Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 5762 499021 499020 2026-06-06T14:33:38Z Pasquale.Carelli 528 corretta pressione e temperatura 499021 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Pressione|Pressione]]== La pressione è una grandezza scalare intensiva definita come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e l'area della superficie stessa: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> Per comprendere meglio questa grandezza, consideriamo inizialmente una sostanza omogenea contenuta in un cilindro indeformabile di altezza <math>h</math> e superficie interna della base pari a <math>S</math>. Se la [[w:Densità|densità]] della sostanza è <math>\rho</math>, la sua massa totale sarà: :<math>m = \rho h S</math> Se applichiamo una forza <math>F_{\perp}</math> normale alla sua faccia superiore, tale forza si trasmetterà lungo il cilindro. Sulla faccia inferiore si risentirà sia della forza applicata sia della forza peso della sostanza stessa. La forza totale per unità di superficie sulla base inferiore sarà quindi pari a: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S} + \frac {mg}{S} = \frac {F_{\perp}}{S} + \rho g h</math> Come è naturale, la pressione sulla faccia inferiore risulta maggiorata a causa del peso del corpo. Tuttavia, se l'altezza h è sufficientemente piccola da rendere il termine idrostatico trascurabile rispetto alla forza applicata (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>), possiamo scrivere semplicemente: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> ===Differenza tra Solidi e Fluidi=== Il comportamento della pressione all'interno della sostanza dipende profondamente dal suo stato di aggregazione: * Nei solidi: Se il solido è ideale e perfettamente incompressibile, la forza applicata verticalmente si trasmette inalterata anche sulle pareti laterali. Se invece il solido è reale e compressibile, la forza esercitata sulla parete inferiore sarà superiore a quella sulle pareti laterali; in questo caso, la trasmissione degli sforzi conserva in parte un carattere vettoriale (proprietà tipica dei tensori degli sforzi nei solidi). Sperimentalmente, per rendere isotropa questa forza, bisognerebbe immergere il solido in un liquido incompressibile. * Nei fluidi (liquidi e gas): La situazione è strutturalmente più semplice. Immaginiamo di esercitare la stessa forza sulla faccia superiore del cilindro contenente un fluido. Se il fluido è un gas, esso si comprimerà notevolmente (riducendo il proprio volume); se è un liquido, la variazione di volume sarà pressoché trascurabile, analogamente a un solido. In entrambi i casi, se trascuriamo gli effetti della gravità (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>), la forza per unità di superficie nei fluidi perde qualsiasi carattere di direzionalità. Troveremo infatti che la medesima pressione viene esercitata orthogonalmente su qualsiasi punto delle pareti del recipiente, indipendentemente dalla loro orientazione o dalla forma del contenitore (Principio di Pascal). Pertanto, nei fluidi la pressione ha a tutti gli effetti un carattere puramente scalare: può dipendere dalla coordinata spaziale (come vedremo con la gravità), ma non dalla direzione della superficie considerata. ===Unità di misura e strumenti=== Nel Sistema Internazionale (SI), la pressione si misura in Pascal (simbolo <math>\text{Pa}</math>), definito come un Newton su metro quadro: :<math>1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2</math> L'aver trascurato la forza di gravità è una semplificazione spesso non lecita su grande scala. Nell'atmosfera terrestre, ad esempio, la gravità è la diretta responsabile della pressione dell'aria. Per motivi storici e pratici, è comune misurare la pressione utilizzando come riferimento la pressione media dell'aria al livello del mare, definita come Atmosfera (<math>\text{atm}</math>), o il <math>bar</math>. Le relazioni di conversione con il Sistema Internazionale sono: :<math>1\ \text{atm} = 1.01325 \times 10^{5}\ \text{Pa}</math> :<math>1\ \text{bar} = 10^{5}\ \text{Pa}</math> Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione dei fluidi si chiamano manometri (se misurano una differenza di pressione rispetto a quella atmosferica) o barometri (se misurano la pressione atmosferica assoluta). ===La pressione in Termodinamica=== In termodinamica, la pressione di un sistema in equilibrio è una variabile di stato intensiva. Ciò significa che il suo valore non dipende dall'estensione del sistema: se prendiamo due sistemi termodinamici identici alla stessa pressione <math>p</math> e li uniamo idealmente, il sistema globale risultante avrà ancora la medesima pressione <math>p</math>. Dal punto di vista microscopico ([[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]), la pressione di un fluido è l'effetto macroscopico degli [[w:Urto_elastico|urti elastici]] continui che le molecole del fluido esercitano contro le pareti del recipiente. Tale pressione macroscopicamente aumenta all'aumentare del numero di urti nell'unità di tempo (ovvero all'aumentare della densità del fluido) e al crescere dell'energia cinetica media delle particelle (ovvero all'aumentare della temperatura). ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto intuitivo molto antico, legato inizialmente alle nostre percezioni sensoriali di ''caldo'' e ''freddo''. I primi tentativi di descriverla in termini scientifici risalgono all'antichità, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poterono effettuare le prime stime numeriche e riproducibili del suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano in modo macroscopico e regolare con la temperatura, fornendo una base oggettiva per la sua misurazione al di là della sensibilità fisiologica umana. Una delle più semplici e storicamente utilizzate è la dilatazione termica dei liquidi: i termometri a mercurio (o ad alcool), in cui il fluido è contenuto in un recipiente capillare di vetro il cui volume subisce una variazione trascurabile, ne sono un classico esempio. Poiché anche molte altre proprietà fisiche (come la resistenza elettrica nei termistori o la suscettività magnetica nei paramagneti) dipendono dalla temperatura, oggi disponiamo di una notevole varietà di strumenti di misura. ===Le scale termometriche=== Per associare un valore numerico alla temperatura è necessario definire una scala termometrica. La scala empirica più diffusa nei paesi occidentali non anglosassoni è la scala '''Celsius''', basata sulle proprietà di transizione di fase dell'acqua alla pressione standard di un'atmosfera. Questa scala assume convenzionalmente come <math>0\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di fusione del ghiaccio e come <math>100\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua. Nei paesi anglosassoni è ancora utilizzata la scala '''Fahrenheit'''. In questa configurazione, il punto di congelamento dell'acqua corrisponde a <math>32\ ^\circ\text{F}</math> e quello di ebollizione a <math>212\ ^\circ\text{F}</math> (originariamente, lo zero era associato alla temperatura minima di una miscela frigorifera di ghiaccio, acqua e cloruro di ammonio, mentre i <math>96\ ^\circ\text{F}</math> circa rappresentavano la temperatura del corpo umano). La formula di conversione tra le due scale è: :<math>T_\text{F} = 32 + \frac{9}{5}T_\text{C}</math> In ambito scientifico, a tali scale empiriche si preferisce la scala assoluta '''Kelvin'''. Essa fissa il proprio zero in corrispondenza del minimo teorico per un sistema termodinamico, lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]], mantenendo il medesimo intervallo unitario (il ''grado'') della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto si colloca a una temperatura sperimentale di <math>-273.15\ ^\circ\text{C}</math>, la conversione da gradi Celsius a kelvin (il cui simbolo è semplicemente <math>\text{K}</math>, senza il segno di grado) è data da: :<math>T_\text{K} = T_\text{C} + 273.15</math> ===Interpretazione microscopica=== Dal punto di vista della meccanica statistica e della teoria cinetica, la temperatura di un gas rarefatto ([[w:Gas_ideale|gas ideale]]) rappresenta una misura diretta dell'energia cinetica media di traslazione delle molecole che lo compongono. Attraverso gli urti elastici microscopici, le molecole si scambiano continuamente energia, tendendo a distribuirla uniformemente secondo il [[w:Teorema_di_equipartizione_dell%27energia|principio di equipartizione dell'energia]]. Il numero di gradi di libertà microscopicamente attivi determina come questa energia viene immagazzinata: * Nei gas monoatomici, l'energia cinetica traslazionale rappresenta l'unica forma di energia microscopica. * Nei gas biatomici o poliatomici, oltre alla traslazione, emergono ulteriori gradi di libertà interni associati ai moti rotazionali e vibrazionali delle molecole (questi ultimi modellizzabili come oscillatori armonici). * Nei fluidi densi, l'interazione intermolecolare non è più trascurabile e la temperatura risulta connessa anche all'energia potenziale dovuta alle forze di coesione interna. * Nel caso limite di un solido cristallino, gli atomi non traslano ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio. Ogni atomo si comporta come un oscillatore armonico tridimensionale, caratterizzato da 6 gradi di libertà (3 legati all'energia cinetica e 3 all'energia potenziale elastica del reticolo). Infine, il concetto di temperatura non è vincolato esclusivamente alla presenza di materia ponderabile. È infatti possibile definire rigorosamente la temperatura del vuoto termodinamico attraverso lo studio della radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]], ovvero lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico all'interno di una cavità. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Si ha l'equilibrio termodinamico di un sistema quando si verifica contemporaneamente l'equilibrio chimico, meccanico e termico. L'equilibrio chimico si ha se non si hanno più reazioni chimiche e la quantità di materia nelle varie parti non varia più nel tempo. L'equilibrio meccanico si ha se la pressione e il volume non cambiano nel tempo. Infine l'equilibrio termico si ha se la temperatura cessa di variare nel tempo. Equilibrio termodinamico di un corpo implica che pressione, densità e temperatura siano uniforme nel suo interno. Consideriamo ad esempio un fiume che è in equilibrio termico con l'ambiente, in ogni punto la temperatura non varia nel tempo, ma che a causa di dell'ingresso di corrente fredda dalla fonte vi è una forte variazione spaziale della temperatura stessa. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un enunciato circa i corpi a contatto in equilibrio termico ed è alla base del concetto di temperatura. L'enunciato di tale principio è che se due sistemi termodinamici sono in equilibrio termico con un terzo, sono in equilibrio termodinamico tra di loro. In altre parole l'equilibrio termodinamico è una proprietà transitiva. Questo principio viene utilizzato per effettuare la misura della temperatura, se viene intesa la temperatura la proprietà che determina l'equilibrio termico tra i corpi. Infatti due corpi sono in equilibrio termico fra loro se sono alla stessa temperatura. Sebbene sia concettualmente un'assunzione basilare, la sua funzione è stata riconosciuta dopo la formulazione del [[w:primo principio della termodinamica|primo]] e [[w:secondo principio della termodinamica| secondo principio della termodinamica]], ed è stato pertanto deciso di attribuirgli il nome di "principio zero" per non cambiare il nome a principi oramai noti. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|400px|right|Un gas (in giallo) dentro un pistone]] Il lavoro è in realtà un concetto che è ben definito dalla meccanica. In termodinamica fisica si definisce positivo il lavoro che il sistema compie sui corpi esterni, mentre è negativo quello che i corpi esterni compiono sul sistema. Il caso più semplice da descrivere è quello di un cilindro con un pistone mobile, come in figura. Il sistema in questo caso è un gas in equilibrio termodinamico. Sia <math>p\ </math> la pressione che il gas esercita sulle pareti del recipiente ed in particolare sul pistone. Quindi se <math>S\ </math> è la superficie del cilindro <math>pS\ </math> sarà la forza che il gas esercita sul pistone. Se il pistone si sposta di un tratto infinitesimo <math>dz\ </math>, viene compiuto un lavoro, che solleva il peso (corpo esterno), pari a: :<math>dW=pSdz\ </math> Il questo caso infatti lo spostamento <math>dz\ </math> è parallelo alla forza. Notiamo che in realtà: :<math>dV=Sdz\ </math> Non è altro che l'aumento di volume. Quindi si può scrivere. :<math>dW=pdV\ </math> Il pistone mobile può spostarsi verso l'esterno aumentando il volume del gas: in questo caso si ha una espansione (lavoro positivo). In realtà in un processo di questo genere le forze interne di pressione producono lavoro che facilmente siamo in grado di quantizzare. Il procedimento inverso di riduzione del volume va sotto il nome di compressione. Perché una trasformazione di questo tipo sia reversibile, su tale concetto torneremo nel seguito, non occorre solo che avvenga per successivi stati equilibrio. Ma occorre che all'interno del gas la pressione come le altre variabili termodinamiche non vari (spazialmente), e inoltre che il moto del pistone lungo la parete del cilindro si effettui senza attrito. Infatti non conosciamo nessun processo in cui l'energia meccanica dissipata per attrito possa essere restituita sotto forma di energia meccanica macroscopica, quindi rendendo possibile la reversibilità della trasformazione. Inoltre per avere una trasformazione reversibile occorre che la forza esterna sia istante per istante eguale a quella interna. Quindi se abbiamo un cilindro contenente un gas a pressione diversa da quella dell'ambiente esterno (ad esempio la pressione atmosferica) dovremo bilanciare istante per istante la forza interna con la forza esterna per avere una trasformazione reversibile. Che il lavoro infinitesimo fatto da un gas durante la sua espansione sia pari a <math>dW=pdV\ </math> non dipende dalla forma del recipiente ma non viene qui dimostrato: E. Fermi lo ha dimostrato nel suo libro di termodinamica<ref name=Fermi> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. Il lavoro fatto dalle forze interne è massimo quando la trasformazione è reversibile, solo in tale caso la pressione del gas interno è eguale alla forza esterna agente sul pistone. Se l'espansione avviene troppo rapidamente si crea una variazione di pressione nel cilindro che va dal valore massimo fino alla pressione esterna agente sul cilindro, la forza che agirà sulla superficie di base del cilindro non sarà quella della dovuta alla pressione di equilibrio, ma una forza minore che è pari alla pressione esterna per la superficie del pistone. Se facciamo avvenire la trasformazione per stati di equilibrio dallo stato iniziale <math>A\ </math> alla stato finale <math>B\ </math>, il lavoro finito della trasformazione si ottiene integrando l'equazione [[Image:Lavoro.png|thumb|500px|left|Una trasformazione generica nel piano di Clapeyron con il lavoro eseguito]] :<math>W=\int_A^B PdV\ </math> Con l'integrale esteso a tutta la trasformazione. Per il calcolo del lavoro nel caso dei fluidi omogenei risulta comodo utilizzare come variabili termodinamiche indipendenti: la pressione ed il volume occupato dal fluido. La rappresentazione grafica di tali variabili viene detta piano di Clapeyron. Consideriamo a titolo esemplificativo una trasformazione per stati di equilibrio termodinamico che vada dallo stato <math>A\ </math> allo stato finale <math>B\ </math>, come indicato nella figura. La forma della curva dipende dal tipo di trasformazione considerata con questa rappresentazione il lavoro eseguito dal sistema è dato dall'integrale <math>W=\int_{V_A}^{V_B} PdV\ </math> Dove i volumi <math>V_A\ </math> e <math>V_B\ </math> sono i volumi iniziali e finali degli stati. Questo lavoro viene rappresentato geometricamente dalla curva tratteggiata in figura: il lavoro è positivo se si va da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>, mentre è negativo se vado da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math>. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} q3aa2ro98bjvglqzb55f4fejc8bvmkb 499022 499021 2026-06-06T14:57:17Z Pasquale.Carelli 528 /* Equilibrio Termodinamico */ 499022 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Pressione|Pressione]]== La pressione è una grandezza scalare intensiva definita come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e l'area della superficie stessa: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> Per comprendere meglio questa grandezza, consideriamo inizialmente una sostanza omogenea contenuta in un cilindro indeformabile di altezza <math>h</math> e superficie interna della base pari a <math>S</math>. Se la [[w:Densità|densità]] della sostanza è <math>\rho</math>, la sua massa totale sarà: :<math>m = \rho h S</math> Se applichiamo una forza <math>F_{\perp}</math> normale alla sua faccia superiore, tale forza si trasmetterà lungo il cilindro. Sulla faccia inferiore si risentirà sia della forza applicata sia della forza peso della sostanza stessa. La forza totale per unità di superficie sulla base inferiore sarà quindi pari a: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S} + \frac {mg}{S} = \frac {F_{\perp}}{S} + \rho g h</math> Come è naturale, la pressione sulla faccia inferiore risulta maggiorata a causa del peso del corpo. Tuttavia, se l'altezza h è sufficientemente piccola da rendere il termine idrostatico trascurabile rispetto alla forza applicata (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>), possiamo scrivere semplicemente: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> ===Differenza tra Solidi e Fluidi=== Il comportamento della pressione all'interno della sostanza dipende profondamente dal suo stato di aggregazione: * Nei solidi: Se il solido è ideale e perfettamente incompressibile, la forza applicata verticalmente si trasmette inalterata anche sulle pareti laterali. Se invece il solido è reale e compressibile, la forza esercitata sulla parete inferiore sarà superiore a quella sulle pareti laterali; in questo caso, la trasmissione degli sforzi conserva in parte un carattere vettoriale (proprietà tipica dei tensori degli sforzi nei solidi). Sperimentalmente, per rendere isotropa questa forza, bisognerebbe immergere il solido in un liquido incompressibile. * Nei fluidi (liquidi e gas): La situazione è strutturalmente più semplice. Immaginiamo di esercitare la stessa forza sulla faccia superiore del cilindro contenente un fluido. Se il fluido è un gas, esso si comprimerà notevolmente (riducendo il proprio volume); se è un liquido, la variazione di volume sarà pressoché trascurabile, analogamente a un solido. In entrambi i casi, se trascuriamo gli effetti della gravità (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>), la forza per unità di superficie nei fluidi perde qualsiasi carattere di direzionalità. Troveremo infatti che la medesima pressione viene esercitata orthogonalmente su qualsiasi punto delle pareti del recipiente, indipendentemente dalla loro orientazione o dalla forma del contenitore (Principio di Pascal). Pertanto, nei fluidi la pressione ha a tutti gli effetti un carattere puramente scalare: può dipendere dalla coordinata spaziale (come vedremo con la gravità), ma non dalla direzione della superficie considerata. ===Unità di misura e strumenti=== Nel Sistema Internazionale (SI), la pressione si misura in Pascal (simbolo <math>\text{Pa}</math>), definito come un Newton su metro quadro: :<math>1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2</math> L'aver trascurato la forza di gravità è una semplificazione spesso non lecita su grande scala. Nell'atmosfera terrestre, ad esempio, la gravità è la diretta responsabile della pressione dell'aria. Per motivi storici e pratici, è comune misurare la pressione utilizzando come riferimento la pressione media dell'aria al livello del mare, definita come Atmosfera (<math>\text{atm}</math>), o il <math>bar</math>. Le relazioni di conversione con il Sistema Internazionale sono: :<math>1\ \text{atm} = 1.01325 \times 10^{5}\ \text{Pa}</math> :<math>1\ \text{bar} = 10^{5}\ \text{Pa}</math> Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione dei fluidi si chiamano manometri (se misurano una differenza di pressione rispetto a quella atmosferica) o barometri (se misurano la pressione atmosferica assoluta). ===La pressione in Termodinamica=== In termodinamica, la pressione di un sistema in equilibrio è una variabile di stato intensiva. Ciò significa che il suo valore non dipende dall'estensione del sistema: se prendiamo due sistemi termodinamici identici alla stessa pressione <math>p</math> e li uniamo idealmente, il sistema globale risultante avrà ancora la medesima pressione <math>p</math>. Dal punto di vista microscopico ([[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]), la pressione di un fluido è l'effetto macroscopico degli [[w:Urto_elastico|urti elastici]] continui che le molecole del fluido esercitano contro le pareti del recipiente. Tale pressione macroscopicamente aumenta all'aumentare del numero di urti nell'unità di tempo (ovvero all'aumentare della densità del fluido) e al crescere dell'energia cinetica media delle particelle (ovvero all'aumentare della temperatura). ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto intuitivo molto antico, legato inizialmente alle nostre percezioni sensoriali di ''caldo'' e ''freddo''. I primi tentativi di descriverla in termini scientifici risalgono all'antichità, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poterono effettuare le prime stime numeriche e riproducibili del suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano in modo macroscopico e regolare con la temperatura, fornendo una base oggettiva per la sua misurazione al di là della sensibilità fisiologica umana. Una delle più semplici e storicamente utilizzate è la dilatazione termica dei liquidi: i termometri a mercurio (o ad alcool), in cui il fluido è contenuto in un recipiente capillare di vetro il cui volume subisce una variazione trascurabile, ne sono un classico esempio. Poiché anche molte altre proprietà fisiche (come la resistenza elettrica nei termistori o la suscettività magnetica nei paramagneti) dipendono dalla temperatura, oggi disponiamo di una notevole varietà di strumenti di misura. ===Le scale termometriche=== Per associare un valore numerico alla temperatura è necessario definire una scala termometrica. La scala empirica più diffusa nei paesi occidentali non anglosassoni è la scala '''Celsius''', basata sulle proprietà di transizione di fase dell'acqua alla pressione standard di un'atmosfera. Questa scala assume convenzionalmente come <math>0\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di fusione del ghiaccio e come <math>100\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua. Nei paesi anglosassoni è ancora utilizzata la scala '''Fahrenheit'''. In questa configurazione, il punto di congelamento dell'acqua corrisponde a <math>32\ ^\circ\text{F}</math> e quello di ebollizione a <math>212\ ^\circ\text{F}</math> (originariamente, lo zero era associato alla temperatura minima di una miscela frigorifera di ghiaccio, acqua e cloruro di ammonio, mentre i <math>96\ ^\circ\text{F}</math> circa rappresentavano la temperatura del corpo umano). La formula di conversione tra le due scale è: :<math>T_\text{F} = 32 + \frac{9}{5}T_\text{C}</math> In ambito scientifico, a tali scale empiriche si preferisce la scala assoluta '''Kelvin'''. Essa fissa il proprio zero in corrispondenza del minimo teorico per un sistema termodinamico, lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]], mantenendo il medesimo intervallo unitario (il ''grado'') della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto si colloca a una temperatura sperimentale di <math>-273.15\ ^\circ\text{C}</math>, la conversione da gradi Celsius a kelvin (il cui simbolo è semplicemente <math>\text{K}</math>, senza il segno di grado) è data da: :<math>T_\text{K} = T_\text{C} + 273.15</math> ===Interpretazione microscopica=== Dal punto di vista della meccanica statistica e della teoria cinetica, la temperatura di un gas rarefatto ([[w:Gas_ideale|gas ideale]]) rappresenta una misura diretta dell'energia cinetica media di traslazione delle molecole che lo compongono. Attraverso gli urti elastici microscopici, le molecole si scambiano continuamente energia, tendendo a distribuirla uniformemente secondo il [[w:Teorema_di_equipartizione_dell%27energia|principio di equipartizione dell'energia]]. Il numero di gradi di libertà microscopicamente attivi determina come questa energia viene immagazzinata: * Nei gas monoatomici, l'energia cinetica traslazionale rappresenta l'unica forma di energia microscopica. * Nei gas biatomici o poliatomici, oltre alla traslazione, emergono ulteriori gradi di libertà interni associati ai moti rotazionali e vibrazionali delle molecole (questi ultimi modellizzabili come oscillatori armonici). * Nei fluidi densi, l'interazione intermolecolare non è più trascurabile e la temperatura risulta connessa anche all'energia potenziale dovuta alle forze di coesione interna. * Nel caso limite di un solido cristallino, gli atomi non traslano ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio. Ogni atomo si comporta come un oscillatore armonico tridimensionale, caratterizzato da 6 gradi di libertà (3 legati all'energia cinetica e 3 all'energia potenziale elastica del reticolo). Infine, il concetto di temperatura non è vincolato esclusivamente alla presenza di materia ponderabile. È infatti possibile definire rigorosamente la temperatura del vuoto termodinamico attraverso lo studio della radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]], ovvero lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico all'interno di una cavità. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Un sistema macroscopicamente isolato si trova in uno stato di equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato (come pressione, volume, temperatura e composizione chimica) rimangono costanti nel tempo e non si osserva alcun flusso netto di materia o di energia né al suo interno, né con l'ambiente circostante. Affinché si realizzi l'equilibrio termodinamico, devono verificarsi simultaneamente tre condizioni indipendenti: * '''Equilibrio meccanico:''' Si ha quando la risultante delle forze (interne ed esterne) e dei momenti agenti sul sistema è nulla. In assenza di campi di forza esterni, questo implica che la pressione p deve essere uniforme in ogni punto del sistema. Se la pressione non fosse uniforme, si genererebbero moti macroscopici di materia (correnti) fino al ripristino dell'omogeneità. * '''Equilibrio chimico:''' Si verifica quando all'interno del sistema non avvengono reazioni chimiche nette e non si riscontrano fenomeni di diffusione o trasferimento di materia tra le diverse parti o fasi del sistema. Di conseguenza, la composizione chimica e la massa locale rimangono costanti nel tempo. * '''Equilibrio termico:''' Si realizza quando la temperatura T del sistema non solo smette di variare nel tempo, ma assume il medesimo valore in ogni punto del sistema. La presenza di differenze di temperatura provocherebbe infatti un passaggio spontaneo di calore dalle zone più calde a quelle più fredde. ===Uniformità delle grandezze e campi di forza=== Come regola generale, lo stato di equilibrio termodinamico di un corpo omogeneo implica che le sue proprietà intensive (pressione, densità e temperatura) siano uniformi al suo interno. Tuttavia, è necessario fare una precisazione fondamentale riguardo all'equilibrio meccanico in presenza di campi di forza esterni ponderabili, come il campo gravitazionale. L'acqua di un lago calmo è un sistema all'equilibrio termodinamico, ma la sua pressione e densità non è uniformi nello spazio: varia con la quota secondo la [[w:Legge_di_Stevino|legge di Stevino]]. In questo caso, l'equilibrio meccanico non richiede l'uniformità della pressione, ma il bilanciamento locale tra le forze di pressione e la forza peso. Al contrario, l'equilibrio termico richiede sempre e rigorosamente che la temperatura sia perfettamente uniforme, anche in presenza di gravità. ===Stato di equilibrio vs Stato stazionario=== Per comprendere a fondo l'equilibrio è utile distinguerlo dal concetto di stato stazionario. Immaginiamo, ad esempio, un fiume in cui confluisce una sorgente d'acqua gelida. Se monitoriamo il fiume in un regime regolare, noteremo che in ogni singolo punto la temperatura rimane costante nel tempo. Tuttavia, spostandoci lungo il corso del fiume, registreremo forti variazioni spaziali della temperatura (un gradiente termico). Questo sistema non è in equilibrio termodinamico, bensì in uno stato stazionario fuori dall'equilibrio: le grandezze sono costanti nel tempo solo perché vi è un flusso continuo e forzato di materia e di energia che attraversa il sistema. Se isolassimo idealmente una porzione di quel fiume interrompendo i flussi, le correnti termiche interne continuerebbero a fluire fino a che la temperatura non sia diventata perfettamente uniforme in ogni punto, raggiungendo solo allora il vero equilibrio termodinamico. Anche l'atmosfera terrestre reale è un esempio di stato stazionario, ma non in equilibrio termodinamico. L'atmosfera non si trova in un vero equilibrio termodinamico: oltre alla pressione, anche la sua temperatura varia fortemente con la quota (diminuendo nella troposfera di circa <math>6.5\ ^\circ\text{C}</math> per ogni chilometro di altitudine). Questa variazione termica è dovuta al fatto che l'atmosfera è un sistema aperto, costantemente attraversato da flussi di energia (il riscaldamento del suolo da parte del Sole e il successivo irraggiamento verso lo spazio). L'atmosfera reale si trova quindi in un regime dinamico e stazionario fuori dall'equilibrio. Se potessimo isolare idealmente l'intera atmosfera terrestre da ogni fonte di calore esterna, i moti convettivi e i flussi di calore continuerebbero a trasferire energia fino a quando la temperatura non fosse diventata perfettamente identica a qualsiasi quota (atmosfera isotermica). Solo a quel punto il sistema avrebbe raggiunto il vero equilibrio termodinamico, mantenendo la pressione stratificata dalla gravità, ma la temperatura totalmente uniforme. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un enunciato circa i corpi a contatto in equilibrio termico ed è alla base del concetto di temperatura. L'enunciato di tale principio è che se due sistemi termodinamici sono in equilibrio termico con un terzo, sono in equilibrio termodinamico tra di loro. In altre parole l'equilibrio termodinamico è una proprietà transitiva. Questo principio viene utilizzato per effettuare la misura della temperatura, se viene intesa la temperatura la proprietà che determina l'equilibrio termico tra i corpi. Infatti due corpi sono in equilibrio termico fra loro se sono alla stessa temperatura. Sebbene sia concettualmente un'assunzione basilare, la sua funzione è stata riconosciuta dopo la formulazione del [[w:primo principio della termodinamica|primo]] e [[w:secondo principio della termodinamica| secondo principio della termodinamica]], ed è stato pertanto deciso di attribuirgli il nome di "principio zero" per non cambiare il nome a principi oramai noti. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|400px|right|Un gas (in giallo) dentro un pistone]] Il lavoro è in realtà un concetto che è ben definito dalla meccanica. In termodinamica fisica si definisce positivo il lavoro che il sistema compie sui corpi esterni, mentre è negativo quello che i corpi esterni compiono sul sistema. Il caso più semplice da descrivere è quello di un cilindro con un pistone mobile, come in figura. Il sistema in questo caso è un gas in equilibrio termodinamico. Sia <math>p\ </math> la pressione che il gas esercita sulle pareti del recipiente ed in particolare sul pistone. Quindi se <math>S\ </math> è la superficie del cilindro <math>pS\ </math> sarà la forza che il gas esercita sul pistone. Se il pistone si sposta di un tratto infinitesimo <math>dz\ </math>, viene compiuto un lavoro, che solleva il peso (corpo esterno), pari a: :<math>dW=pSdz\ </math> Il questo caso infatti lo spostamento <math>dz\ </math> è parallelo alla forza. Notiamo che in realtà: :<math>dV=Sdz\ </math> Non è altro che l'aumento di volume. Quindi si può scrivere. :<math>dW=pdV\ </math> Il pistone mobile può spostarsi verso l'esterno aumentando il volume del gas: in questo caso si ha una espansione (lavoro positivo). In realtà in un processo di questo genere le forze interne di pressione producono lavoro che facilmente siamo in grado di quantizzare. Il procedimento inverso di riduzione del volume va sotto il nome di compressione. Perché una trasformazione di questo tipo sia reversibile, su tale concetto torneremo nel seguito, non occorre solo che avvenga per successivi stati equilibrio. Ma occorre che all'interno del gas la pressione come le altre variabili termodinamiche non vari (spazialmente), e inoltre che il moto del pistone lungo la parete del cilindro si effettui senza attrito. Infatti non conosciamo nessun processo in cui l'energia meccanica dissipata per attrito possa essere restituita sotto forma di energia meccanica macroscopica, quindi rendendo possibile la reversibilità della trasformazione. Inoltre per avere una trasformazione reversibile occorre che la forza esterna sia istante per istante eguale a quella interna. Quindi se abbiamo un cilindro contenente un gas a pressione diversa da quella dell'ambiente esterno (ad esempio la pressione atmosferica) dovremo bilanciare istante per istante la forza interna con la forza esterna per avere una trasformazione reversibile. Che il lavoro infinitesimo fatto da un gas durante la sua espansione sia pari a <math>dW=pdV\ </math> non dipende dalla forma del recipiente ma non viene qui dimostrato: E. Fermi lo ha dimostrato nel suo libro di termodinamica<ref name=Fermi> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. Il lavoro fatto dalle forze interne è massimo quando la trasformazione è reversibile, solo in tale caso la pressione del gas interno è eguale alla forza esterna agente sul pistone. Se l'espansione avviene troppo rapidamente si crea una variazione di pressione nel cilindro che va dal valore massimo fino alla pressione esterna agente sul cilindro, la forza che agirà sulla superficie di base del cilindro non sarà quella della dovuta alla pressione di equilibrio, ma una forza minore che è pari alla pressione esterna per la superficie del pistone. Se facciamo avvenire la trasformazione per stati di equilibrio dallo stato iniziale <math>A\ </math> alla stato finale <math>B\ </math>, il lavoro finito della trasformazione si ottiene integrando l'equazione [[Image:Lavoro.png|thumb|500px|left|Una trasformazione generica nel piano di Clapeyron con il lavoro eseguito]] :<math>W=\int_A^B PdV\ </math> Con l'integrale esteso a tutta la trasformazione. Per il calcolo del lavoro nel caso dei fluidi omogenei risulta comodo utilizzare come variabili termodinamiche indipendenti: la pressione ed il volume occupato dal fluido. La rappresentazione grafica di tali variabili viene detta piano di Clapeyron. Consideriamo a titolo esemplificativo una trasformazione per stati di equilibrio termodinamico che vada dallo stato <math>A\ </math> allo stato finale <math>B\ </math>, come indicato nella figura. La forma della curva dipende dal tipo di trasformazione considerata con questa rappresentazione il lavoro eseguito dal sistema è dato dall'integrale <math>W=\int_{V_A}^{V_B} PdV\ </math> Dove i volumi <math>V_A\ </math> e <math>V_B\ </math> sono i volumi iniziali e finali degli stati. Questo lavoro viene rappresentato geometricamente dalla curva tratteggiata in figura: il lavoro è positivo se si va da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>, mentre è negativo se vado da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math>. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 3cb4rq5l7okx43vsbtab6e5miijpwdz 499023 499022 2026-06-06T15:10:03Z Pasquale.Carelli 528 /* Principio zero della Termodinamica */ 499023 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Pressione|Pressione]]== La pressione è una grandezza scalare intensiva definita come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e l'area della superficie stessa: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> Per comprendere meglio questa grandezza, consideriamo inizialmente una sostanza omogenea contenuta in un cilindro indeformabile di altezza <math>h</math> e superficie interna della base pari a <math>S</math>. Se la [[w:Densità|densità]] della sostanza è <math>\rho</math>, la sua massa totale sarà: :<math>m = \rho h S</math> Se applichiamo una forza <math>F_{\perp}</math> normale alla sua faccia superiore, tale forza si trasmetterà lungo il cilindro. Sulla faccia inferiore si risentirà sia della forza applicata sia della forza peso della sostanza stessa. La forza totale per unità di superficie sulla base inferiore sarà quindi pari a: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S} + \frac {mg}{S} = \frac {F_{\perp}}{S} + \rho g h</math> Come è naturale, la pressione sulla faccia inferiore risulta maggiorata a causa del peso del corpo. Tuttavia, se l'altezza h è sufficientemente piccola da rendere il termine idrostatico trascurabile rispetto alla forza applicata (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>), possiamo scrivere semplicemente: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> ===Differenza tra Solidi e Fluidi=== Il comportamento della pressione all'interno della sostanza dipende profondamente dal suo stato di aggregazione: * Nei solidi: Se il solido è ideale e perfettamente incompressibile, la forza applicata verticalmente si trasmette inalterata anche sulle pareti laterali. Se invece il solido è reale e compressibile, la forza esercitata sulla parete inferiore sarà superiore a quella sulle pareti laterali; in questo caso, la trasmissione degli sforzi conserva in parte un carattere vettoriale (proprietà tipica dei tensori degli sforzi nei solidi). Sperimentalmente, per rendere isotropa questa forza, bisognerebbe immergere il solido in un liquido incompressibile. * Nei fluidi (liquidi e gas): La situazione è strutturalmente più semplice. Immaginiamo di esercitare la stessa forza sulla faccia superiore del cilindro contenente un fluido. Se il fluido è un gas, esso si comprimerà notevolmente (riducendo il proprio volume); se è un liquido, la variazione di volume sarà pressoché trascurabile, analogamente a un solido. In entrambi i casi, se trascuriamo gli effetti della gravità (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>), la forza per unità di superficie nei fluidi perde qualsiasi carattere di direzionalità. Troveremo infatti che la medesima pressione viene esercitata orthogonalmente su qualsiasi punto delle pareti del recipiente, indipendentemente dalla loro orientazione o dalla forma del contenitore (Principio di Pascal). Pertanto, nei fluidi la pressione ha a tutti gli effetti un carattere puramente scalare: può dipendere dalla coordinata spaziale (come vedremo con la gravità), ma non dalla direzione della superficie considerata. ===Unità di misura e strumenti=== Nel Sistema Internazionale (SI), la pressione si misura in Pascal (simbolo <math>\text{Pa}</math>), definito come un Newton su metro quadro: :<math>1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2</math> L'aver trascurato la forza di gravità è una semplificazione spesso non lecita su grande scala. Nell'atmosfera terrestre, ad esempio, la gravità è la diretta responsabile della pressione dell'aria. Per motivi storici e pratici, è comune misurare la pressione utilizzando come riferimento la pressione media dell'aria al livello del mare, definita come Atmosfera (<math>\text{atm}</math>), o il <math>bar</math>. Le relazioni di conversione con il Sistema Internazionale sono: :<math>1\ \text{atm} = 1.01325 \times 10^{5}\ \text{Pa}</math> :<math>1\ \text{bar} = 10^{5}\ \text{Pa}</math> Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione dei fluidi si chiamano manometri (se misurano una differenza di pressione rispetto a quella atmosferica) o barometri (se misurano la pressione atmosferica assoluta). ===La pressione in Termodinamica=== In termodinamica, la pressione di un sistema in equilibrio è una variabile di stato intensiva. Ciò significa che il suo valore non dipende dall'estensione del sistema: se prendiamo due sistemi termodinamici identici alla stessa pressione <math>p</math> e li uniamo idealmente, il sistema globale risultante avrà ancora la medesima pressione <math>p</math>. Dal punto di vista microscopico ([[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]), la pressione di un fluido è l'effetto macroscopico degli [[w:Urto_elastico|urti elastici]] continui che le molecole del fluido esercitano contro le pareti del recipiente. Tale pressione macroscopicamente aumenta all'aumentare del numero di urti nell'unità di tempo (ovvero all'aumentare della densità del fluido) e al crescere dell'energia cinetica media delle particelle (ovvero all'aumentare della temperatura). ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto intuitivo molto antico, legato inizialmente alle nostre percezioni sensoriali di ''caldo'' e ''freddo''. I primi tentativi di descriverla in termini scientifici risalgono all'antichità, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poterono effettuare le prime stime numeriche e riproducibili del suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano in modo macroscopico e regolare con la temperatura, fornendo una base oggettiva per la sua misurazione al di là della sensibilità fisiologica umana. Una delle più semplici e storicamente utilizzate è la dilatazione termica dei liquidi: i termometri a mercurio (o ad alcool), in cui il fluido è contenuto in un recipiente capillare di vetro il cui volume subisce una variazione trascurabile, ne sono un classico esempio. Poiché anche molte altre proprietà fisiche (come la resistenza elettrica nei termistori o la suscettività magnetica nei paramagneti) dipendono dalla temperatura, oggi disponiamo di una notevole varietà di strumenti di misura. ===Le scale termometriche=== Per associare un valore numerico alla temperatura è necessario definire una scala termometrica. La scala empirica più diffusa nei paesi occidentali non anglosassoni è la scala '''Celsius''', basata sulle proprietà di transizione di fase dell'acqua alla pressione standard di un'atmosfera. Questa scala assume convenzionalmente come <math>0\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di fusione del ghiaccio e come <math>100\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua. Nei paesi anglosassoni è ancora utilizzata la scala '''Fahrenheit'''. In questa configurazione, il punto di congelamento dell'acqua corrisponde a <math>32\ ^\circ\text{F}</math> e quello di ebollizione a <math>212\ ^\circ\text{F}</math> (originariamente, lo zero era associato alla temperatura minima di una miscela frigorifera di ghiaccio, acqua e cloruro di ammonio, mentre i <math>96\ ^\circ\text{F}</math> circa rappresentavano la temperatura del corpo umano). La formula di conversione tra le due scale è: :<math>T_\text{F} = 32 + \frac{9}{5}T_\text{C}</math> In ambito scientifico, a tali scale empiriche si preferisce la scala assoluta '''Kelvin'''. Essa fissa il proprio zero in corrispondenza del minimo teorico per un sistema termodinamico, lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]], mantenendo il medesimo intervallo unitario (il ''grado'') della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto si colloca a una temperatura sperimentale di <math>-273.15\ ^\circ\text{C}</math>, la conversione da gradi Celsius a kelvin (il cui simbolo è semplicemente <math>\text{K}</math>, senza il segno di grado) è data da: :<math>T_\text{K} = T_\text{C} + 273.15</math> ===Interpretazione microscopica=== Dal punto di vista della meccanica statistica e della teoria cinetica, la temperatura di un gas rarefatto ([[w:Gas_ideale|gas ideale]]) rappresenta una misura diretta dell'energia cinetica media di traslazione delle molecole che lo compongono. Attraverso gli urti elastici microscopici, le molecole si scambiano continuamente energia, tendendo a distribuirla uniformemente secondo il [[w:Teorema_di_equipartizione_dell%27energia|principio di equipartizione dell'energia]]. Il numero di gradi di libertà microscopicamente attivi determina come questa energia viene immagazzinata: * Nei gas monoatomici, l'energia cinetica traslazionale rappresenta l'unica forma di energia microscopica. * Nei gas biatomici o poliatomici, oltre alla traslazione, emergono ulteriori gradi di libertà interni associati ai moti rotazionali e vibrazionali delle molecole (questi ultimi modellizzabili come oscillatori armonici). * Nei fluidi densi, l'interazione intermolecolare non è più trascurabile e la temperatura risulta connessa anche all'energia potenziale dovuta alle forze di coesione interna. * Nel caso limite di un solido cristallino, gli atomi non traslano ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio. Ogni atomo si comporta come un oscillatore armonico tridimensionale, caratterizzato da 6 gradi di libertà (3 legati all'energia cinetica e 3 all'energia potenziale elastica del reticolo). Infine, il concetto di temperatura non è vincolato esclusivamente alla presenza di materia ponderabile. È infatti possibile definire rigorosamente la temperatura del vuoto termodinamico attraverso lo studio della radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]], ovvero lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico all'interno di una cavità. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Un sistema macroscopicamente isolato si trova in uno stato di equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato (come pressione, volume, temperatura e composizione chimica) rimangono costanti nel tempo e non si osserva alcun flusso netto di materia o di energia né al suo interno, né con l'ambiente circostante. Affinché si realizzi l'equilibrio termodinamico, devono verificarsi simultaneamente tre condizioni indipendenti: * '''Equilibrio meccanico:''' Si ha quando la risultante delle forze (interne ed esterne) e dei momenti agenti sul sistema è nulla. In assenza di campi di forza esterni, questo implica che la pressione p deve essere uniforme in ogni punto del sistema. Se la pressione non fosse uniforme, si genererebbero moti macroscopici di materia (correnti) fino al ripristino dell'omogeneità. * '''Equilibrio chimico:''' Si verifica quando all'interno del sistema non avvengono reazioni chimiche nette e non si riscontrano fenomeni di diffusione o trasferimento di materia tra le diverse parti o fasi del sistema. Di conseguenza, la composizione chimica e la massa locale rimangono costanti nel tempo. * '''Equilibrio termico:''' Si realizza quando la temperatura T del sistema non solo smette di variare nel tempo, ma assume il medesimo valore in ogni punto del sistema. La presenza di differenze di temperatura provocherebbe infatti un passaggio spontaneo di calore dalle zone più calde a quelle più fredde. ===Uniformità delle grandezze e campi di forza=== Come regola generale, lo stato di equilibrio termodinamico di un corpo omogeneo implica che le sue proprietà intensive (pressione, densità e temperatura) siano uniformi al suo interno. Tuttavia, è necessario fare una precisazione fondamentale riguardo all'equilibrio meccanico in presenza di campi di forza esterni ponderabili, come il campo gravitazionale. L'acqua di un lago calmo è un sistema all'equilibrio termodinamico, ma la sua pressione e densità non è uniformi nello spazio: varia con la quota secondo la [[w:Legge_di_Stevino|legge di Stevino]]. In questo caso, l'equilibrio meccanico non richiede l'uniformità della pressione, ma il bilanciamento locale tra le forze di pressione e la forza peso. Al contrario, l'equilibrio termico richiede sempre e rigorosamente che la temperatura sia perfettamente uniforme, anche in presenza di gravità. ===Stato di equilibrio vs Stato stazionario=== Per comprendere a fondo l'equilibrio è utile distinguerlo dal concetto di stato stazionario. Immaginiamo, ad esempio, un fiume in cui confluisce una sorgente d'acqua gelida. Se monitoriamo il fiume in un regime regolare, noteremo che in ogni singolo punto la temperatura rimane costante nel tempo. Tuttavia, spostandoci lungo il corso del fiume, registreremo forti variazioni spaziali della temperatura (un gradiente termico). Questo sistema non è in equilibrio termodinamico, bensì in uno stato stazionario fuori dall'equilibrio: le grandezze sono costanti nel tempo solo perché vi è un flusso continuo e forzato di materia e di energia che attraversa il sistema. Se isolassimo idealmente una porzione di quel fiume interrompendo i flussi, le correnti termiche interne continuerebbero a fluire fino a che la temperatura non sia diventata perfettamente uniforme in ogni punto, raggiungendo solo allora il vero equilibrio termodinamico. Anche l'atmosfera terrestre reale è un esempio di stato stazionario, ma non in equilibrio termodinamico. L'atmosfera non si trova in un vero equilibrio termodinamico: oltre alla pressione, anche la sua temperatura varia fortemente con la quota (diminuendo nella troposfera di circa <math>6.5\ ^\circ\text{C}</math> per ogni chilometro di altitudine). Questa variazione termica è dovuta al fatto che l'atmosfera è un sistema aperto, costantemente attraversato da flussi di energia (il riscaldamento del suolo da parte del Sole e il successivo irraggiamento verso lo spazio). L'atmosfera reale si trova quindi in un regime dinamico e stazionario fuori dall'equilibrio. Se potessimo isolare idealmente l'intera atmosfera terrestre da ogni fonte di calore esterna, i moti convettivi e i flussi di calore continuerebbero a trasferire energia fino a quando la temperatura non fosse diventata perfettamente identica a qualsiasi quota (atmosfera isotermica). Solo a quel punto il sistema avrebbe raggiunto il vero equilibrio termodinamico, mantenendo la pressione stratificata dalla gravità, ma la temperatura totalmente uniforme. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un assioma fondamentale che formalizza le condizioni di equilibrio termico tra corpi a contatto e fornisce la giustificazione logica per la definizione e la misurazione della temperatura stessa.L'enunciato stabilisce che:Se un sistema termodinamico <math>A</math> è in equilibrio termico con un sistema <math>B</math>, e lo stesso sistema <math>B</math> è in equilibrio termico con un terzo sistema <math>C</math>, allora i sistemi <math>A</math> e <math>C</math> sono in equilibrio termico tra loro. In termini strettamente matematici, il principio zero afferma che la relazione di equilibrio termico tra sistemi è una proprietà transitiva. Poiché tale relazione gode anche delle proprietà riflessiva (ogni sistema è in equilibrio con se stesso) e simmetrica (se <math>A</math> è in equilibrio con <math>B</math>, <math>B</math> lo è con <math>A</math>), l'equilibrio termico costituisce una vera e propria relazione di equivalenza. ===Il principio alla base del termometro=== Questa proprietà transitiva è ciò che rende possibile la misurazione della temperatura. Se definiamo la temperatura come la proprietà macroscopica che determina se due o più corpi sono in equilibrio termico tra loro, allora due corpi a contatto si troveranno in equilibrio termico se e solo se possiedono la stessa temperatura.In questo contesto, il terzo sistema <math>B</math> dell'enunciato agisce esattamente come un termometro. Per verificare se due corpi distanti o che non possono interagire tra loro (<math>A</math> e <math>C</math>) si trovano alla stessa temperatura, non è necessario metterli in contatto diretto: è sufficiente misurare entrambi con lo stesso strumento <math>B</math>. Se lo strumento non mostra variazioni nelle sue proprietà termometriche (come l'altezza della colonna di liquido o la resistenza elettrica) nel passaggio da un corpo all'altro, possiamo concludere che <math>A</math> e <math>C</math> hanno la stessa temperatura. ===Note storiche=== Sebbene questo principio rappresenti un'assunzione basilare e logicamente antecedente agli altri postulati della termodinamica, la sua importanza cruciale come fondamento della teoria venne riconosciuta formalmente solo negli anni Trenta del Novecento (grazie a [[w:Ralph_Fowler|Ralph H. Fowler]]), molto tempo dopo la formulazione e la diffusione del [[w:Primo principio della termodinamica|primo]] e del [[w:Secondo principio della termodinamica|secondo principio]] della termodinamica. Per evitare di dover rinumerare i principi cardine ormai universalmente noti e consolidati nella letteratura scientifica, si decise di battezzarlo '''Principio zero'''. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|400px|right|Un gas (in giallo) dentro un pistone]] Il lavoro è in realtà un concetto che è ben definito dalla meccanica. In termodinamica fisica si definisce positivo il lavoro che il sistema compie sui corpi esterni, mentre è negativo quello che i corpi esterni compiono sul sistema. Il caso più semplice da descrivere è quello di un cilindro con un pistone mobile, come in figura. Il sistema in questo caso è un gas in equilibrio termodinamico. Sia <math>p\ </math> la pressione che il gas esercita sulle pareti del recipiente ed in particolare sul pistone. Quindi se <math>S\ </math> è la superficie del cilindro <math>pS\ </math> sarà la forza che il gas esercita sul pistone. Se il pistone si sposta di un tratto infinitesimo <math>dz\ </math>, viene compiuto un lavoro, che solleva il peso (corpo esterno), pari a: :<math>dW=pSdz\ </math> Il questo caso infatti lo spostamento <math>dz\ </math> è parallelo alla forza. Notiamo che in realtà: :<math>dV=Sdz\ </math> Non è altro che l'aumento di volume. Quindi si può scrivere. :<math>dW=pdV\ </math> Il pistone mobile può spostarsi verso l'esterno aumentando il volume del gas: in questo caso si ha una espansione (lavoro positivo). In realtà in un processo di questo genere le forze interne di pressione producono lavoro che facilmente siamo in grado di quantizzare. Il procedimento inverso di riduzione del volume va sotto il nome di compressione. Perché una trasformazione di questo tipo sia reversibile, su tale concetto torneremo nel seguito, non occorre solo che avvenga per successivi stati equilibrio. Ma occorre che all'interno del gas la pressione come le altre variabili termodinamiche non vari (spazialmente), e inoltre che il moto del pistone lungo la parete del cilindro si effettui senza attrito. Infatti non conosciamo nessun processo in cui l'energia meccanica dissipata per attrito possa essere restituita sotto forma di energia meccanica macroscopica, quindi rendendo possibile la reversibilità della trasformazione. Inoltre per avere una trasformazione reversibile occorre che la forza esterna sia istante per istante eguale a quella interna. Quindi se abbiamo un cilindro contenente un gas a pressione diversa da quella dell'ambiente esterno (ad esempio la pressione atmosferica) dovremo bilanciare istante per istante la forza interna con la forza esterna per avere una trasformazione reversibile. Che il lavoro infinitesimo fatto da un gas durante la sua espansione sia pari a <math>dW=pdV\ </math> non dipende dalla forma del recipiente ma non viene qui dimostrato: E. Fermi lo ha dimostrato nel suo libro di termodinamica<ref name=Fermi> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. Il lavoro fatto dalle forze interne è massimo quando la trasformazione è reversibile, solo in tale caso la pressione del gas interno è eguale alla forza esterna agente sul pistone. Se l'espansione avviene troppo rapidamente si crea una variazione di pressione nel cilindro che va dal valore massimo fino alla pressione esterna agente sul cilindro, la forza che agirà sulla superficie di base del cilindro non sarà quella della dovuta alla pressione di equilibrio, ma una forza minore che è pari alla pressione esterna per la superficie del pistone. Se facciamo avvenire la trasformazione per stati di equilibrio dallo stato iniziale <math>A\ </math> alla stato finale <math>B\ </math>, il lavoro finito della trasformazione si ottiene integrando l'equazione [[Image:Lavoro.png|thumb|500px|left|Una trasformazione generica nel piano di Clapeyron con il lavoro eseguito]] :<math>W=\int_A^B PdV\ </math> Con l'integrale esteso a tutta la trasformazione. Per il calcolo del lavoro nel caso dei fluidi omogenei risulta comodo utilizzare come variabili termodinamiche indipendenti: la pressione ed il volume occupato dal fluido. La rappresentazione grafica di tali variabili viene detta piano di Clapeyron. Consideriamo a titolo esemplificativo una trasformazione per stati di equilibrio termodinamico che vada dallo stato <math>A\ </math> allo stato finale <math>B\ </math>, come indicato nella figura. La forma della curva dipende dal tipo di trasformazione considerata con questa rappresentazione il lavoro eseguito dal sistema è dato dall'integrale <math>W=\int_{V_A}^{V_B} PdV\ </math> Dove i volumi <math>V_A\ </math> e <math>V_B\ </math> sono i volumi iniziali e finali degli stati. Questo lavoro viene rappresentato geometricamente dalla curva tratteggiata in figura: il lavoro è positivo se si va da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>, mentre è negativo se vado da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math>. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} r0ejw4zyyvdhwilnbay5slmh2pf4vxc 499024 499023 2026-06-06T15:42:11Z Pasquale.Carelli 528 /* Lavoro */ riscritto dall'inizio 499024 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Pressione|Pressione]]== La pressione è una grandezza scalare intensiva definita come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e l'area della superficie stessa: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> Per comprendere meglio questa grandezza, consideriamo inizialmente una sostanza omogenea contenuta in un cilindro indeformabile di altezza <math>h</math> e superficie interna della base pari a <math>S</math>. Se la [[w:Densità|densità]] della sostanza è <math>\rho</math>, la sua massa totale sarà: :<math>m = \rho h S</math> Se applichiamo una forza <math>F_{\perp}</math> normale alla sua faccia superiore, tale forza si trasmetterà lungo il cilindro. Sulla faccia inferiore si risentirà sia della forza applicata sia della forza peso della sostanza stessa. La forza totale per unità di superficie sulla base inferiore sarà quindi pari a: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S} + \frac {mg}{S} = \frac {F_{\perp}}{S} + \rho g h</math> Come è naturale, la pressione sulla faccia inferiore risulta maggiorata a causa del peso del corpo. Tuttavia, se l'altezza h è sufficientemente piccola da rendere il termine idrostatico trascurabile rispetto alla forza applicata (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>), possiamo scrivere semplicemente: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> ===Differenza tra Solidi e Fluidi=== Il comportamento della pressione all'interno della sostanza dipende profondamente dal suo stato di aggregazione: * Nei solidi: Se il solido è ideale e perfettamente incompressibile, la forza applicata verticalmente si trasmette inalterata anche sulle pareti laterali. Se invece il solido è reale e compressibile, la forza esercitata sulla parete inferiore sarà superiore a quella sulle pareti laterali; in questo caso, la trasmissione degli sforzi conserva in parte un carattere vettoriale (proprietà tipica dei tensori degli sforzi nei solidi). Sperimentalmente, per rendere isotropa questa forza, bisognerebbe immergere il solido in un liquido incompressibile. * Nei fluidi (liquidi e gas): La situazione è strutturalmente più semplice. Immaginiamo di esercitare la stessa forza sulla faccia superiore del cilindro contenente un fluido. Se il fluido è un gas, esso si comprimerà notevolmente (riducendo il proprio volume); se è un liquido, la variazione di volume sarà pressoché trascurabile, analogamente a un solido. In entrambi i casi, se trascuriamo gli effetti della gravità (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>), la forza per unità di superficie nei fluidi perde qualsiasi carattere di direzionalità. Troveremo infatti che la medesima pressione viene esercitata orthogonalmente su qualsiasi punto delle pareti del recipiente, indipendentemente dalla loro orientazione o dalla forma del contenitore (Principio di Pascal). Pertanto, nei fluidi la pressione ha a tutti gli effetti un carattere puramente scalare: può dipendere dalla coordinata spaziale (come vedremo con la gravità), ma non dalla direzione della superficie considerata. ===Unità di misura e strumenti=== Nel Sistema Internazionale (SI), la pressione si misura in Pascal (simbolo <math>\text{Pa}</math>), definito come un Newton su metro quadro: :<math>1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2</math> L'aver trascurato la forza di gravità è una semplificazione spesso non lecita su grande scala. Nell'atmosfera terrestre, ad esempio, la gravità è la diretta responsabile della pressione dell'aria. Per motivi storici e pratici, è comune misurare la pressione utilizzando come riferimento la pressione media dell'aria al livello del mare, definita come Atmosfera (<math>\text{atm}</math>), o il <math>bar</math>. Le relazioni di conversione con il Sistema Internazionale sono: :<math>1\ \text{atm} = 1.01325 \times 10^{5}\ \text{Pa}</math> :<math>1\ \text{bar} = 10^{5}\ \text{Pa}</math> Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione dei fluidi si chiamano manometri (se misurano una differenza di pressione rispetto a quella atmosferica) o barometri (se misurano la pressione atmosferica assoluta). ===La pressione in Termodinamica=== In termodinamica, la pressione di un sistema in equilibrio è una variabile di stato intensiva. Ciò significa che il suo valore non dipende dall'estensione del sistema: se prendiamo due sistemi termodinamici identici alla stessa pressione <math>p</math> e li uniamo idealmente, il sistema globale risultante avrà ancora la medesima pressione <math>p</math>. Dal punto di vista microscopico ([[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]), la pressione di un fluido è l'effetto macroscopico degli [[w:Urto_elastico|urti elastici]] continui che le molecole del fluido esercitano contro le pareti del recipiente. Tale pressione macroscopicamente aumenta all'aumentare del numero di urti nell'unità di tempo (ovvero all'aumentare della densità del fluido) e al crescere dell'energia cinetica media delle particelle (ovvero all'aumentare della temperatura). ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto intuitivo molto antico, legato inizialmente alle nostre percezioni sensoriali di ''caldo'' e ''freddo''. I primi tentativi di descriverla in termini scientifici risalgono all'antichità, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poterono effettuare le prime stime numeriche e riproducibili del suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano in modo macroscopico e regolare con la temperatura, fornendo una base oggettiva per la sua misurazione al di là della sensibilità fisiologica umana. Una delle più semplici e storicamente utilizzate è la dilatazione termica dei liquidi: i termometri a mercurio (o ad alcool), in cui il fluido è contenuto in un recipiente capillare di vetro il cui volume subisce una variazione trascurabile, ne sono un classico esempio. Poiché anche molte altre proprietà fisiche (come la resistenza elettrica nei termistori o la suscettività magnetica nei paramagneti) dipendono dalla temperatura, oggi disponiamo di una notevole varietà di strumenti di misura. ===Le scale termometriche=== Per associare un valore numerico alla temperatura è necessario definire una scala termometrica. La scala empirica più diffusa nei paesi occidentali non anglosassoni è la scala '''Celsius''', basata sulle proprietà di transizione di fase dell'acqua alla pressione standard di un'atmosfera. Questa scala assume convenzionalmente come <math>0\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di fusione del ghiaccio e come <math>100\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua. Nei paesi anglosassoni è ancora utilizzata la scala '''Fahrenheit'''. In questa configurazione, il punto di congelamento dell'acqua corrisponde a <math>32\ ^\circ\text{F}</math> e quello di ebollizione a <math>212\ ^\circ\text{F}</math> (originariamente, lo zero era associato alla temperatura minima di una miscela frigorifera di ghiaccio, acqua e cloruro di ammonio, mentre i <math>96\ ^\circ\text{F}</math> circa rappresentavano la temperatura del corpo umano). La formula di conversione tra le due scale è: :<math>T_\text{F} = 32 + \frac{9}{5}T_\text{C}</math> In ambito scientifico, a tali scale empiriche si preferisce la scala assoluta '''Kelvin'''. Essa fissa il proprio zero in corrispondenza del minimo teorico per un sistema termodinamico, lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]], mantenendo il medesimo intervallo unitario (il ''grado'') della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto si colloca a una temperatura sperimentale di <math>-273.15\ ^\circ\text{C}</math>, la conversione da gradi Celsius a kelvin (il cui simbolo è semplicemente <math>\text{K}</math>, senza il segno di grado) è data da: :<math>T_\text{K} = T_\text{C} + 273.15</math> ===Interpretazione microscopica=== Dal punto di vista della meccanica statistica e della teoria cinetica, la temperatura di un gas rarefatto ([[w:Gas_ideale|gas ideale]]) rappresenta una misura diretta dell'energia cinetica media di traslazione delle molecole che lo compongono. Attraverso gli urti elastici microscopici, le molecole si scambiano continuamente energia, tendendo a distribuirla uniformemente secondo il [[w:Teorema_di_equipartizione_dell%27energia|principio di equipartizione dell'energia]]. Il numero di gradi di libertà microscopicamente attivi determina come questa energia viene immagazzinata: * Nei gas monoatomici, l'energia cinetica traslazionale rappresenta l'unica forma di energia microscopica. * Nei gas biatomici o poliatomici, oltre alla traslazione, emergono ulteriori gradi di libertà interni associati ai moti rotazionali e vibrazionali delle molecole (questi ultimi modellizzabili come oscillatori armonici). * Nei fluidi densi, l'interazione intermolecolare non è più trascurabile e la temperatura risulta connessa anche all'energia potenziale dovuta alle forze di coesione interna. * Nel caso limite di un solido cristallino, gli atomi non traslano ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio. Ogni atomo si comporta come un oscillatore armonico tridimensionale, caratterizzato da 6 gradi di libertà (3 legati all'energia cinetica e 3 all'energia potenziale elastica del reticolo). Infine, il concetto di temperatura non è vincolato esclusivamente alla presenza di materia ponderabile. È infatti possibile definire rigorosamente la temperatura del vuoto termodinamico attraverso lo studio della radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]], ovvero lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico all'interno di una cavità. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Un sistema macroscopicamente isolato si trova in uno stato di equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato (come pressione, volume, temperatura e composizione chimica) rimangono costanti nel tempo e non si osserva alcun flusso netto di materia o di energia né al suo interno, né con l'ambiente circostante. Affinché si realizzi l'equilibrio termodinamico, devono verificarsi simultaneamente tre condizioni indipendenti: * '''Equilibrio meccanico:''' Si ha quando la risultante delle forze (interne ed esterne) e dei momenti agenti sul sistema è nulla. In assenza di campi di forza esterni, questo implica che la pressione p deve essere uniforme in ogni punto del sistema. Se la pressione non fosse uniforme, si genererebbero moti macroscopici di materia (correnti) fino al ripristino dell'omogeneità. * '''Equilibrio chimico:''' Si verifica quando all'interno del sistema non avvengono reazioni chimiche nette e non si riscontrano fenomeni di diffusione o trasferimento di materia tra le diverse parti o fasi del sistema. Di conseguenza, la composizione chimica e la massa locale rimangono costanti nel tempo. * '''Equilibrio termico:''' Si realizza quando la temperatura T del sistema non solo smette di variare nel tempo, ma assume il medesimo valore in ogni punto del sistema. La presenza di differenze di temperatura provocherebbe infatti un passaggio spontaneo di calore dalle zone più calde a quelle più fredde. ===Uniformità delle grandezze e campi di forza=== Come regola generale, lo stato di equilibrio termodinamico di un corpo omogeneo implica che le sue proprietà intensive (pressione, densità e temperatura) siano uniformi al suo interno. Tuttavia, è necessario fare una precisazione fondamentale riguardo all'equilibrio meccanico in presenza di campi di forza esterni ponderabili, come il campo gravitazionale. L'acqua di un lago calmo è un sistema all'equilibrio termodinamico, ma la sua pressione e densità non è uniformi nello spazio: varia con la quota secondo la [[w:Legge_di_Stevino|legge di Stevino]]. In questo caso, l'equilibrio meccanico non richiede l'uniformità della pressione, ma il bilanciamento locale tra le forze di pressione e la forza peso. Al contrario, l'equilibrio termico richiede sempre e rigorosamente che la temperatura sia perfettamente uniforme, anche in presenza di gravità. ===Stato di equilibrio vs Stato stazionario=== Per comprendere a fondo l'equilibrio è utile distinguerlo dal concetto di stato stazionario. Immaginiamo, ad esempio, un fiume in cui confluisce una sorgente d'acqua gelida. Se monitoriamo il fiume in un regime regolare, noteremo che in ogni singolo punto la temperatura rimane costante nel tempo. Tuttavia, spostandoci lungo il corso del fiume, registreremo forti variazioni spaziali della temperatura (un gradiente termico). Questo sistema non è in equilibrio termodinamico, bensì in uno stato stazionario fuori dall'equilibrio: le grandezze sono costanti nel tempo solo perché vi è un flusso continuo e forzato di materia e di energia che attraversa il sistema. Se isolassimo idealmente una porzione di quel fiume interrompendo i flussi, le correnti termiche interne continuerebbero a fluire fino a che la temperatura non sia diventata perfettamente uniforme in ogni punto, raggiungendo solo allora il vero equilibrio termodinamico. Anche l'atmosfera terrestre reale è un esempio di stato stazionario, ma non in equilibrio termodinamico. L'atmosfera non si trova in un vero equilibrio termodinamico: oltre alla pressione, anche la sua temperatura varia fortemente con la quota (diminuendo nella troposfera di circa <math>6.5\ ^\circ\text{C}</math> per ogni chilometro di altitudine). Questa variazione termica è dovuta al fatto che l'atmosfera è un sistema aperto, costantemente attraversato da flussi di energia (il riscaldamento del suolo da parte del Sole e il successivo irraggiamento verso lo spazio). L'atmosfera reale si trova quindi in un regime dinamico e stazionario fuori dall'equilibrio. Se potessimo isolare idealmente l'intera atmosfera terrestre da ogni fonte di calore esterna, i moti convettivi e i flussi di calore continuerebbero a trasferire energia fino a quando la temperatura non fosse diventata perfettamente identica a qualsiasi quota (atmosfera isotermica). Solo a quel punto il sistema avrebbe raggiunto il vero equilibrio termodinamico, mantenendo la pressione stratificata dalla gravità, ma la temperatura totalmente uniforme. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un assioma fondamentale che formalizza le condizioni di equilibrio termico tra corpi a contatto e fornisce la giustificazione logica per la definizione e la misurazione della temperatura stessa.L'enunciato stabilisce che:Se un sistema termodinamico <math>A</math> è in equilibrio termico con un sistema <math>B</math>, e lo stesso sistema <math>B</math> è in equilibrio termico con un terzo sistema <math>C</math>, allora i sistemi <math>A</math> e <math>C</math> sono in equilibrio termico tra loro. In termini strettamente matematici, il principio zero afferma che la relazione di equilibrio termico tra sistemi è una proprietà transitiva. Poiché tale relazione gode anche delle proprietà riflessiva (ogni sistema è in equilibrio con se stesso) e simmetrica (se <math>A</math> è in equilibrio con <math>B</math>, <math>B</math> lo è con <math>A</math>), l'equilibrio termico costituisce una vera e propria relazione di equivalenza. ===Il principio alla base del termometro=== Questa proprietà transitiva è ciò che rende possibile la misurazione della temperatura. Se definiamo la temperatura come la proprietà macroscopica che determina se due o più corpi sono in equilibrio termico tra loro, allora due corpi a contatto si troveranno in equilibrio termico se e solo se possiedono la stessa temperatura.In questo contesto, il terzo sistema <math>B</math> dell'enunciato agisce esattamente come un termometro. Per verificare se due corpi distanti o che non possono interagire tra loro (<math>A</math> e <math>C</math>) si trovano alla stessa temperatura, non è necessario metterli in contatto diretto: è sufficiente misurare entrambi con lo stesso strumento <math>B</math>. Se lo strumento non mostra variazioni nelle sue proprietà termometriche (come l'altezza della colonna di liquido o la resistenza elettrica) nel passaggio da un corpo all'altro, possiamo concludere che <math>A</math> e <math>C</math> hanno la stessa temperatura. ===Note storiche=== Sebbene questo principio rappresenti un'assunzione basilare e logicamente antecedente agli altri postulati della termodinamica, la sua importanza cruciale come fondamento della teoria venne riconosciuta formalmente solo negli anni Trenta del Novecento (grazie a [[w:Ralph_Fowler|Ralph H. Fowler]]), molto tempo dopo la formulazione e la diffusione del [[w:Primo principio della termodinamica|primo]] e del [[w:Secondo principio della termodinamica|secondo principio]] della termodinamica. Per evitare di dover rinumerare i principi cardine ormai universalmente noti e consolidati nella letteratura scientifica, si decise di battezzarlo '''Principio zero'''. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|300px|right|Un gas (in giallo) espandendosi all'interno di un cilindro compie lavoro sollevando un pistone mobile.]] Il concetto di lavoro in termodinamica deriva direttamente dalla meccanica classica, ma assume una forte rilevanza macroscopica legata alle variazioni di volume del sistema. Nella fisica termodinamica si adotta convenzionalmente la ''convenzione dei fisici'', secondo la quale si definisce positivo il lavoro compiuto dal sistema sull'ambiente esterno (ad esempio durante un'espansione), mentre si considera negativo il lavoro compiuto dall'ambiente sul sistema (durante una compressione). Il caso più semplice e intuitivo da analizzare è quello di un cilindro termicamente isolato, chiuso superiormente da un pistone mobile privo di massa e di attrito, contenente un fluido (ad esempio un gas) in equilibrio termodinamico. Sia <math>p</math> la pressione uniforme che il gas esercita sulle pareti del recipiente e sulla base del pistone. Se <math>S</math> è l'area della superficie del pistone, la forza normale esercitata dal gas su di esso sarà pari a <math>F=p S</math>. Se il gas si espande, provocando uno spostamento infinitesimo del pistone lungo la direzione verticale pari a <math>dz</math> (parallelo alla forza), il lavoro infinitesimo dW compiuto dal gas per sollevare il carico esterno è dato da: :<math>dW = F dz = p S dz</math> Poiché il prodotto <math>S dz</math> rappresenta geometricamente l'aumento infinitesimo di volume del cilindro (<math>dV = S dz</math>), l'espressione del lavoro termodinamico si riduce alla forma fondamentale: :<math>dW = p dV</math> Sebbene questa relazione sia stata ricavata per un cilindro geometricamente regolare, la sua validità è generale: il lavoro infinitesimo associato a una variazione di volume dV di un fluido a pressione p è sempre pari a p dV, indipendentemente dalla forma del recipiente che lo contiene<ref> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. ===Reversibilità e dinamica del processo=== Il passaggio da un lavoro infinitesimo al calcolo del lavoro totale compiuto durante una trasformazione finita richiede un'analisi approfondita delle modalità con cui avviene la trasformazione stessa. Il processo opposto all'espansione prende il nome di compressione (<math>dV < 0</math>, lavoro negativo). Affinché una trasformazione di espansione o compressione possa dirsi reversibile, non è sufficiente che essa avvenga attraverso una successione continua di stati di perfetto equilibrio termodinamico. Devono essere soddisfatte altre due condizioni cruciali: * Assenza di attriti: Il moto del pistone lungo le pareti del cilindro deve avvenire senza alcuna dissipazione meccanica. Non esiste infatti alcun processo naturale in grado di riconvertire integralmente l'energia termica generata dall'attrito in lavoro meccanico macroscopico. * Equilibrio delle forze: La forza esterna agente sul pistone deve essere, in ogni istante, quasi-identica alla forza interna esercitata dal gas (<math>F_{\text{est}} \approx F_{\text{int}}</math>). Se il cilindro contiene un gas a pressione nettamente superiore a quella dell'ambiente, per garantire la reversibilità sarà necessario bilanciare la spinta interna modificando con continuità la forza esterna (ad esempio rimuovendo masse infinitesime dal pistone una alla volta). Se l'espansione avviene troppo rapidamente (trasformazione irreversibile), l'equilibrio interno si rompe: si generano gradienti di pressione e moti turbolenti nel cilindro. In un'espansione violenta, la forza reale esercitata sul pistone risulta inferiore a quella calcolata tramite la pressione di equilibrio termodinamico. Da ciò deriva una proprietà fondamentale: durante un'espansione, il lavoro compiuto dal sistema è massimo quando la trasformazione è reversibile. Al contrario, durante una compressione, il lavoro che l'ambiente deve compiere sul sistema è minimo se il processo è reversibile. ===Il piano di Clapeyron e il calcolo del lavoro=== [[Image:Lavoro.png|thumb|350px|left|Rappresentazione di una trasformazione generica nel piano di Clapeyron. L'area tratteggiata sottesa dalla curva rappresenta il lavoro compiuto.]] Per lo studio dei sistemi termodinamici fluidi e omogenei è estremamente utile descrivere gli stati di equilibrio scegliendo come variabili indipendenti la pressione <math>p</math> e il volume <math>V</math>. Lo spazio bidimensionale generato da questi due assi coordinati prende il nome di [[w:Piano_di_Clapeyron|piano di Clapeyron]] (o diagramma <math>p-V</math>). Una trasformazione reversibile (o quasi-statica) che porta il sistema da uno stato iniziale <math>A</math> a uno stato finale <math>B</math> viene rappresentata nel piano di Clapeyron da una linea continua, la cui forma geometrica dipende dallo specifico processo termodinamico seguito (ad esempio un'isoterma, un'isobara, ecc.). Il lavoro totale <math>W</math> scambiato dal sistema durante la trasformazione si ottiene integrando l'espressione del lavoro infinitesimo lungo il cammino che connette i due stati: :<math>W = \int_{A}^{B} p dV = \int_{V_A}^{V_B} p(V) dV</math> Da un punto di vista geometrico, questo integrale rappresenta l'area della regione di piano sottesa dalla curva che descrive la trasformazione, limitata dai valori dei volumi <math>V_A</math> e <math>V_B</math>. Coerentemente con la convenzione sui segni, l'area esprime un lavoro positivo se la trasformazione si muove nel verso delle ascisse crescenti (espansione da <math>A</math> a <math>B</math>), mentre esprime un lavoro negativo se si muove nel verso delle ascisse decrescenti (compressione da <math>B</math> a <math>A</math>). Poiché l'area sottesa dipende strettamente dal percorso seguito nel piano per andare da <math>A</math> a <math>B</math>, il lavoro non è una funzione di stato: il suo valore finale non dipende solo dai punti di partenza e arrivo, ma dall'intera storia della trasformazione. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} oe9kf7gyl9k5s7kkb0va02v0eiazkqq 499027 499024 2026-06-06T16:37:49Z Pasquale.Carelli 528 /* Pressione */ riscritta di nuovo per quanto riguarda i fluidi 499027 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Pressione|Pressione]]== La pressione è una grandezza scalare intensiva definita, in prima approssimazione, come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e l'area della superficie stessa: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> Per comprendere la natura di questa grandezza e il suo comportamento all'interno della materia, consideriamo una sostanza omogenea di [[w:Densità|densità]] <math>\rho</math> contenuta in un cilindro verticale indeformabile di altezza <math>h</math> e superficie di base <math>S</math>. La massa totale della sostanza è data da: :<math>m = \rho h S</math> Se sulla faccia superiore del cilindro viene esercitata una forza esterna <math>F_{\perp}</math> perpendicolare alla superficie, tale forza si trasmette attraverso la sostanza. Sulla base inferiore del cilindro, la forza totale risentita sarà la somma della forza applicata e della forza peso della sostanza stessa. La forza per unità di superficie sulla base inferiore (pressione totale p_{\text{tot}}) risulta quindi: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S} + \frac {mg}{S} = \frac {F_{\perp}}{S} + \rho g h</math> Se l'altezza h del cilindro è sufficientemente piccola, il termine idrostatico legato alla gravità diventa trascurabile rispetto all'effetto della forza esterna (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>). In queste condizioni di quasi-omogeneità dello stato tensionale, possiamo scrivere semplicemente: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> ===Il carattere scalare della pressione nei fluidi=== Nello studio della fisica dei media continui, la descrizione delle forze interne a un corpo richiede l'utilizzo di uno strumento matematico complesso: il tensore degli sforzi. Nei solidi rigidi o elastici, le forze interne dipendono fortemente dall'orientazione della superficie considerata, poiché un solido può sopportare e trasmettere sia sforzi normali (pressioni e trazioni) sia sforzi tangenziali (sforzi di taglio). Di conseguenza, nei solidi lo sforzo conserva una natura intrinsecamente vettoriale e direzionale. La proprietà fondamentale che definisce un fluido (liquido o gas) in equilibrio termodinamico è invece la sua incapacità di sostenere sforzi di taglio. In un fluido a riposo, le forze d'attrito interno sono nulle e le forze che le varie parti di fluido esercitano le une sulle altre, o contro le pareti del recipiente, possono essere esclusivamente perpendicolari alla superficie di contatto. Immaginiamo di isolare idealmente un elemento di volume infinitesimo a forma di prisma triangolare all'interno del fluido. Applicando le equazioni dell'equilibrio statico di Newton a tale elemento, si dimostra che la forza per unità di superficie agente sulla faccia inclinata del prisma è indipendente dall'angolo di inclinazione. Questo comportamento macroscopico determina le seguenti proprietà: # Isotropia: In un punto qualsiasi del fluido, la forza per unità di superficie esercitata dal fluido è identica in ogni direzione. Se immergessimo una superficie ideale infinitesima in quel punto, l'intensità della forza agente su di essa non cambierebbe ruotando la superficie nello spazio. # Ortogonalità vincolata: La direzione della forza infinitesima <math>d\vec{F}</math> esercitata sulla superficie <math>dS</math> è univocamente determinata dalla geometria della superficie stessa, essendo sempre diretta lungo la normale \hat{n} a quest'ultima: :<math>d\vec{F} = p , dS , \hat{n}</math> Dato che la direzione e il verso della forza sono imposti esclusivamente dall'orientazione della superficie considerata e non dalle proprietà intrinseche del fluido in quel punto, la quantità <math>p</math> (il coefficiente di proporzionalità) perde qualsiasi connotazione direzionale. Pertanto, la pressione nei fluidi è a tutti gli effetti una grandezza puramente scalare. Essa è una funzione dello spazio <math>p(x,y,z)</math> che specifica lo stato di sollecitazione interna del fluido in un determinato punto, ma non dipende in alcun modo dall'orientazione della superficie su cui agisce. ===Unità di misura e strumenti=== Nel Sistema Internazionale (SI), la pressione si misura in Pascal (simbolo <math>\text{Pa}</math>), definito come un Newton su metro quadro: :<math>1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2</math> L'aver trascurato la forza di gravità è una semplificazione spesso non lecita su grande scala. Nell'atmosfera terrestre, ad esempio, la gravità è la diretta responsabile della pressione dell'aria. Per motivi storici e pratici, è comune misurare la pressione utilizzando come riferimento la pressione media dell'aria al livello del mare, definita come Atmosfera (<math>\text{atm}</math>), o il <math>bar</math>. Le relazioni di conversione con il Sistema Internazionale sono: :<math>1\ \text{atm} = 1.01325 \times 10^{5}\ \text{Pa}</math> :<math>1\ \text{bar} = 10^{5}\ \text{Pa}</math> Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione dei fluidi si chiamano manometri (se misurano una differenza di pressione rispetto a quella atmosferica) o barometri (se misurano la pressione atmosferica assoluta). ===La pressione in Termodinamica=== In termodinamica, la pressione di un sistema in equilibrio è una variabile di stato intensiva. Ciò significa che il suo valore non dipende dall'estensione del sistema: se prendiamo due sistemi termodinamici identici alla stessa pressione <math>p</math> e li uniamo idealmente, il sistema globale risultante avrà ancora la medesima pressione <math>p</math>. Dal punto di vista microscopico ([[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]), la pressione di un fluido è l'effetto macroscopico degli [[w:Urto_elastico|urti elastici]] continui che le molecole del fluido esercitano contro le pareti del recipiente. Tale pressione macroscopicamente aumenta all'aumentare del numero di urti nell'unità di tempo (ovvero all'aumentare della densità del fluido) e al crescere dell'energia cinetica media delle particelle (ovvero all'aumentare della temperatura). ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto intuitivo molto antico, legato inizialmente alle nostre percezioni sensoriali di ''caldo'' e ''freddo''. I primi tentativi di descriverla in termini scientifici risalgono all'antichità, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poterono effettuare le prime stime numeriche e riproducibili del suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano in modo macroscopico e regolare con la temperatura, fornendo una base oggettiva per la sua misurazione al di là della sensibilità fisiologica umana. Una delle più semplici e storicamente utilizzate è la dilatazione termica dei liquidi: i termometri a mercurio (o ad alcool), in cui il fluido è contenuto in un recipiente capillare di vetro il cui volume subisce una variazione trascurabile, ne sono un classico esempio. Poiché anche molte altre proprietà fisiche (come la resistenza elettrica nei termistori o la suscettività magnetica nei paramagneti) dipendono dalla temperatura, oggi disponiamo di una notevole varietà di strumenti di misura. ===Le scale termometriche=== Per associare un valore numerico alla temperatura è necessario definire una scala termometrica. La scala empirica più diffusa nei paesi occidentali non anglosassoni è la scala '''Celsius''', basata sulle proprietà di transizione di fase dell'acqua alla pressione standard di un'atmosfera. Questa scala assume convenzionalmente come <math>0\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di fusione del ghiaccio e come <math>100\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua. Nei paesi anglosassoni è ancora utilizzata la scala '''Fahrenheit'''. In questa configurazione, il punto di congelamento dell'acqua corrisponde a <math>32\ ^\circ\text{F}</math> e quello di ebollizione a <math>212\ ^\circ\text{F}</math> (originariamente, lo zero era associato alla temperatura minima di una miscela frigorifera di ghiaccio, acqua e cloruro di ammonio, mentre i <math>96\ ^\circ\text{F}</math> circa rappresentavano la temperatura del corpo umano). La formula di conversione tra le due scale è: :<math>T_\text{F} = 32 + \frac{9}{5}T_\text{C}</math> In ambito scientifico, a tali scale empiriche si preferisce la scala assoluta '''Kelvin'''. Essa fissa il proprio zero in corrispondenza del minimo teorico per un sistema termodinamico, lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]], mantenendo il medesimo intervallo unitario (il ''grado'') della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto si colloca a una temperatura sperimentale di <math>-273.15\ ^\circ\text{C}</math>, la conversione da gradi Celsius a kelvin (il cui simbolo è semplicemente <math>\text{K}</math>, senza il segno di grado) è data da: :<math>T_\text{K} = T_\text{C} + 273.15</math> ===Interpretazione microscopica=== Dal punto di vista della meccanica statistica e della teoria cinetica, la temperatura di un gas rarefatto ([[w:Gas_ideale|gas ideale]]) rappresenta una misura diretta dell'energia cinetica media di traslazione delle molecole che lo compongono. Attraverso gli urti elastici microscopici, le molecole si scambiano continuamente energia, tendendo a distribuirla uniformemente secondo il [[w:Teorema_di_equipartizione_dell%27energia|principio di equipartizione dell'energia]]. Il numero di gradi di libertà microscopicamente attivi determina come questa energia viene immagazzinata: * Nei gas monoatomici, l'energia cinetica traslazionale rappresenta l'unica forma di energia microscopica. * Nei gas biatomici o poliatomici, oltre alla traslazione, emergono ulteriori gradi di libertà interni associati ai moti rotazionali e vibrazionali delle molecole (questi ultimi modellizzabili come oscillatori armonici). * Nei fluidi densi, l'interazione intermolecolare non è più trascurabile e la temperatura risulta connessa anche all'energia potenziale dovuta alle forze di coesione interna. * Nel caso limite di un solido cristallino, gli atomi non traslano ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio. Ogni atomo si comporta come un oscillatore armonico tridimensionale, caratterizzato da 6 gradi di libertà (3 legati all'energia cinetica e 3 all'energia potenziale elastica del reticolo). Infine, il concetto di temperatura non è vincolato esclusivamente alla presenza di materia ponderabile. È infatti possibile definire rigorosamente la temperatura del vuoto termodinamico attraverso lo studio della radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]], ovvero lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico all'interno di una cavità. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Un sistema macroscopicamente isolato si trova in uno stato di equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato (come pressione, volume, temperatura e composizione chimica) rimangono costanti nel tempo e non si osserva alcun flusso netto di materia o di energia né al suo interno, né con l'ambiente circostante. Affinché si realizzi l'equilibrio termodinamico, devono verificarsi simultaneamente tre condizioni indipendenti: * '''Equilibrio meccanico:''' Si ha quando la risultante delle forze (interne ed esterne) e dei momenti agenti sul sistema è nulla. In assenza di campi di forza esterni, questo implica che la pressione p deve essere uniforme in ogni punto del sistema. Se la pressione non fosse uniforme, si genererebbero moti macroscopici di materia (correnti) fino al ripristino dell'omogeneità. * '''Equilibrio chimico:''' Si verifica quando all'interno del sistema non avvengono reazioni chimiche nette e non si riscontrano fenomeni di diffusione o trasferimento di materia tra le diverse parti o fasi del sistema. Di conseguenza, la composizione chimica e la massa locale rimangono costanti nel tempo. * '''Equilibrio termico:''' Si realizza quando la temperatura T del sistema non solo smette di variare nel tempo, ma assume il medesimo valore in ogni punto del sistema. La presenza di differenze di temperatura provocherebbe infatti un passaggio spontaneo di calore dalle zone più calde a quelle più fredde. ===Uniformità delle grandezze e campi di forza=== Come regola generale, lo stato di equilibrio termodinamico di un corpo omogeneo implica che le sue proprietà intensive (pressione, densità e temperatura) siano uniformi al suo interno. Tuttavia, è necessario fare una precisazione fondamentale riguardo all'equilibrio meccanico in presenza di campi di forza esterni ponderabili, come il campo gravitazionale. L'acqua di un lago calmo è un sistema all'equilibrio termodinamico, ma la sua pressione e densità non è uniformi nello spazio: varia con la quota secondo la [[w:Legge_di_Stevino|legge di Stevino]]. In questo caso, l'equilibrio meccanico non richiede l'uniformità della pressione, ma il bilanciamento locale tra le forze di pressione e la forza peso. Al contrario, l'equilibrio termico richiede sempre e rigorosamente che la temperatura sia perfettamente uniforme, anche in presenza di gravità. ===Stato di equilibrio vs Stato stazionario=== Per comprendere a fondo l'equilibrio è utile distinguerlo dal concetto di stato stazionario. Immaginiamo, ad esempio, un fiume in cui confluisce una sorgente d'acqua gelida. Se monitoriamo il fiume in un regime regolare, noteremo che in ogni singolo punto la temperatura rimane costante nel tempo. Tuttavia, spostandoci lungo il corso del fiume, registreremo forti variazioni spaziali della temperatura (un gradiente termico). Questo sistema non è in equilibrio termodinamico, bensì in uno stato stazionario fuori dall'equilibrio: le grandezze sono costanti nel tempo solo perché vi è un flusso continuo e forzato di materia e di energia che attraversa il sistema. Se isolassimo idealmente una porzione di quel fiume interrompendo i flussi, le correnti termiche interne continuerebbero a fluire fino a che la temperatura non sia diventata perfettamente uniforme in ogni punto, raggiungendo solo allora il vero equilibrio termodinamico. Anche l'atmosfera terrestre reale è un esempio di stato stazionario, ma non in equilibrio termodinamico. L'atmosfera non si trova in un vero equilibrio termodinamico: oltre alla pressione, anche la sua temperatura varia fortemente con la quota (diminuendo nella troposfera di circa <math>6.5\ ^\circ\text{C}</math> per ogni chilometro di altitudine). Questa variazione termica è dovuta al fatto che l'atmosfera è un sistema aperto, costantemente attraversato da flussi di energia (il riscaldamento del suolo da parte del Sole e il successivo irraggiamento verso lo spazio). L'atmosfera reale si trova quindi in un regime dinamico e stazionario fuori dall'equilibrio. Se potessimo isolare idealmente l'intera atmosfera terrestre da ogni fonte di calore esterna, i moti convettivi e i flussi di calore continuerebbero a trasferire energia fino a quando la temperatura non fosse diventata perfettamente identica a qualsiasi quota (atmosfera isotermica). Solo a quel punto il sistema avrebbe raggiunto il vero equilibrio termodinamico, mantenendo la pressione stratificata dalla gravità, ma la temperatura totalmente uniforme. