Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul Acara Pembicaraan Acara 0 23568 115159 115011 2026-05-04T09:16:35Z ~2026-26878-06 43086 115159 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000+20)^2-17 \\ &= 4.000.000+80.000+400-17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &= \frac{9}{10} \\ \text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\ \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &= p \\ x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &= p^2 \\ x^2-x-p &= p^2 \\ x^2-2x+1+x-1 &= p^2+p \\ (x-1)^2+(x-1) &= p^2+p \\ x-1 &= p \\ \text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &= q^3 \\ x^2 q &= q^3 \\ x^2 &= q^2 \\ x &= q \\ \frac{x-1}{x} &= \frac{9}{10} \\ x &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &= (1024)^{-1} \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 1024 \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 2^{10} \\ (\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (\frac{1}{2})^{-1} \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\ \frac{10}{x} &= -\frac{1}{2} \\ x &= -20 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\ &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &= 4 \\ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &= 4 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 4 \\ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &= 4 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 2 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \\ x+\frac{1}{4} &= \frac{9}{4} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &= 0 \\ \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &= 8-x^2 \\ x^3 &= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\ x &= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\ x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \text{membuktikan } \\ x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\ x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\ \text{jadi } x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &= x \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \sqrt{y^2+y-x} &= x \\ y^2+y &= x^2+x \\ y=x \\ 4x+5 &= y^2 \\ 4x+5 &= x^2 \\ x^2-4x-5 &= 0 \\ (x-5)(x+1) &= 0 \\ x=5 &\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{1+\sqrt{1+x}} &= \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x} &= n \\ x &= n^3 \\ \sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &= n \\ 1+\sqrt{1+n^3} &= n^2 \\ \sqrt{1+n^3} &= n^2-1 \\ 1+n^3 &= n^4-2n^2+1 \\ n^4-n^3-2n^2 &= 0 \\ n^2(n^2-n-2) &= 0 \\ n^2(n-2)(n+1) &= 0 \\ n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\ n &= 0 \\ x &= 0^3 \\ &= 0 \\ n &= 2 \\ x &= 2^3 \\ &= 8 \\ n &= -1 \\ x &= (-1)^3 \\ &= -1 \\ \text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\ \sqrt{x(1+x)}+x &= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\ 2\sqrt{x(1+x)} &= 1 \\ \sqrt{x(1+x)} &= \frac{1}{2} \\ x(1+x) &= \frac{1}{4} \\ x^2+x &= \frac{1}{4} \\ 4x^2+4x &= 1 \\ 4x^2+4x-1 &= 0 \\ x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\ &= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ \text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &= \frac{11}{19} \\ \text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\ \frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &= \frac{11}{19} \\ 19(y^2-y-1) &= 11(y^2+y-1) \\ 19y^2-19y-19 &= 11y^2+11y-11 \\ 8y^2-30y-8 &= 0 \\ 4y^2-15y-4 &= 0 \\ (4y+1)(y-4) &= 0 \\ y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } & y=4 \\ x &= 4^2-1 \\ &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &= 98 \\ \text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\ \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &= 98 \\ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &= 98 \\ \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &= 49 \\ x^2+y^2 &= 49(x^2-y^2) \\ x^2+y^2 &= 49x^2-49y^2 \\ 48x^2 &= 50y^2 \\ 24x^2 &= 25y^2 \\ 24x^2 &= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\ 24x^2 &= 25(x^2-1) \\ 24x^2 &= 25x^2-25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\ y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &= \frac{5}{4}y \\ y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4}y \\ y+1-\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4} \\ -\sqrt{y^2-1} &= \frac{1}{4}-y \\ y^2-1 &= (\frac{1}{4}-y)^2 \\ y^2-1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\ -1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}y &= \frac{1}{16}+1 \\ \frac{1}{2}y &= \frac{17}{16} \\ y &= \frac{17}{8} \\ x &= (\frac{17}{8})^2 \\ &= \frac{289}{64} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\ a+b &= 7 \\ (a+b)^2 &= 49 \\ a^2+b^2+2ab &= 49 \\ a^2+b^2 &= 49-2ab \\ a^4+b^4 &= 62+x+275-x \\ (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ (49-2ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2(ab)^2-196ab+2064 &= 0 \\ (ab)^2-98ab+1032 &= 0 \\ (ab-12)(ab-86) &= 0 \\ ab = 12 \text{ atau } & ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\ ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\ a+b &= 7 \\ b &= 7-a \\ ab &= 12 \\ a(7-a) &= 12 \\ -a^2+7a &= 12 \\ a^2-7a+12 &= 0 \\ (a-3)(a-4) &= 0 \\ a=3 \text{ atau } & a=4 \\ a=3, b=4 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (3)^4 \\ 62+x &= 81 \\ x &= 19 \\ a=4, b=3 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (4)^4 \\ 62+x &= 256 \\ x &= 194 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &= 7 \\ (\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &= 7 \\ \text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\ a^2-ab+b^2 &= 7 \\ a^3+b^3 &= 8+x+27-x \\ &= 35 \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ 35 &= (a+b)(7) \\ a+b &= 5 \\ b &= 5-a \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 5^3 &= 35+3ab(5) \\ 125 &= 35+15ab \\ 80 &= 15ab \\ ab &= 6 \\ a(5-a) &= 6 \\ 5a-a^2 &= 6 \\ a^2-5a+6 &= 6 \\ (a-2)(a-3) &= 6 \\ a=2 &\text{ atau } a=3 \\ a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \\ x &= 0 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ x &= 19 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &= 1 \\ \text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\ a+b-a^2+ab-b^2 &= 1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1 &= 0 \\ 2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &= 0 \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &= 0 \\ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &= 0 \\ a-b=0; a-1=0; b-1 &= 0 \\ a=b &= 1 \\ 3^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x}=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x} &= 1 \\ \text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\ ^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x} &= 1 \\ ^6log (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \frac{6}{\frac{a}{6}} &= 1 \\ ^6log \frac{a^2}{6^2}+^alog \frac{6^2}{a} &= 1 \\ ^6log a^2-^6log 6^2+^alog 6^2-^alog a &= 1 \\ 2 ^6log a-2 ^6log 6+2 ^alog 6-^alog a &= 1 \\ 2 ^6log a-2+2 \frac{1}{^6log a}-1 &= 1 \\ 2 ^6log a+2 \frac{1}{^6log a}-4 &= 0 \\ 2 ^6log^2 a-4 ^6log a+2 &= 0 \\ ^6log^2 a-2 ^6log a+1 &= 0 \\ (^6log a-1)^2 &= 0 \\ ^6log a &= 1 \\ a &= 6 \\ x &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{6}{6} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari (x+500)³+x=20? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+500)^3+x &= 20 \\ \text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\ a^3+a-500 &= 20 \\ a^3+a &= 520 \\ a(a^2+1) &= 8 \cdot 65 \\ a(a^2+1) &= 8(64+1) \\ a(a^2+1) &= 8(8^2+1) \\ a &= 8 \\ x &= 8-500 \\ &= -492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &= 0 \\ \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &= \frac{1}{2} \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= (\frac{1}{2})^n \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= \frac{1}{2^n} \\ 2^n(x^n+4^n) &= x^n+16^n \\ 2^n(x^n+2^{2n}) &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n+2^{3n} &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n-x^n &= 2^{4n}-2^{3n} \\ x^n(2^n-1) &= 2^{3n}(2^n-1) \\ x^n &= 2^{3n} \\ x^n &= (2^3)^n \\ x^n &= 8^n \\ x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ x &= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ \frac{1}{x} &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\ &= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ &= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\ &= \sqrt{6}-2 \\ x &= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\ &= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\ \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ x &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ 4x &= \sqrt{3}+1 \\ 4x-1 &= \sqrt{3} \\ (4x-1)^2 &= 3 \\ 16x^2-8x+1 &= 3 \\ 16x^2 &= 8x+2 \\ 8x^2 &= 4x+1 \\ x^2 &= \frac{4x+1}{8} \\ \text{cara 1 } \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(\frac{4x+1}{8}) \\ &= \frac{4x^2+x}{8} \\ &= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1+2x}{16} \\ &= \frac{6x+1}{16} \\ x^5 &= x^2 \cdot x^3 \\ &= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\ &= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\ &= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\ &= \frac{176x+32}{1024} \\ &= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \text{cara 2 } \\ x^4 &= (x^2)^2 \\ &= (\frac{4x+1}{8})^2 \\ &= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\ &= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\ &= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\ \frac{x}{4} &= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\ \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\ &= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\ &= \frac{67}{12} \\ x &= \frac{67}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai y-x jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{x}{y} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{x}{y} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{x}{y} \\ y-x &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &= A \\ 88+x+y &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &= A \\ x \times y &= A \\ 88+x+y &= xy \\ xy-y &= 88+x \\ y(x-1) &= 88+x \\ y &= \frac{88+x}{x-1} \\ \text{uji selidiki untuk x=2} \\ y &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+x+y &= xy \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai x, y dan z dari <math>x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+y-z &= 1 \\ x+y &= z+1 \\ x^2+2xy+y^2 &= z^2+2z+1 \\ x^2+y^2-z^2 &= 2z+1-2xy \\ -5 &= 2z+1-2xy \\ 2xy &= 2z+6 \\ xy &= z+3 \\ x^2+y^2-z^2 &= -5 \\ x^2+y^2 &= z^2-5 \\ x^3+y^3-z^3 &= -53 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &= 0 \\ (x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &= 0 \\ z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &= 0 \\ -9z+45 &= 0 \\ -9z &= -45 \\ z &= 5 \\ x+y &= 5+1 \\ x+y &= 6 \\ x &= 6-y \\ xy &= 5+3 \\ xy &= 8 \\ (6-y)y &= 8 \\ 6y-y^2 &= 8 \\ y^2-6y+8 &= 0 \\ (y-4)(y-2) &= 0 \\ y=4 \text{ atau } y=2 \\ \text{jika } y=4 \\ x+y &= z+1 \\ x+4 &= 5+1 \\ x &= 2 \\ \text{jika } y=2 \\ x+y &= z+1 \\ x+2 &= 5+1 \\ x &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari <math>\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}</math> dan <math>\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ (\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ x+y-x+y &= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\ 2y &= \sqrt{144 \cdot 4} \\ 2y &= \sqrt{576} \\ 2y &= 24 \\ y &= 12 \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\ x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &= \frac{36x}{13} \\ 2x+2 \sqrt{x^2-144} &= \frac{36x}{13} \\ 2(x+\sqrt{x^2-144}) &= \frac{36x}{13} \\ x+\sqrt{x^2-144} &= \frac{18x}{13} \\ \sqrt{x^2-144} &= \frac{5x}{13} \\ x^2-144 &= \frac{25x^2}{169} \\ \frac{144x^2}{169}-144 &= 0 \\ \frac{x^2}{169}-1 &= 0 \\ x^2-169 &= 0 \\ (x-13)(x+13) &= 0 \\ x_1=13 &\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x>y \\ \end{align} </math> jadi titik koordinat (13,12) </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x^2-7x</math> jika <math>(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11 \\ (x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11-2 \\ (x-2-\frac{1}{x-2})^2 &= 9 \\ x-2-\frac{1}{x-2} &= 3 \\ (x-2)^2-1 &= 3(x-2) \\ x^2-4x+4-1 &= 3x-6 \\ x^2-7x &= -9 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}</math> jika xy+yz+xz=1? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy+yz+xz &= 1 \\ x^2+xy+yz+xz &= x^2+1 \\ x(x+y)+z(x+y) &= x^2+1 \\ (x+y)(x+z) &= x^2+1 \\ \text{dengan pola yang sama } \\ (y+x)(y+z) &= y^2+1 \\ (x+z)(y+z) &= z^2+1 \\ \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\ &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} w+5 &= w+x+y+z+5 \\ x+4 &= w+x+y+z+5 \\ y+3 &= w+x+y+z+5 \\ z+2 &= w+x+y+z+5 \\ \text{jumlahkan keempat persamaan } \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z+5) \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z)+20 \\ 3(w+x+y+z) &= -6 \\ w+x+y+z &= -2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}</math> jika <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3</math> dan x+y+z=xyz? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\ 3^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\ 9 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\ &= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &= 7 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}</math> jika <math>x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+z^2 &= -2(xy+yz+xz) \\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &= 0 \\ (x+y+z)^2 &= 0 \\ x+y+z &= 0 \\ x+y &= -z \\ x+z &= -y \\ y+z &= -x \\ \frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\ &= -2-(-5)-(-7) \\ &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20xyz}{xy+yz+xz}</math> jika <math>16^x = 256^y = 625^z = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^x = 256^y = 625^z &= 40 \\ 2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &= 40 \\ 2^{4x} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4x}} \\ 4^{4y} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4y}} \\ 5^{4z} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4z}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\ 1 &= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\ 4 &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\ \frac{20xyz}{xy+yz+xz} &= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\ &= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}</math> jika <math>6x^2+25x+6=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 6x^2+25x+6 &= 0 \\ 6x+25+\frac{6}{x} &= 0 \\ 6(x+\frac{1}{x}) &= -25 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{-25}{6} \\ (c+\frac{1}{x})^2 &= (\frac{-25}{6})^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36}-2 \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{553}{36} \\ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\ &= \frac{36}{661} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\ &= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\ &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x+\frac{2}{x}=6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x+\frac{2}{x} &= 6 \\ (3x+\frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+\frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x^6+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>x^3+\frac{1}{x^3}=8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3+\frac{1}{x^3} &= 8 \\ x^3 &= 8-\frac{1}{x^3} \\ x^6 &= 8x^3-1 \\ x^6+\frac{8}{x^3} &= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\ &= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\ &= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\ &= 8(8)-1 \\ &= 63 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &= \frac{5}{6} \\ \text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &= y \\ \frac{y-1}{y+1} &= \frac{5}{6} \\ 6(y-1) &= 5(y+1) \\ 6y-6 &= 5y+5 \\ y &= 11 \\ x+\frac{1}{x} &= 11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ (x-1)^2 &= (-\sqrt{x})^2 \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &= 3 \\ (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &= 3^3 \\ x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &= 27 \\ 36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &= 27 \\ -9 \sqrt[3]{x(x-36)} &= -9 \\ \sqrt[3]{x(x-36)} &= 1 \\ x(x-36) &= 1 \\ x^2-36x-1 &= 0 \\ x-36-\frac{1}{x} &= 0 \\ x-\frac{1}{x} &= 36 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+4}</math> jika <math>x^2-7x+2=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-7x+2 &= 0 \\ x^2+2 &= 7x \\ x+\frac{2}{x} &= 7 \\ x^2+4+\frac{4}{x^2} &= 49 \\ x^2+\frac{4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^4+4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^2}{x^4+4} &= \frac{1}{45} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}</math> jika <math>x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &= 25 \\ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &= 23 \\ x+2+x^{-1} &= 529 \\ x+x^{-1} &= 527 \\ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &= 110 \\ x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\ &= 527+110 \\ &= 637 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}</math> jika <math>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &= 0 \\ \frac{x^2+x+1}{x^5} &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2+x+1) &= 0(x-1) \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ \sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\ &= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\ &= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\ &= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\ &= \sqrt{4+0+5} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)</math> jika <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\ &= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\ f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\ &= 10-1 \\ &= 9 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})</math> jika <math>h(x)=\frac{3}{3+9^x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} h(x) &= \frac{3}{3+9^x} \\ h(1-x) &= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\ &= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\ &= \frac{9^x}{3+9^x} \\ h(x)+h(1-x) &= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\ &= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\ &= 1 \\ & 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\ & 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\ & 5(1012) \\ & 5060 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>tan (x+\frac{\pi}{4})</math> jika <math>\frac{1}{cos x}-tan x = \frac{4}{5}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{cos x}-tan x &= \frac{4}{5} \\ sec x-tan x &= \frac{4}{5} \\ sec^2 x-tan^2 x &= 1 \\ (sec x+tan x)(sec x-tan x) &= 1 \\ (sec x+tan x)\frac{4}{5} &= 1 \\ sec x+tan x &= \frac{5}{4} \\ \text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\ 2 tan x &= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\ 2 tan x &= \frac{9}{20} \\ tan x &= \frac{9}{40} \\ tan (x+\frac{\pi}{4}) &= \frac{tan x+tan \frac{\pi}{4}}{1-tan x \cdot tan \frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\ &= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\ &= \frac{49}{31} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x+csc^3 x</math> jika <math>sin x-csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &= a^3-b^3-3ab(a-b) \\ (sin x-csc x)^3 &= sin^3 x-csc^3 x-3sin x csc x(sin x-csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x-csc^3 x-3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x-csc^3 x-24 \\ sin^3 x-csc^3 x &= 512+24 \\ sin^3 x-csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>(sin x+\frac{1}{cos x})^2+(cos x+\frac{1}{sin x})^2</math> jika <math>\frac{1}{sin x}+\frac{1}{cos x} = 10</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{sin x}+\frac{1}{cos x} &= 10 \\ \frac{1}{sin^2 x}+\frac{2}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} &= 100 \\ (sin x+\frac{1}{cos x})^2+(cos x+\frac{1}{sin x})^2 &= sin^2 x+\frac{2sin x}{cos x}+\frac{1}{cos^2 x}+cos^2 x+\frac{2cos x}{sin x}+\frac{1}{sin^2 x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 x}+\frac{2(sin^2 x+cos^2 x)}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 x}+\frac{2}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} \\ &= 1+100 \\ &= 101 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari (x-1)⁶ jika <math>x=\frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+sin 40^\circ}{sin 80^\circ}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} sin 80^\circ &= cos 10^\circ \\ sin 80^\circ-cos 10^\circ &= 0 \\ x &= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+sin 40^\circ}{sin 80^\circ} \\ &= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+2 sin 20^\circ cos 20^\circ}{cos 10^\circ} \\ &= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+4 sin 10^\circ cos 10^\circ cos 20^\circ}{cos 10^\circ} \\ &= 4 cos 55^\circ cos 25^\circ+4 sin 10^\circ cos 20^\circ \\ &= 2(2 cos 55^\circ cos 25^\circ+2 sin 10^\circ cos 20^\circ) \\ &= 2(cos 80^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ+sin (-10)^\circ) \\ &= 2(cos 80^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ-sin 10^\circ) \\ &= 2(cos 80^\circ-sin 10^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ) \\ &= 2(cos 80^\circ-sin (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(cos 80^\circ-cos 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= \sqrt{3}+1 \\ x-1 &= \sqrt{3} \\ (x-1)^6 &= (\sqrt{3})^6 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>x=\frac{x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ}{2 sin 20^\circ-sin 40 ^\circ}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ}{2 sin 20^\circ-sin 40 ^\circ} \\ 2x sin 20^\circ-x sin 40 ^\circ &= x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ \\ x^2 sin 10^\circ+x sin 20^\circ-x sin 40 ^\circ &= 0 \\ x(x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ = 0 \\ x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ &= 0 \\ x sin 10^\circ &= sin 40 ^\circ-sin 20^\circ \\ x &= \frac{sin 40 ^\circ-sin 20^\circ}{sin 10^\circ} \\ &= \frac{2 cos 30 ^\circ sin 10^\circ}{sin 10^\circ} \\ &= 2 cos 30 ^\circ \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\ &= \sqrt{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2}{x^2-16y^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{x^2-16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1-\frac{16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16y^2}{x^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4y}{x} &= \frac{24}{25} \\ \frac{y}{x} &= \frac{6}{25} \\ \frac{x}{y} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari xy jika <math>x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+xy &= 5 \\ x^2+y^2 &= 5-xy \\ x^4+y^4+x^2y^2 &= 15 \\ (x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2 &= 15 \\ (5-xy)^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy &= 15 \\ 10xy &= 10 \\ xy &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}</math> jika <math>x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\ x &= 2+\sqrt{5} \\ x^2 &= 9+4\sqrt{5} \\ x^2-4x &= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\ x^2-4x &= 1 \\ x^2 &= 4x+1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(4x+1) \\ &= 4x^2+x \\ &= 4(4x+1)+x \\ &= 16x+4+x \\ &= 17x+4 \\ x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(17x+4) \\ &= 17x^2+4x \\ &= 17(4x+1)+4x \\ &= 68x+17+4x \\ &= 72x+17 \\ \frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\ &= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}</math> jika 2x-1=<math>\sqrt{61}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\ p &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\ &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\ &= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ 2x-1 &= \sqrt{61} \\ x &= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\ x-1 &= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\ x(x-1) &= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\ &= \frac{61-1}{4} \\ &= \frac{60}{4} \\ &= 15 \\ p &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{15+1}{15^2} \\ &= \frac{16}{15^2} \\ \sqrt{p} &= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\ &= \frac{4}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>(\frac{x-3}{x})^{25}</math> jika <math>x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\ x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\ x &= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\ \text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\ x &= p^4-p^3+p^2-p+1 \\ x &= \frac{p^5+1}{p+1} \\ (\frac{x-3}{x})^{25} &= (1-\frac{3}{x})^{25} \\ &= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\ &= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\ &= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\ &= (-2)^5 \\ &= -32 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}</math> jika <math>x^2+x+1=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x &= -1 \\ \frac{x^3-1}{x-1} &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\ &= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\ &= 0+(1)^{15}(-1) \\ &= -1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah 2²⁴ dari <math>8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1=A</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= A \\ 8(8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1) &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8 &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= 8A+1 \\ 8^8+A &= 8A+1 \\ 8^8 &= 7A+1 \\ (2^3)^8 &= 7A+1 \\ 2^{24} &= 7A+1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= \sqrt{3} \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= 3 \\ x^2-1+\frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &= x^2(0) \\ x^4-x^2+1 &= 0 \\ (x^2+1)(x^4-x^2+1) &= (x^2+1)0 \\ x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &= 0 \\ x^6+1 &= 0 \\ x^6 &= -1 \\ x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\ &= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\ &= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika x³+y³ = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+y)^3 &= x^3+y^3+3xy(x+y) \\ 11^3 &= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3xy \\ 121 &= 22+3xy \\ 99 &= 3xy \\ xy &= 33 \\ (x-y)^2 &= x^2+y^2-2xy \\ &= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\ &= (x+y)^2-4xy \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa f(1)+f(-1) jika <math>f(\frac{ax-b}{bx-a})</math>=x²-5x+6? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ 1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ bx-a &= ax-b \\ (b-a)x &= -b+a \\ &= -(b-a) \\ &= -1 \\ f(1) &= x^2-5x+6 \\ &= (-1)^2-5(-1)+6 \\ &= 12 \\ \text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ -1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ -(bx-a) &= ax-b \\ -bx+a &= ax-b \\ (-b-a)x &= -b-a \\ &= 1 \\ f(-1) &= x^2-5x+6 \\ &= (1)^2-5(1)+6 \\ &= 2 \\ f(1)+f(-1) &= 12+2 \\ &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)-x &= f(x-1) \\ f(x)-f(x-1) &= x \\ x=1 ; f(1)-f(0) &= 1 \\ x=2 ; f(2)-f(1) &= 2 \\ x=3 ; f(3)-f(2) &= 3 \\ x=4 ; f(4)-f(3) &= 4 \\ \dots \\ x=200 ; f(200)-f(199) &= 200 \\ \text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\ f(200)-f(0) &= 1+2+3+4+\dots+200 \\ &= \frac{200 \cdot 201}{2} \\ &= 20.100 \\ f(200)-1 &= 20.100 \\ &= 20.101 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x)+f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x)+2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)+f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x)+2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x)+f(-x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x)+f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x \\ \text{ganti x dengan 2 } \\ f(\frac{2002}{2}) + f(2) = 3(2) \\ f(1001) + f(2) = 6 \\ \text{ganti x dengan 1001 } \\ f(\frac{2002}{1001}) + f(1001) = 3(1001) \\ f(2) + f(1001) = 3003 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3})-f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui polinom <math>f(7^b-1)=7^{3b}-10</math>. tentukan nilai f(5)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * cara 1 \\ f(5) &= f(7^b-1) \\ 5 &= 7^b-1 \\ 7^b &= 6 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(6-1) &= 6^3-10 \\ f(5) &= 216-10 \\ &= 206 \\ * cara 2 \\ \text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(a) &= (a+1)^3-10 \\ f(5) &= (5+1)^3-10 \\ &= 6^3-10 \\ &= 216-10 \\ &= 206 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui polinom <math>f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4</math>. tentukan nilai f(-2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * cara 1 \\ f(-2) &= f(6^b-7) \\ -2 &= 6^b-7 \\ 6^b &= 5 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(5-7) &= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\ f(-2) &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ * cara 2 \\ \text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(a) &= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\ f(-2) &= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\ &= 5^3-2(5)^2-4 \\ &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ f(xy) &= \frac{f(x+y)}{xy} \\ f(3 \cdot 5) &= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\ f(15) &= \frac{f(8)}{15} \\ 16 &= \frac{f(8)}{15} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai x jika <math>f(x)=\frac{4}{4-x}</math> dan <math>f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{4}{4-x} \\ f(4x) &= \frac{4}{4-4x} \\ \frac{f(4x)}{f(x)} &= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ f(x \cdot f(x)) &= f(x(\frac{4}{4-x})) \\ &= f(\frac{4x}{4-x}) \\ &= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\ &= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\ &= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\ &= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ \text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &= a \\ f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &= 256 \\ a^a &= 256 \\ a^a &= 4^4 \\ a &= 4 \\ \frac{4-x}{4-4x} &= 4 \\ 4-x &= 16-16x \\ 15x &= 12 \\ x &= \frac{4}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai dari (a-c)^b jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai dari a, b dan c jika <math>\frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{4}=\frac{b+c}{5}</math> dan a+2b+3c=28? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\ \frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{4}=\frac{b+c}{5} &= k \\ a+b &= 2k \\ a+c &= 4k \\ b+c &= 5k \\ 2a+b+c &= 6k \\ 2a+5k &= 6k \\ k &= 2a \\ a &= \frac{k}{2} \\ b &= \frac{3k}{2} \\ c &= \frac{7k}{2} \\ a+2b+3c &= 28 \\ \frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &= 28 \\ k+6k+21k &= 56 \\ 28k &= 56 \\ k &= 2 \\ a &= \frac{k}{2} \\ &= \frac{2}{2} = 1 \\ b &= \frac{3k}{2} \\ &= \frac{3(2)}{2} = 3 \\ c &= \frac{7k}{2} \\ &= \frac{7(2)}{2} = 7 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai dari (b+c)^a jika <math>\frac{a+b+c}{2} = \sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a+b+c}{2} &= \sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c} \\ a+b+c &= 2(\sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}) \\ a-2\sqrt{a-2}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c} &= 0 \\ a-2-2\sqrt{a-2}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2\sqrt{c}+1 &= 0 \\ (\sqrt{a-2}-1)^2+(\sqrt{b-1}-1)^2+(\sqrt{c}-1)^2 &= 0 \\ (\sqrt{a-2}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{a-2}-1 &= 0 \\ \sqrt{a-2} &= 1 \\ a-2 &= 1 \\ a &= 3 \\ (\sqrt{b-1}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{b-1}-1 &= 0 \\ \sqrt{b-1} &= 1 \\ b-1 &= 1 \\ b &= 1 \\ (\sqrt{c}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{c}-1 &= 0 \\ \sqrt{c} &= 1 \\ c &= 1 \\ (b+c)^a &= (2+1)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # berapa nilai x dari <math>(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}</math> jika <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} &= \frac{1}{a+b} \\ (a+b)^2 &= ab \\ a^2+2ab+b^2 &= ab \\ a^2+b^2 &= -ab \\ \text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ \frac{a^2+b^2}{ab} &= n \\ a^2+b^2 &= nab \\ n &= -1 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &= n^3-3n \\ &= (-1)^3-3(-1) \\ &= 2 \\ 2\sqrt{x} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 1 \\ x &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # berapa nilai m dari <math>x^2-mx-1=0</math> jika <math>\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x_1} &= a \\ x_1 &= a^3 \\ \sqrt[3]{x_2} &= b \\ x_2 &= b^3 \\ \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &= 1 \\ a+b &= 1 \\ x^2-mx-1 &= 0 \\ x_1+x_2 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ x_1+x_2 &= m \\ a^3+b^3 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ a^3 \cdot b^3 &= -1 \\ (ab)^2 &= (-1)^3 \\ ab &= -1 \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (1)^3 &= m+3(-1)(1) \\ 1 &= m-3 \\ m &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # berapa nilai <math>\frac{x_1}{x_2}</math> dari <math>ax^2-18x-b=0</math> jika <math>ab=45</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab &= 45 \\ b &= \frac{45}{a} \\ ax^2-18x-b &= 0 \\ ax^2-18x-\frac{45}{a} &= 0 \\ a^2x^2-18ax-45 &= 0 \\ (ax-3)(ax-15) &= 0 \\ ax-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{a} \\ ax-15 &= 0 \\ x &= \frac{15}{a} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\ &= \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{5} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Segitiga lancip ABC dengan <math>\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2</math>. tentukan nilai sudut C? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab cos C \\ cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= (ab)^2 \\ a^2+b^2-c^2 &= \pm ab \\ cos C &= \pm \frac{ab}{2ab} \\ &= \pm \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\ C &= 60^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> # Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\ \text{luas segitiga CAB } &= \frac{CA \cdot AB}{2} \\ 45 &= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\ 90 &= x^2+14x+45 \\ x^2+14x &= 45 \\ y^2 &= (x+9)^2+(x+5)^2 \\ &= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\ &= 2x^2+28x+106 \\ &= 2(x^2+14x)+106 \\ &= 2(45)+106 \\ &= 196 \\ y &= 14 \\ \end{align} </math> jadi panjang BC adalah 14 cm </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> # Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida? : bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15 : ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9). : ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8) : maka Ida menulis bilangan 8. # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ;cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ;cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ;cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pfure9ybah3z3h6yhyetwhbzpzv633h 115160 115159 2026-05-04T09:25:06Z ~2026-26878-06 43086 115160 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000+20)^2-17 \\ &= 4.000.000+80.000+400-17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &= \frac{9}{10} \\ \text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\ \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &= p \\ x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &= p^2 \\ x^2-x-p &= p^2 \\ x^2-2x+1+x-1 &= p^2+p \\ (x-1)^2+(x-1) &= p^2+p \\ x-1 &= p \\ \text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &= q^3 \\ x^2 q &= q^3 \\ x^2 &= q^2 \\ x &= q \\ \frac{x-1}{x} &= \frac{9}{10} \\ x &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &= (1024)^{-1} \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 1024 \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 2^{10} \\ (\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (\frac{1}{2})^{-1} \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\ \frac{10}{x} &= -\frac{1}{2} \\ x &= -20 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\ &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &= 4 \\ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &= 4 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 4 \\ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &= 4 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 2 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \\ x+\frac{1}{4} &= \frac{9}{4} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &= 0 \\ \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &= 8-x^2 \\ x^3 &= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\ x &= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\ x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \text{membuktikan } \\ x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\ x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\ \text{jadi } x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &= x \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \sqrt{y^2+y-x} &= x \\ y^2+y &= x^2+x \\ y=x \\ 4x+5 &= y^2 \\ 4x+5 &= x^2 \\ x^2-4x-5 &= 0 \\ (x-5)(x+1) &= 0 \\ x=5 &\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{1+\sqrt{1+x}} &= \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x} &= n \\ x &= n^3 \\ \sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &= n \\ 1+\sqrt{1+n^3} &= n^2 \\ \sqrt{1+n^3} &= n^2-1 \\ 1+n^3 &= n^4-2n^2+1 \\ n^4-n^3-2n^2 &= 0 \\ n^2(n^2-n-2) &= 0 \\ n^2(n-2)(n+1) &= 0 \\ n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\ n &= 0 \\ x &= 0^3 \\ &= 0 \\ n &= 2 \\ x &= 2^3 \\ &= 8 \\ n &= -1 \\ x &= (-1)^3 \\ &= -1 \\ \text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\ \sqrt{x(1+x)}+x &= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\ 2\sqrt{x(1+x)} &= 1 \\ \sqrt{x(1+x)} &= \frac{1}{2} \\ x(1+x) &= \frac{1}{4} \\ x^2+x &= \frac{1}{4} \\ 4x^2+4x &= 1 \\ 4x^2+4x-1 &= 0 \\ x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\ &= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ \text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &= \frac{11}{19} \\ \text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\ \frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &= \frac{11}{19} \\ 19(y^2-y-1) &= 11(y^2+y-1) \\ 19y^2-19y-19 &= 11y^2+11y-11 \\ 8y^2-30y-8 &= 0 \\ 4y^2-15y-4 &= 0 \\ (4y+1)(y-4) &= 0 \\ y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } & y=4 \\ x &= 4^2-1 \\ &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &= 98 \\ \text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\ \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &= 98 \\ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &= 98 \\ \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &= 