Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.15 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 12658 286250 253146 2026-08-15T07:18:04Z ~2026-44752-34 46862 286250 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Meccanica dei materiali}} Nota la legge che lega tensioni e deformazioni, è possibile approcciarsi al '''problema dell'equilibrio elastico''', che consiste nel determinare: *il [[w:Campo vettoriale|campo vettoriale]] degli spostamenti <math>v</math> in ogni punto del corpo del sala me di Wikipedia Quinlan83quinlano83; *il [[w:Campo tensoriale|campo tensoriale]] del tensore <math>T</math> delle tensioni nei punti del corpo; *il [[w:Campo tensoriale|campo tensoriale]] del tensore <math>E</math> delle deformazioni in tutto il continuo; a partire dalla conoscenza della geometria del corpo in analisi, dei valori delle forze esterne (di superficie sulla superficie libera e di volume), gli spostamenti assegnati sulla parte di frontiera vincolata, la densità del corpo, e le caratteristiche del materiale di cui è composto (cioè i valori di <math>A_{ikjh}</math> per ogni punto del corpo stesso). Per risolvere questo problema è possibile fare riferimento ad alcuni teoremi e principi che il materiale elastico lineare deve soddisfare. ==Principio di sovrapposizione degli stati elastici== Il '''principio di sovrapposizione degli stati elastici''' (generalmente noto anche come principio di '''sovrapposizione degli effetti''') afferma che dati due stati elastici descritti da <math>(v',\;E',\;T')</math> e <math>(v'',\;E'',\;T'')</math> generati rispettivamente dai sistemi di forze <math>(Y',\;p')</math> e <math>(Y'',\;p'')</math>, detti <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> due generici numeri reali, la generica combinazione lineare <math>\alpha (v',\;E',\;T') + \beta (v'',\;E'',\;T'')</math> è uno stato elastico corrispondente all'applicazione del sistema di forze <math>(\alpha Y'+\beta Y'',\;\alpha p'+\beta p'')</math>. Tale principio è direttamente correlato alla supposta linearità esistente tra le caratteristiche tenso-deformative. Bisogna precisare che questo principio di sovrapposizione non è valido per l'[[L'elasticità lineare#L'energia di deformazione e l'iperelasticità|energia <math>\Phi</math>]]: nel calcolo di quest'ultima, infatti, persisterà sempre una certa influenza che i due sistemi combinati linearmente hanno. Infatti, partendo dalla sua espressione ad esempio riferita esclusivamente alle deformazioni, si ha in generale: <math>\Phi=\frac{1}{2}\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik} \epsilon_{jh} \right) dV</math> Particolarizzando l'espressione per il caso in analisi e posto per semplicità di trattazione <math>\alpha = \beta =1</math> si ottiene: <math>\Phi=\frac{1}{2}\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} (\epsilon_{ik}'+\epsilon_{ik}'') (\epsilon_{jh}'+\epsilon_{jh}'') \right) dV</math> da cui: <math>\Phi=\frac{1}{2}\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}' \epsilon_{jh}' + \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}' \epsilon_{jh}'' + \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}'' \epsilon_{jh}' + \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}'' \epsilon_{jh}'' \right) dV</math> Da ciò, considerando che il tensore <math>A</math> è simmetrico e quindi lo scambio degli indici rende indifferente il valore, si ottiene: <math>\Phi=\Phi'+\Phi''+\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}' \epsilon_{jh}'' \right) dV</math> ==Il teorema di unicità dell'equilibrio elastico== Il '''teorema di unicità dell'equilibrio elastico''' di Kirchhoff afferma che la soluzione ad un dato problema dell'equilibrio elastico è unica. Per dimostrare l'asserzione precedente si immagini al contrario che sia possibile che a un dato sistema di forze esterne <math>(Y,p)</math> sia possibile correlare due soluzioni <math>(v',E',T')</math> e <math>(v'',E'',T'')</math>. Per il principio di sovrapposizione degli stati elastici ad un sistema di forze esterne <math>(Y-Y,p-p)</math> deve corrispondere uno stato elastico <math>(v,E,T)=(v'-v'',E'-E'',T'-T'')</math>. In queste condizioni il lavoro compiuto dalle forze esterne è naturalmente nullo (dal momento che sono nulle tutte le forze esterne), e per il principio dei lavori virtuali a questa condizione si accompagna il necessario annullamento anche del lavoro delle forze interne: <math>\int_{C} \left(\sum_{i,k=1}^3 \sigma_{ik}\epsilon_{ik}\right)dV = \int_{C} \left(\sum_{i,k=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}\epsilon_{jh}\right)dV=0</math> Tuttavia, avendo definito il tensore <math>A</math> come strettamente positivo, l'unica condizione possibile perché l'ultimo integrale espresso sia nullo è che siano nulle tutte le componenti <math>\epsilon_{ik}</math>. Ugualmente si può dimostrare che devono essere identicamente nulle anche le componenti di <math>v</math> e <math>T</math>. Da ciò deriva che i due stati elastici inizialmente supposti devono necessariamente coincidere, per cui la soluzione dell'equilibrio elastico è per forza di cose unica.<ref>In realtà esiste un altro stato elastico che costituisce una ulteriore soluzione, ed è quello derivante dallo spostamento rigido infinitesimo del corpo. A rigore, dunque, si dovrebbe affermare che la soluzione dell'equilibrio elastico è unica a meno di uno spostamento rigido infinitesimo</ref> ==Il teorema di Lamè-Clapeyron== Il '''teorema di Lamè-Clapeyron''' afferma che il lavoro delle forze esterne è pari al doppio dell'energia di deformazione che misura il lavoro<ref>In base all'ipotesi di iperelasticità del materiale non è necessario precisare il percorso di deformazione dal momento che il lavoro è indipendente da questo</ref> prodotto per portare il corpo dalla configurazione di riferimento (con spostamenti, deformazioni e tensioni nulle) a quella attuale. Il teorema in analisi è valido solo sotto l'ipotesi che l'intera frontiera del corpo sia libera, cioè priva di vincoli e in corrispondenza di questa siano assegnati degli sforzi, o che sulla superficie eventualmente vincolata gli spostamenti assegnati siano nulli (cioè i vincoli sono ''rigidi''). Si consideri il sistema di forze e tensioni <math>Y,\;p,\;T</math> effettivamente agenti sul corpo (dunque equilibrato per ipotesi) e il sistema di spostamenti e deformazioni <math>v,\;E</math> generato dal primo sistema (dunque congruente perché soluzione dell'equilibrio elastico), e si applichi il [[Il principio dei lavori virtuali|principio dei lavori virtuali]] ai due sistemi: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i\right)dV=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon_{ki}\sigma_{ki}\right)dV</math> Il primo membro è esattamente il lavoro prodotto dalle forze esterne. Il secondo membro, in base alla definizione fornita di energia di deformazione<ref>Si ricordino le definizioni fornite nella trattazione del [[L'elasticità lineare#L'energia di deformazione e l'iperelasticità|materiale iperelastico]]</ref>, è esattamente il doppio dell'energia di deformazione: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i\right)dV=2\Phi</math><ref>Tale espressione è generalizzabile anche nel caso in cui dovesse agire sul corpo un momento <math>M</math>, il cui lavoro sarebbe pari a <math>M\theta</math></ref> Di questo teorema è possibile fornire un'interpretazione fisica: supponendo che il campo di forze agenti sul corpo sia conservativo e che il corpo esterno sia isolato dall'ambiente, l'energia di deformazione <math>\Phi</math> può essere immaginata come il lavoro compiuto dalle forze attraverso un cammino di deformazione che le faccia passare da un valore nullo al valore attuale. Il lavoro delle forze esterne, cioè, è pari al doppio del lavoro che queste compirebbero in un percorso di carico che, partendo dal valore nullo, giunga al loro valore finale. Oppure, in maniera del tutto analoga, si può affermare che l'energia di deformazione