Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.15 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 4897 286301 280803 2026-08-16T06:48:50Z ~2026-44968-91 46866 Aggiunto romanzo biografico recente nella sezione Bibliografia 286301 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Storia della radio e della televisione}} '''Aiazzone''' è il nome commerciale di un gruppo imprenditoriale fondato a [[w:Biella (BI)|Biella]] da [[w:Giorgio Aiazzone|Giorgio Aiazzone]], operante originariamente nel settore della produzione di mobili, passato poi alla loro commercializzazione ma sviluppatosi anche in quello delle televisioni commerciali; il gruppo si caratterizzò negli [[w:anni 1970|anni settanta]] e [[w:anni 1980|ottanta]] per l'utilizzo intensivo della [[w:pubblicità|pubblicità]] televisiva. Crebbe sino alla morte del fondatore, avvenuta in un incidente aereo il 6 luglio 1986. ==La novità nell'utilizzo della pubblicità== E<nowiki>'</nowiki> assai significativo (e caratterizzante) che l<nowiki>'</nowiki>attività di promozione del mobilificio [[w:Aiazzone|Aiazzone]] di [[w:Biella|Biella]] sia stato attuato totalmente attraverso le tv private (ed anzi locali), almeno fino alla morte del fondatore Giorgio Aiazzone in un incidente aereo.<ref>Menduni 2002, 68</ref> Così come per una serie di ragioni il fenomeno delle tv locali è un unicum tutto italiano, parimenti sembra essere per il mobilificio biellese, per cui addirittura Aldo Grasso <ref>Grasso 2006, 17</ref> è arrivato a parlare di una “Filosofia Aiazzone”. Sì, proprio quella filosofia ''Che ci vorrebbe una vita per esprimerla'' come ha ricordato Guido Angeli in occasione della veglia funebre per la prematura morte del fondatore del mobilificio. Nella stessa opera il critico televisivo del [[w:Corriere della Sera|Corriere della sera]] rincara la dose scrivendo <ref>[Ibidem, 17]</ref> ''“Le tv locali si impongono all<nowiki>'</nowiki>attenzione del pubblico non con l<nowiki>'</nowiki>invenzione di programmi particolarmente significativi ma con le televendite”'' Classificare questi materiali è alquanto difficile: gli spot di Aiazzone analizzati si pongono in una zona grigia a metà strada tra un classico spot televisivo, una televendita e una telepromozione, avvicinandosi molto a quest<nowiki>'</nowiki>ultimo genere. ==Gli spot pubblicitari== La presenza nelle pubblicità Aiazzone di elementi quali testimonial (sia pur molto sui generis come [[w:Guido Angeli|Guido Angeli]],[[w:Wanna Marchi|Wanna Marchi]], Walter Carbone e Maurizio Gandolfi, tutti accomunati dall<nowiki>'</nowiki>aver avuto successo proprio grazie a questo genere di trasmissioni), di un Jingle facilmente orecchiabile, e della quasi eccessiva ripetizione nei break pubblicitari delle emittenti locali sono elementi chiaramente presi dal genere dello spot. Tuttavia, pur non concludendosi attraverso il teleschermo e il telefono un vero e proprio negozio giuridico, come nella televendita, al telespettatore vengono fornite molte delle informazioni commerciali, anche dettagliate; si specifica infatti ''“Pagamento fino a 8 anni, senza cambiali!”'' ma soprattutto che il prezzo quasi sempre 999.999 lire (o relativi multipli) è ''“Iva, Trasporto e montaggio compresi nel prezzo, in tutt<nowiki>'</nowiki>Italia, isole comprese”''. Quest<nowiki>'</nowiki>ultima espressione, ''“Isole Comprese”'' è diventata quasi un secondo slogan del mobilificio, al punto da essere utilizzata come titolo di un programma televisivo di Mimmo Lombezzi andato in onda nel 1990 su Italia 1, trasmissione dedicata manco a dirlo alle tv locali.<ref>[Grasso 2006, 25]</ref>,<ref>[Dotto, Piccinini 2006, 9]</ref> Secondo Casetti <ref>[Casetti,1988, 95]</ref>“Si tratta, in un certo senso, di spot pubblicitari un po<nowiki>'</nowiki> più lunghi della norma e in cui più dettagliatamente si parla dei prodotti di una certa azienda,ecc.: il tono usato dall<nowiki>'</nowiki>imbonitore e la stessa denominazione di questi inserti (''redazionali'') li avvicina quasi a servizi giornalistici.” Casetti <ref>[ibidem,96]</ref> continua poi riportando le parole di un testimonial di Aiazzone, Maurizio Gandolfi “''Questa non è una trasmissione di vendita televisiva, è un rotocalco di informazione, un telegiornale del mobile''" Sul punto,riguardo un<nowiki>'</nowiki>altra “telearredatrice” del mobilificio Aiazzone, Wanna Marchi interviene anche <ref>Vittorio Sgarbi</ref> in un articolo pubblicato sull<nowiki>'</nowiki>Europeo e citato da Aldo Grasso <ref>[2002,436]</ref> in ''“Storia della televisione Italiana”'' “Il suo spazio dunque è quello pubblicitario anche se i tempi lunghi, circa due ore, sono quelli di una trasmissione. Ciò che colpisce in questo spettacolo di recitazione pura, per così dire selvaggio è che non avviene niente; noi siamo chiamati ad assistere a un monologo come quelli di Dario Fo o Carmelo Bene…” ==L<nowiki>'</nowiki>interazione tra testimonial e telespettatore: == '''“Dite che vi manda Guido Angeli”''' Il “format” delle televendite Aiazzone era basato sulla presenza di un sorridente “Telearredatore” vestito con l<nowiki>'</nowiki>abito della festa stile “manichini della Rinascente” con tanto di fazzolettino di seta nel taschino, eternamente abbronzato anche in pieno inverno, con l<nowiki>'</nowiki>odore di lacca e di brillantina che si sentiva fino a casa dei telespettatori. Curiosamente quando protagonisti di alcuni spot Aiazzone furono dei bambini essi apparivano proprio con l<nowiki>'</nowiki>abito del giorno della prima comunione:in giacca e cravatta a 8 anni mentre guidano moto Peg Perego o automobiline per bambini, il tutto al suono di un jingle chiaramente ispirato alle musicalità delle sigle dei cartoni animati che ripeteva