Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.45.0-wmf.8 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo 4 5717 280526 280525 2025-07-03T12:52:37Z 109.54.226.112 /* Ecco il test */Punto interrogativo mancante 280526 wikitext text/x-wiki [[Immagine:Tarsier.jpg|right|250px|Stare su Wikidipedia produce wikidipendenza]] Riconoscere di avere un problema è il primo passo per risolverlo. Se come [[Wikiversità:Wikiversitari|wikiversitari]] ci siamo mai posti il dubbio di essere ''wikidipendenti'', allora, forse, potremmo già esserlo. <br /> <small>(nell'immagine a fianco la risultanza di uno dei casi più eclatanti di ciò che può produrre la wikidipendenza)</small>. Cerchiamo la controprova rispondendo alle domande del test e assegnandoci i punti riportati tra parentesi alla fine di ogni domanda a cui abbiamo risposto '''sì'''. Naturalmente in pieno spirito ''wiki'', ciascuno di noi si senta libero di aggiungere, togliere, modificare liberamente le domande e il valore dei punteggi... ==Ecco il test== # Ti colleghi a wikiversità almeno una volta alla settimana? (3) # Ti colleghi a wikiversità almeno una volta al giorno? (6) # Ti colleghi a wikiversità più di una volta al giorno? (12) # Rimani collegato per più di 10 ore al giorno? (10) # Trascorri su wikiversità più della metà del tempo in cui sei connesso ad internet? (7) # Wikiversità ruba tempo ai tuoi hobby/alle tue letture? (2) # Wiiversità è quasi il tuo unico hobby, la tua sola lettura? (4) # Wikiversità è diventato il tuo hobby, è la tua unica lettura? (6) # Wikiversità ruba tempo al tuo sonno? (8) # Wikiversità ruba tempo ai tuoi pasti? (8) # Wikiversità ruba tempo al tuo lavoro/studio? (8) # Wikiversità ruba tempo alla tua igiene personale? (12) # Wikiversità ruba tempo e attenzione al tuo/alla tua partner? (16) # Hai rimpiazzato giornali e telegiornali con [[n:|Wikinews]] come fonte di informazione quotidiana? (10) # Hai quasi sempre almeno tre pagine di wikiversità contemporaneamente aperte sul tuo schermo? (6) # Se condividi la tua connessione internet con altri, la tieni occupata la maggior parte del tempo per lavorare su wikiversità? (5) # Modifichi almeno una lezione a settimana? (2) # Modifichi almeno una lezione al giorno? (4) # Modifichi più lezioni al giorno? (7) # Inserisci una nuova voce al mese? (2) # Inserisci una nuova voce alla settimana? (4) # Inserisci una nuova voce al giorno? (9) # Pensi a cosa potresti inserire quando il server è fuori uso? (9) # Sei registrato/a su wikiversità? (5) # Sei registrato/a su più progetti wikimedia? (7) # Sei amministratore di un progetto wikimedia? (4) # Ci hai provato ma ti è andata male? (2) # Hai mai consigliato wikiversità a qualcuno che doveva laurearsi? (6) # Se sì, sei mai stato/a zittito/a in malo modo per aver insistito troppo? (4) # Hai mai scritto o modificato le domande di questo test? (2) # Wikiversità è mai entrata nei tuoi sogni o nei tuoi incubi? (13) # Se incontri dei link rossi in altri siti che non sono Wikiversità, credi istintivamente che sono voci non ancora create? (6) # Hai mentito ad una o più delle domande presenti in questo sondaggio per ottenere un punteggio più alto? (6) # Hai mentito ad una o più delle domande presenti in questo sondaggio per ottenere un punteggio più basso? (10) # Sei sempre stato consapevole di essere wikidipendente? (3) # Sotto il banco a scuola hai un portatile con collegamento solo a Wikiversità? (30) # Usi Wikiversità per fare la tua tesina di maturità o per preparare gli esami universitari? (15) # Se vedi una parola (su un giornale, manifesto, cartello) scritta in blu, provi a cliccarla col dito della mano? (40) # Una sera hai rifiutato di uscire con gli amici per sistemare o scrivere una lezione su wikiversità? (5) # Nella vita reale, hai mai voluto che gli altri ti chiamassero col tuo nickname (solo se è diverso dal tuo nome reale, ovviamente)? (10) # Quando fai il ''commit'' in un programma di [[controllo versione]] (tipo [[Concurrent Versions System|CVS]] o ClearCase), cerchi istintivamente le checkbox "''Questa è una modifica minore''" e "''Tieni d'occhio questa pagina''"? (5) # Hai fatto più di 500 edit? (5) # Hai fatto più di 1.000 edit? (10) # Hai fatto più di 5.000 edit? (15) # Hai fatto più di 10.000 edit? (20) # Non vai al bagno per paura di perdere il filo di un articolo? (5) # Ritieni che Wikiversità sia una droga? (8) # Avresti ipotizzato di ottenere un punteggio simile a quello ottenuto? (1) # Hai mai modificato queste domande per alzare il tuo punteggio? (12) # Ti ricordi la data dei giorni solo grazie alla firma che inserisci in ogni tuo commento? (7) # Ti sei mai vantato con gli amici di aver contribuito attivamente ad un progetto wiki? (8) # Hai mai dato il benvenuto a un wikiversitario appena registrato? (15) # Impegni buona parte della tua creatività per rendere la tua firma più vistosa di altre? (15) # Sei arrivato a donare a qualsiasi progetto Wikimedia Italiano o straniero una qualsiasi somma di denaro? (20) # Aggiorni il test di wikidipendenza almeno una volta ogni anno? (5) # Aggiorni il test di wikidipendenza almeno una volta al mese? (10) # Aggiorni il test di wikidipendenza almeno una volta alla settimana? (30) # Aggiorni il test di Wikidipendenza una volta al giorno? (40) # Aggiorni il test di Wikidipendenza più di una volta al giorno? (55) # Continui a scrivere su wikiversità ignorando le zanzare che ti dissanguano? (15) # Ti chiedi cosa si vede riflesso nell'immagine del Wikidipendenza-termometro? (3) # Riesci a trovare la risposta? (13) # Leggi la pagina del bar almeno una volta al giorno? (3) # Quando hai ospiti in casa, fingi di andare in bagno per assentarti qualche minuto e vedere se qualcuno ha modificato un tuo articolo? (9) # Lo fai anche quando sei ospite da qualcun altro? (20) # Hai perso il conto dei punti per andare a vedere le ultime modifiche o i tuoi osservati speciali? (6) # Quando trovi un errore in un sito (non wikiversità) cerchi istintivamente la linguetta ''modifica''? (10) # Wiki è "il primo mio pensiero la mattina quando mi sveglio" (da una canzone di [[Max Pezzali]])? (5) # Ti sei accorto che la domanda precedente riporta una citazione non corretta e vorresti modificarla? (8) # Hai mai pensato che Wikiversità debba essere inserita nei programmi ministeriali di istruzione? (10) # Hai un bot o ti piacerebbe averlo? (14) # Se sì, lo fai girare almeno una volta ogni settimana? (2) # Lo fai girare almeno una volta al giorno? (4) # Hai partecipato a questo test senza renderti conto che solo per questo è molto probabile che tu sia wikidipendente? (4) # Cerchi di rendere la tua pagina utente più bella di quella degli altri utenti e ti arrabbi se non è così? (5) # Hai appena aperto una quindicina di voci dello stesso progetto, ma scopri che è uscito il nuovo template... Lo sostituisci a tutte quante senza nemmeno prenderti una pausa? (10) # Hai messo Wikiversità come pagina iniziale nel tuo browser? (12) # Hai mai fatto più di 264 edit in un giorno? (75) # Nei forum o nelle mail ti è mai capitato di digitare due trattini prima del tuo nickname? (1) # Ti è capitato più volte? (3) # Cambi spesso il ''layout'' della tua firma? (5) # Quando l'Italia ha vinto i mondiali, non sei andato a festeggiare perché eri su Wikiversità? (10) # Sei mai arrivato a pensare: "se quel