Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.46.0-wmf.23 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 33128 491748 262716 2026-04-11T14:45:52Z AnRo0002 22660 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Dondolino-1.jpg]] → [[File:Hippocrepis emerus - Dondolino-1.jpg]] 491748 wikitext text/x-wiki [[File:Hippocrepis emerus - Dondolino-1.jpg|thumb|Arbusto di dondolino]] Il '''dondolino''' (''Coronilla emerus'') è un arbusto con chioma leggera ed espansa, della famiglia delle [[w:Fabaceae|Leguminose o Fabaceae]], alto sino a 2-3 m, molto comune nel sottobosco o al limite dei boschi - preferisce terreni freschi in posizioni di mezz’ombra - dalla pianura alla collina sino a circa 800 m. E' chiamato dondolino perché i fiori sono penduli, all'apice di un lungo picciolo, e dondolano all'aria. E' chiamato anche '''erba cornetta''' o '''emero''' (''emerus'' deriva dal greco ἡμερόω, cioè rendere mite, addomesticare, coltivare, in quanto è pianta che può essere facilmente coltivata nei giardini. Il nome del genere deriva dal latino ''corona'' per la disposizione dei fiori. == Come posso riconoscere questa pianta? == ''Dai fiori gialli, simili a quelli del pisello, a marzo-aprile.'' Il fusto è legnoso con molti rami, la corteccia dapprima è verde poi bruna e caratteristiche costolature chiare. Ha un apparato radicale sviluppato, piuttosto profondo, ricco di tubercoli batterici che fissano l’azoto atmosferico. Le foglie sono semipermanenti, alterne, con stipole basali triangolari di 1 - 2 mm., composte da 5-9 foglioline ovali, con lamina sottile, glabra, verde brillante, a margine liscio. I fiori sono di colore giallo brillante (sfiorendo tendono al bianco) lunghi 1,5-2 cm, riuniti a gruppetti di 2-4 portati da lunghi piccioli che dipartono dall’ascella delle foglie, fioriscono da febbraio a giugno. Il frutto è un legume lungo e sottile, biancastro, incurvato e pendulo di 5 - 11 cm, con strozzature tra i semi poco pronunciate; matura tra luglio e settembre e all'interno ha semi di colore bruno-nerastro. == Come viene utilizzata? == Specie rustica adatta al rinverdimento di scarpate anche su substrati argillosi, è impiegato per il recupero di terreni degradati grazie a un apparato radicale molto esteso; ha anche un uso anche ornamentale. È anche utilizzata come foraggio per i conigli e ritenuta pianta importante per il miglioramento del contenuto d’azoto del terreno, data la simbiosi con batteri che lo producono nei tubercoli radicali. == Dove la posso trovare a Costigiola? == [[File:Dondolino-2.jpg|thumb|Dondolino sul muro a secco]] Tutto intorno al bosco ceduo. === Inverno === === Primavera === === Estate === === Autunno === == Riferimenti == {{interprogetto|w=Dondolino}} {{Template:Costigiola/Piante}} [[Categoria:Costigiola/Piante| ]] {{Avanzamento|75%|27 maggio 2014}} fbortt6rnyu7t94dc5q949ywwflxhpt 491749 491748 2026-04-11T14:48:47Z AnRo0002 22660 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Dondolino-2.jpg]] → [[File:Hippocrepis emerus - Dondolino-2.jpg]] 491749 wikitext text/x-wiki [[File:Hippocrepis emerus - Dondolino-1.jpg|thumb|Arbusto di dondolino]] Il '''dondolino''' (''Coronilla emerus'') è un arbusto con chioma leggera ed espansa, della famiglia delle [[w:Fabaceae|Leguminose o Fabaceae]], alto sino a 2-3 m, molto comune nel sottobosco o al limite dei boschi - preferisce terreni freschi in posizioni di mezz’ombra - dalla pianura alla collina sino a circa 800 m. E' chiamato dondolino perché i fiori sono penduli, all'apice di un lungo picciolo, e dondolano all'aria. E' chiamato anche '''erba cornetta''' o '''emero''' (''emerus'' deriva dal greco ἡμερόω, cioè rendere mite, addomesticare, coltivare, in quanto è pianta che può essere facilmente coltivata nei giardini. Il nome del genere deriva dal latino ''corona'' per la disposizione dei fiori. == Come posso riconoscere questa pianta? == ''Dai fiori gialli, simili a quelli del pisello, a marzo-aprile.'' Il fusto è legnoso con molti rami, la corteccia dapprima è verde poi bruna e caratteristiche costolature chiare. Ha un apparato radicale sviluppato, piuttosto profondo, ricco di tubercoli batterici che fissano l’azoto atmosferico. Le foglie sono semipermanenti, alterne, con stipole basali triangolari di 1 - 2 mm., composte da 5-9 foglioline ovali, con lamina sottile, glabra, verde brillante, a margine liscio. I fiori sono di colore giallo brillante (sfiorendo tendono al bianco) lunghi 1,5-2 cm, riuniti a gruppetti di 2-4 portati da lunghi piccioli che dipartono dall’ascella delle foglie, fioriscono da febbraio a giugno. Il frutto è un legume lungo e sottile, biancastro, incurvato e pendulo di 5 - 11 cm, con strozzature tra i semi poco pronunciate; matura tra luglio e settembre e all'interno ha semi di colore bruno-nerastro. == Come viene utilizzata? == Specie rustica adatta al rinverdimento di scarpate anche su substrati argillosi, è impiegato per il recupero di terreni degradati grazie a un apparato radicale molto esteso; ha anche un uso anche ornamentale. È anche utilizzata come foraggio per i conigli e ritenuta pianta importante per il miglioramento del contenuto d’azoto del terreno, data la simbiosi con batteri che lo producono nei tubercoli radicali. == Dove la posso trovare a Costigiola? == [[File:Hippocrepis emerus - Dondolino-2.jpg|thumb|Dondolino sul muro a secco]] Tutto intorno al bosco ceduo. === Inverno === === Primavera === === Estate === === Autunno === == Riferimenti == {{interprogetto|w=Dondolino}} {{Template:Costigiola/Piante}} [[Categoria:Costigiola/Piante| ]] {{Avanzamento|75%|27 maggio 2014}} i0ijfeu62okfojpq0ybdlnxlzl5fic6 0 34736 491765 485399 2026-04-11T19:48:36Z ~2026-22360-84 54176 491765 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche della [[w:Provincia di Verona|provincia di Verona]] raggruppate per comune: * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Verona|Verona]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Angiari|Angiari]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Bonavigo|Bonavigo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Bosco Chiesanuova|Bosco Chiesanuova]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Bovolone|Bovolone]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Brenzone sul Garda|Brenzone sul Garda]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Bussolengo|Bussolengo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Caldiero|Caldiero]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Caprino Veronese|Caprino Veronese]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Castel d'Azzano|Castel d'Azzano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Castelnuovo del Garda|Castelnuovo del Garda]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Cazzano di Tramigna|Cazzano di Tramigna]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Cerea|Cerea]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Cologna Veneta|Cologna Veneta]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Colognola ai Colli|Colognola ai Colli]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Grezzana|Grezzana]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Isola della Scala|Isola della Scala]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Lavagno|Lavagno]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Lazise|Lazise]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Legnago|Legnago]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Marano di Valpolicella|Marano di Valpolicella]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Mezzane di Sotto|Mezzane di Sotto]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Montecchia di Crosara|Montecchia di Crosara]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Monteforte d'Alpone|Monteforte d'Alpone]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Nogarole Rocca|Nogarole Rocca]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Pescantina|Pescantina]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Roncà|Roncà]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/San Bonifacio|San Bonifacio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/San Pietro di Morubio|San Pietro di Morubio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/San Pietro in Cariano|San Pietro in Cariano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/San Giovanni Lupatoto|San Giovanni Lupatoto]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/San Giovanni Ilarione|San Giovanni Ilarione]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/San Martino Buon Albergo|San Martino Buon Albergo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Sant'Ambrogio di Valpolicella|Sant'Ambrogio di Valpolicella]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Sant'Anna d'Alfaedo|Sant'Anna d'Alfaedo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Soave|Soave]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Sommacampagna|Sommacampagna]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Sona|Sona]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Terrazzo|Terrazzo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Torri del Benaco|Torri del Benaco]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Valeggio sul Mincio|Valeggio sul Mincio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Vestenanova|Vestenanova]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Vigasio|Vigasio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Villafranca di Verona|Villafranca di Verona]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/Zimella|Zimella]] {{Avanzamento|20%|31 agosto 2025}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Provincia di Verona]] knlgsckm883w8wggd2sotq3p44tqlru 0 49023 491768 458061 2026-04-11T20:29:17Z ~2026-22532-09 54177 491768 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Serassi/Giacomo Veggezzi-Bossi * * '''Anno:''' 1765/1863 * '''Restauri/modifiche:''' Francesco e Carlo II Vegezzi-Bossi (1936, restauro conservativo)<ref>Aggiunta di un somiere pneumatico inutilizzato, per il prolungamento del Contrabbasso fino al ''Sol<small>2</small>''</ref>, Brondino Vegezzi-Bossi (anni 2000, manutenzione) * '''Registri:''' 52 * '''Canne:''' 4300 * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 1 di 58 note (''Do<small>1</small>''-''La<small>5</small>'', Divisione Bassi/Soprani: ''Do#<small>3</small>''-''Re<small>3</small>'') * '''Pedaliera:''' dritta di 20 tasti per 17 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>2</small>'') di cui solo le prime 12 reali (le restanti 5 sono disattivate). Ultimi 3 tasti azionanti accessori * '''Collocazione:''' in corpo unico, su cantoria alla destra del presbiterio * '''Accessori:''' ''Tiratutto per il Ripieno'' a pedalone, ''Combinazione libera alla lombarda'' a pedalone, ''Terza mano'' a manetta. 7 pedaletti sopra la pedaliera per: Campanelli, Corno inglese, Tromba 16', Tromba a squillo 8', Flauto traverso, Ottavino, Ance. Ultimi 3 tasti della pedaliera inserenti: Terza mano, Rullante, Unione tasto al pedale, Banda turca {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di sinistra - ''Concerto''''' ---- |- |Campanelli || Soprani<ref>in numero 32</ref> |- |Trombe || 16' Soprani |- |Trombe a squillo || 8' Soprani |- |Cornetto 3 canne || 2.2/3' Soprani |- |Fagotto reale || 8' Bassi |- |Trombe || 8' Soprani |- |Clarone || 4' Bassi |- |Corno inglese || 16' Soprani |- |Violoncello || 4' Bassi |- |Oboe || 8' Soprani |- |Flauto traversiere || 8' Soprani |- |Viola || 4' Bassi |- |Corno dolce || 16' Soprani |- |Ottavino || 2' Soprani |- |Ottavino || 1/2' Bassi |- |Flauto in selva || 8' Soprani |- |Flauto in ottava || 4' Bassi |- |Flauto in ottava || 4' Soprani |- |Duodecima || 2.2/3' Soprani<ref>Flauto in XII</ref> |- |Voce umana || 8' Soprani |- |Trombone || 8' <small>(ai Pedali)</small> |- |Bombarde || 16' <small>(ai Pedali)</small> <ref>''Do<small>1</small>''-''Mi<small>1</small>'' 8',''Fa<small>1</small>''-''Si<small>1</small>'' 16'</ref> |- |Timpani in 12 toni || <small>(ai Pedali)</small> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di destra - ''Ripieno''''' ---- |- |Principale || 16' Bassi |- |Principale || 16' Soprani |- |Principale I° || 8' Bassi |- |Principale I° || 8' Soprani |- |Principale II° || 8' Bassi |- |Principale II° || 8' Soprani |- |Ottava I^a || 4' Bassi |- |Ottava I^a || 4' Soprani |- |Ottava II^a || 4' Bassi |- |Ottava II^a || 4' Soprani |- |Duodecima || 2.2/3' Bassi |- |Duodecima || 2.2/3' Soprani |- |Decimaquinta || 2' |- |Decima nona || 1.1/3' |- |Vigesima seconda || 1' |- |Due di ripieno<ref>Sesquialtera composta dalle file XXII e XXIV</ref> |- |Due di ripieno |- |Due di ripieno |- |Due di ripieno |- |Due di ripieno |- |Due di ripieno<ref>Canne non presenti</ref> |- |Contrabbasso e rinforzo || 16'+8' <small>(ai Pedali)</small> |- |Contrabbasso e rinforzo || 16'+8' <small>(ai Pedali)</small> |- |Bassi d'armonia || 8' <small>(ai Pedali)</small> |- |Ripieno 6 file || 4' <small>(ai Pedali)</small> <ref>da VIII a XIX</ref> |- |} |} == Note == <references/> == Bibliografia == {{cita libro| nome= Silvio| cognome= Sorrentino|titolo= Organalia: 100 organi della Provincia di Torino|città=Torino|anno=2009|}} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Duomo di Carignano|w_preposizione=sulla|w_etichetta=chiesa dei Santi Giovanni Battista e Remigio a Carignano}} == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://www.catalogo.beniculturali.it/detail/MusicHeritage/0100028683|titolo=Scheda organo Beni Culturali|accesso=02 aprile 2021}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Carignano - Chiesa dei Santi Giovanni Battista e Remigio]] 3vepossib2j5t7wt1veqyz9s0ullllm 0 53476 491750 445076 2026-04-11T14:53:22Z ~2026-18977-21 54113 /* Organo positivo */ 491750 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} {{Avanzamento|0%|4 novembre 2023}} == Organo maggiore == {{...