Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 11843 499050 499047 2026-06-07T14:54:12Z Pasquale.Carelli 528 /* Energia interna dei gas perfetti */ aggiunti simboli per formula 499050 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Gas Reali e Ideali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Gas_ideali_e_reali |CapitoloSuccessivo=Secondo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Secondo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Primo_principio_della_termodinamica|Primo principio della termodinamica]]= Il primo principio della termodinamica estende il principio di conservazione dell’energia, tipico dei sistemi meccanici conservativi, a tutti i sistemi termodinamici. In esso, l’energia totale si conserva purché si contabilizzino rigorosamente gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente esterno, che possono avvenire esclusivamente sotto due forme: il lavoro meccanico e il calore. Per convenzione (detta egoistica o fisica), si considera positivo il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e positivo il calore assorbito dal sistema. Questa scelta permette di formulare in modo coerente il bilancio energetico e di interpretare correttamente i processi fisici. Una prima conseguenza diretta del primo principio è che, in qualunque trasformazione ciclica, il sistema ritorna allo stesso stato termodinamico di partenza. Poiché lo stato termodinamico è univocamente determinato da un insieme di variabili macroscopiche, tutte le grandezze che dipendono solo da esso — le cosiddette funzioni di stato — devono riassumere lo stesso valore iniziale. In particolare, la variazione dell’energia del sistema al termine di un intero ciclo deve essere identicamente nulla. Di conseguenza, il bilancio energetico impone che il lavoro totale netto compiuto dal sistema coincida sempre con il calore totale netto assorbito: :<math>W=Q\ </math> Consideriamo ora due generici stati di equilibrio termodinamico, <math>A\ </math> e <math>B\ </math>. Esistono, in linea di principio, infiniti percorsi fisici per portare il sistema da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>. Spesso si usa rappresentare questi percorsi mediante delle linee continue in un piano termodinamico (ad esempio nel piano di Clapeyron, <math>P-V\ </math>). È fondamentale però interpretare correttamente questo diagramma: siccome i punti nel piano corrispondono esclusivamente a stati di equilibrio (dove la pressione e il volume sono ben definiti in tutto il sistema), solo una trasformazione ''quasi-statica'' (cioè un'evoluzione infinitamente lenta composta da una successione continua di stati di equilibrio) può essere rigorosamente tracciata come una curva. Gli stati intermedi di una trasformazione reale, invece, potrebbero non essere stati di equilibrio ed essere perciò privi di coordinate termodinamiche globali rappresentabili come punti. [[Image:Energia_interna.png|thumb|250px|left|Tre possibili percorsi per andare dallo stato A allo stato B su un piano termodinamico. Solo percorsi quasi-statici possono essere disegnati con linee continue.]] Consideriamo il caso illustrato in figura: vi sono due distinte trasformazioni, <math>I\ </math> e <math>II\ </math>, che portano il sistema dal medesimo stato <math>A\ </math> allo stato <math>B\ </math>. Esse comportano, in generale, scambi di calore e lavoro differenti, pari rispettivamente a <math>Q_I\ </math>, <math>W_I\ </math> e <math>Q_{II}\ </math>, <math>W_{II}\ </math>. Immaginiamo ora che il sistema venga riportato da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math> tramite una terza trasformazione di rientro <math>III\ </math>, caratterizzata da un calore <math>Q_{III}\ </math> e un lavoro <math>W_{III}\ </math>. Ciò premesso, se valutiamo i due interi cicli combinati <math>I+III\ </math> e <math>II+III\ </math>, dal bilancio sul ciclo chiuso ricaviamo che: :<math>Q_I-W_I+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> :<math>Q_{II}-W_{II}+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni, le grandezze della trasformazione <math>III\ </math> si elidono, rivelando un risultato cruciale: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}\ </math> Questa equazione dimostra che, sebbene il calore scambiato e il lavoro eseguito dipendano strettamente dal percorso effettuato tra <math>A\ </math> e <math>B\ </math>, la loro ''differenza'' ne è completamente indipendente: essa varia unicamente in base allo stato iniziale e finale. A questa quantità definita a meno di una costante additiva arbitraria viene dato il nome di '''energia interna''', che si afferma così come una vera e propria funzione di stato: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}=U(B)-U(A)\ </math> L'energia interna di un sistema ha le stesse dimensioni fisiche dell'energia puramente meccanica o del calore. Dal punto di vista microscopico, l'energia interna macroscopica misurata non è altro che la somma totale di tutte le energie a livello molecolare di cui si compone il sistema: include le energie cinetiche di ciascuna molecola (traslazionali, rotazionali e vibrazionali) e le loro energie potenziali di reciproca interazione. In maniera più generale e formale, riordinando i termini, possiamo scrivere che in qualunque trasformazione termodinamica tra stati di equilibrio: :<math>Q=W+\Delta U\ </math> Questa espressione è la forma matematica definitiva del primo principio della termodinamica. Essa ribadisce che l'energia dell'universo termodinamico considerato (sistema più ambiente) non viene né creata né distrutta: essa transita da o verso il sistema sotto forma di calore e lavoro macroscopici, manifestandosi poi come variazione dell'energia misurabile contenuta intrinsecamente nel corpo stesso. ==Energia interna dei gas perfetti== [[Image:Joultom.gif|thumb|250px|left|Schema dell'esperimento di Joule sulla espansione libera di un gas perfetto]] Si deve a [[w:James_Prescott_Joule|Joule]] un celebre esperimento fondamentale per chiarire da cosa dipenda l'energia interna di un gas perfetto. L'apparato sperimentale (mostrato schematicamente nella figura a fianco) è così concepito: in un [[w:Calorimetro|calorimetro]], ovvero un recipiente termicamente isolato contenente un liquido di cui si conosce la [[w:Capacità_termica|capacità termica]], viene immerso un contenitore rigido diviso in due sezioni da una valvola. Inizialmente tutto il gas si trova confinato nel bulbo di sinistra, in equilibrio termico alla temperatura del bagno liquido, mentre il bulbo di destra è completamente vuoto. Quando si apre il rubinetto, il gas subisce un'espansione libera, andando a occupare l'intero contenitore. Joule osservò che, a espansione conclusa, non vi era alcuna variazione misurabile nella temperatura del liquido calorimetrico. L'assenza di variazioni di temperatura implica che il gas non ha scambiato calore netto con l'ambiente esterno (il calorimetro). Pertanto, indicando con <math>Q</math> il calore, si ha <math>Q = 0</math>, e dal primo principio possiamo scrivere per il gas: :<math>W+\Delta U=0\ </math> Tuttavia il sistema, trovando il vuoto nell'altra metà del contenitore, non deve spingere alcuna parete mobile o vincere attriti esterni; non compie quindi alcun lavoro meccanico sull'ambiente (<math>W=0\ </math>). Ne consegue necessariamente che la variazione di energia interna del gas è nulla (<math>\Delta U = 0</math>). Il significato fisico di questo risultato è profondo: pur essendo cambiate drasticamente due variabili di stato del gas (il volume è raddoppiato e, di conseguenza, la pressione si è dimezzata), la temperatura e l'energia interna sono rimaste inalterate. Da qui si deduce, per esclusione, che nei gas perfetti l'energia interna non dipende né dal volume né dalla pressione, ma è esclusivamente funzione della sua temperatura: <math>U = U(T)</math>. È importante sottolineare che l'espansione libera è un esempio classico di trasformazione adiabatica e strettamente irreversibile; non è infatti possibile far tornare il gas nel solo bulbo di sinistra senza compiere lavoro di compressione. Se l'esperimento venisse ripetuto ad alta precisione con un gas reale, si noterebbero deboli variazioni di temperatura, confermando che l'assoluta indipendenza di <math>U</math> dal volume è vera solo nel modello limite del gas perfetto. Conoscendo ora questa proprietà fondamentale (<math>U=U(T)</math>), siamo in grado di valutare facilmente il calore scambiato da un gas perfetto nel corso di una trasformazione isoterma e reversibile. Questa trasformazione differisce radicalmente dall'espansione libera perché avviene attraverso stati di equilibrio e scambiando calore calore con una sorgente fissa. Poiché la temperatura non muta, l'energia interna del gas resta perennemente costante durante l'intero processo. Il gas, di fatto, converte in modo integrale tutto il calore assorbito dalla sorgente termica in lavoro meccanico ceduto all'esterno: :<math>Q=W\ </math> In particolare, se conosciamo il volume iniziale <math>V_A\ </math> e quello finale <math>V_B\ </math> delle <math>n\ </math> moli di gas che compiono tale trasformazione alla temperatura costante <math>T_o\ </math>, partendo dalla definizione generale di lavoro: :<math>W=\int_A^BPdV\ </math> Poiché la trasformazione è reversibile e quasi-statica, essa avviene lungo stati di equilibrio successivi; possiamo quindi sostituire alla pressione <math>P\ </math> l'espressione fornita dall'equazione di stato dei gas perfetti (<math>P=nRT/V</math>): :<math>W=nRT\int_{V_A}^{V_B}\frac {dV}V=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Di conseguenza, integrando il concetto, il calore totale scambiato nella trasformazione isoterma è: :<math>Q=W=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Il significato dell'energia interna nei gas perfetti acquista totale concretezza ricorrendo al modello microscopico descritto dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]. Essa permette di identificare l'energia interna di un gas perfetto monoatomico (come l'elio o l'argon) esclusivamente con la somma delle energie cinetiche traslazionali delle particelle che lo compongono. Sperimentalmente e teoricamente si dimostra che, all'equilibrio termico, l'energia cinetica media di traslazione della singola molecola dipende solo dalla temperatura assoluta ed è pari a: :<math>\frac 32 k_BT\ </math> Ricordando che la costante di Boltzmann <math>k_B=R/N_A\ </math> equivale alla costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro. Moltiplicando l'energia media della singola molecola per il numero totale di particelle presenti nel gas, l'energia interna totale di <math>n\ </math> moli di gas monoatomico risulta pari a: :<math>U=nN_A\frac 32 k_BT=\frac 32 nRT\ </math> Se il gas è biatomico (come l'ossigeno o l'azoto), la molecola non è più puntiforme ma si modella come un "manubrio". Negli urti molecolari d'equilibrio, l'energia si ripartisce equamente anche sui due ulteriori gradi di libertà associati alle rotazioni della molecola lungo gli assi perpendicolari all'asse interatomico. Ogni molecola possiede quindi energia cinetica di traslazione più l'energia di rotazione; l'energia media distribuita sui 5 gradi di libertà complessivi aumenta quindi a: :<math>\frac 52 k_BT\ </math> In questo caso, l'energia interna macroscopica del gas biatomico assume la forma: :<math>U=nN_A\frac 52 k_BT=\frac 52 nRT\ </math> La regola per cui ad ogni singolo grado di libertà cinematico o potenziale quadratico spetti, all'equilibrio termico, un'energia media quantificabile esattamente in <math>k_BT/2\ </math>, è un postulato fondamentale della meccanica statistica classica e va sotto il nome di principio di equipartizione dell'energia. ==Calore specifico molare di un gas perfetto== ===Volume costante=== I gas e in particolare quelli perfetti hanno una elevata compressibilità, questo comporta che se si fornisce una determinata quantità di calore la temperatura a cui si porta il gas dipende da quanto varia il volume durante la trasformazione. In altri termini in genere il calore fornito in parte aumenta la temperatura del gas e in parte fa compiere lavoro verso l'ambiente esterno da parte del gas. Un caso particolarmente interessante è la quantità di calore da fornire a una mole di gas perfetto per andare da una temperatura <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math> quando la trasformazione avviene in maniera isocora cioè a volume costante, senza ipotesi di reversibilità. In questo caso il I principio della termodinamica scritto in forma differenziale diventa semplicemente: :<math>dU=dQ=c_vdT\ </math> Dove <math>c_v\ </math> è il calore specifico molare a volume costante (da cui il pedice <math>v\ </math>). Per quanto visto precedentemente se il gas è monoatomico: :<math>dU=\frac 32RdT\ </math> mentre se il gas è biatomico: :<math>dU=\frac 52RdT\ </math> Quindi il calore specifico molare di un gas perfetto vale nel caso monoatomico <math>c_v=3/2R\ </math> e nel caso biatomico <math>c_v=5/2R\ </math>. Da quanto detto quindi possiamo affermare, in generale, che in un gas perfetto l'energia libera è pari a: :<math>U=nc_vT\ </math> ===Pressione costante=== Se la trasformazione infinitesima da <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math>, invece che a volume costante, avvenisse in maniera reversibile, ma a pressione costante, per <math>n\ </math> moli di un gas perfetto, posso riscrivere il I principio della termodinamica in forma differenziale come: :<math>dU+pdV=dQ=nc_pdT\ </math> Dove con <math>c_p\ </math> si è indicato il calore specifico a pressione costante. Ma essendo la trasformazione reversibile posso differenziare l'equazione di stato di una mole di gas perfetto, il termine <math>Vdp\ </math> è nullo a causa del fatto che la trasformazione è isobara, quindi: :<math>pdV=nRdT\ </math> ma anche: :<math>dU=nc_vdT\ </math> Sostituendo nella equazione precedente: :<math>c_vdT+RdT=c_pdT\ </math> da cui segue che: :<math>c_p=c_v+R\ </math> Quindi il calore specifico molare a pressione costante è maggiore per tutti i gas perfetti al calore specifico a volume costante della stessa quantità: la costante di stato dei gas. Questo risultato fu trovato sperimentalmente, e in onore di chi lo ha scoperto, va sotto il nome di relazione di Mayer. Il rapporto tra <math>c_p\ </math> e <math>c_v\ </math> viene definito come <math>\gamma\ </math>: :<math>\gamma=\frac {c_p}{c_v}\ </math> Mentre posso sempre definire anche per i gas non perfetti il rapporto <math>\gamma\ </math>, il suo valore come il valore di <math>c_v\ </math> dati valgono solo per i gas perfetti a temperatura ambiente. A temperature molto basse o molto alte i valori che si trovano sperimentalmente per <math>c_v\ </math> e <math>\gamma\ </math> differiscono dal valore dei gas perfetti. La tabella seguente riepiloga numericamente quanto detto nel caso ideale: {| {{prettytable}} ! gas || <math>c_v\ </math> || <math>c_p\ </math> || <math>\gamma\ </math> |- | monoatomico || <math>3R/2\ </math> || <math>5R/2\ </math>|| <math>1.66\ </math> |- | biatomico || <math>5R/2\ </math> || <math>7R/2\ </math>|| <math>1.4\ </math> |- |} ==Calore specifico molare di un solido== Nei solidi la differenza tra calore specifico a pressione o volume costante è irrilevante, essendo la compressibilità trascurabile. Ma se si vuole le cose sono molto più semplici in quanto empiricamente si trova che il calore specifico molare di tutti i solidi (tranne per materiali a elevatissima temperatura di fusione quale il diamante) segue la legge empirica detta di [[w:Legge_di_Dulong_Petit|Dulong Petit]], che afferma che il calore specifico molare di un solido vale: <math>3R\ </math>. In ogni caso a temperatura ambiente il calore specifico molare di tutte le sostanze semplici non si discosta di molto da tale legge empirica. ==Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto== Una trasformazione si dice adiabatica se il sistema non scambia calore con nessuna sorgente durante la trasformazione. L'espansione libera di un gas perfetto è un esempio di trasformazione adiabatica irreversibile, ma in tale caso oltre a non assorbire calore il sistema non produce lavoro. Restringiamo la nostra attenzione su una espansione adiabatica reversibile, ovviamente invertendo il verso e i segni delle grandezze termodinamiche si ottiene il caso inverso di una compressione adiabatica. Limitiamo il caso a un gas perfetto in questo caso il lavoro prodotto sarà ovviamente pari alla variazione di energia interna del sistema. In poche parole il gas si espande e si raffredda (diminuisce la sua energia interna) e compie un lavoro. Essendo la trasformazione reversibile posso scrivere il I principio della termodinamica in maniera differenziale fotografando un generico istante in cui il sistema si porta da uno stato a uno immediatamente vicino lungo la trasformazione adiabatica: <math>dU+pdV=0\ </math> Essendo un gas perfetto posso scrivere questa relazione come: <math>nc_vdT+\frac {nRT}VdV=0\ </math> Posso scrivere che <math>R/c_v=\gamma -1\ </math> dalla relazione di Mayer, quindi separando le variabili e facendo la sostituzione detta: <math>(\gamma -1)\frac {dV}V=-\frac {dT}T\ </math> Se integriamo tra lo stato <math>A\ </math> (di partenza) e lo stato generico indicato con nessun pedice: <math>ln \left(\frac {V}{V_A} \right)^{(\gamma -1)}=ln \frac {T_A}{T}\ </math> Essendo eguali i logaritmi devono essere eguali gli argomenti cioè: [[Image:Adiabatic.svg|thumb|250px|right|Confronto tra trasformazione adiabatica e due isoterme nel piano di Clapeyron]] <math>TV^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}=cost\ </math> Mediante l'equazione di stato si può cambiare la variabile indipendente con semplici passaggi si ottiene che anche: <math>pV^{\gamma}=cost\ </math> e <math>Tp^{(1-\gamma )/\gamma}=cost\ </math> Queste equazioni descrivono il comportamento di due variabili di stato indipendenti nel corso di una trasformazione adiabatica reversibile. Notiamo come essendo <math>\gamma> 1\ </math> la pendenza sul piano di Clapeyron delle adiabatiche reversibili sia tanto maggiore rispetto alle isoterme quanto maggiore è <math>\gamma\ </math>, come è schematicamente mostrato nella figura a fianco. Un esempio di trasformazione adiabatica si ha nell'atmosfera quando masse d'aria si spostano rapidamente verso l'alto. Poiché la pressione diminuisce con l'altezza a tale espansione adiabatica si accompagna un abbassamento di temperatura dell'aria. La variazione di temperatura con l'altezza si spiega bene con tale meccanismo. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#2._Adiabatica_gas_perfetto|esercizio sui gas perfetti]] chiarisce meglio quanto detto. Mentre l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#3._Adiabatica_con_recipiente| esempio con un recipiente]] estende tale concetti. ==Trasformazioni cicliche== In una trasformazione ciclica l'energia interna del sistema che compie la trasformazione ovviamente non cambia, essendo l'energia interna una variabile di stato, poiché per definizione di ciclo, il sistema ritorna nelle condizioni iniziali. Da un punto di vista analitico se definisco <math>Q_i\ </math> il calore scambiato in un ciclo con la sorgente <math>i\ </math> e con <math>W\ </math> il lavoro totale del ciclo avrò che: :<math>\sum Q_i=W\ </math> Notiamo che invece sia i calori scambiati sia i lavori prodotti durante un ciclo dipendono da come viene compiuto il ciclo. ===Macchina termica=== Un caso particolare di ciclo è quello che avviene tra due sole sorgenti di temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math>. In tale caso se il ciclo viene percorso in senso orario il lavoro prodotto è positivo e posso chiamare <math>Q_1\ </math> e <math>Q_2\ </math> le quantità di calore scambiate con le due sorgenti in questo caso <math>Q_1\ </math> è negativa (cioè il sistema cede calore alla sorgente). Si definisce rendimento <math>\eta\ </math> di un ciclo motore il rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e il calore assorbito dalla sorgente a temperatura più alta: <math>\eta =\frac W{Q_2}\ </math> ===Ciclo frigorifero=== Se invece il ciclo viene percorso in senso antiorario, il ciclo si chiama frigorifero, in quanto il risultato finale è quello di assorbire del lavoro meccanico (quindi <math>W\ </math> è negativo) e di assorbire del calore dalla sorgente a temperatura più bassa (<math>Q_1>0\ </math> e cederla a quella temperatura più alta <math>Q_2<0\ </math>). Qui bisogna fare una distinzione tra quelli che sono dei veri e propri frigoriferi, cioè delle macchine che assorbono calore dalla sorgente più fredda e lo portano a temperatura ambiente mediante un lavoro meccanico, scaricando a temperatura ambiente il calore. L'efficienza di tali macchine frigorifere è dato del cosiddetto coefficiente di prestazione, che è il rapporto: :<math>COP_f=\frac {Q_1}{|W|}=-\frac {Q_1}{W}\ </math> Più elevato è tale rapporto migliore sono le prestazioni del frigorifero. Il ciclo frigorifero viene anche utilizzato per le cosiddette [[w:Pompa_di_calore|pompe di calore]] che in realtà servono scaldare in maniera più efficiente, rispetto alla semplice dissipazione del lavoro meccanico. Le pompe calore utilizzano il lavoro meccanico tra due temperature per assorbire calore dalla temperatura più bassa (la più bassa è temperatura ambiente) e portarlo alla temperatura più alta. In questo caso il coefficiente di prestazione è: :<math>COP_p=\frac {Q_2}{W}\ </math> Entrambi <math>Q_2\ </math> e <math>W\ </math>, sono negativi per cui il loro rapporto è positivo. Le pompe di calore sono vantaggiose da un punto di vista energetico se il COP è maggiore di 1: se è minore di 1 è più semplice trasformare direttamente il lavoro in calore. ==Ciclo di Carnot== [[Image:Carnot-cycle.jpg|thumb|450px|right|Ciclo ideale di una macchina di Carnot]] La macchina di Carnot è una macchina ideale che funziona tra due sole temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> eseguendo due trasformazioni isoterme e due adiabatiche. La macchina è ideale nel senso che il ciclo viene supposto avvenire in maniera reversibile. Notiamo che in linea di principio solo delle trasformazioni adiabatiche reversibili che chiudono il ciclo permettano di utilizzare due sole sorgenti di calore. Se infatti invece che le due adiabatiche si fosse richiuso il ciclo con delle isocore (come nel ciclo di Stirling descritto in seguito) avremmo avuto bisogno per eseguire il ciclo in maniera reversibile di infinite sorgenti di calore tra <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> (che in un ciclo scambiano una quantità nulla di calore) che però da un punto di vista pratico non è possibile. Ma a metà dell'Ottocento la macchina di Carnot appariva la macchina ideale migliore, in quanto non doveva avere le infinite sorgenti necessarie per altri tipi di cicli reversibili. Immaginiamo di utilizzare un gas perfetto per eseguire il ciclo, non è necessario, ma è il sistema per cui sappiamo in maniera semplice calcolare l'equazione di stato. La trasformazione <math>A->B\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene eseguito il lavoro <math>W_{AB}\ </math> che coincide con il calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore <math>T_2\ </math> : <math>W_{AB}=Q_2=nRT_2\ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Nella trasformazione tra <math>B->C\ </math> il sistema compie una trasformazione adiabatica reversibile, quindi il sistema è isolato da ogni sorgente di calore e compie del lavoro positivo che non calcoliamo in quanto non necessario. Notiamo che esiste una ben precisa relazione tra le temperature e i volumi, durante e in particolare, agli estremi della trasformazione: <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> La traformazione tra <math>C->D\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene assorbito il lavoro <math>W_{CD}\ </math> che coincide con il calore ceduto alla sorgente a temperatura minore <math>T_1\ </math> : <math>W_{CD}=Q_1=nRT_1\ln \frac {V_D}{V_C}\ </math> E infine una trasformazione adiabatica <math>D->A\ </math> riporta il sistema nello stato iniziale anche in questo caso si ha che: <math>T_1V_D^{\gamma -1}=T_2V_A^{\gamma -1}\ </math> Ci interessa calcolare il rendimento di una macchina di questo tipo, non è necessario conoscere il lavoro assorbito o prodotto nelle adiabatiche in quanto il lavoro totale fatto nel ciclo, per il I principio della termodinamica, coincide con il calore scambiato con le sue sorgenti cioè: <math>W=Q_1+Q_2\ </math> e quindi: <math>\eta =\frac W{Q_2}=1+\frac {T_1\ln \frac {V_D}{V_C}}{T_2\ln \frac {V_A}{V_B}}=1-\frac {T_1\ln \frac {V_C}{V_D}}{T_2\ln \frac {V_B}{V_A}}\ </math> Ma essendo le trasformazioni <math>B->C\ </math> e <math>D->A\ </math> adiabatiche abbiamo visto come : <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> <math> T_2V_A^{\gamma -1}=T_1V_D^{\gamma -1}\ </math> Per cui dividendo membro a membro segue che: <math> \frac {V_B}{V_A}=\frac {V_C}{V_D}\ </math> <math> \eta =1-\frac {T_1}{T_2}\ </math> Da questo segue che il rendimento di una macchina di Carnot dipende solo dalle temperature delle sorgenti tra cui avviene ed è tanto maggiore quanto maggiore è il rapporto tra le due temperature. In ogni caso il rendimento è sempre inferiore a 1. Mentre il rendimento non dipende che dalle temperature delle due sorgenti, i calori e il lavoro eseguito dipendono dalle dimensioni del ciclo. Infatti maggiore è il rapporto tra i volumi <math>V_B\ </math> e <math>V_A\ </math> tanto maggiore è il lavoro fatto in un ciclo. Di conseguenza aumentano le quantità di calore scambiate con le varie sorgenti. Quindi un ciclo di Carnot operante tra due temperature ha un rendimento ben preciso, ma può produrre un qualsivoglia lavoro. Inoltre essendo invertibile può essere trasformato in una macchina frigorifera il cui COP di in frigorifero vale: :<math>COP_f=\frac {T_1}{T_2-T_1}\ </math> Mentre quello della pompa di calore vale: :<math>COP_p=\frac {T_2}{T_2-T_1}\ </math> Il ciclo di Carnot non ha applicazioni pratiche in quanto fare delle trasformazioni adiabatiche reversibili è spesso meno semplice che eseguire altri tipi di trasformazioni. Al contrario il ciclo di Stirling di cui viene fatto un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#4._Ciclo_di_Stirling| esempio]] è un ciclo che operando tra due temperature ha buone applicazioni pratiche. Ovviamente cicli termodinamici ve ne sono anche altri possibili [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#5._Ciclo_anomalo| un esempio]] di un ciclo poco efficiente chiarisce la scelta del ciclo. [[Fisica_classica/Secondo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Secondo principio della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica|Primo principio della Termodinamica]] {{Avanzamento|75%}} c6jkxndea0i16kv0z5ddd7wd1zkzkt7 499054 499050 2026-06-07T15:29:12Z Pasquale.Carelli 528 /* Calore specifico molare di un gas perfetto */ riscritta questa parte 499054 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Gas Reali e Ideali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Gas_ideali_e_reali |CapitoloSuccessivo=Secondo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Secondo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Primo_principio_della_termodinamica|Primo principio della termodinamica]]= Il primo principio della termodinamica estende il principio di conservazione dell’energia, tipico dei sistemi meccanici conservativi, a tutti i sistemi termodinamici. In esso, l’energia totale si conserva purché si contabilizzino rigorosamente gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente esterno, che possono avvenire esclusivamente sotto due forme: il lavoro meccanico e il calore. Per convenzione (detta egoistica o fisica), si considera positivo il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e positivo il calore assorbito dal sistema. Questa scelta permette di formulare in modo coerente il bilancio energetico e di interpretare correttamente i processi fisici. Una prima conseguenza diretta del primo principio è che, in qualunque trasformazione ciclica, il sistema ritorna allo stesso stato termodinamico di partenza. Poiché lo stato termodinamico è univocamente determinato da un insieme di variabili macroscopiche, tutte le grandezze che dipendono solo da esso — le cosiddette funzioni di stato — devono riassumere lo stesso valore iniziale. In particolare, la variazione dell’energia del sistema al termine di un intero ciclo deve essere identicamente nulla. Di conseguenza, il bilancio energetico impone che il lavoro totale netto compiuto dal sistema coincida sempre con il calore totale netto assorbito: :<math>W=Q\ </math> Consideriamo ora due generici stati di equilibrio termodinamico, <math>A\ </math> e <math>B\ </math>. Esistono, in linea di principio, infiniti percorsi fisici per portare il sistema da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>. Spesso si usa rappresentare questi percorsi mediante delle linee continue in un piano termodinamico (ad esempio nel piano di Clapeyron, <math>P-V\ </math>). È fondamentale però interpretare correttamente questo diagramma: siccome i punti nel piano corrispondono esclusivamente a stati di equilibrio (dove la pressione e il volume sono ben definiti in tutto il sistema), solo una trasformazione ''quasi-statica'' (cioè un'evoluzione infinitamente lenta composta da una successione continua di stati di equilibrio) può essere rigorosamente tracciata come una curva. Gli stati intermedi di una trasformazione reale, invece, potrebbero non essere stati di equilibrio ed essere perciò privi di coordinate termodinamiche globali rappresentabili come punti. [[Image:Energia_interna.png|thumb|250px|left|Tre possibili percorsi per andare dallo stato A allo stato B su un piano termodinamico. Solo percorsi quasi-statici possono essere disegnati con linee continue.]] Consideriamo il caso illustrato in figura: vi sono due distinte trasformazioni, <math>I\ </math> e <math>II\ </math>, che portano il sistema dal medesimo stato <math>A\ </math> allo stato <math>B\ </math>. Esse comportano, in generale, scambi di calore e lavoro differenti, pari rispettivamente a <math>Q_I\ </math>, <math>W_I\ </math> e <math>Q_{II}\ </math>, <math>W_{II}\ </math>. Immaginiamo ora che il sistema venga riportato da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math> tramite una terza trasformazione di rientro <math>III\ </math>, caratterizzata da un calore <math>Q_{III}\ </math> e un lavoro <math>W_{III}\ </math>. Ciò premesso, se valutiamo i due interi cicli combinati <math>I+III\ </math> e <math>II+III\ </math>, dal bilancio sul ciclo chiuso ricaviamo che: :<math>Q_I-W_I+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> :<math>Q_{II}-W_{II}+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni, le grandezze della trasformazione <math>III\ </math> si elidono, rivelando un risultato cruciale: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}\ </math> Questa equazione dimostra che, sebbene il calore scambiato e il lavoro eseguito dipendano strettamente dal percorso effettuato tra <math>A\ </math> e <math>B\ </math>, la loro ''differenza'' ne è completamente indipendente: essa varia unicamente in base allo stato iniziale e finale. A questa quantità definita a meno di una costante additiva arbitraria viene dato il nome di '''energia interna''', che si afferma così come una vera e propria funzione di stato: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}=U(B)-U(A)\ </math> L'energia interna di un sistema ha le stesse dimensioni fisiche dell'energia puramente meccanica o del calore. Dal punto di vista microscopico, l'energia interna macroscopica misurata non è altro che la somma totale di tutte le energie a livello molecolare di cui si compone il sistema: include le energie cinetiche di ciascuna molecola (traslazionali, rotazionali e vibrazionali) e le loro energie potenziali di reciproca interazione. In maniera più generale e formale, riordinando i termini, possiamo scrivere che in qualunque trasformazione termodinamica tra stati di equilibrio: :<math>Q=W+\Delta U\ </math> Questa espressione è la forma matematica definitiva del primo principio della termodinamica. Essa ribadisce che l'energia dell'universo termodinamico considerato (sistema più ambiente) non viene né creata né distrutta: essa transita da o verso il sistema sotto forma di calore e lavoro macroscopici, manifestandosi poi come variazione dell'energia misurabile contenuta intrinsecamente nel corpo stesso. ==Energia interna dei gas perfetti== [[Image:Joultom.gif|thumb|250px|left|Schema dell'esperimento di Joule sulla espansione libera di un gas perfetto]] Si deve a [[w:James_Prescott_Joule|Joule]] un celebre esperimento fondamentale per chiarire da cosa dipenda l'energia interna di un gas perfetto. L'apparato sperimentale (mostrato schematicamente nella figura a fianco) è così concepito: in un [[w:Calorimetro|calorimetro]], ovvero un recipiente termicamente isolato contenente un liquido di cui si conosce la [[w:Capacità_termica|capacità termica]], viene immerso un contenitore rigido diviso in due sezioni da una valvola. Inizialmente tutto il gas si trova confinato nel bulbo di sinistra, in equilibrio termico alla temperatura del bagno liquido, mentre il bulbo di destra è completamente vuoto. Quando si apre il rubinetto, il gas subisce un'espansione libera, andando a occupare l'intero contenitore. Joule osservò che, a espansione conclusa, non vi era alcuna variazione misurabile nella temperatura del liquido calorimetrico. L'assenza di variazioni di temperatura implica che il gas non ha scambiato calore netto con l'ambiente esterno (il calorimetro). Pertanto, indicando con <math>Q</math> il calore, si ha <math>Q = 0</math>, e dal primo principio possiamo scrivere per il gas: :<math>W+\Delta U=0\ </math> Tuttavia il sistema, trovando il vuoto nell'altra metà del contenitore, non deve spingere alcuna parete mobile o vincere attriti esterni; non compie quindi alcun lavoro meccanico sull'ambiente (<math>W=0\ </math>). Ne consegue necessariamente che la variazione di energia interna del gas è nulla (<math>\Delta U = 0</math>). Il significato fisico di questo risultato è profondo: pur essendo cambiate drasticamente due variabili di stato del gas (il volume è raddoppiato e, di conseguenza, la pressione si è dimezzata), la temperatura e l'energia interna sono rimaste inalterate. Da qui si deduce, per esclusione, che nei gas perfetti l'energia interna non dipende né dal volume né dalla pressione, ma è esclusivamente funzione della sua temperatura: <math>U = U(T)</math>. È importante sottolineare che l'espansione libera è un esempio classico di trasformazione adiabatica e strettamente irreversibile; non è infatti possibile far tornare il gas nel solo bulbo di sinistra senza compiere lavoro di compressione. Se l'esperimento venisse ripetuto ad alta precisione con un gas reale, si noterebbero deboli variazioni di temperatura, confermando che l'assoluta indipendenza di <math>U</math> dal volume è vera solo nel modello limite del gas perfetto. Conoscendo ora questa proprietà fondamentale (<math>U=U(T)</math>), siamo in grado di valutare facilmente il calore scambiato da un gas perfetto nel corso di una trasformazione isoterma e reversibile. Questa trasformazione differisce radicalmente dall'espansione libera perché avviene attraverso stati di equilibrio e scambiando calore calore con una sorgente fissa. Poiché la temperatura non muta, l'energia interna del gas resta perennemente costante durante l'intero processo. Il gas, di fatto, converte in modo integrale tutto il calore assorbito dalla sorgente termica in lavoro meccanico ceduto all'esterno: :<math>Q=W\ </math> In particolare, se conosciamo il volume iniziale <math>V_A\ </math> e quello finale <math>V_B\ </math> delle <math>n\ </math> moli di gas che compiono tale trasformazione alla temperatura costante <math>T_o\ </math>, partendo dalla definizione generale di lavoro: :<math>W=\int_A^BPdV\ </math> Poiché la trasformazione è reversibile e quasi-statica, essa avviene lungo stati di equilibrio successivi; possiamo quindi sostituire alla pressione <math>P\ </math> l'espressione fornita dall'equazione di stato dei gas perfetti (<math>P=nRT/V</math>): :<math>W=nRT\int_{V_A}^{V_B}\frac {dV}V=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Di conseguenza, integrando il concetto, il calore totale scambiato nella trasformazione isoterma è: :<math>Q=W=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Il significato dell'energia interna nei gas perfetti acquista totale concretezza ricorrendo al modello microscopico descritto dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]. Essa permette di identificare l'energia interna di un gas perfetto monoatomico (come l'elio o l'argon) esclusivamente con la somma delle energie cinetiche traslazionali delle particelle che lo compongono. Sperimentalmente e teoricamente si dimostra che, all'equilibrio termico, l'energia cinetica media di traslazione della singola molecola dipende solo dalla temperatura assoluta ed è pari a: :<math>\frac 32 k_BT\ </math> Ricordando che la costante di Boltzmann <math>k_B=R/N_A\ </math> equivale alla costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro. Moltiplicando l'energia media della singola molecola per il numero totale di particelle presenti nel gas, l'energia interna totale di <math>n\ </math> moli di gas monoatomico risulta pari a: :<math>U=nN_A\frac 32 k_BT=\frac 32 nRT\ </math> Se il gas è biatomico (come l'ossigeno o l'azoto), la molecola non è più puntiforme ma si modella come un "manubrio". Negli urti molecolari d'equilibrio, l'energia si ripartisce equamente anche sui due ulteriori gradi di libertà associati alle rotazioni della molecola lungo gli assi perpendicolari all'asse interatomico. Ogni molecola possiede quindi energia cinetica di traslazione più l'energia di rotazione; l'energia media distribuita sui 5 gradi di libertà complessivi aumenta quindi a: :<math>\frac 52 k_BT\ </math> In questo caso, l'energia interna macroscopica del gas biatomico assume la forma: :<math>U=nN_A\frac 52 k_BT=\frac 52 nRT\ </math> La regola per cui ad ogni singolo grado di libertà cinematico o potenziale quadratico spetti, all'equilibrio termico, un'energia media quantificabile esattamente in <math>k_BT/2\ </math>, è un postulato fondamentale della meccanica statistica classica e va sotto il nome di principio di equipartizione dell'energia. ==Calore specifico molare di un gas perfetto== ===Trasformazione a volume costante (isocora)=== I gas, a differenza dei solidi e dei liquidi, presentano un'elevata compressibilità. Questo comporta che la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura del sistema dipenda fortemente dal tipo di trasformazione (e dal lavoro meccanico) che il gas subisce o compie. In termini energetici, il calore assorbito non si tramuta solo in un aumento di temperatura macroscopico, ma può in parte essere speso dal gas per dilatarsi espandendo il suo volume. Un caso fenomenologico basilare è determinare quanto calore si debba fornire a <math>n\ </math> moli di gas perfetto confinate in un recipiente fisso, per andare da una temperatura <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math> in una trasformazione isocora (cioè a volume costante). Poiché non c'è espansione contro l'ambiente, il lavoro è rigorosamente nullo e il I principio della termodinamica scritto in forma differenziale si riduce a: :<math>dU=dQ=nc_vdT\ </math> Dove con <math>c_v\ </math> indichiamo il '''calore specifico molare a volume costante''' (da cui il pedice <math>v\ </math>). Ricordando l'espressione dell'energia interna fondata sulla teoria cinetica (<math>U = n \frac{L}{2} R T</math>, dove <math>L</math> sono i gradi di libertà), la differenziazione ci porta ad affermare che se il gas è monoatomico: :<math>dU=n\frac 32RdT\ </math> mentre se il gas è biatomico: :<math>dU=n\frac 52RdT\ </math> Eguagliando i risultati, il calore specifico molare a volume costante vale dunque <math>c_v=3/2R\ </math> per i gas monoatomici e <math>c_v=5/2R\ </math> per quelli biatomici. Data questa costante caratteristica, possiamo scrivere in generale l'energia interna macroscopica di un gas perfetto in questa forma del tutto generale: :<math>U=nc_vT\ </math> ===Trasformazione a pressione costante (isobara)=== Se la stessa alterazione termica da <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math>, invece di avvenire a volume bloccato, avvenisse espandendo il gas reversibilmente a pressione costante, il calore non servirebbe più soltanto ad aumentare l'energia interna, ma anche a compiere il lavoro d'espansione. Per <math>n\ </math> moli di un gas perfetto, posso riscrivere formalmente il I principio della termodinamica in termini differenziali indicando con <math>c_p\ </math> il calore specifico molare a pressione costante: :<math>dQ = dU+pdV=nc_pdT\ </math> Sfruttando l'equazione dello stato dei gas perfetti <math>pV = nRT\ </math>, introduciamo i differenziali totali per una trasformazione: :<math>pdV+Vdp=nRdT\ </math> Essendo la trasformazione per costruzione isobara, la pressione è costante e il termine <math>Vdp\ </math> decade a zero. Resta quindi: :<math>pdV=nRdT\ </math> Inoltre, sappiamo già che per un gas perfetto l'energia interna dipende unicamente dalla temperatura, a prescindere dal tipo di trasformazione, quindi vale sempre <math>dU=nc_vdT\ </math>. Sostituendo le variabili trovate all'interno dell'equazione differenziale del I principio: :<math>nc_vdT+nRdT=nc_pdT\ </math> Dividendo tutti i membri per il termine comune <math>ndT\ </math>, otteniamo l'elegantissima espressione finale: :<math>c_p=c_v+R\ </math> A pressione costante, il calore specifico molare risulta quindi sempre rigorosamente maggiore a quello a volume costante. La loro netta differenza eguaglia la costante universale di stato dei gas. Questo storico risultato teorico va sotto il nome di '''[[w:Relazione_di_Mayer|Relazione di Mayer]]'''. Sempre relativamente e funzionalmente ai moti di un gas, viene spesso introdotto la costante <math>\gamma\ </math>, definita come rapporto fra i medesimi calori specifici: :<math>\gamma=\frac {c_p}{c_v}\ </math> Il suo valore numerico, così come il valore di <math>c_v\ </math> descritti sinora, governano fedelmente i gas perfetti (idealizzati) ma approssimano con estremo rigore gran parte dei gas reali testati a temperatura ambiente. Laddove tuttavia ci si muova a temperature critiche (estremamente basse prossime allo zero assoluto o talmente alte da indurre rotture/eccitazioni termiche), i gradi di libertà congelano o aumentano, discostando radicalmente i valori <math>c_v\ </math> e <math>\gamma\ </math> trovati per via sperimentale rispetto al caso del gas perfetto qui analizzato. La tabella seguente riepiloga numericamente le costanti ideali: {| {{prettytable}} ! Tipo di gas || <math>c_v\ </math> || <math>c_p\ </math> || <math>\gamma\ </math> |- | Monoatomico || <math>3R/2\ </math> || <math>5R/2\ </math>|| <math>5/3\ </math> |- | Biatomico || <math>5R/2\ </math> || <math>7R/2\ </math>|| <math>1,4\ </math> |- |} ==Calore specifico molare di un solido== Nei solidi la differenza tra calore specifico a pressione o volume costante è irrilevante, essendo la compressibilità trascurabile. Ma se si vuole le cose sono molto più semplici in quanto empiricamente si trova che il calore specifico molare di tutti i solidi (tranne per materiali a elevatissima temperatura di fusione quale il diamante) segue la legge empirica detta di [[w:Legge_di_Dulong_Petit|Dulong Petit]], che afferma che il calore specifico molare di un solido vale: <math>3R\ </math>. In ogni caso a temperatura ambiente il calore specifico molare di tutte le sostanze semplici non si discosta di molto da tale legge empirica. ==Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto== Una trasformazione si dice adiabatica se il sistema non scambia calore con nessuna sorgente durante la trasformazione. L'espansione libera di un gas perfetto è un esempio di trasformazione adiabatica irreversibile, ma in tale caso oltre a non assorbire calore il sistema non produce lavoro. Restringiamo la nostra attenzione su una espansione adiabatica reversibile, ovviamente invertendo il verso e i segni delle grandezze termodinamiche si ottiene il caso inverso di una compressione adiabatica. Limitiamo il caso a un gas perfetto in questo caso il lavoro prodotto sarà ovviamente pari alla variazione di energia interna del sistema. In poche parole il gas si espande e si raffredda (diminuisce la sua energia interna) e compie un lavoro. Essendo la trasformazione reversibile posso scrivere il I principio della termodinamica in maniera differenziale fotografando un generico istante in cui il sistema si porta da uno stato a uno immediatamente vicino lungo la trasformazione adiabatica: <math>dU+pdV=0\ </math> Essendo un gas perfetto posso scrivere questa relazione come: <math>nc_vdT+\frac {nRT}VdV=0\ </math> Posso scrivere che <math>R/c_v=\gamma -1\ </math> dalla relazione di Mayer, quindi separando le variabili e facendo la sostituzione detta: <math>(\gamma -1)\frac {dV}V=-\frac {dT}T\ </math> Se integriamo tra lo stato <math>A\ </math> (di partenza) e lo stato generico indicato con nessun pedice: <math>ln \left(\frac {V}{V_A} \right)^{(\gamma -1)}=ln \frac {T_A}{T}\ </math> Essendo eguali i logaritmi devono essere eguali gli argomenti cioè: [[Image:Adiabatic.svg|thumb|250px|right|Confronto tra trasformazione adiabatica e due isoterme nel piano di Clapeyron]] <math>TV^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}=cost\ </math> Mediante l'equazione di stato si può cambiare la variabile indipendente con semplici passaggi si ottiene che anche: <math>pV^{\gamma}=cost\ </math> e <math>Tp^{(1-\gamma )/\gamma}=cost\ </math> Queste equazioni descrivono il comportamento di due variabili di stato indipendenti nel corso di una trasformazione adiabatica reversibile. Notiamo come essendo <math>\gamma> 1\ </math> la pendenza sul piano di Clapeyron delle adiabatiche reversibili sia tanto maggiore rispetto alle isoterme quanto maggiore è <math>\gamma\ </math>, come è schematicamente mostrato nella figura a fianco. Un esempio di trasformazione adiabatica si ha nell'atmosfera quando masse d'aria si spostano rapidamente verso l'alto. Poiché la pressione diminuisce con l'altezza a tale espansione adiabatica si accompagna un abbassamento di temperatura dell'aria. La variazione di temperatura con l'altezza si spiega bene con tale meccanismo. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#2._Adiabatica_gas_perfetto|esercizio sui gas perfetti]] chiarisce meglio quanto detto. Mentre l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#3._Adiabatica_con_recipiente| esempio con un recipiente]] estende tale concetti. ==Trasformazioni cicliche== In una trasformazione ciclica l'energia interna del sistema che compie la trasformazione ovviamente non cambia, essendo l'energia interna una variabile di stato, poiché per definizione di ciclo, il sistema ritorna nelle condizioni iniziali. Da un punto di vista analitico se definisco <math>Q_i\ </math> il calore scambiato in un ciclo con la sorgente <math>i\ </math> e con <math>W\ </math> il lavoro totale del ciclo avrò che: :<math>\sum Q_i=W\ </math> Notiamo che invece sia i calori scambiati sia i lavori prodotti durante un ciclo dipendono da come viene compiuto il ciclo. ===Macchina termica=== Un caso particolare di ciclo è quello che avviene tra due sole sorgenti di temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math>. In tale caso se il ciclo viene percorso in senso orario il lavoro prodotto è positivo e posso chiamare <math>Q_1\ </math> e <math>Q_2\ </math> le quantità di calore scambiate con le due sorgenti in questo caso <math>Q_1\ </math> è negativa (cioè il sistema cede calore alla sorgente). Si definisce rendimento <math>\eta\ </math> di un ciclo motore il rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e il calore assorbito dalla sorgente a temperatura più alta: <math>\eta =\frac W{Q_2}\ </math> ===Ciclo frigorifero=== Se invece il ciclo viene percorso in senso antiorario, il ciclo si chiama frigorifero, in quanto il risultato finale è quello di assorbire del lavoro meccanico (quindi <math>W\ </math> è negativo) e di assorbire del calore dalla sorgente a temperatura più bassa (<math>Q_1>0\ </math> e cederla a quella temperatura più alta <math>Q_2<0\ </math>). Qui bisogna fare una distinzione tra quelli che sono dei veri e propri frigoriferi, cioè delle macchine che assorbono calore dalla sorgente più fredda e lo portano a temperatura ambiente mediante un lavoro meccanico, scaricando a temperatura ambiente il calore. L'efficienza di tali macchine frigorifere è dato del cosiddetto coefficiente di prestazione, che è il rapporto: :<math>COP_f=\frac {Q_1}{|W|}=-\frac {Q_1}{W}\ </math> Più elevato è tale rapporto migliore sono le prestazioni del frigorifero. Il ciclo frigorifero viene anche utilizzato per le cosiddette [[w:Pompa_di_calore|pompe di calore]] che in realtà servono scaldare in maniera più efficiente, rispetto alla semplice dissipazione del lavoro meccanico. Le pompe calore utilizzano il lavoro meccanico tra due temperature per assorbire calore dalla temperatura più bassa (la più bassa è temperatura ambiente) e portarlo alla temperatura più alta. In questo caso il coefficiente di prestazione è: :<math>COP_p=\frac {Q_2}{W}\ </math> Entrambi <math>Q_2\ </math> e <math>W\ </math>, sono negativi per cui il loro rapporto è positivo. Le pompe di calore sono vantaggiose da un punto di vista energetico se il COP è maggiore di 1: se è minore di 1 è più semplice trasformare direttamente il lavoro in calore. ==Ciclo di Carnot== [[Image:Carnot-cycle.jpg|thumb|450px|right|Ciclo ideale di una macchina di Carnot]] La macchina di Carnot è una macchina ideale che funziona tra due sole temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> eseguendo due trasformazioni isoterme e due adiabatiche. La macchina è ideale nel senso che il ciclo viene supposto avvenire in maniera reversibile. Notiamo che in linea di principio solo delle trasformazioni adiabatiche reversibili che chiudono il ciclo permettano di utilizzare due sole sorgenti di calore. Se infatti invece che le due adiabatiche si fosse richiuso il ciclo con delle isocore (come nel ciclo di Stirling descritto in seguito) avremmo avuto bisogno per eseguire il ciclo in maniera reversibile di infinite sorgenti di calore tra <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> (che in un ciclo scambiano una quantità nulla di calore) che però da un punto di vista pratico non è possibile. Ma a metà dell'Ottocento la macchina di Carnot appariva la macchina ideale migliore, in quanto non doveva avere le infinite sorgenti necessarie per altri tipi di cicli reversibili. Immaginiamo di utilizzare un gas perfetto per eseguire il ciclo, non è necessario, ma è il sistema per cui sappiamo in maniera semplice calcolare l'equazione di stato. La trasformazione <math>A->B\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene eseguito il lavoro <math>W_{AB}\ </math> che coincide con il calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore <math>T_2\ </math> : <math>W_{AB}=Q_2=nRT_2\ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Nella trasformazione tra <math>B->C\ </math> il sistema compie una trasformazione adiabatica reversibile, quindi il sistema è isolato da ogni sorgente di calore e compie del lavoro positivo che non calcoliamo in quanto non necessario. Notiamo che esiste una ben precisa relazione tra le temperature e i volumi, durante e in particolare, agli estremi della trasformazione: <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> La traformazione tra <math>C->D\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene assorbito il lavoro <math>W_{CD}\ </math> che coincide con il calore ceduto alla sorgente a temperatura minore <math>T_1\ </math> : <math>W_{CD}=Q_1=nRT_1\ln \frac {V_D}{V_C}\ </math> E infine una trasformazione adiabatica <math>D->A\ </math> riporta il sistema nello stato iniziale anche in questo caso si ha che: <math>T_1V_D^{\gamma -1}=T_2V_A^{\gamma -1}\ </math> Ci interessa calcolare il rendimento di una macchina di questo tipo, non è necessario conoscere il lavoro assorbito o prodotto nelle adiabatiche in quanto il lavoro totale fatto nel ciclo, per il I principio della termodinamica, coincide con il calore scambiato con le sue sorgenti cioè: <math>W=Q_1+Q_2\ </math> e quindi: <math>\eta =\frac W{Q_2}=1+\frac {T_1\ln \frac {V_D}{V_C}}{T_2\ln \frac {V_A}{V_B}}=1-\frac {T_1\ln \frac {V_C}{V_D}}{T_2\ln \frac {V_B}{V_A}}\ </math> Ma essendo le trasformazioni <math>B->C\ </math> e <math>D->A\ </math> adiabatiche abbiamo visto come : <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> <math> T_2V_A^{\gamma -1}=T_1V_D^{\gamma -1}\ </math> Per cui dividendo membro a membro segue che: <math> \frac {V_B}{V_A}=\frac {V_C}{V_D}\ </math> <math> \eta =1-\frac {T_1}{T_2}\ </math> Da questo segue che il rendimento di una macchina di Carnot dipende solo dalle temperature delle sorgenti tra cui avviene ed è tanto maggiore quanto maggiore è il rapporto tra le due temperature. In ogni caso il rendimento è sempre inferiore a 1. Mentre il rendimento non dipende che dalle temperature delle due sorgenti, i calori e il lavoro eseguito dipendono dalle dimensioni del ciclo. Infatti maggiore è il rapporto tra i volumi <math>V_B\ </math> e <math>V_A\ </math> tanto maggiore è il lavoro fatto in un ciclo. Di conseguenza aumentano le quantità di calore scambiate con le varie sorgenti. Quindi un ciclo di Carnot operante tra due temperature ha un rendimento ben preciso, ma può produrre un qualsivoglia lavoro. Inoltre essendo invertibile può essere trasformato in una macchina frigorifera il cui COP di in frigorifero vale: :<math>COP_f=\frac {T_1}{T_2-T_1}\ </math> Mentre quello della pompa di calore vale: :<math>COP_p=\frac {T_2}{T_2-T_1}\ </math> Il ciclo di Carnot non ha applicazioni pratiche in quanto fare delle trasformazioni adiabatiche reversibili è spesso meno semplice che eseguire altri tipi di trasformazioni. Al contrario il ciclo di Stirling di cui viene fatto un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#4._Ciclo_di_Stirling| esempio]] è un ciclo che operando tra due temperature ha buone applicazioni pratiche. Ovviamente cicli termodinamici ve ne sono anche altri possibili [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#5._Ciclo_anomalo| un esempio]] di un ciclo poco efficiente chiarisce la scelta del ciclo. [[Fisica_classica/Secondo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Secondo principio della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica|Primo principio della Termodinamica]] {{Avanzamento|75%}} oaeakujvypd1wko2buhla72j5utssyl 499055 499054 2026-06-07T15:40:59Z Pasquale.Carelli 528 /* Calore specifico molare di un solido */ resa più fluida 499055 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Gas Reali e Ideali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Gas_ideali_e_reali |CapitoloSuccessivo=Secondo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Secondo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Primo_principio_della_termodinamica|Primo principio della termodinamica]]= Il primo principio della termodinamica estende il principio di conservazione dell’energia, tipico dei sistemi meccanici conservativi, a tutti i sistemi termodinamici. In esso, l’energia totale si conserva purché si contabilizzino rigorosamente gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente esterno, che possono avvenire esclusivamente sotto due forme: il lavoro meccanico e il calore. Per convenzione (detta egoistica o fisica), si considera positivo il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e positivo il calore assorbito dal sistema. Questa scelta permette di formulare in modo coerente il bilancio energetico e di interpretare correttamente i processi fisici. Una prima conseguenza diretta del primo principio è che, in qualunque trasformazione ciclica, il sistema ritorna allo stesso stato termodinamico di partenza. Poiché lo stato termodinamico è univocamente determinato da un insieme di variabili macroscopiche, tutte le grandezze che dipendono solo da esso — le cosiddette funzioni di stato — devono riassumere lo stesso valore iniziale. In particolare, la variazione dell’energia del sistema al termine di un intero ciclo deve essere identicamente nulla. Di conseguenza, il bilancio energetico impone che il lavoro totale netto compiuto dal sistema coincida sempre con il calore totale netto assorbito: :<math>W=Q\ </math> Consideriamo ora due generici stati di equilibrio termodinamico, <math>A\ </math> e <math>B\ </math>. Esistono, in linea di principio, infiniti percorsi fisici per portare il sistema da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>. Spesso si usa rappresentare questi percorsi mediante delle linee continue in un piano termodinamico (ad esempio nel piano di Clapeyron, <math>P-V\ </math>). È fondamentale però interpretare correttamente questo diagramma: siccome i punti nel piano corrispondono esclusivamente a stati di equilibrio (dove la pressione e il volume sono ben definiti in tutto il sistema), solo una trasformazione ''quasi-statica'' (cioè un'evoluzione infinitamente lenta composta da una successione continua di stati di equilibrio) può essere rigorosamente tracciata come una curva. Gli stati intermedi di una trasformazione reale, invece, potrebbero non essere stati di equilibrio ed essere perciò privi di coordinate termodinamiche globali rappresentabili come punti. [[Image:Energia_interna.png|thumb|250px|left|Tre possibili percorsi per andare dallo stato A allo stato B su un piano termodinamico. Solo percorsi quasi-statici possono essere disegnati con linee continue.]] Consideriamo il caso illustrato in figura: vi sono due distinte trasformazioni, <math>I\ </math> e <math>II\ </math>, che portano il sistema dal medesimo stato <math>A\ </math> allo stato <math>B\ </math>. Esse comportano, in generale, scambi di calore e lavoro differenti, pari rispettivamente a <math>Q_I\ </math>, <math>W_I\ </math> e <math>Q_{II}\ </math>, <math>W_{II}\ </math>. Immaginiamo ora che il sistema venga riportato da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math> tramite una terza trasformazione di rientro <math>III\ </math>, caratterizzata da un calore <math>Q_{III}\ </math> e un lavoro <math>W_{III}\ </math>. Ciò premesso, se valutiamo i due interi cicli combinati <math>I+III\ </math> e <math>II+III\ </math>, dal bilancio sul ciclo chiuso ricaviamo che: :<math>Q_I-W_I+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> :<math>Q_{II}-W_{II}+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni, le grandezze della trasformazione <math>III\ </math> si elidono, rivelando un risultato cruciale: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}\ </math> Questa equazione dimostra che, sebbene il calore scambiato e il lavoro eseguito dipendano strettamente dal percorso effettuato tra <math>A\ </math> e <math>B\ </math>, la loro ''differenza'' ne è completamente indipendente: essa varia unicamente in base allo stato iniziale e finale. A questa quantità definita a meno di una costante additiva arbitraria viene dato il nome di '''energia interna''', che si afferma così come una vera e propria funzione di stato: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}=U(B)-U(A)\ </math> L'energia interna di un sistema ha le stesse dimensioni fisiche dell'energia puramente meccanica o del calore. Dal punto di vista microscopico, l'energia interna macroscopica misurata non è altro che la somma totale di tutte le energie a livello molecolare di cui si compone il sistema: include le energie cinetiche di ciascuna molecola (traslazionali, rotazionali e vibrazionali) e le loro energie potenziali di reciproca interazione. In maniera più generale e formale, riordinando i termini, possiamo scrivere che in qualunque trasformazione termodinamica tra stati di equilibrio: :<math>Q=W+\Delta U\ </math> Questa espressione è la forma matematica definitiva del primo principio della termodinamica. Essa ribadisce che l'energia dell'universo termodinamico considerato (sistema più ambiente) non viene né creata né distrutta: essa transita da o verso il sistema sotto forma di calore e lavoro macroscopici, manifestandosi poi come variazione dell'energia misurabile contenuta intrinsecamente nel corpo stesso. ==Energia interna dei gas perfetti== [[Image:Joultom.gif|thumb|250px|left|Schema dell'esperimento di Joule sulla espansione libera di un gas perfetto]] Si deve a [[w:James_Prescott_Joule|Joule]] un celebre esperimento fondamentale per chiarire da cosa dipenda l'energia interna di un gas perfetto. L'apparato sperimentale (mostrato schematicamente nella figura a fianco) è così concepito: in un [[w:Calorimetro|calorimetro]], ovvero un recipiente termicamente isolato contenente un liquido di cui si conosce la [[w:Capacità_termica|capacità termica]], viene immerso un contenitore rigido diviso in due sezioni da una valvola. Inizialmente tutto il gas si trova confinato nel bulbo di sinistra, in equilibrio termico alla temperatura del bagno liquido, mentre il bulbo di destra è completamente vuoto. Quando si apre il rubinetto, il gas subisce un'espansione libera, andando a occupare l'intero contenitore. Joule osservò che, a espansione conclusa, non vi era alcuna variazione misurabile nella temperatura del liquido calorimetrico. L'assenza di variazioni di temperatura implica che il gas non ha scambiato calore netto con l'ambiente esterno (il calorimetro). Pertanto, indicando con <math>Q</math> il calore, si ha <math>Q = 0</math>, e dal primo principio possiamo scrivere per il gas: :<math>W+\Delta U=0\ </math> Tuttavia il sistema, trovando il vuoto nell'altra metà del contenitore, non deve spingere alcuna parete mobile o vincere attriti esterni; non compie quindi alcun lavoro meccanico sull'ambiente (<math>W=0\ </math>). Ne consegue necessariamente che la variazione di energia interna del gas è nulla (<math>\Delta U = 0</math>). Il significato fisico di questo risultato è profondo: pur essendo cambiate drasticamente due variabili di stato del gas (il volume è raddoppiato e, di conseguenza, la pressione si è dimezzata), la temperatura e l'energia interna sono rimaste inalterate. Da qui si deduce, per esclusione, che nei gas perfetti l'energia interna non dipende né dal volume né dalla pressione, ma è esclusivamente funzione della sua temperatura: <math>U = U(T)</math>. È importante sottolineare che l'espansione libera è un esempio classico di trasformazione adiabatica e strettamente irreversibile; non è infatti possibile far tornare il gas nel solo bulbo di sinistra senza compiere lavoro di compressione. Se l'esperimento venisse ripetuto ad alta precisione con un gas reale, si noterebbero deboli variazioni di temperatura, confermando che l'assoluta indipendenza di <math>U</math> dal volume è vera solo nel modello limite del gas perfetto. Conoscendo ora questa proprietà fondamentale (<math>U=U(T)</math>), siamo in grado di valutare facilmente il calore scambiato da un gas perfetto nel corso di una trasformazione isoterma e reversibile. Questa trasformazione differisce radicalmente dall'espansione libera perché avviene attraverso stati di equilibrio e scambiando calore calore con una sorgente fissa. Poiché la temperatura non muta, l'energia interna del gas resta perennemente costante durante l'intero processo. Il gas, di fatto, converte in modo integrale tutto il calore assorbito dalla sorgente termica in lavoro meccanico ceduto all'esterno: :<math>Q=W\ </math> In particolare, se conosciamo il volume iniziale <math>V_A\ </math> e quello finale <math>V_B\ </math> delle <math>n\ </math> moli di gas che compiono tale trasformazione alla temperatura costante <math>T_o\ </math>, partendo dalla definizione generale di lavoro: :<math>W=\int_A^BPdV\ </math> Poiché la trasformazione è reversibile e quasi-statica, essa avviene lungo stati di equilibrio successivi; possiamo quindi sostituire alla pressione <math>P\ </math> l'espressione fornita dall'equazione di stato dei gas perfetti (<math>P=nRT/V</math>): :<math>W=nRT\int_{V_A}^{V_B}\frac {dV}V=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Di conseguenza, integrando il concetto, il calore totale scambiato nella trasformazione isoterma è: :<math>Q=W=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Il significato dell'energia interna nei gas perfetti acquista totale concretezza ricorrendo al modello microscopico descritto dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]. Essa permette di identificare l'energia interna di un gas perfetto monoatomico (come l'elio o l'argon) esclusivamente con la somma delle energie cinetiche traslazionali delle particelle che lo compongono. Sperimentalmente e teoricamente si dimostra che, all'equilibrio termico, l'energia cinetica media di traslazione della singola molecola dipende solo dalla temperatura assoluta ed è pari a: :<math>\frac 32 k_BT\ </math> Ricordando che la costante di Boltzmann <math>k_B=R/N_A\ </math> equivale alla costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro. Moltiplicando l'energia media della singola molecola per il numero totale di particelle presenti nel gas, l'energia interna totale di <math>n\ </math> moli di gas monoatomico risulta pari a: :<math>U=nN_A\frac 32 k_BT=\frac 32 nRT\ </math> Se il gas è biatomico (come l'ossigeno o l'azoto), la molecola non è più puntiforme ma si modella come un "manubrio". Negli urti molecolari d'equilibrio, l'energia si ripartisce equamente anche sui due ulteriori gradi di libertà associati alle rotazioni della molecola lungo gli assi perpendicolari all'asse interatomico. Ogni molecola possiede quindi energia cinetica di traslazione più l'energia di rotazione; l'energia media distribuita sui 5 gradi di libertà complessivi aumenta quindi a: :<math>\frac 52 k_BT\ </math> In questo caso, l'energia interna macroscopica del gas biatomico assume la forma: :<math>U=nN_A\frac 52 k_BT=\frac 52 nRT\ </math> La regola per cui ad ogni singolo grado di libertà cinematico o potenziale quadratico spetti, all'equilibrio termico, un'energia media quantificabile esattamente in <math>k_BT/2\ </math>, è un postulato fondamentale della meccanica statistica classica e va sotto il nome di principio di equipartizione dell'energia. ==Calore specifico molare di un gas perfetto== ===Trasformazione a volume costante (isocora)=== I gas, a differenza dei solidi e dei liquidi, presentano un'elevata compressibilità. Questo comporta che la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura del sistema dipenda fortemente dal tipo di trasformazione (e dal lavoro meccanico) che il gas subisce o compie. In termini energetici, il calore assorbito non si tramuta solo in un aumento di temperatura macroscopico, ma può in parte essere speso dal gas per dilatarsi espandendo il suo volume. Un caso fenomenologico basilare è determinare quanto calore si debba fornire a <math>n\ </math> moli di gas perfetto confinate in un recipiente fisso, per andare da una temperatura <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math> in una trasformazione isocora (cioè a volume costante). Poiché non c'è espansione contro l'ambiente, il lavoro è rigorosamente nullo e il I principio della termodinamica scritto in forma differenziale si riduce a: :<math>dU=dQ=nc_vdT\ </math> Dove con <math>c_v\ </math> indichiamo il '''calore specifico molare a volume costante''' (da cui il pedice <math>v\ </math>). Ricordando l'espressione dell'energia interna fondata sulla teoria cinetica (<math>U = n \frac{L}{2} R T</math>, dove <math>L</math> sono i gradi di libertà), la differenziazione ci porta ad affermare che se il gas è monoatomico: :<math>dU=n\frac 32RdT\ </math> mentre se il gas è biatomico: :<math>dU=n\frac 52RdT\ </math> Eguagliando i risultati, il calore specifico molare a volume costante vale dunque <math>c_v=3/2R\ </math> per i gas monoatomici e <math>c_v=5/2R\ </math> per quelli biatomici. Data questa costante caratteristica, possiamo scrivere in generale l'energia interna macroscopica di un gas perfetto in questa forma del tutto generale: :<math>U=nc_vT\ </math> ===Trasformazione a pressione costante (isobara)=== Se la stessa alterazione termica da <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math>, invece di avvenire a volume bloccato, avvenisse espandendo il gas reversibilmente a pressione costante, il calore non servirebbe più soltanto ad aumentare l'energia interna, ma anche a compiere il lavoro d'espansione. Per <math>n\ </math> moli di un gas perfetto, posso riscrivere formalmente il I principio della termodinamica in termini differenziali indicando con <math>c_p\ </math> il calore specifico molare a pressione costante: :<math>dQ = dU+pdV=nc_pdT\ </math> Sfruttando l'equazione dello stato dei gas perfetti <math>pV = nRT\ </math>, introduciamo i differenziali totali per una trasformazione: :<math>pdV+Vdp=nRdT\ </math> Essendo la trasformazione per costruzione isobara, la pressione è costante e il termine <math>Vdp\ </math> decade a zero. Resta quindi: :<math>pdV=nRdT\ </math> Inoltre, sappiamo già che per un gas perfetto l'energia interna dipende unicamente dalla temperatura, a prescindere dal tipo di trasformazione, quindi vale sempre <math>dU=nc_vdT\ </math>. Sostituendo le variabili trovate all'interno dell'equazione differenziale del I principio: :<math>nc_vdT+nRdT=nc_pdT\ </math> Dividendo tutti i membri per il termine comune <math>ndT\ </math>, otteniamo l'elegantissima espressione finale: :<math>c_p=c_v+R\ </math> A pressione costante, il calore specifico molare risulta quindi sempre rigorosamente maggiore a quello a volume costante. La loro netta differenza eguaglia la costante universale di stato dei gas. Questo storico risultato teorico va sotto il nome di '''[[w:Relazione_di_Mayer|Relazione di Mayer]]'''. Sempre relativamente e funzionalmente ai moti di un gas, viene spesso introdotto la costante <math>\gamma\ </math>, definita come rapporto fra i medesimi calori specifici: :<math>\gamma=\frac {c_p}{c_v}\ </math> Il suo valore numerico, così come il valore di <math>c_v\ </math> descritti sinora, governano fedelmente i gas perfetti (idealizzati) ma approssimano con estremo rigore gran parte dei gas reali testati a temperatura ambiente. Laddove tuttavia ci si muova a temperature critiche (estremamente basse prossime allo zero assoluto o talmente alte da indurre rotture/eccitazioni termiche), i gradi di libertà congelano o aumentano, discostando radicalmente i valori <math>c_v\ </math> e <math>\gamma\ </math> trovati per via sperimentale rispetto al caso del gas perfetto qui analizzato. La tabella seguente riepiloga numericamente le costanti ideali: {| {{prettytable}} ! Tipo di gas || <math>c_v\ </math> || <math>c_p\ </math> || <math>\gamma\ </math> |- | Monoatomico || <math>3R/2\ </math> || <math>5R/2\ </math>|| <math>5/3\ </math> |- | Biatomico || <math>5R/2\ </math> || <math>7R/2\ </math>|| <math>1,4\ </math> |- |} ==Calore specifico molare di un solido== Nei solidi la differenza tra calore specifico a volume costante e a pressione costante è trascurabile, poiché la compressibilità è molto piccola. Empiricamente si osserva che il calore specifico molare di quasi tutti i solidi semplici, a temperatura ambiente, è molto vicino al valore previsto dalla [[w:Legge_di_Dulong_Petit|Dulong Petit]]: :<math>C_m\approx 3R\ </math> Fanno eccezione materiali con temperature di fusione molto elevate, come il diamante, per i quali il calore specifico a temperatura ambiente risulta sensibilmente inferiore. In generale, però, per la maggior parte dei solidi semplici il valore di <math>3R\ </math> fornisce una buona stima del calore specifico molare. ==Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto== Una trasformazione si dice adiabatica se il sistema non scambia calore con nessuna sorgente durante la trasformazione. L'espansione libera di un gas perfetto è un esempio di trasformazione adiabatica irreversibile, ma in tale caso oltre a non assorbire calore il sistema non produce lavoro. Restringiamo la nostra attenzione su una espansione adiabatica reversibile, ovviamente invertendo il verso e i segni delle grandezze termodinamiche si ottiene il caso inverso di una compressione adiabatica. Limitiamo il caso a un gas perfetto in questo caso il lavoro prodotto sarà ovviamente pari alla variazione di energia interna del sistema. In poche parole il gas si espande e si raffredda (diminuisce la sua energia interna) e compie un lavoro. Essendo la trasformazione reversibile posso scrivere il I principio della termodinamica in maniera differenziale fotografando un generico istante in cui il sistema si porta da uno stato a uno immediatamente vicino lungo la trasformazione adiabatica: <math>dU+pdV=0\ </math> Essendo un gas perfetto posso scrivere questa relazione come: <math>nc_vdT+\frac {nRT}VdV=0\ </math> Posso scrivere che <math>R/c_v=\gamma -1\ </math> dalla relazione di Mayer, quindi separando le variabili e facendo la sostituzione detta: <math>(\gamma -1)\frac {dV}V=-\frac {dT}T\ </math> Se integriamo tra lo stato <math>A\ </math> (di partenza) e lo stato generico indicato con nessun pedice: <math>ln \left(\frac {V}{V_A} \right)^{(\gamma -1)}=ln \frac {T_A}{T}\ </math> Essendo eguali i logaritmi devono essere eguali gli argomenti cioè: [[Image:Adiabatic.svg|thumb|250px|right|Confronto tra trasformazione adiabatica e due isoterme nel piano di Clapeyron]] <math>TV^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}=cost\ </math> Mediante l'equazione di stato si può cambiare la variabile indipendente con semplici passaggi si ottiene che anche: <math>pV^{\gamma}=cost\ </math> e <math>Tp^{(1-\gamma )/\gamma}=cost\ </math> Queste equazioni descrivono il comportamento di due variabili di stato indipendenti nel corso di una trasformazione adiabatica reversibile. Notiamo come essendo <math>\gamma> 1\ </math> la pendenza sul piano di Clapeyron delle adiabatiche reversibili sia tanto maggiore rispetto alle isoterme quanto maggiore è <math>\gamma\ </math>, come è schematicamente mostrato nella figura a fianco. Un esempio di trasformazione adiabatica si ha nell'atmosfera quando masse d'aria si spostano rapidamente verso l'alto. Poiché la pressione diminuisce con l'altezza a tale espansione adiabatica si accompagna un abbassamento di temperatura dell'aria. La variazione di temperatura con l'altezza si spiega bene con tale meccanismo. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#2._Adiabatica_gas_perfetto|esercizio sui gas perfetti]] chiarisce meglio quanto detto. Mentre l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#3._Adiabatica_con_recipiente| esempio con un recipiente]] estende tale concetti. ==Trasformazioni cicliche== In una trasformazione ciclica l'energia interna del sistema che compie la trasformazione ovviamente non cambia, essendo l'energia interna una variabile di stato, poiché per definizione di ciclo, il sistema ritorna nelle condizioni iniziali. Da un punto di vista analitico se definisco <math>Q_i\ </math> il calore scambiato in un ciclo con la sorgente <math>i\ </math> e con <math>W\ </math> il lavoro totale del ciclo avrò che: :<math>\sum Q_i=W\ </math> Notiamo che invece sia i calori scambiati sia i lavori prodotti durante un ciclo dipendono da come viene compiuto il ciclo. ===Macchina termica=== Un caso particolare di ciclo è quello che avviene tra due sole sorgenti di temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math>. In tale caso se il ciclo viene percorso in senso orario il lavoro prodotto è positivo e posso chiamare <math>Q_1\ </math> e <math>Q_2\ </math> le quantità di calore scambiate con le due sorgenti in questo caso <math>Q_1\ </math> è negativa (cioè il sistema cede calore alla sorgente). Si definisce rendimento <math>\eta\ </math> di un ciclo motore il rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e il calore assorbito dalla sorgente a temperatura più alta: <math>\eta =\frac W{Q_2}\ </math> ===Ciclo frigorifero=== Se invece il ciclo viene percorso in senso antiorario, il ciclo si chiama frigorifero, in quanto il risultato finale è quello di assorbire del lavoro meccanico (quindi <math>W\ </math> è negativo) e di assorbire del calore dalla sorgente a temperatura più bassa (<math>Q_1>0\ </math> e cederla a quella temperatura più alta <math>Q_2<0\ </math>). Qui bisogna fare una distinzione tra quelli che sono dei veri e propri frigoriferi, cioè delle macchine che assorbono calore dalla sorgente più fredda e lo portano a temperatura ambiente mediante un lavoro meccanico, scaricando a temperatura ambiente il calore. L'efficienza di tali macchine frigorifere è dato del cosiddetto coefficiente di prestazione, che è il rapporto: :<math>COP_f=\frac {Q_1}{|W|}=-\frac {Q_1}{W}\ </math> Più elevato è tale rapporto migliore sono le prestazioni del frigorifero. Il ciclo frigorifero viene anche utilizzato per le cosiddette [[w:Pompa_di_calore|pompe di calore]] che in realtà servono scaldare in maniera più efficiente, rispetto alla semplice dissipazione del lavoro meccanico. Le pompe calore utilizzano il lavoro meccanico tra due temperature per assorbire calore dalla temperatura più bassa (la più bassa è temperatura ambiente) e portarlo alla temperatura più alta. In questo caso il coefficiente di prestazione è: :<math>COP_p=\frac {Q_2}{W}\ </math> Entrambi <math>Q_2\ </math> e <math>W\ </math>, sono negativi per cui il loro rapporto è positivo. Le pompe di calore sono vantaggiose da un punto di vista energetico se il COP è maggiore di 1: se è minore di 1 è più semplice trasformare direttamente il lavoro in calore. ==Ciclo di Carnot== [[Image:Carnot-cycle.jpg|thumb|450px|right|Ciclo ideale di una macchina di Carnot]] La macchina di Carnot è una macchina ideale che funziona tra due sole temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> eseguendo due trasformazioni isoterme e due adiabatiche. La macchina è ideale nel senso che il ciclo viene supposto avvenire in maniera reversibile. Notiamo che in linea di principio solo delle trasformazioni adiabatiche reversibili che chiudono il ciclo permettano di utilizzare due sole sorgenti di calore. Se infatti invece che le due adiabatiche si fosse richiuso il ciclo con delle isocore (come nel ciclo di Stirling descritto in seguito) avremmo avuto bisogno per eseguire il ciclo in maniera reversibile di infinite sorgenti di calore tra <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> (che in un ciclo scambiano una quantità nulla di calore) che però da un punto di vista pratico non è possibile. Ma a metà dell'Ottocento la macchina di Carnot appariva la macchina ideale migliore, in quanto non doveva avere le infinite sorgenti necessarie per altri tipi di cicli reversibili. Immaginiamo di utilizzare un gas perfetto per eseguire il ciclo, non è necessario, ma è il sistema per cui sappiamo in maniera semplice calcolare l'equazione di stato. La trasformazione <math>A->B\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene eseguito il lavoro <math>W_{AB}\ </math> che coincide con il calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore <math>T_2\ </math> : <math>W_{AB}=Q_2=nRT_2\ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Nella trasformazione tra <math>B->C\ </math> il sistema compie una trasformazione adiabatica reversibile, quindi il sistema è isolato da ogni sorgente di calore e compie del lavoro positivo che non calcoliamo in quanto non necessario. Notiamo che esiste una ben precisa relazione tra le temperature e i volumi, durante e in particolare, agli estremi della trasformazione: <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> La traformazione tra <math>C->D\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene assorbito il lavoro <math>W_{CD}\ </math> che coincide con il calore ceduto alla sorgente a temperatura minore <math>T_1\ </math> : <math>W_{CD}=Q_1=nRT_1\ln \frac {V_D}{V_C}\ </math> E infine una trasformazione adiabatica <math>D->A\ </math> riporta il sistema nello stato iniziale anche in questo caso si ha che: <math>T_1V_D^{\gamma -1}=T_2V_A^{\gamma -1}\ </math> Ci interessa calcolare il rendimento di una macchina di questo tipo, non è necessario conoscere il lavoro assorbito o prodotto nelle adiabatiche in quanto il lavoro totale fatto nel ciclo, per il I principio della termodinamica, coincide con il calore scambiato con le sue sorgenti cioè: <math>W=Q_1+Q_2\ </math> e quindi: <math>\eta =\frac W{Q_2}=1+\frac {T_1\ln \frac {V_D}{V_C}}{T_2\ln \frac {V_A}{V_B}}=1-\frac {T_1\ln \frac {V_C}{V_D}}{T_2\ln \frac {V_B}{V_A}}\ </math> Ma essendo le trasformazioni <math>B->C\ </math> e <math>D->A\ </math> adiabatiche abbiamo visto come : <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> <math> T_2V_A^{\gamma -1}=T_1V_D^{\gamma -1}\ </math> Per cui dividendo membro a membro segue che: <math> \frac {V_B}{V_A}=\frac {V_C}{V_D}\ </math> <math> \eta =1-\frac {T_1}{T_2}\ </math> Da questo segue che il rendimento di una macchina di Carnot dipende solo dalle temperature delle sorgenti tra cui avviene ed è tanto maggiore quanto maggiore è il rapporto tra le due temperature. In ogni caso il rendimento è sempre inferiore a 1. Mentre il rendimento non dipende che dalle temperature delle due sorgenti, i calori e il lavoro eseguito dipendono dalle dimensioni del ciclo. Infatti maggiore è il rapporto tra i volumi <math>V_B\ </math> e <math>V_A\ </math> tanto maggiore è il lavoro fatto in un ciclo. Di conseguenza aumentano le quantità di calore scambiate con le varie sorgenti. Quindi un ciclo di Carnot operante tra due temperature ha un rendimento ben preciso, ma può produrre un qualsivoglia lavoro. Inoltre essendo invertibile può essere trasformato in una macchina frigorifera il cui COP di in frigorifero vale: :<math>COP_f=\frac {T_1}{T_2-T_1}\ </math> Mentre quello della pompa di calore vale: :<math>COP_p=\frac {T_2}{T_2-T_1}\ </math> Il ciclo di Carnot non ha applicazioni pratiche in quanto fare delle trasformazioni adiabatiche reversibili è spesso meno semplice che eseguire altri tipi di trasformazioni. Al contrario il ciclo di Stirling di cui viene fatto un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#4._Ciclo_di_Stirling| esempio]] è un ciclo che operando tra due temperature ha buone applicazioni pratiche. Ovviamente cicli termodinamici ve ne sono anche altri possibili [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#5._Ciclo_anomalo| un esempio]] di un ciclo poco efficiente chiarisce la scelta del ciclo. [[Fisica_classica/Secondo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Secondo principio della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica|Primo principio della Termodinamica]] {{Avanzamento|75%}} lhj7s0qjpkd7gqsua6jn5fjt89gqcqt 499056 499055 2026-06-07T16:08:52Z Pasquale.Carelli 528 /* Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto */ riscritta la voce 499056 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Gas Reali e Ideali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Gas_ideali_e_reali |CapitoloSuccessivo=Secondo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Secondo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Primo_principio_della_termodinamica|Primo principio della termodinamica]]= Il primo principio della termodinamica estende il principio di conservazione dell’energia, tipico dei sistemi meccanici conservativi, a tutti i sistemi termodinamici. In esso, l’energia totale si conserva purché si contabilizzino rigorosamente gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente esterno, che possono avvenire esclusivamente sotto due forme: il lavoro meccanico e il calore. Per convenzione (detta egoistica o fisica), si considera positivo il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e positivo il calore assorbito dal sistema. Questa scelta permette di formulare in modo coerente il bilancio energetico e di interpretare correttamente i processi fisici. Una prima conseguenza diretta del primo principio è che, in qualunque trasformazione ciclica, il sistema ritorna allo stesso stato termodinamico di partenza. Poiché lo stato termodinamico è univocamente determinato da un insieme di variabili macroscopiche, tutte le grandezze che dipendono solo da esso — le cosiddette funzioni di stato — devono riassumere lo stesso valore iniziale. In particolare, la variazione dell’energia del sistema al termine di un intero ciclo deve essere identicamente nulla. Di conseguenza, il bilancio energetico impone che il lavoro totale netto compiuto dal sistema coincida sempre con il calore totale netto assorbito: :<math>W=Q\ </math> Consideriamo ora due generici stati di equilibrio termodinamico, <math>A\ </math> e <math>B\ </math>. Esistono, in linea di principio, infiniti percorsi fisici per portare il sistema da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>. Spesso si usa rappresentare questi percorsi mediante delle linee continue in un piano termodinamico (ad esempio nel piano di Clapeyron, <math>P-V\ </math>). È fondamentale però interpretare correttamente questo diagramma: siccome i punti nel piano corrispondono esclusivamente a stati di equilibrio (dove la pressione e il volume sono ben definiti in tutto il sistema), solo una trasformazione ''quasi-statica'' (cioè un'evoluzione infinitamente lenta composta da una successione continua di stati di equilibrio) può essere rigorosamente tracciata come una curva. Gli stati intermedi di una trasformazione reale, invece, potrebbero non essere stati di equilibrio ed essere perciò privi di coordinate termodinamiche globali rappresentabili come punti. [[Image:Energia_interna.png|thumb|250px|left|Tre possibili percorsi per andare dallo stato A allo stato B su un piano termodinamico. Solo percorsi quasi-statici possono essere disegnati con linee continue.]] Consideriamo il caso illustrato in figura: vi sono due distinte trasformazioni, <math>I\ </math> e <math>II\ </math>, che portano il sistema dal medesimo stato <math>A\ </math> allo stato <math>B\ </math>. Esse comportano, in generale, scambi di calore e lavoro differenti, pari rispettivamente a <math>Q_I\ </math>, <math>W_I\ </math> e <math>Q_{II}\ </math>, <math>W_{II}\ </math>. Immaginiamo ora che il sistema venga riportato da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math> tramite una terza trasformazione di rientro <math>III\ </math>, caratterizzata da un calore <math>Q_{III}\ </math> e un lavoro <math>W_{III}\ </math>. Ciò premesso, se valutiamo i due interi cicli combinati <math>I+III\ </math> e <math>II+III\ </math>, dal bilancio sul ciclo chiuso ricaviamo che: :<math>Q_I-W_I+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> :<math>Q_{II}-W_{II}+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni, le grandezze della trasformazione <math>III\ </math> si elidono, rivelando un risultato cruciale: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}\ </math> Questa equazione dimostra che, sebbene il calore scambiato e il lavoro eseguito dipendano strettamente dal percorso effettuato tra <math>A\ </math> e <math>B\ </math>, la loro ''differenza'' ne è completamente indipendente: essa varia unicamente in base allo stato iniziale e finale. A questa quantità definita a meno di una costante additiva arbitraria viene dato il nome di '''energia interna''', che si afferma così come una vera e propria funzione di stato: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}=U(B)-U(A)\ </math> L'energia interna di un sistema ha le stesse dimensioni fisiche dell'energia puramente meccanica o del calore. Dal punto di vista microscopico, l'energia interna macroscopica misurata non è altro che la somma totale di tutte le energie a livello molecolare di cui si compone il sistema: include le energie cinetiche di ciascuna molecola (traslazionali, rotazionali e vibrazionali) e le loro energie potenziali di reciproca interazione. In maniera più generale e formale, riordinando i termini, possiamo scrivere che in qualunque trasformazione termodinamica tra stati di equilibrio: :<math>Q=W+\Delta U\ </math> Questa espressione è la forma matematica definitiva del primo principio della termodinamica. Essa ribadisce che l'energia dell'universo termodinamico considerato (sistema più ambiente) non viene né creata né distrutta: essa transita da o verso il sistema sotto forma di calore e lavoro macroscopici, manifestandosi poi come variazione dell'energia misurabile contenuta intrinsecamente nel corpo stesso. ==Energia interna dei gas perfetti== [[Image:Joultom.gif|thumb|250px|left|Schema dell'esperimento di Joule sulla espansione libera di un gas perfetto]] Si deve a [[w:James_Prescott_Joule|Joule]] un celebre esperimento fondamentale per chiarire da cosa dipenda l'energia interna di un gas perfetto. L'apparato sperimentale (mostrato schematicamente nella figura a fianco) è così concepito: in un [[w:Calorimetro|calorimetro]], ovvero un recipiente termicamente isolato contenente un liquido di cui si conosce la [[w:Capacità_termica|capacità termica]], viene immerso un contenitore rigido diviso in due sezioni da una valvola. Inizialmente tutto il gas si trova confinato nel bulbo di sinistra, in equilibrio termico alla temperatura del bagno liquido, mentre il bulbo di destra è completamente vuoto. Quando si apre il rubinetto, il gas subisce un'espansione libera, andando a occupare l'intero contenitore. Joule osservò che, a espansione conclusa, non vi era alcuna variazione misurabile nella temperatura del liquido calorimetrico. L'assenza di variazioni di temperatura implica che il gas non ha scambiato calore netto con l'ambiente esterno (il calorimetro). Pertanto, indicando con <math>Q</math> il calore, si ha <math>Q = 0</math>, e dal primo principio possiamo scrivere per il gas: :<math>W+\Delta U=0\ </math> Tuttavia il sistema, trovando il vuoto nell'altra metà del contenitore, non deve spingere alcuna parete mobile o vincere attriti esterni; non compie quindi alcun lavoro meccanico sull'ambiente (<math>W=0\ </math>). Ne consegue necessariamente che la variazione di energia interna del gas è nulla (<math>\Delta U = 0</math>). Il significato fisico di questo risultato è profondo: pur essendo cambiate drasticamente due variabili di stato del gas (il volume è raddoppiato e, di conseguenza, la pressione si è dimezzata), la temperatura e l'energia interna sono rimaste inalterate. Da qui si deduce, per esclusione, che nei gas perfetti l'energia interna non dipende né dal volume né dalla pressione, ma è esclusivamente funzione della sua temperatura: <math>U = U(T)</math>. È importante sottolineare che l'espansione libera è un esempio classico di trasformazione adiabatica e strettamente irreversibile; non è infatti possibile far tornare il gas nel solo bulbo di sinistra senza compiere lavoro di compressione. Se l'esperimento venisse ripetuto ad alta precisione con un gas reale, si noterebbero deboli variazioni di temperatura, confermando che l'assoluta indipendenza di <math>U</math> dal volume è vera solo nel modello limite del gas perfetto. Conoscendo ora questa proprietà fondamentale (<math>U=U(T)</math>), siamo in grado di valutare facilmente il calore scambiato da un gas perfetto nel corso di una trasformazione isoterma e reversibile. Questa trasformazione differisce radicalmente dall'espansione libera perché avviene attraverso stati di equilibrio e scambiando calore calore con una sorgente fissa. Poiché la temperatura non muta, l'energia interna del gas resta perennemente costante durante l'intero processo. Il gas, di fatto, converte in modo integrale tutto il calore assorbito dalla sorgente termica in lavoro meccanico ceduto all'esterno: :<math>Q=W\ </math> In particolare, se conosciamo il volume iniziale <math>V_A\ </math> e quello finale <math>V_B\ </math> delle <math>n\ </math> moli di gas che compiono tale trasformazione alla temperatura costante <math>T_o\ </math>, partendo dalla definizione generale di lavoro: :<math>W=\int_A^BPdV\ </math> Poiché la trasformazione è reversibile e quasi-statica, essa avviene lungo stati di equilibrio successivi; possiamo quindi sostituire alla pressione <math>P\ </math> l'espressione fornita dall'equazione di stato dei gas perfetti (<math>P=nRT/V</math>): :<math>W=nRT\int_{V_A}^{V_B}\frac {dV}V=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Di conseguenza, integrando il concetto, il calore totale scambiato nella trasformazione isoterma è: :<math>Q=W=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Il significato dell'energia interna nei gas perfetti acquista totale concretezza ricorrendo al modello microscopico descritto dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]. Essa permette di identificare l'energia interna di un gas perfetto monoatomico (come l'elio o l'argon) esclusivamente con la somma delle energie cinetiche traslazionali delle particelle che lo compongono. Sperimentalmente e teoricamente si dimostra che, all'equilibrio termico, l'energia cinetica media di traslazione della singola molecola dipende solo dalla temperatura assoluta ed è pari a: :<math>\frac 32 k_BT\ </math> Ricordando che la costante di Boltzmann <math>k_B=R/N_A\ </math> equivale alla costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro. Moltiplicando l'energia media della singola molecola per il numero totale di particelle presenti nel gas, l'energia interna totale di <math>n\ </math> moli di gas monoatomico risulta pari a: :<math>U=nN_A\frac 32 k_BT=\frac 32 nRT\ </math> Se il gas è biatomico (come l'ossigeno o l'azoto), la molecola non è più puntiforme ma si modella come un "manubrio". Negli urti molecolari d'equilibrio, l'energia si ripartisce equamente anche sui due ulteriori gradi di libertà associati alle rotazioni della molecola lungo gli assi perpendicolari all'asse interatomico. Ogni molecola possiede quindi energia cinetica di traslazione più l'energia di rotazione; l'energia media distribuita sui 5 gradi di libertà complessivi aumenta quindi a: :<math>\frac 52 k_BT\ </math> In questo caso, l'energia interna macroscopica del gas biatomico assume la forma: :<math>U=nN_A\frac 52 k_BT=\frac 52 nRT\ </math> La regola per cui ad ogni singolo grado di libertà cinematico o potenziale quadratico spetti, all'equilibrio termico, un'energia media quantificabile esattamente in <math>k_BT/2\ </math>, è un postulato fondamentale della meccanica statistica classica e va sotto il nome di principio di equipartizione dell'energia. ==Calore specifico molare di un gas perfetto== ===Trasformazione a volume costante (isocora)=== I gas, a differenza dei solidi e dei liquidi, presentano un'elevata compressibilità. Questo comporta che la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura del sistema dipenda fortemente dal tipo di trasformazione (e dal lavoro meccanico) che il gas subisce o compie. In termini energetici, il calore assorbito non si tramuta solo in un aumento di temperatura macroscopico, ma può in parte essere speso dal gas per dilatarsi espandendo il suo volume. Un caso fenomenologico basilare è determinare quanto calore si debba fornire a <math>n\ </math> moli di gas perfetto confinate in un recipiente fisso, per andare da una temperatura <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math> in una trasformazione isocora (cioè a volume costante). Poiché non c'è espansione contro l'ambiente, il lavoro è rigorosamente nullo e il I principio della termodinamica scritto in forma differenziale si riduce a: :<math>dU=dQ=nc_vdT\ </math> Dove con <math>c_v\ </math> indichiamo il '''calore specifico molare a volume costante''' (da cui il pedice <math>v\ </math>). Ricordando l'espressione dell'energia interna fondata sulla teoria cinetica (<math>U = n \frac{L}{2} R T</math>, dove <math>L</math> sono i gradi di libertà), la differenziazione ci porta ad affermare che se il gas è monoatomico: :<math>dU=n\frac 32RdT\ </math> mentre se il gas è biatomico: :<math>dU=n\frac 52RdT\ </math> Eguagliando i risultati, il calore specifico molare a volume costante vale dunque <math>c_v=3/2R\ </math> per i gas monoatomici e <math>c_v=5/2R\ </math> per quelli biatomici. Data questa costante caratteristica, possiamo scrivere in generale l'energia interna macroscopica di un gas perfetto in questa forma del tutto generale: :<math>U=nc_vT\ </math> ===Trasformazione a pressione costante (isobara)=== Se la stessa alterazione termica da <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math>, invece di avvenire a volume bloccato, avvenisse espandendo il gas reversibilmente a pressione costante, il calore non servirebbe più soltanto ad aumentare l'energia interna, ma anche a compiere il lavoro d'espansione. Per <math>n\ </math> moli di un gas perfetto, posso riscrivere formalmente il I principio della termodinamica in termini differenziali indicando con <math>c_p\ </math> il calore specifico molare a pressione costante: :<math>dQ = dU+pdV=nc_pdT\ </math> Sfruttando l'equazione dello stato dei gas perfetti <math>pV = nRT\ </math>, introduciamo i differenziali totali per una trasformazione: :<math>pdV+Vdp=nRdT\ </math> Essendo la trasformazione per costruzione isobara, la pressione è costante e il termine <math>Vdp\ </math> decade a zero. Resta quindi: :<math>pdV=nRdT\ </math> Inoltre, sappiamo già che per un gas perfetto l'energia interna dipende unicamente dalla temperatura, a prescindere dal tipo di trasformazione, quindi vale sempre <math>dU=nc_vdT\ </math>. Sostituendo le variabili trovate all'interno dell'equazione differenziale del I principio: :<math>nc_vdT+nRdT=nc_pdT\ </math> Dividendo tutti i membri per il termine comune <math>ndT\ </math>, otteniamo l'elegantissima espressione finale: :<math>c_p=c_v+R\ </math> A pressione costante, il calore specifico molare risulta quindi sempre rigorosamente maggiore a quello a volume costante. La loro netta differenza eguaglia la costante universale di stato dei gas. Questo storico risultato teorico va sotto il nome di '''[[w:Relazione_di_Mayer|Relazione di Mayer]]'''. Sempre relativamente e funzionalmente ai moti di un gas, viene spesso introdotto la costante <math>\gamma\ </math>, definita come rapporto fra i medesimi calori specifici: :<math>\gamma=\frac {c_p}{c_v}\ </math> Il suo valore numerico, così come il valore di <math>c_v\ </math> descritti sinora, governano fedelmente i gas perfetti (idealizzati) ma approssimano con estremo rigore gran parte dei gas reali testati a temperatura ambiente. Laddove tuttavia ci si muova a temperature critiche (estremamente basse prossime allo zero assoluto o talmente alte da indurre rotture/eccitazioni termiche), i gradi di libertà congelano o aumentano, discostando radicalmente i valori <math>c_v\ </math> e <math>\gamma\ </math> trovati per via sperimentale rispetto al caso del gas perfetto qui analizzato. La tabella seguente riepiloga numericamente le costanti ideali: {| {{prettytable}} ! Tipo di gas || <math>c_v\ </math> || <math>c_p\ </math> || <math>\gamma\ </math> |- | Monoatomico || <math>3R/2\ </math> || <math>5R/2\ </math>|| <math>5/3\ </math> |- | Biatomico || <math>5R/2\ </math> || <math>7R/2\ </math>|| <math>1,4\ </math> |- |} ==Calore specifico molare di un solido== Nei solidi la differenza tra calore specifico a volume costante e a pressione costante è trascurabile, poiché la compressibilità è molto piccola. Empiricamente si osserva che il calore specifico molare di quasi tutti i solidi semplici, a temperatura ambiente, è molto vicino al valore previsto dalla [[w:Legge_di_Dulong_Petit|Dulong Petit]]: :<math>C_m\approx 3R\ </math> Fanno eccezione materiali con temperature di fusione molto elevate, come il diamante, per i quali il calore specifico a temperatura ambiente risulta sensibilmente inferiore. In generale, però, per la maggior parte dei solidi semplici il valore di <math>3R\ </math> fornisce una buona stima del calore specifico molare. ==Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto== Una trasformazione si dice adiabatica quando il sistema non scambia calore con l’esterno. Un esempio importante, ma irreversibile, è l’espansione libera di un gas perfetto: non avviene scambio di calore, ma non viene compiuto lavoro e lo stato finale non è raggiunto attraverso stati di equilibrio. Nel seguito consideriamo invece una espansione adiabatica reversibile (il caso della compressione si ottiene invertendo il verso della trasformazione). Per un gas perfetto, il lavoro compiuto coincide con la diminuzione dell’energia interna, quindi il gas si espande e si raffredda. ===Equazione differenziale dell’adiabatica=== Per una trasformazione reversibile vale il I principio in forma differenziale: :<math>dU + p\,dV = 0</math> Per un gas perfetto: :<math>dU = n c_v\, dT</math> e, usando l’equazione di stato <math>pV=nRT</math> :<math>p = \frac{nRT}{V}</math> Sostituendo: :<math>n c_v\, dT + \frac{nRT}{V}\, dV = 0</math> Dividendo per <math>nT</math> e usando la relazione di Mayer :<math>R = c_p - c_v</math> si ottiene: :<math>(\gamma - 1)\frac{dV}{V} = -\frac{dT}{T}</math> con <math>\gamma = \frac{c_p}{c_v}</math>. ===Integrazione=== Integrando tra lo stato iniziale <math>A</math> e uno stato generico: :<math>\ln\!