vandalismo non lo rimuovo io chi altro lo farà?" (3) # Sei mai arrivato a pensare: "se quel vandalismo non lo rimuovo io subito, lo farà fra poco qualcun'altro prendendosi il merito!" (16) # Se non puoi connetterti a wikiversità con il computer, se puoi lo fai con il cellulare? (22) # Ti sei mai vantato con gli amici di aver contribuito attivamente ad un progetto wiki? (8) # Hai mai rivelato a qualcuno, stupito per la tua cultura, di aver trovato le informazioni che lo hanno tanto interessato su Wikiversità? (10) # Il tuo guardaroba include capi griffati Wikiversità©? (5) # Indossandoli, qualcuno ti ha mai fatto dei complimenti per il tuo abbigliamento ''squisitamente nerd''? (10) # Quando scrivi con un programma di [[videoscrittura]] (tipo [[OpenOffice.org Writer|Writer]] o [[Microsoft Word|Word]] ), includi le parole tra <nowiki>''doppi''</nowiki> o <nowiki>'''tripli'''</nowiki> apici e ti stupisci se non si trasformano in ''corsivo'' e '''grassetto'''? (5) # Ti capita lo stesso fenomeno di cui al punto precedente anche quando scrivi in [[HTML]] o altri linguaggi analoghi? (5) # Quando non sei su Wikipedia e trovi un'immagine ti viene spontaneo cliccarci sopra per visualizzarla? (10) # Hai mai iniziato a scrivere un programma per evitare di contare il tuo punteggio in questo test? (5) # Hai mai finito di scriverlo? (10) # Stai usando un programma attualmente per fare questo test? (15) # Quando non puoi connetterti a wikiversità, pensi mai: "accidenti, chissà quanti vandalismi si stratificheranno oggi che non ci sono"? (12) # Leggendo queste domande, hai pensato: "Che bello, allora non sono il solo ad avere la passione per Wiki!", invece di pensare: "Accidenti, ma allora la mia è una malattia molto diffusa..."? (9) # Vorresti che questo test avesse più di 100 domande? (7) # Hai partecipato alla [[Wikiversità:Riorganizzazione 2015|R15]]? (5) # Provi un po' di invidia per non aver scritto la centesima domanda di questo test? (10) ==Note, commenti, ... == Dopo il test,qui potete inserire il vostro punteggio e qualche nota,ordine cronologico:discendente. Es.'''175''' Punteggio medio,meno male;ricordate di mettere la firma dopo ogni commento. * '''399''' pari pari.Mi stò facendo trascinare...--[[Utente:Jurassic|Jurassic]] 17:57, 27 mag 2008 (CEST) * '''360''' forse è ora che riveda le priorità nella mia vita...ma anche no --'''<span style="color:#0099FF;font-family:Comic Sans MS;">[[Utente:WHacko|''<span style="color:#70D0FF;font-size:120%;">WHacko</span>'']] (✉·[[Discussioni utente:WHacko|<span style="font-size:80%;">imbuca qui</span>]])</span>''' 17:30, 18 gen 2010 (CET) == Risultati == Avete appena finito di rispondere a un sacco di domande tenendo il conto dei punti. Direi che non ci sono dubbi ... <br /> Se vuoi, qualificati (o ''[s]qualificati'', se preferisci ...) nella tua [[Speciale:MyPage|userpage]] - :-) === Tasso di wikidipendenza === ''(stime assolutamente [[Aiuto:NPOV|'''non-NPOV''']])'' <div align="center"> Attenzione: ci sono '''nuovi punteggi'''! <gallery> Image:Wikidipendenza1.JPG|Da 0 a 150 p. - Normale, sei un essere perfettamente ragionevole Image:Wikidipendenza2.JPG|Da 150 a 300 p. - Medio, ancora puoi salvarti Image:Wikidipendenza3.JPG|Da 300 a 450 p. - Alto, non farti trascinare </gallery> <gallery> Image:Wikidipendenza4.JPG|Da 450 a 600 p. - Sei fuori, datti una calmata Image:Wikidipendenza5-.JPG|600 p. e oltre - Tilt! Sei irrecuperabile e condannato a [[aiuto:stub|destubbare]] a vita... </gallery> </div> mtei7otlm62nzprnbodcxfbxmpvjpv1 280529 280526 2025-07-03T15:52:29Z 109.54.239.48 /* Note, commenti, ... */ 280529 wikitext text/x-wiki [[Immagine:Tarsier.jpg|right|250px|Stare su Wikidipedia produce wikidipendenza]] Riconoscere di avere un problema è il primo passo per risolverlo. Se come [[Wikiversità:Wikiversitari|wikiversitari]] ci siamo mai posti il dubbio di essere ''wikidipendenti'', allora, forse, potremmo già esserlo. <br /> <small>(nell'immagine a fianco la risultanza di uno dei casi più eclatanti di ciò che può produrre la wikidipendenza)</small>. Cerchiamo la controprova rispondendo alle domande del test e assegnandoci i punti riportati tra parentesi alla fine di ogni domanda a cui abbiamo risposto '''sì'''. Naturalmente in pieno spirito ''wiki'', ciascuno di noi si senta libero di aggiungere, togliere, modificare liberamente le domande e il valore dei punteggi... ==Ecco il test== # Ti colleghi a wikiversità almeno una volta alla settimana? (3) # Ti colleghi a wikiversità almeno una volta al giorno? (6) # Ti colleghi a wikiversità più di una volta al giorno? (12) # Rimani collegato per più di 10 ore al giorno? (10) # Trascorri su wikiversità più della metà del tempo in cui sei connesso ad internet? (7) # Wikiversità ruba tempo ai tuoi hobby/alle tue letture? (2) # Wiiversità è quasi il tuo unico hobby, la tua sola lettura? (4) # Wikiversità è diventato il tuo hobby, è la tua unica lettura? (6) # Wikiversità ruba tempo al tuo sonno? (8) # Wikiversità ruba tempo ai tuoi pasti? (8) # Wikiversità ruba tempo al tuo lavoro/studio? (8) # Wikiversità ruba tempo alla tua igiene personale? (12) # Wikiversità ruba tempo e attenzione al tuo/alla tua partner? (16) # Hai rimpiazzato giornali e telegiornali con [[n:|Wikinews]] come fonte di informazione quotidiana? (10) # Hai quasi sempre almeno tre pagine di wikiversità contemporaneamente aperte sul tuo schermo? (6) # Se condividi la tua connessione internet con altri, la tieni occupata la maggior parte del tempo per lavorare su wikiversità? (5) # Modifichi almeno una lezione a settimana? (2) # Modifichi almeno una lezione al giorno? (4) # Modifichi più lezioni al giorno? (7) # Inserisci una nuova voce al mese? (2) # Inserisci una nuova voce alla settimana? (4) # Inserisci una nuova voce al giorno? (9) # Pensi a cosa potresti inserire quando il server è fuori uso? (9) # Sei registrato/a su wikiversità? (5) # Sei registrato/a su più progetti wikimedia? (7) # Sei amministratore di un progetto wikimedia? (4) # Ci hai provato ma ti è andata male? (2) # Hai mai consigliato wikiversità a qualcuno che doveva laurearsi? (6) # Se sì, sei mai stato/a zittito/a in malo modo per aver insistito troppo? (4) # Hai mai scritto o modificato le domande di questo test? (2) # Wikiversità è mai entrata nei tuoi sogni o nei tuoi incubi? (13) # Se incontri dei link rossi in altri siti che non sono Wikiversità, credi istintivamente che sono voci non ancora create? (6) # Hai mentito ad una o più delle domande presenti in questo sondaggio per ottenere un punteggio più alto? (6) # Hai mentito ad una o più delle domande presenti in questo sondaggio per ottenere un punteggio più basso? (10) # Sei sempre stato consapevole di essere wikidipendente? (3) # Sotto il banco a scuola hai un portatile con collegamento solo a Wikiversità? (30) # Usi Wikiversità per fare la tua tesina di maturità o per preparare gli esami universitari? (15) # Se vedi una parola (su un giornale, manifesto, cartello) scritta in blu, provi a cliccarla col dito della mano? (40) # Una sera hai rifiutato di uscire con gli amici per sistemare o scrivere una lezione su wikiversità? (5) # Nella vita reale, hai mai voluto che gli altri ti chiamassero col tuo nickname (solo se è diverso dal tuo nome reale, ovviamente)? (10) # Quando fai il ''commit'' in un programma di [[controllo versione]] (tipo [[Concurrent Versions System|CVS]] o ClearCase), cerchi istintivamente le checkbox "''Questa è una modifica minore''" e "''Tieni d'occhio questa pagina''"? (5) # Hai fatto più di 500 edit? (5) # Hai fatto più di 1.000 edit? (10) # Hai fatto più di 5.000 edit? (15) # Hai fatto più di 10.000 edit? (20) # Non vai al bagno per paura di perdere il filo di un articolo? (5) # Ritieni che Wikiversità sia una droga? (8) # Avresti ipotizzato di ottenere un punteggio simile a quello ottenuto? (1) # Hai mai modificato queste domande per alzare il tuo punteggio? (12) # Ti ricordi la data dei giorni solo grazie alla firma che inserisci in ogni tuo commento? (7) # Ti sei mai vantato con gli amici di aver contribuito attivamente ad un progetto wiki? (8) # Hai mai dato il benvenuto a un wikiversitario appena registrato? (15) # Impegni buona parte della tua creatività per rendere la tua firma più vistosa di altre? (15) # Sei arrivato a donare a qualsiasi progetto Wikimedia Italiano o straniero una qualsiasi somma di denaro? (20) # Aggiorni il test di wikidipendenza almeno una volta ogni anno? (5) # Aggiorni il test di wikidipendenza almeno una volta al mese? (10) # Aggiorni il test di wikidipendenza almeno una volta alla settimana? (30) # Aggiorni il test di Wikidipendenza una volta al giorno? (40) # Aggiorni il test di Wikidipendenza più di una volta al giorno? (55) # Continui a scrivere su wikiversità ignorando le zanzare che ti dissanguano? (15) # Ti chiedi cosa si vede riflesso nell'immagine del Wikidipendenza-termometro? (3) # Riesci a trovare la risposta? (13) # Leggi la pagina del bar almeno una volta al giorno? (3) # Quando hai ospiti in casa, fingi di andare in bagno per assentarti qualche minuto e vedere se qualcuno ha modificato un tuo articolo? (9) # Lo fai anche quando sei ospite da qualcun altro? (20) # Hai perso il conto dei punti per andare a vedere le ultime modifiche o i tuoi osservati speciali? (6) # Quando trovi un errore in un sito (non wikiversità) cerchi istintivamente la linguetta ''modifica''? (10) # Wiki è "il primo mio pensiero la mattina quando mi sveglio" (da una canzone di [[Max Pezzali]])? (5) # Ti sei accorto che la domanda precedente riporta una citazione non corretta e vorresti modificarla? (8) # Hai mai pensato che Wikiversità debba essere inserita nei programmi ministeriali di istruzione? (10) # Hai un bot o ti piacerebbe averlo? (14) # Se sì, lo fai girare almeno una volta ogni settimana? (2) # Lo fai girare almeno una volta al giorno? (4) # Hai partecipato a questo test senza renderti conto che solo per questo è molto probabile che tu sia wikidipendente? (4) # Cerchi di rendere la tua pagina utente più bella di quella degli altri utenti e ti arrabbi se non è così? (5) # Hai appena aperto una quindicina di voci dello stesso progetto, ma scopri che è uscito il nuovo template... Lo sostituisci a tutte quante senza nemmeno prenderti una pausa? (10) # Hai messo Wikiversità come pagina iniziale nel tuo browser? (12) # Hai mai fatto più di 264 edit in un giorno? (75) # Nei forum o nelle mail ti è mai capitato di digitare due trattini prima del tuo nickname? (1) # Ti è capitato più volte? (3) # Cambi spesso il ''layout'' della tua firma? (5) # Quando l'Italia ha vinto i mondiali, non sei andato a festeggiare perché eri su Wikiversità? (10) # Sei mai arrivato a pensare: "se quel vandalismo non lo rimuovo io chi altro lo farà?" (3) # Sei mai arrivato a pensare: "se quel vandalismo non lo rimuovo io subito, lo farà fra poco qualcun'altro prendendosi il merito!" (16) # Se non puoi connetterti a wikiversità con il computer, se puoi lo fai con il cellulare? (22) # Ti sei mai vantato con gli amici di aver contribuito attivamente ad un progetto wiki? (8) # Hai mai rivelato a qualcuno, stupito per la tua cultura, di aver trovato le informazioni che lo hanno tanto interessato su Wikiversità? (10) # Il tuo guardaroba include capi griffati Wikiversità©? (5) # Indossandoli, qualcuno ti ha mai fatto dei complimenti per il tuo abbigliamento ''squisitamente nerd''? (10) # Quando scrivi con un programma di [[videoscrittura]] (tipo [[OpenOffice.org Writer|Writer]] o [[Microsoft Word|Word]] ), includi le parole tra <nowiki>''doppi''</nowiki> o <nowiki>'''tripli'''</nowiki> apici e ti stupisci se non si trasformano in ''corsivo'' e '''grassetto'''? (5) # Ti capita lo stesso fenomeno di cui al punto precedente anche quando scrivi in [[HTML]] o altri linguaggi analoghi? (5) # Quando non sei su Wikipedia e trovi un'immagine ti viene spontaneo cliccarci sopra per visualizzarla? (10) # Hai mai iniziato a scrivere un programma per evitare di contare il tuo punteggio in questo test? (5) # Hai mai finito di scriverlo? (10) # Stai usando un programma attualmente per fare questo test? (15) # Quando non puoi connetterti a wikiversità, pensi mai: "accidenti, chissà quanti vandalismi si stratificheranno oggi che non ci sono"? (12) # Leggendo queste domande, hai pensato: "Che bello, allora non sono il solo ad avere la passione per Wiki!", invece di pensare: "Accidenti, ma allora la mia è una malattia molto diffusa..."? (9) # Vorresti che questo test avesse più di 100 domande? (7) # Hai partecipato alla [[Wikiversità:Riorganizzazione 2015|R15]]? (5) # Provi un po' di invidia per non aver scritto la centesima domanda di questo test? (10) ==Note, commenti, ... == Dopo il test,qui potete inserire il vostro punteggio e qualche nota,ordine cronologico:discendente. Es.'''175''' Punteggio medio,meno male;ricordate di mettere la firma dopo ogni commento. * '''399''' pari pari.Mi stò facendo trascinare...--[[Utente:Jurassic|Jurassic]] 17:57, 27 mag 2008 (CEST) * '''360''' forse è ora che riveda le priorità nella mia vita...ma anche no --'''<span style="color:#0099FF;font-family:Comic Sans MS;">[[Utente:WHacko|''<span style="color:#70D0FF;font-size:120%;">WHacko</span>'']] (✉·[[Discussioni utente:WHacko|<span style="font-size:80%;">imbuca qui</span>]])</span>''' 17:30, 18 gen 2010 (CET) * '''186''', pensavo peggio visto che ho fatto lo stesso test su wikipedia ed ho totalizzato un punteggio molto più alto, ma forse è solo perché lì ci sono molte più domande. == Risultati == Avete appena finito di rispondere a un sacco di domande tenendo il conto dei punti. Direi che non ci sono dubbi ... <br /> Se vuoi, qualificati (o ''[s]qualificati'', se preferisci ...) nella tua [[Speciale:MyPage|userpage]] - :-) === Tasso di wikidipendenza === ''(stime assolutamente [[Aiuto:NPOV|'''non-NPOV''']])'' <div align="center"> Attenzione: ci sono '''nuovi punteggi'''! <gallery> Image:Wikidipendenza1.JPG|Da 0 a 150 p. - Normale, sei un essere perfettamente ragionevole Image:Wikidipendenza2.JPG|Da 150 a 300 p. - Medio, ancora puoi salvarti Image:Wikidipendenza3.JPG|Da 300 a 450 p. - Alto, non farti trascinare </gallery> <gallery> Image:Wikidipendenza4.JPG|Da 450 a 600 p. - Sei fuori, datti una calmata Image:Wikidipendenza5-.JPG|600 p. e oltre - Tilt! Sei irrecuperabile e condannato a [[aiuto:stub|destubbare]] a vita... </gallery> </div> o5lb3ho09ltbyam050h7g0008kaw7fm 0 12309 280527 196917 2025-07-03T15:33:10Z 85.255.234.110 png → svg 280527 wikitext text/x-wiki {{navigazione lezione|corso1=Matematica|materia1=Meccanica applicata alle macchine}}__TOC__ {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Meccanica