è uguale alla metà del lavoro che le forze compirebbero se durante tutto il percorso di deformazione attingessero al loro valore massimo. ==Il teorema di Betti== Il '''teorema di Betti''' afferma che dati due sistemi equilibrati di forze, il lavoro che le forze del primo sistema compiono sugli spostamenti causati dal secondo è uguale al lavoro che le forze del secondo sistema compiono sugli spostamenti prodotti dal primo. Analogamente il teorema può essere espresso affermando che il lavoro che le tensioni del primo sistema compiono sulle deformazioni causate dal secondo è uguale al lavoro che le tensioni del secondo sistema compiono sulle deformazioni prodotte dal primo<ref>Si ricorda, infatti, che per il principio dei lavori virtuali il lavoro delle forze esterne è uguale al lavoro delle tensioni interne</ref>. Si considerino due sistemi di forze esterne <math>(Y',\;p')</math> e <math>(Y'',\;p'')</math>, per effetto dei quali il corpo assume una configurazione descritta dai campi <math>(v',\;E',\;T')</math> e <math>(v'',\;E'',\;T'')</math> rispettivamente. Si applichi allora il principio dei lavori virtuali considerando le forze e le tensioni del primo sistema con gli spostamenti e le deformazioni del secondo e viceversa: <math>\begin{cases} \int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p'_iv''_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y'_iv''_i\right)dV=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon''_{ki}\sigma'_{ki}\right)dV \\ \int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p''_iv'_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y''_iv'_i\right)dV=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon'_{ki}\sigma''_{ki}\right)dV \end{cases}</math> Esprimendo i due secondi membri solo in funzione delle <math>\epsilon</math> si ottiene: <math>\begin{cases} \int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3A_{kijh}\epsilon'_{jh}\epsilon''_{ki}\right)dV \\ \int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3A_{kijh}\epsilon''_{jh}\epsilon'_{ki}\right)dV \end{cases}</math> Queste quantità, per effetto della simmetria del tensore <math>A</math>, si possono dimostrare uguali, per cui: <math> \int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p'_iv''_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y'_iv''_i\right)dV = \int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p''_iv'_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y''_iv'_i\right)dV </math> Per arrivare ad una interpretazione fisica del teorema si immagini di applicare al corpo inizialmente solo il primo sistema di forze, che compirà un lavoro <math>L_1</math>. Al momento dell'applicazione del secondo sistema di forze, poi, quest'ultimo compirà un lavoro pari a <math>L_2</math>. L'applicazione del secondo sistema di forze, tuttavia, genererà una variazione della configurazione del corpo, che in generale interesserà anche i punti di applicazione delle forze del primo sistema. Queste ultime, dunque, compiranno ulteriore lavoro <math>L_{1,2}</math> per effetto degli spostamenti causati dall'applicazione del secondo sistema di forze. Il lavoro complessivo sarà dunque <math>L=L_1+L_2+L_{1,2}</math>. Ragionando in maniera analoga ma considerando di applicare prima il secondo sistema di forze si ottiene <math>L=L_1+L_2+L_{2,1}</math>. I due lavori complessivi, tuttavia, devono essere necessariamente uguali, dal momento che in entrambi i casi il corpo giunge alla medesima configurazione, per cui deve essere <math>L_{1,2}=L_{2,1}</math>. Quest'ultima espressione è analoga a quella fornita nella dimostrazione del teorema, e la quantità indicata viene chiamata '''lavoro indiretto''' o '''mutuo dei due sistemi di forze'''<ref>Si fa notare che l'esistenza di questo ''lavoro mutuo'' è la diretta conseguenza della non validità della sovrapposizione degli stati elastici per l'energia di deformazione del sistema espressa [[#Principio di sovrapposizione degli stati elastici|in precedenza]]</ref>. ==Il teorema di Maxwell== Il '''teorema di Maxwell''' afferma che date due forze di uguale intensità applicate in due punti qualsiasi del continuo, lo spostamento del punto in cui è applicata la prima forza nella sua stessa direzione per effetto della seconda forza, è uguale allo spostamento del punto in cui è applicata la seconda forza nella sua stessa direzione per effetto dell'applicazione della prima forza. Questo teorema è, in realtà, un caso particolare del precedente teorema di Betti, ma ne viene spesso data autonomia rispetto al teorema precedente a causa di ragioni storiche<ref>Questo teorema, infatti, fu formulato da Maxwell prima che Betti pubblicasse il teorema a cui diede il nome. Il teorema di Maxwell, infatti, fu espresso in ''On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames'' nel 1864, mentre il teorema di Betti in ''Teoria dell'elasticità'' nel 1872</ref> e per l'importanza che assume nella risoluzione dei problemi dell'ingegneria. Si considerino due forze <math>F'</math> e <math>F''</math> applicate in due punti distinti del corpo <math>P'</math> e <math>P''</math> rispettivamente, sia detto <math>v''</math> ( e <math>v'</math>) lo spostamento del punto <math>P'</math> (<math>P''</math>) per effetto della forza <math>F''</math> (<math>F'</math>), e sia <math>v''_1</math> (<math>v'_2</math>) la componente di questo spostamento nella direzione di <math>F'</math> (<math>F''</math>). Per il teorema di Betti i lavori che le forze compiono per effetto degli spostamenti causati dall'altra forza devono essere uguali, per cui <math>F'v''_1=F''v'_2</math>. Se si considerano due forze uguali da tale uguaglianza discende che: <math>v''_1\;=\;v'_2</math><ref>Si può ugualmente dimostrare, generalizzando la trattazione, che il teorema vale anche nel caso in cui ad essere applicati non fossero due forze ma due momenti. Nel caso in cui ad essere applicati fossero una forza e un momento, si potrebbe pensare che il teorema non sia applicabile perché forze e momenti non sono quantità direttamente confrontabili. Tuttavia considerando entrambi di valore unitario si ottiene, detta <math>\theta'_2</math> la rotazione del punto in cui è applicato il momento per effetto della forza, che deve essere <math>v''_1=1\cdot\theta'_2</math></ref> Questo teorema è di incontestabile importanza nella costruzione delle [[linea di influenza|linee di influenza]], e può essere molto utile perché permette di sostituire la ricerca di uno spostamento di più difficile determinazione con quella di uno spostamento facilmente calcolabile o già noto. ==Il teorema di Castigliano== Il '''teorema di Castigliano''' afferma che la componente dello spostamento del punto di applicazione di una forza nella direzione della forza stessa è pari alla derivata dell'energia totale di deformazione rispetto alla forza stessa. Il teorema è esprimibile anche in forma duale, cioè che la forza è pari alla derivata dell'energia di deformazione rispetto allo spostamento subito dal suo punto di applicazione nella direzione della forza stessa. Si consideri un continuo caricato in maniera del tutto generica, e si analizzi una forza concentrata <math>F</math> applicata nel punto <math>P</math>. Si immagini ora di incrementare il valore della forza di una quantità infinitesima <math>dF</math>. Si procede dunque a valutare la variazione dell'energia di deformazione totale del corpo per effetto di questo incremento della forza, considerando <math>dF</math> come un'ulteriore forza indipendente applicata al continuo. Tale variazione sarà pari alla somma di due termini: *il lavoro mutuo tra la forza considerata e il sistema di forze precedentemente agenti, che per il teorema di Betti può calcolarsi come <math>dFv</math>; *il lavoro che la forza compie sullo spostamento che essa stessa causa <math>dFdv</math>, che essendo infinitesimo di ordine superiore può trascurarsi. Di conseguenza: <math>d\Phi= dFv \to v=\frac{d\Phi}{dF}</math> ==L'energia vincolata== A