}} == Organo positivo == * '''Costruttore:''' Walter Chinaglia * '''Anno:''' 2007 * '''Restauri/modifiche:''' no * '''Registri:''' 3 * '''Canne:''' 162 * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' sporgente dalla cassapanca * '''Tastiere:''' 1 di 54 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' no * '''Collocazione:''' in corpo unico, a sinistra dell'altare maggiore, un prossimità dell'abside {| border="0" cellspacing="24" cellpadding="18" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" |colspan="4"| '''Manuale''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Principale || 2' |- |} |} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Lodi - Chiesa di San Lorenzo martire]] aju58oarnipfvx9ekhxfnht0vuep94j 3 59969 491746 2026-04-11T14:12:11Z Hippias 18281 Benvenuto/a su Wikibooks! 491746 wikitext text/x-wiki <div style="font-size:90%; text-align:right;">For other languages, consider using [[Wikibooks:Babel]] &middot; [[Wikibooks:Ambasciata|Embassy]]</div> {| width="100%" cellspacing="0" cellpadding="6" style="font-size:95%; line-height: 15px; background-color: var(--background-color-warning-subtle, #fef6e7); color: inherit; border: 1px solid #faecc8;" |- | colspan="4" style="background: #faecc8; color: #000;" |<span style="font-size:larger">'''[[Aiuto:Benvenuto|Benvenut{{GENDER:{{BASEPAGENAME}}|o|a|a/o}}]] {{PAGENAME}}''' in it.Wikibooks </span>, la biblioteca libera. |- | colspan="4" | Ciao, {{PAGENAME}}. Grazie per voler partecipare al progetto. Spero che la tua collaborazione ti risulti gradevole e che continuerai a contribuire. |- | colspan="4" | [[Aiuto:It.wb|Wikibooks]] è una raccolta di '''manuali e libri di testo''' '''[[Wikibooks:Copyright|gratuiti ed a contenuto aperto]]'''; questa comunità si è data delle regole per favore usa un po' del tuo tempo per leggere cosa [[Aiuto:Cosa mettere su Wikibooks|puoi]] o [[Wikibooks:Cosa Wikibooks non è|non puoi]] mettere su Wikibooks. |- | align="right" | [[Image:BluePillar.svg<!--Crystal Clear app lassist.png-->|30px]] | [[Wikibooks:cinque pilastri|'''I cinque pilastri di Wikibooks'''<br>linee guida generali per capire su cosa si fonda il progetto]] | align="right" |[[File:Cicero.PNG|30px]] | [[Aiuto:NPOV| '''Punto di vista neutrale'''.<br>Apprendi i fondamentali del punto di vista neutrale]] |- | align="right" | [[File:Kpdf bookish.svg|30px]] | [[Wikibooks:Tutti_i_libri|'''I ripiani'''<br>Fai un giro tra i ripiani per trovare l'argomento a cui ti interessa contribuire]] | align="right" |[[File:Nuvola_apps_khelpcenter.png‎‎|30px]] | [[Aiuto:Manuale|'''Manuale'''<br>Tutte le pagine di aiuto e le linee guida di Wikibooks]] |- | align="right" | [[File:Nuvola apps important yellow.svg|30px]] | [[Aiuto:Errori comuni nell'uso di Wikibooks|'''Cosa bisognerebbe evitare'''<br>Impara a non commettere gli errori più comuni]] | align="right" | [[File:Nuvola apps ksirc.png|30px]] | [[Aiuto:FAQ|'''Domande frequenti'''<br>Cerca qui le risposte a tutte le domande più frequenti]] |- | width="8%" align="right" | [[File:Crystal_Clear_app_korganizer.png<!--Crystal Clear action apply.png-->|30px]] | [[Aiuto:Modifica|'''Impara a modificare una pagina'''<br>Come scrivere in una pagina wiki]] | align="right" | [[File:Nuvola apps bookcase.svg|30px]] | [[Aiuto:Libro|'''Come scrivere un libro'''<br>Tutte le convenzioni di formattazione e organizzazione dei contenuti]] |- | align="right" | [[File:Crystal_128_three.png|30px]] | [[Wikibooks:Portale Comunità|'''Portale Comunità'''<br>Conosci meglio il progetto con le indicazioni del portale comunità]] | align="right" | [[File:Nuvola apps kteatime.png|30px]] | [[Wikibooks:bar|'''Bar'''<br>Incontra e discuti con altri Wikibookiani]] |- | align="right" | [[File:Wikipedia-logo.svg|30px]] | [[Aiuto:Wikibooks per Wikipediani|'''Wikibooks per Wikipediani'''<br/>Per capire le differenze tra Wikibooks e Wikipedia]] | align="right" | [[Image:Exquisite-kcontrol.png|30px]] | [[Utente:{{PAGENAME}}/Sandbox|'''Sandbox'''<br>Ricordati anche che hai una pagina personale per fare tutte le prove che vuoi e salvare le tue bozze]] |- | colspan="4" style="border-top:2px solid #faecc8;" | <br /> [[File:Signature_button.png|right|Per firmare i tuoi post usa il tasto indicato]] Questa è la tua [[Aiuto:Pagina di discussione|'''pagina delle discussioni''']], dove saranno raccolti tutti i messaggi degli altri [[Wikibooks:Wikibookiani|wikibookiani]]. Per lasciare un messaggio ad altri utenti devi scrivergli '''nella loro pagina di discussione''', altrimenti non verrà notificato loro la presenza di un nuovo messaggio. Ogni intervento nelle pagine di discussione deve essere [[Aiuto:Firma|firmato con quattro tilde (<span style="font-size:larger"><nowiki>~~~~</nowiki></span>)]] o premendo il pulsante in figura. {{Suggerimento casuale}} |} {{#if:--[[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:12, 11 apr 2026 (CEST)|Naturalmente, un benvenuto anche da parte mia.|Un saluto da parte di tutti i [[Wikibooks:Wikibookiani|Wikibookiani]]!}} Se hai bisogno di qualunque cosa, puoi lasciare un messaggio al bar ([https://it.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikibooks:Bar&action=edit&section=new clicca qui]). 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{{modulo|Elettrodinamica classica/La non invarianza delle equazioni di Maxwell}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/I postulati della relatività ristretta e il formalismo covariante}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/I tensori}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/Campi tensoriali}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/I gruppi di Poincaré e di Lorentz}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/Le trasformazioni infinitesime}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/Le grandezze del moto}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/L'equazione del moto}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/Problema di Cauchy per le equazioni del moto}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/Le distribuzioni in elettromagnetismo e le leggi di conservazione}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/La quadricorrente}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/Le leggi di conservazione}} Il metodo variazionale # {{modulo|Elettrodinamica classica/Sistema con gradi di libertà finiti}} # {{modulo|Elettrodinamica classica/Sistema con gradi di libertà infiniti}} # 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Con questa scelta, le equazioni di Maxwell si scrivono: <math>\begin{align} \nabla \cdot \vec{E} &= \rho & \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla \times \vec{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} &= 0 & \nabla \times \vec{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} &= \frac{\vec{j}}{c} \end{align}</math> Notare che, in questo sistema, i campi elettrico e magnetico hanno la stessa unità di misura.<ref>Tuttavia, le espressioni di <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> diventano "strane", per la comparsa di fattori <math>4\pi</math> dovuti alla razionalizzazione di questo sistema. Ad esempio, in questo sistema il modulo del campo elettrico generato da una carica <math>e</math> puntiforme a distanza <math>r</math> da essa vale <math>E = \dfrac{e}{4\pi r^2}</math>.</ref> L'equazione per la forza di Lorentz, invece, è: <math>\vec{F} = q\left(\vec{E} + \frac{\vec{v}}{c} \times \vec{B}\right)</math> Possiamo vedere anche da quest'ultima equazione che <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> hanno la stessa unità di misura: <math>\vec{v}/c</math> è infatti un termine adimensionale; inoltre, sfruttando quest'equazione possiamo ricavare l'espressione della carica in funzione di altre unità di misura del Sistema Internazionale. In ambito relativistico useremo anche unità di misura naturali, ponendo ad esempio <math>c=1</math>; per reintrodurla nelle equazioni si utilizzano considerazioni di tipo dimensionale. Poste nella forma che abbiamo appena scritto, le equazioni di Maxwell sono inconsistenti col principio di relatività galileiano. Mostriamolo. Supponiamo dunque di avere due sistemi di riferimento, che chiamiamo <math>K</math> e <math>K'</math>, cartesiani con assi paralleli. Consideriamo in <math>K</math> un punto di raggio vettore <math>\vec{r}</math>, al quale associamo un istante <math>t</math>. Supponiamo che <math>K'</math> sia in moto rettilineo uniforme rispetto a <math>K</math>, e di modo tale che all'origine dei tempi i due sistemi di riferimento coincidano: sia <math>\vec{v}_0 t</math> il raggio vettore dell'origine di <math>K'</math> in <math>K</math> (con <math>\vec{v}_0</math>, ovviamente, la velocità con la quale <math>K'</math> si sta muovendo rispetto a <math>K</math>). In <math>K'</math>, lo stesso punto ha raggio vettore <math>\vec{r}'</math> e associato l'istante <math>t'</math>. In questo modo: Trasformazione fra sistemi di riferimento inerziali: <math>\begin{cases} \vec{r}' = \vec{r} - \vec{v}_0 t \\ t' = t \end{cases} \;\Rightarrow\; \vec{v}' = \vec{v} - \vec{v}_0 </math> Vogliamo ora determinare delle trasformazioni fra <math>K</math> e <math>K'</math> che lascino invariate in forma le equazioni di Maxwell come le abbiamo scritte prima. Supponiamo dunque che sia l'equazione della forza di Lorentz a restare invariata.<ref>Nota: nella seconda riga non compare <math>c'</math>. La velocità della luce nel vuoto è infatti una costante universale; in fondo è come se al suo posto ci fosse semplicemente un numero.</ref> Si ha: <math>K:\quad m\vec{a} = q\left(\vec{E} + \frac{\vec{v}}{c}\times\vec{B}\right) \qquad K':\quad m\vec{a}' = q'\left(\vec{E}' + \frac{\vec{v}'}{c}\times\vec{B}'\right)</math> Come conseguenza delle trasformazioni di Galilei e della legge di composizione delle velocità, le accelerazioni sono le stesse nei due sistemi di riferimento, e quindi <math>\vec{a}' = \vec{a}</math>; sperimentalmente risulta anche che <math>q = q'</math>. Dunque, in <math>K'</math>: <math>m\vec{a}' = q'\!\left(\vec{E}' + \frac{\vec{v}'}{c}\times\vec{B}'\right) \;\Rightarrow\; m\vec{a} = q\left(\vec{E}' + \frac{\vec{v}-\vec{v}_0}{c}\times\vec{B}'\right)</math> Dobbiamo dunque trovare delle trasformazioni per <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> che rendano invarianti le equazioni di Lorentz per ogni <math>\vec{v}</math>. Si dovrà dunque avere: <math>\vec{B}' = \vec{B} \qquad \vec{E}' = \vec{E} + \frac{\vec{v}_0}{c}\times\vec{B}</math> Adesso, sfruttando queste leggi di trasformazione, vogliamo verificare se le equazioni di Maxwell siano effettivamente invarianti. Innanzitutto si ha:<ref>Questi risultati si ricavano applicando la derivazione composta alle leggi inverse di trasformazione delle coordinate, ossia: <math>\vec{r</ref> = \vec{r}' + \vec{v}_0 t</math>, <math>t = t'</math>.} <math>\frac{\partial}{\partial x'} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x'} + \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x'} = \frac{\partial}{\partial x} \;\Rightarrow\; \nabla' = \nabla</math> <math>\frac{\partial}{\partial t'} = \frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial t'} + \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial t'} = \frac{\partial}{\partial x^i}v^i_0 + \frac{\partial}{\partial t} \;\Rightarrow\; \frac{\partial}{\partial t'} = \vec{v}_0\cdot\nabla + \frac{\partial}{\partial t}</math> Quindi, ad esempio, <math>\nabla'\cdot\vec{B}' = \nabla\cdot\vec{B} = 0</math>. Inoltre: <math>\begin{align} \nabla'\times\vec{E}' + \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}'}{\partial t'} &= \nabla\times\!\left(\vec{E}+\frac{\vec{v}_0}{c}\times\vec{B}\right) + \frac{1}{c}(\vec{v}_0\cdot\nabla)\vec{B} + \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \\ &= \underbrace{\nabla\times\vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}}_{=0} + \nabla\times\!