applicata alle macchine|avanzamento=75%}} ==Introduzione== In questa prima parte del corso ci occuperemo di sistemi meccanici semplici, analizzando le loro possibilità di movimento, le loro reazioni vincolari e complessivamente la loro cinematica. ==Il punto materiale== Il sistema fisico più semplice del quale ci si può occupare è il ''punto materiale'', che non interessa particolarmente questo corso in quanto ''troppo semplice'' per noi, poiché la statica, la cinematica e la dinamica del punto materiale sono già stati oggetto del corso di fisica. Esso rappresenta tuttavia un buon punto di partenza per la descrizione dei corpi rigidi. Il ''punto materiale'' è un corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto al fenomeno in studio. ===Gradi di libertà e di vincolo del punto materiale=== [[File:Space Curve Example.jpg|thumb|Esempio di curva nello spazio: un punto materiale che si muovesse lungo essa avrebbe un solo GdL]] Il punto materiale per essere individuato nello spazio tridimensionale necessita di 3 coordinate, in questo caso tante quante il numero di dimensioni dello spazio. Lo stesso vale per il punto nel piano: 2 coordinate. Ed infine per il punto su di una linea: 1 coordinata. Una volta definite le coordinate del punto, non sono utili altre informazioni al fine di definirne la posizione. La parola ''orientamento'' per un punto non ha senso (mentre lo avrà per il corpo rigido). *Un punto materiale libero di muoversi nello spazio ha perciò 3 ''gradi di libertà'' (GdL). Come metafora, basta pensare alle possibilità di movimento di una mosca nell'aria di una stanza. *Se però il punto materiale è limitato su di un piano appartenente ad uno spazio tridimensionale, allora avremo solo 2 GdL: è stato inserito un ''grado di vincolo'' (GdV). In questo caso è sufficiente immaginare una formica su di un foglio indefinito orientato nella stanza. La posizione del punto potrà essere comunque rappresentata da 3 coordinate, ma ognuna di queste coordinate dipenderà dalle altre due. Se quindi utilizzassimo un sistema di 3 equazioni per descrivere la posizione, allora le tre equazioni sarebbero linearmente dipendenti. *Analogamente possiamo considerare un punto materiale limitato su di una curva nello spazio tridimensionale: questo è il caso in cui si ha 1 GdL e 2 GdV. L'analogia potrebbe dunque essere quella di una formica che si muove lungo un filo disteso nello spazio tridimensionale. ==Il corpo rigido== [[File:NLinearNRotat.gif|thumb|left|Animazione delle possibilità di movimento del corpo rigido e delle sue proprietà]] [[File:Flight dynamics with text.svg|thumb|Le tre possibili rotazioni che può effettuare un corpo rigido]] Il ''corpo rigido'' è un oggetto costituito da infiniti punti materiali, che sotto ogni condizione, non si deforma mai. Detto in maniera più formale: le distanze relative tra i punti che lo costituiscono non variano mai. Le sue proprietà di forma non sono perciò soggette al tempo. Quindi, quando parliamo di ''corpo rigido'' invece di un corpo reale, ciò vuole dire che stiamo trascurando le deformazioni, anche minime, che caratterizzano i corpi reali (dall'acciaio al marmo). Ovviamente non serve dire che è poco utile approssimare ad un corpo rigido un elastico, una molla, o qualunque altro corpo notevolmente deformabile. *Mentre il punto materiale, considerato in due dimensioni, ha 2 gradi di libertà, un corpo rigido in due dimensioni (''schiacciato'' su di un piano) ha 3 gradi di libertà (GdL), poiché può traslare lungo due direzioni perpendicolari, parallele agli assi ''x'' e ''y'', e può inoltre essere orientato secondo un angolo θ. *Nelle tre dimensioni il punto materiale si era detto avesse 3 GdL. Il corpo rigido invece ha 6 GdL. Difatti, per individuare univocamente posizione ed orientazione nello spazio servono necessariamente 6 parametri: 3 coordinate spaziali (ad es: x,y,z) e 3 angoli (ad es: θ,φ,γ). jy1goglbb1x22sgqvmd0ioedqdx4g0h 10 16545 280530 280454 2025-07-04T06:35:30Z 62.18.96.135 280530 wikitext text/x-wiki Il Template ''[[Template:SchedaBabelfish|SchedaBabelfish]]'' serve per creare in modo molto più semplice del linguaggio di Wikipedia una scheda [[Wikipedia:Babelfish|Babelfish]] di un utente. L'impostazione iniziale del template è questa: <nowiki>{{SchedaBabelfish|Sigla=|Testo=|ColoreSfondo=|ColoreBordo=|ColoreSigla=}}</nowiki> Nessuno di questi argomenti è obbligatorio, perciò incominciamo con un esempio molto semplice. Se io scrivo <nowiki>{{SchedaBabelfish|Sigla=Prova|Testo=Esempio del template [[Template:SchedaBabelfish|SchedaBabelfish]]}}</nowiki> ottengo: {{SchedaBabelfish|Sigla=Prova|Testo=Esempio del template [[Template:SchedaBabelfish|SchedaBabelfish]]}}<br clear=all/> che equivale nel linguaggio wikipediano a <nowiki>{|class="itwiki_template_babel" cellspacing="0" |class="sigla"|Prova |Esempio del template [[Template:SchedaBabelfish|SchedaBabelfish]] |}</nowiki> Gli argomenti ''ColoreSfondo'', ''ColoreBordo'' e ''ColoreSigla'' servono: * Il primo ad impostare lo sfondo sotto l'argomento ''Testo'' * Il secondo ad impostare il colore del bordo * Il terzo ad impostare lo sfondo dell'argomento ''Sigla'', in sua assenza sarà sostituito da ''ColoreBordo'' (Tutti i colori sono indicati nella [[Aiuto:Colori|sezione apposita]]). Ad esempio se io scrivo: <nowiki>{{SchedaBabelfish|Sigla=Ar-3|Testo=Questo utente ama l'arancione|ColoreSfondo=#FFD000|ColoreBordo=#FF8000}}</nowiki> Ottengo: {{SchedaBabelfish|Sigla=Ar-3|Testo=Questo utente ama l'arancione|ColoreSfondo=#FFD000|ColoreBordo=#FF8000}}<br clear=all/> che equivale nel linguaggio wikipediano a <nowiki> {|class="itwiki_template_babel" style="background:#FFD000;border-color:#FF8000" cellspacing="0" |class="sigla" style="background:#FF8000"|Ar-3 |Questo utente ama l'arancione |}</nowiki> Per avere una grafica più carina è preferibile mettere un'immagine come sigla, ad esempio se scrivo <nowiki>{{SchedaBabelfish|Sigla=[[Image:Nuvola apps kmoon.png|50px]]|Testo=Questo utente tira tardi la '''[[notte]]''' anche per colpa di [[Wikiversità]].|ColoreSfondo=#c0c0c0|ColoreBordo=#000080|ColoreSigla=#000080}}</nowiki> Ottengo {{SchedaBabelfish|Sigla=[[Image:Nuvola apps kmoon.png|50px]]|Testo=Questo utente tira tardi la '''[[notte]]''' anche per colpa di [[Wikiversità]].|ColoreSfondo=#c0c0c0|ColoreBordo=#000080|ColoreSigla=#000080}} <br clear="all" /> Oppure {{SchedaBabelfish|Sigla=io-0|ColoreBordo=#ffffff|Testo=Questo utente ritiene che i Babelfish ''non dovrebbero essere usati per propagandare le proprie opinioni, appartenenze, intolleranze''.}}<br clear=all/> nel linguaggio di MediaWiki equivale a <nowiki>{|class="itwiki_template_babel2" cellspacing="0" style="width:254px" |class="sigla" style="background:#ffffff"|io-0 |Questo utente ritiene che il Babel ''non dovrebbe essere usato per propagandare le proprie opinioni, appartenenze, intolleranze''. |}</nowiki> Altri esempi con vicino relativo codice: {{MultiCol}} * {{SchedaBabelfish|Sigla=[[File:Nuvola gaim.svg|50px]]|Testo=<small>Questo utente è riuscito a iniziare una pagina personale, dopo molti mesi e infiniti tentativi falliti, solo scopiazzando qua e là: ringrazia, pertanto quanti hanno inconsapevolmente contribuito, ivi compreso l'utente da cui ho copiato questo template!