Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul Acara Pembicaraan Acara 14 3796 115051 114974 2026-04-27T12:47:11Z ~2026-25628-79 43050 115051 wikitext text/x-wiki Materi Gunung berapi kelas 8 qwpy75qrcbh3h01l05wgbh8ey1vu236 115052 115051 2026-04-27T12:47:51Z Quinlan83 34259 Restored revision 114955 by [[Special:Contributions/NDG|NDG]] ([[User talk:NDG|talk]]): Rb (TwinkleGlobal) 115052 wikitext text/x-wiki [[Kategori:Utama]] konstitusi rigid 9gg7n662zat3b19pbgkp525iuuperij 0 5239 115076 20137 2026-04-28T06:41:20Z Jdsteakley 15766 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Heroes of iliad by Tischbein.JPG]] → [[File:Heroes of the Iliad after Tischbein.jpg]] 115076 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Heroes of the Iliad after Tischbein.jpg|300px|right|thumb|Para pahlawan dalam Perang Troya. Dari kiri ke kanan: Agamemnon, Akhilles, Nestor, Odisseus, Diomedes, Paris, Menelaos.]] Di antara para prajurit yang bergabung dalam pasukan Yunani, yang terhebat adalah Akhilles, pemimpin pasukan Mirmidon, Aias, pemimpin pasukan Salamis, Diomedes, pemimpin pasukan Argos, dan Odisseus, raja cerdas dari Ithaka. Putra sulung raja Priamos, Hektor, adalah panglima perang pasukan Troya. Hektor adalah prajurit terbaik di Troya. Hektor tahu dia ditakdirkan untuk mati dalam perang, namun sebagai pewaris tahta dan putra tertua raja, dia tetap menjalankan tugasnya untuk mempertahankan Troya, meskipun perang ini dimulai oleh adiknya. Wakil Hektor sekaligus prajurit kedua terhebat di Troya adalah Aineias, putra Afrodit dan Ankhises. Sementara di pihak sekutu Troya, jenderal yang terkenal adalah Sarpedon, pemimpin Likia dan putra Zeus dan Deïdameia, serta Glaukos, putra Hippolokhos. Sebelum armada Yunani berlabuh di Troya, Menelaos dan Odisseus datang ke Troya dan meminta supaya Helene dikembalikan. Beberapa sesepuh Troya, termasuk Antenor dari Dardania mendukung supaya Helene dikembalikan supaya tidak terjadi perang. Namun Paris tidak mau mengembalikan Helene. Paris didukung oleh Antimkahos, sesepuh Troya lainnya. Antimakhos bahkan sempat berencana membunuh Menelaos dan Odisseus kalau saja tidak dihentikan oleh Antenor. Menelaos kembali ke kapal dan memberitakan bahwa perang tidak terhindarkan. Kapal-kapal Yunani pun berlabuh di pantai Troya namun tak ada yang mau turun karena diramalkan bahwa prajurit yang pertama menginjakkan kaki di tanah Troya akan mati pertama kali. Odisseus kembali menggunakan akalnya. Dia melompat dari kapal dan mendarat di pantai Troya. Melihat Odisseus melompat, Protesilaos, yang berpikir Odisseuslah yang akan terkena takdir itu, akhirnya turun dari kapal dan langsung menyerang pasukan Troya. Padahal Odisseus telah terlebih dahulu melemparkan perisainya ke tanah sehingga dia mendarat di atas perisai, dan Protesilaoslah yang pertama kali menginjakkan kaki di tanah Troya. Maka Protesilaos pun mati oleh Hektor setelah sebelumnya sempat menghabisi beberapa prajurit Troya. Pasukan Yunani dan Troya saling menyerang. Akhilles juga maju ke medan tempur. Prajurit Troya pertama yang dihadapi Akhilles adalah Kiknos, putra Poseidon. Akhilles mencoba menusuk Kiknos dengan tombak dan pedangnya namun ternyata Kiknos kebal terhadap senjata, akhirnya Akhilles menyerangnya dengan tangan kosong dan mencekiknya sampai mati. ---- Odisseus tidak pernah memaafkan Palamedes yang telah membongkar tipu dayanya dan membahayakan bayinya. Odisseus pun merancang sebuah rencana untuk menjatuhkan Palamedes. Odisseus, dengan bantuan Diomedes, membuat surat palsu yang seakan ditulis oleh raja Priamos untuk Palamedes. Odisseus juga secara diam-diam menaruh emas di tenda Palamedes. Akibatnya, Palamedes dituduh melakukan kerjasama dengan pihak Troya. Palamedes pun dihukum mati oleh pasukan Yunani. Dalam versi lainnya, Odisseus dan Diomedes menenggelamkan Palamedes ketika dia sedang memancing. <noinclude> {{Perang Troya}} [[Kategori:Mitologi Yunani]] </noinclude> oy66u5e5w8ddwof1sjddr5xttz6i6ot 0 14210 115075 114846 2026-04-28T04:39:27Z ~2026-25685-25 43054 /* Dua jumlah Himpunan */ 115075 wikitext text/x-wiki == Himpunan semesta == Himpunan semesta dilambangkan sebagai S. == Himpunan elemen == Himpunan elemen dilambangkan sebagai ∈. contoh: # S adalah bilangan asli yang kurang dari 10 serta A adalah bilangan asli ganjil yang kurang dari 10. maka bentuk himpunan elemen sebagai berikut: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan A = {1, 3, 5, 7, 9} maka S ∈ A. == Himpunan kosong == Himpunan kosong dilambangkan sebagai {} atau ∅. == Himpunan bagian == Himpunan bagian dilambangkan sebagai ⊂ (subset) dan ⊃ (superset). Rumus jumlah himpunan bagian adalah 2ⁿ. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 13} dan C = {16, 17} maka B ⊂ A, A ⊃ B serta C ⊄ A. == Himpunan irisan == Himpunan irisan dilambangkan sebagai ∩. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A ∩ B = {11, 12, 15}. == Himpunan gabungan == Himpunan irisan dilambangkan sebagai ∪. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A ∪ B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}. == Himpunan komplemen == Himpunan komplemen dilambangkan sebagai ’ atau ^c. Rumus: A’ = 1-A contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15} maka B’ = B^c = {13, 14}. == Dua selisih Himpunan == Dua selisih himpunan dilambangkan sebagai -. Rumus: * A-B = A - (A ∩ B) * B-A = B - (B ∩ A) contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A-B = {13, 14}. == Dua jumlah Himpunan == Dua jumlah himpunan dilambangkan sebagai +. Rumus: * A+B = * B+A = contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A+B = {13, 14, 16, 17}. ;sifat # A ∩ B = B ∩ A # A ∪ B = B ∪ A # (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) # (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) # A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) # A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) # (A’)’ = A # A ∩ A’ = ∅ # A ∪ A’ = S # A ∩ S = A # A ∪ S = S # A ∩ ∅ = ∅ # A ∪ ∅ = A # (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ # (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ # A = (A ∩ B) ∩ (A ∩ B’) ;Contoh: * Buatlah notasi matematika sebagai berikut: ** A adalah bilangan riil yang kurang dari 10. ** B adalah bilangan asli yang lebih dari 50. ;Jawaban ** A = {x|x<10, x ∈ R} ** B = {x|x>50, x ∈ N} * Berapa banyak himpunan anggota beserta contohnya dari A = {a, b, c}? : n(A) = 3 : Banyaknya himpunan anggota adalah 2ⁿ = 2³ = 8 : Contohnya adalah A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} * S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, A = {x|11 ≤ x ≤ 15, x ∈ N} dan B = {x|14 ≤ x ≤ 18, x ∈ N}. Tentukan: ** A’ ** B’ ** A ∩ B ** A ∪ B ** A’ ∩ B’ ** A’ ∪ B’ ** A’ ∩ B ** A’ ∪ B ;jawaban * S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, A = {11, 12, 13, 14, 15} dan B = {14, 15, 16, 17, 18} ** A’ = {16, 17, 18, 19, 20} ** B’ = {11, 12, 13, 19, 20} ** A ∩ B = {14, 15} ** A ∪ B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} ** A’ ∩ B’ = {19, 20} ** A’ ∪ B’ = {11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 20} ** A’ ∩ B = {16, 17, 18} ** A’ ∪ B = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} ;Keterangan * (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ * (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ * (A ∩ B’)’ = A’ ∪ B * (A ∪ B’)’ = A’ ∩ B [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] svio93mzgajild72xp34fyotypu6qwv 0 23131 115050 114618 2026-04-27T12:25:20Z ~2026-25546-23 43043 /* Koefisien binomial */ 115050 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (x+y)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} C_{k}^{n} x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. suku ke-a adalah u_a=u_k+1. penjabaran tersebut memiliki k+1 suku. suku ke-a adalah <math>C_{a-1}^{n} x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == Ciri-ciri: jabatan, peringkat, nomor dan huruf diurutkan, cara mengatur (contoh kursi, bendera, duduk, dll), penyusunan angka dan huruf ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 4 huruf yang berbeda terdiri dari A, B, C dan D?? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA : jadi ada 24 cara # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “ABDI" jika huruf vokal saling berdampingan? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (4-1)!2! = 3!2! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 12 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : AIBD, AIDB, BAID, DAIB, BDAI, DBAI, IABD, IADB, BIAD, DIAB, BDIA, DBIA : jadi ada 12 cara # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. Ada berapa banyak cara jika * enam angka yang berbeda tersusun? * enam angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang berbeda tersusun? * tiga angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang sama yang lebih dari 780? * tiga angka yang berbeda yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 600 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 &= 100 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \cdot 4 &= 4 + 4 + 40 = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Kode kupon dibuat lima angka yang terdiri atas 1, 4, 4, 8, 9 dengan cara berurutan dari terkecil sampai terbesar. * Berapa banyak cara yang dapat dibuat? * Berapa banyak cara jika kode lebih besar daripada 94,000? * Diurutan nomor berapa jika mendapat kode kupon 84914? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{5!}{2!} = 60 \\ \text{banyak cara yang dapat dibuat } 60 \text{ cara } \\ * 94(?)(?)(?) &= 3! = 6 \\ 98(?)(?)(?) &= \frac{3!}{2!} = 3 \\ \text{banyak cara jika kode lebih besar daripada 94,000 adalah 9 cara } \\ * 1(?)(?)(?)(?) &= \frac{4!}{2!} = 12 \\ 4(?)(?)(?)(?) &= 4! = 24 \\ 81(?)(?)(?) &= \frac{3!}{2!} = 3 \\ 841(?)(?) &= 2! = 2 \\ 844(?)(?) &= 2! = 2 \\ 84914 \\ \text{jadi kode kupon 84914 berada di urutan ke 44 } \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang berbeda terdiri dari A, B, C dan D? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 24 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : ABC, ABD, ACB, ACD, ABC, ABD, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB : jadi 24 cara # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 5 murid laki-laki dan 4 murid perempuan. Ada berapa banyak carakah jika * jabatan tersebut dipilih? * jabatan tersebut dipilih jika murid perempuan tersebut menjadi ketua? * jabatan tersebut dipilih jika murid laki-laki tersebut menjadi ketua atau murid perempuan menjadi sekretaris? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text {cara 1 } \\ P^{9}_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 504 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 9 maka wakil ketua 8 dan sekretaris 7 jadi } 9 \times 8 \times 7 = 504 \text{ cara} \\ * \text {cara 1 } \\ P^{4}_1 \times P^{8}_2 = \frac{4!}{(4-1)!} \times \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{4!}{3!} \times \frac{8!}{6!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} \times \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 4 \times 56 = 224 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 4 maka wakil ketua 8 dan sekretaris 7 jadi } 4 \times 8 \times 7 = 224 \text{ cara} \\ * n(KL \cup SP) = n(KL) + n(SP) - n(KL \cap SP) \\ = 5 \times 8 \times 7 + 8 \times 4 \times 7 - 5 \times 4 \times 7 \\ = 280+224-140 \\ = 464 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 7 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 5 jalan kaki dari kota B ke kota C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika: * dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B jika ia tidak menggunakan jalan kaki yang sama lebih dari sekali <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7 \cdot 5 = 35 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 1,225 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6 = 840 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 2 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 3 jalan kaki dari kota B ke D. Ada 4 jalan kaki dari kota A ke kota C dan 2 jalan kaki dari kota C ke kota D serta 5 jalan kaki dari B ke kota C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika dari kota A ke kota D? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 \cdot 5 \cdot 2 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 80 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua orang pergi ke stadion. Stadion memiliki 3 pintu. untuk pintu masuk dengan cara yang sama tetapi yang keluar harus cara yang berbeda maka ada berapa cara mereka bisa pintu masuk dan keluar di stadion tersebut? : untuk pintu masuk ada 3 cara : untuk pintu keluar karena cara yang berbeda jadi dia tidak boleh keluar pintu yang sama pada waktu masuk jadi <math>P^3_2 = \frac{3!}{1!} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6</math> : jadi totalnya 3x6 = 18 cara == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua warna pensil. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan warna pensil yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Kamu mempunyai 2 warna pensil merah, 3 kuning dan 4 hijau. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa tiga warna pensil. Ada berapa banyak cara terambil jika *semua warna pensilnya? *semua warna pensilnya adalah hijau? *salah satu warna pensilnya adalah hijau? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *C^9_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3!6!} = 84 \text{ cara} \\ *C^4_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3!1!} = 4 \text{ cara} \\ *C^4_1 \times C^5_2 = \frac{4!}{1!(4-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{4!}{1!3!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \times 3!}{1!3!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 4 \times 10 = 40 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tuti mempunyai 3 kelereng putih, 2 kelereng cokelat dan 5 kelereng biru. Ada berapa banyak cara jika * memiliki 3 kelereng? * hanya memiliki 1 kelereng putih dan 2 kelereng biru? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3!7!} = 120 \text{ cara} \\ * C^3_1 \times C^5_2 = \frac{3!}{1!(3-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{3!}{1!2!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{3 \times 2!}{1!2!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 3 \times 10 \\ = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \\ \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 \times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui 7 titik A, B, C, D, E, ..., G dan tidak ada titik yang segaris. Tentukan: * Banyaknya segitiga yang dapat dibuat? * Banyaknya segitiga yang mempunyai titik A sebagai titik sudut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^7_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3!4!} = 35 \text{ cara} \\ * C^6_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2!4!} = 15 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui tempat penginapan terdiri dari 2 kamar berisi 2 orang dan 3 kamar berisi 2 orang maka berapa cara 8 orang menempati kamar masing-masing? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^8_1 \times C^7_1 \times C^6_2 \times C^4_2 \times C^2_2 = \frac{8!}{1!(8-1)!} \times \frac{7!}{1!(7-1)!} \times \frac{6!}{2!(6-2)!} \times \frac{4!}{2!(4-2)!} \times \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{8!}{1!7!} \times \frac{7!}{1!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{8 \times 7!}{1!7!} \times \frac{7 \times 6!}{1!6!} \times \frac{6 \times 5 \times 4!}{2!4!} \times \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 8 \times 7 \times 15 \times 6 \times 1 = 5.040 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyak angka yang terbentuk dari angka “2, 5, 5, 8, 9”? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 60 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Bebas * Dua orang harus berdampingan (orang A bersebelahan dengan orang B) * Hanya dua orang diundang * Dua orang berjabat tangan kecuali seorang memiliki satu orang tersebut adalah pasangannya masing-masing : cara model * bebas * A,B,x,x,x,x dan B,A,x,x,x,x * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama tetapi dua orang masing-masing adalah pasangan masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2} &= \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2} - 3 = \frac{6!}{(6-2)!} - 3 &= \frac{6!}{4!} - 3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} - 3 = 30 - 3 = 27 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri berjajar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling * Pria duduk di ujungnya (tepi atau pinggir) : cara model * bebas * (LLLL)PPPP, P(LLLL)PPP, PP(LLLL)PP, PPP(LLLL)P dan PPPP(LLLL) * (LLLL)(PPPP) dan (PPPP)(LLLL) * LPLPLPLP dan PLPLPLPL * LxxxxxxL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita sama. jadi ada 2 kemungkinan } \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ * C^4_2 \cdot 6! &= \frac{4!}{2!2!} 6! = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2 \cdot 1} 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4,320 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang duduk berjajar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling * Pria duduk di ujungnya (tepi atau pinggir) : cara model * bebas * (LLLL)PPP, P(LLLL)PP, PP(LLLL)P dan PPP(LLLL) * (LLLL)(PPP) dan (PPP)(LLLL) * LPLPLPL * LxxxxxL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 576 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 3! \cdot (0+2)! &= 288 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita berbeda. jadi ada 1 kemungkinan } \\ * 4! \cdot 3! &= 144 \text{ cara} \\ * C^4_2 \cdot 5! &= \frac{4!}{2!2!} 5! = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2 \cdot 1} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga balon yaitu 3 buah merah, 2 putih dan 4 biru. Berapa banyak cara jika: * bebas * disusun secara teratur dalam satu baris dan sejenis * warna putih harus ditengah dua warna yang lain secara berkelompok masing-masing * hanya warna biru berkelompok * semua warna berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * MMM(PP)BBBB atau BBBB(PP)MMM * (BBBB)xxxxx, x(BBBB)xxxx, xx(BBBB)xxx, xxx(BBBB)xx, xxxx(BBBB)x dan xxxxx(BBBB) * (BBBB)(MMM)(PP), (BBBB)(PP)(MMM), (PP)(BBBB)(MMM), (PP)(MMM)(BBBB), (MMM)(BBBB)(PP), (MMM)(PP)(BBBB) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 9! &= 362,880 \text{ cara} \\ * \frac{9!}{3!2!4!} &= 1,260 \text{ cara} \\ * 2 \cdot \frac{2!7!}{2!3!4!} &= 70 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((3+2)+1)! &= 17,820 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 1,728 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * bebas * disusun secara teratur dalam satu baris dan sejenis * bendera putih harus ditengah dua bunga warna yang lain secara berkelompok masing-masing * hanya bendera biru berkelompok * semua bendera berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * MMMM(PP)BBBBB atau BBBBB(PP)MMMM * (BBBBB)xxxxxx, x(BBBBB)xxxxx, xx(BBBBB)xxxx, xxx(BBBBB)xxx, xxxx(BBBBB)xx, xxxxx(BBBBB)x dan xxxxxx(BBBBB) * (BBBBB)(MMMM)(PP), (BBBBB)(PP)(MMMM), (PP)(BBBBB)(MMMM), (PP)(MMMM)(BBBBB), (MMMM)(BBBBB)(PP), (MMMM)(PP)(BBBBB) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 11! &= 39,916,800 \text{ cara} \\ * \frac{11!}{4!2!5!} &= 6,930 \text{ cara} \\ * 2 \cdot \frac{2!9!}{2!4!5!} &= 252 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((4+2)+1)! &= 604,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 4! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 34,560 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain (judul buku dibedakan). Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku dalam satu baris. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * bebas * disusun secara teratur dalam buku sejenis (tanpa judul buku dibedakan) * Hanya buku kimia berkelompok * Semua buku berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * (KKKKK)xxxxx, x(KKKKK)xxxx, xx(KKKKK)xxx, xxx(KKKKK)xx, xxxx(KKKKK)x, xxxxx(KKKKK) * (KKKKK)(MMM)(FF), (KKKKK)(FF)(MMM), (MMM)(KKKKK)(FF), (MMM)(FF)(KKKKK), (FF)(KKKKK)(MMM), (FF)(MMM)(KKKKK) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * \frac{10!}{5!3!2!} &= 2,520 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Bebas * Dua orang harus berdampingan (orang A bersebelahan dengan orang B) * Hanya dua orang diundang * Dua orang berjabat tangan kecuali seorang memiliki satu orang tersebut adalah pasangannya masing-masing : cara model * bebas tapi hanya seorang tidak boleh pindah * <b>A</b>,B,x,x,x,x dan B,<b>A</b>,x,x,x,x * seorang mengundang lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama tetapi dua orang masing-masing adalah pasangan masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((10-2)-1)! &= 2! \cdot (8-1)! = 10,080 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 - 5 = P^9_2 - 5 &= \frac {9!}{(9-2)!} - 5 = \frac {9!}{7!} - 5 = \frac {9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} - 5 = 72 - 5 = 67 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri dengan cara bentuk lingkaran. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling : cara model * bebas tetapi hanya seorang tidak boleh pindah * (<b>L</b>LLL)PPPP, P(<b>L</b>LLL)PPP, PP(<b>L</b>LLL)PP, PPP(<b>L</b>LLL)P dan PPPP(<b>L</b>LLL) * (<b>L</b>LLL)(PPPP) dan (PPPP)(<b>L</b>LLL) * <b>L</b>PLPLPLP dan P<b>L</b>PLPLPL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (8-1)! