Kategori:Pelajaran

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.46.0-wmf.26</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Acara</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Pembicaraan Acara</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Kategori:Pelajaran</title>
    <ns>14</ns>
    <id>3796</id>
    <revision>
      <id>115089</id>
      <parentid>115052</parentid>
      <timestamp>2026-04-29T00:33:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25939-30</username>
        <id>43059</id>
      </contributor>
      <comment>ulangan nggh, materinya nilai, norma, sosialisasi, dan penyimpangan sosial,</comment>
      <origin>115089</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="75" sha1="kovihnmwdip7bdisc8xnlg6trpjgk32" xml:space="preserve">ulangan nggh, materinya nilai, norma, sosialisasi, dan penyimpangan sosial,</text>
      <sha1>kovihnmwdip7bdisc8xnlg6trpjgk32</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pembicaraan Pengguna:Alagos</title>
    <ns>3</ns>
    <id>4234</id>
    <revision>
      <id>115082</id>
      <parentid>113552</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T18:33:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>MediaWiki message delivery</username>
        <id>15529</id>
      </contributor>
      <comment>/* You may be an eligible candidate for the U4C election */ bagian baru</comment>
      <origin>115082</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25323" sha1="2bq4l45mmwcq7rexiuwg1uqysftdrq5" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;border:2px solid #f3e4f2; background-color:#ffffff; font-size:95%; margin-right:1em; margin-left :1em; margin-bottom : 1em; padding: 5px;&quot;&gt;

&lt;big&gt;'''Selamat datang, ''Alagos''!'''&lt;/big&gt;

Halo dan [[Wikibooks:Selamat datang|selamat datang]] di [[Wikibooks bahasa Indonesia]]!

'''[[Wikibooks:Perihal|Wikibooks]]''' adalah kumuplan buku yang isinya ditulis bersama-sama oleh para penggunanya dan disusun agar dapat dibaca dan disunting oleh siapa pun juga.

* Anda bisa mengucapkan selamat datang kepada pengguna lainnya di [[Wikibooks:Halaman perkenalan|Halaman perkenalan]]
* Pertanyaan, usulan, dan komentar tentang Wikibooks bahasa Indonesia bisa dilakukan di [[Wikibooks:Warung Kopi|Warung Kopi]]. Jangan lupa untuk menandatangani pesan anda, sehingga pengguna lain mengetahui siapa sang penulis pesan. Caranya: ketik &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; (empat kali tanda gelombang/tilde). 
* '''Baca dan pelajarilah terlebih dahulu kebijakan dan pedoman yang berlaku di Wikibooks bahasa Indonesia.'''
* Untuk bereksperimen, mencoba-coba, atau tes, lakukanlah di [[Wikibooks:Bak pasir|bak pasir]].
* Walaupun begitu perhatikan juga [[Wikibooks:Kesalahan umum di Wikibooks|hal-hal yang tidak boleh dilakukan di Wikibooks]].
* Untuk menulis profil atau sekilas informasi tentang anda, bisa dilakukan di [[Pengguna:Alagos]], sehingga pengguna lain bisa mengenal sedikit tentang anda.  

[[Pengguna:Kenrick95|Kenrick95]] 12:58, 8 Mei 2010 (UTC)
&lt;/div&gt;&lt;br/&gt;

== Gila... ==

Anda sekarang ditetapkan menjadi Warga Negara Wikibooks bahasa Indonesia (WNWBBI) atas ke''gila''an Anda tentang [[Mitologi Yunani]] di Wikibooks. [[Pengguna:Kenrick95|Kenrick95]] ([[:w:Pengguna:Kenrick95|w]]) ([[Pembicaraan Pengguna:Kenrick95|bicara]]) 11:06, 21 Juli 2010 (UTC)
:Katanya sudah bosan dan capek... Tapi kok tetap dilanjutin ? [[Pengguna:Kenrick95|Kenrick95]] ([[:w:Pengguna:Kenrick95|w]]) ([[Pembicaraan Pengguna:Kenrick95|bicara]]) 14:24, 5 Agustus 2010 (UTC)
::Wah... &quot;ketidaksengajaan&quot; Anda sudah melebihi batas &quot;sengaja&quot;... &lt;nowiki&gt;*bercanda* hahaha&lt;/nowiki&gt; [[Pengguna:Kenrick95|Kenrick95]] ([[:w:Pengguna:Kenrick95|w]]) ([[Pembicaraan Pengguna:Kenrick95|bicara]]) 15:43, 8 Agustus 2010 (UTC)
:::Bisakah Anda menambahkan kode &lt;pre&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;/pre&gt; di antara kode templat (di artikel Mitologi Yunani) ? Terima kasih. Contoh : [http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Mitologi_Yunani%2FPenciptaan_Dunia&amp;diff=15568&amp;oldid=14977] (biar di halaman [[Mitologi Yunani/Lengkap]] kelihatan bagus) '''·· [[Pengguna:Kenrick95|Kenric]][[Pembicaraan Pengguna:Kenrick95|k]]''' 15:53, 18 Agustus 2010 (UTC)

== Tes ==
Tes.. tes.. tes.. Masih hidupkah? Halo halo halo!!! SIP [[Pengguna:Ezagren|'''&lt;font face=&quot;Comic Sans MS&quot; color=&quot;blue&quot;&gt;Ezagren&lt;/font&gt;''']] [[Pembicaraan Pengguna:Ezagren|&lt;sup&gt;''&lt;font face=&quot;Tempus Sans ITC&quot; color=&quot;indigo&quot;&gt;&lt;big&gt;ﺒﻳﭽﺮﺍ&lt;/big&gt;&lt;/font&gt;''&lt;/sup&gt;]] 13:33, 29 Juli 2010 (UTC)

== [[:Templat:Mitologi Yunani]] ==
Sudah saya ubah templatnya. Silahkan dicek apakah ada yang salah, dan apakah masih ada yang kurang. Salam. [[Pengguna:Albertus Aditya|Albertus Aditya]] 12:55, 31 Januari 2011 (UTC)

== Kerajaan Serikat ==

Tidak salah nih? Bukannya artikel itu bukan lingkup Wikibooks? [[Pengguna:Bennylin|Bennylin]] 08:12, 12 April 2011 (UTC)
:Klo di sana itu masuk lingkup [[:en:books:Wikijunior]]:[[:en:books:Wikijunior:Europe|Europe]] atau artikel untuk anak-anak. Lagipula kenapa tidak ikut penamaan Wikipedia &quot;Britania Raya&quot;? [[Pengguna:Bennylin|Bennylin]] 14:46, 12 April 2011 (UTC)
::Aku pindahkan jadi [[Britania Raya]] ya. [[Pengguna:Bennylin|Bennylin]] 05:51, 23 April 2011 (UTC)

== Pengurus ==

Wikibooks membutuhkan orang-orang seperti Anda untuk menjaga, dan tidak hanya itu, tetapi juga aktif menambahi kontennya. Mengapa Anda tidak mencalonkan diri Anda menjadi pengurus Wikibooks? Kebetulan semua pengurus Wikibooks tampaknya tidak ada yang aktif, permohonan Anda pasti akan diterima baik oleh komunitas. Salam. [[Pengguna:Bennylin|Bennylin]] 16:03, 27 Juli 2011 (UTC)

== Bisa bantu ==

Bung Asep, bisa bantu saya di halaman [[Wikibooks:Pengumuman]]? Mengapa kotak yang saya buat jadi berantakan isinya, padahal saya hanya menyalin dari punya WBI? [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|talk]]) 26 Februari 2012 07.14 (UTC)
:Sudah, sudah benar. Terima kasih ya. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|talk]]) 26 Februari 2012 07.59 (UTC)

== BintangWiki ==

{{BintangWiki Wikibooks|Mantap! Anda pantas mendapatkan penghargaan ini! [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|talk]]) 3 Maret 2012 06.42 (UTC)}}

== Terima kasih ==

Bung Asep, terima kasih atas dukungan anda sehingga saya bisa menjadi pengurus! [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|talk]]) 11 Maret 2012 02.49 (UTC)

== Re:Aneh ==

Hmmm, saya juga kurang tahu masalah ini. Tadi saya sudah hapus 3 halaman yang anda buat, tapi jumlah halamannya tidak berkurang. Mungkin besok saya akan coba buat beberapa halaman baru, dan melihat apakah jumlah halamannya bertambah apa tidak. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|talk]]) 11 Maret 2012 14.47 (UTC)
:Yang angkanya tetap itu hanya halaman kontennya saja, atau jumlah halamannya juga? Untuk saat ini, sepertinya jumlah suntingan, pengguna, dan berkas masih benar (tambah terus). Saya coba tanyakan ke Bung Benny. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|talk]]) 12 Maret 2012 10.57 (UTC)

Mengenai masalah jumlah suntingan, hal ini juga sudah saya sampaikan ke bug 35169. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 20 Maret 2012 08.47 (UTC)

Sekarang saya merasa kok jumlah artikelnya bertambah sendiri ya? Sepertinya 2 hari yang lalu ketika pertama kali diaktifkan lagi, jumlah artikel masih 1277, masak sekarang sudah 1371, padahal hampir tidak ada artikel baru yang dibuat (saya hari ini baru buat 4 buah)??? [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 23 Maret 2012 02.11 (UTC)
:Sekarang jumlah artikelnya sudah naik lagi menjadi 1405. Yang menurut saya juga aneh adalah, mengapa jumlah suntingannya juga tidak kembali ke angka 29.000 ya? [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 23 Maret 2012 08.12 (UTC)

== Sepi ==

Mengapa ya wikibooks bahasa Indonesia ini sepi sekali? Sepertinya yang benar-benar aktif hanya kita berdua saja. Kemarin-kemarin kelihatannya masih ada Alfarq, Bennylin, A.R. Indra Tjahjani, dan Iskandar27 disini. Saya lagi cari cara bagaimana supaya beberapa pengguna wikipedia Indonesia bisa beralih kesini, ataupun menarik pengguna baru aktif disini. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 25 Maret 2012 12.19 (UTC)
:Saya juga sempat menarik beberapa teman saya untuk menulis (tapi masih untuk wikipedia, bukan wikibooks), tapi persoalannya bagi mereka adalah, apa yang mesti saya tulis katanya. Terus apa untungnya nulis di wiki. Itu yang masih menjadi permasalahan buat saya. Untuk mau menulis di wikipedia yang situs besar saja sulit, apalagi di situs kecil ini. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 25 Maret 2012 22.41 (UTC)
::Kalau penjelasan seperti itu yang diberikan, saya jamin tidak akan ada efek apa-apa, dapet hinaan malah iya. Paling mereka bilang: &quot;aneh banget sih nih orang&quot;, wkwkwk. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 26 Maret 2012 05.19 (UTC)
:::Beberapa orang teman saya ada yang aktif menulis di internet, bahkan di setiap kelas kita juga bikin blog. Tetapi, mereka-mereka ini juga terlihat enggan untuk berkontribusi lebih selain daripada itu. &lt;sub&gt;catatan tambahan: Jangan panggil saya '''pak'''! Saya seumuran, bahkan lebih muda dari anda!&lt;/sub&gt; [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 26 Maret 2012 06.30 (UTC)
::::Saya pikir cara itu terlalu aneh. Nanti dipikirnya: &quot;buat apa juga promosi wikibooks? Emang ''lu'' digaji berapa buat jadi ''sales''nya??&quot; Saat ini, cara yang lagi agaknya saya pikirkan adalah memperbaiki tampilan-tampilan halaman di wikibooks. Saya lagi punya ide bagaimana tampilan halaman-halaman di wikibooks kebih menarik, ada warnanya, judulnya juga tidak dibuat sama dengan wikipedia (standar begitu saja). Saya sudah coba di beberapa halaman, misalnya di [[Soal-Soal Fisika]] dan [[Kimia Organik]]. Cuma karena saya tidak ahli desain, jadinya masih kelihatan standar. Apakah anda ada ide lain? Sejauh ini baru itu saja pikiran saya. Kalau ide warna ini bagus, nanti bisa diterapkan ke halaman lainnya juga. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 26 Maret 2012 09.31 (UTC)
:::::Kelihatannya memang Kenrick yang jago dalam hal desain. Nanti kalau ada ide bagus akan coba saya tanyakan. &lt;sub&gt; Jangan panggil '''pak''' lagi!!! Saya tidak tua dan tidak mau terlihat tua!!!&lt;/sub&gt; [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 26 Maret 2012 13.05 (UTC)

::::Beberapa halaman buatan anda judulnya sudah saya perbaharui sesuai dengan desain dari Kenrick. Silahkan diubah-ubah lagi kalau kurang tertarik dengan warna atau tampilannya, yang penting ''dimohon'' untuk tidak dikembalikan ke versi standarnya lagi... [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 2 April 2012 12.36 (UTC)

== Jangan dibuatkan templat ==

Bung Alagos, untuk beberapa buku yang saya kembangkan (misalnya [[Soal-Soal Fisika]] dan [[Kimia Organik]], serta beberapa subjek pelajaran) serta beberapa buku lainnya, mohon jangan dibuatkan templatnya. Saya ingin konsep bukunya beda, bukan dengan templat, tapi dengan penunjuk sebelum dan selanjutnya, seperti di wikibooks bahasa Inggris, jadi terlihat lebih menarik. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 7 April 2012 16.52 (UTC)

== Sumber ==

Apakah seri Petarung Perkasa tidak perlu diberi sumber? (kecuali Anda tulis sendiri). Apakah nanti akan ada Pengawal Swiss/Swiss Pikemen serta Tentara Pengawal Gurkha? Saya menunggu kelanjutan serinya :) &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 8 April 2012 17.25 (UTC)

== Hadiah ==

{{BintangWiki Wikibooks|Bung Alagos, anda adalah segelintir orang yang ikut menghidupkan situs ini. Anda sangat pantas mendapat penghargaan. Terima kasih atas tulisannya! [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 30 Mei 2012 13.32 (UTC)}}

== Invitation ==
Apologies for writing in English.

Congratulations on being elected as an administrator for this project.

As an [[m:Administrator|Administrator]], you are allowed into [irc://irc.freenode.net/wikimedia-admin #wikimedia-admin], the cross-wiki coordination channel for Wikimedia administrators. 
Any member of the channel can invite you in temporarily, but you need an invite exemption from [[m:IRC channels#Crosswiki access coordination|a channel operator]] to get in whenever you want. Please come to [irc://irc.freenode.net/wikimedia #wikimedia] and ask for an invite.

Any admin from any project is welcome and it is a good place for cross-wiki coordination of vandal and spam fighting. 
It is also useful for new admins to contact more experienced admins in real-time to get help with the more complicated admin tasks such as history merges/splits and importing via [[m:Help:Import|Special:Import]].

;Please remember to translate the interface at [[betawiki:]] only and to upload images preferably at [[commons:]]

Thank you

Best regards, --[[Pengguna:QuiteUnusual|QuiteUnusual]] ([[Pembicaraan Pengguna:QuiteUnusual|bicara]]) 21 September 2013 10.30 (UTC)

== Salam kenal ==

Halo bung Alagos, salam kenal. Mungkinkah kita bisa ''memecah'' sedikit kesunyian disini. : )

[[Pengguna:Hidayatsrf|&lt;font style=&quot;color:yellow;background:blue;&quot;&gt;''' Hidayatsrf'''&lt;/font&gt;]] [[Pembicaraan Pengguna:Hidayatsrf|&lt;font style=&quot;color:white;background:purple;&quot;&gt;'''''Bicara '''''&lt;/font&gt;]] 6 Agustus 2015 05.54 (UTC)

== Penghargaan ==

{{BintangWiki Wikibooks|Bung Alagos, Anda adalah satu-satunya [[:Kategori:Pengguna Warga Negara Wikibooks Bahasa Indonesia|Warga Negara Wikibooks Bahasa Indonesia]]. Satu-satunya orang yang ''menghidupi'' wikibooks saat ini. Anda sangat pantas mendapat penghargaan.[[Pengguna:Hidayatsrf|&lt;font style=&quot;color:yellow;background:blue;&quot;&gt;''' Hidayatsrf'''&lt;/font&gt;]] [[Pembicaraan Pengguna:Hidayatsrf|&lt;font style=&quot;color:white;background:purple;&quot;&gt;'''''Bicara '''''&lt;/font&gt;]] 6 Agustus 2015 06.04 (UTC)}}

== Salam kenal ==

Halo Mas Alagos,
Saya berencana buat buku tentang bahasa-bahasa di Indonesia, sekarang sedang tahap pengisian di Wikidata. --[[Pengguna:Beeyan|Beeyan]] ([[Pembicaraan Pengguna:Beeyan|bicara]]) 2 Juni 2016 14.00 (UTC)

== Hi Alagos ==

{{ping|Pengguna:Alagos}} Bersediakah Anda mengikuti pemungutan suara di [[Wikibuku:Pengurus/Pemungutan suara/Murbaut|sini]] Trimakasih [[Pengguna:Murbaut|Murbaut]] ([[Pembicaraan Pengguna:Murbaut|bicara]]) 22 September 2016 02.42 (UTC)

== Share your experience and feedback as a Wikimedian in this global survey ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Hello! The Wikimedia Foundation is asking for your feedback in a survey. We want to know how well we are supporting your work on and off wiki, and how we can change or improve things in the future.&lt;ref group=survey&gt;This survey is primarily meant to get feedback on the Wikimedia Foundation's current work, not long-term strategy.&lt;/ref&gt; The opinions you share will directly affect the current and future work of the Wikimedia Foundation. You have been randomly selected to take this survey as we would like to hear from your Wikimedia community. To say thank you for your time, we are giving away 20 Wikimedia T-shirts to randomly selected people who take the survey.&lt;ref group=survey&gt;Legal stuff: No purchase necessary.  Must be the age of majority to participate. Sponsored by the Wikimedia Foundation located at 149 New Montgomery, San Francisco, CA, USA, 94105. Ends January 31, 2017. Void where prohibited. [[m:Community Engagement Insights/2016 contest rules|Click here for contest rules]].&lt;/ref&gt; The survey is available in various languages and will take between 20 and 40 minutes.


&lt;big&gt;'''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_6mTVlPf6O06r3mt&amp;Aud=AE&amp;Src=19AEOP Take the survey now!]'''&lt;/big&gt;


You can find more information about [[m:Community_Engagement_Insights/About_CE_Insights|this project]]. This survey is hosted by a third-party service and governed by this [[:foundation:Community_Engagement_Insights_2016_Survey_Privacy_Statement|privacy statement]]. Please visit our [[m:Community_Engagement_Insights/Frequently_asked_questions|frequently asked questions page]] to find more information about this survey. If you need additional help, or if you wish to opt-out of future communications about this survey, send an email to surveys@wikimedia.org.

Thank you!
--[[:m:User:EGalvez (WMF)|EGalvez (WMF)]]  ([[:m:User talk:EGalvez (WMF)|talk]]) 13 Januari 2017 21.26 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message sent by User:EGalvez (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Community_Engagement_Insights/MassMessages/Lists/2016/19-AEOP&amp;oldid=16205365 --&gt;
&lt;references group=survey /&gt;

== Your feedback matters: Final reminder to take the global Wikimedia survey ==

(''Sorry to write in Engilsh'')

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Hello! This is a final reminder that the Wikimedia Foundation survey will close on '''28 February, 2017 (23:59 UTC)'''.   The survey is available in various languages and will take between 20 and 40 minutes. '''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_6mTVlPf6O06r3mt&amp;Aud=AE&amp;Src=19AEOP  Take the survey now.]'''

If you already took the survey - thank you! We won't bother you again.

'''About this survey:''' You can find more information about [[m:Community_Engagement_Insights/About_CE_Insights|this project here]] or you can read the [[m:Community_Engagement_Insights/Frequently_asked_questions|frequently asked questions]].  This survey is hosted by a third-party service and governed by this [[:foundation:Community_Engagement_Insights_2016_Survey_Privacy_Statement|privacy statement]]. If you need additional help, or if you wish to opt-out of future communications about this survey, send an email through EmailUser function to [[:m:Special:EmailUser/EGalvez_(WMF)| User:EGalvez (WMF)]] or surveys@wikimedia.org.  '''About the Wikimedia Foundation:''' The [[:wmf:Home|Wikimedia Foundation]] supports you by working on the software and technology to keep the sites fast, secure, and accessible, as well as supports Wikimedia programs and initiatives to expand access and support free knowledge globally.  Thank you! --[[:m:User:EGalvez (WMF)|EGalvez (WMF)]]  ([[:m:User talk:EGalvez (WMF)|talk]]) 24 Februari 2017 08.23 (UTC)

&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message sent by User:EGalvez (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Community_Engagement_Insights/MassMessages/Lists/2016/19-AEOP&amp;oldid=16205365 --&gt;

== Re: Halo ==
Tugas pengurus ngapain? [[Pengguna:Alfarq|Alfarq]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alfarq|bicara]]) 5 Mei 2018 17.43 (UTC)
: Boleh. [[Pengguna:Alfarq|Alfarq]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alfarq|bicara]]) 6 Mei 2018 21.11 (UTC)

== How we will see unregistered users ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=content/&gt;
Hi!