ossessivamente “Fatti portare da Aiazzone,,, dai, non perder l<nowiki>'</nowiki>occasione..” L<nowiki>'</nowiki>imbonitore, come scrive Casetti <ref>[Casetti 1988,95]</ref>- si muove tra informazione e seduzione. Informazione perché la funzione immediata delle trasmissioni commerciali non è quella di realizzare la vendita del prodotto, quanto piuttosto quella di farlo conoscere tramite il mezzo televisivo. Seduzione perché l<nowiki>'</nowiki>imbonitore cerca in vari modi di rendere il prodotto desiderabile, in particolare sottolineandone l<nowiki>'</nowiki>utilità e l<nowiki>'</nowiki>assoluta convenienza ==L<nowiki>'</nowiki>esaltazione del buon affare== ''Io voglio vedere signori chi ha il coraggio civile di non acquistare questa credenza a cinquecinquanta! Barocco intarsiato, uhei, ma stiamo scherzando, ma diamo i numeri?'' dice Walter Carbone <ref>[cit. in Grasso 2000, 438]</ref> in uno dei suoi Show di promesse, di occasioni da non perdere, di sagre della convenienza e della filantropia Aiazzonesca. “I venditori consigliano, guidano, diventano gli uomini di fiducia della famiglia, danno sicurezza. E<nowiki>'</nowiki> naturale che alla fine i protagonisti si trasformino in personaggi da telenovela” si legge in un articolo di Emanuela Signorini pubblicato su Panorama del 13 settembre 1987. E in effetti Guido Angeli è ricordato come una delle più importanti <ref>[Casetti 1988,116-117]</ref> figure di mediazione presenti nella neotelevisione e quindi al pari di un Baudo, di una Carrà, di una Bonaccorti, di un Buongiorno, o di un [[w:Enzo Tortora|Enzo Tortora]]. Come scrive Grasso <ref>[2002, 437]</ref>“Adesso è usato persino come sottosigla in Drive In” e Baroni <ref>[2006, 157]</ref> ci ricorda che Angeli “ironizza sul suo personaggio vendendo immobili di un certo prestigio come [[w:Montecitorio|Montecitorio]], il [[w:Quirinale|Quirinale]] o il [[w:Colosseo|Colosseo]]” nel varietà di [[w:Retequattro|Retequattro]]]] “Un fantastico tragico Venerdì”. Nel palmarès di Angeli si segnala anche <ref>[Baroni 2006, 4]</ref> un 45 giri ovviamente dal titolo “Provare per credere!] e persino un film del 1986 diretto da Sergio Martino, nel quale Angeli interpreta un playboy che aiuta Gianni Ciardo a superare lo shock da corna circondandosi di belle ragazze tra cui [[w:Pamela Prati|Pamela Prati]] e Tinì Cansino. Secondo Casetti <ref>[1988, 33]</ref> l<nowiki>'</nowiki>imbonitore ”è anche il rappresentante delle ragioni del pubblico….. si fa anche garante che queste vengano esaudite” Il presentarsi allo showroom del mobilifico a suo nome “ Dite che vi manda Guido Angeli”, è anche una garanzia di venire trattati bene: gli arredatori devono trattarlo come se fosse proprio Angeli stesso, il telespettatore ha l<nowiki>'</nowiki>illusione che se viene trattato male può chiamare l<nowiki>'</nowiki>”amico” testimonial per lamentarsi. Scenografie delle televendite Aiazzone sono chiaramente gli stessi salotti, gli stessi divani e le stesse credenze intarsiate, perfettamente montate, e con tanto di tappeti per terra, quadri alle pareti, libri sugli scaffali e abatjour accesi sui comodini. Si noti una curiosa coincidenza: la neotelevisione ha come “locus amenus” il salotto con i suoi divani e le sue seggiole che ritroviamo in vari programmi e in varie versioni come sottolinea Casetti <ref>[1988, 96]</ref> proprio a proposito di Aiazzone “l<nowiki>'</nowiki>imbonitore è appunto collocato in un soggiorno , cioè in un contesto scenografico simile a quello del patto di ospitalità , ma che fa integralmente parte del commercio, perché si tratta di uno dei soggiorni in vendita.” Insomma è come se la [[w:Raffaella Carrà|Carrà]] vendesse i "Fagioli" contenuti nel vaso di vetro, o i suoi divani bianchi dello studio/salotto con terrazza da cui conduce Pronto Raffaella?, come se [[w:Luciano Rispoli|Luciano Rispoli]] vendesse i suoi divani o il suo tappeto, come se [[w:Corrado Augias|Corrado Augias]] vendesse il suo Telefono Giallo (nel senso di apparecchio telefonico), o Tortora Il Big Beng di Portobello o addirittura il pappagallo stesso. Probabilmente le televendite sono girate proprio nello showroom nei momenti di assenza dei visitatori: tuttavia a volte nel corso di “dirette” nello stesso mobilificio biellese, sono stato eseguite interviste ai clienti, con tanto di saluti a nonni e zie, ma soprattutto con invito a altri sconosciuti telespettatori come loro di recarsi al mobilificio, perché << Aiazzone è il massimo!>> Come scrive Casetti<ref>[1986, 82]</ref>“L<nowiki>'</nowiki>ambiente del negozio, del mercato delle aste, con i rituali tipici di un interagire a carattere commerciale, con le sue attività promozionali, di vendita e acquisto delle merci, implica l<nowiki>'</nowiki>esistenza di un accordo che chiameremo patto del commercio.” Il telespettatore potenziale acquirente è invitato più volte a toccare con mano il prodotto (provare per credere! era il celebre slogan n.d.r.) ,attuando una sorta di “Cresoempirismo” o per dirla utilizzando le parole di Menduni “Il banditore deve convincere i clienti a venire a vedere di persona” <ref>[Menduni,ibidem, 68]</ref>. Per complicare ulteriormente le cose non bisogna dimenticarsi che Guido Angeli era il conduttore del programma-contenitore di spazi commerciali “Accendi un<nowiki>'</nowiki>amica” in onda su Rete A e contemporaneamente anche su [[w:Antenna Scilia|Antenna Sicilia]] e TeleElefante, dal Lunedì al sabato per ben 7 ore. Come sostiene Joseph Baroni[6] <ref>[Baroni J. 2005]</ref>“Accendi un<nowiki>'</nowiki>amica ha collocato a futura memoria ,nell<nowiki>'</nowiki>empireo televisivo la figura di Guido Angeli, icona di quel riflusso consumistico noto col nome di anni ottanta”. Guido Angeli, vero [[w:deus ex machina|deus ex machina]] del mobilificio Aiazzone (tanto da essere scambiato al ristorante per il proprietario del mobilificio <ref>[Grasso 2006, 24])</ref> è l<nowiki>'</nowiki>autore ideale. Factotum catodico si esibisce sorridente canterino molleggiato e zompettante in curiosi balletti, probabilmente improvvisati sul momento, al ritmo del famoso jingle del mobilificio. Dotato di una mimica non comune con le sue mani non solo tocca i pannelli di compensato che compongono i mobili ma invita portando le mani verso di sé (quasi come fosse una maestra d<nowiki>'</nowiki>asilo che chiama gli alunni per andare a mensa) i telespettatori a recarsi a Biella “Vieni in moto o in barella..ma vieni a Biella..vieni in auto o in torpedone..perché Aiazzone ti piacerà..”