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4-1)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 576 \text{ cara} \\ * (4-1)! \cdot 4! + 4! \cdot (4-1)! &= 3! \cdot 4! + 4! \cdot 3! = 288 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita sama. jadi ada 2 kemungkinan } \\ * (4-1)! \cdot 4! + 4! \cdot (4-1)! &= 3! \cdot 4! + 4! \cdot 3! = 288 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang duduk di meja bundar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling : cara model * bebas tetapi hanya seorang tidak boleh pindah * (<b>L</b>LLL)PPP, P(<b>L</b>LLL)PP, PP(<b>L</b>LLL)P dan PPP(<b>L</b>LLL) * (<b>L</b>LLL)(PPP) dan (PPP)(<b>L</b>LLL) * <b>L</b>PLPLPL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (7-1)! &= 720 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4-1)+1)! &= 4! \cdot (2+1)! = 144 \text{ cara} \\ * (4-1)! \cdot 3! + 3! \cdot (4-1)! &= 72 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita berbeda. jadi ada 1 kemungkinan } \\ * (4-1)! \cdot 3! &= 36 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tambahan dari kombinasi # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> # Tersedia 20 kunci berbeda dan hanya terdapat 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu persatu tanpa pengembaliann. Berapa peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan keempat? Misalkan B menyatakan kunci yang benar dan S menyatakan kunci yang salah. Terdapat 20 kunci, 19 kunci S dan 1 kunci B. Kunci benar terambil pada pengambilan keempat artinya kejadiannya,<br> SSSB<br> Peluang,<br> (19/20)(18/19)(17/18)(1/17) = 1/20 [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] cgbd11sru0p7tiuxkr04i1eytt7tyau 115068 115050 2026-04-27T22:23:35Z ~2026-25546-23 43043 /* Koefisien binomial */ 115068 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (x+y)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} C_{k}^{n} x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. suku ke-a adalah u_a=u_k+1. penjabaran tersebut memiliki k+1 suku. suku ke-a adalah <math>C_{a-1}^{n} x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \text{koefisien dari } \frac{x^4}{y^{12}} \text{ adalah } 3.840 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == Ciri-ciri: jabatan, peringkat, nomor dan huruf diurutkan, cara mengatur (contoh kursi, bendera, duduk, dll), penyusunan angka dan huruf ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 4 huruf yang berbeda terdiri dari A, B, C dan D?? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA : jadi ada 24 cara # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “ABDI" jika huruf vokal saling berdampingan? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (4-1)!2! = 3!2! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 12 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : AIBD, AIDB, BAID, DAIB, BDAI, DBAI, IABD, IADB, BIAD, DIAB, BDIA, DBIA : jadi ada 12 cara # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. Ada berapa banyak cara jika * enam angka yang berbeda tersusun? * enam angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang berbeda tersusun? * tiga angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang sama yang lebih dari 780? * tiga angka yang berbeda yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 600 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 &= 100 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \cdot 4 &= 4 + 4 + 40 = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Kode kupon dibuat lima angka yang terdiri atas 1, 4, 4, 8, 9 dengan cara berurutan dari terkecil sampai terbesar. * Berapa banyak cara yang dapat dibuat? * Berapa banyak cara jika kode lebih besar daripada 94,000? * Diurutan nomor berapa jika mendapat kode kupon 84914? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{5!}{2!} = 60 \\ \text{banyak cara yang dapat dibuat } 60 \text{ cara } \\ * 94(?)(?)(?) &= 3! = 6 \\ 98(?)(?)(?) &= \frac{3!}{2!} = 3 \\ \text{banyak cara jika kode lebih besar daripada 94,000 adalah 9 cara } \\ * 1(?)(?)(?)(?) &= \frac{4!}{2!} = 12 \\ 4(?)(?)(?)(?) &= 4! = 24 \\ 81(?)(?)(?) &= \frac{3!}{2!} = 3 \\ 841(?)(?) &= 2! = 2 \\ 844(?)(?) &= 2! = 2 \\ 84914 \\ \text{jadi kode kupon 84914 berada di urutan ke 44 } \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang berbeda terdiri dari A, B, C dan D? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 24 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : ABC, ABD, ACB, ACD, ABC, ABD, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB : jadi 24 cara # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 5 murid laki-laki dan 4 murid perempuan. Ada berapa banyak carakah jika * jabatan tersebut dipilih? * jabatan tersebut dipilih jika murid perempuan tersebut menjadi ketua? * jabatan tersebut dipilih jika murid laki-laki tersebut menjadi ketua atau murid perempuan menjadi sekretaris? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text {cara 1 } \\ P^{9}_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 504 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 9 maka wakil ketua 8 dan sekretaris 7 jadi } 9 \times 8 \times 7 = 504 \text{ cara} \\ * \text {cara 1 } \\ P^{4}_1 \times P^{8}_2 = \frac{4!}{(4-1)!} \times \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{4!}{3!} \times \frac{8!}{6!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} \times \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 4 \times 56 = 224 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 4 maka wakil ketua 8 dan sekretaris 7 jadi } 4 \times 8 \times 7 = 224 \text{ cara} \\ * n(KL \cup SP) = n(KL) + n(SP) - n(KL \cap SP) \\ = 5 \times 8 \times 7 + 8 \times 4 \times 7 - 5 \times 4 \times 7 \\ = 280+224-140 \\ = 464 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 7 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 5 jalan kaki dari kota B ke kota C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika: * dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B jika ia tidak menggunakan jalan kaki yang sama lebih dari sekali <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7 \cdot 5 = 35 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 1,225 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6 = 840 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 2 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 3 jalan kaki dari kota B ke D. Ada 4 jalan kaki dari kota A ke kota C dan 2 jalan kaki dari kota C ke kota D serta 5 jalan kaki dari B ke kota C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika dari kota A ke kota D? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 \cdot 5 \cdot 2 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 80 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua orang pergi ke stadion. Stadion memiliki 3 pintu. untuk pintu masuk dengan cara yang sama tetapi yang keluar harus cara yang berbeda maka ada berapa cara mereka bisa pintu masuk dan keluar di stadion tersebut? : untuk pintu masuk ada 3 cara : untuk pintu keluar karena cara yang berbeda jadi dia tidak boleh keluar pintu yang sama pada waktu masuk jadi <math>P^3_2 = \frac{3!}{1!} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6</math> : jadi totalnya 3x6 = 18 cara == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua warna pensil. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan warna pensil yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Kamu mempunyai 2 warna pensil merah, 3 kuning dan 4 hijau. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa tiga warna pensil. Ada berapa banyak cara terambil jika *semua warna pensilnya? *semua warna pensilnya adalah hijau? *salah satu warna pensilnya adalah hijau? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *C^9_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3!6!} = 84 \text{ cara} \\ *C^4_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3!1!} = 4 \text{ cara} \\ *C^4_1 \times C^5_2 = \frac{4!}{1!(4-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{4!}{1!3!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \times 3!}{1!3!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 4 \times 10 = 40 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tuti mempunyai 3 kelereng putih, 2 kelereng cokelat dan 5 kelereng biru. Ada berapa banyak cara jika * memiliki 3 kelereng? * hanya memiliki 1 kelereng putih dan 2 kelereng biru? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3!7!} = 120 \text{ cara} \\ * C^3_1 \times C^5_2 = \frac{3!}{1!(3-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{3!}{1!2!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{3 \times 2!}{1!2!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 3 \times 10 \\ = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \\ \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 \times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui 7 titik A, B, C, D, E, ..., G dan tidak ada titik yang segaris. Tentukan: * Banyaknya segitiga yang dapat dibuat? * Banyaknya segitiga yang mempunyai titik A sebagai titik sudut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^7_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3!4!} = 35 \text{ cara} \\ * C^6_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2!4!} = 15 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui tempat penginapan terdiri dari 2 kamar berisi 2 orang dan 3 kamar berisi 2 orang maka berapa cara 8 orang menempati kamar masing-masing? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^8_1 \times C^7_1 \times C^6_2 \times C^4_2 \times C^2_2 = \frac{8!}{1!(8-1)!} \times \frac{7!}{1!(7-1)!} \times \frac{6!}{2!(6-2)!} \times \frac{4!}{2!(4-2)!} \times \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{8!}{1!7!} \times \frac{7!}{1!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{8 \times 7!}{1!7!} \times \frac{7 \times 6!}{1!6!} \times \frac{6 \times 5 \times 4!}{2!4!} \times \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 8 \times 7 \times 15 \times 6 \times 1 = 5.040 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyak angka yang terbentuk dari angka “2, 5, 5, 8, 9”? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 60 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Bebas * Dua orang harus berdampingan (orang A bersebelahan dengan orang B) * Hanya dua orang diundang * Dua orang berjabat tangan kecuali seorang memiliki satu orang tersebut adalah pasangannya masing-masing : cara model * bebas * A,B,x,x,x,x dan B,A,x,x,x,x * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama tetapi dua orang masing-masing adalah pasangan masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2} &= \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2} - 3 = \frac{6!}{(6-2)!} - 3 &= \frac{6!}{4!} - 3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} - 3 = 30 - 3 = 27 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri berjajar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling * Pria duduk di ujungnya (tepi atau pinggir) : cara model * bebas * (LLLL)PPPP, P(LLLL)PPP, PP(LLLL)PP, PPP(LLLL)P dan PPPP(LLLL) * (LLLL)(PPPP) dan (PPPP)(LLLL) * LPLPLPLP dan PLPLPLPL * LxxxxxxL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita sama. jadi ada 2 kemungkinan } \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ * C^4_2 \cdot 6! &= \frac{4!}{2!2!} 6! = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2 \cdot 1} 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4,320 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang duduk berjajar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling * Pria duduk di ujungnya (tepi atau pinggir) : cara model * bebas * (LLLL)PPP, P(LLLL)PP, PP(LLLL)P dan PPP(LLLL) * (LLLL)(PPP) dan (PPP)(LLLL) * LPLPLPL * LxxxxxL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 576 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 3! \cdot (0+2)! &= 288 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita berbeda. jadi ada 1 kemungkinan } \\ * 4! \cdot 3! &= 144 \text{ cara} \\ * C^4_2 \cdot 5! &= \frac{4!}{2!2!} 5! = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2 \cdot 1} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga balon yaitu 3 buah merah, 2 putih dan 4 biru. Berapa banyak cara jika: * bebas * disusun secara teratur dalam satu baris dan sejenis * warna putih harus ditengah dua warna yang lain secara berkelompok masing-masing * hanya warna biru berkelompok * semua warna berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * MMM(PP)BBBB atau BBBB(PP)MMM * (BBBB)xxxxx, x(BBBB)xxxx, xx(BBBB)xxx, xxx(BBBB)xx, xxxx(BBBB)x dan xxxxx(BBBB) * (BBBB)(MMM)(PP), (BBBB)(PP)(MMM), (PP)(BBBB)(MMM), (PP)(MMM)(BBBB), (MMM)(BBBB)(PP), (MMM)(PP)(BBBB) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 9! &= 362,880 \text{ cara} \\ * \frac{9!}{3!2!4!} &= 1,260 \text{ cara} \\ * 2 \cdot \frac{2!7!}{2!3!4!} &= 70 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((3+2)+1)! &= 17,820 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 1,728 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * bebas * disusun secara teratur dalam satu baris dan sejenis * bendera putih harus ditengah dua bunga warna yang lain secara berkelompok masing-masing * hanya bendera biru berkelompok * semua bendera berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * MMMM(PP)BBBBB atau BBBBB(PP)MMMM * (BBBBB)xxxxxx, x(BBBBB)xxxxx, xx(BBBBB)xxxx, xxx(BBBBB)xxx, xxxx(BBBBB)xx, xxxxx(BBBBB)x dan xxxxxx(BBBBB) * (BBBBB)(MMMM)(PP), (BBBBB)(PP)(MMMM), (PP)(BBBBB)(MMMM), (PP)(MMMM)(BBBBB), (MMMM)(BBBBB)(PP), (MMMM)(PP)(BBBBB) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 11! &= 39,916,800 \text{ cara} \\ * \frac{11!}{4!2!5!} &= 6,930 \text{ cara} \\ * 2 \cdot \frac{2!9!}{2!4!5!} &= 252 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((4+2)+1)! &= 604,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 4! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 34,560 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain (judul buku dibedakan). Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku dalam satu baris. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * bebas * disusun secara teratur dalam buku sejenis (tanpa judul buku dibedakan) * Hanya buku kimia berkelompok * Semua buku berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * (KKKKK)xxxxx, x(KKKKK)xxxx, xx(KKKKK)xxx, xxx(KKKKK)xx, xxxx(KKKKK)x, xxxxx(KKKKK) * (KKKKK)(MMM)(FF), (KKKKK)(FF)(MMM), (MMM)(KKKKK)(FF), (MMM)(FF)(KKKKK), (FF)(KKKKK)(MMM), (FF)(MMM)(KKKKK) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * \frac{10!}{5!3!2!} &= 2,520 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Bebas * Dua orang harus berdampingan (orang A bersebelahan dengan orang B) * Hanya dua orang diundang * Dua orang berjabat tangan kecuali seorang memiliki satu orang tersebut adalah pasangannya masing-masing : cara model * bebas tapi hanya seorang tidak boleh pindah * <b>A</b>,B,x,x,x,x dan B,<b>A</b>,x,x,x,x * seorang mengundang lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama tetapi dua orang masing-masing adalah pasangan masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((10-2)-1)! &= 2! \cdot (8-1)! = 10,080 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 - 5 = P^9_2 - 5 &= \frac {9!}{(9-2)!} - 5 = \frac {9!}{7!} - 5 = \frac {9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} - 5 = 72 - 5 = 67 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri dengan cara bentuk lingkaran. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling : cara model * bebas tetapi hanya seorang tidak boleh pindah * (<b>L</b>LLL)PPPP, P(<b>L</b>LLL)PPP, PP(<b>L</b>LLL)PP, PPP(<b>L</b>LLL)P dan PPPP(<b>L</b>LLL) * (<b>L</b>LLL)(PPPP) dan (PPPP)(<b>L</b>LLL) * <b>L</b>PLPLPLP dan P<b>L</b>PLPLPL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (8-1)! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4-1)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 576 \text{ cara} \\ * (4-1)! \cdot 4! + 4! \cdot (4-1)! &= 3! \cdot 4! + 4! \cdot 3! = 288 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita sama. jadi ada 2 kemungkinan } \\ * (4-1)! \cdot 4! + 4! \cdot (4-1)! &= 3! \cdot 4! + 4! \cdot 3! = 288 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang duduk di meja bundar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling : cara model * bebas tetapi hanya seorang tidak boleh pindah * (<b>L</b>LLL)PPP, P(<b>L</b>LLL)PP, PP(<b>L</b>LLL)P dan PPP(<b>L</b>LLL) * (<b>L</b>LLL)(PPP) dan (PPP)(<b>L</b>LLL) * <b>L</b>PLPLPL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (7-1)! &= 720 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4-1)+1)! &= 4! \cdot (2+1)! = 144 \text{ cara} \\ * (4-1)! \cdot 3! + 3! \cdot (4-1)! &= 72 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita berbeda. jadi ada 1 kemungkinan } \\ * (4-1)! \cdot 3! &= 36 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tambahan dari kombinasi # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> # Tersedia 20 kunci berbeda dan hanya terdapat 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu persatu tanpa pengembaliann. Berapa peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan keempat? Misalkan B menyatakan kunci yang benar dan S menyatakan kunci yang salah. Terdapat 20 kunci, 19 kunci S dan 1 kunci B. Kunci benar terambil pada pengambilan keempat artinya kejadiannya,<br> SSSB<br> Peluang,<br> (19/20)(18/19)(17/18)(1/17) = 1/20 [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] s3j11l8xbu57aq1tf0pmwo1177wrscn 115069 115068 2026-04-27T22:28:17Z ~2026-25546-23 43043 /* Koefisien binomial */ 115069 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (x+y)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} C_{k}^{n} x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. suku ke-a adalah u_a=u_k+1. penjabaran tersebut memiliki k+1 suku. suku ke-a adalah <math>C_{a-1}^{n} x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == Ciri-ciri: jabatan, peringkat, nomor dan huruf diurutkan, cara mengatur (contoh kursi, bendera, duduk, dll), penyusunan angka dan huruf ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 4 huruf yang berbeda terdiri dari A, B, C dan D?? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA : jadi ada 24 cara # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “ABDI" jika huruf vokal saling berdampingan? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (4-1)!2! = 3!2! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 12 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : AIBD, AIDB, BAID, DAIB, BDAI, DBAI, IABD, IADB, BIAD, DIAB, BDIA, DBIA : jadi ada 12 cara # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. Ada berapa banyak cara jika * enam angka yang berbeda tersusun? * enam angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang berbeda tersusun? * tiga angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang sama yang lebih dari 780? * tiga angka yang berbeda yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 600 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 &= 100 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \cdot 4 &= 4 + 4 + 40 = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Kode kupon dibuat lima angka yang terdiri atas 1, 4, 4, 8, 9 dengan cara berurutan dari terkecil sampai terbesar. * Berapa banyak cara yang dapat dibuat? * Berapa banyak cara jika kode lebih besar daripada 94,000? * Diurutan nomor berapa jika mendapat kode kupon 84914? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{5!}{2!} = 60 \\ \text{banyak cara yang dapat dibuat } 60 \text{ cara } \\ * 94(?)(?)(?) &= 3! = 6 \\ 98(?)(?)(?) &= \frac{3!}{2!} = 3 \\ \text{banyak cara jika kode lebih besar daripada 94,000 adalah 9 cara } \\ * 1(?)(?)(?)(?) &= \frac{4!}{2!} = 12 \\ 4(?)(?)(?)(?) &= 4! = 24 \\ 81(?)(?)(?) &= \frac{3!}{2!} = 3 \\ 841(?)(?) &= 2! = 2 \\ 844(?)(?) &= 2! = 2 \\ 84914 \\ \text{jadi kode kupon 84914 berada di urutan ke 44 } \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang berbeda terdiri dari A, B, C dan D? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 24 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : ABC, ABD, ACB, ACD, ABC, ABD, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB : jadi 24 cara # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 5 murid laki-laki dan 4 murid perempuan. Ada berapa banyak carakah jika * jabatan tersebut dipilih? * jabatan tersebut dipilih jika murid perempuan tersebut menjadi ketua? * jabatan tersebut dipilih jika murid laki-laki tersebut menjadi ketua atau murid perempuan menjadi sekretaris? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text {cara 1 } \\ P^{9}_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 504 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 9 maka wakil ketua 8 dan sekretaris 7 jadi } 9 \times 8 \times 7 = 504 \text{ cara} \\ * \text {cara 1 } \\ P^{4}_1 \times P^{8}_2 = \frac{4!}{(4-1)!} \times \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{4!}{3!} \times \frac{8!}{6!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} \times \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 4 \times 56 = 224 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 4 maka wakil ketua 8 dan sekretaris 7 jadi } 4 \times 8 \times 7 = 224 \text{ cara} \\ * n(KL \cup SP) = n(KL) + n(SP) - n(KL \cap SP) \\ = 5 \times 8 \times 7 + 8 \times 4 \times 7 - 5 \times 4 \times 7 \\ = 280+224-140 \\ = 464 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 7 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 5 jalan kaki dari kota B ke kota C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika: * dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B jika ia tidak menggunakan jalan kaki yang sama lebih dari sekali <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7 \cdot 5 = 35 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 1,225 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6 = 840 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 2 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 3 jalan kaki dari kota B ke D. Ada 4 jalan kaki dari kota A ke kota C dan 2 jalan kaki dari kota C ke kota D serta 5 jalan kaki dari B ke kota C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika dari kota A ke kota D? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 2 \cdot 5 \cdot 2 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 80 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua orang pergi ke stadion. Stadion memiliki 3 pintu. untuk pintu masuk dengan cara yang sama tetapi yang keluar harus cara yang berbeda maka ada berapa cara mereka bisa pintu masuk dan keluar di stadion tersebut? : untuk pintu masuk ada 3 cara : untuk pintu keluar karena cara yang berbeda jadi dia tidak boleh keluar pintu yang sama pada waktu masuk jadi <math>P^3_2 = \frac{3!}{1!} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6</math> : jadi totalnya 3x6 = 18 cara == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua warna pensil. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan warna pensil yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Kamu mempunyai 2 warna pensil merah, 3 kuning dan 4 hijau. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa tiga warna pensil. Ada berapa banyak cara terambil jika *semua warna pensilnya? *semua warna pensilnya adalah hijau? *salah satu warna pensilnya adalah hijau? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *C^9_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3!6!} = 84 \text{ cara} \\ *C^4_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3!1!} = 4 \text{ cara} \\ *C^4_1 \times C^5_2 = \frac{4!}{1!(4-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{4!}{1!3!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \times 3!}{1!3!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 4 \times 10 = 40 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tuti mempunyai 3 kelereng putih, 2 kelereng cokelat dan 5 kelereng biru. Ada berapa banyak cara jika * memiliki 3 kelereng? * hanya memiliki 1 kelereng putih dan 2 kelereng biru? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3!7!} = 120 \text{ cara} \\ * C^3_1 \times C^5_2 = \frac{3!}{1!(3-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{3!}{1!2!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{3 \times 2!}{1!2!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 3 \times 10 \\ = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \\ \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 \times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui 7 titik A, B, C, D, E, ..., G dan tidak ada titik yang segaris. Tentukan: * Banyaknya segitiga yang dapat dibuat? * Banyaknya segitiga yang mempunyai titik A sebagai titik sudut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^7_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3!4!} = 35 \text{ cara} \\ * C^6_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2!4!} = 15 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui tempat penginapan terdiri dari 2 kamar berisi 2 orang dan 3 kamar berisi 2 orang maka berapa cara 8 orang menempati kamar masing-masing? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^8_1 \times C^7_1 \times C^6_2 \times C^4_2 \times C^2_2 = \frac{8!}{1!(8-1)!} \times \frac{7!}{1!(7-1)!} \times \frac{6!}{2!(6-2)!} \times \frac{4!}{2!(4-2)!} \times \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{8!}{1!7!} \times \frac{7!}{1!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{8 \times 7!}{1!7!} \times \frac{7 \times 6!}{1!6!} \times \frac{6 \times 5 \times 4!}{2!4!} \times \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 8 \times 7 \times 15 \times 6 \times 1 = 5.040 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyak angka yang terbentuk dari angka “2, 5, 5, 8, 9”? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 60 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Bebas * Dua orang harus berdampingan (orang A bersebelahan dengan orang B) * Hanya dua orang diundang * Dua orang berjabat tangan kecuali seorang memiliki satu orang tersebut adalah pasangannya masing-masing : cara model * bebas * A,B,x,x,x,x dan B,A,x,x,x,x * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama tetapi dua orang masing-masing adalah pasangan masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2} &= \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2} - 3 = \frac{6!}{(6-2)!} - 3 &= \frac{6!}{4!} - 3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} - 3 = 30 - 3 = 27 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri berjajar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling * Pria duduk di ujungnya (tepi atau pinggir) : cara model * bebas * (LLLL)PPPP, P(LLLL)PPP, PP(LLLL)PP, PPP(LLLL)P dan PPPP(LLLL) * (LLLL)(PPPP) dan (PPPP)(LLLL) * LPLPLPLP dan PLPLPLPL * LxxxxxxL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita sama. jadi ada 2 kemungkinan } \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ * C^4_2 \cdot 6! &= \frac{4!}{2!2!} 6! = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2 \cdot 1} 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4,320 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang duduk berjajar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling * Pria duduk di ujungnya (tepi atau pinggir) : cara model * bebas * (LLLL)PPP, P(LLLL)PP, PP(LLLL)P dan PPP(LLLL) * (LLLL)(PPP) dan (PPP)(LLLL) * LPLPLPL * LxxxxxL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 576 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 3! \cdot (0+2)! &= 288 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita berbeda. jadi ada 1 kemungkinan } \\ * 4! \cdot 3! &= 144 \text{ cara} \\ * C^4_2 \cdot 5! &= \frac{4!}{2!2!} 5! = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2 \cdot 1} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga balon yaitu 3 buah merah, 2 putih dan 4 biru. Berapa banyak cara jika: * bebas * disusun secara teratur dalam satu baris dan sejenis * warna putih harus ditengah dua warna yang lain secara berkelompok masing-masing * hanya warna biru berkelompok * semua warna berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * MMM(PP)BBBB atau BBBB(PP)MMM * (BBBB)xxxxx, x(BBBB)xxxx, xx(BBBB)xxx, xxx(BBBB)xx, xxxx(BBBB)x dan xxxxx(BBBB) * (BBBB)(MMM)(PP), (BBBB)(PP)(MMM), (PP)(BBBB)(MMM), (PP)(MMM)(BBBB), (MMM)(BBBB)(PP), (MMM)(PP)(BBBB) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 9! &= 362,880 \text{ cara} \\ * \frac{9!}{3!2!4!} &= 1,260 \text{ cara} \\ * 2 \cdot \frac{2!7!}{2!3!4!} &= 70 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((3+2)+1)! &= 17,820 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 1,728 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * bebas * disusun secara teratur dalam satu baris dan sejenis * bendera putih harus ditengah dua bunga warna yang lain secara berkelompok masing-masing * hanya bendera biru berkelompok * semua bendera berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * MMMM(PP)BBBBB atau BBBBB(PP)MMMM * (BBBBB)xxxxxx, x(BBBBB)xxxxx, xx(BBBBB)xxxx, xxx(BBBBB)xxx, xxxx(BBBBB)xx, xxxxx(BBBBB)x dan xxxxxx(BBBBB) * (BBBBB)(MMMM)(PP), (BBBBB)(PP)(MMMM), (PP)(BBBBB)(MMMM), (PP)(MMMM)(BBBBB), (MMMM)(BBBBB)(PP), (MMMM)(PP)(BBBBB) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 11! &= 39,916,800 \text{ cara} \\ * \frac{11!}{4!2!5!} &= 6,930 \text{ cara} \\ * 2 \cdot \frac{2!9!}{2!4!5!} &= 252 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((4+2)+1)! &= 604,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 4! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 34,560 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain (judul buku dibedakan). Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku dalam satu baris. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * bebas * disusun secara teratur dalam buku sejenis (tanpa judul buku dibedakan) * Hanya buku kimia berkelompok * Semua buku berkelompok masing-masing : cara model * bebas * ? * (KKKKK)xxxxx, x(KKKKK)xxxx, xx(KKKKK)xxx, xxx(KKKKK)xx, xxxx(KKKKK)x, xxxxx(KKKKK) * (KKKKK)(MMM)(FF), (KKKKK)(FF)(MMM), (MMM)(KKKKK)(FF), (MMM)(FF)(KKKKK), (FF)(KKKKK)(MMM), (FF)(MMM)(KKKKK) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * \frac{10!}{5!3!2!} &= 2,520 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Bebas * Dua orang harus berdampingan (orang A bersebelahan dengan orang B) * Hanya dua orang diundang * Dua orang berjabat tangan kecuali seorang memiliki satu orang tersebut adalah pasangannya masing-masing : cara model * bebas tapi hanya seorang tidak boleh pindah * <b>A</b>,B,x,x,x,x dan B,<b>A</b>,x,x,x,x * seorang mengundang lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama * seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama tetapi dua orang masing-masing adalah pasangan masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((10-2)-1)! &= 2! \cdot (8-1)! = 10,080 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 - 5 = P^9_2 - 5 &= \frac {9!}{(9-2)!} - 5 = \frac {9!}{7!} - 5 = \frac {9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} - 5 = 72 - 5 = 67 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri dengan cara bentuk lingkaran. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling : cara model * bebas tetapi hanya seorang tidak boleh pindah * (<b>L</b>LLL)PPPP, P(<b>L</b>LLL)PPP, PP(<b>L</b>LLL)PP, PPP(<b>L</b>LLL)P dan PPPP(<b>L</b>LLL) * (<b>L</b>LLL)(PPPP) dan (PPPP)(<b>L</b>LLL) * <b>L</b>PLPLPLP dan P<b>L</b>PLPLPL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (8-1)! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4-1)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 576 \text{ cara} \\ * (4-1)! \cdot 4! + 4! \cdot (4-1)! &= 3! \cdot 4! + 4! \cdot 3! = 288 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita sama. jadi ada 2 kemungkinan } \\ * (4-1)! \cdot 4! + 4! \cdot (4-1)! &= 3! \cdot 4! + 4! \cdot 3! = 288 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang duduk di meja bundar. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok * Pria dan wanita harus selang seling : cara model * bebas tetapi hanya seorang tidak boleh pindah * (<b>L</b>LLL)PPP, P(<b>L</b>LLL)PP, PP(<b>L</b>LLL)P dan PPP(<b>L</b>LLL) * (<b>L</b>LLL)(PPP) dan (PPP)(<b>L</b>LLL) * <b>L</b>PLPLPL <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (7-1)! &= 720 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4-1)+1)! &= 4! \cdot (2+1)! = 144 \text{ cara} \\ * (4-1)! \cdot 3! + 3! \cdot (4-1)! &= 72 \text{ cara} \\ \text{karena jumlah pria dan wanita berbeda. jadi ada 1 kemungkinan } \\ * (4-1)! \cdot 3! &= 36 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tambahan dari kombinasi # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> # Tersedia 20 kunci berbeda dan hanya terdapat 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu persatu tanpa pengembaliann. Berapa peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan keempat? Misalkan B menyatakan kunci yang benar dan S menyatakan kunci yang salah. Terdapat 20 kunci, 19 kunci S dan 1 kunci B. Kunci benar terambil pada pengambilan keempat artinya kejadiannya,<br> SSSB<br> Peluang,<br> (19/20)(18/19)(17/18)(1/17) = 1/20 [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] cgbd11sru0p7tiuxkr04i1eytt7tyau 0 23132 115070 114608 2026-04-28T00:42:18Z ~2026-25685-25 43054 /* Kejadian saling bebas */ 115070 wikitext text/x-wiki == Peluang == Rumus: <math>P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}</math> Keterangan: *P(A): peluang kejadian A *n(A): banyaknya sampel kejadian A *n(S): banyaknya sampel kejadian seluruhnya (S) NB: *jumlah x buah dadu=6^x *jumlah x set kartu=52^x *jumlah x anak dalam jenis kelamin atau mata uang (koin/kertas)=2^x kaidah peluang terdiri atas: # pembuatan tabel (misalkan dadu, kartu, koin) # pembuatan diagram (misalkan koin, jenis kelamin) # perkalian terurut (misalkan angka atau huruf) contoh soal # Berapa peluang dadu muncul lebih dari 3 jika dilempar satu dadu sekali? ;Jawab :S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6 :A={4,5,6}, n(A)=3 :<math>P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math> # Di lemari terdapat 10 piring dalam kondisi utuh. Terambilnya dari lima piring secara acak dan ternyata tiga piring diantaranya pecah. berapa peluang terambilnya: * lima piring utuh * tiga piring utuh ;Jawab :<math>n(S) = C^{10}_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252</math> * :<math>n(A) = C^3_0 \cdot C^7_5 = 1 \cdot \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2 \cdot 1} = 21</math> :<math>P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}</math> : jadi peluangnya adalah 1/12 * :<math>n(A) = C^3_2 \cdot C^7_3 = \frac{3!}{2!1!} \cdot \frac{7!}{3!4!} = \frac{3 \cdot 2!}{2! \cdot 1} \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = 3 \cdot 35 = 105</math> :<math>P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{105}{252}</math> : jadi peluangnya adalah 105/252 # Sebuah toko menjual 10 jenis roti. Anita memilih 6 jenisnya. berapa peluang jenis yang dipilihnya jika ia menentukan 2 jenis roti? ;Jawab :<math>n(S) = C^{10}_6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210</math> :<math>n(A) = C^{2}_2 \cdot C^{8}_4 = 1 \cdot \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70</math> :<math>P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{70}{210} = \frac{1}{3}</math> : jadi peluangnya adalah 1/3 # Diketahui himpunan A={2,3,4,5,7,8,9} dapat dibuat 3 angka maka betapa peluang jika berjumlah ketiga bilangan adalah bilangan genap? :<math>n(S) = C^{7}_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = 140</math> : untuk angka dalam himpunan memiliki 3 angka genap serta 4 ganjil yang akan dibuat 3 angka sebagai berikut: :: 1 genap dan 2 ganjil pasti hasilnya bilangan genap (contohnya xx2+xx3+xx5 = xx0) :: 2 genap dan 1 ganjil pasti bukan hasilnya bilangan genap (contohnya xx2+xx8+xx5 = xx5) :: 3 genap pasti bilangan genap (contohnya xx2+xx4+xx8 = xx4) : jadi <math>n(A) = C^{3}_1 \cdot C^{4}_2 + C^{3}_3 \cdot C^{4}_0 = \frac{3!}{1!2!} \cdot \frac{4!}{2!2!} + \frac{3!}{3!0!} \cdot \frac{4!}{0!4!} = \frac{3 \cdot 2!}{1 \cdot 2!} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2 \cdot 1} + 1 = 18 + 1 = 19</math> :<math>P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{19}{140}</math> : jadi peluangnya adalah 19/140 == Kejadian komplemen == Rumus: <math>P(A') = P(A^c) = 1 - P(A)</math> Contoh soal #Tentukan peluang komplemen dari kejadian hujan akan turun di pagi hari adalah 0,07! ;Jawab :P(A)=0,07 maka P(A^c) ? :P(A^c)= 1-P(A) = 1-0,07 = 0,93 #Sebuah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu lebih dari dua! ;Jawab :P(dadu kurang dari atau sama dengan 2)=1/3 maka P(dadu lebih dari 2) ? :P(A^c)= 1-P(A) = 1-1/3 = 2/3 #Tiga koin dilempar sekali, tentukan peluang munculnya koin minimal satu gambar! ;Jawab :P(hanya tiga koin angka)=1/8 maka P(koin minimal 1 gambar) ? :P(A^c)= 1-P(A) = 1-1/8 = 7/8 #Sebuah klinik beberapa dokter dan perawat melakukan uji penyakit bagi pasien. Terdapat 2000 pasien diperiksa secara sukarela. Dari hasil tes uji laboratium ternyata 10% pasien menderita penyakit tubekulosis (TBC). Bagi 98% pasien penyakit TBC menunjukkan tes positif sedangkan pasien tidak terjangkit penyakitnya menunjukkan 99% tes negatifnya. maka berapa persentase peluang: * pasien menunjuk hasil tes positif * pasien menunjuk hasil tes negatif * pasien terjangkit TBC menunjukkan hasil tes positif * pasien tidak terjangkit TBC menunjukkan tes negatif {| class="wikitable" |+ Sampel 2000 pasien |- ! Hasil tes !! Terjangkit TBC !! Tidak terjangkit TBC !! Total |- | + || 196 || 18 || 214 |- | - || 4 || 1782 || 1786 |- | || 200 || 1800 || 2000 |} ; jawab : P(A)=<math>\frac{214}{2000}</math>x100% = 10,7% : P(A)=<math>\frac{1786}{2000}</math>x100% = 89,3% : P(A)=<math>\frac{196}{214}</math>x100% = 91,6% : P(A)=<math>\frac{1782}{1786}</math>x100% = 99,7% == Kejadian sembarang == Kejadian sembarang (tidak saling lepas/bebas) adalah dua kejadian yang bisa terjadi bersamaan. ; tidak saling lepas Rumus: * <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math> * <math>P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)] + [P(A \cap B \cap C)]</math> Contoh soal # Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3! ;Jawab :S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6 :A={2,4,6}, n(A)=3 :P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 :S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6 :B={4,5,6}, n(B)=3 :P(B) = n(B)/n(S) = 3/6 Kelihatan ada dua angka yang sama dari A dan B yaitu angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A ∩ B :A ∩ B={4,6}, n(A ∩ B)=2 Sehingga peluang A ∩ B :P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/n(S) = 2/6 :P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = <math>\frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{2}{3}</math> # Budi dan Ali berturut-turut dapat menyelesaikan 60% dan 70% soal ulangan Matematika. Dipilih soal secara acak, berapa peluang soal yang terpilih yang dapat diselesaikan oleh Budi atau Ali! ;Jawab :P(B)=0,6 :P(A)=0,7 :P(B n A)=0,6 x 0,7 = 0,42 :P(B ∪ A) = P(B) + P(A) - P(B ∩ A) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88 ; tidak saling bebas Rumus pembuktian: * <math>P(A) + P(B) - P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)</math> Conyoh soal: #Jika <math>P(A)=\frac{1}{6}, P(B)=\frac{1}{3} \text{ dan } P(A \cup B)=\frac{4}{9}</math> maka apakah kejadian saling bebas? ; Jawab :P(A n B) = P(A)+P(B)-P(A ∪ B) := 1/6+1/3-4/9 := 1/18 :P(A n B) = P(A) ⋅ P(B) := 1/6x1/3 := 1/18 jadi terbukti kejadian tidak saling bebas == Kejadian saling lepas == Kejadian saling lepas adalah dua kejadian yang tidak bisa terjadi bersamaan. Rumus: * <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) \text{ jika } P(A \cap B) = 0</math> * <math>P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) \text{ jika } P(A \cap B), P(A \cap C), P(B \cap C) \text{ dan } P(A \cap B \cap C) = 0</math> Contoh soal #Saya punya 10 kartu dalam satu kantong yang sudah diberi nomor 1 hingga 10. Lalu, kita ambil 1 kartu secara acak, kejadian A merupakan peluang terambilnya nomor prima ganjil, dan kejadian B merupakan peluang terambilnya kartu dengan nomor genap. Tentukan: *Apakah kejadian A dan B merupakan peluang kejadian lepas? *Berapa peluang kejadian A atau B? ;Jawab * :S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, n(S)=10 :A={3,5,7}, n(A)=3 :B={2,4,6,8,10}, n(B)=5 ini berarti A dan B tidak memiliki irisan. jadi termasuk peluang saling lepas * :P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = <math>\frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{4}{5}</math> #Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 7! ;Jawab ::n(S)=6²=36 :A={(1,3),(2,2),(3,1)}, n(A)=3 :B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, n(B)=6 :P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = <math>\frac{3}{36} + \frac{6}{36} = \frac{1}{4}</math> == Kejadian saling bebas == Kejadian saling bebas adalah ketika pada dua kejadian, munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua (bersifat independen). Rumus: <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math> # Sebuah kota memiliki dua mobil pemadam kebakaran yang beroperasi bebas satu sama lain. Peluang mobil tertentu tersedia ketika diperlukan adalah 0,8. Tentukan: * Peluang kedua mobil tidak tersedia jika diperlukan * Peluang sebuah mobil tersedia jika diperlukan ;Jawab : P(A) = 0,8 : P(A^c) = 0,2 * : P(A^c ∩ A^c) = P(A^c) ⋅ P(A^c) : = 0,2 ⋅ 0,2 : = 0,04 * : P(A ∩ A^c) = P(A) ⋅ P(A^c) : = 0,8 ⋅ 0,2 : = 0,16 # Sebuah kota memiliki dua mobil pemadam kebakaran yang beroperasi bebas satu sama lain. Peluang kedua mobil tersebut tersedia ketika diperlukan adalah 0,16 dan peluang salah satu mobil tersedia ketika diperlukan adalah 0,5. Tentukan: * Peluang mobil lainnya tersedia ketika diperlukan * Peluang salah satu mobil tersedia ketika keduanya diperlukan ;Jawab * : P(A ∩ B) = 0,16 : P(A) = 0.5 : P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) : 0,16 = 0,5 ⋅ P(B) : P(B) = 0,32 * Ada dua kemungkinan yaitu # Mobil 1 tersedia (A) dan mobil 2 tidak tersedia (B^c) # Mobil 1 tidak tersedia (A^c) dan mobil 2 tersedia (B) : P(I U II) = P(I) + P(II) : P(I U II) = P(A) ⋅ P(B^c) + P(A^c) ⋅ P(B) : P(I U II) = 0.5 ⋅ (1-0.32) + (1-0.5) ⋅ 0.32 : P(I U II) = 0.5 ⋅ 0.68 + 0.5 ⋅ 0.32 : P(I U II) = 0.5 ⋅ (0.68 + 0.32) : P(I U II) = 0.5 # Satu dadu dan satu angka dilempar sekali. berapa peluang satu gambar dan bilangan prima ganjil? : P(A) = 1/2 : P(B) = 2/6 : P(A U B) = P(A) ⋅ P(B) = 1/2 x 2/6 = 1/6 == Kejadian bersyarat == Kejadian bersyarat adalah ketika pada dua kejadian, munculnya kejadian pertama mempengaruhi (syarat) peluang munculnya kejadian kedua. Rumus: <math>P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}</math> contoh soal #Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu! ;Jawab :S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6 :G={2,3,5}, n(G)=3 :P={1,3,5}, n(P)=3 :G ∩ P={3,5}, n(A n B) = 2 :<math>P(G|P) = \frac{P(G \cap P)}{P(P)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}</math> #Dua buah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya dua mata dadu berjumlah lebih dari 9 jika dadu pertama munculnya angka 5! ;Jawab :n(S)=6²=36 :L9={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}, n(G)=6 :M5={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}, n(P)=6 :L9 ∩ M5={(5,5),(5,6)}, n(L9 ∩ M5) = 2 :<math>P(L9|M5) = \frac{P(L9 \cap M5)}{P(M5)} = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{3}</math> #Sebuah kotak terdapat 6 kelereng putih dan 5 kelereng merah. Dua diambil satu demi satu dengan pengembalian (tanpa syarat). Tentukan *peluang terambilnya kelereng putih terlebih dahulu baru kelereng merah! *peluang terambilnya kelereng merah terlebih dahulu baru kelereng merah! * :n(A) = 6 :n(B|A) = 5 :P(A n B) = n(A)/n(S) x n(B)/n(S) = 6/11 x 5/11 = 30/121 :n(A) = 6 :n(B|A) = 6 :P(A n B) = n(A)/n(S) x n(B)/n(S) = 6/11 x 6/11 = 36/121 #Sebuah kotak terdapat 5 kelereng putih dan 4 kelereng merah. Dua diambil satu demi satu (pengambilan dua kali berurutan) tanpa pengembalian. Tentukan: *peluang terambilnya satu kelereng putih pada pengambilan pertama dan terambil satu kelereng putih pada pengambilan kedua! *peluang terambilnya satu kelereng merah pada pengambilan pertama dan terambil satu kelereng putih pada pengambilan kedua! ;Jawab * :n(A) = 5 :n(B|A) = 4 :karena pada pengambilan pertama tetapi pengambilan kedua tidak dikembalikan kelerengnya maka berkurang satu kelereng yaitu 9 bola yang diambil seluruhnya serta satu kelereng putih juga berkurang yaitu 4 bola karena telah diambil dari pertama yang berwarna putih :P(A n B) = P(A) x P(B|A) = 5/10 x 4/9 = 2/9 * :n(A) = 4 :n(B|A) = 5 :karena pada pengambilan pertama tetapi pengambilan kedua tidak dikembalikan kelerengnya maka berkurang satu kelereng yaitu 9 bola yang diambil seluruhnya tetapi satu kelereng putih yaitu tetap 5 bola karena pengambilan pertama adalah bola merah :P(A n B) = P(A) x P(B|A) = 4/10 x 5/9 = 2/9 # Kotak permainan terdapat dua buah yaitu kotak A dan kotak B. kotak A terdiri atas 12 bola kuning dan 3 bola hijau serta kotak B terdiri dari 6 bola kuning dan 4 bola hijau. Akan diambil dua bola satu per satu secara acak masing-masing