\left(\frac{V}{V_A}\right)^{\gamma - 1} = \ln\!\left(\frac{T_A}{T}\right)</math> e quindi: :<math>T\,V^{\gamma - 1} = T_A\,V_A^{\gamma - 1} = \text{cost}</math> Usando l’equazione di stato si ottengono anche le forme equivalenti: :<math>p\,V^{\gamma} = \text{cost}</math> :<math>T\,p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{cost}</math> Queste relazioni descrivono il legame tra due variabili di stato qualunque lungo una adiabatica reversibile. ===Rappresentazione sul piano di Clapeyron=== [[Image:Adiabatic.svg|thumb|350px|right|Confronto tra trasformazione adiabatica e due isoterme nel piano di Clapeyron]] <math>TV^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}=cost\ </math> Sul piano (<math>p,V</math>) una adiabatica reversibile è più ''ripida'' di una isoterma. Poiché <math>\gamma > 1</math>, la pressione decresce più rapidamente con il volume rispetto al caso della isoterma, come mostrato nella figura. ===Un esempio naturale: l’atmosfera=== Un caso fisico rilevante è l’espansione adiabatica dell’aria che sale rapidamente in atmosfera. Poiché la pressione diminuisce con l’altezza, la massa d’aria si espande, compie lavoro e si raffredda. La variazione di temperatura con la quota (gradiente adiabatico) è spiegata proprio da questo meccanismo. ===Esercizi=== Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#2._Adiabatica_gas_perfetto|esercizio sui gas perfetti]] chiarisce meglio quanto detto. Mentre l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#3._Adiabatica_con_recipiente| esempio con un recipiente]] estende la definizione di <math>\gamma</math>. ==Trasformazioni cicliche== In una trasformazione ciclica l'energia interna del sistema che compie la trasformazione ovviamente non cambia, essendo l'energia interna una variabile di stato, poiché per definizione di ciclo, il sistema ritorna nelle condizioni iniziali. Da un punto di vista analitico se definisco <math>Q_i\ </math> il calore scambiato in un ciclo con la sorgente <math>i\ </math> e con <math>W\ </math> il lavoro totale del ciclo avrò che: :<math>\sum Q_i=W\ </math> Notiamo che invece sia i calori scambiati sia i lavori prodotti durante un ciclo dipendono da come viene compiuto il ciclo. ===Macchina termica=== Un caso particolare di ciclo è quello che avviene tra due sole sorgenti di temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math>. In tale caso se il ciclo viene percorso in senso orario il lavoro prodotto è positivo e posso chiamare <math>Q_1\ </math> e <math>Q_2\ </math> le quantità di calore scambiate con le due sorgenti in questo caso <math>Q_1\ </math> è negativa (cioè il sistema cede calore alla sorgente). Si definisce rendimento <math>\eta\ </math> di un ciclo motore il rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e il calore assorbito dalla sorgente a temperatura più alta: <math>\eta =\frac W{Q_2}\ </math> ===Ciclo frigorifero=== Se invece il ciclo viene percorso in senso antiorario, il ciclo si chiama frigorifero, in quanto il risultato finale è quello di assorbire del lavoro meccanico (quindi <math>W\ </math> è negativo) e di assorbire del calore dalla sorgente a temperatura più bassa (<math>Q_1>0\ </math> e cederla a quella temperatura più alta <math>Q_2<0\ </math>). Qui bisogna fare una distinzione tra quelli che sono dei veri e propri frigoriferi, cioè delle macchine che assorbono calore dalla sorgente più fredda e lo portano a temperatura ambiente mediante un lavoro meccanico, scaricando a temperatura ambiente il calore. L'efficienza di tali macchine frigorifere è dato del cosiddetto coefficiente di prestazione, che è il rapporto: :<math>COP_f=\frac {Q_1}{|W|}=-\frac {Q_1}{W}\ </math> Più elevato è tale rapporto migliore sono le prestazioni del frigorifero. Il ciclo frigorifero viene anche utilizzato per le cosiddette [[w:Pompa_di_calore|pompe di calore]] che in realtà servono scaldare in maniera più efficiente, rispetto alla semplice dissipazione del lavoro meccanico. Le pompe calore utilizzano il lavoro meccanico tra due temperature per assorbire calore dalla temperatura più bassa (la più bassa è temperatura ambiente) e portarlo alla temperatura più alta. In questo caso il coefficiente di prestazione è: :<math>COP_p=\frac {Q_2}{W}\ </math> Entrambi <math>Q_2\ </math> e <math>W\ </math>, sono negativi per cui il loro rapporto è positivo. Le pompe di calore sono vantaggiose da un punto di vista energetico se il COP è maggiore di 1: se è minore di 1 è più semplice trasformare direttamente il lavoro in calore. ==Ciclo di Carnot== [[Image:Carnot-cycle.jpg|thumb|450px|right|Ciclo ideale di una macchina di Carnot]] La macchina di Carnot è una macchina ideale che funziona tra due sole temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> eseguendo due trasformazioni isoterme e due adiabatiche. La macchina è ideale nel senso che il ciclo viene supposto avvenire in maniera reversibile. Notiamo che in linea di principio solo delle trasformazioni adiabatiche reversibili che chiudono il ciclo permettano di utilizzare due sole sorgenti di calore. Se infatti invece che le due adiabatiche si fosse richiuso il ciclo con delle isocore (come nel ciclo di Stirling descritto in seguito) avremmo avuto bisogno per eseguire il ciclo in maniera reversibile di infinite sorgenti di calore tra <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> (che in un ciclo scambiano una quantità nulla di calore) che però da un punto di vista pratico non è possibile. Ma a metà dell'Ottocento la macchina di Carnot appariva la macchina ideale migliore, in quanto non doveva avere le infinite sorgenti necessarie per altri tipi di cicli reversibili. Immaginiamo di utilizzare un gas perfetto per eseguire il ciclo, non è necessario, ma è il sistema per cui sappiamo in maniera semplice calcolare l'equazione di stato. La trasformazione <math>A->B\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene eseguito il lavoro <math>W_{AB}\ </math> che coincide con il calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore <math>T_2\ </math> : <math>W_{AB}=Q_2=nRT_2\ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Nella trasformazione tra <math>B->C\ </math> il sistema compie una trasformazione adiabatica reversibile, quindi il sistema è isolato da ogni sorgente di calore e compie del lavoro positivo che non calcoliamo in quanto non necessario. Notiamo che esiste una ben precisa relazione tra le temperature e i volumi, durante e in particolare, agli estremi della trasformazione: <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> La traformazione tra <math>C->D\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene assorbito il lavoro <math>W_{CD}\ </math> che coincide con il calore ceduto alla sorgente a temperatura minore <math>T_1\ </math> : <math>W_{CD}=Q_1=nRT_1\ln \frac {V_D}{V_C}\ </math> E infine una trasformazione adiabatica <math>D->A\ </math> riporta il sistema nello stato iniziale anche in questo caso si ha che: <math>T_1V_D^{\gamma -1}=T_2V_A^{\gamma -1}\ </math> Ci interessa calcolare il rendimento di una macchina di questo tipo, non è necessario conoscere il lavoro assorbito o prodotto nelle adiabatiche in quanto il lavoro totale fatto nel ciclo, per il I principio della termodinamica, coincide con il calore scambiato con le sue sorgenti cioè: <math>W=Q_1+Q_2\ </math> e quindi: <math>\eta =\frac W{Q_2}=1+\frac {T_1\ln \frac {V_D}{V_C}}{T_2\ln \frac {V_A}{V_B}}=1-\frac {T_1\ln \frac {V_C}{V_D}}{T_2\ln \frac {V_B}{V_A}}\ </math> Ma essendo le trasformazioni <math>B->C\ </math> e <math>D->A\ </math> adiabatiche abbiamo visto come : <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> <math> T_2V_A^{\gamma -1}=T_1V_D^{\gamma -1}\ </math> Per cui dividendo membro a membro segue che: <math> \frac {V_B}{V_A}=\frac {V_C}{V_D}\ </math> <math> \eta =1-\frac {T_1}{T_2}\ </math> Da questo segue che il rendimento di una macchina di Carnot dipende solo dalle temperature delle sorgenti tra cui avviene ed è tanto maggiore quanto maggiore è il rapporto tra le due temperature. In ogni caso il rendimento è sempre inferiore a 1. Mentre il rendimento non dipende che dalle temperature delle due sorgenti, i calori e il lavoro eseguito dipendono dalle dimensioni del ciclo. Infatti maggiore è il rapporto tra i volumi <math>V_B\ </math> e <math>V_A\ </math> tanto maggiore è il lavoro fatto in un ciclo. Di conseguenza aumentano le quantità di calore scambiate con le varie sorgenti. Quindi un ciclo di Carnot operante tra due temperature ha un rendimento ben preciso, ma può produrre un qualsivoglia lavoro. Inoltre essendo invertibile può essere trasformato in una macchina frigorifera il cui COP di in frigorifero vale: :<math>COP_f=\frac {T_1}{T_2-T_1}\ </math> Mentre quello della pompa di calore vale: :<math>COP_p=\frac {T_2}{T_2-T_1}\ </math> Il ciclo di Carnot non ha applicazioni pratiche in quanto fare delle trasformazioni adiabatiche reversibili è spesso meno semplice che eseguire altri tipi di trasformazioni. Al contrario il ciclo di Stirling di cui viene fatto un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#4._Ciclo_di_Stirling| esempio]] è un ciclo che operando tra due temperature ha buone applicazioni pratiche. Ovviamente cicli termodinamici ve ne sono anche altri possibili [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#5._Ciclo_anomalo| un esempio]] di un ciclo poco efficiente chiarisce la scelta del ciclo. [[Fisica_classica/Secondo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Secondo principio della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica|Primo principio della Termodinamica]] {{Avanzamento|75%}} dthv72yw1jpkzucq5s4j4e8de4m3vat 499060 499056 2026-06-07T16:28:46Z Pasquale.Carelli 528 /* Trasformazioni cicliche */ riscritta la voce 499060 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Gas Reali e Ideali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Gas_ideali_e_reali |CapitoloSuccessivo=Secondo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Secondo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Primo_principio_della_termodinamica|Primo principio della termodinamica]]= Il primo principio della termodinamica estende il principio di conservazione dell’energia, tipico dei sistemi meccanici conservativi, a tutti i sistemi termodinamici. In esso, l’energia totale si conserva purché si contabilizzino rigorosamente gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente esterno, che possono avvenire esclusivamente sotto due forme: il lavoro meccanico e il calore. Per convenzione (detta egoistica o fisica), si considera positivo il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e positivo il calore assorbito dal sistema. Questa scelta permette di formulare in modo coerente il bilancio energetico e di interpretare correttamente i processi fisici. Una prima conseguenza diretta del primo principio è che, in qualunque trasformazione ciclica, il sistema ritorna allo stesso stato termodinamico di partenza. Poiché lo stato termodinamico è univocamente determinato da un insieme di variabili macroscopiche, tutte le grandezze che dipendono solo da esso — le cosiddette funzioni di stato — devono riassumere lo stesso valore iniziale. In particolare, la variazione dell’energia del sistema al termine di un intero ciclo deve essere identicamente nulla. Di conseguenza, il bilancio energetico impone che il lavoro totale netto compiuto dal sistema coincida sempre con il calore totale netto assorbito: :<math>W=Q\ </math> Consideriamo ora due generici stati di equilibrio termodinamico, <math>A\ </math> e <math>B\ </math>. Esistono, in linea di principio, infiniti percorsi fisici per portare il sistema da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>. Spesso si usa rappresentare questi percorsi mediante delle linee continue in un piano termodinamico (ad esempio nel piano di Clapeyron, <math>P-V\ </math>). È fondamentale però interpretare correttamente questo diagramma: siccome i punti nel piano corrispondono esclusivamente a stati di equilibrio (dove la pressione e il volume sono ben definiti in tutto il sistema), solo una trasformazione ''quasi-statica'' (cioè un'evoluzione infinitamente lenta composta da una successione continua di stati di equilibrio) può essere rigorosamente tracciata come una curva. Gli stati intermedi di una trasformazione reale, invece, potrebbero non essere stati di equilibrio ed essere perciò privi di coordinate termodinamiche globali rappresentabili come punti. [[Image:Energia_interna.png|thumb|250px|left|Tre possibili percorsi per andare dallo stato A allo stato B su un piano termodinamico. Solo percorsi quasi-statici possono essere disegnati con linee continue.]] Consideriamo il caso illustrato in figura: vi sono due distinte trasformazioni, <math>I\ </math> e <math>II\ </math>, che portano il sistema dal medesimo stato <math>A\ </math> allo stato <math>B\ </math>. Esse comportano, in generale, scambi di calore e lavoro differenti, pari rispettivamente a <math>Q_I\ </math>, <math>W_I\ </math> e <math>Q_{II}\ </math>, <math>W_{II}\ </math>. Immaginiamo ora che il sistema venga riportato da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math> tramite una terza trasformazione di rientro <math>III\ </math>, caratterizzata da un calore <math>Q_{III}\ </math> e un lavoro <math>W_{III}\ </math>. Ciò premesso, se valutiamo i due interi cicli combinati <math>I+III\ </math> e <math>II+III\ </math>, dal bilancio sul ciclo chiuso ricaviamo che: :<math>Q_I-W_I+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> :<math>Q_{II}-W_{II}+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni, le grandezze della trasformazione <math>III\ </math> si elidono, rivelando un risultato cruciale: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}\ </math> Questa equazione dimostra che, sebbene il calore scambiato e il lavoro eseguito dipendano strettamente dal percorso effettuato tra <math>A\ </math> e <math>B\ </math>, la loro ''differenza'' ne è completamente indipendente: essa varia unicamente in base allo stato iniziale e finale. A questa quantità definita a meno di una costante additiva arbitraria viene dato il nome di '''energia interna''', che si afferma così come una vera e propria funzione di stato: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}=U(B)-U(A)\ </math> L'energia interna di un sistema ha le stesse dimensioni fisiche dell'energia puramente meccanica o del calore. Dal punto di vista microscopico, l'energia interna macroscopica misurata non è altro che la somma totale di tutte le energie a livello molecolare di cui si compone il sistema: include le energie cinetiche di ciascuna molecola (traslazionali, rotazionali e vibrazionali) e le loro energie potenziali di reciproca interazione. In maniera più generale e formale, riordinando i termini, possiamo scrivere che in qualunque trasformazione termodinamica tra stati di equilibrio: :<math>Q=W+\Delta U\ </math> Questa espressione è la forma matematica definitiva del primo principio della termodinamica. Essa ribadisce che l'energia dell'universo termodinamico considerato (sistema più ambiente) non viene né creata né distrutta: essa transita da o verso il sistema sotto forma di calore e lavoro macroscopici, manifestandosi poi come variazione dell'energia misurabile contenuta intrinsecamente nel corpo stesso. ==Energia interna dei gas perfetti== [[Image:Joultom.gif|thumb|250px|left|Schema dell'esperimento di Joule sulla espansione libera di un gas perfetto]] Si deve a [[w:James_Prescott_Joule|Joule]] un celebre esperimento fondamentale per chiarire da cosa dipenda l'energia interna di un gas perfetto. L'apparato sperimentale (mostrato schematicamente nella figura a fianco) è così concepito: in un [[w:Calorimetro|calorimetro]], ovvero un recipiente termicamente isolato contenente un liquido di cui si conosce la [[w:Capacità_termica|capacità termica]], viene immerso un contenitore rigido diviso in due sezioni da una valvola. Inizialmente tutto il gas si trova confinato nel bulbo di sinistra, in equilibrio termico alla temperatura del bagno liquido, mentre il bulbo di destra è completamente vuoto. Quando si apre il rubinetto, il gas subisce un'espansione libera, andando a occupare l'intero contenitore. Joule osservò che, a espansione conclusa, non vi era alcuna variazione misurabile nella temperatura del liquido calorimetrico. L'assenza di variazioni di temperatura implica che il gas non ha scambiato calore netto con l'ambiente esterno (il calorimetro). Pertanto, indicando con <math>Q</math> il calore, si ha <math>Q = 0</math>, e dal primo principio possiamo scrivere per il gas: :<math>W+\Delta U=0\ </math> Tuttavia il sistema, trovando il vuoto nell'altra metà del contenitore, non deve spingere alcuna parete mobile o vincere attriti esterni; non compie quindi alcun lavoro meccanico sull'ambiente (<math>W=0\ </math>). Ne consegue necessariamente che la variazione di energia interna del gas è nulla (<math>\Delta U = 0</math>). Il significato fisico di questo risultato è profondo: pur essendo cambiate drasticamente due variabili di stato del gas (il volume è raddoppiato e, di conseguenza, la pressione si è dimezzata), la temperatura e l'energia interna sono rimaste inalterate. Da qui si deduce, per esclusione, che nei gas perfetti l'energia interna non dipende né dal volume né dalla pressione, ma è esclusivamente funzione della sua temperatura: <math>U = U(T)</math>. È importante sottolineare che l'espansione libera è un esempio classico di trasformazione adiabatica e strettamente irreversibile; non è infatti possibile far tornare il gas nel solo bulbo di sinistra senza compiere lavoro di compressione. Se l'esperimento venisse ripetuto ad alta precisione con un gas reale, si noterebbero deboli variazioni di temperatura, confermando che l'assoluta indipendenza di <math>U</math> dal volume è vera solo nel modello limite del gas perfetto. Conoscendo ora questa proprietà fondamentale (<math>U=U(T)</math>), siamo in grado di valutare facilmente il calore scambiato da un gas perfetto nel corso di una trasformazione isoterma e reversibile. Questa trasformazione differisce radicalmente dall'espansione libera perché avviene attraverso stati di equilibrio e scambiando calore calore con una sorgente fissa. Poiché la temperatura non muta, l'energia interna del gas resta perennemente costante durante l'intero processo. Il gas, di fatto, converte in modo integrale tutto il calore assorbito dalla sorgente termica in lavoro meccanico ceduto all'esterno: :<math>Q=W\ </math> In particolare, se conosciamo il volume iniziale <math>V_A\ </math> e quello finale <math>V_B\ </math> delle <math>n\ </math> moli di gas che compiono tale trasformazione alla temperatura costante <math>T_o\ </math>, partendo dalla definizione generale di lavoro: :<math>W=\int_A^BPdV\ </math> Poiché la trasformazione è reversibile e quasi-statica, essa avviene lungo stati di equilibrio successivi; possiamo quindi sostituire alla pressione <math>P\ </math> l'espressione fornita dall'equazione di stato dei gas perfetti (<math>P=nRT/V</math>): :<math>W=nRT\int_{V_A}^{V_B}\frac {dV}V=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Di conseguenza, integrando il concetto, il calore totale scambiato nella trasformazione isoterma è: :<math>Q=W=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Il significato dell'energia interna nei gas perfetti acquista totale concretezza ricorrendo al modello microscopico descritto dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]. Essa permette di identificare l'energia interna di un gas perfetto monoatomico (come l'elio o l'argon) esclusivamente con la somma delle energie cinetiche traslazionali delle particelle che lo compongono. Sperimentalmente e teoricamente si dimostra che, all'equilibrio termico, l'energia cinetica media di traslazione della singola molecola dipende solo dalla temperatura assoluta ed è pari a: :<math>\frac 32 k_BT\ </math> Ricordando che la costante di Boltzmann <math>k_B=R/N_A\ </math> equivale alla costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro. Moltiplicando l'energia media della singola molecola per il numero totale di particelle presenti nel gas, l'energia interna totale di <math>n\ </math> moli di gas monoatomico risulta pari a: :<math>U=nN_A\frac 32 k_BT=\frac 32 nRT\ </math> Se il gas è biatomico (come l'ossigeno o l'azoto), la molecola non è più puntiforme ma si modella come un "manubrio". Negli urti molecolari d'equilibrio, l'energia si ripartisce equamente anche sui due ulteriori gradi di libertà associati alle rotazioni della molecola lungo gli assi perpendicolari all'asse interatomico. Ogni molecola possiede quindi energia cinetica di traslazione più l'energia di rotazione; l'energia media distribuita sui 5 gradi di libertà complessivi aumenta quindi a: :<math>\frac 52 k_BT\ </math> In questo caso, l'energia interna macroscopica del gas biatomico assume la forma: :<math>U=nN_A\frac 52 k_BT=\frac 52 nRT\ </math> La regola per cui ad ogni singolo grado di libertà cinematico o potenziale quadratico spetti, all'equilibrio termico, un'energia media quantificabile esattamente in <math>k_BT/2\ </math>, è un postulato fondamentale della meccanica statistica classica e va sotto il nome di principio di equipartizione dell'energia. ==Calore specifico molare di un gas perfetto== ===Trasformazione a volume costante (isocora)=== I gas, a differenza dei solidi e dei liquidi, presentano un'elevata compressibilità. Questo comporta che la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura del sistema dipenda fortemente dal tipo di trasformazione (e dal lavoro meccanico) che il gas subisce o compie. In termini energetici, il calore assorbito non si tramuta solo in un aumento di temperatura macroscopico, ma può in parte essere speso dal gas per dilatarsi espandendo il suo volume. Un caso fenomenologico basilare è determinare quanto calore si debba fornire a <math>n\ </math> moli di gas perfetto confinate in un recipiente fisso, per andare da una temperatura <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math> in una trasformazione isocora (cioè a volume costante). Poiché non c'è espansione contro l'ambiente, il lavoro è rigorosamente nullo e il I principio della termodinamica scritto in forma differenziale si riduce a: :<math>dU=dQ=nc_vdT\ </math> Dove con <math>c_v\ </math> indichiamo il '''calore specifico molare a volume costante''' (da cui il pedice <math>v\ </math>). Ricordando l'espressione dell'energia interna fondata sulla teoria cinetica (<math>U = n \frac{L}{2} R T</math>, dove <math>L</math> sono i gradi di libertà), la differenziazione ci porta ad affermare che se il gas è monoatomico: :<math>dU=n\frac 32RdT\ </math> mentre se il gas è biatomico: :<math>dU=n\frac 52RdT\ </math> Eguagliando i risultati, il calore specifico molare a volume costante vale dunque <math>c_v=3/2R\ </math> per i gas monoatomici e <math>c_v=5/2R\ </math> per quelli biatomici. Data questa costante caratteristica, possiamo scrivere in generale l'energia interna macroscopica di un gas perfetto in questa forma del tutto generale: :<math>U=nc_vT\ </math> ===Trasformazione a pressione costante (isobara)=== Se la stessa alterazione termica da <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math>, invece di avvenire a volume bloccato, avvenisse espandendo il gas reversibilmente a pressione costante, il calore non servirebbe più soltanto ad aumentare l'energia interna, ma anche a compiere il lavoro d'espansione. Per <math>n\ </math> moli di un gas perfetto, posso riscrivere formalmente il I principio della termodinamica in termini differenziali indicando con <math>c_p\ </math> il calore specifico molare a pressione costante: :<math>dQ = dU+pdV=nc_pdT\ </math> Sfruttando l'equazione dello stato dei gas perfetti <math>pV = nRT\ </math>, introduciamo i differenziali totali per una trasformazione: :<math>pdV+Vdp=nRdT\ </math> Essendo la trasformazione per costruzione isobara, la pressione è costante e il termine <math>Vdp\ </math> decade a zero. Resta quindi: :<math>pdV=nRdT\ </math> Inoltre, sappiamo già che per un gas perfetto l'energia interna dipende unicamente dalla temperatura, a prescindere dal tipo di trasformazione, quindi vale sempre <math>dU=nc_vdT\ </math>. Sostituendo le variabili trovate all'interno dell'equazione differenziale del I principio: :<math>nc_vdT+nRdT=nc_pdT\ </math> Dividendo tutti i membri per il termine comune <math>ndT\ </math>, otteniamo l'elegantissima espressione finale: :<math>c_p=c_v+R\ </math> A pressione costante, il calore specifico molare risulta quindi sempre rigorosamente maggiore a quello a volume costante. La loro netta differenza eguaglia la costante universale di stato dei gas. Questo storico risultato teorico va sotto il nome di '''[[w:Relazione_di_Mayer|Relazione di Mayer]]'''. Sempre relativamente e funzionalmente ai moti di un gas, viene spesso introdotto la costante <math>\gamma\ </math>, definita come rapporto fra i medesimi calori specifici: :<math>\gamma=\frac {c_p}{c_v}\ </math> Il suo valore numerico, così come il valore di <math>c_v\ </math> descritti sinora, governano fedelmente i gas perfetti (idealizzati) ma approssimano con estremo rigore gran parte dei gas reali testati a temperatura ambiente. Laddove tuttavia ci si muova a temperature critiche (estremamente basse prossime allo zero assoluto o talmente alte da indurre rotture/eccitazioni termiche), i gradi di libertà congelano o aumentano, discostando radicalmente i valori <math>c_v\ </math> e <math>\gamma\ </math> trovati per via sperimentale rispetto al caso del gas perfetto qui analizzato. La tabella seguente riepiloga numericamente le costanti ideali: {| {{prettytable}} ! Tipo di gas || <math>c_v\ </math> || <math>c_p\ </math> || <math>\gamma\ </math> |- | Monoatomico || <math>3R/2\ </math> || <math>5R/2\ </math>|| <math>5/3\ </math> |- | Biatomico || <math>5R/2\ </math> || <math>7R/2\ </math>|| <math>1,4\ </math> |- |} ==Calore specifico molare di un solido== Nei solidi la differenza tra calore specifico a volume costante e a pressione costante è trascurabile, poiché la compressibilità è molto piccola. Empiricamente si osserva che il calore specifico molare di quasi tutti i solidi semplici, a temperatura ambiente, è molto vicino al valore previsto dalla [[w:Legge_di_Dulong_Petit|Dulong Petit]]: :<math>C_m\approx 3R\ </math> Fanno eccezione materiali con temperature di fusione molto elevate, come il diamante, per i quali il calore specifico a temperatura ambiente risulta sensibilmente inferiore. In generale, però, per la maggior parte dei solidi semplici il valore di <math>3R\ </math> fornisce una buona stima del calore specifico molare. ==Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto== Una trasformazione si dice adiabatica quando il sistema non scambia calore con l’esterno. Un esempio importante, ma irreversibile, è l’espansione libera di un gas perfetto: non avviene scambio di calore, ma non viene compiuto lavoro e lo stato finale non è raggiunto attraverso stati di equilibrio. Nel seguito consideriamo invece una espansione adiabatica reversibile (il caso della compressione si ottiene invertendo il verso della trasformazione). Per un gas perfetto, il lavoro compiuto coincide con la diminuzione dell’energia interna, quindi il gas si espande e si raffredda. ===Equazione differenziale dell’adiabatica=== Per una trasformazione reversibile vale il I principio in forma differenziale: :<math>dU + p\,dV = 0</math> Per un gas perfetto: :<math>dU = n c_v\, dT</math> e, usando l’equazione di stato <math>pV=nRT</math> :<math>p = \frac{nRT}{V}</math> Sostituendo: :<math>n c_v\, dT + \frac{nRT}{V}\, dV = 0</math> Dividendo per <math>nT</math> e usando la relazione di Mayer :<math>R = c_p - c_v</math> si ottiene: :<math>(\gamma - 1)\frac{dV}{V} = -\frac{dT}{T}</math> con <math>\gamma = \frac{c_p}{c_v}</math>. ===Integrazione=== Integrando tra lo stato iniziale <math>A</math> e uno stato generico: :<math>\ln\!\left(\frac{V}{V_A}\right)^{\gamma - 1} = \ln\!\left(\frac{T_A}{T}\right)</math> e quindi: :<math>T\,V^{\gamma - 1} = T_A\,V_A^{\gamma - 1} = \text{cost}</math> Usando l’equazione di stato si ottengono anche le forme equivalenti: :<math>p\,V^{\gamma} = \text{cost}</math> :<math>T\,p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{cost}</math> Queste relazioni descrivono il legame tra due variabili di stato qualunque lungo una adiabatica reversibile. ===Rappresentazione sul piano di Clapeyron=== [[Image:Adiabatic.svg|thumb|350px|right|Confronto tra trasformazione adiabatica e due isoterme nel piano di Clapeyron]] <math>TV^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}=cost\ </math> Sul piano (<math>p,V</math>) una adiabatica reversibile è più ''ripida'' di una isoterma. Poiché <math>\gamma > 1</math>, la pressione decresce più rapidamente con il volume rispetto al caso della isoterma, come mostrato nella figura. ===Un esempio naturale: l’atmosfera=== Un caso fisico rilevante è l’espansione adiabatica dell’aria che sale rapidamente in atmosfera. Poiché la pressione diminuisce con l’altezza, la massa d’aria si espande, compie lavoro e si raffredda. La variazione di temperatura con la quota (gradiente adiabatico) è spiegata proprio da questo meccanismo. ===Esercizi=== Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#2._Adiabatica_gas_perfetto|esercizio sui gas perfetti]] chiarisce meglio quanto detto. Mentre l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#3._Adiabatica_con_recipiente| esempio con un recipiente]] estende la definizione di <math>\gamma</math>. ==Trasformazioni cicliche== In una trasformazione ciclica il sistema ritorna allo stato iniziale. Poiché l’energia interna è una funzione di stato, la sua variazione su un ciclo è nulla: :<math>\Delta U = 0</math> Applicando il I principio della termodinamica, il bilancio energetico del ciclo diventa: :<math>\sum_i Q_i = W</math> dove <math>Q_i</math> è il calore scambiato con la sorgente <math>i</math> e <math>W</math> è il lavoro netto compiuto dal sistema durante l’intero ciclo. A differenza dell’energia interna, sia i calori scambiati sia il lavoro dipendono dal percorso, cioè da come il ciclo è realizzato nel piano termodinamico. ===Macchina termica=== Un caso importante è un ciclo che opera tra due sole sorgenti: * una sorgente calda a temperatura <math>T_2</math>, * una sorgente fredda a temperatura <math>T_1</math>, con <math>T_2 > T_1</math>. Se il ciclo è percorso in senso orario, il lavoro totale è positivo: il sistema funziona come macchina termica. Indichiamo con: * <math>Q_2 > 0</math> il calore assorbito dalla sorgente calda, * <math>Q_1 < 0</math> il calore ceduto alla sorgente fredda. Il rendimento della macchina termica è definito come: :<math>\eta = \frac{W}{Q_2}</math> ed esprime la frazione del calore assorbito dalla sorgente calda che viene trasformata in lavoro. ===Ciclo frigorifero=== Se il ciclo è percorso in senso antiorario, il lavoro totale è negativo: il sistema assorbe lavoro meccanico e funziona come ciclo frigorifero. In questo caso: * <math>Q_1 > 0</math>: il sistema assorbe calore dalla sorgente fredda, * <math>Q_2 < 0</math>: il sistema cede calore alla sorgente calda, * <math>W < 0</math>: il sistema richiede lavoro esterno. Il parametro di efficienza è il coefficiente di prestazione frigorifero: :<math>COP_f = \frac{Q_1}{|W|} = -\frac{Q_1}{W}</math> Più grande è il <math>COP_f</math>, più efficiente è il frigorifero. ===Pompe di calore=== Lo stesso ciclo, interpretato in modo diverso, può funzionare come pompa di calore. In questo caso l’obiettivo non è raffreddare la sorgente fredda, ma riscaldare la sorgente calda. Il coefficiente di prestazione della pompa di calore è: :<math>COP_p = \frac{Q_2}{W}</math> Qui: * <math>Q_2 < 0</math> è il calore ceduto alla sorgente calda, * <math>W < 0</math> è il lavoro assorbito. Il rapporto è positivo e misura quanta energia termica viene fornita alla sorgente calda per ogni unità di lavoro speso. Le pompe di calore sono energeticamente vantaggiose quando: :<math>COP_p > 1</math> poiché in tal caso trasferiscono più calore di quanto lavoro consumino. Se <math>COP_p < 1</math>, sarebbe più semplice convertire direttamente il lavoro in calore. ==Ciclo di Carnot== [[Image:Carnot-cycle.jpg|thumb|450px|right|Ciclo ideale di una macchina di Carnot]] La macchina di Carnot è una macchina ideale che funziona tra due sole temperatura <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> eseguendo due trasformazioni isoterme e due adiabatiche. La macchina è ideale nel senso che il ciclo viene supposto avvenire in maniera reversibile. Notiamo che in linea di principio solo delle trasformazioni adiabatiche reversibili che chiudono il ciclo permettano di utilizzare due sole sorgenti di calore. Se infatti invece che le due adiabatiche si fosse richiuso il ciclo con delle isocore (come nel ciclo di Stirling descritto in seguito) avremmo avuto bisogno per eseguire il ciclo in maniera reversibile di infinite sorgenti di calore tra <math>T_1\ </math> e <math>T_2\ </math> (che in un ciclo scambiano una quantità nulla di calore) che però da un punto di vista pratico non è possibile. Ma a metà dell'Ottocento la macchina di Carnot appariva la macchina ideale migliore, in quanto non doveva avere le infinite sorgenti necessarie per altri tipi di cicli reversibili. Immaginiamo di utilizzare un gas perfetto per eseguire il ciclo, non è necessario, ma è il sistema per cui sappiamo in maniera semplice calcolare l'equazione di stato. La trasformazione <math>A->B\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene eseguito il lavoro <math>W_{AB}\ </math> che coincide con il calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore <math>T_2\ </math> : <math>W_{AB}=Q_2=nRT_2\ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Nella trasformazione tra <math>B->C\ </math> il sistema compie una trasformazione adiabatica reversibile, quindi il sistema è isolato da ogni sorgente di calore e compie del lavoro positivo che non calcoliamo in quanto non necessario. Notiamo che esiste una ben precisa relazione tra le temperature e i volumi, durante e in particolare, agli estremi della trasformazione: <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> La traformazione tra <math>C->D\ </math> è una trasformazione isoterma reversibile in cui viene assorbito il lavoro <math>W_{CD}\ </math> che coincide con il calore ceduto alla sorgente a temperatura minore <math>T_1\ </math> : <math>W_{CD}=Q_1=nRT_1\ln \frac {V_D}{V_C}\ </math> E infine una trasformazione adiabatica <math>D->A\ </math> riporta il sistema nello stato iniziale anche in questo caso si ha che: <math>T_1V_D^{\gamma -1}=T_2V_A^{\gamma -1}\ </math> Ci interessa calcolare il rendimento di una macchina di questo tipo, non è necessario conoscere il lavoro assorbito o prodotto nelle adiabatiche in quanto il lavoro totale fatto nel ciclo, per il I principio della termodinamica, coincide con il calore scambiato con le sue sorgenti cioè: <math>W=Q_1+Q_2\ </math> e quindi: <math>\eta =\frac W{Q_2}=1+\frac {T_1\ln \frac {V_D}{V_C}}{T_2\ln \frac {V_A}{V_B}}=1-\frac {T_1\ln \frac {V_C}{V_D}}{T_2\ln \frac {V_B}{V_A}}\ </math> Ma essendo le trasformazioni <math>B->C\ </math> e <math>D->A\ </math> adiabatiche abbiamo visto come : <math>T_2V_B^{\gamma -1}=T_1V_C^{\gamma -1}\ </math> <math> T_2V_A^{\gamma -1}=T_1V_D^{\gamma -1}\ </math> Per cui dividendo membro a membro segue che: <math> \frac {V_B}{V_A}=\frac {V_C}{V_D}\ </math> <math> \eta =1-\frac {T_1}{T_2}\ </math> Da questo segue che il rendimento di una macchina di Carnot dipende solo dalle temperature delle sorgenti tra cui avviene ed è tanto maggiore quanto maggiore è il rapporto tra le due temperature. In ogni caso il rendimento è sempre inferiore a 1. Mentre il rendimento non dipende che dalle temperature delle due sorgenti, i calori e il lavoro eseguito dipendono dalle dimensioni del ciclo. Infatti maggiore è il rapporto tra i volumi <math>V_B\ </math> e <math>V_A\ </math> tanto maggiore è il lavoro fatto in un ciclo. Di conseguenza aumentano le quantità di calore scambiate con le varie sorgenti. Quindi un ciclo di Carnot operante tra due temperature ha un rendimento ben preciso, ma può produrre un qualsivoglia lavoro. Inoltre essendo invertibile può essere trasformato in una macchina frigorifera il cui COP di in frigorifero vale: :<math>COP_f=\frac {T_1}{T_2-T_1}\ </math> Mentre quello della pompa di calore vale: :<math>COP_p=\frac {T_2}{T_2-T_1}\ </math> Il ciclo di Carnot non ha applicazioni pratiche in quanto fare delle trasformazioni adiabatiche reversibili è spesso meno semplice che eseguire altri tipi di trasformazioni. Al contrario il ciclo di Stirling di cui viene fatto un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#4._Ciclo_di_Stirling| esempio]] è un ciclo che operando tra due temperature ha buone applicazioni pratiche. Ovviamente cicli termodinamici ve ne sono anche altri possibili [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#5._Ciclo_anomalo| un esempio]] di un ciclo poco efficiente chiarisce la scelta del ciclo. [[Fisica_classica/Secondo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Secondo principio della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica|Primo principio della Termodinamica]] {{Avanzamento|75%}} 84l4hcaijh3l7yv4qb6928nryw3hfrx 499063 499060 2026-06-07T17:04:07Z Pasquale.Carelli 528 /* Ciclo di Carnot */riscritto 499063 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Gas Reali e Ideali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Gas_ideali_e_reali |CapitoloSuccessivo=Secondo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Secondo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Primo_principio_della_termodinamica|Primo principio della termodinamica]]= Il primo principio della termodinamica estende il principio di conservazione dell’energia, tipico dei sistemi meccanici conservativi, a tutti i sistemi termodinamici. In esso, l’energia totale si conserva purché si contabilizzino rigorosamente gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente esterno, che possono avvenire esclusivamente sotto due forme: il lavoro meccanico e il calore. Per convenzione (detta egoistica o fisica), si considera positivo il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e positivo il calore assorbito dal sistema. Questa scelta permette di formulare in modo coerente il bilancio energetico e di interpretare correttamente i processi fisici. Una prima conseguenza diretta del primo principio è che, in qualunque trasformazione ciclica, il sistema ritorna allo stesso stato termodinamico di partenza. Poiché lo stato termodinamico è univocamente determinato da un insieme di variabili macroscopiche, tutte le grandezze che dipendono solo da esso — le cosiddette funzioni di stato — devono riassumere lo stesso valore iniziale. In particolare, la variazione dell’energia del sistema al termine di un intero ciclo deve essere identicamente nulla. Di conseguenza, il bilancio energetico impone che il lavoro totale netto compiuto dal sistema coincida sempre con il calore totale netto assorbito: :<math>W=Q\ </math> Consideriamo ora due generici stati di equilibrio termodinamico, <math>A\ </math> e <math>B\ </math>. Esistono, in linea di principio, infiniti percorsi fisici per portare il sistema da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>. Spesso si usa rappresentare questi percorsi mediante delle linee continue in un piano termodinamico (ad esempio nel piano di Clapeyron, <math>P-V\ </math>). È fondamentale però interpretare correttamente questo diagramma: siccome i punti nel piano corrispondono esclusivamente a stati di equilibrio (dove la pressione e il volume sono ben definiti in tutto il sistema), solo una trasformazione ''quasi-statica'' (cioè un'evoluzione infinitamente lenta composta da una successione continua di stati di equilibrio) può essere rigorosamente tracciata come una curva. Gli stati intermedi di una trasformazione reale, invece, potrebbero non essere stati di equilibrio ed essere perciò privi di coordinate termodinamiche globali rappresentabili come punti. [[Image:Energia_interna.png|thumb|250px|left|Tre possibili percorsi per andare dallo stato A allo stato B su un piano termodinamico. Solo percorsi quasi-statici possono essere disegnati con linee continue.]] Consideriamo il caso illustrato in figura: vi sono due distinte trasformazioni, <math>I\ </math> e <math>II\ </math>, che portano il sistema dal medesimo stato <math>A\ </math> allo stato <math>B\ </math>. Esse comportano, in generale, scambi di calore e lavoro differenti, pari rispettivamente a <math>Q_I\ </math>, <math>W_I\ </math> e <math>Q_{II}\ </math>, <math>W_{II}\ </math>. Immaginiamo ora che il sistema venga riportato da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math> tramite una terza trasformazione di rientro <math>III\ </math>, caratterizzata da un calore <math>Q_{III}\ </math> e un lavoro <math>W_{III}\ </math>. Ciò premesso, se valutiamo i due interi cicli combinati <math>I+III\ </math> e <math>II+III\ </math>, dal bilancio sul ciclo chiuso ricaviamo che: :<math>Q_I-W_I+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> :<math>Q_{II}-W_{II}+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni, le grandezze della trasformazione <math>III\ </math> si elidono, rivelando un risultato cruciale: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}\ </math> Questa equazione dimostra che, sebbene il calore scambiato e il lavoro eseguito dipendano strettamente dal percorso effettuato tra <math>A\ </math> e <math>B\ </math>, la loro ''differenza'' ne è completamente indipendente: essa varia unicamente in base allo stato iniziale e finale. A questa quantità definita a meno di una costante additiva arbitraria viene dato il nome di '''energia interna''', che si afferma così come una vera e propria funzione di stato: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}=U(B)-U(A)\ </math> L'energia interna di un sistema ha le stesse dimensioni fisiche dell'energia puramente meccanica o del calore. Dal punto di vista microscopico, l'energia interna macroscopica misurata non è altro che la somma totale di tutte le energie a livello molecolare di cui si compone il sistema: include le energie cinetiche di ciascuna molecola (traslazionali, rotazionali e vibrazionali) e le loro energie potenziali di reciproca interazione. In maniera più generale e formale, riordinando i termini, possiamo scrivere che in qualunque trasformazione termodinamica tra stati di equilibrio: :<math>Q=W+\Delta U\ </math> Questa espressione è la forma matematica definitiva del primo principio della termodinamica. Essa ribadisce che l'energia dell'universo termodinamico considerato (sistema più ambiente) non viene né creata né distrutta: essa transita da o verso il sistema sotto forma di calore e lavoro macroscopici, manifestandosi poi come variazione dell'energia misurabile contenuta intrinsecamente nel corpo stesso. ==Energia interna dei gas perfetti== [[Image:Joultom.gif|thumb|250px|left|Schema dell'esperimento di Joule sulla espansione libera di un gas perfetto]] Si deve a [[w:James_Prescott_Joule|Joule]] un celebre esperimento fondamentale per chiarire da cosa dipenda l'energia interna di un gas perfetto. L'apparato sperimentale (mostrato schematicamente nella figura a fianco) è così concepito: in un [[w:Calorimetro|calorimetro]], ovvero un recipiente termicamente isolato contenente un liquido di cui si conosce la [[w:Capacità_termica|capacità termica]], viene immerso un contenitore rigido diviso in due sezioni da una valvola. Inizialmente tutto il gas si trova confinato nel bulbo di sinistra, in equilibrio termico alla temperatura del bagno liquido, mentre il bulbo di destra è completamente vuoto. Quando si apre il rubinetto, il gas subisce un'espansione libera, andando a occupare l'intero contenitore. Joule osservò che, a espansione conclusa, non vi era alcuna variazione misurabile nella temperatura del liquido calorimetrico. L'assenza di variazioni di temperatura implica che il gas non ha scambiato calore netto con l'ambiente esterno (il calorimetro). Pertanto, indicando con <math>Q</math> il calore, si ha <math>Q = 0</math>, e dal primo principio possiamo scrivere per il gas: :<math>W+\Delta U=0\ </math> Tuttavia il sistema, trovando il vuoto nell'altra metà del contenitore, non deve spingere alcuna parete mobile o vincere attriti esterni; non compie quindi alcun lavoro meccanico sull'ambiente (<math>W=0\ </math>). Ne consegue necessariamente che la variazione di energia interna del gas è nulla (<math>\Delta U = 0</math>). Il significato fisico di questo risultato è profondo: pur essendo cambiate drasticamente due variabili di stato del gas (il volume è raddoppiato e, di conseguenza, la pressione si è dimezzata), la temperatura e l'energia interna sono rimaste inalterate. Da qui si deduce, per esclusione, che nei gas perfetti l'energia interna non dipende né dal volume né dalla pressione, ma è esclusivamente funzione della sua temperatura: <math>U = U(T)</math>. È importante sottolineare che l'espansione libera è un esempio classico di trasformazione adiabatica e strettamente irreversibile; non è infatti possibile far tornare il gas nel solo bulbo di sinistra senza compiere lavoro di