questo punto appare opportuno fare alcune precisazioni riguardanti lo stato iniziale del corpo considerato. Solitamente, infatti, si ipotizza che il corpo si trovi inizialmente nello ''stato naturale'', intendendo quest'ultimo come quello stato elastico in cui le deformazioni e le tensioni del corpo sono ovunque identicamente nulle. Nella pratica, tuttavia, può accadere che questa situazione non venga verificata, e al contrario si debba considerare un corpo che abbia già in sè delle tensioni e delle deformazioni intrinseche. In linea generale è possibile distinguere in due categorie le cause che possono aver generato una situazione di questo tipo: *cause che generano una condizione in cui le tensioni interne sono autoequilibrate (ad esempio a causa di variazioni termiche disuguali, azioni di raffreddamento di una massa fusa a velocità diverse, etc); *cause che generano tensioni interne non equilibrate tra loro (ad esempio per vincoli sovrabbondanti o incompatibili con lo stato indeformato del corpo, per cui la risultante delle tensioni interne trova equilibrio con la reazione dei vincoli). In entrambi i casi il lavoro delle forze complessivamente agenti sul corpo è nulla: nel primo caso perché il lavoro delle forze esterne (essendo nulle) è nullo e per il principio dei lavori virtuali è nullo anche il lavoro delle forze interne; nel secondo caso il lavoro delle forze esterne è nullo perché i loro punti di applicazione non subiscono spostamenti (nell'ipotesi di vincoli rigidi), per cui è nullo anche il lavoro delle forze interne. In entrambi i casi si dice che il corpo è sottoposto ad uno stato di ''coazione'', e le tensioni interne al corpo sono definite ''autotensioni''. Il corpo sottoposto ad uno stato di coazione possiede un'energia elastica a causa della presenza delle autotensioni e derivante dall'energia della causa che l'ha prodotto. Tale energia è definita '''energia vincolata'''. Se si suppone ora che al corpo in analisi vengano applicate delle forze esterne, si può dimostrare che l'energia complessiva posseduta dal sistema è pari alla somma delle energie relative ai singoli stati elastici: in questo caso, cioè, il principio di sovrapposizione degli stati elastici è valido anche con riferimento all'energia. Al contrario di qualsiasi altro caso considerabile, infatti, non esiste lavoro mutuo tra i due sistemi di sforzi, dal momento che le forze derivanti dallo stato di coazione fanno un lavoro complessivamente nullo perché non esistono forze esterne in grado di generare lavoro indiretto (prima categoria di cause) o se esistono compiono lavoro nullo (seconda categoria di cause). Di conseguenza, è valido considerare come situazione di partenza quella del corpo allo stato naturale, dal momento che per il principio di sovrapposizione degli effetti e per le considerazioni precedenti è possibile ricavare l'effettivo stato attuale del corpo sommando l'energia di deformazione calcolata in quella ipotesi con l'energia vincolata. In particolare il teorema di Lamè-Clapeyron fornisce esclusivamente il lavoro di deformazione compiuto dalle forze esterne, a cui va aggiunta l'energia vincolata precedentemente definita per conoscere l'energia totale del sistema. I teoremi di Betti e Maxwell valgono ancora senza alcuna modifica in presenza dell'energia vincolata, purché questa non cambi il suo valore nel corso del processo deformativo. ==Il principio di minimo dell'energia potenziale totale== Il '''principio di minimo dell'energia potenziale totale''' afferma che la differenza tra l'energia totale di deformazione e il lavoro compiuto dalle forze esterne è minima in corrispondenza della soluzione del problema elastico. Si consideri uno stato elastico <math>(v*,E*,T*)</math> ''cinematicamente ammissibile'', e cioè quel generico stato elastico che soddisfi alle condizioni di regolarità, congruenza, costitutive e al contorno con riferimento agli spostamenti sulla superficie vincolata; l'unica differenza con la soluzione del problema elastico, quindi, è il non rispetto dell'equilibrio. Si definisce ora l''''energia potenziale totale''' nel modo seguente: <math>\mathcal{E}=\Phi (E^*)-\left[ \int_C Yv^*dV + \int_{S_l} pv^* dS \right]</math> Si consideri ora lo stato elastico <math>(v',E',T')</math> soluzione del problema elastico, e lo stato elastico <math>(v,E,T)=(v*-v',E*-E',T*-T')</math>. Si applichi poi il teorema dei lavori virtuali considerando le forze realmente agenti <math>Y,p</math> e le tensioni <math>T'</math> derivanti dalla soluzione del problema, e come spostamenti e deformazioni <math>v,E</math>: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i\right)dV=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon_{ki}\sigma'_{ki}\right)dV</math> D'altra parte, per quanto si è trovato [[#Principio di sovrapposizione degli stati elastici|in precedenza]], si può scrivere: <math>\Phi^*=\Phi'+\Phi+\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 \sigma_{ik}' \epsilon_{ik} \right) dV \to \Phi^*-\Phi'-\Phi=\int_{C} \left( \sum_{i,k=1}^3 \sigma_{ik}' \epsilon_{ik} \right) dV </math> Considerando che i due secondi membri delle equazioni precedenti sono uguali, è possibile uguagliare i due primi membri: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i\right)dV=\Phi^*-\Phi'-\Phi</math> Da qui, avendo in precedenza definito <math>v=v*-v'</math>, si può scrivere: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_i(v_i^*-v_i')\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_i(v_i^*-v_i')\right)dV=\Phi^*-\Phi'-\Phi</math> Riarrangiando: <math>\Phi=\Phi^*-\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i^*\right)dS-\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i^*\right)dV-\Phi'+\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i'\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i'\right)dV\to</math> <math>\Phi=\left[\Phi^*-\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i^*\right)dS-\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i^*\right)dV\right]-\left[\Phi'-\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i'\right)dS-\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i'\right)dV\right] </math> Dalla definizione data di energia potenziale totale si ottiene: <math>\Phi=\mathcal{E}^*-\mathcal{E}'</math> Da cui: <math>\Phi+\mathcal{E}'=\mathcal{E}^*</math> Tenendo conto che <math>\Phi</math> è un valore positivo: <math>\mathcal{E}^* \ge \mathcal{E}'</math><ref>Il segno di uguale è valido solo nel caso in cui si consideri uno spostamento rigido infinitesimo del corpo</ref> Cioè il valore dell'energia potenziale totale correlato alla soluzione dell'equilibrio elastico è il minimo rispetto a tutti gli altri stati cinematicamente ammissibili. ==Il principio di minimo dell'energia complementare== Il '''principio di minimo dell'energia complementare''' afferma che la differenza tra l'energia elastica e il lavoro delle forze di superficie sugli spostamenti prescritti è minima in corrispondenza della soluzione dell'equilibrio elastico. Si definisca un campo di sforzo ''staticamente ammissibile'' <math>T*</math>, tale cioè che soddisfi alle condizioni di equilibrio e regolarità. Per il generico stato di sforzo si definisce '''energia complementare''' la seguente quantità: <math>\mathcal{E}_{(C)}=\Phi (T^*)-\int_{S_v} t_n^* v^* dS</math> Si consideri ora la soluzione del problema elastico <math>(v',E',T')</math> e uno stato di sforzo <math>T=T*-T'</math>. Per motivazioni analoghe a quelle del teorema precedente, si può scrivere: <math>\Phi^*-\Phi'-\Phi=\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 \sigma_{ik} \epsilon_{ik}' \right) dV </math> Si applichi ora il teorema dei lavori virtuali utilizzando come sistema di forze e tensioni <math>(Y=0,p=t*_n,T*)</math> e come sistema spostamenti e deformazioni <math>(v',E')</math>, cioè derivanti dalla soluzione del problema elastico: <math>\int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}v_i'\right)dS=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon_{ki}'\sigma_{ki}\right)dV</math> Essendo