Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 5762 499020 498454 2026-06-06T08:57:45Z Pasquale.Carelli 528 modificata prima parte da lavorare ancora 499020 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). * '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto molto antico, già dai tempi antichi si era provato a descriverla in termini scientifici, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poté fare le prime stime numeriche sul suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano con tale quantità oltre a quelle associate con la sensibilità fisiologica del corpo umano. Una delle più semplici è legata alla dilatazione dei liquidi: i termometri a mercurio in cui un liquido (il mercurio) è contenuto in un recipiente capillare di vetro (che subisce una dilatazione trascurabile con la temperatura) è un esempio di un termometro cioè di un misuratore di temperatura. Molte proprietà fisiche (elettriche, magnetiche etc) sono influenzate dalla temperatura per cui abbiamo un notevole numero di termometri. Affrontiamo il problema della scala delle temperature. La scala empirica comune nei paesi occidentali non anglosassoni, è la scala [[w:Celsius|Celsius]] che è basata sulle proprietà dell'acqua al livello del mare. Tale scala assume come <math>^oO\ C</math> la temperatura di solidificazione dell'acqua a pressione atmosferica, e come <math>100\ ^oC</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua nelle stesse condizioni di pressione. Esistono altre scale empiriche come quella [[w:Fahrenheit|Fahrenheit]] che considera come circa <math>100\ ^o\ F</math> la temperatura del corpo umano e come <math>^oO\ F</math> la temperatura minima della miscela ghiaccio, acqua, cloruro di ammonio e sale: una miscela frigorifera. Il passaggio dalle due scale è dato da: :<math> T_F=32+\frac 95T_C\ </math> In realtà a tali scale empiriche si preferisce la scala [[w:Kelvin|Kelvin]] che assume come zero della temperatura la minima temperatura per un sistema termodinamico: lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]] e come intervallo tra gradi quello della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto è ad una temperatura di circa <math>-273.15\ ^oC</math> la conversione da gradi <math>Celsius</math> a '''kelvin''' è: :<math>T_K=273,15+T_C\ </math> La temperatura di un gas rarefatto è la misura alla energia cinetica media delle molecole che compongono il gas. Si mostra facilmente che se ho molecole diverse gli urti tendono a distribuire uniformemente tale energia cinetica media: per cui molecole diverse hanno energia cinetica in media eguale. Se le molecole sono monoatomiche questa è la unica forma di energia microscopica. Ma se le molecole sono biatomiche o più complesse bisogna tenere conto di ulteriori gradi di libertà interni al sistema microscopico come quelli rotazionali e vibrazionali (tipo oscillatore armonico). Se poi ho a che a fare con fluidi densi la temperatura è connessa pure alla energia potenziale dovuta alle forze interne. Nel caso estremo di un solido ogni atomo che lo compone si comporta come un oscillatore armonico con 6 gradi di libertà (3 cinetici e 3 dovuti alla energia potenziale elastica). Il concetto di temperatura non è legato in realtà alla materia, ma possiamo definire anche la temperatura del vuoto mediante la cosiddetta radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]]. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Si ha l'equilibrio termodinamico di un sistema quando si verifica contemporaneamente l'equilibrio chimico, meccanico e termico. L'equilibrio chimico si ha se non si hanno più reazioni chimiche e la quantità di materia nelle varie parti non varia più nel tempo. L'equilibrio meccanico si ha se la pressione e il volume non cambiano nel tempo. Infine l'equilibrio termico si ha se la temperatura cessa di variare nel tempo. Equilibrio termodinamico di un corpo implica che pressione, densità e temperatura siano uniforme nel suo interno. Consideriamo ad esempio un fiume che è in equilibrio termico con l'ambiente, in ogni punto la temperatura non varia nel tempo, ma che a causa di dell'ingresso di corrente fredda dalla fonte vi è una forte variazione spaziale della temperatura stessa. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un enunciato circa i corpi a contatto in equilibrio termico ed è alla base del concetto di temperatura. L'enunciato di tale principio è che se due sistemi termodinamici sono in equilibrio termico con un terzo, sono in equilibrio termodinamico tra di loro. In altre parole l'equilibrio termodinamico è una proprietà transitiva. Questo principio viene utilizzato per effettuare la misura della temperatura, se viene intesa la temperatura la proprietà che determina l'equilibrio termico tra i corpi. Infatti due corpi sono in equilibrio termico fra loro se sono alla stessa temperatura. Sebbene sia concettualmente un'assunzione basilare, la sua funzione è stata riconosciuta dopo la formulazione del [[w:primo principio della termodinamica|primo]] e [[w:secondo principio della termodinamica| secondo principio della termodinamica]], ed è stato pertanto deciso di attribuirgli il nome di "principio zero" per non cambiare il nome a principi oramai noti. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|400px|right|Un gas (in giallo) dentro un pistone]] Il lavoro è in realtà un concetto che è ben definito dalla meccanica. In termodinamica fisica si definisce positivo il lavoro che il sistema compie sui corpi esterni, mentre è negativo quello che i corpi esterni compiono sul sistema. Il caso più semplice da descrivere è quello di un cilindro con un pistone mobile, come in figura. Il sistema in questo caso è un gas in equilibrio termodinamico. Sia <math>p\ </math> la pressione che il gas esercita sulle pareti del recipiente ed in particolare sul pistone. Quindi se <math>S\ </math> è la superficie del cilindro <math>pS\ </math> sarà la forza che il gas esercita sul pistone. Se il pistone si sposta di un tratto infinitesimo <math>dz\ </math>, viene compiuto un lavoro, che solleva il peso (corpo esterno), pari a: :<math>dW=pSdz\ </math> Il questo caso infatti lo spostamento <math>dz\ </math> è parallelo alla forza. Notiamo che in realtà: :<math>dV=Sdz\ </math> Non è altro che l'aumento di volume. Quindi si può scrivere. :<math>dW=pdV\ </math> Il pistone mobile può spostarsi verso l'esterno aumentando il volume del gas: in questo caso si ha una espansione (lavoro positivo). In realtà in un processo di questo genere le forze interne di pressione producono lavoro che facilmente siamo in grado di quantizzare. Il procedimento inverso di riduzione del volume va sotto il nome di compressione. Perché una trasformazione di questo tipo sia reversibile, su tale concetto torneremo nel seguito, non occorre solo che avvenga per successivi stati equilibrio. Ma occorre che all'interno del gas la pressione come le altre variabili termodinamiche non vari (spazialmente), e inoltre che il moto del pistone lungo la parete del cilindro si effettui senza attrito. Infatti non conosciamo nessun processo in cui l'energia meccanica dissipata per attrito possa essere restituita sotto forma di energia meccanica macroscopica, quindi rendendo possibile la reversibilità della trasformazione. Inoltre per avere una trasformazione reversibile occorre che la forza esterna sia istante per istante eguale a quella interna. Quindi se abbiamo un cilindro contenente un gas a pressione diversa da quella dell'ambiente esterno (ad esempio la pressione atmosferica) dovremo bilanciare istante per istante la forza interna con la forza esterna per avere una trasformazione reversibile. Che il lavoro infinitesimo fatto da un gas durante la sua espansione sia pari a <math>dW=pdV\ </math> non dipende dalla forma del recipiente ma non viene qui dimostrato: E. Fermi lo ha dimostrato nel suo libro di termodinamica<ref name=Fermi> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. Il lavoro fatto dalle forze interne è massimo quando la trasformazione è reversibile, solo in tale caso la pressione del gas interno è eguale alla forza esterna agente sul pistone. Se l'espansione avviene troppo rapidamente si crea una variazione di pressione nel cilindro che va dal valore massimo fino alla pressione esterna agente sul cilindro, la forza che agirà sulla superficie di base del cilindro non sarà quella della dovuta alla pressione di equilibrio, ma una forza minore che è pari alla pressione esterna per la superficie del pistone. Se facciamo avvenire la trasformazione per stati di equilibrio dallo stato iniziale <math>A\ </math> alla stato finale <math>B\ </math>, il lavoro finito della trasformazione si ottiene integrando l'equazione [[Image:Lavoro.png|thumb|500px|left|Una trasformazione generica nel piano di Clapeyron con il lavoro eseguito]] :<math>W=\int_A^B PdV\ </math> Con l'integrale esteso a tutta la trasformazione. Per il calcolo del lavoro nel caso dei fluidi omogenei risulta comodo utilizzare come variabili termodinamiche indipendenti: la pressione ed il volume occupato dal fluido. La rappresentazione grafica di tali variabili viene detta piano di Clapeyron. Consideriamo a titolo esemplificativo una trasformazione per stati di equilibrio termodinamico che vada dallo stato <math>A\ </math> allo stato finale <math>B\ </math>, come indicato nella figura. La forma della curva dipende dal tipo di trasformazione considerata con questa rappresentazione il lavoro eseguito dal sistema è dato dall'integrale <math>W=\int_{V_A}^{V_B} PdV\ </math> Dove i volumi <math>V_A\ </math> e <math>V_B\ </math> sono i volumi iniziali e finali degli stati. Questo lavoro viene rappresentato geometricamente dalla curva tratteggiata in figura: il lavoro è positivo se si va da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>, mentre è negativo se vado da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math>. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} nuzu2oxg6p6vofptrg539fxi6ga1yw8 0 8857 499008 498998 2026-06-05T16:13:47Z Pasquale.Carelli 528 /* Prima Legge di Keplero */ riscritta la dimostrazione 499008 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Seconda Legge di Keplero === La velocità areolare con cui il raggio vettore spazza l'orbita è costante. La velocità areolare, in questo caso, è la derivata temporale della superficie spazzata dal raggio vettore che congiunge il sole con un pianeta. ====Dimostrazione==== Introducendo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta) </math>, con i rispettivi [[w:versore|versori]] <math>(\mathbf\hat{r}, \mathbf\hat{\theta}) </math> si ha, banalmente <math>\mathbf{r} = r\mathbf\hat{r} </math>. Derivando tale quantità rispetto al tempo, si ottiene (applicando la regola della derivazione del prodotto e ricordando che: :<math>\mathbf\dot\hat{r} = \dot{\theta}\mathbf\hat{\theta} </math>, <math>\mathbf\dot\hat{\theta} = - \dot{\theta}\mathbf\hat{r} </math> :<math>\mathbf\dot{r} = \dot{r}\mathbf\hat{r} + r\dot{\theta}\mathbf\hat{\theta} </math> Ora, considerando per semplicità la massa unitaria, il [[w:momento angolare|momento angolare]] <math>\mathbf{L} </math> vale (sfruttando le proprietà del [[w:prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]]) :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf\dot{r} = \mathbf{r} \times \dot{r}\mathbf\hat{r} + \mathbf{r} \times r\dot{\theta}\mathbf\hat{\theta} = r\dot{\theta}(\mathbf{r}\times\mathbf\hat\theta) = r^2 \dot\theta (\mathbf\hat{r} \times \mathbf\hat\theta) = r^2 \dot\theta </math> diretto ortogonalmente al piano in cui si svolge il moto. Per la legge di conservazione del momento angolare, segue che la quantità <math> r^2 \dot\theta </math> è un integrale del moto. Considerando la velocità areolare <math>C </math> come derivata temporale dell'area spazzata dal raggio vettore, si ha: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2}r^2\dot\theta\mathrm{d}t </math> Infatti, considerando un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot\theta \mathrm{d}t </math>, l'area spazzata nell'intervallo temporale infinitesimo, l'elemento d'area è data dalla metà del quadrato di <math>r </math> per l'angolo al centro. Eseguendo la derivata, <math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot\theta = \frac{1}{2}L </math>. Pertanto la velocità areolare è un integrale del moto.<ref name=":0">{{Cita libro|autore = Vladimir Igorevič Arnold|titolo = Metodi matematici della meccanica classica|anno = 2010|editore = Editori Riuniti University Press|città = Roma|wkautore = Vladimir Igorevič Arnol'd|pp = 36-44}}</ref> Si può notare come la validità della seconda legge sia del tutto indipendente dall'espressione del potenziale considerato, essa infatti è una proprietà di tutti i potenziali centrali. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita cioè: :<math>T^2=kr^3 \,\!</math> ====Dimostrazione==== Nelle espressioni di <math>a</math> e <math>b</math> ricavate dalla prima legge di Keplero, si può notare come il semiasse maggiore <math>a</math> sia dipendente solo dall'energia totale del sistema, mentre il semiasse minore sia anche funzione del momento angolare. Poiché il periodo di rotazione, nel moto in campo centrale, è funzione della sola energia, questo fatto permette di inferire per il periodo una relazione solo riguardante il semiasse maggiore dell'ellisse. In particolare, si avrà (essendo <math>\pi a b</math> l'area dell'ellisse e <math>C</math> la velocità areolare, il cui valore è costante e uguale a <math>L/2</math>). <math>T(E) = \frac{\pi a b}{C} = \pi \frac{k}{2|E|} \frac{L}{\sqrt{2|E|}}\frac{2}{L} = \pi k \frac{\sqrt2}{2}|E|^{-3/2} </math> Ora, recuperando l'espressione di <math>a </math> in funzione dell'energia si ha <math>|E| = \frac{k}{2a} </math>, sostituendo tale valore nell'equazione precedente si ottiene <math>T(E) = \pi k \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2a}{k}\right)^{3/2} </math> da cui si deduce che <math>T^2 \propto a^3 </math> come afferma appunto la terza legge di Keplero. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive la forza gravitazionale che sarebbe applicata su un corpo di massa unitaria in ogni dato punto dello spazio. E' pari alla [[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. E' una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di sue oggetti sono coinvolti (ad esempio per un razzo tra la terra e la luna. Per 2 oggetti (ad esempio oggetto 2 il razzo, oggetto 1 la terra), si scrive semplicemente '''r''' invece di '''r'''₁₂ ed ''m'' invece of ''m''₂ e definiamo il campo gravitazionale '''g'''('''r''') come: : <math>\mathbf g(\mathbf r) = - G {m_1 \over {{\vert \mathbf{r} \vert}^2}} \, \mathbf{\hat{r}} </math> Così che si può scrivere: : <math>\mathbf{F}( \mathbf r) = m \mathbf g(\mathbf r). </math> Questa formulazione dipende dagli oggetti che danno origine al campo. Le dimensioni fisiche del campo sono quelle di una accelerazione e nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]] si misura in m/s². Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]; questo significa che il lavoro fatto dalla gravità da un posizione ad un'altra è indipendente dal percorso seguito. Di conseguenza esiste un potenziale gravitazionale ''V''('''r''') tale che: :<math> \mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V( \mathbf r).</math> Se ''m''₁ è una massa puntiforme o la massa di una sfera con densità che dipende solo dalla distanza ''r'' dal centro della sfera (un corpo a simmetria radiale, il campo gravitazionale '''g'''('''r''') all'interno come all'esterno il campo gravitazionale dipende solo dalla distanza ''r''. In particolare all'esterno della sfera: : <math> V(r) = -G\frac{m_1}{r}. </math> Applicando la [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|legge di Gauss]] nel caso gravitazionale ad un corpo simmetrico radialmente, il campo gravitazionale si ricava dalla equazione: :<math> \int_{A}\,\,\mathbf{g(r)}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{int} </math> Dove <math>A</math> è una superficie chiusa e <math> M_{int}</math> è la massa all'interno della superficie. Perciò, per una sfera vuota di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math> :<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases} 0, & \mbox{if } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R \end{cases} </math> Per una sfera piena uniforme di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: :<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{if } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R \end{cases} </math> == Lavoro della forza gravitazionale == Calcoliamo il lavoro di una forza gravitazionale: <math>dW=\vec F \cdot d \vec s= -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \vec u d \vec s=-G \frac {m_1 m_2}{r^2} dr = -\Delta E_p</math>. Otteniamo l'espressione dell''''energia potenziale gravitazionale''': :<math>E_p =-G \frac {m_1 m_2}{r}</math> Questa espressione, se noi prendiamo come convenzione che all'infinito <math>E_p=0\ e\ F=0 \,\!</math>, notiamo che avvicinandosi ad una massa che genera un campo gravitazionale il lavoro è positivo e quindi si acquista energia cinetica e di conseguenza velocità. Anche in questo caso isoliamo il contributo di una delle due masse ed otteniamo <math>V=-G \frac {m}{r}</math> e di conseguenza :<math>\vec G= -\vec{\operatorname{grad}}\, V = - \nabla V</math> come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica|Gravitazione]] {{Avanzamento|75%|1 lug 2015‎}} 4d93oj0y1442nn2nwictyyk8f0gqe72 499011 499008 2026-06-05T16:26:36Z Pasquale.Carelli 528 /* Seconda Legge di Keplero */ riscritta la dimostrazione della II legge di Keplero 499011 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler second law diagram.svg|thumb|right|250px|L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\mathrm{d}t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>r\mathrm{d}\theta</math> e altezza <math>r</math>.