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un assioma fondamentale che formalizza le condizioni di equilibrio termico tra corpi a contatto e fornisce la giustificazione logica per la definizione e la misurazione della temperatura stessa.L'enunciato stabilisce che:Se un sistema termodinamico <math>A</math> è in equilibrio termico con un sistema <math>B</math>, e lo stesso sistema <math>B</math> è in equilibrio termico con un terzo sistema <math>C</math>, allora i sistemi <math>A</math> e <math>C</math> sono in equilibrio termico tra loro. In termini strettamente matematici, il principio zero afferma che la relazione di equilibrio termico tra sistemi è una proprietà transitiva. Poiché tale relazione gode anche delle proprietà riflessiva (ogni sistema è in equilibrio con se stesso) e simmetrica (se <math>A</math> è in equilibrio con <math>B</math>, <math>B</math> lo è con <math>A</math>), l'equilibrio termico costituisce una vera e propria relazione di equivalenza. ===Il principio alla base del termometro=== Questa proprietà transitiva è ciò che rende possibile la misurazione della temperatura. Se definiamo la temperatura come la proprietà macroscopica che determina se due o più corpi sono in equilibrio termico tra loro, allora due corpi a contatto si troveranno in equilibrio termico se e solo se possiedono la stessa temperatura.In questo contesto, il terzo sistema <math>B</math> dell'enunciato agisce esattamente come un termometro. Per verificare se due corpi distanti o che non possono interagire tra loro (<math>A</math> e <math>C</math>) si trovano alla stessa temperatura, non è necessario metterli in contatto diretto: è sufficiente misurare entrambi con lo stesso strumento <math>B</math>. Se lo strumento non mostra variazioni nelle sue proprietà termometriche (come l'altezza della colonna di liquido o la resistenza elettrica) nel passaggio da un corpo all'altro, possiamo concludere che <math>A</math> e <math>C</math> hanno la stessa temperatura. ===Note storiche=== Sebbene questo principio rappresenti un'assunzione basilare e logicamente antecedente agli altri postulati della termodinamica, la sua importanza cruciale come fondamento della teoria venne riconosciuta formalmente solo negli anni Trenta del Novecento (grazie a [[w:Ralph_Fowler|Ralph H. Fowler]]), molto tempo dopo la formulazione e la diffusione del [[w:Primo principio della termodinamica|primo]] e del [[w:Secondo principio della termodinamica|secondo principio]] della termodinamica. Per evitare di dover rinumerare i principi cardine ormai universalmente noti e consolidati nella letteratura scientifica, si decise di battezzarlo '''Principio zero'''. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|300px|right|Un gas (in giallo) espandendosi all'interno di un cilindro compie lavoro sollevando un pistone mobile.]] Il concetto di lavoro in termodinamica deriva direttamente dalla meccanica classica, ma assume una forte rilevanza macroscopica legata alle variazioni di volume del sistema. Nella fisica termodinamica si adotta convenzionalmente la ''convenzione dei fisici'', secondo la quale si definisce positivo il lavoro compiuto dal sistema sull'ambiente esterno (ad esempio durante un'espansione), mentre si considera negativo il lavoro compiuto dall'ambiente sul sistema (durante una compressione). Il caso più semplice e intuitivo da analizzare è quello di un cilindro termicamente isolato, chiuso superiormente da un pistone mobile privo di massa e di attrito, contenente un fluido (ad esempio un gas) in equilibrio termodinamico. Sia <math>p</math> la pressione uniforme che il gas esercita sulle pareti del recipiente e sulla base del pistone. Se <math>S</math> è l'area della superficie del pistone, la forza normale esercitata dal gas su di esso sarà pari a <math>F=p S</math>. Se il gas si espande, provocando uno spostamento infinitesimo del pistone lungo la direzione verticale pari a <math>dz</math> (parallelo alla forza), il lavoro infinitesimo dW compiuto dal gas per sollevare il carico esterno è dato da: :<math>dW = F dz = p S dz</math> Poiché il prodotto <math>S dz</math> rappresenta geometricamente l'aumento infinitesimo di volume del cilindro (<math>dV = S dz</math>), l'espressione del lavoro termodinamico si riduce alla forma fondamentale: :<math>dW = p dV</math> Sebbene questa relazione sia stata ricavata per un cilindro geometricamente regolare, la sua validità è generale: il lavoro infinitesimo associato a una variazione di volume dV di un fluido a pressione p è sempre pari a p dV, indipendentemente dalla forma del recipiente che lo contiene<ref> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. ===Reversibilità e dinamica del processo=== Il passaggio da un lavoro infinitesimo al calcolo del lavoro totale compiuto durante una trasformazione finita richiede un'analisi approfondita delle modalità con cui avviene la trasformazione stessa. Il processo opposto all'espansione prende il nome di compressione (<math>dV < 0</math>, lavoro negativo). Affinché una trasformazione di espansione o compressione possa dirsi reversibile, non è sufficiente che essa avvenga attraverso una successione continua di stati di perfetto equilibrio termodinamico. Devono essere soddisfatte altre due condizioni cruciali: * Assenza di attriti: Il moto del pistone lungo le pareti del cilindro deve avvenire senza alcuna dissipazione meccanica. Non esiste infatti alcun processo naturale in grado di riconvertire integralmente l'energia termica generata dall'attrito in lavoro meccanico macroscopico. * Equilibrio delle forze: La forza esterna agente sul pistone deve essere, in ogni istante, quasi-identica alla forza interna esercitata dal gas (<math>F_{\text{est}} \approx F_{\text{int}}</math>). Se il cilindro contiene un gas a pressione nettamente superiore a quella dell'ambiente, per garantire la reversibilità sarà necessario bilanciare la spinta interna modificando con continuità la forza esterna (ad esempio rimuovendo masse infinitesime dal pistone una alla volta). Se l'espansione avviene troppo rapidamente (trasformazione irreversibile), l'equilibrio interno si rompe: si generano gradienti di pressione e moti turbolenti nel cilindro. In un'espansione violenta, la forza reale esercitata sul pistone risulta inferiore a quella calcolata tramite la pressione di equilibrio termodinamico. Da ciò deriva una proprietà fondamentale: durante un'espansione, il lavoro compiuto dal sistema è massimo quando la trasformazione è reversibile. Al contrario, durante una compressione, il lavoro che l'ambiente deve compiere sul sistema è minimo se il processo è reversibile. ===Il piano di Clapeyron e il calcolo del lavoro=== [[Image:Lavoro.png|thumb|350px|left|Rappresentazione di una trasformazione generica nel piano di Clapeyron. L'area tratteggiata sottesa dalla curva rappresenta il lavoro compiuto.]] Per lo studio dei sistemi termodinamici fluidi e omogenei è estremamente utile descrivere gli stati di equilibrio scegliendo come variabili indipendenti la pressione <math>p</math> e il volume <math>V</math>. Lo spazio bidimensionale generato da questi due assi coordinati prende il nome di [[w:Piano_di_Clapeyron|piano di Clapeyron]] (o diagramma <math>p-V</math>). Una trasformazione reversibile (o quasi-statica) che porta il sistema da uno stato iniziale <math>A</math> a uno stato finale <math>B</math> viene rappresentata nel piano di Clapeyron da una linea continua, la cui forma geometrica dipende dallo specifico processo termodinamico seguito (ad esempio un'isoterma, un'isobara, ecc.). Il lavoro totale <math>W</math> scambiato dal sistema durante la trasformazione si ottiene integrando l'espressione del lavoro infinitesimo lungo il cammino che connette i due stati: :<math>W = \int_{A}^{B} p dV = \int_{V_A}^{V_B} p(V) dV</math> Da un punto di vista geometrico, questo integrale rappresenta l'area della regione di piano sottesa dalla curva che descrive la trasformazione, limitata dai valori dei volumi <math>V_A</math> e <math>V_B</math>. Coerentemente con la convenzione sui segni, l'area esprime un lavoro positivo se la trasformazione si muove nel verso delle ascisse crescenti (espansione da <math>A</math> a <math>B</math>), mentre esprime un lavoro negativo se si muove nel verso delle ascisse decrescenti (compressione da <math>B</math> a <math>A</math>). Poiché l'area sottesa dipende strettamente dal percorso seguito nel piano per andare da <math>A</math> a <math>B</math>, il lavoro non è una funzione di stato: il suo valore finale non dipende solo dai punti di partenza e arrivo, ma dall'intera storia della trasformazione. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 2mrsvqzi7jtrdruqyqs07u5dkp3dsxw 499030 499027 2026-06-06T16:53:23Z Pasquale.Carelli 528 /* La pressione in Termodinamica */ ampliato il punto di vista microscopico 499030 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Pressione|Pressione]]== La pressione è una grandezza scalare intensiva definita, in prima approssimazione, come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e l'area della superficie stessa: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> Per comprendere la natura di questa grandezza e il suo comportamento all'interno della materia, consideriamo una sostanza omogenea di [[w:Densità|densità]] <math>\rho</math> contenuta in un cilindro verticale indeformabile di altezza <math>h</math> e superficie di base <math>S</math>. La massa totale della sostanza è data da: :<math>m = \rho h S</math> Se sulla faccia superiore del cilindro viene esercitata una forza esterna <math>F_{\perp}</math> perpendicolare alla superficie, tale forza si trasmette attraverso la sostanza. Sulla base inferiore del cilindro, la forza totale risentita sarà la somma della forza applicata e della forza peso della sostanza stessa. La forza per unità di superficie sulla base inferiore (pressione totale p_{\text{tot}}) risulta quindi: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S} + \frac {mg}{S} = \frac {F_{\perp}}{S} + \rho g h</math> Se l'altezza h del cilindro è sufficientemente piccola, il termine idrostatico legato alla gravità diventa trascurabile rispetto all'effetto della forza esterna (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>). In queste condizioni di quasi-omogeneità dello stato tensionale, possiamo scrivere semplicemente: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> ===Il carattere scalare della pressione nei fluidi=== Nello studio della fisica dei media continui, la descrizione delle forze interne a un corpo richiede l'utilizzo di uno strumento matematico complesso: il tensore degli sforzi. Nei solidi rigidi o elastici, le forze interne dipendono fortemente dall'orientazione della superficie considerata, poiché un solido può sopportare e trasmettere sia sforzi normali (pressioni e trazioni) sia sforzi tangenziali (sforzi di taglio). Di conseguenza, nei solidi lo sforzo conserva una natura intrinsecamente vettoriale e direzionale. La proprietà fondamentale che definisce un fluido (liquido o gas) in equilibrio termodinamico è invece la sua incapacità di sostenere sforzi di taglio. In un fluido a riposo, le forze d'attrito interno sono nulle e le forze che le varie parti di fluido esercitano le une sulle altre, o contro le pareti del recipiente, possono essere esclusivamente perpendicolari alla superficie di contatto. Immaginiamo di isolare idealmente un elemento di volume infinitesimo a forma di prisma triangolare all'interno del fluido. Applicando le equazioni dell'equilibrio statico di Newton a tale elemento, si dimostra che la forza per unità di superficie agente sulla faccia inclinata del prisma è indipendente dall'angolo di inclinazione. Questo comportamento macroscopico determina le seguenti proprietà: # Isotropia: In un punto qualsiasi del fluido, la forza per unità di superficie esercitata dal fluido è identica in ogni direzione. Se immergessimo una superficie ideale infinitesima in quel punto, l'intensità della forza agente su di essa non cambierebbe ruotando la superficie nello spazio. # Ortogonalità vincolata: La direzione della forza infinitesima <math>d\vec{F}</math> esercitata sulla superficie <math>dS</math> è univocamente determinata dalla geometria della superficie stessa, essendo sempre diretta lungo la normale \hat{n} a quest'ultima: :<math>d\vec{F} = p , dS , \hat{n}</math> Dato che la direzione e il verso della forza sono imposti esclusivamente dall'orientazione della superficie considerata e non dalle proprietà intrinseche del fluido in quel punto, la quantità <math>p</math> (il coefficiente di proporzionalità) perde qualsiasi connotazione direzionale. Pertanto, la pressione nei fluidi è a tutti gli effetti una grandezza puramente scalare. Essa è una funzione dello spazio <math>p(x,y,z)</math> che specifica lo stato di sollecitazione interna del fluido in un determinato punto, ma non dipende in alcun modo dall'orientazione della superficie su cui agisce. ===Unità di misura e strumenti=== Nel Sistema Internazionale (SI), la pressione si misura in Pascal (simbolo <math>\text{Pa}</math>), definito come un Newton su metro quadro: :<math>1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2</math> L'aver trascurato la forza di gravità è una semplificazione spesso non lecita su grande scala. Nell'atmosfera terrestre, ad esempio, la gravità è la diretta responsabile della pressione dell'aria. Per motivi storici e pratici, è comune misurare la pressione utilizzando come riferimento la pressione media dell'aria al livello del mare, definita come Atmosfera (<math>\text{atm}</math>), o il <math>bar</math>. Le relazioni di conversione con il Sistema Internazionale sono: :<math>1\ \text{atm} = 1.01325 \times 10^{5}\ \text{Pa}</math> :<math>1\ \text{bar} = 10^{5}\ \text{Pa}</math> Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione dei fluidi si chiamano manometri (se misurano una differenza di pressione rispetto a quella atmosferica) o barometri (se misurano la pressione atmosferica assoluta). ===La pressione in Termodinamica=== In termodinamica, la pressione di un sistema in equilibrio è una variabile di stato intensiva. Ciò significa che il suo valore non dipende dall'estensione del sistema: se prendiamo due sistemi termodinamici identici alla stessa pressione <math>p</math> e li uniamo idealmente, il sistema globale risultante avrà ancora la medesima pressione <math>p</math>. Dal punto di vista microscopico (trattato dettagliatamente dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]), la pressione non è altro che la manifestazione macroscopica degli [[w:Urto_elastico|urti elastici]] continui e caotici che le molecole del fluido esercitano contro le pareti del contenitore o contro le altre molecole. Poiché il moto di agitazione termica molecolare è completamente disordinato (isotropo nello spazio), il numero medio di urti al secondo e la quantità di moto trasferita nell'unità di tempo sono uguali su qualunque porzione di parete, indipendentemente dalla sua giacitura. Questo meccanismo microscopico fornisce l'interpretazione fisica diretta del perché la pressione macroscopica sia una grandezza scalare non direzionale. ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto intuitivo molto antico, legato inizialmente alle nostre percezioni sensoriali di ''caldo'' e ''freddo''. I primi tentativi di descriverla in termini scientifici risalgono all'antichità, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poterono effettuare le prime stime numeriche e riproducibili del suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano in modo macroscopico e regolare con la temperatura, fornendo una base oggettiva per la sua misurazione al di là della sensibilità fisiologica umana. Una delle più semplici e storicamente utilizzate è la dilatazione termica dei liquidi: i termometri a mercurio (o ad alcool), in cui il fluido è contenuto in un recipiente capillare di vetro il cui volume subisce una variazione trascurabile, ne sono un classico esempio. Poiché anche molte altre proprietà fisiche (come la resistenza elettrica nei termistori o la suscettività magnetica nei paramagneti) dipendono dalla temperatura, oggi disponiamo di una notevole varietà di strumenti di misura. ===Le scale termometriche=== Per associare un valore numerico alla temperatura è necessario definire una scala termometrica. La scala empirica più diffusa nei paesi occidentali non anglosassoni è la scala '''Celsius''', basata sulle proprietà di transizione di fase dell'acqua alla pressione standard di un'atmosfera. Questa scala assume convenzionalmente come <math>0\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di fusione del ghiaccio e come <math>100\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua. Nei paesi anglosassoni è ancora utilizzata la scala '''Fahrenheit'''. In questa configurazione, il punto di congelamento dell'acqua corrisponde a <math>32\ ^\circ\text{F}</math> e quello di ebollizione a <math>212\ ^\circ\text{F}</math> (originariamente, lo zero era associato alla temperatura minima di una miscela frigorifera di ghiaccio, acqua e cloruro di ammonio, mentre i <math>96\ ^\circ\text{F}</math> circa rappresentavano la temperatura del corpo umano). La formula di conversione tra le due scale è: :<math>T_\text{F} = 32 + \frac{9}{5}T_\text{C}</math> In ambito scientifico, a tali scale empiriche si preferisce la scala assoluta '''Kelvin'''. Essa fissa il proprio zero in corrispondenza del minimo teorico per un sistema termodinamico, lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]], mantenendo il medesimo intervallo unitario (il ''grado'') della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto si colloca a una temperatura sperimentale di <math>-273.15\ ^\circ\text{C}</math>, la conversione da gradi Celsius a kelvin (il cui simbolo è semplicemente <math>\text{K}</math>, senza il segno di grado) è data da: :<math>T_\text{K} = T_\text{C} + 273.15</math> ===Interpretazione microscopica=== Dal punto di vista della meccanica statistica e della teoria cinetica, la temperatura di un gas rarefatto ([[w:Gas_ideale|gas ideale]]) rappresenta una misura diretta dell'energia cinetica media di traslazione delle molecole che lo compongono. Attraverso gli urti elastici microscopici, le molecole si scambiano continuamente energia, tendendo a distribuirla uniformemente secondo il [[w:Teorema_di_equipartizione_dell%27energia|principio di equipartizione dell'energia]]. Il numero di gradi di libertà microscopicamente attivi determina come questa energia viene immagazzinata: * Nei gas monoatomici, l'energia cinetica traslazionale rappresenta l'unica forma di energia microscopica. * Nei gas biatomici o poliatomici, oltre alla traslazione, emergono ulteriori gradi di libertà interni associati ai moti rotazionali e vibrazionali delle molecole (questi ultimi modellizzabili come oscillatori armonici). * Nei fluidi densi, l'interazione intermolecolare non è più trascurabile e la temperatura risulta connessa anche all'energia potenziale dovuta alle forze di coesione interna. * Nel caso limite di un solido cristallino, gli atomi non traslano ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio. Ogni atomo si comporta come un oscillatore armonico tridimensionale, caratterizzato da 6 gradi di libertà (3 legati all'energia cinetica e 3 all'energia potenziale elastica del reticolo). Infine, il concetto di temperatura non è vincolato esclusivamente alla presenza di materia ponderabile. È infatti possibile definire rigorosamente la temperatura del vuoto termodinamico attraverso lo studio della radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]], ovvero lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico all'interno di una cavità. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Un sistema macroscopicamente isolato si trova in uno stato di equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato (come pressione, volume, temperatura e composizione chimica) rimangono costanti nel tempo e non si osserva alcun flusso netto di materia o di energia né al suo interno, né con l'ambiente circostante. Affinché si realizzi l'equilibrio termodinamico, devono verificarsi simultaneamente tre condizioni indipendenti: * '''Equilibrio meccanico:''' Si ha quando la risultante delle forze (interne ed esterne) e dei momenti agenti sul sistema è nulla. In assenza di campi di forza esterni, questo implica che la pressione p deve essere uniforme in ogni punto del sistema. Se la pressione non fosse uniforme, si genererebbero moti macroscopici di materia (correnti) fino al ripristino dell'omogeneità. * '''Equilibrio chimico:''' Si verifica quando all'interno del sistema non avvengono reazioni chimiche nette e non si riscontrano fenomeni di diffusione o trasferimento di materia tra le diverse parti o fasi del sistema. Di conseguenza, la composizione chimica e la massa locale rimangono costanti nel tempo. * '''Equilibrio termico:''' Si realizza quando la temperatura T del sistema non solo smette di variare nel tempo, ma assume il medesimo valore in ogni punto del sistema. La presenza di differenze di temperatura provocherebbe infatti un passaggio spontaneo di calore dalle zone più calde a quelle più fredde. ===Uniformità delle grandezze e campi di forza=== Come regola generale, lo stato di equilibrio termodinamico di un corpo omogeneo implica che le sue proprietà intensive (pressione, densità e temperatura) siano uniformi al suo interno. Tuttavia, è necessario fare una precisazione fondamentale riguardo all'equilibrio meccanico in presenza di campi di forza esterni ponderabili, come il campo gravitazionale. L'acqua di un lago calmo è un sistema all'equilibrio termodinamico, ma la sua pressione e densità non è uniformi nello spazio: varia con la quota secondo la [[w:Legge_di_Stevino|legge di Stevino]]. In questo caso, l'equilibrio meccanico non richiede l'uniformità della pressione, ma il bilanciamento locale tra le forze di pressione e la forza peso. Al contrario, l'equilibrio termico richiede sempre e rigorosamente che la temperatura sia perfettamente uniforme, anche in presenza di gravità. ===Stato di equilibrio vs Stato stazionario=== Per comprendere a fondo l'equilibrio è utile distinguerlo dal concetto di stato stazionario. Immaginiamo, ad esempio, un fiume in cui confluisce una sorgente d'acqua gelida. Se monitoriamo il fiume in un regime regolare, noteremo che in ogni singolo punto la temperatura rimane costante nel tempo. Tuttavia, spostandoci lungo il corso del fiume, registreremo forti variazioni spaziali della temperatura (un gradiente termico). Questo sistema non è in equilibrio termodinamico, bensì in uno stato stazionario fuori dall'equilibrio: le grandezze sono costanti nel tempo solo perché vi è un flusso continuo e forzato di materia e di energia che attraversa il sistema. Se isolassimo idealmente una porzione di quel fiume interrompendo i flussi, le correnti termiche interne continuerebbero a fluire fino a che la temperatura non sia diventata perfettamente uniforme in ogni punto, raggiungendo solo allora il vero equilibrio termodinamico. Anche l'atmosfera terrestre reale è un esempio di stato stazionario, ma non in equilibrio termodinamico. L'atmosfera non si trova in un vero equilibrio termodinamico: oltre alla pressione, anche la sua temperatura varia fortemente con la quota (diminuendo nella troposfera di circa <math>6.5\ ^\circ\text{C}</math> per ogni chilometro di altitudine). Questa variazione termica è dovuta al fatto che l'atmosfera è un sistema aperto, costantemente attraversato da flussi di energia (il riscaldamento del suolo da parte del Sole e il successivo irraggiamento verso lo spazio). L'atmosfera reale si trova quindi in un regime dinamico e stazionario fuori dall'equilibrio. Se potessimo isolare idealmente l'intera atmosfera terrestre da ogni fonte di calore esterna, i moti convettivi e i flussi di calore continuerebbero a trasferire energia fino a quando la temperatura non fosse diventata perfettamente identica a qualsiasi quota (atmosfera isotermica). Solo a quel punto il sistema avrebbe raggiunto il vero equilibrio termodinamico, mantenendo la pressione stratificata dalla gravità, ma la temperatura totalmente uniforme. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un assioma fondamentale che formalizza le condizioni di equilibrio termico tra corpi a contatto e fornisce la giustificazione logica per la definizione e la misurazione della temperatura stessa.L'enunciato stabilisce che:Se un sistema termodinamico <math>A</math> è in equilibrio termico con un sistema <math>B</math>, e lo stesso sistema <math>B</math> è in equilibrio termico con un terzo sistema <math>C</math>, allora i sistemi <math>A</math> e <math>C</math> sono in equilibrio termico tra loro. In termini strettamente matematici, il principio zero afferma che la relazione di equilibrio termico tra sistemi è una proprietà transitiva. Poiché tale relazione gode anche delle proprietà riflessiva (ogni sistema è in equilibrio con se stesso) e simmetrica (se <math>A</math> è in equilibrio con <math>B</math>, <math>B</math> lo è con <math>A</math>), l'equilibrio termico costituisce una vera e propria relazione di equivalenza. ===Il principio alla base del termometro=== Questa proprietà transitiva è ciò che rende possibile la misurazione della temperatura. Se definiamo la temperatura come la proprietà macroscopica che determina se due o più corpi sono in equilibrio termico tra loro, allora due corpi a contatto si troveranno in equilibrio termico se e solo se possiedono la stessa temperatura.In questo contesto, il terzo sistema <math>B</math> dell'enunciato agisce esattamente come un termometro. Per verificare se due corpi distanti o che non possono interagire tra loro (<math>A</math> e <math>C</math>) si trovano alla stessa temperatura, non è necessario metterli in contatto diretto: è sufficiente misurare entrambi con lo stesso strumento <math>B</math>. Se lo strumento non mostra variazioni nelle sue proprietà termometriche (come l'altezza della colonna di liquido o la resistenza elettrica) nel passaggio da un corpo all'altro, possiamo concludere che <math>A</math> e <math>C</math> hanno la stessa temperatura. ===Note storiche=== Sebbene questo principio rappresenti un'assunzione basilare e logicamente antecedente agli altri postulati della termodinamica, la sua importanza cruciale come fondamento della teoria venne riconosciuta formalmente solo negli anni Trenta del Novecento (grazie a [[w:Ralph_Fowler|Ralph H. Fowler]]), molto tempo dopo la formulazione e la diffusione del [[w:Primo principio della termodinamica|primo]] e del [[w:Secondo principio della termodinamica|secondo principio]] della termodinamica. Per evitare di dover rinumerare i principi cardine ormai universalmente noti e consolidati nella letteratura scientifica, si decise di battezzarlo '''Principio zero'''. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|300px|right|Un gas (in giallo) espandendosi all'interno di un cilindro compie lavoro sollevando un pistone mobile.]] Il concetto di lavoro in termodinamica deriva direttamente dalla meccanica classica, ma assume una forte rilevanza macroscopica legata alle variazioni di volume del sistema. Nella fisica termodinamica si adotta convenzionalmente la ''convenzione dei fisici'', secondo la quale si definisce positivo il lavoro compiuto dal sistema sull'ambiente esterno (ad esempio durante un'espansione), mentre si considera negativo il lavoro compiuto dall'ambiente sul sistema (durante una compressione). Il caso più semplice e intuitivo da analizzare è quello di un cilindro termicamente isolato, chiuso superiormente da un pistone mobile privo di massa e di attrito, contenente un fluido (ad esempio un gas) in equilibrio termodinamico. Sia <math>p</math> la pressione uniforme che il gas esercita sulle pareti del recipiente e sulla base del pistone. Se <math>S</math> è l'area della superficie del pistone, la forza normale esercitata dal gas su di esso sarà pari a <math>F=p S</math>. Se il gas si espande, provocando uno spostamento infinitesimo del pistone lungo la direzione verticale pari a <math>dz</math> (parallelo alla forza), il lavoro infinitesimo dW compiuto dal gas per sollevare il carico esterno è dato da: :<math>dW = F dz = p S dz</math> Poiché il prodotto <math>S dz</math> rappresenta geometricamente l'aumento infinitesimo di volume del cilindro (<math>dV = S dz</math>), l'espressione del lavoro termodinamico si riduce alla forma fondamentale: :<math>dW = p dV</math> Sebbene questa relazione sia stata ricavata per un cilindro geometricamente regolare, la sua validità è generale: il lavoro infinitesimo associato a una variazione di volume dV di un fluido a pressione p è sempre pari a p dV, indipendentemente dalla forma del recipiente che lo contiene<ref> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. ===Reversibilità e dinamica del processo=== Il passaggio da un lavoro infinitesimo al calcolo del lavoro totale compiuto durante una trasformazione finita richiede un'analisi approfondita delle modalità con cui avviene la trasformazione stessa. Il processo opposto all'espansione prende il nome di compressione (<math>dV < 0</math>, lavoro negativo). Affinché una trasformazione di espansione o compressione possa dirsi reversibile, non è sufficiente che essa avvenga attraverso una successione continua di stati di perfetto equilibrio termodinamico. Devono essere soddisfatte altre due condizioni cruciali: * Assenza di attriti: Il moto del pistone lungo le pareti del cilindro deve avvenire senza alcuna dissipazione meccanica. Non esiste infatti alcun processo naturale in grado di riconvertire integralmente l'energia termica generata dall'attrito in lavoro meccanico macroscopico. * Equilibrio delle forze: La forza esterna agente sul pistone deve essere, in ogni istante, quasi-identica alla forza interna esercitata dal gas (<math>F_{\text{est}} \approx F_{\text{int}}</math>). Se il cilindro contiene un gas a pressione nettamente superiore a quella dell'ambiente, per garantire la reversibilità sarà necessario bilanciare la spinta interna modificando con continuità la forza esterna (ad esempio rimuovendo masse infinitesime dal pistone una alla volta). Se l'espansione avviene troppo rapidamente (trasformazione irreversibile), l'equilibrio interno si rompe: si generano gradienti di pressione e moti turbolenti nel cilindro. In un'espansione violenta, la forza reale esercitata sul pistone risulta inferiore a quella calcolata tramite la pressione di equilibrio termodinamico. Da ciò deriva una proprietà fondamentale: durante un'espansione, il lavoro compiuto dal sistema è massimo quando la trasformazione è reversibile. Al contrario, durante una compressione, il lavoro che l'ambiente deve compiere sul sistema è minimo se il processo è reversibile. ===Il piano di Clapeyron e il calcolo del lavoro=== [[Image:Lavoro.png|thumb|350px|left|Rappresentazione di una trasformazione generica nel piano di Clapeyron. L'area tratteggiata sottesa dalla curva rappresenta il lavoro compiuto.]] Per lo studio dei sistemi termodinamici fluidi e omogenei è estremamente utile descrivere gli stati di equilibrio scegliendo come variabili indipendenti la pressione <math>p</math> e il volume <math>V</math>. Lo spazio bidimensionale generato da questi due assi coordinati prende il nome di [[w:Piano_di_Clapeyron|piano di Clapeyron]] (o diagramma <math>p-V</math>). Una trasformazione reversibile (o quasi-statica) che porta il sistema da uno stato iniziale <math>A</math> a uno stato finale <math>B</math> viene rappresentata nel piano di Clapeyron da una linea continua, la cui forma geometrica dipende dallo specifico processo termodinamico seguito (ad esempio un'isoterma, un'isobara, ecc.). Il lavoro totale <math>W</math> scambiato dal sistema durante la trasformazione si ottiene integrando l'espressione del lavoro infinitesimo lungo il cammino che connette i due stati: :<math>W = \int_{A}^{B} p dV = \int_{V_A}^{V_B} p(V) dV</math> Da un punto di vista geometrico, questo integrale rappresenta l'area della regione di piano sottesa dalla curva che descrive la trasformazione, limitata dai valori dei volumi <math>V_A</math> e <math>V_B</math>. Coerentemente con la convenzione sui segni, l'area esprime un lavoro positivo se la trasformazione si muove nel verso delle ascisse crescenti (espansione da <math>A</math> a <math>B</math>), mentre esprime un lavoro negativo se si muove nel verso delle ascisse decrescenti (compressione da <math>B</math> a <math>A</math>). Poiché l'area sottesa dipende strettamente dal percorso seguito nel piano per andare da <math>A</math> a <math>B</math>, il lavoro non è una funzione di stato: il suo valore finale non dipende solo dai punti di partenza e arrivo, ma dall'intera storia della trasformazione. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 1ts23dza8k27npcj7szdv5dj16wadb8 499038 499030 2026-06-07T10:27:13Z Pasquale.Carelli 528 /* Unità di misura e strumenti */ punto a virgola 499038 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Pressione|Pressione]]== La pressione è una grandezza scalare intensiva definita, in prima approssimazione, come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e l'area della superficie stessa: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> Per comprendere la natura di questa grandezza e il suo comportamento all'interno della materia, consideriamo una sostanza omogenea di [[w:Densità|densità]] <math>\rho</math> contenuta in un cilindro verticale indeformabile di altezza <math>h</math> e superficie di base <math>S</math>. La massa totale della sostanza è data da: :<math>m = \rho h S</math> Se sulla faccia superiore del cilindro viene esercitata una forza esterna <math>F_{\perp}</math> perpendicolare alla superficie, tale forza si trasmette attraverso la sostanza. Sulla base inferiore del cilindro, la forza totale risentita sarà la somma della forza applicata e della forza peso della sostanza stessa. La forza per unità di superficie sulla base inferiore (pressione totale p_{\text{tot}}) risulta quindi: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S} + \frac {mg}{S} = \frac {F_{\perp}}{S} + \rho g h</math> Se l'altezza h del cilindro è sufficientemente piccola, il termine idrostatico legato alla gravità diventa trascurabile rispetto all'effetto della forza esterna (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>). In queste condizioni di quasi-omogeneità dello stato tensionale, possiamo scrivere semplicemente: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> ===Il carattere scalare della pressione nei fluidi=== Nello studio della fisica dei media continui, la descrizione delle forze interne a un corpo richiede l'utilizzo di uno strumento matematico complesso: il tensore degli sforzi. Nei solidi rigidi o elastici, le forze interne dipendono fortemente dall'orientazione della superficie considerata, poiché un solido può sopportare e trasmettere sia sforzi normali (pressioni e trazioni) sia sforzi tangenziali (sforzi di taglio). Di conseguenza, nei solidi lo sforzo conserva una natura intrinsecamente vettoriale e direzionale. La proprietà fondamentale che definisce un fluido (liquido o gas) in equilibrio termodinamico è invece la sua incapacità di sostenere sforzi di taglio. In un fluido a riposo, le forze d'attrito interno sono nulle e le forze che le varie parti di fluido esercitano le une sulle altre, o contro le pareti del recipiente, possono essere esclusivamente perpendicolari alla superficie di contatto. Immaginiamo di isolare idealmente un elemento di volume infinitesimo a forma di prisma triangolare all'interno del fluido. Applicando le equazioni dell'equilibrio statico di Newton a tale elemento, si dimostra che la forza per unità di superficie agente sulla faccia inclinata del prisma è indipendente dall'angolo di inclinazione. Questo comportamento macroscopico determina le seguenti proprietà: # Isotropia: In un punto qualsiasi del fluido, la forza per unità di superficie esercitata dal fluido è identica in ogni direzione. Se immergessimo una superficie ideale infinitesima in quel punto, l'intensità della forza agente su di essa non cambierebbe ruotando la superficie nello spazio. # Ortogonalità vincolata: La direzione della forza infinitesima <math>d\vec{F}</math> esercitata sulla superficie <math>dS</math> è univocamente determinata dalla geometria della superficie stessa, essendo sempre diretta lungo la normale \hat{n} a quest'ultima: :<math>d\vec{F} = p , dS , \hat{n}</math> Dato che la direzione e il verso della forza sono imposti esclusivamente dall'orientazione della superficie considerata e non dalle proprietà intrinseche del fluido in quel punto, la quantità <math>p</math> (il coefficiente di proporzionalità) perde qualsiasi connotazione direzionale. Pertanto, la pressione nei fluidi è a tutti gli effetti una grandezza puramente scalare. Essa è una funzione dello spazio <math>p(x,y,z)</math> che specifica lo stato di sollecitazione interna del fluido in un determinato punto, ma non dipende in alcun modo dall'orientazione della superficie su cui agisce. ===Unità di misura e strumenti=== Nel Sistema Internazionale (SI), la pressione si misura in Pascal (simbolo <math>\text{Pa}</math>), definito come un Newton su metro quadro: :<math>1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2</math> L'aver trascurato la forza di gravità è una semplificazione spesso non lecita su grande scala. Nell'atmosfera terrestre, ad esempio, la gravità è la diretta responsabile della pressione dell'aria. Per motivi storici e pratici, è comune misurare la pressione utilizzando come riferimento la pressione media dell'aria al livello del mare, definita come Atmosfera (<math>\text{atm}</math>), o il <math>bar</math>. Le relazioni di conversione con il Sistema Internazionale sono: :<math>1\ \text{atm} = 1,01325 \times 10^{5}\ \text{Pa}</math> :<math>1\ \text{bar} = 10^{5}\ \text{Pa}</math> Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione dei fluidi si chiamano manometri (se misurano una differenza di pressione rispetto a quella atmosferica) o barometri (se misurano la pressione atmosferica assoluta). ===La pressione in Termodinamica=== In termodinamica, la pressione di un sistema in equilibrio è una variabile di stato intensiva. Ciò significa che il suo valore non dipende dall'estensione del sistema: se prendiamo due sistemi termodinamici identici alla stessa pressione <math>p</math> e li uniamo idealmente, il sistema globale risultante avrà ancora la medesima pressione <math>p</math>. Dal punto di vista microscopico (trattato dettagliatamente dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]), la pressione non è altro che la manifestazione macroscopica degli [[w:Urto_elastico|urti elastici]] continui e caotici che le molecole del fluido esercitano contro le pareti del contenitore o contro le altre molecole. Poiché il moto di agitazione termica molecolare è completamente disordinato (isotropo nello spazio), il numero medio di urti al secondo e la quantità di moto trasferita nell'unità di tempo sono uguali su qualunque porzione di parete, indipendentemente dalla sua giacitura. Questo meccanismo microscopico fornisce l'interpretazione fisica diretta del perché la pressione macroscopica sia una grandezza scalare non direzionale. ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto intuitivo molto antico, legato inizialmente alle nostre percezioni sensoriali di ''caldo'' e ''freddo''. I primi tentativi di descriverla in termini scientifici risalgono all'antichità, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poterono effettuare le prime stime numeriche e riproducibili del suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano in modo macroscopico e regolare con la temperatura, fornendo una base oggettiva per la sua misurazione al di là della sensibilità fisiologica umana. Una delle più semplici e storicamente utilizzate è la dilatazione termica dei liquidi: i termometri a mercurio (o ad alcool), in cui il fluido è contenuto in un recipiente capillare di vetro il cui volume subisce una variazione trascurabile, ne sono un classico esempio. Poiché anche molte altre proprietà fisiche (come la resistenza elettrica nei termistori o la suscettività magnetica nei paramagneti) dipendono dalla temperatura, oggi disponiamo di una notevole varietà di strumenti di misura. ===Le scale termometriche=== Per associare un valore numerico alla temperatura è necessario definire una scala termometrica. La scala empirica più diffusa nei paesi occidentali non anglosassoni è la scala '''Celsius''', basata sulle proprietà di transizione di fase dell'acqua alla pressione standard di un'atmosfera. Questa scala assume convenzionalmente come <math>0\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di fusione del ghiaccio e come <math>100\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua. Nei paesi anglosassoni è ancora utilizzata la scala '''Fahrenheit'''. In questa configurazione, il punto di congelamento dell'acqua corrisponde a <math>32\ ^\circ\text{F}</math> e quello di ebollizione a <math>212\ ^\circ\text{F}</math> (originariamente, lo zero era associato alla temperatura minima di una miscela frigorifera di ghiaccio, acqua e cloruro di ammonio, mentre i <math>96\ ^\circ\text{F}</math> circa rappresentavano la temperatura del corpo umano). La formula di conversione tra le due scale è: :<math>T_\text{F} = 32 + \frac{9}{5}T_\text{C}</math> In ambito scientifico, a tali scale empiriche si preferisce la scala assoluta '''Kelvin'''. Essa fissa il proprio zero in corrispondenza del minimo teorico per un sistema termodinamico, lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]], mantenendo il medesimo intervallo unitario (il ''grado'') della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto si colloca a una temperatura sperimentale di <math>-273.15\ ^\circ\text{C}</math>, la conversione da gradi Celsius a kelvin (il cui simbolo è semplicemente <math>\text{K}</math>, senza il segno di grado) è data da: :<math>T_\text{K} = T_\text{C} + 273.15</math> ===Interpretazione microscopica=== Dal punto di vista della meccanica statistica e della teoria cinetica, la temperatura di un gas rarefatto ([[w:Gas_ideale|gas ideale]]) rappresenta una misura diretta dell'energia cinetica media di traslazione delle molecole che lo compongono. Attraverso gli urti elastici microscopici, le molecole si scambiano continuamente energia, tendendo a distribuirla uniformemente secondo il [[w:Teorema_di_equipartizione_dell%27energia|principio di equipartizione dell'energia]]. Il numero di gradi di libertà microscopicamente attivi determina come questa energia viene immagazzinata: * Nei gas monoatomici, l'energia cinetica traslazionale rappresenta l'unica forma di energia microscopica. * Nei gas biatomici o poliatomici, oltre alla traslazione, emergono ulteriori gradi di libertà interni associati ai moti rotazionali e vibrazionali delle molecole (questi ultimi modellizzabili come oscillatori armonici). * Nei fluidi densi, l'interazione intermolecolare non è più trascurabile e la temperatura risulta connessa anche all'energia potenziale dovuta alle forze di coesione interna. * Nel caso limite di un solido cristallino, gli atomi non traslano ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio. Ogni atomo si comporta come un oscillatore armonico tridimensionale, caratterizzato da 6 gradi di libertà (3 legati all'energia cinetica e 3 all'energia potenziale elastica del reticolo). Infine, il concetto di temperatura non è vincolato esclusivamente alla presenza di materia ponderabile. È infatti possibile definire rigorosamente la temperatura del vuoto termodinamico attraverso lo studio della radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]], ovvero lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico all'interno di una cavità. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Un sistema macroscopicamente isolato si trova in uno stato di equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato (come pressione, volume, temperatura e composizione chimica) rimangono costanti nel tempo e non si osserva alcun flusso netto di materia o di energia né al suo interno, né con l'ambiente circostante. Affinché si realizzi l'equilibrio termodinamico, devono verificarsi simultaneamente tre condizioni indipendenti: * '''Equilibrio meccanico:''' Si ha quando la risultante delle forze (interne ed esterne) e dei momenti agenti sul sistema è nulla. In assenza di campi di forza esterni, questo implica che la pressione p deve essere uniforme in ogni punto del sistema. Se la pressione non fosse uniforme, si genererebbero moti macroscopici di materia (correnti) fino al ripristino dell'omogeneità. * '''Equilibrio chimico:''' Si verifica quando all'interno del sistema non avvengono reazioni chimiche nette e non si riscontrano fenomeni di diffusione o trasferimento di materia tra le diverse parti o fasi del sistema. Di conseguenza, la composizione chimica e la massa locale rimangono costanti nel tempo. * '''Equilibrio termico:''' Si realizza quando la temperatura T del sistema non solo smette di variare nel tempo, ma assume il medesimo valore in ogni punto del sistema. La presenza di differenze di temperatura provocherebbe infatti un passaggio spontaneo di calore dalle zone più calde a quelle più fredde. ===Uniformità delle grandezze e campi di forza=== Come regola generale, lo stato di equilibrio termodinamico di un corpo omogeneo implica che le sue proprietà intensive (pressione, densità e temperatura) siano uniformi al suo interno. Tuttavia, è necessario fare una precisazione fondamentale riguardo all'equilibrio meccanico in presenza di campi di forza esterni ponderabili, come il campo gravitazionale. L'acqua di un lago calmo è un sistema all'equilibrio termodinamico, ma la sua pressione e densità non è uniformi nello spazio: varia con la quota secondo la [[w:Legge_di_Stevino|legge di Stevino]]. In questo caso, l'equilibrio meccanico non richiede l'uniformità della pressione, ma il bilanciamento locale tra le forze di pressione e la forza peso. Al contrario, l'equilibrio termico richiede sempre e rigorosamente che la temperatura sia perfettamente uniforme, anche in presenza di gravità. ===Stato di equilibrio vs Stato stazionario=== Per comprendere a fondo l'equilibrio è utile distinguerlo dal concetto di stato stazionario. Immaginiamo, ad esempio, un fiume in cui confluisce una sorgente d'acqua gelida. Se monitoriamo il fiume in un regime regolare, noteremo che in ogni singolo punto la temperatura rimane costante nel tempo. Tuttavia, spostandoci lungo il corso del fiume, registreremo forti variazioni spaziali della temperatura (un gradiente termico). Questo sistema non è in equilibrio termodinamico, bensì in uno stato stazionario fuori dall'equilibrio: le grandezze sono costanti nel tempo solo perché vi è un flusso continuo e forzato di materia e di energia che attraversa il sistema. Se isolassimo idealmente una porzione di quel fiume interrompendo i flussi, le correnti termiche interne continuerebbero a fluire fino a che la temperatura non sia diventata perfettamente uniforme in ogni punto, raggiungendo solo allora il vero equilibrio termodinamico. Anche l'atmosfera terrestre reale è un esempio di stato stazionario, ma non in equilibrio termodinamico. L'atmosfera non si trova in un vero equilibrio termodinamico: oltre alla pressione, anche la sua temperatura varia fortemente con la quota (diminuendo nella troposfera di circa <math>6.5\ ^\circ\text{C}</math> per ogni chilometro di altitudine). Questa variazione termica è dovuta al fatto che l'atmosfera è un sistema aperto, costantemente attraversato da flussi di energia (il riscaldamento del suolo da parte del Sole e il successivo irraggiamento verso lo spazio). L'atmosfera reale si trova quindi in un regime dinamico e stazionario fuori dall'equilibrio. Se potessimo isolare idealmente l'intera atmosfera terrestre da ogni fonte di calore esterna, i moti convettivi e i flussi di calore continuerebbero a trasferire energia fino a quando la temperatura non fosse diventata perfettamente identica a qualsiasi quota (atmosfera isotermica). Solo a quel punto il sistema avrebbe raggiunto il vero equilibrio termodinamico, mantenendo la pressione stratificata dalla gravità, ma la temperatura totalmente uniforme. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un assioma fondamentale che formalizza le condizioni di equilibrio termico tra corpi a contatto e fornisce la giustificazione logica per la definizione e la misurazione della temperatura stessa.L'enunciato stabilisce che:Se un sistema termodinamico <math>A</math> è in equilibrio termico con un sistema <math>B</math>, e lo stesso sistema <math>B</math> è in equilibrio termico con un terzo sistema <math>C</math>, allora i sistemi <math>A</math> e <math>C</math> sono in equilibrio termico tra loro. In termini strettamente matematici, il principio zero afferma che la relazione di equilibrio termico tra sistemi è una proprietà transitiva. Poiché tale relazione gode anche delle proprietà riflessiva (ogni sistema è in equilibrio con se stesso) e simmetrica (se <math>A</math> è in equilibrio con <math>B</math>, <math>B</math> lo è con <math>A</math>), l'equilibrio termico costituisce una vera e propria relazione di equivalenza. ===Il principio alla base del termometro=== Questa proprietà transitiva è ciò che rende possibile la misurazione della temperatura. Se definiamo la temperatura come la proprietà macroscopica che determina se due o più corpi sono in equilibrio termico tra loro, allora due corpi a contatto si troveranno in equilibrio termico se e solo se possiedono la stessa temperatura.In questo contesto, il terzo sistema <math>B</math> dell'enunciato agisce esattamente come un termometro. Per verificare se due corpi distanti o che non possono interagire tra loro (<math>A</math> e <math>C</math>) si trovano alla stessa temperatura, non è necessario metterli in contatto diretto: è sufficiente misurare entrambi con lo stesso strumento <math>B</math>. Se lo strumento non mostra variazioni nelle sue proprietà termometriche (come l'altezza della colonna di liquido o la resistenza elettrica) nel passaggio da un corpo all'altro, possiamo concludere che <math>A</math> e <math>C</math> hanno la stessa temperatura. ===Note storiche=== Sebbene questo principio rappresenti un'assunzione basilare e logicamente antecedente agli altri postulati della termodinamica, la sua importanza cruciale come fondamento della teoria venne riconosciuta formalmente solo negli anni Trenta del Novecento (grazie a [[w:Ralph_Fowler|Ralph H. Fowler]]), molto tempo dopo la formulazione e la diffusione del [[w:Primo principio della termodinamica|primo]] e del [[w:Secondo principio della termodinamica|secondo principio]] della termodinamica. Per evitare di dover rinumerare i principi cardine ormai universalmente noti e consolidati nella letteratura scientifica, si decise di battezzarlo '''Principio zero'''. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|300px|right|Un gas (in giallo) espandendosi all'interno di un cilindro compie lavoro sollevando un pistone mobile.]] Il concetto di lavoro in termodinamica deriva direttamente dalla meccanica classica, ma assume una forte rilevanza macroscopica legata alle variazioni di volume del sistema. Nella fisica termodinamica si adotta convenzionalmente la ''convenzione dei fisici'', secondo la quale si definisce positivo il lavoro compiuto dal sistema sull'ambiente esterno (ad esempio durante un'espansione), mentre si considera negativo il lavoro compiuto dall'ambiente sul sistema (durante una compressione). Il caso più semplice e intuitivo da analizzare è quello di un cilindro termicamente isolato, chiuso superiormente da un pistone mobile privo di massa e di attrito, contenente un fluido (ad esempio un gas) in equilibrio termodinamico. Sia <math>p</math> la pressione uniforme che il gas esercita sulle pareti del recipiente e sulla base del pistone. Se <math>S</math> è l'area della superficie del pistone, la forza normale esercitata dal gas su di esso sarà pari a <math>F=p S</math>. Se il gas si espande, provocando uno spostamento infinitesimo del pistone lungo la direzione verticale pari a <math>dz</math> (parallelo alla forza), il lavoro infinitesimo dW compiuto dal gas per sollevare il carico esterno è dato da: :<math>dW = F dz = p S dz</math> Poiché il prodotto <math>S dz</math> rappresenta geometricamente l'aumento infinitesimo di volume del cilindro (<math>dV = S dz</math>), l'espressione del lavoro termodinamico si riduce alla forma fondamentale: :<math>dW = p dV</math> Sebbene questa relazione sia stata ricavata per un cilindro geometricamente regolare, la sua validità è generale: il lavoro infinitesimo associato a una variazione di volume dV di un fluido a pressione p è sempre pari a p dV, indipendentemente dalla forma del recipiente che lo contiene<ref> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. ===Reversibilità e dinamica del processo=== Il passaggio da un lavoro infinitesimo al calcolo del lavoro totale compiuto durante una trasformazione finita richiede un'analisi approfondita delle modalità con cui avviene la trasformazione stessa. Il processo opposto all'espansione prende il nome di compressione (<math>dV < 0</math>, lavoro negativo). Affinché una trasformazione di espansione o compressione possa dirsi reversibile, non è sufficiente che essa avvenga attraverso una successione continua di stati di perfetto equilibrio termodinamico. Devono essere soddisfatte altre due condizioni cruciali: * Assenza di attriti: Il moto del pistone lungo le pareti del cilindro deve avvenire senza alcuna dissipazione meccanica. Non esiste infatti alcun processo naturale in grado di riconvertire integralmente l'energia termica generata dall'attrito in lavoro meccanico macroscopico. * Equilibrio delle forze: La forza esterna agente sul pistone deve essere, in ogni istante, quasi-identica alla forza interna esercitata dal gas (<math>F_{\text{est}} \approx F_{\text{int}}</math>). Se il cilindro contiene un gas a pressione nettamente superiore a quella dell'ambiente, per garantire la reversibilità sarà necessario bilanciare la spinta interna modificando con continuità la forza esterna (ad esempio rimuovendo masse infinitesime dal pistone una alla volta). Se l'espansione avviene troppo rapidamente (trasformazione irreversibile), l'equilibrio interno si rompe: si generano gradienti di pressione e moti turbolenti nel cilindro. In un'espansione violenta, la forza reale esercitata sul pistone risulta inferiore a quella calcolata tramite la pressione di equilibrio termodinamico. Da ciò deriva una proprietà fondamentale: durante un'espansione, il lavoro compiuto dal sistema è massimo quando la trasformazione è reversibile. Al contrario, durante una compressione, il lavoro che l'ambiente deve compiere sul sistema è minimo se il processo è reversibile. ===Il piano di Clapeyron e il calcolo del lavoro=== [[Image:Lavoro.png|thumb|350px|left|Rappresentazione di una trasformazione generica nel piano di Clapeyron. L'area tratteggiata sottesa dalla curva rappresenta il lavoro compiuto.]] Per lo studio dei sistemi termodinamici fluidi e omogenei è estremamente utile descrivere gli stati di equilibrio scegliendo come variabili indipendenti la pressione <math>p</math> e il volume <math>V</math>. Lo spazio bidimensionale generato da questi due assi coordinati prende il nome di [[w:Piano_di_Clapeyron|piano di Clapeyron]] (o diagramma <math>p-V</math>). Una trasformazione reversibile (o quasi-statica) che porta il sistema da uno stato iniziale <math>A</math> a uno stato finale <math>B</math> viene rappresentata nel piano di Clapeyron da una linea continua, la cui forma geometrica dipende dallo specifico processo termodinamico seguito (ad esempio un'isoterma, un'isobara, ecc.). Il lavoro totale <math>W</math> scambiato dal sistema durante la trasformazione si ottiene integrando l'espressione del lavoro infinitesimo lungo il cammino che connette i due stati: :<math>W = \int_{A}^{B} p dV = \int_{V_A}^{V_B} p(V) dV</math> Da un punto di vista geometrico, questo integrale rappresenta l'area della regione di piano sottesa dalla curva che descrive la trasformazione, limitata dai valori dei volumi <math>V_A</math> e <math>V_B</math>. Coerentemente con la convenzione sui segni, l'area esprime un lavoro positivo se la trasformazione si muove nel verso delle ascisse crescenti (espansione da <math>A</math> a <math>B</math>), mentre esprime un lavoro negativo se si muove nel verso delle ascisse decrescenti (compressione da <math>B</math> a <math>A</math>). Poiché l'area sottesa dipende strettamente dal percorso seguito nel piano per andare da <math>A</math> a <math>B</math>, il lavoro non è una funzione di stato: il suo valore finale non dipende solo dai punti di partenza e arrivo, ma dall'intera storia della trasformazione. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} nnc0lzgpladm9hdr950hpr3yk15fwcv 499039 499038 2026-06-07T10:28:51Z Pasquale.Carelli 528 /* Le scale termometriche */ da punto a virgola 499039 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Calore |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Calore }} {{fisica classica}} [[File:Triple expansion engine animation.gif|thumb|upright=1.6|left|Esempio di sistema termodinamico ([[w:motore a movimento alternativo|macchina alternativa a vapore]])]] La termodinamica nasce nell'Ottocento per studiare la trasformazione del calore in lavoro meccanico (macchine termiche) e le trasformazioni inverse del lavoro in calore (macchine frigorifere e pompe di calore). In realtà, le definizioni e le conseguenze della termodinamica servono a descrivere molti fenomeni fisici di sistemi complessi costituiti da un gran numero di particelle, non descrivibili mediante le leggi della meccanica elementare. Solo a metà dell'Ottocento si è riconosciuto che il calore è una forma di energia che può essere trasformata nelle altre forme. Prima di allora si credeva che fosse una specie di fluido indistruttibile – il ''calorico'' – e si interpretava il processo di riscaldamento di un corpo come il passaggio di tale fluido da un corpo a un altro. L'interpretazione microscopica del calore e della temperatura richiede la conoscenza delle proprietà statistiche del mondo microscopico. Solo con questa visione la termodinamica diventa un ramo speciale della meccanica, che prende il nome di meccanica statistica. Quest'ultima permette di interpretare in modo molto soddisfacente le leggi della termodinamica, anche se, dal punto di vista formale, la costruzione matematica della termodinamica pura può farne a meno. Il punto di vista della termodinamica pura è infatti differente: i principi fondamentali sono assunti come postulati e se ne traggono le conseguenze senza entrare nel meccanismo microscopico. Questo modo di procedere permette di studiare i fenomeni termodinamici in maniera precisa e indipendente dalle ipotesi sulla struttura della materia. Vi è da dire che la non conoscenza del meccanismo microscopico può risultare insoddisfacente per interpretare i risultati; pertanto, sebbene da un punto di vista propriamente termodinamico non sia necessario, uno sguardo alla descrizione microscopica fornisce spesso un chiarimento, anche se l'analisi può risultare grossolana e parziale. I sistemi fisici che si incontrano in natura sono costituiti da un numero elevatissimo di atomi: per avere un'idea, in un granello medio di sabbia sono contenuti circa 10¹⁸ atomi. Studiare sistemi così complessi dal punto di vista meccanico sarebbe praticamente impossibile sotto il profilo del calcolo, sia che lo stato di aggregazione sia fluido (gassoso o liquido) o solido. Lo stato di un sistema di N particelle è definito solo se sono note, in un certo istante, la posizione e la velocità di ciascun punto materiale. Questo significa conoscere 6N variabili o, come viene spesso detto, i 6N [[w:Grado_di_libertà_(meccanica_classica)|gradi di libertà]] del sistema meccanico. La termodinamica riprende alcuni concetti della meccanica: il riconoscimento del calore come forma di energia permette di generalizzare il principio di conservazione dell'energia, e anche il concetto di lavoro viene preso in prestito dalla meccanica. Tuttavia, in termodinamica viene introdotto il concetto di sistema macroscopico proprio perché un sistema composto da un numero enorme di oggetti non è descrivibile con le leggi ordinarie della dinamica. Una differenza sostanziale con la meccanica risiede nel ruolo del tempo: in meccanica, in presenza di forze conservative, i fenomeni fisici sono reversibili (il tempo è simmetrico); in termodinamica, invece, l'irreversibilità del tempo è sancita dal secondo principio. Definiamo sistema un oggetto macroscopico caratterizzato dalle variabili che lo definiscono; il mondo esterno è chiamato ambiente. L'insieme dell'ambiente e del sistema si chiama universo termodinamico. Il sistema può interagire con il mondo esterno attraverso la sua superficie di controllo: # '''sistema aperto''': scambia materia ed energia con il mondo esterno; # '''sistema chiuso''': non scambia materia, ma può scambiare energia con il mondo esterno; # '''sistema adiabatico''': non scambia materia ed è isolato termicamente (può scambiare lavoro); # '''sistema isolato''': non scambia né materia né energia. In termodinamica si introducono delle variabili che caratterizzano lo stato del sistema e che rappresentano, a livello macroscopico, il valore medio di grandezze meccaniche microscopiche dotate di un ben preciso significato fisico. Le variabili termodinamiche si dicono '''intensive''' se sono indipendenti dalla quantità di materia (es. pressione, densità, temperatura) o '''estensive''' se sono proporzionali alla quantità di materia (es. massa, volume, numero di moli). Le variabili termodinamiche di un sistema possono essere definite solo quando il sistema si trova in una condizione di equilibrio termodinamico (la cui definizione sarà data nel seguito). Un sistema macroscopico in equilibrio termodinamico è descritto da un numero limitato di grandezze termodinamiche che lo identificano in modo univoco. La spiegazione di tale semplificazione, in apparente contraddizione con il numero enorme di variabili interne del sistema complesso, dipende da due condizioni contemporaneamente necessarie (implicitamente connesse alla natura microscopica dei sistemi): la prima è che le misure macroscopiche siano estremamente lente rispetto alla scala temporale atomica; la seconda è che le dimensioni atomiche siano così piccole che la materia appare continua alla nostra scala di osservazione. La termodinamica studia sistemi complessi in cui intervengono proprietà meccaniche, elettriche, magnetiche e termiche. Per semplicità, tuttavia, qui focalizzeremo l'attenzione sulle sole proprietà termiche. Studieremo inoltre sistemi semplici, ovvero omogenei dal punto di vista macroscopico e isotropi, nei quali il volume sia tale da poter trascurare gli effetti di superficie. Trascureremo altresì i campi elettrici e magnetici, sebbene la termodinamica, da un punto di vista generale, sia in grado di comprendere tutte le proprietà della materia. Passiamo ora a elencare, senza un ordine prestabilito, alcune delle variabili più comunemente usate in termodinamica. == Volume == Il '''volume''' è la misura dello spazio occupato da un corpo. L'unità adottata dal [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] è il metro cubo (simbolo '''m³'''), ma spesso viene misurato in litri (dm³), che corrispondono a un millesimo di metro cubo. Il volume è una variabile estensiva: il volume di un sistema costituito da due o più corpi è pari alla somma dei rispettivi volumi. Per convenzione, ad oggetti a una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come una superficie) si assegna volume nullo nello spazio tridimensionale. == [[w:Mole|Mole]] == Un'altra variabile estensiva fondamentale è la quantità di sostanza, espressa tramite il numero di particelle (atomi, molecole o ioni) che costituiscono il sistema. Per evitare l'uso di numeri eccessivamente grandi, questa quantità viene normalizzata mediante la [[w:Numero_di_Avogadro|costante di Avogadro]], indicata con il simbolo <math>N_A</math>, il cui valore è circa <math>6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}</math>. Il rapporto tra il numero totale di particelle N e la costante di Avogadro definisce il numero di moli, indicato in genere con n, la cui unità di misura è la '''mole''' (simbolo ''mol''). La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del [[w:Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]]. È definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità specifiche<ref>Le entità chimico-fisiche a cui si fa riferimento nella definizione di mole possono essere atomi, molecole, [[w:ione|ioni]], [[w:radicale libero|radicali]] o altre particelle e raggruppamenti specifici di esse.</ref> pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12 (<math>^{12}\text{C}</math>). La massa in grammi di una mole di sostanza viene detta massa molare (espressa in g/mol). '''Esempio:''' Consideriamo una massa <math>m = 1\text{ kg}</math> di ferro. Poiché la massa molare del ferro vale circa <math>M = 55{,}85\text{ g/mol}</math>, il numero di moli <math>n</math> contenute in <math>1\text{ kg}</math> sarà: :<math>n = \frac{m}{M} = \frac{1000\text{ g}}{55{,}85\text{ g/mol}} \approx 17{,}9\text{ moli}</math> ==[[w:Pressione|Pressione]]== La pressione è una grandezza scalare intensiva definita, in prima approssimazione, come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e l'area della superficie stessa: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> Per comprendere la natura di questa grandezza e il suo comportamento all'interno della materia, consideriamo una sostanza omogenea di [[w:Densità|densità]] <math>\rho</math> contenuta in un cilindro verticale indeformabile di altezza <math>h</math> e superficie di base <math>S</math>. La massa totale della sostanza è data da: :<math>m = \rho h S</math> Se sulla faccia superiore del cilindro viene esercitata una forza esterna <math>F_{\perp}</math> perpendicolare alla superficie, tale forza si trasmette attraverso la sostanza. Sulla base inferiore del cilindro, la forza totale risentita sarà la somma della forza applicata e della forza peso della sostanza stessa. La forza per unità di superficie sulla base inferiore (pressione totale p_{\text{tot}}) risulta quindi: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S} + \frac {mg}{S} = \frac {F_{\perp}}{S} + \rho g h</math> Se l'altezza h del cilindro è sufficientemente piccola, il termine idrostatico legato alla gravità diventa trascurabile rispetto all'effetto della forza esterna (<math>\rho g h \ll F_{\perp}/S</math>). In queste condizioni di quasi-omogeneità dello stato tensionale, possiamo scrivere semplicemente: :<math>p = \frac {F_{\perp}}{S}</math> ===Il carattere scalare della pressione nei fluidi=== Nello studio della fisica dei media continui, la descrizione delle forze interne a un corpo richiede l'utilizzo di uno strumento matematico complesso: il tensore degli sforzi. Nei solidi rigidi o elastici, le forze interne dipendono fortemente dall'orientazione della superficie considerata, poiché un solido può sopportare e trasmettere sia sforzi normali (pressioni e trazioni) sia sforzi tangenziali (sforzi di taglio). Di conseguenza, nei solidi lo sforzo conserva una natura intrinsecamente vettoriale e direzionale. La proprietà fondamentale che definisce un fluido (liquido o gas) in equilibrio termodinamico è invece la sua incapacità di sostenere sforzi di taglio. In un fluido a riposo, le forze d'attrito interno sono nulle e le forze che le varie parti di fluido esercitano le une sulle altre, o contro le pareti del recipiente, possono essere esclusivamente perpendicolari alla superficie di contatto. Immaginiamo di isolare idealmente un elemento di volume infinitesimo a forma di prisma triangolare all'interno del fluido. Applicando le equazioni dell'equilibrio statico di Newton a tale elemento, si dimostra che la forza per unità di superficie agente sulla faccia inclinata del prisma è indipendente dall'angolo di inclinazione. Questo comportamento macroscopico determina le seguenti proprietà: # Isotropia: In un punto qualsiasi del fluido, la forza per unità di superficie esercitata dal fluido è identica in ogni direzione. Se immergessimo una superficie ideale infinitesima in quel punto, l'intensità della forza agente su di essa non cambierebbe ruotando la superficie nello spazio. # Ortogonalità vincolata: La direzione della forza infinitesima <math>d\vec{F}</math> esercitata sulla superficie <math>dS</math> è univocamente determinata dalla geometria della superficie stessa, essendo sempre diretta lungo la normale \hat{n} a quest'ultima: :<math>d\vec{F} = p , dS , \hat{n}</math> Dato che la direzione e il verso della forza sono imposti esclusivamente dall'orientazione della superficie considerata e non dalle proprietà intrinseche del fluido in quel punto, la quantità <math>p</math> (il coefficiente di proporzionalità) perde qualsiasi connotazione direzionale. Pertanto, la pressione nei fluidi è a tutti gli effetti una grandezza puramente scalare. Essa è una funzione dello spazio <math>p(x,y,z)</math> che specifica lo stato di sollecitazione interna del fluido in un determinato punto, ma non dipende in alcun modo dall'orientazione della superficie su cui agisce. ===Unità di misura e strumenti=== Nel Sistema Internazionale (SI), la pressione si misura in Pascal (simbolo <math>\text{Pa}</math>), definito come un Newton su metro quadro: :<math>1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2</math> L'aver trascurato la forza di gravità è una semplificazione spesso non lecita su grande scala. Nell'atmosfera terrestre, ad esempio, la gravità è la diretta responsabile della pressione dell'aria. Per motivi storici e pratici, è comune misurare la pressione utilizzando come riferimento la pressione media dell'aria al livello del mare, definita come Atmosfera (<math>\text{atm}</math>), o il <math>bar</math>. Le relazioni di conversione con il Sistema Internazionale sono: :<math>1\ \text{atm} = 1,01325 \times 10^{5}\ \text{Pa}</math> :<math>1\ \text{bar} = 10^{5}\ \text{Pa}</math> Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione dei fluidi si chiamano manometri (se misurano una differenza di pressione rispetto a quella atmosferica) o barometri (se misurano la pressione atmosferica assoluta). ===La pressione in Termodinamica=== In termodinamica, la pressione di un sistema in equilibrio è una variabile di stato intensiva. Ciò significa che il suo valore non dipende dall'estensione del sistema: se prendiamo due sistemi termodinamici identici alla stessa pressione <math>p</math> e li uniamo idealmente, il sistema globale risultante avrà ancora la medesima pressione <math>p</math>. Dal punto di vista microscopico (trattato dettagliatamente dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]), la pressione non è altro che la manifestazione macroscopica degli [[w:Urto_elastico|urti elastici]] continui e caotici che le molecole del fluido esercitano contro le pareti del contenitore o contro le altre molecole. Poiché il moto di agitazione termica molecolare è completamente disordinato (isotropo nello spazio), il numero medio di urti al secondo e la quantità di moto trasferita nell'unità di tempo sono uguali su qualunque porzione di parete, indipendentemente dalla sua giacitura. Questo meccanismo microscopico fornisce l'interpretazione fisica diretta del perché la pressione macroscopica sia una grandezza scalare non direzionale. ==[[w:Temperatura|Temperatura]]== La temperatura è un concetto intuitivo molto antico, legato inizialmente alle nostre percezioni sensoriali di ''caldo'' e ''freddo''. I primi tentativi di descriverla in termini scientifici risalgono all'antichità, ma fu solo grazie all'invenzione del termometro che si poterono effettuare le prime stime numeriche e riproducibili del suo valore. Esistono molte proprietà fisiche dei corpi che variano in modo macroscopico e regolare con la temperatura, fornendo una base oggettiva per la sua misurazione al di là della sensibilità fisiologica umana. Una delle più semplici e storicamente utilizzate è la dilatazione termica dei liquidi: i termometri a mercurio (o ad alcool), in cui il fluido è contenuto in un recipiente capillare di vetro il cui volume subisce una variazione trascurabile, ne sono un classico esempio. Poiché anche molte altre proprietà fisiche (come la resistenza elettrica nei termistori o la suscettività magnetica nei paramagneti) dipendono dalla temperatura, oggi disponiamo di una notevole varietà di strumenti di misura. ===Le scale termometriche=== Per associare un valore numerico alla temperatura è necessario definire una scala termometrica. La scala empirica più diffusa nei paesi occidentali non anglosassoni è la scala '''Celsius''', basata sulle proprietà di transizione di fase dell'acqua alla pressione standard di un'atmosfera. Questa scala assume convenzionalmente come <math>0\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di fusione del ghiaccio e come <math>100\ ^\circ\text{C}</math> la temperatura di ebollizione dell'acqua. Nei paesi anglosassoni è ancora utilizzata la scala '''Fahrenheit'''. In questa configurazione, il punto di congelamento dell'acqua corrisponde a <math>32\ ^\circ\text{F}</math> e quello di ebollizione a <math>212\ ^\circ\text{F}</math> (originariamente, lo zero era associato alla temperatura minima di una miscela frigorifera di ghiaccio, acqua e cloruro di ammonio, mentre i <math>96\ ^\circ\text{F}</math> circa rappresentavano la temperatura del corpo umano). La formula di conversione tra le due scale è: :<math>T_\text{F} = 32 + \frac{9}{5}T_\text{C}</math> In ambito scientifico, a tali scale empiriche si preferisce la scala assoluta '''Kelvin'''. Essa fissa il proprio zero in corrispondenza del minimo teorico per un sistema termodinamico, lo [[w:Zero_assoluto|zero assoluto]], mantenendo il medesimo intervallo unitario (il ''grado'') della scala Celsius. Poiché lo zero assoluto si colloca a una temperatura sperimentale di <math>-273,15\ ^\circ\text{C}</math>, la conversione da gradi Celsius a kelvin (il cui simbolo è semplicemente <math>\text{K}</math>, senza il segno di grado) è data da: :<math>T_\text{K} = T_\text{C} + 273,15</math> ===Interpretazione microscopica=== Dal punto di vista della meccanica statistica e della teoria cinetica, la temperatura di un gas rarefatto ([[w:Gas_ideale|gas ideale]]) rappresenta una misura diretta dell'energia cinetica media di traslazione delle molecole che lo compongono. Attraverso gli urti elastici microscopici, le molecole si scambiano continuamente energia, tendendo a distribuirla uniformemente secondo il [[w:Teorema_di_equipartizione_dell%27energia|principio di equipartizione dell'energia]]. Il numero di gradi di libertà microscopicamente attivi determina come questa energia viene immagazzinata: * Nei gas monoatomici, l'energia cinetica traslazionale rappresenta l'unica forma di energia microscopica. * Nei gas biatomici o poliatomici, oltre alla traslazione, emergono ulteriori gradi di libertà interni associati ai moti rotazionali e vibrazionali delle molecole (questi ultimi modellizzabili come oscillatori armonici). * Nei fluidi densi, l'interazione intermolecolare non è più trascurabile e la temperatura risulta connessa anche all'energia potenziale dovuta alle forze di coesione interna. * Nel caso limite di un solido cristallino, gli atomi non traslano ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio. Ogni atomo si comporta come un oscillatore armonico tridimensionale, caratterizzato da 6 gradi di libertà (3 legati all'energia cinetica e 3 all'energia potenziale elastica del reticolo). Infine, il concetto di temperatura non è vincolato esclusivamente alla presenza di materia ponderabile. È infatti possibile definire rigorosamente la temperatura del vuoto termodinamico attraverso lo studio della radiazione di [[w:Corpo_nero|corpo nero]], ovvero lo spettro della radiazione elettromagnetica in equilibrio termico all'interno di una cavità. ==[[w:Equilibrio_termodinamico|Equilibrio Termodinamico]]== Un sistema macroscopicamente isolato si trova in uno stato di equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato (come pressione, volume, temperatura e composizione chimica) rimangono costanti nel tempo e non si osserva alcun flusso netto di materia o di energia né al suo interno, né con l'ambiente circostante. Affinché si realizzi l'equilibrio termodinamico, devono verificarsi simultaneamente tre condizioni indipendenti: * '''Equilibrio meccanico:''' Si ha quando la risultante delle forze (interne ed esterne) e dei momenti agenti sul sistema è nulla. In assenza di campi di forza esterni, questo implica che la pressione p deve essere uniforme in ogni punto del sistema. Se la pressione non fosse uniforme, si genererebbero moti macroscopici di materia (correnti) fino al ripristino dell'omogeneità. * '''Equilibrio chimico:''' Si verifica quando all'interno del sistema non avvengono reazioni chimiche nette e non si riscontrano fenomeni di diffusione o trasferimento di materia tra le diverse parti o fasi del sistema. Di conseguenza, la composizione chimica e la massa locale rimangono costanti nel tempo. * '''Equilibrio termico:''' Si realizza quando la temperatura T del sistema non solo smette di variare nel tempo, ma assume il medesimo valore in ogni punto del sistema. La presenza di differenze di temperatura provocherebbe infatti un passaggio spontaneo di calore dalle zone più calde a quelle più fredde. ===Uniformità delle grandezze e campi di forza=== Come regola generale, lo stato di equilibrio termodinamico di un corpo omogeneo implica che le sue proprietà intensive (pressione, densità e temperatura) siano uniformi al suo interno. Tuttavia, è necessario fare una precisazione fondamentale riguardo all'equilibrio meccanico in presenza di campi di forza esterni ponderabili, come il campo gravitazionale. L'acqua di un lago calmo è un sistema all'equilibrio termodinamico, ma la sua pressione e densità non è uniformi nello spazio: varia con la quota secondo la [[w:Legge_di_Stevino|legge di Stevino]]. In questo caso, l'equilibrio meccanico non richiede l'uniformità della pressione, ma il bilanciamento locale tra le forze di pressione e la forza peso. Al contrario, l'equilibrio termico richiede sempre e rigorosamente che la temperatura sia perfettamente uniforme, anche in presenza di gravità. ===Stato di equilibrio vs Stato stazionario=== Per comprendere a fondo l'equilibrio è utile distinguerlo dal concetto di stato stazionario. Immaginiamo, ad esempio, un fiume in cui confluisce una sorgente d'acqua gelida. Se monitoriamo il fiume in un regime regolare, noteremo che in ogni singolo punto la temperatura rimane costante nel tempo. Tuttavia, spostandoci lungo il corso del fiume, registreremo forti variazioni spaziali della temperatura (un gradiente termico). Questo sistema non è in equilibrio termodinamico, bensì in uno stato stazionario fuori dall'equilibrio: le grandezze sono costanti nel tempo solo perché vi è un flusso continuo e forzato di materia e di energia che attraversa il sistema. Se isolassimo idealmente una porzione di quel fiume interrompendo i flussi, le correnti termiche interne continuerebbero a fluire fino a che la temperatura non sia diventata perfettamente uniforme in ogni punto, raggiungendo solo allora il vero equilibrio termodinamico. Anche l'atmosfera terrestre reale è un esempio di stato stazionario, ma non in equilibrio termodinamico. L'atmosfera non si trova in un vero equilibrio termodinamico: oltre alla pressione, anche la sua temperatura varia fortemente con la quota (diminuendo nella troposfera di circa <math>6.5\ ^\circ\text{C}</math> per ogni chilometro di altitudine). Questa variazione termica è dovuta al fatto che l'atmosfera è un sistema aperto, costantemente attraversato da flussi di energia (il riscaldamento del suolo da parte del Sole e il successivo irraggiamento verso lo spazio). L'atmosfera reale si trova quindi in un regime dinamico e stazionario fuori dall'equilibrio. Se potessimo isolare idealmente l'intera atmosfera terrestre da ogni fonte di calore esterna, i moti convettivi e i flussi di calore continuerebbero a trasferire energia fino a quando la temperatura non fosse diventata perfettamente identica a qualsiasi quota (atmosfera isotermica). Solo a quel punto il sistema avrebbe raggiunto il vero equilibrio termodinamico, mantenendo la pressione stratificata dalla gravità, ma la temperatura totalmente uniforme. ==[[w:Principio_zero_della_termodinamica|Principio zero della Termodinamica]]== Il principio zero della termodinamica è un assioma fondamentale che formalizza le condizioni di equilibrio termico tra corpi a contatto e fornisce la giustificazione logica per la definizione e la misurazione della temperatura stessa.L'enunciato stabilisce che:Se un sistema termodinamico <math>A</math> è in equilibrio termico con un sistema <math>B</math>, e lo stesso sistema <math>B</math> è in equilibrio termico con un terzo sistema <math>C</math>, allora i sistemi <math>A</math> e <math>C</math> sono in equilibrio termico tra loro. In termini strettamente matematici, il principio zero afferma che la relazione di equilibrio termico tra sistemi è una proprietà transitiva. Poiché tale relazione gode anche delle proprietà riflessiva (ogni sistema è in equilibrio con se stesso) e simmetrica (se <math>A</math> è in equilibrio con <math>B</math>, <math>B</math> lo è con <math>A</math>), l'equilibrio termico costituisce una vera e propria relazione di equivalenza. ===Il principio alla base del termometro=== Questa proprietà transitiva è ciò che rende possibile la misurazione della temperatura. Se definiamo la temperatura come la proprietà macroscopica che determina se due o più corpi sono in equilibrio termico tra loro, allora due corpi a contatto si troveranno in equilibrio termico se e solo se possiedono la stessa temperatura.In questo contesto, il terzo sistema <math>B</math> dell'enunciato agisce esattamente come un termometro. Per verificare se due corpi distanti o che non possono interagire tra loro (<math>A</math> e <math>C</math>) si trovano alla stessa temperatura, non è necessario metterli in contatto diretto: è sufficiente misurare entrambi con lo stesso strumento <math>B</math>. Se lo strumento non mostra variazioni nelle sue proprietà termometriche (come l'altezza della colonna di liquido o la resistenza elettrica) nel passaggio da un corpo all'altro, possiamo concludere che <math>A</math> e <math>C</math> hanno la stessa temperatura. ===Note storiche=== Sebbene questo principio rappresenti un'assunzione basilare e logicamente antecedente agli altri postulati della termodinamica, la sua importanza cruciale come fondamento della teoria venne riconosciuta formalmente solo negli anni Trenta del Novecento (grazie a [[w:Ralph_Fowler|Ralph H. Fowler]]), molto tempo dopo la formulazione e la diffusione del [[w:Primo principio della termodinamica|primo]] e del [[w:Secondo principio della termodinamica|secondo principio]] della termodinamica. Per evitare di dover rinumerare i principi cardine ormai universalmente noti e consolidati nella letteratura scientifica, si decise di battezzarlo '''Principio zero'''. ==Lavoro== [[Image:Piston_force_imposee_colour_Italian.svg|thumb|300px|right|Un gas (in giallo) espandendosi all'interno di un cilindro compie lavoro sollevando un pistone mobile.]] Il concetto di lavoro in termodinamica deriva direttamente dalla meccanica classica, ma assume una forte rilevanza macroscopica legata alle variazioni di volume del sistema. Nella fisica termodinamica si adotta convenzionalmente la ''convenzione dei fisici'', secondo la quale si definisce positivo il lavoro compiuto dal sistema sull'ambiente esterno (ad esempio durante un'espansione), mentre si considera negativo il lavoro compiuto dall'ambiente sul sistema (durante una compressione). Il caso più semplice e intuitivo da analizzare è quello di un cilindro termicamente isolato, chiuso superiormente da un pistone mobile privo di massa e di attrito, contenente un fluido (ad esempio un gas) in equilibrio termodinamico. Sia <math>p</math> la pressione uniforme che il gas esercita sulle pareti del recipiente e sulla base del pistone. Se <math>S</math> è l'area della superficie del pistone, la forza normale esercitata dal gas su di esso sarà pari a <math>F=p S</math>. Se il gas si espande, provocando uno spostamento infinitesimo del pistone lungo la direzione verticale pari a <math>dz</math> (parallelo alla forza), il lavoro infinitesimo dW compiuto dal gas per sollevare il carico esterno è dato da: :<math>dW = F dz = p S dz</math> Poiché il prodotto <math>S dz</math> rappresenta geometricamente l'aumento infinitesimo di volume del cilindro (<math>dV = S dz</math>), l'espressione del lavoro termodinamico si riduce alla forma fondamentale: :<math>dW = p dV</math> Sebbene questa relazione sia stata ricavata per un cilindro geometricamente regolare, la sua validità è generale: il lavoro infinitesimo associato a una variazione di volume dV di un fluido a pressione p è sempre pari a p dV, indipendentemente dalla forma del recipiente che lo contiene<ref> E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri 1982.</ref>. ===Reversibilità e dinamica del processo=== Il passaggio da un lavoro infinitesimo al calcolo del lavoro totale compiuto durante una trasformazione finita richiede un'analisi approfondita delle modalità con cui avviene la trasformazione stessa. Il processo opposto all'espansione prende il nome di compressione (<math>dV < 0</math>, lavoro negativo). Affinché una trasformazione di espansione o compressione possa dirsi reversibile, non è sufficiente che essa avvenga attraverso una successione continua di stati di perfetto equilibrio termodinamico. Devono essere soddisfatte altre due condizioni cruciali: * Assenza di attriti: Il moto del pistone lungo le pareti del cilindro deve avvenire senza alcuna dissipazione meccanica. Non esiste infatti alcun processo naturale in grado di riconvertire integralmente l'energia termica generata dall'attrito in lavoro meccanico macroscopico. * Equilibrio delle forze: La forza esterna agente sul pistone deve essere, in ogni istante, quasi-identica alla forza interna esercitata dal gas (<math>F_{\text{est}} \approx F_{\text{int}}</math>). Se il cilindro contiene un gas a pressione nettamente superiore a quella dell'ambiente, per garantire la reversibilità sarà necessario bilanciare la spinta interna modificando con continuità la forza esterna (ad esempio rimuovendo masse infinitesime dal pistone una alla volta). Se l'espansione avviene troppo rapidamente (trasformazione irreversibile), l'equilibrio interno si rompe: si generano gradienti di pressione e moti turbolenti nel cilindro. In un'espansione violenta, la forza reale esercitata sul pistone risulta inferiore a quella calcolata tramite la pressione di equilibrio termodinamico. Da ciò deriva una proprietà fondamentale: durante un'espansione, il lavoro compiuto dal sistema è massimo quando la trasformazione è reversibile. Al contrario, durante una compressione, il lavoro che l'ambiente deve compiere sul sistema è minimo se il processo è reversibile. ===Il piano di Clapeyron e il calcolo del lavoro=== [[Image:Lavoro.png|thumb|350px|left|Rappresentazione di una trasformazione generica nel piano di Clapeyron. L'area tratteggiata sottesa dalla curva rappresenta il lavoro compiuto.]] Per lo studio dei sistemi termodinamici fluidi e omogenei è estremamente utile descrivere gli stati di equilibrio scegliendo come variabili indipendenti la pressione <math>p</math> e il volume <math>V</math>. Lo spazio bidimensionale generato da questi due assi coordinati prende il nome di [[w:Piano_di_Clapeyron|piano di Clapeyron]] (o diagramma <math>p-V</math>). Una trasformazione reversibile (o quasi-statica) che porta il sistema da uno stato iniziale <math>A</math> a uno stato finale <math>B</math> viene rappresentata nel piano di Clapeyron da una linea continua, la cui forma geometrica dipende dallo specifico processo termodinamico seguito (ad esempio un'isoterma, un'isobara, ecc.). Il lavoro totale <math>W</math> scambiato dal sistema durante la trasformazione si ottiene integrando l'espressione del lavoro infinitesimo lungo il cammino che connette i due stati: :<math>W = \int_{A}^{B} p dV = \int_{V_A}^{V_B} p(V) dV</math> Da un punto di vista geometrico, questo integrale rappresenta l'area della regione di piano sottesa dalla curva che descrive la trasformazione, limitata dai valori dei volumi <math>V_A</math> e <math>V_B</math>. Coerentemente con la convenzione sui segni, l'area esprime un lavoro positivo se la trasformazione si muove nel verso delle ascisse crescenti (espansione da <math>A</math> a <math>B</math>), mentre esprime un lavoro negativo se si muove nel verso delle ascisse decrescenti (compressione da <math>B</math> a <math>A</math>). Poiché l'area sottesa dipende strettamente dal percorso seguito nel piano per andare da <math>A</math> a <math>B</math>, il lavoro non è una funzione di stato: il suo valore finale non dipende solo dai punti di partenza e arrivo, ma dall'intera storia della trasformazione. ==Note== <references/> [[Fisica_classica/Calore| Argomento seguente: Calore]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} top5qo05n7zlbl2rhecfxv96innysmi 0 8783 499045 498271 2026-06-07T10:45:05Z Pasquale.Carelli 528 /* Tempi lunghi */ da punto a virgola 499045 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Dinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Meccanica_(fisica)|Meccanica]]= La meccanica riguarda lo studio del moto dei corpi, all'aumentare del loro numero lo studio diventa molto complicato, per questa ragione in meccanica, come in molti rami della fisica, in genere si studiano prima i sistemi semplici e poi quelli via via più complessi. Quindi nel nostro studio considereremo inizialmente il moto di un solo semplice corpo. Il più semplice corpo materiale è in realtà il punto materiale e da tale semplice corpo incominceremo lo studio della meccanica classica. La meccanica classica odierna nasce con le osservazioni sperimentali di [[w:Galileo_Galilei|Galileo Galilei]] che incomincia a studiare sperimentalmente il moto dei corpi. Nasce così la prima branca della meccanica: la cinematica. ==Cinematica== La [[w:Cinematica|cinematica]] è quel ramo della Meccanica Classica che studia il moto dei corpi materiali dal punto di vista puramente geometrico, senza occuparsi di studiare le cause che hanno prodotto quel tipo particolare di moto. Di quest'ultimo aspetto si occupa la [[Fisica_classica/Dinamica|Dinamica]] che, in meccanica classica d'impostazione newtoniana, tratta le forze e i loro effetti sul moto. ==[[w:Tempo|Tempo]]== Uno dei punti di partenza della Meccanica Classica è il postulato sull'esistenza del tempo come grandezza continua e uniforme. Queste caratteristiche sono individuabili intuitivamente dal senso comune e possono essere così delineate con una discussione di tipo fenomenologico-metafisico: # ''Continuità del tempo'': il tempo fluisce in modo continuo e non a scatti (come la lancetta dei secondi ad esempio) ovvero osserviamo lo scorrere continuo del tempo come un fluido continuo ([[w:Eraclito_di_Efeso|Eraclito]]) e non fotogramma per fotogramma. # ''Uniformità del tempo'': il tempo fluisce in modo uniforme e sempre nello stesso verso, non si osservano infatti rapporti inversi di causa-effetto o fenomeni come il déjà-vu cari alla letteratura fantascientifica. Per riassumere rigorosamente queste caratteristiche i fisici e i matematici hanno coniato un postulato fondamentale di esistenza del tempo che si può enunciare come segue: :''"Esiste il tempo una variabile continua sempre crescente" Ma riprendendo Feynman<ref name=Feynmann> Feynman, Leighton, Sands, Lectures on Physics Vol.I cap. 5, Addison-Wesley 1963.