == <math>\text{Bunga} = \frac{b}{12} \cdot \frac{P}{100} \cdot M_o</math> keterangan: # B = besar bunga (modal akhir-modal awal) # b = lamanya menabung (bulan) # P = persentase bunga (suku bunga) # Mo = modal awal [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 0v1ak9dv4dyfisr8qe3ehq0bekp7vrb 0 25910 108504 108466 2025-07-09T22:41:27Z Astari28 36197 108504 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program '''''Bhumika Wiki: Wikibuku''''', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party, Bookclub Jember Membaca & Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Makassar – (Jadwal masih dikonfirmasi) | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Malang – (Jadwal masih dikonfirmasi) | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Lombok – (Jadwal masih dikonfirmasi) | Mitra: Lombok Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. == Diselenggarakan oleh == [[Berkas:Logo Komunitas Wikimedia Jawa Timur.svg|240x240px|center|frameless]] == Didukung oleh == {| class="plainlinks" style="background: transparent; margin: auto; width: 60%;" | [[Berkas:Wikimedia Foundation RGB logo with text.svg|135px|center|frameless]] | [[Berkas:Wikimedia Indonesia.svg|110px|center|frameless]] |} [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] ppb3wcwmh5pt5ce1tha5dr60zwhbkuo