i due secondi membri uguali nelle ultime due equazioni scritte, si possono uguagliare i primi membri: <math>\Phi^*-\Phi'-\Phi=\int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}v_i'\right)dS</math> Per come è stato definito lo stato di sforzo è <math>t_{ni}=t_{ni}*-t_{ni}'</math>, per cui: <math>\Phi^*-\Phi'-\Phi=\int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}^*v_i'\right)dS + \int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}'v_i'\right)dS </math> <math>\Phi=\Phi^* - \int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}^*v_i'\right)dS-\Phi' -\int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}'v_i'\right)dS </math> Essendo <math>v_i'=v_i*</math> dal momento che lo spostamento è un dato a priori per la superficie vincolata si ottiene: <math>\Phi=\mathcal{E}_{(C)}^* - \mathcal{E}_{(C)}' </math> Dal momento che <math>\Phi</math> è una quantità sicuramente positiva resta dimostrato che: <math>\mathcal{E}_{(C)}^* \ge \mathcal{E}_{(C)}' </math> Si può osservare che sommando membro a membro i termini derivanti dalle definizioni di energia totale ed energia complementare si ottiene: <math>\mathcal{E}+\mathcal{E}_{(C)}= \Phi (E)-\left[ \int_C YvdV + \int_{S_l} pv dS \right] + \Phi (T)-\int_{S_v} t_n v dS</math> Noto il teorema di Lamè-Clapeyron, si ottiene: <math>\mathcal{E}+\mathcal{E}_{(C)}= 0</math><ref>Infatti, per il teorema citato, si ha che <math>\int_C YvdV + \int_{S_l} pv dS + \int_{S_v} t_n v dS = 2\Phi</math> ed essendo <math>\Phi (E) = \Phi (T) = \Phi</math> il secondo membro dell'equazione precedente è nullo</ref> Se i vincoli sono supposti rigidi (<math>v=0</math> su tutta la superficie vincolata), si ha <math>\mathcal{E}_{(C)}=\Phi</math> e il teorema viene detto '''teorema di Manabrea''', il quale afferma che in presenza di vincoli tutti rigidi alla frontiera del corpo l'energia di deformazione elastica totale <math>\Phi</math> ha valore minimo in corrispondenza della soluzione del problema elastico. ==Note== <references/> i7k3o9g0kfnv3qosxitb1goo72l0w9l 286273 286250 2026-08-15T09:14:56Z NDG 45851 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-44752-34|~2026-44752-34]] ([[User talk:~2026-44752-34|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Zaminex|Zaminex]] 194766 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Meccanica dei materiali}} Nota la legge che lega tensioni e deformazioni, è possibile approcciarsi al '''problema dell'equilibrio elastico''', che consiste nel determinare: *il [[w:Campo vettoriale|campo vettoriale]] degli spostamenti <math>v</math> in ogni punto del corpo; *il [[w:Campo tensoriale|campo tensoriale]] del tensore <math>T</math> delle tensioni nei punti del corpo; *il [[w:Campo tensoriale|campo tensoriale]] del tensore <math>E</math> delle deformazioni in tutto il continuo; a partire dalla conoscenza della geometria del corpo in analisi, dei valori delle forze esterne (di superficie sulla superficie libera e di volume), gli spostamenti assegnati sulla parte di frontiera vincolata, la densità del corpo, e le caratteristiche del materiale di cui è composto (cioè i valori di <math>A_{ikjh}</math> per ogni punto del corpo stesso). Per risolvere questo problema è possibile fare riferimento ad alcuni teoremi e principi che il materiale elastico lineare deve soddisfare. ==Principio di sovrapposizione degli stati elastici== Il '''principio di sovrapposizione degli stati elastici''' (generalmente noto anche come principio di '''sovrapposizione degli effetti''') afferma che dati due stati elastici descritti da <math>(v',\;E',\;T')</math> e <math>(v'',\;E'',\;T'')</math> generati rispettivamente dai sistemi di forze <math>(Y',\;p')</math> e <math>(Y'',\;p'')</math>, detti <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> due generici numeri reali, la generica combinazione lineare <math>\alpha (v',\;E',\;T') + \beta (v'',\;E'',\;T'')</math> è uno stato elastico corrispondente all'applicazione del sistema di forze <math>(\alpha Y'+\beta Y'',\;\alpha p'+\beta p'')</math>. Tale principio è direttamente correlato alla supposta linearità esistente tra le caratteristiche tenso-deformative. Bisogna precisare che questo principio di sovrapposizione non è valido per l'[[L'elasticità lineare#L'energia di deformazione e l'iperelasticità|energia <math>\Phi</math>]]: nel calcolo di quest'ultima, infatti, persisterà sempre una certa influenza che i due sistemi combinati linearmente hanno. Infatti, partendo dalla sua espressione ad esempio riferita esclusivamente alle deformazioni, si ha in generale: <math>\Phi=\frac{1}{2}\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik} \epsilon_{jh} \right) dV</math> Particolarizzando l'espressione per il caso in analisi e posto per semplicità di trattazione <math>\alpha = \beta =1</math> si ottiene: <math>\Phi=\frac{1}{2}\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} (\epsilon_{ik}'+\epsilon_{ik}'') (\epsilon_{jh}'+\epsilon_{jh}'') \right) dV</math> da cui: <math>\Phi=\frac{1}{2}\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}' \epsilon_{jh}' + \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}' \epsilon_{jh}'' + \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}'' \epsilon_{jh}' + \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}'' \epsilon_{jh}'' \right) dV</math> Da ciò, considerando che il tensore <math>A</math> è simmetrico e quindi lo scambio degli indici rende indifferente il valore, si ottiene: <math>\Phi=\Phi'+\Phi''+\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}' \epsilon_{jh}'' \right) dV</math> ==Il teorema di unicità dell'equilibrio elastico== Il '''teorema di unicità dell'equilibrio elastico''' di Kirchhoff afferma che la soluzione ad un dato problema dell'equilibrio elastico è unica. Per dimostrare l'asserzione precedente si immagini al contrario che sia possibile che a un dato sistema di forze esterne <math>(Y,p)</math> sia possibile correlare due soluzioni <math>(v',E',T')</math> e <math>(v'',E'',T'')</math>. Per il principio di sovrapposizione degli stati elastici ad un sistema di forze esterne <math>(Y-Y,p-p)</math> deve corrispondere uno stato elastico <math>(v,E,T)=(v'-v'',E'-E'',T'-T'')</math>. In queste condizioni il lavoro compiuto dalle forze esterne è naturalmente nullo (dal momento che sono nulle tutte le forze esterne), e per il principio dei lavori virtuali a questa condizione si accompagna il necessario annullamento anche del lavoro delle forze interne: <math>\int_{C} \left(\sum_{i,k=1}^3 \sigma_{ik}\epsilon_{ik}\right)dV = \int_{C} \left(\sum_{i,k=1}^3 A_{ikjh} \epsilon_{ik}\epsilon_{jh}\right)dV=0</math> Tuttavia, avendo definito il tensore <math>A</math> come strettamente positivo, l'unica condizione possibile perché l'ultimo integrale espresso sia nullo è che siano nulle tutte le componenti <math>\epsilon_{ik}</math>. Ugualmente si può dimostrare che devono essere identicamente nulle anche le componenti di <math>v</math> e <math>T</math>. Da ciò deriva che i due stati elastici inizialmente supposti devono necessariamente coincidere, per cui la soluzione dell'equilibrio elastico è per forza di cose unica.