compressione. Se l'esperimento venisse ripetuto ad alta precisione con un gas reale, si noterebbero deboli variazioni di temperatura, confermando che l'assoluta indipendenza di <math>U</math> dal volume è vera solo nel modello limite del gas perfetto. Conoscendo ora questa proprietà fondamentale (<math>U=U(T)</math>), siamo in grado di valutare facilmente il calore scambiato da un gas perfetto nel corso di una trasformazione isoterma e reversibile. Questa trasformazione differisce radicalmente dall'espansione libera perché avviene attraverso stati di equilibrio e scambiando calore calore con una sorgente fissa. Poiché la temperatura non muta, l'energia interna del gas resta perennemente costante durante l'intero processo. Il gas, di fatto, converte in modo integrale tutto il calore assorbito dalla sorgente termica in lavoro meccanico ceduto all'esterno: :<math>Q=W\ </math> In particolare, se conosciamo il volume iniziale <math>V_A\ </math> e quello finale <math>V_B\ </math> delle <math>n\ </math> moli di gas che compiono tale trasformazione alla temperatura costante <math>T_o\ </math>, partendo dalla definizione generale di lavoro: :<math>W=\int_A^BPdV\ </math> Poiché la trasformazione è reversibile e quasi-statica, essa avviene lungo stati di equilibrio successivi; possiamo quindi sostituire alla pressione <math>P\ </math> l'espressione fornita dall'equazione di stato dei gas perfetti (<math>P=nRT/V</math>): :<math>W=nRT\int_{V_A}^{V_B}\frac {dV}V=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Di conseguenza, integrando il concetto, il calore totale scambiato nella trasformazione isoterma è: :<math>Q=W=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Il significato dell'energia interna nei gas perfetti acquista totale concretezza ricorrendo al modello microscopico descritto dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]. Essa permette di identificare l'energia interna di un gas perfetto monoatomico (come l'elio o l'argon) esclusivamente con la somma delle energie cinetiche traslazionali delle particelle che lo compongono. Sperimentalmente e teoricamente si dimostra che, all'equilibrio termico, l'energia cinetica media di traslazione della singola molecola dipende solo dalla temperatura assoluta ed è pari a: :<math>\frac 32 k_BT\ </math> Ricordando che la costante di Boltzmann <math>k_B=R/N_A\ </math> equivale alla costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro. Moltiplicando l'energia media della singola molecola per il numero totale di particelle presenti nel gas, l'energia interna totale di <math>n\ </math> moli di gas monoatomico risulta pari a: :<math>U=nN_A\frac 32 k_BT=\frac 32 nRT\ </math> Se il gas è biatomico (come l'ossigeno o l'azoto), la molecola non è più puntiforme ma si modella come un "manubrio". Negli urti molecolari d'equilibrio, l'energia si ripartisce equamente anche sui due ulteriori gradi di libertà associati alle rotazioni della molecola lungo gli assi perpendicolari all'asse interatomico. Ogni molecola possiede quindi energia cinetica di traslazione più l'energia di rotazione; l'energia media distribuita sui 5 gradi di libertà complessivi aumenta quindi a: :<math>\frac 52 k_BT\ </math> In questo caso, l'energia interna macroscopica del gas biatomico assume la forma: :<math>U=nN_A\frac 52 k_BT=\frac 52 nRT\ </math> La regola per cui ad ogni singolo grado di libertà cinematico o potenziale quadratico spetti, all'equilibrio termico, un'energia media quantificabile esattamente in <math>k_BT/2\ </math>, è un postulato fondamentale della meccanica statistica classica e va sotto il nome di principio di equipartizione dell'energia. ==Calore specifico molare di un gas perfetto== ===Trasformazione a volume costante (isocora)=== I gas, a differenza dei solidi e dei liquidi, presentano un'elevata compressibilità. Questo comporta che la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura del sistema dipenda fortemente dal tipo di trasformazione (e dal lavoro meccanico) che il gas subisce o compie. In termini energetici, il calore assorbito non si tramuta solo in un aumento di temperatura macroscopico, ma può in parte essere speso dal gas per dilatarsi espandendo il suo volume. Un caso fenomenologico basilare è determinare quanto calore si debba fornire a <math>n\ </math> moli di gas perfetto confinate in un recipiente fisso, per andare da una temperatura <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math> in una trasformazione isocora (cioè a volume costante). Poiché non c'è espansione contro l'ambiente, il lavoro è rigorosamente nullo e il I principio della termodinamica scritto in forma differenziale si riduce a: :<math>dU=dQ=nc_vdT\ </math> Dove con <math>c_v\ </math> indichiamo il '''calore specifico molare a volume costante''' (da cui il pedice <math>v\ </math>). Ricordando l'espressione dell'energia interna fondata sulla teoria cinetica (<math>U = n \frac{L}{2} R T</math>, dove <math>L</math> sono i gradi di libertà), la differenziazione ci porta ad affermare che se il gas è monoatomico: :<math>dU=n\frac 32RdT\ </math> mentre se il gas è biatomico: :<math>dU=n\frac 52RdT\ </math> Eguagliando i risultati, il calore specifico molare a volume costante vale dunque <math>c_v=3/2R\ </math> per i gas monoatomici e <math>c_v=5/2R\ </math> per quelli biatomici. Data questa costante caratteristica, possiamo scrivere in generale l'energia interna macroscopica di un gas perfetto in questa forma del tutto generale: :<math>U=nc_vT\ </math> ===Trasformazione a pressione costante (isobara)=== Se la stessa alterazione termica da <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math>, invece di avvenire a volume bloccato, avvenisse espandendo il gas reversibilmente a pressione costante, il calore non servirebbe più soltanto ad aumentare l'energia interna, ma anche a compiere il lavoro d'espansione. Per <math>n\ </math> moli di un gas perfetto, posso riscrivere formalmente il I principio della termodinamica in termini differenziali indicando con <math>c_p\ </math> il calore specifico molare a pressione costante: :<math>dQ = dU+pdV=nc_pdT\ </math> Sfruttando l'equazione dello stato dei gas perfetti <math>pV = nRT\ </math>, introduciamo i differenziali totali per una trasformazione: :<math>pdV+Vdp=nRdT\ </math> Essendo la trasformazione per costruzione isobara, la pressione è costante e il termine <math>Vdp\ </math> decade a zero. Resta quindi: :<math>pdV=nRdT\ </math> Inoltre, sappiamo già che per un gas perfetto l'energia interna dipende unicamente dalla temperatura, a prescindere dal tipo di trasformazione, quindi vale sempre <math>dU=nc_vdT\ </math>. Sostituendo le variabili trovate all'interno dell'equazione differenziale del I principio: :<math>nc_vdT+nRdT=nc_pdT\ </math> Dividendo tutti i membri per il termine comune <math>ndT\ </math>, otteniamo l'elegantissima espressione finale: :<math>c_p=c_v+R\ </math> A pressione costante, il calore specifico molare risulta quindi sempre rigorosamente maggiore a quello a volume costante. La loro netta differenza eguaglia la costante universale di stato dei gas. Questo storico risultato teorico va sotto il nome di '''[[w:Relazione_di_Mayer|Relazione di Mayer]]'''. Sempre relativamente e funzionalmente ai moti di un gas, viene spesso introdotto la costante <math>\gamma\ </math>, definita come rapporto fra i medesimi calori specifici: :<math>\gamma=\frac {c_p}{c_v}\ </math> Il suo valore numerico, così come il valore di <math>c_v\ </math> descritti sinora, governano fedelmente i gas perfetti (idealizzati) ma approssimano con estremo rigore gran parte dei gas reali testati a temperatura ambiente. Laddove tuttavia ci si muova a temperature critiche (estremamente basse prossime allo zero assoluto o talmente alte da indurre rotture/eccitazioni termiche), i gradi di libertà congelano o aumentano, discostando radicalmente i valori <math>c_v\ </math> e <math>\gamma\ </math> trovati per via sperimentale rispetto al caso del gas perfetto qui analizzato. La tabella seguente riepiloga numericamente le costanti ideali: {| {{prettytable}} ! Tipo di gas || <math>c_v\ </math> || <math>c_p\ </math> || <math>\gamma\ </math> |- | Monoatomico || <math>3R/2\ </math> || <math>5R/2\ </math>|| <math>5/3\ </math> |- | Biatomico || <math>5R/2\ </math> || <math>7R/2\ </math>|| <math>1,4\ </math> |- |} ==Calore specifico molare di un solido== Nei solidi la differenza tra calore specifico a volume costante e a pressione costante è trascurabile, poiché la compressibilità è molto piccola. Empiricamente si osserva che il calore specifico molare di quasi tutti i solidi semplici, a temperatura ambiente, è molto vicino al valore previsto dalla [[w:Legge_di_Dulong_Petit|Dulong Petit]]: :<math>C_m\approx 3R\ </math> Fanno eccezione materiali con temperature di fusione molto elevate, come il diamante, per i quali il calore specifico a temperatura ambiente risulta sensibilmente inferiore. In generale, però, per la maggior parte dei solidi semplici il valore di <math>3R\ </math> fornisce una buona stima del calore specifico molare. ==Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto== Una trasformazione si dice adiabatica quando il sistema non scambia calore con l’esterno. Un esempio importante, ma irreversibile, è l’espansione libera di un gas perfetto: non avviene scambio di calore, ma non viene compiuto lavoro e lo stato finale non è raggiunto attraverso stati di equilibrio. Nel seguito consideriamo invece una espansione adiabatica reversibile (il caso della compressione si ottiene invertendo il verso della trasformazione). Per un gas perfetto, il lavoro compiuto coincide con la diminuzione dell’energia interna, quindi il gas si espande e si raffredda. ===Equazione differenziale dell’adiabatica=== Per una trasformazione reversibile vale il I principio in forma differenziale: :<math>dU + p\,dV = 0</math> Per un gas perfetto: :<math>dU = n c_v\, dT</math> e, usando l’equazione di stato <math>pV=nRT</math> :<math>p = \frac{nRT}{V}</math> Sostituendo: :<math>n c_v\, dT + \frac{nRT}{V}\, dV = 0</math> Dividendo per <math>nT</math> e usando la relazione di Mayer :<math>R = c_p - c_v</math> si ottiene: :<math>(\gamma - 1)\frac{dV}{V} = -\frac{dT}{T}</math> con <math>\gamma = \frac{c_p}{c_v}</math>. ===Integrazione=== Integrando tra lo stato iniziale <math>A</math> e uno stato generico: :<math>\ln\!\left(\frac{V}{V_A}\right)^{\gamma - 1} = \ln\!\left(\frac{T_A}{T}\right)</math> e quindi: :<math>T\,V^{\gamma - 1} = T_A\,V_A^{\gamma - 1} = \text{cost}</math> Usando l’equazione di stato si ottengono anche le forme equivalenti: :<math>p\,V^{\gamma} = \text{cost}</math> :<math>T\,p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{cost}</math> Queste relazioni descrivono il legame tra due variabili di stato qualunque lungo una adiabatica reversibile. ===Rappresentazione sul piano di Clapeyron=== [[Image:Adiabatic.svg|thumb|350px|right|Confronto tra trasformazione adiabatica e due isoterme nel piano di Clapeyron]] <math>TV^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}=cost\ </math> Sul piano (<math>p,V</math>) una adiabatica reversibile è più ''ripida'' di una isoterma. Poiché <math>\gamma > 1</math>, la pressione decresce più rapidamente con il volume rispetto al caso della isoterma, come mostrato nella figura. ===Un esempio naturale: l’atmosfera=== Un caso fisico rilevante è l’espansione adiabatica dell’aria che sale rapidamente in atmosfera. Poiché la pressione diminuisce con l’altezza, la massa d’aria si espande, compie lavoro e si raffredda. La variazione di temperatura con la quota (gradiente adiabatico) è spiegata proprio da questo meccanismo. ===Esercizi=== Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#2._Adiabatica_gas_perfetto|esercizio sui gas perfetti]] chiarisce meglio quanto detto. Mentre l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#3._Adiabatica_con_recipiente| esempio con un recipiente]] estende la definizione di <math>\gamma</math>. ==Trasformazioni cicliche== In una trasformazione ciclica il sistema ritorna allo stato iniziale. Poiché l’energia interna è una funzione di stato, la sua variazione su un ciclo è nulla: :<math>\Delta U = 0</math> Applicando il I principio della termodinamica, il bilancio energetico del ciclo diventa: :<math>\sum_i Q_i = W</math> dove <math>Q_i</math> è il calore scambiato con la sorgente <math>i</math> e <math>W</math> è il lavoro netto compiuto dal sistema durante l’intero ciclo. A differenza dell’energia interna, sia i calori scambiati sia il lavoro dipendono dal percorso, cioè da come il ciclo è realizzato nel piano termodinamico. ===Macchina termica=== Un caso importante è un ciclo che opera tra due sole sorgenti: * una sorgente calda a temperatura <math>T_2</math>, * una sorgente fredda a temperatura <math>T_1</math>, con <math>T_2 > T_1</math>. Se il ciclo è percorso in senso orario, il lavoro totale è positivo: il sistema funziona come macchina termica. Indichiamo con: * <math>Q_2 > 0</math> il calore assorbito dalla sorgente calda, * <math>Q_1 < 0</math> il calore ceduto alla sorgente fredda. Il rendimento della macchina termica è definito come: :<math>\eta = \frac{W}{Q_2}</math> ed esprime la frazione del calore assorbito dalla sorgente calda che viene trasformata in lavoro. ===Ciclo frigorifero=== Se il ciclo è percorso in senso antiorario, il lavoro totale è negativo: il sistema assorbe lavoro meccanico e funziona come ciclo frigorifero. In questo caso: * <math>Q_1 > 0</math>: il sistema assorbe calore dalla sorgente fredda, * <math>Q_2 < 0</math>: il sistema cede calore alla sorgente calda, * <math>W < 0</math>: il sistema richiede lavoro esterno. Il parametro di efficienza è il coefficiente di prestazione frigorifero: :<math>COP_f = \frac{Q_1}{|W|} = -\frac{Q_1}{W}</math> Più grande è il <math>COP_f</math>, più efficiente è il frigorifero. ===Pompe di calore=== Lo stesso ciclo, interpretato in modo diverso, può funzionare come pompa di calore. In questo caso l’obiettivo non è raffreddare la sorgente fredda, ma riscaldare la sorgente calda. Il coefficiente di prestazione della pompa di calore è: :<math>COP_p = \frac{Q_2}{W}</math> Qui: * <math>Q_2 < 0</math> è il calore ceduto alla sorgente calda, * <math>W < 0</math> è il lavoro assorbito. Il rapporto è positivo e misura quanta energia termica viene fornita alla sorgente calda per ogni unità di lavoro speso. Le pompe di calore sono energeticamente vantaggiose quando: :<math>COP_p > 1</math> poiché in tal caso trasferiscono più calore di quanto lavoro consumino. Se <math>COP_p < 1</math>, sarebbe più semplice convertire direttamente il lavoro in calore. ==Ciclo di Carnot== [[Image:Carnot-cycle.jpg|thumb|upright=1.5|right|Ciclo ideale di una macchina di Carnot]] Il ciclo di Carnot è un ciclo termodinamico ideale che opera tra due sole temperature, <math>T_2</math> (sorgente calda) e <math>T_1</math> (sorgente fredda), ed è costituito da: * due trasformazioni '''isoterme reversibili''', * due trasformazioni '''adiabatiche reversibili'''. Il ciclo è ideale perché '''interamente reversibile'''. Le due adiabatiche sono essenziali: solo esse permettono di collegare le due isoterme mantenendo il ciclo reversibile con '''due sole sorgenti di calore'''. Se al loro posto ci fossero isocore (come nel [[w:Ciclo_Stirling|ciclo di Stirling]]), sarebbero necessarie infinite sorgenti intermedie tra <math>T_1</math> e <math>T_2</math>, cosa impraticabile. Per semplicità consideriamo un gas perfetto, anche se il risultato finale non dipende dalla sostanza. ===Le quattro trasformazioni del ciclo=== * Isoterma reversibile <math>A \to B</math> a temperatura <math>T_2</math>. Il sistema assorbe calore <math>Q_2</math> dalla sorgente calda e compie lavoro: :<math>\ \ W_{AB} = Q_2 = nRT_2 \ln\!\frac{V_B}{V_A}</math> * Adiabatica reversibile <math>B \to C</math>. Il sistema non scambia calore e si espande raffreddandosi fino a <math>T_1</math>. Agli estremi vale: :<math>\ \ T_2 V_B^{\gamma - 1} = T_1 V_C^{\gamma - 1}</math> * Isoterma reversibile <math>C \to D</math> a temperatura <math>T_1</math>. Il sistema cede calore <math>Q_1</math> alla sorgente fredda: :<math>\ \ W_{CD} = Q_1 = nRT_1 \ln\!\frac{V_D}{V_C}</math> * Adiabatica reversibile <math>D \to A</math>. Il sistema si comprime senza scambio di calore e ritorna allo stato iniziale: :<math>\ \ T_1 V_D^{\gamma - 1} = T_2 V_A^{\gamma - 1}</math> ===Calcolo del rendimento=== Il lavoro totale del ciclo è: :<math>W = Q_2 + Q_1</math> e il rendimento della macchina termica è: :<math>\eta = \frac{W}{Q_2}</math> Sostituendo le espressioni delle isoterme: :<math>\eta = 1 + \frac{T_1 \ln(V_D/V_C)}{T_2 \ln(V_B/V_A)}</math> Usiamo ora le relazioni adiabatiche: :<math>T_2 V_B^{\gamma - 1} = T_1 V_C^{\gamma - 1}</math> :<math>T_2 V_A^{\gamma - 1} = T_1 V_D^{\gamma - 1}</math> Dividendo membro a membro: :<math>\frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D}</math> Da cui segue: :<math>\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}</math> Questo è il risultato fondamentale del ciclo di Carnot. ===Interpretazione fisica=== Il rendimento dipende solo dalle temperature delle due sorgenti. È tanto maggiore quanto più grande è la differenza tra <math>T_2</math> e <math>T_1</math>. È sempre minore di 1: nessuna macchina termica può trasformare tutto il calore in lavoro. Il lavoro prodotto e i calori scambiati dipendono invece dalle dimensioni del ciclo (ad esempio dal rapporto <math>V_B/V_A</math>). ===Ciclo di Carnot come frigorifero o pompa di calore=== Poiché il ciclo è reversibile, può essere percorso in senso inverso: ====Ciclo frigorifero==== :<math>COP_f = \frac{T_1}{T_2 - T_1}</math> ====Pompa di calore==== :<math>COP_p = \frac{T_2}{T_2 - T_1}</math> ===Considerazioni pratiche=== Il ciclo di Carnot è teorico: realizzare trasformazioni adiabatiche reversibili è estremamente difficile. Cicli come quello di Stirling (vedi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#4._Ciclo_di_Stirling| esempio]]) sono più vicini alla pratica pur mantenendo buone efficienze. Esistono molti altri cicli termodinamici; [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#5._Ciclo_anomalo| un esempio]] di ciclo poco efficiente mostra perché il ciclo di Carnot rappresenta il limite teorico superiore. [[Fisica_classica/Secondo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Secondo principio della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 83qpfo8nkf2o5v4lt0ut3k55htgiir6 499067 499063 2026-06-07T19:39:31Z Pasquale.Carelli 528 ultime modifiche semplici 499067 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Gas Reali e Ideali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Gas_ideali_e_reali |CapitoloSuccessivo=Secondo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Secondo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Primo_principio_della_termodinamica|Primo principio della termodinamica]]= Il primo principio della termodinamica estende il principio di conservazione dell’energia, tipico dei sistemi meccanici conservativi, a tutti i sistemi termodinamici. In esso, l’energia totale si conserva purché si contabilizzino rigorosamente gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente esterno, che possono avvenire esclusivamente sotto due forme: il lavoro meccanico e il calore. ==Notazioni e convenzioni== * segno del lavoro (positivo se fatto dal sistema), * segno del calore (positivo se assorbito dal sistema), * Una trasformazione è reversibile se avviene senza attriti e con equilibrio termico e meccanico. ==Energia interna== Per convenzione (detta egoistica o fisica), si considera positivo il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e positivo il calore assorbito dal sistema. Questa scelta permette di formulare in modo coerente il bilancio energetico e di interpretare correttamente i processi fisici. Una prima conseguenza diretta del primo principio è che, in qualunque trasformazione ciclica, il sistema ritorna allo stesso stato termodinamico di partenza. Poiché lo stato termodinamico è univocamente determinato da un insieme di variabili macroscopiche, tutte le grandezze che dipendono solo da esso — le cosiddette funzioni di stato — devono riassumere lo stesso valore iniziale. In particolare, la variazione dell’energia del sistema al termine di un intero ciclo deve essere identicamente nulla. Di conseguenza, il bilancio energetico impone che il lavoro totale netto compiuto dal sistema coincida sempre con il calore totale netto assorbito: :<math>W=Q\ </math> Consideriamo ora due generici stati di equilibrio termodinamico, <math>A\ </math> e <math>B\ </math>. Esistono, in linea di principio, infiniti percorsi fisici per portare il sistema da <math>A\ </math> a <math>B\ </math>. Spesso si usa rappresentare questi percorsi mediante delle linee continue in un piano termodinamico (ad esempio nel piano di Clapeyron, <math>P-V\ </math>). È fondamentale però interpretare correttamente questo diagramma: siccome i punti nel piano corrispondono esclusivamente a stati di equilibrio (dove la pressione e il volume sono ben definiti in tutto il sistema), solo una trasformazione ''quasi-statica'' (cioè un'evoluzione infinitamente lenta composta da una successione continua di stati di equilibrio) può essere rigorosamente tracciata come una curva. Gli stati intermedi di una trasformazione reale, invece, potrebbero non essere stati di equilibrio ed essere perciò privi di coordinate termodinamiche globali rappresentabili come punti. [[Image:Energia_interna.png|thumb|250px|left|Tre possibili percorsi per andare dallo stato A allo stato B su un piano termodinamico. Solo percorsi quasi-statici possono essere disegnati con linee continue.]] Consideriamo il caso illustrato in figura: vi sono due distinte trasformazioni, <math>I\ </math> e <math>II\ </math>, che portano il sistema dal medesimo stato <math>A\ </math> allo stato <math>B\ </math>. Esse comportano, in generale, scambi di calore e lavoro differenti, pari rispettivamente a <math>Q_I\ </math>, <math>W_I\ </math> e <math>Q_{II}\ </math>, <math>W_{II}\ </math>. Immaginiamo ora che il sistema venga riportato da <math>B\ </math> ad <math>A\ </math> tramite una terza trasformazione di rientro <math>III\ </math>, caratterizzata da un calore <math>Q_{III}\ </math> e un lavoro <math>W_{III}\ </math>. Ciò premesso, se valutiamo i due interi cicli combinati <math>I+III\ </math> e <math>II+III\ </math>, dal bilancio sul ciclo chiuso ricaviamo che: :<math>Q_I-W_I+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> :<math>Q_{II}-W_{II}+Q_{III}-W_{III}=0\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni, le grandezze della trasformazione <math>III\ </math> si elidono, rivelando un risultato cruciale: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}\ </math> Questa equazione dimostra che, sebbene il calore scambiato e il lavoro eseguito dipendano strettamente dal percorso effettuato tra <math>A\ </math> e <math>B\ </math>, la loro ''differenza'' ne è completamente indipendente: essa varia unicamente in base allo stato iniziale e finale. A questa quantità definita a meno di una costante additiva arbitraria viene dato il nome di '''energia interna''', che si afferma così come una vera e propria funzione di stato: :<math>Q_I-W_I=Q_{II}-W_{II}=U(B)-U(A)\ </math> L'energia interna di un sistema ha le stesse dimensioni fisiche dell'energia puramente meccanica o del calore. Dal punto di vista microscopico, l'energia interna macroscopica misurata non è altro che la somma totale di tutte le energie a livello molecolare di cui si compone il sistema: include le energie cinetiche di ciascuna molecola (traslazionali, rotazionali e vibrazionali) e le loro energie potenziali di reciproca interazione. In maniera più generale e formale, riordinando i termini, possiamo scrivere che in qualunque trasformazione termodinamica tra stati di equilibrio: :<math>Q=W+\Delta U\ </math> Questa espressione è la forma matematica definitiva del primo principio della termodinamica. Essa ribadisce che l'energia dell'universo termodinamico considerato (sistema più ambiente) non viene né creata né distrutta: essa transita da o verso il sistema sotto forma di calore e lavoro macroscopici, manifestandosi poi come variazione dell'energia misurabile contenuta intrinsecamente nel corpo stesso. ==Energia interna dei gas perfetti== [[Image:Joultom.gif|thumb|250px|left|Schema dell'esperimento di Joule sulla espansione libera di un gas perfetto]] Si deve a [[w:James_Prescott_Joule|Joule]] un celebre esperimento fondamentale per chiarire da cosa dipenda l'energia interna di un gas perfetto. L'apparato sperimentale (mostrato schematicamente nella figura a fianco) è così concepito: in un [[w:Calorimetro|calorimetro]], ovvero un recipiente termicamente isolato contenente un liquido di cui si conosce la [[w:Capacità_termica|capacità termica]], viene immerso un contenitore rigido diviso in due sezioni da una valvola. Inizialmente tutto il gas si trova confinato nel bulbo di sinistra, in equilibrio termico alla temperatura del bagno liquido, mentre il bulbo di destra è completamente vuoto. Quando si apre il rubinetto, il gas subisce un'espansione libera, andando a occupare l'intero contenitore. Joule osservò che, a espansione conclusa, non vi era alcuna variazione misurabile nella temperatura del liquido calorimetrico. L'assenza di variazioni di temperatura implica che il gas non ha scambiato calore netto con l'ambiente esterno (il calorimetro). Pertanto, indicando con <math>Q</math> il calore, si ha <math>Q = 0</math>, e dal primo principio possiamo scrivere per il gas: :<math>W+\Delta U=0\ </math> Tuttavia il sistema, trovando il vuoto nell'altra metà del contenitore, non deve spingere alcuna parete mobile o vincere attriti esterni; non compie quindi alcun lavoro meccanico sull'ambiente (<math>W=0\ </math>). Ne consegue necessariamente che la variazione di energia interna del gas è nulla (<math>\Delta U = 0</math>). Il significato fisico di questo risultato è profondo: pur essendo cambiate drasticamente due variabili di stato del gas (il volume è raddoppiato e, di conseguenza, la pressione si è dimezzata), la temperatura e l'energia interna sono rimaste inalterate. Da qui si deduce, per esclusione, che nei gas perfetti l'energia interna non dipende né dal volume né dalla pressione, ma è esclusivamente funzione della sua temperatura: <math>U = U(T)</math>. È importante sottolineare che l'espansione libera è un esempio classico di trasformazione adiabatica e strettamente irreversibile; non è infatti possibile far tornare il gas nel solo bulbo di sinistra senza compiere lavoro di compressione. Se l'esperimento venisse ripetuto ad alta precisione con un gas reale, si noterebbero deboli variazioni di temperatura, confermando che l'assoluta indipendenza di <math>U</math> dal volume è vera solo nel modello limite del gas perfetto. Conoscendo ora questa proprietà fondamentale (<math>U=U(T)</math>), siamo in grado di valutare facilmente il calore scambiato da un gas perfetto nel corso di una trasformazione isoterma e reversibile. Questa trasformazione differisce radicalmente dall'espansione libera perché avviene attraverso stati di equilibrio e scambiando calore calore con una sorgente fissa. Poiché la temperatura non muta, l'energia interna del gas resta perennemente costante durante l'intero processo. Il gas, di fatto, converte in modo integrale tutto il calore assorbito dalla sorgente termica in lavoro meccanico ceduto all'esterno: :<math>Q=W\ </math> In particolare, se conosciamo il volume iniziale <math>V_A\ </math> e quello finale <math>V_B\ </math> delle <math>n\ </math> moli di gas che compiono tale trasformazione alla temperatura costante <math>T_o\ </math>, partendo dalla definizione generale di lavoro: :<math>W=\int_A^BPdV\ </math> Poiché la trasformazione è reversibile e quasi-statica, essa avviene lungo stati di equilibrio successivi; possiamo quindi sostituire alla pressione <math>P\ </math> l'espressione fornita dall'equazione di stato dei gas perfetti (<math>P=nRT/V</math>): :<math>W=nRT\int_{V_A}^{V_B}\frac {dV}V=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Di conseguenza, integrando il concetto, il calore totale scambiato nella trasformazione isoterma è: :<math>Q=W=nRT ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Il significato dell'energia interna nei gas perfetti acquista totale concretezza ricorrendo al modello microscopico descritto dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]]. Essa permette di identificare l'energia interna di un gas perfetto monoatomico (come l'elio o l'argon) esclusivamente con la somma delle energie cinetiche traslazionali delle particelle che lo compongono. Sperimentalmente e teoricamente si dimostra che, all'equilibrio termico, l'energia cinetica media di traslazione della singola molecola dipende solo dalla temperatura assoluta ed è pari a: :<math>\frac 32 k_BT\ </math> Ricordando che la costante di Boltzmann <math>k_B=R/N_A\ </math> equivale alla costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro. Moltiplicando l'energia media della singola molecola per il numero totale di particelle presenti nel gas, l'energia interna totale di <math>n\ </math> moli di gas monoatomico risulta pari a: :<math>U=nN_A\frac 32 k_BT=\frac 32 nRT\ </math> Se il gas è biatomico (come l'ossigeno o l'azoto), la molecola non è più puntiforme ma si modella come un "manubrio". Negli urti molecolari d'equilibrio, l'energia si ripartisce equamente anche sui due ulteriori gradi di libertà associati alle rotazioni della molecola lungo gli assi perpendicolari all'asse interatomico. Ogni molecola possiede quindi energia cinetica di traslazione più l'energia di rotazione; l'energia media distribuita sui 5 gradi di libertà complessivi aumenta quindi a: :<math>\frac 52 k_BT\ </math> In questo caso, l'energia interna macroscopica del gas biatomico assume la forma: :<math>U=nN_A\frac 52 k_BT=\frac 52 nRT\ </math> La regola per cui ad ogni singolo grado di libertà cinematico o potenziale quadratico spetti, all'equilibrio termico, un'energia media quantificabile esattamente in <math>k_BT/2\ </math>, è un postulato fondamentale della meccanica statistica classica e va sotto il nome di principio di equipartizione dell'energia. ==Calore specifico molare di un gas perfetto== ===Trasformazione a volume costante (isocora)=== I gas, a differenza dei solidi e dei liquidi, presentano un'elevata compressibilità. Questo comporta che la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura del sistema dipenda fortemente dal tipo di trasformazione (e dal lavoro meccanico) che il gas subisce o compie. In termini energetici, il calore assorbito non si tramuta solo in un aumento di temperatura macroscopico, ma può in parte essere speso dal gas per dilatarsi espandendo il suo volume. Un caso fenomenologico basilare è determinare quanto calore si debba fornire a <math>n\ </math> moli di gas perfetto confinate in un recipiente fisso, per andare da una temperatura <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math> in una trasformazione isocora (cioè a volume costante). Poiché non c'è espansione contro l'ambiente, il lavoro è rigorosamente nullo poichè <math>dV=0</math> e il I principio della termodinamica scritto in forma differenziale si riduce a: :<math>dU=dQ=nc_vdT\ </math> Dove con <math>c_v\ </math> indichiamo il '''calore specifico molare a volume costante''' (da cui il pedice <math>v\ </math>). Ricordando l'espressione dell'energia interna fondata sulla teoria cinetica (<math>U = n \frac{L}{2} R T</math>, dove <math>L</math> sono i gradi di libertà), la differenziazione ci porta ad affermare che se il gas è monoatomico: :<math>dU=n\frac 32RdT\ </math> mentre se il gas è biatomico: :<math>dU=n\frac 52RdT\ </math> Eguagliando i risultati, il calore specifico molare a volume costante vale dunque <math>c_v=3/2R\ </math> per i gas monoatomici e <math>c_v=5/2R\ </math> per quelli biatomici. Data questa costante caratteristica, possiamo scrivere in generale l'energia interna macroscopica di un gas perfetto in questa forma del tutto generale: :<math>U=nc_vT\ </math> ===Trasformazione a pressione costante (isobara)=== Se la stessa alterazione termica da <math>T\ </math> a <math>T+dT\ </math>, invece di avvenire a volume bloccato, avvenisse espandendo il gas reversibilmente a pressione costante, il calore non servirebbe più soltanto ad aumentare l'energia interna, ma anche a compiere il lavoro d'espansione. Per <math>n\ </math> moli di un gas perfetto, posso riscrivere formalmente il I principio della termodinamica in termini differenziali indicando con <math>c_p\ </math> il calore specifico molare a pressione costante: :<math>dQ = dU+pdV=nc_pdT\ </math> Sfruttando l'equazione dello stato dei gas perfetti <math>pV = nRT\ </math>, introduciamo i differenziali totali per una trasformazione: :<math>pdV+Vdp=nRdT\ </math> Essendo la trasformazione per costruzione isobara, la pressione è costante e il termine <math>Vdp\ </math> decade a zero. Resta quindi: :<math>pdV=nRdT\ </math> Inoltre, sappiamo già che per un gas perfetto l'energia interna dipende unicamente dalla temperatura, a prescindere dal tipo di trasformazione, quindi vale sempre <math>dU=nc_vdT\ </math>. Sostituendo le variabili trovate all'interno dell'equazione differenziale del I principio: :<math>nc_vdT+nRdT=nc_pdT\ </math> Dividendo tutti i membri per il termine comune <math>ndT\ </math>, otteniamo l'elegantissima espressione finale: :<math>c_p=c_v+R\ </math> A pressione costante, il calore specifico molare risulta quindi sempre rigorosamente maggiore a quello a volume costante. La loro netta differenza eguaglia la costante universale di stato dei gas. Questo storico risultato teorico va sotto il nome di '''[[w:Relazione_di_Mayer|Relazione di Mayer]]'''. Sempre relativamente e funzionalmente ai moti di un gas, viene spesso introdotto la costante <math>\gamma\ </math>, definita come rapporto fra i medesimi calori specifici: :<math>\gamma=\frac {c_p}{c_v}\ </math> Il suo valore numerico, così come il valore di <math>c_v\ </math> descritti sinora, governano fedelmente i gas perfetti (idealizzati) ma approssimano con estremo rigore gran parte dei gas reali testati a temperatura ambiente. Laddove tuttavia ci si muova a temperature critiche (estremamente basse prossime allo zero assoluto o talmente alte da indurre rotture/eccitazioni termiche), i gradi di libertà congelano o aumentano, discostando radicalmente i valori <math>c_v\ </math> e <math>\gamma\ </math> trovati per via sperimentale rispetto al caso del gas perfetto qui analizzato. La tabella seguente riepiloga numericamente le costanti ideali: {| {{prettytable}} ! Tipo di gas || <math>c_v\ </math> || <math>c_p\ </math> || <math>\gamma\ </math> |- | Monoatomico || <math>3R/2\ </math> || <math>5R/2\ </math>|| <math>5/3\ </math> |- | Biatomico || <math>5R/2\ </math> || <math>7R/2\ </math>|| <math>1,4\ </math> |- |} ==Calore specifico molare di un solido== Nei solidi la differenza tra calore specifico a volume costante e a pressione costante è trascurabile, poiché la compressibilità è molto piccola. Empiricamente si osserva che il calore specifico molare di quasi tutti i solidi semplici, a temperatura ambiente, è molto vicino al valore previsto dalla [[w:Legge_di_Dulong_Petit|Dulong Petit]]: :<math>C_m\approx 3R\ </math> Fanno eccezione materiali con temperature di fusione molto elevate, come il diamante, per i quali il calore specifico a temperatura ambiente risulta sensibilmente inferiore. In generale, però, per la maggior parte dei solidi semplici il valore di <math>3R\ </math> fornisce una buona stima del calore specifico molare. ==Trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto== Una trasformazione si dice adiabatica quando il sistema non scambia calore con l’esterno. Un esempio importante, ma irreversibile, è l’espansione libera di un gas perfetto: non avviene scambio di calore, ma non viene compiuto lavoro e lo stato finale non è raggiunto attraverso stati di equilibrio. Nel seguito consideriamo invece una espansione adiabatica reversibile (il caso della compressione si ottiene invertendo il verso della trasformazione). Per un gas perfetto, il lavoro compiuto coincide con la diminuzione dell’energia interna, quindi il gas si espande e si raffredda. ===Equazione differenziale dell’adiabatica=== Per una trasformazione reversibile vale il I principio in forma differenziale: :<math>dU + p\,dV = 0</math> Per un gas perfetto: :<math>dU = n c_v\, dT</math> e, usando l’equazione di stato <math>pV=nRT</math> :<math>p = \frac{nRT}{V}</math> Sostituendo: :<math>n c_v\, dT + \frac{nRT}{V}\, dV = 0</math> Dividendo per <math>nT</math> e usando la relazione di Mayer :<math>R = c_p - c_v</math> si ottiene: :<math>(\gamma - 1)\frac{dV}{V} = -\frac{dT}{T}</math> con <math>\gamma = \frac{c_p}{c_v}</math>. ===Integrazione=== Integrando tra lo stato iniziale <math>A</math> e uno stato generico: :<math>\ln\!\left(\frac{V}{V_A}\right)^{\gamma - 1} = \ln\!\left(\frac{T_A}{T}\right)</math> e quindi: :<math>T\,V^{\gamma - 1} = T_A\,V_A^{\gamma - 1} = \text{cost}</math> Usando l’equazione di stato si ottengono anche le forme equivalenti: :<math>p\,V^{\gamma} = \text{cost}</math> :<math>T\,p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{cost}</math> Queste relazioni descrivono il legame tra due variabili di stato qualunque lungo una adiabatica reversibile. ===Rappresentazione sul piano di Clapeyron=== [[Image:Adiabatic.svg|thumb|350px|right|Confronto tra trasformazione adiabatica e due isoterme nel piano di Clapeyron]] <math>TV^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}=cost\ </math> Sul piano (<math>p,V</math>) una adiabatica reversibile è più ''ripida'' di una isoterma. Poiché <math>\gamma > 1</math>, la pressione decresce più rapidamente con il volume rispetto al caso della isoterma, come mostrato nella figura. ===Un esempio naturale: l’atmosfera=== Un caso fisico rilevante è l’espansione adiabatica dell’aria che sale rapidamente in atmosfera. Poiché la pressione diminuisce con l’altezza, la massa d’aria si espande, compie lavoro e si raffredda. La variazione di temperatura con la quota (gradiente adiabatico) è spiegata proprio da questo meccanismo. ===Esercizi=== Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#2._Adiabatica_gas_perfetto|esercizio sui gas perfetti]] chiarisce meglio quanto detto. Mentre l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#3._Adiabatica_con_recipiente| esempio con un recipiente]] estende la definizione di <math>\gamma</math>. ==Trasformazioni cicliche== In una trasformazione ciclica il sistema ritorna allo stato iniziale. Poiché l’energia interna è una funzione di stato, la sua variazione su un ciclo è nulla: :<math>\Delta U = 0</math> Applicando il I principio della termodinamica, il bilancio energetico del ciclo diventa: :<math>\sum_i Q_i = W</math> dove <math>Q_i</math> è il calore scambiato con la sorgente <math>i</math> e <math>W</math> è il lavoro netto compiuto dal sistema durante l’intero ciclo cioè l’area racchiusa nel piano <math>(p,V)</math>. A differenza dell’energia interna, sia i calori scambiati sia il lavoro dipendono dal percorso, cioè da come il ciclo è realizzato nel piano termodinamico. ===Macchina termica=== Un caso importante è un ciclo che opera tra due sole sorgenti: * una sorgente calda a temperatura <math>T_2</math>, * una sorgente fredda a temperatura <math>T_1</math>, con <math>T_2 > T_1</math>. Se il ciclo è percorso in senso orario, il lavoro totale è positivo: il sistema funziona come macchina termica. Indichiamo con: * <math>Q_2 > 0</math> il calore assorbito dalla sorgente calda, * <math>Q_1 < 0</math> il calore ceduto alla sorgente fredda. Il rendimento della macchina termica è definito come: :<math>\eta = \frac{W}{Q_2}</math> ed esprime la frazione del calore assorbito dalla sorgente calda che viene trasformata in lavoro. Il rendimento è sempre inferiore a 1 in quanto <math>Q_1 < 0</math> e quindi <math>W=Q_1+Q_2 <Q_2</math>. ===Ciclo frigorifero=== Se il ciclo è percorso in senso antiorario, il lavoro totale è negativo: il sistema assorbe lavoro meccanico e funziona come ciclo frigorifero. In questo caso: * <math>Q_1 > 0</math>: il sistema assorbe calore dalla sorgente fredda, * <math>Q_2 < 0</math>: il sistema cede calore alla sorgente calda, * <math>W < 0</math>: il sistema richiede lavoro esterno. Il parametro di efficienza è il coefficiente di prestazione frigorifero: :<math>COP_f = \frac{Q_1}{|W|} = -\frac{Q_1}{W}</math> Più grande è il <math>COP_f</math>, più efficiente è il frigorifero. ===Pompe di calore=== Lo stesso ciclo, interpretato in modo diverso, può funzionare come pompa di calore. In questo caso l’obiettivo non è raffreddare la sorgente fredda, ma riscaldare la sorgente calda. Il coefficiente di prestazione della pompa di calore è: :<math>COP_p = \frac{Q_2}{W}</math> Qui: * <math>Q_2 < 0</math> è il calore ceduto alla sorgente calda, * <math>W < 0</math> è il lavoro assorbito. Il rapporto è positivo e misura quanta energia termica viene fornita alla sorgente calda per ogni unità di lavoro speso. Le pompe di calore sono energeticamente vantaggiose quando: :<math>COP_p > 1</math> poiché in tal caso trasferiscono più calore di quanto lavoro consumino. Il COP può essere maggiore di 1 perché non si crea calore, ma lo si trasferisce. Se <math>COP_p < 1</math>, sarebbe più semplice convertire direttamente il lavoro in calore. ==Ciclo di Carnot== [[Image:Carnot-cycle.jpg|thumb|upright=1.5|right|Ciclo ideale di una macchina di Carnot]] Il ciclo di Carnot è un ciclo termodinamico ideale che opera tra due sole temperature, <math>T_2</math> (sorgente calda) e <math>T_1</math> (sorgente fredda), ed è costituito da: * due trasformazioni '''isoterme reversibili''', * due trasformazioni '''adiabatiche reversibili'''. Il ciclo di Carnot rappresenta il limite teorico massimo del rendimento di una macchina termica operante tra due temperature. Nessun ciclo reale può superarlo. Il ciclo è ideale perché '''interamente reversibile'''. Le due adiabatiche sono essenziali: solo esse permettono di collegare le due isoterme mantenendo il ciclo reversibile con '''due sole sorgenti di calore'''. Se al loro posto ci fossero isocore (come nel [[w:Ciclo_Stirling|ciclo di Stirling]]), sarebbero necessarie infinite sorgenti intermedie tra <math>T_1</math> e <math>T_2</math>, cosa impraticabile. Per semplicità consideriamo un gas perfetto, anche se il risultato finale non dipende dalla sostanza. ===Le quattro trasformazioni del ciclo=== * Isoterma reversibile <math>A \to B</math> a temperatura <math>T_2</math>. Il sistema assorbe calore <math>Q_2</math> dalla sorgente calda e compie lavoro. Si ha che <math>Q_2 = W_{AB}</math> perché <math>dU = 0</math>: :<math>\ \ W_{AB} = Q_2 = nRT_2 \ln\!\frac{V_B}{V_A}</math> * Adiabatica reversibile <math>B \to C</math>. Il sistema non scambia calore e si espande raffreddandosi fino a <math>T_1</math>. Agli estremi vale: :<math>\ \ T_2 V_B^{\gamma - 1} = T_1 V_C^{\gamma - 1}</math> * Isoterma reversibile <math>C \to D</math> a temperatura <math>T_1</math>. Il sistema cede calore <math>Q_1</math> alla sorgente fredda. Si ha che <math>W_{CD} = Q_1</math> in quanto <math>dU = 0</math>: :<math>\ \ W_{CD} = Q_1 = nRT_1 \ln\!