</small>|ColoreSfondo=#fafad2|ColoreBordo=#fafad2}} <br clear="all" /> * {{SchedaBabelfish|Sigla=[[File:Elfo red.jpg|50px]]|Testo=<span style="color:white">Questo utente si sente un [[Wikipedia:WikiElfo|<span style="color:yellow">WikiElfo</span>]].</span>|ColoreSfondo=purple|ColoreBordo=purple}} <br clear="all" /> * {{SchedaBabelfish|Sigla=[[Image:wikipedia-logo-vi balloons.png|40px]]|Testo=Questa utente ha adottato un giorno, il suo compleanno! Il [[{{CURRENTDAY}} {{CURRENTMONTHNAME}}]]!!! '''''[[Progetto:Cronologia/Giorno/Aggiornamento|fallo anche tu!!!]]'''''|ColoreSfondo=#eeebff|ColoreBordo=#d6ccff}} <br clear="all" /> {{ColBreak}} * <code><nowiki>{{SchedaBabelfish|Sigla=[[immagine:Nuvola gaim.svg|50px]]|Testo=<small>Questo utente è riuscito a iniziare una pagina personale, dopo molti mesi e infiniti tentativi falliti, solo scopiazzando qua e là: ringrazia, pertanto quanti hanno inconsapevolmente contribuito, ivi compreso l'utente da cui ho copiato questo template!</small>|ColoreSfondo=#fafad2|ColoreBordo=#fafad2}}</nowiki></code> * <code><nowiki>{{SchedaBabelfish|Sigla=[[Immagine:Elfo red.jpg|50px]]|Testo=<span style="color:white">Questo utente si sente un [[Wikipedia:WikiElfo|<span style="color:yellow">WikiElfo</span>]].</span>|ColoreSfondo=purple|ColoreBordo=purple}}</nowiki></code> {{EndMultiCol}} </div> == Template correlati == * [[Template:Userbox]] <noinclude> [[Categoria:Manuali dei template]] </noinclude> 7e093xambh5ce496t1v5trhnjohfdx1 0 21205 280528 280150 2025-07-03T15:33:32Z 85.255.234.110 png → svg 280528 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Fisica per le superiori 1|avanzamento=100%}} = Definizione di [[w:Corpo_rigido|corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|right|thumb|Una rappresentazione grafica dei 3 angoli che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti che mantengano fissa la loro distanza reciproca viene chiamato '''corpo rigido'''; ovviamente questa è sempre una semplificazione per permetterci di trattare alcune caratteristiche del moto di un corpo. In quanto la perfetta [[w:Deformazione|indeformabilità]] di un corpo non è possibile, sicuramente l'approssimazione è molto buona per alcuni tipi di oggetti compatti fatti di materiali come l'[[w:Acciaio|acciaio]], [[w:vetro|vetro]], l'[[w:Alluminio|alluminio]], ma anche il [[w:legno|legno]], non certamente oggetti in [[w:gomma|gomma]] o in metalli morbidi come l'[[w:indio|indio]] che non possono considerarsi rigidi. La descrizione completa della dinamica di un corpo rigido un corpo è possibile se si conosce la posizione nello spazio di un suo generico punto (in genere si sceglie il centro di massa) e di tre angoli come mostrato nella figura a fianco. La posizione del centro di massa, anche se il centro di massa è al di fuori del corpo, è immutabile nel tempo rispetto agli altri punti del corpo rigido, quindi in genere per determinare il moto di un corpo rigido si studia la traiettoria del centro di massa e di un asse di riferimento inerziale con origine sul centro di massa. Non variando le distanze tra i punti la risultante delle forze interne al sistema sono nulle come anche il loro momento, per cui le equazioni cardinali della meccanica si riducono a: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} Abbiamo omesso l'apice ext che è pleonastico poiché solo le forze e i momenti esterni possono variare lo stato di moto di un corpo rigido. Inoltre per quanto riguarda l'energia cinetica solo il lavoro <math>W\ </math> delle forze e dei momenti delle forze esterne può provocare una variazione della energia cinetica del corpo: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può essere molto complicato in quanto nel caso generale tutte e sei le grandezze fisiche che lo descrivono (la posizione del centro di massa e i tre angoli) possono variare nel tempo e nello spazio. Vi sono due casi particolari più semplici che è possibile considerare per semplificare la trattazione: il moto traslatorio ed il moto rotatorio. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|right|thumb|Movimento puramente traslazionale di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto solo traslatorio. In questo caso tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie eguali come nella figura a fianco, quindi la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide istante per istante con la velocità del centro di massa. Il moto è descritto in maniera analoga a quanto avviene per un punto materiale. Le grandezze fisiche di maggiore interesse sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale del sistema. La dinamica del corpo è determinata da solamente la prima equazione cardinale della dinamica. :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> La quantità di moto totale del sistema <math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> e il momento angolare totale rispetto ad un polo che dista <math>\vec r_{CM}\ </math> dal centro di massa sono grandezze collegate. Infatti si mostra che dal [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)|primo teorema di König]] il momento angolare rispetto a tale asse si riduce: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> Ma <math> \vec P </math> è la quantità di moto del sistema che dipende dalla sola [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)|prima equazione cardinale]] della meccanica. Quindi la [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)| seconda equazione cardinale]]: :<math>\vec \tau=\frac{d\vec L}{dt}=\vec r_{CM} \times \frac {d\vec P}{dt}=\vec r_{CM}\times \vec R</math> non aggiunge alcuna informazione alla conoscenza della dinamica del corpo rigido, se il moto è puramente traslatorio. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|right|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo il caso di un moto rotatorio attorno ad un asse fisso. In questo caso tutte le parti del corpo compiono delle orbite circolari attorno all'asse di rotazione e quindi si muovono con velocità istantanea tanto maggiore quanto sono distanti dall'asse di rotazione. Nella figura a fianco muovendosi l'asta con velocità angolare <math>\vec \omega\ </math> (senso antiorario, verso uscente dal piano di rotazione), la velocità dei singoli punti distanti <math>\vec R\ </math> da O, valgono <math>\vec \omega \times \vec R\ </math>. Se la velocità angolare è costante il moto dei singolo punti è circolare uniforme. Se la velocità angolare varia nel tempo vi debbono essere momenti delle forze esterne che causano tale moto rotatorio vario e la [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)| seconda equazione cardinale]] è l'unica necessaria a descrivere il moto: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau</math> Se il centro di massa si trova sull'asse di rotazione essendo nulla la accelerazione del centro di massa: :<math>\vec a_{CM}=0\ </math> la [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)|prima equazione cardinale]] è identicamente nulla. Ma anche se il centro di massa non si trova sull'asse di rotazione, come nella figura, il suo moto sarà una orbita circolare esattamente con tutti gli altri elementi, e quindi in media la forza risultante sarà nulla, quindi la prima equazione cardinale non aggiunge nulla alle informazioni della seconda equazione cardinale. === Convenzioni nel moto rotatorio dei corpi rigidi === Se la rotazione avviene attorno ad un asse fisso del corpo rigido nell'intervallo di tempo <math>dt\ </math> si avrà una rotazione di un angolo <math>d\theta\ </math>: viene convenzionalmente definito un vettore <math>\vec d\theta\ </math>, che ha come modulo l'angolo e come direzione l'asse di rotazione (se il senso è antiorario). Quindi una regione del corpo rigido, identificata dal vettore <math>\vec r\ </math> che congiunge l'asse di rotazione e la regione, si sposta durante la rotazione di un arco <math>\vec ds\ </math>: :<math>\vec ds=\vec d\theta \times \vec r\ </math> Di conseguenza poiché la direzione dell'asse di rotazione non cambia nel tempo, anche la velocità istantanea del punto rimane tangente alla traiettoria circolare: :<math>\vec v=\frac {\vec ds}{dt}=\frac {\vec d\theta}{dt} \times \vec r=\vec \omega \times \vec r \ </math> Se la velocità angolare non è costante l'accelerazione tangenziale vale: :<math>\vec a_t=\frac {d\vec v}{dt}=\frac {d\vec \omega}{dt} \times \vec r=\alpha \times \vec r\ </math> L'accelerazione centripeta a causa della rigidità del corpo non ha un ruolo nella dinamica del sistema. Notiamo come i tre vettori <math>\vec d\theta\ </math>, <math>\vec \omega\ </math> ed <math>\vec \alpha\ </math> siano paralleli all'asse di rotazione e concordi con esso se il moto è antiorario. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|right|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio una sfera su una superficie con A il punto di contatto. Il punto A ha una velocità molto inferiore alle altre e non è rappresentata.]] Il moto traslatorio ed il moto rotatorio attorno ad un asse fisso sono descrivibili in maniera semplice. Ma il caso più generale è quello di un moto in cui contemporaneamente vi sia traslazione e rotazione attorno ad un asse che cambia nel tempo. Questo è il caso più generale che senza perdere di generalità può essere descritto per spostamenti infinitesimi. In cui si ha contemporaneamente una traslazione infinitesima e un rotazione infinitesima caratterizzate da una velocità istantanea <math>\vec v\ </math> ed una velocità angolare istantanea <math>\vec\omega\ </math>. La descrizione di un generico moto di un sistema rigido non è univoca. La figura è un esempio. Potrebbe essere una boccia lanciata su una superficie nel moto iniziale. Il punto di contatto con il suolo A trasla e contemporaneamente a causa della forza di attrito la sfera ruota attorno al punto di contatto. Vedremo nel seguito che dopo un certo tempo aumenta la rotazione e diminuisce la traslazione ed il punto di contatto è istantaneamente fermo questo è il [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]], che studieremo in seguito. Qui stiamo studiando un caso diverso in cui A si muove, ma le velocità dei due punti A,B,C,D,E sono diverse come appare dalla figura, ma concentriamo l'attenzione sulla velocità dei punti C e D rispetto ad A: :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni precedenti si ha che: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_C+\vec \omega \times \overrightarrow{CD}\ </math> In questa maniera si è messo in relazione la velocità di D non più rispetto ad A, ma rispetto a C che è il nuovo polo. In questa operazione matematica appare evidente che, mentre la velocità istantanea del punto D dipende dal polo scelto per la rotazione, è infatti diversa da quella rispetto al punto A, il valore della velocità angolare istantanea non dipende dalla scelta fatta. Quindi nel caso generale del moto rototraslatorio mentre la parte traslazionale dipende dalla scelta del polo considerato per studiare la dinamica la velocità angolare non dipende da tale scelta. Quindi nella fotografia istantanea <math>\vec\omega\ </math> è definita in maniera univoca: ma nel caso generale può cambiare nel tempo di direzione e verso. = [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido = Un corpo rigido si rappresenta in maniera più semplice, non come un insieme di punti materiali come appare nella sua natura microscopica (essendo costituito da un insieme di [[w:atomo|atomi]]), ma come un mezzo continuo caratterizzato dalla sua [[w:Densità|densità]]: :<math>\rho(\vec r)=\frac {dm}{dV}\ </math> Cioè la densità è il rapporto tra la massa infinitesima (dm) ed il volume (dV) da essa occupata. La densità è una grandezza che dipende dalla posizione e viene definita non solo per i corpi rigidi. La massa totale m di un corpo rigido di volume V vale: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità non varia all'interno del corpo, cioè <math>\rho(\vec r)=costante \ </math>, il corpo si dice omogeneo. In questo caso: :<math>M=\rho V\ </math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale]] la densità si misura in kg/m³, anche se è più comune l'uso nel linguaggio comune dell'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema cgs]], cioè il g/cm³. La definizione di densità vale sia per i solidi come i fluidi. La densità dell'acqua è alla temperatura di 4 ^oC circa 1 g/cm³ o 1000 kg/m³, tra gli elementi l'[[w:Osmio|Osmio]] (un metallo nobile simile al Platino) ha la massima densità 22.66 g/cm³. Nei corpi unidimensionali (corde, tubi) si introduce il concetto di [[w:Densità_lineare|densità lineare]] definita come: :<math>\lambda=\frac {dm}{dl}\ </math> dove dl è l'elemento infinitesimo di linea. Due esempi su corpi unidimensionali:[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e [[Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]] possono chiarire i concetti. Nei corpi bidimensionali (superfici) si definisce la densità superficiale come: :<math>\sigma=\frac {dm}{dS}\ </math> dove dS è l'elemento infinitesimo di superficie. Il centro di massa di un generico corpo rigido si ottiene per estensione della definizione data di [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)|centro di massa]] per un insieme discreto di punti: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> sostituendo alla sommatoria l'integrale: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Nei corpi omogenei e dotati di simmetria attorno ad un punto, il centro di massa coincide con il punto stesso, analogamente se vi è un asse (piano) di simmetria il centro di massa è sull'asse (piano) stesso. Il centro di massa coincide con il centro della forza peso: il '''baricentro'''. Il baricentro dipende dalla forza peso e quindi è definito per i corpi si trovano sulla superficie della terra. Alcuni esempi chiariscono meglio:[[Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], [[Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e [[Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#7._Sfera_con_foro| sfera con foro]] la posizione del centro di massa di oggetti non simmetrici. = Moto rotatorio = Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una semplice generalizzazione del moto di un punto materiale. Il moto rotatorio presenta delle peculiarità per quanto riguarda il momento angolare e l'evoluzione del moto. Il [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)|momento angolare di un insieme di punti materiali]] vale: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> La sua espressione nel caso continuo è: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Per studiare la dinamica, anche nel caso di semplice rotazione, bisogna introdurre una nuova grandezza fisica: il momento di inerzia. Un caso semplice elementare serve da introduzione al problema. ===Esempio di un guscio cilindrico=== [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb| Un cilindro sottile.]] Consideriamo un sottile guscio cilindrico di massa M e raggio R (di spessore trascurabile rispetto ad R) che ruota con velocità angolare <math>\vec \omega \!