\left(\frac{\vec{v}_0}{c}\times\vec{B}\right) + \frac{1}{c}(\vec{v}_0\cdot\nabla)\vec{B}\end{align}</math> Ora, poiché in generale <math>\nabla\times(\vec{a}\times\vec{b}) = \vec{a}(\nabla\cdot\vec{b}) - (\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b} - \vec{b}(\nabla\cdot\vec{a}) + (\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}</math> e considerando che <math>\vec{v}_0</math> non dipende da nessuna delle tre coordinate cartesiane (dunque <math>\nabla\cdot\vec{v}_0/c=0</math>), si avrà: <math>\nabla'\times\vec{E}' + \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}'}{\partial t'} = \frac{\vec{v}_0}{c}\underbrace{(\nabla\cdot\vec{B})}_{=0} - \left(\frac{\vec{v}_0}{c}\cdot\nabla\right)\vec{B} + \frac{1}{c}(\vec{v}_0\cdot\nabla)\vec{B} = 0</math> Sembrerebbe dunque che tutto fili liscio. Però, considerando che <math>\rho'=\rho</math> (la carica e i volumi si conservano): <math>\nabla'\cdot\vec{E}' = \nabla\cdot\vec{E} + \nabla\cdot\!\left(\frac{\vec{v}_0}{c}\times\vec{B}\right) = \rho + \nabla\cdot\!\left(\frac{\vec{v}_0}{c}\times\vec{B}\right)</math> Poiché, in generale, <math>\nabla\cdot(\vec{a}\times\vec{b}) = \vec{b}\cdot(\nabla\times\vec{a}) - \vec{a}\cdot(\nabla\times\vec{b})</math>, allora si ha: <math>\nabla'\cdot\vec{E}' = \rho + \vec{B}\cdot\underbrace{\left(\nabla\times\frac{\vec{v}_0}{c}\right)}_{=0} - \frac{\vec{v}_0}{c}\cdot(\nabla\times\vec{B}) = \rho - \frac{\vec{v}_0}{c}\cdot\underbrace{\left(\frac{\vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)}_{\neq 0} \neq \rho</math> Dunque, le equazioni di Maxwell \emph{non} sono invarianti. Lo stesso risultato si sarebbe potuto raggiungere imponendo che fossero altre equazioni ad essere invarianti, rispetto a quella usata da noi (l'equazione della forza di Lorentz). == Note == <references/> {{avanzamento|100%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|La non invarianza delle equazioni di Maxwell]] 757fjzchomhziyfnkpp0e4q47og1xg3 14 59975 491755 2026-04-11T15:07:45Z Hippias 18281 nuova categoria 491755 wikitext text/x-wiki Questa categoria raccoglie le pagine del libro ''[[{{PAGENAME}}]]''. [[Categoria:Categorie dei libri]] h6c7lljonxpajmm5za0mxp205oh60uz 0 59976 491756 2026-04-11T15:21:26Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491756 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Come abbiamo appena visto, le equazioni di Maxwell non sono compatibili col principio di relatività galileiana; per risolvere il problema bisogna "estendere" le trasformazioni di Galileo, o meglio l'intera meccanica formulando la relatività ristretta. Quest'ultima si fonda su tre postulati: # Lo spazio è omogeneo e isotropo, il tempo omogeneo. # Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. # La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Il primo postulato è condiviso con la meccanica classica. Il secondo solo in parte: stavolta sono \emph{tutte} le leggi della fisica, elettromagnetismo compreso, a dover essere le stesse fra osservatori inerziali. L'ultimo postulato, invece, è esclusivo della relatività. Definiamo dunque '''spaziotempo''' l'insieme di tutti gli eventi fisici; si tratta di uno spazio quadridimensionale, in quanto in un dato sistema di riferimento ad un evento sono associati quattro numeri: uno per la sua localizzazione temporale e gli altri tre per quella spaziale. Indichiamo questi quattro numeri con <math>x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3)</math> (con la convenzione che gli indici greci rappresentino numeri variabili fra 0 e 3) ove <math>x^0 = ct</math>, o <math>x^0 = t</math> se si usano unità naturali (nelle quali <math>c=1</math>); si può anche scrivere <math>x^\mu = (t, x^i)</math> (con la convenzione che gli indici latini rappresentino numeri variabili fra 1 e 3) o <math>x^\mu = (t,\vec{x})</math>. Definiamo poi '''intervallo''' fra due eventi infinitamente vicini <math>x^\mu</math> e <math>x^\mu + dx^\mu</math> come: <math>ds^2 := dt^2 - \sum_i (dx^i)^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu</math> ove <math>\eta_{\mu\nu}</math> è l'elemento <math>(\mu,\nu)</math>-esimo (cioè quello sulla <math>\mu</math>-esima riga e sulla <math>\nu</math>-esima colonna) della matrice <math>4\times 4</math> <math>\eta</math>, detta '''metrica di Minkowski''': <math>\eta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}</math> Da notare che il fatto che siano gli ultimi tre indici (quelli spaziali) ad avere il segno negativo è una pura convenzione: in letteratura si può anche trovare <math>\eta = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)</math>. Per <math>\eta^{\mu\nu}</math> si intende l'elemento <math>(\mu,\nu)</math>-esimo della matrice inversa di <math>\eta</math>, e dunque: <math>\eta^{\mu\nu}\eta_{\nu\rho} = \delta^\mu_{\ \rho}</math> ove <math>\delta</math> è la delta di Kronecker. Numericamente, però, l'inversa di <math>\eta</math> coincide con <math>\eta</math> stessa. Dato un evento, ogni sistema di riferimento inerziale associa ad esso una diversa quadrupletta <math>x^\mu</math>. Vogliamo dunque capire quali siano le trasformazioni fra sistemi di riferimento inerziali. Si determina che, se <math>K</math> e <math>K'</math> sono due sistemi di riferimento inerziali, la legge di trasformazione delle coordinate di un evento da <math>K</math> a <math>K'</math> è del tipo: <math>x'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu}\,x^\nu + a^\mu</math> con <math>\Lambda^\mu_{\ \nu}</math> elemento <math>(\mu,\nu)</math>-esimo<ref>Nota: l'indice di riga è sempre quello di sinistra, e l'indice di colonna è sempre quello di destra, indipendentemente dalla loro posizione alto/basso.</ref> della matrice <math>4\times 4</math> <math>\Lambda</math> e <math>a^\mu</math> elemento <math>\mu</math>-esimo di un quadrivettore costante qualunque (che fisicamente rappresenta una traslazione spaziotemporale). Si tratta dunque di una trasformazione lineare. Inoltre, poiché <math>ds^2</math> dev'essere invariante per il terzo postulato della relatività, la matrice <math>\Lambda</math> dovrà essere tale che: <math>dx'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu}\,dx^\nu ds^2 = ds'^2 \;\Rightarrow\; \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu = \eta_{\mu\nu}\,\Lambda^\mu_{\ \rho}\,dx^\rho\,\Lambda^\nu_{\ \sigma}\,dx^\sigma \;\Rightarrow\; \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \rho}\Lambda^\nu_{\ \sigma} = \eta_{\rho\sigma}</math> È dunque quest'ultima la relazione che devono soddisfare le matrici <math>\Lambda</math>, il cui insieme è detto '''gruppo di Lorentz'''. Le relazioni con gli indici sono, ovviamente, relazioni componente per componente fra matrici. In notazione matriciale, la condizione di appartenenza al gruppo di Lorentz è: <math>\eta = \Lambda^T \eta \Lambda</math> Spesso si indica il gruppo di Lorentz col simbolo <math>O(1,3)</math>, che indica il gruppo delle matrici ortogonali (in realtà le matrici del gruppo di Lorentz sono pseudoortogonali) con i segni sulla diagonale non tutti uguali (il primo 1 indica che il primo termine è positivo, e il 3 che gli altri sono negativi). Essendo ortogonali (in realtà pseudo-ortogonali), le matrici del gruppo di Lorentz sono invertibili, e si ha: <math>\Lambda^{-1} = \eta^{-1}\Lambda^T\eta = \eta\Lambda^T\eta \qquad\Longrightarrow\qquad \left(\Lambda^{-1}\right)^\mu_{\ \nu} = \eta^{\mu\rho}\Lambda^\sigma_{\ \rho}\,\eta_{\sigma\nu} = \tilde{\Lambda}^\nu_{\ \mu} = \Lambda_{\nu}^{\ \mu}</math> L'insieme delle trasformazioni fra sistemi di riferimento inerziali è però più ampio del gruppo di Lorentz, perché può contenere le traslazioni spaziotemporali. Quest’insieme di trasformazioni più ampio (cioè il gruppo di Lorentz con comprese le traslazioni spaziotemporali) è detto '''gruppo di Poincaré'''. Ora, per il secondo postulato della relatività ristretta, se riuscissimo a scrivere una legge fisica in termini di tensori, questa sarebbe \emph{covariante a vista}, ossia invariante in forma fra sistemi di riferimento inerziali. Cosa significa? Supponiamo che in un sistema di riferimento inerziale <math>K</math> una legge si esprima come <math>A = B</math>. In un altro sistema di riferimento inerziale <math>K'</math> alla grandezza rappresentata da <math>A</math> in <math>K</math> sarà associata una quantità <math>A'</math>, e parimenti alla grandezza rappresentata in <math>K</math> da <math>B</math> sarà associata la quantità <math>B'</math>. Se <math>A = B</math> è una legge covariante a vista, ciò significa che in <math>K'</math> si ha <math>A' = B'</math>. == Note == <references/> {{avanzamento|75%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|I postulati della relatività ristretta e il formalismo covariante]] ri99j2p8ahnysg6u0nwgu42yid3im0u 0 59977 491757 2026-04-11T15:36:26Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491757 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Facciamo adesso una "digressione matematica" sui concetti di tensore e di campo tensoriale, che come abbiamo in parte visto (e come vedremo approfonditamente in seguito) sono fondamentali per poter formulare una descrizione relativistica dell'elettromagnetismo. Cosa si intende per tensore? Un tensore è una quantità che rispetto al gruppo di Poincaré si trasforma linearmente in maniera ben definita.<ref>Matematicamente, un tensore forma una rappresentazione del gruppo di Poincaré, cioè una maniera di associare ad ogni elemento del gruppo una matrice.</ref> Il più semplice tensore possibile è uno '''scalare''': si tratta di una quantità rappresentata da un numero, chiamiamolo <math>\varphi</math>, che non trasforma fra sistemi di riferimento inerziali: <math>\varphi = \varphi'</math>. Esempi di scalari sono la massa o la carica di un corpo. Il primo tipo di tensore non banale è il '''quadrivettore (controvariante)''', ossia una quantità che in un sistema di riferimento inerziale è rappresentata da quattro numeri, e si trasformano rispetto al gruppo di Poincaré tramite la seguente legge: <math>a'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu}\,a^\nu</math> Se per esempio in <math>K</math> si ha <math>V^\mu = W^\mu</math>, allora in <math>K'</math> si avrà <math>V'^\mu = W'^\mu</math>; un esempio di quadrivettore è <math>dx^\mu</math>. Se si hanno due quadrivettori, <math>V^\mu</math> e <math>W^\mu</math>, è facile vedere che la quantità <math>\eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu</math> è uno scalare. Dati due quadrivettori, dunque, la loro contrazione è uno scalare. Definendo <math>V_\mu = \eta_{\mu\nu}V^\nu</math>, allora la contrazione fra <math>V^\mu</math> e <math>W^\mu</math> si può scrivere <math>V_\mu W^\mu</math>; ovviamente <math>V_\mu W^\mu = V^\mu W_\mu</math>. I quadrivettori del tipo <math>V_\mu</math> sono detti '''quadrivettori covarianti'''; per capire come si trasformano sfruttiamo la legge di trasformazione dei quadrivettori controvarianti: <math>V_\mu = \eta_{\mu\nu}V^\nu \;\Rightarrow\; V'_\mu = \eta_{\mu\nu}V'^\nu = \eta_{\mu\nu}\Lambda^\nu_{\ \rho}V^\rho = \eta_{\mu\nu}\Lambda^\nu_{\ \rho}\eta^{\rho\sigma}V_\sigma = \tilde{\Lambda}_\mu^{\ \sigma}V_\sigma = \tilde{\Lambda}_\mu^{\ \nu}V_\nu</math> ovvero <math>V'_\mu = \tilde{\Lambda}_\mu^{\ \nu}V_\nu</math>. Generalizzando: un '''tensore di rango <math>(m,n)</math>''' è un oggetto con <math>m</math> indici "alti" e <math>n</math> "bassi", che indichiamo con <math>T^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\ \ \ \nu_1\ldots\nu_n}</math>, che si trasforma per il gruppo di Poincaré secondo la legge: <math>{T'}^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\nu_1\ldots\nu_n} = \Lambda^{\mu_1}_{\rho_1}\cdots\Lambda^{\mu_m}_{\rho_m}\, \tilde{\Lambda}^{\nu_1}_{\sigma_1}\cdots\tilde{\Lambda}^{\nu_n}_{\ \sigma_n}\, T^{\rho_1\ldots\rho_m}_{\sigma_1\ldots\sigma_n}</math> Adesso, che operazioni si possono compiere fra i tensori? ;Prodotto tensoriale. :Dati un tensore di rango <math>(m,n)</math> e uno di rango <math>(k,\ell)</math>, il loro prodotto tensoriale è un tensore di rango <math>(m+k, n+\ell)</math> che ha come componenti i prodotti algebrici delle componenti dei due tensori di partenza: <math>V^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\ \ \ \nu_1\ldots\nu_n},\; W^{\mu_1\ldots\mu_k}_{\ \ \ \nu_1\ldots\nu_\ell} \;\Rightarrow\; T^{\mu_1\ldots\mu_{m+k}}_{\ \ \ \nu_1\ldots\nu_{n+\ell}} = V^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\ \ \ \nu_1\ldots\nu_n}\, W^{\mu_1\ldots\mu_k}_{\ \ \ \nu_1\ldots\nu_\ell}</math> ;Contrazione degli indici. :Dato un tensore di rango <math>(m,n)</math>, contraendo <math>k</math> dei suoi indici controvarianti con <math>k</math> di quelli covarianti si ottiene un tensore di rango <math>(m-k, n-k)</math>. Ad esempio partendo dal tensore <math>T^{\lambda\mu\nu}_{\ \ \ \rho\sigma}</math>, di rango <math>(3,2)</math>, e contraendo gli indici <math>\mu</math> e <math>\rho</math> si ottiene il tensore <math>W^{\lambda\nu}_{\ \ \sigma} = T^{\lambda\mu\nu}_{\ \ \ \mu\sigma}</math> che è di rango <math>(2,1)</math>. Caratteristica importante dei tensori sono le loro '''proprietà di