You get this message because you are an admin on a Wikimedia wiki.

When someone edits a Wikimedia wiki without being logged in today, we show their IP address. As you may already know, we will not be able to do this in the future. This is a decision by the Wikimedia Foundation Legal department, because norms and regulations for privacy online have changed.

Instead of the IP we will show a masked identity. You as an admin '''will still be able to access the IP'''. There will also be a new user right for those who need to see the full IPs of unregistered users to fight vandalism, harassment and spam without being admins. Patrollers will also see part of the IP even without this user right. We are also working on [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|better tools]] to help.

If you have not seen it before, you can [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|read more on Meta]]. If you want to make sure you don’t miss technical changes on the Wikimedia wikis, you can [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|subscribe]] to [[m:Tech/News|the weekly technical newsletter]].

We have [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|two suggested ways]] this identity could work. '''We would appreciate your feedback''' on which way you think would work best for you and your wiki, now and in the future. You can [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|let us know on the talk page]]. You can write in your language. The suggestions were posted in October and we will decide after 17 January.

Thank you. 
/[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]&lt;section end=content/&gt;
&lt;/div&gt;

4 Januari 2022 18.16 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Johan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(4)&amp;oldid=22532508 --&gt;

== [[:Kategori:Artikel yang layak untuk dihapus]] ==

Hi, could you please review the deletion requests in the above category? '''[[User:Rschen7754|Rs]][[User talk:Rschen7754|chen]][[Special:Contributions/Rschen7754|7754]]''' 30 Juli 2022 18.40 (UTC)

== Permintaan penghapusan ==

halo, dapatkah anda menghapus gambar dalam [[:Kategori:Berkas Wikibuku dengan nama yang berbeda di Wikimedia Commons]] dan [[:Kategori:Berkas Wikibuku dengan nama yang sama di Wikimedia Commons]], karena sudah dipindahkan ke Commons? Terimakasih. [[Pengguna:Veracious|flixwito]] [[Pembicaraan Pengguna:Veracious|^(•‿•)^]] 14 April 2023 10.14 (UTC)

== Ravished Armenia ==

Bung Alagos, bisa bantu saya mengkoreksi terjemahan [[Ravished Armenia]] beserta dengan bab-babnya ([[Ravished Armenia/Bab 1]], [[Ravished Armenia/Bab 2]], [[Ravished Armenia/Bab 3]], [[Ravished Armenia/Bab 4]], [[Ravished Armenia/Bab 5]], [[Ravished Armenia/Bab 6]], [[Ravished Armenia/Bab 7]]). Sekalian pengen tanya, ceritain donk kenapa bung Alagos hijrah ke Wikibooks, nggak ke WBI lagi ? [[Pengguna:Glorious Engine|Glorious Engine]] ([[Pembicaraan Pengguna:Glorious Engine|bicara]]) 18 April 2023 09.57 (UTC)

Periksanya harap dibandingkan dengan versi Inggris-nya: [[wikisource:Ravished Armenia/Chapter 1]], [[wikisource:Ravished Armenia/Chapter 2]], [[wikisource:Ravished Armenia/Chapter 3]], [[wikisource:Ravished Armenia/Chapter 4]], [[wikisource:Ravished Armenia/Chapter 5]], [[wikisource:Ravished Armenia/Chapter 6]], [[wikisource:Ravished Armenia/Chapter 7]] --[[Pengguna:Glorious Engine|Glorious Engine]] ([[Pembicaraan Pengguna:Glorious Engine|bicara]]) 19 April 2023 01.25 (UTC)

== Ravished Armenia 2 ==

Saya juga sudah menyelesaikan [[Ravished Armenia/Kata pengantar]], [[Ravished Armenia/Bab 8]], [[Ravished Armenia/Bab 9]], [[Ravished Armenia/Bab 10]], [[Ravished Armenia/Bab 11]], [[Ravished Armenia/Bab 12]], [[Ravished Armenia/Bab 13]], [[Ravished Armenia/Bab 14]], dan [[Ravished Armenia/Ambassador Morgenthau’s Story]]. Periksanya juga dibandingkan dengan versi Inggris-nya: [[:wikisource:Ravished Armenia/Foreword]], [[:wikisource:Ravished Armenia/Chapter 8]], [[:wikisource:Ravished Armenia/Chapter 9]], [[:wikisource:Ravished Armenia/Chapter 10]], [[:wikisource:Ravished Armenia/Chapter 11]], [[:wikisource:Ravished Armenia/Chapter 12]], [[:wikisource:Ravished Armenia/Chapter 13]], [[:wikisource:Ravished Armenia/Chapter 14]], [[:wikisource:Ravished Armenia/Ambassador Morgenthau’s Story]] [[Pengguna:Glorious Engine|Glorious Engine]] ([[Pembicaraan Pengguna:Glorious Engine|bicara]]) 2 Mei 2023 09.18 (UTC)

== Minta tolong  ==

Selamat pagi Alagos saya meminta bantuan anda untuk menghapus artikel [[PARTAI GERAKAN PERUBAHAN]] karena pembuat artikelnya spam antar proyek Wikimedia dengan membuat artikel tersebut di Wikipedia Indonesia, Wikikutip Indonesia, Wikisumber Indonesia dan mengunggah beberapa berkas di Commons namun sejauh ini baru Commons dan Wikibuku Indonesia yang belum di hapus oleh pengurus [[Pengguna:Badak_Jawa|&lt;font style=&quot;color:#fff; #000;font-size: 13px;border:2px solid #000;background:#000;box-shadow:-2px 2px #fe2c55;&quot;&gt;𝄃𝄃𝄂Badak𝄂𝄀𝄁𝄃&lt;/font&gt;]] [[Pembicaraan Pengguna:Badak_Jawa|&lt;font style=&quot;color:#fff;background:#000;&quot;&gt;📩&lt;/font&gt;]] 21 Desember 2025 03.52 (UTC)

== You may be an eligible candidate for the U4C election ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Greetings,

The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years.

This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required.

The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run.

In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 28 April 2026 18.33 (UTC) &lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Keegan_(WMF)/test&amp;oldid=30471754 --&gt;</text>
      <sha1>2bq4l45mmwcq7rexiuwg1uqysftdrq5</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto</title>
    <ns>3</ns>
    <id>6562</id>
    <revision>
      <id>115083</id>
      <parentid>112442</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T18:33:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>MediaWiki message delivery</username>
        <id>15529</id>
      </contributor>
      <comment>/* You may be an eligible candidate for the U4C election */ bagian baru</comment>
      <origin>115083</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28278" sha1="pt83aw65n80caeexdlc6847n6c7lff9" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;border:2px solid #f3e4f2; background-color:#ffffff; font-size:95%; margin-right:1em; margin-left :1em; margin-bottom : 1em; padding: 5px;&quot;&gt;

&lt;big&gt;'''Selamat datang, ''RaymondSutanto''!'''&lt;/big&gt;

Halo dan [[Wikibooks:Selamat datang|selamat datang]] di [[Wikibooks bahasa Indonesia]]!

'''[[Wikibooks:Perihal|Wikibooks]]''' adalah kumpulan buku yang isinya ditulis bersama-sama oleh para penggunanya dan disusun agar dapat dibaca dan disunting oleh siapa pun juga.

* Anda bisa mengucapkan selamat datang kepada pengguna lainnya di [[Wikibooks:Halaman perkenalan|Halaman perkenalan]]
* Pertanyaan, usulan, dan komentar tentang Wikibooks bahasa Indonesia bisa dilakukan di [[Wikibooks:Warung Kopi|Warung Kopi]]. Jangan lupa untuk menandatangani pesan anda, sehingga pengguna lain mengetahui siapa sang penulis pesan. Caranya: ketik &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; (empat kali tanda gelombang/tilde). 
* '''Baca dan pelajarilah terlebih dahulu kebijakan dan pedoman yang berlaku di Wikibooks bahasa Indonesia.'''
* Untuk bereksperimen, mencoba-coba, atau tes, lakukanlah di [[Wikibooks:Bak pasir|bak pasir]].
* Walaupun begitu perhatikan juga [[Wikibooks:Kesalahan umum di Wikibooks|hal-hal yang tidak boleh dilakukan di Wikibooks]].
* Untuk menulis profil atau sekilas informasi tentang anda, bisa dilakukan di [[Pengguna:RaymondSutanto]], sehingga pengguna lain bisa mengenal sedikit tentang anda.  

&lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 17 Januari 2012 14.55 (UTC)
&lt;/div&gt;&lt;br/&gt;

== Ttg: Pengurus ==
Saya sudah memberikan suara saya, dan saya juga meneruskan hal ini ke milis pengurus. Semoga permintaan ini ditanggapi, secepat-cepatnya satu minggu setelah ini jika tidak ada penolakan, maka Anda akan diangkat menjadi pengurus WikiBooks. Saran saya cuma halaman profil Anda bisa dilengkapi, mungkin kopipas dari id.wp? Silakan tanya saya jika Anda memiliki banyak templat namun tidak ingin mengimpornya satu per satu kemari. Ada cara, yaitu dengan pengembangan templat. Semoga sukses dengan pencalonannya. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 17 Januari 2012 14.54 (UTC)
:Wah, saya bukan pengurus di wikibooks ini. Steward dianjurkan tidak menghapus di wiki-wiki yang di dalamnya ia tidak menjadi pengurus, dan ada pengurus aktif di sana, kecuali untuk kasus-kasus ''emergency''. Saya &quot;sisakan&quot; untuk Anda kerjakan begitu Anda diangkat menjadi pengurus minggu depan saja :). Salam. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 29 Januari 2012 13.10 (UTC)
::Ah betul juga... tidak bisa pakai alasan itu. Kalau gitu pakai jurus kedua: stewardnya lagi malas nih &gt;p&lt; &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 29 Januari 2012 13.18 (UTC)
:::Karena ada masalah &quot;teknis&quot; jadi tertunda. (&lt;small&gt;Saya menunggu perangko tahun baru naga yang belum sampai di kantor pos Solo &gt;&lt;&lt;/small&gt;) Besok saya cek lagi, semoga sudah bisa saya kirimkan besok. Jangan khawatir, kirimannya tidak sekadar stiker kok. (&lt;s&gt;ada anthraksnya sedikit :p&lt;/s&gt;) Ditunggu ya. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 29 Januari 2012 13.27 (UTC)
::::Iiya... Anda bakat dalam tawar-menawar, pasti sales nih :p &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 29 Januari 2012 13.37 (UTC)

Oh iya, logo Wikibooks perlu diindonesiakan tuh. Anda bisa menyunting gambarnya? *tugasbuatpengurusbaru* &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 29 Januari 2012 14.00 (UTC)
:Yang sekarang dipakai adalah [[:Berkas:Wikibooks-logo-en-noslogan.png]], kalau mau mencoba ngedit, bisa unduh &quot;Inkscape&quot; (untuk vektor) lalu modifikasi [[:Berkas:Wikibooks-logo-en-unpathed.svg]] (sesuai petunjuk di halaman tersebut) ke dalam bahasa Indonesia, lalu upload jadi [[:Berkas:Wikibooks-logo-id.svg]] di Commons dan [[:Berkas:Wiki.png]] di lokal (&lt;small&gt;saat ini di lokal dialihkan, mengikuti Commons, tapi bisa dengan mudah dimatikan pengalihannya. Contohnya [[:wikt:Berkas:Wiki.png]]&lt;/small&gt;) :) Gampang. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 29 Januari 2012 14.13 (UTC)
::Sudah saya submit bug ke [[bugzilla:34043]]. Anda bisa me-CC diri Anda dan vote-up bug ini. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 30 Januari 2012 16.43 (UTC)

== Terima kasih ==

Halo, Mas Raymond!

Terima kasih atas ucapan selamat datang dari anda. Semoga dapat segera dilantik sebagai pengurus di sini. Selamat berkarya dan salam sejahtera. [[Pengguna:Wagino 20100516|Wagino 20100516]] 7 Februari 2012 15.02 (UTC)

== Re: Bantu ==

Sepertinya karena ada templat yang belum dibuat di wikibooks. Apaokah sekarang sudah sesuai? [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|talk]]) 26 Februari 2012 07.30 (UTC)

== Aneh ==
Sepertinya ada yang aneh di wikibooks. Ketika ada yang membuat halaman baru, jumlah artikelnya tidak bertambah. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|talk]]) 11 Maret 2012 13.21 (UTC)
:Sepertinya memang ada yang salah di MediaWikinya. Gawat juga kalau statistik artikel di sini hanya mentok di &quot;1408&quot;, tak bisa bertambah ataupun berkurang. Saya sarankan Anda laporkan ini di warung kopi WBI, atau di grup WBI di facebook, atau langsung saja lapor ke BugZilla, atau hubungi Bennylin. Untuk sementara, saya akan berhenti membuat artikel baru hingga permasalahan ini selesai. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|talk]]) 12 Maret 2012 09.56 (UTC)
::Menurut pengamatan saya, memang hanya angka halaman konten saja yang konstan, sedangkan untuk angka yang lainnya tetap dapat berubah. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|talk]]) 12 Maret 2012 11.02 (UTC)
:::Menurut data [http://www.wikistatistics.net/wikibooks/id/articles/90 di sini], naiknya baik-baik saja tuh. Coba saya cari sumber lain. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]])
::::Bung, sekarang statistiknya makin aneh. Jumlah artikelnya hilang. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 13 Maret 2012 05.10 (UTC)
:::::Saya rasa saya tahu sebabnya: menurut [[meta:Article count reform]], yang dihitung sebagai artikel harus punya lebih dari satu wikilink. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]])
::::::Apa hubungannya kriteria artikel dengan hilangnya keterangan jumlah artikel? [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 13 Maret 2012 05.47 (UTC)
:::::::Seharusnya tidak ada. Tapi itu menjelaskan pertanyaan pertama. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 14 Maret 2012 11.09 (UTC)
::::::::Sayangnya keadaannya sekarang sudah jauh lebih parah dibandingkan pertanyaan pertama. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 14 Maret 2012 12.43 (UTC)
Coba hubungi [[:bugzilla:]], bilang &lt;nowiki&gt;{{NUMBEROFARTICLES}}&lt;/nowiki&gt; di id.wikibooks rusak. Salam. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]])
:Coba Raymond atau Alagos hubungi bugzilla, karena saya juga tidak tahu penyebabnya. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 14 Maret 2012 13.32 (UTC)

Drop jadi 1277 tuh... oh well... &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; \([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 19 Maret 2012 13.12 (UTC)
:Kenapa jumlah suntingan juga berkurang? [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 20 Maret 2012 08.05 (UTC)
::Mungkin ada artikel baru yang dibuat tanpa Anda ketahui. Atau coba tanyakan kepada Bennylin. Bung Bennylin pasti mengetahui penyebabnya. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 23 Maret 2012 05.26 (UTC)
:::Itu kan dilakukan penghitungan ulang oleh mesin, jadi mungkin yang terjadi adalah ada beberapa artikel yang dulunya dihitung sebagai artikel tidak lagi dihitung sebagai artikel (misalnya yang tidak ada wikilinknya seperti yang saya katakan sebelumnya). Menurut saya yang penting sekarang sudah bisa naik lagi. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 23 Maret 2012 05.58 (UTC)
::::Lalu kenapa jumlah suntingannya juga berkurang? [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 23 Maret 2012 08.17 (UTC)
:::::Betul kan sudah naik jadi 1600-an. Kalau jumlah suntingan mungkin bisa dijelaskan sbb: vandal/orang baru melakukan tes edit, counter suntingan naik, tulisannya dihapus, counternya tidak ikut turun. Ketika dilakukan penghitungan ulang, suntingan mereka tidak terhitung, jadi turun. Itu analisa saya. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 24 Maret 2012 06.38 (UTC)
::::::Jadi jika tulisan kita dihapus, maka suntingan kita akan berkurang? [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 24 Maret 2012 06.57 (UTC)
:::::Yang saya tangkap dari penjelasan Bung Benny: Misalnya dulu ada anon buat halaman tidak jelas dan disunting beberapa kali (tentunya menambah jumlah suntingan). Beberapa saat kemudian, artikelnya yang tidak jelas itu dihapus. Suntingan totalnya tidak berkurang 'kan? Nah, ketika kemarin ini sistemnya rusak, dilakukan penghitungan ulang dari awal. Nah, karena tadi artikelnya sudah dihapus, tentu catatan suntingannya ikut hilang pula sehingga tidak terhitung. Akibat akhir, suntingan total di WBI sekarang terlihat berkurang. [[Pengguna:RaymondSutanto|RaymondSutanto]] ([[Pembicaraan Pengguna:RaymondSutanto|bicara]]) 24 Maret 2012 07.37 (UTC)
::::::Iya, kemungkinan begitu. jadi angka sebelumnya itu adalah &quot;jumlah suntingan sejak awal&quot;, dan angka sekarang adalah &quot;jumlah suntingan yang masih hidup&quot;. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 25 Maret 2012 12.35 (UTC)

== Selamat berkarya ==

&lt;center&gt;
{|{{prettytable}}
|-
|
{|
|[[Berkas:Tulipa suaveolens floriade to Canberra.jpg|70px]]
|'''Selamat atas dilantiknya [[Pengguna:RaymondSutanto|anda]] sebagai pengurus di Wikibuku bahasa Indonesia!''' &lt;br&gt; Semoga dapat mengemban amanat dengan baik dan benar.&lt;br&gt;Salam sejahtera. -- [[Pengguna:Wagino 20100516|Wagino 20100516]] ([[Pembicaraan Pengguna:Wagino 20100516|bicara]]) 19 Maret 2012 14.34 (UTC)
|}
|}
&lt;/center&gt;

== Re: Sepi ==
Yang penting bagi wikibooks sekarang adalah promosi. Untuk menarik pengguna dari wikipedia, Anda bisa mengirimkan pesan undangan kepada para pengguna yang sekiranya dapat diajak ke wikibooks. Lalu ketika ada pengguna baru (ataupun lama) yang membuat halaman yang tak layak di wikipedia namun bisa dimasukkan ke wikibooks, berilah pesan undangan juga. Dalam kehidupan nyata, Anda juga dapat mengajak kenalan-kenalan Anda untuk ikut menulis di wikibooks. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 25 Maret 2012 15.28 (UTC)
:Nah, mulai sekarang, ajaklah mereka untuk menulis di wikibooks. Kalau ditanya apa yang harus ditulis, jawab saja bahwa kita boleh menulis banyak hal di wikibooks asalkan berisi informasi atau pengetahuan. Kalau ditanya dapat apa, bilang saja dapat pahala, hahaha. Ya Anda ceritakan saja apa yang membuat Anda tertarik menyunting di wikibooks. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 26 Maret 2012 05.05 (UTC)
::Haha, yang berkontribusi di wikibooks memang yang aneh-aneh, Pak. Mungkin Anda harus mencoba mengajak orang yang sudah terbiasa menulis di internet, misalnya mereka yang sering menulis di blog dan forum diskusi. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 26 Maret 2012 06.22 (UTC)
:::Nah, kalau begitu Anda tulis saja di blog kelas mengenai wikibooks, lalu meminta kawan-kawan Anda untuk ikut menyebarluaskan wikibooks di blog mereka. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 26 Maret 2012 08.48 (UTC)
::::Hahaha, tak apa-apa Pak jadi sales wikibooks, yang penting bisa promosi. :D Ya menurut saya idenya sudah bagus, silakan dilanjutkan. Jika mengalami kesulitan mengenai desain, Anda bisa meminta bantuan kepada Kenrick, sekalian ajak dia untuk kembali aktif di wikibooks. [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 26 Maret 2012 12.55 (UTC)

== Re: Desain ==
Saya menggunakan ''inline CSS''; saya tidak menggunakan program untuk mendesain CSS. Maaf, kemarin saya kurang mengerti pertanyaan Anda, jadi saya belum menjawab. Salam. '''·· [[Pengguna:Kenrick95|Kenric]][[Pembicaraan Pengguna:Kenrick95|k]]''' 1 April 2012 02.53 (UTC)

== Re: Tampilan baru ==
Iwaw, silakan saja. Saya kurang mengerti desain, saya lebih ke penulisan isi. Terima kasih untuk tampilan judul dan halaman baru Anda. Salam. [[Pengguna:Alfarq|Alfarq]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alfarq|bicara]]) 5 April 2012 00.31 (UTC)
== Pertanyaan: Bagaimana mendesain layout Halaman utama seperti di Main Page Wikibook ?==
Mas Raymond, saya juga ingin membuat semacam wikipedia untuk keperluan kantor saya. Bagaimana cara mendisain Halaman Utama seperti yang ada di wikibooks ini? Misalnya judul dengan memakai box/kotak seperti itu? Oya, alamat email atau YM mas raymond bole saya tau?
Mohon dibales ke budi.hutasuhut@yahoo.com
Terima kasih atas perhatian nyaa...