</ref>, non ci interessa definirlo ma come misurarlo. Un modo naturale di misurarlo è di utilizzare un fenomeno che si ripete regolarmente che quindi definiamo periodico. Il giorno è stata probabilmente la prima misura periodica usata per caratterizzare il tempo. Attualmente gli astronomi usano calcolare il tempo con il [[w:Giorno_giuliano|giorno giuliano]] che è il numero di giorni passati dal mezzogiorno del lunedì 1º gennaio 4713 a.C. allo scopo di unificare differenti cronologie storiche. Per altri scopi il giorno non è una buona unità di misura in quanto la durata cambia nel corso dell'anno e inoltre è poco adatta a descrivere fenomeni veloci. [[File:ChipScaleClock2 HR.jpg|thumb|left|Un [[w:Orologio_atomico|orologio atomico]] su chip]] L'unità di misura del sistema internazionale è il secondo (indicato con s), unità che è in qualche maniera riconducibile a un fenomeno periodico: il battito del cuore. Gli strumenti che misurano il tempo, che si basano sempre su fenomeni periodici, vengono chiamati orologi e lo sviluppo della precisione nella misura del tempo è stato un fenomeno costante nello sviluppo della società. Attualmente gli strumenti che misurano con assoluta precisione il tempo sono gli [[w:Orologio_atomico|orologi atomici]], tali strumenti hanno una accuratezza di una parte su <math>10^{16}\ </math>: cioè l'errore nella misura del tempo accumulato in un giorno è di appena <math>10^{-11}\ s\ </math>. Il tempo è una delle grandezze fisiche misurabili con maggiore precisione. ===Tempi brevi=== In maniera artificiale sappiamo produrre segnali che hanno una durata molto breve; attualmente i [[w:Laser|laser]] sono gli oggetti artificiali che riescono a emettere impulsi cosi brevi come <math>1\ fs=10^{-15}\ s\ </math>. Mentre riusciamo a misurare eventi che hanno una durata temporale molto più breve, vi sono infatti delle [[w:Particella_elementare|particelle]] instabili che hanno una vita media inferiore a <math>10^{-24}\ s</math>. La fisica moderna pone un limite inferiore alla descrizione degli intervalli temporali nel [[w:Tempo_di_Planck|tempo di Planck]] <math>10^{-44}\ s</math>, per intervalli di tempo inferiore a tale tempo si dubita che il tempo conservi il suo carattere continuo. Ma tale tempo è molto lontano dai limiti sperimentali attuali. ===Tempi lunghi=== Il tempo più lungo immaginabile è di 13,8 miliardi di anni (<math>4\cdot 10^{17}\ s</math>): l'[[w:Et%C3%A0_dell%27Universo|età dell'Universo]]. Il nostro sistema solare esiste da 4,5 miliardi di anni(<math>1,4\cdot 10^{17}\ s</math>). Il primo uomo è comparso sulla Terra un milione di anni fa (<math>3\cdot 10^{13}\ s</math>) e così via fino a eventi di durata nota. ==Spazio== Allo stesso modo si individua una grandezza chiamato spazio che ha le proprietà di continuità (come il tempo) e [[w:Isotropia|isotropia]]. Per spiegare intuitivamente queste caratteristiche si può immaginare la continuità dello spazio come assenza di zone di inaccessibilità (a meno che non siano già occupate da un altro corpo). Possiamo spostare con continuità un oggetto mobile senza trovare dinanzi ostacoli inspiegabili e invisibili al suo moto. Ciò risulta possibile solo se lo spazio è dotato di continuità e non ha, per così dire, buchi. Ad esempio la materia di cui è composto un formaggio svizzero non è continua. Non possiamo spostarci in un formaggio svizzero mantenendoci sempre nel formaggio e senza cader in un buco. Se lo spazio reale avesse dei buchi, ovvero mancasse di continuità, potrebbero verificarsi brusche cadute (senza alcuna causa) oppure inspiegabili barriere trasparenti. Bisogna anche dire che in realtà, lontano dalla Terra e in prossimità dei [[w:buco_nero|buchi neri]], lo spazio, come lo percepiamo sperimentalmente, perde la sua continuità. In prossimità di un buco nero infatti le traiettorie della luce che utilizziamo per fare le nostre misurazioni vengono deviate e la misura perde di significato nell'accezione della [[w:Geometria_euclidea|geometria euclidea]]. In questo caso possiamo supporre una perdita della continuità e dell'uniformità dello spazio che circonda il buco nero che pertanto viene indicato anche come una [[w:Singolarità|singolarità]] dello spazio. L'isotropia è l'assenza di direzioni preferenziali nello spazio, ovvero lo spazio ci appare con le stesse proprietà geometriche in tutte le direzioni. Se un oggetto è rettilineo questo oggetto non appare curvo o di lunghezza diversa se viene spostato in un punto differente dello spazio. Anche questa accezione dello spazio (isotropia) è valida in Meccanica Classica ma non in generale in altre teorie fisiche più generali. In [[w:Cinematica|Cinematica]] ci si occupa solo di spazi che non creano troppi problemi, anzi più esattamente di spazi euclidei tridimensionali e quindi si assume come postulato lo spazio continuo, isotropo, euclideo, tridimensionale. Sussiste quindi, come per il tempo, il postulato seguente :''"Esiste lo spazio grandezza continua, isotropa ed euclidea" La distanza tra due punti dello spazio è una grandezza fisica chiamata lunghezza, l'unità di misura è il metro. In origine, durante la rivoluzione francese nel 1791, venne definito come 1/10 000 000 del meridiano terrestre fra il polo nord e l'equatore, cercando di rendere universale la grandezza. In realtà la misura non era precisa, e si preferì alla fine dell'ottocento utilizzare come campione la distanza tra due linee incise su una barra campione di platino-iridio conservata a Sèvres presso Parigi. Infine nel 1963, poiché la velocità della luce nel vuoto è una grandezza fondamentale della natura e poiché il tempo è misurabile con grandissima precisione, il metro viene definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a <math>\frac 1{299792458}\ s</math>, assumendo che la [[w:velocità della luce|velocità della luce]] nel vuoto, per definizione, è pari a <math>2,99792458\cdot 10^8\ m/s</math>. ==[[w:Grandezza_fisica|Grandezze fisiche]]== Si intende come grandezza fisica una proprietà del mondo reale che può essere distinta qualitativamente e determinata quantitativamente. La scelta del numero di grandezze fisiche da cui fare derivare tutte le altre è abbastanza arbitrario. Circa 50 anni fa la maggior parte degli stati ha stabilito il cosiddetto [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale di unità di misura]] abbreviato in '''SI''' nel quale si sono scelte sette grandezze fisiche come fondamentali (lunghezza, tempo, massa, corrente, temperatura, intensità luminosa, mole). A ciascuna di queste grandezze è associato un simbolo dimensionale: lunghezza (L), tempo (T), massa (M), corrente (I), Temperatura (Θ), intensità luminosa (J), quantità di materia (N), e una unità di misura, per la lunghezza il metro (abbreviato in m) e per il tempo il secondo (abbreviato in s). Ogni altra grandezza fisica è derivata dal prodotto/rapporto di potenze di grandezze fondamentali. Il prodotto delle grandezze fisiche fondamentali è detto dimensione: ad esempio una superficie ha le dimensioni di una [L²], mentre un volume di una [L³], una velocità di [LT^-1]. L'[[w:Analisi_dimensionale|analisi dimensionale]] è abitualmente usata per verificare la plausibilità di calcoli ed equazioni. Le altre grandezze fisiche fondamentali e quelle derivate verranno introdotte via via che serviranno. Gli argomenti di funzioni esponenziali, trigonometriche e logaritmiche devono essere adimensionali, cioè dei numeri puri. ==Punto Materiale== La modellazione matematica del moto passa per una idealizzazione dei corpi materiali come percepiti dall'esperienza comune. In [[w:Cinematica|cinematica]] infatti, i corpi materiali, estesi nello spazio tridimensionale per loro natura, sono idealizzati geometricamente come contratti in un solo punto geometrico (ente geometrico zero-dimensionale). Questa idealizzazione è alla base del concetto di [[w:Punto_materiale|punto materiale]] che costituisce quindi una forte semplificazione della realtà tridimensionale ed estesa dei corpi materiali. La dinamica del corpo rigido descrive la complessità degli oggetti estesi come sistemi di punti materiali vincolati rigidamente tra di loro, consentendo una trattazione fisica completa di tali corpi estesi. ===Traiettoria di un Punto Materiale=== Le posizioni successive occupate dal punto materiale nello spazio al variare del tempo costituisce un insieme continuo di punti che prende il nome di [[w:Traiettoria|traiettoria]] del punto materiale nello spazio. == Moto rettilineo == Cominciamo analizzando un semplice moto lungo la più semplice traiettoria: la retta, tale moto viene detto ''moto rettilineo''. In questo caso possiamo studiare il moto attraverso delle grandezze caratteristiche [[w:Grandezza_fisica_scalare|scalari]] la posizione, la velocità e l'accelerazione. ===Velocità=== La rapidità con cui avviene lo spostamento lungo la traiettoria nel tempo determina una grandezza detta '''velocità media''' data dalla seguente relazione <math>v_m=\frac{x - x_0}{t-t_0}=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math>. Dove <math>x_0\ </math> è la posizione al tempo <math>t_0\ </math> e <math>x\ </math> è la posizione al tempo <math>t\ </math>. Le dimensioni della velocità sono [v]=[LT^-1]. La velocità nel sistema SI si misura in m/s, mentre nel linguaggio comune viene utilizzato km/h. Nel fare i calcoli bisogna fare attenzione a dividere le velocità espresse in km/h per 3,6 per ottenere la velocità in m/s. Esiste una massima velocità possibile: la velocità della luce (c) che vale per definizione <math>2,99792458\cdot 10^8\ m/s</math> Un semplice esempio può essere quello del moto di un'automobile che percorre 60 km in 30 minuti: essa avrà una velocità media di 120 km/h (quindi circa 33 m/s). Possiamo chiederci quale potrebbe essere la velocità in ogni istante e per fare questo dovremo considerare piccolissimi intervalli di tempo, in pratica dovremo far tendere <math>\Delta t\,\!</math> a zero; questa è velocità istantanea, definita come il valore a cui tende la velocità media quando l'intervallo di tempo diventa infinitamente piccolo: :<math>v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}</math> Questo limite è esattamente ciò che i matematici chiamano [[w:Derivata|derivata]] della posizione rispetto al tempo: :<math>v(t)=\frac{dx}{dt}</math> Se facciamo adesso il ragionamento inverso: vogliamo trovare lo spazio percorso dall'istante iniziale all'istante <math>t</math> conoscendo la velocità istantanea. Se consideriamo un intervallo di tempo piccolissimo <math>dt</math> (un istante infinitesimo), in quel brevissimo momento la velocità <math>v(t)</math> si può considerare quasi costante. Quindi lo spazio percorso <math>dx</math> è semplicemente dato da: :<math>dx = v(t) \cdot dt</math> Se viene disegnato un grafico con la velocità sull'asse <math>y</math> e il tempo sull'asse <math>x</math>. Il prodotto <math>v(t) \cdot dt</math> rappresenta l'area di un rettangolo sottilissimo, alto <math>v</math> e largo <math>dt</math>. Per trovare lo spazio totale tra l'istante iniziale e l'istante <math>t</math>, dobbiamo sommare tutti questi infinitesimi rettangolini. Graficamente, la somma di tutti questi rettangolini riempie la superficie tra la curva della velocità e l'asse del tempo. Lo spazio percorso è l'area sotto la curva della velocità. Ma questa in matematica è l'operazione di [[w:Integrale|integrazione]] che viene rappresentata con una ''S'' allungata con il simbolo <math>\textstyle \int</math>. Quindi invece di sommare a mano gli infinitisimi rettangolini, usiamo l'operazione di integrazione: :<math>x(t) = \int_{0}^{t} v(t') \, dt'</math> L'integrale non è altro che lo strumento matematico che somma tutti i contributi infinitesimi <math>v \cdot dt</math> per darci il risultato totale. Riepilogando i passaggi logici: :<math>dx = v(t)dt \Rightarrow \int_{x_0}^x dx' = \int_{t_0}^t v(t')dt' \Rightarrow x-x_0=\int_{t_0}^t v(t') dt'\Rightarrow x(t)=x_0+\int_{t_0}^t v(t') dt'</math> Questa è la regola generale che mette in relazione la velocità con lo spazio percorso. Notiamo come dalla conoscenza della [[w:Legge_oraria|legge oraria]] cioè x(t), lo spazio percorso in funzione del tempo, la determinazione della velocità istantanea è definita in maniera univoca. Mentre se conosciamo l'andamento della velocità in funzione del tempo la posizione la possiamo determinare in maniera relativa, in quanto qualsiasi posizione iniziale determina lo stesso andamento della velocità, quindi va specificata a un certo tempo quale sia la posizione per rimuovere tale relativismo. ===Moto rettilineo uniforme=== Questo è il caso più semplice in cui la '''velocità istantanea''' e la '''velocità media''' coincidono e valgono <math>v\ </math>, l'equazione del moto cioè la relazione tra la posizione istantanea <math>x(t)\ </math> e il tempo è: {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v(t-t_0)\ </math>|id=1}} Questo moto si chiama '''moto rettilineo uniforme'''. <math>x_0\ </math> è la posizione all'istante iniziale, cioè quando <math>t=t_0\ </math>. ==Accelerazione== Lo stesso ragionamento può essere fatto con la velocità: infatti anch'essa potrebbe variare nel tempo e il tasso di variazione è dato da una grandezza chiamata '''accelerazione'''. La accelerazione ha le dimensioni di [LT^-2] e nel sistema SI si misura in ms^-2. Anche per l'accelerazione possiamo definire una '''accelerazione media''': :<math>a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}</math> e una '''accelerazione istantanea''': :<math>a(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}</math> Anche per l'accelerazione, integrando otteniamo la relazione che la lega alla velocità: :<math>dv = a(t)dt \Rightarrow \int_{v_0}^v dv' = \int_{t_0}^t a(t')dt' \Rightarrow v-v_0=\int_{t_0}^t a(t') dt'\Rightarrow v(t)=v_0+\int_{t_0}^t a(t') dt'</math> e anche in questo caso se <math>v_0=0\,\!</math>, <math>a=costante\,\!</math> e si partisse al tempo <math>t_0=0\,\!</math> avremmo la relazione <math>v=at\,\!</math> che definisce un '''moto uniformemente accelerato''' === Moto uniformemente accelerato === Combinando i risultati ottenuti e considerando <math>v\,\!</math> e <math>a\,\!</math> costanti possiamo ottenere la legge che definisce il '''moto uniformemente accelerato''' {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2</math>|id=2}} Qui <math>v_0\ </math> è la velocità all'istante iniziale. Se <math>t_0=0\,\!</math>, l'equazione diviene {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\ </math>|id=3}} La relazione tra la posizione spaziale e il tempo di cui abbiamo visto due semplici esempi è chiamata equazione oraria. Alcuni esempi possono essere di aiuto per comprendere quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#1. Fascio_catodico|Moto di un elettrone]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#2. Automobile|Automobile]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#3. Treno|Treno]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#4. Rally|Rally]]. ===Caduta verticale dei gravi=== Se viene trascurato l'[[w:Attrito|attrito]] dell'aria ogni corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione costante <math>g=9,8\ m/s^2</math>. La [[w:legge oraria|legge oraria]] che descrive la caduta dei gravi è quella tipica del moto uniformemente accelerato con <math>t_0=0\,\!</math>: {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_{o} + v_{o}t - \frac{1}{2}gt^{2}</math>|id=4}} Assunto come positiva la verticale uscente dal suolo, quindi il segno negativo nella accelerazione è dovuto al fatto che il corpo si sta muovendo contrariamente al verso scelto come positivo nel [[w:sistema di riferimento|sistema di riferimento]]. Un esempio di questo caso è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#9. Palla in alto|una palla]] lanciata verso l'alto, o la stima della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#14. Altezza di un pozzo|profondità di un pozzo]] facendo cadere un sasso. ===Moto armonico semplice=== [[File:Simple harmonic motion.svg|thumb|250px|Moto armonico]] Questo tipo di moto è molto comune in molti sistemi fisici e in genere prende il nome di oscillatore armonico. Da un punto di vista algebrico la sua legge oraria è descritta da: {{Equazione|eq=<math>x(t)=A \cos(\omega t+\theta_0)\,\!</math>|id=5}} Dove <math>A\,\!</math> è detta ampiezza del moto, <math>\omega\,\!</math> pulsazione e <math>\theta_0\,\!</math> la fase iniziale. A causa delle proprietà della funzione [[w:Seno_(matematica)|seno]] la posizione oscilla tra -A e A. All'istante iniziale la posizione è: :<math>x_{o}=A \cos(\theta_0)\,\!</math> Il moto è chiaramente periodico con periodo <math>T\,\!</math> cioè: :<math>\omega (t+T)+\theta_0=\omega (t)+\theta_0+2\pi\,\!</math> da cui: {{Equazione|eq=<math>T=\frac {2\pi}{\omega}\,\!</math>|id=6}} L'inverso del periodo si chiama [[w:Frequenza|frequenza]] ha le dimensioni di un <math>[T^{-1}]\,\!</math> e si misura in hertz (abbreviato in Hz): :<math>\nu =\frac {1}{T}</math> Derivando la legge del moto si ha l'equazione della velocità del punto: :<math>v(t)=\frac {dx}{dt}=A\omega \cos(\omega t+\theta_0)\,\!</math> La velocità ora è massima al centro di oscillazione, ed è nulla dove l'allontanamento dalla posizione centrale è massima. Derivando ulteriormente si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>a(t)=\frac {dv}{dt}=\frac {d^2x}{dt^2}=-A\omega^2 \sin(\omega t+\theta_0)\,\!</math> Confrontando l'ultima equazione e la prima segue che: {{Equazione|eq=<math>\frac {d^2x}{dt^2}=-\omega^2 x\,\!</math>|id=7}} Cioè necessariamente nel moto armonico l'accelerazione è proporzionale alla posizione istantanea cambiata di segno e la costante di proporzionalità è il quadrato della pulsazione. L'ampiezza di oscillazione come la fase iniziale sono determinate dalle condizioni iniziali del moto. Due esempi possono servire a mettere in chiaro quanto detto: il primo caso è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#5. Moto armonico semplice|un semplice moto armonico]], il secondo è il calcolo [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#11._Ampiezza_moto_armonico| della ampiezza di oscillazione]] a partire da alcuni dati cinematici. == Moto nello spazio== La posizione di un oggetto nello spazio, come la sua velocità e accelerazione sono delle grandezze vettoriali, rappresentate come segmenti orientati. Nel caso della posizione si rappresenta con un segmento orientato con un estremo sull'origine e l'altro estremo sulla posizione istantanea del punto materiale nello spazio. L'algebra dei [[w:Vettore_(matematica)|vettori]] viene utilizzata per caratterizzare la dinamica nello spazio, e qui non vengono definiti gli elementi di tale algebra e saranno utilizzate come note la definizione di somma di vettori (regola del parallelogramma), la moltiplicazione per uno scalare, il [[w:Prodotto_scalare|prodotto scalare]] e quello [[w:Prodotto_vettoriale|vettoriale]]. Un vettore può essere espresso come somma di componenti lungo tre direzioni ortogonali (gli assi cartesiani). ===[[w:versore|Versore]]=== [[File:Unit_vector_derivative.JPG|thumb|300px|La variazione nel tempo di un versore in coordinate polari.]] Nel concetto di spazio vettoriale è essenziale il concetto di versore cioè un vettore unitario, un versore si indica con <math>\hat u</math>. Essendo unitario: <math>\hat u\cdot \hat u=1</math>. Ma notiamo come derivando l'espressione precedente si ha che: :<math>0=\frac {d(\hat u\cdot \hat u)}{dt}=2\hat u\cdot \frac {d( \hat u)}{dt}</math> Quindi la derivata di un versore è un vettore normale al versore originale o un vettore nullo. Solo se il versore non cambia di direzione nel tempo il valore della sua derivata è nullo, ma se il versore cambia di direzione la derivata può assumere un valore diverso da zero. La derivta di un versore non è in genere un versore. Che la derivata di un versore sia normale alla direzione del versore stesso, è anche evidente dalla figura a fianco in cui si precisa meglio il valore della derivata che è dato da: {{Equazione|eq=<math>\frac {d\hat u}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}\hat u_{\varphi}</math>|id=8}} dove <math>\varphi\,\!</math> è l'angolo infinitesimo e <math>u_{\varphi}</math> è la componente normale alla direzione del versore. ===Vettore di posizione=== [[File:Kinematics.svg|thumb|300px|Quantità cinematiche di un punto materiale: massa ''m'', posizione '''r''', velocità '''v''', accelerazione '''a'''.]] Se <math>O</math> è la posizione dell'osservatore e <math>P</math> la generica posizione di un punto materiale nello spazio geometrico, si definisce vettore di posizione il vettore <math>\vec{r}</math> rappresentato dal segmento orientato <math>\vec{OP}</math>. Per indicare questa corrispondenza in questa trattazione si utilizzerà la scrittura <math>\vec{r}\sim\vec{OP}</math>. Il vettore di posizione dipende dalla scelta del punto di osservazione <math>O</math>, quindi è un segmento orientato, ma la sua definizione permette di costruire delle quantità che sono indipendenti dalla scelta del punto di osservazione. Queste quantità sono la velocità e l'accelerazione vettoriale. ==Posizione== Per definire la posizione di un corpo è necessario definire un [[w:Sistema_di_Riferimento|sistema di riferimento]], come ad esempio un sistema di due assi cartesiani la cui origine è scelta in maniera arbitraria. Si può definire lo spostamento in funzione del tempo facendo corrispondere a ogni t una posizione (x,y) nel piano: :<math>\vec r(t)=x(t)\hat {\imath}+y(t)\hat {\jmath}</math> Avendo indicato con <math>\hat {\imath}</math> e <math>\hat {\jmath}</math>, i versori degli assi x e y. ==Sistemi di coordinate== [[File:Coordonnees_polaires_plan.png|thumb|200px|Confronto tra coordinate cartesiane e polari nel piano.]] Il sistema di coordinate usato finora implicitamente è un [[w:Sistema_di_riferimento_cartesiano|sistema di assi cartesiani]] in due dimensioni. In alcuni casi dotati di particolari proprietà di simmetria è preferibile usare nel piano un sistema che identifica la distanza '''r''' del punto dall'origine degli assi chiamata '''raggio vettore''' e dall'angolo <math>\theta\,\!</math> formato con l'asse delle ascisse. Un sistema di questo genere si chiama sistema polare nel piano. La figura a fianco mette in evidenza la relazione tra coordinate cartesiane e polari nel piano. Di conseguenza le relazioni tra i due sistemi di coordinate sono le seguenti: :<math>x=r \cdot \cos \theta\ </math> :<math>y=r \cdot \sin \theta\ </math> :<math>r=\sqrt{x^2+y^2}\ </math> :<math>\theta =\arctan{ \frac{y}{x}}\ </math> ==Moto nel piano== Analizziamo ora la posizione di un punto che in un tempo ''t'' percorre un tratto di traiettoria. Le posizioni sono <math>\vec r(t)</math> e <math>\vec r(t+\Delta t)</math>; la distanza tra di essi è <math>\vec {\Delta r}=\vec r(t+\Delta t) - \vec r(t)</math>, di conseguenza la velocità media (diventata una grandezza vettoriale) è data da: :<math>\vec v_m=\frac {\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}</math> Notiamo che la distanza dei punti non coincide con la traiettoria percorsa, ma è solo la misura della distanza tra le due posizioni su un piano. Ma se noi facessimo tendere <math>\Delta t \to 0</math> avremmo che :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}</math> e il vettore <math>d\vec r</math> diventa tangente alla traiettoria e coincide in modulo con l'infinitesimo spostamento <math>ds\,\!</math>. Se ne ricava allora che <math>d\vec r=ds \cdot \hat u_T</math> dove <math>\hat u_T</math> non è altro che il '''versore''' (un vettore unitario) che dà la direzione dello spostamento. Ricaviamo così che <math>\vec v = \frac{ds}{dt}\cdot \hat u_T=v\cdot \hat u_T</math> e quindi possiamo dedurre che la velocità vettoriale individua in ogni istante la direzione e il verso del movimento e ci dà la velocità istantanea <math>v=\frac{ds}{dt}</math> con la quale è percorsa la traiettoria. ===Velocità in coordinate cartesiane=== Nelle coordinate cartesiane il vettore posizione: :<math>\vec r=x\vec i+y\vec j\ </math> Quindi: :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dx}{dt}\vec i+\frac {dy}{dt}\vec j= v_x\vec i+v_y\vec j</math> Quindi il modulo della velocità: :<math> v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}</math> Mentre l'angolo che la velocità ha con l'asse delle x vale: :<math> \theta=\arctan {v_y/v_x}</math> ===Velocità in coordinate polari=== Nelle coordinate polari il vettore posizione: :<math>\vec r=r\hat u_r\ </math> Dove <math>\hat u_r</math> è il versore radiale (normale al versore <math>\hat u_T</math> tangenziale). Quando andiamo a fare la derivata: :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dr}{dt}\hat u_r+r\frac {d\hat u_r}{dt}\ </math> La derivata del versore è nella direzione normale alla direzione radiale. Se la traiettoria cambia di direzione vi è oltre alla velocità trovata nel moto lineare, una componente non nulla della velocità nella direzione ortogonale al vettore posizione in definitiva: :<math>\vec v=\frac {dr}{dt}\hat u_r+r\frac {d\theta}{dt}\hat u_{\theta}=v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta}\ </math> La velocità è tangente alla traiettoria e si compone di una parte radiale (<math>\frac {dr}{dt}\ </math>) e una trasversa (<math>r\frac {d\theta}{dt}\ </math>) e quindi il modulo della velocità vale: {{Equazione|eq=<math>v=\sqrt{\left(\frac {dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac {d\theta}{dt}\right)^2}\ </math>|id=9}} Analogamente a quanto detto per il moto rettilineo integrando l'espressione <math>\vec v=\frac{d\vec r}{dt}</math> otteniamo quella generale che collega posizione e velocità data da :<math>\vec r(t)=\vec r(t_0)+\int_{t_0}^t \vec v(t) dt</math> ==Accelerazione== [[File:Osculating circle.svg|thumb|left|250px|Esempio di costruzione del cerchio osculatore]] La derivata della velocità rispetto al tempo è la accelerazione nel moto piano: {{Equazione|eq=<math>\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d}{dt}(v \vec u_T)=\frac{dv}{dt} \vec u_T + v \frac{d\vec u_T}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec u_T+v \frac{d \theta}{dt}\vec u_N</math>|id=10}} Il primo termine parallelo alla traiettoria è analogo a quello trovato nel moto rettilineo ed è una misura di quanto vari nel tempo il modulo della velocità. Il secondo termine è legato al cambiamento di direzione e quindi è tanto maggiore quanto più grande è l'allontanamento dal moto rettilineo. Il modo più idoneo per esprimere tale allontanamento è di approssimare localmente la traiettoria con una circonferenza e studiare il moto localmente come un moto circolare. Da un punto di vista analitico si approssima localmente la traiettoria con una circonferenza, detta cerchio osculatore. Ciò matematicamente è possibile in quanto per tre punti passa una unica circonferenza, cioè con raggio e centro definiti in maniera univoca, anche nel caso limite dei tre punti allineati ciò è possibile in quanto il cerchio osculatore ha un raggio infinito e centro all'infinito. La figura a fianco mostra un tipico cerchio osculatore. Quindi è opportuno prima considerare un particolare moto nel piano: quello circolare. Infatti le proprietà del moto circolare descrivono il moto più generale nel piano con cerchi osculatori che variano nel tempo. Un primo esempio di tale moto è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#12. Moto ellittico|il moto ellittico]] studiato in forma parametrica, un seconda traiettoria è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#13. Moto a spirale|una spirale piana]]. ==Moto circolare== [[File:Circular_motion.svg|thumb|200px|Moto circolare.]] Analizziamo un moto che si svolge su una traiettoria costituita da una circonferenza di raggio <math>R\ </math>. Introduciamo il concetto di velocità angolare <math>\omega\ </math>: si chiama velocità angolare la derivata nel tempo dell'angolo (quindi la rapidità di variazione dell'angolo): :<math>\omega=\frac {d\theta }{dt}\ </math> Notiamo che si usa un simbolo simile alla pulsazione, ma ha un significato fisico diverso, anche se ha le stesse dimensioni di fisiche cioè un <math>t^{-1}\ </math>. Il legame tra velocità angolare e velocità nel caso del moto circolare è chiaro, infatti a uno spostamento <math>ds=vdt\ </math> corrisponde un variazione angolare <math>d\theta=\omega dt\ </math>, ma in una circonferenza <math>ds=Rd\theta=R\omega dt=vdt\ </math>, quindi: :<math>v=\omega R\qquad \omega=\frac vR\ </math> Esaminiamo prima un caso più semplice il moto circolare uniforme, cioè un moto in cui <math>v\ </math> e di conseguenza <math>\omega\ </math> non variano nel tempo e il periodo, cioè il tempo necessario a compiere un giro vale: :<math>T=\frac {2\pi R}v=\frac {2\pi }{\omega}\ </math> La frequenza vale <math>\nu=1/T\ </math>. [[File:Uniform_circular_motion.svg|left|thumb|200px|velocità v e accelerazione a nel moto circolare uniforme con velocità angolare ω; la velocità è costante, ma la velocità è sempre tangente all'orbita: la accelerazione è costante in valore assoluto, ma punta sempre verso il centro di rotazione.]] Per quanto riguarda l'accelerazione la costanza della velocità fa sì che il termine dell'accelerazione tangenziale <math>\frac{dv}{dt}\ </math> sia nullo, cioè non varia in modulo la velocità, ma varia la sua direzione. In questo caso l'unica componente della accelerazione è la componente normale alla traiettoria diretta verso il centro della circonferenza: {{Equazione|eq=<math>|a|=\frac {v^2}R =\omega^2R\ </math>|id=11}} In questo caso il sistema di coordinate più naturale è quello polare in cui il centro della circonferenza è il centro delle coordinate. In tale sistema si ha che: :<math>\theta (t)=\omega t+ \theta_o\ </math> Dove <math>\theta_0\ </math> è l'angolo nell'istante iniziale (<math>t=0\ s</math>) con l'asse delle ascisse. Notiamo che la proiezione del moto circolare uniforme sui due assi cartesiani: :<math>x(t)=R\cos (\theta )=R\cos (\omega t+ \theta_o)\ </math> :<math>y(t)=R\sin (\theta )=R\sin (\omega t+ \theta_o)\ </math> siano due moti armonici di pari ampiezza e sfasati di un quarto di periodo. Se il moto è circolare, ma non uniforme, avremo che bisogna introdurre anche la accelerazione angolare cioè: :<math>\alpha=\frac {d\omega}{dt}=\frac 1R\frac {dv}{dt}\ </math> Quindi l'espressione generale dell'accelerazione nel moto piano {{Equazione|eq=<math>\vec a=\frac{dv}{dt}\vec u_T+v \frac{d \theta}{dt}\vec u_N= \alpha R \vec u_T+\omega^2 R\vec u_N</math>|id=12}} Dove il secondo termine è la accelerazione centripeta che abbiamo già visto nel moto circolare uniforme, mentre il primo termine lungo la traiettoria è l'accelerazione tangenziale. Un caso semplice che ricorda il moto uniformemente accelerato è il caso in cui <math>\alpha\ </math> è costante in tal caso avremo che l'equazione del moto per l'angolo è: {{Equazione|eq=<math>\theta=\theta_o+\omega_o t+ \frac 12 \alpha t^2</math>|id=13}} Dove <math>\theta_o\ </math> è l'angolo al tempo 0 e <math>\omega_o\ </math> è la velocità angolare al tempo 0. Quindi la velocità angolare: :<math>\omega=\omega_o + \ \alpha t</math> In questo caso la accelerazione tangenziale è costante e vale <math>\alpha R\ </math>, mentre quella centripeta vale <math>(\omega_o + \ \alpha t)^2 R\ </math>. ===Velocità angolare - Notazione vettoriale=== [[File:Vectors_of_circular_motion.png|thumb|200px|Velocità angolare.]] La velocità angolare può essere descritta da una quantità vettoriale che definisce il verso di percorrenza sulla circonferenza e il modulo. La direzione di questo vettore è perpendicolare al piano del moto e il verso è dato dalla [[w:Regola_della_mano_destra|regola della mano destra]], ovvero se il moto avviene nella direzione in cui si avvolgono le dita della mano destra la direzione <math>\omega\ </math> è il pollice della mano destra. {{Equazione|eq=<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>|id=14}} Se durante il moto la velocità angolare non cambia di direzione, la sua derivata rimane parallela alla direzione di <math>\vec \omega \ </math>. Questa relazione ci permette di ottenere l'accelerazione del moto circolare dalla velocità angolare e dall'accelerazione angolare tramite la seguente relazione derivando semplicemente tale prodotto vettoriale: :<math>\vec a=\frac{d \vec v}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec \omega \times \vec r)=\frac{d \vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d \vec r}{dt}</math> e quindi :<math>\vec a = \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v=\vec a_T + \vec a_N</math> Quindi con questa notazione che non aggiunge niente dal punto di vista fisico, appare chiaro come il primo termine rappresenti la accelerazione tangenziale (cioè parallela alla traiettoria) e il secondo termine sia la accelerazione centripeta cioè diretta verso il cento di rotazione. ===Moto parabolico === [[Image:Trajectory_for_changing_launch_angle.gif|right|thumb|330px|Moto parabolico da una altezza di <math>200\ m\ </math>, con stessa velocità iniziale <math>50 m/s\ </math> e con una accelerazione diretta verso il basso di <math>10 m/s^2\ </math> al variare dell'angolo rispetto alla direzione orizzontale]] Questa è l'estensione in due dimensioni del moto accelerato uniforme, ad esempio la caduta dei gravi; in questo caso la direzione della accelerazione non varia nel tempo oltre a essere costante in modulo. Il moto di questo tipo non riguarda solo la caduta dei gravi, ma tutte le situazioni dinamiche, come vedremo, in cui vi sia una forza costante in modulo e verso. In questo caso la scelta più naturale degli assi è quella degli assi cartesiani e si assume come asse delle <math>y\ </math> la direzione della accelerazione <math>a\ </math>. Se chiamiamo <math>\alpha\ </math> l'angolo che la velocità iniziale ha con la direzione orizzontale, le equazioni del moto sono in coordinate cartesiane: :<math>x(t) = (v_o\cos \alpha) t</math> :<math>y(t) =h+ (v_o\sin \alpha) t-\frac 12gt^2\ </math> scelta la posizione iniziale sull'asse delle <math>y\ </math> con altezza iniziale <math>h\ </math> (<math>200\ m\ </math> nella figura); <math>v_o\ </math> è il modulo della velocità iniziale (nell'esempio della figura vale <math>50 m/s\ </math>). Quindi in una direzione è un moto rettilineo uniforme, nella direzione verticale è un moto accelerato uniforme. La traiettoria viene ricavata eliminando il tempo dal sistema di due equazioni: {{Equazione|eq=<math>y(x) =h+ x\tan \alpha-\frac {gx^2}{2v_o^2\cos^2 \alpha}\ </math>|id=15}} la curva che descrive la traiettoria è quindi una [[w:Parabola_(geometria)|parabola]]. Si chiama gittata (x_G) la distanza tra la posizione iniziale e il punto in cui la traiettoria arriva a quota zero, cioè quando: :<math>h+ x_G\tan \alpha-\frac {gx_G^2}{2v_o^2\cos^2 \alpha}=0\ </math> Escludendo dal sistema di secondo grado la soluzione negativa (in quanto si suppone che prima di <math>t=0\ </math> non vi sia moto), si ha che: :<math>x_G=\frac {v_o \cos \alpha} {g}\left [ v_o \sin \alpha +\sqrt{v_o^2 \sin^2 \alpha + 2 g h} \right]\ </math> Con i dati in figura risulta (facendo il calcolo numerico) che la gittata massima è di <math>400\ m\ </math> (con un angolo di <math>33^o \ </math>). Notare come, in questo caso, la soluzione analitica non sia banale, la soluzione si è trovata analizzando quando si annula la derivata della gittata rispetto all'angolo. Un'altra informazione importante che si ricava dalla traiettoria è l'altezza massima che coincide ovviamente con <math>h\ </math> nel caso di angoli di lancio negativi. Se l'angolo è positivo e quindi la parabola ha il termine lineare positivo e quello quadratico negativo chiaramente la parabola ha un massimo che si ricava imponendo che la derivata di <math>y(x)\ </math> sia nulla: :<math>\frac {dy}{dx}=0\qquad \longrightarrow x_M-x_o=\frac {v_o^2}g\cos \alpha \sin \alpha \quad y_M=h+\frac 12\frac {v_o^2 \sin^2 \alpha}g\ </math> Indicando con x_M ed y_M le coordinate del massimo, che dipendono ovviamente dall'angolo di lancio. ==Moto nello spazio tridimensionale== [[File:Helix.svg|thumb|upright=1.1|Il moto elicoidale uniforme in un caso particolare <math> (\cos t, \sin t, t) </math> da <math> t = 0 </math> con le frecce che indicano la direzione in cui cresce <math> t </math>]] Questo caso generale è più difficile da trattare, in quanto la traiettoria non ha una espressione analitica semplice: una linea nello spazio tridimensionale nasce dall'intersezione di due superfici, quindi si esprime come un sistema di due equazioni in tre variabili. In coordinate cartesiane il vettore posizione in forma parametrica (con parametro il tempo) è: :<math>\vec r(t)=x(t)\hat {\imath}+y(t)\hat {\jmath}+z(t)\hat k</math> La velocità (che continua a essere parallela alla traiettoria): :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dx}{dt}\hat {\imath}+\frac {dy}{dt}\hat {\jmath}+\frac {dz}{dt}\hat k= v_x\hat {\imath}+v_y\hat {\jmath}+v_z\hat k</math> E infine l'accelerazione (la cui direzione nel caso generale ha tutte le componenti possibili): :<math>\vec a=\frac{d \vec v}{dt}=\frac {d^2x}{dt^2}\hat {\imath}+\frac {d^2y}{dt^2}\hat {\jmath}+\frac {d^2z}{dt^2}\hat k= a_x\hat {\imath}+a_y\hat {\jmath}+a_z\hat k</math> In genere il moto tridimensionale si tratta in alcuni casi specifici, che sono sono combinazioni di moti nel piano e semplici nelle direzione perpendicolare, ad esempio la combinazione del moto circolare uniforme in un piano e del moto rettilineo uniforme dà luogo al cosiddetto [[w:Moto_elicoidale_uniforme|moto elicoidale]]. ==Note== <references/> ==Bibliografia== * {{cita libro | cognome= Mazzoldi | nome= Paolo | autore2=Massimo Nigro | autore3=Cesare Voci | titolo= Fisica | volume= 1 | editore= Edises | città= | ed= 2 | anno= 2000 | id= ISBN 8879591371 | cid= Mazzoldi | url= http://books.google.it/books?id=O6s7AAAACAAJ}} [[Fisica_classica/Dinamica| Argomento seguente: Dinamica]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} rop6onzur6d7hbt1jamuqvscukprq0h 499046 499045 2026-06-07T10:46:11Z Pasquale.Carelli 528 /* Vettore di posizione */ ortografia 499046 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Dinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Meccanica_(fisica)|Meccanica]]= La meccanica riguarda lo studio del moto dei corpi, all'aumentare del loro numero lo studio diventa molto complicato, per questa ragione in meccanica, come in molti rami della fisica, in genere si studiano prima i sistemi semplici e poi quelli via via più complessi. Quindi nel nostro studio considereremo inizialmente il moto di un solo semplice corpo. Il più semplice corpo materiale è in realtà il punto materiale e da tale semplice corpo incominceremo lo studio della meccanica classica. La meccanica classica odierna nasce con le osservazioni sperimentali di [[w:Galileo_Galilei|Galileo Galilei]] che incomincia a studiare sperimentalmente il moto dei corpi. Nasce così la prima branca della meccanica: la cinematica. ==Cinematica== La [[w:Cinematica|cinematica]] è quel ramo della Meccanica Classica che studia il moto dei corpi materiali dal punto di vista puramente geometrico, senza occuparsi di studiare le cause che hanno prodotto quel tipo particolare di moto. Di quest'ultimo aspetto si occupa la [[Fisica_classica/Dinamica|Dinamica]] che, in meccanica classica d'impostazione newtoniana, tratta le forze e i loro effetti sul moto. ==[[w:Tempo|Tempo]]== Uno dei punti di partenza della Meccanica Classica è il postulato sull'esistenza del tempo come grandezza continua e uniforme. Queste caratteristiche sono individuabili intuitivamente dal senso comune e possono essere così delineate con una discussione di tipo fenomenologico-metafisico: # ''Continuità del tempo'': il tempo fluisce in modo continuo e non a scatti (come la lancetta dei secondi ad esempio) ovvero osserviamo lo scorrere continuo del tempo come un fluido continuo ([[w:Eraclito_di_Efeso|Eraclito]]) e non fotogramma per fotogramma. # ''Uniformità del tempo'': il tempo fluisce in modo uniforme e sempre nello stesso verso, non si osservano infatti rapporti inversi di causa-effetto o fenomeni come il déjà-vu cari alla letteratura fantascientifica. Per riassumere rigorosamente queste caratteristiche i fisici e i matematici hanno coniato un postulato fondamentale di esistenza del tempo che si può enunciare come segue: :''"Esiste il tempo una variabile continua sempre crescente" Ma riprendendo Feynman<ref name=Feynmann> Feynman, Leighton, Sands, Lectures on Physics Vol.I cap. 5, Addison-Wesley 1963.</ref>, non ci interessa definirlo ma come misurarlo. Un modo naturale di misurarlo è di utilizzare un fenomeno che si ripete regolarmente che quindi definiamo periodico. Il giorno è stata probabilmente la prima misura periodica usata per caratterizzare il tempo. Attualmente gli astronomi usano calcolare il tempo con il [[w:Giorno_giuliano|giorno giuliano]] che è il numero di giorni passati dal mezzogiorno del lunedì 1º gennaio 4713 a.C. allo scopo di unificare differenti cronologie storiche. Per altri scopi il giorno non è una buona unità di misura in quanto la durata cambia nel corso dell'anno e inoltre è poco adatta a descrivere fenomeni veloci. [[File:ChipScaleClock2 HR.jpg|thumb|left|Un [[w:Orologio_atomico|orologio atomico]] su chip]] L'unità di misura del sistema internazionale è il secondo (indicato con s), unità che è in qualche maniera riconducibile a un fenomeno periodico: il battito del cuore. Gli strumenti che misurano il tempo, che si basano sempre su fenomeni periodici, vengono chiamati orologi e lo sviluppo della precisione nella misura del tempo è stato un fenomeno costante nello sviluppo della società. Attualmente gli strumenti che misurano con assoluta precisione il tempo sono gli [[w:Orologio_atomico|orologi atomici]], tali strumenti hanno una accuratezza di una parte su <math>10^{16}\ </math>: cioè l'errore nella misura del tempo accumulato in un giorno è di appena <math>10^{-11}\ s\ </math>. Il tempo è una delle grandezze fisiche misurabili con maggiore precisione. ===Tempi brevi=== In maniera artificiale sappiamo produrre segnali che hanno una durata molto breve; attualmente i [[w:Laser|laser]] sono gli oggetti artificiali che riescono a emettere impulsi cosi brevi come <math>1\ fs=10^{-15}\ s\ </math>. Mentre riusciamo a misurare eventi che hanno una durata temporale molto più breve, vi sono infatti delle [[w:Particella_elementare|particelle]] instabili che hanno una vita media inferiore a <math>10^{-24}\ s</math>. La fisica moderna pone un limite inferiore alla descrizione degli intervalli temporali nel [[w:Tempo_di_Planck|tempo di Planck]] <math>10^{-44}\ s</math>, per intervalli di tempo inferiore a tale tempo si dubita che il tempo conservi il suo carattere continuo. Ma tale tempo è molto lontano dai limiti sperimentali attuali. ===Tempi lunghi=== Il tempo più lungo immaginabile è di 13,8 miliardi di anni (<math>4\cdot 10^{17}\ s</math>): l'[[w:Et%C3%A0_dell%27Universo|età dell'Universo]]. Il nostro sistema solare esiste da 4,5 miliardi di anni(<math>1,4\cdot 10^{17}\ s</math>). Il primo uomo è comparso sulla Terra un milione di anni fa (<math>3\cdot 10^{13}\ s</math>) e così via fino a eventi di durata nota. ==Spazio== Allo stesso modo si individua una grandezza chiamato spazio che ha le proprietà di continuità (come il tempo) e [[w:Isotropia|isotropia]]. Per spiegare intuitivamente queste caratteristiche si può immaginare la continuità dello spazio come assenza di zone di inaccessibilità (a meno che non siano già occupate da un altro corpo). Possiamo spostare con continuità un oggetto mobile senza trovare dinanzi ostacoli inspiegabili e invisibili al suo moto. Ciò risulta possibile solo se lo spazio è dotato di continuità e non ha, per così dire, buchi. Ad esempio la materia di cui è composto un formaggio svizzero non è continua. Non possiamo spostarci in un formaggio svizzero mantenendoci sempre nel formaggio e senza cader in un buco. Se lo spazio reale avesse dei buchi, ovvero mancasse di continuità, potrebbero verificarsi brusche cadute (senza alcuna causa) oppure inspiegabili barriere trasparenti. Bisogna anche dire che in realtà, lontano dalla Terra e in prossimità dei [[w:buco_nero|buchi neri]], lo spazio, come lo percepiamo sperimentalmente, perde la sua continuità. In prossimità di un buco nero infatti le traiettorie della luce che utilizziamo per fare le nostre misurazioni vengono deviate e la misura perde di significato nell'accezione della [[w:Geometria_euclidea|geometria euclidea]]. In questo caso possiamo supporre una perdita della continuità e dell'uniformità dello spazio che circonda il buco nero che pertanto viene indicato anche come una [[w:Singolarità|singolarità]] dello spazio. L'isotropia è l'assenza di direzioni preferenziali nello spazio, ovvero lo spazio ci appare con le stesse proprietà geometriche in tutte le direzioni. Se un oggetto è rettilineo questo oggetto non appare curvo o di lunghezza diversa se viene spostato in un punto differente dello spazio. Anche questa accezione dello spazio (isotropia) è valida in Meccanica Classica ma non in generale in altre teorie fisiche più generali. In [[w:Cinematica|Cinematica]] ci si occupa solo di spazi che non creano troppi problemi, anzi più esattamente di spazi euclidei tridimensionali e quindi si assume come postulato lo spazio continuo, isotropo, euclideo, tridimensionale. Sussiste quindi, come per il tempo, il postulato seguente :''"Esiste lo spazio grandezza continua, isotropa ed euclidea" La distanza tra due punti dello spazio è una grandezza fisica chiamata lunghezza, l'unità di misura è il metro. In origine, durante la rivoluzione francese nel 1791, venne definito come 1/10 000 000 del meridiano terrestre fra il polo nord e l'equatore, cercando di rendere universale la grandezza. In realtà la misura non era precisa, e si preferì alla fine dell'ottocento utilizzare come campione la distanza tra due linee incise su una barra campione di platino-iridio conservata a Sèvres presso Parigi. Infine nel 1963, poiché la velocità della luce nel vuoto è una grandezza fondamentale della natura e poiché il tempo è misurabile con grandissima precisione, il metro viene definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a <math>\frac 1{299792458}\ s</math>, assumendo che la [[w:velocità della luce|velocità della luce]] nel vuoto, per definizione, è pari a <math>2,99792458\cdot 10^8\ m/s</math>. ==[[w:Grandezza_fisica|Grandezze fisiche]]== Si intende come grandezza fisica una proprietà del mondo reale che può essere distinta qualitativamente e determinata quantitativamente. La scelta del numero di grandezze fisiche da cui fare derivare tutte le altre è abbastanza arbitrario. Circa 50 anni fa la maggior parte degli stati ha stabilito il cosiddetto [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale di unità di misura]] abbreviato in '''SI''' nel quale si sono scelte sette grandezze fisiche come fondamentali (lunghezza, tempo, massa, corrente, temperatura, intensità luminosa, mole). A ciascuna di queste grandezze è associato un simbolo dimensionale: lunghezza (L), tempo (T), massa (M), corrente (I), Temperatura (Θ), intensità luminosa (J), quantità di materia (N), e una unità di misura, per la lunghezza il metro (abbreviato in m) e per il tempo il secondo (abbreviato in s). Ogni altra grandezza fisica è derivata dal prodotto/rapporto di potenze di grandezze fondamentali. Il prodotto delle grandezze fisiche fondamentali è detto dimensione: ad esempio una superficie ha le dimensioni di una [L²], mentre un volume di una [L³], una velocità di [LT^-1]. L'[[w:Analisi_dimensionale|analisi dimensionale]] è abitualmente usata per verificare la plausibilità di calcoli ed equazioni. Le altre grandezze fisiche fondamentali e quelle derivate verranno introdotte via via che serviranno. Gli argomenti di funzioni esponenziali, trigonometriche e logaritmiche devono essere adimensionali, cioè dei numeri puri. ==Punto Materiale== La modellazione matematica del moto passa per una idealizzazione dei corpi materiali come percepiti dall'esperienza comune. In [[w:Cinematica|cinematica]] infatti, i corpi materiali, estesi nello spazio tridimensionale per loro natura, sono idealizzati geometricamente come contratti in un solo punto geometrico (ente geometrico zero-dimensionale). Questa idealizzazione è alla base del concetto di [[w:Punto_materiale|punto materiale]] che costituisce quindi una forte semplificazione della realtà tridimensionale ed estesa dei corpi materiali. La dinamica del corpo rigido descrive la complessità degli oggetti estesi come sistemi di punti materiali vincolati rigidamente tra di loro, consentendo una trattazione fisica completa di tali corpi estesi. ===Traiettoria di un Punto Materiale=== Le posizioni successive occupate dal punto materiale nello spazio al variare del tempo costituisce un insieme continuo di punti che prende il nome di [[w:Traiettoria|traiettoria]] del punto materiale nello spazio. == Moto rettilineo == Cominciamo analizzando un semplice moto lungo la più semplice traiettoria: la retta, tale moto viene detto ''moto rettilineo''. In questo caso possiamo studiare il moto attraverso delle grandezze caratteristiche [[w:Grandezza_fisica_scalare|scalari]] la posizione, la velocità e l'accelerazione. ===Velocità=== La rapidità con cui avviene lo spostamento lungo la traiettoria nel tempo determina una grandezza detta '''velocità media''' data dalla seguente relazione <math>v_m=\frac{x - x_0}{t-t_0}=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math>. Dove <math>x_0\ </math> è la posizione al tempo <math>t_0\ </math> e <math>x\ </math> è la posizione al tempo <math>t\ </math>. Le dimensioni della velocità sono [v]=[LT^-1]. La velocità nel sistema SI si misura in m/s, mentre nel linguaggio comune viene utilizzato km/h. Nel fare i calcoli bisogna fare attenzione a dividere le velocità espresse in km/h per 3,6 per ottenere la velocità in m/s. Esiste una massima velocità possibile: la velocità della luce (c) che vale per definizione <math>2,99792458\cdot 10^8\ m/s</math> Un semplice esempio può essere quello del moto di un'automobile che percorre 60 km in 30 minuti: essa avrà una velocità media di 120 km/h (quindi circa 33 m/s). Possiamo chiederci quale potrebbe essere la velocità in ogni istante e per fare questo dovremo considerare piccolissimi intervalli di tempo, in pratica dovremo far tendere <math>\Delta t\,\!</math> a zero; questa è velocità istantanea, definita come il valore a cui tende la velocità media quando l'intervallo di tempo diventa infinitamente piccolo: :<math>v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}</math> Questo limite è esattamente ciò che i matematici chiamano [[w:Derivata|derivata]] della posizione rispetto al tempo: :<math>v(t)=\frac{dx}{dt}</math> Se facciamo adesso il ragionamento inverso: vogliamo trovare lo spazio percorso dall'istante iniziale all'istante <math>t</math> conoscendo la velocità istantanea. Se consideriamo un intervallo di tempo piccolissimo <math>dt</math> (un istante infinitesimo), in quel brevissimo momento la velocità <math>v(t)</math> si può considerare quasi costante. Quindi lo spazio percorso <math>dx</math> è semplicemente dato da: :<math>dx = v(t) \cdot dt</math> Se viene disegnato un grafico con la velocità sull'asse <math>y</math> e il tempo sull'asse <math>x</math>. Il prodotto <math>v(t) \cdot dt</math> rappresenta l'area di un rettangolo sottilissimo, alto <math>v</math> e largo <math>dt</math>. Per trovare lo spazio totale tra l'istante iniziale e l'istante <math>t</math>, dobbiamo sommare tutti questi infinitesimi rettangolini. Graficamente, la somma di tutti questi rettangolini riempie la superficie tra la curva della velocità e l'asse del tempo. Lo spazio percorso è l'area sotto la curva della velocità. Ma questa in matematica è l'operazione di [[w:Integrale|integrazione]] che viene rappresentata con una ''S'' allungata con il simbolo <math>\textstyle \int</math>. Quindi invece di sommare a mano gli infinitisimi rettangolini, usiamo l'operazione di integrazione: :<math>x(t) = \int_{0}^{t} v(t') \, dt'</math> L'integrale non è altro che lo strumento matematico che somma tutti i contributi infinitesimi <math>v \cdot dt</math> per darci il risultato totale. Riepilogando i passaggi logici: :<math>dx = v(t)dt \Rightarrow \int_{x_0}^x dx' = \int_{t_0}^t v(t')dt' \Rightarrow x-x_0=\int_{t_0}^t v(t') dt'\Rightarrow x(t)=x_0+\int_{t_0}^t v(t') dt'</math> Questa è la regola generale che mette in relazione la velocità con lo spazio percorso. Notiamo come dalla conoscenza della [[w:Legge_oraria|legge oraria]] cioè x(t), lo spazio percorso in funzione del tempo, la determinazione della velocità istantanea è definita in maniera univoca. Mentre se conosciamo l'andamento della velocità in funzione del tempo la posizione la possiamo determinare in maniera relativa, in quanto qualsiasi posizione iniziale determina lo stesso andamento della velocità, quindi va specificata a un certo tempo quale sia la posizione per rimuovere tale relativismo. ===Moto rettilineo uniforme=== Questo è il caso più semplice in cui la '''velocità istantanea''' e la '''velocità media''' coincidono e valgono <math>v\ </math>, l'equazione del moto cioè la relazione tra la posizione istantanea <math>x(t)\ </math> e il tempo è: {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v(t-t_0)\ </math>|id=1}} Questo moto si chiama '''moto rettilineo uniforme'''. <math>x_0\ </math> è la posizione all'istante iniziale, cioè quando <math>t=t_0\ </math>. ==Accelerazione== Lo stesso ragionamento può essere fatto con la velocità: infatti anch'essa potrebbe variare nel tempo e il tasso di variazione è dato da una grandezza chiamata '''accelerazione'''. La accelerazione ha le dimensioni di [LT^-2] e nel sistema SI si misura in ms^-2. Anche per l'accelerazione possiamo definire una '''accelerazione media''': :<math>a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}</math> e una '''accelerazione istantanea''': :<math>a(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}</math> Anche per l'accelerazione, integrando otteniamo la relazione che la lega alla velocità: :<math>dv = a(t)dt \Rightarrow \int_{v_0}^v dv' = \int_{t_0}^t a(t')dt' \Rightarrow v-v_0=\int_{t_0}^t a(t') dt'\Rightarrow v(t)=v_0+\int_{t_0}^t a(t') dt'</math> e anche in questo caso se <math>v_0=0\,\!</math>, <math>a=costante\,\!</math> e si partisse al tempo <math>t_0=0\,\!</math> avremmo la relazione <math>v=at\,\!</math> che definisce un '''moto uniformemente accelerato''' === Moto uniformemente accelerato === Combinando i risultati ottenuti e considerando <math>v\,\!</math> e <math>a\,\!</math> costanti possiamo ottenere la legge che definisce il '''moto uniformemente accelerato''' {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2</math>|id=2}} Qui <math>v_0\ </math> è la velocità all'istante iniziale. Se <math>t_0=0\,\!</math>, l'equazione diviene {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\ </math>|id=3}} La relazione tra la posizione spaziale e il tempo di cui abbiamo visto due semplici esempi è chiamata equazione oraria. Alcuni esempi possono essere di aiuto per comprendere quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#1. Fascio_catodico|Moto di un elettrone]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#2. Automobile|Automobile]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#3. Treno|Treno]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#4. Rally|Rally]]. ===Caduta verticale dei gravi=== Se viene trascurato l'[[w:Attrito|attrito]] dell'aria ogni corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione costante <math>g=9,8\ m/s^2</math>. La [[w:legge oraria|legge oraria]] che descrive la caduta dei gravi è quella tipica del moto uniformemente accelerato con <math>t_0=0\,\!</math>: {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_{o} + v_{o}t - \frac{1}{2}gt^{2}</math>|id=4}} Assunto come positiva la verticale uscente dal suolo, quindi il segno negativo nella accelerazione è dovuto al fatto che il corpo si sta muovendo contrariamente al verso scelto come positivo nel [[w:sistema di riferimento|sistema di riferimento]]. Un esempio di questo caso è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#9. Palla in alto|una palla]] lanciata verso l'alto, o la stima della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#14. Altezza di un pozzo|profondità di un pozzo]] facendo cadere un sasso. ===Moto armonico semplice=== [[File:Simple harmonic motion.svg|thumb|250px|Moto armonico]] Questo tipo di moto è molto comune in molti sistemi fisici e in genere prende il nome di oscillatore armonico. Da un punto di vista algebrico la sua legge oraria è descritta da: {{Equazione|eq=<math>x(t)=A \cos(\omega t+\theta_0)\,\!</math>|id=5}} Dove <math>A\,\!</math> è detta ampiezza del moto, <math>\omega\,\!</math> pulsazione e <math>\theta_0\,\!</math> la fase iniziale. A causa delle proprietà della funzione [[w:Seno_(matematica)|seno]] la posizione oscilla tra -A e A. All'istante iniziale la posizione è: :<math>x_{o}=A \cos(\theta_0)\,\!</math> Il moto è chiaramente periodico con periodo <math>T\,\!</math> cioè: :<math>\omega (t+T)+\theta_0=\omega (t)+\theta_0+2\pi\,\!</math> da cui: {{Equazione|eq=<math>T=\frac {2\pi}{\omega}\,\!</math>|id=6}} L'inverso del periodo si chiama [[w:Frequenza|frequenza]] ha le dimensioni di un <math>[T^{-1}]\,\!</math> e si misura in hertz (abbreviato in Hz): :<math>\nu =\frac {1}{T}</math> Derivando la legge del moto si ha l'equazione della velocità del punto: :<math>v(t)=\frac {dx}{dt}=A\omega \cos(\omega t+\theta_0)\,\!</math> La velocità ora è massima al centro di oscillazione, ed è nulla dove l'allontanamento dalla posizione centrale è massima. Derivando ulteriormente si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>a(t)=\frac {dv}{dt}=\frac {d^2x}{dt^2}=-A\omega^2 \sin(\omega t+\theta_0)\,\!</math> Confrontando l'ultima equazione e la prima segue che: {{Equazione|eq=<math>\frac {d^2x}{dt^2}=-\omega^2 x\,\!</math>|id=7}} Cioè necessariamente nel moto armonico l'accelerazione è proporzionale alla posizione istantanea cambiata di segno e la costante di proporzionalità è il quadrato della pulsazione. L'ampiezza di oscillazione come la fase iniziale sono determinate dalle condizioni iniziali del moto. Due esempi possono servire a mettere in chiaro quanto detto: il primo caso è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#5. Moto armonico semplice|un semplice moto armonico]], il secondo è il calcolo [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#11._Ampiezza_moto_armonico| della ampiezza di oscillazione]] a partire da alcuni dati cinematici. == Moto nello spazio== La posizione di un oggetto nello spazio, come la sua velocità e accelerazione sono delle grandezze vettoriali, rappresentate come segmenti orientati. Nel caso della posizione si rappresenta con un segmento orientato con un estremo sull'origine e l'altro estremo sulla posizione istantanea del punto materiale nello spazio. L'algebra dei [[w:Vettore_(matematica)|vettori]] viene utilizzata per caratterizzare la dinamica nello spazio, e qui non vengono definiti gli elementi di tale algebra e saranno utilizzate come note la definizione di somma di vettori (regola del parallelogramma), la moltiplicazione per uno scalare, il [[w:Prodotto_scalare|prodotto scalare]] e quello [[w:Prodotto_vettoriale|vettoriale]]. Un vettore può essere espresso come somma di componenti lungo tre direzioni ortogonali (gli assi cartesiani). ===[[w:versore|Versore]]=== [[File:Unit_vector_derivative.JPG|thumb|300px|La variazione nel tempo di un versore in coordinate polari.]] Nel concetto di spazio vettoriale è essenziale il concetto di versore cioè un vettore unitario, un versore si indica con <math>\hat u</math>. Essendo unitario: <math>\hat u\cdot \hat u=1</math>. Ma notiamo come derivando l'espressione precedente si ha che: :<math>0=\frac {d(\hat u\cdot \hat u)}{dt}=2\hat u\cdot \frac {d( \hat u)}{dt}</math> Quindi la derivata di un versore è un vettore normale al versore originale o un vettore nullo. Solo se il versore non cambia di direzione nel tempo il valore della sua derivata è nullo, ma se il versore cambia di direzione la derivata può assumere un valore diverso da zero. La derivta di un versore non è in genere un versore. Che la derivata di un versore sia normale alla direzione del versore stesso, è anche evidente dalla figura a fianco in cui si precisa meglio il valore della derivata che è dato da: {{Equazione|eq=<math>\frac {d\hat u}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}\hat u_{\varphi}</math>|id=8}} dove <math>\varphi\,\!</math> è l'angolo infinitesimo e <math>u_{\varphi}</math> è la componente normale alla direzione del versore. ===Vettore posizione=== [[File:Kinematics.svg|thumb|300px|Quantità cinematiche di un punto materiale: massa ''m'', posizione '''r''', velocità '''v''', accelerazione '''a'''.]] Se <math>O</math> è la posizione dell'osservatore e <math>P</math> la generica posizione di un punto materiale nello spazio geometrico, si definisce vettore di posizione il vettore <math>\vec{r}</math> rappresentato dal segmento orientato <math>\vec{OP}</math>. Per indicare questa corrispondenza in questa trattazione si utilizzerà la scrittura <math>\vec{r}\sim\vec{OP}</math>. Il vettore di posizione dipende dalla scelta del punto di osservazione <math>O</math>, quindi è un segmento orientato, ma la sua definizione permette di costruire delle quantità che sono indipendenti dalla scelta del punto di osservazione. Queste quantità sono la velocità e l'accelerazione vettoriale. ==Posizione== Per definire la posizione di un corpo è necessario definire un [[w:Sistema_di_Riferimento|sistema di riferimento]], come ad esempio un sistema di due assi cartesiani la cui origine è scelta in maniera arbitraria. Si può definire lo spostamento in funzione del tempo facendo corrispondere a ogni t una posizione (x,y) nel piano: :<math>\vec r(t)=x(t)\hat {\imath}+y(t)\hat {\jmath}</math> Avendo indicato con <math>\hat {\imath}</math> e <math>\hat {\jmath}</math>, i versori degli assi x e y. ==Sistemi di coordinate== [[File:Coordonnees_polaires_plan.png|thumb|200px|Confronto tra coordinate cartesiane e polari nel piano.]] Il sistema di coordinate usato finora implicitamente è un [[w:Sistema_di_riferimento_cartesiano|sistema di assi cartesiani]] in due dimensioni. In alcuni casi dotati di particolari proprietà di simmetria è preferibile usare nel piano un sistema che identifica la distanza '''r''' del punto dall'origine degli assi chiamata '''raggio vettore''' e dall'angolo <math>\theta\,\!</math> formato con l'asse delle ascisse. Un sistema di questo genere si chiama sistema polare nel piano. La figura a fianco mette in evidenza la relazione tra coordinate cartesiane e polari nel piano. Di conseguenza le relazioni tra i due sistemi di coordinate sono le seguenti: :<math>x=r \cdot \cos \theta\ </math> :<math>y=r \cdot \sin \theta\ </math> :<math>r=\sqrt{x^2+y^2}\ </math> :<math>\theta =\arctan{ \frac{y}{x}}\ </math> ==Moto nel piano== Analizziamo ora la posizione di un punto che in un tempo ''t'' percorre un tratto di traiettoria. Le posizioni sono <math>\vec r(t)</math> e <math>\vec r(t+\Delta t)</math>; la distanza tra di essi è <math>\vec {\Delta r}=\vec r(t+\Delta t) - \vec r(t)</math>, di conseguenza la velocità media (diventata una grandezza vettoriale) è data da: :<math>\vec v_m=\frac {\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}</math> Notiamo che la distanza dei punti non coincide con la traiettoria percorsa, ma è solo la misura della distanza tra le due posizioni su un piano. Ma se noi facessimo tendere <math>\Delta t \to 0</math> avremmo che :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}</math> e il vettore <math>d\vec r</math> diventa tangente alla traiettoria e coincide in modulo con l'infinitesimo spostamento <math>ds\,\!</math>. Se ne ricava allora che <math>d\vec r=ds \cdot \hat u_T</math> dove <math>\hat u_T</math> non è altro che il '''versore''' (un vettore unitario) che dà la direzione dello spostamento. Ricaviamo così che <math>\vec v = \frac{ds}{dt}\cdot \hat u_T=v\cdot \hat u_T</math> e quindi possiamo dedurre che la velocità vettoriale individua in ogni istante la direzione e il verso del movimento e ci dà la velocità istantanea <math>v=\frac{ds}{dt}</math> con la quale è percorsa la traiettoria. ===Velocità in coordinate cartesiane=== Nelle coordinate cartesiane il vettore posizione: :<math>\vec r=x\vec i+y\vec j\ </math> Quindi: :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dx}{dt}\vec i+\frac {dy}{dt}\vec j= v_x\vec i+v_y\vec j</math> Quindi il modulo della velocità: :<math> v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}</math> Mentre l'angolo che la velocità ha con l'asse delle x vale: :<math> \theta=\arctan {v_y/v_x}</math> ===Velocità in coordinate polari=== Nelle coordinate polari il vettore posizione: :<math>\vec r=r\hat u_r\ </math> Dove <math>\hat u_r</math> è il versore radiale (normale al versore <math>\hat u_T</math> tangenziale). Quando andiamo a fare la derivata: :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dr}{dt}\hat u_r+r\frac {d\hat u_r}{dt}\ </math> La derivata del versore è nella direzione normale alla direzione radiale. Se la traiettoria cambia di direzione vi è oltre alla velocità trovata nel moto lineare, una componente non nulla della velocità nella direzione ortogonale al vettore posizione in definitiva: :<math>\vec v=\frac {dr}{dt}\hat u_r+r\frac {d\theta}{dt}\hat u_{\theta}=v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta}\ </math> La velocità è tangente alla traiettoria e si compone di una parte radiale (<math>\frac {dr}{dt}\ </math>) e una trasversa (<math>r\frac {d\theta}{dt}\ </math>) e quindi il modulo della velocità vale: {{Equazione|eq=<math>v=\sqrt{\left(\frac {dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac {d\theta}{dt}\right)^2}\ </math>|id=9}} Analogamente a quanto detto per il moto rettilineo integrando l'espressione <math>\vec v=\frac{d\vec r}{dt}</math> otteniamo quella generale che collega posizione e velocità data da :<math>\vec r(t)=\vec r(t_0)+\int_{t_0}^t \vec v(t) dt</math> ==Accelerazione== [[File:Osculating circle.svg|thumb|left|250px|Esempio di costruzione del cerchio osculatore]] La derivata della velocità rispetto al tempo è la accelerazione nel moto piano: {{Equazione|eq=<math>\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d}{dt}(v \vec u_T)=\frac{dv}{dt} \vec u_T + v \frac{d\vec u_T}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec u_T+v \frac{d \theta}{dt}\vec u_N</math>|id=10}} Il primo termine parallelo alla traiettoria è analogo a quello trovato nel moto rettilineo ed è una misura di quanto vari nel tempo il modulo della velocità. Il secondo termine è legato al cambiamento di direzione e quindi è tanto maggiore quanto più grande è l'allontanamento dal moto rettilineo. Il modo più idoneo per esprimere tale allontanamento è di approssimare localmente la traiettoria con una circonferenza e studiare il moto localmente come un moto circolare. Da un punto di vista analitico si approssima localmente la traiettoria con una circonferenza, detta cerchio osculatore. Ciò matematicamente è possibile in quanto per tre punti passa una unica circonferenza, cioè con raggio e centro definiti in maniera univoca, anche nel caso limite dei tre punti allineati ciò è possibile in quanto il cerchio osculatore ha un raggio infinito e centro all'infinito. La figura a fianco mostra un tipico cerchio osculatore. Quindi è opportuno prima considerare un particolare moto nel piano: quello circolare. Infatti le proprietà del moto circolare descrivono il moto più generale nel piano con cerchi osculatori che variano nel tempo. Un primo esempio di tale moto è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#12. Moto ellittico|il moto ellittico]] studiato in forma parametrica, un seconda traiettoria è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#13. Moto a spirale|una spirale piana]]. ==Moto circolare== [[File:Circular_motion.svg|thumb|200px|Moto circolare.]] Analizziamo un moto che si svolge su una traiettoria costituita da una circonferenza di raggio <math>R\ </math>. Introduciamo il concetto di velocità angolare <math>\omega\ </math>: si chiama velocità angolare la derivata nel tempo dell'angolo (quindi la rapidità di variazione dell'angolo): :<math>\omega=\frac {d\theta }{dt}\ </math> Notiamo che si usa un simbolo simile alla pulsazione, ma ha un significato fisico diverso, anche se ha le stesse dimensioni di fisiche cioè un <math>t^{-1}\ </math>. Il legame tra velocità angolare e velocità nel caso del moto circolare è chiaro, infatti a uno spostamento <math>ds=vdt\ </math> corrisponde un variazione angolare <math>d\theta=\omega dt\ </math>, ma in una circonferenza <math>ds=Rd\theta=R\omega dt=vdt\ </math>, quindi: :<math>v=\omega R\qquad \omega=\frac vR\ </math> Esaminiamo prima un caso più semplice il moto circolare uniforme, cioè un moto in cui <math>v\ </math> e di conseguenza <math>\omega\ </math> non variano nel tempo e il periodo, cioè il tempo necessario a compiere un giro vale: :<math>T=\frac {2\pi R}v=\frac {2\pi }{\omega}\ </math> La frequenza vale <math>\nu=1/T\ </math>. [[File:Uniform_circular_motion.svg|left|thumb|200px|velocità v e accelerazione a nel moto circolare uniforme con velocità angolare ω; la velocità è costante, ma la velocità è sempre tangente all'orbita: la accelerazione è costante in valore assoluto, ma punta sempre verso il centro di rotazione.]] Per quanto riguarda l'accelerazione la costanza della velocità fa sì che il termine dell'accelerazione tangenziale <math>\frac{dv}{dt}\ </math> sia nullo, cioè non varia in modulo la velocità, ma varia la sua direzione. In questo caso l'unica componente della accelerazione è la componente normale alla traiettoria diretta verso il centro della circonferenza: {{Equazione|eq=<math>|a|=\frac {v^2}R =\omega^2R\ </math>|id=11}} In questo caso il sistema di coordinate più naturale è quello polare in cui il centro della circonferenza è il centro delle coordinate. In tale sistema si ha che: :<math>\theta (t)=\omega t+ \theta_o\ </math> Dove <math>\theta_0\ </math> è l'angolo nell'istante iniziale (<math>t=0\ s</math>) con l'asse delle ascisse. Notiamo che la proiezione del moto circolare uniforme sui due assi cartesiani: :<math>x(t)=R\cos (\theta )=R\cos (\omega t+ \theta_o)\ </math> :<math>y(t)=R\sin (\theta )=R\sin (\omega t+ \theta_o)\ </math> siano due moti armonici di pari ampiezza e sfasati di un quarto di periodo. Se il moto è circolare, ma non uniforme, avremo che bisogna introdurre anche la accelerazione angolare cioè: :<math>\alpha=\frac {d\omega}{dt}=\frac 1R\frac {dv}{dt}\ </math> Quindi l'espressione generale dell'accelerazione nel moto piano {{Equazione|eq=<math>\vec a=\frac{dv}{dt}\vec u_T+v \frac{d \theta}{dt}\vec u_N= \alpha R \vec u_T+\omega^2 R\vec u_N</math>|id=12}} Dove il secondo termine è la accelerazione centripeta che abbiamo già visto nel moto circolare uniforme, mentre il primo termine lungo la traiettoria è l'accelerazione tangenziale. Un caso semplice che ricorda il moto uniformemente accelerato è il caso in cui <math>\alpha\ </math> è costante in tal caso avremo che l'equazione del moto per l'angolo è: {{Equazione|eq=<math>\theta=\theta_o+\omega_o t+ \frac 12 \alpha t^2</math>|id=13}} Dove <math>\theta_o\ </math> è l'angolo al tempo 0 e <math>\omega_o\ </math> è la velocità angolare al tempo 0. Quindi la velocità angolare: :<math>\omega=\omega_o + \ \alpha t</math> In questo caso la accelerazione tangenziale è costante e vale <math>\alpha R\ </math>, mentre quella centripeta vale <math>(\omega_o + \ \alpha t)^2 R\ </math>. ===Velocità angolare - Notazione vettoriale=== [[File:Vectors_of_circular_motion.png|thumb|200px|Velocità angolare.]] La velocità angolare può essere descritta da una quantità vettoriale che definisce il verso di percorrenza sulla circonferenza e il modulo. La direzione di questo vettore è perpendicolare al piano del moto e il verso è dato dalla [[w:Regola_della_mano_destra|regola della mano destra]], ovvero se il moto avviene nella direzione in cui si avvolgono le dita della mano destra la direzione <math>\omega\ </math> è il pollice della mano destra. {{Equazione|eq=<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>|id=14}} Se durante il moto la velocità angolare non cambia di direzione, la sua derivata rimane parallela alla direzione di <math>\vec \omega \ </math>. Questa relazione ci permette di ottenere l'accelerazione del moto circolare dalla velocità angolare e dall'accelerazione angolare tramite la seguente relazione derivando semplicemente tale prodotto vettoriale: :<math>\vec a=\frac{d \vec v}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec \omega \times \vec r)=\frac{d \vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d \vec r}{dt}</math> e quindi :<math>\vec a = \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v=\vec a_T + \vec a_N</math> Quindi con questa notazione che non aggiunge niente dal punto di vista fisico, appare chiaro come il primo termine rappresenti la accelerazione tangenziale (cioè parallela alla traiettoria) e il secondo termine sia la accelerazione centripeta cioè diretta verso il cento di rotazione. ===Moto parabolico === [[Image:Trajectory_for_changing_launch_angle.gif|right|thumb|330px|Moto parabolico da una altezza di <math>200\ m\ </math>, con stessa velocità iniziale <math>50 m/s\ </math> e con una accelerazione diretta verso il basso di <math>10 m/s^2\ </math> al variare dell'angolo rispetto alla direzione orizzontale]] Questa è l'estensione in due dimensioni del moto accelerato uniforme, ad esempio la caduta dei gravi; in questo caso la direzione della accelerazione non varia nel tempo oltre a essere costante in modulo. Il moto di questo tipo non riguarda solo la caduta dei gravi, ma tutte le situazioni dinamiche, come vedremo, in cui vi sia una forza costante in modulo e verso. In questo caso la scelta più naturale degli assi è quella degli assi cartesiani e si assume come asse delle <math>y\ </math> la direzione della accelerazione <math>a\ </math>. Se chiamiamo <math>\alpha\ </math> l'angolo che la velocità iniziale ha con la direzione orizzontale, le equazioni del moto sono in coordinate cartesiane: :<math>x(t) = (v_o\cos \alpha) t</math> :<math>y(t) =h+ (v_o\sin \alpha) t-\frac 12gt^2\ </math> scelta la posizione iniziale sull'asse delle <math>y\ </math> con altezza iniziale <math>h\ </math> (<math>200\ m\ </math> nella figura); <math>v_o\ </math> è il modulo della velocità iniziale (nell'esempio della figura vale <math>50 m/s\ </math>). Quindi in una direzione è un moto rettilineo uniforme, nella direzione verticale è un moto accelerato uniforme. La traiettoria viene ricavata eliminando il tempo dal sistema di due equazioni: {{Equazione|eq=<math>y(x) =h+ x\tan \alpha-\frac {gx^2}{2v_o^2\cos^2 \alpha}\ </math>|id=15}} la curva che descrive la traiettoria è quindi una [[w:Parabola_(geometria)|parabola]]. Si chiama gittata (x_G) la distanza tra la posizione iniziale e il punto in cui la traiettoria arriva a quota zero, cioè quando: :<math>h+ x_G\tan \alpha-\frac {gx_G^2}{2v_o^2\cos^2 \alpha}=0\ </math> Escludendo dal sistema di secondo grado la soluzione negativa (in quanto si suppone che prima di <math>t=0\ </math> non vi sia moto), si ha che: :<math>x_G=\frac {v_o \cos \alpha} {g}\left [ v_o \sin \alpha +\sqrt{v_o^2 \sin^2 \alpha + 2 g h} \right]\ </math> Con i dati in figura risulta (facendo il calcolo numerico) che la gittata massima è di <math>400\ m\ </math> (con un angolo di <math>33^o \ </math>). Notare come, in questo caso, la soluzione analitica non sia banale, la soluzione si è trovata analizzando quando si annula la derivata della gittata rispetto all'angolo. Un'altra informazione importante che si ricava dalla traiettoria è l'altezza massima che coincide ovviamente con <math>h\ </math> nel caso di angoli di lancio negativi. Se l'angolo è positivo e quindi la parabola ha il termine lineare positivo e quello quadratico negativo chiaramente la parabola ha un massimo che si ricava imponendo che la derivata di <math>y(x)\ </math> sia nulla: :<math>\frac {dy}{dx}=0\qquad \longrightarrow x_M-x_o=\frac {v_o^2}g\cos \alpha \sin \alpha \quad y_M=h+\frac 12\frac {v_o^2 \sin^2 \alpha}g\ </math> Indicando con x_M ed y_M le coordinate del massimo, che dipendono ovviamente dall'angolo di lancio. ==Moto nello spazio tridimensionale== [[File:Helix.svg|thumb|upright=1.1|Il moto elicoidale uniforme in un caso particolare <math> (\cos t, \sin t, t) </math> da <math> t = 0 </math> con le frecce che indicano la direzione in cui cresce <math> t </math>]] Questo caso generale è più difficile da trattare, in quanto la traiettoria non ha una espressione analitica semplice: una linea nello spazio tridimensionale nasce dall'intersezione di due superfici, quindi si esprime come un sistema di due equazioni in tre variabili. In coordinate cartesiane il vettore posizione in forma parametrica (con parametro il tempo) è: :<math>\vec r(t)=x(t)\hat {\imath}+y(t)\hat {\jmath}+z(t)\hat k</math> La velocità (che continua a essere parallela alla traiettoria): :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dx}{dt}\hat {\imath}+\frac {dy}{dt}\hat {\jmath}+\frac {dz}{dt}\hat k= v_x\hat {\imath}+v_y\hat {\jmath}+v_z\hat k</math> E infine l'accelerazione (la cui direzione nel caso generale ha tutte le componenti possibili): :<math>\vec a=\frac{d \vec v}{dt}=\frac {d^2x}{dt^2}\hat {\imath}+\frac {d^2y}{dt^2}\hat {\jmath}+\frac {d^2z}{dt^2}\hat k= a_x\hat {\imath}+a_y\hat {\jmath}+a_z\hat k</math> In genere il moto tridimensionale si tratta in alcuni casi specifici, che sono sono combinazioni di moti nel piano e semplici nelle direzione perpendicolare, ad esempio la combinazione del moto circolare uniforme in un piano e del moto rettilineo uniforme dà luogo al cosiddetto [[w:Moto_elicoidale_uniforme|moto elicoidale]]. ==Note== <references/> ==Bibliografia== * {{cita libro | cognome= Mazzoldi | nome= Paolo | autore2=Massimo Nigro | autore3=Cesare Voci | titolo= Fisica | volume= 1 | editore= Edises | città= | ed= 2 | anno= 2000 | id= ISBN 8879591371 | cid= Mazzoldi | url= http://books.google.it/books?id=O6s7AAAACAAJ}} [[Fisica_classica/Dinamica| Argomento seguente: Dinamica]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} ew5blg604s5vuvyb8o1ocpwhruxh2u1 0 8810 499044 498295 2026-06-07T10:43:42Z Pasquale.Carelli 528 /* La forza peso */ da punto a virgola 499044 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Cinematica |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Cinematica |CapitoloSuccessivo=Energia e lavoro |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Energia e lavoro }} {{fisica classica}} La dinamica cerca di dare una spiegazione delle cause che determinano il moto di un punto materiale, descritto dalla cinematica. L'osservazione più elementare apparente è che se non agisce nessuna azione esterna il punto materiale rimane immobile. Tutta la dinamica del punto materiale si riduce a tre leggi, che sono state ricavate sperimentalmente a partire dal 1600. = Principio d'inerzia ( detto anche Prima legge della dinamica) = Tutti i corpi mantengono il loro stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non agiscono su di essi forze esterne. Il risultato di questa affermazione è dovuto a [[w:Galileo_Galilei|Galileo]], sulla base di estrapolazioni di esperimenti scientifici. Prima di Galileo secondo la [[w:Fisica_aristotelica|fisica Aristotelica]] si credeva che lo stato di quiete fosse l'unico possibile in assenza di azioni esterne. Cioè che per avere il moto anche rettilineo uniforme fosse necessaria una qualche azione dall'esterno. ==Sistemi di riferimento inerziali== Il primo principio non è banalmente un caso particolare del secondo principio, che vedremo nel seguito, ma ne chiarisce l'ambito di validità, ovvero definisce quali sono i [[w:Sistema_di_riferimento_inerziale|sistemi di riferimento inerziali]], cioè quelli su cui agiscono esclusivamente '''forze reali''' (azione o interazione tra più corpi). Cioè se osservo che in assenza di forze esterne lo stato cinematico di un corpo non è un moto rettilineo uniforme significa che il sistema in cui mi trovo non è inerziale. Un sistema di riferimento inerziale è un sistema in cui il moto di un punto materiale appare rettilineo uniforme, se non agisce su di esso alcuna azione esterna. Inoltre, ed è un [[w:Corollario|corollario]] di tale osservazione, esistono infiniti sistemi di riferimento inerziali: sono tutti quelli che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto a quello considerato. Un sistema di riferimento per essere inerziale non deve né accelerare né ruotare. Ad esempio, in prima approssimazione, la Terra si può considerare un sistema di riferimento inerziale, ma, se si considera che essa possiede sia un moto di rotazione intorno al proprio asse sia un moto rotatorio attorno al Sole, allora si può ben dire che la Terra non è un sistema inerziale. Mentre una astronave che si muova a velocità costante nello spazio intersiderale è un sistema di riferimento inerziale. Un [[w:Accelerometro|accelerometro]], lo strumento utilizzato per misurare l'accelerazione all'interno di un sistema di riferimento, misura un’accelerazione nulla, se il sistema è inerziale. Poiché ogni strumento di misura ha una [[w:Sensibilità_di_un_sistema_di_misura|sensibilità]] minima, il non essere inerziale non viene misurato strumentalmente, se il sistema è quasi inerziale, cioè l’accelerazione è inferiore alla sensibilità dello strumento. In tale caso il sistema con buona approssimazione si può considerare inerziale. Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Mentre nei sistemi di riferimento non inerziali, cioè quelli che hanno una qualche forma di accelerazione rispetto ai sistemi di riferimento inerziali debbono essere introdotte delle [[w:Forza_apparente|forze apparenti]] per tenere conto delle accelerazioni del sistema di riferimento non inerziale. Per esempio una palla lasciata cadere verticalmente dal punto di vista di un osservatore sulla terra (quindi non inerziale) non va esattamente in linea retta, ma cade in un punto non esattamente sulla verticale. Un osservatore su un sistema di riferimento inerziale osserverebbe che mentre il corpo cade la Terra ruota intorno al proprio asse e per questa ragione il punto di impatto non è la verticale. Mentre l'osservatore non inerziale sulla Terra per giustificare il moto non rettilineo deve invocare l'esistenza di forze apparenti. = Seconda legge della dinamica (detta anche II legge di Newton) = La accelerazione di un punto materiale è direttamente proporzionale e nella stessa direzione della forza totale che agisce sul corpo ed inversamente proporzionale alla sua massa. {{Equazione|eq=<math>\vec F= m \vec a=m \frac{d \vec v}{dt}=m \frac {d^2 \vec r}{dt^2}</math>|id=1}} Tale legge della dinamica è dovuta a [[w:Isaac_Newton|Newton]] e introduce sia la [[w:forza (fisica)|forza]] (azione dall'esterno, una grandezza vettoriale) che un'altra proprietà del punto materiale che finora non era stata introdotta che rappresenta la quantità di materia del punto materiale stesso, vale a dire la sua massa <math> m\ </math>. ==Sistema Internazionale== [[File:CGKilogram.jpg|thumb|left| Massa campione depositata in Francia.]] L'introduzione della massa completa il [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura| sistema internazionale]] (abbreviato in SI) di unità di misura per quanto riguarda la meccanica. La grandezza fisica massa viene indicata con [M], le altre due grandezze di base della meccanica, la lunghezza e tempo, introdotte già nella cinematica si indicano rispettivamente con [L] e [T]. Notare come si usino le parentesi quadre per indicare le grandezze fisiche. L'unità di misura della massa nel SI è il [[w:Chilogrammo| chilogrammo]] che è la massa di un particolare cilindro di altezza e diametro pari a 0,039 m di una lega di platino-iridio depositato presso l'Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a Sèvres, in Francia. Un chilogrammo è anche circa la massa di un litro di acqua a 4 ^oC. In realtà dal 2019 la massa è una grandezza derivata dalla [[w:Costante_di_Planck|costante di Planck]] (<math>h</math>) che vale: :<math>h = 6{,}626\, 070\, 15 \times 10^{-34}\ {\rm J \cdot s} </math> La forza è una grandezza derivata le cui dimensioni fisiche sono ricavabili dalla seconda legge della dinamica: :<math>[F]=[M][L][T^{-2}] \ </math> L'unità di misura della forza nel SI è il newton, definito come: :<math>\mathrm{1\, N = 1\, \frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{s^2}}</math> Quindi se la stessa forza agisce su corpi con massa diversa l'accelerazione sarà maggiore nei corpi con minore massa. Il concetto di massa viene nel linguaggio comune confuso con il concetto di peso, che è invece una forza dovuta alla gravitazione come vedremo nel seguito. La legge di Newton definisce la massa come una misura della resistenza dei corpi al variare del loro stato di moto (accelerazione) a causa di una azione esterna: la massa che deriva dalla seconda equazione della dinamica è detta [[w:Massa_(fisica)#Massa_inerziale|'''massa inerziale''']]. Gli strumenti che misurano le forze vengono chiamati [[w:Dinamometro| dinamometri]]. Questo modo di interpretare la ''seconda legge di Newton'' ci permette quindi di legare le proprietà cinematiche del movimento alle cause che lo provocano. == Sovrapposizione delle Forze== [[File:Addizioneforze.svg|thumb|left|150px|Risultante di due forze.]] Si definisce forza risultante la [[w:vettore (matematica)#Somma di due vettori|somma vettoriale]] di tutte le forze <math>\vec{F_1},\vec{F_2},\ldots,\vec{F_N}</math> applicate ad un sistema: {{Equazione|eq=<math>\vec{R}=\sum_i^N\vec{F_i}</math>|id=2}} Se il sistema è un punto materiale la dinamica del punto è data semplicemte dalla seconda equazione della dinamica che diviene: :<math>\vec R= m \vec a\ </math> = Terza legge della dinamica (legge di azione e reazione) = [[File:Skaters showing newtons third law.svg|thumb|right|200px|Una figura che illustra la legge di azione e reazione. Il pattinatore A esercita una forza normale F_AB sul secondo pattinatore B verso destra, ed il secondo pattinatore esercita una forza normale F_BA sul primo pattinatore verso sinistra.]] Quando un corpo esercita una forza su un secondo corpo, il secondo corpo simultaneamente esercita una forza eguale e contraria in ampiezza ed opposta alla direzione di quella del primo corpo. Tale legge stabilisce che tutte le forze esistono in coppie: se un oggetto ''A'' esercita una forza '''F'''_''A'' su un secondo aggetto ''B'', allora ''B'' esercita simultaneamente una forza '''F'''_''B'' su ''A'', e le due forze sono eguali ed opposte: {{Equazione|eq=<math>\vec F_{AB}=-\vec F_{BA}\ </math>|id=3}} Le due forze nella legge di azione e reazione sono dello stesso tipo (cioè se la strada esercita una forza trainante sulle gomme di una macchina in accelerazione, vi è anche una forza di attrito da parte delle ruote sulla strada nella direzione opposta). Vale la pena di considerare due altri casi: quando una persona cammina spinge contro il suolo ed il suolo spinge la persona; nel nuoto, una persona interagisce con l'acqua, spingendo l'acqua indietro, e simultaneamente l'acqua spinge la persona in avanti. In tutti questi casi la forza dipende dall'attrito che vedremo in seguito. = Equilibrio = Il concetto di equilibrio, ora che sappiamo da cosa è provocato il movimento, dovrebbe essere più chiaro. Vi sono due possibili tipi di equilibrio: '''equilibrio statico''' che impone un'assenza di movimento ed '''equilibrio dinamico''' che comporta un ''mantenimento'' dello stato di movimento (moto rettilineo uniforme). In entrambi i casi si tratta di una situazione nella quale ''non vi sono variazioni dello stato del moto del corpo'' e cioè la somma delle forze che agiscono sul corpo detta '''risultante''' deve essere nulla. {{Equazione|eq=<math>\vec R=\sum_i \vec F_i = 0</math>|id=4}} ed il moto deve avvenire con velocità costante. Quando un corpo soggetto a forze rimane fermo si può dedurre che la risultante delle forze è nulla. = Analisi di vari tipi di forze = In natura, da un punto di vista microscopico, esistono solo quattro forze, che non vengono chiamate con questo nome, ma vengono dette interazioni, in quanto agiscono a distanza; il concetto di forza è proprio solo della fisica classica, mentre la [[w:Fisica_moderna|fisica moderna]] parla solo di interazioni. L'[[w:Interazione_forte|interazione forte]] tiene insieme i nuclei atomici, mentre l'[[w:Interazione_debole|interazione debole]] è responsabile di alcuni fenomeni particolari delle particelle elementari: entrambe queste interazioni agiscono a brevissima distanza. Mentre le altre due interazioni fondamentali della natura quella [[w:Interazione_elettromagnetica|elettromagnetica]] e quella [[w:Interazione_gravitazionale|gravitazionale]] agiscono a grande distanza. L'interazione forte e debole sono studiate nei corsi avanzati di fisica, mentre la forza gravitazionale e la forza elettrica sono trattate nel seguito di questo wikibook. In realtà nel mondo macroscopico si preferisce non studiare la natura elementare e dare una descrizione semplificata delle forze per come appaiono o per gli effetti che producono. == La forza peso == La Terra ha una forma praticamente sferica e attrae i corpi sulla sua superficie con una forza detta forza peso, diretta verso il centro della terra che vale: {{Equazione|eq=<math>\vec P= m_g\vec g</math>|id=5}} Dove m_g è la massa gravitazionale degli oggetti che coincide, per quanto ne sappiamo sperimentalmente, con una precisione di 3x10^-14 <ref>Phys. Rev. Lett. 100, 041101 (2008); http://www.npl.washington.edu/eotwash/publications/pdf/schlamminger08.pdf</ref> con la massa inerziale. Mentre <math>g=9,8\ m/s^2</math> è l'accelerazione di gravità che ha piccole variazioni sulla superficie della terra. Il raggio della terra, 6375 Km, è così grande che in realtà, nella maggior parte dei casi, la terra si può approssimare con un piano e quindi g è diretta verso il basso. Il [[Fisica_classica/Cinematica#Caduta verticale dei gravi|moto verticale dei gravi]] e il [[Fisica_classica/Cinematica#Moto parabolico|moto parabolico]] sono un tipico esempio della dinamica in presenza della sola forza peso, in realtà per quanto le due traiettorie siano diverse (una retta ed una parabola), se ci si mette in un sistema di riferimento inerziale con velocità eguale a quella tangenziale del moto parabolico esso ci apparirà come un moto verticale. Cioè se ad esempio all'interno di un aereo che viaggia di moto rettilineo uniforme facciamo cadere un oggetto: chi sta nell'aereo osserverà una caduta verticale, mentre per un osservatore all'esterno, per il quale l'aereo si muove di moto rettilineo uniforme, il moto apparirà parabolico. L'equivalenza tra massa gravitazionale ed inerziale va sotto il nome di [[w:Principio_di_equivalenza|principio di equivalenza]] ed è alla base della [[w:Relatività_generale|relatività generale]]. Non viene fatta nel seguito nessuna distinzione tra massa inerziale e gravitazionale e si indicheranno con lo stesso simbolo ''m''. Il peso, seppure nel linguaggio comune si confonde con la massa, andrebbe misurato in Newton: quindi un oggetto di massa 100 Kg ha un peso di 980 N. ==Reazione vincolare== [[File:Equilibrium.JPG|thumb|left|400px|Un corpo di massa 200 kg poggiato su un tavolo subisce da parte del tavolo una forza verso l'alto eguale al suo peso, a sua volta il piano è in equilibrio statico a causa della reazione vincolare del piano di appoggio, indicate con <math>\vec F_L\ </math>.]] Se poniamo un punto materiale sopra un piano solido il corpo soggetto alla forza peso rimane in equilibrio. Esiste quindi una forza eguale e contraria esercitata dal piano, detta reazione vincolare che bilancia la forza peso. Notiamo che tale forza dipende dalla forza normale alla superficie, cioè se comprimiamo il corpo con una forza maggiore del suo peso esso, nel limite della resistenza con cui è fatto il piano, rimane in equilibrio: quindi a differenza della forza peso la reazione vincolare è una forza diretta sul corpo dal basso verso l'alto che si oppone alla forza normale alla superficie esercitata su di esso. Ovviamente per il principio di azione e reazione dal punto di vista del piano di appoggio esiste una forza opposta alla reazione vincolare che agisce dal punto materiale al piano. La reazione vincolare è sempre normale alla superficie del vincolo e in genere si indica con <math>\vec N\ </math> e al contrario della forza peso (che è determinata da g ed m) essa ha un valore dipendente dalle altre forze compressive agenti sul corpo, ed il suo valore è esattamente eguale alle altre forze agenti sulla superficie (in compressione) ma di segno opposto. La reazione vincolare ha lo stesso valore nel caso della dinamica dei corpi. Anche se qui è stata introdotta nel caso statico. == Forza di attrito statico == [[File:Friction.svg|thumb|right|200px|Equilibrio di un corpo soggetto alla forza peso, la reazione vincolare N, una forza diretta verso sinistra e la forza <math>F_f\ </math> di attrito statico. Il coefficiente d'attrito dipende dalle due superfici in contatto come mostrato graficamente nel disegno ingrandito.]] La forza di attrito è generata dal contatto tra due corpi. A seconda del materiale del quale i corpi sono composti questa forza sviluppa una reazione di intensità differente. La forza ha quindi una dipendenza da un parametro che chiamiamo '''coefficiente di attrito''' ed indichiamo con <math>\mu_s \,\!</math> : questo parametro è adimensionale. La forza di attrito statico non ha un modulo direzione e verso fissate, nel senso che la direzione ed il verso sono tali da opporsi alla risultante delle forze esterne applicate parallele al piano, mentre il modulo è esattamente eguale alla risultante delle forze esterne parallele al piano applicate. Il modulo della forza di attrito statico non può superare il valore {{Equazione|eq=<math>| F_{s}|\le \mu_s |N|\ </math>|id=6}} per cui è in qualche misura determinato dalla reazione vincolare, cioè quanto più intensa è la reazione vincolare, tanto più grande è la forza di attrito che può essere esercitata. In definitiva, la risultante delle forze è nulla ed il corpo si trova in condizione di equilibrio statico. Il coefficiente di attrito statico è compreso normalmente tra 0.04 per il [[w:PTFE|teflon]] su molte superfici e 1 per la gomma sul cemento. Bisogna aggiungere che per le gomme delle macchine di [[w:Formula_1|formula 1]] il coefficiente di attrito è molto più grande di 1 e che, interponendo tra due superfici lisce uno strato di gas, si riescono ad ottenere coefficienti di attrito statico minori 0.01. Inoltre, il coefficiente di attrito statico dipende anche dallo stato della superficie di contatto: se si è su una superficie asciutta, (<math>\mu_s \,\!</math> è più grande), mentre su una superficie bagnata (<math>\mu_s \,\!</math> è più piccolo). Quando si verifica che se <math>| F_{s}|>\mu_s |N|\ </math>, il corpo inizia a muoversi ed entra in gioco l'attrito dinamico. Nelle macchine per aumentare l'attrito statico, che determina la massima velocità ottenibile senza slittare, vengono aggiunti gli [[w:Alettone_(veicoli)|alettoni]], i quali aumentano il valore della reazione vincolare esercitando una elevata forza dall'alto verso il basso, che si va ad aggiungere la peso proprio del veicolo. Un esercizio su una [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#1._Cassa|cassa]], che deve essere spostata, può chiarire quanto detto. == Forza di attrito dinamico == [[File:Friction_diagram.png|thumb|left|400px|Dinamica di un corpo soggetto ad una forza trainante (Pushing) a cui si oppone la forza di attrito (Friction).]] La forza di attrito dinamico è generata dal contatto tra due corpi che si muovono uno rispetto all'altro. Può essere anche in questo caso definito un '''coefficiente di attrito dinamico''' che indichiamo con <math>\mu_d \,\!