simmetria''' o '''antisimmetria'''. Un tensore <math>S^{\mu\nu}</math> si dice simmetrico se <math>S^{\mu\nu} = S^{\nu\mu}</math>, mentre un tensore <math>A^{\mu\nu}</math> si dice antisimmetrico se <math>A^{\mu\nu} = -A^{\nu\mu}</math>. Da notare che nel caso di un tensore misto, come può essere <math>T^\mu_{\ \nu}</math>, non ha alcun senso chiedersi se sia simmetrico o antisimmetrico; la condizione <math>T^\mu_{\ \nu} = T^\nu_{\ \mu}</math> non è infatti invariante sotto trasformazioni di Lorentz. Se un tensore è simmetrico o antisimmetrico, tale è in qualunque sistema di riferimento inerziale. Le proprietà di simmetria si estendono facilmente a tensori di rango maggiore. Le proprietà di simmetria si estendono facilmente a tensori di rango maggiore: un tensore si dice completamente simmetrico o completamente antisimmetrico se valgono le relative proprietà di simmetria o antisimmetria per lo scambio di una qualsiasi coppia di indici. Dato un tensore <math>T_{\mu\nu}</math>, si definisce la sua '''parte simmetrica''' come <math>T_{(\mu\nu)} := \frac{1}{2}(T_{\mu\nu} + T_{\nu\mu})</math> e la sua '''parte antisimmetrica''' come <math>T_{[\mu\nu]} := \frac{1}{2}(T_{\mu\nu} - T_{\nu\mu})</math> Altro fatto importante è che la contrazione di un tensore simmetrico con uno antisimmetrico vale zero. Supponiamo infatti che <math>S^{\mu\nu}</math> sia simmetrico e <math>A^{\mu\nu}</math> antisimmetrico. Allora: <math>S_{\mu\nu}A^{\mu\nu} = -S_{\mu\nu}A^{\nu\mu} = -S_{\nu\mu}A^{\nu\mu}</math> cambiamo ora il nome degli indici (<math>\mu\to\nu</math>, <math>\nu\to\mu</math>): <math>S_{\mu\nu}A^{\mu\nu} = -S_{\mu\nu}A^{\mu\nu} \;\Rightarrow\; S_{\mu\nu}A^{\mu\nu} = 0</math> Per '''tensore invariante''' si intende un tensore che ha le stesse componenti in ogni sistema di riferimento. Vediamo alcuni esempi: * <math>\eta^{\mu\nu}</math> è un tensore invariante, infatti: <math>\eta'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \rho}\Lambda^\nu_{\ \sigma}\eta^{\rho\sigma} = \eta^{\mu\nu}</math>. * <math>\delta^\mu_{\ \nu}</math> non è un tensore invariante, infatti <math>{\delta'}^{\mu}_{\ \nu} = \Lambda^\mu_{\ \rho}\Lambda^\nu_{\ \sigma}\delta^{\rho\sigma} \neq \delta^{\mu}_{\ \nu}</math>. * Il '''tensore di Levi-Civita''' <math>\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}</math>, che è un tensore completamente antisimmetrico con <math>\varepsilon^{0123}=+1</math>. Si verifica che: <math> \varepsilon'^{\mu\nu\rho\sigma} = \Lambda^\mu_{\ \alpha}\Lambda^\nu_{\ \beta}\Lambda^\rho_{\ \gamma}\Lambda^\sigma_{\ \delta}\,\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} = \det\Lambda\cdot\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}</math> Poiché dalla condizione <math>\Lambda^T\eta\Lambda=\eta</math> segue <math>(\det\Lambda)^2=1</math>,<ref><math>\Lambda^T\eta\Lambda=\eta \;\Rightarrow\; \det(\Lambda^T\eta\Lambda)=\det\eta \;\Rightarrow\; (\det\Lambda)^2=1 \;\Rightarrow\; \det\Lambda=\pm 1</math>.</ref> si ha <math>\det\Lambda=\pm 1</math> e quindi: <math> \varepsilon'^{\mu\nu\rho\sigma} = \pm\,\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}</math> In realtà, <math>\varepsilon</math> è invariante rispetto a tutte le trasformazioni di Lorentz con <math>\det\Lambda=1</math>, mentre cambia di segno per quelle con <math>\det\Lambda=-1</math>; è per questo che la dicitura corretta per <math>\varepsilon</math> è quella di '''pseudotensore invariante'''. Esistono altri tensori invarianti diversi da quelli visti? Un teorema (che non dimostriamo) afferma che se <math>T^{\mu\nu\rho\sigma}</math> è un generico tensore invariante, esso non può che essere una combinazione lineare di <math>\varepsilon</math> o di prodotti di <math>\eta</math>, ossia: <math>T^{\mu\nu\rho\sigma} = a\,\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} + b\,\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} + c\,\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma} + d\,\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho}</math> == Note == <references/> {{avanzamento|75%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|I tensori]] 3r7fk7863qwdqonfnqyocb6h0t7sleh 0 59978 491758 2026-04-11T15:39:35Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491758 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Per '''campo tensoriale''' si intende un tensore le cui componenti sono funzione del punto dello spaziotempo in cui vengono considerate. Un '''campo scalare''', dunque, sarà uno scalare del tipo <math>\varphi(x)</math> e che trasforma come: <math>\varphi(x) = \varphi(x')</math>. Un '''campo vettoriale''' è una collezione di quattro numeri <math>V^\mu(x)</math>, ognuno dei quali dipende da <math>x</math>. I campi vettoriali trasformano come: <math>V'^\mu(x') = \Lambda^\mu_{\ \nu}V^\nu(x) \qquad V'_\mu(x') = \tilde{\Lambda}_\mu^{\ \nu}V_\nu(x)</math> e poiché <math>x' = \Lambda x \Rightarrow x = \Lambda^{-1}x'</math>: <math>V'^\mu(x) = \Lambda^\mu_{\ \nu}V^\nu(\Lambda^{-1}x) \qquad V'_\mu(x) = \tilde{\Lambda}_\mu^{\ \nu}V_\nu(\Lambda^{-1}x)</math> Il '''gradiente''' di un campo tensoriale <math>T^{\mu_1\mu_2\ldots}_{\ \ \nu_1\nu_2\ldots}(x)</math> si trasforma anch'esso come un tensore, e lo si indica in questo modo: <math>\frac{\partial}{\partial x^\mu}T^{\mu_1\ldots}_{\ \nu_1\ldots} = \partial_\mu T^{\mu_1\ldots}_{\ \nu_1\ldots}</math> Questa notazione è consistente col fatto che il gradiente trasformi come un tensore covariante; infatti considerando che <math>x^\nu = (\Lambda^{-1})^\nu_{\ \mu}x'^\mu</math> si ha: <math>\partial'_\mu = \frac{\partial}{\partial x'^\mu} = \frac{\partial}{\partial x^\nu}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} = (\Lambda^{-1})^\nu_{\ \mu}\partial_\nu = \tilde{\Lambda}_\mu^{\ \nu}\partial_\nu</math> che è proprio la legge di trasformazione di un tensore covariante. Perciò il gradiente di un tensore di rango <math>(m,n)</math> è un tensore di rango <math>(m, n+1)</math>. In tre dimensioni, possiamo definire il tensore <math>\varepsilon^{ijk}</math> completamente antisimmetrico con <math>\varepsilon^{123}=+1</math>. In termini di <math>\varepsilon^{ijk}</math>, se <math>\vec{a}</math> e <math>\vec{b}</math> sono vettori si ha che: <math>(\vec{a}\times\vec{b})^i = \varepsilon^{ijk}a_j b_k \qquad (\nabla\times\vec{a})^i = \varepsilon^{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j}a_k</math> Alcune proprietà utili di <math>\varepsilon^{ijk}</math>: <math>\varepsilon^{ijk}\varepsilon^{ij\ell} = 2\delta^{k\ell} \qquad \varepsilon^{ik\ell}\varepsilon^{imn} = \delta^{km}\delta^{\ell n} - \delta^{kn}\delta^{\ell m}</math> Analoghe relazioni valgono in quattro dimensioni: <math>\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\varepsilon_{\mu\nu\rho\alpha} = -6\delta^\sigma_{\ \alpha}</math> (e analoghe per un numero diverso di indici controvarianti). Infine, in tre dimensioni gli unici tensori invarianti sono <math>\epsilon</math> e <math>\delta</math>. == Note == <references/> {{avanzamento|75%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Campi tensoriali]] apohd9cucqmuxp7dwglu262j0da5qbq 0 59979 491759 2026-04-11T15:53:51Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491759 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Le trasformazioni di Poincaré sono caratterizzate dalla coppia <math>(\Lambda, a)</math> con <math>\Lambda^T\eta\Lambda=\eta</math>; queste costituiscono un gruppo, con la legge di composizione: <math>(\Lambda_2, a_2)\cdot(\Lambda_1, a_1) = (\Lambda_2\Lambda_1,\, \Lambda_2 a_1 + a_2)</math> L'insieme <math>(\Lambda, 0)</math> è il '''sottogruppo di Lorentz''', ed è non-abeliano (cioè non commutativo); è anche detto "gruppo di Lie", cioè è un gruppo che può essere parametrizzato in modo continuo (le <math>\Lambda</math> formano uno spazio continuo di matrici). Possiamo dunque chiederci se questo gruppo formi una varietà connessa (ossia tale che si possa passare con continuità da un elemento all’altro) oppure no. Così come lo abbiamo definito, il gruppo di Lorentz non è connesso; vediamo dunque meglio qual è la sua struttura. Abbiamo già visto che per il gruppo di Lorentz vale <math>{\det}^2\Lambda = 1</math>, e dunque ci sono elementi per i quali <math>\det\Lambda=1</math> e altri per i quali <math>\det\Lambda=-1</math>: variando in modo continuo i parametri di una <math>\Lambda</math> con <math>\det\Lambda=1</math>, esso non potrà che variare in maniera continua, e pertanto con una trasformazione del genere sarà impossibile avere <math>\det\Lambda=-1</math>. Questi due sottoinsiemi del gruppo di Lorentz sono pertanto sconnessi fra loro. Consideriamo ora la componente <math>(0, 0)</math> dell’identità <math>\Lambda^T\eta\Lambda=\eta</math>. Si ha: <math>(\Lambda^0_{\ 0})^2 - (\Lambda^i_{\ 0})^2 = 1 \;\Rightarrow\; (\Lambda^0_{\ 0})^2 \geq 1</math> Dunque si presentano due nuove possibilità: o <math>\Lambda^0_{\ 0} \geq 1</math> oppure <math>\Lambda^0_{\ 0} \leq 1</math>, e anche stavolta con una trasformazione continua non sarà mai possibile passare da una <math>\Lambda</math> con <math>\Lambda^0_{\ 0} \geq 1</math> a una con <math>\Lambda^0_{\ 0} \leq 1</math>. Il gruppo di Lorentz è quindi sconnesso, e composto da quattro componenti. Di queste solo una può essere un sottogruppo, ed è quella che contiene l’identità<ref>Per definizione, un gruppo deve contenere l’identità al suo interno.</ref>; questa è la componente con <math>\det\Lambda = 1</math> e <math>\Lambda^0_{\ 0} \geq 1</math>, che di solito si indica con <math>SO(1, 3)_c</math> e ha il nome di '''(sotto)gruppo proprio di Lorentz'''. Si verifica che <math>SO(1; 3)_c</math> è effettivamente un sottogruppo, e che è connesso. È questo il vero gruppo di simmetria della natura: l’elettromagnetismo sarebbe infatti invariante per tutte le trasformazioni del gruppo di Lorentz, ma altre interazioni fondamentali non lo sono, e l’unico insieme di trasformazioni per le quali tutte le interazioni ad oggi note sono invarianti è proprio <math>SO(1; 3)c</math>. Per "saltare" alle altre componenti del gruppo di Lorentz partendo da <math>SO(1,3)_c</math> servono due trasformazioni discrete: la parità <math>P : (x^0, x^i) \longmapsto (x^0, -x^i)</math> l'inversione temporale <math>T : (x^0, x^i) \longmapsto (-x^0, x^i)</math> == Note == <references/> {{avanzamento|75%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|I gruppi di Poincaré e di Lorentz]] 7tog5gaxn37buod4cu04te3hm58zdbi 0 59980 491761 2026-04-11T16:38:32Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491761 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Poiché <math>SO(1,3)_c</math> è connesso, ha senso parlare di '''trasformazioni di Lorentz infinitesime''', ossia di trasformazioni "molto vicine" all'identità. Lo studio di esse è molto utile per capire la struttura del gruppo e per ricavare l’espressione delle trasformazioni finite. Una trasformazione infinitesima sarà del tipo: <math>\Lambda^\mu_{\ \nu} = \delta^\mu_{\ \nu} + \Omega^\mu_{\ \nu}</math> con <math>|\Omega^\mu_{\ \nu}| \ll 1</math>; in notazione matriciale, <math>\Lambda = 1 + \Omega</math>. Vediamo dunque quali sono le proprietà che deve soddisfare Ω affinché questa sia una trasformazione di Lorentz. Poiché <math>|\Omega^\mu_{\ \nu}| \ll 1</math>, nei conti trascureremo tutti i termini non lineari in <math>\Omega</math>. Dunque, partendo dalla condizione di appartenenza al gruppo di Lorentz: <math>\Lambda^T\eta\Lambda = \eta \;\Rightarrow\; (1+\Omega^T)\eta(1+\Omega) = \eta \;\Rightarrow\; \Omega^T\eta = -\eta\Omega</math> Se dunque definiamo <math>\omega = \eta\Omega</math>, questa condizione è equivalente all'antisimmetria di <math>\omega</math>: <math>\omega^T = -\omega \Rightarrow (\eta\Omega)^T = - \eta\Omega \Rightarrow \Omega^T_{\ \eta} = -\eta\Omega</math>. Dunque, affinché una matrice <math>\Omega</math> rappresenti una trasformazione infinitesima è necessario che <math>\omega_{\mu\nu} = \eta_{\mu\rho}\Omega^\rho_{\ \nu}</math> sia antisimmetrica Sfruttando questo fatto possiamo dedurre la dimensione dello spazio delle matrici di Lorentz. Essa infatti è uguale alla dimensione dello spazio delle matrici antisimmetriche <math>4\times 4</math>, che è 6. Di questi 6 parametri liberi, 3 corrispondono alle rotazioni tridimensionali e gli altri 3 ai boost lungo i tre assi. Il legame fra queste e <math>\omega</math> è: * '''Rotazioni''': in questo caso <math>\omega</math> ha entrambi gli indici spaziali, <math>\omega_{ij} = -\omega_{ji}</math> e <math>\omega_{ij} = \varepsilon_{ijk}\varphi^k</math>, ove <math>\varphi^k</math> ha il significato di angolo di rotazione attorno all'asse <math>k</math>. * '''Boost''': in questo caso gli indici di <math>\omega</math> sono uno temporale e uno spaziale, <math>\omega_{i0} = -\omega_{0i} = \beta_i</math>, ove <math>\beta_i</math> è la velocità del boost lungo l'asse <math>i</math>. Le trasformazioni finite si ottengono definendo: <math>\Lambda = e^\Omega = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Omega^n}{n!