</math> attorno ad un asse passante per il centro e perpendicolare al piano del cilindro stesso. In questo caso è facile calcolare il momento angolare totale. Essendo tutti i punti del corpo rigido alla stessa distanza dal centro di rotazione, R, la loro velocità è pari in modulo a <math>v=\omega R\!</math>, quindi il momento angolare totale vale semplicemente: :<math>\vec L = MR^2\vec\omega \!</math> Cioè è proporzionale ad <math>\vec \omega \!</math> con una grandezza caratteristica del guscio stesso relativa all'asse di rotazione scelto, detto il momento di Inerzia <math>I = MR^2\!</math>. Un guscio sottile se l'altezza è trascurabile diventa un anello sottile (spesso il caso più elementare trattato è quello di un anello). == Momento di Inerzia == Dato un generico corpo rigido che ruota intorno ad un asse la relazione tra la velocità e la velocità angolare <math>v=\omega r\!</math> rimane valida, anche se <math>r\!</math> non è una costante, come nel caso del guscio cilindrico, ma dipende dalla distanza del generico elemento del corpo dall'asse di rotazione. Come estensione del caso precedente definiamo momento di inerzia di un corpo rigido la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_Vr^2 dm\!</math>|id=6}} dove r è la distanza dall'asse delle masse infinitesime dm di cui si compone il compone il corpo di volume V. Il momento di inerzia in tutti i corpi rigidi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione, che nel caso della rotazione dei corpi rigidi ha una funzione simile alla massa nel caso di moto traslatorio. Il momento di inerzia è uno scalare, anche se dipende dall'asse attorno a cui viene calcolato. Essendo definito come integrale di grandezze scalari <math>r^2\!</math> e <math>dm\!</math> gode della proprietà di additività, se calcolato attorno lo stesso asse: cioè se ho un solido complesso posso calcolarmi il momento di inerzia separatamente per le varie parti del corpo rispetto allo stesso asse e poi sommare i vari termini. L'importanza del momento di inerzia appare nella dinamica del moto rotatorio come vedremo nel seguito. ==Moto rotatorio con asse fisso di simmetria== Nel caso particolare di <math>\vec L \ </math> parallelo a <math>\vec \omega \ </math>, cioè quando l'asse attorno a cui avviene la rotazione è un asse di simmetria del corpo. La definizione di asse di simmetria da un punto di vista concettuale è data nel seguito. Se è applicato un momento di una forza <math>\vec \tau \ </math> rispetto all'asse di rotazione il momento angolare <math>\vec L \ </math> varia e il collegamento tra variazione del momento angolare e momento della forza è dato dalla [[Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)|seconda equazione cardinale]] della dinamica: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} Dove <math>\vec \alpha \ </math> è la derivata della velocità angolare anche essa parallela all'asse di rotazione. Vi è quindi una notevole analogia in questo caso tra la II equazione della dinamica (<math>\vec F=m \vec a</math> ), infatti la massa inerziale rappresenta la resistenza alla variazione della traslazione di un corpo, mentre il momento di inerzia è la resistenza alla variazione nel moto rotatorio. Ma bisogna aggiungere che, seppure il momento di inerzia sia una proprietà geometrica, essa dipende dall'asse di rotazione. ===Legge oraria=== Se <math>\vec \tau=0\ </math> si ha che: :<math>\alpha =0</math> Quindi, la velocità angolare è costante o nulla: :<math>\omega =\omega_o</math> Quindi il corpo rigido si muove di moto circolare uniforme attorno all'asse di rotazione: :<math>\theta =\theta_o+\omega_o t\ </math> Se <math>\vec \tau=costante\ </math> allora anche la accelerazione angolare è costante: :<math>\alpha =\alpha_o</math> :<math>\omega =\omega_o+\alpha_o t</math> {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Se <math>\vec \tau\ </math> è variabile, anche il moto circolare è variabile e la soluzione è diversa da questa. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta , è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \!</math> tra <math> r \!</math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza , ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio giratore == Il momento di inerzia ha le dimensioni di una massa per una lunghezza al quadrato, viene introdotta una lunghezza caratteristica chiamata raggio giratore <math>r_g</math> definito come quella lunghezza al quadrato che moltiplicato per la massa del corpo eguaglia il momento di inerzia cioè: :<math>I =Mr_g^2\,\!</math> di conseguenza: :<math>r_g=\sqrt{\frac IM}\,\!</math> Solo nel caso dell'anello o del guscio cilindrico il raggio giratore coincide con il raggio, negli altri casi il raggio giratore è più piccolo della maggiore dimensione. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza <math>d\ </math> dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 \,\!</math> Dove <math>I_c\!</math> è il momento di inerzia di un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine sia nel centro di massa in un sistema di coordinate cartesiane e che l'asse delle ''x'' sia sulla congiungente i due assi. In maniera che il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa sia: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) \, dm.</math> Mentre il momento di inerzia relativo all'asse ''z''', che è perpendicolare alla distanza d lungo l'asse ''x'' dal centro di massa, è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] \, dm</math> Sviluppando i vari termini: :<math>I = \int (x^2 + y^2) \, dm + d^2 \int dm - 2d\int x\, dm.</math> Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>Md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale). Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[EEsercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. = Momento angolare nel caso generale= Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math> z \!</math> del sistema cartesiano di riferimento. Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo: :<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math> e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale: :<math>L_z = I\omega\!</math> Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Questa componente del momento angolare è indipendente dalla posizione del polo sull'asse di rotazione. Vi è in genere una altra componente ortogonale all'asse di rotazione <math>L_{\bot}\!</math> che dipende dalla posizione del polo sull'asse e si annulla se l'asse di rotazione passa per il centro di massa ed è un asse di simmetria. La componente trasversa se presente ruota intorno all'asse di rotazione e può anche cambiare di ampiezza. A causa di questa componente in generale il momento angolare di un solido non è parallelo all'asse di rotazione quindi possiamo scomporre il momento angolare: {{Equazione|eq=<math>\vec L = L_z+L_{\bot}\!