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita cioè: :<math>T^2=kr^3 \,\!</math> ====Dimostrazione==== Nelle espressioni di <math>a</math> e <math>b</math> ricavate dalla prima legge di Keplero, si può notare come il semiasse maggiore <math>a</math> sia dipendente solo dall'energia totale del sistema, mentre il semiasse minore sia anche funzione del momento angolare. Poiché il periodo di rotazione, nel moto in campo centrale, è funzione della sola energia, questo fatto permette di inferire per il periodo una relazione solo riguardante il semiasse maggiore dell'ellisse. In particolare, si avrà (essendo <math>\pi a b</math> l'area dell'ellisse e <math>C</math> la velocità areolare, il cui valore è costante e uguale a <math>L/2</math>). <math>T(E) = \frac{\pi a b}{C} = \pi \frac{k}{2|E|} \frac{L}{\sqrt{2|E|}}\frac{2}{L} = \pi k \frac{\sqrt2}{2}|E|^{-3/2} </math> Ora, recuperando l'espressione di <math>a </math> in funzione dell'energia si ha <math>|E| = \frac{k}{2a} </math>, sostituendo tale valore nell'equazione precedente si ottiene <math>T(E) = \pi k \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2a}{k}\right)^{3/2} </math> da cui si deduce che <math>T^2 \propto a^3 </math> come afferma appunto la terza legge di Keplero. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive la forza gravitazionale che sarebbe applicata su un corpo di massa unitaria in ogni dato punto dello spazio. E' pari alla [[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. E' una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di sue oggetti sono coinvolti (ad esempio per un razzo tra la terra e la luna. Per 2 oggetti (ad esempio oggetto 2 il razzo, oggetto 1 la terra), si scrive semplicemente '''r''' invece di '''r'''₁₂ ed ''m'' invece of ''m''₂ e definiamo il campo gravitazionale '''g'''('''r''') come: : <math>\mathbf g(\mathbf r) = - G {m_1 \over {{\vert \mathbf{r} \vert}^2}} \, \mathbf{\hat{r}} </math> Così che si può scrivere: : <math>\mathbf{F}( \mathbf r) = m \mathbf g(\mathbf r). </math> Questa formulazione dipende dagli oggetti che danno origine al campo. Le dimensioni fisiche del campo sono quelle di una accelerazione e nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]] si misura in m/s². Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]; questo significa che il lavoro fatto dalla gravità da un posizione ad un'altra è indipendente dal percorso seguito. Di conseguenza esiste un potenziale gravitazionale ''V''('''r''') tale che: :<math> \mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V( \mathbf r).</math> Se ''m''₁ è una massa puntiforme o la massa di una sfera con densità che dipende solo dalla distanza ''r'' dal centro della sfera (un corpo a simmetria radiale, il campo gravitazionale '''g'''('''r''') all'interno come all'esterno il campo gravitazionale dipende solo dalla distanza ''r''. In particolare all'esterno della sfera: : <math> V(r) = -G\frac{m_1}{r}. </math> Applicando la [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|legge di Gauss]] nel caso gravitazionale ad un corpo simmetrico radialmente, il campo gravitazionale si ricava dalla equazione: :<math> \int_{A}\,\,\mathbf{g(r)}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{int} </math> Dove <math>A</math> è una superficie chiusa e <math> M_{int}</math> è la massa all'interno della superficie. Perciò, per una sfera vuota di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math> :<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases} 0, & \mbox{if } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R \end{cases} </math> Per una sfera piena uniforme di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: :<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{if } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R \end{cases} </math> == Lavoro della forza gravitazionale == Calcoliamo il lavoro di una forza gravitazionale: <math>dW=\vec F \cdot d \vec s= -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \vec u d \vec s=-G \frac {m_1 m_2}{r^2} dr = -\Delta E_p</math>. Otteniamo l'espressione dell''''energia potenziale gravitazionale''': :<math>E_p =-G \frac {m_1 m_2}{r}</math> Questa espressione, se noi prendiamo come convenzione che all'infinito <math>E_p=0\ e\ F=0 \,\!</math>, notiamo che avvicinandosi ad una massa che genera un campo gravitazionale il lavoro è positivo e quindi si acquista energia cinetica e di conseguenza velocità. Anche in questo caso isoliamo il contributo di una delle due masse ed otteniamo <math>V=-G \frac {m}{r}</math> e di conseguenza :<math>\vec G= -\vec{\operatorname{grad}}\, V = - \nabla V</math> come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica|Gravitazione]] {{Avanzamento|75%|1 lug 2015‎}} 8ptlzweawkvdtxv2py8im0q9c4uwaxc 499012 499011 2026-06-05T16:43:34Z Pasquale.Carelli 528 /* Seconda Legge di Keplero */ Cambiata figura 499012 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler 2 a.jpg|thumb|right|350px|L'area infinitesima <math>\mathrm{\Delta}A</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\Delta t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>\Delta S=v\Delta t</math> e altezza <math>r</math>. Le tre aree evidenziate sono eguali.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita cioè: :<math>T^2=kr^3 \,\!</math> ====Dimostrazione==== Nelle espressioni di <math>a</math> e <math>b</math> ricavate dalla prima legge di Keplero, si può notare come il semiasse maggiore <math>a</math> sia dipendente solo dall'energia totale del sistema, mentre il semiasse minore sia anche funzione del momento angolare. Poiché il periodo di rotazione, nel moto in campo centrale, è funzione della sola energia, questo fatto permette di inferire per il periodo una relazione solo riguardante il semiasse maggiore dell'ellisse. In particolare, si avrà (essendo <math>\pi a b</math> l'area dell'ellisse e <math>C</math> la velocità areolare, il cui valore è costante e uguale a <math>L/2</math>). <math>T(E) = \frac{\pi a b}{C} = \pi \frac{k}{2|E|} \frac{L}{\sqrt{2|E|}}\frac{2}{L} = \pi k \frac{\sqrt2}{2}|E|^{-3/2} </math> Ora, recuperando l'espressione di <math>a </math> in funzione dell'energia si ha <math>|E| = \frac{k}{2a} </math>, sostituendo tale valore nell'equazione precedente si ottiene <math>T(E) = \pi k \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2a}{k}\right)^{3/2} </math> da cui si deduce che <math>T^2 \propto a^3 </math> come afferma appunto la terza legge di Keplero. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive la forza gravitazionale che sarebbe applicata su un corpo di massa unitaria in ogni dato punto dello spazio. E' pari alla [[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. E' una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di sue oggetti sono coinvolti (ad esempio per un razzo tra la terra e la luna. Per 2 oggetti (ad esempio oggetto 2 il razzo, oggetto 1 la terra), si scrive semplicemente '''r''' invece di '''r'''₁₂ ed ''m'' invece of ''m''₂ e definiamo il campo gravitazionale '''g'''('''r''') come: : <math>\mathbf g(\mathbf r) = - G {m_1 \over {{\vert \mathbf{r} \vert}^2}} \, \mathbf{\hat{r}} </math> Così che si può scrivere: : <math>\mathbf{F}( \mathbf r) = m \mathbf g(\mathbf r). </math> Questa formulazione dipende dagli oggetti che danno origine al campo. Le dimensioni fisiche del campo sono quelle di una accelerazione e nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]] si misura in m/s². Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]; questo significa che il lavoro fatto dalla gravità da un posizione ad un'altra è indipendente dal percorso seguito. Di conseguenza esiste un potenziale gravitazionale ''V''('''r''') tale che: :<math> \mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V( \mathbf r).</math> Se ''m''₁ è una massa puntiforme o la massa di una sfera con densità che dipende solo dalla distanza ''r'' dal centro della sfera (un corpo a simmetria radiale, il campo gravitazionale '''g'''('''r''') all'interno come all'esterno il campo gravitazionale dipende solo dalla distanza ''r''. In particolare all'esterno della sfera: : <math> V(r) = -G\frac{m_1}{r}. </math> Applicando la [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|legge di Gauss]] nel caso gravitazionale ad un corpo simmetrico radialmente, il campo gravitazionale si ricava dalla equazione: :<math> \int_{A}\,\,\mathbf{g(r)}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{int} </math> Dove <math>A</math> è una superficie chiusa e <math> M_{int}</math> è la massa all'interno della superficie. Perciò, per una sfera vuota di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math> :<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases} 0, & \mbox{if } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R \end{cases} </math> Per una sfera piena uniforme di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: :<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{if } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R \end{cases} </math> == Lavoro della forza gravitazionale == Calcoliamo il lavoro di una forza gravitazionale: <math>dW=\vec F \cdot d \vec s= -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \vec u d \vec s=-G \frac {m_1 m_2}{r^2} dr = -\Delta E_p</math>. Otteniamo l'espressione dell''''energia potenziale gravitazionale''': :<math>E_p =-G \frac {m_1 m_2}{r}</math> Questa espressione, se noi prendiamo come convenzione che all'infinito <math>E_p=0\ e\ F=0 \,\!</math>, notiamo che avvicinandosi ad una massa che genera un campo gravitazionale il lavoro è positivo e quindi si acquista energia cinetica e di conseguenza velocità. Anche in questo caso isoliamo il contributo di una delle due masse ed otteniamo <math>V=-G \frac {m}{r}</math> e di conseguenza :<math>\vec G= -\vec{\operatorname{grad}}\, V = - \nabla V</math> come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica|Gravitazione]] {{Avanzamento|75%|1 lug 2015‎}} 6ggvy25217t7us837clq5qzhp4upttp 499013 499012 2026-06-05T16:56:38Z Pasquale.Carelli 528 /* Terza Legge di Keplero */ 499013 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler 2 a.jpg|thumb|right|350px|L'area infinitesima <math>\mathrm{\Delta}A</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\Delta t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>\Delta S=v\Delta t</math> e altezza <math>r</math>. Le tre aree evidenziate sono eguali.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del [[w:Periodo di rivoluzione|periodo di rivoluzione]] di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo del [[w:Semiasse maggiore|semiasse maggiore]] della sua orbita: :<math>T^2 = K a^3</math> ====Dimostrazione==== [[File:Terza legge di Keplero.svg|left|alt=|miniatura|587x587px|Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in [[w:Unità_astronomica|Unità Astronomiche]]) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da [https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values] ([[w:NASA|NASA]]).]] Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che la velocità areolare <math>C = \frac{L}{2m}</math> è costante. Il periodo di rivoluzione <math>T</math> è il tempo impiegato dal raggio vettore per spazzare l'intera area dell'ellisse. Essendo l'area di un'ellisse pari a <math>S = \pi a b</math> (dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore), il periodo può essere espresso come: :<math>T = \frac{S}{C} = \frac{\pi a b}{\frac{L}{2m}} = \frac{2m\pi a b}{L}</math> Per evitare il calcolo con potenze frazionarie, eleviamo entrambi i membri al quadrato: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2 b^2}{L^2}</math> Dalle dimostrazioni precedenti, recuperiamo le relazioni geometriche che legano i semiassi <math>a</math> e <math>b</math> all'energia totale <math>E</math> (con <math>E < 0</math> per un'orbita chiusa) e al momento angolare <math>L</math>: :<math>a = \frac{k}{2|E|}, \qquad b = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Dalla formula del semiasse minore, possiamo isolare il termine <math>b^2</math>: :<math>b^2 = \frac{L^2}{2m|E|}</math> Sostituendo questa espressione per <math>b^2</math> nell'equazione del periodo quadrato, notiamo una semplificazione immediata del momento angolare <math>L</math>: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2}{L^2} \left( \frac{L^2}{2m|E|} \right) = \frac{2\pi^2 m a^2}{|E|}</math> Infine, esprimiamo l'energia totale in funzione del semiasse maggiore sfruttando la relazione <math>|E| = \frac{k}{2a}</math>. Sostituendo quest'ultima uguaglianza otteniamo: :<math>T^2 = \frac{2\pi^2 m a^2}{\frac{k}{2a}} = \left( \frac{4\pi^2 m}{k} \right) a^3</math> Definendo la costante di proporzionalità kepleriana come <math>K = \frac{4\pi^2 m}{k}</math>, si giunge alla formulazione finale: :<math>T^2 = K a^3</math> La terza legge di Keplero è così dimostrata. Se consideriamo l'espressione esplicita della costante gravitazionale nell'approssimazione in cui la massa del pianeta <math>m</math> sia trascurabile rispetto a quella del Sole <math>M</math>, si ha <math>k = G M m</math>. Sostituendo questo valore, la costante <math>K</math> diventa: :<math>K = \frac{4\pi^2}{G M}</math> Si nota come tale costante dipenda esclusivamente dalla massa del corpo centrale (il Sole) e dalla costante di gravitazione universale, rimanendo identica per tutti i pianeti del sistema solare. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive la forza gravitazionale che sarebbe applicata su un corpo di massa unitaria in ogni dato punto dello spazio. E' pari alla [[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. E' una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di sue oggetti sono coinvolti (ad esempio per un razzo tra la terra e la luna. Per 2 oggetti (ad esempio oggetto 2 il razzo, oggetto 1 la terra), si scrive semplicemente '''r''' invece di '''r'''₁₂ ed ''m'' invece of ''m''₂ e definiamo il campo gravitazionale '''g'''('''r''') come: : <math>\mathbf g(\mathbf r) = - G {m_1 \over {{\vert \mathbf{r} \vert}^2}} \, \mathbf{\hat{r}} </math> Così che si può scrivere: : <math>\mathbf{F}( \mathbf r) = m \mathbf g(\mathbf r). </math> Questa formulazione dipende dagli oggetti che danno origine al campo. Le dimensioni fisiche del campo sono quelle di una accelerazione e nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]] si misura in m/s². Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]; questo significa che il lavoro fatto dalla gravità da un posizione ad un'altra è indipendente dal percorso seguito. Di conseguenza esiste un potenziale gravitazionale ''V''('''r''') tale che: :<math> \mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V( \mathbf r).</math> Se ''m''₁ è una massa puntiforme o la massa di una sfera con densità che dipende solo dalla distanza ''r'' dal centro della sfera (un corpo a simmetria radiale, il campo gravitazionale '''g'''('''r''') all'interno come all'esterno il campo gravitazionale dipende solo dalla distanza ''r''. In particolare all'esterno della sfera: : <math> V(r) = -G\frac{m_1}{r}. </math> Applicando la [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|legge di Gauss]] nel caso gravitazionale ad un corpo simmetrico radialmente, il campo gravitazionale si ricava dalla equazione: :<math> \int_{A}\,\,\mathbf{g(r)}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{int} </math> Dove <math>A</math> è una superficie chiusa e <math> M_{int}</math> è la massa all'interno della superficie. Perciò, per una sfera vuota di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math> :<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases} 0, & \mbox{if } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R \end{cases} </math> Per una sfera piena uniforme di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: :<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{if } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R \end{cases} </math> == Lavoro della forza gravitazionale == Calcoliamo il lavoro di una forza gravitazionale: <math>dW=\vec F \cdot d \vec s= -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \vec u d \vec s=-G \frac {m_1 m_2}{r^2} dr = -\Delta E_p</math>. Otteniamo l'espressione dell''''energia potenziale gravitazionale''': :<math>E_p =-G \frac {m_1 m_2}{r}</math> Questa espressione, se noi prendiamo come convenzione che all'infinito <math>E_p=0\ e\ F=0 \,\!</math>, notiamo che avvicinandosi ad una massa che genera un campo gravitazionale il lavoro è positivo e quindi si acquista energia cinetica e di conseguenza velocità. Anche in questo caso isoliamo il contributo di una delle due masse ed otteniamo <math>V=-G \frac {m}{r}</math> e di conseguenza :<math>\vec G= -\vec{\operatorname{grad}}\, V = - \nabla V</math> come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica|Gravitazione]] {{Avanzamento|75%|1 lug 2015‎}} s6dog2813ez39bdyaem4xnptpayysu9 499014 499013 2026-06-05T17:07:12Z Pasquale.Carelli 528 /* Campo gravitazionale */ riscritto interamente 499014 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler 2 a.jpg|thumb|right|350px|L'area infinitesima <math>\mathrm{\Delta}A</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\Delta t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>\Delta S=v\Delta t</math> e altezza <math>r</math>. Le tre aree evidenziate sono eguali.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del [[w:Periodo di rivoluzione|periodo di rivoluzione]] di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo del [[w:Semiasse maggiore|semiasse maggiore]] della sua orbita: :<math>T^2 = K a^3</math> ====Dimostrazione==== [[File:Terza legge di Keplero.svg|left|alt=|miniatura|587x587px|Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in [[w:Unità_astronomica|Unità Astronomiche]]) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da [https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values] ([[w:NASA|NASA]]).]] Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che la velocità areolare <math>C = \frac{L}{2m}</math> è costante. Il periodo di rivoluzione <math>T</math> è il tempo impiegato dal raggio vettore per spazzare l'intera area dell'ellisse. Essendo l'area di un'ellisse pari a <math>S = \pi a b</math> (dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore), il periodo può essere espresso come: :<math>T = \frac{S}{C} = \frac{\pi a b}{\frac{L}{2m}} = \frac{2m\pi a b}{L}</math> Per evitare il calcolo con potenze frazionarie, eleviamo entrambi i membri al quadrato: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2 b^2}{L^2}</math> Dalle dimostrazioni precedenti, recuperiamo le relazioni geometriche che legano i semiassi <math>a</math> e <math>b</math> all'energia totale <math>E</math> (con <math>E < 0</math> per un'orbita chiusa) e al momento angolare <math>L</math>: :<math>a = \frac{k}{2|E|}, \qquad b = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Dalla formula del semiasse minore, possiamo isolare il termine <math>b^2</math>: :<math>b^2 = \frac{L^2}{2m|E|}</math> Sostituendo questa espressione per <math>b^2</math> nell'equazione del periodo quadrato, notiamo una semplificazione immediata del momento angolare <math>L</math>: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2}{L^2} \left( \frac{L^2}{2m|E|} \right) = \frac{2\pi^2 m a^2}{|E|}</math> Infine, esprimiamo l'energia totale in funzione del semiasse maggiore sfruttando la relazione <math>|E| = \frac{k}{2a}</math>. Sostituendo quest'ultima uguaglianza otteniamo: :<math>T^2 = \frac{2\pi^2 m a^2}{\frac{k}{2a}} = \left( \frac{4\pi^2 m}{k} \right) a^3</math> Definendo la costante di proporzionalità kepleriana come <math>K = \frac{4\pi^2 m}{k}</math>, si giunge alla formulazione finale: :<math>T^2 = K a^3</math> La terza legge di Keplero è così dimostrata. Se consideriamo l'espressione esplicita della costante gravitazionale nell'approssimazione in cui la massa del pianeta <math>m</math> sia trascurabile rispetto a quella del Sole <math>M</math>, si ha <math>k = G M m</math>. Sostituendo questo valore, la costante <math>K</math> diventa: :<math>K = \frac{4\pi^2}{G M}</math> Si nota come tale costante dipenda esclusivamente dalla massa del corpo centrale (il Sole) e dalla costante di gravitazione universale, rimanendo identica per tutti i pianeti del sistema solare. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive l'effetto nello spazio generato dalla presenza di una o più masse. Formalmente, è definito come la forza gravitazionale esercitata per unità di massa su un corpo di prova posto in un dato punto dello spazio; dal punto di vista dimensionale, esso coincide con l'[[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. L'introduzione del concetto di campo è particolarmente utile quando si analizzano sistemi in cui sono coinvolti più di due oggetti (si pensi, ad esempio, alla traiettoria di un razzo in viaggio tra la Terra e la Luna). Nel caso elementare di due soli corpi (dove il corpo 1 genera il campo e il corpo 2, di massa <math>m</math>, subisce la forza), indicando con <math>\mathbf{r}</math> il vettore posizione rispetto al centro del corpo generatore, il campo gravitazionale <math>\mathbf{g}(\mathbf{r})</math> si definisce come: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G \frac{M_1}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{r}}</math> Grazie a questa definizione, la forza totale agente sulla massa di prova può essere riscritta semplicemente come: :<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = m \mathbf{g}(\mathbf{r})</math> Questa formulazione evidenzia come il campo dipenda esclusivamente dalle proprietà della massa sorgente <math>M_1</math> e dalla geometria dello spazio. Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], le unità di misura del campo gravitazionale sono quelle di un'accelerazione, ovvero metri al secondo quadrato (<math>\text{m/s}^2</math>). === Proprietà e potenziale gravitazionale === Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza di gravità per spostare una massa da una configurazione a un'altra dipende unicamente dalle posizioni iniziale e finale, ed è del tutto indipendente dal percorso seguito. Come conseguenza della conservatività, è possibile definire una funzione scalare <math>V(\mathbf{r})</math>, detta [[w:Potenziale_gravitazionale|potenziale gravitazionale]], tale che il campo sia esprimibile come l'opposto del suo gradiente: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(\mathbf{r})</math> Se la sorgente è una massa puntiforme o un corpo a simmetria sferica (la cui densità dipende unicamente dalla distanza <math>r</math> dal centro), il campo all'esterno di essa assume una forma radialmente simmetrica. In questo scenario, il potenziale gravitazionale all'esterno della superficie sferica assume l'espressione: :<math>V(r) = - \frac{G M_1}{r}</math> === Applicazione della Legge di Gauss === Sfruttando la simmetria radiale, il calcolo del campo gravitazionale può essere enormemente semplificato applicando il [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|teorema del flusso per il campo gravitazionale]] (equivalente alla legge di Gauss in elettrostatica): :<math>\oint_{A} \mathbf{g}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{int}}</math> dove <math>A</math> rappresenta una superficie chiusa immaginaria (superficie gaussiana) e <math>M_{\text{int}}</math> è la massa totale racchiusa all'interno di tale superficie. Attraverso questo formalismo, è possibile ricavare l'andamento del modulo del campo gravitazionale <math>|\mathbf{g}(r)|</math> per due configurazioni sferiche notevoli di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: * Guscio sferico cavo (sfera vuota): Il campo all'interno della cavità è nullo, poiché la massa interna è zero, mentre all'esterno il guscio si comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel centro (teorema dei gusci sferici). :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} 0, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> * Sfera piena uniforme (densità costante): All'interno della sfera la massa racchiusa cresce con il cubo del raggio (<math>r^3</math>), portando a un campo che cresce linearmente dal centro verso la superficie. All'esterno, l'andamento riprende la classica legge dell'inverso del quadrato. :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> == Lavoro della forza gravitazionale == Calcoliamo il lavoro di una forza gravitazionale: <math>dW=\vec F \cdot d \vec s= -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \vec u d \vec s=-G \frac {m_1 m_2}{r^2} dr = -\Delta E_p</math>. Otteniamo l'espressione dell''''energia potenziale gravitazionale''': :<math>E_p =-G \frac {m_1 m_2}{r}</math> Questa espressione, se noi prendiamo come convenzione che all'infinito <math>E_p=0\ e\ F=0 \,\!</math>, notiamo che avvicinandosi ad una massa che genera un campo gravitazionale il lavoro è positivo e quindi si acquista energia cinetica e di conseguenza velocità. Anche in questo caso isoliamo il contributo di una delle due masse ed otteniamo <math>V=-G \frac {m}{r}</math> e di conseguenza :<math>\vec G= -\vec{\operatorname{grad}}\, V = - \nabla V</math> come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica|Gravitazione]] {{Avanzamento|75%|1 lug 2015‎}} 54dt43aityr9j4c3hv4vug0k831wgye 499015 499014 2026-06-05T17:20:03Z Pasquale.Carelli 528 /* Lavoro della forza gravitazionale */ 499015 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler 2 a.jpg|thumb|right|350px|L'area infinitesima <math>\mathrm{\Delta}A</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\Delta t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>\Delta S=v\Delta t</math> e altezza <math>r</math>. Le tre aree evidenziate sono eguali.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del [[w:Periodo di rivoluzione|periodo di rivoluzione]] di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo del [[w:Semiasse maggiore|semiasse maggiore]] della sua orbita: :<math>T^2 = K a^3</math> ====Dimostrazione==== [[File:Terza legge di Keplero.svg|left|alt=|miniatura|587x587px|Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in [[w:Unità_astronomica|Unità Astronomiche]]) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da [https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values] ([[w:NASA|NASA]]).]] Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che la velocità areolare <math>C = \frac{L}{2m}</math> è costante. Il periodo di rivoluzione <math>T</math> è il tempo impiegato dal raggio vettore per spazzare l'intera area dell'ellisse. Essendo l'area di un'ellisse pari a <math>S = \pi a b</math> (dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore), il periodo può essere espresso come: :<math>T = \frac{S}{C} = \frac{\pi a b}{\frac{L}{2m}} = \frac{2m\pi a b}{L}</math> Per evitare il calcolo con potenze frazionarie, eleviamo entrambi i membri al quadrato: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2 b^2}{L^2}</math> Dalle dimostrazioni precedenti, recuperiamo le relazioni geometriche che legano i semiassi <math>a</math> e <math>b</math> all'energia totale <math>E</math> (con <math>E < 0</math> per un'orbita chiusa) e al momento angolare <math>L</math>: :<math>a = \frac{k}{2|E|}, \qquad b = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Dalla formula del semiasse minore, possiamo isolare il termine <math>b^2</math>: :<math>b^2 = \frac{L^2}{2m|E|}</math> Sostituendo questa espressione per <math>b^2</math> nell'equazione del periodo quadrato, notiamo una semplificazione immediata del momento angolare <math>L</math>: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2}{L^2} \left( \frac{L^2}{2m|E|} \right) = \frac{2\pi^2 m a^2}{|E|}</math> Infine, esprimiamo l'energia totale in funzione del semiasse maggiore sfruttando la relazione <math>|E| = \frac{k}{2a}</math>. Sostituendo quest'ultima uguaglianza otteniamo: :<math>T^2 = \frac{2\pi^2 m a^2}{\frac{k}{2a}} = \left( \frac{4\pi^2 m}{k} \right) a^3</math> Definendo la costante di proporzionalità kepleriana come <math>K = \frac{4\pi^2 m}{k}</math>, si giunge alla formulazione finale: :<math>T^2 = K a^3</math> La terza legge di Keplero è così dimostrata. Se consideriamo l'espressione esplicita della costante gravitazionale nell'approssimazione in cui la massa del pianeta <math>m</math> sia trascurabile rispetto a quella del Sole <math>M</math>, si ha <math>k = G M m</math>. Sostituendo questo valore, la costante <math>K</math> diventa: :<math>K = \frac{4\pi^2}{G M}</math> Si nota come tale costante dipenda esclusivamente dalla massa del corpo centrale (il Sole) e dalla costante di gravitazione universale, rimanendo identica per tutti i pianeti del sistema solare. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive l'effetto nello spazio generato dalla presenza di una o più masse. Formalmente, è definito come la forza gravitazionale esercitata per unità di massa su un corpo di prova posto in un dato punto dello spazio; dal punto di vista dimensionale, esso coincide con l'[[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. L'introduzione del concetto di campo è particolarmente utile quando si analizzano sistemi in cui sono coinvolti più di due oggetti (si pensi, ad esempio, alla traiettoria di un razzo in viaggio tra la Terra e la Luna). Nel caso elementare di due soli corpi (dove il corpo 1 genera il campo e il corpo 2, di massa <math>m</math>, subisce la forza), indicando con <math>\mathbf{r}</math> il vettore posizione rispetto al centro del corpo generatore, il campo gravitazionale <math>\mathbf{g}(\mathbf{r})</math> si definisce come: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G \frac{M_1}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{r}}</math> Grazie a questa definizione, la forza totale agente sulla massa di prova può essere riscritta semplicemente come: :<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = m \mathbf{g}(\mathbf{r})</math> Questa formulazione evidenzia come il campo dipenda esclusivamente dalle proprietà della massa sorgente <math>M_1</math> e dalla geometria dello spazio. Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], le unità di misura del campo gravitazionale sono quelle di un'accelerazione, ovvero metri al secondo quadrato (<math>\text{m/s}^2</math>). === Proprietà e potenziale gravitazionale === Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza di gravità per spostare una massa da una configurazione a un'altra dipende unicamente dalle posizioni iniziale e finale, ed è del tutto indipendente dal percorso seguito. Come conseguenza della conservatività, è possibile definire una funzione scalare <math>V(\mathbf{r})</math>, detta [[w:Potenziale_gravitazionale|potenziale gravitazionale]], tale che il campo sia esprimibile come l'opposto del suo gradiente: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(\mathbf{r})</math> Se la sorgente è una massa puntiforme o un corpo a simmetria sferica (la cui densità dipende unicamente dalla distanza <math>r</math> dal centro), il campo all'esterno di essa assume una forma radialmente simmetrica. In questo scenario, il potenziale gravitazionale all'esterno della superficie sferica assume l'espressione: :<math>V(r) = - \frac{G M_1}{r}</math> === Applicazione della Legge di Gauss === Sfruttando la simmetria radiale, il calcolo del campo gravitazionale può essere enormemente semplificato applicando il [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|teorema del flusso per il campo gravitazionale]] (equivalente alla legge di Gauss in elettrostatica): :<math>\oint_{A} \mathbf{g}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{int}}</math> dove <math>A</math> rappresenta una superficie chiusa immaginaria (superficie gaussiana) e <math>M_{\text{int}}</math> è la massa totale racchiusa all'interno di tale superficie. Attraverso questo formalismo, è possibile ricavare l'andamento del modulo del campo gravitazionale <math>|\mathbf{g}(r)|</math> per due configurazioni sferiche notevoli di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: * Guscio sferico cavo (sfera vuota): Il campo all'interno della cavità è nullo, poiché la massa interna è zero, mentre all'esterno il guscio si comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel centro (teorema dei gusci sferici). :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} 0, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> * Sfera piena uniforme (densità costante): All'interno della sfera la massa racchiusa cresce con il cubo del raggio (<math>r^3</math>), portando a un campo che cresce linearmente dal centro verso la superficie. All'esterno, l'andamento riprende la classica legge dell'inverso del quadrato. :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> == Lavoro della forza gravitazionale ed energia potenziale == Per dimostrare formalmente la conservatività della forza gravitazionale, calcoliamo il lavoro infinitesimo <math>\mathrm{d}W</math> compiuto dalla forza quando una massa di prova <math>m_2</math> subisce uno spostamento infinitesimo <math>\mathrm{d}\mathbf{s}</math> nel campo generato da una massa sorgente <math>m_1</math>: :<math>\mathrm{d}W = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = \left( -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> Poiché il prodotto scalare <math>\mathbf{\hat{r}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> rappresenta esattamente la proiezione dello spostamento lungo la direzione radiale (ovvero la variazione del raggio <math>\mathrm{d}r</math>), l'espressione si semplifica in: :<math>\mathrm{d}W = -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \mathrm{d}r</math> Dalla definizione di campo conservativo, il lavoro infinitesimo è pari all'opposto del differenziale dell'energia potenziale (<math>\mathrm{d}W = -\mathrm{d}E_p</math>). Integrando l'espressione tra una distanza generica <math>r</math> e l'infinito, otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale: :<math>E_p(r) = -G \frac {m_1 m_2}{r}</math> === Significato fisico e convenzioni === Nello studio della gravitazione si adotta la convenzione di porre lo zero dell'energia potenziale a distanza infinita (<math>\lim_{r \to \infty} E_p = 0</math>), punto in cui si annulla anche la forza stessa. Di conseguenza, per qualsiasi distanza finita <math>r</math>, l'energia potenziale assume valori '''negativi'''. Questo andamento ha un preciso significato fisico: * Quando i due corpi si avvicinano (il raggio <math>r</math> diminuisce), la forza gravitazionale compie un lavoro positivo (<math>\mathrm{d}W > 0</math>). * Per il teorema dell'energia cinetica, questo lavoro si traduce in un aumento dell'energia cinetica del sistema (e quindi della velocità dei corpi). * Specularmente, l'energia potenziale <math>E_p</math> diminuisce, diventando "più negativa" e scendendo in quella che viene definita una [[w:Buca_di_potenziale|buca di potenziale]]. === Legame con il potenziale scalare === Esattamente come fatto per la forza e il campo, possiamo isolare il contributo della massa di prova <math>m_2</math> dividendo l'energia potenziale per quest'ultima. Definiamo così il potenziale gravitazionale <math>V(r)</math> generato dalla massa <math>m_1</math>: :<math>V(r) = \frac{E_p}{m_2} = -G \frac {m_1}{r}</math> L'operazione di gradiente applicata a questa funzione scalare ci riconduce alla descrizione vettoriale del campo: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(r)</math> Questa elegante relazione matematica conferma, in perfetta coerenza con i principi della [[w:Meccanica_razionale|meccanica razionale]], che il campo gravitazionale è un campo conservativo interamente descrivibile a partire da una funzione potenziale scalare. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica|Gravitazione]] {{Avanzamento|75%|1 lug 2015‎}} 9vatv9vwpq9vqjn6bni00dw2zwktumr 499016 499015 2026-06-05T17:21:38Z Pasquale.Carelli 528 corretto avanzamento e categoria 499016 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler 2 a.jpg|thumb|right|350px|L'area infinitesima <math>\mathrm{\Delta}A</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\Delta t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>\Delta S=v\Delta t</math> e altezza <math>r</math>. Le tre aree evidenziate sono eguali.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del [[w:Periodo di rivoluzione|periodo di rivoluzione]] di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo del [[w:Semiasse maggiore|semiasse maggiore]] della sua orbita: :<math>T^2 = K a^3</math> ====Dimostrazione==== [[File:Terza legge di Keplero.svg|left|alt=|miniatura|587x587px|Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in [[w:Unità_astronomica|Unità Astronomiche]]) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da [https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values] ([[w:NASA|NASA]]).]] Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che la velocità areolare <math>C = \frac{L}{2m}</math> è costante. Il periodo di rivoluzione <math>T</math> è il tempo impiegato dal raggio vettore per spazzare l'intera area dell'ellisse. Essendo l'area di un'ellisse pari a <math>S = \pi a b</math> (dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore), il periodo può essere espresso come: :<math>T = \frac{S}{C} = \frac{\pi a b}{\frac{L}{2m}} = \frac{2m\pi a b}{L}</math> Per evitare il calcolo con potenze frazionarie, eleviamo entrambi i membri al quadrato: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2 b^2}{L^2}</math> Dalle dimostrazioni precedenti, recuperiamo le relazioni geometriche che legano i semiassi <math>a</math> e <math>b</math> all'energia totale <math>E</math> (con <math>E < 0</math> per un'orbita chiusa) e al momento angolare <math>L</math>: :<math>a = \frac{k}{2|E|}, \qquad b = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Dalla formula del semiasse minore, possiamo isolare il termine <math>b^2</math>: :<math>b^2 = \frac{L^2}{2m|E|}</math> Sostituendo questa espressione per <math>b^2</math> nell'equazione del periodo quadrato, notiamo una semplificazione immediata del momento angolare <math>L</math>: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2}{L^2} \left( \frac{L^2}{2m|E|} \right) = \frac{2\pi^2 m a^2}{|E|}</math> Infine, esprimiamo l'energia totale in funzione del semiasse maggiore sfruttando la relazione <math>|E| = \frac{k}{2a}</math>. Sostituendo quest'ultima uguaglianza otteniamo: :<math>T^2 = \frac{2\pi^2 m a^2}{\frac{k}{2a}} = \left( \frac{4\pi^2 m}{k} \right) a^3</math> Definendo la costante di proporzionalità kepleriana come <math>K = \frac{4\pi^2 m}{k}</math>, si giunge alla formulazione finale: :<math>T^2 = K a^3</math> La terza legge di Keplero è così dimostrata. Se consideriamo l'espressione esplicita della costante gravitazionale nell'approssimazione in cui la massa del pianeta <math>m</math> sia trascurabile rispetto a quella del Sole <math>M</math>, si ha <math>k = G M m</math>. Sostituendo questo valore, la costante <math>K</math> diventa: :<math>K = \frac{4\pi^2}{G M}</math> Si nota come tale costante dipenda esclusivamente dalla massa del corpo centrale (il Sole) e dalla costante di gravitazione universale, rimanendo identica per tutti i pianeti del sistema solare. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive l'effetto nello spazio generato dalla presenza di una o più masse. Formalmente, è definito come la forza gravitazionale esercitata per unità di massa su un corpo di prova posto in un dato punto dello spazio; dal punto di vista dimensionale, esso coincide con l'[[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. L'introduzione del concetto di campo è particolarmente utile quando si analizzano sistemi in cui sono coinvolti più di due oggetti (si pensi, ad esempio, alla traiettoria di un razzo in viaggio tra la Terra e la Luna). Nel caso elementare di due soli corpi (dove il corpo 1 genera il campo e il corpo 2, di massa <math>m</math>, subisce la forza), indicando con <math>\mathbf{r}</math> il vettore posizione rispetto al centro del corpo generatore, il campo gravitazionale <math>\mathbf{g}(\mathbf{r})</math> si definisce come: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G \frac{M_1}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{r}}</math> Grazie a questa definizione, la forza totale agente sulla massa di prova può essere riscritta semplicemente come: :<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = m \mathbf{g}(\mathbf{r})</math> Questa formulazione evidenzia come il campo dipenda esclusivamente dalle proprietà della massa sorgente <math>M_1</math> e dalla geometria dello spazio. Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], le unità di misura del campo gravitazionale sono quelle di un'accelerazione, ovvero metri al secondo quadrato (<math>\text{m/s}^2</math>). === Proprietà e potenziale gravitazionale === Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza di gravità per spostare una massa da una configurazione a un'altra dipende unicamente dalle posizioni iniziale e finale, ed è del tutto indipendente dal percorso seguito. Come conseguenza della conservatività, è possibile definire una funzione scalare <math>V(\mathbf{r})</math>, detta [[w:Potenziale_gravitazionale|potenziale gravitazionale]], tale che il campo sia esprimibile come l'opposto del suo gradiente: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(\mathbf{r})</math> Se la sorgente è una massa puntiforme o un corpo a simmetria sferica (la cui densità dipende unicamente dalla distanza <math>r</math> dal centro), il campo all'esterno di essa assume una forma radialmente simmetrica. In questo scenario, il potenziale gravitazionale all'esterno della superficie sferica assume l'espressione: :<math>V(r) = - \frac{G M_1}{r}</math> === Applicazione della Legge di Gauss === Sfruttando la simmetria radiale, il calcolo del campo gravitazionale può essere enormemente semplificato applicando il [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|teorema del flusso per il campo gravitazionale]] (equivalente alla legge di Gauss in elettrostatica): :<math>\oint_{A} \mathbf{g}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{int}}</math> dove <math>A</math> rappresenta una superficie chiusa immaginaria (superficie gaussiana) e <math>M_{\text{int}}</math> è la massa totale racchiusa all'interno di tale superficie. Attraverso questo formalismo, è possibile ricavare l'andamento del modulo del campo gravitazionale <math>|\mathbf{g}(r)|</math> per due configurazioni sferiche notevoli di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: * Guscio sferico cavo (sfera vuota): Il campo all'interno della cavità è nullo, poiché la massa interna è zero, mentre all'esterno il guscio si comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel centro (teorema dei gusci sferici). :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} 0, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> * Sfera piena uniforme (densità costante): All'interno della sfera la massa racchiusa cresce con il cubo del raggio (<math>r^3</math>), portando a un campo che cresce linearmente dal centro verso la superficie. All'esterno, l'andamento riprende la classica legge dell'inverso del quadrato. :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> == Lavoro della forza gravitazionale ed energia potenziale == Per dimostrare formalmente la conservatività della forza gravitazionale, calcoliamo il lavoro infinitesimo <math>\mathrm{d}W</math> compiuto dalla forza quando una massa di prova <math>m_2</math> subisce uno spostamento infinitesimo <math>\mathrm{d}\mathbf{s}</math> nel campo generato da una massa sorgente <math>m_1</math>: :<math>\mathrm{d}W = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = \left( -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> Poiché il prodotto scalare <math>\mathbf{\hat{r}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> rappresenta esattamente la proiezione dello spostamento lungo la direzione radiale (ovvero la variazione del raggio <math>\mathrm{d}r</math>), l'espressione si semplifica in: :<math>\mathrm{d}W = -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \mathrm{d}r</math> Dalla definizione di campo conservativo, il lavoro infinitesimo è pari all'opposto del differenziale dell'energia potenziale (<math>\mathrm{d}W = -\mathrm{d}E_p</math>). Integrando l'espressione tra una distanza generica <math>r</math> e l'infinito, otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale: :<math>E_p(r) = -G \frac {m_1 m_2}{r}</math> === Significato fisico e convenzioni === Nello studio della gravitazione si adotta la convenzione di porre lo zero dell'energia potenziale a distanza infinita (<math>\lim_{r \to \infty} E_p = 0</math>), punto in cui si annulla anche la forza stessa. Di conseguenza, per qualsiasi distanza finita <math>r</math>, l'energia potenziale assume valori '''negativi'''. Questo andamento ha un preciso significato fisico: * Quando i due corpi si avvicinano (il raggio <math>r</math> diminuisce), la forza gravitazionale compie un lavoro positivo (<math>\mathrm{d}W > 0</math>). * Per il teorema dell'energia cinetica, questo lavoro si traduce in un aumento dell'energia cinetica del sistema (e quindi della velocità dei corpi). * Specularmente, l'energia potenziale <math>E_p</math> diminuisce, diventando "più negativa" e scendendo in quella che viene definita una [[w:Buca_di_potenziale|buca di potenziale]]. === Legame con il potenziale scalare === Esattamente come fatto per la forza e il campo, possiamo isolare il contributo della massa di prova <math>m_2</math> dividendo l'energia potenziale per quest'ultima. Definiamo così il potenziale gravitazionale <math>V(r)</math> generato dalla massa <math>m_1</math>: :<math>V(r) = \frac{E_p}{m_2} = -G \frac {m_1}{r}</math> L'operazione di gradiente applicata a questa funzione scalare ci riconduce alla descrizione vettoriale del campo: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(r)</math> Questa elegante relazione matematica conferma, in perfetta coerenza con i principi della [[w:Meccanica_razionale|meccanica razionale]], che il campo gravitazionale è un campo conservativo interamente descrivibile a partire da una funzione potenziale scalare. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} cnjdsymz0o7ge2py41n2bslc6oein8j 499017 499016 2026-06-05T17:59:11Z Pasquale.Carelli 528 corrette delle imprecisioni 499017 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Classificazione geometrica delle orbite ed energia totale === L'energia meccanica totale <math>E</math> di un corpo di massa <math>m</math> immerso nel campo gravitazionale generato da una massa sorgente <math>M</math> è data dalla somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale: :<math>E = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r}</math> Il segno dell'energia totale determina univocamente se il corpo rimarrà vincolato alla sorgente o se potrà allontanarsi indefinitamente da essa, definendo la natura geometrica della traiettoria (sezione conica): * <math>E < 0</math> (Stati legati): L'energia cinetica del corpo non è sufficiente a vincere l'attrazione gravitazionale e l'energia potenziale prevale. Il corpo non può allontanarsi oltre una distanza massima (<math>r_{\text{max}}</math>, l'afelio). La traiettoria è una curva chiusa e nello specifico corrisponde a un'ellisse (o a una circonferenza nel caso particolare in cui l'eccentricità sia nulla), come cinematicamente descritto dalla prima legge di Keplero. * <math>E = 0</math> (Orbita parabolica): Rappresenta il caso limite di transizione. Il corpo possiede l'energia minima sufficiente per sfuggire all'attrazione del corpo centrale e portarsi a distanza infinita. Raggiunta una distanza infinitamente grande, la sua energia potenziale si annulla e, di conseguenza, si azzera anche la sua energia cinetica (<math>v \to 0</math> per <math>r \to \infty</math>). Imponendo la condizione <math>E=0</math>, si ricava l'espressione per la velocità di fuga (<math>v_{\text{fuga}}</math>), ovvero la velocità minima che un corpo deve possedere per liberarsi dal campo partendo da una distanza <math>r</math>: :<math>\frac{1}{2}m v_{\text{fuga}}^2 - G\frac{Mm}{r} = 0 \implies v_{\text{fuga}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}</math> Geometricamente, la traiettoria aperta associata a questo valore critico è una parabola. * <math>E > 0</math> (Stati liberi): Il corpo possiede un eccesso di energia cinetica rispetto al legame gravitazionale. Non solo è in grado di allontanarsi indefinitamente dalla sorgente, ma una volta giunto a distanza infinita (<math>E_p = 0</math>) manterrà una velocità residua non nulla, detta velocità all'infinito (<math>v_{\infty} = \sqrt{2E/m}</math>). La traiettoria risultante è una curva aperta ed è descritta matematicamente da un'iperbole. Questo è il caso tipico delle sonde interplanetarie in fase di allontanamento dal sistema solare o delle comete non periodiche che transitano una sola volta in prossimità del Sole per poi perdersi nello spazio profondo. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler 2 a.jpg|thumb|right|350px|L'area infinitesima <math>\mathrm{\Delta}A</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\Delta t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>\Delta S=v\Delta t</math> e altezza <math>r</math>. Le tre aree evidenziate sono eguali.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del [[w:Periodo di rivoluzione|periodo di rivoluzione]] di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo del [[w:Semiasse maggiore|semiasse maggiore]] della sua orbita: :<math>T^2 = K a^3</math> ====Dimostrazione==== [[File:Terza legge di Keplero.svg|left|alt=|miniatura|587x587px|Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in [[w:Unità_astronomica|Unità Astronomiche]]) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da [https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values] ([[w:NASA|NASA]]).]] Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che la velocità areolare <math>C = \frac{L}{2m}</math> è costante. Il periodo di rivoluzione <math>T</math> è il tempo impiegato dal raggio vettore per spazzare l'intera area dell'ellisse. Essendo l'area di un'ellisse pari a <math>S = \pi a b</math> (dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore), il periodo può essere espresso come: :<math>T = \frac{S}{C} = \frac{\pi a b}{\frac{L}{2m}} = \frac{2m\pi a b}{L}</math> Per evitare il calcolo con potenze frazionarie, eleviamo entrambi i membri al quadrato: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2 b^2}{L^2}</math> Dalle dimostrazioni precedenti, recuperiamo le relazioni geometriche che legano i semiassi <math>a</math> e <math>b</math> all'energia totale <math>E</math> (con <math>E < 0</math> per un'orbita chiusa) e al momento angolare <math>L</math>: :<math>a = \frac{k}{2|E|}, \qquad b = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Dalla formula del semiasse minore, possiamo isolare il termine <math>b^2</math>: :<math>b^2 = \frac{L^2}{2m|E|}</math> Sostituendo questa espressione per <math>b^2</math> nell'equazione del periodo quadrato, notiamo una semplificazione immediata del momento angolare <math>L</math>: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2}{L^2} \left( \frac{L^2}{2m|E|} \right) = \frac{2\pi^2 m a^2}{|E|}</math> Infine, esprimiamo l'energia totale in funzione del semiasse maggiore sfruttando la relazione <math>|E| = \frac{k}{2a}</math>. Sostituendo quest'ultima uguaglianza otteniamo: :<math>T^2 = \frac{2\pi^2 m a^2}{\frac{k}{2a}} = \left( \frac{4\pi^2 m}{k} \right) a^3</math> Definendo la costante di proporzionalità kepleriana come <math>K = \frac{4\pi^2 m}{k}</math>, si giunge alla formulazione finale: :<math>T^2 = K a^3</math> La terza legge di Keplero è così dimostrata. Se consideriamo l'espressione esplicita della costante gravitazionale nell'approssimazione in cui la massa del pianeta <math>m</math> sia trascurabile rispetto a quella del Sole <math>M</math>, si ha <math>k = G M m</math>. Sostituendo questo valore, la costante <math>K</math> diventa: :<math>K = \frac{4\pi^2}{G M}</math> Si nota come tale costante dipenda esclusivamente dalla massa del corpo centrale (il Sole) e dalla costante di gravitazione universale, rimanendo identica per tutti i pianeti del sistema solare. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive l'effetto nello spazio generato dalla presenza di una o più masse. Formalmente, è definito come la forza gravitazionale esercitata per unità di massa su un corpo di prova posto in un dato punto dello spazio; dal punto di vista dimensionale, esso coincide con l'[[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. L'introduzione del concetto di campo è particolarmente utile quando si analizzano sistemi in cui sono coinvolti più di due oggetti (si pensi, ad esempio, alla traiettoria di un razzo in viaggio tra la Terra e la Luna). Nel caso elementare di due soli corpi (dove il corpo 1 di massa <math>M</math> genera il campo e il corpo 2, di massa <math>m</math>, subisce la forza), indicando con <math>\mathbf{r}</math> il vettore posizione rispetto al centro del corpo generatore, il campo gravitazionale <math>\mathbf{g}(\mathbf{r})</math> si definisce come: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G \frac{M}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{r}}</math> Grazie a questa definizione, la forza totale agente sulla massa di prova può essere riscritta semplicemente come: :<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = m \mathbf{g}(\mathbf{r})</math> Questa formulazione evidenzia come il campo dipenda esclusivamente dalle proprietà della massa sorgente <math>M_1</math> e dalla geometria dello spazio. Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], le unità di misura del campo gravitazionale sono quelle di un'accelerazione, ovvero metri al secondo quadrato (<math>\text{m/s}^2</math>). === Proprietà e potenziale gravitazionale === Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza di gravità per spostare una massa da una configurazione a un'altra dipende unicamente dalle posizioni iniziale e finale, ed è del tutto indipendente dal percorso seguito. Come conseguenza della conservatività, è possibile definire una funzione scalare <math>V(\mathbf{r})</math>, detta [[w:Potenziale_gravitazionale|potenziale gravitazionale]], tale che il campo sia esprimibile come l'opposto del suo gradiente: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(\mathbf{r})</math> Se la sorgente è una massa puntiforme o un corpo a simmetria sferica (la cui densità dipende unicamente dalla distanza <math>r</math> dal centro), il campo all'esterno di essa assume una forma radialmente simmetrica. In questo scenario, il potenziale gravitazionale all'esterno della superficie sferica assume l'espressione: :<math>V(r) = - \frac{G M_1}{r}</math> === Applicazione della Legge di Gauss === Sfruttando la simmetria radiale, il calcolo del campo gravitazionale può essere enormemente semplificato applicando il [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|teorema del flusso per il campo gravitazionale]] (equivalente alla legge di Gauss in elettrostatica): :<math>\oint_{A} \mathbf{g}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{int}}</math> dove <math>A</math> rappresenta una superficie chiusa immaginaria (superficie gaussiana) e <math>M_{\text{int}}</math> è la massa totale racchiusa all'interno di tale superficie. Si deve a [[w:Isaac Newton|Newton]] il [[w:Teorema_del_guscio_sferico|Teorema del guscio sferico]] che consente di semplificare lo studio della gravitazione in presenza di corpi con simmetria sferica. Attraverso questo formalismo, è possibile ricavare l'andamento del modulo del campo gravitazionale <math>|\mathbf{g}(r)|</math> per due configurazioni sferiche notevoli di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: * Guscio sferico cavo (sfera vuota): Il campo all'interno della cavità è nullo, poiché la massa interna è zero, mentre all'esterno il guscio si comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel centro (teorema dei gusci sferici). :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} 0, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> * Sfera piena uniforme (densità costante): All'interno della sfera la massa racchiusa cresce con il cubo del raggio (<math>r^3</math>), portando a un campo che cresce linearmente dal centro verso la superficie. All'esterno, l'andamento riprende la classica legge dell'inverso del quadrato. :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> == Lavoro della forza gravitazionale ed energia potenziale == Per dimostrare formalmente la conservatività della forza gravitazionale, calcoliamo il lavoro infinitesimo <math>\mathrm{d}W</math> compiuto dalla forza quando una massa di prova <math>m</math> subisce uno spostamento infinitesimo <math>\mathrm{d}\mathbf{s}</math> nel campo generato da una massa sorgente <math>M</math>: :<math>\mathrm{d}W = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = \left( -G \frac {M m}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> Poiché il prodotto scalare <math>\mathbf{\hat{r}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> rappresenta esattamente la proiezione dello spostamento lungo la direzione radiale (ovvero la variazione del raggio <math>\mathrm{d}r</math>), l'espressione si semplifica in: :<math>\mathrm{d}W = -G \frac {M m}{r^2} \mathrm{d}r</math> Dalla definizione di campo conservativo, il lavoro infinitesimo è pari all'opposto del differenziale dell'energia potenziale (<math>\mathrm{d}W = -\mathrm{d}E_p</math>). Integrando l'espressione tra una distanza generica <math>r</math> e l'infinito, otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale: :<math>E_p(r) = -G \frac {M m}{r}</math> === Significato fisico e convenzioni === Nello studio della gravitazione si adotta la convenzione di porre lo zero dell'energia potenziale a distanza infinita (<math>\lim_{r \to \infty} E_p = 0</math>), punto in cui si annulla anche la forza stessa. Di conseguenza, per qualsiasi distanza finita <math>r</math>, l'energia potenziale assume valori '''negativi'''. Questo andamento ha un preciso significato fisico: * Quando i due corpi si avvicinano (il raggio <math>r</math> diminuisce), la forza gravitazionale compie un lavoro positivo (<math>\mathrm{d}W > 0</math>). * Per il teorema dell'energia cinetica, questo lavoro si traduce in un aumento dell'energia cinetica del sistema (e quindi della velocità dei corpi). * Specularmente, l'energia potenziale <math>E_p</math> diminuisce, diventando "più negativa" e scendendo in quella che viene definita una [[w:Buca_di_potenziale|buca di potenziale]]. === Legame con il potenziale scalare === Esattamente come fatto per la forza e il campo, possiamo isolare il contributo della massa di prova <math>m_2</math> dividendo l'energia potenziale per quest'ultima. Definiamo così il potenziale gravitazionale <math>V(r)</math> generato dalla massa <math>M</math>: :<math>V(r) = \frac{E_p}{m} = -G \frac {M}{r}</math> L'operazione di gradiente applicata a questa funzione scalare ci riconduce alla descrizione vettoriale del campo: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(r)</math> Questa elegante relazione matematica conferma, in perfetta coerenza con i principi della [[w:Meccanica_razionale|meccanica razionale]], che il campo gravitazionale è un campo conservativo interamente descrivibile a partire da una funzione potenziale scalare. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} gvbfk1bc324tjxsmmftng0ky3bdxwqo 499019 499017 2026-06-05T19:04:15Z Pasquale.Carelli 528 precisata meglio la classificazione delle traiettorie, massa inerziale e massa gravitazionale 499019 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Classificazione geometrica delle orbite ed energia totale === L'energia meccanica totale <math>E</math> di un corpo di massa <math>m</math> immerso nel campo gravitazionale generato da una massa sorgente <math>M</math> è data dalla somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale: :<math>E = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r}</math> Facendo riferimento al grafico del potenziale efficace, i diversi valori dell'energia totale <math>E</math> determinano i punti di inversione del moto e, di conseguenza, la natura geometrica della traiettoria (sezione conica): * <math>E < 0</math> (Stati legati): L'energia cinetica del corpo non è sufficiente a vincere l'attrazione gravitazionale e l'energia potenziale prevale. Il corpo non può allontanarsi oltre una distanza massima (<math>r_{\text{max}}</math>, l'afelio). La traiettoria è una curva chiusa e nello specifico corrisponde a un'ellisse (o a una circonferenza nel caso particolare in cui l'eccentricità sia nulla), come cinematicamente descritto dalla prima legge di Keplero. * <math>E = 0</math> (Orbita parabolica): Rappresenta il caso limite di transizione. Il corpo possiede l'energia minima sufficiente per sfuggire all'attrazione del corpo centrale e portarsi a distanza infinita. Raggiunta una distanza infinitamente grande, la sua energia potenziale si annulla e, di conseguenza, si azzera anche la sua energia cinetica (<math>v \to 0</math> per <math>r \to \infty</math>). Geometricamente, la traiettoria aperta associata a questo valore critico è una [[w:Parabola_(geometria)|parabola]]. Imponendo la condizione <math>E=0</math>, si ricava l'espressione per la velocità di fuga (<math>v_{\text{fuga}}</math>), ovvero la velocità minima che un corpo deve possedere per liberarsi dal campo partendo da una distanza <math>r</math>: :<math>\frac{1}{2}m v_{\text{fuga}}^2 - G\frac{Mm}{r} = 0 \implies v_{\text{fuga}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}</math> * <math>E > 0</math> (Stati liberi): Il corpo possiede un eccesso di energia cinetica rispetto al legame gravitazionale. Non solo è in grado di allontanarsi indefinitamente dalla sorgente, ma una volta giunto a distanza infinita (<math>E_p = 0</math>) manterrà una velocità residua non nulla, detta velocità all'infinito (<math>v_{\infty} = \sqrt{2E/m}</math>). La traiettoria risultante è una curva aperta ed è descritta matematicamente da un'[[w:Iperbole_(geometria)|iperbole]]. Questo è il caso tipico delle sonde interplanetarie in fase di allontanamento dal sistema solare o delle comete non periodiche che transitano una sola volta in prossimità del Sole per poi perdersi nello spazio profondo. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler 2 a.jpg|thumb|right|350px|L'area infinitesima <math>\mathrm{\Delta}A</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\Delta t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>\Delta S=v\Delta t</math> e altezza <math>r</math>. Le tre aree evidenziate sono eguali.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del [[w:Periodo di rivoluzione|periodo di rivoluzione]] di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo del [[w:Semiasse maggiore|semiasse maggiore]] della sua orbita: :<math>T^2 = K a^3</math> ====Dimostrazione==== [[File:Terza legge di Keplero.svg|left|alt=|miniatura|587x587px|Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in [[w:Unità_astronomica|Unità Astronomiche]]) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da [https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values] ([[w:NASA|NASA]]).]] Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che la velocità areolare <math>C = \frac{L}{2m}</math> è costante. Il periodo di rivoluzione <math>T</math> è il tempo impiegato dal raggio vettore per spazzare l'intera area dell'ellisse. Essendo l'area di un'ellisse pari a <math>S = \pi a b</math> (dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore), il periodo può essere espresso come: :<math>T = \frac{S}{C} = \frac{\pi a b}{\frac{L}{2m}} = \frac{2m\pi a b}{L}</math> Per evitare il calcolo con potenze frazionarie, eleviamo entrambi i membri al quadrato: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2 b^2}{L^2}</math> Dalle dimostrazioni precedenti, recuperiamo le relazioni geometriche che legano i semiassi <math>a</math> e <math>b</math> all'energia totale <math>E</math> (con <math>E < 0</math> per un'orbita chiusa) e al momento angolare <math>L</math>: :<math>a = \frac{k}{2|E|}, \qquad b = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Dalla formula del semiasse minore, possiamo isolare il termine <math>b^2</math>: :<math>b^2 = \frac{L^2}{2m|E|}</math> Sostituendo questa espressione per <math>b^2</math> nell'equazione del periodo quadrato, notiamo una semplificazione immediata del momento angolare <math>L</math>: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2}{L^2} \left( \frac{L^2}{2m|E|} \right) = \frac{2\pi^2 m a^2}{|E|}</math> Infine, esprimiamo l'energia totale in funzione del semiasse maggiore sfruttando la relazione <math>|E| = \frac{k}{2a}</math>. Sostituendo quest'ultima uguaglianza otteniamo: :<math>T^2 = \frac{2\pi^2 m a^2}{\frac{k}{2a}} = \left( \frac{4\pi^2 m}{k} \right) a^3</math> Definendo la costante di proporzionalità kepleriana come <math>K = \frac{4\pi^2 m}{k}</math>, si giunge alla formulazione finale: :<math>T^2 = K a^3</math> La terza legge di Keplero è così dimostrata. Se consideriamo l'espressione esplicita della costante gravitazionale nell'approssimazione in cui la massa del pianeta <math>m</math> sia trascurabile rispetto a quella del Sole <math>M</math>, si ha <math>k = G M m</math>. Sostituendo questo valore, la costante <math>K</math> diventa: :<math>K = \frac{4\pi^2}{G M}</math> Si nota come tale costante dipenda esclusivamente dalla massa del corpo centrale (il Sole) e dalla costante di gravitazione universale, rimanendo identica per tutti i pianeti del sistema solare. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive l'effetto nello spazio generato dalla presenza di una o più masse. Formalmente, è definito come la forza gravitazionale esercitata per unità di massa su un corpo di prova posto in un dato punto dello spazio; dal punto di vista dimensionale, esso coincide con l'[[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. L'introduzione del concetto di campo è particolarmente utile quando si analizzano sistemi in cui sono coinvolti più di due oggetti (si pensi, ad esempio, alla traiettoria di un razzo in viaggio tra la Terra e la Luna). Nel caso elementare di due soli corpi (dove il corpo 1 di massa <math>M</math> genera il campo e il corpo 2, di massa <math>m</math>, subisce la forza), indicando con <math>\mathbf{r}</math> il vettore posizione rispetto al centro del corpo generatore, il campo gravitazionale <math>\mathbf{g}(\mathbf{r})</math> si definisce come: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G \frac{M}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{r}}</math> Grazie a questa definizione, la forza totale agente sulla massa di prova può essere riscritta semplicemente come: :<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = m \mathbf{g}(\mathbf{r})</math> La formulazione data evidenzia come il campo dipenda esclusivamente dalle proprietà della massa sorgente <math>M</math> e dalla geometria dello spazio. Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], le unità di misura del campo gravitazionale sono quelle di un'accelerazione, ovvero metri al secondo quadrato (<math>\text{m/s}^2</math>). La <math>m</math> nella legge di Newton è la massa inerziale (la resistenza al moto), mentre la <math>m</math> nella legge di gravitazione è la massa gravitazionale. Il fatto che tutti i corpi cadono con la stessa <math>\mathbf{g}</math> indipendentemente dalla massa significa che: :<math>m_{\text{inerziale}} \equiv m_{\text{gravitazionale}}</math> Questo è il [[w:Principio_di_equivalenza|Principio di Equivalenza Debole]], che storicamente ha aperto la strada ad Einstein per la Relatività Generale. === Proprietà e potenziale gravitazionale === Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza di gravità per spostare una massa da una configurazione a un'altra dipende unicamente dalle posizioni iniziale e finale, ed è del tutto indipendente dal percorso seguito. Come conseguenza della conservatività, è possibile definire una funzione scalare <math>V(\mathbf{r})</math>, detta [[w:Potenziale_gravitazionale|potenziale gravitazionale]], tale che il campo sia esprimibile come l'opposto del suo gradiente: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(\mathbf{r})</math> Se la sorgente è una massa puntiforme o un corpo a simmetria sferica (la cui densità dipende unicamente dalla distanza <math>r</math> dal centro), il campo all'esterno di essa assume una forma radialmente simmetrica. In questo scenario, il potenziale gravitazionale all'esterno della superficie sferica assume l'espressione: :<math>V(r) = - \frac{G M_1}{r}</math> === Applicazione della Legge di Gauss === Sfruttando la simmetria radiale, il calcolo del campo gravitazionale può essere enormemente semplificato applicando il [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|teorema del flusso per il campo gravitazionale]] (equivalente alla legge di Gauss in elettrostatica): :<math>\oint_{A} \mathbf{g}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{int}}</math> dove <math>A</math> rappresenta una superficie chiusa immaginaria (superficie gaussiana) e <math>M_{\text{int}}</math> è la massa totale racchiusa all'interno di tale superficie. Si deve a [[w:Isaac Newton|Newton]] il [[w:Teorema_del_guscio_sferico|Teorema del guscio sferico]] che consente di semplificare lo studio della gravitazione in presenza di corpi con simmetria sferica. Attraverso questo formalismo, è possibile ricavare l'andamento del modulo del campo gravitazionale <math>|\mathbf{g}(r)|</math> per due configurazioni sferiche notevoli di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: * Guscio sferico cavo (sfera vuota): Il campo all'interno della cavità è nullo, poiché la massa interna è zero, mentre all'esterno il guscio si comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel centro (teorema dei gusci sferici). :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} 0, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> * Sfera piena uniforme (densità costante): All'interno della sfera la massa racchiusa cresce con il cubo del raggio (<math>r^3</math>), portando a un campo che cresce linearmente dal centro verso la superficie. All'esterno, l'andamento riprende la classica legge dell'inverso del quadrato. :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> == Lavoro della forza gravitazionale ed energia potenziale == Per dimostrare formalmente la conservatività della forza gravitazionale, calcoliamo il lavoro infinitesimo <math>\mathrm{d}W</math> compiuto dalla forza quando una massa di prova <math>m</math> subisce uno spostamento infinitesimo <math>\mathrm{d}\mathbf{s}</math> nel campo generato da una massa sorgente <math>M</math>: :<math>\mathrm{d}W = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = \left( -G \frac {M m}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> Poiché il prodotto scalare <math>\mathbf{\hat{r}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> rappresenta esattamente la proiezione dello spostamento lungo la direzione radiale (ovvero la variazione del raggio <math>\mathrm{d}r</math>), l'espressione si semplifica in: :<math>\mathrm{d}W = -G \frac {M m}{r^2} \mathrm{d}r</math> Dalla definizione di campo conservativo, il lavoro infinitesimo è pari all'opposto del differenziale dell'energia potenziale (<math>\mathrm{d}W = -\mathrm{d}E_p</math>). Integrando l'espressione tra una distanza generica <math>r</math> e l'infinito, otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale: :<math>E_p(r) = -G \frac {M m}{r}</math> === Significato fisico e convenzioni === Nello studio della gravitazione si adotta la convenzione di porre lo zero dell'energia potenziale a distanza infinita (<math>\lim_{r \to \infty} E_p = 0</math>), punto in cui si annulla anche la forza stessa. Di conseguenza, per qualsiasi distanza finita <math>r</math>, l'energia potenziale assume valori '''negativi'''. Questo andamento ha un preciso significato fisico: * Quando i due corpi si avvicinano (il raggio <math>r</math> diminuisce), la forza gravitazionale compie un lavoro positivo (<math>\mathrm{d}W > 0</math>). * Per il teorema dell'energia cinetica, questo lavoro si traduce in un aumento dell'energia cinetica del sistema (e quindi della velocità dei corpi). * Specularmente, l'energia potenziale <math>E_p</math> diminuisce, diventando "più negativa" e scendendo in quella che viene definita una [[w:Buca_di_potenziale|buca di potenziale]]. === Legame con il potenziale scalare === Esattamente come fatto per la forza e il campo, possiamo isolare il contributo della massa di prova <math>m_2</math> dividendo l'energia potenziale per quest'ultima. Definiamo così il potenziale gravitazionale <math>V(r)</math> generato dalla massa <math>M</math>: :<math>V(r) = \frac{E_p}{m} = -G \frac {M}{r}</math> L'operazione di gradiente applicata a questa funzione scalare ci riconduce alla descrizione vettoriale del campo: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(r)</math> Questa elegante relazione matematica conferma, in perfetta coerenza con i principi della [[w:Meccanica_razionale|meccanica razionale]], che il campo gravitazionale è un campo conservativo interamente descrivibile a partire da una funzione potenziale scalare. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} l1ueftt0tvdhjvv1wmxg1a09t40kckn 0 45646 499002 497481 2026-06-05T12:03:54Z ~2026-33460-85 54460 499002 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Ruffatti * '''Anno:''' 1960 * '''Restauri/modifiche:''' no * '''Registri:''' 15 (10 reali) * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' indipendente * '''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 32 note (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' attualmente si trova smontato nella palestra adiacente la chiesa, in attesa del completamento del restauro della stessa. {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Bordone dal II || 8' |- |Ottava || 4' |- |Decimaquinta || 2' |- |Ripieno 6 file || 1.1/3 |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Principalino || 4' |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Voce celeste || 8' |- |Ripienino 2 file|| 1.1/3 |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba armonica</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbasso || 16' |- |Bordone || 8' |- |Principale|| 8' |- |} |} {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] m3iqaomcgbxj9mlal7sq9zhnto6hv7i 0 51169 499018 498525 2026-06-05T18:09:09Z Generale Lee 22800 499018 wikitext text/x-wiki [[File:Patate alla laurenzanese.jpg|miniatura|Patate alla laurenzanese]] Le '''patate alla laurenzanese''' ("patan alla runzanes") sono un piatto tipico di Laurenzana, provincia di Potenza. Sono dette anche '''patate abbracciate''' ("patan abbrazzat") ==Ingredienti== Per 4 persone: *500 gr. di patate *4 uova intere *200 gr. di formaggio grattugiato (pecorino e/o parmigiano) *300 gr. di salsiccia *50 gr. di rafano (facoltativo) *strutto q.b. *olio evo q.b. *sale e pepe q.b. ==Preparazione== #Sbucciare e tagliare le patate a fette di medio spessore e metterle in ammollo per 30 minuti. #Sbattere le uova amalgamandole con formaggio, salsiccia tagliata finemente, rafano scorticato e grattugiato (facoltativo). #Sciacquare e asciugare le patate. #Inserire il composto tra due fette #Ungere la teglia con strutto o olio e disporre le patate abbracciate. #Cospargere la superficie con altro formaggio grattugiato. #Infornare a 180° per 30-40 minuti fin quando non diventano dorate. ==Consigli== *Le patate possono essere affettate senza separarle del tutto lasciando una coppia attaccata all'estremità, in modo tale che si tengano unite più facilmente. {{libro di cucina}} [[Categoria:Piatti unici|Patate alla laurenzanese]] [[Categoria:Patate|Patate alla laurenzanese]] [[Categoria:Ricette regionali-Basilicata|Patate alla laurenzanese]] lcdd20i6ndu2k6ddxiefbh3z0zfgzj1 100 58871 499003 498997 2026-06-05T12:18:55Z MelyWiki01 54458 /* Partecipanti */ 499003 wikitext text/x-wiki [[File:Roma Tre nuovo logo.png|thumb|300px|destra]] [[File:WDG - Locandina tirocinio Roma Tre 2026.png|thumb|300px]] Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026, [[:m:WikiDonne|WikiDonne]] in collaborazione con l'[[w:Università degli Studi Roma Tre|Università degli Studi Roma Tre]], svolge il tirocinio curriculare online sulla '''[[Storia del femminismo italiano]]''' in Wikibooks e '''[[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|Wikipedia]]'''. {{cassetto |titolo = <span style="color:white">Dettaglio tirocinio</span> |colore = #C75C5C |testo = ===Info=== * '''Titolo'': '''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme wiki per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' Tirocinio esterno con l'attribuzione di 6/8 CFU, per un totale di 150/200 ore indirizzato alle studentesse e studenti delle lauree magistrali in ''Informazione, Editoria e Giornalismo (LM19)'' e ''E-Learning e media education (LM93)'' dell'Università di Roma Tre. * '''Durata''': Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026. * '''Progetti wiki''': Il corso su Wikibooks fa parte del tirocinio curriculare '''[https://drive.google.com/file/d/1SqDD4hIqOxfti2hCJJC30BQ1b28iwp5o/view?usp=drive_link Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!]''', che coinvolge anche altri progetti Wikimedia (Wikipedia, Commons, Wikidata). Il tirocinio si svolgerà in concomittanza su [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|'''Wikipedia''']] e Wikibooks, dove è prevista l'integrazione della voce in Wikipedia con il wikibook contenente le biografie delle esponenti di spicco del feminismo in Italia. ===Scopo=== Scrittura su Wikipedia e altre piattaforme Wikimedia, come strumento di didattica aperta, cultura inclusiva e mezzo per ridurre il divario di genere. * Sviluppare competenze nella ricerca e scrittura collaborativa su piattaforme wiki. * Promuovere la consapevolezza delle questioni di genere e della rappresentazione delle donne nella storia e nella cultura. * Favorire l'uso di strumenti digitali, licenze libere e risorse educative aperte. ===Competenze acquisite=== * Competenze nelle piattaforme wiki: Apprendere come utilizzare e contribuire a piattaforme come Wikipedia, Wikibooks, Commons, Wikidata, e altre piattaforme Wikimedia. * Ricerca e raccolta dati: Diventare abili nella ricerca e nella raccolta di informazioni da fonti affidabili, sviluppando competenze analitiche e critiche. * Scrittura e redazione: Migliorare le abilità di scrittura e redazione, imparando a creare contenuti chiari, concisi e ben strutturati. * Collaborazione e lavoro di squadra: Avere l'opportunità di lavorare in team, migliorando le capacità di comunicazione e collaborazione. * Educazione aperta: Capire i principi dell'educazione aperta e come applicarli nella creazione e condivisione di conoscenza. * Cultura inclusiva: Acquisire una maggiore consapevolezza e sensibilità verso temi di inclusività e rappresentazione di genere. * Gestione del progetto: Imparare a gestire progetti, organizzare attività, e rispettare scadenze. * Competenze digitali: Migliorare le competenze digitali, imparando a utilizzare vari strumenti e tecnologie. ===Programma=== Programma di tirocinio - 200 ore. Orario: dal lunedì alla domenica, ore 9:00-20:30, impegno: 10 ore/settimanali. '''Struttura del tirocinio''': '''1. Introduzione (10 ore)'''. Settimana 12-18 gennaio 2026 (Camelia). * Orientamento e presentazione dei progetti collaborativi Wikimedia e di WikiDonne (1 ora). * Sessioni introduttive su questioni di genere e rappresentazione nei progetti Wikimedia (1 ora). * Comprendere e utilizzare le licenze aperte (3 ore). * Formazione sul funzionamento di Wikipedia, Wikibooks, Commons e Wikidata (5 ore). '''2. Ricerca e raccolta dati (20 ore)'''. Settimana 19-25 gennaio e 26 gennaio-1 febbraio 2026 (Loretta). * Identificazione di temi e biografie di donne rilevanti (3 ore). * Raccolta di fonti e materiale bibliografico (4 ore). * Collaborazione con tutor e supervisori per la valutazione delle fonti (3 ore). * PArtecipazione all'edit-a-thon [[w:it:Progetto:WikiDonne/Donna, vita, libertà|Donne, vita, libertà]] (traduzione e pubblicazione voce scelta) '''3. Scrittura e revisione (100 ore)''' * Applicazione delle linee guida di scrittura collaborativa: struttura voce, formattazione, template ecc. (10 ore). * Redazione di voci biografiche su Wikipedia e Wikibooks (70 ore). * Revisione e miglioramento delle voci create, con feedback dei supervisori (20 ore). '''4. Progetti speciali (40 ore)''' * Partecipazione a campagne e contest correlati (Wiki Loves Folklore, Donne in STEM, BBC 100 Women, Art + Feminism, Donne e cambiamento climatico ecc.) e alle pagine di discussione comunitarie (5 ore) * Creazione di contenuti multimediali (foto, video, ecc.) per arricchire le voci (15 ore). * Creazione di materiale di comunicazione (newsletter, articoli sul blog, post sui social media ecc.) per fare conoscere il lavoro fatto (15 ore). * Collaborazione con altri affiliati Wikimedia (progetti multilingue) (5 ore). '''5. Formazione e workshop (20 ore)''' * Partecipazione a workshop su tool Wikimedia, strumenti digitali e metodologie educative aperte (10 ore). * Incontri con ospiti su temi specifici di interesse (es. diritti delle donne, educazione inclusiva) (10 ore). '''6. Valutazione e conclusione (10 ore)''' * Presentazione del lavoro svolto e discussione dei risultati raggiunti (4 ore). * Valutazione del tirocinio da parte dei supervisori e dei partecipanti (3 ore). * Riflessione finale e suggerimenti per progetti futuri (3 ore). }} ==Docenti e tutor== * [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] * [[Utente:LorManLor|LorManLor]] ==Partecipanti== Le studentesse sono pregate di [[Aiuto:Come registrarsi|registrare individualmente un account]] e di aggiungere la propria firma usando '''solo''' la wikisintassi prevista ([[Aiuto:Firma]]) qui sotto. # [[Utente:Ma2nuela2|Ma2nuela2]] ([[Discussioni utente:Ma2nuela2|disc.]]) 19:23, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Ma2nuela2/sandbox|sandbox]] # [[Utente:Carmenn23|Carmenn23]] ([[Discussioni utente:Carmenn23|disc.]]) 19:26, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Carmenn23/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Tisha2405|Tisha2405]] ([[Discussioni utente:Tisha2405|disc.]]) 19:30, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Tisha2405/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Wikmatteo|Wikmatteo]] ([[Discussioni utente:Wikmatteo|disc.]]) 19:31, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Wikmatteo/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Alice2103|Alice2103]] ([[Discussioni utente:Alice2103|disc.]]) 19:00, 12 feb 2026 (CET) - [[Utente:Alice2103/Sandbox|sandbox]] ; secondo gruppo [[Utente:Melywiki01|Melywiki01]] ([[Discussioni utente:Melywiki01|disc.]]) 14:18, 05 giu 2026 (CET) - [[Utente:Melywiki01/Sandbox|sandbox]] * Giovanna * Rebecca ==Wikibook da scrivere== * [[Storia del femminismo italiano]] vol.2 * {{Vedi anche|Progetto:WikiDonne/Tirocinio Roma Tre 2026/Struttura wikibook}} === Divisione del lavoro === * ... ===Esempio template testo tratto da Wikipedia=== <code><nowiki>{{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}}</nowiki></code> {{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}} ==Dashboard== [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/UNIROMA3/WDG_-_Tirocinio_curriculare_2026 Metriche], tool Dashboard. ==Risorse== * [[:w:Progetto:WikiDonne/Aiuto]] (pagina di aiuto WikiDonne) * [[:File:Registrarsi, creare la pagina utente WD 2022.pdf|Registrarsi, creare la pagina utente]] * [[:File:WDG - WikiDonne. Tradurre voci con Content Translator.pdf|Tradurre voci con Content Translator]] * [[Aiuto:Come registrarsi]] (come registrare un account) * [[Aiuto:Firma]] (come, dove e quando firmare) * [[:w:Wikipedia:Copyright]] (approfondimenti sul Copyright e sul Diritto d'autore) * [[Aiuto:Wikificare]] e [[Aiuto:Manuale di stile]] (linee guida formatazione wiki e manuale di stile) * [[:w:Wikipedia:VisualEditor/Manuale]] (l'uso di Visual Editor) * [[Wikipedia:Uso delle fonti]] (come utilizzare le fonti) * [[:w:Aiuto:Copyright immagini/Percorso guidato/6]] (percorso guidato su come utilizzare l'immagine da Wikipedia in altra lingua) * [[:w:Aiuto:Carica un file]] (percorso guidato sul caricamento di un file) ==Bibliografia== * {{Cita libro|autore=Elisa Bellè|titolo=L'altra rivoluzione. Dal Sessantotto al femminismo|anno=2021|editore=Rosenberg & Sellier|città=Torino|ISBN=9788878859234}} * {{Cita libro|curatore=Teresa Bertilotti|curatore2=Anna Scattigno|titolo=Il femminismo degli anni Settanta|anno=2005|editore=Viella|città=Roma|ISBN=978-88-8334-172-4}} * {{Cita libro|curatore=Paola Bono, Sandra Kemp|titolo=Italian Feminist Thought. A Reader|anno=1991|editore=Basil Blackwell|città=Oxford|lingua=en|ISBN=0-631-17115-0}} * {{Cita libro|autore=Maud Anne Bracke|traduttore=Enrica Capussotti|titolo=La nuova politica delle donne: il femminismo in Italia : 1968-1989|anno=2019|editore=Edizioni di storia e letteratura|città=Roma|ISBN=978-88-93592-02-4}} * {{Cita libro|autore=Anna Rita Calabrò, Laura Grasso|titolo=Dal movimento femminista al femminismo diffuso: storie e percorsi a Milano dagli anni '60 agli anni '80|anno=1985|editore=Franco Angeli|città=Milano}} * {{Cita libro|autore=Fiamma Lussana|titolo=Il movimento femminista in Italia. Esperienze, storie, memorie (1965–1980)|anno=2012|editore=Carocci|città=Roma|ISBN=978-88-430-6512-7}} * {{Cita pubblicazione|anno=1987|titolo=Il movimento femminista negli anni settanta|rivista=Memoria|numero=19-20|url=https://bibliotecadelledonne.women.it/fascicolo/memoria-rivista-di-storia-delle-donne-n-19-20-1987/}} * {{Cita libro|curatore=Aida Ribero|curatore2=Ferdinanda Vigliani|titolo=100 titoli: guida ragionata al femminismo degli anni Settanta|anno=1998|editore=Tufani|città=Ferrara|ISBN=978-88-86780-20-9}} * {{Cita libro|curatore=Rosalba Spagnoletti|titolo=I Movimenti femministi in Italia|anno=1977|editore=Savelli|città=Roma}} * {{Cita libro|curatore=Paola Stelliferi|curatore2=Stefania Voli|titolo=Anni di rivolta: nuovi sguardi sui femminismi degli anni Settanta e Ottanta|anno=2023|editore=Viella|città=Roma|ISBN=9791254692349}} ==Ospiti (video YouTube)== * ... ==Riconoscimenti== [[File:WDG - Premiazione OEGlobal 2025.png|miniatura|destra|300px|Premiazione OE Global 2025]] * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" vince l'Open Education Award 2025 nella categoria ''How We Share: Open practices'' (Diversità, Equità e Inclusione)<ref>[https://awards.oeglobal.org/awards/2025/open-practices/wikidonne/ WikiDonne - a Wikimedia User Group. Wikidonne (Italy)] Recognized for Diversity, Equity, and Inclusion, ''awards.oeglobal.org''</ref> ==Altri progetti== * [[n:''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025|''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025]] su WikiNews ==Note== <references/> ==Collegamenti esterni== * [http://digiteca.bsmc.it/# Digiteca], Biblioteca di storia moderna e contemporanea, Roma * [https://www.casainternazionaledelledonne.org/associazioni/archivia/ Archivia], Casa Internazionale delle Donne, Roma * [https://www.viella.it/riviste/testata/6 Genesis], rivista della Società Italiana delle Storiche ** [https://www.viella.it/rivista/9791254698952 Genesis. XXIII / 1, 2024. Sguardi femministi sulla storiografia], Genesis, 2024 ** [https://www.viella.it/rivista/9791254693193 Genesis. XXI / 2, 2022. Disuguaglianze. Il valore delle donne], Genesis, 2022 * [https://cloud.sbn.it/opac2/IEI/02/ricercaSemplice Polo IEI], Biblioteca di storia moderna e contemporanea * [https://acnpsearch.unibo.it/# ACNP], Catalogo italiano dei periodici, UNIBO * [https://opac.sbn.it/home OPAC SBN], Catalogo collettivo delle biblioteche del Servizio Bibliotecario Nazionale * [https://manus.iccu.sbn.it/web/manus Manus Online (MOL)], database ICCU * [https://www.novecento.org/notiziario/risorse-tematiche-per-la-didattica-anche-a-distanza-6417/#genere Soria di genere], Novecento [[Categoria:WikiDonne]] cy78e5qk72gta62zjuy0osgjsruh2as 499004 499003 2026-06-05T12:21:35Z MelyWiki01 54458 /* Partecipanti */ 499004 wikitext text/x-wiki [[File:Roma Tre nuovo logo.png|thumb|300px|destra]] [[File:WDG - Locandina tirocinio Roma Tre 2026.png|thumb|300px]] Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026, [[:m:WikiDonne|WikiDonne]] in collaborazione con l'[[w:Università degli Studi Roma Tre|Università degli Studi Roma Tre]], svolge il tirocinio curriculare online sulla '''[[Storia del femminismo italiano]]''' in Wikibooks e '''[[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|Wikipedia]]'''. {{cassetto |titolo = <span style="color:white">Dettaglio tirocinio</span> |colore = #C75C5C |testo = ===Info=== * '''Titolo'': '''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme wiki per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' Tirocinio esterno con l'attribuzione di 6/8 CFU, per un totale di 150/200 ore indirizzato alle studentesse e studenti delle lauree magistrali in ''Informazione, Editoria e Giornalismo (LM19)'' e ''E-Learning e media education (LM93)'' dell'Università di Roma Tre. * '''Durata''': Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026. * '''Progetti wiki''': Il corso su Wikibooks fa parte del tirocinio curriculare '''[https://drive.google.com/file/d/1SqDD4hIqOxfti2hCJJC30BQ1b28iwp5o/view?usp=drive_link Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!]''', che coinvolge anche altri progetti Wikimedia (Wikipedia, Commons, Wikidata). Il tirocinio si svolgerà in concomittanza su [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|'''Wikipedia''']] e Wikibooks, dove è prevista l'integrazione della voce in Wikipedia con il wikibook contenente le biografie delle esponenti di spicco del feminismo in Italia. ===Scopo=== Scrittura su Wikipedia e altre piattaforme Wikimedia, come strumento di didattica aperta, cultura inclusiva e mezzo per ridurre il divario di genere. * Sviluppare competenze nella ricerca e scrittura collaborativa su piattaforme wiki. * Promuovere la consapevolezza delle questioni di genere e della rappresentazione delle donne nella storia e nella cultura. * Favorire l'uso di strumenti digitali, licenze libere e risorse educative aperte. ===Competenze acquisite=== * Competenze nelle piattaforme wiki: Apprendere come utilizzare e contribuire a piattaforme come Wikipedia, Wikibooks, Commons, Wikidata, e altre piattaforme Wikimedia. * Ricerca e raccolta dati: Diventare abili nella ricerca e nella raccolta di informazioni da fonti affidabili, sviluppando competenze analitiche e critiche. * Scrittura e redazione: Migliorare le abilità di scrittura e redazione, imparando a creare contenuti chiari, concisi e ben strutturati. * Collaborazione e lavoro di squadra: Avere l'opportunità di lavorare in team, migliorando le capacità di comunicazione e collaborazione. * Educazione aperta: Capire i principi dell'educazione aperta e come applicarli nella creazione e condivisione di conoscenza. * Cultura inclusiva: Acquisire una maggiore consapevolezza e sensibilità verso temi di inclusività e rappresentazione di genere. * Gestione del progetto: Imparare a gestire progetti, organizzare attività, e rispettare scadenze. * Competenze digitali: Migliorare le competenze digitali, imparando a utilizzare vari strumenti e tecnologie. ===Programma=== Programma di tirocinio - 200 ore. Orario: dal lunedì alla domenica, ore 9:00-20:30, impegno: 10 ore/settimanali. '''Struttura del tirocinio''': '''1. Introduzione (10 ore)'''. Settimana 12-18 gennaio 2026 (Camelia). * Orientamento e presentazione dei progetti collaborativi Wikimedia e di WikiDonne (1 ora). * Sessioni introduttive su questioni di genere e rappresentazione nei progetti Wikimedia (1 ora). * Comprendere e utilizzare le licenze aperte (3 ore). * Formazione sul funzionamento di Wikipedia, Wikibooks, Commons e Wikidata (5 ore). '''2. Ricerca e raccolta dati (20 ore)'''. Settimana 19-25 gennaio e 26 gennaio-1 febbraio 2026 (Loretta). * Identificazione di temi e biografie di donne rilevanti (3 ore). * Raccolta di fonti e materiale bibliografico (4 ore). * Collaborazione con tutor e supervisori per la valutazione delle fonti (3 ore). * PArtecipazione all'edit-a-thon [[w:it:Progetto:WikiDonne/Donna, vita, libertà|Donne, vita, libertà]] (traduzione e pubblicazione voce scelta) '''3. Scrittura e revisione (100 ore)''' * Applicazione delle linee guida di scrittura collaborativa: struttura voce, formattazione, template ecc. (10 ore). * Redazione di voci biografiche su Wikipedia e Wikibooks (70 ore). * Revisione e miglioramento delle voci create, con feedback dei supervisori (20 ore). '''4. Progetti speciali (40 ore)''' * Partecipazione a campagne e contest correlati (Wiki Loves Folklore, Donne in STEM, BBC 100 Women, Art + Feminism, Donne e cambiamento climatico ecc.) e alle pagine di discussione comunitarie (5 ore) * Creazione di contenuti multimediali (foto, video, ecc.) per arricchire le voci (15 ore). * Creazione di materiale di comunicazione (newsletter, articoli sul blog, post sui social media ecc.) per fare conoscere il lavoro fatto (15 ore). * Collaborazione con altri affiliati Wikimedia (progetti multilingue) (5 ore). '''5. Formazione e workshop (20 ore)''' * Partecipazione a workshop su tool Wikimedia, strumenti digitali e metodologie educative aperte (10 ore). * Incontri con ospiti su temi specifici di interesse (es. diritti delle donne, educazione inclusiva) (10 ore). '''6. Valutazione e conclusione (10 ore)''' * Presentazione del lavoro svolto e discussione dei risultati raggiunti (4 ore). * Valutazione del tirocinio da parte dei supervisori e dei partecipanti (3 ore). * Riflessione finale e suggerimenti per progetti futuri (3 ore). }} ==Docenti e tutor== * [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] * [[Utente:LorManLor|LorManLor]] ==Partecipanti== Le studentesse sono pregate di [[Aiuto:Come registrarsi|registrare individualmente un account]] e di aggiungere la propria firma usando '''solo''' la wikisintassi prevista ([[Aiuto:Firma]]) qui sotto. # [[Utente:Ma2nuela2|Ma2nuela2]] ([[Discussioni utente:Ma2nuela2|disc.]]) 19:23, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Ma2nuela2/sandbox|sandbox]] # [[Utente:Carmenn23|Carmenn23]] ([[Discussioni utente:Carmenn23|disc.]]) 19:26, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Carmenn23/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Tisha2405|Tisha2405]] ([[Discussioni utente:Tisha2405|disc.]]) 19:30, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Tisha2405/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Wikmatteo|Wikmatteo]] ([[Discussioni utente:Wikmatteo|disc.]]) 19:31, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Wikmatteo/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Alice2103|Alice2103]] ([[Discussioni utente:Alice2103|disc.]]) 19:00, 12 feb 2026 (CET) - [[Utente:Alice2103/Sandbox|sandbox]] ; secondo gruppo [[Utente:Melywiki01|Melywiki01]] ([[Discussioni utente:Melywiki01|disc.]]) 14:18, 05 giu 2026 (CET) - [[Utente:Melywiki01/Sandbox|sandbox]] * Giovanna * Rebecca ==Wikibook da scrivere== * [[Storia del femminismo italiano]] vol.2 * {{Vedi anche|Progetto:WikiDonne/Tirocinio Roma Tre 2026/Struttura wikibook}} === Divisione del lavoro === * ... ===Esempio template testo tratto da Wikipedia=== <code><nowiki>{{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}}</nowiki></code> {{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}} ==Dashboard== [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/UNIROMA3/WDG_-_Tirocinio_curriculare_2026 Metriche], tool Dashboard. ==Risorse== * [[:w:Progetto:WikiDonne/Aiuto]] (pagina di aiuto WikiDonne) * [[:File:Registrarsi, creare la pagina utente WD 2022.pdf|Registrarsi, creare la pagina utente]] * [[:File:WDG - WikiDonne. Tradurre voci con Content Translator.pdf|Tradurre voci con Content Translator]] * [[Aiuto:Come registrarsi]] (come registrare un account) * [[Aiuto:Firma]] (come, dove e quando firmare) * [[:w:Wikipedia:Copyright]] (approfondimenti sul Copyright e sul Diritto d'autore) * [[Aiuto:Wikificare]] e [[Aiuto:Manuale di stile]] (linee guida formatazione wiki e manuale di stile) * [[:w:Wikipedia:VisualEditor/Manuale]] (l'uso di Visual Editor) * [[Wikipedia:Uso delle fonti]] (come utilizzare le fonti) * [[:w:Aiuto:Copyright immagini/Percorso guidato/6]] (percorso guidato su come utilizzare l'immagine da Wikipedia in altra lingua) * [[:w:Aiuto:Carica un file]] (percorso guidato sul caricamento di un file) ==Bibliografia== * {{Cita libro|autore=Elisa Bellè|titolo=L'altra rivoluzione. Dal Sessantotto al femminismo|anno=2021|editore=Rosenberg & Sellier|città=Torino|ISBN=9788878859234}} * {{Cita libro|curatore=Teresa Bertilotti|curatore2=Anna Scattigno|titolo=Il femminismo degli anni Settanta|anno=2005|editore=Viella|città=Roma|ISBN=978-88-8334-172-4}} * {{Cita libro|curatore=Paola Bono, Sandra Kemp|titolo=Italian Feminist Thought. A Reader|anno=1991|editore=Basil Blackwell|città=Oxford|lingua=en|ISBN=0-631-17115-0}} * {{Cita libro|autore=Maud Anne Bracke|traduttore=Enrica Capussotti|titolo=La nuova politica delle donne: il femminismo in Italia : 1968-1989|anno=2019|editore=Edizioni di storia e letteratura|città=Roma|ISBN=978-88-93592-02-4}} * {{Cita libro|autore=Anna Rita Calabrò, Laura Grasso|titolo=Dal movimento femminista al femminismo diffuso: storie e percorsi a Milano dagli anni '60 agli anni '80|anno=1985|editore=Franco Angeli|città=Milano}} * {{Cita libro|autore=Fiamma Lussana|titolo=Il movimento femminista in Italia. Esperienze, storie, memorie (1965–1980)|anno=2012|editore=Carocci|città=Roma|ISBN=978-88-430-6512-7}} * {{Cita pubblicazione|anno=1987|titolo=Il movimento femminista negli anni settanta|rivista=Memoria|numero=19-20|url=https://bibliotecadelledonne.women.it/fascicolo/memoria-rivista-di-storia-delle-donne-n-19-20-1987/}} * {{Cita libro|curatore=Aida Ribero|curatore2=Ferdinanda Vigliani|titolo=100 titoli: guida ragionata al femminismo degli anni Settanta|anno=1998|editore=Tufani|città=Ferrara|ISBN=978-88-86780-20-9}} * {{Cita libro|curatore=Rosalba Spagnoletti|titolo=I Movimenti femministi in Italia|anno=1977|editore=Savelli|città=Roma}} * {{Cita libro|curatore=Paola Stelliferi|curatore2=Stefania Voli|titolo=Anni di rivolta: nuovi sguardi sui femminismi degli anni Settanta e Ottanta|anno=2023|editore=Viella|città=Roma|ISBN=9791254692349}} ==Ospiti (video YouTube)== * ... ==Riconoscimenti== [[File:WDG - Premiazione OEGlobal 2025.png|miniatura|destra|300px|Premiazione OE Global 2025]] * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" vince l'Open Education Award 2025 nella categoria ''How We Share: Open practices'' (Diversità, Equità e Inclusione)<ref>[https://awards.oeglobal.org/awards/2025/open-practices/wikidonne/ WikiDonne - a Wikimedia User Group. Wikidonne (Italy)] Recognized for Diversity, Equity, and Inclusion, ''awards.oeglobal.org''</ref> ==Altri progetti== * [[n:''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025|''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025]] su WikiNews ==Note== <references/> ==Collegamenti esterni== * [http://digiteca.bsmc.it/# Digiteca], Biblioteca di storia moderna e contemporanea, Roma * [https://www.casainternazionaledelledonne.org/associazioni/archivia/ Archivia], Casa Internazionale delle Donne, Roma * [https://www.viella.it/riviste/testata/6 Genesis], rivista della Società Italiana delle Storiche ** [https://www.viella.it/rivista/9791254698952 Genesis. XXIII / 1, 2024. Sguardi femministi sulla storiografia], Genesis, 2024 ** [https://www.viella.it/rivista/9791254693193 Genesis. XXI / 2, 2022. Disuguaglianze. Il valore delle donne], Genesis, 2022 * [https://cloud.sbn.it/opac2/IEI/02/ricercaSemplice Polo IEI], Biblioteca di storia moderna e contemporanea * [https://acnpsearch.unibo.it/# ACNP], Catalogo italiano dei periodici, UNIBO * [https://opac.sbn.it/home OPAC SBN], Catalogo collettivo delle biblioteche del Servizio Bibliotecario Nazionale * [https://manus.iccu.sbn.it/web/manus Manus Online (MOL)], database ICCU * [https://www.novecento.org/notiziario/risorse-tematiche-per-la-didattica-anche-a-distanza-6417/#genere Soria di genere], Novecento [[Categoria:WikiDonne]] aaatkwyyicelac1zb2xi5bs4ol874ax 499005 499004 2026-06-05T12:32:37Z WikiOhana 54459 /* Partecipanti */ 499005 wikitext text/x-wiki [[File:Roma Tre nuovo logo.png|thumb|300px|destra]] [[File:WDG - Locandina tirocinio Roma Tre 2026.png|thumb|300px]] Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026, [[:m:WikiDonne|WikiDonne]] in collaborazione con l'[[w:Università degli Studi Roma Tre|Università degli Studi Roma Tre]], svolge il tirocinio curriculare online sulla '''[[Storia del femminismo italiano]]''' in Wikibooks e '''[[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|Wikipedia]]'''. {{cassetto |titolo = <span style="color:white">Dettaglio tirocinio</span> |colore = #C75C5C |testo = ===Info=== * '''Titolo'': '''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme wiki per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' Tirocinio esterno con l'attribuzione di 6/8 CFU, per un totale di 150/200 ore indirizzato alle studentesse e studenti delle lauree magistrali in ''Informazione, Editoria e Giornalismo (LM19)'' e ''E-Learning e media education (LM93)'' dell'Università di Roma Tre. * '''Durata''': Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026. * '''Progetti wiki''': Il corso su Wikibooks fa parte del tirocinio curriculare '''[https://drive.google.com/file/d/1SqDD4hIqOxfti2hCJJC30BQ1b28iwp5o/view?usp=drive_link Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!]''', che coinvolge anche altri progetti Wikimedia (Wikipedia, Commons, Wikidata). Il tirocinio si svolgerà in concomittanza su [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|'''Wikipedia''']] e Wikibooks, dove è prevista l'integrazione della voce in Wikipedia con il wikibook contenente le biografie delle esponenti di spicco del feminismo in Italia. ===Scopo=== Scrittura su Wikipedia e altre piattaforme Wikimedia, come strumento di didattica aperta, cultura inclusiva e mezzo per ridurre il divario di genere. * Sviluppare competenze nella ricerca e scrittura collaborativa su piattaforme wiki. * Promuovere la consapevolezza delle questioni di genere e della rappresentazione delle donne nella storia e nella cultura. * Favorire l'uso di strumenti digitali, licenze libere e risorse educative aperte. ===Competenze acquisite=== * Competenze nelle piattaforme wiki: Apprendere come utilizzare e contribuire a piattaforme come Wikipedia, Wikibooks, Commons, Wikidata, e altre piattaforme Wikimedia. * Ricerca e raccolta dati: Diventare abili nella ricerca e nella raccolta di informazioni da fonti affidabili, sviluppando competenze analitiche e critiche. * Scrittura e redazione: Migliorare le abilità di scrittura e redazione, imparando a creare contenuti chiari, concisi e ben strutturati. * Collaborazione e lavoro di squadra: Avere l'opportunità di lavorare in team, migliorando le capacità di comunicazione e collaborazione. * Educazione aperta: Capire i principi dell'educazione aperta e come applicarli nella creazione e condivisione di conoscenza. * Cultura inclusiva: Acquisire una maggiore consapevolezza e sensibilità verso temi di inclusività e rappresentazione di genere. * Gestione del progetto: Imparare a gestire progetti, organizzare attività, e rispettare scadenze. * Competenze digitali: Migliorare le competenze digitali, imparando a utilizzare vari strumenti e tecnologie. ===Programma=== Programma di tirocinio - 200 ore. Orario: dal lunedì alla domenica, ore 9:00-20:30, impegno: 10 ore/settimanali. '''Struttura del tirocinio''': '''1. Introduzione (10 ore)'''. Settimana 12-18 gennaio 2026 (Camelia). * Orientamento e presentazione dei progetti collaborativi Wikimedia e di WikiDonne (1 ora). * Sessioni introduttive su questioni di genere e rappresentazione nei progetti Wikimedia (1 ora). * Comprendere e utilizzare le licenze aperte (3 ore). * Formazione sul funzionamento di Wikipedia, Wikibooks, Commons e Wikidata (5 ore). '''2. Ricerca e raccolta dati (20 ore)'''. Settimana 19-25 gennaio e 26 gennaio-1 febbraio 2026 (Loretta). * Identificazione di temi e biografie di donne rilevanti (3 ore). * Raccolta di fonti e materiale bibliografico (4 ore). * Collaborazione con tutor e supervisori per la valutazione delle fonti (3 ore). * PArtecipazione all'edit-a-thon [[w:it:Progetto:WikiDonne/Donna, vita, libertà|Donne, vita, libertà]] (traduzione e pubblicazione voce scelta) '''3. Scrittura e revisione (100 ore)''' * Applicazione delle linee guida di scrittura collaborativa: struttura voce, formattazione, template ecc. (10 ore). * Redazione di voci biografiche su Wikipedia e Wikibooks (70 ore). * Revisione e miglioramento delle voci create, con feedback dei supervisori (20 ore). '''4. Progetti speciali (40 ore)''' * Partecipazione a campagne e contest correlati (Wiki Loves Folklore, Donne in STEM, BBC 100 Women, Art + Feminism, Donne e cambiamento climatico ecc.) e alle pagine di discussione comunitarie (5 ore) * Creazione di contenuti multimediali (foto, video, ecc.) per arricchire le voci (15 ore). * Creazione di materiale di comunicazione (newsletter, articoli sul blog, post sui social media ecc.) per fare conoscere il lavoro fatto (15 ore). * Collaborazione con altri affiliati Wikimedia (progetti multilingue) (5 ore). '''5. Formazione e workshop (20 ore)''' * Partecipazione a workshop su tool Wikimedia, strumenti digitali e metodologie educative aperte (10 ore). * Incontri con ospiti su temi specifici di interesse (es. diritti delle donne, educazione inclusiva) (10 ore). '''6. Valutazione e conclusione (10 ore)''' * Presentazione del lavoro svolto e discussione dei risultati raggiunti (4 ore). * Valutazione del tirocinio da parte dei supervisori e dei partecipanti (3 ore). * Riflessione finale e suggerimenti per progetti futuri (3 ore). }} ==Docenti e tutor== * [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] * [[Utente:LorManLor|LorManLor]] ==Partecipanti== Le studentesse sono pregate di [[Aiuto:Come registrarsi|registrare individualmente un account]] e di aggiungere la propria firma usando '''solo''' la wikisintassi prevista ([[Aiuto:Firma]]) qui sotto. # [[Utente:Ma2nuela2|Ma2nuela2]] ([[Discussioni utente:Ma2nuela2|disc.]]) 19:23, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Ma2nuela2/sandbox|sandbox]] # [[Utente:Carmenn23|Carmenn23]] ([[Discussioni utente:Carmenn23|disc.]]) 