. Vero must degli anni <nowiki>'</nowiki>80 nonché geniale utilizzo della mimica e della capacità di comunicazione di Guido Angeli è però il famoso gesto del “provare per credere”. Angeli, guardando dritto nella telecamera (e in questo senso vediamo un elemento distintivo della neotelevisione) prima rotea il palmo aperto verso il basso e poi fa il classico gesto del pollice alzato, come se fosse un top gun in partenza da una portaerei: il tutto mentre dice con il suo sorriso a 32 denti ''“provareeee per credereee”''. Ma il punto più alto dell<nowiki>'</nowiki>uso della mimica Angeli lo raggiunge quando mima in contemporanea le parole delle canzoncine Aiazzone, quasi come se fosse un servizio per non udenti. Quando il jingle dice “E la tua casa vestirai” Angeli prima mima una casa assai stereotipata e bidimensionale e poi si tocca i vestiti. I celebre motti con cui si concludevano le televendite “qui trovi cortesia, convenienza e ampio parcheggio all'ingresso “ “e al Sabato la grande festa!”, alternata a volte dal motto “Aiazzone è la scelta più B(i)ella del mondo” costituiscono una vera e propria manifestazione dell<nowiki>'</nowiki>autore ideale nelle sigla finale. Come a dire lo show catodico è finito, continua nel nostro mobilificio, quindi vieni come vuoi a Biella (Vieni in moto o in barella ma vieni a Biella ma vieni a Biella, recita il jingle), sarai nostro gradito ospite a pranzo e cena e potrai prendere parte al nostro show dal vivo: la grande festa del sabato. Quest<nowiki>'</nowiki>ultima sembra essere un vero e proprio “rito di iniziazione” per abbracciare la “Filosofia Aiazzone”, insomma una sorta di mix tra un rave di compratori di mobili, un happening guidato da architetti e arredatori, un festival di partito dove al posto della salamella si compra un mobile e infine una festa di paese con tanto di coda automobilistica e confusione compresa. Si perché il magico mondo del truciolato biellese (in realtà un grigio capannone all'estremità sud della periferia di Biella) viene percepito dal telespettatore come un luogo lontani anni luce dai suoi problemi e dalle sue ansie, quasi fosse un posto a metà strada tra un santuario per devoti (in questo caso della “filosofia Aiazzone”) e un<nowiki>'</nowiki>amena località turistica, a poche ore di macchina da una grande città, una [[w:Santa Margherita Ligure|Santa Margherita]] o una Courmayer per intenderci dove tutta la famiglia può passare una giornata spensierata. In realtà molto più semplicemente avevano anticipato di decenni il principio dei Factory Outlet <ref>Si segnala come ricordato dall<nowiki>'</nowiki>ex direttore Marketing di Aiazzone, Marco Mazzoleni, che proprio a Verrone negli anni ottanta era prevista la costruzione del primo Factory Outlet italiano, in una struttura che doveva unire le vendite di mobili Aiazzone e quelle dei prodotti tessili delle aziende biellesi: la morte di Aiazzone fermò il progetto. </ref>, diffusisi in tutt<nowiki>'</nowiki>Italia (isole comprese verrebbe da dire) in questi ultimi anni. “La fuga dalla realtà non ha limiti[8]”<ref>[Livolsi 2000, 17]</ref> potremmo dire aiutandoci con le parole usate da Marino Livolsi a proposito di “mondo televisivo”. “il mondo dell<nowiki>'</nowiki>immaginario (e quindi anche aggiungiamo noi il superstore di mobili biellese) non ha i problemi e le convenzioni di quello reale” A Verrone puoi essere ospite per un intera giornata, coccolato dagli arredatori dei quali, come ricorda il jingle “vieni a cena o a colazione”, sarai gradito ospite a pranzo e cena. In questo mondo magico ci puoi accedere dicendo che ti ha mandato un amico “Quando arrivate al mobilificio, dite che vi manda Guido Angeli” e come ha ricordato lo stesso Angeli in una puntata di Matrix dedicata alla storia delle tv libere c<nowiki>'</nowiki>erano persone che effettivamente si presentavano a nome suo.Scena questa che fa il paio con le persone che negli stessi anni si recavano nei supermercati e nelle drogherie a cercare il “Cacao Meravigliao, quello che reclamizzano in tv”. Ancora nel magico mondo Aiazzone “si può credere di non avere problemi economici”<ref>[Livolsi, op cit, 17]</ref> “pagherai finché vorrai” come dice il jingle“ fino a 8 anni senza cambiali”. Non importa se sei ricco o se sei povero, se hai i soldi in contanti per pagare i mobili oppure no, sappi che il mobilificio ti verrà incontro in tutti i modi per aiutarti a comprare i suoi stessi mobili. Continuiamo sempre citando Livolsi <ref>[op cit, 17]</ref> “si può credere di non avere problemi economici. Anche senza essere miliardari, ci si illude che si potranno avere le cose (in questo caso i mobili del salotto o l<nowiki>'</nowiki>arredamento completo n.d.r.) che si desiderano. Il pranzo era presso trattorie convenzionate della zona, bevande ai pasti comprese, (non c<nowiki>'</nowiki>è trucco non c<nowiki>'</nowiki>è inganno verrebbe da dire usando un lessico circense) e davvero non c<nowiki>'</nowiki>era