Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 30153 283621 280649 2026-04-22T06:54:41Z Mattruffoni 15088 /* Elementi nel quadrilatero */ ingrandita immagine 283621 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Matematica per la scuola media 1|avanzamento = 50%}} In geometria il {{vk|Quadrilatero|quadrilatero}} è un poligono con quattro {{vk|Lato|lati}}, e quindi quattro {{vk|Vertice|vertici}} e quattro {{vk|Angolo|angoli}}, e due {{vk|Diagonale|diagonali}}. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare {{vk|Diagonale|diagonali}}. '''Video per chi non ama leggere: i quadrilateri'''{{YouTube|autore = Schooltoon|minuto =|secondo =|accesso =|id = 9_K5DdIa6So|titolo = Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado|data = 19 ott 2020 }} I {{vk|Quadrilatero|quadrilateri}} possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i {{vk|Lato|lati}}, tra gli {{vk|Angolo|angoli}} e per le caratteristiche delle loro {{vk|Diagonale|diagonali}}. [[File:ClassificazioneQuadrilateri 01.svg|1000px|centro|Classificazione dei quadrilateri attraverso i lati e le diagonali]] ==Elementi nel quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|centro|500px|Quadrilateral elements]] Gli elementi di un quadrilatero sono: * i vertici <math>A, B, C \ e \ D </math> (sono punti) * i lati <math> AB, BC, CD, DA </math> (sono segmenti) * gli angoli interni <math> \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D} </math>, nella figura è ''evidenziato'' il solo angolo interno <math> \hat{DAB} </math> * gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è ''evidenziato'' solo l'angolo formato dal prolungamento del lato <math>DA</math> con il lato <math>AB</math> * le diagonali <math>AC \ e \ BD </math> Nel quadrilatero: * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono consecutivi * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono adiacenti all'angolo <math> \hat{B}</math> * i lati <math>AB</math> e <math>CD</math> sono opposti * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato <math>AB</math> * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{C}</math> sono opposti * i vertici <math>A</math> e <math>B</math> sono consecutivi * le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi. {{-}} ==Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|destra|300px|Quadrilateral elements]] Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}} ==Quadrilateri convessi== ===Somma angoli interni=== La [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|somma degli angoli]] interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo: <math> S = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ </math> [[File:Diagonaaldriehoek2.svg|centro|450px|Diagonaaldriehoek2]] cosa che corrisponde anche all'applicazione della [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|formula generale]] <math>S=(n-2) \cdot 180^\circ</math> <math>S=2 \cdot 180^\circ = 360^\circ</math> e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano <math>S=\frac{2 \cdot 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4}=90^\circ</math> ===Numero delle diagonali=== Anche il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] si può applicare la formula <math>N_d=\frac {n \cdot (n-3)}{2}</math> che per un quadrilatero diventa <math>N_d=\frac {4}{2} = 2</math> ==Quadrilateri inscritti== Un [[I poligoni (scuola media)#Poligoni inscritti|poligono si può inscrivere]] in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.<ref>https://slideplayer.it/slide/12538230/</ref> [[File:QuadrilateroInscritto.png|450px|centro|Quadrilatero inscritto]] Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari. ==Quadrilateri circoscritti== Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti. [[File:QuadrilateroCircoscritto.png|450px|centro|Quadrilatero circoscritto]] <!--==Esercizi per imparare le proprietà dei quadrilateri== Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}}--> ==Classificazione == Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano. ===Dal quadrato ai quadrilateri=== ====Il quadrato==== [[File:Regular polygon 4 annotated.svg|300px|sinistra|Regular polygon 4 annotated]] Il {{vk|Quadrato|quadrato}} è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella ''carriera'' scolastica di uno studente. Il quaderno ''a quadretti'' favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero. Il quadrato ha molte proprietà: * ha quattro lati uguali * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà * ha due diagonali uguali e perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni * è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti [[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|300px|centro|Straight Square Inscribed in a Circle 240px]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del quadrato==== <quiz> {Il lati del quadrato sono |type="()"} -uguali a due a due +tutti uguali -uguali solo gli opposti {Gli angoli del quadrato sono tutti e quattro di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {LA somma di due angoli opposti del quadrato fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del quadrato sono |type="()"} +perpendicolari -proporzionali -parallele {Il quadrato rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire il quadrato==== *[[Disegno geometrico: quadrato (scuola media)]] ====Il rettangolo==== Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno ''a quadretti'' [[File:Rectangle 4x5.svg|centro|300px|Rectangle 4x5]] Le proprietà del rettangolo sono: * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali uguali che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni e ''dimostrano'' che un rettangolo * è inscrittibile in una circonferenza, cioè esiste la circonferenza circoscritta ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali, * non è circoscrivibile ad una circonferenza infatti non sono uguali le somme dei lati opposti [[File:Krug opisan oko pravougaonika.jpg|centro|300px|Krug opisan oko pravougaonika]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo==== <quiz> {Il lati del rettangolo sono |type="()"} -tutti diversi -tutti uguali +uguali gli opposti {Gli angoli del rettangoloo sono tutti uguali di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {La somma di due angoli opposti del rettangolo fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del rettangolo sono |type="()"} +uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari -perpendicolari ma non uguali {Il rettangolo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile +solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire le proprietà del rettangolo==== *[[Disegno geometrico: rettangolo (scuola media)]] {{-}} ====Il rombo==== [[File:Rhombus (polygon).png|centro| 300px|Rhombus (polygon)]] Le proprietà del rombo sono: * ha quattro lati uguali ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni * è circoscrivibile ad una circonferenza le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti * non è inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti non sono supplementari [[File:Rombo 109.svg|centro|300px|Rombo 109]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rombo==== <quiz> {Il lati del rombo sono |type="()"} -tutti diversi +tutti uguali -uguali gli opposti {Gli angoli del rombo sono |type="()"} - tutti diversi - tutti uguali di 45° + uguali gli opposti {Le bisettrici dei quattro angoli coincidono con |type="()"} -i lati -le altezze +le diagonali {Le diagonali del rombo sono |type="()"} -uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari +perpendicolari ma non uguali {Il rombo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile +solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il parallelogramma (romboide)==== [[File:Parallelogram.svg|300px|sinistra|Parallelogramma]] Il {{vk|Parallelogramma|parallelogramma}}, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli. Le proprietà del parallelogramma quindi sono: * lati opposti paralleli * lati opposti uguali * angoli opposti uguali * angoli adiacenti allo stesso lato supplementari * diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma==== <quiz> {Il lati del parallelogramma sono |type="()"} +paralleli a due a due -tutti uguali -adiacenti uguali {Il parallelogramma ha |type="()"} - gli angoli adiacenti uguali - quattro angoli uguali + gli angoli opposti uguali {Gli angoli adiacenti del parallelogramma sono |type="()"} -uguali -complementari +supplementari {Le diagonali del parallelogramma |type="()"} +si tagliano a metà -sono uguali -sono parallele {Il parallelogramma rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +né circoscribile né inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il trapezio==== [[File:Trapezio.png|300px|sinistra||Trapezio]] [[File:Trapezoid.svg|destra|300px|Trapezoid]] Il {{vk|trapezio}} è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli. Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio: *la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli *la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli *i lati obliqui *la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio {{-}} Le proprietà del {{vk|trapezio}} sono: *due lati paralleli *angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale, I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi: *scaleni *isosceli *rettangoli <gallery widths=300px hights=300px> File:Trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi. File:Isosceles trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore. File:Trapezio rettangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} rettangolo ha due angoli retti poiché ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi. File:Trapezio ottusangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} ottusangolo ha un angolo ottuso </gallery> {{-}} =====Trapezio e circonferenza===== [[File:Isosceles trapezoid rotation.gif|centro|200px|Isosceles trapezoid rotation]] Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo. Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato. <gallery widths=300px hights=300px> File:TrapezioCircoscritto.png|thumb|Trapezio Circoscritto File:TrapezioRettangoloCircoscritto.png|thumb|Trapezio Rettangolo Circoscritto File:TrapezioIsosceleInscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto File:TrapezioIsosceleInscrittoCircoscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto </gallery> {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del trapezio==== <quiz> {Il trapezio ha solo |type="()"} -due lati uguali +due lati paralleli -due angoli uguali {Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono |type="()"} - uguali + supplementari - paralleli {Un trapezio rettangolo ha |type="()"} -un solo angolo retto -quattro angoli retti +due angoli retti {Le diagonali del trapezio isoscele sono |type="()"} -perpendicolari +uguali -parallele {La somma degli angoli interni del trapazio è |type="()"} +360° -180° -540° </quiz> {{-}}--> ===Dai quadrilateri al quadrato=== ====Quadrilateri convessi==== Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi. <!-- ===Quadrilatero {{vk|Poligono convesso|convesso}}=== *Ha quattro lati *Quattro angoli interni {{vk|Angolo convesso|convessi}}, cioè minori di 180° ===Trapezio=== --> ==...== ==...== ==Classificazione attraverso le diagonali== ==Tabella riassuntiva== {| class="wikitable" |- ! !! ... !! ... !! .. |- | ... || ...|| ... || ... |- | ... || ...|| ... || |} <!--==La somma degli angoli interni di un quadrilatero== - La formula per calcolare gli angoli interni è 180°*[n-2]= 180°*[4-2]= 180°*2=360°. - poiché ....... La somma degli angoli esterni è per tutti i poligoni 360°.--> ==Note== <references/> ==Bibliografia== Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen ==Collegamenti esterni== [[w:Trapezio]] 4:1= ==Quiz== [[:Area:Scuola media]] 64fpalboxswaruxu8j5zj58eia626hu 283622 283621 2026-04-22T06:55:38Z Mattruffoni 15088 /* Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero */ ingrandita immagine 283622 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Matematica per la scuola media 1|avanzamento = 50%}} In geometria il {{vk|Quadrilatero|quadrilatero}} è un poligono con quattro {{vk|Lato|lati}}, e quindi quattro {{vk|Vertice|vertici}} e quattro {{vk|Angolo|angoli}}, e due {{vk|Diagonale|diagonali}}. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare {{vk|Diagonale|diagonali}}. '''Video per chi non ama leggere: i quadrilateri'''{{YouTube|autore = Schooltoon|minuto =|secondo =|accesso =|id = 9_K5DdIa6So|titolo = Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado|data = 19 ott 2020 }} I {{vk|Quadrilatero|quadrilateri}} possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i {{vk|Lato|lati}}, tra gli {{vk|Angolo|angoli}} e per le caratteristiche delle loro {{vk|Diagonale|diagonali}}. [[File:ClassificazioneQuadrilateri 01.svg|1000px|centro|Classificazione dei quadrilateri attraverso i lati e le diagonali]] ==Elementi nel quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|centro|500px|Quadrilateral elements]] Gli elementi di un quadrilatero sono: * i vertici <math>A, B, C \ e \ D </math> (sono punti) * i lati <math> AB, BC, CD, DA </math> (sono segmenti) * gli angoli interni <math> \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D} </math>, nella figura è ''evidenziato'' il solo angolo interno <math> \hat{DAB} </math> * gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è ''evidenziato'' solo l'angolo formato dal prolungamento del lato <math>DA</math> con il lato <math>AB</math> * le diagonali <math>AC \ e \ BD </math> Nel quadrilatero: * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono consecutivi * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono adiacenti all'angolo <math> \hat{B}</math> * i lati <math>AB</math> e <math>CD</math> sono opposti * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato <math>AB</math> * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{C}</math> sono opposti * i vertici <math>A</math> e <math>B</math> sono consecutivi * le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi. {{-}} ==Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|destra|400px|Quadrilateral elements]] Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}} ==Quadrilateri convessi== ===Somma angoli interni=== La [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|somma degli angoli]] interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo: <math> S = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ </math> [[File:Diagonaaldriehoek2.svg|centro|450px|Diagonaaldriehoek2]] cosa che corrisponde anche all'applicazione della [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|formula generale]] <math>S=(n-2) \cdot 180^\circ</math> <math>S=2 \cdot 180^\circ = 360^\circ</math> e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano <math>S=\frac{2 \cdot 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4}=90^\circ</math> ===Numero delle diagonali=== Anche il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] si può applicare la formula <math>N_d=\frac {n \cdot (n-3)}{2}</math> che per un quadrilatero diventa <math>N_d=\frac {4}{2} = 2</math> ==Quadrilateri inscritti== Un [[I poligoni (scuola media)#Poligoni inscritti|poligono si può inscrivere]] in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.<ref>https://slideplayer.it/slide/12538230/</ref> [[File:QuadrilateroInscritto.png|450px|centro|Quadrilatero inscritto]] Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari. ==Quadrilateri circoscritti== Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti. [[File:QuadrilateroCircoscritto.png|450px|centro|Quadrilatero circoscritto]] <!--==Esercizi per imparare le proprietà dei quadrilateri== Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}}--> ==Classificazione == Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano. ===Dal quadrato ai quadrilateri=== ====Il quadrato==== [[File:Regular polygon 4 annotated.svg|300px|sinistra|Regular polygon 4 annotated]] Il {{vk|Quadrato|quadrato}} è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella ''carriera'' scolastica di uno studente. Il quaderno ''a quadretti'' favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero. Il quadrato ha molte proprietà: * ha quattro lati uguali * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà * ha due diagonali uguali e perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni * è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti [[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|300px|centro|Straight Square Inscribed in a Circle 240px]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del quadrato==== <quiz> {Il lati del quadrato sono |type="()"} -uguali a due a due +tutti uguali -uguali solo gli opposti {Gli angoli del quadrato sono tutti e quattro di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {LA somma di due angoli opposti del quadrato fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del quadrato sono |type="()"} +perpendicolari -proporzionali -parallele {Il quadrato rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire il quadrato==== *[[Disegno geometrico: quadrato (scuola media)]] ====Il rettangolo==== Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno ''a quadretti'' [[File:Rectangle 4x5.svg|centro|300px|Rectangle 4x5]] Le proprietà del rettangolo sono: * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali uguali che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni e ''dimostrano'' che un rettangolo * è inscrittibile in una circonferenza, cioè esiste la circonferenza circoscritta ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali, * non è circoscrivibile ad una circonferenza infatti non sono uguali le somme dei lati opposti [[File:Krug opisan oko pravougaonika.jpg|centro|300px|Krug opisan oko pravougaonika]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo==== <quiz> {Il lati del rettangolo sono |type="()"} -tutti diversi -tutti uguali +uguali gli opposti {Gli angoli del rettangoloo sono tutti uguali di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {La somma