} \qquad \left(= 1 + \Omega + O(\Omega^2)\right)</math> allora vale la seguente proposizione. {{riquadro|'''Proposizione.''' La matrice <math>\Lambda</math> così costruita è una matrice del gruppo di Lorentz, cioè vale <math>(e^\Omega)^T\eta\, e^\Omega = \eta</math>.}} '''Dimostrazione.''' Definiamo <math>\Lambda(t) = e^{t\Omega}</math> e <math>f(t) = \Lambda^T\eta\Lambda - \eta</math>. Vogliamo dunque dimostrare che <math>f(0)=0\ \forall t</math> Innanzitutto si ha: <math>f(0)=0 = \underbrace{\Lambda^T(0)}_{=1}\eta\underbrace{\Lambda(0)}_{=1}-\eta=\eta-\eta=0</math> Inoltre, <math>\frac{\partial}{\partial t}(t)=\frac{\partial}{\partial t}(e^{t\Omega})^T\cdot \eta e^{t \Omega} + (e^{t\Omega})^T \eta \frac{\partial}{\partial t}e^{t\Omega}</math> e poiché<ref>La prima uguaglianza la si verifica direttamente con la definizione di esponenziale di una matrice, mentre la seconda vale perché <math>\Omega</math> commuta con il proprio esponenziale, e anche questo lo si può verificare con la definizione stessa.</ref> <math>\frac{\partial}{\partial t}e^{t\Omega} = e^{t\Omega}\Omega = \Omega e^{t\Omega}</math> allora <math>\frac{\partial}{\partial t}f(t) = (e^{t\Omega})^T(\Omega^T\eta + \eta\Omega)e^{t\Omega} = 0</math> ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che <math>\Omega^T\eta = -\eta\Omega</math>. Quindi <math>f(t) = 0</math> per ogni <math>t</math>. <math>\square</math> Si può verificare che, applicando questa procedura a casi particolari, ci si riconduce alle rotazioni e/o ai boost. Ad esempio, se <math>\omega</math> è tale che <math>\omega_{12} = -\omega_{21} = \varphi_3</math> e <math>\omega_{\mu\nu}=0</math> se <math>\mu, \nu \neq 1,2</math>, allora calcolando <math>\Omega</math> e <math>e^{\Omega}</math> si trova una rotazione di angolo <math>\varphi_3</math> attorno all’asse 3; partendo da <math>\omega_{01} = - \omega_{10} = \beta_1</math>, invece, si ricava un boost di velocità <math>\beta_1</math> lungo l’asse 1. == Note == <references/> {{avanzamento|75%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Le trasformazioni infinitesime]] rv0hvw8bjyikr9fzhnw5hq32r7k7d4m 0 59981 491763 2026-04-11T17:39:11Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491763 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Passiamo ora allo studio della cinematica relativistica. La "traiettoria" di una particella si descrive in modo relativisticamente covariante fornendo una curva <math>x^\mu(\lambda)</math> nello spaziotempo, ove <math>\lambda</math> è un parametro. Questa curva descrive effettivamente la traiettoria di una particella se sono soddisfatte le seguenti condizioni: <math>\frac{dx^0}{d\lambda} > 0 \qquad \left(\frac{dx^\mu}{d\lambda}\right)^2 = \eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda} \geq 0</math> La prima condizione implica che <math>x^0(\lambda)</math> (il tempo) sia funzione monotona crescente del parametro <math>\lambda</math>, e perciò può essere invertita per determinare <math>\lambda</math> in funzione del tempo. In questo modo la legge oraria <math>\vec{x}(t)</math> può essere ricavata eliminando <math>\lambda</math> in favore del tempo in <math>x^\mu</math>. Se riscriviamo in questo modo la seconda condizione: <math>\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx_\mu}{d\lambda} = \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 \frac{dx^\mu}{dt}\frac{dx_\mu}{dt} = \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2(1-v^2) \geq 0 \implies v^2 \leq 1</math> ci rendiamo conto di come essa sia necessaria affinché la particella non assuma velocità maggiori di <math>c</math>. Dato che in generale il cono luce di un quadrivettore <math>A^\mu</math> è l'ipersuperficie individuata da <math>A^\mu A_\mu = 0</math>, la seconda condizione seleziona per ogni <math>\lambda</math> l'interno del cono luce della particella, mentre la prima condizione ne seleziona la metà che si trova nel futuro. Dunque, queste due condizioni assicurano che per ogni valore del parametro <math>\lambda</math> la linea d'universo della particella sia sempre causale (cioè interna al cono luce, e tale che anche il suo vettore tangente lo sia) e diretta verso il futuro. Vale inoltre l'invarianza per riparametrizzazione, ossia è sempre possibile effettuare il cambio di parametro <math>\lambda \longrightarrow \lambda'</math> invertibile di modo tale che <math>x^\mu(\lambda) \longrightarrow x^\mu(\lambda'(\lambda)) = \tilde{x}^\mu(\lambda)</math>, e <math>\tilde{x}</math> rappresenta sempre la stessa traiettoria. Per via di questa "ridondanza", fra queste quattro le funzioni fisicamente rilevanti sono tre (si ha la stessa informazione che nel caso non relativistico): infatti una delle <math>x^\mu(\lambda)</math> rappresenta il tempo della particella, e chiamandola ovviamente <math>x^0(\lambda)</math> si può porre: <math>x^0(\lambda) = t \longrightarrow \lambda = \lambda(t) \qquad x^i(t) \longrightarrow x^i(\lambda(t))</math> L'informazione fisica rilevante è dunque contenuta in tre delle quattro funzioni. Questa ridondanza può essere sfruttata per fare scelte particolarmente utili. Le due più importanti sono: <math>\lambda = t</math> Questo tipo di descrizione rompe esplicitamente l'invarianza di Lorentz. Con questa scelta si ha: <math>x^\mu(t) = (t;\, x^i(t)) \qquad \frac{dx^\mu}{dt} = (1;\, v^i(t))</math> Notare che quest'ultimo non è un quadrivettore. <math>\lambda = s</math> In questo caso <math>s</math> è il cosiddetto tempo proprio della particella, ossia il tempo misurato in un sistema di riferimento inerziale istantaneamente solidale con la particella. In questo caso si ha: <math>\frac{ds}{dt} = \sqrt{1-v^2} = \gamma^{-1}</math> Dal punto di vista geometrico, il <math>ds</math> è la distanza invariante fra due punti infinitamente vicini sulla traiettoria spaziotemporale del corpo. Dunque: <math>ds = \sqrt{\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}\eta_{\mu\nu}}\,d\lambda</math> e, come noto <math>s</math> è uno scalare di Lorentz, e questo è il motivo per il quale lo si usa molto spesso. Pertanto, <math>dx^\mu/ds</math> è un quadrivettore, detto quadrivelocità: <math>u^\mu = \frac{dx^\mu}{ds}</math> Si ha che: <math>u^\mu = \frac{dx^\mu}{ds} = \frac{dt}{ds}\frac{dx^\mu}{dt} = \gamma(1;\,\vec{v}) \qquad u^\mu u_\mu = \frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx_\mu}{ds} = \frac{ds}{ds}\frac{ds}{ds} = 1</math> In base a ciò si possono definire altre grandezze: # Il quadrimomento: <math>p^{\mu} = mu^{\mu}</math>. Si ha che la sua componente temporale è l'energia della particella, mentre quella spaziale è il suo impulso # La quadriaccelerazione: <math>w^\mu = \frac{du^\mu}{ds} = \frac{dt}{ds}\frac{d}{dt}\gamma(1;\,\vec{v})</math>. Si vede facilmente che <math>w^\mu u_\mu = 0</math>. Infine, <math>w^\mu|_{\vec{v}=0} = (0,\vec{a})</math>, ossia la quadriaccelerazione nel sistema di riferimento istantaneamente solidale con la particella ha come componenti spaziali l'accelerazione stessa della particella in un sistema di riferimento inerziale. {{avanzamento|75%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Le grandezze del moto]] aq507lmhoqcjhzvjn784kt6aer7p0pb 0 59982 491764 2026-04-11T17:48:55Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491764 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Alla luce di quanto visto, l'equazione del moto della particella diventa: <math>f^\mu = mw^\mu = m\frac{d^2x^\mu}{ds^2}</math> ove <math>f^\mu</math> è la quadriforza. Vogliamo considerare il caso in cui quest'ultima è generata da campi elettromagnetici. In formalismo non covariante le equazioni dell'elettrodinamica sono scritte in termini di <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math>; per riscriverle in termini covarianti dobbiamo "creare" un tensore a partire da essi. In questo caso, però, non possiamo "estendere" <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> a quadrivettori, perché non abbiamo niente da usare come loro eventuale componente temporale. "Incorporiamo", dunque, questi due campi in un tensore antisimmetrico <math>F^{\mu\nu}</math>; è necessario che <math>F^{\mu\nu}</math> sia antisimmetrico perché in questo modo non abbiamo problemi di gradi di libertà: <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> in totale hanno sei gradi di libertà<ref>Tre per le componenti del campo elettrico e tre per quello magnetico.</ref>, tanti quanti quelli di un tensore antisimmetrico<ref>La condizione <math>F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}</math> fissa infatti i valori della "diagonale del tensore" (si dovrà avere <math>F^{\mu\mu} = 0</math>), e fuori da essa rimangono 12 componenti vincolate fra loro: fissati i valori di sei di queste, tutto il tensore è automaticamente determinato.</ref>. Definiamo dunque questo tensore di modo che: <math>F^{i0} = E^i \qquad F^{ij} = -\varepsilon^{ijk}B_k</math> In termini di questo tensore, le equazioni di Maxwell si scrivono: <math>\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma} = 0 \qquad \partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu</math> le prime sono dette identità di Bianchi<ref>Nota: l'identità di Bianchi si può scrivere come la permutazione ciclica <math>\partial_\mu F_{\nu\rho} + \partial_\nu F_{\rho\mu} + \partial_\rho F_{\mu\nu} = 0</math> Infatti, poiché <math>\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}</math> è completamente antisimmetrico: <math>\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma} = \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_{[\nu}F_{\rho\sigma]} = 0</math> e poiché <math>\varepsilon</math> non è un tensore identicamente nullo, si deve avere <math>\partial_{[\nu}F_{\rho\sigma]} = 0</math>. Svolgendo il calcolo esplicitamente (e rinominando gli indici) si ritrova la permutazione scritta sopra.</ref>, e sono le equazioni di Maxwell prive di sorgenti (divergenza di <math>\vec{B}</math> e rotore di <math>\vec{E}</math>), mentre le seconde sono propriamente dette equazioni di Maxwell (in seguito quando diremo "equazioni di Maxwell" ci riferiremo a queste), e sono quelle in presenza di sorgenti (divergenza di <math>\vec{E}</math> e rotore di <math>\vec{B}</math>). Inoltre, nelle equazioni di Maxwell <math>j^\nu</math> è la quadricorrente: <math>j^\nu = (\rho, \vec{j})</math> Dunque, tornando all'equazione del moto, si ha: <math>f^\mu = m\frac{du^\mu}{ds} = eF^{\mu\nu}(x(s))u_\nu</math> detta equazione di Lorentz. Queste tre equazioni che abbiamo visto sono "accoppiate" fra loro: mentalmente possiamo pensare che le prime due (Bianchi e Maxwell) servano per ricavare i campi date le sorgenti, mentre l'ultima (Lorentz) permetta di ricavare il moto noti i campi. In realtà il mondo è un po' più complicato: le particelle generano sì i campi, ma questi influenzano il moto stesso delle cariche che li generano; cercare di risolvere esattamente il problema è estremamente complicato, e lo vedremo alla fine del corso. Ai fini pratici, possiamo tranquillamente trascurare l'azione di un campo sulla particella stessa che lo genera. == Note == <references/> {{avanzamento|75%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|L&#39;equazione del moto]] gt2i8am01qodz9ps8nmb02gc9kgn7ow 0 59983 491766 2026-04-11T19:51:13Z ~2026-22360-84 54176 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:San Pietro in Cariano|San Pietro in Cariano]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == {{...}} == Frazioni == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/San Pietro in Cariano/San Floriano - Pieve di San Floriano|San Floriano - Pieve di San Floriano]] {{Avanzamento|35%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|San Pietro in Cariano]] 491766 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:San Pietro in Cariano|San Pietro in Cariano]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == {{...}} == Frazioni == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Veneto/Provincia di Verona/San Pietro in Cariano/San Floriano - Pieve di San Floriano|San Floriano - Pieve di San Floriano]] {{Avanzamento|35%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|San Pietro in Cariano]] 9pymim7giz9iymy2i3qgn7jzh7z349l 0 59984 491767 2026-04-11T20:07:34Z ~2026-22360-84 54176 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' D.Malvestio e figlio (Padova) * '''Anno:''' XX secolo * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 20 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' ? * '''Consolle:''' mobile indipendente, a pavimento nel lato dx cantoria absidale * '''Tastiere:''' 2 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' parallela di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Collocazione:'''... 