== Artikel baru ==

Apa tidak sebaiknya [[Subjek:Bahasa Indonesia/Materi:Pidato]] diberi kesempatan untuk diperbaiki, mengingat pengguna itu baru, dan juga telah membuat beberapa halaman serupa. Mungkin kalau [[Pembicaraan Pengguna:Jovanka Laura Kaya|dibimbing]], bisa dapat anggota Wikibuku baru yang sangat kita cari-cari itu :P jangan digigit yach... &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 1 Mei 2012 15.24 (UTC)

:Kalau saya boleh usul, tidak perlu menyapa semua pengguna baru, yang lebih penting malahan menyemangati pengguna yang berkontribusi. ''Turning rate''nya lebih besar (dari sekadar coba-coba menjadi kontributor aktif). Salam. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 1 Mei 2012 15.26 (UTC)

:Tawarkan saja semacam mentoring. Saya tahu kualitas halamannya tidak bagus, tapi rata-rata kontributor baru memang begitu. Halamannya bisa kita rapikan, sistematisasikan, lalu tunjukkan perubahannya (diff) supaya dia bisa bandingkan. Lagipula, justru pengguna yang berkontribusi seperti itu malah belum disapa (halaman pembicaraannya masih merah) :). Semoga saran ini bisa diterima. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 2 Mei 2012 05.59 (UTC)

== [[Ringkasan Situs PTR]] ==

Mohon ikut memberi komentar di [[Pembicaraan:Ringkasan Situs PTR|halaman pembicaraannya]]. Salam. '''·· [[Pengguna:Kenrick95|Kenric]][[Pembicaraan Pengguna:Kenrick95|k]]''' 19 Mei 2012 13.56 (UTC)

== Dari [[Pengguna:Alagos|Asep]] ==

* [//imgur.com/HHirV]
* [//imgur.com/LSxF1]
'''·· [[Pengguna:Kenrick95|Kenric]][[Pembicaraan Pengguna:Kenrick95|k]]''' 22 Juni 2012 07.17 (UTC)
:Tidak tahu, saat itu dia bersikeras supaya saya memberi tahu Anda bahwa dia telah berhenti; tetapi sekarang malah kembali aktif. '''·· [[Pengguna:Kenrick95|Kenric]][[Pembicaraan Pengguna:Kenrick95|k]]''' 4 Juli 2012 06.32 (UTC)

== Bersih-bersih ==
Halo, saya sedang bersih-bersih halaman-halaman lama dan yang tidak terpakai dan lain-lain, dan mungkin kalau Anda menemukan ada satu atau dua halaman yang tidak semestinya dihapus tapi terhapus, langsung saja kembalikan. Salam. &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]])

== Diskusi ==

Pak Raymond, bisa tolong beri pendapat dalam [[Wikibuku:Warung_kopi#Keterangan|diskusi ini]]? :D [[Pengguna:Alagos|Alagos]] ([[Pembicaraan Pengguna:Alagos|bicara]]) 15 Februari 2013 13.34 (UTC)

== Salam kenal ==

Halo bung Raymond, salam kenal di wikibooks yang sepi ini. :)
[[Pengguna:Hidayatsrf|&lt;font style=&quot;color:yellow;background:blue;&quot;&gt;''' Hidayatsrf'''&lt;/font&gt;]] [[Pembicaraan Pengguna:Hidayatsrf|&lt;font style=&quot;color:white;background:purple;&quot;&gt;'''''Bicara '''''&lt;/font&gt;]] 6 Agustus 2015 06.29 (UTC)

== Hi RaymondSutanto ==

{{ping|Pengguna:RaymondSutanto}} Bersediakah Anda mengikuti pemungutan suara di [[Wikibuku:Pengurus/Pemungutan suara/Murbaut|sini]] Trimakasih [[Pengguna:Murbaut|Murbaut]] ([[Pembicaraan Pengguna:Murbaut|bicara]]) 22 September 2016 02.31 (UTC)

== Halaman duplikat ==
Ada kesamaan antara halaman [[Wikibooks:Pengguna yang otomatis dikonfirmasi]] dengan halaman [[Wikibooks:Pengguna terkonfirmasi otomatis]]. Apakah itu memang diperlukan atau perlu dihapus salah satu? Terima kasih. [[Pengguna:Sabjan Badio|Sabjan Badio]] ([[Pembicaraan Pengguna:Sabjan Badio|bicara]]) 22 Juni 2017 05.20 (UTC)

== Unggah berkas ==
Bung Raymond, saya mau tanya, bagaimana caranya untuk mengunggah berkas di Wikibuku ya? Saya masuk ke [[Istimewa:Pengunggahan|halaman pengunggahan]], tetapi kelihatannya hanya pengurus saja ya yang bisa mengunggah berkas? Terima kasih. [[Pengguna:Veracious|flixwito]] [[Pembicaraan Pengguna:Veracious|^(•‿•)^]] 12 November 2018 16.03 (UTC)
:Dapatkah anda mengunggahkan [[:w:Berkas:Kantai_Collection_logo.png|berkas ini]] ke Wikibuku? Saya ingin membuat buku panduannya ([[Harvest_Moon:_Back_To_Nature|seperti yang ini]]). Salam. [[Pengguna:Veracious|flixwito]] [[Pembicaraan Pengguna:Veracious|^(•‿•)^]] 13 November 2018 05.13 (UTC)
::Uh... pak? [[Pengguna:Veracious|flixwito]] [[Pembicaraan Pengguna:Veracious|^(•‿•)^]] 26 Desember 2018 17.13 (UTC)
:::Mungkin bisa melalui [[Istimewa:Pengunggahan|halaman ini]]? (tidak melalui commons) [[Pengguna:Veracious|flixwito]] [[Pembicaraan Pengguna:Veracious|^(•‿•)^]] 27 Desember 2018 05.48 (UTC)
::::Itulah kenapa saya meminta bantuan anda, karena hanya pengurus yang bisa mengunggahnya. Terima kasih pak. [[Pengguna:Veracious|flixwito]] [[Pembicaraan Pengguna:Veracious|^(•‿•)^]] 28 Desember 2018 07.56 (UTC)

== [[:Kategori:Artikel_yang_layak_untuk_dihapus]] ==

Sorry for the message in English, but please delete the pages in the category. I also ask that you keep up with this category as well. --[[Pengguna:Atcovi|Atcovi]] ([[Pembicaraan Pengguna:Atcovi|bicara]]) 23 Januari 2019 00.55 (UTC)
:Up gan, halaman yang ada disana tolong dihapus. Salam. [[Pengguna:Veracious|flixwito]] [[Pembicaraan Pengguna:Veracious|^(•‿•)^]] 9 Agustus 2019 13.28 (UTC)

== Tentang perbedaan hak cipta &amp; perbedaan jejaring Wikimedia ==

Apakah ini halaman diskusi khusus bagi pengurus? Bisakah yang di luar pengurus memberikan usulan? Mohon maaf jika salah tempat.

Saya lihat jejaring Wikimedia sudah berkembang banyak sekali, sehingga saya bersedia dan tidak ragu untuk memindahkan konten-konten tulisan saya serta membuat yang baru dalam format webnya. Hanya saja bagi orang yang terbiasa menulis di luar jejaring Wikimedia perbedaan hak cipta dengan yang di luar jejaring ini tidak begitu jelas, karena sepemahaman orang yang biasa nge-blog, menerjemahkan adalah biasa, asalkan sumbernya bukan materi berbayar dan tidak dikomersilkan. Perbedaannya dengan hak cipta yang menaungi jejaring Wikimedia menjadi membingungkan dan memerlukan adaptasi yang membutuhkan waktu (yang waktunya itu akan lebih bermanfaat untuk menulis artikel Wikibuku atau artikel Wikipedia lain).

Kebingungan yang kedua adalah tidak adanya penjelasan langsung dan sederhana mengenai perbedaan masing-masing domain di Wikimedia dengan penjelasan berupa satu kalimat (sekali lagi membutuhkan waktu untuk memahaminya), sebagai contoh, saya menemukan logo (dan tautan) Wikimedia Cloud Service di [https://www.wikimedia.org/][Https://www.wikimedia.org/ https://www.wikimedia.org/]. Pertanyaan segera muncul di benak saya ketika menemukan logonya: Apakah ini semacam Microsoft Azure atau Google Cloud yang bebas-bagi? Bisakah saya men-set up aplikasi web dengannya (kedua layanan Microsoft dan Google tersebut bisa dijalankan tanpa pengetahuan encoding, jadi di benak saya timbul harapan ke sana). Namun hingga sekarang masih kurang gamblang juga info saya mengenai Wikimedia Cloud Service ini.

Dengan demikian saya mengusulkan:

* Ada Poin mengenai domain-domain di Wikimedia dan penjelasan satu kalimat mengenainya (sebab kalau panjang akan sama aja dengan buka tautan aslinya). Kadang-kadang idealisme menumbuhkan kreativitas dan minat untuk menanti layanannya aktif. Jadi dalam hal ini perlu ditautkan juga disertai definisinya mengenai layanan yang sudah ada dalam Bahasa Inggris (dengan penjelasan yang sederhana juga), sehingga berharap itu segera ada untuk sub-domain Bahasa Indonesianya.

* Perbedaan hak cipta antara domain-domain di Wikimedia Bahasa Indonesia (dan Bahasa Inggris) dengan yang di luaran sangat perlu dijelaskan dengan sangat ringkas sehingga kasus-kasus overlapping akan terhindarkan. Karena pengguna yang terbiasa beraktivitas di luar Wikimedia terbiasa dengan nulis gado-gado, sementara penyuntingan ya soal belakangan, jadi kalau double ya akan ditolerir. Masalah hak cipta adalah urusan ketika bertemu dengan penerbit, karena pekerjaan penulis yang utama adalah memfokuskan diri pada menulis. Tidak semua orang terbiasa dengan aturan penulisan yang demikian ketat, bahkan pengalaman saya bersama-sama menulis dengan sejumlah orang di Kementerian dan Universitas tidak demikian halnya. Maka dalam hal ini penjelasan yang hanya berupa satu kalimat sangat dibutuhkan sekali.

Intinya, agar jejaring Wikimedia ini berkembang lebih banyak lagi maka semua penggunanya harus diperlakukan seolah-olah mereka adalah pengguna yang awam. Bahkan jika orangnya terbiasa menulis di blog.

Demikian usulan saya. Mohon maaf kalau salah tempat usulnya. Karena saya bingung sebenarnya halaman diskusi untuk umumnya yang mana (saya menemukan tautan milis dalam Bahasa Inggris juga, karena ragu maka saya memilih untuk tidak ikut gabung).

[[Pengguna:Anta Samsara 2.0|Anta Samsara]] ([[Pembicaraan Pengguna:Anta Samsara 2.0|bicara]]) 27 September 2020 21.27 (UTC)

== How we will see unregistered users ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=content/&gt;
Hi!

You get this message because you are an admin on a Wikimedia wiki.

When someone edits a Wikimedia wiki without being logged in today, we show their IP address. As you may already know, we will not be able to do this in the future. This is a decision by the Wikimedia Foundation Legal department, because norms and regulations for privacy online have changed.

Instead of the IP we will show a masked identity. You as an admin '''will still be able to access the IP'''. There will also be a new user right for those who need to see the full IPs of unregistered users to fight vandalism, harassment and spam without being admins. Patrollers will also see part of the IP even without this user right. We are also working on [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|better tools]] to help.

If you have not seen it before, you can [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|read more on Meta]]. If you want to make sure you don’t miss technical changes on the Wikimedia wikis, you can [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|subscribe]] to [[m:Tech/News|the weekly technical newsletter]].

We have [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|two suggested ways]] this identity could work. '''We would appreciate your feedback''' on which way you think would work best for you and your wiki, now and in the future. You can [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|let us know on the talk page]]. You can write in your language. The suggestions were posted in October and we will decide after 17 January.

Thank you. 
/[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]&lt;section end=content/&gt;
&lt;/div&gt;

4 Januari 2022 18.16 (UTC)
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Johan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(4)&amp;oldid=22532508 --&gt;

== Hapus ==

Halo, sudah ada cukup banyak [[:Kategori:Artikel yang layak untuk dihapus|halaman yang perlu dihapus]] nih. Terima kasih. CC: {{ping|Alagos}} dan {{ping|Kenrick95}} &lt;span style=&quot;text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;&quot;&gt;[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]&lt;/span&gt; ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 14 Februari 2023 04.46 (UTC)

== Tolong hapus  ==

Halo! Saya meminta bantuan anda untuk menghapus artikel buatan @[[Pengguna:AaravEditor|AaravEditor]] yang berjudul [[Sai Hupahon Ma Ho]], [[Jatuh Dari Motor 18 Febuari]] dan [[Selangkah Lebih Dekat]] [[Pengguna:Badak Jawa|Badak Jawa]] ([[Pembicaraan Pengguna:Badak Jawa|bicara]]) 28 September 2025 07.22 (UTC)

== You may be an eligible candidate for the U4C election ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Greetings,

The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years.

This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required.

The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run.

In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 28 April 2026 18.33 (UTC) &lt;/div&gt;
&lt;!-- Pesan dikirim oleh Pengguna:Keegan (WMF)@metawiki dengan menggunakan daftar di https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Keegan_(WMF)/test&amp;oldid=30471754 --&gt;</text>
      <sha1>pt83aw65n80caeexdlc6847n6c7lff9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Fungsi invers</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23122</id>
    <revision>
      <id>115084</id>
      <parentid>114222</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T23:19:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25685-25</username>
        <id>43054</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bentuk dan sifat fungsi invers */</comment>
      <origin>115084</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12018" sha1="h1bsxx294a2fofqfbpjs74zj9puvap2" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat fungsi invers ==
bentuk f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)

sifat:
# y = f(x) → f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x
# f(x-a) = g(x) → f(x) = g(x+a)
# (f&lt;sup&gt;-1)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) = f(x)
# f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x
# (f o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f) (x) = x
# (f o g)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)
# (f o g) (x) = h(x) → (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o h) (x) = g(x)
# (f o g o h)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)

: Pembuktian y = f(x) diubah jadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misal } y = f(x) &amp;= ax+b \\
 y &amp;= ax+b \\
 x &amp;= \frac{y-b}{a} \\
 
 \frac{y-b}{a} \text{ adalah } f^{-1}(y) \\
 x &amp;= f^{-1}(y) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: Pembuktian bahwa f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x!
:: sebelumnya pembuktian yang tadi (lihat diatas) lalu masukkan y = f(x) ke f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x menjadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x.

;tabel fungsi invers
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Fungsi invers (f(x)) !! Hasil (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))
|-
| &lt;math&gt;ax+b&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\frac{ax+b}{cx+d}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{-dx+b}{cx-a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;{(ax+b)}^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x}-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{ax+b}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;a^{(bx)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{^alogx}{b}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;^alog bx&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{a^x}{b}&lt;/math&gt;
|}

;contoh soal
# tentukan fungsi invers dari:
* f(x)=&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;log (x-7)
* f(3x-5)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+9
* f(&lt;math&gt;\frac{x+3}{x-6}&lt;/math&gt;)=&lt;math&gt;\frac{4x+1}{x+3}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
f(x) &amp;= ^2log (x-7) \\
y &amp;= ^2log (x-7) \\
2^y &amp;= x-7 \\
x &amp;= 2^y+7 \\
f^{-1}(x) &amp;= 2^x+7 \\

*
f(3x-5) &amp;= x^2-2x+9 \\
f(\frac{3x-5+5}{3}) &amp;= (\frac{x+5}{3})^2-2(\frac{x+5}{3})+9 \\
f(x) &amp;= \frac{x^2+10x+25}{9}-(\frac{2x+10}{3})+9 \\
&amp;= \frac{x^2+10x+25-6x-30+81}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+76}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+4+72}{9} \\
&amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y &amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y-8 &amp;= \frac{(x+2)^2}{9} \\
9(y-8) &amp;= (x+2)^2 \\
9y-72 &amp;= (x+2)^2 \\
\sqrt{9y-72} &amp;= x+2 \\
x &amp;= \sqrt{9y-72}-2 \\
&amp;= \sqrt{9(y-8)}-2 \\
&amp;= 3\sqrt{y-8}-2 \\
f^{-1}(x) &amp;= 3\sqrt{x-8}-2 \\

*
f(\frac{x+3}{x-6}) &amp;= \frac{4x+1}{x+3} \\
f(\frac{x+3}{x+3-9}) &amp;= \frac{4(x+3)-11}{x+3} \\
\text{misalkan } x+3=a \text{ dan } x=a-3 \\
f(\frac{a}{a-9}) &amp;= \frac{4a-11}{a} \\
&amp;= 4-\frac{11}{a} \\
\text{misalkan } \frac{a}{a-9}=b \text{ dan } a=\frac{9b}{b-1} \\
f(b) &amp;= 4-\frac{11}{\frac{9b}{b-1}} \\
&amp;= 4-\frac{11(b-1)}{9b} \\
&amp;= \frac{36b-11b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25}{9}+\frac{11}{9b} \\
y-\frac{25}{9} &amp;= \frac{11}{9b} \\
9b(y-\frac{25}{9}) &amp;= 11 \\
9by-25b &amp;= 11 \\
b(9y-25) &amp;= 11 \\
b &amp;= \frac{11}{9y-25} \\
f^{-1}(x) &amp;= \frac{11}{9x-25} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan fungsi invers dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{2x-1}{3x+4} \\
 3xf(x)+4f(x) &amp;= 2x-1 \\
 4f(x)+1 &amp;= 2x-3xf(x) \\
 4f(x)+1 &amp;= (2-3f(x))x \\
 x &amp;= \frac{4f(x)+1}{2-3f(x)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-3x+2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-(3x-2)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{-4x-1}{3x-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f(1) jika &lt;math&gt;f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5x-7}&lt;/math&gt;!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan } f(1) &amp;= a \text{ maka } f^{-1}(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= x \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 a &amp;= x \\
 a &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 \text{anggap bahwa } f(1) &amp; = f(\frac{2x-1}{5x-7}) \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2(2)-1}{5(2)-7}) &amp;= 2 \\
 f(\frac{3}{3}) &amp;= 2 \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{7(1)-1}{5(1)-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{6}{3} \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{3}{2x-3})=\frac{2x+3}{x+4}&lt;/math&gt;!