\frac{V_D}{V_C}</math> * Adiabatica reversibile <math>D \to A</math>. Il sistema si comprime senza scambio di calore e ritorna allo stato iniziale: :<math>\ \ T_1 V_D^{\gamma - 1} = T_2 V_A^{\gamma - 1}</math> ===Calcolo del rendimento=== Il lavoro totale del ciclo è: :<math>W = Q_2 + Q_1</math> e il rendimento della macchina termica è: :<math>\eta = \frac{W}{Q_2}</math> Sostituendo le espressioni delle isoterme: :<math>\eta = 1 + \frac{T_1 \ln(V_D/V_C)}{T_2 \ln(V_B/V_A)}</math> Poiché le due adiabatiche collegano le isoterme mantenendo costante <math>TV^{\gamma-1}</math>, segue che <math>\frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D}</math>, e quindi i logaritmi nelle due isoterme sono uguali. Da cui segue: :<math>\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}</math> Questo è il risultato fondamentale del ciclo di Carnot. ===Interpretazione fisica=== Il rendimento dipende solo dalle temperature delle due sorgenti. È tanto maggiore quanto più grande è la differenza tra <math>T_2</math> e <math>T_1</math>. È sempre minore di 1: nessuna macchina termica può trasformare tutto il calore in lavoro. Il lavoro prodotto e i calori scambiati dipendono invece dalle dimensioni del ciclo (ad esempio dal rapporto <math>V_B/V_A</math>). ===Ciclo di Carnot come frigorifero o pompa di calore=== Poiché il ciclo è reversibile, può essere percorso in senso inverso: ====Ciclo frigorifero==== :<math>COP_f = \frac{T_1}{T_2 - T_1}</math> Il COP di Carnot è un limite superiore anche per i cicli reali. ====Pompa di calore==== :<math>COP_p = \frac{T_2}{T_2 - T_1}</math> ===Considerazioni pratiche=== Il ciclo di Carnot è teorico: realizzare trasformazioni adiabatiche reversibili è estremamente difficile. Cicli come quello di Stirling (vedi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#4._Ciclo_di_Stirling| esempio]]) sono più vicini alla pratica pur mantenendo buone efficienze. Esistono molti altri cicli termodinamici; [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Il_I_principio_della_termodinamica#5._Ciclo_anomalo| un esempio]] di ciclo poco efficiente mostra perché il ciclo di Carnot rappresenta il limite teorico superiore. [[Fisica_classica/Secondo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Secondo principio della termodinamica]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} g4faolpb7997qxk6s7k5sbfezj1irnv 0 20934 499051 497818 2026-06-07T15:02:15Z Pasquale.Carelli 528 da punto a virgola 499051 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Trasformazioni termodinamiche |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Trasformazioni_termodinamiche |CapitoloSuccessivo=Primo principio della termodinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Primo_principio_della_termodinamica }} {{fisica classica}} ==Gas ideali== Un gas si definisce perfetto o ideale se la sua [[w:Equazione_di_stato|equazione di stato]] cioè l'equazione che definisce lo stato del sistema è semplicemente: :<math>pV=nRT\ </math> Dove <math>T\ </math> è espresso in gradi Kelvin e <math>R=8,314\ \frac{J}{mol \cdot K}\ </math> viene detta [[w:Costante_universale_dei_gas|costante universale dei gas]], <math>n\ </math> è il numero di moli del gas. Un gas rispetta molto bene tale legge se la temperatura a cui si trova è molto maggiore della temperatura critica e la sua densità (o se si vuole la pressione) è di molto inferiore al valore critico. I gas principali <math>N_2\ </math> e <math>O_2\ </math> che fanno parte dell'aria hanno una temperatura critica rispettivamente di <math>126\ K</math> e <math>155\ K</math> con pressioni critiche di <math>3,3\cdot 10^6\ Pa</math> e <math>5\cdot 10^6\ Pa</math>. Per questa ragione l'aria alla temperatura media della terra, se si trascura il vapore d'acqua, è un gas perfetto. L'acqua ha una temperatura critica di <math>647\ K</math> ed una pressione critica di <math>2,2\cdot 10^7\ Pa</math> e non può essere considerato un gas perfetto (la [[w:Nebbia|nebbia]] o la [[w:Pioggia|pioggia]] sono manifestazioni della non descrivibilità dell'acqua mediante l'equazione di stato dei gas perfetti). In realtà esistono delle condizioni microscopiche affinché un gas si comporti come un gas perfetto: * Il volume proprio delle molecole, il cosiddetto covolume, sia trascurabile rispetto al volume del recipiente contenente il gas. * La forza di attrazione tra le molecole sia trascurabile cosicché la energia potenziale di tale forza attrattiva sia trascurabile rispetto all'energia cinetica media. In tali condizioni si trova sperimentalmente che mediamente ogni molecola del gas ha una energia cinetica media pari a: :<math>\frac 12mv^2=\frac 32k_BT\ </math> , Dove <math>k_B=\frac{R}{N_A}\approx 1,38\cdot 10^{-23}\ J/K</math> è chiamata [[w:Costante_di_Boltzmann|costante di Boltzmann]]. La pressione non è data da altro che dagli urti elastici che le molecole di gas esercitano sulle pareti del contenitore (lo vedremo più in dettaglio nel seguito). La compressibilità ha le dimensioni di una pressione ed è in qualche maniera legata nella meccanica del continuo al rapporto tra il volume occupato e la sua variazione (negativa) come conseguenza dell'aumento di pressione. Cioè un corpo compressibile per un aumento di pressione diminuisce di molto il volume occupato, mentre uno incompressibile non varia apprezzabilmente il suo volume con l'aumento di pressione. In genere i solidi sono incompressibili. I gas perfetti sono invece tra le sostanze in natura più compressibili. La compressibilità ha le dimensioni di un pressione e viene definita analiticamente come: :<math>\beta = -V \left. \frac {\partial p}{\partial V}\right|_{T}</math> e nel caso dei gas perfetti vale: :<math>\beta =V\frac {nRT}{V^2}=p\ </math> Nella meccanica del continuo è anche importante misurare di come aumenti il volume dei mezzi a causa della temperatura, in realtà tale proprietà è ad esempio sfruttata nei termometri a mercurio in cui l'aumento di volume con la temperatura del mercurio che è un liquido che non bagna le pareti di vetro viene usato per misurare la temperatura. Per quantizzare questa caratteristica viene introdotto il il coefficiente di dilatazione cubica: :<math>\alpha =\frac 1V \left. \frac {\partial V}{\partial T}\right|_{p}\ </math> Nel caso dei gas perfetti vale: :<math>\alpha =\frac 1T\ </math> quindi a temperatura ambiente la variazione percentuale di volume in un gas perfetto con la temperatura è grande, ma ancora maggiore è la sua variazione a bassa temperatura. La misura della temperatura assoluta viene fatta con elevata precisione con gas perfetti a bassa temperatura mediante i [[w:Termometro_a_gas|termometri a gas]]. [[Image:Ideal_gas_isotherms.png|thumb|250px|left|Isoterme di un gas ideale sul piano di Clapeyron]] L'ulteriore particolarità di un gas ideale è che nel piano di Clapeyron, <math>V-p\ </math>, le curve che rappresentano le trasformazioni isoterme reversibili, cioè le curve a temperatura costante, sono delle [[w:Iperbole_(geometria)|iperboli]] equilatere. ===Trasformazione isoterma di un gas ideale=== Immaginiamo di avere un gas ideale che compia una espansione da un volume <math>V_A\ </math> ad un volume <math>V_B\ </math>, rimanendo alla stessa temperatura <math>T_A\ </math>. Immaginiamo che la trasformazione avvenga per stati equilibrio termodinamico e che il contenitore in cui sia contenuto sia a tenuta cioè il sistema sia chiuso, in maniera tale la quantità di gas identificata dal numero di moli <math>n\ </math>. Durante quindi la trasformazione la pressione sarà inversamente proporzionale al volume (posso applicare in ogni istante l'equazione di stato): :<math>p=\frac {nRT_A}V\ </math> Quindi il lavoro fatto dal sistema verso l'esterno è pari a: :<math>W=\int_{V_A}^{V_B} pdV=nRT_A\int_{V_A}^{V_B} \frac {dV}V=nRT_A\ln \frac {V_B}{V_A}\ </math> Quindi in questo caso l'espressione del lavoro fatto è una funzione calcolabile semplicemente. La trattazione non cambierebbe se il gas venisse compresso passando da un volume maggiore ad uno minore. In questo caso essendo <math>V_B<V_A\ </math> il lavoro sarebbe negativo, cioè sarebbe necessario compiere del lavoro dall'esterno. ==Dalla [[w:Teoria_cinetica_dei_gas|teoria cinetica dei gas]] all'equazione di stato dei gas perfetti== Definiamo un gas perfetto da un punto di vista microscopico in maniera più restrittiva di come fatto precedentemente per semplificare il ragionamento: consideriamo il gas tanto rarefatto per cui si possono trascurare gli urti tra le singole molecole rispetto agli urti con le pareti del recipiente. Ricordiamo il fatto sperimentale che l'energia cinetica media delle molecole <math><E_{k}>\ </math> vale semplicemente: :<math><E_k>=\frac 12 m<v^2>=\frac 32k_BT\ </math> [[Image:Scatola_teoria_cinetica.png|thumb|250px|right|Un parallelepipedo in cui è contenuto un gas rarefatto]] <math><v^2>\ </math> è la velocità quadratica media delle molecole, ben diversa dalla velocità media che è nulla. Nella figura a fianco viene mostrato schematicamente come sia fatto il contenitore (un parallelepipedo per semplicità) di volume <math>V=lA\ </math> che contiene le <math>N=nN_A\ </math> molecole di gas rarefatto. <math>n\ </math> è il numero di moli del gas. Focalizziamo l'attenzione su una singola molecola che ha velocità <math>\vec v=(v_x,v_y,v_z)\ </math> ed osserviamola in un intervallo di tempo <math>\Delta t\ </math>. Se il recipiente è in equilibrio termodinamico con il gas gli urti con la parete saranno mediamente elastici. Quindi la componente dell'impulso ceduto alla parete <math>A\ </math> ad ogni singolo urto nella direzione <math>x\ </math> sarà semplicemente <math>I_x=F_xdt=2mv_x\ </math>. Il numero di urti <math>n_u\ </math> fatti in tale intervallo di tempo contro la parete è ovviamente pari al rapporto tra la durata <math>\Delta t\ </math> ed il tempo che la molecola impiega ad attraversare il recipiente (andata e ritorno): :<math>n_u=\frac {\Delta t}{2l/v_x}=v_x \frac {\Delta t}{2l}\ </math> Quindi la componente della forza che mediamente viene esercitata da tale molecola sulla parete <math>A\ </math> nella direzione <math>x\ </math>: :<math>F_{xm}=n_u\frac {I_x}{\Delta t}=v_x \frac {\Delta t}{2l}\frac {2mv_x}{\Delta t}=\frac {mv_x^2}{l}\ </math> Moltiplicando tale forza per le <math>N\ </math> molecole contenute nel volume <math>V\ </math> e dividendo per la superficie <math>A\ </math> su cui viene esercitata si ha la pressione media esercitata dal gas: :<math>P=\frac {NF_{xm}}A=nN_A\frac {mv_x^2}{lA}=nN_A\frac {mv_x^2}{V}\ </math> Si è per semplicità immaginato che la componente della velocità al quadrato delle molecole siano eguali. Dalla meccanica sappiamo che: :<math>v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2\ </math> Ma anche che non esiste una direzione privilegiata dello spazio cioè in media: :<math><v_x^2>=<v_y^2>=<v_y^2>=\frac {<v^2>}3\ </math> Sostituendo a <math>v_x^2\ </math> il suo valore medio nell'equazione precedente: :<math>P=nN_A\frac {m<v^2>}{3V}\ </math> Ma se sostituiamo la prima equazione data all'inizio del paragrafo si ha che: :<math>P=nN_A\frac {3k_BT}{3V}=\frac {nN_Ak_B T}V=\frac {nRT}V\ </math> Che è l'equazione di stato dei gas perfetti. ==[[w:Gas_reale|Gas reali]]== [[File:VanderWaals_liquefazione_CO2.jpg|right|500px|Esempio della legge di van der Waals per l'anidride Carbonica (CO₂) a varie temperature. '''Legenda:''' ''P'' = pressione; ''V'' = volume; ''T'' = temperatura; ''P_c'', ''V_c'', ''T_c'' = valori critici; tratti di isoterma: continuo = gas; tratteggiato = liquido; punteggiato = previsione teorica al punto di liquefazione; ''L'' = punto di liquefazione]] I fluidi per i quali non sia trascurabile il volume proprio delle molecole (il covolume <math>nb\ </math>) rispetto al volume <math>V\ </math> del recipiente e per cui la attrazione intermolecolare esercita un ruolo non trascurabile sono descrivibili da una equazione che ricorda l'equazione di stato dei gas, formulata in maniera semiempirica da [[w:Legge_di_van_der_Waals|Van der Waals]]: :<math>(p+a\frac {n^2}{V^2})(V-nb)=nRT\ </math> <math>a</math> dipende dall’intensità delle forze attrattive intermolecolari; <math>b</math> rappresenta il volume proprio delle molecole. Alla pressione viene aggiunto un termine che in qualche maniera tiene conto della attrazione delle molecole che riduce, quando la densità è elevata (<math>V\ </math> piccolo), la pressione effettiva. Le deviazioni dal comportamento ideale diventano significative quando il gas si avvicina alle condizioni di liquefazione, come si vede nel diagramma di fase. Il grafico in figura mostra le isoterme di un particolare gas reale: l'[[w:Anidride_carbonica|anidride carbonica]] detta anche biossido di carbonio. Alla temperatura di 70 °C (ben al di sopra della temperatura critica) l'isoterma ricorda le iperbole equilatere dei gas perfetti, seppure la pressione è più bassa di quella di un gas ideale (a causa del potenziale attrattivo). Alla temperatura di 40 °C vi sono due punti di flesso, pur tuttavia si ha una funzione ancora [[w:Funzione_monotona|monotona]]. La curva a 31 °C, temperatura critica, illustra cosa succede in questo punto particolare. Quando il gas viene compresso in modo tale da raggiungere il volume critico ''V_C'' e di conseguenza la pressione critica ''p_C'', diventa liquido. A destra è gassoso a sinistra e liquido. Le curve a 13 °C e 21 °C rappresentano solo parzialmente il comportamento reale del gas (in queste condizioni si raggiungono quindi i limiti di validità dell'equazione di Van der Waals). Il tratto di destra delle curve (corrispondente alle pressioni minori) descrive in modo adeguato il comportamento del gas, mentre la loro parte centrale (dove si osservano le "gobbe") non corrisponde alla realtà fisica, in quanto il gas, invece di seguire la curva che indicherebbe un assurdo aumento del volume all'aumentare della pressione, segue la linea orizzontale nera <math>L</math>. La linea orizzontale viene posizionata ad un'ordinata tale che l'area compresa tra la linea e la gobba di destra sia uguale a quella compresa tra la linea e la gobba di sinistra. In questa zona avviene la liquefazione del gas, per cui al termine della linea orizzontale troviamo soltanto anidride carbonica liquida. Se si tenta di ridurre ulteriormente il volume, la pressione aumenta in modo molto rapido, dal momento che i liquidi sono praticamente incompressibili. Osserviamo infine che la lunghezza del tratto orizzontale aumenta al diminuire della temperatura. Si possono ricavare i parametri ''a'' e ''b'' in funzione dei valori critici: :<math> b = \frac{RT_C}{8P_C}, \qquad a = \frac{27(RT_C)^2}{64P_C} </math> Dove <math>T_C\ </math> e <math>P_C\ </math> sono la temperatura e la pressione critica. L’equazione di Van der Waals riproduce qualitativamente l’esistenza del punto critico, oltre il quale non c’è distinzione tra liquido e gas. [[Fisica_classica/Primo_principio_della_termodinamica| Argomento seguente: Primo principio della termodinamica]] [[categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} og1ebn2bwg99nyd9qfp79bfqvtr5oq8 100 56540 499057 485423 2026-06-07T16:14:59Z Rebi27 54445 /* Partecipanti */ 499057 wikitext text/x-wiki [[File:Roma Tre nuovo logo.png|thumb|300px|destra]] [[File:WDG - Locandina tirocinio Roma Tre 2025.png|thumb|300px]] Dal 3 febbraio al 29 giugno 2025, [[:m:WikiDonne|WikiDonne]] in collaborazione con l'[[w:Università degli Studi Roma Tre|Università degli Studi Roma Tre]], svolge il tirocinio curriculare online sulla '''[[Storia del femminismo italiano]]''' in Wikibooks e [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2025|Wikipedia]]. {{cassetto |titolo =<span style="color:white">Dettaglio tirocinio</span> |colore = #344234 |testo = ===Info=== * '''Titolo'': '''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme wiki per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' Tirocinio esterno con l'attribuzione di 6/8 CFU, per un totale di 150/200 ore indirizzato alle studentesse e studenti delle lauree magistrali in ''Informazione, Editoria e Giornalismo (LM19)'' e ''E-Learning e media education (LM93)'' dell'Università di Roma Tre. * '''Durata''': Dal 3 febbraio al 29 giugno 2025. * '''Progetti wiki''': Il corso su Wikibooks fa parte del tirocinio curriculare '''[https://drive.google.com/file/d/1SqDD4hIqOxfti2hCJJC30BQ1b28iwp5o/view?usp=drive_link Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!]''', che coinvolge anche altri progetti Wikimedia (Wikipedia, Commons, Wikidata). Il tirocinio si svolgerà in concomittanza su [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2025|'''Wikipedia''']] e Wikibooks, dove è prevista l'integrazione della voce in Wikipedia con il wikibook contenente le biografie delle esponenti di spicco del feminismo in Italia. ===Scopo=== Scrittura su Wikipedia e altre piattaforme Wikimedia, come strumento di didattica aperta, cultura inclusiva e mezzo per ridurre il divario di genere. * Sviluppare competenze nella ricerca e scrittura collaborativa su piattaforme wiki. * Promuovere la consapevolezza delle questioni di genere e della rappresentazione delle donne nella storia e nella cultura. * Favorire l'uso di strumenti digitali, licenze libere e risorse educative aperte. ===Competenze acquisite=== * Competenze nelle piattaforme wiki: Apprendere come utilizzare e contribuire a piattaforme come Wikipedia, Wikibooks, Commons, Wikidata, e altre piattaforme Wikimedia. * Ricerca e raccolta dati: Diventare abili nella ricerca e nella raccolta di informazioni da fonti affidabili, sviluppando competenze analitiche e critiche. * Scrittura e redazione: Migliorare le abilità di scrittura e redazione, imparando a creare contenuti chiari, concisi e ben strutturati. * Collaborazione e lavoro di squadra: Avere l'opportunità di lavorare in team, migliorando le capacità di comunicazione e collaborazione. * Educazione aperta: Capire i principi dell'educazione aperta e come applicarli nella creazione e condivisione di conoscenza. * Cultura inclusiva: Acquisire una maggiore consapevolezza e sensibilità verso temi di inclusività e rappresentazione di genere. * Gestione del progetto: Imparare a gestire progetti, organizzare attività, e rispettare scadenze. * Competenze digitali: Migliorare le competenze digitali, imparando a utilizzare vari strumenti e tecnologie. ===Programma=== Programma di tirocinio - 200 ore. Orario: dal lunedì alla domenica, ore 9:00-20:30, impegno: 10 ore/settimanali. '''Struttura del tirocinio''': '''1. Introduzione (10 ore)'''. Settimana 3-9 febbraio 2025 (Camelia). * Orientamento e presentazione dei progetti collaborativi Wikimedia e di WikiDonne (1 ora). * Sessioni introduttive su questioni di genere e rappresentazione nei progetti Wikimedia (1 ora). * Comprendere e utilizzare le licenze aperte (3 ore). * Formazione sul funzionamento di Wikipedia, Wikibooks, Commons e Wikidata (5 ore). '''2. Ricerca e raccolta dati (20 ore)'''. Settimana 10-16 e 17-23 febbraio 2025 (Loretta). * Identificazione di temi e biografie di donne rilevanti (3 ore). * Raccolta di fonti e materiale bibliografico (4 ore). * Collaborazione con tutor e supervisori per la valutazione delle fonti (3 ore). '''3. Scrittura e revisione (100 ore)''' * Redazione di voci biografiche su Wikipedia e Wikibooks (70 ore). * Applicazione delle linee guida di scrittura collaborativa: struttura voce, formattazione, template ecc. (10 ore). * Revisione e miglioramento delle voci create, con feedback dei supervisori (20 ore). '''4. Progetti speciali (40 ore)''' * Partecipazione a campagne e contest correlati (Donne in STEM, BBC 100 Women, Art + Feminism, Donne e cambiamento climatico ecc.) e alle pagine di discussione comunitarie (5 ore) * Creazione di contenuti multimediali (foto, video, ecc.) per arricchire le voci (15 ore). * Creazione di materiale di comunicazione (newsletter, articoli sul blog, post sui social media ecc.) per fare conoscere il lavoro fatto (15 ore). * Collaborazione con altri affiliati Wikimedia (progetti multilingue) (5 ore). '''5. Formazione e workshop (20 ore)''' * Partecipazione a workshop su tool Wikimedia, strumenti digitali e metodologie educative aperte (10 ore). * Incontri con ospiti su temi specifici di interesse (es. diritti delle donne, educazione inclusiva) (10 ore). '''6. Valutazione e conclusione (10 ore)''' * Presentazione del lavoro svolto e discussione dei risultati raggiunti (4 ore). * Valutazione del tirocinio da parte dei supervisori e dei partecipanti (3 ore). * Riflessione finale e suggerimenti per progetti futuri (3 ore). }} ==Docenti e tutor== * [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] * [[Utente:LorManLor|LorManLor]] ==Partecipanti== Le studentesse sono pregate di [[Aiuto:Come registrarsi|registrare individualmente un account]] e di aggiungere la propria firma usando '''solo''' la wikisintassi prevista ([[Aiuto:Firma]]) qui sotto. ; primo gruppo # [[Utente:Deborahpiperno|Deborahpiperno]] ([[Utente:Deborahpiperno/Sandbox|sandbox]], cap. 7) # [[Utente:Ale.Amodeo5|Ale.Amodeo5]] ([[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox|sandbox]], cap. 6) # [[Utente:Giafia|Giafia]] ([[Utente:Giafia/Sandbox|sandbox]], cap. 4 e 5) # [[Utente:Il chiaroscuro|Ilaria Lorenzini]] ([[Utente:Il chiaroscuro/Sandbox|sandbox]], cap. 1 e 2) # [[Utente:NoemiMcc|NoemiMcc]] ([[Utente:NoemiMcc/Sandbox|sandbox]], cap. 5) # [[Utente:Eleonora Presciuttini|Eleonora Presciuttini]] ([[Utente:Eleonora Presciuttini/Sandbox|sandbox]], cap. 2 e 3) # [[Utente:Chi.carlon|Chi.carlon]] ([[Utente:Chi.carlon/Sandbox|sandbox]], cap. 8) # [[Utente:Maruyari|Maruyari]] ([[Utente:Maruyari/Sandbox|sandbox]]) ; secondo gruppo (Moodle) # [[Utente:Eleonorapanunzi|Eleonora]] ([[Utente:Eleonorapanunzi/Sandbox|sandbox, modulo 2]]) # <s>[[Utente:Alessia Crescenzo|Alessia Crescenzo]] ([[Utente:Alessia Crescenzo/Sandbox|sandbox, modulo 4]])</s>, ritirata # [[Utente:Natalea02|Antonella]] ([[Utente:Natalea02/Sandbox|sandbox, modulo 1]]) # [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] ([[Utente:Camelia.boban/Modulo 3 (MOOC)|sandbox, modulo 3]]) # [[Utente:Rebi27|Rebecca]] ([[Utente:Rebi27/sandbox]]) ==Wikibook da scrivere== * [[Storia del femminismo italiano]] * {{Vedi anche|Progetto:WikiDonne/Tirocinio Roma Tre 2025/Struttura wikibook}} === Divisione del lavoro === * '''Obiettivi''' {{doing|Camelia}} * '''1. Prima ondata femminista: radici del femminismo in Italia''' ** ''[[Utente:Il_chiaroscuro/Sandbox#1.0._Introduzione|1.0]] Introduzione'' *** Femminismo. Definizioni <span style="color:green;">{{doing|Eleonora e Ilaria}}</span> *** [[Utente:Il_chiaroscuro/Sandbox#1.0.1._La_Querelle_des_Femmes:_fondamenta_del_pensiero_proto-femminista_(XIV-XVIII_secolo)|1.0.1]] Querelle des femmes <span style="color:green;">{{doing|Eleonora e Ilaria}}</span> *** [[Utente:Il_chiaroscuro/Sandbox#1.0.2._L'illuminismo_e_i_diritti_delle_donne|1.0.2]] Illuminismo e Rivoluzione francese <span style="color:green;">{{doing|Eleonora e Ilaria}}</span> ** ''[[Utente:Eleonora_Presciuttini/Sandbox#1.1._Il_XIX_secolo|1.1]] Il XIX secolo'' *** [[Utente:Eleonora_Presciuttini/Sandbox#1.1.1_Donne_e_Risorgimento|1.1.1]] Il '48 <span style="color:green;">{{doing|Eleonora e Ilaria}}</span> *** [[Utente:Giafia/Sandbox#1.1.2._Condizione_femminile_nel_periodo_post-unitario|1.1.2]] Risorgimento, Italia post-unitaria e questione femminile <span style="color:orange;">{{doing|Giada}}</span> *** [[Utente:Giafia/Sandbox#1.1.3._La_stampa_delle_donne|1.1.3]] La stampa delle donne <span style="color:orange;">{{doing|Giada}}</span> *** [[Utente:NoemiMcc/Sandbox#1.1.4._La_nascita_del_femminismo_come_movimento_politico_e_l'associazionismo_femminile|1.1.4]] L'associazionismo femminile <span style="color:blue;">{{doing|Noemi}}</span> *** 1.1.5 Il movimento suffragista <span style="color:blue;">{{doing|Noemi}}</span> ** ''[[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox#1.2._Dal_primo_Novecento_alla_Prima_guerra_mondiale|1.2]] Dal primo Novecento alla prima guerra mondiale'' *** [[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox#1.2.1_Il_movimento_delle_donne_nei_primi_decenni_del_Novecento|1.2.1]] Colonialismo, nazionalismo, femminismo, pacifismo <span style="color:magenta;">{{doing|Alessia}}</span> *** [[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox#1.2.2._La_stampa_femminile_socialista|1.2.2]] I periodici <span style="color:magenta;">{{doing|Alessia}}</span> *** [[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox#1.2.3._La_Prima_guerra_mondiale|1.2.3]] La Prima guerra mondiale <span style="color:magenta;">{{doing|Alessia}}</span> ** ''[[Utente:Deborahpiperno/Sandbox#1.3._Il_regime_fascista|1.3]] Il regime fascista'' *** [[Utente:Deborahpiperno/Sandbox#1.3.1._Istruzione,_lavoro,_diritti,_politica_demografica|1.3.1]] Fascismo e i ruoli delle donne (1922-1945) <span style="color:purple;">{{doing|Deborah}}</span> *** [[Utente:Deborahpiperno/Sandbox#1.3.2_La_stampa_femminile_fascista|1.3.2]] I periodici <span style="color:purple;">{{doing|Deborah}}</span> *** [[Utente:Deborahpiperno/Sandbox#1.3.3_Organizzazioni_femminili_fasciste|1.3.2]] Organizzazioni femminili fasciste e antifasciste <span style="color:purple;">{{doing|Deborah}}</span> ** ''[[Utente:Chi.carlon/Sandbox#1.4_La_Resistenza_e_il_Dopoguerra|1.4]] La Resistenza e il dopoguerra'' *** [[Utente:Chi.carlon/Sandbox#1.4.1_Resistenza_e_partecipazione_femminile|1.4.1]] Resistenza e partecipazione femminile <span style="color:red;">{{doing|Chiara}}</span> *** [[Utente:Chi.carlon/Sandbox#1.4.2_Femminismo_tra_Resistenza_e_Repubblica_.281945-1968.29|1.4.2]] Femminismo tra Resistenza e Repubblica (1945-1968) <span style="color:red;">{{doing|Chiara}}</span> ===Esempio template testo tratto da Wikipedia=== <code><nowiki>{{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}}</nowiki></code> {{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}} ==Dashboard== [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/UNIROMA3/WDG_-_Tirocinio_curriculare_2025 Metriche], tool Dashboard. ==Risorse== * [[:w:Progetto:WikiDonne/Aiuto]] (pagina di aiuto WikiDonne) * [[:File:Registrarsi, creare la pagina utente WD 2022.pdf|Registrarsi, creare la pagina utente]] * [[:File:WDG - WikiDonne. 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Il regno millenario del patriarcato] * [https://www.storiauniversale.it/12-LA-MISOGINIA-DEL-CRISTIANESIMO-PAOLINO.htm 1.2. La misoginia del cristianesimo paolino] ** [https://www.storiauniversale.it/13-LE-PRIME-EROINE-MODERNE-DEL-PROTO-FEMMINISMO.htm 1.3. Le prime eroine moderne del proto-femminismo] ** [https://www.storiauniversale.it/15-IL-FEMMINISMO-BORGHESE-DELLE-SUFFRAGETTE.htm 1.5. Il femminismo borghese delle suffragette] ** [https://www.storiauniversale.it/2-IL-MARXISMO-E-LA-QUESTIONE-DELLEMANCIPAZIONE-DELLA-DONNA.htm 2. Il marxismo e la questione dell’emancipazione della donna] ** [https://www.storiauniversale.it/4-I-DIRITTI-DELLE-DONNE-CONQUISTATI-DALLA-RIVOLUZIONE-BOLSCEVICA.htm 4. i diritti delle donne conquistati dalla rivoluzione bolscevica] ** [https://www.storiauniversale.it/53-LA-LIBERAZIONE-DELLE-DONNE-DAL-PATRIARCATO-MILLENARIO.htm 5.3. La liberazione delle donne dal patriarcato millenario] * Simonetta Soldani, [https://www.treccani.it/enciclopedia/l-italia-al-femminile_(L'Unificazione)/ L'Italia al femminile. L'Unificazione (2011)], Treccani * Florindo Di Monaco, [https://vitaminevaganti.com/2022/06/25/la-donna-nel-settecento-socialita-mondanita-parita/ La donna nel Settecento. Socialità, mondanità, parità], Vitamine vaganti, 25 giugno 2022. * [https://cristories.com/2015/03/10/condizione-sociale-della-donna-nel-xviii-secolo/ Condizione sociale della donna nel XVIII secolo], 10 marzo 2015. * Tiziana Bernardi, [https://www.treccani.it/enciclopedia/le-donne-nella-societa-dei-lumi_(Storia-della-civilt%C3%A0-europea-a-cura-di-Umberto-Eco)/ Le donne nella società dei Lumi], Treccani. * Simona Salustri, [https://www.fondazionealtobelli.it/sindacatoi-nel-ventennio-fascista-di-simona-salustri/ Sindacato/i nel Ventennio fascista: il ruolo delle donne (1919-1945)], Fondazione Altobelli * [https://museonazionaleresistenza.it/story/storie-di-donne-antifascismo-e-resistenza/ Storie di donne, antifascismo e Resistenza (1933-1945)], Museo Nazionale della Resistenza * Sandra Plastina, [https://www.carocci.it/prodotto/filosofe-della-modernita Filosofe della modernità. Il pensiero delle donne dal Rinascimento all'Illuminismo], Carocci editore (Roma, 2011), ISBN 9788843049622. * [https://www.unive.it/pag/31211/ N. 31, 07/2016 - Le donne italiane nel I conflitto mondiale DEP] - Deportate, esuli, profughe * [https://tesi.luiss.it/28472/1/085822_MARSALA_ISABELLA.pdf Origini e storia del movimento femminista italiano ], tesi di Isabella Marsala, LUISS, Anno Accademico 2020/2021 ==Ospiti (video YouTube)== * [https://www.youtube.com/watch?v=JhAilqrPRM8&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (12 febbraio 2025)], 1ª ospite: la wikimediana [[w:en:Rosie Stephenson-Goodknight|Rosie Stephenson-Goodknight]] (Rosiestep) * [https://www.youtube.com/watch?v=GM4xh-JbfbI&t=2s&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (20 febbraio 2025)], 2ª ospite: la scrittrice e giornalista [[Utente:Lorenza Colicigno|Lorenza Colicigno]] * [https://www.youtube.com/watch?v=jFYDCN92nQc&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (26 febbraio 2025)], 3ª ospite: la giurista [[w:Rosa Oliva|Rosanna Oliva de Conciliis]] * [https://www.youtube.com/watch?v=2NJ0mODqroA&t=179s&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (3 marzo 2025)], 4ª ospite: il filosofo femminista [[w:en:Lorenzo Gasparrini|Lorenzo Gasparrini]] * [https://www.youtube.com/watch?v=bF0tpCh2LNE&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (4 marzo 2025)], 5ª ospite: la storica Rosanna De Longis (1) * [https://www.youtube.com/watch?v=b6tBuWJmD0I&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (11 marzo 2025)], 5ª ospite: la storica Rosanna De Longis (2) * [https://www.youtube.com/watch?v=mfvN-kOuQ8g&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (3 aprile 2025)], 6ª ospite: l'illustratrice e vignettista femminista [[Le ragazze sanno disegnare/Stefania Spanò|Anarkikka]] * [https://www.youtube.com/watch?v=CFhMTzVUeDk&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (9 aprile 2025)], 7ª ospite: la docente Pina Arena ==Riconoscimenti== [[File:WDG - Premiazione OEGlobal 2025.png|miniatura|destra|300px|Premiazione OE Global 2025]] * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" vince l'Open Education Award 2025 nella categoria ''How We Share: Open practices'' (Diversità, Equità e Inclusione)<ref>[https://awards.oeglobal.org/awards/2025/open-practices/wikidonne/ WikiDonne - a Wikimedia User Group. Wikidonne (Italy)] Recognized for Diversity, Equity, and Inclusion, ''awards.oeglobal.org''</ref> * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" è finalista all'[https://awards.oeglobal.org/2025-finalists/ Open Education Award for Excellence 2025] nella categoria ''How We Share'', riconosciuto con ''Open Practices Awards'' (Diversità, Equità e Inclusione). * Il progetto/tirocinio ha ricevuto la nomination all''''Open Education Award for Excellence nel 2025''' nella categoria ''Open Practices Awards'' (''Diversity, Equity, and Inclusion'')<ref>[https://openbadgefactory.com/v1/assertion/cc2521024749ce6b20fe6c9a0795d7d71d3f01ca.html 2025 Open Education Award for Excellence Nominee], Open Education Global, 4 settembre 2025</ref>. ==Altri progetti== * [[n:''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025|''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025]] su WikiNews ==Note== <references/> ==Collegamenti esterni== * [http://digiteca.bsmc.it/# Digiteca], Biblioteca di storia moderna e contemporanea, Roma * [https://www.casainternazionaledelledonne.org/associazioni/archivia/ Archivia], Casa Internazionale delle Donne, Roma * [https://www.viella.it/riviste/testata/6 Genesis], rivista della Società Italiana delle Storiche ** [https://www.viella.it/rivista/9791254698952 Genesis. XXIII / 1, 2024. Sguardi femministi sulla storiografia], Genesis, 2024 ** [https://www.viella.it/rivista/9791254693193 Genesis. XXI / 2, 2022. Disuguaglianze. Il valore delle donne], Genesis, 2022 * [https://cloud.sbn.it/opac2/IEI/02/ricercaSemplice Polo IEI], Biblioteca di storia moderna e contemporanea * [https://acnpsearch.unibo.it/# ACNP], Catalogo italiano dei periodici, UNIBO * [https://opac.sbn.it/home OPAC SBN], Catalogo collettivo delle biblioteche del Servizio Bibliotecario Nazionale * [https://manus.iccu.sbn.it/web/manus Manus Online (MOL)], database ICCU * [https://www.novecento.org/notiziario/risorse-tematiche-per-la-didattica-anche-a-distanza-6417/#genere Soria di genere], Novecento [[Categoria:WikiDonne]] ekpxg5je41nafb3oumqff31y17z9wxm 499058 499057 2026-06-07T16:16:17Z Rebi27 54445 /* Partecipanti */ 499058 wikitext text/x-wiki [[File:Roma Tre nuovo logo.png|thumb|300px|destra]] [[File:WDG - Locandina tirocinio Roma Tre 2025.png|thumb|300px]] Dal 3 febbraio al 29 giugno 2025, [[:m:WikiDonne|WikiDonne]] in collaborazione con l'[[w:Università degli Studi Roma Tre|Università degli Studi Roma Tre]], svolge il tirocinio curriculare online sulla '''[[Storia del femminismo italiano]]''' in Wikibooks e [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2025|Wikipedia]]. {{cassetto |titolo =<span style="color:white">Dettaglio tirocinio</span> |colore = #344234 |testo = ===Info=== * '''Titolo'': '''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme wiki per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' Tirocinio esterno con l'attribuzione di 6/8 CFU, per un totale di 150/200 ore indirizzato alle studentesse e studenti delle lauree magistrali in ''Informazione, Editoria e Giornalismo (LM19)'' e ''E-Learning e media education (LM93)'' dell'Università di Roma Tre. * '''Durata''': Dal 3 febbraio al 29 giugno 2025. * '''Progetti wiki''': Il corso su Wikibooks fa parte del tirocinio curriculare '''[https://drive.google.com/file/d/1SqDD4hIqOxfti2hCJJC30BQ1b28iwp5o/view?usp=drive_link Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!]''', che coinvolge anche altri progetti Wikimedia (Wikipedia, Commons, Wikidata). Il tirocinio si svolgerà in concomittanza su [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2025|'''Wikipedia''']] e Wikibooks, dove è prevista l'integrazione della voce in Wikipedia con il wikibook contenente le biografie delle esponenti di spicco del feminismo in Italia. ===Scopo=== Scrittura su Wikipedia e altre piattaforme Wikimedia, come strumento di didattica aperta, cultura inclusiva e mezzo per ridurre il divario di genere. * Sviluppare competenze nella ricerca e scrittura collaborativa su piattaforme wiki. * Promuovere la consapevolezza delle questioni di genere e della rappresentazione delle donne nella storia e nella cultura. * Favorire l'uso di strumenti digitali, licenze libere e risorse educative aperte. ===Competenze acquisite=== * Competenze nelle piattaforme wiki: Apprendere come utilizzare e contribuire a piattaforme come Wikipedia, Wikibooks, Commons, Wikidata, e altre piattaforme Wikimedia. * Ricerca e raccolta dati: Diventare abili nella ricerca e nella raccolta di informazioni da fonti affidabili, sviluppando competenze analitiche e critiche. * Scrittura e redazione: Migliorare le abilità di scrittura e redazione, imparando a creare contenuti chiari, concisi e ben strutturati. * Collaborazione e lavoro di squadra: Avere l'opportunità di lavorare in team, migliorando le capacità di comunicazione e collaborazione. * Educazione aperta: Capire i principi dell'educazione aperta e come applicarli nella creazione e condivisione di conoscenza. * Cultura inclusiva: Acquisire una maggiore consapevolezza e sensibilità verso temi di inclusività e rappresentazione di genere. * Gestione del progetto: Imparare a gestire progetti, organizzare attività, e rispettare scadenze. * Competenze digitali: Migliorare le competenze digitali, imparando a utilizzare vari strumenti e tecnologie. ===Programma=== Programma di tirocinio - 200 ore. Orario: dal lunedì alla domenica, ore 9:00-20:30, impegno: 10 ore/settimanali. '''Struttura del tirocinio''': '''1. Introduzione (10 ore)'''. Settimana 3-9 febbraio 2025 (Camelia). * Orientamento e presentazione dei progetti collaborativi Wikimedia e di WikiDonne (1 ora). * Sessioni introduttive su questioni di genere e rappresentazione nei progetti Wikimedia (1 ora). * Comprendere e utilizzare le licenze aperte (3 ore). * Formazione sul funzionamento di Wikipedia, Wikibooks, Commons e Wikidata (5 ore). '''2. Ricerca e raccolta dati (20 ore)'''. Settimana 10-16 e 17-23 febbraio 2025 (Loretta). * Identificazione di temi e biografie di donne rilevanti (3 ore). * Raccolta di fonti e materiale bibliografico (4 ore). * Collaborazione con tutor e supervisori per la valutazione delle fonti (3 ore). '''3. Scrittura e revisione (100 ore)''' * Redazione di voci biografiche su Wikipedia e Wikibooks (70 ore). * Applicazione delle linee guida di scrittura collaborativa: struttura voce, formattazione, template ecc. (10 ore). * Revisione e miglioramento delle voci create, con feedback dei supervisori (20 ore). '''4. Progetti speciali (40 ore)''' * Partecipazione a campagne e contest correlati (Donne in STEM, BBC 100 Women, Art + Feminism, Donne e cambiamento climatico ecc.) e alle pagine di discussione comunitarie (5 ore) * Creazione di contenuti multimediali (foto, video, ecc.) per arricchire le voci (15 ore). * Creazione di materiale di comunicazione (newsletter, articoli sul blog, post sui social media ecc.) per fare conoscere il lavoro fatto (15 ore). * Collaborazione con altri affiliati Wikimedia (progetti multilingue) (5 ore). '''5. Formazione e workshop (20 ore)''' * Partecipazione a workshop su tool Wikimedia, strumenti digitali e metodologie educative aperte (10 ore). * Incontri con ospiti su temi specifici di interesse (es. diritti delle donne, educazione inclusiva) (10 ore). '''6. Valutazione e conclusione (10 ore)''' * Presentazione del lavoro svolto e discussione dei risultati raggiunti (4 ore). * Valutazione del tirocinio da parte dei supervisori e dei partecipanti (3 ore). * Riflessione finale e suggerimenti per progetti futuri (3 ore). }} ==Docenti e tutor== * [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] * [[Utente:LorManLor|LorManLor]] ==Partecipanti== Le studentesse sono pregate di [[Aiuto:Come registrarsi|registrare individualmente un account]] e di aggiungere la propria firma usando '''solo''' la wikisintassi prevista ([[Aiuto:Firma]]) qui sotto. ; primo gruppo # [[Utente:Deborahpiperno|Deborahpiperno]] ([[Utente:Deborahpiperno/Sandbox|sandbox]], cap. 7) # [[Utente:Ale.Amodeo5|Ale.Amodeo5]] ([[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox|sandbox]], cap. 6) # [[Utente:Giafia|Giafia]] ([[Utente:Giafia/Sandbox|sandbox]], cap. 4 e 5) # [[Utente:Il chiaroscuro|Ilaria Lorenzini]] ([[Utente:Il chiaroscuro/Sandbox|sandbox]], cap. 1 e 2) # [[Utente:NoemiMcc|NoemiMcc]] ([[Utente:NoemiMcc/Sandbox|sandbox]], cap. 5) # [[Utente:Eleonora Presciuttini|Eleonora Presciuttini]] ([[Utente:Eleonora Presciuttini/Sandbox|sandbox]], cap. 2 e 3) # [[Utente:Chi.carlon|Chi.carlon]] ([[Utente:Chi.carlon/Sandbox|sandbox]], cap. 8) # [[Utente:Maruyari|Maruyari]] ([[Utente:Maruyari/Sandbox|sandbox]]) ; secondo gruppo (Moodle) # [[Utente:Eleonorapanunzi|Eleonora]] ([[Utente:Eleonorapanunzi/Sandbox|sandbox, modulo 2]]) # <s>[[Utente:Alessia Crescenzo|Alessia Crescenzo]] ([[Utente:Alessia Crescenzo/Sandbox|sandbox, modulo 4]])</s>, ritirata # [[Utente:Natalea02|Antonella]] ([[Utente:Natalea02/Sandbox|sandbox, modulo 1]]) # [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] ([[Utente:Camelia.boban/Modulo 3 (MOOC)|sandbox, modulo 3]]) # [[Utente:Rebi27|Rebecca]] ([[Utente:Rebi27/Sandbox|sandbox]]) ==Wikibook da scrivere== * [[Storia del femminismo italiano]] * {{Vedi anche|Progetto:WikiDonne/Tirocinio Roma Tre 2025/Struttura wikibook}} === Divisione del lavoro === * '''Obiettivi''' {{doing|Camelia}} * '''1. Prima ondata femminista: radici del femminismo in Italia''' ** ''[[Utente:Il_chiaroscuro/Sandbox#1.0._Introduzione|1.0]] Introduzione'' *** Femminismo. Definizioni <span style="color:green;">{{doing|Eleonora e Ilaria}}</span> *** [[Utente:Il_chiaroscuro/Sandbox#1.0.1._La_Querelle_des_Femmes:_fondamenta_del_pensiero_proto-femminista_(XIV-XVIII_secolo)|1.0.1]] Querelle des femmes <span style="color:green;">{{doing|Eleonora e Ilaria}}</span> *** [[Utente:Il_chiaroscuro/Sandbox#1.0.2._L'illuminismo_e_i_diritti_delle_donne|1.0.2]] Illuminismo e Rivoluzione francese <span style="color:green;">{{doing|Eleonora e Ilaria}}</span> ** ''[[Utente:Eleonora_Presciuttini/Sandbox#1.1._Il_XIX_secolo|1.1]] Il XIX secolo'' *** [[Utente:Eleonora_Presciuttini/Sandbox#1.1.1_Donne_e_Risorgimento|1.1.1]] Il '48 <span style="color:green;">{{doing|Eleonora e Ilaria}}</span> *** [[Utente:Giafia/Sandbox#1.1.2._Condizione_femminile_nel_periodo_post-unitario|1.1.2]] Risorgimento, Italia post-unitaria e questione femminile <span style="color:orange;">{{doing|Giada}}</span> *** [[Utente:Giafia/Sandbox#1.1.3._La_stampa_delle_donne|1.1.3]] La stampa delle donne <span style="color:orange;">{{doing|Giada}}</span> *** [[Utente:NoemiMcc/Sandbox#1.1.4._La_nascita_del_femminismo_come_movimento_politico_e_l'associazionismo_femminile|1.1.4]] L'associazionismo femminile <span style="color:blue;">{{doing|Noemi}}</span> *** 1.1.5 Il movimento suffragista <span style="color:blue;">{{doing|Noemi}}</span> ** ''[[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox#1.2._Dal_primo_Novecento_alla_Prima_guerra_mondiale|1.2]] Dal primo Novecento alla prima guerra mondiale'' *** [[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox#1.2.1_Il_movimento_delle_donne_nei_primi_decenni_del_Novecento|1.2.1]] Colonialismo, nazionalismo, femminismo, pacifismo <span style="color:magenta;">{{doing|Alessia}}</span> *** [[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox#1.2.2._La_stampa_femminile_socialista|1.2.2]] I periodici <span style="color:magenta;">{{doing|Alessia}}</span> *** [[Utente:Ale.Amodeo5/Sandbox#1.2.3._La_Prima_guerra_mondiale|1.2.3]] La Prima guerra mondiale <span style="color:magenta;">{{doing|Alessia}}</span> ** ''[[Utente:Deborahpiperno/Sandbox#1.3._Il_regime_fascista|1.3]] Il regime fascista'' *** [[Utente:Deborahpiperno/Sandbox#1.3.1._Istruzione,_lavoro,_diritti,_politica_demografica|1.3.1]] Fascismo e i ruoli delle donne (1922-1945) <span style="color:purple;">{{doing|Deborah}}</span> *** [[Utente:Deborahpiperno/Sandbox#1.3.2_La_stampa_femminile_fascista|1.3.2]] I periodici <span style="color:purple;">{{doing|Deborah}}</span> *** [[Utente:Deborahpiperno/Sandbox#1.3.3_Organizzazioni_femminili_fasciste|1.3.2]] Organizzazioni femminili fasciste e antifasciste <span style="color:purple;">{{doing|Deborah}}</span> ** ''[[Utente:Chi.carlon/Sandbox#1.4_La_Resistenza_e_il_Dopoguerra|1.4]] La Resistenza e il dopoguerra'' *** [[Utente:Chi.carlon/Sandbox#1.4.1_Resistenza_e_partecipazione_femminile|1.4.1]] Resistenza e partecipazione femminile <span style="color:red;">{{doing|Chiara}}</span> *** [[Utente:Chi.carlon/Sandbox#1.4.2_Femminismo_tra_Resistenza_e_Repubblica_.281945-1968.29|1.4.2]] Femminismo tra Resistenza e Repubblica (1945-1968) <span style="color:red;">{{doing|Chiara}}</span> ===Esempio template testo tratto da Wikipedia=== <code><nowiki>{{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}}</nowiki></code> {{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}} ==Dashboard== [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/UNIROMA3/WDG_-_Tirocinio_curriculare_2025 Metriche], tool Dashboard. ==Risorse== * [[:w:Progetto:WikiDonne/Aiuto]] (pagina di aiuto WikiDonne) * [[:File:Registrarsi, creare la pagina utente WD 2022.pdf|Registrarsi, creare la pagina utente]] * [[:File:WDG - WikiDonne. Tradurre voci con Content Translator.pdf|Tradurre voci con Content Translator]] * [[Aiuto:Come registrarsi]] (come registrare un account) * [[Aiuto:Firma]] (come, dove e quando firmare) * [[:w:Wikipedia:Copyright]] (approfondimenti sul Copyright e sul Diritto d'autore) * [[Aiuto:Wikificare]] e [[Aiuto:Manuale di stile]] (linee guida formatazione wiki e manuale di stile) * [[:w:Wikipedia:VisualEditor/Manuale]] (l'uso di Visual Editor) * [[Wikipedia:Uso delle fonti]] (come utilizzare le fonti) * [[:w:Aiuto:Copyright immagini/Percorso guidato/6]] (percorso guidato su come utilizzare l'immagine da Wikipedia in altra lingua) * [[:w:Aiuto:Carica un file]] (percorso guidato sul caricamento di un file) ==Bibliografia== * Liviana Gazzetta, ''Orizzonti nuovi: Storia del primo femminismo in Italia (1865-1925)'', editore Viella, Roma (2018), ISBN 9788867289776. * [https://societadellestoriche.it/categoria/pubblicazioni/agenda-1990-1999/ Agenda (1990-1999)], Società Italiana delle Storiche (SIS) * [https://www.viella.it/catalogo/collana/47 Storia delle donne e di genere], SIS e Viella, collana * Sergio D'Errico, [https://www.storiacostituzionaledelrisorgimento.it/wp-content/uploads/2021/02/ILRUOLODELLEDONNENELRISORGIMENTODISERGIODERRICO.pdf Il Ruolo delle Donne nel Risorgimento], Storia costituzionale del Risorgimento * Giovanni Maria Flick, [https://www.apertacontrada.it/2012/07/07/la-questione-femminile-a-150-anni-e-oltre-dallunita-ditalia/2/ La questione femminile a 150 anni e oltre dall'Unità d'Italia], Aperta contrada, 7 Luglio 2012 * [https://www.storiauniversale.it/1-LA-STORIA-DELLE-DONNE-E-DEL-FEMMINISMO.htm La storia delle donne e del femminismo], Storia universale * [https://www.storiauniversale.it/11-IL-REGNO-MILLENARIO-DEL-PATRIARCATO.htm 1.1. Il regno millenario del patriarcato] * [https://www.storiauniversale.it/12-LA-MISOGINIA-DEL-CRISTIANESIMO-PAOLINO.htm 1.2. La misoginia del cristianesimo paolino] ** [https://www.storiauniversale.it/13-LE-PRIME-EROINE-MODERNE-DEL-PROTO-FEMMINISMO.htm 1.3. Le prime eroine moderne del proto-femminismo] ** [https://www.storiauniversale.it/15-IL-FEMMINISMO-BORGHESE-DELLE-SUFFRAGETTE.htm 1.5. Il femminismo borghese delle suffragette] ** [https://www.storiauniversale.it/2-IL-MARXISMO-E-LA-QUESTIONE-DELLEMANCIPAZIONE-DELLA-DONNA.htm 2. Il marxismo e la questione dell’emancipazione della donna] ** [https://www.storiauniversale.it/4-I-DIRITTI-DELLE-DONNE-CONQUISTATI-DALLA-RIVOLUZIONE-BOLSCEVICA.htm 4. i diritti delle donne conquistati dalla rivoluzione bolscevica] ** [https://www.storiauniversale.it/53-LA-LIBERAZIONE-DELLE-DONNE-DAL-PATRIARCATO-MILLENARIO.htm 5.3. La liberazione delle donne dal patriarcato millenario] * Simonetta Soldani, [https://www.treccani.it/enciclopedia/l-italia-al-femminile_(L'Unificazione)/ L'Italia al femminile. L'Unificazione (2011)], Treccani * Florindo Di Monaco, [https://vitaminevaganti.com/2022/06/25/la-donna-nel-settecento-socialita-mondanita-parita/ La donna nel Settecento. Socialità, mondanità, parità], Vitamine vaganti, 25 giugno 2022. * [https://cristories.com/2015/03/10/condizione-sociale-della-donna-nel-xviii-secolo/ Condizione sociale della donna nel XVIII secolo], 10 marzo 2015. * Tiziana Bernardi, [https://www.treccani.it/enciclopedia/le-donne-nella-societa-dei-lumi_(Storia-della-civilt%C3%A0-europea-a-cura-di-Umberto-Eco)/ Le donne nella società dei Lumi], Treccani. * Simona Salustri, [https://www.fondazionealtobelli.it/sindacatoi-nel-ventennio-fascista-di-simona-salustri/ Sindacato/i nel Ventennio fascista: il ruolo delle donne (1919-1945)], Fondazione Altobelli * [https://museonazionaleresistenza.it/story/storie-di-donne-antifascismo-e-resistenza/ Storie di donne, antifascismo e Resistenza (1933-1945)], Museo Nazionale della Resistenza * Sandra Plastina, [https://www.carocci.it/prodotto/filosofe-della-modernita Filosofe della modernità. Il pensiero delle donne dal Rinascimento all'Illuminismo], Carocci editore (Roma, 2011), ISBN 9788843049622. * [https://www.unive.it/pag/31211/ N. 31, 07/2016 - Le donne italiane nel I conflitto mondiale DEP] - Deportate, esuli, profughe * [https://tesi.luiss.it/28472/1/085822_MARSALA_ISABELLA.pdf Origini e storia del movimento femminista italiano ], tesi di Isabella Marsala, LUISS, Anno Accademico 2020/2021 ==Ospiti (video YouTube)== * [https://www.youtube.com/watch?v=JhAilqrPRM8&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (12 febbraio 2025)], 1ª ospite: la wikimediana [[w:en:Rosie Stephenson-Goodknight|Rosie Stephenson-Goodknight]] (Rosiestep) * [https://www.youtube.com/watch?v=GM4xh-JbfbI&t=2s&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (20 febbraio 2025)], 2ª ospite: la scrittrice e giornalista [[Utente:Lorenza Colicigno|Lorenza Colicigno]] * [https://www.youtube.com/watch?v=jFYDCN92nQc&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (26 febbraio 2025)], 3ª ospite: la giurista [[w:Rosa Oliva|Rosanna Oliva de Conciliis]] * [https://www.youtube.com/watch?v=2NJ0mODqroA&t=179s&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (3 marzo 2025)], 4ª ospite: il filosofo femminista [[w:en:Lorenzo Gasparrini|Lorenzo Gasparrini]] * [https://www.youtube.com/watch?v=bF0tpCh2LNE&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (4 marzo 2025)], 5ª ospite: la storica Rosanna De Longis (1) * [https://www.youtube.com/watch?v=b6tBuWJmD0I&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (11 marzo 2025)], 5ª ospite: la storica Rosanna De Longis (2) * [https://www.youtube.com/watch?v=mfvN-kOuQ8g&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (3 aprile 2025)], 6ª ospite: l'illustratrice e vignettista femminista [[Le ragazze sanno disegnare/Stefania Spanò|Anarkikka]] * [https://www.youtube.com/watch?v=CFhMTzVUeDk&ab_channel=WikiDonne Tirocinio WikiDonne - UNIROMA3 (9 aprile 2025)], 7ª ospite: la docente Pina Arena ==Riconoscimenti== [[File:WDG - Premiazione OEGlobal 2025.png|miniatura|destra|300px|Premiazione OE Global 2025]] * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" vince l'Open Education Award 2025 nella categoria ''How We Share: Open practices'' (Diversità, Equità e Inclusione)<ref>[https://awards.oeglobal.org/awards/2025/open-practices/wikidonne/ WikiDonne - a Wikimedia User Group. Wikidonne (Italy)] Recognized for Diversity, Equity, and Inclusion, ''awards.oeglobal.org''</ref> * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" è finalista all'[https://awards.oeglobal.org/2025-finalists/ Open Education Award for Excellence 2025] nella categoria ''How We Share'', riconosciuto con ''Open Practices Awards'' (Diversità, Equità e Inclusione). * Il progetto/tirocinio ha ricevuto la nomination all''''Open Education Award for Excellence nel 2025''' nella categoria ''Open Practices Awards'' (''Diversity, Equity, and Inclusion'')<ref>[https://openbadgefactory.com/v1/assertion/cc2521024749ce6b20fe6c9a0795d7d71d3f01ca.html 2025 Open Education Award for Excellence Nominee], Open Education Global, 4 settembre 2025</ref>. ==Altri progetti== * [[n:''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025|''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025]] su WikiNews ==Note== <references/> ==Collegamenti esterni== * [http://digiteca.bsmc.it/# Digiteca], Biblioteca di storia moderna e contemporanea, Roma * [https://www.casainternazionaledelledonne.org/associazioni/archivia/ Archivia], Casa Internazionale delle Donne, Roma * [https://www.viella.it/riviste/testata/6 Genesis], rivista della Società Italiana delle Storiche ** [https://www.viella.it/rivista/9791254698952 Genesis. XXIII / 1, 2024. Sguardi femministi sulla storiografia], Genesis, 2024 ** [https://www.viella.it/rivista/9791254693193 Genesis. XXI / 2, 2022. Disuguaglianze. Il valore delle donne], Genesis, 2022 * [https://cloud.sbn.it/opac2/IEI/02/ricercaSemplice Polo IEI], Biblioteca di storia moderna e contemporanea * [https://acnpsearch.unibo.it/# ACNP], Catalogo italiano dei periodici, UNIBO * [https://opac.sbn.it/home OPAC SBN], Catalogo collettivo delle biblioteche del Servizio Bibliotecario Nazionale * [https://manus.iccu.sbn.it/web/manus Manus Online (MOL)], database ICCU * [https://www.novecento.org/notiziario/risorse-tematiche-per-la-didattica-anche-a-distanza-6417/#genere Soria di genere], Novecento [[Categoria:WikiDonne]] pocegpiqroben5nwhq5utqf36b3juqy 100 58871 499065 499005 2026-06-07T17:28:40Z Rebi27 54445 /* Partecipanti */ 499065 wikitext text/x-wiki [[File:Roma Tre nuovo logo.png|thumb|300px|destra]] [[File:WDG - Locandina tirocinio Roma Tre 2026.png|thumb|300px]] Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026, [[:m:WikiDonne|WikiDonne]] in collaborazione con l'[[w:Università degli Studi Roma Tre|Università degli Studi Roma Tre]], svolge il tirocinio curriculare online sulla '''[[Storia del femminismo italiano]]''' in Wikibooks e '''[[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|Wikipedia]]'''. {{cassetto |titolo = <span style="color:white">Dettaglio tirocinio</span> |colore = #C75C5C |testo = ===Info=== * '''Titolo'': '''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme wiki per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' Tirocinio esterno con l'attribuzione di 6/8 CFU, per un totale di 150/200 ore indirizzato alle studentesse e studenti delle lauree magistrali in ''Informazione, Editoria e Giornalismo (LM19)'' e ''E-Learning e media education (LM93)'' dell'Università di Roma Tre. * '''Durata''': Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026. * '''Progetti wiki''': Il corso su Wikibooks fa parte del tirocinio curriculare '''[https://drive.google.com/file/d/1SqDD4hIqOxfti2hCJJC30BQ1b28iwp5o/view?usp=drive_link Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!]''', che coinvolge anche altri progetti Wikimedia (Wikipedia, Commons, Wikidata). Il tirocinio si svolgerà in concomittanza su [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|'''Wikipedia''']] e Wikibooks, dove è prevista l'integrazione della voce in Wikipedia con il wikibook contenente le biografie delle esponenti di spicco del feminismo in Italia. ===Scopo=== Scrittura su Wikipedia e altre piattaforme Wikimedia, come strumento di didattica aperta, cultura inclusiva e mezzo per ridurre il divario di genere. * Sviluppare competenze nella ricerca e scrittura collaborativa su piattaforme wiki. * Promuovere la consapevolezza delle questioni di genere e della rappresentazione delle donne nella storia e nella cultura. * Favorire l'uso di strumenti digitali, licenze libere e risorse educative aperte. ===Competenze acquisite=== * Competenze nelle piattaforme wiki: Apprendere come utilizzare e contribuire