satu bola dari kotak A dan satu bola dari kotak B. berapa peluang: * terambil satu bola kuning dengan pengembalian bola * terambil satu bola hijau tanpa pengembalian bola * : pada kotak 1 ada 2 kemungkinan yaitu KH HH atau HK HH :: <math>\frac{12}{15} \cdot \frac{3}{15} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10}+\frac{3}{15} \cdot \frac{12}{15} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{625}+\frac{16}{625} = \frac{32}{625}</math> : pada kotak 2 ada 2 kemungkinan yaitu HH KH atau HH HK :: <math>\frac{3}{15} \cdot \frac{3}{15} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10}+\frac{3}{15} \cdot \frac{3}{15} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{6}{625}+\frac{6}{625} = \frac{12}{625}</math> : semua kotak yaitu P(KI n KII) = 32/625+12/625 = 44/625 * : pada kotak 1 ada 2 kemungkinan yaitu HK KK atau KH KK :: <math>\frac{3}{15} \cdot \frac{12}{14} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}+\frac{12}{15} \cdot \frac{3}{14} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2}{105}+\frac{2}{105} = \frac{4}{105}</math> : pada kotak 2 ada 2 kemungkinan yaitu KK HK atau KK KH :: <math>\frac{12}{15} \cdot \frac{11}{14} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}+\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{11}{105}+\frac{11}{105} = \frac{22}{105}</math> : semua kotak yaitu P(KI n KII) = 4/105+22/105 = 26/105 # Sebuah desa terdapat anak-anak berusia 3-11 tahun dibagi tiga kategori yaitu kategori A (3-5 tahun), B (6-8 tahun) dan C (9-11 tahun). berdasarkan usianya 20% kategori A, 30% B dan 50% C. Semua kategori tersebut masing-masing disurvei untuk menyukai roti yang diinginkan maka 70% kategori A menyukai roti, 40% kategori B sedangkan 30% kategori C. Berdasarkan informasi tersebut berapa peluang: * Semua anak-anak dari berbagai usia menyukai roti * Anak-anak kategori A menyukai roti? * Anak-anak kategori C menyukai roti jika semua anak-anak menyukai roti ;Jawab {| class="wikitable" |+ |- ! Tipe !! Kategori A !! Kategori B !! Kategori C !! Total |- | || 0,2 || 0,3 || 0,5 || |- | Menyukai roti || 0,7=0,14 || 0,4=0,12 || 0,3=0,15 || 0,41 |- | Tidak menyukai roti || 0,3=0,06 || 0,6=0,18 || 0,7=0,35 || 0,59 |} : P(A)=0,2, P(B)=0,3, P(C)=0,5, P(D|A)=0,7, P(E|B)=0,4 dan P(F|C)=0,3 * : P(A n B n C) = P(A n D) + P(B n E) + P(C n F) : = P(A) x P(D|A) + P(B) x P(E|B) + P(C) x P(F|C) : = 0,2 x 0,7 + 0,3 x 0,4 + 0,5 x 0,3 : = 0,14 + 0,12 + 0,15 = 0,41 * : P(A n D) = P(A) x P(D|A) = 0,2 x 0,7 = 0,14 * : P(C) = <math>\frac{P(C \cap F)}{P(A \cap B \cap C)} = \frac{0,15}{0,41} = 0,365</math> #Misalkan punya kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya cacat. Bila 2 sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yg pertama ke dalam kotak), berapakah peluang kedua sekering itu cacat ;Jawab :P(A n B) = P(A) x x P(B|A) = 5/20 x 4/9 = 1/9 == Frekuensi harapan == Rumus: <math>F(A) = n \cdot P(A)</math> Contoh soal #Berapa frekuensi harapan muncul mata dadu 5 pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 150 kali? ;Jawab :S={1,2,3,4,5,6}, n(S) = 6 :A={5}, n(A) = 1 :n=150 :<math>F(A) = n \cdot P(A) = 150 \cdot \frac{1}{6} = 25 \text{ kali}</math> #Berapa frekuensi harapan muncul satu angka dan dua gambar pada pelemparan tiga koin sebanyak 240 kali? ;Jawab :S={(g,g,g), (g,g,a), (g,a,g), (g,a,a), (a,a,g), (a,a,a), (a,g,g), (a,g,a)}, n(S) = 8 :A={(g,g,a), (g,a,g),(a,g,g)}, n(A) = 3 :n=240 :<math>F(A) = n \cdot P(A) = 240 \cdot \frac{3}{8} = 90 \text{ kali}</math> == Tambahan == # Peluang seorang memenangkan pertandingan catur melawan pemain lawannya adalah 1/3. Berapa peluang bahwa seorang memenangkan paling sedikit 1 dari 3 pertandingan? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P(menang) = \frac{1}{3}, P(kalah) = \frac{2}{3} \\ P(\text{kalah 3x}) &= \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{8}{27} \\ P(\text{minimal menang 1x}) &= 1-\frac{8}{27} \\ &= \frac{19}{27} \\ \end{align} </math> </div></div> # Pada pelemparan sebuah dadu bias, peluang muncul angka 1 adalah 1/3 dari angka yang lain. Berapa peluang muncul angka prima dari pelemparan dadu itu? : peluang muncul angka 1 adalah <math>\frac{1}{3}</math> dari angka yang lain, maka P(1) = <math>\frac{1}{3}x</math> : P(2,3,4,5,6) masing-masing memiliki x peluang. sehingga: <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P(1)+P(2,3,4,5,6) &= 1 \\ \frac{1}{3}x+5x &= 1 \\ \frac{16}{3}x &= 1 \\ x &= \frac{3}{16} \\ \end{align} </math> </div></div> Peluang muncul angka prima dari pelemparan dadu itu adalah : P(2,3,5) = <math>\frac{3}{16}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16} = \frac{9}{16}</math> # Pada pelemparan sebuah dadu bias, peluang muncul angka 2 adalah 1/5 dari angka yang lain. Berapa peluang muncul angka genap dari pelemparan dadu itu? : peluang muncul angka 2 adalah <math>\frac{1}{5}</math> dari angka yang lain, maka P(2) = <math>\frac{1}{5}x</math> : P(1,3,4,5,6) masing-masing memiliki x peluang. sehingga: <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P(2)+P(1,3,4,5,6) &= 1 \\ \frac{1}{5}x+5x &= 1 \\ \frac{26}{5}x &= 1 \\ x &= \frac{5}{26} \\ \end{align} </math> </div></div> Peluang muncul angka genap dari pelemparan dadu itu adalah : P(2,4,6) = <math>\frac{1}{26}+\frac{5}{26}+\frac{5}{26} = \frac{11}{26}</math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] i4ijy3an9pclosgxi5y7qv1fvwe2ydx 0 23148 115072 114616 2026-04-28T03:19:28Z ~2026-25685-25 43054 115072 wikitext text/x-wiki == Penyajian data == dalam data tunggal, pembuatan diagram dalam metode statistika terdiri dari 5 jenis yaitu diagram batang, diagram garis (poligon), diagram kumulatif/ogif (tanjakan dan curam), diagram lingkaran serta diagram lambang. dalam data berkelompok, pembuatan diagram dalam metode statistika terdiri dari 3 jenis yaitu histogram, diagram garis (poligon) serta diagram kumulatif/ogif (tanjakan dan curam). contoh bentuk tabel frekuensi sebagai berikut: {| class="wikitable" |+ |- ! Interval !! Batas !! Titik tengah !! Jumlah |- | 50-59 || 49.5-59.5 || 54.5 || 4 |- | 60-69 || 59.5-69.5 || 64.5 || 6 |- | 70-79 || 69.5-79.5 || 74.5 || 10 |- | 80-89 || 79.5-89.5 || 84.5 || 7 |- | 90-99 || 89.5-99.5 || 94.5 || 3 |- | colspan=3| Jumlah frekuensi || 30 |} tambahan lainnya yaitu diagram titik (dot plot), diagram pencar (scatter plot) dan diagram kotak (box plot). dalam diagram pencar terdapat analisis korelasi (correlation analysis) terbagi empat yaitu kolerasi negatif kuat, kolerasi positif kuat, kolerasi negatif lemah dan kolerasi positif lemah. 1. Korelasi positif<br> Korelasi positif adalah hubungan antara dua variabel ketika kedua variabel itu bergerak dalam arah yang sama. Oleh karenanya, satu variabel meningkat jika variabel lainnya meningkat, atau satu variabel menurun sementara yang lainnya juga menurun. Contoh korelasi positif yaitu tinggi dan berat badan. Di mana, orang yang lebih tinggi memang cenderung akan lebih berat. 2. Korelasi negatif<br> Korelasi negatif merupakan hubungan antara dua variabel, ketika peningkatan satu variabel dikaitkan dengan penurunan variabel lainnya. Contoh korelasi negatif adalah ketinggian di atas permukaan laut dan suhu. Contoh korelasi negatif yaitu saat kita mendaki gunung, artinya kan kita sedang meningkatkan ketinggian. Sehingga, korelasinya suhu menjadi lebih dingin (menurunkan suhu). 3. Korelasi nol (Tidak ada kolerasi)<br> Jenis korelasi nol ada ketika tidak adanya hubungan antara dua variabel. Contoh korelasi nol yaitu tidak ada hubungan antara jumlah teh yang diminum dengan tingkat kecerdasan seseorang yang meminumnya. == Analisis data == Dalam operasi aritmatika ukuran pemusatan data semua operasi berubah hasilnya tetapi ukuran penyebaran data hanya operasi kali dan bagi berubah hasilnya. === Jenis-jenis ukuran pemusatan data === ; Data tunggal * Mean merupakan rata-rata hitung : <math display="block">\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n} = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{x_i}{n}</math> * Median merupakan nilai tengah setelah diurutkan : bila ganjil maka terambil di tengah setelah diurutkan. bila genap terambil dua di tengah dibagi rata-rata setelah diurutkan : <math>Me = x_{\frac{n + 1}{2}}</math> bila n ganjil : <math>Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{(\frac{n}{2} + 1)}}{2}</math> bila n genap * Modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi : terambil jumlahnya paling banyak setelah diurutkan * Kuartil merupakan membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak : <math> Q_i = \frac {i (n + 1)}{4}</math> terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil bawah, tengah dan atas. {| class="wikitable" |- ! rowspan=2| Kuartil !! colspan=2| Ganjil !! colspan=2| Genap |- ! n+1 tidak habis dibagi 4 !! n+1 habis dibagi 4 !! n tidak habis dibagi 4 !! n habis dibagi 4 |- | Kuartil bawah (Q1) || <math>\frac{x_{\frac{n-1}{4}} + x_{(\frac{n-1}{4} + 1)}}{2}</math> || <math>x_{\frac{n+1}{4}}</math> || <math>x_{\frac{n+2}{4}}</math> || <math>\frac{x_{\frac{n}{4}} + x_{(\frac{n}{4} + 1)}}{2}</math> |- | Kuartil tengah (Q2) || colspan=2| <math>x_{\frac{n + 1}{2}}</math> || colspan=2| <math>\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{(\frac{n}{2} + 1)}}{2}</math> |- | Kuartil atas (Q3) || <math>\frac{x_{\frac{3n+1}{4}} + x_{(\frac{3n+1}{4} + 1)}}{2}</math> || <math>x_{\frac{3(n+1)}{4}}</math> || <math>x_{\frac{3n+2}{4}}</math> || <math>\frac{x_{\frac{3n}{4}} + x_{(\frac{3n}{4} + 1)}}{2}</math> |} atau {| class="wikitable" |- ! Kuartil !! Ganjil !! Genap |- | Kuartil bawah (Q1) || <math>\frac{n+1}{4}</math> || <math>\frac{n+2}{4}</math> |- | Kuartil tengah (Q2) || <math>\frac{n+1}{2}</math> || <math>\frac{X_{\frac{n}{2}+ X_{(\frac{n}{2}+1)}}}{2}</math> |- | Kuartil atas (Q3) || <math>\frac{3 \cdot (n+1)}{4} </math> || <math>\frac{3n+2}{4}</math> |} contoh:<br> # urutan data: A, B, C, D, E, F ## kuartil bawah: B ## kuartil tengah (median): antara C dan D ## kuartil atas: E # urutan data: A, B, C, D, E, F, G ## kuartil bawah: B ## kuartil tengah (median): D ## kuartil atas: F * Desil merupakan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak : <math> D_i = \frac {i (n + 1)}{10}</math> terdiri dari tiga jenis yaitu desil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil. * Persentil merupakan membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak : <math> P_i = \frac {i (n + 1)}{100}</math> terdiri dari tiga jenis yaitu presentil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil. ; Data berkelompok Dalam data berkelompok terdiri dari tabel, [[diagram]] garis, diagram batang serta diagram lingkaran. * Mean : <math>\bar{x} = \frac{f_1 x_1 + f_2 x_2 + f_3 x_3 + \cdots + f_n x_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \cdots + f_n} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i x_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math> : <math>\bar{x} = \bar{x_s} + \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i d_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math> : <math>\bar{x} = \bar{x_s} + (\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i u}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}) c</math> ; keterangan # <math>f_i </math> = frekuensi untuk nilai i # <math>x_i</math> = data ke-i (untuk data tunggal) atau titik tengah rentang tertentu ke-i (data kelompok) # <math>x_s</math>= titik tengah rataan sementara # <math>d_i</math> = panjang interval antar rentang tertentu pada <math>x_i</math> (jika <math>x_s</math> maka d adalah nol. Di atasnya bernilai min dan dibawahnya bernilai plus) # u = bilangan bulat (jika <math>x_s</math> maka u adalah nol. Diatasnya min serta dibawahnya plus) # c = panjang interval kelas * Median : <math>Me = L_2 + (\frac{\frac{n}{2} - (\sum{f})_2}{f_{Me}}) c</math> ; keterangan # <math>L_2</math> = tepi bawah kelas median # n = banyak data # <math>(\sum{f})_2</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas median # <math>f_{Me}</math> = frekuensi kelas median # c = panjang interval kelas * Modus : <math>Mo = L_o + (\frac{d_1}{d_1 + d_2}) c</math> keterangan # <math>L_o</math> = tepi bawah kelas modus # <math>d_1</math> = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus # <math>d_2</math> = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus # c = panjang interval kelas * Kuartil : <math>Q_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{4} - (\sum{f})_i}{f_{Q_i}})c</math> ; keterangan # i = 1, 2 atau 3 # <math>L_i</math> = tepi bawah kelas kuartil ke-i # n = banyak data # <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i # <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas kuartil ke-i # c = panjang interval kelas * Desil : <math>D_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{10} - (\sum{f})_i}{f_{D_i}})c</math> ; keterangan # i = 1, 2, 3, ....., 9 # <math>L_i</math> = tepi bawah kelas desil ke-i # n = banyak data # <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i # <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas desil ke-i # c = panjang interval kelas * Persentil : <math>P_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{100} - (\sum{f})_i}{f_{P_i}})c</math> ; keterangan # i = 1, 2, 3, ....., 99 # <math>L_i</math> = tepi bawah kelas persentil ke-i # n = banyak data # <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i # <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas persentil ke-i # c = panjang interval kelas === Jenis-jenis ukuran penyebaran data === * Lima serangkai {| |- | <math>x_{min}</math> || <math>Q_1</math> || <math>Q_2</math> || <math>Q_3</math> || <math>x_{max}</math> |} * Rataan dua : <math>R_2 = \frac{Q_1 + Q_3}{2}</math> * Rataan tiga : <math>R_3 = \frac{Q_1 + 2 Q_2 + Q_3}{4}</math> * Jangkauan atau Range : <math>J = x_{max} - x_{min} </math> * Jangkauan semi kuartil atau Simpangan kuartil : <math>SK = \frac{Q_3 -Q_1}{2}</math> * Jangkauan antar kuartil, Jangkauan inter kuartil atau Hamparan : <math>H = Q_3 -Q_1</math> * Langkah : <math>L = \frac{3(Q_3 -Q_1)}{2}</math> ** Pagar dalam : <math>PD = Q_1-L</math> ** Pagar luar : <math>PL = Q_3+L</math> * Simpangan rata-rata atau Deviasi rata-rata ; Data tunggal : <math>SR = \frac{\sum {|x_i-\bar{x}|}}{n}</math> ; Data berkelompok : <math>SR = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i |x_i-\bar{x}|}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math> * Varian atau Ragam ; Data tunggal : <math>V = \frac{\sum {(x_i-\bar{x})^2}}{n}</math> ; Data berkelompok : <math>V = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i (x_i-\bar{x})^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math> * Simpangan baku atau Deviasi : <math>SB = \sqrt{V}</math> ; Data tunggal : <math>SB = \sqrt{\frac{\sum {(x_i-\bar{x})^2}}{n}}</math> ; Data berkelompok : <math>SB = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i (x_i-\bar{x})^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}}</math> == Jenis mean == ; Mean aritmatik (AM) : <math display="block">\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n} = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{x_i}{n}</math> ; Mean geometrik (GM) : <math display="block">GM = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \cdots \cdot x_n} = \sum\limits_{i=0}^{n} x_i^{\frac{1}{n}}</math> : <math display="block">log \, GM = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{log \, x_i}{n}</math> ; Mean Harmonik (HM) : <math display="block">HM = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \cdots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{1}{x_i}}</math> contoh soal # data penilaian siswa 10 pada mata pelajaran matematika sebagai berikut: 7, 7,3; 8,1; 6,4; 5,8; 6; 6,5; 7; 7,9; 6,2. tentukan: * modus * median * mean * kuartil bawah, tengah dan atas * lima serangkai * rataan dua * rataan tiga * jangkauan * hamparan * simpangan kuartil * langkah * pagar dalam * pagar luar * simpangan rata-rata * varian * simpangan baku <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * Mo &= 7 \text{ karena ada dua nilai yang muncul} \\ * \text{urutan data terlebih dulu } 5,8; 6; 6,2; 6,4; 6,5; 7; 7; 7,3; 7,9; 8,1 \\ Me &= \frac{6,5+7}{2} = 6,75 \\ * \bar x = \frac{7 + 7,3 + 8,1 + 6,4 + 5,8 + 6 + 6,5 + 7 + 7,9 + 6,2}{10} &= \frac{68,2}{10} = 6,82 \\ * \text{lihat urutan data median di atas} \\ Q_1 = 6,2, Q_2 = 6,75, Q_3 = 7,3 \\ * 5,8, 6,2, 6,75, 7,3, 8,1 \\ * R_2 = \frac{6,2 + 7,3}{2} &= \frac{13,5}{2} = 6,75 \\ * R_3 = \frac{6,2 + 2(6,75) + 7,3}{4} &= \frac{27}{4} = 6,75 \\ * J &= 8,1 - 5,8 = 2,3 \\ * H &= 7,3 - 6,2 = 1,1 \\ * SK &= \frac{1,1}{2} = 0,55 \\ * L &= \frac{3(1,1)}{2} = 1,65 \\ * PD &= 6,2 - 1,65 = 4,55 \\ * PL &= 7,3 + 1,65 = 8,65 \\ * SR = \frac{|7 - 6,82| + |7,3 - 6,82| + |8,1 - 6,82| + |6,4 - 6,82| + |5,8 - 6,82| + |6 - 6,82| + |6,5 - 6,82| + |7 - 6,82| + |7,9 - 6,82| + |6,2 - 6,82|}{10} &= \frac{ 1,82 + 0,52 + 1,32 + 0,42 + 1,02 + 0,82 + 0,32 + 0,22 + 1,12 + 0,62}{10} = \frac{8,2}{10} = 0,82 \\ * V = \frac{|7 - 6,82|^2 + |7,3 - 6,82|^2 + |8,1 - 6,82|^2 + |6,4 - 6,82|^2 + |5,8 - 6,82|^2 + |6 - 6,82|^2 + |6,5 - 6,82|^2 + |7 - 6,82|^2 + |7,9 - 6,82|^2 + |6,2 - 6,82|^2}{10} &= \frac{3,31 + 0,27 + 1,74 + 0,18 + 1,04 + 0,67 + 0,1 + 0,05 + 1,25 + 0,38}{10} = \frac{8,99}{10} = 0,89 \\ * SB& = \sqrt{0,89} = 0,94 \\ \end{align} </math> </div></div> # data sensus penduduk kecamatan J sebagai berikut: {| class="wikitable" |+ Data sensus penduduk |- ! Umur !! Jumlah |- | 1-6 || 3 |- | 7-12 || 8 |- | 13-18 || 5 |- | 19-24 || 6 |- | 25-30 || 5 |- | 31-36 || 7 |- | 37-42 || 12 |- | 43-48 || 9 |- | 49-54 || 8 |- | 55-60 || 7 |- | Jumlah || 70 |} tentukan: * modus * median * mean * kuartil bawah, tengah dan atas * lima serangkai * rataan dua * rataan tiga * jangkauan * hamparan * simpangan kuartil * langkah * pagar dalam * pagar luar * simpangan rata-rata * varian * simpangan baku {| class="wikitable" |+ Data sensus penduduk |- ! Umur !! Jumlah (f) !! u !! <math>f_i \cdot u</math> !! d !! <math>f_i \cdot d_i</math> !! x_i !! <math>f_i \cdot x_i</math> !! <math>| x_i - \bar x |</math> !! <math>f_i \cdot | x_i - \bar x |</math> !! <math>| x_i - \bar x |^2</math> !! <math>f_i \cdot | x_i - \bar x |^2</math> |- | 1-6 || 3 || -6 || -18 || -36 || -108 || 3,5 || 10,5 || 30,26 || 90,78 || 915,66 || 2.746,98 |- | 7-12 || 8 || -5 || -40 || -30 || -240 || 9,5 || 76 || 24,26 || 194,08 || 588,54 || 4.708,32 |- | 13-18 || 5 || -4 || -20 || -24 || -120 || 15,5 || 77,5 || 18,26 || 91,3 || 333,42 || 1.667,1 |- | 19-24 || 6 || -3 || -18 || -18 || -108 || 21,5 || 129 || 12,26 || 73,56 || 150,3 || 901,8 |- | 25-30 || 5 || -2 || -10 || -12 || -60 || 27,5 || 137,5 || 6,26 || 31,3 || 39,18 || 185,9 |- | 31-36 || 7 || -1 || -7 || -6 || -42 || 33,5 || 234,5 || 0,26 || 1,82 || 0,06 || 0,42 |- | 37-42 || 12 || 0 || 0 || 0 || 0 || 39,5 || 474 || 5,74 || 68,88 || 32,94 || 395,28 |- | 43-48 || 9 || 1 || 9 || 6 || 54 || 45,5 || 409,5 || 11,74 || 105,66 || 137,82 || 1.240,38 |- | 49-54 || 8 || 2 || 16 || 12 || 96 || 51,5 || 412 || 17,74 || 141,92 || 314,7 || 2.517,6 |- | 55-60 || 7 || 3 || 21 || 18 || 126 || 57,5 || 402,5 || 23,74 || 166,18 || 563,58 || 3.945,06 |- | Jumlah || 70 || || -67 || || -402 || || 2.363 || || 965,48 || || 18.318,84 |} <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * Mo = L_o + (\frac{d_1}{d_1 + d_2}) \cdot c &= 36,5 + (\frac{12-7}{(12-7) + (12-9)}) \cdot 6 = 36,5 + (\frac{5}{5 + 3}) \cdot 6 = 36,5 + (\frac{5}{8}) \cdot 6 = 36,5 + \frac{15}{4} = 40,25 \\ * Me = L_2 + (\frac{\frac{n}{2} - (\sum{f})_2}{f_{Me}}) \cdot c &= 36,5 + (\frac{\frac{70}{2} - 34}{12}) \cdot 6 = 36,5 + (\frac{35 - 34}{12}) \cdot 6 = 36,5 + (\frac{1}{12}) \cdot 6 = 37 \\ * ; cara 1 \\ : \bar x = \bar{x_s} + (\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(f_i \cdot u)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}) \cdot c &= 39,5 + \frac{-67}{70} \cdot 6 = 39,5 - 5,74 = 33,76 \\ ; cara 2 \\ : \bar x = \bar{x_s} + \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(f_i \cdot d_i)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}} &= 39,5 + \frac{-402}{70} = 39,5 - 5,74 = 33,76 \\ ; cara 3 \\ : \bar x = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(f_i \cdot x_i)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}} &= \frac{2.363}{70} = 33,76 \\ * : Q_1 = L_1 + (\frac{\frac{n}{4} - (\sum{f})_1}{f_{Q_1}}) \cdot c &= 18,5 + (\frac{\frac{70}{4} - 16}{6}) \cdot 6 = 18,5 + (\frac{17,5 - 16}{6}) \cdot 6 = 18,5 + 1,5 = 20 \\ : Q_2 = Me = 37 \\ : Q_3 = L_3 + (\frac{\frac{3 \cdot n}{4} - (\sum{f})_3}{f_{Q_3}}) \cdot c &= 42,5 + (\frac{\frac{3 \cdot 70}{4} - 16}{9}) \cdot 6 = 42,5 + (\frac{52,5 - 46}{9}) \cdot 6 = 42,5 + 4,33 = 46,83 \\ * 0,5; 20; 37; 46,83; 54,5 \\ * R_2 = \frac{20 + 46,83}{2} &= \frac{66,83}{2} = 33,42 \\ * R_3 = \frac{20 + 2(37) + 46,83}{4} &= \frac{140,83}{4} = 35,2075 \\ * J &= 54,5 - 0,5 = 54 \\ * H &= 46,83 - 20 = 26,83 \\ * SK &= \frac{26,83}{2} = 13,42 \\ * L &= \frac{3(26,83)}{2} = 40,25 \\ * PD &= 20 - 40,25 = -19,75 \\ * PL &= 46,83 + 40,25 = 87,08 \\ * SR = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i \cdot | x_i - \bar{x} |}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}} &= \frac{965,48}{70} = 13,79 \\ * V = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i \cdot | x_i - \bar{x} |^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}} &= \frac{18.318,84}{70} = 261,69 \\ * SB = \sqrt{V} &= \sqrt{261,69} = 16,17 \\ \end{align} </math> </div></div> # data siswa kelas 12 IPA sebagai berikut: {| class="wikitable" |+ Data siswa kelas 12 |- ! Nilai !! Jumlah |- | 40-49 || 5 |- | 50-59 || 10 |- | 60-69 || 14 |- | 70-79 || 9 |- | 80-89 || 5 |- | 90-99 || 2 |} Berapa jumlah siswa kelas 12 IPA lulus jika batas ambang kelulusan adalah 64,5? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} Nb &= L_{nb} + (\frac{t - (\sum{f})_0}{f_{nb}}) \cdot c \\ 64,5 &= 59,5 + (\frac{t - 15}{14}) \cdot 10 \\ 5 &= (\frac{t - 15}{7}) \cdot 5 \\ 7 &= t - 15 \\ t &= 22 \\ \text{siswa lulus adalah } 45-22 = 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rata-rata dan median keempat data adalah 10, jangkauan data tersebut adalah 4 serta tidak memiliki modus. Dilihat datanya diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar maka berapa hasil kali data kedua dan data ketiga yang paling mungkin? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{A+B+C+D}{4} &= 10 \\ A+B+C+D &= 40 \\ \frac{B+C}{2} &= 10 \\ B+C &= 20 \\ D-A &= 4 \\ D &= A+4 \\ A+B+C+D &= 40 \\ A+20+D &= 40 \\ A+D &= 20 \\ A+D &= 20 \\ A+A+4 &= 20 \\ 2A &= 16 \\ A &= 8 \\ D &= 12 \\ \text{data sementara yang diurutkan adalah } 8, x, y, 12 \\ \text{untuk x dan y diuji supaya jumlahnya adalah 20. maka x dan y didapat adalah 9 dan 11 } \\ xy &= 9 (11) \\ &= 99 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua kelompok anak masing-masing dari 4 anak, mempunyai rata-rata berat badan 30 kg dan 33 kg. jika seorang anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata berat badan menjadi sama maka berapa selisih berat badan kedua anak yang ditukar? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{A+B+C+D}{4} &= 30 \\ A+B+C+D &= 120 \\ B+C+D &= 120-A \\ \frac{P+Q+R+S}{4} &= 33 \\ P+Q+R+S &= 132 \\ Q+R+S &= 132-P \\ \bar {x_1} &= \bar {x_2} \\ \frac{P+B+C+D}{4} &= \frac{A+Q+R+S}{4} \\ P+B+C+D &= A+Q+R+S \\ P+120-A &= A+132-P \\ 2P-2A &= 12 \\ P-A &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui median dan rata-rata berat 5 buah mangga adalah sama. Setelah ditambahkan satu berat mangga rata-ratanya meningkat 1 kg sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat mangga tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang berat maka berapa selisih berat mangga yang terakhir ditambahkan dengan mangga di urutan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} &= Me \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 &= 5Me \\ Me &= x_3 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 &= 5x_3 \\ x_1+x_2+x_4+x_5 &= 4x_3 \\ \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} &= Me+1 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 &= 6Me+6 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 &= 6x_3+6 \\ x_1+x_2+x_4+x_5+x_6 &= 5x_3+6 \\ Me &= \frac{x_3+x_4}{2} \\ x_3 &= \frac{x_3+x_4}{2} \\ 2x_3 &= x_3+x_4 \\ x_3 &= x_4 \\ x_1+x_2+x_4+x_5+x_6 &= 5x_3+6 \\ 4x_3+x_6 &= 5x_3+6 \\ x_6 &= x_3+6 \\ x_6 &= x_4+6 \\ x_6-x_4 &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] twehizf3tzxj6j71xs6060h4cix7nw1 115073 115072 2026-04-28T03:19:56Z ~2026-25685-25 43054 /* Analisis data */ 115073 wikitext text/x-wiki == Penyajian data == dalam data tunggal, pembuatan diagram dalam metode statistika terdiri dari 5 jenis yaitu diagram batang, diagram garis (poligon), diagram kumulatif/ogif (tanjakan dan curam), diagram lingkaran serta diagram lambang. dalam data berkelompok, pembuatan diagram dalam metode statistika terdiri dari 3 jenis yaitu histogram, diagram garis (poligon) serta diagram kumulatif/ogif (tanjakan dan curam). contoh bentuk tabel frekuensi sebagai berikut: {| class="wikitable" |+ |- ! Interval !! Batas !! Titik tengah !! Jumlah |- | 50-59 || 49.5-59.5 || 54.5 || 4 |- | 60-69 || 59.5-69.5 || 64.5 || 6 |- | 70-79 || 69.5-79.5 || 74.5 || 10 |- | 80-89 || 79.5-89.5 || 84.5 || 7 |- | 90-99 || 89.5-99.5 || 94.5 || 3 |- | colspan=3| Jumlah frekuensi || 30 |} tambahan lainnya yaitu diagram titik (dot plot), diagram pencar (scatter plot) dan diagram kotak (box plot). dalam diagram pencar terdapat analisis korelasi (correlation analysis) terbagi empat yaitu kolerasi negatif kuat, kolerasi positif kuat, kolerasi negatif lemah dan kolerasi positif lemah. 1. Korelasi positif<br> Korelasi positif adalah hubungan antara dua variabel ketika kedua variabel itu bergerak dalam arah yang sama. Oleh karenanya, satu variabel meningkat jika variabel lainnya meningkat, atau satu variabel menurun sementara yang lainnya juga menurun. Contoh korelasi positif yaitu tinggi dan berat badan. Di mana, orang yang lebih tinggi memang cenderung akan lebih berat. 2. Korelasi negatif<br> Korelasi negatif merupakan hubungan antara dua variabel, ketika peningkatan satu variabel dikaitkan dengan penurunan variabel lainnya. Contoh korelasi negatif adalah ketinggian di atas permukaan laut dan suhu. Contoh korelasi negatif yaitu saat kita mendaki gunung, artinya kan kita sedang meningkatkan ketinggian. Sehingga, korelasinya suhu menjadi lebih dingin (menurunkan suhu). 3. Korelasi nol (Tidak ada kolerasi)<br> Jenis korelasi nol ada ketika tidak adanya hubungan antara dua variabel. Contoh korelasi nol yaitu tidak ada hubungan antara jumlah teh yang diminum dengan tingkat kecerdasan seseorang yang meminumnya. == Ukuran data == Dalam operasi aritmatika ukuran pemusatan data semua operasi berubah hasilnya tetapi ukuran penyebaran data hanya operasi kali dan bagi berubah hasilnya. === Jenis-jenis ukuran pemusatan data === ; Data tunggal * Mean merupakan rata-rata hitung : <math display="block">\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n} = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{x_i}{n}</math> * Median merupakan nilai tengah setelah diurutkan : bila ganjil maka terambil di tengah setelah diurutkan. bila genap terambil dua di tengah dibagi rata-rata setelah diurutkan : <math>Me = x_{\frac{n + 1}{2}}</math> bila n ganjil : <math>Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{(\frac{n}{2} + 1)}}{2}</math> bila n genap * Modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi : terambil jumlahnya paling banyak setelah diurutkan * Kuartil merupakan membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak : <math> Q_i = \frac {i (n + 1)}{4}</math> terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil bawah, tengah dan atas. {| class="wikitable" |- ! rowspan=2| Kuartil !! colspan=2| Ganjil !! colspan=2| Genap |- ! n+1 tidak habis dibagi 4 !! n+1 habis dibagi 4 !! n tidak habis dibagi 4 !! n habis dibagi 4 |- | Kuartil bawah (Q1) || <math>\frac{x_{\frac{n-1}{4}} + x_{(\frac{n-1}{4} + 1)}}{2}</math> || <math>x_{\frac{n+1}{4}}</math> || <math>x_{\frac{n+2}{4}}</math> || <math>\frac{x_{\frac{n}{4}} + x_{(\frac{n}{4} + 1)}}{2}</math> |- | Kuartil tengah (Q2) || colspan=2| <math>x_{\frac{n + 1}{2}}</math> || colspan=2| <math>\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{(\frac{n}{2} + 1)}}{2}</math> |- | Kuartil atas (Q3) || <math>\frac{x_{\frac{3n+1}{4}} + x_{(\frac{3n+1}{4} + 1)}}{2}</math> || <math>x_{\frac{3(n+1)}{4}}</math> || <math>x_{\frac{3n+2}{4}}</math> || <math>\frac{x_{\frac{3n}{4}} + x_{(\frac{3n}{4} + 1)}}{2}</math> |} atau {| class="wikitable" |- ! Kuartil !! Ganjil !! Genap |- | Kuartil bawah (Q1) || <math>\frac{n+1}{4}</math> || <math>\frac{n+2}{4}</math> |- | Kuartil tengah (Q2) || <math>\frac{n+1}{2}</math> || <math>\frac{X_{\frac{n}{2}+ X_{(\frac{n}{2}+1)}}}{2}</math> |- | Kuartil atas (Q3) || <math>\frac{3 \cdot (n+1)}{4} </math> || <math>\frac{3n+2}{4}</math> |} contoh:<br> # urutan data: A, B, C, D, E, F ## kuartil bawah: B ## kuartil tengah (median): antara C dan D ## kuartil atas: E # urutan data: A, B, C, D, E, F, G ## kuartil bawah: B ## kuartil tengah (median): D ## kuartil atas: F * Desil merupakan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak : <math> D_i = \frac {i (n + 1)}{10}</math> terdiri dari tiga jenis yaitu desil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil. * Persentil merupakan membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak : <math> P_i = \frac {i (n + 1)}{100}</math> terdiri dari tiga jenis yaitu presentil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil. ; Data berkelompok Dalam data berkelompok terdiri dari tabel, [[diagram]] garis, diagram batang serta diagram lingkaran. * Mean : <math>\bar{x} = \frac{f_1 x_1 + f_2 x_2 + f_3 x_3 + \cdots + f_n x_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \cdots + f_n} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i x_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math> : <math>\bar{x} = \bar{x_s} + \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i d_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math> : <math>\bar{x} = \bar{x_s} + (\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i u}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}) c</math> ; keterangan # <math>f_i </math> = frekuensi untuk nilai i # <math>x_i</math> = data ke-i (untuk data tunggal) atau titik tengah rentang tertentu ke-i (data kelompok) # <math>x_s</math>= titik tengah rataan sementara # <math>d_i</math> = panjang interval antar rentang tertentu pada <math>x_i</math> (jika <math>x_s</math> maka d adalah nol. Di atasnya bernilai min dan dibawahnya bernilai plus) # u = bilangan bulat (jika <math>x_s</math> maka u adalah nol. Diatasnya min serta dibawahnya plus) # c = panjang interval kelas * Median : <math>Me = L_2 + (\frac{\frac{n}{2} - (\sum{f})_2}{f_{Me}}) c</math> ; keterangan # <math>L_2</math> = tepi bawah kelas median # n = banyak data # <math>(\sum{f})_2</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas median # <math>f_{Me}</math> = frekuensi kelas median # c = panjang interval kelas * Modus : <math>Mo = L_o + (\frac{d_1}{d_1 + d_2}) c</math> keterangan # <math>L_o</math> = tepi bawah kelas modus # <math>d_1</math> = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus # <math>d_2</math> = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus # c = panjang interval kelas * Kuartil : <math>Q_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{4} - (\sum{f})_i}{f_{Q_i}})c</math> ; keterangan # i = 1, 2 atau 3 # <math>L_i</math> = tepi bawah kelas kuartil ke-i # n = banyak data # <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i # <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas kuartil ke-i # c = panjang interval kelas * Desil : <math>D_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{10} - (\sum{f})_i}{f_{D_i}})c</math> ; keterangan # i = 1, 2, 3, ....., 9 # <math>L_i</math> = tepi bawah kelas desil ke-i # n = banyak data # <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i # <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas desil ke-i # c = panjang interval kelas * Persentil : <math>P_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{100} - (\sum{f})_i}{f_{P_i}})c</math> ; keterangan # i = 1, 2, 3, ....., 99 # <math>L_i</math> = tepi bawah kelas persentil ke-i # n = banyak data # <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i # <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas persentil ke-i # c = panjang interval kelas === Jenis-jenis ukuran penyebaran data === * Lima serangkai {| |- | <math>x_{min}</math> || <math>Q_1</math> || <math>Q_2</math> || <math>Q_3</math> || <math>x_{max}</math> |} * Rataan dua : <math>R_2 = \frac{Q_1 + Q_3}{2}</math> * Rataan tiga : <math>R_3 = \frac{Q_1 + 2 Q_2 + Q_3}{4}</math> * Jangkauan atau Range : <math>J = x_{max} - x_{min} </math> * Jangkauan semi kuartil atau Simpangan kuartil : <math>SK = \frac{Q_3 -Q_1}{2}</math> * Jangkauan antar kuartil, Jangkauan inter kuartil atau Hamparan : <math>H = Q_3 -Q_1</math> * Langkah : <math>L = \frac{3(Q_3 -Q_1)}{2}</math> ** Pagar dalam : <math>PD = Q_1-L</math> ** Pagar luar : <math>PL = Q_3+L</math> * Simpangan rata-rata atau Deviasi rata-rata ; Data tunggal : <math>SR = \frac{\sum {|x_i-\bar{x}|}}{n}</math> ; Data berkelompok : <math>SR = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i |x_i-\bar{x}|}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math> * Varian atau Ragam ; Data tunggal : <math>V = \frac{\sum {(x_i-\bar{x})^2}}{n}</math> ; Data berkelompok : <math>V = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i (x_i-\bar{x})^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math> * Simpangan baku atau Deviasi : <math>SB = \sqrt{V}</math> ; Data tunggal : <math>SB = \sqrt{\frac{\sum {(x_i-\bar{x})^2}}{n}}</math> ; Data berkelompok : <math>SB = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i (x_i-\bar{x})^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}}</math> == Jenis mean == ; Mean aritmatik (AM) : <math display="block">\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n} = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{x_i}{n}</math> ; Mean geometrik (GM) : <math display="block">GM = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \cdots \cdot x_n} = \sum\limits_{i=0}^{n} x_i^{\frac{1}{n}}</math> : <math display="block">log \, GM = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{log \, x_i}{n}</math> ; Mean Harmonik (HM) : <math display="block">HM = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \cdots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{1}{x_i}}</math> contoh soal # data penilaian siswa 10 pada mata pelajaran matematika sebagai berikut: 7, 7,3; 8,1; 6,4; 5,8; 6; 6,5; 7; 7,9; 6,2. tentukan: * modus * median * mean * kuartil bawah, tengah dan atas * lima serangkai * rataan dua * rataan tiga * jangkauan * hamparan * simpangan kuartil * langkah * pagar dalam * pagar luar * simpangan rata-rata * varian * simpangan baku <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * Mo &= 7 \text{ karena ada dua nilai yang muncul} \\ * \text{urutan data terlebih dulu } 5,8; 6; 6,2; 6,4; 6,5; 7; 7; 7,3; 7,9; 8,1 \\ Me &= \frac{6,5+7}{2} = 6,75 \\ * \bar x = \frac{7 + 7,3 + 8,1 + 6,4 + 5,8 + 6 + 6,5 + 7 + 7,9 + 6,2}{10} &= \frac{68,2}{10} = 6,82 \\ * \text{lihat urutan data median di atas} \\ Q_1 = 6,2, Q_2 = 6,75, Q_3 = 7,3 \\ * 5,8, 6,2, 6,75, 7,3, 8,1 \\ * R_2 = \frac{6,2 + 7,3}{2} &= \frac{13,5}{2} = 6,75 \\ * R_3 = \frac{6,2 + 2(6,75) + 7,3}{4} &= \frac{27}{4} = 6,75 \\ * J &= 8,1 - 5,8 = 2,3 \\ * H &= 7,3 - 6,2 = 1,1 \\ * SK &= \frac{1,1}{2} = 0,55 \\ * L &= \frac{3(1,1)}{2} = 1,65 \\ * PD &= 6,2 - 1,65 = 4,55 \\ * PL &= 7,3 + 1,65 = 8,65 \\ * SR = \frac{|7 - 6,82| + |7,3 - 6,82| + |8,1 - 6,82| + |6,4 - 6,82| + |5,8 - 6,82| + |6 - 6,82| + |6,5 - 6,82| + |7 - 6,82| + |7,9 - 6,82| + |6,2 - 6,82|}{10} &= \frac{ 1,82 + 0,52 + 1,32 + 0,42 + 1,02 + 0,82 + 0,32 + 0,22 + 1,12 + 0,62}{10} = \frac{8,2}{10} = 0,82 \\ * V = \frac{|7 - 6,82|^2 + |7,3 - 6,82|^2 + |8,1 - 6,82|^2 + |6,4 - 6,82|^2 + |5,8 - 6,82|^2 + |6 - 6,82|^2 + |6,5 - 6,82|^2 + |7 - 6,82|^2 + |7,9 - 6,82|^2 + |6,2 - 6,82|^2}{10} &= \frac{3,31 + 0,27 + 1,74 + 0,18 + 1,04 + 0,67 + 0,1 + 0,05 + 1,25 + 0,38}{10} = \frac{8,99}{10} = 0,89 \\ * SB& = \sqrt{0,89} = 0,94 \\ \end{align} </math> </div></div> # data sensus penduduk kecamatan J sebagai berikut: {| class="wikitable" |+ Data sensus penduduk |- ! Umur !! Jumlah |- | 1-6 || 3 |- | 7-12 || 8 |- | 13-18 || 5 |- | 19-24 || 6 |- | 25-30 || 5 |- | 31-36 || 7 |- | 37-42 || 12 |- | 43-48 || 9 |- | 49-54 || 8 |- | 55-60 || 7 |- | Jumlah || 70 |} tentukan: * modus * median * mean * kuartil bawah, tengah dan atas * lima serangkai * rataan dua * rataan tiga * jangkauan * hamparan * simpangan kuartil * langkah * pagar dalam * pagar luar * simpangan rata-rata * varian * simpangan baku {| class="wikitable" |+ Data sensus penduduk |- ! Umur !! Jumlah (f) !! u !! <math>f_i \cdot u</math> !! d !! <math>f_i \cdot d_i</math> !! x_i !! <math>f_i \cdot x_i</math> !! <math>| x_i - \bar x |</math> !! <math>f_i \cdot | x_i - \bar x |</math> !! <math>| x_i - \bar x |^2</math> !! <math>f_i \cdot | x_i - \bar x |^2</math> |- | 1-6 || 3 || -6 || -18 || -36 || -108 || 3,5 || 10,5 || 30,26 || 90,78 || 915,66 || 2.746,98 |- | 7-12 || 8 || -5 || -40 || -30 || -240 || 9,5 || 76 || 24,26 || 194,08 || 588,54 || 4.708,32 |- | 13-18 || 5 || -4 || -20 || -24 || -120 || 15,5 || 77,5 || 18,26 || 91,3 || 333,42 || 1.667,1 |- | 19-24 || 6 || -3 || -18 || -18 || -108 || 21,5 || 129 || 12,26 || 73,56 || 150,3 || 901,8 |- | 25-30 || 5 || -2 || -10 || -12 || -60 || 27,5 || 137,5 || 6,26 || 31,3 || 39,18 || 185,9 |- | 31-36 || 7 || -1 || -7 || -6 || -42 || 33,5 || 234,5 || 0,26 || 1,82 || 0,06 || 0,42 |- | 37-42 || 12 || 0 || 0 || 0 || 0 || 39,5 || 474 || 5,74 || 68,88 || 32,94 || 395,28 |- | 43-48 || 9 || 1 || 9 || 6 || 54 || 45,5 || 409,5 || 11,74 || 105,66 || 137,82 || 1.240,38 |- | 49-54 || 8 || 2 || 16 || 12 || 96 || 51,5 || 412 || 17,74 || 141,92 || 314,7 || 2.517,6 |- | 55-60 || 7 || 3 || 21 || 18 || 126 || 57,5 || 402,5 || 23,74 || 166,18 || 563,58 || 3.945,06 |- | Jumlah || 70 || || -67 || || -402 || || 2.363 || || 965,48 || || 18.318,84 |} <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * Mo = L_o + (\frac{d_1}{d_1 + d_2}) \cdot c &= 36,5 + (\frac{12-7}{(12-7) + (12-9)}) \cdot 6 = 36,5 + (\frac{5}{5 + 3}) \cdot 6 = 36,5 + (\frac{5}{8}) \cdot 6 = 36,5 + \frac{15}{4} = 40,25 \\ * Me = L_2 + (\frac{\frac{n}{2} - (\sum{f})_2}{f_{Me}}) \cdot c &= 36,5 + (\frac{\frac{70}{2} - 34}{12}) \cdot 6 = 36,5 + (\frac{35 - 34}{12}) \cdot 6 = 36,5 + (\frac{1}{12}) \cdot 6 = 37 \\ * ; cara 1 \\ : \bar x = \bar{x_s} + (\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(f_i \cdot u)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}) \cdot c &= 39,5 + \frac{-67}{70} \cdot 6 = 39,5 - 5,74 = 33,76 \\ ; cara 2 \\ : \bar x = \bar{x_s} + \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(f_i \cdot d_i)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}} &= 39,5 + \frac{-402}{70} = 39,5 - 5,74 = 33,76 \\ ; cara 3 \\ : \bar x = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(f_i \cdot x_i)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}} &= \frac{2.363}{70} = 33,76 \\ * : Q_1 = L_1 + (\frac{\frac{n}{4} - (\sum{f})_1}{f_{Q_1}}) \cdot c &= 18,5 + (\frac{\frac{70}{4} - 16}{6}) \cdot 6 = 18,5 + (\frac{17,5 - 16}{6}) \cdot 6 = 18,5 + 1,5 = 20 \\ : Q_2 = Me = 37 \\ : Q_3 = L_3 + (\frac{\frac{3 \cdot n}{4} - (\sum{f})_3}{f_{Q_3}}) \cdot c &= 42,5 + (\frac{\frac{3 \cdot 70}{4} - 16}{9}) \cdot 6 = 42,5 + (\frac{52,5 - 46}{9}) \cdot 6 = 42,5 + 4,33 = 46,83 \\ * 0,5; 20; 37; 46,83; 54,5 \\ * R_2 = \frac{20 + 46,83}{2} &= \frac{66,83}{2} = 33,42 \\ * R_3 = \frac{20 + 2(37) + 46,83}{4} &= \frac{140,83}{4} = 35,2075 \\ * J &= 54,5 - 0,5 = 54 \\ * H &= 46,83 - 20 = 26,83 \\ * SK &= \frac{26,83}{2} = 13,42 \\ * L &= \frac{3(26,83)}{2} = 40,25 \\ * PD &= 20 - 40,25 = -19,75 \\ * PL &= 46,83 + 40,25 = 87,08 \\ * SR = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i \cdot | x_i - \bar{x} |}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}} &= \frac{965,48}{70} = 13,79 \\ * V = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i \cdot | x_i - \bar{x} |^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}} &= \frac{18.318,84}{70} = 261,69 \\ * SB = \sqrt{V} &= \sqrt{261,69} = 16,17 \\ \end{align} </math> </div></div> # data siswa kelas 12 IPA sebagai berikut: {| class="wikitable" |+ Data siswa kelas 12 |- ! Nilai !! Jumlah |- | 40-49 || 5 |- | 50-59 || 10 |- | 60-69 || 14 |- | 70-79 || 9 |- | 80-89 || 5 |- | 90-99 || 2 |} Berapa jumlah siswa kelas 12 IPA lulus jika batas ambang kelulusan adalah 64,5? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} Nb &= L_{nb} + (\frac{t - (\sum{f})_0}{f_{nb}}) \cdot c \\ 64,5 &= 59,5 + (\frac{t - 15}{14}) \cdot 10 \\ 5 &= (\frac{t - 15}{7}) \cdot 5 \\ 7 &= t - 15 \\ t &= 22 \\ \text{siswa lulus adalah } 45-22 = 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rata-rata dan median keempat data adalah 10, jangkauan data tersebut adalah 4 serta tidak memiliki modus. Dilihat datanya diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar maka berapa hasil kali data kedua dan data ketiga yang paling mungkin? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{A+B+C+D}{4} &= 10 \\ A+B+C+D &= 40 \\ \frac{B+C}{2} &= 10 \\ B+C &= 20 \\ D-A &= 4 \\ D &= A+4 \\ A+B+C+D &= 40 \\ A+20+D &= 40 \\ A+D &= 20 \\ A+D &= 20 \\ A+A+4 &= 20 \\ 2A &= 16 \\ A &= 8 \\ D &= 12 \\ \text{data sementara yang diurutkan adalah } 8, x, y, 12 \\ \text{untuk x dan y diuji supaya jumlahnya adalah 20. maka x dan y didapat adalah 9 dan 11 } \\ xy &= 9 (11) \\ &= 99 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua kelompok anak masing-masing dari 4 anak, mempunyai rata-rata berat badan 30 kg dan 33 kg. jika seorang anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata berat badan menjadi sama maka berapa selisih berat badan kedua anak yang ditukar? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{A+B+C+D}{4} &= 30 \\ A+B+C+D &= 120 \\ B+C+D &= 120-A \\ \frac{P+Q+R+S}{4} &= 33 \\ P+Q+R+S &= 132 \\ Q+R+S &= 132-P \\ \bar {x_1} &= \bar {x_2} \\ \frac{P+B+C+D}{4} &= \frac{A+Q+R+S}{4} \\ P+B+C+D &= A+Q+R+S \\ P+120-A &= A+132-P \\ 2P-2A &= 12 \\ P-A &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui median dan rata-rata berat 5 buah mangga adalah sama. Setelah ditambahkan satu berat mangga rata-ratanya meningkat 1 kg sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat mangga tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang berat maka berapa selisih berat mangga yang terakhir ditambahkan dengan mangga di urutan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} &= Me \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 &= 5Me \\ Me &= x_3 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 &= 5x_3 \\ x_1+x_2+x_4+x_5 &= 4x_3 \\ \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} &= Me+1 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 &= 6Me+6 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 &= 6x_3+6 \\ x_1+x_2+x_4+x_5+x_6 &= 5x_3+6 \\ Me &= \frac{x_3+x_4}{2} \\ x_3 &= \frac{x_3+x_4}{2} \\ 2x_3 &= x_3+x_4 \\ x_3 &= x_4 \\ x_1+x_2+x_4+x_5+x_6 &= 5x_3+6 \\ 4x_3+x_6 &= 5x_3+6 \\ x_6 &= x_3+6 \\ x_6 &= x_4+6 \\ x_6-x_4 &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 2bxd4cdqziq465ahdry5x8t0ksbd8xv 0 25843 115071 115048 2026-04-28T03:18:31Z ~2026-25685-25 43054 /* Jenis mean */ 115071 wikitext text/x-wiki == Distribusi == Ada tujuh jenis distribusi yaitu: # Distribusi seragam ## Fungsi: f(x,k) = <math>\frac{1}{k}</math> untuk x=x₁,x₂,x₃, ……,x_k # Distribusi Bernoulli ## Fungsi: P(x=1) = p dan P(x=0) = 1-p untuk x=0,1 ## Nilai harapan: E(x)=p # Distribusi binomial ## Fungsi: f(x;n,p) = (<math>^n_x</math>) p^xq^n-x untuk x=0,1,2,3,4, ….,n ## Nilai harapan: E(x)=np contoh soal: # Pada pelemparan sebuah koin sebanyak empat kali. Berapa peluang muncul sisi dua gambar koin? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 4, x = 2, p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,4,\frac{1}{2}) &= (^4_2) (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{4-2} \\ &= (^4_2) (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \\ &= \frac{4!}{2!(4-2)!} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{4!}{2!2!