49 \\ x^2+y^2 &= 49(x^2-y^2) \\ x^2+y^2 &= 49x^2-49y^2 \\ 48x^2 &= 50y^2 \\ 24x^2 &= 25y^2 \\ 24x^2 &= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\ 24x^2 &= 25(x^2-1) \\ 24x^2 &= 25x^2-25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\ y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &= \frac{5}{4}y \\ y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4}y \\ y+1-\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4} \\ -\sqrt{y^2-1} &= \frac{1}{4}-y \\ y^2-1 &= (\frac{1}{4}-y)^2 \\ y^2-1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\ -1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}y &= \frac{1}{16}+1 \\ \frac{1}{2}y &= \frac{17}{16} \\ y &= \frac{17}{8} \\ x &= (\frac{17}{8})^2 \\ &= \frac{289}{64} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\ a+b &= 7 \\ (a+b)^2 &= 49 \\ a^2+b^2+2ab &= 49 \\ a^2+b^2 &= 49-2ab \\ a^4+b^4 &= 62+x+275-x \\ (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ (49-2ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2(ab)^2-196ab+2064 &= 0 \\ (ab)^2-98ab+1032 &= 0 \\ (ab-12)(ab-86) &= 0 \\ ab = 12 \text{ atau } & ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\ ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\ a+b &= 7 \\ b &= 7-a \\ ab &= 12 \\ a(7-a) &= 12 \\ -a^2+7a &= 12 \\ a^2-7a+12 &= 0 \\ (a-3)(a-4) &= 0 \\ a=3 \text{ atau } & a=4 \\ a=3, b=4 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (3)^4 \\ 62+x &= 81 \\ x &= 19 \\ a=4, b=3 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (4)^4 \\ 62+x &= 256 \\ x &= 194 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &= 7 \\ (\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &= 7 \\ \text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\ a^2-ab+b^2 &= 7 \\ a^3+b^3 &= 8+x+27-x \\ &= 35 \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ 35 &= (a+b)(7) \\ a+b &= 5 \\ b &= 5-a \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 5^3 &= 35+3ab(5) \\ 125 &= 35+15ab \\ 80 &= 15ab \\ ab &= 6 \\ a(5-a) &= 6 \\ 5a-a^2 &= 6 \\ a^2-5a+6 &= 6 \\ (a-2)(a-3) &= 6 \\ a=2 &\text{ atau } a=3 \\ a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \\ x &= 0 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ x &= 19 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &= 1 \\ \text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\ a+b-a^2+ab-b^2 &= 1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1 &= 0 \\ 2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &= 0 \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &= 0 \\ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &= 0 \\ a-b=0; a-1=0; b-1 &= 0 \\ a=b &= 1 \\ 3^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x}=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x} &= 1 \\ \text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\ ^6log x^2+^{6x}log \frac{6}{x} &= 1 \\ ^6log (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \frac{6}{\frac{a}{6}} &= 1 \\ ^6log \frac{a^2}{6^2}+^alog \frac{6^2}{a} &= 1 \\ ^6log a^2-^6log 6^2+^alog 6^2-^alog a &= 1 \\ 2 ^6log a-2 ^6log 6+2 ^alog 6-^alog a &= 1 \\ 2 ^6log a-2+2 \frac{1}{^6log a}-1 &= 1 \\ 2 ^6log a+2 \frac{1}{^6log a}-4 &= 0 \\ 2 ^6log^2 a-4 ^6log a+2 &= 0 \\ ^6log^2 a-2 ^6log a+1 &= 0 \\ (^6log a-1)^2 &= 0 \\ ^6log a &= 1 \\ a &= 6 \\ x &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{6}{6} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari (x+500)³+x=20? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+500)^3+x &= 20 \\ \text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\ a^3+a-500 &= 20 \\ a^3+a &= 520 \\ a(a^2+1) &= 8 \cdot 65 \\ a(a^2+1) &= 8(64+1) \\ a(a^2+1) &= 8(8^2+1) \\ a &= 8 \\ x &= 8-500 \\ &= -492 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &= 0 \\ \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &= \frac{1}{2} \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= (\frac{1}{2})^n \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= \frac{1}{2^n} \\ 2^n(x^n+4^n) &= x^n+16^n \\ 2^n(x^n+2^{2n}) &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n+2^{3n} &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n-x^n &= 2^{4n}-2^{3n} \\ x^n(2^n-1) &= 2^{3n}(2^n-1) \\ x^n &= 2^{3n} \\ x^n &= (2^3)^n \\ x^n &= 8^n \\ x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ x &= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ \frac{1}{x} &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\ &= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ &= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\ &= \sqrt{6}-2 \\ x &= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\ &= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\ \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ x &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ 4x &= \sqrt{3}+1 \\ 4x-1 &= \sqrt{3} \\ (4x-1)^2 &= 3 \\ 16x^2-8x+1 &= 3 \\ 16x^2 &= 8x+2 \\ 8x^2 &= 4x+1 \\ x^2 &= \frac{4x+1}{8} \\ \text{cara 1 } \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(\frac{4x+1}{8}) \\ &= \frac{4x^2+x}{8} \\ &= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1+2x}{16} \\ &= \frac{6x+1}{16} \\ x^5 &= x^2 \cdot x^3 \\ &= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\ &= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\ &= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\ &= \frac{176x+32}{1024} \\ &= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \text{cara 2 } \\ x^4 &= (x^2)^2 \\ &= (\frac{4x+1}{8})^2 \\ &= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\ &= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\ &= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\ \frac{x}{4} &= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\ \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\ &= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\ &= \frac{67}{12} \\ x &= \frac{67}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai y-x jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{x}{y} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{x}{y} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{x}{y} \\ y-x &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &= A \\ 88+x+y &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &= A \\ x \times y &= A \\ 88+x+y &= xy \\ xy-y &= 88+x \\ y(x-1) &= 88+x \\ y &= \frac{88+x}{x-1} \\ \text{uji selidiki untuk x=2} \\ y &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+x+y &= xy \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai x, y dan z dari <math>x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+y-z &= 1 \\ x+y &= z+1 \\ x^2+2xy+y^2 &= z^2+2z+1 \\ x^2+y^2-z^2 &= 2z+1-2xy \\ -5 &= 2z+1-2xy \\ 2xy &= 2z+6 \\ xy &= z+3 \\ x^2+y^2-z^2 &= -5 \\ x^2+y^2 &= z^2-5 \\ x^3+y^3-z^3 &= -53 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &= 0 \\ (x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &= 0 \\ z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &= 0 \\ -9z+45 &= 0 \\ -9z &= -45 \\ z &= 5 \\ x+y &= 5+1 \\ x+y &= 6 \\ x &= 6-y \\ xy &= 5+3 \\ xy &= 8 \\ (6-y)y &= 8 \\ 6y-y^2 &= 8 \\ y^2-6y+8 &= 0 \\ (y-4)(y-2) &= 0 \\ y=4 \text{ atau } y=2 \\ \text{jika } y=4 \\ x+y &= z+1 \\ x+4 &= 5+1 \\ x &= 2 \\ \text{jika } y=2 \\ x+y &= z+1 \\ x+2 &= 5+1 \\ x &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari <math>\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}</math> dan <math>\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ (\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ x+y-x+y &= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\ 2y &= \sqrt{144 \cdot 4} \\ 2y &= \sqrt{576} \\ 2y &= 24 \\ y &= 12 \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\ x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &= \frac{36x}{13} \\ 2x+2 \sqrt{x^2-144} &= \frac{36x}{13} \\ 2(x+\sqrt{x^2-144}) &= \frac{36x}{13} \\ x+\sqrt{x^2-144} &= \frac{18x}{13} \\ \sqrt{x^2-144} &= \frac{5x}{13} \\ x^2-144 &= \frac{25x^2}{169} \\ \frac{144x^2}{169}-144 &= 0 \\ \frac{x^2}{169}-1 &= 0 \\ x^2-169 &= 0 \\ (x-13)(x+13) &= 0 \\ x_1=13 &\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x>y \\ \end{align} </math> jadi titik koordinat (13,12) </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x^2-7x</math> jika <math>(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11 \\ (x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11-2 \\ (x-2-\frac{1}{x-2})^2 &= 9 \\ x-2-\frac{1}{x-2} &= 3 \\ (x-2)^2-1 &= 3(x-2) \\ x^2-4x+4-1 &= 3x-6 \\ x^2-7x &= -9 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}</math> jika xy+yz+xz=1? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy+yz+xz &= 1 \\ x^2+xy+yz+xz &= x^2+1 \\ x(x+y)+z(x+y) &= x^2+1 \\ (x+y)(x+z) &= x^2+1 \\ \text{dengan pola yang sama } \\ (y+x)(y+z) &= y^2+1 \\ (x+z)(y+z) &= z^2+1 \\ \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\ &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} w+5 &= w+x+y+z+5 \\ x+4 &= w+x+y+z+5 \\ y+3 &= w+x+y+z+5 \\ z+2 &= w+x+y+z+5 \\ \text{jumlahkan keempat persamaan } \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z+5) \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z)+20 \\ 3(w+x+y+z) &= -6 \\ w+x+y+z &= -2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}</math> jika <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3</math> dan x+y+z=xyz? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\ 3^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\ 9 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\ &= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &= 7 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}</math> jika <math>x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+z^2 &= -2(xy+yz+xz) \\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &= 0 \\ (x+y+z)^2 &= 0 \\ x+y+z &= 0 \\ x+y &= -z \\ x+z &= -y \\ y+z &= -x \\ \frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\ &= -2-(-5)-(-7) \\ &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20xyz}{xy+yz+xz}</math> jika <math>16^x = 256^y = 625^z = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^x = 256^y = 625^z &= 40 \\ 2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &= 40 \\ 2^{4x} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4x}} \\ 4^{4y} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4y}} \\ 5^{4z} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4z}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\ 1 &= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\ 4 &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\ \frac{20xyz}{xy+yz+xz} &= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\ &= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}</math> jika <math>6x^2+25x+6=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 6x^2+25x+6 &= 0 \\ 6x+25+\frac{6}{x} &= 0 \\ 6(x+\frac{1}{x}) &= -25 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{-25}{6} \\ (c+\frac{1}{x})^2 &= (\frac{-25}{6})^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36}-2 \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{553}{36} \\ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\ &= \frac{36}{661} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\ &= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\ &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x+\frac{2}{x}=6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x+\frac{2}{x} &= 6 \\ (3x+\frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+\frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x^6+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>x^3+\frac{1}{x^3}=8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3+\frac{1}{x^3} &= 8 \\ x^3 &= 8-\frac{1}{x^3} \\ x^6 &= 8x^3-1 \\ x^6+\frac{8}{x^3} &= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\ &= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\ &= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\ &= 8(8)-1 \\ &= 63 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &= \frac{5}{6} \\ \text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &= y \\ \frac{y-1}{y+1} &= \frac{5}{6} \\ 6(y-1) &= 5(y+1) \\ 6y-6 &= 5y+5 \\ y &= 11 \\ x+\frac{1}{x} &= 11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ (x-1)^2 &= (-\sqrt{x})^2 \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &= 3 \\ (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &= 3^3 \\ x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &= 27 \\ 36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &= 27 \\ -9 \sqrt[3]{x(x-36)} &= -9 \\ \sqrt[3]{x(x-36)} &= 1 \\ x(x-36) &= 1 \\ x^2-36x-1 &= 0 \\ x-36-\frac{1}{x} &= 0 \\ x-\frac{1}{x} &= 36 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+4}</math> jika <math>x^2-7x+2=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-7x+2 &= 0 \\ x^2+2 &= 7x \\ x+\frac{2}{x} &= 7 \\ x^2+4+\frac{4}{x^2} &= 49 \\ x^2+\frac{4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^4+4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^2}{x^4+4} &= \frac{1}{45} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}</math> jika <math>x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &= 25 \\ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &= 23 \\ x+2+x^{-1} &= 529 \\ x+x^{-1} &= 527 \\ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &= 110 \\ x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\ &= 527+110 \\ &= 637 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}</math> jika <math>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &= 0 \\ \frac{x^2+x+1}{x^5} &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2+x+1) &= 0(x-1) \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ \sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\ &= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\ &= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\ &= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\ &= \sqrt{4+0+5} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)</math> jika <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\ &= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\ f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\ &= 10-1 \\ &= 9 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})</math> jika <math>h(x)=\frac{3}{3+9^x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} h(x) &= \frac{3}{3+9^x} \\ h(1-x) &= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\ &= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\ &= \frac{9^x}{3+9^x} \\ h(x)+h(1-x) &= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\ &= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\ &= 1 \\ & 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\ & 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\ & 5(1012) \\ & 5060 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>tan (x+\frac{\pi}{4})</math> jika <math>\frac{1}{cos x}-tan x = \frac{4}{5}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{cos x}-tan x &= \frac{4}{5} \\ sec x-tan x &= \frac{4}{5} \\ sec^2 x-tan^2 x &= 1 \\ (sec x+tan x)(sec x-tan x) &= 1 \\ (sec x+tan x)\frac{4}{5} &= 1 \\ sec x+tan x &= \frac{5}{4} \\ \text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\ 2 tan x &= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\ 2 tan x &= \frac{9}{20} \\ tan x &= \frac{9}{40} \\ tan (x+\frac{\pi}{4}) &= \frac{tan x+tan \frac{\pi}{4}}{1-tan x \cdot tan \frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\ &= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\ &= \frac{49}{31} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x+csc^3 x</math> jika <math>sin x-csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &= a^3-b^3-3ab(a-b) \\ (sin x-csc x)^3 &= sin^3 x-csc^3 x-3sin x csc x(sin x-csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x-csc^3 x-3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x-csc^3 x-24 \\ sin^3 x-csc^3 x &= 512+24 \\ sin^3 x-csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>(sin x+\frac{1}{cos x})^2+(cos x+\frac{1}{sin x})^2</math> jika <math>\frac{1}{sin x}+\frac{1}{cos x} = 10</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{sin x}+\frac{1}{cos x} &= 10 \\ \frac{1}{sin^2 x}+\frac{2}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} &= 100 \\ (sin x+\frac{1}{cos x})^2+(cos x+\frac{1}{sin x})^2 &= sin^2 x+\frac{2sin x}{cos x}+\frac{1}{cos^2 x}+cos^2 x+\frac{2cos x}{sin x}+\frac{1}{sin^2 x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 x}+\frac{2(sin^2 x+cos^2 x)}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 x}+\frac{2}{sin x \cdot cos x}+\frac{1}{cos^2 x} \\ &= 1+100 \\ &= 101 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari (x-1)⁶ jika <math>x=\frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+sin 40^\circ}{sin 80^\circ}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} sin 80^\circ &= cos 10^\circ \\ sin 80^\circ-cos 10^\circ &= 0 \\ x &= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+sin 40^\circ}{sin 80^\circ} \\ &= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+2 sin 20^\circ cos 20^\circ}{cos 10^\circ} \\ &= \frac{4 cos 55^\circ cos 25^\circ cos 10^\circ+4 sin 10^\circ cos 10^\circ cos 20^\circ}{cos 10^\circ} \\ &= 4 cos 55^\circ cos 25^\circ+4 sin 10^\circ cos 20^\circ \\ &= 2(2 cos 55^\circ cos 25^\circ+2 sin 10^\circ cos 20^\circ) \\ &= 2(cos 80^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ+sin (-10)^\circ) \\ &= 2(cos 80^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ-sin 10^\circ) \\ &= 2(cos 80^\circ-sin 10^\circ+cos 30^\circ+sin 30^\circ) \\ &= 2(cos 80^\circ-sin (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(cos 80^\circ-cos 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= \sqrt{3}+1 \\ x-1 &= \sqrt{3} \\ (x-1)^6 &= (\sqrt{3})^6 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>x=\frac{x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ}{2 sin 20^\circ-sin 40 ^\circ}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ}{2 sin 20^\circ-sin 40 ^\circ} \\ 2x sin 20^\circ-x sin 40 ^\circ &= x sin 20^\circ-x^2 sin 10^\circ \\ x^2 sin 10^\circ+x sin 20^\circ-x sin 40 ^\circ &= 0 \\ x(x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ = 0 \\ x sin 10^\circ+sin 20^\circ-sin 40 ^\circ &= 0 \\ x sin 10^\circ &= sin 40 ^\circ-sin 20^\circ \\ x &= \frac{sin 40 ^\circ-sin 20^\circ}{sin 10^\circ} \\ &= \frac{2 cos 30 ^\circ sin 10^\circ}{sin 10^\circ} \\ &= 2 cos 30 ^\circ \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\ &= \sqrt{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2}{x^2-16y^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{x^2-16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1-\frac{16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16y^2}{x^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4y}{x} &= \frac{24}{25} \\ \frac{y}{x} &= \frac{6}{25} \\ \frac{x}{y} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari xy jika <math>x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+xy &= 5 \\ x^2+y^2 &= 5-xy \\ x^4+y^4+x^2y^2 &= 15 \\ (x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2 &= 15 \\ (5-xy)^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy &= 15 \\ 10xy &= 10 \\ xy &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}</math> jika <math>x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\ x &= 2+\sqrt{5} \\ x^2 &= 9+4\sqrt{5} \\ x^2-4x &= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\ x^2-4x &= 1 \\ x^2 &= 4x+1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(4x+1) \\ &= 4x^2+x \\ &= 4(4x+1)+x \\ &= 16x+4+x \\ &= 17x+4 \\ x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(17x+4) \\ &= 17x^2+4x \\ &= 17(4x+1)+4x \\ &= 68x+17+4x \\ &= 72x+17 \\ \frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\ &= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}</math> jika 2x-1=<math>\sqrt{61}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\ p &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\ &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\ &= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ 2x-1 &= \sqrt{61} \\ x &= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\ x-1 &= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\ x(x-1) &= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\ &= \frac{61-1}{4} \\ &= \frac{60}{4} \\ &= 15 \\ p &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{15+1}{15^2} \\ &= \frac{16}{15^2} \\ \sqrt{p} &= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\ &= \frac{4}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>(\frac{x-3}{x})^{25}</math> jika <math>x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\ x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\ x &= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\ \text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\ x &= p^4-p^3+p^2-p+1 \\ x &= \frac{p^5+1}{p+1} \\ (\frac{x-3}{x})^{25} &= (1-\frac{3}{x})^{25} \\ &= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\ &= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\ &= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\ &= (-2)^5 \\ &= -32 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}</math> jika <math>x^2+x+1=0</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x &= -1 \\ \frac{x^3-1}{x-1} &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\ &= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\ &= 0+(1)^{15}(-1) \\ &= -1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah 2²⁴ dari <math>8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1=A</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= A \\ 8(8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1) &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8 &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= 8A+1 \\ 8^8+A &= 8A+1 \\ 8^8 &= 7A+1 \\ (2^3)^8 &= 7A+1 \\ 2^{24} &= 7A+1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= \sqrt{3} \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= 3 \\ x^2-1+\frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &= x^2(0) \\ x^4-x^2+1 &= 0 \\ (x^2+1)(x^4-x^2+1) &= (x^2+1)0 \\ x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &= 0 \\ x^6+1 &= 0 \\ x^6 &= -1 \\ x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\ &= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\ &= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika x³+y³ = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+y)^3 &= x^3+y^3+3xy(x+y) \\ 11^3 &= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3xy \\ 121 &= 22+3xy \\ 99 &= 3xy \\ xy &= 33 \\ (x-y)^2 &= x^2+y^2-2xy \\ &= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\ &= (x+y)^2-4xy \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa f(1)+f(-1) jika <math>f(\frac{ax-b}{bx-a})</math>=x²-5x+6? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ 1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ bx-a &= ax-b \\ (b-a)x &= -b+a \\ &= -(b-a) \\ &= -1 \\ f(1) &= x^2-5x+6 \\ &= (-1)^2-5(-1)+6 \\ &= 12 \\ \text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ -1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ -(bx-a) &= ax-b \\ -bx+a &= ax-b \\ (-b-a)x &= -b-a \\ &= 1 \\ f(-1) &= x^2-5x+6 \\ &= (1)^2-5(1)+6 \\ &= 2 \\ f(1)+f(-1) &= 12+2 \\ &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)-x &= f(x-1) \\ f(x)-f(x-1) &= x \\ x=1 ; f(1)-f(0) &= 1 \\ x=2 ; f(2)-f(1) &= 2 \\ x=3 ; f(3)-f(2) &= 3 \\ x=4 ; f(4)-f(3) &= 4 \\ \dots \\ x=200 ; f(200)-f(199) &= 200 \\ \text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\ f(200)-f(0) &= 1+2+3+4+\dots+200 \\ &= \frac{200 \cdot 201}{2} \\ &= 20.100 \\ f(200)-1 &= 20.100 \\ &= 20.101 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x)+f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x)+2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)+f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x)+2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x)+f(-x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x)+f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>2f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2f(\frac{2002}{x}) + f(x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 2 } \\ 2f(\frac{2002}{2}) + f(2) &= 3(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ \text{ganti x dengan 1001 } \\ 2f(\frac{2002}{1001}) + f(1001) &= 3(1001) \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ f(1001) &= 3003 - 2f(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ 2(3003 - 2f(2)) + f(2) &= 6 \\ 6006 - 4f(2) + f(2) &= 6 \\ 3f(2) &= 6000 \\ f(2) &= 2000 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) &= -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3})-f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui polinom <math>f(7^b-1)=7^{3b}-10</math>. tentukan nilai f(5)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * cara 1 \\ f(5) &= f(7^b-1) \\ 5 &= 7^b-1 \\ 7^b &= 6 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(6-1) &= 6^3-10 \\ f(5) &= 216-10 \\ &= 206 \\ * cara 2 \\ \text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(a) &= (a+1)^3-10 \\ f(5) &= (5+1)^3-10 \\ &= 6^3-10 \\ &= 216-10 \\ &= 206 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui polinom <math>f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4</math>. tentukan nilai f(-2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * cara 1 \\ f(-2) &= f(6^b-7) \\ -2 &= 6^b-7 \\ 6^b &= 5 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(5-7) &= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\ f(-2) &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ * cara 2 \\ \text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(a) &= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\ f(-2) &= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\ &= 5^3-2(5)^2-4 \\ &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ f(xy) &= \frac{f(x+y)}{xy} \\ f(3 \cdot 5) &= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\ f(15) &= \frac{f(8)}{15} \\ 16 &= \frac{f(8)}{15} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai x jika <math>f(x)=\frac{4}{4-x}</math> dan <math>f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{4}{4-x} \\ f(4x) &= \frac{4}{4-4x} \\ \frac{f(4x)}{f(x)} &= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ f(x \cdot f(x)) &= f(x(\frac{4}{4-x})) \\ &= f(\frac{4x}{4-x}) \\ &= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\ &= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\ &= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\ &= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ \text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &= a \\ f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &= 256 \\ a^a &= 256 \\ a^a &= 4^4 \\ a &= 4 \\ \frac{4-x}{4-4x} &= 4 \\ 4-x &= 16-16x \\ 15x &= 12 \\ x &= \frac{4}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai dari (a-c)^b jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai dari a, b dan c jika <math>\frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{4}=\frac{b+c}{5}</math> dan a+2b+3c=28? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\ \frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{4}=\frac{b+c}{5} &= k \\ a+b &= 2k \\ a+c &= 4k \\ b+c &= 5k \\ 2a+b+c &= 6k \\ 2a+5k &= 6k \\ k &= 2a \\ a &= \frac{k}{2} \\ b &= \frac{3k}{2} \\ c &= \frac{7k}{2} \\ a+2b+3c &= 28 \\ \frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &= 28 \\ k+6k+21k &= 56 \\ 28k &= 56 \\ k &= 2 \\ a &= \frac{k}{2} \\ &= \frac{2}{2} = 1 \\ b &= \frac{3k}{2} \\ &= \frac{3(2)}{2} = 3 \\ c &= \frac{7k}{2} \\ &= \frac{7(2)}{2} = 7 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai dari (b+c)^a jika <math>\frac{a+b+c}{2} = \sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a+b+c}{2} &= \sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c} \\ a+b+c &= 2(\sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}) \\ a-2\sqrt{a-2}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c} &= 0 \\ a-2-2\sqrt{a-2}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2\sqrt{c}+1 &= 0 \\ (\sqrt{a-2}-1)^2+(\sqrt{b-1}-1)^2+(\sqrt{c}-1)^2 &= 0 \\ (\sqrt{a-2}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{a-2}-1 &= 0 \\ \sqrt{a-2} &= 1 \\ a-2 &= 1 \\ a &= 3 \\ (\sqrt{b-1}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{b-1}-1 &= 0 \\ \sqrt{b-1} &= 1 \\ b-1 &= 1 \\ b &= 1 \\ (\sqrt{c}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{c}-1 &= 0 \\ \sqrt{c} &= 1 \\ c &= 1 \\ (b+c)^a &= (2+1)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # berapa nilai x dari <math>(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}</math> jika <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} &= \frac{1}{a+b} \\ (a+b)^2 &= ab \\ a^2+2ab+b^2 &= ab \\ a^2+b^2 &= -ab \\ \text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ \frac{a^2+b^2}{ab} &= n \\ a^2+b^2 &= nab \\ n &= -1 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &= n^3-3n \\ &= (-1)^3-3(-1) \\ &= 2 \\ 2\sqrt{x} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 1 \\ x &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> # berapa nilai m dari <math>x^2-mx-1=0</math> jika <math>\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x_1} &= a \\ x_1 &= a^3 \\ \sqrt[3]{x_2} &= b \\ x_2 &= b^3 \\ \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &= 1 \\ a+b &= 1 \\ x^2-mx-1 &= 0 \\ x_1+x_2 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ x_1+x_2 &= m \\ a^3+b^3 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ a^3 \cdot b^3 &= -1 \\ (ab)^2 &= (-1)^3 \\ ab &= -1 \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (1)^3 &= m+3(-1)(1) \\ 1 &= m-3 \\ m &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # berapa nilai <math>\frac{x_1}{x_2}</math> dari <math>ax^2-18x-b=0</math> jika <math>ab=45</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab &= 45 \\ b &= \frac{45}{a} \\ ax^2-18x-b &= 0 \\ ax^2-18x-\frac{45}{a} &= 0 \\ a^2x^2-18ax-45 &= 0 \\ (ax-3)(ax-15) &= 0 \\ ax-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{a} \\ ax-15 &= 0 \\ x &= \frac{15}{a} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\ &= \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{5} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Segitiga lancip ABC dengan <math>\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2</math>. tentukan nilai sudut C? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab cos C \\ cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= (ab)^2 \\ a^2+b^2-c^2 &= \pm ab \\ cos C &= \pm \frac{ab}{2ab} \\ &= \pm \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\ C &= 60^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> # Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\ \text{luas segitiga CAB } &= \frac{CA \cdot AB}{2} \\ 45 &= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\ 90 &= x^2+14x+45 \\ x^2+14x &= 45 \\ y^2 &= (x+9)^2+(x+5)^2 \\ &= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\ &= 2x^2+28x+106 \\ &= 2(x^2+14x)+106 \\ &= 2(45)+106 \\ &= 196 \\ y &= 14 \\ \end{align} </math> jadi panjang BC adalah 14 cm </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> # Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida? : bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15 : ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9). : ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8) : maka Ida menulis bilangan 8. # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ;cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ;cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ;cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] q5nbarh6vpsqkbihoe7yzqewd731r7g 0 27017 115142 114276 2026-05-04T02:04:15Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115142 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : text{cara 1} f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : text{cara 2} f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ g(x) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ l(m) = 3+7 | cos m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pu67t6zjduyuorvsuuwaujx8sshw0uu 115143 115142 2026-05-04T02:04:44Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115143 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : text{cara 1} f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : text{cara 2} f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ g(x) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ l(m) = 3+7 | cos m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 2rpgw37rl0xf6cprpkebx1w7e005i29 115144 115143 2026-05-04T02:05:19Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115144 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ g(x) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ l(m) = 3+7 | cos m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] g65nh0vca2a4cwai56sdhg6ay5v6xeq 115145 115144 2026-05-04T02:13:34Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115145 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(x) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{f(x)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le f(x)+2 \le 5 \\ -7 \le f(x) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{f(x)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le \frac{f(x)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le f(x)+5} \le -2 \\ -5 \le f(x) \le -7 \\ -7 \le f(x) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ l(m) = 3+7 | cos m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] btbnlqwl62fks5q02ynuawuhymi0hc2 115146 115145 2026-05-04T02:18:32Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115146 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5} \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ l(m) = 3+7 | cos m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 2lqk0z33js6fgq2cb5pbz2o2tr14iuz 115147 115146 2026-05-04T02:22:27Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115147 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le | sin y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ l(m) = 3+7 | cos m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le | cos m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1mcbmd55knpf2v5jlgx3lh9akmgcaco 115148 115147 2026-05-04T02:26:39Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115148 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 4nl1bcdh76l0c8wduj9b0zkdq2dptjl 115149 115148 2026-05-04T02:31:01Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115149 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 81lursngk7tq0v7lxbkb7u75vzqnw6v 115150 115149 2026-05-04T02:37:50Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115150 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b | \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b | \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b | \le 11 \\ -\frac1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gqw292s12m0l1pkybxanv5z284ugfyr 115151 115150 2026-05-04T02:38:24Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115151 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b | \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -\frac1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ahh0e2xo1mbqp6u0bbfj9y8l46a6itw 115152 115151 2026-05-04T02:39:14Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115152 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1litfewt6agfvlvpi9icdpt62l8doo8 115153 115152 2026-05-04T02:47:08Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115153 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, b = \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \le 1 \\ -7 \le \frac{1}{p(b)}-4 \le 7 \\ -3 \le \frac{1}{p(b)} \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le p(b) \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mpj6nc65befy87kqyt5yov6584zph75 115154 115153 2026-05-04T03:15:03Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115154 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, b = \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \le 1 \\ -7 \le \frac{1}{p(b)}-4 \le 7 \\ -3 \le \frac{1}{p(b)} \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le p(b) \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ : text{cara 1} q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -2 \le 2 cos \, d \le 2 \\ -3 \le -1+2 cos \, d \le 1 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{-1+2 cos \, d} \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{-1+2 cos \, d} \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 3} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, d = \frac{1}{6 q(d)}+\frac{1}{2} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{6 q(d)}+\frac{1}{2} \le 1 \\ -6 \le \frac{1}{q(d)}+3 \le 6 \\ -3 \le \frac{1}{q(d)} \le 3 \\ -\frac{1}{3} \le p(b) \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] s5iixsdl27xe96t7iezzabwkx5k30ig 115155 115154 2026-05-04T03:19:18Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115155 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, b = \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \le 1 \\ -7 \le \frac{1}{p(b)}-4 \le 7 \\ -3 \le \frac{1}{p(b)} \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le p(b) \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ : text{cara 1} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -2 \le 2 cos \, d \le 2 \\ -3 \le -1+2 cos \, d \le 1 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{-1+2 cos \, d} \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{-1+2 cos \, d} \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 3} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, d = \frac{3}{2 q(d)}+\frac{1}{2} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{2 q(d)}+\frac{1}{2} \le 1 \\ -2 \le \frac{3}{q(d)}+1 \le 2 \\ -3 \le \frac{3}{q(d)} \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{q(d)} \le \frac{1}{3} \\ -1 \le q(d) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] blll19ja7rsiog4vulcw7dk9l1w36s0 115156 115155 2026-05-04T03:20:40Z ~2026-25885-98 43062 /* Contoh soal */ 115156 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, b = \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \le 1 \\ -7 \le \frac{1}{p(b)}-4 \le 7 \\ -3 \le \frac{1}{p(b)} \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le p(b) \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ : \text{cara 1} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -2 \le 2 cos \, d \le 2 \\ -3 \le -1+2 cos \, d \le 1 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{-1+2 cos \, d} \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{-1+2 cos \, d} \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 3} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, d = \frac{3}{2 q(d)}+\frac{1}{2} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{2 q(d)}+\frac{1}{2} \le 1 \\ -2 \le \frac{3}{q(d)}+1 \le 2 \\ -3 \le \frac{3}{q(d)} \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{q(d)} \le \frac{1}{3} \\ -1 \le q(d) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] r4r2i1088wdgfadkhb7xn36miyie1k0 115157 115156 2026-05-04T09:04:20Z ~2026-26878-06 43086 /* Contoh soal */ 115157 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, b = \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \le 1 \\ -7 \le \frac{1}{p(b)}-4 \le 7 \\ -3 \le \frac{1}{p(b)} \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le p(b) \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ : \text{cara 1} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -2 \le 2 cos \, d \le 2 \\ -3 \le -1+2 cos \, d \le 1 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{-1+2 cos \, d} \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{-1+2 cos \, d} \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 3} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, d = \frac{3}{2 q(d)}+\frac{1}{2} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, b \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{2 q(d)}+\frac{1}{2} \le 1 \\ -2 \le \frac{3}{q(d)}+1 \le 2 \\ -3 \le \frac{3}{q(d)} \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{q(d)} \le \frac{1}{3} \\ -1 \le q(d) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] b4gibtkcwmpdkbjoci1g6b9ch3xgar3 115158 115157 2026-05-04T09:05:57Z ~2026-26878-06 43086 /* Contoh soal */ 115158 wikitext text/x-wiki Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°. == Contoh soal == : tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut: # f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360° # g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360° # h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π # l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π # p(b) = <math>\frac{1}{4-7 sin \, b}</math> dengan 0 ≤ b ≤ 2π # q(d) = <math>\frac{3}{-1+2 cos \, d}</math> dengan 0° ≤ a ≤ 360° <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ : \text{cara 1} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ 3 \le -3 sin \, x \le -3 \\ -3 \le -3 sin \, x \le 3 \\ 1 \le 4-3 sin \, x \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ : \text{cara 2} \\ f(x) = 4-3 sin \, x \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, x = \frac{f(x)-4}{-3} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le sin \, x \le 1 \\ -1 \le \frac{f(x)-4}{-3} \le 1 \\ 3 \le f(x)-4 \le -3 \\ -3 \le f(x)-4 \le 3 \\ 1 \le f(x) \le 7 \\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -5 \le 5 cos \, a \le 5 \\ -7 \le -2+5 cos \, a \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ g(a) = -2+5 cos \, a \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, a = \frac{g(a)+2}{5} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le cos \, a \le 1 \\ -1 \le \frac{g(a)+2}{5} \le 1 \\ -5 \le g(a)+2 \le 5 \\ -7 \le g(a) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le -2 | sin \, y | \le -2 \\ -2 \le -2 | sin \, y | \le 0 \\ -7 \le -5-2 | sin \, y | \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ : \text{cara 2} \\ h(y) = -5-2 | sin \, y | \\ \text{harus diubah menjadi } | sin \, y | = \frac{h(y)+5}{-2} \\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu } 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le | sin \, y | \le 1 \\ 0 \le \frac{h(y)+5}{-2} \le 1 \\ 0 \le h(y)+5 \le -2 \\ -5 \le h(y) \le -7 \\ -7 \le h(y) \le -5 \\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le 7 | cos \, m | \le 7 \\ 3 \le 3+7 | cos \, m | \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ : \text{cara 2} \\ l(m) = 3+7 | cos \, m | \\ \text{harus diubah menjadi } | cos \, m | = \frac{l(m)-3}{7} \\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu } 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le | cos \, m | \le 1 \\ 0 \le \frac{l(m)-3}{7} \le 1 \\ 0 \le l(m)-3 \le 7 \\ 3 \le l(m) \le 10 \\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 } \\ * \\ : \text{cara 1} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka} \frac{1}{4-7(-1)} &= \frac{1}{11} \\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka} \frac{1}{4-7(1)} &= -\frac{1}{3} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 2} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ 7 \le -7 sin \, b \le -7 \\ -7 \le -7 sin \, b \le 7 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -3 \le 4-7 sin \, b \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{4-7 sin \, b} \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ : \text{cara 3} \\ p(b) = \frac{1}{4-7 sin \, b} \\ \text{harus diubah menjadi } sin \, b = \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \\ \text{ batasan nilai sin yaitu } -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le sin \, b \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{7 p(b)}-\frac{4}{7} \le 1 \\ -7 \le \frac{1}{p(b)}-4 \le 7 \\ -3 \le \frac{1}{p(b)} \le 11 \\ -\frac{1}{3} \le p(b) \le \frac{1}{11} \\ \text{ nilai minimum adalah } -\frac{1}{3} \text{ dan maksimum } \frac{1}{11} \\ * \\ : \text{cara 1} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka } \frac{3}{-1+2(-1)} &= -1 \\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka} \frac{3}{-1+2(1)} &= 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 2} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -2 \le 2 cos \, d \le 2 \\ -3 \le -1+2 cos \, d \le 1 \\ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{-1+2 cos \, d} \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{-1+2 cos \, d} \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ : \text{cara 3} \\ q(d) = \frac{3}{-1+2 cos \, d} \\ \\ \text{harus diubah menjadi } cos \, d = \frac{3}{2 q(d)}+\frac{1}{2} \\ \text{ batasan nilai cos yaitu } -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le cos \, d \le 1 \\ -1 \le \frac{3}{2 q(d)}+\frac{1}{2} \le 1 \\ -2 \le \frac{3}{q(d)}+1 \le 2 \\ -3 \le \frac{3}{q(d)} \le 1 \\ -1 \le \frac{1}{q(d)} \le \frac{1}{3} \\ -1 \le q(d) \le 3 \\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 } \\ \end{align} </math> </div></div> : buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut: # fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6 # fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \\ f(x) &= a sin \, x + b \\ f(x)_{min} &= -2 = -a + b \\ f(x)_{max} &= 6 = a + b \\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 } \\ * \\ f(x) &= a - b cos \, x \\ f(x)_{min} &= 2 = a + b \\ f(x)_{max} &= 12 = a - b \\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 } \\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 6yd66ji6yeiw12p0cgm42f8knuw9qnb 0 27067 115141 114949 2026-05-03T17:42:16Z Ghiyyei17 42754 115141 wikitext text/x-wiki Kampung Besar Seberang adalah sebuah kelurahan yang terdapat pada Kecamatan Rengat di Kabuapeten Indragiri Hulu, Provinsi Riau.Kelurahan ini terletak di tepi Sungai Indragiri, yang membentuk salah satu jaringan sungai di provinsi tersebut. '''Geografi dan Batas Wilayah''' Kampung Besar Seberang memiliki luas wilayah sekitar 38,00 km² dan berada pada ketinggian rendah dekat dataran sungai. Kelurahan ini berbatasan langsung dengan Kelurahan Pasar Kota Rengat yang berada di sisi lain Sungai Indragiri, serta sejumlah kelurahan dan desa di Kecamatan Rengat. Sungai Indragiri membelah wilayah ini, menjadi jalur transportasi dan bagian penting dari kehidupan sosial ekonomi masyarakat setempat. '''Sejarah Singkat''' Secara historis, Kampung Besar Seberang tumbuh sebagai pemukiman yang berkaitan erat dengan aktivitas sungai. Sebelum adanya infrastruktur penyeberangan modern seperti Jembatan Trio Amanah Indragiri, akses antar sisi sungai bergantung pada perahu tradisional dan rakit (pompong). Perkembangan akses ini berpengaruh pada hubungan sosial–ekonomi antara wilayah dan pusat kota Rengat. '''Demografi''' Berdasarkan data administratif, jumlah penduduk di Kampung Besar Seberang diperkirakan sekitar 2.425 jiwa dengan 759 kepala keluarga (KK), sehingga kepadatan penduduk sekitar 71 jiwa per km². Etnis di kelurahan ini mayoritas berasal dari suku Melayu, disertai minoritas dari berbagai suku seperti Minang, Jawa, Batak, Banjar, Bugis, Sunda, dan kelompok etnis keturunan lainnya hasil asimilasi budaya. '''Pendidikan''' Wilayah ini memiliki fasilitas pendidikan formal yang melayani tingkat dasar, antara lain: 1) SD Negeri 020 Kampung Besar Seberang — satuan pendidikan dasar negeri yang telah ada sejak 1978 dan melayani pendidikan siswa setempat. 2) SD Negeri 023 Kampung Besar Seberang — sekolah dasar negeri lain yang juga berlokasi di kelurahan ini. 3) TK Annisa — Taman kanak kanak berstatus swasta yang aktif beroperasi. 4) Paud Alifa - Pendidikan anak usia dini swasta Partisipasi masyarakat dalam dunia pendidikan diperkuat oleh keberadaan sekolah–sekolah ini, yang berperan dalam peningkatan kualitas sumber daya manusia di tingkat lokal. '''Ekonomi dan Sosial Budaya''' Masyarakat Kampung Besar Seberang umumnya bermata pencaharian di sektor informal dan pertanian ringan, termasuk perdagangan lokal, usaha kecil, serta kegiatan jasa sungai sebagai bagian dari struktur ekonomi daerah. Budaya Melayu masih menjadi basis nilai sosial masyarakat, dengan pelestarian adat, tradisi, dan kuliner khas seperti bolu berendam. '''Transportasi dan Infrastruktur''' Transportasi utama di wilayah ini meliputi jaringan jalan lokal yang menghubungkan Kelurahan Kampung Besar Seberang dengan pusat kota Rengat, serta akses penyeberangan sungai melalui Jembatan Trio Amanah Indragiri yang menghubungkan sisi seberang sungai. Infrastruktur tersebut menjadi faktor penting dalam mobilitas warga dan pengembangan ekonomi lokal. Salah satu bentuk '''partisipasi masyarakat''' di Kelurahan Kampung Besar Seberang yang berada di sekitar Daerah Aliran Sungai (DAS) Indragiri adalah kegiatan gotong royong membersihkan lingkungan desa. Kegiatan ini biasanya dilakukan secara bersama-sama oleh masyarakat untuk menjaga kebersihan fasilitas umum seperti jalan lingkungan, parit, serta area di sekitar bantaran sungai agar tetap bersih dan tidak dipenuhi sampah. Kegiatan gotong royong tersebut biasanya diawali dengan pemberitahuan dari ketua RT atau tokoh masyarakat kepada warga. Setelah itu masyarakat berkumpul pada waktu yang telah ditentukan untuk membersihkan rumput liar, sampah, serta memperbaiki saluran air yang tersumbat. Melalui kegiatan ini, lingkungan desa menjadi lebih bersih dan nyaman bagi masyarakat. Selain itu, menjelang bulan Ramadan masyarakat Kampung Besar Seberang juga melakukan gotong royong membersihkan area pemakaman. Warga bersama-sama membersihkan rumput-rumput liar, semak-semak, serta sampah yang ada di sekitar kuburan agar tempat tersebut terlihat lebih rapi dan bersih saat masyarakat datang untuk berziarah. Kegiatan-kegiatan tersebut menunjukkan nilai-nilai kewarganegaraan dalam kehidupan masyarakat, seperti gotong royong, kepedulian terhadap lingkungan, kebersamaan, serta tanggung jawab bersama dalam menjaga fasilitas umum yang ada di desa. Berdasarkan hasil wawancara dengan salah satu perwakilan masyarakat, yaitu seorang Pegawai Negeri Sipil (PNS), diperoleh pendapat bahwa Ketuhanan Yang Maha Esa menjadi dasar NKRI karena Indonesia memiliki keberagaman agama. Oleh karena itu, diperlukan nilai yang mengajarkan keimanan, toleransi, dan saling menghormati agar masyarakat dapat hidup rukun. Selain itu, sila-sila lainnya juga saling melengkapi dalam menjaga persatuan, keadilan, dan kesejahteraan bangsa. Salah satu proyek di Desa Kampung Besar Seberang, adalah renovasi rumah yang akan dijadikan MBG. Kondisi proyek: Proyek ini bukan pembangunan dari nol, melainkan renovasi bangunan lama. Pekerjaan yang dilakukan meliputi perbaikan struktur ringan, penataan ulang ruangan, serta penyesuaian fungsi bangunan agar sesuai dengan kebutuhan MBG. Secara umum pengerjaan berjalan lancar, namun karena berada di area permukiman, aktivitas proyek sedikit mengganggu seperti suara bising dan material bangunan di sekitar lokasi. Kesesuaian dengan standar etika profesi Teknik Sipil: Proyek ini cukup memenuhi etika profesi jika dilihat dari tujuannya, yaitu memanfaatkan bangunan lama agar lebih fungsional. Namun, penerapan etika profesi juga dilihat dari prosesnya, seperti menjaga keselamatan kerja, tidak mengganggu lingkungan sekitar secara berlebihan, serta menggunakan material yang layak. Jika hal-hal tersebut diperhatikan, maka proyek ini sudah sesuai, tetapi jika masih menimbulkan gangguan tanpa pengelolaan yang baik, maka belum sepenuhnya memenuhi standar. Kesesuaian dengan tradisi, suku, agama, adat, dan budaya setempat: Renovasi ini pada umumnya sesuai dengan kondisi masyarakat setempat karena tidak mengubah fungsi sosial secara drastis dan masih berada di lingkungan permukiman. Selama pemilik dan pelaksana tetap menjaga hubungan baik dengan warga sekitar serta menghormati kebiasaan lokal (seperti