alcun obbligo di acquisto come ricorda Marco Mazzoleni ex direttore [[w:Marketing|marketing]] di Aiazzone in quegli anni. Quanto al Guido Angeli autore ideale, è talmente forte la sua impostazione che sembra esserci anche nelle televendite Aiazzone condotte da altri testimonial, o ancora meglio anche nelle televendite di tutti quegli altri mobilifici che hanno cercato, anche a distanza di anni, disperatamente di imitarne la formula nelle tv locali di tutt<nowiki>'</nowiki>Italia, isole comprese ovviamente. ==La dislocazione spaziale e la prossemica== {{quote|Tu telespettatore (e qui già notiamo un elemento tipico del rapporto Spettatore/conduttore della neotelevisione) sei nel tuo salotto, e ti piace il salotto che io, conduttore/teleimbonitore/ ti faccio vedere: bene non potendolo comprare per televisore devi venire da me. Vieni che poi i mobili te li porto a casa e te li monto io (e qui emerge la sostanziale differenza tra la Filosofia Aiazzone e la formula [[w:Ikea|Ikea]]) il tutto è compreso nel prezzo, anche se abiti lontano, anche se vieni da un'isola.}} Come scrive Ortoleva[9] [1995,42] “Come gran parte dei mobilifici, Aiazzone si rivolgeva originariamente a una clientela regionale….. Lo sviluppo della pubblicità su scala nazionale , sviluppo che fu occasione anche di ironia (come si ricorderà nel primitivo slogan si manteneva una rigida distinzione fra ‘Italia e le isole, presumibilmente [[w:Sicilia|Sicilia]] e [[w:Sardegna|Sardegna]]) portò all<nowiki>'</nowiki>effettivo coinvolgimento di una clientela nazionale . Il caso di Aiazzone dimostrava come la televisione commerciale potesse favorire la creazione di forme di circolazione nazionale (aggiungiamo noi sia delle merci che dei potenziali acquirenti) anche in settori del consumo e del gusto prima dominate dalla dimensione regionale o anche subregionale.” ==Il linguaggio== Lingua ufficiale del mondo di truciolato e compensato biellese è un linguaggio nuovo nato rivisitando e miscelando linguaggi antichi come quelli dell<nowiki>'</nowiki>avanspettacolo, della commedia dell<nowiki>'</nowiki>arte, dei gerghi di falegnami e agenti immobiliari e dei tic linguistici degli imbonitori da festa paesana , con la già citata “Filosofia Aiazzone”. Angeli, utilizza un italiano medio, non privo di una velata influenza dialettale toscana.Diverso invece il discorso per il testimonial Walter Carbone, che appare in video con una pesante inflessione dialettale merdidionale, oltre che con un linguaggio che appare a tratti sgrammaticato. Di Carbone Aldo Grasso<ref>[2002,438]</ref> scrive: ”Anche lui appartiene alla scuderia biellese, ma se Angeli rappresenta il volto, si fa per dire, colto del mobilificio, Carbone deve stabilire un contatto con il pubblico a profilo basso. Accento meridionale, profondi conflitti con sintassi e grammatica… è il più sgraziato, il più reietto, il più cheap, ma è anche quello che maggiormente si espone alla comicità involontaria. Grande professionista della retorica da '' Suk '' con performance di indubbia efficacia comunicativa.” Vero must del linguaggio Aiazzone è però l<nowiki>'</nowiki>uso quasi ossessivo di slogan: basti pensare al “Provare per credere”, al “Dite che vi manda Guido Angeli” o ancora “Al sabato la grande festa!” oltre il notissimo “in tutt<nowiki>'</nowiki>Italia, isole comprese.” [[w:Aldo Grasso|Aldo Grasso]] nel suo saggio "''Storia della televisione italiana''" analizza quella che con una trasparente ironia chiama "filosofia Aiazzone" dei vari "provare per credere": {{quote|...questa scheggia aforistica, dura ed esigente nella sua tesi appartiene a quella costellazione di pensiero che va ormai sotto il nome di filosofia Aiazzone... <br />Queste emergenze, per tanti versi inaspettate, altro non sono che il trionfo della TV del sommerso; l'elogio della quotidianità, la legittimazione dell'arte di arrangiarsi; anche se c'è sempre qualcuno pronto a sostenere che questi spettacolini da mercato nero esprimono le idee profonde (lo spirito dei tempi) in realtà queste presenze denunciano preoccupanti smagliature, evidenti segni di debolezza all'interno di un sistema televisivo che comincia ad aver paura di considerarsi adulto.|Aldo Grasso, ''[[w:Storia della televisione italiana|Storia della televisione italiana]]''}} A 10 anni da quando fu scritta questa pagina, lo stesso Grasso, nella nuova edizione di "''La televisione del sommerso''" ha in parte modificato le proprie posizioni sul fenomeno, riconoscendo che quelle formule che si basavano sulla Tv del sommerso, sull'elogio della quotidianità che lungi dal rimanere confinate sulle televisioni locali, hanno conquistato, sotto la spinta dei dati [[w:Auditel|Auditel]], un largo spazio anche sulle reti a diffusione nazionale. =="Effetto Aiazzone"== Le tecniche pubblicitarie Aiazzone ed i loro effetti a medio-lungo termine sulle vendite, hanno portato alcuni esperti italiani di marketing a definire "effetto Aiazzone" quel fenomeno per il quale un eccesso di campagna pubblicitaria produce l'effetto opposto a quello desiderato: disaffezione, invece che fidelizzazione<ref>In proposito si veda [http://www.repubblica.it/2005/d/sezioni/politica/regio2005tre/crisicarisma/crisicarisma.html] [http://www.repubblica.it/2004/f/sezioni/politica/ballott/azzugianni/azzugianni.html]</ref>. Il mobilificio Aiazzone fu costretto a togliere il marchio dai camion che effettuavano le consegne e tale episodio è stato rievocato quando [[w:Luigi Crespi|Luigi Crespi]]<ref>Crespi è stato l'ideatore delle campagne pubblicitarie di un partito che aveva vinto una tornata elettorale</ref> lo ha usato come esempio di effetti negativi di un eccesso di “[[w:presenzialismo|presenzialismo]]” televisivo<ref>Come riportato anche da un [http://www.articolo21.info/notizia.php?id=653 articolo di Aldo Grasso] sul [[w:Corriere della Sera|Corriere della Sera]]</ref>. ==Bibliografia== [1] MENDUNI E.