</math> (anche tale parametro è adimensionale). Il valore di <math>\mu_d \,\!</math> è sempre un poco inferiore a <math>\mu_s \,\!</math> come si può verificare sperimentalmente mediante un [[Fisica_classica/Dinamica#Piano inclinato|piano inclinato]]. L'espressione della forza di attrito dinamico è: {{Equazione|eq=<math>\vec F_{d}=-\mu_d |N|\hat v\ </math>|id=7}} Dove <math>\hat v \,\!</math> è il versore velocità. La forza di attrito dinamico ha un valore ben preciso (al contrario dell'attrito statico per cui è fissato un massimo). Due esercizi specifici uno su [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#3._Due_cubi|due cubi]] e l'altro su [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#4._Piastra_con_sopra_un_oggetto|una piastra con sopra un oggetto]] sono esempi di attrito dinamico. === Piano inclinato === [[File:Free_body.svg|thumb|left|250px|Un piano inclinato: m'''g''' forza peso, '''N''' reazione vincolare, '''f''' forza di attrito statico.]] Il piano inclinato è stato studiato in dettaglio da Galileo per stabilire le leggi della dinamica e della statica. Consideriamo prima il caso statico indicato nella figura a fianco. Sul corpo agisce la forza peso (m'''g'''), la reazione vincolare ('''N''') e la forza di attrito statico ('''f'''). Il piano è inclinato di <math>\theta\ </math> rispetto alla direzione orizzontale. La reazione vincolare '''N''' è eguale ed opposta alla componente della forza peso nella direzione normale al piano :<math>N+mg\ cos \theta =0\qquad \rightarrow N=-mg\cos \theta\ </math> Mentre la componente della forza peso, che non è compensata dalla reazione vincolare in quanto parallela al piano di appoggio, è eguale ed opposta alla forza di attrito statico: :<math>f-mg\ sin\theta =0\qquad \rightarrow f=mg\ sin\theta \ </math> Quindi imponendo :<math>|f|\le \mu_s |N|\ </math> :<math>mg\ sin\theta\le \mu_s mg\cos \theta \ </math> Quindi la condizione di avere equilibrio statico è: :<math>\tan \theta\le \mu_s \ </math> Il valore del coefficiente di attrito statico si ottiene semplicemente dalla misura di un angolo: la tangente dell'angolo per cui il corpo posto su un piano inclinato smette di essere in equilibrio statico è il coefficiente di attrito statico. Se l'angolo del piano inclinato è superiore a quello imposto dall'attrito statico si ha un moto accelerato uniforme con una forza di trascinamento nella direzione dell'inclinazione del piano pari <math>mg\ sin\theta \ </math> a cui si oppone nello stesso verso con direzione opposta la forza di attrito dinamico <math>\mu_d N=\mu_d mg\ cos\theta \ </math>, quindi la seconda equazione della dimamica diventa: :<math>ma=mg\sin \theta-\mu_d mg\cos \theta \ </math> [[File:Tension_figure.svg|thumb|left|500px|Una figura raffigurante le forze coinvolte nel sospendere una palla da un'impalcatura mediante una corda. Ciascuna forza è mostrata nel suo punto di azione ed è identificata dall'oggetto su cui agisce. La tensione nella fune viene mostrata come agisce sulla sfera e sulla impalcatura ed anche in un segmento della corda.]] Di conseguenza l'accelerazione vale: {{Equazione|eq=<math>a=g\sin \theta-\mu_d \cos \theta \ </math>|id=8}} Il piano inclinato permette di far muovere il corpo con una forza di trascinamento che è minore della forza di gravità, quindi il moto si svolge più lentamente ed è più facile il suo studio. Qui vengono consigliati tre esercizi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#7._Piano_inclinato|semplice piano inclinato]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#12._Piano_inclinato_e_tratto_piano|la combinazione di un piano inclinato ed un piano orizzontale]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#16._Punto_materiale_su_piano_inclinato|moto in salita e discesa su un piano inclinato]]. == Tensione== La tensione è la forza di trazione esercitata da una corda, un cavo, una catena, o un analogo oggetto solido su un altro oggetto. La tensione è l'opposto della compressione o se si vuole della reazione vincolare. La direzione della tensione è lungo il cavo su cui si esercita. In genere si trascura la massa del cavo o fune che esercita la tensione. La tensione compare sia in statica che in dinamica. La direzione di azione per quanto riguarda i corpi è opposta a quella della reazione vincolare. Si osserva in figura che la forza peso della sfera viene bilanciata dalla tensione del filo, ma il filo esercita una forza di tensione eguale ed opposta sulla impalcatura. La figura mostra via via le varie forze che derivano dal principio di azione e reazione. La tensione determina condizioni di equilibrio statico come nel caso di due esercizi proposti: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#2._Trave_inclinata|una trave inclinata]] retta da un cavo con un carico o una [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#6._Piattaforma_ruotante|piattaforma ruotante]] == Azione delle forze == Riprendiamo la relazione principale della dinamica e proviamo a definire come una forza influenza il moto. Come abbiamo visto in cinematica l'accelerazione nel piano è data da <math>\vec a=\vec a_T+\vec a_N</math> (eq.10 della cinematica) e quindi possiamo scrivere {{Equazione|eq=<math>\vec F=m \vec a=m\vec a_T+m\vec a_N= m \frac {dv}{dt} \vec u_T + m \frac {v^2}{R} \vec u_N</math>|id=9}} e notiamo come la forza "provochi" una accelerazione con due componenti, una tangenziale alla traiettoria ed una normale e diretta verso il centro di curvatura della traiettoria detta ''accelerazione centripeta''. La forza quindi può essere divisa in due componenti: una dà un contributo '''tangenziale che provoca una variazione del modulo della velocità''', ed una diretta verso il centro di curvatura della traiettoria e quindi '''ortogonale che determina una variazione della direzione della velocità e quindi del moto'''. ==Forze centripete== Il moto su una traiettoria circolare o su un arco di traiettoria abbiamo visto in cinematica che è caratterizzato nel caso generale da due componenti della accelerazione: una componente centripeta, cioè diretta verso il centro e necessaria, ed una parallela alla traiettoria, solo se la velocità angolare (o il modulo della velocità) varia nel tempo. Quindi nel caso di un moto circolare è sempre presente una forza centripeta: {{Equazione|eq=<math>F_c=m\omega^2 R=m\frac {v^2}R\ </math>|id=10}} Essendo il modulo <math>v=\omega R\ </math> il modulo della velocità istantanea ed <math>R\ </math> il raggio della traiettoria. Non è una categoria a parte di forze, ma alcune delle forze che abbiamo visto finora si comportano come forze centripete, ad esempio la forza di gravità determina il moto circolare dei satelliti intorno alla terra o la forza di attrito statico permette alle macchine di muoversi su una strada in curva senza sbandare. I due esempi successivi mostrano l'effetto della tensione come forza centripeta. === Pendolo Semplice === [[File:Pendolo_semplice.jpg|thumb|right|Il pendolo semplice]] Un esempio di moto circolare (su un arco di circonferenza) è il moto di un pendolo semplice. Il pendolo semplice è un sistema composto da un punto materiale appeso a un punto fisso tramite un filo inestensibile di massa trascurabile come in figura. Sul punto materiale agisce la forza peso e la tensione del filo. Il punto percorre una traiettoria curva con raggio pari alla lunghezza del filo <math>l\ </math>, che è un tratto di una traiettoria circolare. La II equazione della dinamica è: :<math>m \vec g + \vec T_f= m \vec a</math> Se le forze agenti vengono scomposte lungo gli assi del sistema di riferimento centrato sul punto e con un asse cartesiano lungo il filo. La forza peso ha una componente lungo la direzione del filo e una direzione opposta alla tensione del filo e quindi lungo questa direzione la risultante delle forze è uguale alla forza centripeta e quindi: :<math>R_T=T_f-m g \cos \theta = m a_N=m\frac {v^2}{l}\,\!</math> mentre lungo la tangente alla traiettoria avremo la sola componente della forza peso: :<math>R_N=-m g \sin \theta = m a_T=m l \frac {d^2 \theta}{dt^2} \,\!</math> Dalla prima di queste equazioni segue che la tensione del filo (varia durante il moto) essendo: :<math>T_f=m (g \cos \theta +\frac {v^2}{l})\,\!</math> La tensione è quindi massima nella posizione verticale in cui <math>\cos \theta\ </math> e <math>v\ </math> assumono il massimo valore, ed è minima quando raggiunge il punto più alto della traiettoria. Tornando alla seconda equazione :<math>\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin \theta=0</math> La sua soluzione non è banale, tranne nel caso di piccolo oscillazioni, infatti per piccoli angoli possiamo utilizzare lo sviluppo in [[w:Serie_di_Taylor|serie di Taylor]] per la funzione <math>\sin \theta\,\!</math> che è <math>\sin \theta = \theta-\frac{\theta^3}{3!}+\dots</math>. Se ci limitiamo al primo ordine (ipotesi vera per piccoli angoli) quindi :<math>\sin \theta \simeq \theta</math> Quindi possiamo scrivere: {{Equazione|eq=<math>\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0</math>|id=11}} La soluzione di tale equazione è stata già vista in cinematica nel caso del moto armonico. Quindi la soluzione generale è: :<math>\theta=\theta_0 \sin(\Omega t + \phi)\,\!</math> Dove <math>\theta_0\ </math> è l'angolo massimo raggiunto (che dipende dalle condizioni iniziali) e <math>\phi\ </math> dipende da dove si trovava l'oggetto nel momento iniziale, mentre <math>\Omega=\sqrt{\frac{g}{l}}</math> non dipende dalle condizioni iniziali. Il periodo del moto è dato da :<math>T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math> e non dipende dall'ampiezza delle oscillazioni se gli angoli sono piccoli. Questa proprietà detta [[w:Isocronismo|isocronismo delle piccole oscillazioni]] fu formulata da [[w:Galileo Galilei|Galileo Galilei]] osservando le oscillazioni della lucerna della [[w:Duomo di Pisa|Cattedrale di Pisa]]. Gli [[w:Orologio_a_pendolo|orologi a pendolo]] basati su tale principio fino a XIX secolo sono stati i più diffusi orologi fissi. === Pendolo conico === [[File:Conical_pendulum.svg|thumb|left|250px|Pendolo conico.]] Un altro esempio di moto circolare è quello di un pendolo conico. In questo caso la traiettoria è una circonferenza completa percorsa a velocità angolare costante. Il sistema è mostrato in figura in cui si ha un punto materiale sostenuto da un filo inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza L. Le forze agenti sono la forza peso e la tensione del filo. Il raggio della traiettoria vale: <math>r=L\sin \theta\ </math>. Nella direzione orizzontale la componente della tensione del filo, detta <math>\omega\ </math> la velocità angolare, vale: :<math>T\sin \theta=m\omega^2 r=m\omega^2 L\sin \theta\ </math> da cui: :<math>T=m\omega^2 L\ </math> Per quanto riguarda la direzione verticale la forza peso viene bilanciata dalla componente verticale della tensione del filo: :<math>mg=T\cos \theta=m\omega^2 L\cos \theta\ </math> da cui: :<math>\cos \theta=\frac g{\omega^2 L}\ </math> Ma poiché il coseno non è mai maggiore di 1 vi è un limite inferiore alla velocità angolare cioè: :<math>\omega^2\ge \frac gL\ </math> cioè al di sotto di questo valore della velocità angolare non si può avere il moto di un pendolo conico. == Forza [[w:Elasticità_(meccanica)|elastica]]== [[File:Hookes-law-springs.png|thumb|left|250px|L'elongazione è proporzionale allo sforzo.]] Se si considera una [[w:Molla|molla]] che viene compressa o tirata essa eserciterà una forza che si oppone all'azione esterna: {{Equazione|eq=<math>F_e =- k (x-x_o),</math>|id=12}} dove <math>x_o\ </math> è la posizione di equilibrio, <math>x\ </math> è la posizione e <math>k\ </math> è una costante (detta costante di richiamo elastico) che dipende dalle caratteristiche della molla: la sua [[w:Rigidezza|rigidità]]. Tale proprietà è propria non solo delle molle, ma di molti oggetti sia solidi che fluidi, che se proviamo a deformarli agisce una forza contraria alla deformazione tanto maggiore quanto è la deformazione. A partire dalla configurazione naturale di riposo, l'elasticità rappresenta solo la fase iniziale del comportamento di un materiale, per un valore limitato del livello di sollecitazione. Ogni materiale presenta infatti una soglia di sollecitazioni, detta ''limite di elasticità'', al di sopra della quale cessa di esibire un comportamento elastico e manifesta fenomeni anelastici ([[w:Plasticità (fisica)|plasticità]], [[w:rottura|rottura]], ecc.). Nel caso dei [[w:Plasticità (fisica)#Materiali duttili|materiali duttili]], il limite elastico è associato alla [[w:tensione di snervamento|tensione di snervamento]], nel caso di [[w:fragilità|materiali fragili]], il limite elastico è associato alla rottura del materiale. La reazione vincolare come la tensione sono in realtà delle forze elastiche con una costante di richiamo elastico così grande da rendere trascurabile la deformazione. Nel caso tridimensionale, l'espressione della forza elastica è: {{Equazione|eq=<math>\vec F_e =- \mathbf T (\vec r-\vec r_o),</math>|id=13}} dove <math>\vec r_o\ </math> è la posizione di equilibrio, <math>\vec r\ </math> è la posizione e <math>\mathbf T\ </math> è il [[w:Tensore_degli_sforzi#Il_tensore_delle_tensioni_di_Cauchy|tensore degli sforzi]] che è una costante nel caso di oggetti [[w:Isotropia|isotropi]]. Se agisce la sola forza elastica, nel caso unidimensionale l'espressione della II equazione della dinamica è: {{Equazione|eq=<math>m\frac {d^2 x}{dt^2} =-k x </math>|id=14}} assunta come origine delle x la posizione di equilibrio. Il moto che ne risulta è un [[Fisica classica/Cinematica#Moto armonico semplice|moto armonico]] rispetto alla posizione di equilibrio, come abbiamo visto in cinematica. Con una pulsazione caratteristica data da: :<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>. Le condizioni iniziali determinano l'equazione del moto: :<math>x=A \sin(\omega t+ \phi)\,\!</math>. :<math>v=A \omega \cos(\omega t+ \phi)\,\!</math>. L'espressione (13) della forza elastica per i solidi viene normalemnte chiamata [[w:Legge_di_Hooke|legge di Hooke]]. Tre esercizi, uno di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#13._Molla_di_gomma|statica]], uno su [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#8._Oscillazione_con_elastico|oscillazione con un elastico]] e infine uno su un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#9._Pendolo_conico_elastico|pendolo conico elastico]] che è una combinazione degli ultimi due argomenti trattati. == Forza di attrito viscoso== [[File:Reynolds_behaviors.png|thumb|left|400px|Il comportamento del flusso attorno ad un cilindro dipende dal numero di Reynolds.]] Come ultimo caso proviamo a discutere una forza di attrito importante nei [[w:Fluido|fluidi]] (in genere gas e liquidi). Il fatto che anche l'aria sia un fluido e che il moto nell'aria sia contrastato da tale tipo di forza determina il fatto in assenza di altre forze il moto rettilineo uniforme si concluda con lo stato di quiete. La forza di attrito viscoso dipende dalle dimensioni dell'oggetto in movimento, la sua velocità e alcune proprietà del fluido in cui si muove l'oggetto: la [[w:densità|densità]] e la [[w:viscosità#Viscosità dinamica|viscosità]]. Il numero di [[w:Numero_di_Reynolds|Reynolds]] è una grandezza adimensionale ('''Re''') usata in [[w:fluidodinamica|fluidodinamica]] che identifica i vari regimi di moto. La figura a fianco mostra in maniera approssimativa cosa significa avere un numero di Reynolds piccolo < 1, o molto grande. Quando '''Re''' è << 1 le linee di corrente del fluido seguono il profilo del corpo. Quando '''Re''' è >1 incominciano a formarsi dei piccoli vortici dietro al corpo in moto (la scia di una barca), che al crescere di '''Re''' diventano più articolati fino a formare delle vere e proprie [[w:Turbolenze|turbolenze]]. Se '''Re''' è < 1 l'espressione della forza di attrito è: {{Equazione|eq=<math>\vec F=-b\vec v\ </math>|id=15}} dove b è una grandezza che ha le dimensioni di una massa divisa per un tempo e dipende dalle proprietà del fluido e dalle dimensioni dell'oggetto in moto. Come conseguenza se un oggetto è in moto con velocità <math>v_o\ </math> al tempo <math>t=0\ </math> non soggetto ad altra forza che l'attrito viscoso, l'equazione del moto è semplicemente: {{Equazione|eq=<math>m\frac {dv}{dt}=-b v\ </math>|id=16}} (il problema unidimensionale permette di togliere il simbolo di vettore). La soluzione di tale equazione è: [[File:Inclinedthrow.gif|thumb|400px|right|Traiettoria di tre diversi lanciati con lo stesso angolo (70°). La curva nera rappresenta un oggetto che si muove senza attrito la traiettoria è una parabola. La curva blu un oggetto che ha un attrito viscoso proporzionale alla velocità. La curva verde un oggetto che ha un attrito viscoso proporzionale al quadrato della velocità.]] :<math>v(t)=v_o e^{-bt/m}=v_o\ e^{-t/\tau}</math> Definendo la costante di tempo del moto la grandezza:<math>\tau=m/b\ </math>: è facile mostrare che ha le dimensioni fisiche di un tempo. L'integrale di tale espressione tra <math>t=0\ </math> e <math>t=\infty\ </math>: :<math>\ell=\int_0^{\infty}v_o\ e^{-t/\tau}dt=-v_o\tau\left[e^y\right]_0^{\infty}=v_o\tau=v_o\frac mb\ </math> è il percorso <math>\ell\ </math> che viene effettuato prima di fermarsi. Se invece assieme all'attrito viscoso vi è una forza di trascinamento, ad esempio la forza peso nella stessa direzione della velocità, l'equazione della dinamica diviene: :<math>m\frac {d v}{dt}=mg-bv\ </math> :<math>\frac 1{\tau}\frac {dv}{dt}=g\tau - v\ </math> Separando le variabili: :<math>\frac {dv}{v-g\tau }=-\frac {dt}{\tau}\ </math> :<math>\frac {dv}{v-v_{\ell}}=-\frac {dt}{\tau}\ </math> Detta la grandezza <math>g\tau=v_{\ell}\ </math> avendo le dimensioni di una velocità. Se la velocità iniziale è nulla, si integra il primo membro tra la velocità 0 e la velocità da determinare al tempo t e il secondo mebro tra 0 e t: :<math>\int_0^{v(t)}\frac {dv'}{v'-v_{\ell} }=-\int_o^t\frac {dt'}{\tau}\ </math> :<math>\ln \frac {v(t)-v_{\ell}}{-v_{\ell}}=-\frac t{\tau}\ </math> :<math>v(t)=v_{\ell}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\ </math> Quando il tempo è molto maggiore della costante di tempo <math>\tau\ </math>, il corpo cade con velocità limite: <math>v_{\ell}\ </math>. Se vogliamo vedere cosa succede durante la caduta inizialmente la forza peso domina (l'attrito viscoso è trascurabile), via via che aumenta la velocità aumenta l'attrito viscoso fino a compensare completamente la forza peso, il moto a questo punto diventa rettilineo uniforme in quanto la risultante delle forze diviene nulla. La forza di attrito viscoso è molto importante sulla superficie della terra, in cui vi è l'atmosfera ed è la ragione per cui qualsiasi moto sulla terra pure in presenza di una forza costante diventa un moto rettilineo uniforme. Se '''Re''' è maggiore di uno, ma non troppo grande, la forza di attrito è proporzionale al quadrato della velocità, :<math>\vec F=-bv^2\hat v\ </math> La costante b in questo caso ha le dimensioni di una massa divisa una lunghezza. Anche in questo caso, nel caso di presenza contemporanea della forza peso e della forza di attrito viscoso, si ha una velocità limite che però è eguale a: :<math>v_{\ell}=\sqrt {\frac {mg}b}\ </math> In questo caso l'effetto rallentante della forza d'attrito è maggiore, come si vede dalla traiettoria in verde della figura. Nel moto di una [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#11._Barca_a_vela|barca a vela]] si può ben vedere il significato della forza di attrito viscoso. = [[w:Quantità_di_moto|Quantità di Moto]] = Una importante proprietà dei corpi in movimento (si ricorda che l'essere fermo è un tipo di moto) è data dalla '''quantità di moto''' ed è una quantità intrinseca del corpo, data da {{Equazione|eq=<math>\vec p = m \vec v</math>|id=17}} La quantità di moto è definita nella fisica classica come il prodotto della massa per la velocità. È una grandezza vettoriale che ha importanti implicazioni in tutti i casi in cui o non vi siano forze esterne o siano trascurabili rispetto a quelle interne al sistema, come nel caso degli urti o delle esplosioni. Questa permette di riformulare la seconda legge di Newton come {{Equazione|eq=<math>\vec F=\frac{d \vec p}{dt}</math>|id=18}} In realtà, questa formulazione ha un carattere più generale, in quanto vi sono fenomeni in cui un punto materiale si spezza in due o più punti materiali, per cui nel fenomeno varia la massa del singolo frammento rispetto al totale. == [[w:Impulso_(fisica)Impulso|Impulso]]== Vi sono casi in cui agiscono delle forze per un tempo limitato, spesso con caratteristiche impulsive, per cui ha maggiore interesse determinare l'effetto complessivo della forza agente nel tempo, per questo viene introdotta una nuova grandezza fisica detta '''impulso''' :<math>\vec J=\int_0^t \vec F dt\ </math> Dalla seconda legge dinamica si ha che: {{Equazione|eq=<math>\vec J=\Delta \vec p</math>|id=19}} Cioè l'impulso di una forza provoca una variazione della quantità di moto del corpo. Vi sono molti casi in cui le forze agiscono per un breve periodo e interessa non il dettaglio di cosa avviene durante l'azione della forza, ma come cambia la quantità di moto tra prima e dopo, ad esempio nel baseball quando la mazza colpisce la palla, nel tennis in cui la racchetta colpisce la palla o nel gioco del pallone. L'impulso e la quantità di moto hanno stesse unità di misura nel sistema internazionale <math>N\cdot s</math>. Esempio dell'azione di una forza impulsiva si trova nell'esercizio di una [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#14._Gru|gru]]. = Note = <references/> [[Fisica_classica/Energia e lavoro| Argomento seguente: Energia e lavoro]] [[Categoria:Fisica classica|Dinamica]] {{Avanzamento|100%|07 marzo 2016}} t626381o462cgb7r4ozwnl6aor5mxm5 0 8841 499043 498498 2026-06-07T10:40:25Z Pasquale.Carelli 528 /* Sistema di riferimento ruotante */ da punto a virgola 499043 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Energia e lavoro |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Energia e lavoro |CapitoloSuccessivo=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali }} {{fisica classica}} Nei sistemi di riferimento non inerziali le leggi della dinamica assumono una forma modificata e compaiono delle forze dette '''fittizie''' o '''apparenti'''. Queste forze non derivano da interazioni fisiche tra corpi, ma sono una conseguenza dell’accelerazione del sistema di riferimento stesso rispetto a un [[w:Sistema_di_riferimento_inerziale|sistema inerziale]]. È importante osservare che un semplice cambiamento di coordinate — ad esempio dal sistema cartesiano a quello polare — non comporta l’introduzione di forze apparenti, anche se le equazioni del moto possono assumere una forma diversa. Le forze apparenti emergono dunque quando il moto viene descritto in un sistema di riferimento che accelera o ruota rispetto a un sistema inerziale. In tali sistemi la [[Fisica_classica/Dinamica#Seconda_legge_della_dinamica_.28detta_anche_II_legge_di_Newton.29|II legge della dinamica]] continua a valere, purché si introducano opportuni termini aggiuntivi interpretabili come forze apparenti. A seconda del tipo di accelerazione del sistema di riferimento si distinguono quattro principali forze apparenti: * la forza dovuta a un’accelerazione traslazionale del sistema; * la [[w:Forza_centrifuga|forza centrifuga]], che compare nei sistemi in rotazione; * la [[w:Forza_di_Coriolis|forza di Coriolis]], che agisce sui corpi in moto all’interno di un sistema rotante; * la forza dovuta a una velocità angolare variabile del sistema di riferimento. ==Esempi di forze apparenti== Prima di affrontare una trattazione dettagliata delle forze apparenti, è utile considerare alcuni esempi chiarificatori. ===Accelerazione in linea retta=== [[Image:Accelerating car.svg|thumb |250px|left|Figura ''in alto'': una macchina in accelerazione di massa ''M'' con un passeggero di massa ''m''. Figura ''centrale'': descrizione dal punto di vista di un sistema di riferimento inerziale. Figura ''in basso'': descrizione nel sistema di riferimento solidale alla macchina.]] Un esempio intuitivo è quello mostrato nella figura. Una macchina di massa ''M'' accelera in avanti mentre un passeggero di massa ''m'' è seduto al suo interno. Durante l’accelerazione il passeggero avverte una pressione contro il sedile. Il fenomeno può essere descritto in due modi diversi, a seconda del sistema di riferimento scelto. ====Sistema di riferimento inerziale (figura centrale)==== Dal punto di vista di un osservatore esterno, la macchina accelera e il passeggero tende inizialmente a mantenere il proprio stato di quiete per inerzia. Il sedile esercita allora sul passeggero una forza diretta in avanti, che lo accelera insieme alla vettura. Tale forza è la reazione vincolare del sedile. In questo sistema di riferimento non è necessario introdurre alcuna forza apparente: l’accelerazione del passeggero è spiegata interamente dalla forza esercitata dal sedile. ====Sistema di riferimento non inerziale solidale alla macchina (figura in basso)==== Per un osservatore all’interno della vettura il passeggero rimane in quiete. Affinché la [[Fisica_classica/Dinamica#Seconda_legge_della_dinamica_.28detta_anche_II_legge_di_Newton.29|II legge della dinamica]] continui a essere valida, occorre introdurre una forza apparente pari a :<math>\mathbf{F}_{\mathrm{app}}=-m\mathbf{a}</math> diretta all’indietro, cioè opposta all’accelerazione della macchina. Questa forza apparente bilancia la forza esercitata dal sedile, giustificando così lo stato di quiete del passeggero nel riferimento della vettura. Nel sistema inerziale compare quindi soltanto la forza reale esercitata dal sedile sul passeggero, mentre nel sistema non inerziale la situazione viene descritta mediante due forze opposte: la forza reale del sedile e la forza apparente dovuta all’accelerazione del sistema di riferimento. Mentre nel sistema inerziale vi è solo la forza propulsiva della macchina che accelera la vettura e con essa il sedile rigidamente connesso, mentre la spinta del sedile agisce sul passeggero che si muove assieme la vettura. Nel sistema di riferimento non inerziale, la vettura in moto, lo stato di quiete è giustificato da due forze eguali ed opposte: quella fittizia del passeggero contro il sedile e quella del sedile contro il passeggero. La spiegazione fisica è più semplice nel sistema inerziale, ma la formulazione matematica potrebbe essere più complicata nel sistema inerziale. In questo caso specifico non vi è differenza di calcolo nei due sistemi di riferimento. Questo esempio mostra come le forze apparenti non rappresentino interazioni fisiche reali, ma derivino esclusivamente dalla scelta di un sistema di riferimento accelerato. In alcuni casi l’uso di un sistema non inerziale può rendere più semplice la descrizione matematica del fenomeno. === [[w:Forza_centrifuga|Forza centrifuga]] === Un effetto simile si ha nel moto lungo un circuito circolare di una macchina. Dal punto di vista di un sistema di riferimento sulla strada si osserva un moto circolare della macchina. Quando lo stesso fenomeno è osservato in un sistema sulla macchina appare una forza apparente detta forza centrifuga. Se la macchina si muove a velocità costante lungo il tratto di strada circolare, gli occupanti della macchina si sentono spinti in fuori dal centro di rotazione dalla forza centrifuga. Anche in questo caso il fenomeno può essere visto dal punto di vista del sistema inerziale e da quello non inerziale solidale con la macchina. ====Sistema di riferimento inerziale (solidale alla strada)==== La macchina si muove di moto circolare uniforme e possiede quindi un’accelerazione diretta verso il centro della curva, detta accelerazione centripeta. Sebbene il modulo della velocità resti costante, la sua direzione cambia continuamente, rendendo necessaria una forza centripeta. Nel caso dell’automobile tale forza è fornita principalmente dall’attrito statico tra pneumatici e strada. Anche il passeggero deve essere soggetto a una forza diretta verso il centro della curva per seguire il moto della vettura; questa forza è esercitata dal sedile tramite attrito e pressione laterale. ====Sistema di riferimento non inerziale solidale alla macchina==== Per un osservatore all’interno dell’auto il passeggero risulta in quiete. Per spiegare questa situazione si introduce allora una forza apparente, la forza centrifuga, diretta verso l’esterno della curva. Essa è bilanciata dalla forza esercitata dal sedile sul passeggero, che impedisce al corpo di scivolare lateralmente verso la portiera. In questo riferimento le due forze si compensano e il passeggero appare fermo. Anche in questo caso la forza centrifuga non corrisponde a un’interazione fisica reale, ma nasce esclusivamente dall’osservazione del moto in un sistema di riferimento accelerato, cioè in rotazione insieme alla macchina. === [[w:Forza_di_Coriolis|Forza di Coriolis]] === [[File:Corioliskraftanimation.gif|thumb|Nel riferimento inerziale (parte superiore del disegno) la pallina nera si muove su una retta. Invece un osservatore (punto rosso) che sta sul sistema ruotante non inerziale (parte inferiore del disegno) vede che l'oggetto descrive una traiettoria curva dovuta alla forza di Coriolis e alla forza centrifuga presente in tale sistema di riferimento.]] La forza di Coriolis compare nei sistemi di riferimento in rotazione quando un corpo è in movimento rispetto al sistema stesso. Un esempio classico è quello della caduta di un oggetto dalla cima di una torre. Se un corpo viene lasciato cadere da una torre alta 50 m alla latitudine dell’Italia, trascurando l’attrito dell’aria esso raggiunge il suolo in un punto spostato di circa 7,7 mm verso est rispetto alla verticale della torre. Dal punto di vista di un osservatore solidale con la Terra — che costituisce un sistema di riferimento rotante e quindi non inerziale — tale deviazione è attribuita alla forza apparente di Coriolis, che modifica la traiettoria del corpo. Per un osservatore inerziale, invece, il corpo si muove lungo una traiettoria praticamente rettilinea, mentre è la Terra che, durante il tempo di caduta, ruota sotto di esso. La forza di Coriolis dipende dalla velocità del corpo rispetto al sistema di riferimento rotante: se il corpo è fermo rispetto alla Terra, la forza di Coriolis è nulla. Per questo motivo essa si manifesta soltanto quando vi è un moto relativo all’interno del sistema rotante. L’intensità dell’effetto varia inoltre con la latitudine. Ai poli la deviazione sarebbe nulla, poiché la velocità del corpo risulta parallela all’asse di rotazione terrestre; all’equatore, invece, la deviazione sarebbe massima. [[File:Coriolis_effect09.png|thumb |500px|left|Schema della formazione di un tifone tropicale.]] Un altro importante esempio della forza di Coriolis riguarda la dinamica dell’atmosfera e la formazione dei cicloni. Quando masse d’aria convergono verso una zona di bassa pressione, la rotazione terrestre devia le correnti d’aria: * nell’emisfero boreale le correnti vengono deviate verso destra rispetto alla direzione del moto; * nell’emisfero australe vengono deviate verso sinistra. Come conseguenza, i vortici atmosferici ruotano in senso antiorario nell’emisfero nord e in senso orario nell’emisfero sud. L’effetto aumenta con la velocità delle correnti d’aria e diventa significativo solo su scale spaziali molto grandi, come quelle meteorologiche. È invece una [[w:leggenda metropolitana|leggenda metropolitana]] l’idea che la forza di Coriolis determini il verso di rotazione dell’acqua che defluisce da un lavandino. In questi casi le dimensioni del sistema sono troppo piccole e l’effetto della forza di Coriolis è trascurabile rispetto ad altre cause, come la forma del recipiente o i moti residui dell’acqua. ===Forza di trascinamento angolare (o forza di Eulero)=== Quando un corpo si muove lungo una traiettoria circolare con velocità angolare variabile, il sistema di riferimento solidale con il corpo in rotazione non è solo accelerato, ma anche angolarmente accelerato. In questa situazione, oltre alla forza centrifuga, compare una seconda forza apparente, detta forza di trascinamento angolare (o forza di Eulero). ====Sistema non inerziale (solidale all’auto)==== Se la velocità angolare aumenta, il passeggero percepisce una forza apparente diretta all’indietro, che lo spinge contro lo schienale del sedile. Se invece la velocità angolare diminuisce, la forza apparente è diretta in avanti, e il passeggero tende a essere proiettato verso il parabrezza. L’effetto è del tutto analogo a ciò che avviene nel moto rettilineo accelerato o decelerato: la forza apparente compensa l’accelerazione del sistema, permettendo al passeggero di applicare le leggi di Newton come se fosse in un sistema inerziale. ====Sistema inerziale solidale alla strada==== Per un osservatore esterno, non compaiono forze misteriose: la forza centrifuga è semplicemente l’effetto dell’accelerazione centripeta necessaria a mantenere la traiettoria circolare; la variazione della velocità angolare implica una accelerazione angolare, che produce una componente tangenziale dell’accelerazione del passeggero. La forza che il passeggero “sente” non è altro che la reazione del sedile che fornisce l’accelerazione tangenziale richiesta. == Formulazione analitica== [[File:Moving coordinate system.svg|thumb|400px|left| Un punto materiale in posizione '''x'''_A nel sistema di riferimento inerziale '''A''' ha coordinate '''x'''_B nel sistema non inerziale '''B'''. L’origine di '''B''' si trova nella posizione '''X'''_AB rispetto al sistema '''A'''. L’orientazione del sistema '''B''' è determinata dai versori '''u''''_j, con ''j'' = (1, 2, 3), associati ai suoi assi coordinati. Nella figura tali versori sono rappresentati in blu. Le coordinate del punto nel sistema '''B''' sono quindi '''x'''_B = (x'₁, x'₂, x'₃)]] La figura a fianco aiuta a introdurre la formulazione analitica del moto relativo tra un sistema inerziale e uno non inerziale. Consideriamo un punto materiale di massa ''m'' e posizione '''x'''_A(t) rispetto a un sistema di riferimento inerziale '''A'''. Introduciamo quindi un sistema di riferimento non inerziale '''B''', la cui origine occupa la posizione '''X'''_AB nel sistema inerziale '''A'''. Nel riferimento '''B''' il punto materiale ha posizione '''x'''_B(t). Lo scopo è determinare le forze apparenti che compaiono nel sistema di riferimento '''B'''. Gli assi del sistema '''B''' sono individuati dai versori '''u''''_j, con ''j'' = (1, 2, 3). La posizione del punto materiale nel sistema non inerziale può quindi essere espressa come: :<math>\mathbf{x}_{\mathrm{B}} = \sum_{j=1}^3 x'_j \mathbf{u'}_j</math> La posizione dello stesso punto nel sistema inerziale '''A''' risulta invece: {{Equazione|eq=<math>\mathbf{x}_{\mathrm{A}} = \mathbf{X}_{\mathrm{AB}} + \sum_{j=1}^3 x'_j \mathbf{u'}_j</math>|id=1}} Il vettore '''X'''_AB descrive esclusivamente la posizione dell’origine del sistema '''B''' rispetto ad '''A'''; esso non contiene informazioni sull’eventuale rotazione del riferimento non inerziale. La rotazione del sistema '''B''' è infatti interamente descritta dall’evoluzione temporale dei versori '''u''''_j. Se il sistema '''B''' ruota rispetto a '''A''', tali versori cambiano direzione nel tempo e quindi la loro derivata temporale non è nulla. == Velocità relativa == Quindi facendo la derivata temporale della posizione istantanea (1) si ha la velocità del punto materiale: :<math> \frac {d \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt} =\frac{d \mathbf{X}_\mathrm{AB}}{dt} + \sum_{j=1}^3 \frac{dx'_j}{dt} \mathbf{u'}_j + \sum_{j=1}^3 x'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} \ . </math> Il primo termine è la velocità con cui si sposta l'origine di B ('''v'''_AB). Il secondo termine è la velocità del punto materiale, cioè '''v''''_B nel sistema di riferimento B, quindi possiamo scrivere: {{Equazione|eq=<math> \frac {d \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt} =\mathbf{v}_\mathrm{AB}+ \mathbf{v'}_\mathrm{B} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} </math>|id=2}} L'interpretazione di questa equazione è che la velocità del punto materiale vista dall'osservatore in '''A''' consiste di quella che l'osservatore in '''B''' chiama velocità, cioè '''v''''_B, più due termini aggiuntivi uno dovuto alla velocità dell'origine e l'altro dovuto alla rotazione del sistema di riferimento, l'effetto di quest'ultimo termine, che si ha se il sistema non inerziale ruota, è tanto più grande quanto il punto materiale è lontano dall'origine in '''B''' . == Accelerazione relativa == Per ottenere l'accelerazione bisogna fare una ulteriore derivata nel tempo: :<math> \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2} = \mathbf{a}_\mathrm{AB}+\frac {d\mathbf{v'}_\mathrm{B}}{dt} + \sum_{j=1}^3 \frac {dx'_j}{dt} \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}=\mathbf{a}_\mathrm{AB}+\frac {d\mathbf{v'}_\mathrm{B}}{dt} + \sum_{j=1}^3 v'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}. </math> Usando la stessa formula già usata per la derivata temporale di '''x'''_B, le derivata della velocità ('''v'''_B) in forma esplicita diviene: :<math>\frac {d\mathbf{v'}_\mathrm{B}}{dt} =\sum_{j=1}^3 \frac{d v'_j}{dt} \mathbf{u'}_j+ \sum_{j=1}^3 v'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} =\mathbf{a'}_\mathrm{B} + \sum_{j=1}^3 v'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt}</math> Di conseguenza: {{Equazione|eq=<math> \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2}=\mathbf{a}_\mathrm{AB}+\mathbf{a'}_\mathrm{B} + 2\ \sum_{j=1}^3 v'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}</math>|id=3}} = Forze apparenti= Moltiplicando per la massa si ha che: {{Equazione|eq=<math>\mathbf{F}_\mathrm{A} = m\mathbf{a}_\mathrm{AB}+\mathbf{F'}_\mathrm{B}+ 2m \sum_{j=1}^3 v'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + m \sum_{j=1}^3 x'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}</math>|id=4}} La forza osservata nel riferimento '''B''', '''F''''_B = ''m'''''a''''_B è dovuta alla forza reale , '''F'''_A e alle forze apparenti, cioè: :<math>\mathbf{F'}_\mathrm{B} = \mathbf{F}_\mathrm{A} + \mathbf{F'}_{\mbox{apparenti}},</math> dove: {{Equazione|eq=<math> \mathbf{F'}_{\mbox{apparenti}} = -m\mathbf{a}_\mathrm{AB} - 2m\sum_{j=1}^3 v'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} - m \sum_{j=1}^3 x'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}\ </math>|id=5}} La prima forza apparente è dovuta all'accelerazione dell'origine di B; il secondo termine è la cosiddetta accelerazione di Coriolis (il fattore due deriva da due contributi diversi come ricavato con la derivazione analitica); il terzo termine contiene sia la accelerazione centrifuga che l'eventuale accelerazione angolare. La seconda legge della dinamica vale anche per le forze apparenti, che possono essere considerate forze a tutti gli effetti. Alcuni casi particolari permettono di esplicitare meglio le cose. ==Sistema di riferimento accelerato su una traiettoria rettilinea== Se la traiettoria è rettilinea, l'espressione delle forze apparenti diventa: {{Equazione|eq=<math>\mathbf{F'}_{\mbox{apparenti}} = -m\mathbf{a}_\mathrm{AB} \ . </math>|id=6}} Questo è il caso ad esempio di un ascensore che accelera verso l'alto con accelerazione <math>a_{asc}\ </math>; la forza che sentono i passeggeri è quindi: :<math>\mathbf{F'}_{B} = -mg-ma_{asc}</math> A cui si oppone la reazione vincolare del pavimento, ma se ponessimo una bilancia vedremmo, che mentre l'ascensore è in accelerazione in salita il peso aumenta. Nella fase di accelerazione in discesa si ha la cosa opposta, diminuisce la forza peso, al limite se la accelerazione è pari alla forza peso (l'ascensore in caduta libera) non sentiremmo nessuna forza peso. Tre esercizi chiariscono meglio quello di cui si parla: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Moti_relativi#1._Vagone|Vagone di un treno]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Moti_relativi#2._Ascensore|Ascensore]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Moti_relativi##4._Luce|Luce che cade]]. ==Sistema di riferimento ruotante== Una situazione comune è quando il sistema di riferimento ruota. A causa di tale rotazione il sistema di riferimento '''B''' non è inerziale, dovuto al fatto che per avere rotazione è necessaria una accelerazione, quindi in questo caso se ci si mette nel riferimento in rotazione sono sempre presenti forze apparenti. Supponiamo di avere un sistema di riferimento mobile ''B'' con versori <math>\mathbf{u'_1},\mathbf{u'_2},\mathbf{u'_3}</math> che ruota rispetto a un sistema inerziale ''A''. Consideriamo un versore del sistema mobile <math>\mathbf{u'_j}</math>. Supponiamo che il sistema ruoti di un angolo infinitesimo <math>d\theta</math> attorno a un asse orientato. Per descrivere contemporaneamente l'asse di rotazione, il verso e l'ampiezza infinitesima della rotazione, si introduce il vettore <math>d\boldsymbol{\theta}</math> definito in modo che la direzione: * coincida con l’asse di rotazione; * il verso segua la regola della mano destra; * il modulo sia <math>|d\boldsymbol{\theta}|=d\theta</math>. Quindi non è un semplice angolo scalare, ma un vettore associato alla rotazione infinitesima. Quando un vettore ruota infinitesimamente, la sua variazione è perpendicolare sia al vettore stesso che all’asse di rotazione. Per questo nella espressione della variazione di direzione del versore vi è il prodotto vettoriale: :<math>d\mathbf{u'_j}=d\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{u'_j}</math> La velocità angolare è definita come: :<math>\boldsymbol{\Omega}=\frac{d\boldsymbol{\theta}}{dt}</math> quindi: :<math>d\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\Omega}\,dt</math> Sostituendo nella formula precedente: <math>d\mathbf{u'_j}= (\boldsymbol{\Omega}dt)\times\mathbf{u'_j}</math> dividendo per dt (passaggio alla derivata temporale): {{Equazione|eq=<math>\frac{d\mathbf{u'_j}}{dt}=\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{u'_j}</math>|id=7}} Questa espressione che lega la variazione istantanea della direzione dei versori alla velocità angolare del sistema è chiamata [[w:Relazione_di_Poisson|relazione di Poisson]]. La derivata seconda temporale è: {{Equazione|eq=<math>\frac {d^2 \mathbf{u'}_j (t)}{dt^2}= \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u'}_j +\boldsymbol{\Omega} \times \frac{d \mathbf{u'}_j (t)}{dt} = \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u'}_j+ \boldsymbol{\Omega} \times \left[ \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u'}_j (t) \right] </math></math>|id=8}} abbiamo usato le regole del prodotto vettoriale. Sostituendo [7] e [8] nella espressione [5] ponendo '''a'''_AB = 0 (escludendo traslazione dell'origine e ponendo l'accento sulla sola rotazione): {{Equazione|eq=<math> \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2}=\mathbf{a'}_\mathrm{B} + 2\sum_{j=1}^3 v'_j \ \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2},</math>|id=9}} :<math>\mathbf{a}_\mathrm{A} = \mathbf{a'}_\mathrm{B} +\ 2\sum_{j=1}^3 v'_j \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u'}_j (t) + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u'}_j \ + \sum_{j=1}^3 x'_j \boldsymbol{\Omega} \times \left[ \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u'}_j (t) \right]</math> :<math>=\mathbf{a'}_\mathrm{B} + 2 \boldsymbol{\Omega} \times\sum_{j=1}^3 v'_j \mathbf{u'}_j (t) + \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \sum_{j=1}^3 x'_j \mathbf{u'}_j + \boldsymbol{\Omega} \times \left[\boldsymbol{\Omega} \times \sum_{j=1}^3 x'_j \mathbf{u'}_j (t) \right].</math> Riunendo i termini, ed esprimendo in funzione di '''a''''_B, si ha che: {{Equazione|eq=<math>\mathbf{a'}_B=\mathbf{a}_A - 2\boldsymbol{\Omega} \times\mathbf{v'}_\mathrm{B} - \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{x'}_\mathrm{B} - \boldsymbol{\Omega} \times \left(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x'}_B \right)\ .</math>|id=10}} L'accelerazione '''a'''_A è quella che si osserva nel sistema inerziale A ed è dovuta alle forze esterne reali, mentre l'accelerazione '''a''''_B vista nel sistema ruotante '''B''' ha parecchi termini aggiuntivi oltre a questo :<math> -2\boldsymbol{\Omega} \times\mathbf{v'}_\mathrm{B}\ </math> è l'accelerazione di Coriolis normale alla direzione di <math> \boldsymbol{\Omega} </math> (velocità angolare del sistema B) e di <math> \mathbf{v'}_\mathrm{B}\ </math> (velocità del punto materiale nel sistema B). La forza di Coriolis quindi è una forza che fa deviare dalla traiettoria rettilinea che non fa lavoro e la cui azione è tanto maggiore quanto maggiore è <math> \mathbf{v'}_\mathrm{B} </math>. La forza di Coriolis raggiunge il valore massimo quando la direzione di \mathbf{v'}</math> è normale a quella di <math> \boldsymbol{\Omega} </math>. :<math> - \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{x'}_\mathrm{B} </math> è nella stessa direzione del moto e dipende dalla variazione nel tempo della velocità angolare del sistema di riferimento ruotante. Se la velocità angolare è costante, come nel moto dei pianeti intorno al proprio asse, tale termine è nullo. La forza apparente ad essa associata è chiamata Forza di Eulero. :<math>-\boldsymbol{\Omega} \times \left(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x'}_B \right)\ </math> è la cosiddetta accelerazione centrifuga, infatti sviluppando i prodotti vettoriali, si può far vedere come sia sul piano passante per il centro di rotazione, ma diretta verso l'esterno. La forza netta sul punto materiale secondo gli osservatori sul sistema ruotante vale '''F''''_B = ''m'''''a''''_B. Se le loro osservazioni sono il risultato dell'applicazione della seconda legge della dinamica, debbono considerare che la forza addizionale '''F''''_app è presente, così che alla fine '''F''''_B = '''F'''_A + '''F''''_app. In poche parole, le forze apparenti dagli osservatori nel sistema '''B''' per fornire il comportamento previsto dalle leggi della dinamica è: {{Equazione|eq=<math> \mathbf{F'}_{\mathrm{app}} = - 2 m \boldsymbol\Omega \times \mathbf{v'}_\mathrm{B} - m \boldsymbol\Omega \times (\boldsymbol\Omega \times \mathbf{x'}_\mathrm{B}) - m \frac{d \boldsymbol\Omega}{dt} \times \mathbf{x'}_\mathrm{B}. </math>|id=8}} La terra è un sistema di riferimento ruotante attorno al proprio asse con velocità angolare <math> \boldsymbol\Omega =7,292116\cdot 10^{-5}\ rad/s</math> che può essere considerata costante, essendo la sua derivata temporale solamente: :<math>\frac{d \boldsymbol\Omega}{dt}=-6,7\cdot 10^{-22}\ rad/s^2</math> La Terra rallenta a causa dell’attrito mareale con la Luna. Cioè in 4 miliardi di anni il giorno è passato da circa 12 ore alle 24 ore attuali. Essendo il valore della accelerazione angolare così piccolo, sulla terra, quindi, non vi è nessun effetto misurabile dovuto alla variazione della velocità angolare, ma invece la forza apparente centrifuga è evidente in quanto apparentemente la forza peso è inferiore all'equatore rispetto ai poli (l'effetto non è molto vistoso a causa della non perfetta sfericità della terra che è schiacciata ai poli). La forza di Coriolis è molto evidente quando si hanno oggetti con velocità relativa molto alta rispetto alla terra in direzione non parallela all'asse di rotazione. == Sistema di riferimento orbitante == [[Image:Orbiter.PNG|thumb|250px|Un sistema di riferimento orbitante ma con orientazione fissata ''B'', mostrato a tre istanti differenti. I vettore unitari '''u'''_j, j = 1, 2, 3 non ruotano, ma mantengo una orientazione fissata, mentre l'origine del sistema di coordinate ''B'' si muove a velocità angolare costante ω attorno all'asse fisso '''Ω'''. AxL'asse '''Ω''' passa attraverso l'origine del sistema inerziale ''A'', l'origine del sistema ''B'' è ad una distanza fissa ''R'' dall'origine del sistema inerziale ''A''.]] In questo esempio, supponiamo che il sistema di coordinate mobile ''B'' ruota su un cerchio di raggio ''R'' attorno all'origine del sistema inerziale fisso ''A'', ma mantiene i suoi assi delle coordinate fissi in orientazione come mostrato nella figura a fianco. L'accelerazione di un punto materiale è quindi: :<math> \frac {d^2 \mathbf{x}_{A}}{dt^2}=\mathbf{a}_{AB}+\mathbf{a'}_{B} + 2\ \sum_{j=1}^3 v'_j \ \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} </math>&ensp;<math>+ \sum_{j=1}^3 x'_j \ \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}\ . </math> ::<math>=\mathbf{a}_{AB}\ +\mathbf{a'}_B\ , </math> Le sommatorie sono nulle in quanto i versori non hanno dipendenza dal tempo Per esplicitare <math>\mathbf{a}_{AB}</math>, si consideri che l'origine del sistema ''B'' è posta rispetto ad ''A'' in: :<math>\mathbf{X}_{AB} = R \left( \cos ( \omega t) , \ \sin (\omega t) \right) \ ,</math> da questo la velocità dell'origine di ''B'' vale: :<math>\mathbf{v}_{AB} = \frac{d}{dt} \mathbf{X}_{AB} = \mathbf{\Omega \times X}_{AB} \ , </math> infine l'accelerazione dell'origine di ''B'' vale: :<math>\mathbf{a}_{AB} = \frac{d^2}{dt^2} \mathbf{X}_{AB} </math>&ensp;<math>= \mathbf{ \Omega \ \times } \left( \mathbf{ \Omega \times X}_{AB}\right) </math>&ensp;<math>= - \omega^2 \mathbf{X}_{AB} \ .</math> Quindi nel sistema di riferimento ''B'' deve essere introdotta una forza apparente, che è diretta radialmente in fuori dal centro di rotazione: :<math>\mathbf{F'}_{\mathrm{app}} = m \omega^2 \mathbf{X}_{AB} \ , </math> di ampiezza: :<math>|\mathbf{F'}_{\mathrm{app}}| = m \omega^2 R \ . </math> Nel caso del sistema ruotante la forza centrifuga dipendeva dalla distanza delle varie parti dall'origine di '''B''', nel sistema orbitante questa forza apparente dipende dalla distanza del centro di '''B''' dal suo centro di rotazione. Quindi oggetti diversi che si trovano nel sistema orbitante '''B''' sentono la stessa forza centrifuga. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} *{{cita libro|{{en}} K. R. Lang|Astrophysical Data: Planets and Stars|1992|Springler-Verlag}} [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali| Argomento seguente: Dinamica dei sistemi di punti materiali]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 951d9u22b3a0b537o4h0k1oyj2p1toj 0 8857 499040 499019 2026-06-07T10:30:07Z Pasquale.Carelli 528 /* La legge di Gravitazione Universale */ da punto a virgola 499040 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Urti |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Urti |CapitoloSuccessivo=Termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Definizioni_termodinamica }} {{fisica classica}} [[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|450px|left|Esperimento di Cavendish]] La '''legge di gravitazione universale''' afferma che ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] mostrò inoltre che un corpo dotato di [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come [[w:Teorema_del_guscio_sferico|teorema del guscio sferico]]. La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre [[w:Esperimento_di_Cavendish|esperimento di Cavendish]], oltre un secolo dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale. Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]], essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]], nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri. == La legge di Gravitazione Universale == [[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]] Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi. : <math>\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12} </math> <br/>dove: * '''F'''₁₂ è la forza tra le masse; * ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6,67430×10⁻¹¹&nbsp;N&#8201;'''·'''&#8201;m²kg^-2); * ''m''₁ è la prima massa; * ''m''₂ è la seconda massa; * |'''r'''₁₂| = |'''r'''₂ − '''r'''₁| è la distanza tra i due punti materiali. * <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti. == Le leggi di Keplero == Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti: === Prima Legge di Keplero === I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite [[w:Ellisse|ellittiche]], delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto [[w:Perielio|perielio]], mentre quello più lontano è detto [[w:Afelio|afelio]]. ====Dimostrazione==== [[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|left|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi. Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.]] Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento_angolare|momento angolare]] <math>L = m r^2 \dot{\theta}</math> permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria <math>r(\theta)</math>. L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da: :<math>E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}</math> Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet <math>u = \frac{1}{r}</math>. Sfruttando la [[w:Regola_della_catena|regola della catena]], la derivata temporale della coordinata radiale diventa: :<math>\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> Sostituendo <math>\dot{r}</math> e <math>u</math> nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita: :<math>E = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \frac{L^2}{2m}u^2 - ku</math> Esplicitando rispetto alla derivata <math>\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}</math> e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata: :<math>\theta = \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2mk}{L^2}u - u^2}}</math> Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli (<math>\theta=0</math>) in corrispondenza del [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]], l'integrazione fornisce direttamente: :<math>u(\theta) = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\cos\theta\right)</math> Tornando alla variabile originale <math>r = \frac{1}{u}</math>, definiamo il semilato retto <math>p</math> e l'eccentricità <math>e</math> come: :<math>p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}</math> Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine: :<math>r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta}</math> ==== Proprietà geometriche dell'orbita ==== L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se <math>e < 1</math>. Dalla definizione di <math>e</math>, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa (<math>E < 0</math>), ovvero per gli stati legati del sistema. A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse: * Semiasse maggiore (<math>a</math>): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio (<math>\theta = 0</math>) e dell'afelio (<math>\theta = \pi</math>): :<math>a = \frac{r_{\text{min}} + r_{\text{max}}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e} + \frac{p}{1-e}\right) = \frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}</math> * Semiasse minore (<math>b</math>): dalla relazione geometrica dell'ellisse <math>b = a\sqrt{1-e^2}</math>, sostituendo i valori fisici si ottiene: :<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero. === Classificazione geometrica delle orbite ed energia totale === L'energia meccanica totale <math>E</math> di un corpo di massa <math>m</math> immerso nel campo gravitazionale generato da una massa sorgente <math>M</math> è data dalla somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale: :<math>E = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r}</math> Facendo riferimento al grafico del potenziale efficace, i diversi valori dell'energia totale <math>E</math> determinano i punti di inversione del moto e, di conseguenza, la natura geometrica della traiettoria (sezione conica): * <math>E < 0</math> (Stati legati): L'energia cinetica del corpo non è sufficiente a vincere l'attrazione gravitazionale e l'energia potenziale prevale. Il corpo non può allontanarsi oltre una distanza massima (<math>r_{\text{max}}</math>, l'afelio). La traiettoria è una curva chiusa e nello specifico corrisponde a un'ellisse (o a una circonferenza nel caso particolare in cui l'eccentricità sia nulla), come cinematicamente descritto dalla prima legge di Keplero. * <math>E = 0</math> (Orbita parabolica): Rappresenta il caso limite di transizione. Il corpo possiede l'energia minima sufficiente per sfuggire all'attrazione del corpo centrale e portarsi a distanza infinita. Raggiunta una distanza infinitamente grande, la sua energia potenziale si annulla e, di conseguenza, si azzera anche la sua energia cinetica (<math>v \to 0</math> per <math>r \to \infty</math>). Geometricamente, la traiettoria aperta associata a questo valore critico è una [[w:Parabola_(geometria)|parabola]]. Imponendo la condizione <math>E=0</math>, si ricava l'espressione per la velocità di fuga (<math>v_{\text{fuga}}</math>), ovvero la velocità minima che un corpo deve possedere per liberarsi dal campo partendo da una distanza <math>r</math>: :<math>\frac{1}{2}m v_{\text{fuga}}^2 - G\frac{Mm}{r} = 0 \implies v_{\text{fuga}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}</math> * <math>E > 0</math> (Stati liberi): Il corpo possiede un eccesso di energia cinetica rispetto al legame gravitazionale. Non solo è in grado di allontanarsi indefinitamente dalla sorgente, ma una volta giunto a distanza infinita (<math>E_p = 0</math>) manterrà una velocità residua non nulla, detta velocità all'infinito (<math>v_{\infty} = \sqrt{2E/m}</math>). La traiettoria risultante è una curva aperta ed è descritta matematicamente da un'[[w:Iperbole_(geometria)|iperbole]]. Questo è il caso tipico delle sonde interplanetarie in fase di allontanamento dal sistema solare o delle comete non periodiche che transitano una sola volta in prossimità del Sole per poi perdersi nello spazio profondo. === Seconda Legge di Keplero === Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta [[w:Velocità areolare|velocità areolare]] ed è costante lungo tutta l'orbita. ====Dimostrazione==== Introduciamo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta)</math> nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da <math>\mathbf{r} = r\mathbf{\hat{r}}</math>, mentre il vettore velocità è dato da: :<math>\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}</math> dove <math>\mathbf{\hat{r}}</math> e <math>\mathbf{\hat{\theta}}</math> sono i versori radiale e trasversale. Il [[w:Momento angolare|momento angolare]] del pianeta di massa <math>m</math> rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale: :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}</math> Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{r}} = 0</math> e <math>\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\hat{\theta}} = \mathbf{\hat{k}}</math>, dove <math>\mathbf{\hat{k}}</math> è il versore normale al piano del moto), si ottiene: :<math>\mathbf{L} = r\mathbf{\hat{r}} \times m(\dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}) = m r^2 \dot{\theta} \mathbf{\hat{k}}</math> Poiché la forza gravitazionale è una [[w:Forza centrale|forza centrale]] (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, <math>\mathbf{L}</math> è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare: :<math>L = m r^2 \dot{\theta} = \text{costante}</math> [[File:Kepler 2 a.jpg|thumb|right|350px|L'area infinitesima <math>\mathrm{\Delta}A</math> spazzata dal raggio vettore nell'intervallo <math>\Delta t</math> può essere approssimata a quella di un triangolo di base <math>\Delta S=v\Delta t</math> e altezza <math>r</math>. Le tre aree evidenziate sono eguali.]] Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo <math>\mathrm{d}t</math>, il raggio vettore si sposta di un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot{\theta}\mathrm{d}t</math>. L'area infinitesima <math>\mathrm{d}S</math> spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio <math>r</math> e per base l'arco di circonferenza infinitesimo <math>r\,\mathrm{d}\theta</math>: :<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2} (r) (r\,\mathrm{d}\theta) = \frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>\mathrm{d}t</math>, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con <math>C</math>: :<math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}</math> Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare <math>L</math>, ricaviamo l'equazione fondamentale: :<math>C = \frac{L}{2m}</math> Poiché sia <math>L</math> che <math>m</math> sono costanti del moto, anche la velocità areolare <math>C</math> deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero. Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare. === Terza Legge di Keplero === Il quadrato del [[w:Periodo di rivoluzione|periodo di rivoluzione]] di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo del [[w:Semiasse maggiore|semiasse maggiore]] della sua orbita: :<math>T^2 = K a^3</math> ====Dimostrazione==== [[File:Terza legge di Keplero.svg|left|alt=|miniatura|587x587px|Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in [[w:Unità_astronomica|Unità Astronomiche]]) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da [https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values] ([[w:NASA|NASA]]).]] Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che la velocità areolare <math>C = \frac{L}{2m}</math> è costante. Il periodo di rivoluzione <math>T</math> è il tempo impiegato dal raggio vettore per spazzare l'intera area dell'ellisse. Essendo l'area di un'ellisse pari a <math>S = \pi a b</math> (dove <math>a</math> e <math>b</math> sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore), il periodo può essere espresso come: :<math>T = \frac{S}{C} = \frac{\pi a b}{\frac{L}{2m}} = \frac{2m\pi a b}{L}</math> Per evitare il calcolo con potenze frazionarie, eleviamo entrambi i membri al quadrato: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2 b^2}{L^2}</math> Dalle dimostrazioni precedenti, recuperiamo le relazioni geometriche che legano i semiassi <math>a</math> e <math>b</math> all'energia totale <math>E</math> (con <math>E < 0</math> per un'orbita chiusa) e al momento angolare <math>L</math>: :<math>a = \frac{k}{2|E|}, \qquad b = \frac{L}{\sqrt{2m|E|}}</math> Dalla formula del semiasse minore, possiamo isolare il termine <math>b^2</math>: :<math>b^2 = \frac{L^2}{2m|E|}</math> Sostituendo questa espressione per <math>b^2</math> nell'equazione del periodo quadrato, notiamo una semplificazione immediata del momento angolare <math>L</math>: :<math>T^2 = \frac{4\pi^2 m^2 a^2}{L^2} \left( \frac{L^2}{2m|E|} \right) = \frac{2\pi^2 m a^2}{|E|}</math> Infine, esprimiamo l'energia totale in funzione del semiasse maggiore sfruttando la relazione <math>|E| = \frac{k}{2a}</math>. Sostituendo quest'ultima uguaglianza otteniamo: :<math>T^2 = \frac{2\pi^2 m a^2}{\frac{k}{2a}} = \left( \frac{4\pi^2 m}{k} \right) a^3</math> Definendo la costante di proporzionalità kepleriana come <math>K = \frac{4\pi^2 m}{k}</math>, si giunge alla formulazione finale: :<math>T^2 = K a^3</math> La terza legge di Keplero è così dimostrata. Se consideriamo l'espressione esplicita della costante gravitazionale nell'approssimazione in cui la massa del pianeta <math>m</math> sia trascurabile rispetto a quella del Sole <math>M</math>, si ha <math>k = G M m</math>. Sostituendo questo valore, la costante <math>K</math> diventa: :<math>K = \frac{4\pi^2}{G M}</math> Si nota come tale costante dipenda esclusivamente dalla massa del corpo centrale (il Sole) e dalla costante di gravitazione universale, rimanendo identica per tutti i pianeti del sistema solare. == Campo gravitazionale == Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrive l'effetto nello spazio generato dalla presenza di una o più masse. Formalmente, è definito come la forza gravitazionale esercitata per unità di massa su un corpo di prova posto in un dato punto dello spazio; dal punto di vista dimensionale, esso coincide con l'[[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto. L'introduzione del concetto di campo è particolarmente utile quando si analizzano sistemi in cui sono coinvolti più di due oggetti (si pensi, ad esempio, alla traiettoria di un razzo in viaggio tra la Terra e la Luna). Nel caso elementare di due soli corpi (dove il corpo 1 di massa <math>M</math> genera il campo e il corpo 2, di massa <math>m</math>, subisce la forza), indicando con <math>\mathbf{r}</math> il vettore posizione rispetto al centro del corpo generatore, il campo gravitazionale <math>\mathbf{g}(\mathbf{r})</math> si definisce come: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G \frac{M}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{r}}</math> Grazie a questa definizione, la forza totale agente sulla massa di prova può essere riscritta semplicemente come: :<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = m \mathbf{g}(\mathbf{r})</math> La formulazione data evidenzia come il campo dipenda esclusivamente dalle proprietà della massa sorgente <math>M</math> e dalla geometria dello spazio. Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], le unità di misura del campo gravitazionale sono quelle di un'accelerazione, ovvero metri al secondo quadrato (<math>\text{m/s}^2</math>). La <math>m</math> nella legge di Newton è la massa inerziale (la resistenza al moto), mentre la <math>m</math> nella legge di gravitazione è la massa gravitazionale. Il fatto che tutti i corpi cadono con la stessa <math>\mathbf{g}</math> indipendentemente dalla massa significa che: :<math>m_{\text{inerziale}} \equiv m_{\text{gravitazionale}}</math> Questo è il [[w:Principio_di_equivalenza|Principio di Equivalenza Debole]], che storicamente ha aperto la strada ad Einstein per la Relatività Generale. === Proprietà e potenziale gravitazionale === Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza di gravità per spostare una massa da una configurazione a un'altra dipende unicamente dalle posizioni iniziale e finale, ed è del tutto indipendente dal percorso seguito. Come conseguenza della conservatività, è possibile definire una funzione scalare <math>V(\mathbf{r})</math>, detta [[w:Potenziale_gravitazionale|potenziale gravitazionale]], tale che il campo sia esprimibile come l'opposto del suo gradiente: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(\mathbf{r})</math> Se la sorgente è una massa puntiforme o un corpo a simmetria sferica (la cui densità dipende unicamente dalla distanza <math>r</math> dal centro), il campo all'esterno di essa assume una forma radialmente simmetrica. In questo scenario, il potenziale gravitazionale all'esterno della superficie sferica assume l'espressione: :<math>V(r) = - \frac{G M_1}{r}</math> === Applicazione della Legge di Gauss === Sfruttando la simmetria radiale, il calcolo del campo gravitazionale può essere enormemente semplificato applicando il [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|teorema del flusso per il campo gravitazionale]] (equivalente alla legge di Gauss in elettrostatica): :<math>\oint_{A} \mathbf{g}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{int}}</math> dove <math>A</math> rappresenta una superficie chiusa immaginaria (superficie gaussiana) e <math>M_{\text{int}}</math> è la massa totale racchiusa all'interno di tale superficie. Si deve a [[w:Isaac Newton|Newton]] il [[w:Teorema_del_guscio_sferico|Teorema del guscio sferico]] che consente di semplificare lo studio della gravitazione in presenza di corpi con simmetria sferica. Attraverso questo formalismo, è possibile ricavare l'andamento del modulo del campo gravitazionale <math>|\mathbf{g}(r)|</math> per due configurazioni sferiche notevoli di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>: * Guscio sferico cavo (sfera vuota): Il campo all'interno della cavità è nullo, poiché la massa interna è zero, mentre all'esterno il guscio si comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel centro (teorema dei gusci sferici). :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} 0, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> * Sfera piena uniforme (densità costante): All'interno della sfera la massa racchiusa cresce con il cubo del raggio (<math>r^3</math>), portando a un campo che cresce linearmente dal centro verso la superficie. All'esterno, l'andamento riprende la classica legge dell'inverso del quadrato. :<math>|\mathbf{g}(r)| = \begin{cases} \dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{se } r < R \\ \\ \dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{se } r \ge R \end{cases}</math> == Lavoro della forza gravitazionale ed energia potenziale == Per dimostrare formalmente la conservatività della forza gravitazionale, calcoliamo il lavoro infinitesimo <math>\mathrm{d}W</math> compiuto dalla forza quando una massa di prova <math>m</math> subisce uno spostamento infinitesimo <math>\mathrm{d}\mathbf{s}</math> nel campo generato da una massa sorgente <math>M</math>: :<math>\mathrm{d}W = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = \left( -G \frac {M m}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> Poiché il prodotto scalare <math>\mathbf{\hat{r}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}</math> rappresenta esattamente la proiezione dello spostamento lungo la direzione radiale (ovvero la variazione del raggio <math>\mathrm{d}r</math>), l'espressione si semplifica in: :<math>\mathrm{d}W = -G \frac {M m}{r^2} \mathrm{d}r</math> Dalla definizione di campo conservativo, il lavoro infinitesimo è pari all'opposto del differenziale dell'energia potenziale (<math>\mathrm{d}W = -\mathrm{d}E_p</math>). Integrando l'espressione tra una distanza generica <math>r</math> e l'infinito, otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale: :<math>E_p(r) = -G \frac {M m}{r}</math> === Significato fisico e convenzioni === Nello studio della gravitazione si adotta la convenzione di porre lo zero dell'energia potenziale a distanza infinita (<math>\lim_{r \to \infty} E_p = 0</math>), punto in cui si annulla anche la forza stessa. Di conseguenza, per qualsiasi distanza finita <math>r</math>, l'energia potenziale assume valori '''negativi'''. Questo andamento ha un preciso significato fisico: * Quando i due corpi si avvicinano (il raggio <math>r</math> diminuisce), la forza gravitazionale compie un lavoro positivo (<math>\mathrm{d}W > 0</math>). * Per il teorema dell'energia cinetica, questo lavoro si traduce in un aumento dell'energia cinetica del sistema (e quindi della velocità dei corpi). * Specularmente, l'energia potenziale <math>E_p</math> diminuisce, diventando "più negativa" e scendendo in quella che viene definita una [[w:Buca_di_potenziale|buca di potenziale]]. === Legame con il potenziale scalare === Esattamente come fatto per la forza e il campo, possiamo isolare il contributo della massa di prova <math>m_2</math> dividendo l'energia potenziale per quest'ultima. Definiamo così il potenziale gravitazionale <math>V(r)</math> generato dalla massa <math>M</math>: :<math>V(r) = \frac{E_p}{m} = -G \frac {M}{r}</math> L'operazione di gradiente applicata a questa funzione scalare ci riconduce alla descrizione vettoriale del campo: :<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V(r)</math> Questa elegante relazione matematica conferma, in perfetta coerenza con i principi della [[w:Meccanica_razionale|meccanica razionale]], che il campo gravitazionale è un campo conservativo interamente descrivibile a partire da una funzione potenziale scalare. ==Note== <references/> [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} s4h5la2lj460ybu2w7hu9rjjpb6r4jh 0 9060 499041 498777 2026-06-07T10:32:12Z Pasquale.Carelli 528 /* Centro di massa di un corpo rigido */ da punto a virgola 499041 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22,66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio di girazione (o raggio giratore) == Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato ([\text{M}][\text{L}]^2), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con r_g (o k). Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia I del corpo reale. In termini matematici: :<math>I = M r_g^2</math> Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione: :<math>r_g = \sqrt{\frac{I}{M}}</math> === Considerazioni geometriche === Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota: * Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo (r_g = R). *Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio <math>R</math> (il cui momento di inerzia è <math>I = \frac{1}{2}MR^2</math>), il raggio di girazione vale: *:<math> r_g = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707 , R</math> *Per una sfera piena omogenea di raggio <math>R</math> (con <math>I = \frac{2}{5}MR^2</math>), si ha: *:<math> r_g = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0.632 , R</math> In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo, il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza d\ dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 </math> Dove <math>I_c</math> è il momento di inerzia rispetto a un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine di un sistema di coordinate cartesiane sia nel centro di massa e che l'asse delle <math>x</math> si trovi sulla congiungente i due assi. In questo modo, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa è: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) dm</math> Mentre il momento di inerzia relativo al nuovo asse (parallelo all'asse <math>z</math> e che interseca l'asse <math>x</math> a una distanza <math>d</math> dall'origine) è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] dm</math> Sviluppando il quadrato del binomio e separando i vari termini si ottiene: :<math>I = \int (x^2 + y^2) dm + d^2 \int dm - 2d\int x dm</math> Analizzando i tre integrali: * Il primo termine è proprio <math>I_c</math>; * Il secondo termine è <math>Md^2</math> (poiché l'integrale di <math>dm</math> è la massa totale <math>M</math> del corpo); * L'ultimo termine è nullo. Infatti, l'integrale <math>\int x dm</math> rappresenta la coordinata <math>x</math> del centro di massa moltiplicata per la massa totale (<math>M \cdot x_{cm}</math>). Poiché l'origine coincide con il centro di massa, si ha <math>x_{cm} = 0</math>. Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è particolarmente utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi, come nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. == Momento angolare nel caso generale== Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare per un corpo continuo: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm</math> Senza perdere di generalità, si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math>z</math> del sistema di riferimento cartesiano. Il momento angolare può essere scomposto in due componenti. La componente parallela all'asse di rotazione vale, per ogni elemento infinitesimo di massa: :<math>(\vec r \times \vec v)_z dm = (x^2 + y^2) \omega dm</math> dove <math>(x^2 + y^2)</math> rappresenta il quadrato della distanza dell'elemento <math>dm</math> dall'asse di rotazione <math>z</math>. Integrando su tutto il corpo, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione risulta: :<math>L_z = I_z \omega</math> Questa componente viene normalmente chiamata '''momento angolare assiale'''. Essa ha la proprietà fondamentale di essere indipendente dalla scelta della posizione del polo, purché quest'ultimo si trovi sull'asse di rotazione. In generale, vi è anche una componente ortogonale all'asse di rotazione, <math>\vec L_{\bot}</math>, che invece dipende esplicitamente dalla posizione del polo sull'asse. Tale componente si annulla se l'asse di rotazione è sia un asse di simmetria geometrica del corpo, sia passante per il suo centro di massa (asse principale d'inerzia). Se presente, la componente trasversale ruota solidalmente con il corpo attorno all'asse di rotazione e può anche variare in ampiezza nel tempo se la rotazione non è uniforme. A causa di questa componente ortogonale, nel caso generale il vettore momento angolare di un solido non è parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Possiamo quindi scomporre il momento angolare complessivo nella somma vettoriale: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L_z+\vec L_{\bot}\!</math>|id=10}} In conclusione, il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione, dipende unicamente dalla distribuzione di massa del solido e dalla posizione geometrica dell'asse rispetto ad esso. == Assi di simmetria di un corpo rigido == Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria materiale del corpo (ovvero le masse sono distribuite in modo simmetrico attorno ad esso), la componente ortogonale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il suo centro di massa, hanno particolare importanza i cosiddetti '''assi principali di inerzia'''. Gli assi principali di inerzia passanti per un punto sono sempre almeno tre e sono mutuamente perpendicolari; il loro numero può essere superiore se il corpo è dotato di simmetrie geometriche particolari. * Nel caso di un corpo a '''simmetria sferica''', qualsiasi diametro è un asse principale di inerzia. * Nel caso di un '''cilindro''', l'asse geometrico del cilindro è un asse principale di inerzia, insieme a qualsiasi asse a esso perpendicolare passante per il centro di massa. Una rotazione attorno a un asse principale di inerzia gode della fondamentale proprietà per cui il vettore momento angolare <math>\vec L</math> del corpo rigido è perfettamente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Di conseguenza, durante la rotazione non nascono forze o momenti d'inerzia d'esoscheletro (sollecitazioni dinamiche) sui supporti dell'asse. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare, a partire dai tre momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi principali (detti '''momenti principali di inerzia'''), il momento di inerzia relativo a qualsiasi altro asse passante per il medesimo punto, attraverso la visualizzazione geometrica del cosiddetto '''ellissoide di inerzia'''. L'operazione di [[w:Equilibratura|equilibratura]], eseguita comunemente sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel far coincidere l'asse di rotazione meccanico (il [[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]) con uno degli assi principali di inerzia della ruota. Se l'asse di rotazione non coincidesse con un asse principale, la presenza di una componente trasversale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> (che ruota solidalmente con la ruota) genererebbe continue forze sussultorie e momenti d'inerzia variabili, responsabili di forti vibrazioni e della rapida usura dei supporti meccanici. ===Il moto di precessione=== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola dovuta alla coppia generata dalla forza di gravità.]] Se la componente del momento angolare normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio del corpo rigido diventa decisamente più complesso e può assumere, ad esempio, la forma di un moto di '''precessione''', il cui esempio classico è il movimento di una [[w:Trottola|trottola]]. Nel caso della trottola soggetta a gravità (figura a lato), l'asse di simmetria del corpo non è verticale; la forza peso genera una coppia di forze rispetto al punto di appoggio che fa ruotare (precedere) l'asse della trottola attorno alla verticale. Esiste tuttavia anche la cosiddetta '''precessione libera''' (o in assenza di coppie), come nel caso di un corpo rigido asimmetrico lanciato nello spazio. In questo scenario, per la seconda equazione cardinale della dinamica, il vettore momento angolare <math>\vec L</math> rimane rigorosamente costante nello spazio sia in modulo che in direzione. Poiché il corpo ruota continuamente cambiando orientazione rispetto a <math>\vec L</math>, i momenti di inerzia rispetto alle direzioni fisse dello spazio variano nel tempo. Il risultato è che la velocità angolare <math>\vec \omega</math> non rimane costante, ma cambia continuamente direzione nel tempo, muovendosi attorno al vettore <math>\vec L</math> fisso, con componenti lungo gli assi principali che variano istante per istante. == Energia cinetica e lavoro == L'energia cinetica di un corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm</math> Se il corpo è in rotazione attorno a un asse fisso, poiché la velocità di ogni elemento di massa vale <math>v = \omega r</math> (dove <math>r</math> è la distanza dall'asse), si ha che: :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm = \frac 12 I \omega^2</math> Dove <math>I</math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione fisso. Se l'asse di rotazione del corpo si trova a una distanza d dal centro di massa, applicando il teorema di Huygens-Steiner l'espressione diventa: :<math>E_k = \frac 12 (I_c + Md^2)\omega^2 = \frac 12 I_c\omega^2 + \frac 12 M\omega^2d^2</math> Poiché la velocità del centro di massa in questo caso è data da <math>v_{CM} = \omega d</math>, possiamo scrivere: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2 + \frac 12 Mv_{CM}^2</math>|id=11}} Questa espressione (vista nel capitolo precedente [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Secondo teorema di König|secondo teorema di König]]) ha una validità generale che va oltre il caso dell'asse fisso: essa vale infatti per un qualsiasi moto rototraslatorio, in cui si ha sia un moto del centro di massa (<math>v_{CM} \neq 0</math>), sia una rotazione attorno a un asse istantaneo passante per esso. L'espressione separa nettamente l'energia cinetica in due contributi: l'energia cinetica rotazionale relativa al centro di massa e l'energia cinetica traslazionale del centro di massa stesso. ===Il teorema dell'energia cinetica e il lavoro=== Come già visto nella dinamica del punto materiale, il [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|teorema dell'energia cinetica]] stabilisce un legame tra la variazione dell'energia cinetica e il lavoro compiuto dalle forze esterne: :<math>dW = dE_k</math> Per quanto riguarda la parte puramente rotazionale, differenziando l'energia cinetica rispetto al tempo (o usando i differenziali relativi), il lavoro infinitesimo dW compiuto per una rotazione infinitesima <math>d\theta</math> risulta: :<math>dW = d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right) = I_z \omega d\omega = I_z \frac{d\theta}{dt} d\omega = I_z \frac{d\omega}{dt} d\theta = I_z \alpha d\theta</math> Essendo <math>I_z \alpha = \tau_z</math> per la legge fondamentale della dinamica rotazionale, dove <math>\tau_z</math> è la componente lungo l'asse del momento delle forze esterne applicate, si ottiene: :<math>dW = \tau_z d\theta</math> Di conseguenza, il lavoro totale compiuto dal momento delle forze per ruotare il corpo rigido da un angolo iniziale <math>\theta_1</math> a un angolo finale <math>\theta_2</math> è pari alla variazione della sua energia cinetica rotazionale: :<math>W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau_z d\theta = \frac 12 I_z\omega_2^2 - \frac 12 I_z\omega_1^2</math> Se le forze agenti sul sistema sono conservative, il lavoro totale può essere espresso anche come la variazione negativa dell'energia potenziale del sistema: :<math>W = -\Delta E_p</math> In questo caso, l'energia meccanica totale del corpo rigido — che include sia il contributo traslazionale che quello rotazionale — si conserva costante nel tempo: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2 + \frac 12 I_c\omega^2 + E_p = \text{costante}</math> == [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] == [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità istantanea nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è un moto rototraslatorio in cui un corpo rigido a simmetria circolare rotola su una superficie in modo tale che la velocità istantanea del punto di contatto sia nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto O (centro di rotazione istantaneo) che rimane fermo rispetto al piano. Questo tipo di moto descrive perfettamente il comportamento in condizioni normali della ruota, un'invenzione fondamentale per lo sviluppo della società moderna. La forza di attrito statico è l'agente fisico che garantisce l'immobilità del punto di contatto; si noti che dopo un tempo infinitesimo <math>dt</math> il punto di contatto cambia, spostandosi sul punto immediatamente successivo della circonferenza. Perché si verifichi questo moto, la sezione del corpo rigido lungo il piano del moto deve essere una curva a raggio costante <math>R</math> (come nel caso di una ruota, un cilindro o una sfera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel centro di massa del corpo rigido C e il secondo estremo nel punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore perpendicolare al piano del moto, passante per il centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere l'atto di moto di un qualsiasi punto come la combinazione della traslazione del centro di massa e della rotazione attorno a un asse passante per il centro di massa stesso. In particolare, la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione cinematica: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo la condizione di puro rotolamento (<math>\vec v_O = 0</math>), si ottiene: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi, se il corpo trasla verso destra (come nella figura), la rotazione deve avvenire in senso orario. In modulo, la relazione diventa: :<math>v_{C}=\omega R</math> Esiste cioè un legame cinematico rigido tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare. Derivando rispetto al tempo, se il moto del centro di massa è accelerato, anche la velocità angolare deve variare proporzionalmente, determinando la relazione tra l'accelerazione lineare e quella angolare <math>\alpha</math>: :<math>|a_{CM}| = |\alpha| R</math> Vale la pena di studiare alcuni casi particolari di forze applicate: ===Moto con forza applicata sul centro di massa=== [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota di massa <math>M</math> soggetta all'azione di una forza <math>F</math> applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M</math> su cui agisce una forza motrice <math>F</math> applicata nel centro di massa e parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso tipico delle ruote non motrici, o condotte, di un'automobile). Le forze agenti sul corpo sono: * La forza <math>F</math> trainante applicata nel centro di massa; * La forza di attrito statico <math>f</math> esercitata dal piano; * La forza peso <math>M g</math> e la reazione vincolare normale <math>N</math>. Lungo la direzione verticale, la reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso: :<math>N = Mg</math> Mentre lungo la direzione orizzontale, la prima equazione cardinale della dinamica si scrive: :<math>F - f = M a_{CM} \rightarrow a_{CM} = \frac{F - f}{M}</math> Per quanto riguarda la dinamica rotazionale (seconda equazione cardinale), scelto il centro di massa come polo e indicato con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse geometrico del corpo, l'unica forza che genera momento è l'attrito: :<math>R f = I \alpha \rightarrow \alpha R = \frac{R^2 f}{I}</math> Uguagliando le due espressioni tramite la condizione di puro rotolamento (<math>a_{CM} = \alpha R</math>): :<math>\frac{F - f}{M} = \frac{R^2 f}{I}</math> Risolvendo rispetto alla forza di attrito <math>f</math> si ottiene: :<math>f = \frac{F}{1 + \frac{MR^2}{I}}</math> La forza di attrito in modulo è quindi sempre inferiore alla forza trainante applicata. Poiché l'attrito è di natura statica, deve essere soddisfatta la condizione limite di aderenza: :<math>f \le \mu_s N = \mu_s Mg</math> Questo impone che, per garantire il puro rotolamento senza slittamento, la forza massima applicabile al centro di massa non debba superare il valore: :<math>F_{max} = \mu_s Mg \left(1 + \frac{MR^2}{I}\right)</math> Se venisse applicata una forza superiore a <math>F_{max}</math>, la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a mantenere istantaneamente fermo il punto di contatto. Il corpo inizierebbe a strisciare e si avrebbe: :<math>|\vec v_{C}| > |\vec \omega \times \vec R|</math> All'aumentare della forza applicata, il moto traslatorio diventerebbe sempre più preponderante rispetto a quello rotatorio (slittamento in trazione). La funzione dell'attrito statico è essenziale: esso genera il momento (<math>fR</math>) necessario a far ruotare il corpo coerentemente con la sua traslazione. In assenza totale di attrito, il corpo si limiterebbe a traslare senza ruotare. Se la sezione del corpo non è perfettamente circolare, il moto nel punto di contatto diventa parzialmente traslatorio e l'attrito svolge un'azione frenante (dissipativa), come accade nel caso di pneumatici sgonfi. Se al posto di una forza trainante venisse applicata una forza frenante (opposta al moto), la forza d'attrito cambierebbe ugualmente verso; le equazioni resterebbero formalmente identiche e <math>F_{max}</math> rappresenterebbe la massima forza frenante applicabile prima del bloccaggio della ruota. === Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse === [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa <math>M</math> soggetta ad un momento motore <math>\tau</math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginiamo ora una ruota sul cui asse sia applicato direttamente un momento motore <math>\tau</math> (il caso delle ruote motrici di un veicolo). Il moto si svolge su un piano orizzontale. Come evidenziato in figura, il verso della forza di attrito statico è opposto rispetto al caso precedente. Mentre l'equilibrio verticale rimane <math>N = Mg</math>, la prima equazione cardinale lungo l'asse del moto vede la sola forza di attrito come responsabile dell'accelerazione lineare: :<math>f = M a_{CM} \rightarrow a_{CM} = \frac{f}{M}</math> Per la seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa, assumendo che il momento motore faccia ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento resistente opposto: :<math>\tau - R f = I \alpha \rightarrow \alpha R = \frac{\tau R - R^2 f}{I}</math> Uguagliando le accelerazioni per la condizione di puro rotolamento: :<math>\frac{f}{M} = \frac{\tau R - R^2 f}{I}</math> Da cui si ricava il valore della forza d'attrito: :<math>f = \frac{\tau}{R\left(1 + \frac{I}{MR^2}\right)}</math> In questo scenario, la forza d'attrito statico è a tutti gli effetti la '''forza motrice''' che causa l'avanzamento traslatorio del corpo. Imponendo la condizione limite <math>f \le \mu_s Mg</math>, si ottiene il momento massimo applicabile all'asse: :<math>\tau_{max} = \mu_s MgR \left(1 + \frac{I}{MR^2}\right)</math> Se il momento applicato supera <math>\tau_{max}</math>, il moto rotatorio prevale su quello traslatorio: la ruota inizia a slittare sul posto (pattinamento), fenomeno tipico delle auto quando si accelera bruscamente su fondi a bassa aderenza. La ragione per cui gli pneumatici sono fatti di gomma è proprio quella di massimizzare il coefficiente di attrito statico <math>\mu_s</math> con l'asfalto per permettere la trasmissione di momenti motori più elevati. Nel caso di un momento frenante anziché motore, la forza di attrito invertirebbe il proprio verso fungendo da forza decelerante, ma l'espressione del momento massimo applicabile prima del pattinamento rimarrebbe la stessa. === Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata === [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa <math>M</math> che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau</math> che agisce sul suo asse.]] Prendiamo in esame il caso di un corpo che sale lungo un piano inclinato di un angolo <math>\theta</math>, spinto da un momento motore <math>\tau</math> applicato al suo asse. Sul corpo agisce la forza peso, la quale si scompone in una componente parallela al piano <math>Mg\sin\theta</math> (frenante) e una perpendicolare <math>Mg\cos\theta</math>. La reazione vincolare normale bilancia la componente perpendicolare della gravità: :<math>N = Mg\cos\theta</math> La prima equazione cardinale lungo la direzione del piano inclinato è: :<math>M a_{CM} = f - Mg\sin\theta \rightarrow a_{CM} = \frac{f}{M} - g\sin\theta</math> Per la componente rotazionale, supponendo una rotazione in senso orario, il momento dell'attrito si oppone al momento motore: :<math>\tau - R f = I \alpha \rightarrow \alpha R = \frac{\tau R - R^2 f}{I}</math> Imponendo il vincolo di puro rotolamento (<math>a_{CM} = \alpha R</math>), si isola la forza di attrito statico: :<math>f = \frac{\frac{\tau}{R} + \frac{I g\sin\theta}{R^2}}{1 + \frac{I}{MR^2}}</math> Applicando la condizione di non slittamento <math>f \le \mu_s Mg\cos\theta</math>, il momento massimo erogabile in salita risulta: :<math>\tau_{max} = \mu_s MgR\cos\theta \left(1 + \frac{I}{MR^2}\right) - \frac{Ig}{R}\sin\theta</math> Da questa relazione si evince che esiste un'inclinazione limite del piano oltre la quale non è matematicamente possibile alcun moto di puro rotolamento in salita, coincidente con il valore di <math>\theta</math> per cui <math>\tau_{max} = 0</math>: :<math>\theta_{max} = \arctan\left[\mu_s\left(\frac{MR^2}{I} + 1\right)\right]</math> Nel caso di moto in discesa (<math>\theta < 0</math>), il puro rotolamento è garantito da una combinazione cinematica in cui la forza d'attrito può anche annullarsi se viene applicato un preciso momento motore tale da equilibrare la componente della gravità (<math>\tau/R = -Ig\sin\theta/R^2</math>). Se il momento applicato in discesa è inferiore a questa soglia, ovvero <math>\frac{\tau}{MR} < -\frac{Ig\sin\theta}{R^2}</math>, la forza di attrito statico inverte il proprio segno rispetto a quello mostrato nella figura del piano inclinato. ===[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]=== Nel moto di puro rotolamento ideale, la forza di attrito statico non compie alcun lavoro meccanico e non dissipa energia. Questo avviene perché, sebbene il punto di contatto cambi continuamente nel tempo, la velocità istantanea del punto di applicazione della forza è rigorosamente nulla (<math>\vec v_O = 0</math>), annullando la potenza istantanea (<math>P = \vec f \cdot \vec v_O = 0</math>). Tuttavia, l'esperienza quotidiana mostra che qualsiasi corpo reale che rotola senza strisciare (como una biglia o una ruota d'auto) si ferma dopo un certo tempo se non viene spinto. Analogamente, se un piano inclinato ha una pendenza inferiore a un certo angolo critico, un oggetto cilindrico o sferico non inizierà a rotolare, rimanendo fermo. Questo fenomeno non è spiegabile attraverso il modello ideale di corpo rigido e piano indeformabile, ma trova la sua giustificazione nell''''attrito volvente''', una forza di resistenza che nasce a causa delle '''deformazioni locali''' del corpo che rotola, del piano di appoggio, o di entrambi. ====Il meccanismo fisico e l'equilibrio delle forze==== Quando una ruota reale preme su una superficie, l'area di contatto non è una linea infinitesima, ma una porzione di superficie che si schiaccia sotto il carico. Come illustrato nella figura a lato, l'effetto combinato della rotazione e delle proprietà elastiche non ideali del terreno (o della gomma) rompe la simmetria geometrica delle pressioni verticali: il materiale davanti alla ruota si accumula e si oppone all'avanzamento, mentre il materiale sul retro non spinge abbastanza a causa dell'[[w:Isteresi|isteresi elastica]]. Il risultato macroscopico di questa asimmetria è che la reazione vincolare normale complessiva <math>\vec N</math> esercitata dal piano sul corpo non passa più per il centro geometrico della ruota, ma risulta '''spostata in avanti di una distanza <math>h</math>''' rispetto alla verticale del centro di massa. [[File:Rolling_Resistance.PNG|thumb|right|220px|Modello fisico dell'attrito volvente: la reazione normale <math>\vec N</math> è spostata in avanti di una distanza h rispetto alla verticale del centro di massa, contrastando la forza motrice <math>\vec F</math> applicata all'asse.]] Prendendo come polo il centro di massa della ruota di raggio <math>R</math>, analizziamo l'equilibrio dinamico del sistema quando si applica una forza trainante <math>\vec F</math> all'asse per mantenere il corpo in moto rettilineo uniforme (a velocità costante): * La reazione vincolare normale <math>\vec N</math> (pari in modulo alla forza peso) è disassata e genera un '''momento frenante''' contrario al senso di rotazione: :<math>\tau_f = h N</math> * La forza trainante <math>\vec F</math> applicata all'asse non genera momento rispetto al centro. Per vincere il momento resistente <math>\tau_f</math> e mantenere il puro rotolamento, è necessaria la presenza di una forza di attrito d'interfaccia tangenziale <math>\vec F_r</math> diretta all'indietro sul punto di contatto, che generi un momento motore <math>F_r R</math> rispetto al centro. Dall'equilibrio dei momenti rispetto al centro di massa (<math>\Sigma \tau = 0</math>) per una rotazione non accelerata si ricava: :<math>F_r R =h N \rightarrow F_r = \frac{h}{R} N</math> La forza <math>F_r</math> (indicata comunemente come '''forza di attrito volvente''') rappresenta la forza minima che la trazione <math>\vec F</math> deve superare per mantenere il corpo in movimento. Il parametro <math>h</math> prende il nome di '''coefficiente di attrito volvente'''. A differenza del coefficiente di attrito radente (che è adimensionale), <math>h</math> ha le dimensioni fisiche di una '''lunghezza''' e rappresenta la misura dello spostamento in avanti della reazione vincolare dovuto alla deformazione. Il rapporto <math>f_v = h/R</math> viene invece definito coefficiente di attrito volvente adimensionale. Dall'equazione si evince chiaramente una legge geometrica fondamentale: a parità di materiale (<math>h</math>), le ruote con raggio <math>R</math> maggiore risentono molto meno dell'attrito volvente rispetto a ruote più piccole, poiché il braccio della forza tangenziale è maggiore. In condizioni ordinarie (ad esempio, una ruota d'acciaio su un binario ferroviario), le deformazioni sono minime, rendendo l'attrito volvente estremamente piccolo e nettamente inferiore all'attrito radente di strisciamento. Questo è il motivo tecnologico per cui il trasporto su rotaia è così efficiente energeticamente. Al contrario, l'effetto diventa macroscopico quando i materiali sono facilmente deformabili. L'esempio tipico è un'automobile con i pneumatici sgonfi: la deformazione della gomma fa aumentare l'impronta a terra e sposta la reazione <math>\vec N</math> ancora più in avanti (aumentando <math>h</math>), incrementando drasticamente il momento frenante. Di conseguenza, il veicolo decelera molto più rapidamente una volta spento il motore e richiede più carburante per mantenere la marcia. Un fenomeno analogo si osserva quando si tenta di far rotolare una biglia su un tappeto morbido o sulla sabbia, dove l'avvallamento generato davanti all'oggetto ne arresta quasi subito il moto. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. <div style="background-color: #f8f9fa; border: 1px solid #a2a9b1; border-left: 5px solid #3366cc; padding: 15px; margin: 10px 0; border-radius: 4px;"> '''Approfondimento — L'attrito volvente nel gioco del biliardo''' <p>Il tavolo da biliardo rappresenta un'applicazione tecnologica intenzionale dell'attrito volvente. Se le biglie (estremamente rigide) rotolassero su una superficie dura e liscia come il marmo nudo, l'attrito volvente sarebbe quasi nullo: le biglie continuerebbero a muoversi a lungo in modo caotico e incontrollabile.</p> Il panno morbido che riveste il tavolo (generalmente un misto di lana e nylon) serve proprio a generare una deformazione locale controllata: * '''Controllo del gioco:''' Il peso della biglia affonda impercettibilmente nel tessuto, creando quel piccolo "rigonfiamento" anteriore che sposta in avanti la reazione normale di una distanza <math>h</math>. Questo momento frenante costante permette alla biglia di arrestarsi entro i confini del tavolo in modo prevedibile. * '''Transizione al puro rotolamento:''' Quando la biglia viene colpita dalla stecca, inizialmente striscia sul tavolo (attrito radente). La trama del panno offre la presa necessaria per farle raggiungere rapidamente e linearmente la condizione cinematica di puro rotolamento (<math>v_{CM} = \omega R</math>). * '''Effetti speciali:''' Colpendo la biglia al di sotto del suo centro (effetto ''retrò''), essa avanza ruotando all'indietro. La deformazione e la porosità del panno permettono alla biglia di "aggrapparsi" al tessuto e invertire la sua traiettoria traslazionale non appena l'attrito radente cessa. </div> == [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] == [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Rappresentazione di un pendolo composto (o fisico).]] Chiamiamo '''pendolo composto''' (o fisico) un corpo rigido vincolato a oscillare in un piano verticale attorno a un asse orizzontale fisso non passante per il suo centro di massa. Spostando il pendolo dalla sua posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta</math>, il momento della forza peso tende a riportare il corpo verso la posizione di equilibrio verticale. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo, è parallelo all'asse di rotazione z e vale: :<math>\tau = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>M</math> è la massa totale del corpo e <math>L</math> è la distanza cinematica tra il centro di rotazione (punto di sospensione) e il centro di massa del corpo rigido (si presti attenzione a non confondere questo simbolo con il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito meccanico attorno all'asse e assumendo che le reazioni vincolari dei supporti abbiano momento nullo lungo l'asse stesso, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]] applicata alla componente assiale diventa: :<math>\frac{dL_z}{dt} = I_z \alpha = I_z \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} = -MgL \sin\theta</math> avendo indicato con <math>I_z</math> il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse di rotazione orizzontale. Riorganizzando i termini, si ottiene l'equazione differenziale del moto: :<math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{MgL}{I_z} \sin\theta = 0</math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola (<math>\theta \ll 1\ radianti</math>), è possibile ricorrere allo [[w:Sviluppo_di_Taylor|sviluppo di Taylor]] per approssimare la funzione trigonometrica con il suo argomento: <math>\sin\theta \approx \theta</math>. L'equazione si riduce quindi a: :<math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{MgL}{I_z} \theta = 0</math> Questa è l'equazione differenziale canonica di un [[w:Moto_armonico|moto armonico semplice]], la cui legge oraria (equazione oraria) è espressa da: :<math>\theta(t) = \theta_0 \sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Pulsazione_(fisica)|pulsazione]] del moto è data da: :<math>\Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}}</math> di conseguenza, il periodo di oscillazione <math>T</math> vale: :<math>T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math> La grandezza geometrica <math>l = \frac{I_z}{ML}</math> prende il nome di '''lunghezza ridotta del pendolo composto'''. Essa rappresenta la lunghezza ideale che dovrebbe avere il filo di un [[w:Pendolo_semplice|pendolo semplice]] (ossia una massa puntiforme) per oscillare con lo stesso identico periodo del corpo rigido in esame. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande, l'approssimazione lineare viene meno: il pendolo si muove ancora di un moto periodico, ma non è più rigorosamente armonico (il periodo inizia a dipendere dall'ampiezza massima dell'oscillazione). [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio svolto sul pendolo composto detto anche pendolo fisico]]. == Impulso angolare == Nel caso in cui un momento delle forze \vec \tau sia applicato a un corpo rigido per un intervallo di tempo limitato \Delta t, si definisce '''impulso angolare''' (o momento impulsivo) la grandezza vettoriale: :<math>\vec J_{\tau} = \int_{t_1}^{t_2} \vec \tau dt</math> Se il momento può essere considerato costante o mediato nell'intervallo di tempo, l'espressione si semplifica in <math>\vec J_{\tau} = \vec \tau \Delta t</math>. Per la seconda equazione cardinale della dinamica, l'azione di un impulso angolare su un corpo rigido determina una variazione analoga del suo momento angolare complessivo: :<math>\vec J_{\tau} = \Delta \vec L</math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. === Esempio pratico === Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell = 42\text{ cm}</text_format> (ovvero <math>0{,}42\text{ m}</math>) e massa <math>M = 2{,}05\text{ kg}</math>, incernierata a un estremo tramite un perno fisso orizzontale. La sbarretta può muoversi liberamente in un piano verticale. Se viene applicato un impulso angolare pari a <math>J_{\tau} = 1\text{ kg m/s}</math>, la sbarretta si metterà in rotazione. Poiché il suo momento d'inerzia rispetto all'estremo incernierato è dato da: :<math>I_c = \frac{1}{3} M \ell^2 = \frac{1}{3} \cdot 2{,}05\text{ kg} \cdot (0{,}42\text{ m})^2 \approx 0{,}12\text{ kg m}^2</math> il corpo acquisterà una velocità angolare pari a: :<math>\omega = \frac{J_{\tau}}{I_c} = \frac{1}{0{,}12} \approx 8{,}3\text{ rad/s}</math> Di conseguenza, l'energia cinetica rotazionale iniziale sarà: :<math>E_k = \frac{1}{2} I_c \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}12 \cdot (8{,}3)^2 \approx 4{,}15\text{ J}</math> Per il principio di conservazione dell'energia meccanica, questa energia cinetica si trasformerà interamente in energia potenziale gravitazionale nel punto più alto della traiettoria (<math>E_p = Mgh = E_k</math>). L'altezza massima <math>h</math> raggiunta dal centro di massa sarà quindi: :<math>h = \frac{E_k}{Mg} = \frac{4{,}15}{2{,}05 \cdot 9{,}81} \approx 0{,}21\text{ m}</math> Dato che il centro di massa si trova a metà della sbarretta (<math>\ell/2 = 0{,}21\text{ m}</math>), un'altezza <math>h = 0{,}21\text{ m}</math> significa che la sbarretta si porta in posizione perfettamente orizzontale, compiendo esattamente un quarto di giro. == Statica dei corpi rigidi == La statica è la branca della meccanica razionale che studia le condizioni di equilibrio dei corpi. Mentre per un punto materiale l'equilibrio si riduce alla semplice assenza di forze nette, per un corpo rigido la situazione è più complessa: non dobbiamo solo evitare che il corpo si sposti (moto di traslazione), ma dobbiamo anche assicurarci che non inizi a girare su se stesso (moto di rotazione). Dal punto di vista matematico, la condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo rigido inizialmente in quiete si mantenga in equilibrio statico è che siano annullate contemporaneamente la risultante delle forze esterne e la risultante dei momenti delle forze esterne. Le equazioni cardinali della statica si esprimono quindi come: :<math>\vec R = \sum \vec F_i = 0</math> :<math>\vec \tau = \sum \vec \tau_i = 0</math> Analizziamo nel dettaglio il significato di queste due condizioni: * Annullamento della risultante delle forze (<math>\vec R = 0</math>): Questa prima equazione garantisce l'equilibrio alla traslazione. Significa che l'accelerazione del centro di massa del corpo è nulla. Se il corpo è inizialmente fermo, il suo centro di massa rimarrà immobile. * Annullamento del momento risultante (<math>\vec \tau = 0</math>): Questa seconda equazione garantisce l'equilibrio alla rotazione. Il momento totale delle forze (indicato anche con <math>\vec \tau</math>) deve essere nullo rispetto a qualsiasi polo scelto come riferimento. Se questa condizione è soddisfatta e il corpo è fermo, esso non subirà alcuna accelerazione angolare, evitando di ruotare. Se la risultante delle forze è strettamente nulla (<math>\vec R = 0</math>), il valore del momento risultante <math>\vec \tau</math> è indipendente dal polo scelto. Questo è un grande vantaggio pratico negli esercizi, poiché permette di scegliere come polo il punto più conveniente (ad esempio, il punto in cui si applicano le forze incognite che si vogliono eliminare dai calcoli). In sintesi, l'equilibrio statico perfetto si ottiene solo quando il corpo non subisce traslazioni del centro di massa né rotazioni attorno a un qualsiasi asse. == Applicazioni pratiche ed esempi == Per comprendere come queste equazioni si traducano in vincoli fisici e forze di reazione, è utile analizzare alcuni scenari classici di forze contrapposte, attriti e fulcri. Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: * [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|Scala appoggiata a una parete con una persona]]: un classico problema in cui l'attrito del terreno e le reazioni vincolari della parete devono compensare la forza peso della scala e dell'uomo, evitando sia lo scivolamento sia il ribaltamento. * [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|Asta orizzontale vincolata con un carico]]: un esempio che mostra come un fulcro o una fune di sostegno debbano generare un momento opposto a quello creato dal carico sospeso per mantenere l'asta in posizione perfettamente orizzontale. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} mwfblq1fln1zhb57c853wp8g6689cbq 499042 499041 2026-06-07T10:37:11Z Pasquale.Carelli 528 /* Raggio di girazione (o raggio giratore) */ da punto a virgola e formule 499042 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22,66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio di girazione (o raggio giratore) == Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato (<math>[\text{M}][\text{L}]^2</math>), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con <math>r_g</math>. Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia <math>I</math> del corpo reale. In termini matematici: :<math>I = M r_g^2</math> Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione: :<math>r_g = \sqrt{\frac{I}{M}}</math> === Considerazioni geometriche === Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota: * Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo (<math>r_g = R</math>). *Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio <math>R</math> (il cui momento di inerzia è <math>I = \frac{1}{2}MR^2</math>), il raggio di girazione vale: *:<math> r_g = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0,707 , R</math> *Per una sfera piena omogenea di raggio <math>R</math> (con <math>I = \frac{2}{5}MR^2</math>), si ha: *:<math> r_g = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0,632 , R</math> In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo, il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza d\ dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 </math> Dove <math>I_c</math> è il momento di inerzia rispetto a un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine di un sistema di coordinate cartesiane sia nel centro di massa e che l'asse delle <math>x</math> si trovi sulla congiungente i due assi. In questo modo, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa è: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) dm</math> Mentre il momento di inerzia relativo al nuovo asse (parallelo all'asse <math>z</math> e che interseca l'asse <math>x</math> a una distanza <math>d</math> dall'origine) è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] dm</math> Sviluppando il quadrato del binomio e separando i vari termini si ottiene: :<math>I = \int (x^2 + y^2) dm + d^2 \int dm - 2d\int x dm</math> Analizzando i tre integrali: * Il primo termine è proprio <math>I_c</math>; * Il secondo termine è <math>Md^2</math> (poiché l'integrale di <math>dm</math> è la massa totale <math>M</math> del corpo); * L'ultimo termine è nullo. Infatti, l'integrale <math>\int x dm</math> rappresenta la coordinata <math>x</math> del centro di massa moltiplicata per la massa totale (<math>M \cdot x_{cm}</math>). Poiché l'origine coincide con il centro di massa, si ha <math>x_{cm} = 0</math>. Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è particolarmente utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi, come nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. == Momento angolare nel caso generale== Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare per un corpo continuo: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm</math> Senza perdere di generalità, si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math>z</math> del sistema di riferimento cartesiano. Il momento angolare può essere scomposto in due componenti. La componente parallela all'asse di rotazione vale, per ogni elemento infinitesimo di massa: :<math>(\vec r \times \vec v)_z dm = (x^2 + y^2) \omega dm</math> dove <math>(x^2 + y^2)</math> rappresenta il quadrato della distanza dell'elemento <math>dm</math> dall'asse di rotazione <math>z</math>. Integrando su tutto il corpo, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione risulta: :<math>L_z = I_z \omega</math> Questa componente viene normalmente chiamata '''momento angolare assiale'''. Essa ha la proprietà fondamentale di essere indipendente dalla scelta della posizione del polo, purché quest'ultimo si trovi sull'asse di rotazione. In generale, vi è anche una componente ortogonale all'asse di rotazione, <math>\vec L_{\bot}</math>, che invece dipende esplicitamente dalla posizione del polo sull'asse. Tale componente si annulla se l'asse di rotazione è sia un asse di simmetria geometrica del corpo, sia passante per il suo centro di massa (asse principale d'inerzia). Se presente, la componente trasversale ruota solidalmente con il corpo attorno all'asse di rotazione e può anche variare in ampiezza nel tempo se la rotazione non è uniforme. A causa di questa componente ortogonale, nel caso generale il vettore momento angolare di un solido non è parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Possiamo quindi scomporre il momento angolare complessivo nella somma vettoriale: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L_z+\vec L_{\bot}\!</math>|id=10}} In conclusione, il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione, dipende unicamente dalla distribuzione di massa del solido e dalla posizione geometrica dell'asse rispetto ad esso. == Assi di simmetria di un corpo rigido == Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria materiale del corpo (ovvero le masse sono distribuite in modo simmetrico attorno ad esso), la componente ortogonale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il suo centro di massa, hanno particolare importanza i cosiddetti '''assi principali di inerzia'''. Gli assi principali di inerzia passanti per un punto sono sempre almeno tre e sono mutuamente perpendicolari; il loro numero può essere superiore se il corpo è dotato di simmetrie geometriche particolari. * Nel caso di un corpo a '''simmetria sferica''', qualsiasi diametro è un asse principale di inerzia. * Nel caso di un '''cilindro''', l'asse geometrico del cilindro è un asse principale di inerzia, insieme a qualsiasi asse a esso perpendicolare passante per il centro di massa. Una rotazione attorno a un asse principale di inerzia gode della fondamentale proprietà per cui il vettore momento angolare <math>\vec L</math> del corpo rigido è perfettamente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Di conseguenza, durante la rotazione non nascono forze o momenti d'inerzia d'esoscheletro (sollecitazioni dinamiche) sui supporti dell'asse. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare, a partire dai tre momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi principali (detti '''momenti principali di inerzia'''), il momento di inerzia relativo a qualsiasi altro asse passante per il medesimo punto, attraverso la visualizzazione geometrica del cosiddetto '''ellissoide di inerzia'''. L'operazione di [[w:Equilibratura|equilibratura]], eseguita comunemente sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel far coincidere l'asse di rotazione meccanico (il [[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]) con uno degli assi principali di inerzia della ruota. Se l'asse di rotazione non coincidesse con un asse principale, la presenza di una componente trasversale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> (che ruota solidalmente con la ruota) genererebbe continue forze sussultorie e momenti d'inerzia variabili, responsabili di forti vibrazioni e della rapida usura dei supporti meccanici. ===Il moto di precessione=== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola dovuta alla coppia generata dalla forza di gravità.]] Se la componente del momento angolare normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio del corpo rigido diventa decisamente più complesso e può assumere, ad esempio, la forma di un moto di '''precessione''', il cui esempio classico è il movimento di una [[w:Trottola|trottola]]. Nel caso della trottola soggetta a gravità (figura a lato), l'asse di simmetria del corpo non è verticale; la forza peso genera una coppia di forze rispetto al punto di appoggio che fa ruotare (precedere) l'asse della trottola attorno alla verticale. Esiste tuttavia anche la cosiddetta '''precessione libera''' (o in assenza di coppie), come nel caso di un corpo rigido asimmetrico lanciato nello spazio. In questo scenario, per la seconda equazione cardinale della dinamica, il vettore momento angolare <math>\vec L</math> rimane rigorosamente costante nello spazio sia in modulo che in direzione. Poiché il corpo ruota continuamente cambiando orientazione rispetto a <math>\vec L</math>, i momenti di inerzia rispetto alle direzioni fisse dello spazio variano nel tempo. Il risultato è che la velocità angolare <math>\vec \omega</math> non rimane costante, ma cambia continuamente direzione nel tempo, muovendosi attorno al vettore <math>\vec L</math> fisso, con componenti lungo gli assi principali che variano istante per istante. == Energia cinetica e lavoro == L'energia cinetica di un corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm</math> Se il corpo è in rotazione attorno a un asse fisso, poiché la velocità di ogni elemento di massa vale <math>v = \omega r</math> (dove <math>r</math> è la distanza dall'asse), si ha che: :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm = \frac 12 I \omega^2</math> Dove <math>I</math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione fisso. Se l'asse di rotazione del corpo si trova a una distanza d dal centro di massa, applicando il teorema di Huygens-Steiner l'espressione diventa: :<math>E_k = \frac 12 (I_c + Md^2)\omega^2 = \frac 12 I_c\omega^2 + \frac 12 M\omega^2d^2</math> Poiché la velocità del centro di massa in questo caso è data da <math>v_{CM} = \omega d</math>, possiamo scrivere: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2 + \frac 12 Mv_{CM}^2</math>|id=11}} Questa espressione (vista nel capitolo precedente [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Secondo teorema di König|secondo teorema di König]]) ha una validità generale che va oltre il caso dell'asse fisso: essa vale infatti per un qualsiasi moto rototraslatorio, in cui si ha sia un moto del centro di massa (<math>v_{CM} \neq 0</math>), sia una rotazione attorno a un asse istantaneo passante per esso. L'espressione separa nettamente l'energia cinetica in due contributi: l'energia cinetica rotazionale relativa al centro di massa e l'energia cinetica traslazionale del centro di massa stesso. ===Il teorema dell'energia cinetica e il lavoro=== Come già visto nella dinamica del punto materiale, il [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|teorema dell'energia cinetica]] stabilisce un legame tra la variazione dell'energia cinetica e il lavoro compiuto dalle forze esterne: :<math>dW = dE_k</math> Per quanto riguarda la parte puramente rotazionale, differenziando l'energia cinetica rispetto al tempo (o usando i differenziali relativi), il lavoro infinitesimo dW compiuto per una rotazione infinitesima <math>d\theta</math> risulta: :<math>dW = d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right) = I_z \omega d\omega = I_z \frac{d\theta}{dt} d\omega = I_z \frac{d\omega}{dt} d\theta = I_z \alpha d\theta</math> Essendo <math>I_z \alpha = \tau_z</math> per la legge fondamentale della dinamica rotazionale, dove <math>\tau_z</math> è la componente lungo l'asse del momento delle forze esterne applicate, si ottiene: :<math>dW = \tau_z d\theta</math> Di conseguenza, il lavoro totale compiuto dal momento delle forze per ruotare il corpo rigido da un angolo iniziale <math>\theta_1</math> a un angolo finale <math>\theta_2</math> è pari alla variazione della sua energia cinetica rotazionale: :<math>W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau_z d\theta = \frac 12 I_z\omega_2^2 - \frac 12 I_z\omega_1^2</math> Se le forze agenti sul sistema sono conservative, il lavoro totale può essere espresso anche come la variazione negativa dell'energia potenziale del sistema: :<math>W = -\Delta E_p</math> In questo caso, l'energia meccanica totale del corpo rigido — che include sia il contributo traslazionale che quello rotazionale — si conserva costante nel tempo: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2 + \frac 12 I_c\omega^2 + E_p = \text{costante}</math> == [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] == [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità istantanea nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è un moto rototraslatorio in cui un corpo rigido a simmetria circolare rotola su una superficie in modo tale che la velocità istantanea del punto di contatto sia nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto O (centro di rotazione istantaneo) che rimane fermo rispetto al piano. Questo tipo di moto descrive perfettamente il comportamento in condizioni normali della ruota, un'invenzione fondamentale per lo sviluppo della società moderna. La forza di attrito statico è l'agente fisico che garantisce l'immobilità del punto di contatto; si noti che dopo un tempo infinitesimo <math>dt</math> il punto di contatto cambia, spostandosi sul punto immediatamente successivo della circonferenza. Perché si verifichi questo moto, la sezione del corpo rigido lungo il piano del moto deve essere una curva a raggio costante <math>R</math> (come nel caso di una ruota, un cilindro o una sfera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel centro di massa del corpo rigido C e il secondo estremo nel punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore perpendicolare al piano del moto, passante per il centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere l'atto di moto di un qualsiasi punto come la combinazione della traslazione del centro di massa e della rotazione attorno a un asse passante per il centro di massa stesso. In particolare, la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione cinematica: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo la condizione di puro rotolamento (<math>\vec v_O = 0</math>), si ottiene: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi, se il corpo trasla verso destra (come nella figura), la rotazione deve avvenire in senso orario. In modulo, la relazione diventa: :<math>v_{C}=\omega R</math> Esiste cioè un legame cinematico rigido tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare. Derivando rispetto al tempo, se il moto del centro di massa è accelerato, anche la velocità angolare deve variare proporzionalmente, determinando la relazione tra l'accelerazione lineare e quella angolare <math>\alpha</math>: :<math>|a_{CM}| = |\alpha| R</math> Vale la pena di studiare alcuni casi particolari di forze applicate: ===Moto con forza applicata sul centro di massa=== [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota di massa <math>M</math> soggetta all'azione di una forza <math>F</math> applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M</math> su cui agisce una forza motrice <math>F</math> applicata nel centro di massa e parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso tipico delle ruote non motrici, o condotte, di un'automobile). Le forze agenti sul corpo sono: * La forza <math>F</math> trainante applicata nel centro di massa; * La forza di attrito statico <math>f</math> esercitata dal piano; * La forza peso <math>M g</math> e la reazione vincolare normale <math>N</math>. Lungo la direzione verticale, la reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso: :<math>N = Mg</math> Mentre lungo la direzione orizzontale, la prima equazione cardinale della dinamica si scrive: :<math>F - f = M a_{CM} \rightarrow a_{CM} = \frac{F - f}{M}</math> Per quanto riguarda la dinamica rotazionale (seconda equazione cardinale), scelto il centro di massa come polo e indicato con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse geometrico del corpo, l'unica forza che genera momento è l'attrito: :<math>R f = I \alpha \rightarrow \alpha R = \frac{R^2 f}{I}</math> Uguagliando le due espressioni tramite la condizione di puro rotolamento (<math>a_{CM} = \alpha R</math>): :<math>\frac{F - f}{M} = \frac{R^2 f}{I}</math> Risolvendo rispetto alla forza di attrito <math>f</math> si ottiene: :<math>f = \frac{F}{1 + \frac{MR^2}{I}}</math> La forza di attrito in modulo è quindi sempre inferiore alla forza trainante applicata. Poiché l'attrito è di natura statica, deve essere soddisfatta la condizione limite di aderenza: :<math>f \le \mu_s N = \mu_s Mg</math> Questo impone che, per garantire il puro rotolamento senza slittamento, la forza massima applicabile al centro di massa non debba superare il valore: :<math>F_{max} = \mu_s Mg \left(1 + \frac{MR^2}{I}\right)</math> Se venisse applicata una forza superiore a <math>F_{max}</math>, la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a mantenere istantaneamente fermo il punto di contatto. Il corpo inizierebbe a strisciare e si avrebbe: :<math>|\vec v_{C}| > |\vec \omega \times \vec R|</math> All'aumentare della forza applicata, il moto traslatorio diventerebbe sempre più preponderante rispetto a quello rotatorio (slittamento in trazione). La funzione dell'attrito statico è essenziale: esso genera il momento (<math>fR</math>) necessario a far ruotare il corpo coerentemente con la sua traslazione. In assenza totale di attrito, il corpo si limiterebbe a traslare senza ruotare. Se la sezione del corpo non è perfettamente circolare, il moto nel punto di contatto diventa parzialmente traslatorio e l'attrito svolge un'azione frenante (dissipativa), come accade nel caso di pneumatici sgonfi. Se al posto di una forza trainante venisse applicata una forza frenante (opposta al moto), la forza d'attrito cambierebbe ugualmente verso; le equazioni resterebbero formalmente identiche e <math>F_{max}</math> rappresenterebbe la massima forza frenante applicabile prima del bloccaggio della ruota. === Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse === [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa <math>M</math> soggetta ad un momento motore <math>\tau</math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginiamo ora una ruota sul cui asse sia applicato direttamente un momento motore <math>\tau</math> (il caso delle ruote motrici di un veicolo). Il moto si svolge su un piano orizzontale. Come evidenziato in figura, il verso della forza di attrito statico è opposto rispetto al caso precedente. Mentre l'equilibrio verticale rimane <math>N = Mg</math>, la prima equazione cardinale lungo l'asse del moto vede la sola forza di attrito come responsabile dell'accelerazione lineare: :<math>f = M a_{CM} \rightarrow a_{CM} = \frac{f}{M}</math> Per la seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa, assumendo che il momento motore faccia ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento resistente opposto: :<math>\tau - R f = I \alpha \rightarrow \alpha R = \frac{\tau R - R^2 f}{I}</math> Uguagliando le accelerazioni per la condizione di puro rotolamento: :<math>\frac{f}{M} = \frac{\tau R - R^2 f}{I}</math> Da cui si ricava il valore della forza d'attrito: :<math>f = \frac{\tau}{R\left(1 + \frac{I}{MR^2}\right)}</math> In questo scenario, la forza d'attrito statico è a tutti gli effetti la '''forza motrice''' che causa l'avanzamento traslatorio del corpo. Imponendo la condizione limite <math>f \le \mu_s Mg</math>, si ottiene il momento massimo applicabile all'asse: :<math>\tau_{max} = \mu_s MgR \left(1 + \frac{I}{MR^2}\right)</math> Se il momento applicato supera <math>\tau_{max}</math>, il moto rotatorio prevale su quello traslatorio: la ruota inizia a slittare sul posto (pattinamento), fenomeno tipico delle auto quando si accelera bruscamente su fondi a bassa aderenza. La ragione per cui gli pneumatici sono fatti di gomma è proprio quella di massimizzare il coefficiente di attrito statico <math>\mu_s</math> con l'asfalto per permettere la trasmissione di momenti motori più elevati. Nel caso di un momento frenante anziché motore, la forza di attrito invertirebbe il proprio verso fungendo da forza decelerante, ma l'espressione del momento massimo applicabile prima del pattinamento rimarrebbe la stessa. === Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata === [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa <math>M</math> che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau</math> che agisce sul suo asse.]] Prendiamo in esame il caso di un corpo che sale lungo un piano inclinato di un angolo <math>\theta</math>, spinto da un momento motore <math>\tau</math> applicato al suo asse. Sul corpo agisce la forza peso, la quale si scompone in una componente parallela al piano <math>Mg\sin\theta</math> (frenante) e una perpendicolare <math>Mg\cos\theta</math>. La reazione vincolare normale bilancia la componente perpendicolare della gravità: :<math>N = Mg\cos\theta</math> La prima equazione cardinale lungo la direzione del piano inclinato è: :<math>M a_{CM} = f - Mg\sin\theta \rightarrow a_{CM} = \frac{f}{M} - g\sin\theta</math> Per la componente rotazionale, supponendo una rotazione in senso orario, il momento dell'attrito si oppone al momento motore: :<math>\tau - R f = I \alpha \rightarrow \alpha R = \frac{\tau R - R^2 f}{I}</math> Imponendo il vincolo di puro rotolamento (<math>a_{CM} = \alpha R</math>), si isola la forza di attrito statico: :<math>f = \frac{\frac{\tau}{R} + \frac{I g\sin\theta}{R^2}}{1 + \frac{I}{MR^2}}</math> Applicando la condizione di non slittamento <math>f \le \mu_s Mg\cos\theta</math>, il momento massimo erogabile in salita risulta: :<math>\tau_{max} = \mu_s MgR\cos\theta \left(1 + \frac{I}{MR^2}\right) - \frac{Ig}{R}\sin\theta</math> Da questa relazione si evince che esiste un'inclinazione limite del piano oltre la quale non è matematicamente possibile alcun moto di puro rotolamento in salita, coincidente con il valore di <math>\theta</math> per cui <math>\tau_{max} = 0</math>: :<math>\theta_{max} = \arctan\left[\mu_s\left(\frac{MR^2}{I} + 1\right)\right]</math> Nel caso di moto in discesa (<math>\theta < 0</math>), il puro rotolamento è garantito da una combinazione cinematica in cui la forza d'attrito può anche annullarsi se viene applicato un preciso momento motore tale da equilibrare la componente della gravità (<math>\tau/R = -Ig\sin\theta/R^2</math>). Se il momento applicato in discesa è inferiore a questa soglia, ovvero <math>\frac{\tau}{MR} < -\frac{Ig\sin\theta}{R^2}</math>, la forza di attrito statico inverte il proprio segno rispetto a quello mostrato nella figura del piano inclinato. ===[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]=== Nel moto di puro rotolamento ideale, la forza di attrito statico non compie alcun lavoro meccanico e non dissipa energia. Questo avviene perché, sebbene il punto di contatto cambi continuamente nel tempo, la velocità istantanea del punto di applicazione della forza è rigorosamente nulla (<math>\vec v_O = 0</math>), annullando la potenza istantanea (<math>P = \vec f \cdot \vec v_O = 0</math>). Tuttavia, l'esperienza quotidiana mostra che qualsiasi corpo reale che rotola senza strisciare (como una biglia o una ruota d'auto) si ferma dopo un certo tempo se non viene spinto. Analogamente, se un piano inclinato ha una pendenza inferiore a un certo angolo critico, un oggetto cilindrico o sferico non inizierà a rotolare, rimanendo fermo. Questo fenomeno non è spiegabile attraverso il modello ideale di corpo rigido e piano indeformabile, ma trova la sua giustificazione nell''''attrito volvente''', una forza di resistenza che nasce a causa delle '''deformazioni locali''' del corpo che rotola, del piano di appoggio, o di entrambi. ====Il meccanismo fisico e l'equilibrio delle forze==== Quando una ruota reale preme su una superficie, l'area di contatto non è una linea infinitesima, ma una porzione di superficie che si schiaccia sotto il carico. Come illustrato nella figura a lato, l'effetto combinato della rotazione e delle proprietà elastiche non ideali del terreno (o della gomma) rompe la simmetria geometrica delle pressioni verticali: il materiale davanti alla ruota si accumula e si oppone all'avanzamento, mentre il materiale sul retro non spinge abbastanza a causa dell'[[w:Isteresi|isteresi elastica]]. Il risultato macroscopico di questa asimmetria è che la reazione vincolare normale complessiva <math>\vec N</math> esercitata dal piano sul corpo non passa più per il centro geometrico della ruota, ma risulta '''spostata in avanti di una distanza <math>h</math>''' rispetto alla verticale del centro di massa. [[File:Rolling_Resistance.PNG|thumb|right|220px|Modello fisico dell'attrito volvente: la reazione normale <math>\vec N</math> è spostata in avanti di una distanza h rispetto alla verticale del centro di massa, contrastando la forza motrice <math>\vec F</math> applicata all'asse.]] Prendendo come polo il centro di massa della ruota di raggio <math>R</math>, analizziamo l'equilibrio dinamico del sistema quando si applica una forza trainante <math>\vec F</math> all'asse per mantenere il corpo in moto rettilineo uniforme (a velocità costante): * La reazione vincolare normale <math>\vec N</math> (pari in modulo alla forza peso) è disassata e genera un '''momento frenante''' contrario al senso di rotazione: :<math>\tau_f = h N</math> * La forza trainante <math>\vec F</math> applicata all'asse non genera momento rispetto al centro. Per vincere il momento resistente <math>\tau_f</math> e mantenere il puro rotolamento, è necessaria la presenza di una forza di attrito d'interfaccia tangenziale <math>\vec F_r</math> diretta all'indietro sul punto di contatto, che generi un momento motore <math>F_r R</math> rispetto al centro. Dall'equilibrio dei momenti rispetto al centro di massa (<math>\Sigma \tau = 0</math>) per una rotazione non accelerata si ricava: :<math>F_r R =h N \rightarrow F_r = \frac{h}{R} N</math> La forza <math>F_r</math> (indicata comunemente come '''forza di attrito volvente''') rappresenta la forza minima che la trazione <math>\vec F</math> deve superare per mantenere il corpo in movimento. Il parametro <math>h</math> prende il nome di '''coefficiente di attrito volvente'''. A differenza del coefficiente di attrito radente (che è adimensionale), <math>h</math> ha le dimensioni fisiche di una '''lunghezza''' e rappresenta la misura dello spostamento in avanti della reazione vincolare dovuto alla deformazione. Il rapporto <math>f_v = h/R</math> viene invece definito coefficiente di attrito volvente adimensionale. Dall'equazione si evince chiaramente una legge geometrica fondamentale: a parità di materiale (<math>h</math>), le ruote con raggio <math>R</math> maggiore risentono molto meno dell'attrito volvente rispetto a ruote più piccole, poiché il braccio della forza tangenziale è maggiore. In condizioni ordinarie (ad esempio, una ruota d'acciaio su un binario ferroviario), le deformazioni sono minime, rendendo l'attrito volvente estremamente piccolo e nettamente inferiore all'attrito radente di strisciamento. Questo è il motivo tecnologico per cui il trasporto su rotaia è così efficiente energeticamente. Al contrario, l'effetto diventa macroscopico quando i materiali sono facilmente deformabili. L'esempio tipico è un'automobile con i pneumatici sgonfi: la deformazione della gomma fa aumentare l'impronta a terra e sposta la reazione <math>\vec N</math> ancora più in avanti (aumentando <math>h</math>), incrementando drasticamente il momento frenante. Di conseguenza, il veicolo decelera molto più rapidamente una volta spento il motore e richiede più carburante per mantenere la marcia. Un fenomeno analogo si osserva quando si tenta di far rotolare una biglia su un tappeto morbido o sulla sabbia, dove l'avvallamento generato davanti all'oggetto ne arresta quasi subito il moto. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. <div style="background-color: #f8f9fa; border: 1px solid #a2a9b1; border-left: 5px solid #3366cc; padding: 15px; margin: 10px 0; border-radius: 4px;"> '''Approfondimento — L'attrito volvente nel gioco del biliardo''' <p>Il tavolo da biliardo rappresenta un'applicazione tecnologica intenzionale dell'attrito volvente. Se le biglie (estremamente rigide) rotolassero su una superficie dura e liscia come il marmo nudo, l'attrito volvente sarebbe quasi nullo: le biglie continuerebbero a muoversi a lungo in modo caotico e incontrollabile.</p> Il panno morbido che riveste il tavolo (generalmente un misto di lana e nylon) serve proprio a generare una deformazione locale controllata: * '''Controllo del gioco:''' Il peso della biglia affonda impercettibilmente nel tessuto, creando quel piccolo "rigonfiamento" anteriore che sposta in avanti la reazione normale di una distanza <math>h</math>. Questo momento frenante costante permette alla biglia di arrestarsi entro i confini del tavolo in modo prevedibile. * '''Transizione al puro rotolamento:''' Quando la biglia viene colpita dalla stecca, inizialmente striscia sul tavolo (attrito radente). La trama del panno offre la presa necessaria per farle raggiungere rapidamente e linearmente la condizione cinematica di puro rotolamento (<math>v_{CM} = \omega R</math>). * '''Effetti speciali:''' Colpendo la biglia al di sotto del suo centro (effetto ''retrò''), essa avanza ruotando all'indietro. La deformazione e la porosità del panno permettono alla biglia di "aggrapparsi" al tessuto e invertire la sua traiettoria traslazionale non appena l'attrito radente cessa. </div> == [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] == [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Rappresentazione di un pendolo composto (o fisico).]] Chiamiamo '''pendolo composto''' (o fisico) un corpo rigido vincolato a oscillare in un piano verticale attorno a un asse orizzontale fisso non passante per il suo centro di massa. Spostando il pendolo dalla sua posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta</math>, il momento della forza peso tende a riportare il corpo verso la posizione di equilibrio verticale. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo, è parallelo all'asse di rotazione z e vale: :<math>\tau = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>M</math> è la massa totale del corpo e <math>L</math> è la distanza cinematica tra il centro di rotazione (punto di sospensione) e il centro di massa del corpo rigido (si presti attenzione a non confondere questo simbolo con il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito meccanico attorno all'asse e assumendo che le reazioni vincolari dei supporti abbiano momento nullo lungo l'asse stesso, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]] applicata alla componente assiale diventa: :<math>\frac{dL_z}{dt} = I_z \alpha = I_z \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} = -MgL \sin\theta</math> avendo indicato con <math>I_z</math> il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse di rotazione orizzontale. Riorganizzando i termini, si ottiene l'equazione differenziale del moto: :<math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{MgL}{I_z} \sin\theta = 0</math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola (<math>\theta \ll 1\ radianti</math>), è possibile ricorrere allo [[w:Sviluppo_di_Taylor|sviluppo di Taylor]] per approssimare la funzione trigonometrica con il suo argomento: <math>\sin\theta \approx \theta</math>. L'equazione si riduce quindi a: :<math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{MgL}{I_z} \theta = 0</math> Questa è l'equazione differenziale canonica di un [[w:Moto_armonico|moto armonico semplice]], la cui legge oraria (equazione oraria) è espressa da: :<math>\theta(t) = \theta_0 \sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Pulsazione_(fisica)|pulsazione]] del moto è data da: :<math>\Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}}</math> di conseguenza, il periodo di oscillazione <math>T</math> vale: :<math>T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math> La grandezza geometrica <math>l = \frac{I_z}{ML}</math> prende il nome di '''lunghezza ridotta del pendolo composto'''. Essa rappresenta la lunghezza ideale che dovrebbe avere il filo di un [[w:Pendolo_semplice|pendolo semplice]] (ossia una massa puntiforme) per oscillare con lo stesso identico periodo del corpo rigido in esame. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande, l'approssimazione lineare viene meno: il pendolo si muove ancora di un moto periodico, ma non è più rigorosamente armonico (il periodo inizia a dipendere dall'ampiezza massima dell'oscillazione). [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio svolto sul pendolo composto detto anche pendolo fisico]]. == Impulso angolare == Nel caso in cui un momento delle forze \vec \tau sia applicato a un corpo rigido per un intervallo di tempo limitato \Delta t, si definisce '''impulso angolare''' (o momento impulsivo) la grandezza vettoriale: :<math>\vec J_{\tau} = \int_{t_1}^{t_2} \vec \tau dt</math> Se il momento può essere considerato costante o mediato nell'intervallo di tempo, l'espressione si semplifica in <math>\vec J_{\tau} = \vec \tau \Delta t</math>. Per la seconda equazione cardinale della dinamica, l'azione di un impulso angolare su un corpo rigido determina una variazione analoga del suo momento angolare complessivo: :<math>\vec J_{\tau} = \Delta \vec L</math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. === Esempio pratico === Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell = 42\text{ cm}</text_format> (ovvero <math>0{,}42\text{ m}</math>) e massa <math>M = 2{,}05\text{ kg}</math>, incernierata a un estremo tramite un perno fisso orizzontale. La sbarretta può muoversi liberamente in un piano verticale. Se viene applicato un impulso angolare pari a <math>J_{\tau} = 1\text{ kg m/s}</math>, la sbarretta si metterà in rotazione. Poiché il suo momento d'inerzia rispetto all'estremo incernierato è dato da: :<math>I_c = \frac{1}{3} M \ell^2 = \frac{1}{3} \cdot 2{,}05\text{ kg} \cdot (0{,}42\text{ m})^2 \approx 0{,}12\text{ kg m}^2</math> il corpo acquisterà una velocità angolare pari a: :<math>\omega = \frac{J_{\tau}}{I_c} = \frac{1}{0{,}12} \approx 8{,}3\text{ rad/s}</math> Di conseguenza, l'energia cinetica rotazionale iniziale sarà: :<math>E_k = \frac{1}{2} I_c \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}12 \cdot (8{,}3)^2 \approx 4{,}15\text{ J}</math> Per il principio di conservazione dell'energia meccanica, questa energia cinetica si trasformerà interamente in energia potenziale gravitazionale nel punto più alto della traiettoria (<math>E_p = Mgh = E_k</math>). L'altezza massima <math>h</math> raggiunta dal centro di massa sarà quindi: :<math>h = \frac{E_k}{Mg} = \frac{4{,}15}{2{,}05 \cdot 9{,}81} \approx 0{,}21\text{ m}</math> Dato che il centro di massa si trova a metà della sbarretta (<math>\ell/2 = 0{,}21\text{ m}</math>), un'altezza <math>h = 0{,}21\text{ m}</math> significa che la sbarretta si porta in posizione perfettamente orizzontale, compiendo esattamente un quarto di giro. == Statica dei corpi rigidi == La statica è la branca della meccanica razionale che studia le condizioni di equilibrio dei corpi. Mentre per un punto materiale l'equilibrio si riduce alla semplice assenza di forze nette, per un corpo rigido la situazione è più complessa: non dobbiamo solo evitare che il corpo si sposti (moto di traslazione), ma dobbiamo anche assicurarci che non inizi a girare su se stesso (moto di rotazione). Dal punto di vista matematico, la condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo rigido inizialmente in quiete si mantenga in equilibrio statico è che siano annullate contemporaneamente la risultante delle forze esterne e la risultante dei momenti delle forze esterne. Le equazioni cardinali della statica si esprimono quindi come: :<math>\vec R = \sum \vec F_i = 0</math> :<math>\vec \tau = \sum \vec \tau_i = 0</math> Analizziamo nel dettaglio il significato di queste due condizioni: * Annullamento della risultante delle forze (<math>\vec R = 0</math>): Questa prima equazione garantisce l'equilibrio alla traslazione. Significa che l'accelerazione del centro di massa del corpo è nulla. Se il corpo è inizialmente fermo, il suo centro di massa rimarrà immobile. * Annullamento del momento risultante (<math>\vec \tau = 0</math>): Questa seconda equazione garantisce l'equilibrio alla rotazione. Il momento totale delle forze (indicato anche con <math>\vec \tau</math>) deve essere nullo rispetto a qualsiasi polo scelto come riferimento. Se questa condizione è soddisfatta e il corpo è fermo, esso non subirà alcuna accelerazione angolare, evitando di ruotare. Se la risultante delle forze è strettamente nulla (<math>\vec R = 0</math>), il valore del momento risultante <math>\vec \tau</math> è indipendente dal polo scelto. Questo è un grande vantaggio pratico negli esercizi, poiché permette di scegliere come polo il punto più conveniente (ad esempio, il punto in cui si applicano le forze incognite che si vogliono eliminare dai calcoli). In sintesi, l'equilibrio statico perfetto si ottiene solo quando il corpo non subisce traslazioni del centro di massa né rotazioni attorno a un qualsiasi asse. == Applicazioni pratiche ed esempi == Per comprendere come queste equazioni si traducano in vincoli fisici e forze di reazione, è utile analizzare alcuni scenari classici di forze contrapposte, attriti e fulcri. Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: * [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|Scala appoggiata a una parete con una persona]]: un classico problema in cui l'attrito del terreno e le reazioni vincolari della parete devono compensare la forza peso della scala e dell'uomo, evitando sia lo scivolamento sia il ribaltamento. * [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|Asta orizzontale vincolata con un carico]]: un esempio che mostra come un fulcro o una fune di sostegno debbano generare un momento opposto a quello creato dal carico sospeso per mantenere l'asta in posizione perfettamente orizzontale. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} o425annchz7efoy03tkmyly80u33jk9 0 11843 499047 497831 2026-06-07T11:15:17Z Pasquale.Carelli 528 /* Primo principio della termodinamica */ da completare 499047 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Gas Reali e Ideali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Gas_ideali_e_reali |CapitoloSuccessivo=Secondo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Secondo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Primo_principio_della_termodinamica|Primo principio della termodinamica]]= Il primo principio della termodinamica estende il principio di conservazione dell’energia, tipico dei sistemi meccanici conservativi, a tutti i sistemi termodinamici. In esso, l’energia totale si conserva purché si contabilizzino rigorosamente gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente esterno, che possono avvenire esclusivamente sotto due forme: il lavoro meccanico e il calore. Per convenzione (detta egoistica o fisica), si considera positivo il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e positivo il calore assorbito dal sistema. Questa scelta permette di formulare in modo coerente il bilancio energetico e di interpretare correttamente i processi fisici. Una prima conseguenza diretta del primo principio è che, in qualunque trasformazione ciclica, il sistema ritorna allo stesso stato termodinamico di partenza. Poiché lo stato termodinamico è univocamente determinato da un insieme di variabili macroscopiche, tutte le grandezze che dipendono solo da esso — le cosiddette funzioni di stato — devono riassumere lo stesso valore iniziale. In particolare, la variazione dell’energia del sistema al termine di un intero ciclo deve essere identicamente nulla. Di conseguenza, il bilancio energetico impone che il lavoro totale netto compiuto dal sistema coincida sempre con il calore totale netto assorbito: :<math>W=Q\ </math> Consideriamo ora due generici stati di equilibrio termodinamico, <math>A\ </math> e <math>B\ </math>. Esistono, in linea di principio, infiniti percorsi fisici per portare il sistema da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>. Spesso si usa rappresentare questi percorsi mediante delle linee continue in un piano termodinamico (ad esempio nel piano di Clapeyron, <math>P-V\ </math>). È fondamentale però interpretare correttamente questo diagramma: siccome i punti nel piano corrispondono esclusivamente a stati di equilibrio (dove la pressione e il volume sono ben definiti in tutto il sistema), solo una trasformazione ''quasi-statica'' (cioè un'evoluzione infinitamente lenta composta da una successione continua di stati di equilibrio) può essere rigorosamente tracciata come una curva. Gli stati intermedi di una trasformazione reale, invece, potrebbero non essere stati di equilibrio ed essere perciò privi di coordinate termodinamiche globali rappresentabili come punti. [[Image:Energia_interna.png|thumb|250px|left|Tre possibili percorsi per andare dallo stato A allo stato B su un piano termodinamico. Solo percorsi quasi-statici possono essere disegnati con linee continue.]] Consideriamo il caso illustrato in figura: vi sono due distinte trasformazioni, <math>I\ </math> e <math>II\ </math>, che portano il sistema dal medesimo stato <math>A\ </math> allo stato <math>B\ </math>. Esse comportano, in generale, scambi di calore e lavoro differenti, pari rispettivamente a <math>Q_I\ </math>, <math>W_I\ </math> e <math>Q_{II}\ </math>, <math>W_{II}\ </math>. Immaginiamo ora che il sistema venga riportato da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math> tramite una terza trasformazione di rientro <math>III\ </math>, caratterizzata da un calore <math>Q_{III}\ </math> e un lavoro <math>W_{III}\ </math>. Ciò premesso, se valutiamo i due interi cicli combinati <math>I+III\ </math> e <math>II+III\ </math>, dal bilancio sul ciclo chiuso ricaviamo che: :<math>Q_I-W_I+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> :<math>Q_{II}-W_{II}+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni, le grandezze della trasformazione <math>III\ </math> si elidono, rivelando un risultato cruciale: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}\ </math> Questa equazione dimostra che, sebbene il calore scambiato e il lavoro eseguito dipendano strettamente dal percorso effettuato tra <math>A\ </math> e <math>B\ </math>, la loro ''differenza'' ne è completamente indipendente: essa varia unicamente in base allo stato iniziale e finale. A questa quantità definita a meno di una costante additiva arbitraria viene dato il nome di '''energia interna''', che si afferma così come una vera e propria funzione di stato: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}=U(B)-U(A)\ </math> L'energia interna di un sistema ha le stesse dimensioni fisiche dell'energia puramente meccanica o del calore. Dal punto di vista microscopico, l'energia interna macroscopica misurata non è altro che la somma totale di tutte le energie a livello molecolare di cui si compone il sistema: include le energie cinetiche di ciascuna molecola (traslazionali, rotazionali e vibrazionali) e le loro energie potenziali di reciproca interazione. In maniera più generale e formale, riordinando i termini, possiamo scrivere che in qualunque trasformazione termodinamica tra stati di equilibrio: :<math>Q=W+\Delta U\ </math> Questa espressione è la forma matematica definitiva del primo principio della termodinamica. Essa ribadisce che l'energia dell'universo termodinamico considerato (sistema più ambiente) non viene né creata né distrutta: essa transita da o verso il sistema sotto forma di calore e lavoro macroscopici, manifestandosi poi come variazione dell'energia misurabile contenuta intrinsecamente nel corpo stesso. ==Energia interna dei gas perfetti== [[Image:Joultom.gif|thumb|250px|left|Schema dell'esperimento di Joule sulla espansione libera di un gas perfetto]] Si deve a [[w:James_Prescott_Joule|Joule]] un celebre esperimento fondamentale per chiarire da cosa dipenda l'energia interna di un gas perfetto. L'apparato sperimentale (mostrato schematicamente nella figura a fianco) è così concepito: in un [[w:Calorimetro|calorimetro]], ovvero un recipiente termicamente isolato contenente un liquido di cui si conosce la [[w:Capacità_termica|capacità termica]], viene immerso un contenitore rigido diviso in due sezioni da una valvola. Inizialmente tutto il gas si trova confinato nel bulbo di sinistra, in equilibrio termico alla temperatura del bagno liquido, mentre il bulbo di destra è completamente vuoto. Quando si apre il rubinetto, il gas subisce un'espansione libera, andando a occupare l'intero contenitore. Joule osservò che, a espansione conclusa, non vi era alcuna variazione misurabile nella temperatura del liquido calorimetrico. L'assenza di variazioni di temperatura implica che il gas non ha scambiato calore netto con l'ambiente esterno (il calorimetro). Pertanto, indicando con <math>Q</math> il calore, si ha <math>Q = 0</math>, e dal primo principio possiamo scrivere per il gas: :<math>W+\Delta U=0\ </math> Tuttavia il sistema, trovando il vuoto nell'altra metà del contenitore, non deve spingere alcuna parete mobile o vincere attriti esterni; non compie quindi alcun lavoro meccanico sull'ambiente (<math>W=0\ </math>). Ne consegue necessariamente che la variazione di energia interna del gas è nulla (<math>\Delta U = 0</math>). Il significato fisico di questo risultato è profondo: pur essendo cambiate drasticamente due variabili di stato del gas (il volume è raddoppiato e, di conseguenza, la pressione si è dimezzata), la temperatura e l'energia interna sono rimaste inalterate. Da qui si deduce, per esclusione, che nei gas perfetti l'energia interna non dipende né dal volume né dalla pressione, ma è esclusivamente funzione della sua temperatura: <math>U = U(T)</math>. È importante sottolineare che l'espansione libera è un esempio classico di trasformazione adiabatica e strettamente irreversibile; non è infatti possibile far tornare il gas nel solo bulbo di sinistra senza compiere lavoro di compressione. Se l'esperimento venisse ripetuto ad alta precisione con un gas reale, si noterebbero deboli variazioni di temperatura, confermando che l'assoluta indipendenza di <math>U</math> dal volume è vera solo nel modello limite del gas perfetto. Conoscendo ora questa proprietà fondamentale (<math>U=U(T)</math>), siamo in grado di valutare facilmente il calore scambiato da un gas perfetto nel corso di una trasformazione isoterma e reversibile. Questa trasformazione differisce radicalmente dall'espansione libera perché avviene attraverso stati di equilibrio e scambiando calore calore con una sorgente fissa. Poiché la temperatura non muta, l'energia interna del gas resta perennemente costante durante l'intero processo. Il gas, di fatto, converte in modo integrale tutto il calore assorbito dalla sorgente termica in lavoro meccanico ceduto all'esterno: :<math>Q=W\ </math> In particolare, se conosciamo il volume iniziale <math>V_A\ </math> e quello finale <math>V_B\ </math> delle <math>n\ </math> moli di gas che compiono tale trasformazione alla temperatura costante <math>T_o\ </math>, partendo dalla definizione generale di lavoro: :<math>W=\int_A^BPdV\ </math> Poiché la trasformazione è reversibile e quasi-statica, essa avviene lungo stati di equilibrio successivi; possiamo quindi sostituire alla pressione <math>P\ </math> l'espressione fornita dall'equazione di stato dei gas perfetti ($P=nRT/V$): :<math>W=nRT\int_{V_A}^{V_B}\frac {dV}V=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Di conseguenza, integrando il concetto, il calore totale scambiato nella trasformazione isoterma è: :<math>Q=W=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Il significato dell'energia interna nei gas perfetti acquista totale concretezza ricorrendo al modello microscopico descritto dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]. Essa permette di identificare l'energia interna di un gas perfetto monoatomico (come l'elio o l'argon) esclusivamente con la somma delle energie cinetiche traslazionali delle particelle che lo compongono. Sperimentalmente e teoricamente si dimostra che, all'equilibrio termico, l'energia cinetica media di traslazione della singola molecola dipende solo dalla temperatura assoluta ed è pari a: :<math>\frac 32 k_BT\ </math> Ricordando che la costante di Boltzmann <math>k_B=R/N_A\ </math> equivale alla costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro. Moltiplicando l'energia media della singola molecola per il numero totale di particelle presenti nel gas, l'energia interna totale di <math>n\ </math> moli di gas monoatomico risulta pari a: :<math>U=nN_A\frac 32 k_BT=\frac 32 nRT\ </math> Se il gas è biatomico (come l'ossigeno o l'azoto), la molecola non è più puntiforme ma si modella come un "manubrio". Negli urti molecolari d'equilibrio, l'energia si ripartisce equamente anche sui due ulteriori gradi di libertà associati alle rotazioni della molecola lungo gli assi perpendicolari all'asse interatomico. Ogni molecola possiede quindi energia cinetica di traslazione più l'energia di rotazione; l'energia media distribuita sui 5 gradi di libertà complessivi aumenta quindi a: :<math>\frac 52 k_BT\ </math> In questo caso, l'energia interna macroscopica del gas biatomico assume la forma: :<math>U=nN_A\frac 52 k_BT=\frac 52 nRT\ </math> La regola per cui ad ogni singolo grado di libertà cinematico o potenziale quadratico spetti, all'equilibrio termico, un'energia media quantificabile esattamente in <math>k_BT/2\ </math>, è un postulato fondamentale della meccanica statistica classica e va sotto il nome di principio di equipartizione dell'energia. ==Calore specifico molare di un gas perfetto== ===Volume costante=== I gas e in particolare quelli perfetti hanno una elevata compressibilità, questo comporta che se si fornisce una determinata quantità di calore la temperatura a cui si porta il gas dipende da quanto varia il volume durante la trasformazione. In altri termini in genere il calore fornito in parte aumenta la temperatura del gas e in parte fa compiere lavoro verso l'ambiente esterno da parte del gas. Un caso particolarmente interessante è la quantità di calore da fornire a una mole di gas perfetto per andare da una temperatura <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math> quando la trasformazione avviene in maniera isocora cioè a volume costante, senza ipotesi di reversibilità. In questo caso il I principio della termodinamica scritto in forma differenziale diventa semplicemente: :<math>dU=dQ=c_vdT\ </math> Dove <math>c_v\ </math> è il calore specifico molare a volume costante (da cui il pedice <math>v\ </math>). Per quanto visto precedentemente se il gas è monoatomico: :<math>dU=\frac 32RdT\ </math> mentre se il gas è biatomico: :<math>dU=\frac 52RdT\ </math> Quindi il calore specifico molare di un gas perfetto vale nel caso monoatomico <math>c_v=3/2R\ </math> e nel caso biatomico <math>c_v=5/2R\ </math>. Da quanto detto quindi possiamo affermare, in generale, che in un gas perfetto l'energia libera è pari a: :<math>U=nc_vT\ </math> ===Pressione costante=== Se la trasformazione infinitesima da <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math>, invece che a volume costante, avvenisse in maniera reversibile, ma a pressione costante, per <math>n\ </math> moli di un gas perfetto, posso riscrivere il I principio della termodinamica in forma differenziale come: :<math>dU+pdV=dQ=nc_pdT\ </math> Dove con <math>c_p\ </math> si è indicato il calore specifico a pressione costante. Ma essendo la trasformazione reversibile posso differenziare l'equazione di stato di una mole di gas perfetto, il termine <math>Vdp\ </math> è nullo a causa del fatto che la trasformazione è isobara, quindi: :<math>pdV=nRdT\ </math> ma anche: :<math>dU=nc_vdT\ </math> Sostituendo nella equazione precedente: :<math>c_vdT+RdT=c_pdT\ </math> da cui segue che: :<math>c_p=c_v+R\ </math> Quindi il calore specifico molare a pressione costante è maggiore per tutti i gas perfetti al calore specifico a volume costante della stessa quantità: la costante di stato dei gas. Questo risultato fu trovato sperimentalmente, e in onore di chi lo ha scoperto, va sotto il nome di relazione di Mayer. Il rapporto tra <math>c_p\ </math> e <math>c_v\ </math> viene definito come <math>\gamma\ </math>: :<math>\gamma=\frac {c_p}{c_v}\ </math> Mentre posso sempre definire anche per i gas non perfetti il rapporto <math>\gamma\ </math>, il suo valore come il valore di <math>c_v\ </math> dati valgono solo per i gas perfetti a temperatura ambiente. A temperature molto basse o molto alte i valori che si trovano sperimentalmente per <math>c_v\ </math> e <math>\gamma\ </math> differiscono dal valore dei gas perfetti. La tabella seguente riepiloga numericamente quanto detto nel caso ideale: {| {{prettytable}} ! gas || <math>c_v\ </math> || <math>c_p\ </math> || <math>\gamma\ </math> |- | monoatomico || <math>3R/2\ </math> || <math>5R/2\ </math>|| <math>1.66\ </math> |- | biatomico || <math>5R/2\ </math> || <math>7R/2\ </math>|| <math>1.4\ </math> |- |} ==Calore specifico molare di un solido== Nei solidi la differenza tra calore specifico a pressione o volume costante è irrilevante, essendo la compressibilità trascurabile. Ma se si vuole le cose sono molto più semplici in quanto empiricamente si trova che il calore specifico molare di tutti i solidi (tranne per materiali a elevatissima temperatura di fusione quale il diamante) segue la legge empirica detta di [[w:Legge_di_Dulong_Petit|Dulong Petit]], che afferma che il calore specifico molare di un solido vale: <math>3R\ </math>. In ogni caso a temperatura ambiente il calore specifico molare di tutte le sostanze semplici non si discosta di molto da tale legge empirica. ==Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto== Una trasformazione si dice adiabatica se il sistema non scambia calore con nessuna sorgente durante la trasformazione. L'espansione libera di un gas perfetto è un esempio di trasformazione adiabatica irreversibile, ma in tale caso oltre a non assorbire calore il sistema non produce lavoro. Restringiamo la nostra attenzione su una espansione adiabatica reversibile, ovviamente invertendo il verso e i segni delle grandezze termodinamiche si ottiene il caso inverso di una compressione adiabatica. Limitiamo il caso a un gas perfetto in questo caso il lavoro prodotto sarà ovviamente pari alla variazione di energia interna del sistema. In poche parole il gas si espande e si raffredda (diminuisce la sua energia interna) e compie un lavoro. Essendo la trasformazione reversibile posso scrivere il I principio della termodinamica in maniera differenziale fotografando un generico istante in cui il sistema si porta da uno stato a uno immediatamente vicino lungo la trasformazione adiabatica: <math>dU+pdV=0\ </math> Essendo un gas perfetto posso scrivere questa relazione come: <math>nc_vdT+\frac {nRT}VdV=0\ </math> Posso scrivere che <math>R/c_v=\gamma -1\ </math> dalla relazione di Mayer, quindi separando le variabili e facendo la sostituzione detta: <math>(\gamma -1)\frac {dV}V=-\frac {dT}T\ </math> Se integriamo tra lo stato <math>A\ </math> (di partenza) e lo stato generico indicato con nessun pedice: <math>ln \left(\frac {V}{V_A} \right)^{(\gamma -1)}=ln \frac {T_A}{T}\ </math> Essendo eguali i logaritmi devono essere eguali gli argomenti cioè: [[Image:Adiabatic.svg|thumb|250px|right|Confronto tra trasformazione adiabatica e due isoterme nel piano di Clapeyron]] <math>TV^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}=cost\ </math> Mediante l'equazione di stato si può cambiare la variabile indipendente con semplici passaggi si ottiene che anche: <math>pV^{\gamma}=cost\ </math> e <math>Tp^{(1-\gamma )/\gamma}=cost\ </math> Queste equazioni descrivono il comportamento di due variabili di stato indipendenti nel corso di una trasformazione adiabatica reversibile. Notiamo come essendo <math>\gamma> 1\ </math> la pendenza sul piano di Clapeyron delle adiabatiche reversibili sia tanto maggiore rispetto alle isoterme quanto maggiore è <math>\gamma\ </math>, come è schematicamente mostrato nella figura a fianco. Un esempio di trasformazione adiabatica si ha nell'atmosfera quando masse d'aria si spostano rapidamente verso l'alto. Poiché la pressione diminuisce con l'altezza a tale espansione adiabatica si accompagna un abbassamento di temperatura dell'aria. La variazione di temperatura con l'altezza si spiega bene con tale meccanismo. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#2._Adiabatica_gas_perfetto|esercizio sui gas perfetti]] chiarisce meglio quanto detto. Mentre l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#3._Adiabatica_con_recipiente| esempio con un recipiente]] estende tale concetti. ==Trasformazioni cicliche== In una trasformazione ciclica l'energia interna del sistema che compie la trasformazione ovviamente non cambia, essendo l'energia interna una variabile di stato, poiché per definizione di ciclo, il sistema ritorna nelle condizioni iniziali. Da un punto di vista analitico se definisco <math>Q_i\ </math> il calore scambiato in un ciclo con la sorgente <math>i\ </math> e con <math>W\ </math> il lavoro totale del ciclo avrò che: :<math>\sum Q_i=W\ </math> Notiamo che invece sia i calori scambiati sia i lavori prodotti durante un ciclo dipendono da come viene compiuto il ciclo. ===Macchina termica=== Un caso particolare di ciclo è quello che avviene tra due sole sorgenti di temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math>. In tale caso se il ciclo viene percorso in senso orario il lavoro prodotto è positivo e posso chiamare <math>Q_1\ </math> e <math>Q_2\ </math> le quantità di calore scambiate con le due sorgenti in questo caso <math>Q_1\ </math> è negativa (cioè il sistema cede calore alla sorgente). Si definisce rendimento <math>\eta\ </math> di un ciclo motore il rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e il calore assorbito dalla sorgente a temperatura più alta: <math>\eta =\frac W{Q_2}\ </math> ===Ciclo frigorifero=== Se invece il ciclo viene percorso in senso antiorario, il ciclo si chiama frigorifero, in quanto il risultato finale è quello di assorbire del lavoro meccanico (quindi <math>W\ </math> è negativo) e di assorbire del calore dalla sorgente a temperatura più bassa (<math>Q_1>0\ </math> e cederla a quella temperatura più alta <math>Q_2<0\ </math>). Qui bisogna fare una distinzione tra quelli che sono dei veri e propri frigoriferi, cioè delle macchine che assorbono calore dalla sorgente più fredda e lo portano a temperatura ambiente mediante un lavoro meccanico, scaricando a temperatura ambiente il calore. L'efficienza di tali macchine frigorifere è dato del cosiddetto coefficiente di prestazione, che è il rapporto: :<math>COP_f=\frac {Q_1}{|W|}=-\frac {Q_1}{W}\ </math> Più elevato è tale rapporto migliore sono le prestazioni del frigorifero. Il ciclo frigorifero viene anche utilizzato per le cosiddette [[w:Pompa_di_calore|pompe di calore]] che in realtà servono scaldare in maniera più efficiente, rispetto alla semplice dissipazione del lavoro meccanico. Le pompe calore utilizzano il lavoro meccanico tra due temperature per assorbire calore dalla temperatura più bassa (la più bassa è temperatura ambiente) e portarlo alla temperatura più alta. In questo caso il coefficiente di prestazione è: :<math>COP_p=\frac {Q_2}{W}\ </math> Entrambi <math>Q_2\ </math> e <math>W\ </math>, sono negativi per cui il loro rapporto è positivo. Le pompe di calore sono vantaggiose da un punto di vista energetico se il COP è maggiore di 1: se è minore di 1 è più semplice trasformare direttamente il lavoro in calore. ==Ciclo di Carnot== [[Image:Carnot-cycle.jpg|thumb|450px|right|Ciclo ideale di una macchina di Carnot]] La macchina di Carnot è una macchina ideale che funziona tra due sole temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> eseguendo due trasformazioni isoterme e due adiabatiche. La macchina è ideale nel senso che il ciclo viene supposto avvenire in maniera reversibile. Notiamo che in linea di principio solo delle trasformazioni adiabatiche reversibili che chiudono il ciclo permettano di utilizzare due sole sorgenti di calore. Se infatti invece che le due adiabatiche si fosse richiuso il ciclo con delle isocore (come nel ciclo di Stirling descritto in seguito) avremmo avuto bisogno per eseguire il ciclo in maniera reversibile di infinite sorgenti di calore tra <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> (che in un ciclo scambiano una quantità nulla di calore) che però da un punto di vista pratico non è possibile. Ma a metà dell'Ottocento la macchina di Carnot appariva la macchina ideale migliore, in quanto non doveva avere le infinite sorgenti necessarie per altri tipi di cicli reversibili. Immaginiamo di utilizzare un gas perfetto per eseguire il ciclo, non è necessario, ma è il sistema per cui sappiamo in maniera semplice calcolare l'equazione di stato. La trasformazione <math>A->B\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene eseguito il lavoro <math>W_{AB}\ </math> che coincide con il calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore <math>T_2\ </math> : <math>W_{AB}=Q_2=nRT_2\ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Nella trasformazione tra <math>B->C\ </math> il sistema compie una trasformazione adiabatica reversibile, quindi il sistema è isolato da ogni sorgente di calore e compie del lavoro positivo che non calcoliamo in quanto non necessario. Notiamo che esiste una ben precisa relazione tra le temperature e i volumi, durante e in particolare, agli estremi della trasformazione: <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> La traformazione tra <math>C->D\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene assorbito il lavoro <math>W_{CD}\ </math> che coincide con il calore ceduto alla sorgente a temperatura minore <math>T_1\ </math> : <math>W_{CD}=Q_1=nRT_1\ln \frac {V_D}{V_C}\ </math> E infine una trasformazione adiabatica <math>D->A\ </math> riporta il sistema nello stato iniziale anche in questo caso si ha che: <math>T_1V_D^{\gamma -1}=T_2V_A^{\gamma -1}\ </math> Ci interessa calcolare il rendimento di una macchina di questo tipo, non è necessario conoscere il lavoro assorbito o prodotto nelle adiabatiche in quanto il lavoro totale fatto nel ciclo, per il I principio della termodinamica, coincide con il calore scambiato con le sue sorgenti cioè: <math>W=Q_1+Q_2\ </math> e quindi: <math>\eta =\frac W{Q_2}=1+\frac {T_1\ln \frac {V_D}{V_C}}{T_2\ln \frac {V_A}{V_B}}=1-\frac {T_1\ln \frac {V_C}{V_D}}{T_2\ln \frac {V_B}{V_A}}\ </math> Ma essendo le trasformazioni <math>B->C\ </math> e <math>D->A\ </math> adiabatiche abbiamo visto come : <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> <math> T_2V_A^{\gamma -1}=T_1V_D^{\gamma -1}\ </math> Per cui dividendo membro a membro segue che: <math> \frac {V_B}{V_A}=\frac {V_C}{V_D}\ </math> <math> \eta =1-\frac {T_1}{T_2}\ </math> Da questo segue che il rendimento di una macchina di Carnot dipende solo dalle temperature delle sorgenti tra cui avviene ed è tanto maggiore quanto maggiore è il rapporto tra le due temperature. In ogni caso il rendimento è sempre inferiore a 1. Mentre il rendimento non dipende che dalle temperature delle due sorgenti, i calori e il lavoro eseguito dipendono dalle dimensioni del ciclo. Infatti maggiore è il rapporto tra i volumi <math>V_B\ </math> e <math>V_A\ </math> tanto maggiore è il lavoro fatto in un ciclo. Di conseguenza aumentano le quantità di calore scambiate con le varie sorgenti. Quindi un ciclo di Carnot operante tra due temperature ha un rendimento ben preciso, ma può produrre un qualsivoglia lavoro. Inoltre essendo invertibile può essere trasformato in una macchina frigorifera il cui COP di in frigorifero vale: :<math>COP_f=\frac {T_1}{T_2-T_1}\ </math> Mentre quello della pompa di calore vale: :<math>COP_p=\frac {T_2}{T_2-T_1}\ </math> Il ciclo di Carnot non ha applicazioni pratiche in quanto fare delle trasformazioni adiabatiche reversibili è spesso meno semplice che eseguire altri tipi di trasformazioni. Al contrario il ciclo di Stirling di cui viene fatto un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#4._Ciclo_di_Stirling| esempio]] è un ciclo che operando tra due temperature ha buone applicazioni pratiche. Ovviamente cicli termodinamici ve ne sono anche altri possibili [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#5._Ciclo_anomalo| un esempio]] di un ciclo poco efficiente chiarisce la scelta del ciclo. [[Fisica_classica/Secondo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Secondo principio della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica|Primo principio della Termodinamica]] {{Avanzamento|75%}} 9i3p71prqdb7hzykr3uclh60czy5aie 0 20754 499035 497727 2026-06-07T10:22:01Z Pasquale.Carelli 528 /* Transizioni di fase */ punto in virgola 499035 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Definizioni delle grandezze della termodinamica |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Definizioni_termodinamica |CapitoloSuccessivo=Trasformazioni termodinamiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Trasformazioni termodinamiche }} {{fisica classica}} =[[w:Calore|Calore]]= Il '''calore''' ha un ruolo centrale in termodinamica e la sua definizione non dipende dalla meccanica. Quando due sistemi a temperatura diversa vengono posti in contatto termico, i loro stati evolvono fino a raggiungere una temperatura di equilibrio intermedia tra quelle iniziali. Si chiama calore la quantità di energia che passa spontaneamente dal sistema a temperatura più alta a quello a temperatura più bassa fino al raggiungimento dell’equilibrio. Che il calore fosse una forma di energia, del tutto analoga alle altre, si comprese solo all’inizio dell’Ottocento. Fino alla fine del Settecento si riteneva invece che il flusso di calore dai corpi caldi a quelli freddi fosse dovuto a un fluido imponderabile, privo di massa, chiamato [[w:calorico|''calorico'']]. Questa teoria, pur errata, riusciva a spiegare in modo soddisfacente molti fenomeni termici osservabili all’epoca. Per questo motivo si era introdotta un’unità di misura specifica per il calore: la '''caloria''', definita come la quantità di calore necessaria ad aumentare di un grado Celsius la temperatura di un grammo di acqua liquida. Il suo multiplo più usato era (ed è ancora in alcuni contesti) la kilocaloria (kcal). In campi come la [[w:Scienza_dell%27alimentazione|scienza dell'alimentazione]], per indicare l’apporto energetico degli alimenti si utilizza spesso la Caloria con la maiuscola, che corrisponde proprio a una kilocaloria. A mettere in crisi la teoria del calorico fu soprattutto l’osservazione che il calore può essere prodotto per [[w:Attrito|attrito]], cioè tramite un fenomeno di natura meccanica come lo sfregamento tra corpi. Fu [[w:James Joule|James Joule]] a determinare sperimentalmente la relazione quantitativa tra la caloria — allora usata come unità di misura del calore — e il joule, l’unità di misura del lavoro e dell’energia. Attraverso una serie di esperimenti accurati sulla trasformazione del lavoro meccanico in calore (celebre quello della ruota a pale immersa nell’acqua), Joule stabilì il valore di quello che venne chiamato equivalente meccanico della caloria: la quantità di lavoro che deve essere compiuta per produrre una caloria di calore. La relazione da lui ottenuta è: :<math>1\ cal =4,185\ J</math> Questa equivalenza sancì definitivamente che calore e lavoro sono forme diverse della stessa grandezza fisica: l’energia. Per quanto riguarda la convenzione del segno del calore scambiato, si considera positivo il calore assorbito dal sistema, che — in assenza di cambiamenti di stato — provoca un aumento della sua temperatura. È invece negativo il calore ceduto dal sistema all’ambiente, poiché rappresenta una perdita di energia interna. Ritornando ai due sistemi a temperature diverse posti in contatto termico, il sistema inizialmente più caldo, di temperatura <math>T_2\ </math>, cede una quantità di calore <math>Q_2\ </math> (negativa), mentre il sistema più freddo, di temperatura <math>T_1\ </math>, assorbe una quantità di calore <math>Q_1\ </math> (positiva), in modo tale che: :<math>Q_1=-Q_2\ </math> ===[[w:Calore_specifico|Calore specifico]]=== Si chiama capacità termica di un corpo la quantità di calore necessaria per aumentare di un grado la sua temperatura. La capacità termica è una grandezza estensiva, perché dipende dalla quantità di materia presente. Per questo motivo si preferisce spesso introdurre il calore specifico, che rappresenta la quantità di calore che occorre scambiare con l’unità di massa per aumentare la temperatura di 1 grado (K o °C). Il calore specifico è quindi una grandezza intensiva. Nel caso dell’acqua, il calore specifico vale: <math>4185\ J/(kgK)</math>. Oltre al calore specifico per unità di massa, si definisce anche il calore specifico molare, cioè la quantità di calore necessaria per aumentare di 1 K la temperatura di una mole di sostanza. Poiché una mole di acqua ha massa <math>18\ g</math>, il suo calore specifico molare risulta: <math>75 \ J/(moleK)</math>. Vedremo che, per solidi e gas, il calore specifico molare segue leggi quasi universali, sorprendentemente poco dipendenti dalla sostanza considerata. Se è nota la capacità termica di due corpi (<math>C_1\ </math>, <math>C_2\ </math> ) che si scambiano calore a partire dalle rispettive temperature (<math>T_1\ </math> più bassa <math>T_2\ </math> più alta) fino ad arrivare ad una temperatura intermedia <math>T_e\ </math>. Può essere facilmente calcolato il calore scambiato: :<math>Q=C_1(T_e-T_1)=C_2(T_2-T_e)\ </math> Normalmente mentre la temperatura è facilmente misurabile, la capacità termica dei corpi, come tutte le variabili estensive, non può essere misurata direttamente. Definiamo sorgente di calore un corpo con capacità termica così grande da poter scambiare calore con un altro sistema senza subire variazioni apprezzabili di temperatura. Una sorgente di calore mantiene quindi la propria temperatura praticamente costante anche quando fornisce o assorbe quantità finite di calore. Esempi tipici sono il mare o, più in generale, un corpo molto grande rispetto al sistema con cui è in contatto. Nel seguito useremo spesso le sorgenti di calore per semplificare lo studio delle trasformazioni termodinamiche. Se la sorgente non è ideale, la sua temperatura varierà comunque: la variazione sarà tanto maggiore quanto minore è la sua capacità termica. In senso più ampio, si chiama sorgente di calore qualsiasi corpo o processo che fornisce calore a un sistema termodinamico: una fiamma, una resistenza elettrica o una reazione chimica esotermica sono quindi sorgenti di calore. Per completezza, distinguiamo ora tra sorgente di calore e pozzo termico, due concetti fondamentali in termodinamica: * Sorgente di calore: Corpo che fornisce calore mantenendo la temperatura costante. Esempio: una fiamma, una resistenza elettrica, una reazione esotermica. * Pozzo termico: Corpo che assorbe calore mantenendo la temperatura costante. Esempio: l’ambiente esterno, un grande serbatoio d’acqua, l’atmosfera. In pratica, sorgente e pozzo sono due versioni dello stesso modello ideale: la sorgente è un serbatoio termico a temperatura alta; il pozzo è un serbatoio termico a temperatura bassa. Questi modelli sono essenziali per descrivere in modo semplice i cicli termodinamici (come il ciclo di Carnot) e per analizzare i flussi di energia senza dover considerare le variazioni di temperatura dei corpi coinvolti. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Calore#Rame_e_alluminio|esempio]] sul contatto tra due metalli chiarisce il concetto di temperatura di equilibrio. Calore specifico per di alcuni solidi a temperatura ambiente: {| class="wikitable sortable" |- ! Sostanza ! <math>c_M</math><br />J/(kg·K) |- | Alluminio || align="right"| 880 |- | Ferro || align="right"| 444 |- | Acciaio inox ||align="right"| 502 |- | Ghiaccio || align="right"| 2090 |- | Berillio || align="right"| 1824 |- | Diamante || align="right"| 502 |- | Grafite || align="right"| 720 |- | Litio || align="right"| 3582 |- | Oro|| align="right"| 129 |- | Ottone (lega) || align="right"| 377 |- | Piombo|| align="right"| 130 |- | Polistirene|| align="right"| 1450 |- |} ==[[w:Transizione_di_fase|Transizioni di fase]]== [[Image:Diafase.png|thumb|300px|right|Diagramma di fase solido, liquido e vapore di una sostanza generica]] Le transizioni di fase rappresentano, nel caso dei passaggi tra stato solido, liquido e gassoso, un modo particolarmente semplice e diretto per misurare il calore scambiato da un sistema. Durante una transizione di fase, infatti, la temperatura rimane costante mentre il sistema assorbe o cede una quantità di calore ben definita, detta calore latente. Per questo motivo vale la pena descrivere brevemente questi fenomeni prima di affrontare i calcoli termodinamici. Il comportamento di un sistema a un solo componente può essere rappresentato nel diagramma di fase nel piano pressione–temperatura (P–T), mostrato nella figura a fianco. Nel diagramma compaiono le tre regioni di stabilità termodinamica — solido, liquido, vapore — separate dalle curve di equilibrio che rappresentano le condizioni in cui avviene una transizione di fase reversibile. Per descrivere completamente lo stato di un sistema a un solo componente sono sufficienti due variabili termodinamiche, ad esempio temperatura e pressione. Nel diagramma di fase queste due variabili individuano univocamente lo stato del sistema. Lungo le linee di coesistenza, dove due fasi sono in equilibrio, una sola variabile intensiva (temperatura oppure pressione) è sufficiente a determinare lo stato del sistema. Le principali linee di coesistenza sono: * solido-gas (BO): linea di sublimazione * solido-liquido (OC): curva di fusione * liquido-gas(OA):curva di vaporizzazione Nel diagramma compaiono due punti caratteristici, che dipendono solo dalla sostanza e non da variabili esterne: * Punto triplo: coesistono simultaneamente solido, liquido e vapore. * Punto critico: scompare la distinzione tra liquido e gas; oltre questo punto esiste solo il fluido supercritico. Durante il passaggio da una fase all’altra a pressione costante, lungo una curva di coesistenza la temperatura rimane costante e il sistema deve assorbire o cedere una quantità di calore proporzionale alla massa della sostanza che cambia fase. Questa quantità di calore per unità di massa si chiama [[w:Calore_latente|calore latente]]. Ad esempio se a pressione atmosferica abbiamo una miscela di acqua e ghiaccio per trasformare un kg di ghiaccio in acqua dovremo fornire una quantità di calore pari a <math>3.3\cdot 10^5\ J</math>. La misura del calore scambiato durante una transizione di fase può essere effettuata osservando la variazione delle percentuali delle due fasi presenti nel sistema. Le due fasi sono normalmente distinguibili grazie a proprietà macroscopiche diverse, in particolare la densità, che permette di identificarle facilmente. {| class="wikitable" align="center" style="margin: 5px 0px 7px 7px" | colspan=5 | <div style="text-align:center ">'''Calore latente e temperatura al cambio di stato di sostanze comuni'''</div> <div style="text-align:center ">alla pressione atmosferica</div> |- ! Sostanza ! Calore latente<br />di fusione<br />[kJ/kg] ! Temperatura<br />di fusione<br />[°C] ! Calore latente<br />di ebollizione <br />[kJ/kg] ! Temperatura<br />di ebollizione<br />[°C] |- | Alcool etilico | 108 | -114 | 855 | 78,3 |- | Ammoniaca | 339 | -75 | 1369 | -33 |- | Anidride carbonica | 184 | -78,5 | 574 | -56,56 |- | Idrogeno | 58 | -259 | 455 | -253 |- | Azoto | 25,7 | -210 | 200 | -196 |- | Ossigeno | 13,9 | -219 | 213 | -183 |- | Mercurio | 11 | -39 | 294 | 357 |- | Toluene | 72,1 | −95&nbsp;°C | 351 | 110,6&nbsp;°C |- | Zolfo | 54 | 115 | 1406 | 445 |- | Acqua | 333,5 | 0 | 2272 | 100 |- | Piombo | 23 | 327 | 871 | 1750 |} Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Calore#Acqua_e_ghiaccio|esempio]] sul sistema ghiaccio-acqua mette in relazione calore e calore latente. == [[w:Trasmissione_del_calore|Trasmissione del calore]]== I meccanismi con cui i sistemi possono scambiare calore sono tre: la [[w:Conduzione_termica|conduzione]], la [[w:Convezione|convezione]] e l’[[w:Irraggiamento|Irraggiamento]]. La convezione è il fenomeno complessivo di trasporto di calore dovuto al moto del fluido e comprende l’[[w:Avvezione|avvezione]], che ne rappresenta la componente macroscopica dominante nei fluidi in movimento. [[File:Heat-transmittance-means2.jpg|thumb|500px|I tre modi di trasmissione del calore illustrati con un [[w:Falò!falò]]. La advezione è una parte della convezione che implica solo trasporto per moto del fluido, mentre la convezione oltre al trasporto del fluido è caratterizza anche dalla diffusione.]] ===[[w:Conduzione_termica|Conduzione termica]]=== La conduzione è il meccanismo di trasmissione del calore tipico dei solidi e dei fluidi in contatto diretto. È caratterizzata da una costante materiale, la [[w:Conducibilità_termica|conducibilità termica]], che misura la rapidità con cui il calore si propaga: maggiore è la conducibilità, più velocemente si raggiunge l’equilibrio termico. La conducibilità termica dipende in modo marcato dalla struttura microscopica della materia: * nei solidi è generalmente il meccanismo dominante di scambio termico, grazie alla struttura ordinata del reticolo cristallino; * nei gas, soprattutto se rarefatti, la conduzione è spesso trascurabile, perché le molecole sono troppo distanti per trasmettere efficacemente energia per urti; * nei liquidi l’importanza della conduzione dipende dallo stato dinamico del fluido e dalla geometria del contenitore: in recipienti stretti, dove il fluido ha scarsa possibilità di movimento, la conduzione diventa il meccanismo principale di scambio termico. L’equazione macroscopica che descrive la conduzione termica può essere ricavata considerando un cilindro di materiale omogeneo, di sezione <math>S\ </math>, L'equazione macroscopica che permette di quantificare la conduzione termica si ha in un cilindro di materiale uniforme di sezione <math>S\ </math> e lunghezza <math>l\ </math> che collega due sorgenti di calore mantenute alle temperature <math>T_1</math> e <math>T_2</math> con <math>T_2>T_1</math>. Nel tempo <math>\Delta t\ </math> la quantità di calore che attraversa il cilindro è: :<math>Q = k \frac{(T_2 - T_1) \cdot S \cdot \Delta t}{l}</math> dove <math>k</math> è la conducibilità termica del materiale. Questa equazione mostra che il flusso di calore aumenta: * con la differenza di temperatura <math>(T_2 - T_1)</math> * con la sezione <math>S</math> * con la durata dello scambio termico <math>\Delta t\ </math> e diminuisce all’aumentare della lunghezza <math>l\ </math>, cioè della distanza tra le due sorgenti. La costante <math>k</math> caratterizza il materiale: più è grande, più rapidamente il calore si propaga. La tabella seguente mostra che, a temperatura ambiente, il materiale più conduttore è il diamante, mentre materiali come il legno o l’aria hanno conducibilità molto più basse. [[File:Thermal conductivity.svg|thumb|700px|Conduttività termica di alcune sostanze]] {| class="wikitable sortable" |- |Materiale |k, Conducibilità termica<br> W/(m·K) |- |Diamante |900 - 2320 |- |Argento |429 |- |Rame |401 |- |Oro |318 |- |Alluminio |237 |- |Piombo |35.3 |- |Acciaio inossidabile |12.11 ~ 45.0 |- |Sabbia |2.4 |- |Ghiaccio |2 |- |Cemento |1.7 ~ 0.29 |- |Vetro |1.1 |- |Acqua |0.6 |- |Alcool ed oli |0.1 - 0.21 |- |Gomma |0.16 |- |Legno |0.04 - 0.4 |- |Aria |0.025 |- |Polistirolo |0.004 |} Per descrivere la conduzione in un corpo di forma qualunque, non basta più la formula ricavata per un cilindro uniforme. Si introduce allora il vettore flusso di calore <math>\overrightarrow{\phi_q}</math>, definito come la quantità di calore che attraversa l’unità di superficie nell’unità di tempo e diretto secondo la normale alla superficie attraversata. La legge di Fourier nella sua forma generale afferma che: :<math>\overrightarrow{\phi_q} = - k \overrightarrow{\nabla} T</math> Dove <math>\overrightarrow{\nabla} T</math> è il [[w:Gradiente|gradiente]] di temperatura un vettore legato alla variazione spaziale della temperatura che in coordinate cartesiane ha componenti: :<math>\overrightarrow{\nabla} T=\left( \frac {\partial T}{dx},\frac {\partial T}{dy}, \frac {\partial T}{dz}\right)\ </math> Il segno meno indica che il calore fluisce spontaneamente dalle zone a temperatura più alta verso quelle a temperatura più bassa. ===[[w:Convezione|Convezione]]=== Nei fluidi, oltre alla conduzione, il calore può essere trasportato anche dal moto delle masse fluide, un meccanismo chiamato convezione. In molti sistemi fisici — come l’atmosfera, i liquidi in ebollizione o i moti convettivi presenti nei solidi fusi — la convezione costituisce il meccanismo dominante di trasporto del calore. Nel senso più generale, la convezione riguarda il movimento delle molecole all’interno di un fluido. È quindi un processo in cui, oltre al calore, viene trasferita anche materia. Il trasporto convettivo del calore avviene attraverso due contributi: * [[w:Moto_browniano|moto Browniano]] — movimento microscopico casuale delle particelle del fluido; * [[w:Avvezione|avvezione]] — trasporto macroscopico dovuto a correnti di fluido su larga scala. Nella pratica, questi due contributi vengono considerati insieme e costituiscono il fenomeno complessivo della convezione. La convezione nei termini più generali si riferisce al movimento di molecole dentro un [[w:Fluido|fluido]]. La convezione è uno dei modi principali in cui oltre al calore viene trasferita materia. Nei fluidi il calore trasferito mediante convezione avviene sia su scala microscopica a livello di [[w:Moto_Browniano|moto Browniano]] delle singole particelle del fluido, sia mediante [[w:Avvezione|avvezione]]. In tale fenomeno il calore (come la materia) è trasportata da correnti su larga scala nel fluido. In genere i due fenomeni rappresentano la convezione nel suo insieme. La convezione può avvenire in due modi: *Convezione naturale: È generata spontaneamente da differenze di densità nel fluido. Un esempio comune è il moto dell’aria nell’atmosfera: gli strati d’aria vicino al suolo si riscaldano, si dilatano e diventano meno densi; salgono verso l’alto e vengono sostituiti da aria più fredda, generando un moto circolatorio. * Convezione forzata: Avviene quando il fluido viene messo in movimento da un agente esterno (ventole, pompe, ventilatori). In questo caso una corrente di fluido a temperatura diversa viene fatta fluire intenzionalmente per trasportare calore in modo più efficiente. ===[[w:Irraggiamento|Irraggiamento]]=== Oggetti a temperatura diversa, anche senza essere in contatto, possono scambiare calore attraverso un terzo meccanismo: l’irraggiamento. Questo fenomeno è dovuto allo scambio di radiazione elettromagnetica tra i corpi, fino a raggiungere una condizione di equilibrio dinamico in cui la potenza irradiata e quella assorbita si compensano. Anche in questo caso, il bilancio energetico complessivo implica che il calore netto fluisce dal corpo a temperatura maggiore verso quello a temperatura minore, come richiesto dal secondo principio della termodinamica. ====Il [[w:Corpo_nero|corpo nero]]: un modello ideale==== Per descrivere in modo semplice e universale i fenomeni dell’irraggiamento, si introduce un oggetto ideale: il corpo nero. Un corpo nero: * assorbe tutta la radiazione incidente; * emette radiazione con la massima efficienza possibile per una data temperatura; * è il riferimento teorico per tutte le leggi dell’irraggiamento. Per un corpo nero, la potenza irradiata per unità di superficie è data dalla legge di Stefan–Boltzmann: :<math>u=\sigma T^{4}\ </math> dove <math>u</math> è l'[[w:emittanza|emittanza termica]], <math>T</math> è la temperatura assoluta e <math>\sigma= 5.6 \cdot 10^{-8}\ W m^{-2} K^{-4}\ </math> è la costante di Stefan - Boltzmann. Questa legge mostra che l’energia irradiata cresce molto rapidamente con la temperatura: raddoppiare <math>T</math> significa aumentare l’emissione di un fattore <math>2^4=16</math>. Le leggi dell’irraggiamento hanno avuto un ruolo cruciale nella storia della fisica: * hanno portato alla scoperta della radiazione di corpo nero; * hanno aperto la strada alla meccanica quantistica ([[w:Catastrofe_ultravioletta|catastrofe ultravioletta]], [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]); *spiegano fenomeni quotidiani come il riscaldamento solare, il raffreddamento dei pianeti, l’emissione termica degli oggetti caldi. Per un corpo reale, non ideale, l’espressione della potenza irradiata deve essere moltiplicata per l’emissività, una grandezza adimensionale compresa tra 0 e 1 che dipende sia dal materiale sia dal grado di finitura della superficie. L’emissività misura quanto un corpo reale si avvicina al comportamento del corpo nero: un’emissività pari a 1 indica un corpo che irradia come un corpo nero, mentre valori più bassi indicano un’emissione meno efficiente. La potenza irradiata per unità di superficie da un corpo reale diventa quindi: :<math>u=\epsilon \sigma T^{4}\ </math> dove <math>\epsilon</math> è l'emissività. Nella tabella seguente sono riportati alcuni valori tipici di emissività per materiali comuni, tratti da una raccolta tecnica molto utilizzata: [http://www.engineeringtoolbox.com/emissivity-coefficients-d_447.html Emissivity of some common materials]. {| class="wikitable sortable" |- |Materiale |Emissività<br> |- |Corpo nero |1 |- |Marmo bianco |0.95 |- |Basalto |0.72 |- |Ottone ossidato |0.6 |- |Granito |0.45 |- |Mercurio liquido |0.1 |- |Foglio di alluminio |0.04 |- |} Va aggiunta un’ulteriore precisazione riguardo al fenomeno opposto all’emissione: l’assorbimento della radiazione elettromagnetica. A questo proposito è fondamentale una legge dovuta a [[w:Gustav_Robert_Kirchhoff|Kirchhoff]], che stabilisce un principio generale valido per tutti i corpi reali. Secondo la [[w:Legge_di_Kirchhoff|legge di Kirchhoff]] sull’irraggiamento, per ogni corpo e a ogni lunghezza d’onda: il coefficiente di emissività è uguale al coefficiente di assorbibilità. Questa relazione è essenziale per la coerenza della termodinamica: se emissività e assorbibilità non fossero uguali, due corpi alla stessa temperatura potrebbero scambiarsi calore, violando il [[w:Principio_zero_della_termodinamica|principio zero della termodinamica]]. [[Fisica_classica/Trasformazioni_termodinamiche| Argomento seguente: Trasformazioni della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} q80bjbmzaiaudltqbwi9jd0ofz1derc 499036 499035 2026-06-07T10:24:16Z Pasquale.Carelli 528 /* Conduzione termica */ punto in virgola 499036 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Definizioni delle grandezze della termodinamica |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Definizioni_termodinamica |CapitoloSuccessivo=Trasformazioni termodinamiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Trasformazioni termodinamiche }} {{fisica classica}} =[[w:Calore|Calore]]= Il '''calore''' ha un ruolo centrale in termodinamica e la sua definizione non dipende dalla meccanica. Quando due sistemi a temperatura diversa vengono posti in contatto termico, i loro stati evolvono fino a raggiungere una temperatura di equilibrio intermedia tra quelle iniziali. Si chiama calore la quantità di energia che passa spontaneamente dal sistema a temperatura più alta a quello a temperatura più bassa fino al raggiungimento dell’equilibrio. Che il calore fosse una forma di energia, del tutto analoga alle altre, si comprese solo all’inizio dell’Ottocento. Fino alla fine del Settecento si riteneva invece che il flusso di calore dai corpi caldi a quelli freddi fosse dovuto a un fluido imponderabile, privo di massa, chiamato [[w:calorico|''calorico'']]. Questa teoria, pur errata, riusciva a spiegare in modo soddisfacente molti fenomeni termici osservabili all’epoca. Per questo motivo si era introdotta un’unità di misura specifica per il calore: la '''caloria''', definita come la quantità di calore necessaria ad aumentare di un grado Celsius la temperatura di un grammo di acqua liquida. Il suo multiplo più usato era (ed è ancora in alcuni contesti) la kilocaloria (kcal). In campi come la [[w:Scienza_dell%27alimentazione|scienza dell'alimentazione]], per indicare l’apporto energetico degli alimenti si utilizza spesso la Caloria con la maiuscola, che corrisponde proprio a una kilocaloria. A mettere in crisi la teoria del calorico fu soprattutto l’osservazione che il calore può essere prodotto per [[w:Attrito|attrito]], cioè tramite un fenomeno di natura meccanica come lo sfregamento tra corpi. Fu [[w:James Joule|James Joule]] a determinare sperimentalmente la relazione quantitativa tra la caloria — allora usata come unità di misura del calore — e il joule, l’unità di misura del lavoro e dell’energia. Attraverso una serie di esperimenti accurati sulla trasformazione del lavoro meccanico in calore (celebre quello della ruota a pale immersa nell’acqua), Joule stabilì il valore di quello che venne chiamato equivalente meccanico della caloria: la quantità di lavoro che deve essere compiuta per produrre una caloria di calore. La relazione da lui ottenuta è: :<math>1\ cal =4,185\ J</math> Questa equivalenza sancì definitivamente che calore e lavoro sono forme diverse della stessa grandezza fisica: l’energia. Per quanto riguarda la convenzione del segno del calore scambiato, si considera positivo il calore assorbito dal sistema, che — in assenza di cambiamenti di stato — provoca un aumento della sua temperatura. È invece negativo il calore ceduto dal sistema all’ambiente, poiché rappresenta una perdita di energia interna. Ritornando ai due sistemi a temperature diverse posti in contatto termico, il sistema inizialmente più caldo, di temperatura <math>T_2\ </math>, cede una quantità di calore <math>Q_2\ </math> (negativa), mentre il sistema più freddo, di temperatura <math>T_1\ </math>, assorbe una quantità di calore <math>Q_1\ </math> (positiva), in modo tale che: :<math>Q_1=-Q_2\ </math> ===[[w:Calore_specifico|Calore specifico]]=== Si chiama capacità termica di un corpo la quantità di calore necessaria per aumentare di un grado la sua temperatura. La capacità termica è una grandezza estensiva, perché dipende dalla quantità di materia presente. Per questo motivo si preferisce spesso introdurre il calore specifico, che rappresenta la quantità di calore che occorre scambiare con l’unità di massa per aumentare la temperatura di 1 grado (K o °C). Il calore specifico è quindi una grandezza intensiva. Nel caso dell’acqua, il calore specifico vale: <math>4185\ J/(kgK)</math>. Oltre al calore specifico per unità di massa, si definisce anche il calore specifico molare, cioè la quantità di calore necessaria per aumentare di 1 K la temperatura di una mole di sostanza. Poiché una mole di acqua ha massa <math>18\ g</math>, il suo calore specifico molare risulta: <math>75 \ J/(moleK)</math>. Vedremo che, per solidi e gas, il calore specifico molare segue leggi quasi universali, sorprendentemente poco dipendenti dalla sostanza considerata. Se è nota la capacità termica di due corpi (<math>C_1\ </math>, <math>C_2\ </math> ) che si scambiano calore a partire dalle rispettive temperature (<math>T_1\ </math> più bassa <math>T_2\ </math> più alta) fino ad arrivare ad una temperatura intermedia <math>T_e\ </math>. Può essere facilmente calcolato il calore scambiato: :<math>Q=C_1(T_e-T_1)=C_2(T_2-T_e)\ </math> Normalmente mentre la temperatura è facilmente misurabile, la capacità termica dei corpi, come tutte le variabili estensive, non può essere misurata direttamente. Definiamo sorgente di calore un corpo con capacità termica così grande da poter scambiare calore con un altro sistema senza subire variazioni apprezzabili di temperatura. Una sorgente di calore mantiene quindi la propria temperatura praticamente costante anche quando fornisce o assorbe quantità finite di calore. Esempi tipici sono il mare o, più in generale, un corpo molto grande rispetto al sistema con cui è in contatto. Nel seguito useremo spesso le sorgenti di calore per semplificare lo studio delle trasformazioni termodinamiche. Se la sorgente non è ideale, la sua temperatura varierà comunque: la variazione sarà tanto maggiore quanto minore è la sua capacità termica. In senso più ampio, si chiama sorgente di calore qualsiasi corpo o processo che fornisce calore a un sistema termodinamico: una fiamma, una resistenza elettrica o una reazione chimica esotermica sono quindi sorgenti di calore. Per completezza, distinguiamo ora tra sorgente di calore e pozzo termico, due concetti fondamentali in termodinamica: * Sorgente di calore: Corpo che fornisce calore mantenendo la temperatura costante. Esempio: una fiamma, una resistenza elettrica, una reazione esotermica. * Pozzo termico: Corpo che assorbe calore mantenendo la temperatura costante. Esempio: l’ambiente esterno, un grande serbatoio d’acqua, l’atmosfera. In pratica, sorgente e pozzo sono due versioni dello stesso modello ideale: la sorgente è un serbatoio termico a temperatura alta; il pozzo è un serbatoio termico a temperatura bassa. Questi modelli sono essenziali per descrivere in modo semplice i cicli termodinamici (come il ciclo di Carnot) e per analizzare i flussi di energia senza dover considerare le variazioni di temperatura dei corpi coinvolti. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Calore#Rame_e_alluminio|esempio]] sul contatto tra due metalli chiarisce il concetto di temperatura di equilibrio. Calore specifico per di alcuni solidi a temperatura ambiente: {| class="wikitable sortable" |- ! Sostanza ! <math>c_M</math><br />J/(kg·K) |- | Alluminio || align="right"| 880 |- | Ferro || align="right"| 444 |- | Acciaio inox ||align="right"| 502 |- | Ghiaccio || align="right"| 2090 |- | Berillio || align="right"| 1824 |- | Diamante || align="right"| 502 |- | Grafite || align="right"| 720 |- | Litio || align="right"| 3582 |- | Oro|| align="right"| 129 |- | Ottone (lega) || align="right"| 377 |- | Piombo|| align="right"| 130 |- | Polistirene|| align="right"| 1450 |- |} ==[[w:Transizione_di_fase|Transizioni di fase]]== [[Image:Diafase.png|thumb|300px|right|Diagramma di fase solido, liquido e vapore di una sostanza generica]] Le transizioni di fase rappresentano, nel caso dei passaggi tra stato solido, liquido e gassoso, un modo particolarmente semplice e diretto per misurare il calore scambiato da un sistema. Durante una transizione di fase, infatti, la temperatura rimane costante mentre il sistema assorbe o cede una quantità di calore ben definita, detta calore latente. Per questo motivo vale la pena descrivere brevemente questi fenomeni prima di affrontare i calcoli termodinamici. Il comportamento di un sistema a un solo componente può essere rappresentato nel diagramma di fase nel piano pressione–temperatura (P–T), mostrato nella figura a fianco. Nel diagramma compaiono le tre regioni di stabilità termodinamica — solido, liquido, vapore — separate dalle curve di equilibrio che rappresentano le condizioni in cui avviene una transizione di fase reversibile. Per descrivere completamente lo stato di un sistema a un solo componente sono sufficienti due variabili termodinamiche, ad esempio temperatura e pressione. Nel diagramma di fase queste due variabili individuano univocamente lo stato del sistema. Lungo le linee di coesistenza, dove due fasi sono in equilibrio, una sola variabile intensiva (temperatura oppure pressione) è sufficiente a determinare lo stato del sistema. Le principali linee di coesistenza sono: * solido-gas (BO): linea di sublimazione * solido-liquido (OC): curva di fusione * liquido-gas(OA):curva di vaporizzazione Nel diagramma compaiono due punti caratteristici, che dipendono solo dalla sostanza e non da variabili esterne: * Punto triplo: coesistono simultaneamente solido, liquido e vapore. * Punto critico: scompare la distinzione tra liquido e gas; oltre questo punto esiste solo il fluido supercritico. Durante il passaggio da una fase all’altra a pressione costante, lungo una curva di coesistenza la temperatura rimane costante e il sistema deve assorbire o cedere una quantità di calore proporzionale alla massa della sostanza che cambia fase. Questa quantità di calore per unità di massa si chiama [[w:Calore_latente|calore latente]]. Ad esempio se a pressione atmosferica abbiamo una miscela di acqua e ghiaccio per trasformare un kg di ghiaccio in acqua dovremo fornire una quantità di calore pari a <math>3.3\cdot 10^5\ J</math>. La misura del calore scambiato durante una transizione di fase può essere effettuata osservando la variazione delle percentuali delle due fasi presenti nel sistema. Le due fasi sono normalmente distinguibili grazie a proprietà macroscopiche diverse, in particolare la densità, che permette di identificarle facilmente. {| class="wikitable" align="center" style="margin: 5px 0px 7px 7px" | colspan=5 | <div style="text-align:center ">'''Calore latente e temperatura al cambio di stato di sostanze comuni'''</div> <div style="text-align:center ">alla pressione atmosferica</div> |- ! Sostanza ! Calore latente<br />di fusione<br />[kJ/kg] ! Temperatura<br />di fusione<br />[°C] ! Calore latente<br />di ebollizione <br />[kJ/kg] ! Temperatura<br />di ebollizione<br />[°C] |- | Alcool etilico | 108 | -114 | 855 | 78,3 |- | Ammoniaca | 339 | -75 | 1369 | -33 |- | Anidride carbonica | 184 | -78,5 | 574 | -56,56 |- | Idrogeno | 58 | -259 | 455 | -253 |- | Azoto | 25,7 | -210 | 200 | -196 |- | Ossigeno | 13,9 | -219 | 213 | -183 |- | Mercurio | 11 | -39 | 294 | 357 |- | Toluene | 72,1 | −95&nbsp;°C | 351 | 110,6&nbsp;°C |- | Zolfo | 54 | 115 | 1406 | 445 |- | Acqua | 333,5 | 0 | 2272 | 100 |- | Piombo | 23 | 327 | 871 | 1750 |} Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Calore#Acqua_e_ghiaccio|esempio]] sul sistema ghiaccio-acqua mette in relazione calore e calore latente. == [[w:Trasmissione_del_calore|Trasmissione del calore]]== I meccanismi con cui i sistemi possono scambiare calore sono tre: la [[w:Conduzione_termica|conduzione]], la [[w:Convezione|convezione]] e l’[[w:Irraggiamento|Irraggiamento]]. La convezione è il fenomeno complessivo di trasporto di calore dovuto al moto del fluido e comprende l’[[w:Avvezione|avvezione]], che ne rappresenta la componente macroscopica dominante nei fluidi in movimento. [[File:Heat-transmittance-means2.jpg|thumb|500px|I tre modi di trasmissione del calore illustrati con un [[w:Falò!falò]]. La advezione è una parte della convezione che implica solo trasporto per moto del fluido, mentre la convezione oltre al trasporto del fluido è caratterizza anche dalla diffusione.]] ===[[w:Conduzione_termica|Conduzione termica]]=== La conduzione è il meccanismo di trasmissione del calore tipico dei solidi e dei fluidi in contatto diretto. È caratterizzata da una costante materiale, la [[w:Conducibilità_termica|conducibilità termica]], che misura la rapidità con cui il calore si propaga: maggiore è la conducibilità, più velocemente si raggiunge l’equilibrio termico. La conducibilità termica dipende in modo marcato dalla struttura microscopica della materia: * nei solidi è generalmente il meccanismo dominante di scambio termico, grazie alla struttura ordinata del reticolo cristallino; * nei gas, soprattutto se rarefatti, la conduzione è spesso trascurabile, perché le molecole sono troppo distanti per trasmettere efficacemente energia per urti; * nei liquidi l’importanza della conduzione dipende dallo stato dinamico del fluido e dalla geometria del contenitore: in recipienti stretti, dove il fluido ha scarsa possibilità di movimento, la conduzione diventa il meccanismo principale di scambio termico. L’equazione macroscopica che descrive la conduzione termica può essere ricavata considerando un cilindro di materiale omogeneo, di sezione <math>S\ </math>, L'equazione macroscopica che permette di quantificare la conduzione termica si ha in un cilindro di materiale uniforme di sezione <math>S\ </math> e lunghezza <math>l\ </math> che collega due sorgenti di calore mantenute alle temperature <math>T_1</math> e <math>T_2</math> con <math>T_2>T_1</math>. Nel tempo <math>\Delta t\ </math> la quantità di calore che attraversa il cilindro è: :<math>Q = k \frac{(T_2 - T_1) \cdot S \cdot \Delta t}{l}</math> dove <math>k</math> è la conducibilità termica del materiale. Questa equazione mostra che il flusso di calore aumenta: * con la differenza di temperatura <math>(T_2 - T_1)</math> * con la sezione <math>S</math> * con la durata dello scambio termico <math>\Delta t\ </math> e diminuisce all’aumentare della lunghezza <math>l\ </math>, cioè della distanza tra le due sorgenti. La costante <math>k</math> caratterizza il materiale: più è grande, più rapidamente il calore si propaga. La tabella seguente mostra che, a temperatura ambiente, il materiale più conduttore è il diamante, mentre materiali come il legno o l’aria hanno conducibilità molto più basse. [[File:Thermal conductivity.svg|thumb|700px|Conduttività termica di alcune sostanze]] {| class="wikitable sortable" |- |Materiale |k, Conducibilità termica<br> W/(m·K) |- |Diamante |900 - 2320 |- |Argento |429 |- |Rame |401 |- |Oro |318 |- |Alluminio |237 |- |Piombo |35,3 |- |Acciaio inossidabile |12,11 ~ 45,0 |- |Sabbia |2,4 |- |Ghiaccio |2 |- |Cemento |1,7 ~ 0,29 |- |Vetro |1,1 |- |Acqua |0,6 |- |Alcool ed oli |0,1 - 0,21 |- |Gomma |0,16 |- |Legno |0,04 - 0,4 |- |Aria |0,025 |- |Polistirolo |0,004 |} Per descrivere la conduzione in un corpo di forma qualunque, non basta più la formula ricavata per un cilindro uniforme. Si introduce allora il vettore flusso di calore <math>\overrightarrow{\phi_q}</math>, definito come la quantità di calore che attraversa l’unità di superficie nell’unità di tempo e diretto secondo la normale alla superficie attraversata. La legge di Fourier nella sua forma generale afferma che: :<math>\overrightarrow{\phi_q} = - k \overrightarrow{\nabla} T</math> Dove <math>\overrightarrow{\nabla} T</math> è il [[w:Gradiente|gradiente]] di temperatura un vettore legato alla variazione spaziale della temperatura che in coordinate cartesiane ha componenti: :<math>\overrightarrow{\nabla} T=\left( \frac {\partial T}{dx},\frac {\partial T}{dy}, \frac {\partial T}{dz}\right)\ </math> Il segno meno indica che il calore fluisce spontaneamente dalle zone a temperatura più alta verso quelle a temperatura più bassa. ===[[w:Convezione|Convezione]]=== Nei fluidi, oltre alla conduzione, il calore può essere trasportato anche dal moto delle masse fluide, un meccanismo chiamato convezione. In molti sistemi fisici — come l’atmosfera, i liquidi in ebollizione o i moti convettivi presenti nei solidi fusi — la convezione costituisce il meccanismo dominante di trasporto del calore. Nel senso più generale, la convezione riguarda il movimento delle molecole all’interno di un fluido. È quindi un processo in cui, oltre al calore, viene trasferita anche materia. Il trasporto convettivo del calore avviene attraverso due contributi: * [[w:Moto_browniano|moto Browniano]] — movimento microscopico casuale delle particelle del fluido; * [[w:Avvezione|avvezione]] — trasporto macroscopico dovuto a correnti di fluido su larga scala. Nella pratica, questi due contributi vengono considerati insieme e costituiscono il fenomeno complessivo della convezione. La convezione nei termini più generali si riferisce al movimento di molecole dentro un [[w:Fluido|fluido]]. La convezione è uno dei modi principali in cui oltre al calore viene trasferita materia. Nei fluidi il calore trasferito mediante convezione avviene sia su scala microscopica a livello di [[w:Moto_Browniano|moto Browniano]] delle singole particelle del fluido, sia mediante [[w:Avvezione|avvezione]]. In tale fenomeno il calore (come la materia) è trasportata da correnti su larga scala nel fluido. In genere i due fenomeni rappresentano la convezione nel suo insieme. La convezione può avvenire in due modi: *Convezione naturale: È generata spontaneamente da differenze di densità nel fluido. Un esempio comune è il moto dell’aria nell’atmosfera: gli strati d’aria vicino al suolo si riscaldano, si dilatano e diventano meno densi; salgono verso l’alto e vengono sostituiti da aria più fredda, generando un moto circolatorio. * Convezione forzata: Avviene quando il fluido viene messo in movimento da un agente esterno (ventole, pompe, ventilatori). In questo caso una corrente di fluido a temperatura diversa viene fatta fluire intenzionalmente per trasportare calore in modo più efficiente. ===[[w:Irraggiamento|Irraggiamento]]=== Oggetti a temperatura diversa, anche senza essere in contatto, possono scambiare calore attraverso un terzo meccanismo: l’irraggiamento. Questo fenomeno è dovuto allo scambio di radiazione elettromagnetica tra i corpi, fino a raggiungere una condizione di equilibrio dinamico in cui la potenza irradiata e quella assorbita si compensano. Anche in questo caso, il bilancio energetico complessivo implica che il calore netto fluisce dal corpo a temperatura maggiore verso quello a temperatura minore, come richiesto dal secondo principio della termodinamica. ====Il [[w:Corpo_nero|corpo nero]]: un modello ideale==== Per descrivere in modo semplice e universale i fenomeni dell’irraggiamento, si introduce un oggetto ideale: il corpo nero. Un corpo nero: * assorbe tutta la radiazione incidente; * emette radiazione con la massima efficienza possibile per una data temperatura; * è il riferimento teorico per tutte le leggi dell’irraggiamento. Per un corpo nero, la potenza irradiata per unità di superficie è data dalla legge di Stefan–Boltzmann: :<math>u=\sigma T^{4}\ </math> dove <math>u</math> è l'[[w:emittanza|emittanza termica]], <math>T</math> è la temperatura assoluta e <math>\sigma= 5.6 \cdot 10^{-8}\ W m^{-2} K^{-4}\ </math> è la costante di Stefan - Boltzmann. Questa legge mostra che l’energia irradiata cresce molto rapidamente con la temperatura: raddoppiare <math>T</math> significa aumentare l’emissione di un fattore <math>2^4=16</math>. Le leggi dell’irraggiamento hanno avuto un ruolo cruciale nella storia della fisica: * hanno portato alla scoperta della radiazione di corpo nero; * hanno aperto la strada alla meccanica quantistica ([[w:Catastrofe_ultravioletta|catastrofe ultravioletta]], [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]); *spiegano fenomeni quotidiani come il riscaldamento solare, il raffreddamento dei pianeti, l’emissione termica degli oggetti caldi. Per un corpo reale, non ideale, l’espressione della potenza irradiata deve essere moltiplicata per l’emissività, una grandezza adimensionale compresa tra 0 e 1 che dipende sia dal materiale sia dal grado di finitura della superficie. L’emissività misura quanto un corpo reale si avvicina al comportamento del corpo nero: un’emissività pari a 1 indica un corpo che irradia come un corpo nero, mentre valori più bassi indicano un’emissione meno efficiente. La potenza irradiata per unità di superficie da un corpo reale diventa quindi: :<math>u=\epsilon \sigma T^{4}\ </math> dove <math>\epsilon</math> è l'emissività. Nella tabella seguente sono riportati alcuni valori tipici di emissività per materiali comuni, tratti da una raccolta tecnica molto utilizzata: [http://www.engineeringtoolbox.com/emissivity-coefficients-d_447.html Emissivity of some common materials]. {| class="wikitable sortable" |- |Materiale |Emissività<br> |- |Corpo nero |1 |- |Marmo bianco |0.95 |- |Basalto |0.72 |- |Ottone ossidato |0.6 |- |Granito |0.45 |- |Mercurio liquido |0.1 |- |Foglio di alluminio |0.04 |- |} Va aggiunta un’ulteriore precisazione riguardo al fenomeno opposto all’emissione: l’assorbimento della radiazione elettromagnetica. A questo proposito è fondamentale una legge dovuta a [[w:Gustav_Robert_Kirchhoff|Kirchhoff]], che stabilisce un principio generale valido per tutti i corpi reali. Secondo la [[w:Legge_di_Kirchhoff|legge di Kirchhoff]] sull’irraggiamento, per ogni corpo e a ogni lunghezza d’onda: il coefficiente di emissività è uguale al coefficiente di assorbibilità. Questa relazione è essenziale per la coerenza della termodinamica: se emissività e assorbibilità non fossero uguali, due corpi alla stessa temperatura potrebbero scambiarsi calore, violando il [[w:Principio_zero_della_termodinamica|principio zero della termodinamica]]. [[Fisica_classica/Trasformazioni_termodinamiche| Argomento seguente: Trasformazioni della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 74j8eyqk7nds64433wq8egq46a43dal 499037 499036 2026-06-07T10:26:08Z Pasquale.Carelli 528 /* Irraggiamento */ punto in virgola 499037 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Definizioni delle grandezze della termodinamica |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Definizioni_termodinamica |CapitoloSuccessivo=Trasformazioni termodinamiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Trasformazioni termodinamiche }} {{fisica classica}} =[[w:Calore|Calore]]= Il '''calore''' ha un ruolo centrale in termodinamica e la sua definizione non dipende dalla meccanica. Quando due sistemi a temperatura diversa vengono posti in contatto termico, i loro stati evolvono fino a raggiungere una temperatura di equilibrio intermedia tra quelle iniziali. Si chiama calore la quantità di energia che passa spontaneamente dal sistema a temperatura più alta a quello a temperatura più bassa fino al raggiungimento dell’equilibrio. Che il calore fosse una forma di energia, del tutto analoga alle altre, si comprese solo all’inizio dell’Ottocento. Fino alla fine del Settecento si riteneva invece che il flusso di calore dai corpi caldi a quelli freddi fosse dovuto a un fluido imponderabile, privo di massa, chiamato [[w:calorico|''calorico'']]. Questa teoria, pur errata, riusciva a spiegare in modo soddisfacente molti fenomeni termici osservabili all’epoca. Per questo motivo si era introdotta un’unità di misura specifica per il calore: la '''caloria''', definita come la quantità di calore necessaria ad aumentare di un grado Celsius la temperatura di un grammo di acqua liquida. Il suo multiplo più usato era (ed è ancora in alcuni contesti) la kilocaloria (kcal). In campi come la [[w:Scienza_dell%27alimentazione|scienza dell'alimentazione]], per indicare l’apporto energetico degli alimenti si utilizza spesso la Caloria con la maiuscola, che corrisponde proprio a una kilocaloria. A mettere in crisi la teoria del calorico fu soprattutto l’osservazione che il calore può essere prodotto per [[w:Attrito|attrito]], cioè tramite un fenomeno di natura meccanica come lo sfregamento tra corpi. Fu [[w:James Joule|James Joule]] a determinare sperimentalmente la relazione quantitativa tra la caloria — allora usata come unità di misura del calore — e il joule, l’unità di misura del lavoro e dell’energia. Attraverso una serie di esperimenti accurati sulla trasformazione del lavoro meccanico in calore (celebre quello della ruota a pale immersa nell’acqua), Joule stabilì il valore di quello che venne chiamato equivalente meccanico della caloria: la quantità di lavoro che deve essere compiuta per produrre una caloria di calore. La relazione da lui ottenuta è: :<math>1\ cal =4,185\ J</math> Questa equivalenza sancì definitivamente che calore e lavoro sono forme diverse della stessa grandezza fisica: l’energia. Per quanto riguarda la convenzione del segno del calore scambiato, si considera positivo il calore assorbito dal sistema, che — in assenza di cambiamenti di stato — provoca un aumento della sua temperatura. È invece negativo il calore ceduto dal sistema all’ambiente, poiché rappresenta una perdita di energia interna. Ritornando ai due sistemi a temperature diverse posti in contatto termico, il sistema inizialmente più caldo, di temperatura <math>T_2\ </math>, cede una quantità di calore <math>Q_2\ </math> (negativa), mentre il sistema più freddo, di temperatura <math>T_1\ </math>, assorbe una quantità di calore <math>Q_1\ </math> (positiva), in modo tale che: :<math>Q_1=-Q_2\ </math> ===[[w:Calore_specifico|Calore specifico]]=== Si chiama capacità termica di un corpo la quantità di calore necessaria per aumentare di un grado la sua temperatura. La capacità termica è una grandezza estensiva, perché dipende dalla quantità di materia presente. Per questo motivo si preferisce spesso introdurre il calore specifico, che rappresenta la quantità di calore che occorre scambiare con l’unità di massa per aumentare la temperatura di 1 grado (K o °C). Il calore specifico è quindi una grandezza intensiva. Nel caso dell’acqua, il calore specifico vale: <math>4185\ J/(kgK)</math>. Oltre al calore specifico per unità di massa, si definisce anche il calore specifico molare, cioè la quantità di calore necessaria per aumentare di 1 K la temperatura di una mole di sostanza. Poiché una mole di acqua ha massa <math>18\ g</math>, il suo calore specifico molare risulta: <math>75 \ J/(moleK)</math>. Vedremo che, per solidi e gas, il calore specifico molare segue leggi quasi universali, sorprendentemente poco dipendenti dalla sostanza considerata. Se è nota la capacità termica di due corpi (<math>C_1\ </math>, <math>C_2\ </math> ) che si scambiano calore a partire dalle rispettive temperature (<math>T_1\ </math> più bassa <math>T_2\ </math> più alta) fino ad arrivare ad una temperatura intermedia <math>T_e\ </math>. Può essere facilmente calcolato il calore scambiato: :<math>Q=C_1(T_e-T_1)=C_2(T_2-T_e)\ </math> Normalmente mentre la temperatura è facilmente misurabile, la capacità termica dei corpi, come tutte le variabili estensive, non può essere misurata direttamente. Definiamo sorgente di calore un corpo con capacità termica così grande da poter scambiare calore con un altro sistema senza subire variazioni apprezzabili di temperatura. Una sorgente di calore mantiene quindi la propria temperatura praticamente costante anche quando fornisce o assorbe quantità finite di calore. Esempi tipici sono il mare o, più in generale, un corpo molto grande rispetto al sistema con cui è in contatto. Nel seguito useremo spesso le sorgenti di calore per semplificare lo studio delle trasformazioni termodinamiche. Se la sorgente non è ideale, la sua temperatura varierà comunque: la variazione sarà tanto maggiore quanto minore è la sua capacità termica. In senso più ampio, si chiama sorgente di calore qualsiasi corpo o processo che fornisce calore a un sistema termodinamico: una fiamma, una resistenza elettrica o una reazione chimica esotermica sono quindi sorgenti di calore. Per completezza, distinguiamo ora tra sorgente di calore e pozzo termico, due concetti fondamentali in termodinamica: * Sorgente di calore: Corpo che fornisce calore mantenendo la temperatura costante. Esempio: una fiamma, una resistenza elettrica, una reazione esotermica. * Pozzo termico: Corpo che assorbe calore mantenendo la temperatura costante. Esempio: l’ambiente esterno, un grande serbatoio d’acqua, l’atmosfera. In pratica, sorgente e pozzo sono due versioni dello stesso modello ideale: la sorgente è un serbatoio termico a temperatura alta; il pozzo è un serbatoio termico a temperatura bassa. Questi modelli sono essenziali per descrivere in modo semplice i cicli termodinamici (come il ciclo di Carnot) e per analizzare i flussi di energia senza dover considerare le variazioni di temperatura dei corpi coinvolti. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Calore#Rame_e_alluminio|esempio]] sul contatto tra due metalli chiarisce il concetto di temperatura di equilibrio. Calore specifico per di alcuni solidi a temperatura ambiente: {| class="wikitable sortable" |- ! Sostanza ! <math>c_M</math><br />J/(kg·K) |- | Alluminio || align="right"| 880 |- | Ferro || align="right"| 444 |- | Acciaio inox ||align="right"| 502 |- | Ghiaccio || align="right"| 2090 |- | Berillio || align="right"| 1824 |- | Diamante || align="right"| 502 |- | Grafite || align="right"| 720 |- | Litio || align="right"| 3582 |- | Oro|| align="right"| 129 |- | Ottone (lega) || align="right"| 377 |- | Piombo|| align="right"| 130 |- | Polistirene|| align="right"| 1450 |- |} ==[[w:Transizione_di_fase|Transizioni di fase]]== [[Image:Diafase.png|thumb|300px|right|Diagramma di fase solido, liquido e vapore di una sostanza generica]] Le transizioni di fase rappresentano, nel caso dei passaggi tra stato solido, liquido e gassoso, un modo particolarmente semplice e diretto per misurare il calore scambiato da un sistema. Durante una transizione di fase, infatti, la temperatura rimane costante mentre il sistema assorbe o cede una quantità di calore ben definita, detta calore latente. Per questo motivo vale la pena descrivere brevemente questi fenomeni prima di affrontare i calcoli termodinamici. Il comportamento di un sistema a un solo componente può essere rappresentato nel diagramma di fase nel piano pressione–temperatura (P–T), mostrato nella figura a fianco. Nel diagramma compaiono le tre regioni di stabilità termodinamica — solido, liquido, vapore — separate dalle curve di equilibrio che rappresentano le condizioni in cui avviene una transizione di fase reversibile. Per descrivere completamente lo stato di un sistema a un solo componente sono sufficienti due variabili termodinamiche, ad esempio temperatura e pressione. Nel diagramma di fase queste due variabili individuano univocamente lo stato del sistema. Lungo le linee di coesistenza, dove due fasi sono in equilibrio, una sola variabile intensiva (temperatura oppure pressione) è sufficiente a determinare lo stato del sistema. Le principali linee di coesistenza sono: * solido-gas (BO): linea di sublimazione * solido-liquido (OC): curva di fusione * liquido-gas(OA):curva di vaporizzazione Nel diagramma compaiono due punti caratteristici, che dipendono solo dalla sostanza e non da variabili esterne: * Punto triplo: coesistono simultaneamente solido, liquido e vapore. * Punto critico: scompare la distinzione tra liquido e gas; oltre questo punto esiste solo il fluido supercritico. Durante il passaggio da una fase all’altra a pressione costante, lungo una curva di coesistenza la temperatura rimane costante e il sistema deve assorbire o cedere una quantità di calore proporzionale alla massa della sostanza che cambia fase. Questa quantità di calore per unità di massa si chiama [[w:Calore_latente|calore latente]]. Ad esempio se a pressione atmosferica abbiamo una miscela di acqua e ghiaccio per trasformare un kg di ghiaccio in acqua dovremo fornire una quantità di calore pari a <math>3.3\cdot 10^5\ J</math>. La misura del calore scambiato durante una transizione di fase può essere effettuata osservando la variazione delle percentuali delle due fasi presenti nel sistema. Le due fasi sono normalmente distinguibili grazie a proprietà macroscopiche diverse, in particolare la densità, che permette di identificarle facilmente. {| class="wikitable" align="center" style="margin: 5px 0px 7px 7px" | colspan=5 | <div style="text-align:center ">'''Calore latente e temperatura al cambio di stato di sostanze comuni'''</div> <div style="text-align:center ">alla pressione atmosferica</div> |- ! Sostanza ! Calore latente<br />di fusione<br />[kJ/kg] ! Temperatura<br />di fusione<br />[°C] ! Calore latente<br />di ebollizione <br />[kJ/kg] ! Temperatura<br />di ebollizione<br />[°C] |- | Alcool etilico | 108 | -114 | 855 | 78,3 |- | Ammoniaca | 339 | -75 | 1369 | -33 |- | Anidride carbonica | 184 | -78,5 | 574 | -56,56 |- | Idrogeno | 58 | -259 | 455 | -253 |- | Azoto | 25,7 | -210 | 200 | -196 |- | Ossigeno | 13,9 | -219 | 213 | -183 |- | Mercurio | 11 | -39 | 294 | 357 |- | Toluene | 72,1 | −95&nbsp;°C | 351 | 110,6&nbsp;°C |- | Zolfo | 54 | 115 | 1406 | 445 |- | Acqua | 333,5 | 0 | 2272 | 100 |- | Piombo | 23 | 327 | 871 | 1750 |} Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Calore#Acqua_e_ghiaccio|esempio]] sul sistema ghiaccio-acqua mette in relazione calore e calore latente. == [[w:Trasmissione_del_calore|Trasmissione del calore]]== I meccanismi con cui i sistemi possono scambiare calore sono tre: la [[w:Conduzione_termica|conduzione]], la [[w:Convezione|convezione]] e l’[[w:Irraggiamento|Irraggiamento]]. La convezione è il fenomeno complessivo di trasporto di calore dovuto al moto del fluido e comprende l’[[w:Avvezione|avvezione]], che ne rappresenta la componente macroscopica dominante nei fluidi in movimento. [[File:Heat-transmittance-means2.jpg|thumb|500px|I tre modi di trasmissione del calore illustrati con un [[w:Falò!falò]]. La advezione è una parte della convezione che implica solo trasporto per moto del fluido, mentre la convezione oltre al trasporto del fluido è caratterizza anche dalla diffusione.]] ===[[w:Conduzione_termica|Conduzione termica]]=== La conduzione è il meccanismo di trasmissione del calore tipico dei solidi e dei fluidi in contatto diretto. È caratterizzata da una costante materiale, la [[w:Conducibilità_termica|conducibilità termica]], che misura la rapidità con cui il calore si propaga: maggiore è la conducibilità, più velocemente si raggiunge l’equilibrio termico. La conducibilità termica dipende in modo marcato dalla struttura microscopica della materia: * nei solidi è generalmente il meccanismo dominante di scambio termico, grazie alla struttura ordinata del reticolo cristallino; * nei gas, soprattutto se rarefatti, la conduzione è spesso trascurabile, perché le molecole sono troppo distanti per trasmettere efficacemente energia per urti; * nei liquidi l’importanza della conduzione dipende dallo stato dinamico del fluido e dalla geometria del contenitore: in recipienti stretti, dove il fluido ha scarsa possibilità di movimento, la conduzione diventa il meccanismo principale di scambio termico. L’equazione macroscopica che descrive la conduzione termica può essere ricavata considerando un cilindro di materiale omogeneo, di sezione <math>S\ </math>, L'equazione macroscopica che permette di quantificare la conduzione termica si ha in un cilindro di materiale uniforme di sezione <math>S\ </math> e lunghezza <math>l\ </math> che collega due sorgenti di calore mantenute alle temperature <math>T_1</math> e <math>T_2</math> con <math>T_2>T_1</math>. Nel tempo <math>\Delta t\ </math> la quantità di calore che attraversa il cilindro è: :<math>Q = k \frac{(T_2 - T_1) \cdot S \cdot \Delta t}{l}</math> dove <math>k</math> è la conducibilità termica del materiale. Questa equazione mostra che il flusso di calore aumenta: * con la differenza di temperatura <math>(T_2 - T_1)</math> * con la sezione <math>S</math> * con la durata dello scambio termico <math>\Delta t\ </math> e diminuisce all’aumentare della lunghezza <math>l\ </math>, cioè della distanza tra le due sorgenti. La costante <math>k</math> caratterizza il materiale: più è grande, più rapidamente il calore si propaga. La tabella seguente mostra che, a temperatura ambiente, il materiale più conduttore è il diamante, mentre materiali come il legno o l’aria hanno conducibilità molto più basse. [[File:Thermal conductivity.svg|thumb|700px|Conduttività termica di alcune sostanze]] {| class="wikitable sortable" |- |Materiale |k, Conducibilità termica<br> W/(m·K) |- |Diamante |900 - 2320 |- |Argento |429 |- |Rame |401 |- |Oro |318 |- |Alluminio |237 |- |Piombo |35,3 |- |Acciaio inossidabile |12,11 ~ 45,0 |- |Sabbia |2,4 |- |Ghiaccio |2 |- |Cemento |1,7 ~ 0,29 |- |Vetro |1,1 |- |Acqua |0,6 |- |Alcool ed oli |0,1 - 0,21 |- |Gomma |0,16 |- |Legno |0,04 - 0,4 |- |Aria |0,025 |- |Polistirolo |0,004 |} Per descrivere la conduzione in un corpo di forma qualunque, non basta più la formula ricavata per un cilindro uniforme. Si introduce allora il vettore flusso di calore <math>\overrightarrow{\phi_q}</math>, definito come la quantità di calore che attraversa l’unità di superficie nell’unità di tempo e diretto secondo la normale alla superficie attraversata. La legge di Fourier nella sua forma generale afferma che: :<math>\overrightarrow{\phi_q} = - k \overrightarrow{\nabla} T</math> Dove <math>\overrightarrow{\nabla} T</math> è il [[w:Gradiente|gradiente]] di temperatura un vettore legato alla variazione spaziale della temperatura che in coordinate cartesiane ha componenti: :<math>\overrightarrow{\nabla} T=\left( \frac {\partial T}{dx},\frac {\partial T}{dy}, \frac {\partial T}{dz}\right)\ </math> Il segno meno indica che il calore fluisce spontaneamente dalle zone a temperatura più alta verso quelle a temperatura più bassa. ===[[w:Convezione|Convezione]]=== Nei fluidi, oltre alla conduzione, il calore può essere trasportato anche dal moto delle masse fluide, un meccanismo chiamato convezione. In molti sistemi fisici — come l’atmosfera, i liquidi in ebollizione o i moti convettivi presenti nei solidi fusi — la convezione costituisce il meccanismo dominante di trasporto del calore. Nel senso più generale, la convezione riguarda il movimento delle molecole all’interno di un fluido. È quindi un processo in cui, oltre al calore, viene trasferita anche materia. Il trasporto convettivo del calore avviene attraverso due contributi: * [[w:Moto_browniano|moto Browniano]] — movimento microscopico casuale delle particelle del fluido; * [[w:Avvezione|avvezione]] — trasporto macroscopico dovuto a correnti di fluido su larga scala. Nella pratica, questi due contributi vengono considerati insieme e costituiscono il fenomeno complessivo della convezione. La convezione nei termini più generali si riferisce al movimento di molecole dentro un [[w:Fluido|fluido]]. La convezione è uno dei modi principali in cui oltre al calore viene trasferita materia. Nei fluidi il calore trasferito mediante convezione avviene sia su scala microscopica a livello di [[w:Moto_Browniano|moto Browniano]] delle singole particelle del fluido, sia mediante [[w:Avvezione|avvezione]]. In tale fenomeno il calore (come la materia) è trasportata da correnti su larga scala nel fluido. In genere i due fenomeni rappresentano la convezione nel suo insieme. La convezione può avvenire in due modi: *Convezione naturale: È generata spontaneamente da differenze di densità nel fluido. Un esempio comune è il moto dell’aria nell’atmosfera: gli strati d’aria vicino al suolo si riscaldano, si dilatano e diventano meno densi; salgono verso l’alto e vengono sostituiti da aria più fredda, generando un moto circolatorio. * Convezione forzata: Avviene quando il fluido viene messo in movimento da un agente esterno (ventole, pompe, ventilatori). In questo caso una corrente di fluido a temperatura diversa viene fatta fluire intenzionalmente per trasportare calore in modo più efficiente. ===[[w:Irraggiamento|Irraggiamento]]=== Oggetti a temperatura diversa, anche senza essere in contatto, possono scambiare calore attraverso un terzo meccanismo: l’irraggiamento. Questo fenomeno è dovuto allo scambio di radiazione elettromagnetica tra i corpi, fino a raggiungere una condizione di equilibrio dinamico in cui la potenza irradiata e quella assorbita si compensano. Anche in questo caso, il bilancio energetico complessivo implica che il calore netto fluisce dal corpo a temperatura maggiore verso quello a temperatura minore, come richiesto dal secondo principio della termodinamica. ====Il [[w:Corpo_nero|corpo nero]]: un modello ideale==== Per descrivere in modo semplice e universale i fenomeni dell’irraggiamento, si introduce un oggetto ideale: il corpo nero. Un corpo nero: * assorbe tutta la radiazione incidente; * emette radiazione con la massima efficienza possibile per una data temperatura; * è il riferimento teorico per tutte le leggi dell’irraggiamento. Per un corpo nero, la potenza irradiata per unità di superficie è data dalla legge di Stefan–Boltzmann: :<math>u=\sigma T^{4}\ </math> dove <math>u</math> è l'[[w:emittanza|emittanza termica]], <math>T</math> è la temperatura assoluta e <math>\sigma= 5,6 \cdot 10^{-8}\ W m^{-2} K^{-4}\ </math> è la costante di Stefan - Boltzmann. Questa legge mostra che l’energia irradiata cresce molto rapidamente con la temperatura: raddoppiare <math>T</math> significa aumentare l’emissione di un fattore <math>2^4=16</math>. Le leggi dell’irraggiamento hanno avuto un ruolo cruciale nella storia della fisica: * hanno portato alla scoperta della radiazione di corpo nero; * hanno aperto la strada alla meccanica quantistica ([[w:Catastrofe_ultravioletta|catastrofe ultravioletta]], [[w:Legge_di_Planck|legge di Planck]]); *spiegano fenomeni quotidiani come il riscaldamento solare, il raffreddamento dei pianeti, l’emissione termica degli oggetti caldi. Per un corpo reale, non ideale, l’espressione della potenza irradiata deve essere moltiplicata per l’emissività, una grandezza adimensionale compresa tra 0 e 1 che dipende sia dal materiale sia dal grado di finitura della superficie. L’emissività misura quanto un corpo reale si avvicina al comportamento del corpo nero: un’emissività pari a 1 indica un corpo che irradia come un corpo nero, mentre valori più bassi indicano un’emissione meno efficiente. La potenza irradiata per unità di superficie da un corpo reale diventa quindi: :<math>u=\epsilon \sigma T^{4}\ </math> dove <math>\epsilon</math> è l'emissività. Nella tabella seguente sono riportati alcuni valori tipici di emissività per materiali comuni, tratti da una raccolta tecnica molto utilizzata: [http://www.engineeringtoolbox.com/emissivity-coefficients-d_447.html Emissivity of some common materials]. {| class="wikitable sortable" |- |Materiale |Emissività<br> |- |Corpo nero |1 |- |Marmo bianco |0,95 |- |Basalto |0,72 |- |Ottone ossidato |0,6 |- |Granito |0,45 |- |Mercurio liquido |0,1 |- |Foglio di alluminio |0,04 |- |} Va aggiunta un’ulteriore precisazione riguardo al fenomeno opposto all’emissione: l’assorbimento della radiazione elettromagnetica. A questo proposito è fondamentale una legge dovuta a [[w:Gustav_Robert_Kirchhoff|Kirchhoff]], che stabilisce un principio generale valido per tutti i corpi reali. Secondo la [[w:Legge_di_Kirchhoff|legge di Kirchhoff]] sull’irraggiamento, per ogni corpo e a ogni lunghezza d’onda: il coefficiente di emissività è uguale al coefficiente di assorbibilità. Questa relazione è essenziale per la coerenza della termodinamica: se emissività e assorbibilità non fossero uguali, due corpi alla stessa temperatura potrebbero scambiarsi calore, violando il [[w:Principio_zero_della_termodinamica|principio zero della termodinamica]]. [[Fisica_classica/Trasformazioni_termodinamiche| Argomento seguente: Trasformazioni della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 0qwhzqivw69y9b8sznjullctufj3bza 0 26781 499032 490647 2026-06-06T23:46:09Z Ptolemaios 19075 /* Aoristo medio ἐπριάμην "comprai" (fatto ricondurre a ὠνέομαι; presente ricostruito a posteriori πρίαμαι) */ 499032 wikitext text/x-wiki {{Greco antico}} == Caratteristiche generali dell'aoristo greco == L'aoristo (dal greco {{polytonic|ἀόριστος χρόνος}} "tempo indefinito", perché non ha una collocazione temporale assoluta) è uno dei quattro temi temporali fondamentali del verbo greco. Esso, come suggerisce il nome, non ha connotazione temporale, ed esprime solo l'aspetto dell'azione, cioè un'azione "puntuale", compiuta, colta nel momento in cui si svolge, circoscritta sulla linea temporale; non è necessario che sia istantanea, "puntuale" significa che è vista nella sua totalità, quindi delimitata da un inizio e una fine, considerata come un segmento di retta sulla linea temporale. L'aoristo ha tutti e sei i modi del verbo greco. Assume l'[[Greco antico/Imperfetto#L'aumento|aumento]], e il significato di passato remoto<ref>La prassi scolastica richiede di tradurlo sempre con il passato remoto, ma questo risponde solo a necessità pratiche; in realtà, l'aoristo indicativo esprime un'azione puntuale nel passato, e lo stesso concetto viene espresso, oltre che dal passato remoto, anche dal passato prossimo, dal trapassato prossimo e dal trapassato remoto italiani. Questo dipende dal fatto che il sistema verbale italiano, figlio di quello latino, privilegia una successione logica sulla scala temporale, individuando ogni azione in sequenza. Il greco, invece, esprime il tempo in modo assoluto, cioè non mette in evidenza la successione delle azioni (le azioni sono espresse come presenti, passate o future, senza che ci sia relatività logica fra di esse), preferendo invece esprimerne l'aspetto: per questo motivo il suo sistema verbale offre un solo passato compiuto.</ref>, solo nell'indicativo. Gli altri modi indicano solo l'azione puntuale, senza alcun riferimento specifico al passato. Il participio aoristo greco di tutte le forme e tipologie si traduce in genere come un gerundio passato o con ''dopo'' + infinito passato<ref>Compiangendo che l'opera di Apollonio Discolo riguardo ai participi non ci è disponibile, dobbiamo accontentarci di quanto riportato da Giorgio Cherobosco in ''Grammatici Graeci'' IV/II (B.G. Teubner, Lipsia 1894) pag. 296 ss., oppure, gratuitamente sul WEB, [https://books.google.it/books?id=M15GAQAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=Georgii+Choerobosci+Dictata+in+Theodosii+canones&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwjt9O675YnbAhUJG5oKHRkdBeYQ6AEIMTAB#v=onepage&q=Georgii%20Choerobosci%20Dictata%20in%20Theodosii%20canones&f=false Georgii Choerobosci Dictata in Theodosii Canones Vol II] a cura di T. Gaisford, Oxonii 1842 pag. 813 ss. Qui il grammatico spiega che si pone al participio aoristo quel verbo la cui azione viene prima e che si usa perché le congiunzioni copulative non significano ordinamento. Cherobosco ci presenta il seguente esempio Ἀγαμέμνων βασιλεύσας ἐπολέμησεν (''Agamennone dopo essere diventato re portò guerra'') dove si intende che Agamennone prima divenne re, poi portò guerra.</ref>; il suo participio, unito al verbo {{polytonic|ἔχω}} "avere", ''in posizione predicativa'', costituisce una forma perifrastica del perfetto: es. {{polytonic|ἔχω λύσας}} "ho sciolto", {{polytonic|ἔχω περάνας}} "ho tentato". Tale perifrasi è già prefigurata nel [[dialetto omerico]], ed è presente nei classici del V secolo, come [[Sofocle]]. L'aoristo, come anche il futuro, possiede una forma per ciascuna delle tre diatesi, ossia il medio e il passivo hanno due forme distinte. ==Aumento== Per l'aumento vale quanto detto nella relativa [[Greco antico/Imperfetto#L'aumento|sezione nella pagina dell'imperfetto]]. == Aoristo attivo e medio == L'aoristo greco eredita in tutto e per tutto dall'[[Lingue indoeuropee|indoeuropeo]] le tre forme di aoristo originarie, perfettamente corrispondenti alle forme dell'aoristo [[Lingua vedica|vedico]] e [[sanscrito]]: * L'aoristo I o ''debole'' o ''sigmatico'', così chiamato per il suo suffisso '''-σα-'''. Nei verbi col tema in consonante nasale o liquida il sigma cade lasciando solo il suffisso '''-α-''' e provocando aumento di compenso della vocale radicale; questa forma senza sigma è detta ''asigmatica''. * L'aoristo II o ''forte'' o ''tematico'', che si forma sulla radice verbale al grado zero dell'[[apofonia]], inserendo fra radice e desinenza le vocali tematiche '''-ο-''', '''-ε-'''. * L'aoristo III o ''fortissimo'' o ''atematico'', formazione molto antica propria di alcuni verbi anomali, coniugata aggiungendo alla radice verbale le desinenze ''senza intermediazione di suffisso o vocale tematica''. La distinzione fra aoristo ''debole'', ''forte'' e '' fortissimo'' si deve agli studiosi tedeschi che hanno sistematizzato la grammatica greca nell'800: in tedesco i verbi regolari sono detti ''deboli'', mentre quelli irregolari sono detti ''forti'', e così, per analogia, l'aoristo formato sul tema del presente (cioè "regolare") è stato detto ''debole'', mentre quelli formati su un tema diverso (e quindi "irregolari") sono stati detti ''forte'' e ''fortissimo''. === Aoristo I o debole o sigmatico === L'aoristo debole greco è caratterizzato dal suffisso '''-σα-''', che deriva da σm̥ con la sonante m̥ dell'indoeuropeo vocalizzatasi in α. La forma sigmatica è propria dei temi in consonante muta, in vocale e dittongo. Il suffisso '''-σα-''' dà luogo a mutamenti fonetici: *allunga la vocale finale di radice dei verbi in vocale semplice, tranne quelle di alcuni verbi, come '''καλέω''' (ἐκάλεσα)<ref>La radice è καλεσ-, da cui l'aoristo *ἐκάλεσσα e infine ἐκάλεσα per semplificazione del doppio sigma.</ref>, '''τελέω''' (ἐτέλεσα)<ref>La radice è τελεσ-, da cui l'aoristo *ἐτέλεσσα e infine ἐτέλεσα per semplificazione del doppio sigma.</ref> ed '''ἐλαύνω''' (ἤλᾰσα), che fanno eccezione; *si fonde graficamente con le labiali finali di radice in '''ψ''', con le gutturali in '''ξ''' e fa cadere le dentali<ref>In realtà si verifica un'assimilazione della dentale seguita dalla semplificazione della doppia sibilante (δ, θ, τ + σ = σσ > σ), dando però l'impressione che la dentale cada senza lasciare traccia.</ref>; *davanti a consonante liquida o nasale il sigma cade, provocando allungamento di compenso della vocale radicale. A questo fenomeno si sottraggono i verbi '''κέλλω''' e '''κύρω''', che formano regolarmente gli aoristi '''ἔκελσα''' e '''ἔκυρσα'''. All'ottativo attivo, nella 2^a e 3^a persona singolare e nella 3^a plurale, le forme alternative sono dette ''eoliche''. ''Struttura morfemica dell'aoristo sigmatico'' {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||suffisso temporale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|λυ}}-||-{{polytonic|σα}}-||-{{polytonic|ν}} |} * La forma asigmatica è propria dei temi in consonante liquida e nasale, tranne '''κέλλω''' e '''κύρω'''; essa, come abbiamo detto, è caratterizzata dal suffisso ridotto a semplice '''-α-''' in seguito alla caduta del sigma. ''Struttura morfemica dell'aoristo asigmatico'' {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale al grado allungato||suffisso temporale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|φην}}-||-{{polytonic|α}}-||-{{polytonic|ν}} |} ==== Esempi di paradigmi di aoristi deboli ==== =====Aoristo debole sigmatico attivo e medio di λύω "sciogliere"===== {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔλυσα}}||{{polytonic|λύσω}}||{{polytonic|λύσαιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |ἐλυσάμην}}|| {{polytonic|λύσωμαι}}||{{polytonic|λυσαίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔλυσας}}||{{polytonic|λύσῃς}}||{{polytonic|λύσαις}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|λύσειας}})||{{polytonic|λῦσον}}|| {{polytonic |ἐλύσω}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἐλύσασο}})||{{polytonic|λύσῃ}}||{{polytonic|λύσαιο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|λύσαισο}})||{{polytonic|λῦσαι}} |- !3º sing. |{{polytonic|ἔλυσε}}||{{polytonic|λύσῃ}}||{{polytonic|λύσαι}} ({{polytonic|λύσειεν}})||{{polytonic|λυσάτω}}||{{polytonic|ἐλύσατο}}||{{polytonic|λύσηται}}||{{polytonic|λύσαιτο}}||{{polytonic|λυσάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλύσατον}}||{{polytonic|λύσητον}}||{{polytonic|λύσαιτον}}||{{polytonic|λύσατον}} ||{{polytonic|ἐλύσασθον}}||{{polytonic|λύσησθον}}||{{polytonic|λύσαισθον}}||{{polytonic|λύσασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλυσάτην}}||{{polytonic|λύσητον}}||{{polytonic|λυσαίτην}}||{{polytonic|λυσάτων}}|| {{polytonic|ἐλυσάσθην}}||{{polytonic|λύσησθον}}||{{polytonic|λυσαίσθην}}||{{polytonic|λυσάσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐλύσαμεν}}||{{polytonic|λύσωμεν}}||{{polytonic|λύσαιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλυσάμεθα}} ||{{polytonic|λυσώμεθα}}||{{polytonic|λυσαίμεθα}} ||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐλύσατε}}||{{polytonic|λύσητε}}||{{polytonic|λύσαιτε}}||{{polytonic|λύσατε}}||{{polytonic |ἐλύσασθε}}||{{polytonic|λύσησθε}}||{{polytonic|λύσαισθε}}||{{polytonic|λύσασθε}} |- !3º plur. | {{polytonic|ἔλυσαν}}||{{polytonic|λύσωσι(ν)}}||{{polytonic|λύσαιεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|λύσειαν}})||{{polytonic|λυσάντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λυσάτωσαν}}||{{polytonic|ἐλύσαντο}}||{{polytonic|λύσωνται}}|| {{polytonic|λύσαιντο}}||{{polytonic|λυσάσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λυσάσθωσαν}} |} Il participio e l'infinito hanno le seguenti forme: {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λῦσαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λύσας <small>''femm.''</small>λύσασα <small>''neu.''</small> λῦσαν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|λύσασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λυσάμενος <small>''femm.''</small> λυσαμένη <small>''neu.''</small> λυσάμενον}} |} Il participio aoristo debole attivo sigmatico maschile e neutro ha il tema -σαντ- (il maschile singolare, sigmatico, fa cadere -ντ- davanti a sigma allungando per compenso -α-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -σαντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). =====Aoristo debole asigmatico attivo e medio di φαίνω "mostrare"===== Il cambiamento di vocale nella radice φαν- > φην- è dovuto all'allungamento della vocale causato dalla caduta del sigma (*ἔφᾰνσα > ἔφᾱνα) che, essendo un alfa impuro lungo, in ionico-attico è passato a η (ἔφᾱνα > ἔφηνα). {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔφηνα}}||{{polytonic|φήνω}}||{{polytonic|φήναιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐφηνάμην}}|| {{polytonic|φήνωμαι}}||{{polytonic|φηναίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔφηνας}}||{{polytonic|φήνῃς}}||{{polytonic|φήναις}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειας||{{polytonic|φῆνον}}|| {{polytonic|ἐφήνω}}||{{polytonic|φήνῃ}}||{{polytonic|φήναιο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|φήναισο}})|| {{polytonic|φῆναι}} |- !3º sing. |{{polytonic|ἔφηνε}}||{{polytonic|φήνῃ}}||{{polytonic|φήναι}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειεν||{{polytonic|φηνάτω}}||{{polytonic|ἐφήνατο}}||{{polytonic|φήνηται}}||{{polytonic|φήναιτο}}||{{polytonic|φηνάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐφήνατον}}||{{polytonic|φήνητον}}||{{polytonic|φήναιτον}}||{{polytonic|φήνατον}}||{{polytonic|ἐφήνασθον}}||{{polytonic|φήνησθον}}||{{polytonic|φήναισθον}}||{{polytonic|φήνασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφηνάτην}}||{{polytonic|φήνητον}}||{{polytonic|φηναίτην}}||{{polytonic|φηνάτων}}|| {{polytonic|ἐφηνάσθην}}||{{polytonic|φήνησθον}}||{{polytonic|φηναίσθην}}||{{polytonic|φηνάσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐφήναμεν}}||{{polytonic|φήνωμεν}}||{{polytonic|φήναιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐφηνάμεθα}}||{{polytonic|φηνώμεθα}}||{{polytonic|φηναίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐφήνατε}}||{{polytonic|φήνητε}}||{{polytonic|φήναιτε}}||{{polytonic|φήνατε}}||{{polytonic|ἐφήνασθε}}||{{polytonic|φήνησθε}}||{{polytonic|φήναισθε}}||{{polytonic|φήνασθε}} |- !3º plur. |{{polytonic|ἔφηναν}}||{{polytonic|φήνωσι(ν)}}||{{polytonic|φήναιεν}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειαν||{{polytonic|φηνάντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|φηνάτωσαν}}||{{polytonic|ἐφήναντο}}||{{polytonic|φήνωνται}}||{{polytonic|φήναιντο}}|| {{polytonic|φηνάσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|φηνάσθωσαν}} |} Il participio e l'infinito hanno le seguenti forme: {|class="wikitable" !Infinito attivo||Participio attivo||Infinito medio||Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φήνας <small>''femm.''</small>φήνασα <small>''neu.''</small> φῆναν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|φήνασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φηνάμενος <small>''femm.''</small> φηναμένη <small>''neu.''</small> φηνάμενον}} |} Il participio aoristo debole attivo asigmatico maschile e neutro ha il tema -αντ- (il maschile singolare, sigmatico, fa cadere -ντ- davanti a sigma allungando per compenso -α-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -αντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). === Aoristo II o forte o tematico === L'aoristo forte ha come caratteristica la semplice vocale tematica. Esso, formalmente, ha la struttura dell'imperfetto, con una differenza sostanziale: ''[[classi verbali del greco antico|si forma sul tema verbale e non sul tema del presente]]''; spesso, inoltre, il tema verbale assume l'[[apofonia]] al grado debole. A distinguere l'aoristo forte dall'imperfetto è dunque non tanto la desinenza, quanto piuttosto la forma che il tema verbale assume. Come esempio di paradigma caratterizzato da apofonia, possiamo prendere in considerazione quello del verbo λείπω "lasciare", la cui apofonia radicale è λιπ-/λειπ-/λοιπ-: nel presente è utilizzato il grado medio λειπ-, mentre nell'aoristo si usa il grado zero λιπ-. Per comprendere la natura dei procedimenti morfologici alla base della formazione dell'aoristo forte, sarà opportuno confrontare le strutture morfemiche dell'imperfetto e dell'aoristo di '''λείπω''': Struttura morfemica dell'imperfetto {{polytonic|ἔ'''λειπ'''ον}}, "lasciavo": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale (grado medio)||Vocale tematica||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ }}-||-{{polytonic|λειπ}}-||-{{polytonic|ο}}-||-{{polytonic|ν}} |} Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔ'''λιπ'''ον}}, "lasciai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale (grado zero)||Vocale tematica||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ }}-||-{{polytonic|λιπ}}-||-{{polytonic|ο}}-||-{{polytonic|ν}} |} ====Aoristo forte attivo e medio di λείπω "lasciare"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔλιπον}}||{{polytonic|λίπω}}||{{polytonic|λίποιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλιπόμην}}||{{polytonic|λίπωμαι}}||{{polytonic|λιποίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔλιπες}}||{{polytonic|λίπῃς}}||{{polytonic|λίποις}}||{{polytonic|λίπε}}||{{polytonic|ἐλίπου}}&zwj;&nbsp;(<{{polytonic|*ἐλίπεσο}})||{{polytonic|λίπῃ}}||{{polytonic|λίποιο}}&zwj;&nbsp;(<{{polytonic|*λίποισο}})||{{polytonic|λίπου}} (<{{polytonic|*λίπεσο}}) |- !3º sing. |{{polytonic|ἔλιπε}}||{{polytonic|λίπῃ}}||{{polytonic|λίποι}}||{{polytonic|λιπέτω}}||{{polytonic|ἐλίπετο}}||{{polytonic|λίπηται}}||{{polytonic|λίποιτο}}||{{polytonic|λιπέσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλίπετον}}||{{polytonic|λίπητον}}||{{polytonic|λίποιτον}}||{{polytonic|λίπετον}}||{{polytonic|ἐλίπεσθον}}||{{polytonic|λίπησθον}}||{{polytonic|λίποισθον}}||{{polytonic|λίπεσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλιπέτην}}||{{polytonic|λίπητον}}||{{polytonic|λιποίτην}}||{{polytonic|λιπέτων}}||{{polytonic|ἐλιπέσθην}}||{{polytonic|λίπησθον}}||{{polytonic|λιποίσθην}}||{{polytonic|λιπέσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐλίπομεν}}||{{polytonic|λίπωμεν}}||{{polytonic|λίποιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλιπόμεθα}}||{{polytonic|λιπώμεθα}}||{{polytonic|λιποίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐλίπετε}}||{{polytonic|λίπητε}}||{{polytonic|λίποιτε}}||{{polytonic|λίπετε}}||{{polytonic|ἐλίπεσθε}}||{{polytonic|λίπησθε}}||{{polytonic|λίποισθε}}||{{polytonic|λίπεσθε}} |- !3º plur. |{{polytonic|ἔλιπον}}||{{polytonic|λίπωσι(ν)}}||{{polytonic|λίποιεν}}||{{polytonic|λιπόντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λιπέτωσαν}}||{{polytonic|ἐλίποντο}}||{{polytonic|λίπωνται}}||{{polytonic|λίποιντο}}|| {{polytonic|λιπέσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λιπέσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!participio attivo!!infinito medio!!participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λιπεῖν}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λιπών <small>''femm.''</small> λιποῦσα <small>''neu.'' </small> λιπόν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|λιπέσθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λιπόμενος <small>''femm.''</small> λιπομένη <small>''neu.''</small> λιπόμενον}} |} Il participio aoristo forte attivo maschile e neutro ha il tema -όντ- (il maschile singolare fa cadere -τ- e allunga per apofonia -ο- in -ω-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -όντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). *L'aoristo forte dà luogo talora a paradigmi anomali o difettivi. Ad eccezione di {{polytonic|ἔκλυον}}, i seguenti sono i cosiddetti "verbi politematici": **{{polytonic|εἶδον "vidi" (tema ἰδ-)}}<ref>Dalla radice {{polytonic|ϝιδ-/ϝειδ-/ϝοιδ-}} si è utilizzato il grado zero con aggiunta dell'aumento e conseguente caduta del digamma (*{{polytonic|ἐϝιδον}} > {{polytonic|εἶδον}}). Negli altri modi la radice si riduce da {{polytonic|ϝιδ-}} a {{polytonic|ἰδ-}} con semplice caduta del digamma.</ref> viene fatto ricondurre al verbo difettivo ὁράω "vedere" **{{polytonic|εἶπον "dissi" (tema εἰπ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo λέγω "dire" **{{polytonic|ἦλθον "venni, andai"}} (tema ἐλθ-) viene fatto ricondurre al verbo difettivo ἔρχομαι "andare, venire" **{{polytonic|ἤνεγκον "portai" (tema ἐνεγκ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo φέρω "portare" **{{polytonic|ἔδραμον "corsi" (tema δραμ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo τρέχω "correre" **{{polytonic|ἔφαγον "mangiai" (tema φαγ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo ἐσθίω "mangiare" **{{polytonic|εἷλον "presi" (tema ἑλ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo αἱρέω "prendere" **{{polytonic|ἔκλυον "udii" (tema κλυ-)}} ha forme di imperativo atematiche: {{polytonic|κλῦθι "ascolta"}} * cinque aoristi conservano imperativi arcaici con l'accento sull'ultima sillaba: **{{polytonic|εἶδον "vidi"}} (utilizzato come aoristo di ὁράω "vedere"), imperativo {{polytonic|ἰδέ}} "vedi"; **{{polytonic|ἔλαβον "presi", da λαμβάνω "prendo"}}, imperativo: {{polytonic|λαβέ}} "prendi"; **{{polytonic|εὗρον (o ηὗρον) "presi", da εὑρίσκω "trovo"}}, imperativo {{polytonic|εὑρέ}} "trova"; **{{polytonic|ἦλθον "andai, venni"}} (utilizzato come aoristo di ἔρχομαι "andare, venire"), imperativo: {{polytonic|ἐλθέ}} "va', vieni"; **{{polytonic|εἶπον "dissi"}} (utilizzato come aoristo di λέγω "dire"), imperativo: {{polytonic|εἰπέ}} "di' ". * Alcuni aoristi forti hanno la radice ''raddoppiata'', oltre che ''aumentata'': ess.: ** dal verbo {{polytonic|ἄγω}} "condurre", radice {{polytonic|ἀγ-}} (cfr. latino ''ago'' "condurre"), tema dell'aoristo {{polytonic|ἀγαγ}}-, per cui: {{polytonic | ἤγαγον}}; ** dalla radice senza presente {{polytonic|εἰπ-}} si ha l'aoristo {{polytonic|εἶπον}}, in [[Omero]] {{polytonic|ἔειπον}} (da *{{polytonic|ἐϝέϝιπον}})<ref>In origine la radice era {{polytonic|ϝπ-/ϝεπ-/ϝοπ-}}, della quale si è utilizzato il grado zero con raddoppiamento e aumento (*{{polytonic|ἐ.ϝε.ϝπ.ον}}), poi il primo digamma è caduto e il secondo si è prima vocalizzato in υ e poi dissimilato in ι (*{{polytonic|ἐϝεϝπον}} > *{{polytonic|ἐεϝπον}} > *{{polytonic|ἐευπον}} > *{{polytonic|ἐειπον}}), infine l'aumento si è contratto con il dittongo ει ({{polytonic|ἔειπον}} > {{polytonic|εἶπον}}). Negli altri modi ovviamente l'aumento non entra in gioco, ma il tema è comunque lo stesso perché in questo caso l'aumento viene semplicemente assorbito dal dittongo ει senza ulteriori modifiche.</ref>, utilizzato come aoristo di λέγω "dire". **dalla radice senza presente {{polytonic|ἤνεγκον}} (tema dell'aoristo {{polytonic|ἐνεγκ-}}), radice {{polytonic|ἐγκ-/ἐνεκ-/ἐνοκ-}} (l'aoristo si forma dal grado zero), è utilizzato come aoristo di {{polytonic|φέρω}} "portare". === Aoristo III o fortissimo o radicale o atematico === L'aoristo III è una forma estremamente arcaica. Esso si forma unendo le desinenze direttamente sulla radice e per questo è detto ''atematico'' o anche ''radicale''. Anche nei modi diversi dall'indicativo ha suffissi caratteristici dei verbi atematici. Solo pochi verbi, estremamente conservativi, lo possiedono. Alcune forme di aoristo fortissimo sono prive di presente (ad esempio l'aoristo atematico ἔτλην, dalla radice τλᾰ-/τλη-<ref>La stessa radice, che indica l'idea di portare/sopportare/sollevare, si trova anche nel verbo latino ''tollo'' e nella coniugazione di ''fero'', il cui perfetto è ''tuli'' e il supino è ''latum'' (< ''*tlatum''); in greco troviamo inoltre l'aggettivo τάλας, τάλαινα, τάλαν "sventurato, infelice".</ref>, sulla quale è stato ricostruito il presente τλάω solo in età bizantina, ma non attestato nel greco classico). Questo tipo di aoristo è peculiare di pochi verbi il cui tema termina in vocale, che è sempre lunga o perché tale anche nel tema verbale (es. ἔγνων "io conobbi", da γιγνώσκω, tema verbale γνω-) o perché costituisce il grado allungato di un tema apofonico (es. ἔβην "andai", da βαίνω, tema verbale βᾰ-/βη- e ἔστην "stetti, mi fermai", da ἵστημι, tema verbale στᾰ-/στη-). La vocale lunga si mantiene tale in tutta la coniugazione ad eccezione dei casi previsti dalla legge di [[Hermann Osthoff|Osthoff]]. Questo aoristo ha quasi esclusivamente la forma attiva, cui si aggiungono alcune rare forme medie<ref>Ad esempio ἐπριάμην "comprai" (dal presente disusato πρίαμαι) e ὠνάμην / ὠνήμην "trassi vantaggio" (da ὀνίνημι "giovare").</ref>, e significato prevalentemente intransitivo; dalle stesse radici si può formare l'aoristo primo con valore causativo: ἔβην "andai", ἔβησα "feci andare", ἐβησάμην "feci andare per me", oppure ἔστην "stetti, mi fermai" e ἔστησα "feci stare, feci fermare, collocai". ====Aoristo di βαίνω "andare"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔβην}} "andai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|βη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔβην}}||{{polytonic|βῶ}} (< *{{polytonic|βήω}})||{{polytonic|βαίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔβης}}||{{polytonic|βῇς}} (< *{{polytonic|βήῃς}})||{{polytonic|βαίης}}||{{polytonic|βῆθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔβη}}||{{polytonic|βῇ}} (< *{{polytonic|βήῃ}})||{{polytonic|βαίη}}||{{polytonic|βήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔβητον}}||{{polytonic|βῆτον}} (< *{{polytonic|βήητον}})||{{polytonic|βαῖτον}} ({{polytonic|βαίητον}})||{{polytonic|βῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐβήτην}}||{{polytonic|βῆτον}} (< *{{polytonic|βήητον}})||{{polytonic|βαίτην}} ({{polytonic|βαιήτην}})|| {{polytonic|βήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔβημεν}}||{{polytonic|βῶμεν}} (< *{{polytonic|βήωμεν}})||{{polytonic|βαῖμεν}} ({{polytonic|βαίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔβητε}}||{{polytonic|βῆτε}} (< *{{polytonic|βήητε}})||{{polytonic|βαῖτε}} ({{polytonic|βαίητε}})||{{polytonic|βῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔβησαν}}||{{polytonic|βῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|βήωσι(ν)}})||{{polytonic|βαῖεν}} ({{polytonic|βαίησαν}})||{{polytonic|βάντων}} / {{polytonic |βήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|βῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> βάς <small>''femm.''</small> βᾶσα <small>''neu.''</small> βάν}} |} Per la formazione del participio, alla radice al grado lungo βη- (< *βᾱ-) si aggiunge un tema in -ντ-: *βη.ντ-, che abbrevia la vocale radicale conformemente alla legge di Osthoff (*βᾰ.ντ-), cui si aggiunge -ς per formare il nominativo maschile singolare che fa cadere il gruppo -ντ- provocando allungamento di compenso (*βη.ντ- > *βᾰ.ντ.ς > *βᾱ.ς > '''βάς'''). Il femminile viene da *βα.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*βᾰ.ντ.jα > *βα.νσ.jα > *βᾱ.σ.α > '''βᾶσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo del duale e del plurale, oltre a formarsi con la caratteristica -ι- propria di questo modo al grado zero, può utilizzare come tema la terza persona singolare, che, non avendo desinenza, è stata sentita dai Greci come puro tema e quindi utilizzata anche per il resto della coniugazione dell'ottativo; queste forme sono messe fra parentesi. Su questo modello si coniuga anche '''ἔτλην'''. ====Aoristo di ἵστημι "collocare, porre, fermarsi"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔστην}} "stetti, mi fermai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|στη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔστην}}||{{polytonic|στῶ}} (< *{{polytonic|στήω}})||{{polytonic|σταίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔστης}}||{{polytonic|στῇς}} (< *{{polytonic|στήῃς}})||{{polytonic|σταίης}}||{{polytonic|στῆθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔστη}}||{{polytonic|στῇ}} (< *{{polytonic|στήῃ}})||{{polytonic|σταίη}}||{{polytonic|στήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔστητον}}||{{polytonic|στῆτον}} (< *{{polytonic|στήητον}})||{{polytonic|σταῖτον}} ({{polytonic|σταίητον}})||{{polytonic|στῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐστήτην}}||{{polytonic|στῆτον}} (< *{{polytonic|στήητον}})||{{polytonic|σταίτην}} ({{polytonic|σταιήτην}})|| {{polytonic|στήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔστημεν}}||{{polytonic|στῶμεν}} (< *{{polytonic|στήωμεν}})||{{polytonic|σταῖμεν}} ({{polytonic|σταίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔστητε}}||{{polytonic|στῆτε}} (< *{{polytonic|στήητε}})||{{polytonic|σταῖτε}} ({{polytonic|σταίητε}})||{{polytonic|στῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔστησαν}}||{{polytonic|στῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|στήωσι(ν)}})||{{polytonic|σταῖεν}} ({{polytonic|σταίησαν}})||{{polytonic|στάντων}} / {{polytonic |στήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|στῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> στάς <small>''femm.''</small> στᾶσα <small>''neu.''</small> στάν}} |} Valgono le stesse osservazioni fatte per ἔβην. ====Aoristo di σβέννυμι "spegnere"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔσβην}} "mi spensi, mi estinsi, morii": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|σβη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔσβην}}||{{polytonic|σβῶ}} (< *{{polytonic|σβήω}})||{{polytonic|σβείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔσβης}}||{{polytonic|σβῇς}} (< *{{polytonic|σβήῃς}})||{{polytonic|σβείης}}||{{polytonic|σβῆθι}} / {{polytonic|σβές}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔσβη}}||{{polytonic|σβῇ}} (< *{{polytonic|σβήῃ}})||{{polytonic|σβείη}}||{{polytonic|σβήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔσβητον}}||{{polytonic|σβῆτον}} (< *{{polytonic|σβήητον}})||{{polytonic|σβεῖτον}} ({{polytonic|σβείητον}})||{{polytonic|σβῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐσβήτην}}||{{polytonic|σβῆτον}} (< *{{polytonic|σβήητον}})||{{polytonic|σβείτην}} ({{polytonic|σβειήτην}})|| {{polytonic|σβήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔσβημεν}}||{{polytonic|σβῶμεν}} (< *{{polytonic|σβήωμεν}})||{{polytonic|σβεῖμεν}} ({{polytonic|σβείημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔσβητε}}||{{polytonic|σβῆτε}} (< *{{polytonic|σβήητε}})||{{polytonic|σβεῖτε}} ({{polytonic|σβείητε}})||{{polytonic|σβῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔσβησαν}}||{{polytonic|σβῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|σβήωσι(ν)}})||{{polytonic|σβεῖεν}} ({{polytonic|σβείησαν}})||{{polytonic|σβέντων}} / {{polytonic |σβήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|σβῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> σβείς <small>''femm.''</small> σβεῖσα <small>''neu.''</small> σβέν}} |} La coniugazione è simile a quella di ἔβην e ἔστην, ma in questo caso η rappresenta l'allungamento di ε e non di α (la radice è σβε(σ)-), quindi nei casi di abbreviamento troveremo ε invece di α ({{polytonic|σβείην}}, {{polytonic|σβέντων}}, {{polytonic|σβείς}}, ecc.). Da notare la forma alternativa dell'imperativo {{polytonic|σβές}}. ====Aoristo di διδράσκω "fuggire"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔδρᾱν}} "fuggii": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|δρᾱ}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔδραν}}||{{polytonic|δρῶ}} (< *{{polytonic|δράω}})||{{polytonic|δραίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔδρας}}||{{polytonic|δρᾷς}} (< *{{polytonic|δράῃς}})||{{polytonic|δραίης}}||{{polytonic|δρᾶθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔδρα}}||{{polytonic|δρᾷ}} (< *{{polytonic|δράῃ}})||{{polytonic|δραίη}}||{{polytonic|δράτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔδρατον}}||{{polytonic|δρᾶτον}} (< *{{polytonic|δράητον}})||{{polytonic|δραῖτον}} ({{polytonic|δραίητον}})||{{polytonic|δρᾶτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐδράτην}}||{{polytonic|δρᾶτον}} (< *{{polytonic|δράητον}})||{{polytonic|δραίτην}} ({{polytonic|δραιήτην}})|| {{polytonic|δράτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔδραμεν}}||{{polytonic|δρῶμεν}} (< *{{polytonic|δράωμεν}})||{{polytonic|δραῖμεν}} ({{polytonic|δραίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔδρατε}}||{{polytonic|δρᾶτε}} (< *{{polytonic|δράητε}})||{{polytonic|δραῖτε}} ({{polytonic|δραίητε}})||{{polytonic|δρᾶτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔδρασαν}}||{{polytonic|δρῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|δράωσι(ν)}})||{{polytonic|δραῖεν}} ({{polytonic|δραίησαν}})||{{polytonic|δράντων}} / {{polytonic |δράτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|δρᾶναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> δράς <small>''femm.''</small> δρᾶσα <small>''neu.''</small> δράν}} |} La coniugazione è simile a quella di ἔβην e ἔστην, con la differenza che in questo caso l'alfa si è mantenuto perché puro, negli altri due casi è invece passato a η perché impuro. ====Aoristo di γιγνώσκω "conoscere"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔγνων}} "conobbi": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|γνω}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔγνων}}||{{polytonic|γνῶ}} (< *{{polytonic|γνώω}})||{{polytonic|γνοίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔγνως}}||{{polytonic|γνῷς}} (< *{{polytonic|γνώῃς}})||{{polytonic|γνοίης}}||{{polytonic|γνῶθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔγνω}}||{{polytonic|γνῷ}} (< *{{polytonic|γνώῃ}})||{{polytonic|γνοίη}}||{{polytonic|γνώτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔγνωτον}}||{{polytonic|γνῶτον}} (< *{{polytonic|γνώητον}})||{{polytonic|γνοῖτον}} ({{polytonic|γνοίητον}})||{{polytonic|γνῶτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐγνώτην}}||{{polytonic|γνῶτον}} (< *{{polytonic|γνώητον}})||{{polytonic|γνοίτην}} ({{polytonic|γνοιήτην}})||{{polytonic|γνώτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔγνωμεν}}||{{polytonic|γνῶμεν}} (< *{{polytonic|γνώωμεν}})||{{polytonic|γνοῖμεν}} ({{polytonic|γνοίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔγνωτε}}||{{polytonic|γνῶτε}} (< *{{polytonic|γνώητε}})||{{polytonic|γνοῖτε}} ({{polytonic|γνοίητε}})||{{polytonic|γνῶτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔγνωσαν}}||{{polytonic|γνῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|γνώωσι(ν)}})||{{polytonic|γνοῖεν}} ({{polytonic|γνοίησαν}})||{{polytonic|γνόντων}} / {{polytonic |γνώτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|γνῶναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> γνούς <small>''femm.''</small> γνοῦσα <small>''neu.''</small> γνόν}} |} Per la formazione del participio, alla radice γνω- si aggiunge un tema in -ντ- che conformemente alla legge di Osthoff fa abbreviare la vocale radicale (*γνω.ντ- > γνοντ-). L'aggiunta del sigma al nominativo maschile singolare provoca caduta del gruppo -ντ- e allungamento di compenso (*γνο.ντ.ς > *γνō.ς > '''γνούς'''). Il femminile viene da *γνο.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*γνο.ντ.jα > *γνο.νσ.jα > *γνō.σ.α > '''γνοῦσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo del duale e del plurale, oltre a formarsi con la caratteristica -ι- propria di questo modo al grado zero, può utilizzare come tema la terza persona singolare, che, non avendo desinenza, è stata sentita dai Greci come puro tema e quindi utilizzata anche per il resto della coniugazione dell'ottativo; queste forme sono messe fra parentesi. Su questo stesso modello si coniuga anche '''βιόω''' (ἐβίων, βιῶ, βιοίην, βίωθι, βιῶναι, βιούς ecc.). ====Aoristo di φύω "nascere, generare"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔφῡν}} "nacqui (con certe caratteristiche)": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|φῡ}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔφυν}}||{{polytonic|φύω}}||<div style="text-align:center">-</div>||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔφυς}}||{{polytonic|φύῃς}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔφυ}}||{{polytonic|φύῃ}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔφυτον}}||{{polytonic|φύητον}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφύτην}}||{{polytonic|φύητον}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔφυμεν}}||{{polytonic|φύωμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔφυτε}}||{{polytonic|φύητε}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔφυσαν}}||{{polytonic|φύωσι(ν)}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύντων}} / {{polytonic |φύτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φῦναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φύς <small>''femm.''</small> φῦσα <small>''neu.''</small> φύν}} |} Per la formazione del participio, alla radice al grado lungo φῡ- si aggiunge un tema in -ντ- che conformemente alla legge di Osthoff fa abbreviare la vocale radicale (*φῡ.ντ- > φῠντ-). L'aggiunta del sigma al nominativo maschile singolare provoca caduta del gruppo -ντ- e allungamento di compenso (*φῠ.ντ.ς > *φῡ.ς > '''φύς'''). Il femminile viene da *φυ.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*φῠ.ντ.jα > *φῠ.νσ.jα > *φῡ.σ.α > '''φῦσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo non è attestatato. Su questo modello di coniuga anche '''δύω''' (ἔδυν, δύω, - , δῦναι, ecc.). Da notare che il congiuntivo è morfologicamente uguale a quello presente. ====Aoristo medio ἐπριάμην "comprai" (fatto ricondurre a ὠνέομαι; presente ricostruito a posteriori πρίαμαι)==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἐπριάμην}} "comprai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|πριά}}-||-{{polytonic|μην}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐπριάμην}}||{{polytonic|πρίωμαι}}||{{polytonic|πριαίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐπρίω (< *ἐπρίασο)}}||{{polytonic|πρίῃ}}||{{polytonic|πρίαιο}} (< *πρίαισο)||{{polytonic|πρίασο}}/{{polytonic|πρίω}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐπρίατο}}||{{polytonic|πρίηται}}||{{polytonic|πρίαιτο}}||{{polytonic|πριάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐπρίασθον}}||{{polytonic|πρίησθον}}||{{polytonic|πρίαισθον}}||{{polytonic|πρίασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐπριάσθην}}||{{polytonic|πρίησθον}}||{{polytonic|πριαίσθην}}|| {{polytonic|πριάσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐπριάμεθα}}||{{polytonic|πριώμεθα}}||{{polytonic|πριαίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐπρίασθε}}||{{polytonic|πρίησθε}}||{{polytonic|πρίαισθε}}||{{polytonic|πρίασθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐπρίαντο}}||{{polytonic|πρίωνται}}||{{polytonic|πρίαιντο}}||{{polytonic|πριάσθων}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|πρίασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> πριάμενος <small>''femm.''</small> πριαμένη <small>''neu.''</small> πριάμενον}} |} Si ritrovano le stesse irregolarità del presente dei verbi deponenti in -μι. Nel congiuntivo l'accento è irregolarmente ritratto sulla terzultima sillaba e la vocale finale della radice scompare a contatto con la vocale tematica allungata; la seconda singolare del congiuntivo contrae irregolarmente in -ῃ per renderla riconoscibile. Su questo modello si coniugano anche '''ὠνάμην'''/'''ὠνήμην''' (da ὀνίνημι "giovare") e '''ἐπτάμην''' (da πέτομαι "volare"), dei quali però non sono attestate tutte le forme. ==== Una forma particolare di aoristo III: l'aoristo cappatico ==== L'aoristo cappatico è quello che caratterizza tre dei quattro verbi in -μι che hanno il raddoppiamento nel tema del presente, cioè τίθημι "porre", δίδωμι "dare" e ἵημι "mandare" (il quarto è ἵστημι "collocare" che ha il normale aoristo terzo ἔστην "stetti" se intransitivo oppure l'aoristo debole ἔστησα "collocai, feci stare" se transitivo). Si chiama ''cappatico'' perché nelle tre persone singolari dell'indicativo attivo viene inserito un -κ- di ampliamento al tema verbale. Le terminazioni al singolare attivo sono perciò -κα, -κας, -κε(ν), modellate per analogia con il [[Greco antico/Perfetto e piuccheperfetto|perfetto]].<br> Per quanto riguarda i gradi apofonici, si osserva la seguente distribuzione: *grado allungato (δω-, θη-, ἡ-): singolare dell'indicativo attivo, tutto il congiuntivo (si fonde con la regolare vocale congiuntiva allungata); *grado breve (δο-, θε-, ἑ-): plurale e duale dell'indicativo attivo, indicativo medio, tutto l'ottativo (si unisce al suffisso caratteristico -ιη-/-ι- creando dittongo), tutto l'imperativo, tutto l'infinito. Per quanto riguarda l'aumento di ἵημι, occorre ricordare che la radice è jε-/jη-, che diventa ἑ-/ἡ- per caduta dello jod; al grado lungo avremo quindi {{polytonic|ἐ.jη- > ἐ.ἡ- > '''ἡ'''}}-, mentre al grado breve ἐ.jε- > ἐ.ἑ- > '''εἱ'''-. Da notare che i suoi congiuntivo, ottativo e infinito attivi sono morfologicamente identici a quelli del presente di {{polytonic|εἰμί}} con l'aggiunta dello spirito aspro. =====Aoristo di δίδωμι "dare"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἔδωκα}} "diedi": {|{{prettytable}} ! Aumento sillabico||Radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|δω}}-||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἔδωκα}}||{{polytonic|δῶ}} (< *{{polytonic|δώω}})||{{polytonic|δοίην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |ἐδόμην}}||{{polytonic|δῶμαι}} (< *{{polytonic|δώωμαι}})||{{polytonic|δοίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔδωκας}}||{{polytonic|δῷς}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώῃς}})||{{polytonic|δοίης}}||{{polytonic|δός}}||{{polytonic |ἔδου}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἔδοσο}})||{{polytonic| δῷ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησαι}})||{{polytonic |δοῖο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δοῖσο}})||{{polytonic|δοῦ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δόσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἔδωκε(ν)}}||{{polytonic|δῷ}} (< *{{polytonic|δώῃ}})||{{polytonic|δοίη}}||{{polytonic|δότω}}||{{polytonic |ἔδοτο}}||{{polytonic|δῶται}} (< *{{polytonic|δώηται}})||{{polytonic|δοῖτο}}||{{polytonic|δόσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔδοτον}}||{{polytonic|δῶτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητον}})||{{polytonic|δοῖτον}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίητον}})|| {{polytonic|δότον}}||{{polytonic|ἔδοσθον}}||{{polytonic|δῶσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθον}})||{{polytonic|δοῖσθον}} ||{{polytonic|δόσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐδότην}}||{{polytonic|δῶτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητον}})||{{polytonic|δοίτην}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοιήτην}})||{{polytonic|δότων}}||{{polytonic|ἐδόσθην}}||{{polytonic|δῶσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθον}})||{{polytonic|δοίσθην}}||{{polytonic|δόσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔδομεν}}||{{polytonic|δῶμεν}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωμεν}})||{{polytonic|δοῖμεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐδόμεθα}}||{{polytonic|δώμεθα}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωμεθα}})||{{polytonic|δοίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔδοτε}}||{{polytonic|δῶτε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητε}})||{{polytonic|δοῖτε}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίητε}})||{{polytonic|δότε}}||{{polytonic|ἔδοσθε}}||{{polytonic|δῶσθε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθε}})||{{polytonic|δοῖσθε}}||{{polytonic|δόσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔδοσαν}}||{{polytonic|δῶσι(ν)}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωσι(ν)}})||{{polytonic|δοῖεν}} ({{polytonic|δοίησαν}})||{{polytonic|δόντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|δότωσαν}}||{{polytonic|ἔδοντο}}||{{polytonic|δῶνται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωνται}})||{{polytonic|δοῖντο}}||{{polytonic|δόσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|δόσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|δοῦναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> δούς <small>''femm.''</small> δοῦσα <small>''neu.''</small> δόν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |δόσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> δόμενος <small>''femm.''</small> δομένη <small>''neu.''</small> δόμενον}} |} =====Aoristo di τίθημι "porre"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἔθηκα}} "posi": {| {{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|θη}}-||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio|| Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἔθηκα}}||{{polytonic|θῶ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήω}})||{{polytonic|θείην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐθέμην}}||{{polytonic|θῶμαι}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμαι}})||{{polytonic|θείμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔθηκας}}||{{polytonic|θῇς}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήῃς}})||{{polytonic|θείης}}||{{polytonic|θές}}||{{polytonic |ἔθου}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἔθεσο}})||{{polytonic|θῇ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησαι}})||{{polytonic|θεῖο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θεῖσο}})||{{polytonic|θοῦ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θέσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἔθηκε(ν)}}||{{polytonic|θῇ}} (< *{{polytonic|θήῃ}})||{{polytonic|θείη}}||{{polytonic|θέτω}}||{{polytonic|ἔθετο}}||{{polytonic|θῆται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήηται}})||{{polytonic|θεῖτο}}||{{polytonic|θέσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔθετον}}||{{polytonic|θῆτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήητον}})||{{polytonic|θεῖτον}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείητον}})||{{polytonic|θέτον}}||{{polytonic|ἔθεσθον}}||{{polytonic|θῆσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθον}})||{{polytonic|θεῖσθον}}||{{polytonic|θέσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐθέτην}}||{{polytonic|θῆτον}} (< *{{polytonic|θήητον}})||{{polytonic|θείτην}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θειήτην}})||{{polytonic|θέτων}}||{{polytonic|ἐθέσθην}}||{{polytonic|θῆσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθον}})||{{polytonic|θείσθην}}||{{polytonic|θέσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔθεμεν}}||{{polytonic|θῶμεν}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμεν}})||{{polytonic|θεῖμεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐθέμεθα}}||{{polytonic|θώμεθα}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμεθα}})||{{polytonic|θείμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔθετε}}||{{polytonic|θῆτε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήητε}})||{{polytonic|θεῖτε}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείητε}})||{{polytonic|θέτε}}||{{polytonic |ἔθεσθε}}||{{polytonic|θῆσθε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθε}})||{{polytonic|θεῖσθε}}||{{polytonic|θέσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔθεσαν}}||{{polytonic|θῶσι(ν)}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωσι(ν)}})||{{polytonic|θεῖεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείησαν}})||{{polytonic|θέντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|θέτωσαν}}||{{polytonic|ἔθεντο}}||{{polytonic|θῶνται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωνται}})||{{polytonic|θεῖντο}}||{{polytonic|θέσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|θέσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|θεῖναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> θείς <small>''femm.''