} \frac{1}{16} \\ &= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2 \cdot 1} \frac{1}{16} \\ &= 6 \frac{1}{16} \\ &= \frac{3}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : jumlah seluruh sebuah koin muncul: 2⁴ = 16 : muncul sisi dua gambar: GGAA, GAGA, GAAG, AGGA, AGAG, AAGG. jadi munculnya 6 : P(x=2G) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}</math> # Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak empat kali. Berapa peluang: ## mata dadu 1 muncul satu kali? ## kelipatan 3 muncul dua kali? ## mata dadu 3 muncul paling sedikit tiga kali? ## mata dadu 4 atau 6 muncul empat kali? ## ganjil muncul dua kali dan mata dadu 2 atau 5 muncul empat kali? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * n = 4, x = 1, p = \frac{1}{6}, q = \frac{5}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(1,4,\frac{1}{6}) &= (^4_1) (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{4-1} \\ &= (^4_1) (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^3 \\ &= \frac{4!}{1!(4-1)!} \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} \\ &= \frac{4!}{1!3!} \cdot \frac{125}{1296} \\ &= 4 \cdot \frac{125}{1296} \\ &= \frac{125}{324} \\ * n = 4, x = 2, p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,4,\frac{1}{3}) &= (^4_2) (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^{4-2} \\ &= (^4_2) (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^2 \\ &= \frac{4!}{2!(4-2)!} \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{4}{81} \\ &= 6 \cdot \frac{4}{81} \\ &= \frac{24}{81} \\ * \text{muncul 3 kali } \\ n = 4, x = 3, p = \frac{1}{6}, q = \frac{5}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(3,4,\frac{1}{6}) &= (^4_3) (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{4-3} \\ &= (^4_3) (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^1 \\ &= \frac{4!}{3!(4-3)!} \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} \\ &= \frac{4!}{3!1!} \cdot \frac{5}{1296} \\ &= 4 \cdot \frac{5}{1296} \\ &= \frac{20}{2196} \\ \text{muncul 4 kali } \\ n = 4, x = 4, p = \frac{1}{6}, q = \frac{5}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(4,4,\frac{1}{6}) &= (^4_4) (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{4-4} \\ &= (^4_4) (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^0 \\ &= \frac{4!}{4!(4-4)!} \frac{1}{1296} \\ &= \frac{4!}{4!0!} \cdot \frac{1}{1296} \\ &= \frac{1}{1296} \\ \text{total } = \frac{20}{1296}+\frac{1}{1296} = \frac{21}{1296} \\ * n = 4, x = 4, p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(4,4,\frac{1}{3}) &= (^4_4) (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{4-4} \\ &= (^4_4) (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^0 \\ &= \frac{4!}{4!(4-4)!} \frac{1}{81} \\ &= \frac{4!}{4!0!} \cdot \frac{1}{81} \\ &= \frac{1}{81} \\ * \text{ganjil muncul 2 kali } \\ n = 4, x = 2, p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,4,\frac{1}{3}) &= (^4_2) (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{4-2} \\ &= (^4_2) (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \\ &= \frac{4!}{2!(4-2)!} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{1}{16} \\ &= 6 \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{3}{8} \\ \text{mata dadu 2 atau 5 muncul 4 kali } \\ n = 4, x = 4, p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(4,4,\frac{1}{3}) &= (^4_4) (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{4-4} \\ &= (^4_4) (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^0 \\ &= \frac{4!}{4!(4-4)!} \frac{1}{81} \\ &= \frac{4!}{4!0!} \cdot \frac{1}{81} \\ &= \frac{1}{81} \\ \text{total } = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{81} = \frac{3}{648} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : mata dadu 1 muncul 1 kali : p=1/6 dan q=5/6 : beberapa kemungkinan yaitu 1/6.5/6.5/6.5/6 + 5/6.1/6.5/6.5/6 + 5/6.5/6.1/6.5/6 + 5/6.5/6.5/6.1/6 = 125/2196 + 125/2196 + 125/2196 + 125/2196 = 500/1296 = 125/324 : P(x=1) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{125}{324}</math> : kelipatan 3 muncul 2 kali : p=1/3 dan q=2/3 : beberapa kemungkinan yaitu 1/3.1/3.2/3.2/3 + 1/3.2/3.1/3.2/3 + 1/3.2/3.2/3.1/3 + 2/3.1/3.1/3.2/3 + 2/3.1/3.2/3.1/3 + 2/3.2/3.1/3.1/3 = 4/81 + 4/81 + 4/81 + 4/81 + 4/81 + 4/81 = 24/81 : P(x=2) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{24}{81}</math> : mata dadu 3 muncul paling sedikit 3 kali : muncul paling sedikit 3 kali berarti 3 kali atau 4 kali : p=1/6 dan q=5/6 : untuk muncul 3 kali, beberapa kemungkinan yaitu 1/6.1/6.1/6.5/6 + 1/6.1/6.5/6.1/6 + 1/6.5/6.1/6.1/6 + 5/6.1/6.1/6.1/6 = 5/2196 + 5/2196 + 5/2196 + 5/2196 = 20/1296 = 5/324 : P(x=3) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{20}{1296}</math> : untuk muncul 4 kali, beberapa kemungkinan yaitu 1/6.1/6.1/6.1/6 = 1/1296 : P(x=4) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{1296}</math> : jadi P(x>=3) = P(x=3)+P(x=4) = <math>\frac{20}{1296}+\frac{1}{1296}=\frac{21}{1296}</math> : mata dadu 4 atau 6 muncul 4 kali : p=1/3 dan q=2/3 : beberapa kemungkinan yaitu 1/3.1/3.1/3.1/3 = 81 : P(x=4) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{81}</math> : ganjil muncul 2 kali dan mata dadu 2 atau 5 muncul 4 kali :: ganjil muncul 2 kali :: p=1/2 dan q=1/2 :: beberapa kemungkinan yaitu (1/2).(1/2).2/3.2/3 + (1/2).1/2.(1/2).1/2 + (1/2).1/2.1/2.(1/2) + 1/2.(1/2).(1/2).1/2 + 1/2.(1/2).1/2.(1/2) + 1/2.1/2.(1/2).(1/2) = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 6/16 = 3/8 :: P(x=2) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}</math> :: mata dadu 2 atau 5 muncul 4 kali :: p=1/3 dan q=2/3 :: beberapa kemungkinan yaitu 1/3.1/3.1/3.1/3 = 81 :: P(x=4) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{81}</math> :: irisan untuk pernyataan independen: P(x=2) . P(x=4) = <math>\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{81} = \frac{3}{648}</math> # Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali. Berapa peluang muncul dua angka bilangan prima? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 2, x = 2, p = \frac{3}{6}, q = \frac{3}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,2,\frac{3}{6}) &= (^2_2) (\frac{3}{6})^2 \cdot (\frac{3}{6})^{2-2} \\ &= (^2_2) (\frac{3}{6})^2 \cdot (\frac{3}{6})^0 \\ &= \frac{2!}{2!(2-2)!} \frac{3^2}{6^2} \\ &= \frac{2!}{2!0!} \frac{9}{36} \\ &= \frac{9}{36} \\ &= \frac{1}{4} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : jumlah seluruh sebuah dadu muncul: 6² = 36 : muncul dua angka bilangan prima: (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5). jadi munculnya 9 : P(x=2P) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}</math> # Pasangan suami-istri memiliki lima anak. Berapa peluang mereka memiliki tiga anak laki-laki? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 5, x = 3, p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(3,5,\frac{1}{2}) &= (^5_3) (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^{5-3} \\ &= (^5_3) (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^2 \\ &= \frac{5!}{3!(5-3)!} \frac{1}{2^5} \\ &= \frac{5!}{3!2!} \frac{1}{32} \\ &= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} \frac{1}{32} \\ &= 10 \frac{1}{32} \\ &= \frac{5}{16} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : jumlah muncul lima anak: 2⁵ = 32 : muncul tiga anak laki-laki: (l,l,l,p,p), (l,l,p,l,p), (l,l,p,p,l), (l,p,l,l,p), (l,p,l,p,l), (l,p,p,l,l), (p,l,l,l,p), (p,l,l,p,l), (p,l,p,l,l), (p,p,l,l,l). jadi munculnya 10 : P(x=3L) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}</math> # Di dalam keranjang mangga terdapat 6 buah. Diambil 4 buah secara acak dan ternyata 2 buah busuk. Berapa peluang terambilnya 3 buah baik? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 4, x = 3, p = \frac{4}{6}, q = \frac{2}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(3,4,\frac{4}{6}) &= (^4_3) (\frac{4}{6})^3 \cdot (\frac{2}{6})^{4-3} \\ &= (^4_3) (\frac{4}{6})^3 \cdot (\frac{2}{6})^1 \\ &= \frac{4!}{3!(4-3)!} \frac{64}{216} \cdot \frac{2}{6} \\ &= \frac{4!}{3!1!} \frac{128}{1296} \\ &= \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} \frac{128}{1296} \\ &= 4 \frac{128}{1296} \\ &= \frac{512}{1296} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : jumlah muncul terambil empat buah: <math>C^6_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} = 15</math> : muncul terambil 3 buah baik: <math>C^2_1 \cdot C^4_3 = \frac{2!}{1!1!} \cdot \frac{4!}{3!1!} = 2 \cdot 4 = 8</math> atau (b1,b2,b3,B1), (b1,b2,b4,B1), (b1,b3,b4,B1), (b2,b3,b4,B1), (b1,b2,b3,B2), (b1,b2,b4,B2), (b1,b3,b4,B2), (b2,b3,b4,B2) jadi munculnya 8 : P(x=3BB) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{8}{15}</math> # Setia melakukan latihan tendangan penalti sebanyak 3 kali. Peluang sukses melakukan tendangan penalti sebanyak 4/5. Tentukan peluang Setia mencetak tepat 2 gol? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 3, x = 2, p = \frac{4}{5}, q = \frac{1}{5} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,3,\frac{4}{5}) &= (^3_2) (\frac{4}{5})^2 \cdot (\frac{3}{5})^{3-2} \\ &= (^3_2) (\frac{4}{5})^2 \cdot (\frac{1}{5})^1 \\ &= \frac{3!}{2!(3-2)!} \frac{16}{25} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \frac{3 \cdot 2!}{2!} \frac{16}{125} \\ &= 3 \frac{16}{125} \\ &= \frac{48}{125} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : p=4/5 dan q=1/5 : tepat 2 gol ada 3 kemungkinan adalah MMG, MGM, GMM (M=berhasil; G: gagal) : jadi P(x=2) = P(MMG) + P(MGM) + P(GMM) : = 4/5 x 4/5 x 1/5 + 4/5 x 1/5 x 4/5 + 1/5 x 4/5 x 4/5 = 16/125 + 16/125 + 16/125 = 48/125 # Peluang seorang penahan dapat menahan sasaran adalah 1/3. Dalam sebuah lomba penahanan setiap peserta diberi kesempatan memanah sebanyak 3 kali. Berapa peluang dua panah yang dilepaskan seorang atlet mengenai sasaran? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 3, x = 2, p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,3,\frac{1}{3}) &= (^3_2) (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^{3-2} \\ &= (^3_2) (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^1 \\ &= \frac{3!}{2!(3-2)!} \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{3 \cdot 2!}{2!} \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} \\ &= 3 \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{2}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : p=1/3 dan q=2/3 : tepat 2 panah ada 3 kemungkinan adalah MMG, MGM, GMM (M=berhasil; G: gagal) : jadi P(x=2) = P(MMG) + P(MGM) + P(GMM) : = 1/3 x 1/3 x 2/3 + 1/3 x 2/3 x 1/3 + 2/3 x 1/3 x 1/3 = 2/27 + 2/27 + 2/27 = 6/27 = 2/9 # Berdasarkan suatu survei kebersihan gigi diketahui 2 dari 5 orang beberapa bulan terakhir telah mengunjungi dokter gigi. Jika 12 orang dipilih secara acak, tentukan peluang 4 orang yang mengunjungi dokter dua bulan lalu! * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 12, x = 4, p = \frac{2}{5}, q = \frac{3}{5} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(4,12,\frac{2}{5}) &= (^{12}_4) (\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^{12-4} \\ &= (^{12}_4) (\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^8 \\ &= \frac{12!}{4!(12-4)!} \frac{2^4}{5^4} \cdot \frac{3^8}{5^8} \\ &= \frac{12!}{4!8!} \frac{2^4}{5^4} \cdot \frac{3^8}{5^8} \\ &= \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} \frac{2^4 \cdot 3^8}{5^{12}} \\ &= 495 \frac{2^4 \cdot 3^8}{5^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> # Distribusi normal ## Fungsi: f(x;<math>\sigma,\mu</math>) = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2</math> untuk <math>\infty<x<\infty</math> ## Nilai harapan: E(x)=<math>\mu</math> # Distribusi Possion ## Fungsi: f(x;<math>\mu</math>) = <math>\frac{e^{-\mu} \mu^{x}}{x!}</math> untuk x=0,1,2,3,4, …. ## Nilai harapan: E(x)=<math>\mu</math> # Distribusi geometrik ## Fungsi: f(x;p) = pq^x-1 untuk x=1,2,3,4, …. ## Nilai harapan: E(x)=<math>\frac{1}{p}</math> # Distribusi hipergeometrik ## Fungsi: f(x;N,n,k) = <math>\frac{(^k_x)(^{N-k}_{n-x})}{^N_n}</math> untuk x=0,1,2,3,4, ….,n ## Nilai harapan: E(x)=np dimana p=<math>\frac{k}{N}</math> == Regresi linear == [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7w0d9j09y1nol4okjrvz3fqbnuan63x 115074 115071 2026-04-28T03:22:38Z ~2026-25685-25 43054 /* Distribusi */ 115074 wikitext text/x-wiki == Distribusi == Ada tujuh jenis distribusi yaitu: # Distribusi seragam ## Fungsi: f(x,k) = <math>\frac{1}{k}</math> untuk x=x₁,x₂,x₃, ……,x_k # Distribusi Bernoulli ## Fungsi: P(x=1) = p dan P(x=0) = 1-p untuk x=0,1 ## Nilai harapan: E(x)=p # Distribusi binomial ## Fungsi: f(x;n,p) = (<math>^n_x</math>) p^xq^n-x untuk x=0,1,2,3,4, ….,n ## Nilai harapan: E(x)=np (rata-rata) dan E(x)=<math>\sqrt{npq}</math> (simpangan baku) contoh soal: # Pada pelemparan sebuah koin sebanyak empat kali. Berapa peluang muncul sisi dua gambar koin? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 4, x = 2, p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,4,\frac{1}{2}) &= (^4_2) (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{4-2} \\ &= (^4_2) (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \\ &= \frac{4!}{2!(4-2)!} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{4!}{2!2!} \frac{1}{16} \\ &= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2 \cdot 1} \frac{1}{16} \\ &= 6 \frac{1}{16} \\ &= \frac{3}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : jumlah seluruh sebuah koin muncul: 2⁴ = 16 : muncul sisi dua gambar: GGAA, GAGA, GAAG, AGGA, AGAG, AAGG. jadi munculnya 6 : P(x=2G) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}</math> # Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak empat kali. Berapa peluang: ## mata dadu 1 muncul satu kali? ## kelipatan 3 muncul dua kali? ## mata dadu 3 muncul paling sedikit tiga kali? ## mata dadu 4 atau 6 muncul empat kali? ## ganjil muncul dua kali dan mata dadu 2 atau 5 muncul empat kali? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * n = 4, x = 1, p = \frac{1}{6}, q = \frac{5}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(1,4,\frac{1}{6}) &= (^4_1) (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{4-1} \\ &= (^4_1) (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^3 \\ &= \frac{4!}{1!(4-1)!} \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} \\ &= \frac{4!}{1!3!} \cdot \frac{125}{1296} \\ &= 4 \cdot \frac{125}{1296} \\ &= \frac{125}{324} \\ * n = 4, x = 2, p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,4,\frac{1}{3}) &= (^4_2) (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^{4-2} \\ &= (^4_2) (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^2 \\ &= \frac{4!}{2!(4-2)!} \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{4}{81} \\ &= 6 \cdot \frac{4}{81} \\ &= \frac{24}{81} \\ * \text{muncul 3 kali } \\ n = 4, x = 3, p = \frac{1}{6}, q = \frac{5}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(3,4,\frac{1}{6}) &= (^4_3) (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{4-3} \\ &= (^4_3) (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^1 \\ &= \frac{4!}{3!(4-3)!} \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} \\ &= \frac{4!}{3!1!} \cdot \frac{5}{1296} \\ &= 4 \cdot \frac{5}{1296} \\ &= \frac{20}{2196} \\ \text{muncul 4 kali } \\ n = 4, x = 4, p = \frac{1}{6}, q = \frac{5}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(4,4,\frac{1}{6}) &= (^4_4) (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{4-4} \\ &= (^4_4) (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^0 \\ &= \frac{4!}{4!(4-4)!} \frac{1}{1296} \\ &= \frac{4!}{4!0!} \cdot \frac{1}{1296} \\ &= \frac{1}{1296} \\ \text{total } = \frac{20}{1296}+\frac{1}{1296} = \frac{21}{1296} \\ * n = 4, x = 4, p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(4,4,\frac{1}{3}) &= (^4_4) (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{4-4} \\ &= (^4_4) (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^0 \\ &= \frac{4!}{4!(4-4)!} \frac{1}{81} \\ &= \frac{4!}{4!0!} \cdot \frac{1}{81} \\ &= \frac{1}{81} \\ * \text{ganjil muncul 2 kali } \\ n = 4, x = 2, p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,4,\frac{1}{3}) &= (^4_2) (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{4-2} \\ &= (^4_2) (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \\ &= \frac{4!}{2!(4-2)!} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{1}{16} \\ &= 6 \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{3}{8} \\ \text{mata dadu 2 atau 5 muncul 4 kali } \\ n = 4, x = 4, p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(4,4,\frac{1}{3}) &= (^4_4) (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{4-4} \\ &= (^4_4) (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^0 \\ &= \frac{4!}{4!(4-4)!} \frac{1}{81} \\ &= \frac{4!}{4!0!} \cdot \frac{1}{81} \\ &= \frac{1}{81} \\ \text{total } = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{81} = \frac{3}{648} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : mata dadu 1 muncul 1 kali : p=1/6 dan q=5/6 : beberapa kemungkinan yaitu 1/6.5/6.5/6.5/6 + 5/6.1/6.5/6.5/6 + 5/6.5/6.1/6.5/6 + 5/6.5/6.5/6.1/6 = 125/2196 + 125/2196 + 125/2196 + 125/2196 = 500/1296 = 125/324 : P(x=1) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{125}{324}</math> : kelipatan 3 muncul 2 kali : p=1/3 dan q=2/3 : beberapa kemungkinan yaitu 1/3.1/3.2/3.2/3 + 1/3.2/3.1/3.2/3 + 1/3.2/3.2/3.1/3 + 2/3.1/3.1/3.2/3 + 2/3.1/3.2/3.1/3 + 2/3.2/3.1/3.1/3 = 4/81 + 4/81 + 4/81 + 4/81 + 4/81 + 4/81 = 24/81 : P(x=2) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{24}{81}</math> : mata dadu 3 muncul paling sedikit 3 kali : muncul paling sedikit 3 kali berarti 3 kali atau 4 kali : p=1/6 dan q=5/6 : untuk muncul 3 kali, beberapa kemungkinan yaitu 1/6.1/6.1/6.5/6 + 1/6.1/6.5/6.1/6 + 1/6.5/6.1/6.1/6 + 5/6.1/6.1/6.1/6 = 5/2196 + 5/2196 + 5/2196 + 5/2196 = 20/1296 = 5/324 : P(x=3) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{20}{1296}</math> : untuk muncul 4 kali, beberapa kemungkinan yaitu 1/6.1/6.1/6.1/6 = 1/1296 : P(x=4) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{1296}</math> : jadi P(x>=3) = P(x=3)+P(x=4) = <math>\frac{20}{1296}+\frac{1}{1296}=\frac{21}{1296}</math> : mata dadu 4 atau 6 muncul 4 kali : p=1/3 dan q=2/3 : beberapa kemungkinan yaitu 1/3.1/3.1/3.1/3 = 81 : P(x=4) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{81}</math> : ganjil muncul 2 kali dan mata dadu 2 atau 5 muncul 4 kali :: ganjil muncul 2 kali :: p=1/2 dan q=1/2 :: beberapa kemungkinan yaitu (1/2).(1/2).2/3.2/3 + (1/2).1/2.(1/2).1/2 + (1/2).1/2.1/2.(1/2) + 1/2.(1/2).(1/2).1/2 + 1/2.(1/2).1/2.(1/2) + 1/2.1/2.(1/2).(1/2) = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 6/16 = 3/8 :: P(x=2) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}</math> :: mata dadu 2 atau 5 muncul 4 kali :: p=1/3 dan q=2/3 :: beberapa kemungkinan yaitu 1/3.1/3.1/3.1/3 = 81 :: P(x=4) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{81}</math> :: irisan untuk pernyataan independen: P(x=2) . P(x=4) = <math>\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{81} = \frac{3}{648}</math> # Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali. Berapa peluang muncul dua angka bilangan prima? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 2, x = 2, p = \frac{3}{6}, q = \frac{3}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,2,\frac{3}{6}) &= (^2_2) (\frac{3}{6})^2 \cdot (\frac{3}{6})^{2-2} \\ &= (^2_2) (\frac{3}{6})^2 \cdot (\frac{3}{6})^0 \\ &= \frac{2!}{2!(2-2)!} \frac{3^2}{6^2} \\ &= \frac{2!}{2!0!} \frac{9}{36} \\ &= \frac{9}{36} \\ &= \frac{1}{4} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : jumlah seluruh sebuah dadu muncul: 6² = 36 : muncul dua angka bilangan prima: (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5). jadi munculnya 9 : P(x=2P) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}</math> # Pasangan suami-istri memiliki lima anak. Berapa peluang mereka memiliki tiga anak laki-laki? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 5, x = 3, p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(3,5,\frac{1}{2}) &= (^5_3) (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^{5-3} \\ &= (^5_3) (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^2 \\ &= \frac{5!}{3!(5-3)!} \frac{1}{2^5} \\ &= \frac{5!}{3!2!} \frac{1}{32} \\ &= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} \frac{1}{32} \\ &= 10 \frac{1}{32} \\ &= \frac{5}{16} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : jumlah muncul lima anak: 2⁵ = 32 : muncul tiga anak laki-laki: (l,l,l,p,p), (l,l,p,l,p), (l,l,p,p,l), (l,p,l,l,p), (l,p,l,p,l), (l,p,p,l,l), (p,l,l,l,p), (p,l,l,p,l), (p,l,p,l,l), (p,p,l,l,l). jadi munculnya 10 : P(x=3L) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}</math> # Di dalam keranjang mangga terdapat 6 buah. Diambil 4 buah secara acak dan ternyata 2 buah busuk. Berapa peluang terambilnya 3 buah baik? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 4, x = 3, p = \frac{4}{6}, q = \frac{2}{6} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(3,4,\frac{4}{6}) &= (^4_3) (\frac{4}{6})^3 \cdot (\frac{2}{6})^{4-3} \\ &= (^4_3) (\frac{4}{6})^3 \cdot (\frac{2}{6})^1 \\ &= \frac{4!}{3!(4-3)!} \frac{64}{216} \cdot \frac{2}{6} \\ &= \frac{4!}{3!1!} \frac{128}{1296} \\ &= \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} \frac{128}{1296} \\ &= 4 \frac{128}{1296} \\ &= \frac{512}{1296} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : jumlah muncul terambil empat buah: <math>C^6_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} = 15</math> : muncul terambil 3 buah baik: <math>C^2_1 \cdot C^4_3 = \frac{2!}{1!1!} \cdot \frac{4!}{3!1!} = 2 \cdot 4 = 8</math> atau (b1,b2,b3,B1), (b1,b2,b4,B1), (b1,b3,b4,B1), (b2,b3,b4,B1), (b1,b2,b3,B2), (b1,b2,b4,B2), (b1,b3,b4,B2), (b2,b3,b4,B2) jadi munculnya 8 : P(x=3BB) = <math>\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{8}{15}</math> # Setia melakukan latihan tendangan penalti sebanyak 3 kali. Peluang sukses melakukan tendangan penalti sebanyak 4/5. Tentukan peluang Setia mencetak tepat 2 gol? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 3, x = 2, p = \frac{4}{5}, q = \frac{1}{5} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,3,\frac{4}{5}) &= (^3_2) (\frac{4}{5})^2 \cdot (\frac{3}{5})^{3-2} \\ &= (^3_2) (\frac{4}{5})^2 \cdot (\frac{1}{5})^1 \\ &= \frac{3!}{2!(3-2)!} \frac{16}{25} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \frac{3 \cdot 2!}{2!