[2002] Televisione e Società Italiana 1975-2000 Bompiani [2] [[w:Aldo Grasso|GRASSO A.]] [2006] La tv del sommerso, viaggio nell<nowiki>'</nowiki>Italia delle tv locali,Oscar Mondadori [3] DOTTO G,PICCININI S [2006] Il mucchio selvaggio, la strabiliante, epica, inverosimile, ma vera storia della televisione locale in Italia, Saggi Mondadori. [4] CASETTI F.[1988] Tra me e te, strategie di coinvolgimento dello spettatore nei programmi della neotelevisione, Rai Vpt,Torino [5] GRASSO A.[2002] Storia della Televisione Italiana, Milano, Garzanti . [6] BARONI J. [2005] Dizionario della televisione commerciale Raffaello Cortina editore, Milano [7] LIVOLSI M. [2000] La realtà televisiva, come la tv ha cambiato gli italiani. Laterza editori, Bari * Enrica Aiazzone - Roberto Cappio Giorgio Aiazzone l'uomo del fare. Lineadaria Editore, 2007 [8] ORTOLEVA P.[1995] Un ventennio a colori, televisione privata e società in Italia (1975/1995),Firenze, Giunti [9] SIMARI L.[2026] La Geometria Delle Coincidenze: Un uomo geniale, la sua famiglia, un sogno diventato incubo, giustizia negata e verità nascoste'', 2026, ISBN 979-1224707257 == Note == <references/> {{Nav storadio}} cpz2wit3oq0j8jv35bruv470b9qgndh 2 34010 286276 286269 2026-08-15T13:10:40Z Funzioni di correlazione 24136 286276 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Il coefficiente binomiale con indice inferiore <math>k+1</math> è definito come: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Partendo dalla definizione del fattoriale: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots(k+2)(k+1)(k)\cdots1</math> <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> <math>(n-k-1)!=(n-k-1)!</math> Sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Si può anche ottenere il risultato partendo dal coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math>: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Moltiplicando per <math>\frac{n-k}{k+1}</math>: <math>\binom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{n-k}{k+1}</math> Poiché: <math>\frac{n-k}{(n-k)!}=\frac{1}{(n-k-1)!}</math> e: <math>\frac{1}{k!(k+1)}=\frac{1}{(k+1)!}</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Pertanto: <math>\boxed{\binom{n}{k+1}=\binom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}}</math> La formula è valida per <math>0\leq k<n</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jnsiax51a3vrvcf4na838u1ip9tr8wq 286277 286276 2026-08-15T13:12:30Z Funzioni di correlazione 24136 286277 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Il coefficiente binomiale con indice inferiore <math>k+1</math> è definito come: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Partendo dalla definizione del fattoriale: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots(k+2)(k+1)(k)\cdots1</math> <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> <math>(n-k-1)!=(n-k-1)!</math> Sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Si può anche ottenere il risultato partendo dal coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math>: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Moltiplicando per <math>\frac{n-k}{k+1}</math>: <math>\binom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{n-k}{k+1}</math> Poiché: <math>\frac{n-k}{(n-k)!}=\frac{1}{(n-k-1)!}</math> e: <math>\frac{1}{k!(k+1)}=\frac{1}{(k+1)!}</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Pertanto: <math>{\binom{n}{k+1}=\binom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}}</math> La formula è valida per <math>0\leq k<n</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> k2iqltd3073uzgmu8yek32ig6gpw6tc 286278 286277 2026-08-15T13:33:56Z Funzioni di correlazione 24136 286278 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jt4odysn9nf5mlppu8zisq4s8bv707x 286279 286278 2026-08-15T13:37:28Z Funzioni di correlazione 24136 286279 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==4° <math>\binom{n}{k}}</math>== <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> q7xrczaqpwrqwnupn29cbgvkse62f8e 286280 286279 2026-08-15T13:38:43Z Funzioni di correlazione 24136 286280 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==4° <math>\binom{n}{k}!}</math> <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4i9mgxiuk9jiov3gxdnlty81kpf10k4 286281 286280 2026-08-15T13:39:43Z Funzioni di correlazione 24136 286281 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==4° <math>\binom{n}{k}</math> <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jyae9ermcxiwtenob0id2s9oifddckk 286282 286281 2026-08-15T13:41:10Z Funzioni di correlazione 24136 286282 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==4° Calcolare binomio <math>\: \;\binom{n}{k}</math>= <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> nij4kjyr85720cwg20frnzwn28f17r4 286283 286282 2026-08-15T13:41:43Z Funzioni di correlazione 24136 286283 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==4° Calcolare binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>= <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> iv5np7duaonwvshvkobuyfi9l5xmqqa 286284 286283 2026-08-15T13:42:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* =4° Calcolare binomio \, \,\binom{n}{k} */ 286284 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>= <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 9s6vuuyvneyo9zlkvwkcduq3sbaustv 286285 286284 2026-08-15T13:43:29Z Funzioni di correlazione 24136 286285 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> lq4dk7qdltix74i2wy1w69h3etkmxuz 286286 286285 2026-08-15T13:45:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Calcolo e considerazioni sul binomio \, \,\binom{n}{k} */ 286286 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> e5y4jrddwjijggg8nejkiirvnq55k3n 286288 286286 2026-08-15T14:34:35Z Funzioni di correlazione 24136 286288 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 36gfj1962ncofjf69el6vpj6qwdsxoy 286292 286288 2026-08-16T05:54:59Z Funzioni di correlazione 24136 286292 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{2N}{N}</math> Il numero di combinazioni di <math>2N</math> elementi presi <math>N</math> alla volta è dato dalla formula generale delle combinazioni: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Poiché <math>2N-N=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Per sviluppare il fattoriale <math>(2N)!