</small> θεῖσα <small>''neu.''</small> θέν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |θέσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> θέμενος <small>''femm.''</small> θεμένη <small>''neu.''</small> θέμενον}} |} =====Aoristo di ἵημι "mandare"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἧκα}} "mandai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico + radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἧ}}- (< *{{polytonic|ἐ-jη-}})||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio|| Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἧκα}}||{{polytonic|ὧ}} (< *{{polytonic|ἥω}})||{{polytonic|εἵην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |εἵμην}}||{{polytonic|ὧμαι}} (< *{{polytonic|ἥωμαι}})||{{polytonic|εἵμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἧκας}}||{{polytonic|ᾗς}} (< *{{polytonic|ἥῃς}})||{{polytonic|εἵης}}||{{polytonic|ἕς}}||{{polytonic|εἷσο}}||{{polytonic|ᾗ}} (< *{{polytonic|ἥησαι}})||{{polytonic |εἷο}} (< *{{polytonic|εἷσο}})||{{polytonic|οὗ}} (< *{{polytonic|ἕσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἧκε(ν)}}||{{polytonic|ᾗ}} (< *{{polytonic|ἥῃ}})||{{polytonic|εἵη}}||{{polytonic|ἕτω}}||{{polytonic|εἷτο}}||{{polytonic|ἧται}} (< *{{polytonic|ἥηται}})||{{polytonic|εἷτο}}||{{polytonic|ἕσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|εἷτον}}||{{polytonic|ἧτον}} (< *{{polytonic|ἥητον}})||{{polytonic|εἷτον}} ({{polytonic|εἷητον}})||{{polytonic|ἕτον}}||{{polytonic |εἷσθον}}||{{polytonic|ἧσθον}} (< *{{polytonic|ἥησθον}})||{{polytonic|εἷσθον}}||{{polytonic|ἕσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|εἵτην}}||{{polytonic|ἧτον}} (< *{{polytonic|ἥητον}})||{{polytonic|εἷτην}} ({{polytonic|εἱήτην}})||{{polytonic|ἕτων}}||{{polytonic|εἵσθην}}||{{polytonic|ἧσθον}} (< *{{polytonic|ἥησθον}})||{{polytonic|εἵσθην}}||{{polytonic|ἕσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|εἷμεν}}||{{polytonic|ὧμεν}} (< *{{polytonic|ἥωμεν}})||{{polytonic|εἷμεν}} ({{polytonic|εἵημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|εἵμεθα}}||{{polytonic|ὥμεθα}} (< *{{polytonic|ἡώμεθα}})||{{polytonic|εἵμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|εἷτε}}||{{polytonic|ἧτε}} (< *{{polytonic|ἥητε}})||{{polytonic|εἷτε}} ({{polytonic|εἷητε}})||{{polytonic|ἕτε}}||{{polytonic|εἷσθε}}||{{polytonic|ἧσθε}} (< *{{polytonic|ἥησθε}})||{{polytonic|εἷσθε}}||{{polytonic|ἕσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|εἷσαν}}||{{polytonic|ὧσι(ν)}} (< *{{polytonic|ἥωσιν}})||{{polytonic|εἷεν}} ({{polytonic|εἵησαν}})||{{polytonic|ἕντων}} / {{polytonic|ἕτωσαν}}||{{polytonic|εἷντο}}||{{polytonic|ὧνται}} (< *{{polytonic|ἥωνται}})||{{polytonic|εἷντο}}||{{polytonic|ἕσθων}} / {{polytonic|ἕσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|εἷναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> εἵς <small>''femm.''</small> εἷσα <small>''neu.''</small> ἕν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |ἕσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> ἕμενος <small>''femm.''</small> ἑμένη <small>''neu.''</small> ἕμενον}} |} == Aoristo passivo == Giacché come si è già detto l'aoristo distingue la diatesi '''media''' da quella '''passiva''', per quest'ultima esiste una forma a parte di aoristo. Particolarmente notevole è che, pur essendo una voce passiva, porti delle desinenze attive. Ciò è dovuto al fatto che originariamente questo tipo di aoristo era intransitivo con un significato ingressivo in un nuovo stato o una nuova condizione e quindi diatesi attiva: la forma ἐκάην (da καίω) valeva quindi "mi bruciai, mi consumai col fuoco", ἐμάνην (da μαίνομαι) "divenni pazzo". A causa di alcuni verbi che si prestavano facilmente ad ambiguità come ἐπλήγην (da πλήσσω) "mi sbalordii, rimasi impressionato/colpito", oppure ἐσφάλην "mi ingannai, rimasi ingannato [dagli eventi]" il significato slittò verso il senso passivo: "fui bruciato, fui colpito, fui ingannato". L'aoristo passivo secondo è più antico del primo e ha la stessa struttura dell'aoristo terzo, da cui proviene<ref>Si tratta infatti di un aoristo terzo con l'aggiunta di un ampliamento in -η-, lo stesso che in latino ha formato la seconda coniugazione che, come l'aoristo passivo secondo originario, ha valore stativo; in alcuni casi l'ampliamento prende il grado apofonico ω, come in ἑάλων, aoristo di ἁλίσκομαι "essere preso, essere perduto".</ref>. L'aoristo passivo primo fu creato a causa delle difficoltà dovute al suffisso caratteristico -η- dell'aoristo secondo a contatto con le radici in vocale, il quale provocava iati e contrazioni difficilmente riconoscibili; la modifica del suffisso in -θη- eliminava quindi i problemi e fu in parte estesa anche ai verbi in consonante che già avevano l'aoristo passivo secondo. L'aoristo passivo secondo, accanto al nuovo valore passivo, conserva ancora in alcuni verbi l'antico senso ingressivo (ad esempio in già citato ἐμάνην, oppure ἐχάρην, da χαίρω, "mi rallegrai"), mentre l'aoristo passivo primo ha prevalentemente senso passivo<ref>Agnello Orlando 1998, pag. 578-579.</ref>. Alcuni verbi hanno quindi due aoristi passivi, con diverso significato; ad esempio φαίνω, che ha sia l'aoristo passivo secondo ἐφάνην "mi mostrai, apparvi", che l'aoristo passivo primo ἐφάνθην "fui mostrato". Esso si divide in: *aoristo passivo ''primo'' o ''debole'', proprio dei temi in vocale, dittongo, la maggior parte dei temi in consonante muta e pochi temi in liquida e nasale, soprattutto apofonici; si distingue per il suffisso '''-θη-''' a cui si aggiungono le desinenze dell'aoristo atematico. I temi in vocale allungano la vocale finale (α puro > α lungo; α impuro > η). {| {{prettytable}} !Aumento||Radice||Suffisso caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἐ}}-||-{{polytonic|λύ}}-||-{{polytonic|θη}}-||-{{polytonic|ν}} |} *aoristo passivo ''secondo'' o ''forte'', proprio dei temi in consonante, prevalentemente liquida e nasale ma anche alcuni in consonante muta. La sua caratteristica è il suffisso '''-η-''', meno riconoscibile, cui si aggiungono, ancora una volta, le terminazioni dell'aoristo atematico. {| {{prettytable}} !Aumento||Radice||Suffisso caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἐ}}-||-{{polytonic|φάν}}-||-{{polytonic|η}}-||-{{polytonic|ν}} |} Circa una trentina di verbi in liquida, nasale e consonante muta presentano regolarmente sia forme di aoristo debole che di aoristo forte; ciò vale anche per una quindicina di verbi apofonici, che formano i rispettivi aoristi passivi dal grado richiesto da ciascuno (debole = grado medio; forte = grado zero). ===Aoristo passivo I o debole=== Nell'aoristo passivo I, a causa dell'aspirata -θ- del suffisso, i temi in labiale e velare si cambiano nell'aspirata corrispondente: :ὁράω > ὤφθην (da *ὤπ-θην); τάσσω > ἐτάχθην (da *ἐ-τάγ-θην) Le dentali mutano in σ davanti a θ: κομίζω > ἐκομίσθην (da κομιδ-). Attenzione a non confondere queste forme con quelle di alcuni temi in vocale che ripristinano un σ che è nel tema verbale ma è caduto al presente: σπάω > ἐσπάσθην. Per quanto riguarda i temi apofonici, l'aoristo debole utilizza solitamente il grado medio (es. ἐλείφθην < λιπ-/λειπ-/λοιπ- da λείπω). Invece, i temi con apofonia del genere {{polytonic|ᾰ}}/η si trovano al grado allungato (η). ====Aoristo passivo di λύω "sciogliere"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐλύθην}}||{{polytonic|λυθῶ}} (< *{{polytonic|λυθήω}})||{{polytonic|λυθείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐλύθης}}||{{polytonic|λυθῇς}} (< *{{polytonic|λυθήῃς}})||{{polytonic|λυθείης}}||{{polytonic|λύθητι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐλύθη}}||{{polytonic|λυθῇ}} (< *{{polytonic|λυθήῃς}})||{{polytonic|λυθείη}}||{{polytonic|λυθήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλύθητον}}||{{polytonic|λυθῆτον}} (< *{{polytonic|λυθήητον}})||{{polytonic|λυθεῖτον}}||{{polytonic|λύθετον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλυθήτην}}||{{polytonic|λυθῆτον}} (< *{{polytonic|λυθήητον}})||{{polytonic|λυθείτην}}||{{polytonic|λυθήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐλύθημεν}}||{{polytonic|λυθῶμεν}} (< *{{polytonic|λυθήωμεν}})||{{polytonic|λυθεῖμεν}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐλύθητε}}||{{polytonic|λυθῆτε}} (< *{{polytonic|λυθήητε}})||{{polytonic|λυθεῖτε}}||{{polytonic|λύθητε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐλύθησαν}}||{{polytonic|λυθῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|λυθήωσι(ν)}})||{{polytonic|λυθεῖεν}}||{{polytonic|λυθέντων / λυθήτωσαν}} |- !Infinito||Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λυθῆναι}}||{{polytonic|λυθείς, λυθεῖσα, λυθέν}} |} Alla seconda persona singolare dell'imperativo la regolare terminazione -θι si cambia in -τι per la legge di Grassman. ===Aoristo passivo II o forte=== Sulla formazione dell'aoristo passivo forte c'è solo da precisare che i temi apofonici usano il grado zero. ====Aoristo passivo di φαίνω "mostrare, sembrare, apparire"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐφάνην}}||{{polytonic|φανῶ}} (< *{{polytonic|φανήω}})||{{polytonic|φανείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐφάνης}}||{{polytonic|φανῇς}} (< *{{polytonic|φανήῃς}})||{{polytonic|φανείης}}||{{polytonic|φάνηθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐφάνη}}||{{polytonic|φανῇ}} (< *{{polytonic|φανήῃ}})||{{polytonic|φανείη}}||{{polytonic|φανήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐφάνητον}}||{{polytonic|φανῆτον}} (< *{{polytonic|φανήητον}})||{{polytonic|φανεῖτον}}||{{polytonic|φάνητον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφανήτην}}||{{polytonic|φανῆτον}} (< *{{polytonic|φανήητον}})||{{polytonic|φανείτην}}||{{polytonic|φανήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐφάνημεν}}||{{polytonic|φανῶμεν}} (< *{{polytonic|φανήωμεν}})||{{polytonic|φανεῖμεν}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐφάνητε}}||{{polytonic|φανῆτε}} (< *{{polytonic|φανήητε}})||{{polytonic|φανεῖτε}}||{{polytonic|φάνητε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐφάνησαν}}||{{polytonic|φανῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|φανήωσι(ν)}})||{{polytonic|φανεῖεν}}||{{polytonic|φανέντων / φανήτωσαν}} |- !Infinito||Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φανῆναι}}||{{polytonic|φανείς, φανεῖσα, φανέν}} |} ==Note== <references/> {{Avanzamento|100%|7 marzo 2011}} [[Categoria:Greco antico|Aoristo]] kq8d15y04bkaldq61sbdpdj7y356gk0 499033 499032 2026-06-06T23:51:21Z Ptolemaios 19075 /* Aoristo passivo */ 499033 wikitext text/x-wiki {{Greco antico}} == Caratteristiche generali dell'aoristo greco == L'aoristo (dal greco {{polytonic|ἀόριστος χρόνος}} "tempo indefinito", perché non ha una collocazione temporale assoluta) è uno dei quattro temi temporali fondamentali del verbo greco. Esso, come suggerisce il nome, non ha connotazione temporale, ed esprime solo l'aspetto dell'azione, cioè un'azione "puntuale", compiuta, colta nel momento in cui si svolge, circoscritta sulla linea temporale; non è necessario che sia istantanea, "puntuale" significa che è vista nella sua totalità, quindi delimitata da un inizio e una fine, considerata come un segmento di retta sulla linea temporale. L'aoristo ha tutti e sei i modi del verbo greco. Assume l'[[Greco antico/Imperfetto#L'aumento|aumento]], e il significato di passato remoto<ref>La prassi scolastica richiede di tradurlo sempre con il passato remoto, ma questo risponde solo a necessità pratiche; in realtà, l'aoristo indicativo esprime un'azione puntuale nel passato, e lo stesso concetto viene espresso, oltre che dal passato remoto, anche dal passato prossimo, dal trapassato prossimo e dal trapassato remoto italiani. Questo dipende dal fatto che il sistema verbale italiano, figlio di quello latino, privilegia una successione logica sulla scala temporale, individuando ogni azione in sequenza. Il greco, invece, esprime il tempo in modo assoluto, cioè non mette in evidenza la successione delle azioni (le azioni sono espresse come presenti, passate o future, senza che ci sia relatività logica fra di esse), preferendo invece esprimerne l'aspetto: per questo motivo il suo sistema verbale offre un solo passato compiuto.</ref>, solo nell'indicativo. Gli altri modi indicano solo l'azione puntuale, senza alcun riferimento specifico al passato. Il participio aoristo greco di tutte le forme e tipologie si traduce in genere come un gerundio passato o con ''dopo'' + infinito passato<ref>Compiangendo che l'opera di Apollonio Discolo riguardo ai participi non ci è disponibile, dobbiamo accontentarci di quanto riportato da Giorgio Cherobosco in ''Grammatici Graeci'' IV/II (B.G. Teubner, Lipsia 1894) pag. 296 ss., oppure, gratuitamente sul WEB, [https://books.google.it/books?id=M15GAQAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=Georgii+Choerobosci+Dictata+in+Theodosii+canones&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwjt9O675YnbAhUJG5oKHRkdBeYQ6AEIMTAB#v=onepage&q=Georgii%20Choerobosci%20Dictata%20in%20Theodosii%20canones&f=false Georgii Choerobosci Dictata in Theodosii Canones Vol II] a cura di T. Gaisford, Oxonii 1842 pag. 813 ss. Qui il grammatico spiega che si pone al participio aoristo quel verbo la cui azione viene prima e che si usa perché le congiunzioni copulative non significano ordinamento. Cherobosco ci presenta il seguente esempio Ἀγαμέμνων βασιλεύσας ἐπολέμησεν (''Agamennone dopo essere diventato re portò guerra'') dove si intende che Agamennone prima divenne re, poi portò guerra.</ref>; il suo participio, unito al verbo {{polytonic|ἔχω}} "avere", ''in posizione predicativa'', costituisce una forma perifrastica del perfetto: es. {{polytonic|ἔχω λύσας}} "ho sciolto", {{polytonic|ἔχω περάνας}} "ho tentato". Tale perifrasi è già prefigurata nel [[dialetto omerico]], ed è presente nei classici del V secolo, come [[Sofocle]]. L'aoristo, come anche il futuro, possiede una forma per ciascuna delle tre diatesi, ossia il medio e il passivo hanno due forme distinte. ==Aumento== Per l'aumento vale quanto detto nella relativa [[Greco antico/Imperfetto#L'aumento|sezione nella pagina dell'imperfetto]]. == Aoristo attivo e medio == L'aoristo greco eredita in tutto e per tutto dall'[[Lingue indoeuropee|indoeuropeo]] le tre forme di aoristo originarie, perfettamente corrispondenti alle forme dell'aoristo [[Lingua vedica|vedico]] e [[sanscrito]]: * L'aoristo I o ''debole'' o ''sigmatico'', così chiamato per il suo suffisso '''-σα-'''. Nei verbi col tema in consonante nasale o liquida il sigma cade lasciando solo il suffisso '''-α-''' e provocando aumento di compenso della vocale radicale; questa forma senza sigma è detta ''asigmatica''. * L'aoristo II o ''forte'' o ''tematico'', che si forma sulla radice verbale al grado zero dell'[[apofonia]], inserendo fra radice e desinenza le vocali tematiche '''-ο-''', '''-ε-'''. * L'aoristo III o ''fortissimo'' o ''atematico'', formazione molto antica propria di alcuni verbi anomali, coniugata aggiungendo alla radice verbale le desinenze ''senza intermediazione di suffisso o vocale tematica''. La distinzione fra aoristo ''debole'', ''forte'' e '' fortissimo'' si deve agli studiosi tedeschi che hanno sistematizzato la grammatica greca nell'800: in tedesco i verbi regolari sono detti ''deboli'', mentre quelli irregolari sono detti ''forti'', e così, per analogia, l'aoristo formato sul tema del presente (cioè "regolare") è stato detto ''debole'', mentre quelli formati su un tema diverso (e quindi "irregolari") sono stati detti ''forte'' e ''fortissimo''. === Aoristo I o debole o sigmatico === L'aoristo debole greco è caratterizzato dal suffisso '''-σα-''', che deriva da σm̥ con la sonante m̥ dell'indoeuropeo vocalizzatasi in α. La forma sigmatica è propria dei temi in consonante muta, in vocale e dittongo. Il suffisso '''-σα-''' dà luogo a mutamenti fonetici: *allunga la vocale finale di radice dei verbi in vocale semplice, tranne quelle di alcuni verbi, come '''καλέω''' (ἐκάλεσα)<ref>La radice è καλεσ-, da cui l'aoristo *ἐκάλεσσα e infine ἐκάλεσα per semplificazione del doppio sigma.</ref>, '''τελέω''' (ἐτέλεσα)<ref>La radice è τελεσ-, da cui l'aoristo *ἐτέλεσσα e infine ἐτέλεσα per semplificazione del doppio sigma.</ref> ed '''ἐλαύνω''' (ἤλᾰσα), che fanno eccezione; *si fonde graficamente con le labiali finali di radice in '''ψ''', con le gutturali in '''ξ''' e fa cadere le dentali<ref>In realtà si verifica un'assimilazione della dentale seguita dalla semplificazione della doppia sibilante (δ, θ, τ + σ = σσ > σ), dando però l'impressione che la dentale cada senza lasciare traccia.</ref>; *davanti a consonante liquida o nasale il sigma cade, provocando allungamento di compenso della vocale radicale. A questo fenomeno si sottraggono i verbi '''κέλλω''' e '''κύρω''', che formano regolarmente gli aoristi '''ἔκελσα''' e '''ἔκυρσα'''. All'ottativo attivo, nella 2^a e 3^a persona singolare e nella 3^a plurale, le forme alternative sono dette ''eoliche''. ''Struttura morfemica dell'aoristo sigmatico'' {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||suffisso temporale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|λυ}}-||-{{polytonic|σα}}-||-{{polytonic|ν}} |} * La forma asigmatica è propria dei temi in consonante liquida e nasale, tranne '''κέλλω''' e '''κύρω'''; essa, come abbiamo detto, è caratterizzata dal suffisso ridotto a semplice '''-α-''' in seguito alla caduta del sigma. ''Struttura morfemica dell'aoristo asigmatico'' {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale al grado allungato||suffisso temporale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|φην}}-||-{{polytonic|α}}-||-{{polytonic|ν}} |} ==== Esempi di paradigmi di aoristi deboli ==== =====Aoristo debole sigmatico attivo e medio di λύω "sciogliere"===== {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔλυσα}}||{{polytonic|λύσω}}||{{polytonic|λύσαιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |ἐλυσάμην}}|| {{polytonic|λύσωμαι}}||{{polytonic|λυσαίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔλυσας}}||{{polytonic|λύσῃς}}||{{polytonic|λύσαις}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|λύσειας}})||{{polytonic|λῦσον}}|| {{polytonic |ἐλύσω}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἐλύσασο}})||{{polytonic|λύσῃ}}||{{polytonic|λύσαιο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|λύσαισο}})||{{polytonic|λῦσαι}} |- !3º sing. |{{polytonic|ἔλυσε}}||{{polytonic|λύσῃ}}||{{polytonic|λύσαι}} ({{polytonic|λύσειεν}})||{{polytonic|λυσάτω}}||{{polytonic|ἐλύσατο}}||{{polytonic|λύσηται}}||{{polytonic|λύσαιτο}}||{{polytonic|λυσάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλύσατον}}||{{polytonic|λύσητον}}||{{polytonic|λύσαιτον}}||{{polytonic|λύσατον}} ||{{polytonic|ἐλύσασθον}}||{{polytonic|λύσησθον}}||{{polytonic|λύσαισθον}}||{{polytonic|λύσασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλυσάτην}}||{{polytonic|λύσητον}}||{{polytonic|λυσαίτην}}||{{polytonic|λυσάτων}}|| {{polytonic|ἐλυσάσθην}}||{{polytonic|λύσησθον}}||{{polytonic|λυσαίσθην}}||{{polytonic|λυσάσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐλύσαμεν}}||{{polytonic|λύσωμεν}}||{{polytonic|λύσαιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλυσάμεθα}} ||{{polytonic|λυσώμεθα}}||{{polytonic|λυσαίμεθα}} ||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐλύσατε}}||{{polytonic|λύσητε}}||{{polytonic|λύσαιτε}}||{{polytonic|λύσατε}}||{{polytonic |ἐλύσασθε}}||{{polytonic|λύσησθε}}||{{polytonic|λύσαισθε}}||{{polytonic|λύσασθε}} |- !3º plur. | {{polytonic|ἔλυσαν}}||{{polytonic|λύσωσι(ν)}}||{{polytonic|λύσαιεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|λύσειαν}})||{{polytonic|λυσάντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λυσάτωσαν}}||{{polytonic|ἐλύσαντο}}||{{polytonic|λύσωνται}}|| {{polytonic|λύσαιντο}}||{{polytonic|λυσάσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λυσάσθωσαν}} |} Il participio e l'infinito hanno le seguenti forme: {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λῦσαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λύσας <small>''femm.''</small>λύσασα <small>''neu.''</small> λῦσαν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|λύσασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λυσάμενος <small>''femm.''</small> λυσαμένη <small>''neu.''</small> λυσάμενον}} |} Il participio aoristo debole attivo sigmatico maschile e neutro ha il tema -σαντ- (il maschile singolare, sigmatico, fa cadere -ντ- davanti a sigma allungando per compenso -α-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -σαντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). =====Aoristo debole asigmatico attivo e medio di φαίνω "mostrare"===== Il cambiamento di vocale nella radice φαν- > φην- è dovuto all'allungamento della vocale causato dalla caduta del sigma (*ἔφᾰνσα > ἔφᾱνα) che, essendo un alfa impuro lungo, in ionico-attico è passato a η (ἔφᾱνα > ἔφηνα). {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔφηνα}}||{{polytonic|φήνω}}||{{polytonic|φήναιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐφηνάμην}}|| {{polytonic|φήνωμαι}}||{{polytonic|φηναίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔφηνας}}||{{polytonic|φήνῃς}}||{{polytonic|φήναις}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειας||{{polytonic|φῆνον}}|| {{polytonic|ἐφήνω}}||{{polytonic|φήνῃ}}||{{polytonic|φήναιο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|φήναισο}})|| {{polytonic|φῆναι}} |- !3º sing. |{{polytonic|ἔφηνε}}||{{polytonic|φήνῃ}}||{{polytonic|φήναι}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειεν||{{polytonic|φηνάτω}}||{{polytonic|ἐφήνατο}}||{{polytonic|φήνηται}}||{{polytonic|φήναιτο}}||{{polytonic|φηνάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐφήνατον}}||{{polytonic|φήνητον}}||{{polytonic|φήναιτον}}||{{polytonic|φήνατον}}||{{polytonic|ἐφήνασθον}}||{{polytonic|φήνησθον}}||{{polytonic|φήναισθον}}||{{polytonic|φήνασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφηνάτην}}||{{polytonic|φήνητον}}||{{polytonic|φηναίτην}}||{{polytonic|φηνάτων}}|| {{polytonic|ἐφηνάσθην}}||{{polytonic|φήνησθον}}||{{polytonic|φηναίσθην}}||{{polytonic|φηνάσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐφήναμεν}}||{{polytonic|φήνωμεν}}||{{polytonic|φήναιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐφηνάμεθα}}||{{polytonic|φηνώμεθα}}||{{polytonic|φηναίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐφήνατε}}||{{polytonic|φήνητε}}||{{polytonic|φήναιτε}}||{{polytonic|φήνατε}}||{{polytonic|ἐφήνασθε}}||{{polytonic|φήνησθε}}||{{polytonic|φήναισθε}}||{{polytonic|φήνασθε}} |- !3º plur. |{{polytonic|ἔφηναν}}||{{polytonic|φήνωσι(ν)}}||{{polytonic|φήναιεν}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειαν||{{polytonic|φηνάντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|φηνάτωσαν}}||{{polytonic|ἐφήναντο}}||{{polytonic|φήνωνται}}||{{polytonic|φήναιντο}}|| {{polytonic|φηνάσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|φηνάσθωσαν}} |} Il participio e l'infinito hanno le seguenti forme: {|class="wikitable" !Infinito attivo||Participio attivo||Infinito medio||Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φήνας <small>''femm.''</small>φήνασα <small>''neu.''</small> φῆναν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|φήνασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φηνάμενος <small>''femm.''</small> φηναμένη <small>''neu.''</small> φηνάμενον}} |} Il participio aoristo debole attivo asigmatico maschile e neutro ha il tema -αντ- (il maschile singolare, sigmatico, fa cadere -ντ- davanti a sigma allungando per compenso -α-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -αντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). === Aoristo II o forte o tematico === L'aoristo forte ha come caratteristica la semplice vocale tematica. Esso, formalmente, ha la struttura dell'imperfetto, con una differenza sostanziale: ''[[classi verbali del greco antico|si forma sul tema verbale e non sul tema del presente]]''; spesso, inoltre, il tema verbale assume l'[[apofonia]] al grado debole. A distinguere l'aoristo forte dall'imperfetto è dunque non tanto la desinenza, quanto piuttosto la forma che il tema verbale assume. Come esempio di paradigma caratterizzato da apofonia, possiamo prendere in considerazione quello del verbo λείπω "lasciare", la cui apofonia radicale è λιπ-/λειπ-/λοιπ-: nel presente è utilizzato il grado medio λειπ-, mentre nell'aoristo si usa il grado zero λιπ-. Per comprendere la natura dei procedimenti morfologici alla base della formazione dell'aoristo forte, sarà opportuno confrontare le strutture morfemiche dell'imperfetto e dell'aoristo di '''λείπω''': Struttura morfemica dell'imperfetto {{polytonic|ἔ'''λειπ'''ον}}, "lasciavo": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale (grado medio)||Vocale tematica||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ }}-||-{{polytonic|λειπ}}-||-{{polytonic|ο}}-||-{{polytonic|ν}} |} Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔ'''λιπ'''ον}}, "lasciai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale (grado zero)||Vocale tematica||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ }}-||-{{polytonic|λιπ}}-||-{{polytonic|ο}}-||-{{polytonic|ν}} |} ====Aoristo forte attivo e medio di λείπω "lasciare"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔλιπον}}||{{polytonic|λίπω}}||{{polytonic|λίποιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλιπόμην}}||{{polytonic|λίπωμαι}}||{{polytonic|λιποίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔλιπες}}||{{polytonic|λίπῃς}}||{{polytonic|λίποις}}||{{polytonic|λίπε}}||{{polytonic|ἐλίπου}}&zwj;&nbsp;(<{{polytonic|*ἐλίπεσο}})||{{polytonic|λίπῃ}}||{{polytonic|λίποιο}}&zwj;&nbsp;(<{{polytonic|*λίποισο}})||{{polytonic|λίπου}} (<{{polytonic|*λίπεσο}}) |- !3º sing. |{{polytonic|ἔλιπε}}||{{polytonic|λίπῃ}}||{{polytonic|λίποι}}||{{polytonic|λιπέτω}}||{{polytonic|ἐλίπετο}}||{{polytonic|λίπηται}}||{{polytonic|λίποιτο}}||{{polytonic|λιπέσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλίπετον}}||{{polytonic|λίπητον}}||{{polytonic|λίποιτον}}||{{polytonic|λίπετον}}||{{polytonic|ἐλίπεσθον}}||{{polytonic|λίπησθον}}||{{polytonic|λίποισθον}}||{{polytonic|λίπεσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλιπέτην}}||{{polytonic|λίπητον}}||{{polytonic|λιποίτην}}||{{polytonic|λιπέτων}}||{{polytonic|ἐλιπέσθην}}||{{polytonic|λίπησθον}}||{{polytonic|λιποίσθην}}||{{polytonic|λιπέσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐλίπομεν}}||{{polytonic|λίπωμεν}}||{{polytonic|λίποιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλιπόμεθα}}||{{polytonic|λιπώμεθα}}||{{polytonic|λιποίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐλίπετε}}||{{polytonic|λίπητε}}||{{polytonic|λίποιτε}}||{{polytonic|λίπετε}}||{{polytonic|ἐλίπεσθε}}||{{polytonic|λίπησθε}}||{{polytonic|λίποισθε}}||{{polytonic|λίπεσθε}} |- !3º plur. |{{polytonic|ἔλιπον}}||{{polytonic|λίπωσι(ν)}}||{{polytonic|λίποιεν}}||{{polytonic|λιπόντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λιπέτωσαν}}||{{polytonic|ἐλίποντο}}||{{polytonic|λίπωνται}}||{{polytonic|λίποιντο}}|| {{polytonic|λιπέσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λιπέσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!participio attivo!!infinito medio!!participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λιπεῖν}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λιπών <small>''femm.''</small> λιποῦσα <small>''neu.'' </small> λιπόν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|λιπέσθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λιπόμενος <small>''femm.''</small> λιπομένη <small>''neu.''</small> λιπόμενον}} |} Il participio aoristo forte attivo maschile e neutro ha il tema -όντ- (il maschile singolare fa cadere -τ- e allunga per apofonia -ο- in -ω-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -όντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). *L'aoristo forte dà luogo talora a paradigmi anomali o difettivi. Ad eccezione di {{polytonic|ἔκλυον}}, i seguenti sono i cosiddetti "verbi politematici": **{{polytonic|εἶδον "vidi" (tema ἰδ-)}}<ref>Dalla radice {{polytonic|ϝιδ-/ϝειδ-/ϝοιδ-}} si è utilizzato il grado zero con aggiunta dell'aumento e conseguente caduta del digamma (*{{polytonic|ἐϝιδον}} > {{polytonic|εἶδον}}). Negli altri modi la radice si riduce da {{polytonic|ϝιδ-}} a {{polytonic|ἰδ-}} con semplice caduta del digamma.</ref> viene fatto ricondurre al verbo difettivo ὁράω "vedere" **{{polytonic|εἶπον "dissi" (tema εἰπ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo λέγω "dire" **{{polytonic|ἦλθον "venni, andai"}} (tema ἐλθ-) viene fatto ricondurre al verbo difettivo ἔρχομαι "andare, venire" **{{polytonic|ἤνεγκον "portai" (tema ἐνεγκ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo φέρω "portare" **{{polytonic|ἔδραμον "corsi" (tema δραμ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo τρέχω "correre" **{{polytonic|ἔφαγον "mangiai" (tema φαγ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo ἐσθίω "mangiare" **{{polytonic|εἷλον "presi" (tema ἑλ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo αἱρέω "prendere" **{{polytonic|ἔκλυον "udii" (tema κλυ-)}} ha forme di imperativo atematiche: {{polytonic|κλῦθι "ascolta"}} * cinque aoristi conservano imperativi arcaici con l'accento sull'ultima sillaba: **{{polytonic|εἶδον "vidi"}} (utilizzato come aoristo di ὁράω "vedere"), imperativo {{polytonic|ἰδέ}} "vedi"; **{{polytonic|ἔλαβον "presi", da λαμβάνω "prendo"}}, imperativo: {{polytonic|λαβέ}} "prendi"; **{{polytonic|εὗρον (o ηὗρον) "presi", da εὑρίσκω "trovo"}}, imperativo {{polytonic|εὑρέ}} "trova"; **{{polytonic|ἦλθον "andai, venni"}} (utilizzato come aoristo di ἔρχομαι "andare, venire"), imperativo: {{polytonic|ἐλθέ}} "va', vieni"; **{{polytonic|εἶπον "dissi"}} (utilizzato come aoristo di λέγω "dire"), imperativo: {{polytonic|εἰπέ}} "di' ". * Alcuni aoristi forti hanno la radice ''raddoppiata'', oltre che ''aumentata'': ess.: ** dal verbo {{polytonic|ἄγω}} "condurre", radice {{polytonic|ἀγ-}} (cfr. latino ''ago'' "condurre"), tema dell'aoristo {{polytonic|ἀγαγ}}-, per cui: {{polytonic | ἤγαγον}}; ** dalla radice senza presente {{polytonic|εἰπ-}} si ha l'aoristo {{polytonic|εἶπον}}, in [[Omero]] {{polytonic|ἔειπον}} (da *{{polytonic|ἐϝέϝιπον}})<ref>In origine la radice era {{polytonic|ϝπ-/ϝεπ-/ϝοπ-}}, della quale si è utilizzato il grado zero con raddoppiamento e aumento (*{{polytonic|ἐ.ϝε.ϝπ.ον}}), poi il primo digamma è caduto e il secondo si è prima vocalizzato in υ e poi dissimilato in ι (*{{polytonic|ἐϝεϝπον}} > *{{polytonic|ἐεϝπον}} > *{{polytonic|ἐευπον}} > *{{polytonic|ἐειπον}}), infine l'aumento si è contratto con il dittongo ει ({{polytonic|ἔειπον}} > {{polytonic|εἶπον}}). Negli altri modi ovviamente l'aumento non entra in gioco, ma il tema è comunque lo stesso perché in questo caso l'aumento viene semplicemente assorbito dal dittongo ει senza ulteriori modifiche.</ref>, utilizzato come aoristo di λέγω "dire". **dalla radice senza presente {{polytonic|ἤνεγκον}} (tema dell'aoristo {{polytonic|ἐνεγκ-}}), radice {{polytonic|ἐγκ-/ἐνεκ-/ἐνοκ-}} (l'aoristo si forma dal grado zero), è utilizzato come aoristo di {{polytonic|φέρω}} "portare". === Aoristo III o fortissimo o radicale o atematico === L'aoristo III è una forma estremamente arcaica. Esso si forma unendo le desinenze direttamente sulla radice e per questo è detto ''atematico'' o anche ''radicale''. Anche nei modi diversi dall'indicativo ha suffissi caratteristici dei verbi atematici. Solo pochi verbi, estremamente conservativi, lo possiedono. Alcune forme di aoristo fortissimo sono prive di presente (ad esempio l'aoristo atematico ἔτλην, dalla radice τλᾰ-/τλη-<ref>La stessa radice, che indica l'idea di portare/sopportare/sollevare, si trova anche nel verbo latino ''tollo'' e nella coniugazione di ''fero'', il cui perfetto è ''tuli'' e il supino è ''latum'' (< ''*tlatum''); in greco troviamo inoltre l'aggettivo τάλας, τάλαινα, τάλαν "sventurato, infelice".</ref>, sulla quale è stato ricostruito il presente τλάω solo in età bizantina, ma non attestato nel greco classico). Questo tipo di aoristo è peculiare di pochi verbi il cui tema termina in vocale, che è sempre lunga o perché tale anche nel tema verbale (es. ἔγνων "io conobbi", da γιγνώσκω, tema verbale γνω-) o perché costituisce il grado allungato di un tema apofonico (es. ἔβην "andai", da βαίνω, tema verbale βᾰ-/βη- e ἔστην "stetti, mi fermai", da ἵστημι, tema verbale στᾰ-/στη-). La vocale lunga si mantiene tale in tutta la coniugazione ad eccezione dei casi previsti dalla legge di [[Hermann Osthoff|Osthoff]]. Questo aoristo ha quasi esclusivamente la forma attiva, cui si aggiungono alcune rare forme medie<ref>Ad esempio ἐπριάμην "comprai" (dal presente disusato πρίαμαι) e ὠνάμην / ὠνήμην "trassi vantaggio" (da ὀνίνημι "giovare").</ref>, e significato prevalentemente intransitivo; dalle stesse radici si può formare l'aoristo primo con valore causativo: ἔβην "andai", ἔβησα "feci andare", ἐβησάμην "feci andare per me", oppure ἔστην "stetti, mi fermai" e ἔστησα "feci stare, feci fermare, collocai". ====Aoristo di βαίνω "andare"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔβην}} "andai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|βη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔβην}}||{{polytonic|βῶ}} (< *{{polytonic|βήω}})||{{polytonic|βαίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔβης}}||{{polytonic|βῇς}} (< *{{polytonic|βήῃς}})||{{polytonic|βαίης}}||{{polytonic|βῆθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔβη}}||{{polytonic|βῇ}} (< *{{polytonic|βήῃ}})||{{polytonic|βαίη}}||{{polytonic|βήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔβητον}}||{{polytonic|βῆτον}} (< *{{polytonic|βήητον}})||{{polytonic|βαῖτον}} ({{polytonic|βαίητον}})||{{polytonic|βῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐβήτην}}||{{polytonic|βῆτον}} (< *{{polytonic|βήητον}})||{{polytonic|βαίτην}} ({{polytonic|βαιήτην}})|| {{polytonic|βήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔβημεν}}||{{polytonic|βῶμεν}} (< *{{polytonic|βήωμεν}})||{{polytonic|βαῖμεν}} ({{polytonic|βαίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔβητε}}||{{polytonic|βῆτε}} (< *{{polytonic|βήητε}})||{{polytonic|βαῖτε}} ({{polytonic|βαίητε}})||{{polytonic|βῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔβησαν}}||{{polytonic|βῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|βήωσι(ν)}})||{{polytonic|βαῖεν}} ({{polytonic|βαίησαν}})||{{polytonic|βάντων}} / {{polytonic |βήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|βῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> βάς <small>''femm.''</small> βᾶσα <small>''neu.''</small> βάν}} |} Per la formazione del participio, alla radice al grado lungo βη- (< *βᾱ-) si aggiunge un tema in -ντ-: *βη.ντ-, che abbrevia la vocale radicale conformemente alla legge di Osthoff (*βᾰ.ντ-), cui si aggiunge -ς per formare il nominativo maschile singolare che fa cadere il gruppo -ντ- provocando allungamento di compenso (*βη.ντ- > *βᾰ.ντ.ς > *βᾱ.ς > '''βάς'''). Il femminile viene da *βα.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*βᾰ.ντ.jα > *βα.νσ.jα > *βᾱ.σ.α > '''βᾶσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo del duale e del plurale, oltre a formarsi con la caratteristica -ι- propria di questo modo al grado zero, può utilizzare come tema la terza persona singolare, che, non avendo desinenza, è stata sentita dai Greci come puro tema e quindi utilizzata anche per il resto della coniugazione dell'ottativo; queste forme sono messe fra parentesi. Su questo modello si coniuga anche '''ἔτλην'''. ====Aoristo di ἵστημι "collocare, porre, fermarsi"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔστην}} "stetti, mi fermai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|στη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔστην}}||{{polytonic|στῶ}} (< *{{polytonic|στήω}})||{{polytonic|σταίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔστης}}||{{polytonic|στῇς}} (< *{{polytonic|στήῃς}})||{{polytonic|σταίης}}||{{polytonic|στῆθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔστη}}||{{polytonic|στῇ}} (< *{{polytonic|στήῃ}})||{{polytonic|σταίη}}||{{polytonic|στήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔστητον}}||{{polytonic|στῆτον}} (< *{{polytonic|στήητον}})||{{polytonic|σταῖτον}} ({{polytonic|σταίητον}})||{{polytonic|στῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐστήτην}}||{{polytonic|στῆτον}} (< *{{polytonic|στήητον}})||{{polytonic|σταίτην}} ({{polytonic|σταιήτην}})|| {{polytonic|στήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔστημεν}}||{{polytonic|στῶμεν}} (< *{{polytonic|στήωμεν}})||{{polytonic|σταῖμεν}} ({{polytonic|σταίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔστητε}}||{{polytonic|στῆτε}} (< *{{polytonic|στήητε}})||{{polytonic|σταῖτε}} ({{polytonic|σταίητε}})||{{polytonic|στῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔστησαν}}||{{polytonic|στῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|στήωσι(ν)}})||{{polytonic|σταῖεν}} ({{polytonic|σταίησαν}})||{{polytonic|στάντων}} / {{polytonic |στήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|στῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> στάς <small>''femm.''</small> στᾶσα <small>''neu.''</small> στάν}} |} Valgono le stesse osservazioni fatte per ἔβην. ====Aoristo di σβέννυμι "spegnere"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔσβην}} "mi spensi, mi estinsi, morii": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|σβη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔσβην}}||{{polytonic|σβῶ}} (< *{{polytonic|σβήω}})||{{polytonic|σβείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔσβης}}||{{polytonic|σβῇς}} (< *{{polytonic|σβήῃς}})||{{polytonic|σβείης}}||{{polytonic|σβῆθι}} / {{polytonic|σβές}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔσβη}}||{{polytonic|σβῇ}} (< *{{polytonic|σβήῃ}})||{{polytonic|σβείη}}||{{polytonic|σβήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔσβητον}}||{{polytonic|σβῆτον}} (< *{{polytonic|σβήητον}})||{{polytonic|σβεῖτον}} ({{polytonic|σβείητον}})||{{polytonic|σβῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐσβήτην}}||{{polytonic|σβῆτον}} (< *{{polytonic|σβήητον}})||{{polytonic|σβείτην}} ({{polytonic|σβειήτην}})|| {{polytonic|σβήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔσβημεν}}||{{polytonic|σβῶμεν}} (< *{{polytonic|σβήωμεν}})||{{polytonic|σβεῖμεν}} ({{polytonic|σβείημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔσβητε}}||{{polytonic|σβῆτε}} (< *{{polytonic|σβήητε}})||{{polytonic|σβεῖτε}} ({{polytonic|σβείητε}})||{{polytonic|σβῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔσβησαν}}||{{polytonic|σβῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|σβήωσι(ν)}})||{{polytonic|σβεῖεν}} ({{polytonic|σβείησαν}})||{{polytonic|σβέντων}} / {{polytonic |σβήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|σβῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> σβείς <small>''femm.''</small> σβεῖσα <small>''neu.''</small> σβέν}} |} La coniugazione è simile a quella di ἔβην e ἔστην, ma in questo caso η rappresenta l'allungamento di ε e non di α (la radice è σβε(σ)-), quindi nei casi di abbreviamento troveremo ε invece di α ({{polytonic|σβείην}}, {{polytonic|σβέντων}}, {{polytonic|σβείς}}, ecc.). Da notare la forma alternativa dell'imperativo {{polytonic|σβές}}. ====Aoristo di διδράσκω "fuggire"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔδρᾱν}} "fuggii": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|δρᾱ}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔδραν}}||{{polytonic|δρῶ}} (< *{{polytonic|δράω}})||{{polytonic|δραίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔδρας}}||{{polytonic|δρᾷς}} (< *{{polytonic|δράῃς}})||{{polytonic|δραίης}}||{{polytonic|δρᾶθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔδρα}}||{{polytonic|δρᾷ}} (< *{{polytonic|δράῃ}})||{{polytonic|δραίη}}||{{polytonic|δράτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔδρατον}}||{{polytonic|δρᾶτον}} (< *{{polytonic|δράητον}})||{{polytonic|δραῖτον}} ({{polytonic|δραίητον}})||{{polytonic|δρᾶτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐδράτην}}||{{polytonic|δρᾶτον}} (< *{{polytonic|δράητον}})||{{polytonic|δραίτην}} ({{polytonic|δραιήτην}})|| {{polytonic|δράτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔδραμεν}}||{{polytonic|δρῶμεν}} (< *{{polytonic|δράωμεν}})||{{polytonic|δραῖμεν}} ({{polytonic|δραίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔδρατε}}||{{polytonic|δρᾶτε}} (< *{{polytonic|δράητε}})||{{polytonic|δραῖτε}} ({{polytonic|δραίητε}})||{{polytonic|δρᾶτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔδρασαν}}||{{polytonic|δρῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|δράωσι(ν)}})||{{polytonic|δραῖεν}} ({{polytonic|δραίησαν}})||{{polytonic|δράντων}} / {{polytonic |δράτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|δρᾶναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> δράς <small>''femm.''</small> δρᾶσα <small>''neu.''</small> δράν}} |} La coniugazione è simile a quella di ἔβην e ἔστην, con la differenza che in questo caso l'alfa si è mantenuto perché puro, negli altri due casi è invece passato a η perché impuro. ====Aoristo di γιγνώσκω "conoscere"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔγνων}} "conobbi": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|γνω}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔγνων}}||{{polytonic|γνῶ}} (< *{{polytonic|γνώω}})||{{polytonic|γνοίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔγνως}}||{{polytonic|γνῷς}} (< *{{polytonic|γνώῃς}})||{{polytonic|γνοίης}}||{{polytonic|γνῶθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔγνω}}||{{polytonic|γνῷ}} (< *{{polytonic|γνώῃ}})||{{polytonic|γνοίη}}||{{polytonic|γνώτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔγνωτον}}||{{polytonic|γνῶτον}} (< *{{polytonic|γνώητον}})||{{polytonic|γνοῖτον}} ({{polytonic|γνοίητον}})||{{polytonic|γνῶτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐγνώτην}}||{{polytonic|γνῶτον}} (< *{{polytonic|γνώητον}})||{{polytonic|γνοίτην}} ({{polytonic|γνοιήτην}})||{{polytonic|γνώτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔγνωμεν}}||{{polytonic|γνῶμεν}} (< *{{polytonic|γνώωμεν}})||{{polytonic|γνοῖμεν}} ({{polytonic|γνοίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔγνωτε}}||{{polytonic|γνῶτε}} (< *{{polytonic|γνώητε}})||{{polytonic|γνοῖτε}} ({{polytonic|γνοίητε}})||{{polytonic|γνῶτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔγνωσαν}}||{{polytonic|γνῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|γνώωσι(ν)}})||{{polytonic|γνοῖεν}} ({{polytonic|γνοίησαν}})||{{polytonic|γνόντων}} / {{polytonic |γνώτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|γνῶναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> γνούς <small>''femm.''</small> γνοῦσα <small>''neu.''</small> γνόν}} |} Per la formazione del participio, alla radice γνω- si aggiunge un tema in -ντ- che conformemente alla legge di Osthoff fa abbreviare la vocale radicale (*γνω.ντ- > γνοντ-). L'aggiunta del sigma al nominativo maschile singolare provoca caduta del gruppo -ντ- e allungamento di compenso (*γνο.ντ.ς > *γνō.ς > '''γνούς'''). Il femminile viene da *γνο.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*γνο.ντ.jα > *γνο.νσ.jα > *γνō.σ.α > '''γνοῦσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo del duale e del plurale, oltre a formarsi con la caratteristica -ι- propria di questo modo al grado zero, può utilizzare come tema la terza persona singolare, che, non avendo desinenza, è stata sentita dai Greci come puro tema e quindi utilizzata anche per il resto della coniugazione dell'ottativo; queste forme sono messe fra parentesi. Su questo stesso modello si coniuga anche '''βιόω''' (ἐβίων, βιῶ, βιοίην, βίωθι, βιῶναι, βιούς ecc.). ====Aoristo di φύω "nascere, generare"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔφῡν}} "nacqui (con certe caratteristiche)": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|φῡ}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔφυν}}||{{polytonic|φύω}}||<div style="text-align:center">-</div>||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔφυς}}||{{polytonic|φύῃς}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔφυ}}||{{polytonic|φύῃ}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔφυτον}}||{{polytonic|φύητον}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφύτην}}||{{polytonic|φύητον}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔφυμεν}}||{{polytonic|φύωμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔφυτε}}||{{polytonic|φύητε}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔφυσαν}}||{{polytonic|φύωσι(ν)}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύντων}} / {{polytonic |φύτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φῦναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φύς <small>''femm.''</small> φῦσα <small>''neu.''</small> φύν}} |} Per la formazione del participio, alla radice al grado lungo φῡ- si aggiunge un tema in -ντ- che conformemente alla legge di Osthoff fa abbreviare la vocale radicale (*φῡ.ντ- > φῠντ-). L'aggiunta del sigma al nominativo maschile singolare provoca caduta del gruppo -ντ- e allungamento di compenso (*φῠ.ντ.ς > *φῡ.ς > '''φύς'''). Il femminile viene da *φυ.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*φῠ.ντ.jα > *φῠ.νσ.jα > *φῡ.σ.α > '''φῦσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo non è attestatato. Su questo modello di coniuga anche '''δύω''' (ἔδυν, δύω, - , δῦναι, ecc.). Da notare che il congiuntivo è morfologicamente uguale a quello presente. ====Aoristo medio ἐπριάμην "comprai" (fatto ricondurre a ὠνέομαι; presente ricostruito a posteriori πρίαμαι)==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἐπριάμην}} "comprai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|πριά}}-||-{{polytonic|μην}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐπριάμην}}||{{polytonic|πρίωμαι}}||{{polytonic|πριαίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐπρίω (< *ἐπρίασο)}}||{{polytonic|πρίῃ}}||{{polytonic|πρίαιο}} (< *πρίαισο)||{{polytonic|πρίασο}}/{{polytonic|πρίω}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐπρίατο}}||{{polytonic|πρίηται}}||{{polytonic|πρίαιτο}}||{{polytonic|πριάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐπρίασθον}}||{{polytonic|πρίησθον}}||{{polytonic|πρίαισθον}}||{{polytonic|πρίασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐπριάσθην}}||{{polytonic|πρίησθον}}||{{polytonic|πριαίσθην}}|| {{polytonic|πριάσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐπριάμεθα}}||{{polytonic|πριώμεθα}}||{{polytonic|πριαίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐπρίασθε}}||{{polytonic|πρίησθε}}||{{polytonic|πρίαισθε}}||{{polytonic|πρίασθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐπρίαντο}}||{{polytonic|πρίωνται}}||{{polytonic|πρίαιντο}}||{{polytonic|πριάσθων}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|πρίασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> πριάμενος <small>''femm.''</small> πριαμένη <small>''neu.''</small> πριάμενον}} |} Si ritrovano le stesse irregolarità del presente dei verbi deponenti in -μι. Nel congiuntivo l'accento è irregolarmente ritratto sulla terzultima sillaba e la vocale finale della radice scompare a contatto con la vocale tematica allungata; la seconda singolare del congiuntivo contrae irregolarmente in -ῃ per renderla riconoscibile. Su questo modello si coniugano anche '''ὠνάμην'''/'''ὠνήμην''' (da ὀνίνημι "giovare") e '''ἐπτάμην''' (da πέτομαι "volare"), dei quali però non sono attestate tutte le forme. ==== Una forma particolare di aoristo III: l'aoristo cappatico ==== L'aoristo cappatico è quello che caratterizza tre dei quattro verbi in -μι che hanno il raddoppiamento nel tema del presente, cioè τίθημι "porre", δίδωμι "dare" e ἵημι "mandare" (il quarto è ἵστημι "collocare" che ha il normale aoristo terzo ἔστην "stetti" se intransitivo oppure l'aoristo debole ἔστησα "collocai, feci stare" se transitivo). Si chiama ''cappatico'' perché nelle tre persone singolari dell'indicativo attivo viene inserito un -κ- di ampliamento al tema verbale. Le terminazioni al singolare attivo sono perciò -κα, -κας, -κε(ν), modellate per analogia con il [[Greco antico/Perfetto e piuccheperfetto|perfetto]].<br> Per quanto riguarda i gradi apofonici, si osserva la seguente distribuzione: *grado allungato (δω-, θη-, ἡ-): singolare dell'indicativo attivo, tutto il congiuntivo (si fonde con la regolare vocale congiuntiva allungata); *grado breve (δο-, θε-, ἑ-): plurale e duale dell'indicativo attivo, indicativo medio, tutto l'ottativo (si unisce al suffisso caratteristico -ιη-/-ι- creando dittongo), tutto l'imperativo, tutto l'infinito. Per quanto riguarda l'aumento di ἵημι, occorre ricordare che la radice è jε-/jη-, che diventa ἑ-/ἡ- per caduta dello jod; al grado lungo avremo quindi {{polytonic|ἐ.jη- > ἐ.ἡ- > '''ἡ'''}}-, mentre al grado breve ἐ.jε- > ἐ.ἑ- > '''εἱ'''-. Da notare che i suoi congiuntivo, ottativo e infinito attivi sono morfologicamente identici a quelli del presente di {{polytonic|εἰμί}} con l'aggiunta dello spirito aspro. =====Aoristo di δίδωμι "dare"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἔδωκα}} "diedi": {|{{prettytable}} ! Aumento sillabico||Radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|δω}}-||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἔδωκα}}||{{polytonic|δῶ}} (< *{{polytonic|δώω}})||{{polytonic|δοίην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |ἐδόμην}}||{{polytonic|δῶμαι}} (< *{{polytonic|δώωμαι}})||{{polytonic|δοίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔδωκας}}||{{polytonic|δῷς}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώῃς}})||{{polytonic|δοίης}}||{{polytonic|δός}}||{{polytonic |ἔδου}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἔδοσο}})||{{polytonic| δῷ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησαι}})||{{polytonic |δοῖο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δοῖσο}})||{{polytonic|δοῦ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δόσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἔδωκε(ν)}}||{{polytonic|δῷ}} (< *{{polytonic|δώῃ}})||{{polytonic|δοίη}}||{{polytonic|δότω}}||{{polytonic |ἔδοτο}}||{{polytonic|δῶται}} (< *{{polytonic|δώηται}})||{{polytonic|δοῖτο}}||{{polytonic|δόσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔδοτον}}||{{polytonic|δῶτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητον}})||{{polytonic|δοῖτον}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίητον}})|| {{polytonic|δότον}}||{{polytonic|ἔδοσθον}}||{{polytonic|δῶσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθον}})||{{polytonic|δοῖσθον}} ||{{polytonic|δόσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐδότην}}||{{polytonic|δῶτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητον}})||{{polytonic|δοίτην}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοιήτην}})||{{polytonic|δότων}}||{{polytonic|ἐδόσθην}}||{{polytonic|δῶσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθον}})||{{polytonic|δοίσθην}}||{{polytonic|δόσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔδομεν}}||{{polytonic|δῶμεν}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωμεν}})||{{polytonic|δοῖμεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐδόμεθα}}||{{polytonic|δώμεθα}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωμεθα}})||{{polytonic|δοίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔδοτε}}||{{polytonic|δῶτε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητε}})||{{polytonic|δοῖτε}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίητε}})||{{polytonic|δότε}}||{{polytonic|ἔδοσθε}}||{{polytonic|δῶσθε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθε}})||{{polytonic|δοῖσθε}}||{{polytonic|δόσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔδοσαν}}||{{polytonic|δῶσι(ν)}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωσι(ν)}})||{{polytonic|δοῖεν}} ({{polytonic|δοίησαν}})||{{polytonic|δόντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|δότωσαν}}||{{polytonic|ἔδοντο}}||{{polytonic|δῶνται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωνται}})||{{polytonic|δοῖντο}}||{{polytonic|δόσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|δόσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|δοῦναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> δούς <small>''femm.''</small> δοῦσα <small>''neu.''</small> δόν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |δόσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> δόμενος <small>''femm.''</small> δομένη <small>''neu.''</small> δόμενον}} |} =====Aoristo di τίθημι "porre"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἔθηκα}} "posi": {| {{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|θη}}-||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio|| Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἔθηκα}}||{{polytonic|θῶ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήω}})||{{polytonic|θείην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐθέμην}}||{{polytonic|θῶμαι}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμαι}})||{{polytonic|θείμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔθηκας}}||{{polytonic|θῇς}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήῃς}})||{{polytonic|θείης}}||{{polytonic|θές}}||{{polytonic |ἔθου}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἔθεσο}})||{{polytonic|θῇ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησαι}})||{{polytonic|θεῖο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θεῖσο}})||{{polytonic|θοῦ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θέσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἔθηκε(ν)}}||{{polytonic|θῇ}} (< *{{polytonic|θήῃ}})||{{polytonic|θείη}}||{{polytonic|θέτω}}||{{polytonic|ἔθετο}}||{{polytonic|θῆται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήηται}})||{{polytonic|θεῖτο}}||{{polytonic|θέσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔθετον}}||{{polytonic|θῆτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήητον}})||{{polytonic|θεῖτον}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείητον}})||{{polytonic|θέτον}}||{{polytonic|ἔθεσθον}}||{{polytonic|θῆσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθον}})||{{polytonic|θεῖσθον}}||{{polytonic|θέσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐθέτην}}||{{polytonic|θῆτον}} (< *{{polytonic|θήητον}})||{{polytonic|θείτην}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θειήτην}})||{{polytonic|θέτων}}||{{polytonic|ἐθέσθην}}||{{polytonic|θῆσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθον}})||{{polytonic|θείσθην}}||{{polytonic|θέσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔθεμεν}}||{{polytonic|θῶμεν}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμεν}})||{{polytonic|θεῖμεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐθέμεθα}}||{{polytonic|θώμεθα}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμεθα}})||{{polytonic|θείμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔθετε}}||{{polytonic|θῆτε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήητε}})||{{polytonic|θεῖτε}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείητε}})||{{polytonic|θέτε}}||{{polytonic |ἔθεσθε}}||{{polytonic|θῆσθε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθε}})||{{polytonic|θεῖσθε}}||{{polytonic|θέσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔθεσαν}}||{{polytonic|θῶσι(ν)}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωσι(ν)}})||{{polytonic|θεῖεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείησαν}})||{{polytonic|θέντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|θέτωσαν}}||{{polytonic|ἔθεντο}}||{{polytonic|θῶνται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωνται}})||{{polytonic|θεῖντο}}||{{polytonic|θέσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|θέσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|θεῖναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> θείς <small>''femm.''</small> θεῖσα <small>''neu.''</small> θέν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |θέσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> θέμενος <small>''femm.''</small> θεμένη <small>''neu.''</small> θέμενον}} |} =====Aoristo di ἵημι "mandare"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἧκα}} "mandai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico + radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἧ}}- (< *{{polytonic|ἐ-jη-}})||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio|| Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἧκα}}||{{polytonic|ὧ}} (< *{{polytonic|ἥω}})||{{polytonic|εἵην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |εἵμην}}||{{polytonic|ὧμαι}} (< *{{polytonic|ἥωμαι}})||{{polytonic|εἵμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἧκας}}||{{polytonic|ᾗς}} (< *{{polytonic|ἥῃς}})||{{polytonic|εἵης}}||{{polytonic|ἕς}}||{{polytonic|εἷσο}}||{{polytonic|ᾗ}} (< *{{polytonic|ἥησαι}})||{{polytonic |εἷο}} (< *{{polytonic|εἷσο}})||{{polytonic|οὗ}} (< *{{polytonic|ἕσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἧκε(ν)}}||{{polytonic|ᾗ}} (< *{{polytonic|ἥῃ}})||{{polytonic|εἵη}}||{{polytonic|ἕτω}}||{{polytonic|εἷτο}}||{{polytonic|ἧται}} (< *{{polytonic|ἥηται}})||{{polytonic|εἷτο}}||{{polytonic|ἕσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|εἷτον}}||{{polytonic|ἧτον}} (< *{{polytonic|ἥητον}})||{{polytonic|εἷτον}} ({{polytonic|εἷητον}})||{{polytonic|ἕτον}}||{{polytonic |εἷσθον}}||{{polytonic|ἧσθον}} (< *{{polytonic|ἥησθον}})||{{polytonic|εἷσθον}}||{{polytonic|ἕσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|εἵτην}}||{{polytonic|ἧτον}} (< *{{polytonic|ἥητον}})||{{polytonic|εἷτην}} ({{polytonic|εἱήτην}})||{{polytonic|ἕτων}}||{{polytonic|εἵσθην}}||{{polytonic|ἧσθον}} (< *{{polytonic|ἥησθον}})||{{polytonic|εἵσθην}}||{{polytonic|ἕσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|εἷμεν}}||{{polytonic|ὧμεν}} (< *{{polytonic|ἥωμεν}})||{{polytonic|εἷμεν}} ({{polytonic|εἵημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|εἵμεθα}}||{{polytonic|ὥμεθα}} (< *{{polytonic|ἡώμεθα}})||{{polytonic|εἵμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|εἷτε}}||{{polytonic|ἧτε}} (< *{{polytonic|ἥητε}})||{{polytonic|εἷτε}} ({{polytonic|εἷητε}})||{{polytonic|ἕτε}}||{{polytonic|εἷσθε}}||{{polytonic|ἧσθε}} (< *{{polytonic|ἥησθε}})||{{polytonic|εἷσθε}}||{{polytonic|ἕσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|εἷσαν}}||{{polytonic|ὧσι(ν)}} (< *{{polytonic|ἥωσιν}})||{{polytonic|εἷεν}} ({{polytonic|εἵησαν}})||{{polytonic|ἕντων}} / {{polytonic|ἕτωσαν}}||{{polytonic|εἷντο}}||{{polytonic|ὧνται}} (< *{{polytonic|ἥωνται}})||{{polytonic|εἷντο}}||{{polytonic|ἕσθων}} / {{polytonic|ἕσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|εἷναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> εἵς <small>''femm.''</small> εἷσα <small>''neu.''</small> ἕν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |ἕσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> ἕμενος <small>''femm.''</small> ἑμένη <small>''neu.''</small> ἕμενον}} |} == Aoristo passivo == Giacché come si è già detto l'aoristo distingue la diatesi '''media''' da quella '''passiva''', per quest'ultima esiste una forma a parte di aoristo. Particolarmente notevole è che, pur essendo una voce passiva, porti delle desinenze attive. Ciò è dovuto al fatto che originariamente questo tipo di aoristo era intransitivo con un significato ingressivo in un nuovo stato o una nuova condizione e quindi diatesi attiva: la forma ἐκάην (da καίω) valeva quindi "mi bruciai, mi consumai col fuoco", ἐμάνην (da μαίνομαι) "divenni pazzo". A causa di alcuni verbi che si prestavano facilmente ad ambiguità come ἐπλήγην (da πλήσσω) "mi sbalordii, rimasi impressionato/colpito", oppure ἐσφάλην "mi ingannai, rimasi ingannato [dagli eventi]" il significato slittò verso il senso passivo: "fui bruciato, fui colpito, fui ingannato". L'aoristo passivo secondo è più antico del primo e ha la stessa struttura dell'aoristo terzo, da cui proviene<ref>Si tratta infatti di un aoristo terzo con l'aggiunta di un ampliamento in -η-, lo stesso che in latino ha formato la seconda coniugazione che, come l'aoristo passivo secondo originario, ha valore stativo; in alcuni casi l'ampliamento prende il grado apofonico ω, come in ἑάλων, aoristo di ἁλίσκομαι "essere preso, essere perduto".</ref>. L'aoristo passivo primo fu creato a causa delle difficoltà dovute al suffisso caratteristico -η- dell'aoristo secondo a contatto con le radici in vocale, il quale provocava iati e contrazioni difficilmente riconoscibili; la modifica del suffisso in -θη- eliminava quindi i problemi e fu in parte estesa anche ai verbi in consonante che già avevano l'aoristo passivo secondo. L'aoristo passivo secondo, accanto al nuovo valore passivo, conserva ancora in alcuni verbi l'antico senso ingressivo (ad esempio in già citato ἐμάνην, oppure ἐχάρην, da χαίρω, "mi rallegrai"), mentre l'aoristo passivo primo ha prevalentemente senso passivo<ref>Agnello Orlando 1998, pag. 578-579.</ref>. Alcuni verbi hanno quindi due aoristi passivi, con diverso significato; ad esempio φαίνω che ha sia l'aoristo passivo secondo ἐφάνην "mi mostrai, apparvi", che l'aoristo passivo primo ἐφάνθην "fui mostrato". Esso si divide in: *aoristo passivo ''primo'' o ''debole'', proprio dei temi in vocale, dittongo, la maggior parte dei temi in consonante muta e pochi temi in liquida e nasale, soprattutto apofonici; si distingue per il suffisso '''-θη-''' a cui si aggiungono le desinenze dell'aoristo atematico. I temi in vocale allungano la vocale finale (α puro > α lungo; α impuro > η). {| {{prettytable}} !Aumento||Radice||Suffisso caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἐ}}-||-{{polytonic|λύ}}-||-{{polytonic|θη}}-||-{{polytonic|ν}} |} *aoristo passivo ''secondo'' o ''forte'', proprio dei temi in consonante, prevalentemente liquida e nasale ma anche alcuni in consonante muta. La sua caratteristica è il suffisso '''-η-''', meno riconoscibile, cui si aggiungono, ancora una volta, le terminazioni dell'aoristo atematico. {| {{prettytable}} !Aumento||Radice||Suffisso caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἐ}}-||-{{polytonic|φάν}}-||-{{polytonic|η}}-||-{{polytonic|ν}} |} Circa una trentina di verbi in liquida, nasale e consonante muta presentano regolarmente sia forme di aoristo debole che di aoristo forte; ciò vale anche per una quindicina di verbi apofonici, che formano i rispettivi aoristi passivi dal grado richiesto da ciascuno (debole = grado medio; forte = grado zero). ===Aoristo passivo I o debole=== Nell'aoristo passivo I, a causa dell'aspirata -θ- del suffisso, i temi in labiale e velare si cambiano nell'aspirata corrispondente: :ὁράω > ὤφθην (da *ὤπ-θην); τάσσω > ἐτάχθην (da *ἐ-τάγ-θην) Le dentali mutano in σ davanti a θ: κομίζω > ἐκομίσθην (da κομιδ-). Attenzione a non confondere queste forme con quelle di alcuni temi in vocale che ripristinano un σ che è nel tema verbale ma è caduto al presente: σπάω > ἐσπάσθην. Per quanto riguarda i temi apofonici, l'aoristo debole utilizza solitamente il grado medio (es. ἐλείφθην < λιπ-/λειπ-/λοιπ- da λείπω). Invece, i temi con apofonia del genere {{polytonic|ᾰ}}/η si trovano al grado allungato (η). ====Aoristo passivo di λύω "sciogliere"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐλύθην}}||{{polytonic|λυθῶ}} (< *{{polytonic|λυθήω}})||{{polytonic|λυθείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐλύθης}}||{{polytonic|λυθῇς}} (< *{{polytonic|λυθήῃς}})||{{polytonic|λυθείης}}||{{polytonic|λύθητι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐλύθη}}||{{polytonic|λυθῇ}} (< *{{polytonic|λυθήῃς}})||{{polytonic|λυθείη}}||{{polytonic|λυθήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλύθητον}}||{{polytonic|λυθῆτον}} (< *{{polytonic|λυθήητον}})||{{polytonic|λυθεῖτον}}||{{polytonic|λύθετον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλυθήτην}}||{{polytonic|λυθῆτον}} (< *{{polytonic|λυθήητον}})||{{polytonic|λυθείτην}}||{{polytonic|λυθήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐλύθημεν}}||{{polytonic|λυθῶμεν}} (< *{{polytonic|λυθήωμεν}})||{{polytonic|λυθεῖμεν}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐλύθητε}}||{{polytonic|λυθῆτε}} (< *{{polytonic|λυθήητε}})||{{polytonic|λυθεῖτε}}||{{polytonic|λύθητε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐλύθησαν}}||{{polytonic|λυθῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|λυθήωσι(ν)}})||{{polytonic|λυθεῖεν}}||{{polytonic|λυθέντων / λυθήτωσαν}} |- !Infinito||Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λυθῆναι}}||{{polytonic|λυθείς, λυθεῖσα, λυθέν}} |} Alla seconda persona singolare dell'imperativo la regolare terminazione -θι si cambia in -τι per la legge di Grassman. ===Aoristo passivo II o forte=== Sulla formazione dell'aoristo passivo forte c'è solo da precisare che i temi apofonici usano il grado zero. ====Aoristo passivo di φαίνω "mostrare, sembrare, apparire"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐφάνην}}||{{polytonic|φανῶ}} (< *{{polytonic|φανήω}})||{{polytonic|φανείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐφάνης}}||{{polytonic|φανῇς}} (< *{{polytonic|φανήῃς}})||{{polytonic|φανείης}}||{{polytonic|φάνηθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐφάνη}}||{{polytonic|φανῇ}} (< *{{polytonic|φανήῃ}})||{{polytonic|φανείη}}||{{polytonic|φανήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐφάνητον}}||{{polytonic|φανῆτον}} (< *{{polytonic|φανήητον}})||{{polytonic|φανεῖτον}}||{{polytonic|φάνητον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφανήτην}}||{{polytonic|φανῆτον}} (< *{{polytonic|φανήητον}})||{{polytonic|φανείτην}}||{{polytonic|φανήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐφάνημεν}}||{{polytonic|φανῶμεν}} (< *{{polytonic|φανήωμεν}})||{{polytonic|φανεῖμεν}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐφάνητε}}||{{polytonic|φανῆτε}} (< *{{polytonic|φανήητε}})||{{polytonic|φανεῖτε}}||{{polytonic|φάνητε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐφάνησαν}}||{{polytonic|φανῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|φανήωσι(ν)}})||{{polytonic|φανεῖεν}}||{{polytonic|φανέντων / φανήτωσαν}} |- !Infinito||Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φανῆναι}}||{{polytonic|φανείς, φανεῖσα, φανέν}} |} ==Note== <references/> {{Avanzamento|100%|7 marzo 2011}} [[Categoria:Greco antico|Aoristo]] 8el8mjb0gflx7yxxtq5vwh4sdgz5qda 499034 499033 2026-06-06T23:51:50Z Ptolemaios 19075 /* Aoristo passivo */ 499034 wikitext text/x-wiki {{Greco antico}} == Caratteristiche generali dell'aoristo greco == L'aoristo (dal greco {{polytonic|ἀόριστος χρόνος}} "tempo indefinito", perché non ha una collocazione temporale assoluta) è uno dei quattro temi temporali fondamentali del verbo greco. Esso, come suggerisce il nome, non ha connotazione temporale, ed esprime solo l'aspetto dell'azione, cioè un'azione "puntuale", compiuta, colta nel momento in cui si svolge, circoscritta sulla linea temporale; non è necessario che sia istantanea, "puntuale" significa che è vista nella sua totalità, quindi delimitata da un inizio e una fine, considerata come un segmento di retta sulla linea temporale. L'aoristo ha tutti e sei i modi del verbo greco. Assume l'[[Greco antico/Imperfetto#L'aumento|aumento]], e il significato di passato remoto<ref>La prassi scolastica richiede di tradurlo sempre con il passato remoto, ma questo risponde solo a necessità pratiche; in realtà, l'aoristo indicativo esprime un'azione puntuale nel passato, e lo stesso concetto viene espresso, oltre che dal passato remoto, anche dal passato prossimo, dal trapassato prossimo e dal trapassato remoto italiani. Questo dipende dal fatto che il sistema verbale italiano, figlio di quello latino, privilegia una successione logica sulla scala temporale, individuando ogni azione in sequenza. Il greco, invece, esprime il tempo in modo assoluto, cioè non mette in evidenza la successione delle azioni (le azioni sono espresse come presenti, passate o future, senza che ci sia relatività logica fra di esse), preferendo invece esprimerne l'aspetto: per questo motivo il suo sistema verbale offre un solo passato compiuto.</ref>, solo nell'indicativo. Gli altri modi indicano solo l'azione puntuale, senza alcun riferimento specifico al passato. Il participio aoristo greco di tutte le forme e tipologie si traduce in genere come un gerundio passato o con ''dopo'' + infinito passato<ref>Compiangendo che l'opera di Apollonio Discolo riguardo ai participi non ci è disponibile, dobbiamo accontentarci di quanto riportato da Giorgio Cherobosco in ''Grammatici Graeci'' IV/II (B.G. Teubner, Lipsia 1894) pag. 296 ss., oppure, gratuitamente sul WEB, [https://books.google.it/books?id=M15GAQAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=Georgii+Choerobosci+Dictata+in+Theodosii+canones&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwjt9O675YnbAhUJG5oKHRkdBeYQ6AEIMTAB#v=onepage&q=Georgii%20Choerobosci%20Dictata%20in%20Theodosii%20canones&f=false Georgii Choerobosci Dictata in Theodosii Canones Vol II] a cura di T. Gaisford, Oxonii 1842 pag. 813 ss. Qui il grammatico spiega che si pone al participio aoristo quel verbo la cui azione viene prima e che si usa perché le congiunzioni copulative non significano ordinamento. Cherobosco ci presenta il seguente esempio Ἀγαμέμνων βασιλεύσας ἐπολέμησεν (''Agamennone dopo essere diventato re portò guerra'') dove si intende che Agamennone prima divenne re, poi portò guerra.</ref>; il suo participio, unito al verbo {{polytonic|ἔχω}} "avere", ''in posizione predicativa'', costituisce una forma perifrastica del perfetto: es. {{polytonic|ἔχω λύσας}} "ho sciolto", {{polytonic|ἔχω περάνας}} "ho tentato". Tale perifrasi è già prefigurata nel [[dialetto omerico]], ed è presente nei classici del V secolo, come [[Sofocle]]. L'aoristo, come anche il futuro, possiede una forma per ciascuna delle tre diatesi, ossia il medio e il passivo hanno due forme distinte. ==Aumento== Per l'aumento vale quanto detto nella relativa [[Greco antico/Imperfetto#L'aumento|sezione nella pagina dell'imperfetto]]. == Aoristo attivo e medio == L'aoristo greco eredita in tutto e per tutto dall'[[Lingue indoeuropee|indoeuropeo]] le tre forme di aoristo originarie, perfettamente corrispondenti alle forme dell'aoristo [[Lingua vedica|vedico]] e [[sanscrito]]: * L'aoristo I o ''debole'' o ''sigmatico'', così chiamato per il suo suffisso '''-σα-'''. Nei verbi col tema in consonante nasale o liquida il sigma cade lasciando solo il suffisso '''-α-''' e provocando aumento di compenso della vocale radicale; questa forma senza sigma è detta ''asigmatica''. * L'aoristo II o ''forte'' o ''tematico'', che si forma sulla radice verbale al grado zero dell'[[apofonia]], inserendo fra radice e desinenza le vocali tematiche '''-ο-''', '''-ε-'''. * L'aoristo III o ''fortissimo'' o ''atematico'', formazione molto antica propria di alcuni verbi anomali, coniugata aggiungendo alla radice verbale le desinenze ''senza intermediazione di suffisso o vocale tematica''. La distinzione fra aoristo ''debole'', ''forte'' e '' fortissimo'' si deve agli studiosi tedeschi che hanno sistematizzato la grammatica greca nell'800: in tedesco i verbi regolari sono detti ''deboli'', mentre quelli irregolari sono detti ''forti'', e così, per analogia, l'aoristo formato sul tema del presente (cioè "regolare") è stato detto ''debole'', mentre quelli formati su un tema diverso (e quindi "irregolari") sono stati detti ''forte'' e ''fortissimo''. === Aoristo I o debole o sigmatico === L'aoristo debole greco è caratterizzato dal suffisso '''-σα-''', che deriva da σm̥ con la sonante m̥ dell'indoeuropeo vocalizzatasi in α. La forma sigmatica è propria dei temi in consonante muta, in vocale e dittongo. Il suffisso '''-σα-''' dà luogo a mutamenti fonetici: *allunga la vocale finale di radice dei verbi in vocale semplice, tranne quelle di alcuni verbi, come '''καλέω''' (ἐκάλεσα)<ref>La radice è καλεσ-, da cui l'aoristo *ἐκάλεσσα e infine ἐκάλεσα per semplificazione del doppio sigma.</ref>, '''τελέω''' (ἐτέλεσα)<ref>La radice è τελεσ-, da cui l'aoristo *ἐτέλεσσα e infine ἐτέλεσα per semplificazione del doppio sigma.</ref> ed '''ἐλαύνω''' (ἤλᾰσα), che fanno eccezione; *si fonde graficamente con le labiali finali di radice in '''ψ''', con le gutturali in '''ξ''' e fa cadere le dentali<ref>In realtà si verifica un'assimilazione della dentale seguita dalla semplificazione della doppia sibilante (δ, θ, τ + σ = σσ > σ), dando però l'impressione che la dentale cada senza lasciare traccia.</ref>; *davanti a consonante liquida o nasale il sigma cade, provocando allungamento di compenso della vocale radicale. A questo fenomeno si sottraggono i verbi '''κέλλω''' e '''κύρω''', che formano regolarmente gli aoristi '''ἔκελσα''' e '''ἔκυρσα'''. All'ottativo attivo, nella 2^a e 3^a persona singolare e nella 3^a plurale, le forme alternative sono dette ''eoliche''. ''Struttura morfemica dell'aoristo sigmatico'' {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||suffisso temporale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|λυ}}-||-{{polytonic|σα}}-||-{{polytonic|ν}} |} * La forma asigmatica è propria dei temi in consonante liquida e nasale, tranne '''κέλλω''' e '''κύρω'''; essa, come abbiamo detto, è caratterizzata dal suffisso ridotto a semplice '''-α-''' in seguito alla caduta del sigma. ''Struttura morfemica dell'aoristo asigmatico'' {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale al grado allungato||suffisso temporale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|φην}}-||-{{polytonic|α}}-||-{{polytonic|ν}} |} ==== Esempi di paradigmi di aoristi deboli ==== =====Aoristo debole sigmatico attivo e medio di λύω "sciogliere"===== {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔλυσα}}||{{polytonic|λύσω}}||{{polytonic|λύσαιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |ἐλυσάμην}}|| {{polytonic|λύσωμαι}}||{{polytonic|λυσαίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔλυσας}}||{{polytonic|λύσῃς}}||{{polytonic|λύσαις}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|λύσειας}})||{{polytonic|λῦσον}}|| {{polytonic |ἐλύσω}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἐλύσασο}})||{{polytonic|λύσῃ}}||{{polytonic|λύσαιο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|λύσαισο}})||{{polytonic|λῦσαι}} |- !3º sing. |{{polytonic|ἔλυσε}}||{{polytonic|λύσῃ}}||{{polytonic|λύσαι}} ({{polytonic|λύσειεν}})||{{polytonic|λυσάτω}}||{{polytonic|ἐλύσατο}}||{{polytonic|λύσηται}}||{{polytonic|λύσαιτο}}||{{polytonic|λυσάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλύσατον}}||{{polytonic|λύσητον}}||{{polytonic|λύσαιτον}}||{{polytonic|λύσατον}} ||{{polytonic|ἐλύσασθον}}||{{polytonic|λύσησθον}}||{{polytonic|λύσαισθον}}||{{polytonic|λύσασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλυσάτην}}||{{polytonic|λύσητον}}||{{polytonic|λυσαίτην}}||{{polytonic|λυσάτων}}|| {{polytonic|ἐλυσάσθην}}||{{polytonic|λύσησθον}}||{{polytonic|λυσαίσθην}}||{{polytonic|λυσάσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐλύσαμεν}}||{{polytonic|λύσωμεν}}||{{polytonic|λύσαιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλυσάμεθα}} ||{{polytonic|λυσώμεθα}}||{{polytonic|λυσαίμεθα}} ||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐλύσατε}}||{{polytonic|λύσητε}}||{{polytonic|λύσαιτε}}||{{polytonic|λύσατε}}||{{polytonic |ἐλύσασθε}}||{{polytonic|λύσησθε}}||{{polytonic|λύσαισθε}}||{{polytonic|λύσασθε}} |- !3º plur. | {{polytonic|ἔλυσαν}}||{{polytonic|λύσωσι(ν)}}||{{polytonic|λύσαιεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|λύσειαν}})||{{polytonic|λυσάντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λυσάτωσαν}}||{{polytonic|ἐλύσαντο}}||{{polytonic|λύσωνται}}|| {{polytonic|λύσαιντο}}||{{polytonic|λυσάσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λυσάσθωσαν}} |} Il participio e l'infinito hanno le seguenti forme: {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λῦσαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λύσας <small>''femm.''</small>λύσασα <small>''neu.''</small> λῦσαν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|λύσασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λυσάμενος <small>''femm.''</small> λυσαμένη <small>''neu.''</small> λυσάμενον}} |} Il participio aoristo debole attivo sigmatico maschile e neutro ha il tema -σαντ- (il maschile singolare, sigmatico, fa cadere -ντ- davanti a sigma allungando per compenso -α-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -σαντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). =====Aoristo debole asigmatico attivo e medio di φαίνω "mostrare"===== Il cambiamento di vocale nella radice φαν- > φην- è dovuto all'allungamento della vocale causato dalla caduta del sigma (*ἔφᾰνσα > ἔφᾱνα) che, essendo un alfa impuro lungo, in ionico-attico è passato a η (ἔφᾱνα > ἔφηνα). {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔφηνα}}||{{polytonic|φήνω}}||{{polytonic|φήναιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐφηνάμην}}|| {{polytonic|φήνωμαι}}||{{polytonic|φηναίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔφηνας}}||{{polytonic|φήνῃς}}||{{polytonic|φήναις}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειας||{{polytonic|φῆνον}}|| {{polytonic|ἐφήνω}}||{{polytonic|φήνῃ}}||{{polytonic|φήναιο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|φήναισο}})|| {{polytonic|φῆναι}} |- !3º sing. |{{polytonic|ἔφηνε}}||{{polytonic|φήνῃ}}||{{polytonic|φήναι}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειεν||{{polytonic|φηνάτω}}||{{polytonic|ἐφήνατο}}||{{polytonic|φήνηται}}||{{polytonic|φήναιτο}}||{{polytonic|φηνάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐφήνατον}}||{{polytonic|φήνητον}}||{{polytonic|φήναιτον}}||{{polytonic|φήνατον}}||{{polytonic|ἐφήνασθον}}||{{polytonic|φήνησθον}}||{{polytonic|φήναισθον}}||{{polytonic|φήνασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφηνάτην}}||{{polytonic|φήνητον}}||{{polytonic|φηναίτην}}||{{polytonic|φηνάτων}}|| {{polytonic|ἐφηνάσθην}}||{{polytonic|φήνησθον}}||{{polytonic|φηναίσθην}}||{{polytonic|φηνάσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐφήναμεν}}||{{polytonic|φήνωμεν}}||{{polytonic|φήναιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐφηνάμεθα}}||{{polytonic|φηνώμεθα}}||{{polytonic|φηναίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐφήνατε}}||{{polytonic|φήνητε}}||{{polytonic|φήναιτε}}||{{polytonic|φήνατε}}||{{polytonic|ἐφήνασθε}}||{{polytonic|φήνησθε}}||{{polytonic|φήναισθε}}||{{polytonic|φήνασθε}} |- !3º plur. |{{polytonic|ἔφηναν}}||{{polytonic|φήνωσι(ν)}}||{{polytonic|φήναιεν}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;φήνειαν||{{polytonic|φηνάντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|φηνάτωσαν}}||{{polytonic|ἐφήναντο}}||{{polytonic|φήνωνται}}||{{polytonic|φήναιντο}}|| {{polytonic|φηνάσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|φηνάσθωσαν}} |} Il participio e l'infinito hanno le seguenti forme: {|class="wikitable" !Infinito attivo||Participio attivo||Infinito medio||Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φήνας <small>''femm.''</small>φήνασα <small>''neu.''</small> φῆναν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|φήνασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φηνάμενος <small>''femm.''</small> φηναμένη <small>''neu.''</small> φηνάμενον}} |} Il participio aoristo debole attivo asigmatico maschile e neutro ha il tema -αντ- (il maschile singolare, sigmatico, fa cadere -ντ- davanti a sigma allungando per compenso -α-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -αντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). === Aoristo II o forte o tematico === L'aoristo forte ha come caratteristica la semplice vocale tematica. Esso, formalmente, ha la struttura dell'imperfetto, con una differenza sostanziale: ''[[classi verbali del greco antico|si forma sul tema verbale e non sul tema del presente]]''; spesso, inoltre, il tema verbale assume l'[[apofonia]] al grado debole. A distinguere l'aoristo forte dall'imperfetto è dunque non tanto la desinenza, quanto piuttosto la forma che il tema verbale assume. Come esempio di paradigma caratterizzato da apofonia, possiamo prendere in considerazione quello del verbo λείπω "lasciare", la cui apofonia radicale è λιπ-/λειπ-/λοιπ-: nel presente è utilizzato il grado medio λειπ-, mentre nell'aoristo si usa il grado zero λιπ-. Per comprendere la natura dei procedimenti morfologici alla base della formazione dell'aoristo forte, sarà opportuno confrontare le strutture morfemiche dell'imperfetto e dell'aoristo di '''λείπω''': Struttura morfemica dell'imperfetto {{polytonic|ἔ'''λειπ'''ον}}, "lasciavo": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale (grado medio)||Vocale tematica||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ }}-||-{{polytonic|λειπ}}-||-{{polytonic|ο}}-||-{{polytonic|ν}} |} Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔ'''λιπ'''ον}}, "lasciai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale (grado zero)||Vocale tematica||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ }}-||-{{polytonic|λιπ}}-||-{{polytonic|ο}}-||-{{polytonic|ν}} |} ====Aoristo forte attivo e medio di λείπω "lasciare"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º sing. |{{polytonic|ἔλιπον}}||{{polytonic|λίπω}}||{{polytonic|λίποιμι}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλιπόμην}}||{{polytonic|λίπωμαι}}||{{polytonic|λιποίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º sing. |{{polytonic|ἔλιπες}}||{{polytonic|λίπῃς}}||{{polytonic|λίποις}}||{{polytonic|λίπε}}||{{polytonic|ἐλίπου}}&zwj;&nbsp;(<{{polytonic|*ἐλίπεσο}})||{{polytonic|λίπῃ}}||{{polytonic|λίποιο}}&zwj;&nbsp;(<{{polytonic|*λίποισο}})||{{polytonic|λίπου}} (<{{polytonic|*λίπεσο}}) |- !3º sing. |{{polytonic|ἔλιπε}}||{{polytonic|λίπῃ}}||{{polytonic|λίποι}}||{{polytonic|λιπέτω}}||{{polytonic|ἐλίπετο}}||{{polytonic|λίπηται}}||{{polytonic|λίποιτο}}||{{polytonic|λιπέσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλίπετον}}||{{polytonic|λίπητον}}||{{polytonic|λίποιτον}}||{{polytonic|λίπετον}}||{{polytonic|ἐλίπεσθον}}||{{polytonic|λίπησθον}}||{{polytonic|λίποισθον}}||{{polytonic|λίπεσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλιπέτην}}||{{polytonic|λίπητον}}||{{polytonic|λιποίτην}}||{{polytonic|λιπέτων}}||{{polytonic|ἐλιπέσθην}}||{{polytonic|λίπησθον}}||{{polytonic|λιποίσθην}}||{{polytonic|λιπέσθων}} |- !1º plur. |{{polytonic|ἐλίπομεν}}||{{polytonic|λίπωμεν}}||{{polytonic|λίποιμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐλιπόμεθα}}||{{polytonic|λιπώμεθα}}||{{polytonic|λιποίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plur. |{{polytonic|ἐλίπετε}}||{{polytonic|λίπητε}}||{{polytonic|λίποιτε}}||{{polytonic|λίπετε}}||{{polytonic|ἐλίπεσθε}}||{{polytonic|λίπησθε}}||{{polytonic|λίποισθε}}||{{polytonic|λίπεσθε}} |- !3º plur. |{{polytonic|ἔλιπον}}||{{polytonic|λίπωσι(ν)}}||{{polytonic|λίποιεν}}||{{polytonic|λιπόντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λιπέτωσαν}}||{{polytonic|ἐλίποντο}}||{{polytonic|λίπωνται}}||{{polytonic|λίποιντο}}|| {{polytonic|λιπέσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|λιπέσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!participio attivo!!infinito medio!!participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λιπεῖν}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λιπών <small>''femm.''</small> λιποῦσα <small>''neu.'' </small> λιπόν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic|λιπέσθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> λιπόμενος <small>''femm.''</small> λιπομένη <small>''neu.''</small> λιπόμενον}} |} Il participio aoristo forte attivo maschile e neutro ha il tema -όντ- (il maschile singolare fa cadere -τ- e allunga per apofonia -ο- in -ω-, mentre il neutro mostra il puro tema con caduta di -τ-; in entrambi il genitivo è -όντος) mentre il femminile segue la I declinazione in alfa impuro breve (come μοῦσα). *L'aoristo forte dà luogo talora a paradigmi anomali o difettivi. Ad eccezione di {{polytonic|ἔκλυον}}, i seguenti sono i cosiddetti "verbi politematici": **{{polytonic|εἶδον "vidi" (tema ἰδ-)}}<ref>Dalla radice {{polytonic|ϝιδ-/ϝειδ-/ϝοιδ-}} si è utilizzato il grado zero con aggiunta dell'aumento e conseguente caduta del digamma (*{{polytonic|ἐϝιδον}} > {{polytonic|εἶδον}}). Negli altri modi la radice si riduce da {{polytonic|ϝιδ-}} a {{polytonic|ἰδ-}} con semplice caduta del digamma.</ref> viene fatto ricondurre al verbo difettivo ὁράω "vedere" **{{polytonic|εἶπον "dissi" (tema εἰπ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo λέγω "dire" **{{polytonic|ἦλθον "venni, andai"}} (tema ἐλθ-) viene fatto ricondurre al verbo difettivo ἔρχομαι "andare, venire" **{{polytonic|ἤνεγκον "portai" (tema ἐνεγκ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo φέρω "portare" **{{polytonic|ἔδραμον "corsi" (tema δραμ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo τρέχω "correre" **{{polytonic|ἔφαγον "mangiai" (tema φαγ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo ἐσθίω "mangiare" **{{polytonic|εἷλον "presi" (tema ἑλ-)}} viene fatto ricondurre al verbo difettivo αἱρέω "prendere" **{{polytonic|ἔκλυον "udii" (tema κλυ-)}} ha forme di imperativo atematiche: {{polytonic|κλῦθι "ascolta"}} * cinque aoristi conservano imperativi arcaici con l'accento sull'ultima sillaba: **{{polytonic|εἶδον "vidi"}} (utilizzato come aoristo di ὁράω "vedere"), imperativo {{polytonic|ἰδέ}} "vedi"; **{{polytonic|ἔλαβον "presi", da λαμβάνω "prendo"}}, imperativo: {{polytonic|λαβέ}} "prendi"; **{{polytonic|εὗρον (o ηὗρον) "presi", da εὑρίσκω "trovo"}}, imperativo {{polytonic|εὑρέ}} "trova"; **{{polytonic|ἦλθον "andai, venni"}} (utilizzato come aoristo di ἔρχομαι "andare, venire"), imperativo: {{polytonic|ἐλθέ}} "va', vieni"; **{{polytonic|εἶπον "dissi"}} (utilizzato come aoristo di λέγω "dire"), imperativo: {{polytonic|εἰπέ}} "di' ". * Alcuni aoristi forti hanno la radice ''raddoppiata'', oltre che ''aumentata'': ess.: ** dal verbo {{polytonic|ἄγω}} "condurre", radice {{polytonic|ἀγ-}} (cfr. latino ''ago'' "condurre"), tema dell'aoristo {{polytonic|ἀγαγ}}-, per cui: {{polytonic | ἤγαγον}}; ** dalla radice senza presente {{polytonic|εἰπ-}} si ha l'aoristo {{polytonic|εἶπον}}, in [[Omero]] {{polytonic|ἔειπον}} (da *{{polytonic|ἐϝέϝιπον}})<ref>In origine la radice era {{polytonic|ϝπ-/ϝεπ-/ϝοπ-}}, della quale si è utilizzato il grado zero con raddoppiamento e aumento (*{{polytonic|ἐ.ϝε.ϝπ.ον}}), poi il primo digamma è caduto e il secondo si è prima vocalizzato in υ e poi dissimilato in ι (*{{polytonic|ἐϝεϝπον}} > *{{polytonic|ἐεϝπον}} > *{{polytonic|ἐευπον}} > *{{polytonic|ἐειπον}}), infine l'aumento si è contratto con il dittongo ει ({{polytonic|ἔειπον}} > {{polytonic|εἶπον}}). Negli altri modi ovviamente l'aumento non entra in gioco, ma il tema è comunque lo stesso perché in questo caso l'aumento viene semplicemente assorbito dal dittongo ει senza ulteriori modifiche.</ref>, utilizzato come aoristo di λέγω "dire". **dalla radice senza presente {{polytonic|ἤνεγκον}} (tema dell'aoristo {{polytonic|ἐνεγκ-}}), radice {{polytonic|ἐγκ-/ἐνεκ-/ἐνοκ-}} (l'aoristo si forma dal grado zero), è utilizzato come aoristo di {{polytonic|φέρω}} "portare". === Aoristo III o fortissimo o radicale o atematico === L'aoristo III è una forma estremamente arcaica. Esso si forma unendo le desinenze direttamente sulla radice e per questo è detto ''atematico'' o anche ''radicale''. Anche nei modi diversi dall'indicativo ha suffissi caratteristici dei verbi atematici. Solo pochi verbi, estremamente conservativi, lo possiedono. Alcune forme di aoristo fortissimo sono prive di presente (ad esempio l'aoristo atematico ἔτλην, dalla radice τλᾰ-/τλη-<ref>La stessa radice, che indica l'idea di portare/sopportare/sollevare, si trova anche nel verbo latino ''tollo'' e nella coniugazione di ''fero'', il cui perfetto è ''tuli'' e il supino è ''latum'' (< ''*tlatum''); in greco troviamo inoltre l'aggettivo τάλας, τάλαινα, τάλαν "sventurato, infelice".</ref>, sulla quale è stato ricostruito il presente τλάω solo in età bizantina, ma non attestato nel greco classico). Questo tipo di aoristo è peculiare di pochi verbi il cui tema termina in vocale, che è sempre lunga o perché tale anche nel tema verbale (es. ἔγνων "io conobbi", da γιγνώσκω, tema verbale γνω-) o perché costituisce il grado allungato di un tema apofonico (es. ἔβην "andai", da βαίνω, tema verbale βᾰ-/βη- e ἔστην "stetti, mi fermai", da ἵστημι, tema verbale στᾰ-/στη-). La vocale lunga si mantiene tale in tutta la coniugazione ad eccezione dei casi previsti dalla legge di [[Hermann Osthoff|Osthoff]]. Questo aoristo ha quasi esclusivamente la forma attiva, cui si aggiungono alcune rare forme medie<ref>Ad esempio ἐπριάμην "comprai" (dal presente disusato πρίαμαι) e ὠνάμην / ὠνήμην "trassi vantaggio" (da ὀνίνημι "giovare").</ref>, e significato prevalentemente intransitivo; dalle stesse radici si può formare l'aoristo primo con valore causativo: ἔβην "andai", ἔβησα "feci andare", ἐβησάμην "feci andare per me", oppure ἔστην "stetti, mi fermai" e ἔστησα "feci stare, feci fermare, collocai". ====Aoristo di βαίνω "andare"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔβην}} "andai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|βη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔβην}}||{{polytonic|βῶ}} (< *{{polytonic|βήω}})||{{polytonic|βαίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔβης}}||{{polytonic|βῇς}} (< *{{polytonic|βήῃς}})||{{polytonic|βαίης}}||{{polytonic|βῆθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔβη}}||{{polytonic|βῇ}} (< *{{polytonic|βήῃ}})||{{polytonic|βαίη}}||{{polytonic|βήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔβητον}}||{{polytonic|βῆτον}} (< *{{polytonic|βήητον}})||{{polytonic|βαῖτον}} ({{polytonic|βαίητον}})||{{polytonic|βῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐβήτην}}||{{polytonic|βῆτον}} (< *{{polytonic|βήητον}})||{{polytonic|βαίτην}} ({{polytonic|βαιήτην}})|| {{polytonic|βήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔβημεν}}||{{polytonic|βῶμεν}} (< *{{polytonic|βήωμεν}})||{{polytonic|βαῖμεν}} ({{polytonic|βαίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔβητε}}||{{polytonic|βῆτε}} (< *{{polytonic|βήητε}})||{{polytonic|βαῖτε}} ({{polytonic|βαίητε}})||{{polytonic|βῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔβησαν}}||{{polytonic|βῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|βήωσι(ν)}})||{{polytonic|βαῖεν}} ({{polytonic|βαίησαν}})||{{polytonic|βάντων}} / {{polytonic |βήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|βῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> βάς <small>''femm.''</small> βᾶσα <small>''neu.''</small> βάν}} |} Per la formazione del participio, alla radice al grado lungo βη- (< *βᾱ-) si aggiunge un tema in -ντ-: *βη.ντ-, che abbrevia la vocale radicale conformemente alla legge di Osthoff (*βᾰ.ντ-), cui si aggiunge -ς per formare il nominativo maschile singolare che fa cadere il gruppo -ντ- provocando allungamento di compenso (*βη.ντ- > *βᾰ.ντ.ς > *βᾱ.ς > '''βάς'''). Il femminile viene da *βα.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*βᾰ.ντ.jα > *βα.νσ.jα > *βᾱ.σ.α > '''βᾶσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo del duale e del plurale, oltre a formarsi con la caratteristica -ι- propria di questo modo al grado zero, può utilizzare come tema la terza persona singolare, che, non avendo desinenza, è stata sentita dai Greci come puro tema e quindi utilizzata anche per il resto della coniugazione dell'ottativo; queste forme sono messe fra parentesi. Su questo modello si coniuga anche '''ἔτλην'''. ====Aoristo di ἵστημι "collocare, porre, fermarsi"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔστην}} "stetti, mi fermai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|στη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔστην}}||{{polytonic|στῶ}} (< *{{polytonic|στήω}})||{{polytonic|σταίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔστης}}||{{polytonic|στῇς}} (< *{{polytonic|στήῃς}})||{{polytonic|σταίης}}||{{polytonic|στῆθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔστη}}||{{polytonic|στῇ}} (< *{{polytonic|στήῃ}})||{{polytonic|σταίη}}||{{polytonic|στήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔστητον}}||{{polytonic|στῆτον}} (< *{{polytonic|στήητον}})||{{polytonic|σταῖτον}} ({{polytonic|σταίητον}})||{{polytonic|στῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐστήτην}}||{{polytonic|στῆτον}} (< *{{polytonic|στήητον}})||{{polytonic|σταίτην}} ({{polytonic|σταιήτην}})|| {{polytonic|στήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔστημεν}}||{{polytonic|στῶμεν}} (< *{{polytonic|στήωμεν}})||{{polytonic|σταῖμεν}} ({{polytonic|σταίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔστητε}}||{{polytonic|στῆτε}} (< *{{polytonic|στήητε}})||{{polytonic|σταῖτε}} ({{polytonic|σταίητε}})||{{polytonic|στῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔστησαν}}||{{polytonic|στῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|στήωσι(ν)}})||{{polytonic|σταῖεν}} ({{polytonic|σταίησαν}})||{{polytonic|στάντων}} / {{polytonic |στήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|στῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> στάς <small>''femm.''</small> στᾶσα <small>''neu.''</small> στάν}} |} Valgono le stesse osservazioni fatte per ἔβην. ====Aoristo di σβέννυμι "spegnere"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔσβην}} "mi spensi, mi estinsi, morii": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|σβη}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔσβην}}||{{polytonic|σβῶ}} (< *{{polytonic|σβήω}})||{{polytonic|σβείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔσβης}}||{{polytonic|σβῇς}} (< *{{polytonic|σβήῃς}})||{{polytonic|σβείης}}||{{polytonic|σβῆθι}} / {{polytonic|σβές}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔσβη}}||{{polytonic|σβῇ}} (< *{{polytonic|σβήῃ}})||{{polytonic|σβείη}}||{{polytonic|σβήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔσβητον}}||{{polytonic|σβῆτον}} (< *{{polytonic|σβήητον}})||{{polytonic|σβεῖτον}} ({{polytonic|σβείητον}})||{{polytonic|σβῆτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐσβήτην}}||{{polytonic|σβῆτον}} (< *{{polytonic|σβήητον}})||{{polytonic|σβείτην}} ({{polytonic|σβειήτην}})|| {{polytonic|σβήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔσβημεν}}||{{polytonic|σβῶμεν}} (< *{{polytonic|σβήωμεν}})||{{polytonic|σβεῖμεν}} ({{polytonic|σβείημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔσβητε}}||{{polytonic|σβῆτε}} (< *{{polytonic|σβήητε}})||{{polytonic|σβεῖτε}} ({{polytonic|σβείητε}})||{{polytonic|σβῆτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔσβησαν}}||{{polytonic|σβῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|σβήωσι(ν)}})||{{polytonic|σβεῖεν}} ({{polytonic|σβείησαν}})||{{polytonic|σβέντων}} / {{polytonic |σβήτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|σβῆναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> σβείς <small>''femm.''