di due angoli opposti del rettangolo fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del rettangolo sono |type="()"} +uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari -perpendicolari ma non uguali {Il rettangolo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile +solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire le proprietà del rettangolo==== *[[Disegno geometrico: rettangolo (scuola media)]] {{-}} ====Il rombo==== [[File:Rhombus (polygon).png|centro| 300px|Rhombus (polygon)]] Le proprietà del rombo sono: * ha quattro lati uguali ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni * è circoscrivibile ad una circonferenza le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti * non è inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti non sono supplementari [[File:Rombo 109.svg|centro|300px|Rombo 109]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rombo==== <quiz> {Il lati del rombo sono |type="()"} -tutti diversi +tutti uguali -uguali gli opposti {Gli angoli del rombo sono |type="()"} - tutti diversi - tutti uguali di 45° + uguali gli opposti {Le bisettrici dei quattro angoli coincidono con |type="()"} -i lati -le altezze +le diagonali {Le diagonali del rombo sono |type="()"} -uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari +perpendicolari ma non uguali {Il rombo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile +solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il parallelogramma (romboide)==== [[File:Parallelogram.svg|300px|sinistra|Parallelogramma]] Il {{vk|Parallelogramma|parallelogramma}}, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli. Le proprietà del parallelogramma quindi sono: * lati opposti paralleli * lati opposti uguali * angoli opposti uguali * angoli adiacenti allo stesso lato supplementari * diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma==== <quiz> {Il lati del parallelogramma sono |type="()"} +paralleli a due a due -tutti uguali -adiacenti uguali {Il parallelogramma ha |type="()"} - gli angoli adiacenti uguali - quattro angoli uguali + gli angoli opposti uguali {Gli angoli adiacenti del parallelogramma sono |type="()"} -uguali -complementari +supplementari {Le diagonali del parallelogramma |type="()"} +si tagliano a metà -sono uguali -sono parallele {Il parallelogramma rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +né circoscribile né inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il trapezio==== [[File:Trapezio.png|300px|sinistra||Trapezio]] [[File:Trapezoid.svg|destra|300px|Trapezoid]] Il {{vk|trapezio}} è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli. Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio: *la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli *la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli *i lati obliqui *la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio {{-}} Le proprietà del {{vk|trapezio}} sono: *due lati paralleli *angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale, I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi: *scaleni *isosceli *rettangoli <gallery widths=300px hights=300px> File:Trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi. File:Isosceles trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore. File:Trapezio rettangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} rettangolo ha due angoli retti poiché ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi. File:Trapezio ottusangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} ottusangolo ha un angolo ottuso </gallery> {{-}} =====Trapezio e circonferenza===== [[File:Isosceles trapezoid rotation.gif|centro|200px|Isosceles trapezoid rotation]] Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo. Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato. <gallery widths=300px hights=300px> File:TrapezioCircoscritto.png|thumb|Trapezio Circoscritto File:TrapezioRettangoloCircoscritto.png|thumb|Trapezio Rettangolo Circoscritto File:TrapezioIsosceleInscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto File:TrapezioIsosceleInscrittoCircoscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto </gallery> {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del trapezio==== <quiz> {Il trapezio ha solo |type="()"} -due lati uguali +due lati paralleli -due angoli uguali {Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono |type="()"} - uguali + supplementari - paralleli {Un trapezio rettangolo ha |type="()"} -un solo angolo retto -quattro angoli retti +due angoli retti {Le diagonali del trapezio isoscele sono |type="()"} -perpendicolari +uguali -parallele {La somma degli angoli interni del trapazio è |type="()"} +360° -180° -540° </quiz> {{-}}--> ===Dai quadrilateri al quadrato=== ====Quadrilateri convessi==== Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi. <!-- ===Quadrilatero {{vk|Poligono convesso|convesso}}=== *Ha quattro lati *Quattro angoli interni {{vk|Angolo convesso|convessi}}, cioè minori di 180° ===Trapezio=== --> ==...== ==...== ==Classificazione attraverso le diagonali== ==Tabella riassuntiva== {| class="wikitable" |- ! !! ... !! ... !! .. |- | ... || ...|| ... || ... |- | ... || ...|| ... || |} <!--==La somma degli angoli interni di un quadrilatero== - La formula per calcolare gli angoli interni è 180°*[n-2]= 180°*[4-2]= 180°*2=360°. - poiché ....... La somma degli angoli esterni è per tutti i poligoni 360°.--> ==Note== <references/> ==Bibliografia== Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen ==Collegamenti esterni== [[w:Trapezio]] 4:1= ==Quiz== [[:Area:Scuola media]] e3lp5ug0e4ldaptve6oalsxvttj7pdi 283623 283622 2026-04-22T06:58:13Z Mattruffoni 15088 /* Somma angoli interni */ aggiunti dettagli 283623 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Matematica per la scuola media 1|avanzamento = 50%}} In geometria il {{vk|Quadrilatero|quadrilatero}} è un poligono con quattro {{vk|Lato|lati}}, e quindi quattro {{vk|Vertice|vertici}} e quattro {{vk|Angolo|angoli}}, e due {{vk|Diagonale|diagonali}}. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare {{vk|Diagonale|diagonali}}. '''Video per chi non ama leggere: i quadrilateri'''{{YouTube|autore = Schooltoon|minuto =|secondo =|accesso =|id = 9_K5DdIa6So|titolo = Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado|data = 19 ott 2020 }} I {{vk|Quadrilatero|quadrilateri}} possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i {{vk|Lato|lati}}, tra gli {{vk|Angolo|angoli}} e per le caratteristiche delle loro {{vk|Diagonale|diagonali}}. [[File:ClassificazioneQuadrilateri 01.svg|1000px|centro|Classificazione dei quadrilateri attraverso i lati e le diagonali]] ==Elementi nel quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|centro|500px|Quadrilateral elements]] Gli elementi di un quadrilatero sono: * i vertici <math>A, B, C \ e \ D </math> (sono punti) * i lati <math> AB, BC, CD, DA </math> (sono segmenti) * gli angoli interni <math> \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D} </math>, nella figura è ''evidenziato'' il solo angolo interno <math> \hat{DAB} </math> * gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è ''evidenziato'' solo l'angolo formato dal prolungamento del lato <math>DA</math> con il lato <math>AB</math> * le diagonali <math>AC \ e \ BD </math> Nel quadrilatero: * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono consecutivi * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono adiacenti all'angolo <math> \hat{B}</math> * i lati <math>AB</math> e <math>CD</math> sono opposti * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato <math>AB</math> * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{C}</math> sono opposti * i vertici <math>A</math> e <math>B</math> sono consecutivi * le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi. {{-}} ==Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|destra|400px|Quadrilateral elements]] Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}} ==Quadrilateri convessi== ===Somma angoli interni=== La [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|somma degli angoli]] interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo: <math> S = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ </math> [[File:Diagonaaldriehoek2.svg|centro|450px|Diagonaaldriehoek2]] cosa che corrisponde anche all'applicazione della [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|formula generale]], con <math>n</math> = numero dei lati <math>S=(n-2) \cdot 180^\circ</math> calcolata per un quadrilatero <math>n=4</math> <math>S=2 \cdot 180^\circ = 360^\circ</math> e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano <math>S=\frac{2 \cdot 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4}=90^\circ</math> ===Numero delle diagonali=== Anche il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] si può applicare la formula <math>N_d=\frac {n \cdot (n-3)}{2}</math> che per un quadrilatero diventa <math>N_d=\frac {4}{2} = 2</math> ==Quadrilateri inscritti== Un [[I poligoni (scuola media)#Poligoni inscritti|poligono si può inscrivere]] in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.