<ref>In realtà esiste un altro stato elastico che costituisce una ulteriore soluzione, ed è quello derivante dallo spostamento rigido infinitesimo del corpo. A rigore, dunque, si dovrebbe affermare che la soluzione dell'equilibrio elastico è unica a meno di uno spostamento rigido infinitesimo</ref> ==Il teorema di Lamè-Clapeyron== Il '''teorema di Lamè-Clapeyron''' afferma che il lavoro delle forze esterne è pari al doppio dell'energia di deformazione che misura il lavoro<ref>In base all'ipotesi di iperelasticità del materiale non è necessario precisare il percorso di deformazione dal momento che il lavoro è indipendente da questo</ref> prodotto per portare il corpo dalla configurazione di riferimento (con spostamenti, deformazioni e tensioni nulle) a quella attuale. Il teorema in analisi è valido solo sotto l'ipotesi che l'intera frontiera del corpo sia libera, cioè priva di vincoli e in corrispondenza di questa siano assegnati degli sforzi, o che sulla superficie eventualmente vincolata gli spostamenti assegnati siano nulli (cioè i vincoli sono ''rigidi''). Si consideri il sistema di forze e tensioni <math>Y,\;p,\;T</math> effettivamente agenti sul corpo (dunque equilibrato per ipotesi) e il sistema di spostamenti e deformazioni <math>v,\;E</math> generato dal primo sistema (dunque congruente perché soluzione dell'equilibrio elastico), e si applichi il [[Il principio dei lavori virtuali|principio dei lavori virtuali]] ai due sistemi: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i\right)dV=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon_{ki}\sigma_{ki}\right)dV</math> Il primo membro è esattamente il lavoro prodotto dalle forze esterne. Il secondo membro, in base alla definizione fornita di energia di deformazione<ref>Si ricordino le definizioni fornite nella trattazione del [[L'elasticità lineare#L'energia di deformazione e l'iperelasticità|materiale iperelastico]]</ref>, è esattamente il doppio dell'energia di deformazione: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i\right)dV=2\Phi</math><ref>Tale espressione è generalizzabile anche nel caso in cui dovesse agire sul corpo un momento <math>M</math>, il cui lavoro sarebbe pari a <math>M\theta</math></ref> Di questo teorema è possibile fornire un'interpretazione fisica: supponendo che il campo di forze agenti sul corpo sia conservativo e che il corpo esterno sia isolato dall'ambiente, l'energia di deformazione <math>\Phi</math> può essere immaginata come il lavoro compiuto dalle forze attraverso un cammino di deformazione che le faccia passare da un valore nullo al valore attuale. Il lavoro delle forze esterne, cioè, è pari al doppio del lavoro che queste compirebbero in un percorso di carico che, partendo dal valore nullo, giunga al loro valore finale. Oppure, in maniera del tutto analoga, si può affermare che l'energia di deformazione è uguale alla metà del lavoro che le forze compirebbero se durante tutto il percorso di deformazione attingessero al loro valore massimo. ==Il teorema di Betti== Il '''teorema di Betti''' afferma che dati due sistemi equilibrati di forze, il lavoro che le forze del primo sistema compiono sugli spostamenti causati dal secondo è uguale al lavoro che le forze del secondo sistema compiono sugli spostamenti prodotti dal primo. Analogamente il teorema può essere espresso affermando che il lavoro che le tensioni del primo sistema compiono sulle deformazioni causate dal secondo è uguale al lavoro che le tensioni del secondo sistema compiono sulle deformazioni prodotte dal primo<ref>Si ricorda, infatti, che per il principio dei lavori virtuali il lavoro delle forze esterne è uguale al lavoro delle tensioni interne</ref>. Si considerino due sistemi di forze esterne <math>(Y',\;p')</math> e <math>(Y'',\;p'')</math>, per effetto dei quali il corpo assume una configurazione descritta dai campi <math>(v',\;E',\;T')</math> e <math>(v'',\;E'',\;T'')</math> rispettivamente. Si applichi allora il principio dei lavori virtuali considerando le forze e le tensioni del primo sistema con gli spostamenti e le deformazioni del secondo e viceversa: <math>\begin{cases} \int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p'_iv''_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y'_iv''_i\right)dV=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon''_{ki}\sigma'_{ki}\right)dV \\ \int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p''_iv'_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y''_iv'_i\right)dV=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon'_{ki}\sigma''_{ki}\right)dV \end{cases}</math> Esprimendo i due secondi membri solo in funzione delle <math>\epsilon</math> si ottiene: <math>\begin{cases} \int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3A_{kijh}\epsilon'_{jh}\epsilon''_{ki}\right)dV \\ \int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3A_{kijh}\epsilon''_{jh}\epsilon'_{ki}\right)dV \end{cases}</math> Queste quantità, per effetto della simmetria del tensore <math>A</math>, si possono dimostrare uguali, per cui: <math> \int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p'_iv''_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y'_iv''_i\right)dV = \int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p''_iv'_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y''_iv'_i\right)dV </math> Per arrivare ad una interpretazione fisica del teorema si immagini di applicare al corpo inizialmente solo il primo sistema di forze, che compirà un lavoro <math>L_1</math>. Al momento dell'applicazione del secondo sistema di forze, poi, quest'ultimo compirà un lavoro pari a <math>L_2</math>. L'applicazione del secondo sistema di forze, tuttavia, genererà una variazione della configurazione del corpo, che in generale interesserà anche i punti di applicazione delle forze del primo sistema. Queste ultime, dunque, compiranno ulteriore lavoro <math>L_{1,2}</math> per effetto degli spostamenti causati dall'applicazione del secondo sistema di forze. Il lavoro complessivo sarà dunque <math>L=L_1+L_2+L_{1,2}</math>. Ragionando in maniera analoga ma considerando di applicare prima il secondo sistema di forze si ottiene <math>L=L_1+L_2+L_{2,1}</math>. I due lavori complessivi, tuttavia, devono essere necessariamente uguali, dal momento che in entrambi i casi il corpo giunge alla medesima configurazione, per cui deve essere <math>L_{1,2}=L_{2,1}</math>. Quest'ultima espressione è analoga a quella fornita nella dimostrazione del teorema, e la quantità indicata viene chiamata '''lavoro indiretto''' o '''mutuo dei due sistemi di forze'''<ref>Si fa notare che l'esistenza di questo ''lavoro mutuo'' è la diretta conseguenza della non validità della sovrapposizione degli stati elastici per l'energia di deformazione del sistema espressa [[#Principio di sovrapposizione degli stati elastici|in precedenza]]</ref>. ==Il teorema di Maxwell== Il '''teorema di Maxwell''' afferma che date due forze di uguale intensità applicate in due punti qualsiasi del continuo, lo spostamento del punto in cui è applicata la prima forza nella sua stessa direzione per effetto della seconda forza, è uguale allo spostamento del punto in cui è applicata la seconda forza nella sua stessa direzione per effetto dell'applicazione della prima forza. Questo teorema è, in realtà, un caso particolare del precedente teorema di Betti, ma ne viene spesso data autonomia rispetto al teorema precedente a causa di ragioni storiche<ref>Questo teorema, infatti, fu formulato da Maxwell prima che Betti pubblicasse il teorema a cui diede il nome. Il teorema di Maxwell, infatti, fu espresso in ''On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames'' nel 1864, mentre il teorema di Betti in ''Teoria dell'elasticità'' nel 1872</ref> e per l'importanza che assume nella risoluzione dei problemi dell'ingegneria. Si considerino due forze <math>F'</math> e <math>F''</math> applicate in due punti distinti del corpo <math>P'</math> e <math>P''</math> rispettivamente, sia detto <math>v''</math> ( e <math>v'</math>) lo spostamento del punto <math>P'</math> (<math>P''</math>) per effetto della forza <math>F''</math> (<math>F'</math>), e sia <math>v''_1</math> (<math>v'_2</math>) la componente di questo spostamento nella direzione di <math>F'</math> (<math>F''</math>). Per il teorema di Betti i lavori che le forze compiono per effetto degli spostamenti causati dall'altra forza devono essere uguali, per cui <math>F'v''_1=F''v'_2</math>. Se si considerano due forze uguali da tale uguaglianza discende che: <math>v''_1\;=\;v'_2</math><ref>Si può ugualmente dimostrare, generalizzando la trattazione, che il teorema vale anche nel caso in cui ad essere applicati non fossero due forze ma due momenti. Nel caso in cui ad essere applicati