</math>|id=11}} Il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse per cui viene calcolato, dipende solo dalla forma del corpo e della posizione dell'asse rispetto al corpo. ==Assi di simmetria di un corpo rigido== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]] Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il centro di massa hanno particolare importanza i cosiddetti assi principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia sono almeno tre, ma possono essere in numero superiore se il corpo è dotato di particolari simmetrie. Ad esempio nel caso di simmetria sferica qualsiasi diametro è un asse di simmetria. Nel caso di un cilindro l'asse del cilindro è un asse principale di inerzia assieme a qualsiasi asse ad esso perpendicolare. Una rotazione attorno ad un asse principale di inerzia gode della proprietà che il momento angolare del corpo rigido è parallelo all'asse di rotazione e quindi non vi sono sollecitazioni sull'asse di rotazione. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare dai momenti di inerzia attorno agli principali di inerzia detti momenti principali di inerzia i momenti di inerzia per qualsiasi asse attraverso la costruzione del cosiddetto ellissoide di inerzia. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione un asse di simmetria, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione. Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale. Il moto di precessione si ha anche in assenza di una coppia applicata al corpo. In una precessione senza coppia, come nel caso del moto di una trottola lasciata libera, il momento angolare per la seconda equazione cardinale è costante, ma le velocità angolare cambia di orientazione nel tempo. Se cambiano gli assi attorno a cui avviene la rotazione che sono combinazioni quadratiche degli assi principali di inerzia, il momento di inerzia rispetto ad ogni direzione delle coordinate cambia nel tempo, pur conservandosi costante nel tempo. Il risultato è che la componente della velocità angolare del corpo attorno ad ogni asse variererà inversamente con il momento di inerzia rispetto a quell'asse. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] Un moto che ha notevole importanza è quello in cui il punto di contatto tra il corpo rigido e il piano di appoggio abbia velocità nulla. In questo caso l'asse di rotazione non è un asse materiale ma geometrico, ovvero si sposta insieme al corpo rigido. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto con il piano che rimane fermo e quindi è sottoposto ad una forza di attrito statico. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (una ruota, un cilindro, una sfera). Indichiamo con <math>\vec R</math> è il vettore che ha origine nel centro C e l'altro estremo sul punto di contatto O con il piano. <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. In generale la velocità del punto di contatto è pari a: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> per essere nulla occorre che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che ricordiamo non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui: :<math>a_{CM}=\alpha R</math> Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: == Moto di puro rotolamento con sola forza applicata al CM == [[File:RuotaF.png|thumb|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sull'asse, (notare che nella figura la massa è definita con la m minuscola nel testo è maiuscola)]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>m </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}m</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia del corpo che rotola e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa f che quindi vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se viene applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non è più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio si ha quindi che il moto diventa rototraslatorio in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> quindi più grande è la forza applicata più il moto diventa simile ad un moto traslatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è per le ruote delle automobili non motrici se sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta, anche la forza di attrito cambierebbe di segno, quindi tutte le equazioni rimarrebbero eguali, assieme alla condizione sulla forza massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento M (nel testo <math>\tau\ </math>) applicato all'asse di rotazione.]] Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile in cui viene applicata una coppia sull'asse delle ruote stesse. Nella figura sono mostrate le forze ed i momenti. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare il verso della forza di attrito che è opposto al caso precedente. Il caso considerato è quello in cui come in figura si ha un momento motore. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento che si oppone: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni: :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> L'unica incognita diventa f che vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento M (nel testo <math>\tau\ </math>) che agisce sul suo asse]] Il caso qui studiato si ha quando sul corpo agisce contemporaneamente una forza <math>\vec F\ </math>, un momento <math>\vec \tau\ </math> e la forza di attrito. Nella figura, che è un esempio, <math>\vec F\ </math> è la componente della forza peso nella direzione del piano inclinato <math>|F|=Mg\sin \theta\ </math>; ipotizziamo che <math>\vec \tau\ </math> agisca in senso orario. Il caso ha un carattere generale se a <math>mg\sin \theta\ </math> viene sostituita una forza generica con una componente parallela al piano di appoggio. Il moto può essere in salita come nella figura o in discesa quindi con <math>\theta<0\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento che si oppone: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla eguaglianza delle due ultime espressioni segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Sostituendo nella prima espressione il valore di <math>f\ </math>: :<math>a_{CM}=\frac 1M \frac {\tau/R-Mg\sin \theta}{1+I/(MR^2)}\ </math> Notiamo che se <math>\theta<0\ </math> e <math>\tau /(R)=-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> il valore di f è nullo: cioè è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito, se poi sempre in discesa <math>\tau/(mR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. Anche in questo caso si hanno delle condizioni sul momento massimo applicabile in funzione della pendenza. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutti gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi sulla Dinamica del corpo rigido (superiori)#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} {{Template:Fisica per le superiori}} 6sc2n0iv8k7npre833xfl8e5y4ivedp 4 35656 280531 280451 2025-07-04T06:49:57Z Alexis Jazz 33840 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 280531 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} I dati che seguono sono estratti da una copia ''cache'' del database, il cui ultimo aggiornamento risale al 2025-07-01T08:11:23Z. Un massimo di {{PLURAL:5000|un risultato è disponibile|5000 risultati è disponibile}} in cache. {| class="sortable wikitable" ! 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