a piattaforme come Wikipedia, Wikibooks, Commons, Wikidata, e altre piattaforme Wikimedia. * Ricerca e raccolta dati: Diventare abili nella ricerca e nella raccolta di informazioni da fonti affidabili, sviluppando competenze analitiche e critiche. * Scrittura e redazione: Migliorare le abilità di scrittura e redazione, imparando a creare contenuti chiari, concisi e ben strutturati. * Collaborazione e lavoro di squadra: Avere l'opportunità di lavorare in team, migliorando le capacità di comunicazione e collaborazione. * Educazione aperta: Capire i principi dell'educazione aperta e come applicarli nella creazione e condivisione di conoscenza. * Cultura inclusiva: Acquisire una maggiore consapevolezza e sensibilità verso temi di inclusività e rappresentazione di genere. * Gestione del progetto: Imparare a gestire progetti, organizzare attività, e rispettare scadenze. * Competenze digitali: Migliorare le competenze digitali, imparando a utilizzare vari strumenti e tecnologie. ===Programma=== Programma di tirocinio - 200 ore. Orario: dal lunedì alla domenica, ore 9:00-20:30, impegno: 10 ore/settimanali. '''Struttura del tirocinio''': '''1. Introduzione (10 ore)'''. Settimana 12-18 gennaio 2026 (Camelia). * Orientamento e presentazione dei progetti collaborativi Wikimedia e di WikiDonne (1 ora). * Sessioni introduttive su questioni di genere e rappresentazione nei progetti Wikimedia (1 ora). * Comprendere e utilizzare le licenze aperte (3 ore). * Formazione sul funzionamento di Wikipedia, Wikibooks, Commons e Wikidata (5 ore). '''2. Ricerca e raccolta dati (20 ore)'''. Settimana 19-25 gennaio e 26 gennaio-1 febbraio 2026 (Loretta). * Identificazione di temi e biografie di donne rilevanti (3 ore). * Raccolta di fonti e materiale bibliografico (4 ore). * Collaborazione con tutor e supervisori per la valutazione delle fonti (3 ore). * PArtecipazione all'edit-a-thon [[w:it:Progetto:WikiDonne/Donna, vita, libertà|Donne, vita, libertà]] (traduzione e pubblicazione voce scelta) '''3. Scrittura e revisione (100 ore)''' * Applicazione delle linee guida di scrittura collaborativa: struttura voce, formattazione, template ecc. (10 ore). * Redazione di voci biografiche su Wikipedia e Wikibooks (70 ore). * Revisione e miglioramento delle voci create, con feedback dei supervisori (20 ore). '''4. Progetti speciali (40 ore)''' * Partecipazione a campagne e contest correlati (Wiki Loves Folklore, Donne in STEM, BBC 100 Women, Art + Feminism, Donne e cambiamento climatico ecc.) e alle pagine di discussione comunitarie (5 ore) * Creazione di contenuti multimediali (foto, video, ecc.) per arricchire le voci (15 ore). * Creazione di materiale di comunicazione (newsletter, articoli sul blog, post sui social media ecc.) per fare conoscere il lavoro fatto (15 ore). * Collaborazione con altri affiliati Wikimedia (progetti multilingue) (5 ore). '''5. Formazione e workshop (20 ore)''' * Partecipazione a workshop su tool Wikimedia, strumenti digitali e metodologie educative aperte (10 ore). * Incontri con ospiti su temi specifici di interesse (es. diritti delle donne, educazione inclusiva) (10 ore). '''6. Valutazione e conclusione (10 ore)''' * Presentazione del lavoro svolto e discussione dei risultati raggiunti (4 ore). * Valutazione del tirocinio da parte dei supervisori e dei partecipanti (3 ore). * Riflessione finale e suggerimenti per progetti futuri (3 ore). }} ==Docenti e tutor== * [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] * [[Utente:LorManLor|LorManLor]] ==Partecipanti== Le studentesse sono pregate di [[Aiuto:Come registrarsi|registrare individualmente un account]] e di aggiungere la propria firma usando '''solo''' la wikisintassi prevista ([[Aiuto:Firma]]) qui sotto. # [[Utente:Ma2nuela2|Ma2nuela2]] ([[Discussioni utente:Ma2nuela2|disc.]]) 19:23, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Ma2nuela2/sandbox|sandbox]] # [[Utente:Carmenn23|Carmenn23]] ([[Discussioni utente:Carmenn23|disc.]]) 19:26, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Carmenn23/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Tisha2405|Tisha2405]] ([[Discussioni utente:Tisha2405|disc.]]) 19:30, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Tisha2405/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Wikmatteo|Wikmatteo]] ([[Discussioni utente:Wikmatteo|disc.]]) 19:31, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Wikmatteo/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Alice2103|Alice2103]] ([[Discussioni utente:Alice2103|disc.]]) 19:00, 12 feb 2026 (CET) - [[Utente:Alice2103/Sandbox|sandbox]] ; secondo gruppo #[[Utente:Melywiki01|Melywiki01]] ([[Discussioni utente:Melywiki01|disc.]]) 14:18, 05 giu 2026 (CET) - [[Utente:Melywiki01/Sandbox|sandbox]] #[[Utente:WikiOhana|WikiOhana]] ([[Discussioni utente:WikiOhana|disc.]]) 14:29, 05 giu 2026 (CET) - [[Utente:WikiOhana/Sandbox|sandbox]] #[[Utente:Rebi27|Rebi27]] ([[Discussioni utente:Rebi27|disc.]]) 19:26, 07 giu 2026 (CET) - [[Utente:Rebi27/Sandbox|sandbox]] ==Wikibook da scrivere== * [[Storia del femminismo italiano]] vol.2 * {{Vedi anche|Progetto:WikiDonne/Tirocinio Roma Tre 2026/Struttura wikibook}} === Divisione del lavoro === * ... ===Esempio template testo tratto da Wikipedia=== <code><nowiki>{{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}}</nowiki></code> {{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}} ==Dashboard== [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/UNIROMA3/WDG_-_Tirocinio_curriculare_2026 Metriche], tool Dashboard. ==Risorse== * [[:w:Progetto:WikiDonne/Aiuto]] (pagina di aiuto WikiDonne) * [[:File:Registrarsi, creare la pagina utente WD 2022.pdf|Registrarsi, creare la pagina utente]] * [[:File:WDG - WikiDonne. Tradurre voci con Content Translator.pdf|Tradurre voci con Content Translator]] * [[Aiuto:Come registrarsi]] (come registrare un account) * [[Aiuto:Firma]] (come, dove e quando firmare) * [[:w:Wikipedia:Copyright]] (approfondimenti sul Copyright e sul Diritto d'autore) * [[Aiuto:Wikificare]] e [[Aiuto:Manuale di stile]] (linee guida formatazione wiki e manuale di stile) * [[:w:Wikipedia:VisualEditor/Manuale]] (l'uso di Visual Editor) * [[Wikipedia:Uso delle fonti]] (come utilizzare le fonti) * [[:w:Aiuto:Copyright immagini/Percorso guidato/6]] (percorso guidato su come utilizzare l'immagine da Wikipedia in altra lingua) * [[:w:Aiuto:Carica un file]] (percorso guidato sul caricamento di un file) ==Bibliografia== * {{Cita libro|autore=Elisa Bellè|titolo=L'altra rivoluzione. Dal Sessantotto al femminismo|anno=2021|editore=Rosenberg & Sellier|città=Torino|ISBN=9788878859234}} * {{Cita libro|curatore=Teresa Bertilotti|curatore2=Anna Scattigno|titolo=Il femminismo degli anni Settanta|anno=2005|editore=Viella|città=Roma|ISBN=978-88-8334-172-4}} * {{Cita libro|curatore=Paola Bono, Sandra Kemp|titolo=Italian Feminist Thought. A Reader|anno=1991|editore=Basil Blackwell|città=Oxford|lingua=en|ISBN=0-631-17115-0}} * {{Cita libro|autore=Maud Anne Bracke|traduttore=Enrica Capussotti|titolo=La nuova politica delle donne: il femminismo in Italia : 1968-1989|anno=2019|editore=Edizioni di storia e letteratura|città=Roma|ISBN=978-88-93592-02-4}} * {{Cita libro|autore=Anna Rita Calabrò, Laura Grasso|titolo=Dal movimento femminista al femminismo diffuso: storie e percorsi a Milano dagli anni '60 agli anni '80|anno=1985|editore=Franco Angeli|città=Milano}} * {{Cita libro|autore=Fiamma Lussana|titolo=Il movimento femminista in Italia. Esperienze, storie, memorie (1965–1980)|anno=2012|editore=Carocci|città=Roma|ISBN=978-88-430-6512-7}} * {{Cita pubblicazione|anno=1987|titolo=Il movimento femminista negli anni settanta|rivista=Memoria|numero=19-20|url=https://bibliotecadelledonne.women.it/fascicolo/memoria-rivista-di-storia-delle-donne-n-19-20-1987/}} * {{Cita libro|curatore=Aida Ribero|curatore2=Ferdinanda Vigliani|titolo=100 titoli: guida ragionata al femminismo degli anni Settanta|anno=1998|editore=Tufani|città=Ferrara|ISBN=978-88-86780-20-9}} * {{Cita libro|curatore=Rosalba Spagnoletti|titolo=I Movimenti femministi in Italia|anno=1977|editore=Savelli|città=Roma}} * {{Cita libro|curatore=Paola Stelliferi|curatore2=Stefania Voli|titolo=Anni di rivolta: nuovi sguardi sui femminismi degli anni Settanta e Ottanta|anno=2023|editore=Viella|città=Roma|ISBN=9791254692349}} ==Ospiti (video YouTube)== * ... ==Riconoscimenti== [[File:WDG - Premiazione OEGlobal 2025.png|miniatura|destra|300px|Premiazione OE Global 2025]] * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" vince l'Open Education Award 2025 nella categoria ''How We Share: Open practices'' (Diversità, Equità e Inclusione)<ref>[https://awards.oeglobal.org/awards/2025/open-practices/wikidonne/ WikiDonne - a Wikimedia User Group. Wikidonne (Italy)] Recognized for Diversity, Equity, and Inclusion, ''awards.oeglobal.org''</ref> ==Altri progetti== * [[n:''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025|''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025]] su WikiNews ==Note== <references/> ==Collegamenti esterni== * [http://digiteca.bsmc.it/# Digiteca], Biblioteca di storia moderna e contemporanea, Roma * [https://www.casainternazionaledelledonne.org/associazioni/archivia/ Archivia], Casa Internazionale delle Donne, Roma * [https://www.viella.it/riviste/testata/6 Genesis], rivista della Società Italiana delle Storiche ** [https://www.viella.it/rivista/9791254698952 Genesis. XXIII / 1, 2024. Sguardi femministi sulla storiografia], Genesis, 2024 ** [https://www.viella.it/rivista/9791254693193 Genesis. XXI / 2, 2022. Disuguaglianze. Il valore delle donne], Genesis, 2022 * [https://cloud.sbn.it/opac2/IEI/02/ricercaSemplice Polo IEI], Biblioteca di storia moderna e contemporanea * [https://acnpsearch.unibo.it/# ACNP], Catalogo italiano dei periodici, UNIBO * [https://opac.sbn.it/home OPAC SBN], Catalogo collettivo delle biblioteche del Servizio Bibliotecario Nazionale * [https://manus.iccu.sbn.it/web/manus Manus Online (MOL)], database ICCU * [https://www.novecento.org/notiziario/risorse-tematiche-per-la-didattica-anche-a-distanza-6417/#genere Soria di genere], Novecento [[Categoria:WikiDonne]] 6wknx21z1zoajjgm40pl4pbhr9ga64w 499066 499065 2026-06-07T17:30:47Z Camelia.boban 25520 /* Partecipanti */ 499066 wikitext text/x-wiki [[File:Roma Tre nuovo logo.png|thumb|300px|destra]] [[File:WDG - Locandina tirocinio Roma Tre 2026.png|thumb|300px]] Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026, [[:m:WikiDonne|WikiDonne]] in collaborazione con l'[[w:Università degli Studi Roma Tre|Università degli Studi Roma Tre]], svolge il tirocinio curriculare online sulla '''[[Storia del femminismo italiano]]''' in Wikibooks e '''[[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|Wikipedia]]'''. {{cassetto |titolo = <span style="color:white">Dettaglio tirocinio</span> |colore = #C75C5C |testo = ===Info=== * '''Titolo'': '''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme wiki per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' Tirocinio esterno con l'attribuzione di 6/8 CFU, per un totale di 150/200 ore indirizzato alle studentesse e studenti delle lauree magistrali in ''Informazione, Editoria e Giornalismo (LM19)'' e ''E-Learning e media education (LM93)'' dell'Università di Roma Tre. * '''Durata''': Dal 12 gennaio al 29 maggio 2026. * '''Progetti wiki''': Il corso su Wikibooks fa parte del tirocinio curriculare '''[https://drive.google.com/file/d/1SqDD4hIqOxfti2hCJJC30BQ1b28iwp5o/view?usp=drive_link Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!]''', che coinvolge anche altri progetti Wikimedia (Wikipedia, Commons, Wikidata). Il tirocinio si svolgerà in concomittanza su [[:w:Progetto:Coordinamento/Università/UNIROMA3/LM/Storia del femminismo italiano 2026|'''Wikipedia''']] e Wikibooks, dove è prevista l'integrazione della voce in Wikipedia con il wikibook contenente le biografie delle esponenti di spicco del feminismo in Italia. ===Scopo=== Scrittura su Wikipedia e altre piattaforme Wikimedia, come strumento di didattica aperta, cultura inclusiva e mezzo per ridurre il divario di genere. * Sviluppare competenze nella ricerca e scrittura collaborativa su piattaforme wiki. * Promuovere la consapevolezza delle questioni di genere e della rappresentazione delle donne nella storia e nella cultura. * Favorire l'uso di strumenti digitali, licenze libere e risorse educative aperte. ===Competenze acquisite=== * Competenze nelle piattaforme wiki: Apprendere come utilizzare e contribuire a piattaforme come Wikipedia, Wikibooks, Commons, Wikidata, e altre piattaforme Wikimedia. * Ricerca e raccolta dati: Diventare abili nella ricerca e nella raccolta di informazioni da fonti affidabili, sviluppando competenze analitiche e critiche. * Scrittura e redazione: Migliorare le abilità di scrittura e redazione, imparando a creare contenuti chiari, concisi e ben strutturati. * Collaborazione e lavoro di squadra: Avere l'opportunità di lavorare in team, migliorando le capacità di comunicazione e collaborazione. * Educazione aperta: Capire i principi dell'educazione aperta e come applicarli nella creazione e condivisione di conoscenza. * Cultura inclusiva: Acquisire una maggiore consapevolezza e sensibilità verso temi di inclusività e rappresentazione di genere. * Gestione del progetto: Imparare a gestire progetti, organizzare attività, e rispettare scadenze. * Competenze digitali: Migliorare le competenze digitali, imparando a utilizzare vari strumenti e tecnologie. ===Programma=== Programma di tirocinio - 200 ore. Orario: dal lunedì alla domenica, ore 9:00-20:30, impegno: 10 ore/settimanali. '''Struttura del tirocinio''': '''1. Introduzione (10 ore)'''. Settimana 12-18 gennaio 2026 (Camelia). * Orientamento e presentazione dei progetti collaborativi Wikimedia e di WikiDonne (1 ora). * Sessioni introduttive su questioni di genere e rappresentazione nei progetti Wikimedia (1 ora). * Comprendere e utilizzare le licenze aperte (3 ore). * Formazione sul funzionamento di Wikipedia, Wikibooks, Commons e Wikidata (5 ore). '''2. Ricerca e raccolta dati (20 ore)'''. Settimana 19-25 gennaio e 26 gennaio-1 febbraio 2026 (Loretta). * Identificazione di temi e biografie di donne rilevanti (3 ore). * Raccolta di fonti e materiale bibliografico (4 ore). * Collaborazione con tutor e supervisori per la valutazione delle fonti (3 ore). * PArtecipazione all'edit-a-thon [[w:it:Progetto:WikiDonne/Donna, vita, libertà|Donne, vita, libertà]] (traduzione e pubblicazione voce scelta) '''3. Scrittura e revisione (100 ore)''' * Applicazione delle linee guida di scrittura collaborativa: struttura voce, formattazione, template ecc. (10 ore). * Redazione di voci biografiche su Wikipedia e Wikibooks (70 ore). * Revisione e miglioramento delle voci create, con feedback dei supervisori (20 ore). '''4. Progetti speciali (40 ore)''' * Partecipazione a campagne e contest correlati (Wiki Loves Folklore, Donne in STEM, BBC 100 Women, Art + Feminism, Donne e cambiamento climatico ecc.) e alle pagine di discussione comunitarie (5 ore) * Creazione di contenuti multimediali (foto, video, ecc.) per arricchire le voci (15 ore). * Creazione di materiale di comunicazione (newsletter, articoli sul blog, post sui social media ecc.) per fare conoscere il lavoro fatto (15 ore). * Collaborazione con altri affiliati Wikimedia (progetti multilingue) (5 ore). '''5. Formazione e workshop (20 ore)''' * Partecipazione a workshop su tool Wikimedia, strumenti digitali e metodologie educative aperte (10 ore). * Incontri con ospiti su temi specifici di interesse (es. diritti delle donne, educazione inclusiva) (10 ore). '''6. Valutazione e conclusione (10 ore)''' * Presentazione del lavoro svolto e discussione dei risultati raggiunti (4 ore). * Valutazione del tirocinio da parte dei supervisori e dei partecipanti (3 ore). * Riflessione finale e suggerimenti per progetti futuri (3 ore). }} ==Docenti e tutor== * [[Utente:Camelia.boban|Camelia]] * [[Utente:LorManLor|LorManLor]] ==Partecipanti== Le studentesse sono pregate di [[Aiuto:Come registrarsi|registrare individualmente un account]] e di aggiungere la propria firma usando '''solo''' la wikisintassi prevista ([[Aiuto:Firma]]) qui sotto. # [[Utente:Ma2nuela2|Ma2nuela2]] ([[Discussioni utente:Ma2nuela2|disc.]]) 19:23, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Ma2nuela2/sandbox|sandbox]] # [[Utente:Carmenn23|Carmenn23]] ([[Discussioni utente:Carmenn23|disc.]]) 19:26, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Carmenn23/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Tisha2405|Tisha2405]] ([[Discussioni utente:Tisha2405|disc.]]) 19:30, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Tisha2405/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Wikmatteo|Wikmatteo]] ([[Discussioni utente:Wikmatteo|disc.]]) 19:31, 2 feb 2026 (CET) - [[Utente:Wikmatteo/Sandbox|sandbox]] # [[Utente:Alice2103|Alice2103]] ([[Discussioni utente:Alice2103|disc.]]) 19:00, 12 feb 2026 (CET) - [[Utente:Alice2103/Sandbox|sandbox]] ; secondo gruppo #[[Utente:MelyWiki01|Melywiki01]] ([[Discussioni utente:MelyWiki01|disc.]]) 14:18, 05 giu 2026 (CET) - [[Utente:MelyWiki01/Sandbox|sandbox]] #[[Utente:WikiOhana|WikiOhana]] ([[Discussioni utente:WikiOhana|disc.]]) 14:29, 05 giu 2026 (CET) - [[Utente:WikiOhana/Sandbox|sandbox]] #[[Utente:Rebi27|Rebi27]] ([[Discussioni utente:Rebi27|disc.]]) 19:26, 07 giu 2026 (CET) - [[Utente:Rebi27/Sandbox|sandbox]] ==Wikibook da scrivere== * [[Storia del femminismo italiano]] vol.2 * {{Vedi anche|Progetto:WikiDonne/Tirocinio Roma Tre 2026/Struttura wikibook}} === Divisione del lavoro === * ... ===Esempio template testo tratto da Wikipedia=== <code><nowiki>{{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}}</nowiki></code> {{spostamento|1=https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Anna_Kuliscioff&oldid=143886689}} ==Dashboard== [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/UNIROMA3/WDG_-_Tirocinio_curriculare_2026 Metriche], tool Dashboard. ==Risorse== * [[:w:Progetto:WikiDonne/Aiuto]] (pagina di aiuto WikiDonne) * [[:File:Registrarsi, creare la pagina utente WD 2022.pdf|Registrarsi, creare la pagina utente]] * [[:File:WDG - WikiDonne. 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Dal Sessantotto al femminismo|anno=2021|editore=Rosenberg & Sellier|città=Torino|ISBN=9788878859234}} * {{Cita libro|curatore=Teresa Bertilotti|curatore2=Anna Scattigno|titolo=Il femminismo degli anni Settanta|anno=2005|editore=Viella|città=Roma|ISBN=978-88-8334-172-4}} * {{Cita libro|curatore=Paola Bono, Sandra Kemp|titolo=Italian Feminist Thought. A Reader|anno=1991|editore=Basil Blackwell|città=Oxford|lingua=en|ISBN=0-631-17115-0}} * {{Cita libro|autore=Maud Anne Bracke|traduttore=Enrica Capussotti|titolo=La nuova politica delle donne: il femminismo in Italia : 1968-1989|anno=2019|editore=Edizioni di storia e letteratura|città=Roma|ISBN=978-88-93592-02-4}} * {{Cita libro|autore=Anna Rita Calabrò, Laura Grasso|titolo=Dal movimento femminista al femminismo diffuso: storie e percorsi a Milano dagli anni '60 agli anni '80|anno=1985|editore=Franco Angeli|città=Milano}} * {{Cita libro|autore=Fiamma Lussana|titolo=Il movimento femminista in Italia. Esperienze, storie, memorie (1965–1980)|anno=2012|editore=Carocci|città=Roma|ISBN=978-88-430-6512-7}} * {{Cita pubblicazione|anno=1987|titolo=Il movimento femminista negli anni settanta|rivista=Memoria|numero=19-20|url=https://bibliotecadelledonne.women.it/fascicolo/memoria-rivista-di-storia-delle-donne-n-19-20-1987/}} * {{Cita libro|curatore=Aida Ribero|curatore2=Ferdinanda Vigliani|titolo=100 titoli: guida ragionata al femminismo degli anni Settanta|anno=1998|editore=Tufani|città=Ferrara|ISBN=978-88-86780-20-9}} * {{Cita libro|curatore=Rosalba Spagnoletti|titolo=I Movimenti femministi in Italia|anno=1977|editore=Savelli|città=Roma}} * {{Cita libro|curatore=Paola Stelliferi|curatore2=Stefania Voli|titolo=Anni di rivolta: nuovi sguardi sui femminismi degli anni Settanta e Ottanta|anno=2023|editore=Viella|città=Roma|ISBN=9791254692349}} ==Ospiti (video YouTube)== * ... ==Riconoscimenti== [[File:WDG - Premiazione OEGlobal 2025.png|miniatura|destra|300px|Premiazione OE Global 2025]] * Il "Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!" vince l'Open Education Award 2025 nella categoria ''How We Share: Open practices'' (Diversità, Equità e Inclusione)<ref>[https://awards.oeglobal.org/awards/2025/open-practices/wikidonne/ WikiDonne - a Wikimedia User Group. Wikidonne (Italy)] Recognized for Diversity, Equity, and Inclusion, ''awards.oeglobal.org''</ref> ==Altri progetti== * [[n:''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025|''Tirocinio WikiDonne: Piattaforme Wikimedia per un'educazione aperta e una cultura inclusiva!'' vincitore agli Open Education Awards 2025]] su WikiNews ==Note== <references/> ==Collegamenti esterni== * [http://digiteca.bsmc.it/# Digiteca], Biblioteca di storia moderna e contemporanea, Roma * [https://www.casainternazionaledelledonne.org/associazioni/archivia/ Archivia], Casa Internazionale delle Donne, Roma * [https://www.viella.it/riviste/testata/6 Genesis], rivista della Società Italiana delle Storiche ** [https://www.viella.it/rivista/9791254698952 Genesis. XXIII / 1, 2024. Sguardi femministi sulla storiografia], Genesis, 2024 ** [https://www.viella.it/rivista/9791254693193 Genesis. XXI / 2, 2022. Disuguaglianze. Il valore delle donne], Genesis, 2022 * [https://cloud.sbn.it/opac2/IEI/02/ricercaSemplice Polo IEI], Biblioteca di storia moderna e contemporanea * [https://acnpsearch.unibo.it/# ACNP], Catalogo italiano dei periodici, UNIBO * [https://opac.sbn.it/home OPAC SBN], Catalogo collettivo delle biblioteche del Servizio Bibliotecario Nazionale * [https://manus.iccu.sbn.it/web/manus Manus Online (MOL)], database ICCU * [https://www.novecento.org/notiziario/risorse-tematiche-per-la-didattica-anche-a-distanza-6417/#genere Soria di genere], Novecento [[Categoria:WikiDonne]] 5qmyv7hxslcriuyj69aaycap40olv4g 0 60010 499048 499029 2026-06-07T13:01:18Z Hippias 18281 499048 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Passiamo ora a studiare e risolvere le equazioni di Maxwell nel vuoto, ossia in assenza di cariche esterne. <math>\Box A^\mu = 0 \qquad \partial_\mu A^\mu = 0</math> Ognuna delle quattro equazioni <math>\Box A^\mu = 0</math> sono del tipo <math>\Box \varphi = 0</math>, con <math>\varphi</math> campo scalare. Dobbiamo quindi risolvere: <math>\Box \varphi = 0 \qquad \varphi(x) \xrightarrow{|x| \to \infty} 0</math> detta equazione di d'Alembert. Sappiamo che <math>\Box = \eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu</math>, e questo operatore è sostanzialmente l'estensione quadridimensionale del laplaciano <math>\nabla^2 = \delta^{ij} \partial^i \partial^j</math>. Supponiamo quindi di voler risolvere l'equazione di Laplace: <math>\nabla^2 \varphi(\vec{x}) = 0 \qquad \varphi(\vec{x}) \xrightarrow{|\vec{x}| \to \infty} 0</math> L'unica soluzione di queste equazioni con queste condizioni, però, è <math>\varphi(\vec{x}) = 0</math>. Infatti, se vale l'equazione si avrà: <math>0 = \int \varphi(\vec{x}) \nabla^2 \varphi(\vec{x}) d^3\vec{x} = -\int \partial_i \varphi(\vec{x}) \partial^i \varphi(\vec{x}) d^3\vec{x} + \underbrace{\int_{\Sigma_\infty} \varphi(\vec{x}) \partial_i \varphi(\vec{x}) d\Sigma^i}_{=0} \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad \int \partial_i \varphi(\vec{x}) \partial^i \varphi(\vec{x}) d^3\vec{x} = 0</math> Poiché l'integrando è una somma di quadrati, ciò significa che <math>\partial_i \varphi = 0</math> <math>\forall i,\vec{x}</math>; pertanto <math>\varphi</math> è costante, e dovrà essere necessariamente nulla affinché venga soddisfatta la condizione <math>\varphi(\vec{x}) \xrightarrow{|\vec{x}| \to \infty} 0</math>. Dunque, l'equazione di Laplace non ammette soluzioni che si annullano all'infinito che non siano banali. Se però rieseguiamo lo stesso ragionamento per <math>\Box \varphi = 0</math>, ciò non è più vero; risulta infatti: <math>\int \partial_\mu \varphi \partial_\nu \varphi \eta^{\mu\nu} d^4 x = 0</math> e poiché <math>\eta</math> non è semidefinita positiva non si può concludere nulla (l'integrando non è più una somma di quadrati, o comunque non è in generale una quantità positiva). Per risolvere l'equazione di d'Alembert (supponendo ovviamente <math>\varphi</math> scalare di Lorentz, e che sia una distribuzione), passiamo alle trasformate di Fourier: <math>\hat{\varphi}(k) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{-ikx} \varphi(x) d^4x \qquad \varphi(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{ikx} \hat{\varphi}(k) d^4k</math> Notiamo innanzitutto che se <math>\varphi</math> è scalare di Lorentz anche la sua trasformata di Fourier lo è; infatti: <math>\hat{\varphi}'(k') = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{-ik'x'} \varphi'(x') d^4x' = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{-ikx} \varphi(x) d^4x = \hat{\varphi}(k)</math> perché <math>d^4x' = d^4x</math> per le proprietà delle trasformazioni di Lorentz, e <math>kx = k_\mu x^\mu</math> e <math>\varphi</math> sono scalari di Lorentz. Le trasformate di Fourier in questo caso sono estremamente utili perché: <math>\partial_\mu \varphi = \frac{1}{(2\pi)^2} \int e^{ikx} (-ik_\mu) \hat{\varphi}(k) d^4k \quad \Rightarrow \quad \widehat{\partial_\mu \varphi} = -ik_\mu \hat{\varphi}</math> Dunque: <math>\widehat{\Box \varphi} = \widehat{\partial_\mu \partial^\mu \varphi} = (ik_\mu)(ik^\mu) \hat{\varphi}(k) = -k^\mu k_\mu \hat{\varphi}(k) \quad \Rightarrow \quad \widehat{\Box \varphi} = 0 \Leftrightarrow k^\mu k_\mu \hat{\varphi}(k) = 0</math> Ora, l'insieme dei punti con <math>k^\mu k_\mu = 0</math> è il cono luce dello spazio dei momenti <math>k</math>: ciò significa che <math>\hat{\varphi}(k)</math> è non nulla solo su questo cono luce. Poiché <math>\hat{\varphi}(k)</math> è scalare di Lorentz e le uniche sottovarietà invarianti del cono luce <math>k^\mu k_\mu = 0</math> sono l'origine e il cono stesso privato dell'origine, esistono due sole scelte possibili. 1) <math>\hat{\varphi}(k) \neq 0</math> solo se <math>k^\mu = 0</math>; si potrebbe dunque avere qualcosa del tipo<ref>Ricordarsi che le distribuzioni a supporto in un punto possono essere soltanto combinazioni lineari di <math>\delta</math> e delle sue derivate.</ref>: <math>\hat{\varphi}(k) = c\delta^{(4)}(k) + c_\mu \frac{\partial}{\partial k^\mu} \delta^{(4)}(k) + \cdots \quad \Rightarrow \quad \varphi(x) = \frac{c}{(2\pi)^2} + \frac{(ix^\mu)}{(2\pi)^2} c_\mu + \cdots</math> Ma in questo caso <math>\varphi</math> non si annulla all'infinito. Pertanto, non considereremo queste soluzioni in quanto non fisicamente rilevanti 2) <math>\hat{\varphi}(k) \neq 0</math> <math>\forall k^\mu</math> | <math>k^\mu k_\mu = 0</math> con <math>k^\mu \neq 0</math>. In questo caso, invece, si avrà: <math>\begin{align} \hat{\varphi}(k) &= \delta(k^\mu k_\mu) f(k) = \delta((k^0)^2 - |\vec{k}|^2) f(k) = \\ &= \left[ \frac{\delta(k^0 - |\vec{k}|)}{2|k^0|} + \frac{\delta(k^0 + |\vec{k}|)}{2|k^0|} \right] f(k^0;\vec{k}) = \\ &= \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \delta(k^0 - |\vec{k}|) f(|\vec{k}|;\vec{k}) + \delta(k^0 + |\vec{k}|) f(-|\vec{k}|;\vec{k}) \right] \end{align}</math> Quindi: <math>\begin{align} \varphi(x) &= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} e^{ikx} \left[ \delta(k^0 - |\vec{k}|) f(|\vec{k}|;\vec{k}) + \delta(k^0 + |\vec{k}|) f(-|\vec{k}|;\vec{k}) \right] dk^0 d^3\vec{k} = \\ &= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ e^{i(|\vec{k}|x^0 - \vec{k}\cdot\vec{x})} f(|\vec{k}|;\vec{k}) + e^{i(-|\vec{k}|x^0 - \vec{k}\cdot\vec{x})} f(-|\vec{k}|;-\vec{k}) \right] d^3\vec{k} = \\ &= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ e^{ikx} f(|\vec{k}|;\vec{k}) + e^{-ikx} f(-|\vec{k}|;-\vec{k}) \right] d^3\vec{k}_{|k^0=|\vec{k}|} \end{align}</math> ove nella penultima riga abbiamo effettuato il cambio di variabile <math>\vec{k} \to -\vec{k}</math> nel secondo addendo. Affinché <math>\varphi</math> sia reale, per le proprietà delle trasformate di Fourier, si deve avere<ref>Infatti, dalla definizione stessa di trasformata di Fourier si verifica che se <math>\varphi</math> è reale allora <math>\hat{\varphi}^*(k) = \hat{\varphi}(-k)</math>. La condizione <math>f(-|\vec{k}|;-\vec{k}) = f^*(|\vec{k}|;\vec{k})</math> deriva dunque dal fatto che <math>f</math> è la trasformata di Fourier della <math>\varphi</math>, che è reale (lo avevamo implicitamente supposto).</ref> <math>f(-|\vec{k}|;-\vec{k}) = f^*(|\vec{k}|;\vec{k})</math>, e per brevità poniamo <math>f(|\vec{k}|;\vec{k}) = \varepsilon(\vec{k})</math>. In questo caso, dunque: <math>\varphi(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \varepsilon(\vec{k}) e^{-ikx} + \varepsilon^*(\vec{k}) e^{ikx} \right]_{|k^0=|\vec{k}|} d^3\vec{k} =</math> <math>= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \varepsilon(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.} \right]_{|k^0=|\vec{k}|} d^3\vec{k}</math> ove c.c. sta per "complesso coniugato". Notiamo che, poiché <math>\varphi</math> è sicuramente scalare di Lorentz, dalla sua espressione segue che anche <math>d^3\vec{k}/|\vec{k}|</math> è invariante di Lorentz, fatto assolutamente non ovvio a priori. Ora, sappiamo già che <math>\varphi</math> ha un grado di libertà, cioè deve dipendere da due funzioni indipendenti; essendo però <math>\varepsilon</math> complessa, questa sarà esprimibile come una opportuna somma di due funzioni reali: ci deve dunque essere una relazione univoca che lega <math>\varphi(0;\vec{x})</math> e <math>\partial_0 \varphi(0;\vec{x})</math> con <math>\varepsilon(\vec{k})</math>. La soluzione più generale possibile di <math>\Box \varphi = 0</math>, dunque, è: <math>\varphi(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \varepsilon(\vec{k}) e^{ikx} + \text{c.c.} \right] d^3\vec{k}_{|k^0=|\vec{k}|}</math> Questa può essere vista come una sovrapposizione di soluzioni elementari <math>\varphi_k = \varepsilon(\vec{k}) e^{ikx} + \text{c.c.}|_{k^0=|\vec{k}|}</math>, dette onde piane; se ad esempio <math>\vec{k} = \hat{z}|\vec{k}|</math>, allora: <math>\varphi_k(x) = \varepsilon(\vec{k}) e^{i|\vec{k}|(t-|\hat{z}|)} + \text{c.c.}|_{k^0=|\vec{k}|}</math> e i punti con fase costante, cioè i punti tali che <math>|\vec{k}|(t - |\hat{z}|) = \text{cost.}</math> rappresentano dei piani ortogonali a <math>\hat{z}</math>, detti fronti d'onda, che si propagano alla velocità della luce. Queste onde sono anche monocromatiche, perché posseggono una frequenza ben precisa (<math>f = |\vec{k}|/2\pi = 1/\lambda</math>); c'è da dire però che una singola onda piana non si annulla all'infinito, e pertanto considereremo, come soluzioni generali dell'equazione <math>\Box \varphi = 0</math>, sovrapposizioni di onde piane, dette pacchetti d'onde. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|7 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Soluzioni dell&#39;equazione di d&#39;Alembert]] pu7j6cduhig58mf96uvdml9x0kw52ix 0 60012 499049 491830 2026-06-07T14:37:52Z Hippias 18281 499049 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Alla luce di ciò, consideriamo le equazioni di Mawxell: <math>\Box A_\mu = 0</math> Si tratta di quattro equazioni identiche a quelle che abbiamo appena visto, una per ogni componente di <math>A_\mu</math>. In modo analogo si determina che: <math>A^\mu(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2|\vec{k}|} \left[ \varepsilon^\mu(\vec{k}) e^{ikx} + \text{c.c.} \right]_{|k^0 = |\vec{k}|} d^3\vec{k}</math> ove stavolta <math>\varepsilon^\mu</math> è un quadrivettore (detto vettore di polarizzazione), e quindi cambierà sotto trasformazioni di Lorentz come <math>\varepsilon'^\mu(\vec{k}') = \Lambda^\mu{}_\nu \varepsilon^\nu(\vec{k})</math> In questo caso, dunque, sembrerebbe che il campo elettromagnetico abbia quattro gradi di libertà (uno per ogni componente di <math>A^\mu</math>, ossia uno per ogni funzione complessa che costituisce <math>\varepsilon_\mu(\vec{k})</math>); dobbiamo però imporre la gauge di Lorenz <math>\partial_\mu A^\mu = 0</math>, ossia <math>k_\mu \varepsilon^\mu(\vec{k}) = 0</math>, e pertanto <math>\varepsilon^\mu</math> ha solo tre componenti indipendenti. Tuttavia, come abbiamo già visto porre <math>\partial_\mu A^\mu = 0</math> non fissa completamente la gauge, perché possiamo ancora eseguire trasformazioni di gauge residue del tipo <math>A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \Lambda</math> con <math>\Box \Lambda = 0</math>. La generica soluzione di <math>\Box \Lambda = 0</math>, però, è<ref>Rispetto a quanto visto prima, ridefiniamo la <math>\lambda</math> in modo che compaia la <math>i</math> a denominatore, di modo che poi si semplifichi e non appesantisca inutilmente la notazione.</ref>: <math>\Lambda(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{1}{2i|\vec{k}|} \left[ e^{ikx} \alpha(\vec{k}) - \text{c.c.} \right] d^3\vec{k}_{|k^0=|\vec{k}|}</math> e quindi sotto la trasformazione <math>A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \Lambda</math>, il quadrivettore <math>\varepsilon^\mu</math> diventa: <math>\varepsilon^\mu(\vec{k}) \to \varepsilon^\mu(\vec{k}) + k^\mu \alpha(\vec{k}) := \tilde{\varepsilon}^\mu(\vec{k})</math> Inoltre: <math>k_\mu \tilde{\varepsilon}^\mu(\vec{k}) = k_\mu \varepsilon^\mu(\vec{k}) + k_\mu k^\mu \alpha(\vec{k}) = 0</math> perché ambo gli addendi sono nulli. Pertanto neanche tutte le componenti di <math>\tilde{\varepsilon}^\mu(\vec{k})</math> (e quindi neanche quelle di <math>\varepsilon^\mu(k)</math>) sono linearmente indipendenti; risulta quindi che delle quattro componenti di <math>\varepsilon^\mu(\vec{k})</math> solo due sono linearmente indipendenti, in quanto una viene eliminata dalla gauge di Lorenz, e l'altra dalla gauge residua. Pertanto, <math>A^\mu</math> e quindi <math>F^{\mu\nu}</math> ha due gradi di libertà, come già avevamo visto. Introduciamo ora delle notazioni che ci saranno utili in seguito. Dato <math>k^\mu</math> con <math>k_\mu k^\mu = 0</math>, poniamo: <math>n^\mu = \frac{k^\mu}{|\vec{k}|} \quad \Rightarrow \quad n^\mu n_\mu = 0 \quad n^0 = 1 \quad \vec{n} = \frac{\vec{k}}{|\vec{k}|} \quad |\vec{n}| = 1</math> che altro non è che il versore che indica la direzione di propagazione dell'onda. Poiché si ha (sottintendiamo il pedice <math>\vec{k}</math>): <math>\partial_\mu A^\mu = ik_\mu \varepsilon^\mu e^{ikx} + \text{c.c.}</math> allora: <math>\dot{A}^\mu = \partial_0 A^\mu = i|\vec{k}| \varepsilon^\mu e^{ikx} + \text{c.c.}</math> Confrontando queste ultime due equazioni, risulta: <math>\partial_\mu A^\nu = n_\mu \dot{A}^\nu</math> e si ha anche: <math>n_\mu \dot{A}^\mu = 0 \qquad n_\mu n^\mu = 0</math> Queste ultime si chiamano relazioni delle onde, e valgono per ogni onda elementare. == Note == <references/> {{Avanzamento|100%|7 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Soluzioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto]] me9pwixh95no3siuk3si8wluc4vlh6r 0 60013 499052 491831 2026-06-07T15:07:10Z Hippias 18281 499052 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Calcoliamo dunque l'espressione di <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> per un'onda elettromagnetica elementare. Innanzitutto: <math>F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = n^\mu \dot{A}^\nu - n^\nu \dot{A}^\mu</math> Dunque per il campo elettrico si avrà: <math>E^i = F^{i0} = n^i \dot{A}^0 - n^0 \dot{A}^i = n^i n^j \dot{A}^j - \dot{A}^i = \underbrace{(n^i n^j - \delta^{ij})}_{:= P^{ij}} \dot{A}_j</math> <math>\Rightarrow \quad \vec{E} = \vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}}) - \vec{\dot{A}} = -\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{\dot{A}})</math> ove <math>P^{ij}</math> è il proiettore sul sottospazio ortogonale a <math>n^i</math>; infatti <math>P^{ij} n^j = n^i n^j n^j - n^i = n^i - n^i = 0</math>. Per quanto riguarda il campo magnetico, invece: <math>B^i = -\frac{1}{2} \varepsilon^{ijk} F^{jk} = -\varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k \quad \Rightarrow \quad \vec{B} = -\vec{n} \times \vec{\dot{A}}</math> Notiamo dunque che: # una trasformazione di gauge non cambia i campi elettrico e magnetico (perché non cambia <math>F_{\mu\nu}</math>); # le componenti di <math>\vec{\dot{A}}</math> lungo <math>\vec{n}</math> non contribuiscono al valore di <math>B^i</math>; infatti se <math>\dot{A}^k \propto n^k</math> allora <math>B^i \propto -\varepsilon^{ijk} n^j n^k = 0</math> Inoltre, i vettori <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> risultano ortogonali alla direzione di propagazione <math>\vec{n}</math>: <math>\vec{n} \cdot \vec{E} = n^i (n^i n^j - \delta^{ij}) \dot{A}^j = n^j \dot{A}^j - n^j \dot{A}^j = 0</math> <math>\vec{n} \cdot \vec{B} = -n^i \varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k = 0</math> Dunque <math>\vec{E}, \vec{B} \perp \vec{n}</math>. Risulta inoltre: <math>(\vec{n} \times \vec{E})^i = \varepsilon^{ijk} n^j E^k = \varepsilon^{ijk} n^j (n^k n^\ell - \delta^{k\ell}) \dot{A}^\ell = -\varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k = B^i</math> ossia <math>\vec{B} = \vec{n} \times \vec{E}</math>: i campi, oltre a essere ortogonali alla direzione di propagazione, sono ortogonali fra di loro. Infine, poiché <math>|\vec{n}| = 1</math> risulta<ref>Nota: <math>\vec{B} \cdot \vec{E}</math> e <math>|\vec{E}|^2 - |\vec{B}|^2</math> sono proporzionali agli invarianti che si possono costruire con <math>F_{\mu\nu}</math>. In particolare, poiché <math>F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \propto |E|^2 - |B|^2</math>, per un campo elettromagnetico libero si ha <math>F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 0</math>.</ref> <math>|\vec{B}| = |\vec{E}|</math>. == Impulso di un'onda elettromagnetica == Cerchiamo ora di determinare le quantità conservate associate ad un'onda elettromagnetica. Queste saranno necessariamente associate al tensore energia-impulso e densità di momento angolare dell'onda. Considerando dunque il primo: <math>T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = F^{\mu\rho} F^\nu_\rho + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F_{\rho\sigma} F^{\rho\sigma}</math> ma <math>F_{\rho\sigma} F^{\rho\sigma} = 0</math> perché <math>|\vec{B}| = |\vec{E}|</math>. Dunque: <math>\begin{align} T^{\mu\nu}_{\text{emg}} &= F^{\mu\rho} F^\nu_\rho = (n^\mu \dot{A}^\rho - n^\rho \dot{A}^\mu)(n^\nu \dot{A}_\rho - n_\rho \dot{A}^\nu) = n^\mu n^\nu \dot{A}^\rho \dot{A}_\rho = \\ &= n^\mu n^\nu (\dot{A}_i \dot{A}^i - \dot{A}_0 \dot{A}^0) = n^\mu n^\nu (\dot{A}_i \dot{A}^i - n_i \dot{A}^i n_j \dot{A}^j) = \\ &= n^\mu n^\nu \dot{A}_i \dot{A}_j (\delta^{ij} - n^i n^j) = n^\mu n^\nu \left( |\vec{\dot{A}}|^2 - (\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}})^2 \right) \end{align}</math> Possiamo sempre scegliere gli assi di modo che <math>\vec{n} = (0,0,1)</math>; in questo modo: <math>T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu \left[ (\dot{A}_1)^2 + (\dot{A}_2)^2 \right] \qquad \vec{E} = (-\dot{A}_1, -\dot{A}_2, 0) \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu |\vec{E}|^2 = n^\mu n^\nu \frac{|\vec{E}|^2 + |\vec{B}|^2}{2} \quad \Rightarrow \quad T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu W</math> ove abbiamo sfruttato il fatto che <math>|\vec{E}| = |\vec{B}|</math>, e con <math>W = T^{00}_{\text{emg}}</math> abbiamo indicato la densità di energia del campo elettromagnetico. Si avrà dunque che il quadrimomento trasportato dall'onda è: <math>P^\mu = \int T^{\mu0}_{\text{emg}} d^3\vec{x} = \int n^\mu W d^3\vec{x} = n^\mu E</math> con <math>E</math> energia totale dell'onda (ovviamente per un'onda piana si avrebbe <math>E = +\infty</math>, ma abbiamo già detto che le uniche soluzioni fisicamente sensate delle equazioni di Maxwell sono pacchetti d'onde). Poiché dunque <math>n^\mu n_\mu = 0</math>, si avrà <math>P^\mu P_\mu = 0</math>; è per questo che, nella quantizzazione dell'elettrodinamica, si possono associare ai campi particelle (i fotoni) prive di massa. == Momento angolare di un'onda elettromagnetica == L'altra quantità che resterebbe da studiare è il momento angolare: <math>M^{\mu\nu} = x^\mu T^{\nu\rho}_{\text{emg}} - x^\nu T^{\mu\rho}_{\text{emg}}</math> <math>L^{\mu\nu} = \int M^{\mu\nu 0} d^3\vec{x} = \int (x^\mu n^\nu - x^\nu n^\mu) W d^3\vec{x}</math> <math>L^i = -\frac{1}{2} \varepsilon^{ijk} L_{jk} = \int \varepsilon^{ijk} x_j n_k W d^3\vec{x}</math> e se ad esempio <math>\vec{n} = (0,0,1)</math>: <math>L^3 = \int \varepsilon^{3j3} x_j W d^3\vec{x} = 0</math> Sembrerebbe dunque che le onde non trasportino momento angolare nella loro direzione di propagazione. Anche con le altre componenti si ottiene lo stesso risultato: <math>L^1 = \int \varepsilon^{1j3} x_j W d^3\vec{x} = \int \varepsilon^{123} x_2 W d^3\vec{x} = W(z) \int x_2 d^3\vec{x} = 0</math> ove la penultima uguaglianza è dovuta al fatto che in un'onda che si propaga lungo <math>z</math> le sue grandezze (in questo caso <math>W</math>) dipendono solo da <math>z</math>, e analogamente si trova <math>L^2 = 0</math>. Ciò però è falso: le onde elettromagnetiche possono essere polarizzate, e quelle polarizzate circolarmente trasportano momento angolare. Questo problema sorge perché abbiamo fatto il conto non sul tensore che deriva direttamente dal teorema di Noether, ma su quello simmetrico. Abbiamo visto che nella determinazione del tensore energia-impulso simmetrico è fondamentale l'ipotesi che i campi si annullino all'infinito, cosa che le onde piane come già evidenziato non fanno. In realtà, si può vedere che le onde elettromagnetiche trasportano momento angolare lungo la loro direzione di propagazione anche con ragionamenti indiretti, che ora seguiremo. == Stati di polarizzazione di un'onda elettromagnetica == Cominciamo definendo lo stato di polarizzazione di un'onda, che sarà legato alle proprietà del quadrivettore <math>\varepsilon_\mu</math>. Ricordando che nella gauge di Lorenz si ha <math>k^\mu \varepsilon_\mu(\vec{k}) = 0</math>, e supponendo che l'onda si propaghi lungo <math>z</math>, allora <math>k_\mu = |\vec{k}|(1,0,0,1)</math> (in questo modo <math>k^\mu k_\mu = 0</math>) e dunque: <math>\varepsilon_\mu = (\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^3) \quad \Rightarrow \quad k^\mu \varepsilon_\mu = |\vec{k}|(\varepsilon^0 - \varepsilon^3) \stackrel{!}{=} 0 \quad \Rightarrow \quad \varepsilon^0 = \varepsilon^3</math> e quindi: <math>\varepsilon_\mu = (\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^0) = \underbrace{\frac{\varepsilon^0}{|\vec{k}|} k_\mu}_{:= \varepsilon^\text{L}_\mu} + \underbrace{(0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, 0)}_{:= \varepsilon^\text{T}_\mu}</math> ove <math>\varepsilon^\text{L}_\mu</math> è la parte longitudinale (ossia diretta come <math>k_\mu</math>) e <math>\varepsilon^\text{T}_\mu</math> quella trasversa del vettore di polarizzazione <math>\varepsilon_\mu</math>. Di queste due, l'unica fisicamente rilevante è quella trasversa, perché quella longitudinale può essere eliminata con un'opportuna trasformazione di gauge: <math>\varepsilon_\mu \to \varepsilon_\mu + \alpha(\vec{k}) k_\mu \qquad \alpha(\vec{k}) := -\frac{\varepsilon^0(\vec{k})}{|\vec{k}|} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon_\mu \to \varepsilon^\text{T}_\mu</math> Sono dunque solo <math>\varepsilon^1</math> e <math>\varepsilon^2</math> che determinano lo stato di polarizzazione dell'onda. Vediamo dunque quali possono essere i possibili stati di polarizzazione per un'onda elettromagnetica. Inserendo l'espressione del quaripotenziale di un'onda elementare: <math>A_\mu(x) = \varepsilon_\mu(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^0=|\vec{k}|}</math> in <math>\vec{E} = \vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}}) - \vec{\dot{A}}</math>, si ha: <math>\vec{E} = \vec{\mathcal{E}} e^{-ikx} + \text{c.c.}</math> con <math>\vec{\mathcal{E}}</math> vettore complesso tale che <math>\vec{\mathcal{E}} \cdot \vec{n} = 0</math>, dunque <math>\vec{\mathcal{E}} \propto \vec{\varepsilon}_\text{T}</math>. Scegliamo dunque due versori <math>\vec{e}_1</math> e <math>\vec{e}_2</math> ortogonali a <math>\vec{n}</math> e fra di loro. In questo modo (<math>\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2 \in \mathbb{C}</math>, e l'<math>1/2</math> compare per convenienza): <math>\vec{\mathcal{E}} = \frac{1}{2} (\mathcal{E}_1 \vec{e}_1 + \mathcal{E}_2 \vec{e}_2) = \frac{1}{2} e^{i\tilde{\delta}} (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + e^{i\delta} |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2)</math> con <math>\tilde{\delta}</math> fase di <math>\mathcal{E}_1</math> e <math>\delta</math> differenza di fase fra <math>\mathcal{E}_2</math> e <math>\mathcal{E}_1</math>. Tuttavia <math>\tilde{\delta}</math> è irrilevante, perché: <math>\vec{E} = \frac{1}{2} e^{i\tilde{\delta}} e^{-ikx} (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + e^{i\delta} |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2) + \text{c.c.