} \frac{16}{125} \\ &= 3 \frac{16}{125} \\ &= \frac{48}{125} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : p=4/5 dan q=1/5 : tepat 2 gol ada 3 kemungkinan adalah MMG, MGM, GMM (M=berhasil; G: gagal) : jadi P(x=2) = P(MMG) + P(MGM) + P(GMM) : = 4/5 x 4/5 x 1/5 + 4/5 x 1/5 x 4/5 + 1/5 x 4/5 x 4/5 = 16/125 + 16/125 + 16/125 = 48/125 # Peluang seorang penahan dapat menahan sasaran adalah 1/3. Dalam sebuah lomba penahanan setiap peserta diberi kesempatan memanah sebanyak 3 kali. Berapa peluang dua panah yang dilepaskan seorang atlet mengenai sasaran? * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 3, x = 2, p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(2,3,\frac{1}{3}) &= (^3_2) (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^{3-2} \\ &= (^3_2) (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^1 \\ &= \frac{3!}{2!(3-2)!} \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{3 \cdot 2!}{2!} \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} \\ &= 3 \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{2}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> * cara 2 : p=1/3 dan q=2/3 : tepat 2 panah ada 3 kemungkinan adalah MMG, MGM, GMM (M=berhasil; G: gagal) : jadi P(x=2) = P(MMG) + P(MGM) + P(GMM) : = 1/3 x 1/3 x 2/3 + 1/3 x 2/3 x 1/3 + 2/3 x 1/3 x 1/3 = 2/27 + 2/27 + 2/27 = 6/27 = 2/9 # Berdasarkan suatu survei kebersihan gigi diketahui 2 dari 5 orang beberapa bulan terakhir telah mengunjungi dokter gigi. Jika 12 orang dipilih secara acak, tentukan peluang 4 orang yang mengunjungi dokter dua bulan lalu! * cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n = 12, x = 4, p = \frac{2}{5}, q = \frac{3}{5} \\ f(x;n,p) &= (^n_x) p^x \cdot q^{n-x} \\ f(4,12,\frac{2}{5}) &= (^{12}_4) (\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^{12-4} \\ &= (^{12}_4) (\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^8 \\ &= \frac{12!}{4!(12-4)!} \frac{2^4}{5^4} \cdot \frac{3^8}{5^8} \\ &= \frac{12!}{4!8!} \frac{2^4}{5^4} \cdot \frac{3^8}{5^8} \\ &= \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} \frac{2^4 \cdot 3^8}{5^{12}} \\ &= 495 \frac{2^4 \cdot 3^8}{5^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> # Distribusi normal ## Fungsi: f(x;<math>\sigma,\mu</math>) = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2</math> untuk <math>\infty<x<\infty</math> ## Nilai harapan: E(x)=<math>\mu</math> # Distribusi Possion ## Fungsi: f(x;<math>\mu</math>) = <math>\frac{e^{-\mu} \mu^{x}}{x!}</math> untuk x=0,1,2,3,4, …. ## Nilai harapan: E(x)=<math>\mu</math> # Distribusi geometrik ## Fungsi: f(x;p) = pq^x-1 untuk x=1,2,3,4, …. ## Nilai harapan: E(x)=<math>\frac{1}{p}</math> # Distribusi hipergeometrik ## Fungsi: f(x;N,n,k) = <math>\frac{(^k_x)(^{N-k}_{n-x})}{^N_n}</math> untuk x=0,1,2,3,4, ….,n ## Nilai harapan: E(x)=np dimana p=<math>\frac{k}{N}</math> == Regresi linear == [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 73bv8zfqov0ub4hr1biic7nhjeegg0y 2 25864 115067 112663 2026-04-27T13:16:58Z Pijri Paijar 36262 /* Proyek mini saya di Wikibuku */ 115067 wikitext text/x-wiki Hi, Saya Pijri dan saya tidak suka semangka. ''Pe Kuadrat'' adalah nama pena saya. == Proyek mini saya di Wikibuku == * [[Dan Bandung]] * [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya]] * [[Panduan Dzikir Pagi]] * Panduan Dzikir Sore * Di Balik Kabut Ciwidey: Alamendah dan Hasil Alamnya == Keterlibatan kegiatan proyek == {{peserta WikiCitaRasa}} 9g3hv121zt2cfz1efh9g2b7xbddas22 0 27223 115053 2026-04-27T13:02:26Z Pijri Paijar 36262 ←Membuat halaman berisi ''''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur.' 115053 wikitext text/x-wiki '''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur. 82n94k5cr2f0q277zh5qu4tohjbiib0 115054 115053 2026-04-27T13:03:01Z Pijri Paijar 36262 115054 wikitext text/x-wiki ''Buku dalam tahap pengembangan.'' '''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur. 3c8tlc5ioplntqxxk2yp3ky9hyw6jmx 115055 115054 2026-04-27T13:04:58Z Pijri Paijar 36262 115055 wikitext text/x-wiki ''Buku dalam tahap pengembangan.'' '''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur. == Sinopsis == Kehidupan tidak selalu tentang perayaan besar atau pencapaian yang megah. Sering kali, esensi dari menjadi manusia justru tersembunyi di dalam rutinitas yang kita anggap biasa: pada aroma kunyit dan santan yang menyeruak dari dapur, pada sapaan tetangga di pagi hari, atau pada keheningan di sela-sela kesibukan pekerjaan. "Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya" adalah sebuah antologi cerpen ''slice of life'' yang mengangkat potret keseharian menjadi cermin bagi jiwa. Melalui narasi yang jujur dan membumi, pembaca diajak mengikuti perjalanan tokoh-tokohnya dalam menghadapi dilema moral, pencarian jati diri, dan cara menemukan kebahagiaan di tengah keterbatasan. Setiap cerita dalam buku ini tidak hanya menawarkan pelarian, tetapi juga memberikan ruang untuk merenung. Dari meja makan hingga ruang tamu, dari interaksi sederhana di lingkungan sekitar hingga refleksi pribadi yang mendalam, antologi ini membuktikan bahwa pelajaran hidup yang paling bijaksana sering kali tersaji dalam kesederhanaan yang sering kita lewatkan. pf5298cdwmha9evvy8i5t9xwmpgr5sm 115056 115055 2026-04-27T13:05:13Z Pijri Paijar 36262 115056 wikitext text/x-wiki ''Buku dalam tahap pengembangan.'' '''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur. == Sinopsis == Kehidupan tidak selalu tentang perayaan besar atau pencapaian yang megah. Sering kali, esensi dari menjadi manusia justru tersembunyi di dalam rutinitas yang kita anggap biasa: pada aroma kunyit dan santan yang menyeruak dari dapur, pada sapaan tetangga di pagi hari, atau pada keheningan di sela-sela kesibukan pekerjaan. "Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya" adalah sebuah antologi cerpen ''slice of life'' yang mengangkat potret keseharian menjadi cermin bagi jiwa. Melalui narasi yang jujur dan membumi, pembaca diajak mengikuti perjalanan tokoh-tokohnya dalam menghadapi dilema moral, pencarian jati diri, dan cara menemukan kebahagiaan di tengah keterbatasan. Setiap cerita dalam buku ini tidak hanya menawarkan pelarian, tetapi juga memberikan ruang untuk merenung. Dari meja makan hingga ruang tamu, dari interaksi sederhana di lingkungan sekitar hingga refleksi pribadi yang mendalam, antologi ini membuktikan bahwa pelajaran hidup yang paling bijaksana sering kali tersaji dalam kesederhanaan yang sering kita lewatkan. == Daftar isi == 9qj7ankukivy0svruxloaqhv35c4v6l 115057 115056 2026-04-27T13:06:57Z Pijri Paijar 36262 /* Daftar isi */ 115057 wikitext text/x-wiki ''Buku dalam tahap pengembangan.'' '''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur. == Sinopsis == Kehidupan tidak selalu tentang perayaan besar atau pencapaian yang megah. Sering kali, esensi dari menjadi manusia justru tersembunyi di dalam rutinitas yang kita anggap biasa: pada aroma kunyit dan santan yang menyeruak dari dapur, pada sapaan tetangga di pagi hari, atau pada keheningan di sela-sela kesibukan pekerjaan. "Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya" adalah sebuah antologi cerpen ''slice of life'' yang mengangkat potret keseharian menjadi cermin bagi jiwa. Melalui narasi yang jujur dan membumi, pembaca diajak mengikuti perjalanan tokoh-tokohnya dalam menghadapi dilema moral, pencarian jati diri, dan cara menemukan kebahagiaan di tengah keterbatasan. Setiap cerita dalam buku ini tidak hanya menawarkan pelarian, tetapi juga memberikan ruang untuk merenung. Dari meja makan hingga ruang tamu, dari interaksi sederhana di lingkungan sekitar hingga refleksi pribadi yang mendalam, antologi ini membuktikan bahwa pelajaran hidup yang paling bijaksana sering kali tersaji dalam kesederhanaan yang sering kita lewatkan. == Daftar isi == == Daftar isi == {{div col|colwidth=20em}} # [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Mah, Aku Belum Makan Opor|Mah, Aku Belum Makan Opor]] {{div col end}} [[Kategori:Puisi]] [[Kategori:Sastra]] [[Kategori:Fiksi]] iivq89gj6nm5bv8jxdb06omqr6xmtys 115060 115057 2026-04-27T13:09:09Z Pijri Paijar 36262 /* Daftar isi */ 115060 wikitext text/x-wiki ''Buku dalam tahap pengembangan.'' '''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur. == Sinopsis == Kehidupan tidak selalu tentang perayaan besar atau pencapaian yang megah. Sering kali, esensi dari menjadi manusia justru tersembunyi di dalam rutinitas yang kita anggap biasa: pada aroma kunyit dan santan yang menyeruak dari dapur, pada sapaan tetangga di pagi hari, atau pada keheningan di sela-sela kesibukan pekerjaan. "Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya" adalah sebuah antologi cerpen ''slice of life'' yang mengangkat potret keseharian menjadi cermin bagi jiwa. Melalui narasi yang jujur dan membumi, pembaca diajak mengikuti perjalanan tokoh-tokohnya dalam menghadapi dilema moral, pencarian jati diri, dan cara menemukan kebahagiaan di tengah keterbatasan. Setiap cerita dalam buku ini tidak hanya menawarkan pelarian, tetapi juga memberikan ruang untuk merenung. Dari meja makan hingga ruang tamu, dari interaksi sederhana di lingkungan sekitar hingga refleksi pribadi yang mendalam, antologi ini membuktikan bahwa pelajaran hidup yang paling bijaksana sering kali tersaji dalam kesederhanaan yang sering kita lewatkan. == Daftar isi == {{div col|colwidth=20em}} # [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Mah, Aku Belum Makan Opor|Mah, Aku Belum Makan Opor]] {{div col end}} [[Kategori:Puisi]] [[Kategori:Sastra]] [[Kategori:Fiksi]] eyqlidv83ji7746v9x4b4uxwhz281xf 115061 115060 2026-04-27T13:09:27Z Pijri Paijar 36262 removed [[Category:Puisi]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 115061 wikitext text/x-wiki ''Buku dalam tahap pengembangan.'' '''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur. == Sinopsis == Kehidupan tidak selalu tentang perayaan besar atau pencapaian yang megah. Sering kali, esensi dari menjadi manusia justru tersembunyi di dalam rutinitas yang kita anggap biasa: pada aroma kunyit dan santan yang menyeruak dari dapur, pada sapaan tetangga di pagi hari, atau pada keheningan di sela-sela kesibukan pekerjaan. "Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya" adalah sebuah antologi cerpen ''slice of life'' yang mengangkat potret keseharian menjadi cermin bagi jiwa. Melalui narasi yang jujur dan membumi, pembaca diajak mengikuti perjalanan tokoh-tokohnya dalam menghadapi dilema moral, pencarian jati diri, dan cara menemukan kebahagiaan di tengah keterbatasan. Setiap cerita dalam buku ini tidak hanya menawarkan pelarian, tetapi juga memberikan ruang untuk merenung. Dari meja makan hingga ruang tamu, dari interaksi sederhana di lingkungan sekitar hingga refleksi pribadi yang mendalam, antologi ini membuktikan bahwa pelajaran hidup yang paling bijaksana sering kali tersaji dalam kesederhanaan yang sering kita lewatkan. == Daftar isi == {{div col|colwidth=20em}} # [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Mah, Aku Belum Makan Opor|Mah, Aku Belum Makan Opor]] {{div col end}} [[Kategori:Sastra]] [[Kategori:Fiksi]] 1o3vt5h58q5g96zpcv7cpwsjeqbhyxb 115062 115061 2026-04-27T13:09:38Z Pijri Paijar 36262 added [[Category:Cerpen]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 115062 wikitext text/x-wiki ''Buku dalam tahap pengembangan.'' '''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur. == Sinopsis == Kehidupan tidak selalu tentang perayaan besar atau pencapaian yang megah. Sering kali, esensi dari menjadi manusia justru tersembunyi di dalam rutinitas yang kita anggap biasa: pada aroma kunyit dan santan yang menyeruak dari dapur, pada sapaan tetangga di pagi hari, atau pada keheningan di sela-sela kesibukan pekerjaan. "Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya" adalah sebuah antologi cerpen ''slice of life'' yang mengangkat potret keseharian menjadi cermin bagi jiwa. Melalui narasi yang jujur dan membumi, pembaca diajak mengikuti perjalanan tokoh-tokohnya dalam menghadapi dilema moral, pencarian jati diri, dan cara menemukan kebahagiaan di tengah keterbatasan. Setiap cerita dalam buku ini tidak hanya menawarkan pelarian, tetapi juga memberikan ruang untuk merenung. Dari meja makan hingga ruang tamu, dari interaksi sederhana di lingkungan sekitar hingga refleksi pribadi yang mendalam, antologi ini membuktikan bahwa pelajaran hidup yang paling bijaksana sering kali tersaji dalam kesederhanaan yang sering kita lewatkan. == Daftar isi == {{div col|colwidth=20em}} # [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Mah, Aku Belum Makan Opor|Mah, Aku Belum Makan Opor]] {{div col end}} [[Kategori:Sastra]] [[Kategori:Fiksi]] [[Kategori:Cerpen]] e1fajk0zld877o0y2k57v1vlv12yftg 0 27224 115058 2026-04-27T13:07:58Z Pijri Paijar 36262 ←Membuat halaman berisi 'Matahari belum sepenuhnya naik di ufuk timur Jakarta, namun aspal di ruas Tol Cikampek Utama sudah mulai memancarkan hawa panas yang beradu dengan sisa embun pagi. Bagi sebagian besar orang, hari ini adalah puncak kemenangan—suara takbir masih menggema pelan dari pelantang suara masjid-masjid di kejauhan, aroma ketupat mulai memenuhi ruang tamu, dan pelukan hangat keluarga menjadi menu utama. Namun bagi Arini, hari ini adalah tentang kabel XLR yang melilit, ba...' 115058 wikitext text/x-wiki Matahari belum sepenuhnya naik di ufuk timur Jakarta, namun aspal di ruas Tol Cikampek Utama sudah mulai memancarkan hawa panas yang beradu dengan sisa embun pagi. Bagi sebagian besar orang, hari ini adalah puncak kemenangan—suara takbir masih menggema pelan dari pelantang suara masjid-masjid di kejauhan, aroma ketupat mulai memenuhi ruang tamu, dan pelukan hangat keluarga menjadi menu utama. Namun bagi Arini, hari ini adalah tentang kabel XLR yang melilit, baterai kamera yang harus selalu terisi penuh, dan layar monitor kecil yang menampilkan wajahnya sendiri dengan riasan tipis namun tegas. Arini adalah seorang jurnalis lapangan di kanal berita nasional "Warta Indonesia". Sudah tiga tahun berturut-turut ia tidak mencicipi shalat Id di kampung halamannya, Kebumen. Tahun ini pun sama. Ia berdiri di atas flyover yang menghadap langsung ke arah gerbang tol, ditemani oleh Jaka, kameramen setianya yang sedang sibuk mengelap lensa akibat debu jalanan. "Rin, siap ya? Tiga menit lagi kita masuk segmen Breaking News," ujar Jaka tanpa menoleh, suaranya parau karena kurang tidur. Arini menarik napas panjang, merapikan kerah kemeja birunya yang berlogo perusahaan. Ia mengecek earpiece yang terpasang di telinga kanannya. "Masuk, Jak. Suara produser jelas banget di sini. Dia bilang durasi kita agak panjang karena ada spot kosong dari kontributor daerah yang kendala sinyal." Arini memegang mikrofonnya erat-erat. Di bawah sana, arus lalu lintas terlihat lengang namun konsisten. Berbeda dengan hari-hari sebelumnya yang padat merayap, hari H Idul Fitri justru menyisakan ruang bagi mereka yang melakukan perjalanan silaturahmi jarak dekat. "Oke, Arini. In three, two, one... Action!" Suara Jaka memberi aba-aba. qaw3qctu393fmx8my6lzxj6i4gp13er 115059 115058 2026-04-27T13:08:37Z Pijri Paijar 36262 115059 wikitext text/x-wiki Matahari belum sepenuhnya naik di ufuk timur Jakarta, namun aspal di ruas Tol Cikampek Utama sudah mulai memancarkan hawa panas yang beradu dengan sisa embun pagi. Bagi sebagian besar orang, hari ini adalah puncak kemenangan—suara takbir masih menggema pelan dari pelantang suara masjid-masjid di kejauhan, aroma ketupat mulai memenuhi ruang tamu, dan pelukan hangat keluarga menjadi menu utama. Namun bagi Arini, hari ini adalah tentang kabel XLR yang melilit, baterai kamera yang harus selalu terisi penuh, dan layar monitor kecil yang menampilkan wajahnya sendiri dengan riasan tipis namun tegas. Arini adalah seorang jurnalis lapangan di kanal berita nasional "Warta Indonesia". Sudah tiga tahun berturut-turut ia tidak mencicipi shalat Id di kampung halamannya, Kebumen. Tahun ini pun sama. Ia berdiri di atas flyover yang menghadap langsung ke arah gerbang tol, ditemani oleh Jaka, kameramen setianya yang sedang sibuk mengelap lensa akibat debu jalanan. "Rin, siap ya? Tiga menit lagi kita masuk segmen Breaking News," ujar Jaka tanpa menoleh, suaranya parau karena kurang tidur. Arini menarik napas panjang, merapikan kerah kemeja birunya yang berlogo perusahaan. Ia mengecek earpiece yang terpasang di telinga kanannya. "Masuk, Jak. Suara produser jelas banget di sini. Dia bilang durasi kita agak panjang karena ada spot kosong dari kontributor daerah yang kendala sinyal." Arini memegang mikrofonnya erat-erat. Di bawah sana, arus lalu lintas terlihat lengang namun konsisten. Berbeda dengan hari-hari sebelumnya yang padat merayap, hari H Idul Fitri justru menyisakan ruang bagi mereka yang melakukan perjalanan silaturahmi jarak dekat. ''"Oke, Arini. In three, two, one... Action!"'' Suara Jaka memberi aba-aba. 0wm6u76uns9xgasv7pzi3w45b7c2f8v 115063 115059 2026-04-27T13:11:36Z Pijri Paijar 36262 115063 wikitext text/x-wiki Matahari belum sepenuhnya naik di ufuk timur Jakarta, namun aspal di ruas Tol Cikampek Utama sudah mulai memancarkan hawa panas yang beradu dengan sisa embun pagi. Bagi sebagian besar orang, hari ini adalah puncak kemenangan—suara takbir masih menggema pelan dari pelantang suara masjid-masjid di kejauhan, aroma ketupat mulai memenuhi ruang tamu, dan pelukan hangat keluarga menjadi menu utama. Namun bagi Arini, hari ini adalah tentang kabel XLR yang melilit, baterai kamera yang harus selalu terisi penuh, dan layar monitor kecil yang menampilkan wajahnya sendiri dengan riasan tipis namun tegas. Arini adalah seorang jurnalis lapangan di kanal berita nasional "Warta Indonesia". Sudah tiga tahun berturut-turut ia tidak mencicipi shalat Id di kampung halamannya, Kebumen. Tahun ini pun sama. Ia berdiri di atas flyover yang menghadap langsung ke arah gerbang tol, ditemani oleh Jaka, kameramen setianya yang sedang sibuk mengelap lensa akibat debu jalanan. "Rin, siap ya? Tiga menit lagi kita masuk segmen Breaking News," ujar Jaka tanpa menoleh, suaranya parau karena kurang tidur. Arini menarik napas panjang, merapikan kerah kemeja birunya yang berlogo perusahaan. Ia mengecek earpiece yang terpasang di telinga kanannya. "Masuk, Jak. Suara produser jelas banget di sini. Dia bilang durasi kita agak panjang karena ada spot kosong dari kontributor daerah yang kendala sinyal." Arini memegang mikrofonnya erat-erat. Di bawah sana, arus lalu lintas terlihat lengang namun konsisten. Berbeda dengan hari-hari sebelumnya yang padat merayap, hari H Idul Fitri justru menyisakan ruang bagi mereka yang melakukan perjalanan silaturahmi jarak dekat. ''"Oke, Arini. In three, two, one... Action!"'' Suara Jaka memberi aba-aba.= === Siaran Langsung di Tengah Sepi === "Selamat pagi pemirsa, selamat merayakan Hari Raya Idul Fitri 1 Syawal bagi Anda yang merayakan. Saya Arini Kusuma melaporkan langsung dari kawasan Gerbang Tol Cikampek Utama. Seperti yang bisa Anda saksikan di belakang saya, arus lalu lintas pada pagi hari ini terpantau ramai lancar..." Suara Arini mengalir profesional. Ia membedah data volume kendaraan, memberikan imbauan tentang keselamatan berkendara, hingga menginformasikan titik-titik peristirahatan yang masih tersedia. Namun, di balik kefasihan bicaranya, perut Arini bergejolak. Bukan karena lapar biasa, tapi karena aroma imajiner dari dapur ibunya di kampung. Di kepalanya, ia bisa melihat ibunya sedang sibuk menuangkan santan kental ke dalam kuali besar berisi potongan ayam kampung. Ia bisa mencium wangi daun salam, lengkuas, dan serai yang berpadu sempurna. Siaran itu berlangsung sekitar tujuh menit. Begitu kamera ''off'', Arini terduduk di pembatas jalan. "Capek, Rin?" tanya Jaka sambil meneguk air mineral. "Bukan capek, Jak. Cuma... ya gitu deh. Pas tadi nyebut 'Selamat Idul Fitri', rasanya ada yang nyangkut di tenggorokan," jawab Arini getir. "Sama. Anak gue tadi pagi nangis pas gue pamit berangkat. Dia pikir hari ini ayahnya libur buat main layangan," Jaka terkekeh, meski matanya menyiratkan kelelahan yang sama. f416vzn8lh5w4ylgn6tairsm4h4rsy6 115064 115063 2026-04-27T13:12:40Z Pijri Paijar 36262 115064 wikitext text/x-wiki Matahari belum sepenuhnya naik di ufuk timur Jakarta, namun aspal di ruas Tol Cikampek Utama sudah mulai memancarkan hawa panas yang beradu dengan sisa embun pagi. Bagi sebagian besar orang, hari ini adalah puncak kemenangan—suara takbir masih menggema pelan dari pelantang suara masjid-masjid di kejauhan, aroma ketupat mulai memenuhi ruang tamu, dan pelukan hangat keluarga menjadi menu utama. Namun bagi Arini, hari ini adalah tentang kabel XLR yang melilit, baterai kamera yang harus selalu terisi penuh, dan layar monitor kecil yang menampilkan wajahnya sendiri dengan riasan tipis namun tegas. Arini adalah seorang jurnalis lapangan di kanal berita nasional "Warta Indonesia". Sudah tiga tahun berturut-turut ia tidak mencicipi shalat Id di kampung halamannya, Kebumen. Tahun ini pun sama. Ia berdiri di atas flyover yang menghadap langsung ke arah gerbang tol, ditemani oleh Jaka, kameramen setianya yang sedang sibuk mengelap lensa akibat debu jalanan. "Rin, siap ya? Tiga menit lagi kita masuk segmen Breaking News," ujar Jaka tanpa menoleh, suaranya parau karena kurang tidur. Arini menarik napas panjang, merapikan kerah kemeja birunya yang berlogo perusahaan. Ia mengecek earpiece yang terpasang di telinga kanannya. "Masuk, Jak. Suara produser jelas banget di sini. Dia bilang durasi kita agak panjang karena ada spot kosong dari kontributor daerah yang kendala sinyal." Arini memegang mikrofonnya erat-erat. Di bawah sana, arus lalu lintas terlihat lengang namun konsisten. Berbeda dengan hari-hari sebelumnya yang padat merayap, hari H Idul Fitri justru menyisakan ruang bagi mereka yang melakukan perjalanan silaturahmi jarak dekat. ''"Oke, Arini. In three, two, one... Action!"'' Suara Jaka memberi aba-aba.