;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan} f^{-1}(1) &amp;= a \text{ maka } f(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 a &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 a &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 \text{diubah menjadi } f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 \text{anggap bahwa } f^{-1}(1) &amp;= f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2(1)+3}{(1)+4}) &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 f^{-1}(\frac{5}{5}) &amp;= \frac{3}{-1} \\
 f^{-1}(1) &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui g(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, (g ο f)(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+1 dan h(x)=&lt;math&gt;\sqrt{5x-8}&lt;/math&gt;. Tentukan (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)(1)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

 (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(1) &amp;= h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(1))) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}((1)+1)) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}(2)) \\
 &amp;= h^{-1}(\sqrt{2}) \\
 &amp;= \frac{(\sqrt{2})^2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

\text{karena } (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x) &amp;= (f \circ g \circ h)^{-1}(x) \\

 (f \circ g \circ h)(x) &amp;= f(g(h(x))) \\
 &amp;= f(g(\sqrt{5x-8})) \\
 &amp;= f((\sqrt{5x-8})^2) \\
 &amp;= f(5x-8) \\
 &amp;= 5x-8-1 \\
 &amp;= 5x-9 \\

 \text{misal } (f \circ g \circ h)(x) &amp;= y \\
 y &amp;= 5x-9 \\
 x &amp;= \frac{y+9}{5} \\
 y^{-1} &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(x) &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(1) &amp;= (f(g(h)))^{-1}(1) \\
 &amp;= \frac{1+9}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{1}{x-1})=\frac{x+3}{x-1}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai f(2)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } f(2) &amp;= p \\
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \text{ diubah menjadi } f(\frac{x+3}{x-1}) = \frac{1}{x-1} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 f(2) &amp;= f(\frac{x+3}{x-1}) \\
 2 &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
 2(x-1) &amp;= x+3 \\
 2x-2 &amp;= x+3 \\
 x &amp;= 5 \\

 p &amp;= \frac{1}{x-1} \\
 &amp;= \frac{1}{5-1} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } \frac{1}{x-1} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{1+p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{1+p}{p}+3}) \\
 &amp;= p(\frac{1+p+3p}{p}) \\
 &amp;= 1+4p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 1+4p \\
 p &amp;= \frac{y-1}{4} \\
f(p) &amp;= \frac{p-1}{4} \\
f(2) &amp;= \frac{2-1}{4} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{3}{x+3})=\frac{2x+3}{x+3}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai a jika f(a)=1!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
\text{serta } f(a) &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \text{ diubah menjadi } f(\frac{2x+3}{x+3}) = \frac{3}{x+3} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 1 &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 x+3 &amp;= 3 \\
 x &amp;= 0 \\

 a &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 &amp;= \frac{3}{0+3} \\
 &amp;= \frac{3}{3} \\
 &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{3(\frac{2x}{3}+1)}{x+3} \\
\text{misalkan } \frac{3}{x+3} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{3-3p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{2(\frac{3-3p}{p})}{3}+1}) \\
 &amp;= p({\frac{6-6p}{3p}+1}) \\
 &amp;= p(\frac{6-6p+3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{6-3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{3(2-p)}{3p}) \\
 &amp;= 2-p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 2-p \\
 p &amp;= 2-y \\
f(p) &amp;= 2-p \\
f(a) &amp;= 2-a \\
f(a) &amp;= 1 \\
1 &amp;= 2-a \\
a &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) jika:
: f(x)=g(2x-3)
: f(2x-1)=g(3x+1)

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
 f(x)=g(2x-3) &amp;= y \\
 f(x) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= x \\
 g(2x-3) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 2x-3 \\
 &amp;= 2f^{-1}(y)-3 \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{g^{-1}(y)+3}{2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{g^{-1}(x)+3}{2} \\

*
 f(2x-1)=g(3x+1) &amp;= y \\
 f(2x-1) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= 2x-1 \\
 x &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 g(3x+1) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3x-1 \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3(\frac{f^{-1}(y)+1}{2})-1 \\
 \frac{g^{-1}(y)+1}{3} &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{2(g^{-1}(y)+1)}{3}-1 \\
 &amp;= \frac{2g^{-1}(y)-1}{3} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2g^{-1}(x)-1}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>h1bsxx294a2fofqfbpjs74zj9puvap2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115085</id>
      <parentid>115084</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T23:21:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25685-25</username>
        <id>43054</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bentuk dan sifat fungsi invers */</comment>
      <origin>115085</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12017" sha1="fch4n7kcqd7zcqn202pt6edko25m2uc" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat fungsi invers ==
bentuk f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)

sifat:
# y = f(x) → f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x
# f(x-a) = g(x) → f(x) = g(x+a)
# f^{-1}(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f(x)
# f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x
# (f o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f) (x) = x
# (f o g)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)
# (f o g) (x) = h(x) → (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o h) (x) = g(x)
# (f o g o h)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)

: Pembuktian y = f(x) diubah jadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misal } y = f(x) &amp;= ax+b \\
 y &amp;= ax+b \\
 x &amp;= \frac{y-b}{a} \\
 
 \frac{y-b}{a} \text{ adalah } f^{-1}(y) \\
 x &amp;= f^{-1}(y) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: Pembuktian bahwa f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x!
:: sebelumnya pembuktian yang tadi (lihat diatas) lalu masukkan y = f(x) ke f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x menjadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x.

;tabel fungsi invers
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Fungsi invers (f(x)) !! Hasil (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))
|-
| &lt;math&gt;ax+b&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\frac{ax+b}{cx+d}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{-dx+b}{cx-a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;{(ax+b)}^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x}-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{ax+b}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;a^{(bx)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{^alogx}{b}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;^alog bx&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{a^x}{b}&lt;/math&gt;
|}

;contoh soal
# tentukan fungsi invers dari:
* f(x)=&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;log (x-7)
* f(3x-5)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+9
* f(&lt;math&gt;\frac{x+3}{x-6}&lt;/math&gt;)=&lt;math&gt;\frac{4x+1}{x+3}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
f(x) &amp;= ^2log (x-7) \\
y &amp;= ^2log (x-7) \\
2^y &amp;= x-7 \\
x &amp;= 2^y+7 \\
f^{-1}(x) &amp;= 2^x+7 \\

*
f(3x-5) &amp;= x^2-2x+9 \\
f(\frac{3x-5+5}{3}) &amp;= (\frac{x+5}{3})^2-2(\frac{x+5}{3})+9 \\
f(x) &amp;= \frac{x^2+10x+25}{9}-(\frac{2x+10}{3})+9 \\
&amp;= \frac{x^2+10x+25-6x-30+81}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+76}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+4+72}{9} \\
&amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y &amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y-8 &amp;= \frac{(x+2)^2}{9} \\
9(y-8) &amp;= (x+2)^2 \\
9y-72 &amp;= (x+2)^2 \\
\sqrt{9y-72} &amp;= x+2 \\
x &amp;= \sqrt{9y-72}-2 \\
&amp;= \sqrt{9(y-8)}-2 \\
&amp;= 3\sqrt{y-8}-2 \\
f^{-1}(x) &amp;= 3\sqrt{x-8}-2 \\

*
f(\frac{x+3}{x-6}) &amp;= \frac{4x+1}{x+3} \\
f(\frac{x+3}{x+3-9}) &amp;= \frac{4(x+3)-11}{x+3} \\
\text{misalkan } x+3=a \text{ dan } x=a-3 \\
f(\frac{a}{a-9}) &amp;= \frac{4a-11}{a} \\
&amp;= 4-\frac{11}{a} \\
\text{misalkan } \frac{a}{a-9}=b \text{ dan } a=\frac{9b}{b-1} \\
f(b) &amp;= 4-\frac{11}{\frac{9b}{b-1}} \\
&amp;= 4-\frac{11(b-1)}{9b} \\
&amp;= \frac{36b-11b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25}{9}+\frac{11}{9b} \\
y-\frac{25}{9} &amp;= \frac{11}{9b} \\
9b(y-\frac{25}{9}) &amp;= 11 \\
9by-25b &amp;= 11 \\
b(9y-25) &amp;= 11 \\
b &amp;= \frac{11}{9y-25} \\
f^{-1}(x) &amp;= \frac{11}{9x-25} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan fungsi invers dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{2x-1}{3x+4} \\
 3xf(x)+4f(x) &amp;= 2x-1 \\
 4f(x)+1 &amp;= 2x-3xf(x) \\
 4f(x)+1 &amp;= (2-3f(x))x \\
 x &amp;= \frac{4f(x)+1}{2-3f(x)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-3x+2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-(3x-2)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{-4x-1}{3x-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f(1) jika &lt;math&gt;f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5x-7}&lt;/math&gt;!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan } f(1) &amp;= a \text{ maka } f^{-1}(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= x \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 a &amp;= x \\
 a &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 \text{anggap bahwa } f(1) &amp; = f(\frac{2x-1}{5x-7}) \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2(2)-1}{5(2)-7}) &amp;= 2 \\
 f(\frac{3}{3}) &amp;= 2 \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{7(1)-1}{5(1)-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{6}{3} \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{3}{2x-3})=\frac{2x+3}{x+4}&lt;/math&gt;!

;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan} f^{-1}(1) &amp;= a \text{ maka } f(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 a &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 a &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 \text{diubah menjadi } f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 \text{anggap bahwa } f^{-1}(1) &amp;= f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2(1)+3}{(1)+4}) &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 f^{-1}(\frac{5}{5}) &amp;= \frac{3}{-1} \\
 f^{-1}(1) &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui g(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, (g ο f)(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+1 dan h(x)=&lt;math&gt;\sqrt{5x-8}&lt;/math&gt;. Tentukan (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)(1)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

 (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(1) &amp;= h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(1))) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}((1)+1)) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}(2)) \\
 &amp;= h^{-1}(\sqrt{2}) \\
 &amp;= \frac{(\sqrt{2})^2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

\text{karena } (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x) &amp;= (f \circ g \circ h)^{-1}(x) \\

 (f \circ g \circ h)(x) &amp;= f(g(h(x))) \\
 &amp;= f(g(\sqrt{5x-8})) \\
 &amp;= f((\sqrt{5x-8})^2) \\
 &amp;= f(5x-8) \\
 &amp;= 5x-8-1 \\
 &amp;= 5x-9 \\

 \text{misal } (f \circ g \circ h)(x) &amp;= y \\
 y &amp;= 5x-9 \\
 x &amp;= \frac{y+9}{5} \\
 y^{-1} &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(x) &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(1) &amp;= (f(g(h)))^{-1}(1) \\
 &amp;= \frac{1+9}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{1}{x-1})=\frac{x+3}{x-1}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai f(2)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } f(2) &amp;= p \\
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \text{ diubah menjadi } f(\frac{x+3}{x-1}) = \frac{1}{x-1} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 f(2) &amp;= f(\frac{x+3}{x-1}) \\
 2 &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
 2(x-1) &amp;= x+3 \\
 2x-2 &amp;= x+3 \\
 x &amp;= 5 \\

 p &amp;= \frac{1}{x-1} \\
 &amp;= \frac{1}{5-1} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } \frac{1}{x-1} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{1+p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{1+p}{p}+3}) \\
 &amp;= p(\frac{1+p+3p}{p}) \\
 &amp;= 1+4p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 1+4p \\
 p &amp;= \frac{y-1}{4} \\
f(p) &amp;= \frac{p-1}{4} \\
f(2) &amp;= \frac{2-1}{4} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{3}{x+3})=\frac{2x+3}{x+3}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai a jika f(a)=1!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
\text{serta } f(a) &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \text{ diubah menjadi } f(\frac{2x+3}{x+3}) = \frac{3}{x+3} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 1 &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 x+3 &amp;= 3 \\
 x &amp;= 0 \\

 a &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 &amp;= \frac{3}{0+3} \\
 &amp;= \frac{3}{3} \\
 &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{3(\frac{2x}{3}+1)}{x+3} \\
\text{misalkan } \frac{3}{x+3} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{3-3p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{2(\frac{3-3p}{p})}{3}+1}) \\
 &amp;= p({\frac{6-6p}{3p}+1}) \\
 &amp;= p(\frac{6-6p+3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{6-3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{3(2-p)}{3p}) \\
 &amp;= 2-p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 2-p \\
 p &amp;= 2-y \\
f(p) &amp;= 2-p \\
f(a) &amp;= 2-a \\
f(a) &amp;= 1 \\
1 &amp;= 2-a \\
a &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) jika:
: f(x)=g(2x-3)
: f(2x-1)=g(3x+1)

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
 f(x)=g(2x-3) &amp;= y \\
 f(x) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= x \\
 g(2x-3) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 2x-3 \\
 &amp;= 2f^{-1}(y)-3 \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{g^{-1}(y)+3}{2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{g^{-1}(x)+3}{2} \\

*
 f(2x-1)=g(3x+1) &amp;= y \\
 f(2x-1) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= 2x-1 \\
 x &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 g(3x+1) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3x-1 \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3(\frac{f^{-1}(y)+1}{2})-1 \\
 \frac{g^{-1}(y)+1}{3} &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{2(g^{-1}(y)+1)}{3}-1 \\
 &amp;= \frac{2g^{-1}(y)-1}{3} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2g^{-1}(x)-1}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>fch4n7kcqd7zcqn202pt6edko25m2uc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115086</id>
      <parentid>115085</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T23:22:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25685-25</username>
        <id>43054</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bentuk dan sifat fungsi invers */</comment>
      <origin>115086</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12025" sha1="cobukmp1n0kkmoj9bzybays0g6o2pd6" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat fungsi invers ==
bentuk f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)

sifat:
# y = f(x) → f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x
# f(x-a) = g(x) → f(x) = g(x+a)
# f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f(x)
# f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x
# (f o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f) (x) = x
# (f o g)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)
# (f o g) (x) = h(x) → (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o h) (x) = g(x)
# (f o g o h)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)

: Pembuktian y = f(x) diubah jadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misal } y = f(x) &amp;= ax+b \\
 y &amp;= ax+b \\
 x &amp;= \frac{y-b}{a} \\
 
 \frac{y-b}{a} \text{ adalah } f^{-1}(y) \\
 x &amp;= f^{-1}(y) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: Pembuktian bahwa f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x!
:: sebelumnya pembuktian yang tadi (lihat diatas) lalu masukkan y = f(x) ke f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x menjadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x.

;tabel fungsi invers
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Fungsi invers (f(x)) !! Hasil (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))
|-
| &lt;math&gt;ax+b&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\frac{ax+b}{cx+d}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{-dx+b}{cx-a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;{(ax+b)}^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x}-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{ax+b}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;a^{(bx)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{^alogx}{b}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;^alog bx&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{a^x}{b}&lt;/math&gt;
|}

;contoh soal
# tentukan fungsi invers dari:
* f(x)=&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;log (x-7)
* f(3x-5)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+9
* f(&lt;math&gt;\frac{x+3}{x-6}&lt;/math&gt;)=&lt;math&gt;\frac{4x+1}{x+3}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
f(x) &amp;= ^2log (x-7) \\
y &amp;= ^2log (x-7) \\
2^y &amp;= x-7 \\
x &amp;= 2^y+7 \\
f^{-1}(x) &amp;= 2^x+7 \\

*
f(3x-5) &amp;= x^2-2x+9 \\
f(\frac{3x-5+5}{3}) &amp;= (\frac{x+5}{3})^2-2(\frac{x+5}{3})+9 \\
f(x) &amp;= \frac{x^2+10x+25}{9}-(\frac{2x+10}{3})+9 \\
&amp;= \frac{x^2+10x+25-6x-30+81}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+76}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+4+72}{9} \\
&amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y &amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y-8 &amp;= \frac{(x+2)^2}{9} \\
9(y-8) &amp;= (x+2)^2 \\
9y-72 &amp;= (x+2)^2 \\
\sqrt{9y-72} &amp;= x+2 \\
x &amp;= \sqrt{9y-72}-2 \\
&amp;= \sqrt{9(y-8)}-2 \\
&amp;= 3\sqrt{y-8}-2 \\
f^{-1}(x) &amp;= 3\sqrt{x-8}-2 \\

*
f(\frac{x+3}{x-6}) &amp;= \frac{4x+1}{x+3} \\
f(\frac{x+3}{x+3-9}) &amp;= \frac{4(x+3)-11}{x+3} \\
\text{misalkan } x+3=a \text{ dan } x=a-3 \\
f(\frac{a}{a-9}) &amp;= \frac{4a-11}{a} \\
&amp;= 4-\frac{11}{a} \\
\text{misalkan } \frac{a}{a-9}=b \text{ dan } a=\frac{9b}{b-1} \\
f(b) &amp;= 4-\frac{11}{\frac{9b}{b-1}} \\
&amp;= 4-\frac{11(b-1)}{9b} \\
&amp;= \frac{36b-11b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25}{9}+\frac{11}{9b} \\
y-\frac{25}{9} &amp;= \frac{11}{9b} \\
9b(y-\frac{25}{9}) &amp;= 11 \\
9by-25b &amp;= 11 \\
b(9y-25) &amp;= 11 \\
b &amp;= \frac{11}{9y-25} \\
f^{-1}(x) &amp;= \frac{11}{9x-25} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan fungsi invers dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{2x-1}{3x+4} \\
 3xf(x)+4f(x) &amp;= 2x-1 \\
 4f(x)+1 &amp;= 2x-3xf(x) \\
 4f(x)+1 &amp;= (2-3f(x))x \\
 x &amp;= \frac{4f(x)+1}{2-3f(x)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-3x+2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-(3x-2)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{-4x-1}{3x-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f(1) jika &lt;math&gt;f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5x-7}&lt;/math&gt;!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan } f(1) &amp;= a \text{ maka } f^{-1}(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= x \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 a &amp;= x \\
 a &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 \text{anggap bahwa } f(1) &amp; = f(\frac{2x-1}{5x-7}) \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2(2)-1}{5(2)-7}) &amp;= 2 \\
 f(\frac{3}{3}) &amp;= 2 \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{7(1)-1}{5(1)-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{6}{3} \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{3}{2x-3})=\frac{2x+3}{x+4}&lt;/math&gt;!

;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan} f^{-1}(1) &amp;= a \text{ maka } f(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 a &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 a &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 \text{diubah menjadi } f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 \text{anggap bahwa } f^{-1}(1) &amp;= f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2(1)+3}{(1)+4}) &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 f^{-1}(\frac{5}{5}) &amp;= \frac{3}{-1} \\
 f^{-1}(1) &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui g(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, (g ο f)(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+1 dan h(x)=&lt;math&gt;\sqrt{5x-8}&lt;/math&gt;. Tentukan (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)(1)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

 (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(1) &amp;= h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(1))) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}((1)+1)) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}(2)) \\
 &amp;= h^{-1}(\sqrt{2}) \\
 &amp;= \frac{(\sqrt{2})^2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

\text{karena } (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x) &amp;= (f \circ g \circ h)^{-1}(x) \\

 (f \circ g \circ h)(x) &amp;= f(g(h(x))) \\
 &amp;= f(g(\sqrt{5x-8})) \\
 &amp;= f((\sqrt{5x-8})^2) \\
 &amp;= f(5x-8) \\
 &amp;= 5x-8-1 \\
 &amp;= 5x-9 \\

 \text{misal } (f \circ g \circ h)(x) &amp;= y \\
 y &amp;= 5x-9 \\
 x &amp;= \frac{y+9}{5} \\
 y^{-1} &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(x) &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(1) &amp;= (f(g(h)))^{-1}(1) \\
 &amp;= \frac{1+9}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{1}{x-1})=\frac{x+3}{x-1}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai f(2)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } f(2) &amp;= p \\
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \text{ diubah menjadi } f(\frac{x+3}{x-1}) = \frac{1}{x-1} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 f(2) &amp;= f(\frac{x+3}{x-1}) \\
 2 &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
 2(x-1) &amp;= x+3 \\
 2x-2 &amp;= x+3 \\
 x &amp;= 5 \\

 p &amp;= \frac{1}{x-1} \\
 &amp;= \frac{1}{5-1} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } \frac{1}{x-1} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{1+p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{1+p}{p}+3}) \\
 &amp;= p(\frac{1+p+3p}{p}) \\
 &amp;= 1+4p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 1+4p \\
 p &amp;= \frac{y-1}{4} \\
f(p) &amp;= \frac{p-1}{4} \\
f(2) &amp;= \frac{2-1}{4} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{3}{x+3})=\frac{2x+3}{x+3}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai a jika f(a)=1!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
\text{serta } f(a) &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \text{ diubah menjadi } f(\frac{2x+3}{x+3}) = \frac{3}{x+3} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 1 &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 x+3 &amp;= 3 \\
 x &amp;= 0 \\

 a &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 &amp;= \frac{3}{0+3} \\
 &amp;= \frac{3}{3} \\
 &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{3(\frac{2x}{3}+1)}{x+3} \\
\text{misalkan } \frac{3}{x+3} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{3-3p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{2(\frac{3-3p}{p})}{3}+1}) \\
 &amp;= p({\frac{6-6p}{3p}+1}) \\
 &amp;= p(\frac{6-6p+3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{6-3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{3(2-p)}{3p}) \\
 &amp;= 2-p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 2-p \\
 p &amp;= 2-y \\
f(p) &amp;= 2-p \\
f(a) &amp;= 2-a \\
f(a) &amp;= 1 \\
1 &amp;= 2-a \\
a &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) jika:
: f(x)=g(2x-3)
: f(2x-1)=g(3x+1)

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
 f(x)=g(2x-3) &amp;= y \\
 f(x) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= x \\
 g(2x-3) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 2x-3 \\
 &amp;= 2f^{-1}(y)-3 \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{g^{-1}(y)+3}{2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{g^{-1}(x)+3}{2} \\

*
 f(2x-1)=g(3x+1) &amp;= y \\
 f(2x-1) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= 2x-1 \\
 x &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 g(3x+1) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3x-1 \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3(\frac{f^{-1}(y)+1}{2})-1 \\
 \frac{g^{-1}(y)+1}{3} &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{2(g^{-1}(y)+1)}{3}-1 \\
 &amp;= \frac{2g^{-1}(y)-1}{3} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2g^{-1}(x)-1}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>cobukmp1n0kkmoj9bzybays0g6o2pd6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115087</id>
      <parentid>115086</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T23:30:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25685-25</username>
        <id>43054</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bentuk dan sifat fungsi invers */</comment>
      <origin>115087</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12022" sha1="489y5bsxkucacp7huwpba5lqj3zo7bn" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat fungsi invers ==
bentuk f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)

sifat:
# y = f(x) → f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x
# f(x-a) = g(x) → f(x) = g(x+a)
# f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) = f(x)
# f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x
# (f o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f) (x) = x
# (f o g)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)
# (f o g) (x) = h(x) → (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o h) (x) = g(x)
# (f o g o h)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)

: Pembuktian y = f(x) diubah jadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misal } y = f(x) &amp;= ax+b \\
 y &amp;= ax+b \\
 x &amp;= \frac{y-b}{a} \\
 
 \frac{y-b}{a} \text{ adalah } f^{-1}(y) \\
 x &amp;= f^{-1}(y) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: Pembuktian bahwa f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x!
:: sebelumnya pembuktian yang tadi (lihat diatas) lalu masukkan y = f(x) ke f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x menjadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x.