komunikasi dengan tetangga), maka proyek ini dapat diterima dan tidak bertentangan dengan nilai budaya setempat. Di Kampung Besar Seberang,terdapat salah satu bangunan sipil yang menarik yaitu Jembatan Trio Amanah. Jembatan ini merupakan jembatan gantung yang berfungsi sebagai penghubung antara Kampung Seberang dengan Kota Rengat, sehingga sangat membantu mobilitas masyarakat dalam melakukan aktivitas sehari-hari. Keberadaan jembatan ini tidak hanya mempermudah akses transportasi, tetapi juga mengurangi ketergantungan warga terhadap transportasi air. Selain itu, Jembatan Trio Amanah juga memiliki nilai sosial bagi masyarakat karena sering dimanfaatkan sebagai tempat beraktivitas dan menjadi salah satu ikon di daerah tersebut. Salah satu bangunan yang menarik di kampung besar seberang adalah rumah panggung tradisional zaman dulu. Rumah ini dibuat lebih tinggi dari permukaan tanah untuk menghindari banjir dan genangan air karena kondisi wilayah yang dekat dengan sungai. Materialnya biasanya dari kayu lokal, dan pembangunannya sering dilakukan secara gotong royong oleh masyarakat. Tradisi ini menunjukkan kekompakan warga sekaligus efisiensi dalam pembangunan. Permasalahan Pembangunan (Kampung Besar Seberang) Salah satu permasalahan yang ada adalah kondisi jalan yang rusak dan sempit. Beberapa bagian jalan masih berlubang serta memiliki lebar yang terbatas, sehingga menyulitkan mobilitas masyarakat, terutama saat kendaraan berpapasan. Hal ini dapat menghambat aktivitas sehari-hari seperti bekerja, sekolah, dan distribusi barang, serta meningkatkan risiko kecelakaan. Oleh karena itu, diperlukan perbaikan dan pelebaran jalan agar akses menjadi lebih aman, lancar, dan nyaman bagi masyarakat. [[Kategori:Pendidikan Kewarganegaraan]] [[Kategori:Kebudayaan Melayu indragiri]] cpv95wxciygh4htpgg1r1z8lkp3qdge 0 27234 115140 2026-05-03T14:29:53Z Laseapollo 32836 ←Membuat halaman berisi 'Di sebuah negeri, di kerajaan yang jauh, hiduplah seorang saudagar bernama Markus si Kaya. Harta dan penghasilannya begitu melimpah hingga tak terhitung jumlahnya. Ia hidup dalam kemewahan dan kesenangan, namun tak pernah mengizinkan orang miskin mendekati pintunya—begitu keras dan tak berperasaannya ia. Suatu hari ia bermimpi: “Bersiaplah, Markus si Kaya, dan tunggulah. Tuhan sendiri akan menjadi tamumu!” Keesokan paginya, Markus bangun, memanggil istrin...' 115140 wikitext text/x-wiki Di sebuah negeri, di kerajaan yang jauh, hiduplah seorang saudagar bernama Markus si Kaya. Harta dan penghasilannya begitu melimpah hingga tak terhitung jumlahnya. Ia hidup dalam kemewahan dan kesenangan, namun tak pernah mengizinkan orang miskin mendekati pintunya—begitu keras dan tak berperasaannya ia. Suatu hari ia bermimpi: “Bersiaplah, Markus si Kaya, dan tunggulah. Tuhan sendiri akan menjadi tamumu!” Keesokan paginya, Markus bangun, memanggil istrinya, dan memerintahkannya menyiapkan sebuah jamuan besar. Ia menutupi seluruh halaman rumahnya dengan kain beludru merah dan brokat emas. Di setiap jalan masuk, ia menempatkan para pelayan dan penjaga untuk menghalau orang-orang miskin agar tidak mendekat. Markus si Kaya pun duduk menanti Sang Tamu Agung. Jam demi jam berlalu, tetapi tak seorang pun datang. Sementara itu, orang-orang miskin mendengar kabar tentang pesta besar di rumah Mark, lalu berkumpul berharap mendapat sedekah. Namun para pelayan mengusir mereka semua. Akan tetapi, seorang pengemis tua yang renta dan berpakaian compang-camping tetap berjalan mendekati pintu rumah Mark. Melihatnya dari jendela, Markus berteriak dengan marah, “Hei kalian yang malas! Apa kalian buta? Lihat makhluk kotor itu berkeliaran di halaman! Usir dia!” Para pelayan segera menyeret orang tua itu dan mengusirnya melalui pintu belakang. Seorang perempuan tua yang baik hati melihatnya dan berkata, “Kemarilah, wahai orang tua yang malang. Aku akan memberimu makan dan tempat beristirahat.” Ia pun membawanya masuk, memberinya makan dan minum, serta membaringkannya untuk tidur. Dengan demikian, Markus si Kaya tak pernah bertemu dengan Tuhan yang ia nantikan. Tengah malam itu, perempuan tua tersebut bermimpi. Seseorang mengetuk jendelanya dan bertanya, “Wahai orang tua yang saleh, apakah engkau bermalam di sini?” “Ya,” jawabnya. “Di desa dekat sini, seorang petani miskin baru saja dikaruniai seorang anak laki-laki. Bagaimana nasib anak itu kelak?” Orang tua itu menjawab, “Ia akan menjadi tuan atas seluruh milik Markus si Kaya!” Keesokan harinya, orang tua itu pergi melanjutkan perjalanannya. Perempuan tua tersebut kemudian menceritakan mimpinya kepada Mark. Mendengar itu, Markus segera pergi ke petani miskin itu dan berkata, “Serahkan anakmu kepadaku. Aku akan mengangkatnya sebagai anak. Ia akan kubesarkan dan kudidik, dan setelah aku mati, seluruh hartaku akan menjadi miliknya.” Namun perkataannya tidak sesuai dengan isi hatinya. Ia membawa bayi itu pulang, lalu melemparkannya ke dalam tumpukan salju. “Tinggallah di sini dan membeku! Begitulah caramu menjadi tuan atas hartaku!” Tetapi pada malam yang sama, para pemburu yang sedang berburu kelinci menemukan bayi itu. Mereka membawanya pulang dan membesarkannya. Bertahun-tahun berlalu. Suatu hari, Markus si Kaya pergi berburu bersama para pemburu itu. Ia melihat seorang pemuda, mendengar kisah hidupnya, dan menyadari bahwa pemuda itu adalah bayi yang dahulu ia buang. Maka Markus menyuruh pemuda itu pergi ke rumahnya sambil membawa sepucuk surat untuk istrinya. Namun dalam surat itu, ia memerintahkan agar pemuda tersebut diracun seperti seekor anjing. Pemuda itu pun berangkat. Di tengah jalan, ia bertemu dengan seorang pengemis miskin yang hanya mengenakan sehelai baju—dan sesungguhnya pengemis itu adalah Kristus sendiri. Ia menghentikan pemuda itu, mengambil surat tersebut, dan dalam sekejap mengubah isinya. Surat itu kini berisi perintah agar si pembawa surat disambut dengan penuh hormat dan dinikahkan dengan putri Mark. Demikianlah yang terjadi. Istri Markus menyambut pemuda itu dengan baik dan menikahkannya dengan putrinya. Ketika Markus pulang dan melihat hal itu, ia sangat murka. Ia berkata kepada menantunya, “Malam ini pergilah ke tempat penyulinganku dan awasi pekerjaan di sana.” Namun diam-diam ia memerintahkan para pekerja agar melemparkan pemuda itu ke dalam kuali mendidih begitu ia tiba. Pemuda itu bersiap pergi, tetapi tiba-tiba ia jatuh sakit dan terpaksa kembali ke rumah. Markus menunggu beberapa saat, lalu pergi sendiri ke tempat penyulingan untuk melihat apa yang terjadi. Tanpa disadarinya, ia justru ditangkap oleh para pekerjanya sendiri dan terjatuh ke dalam kuali yang mendidih! (Dongeng Rusia ini diterjemahkan dari bahasa Inggris) k8suhqylbud12w6v442eskg19s9xhcq 0 27235 115161 2026-05-04T10:15:38Z Laseapollo 32836 ←Membuat halaman berisi 'Pada suatu masa, hiduplah seorang lelaki tua bersama istrinya di sebuah desa. Mereka sangat miskin dan hanya memiliki seorang anak laki-laki. Ketika anak itu beranjak dewasa, sang ibu berkata kepada suaminya, “Sudah saatnya kita mencarikan istri untuk anak kita.” “Kalau begitu, pergilah dan lihat apakah ada yang bersedia menikahkan anak perempuannya,” jawab sang suami. Perempuan tua itu pun pergi ke tetangganya dan menanyakan apakah anak laki-lakinya b...' 115161 wikitext text/x-wiki Pada suatu masa, hiduplah seorang lelaki tua bersama istrinya di sebuah desa. Mereka sangat miskin dan hanya memiliki seorang anak laki-laki. Ketika anak itu beranjak dewasa, sang ibu berkata kepada suaminya, “Sudah saatnya kita mencarikan istri untuk anak kita.” “Kalau begitu, pergilah dan lihat apakah ada yang bersedia menikahkan anak perempuannya,” jawab sang suami. Perempuan tua itu pun pergi ke tetangganya dan menanyakan apakah anak laki-lakinya boleh menikahi putri mereka. Namun tetangga itu menolak. Ia pergi ke rumah petani lain, tetapi ditolak pula. Ia berkeliling ke seluruh desa, namun tak seorang pun bersedia. Ketika pulang, ia berkata, “Suamiku, tampaknya anak kita dilahirkan di bawah nasib yang buruk!” “Mengapa?” “Aku sudah berkeliling ke seluruh desa, tetapi tak ada seorang pun yang mau memberikan anak perempuannya.” “Itu pertanda buruk,” kata sang suami. “Sebentar lagi musim panas, dan kita tidak punya siapa pun untuk membantu panen. Pergilah ke desa sebelah, mungkin di sana ada yang bersedia.” Perempuan tua itu pun pergi ke desa lain, berkeliling dari satu rumah ke rumah lain, namun hasilnya tetap sama. Ia pulang dengan tangan hampa. “Tak seorang pun mau berbesan dengan orang miskin seperti kita!” “Kalau begitu, percuma saja terus mencari. Duduklah di belakang tungku,” kata suaminya. Namun sang anak merasa tersinggung. Ia berkata, “Ayah, restuilah aku. Aku akan pergi mencari nasibku sendiri.” “Hendak ke mana kau pergi?” “Ke mana pun mataku membawaku!” Maka orang tuanya memberkatinya, dan ia pun berangkat mengikuti arah angin. Di tengah perjalanan, pemuda itu menangis dan berkata pada dirinya sendiri, “Apakah aku ini manusia paling hina, hingga tak seorang gadis pun mau menerimaku? Andai iblis sendiri memberiku seorang istri, aku akan menerimanya!” Tiba-tiba, seolah muncul dari dalam tanah, seorang lelaki tua berdiri di hadapannya. “Selamat siang, wahai pemuda gagah!” “Selamat siang, Bapak tua!” “Apa yang kau katakan tadi?” Pemuda itu ketakutan dan tak tahu harus menjawab apa. “Jangan takut. Aku tidak akan menyakitimu. Mungkin aku bisa menolongmu. Katakanlah dengan jujur.” Maka pemuda itu menceritakan segalanya. “Aku ini orang yang malang. Tak ada gadis yang mau menikah denganku. Dalam kemarahanku, aku berkata bahwa jika iblis pun memberiku seorang istri, aku akan menerimanya.” Lelaki tua itu tertawa. “Aku bisa memberimu seorang istri—bahkan sebanyak yang kau mau.” Mereka pun tiba di sebuah danau. “Berdirilah membelakangi air, lalu melangkahlah mundur,” kata lelaki tua itu. Begitu pemuda itu melangkah empat langkah, ia mendapati dirinya berada di bawah air, di dalam sebuah istana batu putih yang indah. Semua ruangan dihiasi dengan megah. Lelaki tua itu memberinya makanan dan minuman, lalu memperlihatkan dua belas gadis yang semuanya cantik jelita. “Pilihlah salah satu dari mereka. Siapa pun yang kau pilih akan menjadi milikmu.” “Ini pilihan yang sulit, Kakek. Beri aku waktu hingga besok untuk memikirkannya.” “Baiklah, hingga besok,” kata lelaki tua itu. Malam harinya, ketika pemuda itu sedang memikirkan pilihannya, tiba-tiba pintu terbuka dan seorang gadis cantik masuk. “Apakah engkau sudah tidur, wahai pemuda?” “Belum. Aku sedang memikirkan siapa yang akan kupilih.” “Itulah sebabnya aku datang. Dengarkan aku: engkau sekarang adalah tamu iblis. Jika engkau ingin kembali ke dunia, lakukanlah apa yang kukatakan. Jika tidak, engkau tidak akan keluar hidup-hidup dari sini.” “Katakanlah, aku akan mengingatnya seumur hidupku.” “Besok, iblis akan memperlihatkan dua belas gadis yang tampak sama. Pilihlah aku. Perhatikan baik-baik—ada tanda di mataku sebelah kanan. Itulah tandanya.” Gadis itu kemudian bercerita bahwa ia adalah anak seorang pastor yang diculik iblis sembilan tahun lalu akibat ucapan ayahnya yang tergesa-gesa. Keesokan harinya, dua belas gadis itu berbaris. Pemuda itu memperhatikan dengan saksama dan memilih gadis yang memiliki tanda tersebut. Iblis menjadi marah, tetapi tak dapat berbuat apa-apa. Ia mencoba mengacaukan pilihan itu, namun pemuda itu tetap memilih gadis yang sama hingga tiga kali. “Ini keberuntunganmu. Bawalah dia pulang!” kata iblis. Sekejap kemudian, mereka telah berada di tepi danau. Mereka berjalan hingga kembali ke jalan besar. Pemuda itu membawa gadis tersebut ke desanya dan singgah di rumah pastor. Ketika sang pastor melihat gadis itu, ia segera mengenalinya sebagai putrinya. Mereka pun berpelukan dan menangis bahagia. “Siapa pemuda ini?” tanya sang pastor. “Dialah yang menyelamatkanku dan membawaku kembali ke dunia.” Gadis itu membuka kantongnya, yang berisi barang-barang emas dan perak yang ia bawa dari tempat iblis. Seorang saudagar yang melihatnya berkata, “Itu milikku! Dahulu aku, dalam keadaan marah, mengutuk semua itu kepada iblis—dan sejak itu semuanya hilang!” Saat ia menyebut nama iblis, roh jahat itu pun muncul dan mengambil kembali semua barang tersebut, menggantinya dengan tulang belulang. Akhirnya, pemuda itu menikahi gadis itu dan pulang menemui orang tuanya. Mereka mengira anaknya telah lama meninggal, karena ia telah pergi selama tiga tahun—meskipun baginya terasa hanya sehari semalam berada di dunia iblis. eg81fo6ozsq82ytuxf2p34gj8l670v6 2 27236 115162 2026-05-04T11:48:25Z Sikurakurasi 42826 ←Membuat halaman berisi 'Halo! Saya adalah Sikurakurasi dan kini berdomisili di planet Bumi. Saya memiliki minat pada topik sejarah, budaya, ekologi, dan gastronomi--khususnya kopi.' 115162 wikitext text/x-wiki Halo! Saya adalah Sikurakurasi dan kini berdomisili di planet Bumi. Saya memiliki minat pada topik sejarah, budaya, ekologi, dan gastronomi--khususnya kopi. 7j5wy3vnpebnk9cndu9irfcxug9gkoh