fossero una forza e un momento, si potrebbe pensare che il teorema non sia applicabile perché forze e momenti non sono quantità direttamente confrontabili. Tuttavia considerando entrambi di valore unitario si ottiene, detta <math>\theta'_2</math> la rotazione del punto in cui è applicato il momento per effetto della forza, che deve essere <math>v''_1=1\cdot\theta'_2</math></ref> Questo teorema è di incontestabile importanza nella costruzione delle [[linea di influenza|linee di influenza]], e può essere molto utile perché permette di sostituire la ricerca di uno spostamento di più difficile determinazione con quella di uno spostamento facilmente calcolabile o già noto. ==Il teorema di Castigliano== Il '''teorema di Castigliano''' afferma che la componente dello spostamento del punto di applicazione di una forza nella direzione della forza stessa è pari alla derivata dell'energia totale di deformazione rispetto alla forza stessa. Il teorema è esprimibile anche in forma duale, cioè che la forza è pari alla derivata dell'energia di deformazione rispetto allo spostamento subito dal suo punto di applicazione nella direzione della forza stessa. Si consideri un continuo caricato in maniera del tutto generica, e si analizzi una forza concentrata <math>F</math> applicata nel punto <math>P</math>. Si immagini ora di incrementare il valore della forza di una quantità infinitesima <math>dF</math>. Si procede dunque a valutare la variazione dell'energia di deformazione totale del corpo per effetto di questo incremento della forza, considerando <math>dF</math> come un'ulteriore forza indipendente applicata al continuo. Tale variazione sarà pari alla somma di due termini: *il lavoro mutuo tra la forza considerata e il sistema di forze precedentemente agenti, che per il teorema di Betti può calcolarsi come <math>dFv</math>; *il lavoro che la forza compie sullo spostamento che essa stessa causa <math>dFdv</math>, che essendo infinitesimo di ordine superiore può trascurarsi. Di conseguenza: <math>d\Phi= dFv \to v=\frac{d\Phi}{dF}</math> ==L'energia vincolata== A questo punto appare opportuno fare alcune precisazioni riguardanti lo stato iniziale del corpo considerato. Solitamente, infatti, si ipotizza che il corpo si trovi inizialmente nello ''stato naturale'', intendendo quest'ultimo come quello stato elastico in cui le deformazioni e le tensioni del corpo sono ovunque identicamente nulle. Nella pratica, tuttavia, può accadere che questa situazione non venga verificata, e al contrario si debba considerare un corpo che abbia già in sè delle tensioni e delle deformazioni intrinseche. In linea generale è possibile distinguere in due categorie le cause che possono aver generato una situazione di questo tipo: *cause che generano una condizione in cui le tensioni interne sono autoequilibrate (ad esempio a causa di variazioni termiche disuguali, azioni di raffreddamento di una massa fusa a velocità diverse, etc); *cause che generano tensioni interne non equilibrate tra loro (ad esempio per vincoli sovrabbondanti o incompatibili con lo stato indeformato del corpo, per cui la risultante delle tensioni interne trova equilibrio con la reazione dei vincoli). In entrambi i casi il lavoro delle forze complessivamente agenti sul corpo è nulla: nel primo caso perché il lavoro delle forze esterne (essendo nulle) è nullo e per il principio dei lavori virtuali è nullo anche il lavoro delle forze interne; nel secondo caso il lavoro delle forze esterne è nullo perché i loro punti di applicazione non subiscono spostamenti (nell'ipotesi di vincoli rigidi), per cui è nullo anche il lavoro delle forze interne. In entrambi i casi si dice che il corpo è sottoposto ad uno stato di ''coazione'', e le tensioni interne al corpo sono definite ''autotensioni''. Il corpo sottoposto ad uno stato di coazione possiede un'energia elastica a causa della presenza delle autotensioni e derivante dall'energia della causa che l'ha prodotto. Tale energia è definita '''energia vincolata'''. Se si suppone ora che al corpo in analisi vengano applicate delle forze esterne, si può dimostrare che l'energia complessiva posseduta dal sistema è pari alla somma delle energie relative ai singoli stati elastici: in questo caso, cioè, il principio di sovrapposizione degli stati elastici è valido anche con riferimento all'energia. Al contrario di qualsiasi altro caso considerabile, infatti, non esiste lavoro mutuo tra i due sistemi di sforzi, dal momento che le forze derivanti dallo stato di coazione fanno un lavoro complessivamente nullo perché non esistono forze esterne in grado di generare lavoro indiretto (prima categoria di cause) o se esistono compiono lavoro nullo (seconda categoria di cause). Di conseguenza, è valido considerare come situazione di partenza quella del corpo allo stato naturale, dal momento che per il principio di sovrapposizione degli effetti e per le considerazioni precedenti è possibile ricavare l'effettivo stato attuale del corpo sommando l'energia di deformazione calcolata in quella ipotesi con l'energia vincolata. In particolare il teorema di Lamè-Clapeyron fornisce esclusivamente il lavoro di deformazione compiuto dalle forze esterne, a cui va aggiunta l'energia vincolata precedentemente definita per conoscere l'energia totale del sistema. I teoremi di Betti e Maxwell valgono ancora senza alcuna modifica in presenza dell'energia vincolata, purché questa non cambi il suo valore nel corso del processo deformativo. ==Il principio di minimo dell'energia potenziale totale== Il '''principio di minimo dell'energia potenziale totale''' afferma che la differenza tra l'energia totale di deformazione e il lavoro compiuto dalle forze esterne è minima in corrispondenza della soluzione del problema elastico. Si consideri uno stato elastico <math>(v*,E*,T*)</math> ''cinematicamente ammissibile'', e cioè quel generico stato elastico che soddisfi alle condizioni di regolarità, congruenza, costitutive e al contorno con riferimento agli spostamenti sulla superficie vincolata; l'unica differenza con la soluzione del problema elastico, quindi, è il non rispetto dell'equilibrio. Si definisce ora l''''energia potenziale totale''' nel modo seguente: <math>\mathcal{E}=\Phi (E^*)-\left[ \int_C Yv^*dV + \int_{S_l} pv^* dS \right]</math> Si consideri ora lo stato elastico <math>(v',E',T')</math> soluzione del problema elastico, e lo stato elastico <math>(v,E,T)=(v*-v',E*-E',T*-T')</math>. Si applichi poi il teorema dei lavori virtuali considerando le forze realmente agenti <math>Y,p</math> e le tensioni <math>T'</math> derivanti dalla soluzione del problema, e come spostamenti e deformazioni <math>v,E</math>: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i\right)dV=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon_{ki}\sigma'_{ki}\right)dV</math> D'altra parte, per quanto si è trovato [[#Principio di sovrapposizione degli stati elastici|in precedenza]], si può scrivere: <math>\Phi^*=\Phi'+\Phi+\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 \sigma_{ik}' \epsilon_{ik} \right) dV \to \Phi^*-\Phi'-\Phi=\int_{C} \left( \sum_{i,k=1}^3 \sigma_{ik}' \epsilon_{ik} \right) dV </math> Considerando che i due secondi membri delle equazioni precedenti sono uguali, è possibile uguagliare i due primi membri: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i\right)dV=\Phi^*-\Phi'-\Phi</math> Da qui, avendo in precedenza definito <math>v=v*-v'</math>, si può scrivere: <math>\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_i(v_i^*-v_i')\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_i(v_i^*-v_i')\right)dV=\Phi^*-\Phi'-\Phi</math> Riarrangiando: <math>\Phi=\Phi^*-\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i^*\right)dS-\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i^*\right)dV-\Phi'+\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i'\right)dS+\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i'\right)dV\to</math> <math>\Phi=\left[\Phi^*-\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i^*\right)dS-\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i^*\right)dV\right]-\left[\Phi'-\int_{S}\left(\sum_{i=1}^3p_iv_i'\right)dS-\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3Y_iv_i'\right)dV\right] </math> Dalla