19:26, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Carmenn23/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Tisha2405|Tisha2405]] ([[Discussioni utente:Tisha2405|disc.]]) 19:30, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Tisha2405/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Wikmatteo|Wikmatteo]] ([[Discussioni utente:Wikmatteo|disc.]]) 19:31, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Wikmatteo/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Alice2103|Alice2103]] ([[Discussioni utente:Alice2103|disc.]]) 19:00, 12 feb 2026 (CET) - [[Utente:Alice2103/Sandbox|sandbox]] ; secondo gruppo #[[Utente:Melywiki01|Melywiki01]] ([[Discussioni utente:Melywiki01|disc.]]) 14:18, 05 giu 2026 (CET) - [[Utente:Melywiki01/Sandbox|sandbox]] #[[Utente:WikiOhana|WikiOhana]] ([[Discussioni utente:WikiOhana|disc.]]) 14:29, 05 giu 2026 (CET) - [[Utente:WikiOhana/Sandbox|sandbox]] * Rebecca ==Wikibook da scrivere== * [[Storia del femminismo italiano]] vol.2 * {{Vedi anche|Progetto:WikiDonne/Tirocinio Roma Tre 2026/Struttura wikibook}} === Divisione del lavoro === * ... ===Esempio template testo tratto da Wikipedia=== <code><nowiki>{{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}}</nowiki></code> {{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}} ==Dashboard== [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/UNIROMA3/WDG_-_Tirocinio_curriculare_2026 Metriche], tool Dashboard. ==Risorse== * [[:w:Progetto:WikiDonne/Aiuto]] (pagina di aiuto WikiDonne) * [[:File:Registrarsi, creare la pagina utente WD 2022.pdf|Registrarsi, creare la pagina utente]] * [[:File:WDG - WikiDonne. Tradurre voci con Content Translator.pdf|Tradurre voci con Content Translator]] * [[Aiuto:Come registrarsi]] (come registrare un account) * [[Aiuto:Firma]] (come, dove e quando firmare) * [[:w:Wikipedia:Copyright]] (approfondimenti sul Copyright e sul Diritto d'autore) * [[Aiuto:Wikificare]] e [[Aiuto:Manuale di stile]] (linee guida formatazione wiki e manuale di stile) * [[:w:Wikipedia:VisualEditor/Manuale]] (l'uso di Visual Editor) * [[Wikipedia:Uso delle fonti]] (come utilizzare le fonti) * [[:w:Aiuto:Copyright immagini/Percorso guidato/6]] (percorso guidato su come utilizzare l'immagine da Wikipedia in altra lingua) * [[:w:Aiuto:Carica un file]] (percorso guidato sul caricamento di un file) ==Bibliografia== * {{Cita libro|autore=Elisa Bellè|titolo=L'altra rivoluzione. Dal Sessantotto al femminismo|anno=2021|editore=Rosenberg & Sellier|città=Torino|ISBN=9788878859234}} * {{Cita libro|curatore=Teresa Bertilotti|curatore2=Anna Scattigno|titolo=Il femminismo degli anni Settanta|anno=2005|editore=Viella|città=Roma|ISBN=978-88-8334-172-4}} * {{Cita libro|curatore=Paola Bono, Sandra Kemp|titolo=Italian Feminist Thought. A Reader|anno=1991|editore=Basil Blackwell|città=Oxford|lingua=en|ISBN=0-631-17115-0}} * {{Cita libro|autore=Maud Anne Bracke|traduttore=Enrica Capussotti|titolo=La nuova politica delle donne: il femminismo in Italia : 1968-1989|anno=2019|editore=Edizioni di storia e letteratura|città=Roma|ISBN=978-88-93592-02-4}} * {{Cita libro|autore=Anna Rita Calabrò, Laura Grasso|titolo=Dal movimento femminista al femminismo diffuso: storie e percorsi a Milano dagli anni '60 agli anni '80|anno=1985|editore=Franco Angeli|città=Milano}} * {{Cita libro|autore=Fiamma Lussana|titolo=Il movimento femminista in Italia. Esperienze, storie, memorie (1965–1980)|anno=2012|editore=Carocci|città=Roma|ISBN=978-88-430-6512-7}} * {{Cita pubblicazione|anno=1987|titolo=Il movimento femminista negli anni settanta|rivista=Memoria|numero=19-20|url=https://bibliotecadelledonne.women.it/fascicolo/memoria-rivista-di-storia-delle-donne-n-19-20-1987/}} * {{Cita libro|curatore=Aida Ribero|curatore2=Ferdinanda Vigliani|titolo=100 titoli: guida ragionata al femminismo degli anni Settanta|anno=1998|editore=Tufani|città=Ferrara|ISBN=978-88-86780-20-9}} * {{Cita libro|curatore=Rosalba Spagnoletti|titolo=I Movimenti femministi in Italia|anno=1977|editore=Savelli|città=Roma}} * {{Cita libro|curatore=Paola Stelliferi|curatore2=Stefania Voli|titolo=Anni di rivolta: nuovi sguardi sui femminismi degli anni Settanta e Ottanta|anno=2023|editore=Viella|città=Roma|ISBN=9791254692349}} ==Ospiti (video YouTube)== * ... ==Riconoscimenti== [[File:WDG - Premiazione OEGlobal 2025.png|miniatura|destra|300px|Premiazione OE Global 2025]] * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" vince l'Open Education Award 2025 nella categoria ''How We Share: Open practices'' (Diversità, Equità e Inclusione)<ref>[https://awards.oeglobal.org/awards/2025/open-practices/wikidonne/ WikiDonne - a Wikimedia User Group. Wikidonne (Italy)] Recognized for Diversity, Equity, and Inclusion, ''awards.oeglobal.org''</ref> ==Altri progetti== * [[n:''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025|''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025]] su WikiNews ==Note== <references/> ==Collegamenti esterni== * [http://digiteca.bsmc.it/# Digiteca], Biblioteca di storia moderna e contemporanea, Roma * [https://www.casainternazionaledelledonne.org/associazioni/archivia/ Archivia], Casa Internazionale delle Donne, Roma * [https://www.viella.it/riviste/testata/6 Genesis], rivista della Società Italiana delle Storiche ** [https://www.viella.it/rivista/9791254698952 Genesis. XXIII / 1, 2024. Sguardi femministi sulla storiografia], Genesis, 2024 ** [https://www.viella.it/rivista/9791254693193 Genesis. XXI / 2, 2022. Disuguaglianze. Il valore delle donne], Genesis, 2022 * [https://cloud.sbn.it/opac2/IEI/02/ricercaSemplice Polo IEI], Biblioteca di storia moderna e contemporanea * [https://acnpsearch.unibo.it/# ACNP], Catalogo italiano dei periodici, UNIBO * [https://opac.sbn.it/home OPAC SBN], Catalogo collettivo delle biblioteche del Servizio Bibliotecario Nazionale * [https://manus.iccu.sbn.it/web/manus Manus Online (MOL)], database ICCU * [https://www.novecento.org/notiziario/risorse-tematiche-per-la-didattica-anche-a-distanza-6417/#genere Soria di genere], Novecento [[Categoria:WikiDonne]] m142numyu7pyaup62q5cb89smze01is 2 60551 499006 2026-06-05T13:20:19Z MelyWiki01 54458 Prima bozza della voce Pluralità dei femminismi 499006 wikitext text/x-wiki = Pluralità dei femminismi = == Formazione (1965–1973) == Il periodo compreso tra il 1965 e il 1973 costituisce la fase germinale e fondativa del neofemminismo in Italia, una stagione di transizione cruciale in cui si assiste alla progressiva rottura con la precedente tradizione emancipazionista e alla nascita dei primi nuclei dell'attivismo autonomo delle donne. In questi anni, l'elaborazione teorica e la prassi politica iniziano a differenziarsi nettamente dalle rivendicazioni paritarie dei partiti tradizionali della sinistra e delle storiche associazioni femminili, le quali avevano concentrato i propri sforzi sull'uguaglianza formale, sul piano legislativo e sull'accesso al mercato del lavoro.<ref>Cfr. Anna Rossi-Doria, Ipotesi per una storia che verrà, in T. Bertilotti, A. Scattigno (a cura di), Il femminismo degli anni Settanta, Roma, Viella, 2005, pp. 1-23</ref> La genesi dei primi collettivi si colloca in un contesto di profonda fermentazione sociale, fortemente influenzato dalle dinamiche della contestazione studentesca e operaia che avrebbe poi caratterizzato il Sessantotto. Molte delle giovani donne che diedero vita al neofemminismo provenivano proprio dalle file dei movimenti studenteschi e della sinistra extraparlamentare; tuttavia, all'interno di quegli stessi spazi di militanza, esse iniziarono a sperimentare una profonda contraddizione. Nonostante la retorica rivoluzionaria ed egualitaria, i gruppi della Nuova Sinistra riproduvano spesso al proprio interno logiche patriarcali e una rigida divisione di genere, che rileggeva la questione femminile come sussidiaria alla lotta di classe e confinava le donne a ruoli marginali o meramente esecutivi.<ref>Sul rapporto conflittuale tra militanza politica nella Nuova Sinistra e prime istanze femministe si veda Elena Petricola, Parole da cercare. Alcune riflessioni sul rapporto tra femminismo e movimenti politici negli anni Settanta, in Ibidem, pp. 199-224.</ref> Questa presa di coscienza portò alla necessità di creare spazi separati e autonomi, dove la specificità dell'oppressione di genere potesse essere analizzata senza mediazioni ideologiche esterne. Tra la fine degli anni Sessanta e i primissimi anni Settanta nacquero così formazioni pionieristiche come il gruppo Demistificazione Autoritarismo Patriarcale (DEMAU) a Milano, già attivo dal 1965 nella critica alla famiglia borghese e al ruolo materno imposto, e successivamente il nucleo di Rivolta Femminile nel 1970, animato a Roma e Milano da figure come Carla Lonzi, Carla Accardi ed Elvira Banotti<ref>Per la nascita del gruppo DEMAU e il suo manifesto del 1966, si rimanda a Aida Ribero, Una questione di libertà. Il femminismo degli anni settanta, Torino, Rosenberg & Sellier, 1999, p. 53.</ref>. Questi primi nuclei teorici introdussero concetti rivoluzionari per l'epoca, rifiutando l'integrazione in una società strutturata a misura d'uomo e rivendicando, al contrario, la "differenza" femminile come valore autonomo e non assimilabile alle logiche dell'uguaglianza formale.<ref>Cfr. il testo fondamentale di Carla Lonzi, Sputiamo su Hegel, Milano, Scritti di Rivolta Femminile, 1970.</ref> In questa prima fase di formazione, la riflessione teorica si intrecciò costantemente con l'importazione e la rielaborazione delle suggestioni provenienti dai femminismi transnazionali, in particolare da quello statunitense e francese, da cui l'attivismo italiano mutuò e riadattò pratiche destinate a diventare centrali, come l'autocoscienza nei piccoli gruppi. Entro il 1973, il panorama dei piccoli gruppi informali e dei collettivi urbani, inizialmente frammentato e concentrato soprattutto nelle grandi città del Centro-Nord, gettò le basi metodologiche e concettuali indispensabili per la successiva espansione di massa, sancendo il passaggio definitivo da una costellazione di cenacoli di riflessione filosofica e politica a un movimento strutturato, capace di lì a poco di uscire dalla dimensione sommersa per investire l'intero spazio pubblico e sociale italiano.<ref>Cfr. Elda Guerra, Una nuova soggettività: femminismo e femminismi nel passaggio degli anni Settanta, in T. Bertilotti, A. Scattigno (a cura di), Il femminismo degli anni Settanta, cit., pp. 25-67.</ref> === Note === <references /> === Bibliografia === * '''Bertilotti, Teresa e Scattigno, Anna''' (a cura di), Il femminismo degli anni Settanta, Roma, Viella, 2005. * '''Frabotta, Biancamaria''' (a cura di), Femminismo e lotta di classe in Italia: 1970-1973, Roma, Savelli, 1973. * '''Lonzi, Carla''', Sputiamo su Hegel e altri scritti, Milano, Scritti di Rivolta Femminile, 1974 (nuova ediz. a cura di A. Buttarelli, Milano, La Tartaruga, 2023). * '''Ribero, Aida''', Una questione di libertà. Il femminismo degli anni settanta, Torino, Rosenberg & Sellier, 1999. s45g0dja9flvz6ao2mngfaacb889b5b 2 60552 499007 2026-06-05T13:25:25Z WikiOhana 54459 Prima Bozza della voce Pluralità dei femminismi 3.2 (1974-1976) 499007 wikitext text/x-wiki = Pluralità dei femminismi = == Espansione e confronto pubblico (1974–1976) == Il triennio compreso tra il 1974 e il 1976 ha rappresentato la fase di massima espansione, visibilità e penetrazione sociale del Neofemminismo in Italia, segnando la transizione del movimento da una dimensione di piccoli gruppi di riflessione a un fenomeno di massa capace di ridefinire lo spazio politico nazionale <ref>F. Lussana, ''Il movimento femminista in Italia. Storia, politica, cultura'', Roma, Carocci, 2012, pp. 74-79.</ref>. Durante questo periodo, le pratiche nate all'interno dei collettivi separatisti si sono confrontate direttamente con le scadenze istituzionali, con le strutture della sinistra tradizionale e extraparlamentare e con la necessità di una mobilitazione civile sui temi della salute e dell'autodeterminazione <ref>T. Bertilotti, A. Scattigno (a cura di), ''Il femminismo degli anni Settanta'', Roma, Viella, 2005, pp. 45-48.</ref>. === 1974-1976: L'autodeterminazione oltre i partiti e la conquista dello spazio pubblico === Il passaggio verso una dimensione nazionale e coordinata del movimento trovò un momento di sintesi nei convegni nazionali di Pinarella di Cervia, svoltisi nel 1974 e nel 1975 [3]. In queste assise, che videro la partecipazione di migliaia di donne provenienti da esperienze territoriali eterogenee, si discussero i nodi centrali del separatismo e della pratica dell'autocoscienza, ponendo le basi per un'azione politica comune che non passasse attraverso le forme tradizionali della delega o della rappresentanza partitica <ref>''Ibidem'', p. 52.</ref>. Il terreno principale di scontro e confronto pubblico si articolò attorno ai diritti civili e alla legislazione sul corpo femminile. Il referendum sul divorzio del maggio 1974 evidenziò una profonda laicizzazione e trasformazione dei costumi della società italiana, un mutamento nel quale il ruolo delle donne si rivelò determinante <ref>Y. Ergas, ''Nelle maglie della politica. Femminismo, istituzioni e partiti nell'Italia degli anni Settanta'', Milano, FrancoAngeli, 1986, pp. 91-94.</ref>. Immediatamente dopo, il movimento concentrò i propri sforzi sulla campagna per la depenalizzazione e la legalizzazione dell'aborto volontario, inteso come diritto all'autodeterminazione e alla maternità consapevole [5]. La drammatica vicenda del processo di Firenze contro esponenti del CISA (Centro d'Informazione sulla Sterilizzazione e sull'Aborto) nel 1975 e le successive scadenze parlamentari portarono alla convocazione di imponenti manifestazioni di piazza<ref>F. Lussana, ''cit.'', pp. 102-105.</ref> Le mobilitazioni nazionali a Roma, in particolare quella del 6 dicembre 1975 e della primavera del 1976, videro la partecipazione di decine di migliaia di donne, imponendo il dibattito sulla sessualità e sulla salute riproduttiva nell'agenda politica principale <ref>Cfr. Cronologia del movimento femminista in Italia, in ''Il femminismo degli anni Settanta'', cit., pp. 211-213.</ref>. L'espansione del movimento provocò una profonda dialettica all'interno delle organizzazioni della sinistra extraparlamentare (quali Lotta Continua, Avanguardia Operaia e il PdUP per il Comunismo), dove le militanti femministe iniziarono a contestare la subordinazione della questione di genere rispetto alla lotta di classe <ref>M. L. Boccia, ''L'io in rivolta. Vissuto e pensiero di Carla Lonzi'', Milano, La Tartaruga, 1992, pp. 118-121</ref>. Il punto di rottura più significativo si verificò durante il congresso nazionale di Lotta Continua a Rimini nel luglio del 1976, dove la contestazione delle donne nei confronti delle strutture gerarchiche e dei comportamenti del quadro dirigente maschile portò alla crisi irreversibile e allo scioglimento formale dell'organizzazione. Questo evento sancì la definitiva autonomia del movimento femministe rispetto alle culture politiche tradizionali della sinistra italiana. Parallelamente alle mobilitazioni di piazza, il femminismo sviluppò risposte concrete attraverso la creazione di strutture sociali autogestite. In questo biennio nacquero i primi consultori autogestiti dalle donne, nati per sottrarre la salute femminile, la contraccezione e la gestione della gravidanza alla logica medica e patriarcale istituzionale. Sul piano lavorativo e sindacale, l'istituzione dei corsi per il conseguimento del titolo di studio dell'obbligo (le "150 ore") divenne un canale fondamentale di alfabetizzazione politica <ref>M. Piazza (a cura di), ''Le donne e le 150 ore'', Milano, Feltrinelli, 1979, pp. 33-40.</ref>. All'interno di settori d'avanguardia, come il sindacato dei metalmeccanici (FLM), si costituirono i primi coordinamenti di sole donne, estendendo la riflessione femminista sui temi del lavoro domestico non retribuito, della salute in fabbrica e della conciliazione dei tempi di vita <ref>M. Piazza (a cura di), ''Le donne e le 150 ore'', Milano, Feltrinelli, 1979, pp. 33-40.</ref>. === Bibliografia === * ''Bertilotti, Teresa e Scattigno, Anna (a cura di), Il femminismo degli anni Settanta, Roma, Viella, 2005.'' * ''Boccia, Maria Luisa, L'io in rivolta. Vissuto e pensiero di Carla Lonzi, Milano, La Tartaruga, 1992.'' * ''Chisté, Lea; Del Re, Alisa; Forti, Edvige (a cura di), Oltre il lavoro domestico. Il lavoro delle donne tra produzione e riproduzione, Verona, Feltrinelli, 1979.'' * ''Ergas, Yasmine, Nelle maglie della politica. Femminismo, istituzioni e partiti nell'Italia degli anni Settanta, Milano, FrancoAngeli, 1986.'' * ''Lussana, Fiamma, Il movimento femminista in Italia. Storia, politica, cultura, Roma, Carocci, 2012.Piazza, Marina (a cura di), Le donne e le 150 ore, Milano, Feltrinelli, 1979.'' === Note === # <references /> 5q79usj2suukx40p4f56c7zdmttozzs 3 60553 499009 2026-06-05T16:23:53Z Hippias 18281 Benvenuto/a su Wikibooks! 499009 wikitext text/x-wiki <div style="font-size:90%; text-align:right;">For other languages, consider using [[Wikibooks:Babel]] &middot; [[Wikibooks:Ambasciata|Embassy]]</div> {| width="100%" cellspacing="0" cellpadding="6" style="font-size:95%; line-height: 15px; background-color: var(--background-color-warning-subtle, #fef6e7); color: inherit; border: 1px solid #faecc8;" |- | colspan="4" style="background: #faecc8; color: #000;" |<span style="font-size:larger">'''[[Aiuto:Benvenuto|Benvenut{{GENDER:{{BASEPAGENAME}}|o|a|a/o}}]] {{PAGENAME}}''' in it.Wikibooks </span>, la biblioteca libera. |- | colspan="4" | Ciao, {{PAGENAME}}. Grazie per voler partecipare al progetto. 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Grazie per aver deciso di contribuire e buon lavoro! --[[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 18:24, 5 giu 2026 (CEST) 6lkc83jbe4qka5o2fu5x9jarqpsiadd