</math> si scrive: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Sostituendo nella formula precedente: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando il fattore <math>N!</math> al numeratore con uno dei due fattori <math>N!</math> al denominatore: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può quindi scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1}</math> Pertanto, la forma equivalente della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> e quindi: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione <math>\binom{2N}{N}</math> è detta combinazione centrale del coefficiente binomiale di ordine <math>2N</math>. Un'altra forma equivalente si ottiene utilizzando il coefficiente binomiale: <math>\binom{2N}{N}=\binom{2N}{2N-N}=\binom{2N}{N}</math> Ad esempio, per <math>N=3</math>: <math>\binom{2N}{N}=\binom{6}{3}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{720}{6\cdot6}</math> <math>\binom{6}{3}=20</math> Quindi, in generale: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> st3iq1dqkokljni8sc48osl4v07jcng 286293 286292 2026-08-16T06:17:32Z Funzioni di correlazione 24136 286293 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Calcolare COMBINAZIONI DI (2N) (N) scrivi in grezzo per wikipedia mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto ercorso di calcolo in un solo documento, non mettre boxed <math>\binom{2N}{N}</math> Il numero di combinazioni di <math>2N</math> elementi presi <math>N</math> alla volta è dato dalla formula generale delle combinazioni: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Poiché <math>2N-N=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Per sviluppare il fattoriale <math>(2N)!</math> si scrive: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Sostituendo nella formula precedente: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando il fattore <math>N!</math> al numeratore con uno dei due fattori <math>N!</math> al denominatore: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può quindi scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1}</math> Pertanto, la forma equivalente della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> e quindi: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione <math>\binom{2N}{N}</math> è detta combinazione centrale del coefficiente binomiale di ordine <math>2N</math>. Un'altra forma equivalente si ottiene utilizzando il coefficiente binomiale: <math>\binom{2N}{N}=\binom{2N}{2N-N}=\binom{2N}{N}</math> Ad esempio, per <math>N=3</math>: <math>\binom{2N}{N}=\binom{6}{3}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{720}{6\cdot6}</math> <math>\binom{6}{3}=20</math> Quindi, in generale: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> t715yqjtosi4tlatmw3j482hvcq6i7v 286294 286293 2026-08-16T06:24:37Z Funzioni di correlazione 24136 286294 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{2N}{N}</math> La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>\boxed{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> Per valori grandi di <math>N</math>, utilizzando la formula di Stirling: <math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math> si ha: <math>(2N)!\sim\sqrt{4\pi N}\left(\frac{2N}{e}\right)^{2N}</math> e: <math>N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N</math> Da cui: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}\sim\frac{\sqrt{4\pi N}\left(\frac{2N}{e}\right)^{2N}}{2\pi N\left(\frac{N}{e}\right)^{2N}}</math> Semplificando: <math>\binom{2N}{N}\sim\frac{4^N}{\sqrt{\pi N}}</math> Quindi l'approssimazione asintotica della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}\sim\frac{4^N}{\sqrt{\pi N}}</math> Pertanto, la forma equivalente della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> e quindi: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione <math>\binom{2N}{N}</math> è detta combinazione centrale del coefficiente binomiale di ordine <math>2N</math>. Un'altra forma equivalente si ottiene utilizzando il coefficiente binomiale: <math>\binom{2N}{N}=\binom{2N}{2N-N}=\binom{2N}{N}</math> Ad esempio, per <math>N=3</math>: <math>\binom{2N}{N}=\binom{6}{3}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{720}{6\cdot6}</math> <math>\binom{6}{3}=20</math> Quindi, in generale: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> b9jdzr56cmzyfs5aalvgqr1oqwqxnld 286295 286294 2026-08-16T06:28:42Z Funzioni di correlazione 24136 286295 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} <math>\binom{2N}{N}</math> La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> Per valori grandi di <math>N</math>, utilizzando la formula di Stirling: <math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math> si ha: <math>(2N)!