491767 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' D.Malvestio e figlio (Padova) * '''Anno:''' XX secolo * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 20 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' ? * '''Consolle:''' mobile indipendente, a pavimento nel lato dx cantoria absidale * '''Tastiere:''' 2 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' parallela di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, in cantoria dx {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Bordone || 8' |- |Ottava || 4' |- |Decimaquinta || 2' |- |Pieno grave || 2 file |- |Pieno acuto || 2 file |- |Unda maris || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Gamba || 8' |- |Quintadena || 8' |- |Flauto || 4' |- |Ottava || 4' |- |Decimaquinta || 2' |- |Pieno || 2 file |- |Concerto viole |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Bordone || 8' |- |Violoncello || 8' |- |} |} == Collegamenti esterni == {{Avanzamento|85%|11 aprile 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] nt6hchd4aijn0zfeg657c7t2m1gtaw8 0 59985 491769 2026-04-12T08:52:36Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491769 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} == Equazioni di Lorentz == Vediamo ora alcuni metodi per risolvere le equazioni che abbiamo appena visto; iniziamo dalle equazioni di Lorentz. Vogliamo cercare di capire se in linea di principio le equazioni di Lorentz sono risolvibili, e con quali condizioni iniziali. <math>m\frac{d^2x^\mu}{ds^2} = eF^{\mu\nu}(x(s))\frac{dx_\nu}{ds}</math> Sono quattro equazioni differenziali del second'ordine per <math>x^\mu(s)</math>, e pertanto ammettono univocamente una soluzione con due condizioni al contorno, ossia ci aspettiamo che la soluzione esista e sia unica se sono noti <math>x^\mu(0)</math> e <math>\frac{dx^\mu}{ds}(0)</math>. Fisicamente, però, conosciamo solo posizione e velocità iniziali della particella, ossia <math>\vec{x}(0)</math> e <math>\frac{d\vec{x}}{dt}(0) = \vec{v}(0)</math>; abbiamo dunque 6 (<math>3+3</math>) condizioni iniziali, mentre dalle equazioni di Lorentz ce ne aspetteremmo 8 (<math>4+4</math>). In realtà, il problema è risolvibile, e lo si può vedere in due modi: 1) covariante: dobbiamo "costruire" le <math>4+4</math> condizioni iniziali a partire dalle <math>3+3</math>. Innanzitutto, <math>s</math> deve soddisfare: <math> \frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}\eta_{\mu\nu} = 1 \quad \forall s</math> Ci basta però imporre questa condizione per <math>s = 0</math>. Vediamo perché. Se infatti vale l'equazione di Lorentz: <math>\frac{d}{ds}\!\left(\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx_\mu}{ds}\right) = 2\frac{d^2x^\mu}{ds^2}\frac{dx_\mu}{ds} = \frac{2}{m}eF_{[\mu\nu]}(x(s))\frac{dx^{(\nu}}{ds}\frac{dx^{\mu)}}{ds} = 0</math> Quindi, supponendo valide le equazioni di Lorentz, la quantità <math>\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}\eta_{\mu\nu}</math> è costante, e se vale <math>1</math> per <math>s=0</math> varrà <math>1</math> per ogni <math>s</math>. La quadrivelocità, dunque, dovrà essere tale per cui inizialmente <math>u^\mu u^\nu \eta_{\mu\nu} = 1</math>, e dunque non è un quadrivettore arbitrario. Supponiamo dunque di conoscere <math>\vec{x}(0)</math> e <math>\vec{v}(0)</math>, allora posto ad esempio <math>x^\mu(0) = (x^0(0) = 0;\, \vec{x}(0))</math>, si ha: <math>\frac{dx^\mu}{ds}(0) = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(1;\,\vec{v}(0))</math> In questo modo è soddisfatto il vincolo <math>u^\mu u^\nu \eta_{\mu\nu} = 1</math> per <math>s = 0</math>, e dunque per ogni <math>s</math>. 2) non covariante: passiamo dalle incognite <math>x^\mu(s)</math> a <math>\vec{x}(t)</math>, esprimendo tutto in termini di <math>t</math> invece che di <math>s</math>: <math> 0 = H^\mu := m\frac{du^\mu}{ds} - eF^{\mu\nu}(x)u_\nu = \gamma\!\left[m\frac{d}{dt}\!\left(\gamma\frac{dx^\mu}{dt}\right) - eF^{\mu\nu}(x)\frac{dx_\nu}{dt}\right]</math> Queste sono quattro equazioni differenziali del second'ordine rispetto alle tre incognite <math>\vec{x}(t)</math>. Quindi, al posto di <math>\frac{dx^\mu}{dt}</math> si trova <math>\left(1;\,\frac{d\vec{x}(t)}{dt}\right)</math>, e <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2}}</math>. Vediamo ora che una di queste equazioni è ridondante: <math> u_\mu H^\mu = mu_\mu\frac{du^\mu}{ds} - eF_{[\mu\nu]}u^{(\mu}u^{\nu)} = 0</math> Esiste dunque una combinazione lineare delle <math>H^\mu</math> che è nulla, e pertanto basta risolverne tre per risolverle tutte (l'ultima è determinata da questa combinazione lineare). Infatti, ad esempio: <math> u^0 H_0 - \vec{u}\cdot\vec{H} = 0 \implies H_0 = \frac{\vec{u}\cdot\vec{H}}{u^0}</math> Basta quindi risolvere le componenti spaziali di <math>\vec{H} = 0</math>: <math> m\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\vec{v}(t)}{\sqrt{1-\vec{v}^2(t)}}\right) = e\!\left[\vec{E}(\vec{x}(t),t) + \vec{v}(t)\times\vec{B}(\vec{x}(t),t)\right]</math> che sono equazioni differenziali rispetto alle incognite <math>\vec{x}(t)</math> per le quali conosciamo le condizioni iniziali; pertanto, sono risolvibili. Inoltre: <math> H_0 = 0 \implies \frac{d}{dt}\!\left[\frac{m}{\sqrt{1-\vec{v}^2(t)}}\right] = e\vec{E}(\vec{x}(t),t)\cdot\vec{v}(t)</math> (che è l'equazione della potenza). Poiché per quanto appena visto <math>\vec{H}=0</math> implica <math>H_0 = 0</math>, l'equazione della potenza è implicata dall'espressione di <math>m\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\vec{v}(t)}{\sqrt{1-\vec{v}^2(t)}}\right)</math>. == Identità di Bianchi e invarianza di gauge == Vediamo ora invece come si risolvono in generale le identità di Bianchi: <math>\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma} = 0</math> Il lemma di Poincaré ci permette di risolvere in generalità queste equazioni: questo lemma asserisce che l'equazione è vera se e solo se il tensore antisimmetrico <math>F_{\mu\nu}</math> si può scrivere come: <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu</math> ove <math>A_\mu</math> è un quadrivettore. Ciò è inoltre vero localmente, ossia in un intorno sufficientemente piccolo del punto considerato; globalmente, invece, ciò può non essere vero. Nel nostro caso (cioè in spazi del tipo di <math>\mathbb{R}^n</math>), tuttavia, ciò è sempre verificato; <math>A_\mu</math> è detto quadripotenziale. Non verifichiamo qui il lemma, ma ci limitiamo a dimostrarne una implicazione, ossia che se <math>F_{\mu\nu}</math> può essere scritto come <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu</math>, allora valgono le identità di Bianchi. Vediamolo: <math>\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma} = \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu(\partial_\rho A_\sigma - \partial_\sigma A_\rho) = 2\varepsilon^{\mu[\nu\rho]\sigma}\partial_{(\nu}\partial_\sigma) A_\sigma = 0</math> ove alla seconda uguaglianza abbiamo eseguito la moltiplicazione e nel secondo termine rinominato <math>\rho</math> con <math>\sigma</math> e <math>\sigma</math> con <math>\rho</math>. Il quadrivettore <math>A_\mu</math>, però, è particolare: non è univocamente definito. Ciò significa che dato un <math>F_{\mu\nu}</math> esistono più <math>A_\mu</math> tali che <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu</math>. Questa "ridondanza" per <math>A_\mu</math> è detta invarianza di gauge; per comprenderla meglio, consideriamo la trasformazione: <math>A_\mu \longrightarrow A_\mu + \partial_\mu\Lambda</math> con <math>\Lambda(x)</math> campo scalare generico. Allora si ha: <math>F_{\mu\nu} \longrightarrow \partial_\mu(A_\nu + \partial_\nu\Lambda) - \partial_\nu(A_\mu + \partial_\mu\Lambda) = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + \partial_\mu\partial_\nu\Lambda - \partial_\nu\partial_\mu\Lambda = F_{\mu\nu}</math> e quindi la trasformazione <math>A_\mu \longrightarrow A_\mu + \partial_\mu\Lambda</math> lascia invariato <math>F_{\mu\nu}</math>, ossia i campi elettrico e magnetico. Da notare che mentre <math>F_{\mu\nu}</math> ha un significato fisico effettivo (ossia lo si può misurare), <math>A_\mu</math> no (perché i potenziali sono definiti a meno di invarianza di gauge). Si possono, volendo, imporre condizioni (dette di gauge fixing) che rendano <math>A_\mu</math> ben definito. Un esempio di gauge fixing è la gauge di Lorenz: <math>\partial_\mu A^\mu = 0</math> In questo caso, infatti, applicando la trasformazione di prima si ha che: <math>\partial_\mu A'^\mu = \underbrace{\partial_\mu A^\mu}_{=0} + \partial_\mu\partial^\mu\Lambda = \partial_\mu\partial^\mu\Lambda \neq 0</math> Quindi in questo caso, a meno che <math>\Lambda</math> sia tale che <math>\partial_\mu\partial^\mu\Lambda = 0</math> (in questo caso si parla di gauge residua), <math>A_\mu</math> è univocamente definito. == Equazioni di Maxwell e quadricorrente == Ora, invece, come si risolvono le equazioni dinamiche? <math>\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu</math> Innanzitutto, affinché quest'equazione sia soddisfatta, <math>j^\nu</math> non può essere un quadrivettore arbitrario. Infatti: <math>\partial_{(\nu}\partial_{\mu)} F^{[\mu\nu]} = \partial_\nu j^\nu \implies \partial_\nu j^\nu = 0</math> Quest'equazione esprime la conservazione della carica. Espressa in notazione tridimensionale diventa: <math>\frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{j} = 0</math> che è proprio l'equazione di continuità della carica. Ci chiediamo ora: che espressione esplicita ha <math>j^\nu</math>? Il caso più semplice possibile è quello di una particella carica in moto. Se <math>e</math> è la sua carica, <math>\vec{x}(t)</math> la sua traiettoria e <math>\vec{v}(t)</math> la sua velocità, allora in notazione tridimensionale si ha: <math>\rho(\vec{x},t) = e\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(t)) \qquad \vec{j}(\vec{x},t) = e\vec{v}(t)\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(t))</math> ove <math>\delta^{(3)}</math> è la delta di Dirac tridimensionale. In generale, quindi, la quadricorrente è un quadrivettore le cui componenti sono distribuzioni matematiche. == Cenni sulle distribuzioni == <math>\int \delta(x-a)\varphi(x)\,dx = \varphi(a) \quad \varphi \in C^\infty</math> <math>\int \frac{d}{dx}\delta(x-a)\varphi(x)\,dx = -\int\delta(x-a)\frac{d}{dx}\varphi(x)\,dx = -\varphi'(a)</math> <math>\int \frac{d^n}{dx^n}\delta(x-a)\varphi(x)\,dx = (-1)^n\varphi^{(n)}(a)</math> <math>\delta(f(x)) = \sum_{\text{zeri di }f}\frac{\delta(x-x_n)}{|f'(x_n)|}</math> <math>f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a)</math> Il prodotto di due distribuzioni non è una distribuzione: <math>\delta(x)\delta(x) = \delta(0)\delta(x)</math>, infatti, non ha senso. La <math>\delta</math> inoltre si può generalizzare a più dimensioni: <math>\delta^{(4)}(x-a) = \delta(x^0-a^0)\cdots\delta(x^3-a^3)</math> Trasformata di Fourier di una distribuzione <math>F(x)</math>: <math>\hat{F}(k) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int e^{-ikx}F(x)\,d^4x \qquad F(x) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int e^{ikx}\hat{F}(k)\,d^4k</math> Una trasformata notevole è quella della <math>\delta</math>: <math>\hat{\delta}(k) = \frac{1}{(2\pi)^2}</math> {{avanzamento|75%|12 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Problema di Cauchy per le equazioni del moto]] hwyxg4hak32mcorv029nq4reardfrt7 0 59986 491770 2026-04-12T08:54:17Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491770 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Dunque, le grandezze con cui si ha a che fare in elettromagnetismo sono comunque da considerarsi distribuzioni. Ad esempio, per una carica puntiforme ferma si ha: <math>\rho(t,\vec{x}) = e\delta^{(3)}(\vec{x}) \qquad \vec{j}(t,\vec{x}) = 0 \qquad \vec{E}(t,\vec{x}) = \frac{e}{4\pi}\frac{\vec{x}}{r^3}</math> con <math>r = |\vec{x}|</math>. Vediamo cosa succede se proviamo a verificare la validità delle equazioni di Maxwell fuori dall'ambito distribuzionale. Innanzitutto notiamo che: <math>\frac{\partial}{\partial x^i}E^j = \frac{e}{4\pi r^3}\left(\delta^{ij} - 3\frac{x^ix^j}{r^2}\right)</math> Pertanto: <math>\vec{\nabla}\times\vec{E} = \varepsilon^{ijk}\partial_j E_k = 0</math> perché <math>\varepsilon^{ijk}</math> è contratto coi tensori simmetrici <math>\delta_{jk}</math> e <math>x_jx_k</math>. Inoltre: <math>\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \partial_i E^i = \frac{e}{4\pi r^3}(3-3) = 0</math> Trattando quindi i campi come funzioni e non come distribuzioni si giunge ad assurdi; le relazioni che abbiamo usato sono infatti ben definite solo per <math>r \neq 0</math>. Vediamo quindi cosa cambia in ambito distribuzionale<ref>Il conto è impostato di modo tale che, dopo, ponendo giuste condizioni, si possa ricavare sia <math>\vec{\nabla}\cdot\vec{E}</math> che <math>\vec{\nabla}\times\vec{E}</math>.