<ref>https://slideplayer.it/slide/12538230/</ref> [[File:QuadrilateroInscritto.png|450px|centro|Quadrilatero inscritto]] Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari. ==Quadrilateri circoscritti== Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti. [[File:QuadrilateroCircoscritto.png|450px|centro|Quadrilatero circoscritto]] <!--==Esercizi per imparare le proprietà dei quadrilateri== Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}}--> ==Classificazione == Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano. ===Dal quadrato ai quadrilateri=== ====Il quadrato==== [[File:Regular polygon 4 annotated.svg|300px|sinistra|Regular polygon 4 annotated]] Il {{vk|Quadrato|quadrato}} è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella ''carriera'' scolastica di uno studente. Il quaderno ''a quadretti'' favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero. Il quadrato ha molte proprietà: * ha quattro lati uguali * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà * ha due diagonali uguali e perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni * è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti [[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|300px|centro|Straight Square Inscribed in a Circle 240px]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del quadrato==== <quiz> {Il lati del quadrato sono |type="()"} -uguali a due a due +tutti uguali -uguali solo gli opposti {Gli angoli del quadrato sono tutti e quattro di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {LA somma di due angoli opposti del quadrato fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del quadrato sono |type="()"} +perpendicolari -proporzionali -parallele {Il quadrato rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire il quadrato==== *[[Disegno geometrico: quadrato (scuola media)]] ====Il rettangolo==== Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno ''a quadretti'' [[File:Rectangle 4x5.svg|centro|300px|Rectangle 4x5]] Le proprietà del rettangolo sono: * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali uguali che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni e ''dimostrano'' che un rettangolo * è inscrittibile in una circonferenza, cioè esiste la circonferenza circoscritta ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali, * non è circoscrivibile ad una circonferenza infatti non sono uguali le somme dei lati opposti [[File:Krug opisan oko pravougaonika.jpg|centro|300px|Krug opisan oko pravougaonika]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo==== <quiz> {Il lati del rettangolo sono |type="()"} -tutti diversi -tutti uguali +uguali gli opposti {Gli angoli del rettangoloo sono tutti uguali di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {La somma di due angoli opposti del rettangolo fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del rettangolo sono |type="()"} +uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari -perpendicolari ma non uguali {Il rettangolo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile +solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire le proprietà del rettangolo==== *[[Disegno geometrico: rettangolo (scuola media)]] {{-}} ====Il rombo==== [[File:Rhombus (polygon).png|centro| 300px|Rhombus (polygon)]] Le proprietà del rombo sono: * ha quattro lati uguali ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni * è circoscrivibile ad una circonferenza le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti * non è inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti non sono supplementari [[File:Rombo 109.svg|centro|300px|Rombo 109]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rombo==== <quiz> {Il lati del rombo sono |type="()"} -tutti diversi +tutti uguali -uguali gli opposti {Gli angoli del rombo sono |type="()"} - tutti diversi - tutti uguali di 45° + uguali gli opposti {Le bisettrici dei quattro angoli coincidono con |type="()"} -i lati -le altezze +le diagonali {Le diagonali del rombo sono |type="()"} -uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari +perpendicolari ma non uguali {Il rombo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile +solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il parallelogramma (romboide)==== [[File:Parallelogram.svg|300px|sinistra|Parallelogramma]] Il {{vk|Parallelogramma|parallelogramma}}, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli. Le proprietà del parallelogramma quindi sono: * lati opposti paralleli * lati opposti uguali * angoli opposti uguali * angoli adiacenti allo stesso lato supplementari * diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma==== <quiz> {Il lati del parallelogramma sono |type="()"} +paralleli a due a due -tutti uguali -adiacenti uguali {Il parallelogramma ha |type="()"} - gli angoli adiacenti uguali - quattro angoli uguali + gli angoli opposti uguali {Gli angoli adiacenti del parallelogramma sono |type="()"} -uguali -complementari +supplementari {Le diagonali del parallelogramma |type="()"} +si tagliano a metà -sono uguali -sono parallele {Il parallelogramma rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +né circoscribile né inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il trapezio==== [[File:Trapezio.png|300px|sinistra||Trapezio]] [[File:Trapezoid.svg|destra|300px|Trapezoid]] Il {{vk|trapezio}} è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli. Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio: *la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli *la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli *i lati obliqui *la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio {{-}} Le proprietà del {{vk|trapezio}} sono: *due lati paralleli *angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale, I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi: *scaleni *isosceli *rettangoli <gallery widths=300px hights=300px> File:Trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi. File:Isosceles trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore. File:Trapezio rettangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} rettangolo ha due angoli retti poiché ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi. File:Trapezio ottusangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} ottusangolo ha un angolo ottuso </gallery> {{-}} =====Trapezio e circonferenza===== [[File:Isosceles trapezoid rotation.gif|centro|200px|Isosceles trapezoid rotation]] Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo. Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato. <gallery widths=300px hights=300px> File:TrapezioCircoscritto.png|thumb|Trapezio Circoscritto File:TrapezioRettangoloCircoscritto.png|thumb|Trapezio Rettangolo Circoscritto File:TrapezioIsosceleInscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto File:TrapezioIsosceleInscrittoCircoscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto </gallery> {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del trapezio==== <quiz> {Il trapezio ha solo |type="()"} -due lati uguali +due lati paralleli -due angoli uguali {Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono |type="()"} - uguali + supplementari - paralleli {Un trapezio rettangolo ha |type="()"} -un solo angolo retto -quattro angoli retti +due angoli retti {Le diagonali del trapezio isoscele sono |type="()"} -perpendicolari +uguali -parallele {La somma degli angoli interni del trapazio è |type="()"} +360° -180° -540° </quiz> {{-}}--> ===Dai quadrilateri al quadrato=== ====Quadrilateri convessi==== Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi. <!-- ===Quadrilatero {{vk|Poligono convesso|convesso}}=== *Ha quattro lati *Quattro angoli interni {{vk|Angolo convesso|convessi}}, cioè minori di 180° ===Trapezio=== --> ==...== ==...== ==Classificazione attraverso le diagonali== ==Tabella riassuntiva== {| class="wikitable" |- ! !! ... !! ... !! .. |- | ... || ...|| ... || ... |- | ... || ...|| ... || |} <!--==La somma degli angoli interni di un quadrilatero== - La formula per calcolare gli angoli interni è 180°*[n-2]= 180°*[4-2]= 180°*2=360°. - poiché ....... La somma degli angoli esterni è per tutti i poligoni 360°.--> ==Note== <references/> ==Bibliografia== Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen ==Collegamenti esterni== [[w:Trapezio]] 4:1= ==Quiz== [[:Area:Scuola media]] ic4fg31gnwhtyxkuuyj381xceh558j8 283624 283623 2026-04-22T06:59:30Z Mattruffoni 15088 /* Numero delle diagonali */ dettagli 283624 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Matematica per la scuola media 1|avanzamento = 50%}} In geometria il {{vk|Quadrilatero|quadrilatero}} è un poligono con quattro {{vk|Lato|lati}}, e quindi quattro {{vk|Vertice|vertici}} e quattro {{vk|Angolo|angoli}}, e due {{vk|Diagonale|diagonali}}. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare {{vk|Diagonale|diagonali}}. '''Video per chi non ama leggere: i quadrilateri'''{{YouTube|autore = Schooltoon|minuto =|secondo =|accesso =|id = 9_K5DdIa6So|titolo = Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado|data = 19 ott 2020 }} I {{vk|Quadrilatero|quadrilateri}} possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i {{vk|Lato|lati}}, tra gli {{vk|Angolo|angoli}} e per le caratteristiche delle loro {{vk|Diagonale|diagonali}}. [[File:ClassificazioneQuadrilateri 01.svg|1000px|centro|Classificazione dei quadrilateri attraverso i lati e le diagonali]] ==Elementi nel quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|centro|500px|Quadrilateral elements]] Gli elementi di un quadrilatero sono: * i vertici <math>A, B, C \ e \ D </math> (sono punti) * i lati <math> AB, BC, CD, DA </math> (sono segmenti) * gli angoli interni <math> \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D} </math>, nella figura è ''evidenziato'' il solo angolo interno <math> \hat{DAB} </math> * gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è ''evidenziato'' solo l'angolo formato dal prolungamento del lato <math>DA</math> con il lato <math>AB</math> * le diagonali <math>AC \ e \ BD </math> Nel quadrilatero: * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono consecutivi * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono adiacenti all'angolo <math> \hat{B}</math> * i lati <math>AB</math> e <math>CD</math> sono opposti * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato <math>AB</math> * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{C}</math> sono opposti * i vertici <math>A</math> e <math>B</math> sono consecutivi * le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi. {{-}} ==Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|destra|400px|Quadrilateral elements]] Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}} ==Quadrilateri convessi== ===Somma angoli interni=== La [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|somma degli angoli]] interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo: <math> S = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ </math> [[File:Diagonaaldriehoek2.svg|centro|450px|Diagonaaldriehoek2]] cosa che corrisponde anche all'applicazione della [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|formula generale]], con <math>n</math> = numero dei lati <math>S=(n-2) \cdot 180^\circ</math> calcolata per un quadrilatero <math>n=4</math> <math>S=2 \cdot 180^\circ = 360^\circ</math> e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano <math>S=\frac{2 \cdot 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4}=90^\circ</math> ===Numero delle diagonali=== Anche il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] si può applicare la formula, dove ancora <math>n</math> = numero dei lati <math>N_d=\frac {n \cdot (n-3)}{2}</math> che per un quadrilatero, ripetiamo <math>n=4</math>, diventa <math>N_d=\frac {4}{2} = 2</math> ==Quadrilateri inscritti== Un [[I poligoni (scuola media)#Poligoni inscritti|poligono si può inscrivere]] in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.<ref>https://slideplayer.it/slide/12538230/</ref> [[File:QuadrilateroInscritto.png|450px|centro|Quadrilatero inscritto]] Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari. ==Quadrilateri circoscritti== Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti. [[File:QuadrilateroCircoscritto.png|450px|centro|Quadrilatero circoscritto]] <!--==Esercizi per imparare le proprietà dei quadrilateri== Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}}--> ==Classificazione == Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano. ===Dal quadrato ai quadrilateri=== ====Il quadrato==== [[File:Regular polygon 4 annotated.svg|300px|sinistra|Regular polygon 4 annotated]] Il {{vk|Quadrato|quadrato}} è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella ''carriera'' scolastica di uno studente. Il quaderno ''a quadretti'' favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero. Il quadrato ha molte proprietà: * ha quattro lati uguali * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà * ha due diagonali uguali e perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni * è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti [[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|300px|centro|Straight Square Inscribed in a Circle 240px]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del quadrato==== <quiz> {Il lati del quadrato sono |type="()"} -uguali a due a due +tutti uguali -uguali solo gli opposti {Gli angoli del quadrato sono tutti e quattro di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {LA somma di due angoli opposti del quadrato fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del quadrato sono |type="()"} +perpendicolari -proporzionali -parallele {Il quadrato rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire il quadrato==== *[[Disegno geometrico: quadrato (scuola media)]] ====Il rettangolo==== Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno ''a quadretti'' [[File:Rectangle 4x5.svg|centro|300px|Rectangle 4x5]] Le proprietà del rettangolo sono: * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali uguali che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni e ''dimostrano'' che un rettangolo * è inscrittibile in una circonferenza, cioè esiste la circonferenza circoscritta ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali, * non è circoscrivibile ad una circonferenza infatti non sono uguali le somme dei lati opposti [[File:Krug opisan oko pravougaonika.jpg|centro|300px|Krug opisan oko pravougaonika]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo==== <quiz> {Il lati del rettangolo sono |type="()"} -tutti diversi -tutti uguali +uguali gli opposti {Gli angoli del rettangoloo sono tutti uguali di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {La somma di due angoli opposti del rettangolo fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del rettangolo sono |type="()"} +uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari -perpendicolari ma non uguali {Il rettangolo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile +solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire le proprietà del rettangolo==== *[[Disegno geometrico: rettangolo (scuola media)]] {{-}} ====Il rombo==== [[File:Rhombus (polygon).png|centro| 300px|Rhombus (polygon)]] Le proprietà del rombo sono: * ha quattro lati uguali ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni * è circoscrivibile ad una circonferenza le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti * non è inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti non sono supplementari [[File:Rombo 109.svg|centro|300px|Rombo 109]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rombo==== <quiz> {Il lati del rombo sono |type="()"} -tutti diversi +tutti uguali -uguali gli opposti {Gli angoli del rombo sono |type="()"} - tutti diversi - tutti uguali di 45° + uguali gli opposti {Le bisettrici dei quattro angoli coincidono con |type="()"} -i lati -le altezze +le diagonali {Le diagonali del rombo sono |type="()"} -uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari +perpendicolari ma non uguali {Il rombo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile +solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il parallelogramma (romboide)==== [[File:Parallelogram.svg|300px|sinistra|Parallelogramma]] Il {{vk|Parallelogramma|parallelogramma}}, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli. Le proprietà del parallelogramma quindi sono: * lati opposti paralleli * lati opposti uguali * angoli opposti uguali * angoli adiacenti allo stesso lato supplementari * diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma==== <quiz> {Il lati del parallelogramma sono |type="()"} +paralleli a due a due -tutti uguali -adiacenti uguali {Il parallelogramma ha |type="()"} - gli angoli adiacenti uguali - quattro angoli uguali + gli angoli opposti uguali {Gli angoli adiacenti del parallelogramma sono |type="()"} -uguali -complementari +supplementari {Le diagonali del parallelogramma |type="()"} +si tagliano a metà -sono uguali -sono parallele {Il parallelogramma rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +né circoscribile né inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il trapezio==== [[File:Trapezio.png|300px|sinistra||Trapezio]] [[File:Trapezoid.svg|destra|300px|Trapezoid]] Il {{vk|trapezio}} è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli. Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio: *la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli *la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli *i lati obliqui *la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio {{-}} Le proprietà del {{vk|trapezio}} sono: *due lati paralleli *angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale, I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi: *scaleni *isosceli *rettangoli <gallery widths=300px hights=300px> File:Trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi. File:Isosceles trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore. File:Trapezio rettangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} rettangolo ha due angoli retti poiché ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi. File:Trapezio ottusangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} ottusangolo ha un angolo ottuso </gallery> {{-}} =====Trapezio e circonferenza===== [[File:Isosceles trapezoid rotation.gif|centro|200px|Isosceles trapezoid rotation]] Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo. Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato. <gallery widths=300px hights=300px> File:TrapezioCircoscritto.png|thumb|Trapezio Circoscritto File:TrapezioRettangoloCircoscritto.png|thumb|Trapezio Rettangolo Circoscritto File:TrapezioIsosceleInscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto File:TrapezioIsosceleInscrittoCircoscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto </gallery> {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del trapezio==== <quiz> {Il trapezio ha solo |type="()"} -due lati uguali +due lati paralleli -due angoli uguali {Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono |type="()"} - uguali + supplementari - paralleli {Un trapezio rettangolo ha |type="()"} -un solo angolo retto -quattro angoli retti +due angoli retti {Le diagonali del trapezio isoscele sono |type="()"} -perpendicolari +uguali -parallele {La somma degli angoli interni del trapazio è |type="()"} +360° -180° -540° </quiz> {{-}}--> ===Dai quadrilateri al quadrato=== ====Quadrilateri convessi==== Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi. <!-- ===Quadrilatero {{vk|Poligono convesso|convesso}}=== *Ha quattro lati *Quattro angoli interni {{vk|Angolo convesso|convessi}}, cioè minori di 180° ===Trapezio=== --> ==...== ==...== ==Classificazione attraverso le diagonali== ==Tabella riassuntiva== {| class="wikitable" |- ! !! ... !! ... !! .. |- | ... || ...|| ... || ... |- | ... || ...|| ... || |} <!--==La somma degli angoli interni di un quadrilatero== - La formula per calcolare gli angoli interni è 180°*[n-2]= 180°*[4-2]= 180°*2=360°. - poiché ....... La somma degli angoli esterni è per tutti i poligoni 360°.--> ==Note== <references/> ==Bibliografia== Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen ==Collegamenti esterni== [[w:Trapezio]] 4:1= ==Quiz== [[:Area:Scuola media]] 61klf6ryn2z3bje7jhg43yxipt2fjmz 283625 283624 2026-04-22T07:01:40Z Mattruffoni 15088 /* Collegamenti esterni */ 283625 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Matematica per la scuola media 1|avanzamento = 50%}} In geometria il {{vk|Quadrilatero|quadrilatero}} è un poligono con quattro {{vk|Lato|lati}}, e quindi quattro {{vk|Vertice|vertici}} e quattro {{vk|Angolo|angoli}}, e due {{vk|Diagonale|diagonali}}. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare {{vk|Diagonale|diagonali}}. '''Video per chi non ama leggere: i quadrilateri'''{{YouTube|autore = Schooltoon|minuto =|secondo =|accesso =|id = 9_K5DdIa6So|titolo = Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado|data = 19 ott 2020 }} I {{vk|Quadrilatero|quadrilateri}} possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i {{vk|Lato|lati}}, tra gli {{vk|Angolo|angoli}} e per le caratteristiche delle loro {{vk|Diagonale|diagonali}}. [[File:ClassificazioneQuadrilateri 01.svg|1000px|centro|Classificazione dei quadrilateri attraverso i lati e le diagonali]] ==Elementi nel quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|centro|500px|Quadrilateral elements]] Gli elementi di un quadrilatero sono: * i vertici <math>A, B, C \ e \ D </math> (sono punti) * i lati <math> AB, BC, CD, DA </math> (sono segmenti) * gli angoli interni <math> \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D} </math>, nella figura è ''evidenziato'' il solo angolo interno <math> \hat{DAB} </math> * gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è ''evidenziato'' solo l'angolo formato dal prolungamento del lato <math>DA</math> con il lato <math>AB</math> * le diagonali <math>AC \ e \ BD </math> Nel quadrilatero: * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono consecutivi * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono adiacenti all'angolo <math> \hat{B}</math> * i lati <math>AB</math> e <math>CD</math> sono opposti * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato <math>AB</math> * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{C}</math> sono opposti * i vertici <math>A</math> e <math>B</math> sono consecutivi * le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi. {{-}} ==Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|destra|400px|Quadrilateral elements]] Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}} ==Quadrilateri convessi== ===Somma angoli interni=== La [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|somma degli angoli]] interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo: <math> S = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ </math> [[File:Diagonaaldriehoek2.svg|centro|450px|Diagonaaldriehoek2]] cosa che corrisponde anche all'applicazione della [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|formula generale]], con <math>n</math> = numero dei lati <math>S=(n-2) \cdot 180^\circ</math> calcolata per un quadrilatero <math>n=4</math> <math>S=2 \cdot 180^\circ = 360^\circ</math> e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano <math>S=\frac{2 \cdot 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4}=90^\circ</math> ===Numero delle diagonali=== Anche il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] si può applicare la formula, dove ancora <math>n</math> = numero dei lati <math>N_d=\frac {n \cdot (n-3)}{2}</math> che per un quadrilatero, ripetiamo <math>n=4</math>, diventa <math>N_d=\frac {4}{2} = 2</math> ==Quadrilateri inscritti== Un [[I poligoni (scuola media)#Poligoni inscritti|poligono si può inscrivere]] in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.<ref>https://slideplayer.it/slide/12538230/</ref> [[File:QuadrilateroInscritto.png|450px|centro|Quadrilatero inscritto]] Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari. ==Quadrilateri circoscritti== Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti. [[File:QuadrilateroCircoscritto.png|450px|centro|Quadrilatero circoscritto]] <!--==Esercizi per imparare le proprietà dei quadrilateri== Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}}--> ==Classificazione == Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano. ===Dal quadrato ai quadrilateri=== ====Il quadrato==== [[File:Regular polygon 4 annotated.svg|300px|sinistra|Regular polygon 4 annotated]] Il {{vk|Quadrato|quadrato}} è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella ''carriera'' scolastica di uno studente. Il quaderno ''a quadretti'' favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero. Il quadrato ha molte proprietà: * ha quattro lati uguali * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà * ha due diagonali uguali e perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni * è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti [[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|300px|centro|Straight Square Inscribed in a Circle 240px]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del quadrato==== <quiz> {Il lati del quadrato sono |type="()"} -uguali a due a due +tutti uguali -uguali solo gli opposti {Gli angoli del quadrato sono tutti e quattro di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {LA somma di due angoli opposti del quadrato fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del quadrato sono |type="()"} +perpendicolari -proporzionali -parallele {Il quadrato rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire il quadrato==== *[[Disegno geometrico: quadrato (scuola media)]] ====Il rettangolo==== Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno ''a quadretti'' [[File:Rectangle 4x5.svg|centro|300px|Rectangle 4x5]] Le proprietà del rettangolo sono: * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali uguali che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni e ''dimostrano'' che un rettangolo * è inscrittibile in una circonferenza, cioè esiste la circonferenza circoscritta ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali, * non è circoscrivibile ad una circonferenza infatti non sono uguali le somme dei lati opposti [[File:Krug opisan oko pravougaonika.jpg|centro|300px|Krug opisan oko pravougaonika]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo==== <quiz> {Il lati del rettangolo sono |type="()"} -tutti diversi -tutti uguali +uguali gli opposti {Gli angoli del rettangoloo sono tutti uguali di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {La somma di due angoli opposti del rettangolo fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del rettangolo sono |type="()"} +uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari -perpendicolari ma non uguali {Il rettangolo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile +solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire le proprietà del rettangolo==== *[[Disegno geometrico: rettangolo (scuola