\sim\sqrt{4\pi N}\left(\frac{2N}{e}\right)^{2N}</math> e: <math>N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N</math> Da cui: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}\sim\frac{\sqrt{4\pi N}\left(\frac{2N}{e}\right)^{2N}}{2\pi N\left(\frac{N}{e}\right)^{2N}}</math> Semplificando: <math>\binom{2N}{N}\sim\frac{4^N}{\sqrt{\pi N}}</math> Quindi l'approssimazione asintotica della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}\sim\frac{4^N}{\sqrt{\pi N}}</math> Pertanto, la forma equivalente della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> e quindi: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione <math>\binom{2N}{N}</math> è detta combinazione centrale del coefficiente binomiale di ordine <math>2N</math>. Un'altra forma equivalente si ottiene utilizzando il coefficiente binomiale: <math>\binom{2N}{N}=\binom{2N}{2N-N}=\binom{2N}{N}</math> Ad esempio, per <math>N=3</math>: <math>\binom{2N}{N}=\binom{6}{3}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{720}{6\cdot6}</math> <math>\binom{6}{3}=20</math> Quindi, in generale: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> c6v95u2f15581ix5480ovkzpd7i8avj 286296 286295 2026-08-16T06:33:49Z Funzioni di correlazione 24136 286296 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} == 6° Sviluppa di <math>\, \,\binom{2N}{N}</math> La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> Pertanto, la forma equivalente della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> e quindi: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione <math>\binom{2N}{N}</math> è detta combinazione centrale del coefficiente binomiale di ordine <math>2N</math>. Un'altra forma equivalente si ottiene utilizzando il coefficiente binomiale: <math>\binom{2N}{N}=\binom{2N}{2N-N}=\binom{2N}{N}</math> Ad esempio, per <math>N=3</math>: <math>\binom{2N}{N}=\binom{6}{3}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{720}{6\cdot6}</math> <math>\binom{6}{3}=20</math> Quindi, in generale: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 8sxsqu2hh8sr6axwfmnc7rzc2wpg22r 286297 286296 2026-08-16T06:34:57Z Funzioni di correlazione 24136 286297 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} == 6° Risolvi il binomio: <math>\, \,\binom{2N}{N}</math>== La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> Pertanto, la forma equivalente della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> e quindi: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione <math>\binom{2N}{N}</math> è detta combinazione centrale del coefficiente binomiale di ordine <math>2N</math>. Un'altra forma equivalente si ottiene utilizzando il coefficiente binomiale: <math>\binom{2N}{N}=\binom{2N}{2N-N}=\binom{2N}{N}</math> Ad esempio, per <math>N=3</math>: <math>\binom{2N}{N}=\binom{6}{3}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{720}{6\cdot6}</math> <math>\binom{6}{3}=20</math> Quindi, in generale: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 0wx4w9txzshhjpw1olb59w8bfxdsu9g 286303 286297 2026-08-16T07:10:05Z Funzioni di correlazione 24136 286303 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo <math>5</math> numeri distinti tra i <math>90</math> disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dalla formula delle combinazioni semplici: <math>\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Nel nostro caso: <math>n=90</math> <math>k=5</math> Quindi: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!85!}</math> Semplificando <math>85!</math> al numeratore e al denominatore: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,280,? </math> In alternativa, eseguendo direttamente il prodotto completo: <math>90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86=5,273,912,640</math> Pertanto: <math>\binom{90}{5}=\frac{5,273,912,640}{120}</math> <math>\binom{90}{5}=43,949,272</math> Quindi, nel gioco del Lotto, il numero di cinquine distinte che si possono formare scegliendo 5 numeri tra 90 è: <math>43,949,272</math> == 6° Risolvi il binomio: <math>\, \,\binom{2N}{N}</math>== La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> Pertanto, la forma equivalente della combinazione centrale è: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> e quindi: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione <math>\binom{2N}{N}</math> è detta combinazione centrale del coefficiente binomiale di ordine <math>2N</math>. Un'altra forma equivalente si ottiene utilizzando il coefficiente binomiale: <math>\binom{2N}{N}=\binom{2N}{2N-N}=\binom{2N}{N}</math> Ad esempio, per <math>N=3</math>: <math>\binom{2N}{N}=\binom{6}{3}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}</math> <math>\binom{6}{3}=\frac{720}{6\cdot6}</math> <math>\binom{6}{3}=20</math> Quindi, in generale: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\binom{m+k-1}{k}</math> Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Per Wikipedia, senza `\boxed` e con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, puoi usare questo testo. Sostituisci `n` e `k` con i valori del tuo esercizio. == Calcolo del coefficiente binomiale == Il coefficiente binomiale di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è definito dalla formula: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Per calcolarlo si procede nel seguente modo. Si calcola anzitutto il fattoriale di <math>n</math>: <math>n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola quindi il fattoriale di <math>k</math>: <math>k!