= === Siaran Langsung di Tengah Sepi === "Selamat pagi pemirsa, selamat merayakan Hari Raya Idul Fitri 1 Syawal bagi Anda yang merayakan. Saya Arini Kusuma melaporkan langsung dari kawasan Gerbang Tol Cikampek Utama. Seperti yang bisa Anda saksikan di belakang saya, arus lalu lintas pada pagi hari ini terpantau ramai lancar..." Suara Arini mengalir profesional. Ia membedah data volume kendaraan, memberikan imbauan tentang keselamatan berkendara, hingga menginformasikan titik-titik peristirahatan yang masih tersedia. Namun, di balik kefasihan bicaranya, perut Arini bergejolak. Bukan karena lapar biasa, tapi karena aroma imajiner dari dapur ibunya di kampung. Di kepalanya, ia bisa melihat ibunya sedang sibuk menuangkan santan kental ke dalam kuali besar berisi potongan ayam kampung. Ia bisa mencium wangi daun salam, lengkuas, dan serai yang berpadu sempurna. Siaran itu berlangsung sekitar tujuh menit. Begitu kamera ''off'', Arini terduduk di pembatas jalan. "Capek, Rin?" tanya Jaka sambil meneguk air mineral. "Bukan capek, Jak. Cuma... ya gitu deh. Pas tadi nyebut 'Selamat Idul Fitri', rasanya ada yang nyangkut di tenggorokan," jawab Arini getir. "Sama. Anak gue tadi pagi nangis pas gue pamit berangkat. Dia pikir hari ini ayahnya libur buat main layangan," Jaka terkekeh, meski matanya menyiratkan kelelahan yang sama. === Misi Mencari "Opor" Darurat === Siang hari, cuaca semakin menyengat. Arini dan Jaka berpindah lokasi ke area peristirahatan (''rest area'') kilometer 57. Tugas mereka adalah mewawancarai pemudik lokal atau mereka yang baru sempat pulang di hari H. Suasana di ''rest area'' sangat kontras dengan jalanan. Di sini, keluarga-keluarga berkumpul di atas tikar yang digelar di selasar masjid atau di samping mobil mereka. Mereka membuka rantang plastik berisi ketupat, rendang, dan tentu saja: opor ayam. Arini berjalan melewati deretan mobil dengan mikrofon di tangan, berusaha mencari narasumber. Namun, matanya terus melirik ke arah piring-piring plastik yang dipegang anak-anak kecil. Cairan kuning kental itu seolah melambai padanya. "Rin, fokus. Itu ada bapak-bapak lagi ganti ban, kayaknya bagus buat ditanya soal persiapan kendaraan," tegur Jaka. Arini mengangguk. Ia menjalankan tugasnya dengan baik. Ia mewawancarai pemudik tersebut, memberikan tips, dan menutup laporan dengan senyum paling manis yang bisa ia berikan di bawah suhu 34°C. Namun, saat istirahat makan siang, Arini hanya bisa menemukan sebuah minimarket yang stok makanan siap sajanya sudah habis diborong. Ia akhirnya duduk di pojokan ''rest area'' bersama Jaka, hanya dengan sebungkus mi instan cup dan sebotol teh kemasan. "Idul Fitri paling mewah ya begini, Jak," canda Arini sambil menusuk mi dengan garpu plastik. "Nikmatin aja. Yang penting kita masih bisa ngabarin orang kalau jalanan aman," sahut Jaka. Tiba-tiba, ponsel Arini bergetar. Sebuah panggilan video dari ibunya. Arini ragu untuk mengangkatnya. Ia tahu, kalau ia melihat wajah ibunya sekarang, benteng profesionalismenya akan runtuh. Tapi ini Idul Fitri. Ia tidak punya pilihan. "Halo, Mah?" Arini berusaha ceria. Di layar ponsel, tampak wajah ibunya yang sudah berkerut, mengenakan mukena putih yang tampak bersih. Di belakangnya, kakak-kakak Arini dan keponakannya sedang duduk melingkari meja makan yang penuh makanan. "Arini! Ya Allah, anakku. Kamu sudah makan? Tadi Ibu lihat kamu di TV sebentar, tapi terus layarnya pindah ke berita di pelabuhan. Kamu kurusan ya, Rin?" Suara ibunya adalah musik paling menyakitkan sekaligus paling menenangkan. "Arini sudah makan kok, Mah. Ini lagi istirahat. Selamat Lebaran ya, Mah. Maafin Arini belum bisa pulang," ujar Arini, tenggorokannya mulai terasa panas. "Iya, Nduk. Ibu tahu tugas kamu penting. Ini, lihat, Kakakmu bawa kerupuk udang kesukaanmu. Ibu masakin opor ayam kampung yang paling empuk buat kamu sebenarnya, tapi ya... nanti kalau kamu pulang bulan depan, Ibu masakin lagi ya?" Arini hanya bisa mengangguk cepat sebelum air matanya jatuh. "Iya, Mah. Udah dulu ya, Arini harus liputan lagi. Salam buat semua." Ia mematikan sambungan itu dengan cepat. Ia menarik napas panjang, menatap langit-langit ''rest area'' yang berdebu. Jaka hanya diam, pura-pura sibuk memeriksa kabel. fdrkc1a74wdfzako3arn5bxxa0d30hp 115065 115064 2026-04-27T13:13:38Z Pijri Paijar 36262 115065 wikitext text/x-wiki Matahari belum sepenuhnya naik di ufuk timur Jakarta, namun aspal di ruas Tol Cikampek Utama sudah mulai memancarkan hawa panas yang beradu dengan sisa embun pagi. Bagi sebagian besar orang, hari ini adalah puncak kemenangan—suara takbir masih menggema pelan dari pelantang suara masjid-masjid di kejauhan, aroma ketupat mulai memenuhi ruang tamu, dan pelukan hangat keluarga menjadi menu utama. Namun bagi Arini, hari ini adalah tentang kabel XLR yang melilit, baterai kamera yang harus selalu terisi penuh, dan layar monitor kecil yang menampilkan wajahnya sendiri dengan riasan tipis namun tegas. Arini adalah seorang jurnalis lapangan di kanal berita nasional "Warta Indonesia". Sudah tiga tahun berturut-turut ia tidak mencicipi shalat Id di kampung halamannya, Kebumen. Tahun ini pun sama. Ia berdiri di atas flyover yang menghadap langsung ke arah gerbang tol, ditemani oleh Jaka, kameramen setianya yang sedang sibuk mengelap lensa akibat debu jalanan. "Rin, siap ya? Tiga menit lagi kita masuk segmen Breaking News," ujar Jaka tanpa menoleh, suaranya parau karena kurang tidur. Arini menarik napas panjang, merapikan kerah kemeja birunya yang berlogo perusahaan. Ia mengecek earpiece yang terpasang di telinga kanannya. "Masuk, Jak. Suara produser jelas banget di sini. Dia bilang durasi kita agak panjang karena ada spot kosong dari kontributor daerah yang kendala sinyal." Arini memegang mikrofonnya erat-erat. Di bawah sana, arus lalu lintas terlihat lengang namun konsisten. Berbeda dengan hari-hari sebelumnya yang padat merayap, hari H Idul Fitri justru menyisakan ruang bagi mereka yang melakukan perjalanan silaturahmi jarak dekat. ''"Oke, Arini. In three, two, one... Action!"'' Suara Jaka memberi aba-aba.= === Siaran Langsung di Tengah Sepi === "Selamat pagi pemirsa, selamat merayakan Hari Raya Idul Fitri 1 Syawal bagi Anda yang merayakan. Saya Arini Kusuma melaporkan langsung dari kawasan Gerbang Tol Cikampek Utama. Seperti yang bisa Anda saksikan di belakang saya, arus lalu lintas pada pagi hari ini terpantau ramai lancar..." Suara Arini mengalir profesional. Ia membedah data volume kendaraan, memberikan imbauan tentang keselamatan berkendara, hingga menginformasikan titik-titik peristirahatan yang masih tersedia. Namun, di balik kefasihan bicaranya, perut Arini bergejolak. Bukan karena lapar biasa, tapi karena aroma imajiner dari dapur ibunya di kampung. Di kepalanya, ia bisa melihat ibunya sedang sibuk menuangkan santan kental ke dalam kuali besar berisi potongan ayam kampung. Ia bisa mencium wangi daun salam, lengkuas, dan serai yang berpadu sempurna. Siaran itu berlangsung sekitar tujuh menit. Begitu kamera ''off'', Arini terduduk di pembatas jalan. "Capek, Rin?" tanya Jaka sambil meneguk air mineral. "Bukan capek, Jak. Cuma... ya gitu deh. Pas tadi nyebut 'Selamat Idul Fitri', rasanya ada yang nyangkut di tenggorokan," jawab Arini getir. "Sama. Anak gue tadi pagi nangis pas gue pamit berangkat. Dia pikir hari ini ayahnya libur buat main layangan," Jaka terkekeh, meski matanya menyiratkan kelelahan yang sama. === Misi Mencari "Opor" Darurat === Siang hari, cuaca semakin menyengat. Arini dan Jaka berpindah lokasi ke area peristirahatan (''rest area'') kilometer 57. Tugas mereka adalah mewawancarai pemudik lokal atau mereka yang baru sempat pulang di hari H. Suasana di ''rest area'' sangat kontras dengan jalanan. Di sini, keluarga-keluarga berkumpul di atas tikar yang digelar di selasar masjid atau di samping mobil mereka. Mereka membuka rantang plastik berisi ketupat, rendang, dan tentu saja: opor ayam. Arini berjalan melewati deretan mobil dengan mikrofon di tangan, berusaha mencari narasumber. Namun, matanya terus melirik ke arah piring-piring plastik yang dipegang anak-anak kecil. Cairan kuning kental itu seolah melambai padanya. "Rin, fokus. Itu ada bapak-bapak lagi ganti ban, kayaknya bagus buat ditanya soal persiapan kendaraan," tegur Jaka. Arini mengangguk. Ia menjalankan tugasnya dengan baik. Ia mewawancarai pemudik tersebut, memberikan tips, dan menutup laporan dengan senyum paling manis yang bisa ia berikan di bawah suhu 34°C. Namun, saat istirahat makan siang, Arini hanya bisa menemukan sebuah minimarket yang stok makanan siap sajanya sudah habis diborong. Ia akhirnya duduk di pojokan ''rest area'' bersama Jaka, hanya dengan sebungkus mi instan cup dan sebotol teh kemasan. "Idul Fitri paling mewah ya begini, Jak," canda Arini sambil menusuk mi dengan garpu plastik. "Nikmatin aja. Yang penting kita masih bisa ngabarin orang kalau jalanan aman," sahut Jaka. Tiba-tiba, ponsel Arini bergetar. Sebuah panggilan video dari ibunya. Arini ragu untuk mengangkatnya. Ia tahu, kalau ia melihat wajah ibunya sekarang, benteng profesionalismenya akan runtuh. Tapi ini Idul Fitri. Ia tidak punya pilihan. "Halo, Mah?" Arini berusaha ceria. Di layar ponsel, tampak wajah ibunya yang sudah berkerut, mengenakan mukena putih yang tampak bersih. Di belakangnya, kakak-kakak Arini dan keponakannya sedang duduk melingkari meja makan yang penuh makanan. "Arini! Ya Allah, anakku. Kamu sudah makan? Tadi Ibu lihat kamu di TV sebentar, tapi terus layarnya pindah ke berita di pelabuhan. Kamu kurusan ya, Rin?" Suara ibunya adalah musik paling menyakitkan sekaligus paling menenangkan. "Arini sudah makan kok, Mah. Ini lagi istirahat. Selamat Lebaran ya, Mah. Maafin Arini belum bisa pulang," ujar Arini, tenggorokannya mulai terasa panas. "Iya, Nduk. Ibu tahu tugas kamu penting. Ini, lihat, Kakakmu bawa kerupuk udang kesukaanmu. Ibu masakin opor ayam kampung yang paling empuk buat kamu sebenarnya, tapi ya... nanti kalau kamu pulang bulan depan, Ibu masakin lagi ya?" Arini hanya bisa mengangguk cepat sebelum air matanya jatuh. "Iya, Mah. Udah dulu ya, Arini harus liputan lagi. Salam buat semua." Ia mematikan sambungan itu dengan cepat. Ia menarik napas panjang, menatap langit-langit ''rest area'' yang berdebu. Jaka hanya diam, pura-pura sibuk memeriksa kabel. === Menutup Tugas dengan Pesan Hati === Sore hari tiba. Ini adalah tugas terakhir Arini sebelum ia diperbolehkan kembali ke kantor untuk proses ''editing'' dan pulang ke kosannya yang sepi. Produser di Jakarta meminta satu segmen penutup yang lebih santai, semacam "pesan-pesan dari lapangan". "Arini, kali ini kita buat lebih personal ya. Kamu kasih salam buat pemirsa, terus kasih sedikit pesan buat keluarga di rumah. Biar penonton ngerasa sisi humanis dari jurnalis yang bertugas," instruksi sang produser lewat ''earpiece''. Arini bersiap. Ia berdiri di spot terbaik, dengan latar belakang matahari terbenam yang membiaskan warna oranye di aspal jalanan yang mulai kembali ramai oleh warga lokal yang berjalan-jalan. "Oke, Arini. Tahan emosinya, tapi tetap tulus. ''Live in five, four, three, two...''" Arini menghadap kamera. "Pemirsa, seiring dengan terbenamnya matahari di hari pertama Idul Fitri ini, arus lalu lintas di sekitar Cikampek terpantau masih didominasi oleh kendaraan pribadi. Perjalanan mungkin terasa panjang, namun bagi Anda yang sedang menuju pelukan keluarga, setiap kilometer adalah doa yang terjawab." Ia terdiam sejenak, memberikan jeda dramatis yang alami. "Saya, Arini Kusuma, mewakili seluruh tim yang bertugas, mengucapkan selamat Hari Raya Idul Fitri. Mohon maaf lahir dan batin." Sesuai instruksi, ia tidak langsung menutup laporan. Ia melanjutkan dengan nada yang lebih rendah, lebih dekat. "Dan sebelum saya mengakhiri laporan ini, izinkan saya mengirimkan salam untuk keluarga saya di Kebumen. Mah, Mas, Mbak... maaf Arini nggak ada di sana buat bantu cuci piring habis makan besar. Terima kasih sudah mengerti pekerjaan Arini." Matanya mulai berkaca-kaca, namun ia tetap tersenyum. Kalimat terakhir meluncur begitu saja dari bibirnya, jujur dan tanpa skenario. "Mah... satu hal lagi. Aku belum makan opor. Sisain ya, Mah, atau nanti kalau Arini pulang, tolong panasin lagi yang paling banyak kuahnya. Arini kangen." Arini mengangguk ke arah kamera, tanda laporan berakhir. Jaka menurunkan kameranya. Suasana mendadak hening di sekitar mereka, hanya suara deru mesin mobil yang lewat. Di ''earpiece'', Arini mendengar suara produser yang biasanya galak kini terdengar lembut. "Bagus, Rin. Itu sangat menyentuh. Selesai. Kalian boleh balik ke Jakarta." jff3odplivoi11c84dauvcnujmwszr8 115066 115065 2026-04-27T13:14:09Z Pijri Paijar 36262 115066 wikitext text/x-wiki Matahari belum sepenuhnya naik di ufuk timur Jakarta, namun aspal di ruas Tol Cikampek Utama sudah mulai memancarkan hawa panas yang beradu dengan sisa embun pagi. Bagi sebagian besar orang, hari ini adalah puncak kemenangan—suara takbir masih menggema pelan dari pelantang suara masjid-masjid di kejauhan, aroma ketupat mulai memenuhi ruang tamu, dan pelukan hangat keluarga menjadi menu utama. Namun bagi Arini, hari ini adalah tentang kabel XLR yang melilit, baterai kamera yang harus selalu terisi penuh, dan layar monitor kecil yang menampilkan wajahnya sendiri dengan riasan tipis namun tegas. Arini adalah seorang jurnalis lapangan di kanal berita nasional "Warta Indonesia". Sudah tiga tahun berturut-turut ia tidak mencicipi shalat Id di kampung halamannya, Kebumen. Tahun ini pun sama. Ia berdiri di atas flyover yang menghadap langsung ke arah gerbang tol, ditemani oleh Jaka, kameramen setianya yang sedang sibuk mengelap lensa akibat debu jalanan. "Rin, siap ya? Tiga menit lagi kita masuk segmen Breaking News," ujar Jaka tanpa menoleh, suaranya parau karena kurang tidur. Arini menarik napas panjang, merapikan kerah kemeja birunya yang berlogo perusahaan. Ia mengecek earpiece yang terpasang di telinga kanannya. "Masuk, Jak. Suara produser jelas banget di sini. Dia bilang durasi kita agak panjang karena ada spot kosong dari kontributor daerah yang kendala sinyal." Arini memegang mikrofonnya erat-erat. Di bawah sana, arus lalu lintas terlihat lengang namun konsisten. Berbeda dengan hari-hari sebelumnya yang padat merayap, hari H Idul Fitri justru menyisakan ruang bagi mereka yang melakukan perjalanan silaturahmi jarak dekat. ''"Oke, Arini. In three, two, one... Action!"'' Suara Jaka memberi aba-aba.= === Siaran Langsung di Tengah Sepi === "Selamat pagi pemirsa, selamat merayakan Hari Raya Idul Fitri 1 Syawal bagi Anda yang merayakan. Saya Arini Kusuma melaporkan langsung dari kawasan Gerbang Tol Cikampek Utama. Seperti yang bisa Anda saksikan di belakang saya, arus lalu lintas pada pagi hari ini terpantau ramai lancar..." Suara Arini mengalir profesional. Ia membedah data volume kendaraan, memberikan imbauan tentang keselamatan berkendara, hingga menginformasikan titik-titik peristirahatan yang masih tersedia. Namun, di balik kefasihan bicaranya, perut Arini bergejolak. Bukan karena lapar biasa, tapi karena aroma imajiner dari dapur ibunya di kampung. Di kepalanya, ia bisa melihat ibunya sedang sibuk menuangkan santan kental ke dalam kuali besar berisi potongan ayam kampung. Ia bisa mencium wangi daun salam, lengkuas, dan serai yang berpadu sempurna. Siaran itu berlangsung sekitar tujuh menit. Begitu kamera ''off'', Arini terduduk di pembatas jalan. "Capek, Rin?" tanya Jaka sambil meneguk air mineral. "Bukan capek, Jak. Cuma... ya gitu deh. Pas tadi nyebut 'Selamat Idul Fitri', rasanya ada yang nyangkut di tenggorokan," jawab Arini getir. "Sama. Anak gue tadi pagi nangis pas gue pamit berangkat. Dia pikir hari ini ayahnya libur buat main layangan," Jaka terkekeh, meski matanya menyiratkan kelelahan yang sama. === Misi Mencari "Opor" Darurat === Siang hari, cuaca semakin menyengat. Arini dan Jaka berpindah lokasi ke area peristirahatan (''rest area'') kilometer 57. Tugas mereka adalah mewawancarai pemudik lokal atau mereka yang baru sempat pulang di hari H. Suasana di ''rest area'' sangat kontras dengan jalanan. Di sini, keluarga-keluarga berkumpul di atas tikar yang digelar di selasar masjid atau di samping mobil mereka. Mereka membuka rantang plastik berisi ketupat, rendang, dan tentu saja: opor ayam. Arini berjalan melewati deretan mobil dengan mikrofon di tangan, berusaha mencari narasumber. Namun, matanya terus melirik ke arah piring-piring plastik yang dipegang anak-anak kecil. Cairan kuning kental itu seolah melambai padanya. "Rin, fokus. Itu ada bapak-bapak lagi ganti ban, kayaknya bagus buat ditanya soal persiapan kendaraan," tegur Jaka. Arini mengangguk. Ia menjalankan tugasnya dengan baik. Ia mewawancarai pemudik tersebut, memberikan tips, dan menutup laporan dengan senyum paling manis yang bisa ia berikan di bawah suhu 34°C. Namun, saat istirahat makan siang, Arini hanya bisa menemukan sebuah minimarket yang stok makanan siap sajanya sudah habis diborong. Ia akhirnya duduk di pojokan ''rest area'' bersama Jaka, hanya dengan sebungkus mi instan cup dan sebotol teh kemasan. "Idul Fitri paling mewah ya begini, Jak," canda Arini sambil menusuk mi dengan garpu plastik. "Nikmatin aja. Yang penting kita masih bisa ngabarin orang kalau jalanan aman," sahut Jaka. Tiba-tiba, ponsel Arini bergetar. Sebuah panggilan video dari ibunya. Arini ragu untuk mengangkatnya. Ia tahu, kalau ia melihat wajah ibunya sekarang, benteng profesionalismenya akan runtuh. Tapi ini Idul Fitri. Ia tidak punya pilihan. "Halo, Mah?" Arini berusaha ceria. Di layar ponsel, tampak wajah ibunya yang sudah berkerut, mengenakan mukena putih yang tampak bersih. Di belakangnya, kakak-kakak Arini dan keponakannya sedang duduk melingkari meja makan yang penuh makanan. "Arini! Ya Allah, anakku. Kamu sudah makan? Tadi Ibu lihat kamu di TV sebentar, tapi terus layarnya pindah ke berita di pelabuhan. Kamu kurusan ya, Rin?" Suara ibunya adalah musik paling menyakitkan sekaligus paling menenangkan. "Arini sudah makan kok, Mah. Ini lagi istirahat. Selamat Lebaran ya, Mah. Maafin Arini belum bisa pulang," ujar Arini, tenggorokannya mulai terasa panas. "Iya, Nduk. Ibu tahu tugas kamu penting. Ini, lihat, Kakakmu bawa kerupuk udang kesukaanmu. Ibu masakin opor ayam kampung yang paling empuk buat kamu sebenarnya, tapi ya... nanti kalau kamu pulang bulan depan, Ibu masakin lagi ya?" Arini hanya bisa mengangguk cepat sebelum air matanya jatuh. "Iya, Mah. Udah dulu ya, Arini harus liputan lagi. Salam buat semua." Ia mematikan sambungan itu dengan cepat. Ia menarik napas panjang, menatap langit-langit ''rest area'' yang berdebu. Jaka hanya diam, pura-pura sibuk memeriksa kabel. === Menutup Tugas dengan Pesan Hati === Sore hari tiba. Ini adalah tugas terakhir Arini sebelum ia diperbolehkan kembali ke kantor untuk proses ''editing'' dan pulang ke kosannya yang sepi. Produser di Jakarta meminta satu segmen penutup yang lebih santai, semacam "pesan-pesan dari lapangan". "Arini, kali ini kita buat lebih personal ya. Kamu kasih salam buat pemirsa, terus kasih sedikit pesan buat keluarga di rumah. Biar penonton ngerasa sisi humanis dari jurnalis yang bertugas," instruksi sang produser lewat ''earpiece''. Arini bersiap. Ia berdiri di spot terbaik, dengan latar belakang matahari terbenam yang membiaskan warna oranye di aspal jalanan yang mulai kembali ramai oleh warga lokal yang berjalan-jalan. "Oke, Arini. Tahan emosinya, tapi tetap tulus. ''Live in five, four, three, two...''" Arini menghadap kamera. "Pemirsa, seiring dengan terbenamnya matahari di hari pertama Idul Fitri ini, arus lalu lintas di sekitar Cikampek terpantau masih didominasi oleh kendaraan pribadi. Perjalanan mungkin terasa panjang, namun bagi Anda yang sedang menuju pelukan keluarga, setiap kilometer adalah doa yang terjawab." Ia terdiam sejenak, memberikan jeda dramatis yang alami. "Saya, Arini Kusuma, mewakili seluruh tim yang bertugas, mengucapkan selamat Hari Raya Idul Fitri. Mohon maaf lahir dan batin." Sesuai instruksi, ia tidak langsung menutup laporan. Ia melanjutkan dengan nada yang lebih rendah, lebih dekat. "Dan sebelum saya mengakhiri laporan ini, izinkan saya mengirimkan salam untuk keluarga saya di Kebumen. Mah, Mas, Mbak... maaf Arini nggak ada di sana buat bantu cuci piring habis makan besar. Terima kasih sudah mengerti pekerjaan Arini." Matanya mulai berkaca-kaca, namun ia tetap tersenyum. Kalimat terakhir meluncur begitu saja dari bibirnya, jujur dan tanpa skenario. "Mah... satu hal lagi. Aku belum makan opor. Sisain ya, Mah, atau nanti kalau Arini pulang, tolong panasin lagi yang paling banyak kuahnya. Arini kangen." Arini mengangguk ke arah kamera, tanda laporan berakhir. Jaka menurunkan kameranya. Suasana mendadak hening di sekitar mereka, hanya suara deru mesin mobil yang lewat. Di ''earpiece'', Arini mendengar suara produser yang biasanya galak kini terdengar lembut. "Bagus, Rin. Itu sangat menyentuh. Selesai. Kalian boleh balik ke Jakarta." === Kejutan di Ujung Jalan === Perjalanan kembali ke Jakarta memakan waktu dua jam. Arini tertidur di mobil operasional, kelelahan menyedot seluruh energinya. Saat terbangun, mereka sudah sampai di depan gedung kantor. Saat Arini turun dari mobil, ia melihat seorang pria paruh baya yang merupakan petugas keamanan kantor mendekatinya sambil membawa sebuah kotak styrofoam besar yang dibungkus kain jarik. "Mbak Arini, ya?" tanya petugas itu. "Iya, Pak. Ada apa ya?" "Ini tadi ada kiriman lewat jasa pengiriman kilat khusus, katanya dari keluarga Mbak di daerah. Dikirim tadi pagi-pagi sekali pakai bus langganan yang sampai sore ini. Pesannya: harus sampai ke tangan Mbak Arini malam ini juga." Arini menerima kotak itu dengan tangan gemetar. Ia membukanya di kantin kantor yang sudah sepi. Di dalamnya terdapat sebuah panci kecil yang masih terasa hangat karena dibalut kain tebal. Di sampingnya ada bungkusan ketupat yang masih segar. Sebuah catatan kecil tertempel di atas tutup panci:<blockquote>''"Arini sayang, Ibu tahu kamu pasti kangen. Tadi pagi Ibu titip Pak Sopir bus yang biasa lewat depan rumah. Ibu sudah bilang sama dia, ini urusan 'negara', opor ini harus sampai buat wartawan hebat Ibu. Selamat makan ya, Nduk. Jangan nangis di depan kamera lagi, nanti bedakmu luntur."''</blockquote>Arini membuka tutup panci itu. Aroma kunyit, santan, dan cinta seketika meledak di udara. Di tengah kesunyian kantor dan dinginnya AC, Arini menyuapkan potongan ayam itu ke mulutnya. Rasanya persis seperti yang ia bayangkan di pinggir jalan tol tadi pagi. Ia tidak lagi merasa sendirian. Meski ia harus melaporkan kemacetan dunia, ia tahu ada satu jalan yang selalu lancar menuju hatinya: jalan pulang, yang kali ini datang kepadanya dalam bentuk sepiring opor ayam. Arini tersenyum, mengunyah perlahan, sambil menatap layar TV di kantin yang masih menayangkan wajahnya sendiri sedang berkata: ''"Mah, aku belum makan opor."'' "Sekarang udah makan, Mah," bisiknya lirih. n0pqujmemecgijwbanlz453zwtwpbr4