media)]] {{-}} ====Il rombo==== [[File:Rhombus (polygon).png|centro| 300px|Rhombus (polygon)]] Le proprietà del rombo sono: * ha quattro lati uguali ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni * è circoscrivibile ad una circonferenza le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti * non è inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti non sono supplementari [[File:Rombo 109.svg|centro|300px|Rombo 109]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rombo==== <quiz> {Il lati del rombo sono |type="()"} -tutti diversi +tutti uguali -uguali gli opposti {Gli angoli del rombo sono |type="()"} - tutti diversi - tutti uguali di 45° + uguali gli opposti {Le bisettrici dei quattro angoli coincidono con |type="()"} -i lati -le altezze +le diagonali {Le diagonali del rombo sono |type="()"} -uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari +perpendicolari ma non uguali {Il rombo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile +solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il parallelogramma (romboide)==== [[File:Parallelogram.svg|300px|sinistra|Parallelogramma]] Il {{vk|Parallelogramma|parallelogramma}}, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli. Le proprietà del parallelogramma quindi sono: * lati opposti paralleli * lati opposti uguali * angoli opposti uguali * angoli adiacenti allo stesso lato supplementari * diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma==== <quiz> {Il lati del parallelogramma sono |type="()"} +paralleli a due a due -tutti uguali -adiacenti uguali {Il parallelogramma ha |type="()"} - gli angoli adiacenti uguali - quattro angoli uguali + gli angoli opposti uguali {Gli angoli adiacenti del parallelogramma sono |type="()"} -uguali -complementari +supplementari {Le diagonali del parallelogramma |type="()"} +si tagliano a metà -sono uguali -sono parallele {Il parallelogramma rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +né circoscribile né inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il trapezio==== [[File:Trapezio.png|300px|sinistra||Trapezio]] [[File:Trapezoid.svg|destra|300px|Trapezoid]] Il {{vk|trapezio}} è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli. Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio: *la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli *la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli *i lati obliqui *la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio {{-}} Le proprietà del {{vk|trapezio}} sono: *due lati paralleli *angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale, I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi: *scaleni *isosceli *rettangoli <gallery widths=300px hights=300px> File:Trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi. File:Isosceles trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore. File:Trapezio rettangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} rettangolo ha due angoli retti poiché ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi. File:Trapezio ottusangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} ottusangolo ha un angolo ottuso </gallery> {{-}} =====Trapezio e circonferenza===== [[File:Isosceles trapezoid rotation.gif|centro|200px|Isosceles trapezoid rotation]] Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo. Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato. <gallery widths=300px hights=300px> File:TrapezioCircoscritto.png|thumb|Trapezio Circoscritto File:TrapezioRettangoloCircoscritto.png|thumb|Trapezio Rettangolo Circoscritto File:TrapezioIsosceleInscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto File:TrapezioIsosceleInscrittoCircoscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto </gallery> {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del trapezio==== <quiz> {Il trapezio ha solo |type="()"} -due lati uguali +due lati paralleli -due angoli uguali {Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono |type="()"} - uguali + supplementari - paralleli {Un trapezio rettangolo ha |type="()"} -un solo angolo retto -quattro angoli retti +due angoli retti {Le diagonali del trapezio isoscele sono |type="()"} -perpendicolari +uguali -parallele {La somma degli angoli interni del trapazio è |type="()"} +360° -180° -540° </quiz> {{-}}--> ===Dai quadrilateri al quadrato=== ====Quadrilateri convessi==== Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi. <!-- ===Quadrilatero {{vk|Poligono convesso|convesso}}=== *Ha quattro lati *Quattro angoli interni {{vk|Angolo convesso|convessi}}, cioè minori di 180° ===Trapezio=== --> ==...== ==...== ==Classificazione attraverso le diagonali== ==Tabella riassuntiva== {| class="wikitable" |- ! !! ... !! ... !! .. |- | ... || ...|| ... || ... |- | ... || ...|| ... || |} <!--==La somma degli angoli interni di un quadrilatero== - La formula per calcolare gli angoli interni è 180°*[n-2]= 180°*[4-2]= 180°*2=360°. - poiché ....... La somma degli angoli esterni è per tutti i poligoni 360°.--> ==Note== <references/> ==Bibliografia== Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen ==Collegamenti esterni== [[w:Trapezio]] ==Quiz== [[:Area:Scuola media]] exwd39fijroi36zjo96gv1c55f66z6m 283626 283625 2026-04-22T07:02:13Z Mattruffoni 15088 /* Collegamenti esterni */ sistemato link 283626 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Matematica per la scuola media 1|avanzamento = 50%}} In geometria il {{vk|Quadrilatero|quadrilatero}} è un poligono con quattro {{vk|Lato|lati}}, e quindi quattro {{vk|Vertice|vertici}} e quattro {{vk|Angolo|angoli}}, e due {{vk|Diagonale|diagonali}}. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare {{vk|Diagonale|diagonali}}. '''Video per chi non ama leggere: i quadrilateri'''{{YouTube|autore = Schooltoon|minuto =|secondo =|accesso =|id = 9_K5DdIa6So|titolo = Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado|data = 19 ott 2020 }} I {{vk|Quadrilatero|quadrilateri}} possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i {{vk|Lato|lati}}, tra gli {{vk|Angolo|angoli}} e per le caratteristiche delle loro {{vk|Diagonale|diagonali}}. [[File:ClassificazioneQuadrilateri 01.svg|1000px|centro|Classificazione dei quadrilateri attraverso i lati e le diagonali]] ==Elementi nel quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|centro|500px|Quadrilateral elements]] Gli elementi di un quadrilatero sono: * i vertici <math>A, B, C \ e \ D </math> (sono punti) * i lati <math> AB, BC, CD, DA </math> (sono segmenti) * gli angoli interni <math> \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D} </math>, nella figura è ''evidenziato'' il solo angolo interno <math> \hat{DAB} </math> * gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è ''evidenziato'' solo l'angolo formato dal prolungamento del lato <math>DA</math> con il lato <math>AB</math> * le diagonali <math>AC \ e \ BD </math> Nel quadrilatero: * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono consecutivi * i lati <math>AB</math> e <math>BC</math> sono adiacenti all'angolo <math> \hat{B}</math> * i lati <math>AB</math> e <math>CD</math> sono opposti * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato <math>AB</math> * gli angoli <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{C}</math> sono opposti * i vertici <math>A</math> e <math>B</math> sono consecutivi * le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi. {{-}} ==Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero== [[File:Quadrilateral elements.png|destra|400px|Quadrilateral elements]] Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}} ==Quadrilateri convessi== ===Somma angoli interni=== La [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|somma degli angoli]] interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo: <math> S = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ </math> [[File:Diagonaaldriehoek2.svg|centro|450px|Diagonaaldriehoek2]] cosa che corrisponde anche all'applicazione della [[I poligoni (scuola media)#Somma angoli interni|formula generale]], con <math>n</math> = numero dei lati <math>S=(n-2) \cdot 180^\circ</math> calcolata per un quadrilatero <math>n=4</math> <math>S=2 \cdot 180^\circ = 360^\circ</math> e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano <math>S=\frac{2 \cdot 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4}=90^\circ</math> ===Numero delle diagonali=== Anche il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il [[I poligoni (scuola media)#Numero delle diagonali|numero delle diagonali]] si può applicare la formula, dove ancora <math>n</math> = numero dei lati <math>N_d=\frac {n \cdot (n-3)}{2}</math> che per un quadrilatero, ripetiamo <math>n=4</math>, diventa <math>N_d=\frac {4}{2} = 2</math> ==Quadrilateri inscritti== Un [[I poligoni (scuola media)#Poligoni inscritti|poligono si può inscrivere]] in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.<ref>https://slideplayer.it/slide/12538230/</ref> [[File:QuadrilateroInscritto.png|450px|centro|Quadrilatero inscritto]] Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari. ==Quadrilateri circoscritti== Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti. [[File:QuadrilateroCircoscritto.png|450px|centro|Quadrilatero circoscritto]] <!