}</math> e dunque ridefinendo l'origine dei tempi (<math>x^0 \to x^0 - \tilde{\delta}/k^0</math>) si può porre <math>\tilde{\delta} = 0</math>. Dunque: <math>\vec{E} = |\mathcal{E}_1| \cos(kx) \vec{e}_1 + |\mathcal{E}_2| \cos(kx + \delta) \vec{e}_2</math> I casi possibili sono quindi: <math>\delta = 0</math> allora: <math>\vec{E} = (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2) \cos(kx)</math> e dunque in ogni istante <math>\vec{E}</math> oscilla lungo la stessa direzione: il campo si dice polarizzato linearmente <math>\delta = \pm \pi/2</math>, <math>|\mathcal{E}_1| = |\mathcal{E}_2|</math> in questo caso: <math>\vec{E} = |\mathcal{E}_1| (\cos(kx) \vec{e}_1 \mp \sin(kx) \vec{e}_2)</math> e dunque al variare di <math>x</math>, <math>\vec{E}</math> descrive un cerchio, in senso orario o antiorario a seconda se <math>\delta = +\pi/2</math> o <math>\delta = -\pi/2</math>: il campo si dice polarizzato circolarmente (destro o sinistro). Nel caso in cui un'onda sia polarizzata circolarmente, allora: <math>\varepsilon^\text{T}_\mu \propto (0, 1, \pm i, 0)</math> Ciò che vogliamo dunque mostrare è che un'onda polarizzata circolarmente trasporta momento angolare nella direzione di propagazione (si dice anche che porta elicità), e che può assumere valori <math>+1</math> o <math>-1</math>. Mostriamolo in un contesto più generale, ossia considerando anche il caso delle onde gravitazionali. == Onde gravitazionali == Il campo gravitazionale (nel limite in cui questo sia debole) è descritto dal tensore simmetrico <math>H_{\mu\nu}(x)</math> (così come il campo elettromagnetico è descritto da <math>A_\mu(x)</math>). Fisicamente, <math>H_{\mu\nu}</math> rappresenta le piccole deformazioni della metrica dello spaziotempo rispetto alla metrica di Minkowski dovute alla gravità. Se c'è campo gravitazionale, infatti, la metrica dello spaziotempo è: <math>ds^2 = g_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu</math> con <math>g_{\mu\nu}</math> funzione di <math>x</math> e simmetrico in <math>\mu</math> e <math>\nu</math>. Quando il campo gravitazionale è molto debole (ossia a grandi distanze dalle sorgenti): <math>g_{\mu\nu}(x) \simeq \eta_{\mu\nu} + \left( H_{\mu\nu}(x) - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} H^\rho_\rho(x) \right) + O(H^2)</math> In analogia con le onde elettromagnetiche, le equazioni differenziali a cui <math>H</math> dovrà obbedire saranno: <math>\Box H_{\mu\nu} = 0 \qquad \partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math> Se fossimo in presenza di sorgenti, si dovrebbe avere <math>\Box H_{\mu\nu} = 16\pi G T_{\mu\nu}</math> con <math>T_{\mu\nu}</math> tensore energia-impulso (altro motivo in più perché <math>T_{\mu\nu}</math> dev'essere simmetrico). Inoltre, <math>H_{\mu\nu}</math> è legato al potenziale gravitazionale classico <math>\varphi</math> da: <math>\varphi = -\frac{1}{4} H_{00}</math> e ciò accade perché nel caso newtoniano <math>v \ll 1</math>, e risulta <math>T_{00} \gg T_{ij}</math> (infatti <math>T^P_\mu \propto \sum_p \frac{p_\mu p_\nu}{E} \delta^{(3)} \Rightarrow T^P_{00} \propto m</math>, <math>T^P_{0i} \propto p_i \propto mv_i</math>). Per semplice analogia con l'elettromagnetismo possiamo scrivere le equazioni differenziali che descrivono il campo gravitazionale: <math>\Box H_{\mu\nu} = 0 \qquad \partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math> ove la seconda equazione fissa univocamente la gauge del campo, come vedremo fra poco. Sappiamo dunque che se il campo gravitazionale è debole: <math>g_{\mu\nu} \simeq \eta_{\mu\nu} + H_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} H^\rho_\rho + O(H^2)</math> In relatività speciale il gruppo di simmetria "naturale" è l'insieme delle trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la metrica, ossia il gruppo di Poincaré; in relatività generale, invece, questo gruppo è molto più ampio: si possono considerare trasformazioni qualsiasi delle coordinate <math>x^\mu \to \tilde{x}^\mu</math>, detti diffeomorfismi. Se dunque in relatività speciale le trasformazioni erano definite complessivamente da 10 parametri, adesso ci sono infiniti gradi di libertà, e possiamo intendere questo fatto come una sorta di invarianza di gauge. Abbiamo, insomma, che le <math>\tilde{x}^\mu</math> sono le trasformazioni di gauge della relatività generale (non vediamo come agiscono sui campi perché è troppo complicato). Affinché in relatività generale il <math>ds^2</math> sia invariante sarà dunque necessario che anche <math>g_{\mu\nu}(x)</math> trasformi in modo ben preciso (che non ricaveremo) sotto <math>\tilde{x}^\mu</math>. L'equazione <math>\partial^\mu H_{\mu\nu}</math> è quindi proprio la condizione che poniamo per fissare questa gauge. Dobbiamo anche tenere in conto che, come già detto, le equazioni che abbiamo scritto non sono le equazioni esatte del campo gravitazionale, ma una loro approssimazione per campi deboli: l'elettromagnetismo è infatti lineare, mentre la gravità no (nell'espressione di <math>H_{\mu\nu}</math> compaiono infatti termini <math>O(H^2)</math>). L'origine fisica di questa differenza fra campo elettromagnetico e gravitazionale risiede nel fatto che il campo elettromagnetico non è "carico", mentre quello gravitazionale lo è. Spieghiamo meglio cosa intendiamo con quest'ultima affermazione: il campo elettromagnetico è generato da cariche, ma non trasporta carica elettrica, nel senso che fra le varie quantità che si possono associare a questo tipo di campo (quantità di moto, momento angolare ecc.) la carica elettrica non compare; da un punto di vista quantistico, ciò significa che i mediatori di questo campo, i fotoni, non hanno carica. Il campo gravitazionale, invece, è generato da massa, che è equivalente all'energia, e il campo gravitazionale (come tutti i campi in una teoria relativistica, grazie al teorema di Noether) trasporta esso stesso energia: <math>H_{\mu\nu}</math>, dunque, influisce su sé stesso modificando la struttura stessa del campo, che non risulta più lineare. Considerando l'equazione <math>\Box H_{\mu\nu} = 0</math>, sappiamo dunque che <math>H_{\mu\nu}</math> è sovrapposizione di onde elementari (ossia piane monocromatiche): <math>H_{\mu\nu}(x) = \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^\mu k_\mu = 0}</math> ove <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> è detto tensore di polarizzazione. Ponendo <math>\partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math>, dunque, risulta <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) = 0</math>. Anche in questo caso, inoltre, dobbiamo considerare le possibili trasformazioni di gauge residue: <math>\varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) \to \tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}(\vec{k}) = \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) + k_\mu \xi_\nu(\vec{k}) + k_\nu \xi_\mu(\vec{k}) \underbrace{- \eta_{\mu\nu} k^\rho \xi_\rho}_{\displaystyle := A}</math> ove <math>A</math> è stato inserito affinché <math>\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}</math> sia simmetrico (infatti <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> lo è perché tale è <math>H_{\mu\nu}</math>), e l'ultimo addendo serve affinché <math>\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}</math> soddisfi ancora la condizione di gauge: <math>\begin{align} k^\mu \tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}(\vec{k}) &= k^\mu \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) + k^\mu k_\mu \xi_\nu(\vec{k}) + k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) - k_\nu k^\rho \xi_\rho(\vec{k}) k^\mu = \\ &= k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) - k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) = 0 \end{align}</math> Ci chiediamo dunque: un campo del genere quanti gradi di libertà ha? Sono le componenti di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math>, che sono 10 funzioni complesse (poiché è simmetrico) delle tre variabili <math>\vec{k}</math>. Si deve poi avere <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu} = 0</math>, che sono quattro vincoli (uno per ogni valore di <math>\nu</math>); pertanto <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> è composto da 10-4=6 funzioni complesse indipendenti. Poiché inoltre ci sono quattro trasformazioni di gauge residue (corrispondenti alle quattro funzioni <math>\xi_\mu</math>), rimangono 6-4=2 funzioni complesse indipendenti che compongono <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math>, ossia <math>H_{\mu\nu}</math> ha due gradi di libertà, proprio come il campo elettromagnetico. Scegliamo dunque gli assi di modo che <math>k_\mu = \omega(1,0,0,1)</math>, ove <math>\omega = |\vec{k}|</math>. In questo modo da <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu} = 0</math> segue che <math>\varepsilon_{0\nu} = \varepsilon_{3\nu}</math> <math>\forall \nu</math>. Pertanto, le componenti indipendenti di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> sono tutte quelle dove non compare l'indice 3; vediamo quali di queste possono essere eliminate per l'invarianza di gauge. Poniamo $\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu} = \varepsilon_{\mu\nu} + \delta\varepsilon_{\mu\nu}$; allora: <math>\delta\varepsilon_{00} = \omega(\xi_0 + \xi_3) \qquad \delta\varepsilon_{01} = \omega\xi_1 \qquad \delta\varepsilon_{02} = \omega\xi_2</math> <math>\delta\varepsilon_{11} = \omega(\xi_0 - \xi_3) \qquad \delta\varepsilon_{12} = 0 \qquad \delta\varepsilon_{22} = \omega(\xi_0 - \xi_3)</math> Scegliendo opportunamente <math>\xi_1</math> e <math>\xi_2</math>, quindi, si può sempre porre<ref>Attenzione: dovremmo scrivere in realtà, ad esempio, <math>\varepsilon'_{01} = 0</math>; tuttavia, poiché <math>\varepsilon_{01}</math> e <math>\varepsilon'_{01}</math> sono collegati da una trasformazione di gauge, sono fisicamente equivalenti, e dunque si può porre direttamente <math>\varepsilon_{01} = 0</math>.</ref> <math>\varepsilon_{01} = \varepsilon_{02} = 0</math>; analogamente, scegliendo opportunamente <math>\xi_0</math> e <math>\xi_3</math>, si può porre <math>\varepsilon_{00} = 0</math> e <math>\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} = 0</math>. In generale, invece, <math>\varepsilon_{12} \neq 0</math>. I gradi di libertà che abbiamo a disposizione sono dunque <math>\varepsilon_{12}</math> e <math>\varepsilon_{11}</math> (fissato quest'ultimo, anche <math>\varepsilon_{22}</math> è automaticamente fissato dalla relazione appena vista). Pertanto: <math>\varepsilon_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\ 0 & \varepsilon_{12} & -\varepsilon_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> == Elicità == Mostriamo ora che, in generale, i campi elettromagnetico e gravitazionale trasportano momento angolare, detto elicità. Consideriamo dunque tre tipi di campo: scalare, quadrivettoriale e quadritensoriale. Ad ognuno di essi sarà associato, rispettivamente, un campo scalare <math>\varepsilon(\vec{k})</math>, uno quadrivettoriale <math>\varepsilon_\mu(\vec{k})</math> e uno quadritensoriale <math>\varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k})</math>. Sotto trasformazioni di Lorentz si avrà: <math>k'_\mu = \Lambda^\nu_\mu k_\nu</math> <math>\varepsilon'(k') = \varepsilon(k)</math> <math>\varepsilon'_\mu(k') = \Lambda^\nu_\mu \varepsilon_\nu(k) \qquad \varepsilon'_{\mu\nu}(k') = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \varepsilon_{\rho\sigma}(k)</math> e queste trasformazioni agiscono su uno spazio vettoriale di dimensione infinita (<math>\varepsilon</math> è infatti una funzione di <math>k</math>). Consideriamo ora il sottogruppo del gruppo di Lorentz, spesso detto piccolo gruppo, formato dalle matrici <math>\Lambda</math> tali che: <math>k'_\mu = k_\mu \Leftrightarrow \Lambda^\nu_\mu k_\nu = k_\mu</math> ove <math>k_\mu</math> è un quadrivettore fissato. Se dunque <math>\Lambda</math> appartiene al piccolo gruppo, le leggi di trasformazione dei tensori di polarizzazione saranno: <math>\varepsilon'(k) = \varepsilon(k) \qquad \varepsilon'_\mu(k) = \Lambda^\nu_\mu \varepsilon_\nu(k) \qquad \varepsilon'_{\mu\nu}(k) = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \varepsilon_{\rho\sigma}(k)</math> pertanto, <math>\varepsilon</math> forma una rappresentazione finito-dimensionale del piccolo gruppo, o in altre parole le coordinate dei tensori di polarizzazione trasformano linearmente fra loro. Si può dimostrare che, note le trasformazioni del piccolo gruppo, si possono ricostruire tutte le trasformazioni possibili. Studiamo dunque com'è fatto il piccolo gruppo in casi particolari. Ne distinguiamo due: <math>k^2 = m^2 \neq 0</math> in questo caso esiste sempre un sistema di riferimento nel quale si ha: <math>k_\mu = m(1,0,0,0)</math> Dunque, le trasformazioni di Lorentz che agendo su <math>k_\mu</math> non lo cambiano (in altre parole, le trasformazioni del piccolo gruppo) dovranno essere tali che: <math>k'_\mu = k_\mu \Rightarrow \Lambda^0_i = 0 \text{ per } i \neq 0; \quad \Lambda^i_0 = 0 \text{ per } i \neq 0</math> Dunque: <math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & & & \\ 0 & & R & \\ 0 & & & \end{pmatrix}</math> con <math>R</math> matrice di rotazione tridimensionale. <math>k^2 = 0</math> possiamo allora scegliere gli assi di modo che <math>k_\mu = \omega(1,0,0,1)</math>. Pertanto: <math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi & \sin\varphi & 0 \\ 0 & -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> Infatti, in questo modo, la rotazione coinvolge solo le componenti 1 e 2 di <math>k</math>, che sono nulle, e pertanto <math>k</math> non viene alterato. In realtà esisterebbero altri due tipi di trasformazione che appartengono al piccolo gruppo, ma le ignoriamo in quanto non hanno significato fisico. Vogliamo dunque capire come trasformi <math>\varepsilon</math> sotto il piccolo gruppo. Se infatti <math>\varepsilon_\mu</math> è ad esempio un vettore di polarizzazione che sotto queste trasformazioni cambia nel seguente modo: <math>\varepsilon_\mu(k) \xrightarrow{\Lambda} \varepsilon_\mu(k) e^{in\varphi}</math> si dice che il campo ha elicità <math>n</math>, che è la componente lungo <math>z</math> del momento angolare trasportato dall'onda<ref>In realtà ciò non è evidente e infatti non lo si può vedere a questo livello della trattazione, perché è collegato con l'elettrodinamica quantistica. In breve, si può mostrare che se un campo ha elicità <math>n</math> allora i suoi mediatori (i fotoni nel caso dell'elettromagnetismo, ad esempio) hanno spin <math>n</math>.</ref>. Calcoliamo dunque quanto vale l'elicità per i vari tipi di campo che stiamo considerando: '''campo scalare''' Si ha: <math>\varepsilon(k) \to \varepsilon(k) \quad \Rightarrow \quad n = 0</math> Pertanto, i campi scalari non hanno elicità, ossia non trasportano momento angolare. '''campo elettromagnetico''' Sappiamo che possiamo scrivere: <math>\varepsilon_\mu = \underbrace{\varepsilon^0(1,0,0,1)}_{\varepsilon^\text{L}_\mu} + \underbrace{(0,\varepsilon^1,\varepsilon^2,0)}_{\varepsilon^\text{T}_\mu}</math> Dunque: <math>\varepsilon^0 \to {\varepsilon'}^0 = \varepsilon^0 \quad \Rightarrow \quad {\varepsilon'}^\text{L}_\mu = \varepsilon^\text{L}_\mu \quad \Rightarrow \quad n = 0</math> che effettivamente è un risultato inutile in quanto <math>\varepsilon^0</math> non ha significato fisico. Inoltre: <math>{\varepsilon'}^1 = \cos\varphi \varepsilon^1 + \sin\varphi \varepsilon^2</math> <math>{\varepsilon'}^2 = -\sin\varphi \varepsilon^1 + \cos\varphi \varepsilon^2</math> Cerchiamo dunque una base di autovettori che diagonalizzi questa trasformazione. Si determina che questa base è: <math>\varepsilon^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \pm i \\ 0 \end{pmatrix}</math> Dunque: <math>{\varepsilon'}^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\pm i\varphi} \\ \pm ie^{\pm i\varphi} \\ 0 \end{pmatrix} = e^{\pm i\varphi} \varepsilon^{(\pm)}_\text{T}</math> Pertanto <math>n = \pm 1</math>: il campo elettromagnetico ha elicità <math>\pm 1</math>. Notiamo anche che <math>\varepsilon^{(\pm)}_\text{T}</math> corrispondono ai vettori di polarizzazione di un'onda polarizzata circolarmente. Possiamo dunque concludere che il campo elettromagnetico, se polarizzato circolarmente, trasporta momento angolare. '''campo gravitazionale''' Abbiamo visto che come componenti fisiche di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> possiamo usare <math>\varepsilon_{11}</math> e <math>\varepsilon_{12}</math>. Dunque: <math>\begin{align} {\varepsilon'}_{11} &= \cos^2\varphi \varepsilon_{11} + 2\cos\varphi\sin\varphi \varepsilon_{12} + \sin^2\varphi \varepsilon_{22} \underbrace{= -\varepsilon_{11}} = \\ &= (\cos^2\varphi - \sin^2\varphi)\varepsilon_{11} + 2\cos\varphi\sin\varphi \varepsilon_{12} = \cos(2\varphi)\varepsilon_{11} + \sin(2\varphi)\varepsilon_{12} \end{align}</math> Analogamente: <math>{\varepsilon'}_{12} = \cos(2\varphi)\varepsilon_{12} - \sin(2\varphi)\varepsilon_{11}</math> Gli autovettori della trasformazione sono gli stessi di prima, perciò: <math>{\varepsilon'}^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\pm i2\varphi} \\ \pm ie^{\pm i2\varphi} \\ 0 \end{pmatrix} = e^{\pm i2\varphi} \varepsilon^{(\pm)}_\text{T} \quad \Rightarrow \quad n = \pm 2</math> Il campo gravitazionale ha dunque elicità <math>\pm 2</math>. == Note == <references/> {{Avanzamento|100%|7 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Espressione esplicita dei campi in un&#39;onda elettromagnetica]] 49c7pj5j5uj5zgfxk52626r4m3sc9cw 499053 499052 2026-06-07T15:11:52Z Hippias 18281 /* Impulso di un'onda elettromagnetica */ 499053 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Calcoliamo dunque l'espressione di <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> per un'onda elettromagnetica elementare. Innanzitutto: <math>F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = n^\mu \dot{A}^\nu - n^\nu \dot{A}^\mu</math> Dunque per il campo elettrico si avrà: <math>E^i = F^{i0} = n^i \dot{A}^0 - n^0 \dot{A}^i = n^i n^j \dot{A}^j - \dot{A}^i = \underbrace{(n^i n^j - \delta^{ij})}_{:= P^{ij}} \dot{A}_j</math> <math>\Rightarrow \quad \vec{E} = \vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}}) - \vec{\dot{A}} = -\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{\dot{A}})</math> ove <math>P^{ij}</math> è il proiettore sul sottospazio ortogonale a <math>n^i</math>; infatti <math>P^{ij} n^j = n^i n^j n^j - n^i = n^i - n^i = 0</math>. Per quanto riguarda il campo magnetico, invece: <math>B^i = -\frac{1}{2} \varepsilon^{ijk} F^{jk} = -\varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k \quad \Rightarrow \quad \vec{B} = -\vec{n} \times \vec{\dot{A}}</math> Notiamo dunque che: # una trasformazione di gauge non cambia i campi elettrico e magnetico (perché non cambia <math>F_{\mu\nu}</math>); # le componenti di <math>\vec{\dot{A}}</math> lungo <math>\vec{n}</math> non contribuiscono al valore di <math>B^i</math>; infatti se <math>\dot{A}^k \propto n^k</math> allora <math>B^i \propto -\varepsilon^{ijk} n^j n^k = 0</math> Inoltre, i vettori <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> risultano ortogonali alla direzione di propagazione <math>\vec{n}</math>: <math>\vec{n} \cdot \vec{E} = n^i (n^i n^j - \delta^{ij}) \dot{A}^j = n^j \dot{A}^j - n^j \dot{A}^j = 0</math> <math>\vec{n} \cdot \vec{B} = -n^i \varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k = 0</math> Dunque <math>\vec{E}, \vec{B} \perp \vec{n}</math>. Risulta inoltre: <math>(\vec{n} \times \vec{E})^i = \varepsilon^{ijk} n^j E^k = \varepsilon^{ijk} n^j (n^k n^\ell - \delta^{k\ell}) \dot{A}^\ell = -\varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k = B^i</math> ossia <math>\vec{B} = \vec{n} \times \vec{E}</math>: i campi, oltre a essere ortogonali alla direzione di propagazione, sono ortogonali fra di loro. Infine, poiché <math>|\vec{n}| = 1</math> risulta<ref>Nota: <math>\vec{B} \cdot \vec{E}</math> e <math>|\vec{E}|^2 - |\vec{B}|^2</math> sono proporzionali agli invarianti che si possono costruire con <math>F_{\mu\nu}</math>. In particolare, poiché <math>F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \propto |E|^2 - |B|^2</math>, per un campo elettromagnetico libero si ha <math>F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 0</math>.</ref> <math>|\vec{B}| = |\vec{E}|</math>. == Impulso di un'onda elettromagnetica == Cerchiamo ora di determinare le quantità conservate associate a un'onda elettromagnetica. Queste saranno necessariamente associate al tensore energia-impulso e densità di momento angolare dell'onda. Considerando dunque il primo: <math>T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = F^\mu{}_\alpha F^{\alpha\nu} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta}</math> ma <math>F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} = 0</math> perché <math>|\vec{B}| = |\vec{E}|</math>. Dunque: <math>\begin{align} T^{\mu\nu}_{\text{emg}} &= F^\mu{}_\alpha F^{\alpha\nu} = (n^\mu \dot{A}^\rho - n^\rho \dot{A}^\mu)(n^\nu \dot{A}_\rho - n_\rho \dot{A}^\nu) = n^\mu n^\nu \dot{A}^\rho \dot{A}_\rho = \\ &= n^\mu n^\nu (\dot{A}_i \dot{A}^i - \dot{A}_0 \dot{A}^0) = n^\mu n^\nu (\dot{A}_i \dot{A}^i - n_i \dot{A}^i n_j \dot{A}^j) = \\ &= n^\mu n^\nu \dot{A}_i \dot{A}_j (\delta^{ij} - n^i n^j) = n^\mu n^\nu \left( |\vec{\dot{A}}|^2 - (\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}})^2 \right) \end{align}</math> Possiamo sempre scegliere gli assi di modo che <math>\vec{n} = (0,0,1)</math>; in questo modo: <math>T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu \left[ (\dot{A}_1)^2 + (\dot{A}_2)^2 \right] \qquad \vec{E} = (-\dot{A}_1, -\dot{A}_2, 0) \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu |\vec{E}|^2 = n^\mu n^\nu \frac{|\vec{E}|^2 + |\vec{B}|^2}{2} \quad \Rightarrow \quad T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu W</math> ove abbiamo sfruttato il fatto che <math>|\vec{E}| = |\vec{B}|</math>, e con <math>W = T^{00}_{\text{emg}}</math> abbiamo indicato la densità di energia del campo elettromagnetico. Si avrà dunque che il quadrimomento trasportato dall'onda è: <math>P^\mu = \int T^{\mu0}_{\text{emg}} d^3\vec{x} = \int n^\mu W d^3\vec{x} = n^\mu E</math> con <math>E</math> energia totale dell'onda (ovviamente per un'onda piana si avrebbe <math>E = +\infty</math>, ma abbiamo già detto che le uniche soluzioni fisicamente sensate delle equazioni di Maxwell sono pacchetti d'onde). Poiché dunque <math>n^\mu n_\mu = 0</math>, si avrà <math>P^\mu P_\mu = 0</math>; è per questo che, nella quantizzazione dell'elettrodinamica, si possono associare ai campi particelle (i fotoni) prive di massa. == Momento angolare di un'onda elettromagnetica == L'altra quantità che resterebbe da studiare è il momento angolare: <math>M^{\mu\nu} = x^\mu T^{\nu\rho}_{\text{emg}} - x^\nu T^{\mu\rho}_{\text{emg}}</math> <math>L^{\mu\nu} = \int M^{\mu\nu 0} d^3\vec{x} = \int (x^\mu n^\nu - x^\nu n^\mu) W d^3\vec{x}</math> <math>L^i = -\frac{1}{2} \varepsilon^{ijk} L_{jk} = \int \varepsilon^{ijk} x_j n_k W d^3\vec{x}</math> e se ad esempio <math>\vec{n} = (0,0,1)</math>: <math>L^3 = \int \varepsilon^{3j3} x_j W d^3\vec{x} = 0</math> Sembrerebbe dunque che le onde non trasportino momento angolare nella loro direzione di propagazione. Anche con le altre componenti si ottiene lo stesso risultato: <math>L^1 = \int \varepsilon^{1j3} x_j W d^3\vec{x} = \int \varepsilon^{123} x_2 W d^3\vec{x} = W(z) \int x_2 d^3\vec{x} = 0</math> ove la penultima uguaglianza è dovuta al fatto che in un'onda che si propaga lungo <math>z</math> le sue grandezze (in questo caso <math>W</math>) dipendono solo da <math>z</math>, e analogamente si trova <math>L^2 = 0</math>. Ciò però è falso: le onde elettromagnetiche possono essere polarizzate, e quelle polarizzate circolarmente trasportano momento angolare. Questo problema sorge perché abbiamo fatto il conto non sul tensore che deriva direttamente dal teorema di Noether, ma su quello simmetrico. Abbiamo visto che nella determinazione del tensore energia-impulso simmetrico è fondamentale l'ipotesi che i campi si annullino all'infinito, cosa che le onde piane come già evidenziato non fanno. In realtà, si può vedere che le onde elettromagnetiche trasportano momento angolare lungo la loro direzione di propagazione anche con ragionamenti indiretti, che ora seguiremo. == Stati di polarizzazione di un'onda elettromagnetica == Cominciamo definendo lo stato di polarizzazione di un'onda, che sarà legato alle proprietà del quadrivettore <math>\varepsilon_\mu</math>. Ricordando che nella gauge di Lorenz si ha <math>k^\mu \varepsilon_\mu(\vec{k}) = 0</math>, e supponendo che l'onda si propaghi lungo <math>z</math>, allora <math>k_\mu = |\vec{k}|(1,0,0,1)</math> (in questo modo <math>k^\mu k_\mu = 0</math>) e dunque: <math>\varepsilon_\mu = (\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^3) \quad \Rightarrow \quad k^\mu \varepsilon_\mu = |\vec{k}|(\varepsilon^0 - \varepsilon^3) \stackrel{!}{=} 0 \quad \Rightarrow \quad \varepsilon^0 = \varepsilon^3</math> e quindi: <math>\varepsilon_\mu = (\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^0) = \underbrace{\frac{\varepsilon^0}{|\vec{k}|} k_\mu}_{:= \varepsilon^\text{L}_\mu} + \underbrace{(0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, 0)}_{:= \varepsilon^\text{T}_\mu}</math> ove <math>\varepsilon^\text{L}_\mu</math> è la parte longitudinale (ossia diretta come <math>k_\mu</math>) e <math>\varepsilon^\text{T}_\mu</math> quella trasversa del vettore di polarizzazione <math>\varepsilon_\mu</math>. Di queste due, l'unica fisicamente rilevante è quella trasversa, perché quella longitudinale può essere eliminata con un'opportuna trasformazione di gauge: <math>\varepsilon_\mu \to \varepsilon_\mu + \alpha(\vec{k}) k_\mu \qquad \alpha(\vec{k}) := -\frac{\varepsilon^0(\vec{k})}{|\vec{k}|} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon_\mu \to \varepsilon^\text{T}_\mu</math> Sono dunque solo <math>\varepsilon^1</math> e <math>\varepsilon^2</math> che determinano lo stato di polarizzazione dell'onda. Vediamo dunque quali possono essere i possibili stati di polarizzazione per un'onda elettromagnetica. Inserendo l'espressione del quaripotenziale di un'onda elementare: <math>A_\mu(x) = \varepsilon_\mu(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^0=|\vec{k}|}</math> in <math>\vec{E} = \vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}}) - \vec{\dot{A}}</math>, si ha: <math>\vec{E} = \vec{\mathcal{E}} e^{-ikx} + \text{c.c.}</math> con <math>\vec{\mathcal{E}}</math> vettore complesso tale che <math>\vec{\mathcal{E}} \cdot \vec{n} = 0</math>, dunque <math>\vec{\mathcal{E}} \propto \vec{\varepsilon}_\text{T}</math>. Scegliamo dunque due versori <math>\vec{e}_1</math> e <math>\vec{e}_2</math> ortogonali a <math>\vec{n}</math> e fra di loro. In questo modo (<math>\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2 \in \mathbb{C}</math>, e l'<math>1/2</math> compare per convenienza): <math>\vec{\mathcal{E}} = \frac{1}{2} (\mathcal{E}_1 \vec{e}_1 + \mathcal{E}_2 \vec{e}_2) = \frac{1}{2} e^{i\tilde{\delta}} (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + e^{i\delta} |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2)</math> con <math>\tilde{\delta}</math> fase di <math>\mathcal{E}_1</math> e <math>\delta</math> differenza di fase fra <math>\mathcal{E}_2</math> e <math>\mathcal{E}_1</math>. Tuttavia <math>\tilde{\delta}</math> è irrilevante, perché: <math>\vec{E} = \frac{1}{2} e^{i\tilde{\delta}} e^{-ikx} (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + e^{i\delta} |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2) + \text{c.c.}</math> e dunque ridefinendo l'origine dei tempi (<math>x^0 \to x^0 - \tilde{\delta}/k^0</math>) si può porre <math>\tilde{\delta} = 0</math>. Dunque: <math>\vec{E} = |\mathcal{E}_1| \cos(kx) \vec{e}_1 + |\mathcal{E}_2| \cos(kx + \delta) \vec{e}_2</math> I casi possibili sono quindi: <math>\delta = 0</math> allora: <math>\vec{E} = (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2) \cos(kx)</math> e dunque in ogni istante <math>\vec{E}</math> oscilla lungo la stessa direzione: il campo si dice polarizzato linearmente <math>\delta = \pm \pi/2</math>, <math>|\mathcal{E}_1| = |\mathcal{E}_2|</math> in questo caso: <math>\vec{E} = |\mathcal{E}_1| (\cos(kx) \vec{e}_1 \mp \sin(kx) \vec{e}_2)</math> e dunque al variare di <math>x</math>, <math>\vec{E}</math> descrive un cerchio, in senso orario o antiorario a seconda se <math>\delta = +\pi/2</math> o <math>\delta = -\pi/2</math>: il campo si dice polarizzato circolarmente (destro o sinistro). Nel caso in cui un'onda sia polarizzata circolarmente, allora: <math>\varepsilon^\text{T}_\mu \propto (0, 1, \pm i, 0)</math> Ciò che vogliamo dunque mostrare è che un'onda polarizzata circolarmente trasporta momento angolare nella direzione di propagazione (si dice anche che porta elicità), e che può assumere valori <math>+1</math> o <math>-1</math>. Mostriamolo in un contesto più generale, ossia considerando anche il caso delle onde gravitazionali. == Onde gravitazionali == Il campo gravitazionale (nel limite in cui questo sia debole) è descritto dal tensore simmetrico <math>H_{\mu\nu}(x)</math> (così come il campo elettromagnetico è descritto da <math>A_\mu(x)</math>). Fisicamente, <math>H_{\mu\nu}</math> rappresenta le piccole deformazioni della metrica dello spaziotempo rispetto alla metrica di Minkowski dovute alla gravità. Se c'è campo gravitazionale, infatti, la metrica dello spaziotempo è: <math>ds^2 = g_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu</math> con <math>g_{\mu\nu}</math> funzione di <math>x</math> e simmetrico in <math>\mu</math> e <math>\nu</math>. Quando il campo gravitazionale è molto debole (ossia a grandi distanze dalle sorgenti): <math>g_{\mu\nu}(x) \simeq \eta_{\mu\nu} + \left( H_{\mu\nu}(x) - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} H^\rho_\rho(x) \right) + O(H^2)</math> In analogia con le onde elettromagnetiche, le equazioni differenziali a cui <math>H</math> dovrà obbedire saranno: <math>\Box H_{\mu\nu} = 0 \qquad \partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math> Se fossimo in presenza di sorgenti, si dovrebbe avere <math>\Box H_{\mu\nu} = 16\pi G T_{\mu\nu}</math> con <math>T_{\mu\nu}</math> tensore energia-impulso (altro motivo in più perché <math>T_{\mu\nu}</math> dev'essere simmetrico). Inoltre, <math>H_{\mu\nu}</math> è legato al potenziale gravitazionale classico <math>\varphi</math> da: <math>\varphi = -\frac{1}{4} H_{00}</math> e ciò accade perché nel caso newtoniano <math>v \ll 1</math>, e risulta <math>T_{00} \gg T_{ij}</math> (infatti <math>T^P_\mu \propto \sum_p \frac{p_\mu p_\nu}{E} \delta^{(3)} \Rightarrow T^P_{00} \propto m</math>, <math>T^P_{0i} \propto p_i \propto mv_i</math>). Per semplice analogia con l'elettromagnetismo possiamo scrivere le equazioni differenziali che descrivono il campo gravitazionale: <math>\Box H_{\mu\nu} = 0 \qquad \partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math> ove la seconda equazione fissa univocamente la gauge del campo, come vedremo fra poco. Sappiamo dunque che se il campo gravitazionale è debole: <math>g_{\mu\nu} \simeq \eta_{\mu\nu} + H_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} H^\rho_\rho + O(H^2)</math> In relatività speciale il gruppo di simmetria "naturale" è l'insieme delle trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la metrica, ossia il gruppo di Poincaré; in relatività generale, invece, questo gruppo è molto più ampio: si possono considerare trasformazioni qualsiasi delle coordinate <math>x^\mu \to \tilde{x}^\mu</math>, detti diffeomorfismi. Se dunque in relatività speciale le trasformazioni erano definite complessivamente da 10 parametri, adesso ci sono infiniti gradi di libertà, e possiamo intendere questo fatto come una sorta di invarianza di gauge. Abbiamo, insomma, che le <math>\tilde{x}^\mu</math> sono le trasformazioni di gauge della relatività generale (non vediamo come agiscono sui campi perché è troppo complicato). Affinché in relatività generale il <math>ds^2</math> sia invariante sarà dunque necessario che anche <math>g_{\mu\nu}(x)</math> trasformi in modo ben preciso (che non ricaveremo) sotto <math>\tilde{x}^\mu</math>. L'equazione <math>\partial^\mu H_{\mu\nu}</math> è quindi proprio la condizione che poniamo per fissare questa gauge. Dobbiamo anche tenere in conto che, come già detto, le equazioni che abbiamo scritto non sono le equazioni esatte del campo gravitazionale, ma una loro approssimazione per campi deboli: l'elettromagnetismo è infatti lineare, mentre la gravità no (nell'espressione di <math>H_{\mu\nu}</math> compaiono infatti termini <math>O(H^2)</math>). L'origine fisica di questa differenza fra campo elettromagnetico e gravitazionale risiede nel fatto che il campo elettromagnetico non è "carico", mentre quello gravitazionale lo è. Spieghiamo meglio cosa intendiamo con quest'ultima affermazione: il campo elettromagnetico è generato da cariche, ma non trasporta carica elettrica, nel senso che fra le varie quantità che si possono associare a questo tipo di campo (quantità di moto, momento angolare ecc.) la carica elettrica non compare; da un punto di vista quantistico, ciò significa che i mediatori di questo campo, i fotoni, non hanno carica. Il campo gravitazionale, invece, è generato da massa, che è equivalente all'energia, e il campo gravitazionale (come tutti i campi in una teoria relativistica, grazie al teorema di Noether) trasporta esso stesso energia: <math>H_{\mu\nu}</math>, dunque, influisce su sé stesso modificando la struttura stessa del campo, che non risulta più lineare. Considerando l'equazione <math>\Box H_{\mu\nu} = 0</math>, sappiamo dunque che <math>H_{\mu\nu}</math> è sovrapposizione di onde elementari (ossia piane monocromatiche): <math>H_{\mu\nu}(x) = \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^\mu k_\mu = 0}</math> ove <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> è detto tensore di polarizzazione. Ponendo <math>\partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math>, dunque, risulta <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) = 0</math>. Anche in questo caso, inoltre, dobbiamo considerare le possibili trasformazioni di gauge residue: <math>\varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) \to \tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}(\vec{k}) = \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) + k_\mu \xi_\nu(\vec{k}) + k_\nu \xi_\mu(\vec{k}) \underbrace{- \eta_{\mu\nu} k^\rho \xi_\rho}_{\displaystyle := A}</math> ove <math>A</math> è stato inserito affinché <math>\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}</math> sia simmetrico (infatti <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> lo è perché tale è <math>H_{\mu\nu}</math>), e l'ultimo addendo serve affinché <math>\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}</math> soddisfi ancora la condizione di gauge: <math>\begin{align} k^\mu \tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}(\vec{k}) &= k^\mu \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) + k^\mu k_\mu \xi_\nu(\vec{k}) + k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) - k_\nu k^\rho \xi_\rho(\vec{k}) k^\mu = \\ &= k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) - k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) = 0 \end{align}</math> Ci chiediamo dunque: un campo del genere quanti gradi di libertà ha? Sono le componenti di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math>, che sono 10 funzioni complesse (poiché è simmetrico) delle tre variabili <math>\vec{k}</math>. Si deve poi avere <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu} = 0</math>, che sono quattro vincoli (uno per ogni valore di <math>\nu</math>); pertanto <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> è composto da 10-4=6 funzioni complesse indipendenti. Poiché inoltre ci sono quattro trasformazioni di gauge residue (corrispondenti alle quattro funzioni <math>\xi_\mu</math>), rimangono 6-4=2 funzioni complesse indipendenti che compongono <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math>, ossia <math>H_{\mu\nu}</math> ha due gradi di libertà, proprio come il campo elettromagnetico. Scegliamo dunque gli assi di modo che <math>k_\mu = \omega(1,0,0,1)</math>, ove <math>\omega = |\vec{k}|</math>. In questo modo da <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu} = 0</math> segue che <math>\varepsilon_{0\nu} = \varepsilon_{3\nu}</math> <math>\forall \nu</math>. Pertanto, le componenti indipendenti di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> sono tutte quelle dove non compare l'indice 3; vediamo quali di queste possono essere eliminate per l'invarianza di gauge. Poniamo $\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu} = \varepsilon_{\mu\nu} + \delta\varepsilon_{\mu\nu}$; allora: <math>\delta\varepsilon_{00} = \omega(\xi_0 + \xi_3) \qquad \delta\varepsilon_{01} = \omega\xi_1 \qquad \delta\varepsilon_{02} = \omega\xi_2</math> <math>\delta\varepsilon_{11} = \omega(\xi_0 - \xi_3) \qquad \delta\varepsilon_{12} = 0 \qquad \delta\varepsilon_{22} = \omega(\xi_0 - \xi_3)</math> Scegliendo opportunamente <math>\xi_1</math> e <math>\xi_2</math>, quindi, si può sempre porre<ref>Attenzione: dovremmo scrivere in realtà, ad esempio, <math>\varepsilon'_{01} = 0</math>; tuttavia, poiché <math>\varepsilon_{01}</math> e <math>\varepsilon'_{01}</math> sono collegati da una trasformazione di gauge, sono fisicamente equivalenti, e dunque si può porre direttamente <math>\varepsilon_{01} = 0</math>.</ref> <math>\varepsilon_{01} = \varepsilon_{02} = 0</math>; analogamente, scegliendo opportunamente <math>\xi_0</math> e <math>\xi_3</math>, si può porre <math>\varepsilon_{00} = 0</math> e <math>\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} = 0</math>. In generale, invece, <math>\varepsilon_{12} \neq 0</math>. I gradi di libertà che abbiamo a disposizione sono dunque <math>\varepsilon_{12}</math> e <math>\varepsilon_{11}</math> (fissato quest'ultimo, anche <math>\varepsilon_{22}</math> è automaticamente fissato dalla relazione appena vista). Pertanto: <math>\varepsilon_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\ 0 & \varepsilon_{12} & -\varepsilon_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> == Elicità == Mostriamo ora che, in generale, i campi elettromagnetico e gravitazionale trasportano momento angolare, detto elicità. Consideriamo dunque tre tipi di campo: scalare, quadrivettoriale e quadritensoriale. Ad ognuno di essi sarà associato, rispettivamente, un campo scalare <math>\varepsilon(\vec{k})</math>, uno quadrivettoriale <math>\varepsilon_\mu(\vec{k})</math> e uno quadritensoriale <math>\varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k})</math>. Sotto trasformazioni di Lorentz si avrà: <math>k'_\mu = \Lambda^\nu_\mu k_\nu</math> <math>\varepsilon'(k') = \varepsilon(k)</math> <math>\varepsilon'_\mu(k') = \Lambda^\nu_\mu \varepsilon_\nu(k) \qquad \varepsilon'_{\mu\nu}(k') = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \varepsilon_{\rho\sigma}(k)</math> e queste trasformazioni agiscono su uno spazio vettoriale di dimensione infinita (<math>\varepsilon</math> è infatti una funzione di <math>k</math>). Consideriamo ora il sottogruppo del gruppo di Lorentz, spesso detto piccolo gruppo, formato dalle matrici <math>\Lambda</math> tali che: <math>k'_\mu = k_\mu \Leftrightarrow \Lambda^\nu_\mu k_\nu = k_\mu</math> ove <math>k_\mu</math> è un quadrivettore fissato. Se dunque <math>\Lambda</math> appartiene al piccolo gruppo, le leggi di trasformazione dei tensori di polarizzazione saranno: <math>\varepsilon'(k) = \varepsilon(k) \qquad \varepsilon'_\mu(k) = \Lambda^\nu_\mu \varepsilon_\nu(k) \qquad \varepsilon'_{\mu\nu}(k) = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \varepsilon_{\rho\sigma}(k)</math> pertanto, <math>\varepsilon</math> forma una rappresentazione finito-dimensionale del piccolo gruppo, o in altre parole le coordinate dei tensori di polarizzazione trasformano linearmente fra loro. Si può dimostrare che, note le trasformazioni del piccolo gruppo, si possono ricostruire tutte le trasformazioni possibili. Studiamo dunque com'è fatto il piccolo gruppo in casi particolari. Ne distinguiamo due: <math>k^2 = m^2 \neq 0</math> in questo caso esiste sempre un sistema di riferimento nel quale si ha: <math>k_\mu = m(1,0,0,0)</math> Dunque, le trasformazioni di Lorentz che agendo su <math>k_\mu</math> non lo cambiano (in altre parole, le trasformazioni del piccolo gruppo) dovranno essere tali che: <math>k'_\mu = k_\mu \Rightarrow \Lambda^0_i = 0 \text{ per } i \neq 0; \quad \Lambda^i_0 = 0 \text{ per } i \neq 0</math> Dunque: <math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & & & \\ 0 & & R & \\ 0 & & & \end{pmatrix}</math> con <math>R</math> matrice di rotazione tridimensionale. <math>k^2 = 0</math> possiamo allora scegliere gli assi di modo che <math>k_\mu = \omega(1,0,0,1)</math>. Pertanto: <math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi & \sin\varphi & 0 \\ 0 & -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> Infatti, in questo modo, la rotazione coinvolge solo le componenti 1 e 2 di <math>k</math>, che sono nulle, e pertanto <math>k</math> non viene alterato. In realtà esisterebbero altri due tipi di trasformazione che appartengono al piccolo gruppo, ma le ignoriamo in quanto non hanno significato fisico. Vogliamo dunque capire come trasformi <math>\varepsilon</math> sotto il piccolo gruppo. Se infatti <math>\varepsilon_\mu</math> è ad esempio un vettore di polarizzazione che sotto queste trasformazioni cambia nel seguente modo: <math>\varepsilon_\mu(k) \xrightarrow{\Lambda} \varepsilon_\mu(k) e^{in\varphi}</math> si dice che il campo ha elicità <math>n</math>, che è la componente lungo <math>z</math> del momento angolare trasportato dall'onda<ref>In realtà ciò non è evidente e infatti non lo si può vedere a questo livello della trattazione, perché è collegato con l'elettrodinamica quantistica. In breve, si può mostrare che se un campo ha elicità <math>n</math> allora i suoi mediatori (i fotoni nel caso dell'elettromagnetismo, ad esempio) hanno spin <math>n</math>.</ref>. Calcoliamo dunque quanto vale l'elicità per i vari tipi di campo che stiamo considerando: '''campo scalare''' Si ha: <math>\varepsilon(k) \to \varepsilon(k) \quad \Rightarrow \quad n = 0</math> Pertanto, i campi scalari non hanno elicità, ossia non trasportano momento angolare. '''campo elettromagnetico''' Sappiamo che possiamo scrivere: <math>\varepsilon_\mu = \underbrace{\varepsilon^0(1,0,0,1)}_{\varepsilon^\text{L}_\mu} + \underbrace{(0,\varepsilon^1,\varepsilon^2,0)}_{\varepsilon^\text{T}_\mu}</math> Dunque: <math>\varepsilon^0 \to {\varepsilon'}^0 = \varepsilon^0 \quad \Rightarrow \quad {\varepsilon'}^\text{L}_\mu = \varepsilon^\text{L}_\mu \quad \Rightarrow \quad n = 0</math> che effettivamente è un risultato inutile in quanto <math>\varepsilon^0</math> non ha significato fisico. Inoltre: <math>{\varepsilon'}^1 = \cos\varphi \varepsilon^1 + \sin\varphi \varepsilon^2</math> <math>{\varepsilon'}^2 = -\sin\varphi \varepsilon^1 + \cos\varphi \varepsilon^2</math> Cerchiamo dunque una base di autovettori che diagonalizzi questa trasformazione. Si determina che questa base è: <math>\varepsilon^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \pm i \\ 0 \end{pmatrix}</math> Dunque: <math>{\varepsilon'}^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\pm i\varphi} \\ \pm ie^{\pm i\varphi} \\ 0 \end{pmatrix} = e^{\pm i\varphi} \varepsilon^{(\pm)}_\text{T}</math> Pertanto <math>n = \pm 1</math>: il campo elettromagnetico ha elicità <math>\pm 1</math>. Notiamo anche che <math>\varepsilon^{(\pm)}_\text{T}</math> corrispondono ai vettori di polarizzazione di un'onda polarizzata circolarmente. Possiamo dunque concludere che il campo elettromagnetico, se polarizzato circolarmente, trasporta momento angolare. '''campo gravitazionale''' Abbiamo visto che come componenti fisiche di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> possiamo usare <math>\varepsilon_{11}</math> e <math>\varepsilon_{12}</math>. Dunque: <math>\begin{align} {\varepsilon'}_{11} &= \cos^2\varphi \varepsilon_{11} + 2\cos\varphi\sin\varphi \varepsilon_{12} + \sin^2\varphi \varepsilon_{22} \underbrace{= -\varepsilon_{11}} = \\ &= (\cos^2\varphi - \sin^2\varphi)\varepsilon_{11} + 2\cos\varphi\sin\varphi \varepsilon_{12} = \cos(2\varphi)\varepsilon_{11} + \sin(2\varphi)\varepsilon_{12} \end{align}</math> Analogamente: <math>{\varepsilon'}_{12} = \cos(2\varphi)\varepsilon_{12} - \sin(2\varphi)\varepsilon_{11}</math> Gli autovettori della trasformazione sono gli stessi di prima, perciò: <math>{\varepsilon'}^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\pm i2\varphi} \\ \pm ie^{\pm i2\varphi} \\ 0 \end{pmatrix} = e^{\pm i2\varphi} \varepsilon^{(\pm)}_\text{T} \quad \Rightarrow \quad n = \pm 2</math> Il campo gravitazionale ha dunque elicità <math>\pm 2</math>. == Note == <references/> {{Avanzamento|100%|7 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Espressione esplicita dei campi in un&#39;onda elettromagnetica]] 55dep5id450ttimy45hdrvjewzamb0w 499059 499053 2026-06-07T16:26:50Z Hippias 18281 /* Impulso di un'onda elettromagnetica */ 499059 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Calcoliamo dunque l'espressione di <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> per un'onda elettromagnetica elementare. Innanzitutto: <math>F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = n^\mu \dot{A}^\nu - n^\nu \dot{A}^\mu</math> Dunque per il campo elettrico si avrà: <math>E^i = F^{i0} = n^i \dot{A}^0 - n^0 \dot{A}^i = n^i n^j \dot{A}^j - \dot{A}^i = \underbrace{(n^i n^j - \delta^{ij})}_{:= P^{ij}} \dot{A}_j</math> <math>\Rightarrow \quad \vec{E} = \vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}}) - \vec{\dot{A}} = -\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{\dot{A}})</math> ove <math>P^{ij}</math> è il proiettore sul sottospazio ortogonale a <math>n^i</math>; infatti <math>P^{ij} n^j = n^i n^j n^j - n^i = n^i - n^i = 0</math>. Per quanto riguarda il campo magnetico, invece: <math>B^i = -\frac{1}{2} \varepsilon^{ijk} F^{jk} = -\varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k \quad \Rightarrow \quad \vec{B} = -\vec{n} \times \vec{\dot{A}}</math> Notiamo dunque che: # una trasformazione di gauge non cambia i campi elettrico e magnetico (perché non cambia <math>F_{\mu\nu}</math>); # le componenti di <math>\vec{\dot{A}}</math> lungo <math>\vec{n}</math> non contribuiscono al valore di <math>B^i</math>; infatti se <math>\dot{A}^k \propto n^k</math> allora <math>B^i \propto -\varepsilon^{ijk} n^j n^k = 0</math> Inoltre, i vettori <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> risultano ortogonali alla direzione di propagazione <math>\vec{n}</math>: <math>\vec{n} \cdot \vec{E} = n^i (n^i n^j - \delta^{ij}) \dot{A}^j = n^j \dot{A}^j - n^j \dot{A}^j = 0</math> <math>\vec{n} \cdot \vec{B} = -n^i \varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k = 0</math> Dunque <math>\vec{E}, \vec{B} \perp \vec{n}</math>. Risulta inoltre: <math>(\vec{n} \times \vec{E})^i = \varepsilon^{ijk} n^j E^k = \varepsilon^{ijk} n^j (n^k n^\ell - \delta^{k\ell}) \dot{A}^\ell = -\varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k = B^i</math> ossia <math>\vec{B} = \vec{n} \times \vec{E}</math>: i campi, oltre a essere ortogonali alla direzione di propagazione, sono ortogonali fra di loro. Infine, poiché <math>|\vec{n}| = 1</math> risulta<ref>Nota: <math>\vec{B} \cdot \vec{E}</math> e <math>|\vec{E}|^2 - |\vec{B}|^2</math> sono proporzionali agli invarianti che si possono costruire con <math>F_{\mu\nu}</math>. In particolare, poiché <math>F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \propto |E|^2 - |B|^2</math>, per un campo elettromagnetico libero si ha <math>F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 0</math>.</ref> <math>|\vec{B}| = |\vec{E}|</math>. == Impulso di un'onda elettromagnetica == Cerchiamo ora di determinare le quantità conservate associate a un'onda elettromagnetica. Queste saranno necessariamente associate al tensore energia-impulso e densità di momento angolare dell'onda. Considerando dunque il primo: <math>T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = F^\mu{}_\alpha F^{\alpha\nu} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta}</math> ma <math>F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} = 0</math> perché <math>|\vec{B}| = |\vec{E}|</math>. Dunque: <math>\begin{align} T^{\mu\nu}_{\text{emg}} &= F^\mu{}_\alpha F^{\alpha\nu} = (n^\mu \dot{A}_\alpha - n_\alpha \dot{A}^\mu)(n^\alpha \dot{A}^\nu - n^\nu \dot{A}^\alpha) = n^\mu n^\nu \dot{A}_\alpha \dot{A}^\alpha = \\ &= n^\mu n^\nu (\dot{A}^i \dot{A}^i - \dot{A}^0 \dot{A}^0) = n^\mu n^\nu (\dot{A}^i \dot{A}^i - n^i \dot{A}^i n^j \dot{A}^j) = \\ &= n^\mu n^\nu \dot{A}^i \dot{A}^j (\delta^{ij} - n^i n^j) = n^\mu n^\nu \left( |\vec{\dot{A}}|^2 - (\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}})^2 \right) \end{align}</math> Possiamo sempre scegliere gli assi di modo che <math>\vec{n} = (0,0,1)</math>; in questo modo: <math>T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu \left[ (\dot{A}^1)^2 + (\dot{A}^2)^2 \right] \qquad \vec{E} = (-\dot{A}^1, -\dot{A}^2, 0) \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu |\vec{E}|^2 = n^\mu n^\nu \frac{|\vec{E}|^2 + |\vec{B}|^2}{2} \quad \Rightarrow \quad T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu W</math> ove abbiamo sfruttato il fatto che <math>|\vec{E}| = |\vec{B}|</math>, e con <math>W = T^{00}_{\text{emg}}</math> abbiamo indicato la densità di energia del campo elettromagnetico. Si avrà dunque che il quadrimomento trasportato dall'onda è: <math>P^\mu = \int T^{\mu0}_{\text{emg}} d^3\vec{x} = \int n^\mu W d^3\vec{x} = n^\mu \mathcal{E}</math> con <math>\mathcal{E}</math> energia totale dell'onda (ovviamente per un'onda piana si avrebbe <math>\mathcal{E} = +\infty</math>, ma abbiamo già detto che le uniche soluzioni fisicamente sensate delle equazioni di Maxwell sono pacchetti d'onde). Poiché dunque <math>n_\mu n^\mu = 0</math>, si avrà <math>P^\mu P_\mu = 0</math>; è per questo che, nella quantizzazione dell'elettrodinamica, si possono associare ai campi particelle (i fotoni) prive di massa. == Momento angolare di un'onda elettromagnetica == L'altra quantità che resterebbe da studiare è il momento angolare: <math>M^{\mu\nu} = x^\mu T^{\nu\rho}_{\text{emg}} - x^\nu T^{\mu\rho}_{\text{emg}}</math> <math>L^{\mu\nu} = \int M^{\mu\nu 0} d^3\vec{x} = \int (x^\mu n^\nu - x^\nu n^\mu) W d^3\vec{x}</math> <math>L^i = -\frac{1}{2} \varepsilon^{ijk} L_{jk} = \int \varepsilon^{ijk} x_j n_k W d^3\vec{x}</math> e se ad esempio <math>\vec{n} = (0,0,1)</math>: <math>L^3 = \int \varepsilon^{3j3} x_j W d^3\vec{x} = 0</math> Sembrerebbe dunque che le onde non trasportino momento angolare nella loro direzione di propagazione. Anche con le altre componenti si ottiene lo stesso risultato: <math>L^1 = \int \varepsilon^{1j3} x_j W d^3\vec{x} = \int \varepsilon^{123} x_2 W d^3\vec{x} = W(z) \int x_2 d^3\vec{x} = 0</math> ove la penultima uguaglianza è dovuta al fatto che in un'onda che si propaga lungo <math>z</math> le sue grandezze (in questo caso <math>W</math>) dipendono solo da <math>z</math>, e analogamente si trova <math>L^2 = 0</math>. Ciò però è falso: le onde elettromagnetiche possono essere polarizzate, e quelle polarizzate circolarmente trasportano momento angolare. Questo problema sorge perché abbiamo fatto il conto non sul tensore che deriva direttamente dal teorema di Noether, ma su quello simmetrico. Abbiamo visto che nella determinazione del tensore energia-impulso simmetrico è fondamentale l'ipotesi che i campi si annullino all'infinito, cosa che le onde piane come già evidenziato non fanno. In realtà, si può vedere che le onde elettromagnetiche trasportano momento angolare lungo la loro direzione di propagazione anche con ragionamenti indiretti, che ora seguiremo. == Stati di polarizzazione di un'onda elettromagnetica == Cominciamo definendo lo stato di polarizzazione di un'onda, che sarà legato alle proprietà del quadrivettore <math>\varepsilon_\mu</math>. Ricordando che nella gauge di Lorenz si ha <math>k^\mu \varepsilon_\mu(\vec{k}) = 0</math>, e supponendo che l'onda si propaghi lungo <math>z</math>, allora <math>k_\mu = |\vec{k}|(1,0,0,1)</math> (in questo modo <math>k^\mu k_\mu = 0</math>) e dunque: <math>\varepsilon_\mu = (\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^3) \quad \Rightarrow \quad k^\mu \varepsilon_\mu = |\vec{k}|(\varepsilon^0 - \varepsilon^3) \stackrel{!