;tabel fungsi invers
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Fungsi invers (f(x)) !! Hasil (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))
|-
| &lt;math&gt;ax+b&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\frac{ax+b}{cx+d}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{-dx+b}{cx-a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;{(ax+b)}^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x}-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{ax+b}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;a^{(bx)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{^alogx}{b}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;^alog bx&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{a^x}{b}&lt;/math&gt;
|}

;contoh soal
# tentukan fungsi invers dari:
* f(x)=&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;log (x-7)
* f(3x-5)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+9
* f(&lt;math&gt;\frac{x+3}{x-6}&lt;/math&gt;)=&lt;math&gt;\frac{4x+1}{x+3}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
f(x) &amp;= ^2log (x-7) \\
y &amp;= ^2log (x-7) \\
2^y &amp;= x-7 \\
x &amp;= 2^y+7 \\
f^{-1}(x) &amp;= 2^x+7 \\

*
f(3x-5) &amp;= x^2-2x+9 \\
f(\frac{3x-5+5}{3}) &amp;= (\frac{x+5}{3})^2-2(\frac{x+5}{3})+9 \\
f(x) &amp;= \frac{x^2+10x+25}{9}-(\frac{2x+10}{3})+9 \\
&amp;= \frac{x^2+10x+25-6x-30+81}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+76}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+4+72}{9} \\
&amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y &amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y-8 &amp;= \frac{(x+2)^2}{9} \\
9(y-8) &amp;= (x+2)^2 \\
9y-72 &amp;= (x+2)^2 \\
\sqrt{9y-72} &amp;= x+2 \\
x &amp;= \sqrt{9y-72}-2 \\
&amp;= \sqrt{9(y-8)}-2 \\
&amp;= 3\sqrt{y-8}-2 \\
f^{-1}(x) &amp;= 3\sqrt{x-8}-2 \\

*
f(\frac{x+3}{x-6}) &amp;= \frac{4x+1}{x+3} \\
f(\frac{x+3}{x+3-9}) &amp;= \frac{4(x+3)-11}{x+3} \\
\text{misalkan } x+3=a \text{ dan } x=a-3 \\
f(\frac{a}{a-9}) &amp;= \frac{4a-11}{a} \\
&amp;= 4-\frac{11}{a} \\
\text{misalkan } \frac{a}{a-9}=b \text{ dan } a=\frac{9b}{b-1} \\
f(b) &amp;= 4-\frac{11}{\frac{9b}{b-1}} \\
&amp;= 4-\frac{11(b-1)}{9b} \\
&amp;= \frac{36b-11b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25}{9}+\frac{11}{9b} \\
y-\frac{25}{9} &amp;= \frac{11}{9b} \\
9b(y-\frac{25}{9}) &amp;= 11 \\
9by-25b &amp;= 11 \\
b(9y-25) &amp;= 11 \\
b &amp;= \frac{11}{9y-25} \\
f^{-1}(x) &amp;= \frac{11}{9x-25} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan fungsi invers dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{2x-1}{3x+4} \\
 3xf(x)+4f(x) &amp;= 2x-1 \\
 4f(x)+1 &amp;= 2x-3xf(x) \\
 4f(x)+1 &amp;= (2-3f(x))x \\
 x &amp;= \frac{4f(x)+1}{2-3f(x)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-3x+2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-(3x-2)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{-4x-1}{3x-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f(1) jika &lt;math&gt;f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5x-7}&lt;/math&gt;!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan } f(1) &amp;= a \text{ maka } f^{-1}(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= x \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 a &amp;= x \\
 a &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 \text{anggap bahwa } f(1) &amp; = f(\frac{2x-1}{5x-7}) \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2(2)-1}{5(2)-7}) &amp;= 2 \\
 f(\frac{3}{3}) &amp;= 2 \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{7(1)-1}{5(1)-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{6}{3} \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{3}{2x-3})=\frac{2x+3}{x+4}&lt;/math&gt;!

;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan} f^{-1}(1) &amp;= a \text{ maka } f(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 a &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 a &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 \text{diubah menjadi } f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 \text{anggap bahwa } f^{-1}(1) &amp;= f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2(1)+3}{(1)+4}) &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 f^{-1}(\frac{5}{5}) &amp;= \frac{3}{-1} \\
 f^{-1}(1) &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui g(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, (g ο f)(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+1 dan h(x)=&lt;math&gt;\sqrt{5x-8}&lt;/math&gt;. Tentukan (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)(1)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

 (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(1) &amp;= h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(1))) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}((1)+1)) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}(2)) \\
 &amp;= h^{-1}(\sqrt{2}) \\
 &amp;= \frac{(\sqrt{2})^2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

\text{karena } (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x) &amp;= (f \circ g \circ h)^{-1}(x) \\

 (f \circ g \circ h)(x) &amp;= f(g(h(x))) \\
 &amp;= f(g(\sqrt{5x-8})) \\
 &amp;= f((\sqrt{5x-8})^2) \\
 &amp;= f(5x-8) \\
 &amp;= 5x-8-1 \\
 &amp;= 5x-9 \\

 \text{misal } (f \circ g \circ h)(x) &amp;= y \\
 y &amp;= 5x-9 \\
 x &amp;= \frac{y+9}{5} \\
 y^{-1} &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(x) &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(1) &amp;= (f(g(h)))^{-1}(1) \\
 &amp;= \frac{1+9}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{1}{x-1})=\frac{x+3}{x-1}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai f(2)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } f(2) &amp;= p \\
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \text{ diubah menjadi } f(\frac{x+3}{x-1}) = \frac{1}{x-1} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 f(2) &amp;= f(\frac{x+3}{x-1}) \\
 2 &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
 2(x-1) &amp;= x+3 \\
 2x-2 &amp;= x+3 \\
 x &amp;= 5 \\

 p &amp;= \frac{1}{x-1} \\
 &amp;= \frac{1}{5-1} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } \frac{1}{x-1} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{1+p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{1+p}{p}+3}) \\
 &amp;= p(\frac{1+p+3p}{p}) \\
 &amp;= 1+4p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 1+4p \\
 p &amp;= \frac{y-1}{4} \\
f(p) &amp;= \frac{p-1}{4} \\
f(2) &amp;= \frac{2-1}{4} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{3}{x+3})=\frac{2x+3}{x+3}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai a jika f(a)=1!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
\text{serta } f(a) &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \text{ diubah menjadi } f(\frac{2x+3}{x+3}) = \frac{3}{x+3} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 1 &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 x+3 &amp;= 3 \\
 x &amp;= 0 \\

 a &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 &amp;= \frac{3}{0+3} \\
 &amp;= \frac{3}{3} \\
 &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{3(\frac{2x}{3}+1)}{x+3} \\
\text{misalkan } \frac{3}{x+3} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{3-3p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{2(\frac{3-3p}{p})}{3}+1}) \\
 &amp;= p({\frac{6-6p}{3p}+1}) \\
 &amp;= p(\frac{6-6p+3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{6-3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{3(2-p)}{3p}) \\
 &amp;= 2-p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 2-p \\
 p &amp;= 2-y \\
f(p) &amp;= 2-p \\
f(a) &amp;= 2-a \\
f(a) &amp;= 1 \\
1 &amp;= 2-a \\
a &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) jika:
: f(x)=g(2x-3)
: f(2x-1)=g(3x+1)

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
 f(x)=g(2x-3) &amp;= y \\
 f(x) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= x \\
 g(2x-3) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 2x-3 \\
 &amp;= 2f^{-1}(y)-3 \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{g^{-1}(y)+3}{2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{g^{-1}(x)+3}{2} \\

*
 f(2x-1)=g(3x+1) &amp;= y \\
 f(2x-1) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= 2x-1 \\
 x &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 g(3x+1) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3x-1 \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3(\frac{f^{-1}(y)+1}{2})-1 \\
 \frac{g^{-1}(y)+1}{3} &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{2(g^{-1}(y)+1)}{3}-1 \\
 &amp;= \frac{2g^{-1}(y)-1}{3} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2g^{-1}(x)-1}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>489y5bsxkucacp7huwpba5lqj3zo7bn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115088</id>
      <parentid>115087</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T23:32:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25685-25</username>
        <id>43054</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bentuk dan sifat fungsi invers */</comment>
      <origin>115088</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12024" sha1="26vdh9lp7g60m2qjbiznmbw8omqz194" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat fungsi invers ==
bentuk f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)

sifat:
# y = f(x) → f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x
# f(x-a) = g(x) → f(x) = g(x+a)
# (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) = f(x)
# f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x
# (f o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f) (x) = x
# (f o g)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)
# (f o g) (x) = h(x) → (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o h) (x) = g(x)
# (f o g o h)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)

: Pembuktian y = f(x) diubah jadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misal } y = f(x) &amp;= ax+b \\
 y &amp;= ax+b \\
 x &amp;= \frac{y-b}{a} \\
 
 \frac{y-b}{a} \text{ adalah } f^{-1}(y) \\
 x &amp;= f^{-1}(y) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: Pembuktian bahwa f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x!
:: sebelumnya pembuktian yang tadi (lihat diatas) lalu masukkan y = f(x) ke f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x menjadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x.

;tabel fungsi invers
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Fungsi invers (f(x)) !! Hasil (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))
|-
| &lt;math&gt;ax+b&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\frac{ax+b}{cx+d}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{-dx+b}{cx-a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;{(ax+b)}^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x}-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{ax+b}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;a^{(bx)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{^alogx}{b}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;^alog bx&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{a^x}{b}&lt;/math&gt;
|}

;contoh soal
# tentukan fungsi invers dari:
* f(x)=&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;log (x-7)
* f(3x-5)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+9
* f(&lt;math&gt;\frac{x+3}{x-6}&lt;/math&gt;)=&lt;math&gt;\frac{4x+1}{x+3}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
f(x) &amp;= ^2log (x-7) \\
y &amp;= ^2log (x-7) \\
2^y &amp;= x-7 \\
x &amp;= 2^y+7 \\
f^{-1}(x) &amp;= 2^x+7 \\

*
f(3x-5) &amp;= x^2-2x+9 \\
f(\frac{3x-5+5}{3}) &amp;= (\frac{x+5}{3})^2-2(\frac{x+5}{3})+9 \\
f(x) &amp;= \frac{x^2+10x+25}{9}-(\frac{2x+10}{3})+9 \\
&amp;= \frac{x^2+10x+25-6x-30+81}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+76}{9} \\
&amp;= \frac{x^2+4x+4+72}{9} \\
&amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y &amp;= \frac{(x+2)^2}{9}+8 \\
y-8 &amp;= \frac{(x+2)^2}{9} \\
9(y-8) &amp;= (x+2)^2 \\
9y-72 &amp;= (x+2)^2 \\
\sqrt{9y-72} &amp;= x+2 \\
x &amp;= \sqrt{9y-72}-2 \\
&amp;= \sqrt{9(y-8)}-2 \\
&amp;= 3\sqrt{y-8}-2 \\
f^{-1}(x) &amp;= 3\sqrt{x-8}-2 \\

*
f(\frac{x+3}{x-6}) &amp;= \frac{4x+1}{x+3} \\
f(\frac{x+3}{x+3-9}) &amp;= \frac{4(x+3)-11}{x+3} \\
\text{misalkan } x+3=a \text{ dan } x=a-3 \\
f(\frac{a}{a-9}) &amp;= \frac{4a-11}{a} \\
&amp;= 4-\frac{11}{a} \\
\text{misalkan } \frac{a}{a-9}=b \text{ dan } a=\frac{9b}{b-1} \\
f(b) &amp;= 4-\frac{11}{\frac{9b}{b-1}} \\
&amp;= 4-\frac{11(b-1)}{9b} \\
&amp;= \frac{36b-11b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25b+11}{9b} \\
&amp;= \frac{25}{9}+\frac{11}{9b} \\
y-\frac{25}{9} &amp;= \frac{11}{9b} \\
9b(y-\frac{25}{9}) &amp;= 11 \\
9by-25b &amp;= 11 \\
b(9y-25) &amp;= 11 \\
b &amp;= \frac{11}{9y-25} \\
f^{-1}(x) &amp;= \frac{11}{9x-25} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan fungsi invers dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{2x-1}{3x+4} \\
 3xf(x)+4f(x) &amp;= 2x-1 \\
 4f(x)+1 &amp;= 2x-3xf(x) \\
 4f(x)+1 &amp;= (2-3f(x))x \\
 x &amp;= \frac{4f(x)+1}{2-3f(x)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-3x+2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-(3x-2)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{-4x-1}{3x-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f(1) jika &lt;math&gt;f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5x-7}&lt;/math&gt;!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan } f(1) &amp;= a \text{ maka } f^{-1}(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= x \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 a &amp;= x \\
 a &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 \text{anggap bahwa } f(1) &amp; = f(\frac{2x-1}{5x-7}) \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2(2)-1}{5(2)-7}) &amp;= 2 \\
 f(\frac{3}{3}) &amp;= 2 \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{7(1)-1}{5(1)-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{6}{3} \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{3}{2x-3})=\frac{2x+3}{x+4}&lt;/math&gt;!

;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan} f^{-1}(1) &amp;= a \text{ maka } f(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 a &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 a &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 \text{diubah menjadi } f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 \text{anggap bahwa } f^{-1}(1) &amp;= f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2(1)+3}{(1)+4}) &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 f^{-1}(\frac{5}{5}) &amp;= \frac{3}{-1} \\
 f^{-1}(1) &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui g(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, (g ο f)(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x+1 dan h(x)=&lt;math&gt;\sqrt{5x-8}&lt;/math&gt;. Tentukan (h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; ο f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)(1)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

 (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(1) &amp;= h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(1))) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}((1)+1)) \\
 &amp;= h^{-1}(g^{-1}(2)) \\
 &amp;= h^{-1}(\sqrt{2}) \\
 &amp;= \frac{(\sqrt{2})^2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{2+8}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 g(x) &amp;= x^2 \\
 g^{-1}(x) &amp;= \sqrt{x} \\

 (g \circ f)(x) &amp;= x^2-2x+1 \\
 g(f(x)) &amp;= (x-1)^2 \\
 (f(x))^2 &amp;= (x-1)^2 \\
 f(x) &amp;= x-1 \\
 f^{-1}(x) &amp;= x+1 \\

 h(x) &amp;= \sqrt{5x-8} \\
 h^{-1}(x) &amp;= \frac{x^2+8}{5} \\

\text{karena } (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x) &amp;= (f \circ g \circ h)^{-1}(x) \\

 (f \circ g \circ h)(x) &amp;= f(g(h(x))) \\
 &amp;= f(g(\sqrt{5x-8})) \\
 &amp;= f((\sqrt{5x-8})^2) \\
 &amp;= f(5x-8) \\
 &amp;= 5x-8-1 \\
 &amp;= 5x-9 \\

 \text{misal } (f \circ g \circ h)(x) &amp;= y \\
 y &amp;= 5x-9 \\
 x &amp;= \frac{y+9}{5} \\
 y^{-1} &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(x) &amp;= \frac{x+9}{5} \\
 
 (f \circ g \circ h)^{-1}(1) &amp;= (f(g(h)))^{-1}(1) \\
 &amp;= \frac{1+9}{5} \\
 &amp;= \frac{10}{5} \\
 &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{1}{x-1})=\frac{x+3}{x-1}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai f(2)!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } f(2) &amp;= p \\
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \text{ diubah menjadi } f(\frac{x+3}{x-1}) = \frac{1}{x-1} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 f(2) &amp;= f(\frac{x+3}{x-1}) \\
 2 &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
 2(x-1) &amp;= x+3 \\
 2x-2 &amp;= x+3 \\
 x &amp;= 5 \\

 p &amp;= \frac{1}{x-1} \\
 &amp;= \frac{1}{5-1} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{1}{x-1}) &amp;= \frac{x+3}{x-1} \\
\text{misalkan } \frac{1}{x-1} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{1+p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{1+p}{p}+3}) \\
 &amp;= p(\frac{1+p+3p}{p}) \\
 &amp;= 1+4p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 1+4p \\
 p &amp;= \frac{y-1}{4} \\
f(p) &amp;= \frac{p-1}{4} \\
f(2) &amp;= \frac{2-1}{4} \\
 &amp;= \frac{1}{4} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui &lt;math&gt;f^{-1}(\frac{3}{x+3})=\frac{2x+3}{x+3}&lt;/math&gt;. Tentukan nilai a jika f(a)=1!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
\text{serta } f(a) &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \text{ diubah menjadi } f(\frac{2x+3}{x+3}) = \frac{3}{x+3} \\
\text{perhatikan kedua persamaan dimana ruas kiri dan kanan sama hasilnya } \\
 1 &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 x+3 &amp;= 3 \\
 x &amp;= 0 \\

 a &amp;= \frac{3}{x+3} \\
 &amp;= \frac{3}{0+3} \\
 &amp;= \frac{3}{3} \\
 &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+3} \\
 f^{-1}(\frac{3}{x+3}) &amp;= \frac{3(\frac{2x}{3}+1)}{x+3} \\
\text{misalkan } \frac{3}{x+3} &amp;= p \text{ dan } x = \frac{3-3p}{p} \\
 f^{-1}(p) &amp;= p({\frac{2(\frac{3-3p}{p})}{3}+1}) \\
 &amp;= p({\frac{6-6p}{3p}+1}) \\
 &amp;= p(\frac{6-6p+3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{6-3p}{3p}) \\
 &amp;= p(\frac{3(2-p)}{3p}) \\
 &amp;= 2-p \\
\text{misalkan } f^{-1}(p) &amp;= y \\
 y &amp;= 2-p \\
 p &amp;= 2-y \\
f(p) &amp;= 2-p \\
f(a) &amp;= 2-a \\
f(a) &amp;= 1 \\
1 &amp;= 2-a \\
a &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) jika:
: f(x)=g(2x-3)
: f(2x-1)=g(3x+1)

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
*
 f(x)=g(2x-3) &amp;= y \\
 f(x) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= x \\
 g(2x-3) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 2x-3 \\
 &amp;= 2f^{-1}(y)-3 \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{g^{-1}(y)+3}{2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{g^{-1}(x)+3}{2} \\