</ref>: <math>\int \partial_i E^j\,\varphi(\vec{x})\,d^3\vec{x} = -\int E^j\frac{\partial}{\partial x^i}\varphi(\vec{x})\,d^3\vec{x} = -\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|>\varepsilon} E^j\frac{\partial}{\partial x^i}\varphi(\vec{x})\,d^3\vec{x} =</math> Ove l'ultimo passaggio è lecito in quanto l'integrale è convergente (<math>E^j \sim 1/r^2</math>); da notare anche che il primo integrale, pensato come integrale di funzioni, non è ben definito in quanto <math>\partial_j E^j \sim 1/r^3</math> per <math>r \to 0</math>. Dunque: <math>= \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|>\varepsilon}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x^i}E^j\right)\varphi(\vec{x})\,d^3\vec{x} - \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{\partial}{\partial x^i}\!\left(E^j\varphi(\vec{x})\right)d^3\vec{x}</math> Il secondo termine lo si calcola applicando il teorema di Gauss e trasformandolo in un integrale di superficie. Il contributo sul bordo all'infinito è nullo perché sia il campo elettrico sia <math>\varphi</math> si annullano all'infinito. Del secondo integrale resta dunque il contributo: <math>\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|=\varepsilon} E^j\varphi(\vec{x})\,d\Sigma_i</math> ove <math>d\Sigma_i = n_i\,d\Sigma = n_i\,d\Omega\,\varepsilon^2</math>, e <math>n^i = x^i/r</math> versore radiale (da notare che il contributo cambia segno perché <math>n^i</math> è diretto verso l'esterno della palla di raggio <math>\varepsilon</math>, mentre il versore uscente dal dominio <math>|x|>\varepsilon</math> punta verso il suo interno). Dunque, questo contributo è uguale a: <math>\lim_{\varepsilon\to 0}\int\varepsilon^2\frac{e}{4\pi}\frac{n^j}{\varepsilon^2}n^i\varphi(\vec{x})\,d\Omega = \lim_{\varepsilon\to 0}\int\frac{e}{4\pi}n^in^j\varphi(\vec{x})\,d\Omega</math> A questo punto, per determinare <math>\vec{\nabla}\times\vec{E}</math> si deve moltiplicare l'ultima espressione trovata di <math>\int\partial_i E^j\,\varphi(\vec{x})\,d^3\vec{x}</math> per <math>\varepsilon^{ijk}</math>, e il risultato è <math>0</math> perché il tensore antisimmetrico <math>\varepsilon^{ijk}</math> viene contratto con dei tensori simmetrici (<math>\delta^{jk}</math>, <math>x^jx^k</math> e <math>n^in^j</math>); per determinare <math>\vec{\nabla}\cdot\vec{E}</math> invece si pone <math>i=j</math>, e quindi il primo integrale nell'espressione di <math>\int\partial_i E^j\,\varphi(\vec{x})\,d^3\vec{x}</math> è nullo, come avevamo già calcolato (stavolta il calcolo è lecito in quanto l'origine non appartiene al dominio d'integrazione). Resta dunque: <math>\int\partial_i E^i\,\varphi(\vec{x})\,d^3\vec{x} = \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|=\varepsilon}\frac{e}{4\pi}n^in_i\,\varphi(\vec{x})\,d\Omega =</math> <math>= \frac{e}{4\pi}\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|=\varepsilon}\varphi(\vec{x})\,d\Omega = \frac{e}{4\pi}\varphi(0)\int_{|x|=\varepsilon}d\Omega = \frac{e}{4\pi}\varphi(0)\cdot 4\pi =</math> <math>= e\varphi(0) = \int e\delta^{(3)}(\vec{x})\varphi(\vec{x})\,d^3\vec{x}</math> Dunque, abbiamo mostrato che: <math>\vec{\nabla}\cdot\frac{\vec{x}}{r^3} = -\vec{\nabla}\cdot\!\left(\vec{\nabla}\frac{1}{r}\right) = -\nabla^2\frac{1}{r} = 4\pi\delta(x)</math> == Note == <references/> {{avanzamento|75%|12 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Le distribuzioni in elettromagnetismo e le leggi di conservazione]] kbguk79x6xq6dvblm956isca940mg5u 0 59987 491771 2026-04-12T08:57:38Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491771 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Consideriamo ora una sorgente di campo elettromagnetico a simmetria sferica. Ciò significa che: <math>j^0(t,\vec{x}) = j^0(t,|\vec{x}|) \qquad \vec{j}(t,\vec{x}) = \frac{\vec{x}}{r}j(t,|\vec{x}|)</math> Assumiamo anche che le sorgenti di campo siano tutte confinate in una sfera di raggio <math>r_0</math>, ossia: <math>j^0(t,|\vec{x}|) = 0 \qquad \vec{j}(t,|\vec{x}|) = 0 \quad \text{se } |\vec{x}| > r_0</math> Il teorema di Birkhoff sostiene (non lo dimostriamo) che allora il campo generato da questa distribuzione di carica al di fuori di <math>r_0</math> è uguale al campo coulombiano: <math>\vec{E}(t,\vec{x}) = \frac{e}{4\pi}\frac{\vec{x}}{r^3} \qquad \vec{B}(t,\vec{x}) = 0 \quad r > r_0</math> con: <math>e = \int j^0(t,\vec{x})\,d^3\vec{x}</math> La quadricorrente di una particella carica che si muove lungo la traiettoria <math>\vec{x}(t)</math> è: <math>j^\mu(t,\vec{x}) = e\left(\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(t));\,\vec{v}(t)\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(t))\right)</math> Vogliamo dunque verificare che: # <math>j^\mu</math> è un quadrivettore # <math>j^\mu</math> è conservato, ossia soddisfa <math>\partial_\mu j^\mu = 0</math> Per mostrarlo dobbiamo riscrivere <math>j^\mu</math> in una forma che sia covariante a vista: <math>j^\mu(t,\vec{x}) = e\int\frac{dx^\mu}{d\lambda}\delta^{(4)}(x-x(\lambda))\,d\lambda</math> ovviamente questa formula è invariante per riparametrizzazioni. Verifichiamo che è equivalente alla forma che abbiamo scritto prima: <math>\begin{align} j^\mu(t,\vec{x}) &= e\int\frac{dx^\mu}{d\lambda}\delta(x^0-x^0(\lambda))\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(\lambda))\,d\lambda \\ &= e\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{1}{\frac{dx^0}{d\lambda}}\delta^{(3)}\!\left(\vec{x}-\vec{x}(\lambda(t))\right) = e\frac{dx^\mu}{dt}\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(t)) = e\delta^{(3)}(1;\,\vec{v}(t)) \end{align}</math> che è proprio la forma con la quale avevamo espresso <math>j^\mu</math> prima. Vediamo ora che trasforma come un quadrivettore; scegliendo come <math>\lambda</math> un parametro invariante, si ha: <math>\begin{align} j'^\mu(x') &= e\int\frac{dx'^\mu}{d\lambda}\delta^{(4)}(x'-x'(\lambda))\,d\lambda = e\int\Lambda^\mu{}_\nu\frac{dx^\nu}{d\lambda}\delta^{(4)}(\Lambda(x-x(\lambda)))\,d\lambda \\ &= \Lambda^\mu{}_\nu\, e\int\frac{dx^\nu}{d\lambda}\frac{\delta^{(4)}(x-x(\lambda))}{|\det\Lambda|}\,d\lambda \\ &= \Lambda^\mu{}_\nu\, e\int\frac{dx^\nu}{d\lambda}\delta^{(4)}(x-x(\lambda))\,d\lambda = \Lambda^\mu{}_\nu j^\nu(x) \end{align}</math> # Poiché siamo in ambito distribuzionale, dobbiamo mostrare che: <math>\int\varphi(x)\partial_\mu j^\mu(x)\,d^4x = 0</math> Dunque: <math>\begin{align} \int\varphi(x)\partial_\mu j^\mu\,d^4x &= -\int j^\mu\partial_\mu\varphi(x)\,d^4x \\&= -e\int\!\int\partial_\mu\varphi(x)\frac{dx^\mu}{d\lambda}\delta^{(4)}(x-x(\lambda))\,d\lambda\,d^4x \\&= -e\int\partial_\mu\varphi(x(\lambda))\frac{dx^\mu}{d\lambda}\,d\lambda = -e\int\frac{d}{d\lambda}\varphi(x(\lambda))\,d\lambda = 0\end{align}</math> perché l'integrale di una derivata totale nel senso delle distribuzioni è nullo (sarebbe la <math>\varphi</math> valutata sul bordo del dominio, che è all'infinito, ove la <math>\varphi</math> si annulla). {{avanzamento|75%|12 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|La quadricorrente]] ev2z9t4tw7ivbfuzyo0noybcf82p0l2 0 59988 491772 2026-04-12T09:09:59Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491772 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} == La carica == In generale supporremo di avere una qualche distribuzione di cariche e che valgano le due proprietà appena dimostrate di <math>j^\mu</math>; supporremo inoltre che la quadricorrente si annulli all'infinito in modo che abbia senso parlare di carica totale, ossia: <math>\lim_{|\vec{x}|\to\infty} j^\mu(t,\vec{x})|\vec{x}|^3 = 0</math> (in questo modo, tutti gli integrali su <math>\mathbb{R}^3</math> che coinvolgono la quadricorrente sono ben definiti). Queste considerazioni hanno le seguenti conseguenze: # Esiste una carica conservata. Infatti: <math>\partial_\mu j^\mu = 0 \implies \frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{j} = 0</math> e definendo: <math>Q_V := \int_V \rho(t,\vec{x})\,d^3\vec{x}</math> allora: <math>\frac{dQ_V}{dt} = \int_V\frac{\partial\rho}{\partial t}\,d^3\vec{x} = -\int_V\vec{\nabla}\cdot\vec{j}\,d^3\vec{x} = -\int_{\Sigma(V)} d\vec{\Sigma}\cdot\vec{j}</math> ove <math>\Sigma(V)</math> è la superficie che contorna <math>V</math>. Ora, se <math>V = \mathbb{R}^3</math>: <math>Q = \int_{\mathbb{R}^3}\rho\,d^3\vec{x} \qquad \frac{dQ}{dt} = -\int_{\Sigma(\mathbb{R}^3)} d\vec{\Sigma}\cdot\vec{j} = 0</math> perché <math>\vec{j}</math> si annulla all'infinito. # <math>Q</math> è uno scalare di Lorentz. Vediamolo: <math>Q = \int_{\mathbb{R}^3} j^0(t,\vec{x})\,d^3\vec{x} = \int_{\mathbb{R}^3} j^0(0,\vec{x})\,d^3\vec{x}</math> ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che <math>Q</math> non dipende da <math>t</math>, e quindi l'integrale può essere valutato in qualunque istante. Cerchiamo ora di scrivere questa quantità in termini di entità covarianti a vista. Si ha: <math>Q = \int_{\mathbb{R}^4}\delta(x^0)j^0(x^0,\vec{x})\,d^4x</math> A questo punto, definendo: <math>H(x^0) = \begin{cases} 1 & \text{se } x^0 > 0 \\ 0 & \text{se } x^0 \leq 0 \end{cases}</math> la funzione theta di Heaviside (la cui derivata è la delta di Dirac) allora: <math>Q = \int_{\mathbb{R}^4}\partial_0 H(x^0)j^0(x^0,\vec{x})\,d^4x</math> Infine, poiché si ha <math>\partial_i H(x^0) = 0</math>: <math>Q = \int_{\mathbb{R}^4}\partial_\mu H(x^0)j^\mu(x)\,d^4x</math> Dunque: <math>\begin{align} Q' &= \int_{\mathbb{R}^4} j'^\mu(x')\partial'_\mu H(x'^0)\,d^4x' = \int_{\mathbb{R}^4}\Lambda^\mu{}_\nu j^\nu(x)\tilde{\Lambda}_{\mu}{}^\rho\partial_\rho H(x'^0)|\det\Lambda|\,d^4x \\ &= \int_{\mathbb{R}^4}\delta^\nu{}_\rho\, j^\nu(x)\partial_\rho H(x'^0)\,d^4x = \int_{\mathbb{R}^4} j^\nu(x)\partial_\nu H(x'^0)\,d^4x \end{align}</math> A questo punto, vogliamo mostrare che la grandezza <math>Q' - Q = \int_{\mathbb{R}^4} j^\mu(x)\left[\partial_\mu H(x'^0) - \partial_\mu H(x^0)\right]d^4x</math> è nulla. Il problema è che la <math>H</math> non è uno scalare di Lorentz; riscriviamola quindi in una forma più maneggevole. Sfruttando il fatto che <math>\partial_\mu j^\mu = 0</math>: <math>\begin{align} Q' - Q &= \int_{\mathbb{R}^4}\partial_\mu\left[j^\mu(x)\left(H(x'^0)-H(x^0)\right)\right]d^4x \\ &= \int_{\mathbb{R}^4}\left[\partial_0\!\left(j^0(x)\left(H(x'^0)-H(x^0)\right)\right) + \vec{\nabla}\cdot\!\left(\vec{j}(x)\left(H(x'^0)-H(x^0)\right)\right)\right]dx^0\,d^3\vec{x} \end{align}</math> Sfruttando ora il teorema di Gauss: <math>\begin{align} Q' - Q &= \int_{\mathbb{R}^3}\left[j^0(x)\left(H(x'^0)-H(x^0)\right)\right]_{x^0=-\infty}^{x^0=+\infty}d^3\vec{x} \\ &\quad + \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{\Sigma_\infty}\vec{j}(x)\left(H(x'^0)-H(x^0)\right)\cdot d\vec{\Sigma}\,dx^0 \end{align}</math> L'integrando del secondo contributo è nullo perché <math>\vec{j}</math> si annulla all'infinito. Per quello che invece riguarda il primo contributo, per <math>x^0 \to +\infty</math> si ha <math>x'^0 = \Lambda^0{}_0 x^0 + \Lambda^0{}_i x^i \to +\infty</math>, e dunque in questo limite <math>H(x'^0) = H(x^0) = 1</math>. Analogamente, per <math>x^0 \to -\infty</math> si ha <math>x'^0 \to -\infty</math>, e quindi <math>H(x'^0) = H(x^0) = 0</math>. Pertanto: <math>Q' - Q = 0 \implies Q = Q'</math> Abbiamo dunque dimostrato che la carica si conserva per trasformazioni di Lorentz proprie; si può verificare che ciò continua a valere anche sotto inversione temporale. == Il quadrimomento e il tensore energia-impulso == In analogia a quanto fatto con la carica, si dimostra che si conserva anche il quadrimomento: <math>p^\nu = (\varepsilon,\, p^i)</math> Prima, alla carica avevamo associato una corrente <math>j^\mu</math> tale che <math>\partial_\mu j^\mu = 0</math>; ora invece abbiamo un quadrivettore, al quale possiamo ad esempio associare una quantità <math>T^{\mu\nu}</math> (fissato <math>\nu</math>, è l'equivalente della corrente per la carica) che, affinché <math>p^\nu</math> si conservi, sia un tensore (detto tensore energia-impulso) e soddisfi <math>\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0</math>. Analogamente a prima, supponiamo anche che <math>T^{\mu\nu} \to 0</math> per <math>|\vec{x}| \to \infty</math> abbastanza velocemente. Sempre in analogia con <math>j^\mu</math>, a partire da <math>T^{\mu\nu}</math> possiamo costruire la quantità: <math>P^\mu_V = \int_V T^{0\mu}\,d^3\vec{x}</math> che è tale che: <math>\frac{dP^\mu_V}{dt} = -\int_{\partial V} T^{i\mu}\,d\Sigma_i</math> Se <math>V = \mathbb{R}^3</math>, allora <math>P^\mu = P^\mu_{\mathbb{R}^3}</math> sarà conservato e sarà pure un quadrivettore. Non ci riaddentriamo in questi conti, che sono già stati fatti in altri corsi. Le varie componenti di <math>T^{\mu\nu}</math> hanno diversi significati fisici: # <math>T^{00}</math> è la densità d'energia # <math>T^{0i}</math> è la densità di quantità di moto lungo <math>i</math> # <math>T^{i0}</math> è il flusso di energia # <math>T^{ij}</math> è il flusso di quantità di moto lungo <math>j</math> In una teoria Lorentz-invariante si può sempre fare in modo (lo vedremo più precisamente in seguito) che <math>T^{\mu\nu}</math> sia simmetrico. Ciò implica, ad esempio, che <math>T^{i0} = T^{0i}</math>: apparentemente però queste due componenti del tensore energia-impulso sembravano avere significati fisici diversi. In realtà ciò non è del tutto