definizione data di energia potenziale totale si ottiene: <math>\Phi=\mathcal{E}^*-\mathcal{E}'</math> Da cui: <math>\Phi+\mathcal{E}'=\mathcal{E}^*</math> Tenendo conto che <math>\Phi</math> è un valore positivo: <math>\mathcal{E}^* \ge \mathcal{E}'</math><ref>Il segno di uguale è valido solo nel caso in cui si consideri uno spostamento rigido infinitesimo del corpo</ref> Cioè il valore dell'energia potenziale totale correlato alla soluzione dell'equilibrio elastico è il minimo rispetto a tutti gli altri stati cinematicamente ammissibili. ==Il principio di minimo dell'energia complementare== Il '''principio di minimo dell'energia complementare''' afferma che la differenza tra l'energia elastica e il lavoro delle forze di superficie sugli spostamenti prescritti è minima in corrispondenza della soluzione dell'equilibrio elastico. Si definisca un campo di sforzo ''staticamente ammissibile'' <math>T*</math>, tale cioè che soddisfi alle condizioni di equilibrio e regolarità. Per il generico stato di sforzo si definisce '''energia complementare''' la seguente quantità: <math>\mathcal{E}_{(C)}=\Phi (T^*)-\int_{S_v} t_n^* v^* dS</math> Si consideri ora la soluzione del problema elastico <math>(v',E',T')</math> e uno stato di sforzo <math>T=T*-T'</math>. Per motivazioni analoghe a quelle del teorema precedente, si può scrivere: <math>\Phi^*-\Phi'-\Phi=\int_{C} \left( \sum_{i,k,j,h=1}^3 \sigma_{ik} \epsilon_{ik}' \right) dV </math> Si applichi ora il teorema dei lavori virtuali utilizzando come sistema di forze e tensioni <math>(Y=0,p=t*_n,T*)</math> e come sistema spostamenti e deformazioni <math>(v',E')</math>, cioè derivanti dalla soluzione del problema elastico: <math>\int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}v_i'\right)dS=\int_{C}\left(\sum_{i,k=1}^3\epsilon_{ki}'\sigma_{ki}\right)dV</math> Essendo i due secondi membri uguali nelle ultime due equazioni scritte, si possono uguagliare i primi membri: <math>\Phi^*-\Phi'-\Phi=\int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}v_i'\right)dS</math> Per come è stato definito lo stato di sforzo è <math>t_{ni}=t_{ni}*-t_{ni}'</math>, per cui: <math>\Phi^*-\Phi'-\Phi=\int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}^*v_i'\right)dS + \int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}'v_i'\right)dS </math> <math>\Phi=\Phi^* - \int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}^*v_i'\right)dS-\Phi' -\int_{S_v}\left(\sum_{i=1}^3t_{ni}'v_i'\right)dS </math> Essendo <math>v_i'=v_i*</math> dal momento che lo spostamento è un dato a priori per la superficie vincolata si ottiene: <math>\Phi=\mathcal{E}_{(C)}^* - \mathcal{E}_{(C)}' </math> Dal momento che <math>\Phi</math> è una quantità sicuramente positiva resta dimostrato che: <math>\mathcal{E}_{(C)}^* \ge \mathcal{E}_{(C)}' </math> Si può osservare che sommando membro a membro i termini derivanti dalle definizioni di energia totale ed energia complementare si ottiene: <math>\mathcal{E}+\mathcal{E}_{(C)}= \Phi (E)-\left[ \int_C YvdV + \int_{S_l} pv dS \right] + \Phi (T)-\int_{S_v} t_n v dS</math> Noto il teorema di Lamè-Clapeyron, si ottiene: <math>\mathcal{E}+\mathcal{E}_{(C)}= 0</math><ref>Infatti, per il teorema citato, si ha che <math>\int_C YvdV + \int_{S_l} pv dS + \int_{S_v} t_n v dS = 2\Phi</math> ed essendo <math>\Phi (E) = \Phi (T) = \Phi</math> il secondo membro dell'equazione precedente è nullo</ref> Se i vincoli sono supposti rigidi (<math>v=0</math> su tutta la superficie vincolata), si ha <math>\mathcal{E}_{(C)}=\Phi</math> e il teorema viene detto '''teorema di Manabrea''', il quale afferma che in presenza di vincoli tutti rigidi alla frontiera del corpo l'energia di deformazione elastica totale <math>\Phi</math> ha valore minimo in corrispondenza della soluzione del problema elastico. ==Note== <references/> 7z2h0b7gw3dzszovnto7v6veaicv2aw 1 29586 286259 187948 2026-08-15T07:37:01Z ~2026-44752-34 46862 /* Mother beach */ nuova sezione 286259 wikitext text/x-wiki {{di|Giurisprudenza|Studi umanistici}} == Mother beach == Saroj Morkoz and Ndg [[Speciale:Contributi/&#126;2026-44752-34|&#126;2026-44752-34]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-44752-34|discussione]]) 09:37, 15 ago 2026 (CEST) o9rv71uf6yjynk8nq35s31a5mfbj4e6 286272 286259 2026-08-15T09:14:39Z NDG 45851 Requesting deletion ([[:m:Special:MyLanguage/User:TenWhile6/XReport|XReport]] v3.1c) 286272 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{delete|1=Vandalism <small>[[:m:Special:MyLanguage/User:TenWhile6/XReport|XReport]]</small>}}</noinclude> {{di|Giurisprudenza|Studi umanistici}} == Mother beach == Saroj Morkoz and Ndg [[Speciale:Contributi/&#126;2026-44752-34|&#126;2026-44752-34]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-44752-34|discussione]]) 09:37, 15 ago 2026 (CEST) kjbudrs5yhfrmnmvjn3pog7hyx3dnc6 286274 286272 2026-08-15T09:21:46Z NDG 45851 Annullata la modifica [[Special:Diff/286259|286259]] di [[Special:Contributions/~2026-44752-34|~2026-44752-34]] ([[User talk:~2026-44752-34|discussione]]) 286274 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{delete|1=Vandalism <small>[[:m:Special:MyLanguage/User:TenWhile6/XReport|XReport]]</small>}}</noinclude> {{di|Giurisprudenza|Studi umanistici}} 7f45ra8k2rbr83q6jiowqh66d01g1ak 286275 286274 2026-08-15T09:24:55Z NDG 45851 Annullata la modifica [[Special:Diff/286272|286272]] di [[Special:Contributions/NDG|NDG]] ([[User talk:NDG|discussione]]) 286275 wikitext text/x-wiki {{di|Giurisprudenza|Studi umanistici}} m2cpmwwxgoodhqot8qxgx0j7ww3r5kx 2 34010 286215 286145 2026-08-14T14:41:49Z Funzioni di correlazione 24136 286215 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ro720giv226kdety59md8yirqx4vyas 286216 286215 2026-08-14T14:46:06Z Funzioni di correlazione 24136 286216 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Da IA: Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 02pmwmhezuaiu50x6kyvec80xtc22w7 286217 286216 2026-08-14T14:47:45Z Funzioni di correlazione 24136 286217 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinnatorio con IA== Da IA: Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4yc9wwczwh8pk296uiqi1hxhwpk7z5n 286218 286217 2026-08-14T14:48:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercitazioni di calcolo combinnatorio con IA */ 286218 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 0ivq9jwa162hc64ud2pm5q52uz9ctok 286234 286218 2026-08-14T15:31:00Z Funzioni di correlazione 24136 286234 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>\boxed{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> fjsszfu5lfrm6rvmoo0aym6pfkmjbv6 286235 286234 2026-08-14T15:32:06Z Funzioni di correlazione 24136 286235 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mcm07e041wm9v29bd7bomb6c8yz2bz0 286242 286235 2026-08-14T16:05:55Z Funzioni di correlazione 24136 286242 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>\boxed{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 69l62hylbv9otrfn5a3xaku7s8b39ot 286243 286242 2026-08-14T16:06:49Z Funzioni di correlazione 24136 286243 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 0wj316ympyms84ur5x1aa6q8jd7k9pb 286244 286243 2026-08-14T16:18:53Z Funzioni di correlazione 24136 286244 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> qa2znhg3sx9mvcqi47s9neydfkh5py5 286245 286244 2026-08-14T16:19:43Z Funzioni di correlazione 24136 286245 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 8ehszqbnsu8sizq0fqo2234nuwy85w7 286252 286245 2026-08-15T07:31:14Z Funzioni di correlazione 24136 286252 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> c05pv5gtw7vj0ranw2dtque3x8heien 286269 286252 2026-08-15T08:22:15Z Funzioni di correlazione 24136 286269 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ogfxlmdl3xc086eqxeln3jrzvc6hcve 102 37619 286213 286193 2026-08-14T14:23:36Z Funzioni di correlazione 24136 286213 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 17 materie di matematica con pià di90 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} [[categoria: sonar]] enmljmppjfvs728fd980dklub99o768 286214 286213 2026-08-14T14:30:54Z Funzioni di correlazione 24136 286214 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 17 materie di matematica con più di 190 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} [[categoria: sonar]] fgafs7guyxim841g2jhxs753axb6vku 286220 286214 2026-08-14T14:53:04Z Funzioni di correlazione 24136 286220 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 17 materie di matematica con più di 100 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} [[categoria: sonar]] 2zhhn3jlsl3mhhof1sj5835gaiomsp0 0 37780 286219 2026-08-14T14:50:03Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un grupp..." 