*
 f(2x-1)=g(3x+1) &amp;= y \\
 f(2x-1) &amp;= y \\
 f^{-1}(y) &amp;= 2x-1 \\
 x &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 g(3x+1) &amp;= y \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3x-1 \\
 g^{-1}(y) &amp;= 3(\frac{f^{-1}(y)+1}{2})-1 \\
 \frac{g^{-1}(y)+1}{3} &amp;= \frac{f^{-1}(y)+1}{2} \\
 f^{-1}(y) &amp;= \frac{2(g^{-1}(y)+1)}{3}-1 \\
 &amp;= \frac{2g^{-1}(y)-1}{3} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2g^{-1}(x)-1}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>26vdh9lp7g60m2qjbiznmbw8omqz194</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Integral</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23140</id>
    <revision>
      <id>115090</id>
      <parentid>115032</parentid>
      <timestamp>2026-04-29T10:53:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25885-98</username>
        <id>43062</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115090</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45511" sha1="adp5abko0chnrwy1v9ir0htx658cu8n" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ f^{-1}(x) dx&lt;/math&gt; = f’(f^{-1}(x)) f^{-1}’(x) = 1
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx \\
=&amp;\; \int (-\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx&lt;/math&gt;

: cara 1
Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{(x - 3)^3} \\

&amp;\; \text{untuk mencari C yaitu } (3)^2+5(3)+4=28 \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3)^2 + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x^2 - 6x + 9) + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 - 6Ax + 9A + Bx - 3B}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 + (- 6A + B)x +(9 - 3B)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-6A + B = 5&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 11&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{11}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3})\,dx \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: cara 2
Pertama, ubah u=x-3 menjadi x=u+3 dan du=dx tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{(u+3)^2+5(u+3)+4}{u^3} \\
=&amp;\; \frac{u^2+11u+28}{u^3} \\

&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int \frac{u^2+11u+28}{u^3}\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{u^2}{u^3} + \frac{11u}{u^3} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{u} + \frac{11}{u^2} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \ln u + (-11 u^{-1}) + (-14 u^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, penyelesaian dengan persamaan polinomial tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; x^2+6x+8 + \frac{7x-3}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kedua, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{7x - 3}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{7x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3) + B(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x + (-3A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 7&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-3A - B = -3&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -2&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 9&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int (-\frac{2}{(x - 1)} + \frac{9}{x - 3})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x- 2 \ln|x - 1| + 9 \ln|x - 3| \,dx + C \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>adp5abko0chnrwy1v9ir0htx658cu8n</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115091</id>
      <parentid>115090</parentid>
      <timestamp>2026-04-29T11:50:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25885-98</username>
        <id>43062</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115091</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45508" sha1="9l3dgedxmiuo8gfnljg9r1ndu658gzh" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ f^{-1}(x) dx&lt;/math&gt; = f’(f^{-1}(x)) f^{-1}(x) = 1
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx \\
=&amp;\; \int (-\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx&lt;/math&gt;

: cara 1
Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{(x - 3)^3} \\

&amp;\; \text{untuk mencari C yaitu } (3)^2+5(3)+4=28 \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3)^2 + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x^2 - 6x + 9) + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 - 6Ax + 9A + Bx - 3B}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 + (- 6A + B)x +(9 - 3B)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-6A + B = 5&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 11&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{11}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3})\,dx \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: cara 2
Pertama, ubah u=x-3 menjadi x=u+3 dan du=dx tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{(u+3)^2+5(u+3)+4}{u^3} \\
=&amp;\; \frac{u^2+11u+28}{u^3} \\

&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int \frac{u^2+11u+28}{u^3}\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{u^2}{u^3} + \frac{11u}{u^3} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{u} + \frac{11}{u^2} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \ln u + (-11 u^{-1}) + (-14 u^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, penyelesaian dengan persamaan polinomial tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; x^2+6x+8 + \frac{7x-3}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kedua, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{7x - 3}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{7x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3) + B(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x + (-3A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 7&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-3A - B = -3&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -2&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 9&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int (-\frac{2}{(x - 1)} + \frac{9}{x - 3})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x- 2 \ln|x - 1| + 9 \ln|x - 3| \,dx + C \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>9l3dgedxmiuo8gfnljg9r1ndu658gzh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115092</id>
      <parentid>115091</parentid>
      <timestamp>2026-04-29T11:51:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25885-98</username>
        <id>43062</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115092</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45508" sha1="2ila4qfityn8zb0s40q9g4ympsvzcxw" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ f^{-1}(x) dx = f’(f^{-1}(x)) f^{-1}(x) = 1&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx \\
=&amp;\; \int (-\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx&lt;/math&gt;

: cara 1
Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{(x - 3)^3} \\

&amp;\; \text{untuk mencari C yaitu } (3)^2+5(3)+4=28 \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3)^2 + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x^2 - 6x + 9) + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 - 6Ax + 9A + Bx - 3B}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 + (- 6A + B)x +(9 - 3B)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-6A + B = 5&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 11&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{11}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3})\,dx \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: cara 2
Pertama, ubah u=x-3 menjadi x=u+3 dan du=dx tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{(u+3)^2+5(u+3)+4}{u^3} \\
=&amp;\; \frac{u^2+11u+28}{u^3} \\

&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int \frac{u^2+11u+28}{u^3}\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{u^2}{u^3} + \frac{11u}{u^3} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{u} + \frac{11}{u^2} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \ln u + (-11 u^{-1}) + (-14 u^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, penyelesaian dengan persamaan polinomial tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; x^2+6x+8 + \frac{7x-3}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kedua, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{7x - 3}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{7x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3) + B(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x + (-3A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 7&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-3A - B = -3&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -2&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 9&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int (-\frac{2}{(x - 1)} + \frac{9}{x - 3})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x- 2 \ln|x - 1| + 9 \ln|x - 3| \,dx + C \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>2ila4qfityn8zb0s40q9g4ympsvzcxw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115093</id>
      <parentid>115092</parentid>
      <timestamp>2026-04-29T11:52:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25885-98</username>
        <id>43062</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115093</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45507" sha1="4x4g1kf5muqll6cm5s1qfxqeies90s0" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ f^{-1}(x) dx = f'(f^{-1}(x)) f^{-1}'(x) = 1&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx \\
=&amp;\; \int (-\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx&lt;/math&gt;

: cara 1
Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{(x - 3)^3} \\

&amp;\; \text{untuk mencari C yaitu } (3)^2+5(3)+4=28 \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3)^2 + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x^2 - 6x + 9) + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 - 6Ax + 9A + Bx - 3B}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 + (- 6A + B)x +(9 - 3B)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-6A + B = 5&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 11&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{11}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3})\,dx \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: cara 2
Pertama, ubah u=x-3 menjadi x=u+3 dan du=dx tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{(u+3)^2+5(u+3)+4}{u^3} \\
=&amp;\; \frac{u^2+11u+28}{u^3} \\

&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int \frac{u^2+11u+28}{u^3}\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{u^2}{u^3} + \frac{11u}{u^3} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{u} + \frac{11}{u^2} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \ln u + (-11 u^{-1}) + (-14 u^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, penyelesaian dengan persamaan polinomial tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; x^2+6x+8 + \frac{7x-3}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kedua, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{7x - 3}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{7x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3) + B(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x + (-3A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 7&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-3A - B = -3&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -2&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 9&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int (-\frac{2}{(x - 1)} + \frac{9}{x - 3})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x- 2 \ln|x - 1| + 9 \ln|x - 3| \,dx + C \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>4x4g1kf5muqll6cm5s1qfxqeies90s0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115094</id>
      <parentid>115093</parentid>
      <timestamp>2026-04-29T11:58:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25885-98</username>
        <id>43062</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kaidah umum */</comment>
      <origin>115094</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45527" sha1="oprbs95v4w17hez1suo99gttr8p5xlj" xml:space="preserve">== Kaidah umum ==
:# &lt;math&gt;\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C &lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \, dx = F(x) + C&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ g(x) dx&lt;/math&gt; = f’(g(x)) g’(x)
:# &lt;math&gt;\int f(x) \circ f^{-1}(x) dx&lt;/math&gt; = f’(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;’(x) = 1
:# &lt;math&gt;\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}&lt;/math&gt;

== rumus sederhana ==
:&lt;math&gt;\int \, dx = x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int (ax+b)^n\,dx =  \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt;\int e^x\,dx = e^x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C&lt;/math&gt;

; Trigonometri
:&lt;math&gt;\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x  + \tan \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
:&lt;math&gt;\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C&lt;/math&gt;

== Jenis integral ==
=== integral biasa ===
Berikut contoh penyelesaian cara biasa.
: 1. &lt;math&gt;\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C&lt;/math&gt;

=== integral substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{\ln(x)}{x} dx \\
\int u du \\
\frac{1}{2} u^2 + C \\
\frac{1}{2} ln^2 x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5&lt;/math&gt; 

Dengan menggunakan rumus di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4\,dx \\
\int (u+5)u^4\,du \\
\int (u^5+5u^4)\,du \\
\frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\
\frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\
\frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\
\frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\
\frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral parsial ===
;Cara 1: Rumus
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: &lt;math&gt;\int u\,dv = uv - \int v\,du &lt;/math&gt;

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \,dx \\
(x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\
-x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x\,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x\, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x\,dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

: &lt;math&gt;u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x&lt;/math&gt;

Dengan menggunakan rumus di atas,
: 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x\, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\

u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\

(\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\
e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\
e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\

\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;Cara 2: Tabel
Untuk &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\int u\,dv&lt;/math&gt;, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;dv&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{du}{dx}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;\frac{d^2u}{dx^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\int v\,dx&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.
: 1. &lt;math&gt;\int x \sin \, x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\sin \, x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\cos \, x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;-\sin \, x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \sin \, x \, dx \\
(x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\
-x \cos \, x + \sin \, x + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int x(x-5)^4 \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x-5)^4&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{5}(x-5)^5&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{30}(x-5)^6&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x(x-5)^4 \, dx \\
(x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\
\frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int x \ln \,x \, dx&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\ln \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\frac{1}{x}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2}{2}&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int x \ln \,x \, dx \\
(\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\
\frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: 4. &lt;math&gt;\int e^x \sin \,x \, dx&lt;/math&gt;

ini terjadi dua kali integral parsial

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || &lt;math&gt;\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| - || &lt;math&gt;\cos \, x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|-
| + || &lt;math&gt;-\sin \,x&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;e^x&lt;/math&gt;
|}

Dengan tabel di atas,
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int e^x \sin \,x \, dx \\
(\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\
e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\

\text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\
I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\
2I &amp;= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\
I &amp;= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\
 &amp;= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== integral pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: 1. &lt;math&gt;\int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 0&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A - B = -\frac{1}{2}&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -\frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx \\
=&amp;\; \int (-\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 2. &lt;math&gt;\int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx&lt;/math&gt;

: cara 1
Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{(x - 3)^3} \\

&amp;\; \text{untuk mencari C yaitu } (3)^2+5(3)+4=28 \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3)^2 + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{A(x^2 - 6x + 9) + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 - 6Ax + 9A + Bx - 3B}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
=&amp;\; \frac{Ax^2 + (- 6A + B)x +(9 - 3B)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-6A + B = 5&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = 1&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 11&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{11}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3})\,dx \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: cara 2
Pertama, ubah u=x-3 menjadi x=u+3 dan du=dx tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\
=&amp;\; \frac{(u+3)^2+5(u+3)+4}{u^3} \\
=&amp;\; \frac{u^2+11u+28}{u^3} \\

&amp;\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\
=&amp;\; \int \frac{u^2+11u+28}{u^3}\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{u^2}{u^3} + \frac{11u}{u^3} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \int (\frac{1}{u} + \frac{11}{u^2} + \frac{28}{u^3})\,du \\
=&amp;\; \ln u + (-11 u^{-1}) + (-14 u^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\
=&amp;\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C
\end{aligned}&lt;/math&gt;

: 3. &lt;math&gt;\int \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3}\,dx&lt;/math&gt;

Pertama, penyelesaian dengan persamaan polinomial tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; x^2+6x+8 + \frac{7x-3}{x^2-4x+3} \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kedua, pisahkan pecahan tersebut.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; \frac{7x - 3}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{7x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \\
=&amp;\; \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \\
=&amp;\; \frac{A(x - 3) + B(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \\
=&amp;\; \frac{(A + B)x + (-3A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Kita tahu bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A + B = 7&lt;/math&gt; dan &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-3A - B = -3&lt;/math&gt; dapat diselesaikan, yaitu &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A = -2&lt;/math&gt; dan {{nowrap|&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B = 9&lt;/math&gt;.}}

: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int (-\frac{2}{(x - 1)} + \frac{9}{x - 3})\,dx \\
=&amp;\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x- 2 \ln|x - 1| + 9 \ln|x - 3| \,dx + C \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;

=== integral substitusi trigonometri ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Bentuk !! Substitusi Trigonometri
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 - b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sin \, \alpha &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{a^2 + b^2 x^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} tan \, \alpha&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{b^2 x^2 - a^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;x = \frac{a}{b} sec \, \alpha&lt;/math&gt;
|}

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.
: &lt;math&gt;\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\
=&amp;\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\
=&amp;\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Substitusi berikut dapat dibuat.
: &lt;math&gt;\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA&lt;/math&gt;

Dengan substitusi di atas,
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&amp;\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Ingat bahwa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}&lt;/math&gt; berlaku.
: &lt;math&gt;
\begin{aligned}
=&amp;\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\
=&amp;\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

=== integral mutlak ===
: &lt;math&gt;\int |f(x)| \,dA&lt;/math&gt;

buatlah &lt;math&gt;f(x) \ge 0&lt;/math&gt; jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x)

: &lt;math&gt;\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;|f(x)| = \begin{cases} f(x), &amp; \mbox{jika }  f(x) \ge b,  \\ -f(x),  &amp; \mbox{jika } f(x) &lt; b. \end{cases}&lt;/math&gt;. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif.

=== integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap ===
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap
maka berlaku untuk integral:
: integral fungsi ganjil
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = 0

: integral fungsi genap
: &lt;math&gt;\int_{-a}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;2 \int_{0}^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral notasi ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx&lt;/math&gt;

=== integral terbalik ===
: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx&lt;/math&gt;

== Jenis integral lainnya ==
=== panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== luas daerah ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva 
; Sumbu ''x''
: &lt;math&gt;L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y''
: &lt;math&gt;L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}&lt;/math&gt;

=== luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds&lt;/math&gt;
dengan
: &lt;math&gt;ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy&lt;/math&gt;

=== volume benda putar ===
; Satu kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy&lt;/math&gt;

; Dua kurva
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx&lt;/math&gt;

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: &lt;math&gt;V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy&lt;/math&gt;

: atau juga &lt;math&gt;V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|&lt;/math&gt;

== Integral lipat ==
Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. 

;contoh
# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int x^2 cos 3x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sin^2 x cos x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int cos^2 x sin x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int sec x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int csc x dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx&lt;/math&gt;

; jawaban
**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{misalkan } u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 u &amp;= 5x^2-2x+7 \\
 du &amp;= 10x-2 dx \\
 &amp;= 2(5x-1) dx \\
 \frac{du}{2} &amp;= (5x-1) dx \\
 
 \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &amp;= \int \frac{1}{2}u^4 du \\
 &amp;= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\
 &amp;= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{gunakan integral parsial } \\
 \int x^2 cos 3x dx &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= sin x \\
 u &amp;= sin x \\
 du &amp;= cos x dx \\

 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int u^2 du \\
 &amp;= \frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= \frac{sin^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\
 &amp;= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int sin^2 x cos x dx &amp;= \int sin x sin x cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\
 &amp;= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
*
\text{cara 1} \\
\text{misalkan } u &amp;= cos x \\
 u &amp;= cos x \\
 du &amp;= -sin x dx \\
 -du &amp;= sin x dx \\

 \int cos^2 x sin x dx &amp;= -\int u^2 du \\
 &amp;= -\frac{u^3}{3}+C \\
 &amp;= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\

*
\text{cara 2} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\

*
\text{cara 3} \\
 \int cos^2 x sin x dx &amp;= \int cos x cos x sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\
 &amp;= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\
 &amp;= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int sec x dx &amp;= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= sec x+tan x \\
 u &amp;= sec x+tan x \\
 du &amp;= sec xtan x+sec^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\
 &amp;= \int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= ln u+C \\
 &amp;= ln |sec x+tan x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int csc x dx &amp;= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
\text{misalkan } u &amp;= csc x+cot x \\
 u &amp;= csc x+cot x \\
 du &amp;= -csc xcot x-csc^2 x dx \\
 -du &amp;= csc xcot x+csc^2 x dx \\

 &amp;= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\
 &amp;= -\int \frac{1}{u}du \\
 &amp;= -ln u+C \\
 &amp;= -ln |csc x+cot x|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &amp;= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\
\text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\
 &amp;= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\
 &amp;= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\
 &amp;= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\
 x &amp;= \frac{5}{12} sin A \\
 dx &amp;= \frac{5}{12} cos A dA \\
 
 \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\
 &amp;= A+C \\
 A &amp;= arc sin \frac{12x}{5} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\
 x &amp;= \frac{2}{5} tan A \\
 dx &amp;= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\
 
 \int \frac{1}{12+75x^2} dx &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\
 &amp;= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\
 &amp;= \int \frac{1}{30} dA \\
 &amp;= \frac{A}{30}+C \\
 A &amp;= arc tan \frac{5x}{2} \\
 &amp;= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\
 x &amp;= \frac{7}{11} sec A \\
 dx &amp;= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\
 
 \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &amp;= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\
 &amp;= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\
 &amp;= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\
 &amp;= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\
 A &amp;= arc sec \frac{11x}{7} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec^2 x \\
\int sec^2 x dx &amp;= tan x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\
 a=1, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{1}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{1}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc^2 x \\
\int csc^2 x dx &amp;= -cot x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\
 a=sin x, r=sin^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\
 &amp;= \frac{sin x}{cos^2 x} \\
 &amp;= sec x \cdot tan x \\
\int sec x \cdot tan x dx &amp;= sec x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\
 a=cos x, r=cos^2 x \\
 S_{\infty} &amp;= \frac{a}{1-r} \\
 &amp;= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\
 &amp;= \frac{cos x}{sin^2 x} \\
 &amp;= csc x \cdot cot x \\
\int csc x \cdot cot x dx &amp;= -csc x+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\
\text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y &amp;= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\
 y^2 &amp;= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\
 &amp;= \frac{x}{y} \\
 y^3 &amp;= x \\
 3y^2 dy &amp;= dx \\
\int y \cdot 3y^2 dy \\
\int 3y^3 dy \\
\frac{3y^4}{4}+C \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan hasil dari:
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} 2x-3 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{0}^{4} |x-2| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{2}^{4} |3-x| dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx&lt;/math&gt;

; jawaban
** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} 2x-3 dx &amp;= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= 10 - (-2) \\
&amp;= 12 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{0}^{4} |x-2| dx \\
\text{ tentukan nilai harga nol } \\
x-2 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\
|x-2| = \begin{cases} x-2, &amp; \mbox{jika }  x \ge 2,  \\ -(x-2),  &amp; \mbox{jika } x &lt; 2. \end{cases} \\
\int_{0}^{4} |x-2| dx &amp;= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\
&amp;= 0 - (-2) + 2 - 0 \\
&amp;= 4 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{2}^{4} |3-x| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
3-x &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
x &amp;= 3 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\
|3-x| = \begin{cases} 3-x, &amp; \mbox{jika }  x \le 3,  \\ -(3-x),  &amp; \mbox{jika } x &gt; 3. \end{cases} \\
\int_{2}^{4} |3-x| dx &amp;= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\
&amp;= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\
&amp;= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\
&amp;= 1 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

**
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &amp;= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\
&amp;= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\
&amp;= \frac{4}{3} \\
&amp;= 1\frac{1}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