vero: consideriamo infatti un carrello che può scorrere su dei binari in assenza di qualunque tipo di resistenza (attriti ecc.). Supponiamo che su questo carrello sia presente una lampadina, che a un certo punto emette luce: sarà quindi osservabile un flusso di energia <math>T^{i0} \neq 0</math> attraverso il carrello, ossia equivalentemente un flusso di massa, e pertanto sembrerebbe che il centro di massa del sistema si sposti senza l'azione di forze esterne. Nel momento in cui la lampadina viene accesa, però, per la conservazione della quantità di moto il carrello acquisterà un certo <math>\vec{p}</math>, e pertanto sarà osservabile anche un <math>T^{0i} \neq 0</math>. Imponendo che il centro di massa del sistema non si sposti risulta proprio <math>T^{i0} = T^{0i}</math>. Ricaviamo ora l'espressione esplicita di <math>T^{\mu\nu}</math>. Consideriamo dunque l'equazione di Maxwell in forma covariante, e moltiplichiamola ad ambo i membri per <math>F^\nu{}_\lambda</math>: <math>F^\nu{}_\lambda\,\partial_\mu F^{\mu\nu} = j_\nu F^\nu{}_\lambda</math> Dunque, considerando il primo membro: <math>F^\nu{}_\lambda\,\partial_\mu F^{\mu\nu} = \partial_\mu(F^\nu{}_\lambda F^{\mu\nu}) - (\partial_\mu F^\nu{}_\lambda)F^{\mu\nu}</math> Il secondo contributo è pari a: <math>-\eta^{\lambda\alpha}(\partial_\mu F_{\nu\alpha})F^{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}(\partial_\mu F_{\nu\alpha} - \partial_\nu F_{\mu\alpha})F^{\mu\nu} =</math> ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che, rinominando gli indici, <math>\partial_\mu F_{\nu\alpha}F^{\mu\nu} = \partial_\nu F_{\mu\alpha}F^{\nu\mu} = -\partial_\nu F_{\mu\alpha}F^{\mu\nu}</math>. Dunque: <math>= -\frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}(\partial_\mu F_{\nu\alpha} + \partial_\nu F_{\alpha\mu})F^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}(\partial_\alpha F_{\mu\nu})F^{\mu\nu} =</math> ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che, considerando l'identità di Bianchi scritta come permutazione degli indici, <math>\partial_\mu F_{\nu\alpha} + \partial_\nu F_{\alpha\mu} = -\partial_\alpha F_{\mu\nu}</math>. Dunque: <math>= \frac{1}{4}\eta^{\lambda\alpha}\partial_\alpha(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}) = \partial_\mu\!\left(\frac{1}{4}\eta^{\lambda\mu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\right)</math> ove nell'ultimo passaggio abbiamo rinominato gli indici. Pertanto: <math>F^\nu{}_\lambda\,\partial_\mu F^{\mu\nu} = +\partial_\mu\!\left(F^{\mu\nu}F_{\nu\lambda} - \frac{1}{4}\eta^{\lambda\mu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\right)</math> Cerchiamo ora di riscrivere il termine dell'equazione con <math>j^\nu</math>; considerando il caso in cui <math>j^\nu</math> sia generata da una particella carica (nel caso generale di più particelle cariche la quadricorrente totale sarà ovviamente la somma delle quadricorrenti delle singole particelle): <math>j^\nu(x) = e\int\frac{dx^\nu}{d\lambda}\delta^{(4)}(x-x(\lambda))\,d\lambda = e\int u^\nu\delta^{(4)}(x-x(s))\,ds</math> Dunque: <math>j_\nu(x)F^\nu{}_\lambda(x) = e\int u_\nu\delta^{(4)}(x-x(s))F^\nu{}_\lambda(x(s))\,ds</math> ove abbiamo potuto scrivere <math>F^\nu{}_\lambda(x(s))</math> al posto di <math>F^\nu{}_\lambda(x)</math> per la presenza della <math>\delta</math>. Per l'equazione di Lorentz<ref>Stiamo implicitamente supponendo che la carica che genera il campo sia esattamente uguale a quella che interagisce con i campi (talvolta dette, rispettivamente, carica attiva e passiva). È un fatto sperimentale che le due coincidano (o meglio, che il loro rapporto sia costante e posto pari ad 1).</ref>, <math>m\frac{du_\mu}{ds} = eF_{\mu\nu}(x(s))u^\nu</math>; dunque: <math>j_\nu(x)F^\nu{}_\lambda(x) = -m\int\frac{du_\lambda}{ds}(s)\delta^{(4)}(x-x(s))\,ds = m\int u_\lambda\frac{d}{ds}\delta^{(4)}(x-x(s))\,ds =</math> <math>= -m\int u_\lambda(s)u^\mu(s)\partial_\mu\delta^{(4)}(x-x(s))\,ds</math> ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che: <math>\frac{d}{ds}\delta^{(4)}(x-x(s)) = \frac{dx^\mu}{ds}\frac{\partial}{\partial x^\mu(s)}\delta^{(4)}(x-x(s)) = -u^\mu\partial_\mu\delta^{(4)}(x-x(s))</math> Dunque: <math>j_\nu(x)F^\nu{}_\lambda(x) = -\partial_\mu\!\left[m\int u_\lambda(s)u^\mu(s)\delta^{(4)}(x-x(s))\,ds\right]</math> Per concludere, quindi, ponendo: <math>T^{\mu\nu}_{\mathrm{emg}} = F^{\mu\rho}F_\rho{}^\nu - \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}</math> <math>T^{\mu\nu}_P = m\int u^\mu(s)u^\nu(s)\delta^{(4)}(x-x(s))\,ds</math> si ha: <math>\partial_\mu(T^{\mu\nu}_{\mathrm{emg}} + T^{\mu\nu}_P) = 0</math> Prendiamo quindi come tensore energia impulso: <math>T^{\mu\nu} = T^{\mu\nu}_{\mathrm{emg}} + T^{\mu\nu}_P</math> Il tensore energia-impulso delle particelle può essere riscritto come: <math>T^{\mu\nu}_P(x) = m\int u^\mu u^\nu\delta^{(4)}(x-x(s))\,ds = m\int u^\mu u^\nu\delta(x^0-x^0(s))\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(s))\,ds</math> Usiamo la prima <math>\delta</math> per ricavare <math>s = s(x^0) = s(t)</math>; dunque: <math>T^{\mu\nu}_P(x) = mu^\mu u^\nu\frac{1}{\frac{dx^0}{ds}}\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(s(t))) = m\frac{u^\mu u^\nu}{\gamma}\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(t)) = \frac{p^\mu p^\nu}{\varepsilon}\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}(t))</math> ove nell'ultimo passaggio si è moltiplicato e diviso per <math>m</math>. Il quadrimomento totale avrà un contributo dal tensore energia-impulso dei campi e delle particelle: <math>P^\mu = \int T^{0\mu}_{\mathrm{emg}}\,d^3\vec{x} + \int T^{0\mu}_P\,d^3\vec{x}</math> (ed è ovviamente una quantità conservata). == Il momento angolare == L'ultima legge di conservazione che ci resta da trattare è quella del momento angolare. Assumiamo che esista il tensore energia-impulso <math>T^{\mu\nu}</math> con le proprietà che abbiamo detto (è conservato e simmetrico). Definiamo allora una nuova quantità, che chiamiamo tensore densità di momento angolare: <math>M^{\mu\alpha\beta}(x) = x^\alpha T^{\mu\beta}(x) - x^\beta T^{\mu\alpha}(x)</math> Si vede che è un tensore antisimmetrico in <math>\alpha</math> e <math>\beta</math>: <math>M^{\mu\alpha\beta} = -M^{\mu\beta\alpha}</math>; ci sono pertanto sei correnti conservate (le possibili scelte per i valori di <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono sei). Si verifica che effettivamente queste sei correnti sono conservate: <math>\partial_\mu M^{\mu\alpha\beta} = 0 \quad \forall\,\alpha,\beta</math> Infatti: <math>\partial_\mu M^{\mu\alpha\beta} = \delta^\mu{}_\alpha T_{\mu}{}^\beta + x^\alpha\underbrace{\partial_\mu T^{\mu\beta}}_{=0} - \delta^\mu{}_\beta T_{\mu}{}^\alpha - x^\beta\underbrace{\partial_\mu T^{\mu\alpha}}_{=0} = T^{\alpha\beta} - T^{\beta\alpha} = 0</math> Ora: cosa sono le cariche associate a queste correnti? Sono (prevedibilmente) i momenti angolari: <math>L^{\alpha\beta} := \int_{\mathbb{R}^3} M^{0\alpha\beta}\,d^3\vec{x} \implies \frac{dL^{\alpha\beta}}{dt} = 0</math> Tre di queste correnti sono effettivamente momenti angolari, le altre tre le vedremo in seguito (corrispondono a boost). Supponiamo dunque di avere delle particelle cariche. Esplicitiamo <math>L^{\alpha\beta}</math> (sfruttiamo l'espressione esplicita di <math>T^{\mu\nu}</math> trovata prima): <math>L^{\alpha\beta}_P = \int\!\left(x^\alpha T^{0\beta}_P - x^\beta T^{0\alpha}_P\right)d^3\vec{x} = x^\alpha(t)p^\beta(t) - x^\beta(t)p^\alpha(t)</math> Dunque: <math>L^{ij}_P = x^i(t)p^j(t) - x^j(t)p^i(t)</math> è un tensore antisimmetrico in tre dimensioni. "Costruiamo" con esso il vettore: <math>L^i_P = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}L^{jk}_P = \varepsilon^{ijk}x^j(t)p^k(t) = (\vec{x}(t)\times\vec{p}(t))^i</math> che è proprio il momento angolare della particella. Da notare che la generalizzazione relativistica del momento angolare, che ovviamente è un vettore, non è un quadrivettore, come invece avviene per il quadrimomento. Per ogni altro sistema, oltre alla particella libera, con tensore energia-impulso simmetrico e conservato esiste un momento angolare come quello che abbiamo definito. Ad esempio, nel caso dei campi elettromagnetici: <math>L^i_{\mathrm{emg}} = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}L^{jk}_{\mathrm{emg}} = \varepsilon^{ijk}\int x^j T^{0k}_{\mathrm{emg}}\,d^3\vec{x} = \int\left[\vec{x}\times(\vec{E}\times\vec{B})\right]^i d^3\vec{x}</math> Ove <math>\vec{x}\times(\vec{E}\times\vec{B}) = \vec{x}\times\vec{S}</math> è la densità di momento angolare del campo elettromagnetico, che ovviamente è conservata. Cosa significano le altre componenti di <math>L^{\alpha\beta}</math>, in particolare <math>L^{0i}</math>? <math>K^i := L^{0i} = t\int T^{0i}(t)\,d^3\vec{x} - \int x^i(t)T^{00}(\vec{x},t)\,d^3\vec{x}</math> Dunque, i <math>K^i</math> dipendono esplicitamente da <math>t</math>, a differenza di quanto visto finora. D'altra parte sappiamo che: <math>\frac{dK^i}{dt} = 0</math> perché <math>L^{\alpha\beta}</math> è conservato. Qual è il significato fisico di queste leggi di conservazione? <math>K^i = tP^i - Ex^i_{\mathrm{cdm}}(t)</math> ove <math>x^i_{\mathrm{cdm}}</math> è l'<math>i</math>-esima coordinata del centro di massa del sistema, e <math>E</math> è l'energia totale. In meccanica non relativistica, infatti, si definivano le coordinate del centro di massa di un sistema come: <math>x^i_{\mathrm{cdm}}(t) = \frac{\int x^i\rho(\vec{x},t)\,d^3\vec{x}}{\int\rho(\vec{x},t)\,d^3\vec{x}}</math> In relatività si sostituisce alla densità <math>\rho</math> la densità d'energia, e dunque anche di massa, <math>T^{00}</math>. Dunque: <math>x^i_{\mathrm{cdm}} = \frac{\int x^i T^{00}(\vec{x},t)\,d^3\vec{x}}{E}</math> Da notare che in questo modo, però, il centro di massa relativistico non è più un invariante, perché <math>(t, x^i_{\mathrm{cdm}})</math> non trasforma come un quadrivettore. Sappiamo dunque che: <math>K^i = tP^i - Ex^i_{\mathrm{cdm}}(t)</math> e poiché <math>dK^i/dt = 0</math>, <math>K^i(t) = K^i(0)</math> e quindi: <math>K^i(0) = -Ex^i_{\mathrm{cdm}}(0) \implies x^i_{\mathrm{cdm}}(t) = t\frac{P^i}{E} + x^i_{\mathrm{cdm}}(0)</math> Anche in meccanica relativistica, dunque, per un sistema isolato il centro di massa si muove con velocità costante <math>P^i/E</math>. == Note == <references/> {{avanzamento|75%|12 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Le leggi di conservazione]] lftjy1bg4rrhhry8j0s0ao0m7m9kqum 0 59989 491773 2026-04-12T09:40:44Z Hippias 18281 da [[File:Elettrodinamica classica.pdf]], di Leonardo Pacciani Mori 491773 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Andiamo ora a studiare come le equazioni del moto di un sistema (con gradi di libertà sia finiti che infiniti, e quindi stiamo considerando sia sistemi composti da particelle che campi) possano essere ricavate con un principio variazionale. Le leggi di conservazione che abbiamo visto finora non sono un “caso” dovuto alla struttura particolare delle equazioni del moto, ma derivano da un principio più profondo. Supponiamo di avere un sistema con un numero finito <math>N</math> di gradi di libertà, che indicheremo con <math>\varphi_n(t)</math> (<math>n = 1, \ldots, N</math>). Come sappiamo, il nostro sistema sarà descritto dalla lagrangiana <math>L(\varphi_n(t), \dot{\varphi}_n(t)) = \sum_{n=1}^{N} L_n(\varphi_n(t), \dot{\varphi}_n(t))</math> A partire da questa si può costruire l'azione del sistema: <math>I = \int_{t_1}^{t_2} L(\varphi_n(t), \dot{\varphi}_n(t))\,dt</math> che ovviamente è definita una volta determinati <math>\varphi_n</math> e <math>\dot{\varphi}_n</math>. Da un punto di vista matematico, si tratta di un funzionale: <math>I = I[\varphi_n(t)]</math> Le equazioni del moto del sistema sono equivalenti alle condizioni da porre sulle <math>\varphi_n</math> in modo da rendere <math>I</math> stazionario: <math>\delta I[\varphi_n(t)] = \frac{d}{d\alpha}\, I[\varphi_n(t) + \epsilon\,\delta\varphi_n(t)]\Big|_{\alpha=0} = 0 \quad \forall\,\delta\varphi_n</math> ove <math>\delta\varphi_n</math> sono funzioni qualunque di <math>t</math> ma tali che <math>\delta\varphi_n(t_1) = \delta\varphi_n(t_2) = 0</math>. Spesso si scrive anche: <math>\delta I[\varphi_n(t)] = \big(I[\varphi_n + \delta\varphi_n] - I[\varphi_n]\big)\Big|_{\text{parte lineare in }\varphi_n}</math> La condizione <math>\delta I[\varphi_n(t)] = 0</math> restituisce come condizioni sulle <math>\varphi_n</math> le equazioni di Eulero–Lagrange: <math>\frac{\partial L}{\partial \varphi_n} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}_n} = 0</math> Il metodo variazionale è conveniente perché l'uso di una lagrangiana permette di capire facilmente le simmetrie di un sistema, e le simmetrie della lagrangiana “discendono” (vedremo poi come) alle equazioni del moto. {{avanzamento|75%|12 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Sistema con gradi di libertà finiti]] go3j866s6smguttc5a6p4zi7y3n2lph