}{=} 0 \quad \Rightarrow \quad \varepsilon^0 = \varepsilon^3</math> e quindi: <math>\varepsilon_\mu = (\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^0) = \underbrace{\frac{\varepsilon^0}{|\vec{k}|} k_\mu}_{:= \varepsilon^\text{L}_\mu} + \underbrace{(0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, 0)}_{:= \varepsilon^\text{T}_\mu}</math> ove <math>\varepsilon^\text{L}_\mu</math> è la parte longitudinale (ossia diretta come <math>k_\mu</math>) e <math>\varepsilon^\text{T}_\mu</math> quella trasversa del vettore di polarizzazione <math>\varepsilon_\mu</math>. Di queste due, l'unica fisicamente rilevante è quella trasversa, perché quella longitudinale può essere eliminata con un'opportuna trasformazione di gauge: <math>\varepsilon_\mu \to \varepsilon_\mu + \alpha(\vec{k}) k_\mu \qquad \alpha(\vec{k}) := -\frac{\varepsilon^0(\vec{k})}{|\vec{k}|} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon_\mu \to \varepsilon^\text{T}_\mu</math> Sono dunque solo <math>\varepsilon^1</math> e <math>\varepsilon^2</math> che determinano lo stato di polarizzazione dell'onda. Vediamo dunque quali possono essere i possibili stati di polarizzazione per un'onda elettromagnetica. Inserendo l'espressione del quaripotenziale di un'onda elementare: <math>A_\mu(x) = \varepsilon_\mu(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^0=|\vec{k}|}</math> in <math>\vec{E} = \vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}}) - \vec{\dot{A}}</math>, si ha: <math>\vec{E} = \vec{\mathcal{E}} e^{-ikx} + \text{c.c.}</math> con <math>\vec{\mathcal{E}}</math> vettore complesso tale che <math>\vec{\mathcal{E}} \cdot \vec{n} = 0</math>, dunque <math>\vec{\mathcal{E}} \propto \vec{\varepsilon}_\text{T}</math>. Scegliamo dunque due versori <math>\vec{e}_1</math> e <math>\vec{e}_2</math> ortogonali a <math>\vec{n}</math> e fra di loro. In questo modo (<math>\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2 \in \mathbb{C}</math>, e l'<math>1/2</math> compare per convenienza): <math>\vec{\mathcal{E}} = \frac{1}{2} (\mathcal{E}_1 \vec{e}_1 + \mathcal{E}_2 \vec{e}_2) = \frac{1}{2} e^{i\tilde{\delta}} (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + e^{i\delta} |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2)</math> con <math>\tilde{\delta}</math> fase di <math>\mathcal{E}_1</math> e <math>\delta</math> differenza di fase fra <math>\mathcal{E}_2</math> e <math>\mathcal{E}_1</math>. Tuttavia <math>\tilde{\delta}</math> è irrilevante, perché: <math>\vec{E} = \frac{1}{2} e^{i\tilde{\delta}} e^{-ikx} (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + e^{i\delta} |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2) + \text{c.c.}</math> e dunque ridefinendo l'origine dei tempi (<math>x^0 \to x^0 - \tilde{\delta}/k^0</math>) si può porre <math>\tilde{\delta} = 0</math>. Dunque: <math>\vec{E} = |\mathcal{E}_1| \cos(kx) \vec{e}_1 + |\mathcal{E}_2| \cos(kx + \delta) \vec{e}_2</math> I casi possibili sono quindi: <math>\delta = 0</math> allora: <math>\vec{E} = (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2) \cos(kx)</math> e dunque in ogni istante <math>\vec{E}</math> oscilla lungo la stessa direzione: il campo si dice polarizzato linearmente <math>\delta = \pm \pi/2</math>, <math>|\mathcal{E}_1| = |\mathcal{E}_2|</math> in questo caso: <math>\vec{E} = |\mathcal{E}_1| (\cos(kx) \vec{e}_1 \mp \sin(kx) \vec{e}_2)</math> e dunque al variare di <math>x</math>, <math>\vec{E}</math> descrive un cerchio, in senso orario o antiorario a seconda se <math>\delta = +\pi/2</math> o <math>\delta = -\pi/2</math>: il campo si dice polarizzato circolarmente (destro o sinistro). Nel caso in cui un'onda sia polarizzata circolarmente, allora: <math>\varepsilon^\text{T}_\mu \propto (0, 1, \pm i, 0)</math> Ciò che vogliamo dunque mostrare è che un'onda polarizzata circolarmente trasporta momento angolare nella direzione di propagazione (si dice anche che porta elicità), e che può assumere valori <math>+1</math> o <math>-1</math>. Mostriamolo in un contesto più generale, ossia considerando anche il caso delle onde gravitazionali. == Onde gravitazionali == Il campo gravitazionale (nel limite in cui questo sia debole) è descritto dal tensore simmetrico <math>H_{\mu\nu}(x)</math> (così come il campo elettromagnetico è descritto da <math>A_\mu(x)</math>). Fisicamente, <math>H_{\mu\nu}</math> rappresenta le piccole deformazioni della metrica dello spaziotempo rispetto alla metrica di Minkowski dovute alla gravità. Se c'è campo gravitazionale, infatti, la metrica dello spaziotempo è: <math>ds^2 = g_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu</math> con <math>g_{\mu\nu}</math> funzione di <math>x</math> e simmetrico in <math>\mu</math> e <math>\nu</math>. Quando il campo gravitazionale è molto debole (ossia a grandi distanze dalle sorgenti): <math>g_{\mu\nu}(x) \simeq \eta_{\mu\nu} + \left( H_{\mu\nu}(x) - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} H^\rho_\rho(x) \right) + O(H^2)</math> In analogia con le onde elettromagnetiche, le equazioni differenziali a cui <math>H</math> dovrà obbedire saranno: <math>\Box H_{\mu\nu} = 0 \qquad \partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math> Se fossimo in presenza di sorgenti, si dovrebbe avere <math>\Box H_{\mu\nu} = 16\pi G T_{\mu\nu}</math> con <math>T_{\mu\nu}</math> tensore energia-impulso (altro motivo in più perché <math>T_{\mu\nu}</math> dev'essere simmetrico). Inoltre, <math>H_{\mu\nu}</math> è legato al potenziale gravitazionale classico <math>\varphi</math> da: <math>\varphi = -\frac{1}{4} H_{00}</math> e ciò accade perché nel caso newtoniano <math>v \ll 1</math>, e risulta <math>T_{00} \gg T_{ij}</math> (infatti <math>T^P_\mu \propto \sum_p \frac{p_\mu p_\nu}{E} \delta^{(3)} \Rightarrow T^P_{00} \propto m</math>, <math>T^P_{0i} \propto p_i \propto mv_i</math>). Per semplice analogia con l'elettromagnetismo possiamo scrivere le equazioni differenziali che descrivono il campo gravitazionale: <math>\Box H_{\mu\nu} = 0 \qquad \partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math> ove la seconda equazione fissa univocamente la gauge del campo, come vedremo fra poco. Sappiamo dunque che se il campo gravitazionale è debole: <math>g_{\mu\nu} \simeq \eta_{\mu\nu} + H_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} H^\rho_\rho + O(H^2)</math> In relatività speciale il gruppo di simmetria "naturale" è l'insieme delle trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la metrica, ossia il gruppo di Poincaré; in relatività generale, invece, questo gruppo è molto più ampio: si possono considerare trasformazioni qualsiasi delle coordinate <math>x^\mu \to \tilde{x}^\mu</math>, detti diffeomorfismi. Se dunque in relatività speciale le trasformazioni erano definite complessivamente da 10 parametri, adesso ci sono infiniti gradi di libertà, e possiamo intendere questo fatto come una sorta di invarianza di gauge. Abbiamo, insomma, che le <math>\tilde{x}^\mu</math> sono le trasformazioni di gauge della relatività generale (non vediamo come agiscono sui campi perché è troppo complicato). Affinché in relatività generale il <math>ds^2</math> sia invariante sarà dunque necessario che anche <math>g_{\mu\nu}(x)</math> trasformi in modo ben preciso (che non ricaveremo) sotto <math>\tilde{x}^\mu</math>. L'equazione <math>\partial^\mu H_{\mu\nu}</math> è quindi proprio la condizione che poniamo per fissare questa gauge. Dobbiamo anche tenere in conto che, come già detto, le equazioni che abbiamo scritto non sono le equazioni esatte del campo gravitazionale, ma una loro approssimazione per campi deboli: l'elettromagnetismo è infatti lineare, mentre la gravità no (nell'espressione di <math>H_{\mu\nu}</math> compaiono infatti termini <math>O(H^2)</math>). L'origine fisica di questa differenza fra campo elettromagnetico e gravitazionale risiede nel fatto che il campo elettromagnetico non è "carico", mentre quello gravitazionale lo è. Spieghiamo meglio cosa intendiamo con quest'ultima affermazione: il campo elettromagnetico è generato da cariche, ma non trasporta carica elettrica, nel senso che fra le varie quantità che si possono associare a questo tipo di campo (quantità di moto, momento angolare ecc.) la carica elettrica non compare; da un punto di vista quantistico, ciò significa che i mediatori di questo campo, i fotoni, non hanno carica. Il campo gravitazionale, invece, è generato da massa, che è equivalente all'energia, e il campo gravitazionale (come tutti i campi in una teoria relativistica, grazie al teorema di Noether) trasporta esso stesso energia: <math>H_{\mu\nu}</math>, dunque, influisce su sé stesso modificando la struttura stessa del campo, che non risulta più lineare. Considerando l'equazione <math>\Box H_{\mu\nu} = 0</math>, sappiamo dunque che <math>H_{\mu\nu}</math> è sovrapposizione di onde elementari (ossia piane monocromatiche): <math>H_{\mu\nu}(x) = \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^\mu k_\mu = 0}</math> ove <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> è detto tensore di polarizzazione. Ponendo <math>\partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math>, dunque, risulta <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) = 0</math>. Anche in questo caso, inoltre, dobbiamo considerare le possibili trasformazioni di gauge residue: <math>\varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) \to \tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}(\vec{k}) = \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) + k_\mu \xi_\nu(\vec{k}) + k_\nu \xi_\mu(\vec{k}) \underbrace{- \eta_{\mu\nu} k^\rho \xi_\rho}_{\displaystyle := A}</math> ove <math>A</math> è stato inserito affinché <math>\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}</math> sia simmetrico (infatti <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> lo è perché tale è <math>H_{\mu\nu}</math>), e l'ultimo addendo serve affinché <math>\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}</math> soddisfi ancora la condizione di gauge: <math>\begin{align} k^\mu \tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}(\vec{k}) &= k^\mu \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) + k^\mu k_\mu \xi_\nu(\vec{k}) + k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) - k_\nu k^\rho \xi_\rho(\vec{k}) k^\mu = \\ &= k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) - k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) = 0 \end{align}</math> Ci chiediamo dunque: un campo del genere quanti gradi di libertà ha? Sono le componenti di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math>, che sono 10 funzioni complesse (poiché è simmetrico) delle tre variabili <math>\vec{k}</math>. Si deve poi avere <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu} = 0</math>, che sono quattro vincoli (uno per ogni valore di <math>\nu</math>); pertanto <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> è composto da 10-4=6 funzioni complesse indipendenti. Poiché inoltre ci sono quattro trasformazioni di gauge residue (corrispondenti alle quattro funzioni <math>\xi_\mu</math>), rimangono 6-4=2 funzioni complesse indipendenti che compongono <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math>, ossia <math>H_{\mu\nu}</math> ha due gradi di libertà, proprio come il campo elettromagnetico. Scegliamo dunque gli assi di modo che <math>k_\mu = \omega(1,0,0,1)</math>, ove <math>\omega = |\vec{k}|</math>. In questo modo da <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu} = 0</math> segue che <math>\varepsilon_{0\nu} = \varepsilon_{3\nu}</math> <math>\forall \nu</math>. Pertanto, le componenti indipendenti di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> sono tutte quelle dove non compare l'indice 3; vediamo quali di queste possono essere eliminate per l'invarianza di gauge. Poniamo $\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu} = \varepsilon_{\mu\nu} + \delta\varepsilon_{\mu\nu}$; allora: <math>\delta\varepsilon_{00} = \omega(\xi_0 + \xi_3) \qquad \delta\varepsilon_{01} = \omega\xi_1 \qquad \delta\varepsilon_{02} = \omega\xi_2</math> <math>\delta\varepsilon_{11} = \omega(\xi_0 - \xi_3) \qquad \delta\varepsilon_{12} = 0 \qquad \delta\varepsilon_{22} = \omega(\xi_0 - \xi_3)</math> Scegliendo opportunamente <math>\xi_1</math> e <math>\xi_2</math>, quindi, si può sempre porre<ref>Attenzione: dovremmo scrivere in realtà, ad esempio, <math>\varepsilon'_{01} = 0</math>; tuttavia, poiché <math>\varepsilon_{01}</math> e <math>\varepsilon'_{01}</math> sono collegati da una trasformazione di gauge, sono fisicamente equivalenti, e dunque si può porre direttamente <math>\varepsilon_{01} = 0</math>.</ref> <math>\varepsilon_{01} = \varepsilon_{02} = 0</math>; analogamente, scegliendo opportunamente <math>\xi_0</math> e <math>\xi_3</math>, si può porre <math>\varepsilon_{00} = 0</math> e <math>\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} = 0</math>. In generale, invece, <math>\varepsilon_{12} \neq 0</math>. I gradi di libertà che abbiamo a disposizione sono dunque <math>\varepsilon_{12}</math> e <math>\varepsilon_{11}</math> (fissato quest'ultimo, anche <math>\varepsilon_{22}</math> è automaticamente fissato dalla relazione appena vista). Pertanto: <math>\varepsilon_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\ 0 & \varepsilon_{12} & -\varepsilon_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> == Elicità == Mostriamo ora che, in generale, i campi elettromagnetico e gravitazionale trasportano momento angolare, detto elicità. Consideriamo dunque tre tipi di campo: scalare, quadrivettoriale e quadritensoriale. Ad ognuno di essi sarà associato, rispettivamente, un campo scalare <math>\varepsilon(\vec{k})</math>, uno quadrivettoriale <math>\varepsilon_\mu(\vec{k})</math> e uno quadritensoriale <math>\varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k})</math>. Sotto trasformazioni di Lorentz si avrà: <math>k'_\mu = \Lambda^\nu_\mu k_\nu</math> <math>\varepsilon'(k') = \varepsilon(k)</math> <math>\varepsilon'_\mu(k') = \Lambda^\nu_\mu \varepsilon_\nu(k) \qquad \varepsilon'_{\mu\nu}(k') = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \varepsilon_{\rho\sigma}(k)</math> e queste trasformazioni agiscono su uno spazio vettoriale di dimensione infinita (<math>\varepsilon</math> è infatti una funzione di <math>k</math>). Consideriamo ora il sottogruppo del gruppo di Lorentz, spesso detto piccolo gruppo, formato dalle matrici <math>\Lambda</math> tali che: <math>k'_\mu = k_\mu \Leftrightarrow \Lambda^\nu_\mu k_\nu = k_\mu</math> ove <math>k_\mu</math> è un quadrivettore fissato. Se dunque <math>\Lambda</math> appartiene al piccolo gruppo, le leggi di trasformazione dei tensori di polarizzazione saranno: <math>\varepsilon'(k) = \varepsilon(k) \qquad \varepsilon'_\mu(k) = \Lambda^\nu_\mu \varepsilon_\nu(k) \qquad \varepsilon'_{\mu\nu}(k) = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \varepsilon_{\rho\sigma}(k)</math> pertanto, <math>\varepsilon</math> forma una rappresentazione finito-dimensionale del piccolo gruppo, o in altre parole le coordinate dei tensori di polarizzazione trasformano linearmente fra loro. Si può dimostrare che, note le trasformazioni del piccolo gruppo, si possono ricostruire tutte le trasformazioni possibili. Studiamo dunque com'è fatto il piccolo gruppo in casi particolari. Ne distinguiamo due: <math>k^2 = m^2 \neq 0</math> in questo caso esiste sempre un sistema di riferimento nel quale si ha: <math>k_\mu = m(1,0,0,0)</math> Dunque, le trasformazioni di Lorentz che agendo su <math>k_\mu</math> non lo cambiano (in altre parole, le trasformazioni del piccolo gruppo) dovranno essere tali che: <math>k'_\mu = k_\mu \Rightarrow \Lambda^0_i = 0 \text{ per } i \neq 0; \quad \Lambda^i_0 = 0 \text{ per } i \neq 0</math> Dunque: <math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & & & \\ 0 & & R & \\ 0 & & & \end{pmatrix}</math> con <math>R</math> matrice di rotazione tridimensionale. <math>k^2 = 0</math> possiamo allora scegliere gli assi di modo che <math>k_\mu = \omega(1,0,0,1)</math>. Pertanto: <math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi & \sin\varphi & 0 \\ 0 & -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> Infatti, in questo modo, la rotazione coinvolge solo le componenti 1 e 2 di <math>k</math>, che sono nulle, e pertanto <math>k</math> non viene alterato. In realtà esisterebbero altri due tipi di trasformazione che appartengono al piccolo gruppo, ma le ignoriamo in quanto non hanno significato fisico. Vogliamo dunque capire come trasformi <math>\varepsilon</math> sotto il piccolo gruppo. Se infatti <math>\varepsilon_\mu</math> è ad esempio un vettore di polarizzazione che sotto queste trasformazioni cambia nel seguente modo: <math>\varepsilon_\mu(k) \xrightarrow{\Lambda} \varepsilon_\mu(k) e^{in\varphi}</math> si dice che il campo ha elicità <math>n</math>, che è la componente lungo <math>z</math> del momento angolare trasportato dall'onda<ref>In realtà ciò non è evidente e infatti non lo si può vedere a questo livello della trattazione, perché è collegato con l'elettrodinamica quantistica. In breve, si può mostrare che se un campo ha elicità <math>n</math> allora i suoi mediatori (i fotoni nel caso dell'elettromagnetismo, ad esempio) hanno spin <math>n</math>.</ref>. Calcoliamo dunque quanto vale l'elicità per i vari tipi di campo che stiamo considerando: '''campo scalare''' Si ha: <math>\varepsilon(k) \to \varepsilon(k) \quad \Rightarrow \quad n = 0</math> Pertanto, i campi scalari non hanno elicità, ossia non trasportano momento angolare. '''campo elettromagnetico''' Sappiamo che possiamo scrivere: <math>\varepsilon_\mu = \underbrace{\varepsilon^0(1,0,0,1)}_{\varepsilon^\text{L}_\mu} + \underbrace{(0,\varepsilon^1,\varepsilon^2,0)}_{\varepsilon^\text{T}_\mu}</math> Dunque: <math>\varepsilon^0 \to {\varepsilon'}^0 = \varepsilon^0 \quad \Rightarrow \quad {\varepsilon'}^\text{L}_\mu = \varepsilon^\text{L}_\mu \quad \Rightarrow \quad n = 0</math> che effettivamente è un risultato inutile in quanto <math>\varepsilon^0</math> non ha significato fisico. Inoltre: <math>{\varepsilon'}^1 = \cos\varphi \varepsilon^1 + \sin\varphi \varepsilon^2</math> <math>{\varepsilon'}^2 = -\sin\varphi \varepsilon^1 + \cos\varphi \varepsilon^2</math> Cerchiamo dunque una base di autovettori che diagonalizzi questa trasformazione. Si determina che questa base è: <math>\varepsilon^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \pm i \\ 0 \end{pmatrix}</math> Dunque: <math>{\varepsilon'}^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\pm i\varphi} \\ \pm ie^{\pm i\varphi} \\ 0 \end{pmatrix} = e^{\pm i\varphi} \varepsilon^{(\pm)}_\text{T}</math> Pertanto <math>n = \pm 1</math>: il campo elettromagnetico ha elicità <math>\pm 1</math>. Notiamo anche che <math>\varepsilon^{(\pm)}_\text{T}</math> corrispondono ai vettori di polarizzazione di un'onda polarizzata circolarmente. Possiamo dunque concludere che il campo elettromagnetico, se polarizzato circolarmente, trasporta momento angolare. '''campo gravitazionale''' Abbiamo visto che come componenti fisiche di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> possiamo usare <math>\varepsilon_{11}</math> e <math>\varepsilon_{12}</math>. Dunque: <math>\begin{align} {\varepsilon'}_{11} &= \cos^2\varphi \varepsilon_{11} + 2\cos\varphi\sin\varphi \varepsilon_{12} + \sin^2\varphi \varepsilon_{22} \underbrace{= -\varepsilon_{11}} = \\ &= (\cos^2\varphi - \sin^2\varphi)\varepsilon_{11} + 2\cos\varphi\sin\varphi \varepsilon_{12} = \cos(2\varphi)\varepsilon_{11} + \sin(2\varphi)\varepsilon_{12} \end{align}</math> Analogamente: <math>{\varepsilon'}_{12} = \cos(2\varphi)\varepsilon_{12} - \sin(2\varphi)\varepsilon_{11}</math> Gli autovettori della trasformazione sono gli stessi di prima, perciò: <math>{\varepsilon'}^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\pm i2\varphi} \\ \pm ie^{\pm i2\varphi} \\ 0 \end{pmatrix} = e^{\pm i2\varphi} \varepsilon^{(\pm)}_\text{T} \quad \Rightarrow \quad n = \pm 2</math> Il campo gravitazionale ha dunque elicità <math>\pm 2</math>. == Note == <references/> {{Avanzamento|100%|7 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Espressione esplicita dei campi in un&#39;onda elettromagnetica]] k339uiwmg4sdwxlakvdn9k8rr78i4q1 499062 499059 2026-06-07T16:55:29Z Hippias 18281 /* Momento angolare di un'onda elettromagnetica */ 499062 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Calcoliamo dunque l'espressione di <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> per un'onda elettromagnetica elementare. Innanzitutto: <math>F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = n^\mu \dot{A}^\nu - n^\nu \dot{A}^\mu</math> Dunque per il campo elettrico si avrà: <math>E^i = F^{i0} = n^i \dot{A}^0 - n^0 \dot{A}^i = n^i n^j \dot{A}^j - \dot{A}^i = \underbrace{(n^i n^j - \delta^{ij})}_{:= P^{ij}} \dot{A}_j</math> <math>\Rightarrow \quad \vec{E} = \vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}}) - \vec{\dot{A}} = -\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{\dot{A}})</math> ove <math>P^{ij}</math> è il proiettore sul sottospazio ortogonale a <math>n^i</math>; infatti <math>P^{ij} n^j = n^i n^j n^j - n^i = n^i - n^i = 0</math>. Per quanto riguarda il campo magnetico, invece: <math>B^i = -\frac{1}{2} \varepsilon^{ijk} F^{jk} = -\varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k \quad \Rightarrow \quad \vec{B} = -\vec{n} \times \vec{\dot{A}}</math> Notiamo dunque che: # una trasformazione di gauge non cambia i campi elettrico e magnetico (perché non cambia <math>F_{\mu\nu}</math>); # le componenti di <math>\vec{\dot{A}}</math> lungo <math>\vec{n}</math> non contribuiscono al valore di <math>B^i</math>; infatti se <math>\dot{A}^k \propto n^k</math> allora <math>B^i \propto -\varepsilon^{ijk} n^j n^k = 0</math> Inoltre, i vettori <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> risultano ortogonali alla direzione di propagazione <math>\vec{n}</math>: <math>\vec{n} \cdot \vec{E} = n^i (n^i n^j - \delta^{ij}) \dot{A}^j = n^j \dot{A}^j - n^j \dot{A}^j = 0</math> <math>\vec{n} \cdot \vec{B} = -n^i \varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k = 0</math> Dunque <math>\vec{E}, \vec{B} \perp \vec{n}</math>. Risulta inoltre: <math>(\vec{n} \times \vec{E})^i = \varepsilon^{ijk} n^j E^k = \varepsilon^{ijk} n^j (n^k n^\ell - \delta^{k\ell}) \dot{A}^\ell = -\varepsilon^{ijk} n^j \dot{A}^k = B^i</math> ossia <math>\vec{B} = \vec{n} \times \vec{E}</math>: i campi, oltre a essere ortogonali alla direzione di propagazione, sono ortogonali fra di loro. Infine, poiché <math>|\vec{n}| = 1</math> risulta<ref>Nota: <math>\vec{B} \cdot \vec{E}</math> e <math>|\vec{E}|^2 - |\vec{B}|^2</math> sono proporzionali agli invarianti che si possono costruire con <math>F_{\mu\nu}</math>. In particolare, poiché <math>F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \propto |E|^2 - |B|^2</math>, per un campo elettromagnetico libero si ha <math>F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 0</math>.</ref> <math>|\vec{B}| = |\vec{E}|</math>. == Impulso di un'onda elettromagnetica == Cerchiamo ora di determinare le quantità conservate associate a un'onda elettromagnetica. Queste saranno necessariamente associate al tensore energia-impulso e densità di momento angolare dell'onda. Considerando dunque il primo: <math>T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = F^\mu{}_\alpha F^{\alpha\nu} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta}</math> ma <math>F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} = 0</math> perché <math>|\vec{B}| = |\vec{E}|</math>. Dunque: <math>\begin{align} T^{\mu\nu}_{\text{emg}} &= F^\mu{}_\alpha F^{\alpha\nu} = (n^\mu \dot{A}_\alpha - n_\alpha \dot{A}^\mu)(n^\alpha \dot{A}^\nu - n^\nu \dot{A}^\alpha) = n^\mu n^\nu \dot{A}_\alpha \dot{A}^\alpha = \\ &= n^\mu n^\nu (\dot{A}^i \dot{A}^i - \dot{A}^0 \dot{A}^0) = n^\mu n^\nu (\dot{A}^i \dot{A}^i - n^i \dot{A}^i n^j \dot{A}^j) = \\ &= n^\mu n^\nu \dot{A}^i \dot{A}^j (\delta^{ij} - n^i n^j) = n^\mu n^\nu \left( |\vec{\dot{A}}|^2 - (\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}})^2 \right) \end{align}</math> Possiamo sempre scegliere gli assi di modo che <math>\vec{n} = (0,0,1)</math>; in questo modo: <math>T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu \left[ (\dot{A}^1)^2 + (\dot{A}^2)^2 \right] \qquad \vec{E} = (-\dot{A}^1, -\dot{A}^2, 0) \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu |\vec{E}|^2 = n^\mu n^\nu \frac{|\vec{E}|^2 + |\vec{B}|^2}{2} \quad \Rightarrow \quad T^{\mu\nu}_{\text{emg}} = n^\mu n^\nu W</math> ove abbiamo sfruttato il fatto che <math>|\vec{E}| = |\vec{B}|</math>, e con <math>W = T^{00}_{\text{emg}}</math> abbiamo indicato la densità di energia del campo elettromagnetico. Si avrà dunque che il quadrimomento trasportato dall'onda è: <math>P^\mu = \int T^{\mu0}_{\text{emg}} d^3\vec{x} = \int n^\mu W d^3\vec{x} = n^\mu \mathcal{E}</math> con <math>\mathcal{E}</math> energia totale dell'onda (ovviamente per un'onda piana si avrebbe <math>\mathcal{E} = +\infty</math>, ma abbiamo già detto che le uniche soluzioni fisicamente sensate delle equazioni di Maxwell sono pacchetti d'onde). Poiché dunque <math>n_\mu n^\mu = 0</math>, si avrà <math>P^\mu P_\mu = 0</math>; è per questo che, nella quantizzazione dell'elettrodinamica, si possono associare ai campi particelle (i fotoni) prive di massa. == Momento angolare di un'onda elettromagnetica == L'altra quantità che resterebbe da studiare è il momento angolare: <math>M^{\mu\nu\lambda} = x^\nu T^{\mu\lambda}_{\text{emg}} - x^\lambda T^{\mu\nu}_{\text{emg}}</math> <math>L^{\nu\lambda} = \int M^{0\nu\lambda} d^3\vec{x} = \int (x^\nu n^\lambda - x^\lambda n^\nu) W d^3\vec{x}</math> <math>L^i = \frac{1}{2} \varepsilon^{ijk} L^{jk} = \int \varepsilon^{ijk} x^j n^k W d^3\vec{x}</math> e se ad esempio <math>\vec{n} = (0,0,1)</math>: <math>L^3 = \int \varepsilon^{3j3} x^j W d^3\vec{x} = 0</math> Sembrerebbe dunque che le onde non trasportino momento angolare nella loro direzione di propagazione. Anche con le altre componenti si ottiene lo stesso risultato: <math>L^1 = \int \varepsilon^{1j3} x^j W d^3\vec{x} = \int \varepsilon^{123} x^2 W d^3\vec{x} = W(z) \int x^2 d^3\vec{x} = 0</math> ove la penultima uguaglianza è dovuta al fatto che in un'onda che si propaga lungo <math>z</math> le sue grandezze (in questo caso <math>W</math>) dipendono solo da <math>z</math>, e analogamente si trova <math>L^2 = 0</math>. Ciò però è falso: le onde elettromagnetiche possono essere polarizzate, e quelle polarizzate circolarmente trasportano momento angolare. Questo problema sorge perché abbiamo fatto il conto non sul tensore che deriva direttamente dal teorema di Noether, ma su quello simmetrico. Abbiamo visto che nella determinazione del tensore energia-impulso simmetrico è fondamentale l'ipotesi che i campi si annullino all'infinito, cosa che le onde piane come già evidenziato non fanno. In realtà, si può vedere che le onde elettromagnetiche trasportano momento angolare lungo la loro direzione di propagazione anche con ragionamenti indiretti, che ora seguiremo. == Stati di polarizzazione di un'onda elettromagnetica == Cominciamo definendo lo stato di polarizzazione di un'onda, che sarà legato alle proprietà del quadrivettore <math>\varepsilon_\mu</math>. Ricordando che nella gauge di Lorenz si ha <math>k^\mu \varepsilon_\mu(\vec{k}) = 0</math>, e supponendo che l'onda si propaghi lungo <math>z</math>, allora <math>k_\mu = |\vec{k}|(1,0,0,1)</math> (in questo modo <math>k^\mu k_\mu = 0</math>) e dunque: <math>\varepsilon_\mu = (\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^3) \quad \Rightarrow \quad k^\mu \varepsilon_\mu = |\vec{k}|(\varepsilon^0 - \varepsilon^3) \stackrel{!}{=} 0 \quad \Rightarrow \quad \varepsilon^0 = \varepsilon^3</math> e quindi: <math>\varepsilon_\mu = (\varepsilon^0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^0) = \underbrace{\frac{\varepsilon^0}{|\vec{k}|} k_\mu}_{:= \varepsilon^\text{L}_\mu} + \underbrace{(0, \varepsilon^1, \varepsilon^2, 0)}_{:= \varepsilon^\text{T}_\mu}</math> ove <math>\varepsilon^\text{L}_\mu</math> è la parte longitudinale (ossia diretta come <math>k_\mu</math>) e <math>\varepsilon^\text{T}_\mu</math> quella trasversa del vettore di polarizzazione <math>\varepsilon_\mu</math>. Di queste due, l'unica fisicamente rilevante è quella trasversa, perché quella longitudinale può essere eliminata con un'opportuna trasformazione di gauge: <math>\varepsilon_\mu \to \varepsilon_\mu + \alpha(\vec{k}) k_\mu \qquad \alpha(\vec{k}) := -\frac{\varepsilon^0(\vec{k})}{|\vec{k}|} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon_\mu \to \varepsilon^\text{T}_\mu</math> Sono dunque solo <math>\varepsilon^1</math> e <math>\varepsilon^2</math> che determinano lo stato di polarizzazione dell'onda. Vediamo dunque quali possono essere i possibili stati di polarizzazione per un'onda elettromagnetica. Inserendo l'espressione del quaripotenziale di un'onda elementare: <math>A_\mu(x) = \varepsilon_\mu(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^0=|\vec{k}|}</math> in <math>\vec{E} = \vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\dot{A}}) - \vec{\dot{A}}</math>, si ha: <math>\vec{E} = \vec{\mathcal{E}} e^{-ikx} + \text{c.c.}</math> con <math>\vec{\mathcal{E}}</math> vettore complesso tale che <math>\vec{\mathcal{E}} \cdot \vec{n} = 0</math>, dunque <math>\vec{\mathcal{E}} \propto \vec{\varepsilon}_\text{T}</math>. Scegliamo dunque due versori <math>\vec{e}_1</math> e <math>\vec{e}_2</math> ortogonali a <math>\vec{n}</math> e fra di loro. In questo modo (<math>\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2 \in \mathbb{C}</math>, e l'<math>1/2</math> compare per convenienza): <math>\vec{\mathcal{E}} = \frac{1}{2} (\mathcal{E}_1 \vec{e}_1 + \mathcal{E}_2 \vec{e}_2) = \frac{1}{2} e^{i\tilde{\delta}} (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + e^{i\delta} |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2)</math> con <math>\tilde{\delta}</math> fase di <math>\mathcal{E}_1</math> e <math>\delta</math> differenza di fase fra <math>\mathcal{E}_2</math> e <math>\mathcal{E}_1</math>. Tuttavia <math>\tilde{\delta}</math> è irrilevante, perché: <math>\vec{E} = \frac{1}{2} e^{i\tilde{\delta}} e^{-ikx} (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + e^{i\delta} |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2) + \text{c.c.}</math> e dunque ridefinendo l'origine dei tempi (<math>x^0 \to x^0 - \tilde{\delta}/k^0</math>) si può porre <math>\tilde{\delta} = 0</math>. Dunque: <math>\vec{E} = |\mathcal{E}_1| \cos(kx) \vec{e}_1 + |\mathcal{E}_2| \cos(kx + \delta) \vec{e}_2</math> I casi possibili sono quindi: <math>\delta = 0</math> allora: <math>\vec{E} = (|\mathcal{E}_1| \vec{e}_1 + |\mathcal{E}_2| \vec{e}_2) \cos(kx)</math> e dunque in ogni istante <math>\vec{E}</math> oscilla lungo la stessa direzione: il campo si dice polarizzato linearmente <math>\delta = \pm \pi/2</math>, <math>|\mathcal{E}_1| = |\mathcal{E}_2|</math> in questo caso: <math>\vec{E} = |\mathcal{E}_1| (\cos(kx) \vec{e}_1 \mp \sin(kx) \vec{e}_2)</math> e dunque al variare di <math>x</math>, <math>\vec{E}</math> descrive un cerchio, in senso orario o antiorario a seconda se <math>\delta = +\pi/2</math> o <math>\delta = -\pi/2</math>: il campo si dice polarizzato circolarmente (destro o sinistro). Nel caso in cui un'onda sia polarizzata circolarmente, allora: <math>\varepsilon^\text{T}_\mu \propto (0, 1, \pm i, 0)</math> Ciò che vogliamo dunque mostrare è che un'onda polarizzata circolarmente trasporta momento angolare nella direzione di propagazione (si dice anche che porta elicità), e che può assumere valori <math>+1</math> o <math>-1</math>. Mostriamolo in un contesto più generale, ossia considerando anche il caso delle onde gravitazionali. == Onde gravitazionali == Il campo gravitazionale (nel limite in cui questo sia debole) è descritto dal tensore simmetrico <math>H_{\mu\nu}(x)</math> (così come il campo elettromagnetico è descritto da <math>A_\mu(x)</math>). Fisicamente, <math>H_{\mu\nu}</math> rappresenta le piccole deformazioni della metrica dello spaziotempo rispetto alla metrica di Minkowski dovute alla gravità. Se c'è campo gravitazionale, infatti, la metrica dello spaziotempo è: <math>ds^2 = g_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu</math> con <math>g_{\mu\nu}</math> funzione di <math>x</math> e simmetrico in <math>\mu</math> e <math>\nu</math>. Quando il campo gravitazionale è molto debole (ossia a grandi distanze dalle sorgenti): <math>g_{\mu\nu}(x) \simeq \eta_{\mu\nu} + \left( H_{\mu\nu}(x) - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} H^\rho_\rho(x) \right) + O(H^2)</math> In analogia con le onde elettromagnetiche, le equazioni differenziali a cui <math>H</math> dovrà obbedire saranno: <math>\Box H_{\mu\nu} = 0 \qquad \partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math> Se fossimo in presenza di sorgenti, si dovrebbe avere <math>\Box H_{\mu\nu} = 16\pi G T_{\mu\nu}</math> con <math>T_{\mu\nu}</math> tensore energia-impulso (altro motivo in più perché <math>T_{\mu\nu}</math> dev'essere simmetrico). Inoltre, <math>H_{\mu\nu}</math> è legato al potenziale gravitazionale classico <math>\varphi</math> da: <math>\varphi = -\frac{1}{4} H_{00}</math> e ciò accade perché nel caso newtoniano <math>v \ll 1</math>, e risulta <math>T_{00} \gg T_{ij}</math> (infatti <math>T^P_\mu \propto \sum_p \frac{p_\mu p_\nu}{E} \delta^{(3)} \Rightarrow T^P_{00} \propto m</math>, <math>T^P_{0i} \propto p_i \propto mv_i</math>). Per semplice analogia con l'elettromagnetismo possiamo scrivere le equazioni differenziali che descrivono il campo gravitazionale: <math>\Box H_{\mu\nu} = 0 \qquad \partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math> ove la seconda equazione fissa univocamente la gauge del campo, come vedremo fra poco. Sappiamo dunque che se il campo gravitazionale è debole: <math>g_{\mu\nu} \simeq \eta_{\mu\nu} + H_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} H^\rho_\rho + O(H^2)</math> In relatività speciale il gruppo di simmetria "naturale" è l'insieme delle trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la metrica, ossia il gruppo di Poincaré; in relatività generale, invece, questo gruppo è molto più ampio: si possono considerare trasformazioni qualsiasi delle coordinate <math>x^\mu \to \tilde{x}^\mu</math>, detti diffeomorfismi. Se dunque in relatività speciale le trasformazioni erano definite complessivamente da 10 parametri, adesso ci sono infiniti gradi di libertà, e possiamo intendere questo fatto come una sorta di invarianza di gauge. Abbiamo, insomma, che le <math>\tilde{x}^\mu</math> sono le trasformazioni di gauge della relatività generale (non vediamo come agiscono sui campi perché è troppo complicato). Affinché in relatività generale il <math>ds^2</math> sia invariante sarà dunque necessario che anche <math>g_{\mu\nu}(x)</math> trasformi in modo ben preciso (che non ricaveremo) sotto <math>\tilde{x}^\mu</math>. L'equazione <math>\partial^\mu H_{\mu\nu}</math> è quindi proprio la condizione che poniamo per fissare questa gauge. Dobbiamo anche tenere in conto che, come già detto, le equazioni che abbiamo scritto non sono le equazioni esatte del campo gravitazionale, ma una loro approssimazione per campi deboli: l'elettromagnetismo è infatti lineare, mentre la gravità no (nell'espressione di <math>H_{\mu\nu}</math> compaiono infatti termini <math>O(H^2)</math>). L'origine fisica di questa differenza fra campo elettromagnetico e gravitazionale risiede nel fatto che il campo elettromagnetico non è "carico", mentre quello gravitazionale lo è. Spieghiamo meglio cosa intendiamo con quest'ultima affermazione: il campo elettromagnetico è generato da cariche, ma non trasporta carica elettrica, nel senso che fra le varie quantità che si possono associare a questo tipo di campo (quantità di moto, momento angolare ecc.) la carica elettrica non compare; da un punto di vista quantistico, ciò significa che i mediatori di questo campo, i fotoni, non hanno carica. Il campo gravitazionale, invece, è generato da massa, che è equivalente all'energia, e il campo gravitazionale (come tutti i campi in una teoria relativistica, grazie al teorema di Noether) trasporta esso stesso energia: <math>H_{\mu\nu}</math>, dunque, influisce su sé stesso modificando la struttura stessa del campo, che non risulta più lineare. Considerando l'equazione <math>\Box H_{\mu\nu} = 0</math>, sappiamo dunque che <math>H_{\mu\nu}</math> è sovrapposizione di onde elementari (ossia piane monocromatiche): <math>H_{\mu\nu}(x) = \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) e^{-ikx} + \text{c.c.}|_{k^\mu k_\mu = 0}</math> ove <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> è detto tensore di polarizzazione. Ponendo <math>\partial^\mu H_{\mu\nu} = 0</math>, dunque, risulta <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) = 0</math>. Anche in questo caso, inoltre, dobbiamo considerare le possibili trasformazioni di gauge residue: <math>\varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) \to \tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}(\vec{k}) = \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) + k_\mu \xi_\nu(\vec{k}) + k_\nu \xi_\mu(\vec{k}) \underbrace{- \eta_{\mu\nu} k^\rho \xi_\rho}_{\displaystyle := A}</math> ove <math>A</math> è stato inserito affinché <math>\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}</math> sia simmetrico (infatti <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> lo è perché tale è <math>H_{\mu\nu}</math>), e l'ultimo addendo serve affinché <math>\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}</math> soddisfi ancora la condizione di gauge: <math>\begin{align} k^\mu \tilde{\varepsilon}_{\mu\nu}(\vec{k}) &= k^\mu \varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k}) + k^\mu k_\mu \xi_\nu(\vec{k}) + k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) - k_\nu k^\rho \xi_\rho(\vec{k}) k^\mu = \\ &= k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) - k_\nu k^\mu \xi_\mu(\vec{k}) = 0 \end{align}</math> Ci chiediamo dunque: un campo del genere quanti gradi di libertà ha? Sono le componenti di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math>, che sono 10 funzioni complesse (poiché è simmetrico) delle tre variabili <math>\vec{k}</math>. Si deve poi avere <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu} = 0</math>, che sono quattro vincoli (uno per ogni valore di <math>\nu</math>); pertanto <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> è composto da 10-4=6 funzioni complesse indipendenti. Poiché inoltre ci sono quattro trasformazioni di gauge residue (corrispondenti alle quattro funzioni <math>\xi_\mu</math>), rimangono 6-4=2 funzioni complesse indipendenti che compongono <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math>, ossia <math>H_{\mu\nu}</math> ha due gradi di libertà, proprio come il campo elettromagnetico. Scegliamo dunque gli assi di modo che <math>k_\mu = \omega(1,0,0,1)</math>, ove <math>\omega = |\vec{k}|</math>. In questo modo da <math>k^\mu \varepsilon_{\mu\nu} = 0</math> segue che <math>\varepsilon_{0\nu} = \varepsilon_{3\nu}</math> <math>\forall \nu</math>. Pertanto, le componenti indipendenti di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> sono tutte quelle dove non compare l'indice 3; vediamo quali di queste possono essere eliminate per l'invarianza di gauge. Poniamo $\tilde{\varepsilon}_{\mu\nu} = \varepsilon_{\mu\nu} + \delta\varepsilon_{\mu\nu}$; allora: <math>\delta\varepsilon_{00} = \omega(\xi_0 + \xi_3) \qquad \delta\varepsilon_{01} = \omega\xi_1 \qquad \delta\varepsilon_{02} = \omega\xi_2</math> <math>\delta\varepsilon_{11} = \omega(\xi_0 - \xi_3) \qquad \delta\varepsilon_{12} = 0 \qquad \delta\varepsilon_{22} = \omega(\xi_0 - \xi_3)</math> Scegliendo opportunamente <math>\xi_1</math> e <math>\xi_2</math>, quindi, si può sempre porre<ref>Attenzione: dovremmo scrivere in realtà, ad esempio, <math>\varepsilon'_{01} = 0</math>; tuttavia, poiché <math>\varepsilon_{01}</math> e <math>\varepsilon'_{01}</math> sono collegati da una trasformazione di gauge, sono fisicamente equivalenti, e dunque si può porre direttamente <math>\varepsilon_{01} = 0</math>.</ref> <math>\varepsilon_{01} = \varepsilon_{02} = 0</math>; analogamente, scegliendo opportunamente <math>\xi_0</math> e <math>\xi_3</math>, si può porre <math>\varepsilon_{00} = 0</math> e <math>\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} = 0</math>. In generale, invece, <math>\varepsilon_{12} \neq 0</math>. I gradi di libertà che abbiamo a disposizione sono dunque <math>\varepsilon_{12}</math> e <math>\varepsilon_{11}</math> (fissato quest'ultimo, anche <math>\varepsilon_{22}</math> è automaticamente fissato dalla relazione appena vista). Pertanto: <math>\varepsilon_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\ 0 & \varepsilon_{12} & -\varepsilon_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> == Elicità == Mostriamo ora che, in generale, i campi elettromagnetico e gravitazionale trasportano momento angolare, detto elicità. Consideriamo dunque tre tipi di campo: scalare, quadrivettoriale e quadritensoriale. Ad ognuno di essi sarà associato, rispettivamente, un campo scalare <math>\varepsilon(\vec{k})</math>, uno quadrivettoriale <math>\varepsilon_\mu(\vec{k})</math> e uno quadritensoriale <math>\varepsilon_{\mu\nu}(\vec{k})</math>. Sotto trasformazioni di Lorentz si avrà: <math>k'_\mu = \Lambda^\nu_\mu k_\nu</math> <math>\varepsilon'(k') = \varepsilon(k)</math> <math>\varepsilon'_\mu(k') = \Lambda^\nu_\mu \varepsilon_\nu(k) \qquad \varepsilon'_{\mu\nu}(k') = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \varepsilon_{\rho\sigma}(k)</math> e queste trasformazioni agiscono su uno spazio vettoriale di dimensione infinita (<math>\varepsilon</math> è infatti una funzione di <math>k</math>). Consideriamo ora il sottogruppo del gruppo di Lorentz, spesso detto piccolo gruppo, formato dalle matrici <math>\Lambda</math> tali che: <math>k'_\mu = k_\mu \Leftrightarrow \Lambda^\nu_\mu k_\nu = k_\mu</math> ove <math>k_\mu</math> è un quadrivettore fissato. Se dunque <math>\Lambda</math> appartiene al piccolo gruppo, le leggi di trasformazione dei tensori di polarizzazione saranno: <math>\varepsilon'(k) = \varepsilon(k) \qquad \varepsilon'_\mu(k) = \Lambda^\nu_\mu \varepsilon_\nu(k) \qquad \varepsilon'_{\mu\nu}(k) = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \varepsilon_{\rho\sigma}(k)</math> pertanto, <math>\varepsilon</math> forma una rappresentazione finito-dimensionale del piccolo gruppo, o in altre parole le coordinate dei tensori di polarizzazione trasformano linearmente fra loro. Si può dimostrare che, note le trasformazioni del piccolo gruppo, si possono ricostruire tutte le trasformazioni possibili. Studiamo dunque com'è fatto il piccolo gruppo in casi particolari. Ne distinguiamo due: <math>k^2 = m^2 \neq 0</math> in questo caso esiste sempre un sistema di riferimento nel quale si ha: <math>k_\mu = m(1,0,0,0)</math> Dunque, le trasformazioni di Lorentz che agendo su <math>k_\mu</math> non lo cambiano (in altre parole, le trasformazioni del piccolo gruppo) dovranno essere tali che: <math>k'_\mu = k_\mu \Rightarrow \Lambda^0_i = 0 \text{ per } i \neq 0; \quad \Lambda^i_0 = 0 \text{ per } i \neq 0</math> Dunque: <math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & & & \\ 0 & & R & \\ 0 & & & \end{pmatrix}</math> con <math>R</math> matrice di rotazione tridimensionale. <math>k^2 = 0</math> possiamo allora scegliere gli assi di modo che <math>k_\mu = \omega(1,0,0,1)</math>. Pertanto: <math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi & \sin\varphi & 0 \\ 0 & -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> Infatti, in questo modo, la rotazione coinvolge solo le componenti 1 e 2 di <math>k</math>, che sono nulle, e pertanto <math>k</math> non viene alterato. In realtà esisterebbero altri due tipi di trasformazione che appartengono al piccolo gruppo, ma le ignoriamo in quanto non hanno significato fisico. Vogliamo dunque capire come trasformi <math>\varepsilon</math> sotto il piccolo gruppo. Se infatti <math>\varepsilon_\mu</math> è ad esempio un vettore di polarizzazione che sotto queste trasformazioni cambia nel seguente modo: <math>\varepsilon_\mu(k) \xrightarrow{\Lambda} \varepsilon_\mu(k) e^{in\varphi}</math> si dice che il campo ha elicità <math>n</math>, che è la componente lungo <math>z</math> del momento angolare trasportato dall'onda<ref>In realtà ciò non è evidente e infatti non lo si può vedere a questo livello della trattazione, perché è collegato con l'elettrodinamica quantistica. In breve, si può mostrare che se un campo ha elicità <math>n</math> allora i suoi mediatori (i fotoni nel caso dell'elettromagnetismo, ad esempio) hanno spin <math>n</math>.</ref>. Calcoliamo dunque quanto vale l'elicità per i vari tipi di campo che stiamo considerando: '''campo scalare''' Si ha: <math>\varepsilon(k) \to \varepsilon(k) \quad \Rightarrow \quad n = 0</math> Pertanto, i campi scalari non hanno elicità, ossia non trasportano momento angolare. '''campo elettromagnetico''' Sappiamo che possiamo scrivere: <math>\varepsilon_\mu = \underbrace{\varepsilon^0(1,0,0,1)}_{\varepsilon^\text{L}_\mu} + \underbrace{(0,\varepsilon^1,\varepsilon^2,0)}_{\varepsilon^\text{T}_\mu}</math> Dunque: <math>\varepsilon^0 \to {\varepsilon'}^0 = \varepsilon^0 \quad \Rightarrow \quad {\varepsilon'}^\text{L}_\mu = \varepsilon^\text{L}_\mu \quad \Rightarrow \quad n = 0</math> che effettivamente è un risultato inutile in quanto <math>\varepsilon^0</math> non ha significato fisico. Inoltre: <math>{\varepsilon'}^1 = \cos\varphi \varepsilon^1 + \sin\varphi \varepsilon^2</math> <math>{\varepsilon'}^2 = -\sin\varphi \varepsilon^1 + \cos\varphi \varepsilon^2</math> Cerchiamo dunque una base di autovettori che diagonalizzi questa trasformazione. Si determina che questa base è: <math>\varepsilon^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \pm i \\ 0 \end{pmatrix}</math> Dunque: <math>{\varepsilon'}^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\pm i\varphi} \\ \pm ie^{\pm i\varphi} \\ 0 \end{pmatrix} = e^{\pm i\varphi} \varepsilon^{(\pm)}_\text{T}</math> Pertanto <math>n = \pm 1</math>: il campo elettromagnetico ha elicità <math>\pm 1</math>. Notiamo anche che <math>\varepsilon^{(\pm)}_\text{T}</math> corrispondono ai vettori di polarizzazione di un'onda polarizzata circolarmente. Possiamo dunque concludere che il campo elettromagnetico, se polarizzato circolarmente, trasporta momento angolare. '''campo gravitazionale''' Abbiamo visto che come componenti fisiche di <math>\varepsilon_{\mu\nu}</math> possiamo usare <math>\varepsilon_{11}</math> e <math>\varepsilon_{12}</math>. Dunque: <math>\begin{align} {\varepsilon'}_{11} &= \cos^2\varphi \varepsilon_{11} + 2\cos\varphi\sin\varphi \varepsilon_{12} + \sin^2\varphi \varepsilon_{22} \underbrace{= -\varepsilon_{11}} = \\ &= (\cos^2\varphi - \sin^2\varphi)\varepsilon_{11} + 2\cos\varphi\sin\varphi \varepsilon_{12} = \cos(2\varphi)\varepsilon_{11} + \sin(2\varphi)\varepsilon_{12} \end{align}</math> Analogamente: <math>{\varepsilon'}_{12} = \cos(2\varphi)\varepsilon_{12} - \sin(2\varphi)\varepsilon_{11}</math> Gli autovettori della trasformazione sono gli stessi di prima, perciò: <math>{\varepsilon'}^{(\pm)}_\text{T} = \begin{pmatrix} 0 \\ e^{\pm i2\varphi} \\ \pm ie^{\pm i2\varphi} \\ 0 \end{pmatrix} = e^{\pm i2\varphi} \varepsilon^{(\pm)}_\text{T} \quad \Rightarrow \quad n = \pm 2</math> Il campo gravitazionale ha dunque elicità <math>\pm 2</math>. == Note == <references/> {{Avanzamento|100%|7 giugno 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Espressione esplicita dei campi in un&#39;onda elettromagnetica]] t2gh5tjddhookbecz3lr7lodgmbqf8r 2 60555 499061 2026-06-07T16:31:26Z Rebi27 54445 partecipante 499061 wikitext text/x-wiki Rebecca Cese, studentessa di mediazione linguistica, partecipo al tirocinio dqw1mbxeml0oav588h6srso34skxvkx 3 60556 499064 2026-06-07T17:10:46Z Hippias 18281 Benvenuto/a su Wikibooks! 499064 wikitext text/x-wiki <div style="font-size:90%; text-align:right;">For other languages, consider using [[Wikibooks:Babel]] &middot; [[Wikibooks:Ambasciata|Embassy]]</div> {| width="100%" cellspacing="0" cellpadding="6" style="font-size:95%; line-height: 15px; background-color: var(--background-color-warning-subtle, #fef6e7); color: inherit; border: 1px solid #faecc8;" |- | colspan="4" style="background: #faecc8; color: #000;" |<span style="font-size:larger">'''[[Aiuto:Benvenuto|Benvenut{{GENDER:{{BASEPAGENAME}}|o|a|a/o}}]] {{PAGENAME}}''' in it.Wikibooks </span>, la biblioteca libera. |- | colspan="4" | Ciao, {{PAGENAME}}. 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