--==Esercizi per imparare le proprietà dei quadrilateri== Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande <quiz> {I lati <math>AD</math> e <math>BC</math> sono... |type="()"} -adiacenti +opposti -consecutivi {Gli angoli <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> sono adiacenti al lato |type="()"} + <math>BC</math> - <math>AB</math> - <math>AC</math> {I lati <math>CD</math> e <math>DA</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {I vertici <math>C</math> e <math>B</math> sono... |type="()"} -adiacenti -opposti +consecutivi {Gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{D}</math> sono... |type="()"} +opposti -consecutivi -adiacenti </quiz> {{-}}--> ==Classificazione == Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano. ===Dal quadrato ai quadrilateri=== ====Il quadrato==== [[File:Regular polygon 4 annotated.svg|300px|sinistra|Regular polygon 4 annotated]] Il {{vk|Quadrato|quadrato}} è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella ''carriera'' scolastica di uno studente. Il quaderno ''a quadretti'' favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero. Il quadrato ha molte proprietà: * ha quattro lati uguali * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà * ha due diagonali uguali e perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni * è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti [[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|300px|centro|Straight Square Inscribed in a Circle 240px]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del quadrato==== <quiz> {Il lati del quadrato sono |type="()"} -uguali a due a due +tutti uguali -uguali solo gli opposti {Gli angoli del quadrato sono tutti e quattro di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {LA somma di due angoli opposti del quadrato fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del quadrato sono |type="()"} +perpendicolari -proporzionali -parallele {Il quadrato rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire il quadrato==== *[[Disegno geometrico: quadrato (scuola media)]] ====Il rettangolo==== Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno ''a quadretti'' [[File:Rectangle 4x5.svg|centro|300px|Rectangle 4x5]] Le proprietà del rettangolo sono: * ha quattro angoli uguali, quindi di 90° ognuno ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali uguali che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni e ''dimostrano'' che un rettangolo * è inscrittibile in una circonferenza, cioè esiste la circonferenza circoscritta ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali, * non è circoscrivibile ad una circonferenza infatti non sono uguali le somme dei lati opposti [[File:Krug opisan oko pravougaonika.jpg|centro|300px|Krug opisan oko pravougaonika]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo==== <quiz> {Il lati del rettangolo sono |type="()"} -tutti diversi -tutti uguali +uguali gli opposti {Gli angoli del rettangoloo sono tutti uguali di |type="()"} - 60° - 45° + 90° {La somma di due angoli opposti del rettangolo fa |type="()"} -360° -90° +180° {Le diagonali del rettangolo sono |type="()"} +uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari -perpendicolari ma non uguali {Il rettangolo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile +solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Esercizi per capire le proprietà del rettangolo==== *[[Disegno geometrico: rettangolo (scuola media)]] {{-}} ====Il rombo==== [[File:Rhombus (polygon).png|centro| 300px|Rhombus (polygon)]] Le proprietà del rombo sono: * ha quattro lati uguali ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un {{vk|poligono regolare}} * ha due diagonali perpendicolari che si ''tagliano'' a metà queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni * è circoscrivibile ad una circonferenza le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti * non è inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti non sono supplementari [[File:Rombo 109.svg|centro|300px|Rombo 109]] {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del rombo==== <quiz> {Il lati del rombo sono |type="()"} -tutti diversi +tutti uguali -uguali gli opposti {Gli angoli del rombo sono |type="()"} - tutti diversi - tutti uguali di 45° + uguali gli opposti {Le bisettrici dei quattro angoli coincidono con |type="()"} -i lati -le altezze +le diagonali {Le diagonali del rombo sono |type="()"} -uguali ma non perpendicolari -uguali e perpendicolari +perpendicolari ma non uguali {Il rombo rispetto ad una circonferenza è |type="()"} -circoscribile e inscrittibile -solo inscrittibile +solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il parallelogramma (romboide)==== [[File:Parallelogram.svg|300px|sinistra|Parallelogramma]] Il {{vk|Parallelogramma|parallelogramma}}, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli. Le proprietà del parallelogramma quindi sono: * lati opposti paralleli * lati opposti uguali * angoli opposti uguali * angoli adiacenti allo stesso lato supplementari * diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma==== <quiz> {Il lati del parallelogramma sono |type="()"} +paralleli a due a due -tutti uguali -adiacenti uguali {Il parallelogramma ha |type="()"} - gli angoli adiacenti uguali - quattro angoli uguali + gli angoli opposti uguali {Gli angoli adiacenti del parallelogramma sono |type="()"} -uguali -complementari +supplementari {Le diagonali del parallelogramma |type="()"} +si tagliano a metà -sono uguali -sono parallele {Il parallelogramma rispetto ad una circonferenza è |type="()"} +né circoscribile né inscrittibile -solo inscrittibile -solo circoscrivibile </quiz> {{-}} ====Il trapezio==== [[File:Trapezio.png|300px|sinistra||Trapezio]] [[File:Trapezoid.svg|destra|300px|Trapezoid]] Il {{vk|trapezio}} è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli. Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio: *la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli *la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli *i lati obliqui *la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio {{-}} Le proprietà del {{vk|trapezio}} sono: *due lati paralleli *angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale, I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi: *scaleni *isosceli *rettangoli <gallery widths=300px hights=300px> File:Trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi. File:Isosceles trapezoid (plain).svg|Il {{vk|trapezio}} isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore. File:Trapezio rettangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} rettangolo ha due angoli retti poiché ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi. File:Trapezio ottusangolo.PNG|Il {{vk|trapezio}} ottusangolo ha un angolo ottuso </gallery> {{-}} =====Trapezio e circonferenza===== [[File:Isosceles trapezoid rotation.gif|centro|200px|Isosceles trapezoid rotation]] Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo. Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato. <gallery widths=300px hights=300px> File:TrapezioCircoscritto.png|thumb|Trapezio Circoscritto File:TrapezioRettangoloCircoscritto.png|thumb|Trapezio Rettangolo Circoscritto File:TrapezioIsosceleInscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto File:TrapezioIsosceleInscrittoCircoscritto.png|thumb|Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto </gallery> {{-}} ====Esercizi per imparare le proprietà del trapezio==== <quiz> {Il trapezio ha solo |type="()"} -due lati uguali +due lati paralleli -due angoli uguali {Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono |type="()"} - uguali + supplementari - paralleli {Un trapezio rettangolo ha |type="()"} -un solo angolo retto -quattro angoli retti +due angoli retti {Le diagonali del trapezio isoscele sono |type="()"} -perpendicolari +uguali -parallele {La somma degli angoli interni del trapazio è |type="()"} +360° -180° -540° </quiz> {{-}}--> ===Dai quadrilateri al quadrato=== ====Quadrilateri convessi==== Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi. <!-- ===Quadrilatero {{vk|Poligono convesso|convesso}}=== *Ha quattro lati *Quattro angoli interni {{vk|Angolo convesso|convessi}}, cioè minori di 180° ===Trapezio=== --> ==...== ==...== ==Classificazione attraverso le diagonali== ==Tabella riassuntiva== {| class="wikitable" |- ! !! ... !! ... !! .. |- | ... || ...|| ... || ... |- | ... || ...|| ... || |} <!--==La somma degli angoli interni di un quadrilatero== - La formula per calcolare gli angoli interni è 180°*[n-2]= 180°*[4-2]= 180°*2=360°. - poiché ....... La somma degli angoli esterni è per tutti i poligoni 360°.--> ==Note== <references/> ==Bibliografia== Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen ==Collegamenti esterni== [[w:Trapezio|Wikipedia - Trapezio]] ==Quiz== [[:Area:Scuola media]] q9umwh7ur6gf8sm60spymdhv3nzgbwl