** 
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\
\text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\
x^2-2x-8 &amp;\ge 0 \\
\text{ harga nol } \\
(x+2)(x-4) &amp;= 0 \\
x = -2 \text{ atau } x = 4 \\
\text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\
|x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \le -2,  \\ -(x^2-2x-8),  &amp; \mbox{jika } -2 &lt; x &lt; 4, \\ x^2-2x-8, &amp; \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\
\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &amp;= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\
&amp;= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\
&amp;= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\
&amp;= \frac{128}{3} \\
&amp;= 42\frac{2}{3} \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{2} x^2 \\
L &amp;= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = x^2&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int x^2\,dx \\
L &amp;= \frac{1}{3} x^3 \\
L &amp;= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis &lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
L &amp;= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &amp;= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &amp;= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi &lt;math&gt;L = s^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &amp;= sx |_{0}^{s} \\
L &amp;= ss - 0 \\
L &amp;= s^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas persegi panjang &lt;math&gt;L = pl&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &amp;= lx |_{0}^{p} \\
L &amp;= pl - 0 \\
L &amp;= pl
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Buktikan luas segitiga &lt;math&gt;L = \frac{at}{2}&lt;/math&gt; dengan cara integral!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\
L &amp;= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\
L &amp;= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\
L &amp;= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &amp;= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &amp;= \frac{at}{2}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume tabung &lt;math&gt;V = \pi r^2t&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi r^2t - 0 \\
V &amp;= \pi r^2t
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume kerucut &lt;math&gt;V = \frac{\pi r^2t}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\
V &amp;= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\
V &amp;= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\
V &amp;= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &amp;= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan volume bola &lt;math&gt;V = \frac{4 \pi r^3}{3}&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &amp;= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &amp;= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\
V &amp;= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\
V &amp;= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas permukaan bola &lt;math&gt;L = 4 \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{selanjutnya } \\
ds &amp;= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &amp;= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\text{sehingga } \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &amp;= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &amp;= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\
L &amp;= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &amp;= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &amp;= 4 \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan keliling lingkaran &lt;math&gt;K = 2 \pi r&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\
\text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\
 y' &amp;= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\
\text{sehingga } \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &amp;= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &amp;= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\
K &amp;= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\
K &amp;= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
K &amp;= 2 \pi r
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas lingkaran &lt;math&gt;L = \pi r^2&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\
\sin(\theta) &amp;= \frac{x}{r} \\
x &amp;= r \sin(\theta) \\
dx &amp;= r \cos(\theta)\,d\theta \\
\text{dengan turunan di atas } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &amp;= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &amp;= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\
L &amp;= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\
L &amp;= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &amp;= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\
L &amp;= \pi r^2
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Buktikan luas elips &lt;math&gt;L = \pi ab&lt;/math&gt; dengan cara integral!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\
L &amp;= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &amp;= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\
\text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &amp;= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &amp;= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &amp;= \pi ab
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa luas daerah yang dibatasi y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan y=4x+7!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 x^-2x &amp;= 4x+7 \\
 x^2-6x-7 &amp;= 0 \\
 (x+1)(x-7) &amp;= 0 \\
 x=-1 &amp;\text{ atau } x=7 \\

y &amp;= 4(-1)+7 = 3 \\
y &amp;= 4(7)+7 = 35 \\

\text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

L &amp;= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\
 &amp;= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\
 &amp;= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\
 &amp;= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\
 &amp;= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\
 &amp;= \frac{258}{3} \\
 &amp;= 86 \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{aligned}
\text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\
 y_1 &amp;= y_2 \\
 6-1,5x &amp;= x-4 \\
 2,5x &amp;= 10 \\
 x &amp;= 4 \\

y &amp;= 4-4 = 0 \\

\text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\

\text{untuk x=0 } \\
y &amp;= 6-1,5(0) = 6 \\
y &amp;= 0-4 = -4 \\

L &amp;= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\
 &amp;= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\
 &amp;= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\
 &amp;= \pi (\frac{30}{3}-0) \\
 &amp;= 10\pi \\
\end{aligned}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>oprbs95v4w17hez1suo99gttr8p5xlj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23197</id>
    <revision>
      <id>115077</id>
      <parentid>114836</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T12:11:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-25685-25</username>
        <id>43054</id>
      </contributor>
      <comment>/* Diskriminan dan kriteria akar-akar */</comment>
      <origin>115077</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23745" sha1="3gmr4v91v7ttbai2im5r8a5xke18sh4" xml:space="preserve">== Sistem persamaan ==
; bentuk: ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0

== Nilai hasil akar ==
Nilai hasil akar terdiri dari tiga jenis yaitu memfaktorkan, pengkuadratan serta rumus ABC.

contoh
# tentukan nilai akar dari persamaan x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-16x+55=0!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2-16x+55 &amp;= 0 \\
 \text{hasil faktor tersebut adalah -5 dan -11} \\
 (x-5)(x-11)=0 \\
 x-5=0 &amp;\text{ atau } x-11=0 \\
 x = 5 &amp; x = 11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2-16x+55 &amp;= 0 \\
 x^2-16x &amp;= -55 \\
 x^2-16x+64 &amp;= -55+64 \\
 (x-8)^2 &amp;= 9 \\
 x-8 &amp;= \pm \sqrt{9} \\
 x-8 &amp;= \pm 3 \\
 x-8 = 3 &amp;\text{ atau } x-8 = -3 \\
 x = 11 &amp; x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2-16x+55 &amp;= 0 \\
 x &amp;= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\
 x &amp;= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
 x &amp;= \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2-4(1)(55)}}{2(1)} \\
 &amp;= \frac{16 \pm \sqrt{256-220}}{2} \\
 &amp;= \frac{16 \pm \sqrt{36}}{2} \\
 &amp;= \frac{16 \pm 6}{2} \\
 &amp;= 8 \pm 3 \\
 x = 8+3 &amp;\text{ atau } x = 8-3 \\
 x = 11 &amp; x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Sifat akar (Teorema Vieta) ==
bentuk: 
: ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0
: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+b/ax+c/a=0
: dengan menggunakan (x-x1)(x-x2)
: (x-x1)(x-x2)=0
: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-(x1+x2)x+x1x2=0
: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-(-b/a)x+c/a=0

: &lt;math&gt;x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1 - x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a}&lt;/math&gt; (jarang)

contoh
# tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -2 dan 5!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x_1 &amp;= -2 \\
 x_2 &amp;= 5 \\

 x_1 + x_2 &amp;= -2 + 5 = 3 \\
 x_1 \cdot x_2 &amp;= -2 \cdot 5 = -10 \\

\text{ jadi persamaan kuadrat adalah } x^2-3x-10 = 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-12x+20 = 0!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2-12x+20 &amp;= 0 \\
 x_1 + x_2 &amp;= -(\frac{-12}{1}) \\
 x_1 + x_2 &amp;= 12 \\

 x_1 \cdot x_2 &amp;= \frac{20}{1} \\
 x_1 \cdot x_2 &amp;= 20 \\

\text{ jadi jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah } 12 \text{ dan } 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai p dari persamaan x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x+p=0 dimana salah satu akarnya 2 lebih dari akar lainnya!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x_1 &amp;= x_2 + 2 \\
 x_1 - x_2 &amp;= 2 \\

 x_1 + x_2 &amp;= 8 \\
 x_1 - x_2 &amp;= 2 \\
 \text{eliminasi kedua akar persamaan.} \\

 2x_2 &amp;= 6 \\
 x_2 &amp;= 3 \\
 
 x_1 - x_2 &amp;= 2 \\
 x_1 - 3 &amp;= 2 \\
 x_1 &amp;= 5 \\

 x_1 \cdot x_2 &amp;= p \\
 5(3) &amp;= p \\
 p &amp;= 15 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai p jika persamaan kuadrat 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+3 = 0 dan x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+px+4 = 0 mempunyai akar-akar persekutuan!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{cara 1 } \\
 2x^2-5x+3 &amp;= 0 \\
 (2x-3)(x-1) &amp;= 0 \\
 x_1 = \frac{3}{2} &amp;\text{ atau } x_2 = 1 \\

\text{untuk } x_1 &amp;= \frac{3}{2} \\
 (\frac{3}{2})^2+p(\frac{3}{2})+4 &amp;= 0 \\
 \frac{9}{4}+\frac{3p}{2}+4 &amp;= 0 \\
 \frac{25}{4}+\frac{3p}{2} &amp;= 0 \\
 \frac{3p}{2} &amp;= -\frac{25}{4} \\
 p &amp;= -\frac{25}{6} \\
\text{untuk } x_2 &amp;= 1 \\
 1^2+p(1)+4 &amp;= 0 \\
 1+p+4 &amp;= 0 \\
 p &amp;= -5 \\

\text{cara 2 } \\
 2x^2-5x+3 &amp;= 0 (1) \\
 x^2+px+4 &amp;= 0 \\
 2x^2+2px+8 &amp;= 0 (2) \\
\text{eliminasi kedua persamaan } \\
 (2p+5)x+5 &amp;= 0 \\
 x &amp;= \frac{-5}{2p+5} \\
 2(\frac{-5}{2p+5})^2-5(\frac{-5}{2p+5})+3 &amp;= 0 \\
 2(\frac{25}{(2p+5)^2})+(\frac{25}{2p+5})+3 &amp;= 0 \\
 50+25(2p+5)+3(2p+5)^2 &amp;= 0 \\
\text{misalkan } a=2p+5 \\
 3a^2+25a+50 &amp;= 0 \\
 (3a+10)(a+5) &amp;= 0 \\
 a_1 = -\frac{10}{3} &amp;\text{ atau } a_2 = -5 \\
\text{untuk } a_1 &amp;= -\frac{10}{3} \\
 -\frac{10}{3} &amp;= 2p+5 \\
 2p &amp;= -\frac{25}{3} \\
 p &amp;= -\frac{25}{6} \\
\text{untuk } a_2 &amp;= -5 \\
 -5 &amp;= 2p+5 \\
 2p &amp;= -10 \\
 p &amp;= -5 \\

\text{cara 3 } \\
2x^2-5x+3 &amp;= 0 \\
 (2x-3)(x-1) &amp;= 0 \\
 x_1 = \frac{3}{2} &amp;\text{ atau } x_2 = 1 \\
\text{jika } x_1 \text{ merupakan akar persekutuan } \\
x^2+px+4 &amp;= 0 \\
x_1+x_3 &amp;= -p \\
x_1 \cdot x_3 &amp;= 4 \\
\frac{3}{2}x_3 &amp;= 4 \\
x_3 &amp;= \frac{8}{3} \\
\frac{3}{2}+\frac{8}{3} &amp;= -p \\
\frac{9+16}{6} &amp;= -p \\
p &amp;= -\frac{25}{6} \\
\text{jika } x_2 \text{ merupakan akar persekutuan } \\
x^2+px+4 &amp;= 0 \\
x_2+x_3 &amp;= -p \\
x_2 \cdot x_3 &amp;= 4 \\
(1)x_3 &amp;= 4 \\
x_3 &amp;= 4 \\
1+4 &amp;= -p \\
p &amp;= -5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai k jika persamaan kuadrat 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+9x+k+1 = 0 dan x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+10x+k+7 = 0 mempunyai akar-akar persekutuan!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 2x^2+9x+k+1 &amp;= 0 (1) \\
 x^2+10x+k+7 &amp;= 0 \\
 2x^2+20x+2k+14 &amp;= 0 (2) \\
\text{eliminasi kedua persamaan } \\
 11x+k+13 &amp;= 0 \\
 x &amp;= \frac{-13-k}{11} \\
 (\frac{-13-k}{11})^2+10(\frac{-13-k}{11})+k+7 &amp;= 0 \\
 \frac{169+26k-k^2}{121}-(\frac{130+10k}{11})+k+7 &amp;= 0 \\
 169+26k-k^2-11(130+10k)+121(k+7) &amp;= 0 \\
 169+26k-k^2-1430-110k+121k+847 &amp;= 0 \\
 k^2+37k-414 &amp;= 0 \\
 (k+46)(k-9) &amp;= 0 \\
 k_1 = -46 &amp;\text{ atau } k_2 = 9 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai l jika persamaan kuadrat 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(l+2)x+2 = 0 dan x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(l-4)x-2 = 0 mempunyai akar-akar persekutuan!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2+(l+2)x+2 &amp;= 0 (1) \\
 x^2+(l-4)x-2 &amp;= 0 \\
 3x^2+(3l-12)x-6 &amp;= 0 (2) \\
\text{eliminasi kedua persamaan } \\
 (2l-14)x-8 &amp;= 0 \\
 (l-7)x-4 &amp;= 0 \\
 x &amp;= \frac{4}{l-7} \\
 (\frac{4}{l-7})^2+(l-4)(\frac{4}{l-7})-2 &amp;= 0 \\
 \frac{16}{(l-7)^2}+(\frac{4l-16}{l-7})-2 &amp;= 0 \\
 16+(4l-16)(l-7)-2(l-7)^2 &amp;= 0 \\
 16+4l^2-16l-28l+112-2l^2+28l-98 &amp;= 0 \\
 2l^2-16l+30 &amp;= 0 \\
 l^2-8l+15 &amp;= 0 \\
 (l-3)(l-5) &amp;= 0 \\
 l_1 = 3 &amp;\text{ atau } l_2 = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai a jika persamaan kuadrat x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+a = 0 dan x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3x-a = 0 mempunyai akar-akar persekutuan!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{cara 1 } \\
 x^2-5x+a &amp;= 0 \\
 x_1+x_2 &amp;= 5 \\
 x_1 \cdot x_2 &amp;= a \\
 x^2+3x-a &amp;= 0 \\
 x_1+x_3 &amp;= -3 \\
 x_1 \cdot x_3 &amp;= -a \\
\text{bandingkan hasil kali kedua persamaan} \\
 \frac{x_2}{x_3} &amp;= \frac{a}{-a} \\
 \frac{x_2}{x_3} &amp;= -1 \\
 x_2 &amp;= -x_3 \\
\text{eliminasi jumlah kedua persamaan} \\
 x_2-x_3 &amp;= 8 \\
 -x_3-x_3 &amp;= 8 \\
 -2x_3 &amp;= 8 \\
 x_3 &amp;= -4 \\
 x_2 &amp;= -(-4) \\
 &amp;= 4 \\
 x_1-4 &amp;= -3 \\
 x_1 &amp;= 1 \\
 1(4) = a \\
 a &amp;= 4 \\

\text{cara 2 } \\
 x^2-5x+a &amp;= 0 (1) \\
 x^2+3x-a &amp;= 0 (2) \\
\text{eliminasi kedua persamaan } \\
 -8x+2a &amp;= 0 \\
 -8x &amp;= -2a \\
 x &amp;= \frac{a}{4} \\
 (\frac{a}{4})^2+3(\frac{a}{4})-a &amp;= 0 \\
 \frac{a^2}{16}+\frac{3a}{4}-a &amp;= 0 \\
 \frac{a^2}{16}-\frac{a}{4} &amp;= 0 \\
 a^2-4a &amp;= 0 \\
 a(a-4) &amp;= 0 \\
 a_1 = 0 &amp;\text{ atau } a_2 = 4 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Persamaan kuadrat baru ==
; bentuk: x' = x diubah menjadi x = x' dengan menggunakan sifat akar.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Persamaan kuadrat baru
|-
! Pernyataan !! Akar lama !! Akar baru !! Persamaan kuadrat baru
|-
| lebihnya dari || x'=x+p || x=x'-p || a(x'-p)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+b(x'-p)+c=0
|-
| kurangnya dari  || x'=x-p || x=x'+p || a(x'+p)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+b(x'+p)+c=0
|-
| kalinya dari || x'=px || x=x'/p || a(x')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bpx'+cp&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=0
|-
| baginya dari || x'=x/p || x=px' || ap&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;(x')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bpx'+c=0
|-
| berlawanan || x'=-x || x=-x' || a(x')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-bx'+c=0
|-
| kebalikan || x'=1/x || x=1/x' || c(x')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx'+a=0
|-
| kuadratnya || x=(x')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; || &lt;math&gt;x'=\sqrt{x}&lt;/math&gt; || a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;(x')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-(b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2ac)x'+c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=0
|-
| akarnya || &lt;math&gt;x=\sqrt{x'}&lt;/math&gt; || (x')=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; || a(x')&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;-b(x')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+c=0
|}

: Buktikan akar-akar baru kuadratnya dari akar-akar lama!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x' = x^2 &amp;\text{ diubah menjadi } x = \sqrt{x'} \\
 ax^2+bx+c &amp;= 0 \\
 a(\sqrt{x'})^2+b(\sqrt{x'})+c &amp;= 0 \\
 a(x')+b(\sqrt{x'})+c &amp;= 0 \\
 a(x')+c &amp;= -b(\sqrt{x'}) \\
 a^2(x')^2+2ac(x')+c^2 &amp;= b^2(x') \\
 a^2(x')^2-b^2(x')+2ac(x')+c^2 &amp;= 0 \\
 a^2(x')^2-(b^2-2ac)(x')+c^2 &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

contoh
# tentukan persamaan kuadrat baru dari 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3x+1=0 yang akar-akarnya p-2 dan q-2!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 p+q = \frac{3}{2} &amp;\text{ dan } pq = \frac{1}{2} \\
 x_1 = p-2 &amp;\text{ dan } x_2 = q-2 \\
 x_1+x_2 &amp;= p-2+q-2 \\
 &amp;= p+q-4 = \frac{3}{2}-4 = -\frac{5}{2} \\
 x_1 \cdot x_2 &amp;= (p-2) \cdot (q-2) \\
 &amp;= pq-2(p+q)+4 \\
 &amp;= \frac{5}{2}-2 \cdot \frac{3}{2}+4 \\
 &amp;= \frac{5-6+8}{2} \\
 &amp;= \frac{7}{2} \\

 x^2-(-\frac{5}{2})x+\frac{7}{2}=0 \\
 2x^2+5x+7=0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan persamaan kuadrat baru dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-x+3=0 yang akar-akarnya pq dan p+q!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 p+q = 1 &amp;\text{ dan } pq = 3 \\
 x_1 = pq &amp;\text{ dan } x_2 = p+q \\
 x_1+x_2 &amp;= pq+p+q \\
 &amp;= 3+1 = 4 \\
 x_1 \cdot x_2 &amp;= pq \cdot (p+q) \\
 &amp;= 3 \cdot 1 = 3 \\

 x^2-4x+3=0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan persamaan kuadrat baru dari 5x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2x-1=0 yang akar-akarnya 1/q dan 1/q!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 p+q = -\frac{2}{5} &amp;\text{ dan } pq = -\frac{1}{5} \\
 x_1 = \frac{1}{p} &amp;\text{ dan } x_2 = \frac{1}{q} \\
 x_1+x_2 &amp;= \frac{1}{p}+\frac{1}{q} \\
 &amp;= \frac{p+q}{pq} \\
 &amp;= \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{1}{5}} \\
 &amp;= 2 \\
 x_1 \cdot x_2 &amp;= \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{q} \\
 &amp;= \frac{1}{pq} \\
 &amp;= \frac{1}{-\frac{1}{5}} \\
 &amp;= -5 \\

 x^2-2x-5=0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Diskriminan dan kriteria akar-akar ==
; Diskriminan (D) = b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4ac

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Kriteria akar-akar
|-
! !! colspan=3| Pernyataan
|-
! !! D&gt;0 !! D=0 !! D&lt;0
|-
| a&gt;0 (terbuka ke atas; nilai minimum) || rowspan=2| memotong || rowspan=2| menyinggung || rowspan=2| tidak memotong dan tidak menyinggung
|-
| a&lt;0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum)
|-
|}

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Kriteria akar-akar
|-
! Pernyataan !! Kriteria
|-
! colspan=2| Kedua akar riil yang berbeda (D&gt;0)
|-
| bertanda positif || x1+x2&gt;0 dan x1x2&gt;0
|-
| bertanda negatif  || x1+x2&lt;0 dan x1x2&gt;0
|-
| bertanda berlawanan || x1x2&lt;0
|-
! colspan=2| Akar riil yang sama (D=0)
|-
| berlawanan || b=0
|-
| kebalikan || c=a
|-
! colspan=2| Akar imajiner (D&lt;0)
|-
| definit (selalu) positif || a&gt;0
|-
| definit (selalu) negatif || a&lt;0
|}

contoh
# tentukan nilai b yang memenuhi persamaan x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(b-8)x+(b+3)=0 yang memiliki kedua akar yang berbeda dan bertanda positif!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{kedua akar real yang berbeda dan bertanda positif memiliki 3 syarat yaitu} \\
* D &amp;&gt;0 \\
 (b-8)^2-4(1)(b+3) &amp;&gt; 0 \\
 b^2-16x+64-4b-12 &amp;&gt; 0 \\
 b^2-20b+52 &amp;&gt; 0 \\
 \text{harga nol} b^2-20b+52 &amp;= 0 \\
 b &amp;= \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2-4(1)(52)}}{2} \\
 &amp;= \frac{20 \pm \sqrt{400-208}}{2} \\
 &amp;= \frac{20 \pm \sqrt{192}}{2} \\
 &amp;= \frac{20 \pm 8\sqrt{3}}{2} \\
 &amp;= 10 \pm 4\sqrt{3} \\
 10-4\sqrt{3} &amp;&lt; b &amp;&lt; 10+4\sqrt{3} \\