</small> σβεῖσα <small>''neu.''</small> σβέν}} |} La coniugazione è simile a quella di ἔβην e ἔστην, ma in questo caso η rappresenta l'allungamento di ε e non di α (la radice è σβε(σ)-), quindi nei casi di abbreviamento troveremo ε invece di α ({{polytonic|σβείην}}, {{polytonic|σβέντων}}, {{polytonic|σβείς}}, ecc.). Da notare la forma alternativa dell'imperativo {{polytonic|σβές}}. ====Aoristo di διδράσκω "fuggire"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔδρᾱν}} "fuggii": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|δρᾱ}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔδραν}}||{{polytonic|δρῶ}} (< *{{polytonic|δράω}})||{{polytonic|δραίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔδρας}}||{{polytonic|δρᾷς}} (< *{{polytonic|δράῃς}})||{{polytonic|δραίης}}||{{polytonic|δρᾶθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔδρα}}||{{polytonic|δρᾷ}} (< *{{polytonic|δράῃ}})||{{polytonic|δραίη}}||{{polytonic|δράτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔδρατον}}||{{polytonic|δρᾶτον}} (< *{{polytonic|δράητον}})||{{polytonic|δραῖτον}} ({{polytonic|δραίητον}})||{{polytonic|δρᾶτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐδράτην}}||{{polytonic|δρᾶτον}} (< *{{polytonic|δράητον}})||{{polytonic|δραίτην}} ({{polytonic|δραιήτην}})|| {{polytonic|δράτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔδραμεν}}||{{polytonic|δρῶμεν}} (< *{{polytonic|δράωμεν}})||{{polytonic|δραῖμεν}} ({{polytonic|δραίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔδρατε}}||{{polytonic|δρᾶτε}} (< *{{polytonic|δράητε}})||{{polytonic|δραῖτε}} ({{polytonic|δραίητε}})||{{polytonic|δρᾶτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔδρασαν}}||{{polytonic|δρῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|δράωσι(ν)}})||{{polytonic|δραῖεν}} ({{polytonic|δραίησαν}})||{{polytonic|δράντων}} / {{polytonic |δράτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|δρᾶναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> δράς <small>''femm.''</small> δρᾶσα <small>''neu.''</small> δράν}} |} La coniugazione è simile a quella di ἔβην e ἔστην, con la differenza che in questo caso l'alfa si è mantenuto perché puro, negli altri due casi è invece passato a η perché impuro. ====Aoristo di γιγνώσκω "conoscere"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔγνων}} "conobbi": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|γνω}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔγνων}}||{{polytonic|γνῶ}} (< *{{polytonic|γνώω}})||{{polytonic|γνοίην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔγνως}}||{{polytonic|γνῷς}} (< *{{polytonic|γνώῃς}})||{{polytonic|γνοίης}}||{{polytonic|γνῶθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔγνω}}||{{polytonic|γνῷ}} (< *{{polytonic|γνώῃ}})||{{polytonic|γνοίη}}||{{polytonic|γνώτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔγνωτον}}||{{polytonic|γνῶτον}} (< *{{polytonic|γνώητον}})||{{polytonic|γνοῖτον}} ({{polytonic|γνοίητον}})||{{polytonic|γνῶτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐγνώτην}}||{{polytonic|γνῶτον}} (< *{{polytonic|γνώητον}})||{{polytonic|γνοίτην}} ({{polytonic|γνοιήτην}})||{{polytonic|γνώτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔγνωμεν}}||{{polytonic|γνῶμεν}} (< *{{polytonic|γνώωμεν}})||{{polytonic|γνοῖμεν}} ({{polytonic|γνοίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔγνωτε}}||{{polytonic|γνῶτε}} (< *{{polytonic|γνώητε}})||{{polytonic|γνοῖτε}} ({{polytonic|γνοίητε}})||{{polytonic|γνῶτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔγνωσαν}}||{{polytonic|γνῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|γνώωσι(ν)}})||{{polytonic|γνοῖεν}} ({{polytonic|γνοίησαν}})||{{polytonic|γνόντων}} / {{polytonic |γνώτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|γνῶναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> γνούς <small>''femm.''</small> γνοῦσα <small>''neu.''</small> γνόν}} |} Per la formazione del participio, alla radice γνω- si aggiunge un tema in -ντ- che conformemente alla legge di Osthoff fa abbreviare la vocale radicale (*γνω.ντ- > γνοντ-). L'aggiunta del sigma al nominativo maschile singolare provoca caduta del gruppo -ντ- e allungamento di compenso (*γνο.ντ.ς > *γνō.ς > '''γνούς'''). Il femminile viene da *γνο.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*γνο.ντ.jα > *γνο.νσ.jα > *γνō.σ.α > '''γνοῦσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo del duale e del plurale, oltre a formarsi con la caratteristica -ι- propria di questo modo al grado zero, può utilizzare come tema la terza persona singolare, che, non avendo desinenza, è stata sentita dai Greci come puro tema e quindi utilizzata anche per il resto della coniugazione dell'ottativo; queste forme sono messe fra parentesi. Su questo stesso modello si coniuga anche '''βιόω''' (ἐβίων, βιῶ, βιοίην, βίωθι, βιῶναι, βιούς ecc.). ====Aoristo di φύω "nascere, generare"==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἔφῡν}} "nacqui (con certe caratteristiche)": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|φῡ}}-||-{{polytonic|ν}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἔφυν}}||{{polytonic|φύω}}||<div style="text-align:center">-</div>||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔφυς}}||{{polytonic|φύῃς}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἔφυ}}||{{polytonic|φύῃ}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔφυτον}}||{{polytonic|φύητον}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦτον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφύτην}}||{{polytonic|φύητον}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔφυμεν}}||{{polytonic|φύωμεν}}||<div style="text-align:center">-</div>||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔφυτε}}||{{polytonic|φύητε}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φῦτε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔφυσαν}}||{{polytonic|φύωσι(ν)}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|φύντων}} / {{polytonic |φύτωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φῦναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> φύς <small>''femm.''</small> φῦσα <small>''neu.''</small> φύν}} |} Per la formazione del participio, alla radice al grado lungo φῡ- si aggiunge un tema in -ντ- che conformemente alla legge di Osthoff fa abbreviare la vocale radicale (*φῡ.ντ- > φῠντ-). L'aggiunta del sigma al nominativo maschile singolare provoca caduta del gruppo -ντ- e allungamento di compenso (*φῠ.ντ.ς > *φῡ.ς > '''φύς'''). Il femminile viene da *φυ.ντ.jα, in cui lo jod, prima di cadere, provoca assibilamento di τ con conseguente caduta della nasale e allungamento di compenso (*φῠ.ντ.jα > *φῠ.νσ.jα > *φῡ.σ.α > '''φῦσα'''). Il neutro è il puro tema con caduta della dentale. L'ottativo non è attestatato. Su questo modello di coniuga anche '''δύω''' (ἔδυν, δύω, - , δῦναι, ecc.). Da notare che il congiuntivo è morfologicamente uguale a quello presente. ====Aoristo medio ἐπριάμην "comprai" (fatto ricondurre a ὠνέομαι; presente ricostruito a posteriori πρίαμαι)==== Struttura morfemica dell'aoristo forte {{polytonic|ἐπριάμην}} "comprai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|πριά}}-||-{{polytonic|μην}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐπριάμην}}||{{polytonic|πρίωμαι}}||{{polytonic|πριαίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐπρίω (< *ἐπρίασο)}}||{{polytonic|πρίῃ}}||{{polytonic|πρίαιο}} (< *πρίαισο)||{{polytonic|πρίασο}}/{{polytonic|πρίω}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐπρίατο}}||{{polytonic|πρίηται}}||{{polytonic|πρίαιτο}}||{{polytonic|πριάσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐπρίασθον}}||{{polytonic|πρίησθον}}||{{polytonic|πρίαισθον}}||{{polytonic|πρίασθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐπριάσθην}}||{{polytonic|πρίησθον}}||{{polytonic|πριαίσθην}}|| {{polytonic|πριάσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐπριάμεθα}}||{{polytonic|πριώμεθα}}||{{polytonic|πριαίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐπρίασθε}}||{{polytonic|πρίησθε}}||{{polytonic|πρίαισθε}}||{{polytonic|πρίασθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐπρίαντο}}||{{polytonic|πρίωνται}}||{{polytonic|πρίαιντο}}||{{polytonic|πριάσθων}} |} {|class="wikitable" !Infinito!!Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|πρίασθαι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> πριάμενος <small>''femm.''</small> πριαμένη <small>''neu.''</small> πριάμενον}} |} Si ritrovano le stesse irregolarità del presente dei verbi deponenti in -μι. Nel congiuntivo l'accento è irregolarmente ritratto sulla terzultima sillaba e la vocale finale della radice scompare a contatto con la vocale tematica allungata; la seconda singolare del congiuntivo contrae irregolarmente in -ῃ per renderla riconoscibile. Su questo modello si coniugano anche '''ὠνάμην'''/'''ὠνήμην''' (da ὀνίνημι "giovare") e '''ἐπτάμην''' (da πέτομαι "volare"), dei quali però non sono attestate tutte le forme. ==== Una forma particolare di aoristo III: l'aoristo cappatico ==== L'aoristo cappatico è quello che caratterizza tre dei quattro verbi in -μι che hanno il raddoppiamento nel tema del presente, cioè τίθημι "porre", δίδωμι "dare" e ἵημι "mandare" (il quarto è ἵστημι "collocare" che ha il normale aoristo terzo ἔστην "stetti" se intransitivo oppure l'aoristo debole ἔστησα "collocai, feci stare" se transitivo). Si chiama ''cappatico'' perché nelle tre persone singolari dell'indicativo attivo viene inserito un -κ- di ampliamento al tema verbale. Le terminazioni al singolare attivo sono perciò -κα, -κας, -κε(ν), modellate per analogia con il [[Greco antico/Perfetto e piuccheperfetto|perfetto]].<br> Per quanto riguarda i gradi apofonici, si osserva la seguente distribuzione: *grado allungato (δω-, θη-, ἡ-): singolare dell'indicativo attivo, tutto il congiuntivo (si fonde con la regolare vocale congiuntiva allungata); *grado breve (δο-, θε-, ἑ-): plurale e duale dell'indicativo attivo, indicativo medio, tutto l'ottativo (si unisce al suffisso caratteristico -ιη-/-ι- creando dittongo), tutto l'imperativo, tutto l'infinito. Per quanto riguarda l'aumento di ἵημι, occorre ricordare che la radice è jε-/jη-, che diventa ἑ-/ἡ- per caduta dello jod; al grado lungo avremo quindi {{polytonic|ἐ.jη- > ἐ.ἡ- > '''ἡ'''}}-, mentre al grado breve ἐ.jε- > ἐ.ἑ- > '''εἱ'''-. Da notare che i suoi congiuntivo, ottativo e infinito attivi sono morfologicamente identici a quelli del presente di {{polytonic|εἰμί}} con l'aggiunta dello spirito aspro. =====Aoristo di δίδωμι "dare"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἔδωκα}} "diedi": {|{{prettytable}} ! Aumento sillabico||Radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|δω}}-||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio||Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἔδωκα}}||{{polytonic|δῶ}} (< *{{polytonic|δώω}})||{{polytonic|δοίην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |ἐδόμην}}||{{polytonic|δῶμαι}} (< *{{polytonic|δώωμαι}})||{{polytonic|δοίμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔδωκας}}||{{polytonic|δῷς}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώῃς}})||{{polytonic|δοίης}}||{{polytonic|δός}}||{{polytonic |ἔδου}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἔδοσο}})||{{polytonic| δῷ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησαι}})||{{polytonic |δοῖο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δοῖσο}})||{{polytonic|δοῦ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δόσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἔδωκε(ν)}}||{{polytonic|δῷ}} (< *{{polytonic|δώῃ}})||{{polytonic|δοίη}}||{{polytonic|δότω}}||{{polytonic |ἔδοτο}}||{{polytonic|δῶται}} (< *{{polytonic|δώηται}})||{{polytonic|δοῖτο}}||{{polytonic|δόσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔδοτον}}||{{polytonic|δῶτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητον}})||{{polytonic|δοῖτον}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίητον}})|| {{polytonic|δότον}}||{{polytonic|ἔδοσθον}}||{{polytonic|δῶσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθον}})||{{polytonic|δοῖσθον}} ||{{polytonic|δόσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐδότην}}||{{polytonic|δῶτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητον}})||{{polytonic|δοίτην}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοιήτην}})||{{polytonic|δότων}}||{{polytonic|ἐδόσθην}}||{{polytonic|δῶσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθον}})||{{polytonic|δοίσθην}}||{{polytonic|δόσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔδομεν}}||{{polytonic|δῶμεν}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωμεν}})||{{polytonic|δοῖμεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐδόμεθα}}||{{polytonic|δώμεθα}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωμεθα}})||{{polytonic|δοίμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔδοτε}}||{{polytonic|δῶτε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώητε}})||{{polytonic|δοῖτε}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|δοίητε}})||{{polytonic|δότε}}||{{polytonic|ἔδοσθε}}||{{polytonic|δῶσθε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώησθε}})||{{polytonic|δοῖσθε}}||{{polytonic|δόσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔδοσαν}}||{{polytonic|δῶσι(ν)}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωσι(ν)}})||{{polytonic|δοῖεν}} ({{polytonic|δοίησαν}})||{{polytonic|δόντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|δότωσαν}}||{{polytonic|ἔδοντο}}||{{polytonic|δῶνται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|δώωνται}})||{{polytonic|δοῖντο}}||{{polytonic|δόσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|δόσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|δοῦναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> δούς <small>''femm.''</small> δοῦσα <small>''neu.''</small> δόν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |δόσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> δόμενος <small>''femm.''</small> δομένη <small>''neu.''</small> δόμενον}} |} =====Aoristo di τίθημι "porre"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἔθηκα}} "posi": {| {{prettytable}} !Aumento sillabico||Radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἔ}}-||-{{polytonic|θη}}-||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio|| Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἔθηκα}}||{{polytonic|θῶ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήω}})||{{polytonic|θείην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐθέμην}}||{{polytonic|θῶμαι}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμαι}})||{{polytonic|θείμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἔθηκας}}||{{polytonic|θῇς}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήῃς}})||{{polytonic|θείης}}||{{polytonic|θές}}||{{polytonic |ἔθου}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|ἔθεσο}})||{{polytonic|θῇ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησαι}})||{{polytonic|θεῖο}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θεῖσο}})||{{polytonic|θοῦ}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θέσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἔθηκε(ν)}}||{{polytonic|θῇ}} (< *{{polytonic|θήῃ}})||{{polytonic|θείη}}||{{polytonic|θέτω}}||{{polytonic|ἔθετο}}||{{polytonic|θῆται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήηται}})||{{polytonic|θεῖτο}}||{{polytonic|θέσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἔθετον}}||{{polytonic|θῆτον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήητον}})||{{polytonic|θεῖτον}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείητον}})||{{polytonic|θέτον}}||{{polytonic|ἔθεσθον}}||{{polytonic|θῆσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθον}})||{{polytonic|θεῖσθον}}||{{polytonic|θέσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐθέτην}}||{{polytonic|θῆτον}} (< *{{polytonic|θήητον}})||{{polytonic|θείτην}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θειήτην}})||{{polytonic|θέτων}}||{{polytonic|ἐθέσθην}}||{{polytonic|θῆσθον}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθον}})||{{polytonic|θείσθην}}||{{polytonic|θέσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἔθεμεν}}||{{polytonic|θῶμεν}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμεν}})||{{polytonic|θεῖμεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|ἐθέμεθα}}||{{polytonic|θώμεθα}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωμεθα}})||{{polytonic|θείμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἔθετε}}||{{polytonic|θῆτε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήητε}})||{{polytonic|θεῖτε}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείητε}})||{{polytonic|θέτε}}||{{polytonic |ἔθεσθε}}||{{polytonic|θῆσθε}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήησθε}})||{{polytonic|θεῖσθε}}||{{polytonic|θέσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἔθεσαν}}||{{polytonic|θῶσι(ν)}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωσι(ν)}})||{{polytonic|θεῖεν}}&zwj;&nbsp;({{polytonic|θείησαν}})||{{polytonic|θέντων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|θέτωσαν}}||{{polytonic|ἔθεντο}}||{{polytonic|θῶνται}}&zwj;&nbsp;(<&zwj;&nbsp;*{{polytonic|θήωνται}})||{{polytonic|θεῖντο}}||{{polytonic|θέσθων}}&zwj;&nbsp;/&zwj;&nbsp;{{polytonic|θέσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|θεῖναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> θείς <small>''femm.''</small> θεῖσα <small>''neu.''</small> θέν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |θέσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> θέμενος <small>''femm.''</small> θεμένη <small>''neu.''</small> θέμενον}} |} =====Aoristo di ἵημι "mandare"===== Struttura morfemica dell'aoristo cappatico {{polytonic|ἧκα}} "mandai": {|{{prettytable}} !Aumento sillabico + radice verbale||Ampliamento caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἧ}}- (< *{{polytonic|ἐ-jη-}})||-{{polytonic|κ}}-||-{{polytonic|α}} |} {|{{prettytable}} ! !Indicativo attivo||Congiuntivo attivo||Ottativo attivo||Imperativo attivo||Indicativo medio|| Congiuntivo medio||Ottativo medio||Imperativo medio |- !1º singolare |{{polytonic|ἧκα}}||{{polytonic|ὧ}} (< *{{polytonic|ἥω}})||{{polytonic|εἵην}}||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic |εἵμην}}||{{polytonic|ὧμαι}} (< *{{polytonic|ἥωμαι}})||{{polytonic|εἵμην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἧκας}}||{{polytonic|ᾗς}} (< *{{polytonic|ἥῃς}})||{{polytonic|εἵης}}||{{polytonic|ἕς}}||{{polytonic|εἷσο}}||{{polytonic|ᾗ}} (< *{{polytonic|ἥησαι}})||{{polytonic |εἷο}} (< *{{polytonic|εἷσο}})||{{polytonic|οὗ}} (< *{{polytonic|ἕσο}}) |- !3º singolare |{{polytonic|ἧκε(ν)}}||{{polytonic|ᾗ}} (< *{{polytonic|ἥῃ}})||{{polytonic|εἵη}}||{{polytonic|ἕτω}}||{{polytonic|εἷτο}}||{{polytonic|ἧται}} (< *{{polytonic|ἥηται}})||{{polytonic|εἷτο}}||{{polytonic|ἕσθω}} |- !2º duale |{{polytonic|εἷτον}}||{{polytonic|ἧτον}} (< *{{polytonic|ἥητον}})||{{polytonic|εἷτον}} ({{polytonic|εἷητον}})||{{polytonic|ἕτον}}||{{polytonic |εἷσθον}}||{{polytonic|ἧσθον}} (< *{{polytonic|ἥησθον}})||{{polytonic|εἷσθον}}||{{polytonic|ἕσθον}} |- !3º duale |{{polytonic|εἵτην}}||{{polytonic|ἧτον}} (< *{{polytonic|ἥητον}})||{{polytonic|εἷτην}} ({{polytonic|εἱήτην}})||{{polytonic|ἕτων}}||{{polytonic|εἵσθην}}||{{polytonic|ἧσθον}} (< *{{polytonic|ἥησθον}})||{{polytonic|εἵσθην}}||{{polytonic|ἕσθων}} |- !1º plurale |{{polytonic|εἷμεν}}||{{polytonic|ὧμεν}} (< *{{polytonic|ἥωμεν}})||{{polytonic|εἷμεν}} ({{polytonic|εἵημεν}})||<div style="text-align:center">-</div>||{{polytonic|εἵμεθα}}||{{polytonic|ὥμεθα}} (< *{{polytonic|ἡώμεθα}})||{{polytonic|εἵμεθα}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|εἷτε}}||{{polytonic|ἧτε}} (< *{{polytonic|ἥητε}})||{{polytonic|εἷτε}} ({{polytonic|εἷητε}})||{{polytonic|ἕτε}}||{{polytonic|εἷσθε}}||{{polytonic|ἧσθε}} (< *{{polytonic|ἥησθε}})||{{polytonic|εἷσθε}}||{{polytonic|ἕσθε}} |- !3º plurale |{{polytonic|εἷσαν}}||{{polytonic|ὧσι(ν)}} (< *{{polytonic|ἥωσιν}})||{{polytonic|εἷεν}} ({{polytonic|εἵησαν}})||{{polytonic|ἕντων}} / {{polytonic|ἕτωσαν}}||{{polytonic|εἷντο}}||{{polytonic|ὧνται}} (< *{{polytonic|ἥωνται}})||{{polytonic|εἷντο}}||{{polytonic|ἕσθων}} / {{polytonic|ἕσθωσαν}} |} {|class="wikitable" !Infinito attivo!!Participio attivo!!Infinito medio!!Participio medio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|εἷναι}}||{{polytonic|<small>''masch.''</small> εἵς <small>''femm.''</small> εἷσα <small>''neu.''</small> ἕν}}||style="text-align: center;"|{{polytonic |ἕσθαι}}||{{polytonic| <small>''masch.''</small> ἕμενος <small>''femm.''</small> ἑμένη <small>''neu.''</small> ἕμενον}} |} == Aoristo passivo == Giacché come si è già detto l'aoristo distingue la diatesi '''media''' da quella '''passiva''', per quest'ultima esiste una forma a parte di aoristo. Particolarmente notevole è che, pur essendo una voce passiva, porti delle desinenze attive. Ciò è dovuto al fatto che originariamente questo tipo di aoristo era intransitivo con un significato ingressivo in un nuovo stato o una nuova condizione e quindi diatesi attiva: la forma ἐκάην (da καίω) valeva quindi "mi bruciai, mi consumai col fuoco", ἐμάνην (da μαίνομαι) "divenni pazzo". A causa di alcuni verbi che si prestavano facilmente ad ambiguità come ἐπλήγην (da πλήσσω) "mi sbalordii, rimasi impressionato/colpito", oppure ἐσφάλην "mi ingannai, rimasi ingannato [dagli eventi]" il significato slittò verso il senso passivo: "fui bruciato, fui colpito, fui ingannato". L'aoristo passivo secondo è più antico del primo e ha la stessa struttura dell'aoristo terzo, da cui proviene<ref>Si tratta infatti di un aoristo terzo con l'aggiunta di un ampliamento in -η-, lo stesso che in latino ha formato la seconda coniugazione che, come l'aoristo passivo secondo originario, ha valore stativo; in alcuni casi l'ampliamento prende il grado apofonico ω, come in ἑάλων, aoristo di ἁλίσκομαι "essere preso, essere perduto".</ref>. L'aoristo passivo primo fu creato a causa delle difficoltà dovute al suffisso caratteristico -η- dell'aoristo secondo a contatto con le radici in vocale, il quale provocava iati e contrazioni difficilmente riconoscibili; la modifica del suffisso in -θη- eliminava quindi i problemi e fu in parte estesa anche ai verbi in consonante che già avevano l'aoristo passivo secondo. L'aoristo passivo secondo, accanto al nuovo valore passivo, conserva ancora in alcuni verbi l'antico senso ingressivo (ad esempio in già citato ἐμάνην, oppure ἐχάρην, da χαίρω, "mi rallegrai"), mentre l'aoristo passivo primo ha prevalentemente senso passivo<ref>Agnello Orlando 1998, pag. 578-579.</ref>. Alcuni verbi hanno quindi due aoristi passivi, con diverso significato; ad esempio φαίνω, che ha sia l'aoristo passivo secondo ἐφάνην "mi mostrai, apparvi" che l'aoristo passivo primo ἐφάνθην "fui mostrato". Esso si divide in: *aoristo passivo ''primo'' o ''debole'', proprio dei temi in vocale, dittongo, la maggior parte dei temi in consonante muta e pochi temi in liquida e nasale, soprattutto apofonici; si distingue per il suffisso '''-θη-''' a cui si aggiungono le desinenze dell'aoristo atematico. I temi in vocale allungano la vocale finale (α puro > α lungo; α impuro > η). {| {{prettytable}} !Aumento||Radice||Suffisso caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἐ}}-||-{{polytonic|λύ}}-||-{{polytonic|θη}}-||-{{polytonic|ν}} |} *aoristo passivo ''secondo'' o ''forte'', proprio dei temi in consonante, prevalentemente liquida e nasale ma anche alcuni in consonante muta. La sua caratteristica è il suffisso '''-η-''', meno riconoscibile, cui si aggiungono, ancora una volta, le terminazioni dell'aoristo atematico. {| {{prettytable}} !Aumento||Radice||Suffisso caratteristico||Terminazione |- !{{polytonic|ἐ}}-||-{{polytonic|φάν}}-||-{{polytonic|η}}-||-{{polytonic|ν}} |} Circa una trentina di verbi in liquida, nasale e consonante muta presentano regolarmente sia forme di aoristo debole che di aoristo forte; ciò vale anche per una quindicina di verbi apofonici, che formano i rispettivi aoristi passivi dal grado richiesto da ciascuno (debole = grado medio; forte = grado zero). ===Aoristo passivo I o debole=== Nell'aoristo passivo I, a causa dell'aspirata -θ- del suffisso, i temi in labiale e velare si cambiano nell'aspirata corrispondente: :ὁράω > ὤφθην (da *ὤπ-θην); τάσσω > ἐτάχθην (da *ἐ-τάγ-θην) Le dentali mutano in σ davanti a θ: κομίζω > ἐκομίσθην (da κομιδ-). Attenzione a non confondere queste forme con quelle di alcuni temi in vocale che ripristinano un σ che è nel tema verbale ma è caduto al presente: σπάω > ἐσπάσθην. Per quanto riguarda i temi apofonici, l'aoristo debole utilizza solitamente il grado medio (es. ἐλείφθην < λιπ-/λειπ-/λοιπ- da λείπω). Invece, i temi con apofonia del genere {{polytonic|ᾰ}}/η si trovano al grado allungato (η). ====Aoristo passivo di λύω "sciogliere"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐλύθην}}||{{polytonic|λυθῶ}} (< *{{polytonic|λυθήω}})||{{polytonic|λυθείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐλύθης}}||{{polytonic|λυθῇς}} (< *{{polytonic|λυθήῃς}})||{{polytonic|λυθείης}}||{{polytonic|λύθητι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐλύθη}}||{{polytonic|λυθῇ}} (< *{{polytonic|λυθήῃς}})||{{polytonic|λυθείη}}||{{polytonic|λυθήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐλύθητον}}||{{polytonic|λυθῆτον}} (< *{{polytonic|λυθήητον}})||{{polytonic|λυθεῖτον}}||{{polytonic|λύθετον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐλυθήτην}}||{{polytonic|λυθῆτον}} (< *{{polytonic|λυθήητον}})||{{polytonic|λυθείτην}}||{{polytonic|λυθήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐλύθημεν}}||{{polytonic|λυθῶμεν}} (< *{{polytonic|λυθήωμεν}})||{{polytonic|λυθεῖμεν}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐλύθητε}}||{{polytonic|λυθῆτε}} (< *{{polytonic|λυθήητε}})||{{polytonic|λυθεῖτε}}||{{polytonic|λύθητε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐλύθησαν}}||{{polytonic|λυθῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|λυθήωσι(ν)}})||{{polytonic|λυθεῖεν}}||{{polytonic|λυθέντων / λυθήτωσαν}} |- !Infinito||Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|λυθῆναι}}||{{polytonic|λυθείς, λυθεῖσα, λυθέν}} |} Alla seconda persona singolare dell'imperativo la regolare terminazione -θι si cambia in -τι per la legge di Grassman. ===Aoristo passivo II o forte=== Sulla formazione dell'aoristo passivo forte c'è solo da precisare che i temi apofonici usano il grado zero. ====Aoristo passivo di φαίνω "mostrare, sembrare, apparire"==== {|{{prettytable}} ! !Indicativo||Congiuntivo||Ottativo||Imperativo |- !1º singolare |{{polytonic|ἐφάνην}}||{{polytonic|φανῶ}} (< *{{polytonic|φανήω}})||{{polytonic|φανείην}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º singolare |{{polytonic|ἐφάνης}}||{{polytonic|φανῇς}} (< *{{polytonic|φανήῃς}})||{{polytonic|φανείης}}||{{polytonic|φάνηθι}} |- !3º singolare |{{polytonic|ἐφάνη}}||{{polytonic|φανῇ}} (< *{{polytonic|φανήῃ}})||{{polytonic|φανείη}}||{{polytonic|φανήτω}} |- !2º duale |{{polytonic|ἐφάνητον}}||{{polytonic|φανῆτον}} (< *{{polytonic|φανήητον}})||{{polytonic|φανεῖτον}}||{{polytonic|φάνητον}} |- !3º duale |{{polytonic|ἐφανήτην}}||{{polytonic|φανῆτον}} (< *{{polytonic|φανήητον}})||{{polytonic|φανείτην}}||{{polytonic|φανήτων}} |- !1º plurale |{{polytonic|ἐφάνημεν}}||{{polytonic|φανῶμεν}} (< *{{polytonic|φανήωμεν}})||{{polytonic|φανεῖμεν}}||<div style="text-align:center">-</div> |- !2º plurale |{{polytonic|ἐφάνητε}}||{{polytonic|φανῆτε}} (< *{{polytonic|φανήητε}})||{{polytonic|φανεῖτε}}||{{polytonic|φάνητε}} |- !3º plurale |{{polytonic|ἐφάνησαν}}||{{polytonic|φανῶσι(ν)}} (< *{{polytonic|φανήωσι(ν)}})||{{polytonic|φανεῖεν}}||{{polytonic|φανέντων / φανήτωσαν}} |- !Infinito||Participio |- |style="text-align: center;"|{{polytonic|φανῆναι}}||{{polytonic|φανείς, φανεῖσα, φανέν}} |} ==Note== <references/> {{Avanzamento|100%|7 marzo 2011}} [[Categoria:Greco antico|Aoristo]] fmasxqcyr93ak6xi22ifw21v33n7z5o 4 51801 499031 498761 2026-06-06T17:56:37Z Alexis Jazz 37143 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 499031 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} I dati che seguono sono estratti da una copia ''cache'' del database, il cui ultimo aggiornamento risale al 2026-06-04T15:09:21Z. Un massimo di {{PLURAL:5000|un risultato è disponibile|5000 risultati è disponibile}} in cache. {| class="sortable wikitable" ! 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Si ha dunque <math>\delta x^\mu = 0</math> e <math>\overline{\delta}\varphi_r \neq 0</math> * simmetrie esterne: agiscono anche sui punti; <math>\delta x^\mu,\, \overline{\delta}\varphi_r \neq 0</math> Nel caso dell'elettrodinamica non ci sono simmetrie interne (le trasformazioni di Poincaré sono simmetrie esterne). == Simmetrie interne == Per trattare simmetrie interne dobbiamo dunque considerare altre teorie di campo. Un esempio di questo tipo di teorie è una teoria con campo <math>\Phi(x)</math> scalare e complesso (<math>\Phi'(x') = \Phi(x)</math> per trasformazioni di Lorentz, e <math>\Phi(x) = \varphi_1(x) + i\varphi_2(x)</math> con <math>\varphi_1, \varphi_2</math> campi reali). Indichiamo con <math>\Phi^*</math> il complesso coniugato di <math>\Phi</math>. Si tratta di campi utili per formulare "teorie efficaci", cioè teorie valide solo a determinate scale di energia (ad esempio, i pioni possono essere descritti da campi scalari complessi). La lagrangiana di una tale teoria dovrà essere nella forma: <math>\mathcal{L} = \partial_\mu\Phi\,\partial^\mu\Phi^* - m^2\Phi^*\Phi - \frac{\lambda}{4}(\Phi^*\Phi)^2 + \cdots</math> ove il primo addendo è l'oggetto più semplice che sia invariante di Lorentz e che coinvolga le derivate di <math>\Phi</math>; inoltre compaiono <math>\Phi</math> e <math>\Phi^*</math> perché vogliamo che la densità di lagrangiana sia reale. Considerando <math>\Phi</math> e <math>\Phi^*</math> come campi indipendenti, possiamo prendere la variazione di <math>\mathcal{L}</math> rispetto a <math>\Phi</math> e <math>\Phi^*</math>. Si avrà dunque: <math>-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\Phi^*} + \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\Phi^*} = 0 \qquad -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\Phi} + \frac{\partial_\mu\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\Phi} = 0</math> ove la prima è l'equazione del moto per <math>\Phi</math> e l'altra, la sua complessa coniugata, quella per <math>\Phi^*</math>. Scriviamo esplicitamente la prima: <math>m^2\Phi + \frac{\lambda}{2}(\Phi^*\Phi)\Phi + \partial_\mu\partial^\mu\Phi = 0</math> In generale, quest'equazione non è semplice da risolvere per via del termine contenente <math>\lambda</math>, detto termine d'interazione. Nel caso <math>\lambda = 0</math>, l'equazione è lineare in <math>\Phi</math> e descrive la cosiddetta teoria libera, ossia quella nella quale le equazioni sono, appunto, lineari: <math>\partial_\mu\partial^\mu\Phi + m^2\Phi = 0</math> Una soluzione di quest'equazione può essere <math>\Phi = \Phi_0 e^{ipx}</math> con <math>\Phi_0</math> e <math>p</math> costanti. Inserendola nell'equazione: <math>-p^2\Phi + m^2\Phi = 0 \implies p^2 = m^2</math> e dunque <math>p</math> soddisfa la relazione tipica del quadrimomento di una particella di massa <math>m</math>. La lagrangiana <math>\mathcal{L}</math> ha sicuramente tutte le simmetrie del gruppo di Poincaré (che poi vedremo), ma anche la simmetria interna: <math>x^\mu \longrightarrow x^\mu \qquad \Phi(x) \longrightarrow \Phi'(x) = e^{i\alpha}\Phi(x)</math> con <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> costante indipendente da <math>x</math>; ovviamente vale anche la relazione complesso coniugata: <math>\Phi^*(x) \longrightarrow \Phi^{*\prime}(x) = e^{-i\alpha}\Phi^*(x)</math> e si ha anche: <math>\begin{matrix} \partial_\mu\Phi \longrightarrow e^{i\alpha}\partial_\mu\Phi \\ \partial_\mu\Phi^* \longrightarrow e^{-i\alpha}\partial_\mu\Phi^* \\ \end{matrix} \implies \mathcal{L} \longrightarrow \mathcal{L}</math> Applichiamo dunque a questa simmetria il teorema di Noether. Per farlo, consideriamo trasformazioni infinitesime, ossia con <math>\alpha \ll 1</math>: <math>\begin{align}e^{i\alpha} = 1 + i\alpha + o(\alpha^2) & \implies \Phi'(x) = (1+i\alpha)\Phi(x) + o(\alpha^2) \\ & \implies \delta\Phi(x) = \Phi'(x) - \Phi(x) = i\alpha\Phi(x)\end{align}</math> (in questo caso <math>\delta\varphi = \overline{\delta}\varphi</math> perché <math>\delta x^\mu = 0</math>). Dunque: <math>J^\mu = \overline{\delta}\Phi\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\Phi} + \overline{\delta}\Phi^*\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\Phi^*} = i\alpha(\Phi\,\partial^\mu\Phi^* - \Phi^*\partial^\mu\Phi)</math> Si verifica che se valgono le equazioni del moto allora <math>\partial_\mu J^\mu = 0</math>. Esiste dunque una carica conservata: <math>Q = \int J^0\,d^3\vec{x} \qquad \frac{dQ}{dt} = 0</math> Non possiamo mostrare qual è il suo significato fisico perché abbiamo bisogno di concetti di meccanica quantistica dei quali ancora non disponiamo, ma sarebbe la differenza fra il numero di particelle e di antiparticelle del sistema (il campo, se quantizzato, è descritto da un sistema di particelle e antiparticelle). == Simmetrie esterne == Vediamo ora un'applicazione del teorema di Noether su simmetrie esterne, come le trasformazioni di Poincaré. Dobbiamo dunque determinare <math>\delta x^\mu</math> e <math>\overline{\delta}\varphi_r</math>: <math>\delta x^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu + a^\mu - x^\mu = (\delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu)x^\nu + a^\mu - x^\mu = a^\mu + \omega^\mu{}_\nu x^\nu</math> con <math>|a| \ll 1</math> e <math>\omega^{\mu\nu} = -\omega^{\nu\mu}</math>. Per quanto riguarda invece <math>\overline{\delta}\varphi_r</math>: * se <math>\varphi</math> è scalare: <math> \varphi'(x') = \varphi(x) \implies \delta\varphi = 0</math> * se <math>\varphi_r</math> è un campo vettoriale, ad esempio <math>\varphi_r = A^\mu</math>: <math>A'_\mu(x') = \tilde{\Lambda}_\mu{}^\nu A_\nu(x) = (\delta_\mu{}^\nu + \omega_\mu{}^\nu)A_\nu(x) \implies \overline{\delta}A_\mu(x) = \omega_\mu{}^\nu A_\nu(x) = \omega_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}A_\rho(x)</math> * se <math>\varphi_r</math> è un campo tensoriale, in generale: <math>\overline{\delta}\varphi_r = \frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}(\Sigma^{\mu\nu})_r{}^s\varphi_s</math> con <math>(\Sigma^{\mu\nu})_r{}^s</math> tensore. Assumiamo, senza ledere in generalità, che: <math>(\Sigma^{\mu\nu})_r{}^s = -(\Sigma^{\nu\mu})_r{}^s</math> Infatti, se <math>\Sigma</math> avesse una componente simmetrica, questa non contribuirebbe alla <math>\overline{\delta}\varphi_r</math> perché è moltiplicato per <math>\omega</math>, che è antisimmetrico. Che forma ha <math>\Sigma</math>? Dipende dal "significato" dell'indice <math>r</math>, ossia dal tipo di campo in questione. Se ad esempio il campo è scalare <math>(\Sigma_{\mu\nu})^r{}_s = 0</math>; se invece <math>\varphi_r = A_\alpha</math>: <math>\overline{\delta}A_\alpha = \omega_{\alpha\nu}\eta^{\nu\beta}A_\beta = \omega_{\mu\nu}\delta^\mu{}_\alpha \eta_{\nu\beta}A_\beta = \frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}(\delta^\mu{}_\alpha\eta_{\nu\beta} - \delta^\nu{}_\alpha\eta^{\mu\beta})A_\beta</math> Dunque: <math>(\Sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \delta^\mu{}_\alpha \eta^{\nu\beta} - \delta^\nu{}_\alpha\eta^{\mu\beta}</math> == Simmetrie di Poincaré == Deriviamo dunque la forma esplicita della corrente associata alle simmetrie di Poincaré: <math>J^\mu = -\delta x_\nu\tilde{T}^{\mu\nu} + \overline{\delta}\varphi_r\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}</math> ove abbiamo definito il tensore energia-impulso: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}\partial^\nu\varphi_r - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}</math> Quindi: <math>\begin{align} J^\mu &= -(a_\nu + \omega_{\nu_\lambda} x^\lambda)\tilde{T}^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\omega_{\nu\lambda}(\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s \varphi_s\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r} \\ &= -a_\nu\tilde{T}^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\omega_{\nu\lambda}\!\left(-x^\lambda\tilde{T}^{\mu\nu} + x^\nu\tilde{T}^{\mu\lambda} + (\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s\varphi_s\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}\right) \end{align}</math> Definendo il tensore densità di momento angolare<ref>Poniamo anche: <math>Y^{\mu\nu\lambda} = (\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s\varphi_s\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}</math></ref>: <math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = -x^\lambda\tilde{T}^{\mu\nu} + x^\nu\tilde{T}^{\mu\lambda} + (\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s\varphi_s\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}</math> si ha dunque: <math>J^\mu = -a^\nu\tilde{T}^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\omega^{\nu\lambda}\tilde{M}^{\mu\nu\lambda}</math> Da notare che <math>\tilde{M}</math> è antisimmetrico in <math>\nu</math> e <math>\lambda</math> (<math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = -\tilde{M}^{\mu\lambda\nu}</math>) e vale inoltre: <math>\partial_\mu J^\mu = 0 \quad \forall\, a_\nu,\,\omega_{\nu\lambda}</math> Quindi, le quantità <math>a_\nu\tilde{T}^{\mu\nu}</math> e <math>\omega_{\nu\lambda}\tilde{M}^{\mu\nu\lambda}</math> sono conservate: <math>\partial_\mu\tilde{T}^{\mu\nu} = 0 \qquad \partial_\mu\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = 0</math> La prima segue in realtà dall'invarianza della lagrangiana per traslazioni, mentre la seconda è conseguenza dell'invarianza per trasformazioni di Lorentz. Dunque, in una teoria di campo invariante per trasformazioni di Poincaré esistono un tensore energia-impulso <math>\tilde{T}^{\mu\nu}</math> e un tensore densità di momento angolare <math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda}</math> conservati. In realtà, queste due grandezze che abbiamo ricavato ora non sono direttamente uguali a quelle che avevamo determinato precedentemente. Innanzitutto, si aveva <math>T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}</math>. Poiché: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}\partial^\nu\varphi_r - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}</math> L'eventuale simmetria di <math>\tilde{T}</math> dipende dalla forma di <math>\mathcal{L}</math>, e non è evidente. Consideriamo dunque degli esempi. Se <math>\varphi</math> è un campo scalare reale (il fattore <math>\frac{1}{2}</math> è messo per convenienza): <math>\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\varphi\,\partial^\mu\varphi - V(\varphi)</math> <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \partial^\mu\varphi\,\partial^\nu\varphi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L} \implies \tilde{T}^{\mu\nu} = \tilde{T}^{\nu\mu}</math> Dunque, in questo caso il tensore energia-impulso è simmetrico. Se <math>\varphi_r</math> è un quadrivettore, ad esempio <math>A_\mu</math>: <math>\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}</math> e allora: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu A_\lambda}\partial^\nu\varphi_r - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}</math> Poiché: <math>\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu A_\lambda} = -\frac{1}{2}F^{\alpha\beta}\frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial\partial_\mu A_\lambda} = -\frac{1}{2}F^{\alpha\beta}(\delta_\alpha{}^\mu\delta_\beta{}^\lambda - \delta_\alpha{}^\lambda\delta_\beta{}^\mu) = -F^{\mu\lambda}</math> allora: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda}\partial^\nu A_\lambda + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}</math> Si presentano però due problemi: * <math>\tilde{T}^{\mu\nu}</math> non è simmetrico * <math>\tilde{T}^{\mu\nu}</math> non è invariante di gauge La prima questione deriva dal fatto che <math>Y^{\mu\nu\lambda}</math> non è nullo perché <math>(\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s \neq 0</math>. Se però valgono entrambe le conservazioni del tensore energia impulso e densità di momento angolare, allora: <math>\partial_\mu\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = \tilde{T}^{\nu\lambda} - \tilde{T}^{\lambda\nu} + \partial_\mu Y^{\mu\nu\lambda} = 0</math> Se poi la teoria è invariante di Lorentz, <math>Y^{\mu\nu\lambda} = 0</math> (perché <math>\overline{\delta}\varphi = 0</math>) e dunque <math>\tilde{T}^{\nu\lambda} = \tilde{T}^{\lambda\nu}</math>. Ci chiediamo dunque che relazione ci sia fra <math>\tilde{T}</math> e il tensore energia impulso <math>T</math> che avevamo determinato precedentemente. Ricordiamoci innanzitutto che la corrente di Noether non è univocamente determinata: <math>J^\mu</math> e <math>J^\mu + \partial_\lambda X^{\lambda\mu}</math>, con <math>X^{\lambda\mu}</math> antisimmetrico, danno luogo alle stesse equazioni del moto. Potremmo dunque scrivere: <math>T^{\mu\nu} = \tilde{T}^{\mu\nu} + \partial_\lambda X^{\lambda\mu\nu}</math> con <math>X^{\lambda\mu\nu} = -X^{\mu\lambda\nu}</math>; in questo modo, siamo sicuri che vale <math>\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0</math>, e la carica associata a <math>T</math> è la stessa di <math>\tilde{T}</math>: <math>\int T^{0\nu}\,d^3\vec{x} = \int\tilde{T}^{0\nu}\,d^3\vec{x}</math> Dobbiamo dunque capire che forma abbia <math>X^{\lambda\mu\nu}</math> affinché <math>T^{\mu\nu}</math> sia simmetrico. Poiché sappiamo che: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} - \tilde{T}^{\nu\mu} + \partial_\lambda Y^{\lambda\mu\nu} = 0 \quad\text{con}\quad Y^{\lambda\mu\nu} = -Y^{\lambda\nu\mu}</math> potremmo porre: <math>X^{\lambda\mu\nu} = \alpha(Y^{\lambda\mu\nu} - Y^{\mu\lambda\nu})</math> (in questo modo <math>X</math> è antisimmetrico in <math>\lambda</math> e <math>\mu</math>). Con questa scelta si ha: <math>T^{\mu\nu} = \tilde{T}^{\mu\nu} + \alpha(\partial_\lambda Y^{\lambda\mu\nu} - \partial_\lambda Y^{\mu\lambda\nu}) = \tilde{T}^{\mu\nu} + \alpha(-\tilde{T}^{\mu\nu} + \tilde{T}^{\nu\mu}) - \alpha\partial_\lambda Y^{\mu\lambda\nu}</math> Ora, se <math>\alpha</math> fosse uguale a <math>\frac{1}{2}</math>, i primi due termini darebbero luogo alla parte simmetrica di <math>\tilde{T}^{\mu\nu}</math>, ossia si avrebbe: <math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{2}(\tilde{T}^{\mu\nu} + \tilde{T}^{\nu\mu}) - \frac{1}{2}\partial_\lambda Y^{\mu\lambda\nu}</math> Il secondo termine però non è simmetrico, a meno che al suo posto non ci sia <math>\partial_\lambda(Y^{\mu\lambda\nu} + Y^{\nu\lambda\mu})</math>. Dobbiamo dunque porre: <math>X^{\lambda\mu\nu} = \frac{1}{2}(Y^{\lambda\mu\nu} - Y^{\mu\lambda\nu} - Y^{\nu\lambda\mu})</math> di modo che: <math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{2}(\tilde{T}^{\mu\nu} + \tilde{T}^{\nu\mu}) - \frac{1}{2}\partial_\lambda(Y^{\mu\lambda\nu} + Y^{\nu\lambda\mu})</math> e pertanto <math>T^{\mu\nu}</math> stavolta risulta effettivamente simmetrico. Ci resta però da verificare se <math>X^{\lambda\mu\nu}</math> è antisimmetrico rispetto a <math>\mu</math> e <math>\lambda</math>: questo però è sicuramente vero, perché la differenza dei due primi <math>Y</math> lo è, così come l'ultima <math>Y</math> lo è per quanto visto poco sopra. In generale, dunque, il tensore energia-impulso non è simmetrico, ma se il sistema è invariante per trasformazioni di Lorentz allora vale <math>\tilde{T}^{\mu\nu} - \tilde{T}^{\nu\mu} + \partial_\lambda Y^{\lambda\mu\nu} = 0 \quad\text{con}\quad Y^{\lambda\mu\nu} = -Y^{\lambda\nu\mu}</math> e quindi <math>T</math> può essere reso simmetrico come abbiamo visto (o meglio, esiste un <math>T</math> simmetrico equivalente a <math>\tilde{T}</math>). Verifichiamo ora che nel caso dell'elettromagnetismo questa "ricetta" funziona. Abbiamo che: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda}\partial^\nu A_\lambda + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}</math> Inoltre: <math>Y^{\mu\nu\lambda} = (\Sigma^{\nu\lambda})_\alpha{}^\beta A_\beta\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu A_\alpha} = (\delta^{\nu}{}_\alpha \eta^{\lambda\beta}-\delta_\alpha{}^\lambda \eta^{\nu\beta})A_\beta(-F^{\mu\alpha}) = -F^{\mu\nu}A^\lambda + F^{\mu\lambda}A^\nu \implies</math> <math>\implies X^{\lambda\mu\nu} = -F^{\lambda\mu}A^\nu</math> Perciò: <math>T^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda}\partial^\nu A_\lambda + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} - \partial_\lambda(F^{\lambda\mu}A^\nu)</math> e dalla validità delle equazioni di Maxwell per il campo libero (<math>\partial_\lambda F^{\lambda\mu} = 0</math>) si ha che <math>-\partial_\lambda(F^{\lambda\mu}A^\nu) = -(\partial_\lambda F^{\lambda\mu})A^\nu - F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^\nu = -F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^\nu</math>. Allora: <math>T^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda}(\partial^\nu A_\lambda - \partial_\lambda A^\nu) + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} =</math> <math>-F^{\mu\lambda}F^\nu{}_\lambda + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta} = F^{\mu\lambda}F_{\lambda}{}^\nu + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}</math> e risulta proprio <math>T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}</math>. Sappiamo che l'invarianza del sistema per trasformazioni di Lorentz implica l'esistenza di un tensore <math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda}</math> conservato, ossia tale che <math>\partial_\mu\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = 0</math>, e inoltre: <math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = x^\nu\tilde{T}^{\mu\lambda} - x^\lambda\tilde{T}^{\mu\nu} + Y^{\mu\nu\lambda}</math> Abbiamo poi già visto che se disponiamo di un tensore energia-impulso simmetrico e conservato, possiamo definire il tensore: <math>M^{\mu\nu\lambda} = x^\nu T^{\mu\lambda} - x^\lambda T^{\mu\nu}</math> che, come conseguenza della simmetria di <math>T</math>, è conservato anch'esso; le sue componenti corrispondono ai momenti angolari e ai boost. Sembrerebbe dunque che abbiamo due correnti distinte, <math>M</math> e <math>\tilde{M}</math>, ma in realtà sono fisicamente equivalenti; si può infatti verificare che: <math>M^{\mu\nu\lambda} = \tilde{M}^{\mu\nu\lambda} + \partial_\rho \chi^{\rho\mu\nu\lambda} \quad\text{con}\quad \chi^{\rho\mu\nu\lambda} = x^\nu X^{\rho\mu\lambda} - x^\lambda X^{\rho\mu\nu}</math> (e dunque <math>\chi^{\rho\mu\nu\lambda}</math> è antisimmetrico in <math>\rho</math> e <math>\mu</math>). Se il campo non è più libero, ossia se ci sono anche delle sorgenti, si dovrebbe ripercorrere lo stesso ragionamento a partire dalla lagrangiana: <math>\mathcal{L}_{\mathrm{TOT}} = \mathcal{L}_A + \mathcal{L}_P + \mathcal{L}_I</math> Non ripercorriamo tutte le argomentazioni. Diciamo soltanto che risulta: <math>\tilde{T}_{\mathrm{TOT}} = \tilde{T}^{\mu\nu}_{\mathrm{emg}} + T^{\mu\nu}_P + j^\mu A^\nu</math> ove il tensore energia-impulso delle particelle <math>T^{\mu\nu}_P</math> risulta automaticamente simmetrico. Si pone poi: <math>T_{\mathrm{TOT}} = \tilde{T}_{\mathrm{TOT}} + \partial_\lambda X^{\lambda\mu\nu}</math> con lo stesso <math>X</math> di prima. Perciò: <math>T^{\mu\nu}_{\mathrm{TOT}} = T^{\mu\nu}_P + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} - F^{\mu\lambda}\partial^\nu A_\lambda + j^\mu A^\nu - \partial_\lambda(F^{\lambda\mu}A^\nu)</math> e poiché: <math>j^\mu A^\nu - \partial_\lambda(F^{\lambda\mu}A^\nu) = j^\mu A^\nu - \underbrace{(\partial_\lambda F^{\lambda\mu})}_{j^\mu}A^\nu - F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^\nu = -F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^\nu</math> risulta: <math>T^{\mu\nu}_{\mathrm{TOT}} = T^{\mu\nu}_P + T^{\mu\nu}_{\mathrm{emg}}</math> che è proprio quello che avevamo trovato precedentemente. == Perché un tensore energia-impulso simmetrico? == Perché abbiamo speso così tanto tempo per dimostrare che in una teoria invariante per trasformazioni di Poincaré esiste un tensore energia-impulso simmetrico? Un primo motivo l'avevamo già visto: la simmetria di <math>T^{\mu\nu}</math> implica l'uguaglianza <math>T^{i0} = T^{0i}</math>, ossia implica che densità di quantità di moto e flusso di energia siano la stessa cosa. Un altro motivo, più importante, è che vorremmo introdurre in una teoria di campo la gravità, e per fare questo è importante che <math>T^{\mu\nu}</math> sia simmetrico. Vediamo un attimo perché facendo una piccola analogia con l'elettromagnetismo. Le sorgenti del campo elettromagnetico sono le cariche, e ad esse è associata la corrente conservata <math>j^\mu</math>; questa genera il campo <math>A^\mu</math>, e il termine della lagrangiana che "concretizza" quest'interazione è <math>L_I = -j^\mu A_\mu</math>. Nel caso della gravità, invece, dovrebbero essere le masse le sorgenti del campo; poiché però massa ed energia sono la stessa cosa, e l'energia relativistica (ivi compreso anche il momento) si conserva, le "vere" sorgenti del campo gravitazionale sono <math>p^\mu</math>, la cui conservazione deriva dalla conservazione di un tensore <math>T^{\mu\nu}</math> (l'analogo di <math>j^\mu</math>). Se dunque sapessimo scrivere le equazioni del moto del campo gravitazionale si dovrebbe avere (cfr equazioni di Maxwell) "qualcosa <math>= T^{\mu\nu}</math>". Non è poi difficile capire quale sia l'analogo di <math>L_I</math> per la gravità: l'analogo di <math>A^\mu</math> è la metrica <math>g^{\mu\nu}(x)</math> dello spazio, che ovviamente è un oggetto simmetrico in <math>\mu</math> e <math>\nu</math> (come <math>\eta</math>); perciò, l'analogo della lagrangiana d'interazione per la gravità è: <math>L_I \propto T^{\mu\nu}g_{\mu\nu}</math> (in realtà questa relazione vale solo per campi gravitazionali deboli). Ciò ha però senso solo se <math>T^{\mu\nu}</math> è simmetrico: è per questo che è importante riuscire a dimostrare che un <math>T^{\mu\nu}</math> simmetrico esiste. == Note == <references/> {{Avanzamento|100%|1 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Simmetrie interne e esterne]] mfz81hfcku2rkub9ezvmmnxaag0j2xm 499026 499025 2026-06-06T16:15:08Z Hippias 18281 /* Perché un tensore energia-impulso simmetrico? */ 499026 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Sappiamo dunque che per il teorema di Noether se un sistema ha un gruppo di simmetria c'è una corrente conservata, la cui forma è: <math>J^\mu = \delta x^\mu\mathcal{L} + \delta\varphi_r\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}</math> Considerando anche le variazioni: <math>\overline{\delta}\varphi_r = \varphi'_r(x') - \varphi_r(x) \qquad \delta\varphi_r = \varphi'_r(x) - \varphi_r(x)</math> e tenendo conto del fatto che: <math>\delta\varphi_r = \overline{\delta}\varphi_r - \delta x^\nu\partial_\nu\varphi_r</math> possiamo scrivere: <math>J^\mu = \delta x^\nu\underbrace{\left(\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L} - \partial_\nu\varphi_r\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}\right)}_{:=\tilde{T}^{\mu}{}_\nu} + \overline{\delta}\varphi_r\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}</math> ove abbiamo definito il tensore energia-impulso: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}\partial^\nu\varphi_r - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}</math> Considereremo due tipi di simmetrie: * simmetrie interne: sono trasformazioni che agiscono sui campi ma non sui punti dello spaziotempo. Si ha dunque <math>\delta x^\mu = 0</math> e <math>\overline{\delta}\varphi_r \neq 0</math> * simmetrie esterne: agiscono anche sui punti; <math>\delta x^\mu,\, \overline{\delta}\varphi_r \neq 0</math> Nel caso dell'elettrodinamica non ci sono simmetrie interne (le trasformazioni di Poincaré sono simmetrie esterne). == Simmetrie interne == Per trattare simmetrie interne dobbiamo dunque considerare altre teorie di campo. Un esempio di questo tipo di teorie è una teoria con campo <math>\Phi(x)</math> scalare e complesso (<math>\Phi'(x') = \Phi(x)</math> per trasformazioni di Lorentz, e <math>\Phi(x) = \varphi_1(x) + i\varphi_2(x)</math> con <math>\varphi_1, \varphi_2</math> campi reali). Indichiamo con <math>\Phi^*</math> il complesso coniugato di <math>\Phi</math>. Si tratta di campi utili per formulare "teorie efficaci", cioè teorie valide solo a determinate scale di energia (ad esempio, i pioni possono essere descritti da campi scalari complessi). La lagrangiana di una tale teoria dovrà essere nella forma: <math>\mathcal{L} = \partial_\mu\Phi\,\partial^\mu\Phi^* - m^2\Phi^*\Phi - \frac{\lambda}{4}(\Phi^*\Phi)^2 + \cdots</math> ove il primo addendo è l'oggetto più semplice che sia invariante di Lorentz e che coinvolga le derivate di <math>\Phi</math>; inoltre compaiono <math>\Phi</math> e <math>\Phi^*</math> perché vogliamo che la densità di lagrangiana sia reale. Considerando <math>\Phi</math> e <math>\Phi^*</math> come campi indipendenti, possiamo prendere la variazione di <math>\mathcal{L}</math> rispetto a <math>\Phi</math> e <math>\Phi^*</math>. Si avrà dunque: <math>-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\Phi^*} + \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\Phi^*} = 0 \qquad -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\Phi} + \frac{\partial_\mu\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\Phi} = 0</math> ove la prima è l'equazione del moto per <math>\Phi</math> e l'altra, la sua complessa coniugata, quella per <math>\Phi^*</math>. Scriviamo esplicitamente la prima: <math>m^2\Phi + \frac{\lambda}{2}(\Phi^*\Phi)\Phi + \partial_\mu\partial^\mu\Phi = 0</math> In generale, quest'equazione non è semplice da risolvere per via del termine contenente <math>\lambda</math>, detto termine d'interazione. Nel caso <math>\lambda = 0</math>, l'equazione è lineare in <math>\Phi</math> e descrive la cosiddetta teoria libera, ossia quella nella quale le equazioni sono, appunto, lineari: <math>\partial_\mu\partial^\mu\Phi + m^2\Phi = 0</math> Una soluzione di quest'equazione può essere <math>\Phi = \Phi_0 e^{ipx}</math> con <math>\Phi_0</math> e <math>p</math> costanti. Inserendola nell'equazione: <math>-p^2\Phi + m^2\Phi = 0 \implies p^2 = m^2</math> e dunque <math>p</math> soddisfa la relazione tipica del quadrimomento di una particella di massa <math>m</math>. La lagrangiana <math>\mathcal{L}</math> ha sicuramente tutte le simmetrie del gruppo di Poincaré (che poi vedremo), ma anche la simmetria interna: <math>x^\mu \longrightarrow x^\mu \qquad \Phi(x) \longrightarrow \Phi'(x) = e^{i\alpha}\Phi(x)</math> con <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> costante indipendente da <math>x</math>; ovviamente vale anche la relazione complesso coniugata: <math>\Phi^*(x) \longrightarrow \Phi^{*\prime}(x) = e^{-i\alpha}\Phi^*(x)</math> e si ha anche: <math>\begin{matrix} \partial_\mu\Phi \longrightarrow e^{i\alpha}\partial_\mu\Phi \\ \partial_\mu\Phi^* \longrightarrow e^{-i\alpha}\partial_\mu\Phi^* \\ \end{matrix} \implies \mathcal{L} \longrightarrow \mathcal{L}</math> Applichiamo dunque a questa simmetria il teorema di Noether. Per farlo, consideriamo trasformazioni infinitesime, ossia con <math>\alpha \ll 1</math>: <math>\begin{align}e^{i\alpha} = 1 + i\alpha + o(\alpha^2) & \implies \Phi'(x) = (1+i\alpha)\Phi(x) + o(\alpha^2) \\ & \implies \delta\Phi(x) = \Phi'(x) - \Phi(x) = i\alpha\Phi(x)\end{align}</math> (in questo caso <math>\delta\varphi = \overline{\delta}\varphi</math> perché <math>\delta x^\mu = 0</math>). Dunque: <math>J^\mu = \overline{\delta}\Phi\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\Phi} + \overline{\delta}\Phi^*\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\Phi^*} = i\alpha(\Phi\,\partial^\mu\Phi^* - \Phi^*\partial^\mu\Phi)</math> Si verifica che se valgono le equazioni del moto allora <math>\partial_\mu J^\mu = 0</math>. Esiste dunque una carica conservata: <math>Q = \int J^0\,d^3\vec{x} \qquad \frac{dQ}{dt} = 0</math> Non possiamo mostrare qual è il suo significato fisico perché abbiamo bisogno di concetti di meccanica quantistica dei quali ancora non disponiamo, ma sarebbe la differenza fra il numero di particelle e di antiparticelle del sistema (il campo, se quantizzato, è descritto da un sistema di particelle e antiparticelle). == Simmetrie esterne == Vediamo ora un'applicazione del teorema di Noether su simmetrie esterne, come le trasformazioni di Poincaré. Dobbiamo dunque determinare <math>\delta x^\mu</math> e <math>\overline{\delta}\varphi_r</math>: <math>\delta x^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu + a^\mu - x^\mu = (\delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu)x^\nu + a^\mu - x^\mu = a^\mu + \omega^\mu{}_\nu x^\nu</math> con <math>|a| \ll 1</math> e <math>\omega^{\mu\nu} = -\omega^{\nu\mu}</math>. Per quanto riguarda invece <math>\overline{\delta}\varphi_r</math>: * se <math>\varphi</math> è scalare: <math> \varphi'(x') = \varphi(x) \implies \delta\varphi = 0</math> * se <math>\varphi_r</math> è un campo vettoriale, ad esempio <math>\varphi_r = A^\mu</math>: <math>A'_\mu(x') = \tilde{\Lambda}_\mu{}^\nu A_\nu(x) = (\delta_\mu{}^\nu + \omega_\mu{}^\nu)A_\nu(x) \implies \overline{\delta}A_\mu(x) = \omega_\mu{}^\nu A_\nu(x) = \omega_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}A_\rho(x)</math> * se <math>\varphi_r</math> è un campo tensoriale, in generale: <math>\overline{\delta}\varphi_r = \frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}(\Sigma^{\mu\nu})_r{}^s\varphi_s</math> con <math>(\Sigma^{\mu\nu})_r{}^s</math> tensore. Assumiamo, senza ledere in generalità, che: <math>(\Sigma^{\mu\nu})_r{}^s = -(\Sigma^{\nu\mu})_r{}^s</math> Infatti, se <math>\Sigma</math> avesse una componente simmetrica, questa non contribuirebbe alla <math>\overline{\delta}\varphi_r</math> perché è moltiplicato per <math>\omega</math>, che è antisimmetrico. Che forma ha <math>\Sigma</math>? Dipende dal "significato" dell'indice <math>r</math>, ossia dal tipo di campo in questione. Se ad esempio il campo è scalare <math>(\Sigma_{\mu\nu})^r{}_s = 0</math>; se invece <math>\varphi_r = A_\alpha</math>: <math>\overline{\delta}A_\alpha = \omega_{\alpha\nu}\eta^{\nu\beta}A_\beta = \omega_{\mu\nu}\delta^\mu{}_\alpha \eta_{\nu\beta}A_\beta = \frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}(\delta^\mu{}_\alpha\eta_{\nu\beta} - \delta^\nu{}_\alpha\eta^{\mu\beta})A_\beta</math> Dunque: <math>(\Sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \delta^\mu{}_\alpha \eta^{\nu\beta} - \delta^\nu{}_\alpha\eta^{\mu\beta}</math> == Simmetrie di Poincaré == Deriviamo dunque la forma esplicita della corrente associata alle simmetrie di Poincaré: <math>J^\mu = -\delta x_\nu\tilde{T}^{\mu\nu} + \overline{\delta}\varphi_r\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}</math> ove abbiamo definito il tensore energia-impulso: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}\partial^\nu\varphi_r - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}</math> Quindi: <math>\begin{align} J^\mu &= -(a_\nu + \omega_{\nu_\lambda} x^\lambda)\tilde{T}^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\omega_{\nu\lambda}(\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s \varphi_s\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r} \\ &= -a_\nu\tilde{T}^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\omega_{\nu\lambda}\!\left(-x^\lambda\tilde{T}^{\mu\nu} + x^\nu\tilde{T}^{\mu\lambda} + (\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s\varphi_s\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}\right) \end{align}</math> Definendo il tensore densità di momento angolare<ref>Poniamo anche: <math>Y^{\mu\nu\lambda} = (\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s\varphi_s\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}</math></ref>: <math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = -x^\lambda\tilde{T}^{\mu\nu} + x^\nu\tilde{T}^{\mu\lambda} + (\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s\varphi_s\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}</math> si ha dunque: <math>J^\mu = -a^\nu\tilde{T}^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\omega^{\nu\lambda}\tilde{M}^{\mu\nu\lambda}</math> Da notare che <math>\tilde{M}</math> è antisimmetrico in <math>\nu</math> e <math>\lambda</math> (<math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = -\tilde{M}^{\mu\lambda\nu}</math>) e vale inoltre: <math>\partial_\mu J^\mu = 0 \quad \forall\, a_\nu,\,\omega_{\nu\lambda}</math> Quindi, le quantità <math>a_\nu\tilde{T}^{\mu\nu}</math> e <math>\omega_{\nu\lambda}\tilde{M}^{\mu\nu\lambda}</math> sono conservate: <math>\partial_\mu\tilde{T}^{\mu\nu} = 0 \qquad \partial_\mu\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = 0</math> La prima segue in realtà dall'invarianza della lagrangiana per traslazioni, mentre la seconda è conseguenza dell'invarianza per trasformazioni di Lorentz. Dunque, in una teoria di campo invariante per trasformazioni di Poincaré esistono un tensore energia-impulso <math>\tilde{T}^{\mu\nu}</math> e un tensore densità di momento angolare <math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda}</math> conservati. In realtà, queste due grandezze che abbiamo ricavato ora non sono direttamente uguali a quelle che avevamo determinato precedentemente. Innanzitutto, si aveva <math>T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}</math>. Poiché: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\varphi_r}\partial^\nu\varphi_r - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}</math> L'eventuale simmetria di <math>\tilde{T}</math> dipende dalla forma di <math>\mathcal{L}</math>, e non è evidente. Consideriamo dunque degli esempi. Se <math>\varphi</math> è un campo scalare reale (il fattore <math>\frac{1}{2}</math> è messo per convenienza): <math>\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\varphi\,\partial^\mu\varphi - V(\varphi)</math> <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \partial^\mu\varphi\,\partial^\nu\varphi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L} \implies \tilde{T}^{\mu\nu} = \tilde{T}^{\nu\mu}</math> Dunque, in questo caso il tensore energia-impulso è simmetrico. Se <math>\varphi_r</math> è un quadrivettore, ad esempio <math>A_\mu</math>: <math>\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}</math> e allora: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu A_\lambda}\partial^\nu\varphi_r - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}</math> Poiché: <math>\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu A_\lambda} = -\frac{1}{2}F^{\alpha\beta}\frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial\partial_\mu A_\lambda} = -\frac{1}{2}F^{\alpha\beta}(\delta_\alpha{}^\mu\delta_\beta{}^\lambda - \delta_\alpha{}^\lambda\delta_\beta{}^\mu) = -F^{\mu\lambda}</math> allora: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda}\partial^\nu A_\lambda + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}</math> Si presentano però due problemi: * <math>\tilde{T}^{\mu\nu}</math> non è simmetrico * <math>\tilde{T}^{\mu\nu}</math> non è invariante di gauge La prima questione deriva dal fatto che <math>Y^{\mu\nu\lambda}</math> non è nullo perché <math>(\Sigma^{\nu\lambda})_r{}^s \neq 0</math>. Se però valgono entrambe le conservazioni del tensore energia impulso e densità di momento angolare, allora: <math>\partial_\mu\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = \tilde{T}^{\nu\lambda} - \tilde{T}^{\lambda\nu} + \partial_\mu Y^{\mu\nu\lambda} = 0</math> Se poi la teoria è invariante di Lorentz, <math>Y^{\mu\nu\lambda} = 0</math> (perché <math>\overline{\delta}\varphi = 0</math>) e dunque <math>\tilde{T}^{\nu\lambda} = \tilde{T}^{\lambda\nu}</math>. Ci chiediamo dunque che relazione ci sia fra <math>\tilde{T}</math> e il tensore energia impulso <math>T</math> che avevamo determinato precedentemente. Ricordiamoci innanzitutto che la corrente di Noether non è univocamente determinata: <math>J^\mu</math> e <math>J^\mu + \partial_\lambda X^{\lambda\mu}</math>, con <math>X^{\lambda\mu}</math> antisimmetrico, danno luogo alle stesse equazioni del moto. Potremmo dunque scrivere: <math>T^{\mu\nu} = \tilde{T}^{\mu\nu} + \partial_\lambda X^{\lambda\mu\nu}</math> con <math>X^{\lambda\mu\nu} = -X^{\mu\lambda\nu}</math>; in questo modo, siamo sicuri che vale <math>\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0</math>, e la carica associata a <math>T</math> è la stessa di <math>\tilde{T}</math>: <math>\int T^{0\nu}\,d^3\vec{x} = \int\tilde{T}^{0\nu}\,d^3\vec{x}</math> Dobbiamo dunque capire che forma abbia <math>X^{\lambda\mu\nu}</math> affinché <math>T^{\mu\nu}</math> sia simmetrico. Poiché sappiamo che: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} - \tilde{T}^{\nu\mu} + \partial_\lambda Y^{\lambda\mu\nu} = 0 \quad\text{con}\quad Y^{\lambda\mu\nu} = -Y^{\lambda\nu\mu}</math> potremmo porre: <math>X^{\lambda\mu\nu} = \alpha(Y^{\lambda\mu\nu} - Y^{\mu\lambda\nu})</math> (in questo modo <math>X</math> è antisimmetrico in <math>\lambda</math> e <math>\mu</math>). Con questa scelta si ha: <math>T^{\mu\nu} = \tilde{T}^{\mu\nu} + \alpha(\partial_\lambda Y^{\lambda\mu\nu} - \partial_\lambda Y^{\mu\lambda\nu}) = \tilde{T}^{\mu\nu} + \alpha(-\tilde{T}^{\mu\nu} + \tilde{T}^{\nu\mu}) - \alpha\partial_\lambda Y^{\mu\lambda\nu}</math> Ora, se <math>\alpha</math> fosse uguale a <math>\frac{1}{2}</math>, i primi due termini darebbero luogo alla parte simmetrica di <math>\tilde{T}^{\mu\nu}</math>, ossia si avrebbe: <math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{2}(\tilde{T}^{\mu\nu} + \tilde{T}^{\nu\mu}) - \frac{1}{2}\partial_\lambda Y^{\mu\lambda\nu}</math> Il secondo termine però non è simmetrico, a meno che al suo posto non ci sia <math>\partial_\lambda(Y^{\mu\lambda\nu} + Y^{\nu\lambda\mu})</math>. Dobbiamo dunque porre: <math>X^{\lambda\mu\nu} = \frac{1}{2}(Y^{\lambda\mu\nu} - Y^{\mu\lambda\nu} - Y^{\nu\lambda\mu})</math> di modo che: <math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{2}(\tilde{T}^{\mu\nu} + \tilde{T}^{\nu\mu}) - \frac{1}{2}\partial_\lambda(Y^{\mu\lambda\nu} + Y^{\nu\lambda\mu})</math> e pertanto <math>T^{\mu\nu}</math> stavolta risulta effettivamente simmetrico. Ci resta però da verificare se <math>X^{\lambda\mu\nu}</math> è antisimmetrico rispetto a <math>\mu</math> e <math>\lambda</math>: questo però è sicuramente vero, perché la differenza dei due primi <math>Y</math> lo è, così come l'ultima <math>Y</math> lo è per quanto visto poco sopra. In generale, dunque, il tensore energia-impulso non è simmetrico, ma se il sistema è invariante per trasformazioni di Lorentz allora vale <math>\tilde{T}^{\mu\nu} - \tilde{T}^{\nu\mu} + \partial_\lambda Y^{\lambda\mu\nu} = 0 \quad\text{con}\quad Y^{\lambda\mu\nu} = -Y^{\lambda\nu\mu}</math> e quindi <math>T</math> può essere reso simmetrico come abbiamo visto (o meglio, esiste un <math>T</math> simmetrico equivalente a <math>\tilde{T}</math>). Verifichiamo ora che nel caso dell'elettromagnetismo questa "ricetta" funziona. Abbiamo che: <math>\tilde{T}^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda}\partial^\nu A_\lambda + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}</math> Inoltre: <math>Y^{\mu\nu\lambda} = (\Sigma^{\nu\lambda})_\alpha{}^\beta A_\beta\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu A_\alpha} = (\delta^{\nu}{}_\alpha \eta^{\lambda\beta}-\delta_\alpha{}^\lambda \eta^{\nu\beta})A_\beta(-F^{\mu\alpha}) = -F^{\mu\nu}A^\lambda + F^{\mu\lambda}A^\nu \implies</math> <math>\implies X^{\lambda\mu\nu} = -F^{\lambda\mu}A^\nu</math> Perciò: <math>T^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda}\partial^\nu A_\lambda + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} - \partial_\lambda(F^{\lambda\mu}A^\nu)</math> e dalla validità delle equazioni di Maxwell per il campo libero (<math>\partial_\lambda F^{\lambda\mu} = 0</math>) si ha che <math>-\partial_\lambda(F^{\lambda\mu}A^\nu) = -(\partial_\lambda F^{\lambda\mu})A^\nu - F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^\nu = -F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^\nu</math>. Allora: <math>T^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda}(\partial^\nu A_\lambda - \partial_\lambda A^\nu) + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} =</math> <math>-F^{\mu\lambda}F^\nu{}_\lambda + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta} = F^{\mu\lambda}F_{\lambda}{}^\nu + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}</math> e risulta proprio <math>T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}</math>. Sappiamo che l'invarianza del sistema per trasformazioni di Lorentz implica l'esistenza di un tensore <math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda}</math> conservato, ossia tale che <math>\partial_\mu\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = 0</math>, e inoltre: <math>\tilde{M}^{\mu\nu\lambda} = x^\nu\tilde{T}^{\mu\lambda} - x^\lambda\tilde{T}^{\mu\nu} + Y^{\mu\nu\lambda}</math> Abbiamo poi già visto che se disponiamo di un tensore energia-impulso simmetrico e conservato, possiamo definire il tensore: <math>M^{\mu\nu\lambda} = x^\nu T^{\mu\lambda} - x^\lambda T^{\mu\nu}</math> che, come conseguenza della simmetria di <math>T</math>, è conservato anch'esso; le sue componenti corrispondono ai momenti angolari e ai boost. Sembrerebbe dunque che abbiamo due correnti distinte, <math>M</math> e <math>\tilde{M}</math>, ma in realtà sono fisicamente equivalenti; si può infatti verificare che: <math>M^{\mu\nu\lambda} = \tilde{M}^{\mu\nu\lambda} + \partial_\rho \chi^{\rho\mu\nu\lambda} \quad\text{con}\quad \chi^{\rho\mu\nu\lambda} = x^\nu X^{\rho\mu\lambda} - x^\lambda X^{\rho\mu\nu}</math> (e dunque <math>\chi^{\rho\mu\nu\lambda}</math> è antisimmetrico in <math>\rho</math> e <math>\mu</math>). Se il campo non è più libero, ossia se ci sono anche delle sorgenti, si dovrebbe ripercorrere lo stesso ragionamento a partire dalla lagrangiana: <math>\mathcal{L}_{\mathrm{TOT}} = \mathcal{L}_A + \mathcal{L}_P + \mathcal{L}_I</math> Non ripercorriamo tutte le argomentazioni. Diciamo soltanto che risulta: <math>\tilde{T}_{\mathrm{TOT}} = \tilde{T}^{\mu\nu}_{\mathrm{emg}} + T^{\mu\nu}_P + j^\mu A^\nu</math> ove il tensore energia-impulso delle particelle <math>T^{\mu\nu}_P</math> risulta automaticamente simmetrico. Si pone poi: <math>T_{\mathrm{TOT}} = \tilde{T}_{\mathrm{TOT}} + \partial_\lambda X^{\lambda\mu\nu}</math> con lo stesso <math>X</math> di prima. Perciò: <math>T^{\mu\nu}_{\mathrm{TOT}} = T^{\mu\nu}_P + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} - F^{\mu\lambda}\partial^\nu A_\lambda + j^\mu A^\nu - \partial_\lambda(F^{\lambda\mu}A^\nu)</math> e poiché: <math>j^\mu A^\nu - \partial_\lambda(F^{\lambda\mu}A^\nu) = j^\mu A^\nu - \underbrace{(\partial_\lambda F^{\lambda\mu})}_{j^\mu}A^\nu - F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^\nu = -F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^\nu</math> risulta: <math>T^{\mu\nu}_{\mathrm{TOT}} = T^{\mu\nu}_P + T^{\mu\nu}_{\mathrm{emg}}</math> che è proprio quello che avevamo trovato precedentemente. == Perché un tensore energia-impulso simmetrico? == Perché abbiamo speso così tanto tempo per dimostrare che in una teoria invariante per trasformazioni di Poincaré esiste un tensore energia-impulso simmetrico? Un primo motivo l'avevamo già visto: la simmetria di <math>T^{\mu\nu}</math> implica l'uguaglianza <math>T^{i0} = T^{0i}</math>, ossia implica che densità di quantità di moto e flusso di energia siano la stessa cosa. Un altro motivo, più importante, è che vorremmo introdurre in una teoria di campo la gravità, e per fare questo è importante che <math>T^{\mu\nu}</math> sia simmetrico. Vediamo un attimo perché facendo una piccola analogia con l'elettromagnetismo. Le sorgenti del campo elettromagnetico sono le cariche, e ad esse è associata la corrente conservata <math>j^\mu</math>; questa genera il campo <math>A^\mu</math>, e il termine della lagrangiana che "concretizza" quest'interazione è <math>\mathcal{L}_I = -j^\mu A_\mu</math>. Nel caso della gravità, invece, dovrebbero essere le masse le sorgenti del campo; poiché però massa ed energia sono la stessa cosa, e l'energia relativistica (ivi compreso anche il momento) si conserva, le "vere" sorgenti del campo gravitazionale sono <math>p^\mu</math>, la cui conservazione deriva dalla conservazione di un tensore <math>T^{\mu\nu}</math> (l'analogo di <math>j^\mu</math>). Se dunque sapessimo scrivere le equazioni del moto del campo gravitazionale si dovrebbe avere (cfr equazioni di Maxwell) "qualcosa <math>= T^{\mu\nu}</math>". Non è poi difficile capire quale sia l'analogo di <math>\mathcal{L}_I</math> per la gravità: l'analogo di <math>A^\mu</math> è la metrica <math>g^{\mu\nu}(x)</math> dello spazio, che ovviamente è un oggetto simmetrico in <math>\mu</math> e <math>\nu</math> (come <math>\eta</math>); perciò, l'analogo della lagrangiana d'interazione per la gravità è: <math>\mathcal{L}_I \propto T^{\mu\nu}g_{\mu\nu}</math> (in realtà questa relazione vale solo per campi gravitazionali deboli). Ciò ha però senso solo se <math>T^{\mu\nu}</math> è simmetrico: è per questo che è importante riuscire a dimostrare che un <math>T^{\mu\nu}</math> simmetrico esiste. == Note == <references/> {{Avanzamento|100%|1 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Simmetrie interne e esterne]] ro7u6lj3x0cwv1go6476eep2im1sqs7 0 60009 499028 491800 2026-06-06T16:41:44Z Hippias 18281 499028 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Passiamo ora allo studio dei metodi di risoluzione delle equazioni di Maxwell: <math>\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu</math> pensate come equazioni per <math>A_\mu</math>. Vogliamo risolvere il problema di Cauchy per le equazioni di Maxwell. Notiamo preliminarmente che risolvere il problema alle condizioni iniziali è equivalente a determinare quanti (e quali) siano i gradi di libertà del campo elettromagnetico. '''Esempio:''' Consideriamo una particella in una dimensione. La sua equazione dinamica sarà: <math>F = m \frac{d^2 x}{dt^2}</math> che è un'equazione del second'ordine per <math>x(t)</math>: dunque la soluzione esiste ed è unica se sono note <math>x(0)</math> e <math>\frac{dx}{dt}(0)</math>. Ciò è equivalente a dire che il sistema ha un grado di libertà (del second'ordine). Possiamo dunque dire che un sistema ha <math>n</math> gradi di libertà (del second'ordine) se possiamo determinare univocamente una soluzione delle sue equazioni dinamiche con <math>2n</math> condizioni iniziali. Sarà questa la nostra definizione di gradi di libertà di un sistema. Proviamo a generalizzare il tutto ai campi, che in linea di principio avrebbero infiniti gradi di libertà. Diciamo che un campo ha <math>n</math> gradi di libertà se è necessario fissare <math>2n</math> funzioni di <math>\vec{x}</math> per determinare univocamente una soluzione delle equazioni del moto dei campi. Queste <math>2n</math> funzioni possiamo pensarle come i valori di <math>\varphi_r(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 \varphi_r(0;\vec{x})</math>. '''Esempio:''' supponiamo di avere un campo <math>\varphi(t;\vec{x})</math> che soddisfa: <math>\Box \varphi = P(\varphi)</math> con <math>\Box = \partial^\mu \partial_\mu = (\partial_0)^2 - \nabla^2</math> operatore d'alembertiano e <math>P</math> funzione generica di <math>\varphi</math> ma non delle sue derivate. Per determinare univocamente una soluzione di quest'equazione è necessario fissare <math>\varphi(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 \varphi(0;\vec{x})</math>. Dunque, detta <math>\varphi(t;\vec{x})</math> una soluzione: <math>\frac{\partial^2}{\partial t^2} \varphi(t;\vec{x}) - \nabla^2 \varphi(t;\vec{x}) = P(\varphi(t;\vec{x}))</math> e sviluppandola in serie di Taylor attorno a <math>t = 0</math>: <math>\varphi(t;\vec{x}) = \varphi(0;\vec{x}) + t\partial_0 \varphi(0;\vec{x}) + \frac{t^2}{2} \partial_0^2 \varphi(0;\vec{x}) + \frac{t^3}{3!} \partial_0^3 \varphi(0;\vec{x}) + \cdots</math> Ora, <math>\varphi(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 \varphi(0;\vec{x})</math> sono noti. Specificando l'equazione per la <math>\varphi</math> a <math>t = 0</math> si ha: <math>\partial_0^2 \varphi(0;\vec{x}) = \nabla^2 \varphi(0;\vec{x}) + P(\varphi(0;\vec{x}))</math> e dunque anche <math>\partial_0^2 \varphi(0;\vec{x})</math> è noto. Pertanto, prendendo più volte <math>\partial_0</math> ad ambo i membri di quest'ultima equazione, tutti i termini dell'espansione in serie di Taylor di <math>\varphi</math> sono noti. In sostanza, quindi, noti <math>\varphi(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 \varphi(0;\vec{x})</math> si può "ricostruire" tutta la soluzione <math>\varphi(t;\vec{x})</math> a partire dall'equazione dinamica. Questo risultato si può inoltre estendere anche a <math>P</math> qualunque, ossia funzione anche delle derivate di <math>\varphi</math>. Vogliamo dunque capire quanti e quali gradi di libertà abbia il campo elettromagnetico. Le equazioni di Maxwell si possono riscrivere come: <math>\partial_\mu (\partial^\mu A_\nu - \partial^\nu A^\mu) = j^\nu \quad \Rightarrow \quad \Box A^\nu - \partial^\nu \partial^\mu A^\mu = j^\nu</math> Sembrerebbero quattro equazioni differenziali del tipo <math>\Box A = f(A)</math>, e dunque potremmo pensare che il campo elettromagnetico abbia quattro gradi di libertà. In realtà, ciò non è vero per due motivi: 1) Non tutte le equazioni sono indipendenti. Scritte infatti nella forma: <math>G^\nu := \partial_\mu F^{\mu\nu} - j^\nu = 0</math> si ha: <math>\partial_\nu G^\nu = \partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu} - \partial_\nu j^\nu = 0</math> e pertanto le equazioni non risultano linearmente indipendenti. In particolare, si può scrivere: <math>\partial_0 G^0 + \partial_i G^i = 0 \quad \Rightarrow \quad \partial_0 G^0 = -\partial_i G^i</math> Dunque, se <math>G^i(t;\vec{x}) = 0</math> <math>\forall t,\vec{x}</math> e <math>G^0(0;\vec{x}) = 0</math>, allora <math>\partial_0 G^0 = 0</math>, ossia <math>G^0(t;\vec{x}) = G^0(0;\vec{x})</math> <math>\forall t,\vec{x}</math>; in altre parole, basta richiedere <math>G^0(t;\vec{x}) = 0</math> solo per <math>t = 0</math>, perché <math>G^0</math> non dipende dal tempo. Quindi, ponendo <math>G^i(t;\vec{x}) = 0</math> <math>\forall t,\vec{x}</math> e <math>G^0(0;\vec{x}) = 0</math> <math>\forall \vec{x}</math> si ha <math>G^\nu = 0</math>, ossia le equazioni di Maxwell sono risolte. La prima è una vera e propria equazione dinamica, mentre la seconda non lo è: si tratta di un vincolo sui valori iniziali di <math>A^\mu(t;\vec{x})</math>. Si ha infatti: <math>G^0 = \partial_i F^{i0} - j^0 = -\nabla^2 A^0 - \partial_i \partial^0 A^i - j^0</math> che non coinvolge derivate seconde rispetto al tempo (e quindi non è un'equazione dinamica); ci basta dunque porre un vincolo su <math>A^0</math> e <math>\partial_0 A^i</math> per <math>t = 0</math>. In realtà, dunque, non abbiamo quattro equazioni e quattro incognite, ma tre equazioni, un vincolo e quattro incognite. 2) L'invarianza di gauge. Il quadripotenziale è definito a meno di una trasformazione di gauge, e dunque esistono infinite soluzioni delle equazioni di Maxwell che sono fisicamente equivalenti. Per rimuovere questa "indeterminazione", poniamo una condizione di gauge fixing, ossia scegliamo fra tutti i possibili quaripotenziali associati a un dato campo elettromagnetico <math>F_{\mu\nu}</math> un unico rappresentante. La scelta più conveniente in questo caso è la cosiddetta gauge di Lorenz: <math>\partial_\mu A^\mu = 0</math> Mostriamo però che questa scelta della gauge è consistente, ossia mostriamo che a partire da un quadripotenziale arbitrario (dunque con <math>\partial_\mu A^\mu \neq 0</math>) è sempre possibile eseguire una trasformazione di gauge tale che il nuovo quadripotenziale <math>A'^\mu</math> soddisfi la condizione di gauge-fixing, ossia <math>\partial^\mu A'^\mu = 0</math>. Supponiamo dunque di avere un <math>A^\mu(x)</math> dato con <math>\partial_\mu A^\mu(x) \neq 0</math>; allora <math>A'_\mu(x) = A_\mu(x) + \partial_\mu \Lambda</math>, e: <math>\partial_\mu A'^\mu = \partial_\mu A^\mu + \partial_\mu \partial^\mu \Lambda \stackrel{!}{=} 0 \quad \Rightarrow \quad \Box \Lambda = -\partial_\mu A^\mu</math> ove il secondo membro è noto. Sappiamo dunque che una soluzione di questa equazione esiste ed è unica una volta specificati <math>\Lambda(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 \Lambda(0;\vec{x})</math>. Sorge però un problema: la gauge di Lorenz non permette ancora di determinare univocamente il quadripotenziale. Infatti, se <math>\Lambda</math> soddisfa <math>\Box \Lambda = -\partial_\mu A^\mu</math> allora anche <math>\Lambda + \tilde{\Lambda}</math> con <math>\Box \tilde{\Lambda} = 0</math> lo fa. La <math>\tilde{\Lambda}</math> è detta trasformazione di gauge residua, e poiché come vedremo più avanti <math>\Box \tilde{\Lambda} = 0</math> ammette infinite soluzioni, c'è una nuova "indeterminazione" in <math>A_\mu</math>, in quanto sia <math>A_\mu</math> che <math>A_\mu + \partial_\mu \tilde{\Lambda}</math> individuano gli stessi campi, ed esistono infinite <math>\tilde{\Lambda}</math> che soddisfano questa proprietà. Dobbiamo dunque porre nuove condizioni per fissare anche la gauge residua, ed esistono infiniti modi equivalenti per farlo. Ad esempio, possiamo porre <math>A^3(0;\vec{x}) = \partial_0 A^3(0;\vec{x}) = 0</math>; mostriamo che è anche questa una scelta consistente: sia dunque <math>A_\mu</math> un generico quadripotenziale (quindi in particolare con <math>A^3(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 A^3(0;\vec{x})</math> non necessariamente nulli), e mostriamo che esiste un'unica trasformazione di gauge (ossia un'unica <math>\Lambda</math>) con la quale <math>A'^3(0;\vec{x}) = \partial_0 A'^3(0;\vec{x}) = 0</math>. Si ha: <math>A'_3(0;\vec{x}) = A_3(0;\vec{x}) + \partial_3 \Lambda(0;\vec{x}) \stackrel{!}{=} 0 \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad \Lambda(0;\vec{x}) = -\int_{-\infty}^{+\infty} A_3(0;\tilde{\vec{x}}) d\tilde{x}^3 + \text{cost.}</math> e poiché (è sottinteso) vogliamo che le soluzioni (<math>A^\mu</math> e <math>\Lambda</math>) tendano a zero all'infinito, il valore della costante è determinato, e pertanto anche <math>\Lambda(0;\vec{x})</math>. Con la stessa logica, si può determinare <math>\partial_0 \Lambda</math>: <math>\partial_0 A'_3(0;\vec{x}) = \partial_0 A_3(0;\vec{x}) + \partial_3 \partial_0 \Lambda(0;\vec{x}) = 0</math> e integrando su <math>x^3</math> si esplicita <math>\partial_0 \Lambda(0;\vec{x})</math>. Così, poiché abbiamo determinato <math>\Lambda(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 \Lambda(0;\vec{x})</math>, <math>\Lambda</math> è completamente determinato. Ricapitolando, con la condizione di gauge <math>\partial_\mu A^\mu = 0</math>, le equazioni di Maxwell diventano <math>\Box A^\mu = j^\mu</math>. Per determinarne una soluzione dobbiamo: # imporre <math>\Box A^i = j^i</math> <math>\forall t,\vec{x}</math> # imporre <math>\partial_\mu A^\mu = 0</math> <math>\forall t,\vec{x}</math> # imporre <math>G^0(0;\vec{x}) = 0 \quad \Rightarrow \quad -\nabla^2 A^0 + \partial_i \partial^0 A^i + j^0 = 0</math> per <math>t = 0</math>; <math>\forall \vec{x}</math> # imporre <math>A^3(0;\vec{x}) = \partial_0 A^3(0;\vec{x}) = 0</math> per <math>t = 0</math>; <math>\forall \vec{x}</math> Mostriamo che esiste dunque un'unica soluzione se sono determinati <math>A^a(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 A^a(0;\vec{x})</math> con <math>a = 1,2</math>. Infatti, una volta specificate queste condizioni sono noti <math>A^i(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 A^i(0;\vec{x})</math> (grazie anche al punto 4), e pertanto esiste un'unica soluzione della condizione 1, e pertanto sono determinati gli <math>A^i(t;\vec{x})</math> <math>\forall t,\vec{x}</math>. Per la terza condizione, "invertendo" il laplaciano anche <math>A^0(0;\vec{x})</math> è noto; sfruttando la condizione 2, <math>\partial_0 A^0 = -\partial_i A^i</math>, che è un'equazione del prim'ordine per <math>A^0</math> della quale conosciamo la condizione iniziale. Pertanto, anche <math>A^0(t;\vec{x})</math> è noto. I gradi di libertà del campo elettromagnetico sono dunque due. Ci proponiamo ora di costruire delle soluzioni esplicite delle equazioni di Maxwell. {{Avanzamento|100%|6 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Problema di Cauchy]] km0hx0m70hu7cglw093wxwxvu4xs168 0 60010 499029 491801 2026-06-06T16:48:16Z Hippias 18281 499029 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Passiamo ora a studiare e risolvere le equazioni di Maxwell nel vuoto, ossia in assenza di cariche esterne. <math>\Box A^\mu = 0 \qquad \partial_\mu A^\mu = 0</math> Ognuna delle quattro equazioni <math>\Box A^\mu = 0</math> sono del tipo <math>\Box \varphi = 0</math>, con <math>\varphi</math> campo scalare. Dobbiamo quindi risolvere: <math>\Box \varphi = 0 \qquad \varphi(x) \xrightarrow{|x| \to \infty} 0</math> detta equazione di d'Alembert. Sappiamo che <math>\Box = \eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu</math>, e questo operatore è sostanzialmente l'estensione quadridimensionale del laplaciano <math>\nabla^2 = \delta^{ij} \partial^i \partial^j</math>. Supponiamo quindi di voler risolvere l'equazione di Laplace: <math>\nabla^2 \varphi(\vec{x}) = 0 \qquad \varphi(\vec{x}) \xrightarrow{|\vec{x}| \to \infty} 0</math> L'unica soluzione di queste equazioni con queste condizioni, però, è <math>\varphi(\vec{x}) = 0</math>. Infatti, se vale l'equazione si avrà: <math>0 = \int \varphi(\vec{x}) \nabla^2 \varphi(\vec{x}) d^3\vec{x} = -\int \partial_i \varphi(\vec{x}) \partial^i \varphi(\vec{x}) d^3\vec{x} + \underbrace{\int_{\Sigma_\infty} \varphi(\vec{x}) \partial_i \varphi(\vec{x}) d\Sigma^i}_{=0} \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad \int \partial_i \varphi(\vec{x}) \partial^i \varphi(\vec{x}) d^3\vec{x} = 0</math> Poiché l'integrando è una somma di quadrati, ciò significa che <math>\partial_i \varphi = 0</math> <math>\forall i,\vec{x}</math>; pertanto <math>\varphi</math> è costante, e dovrà essere necessariamente nulla affinché venga soddisfatta la condizione <math>\varphi(\vec{x}) \xrightarrow{|\vec{x}| \to \infty} 0</math>. Dunque, l'equazione di Laplace non ammette soluzioni che si annullano all'infinito che non siano banali. Se però rieseguiamo lo stesso ragionamento per <math>\Box \varphi = 0</math>, ciò non è più vero; risulta infatti: <math>\int \partial_\mu \varphi \partial_\nu \varphi \eta^{\mu\nu} d^4 x = 0</math> e poiché <math>\eta</math> non è semidefinita positiva non si può concludere nulla (l'integrando non è più una somma di quadrati, o comunque non è in generale una quantità positiva). Per risolvere l'equazione di d'Alembert (supponendo ovviamente <math>\varphi</math> scalare di Lorentz, e che sia una distribuzione), passiamo alle trasformate di Fourier: <math>\hat{\varphi}(k) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{ikx} \varphi(x) d^4x \qquad \varphi(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{-ikx} \hat{\varphi}(k) d^4k</math> Notiamo innanzitutto che se <math>\varphi</math> è scalare di Lorentz anche la sua trasformata di Fourier lo è; infatti: <math>\hat{\varphi}'(k') = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{ik'x'} \varphi'(x') d^4x' = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{ikx} \varphi(x) d^4x = \hat{\varphi}(k)</math> perché <math>d^4x' = d^4x</math> per le proprietà delle trasformazioni di Lorentz, e <math>kx = k_\mu x^\mu</math> e <math>\varphi</math> sono scalari di Lorentz. Le trasformate di Fourier in questo caso sono estremamente utili perché: <math>\partial^\mu \varphi = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{-ikx} (-ik^\mu) \hat{\varphi}(k) d^4k \quad \Rightarrow \quad \widehat{\partial^\mu \varphi} = -ik^\mu \hat{\varphi}</math> Dunque: <math>\widehat{\Box \varphi} = \widehat{\partial^\mu \partial_\mu \varphi} = (-ik^\mu)(-ik_\mu) \hat{\varphi}(k) = -k^\mu k_\mu \hat{\varphi}(k) \quad \Rightarrow \quad \widehat{\Box \varphi} = 0 \Leftrightarrow k^\mu k_\mu \hat{\varphi}(k) = 0</math> Ora, l'insieme dei punti con <math>k^\mu k_\mu = 0</math> è il cono luce dello spazio dei momenti <math>k</math>: ciò significa che <math>\hat{\varphi}(k)</math> è non nulla solo su questo cono luce. Poiché <math>\hat{\varphi}(k)</math> è scalare di Lorentz e le uniche sottovarietà invarianti del cono luce <math>k^\mu k_\mu = 0</math> sono l'origine e il cono stesso privato dell'origine, esistono due sole scelte possibili: \begin{itemize} \item <math>\hat{\varphi}(k) \neq 0</math> solo se <math>k_\mu = 0</math>; si potrebbe dunque avere qualcosa del tipo<math>^{[1]}</math>: <math>\hat{\varphi}(k) = c\delta^{(4)}(k) + c_\mu \frac{\partial}{\partial k^\mu} \delta^{(4)}(k) + \cdots \quad \Rightarrow \quad \varphi(x) = \frac{c}{(2\pi)^2} + \frac{(ix^\mu)}{(2\pi)^2} c_\mu + \cdots</math> Ma in questo caso <math>\varphi</math> non si annulla all'infinito. Pertanto, non considereremo queste soluzioni in quanto non fisicamente rilevanti \item <math>\hat{\varphi}(k) \neq 0</math> <math>\forall k^\mu</math> | <math>k^\mu k_\mu = 0</math> con <math>k^\mu \neq 0</math>. In questo caso, invece, si avrà: <math>\begin{align} \hat{\varphi}(k) &= \delta(k^\mu k_\mu) f(k) = \delta((k^0)^2 - |\vec{k}|^2) f(k) = \\ &= \left[ \frac{\delta(k^0 - |\vec{k}|)}{2|k^0|} + \frac{\delta(k^0 + |\vec{k}|)}{2|k^0|} \right] f(k^0;\vec{k}) = \\ &= \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \delta(k^0 - |\vec{k}|) f(|\vec{k}|;\vec{k}) + \delta(k^0 + |\vec{k}|) f(-|\vec{k}|;\vec{k}) \right] \end{align}</math> Quindi: <math>\begin{align} \varphi(x) &= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} e^{-ikx} \left[ \delta(k^0 - |\vec{k}|) f(|\vec{k}|;\vec{k}) + \delta(k^0 + |\vec{k}|) f(-|\vec{k}|;\vec{k}) \right] dk^0 d^3\vec{k} = \\ &= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ e^{-i(|\vec{k}|x^0 - \vec{k}\cdot\vec{x})} f(|\vec{k}|;\vec{k}) + e^{-i(-|\vec{k}|x^0 - \vec{k}\cdot\vec{x})} f(-|\vec{k}|;-\vec{k}) \right] d^3\vec{k} = \\ &= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ e^{-ikx} f(|\vec{k}|;\vec{k}) + e^{ikx} f(|\vec{k}|;-\vec{k}) \right]_{|k^0=|\vec{k}|} d^3\vec{k} \end{align}</math> ove nella penultima riga abbiamo effettuato il cambio di variabile <math>\vec{k} \to -\vec{k}</math> nel secondo addendo. Affinché <math>\varphi</math> sia reale, per le proprietà delle trasformate di Fourier, si deve avere<math>^{[2]}</math> <math>f(|\vec{k}|;-\vec{k}) = f^*(|\vec{k}|;\vec{k})</math>, e per brevità poniamo <math>f(|\vec{k}|;\vec{k}) = \varepsilon(\vec{k})</math>. In questo caso, dunque: <math>\varphi(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \varepsilon(\vec{k}) e^{-ikx} + \varepsilon^*(\vec{k}) e^{ikx} \right]_{|k^0=|\vec{k}|} d^3\vec{k} =</math> <math>= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \varepsilon(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.} \right]_{|k^0=|\vec{k}|} d^3\vec{k}</math> ove c.c. sta per "complesso coniugato". Notiamo che, poiché <math>\varphi</math> è sicuramente scalare di Lorentz, dalla sua espressione segue che anche <math>d^3\vec{k}/|\vec{k}|</math> è invariante di Lorentz, fatto assolutamente non ovvio a priori. Ora, sappiamo già che <math>\varphi</math> ha un grado di libertà, cioè deve dipendere da due funzioni indipendenti; essendo però <math>\varepsilon</math> complessa, questa sarà esprimibile come una opportuna somma di due funzioni reali: ci deve dunque essere una relazione univoca che lega <math>\varphi(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 \varphi(0;\vec{x})</math> con <math>\varepsilon(\vec{k})</math>. La soluzione più generale possibile di <math>\Box \varphi = 0</math>, dunque, è: <math>\varphi(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \varepsilon(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.} \right]_{|k^0=|\vec{k}|} d^3\vec{k}</math> Questa può essere vista come una sovrapposizione di soluzioni elementari <math>\varphi_k = \varepsilon(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^0=|\vec{k}|}</math>, dette onde piane; se ad esempio <math>\vec{k} = \hat{z}|\vec{k}|</math>, allora: <math>\varphi_k(x) = \varepsilon(\vec{k}) e^{-i|\vec{k}|(t-|\hat{z}|)} + \text{c.c.}|_{k^0=|\vec{k}|}</math> e i punti con fase costante, cioè i punti tali che <math>|\vec{k}|(t - |\hat{z}|) = \text{cost.}</math> rappresentano dei piani ortogonali a <math>\hat{z}</math>, detti fronti d'onda, che si propagano alla velocità della luce. Queste onde sono anche monocromatiche, perché posseggono una frequenza ben precisa (<math>f = |\vec{k}|/2\pi = 1/\lambda</math>); c'è da dire però che una singola onda piana non si annulla all'infinito, e pertanto considereremo, come soluzioni generali dell'equazione <math>\Box \varphi = 0</math>, sovrapposizioni di onde piane, dette pacchetti d'onde. <math>^{[1]}</math> Ricordarsi che le distribuzioni a supporto in un punto possono essere soltanto combinazioni lineari di <math>\delta</math> e delle sue derivate. <math>^{[2]}</math> Infatti, dalla definizione stessa di trasformata di Fourier si verifica che se <math>\varphi</math> è reale allora <math>\hat{\varphi}^*(k) = \hat{\varphi}(-k)</math>. La condizione <math>f(|\vec{k}|;-\vec{k}) = f^*(|\vec{k}|;\vec{k})</math> deriva dunque dal fatto che <math>f</math> è la trasformata di Fourier della <math>\varphi</math>, che è reale (lo avevamo implicitamente supposto). {{avanzamento|75%|12 aprile 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Soluzioni dell&#39;equazione di d&#39;Alembert]] 15mpl7e15hzzduyv2jfp2cihvkkg6nt