286219 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. 9ys5ll2fs4t8bn4ef53oave8o2iqgec 286221 286219 2026-08-14T15:02:26Z Funzioni di correlazione 24136 286221 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. == esercizio n°1)== Il coefficiente binomiale <math>\binom{m-1}{k}</math> si calcola usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>\boxed{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. ovn64n8v0zxhn8zuxha884rzgt3kmz6 286222 286221 2026-08-14T15:03:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* esercizio n°1) */ 286222 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. == Esercizio n°1== Il coefficiente binomiale <math>\binom{m-1}{k}</math> si calcola usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. jm4u6t76x2lyuslci0ga56tqbaswhlx 286223 286222 2026-08-14T15:06:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio n°1 */ 286223 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. == Esercizio n°1== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale: <math>\binom{m-1}{k}</math> si Ha alcola0 usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. 1ry4pu9g46pgesgwvx6cxwne97yiajd 286224 286223 2026-08-14T15:08:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio n°1 */ 286224 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. == Esercizio n°1== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale: <math>\binom{m-1}{k}</math> nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcola0 usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. 9s1ouex4fhtoz7evnbzku4jcr326lqp 286225 286224 2026-08-14T15:10:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio n°1 */ 286225 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. == Esercizio n°1== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale: <math>\binom{m-1}{k}</math> nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcola0 usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == Esercizio n°2== 0onhn43wa0q1prph1p3240do88q5aw0 286226 286225 2026-08-14T15:12:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio n°1 */ 286226 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==1° <math>\binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == Esercizio n°2== p5o7ri58zssaatlt86a97cdlgzardbz 286227 286226 2026-08-14T15:12:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° \binom{m-1}{k} */ 286227 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == Esercizio n°2== lh2x7ot9g2jvdfrw4a21p9kegxhc8un 286228 286227 2026-08-14T15:14:02Z Funzioni di correlazione 24136 286228 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == Esercizio n°2== n8o79196sdrywb5gx17t39t6qvn0umx 286229 286228 2026-08-14T15:16:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° \, \, \binom{m-1}{k} */ 286229 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== '''(10 esercizi)'''' Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == Esercizio n°2== 5l8g4afitth379f4w188d7dso193ssz 286230 286229 2026-08-14T15:16:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° \, \, \binom{m-1}{k} */ 286230 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == Esercizio n°2== c07lb28n8z0b98byhdhid6zdx5j1q0o 286231 286230 2026-08-14T15:18:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA */ 286231 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == Esercizio n°2== 4nadhp1bqisxoggry2qhq2jg8bgc63y 286232 286231 2026-08-14T15:19:42Z Funzioni di correlazione 24136 286232 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == ° 2== 2bmcm4yg7354skika9j19b3z5uliy2n 286233 286232 2026-08-14T15:20:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* ° 2 */ 286233 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. ==2°== g6ue7693x1koczgijac816s8st8kto5 286236 286233 2026-08-14T15:34:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° */ 286236 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. ==2° < math>\, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> 4lhoddofnjnix6c6f9eokxa5f6g9k5q 286237 286236 2026-08-14T15:35:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° \, \,\binom{m-1}{k-1} */ 286237 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> q89890mbgcg4r2vlshljadwq3jctl0w 286238 286237 2026-08-14T15:36:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° \, \,\binom{m-1}{k-1} */ 286238 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> nly3so6lxg6dx1jak9t4txxv756wnnr 286239 286238 2026-08-14T15:36:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° \, \,\binom{m-1}{k-1} */ 286239 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> 55w57ivmy8z5yl22da86lnsdqcncnnq 286240 286239 2026-08-14T15:38:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° \, \,\binom{m-1}{k-1} */ 286240 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ez88iescvgqxr5iaupxy0zua1xba943 286241 286240 2026-08-14T15:45:19Z Funzioni di correlazione 24136 286241 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' si Ha alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> czd5tihpohl99ucgeewyiq00xd8u8xh 286246 286241 2026-08-15T06:28:03Z Funzioni di correlazione 24136 286246 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° Valutazione coefficiente bonomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> 64pxi4ind175f3d3u5awkseef396cug 286247 286246 2026-08-15T06:30:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° \, \,\binom{m-1}{k-1} */ 286247 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° Valutazione coefficiente bonomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> i2q7x5pwb0k93q5h230pxcy6phaqanj 286248 286247 2026-08-15T06:31:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Valutazione coefficiente bonomiale: \, \, \binom{m-1}{k} */ 286248 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente bonomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> h17csqj7pxhknaes85s4htmtzfnnu61 286249 286248 2026-08-15T06:31:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Valutazione del coefficiente bonomiale: \, \, \binom{m-1}{k} */ 286249 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' alcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> 9itb9sm6137r8fv4k6ow069ahfxqwm5 286251 286249 2026-08-15T07:21:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Valutazione del coefficiente binomiale: \, \, \binom{m-1}{k} */ 286251 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(15 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> cpahi7cwuqkqoepihnewztq7xbfh64m 286265 286251 2026-08-15T07:50:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA */ 286265 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> 062fq3hhek0aveo6olwey76r9y7cagz 286270 286265 2026-08-15T08:27:21Z Funzioni di correlazione 24136 286270 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> kaazy9kcf1vnmdren55557dio4d81va 286271 286270 2026-08-15T08:30:19Z Funzioni di correlazione 24136 286271 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> titsz7hgmzehqjl35h2486wbk6ejy9o