* x_1+x_2 &amp;&gt; 0 \\
 -(b-8) &amp;&gt; 0 \\
 8-b &amp;&gt; 0 \\
 b &amp;&lt; 8 \\

* x_1 \cdot x_2 &amp;&gt; 0 \\
 b+3 &amp;&gt; 0 \\
 b &amp;&gt; -3 \\

 \text{nilai b yang memenuhi adalah} 10-4\sqrt{3} &lt; b &lt; 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

catatan grafik irisan:
* jawaban 1
 
** grafik arsiran 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
|-
! !! &lt;math&gt;10-4\sqrt{3}&lt;/math&gt; !! !! &lt;math&gt;10+4\sqrt{3}&lt;/math&gt; !!
|-
| —— || || +++ || || ——
|}

** grafik arsiran 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
|-
! !! 8 !!
|-
| —— || || +++
|}

** grafik arsiran 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
|-
! !! -3 !!
|-
| —— || || +++
|}


** grafik irisan arsiran 1, 2 dan 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
|-
! !! -3 !! !! &lt;math&gt;10-4\sqrt{3}&lt;/math&gt; !! !! 8 !! !! &lt;math&gt;10+4\sqrt{3}&lt;/math&gt;  !!
|-
| || || || || A || || A || ||
|-
| A || || A || || A || || || ||
|-
| || || A || || A || || A || || A
|}

== Jarak (x2,y2) pada persamaan kuadrat/parabola ==
* anggap persamaaan nilai y sebagai y1
* masukkan y1 ke rumus jarak yaitu d = &lt;math&gt;\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}&lt;/math&gt;
* kemudian turunan d’ dalam akar dari d sama dengan nilai nol untuk mencari nilai x
* jika mendapatkan xa, xb, xc, dst lalu masukkan lagi ke d yang tadi (tidak perlu mencari ya, yb, yc, dst karena persamaan y telah dimasukkan ke d yang tadi)
* kalau jarak terdekat bila nilai d terkecil (d’ minimum) tapi terjauh bila nilai d tak terhingga nilainya (d’ maksimum)

contoh

# tentukan jarak terdekat (2,0) terhadap &lt;math&gt;y=\sqrt{x}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 d &amp;= \sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2} \\
 &amp;= \sqrt{x^2-4x+4+x} \\
 &amp;= \sqrt{x^2-3x+4} \\

\text{turunan d dalam akar } \\
 f'(x) &amp;= 2x-3 \\
\text{untuk mencapai minimum (f'(x)) harus bernilai nol } \\
 2x-3 &amp;= 0 \\
 x &amp;= \frac{3}{2} \\
 
 d &amp;= \sqrt{(\frac{3}{2})^2-3(\frac{3}{2})+4} \\
 &amp;= \sqrt{\frac{7}{4}} \\
 &amp;= \frac{\sqrt{7}}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Persamaan parabola ==
untuk persamaan parabola ini dimana titik pusat dianggap sebagai titik puncak.

{| class=&quot;wikitable sortable&quot; 
|-
! !! Vertikal !! Horisontal
|-
! !! colspan=2 align=&quot;center&quot;| Titik pusat (0,0)
|-
| Persamaan || &lt;math&gt;x^2 = 4py&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;y^2 = 4px&lt;/math&gt;
|-
| Sumbu simetri || sumbu y (x=0) || sumbu x (y=0)
|-
| Panjang Latus Rectum || L = 4p || L = 4p
|-
| Fokus || &lt;math&gt;F (0, p)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;F (p, 0)&lt;/math&gt;
|-
| Direktris || y = -p || x = -p
|-
! !! colspan=2 align=&quot;center&quot;| Titik pusat (h,k)
|-
| Persamaan || &lt;math&gt;(x - h)^2 = 4p(y - k)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - k)^2 = 4p(x - h)&lt;/math&gt;
|-
| Sumbu simetri || x = h || y = k
|-
| Panjang Latus Rectum || L = 4p || L = 4p
|-
| Fokus || &lt;math&gt;F (h, k + p)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;F (h + p, k)&lt;/math&gt;
|-
| Direktris || y = k-p || x = h-p
|}

== Persamaan garis singgung ==
; bergradien &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;y = mx + c &lt;/math&gt;)
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; 
|-
! Vertikal !! Horisontal
|-
! colspan=2 align=&quot;center&quot;| Titik pusat (0,0)
|-
| &lt;math&gt;y = mx - p m^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;y = mx + \frac{p}{m}&lt;/math&gt;
|-
! colspan=2 align=&quot;center&quot;| Titik pusat (h,k)
|-
| &lt;math&gt;(y - k) = m(x - h) - p m^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - k) = m(x -h) + \frac{p}{m}&lt;/math&gt;
|}
: jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka &lt;math&gt;m_2 = m_1&lt;/math&gt;
: jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka &lt;math&gt;m_2 = \frac{-1}{m_1}&lt;/math&gt;

; melalui titik &lt;math&gt;(x_1, y_1) &lt;/math&gt;
dengan cara bagi adil
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; 
|-
! Vertikal !! Horisontal
|-
! colspan=2 align=&quot;center&quot;| Titik pusat (0,0)
|-
| &lt;math&gt;x x_1 = 2py + 2py_1&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;y y_1 = 2px + 2px_1&lt;/math&gt;
|-
! colspan=2 align=&quot;center&quot;| Titik pusat (h,k)
|-
| &lt;math&gt;(x - h)(x_1 - h) = 2p(y - k) + 2p(y_1 - k)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - k)(y_1 - k) = 2p(x - h) + 2p(x_1 - h)&lt;/math&gt;
|}

: jika titik &lt;math&gt;(x_1, y_1) &lt;/math&gt; berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).
: jika titik &lt;math&gt;(x_1, y_1) &lt;/math&gt; berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah) dimana hasil y dari persamaan singgung pertama masuk ke persamaan kuadrat/parabola untuk mencari x.

contoh
; Titik pusat (0,0)
* Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap &lt;math&gt;y^2 = 16x &lt;/math&gt;!
jawab:
:&lt;math&gt;y^2 = 16x -&gt; y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = mx + \frac{p}{m}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = 2x + \frac{4}{2}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;y = 2x + 2&lt;/math&gt;

* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap &lt;math&gt;y^2 = 16x&lt;/math&gt;!
jawab:
:&lt;math&gt;y^2 = 16x -&gt; y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y^2 - 16x = 0 \text{ maka masukkan lah (4,8) } (8)^2 - 16 (4) = 0 = 0&lt;/math&gt; (dalam)
dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;y y_1 = 2px + 2px_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;8y = 2(4)x + 2(4)(4)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;8y = 8x + 32&lt;/math&gt; (dibagi 8)
:&lt;math&gt;y = x + 4 &lt;/math&gt;

* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap &lt;math&gt;y^2 = 16x&lt;/math&gt;!
jawab:
:&lt;math&gt;y^2 = 16x -&gt; y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y^2 - 16x = 0 \text{ maka masukkan lah (1,5) } (5)^2 - 16 (1) = 9 &gt; 0&lt;/math&gt; (luar)
dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;y y_1 = 2px + 2px_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;5y = 2(4)x + 2(4)(1)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;5y = 8x + 8&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = \frac{8}{5}x + \frac{8}{5}&lt;/math&gt;

masukkan lah &lt;math&gt;y^2 = 16x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(\frac{8}{5}x + \frac{8}{5})^2 = 16x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{64}{25}x^2 + \frac{128}{25}x + \frac{64}{25} - 16x = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{64}{25}x^2 + \frac{128}{25}x + \frac{64}{25} - \frac{400}{25}x = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{64}{25}x^2 - \frac{272}{25}x + \frac{64}{25} = 0 &lt;/math&gt; (dibagi 16/25)
:&lt;math&gt;4x^2 - 17x + 4 = 0&lt;/math&gt;

maka kita mencari nilai x
:&lt;math&gt;x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 256}}{8}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{17 \pm \sqrt{33}}{8}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_1 = \frac{17 + \sqrt{33}}{8}&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;x_2 = \frac{17 - \sqrt{33}}{8}&lt;/math&gt;

maka kita mencari nilai y
: untuk &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = \frac{8}{5}(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}) + \frac{8}{5}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = \frac{17}{5} + \frac{\sqrt{33}}{5} + \frac{8}{5}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = 5 + \frac{\sqrt{33}}{5}&lt;/math&gt;
jadi &lt;math&gt;(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}, 5 + \frac{\sqrt{33}}{5})&lt;/math&gt;

: untuk &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = \frac{8}{5}(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}) + \frac{8}{5}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = \frac{17}{5} - \frac{\sqrt{33}}{5} + \frac{8}{5}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = 5 - \frac{\sqrt{33}}{5} &lt;/math&gt;
jadi &lt;math&gt;(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}, 5 - \frac{\sqrt{33}}{5})&lt;/math&gt;

kembali dengan cara bagi adil
: untuk persamaan singgung pertama
:&lt;math&gt;y y_1 = 2px + 2px_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 2(4)x + 2(4)(\frac{17 + \sqrt{33}}{8})&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 + \sqrt{33}&lt;/math&gt;

: untuk persamaan singgung kedua
:&lt;math&gt;y y_2 = 2px + 2px_2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 2(4)x + 2(4)(\frac{17 - \sqrt{33}}{8})&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 - \sqrt{33}&lt;/math&gt;

; Titik pusat (h,k)
* Tentukan persamaan garis singgung &lt;math&gt;y^2 - 6y - 8x + 9 = 0&lt;/math&gt; melalui persamaan yang tegak lurus &lt;math&gt;y - 2x - 5 = 0&lt;/math&gt;!
jawab:
ubah ke bentuk sederhana
:&lt;math&gt;y^2 - 6y - 8x + 9 = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y^2 - 6y + 9 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)^2 = 8x&lt;/math&gt;

cari gradien persamaan &lt;math&gt;y - 2x - 5 = 0 &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y - 2x - 5 = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = 2x + 5&lt;/math&gt;
gradien (&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt;) = 2 karena tegak lurus menjadi &lt;math&gt;m_2 = - \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

cari &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)^2 = 8x -&gt; (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - k) = mx + \frac{p}{m}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y - 3 = - \frac{1}{2}x + \frac{2}{- \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y - 3 = - \frac{1}{2}x - 4&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = - \frac{1}{2}x - 1&lt;/math&gt;

* Tentukan persamaan garis singgung &lt;math&gt;y^2 - 6y - 8x + 9 = 0&lt;/math&gt; yang berordinat 6!
jawab:
ubah ke bentuk sederhana
:&lt;math&gt;y^2 - 6y - 8x + 9 = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y^2 - 6y + 9 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)^2 = 8x&lt;/math&gt;

cari absis dimana ordinat 6
:&lt;math&gt;(y - 3)^2 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(6 - 3)^2 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;9 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{9}{8}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;(y - 3)^2 = 8x -&gt; (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2&lt;/math&gt;

dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)(6 - 3) = 2(2)x + 2(2)(\frac{9}{8})&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)3 = 4x + \frac{9}{2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3y - 9 = 4x + \frac{9}{2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3y = 4x + \frac{27}{2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = \frac{4}{3}x + \frac{27}{6}&lt;/math&gt;

* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap &lt;math&gt;y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 &lt;/math&gt;!
ubah ke bentuk sederhana
:&lt;math&gt;y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y^2 - 6y + 9 = 8x &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)^2 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)^2 = 8x -&gt; (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;(y - 3)^2 - 8x = 0 \text { maka masukkan lah (1,6) } (6 - 3)^2 - 8 (1) = 9 - 8 = 1 &gt; 0&lt;/math&gt; (luar)
dengan cara bagi adil
:&lt;math&gt;(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)(6 - 3) = 2(2)x + 2(2)(1)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)3 = 4x + 4&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3y - 9 = 4x + 4&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3y = 4x + 13&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y = \frac{4}{3}x + \frac{13}{3}&lt;/math&gt;

masukkan lah &lt;math&gt;(y - 3)^2 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(\frac{4}{3}x + \frac{13}{3} - 3)^2 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(\frac{4}{3}x + \frac{4}{3})^2 = 8x&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{16}{9}x^2 + \frac{32}{9}x + \frac{16}{9} - 8x = 0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{16}{9}x^2 - \frac{40}{9}x + \frac{16}{9} = 0&lt;/math&gt; (dibagi 8/9)
:&lt;math&gt;2x^2 + 5x + 2 = 0&lt;/math&gt;

maka kita mencari nilai x
:&lt;math&gt;x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = 2&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

maka kita mencari nilai y
: untuk &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_1 = \frac{4}{3} (2) + \frac{13}{3} = \frac{8}{3} + \frac{13}{3} = 7&lt;/math&gt;
jadi &lt;math&gt;(2, 7)&lt;/math&gt;

: untuk &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y_2 = \frac{4}{3} (\frac {1}{2}) + \frac{13}{3} = \frac{2}{3} + \frac{13}{3} = 5&lt;/math&gt;
jadi &lt;math&gt;(\frac{1}{2}, 5)&lt;/math&gt;

kembali dengan cara bagi adil
: untuk persamaan singgung pertama
:&lt;math&gt;(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)(7 - 3) = 2(2)x + 2(2)(2)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)4 = 4x + 8&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;4y - 12 = 4x + 8&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;4y = 4x + 20 &lt;/math&gt; (dibagi 4)
:&lt;math&gt;y = x + 5&lt;/math&gt;

: untuk persamaan singgung kedua
:&lt;math&gt;(y - k)(y_2 - k) = 2px + 2px_2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)(5 - 3) = 2(2)x + 2(2)(\frac{1}{2})&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y - 3)2 = 4x + 2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2y - 6 = 4x + 2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2y = 4x + 8&lt;/math&gt; (dibagi 2)
:&lt;math&gt;y = 2x + 4&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>3gmr4v91v7ttbai2im5r8a5xke18sh4</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27223</id>
    <revision>
      <id>115078</id>
      <parentid>115062</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T13:51:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pijri Paijar</username>
        <id>36262</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar isi */</comment>
      <origin>115078</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1814" sha1="e51q7iqa4x98cpjx2zvfsliaivgnhy5" xml:space="preserve">''Buku dalam tahap pengembangan.''

'''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur.

== Sinopsis ==
Kehidupan tidak selalu tentang perayaan besar atau pencapaian yang megah. Sering kali, esensi dari menjadi manusia justru tersembunyi di dalam rutinitas yang kita anggap biasa: pada aroma kunyit dan santan yang menyeruak dari dapur, pada sapaan tetangga di pagi hari, atau pada keheningan di sela-sela kesibukan pekerjaan.

&quot;Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya&quot; adalah sebuah antologi cerpen ''slice of life'' yang mengangkat potret keseharian menjadi cermin bagi jiwa. Melalui narasi yang jujur dan membumi, pembaca diajak mengikuti perjalanan tokoh-tokohnya dalam menghadapi dilema moral, pencarian jati diri, dan cara menemukan kebahagiaan di tengah keterbatasan.

Setiap cerita dalam buku ini tidak hanya menawarkan pelarian, tetapi juga memberikan ruang untuk merenung. Dari meja makan hingga ruang tamu, dari interaksi sederhana di lingkungan sekitar hingga refleksi pribadi yang mendalam, antologi ini membuktikan bahwa pelajaran hidup yang paling bijaksana sering kali tersaji dalam kesederhanaan yang sering kita lewatkan.
== Daftar isi ==
{{div col|colwidth=20em}}
* [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Mah, Aku Belum Makan Opor|Mah, Aku Belum Makan Opor]]
* [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Mah, Kontrak Dua Menit Sebelum Tengah Malam|Kontrak Dua Menit Sebelum Tengah Malam]]
{{div col end}}
[[Kategori:Sastra]]
[[Kategori:Fiksi]]
[[Kategori:Cerpen]]</text>
      <sha1>e51q7iqa4x98cpjx2zvfsliaivgnhy5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115079</id>
      <parentid>115078</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T13:52:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pijri Paijar</username>
        <id>36262</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar isi */</comment>
      <origin>115079</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1809" sha1="nt18q99mryvoo5y3a5qs82eflcs3hp2" xml:space="preserve">''Buku dalam tahap pengembangan.''

'''Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya''' adalah sebuah antologi cerpen yang menangkap momen-momen bersahaja dalam keseharian. Melalui aroma masakan rumah hingga percakapan di beranda, setiap cerita mengajak pembaca menemukan kebijaksanaan yang tersembunyi di balik hal-hal biasa. Sebuah catatan tentang pulang, tentang belajar, dan tentang memaknai hidup dari sudut pandang yang paling jujur.

== Sinopsis ==
Kehidupan tidak selalu tentang perayaan besar atau pencapaian yang megah. Sering kali, esensi dari menjadi manusia justru tersembunyi di dalam rutinitas yang kita anggap biasa: pada aroma kunyit dan santan yang menyeruak dari dapur, pada sapaan tetangga di pagi hari, atau pada keheningan di sela-sela kesibukan pekerjaan.

&quot;Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya&quot; adalah sebuah antologi cerpen ''slice of life'' yang mengangkat potret keseharian menjadi cermin bagi jiwa. Melalui narasi yang jujur dan membumi, pembaca diajak mengikuti perjalanan tokoh-tokohnya dalam menghadapi dilema moral, pencarian jati diri, dan cara menemukan kebahagiaan di tengah keterbatasan.

Setiap cerita dalam buku ini tidak hanya menawarkan pelarian, tetapi juga memberikan ruang untuk merenung. Dari meja makan hingga ruang tamu, dari interaksi sederhana di lingkungan sekitar hingga refleksi pribadi yang mendalam, antologi ini membuktikan bahwa pelajaran hidup yang paling bijaksana sering kali tersaji dalam kesederhanaan yang sering kita lewatkan.
== Daftar isi ==
{{div col|colwidth=20em}}
* [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Mah, Aku Belum Makan Opor|Mah, Aku Belum Makan Opor]]
* [[Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Kontrak Dua Menit Sebelum Tengah Malam|Kontrak Dua Menit Sebelum Tengah Malam]]
{{div col end}}
[[Kategori:Sastra]]
[[Kategori:Fiksi]]
[[Kategori:Cerpen]]</text>
      <sha1>nt18q99mryvoo5y3a5qs82eflcs3hp2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Opor Ayam dan Cerita-cerita Lainnya/Kontrak Dua Menit Sebelum Tengah Malam</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27225</id>
    <revision>
      <id>115080</id>
      <timestamp>2026-04-28T13:53:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pijri Paijar</username>
        <id>36262</id>
      </contributor>
      <comment>Membuat halaman kosong</comment>
      <origin>115080</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1" />
      <sha1>phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>115081</id>
      <parentid>115080</parentid>
      <timestamp>2026-04-28T13:54:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pijri Paijar</username>
        <id>36262</id>
      </contributor>
      <origin>115081</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="833" sha1="4hiv89irylw0p91sjfe9xf01y628w00" xml:space="preserve">Malam itu, Stasiun Tanah Abang layaknya sarang semut yang diaduk paksa. Pengeras suara tak henti-hentinya memuntahkan informasi tentang keterlambatan kereta, sementara ribuan manusia berdesakan, berpeluh, dan beradu pundak di bawah lampu neon yang temaram.

Di tengah hiruk-pikuk itu, Aris memegang erat ponselnya. Layarnya retak di pojok kanan, menampilkan sebuah pesan WhatsApp dari ibunya di Bogor.&lt;blockquote&gt;''&quot;Hati-hati di jalan ya, kabarin kalau sudah sampai tujuan.&quot;''&lt;/blockquote&gt;Aris tersenyum tipis. Sebuah kalimat klise yang barangkali dikirimkan jutaan ibu kepada anak-anak mereka setiap malam di jalur ''Commuter Line'' ini. Namun bagi Aris, kalimat itu adalah jangkar yang menahannya agar tidak gila di tengah keganasan rute Blue Line menuju Cikarang yang baru saja ia lalui, dan kini bersiap menyambung ke arah Bogor.</text>
      <sha1>4hiv89irylw0p91sjfe9xf01y628w00</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>