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots2\cdot1</math> Si calcola infine il fattoriale di <math>n-k</math>: <math>(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> I tre risultati vengono sostituiti nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Pertanto, il risultato finale si ottiene dividendo il fattoriale di <math>n</math> per il prodotto tra il fattoriale di <math>k</math> e il fattoriale di <math>n-k</math>. Il coefficiente binomiale soddisfa inoltre la relazione: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> e, per <math>0\leq k\leq n</math>, è un numero intero non negativo. <math>\binom{n}{k+1}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}</math> <math>=\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}</math> <math>\binom{n}{k+1}</math> Per definizione del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale <math>n!</math>: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)!}</math> Poiché: <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ottiene: <math>\binom{n}{k+1}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{(k+1)k!}</math> Quindi il risultato è: <math>{\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}</math> <math>\binom{m-1}{k-1}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionano gruppi di elementi in cui **l'ordine non conta**. Trova applicazione pratica in moltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> bty8qi5s6d70560nuhe53k5wtz3fxxy 0 37780 286287 286271 2026-08-15T13:51:34Z Funzioni di correlazione 24136 286287 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> 1zanhmu349tgp87qjzqjnqoldgzbhd3 286289 286287 2026-08-15T14:37:17Z Funzioni di correlazione 24136 286289 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> == Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. 39zatkgrjrn25ok3ga6705hfzacczlj 286290 286289 2026-08-15T14:37:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle cinquine */ 286290 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> == 5° Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. 43sdby5bgdtvd1s9s4ufgcdcpi2hno8 286291 286290 2026-08-15T14:38:53Z Funzioni di correlazione 24136 286291 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> == 5° Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. obfcontnn5x3gz7snrmyl76rqglb2o5 286298 286291 2026-08-16T06:41:42Z Funzioni di correlazione 24136 286298 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> == 5° Calcolo delle cinquine == Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. == 6° Risolvi il binomio: <math>\, \,\binom{2N}{N}</math>== La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> qd45wdv79wk3wscx3s6bxmdismvnsj8 286299 286298 2026-08-16T06:43:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Calcolo delle cinquine */ 286299 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> == 5° Calcolo delle cinquine al lotto== Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. == 6° Risolvi il binomio: <math>\, \,\binom{2N}{N}</math>== La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> 18grcgbtj468npsdfgbdxf0169nherj 286300 286299 2026-08-16T06:45:15Z Funzioni di correlazione 24136 286300 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> == 5° Calcolo delle cinquine al lotto== Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. == 6° Risolvi il binomio: <math>\, \,\binom{2N}{N}</math>== La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> disvmo4c7fk6cf5mc0v8dsyf5ti89t7 286302 286300 2026-08-16T07:04:56Z Funzioni di correlazione 24136 286302 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo combinatorio|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercitazioni di calcolo combinatorio con IA== '''Da IA:''' Il **calcolo combinatorio** è la branca della matematica che studia come raggruppare, ordinare e contare gli elementi di un insieme in base a regole specifiche. I suoi tre concetti chiave sono: * **Permutazioni:** Servono a ordinare *tutti* gli elementi di un gruppo (l'ordine è fondamentale). * **Disposizioni:** Servono a ordinare solo un *sottoinsieme* di elementi (l'ordine è fondamentale). * **Combinazioni:** Selezionamoltissimi settori, tra cui il **calcolo delle probabilità**, la **crittografia** (sicurezza delle password), la **statistica** e la **genetica**. '''(10 esercizi)''' ==1° Valutazione del coefficiente binomiale: <math>\, \, \binom{m-1}{k}</math>== Inserendo in IA ll coefficiente binomiale indicato nella forma: '''calcolo combinatorio (m-1) (k)''' calcolo usando la definizione generale del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=m-1</math> si ottiene: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!((m-1)-k)!}</math> Semplificando l'argomento del fattoriale: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}</math> Poiché <math>(m-1)!=(m-1)(m-2)\cdots(m-k)(m-k-1)!</math> si può semplificare il fattore <math>(m-k-1)!</math>: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k!}</math> e, dato che <math>k!=k(k-1)\cdots2\cdot1</math> si ottiene la forma esplicita: <math>\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k)}{k(k-1)\cdots2\cdot1}</math> Quindi: <math>{\binom{m-1}{k}=\frac{(m-1)!}{k!(m-k-1)!}}</math> per <math>0\leq k\leq m-1</math>. == 2° Valutazione del coefficiente binomiale: <math> \, \,\binom{m-1}{k-1}</math> == Inserendo il titolo in IA si ha: <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!((m-1)-(k-1))!}</math> <math>= \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)!}</math> <math>= \frac{(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}</math> <math>= \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(m-i)}{(k-1)!}</math> Per <math>1\leq k\leq m</math>, il coefficiente binomiale è quindi: <math>{\binom{m-1}{k-1}=\frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}}</math> == 3° sviluppo di: <math>\, \,\binom{m+k-1}{k}</math>== Per definizione, il coefficiente binomiale è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo: <math>n=m+k-1</math> si ottiene: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!((m+k-1)-k)!}</math> Semplificando il termine al denominatore: <math>(m+k-1)-k=m-1</math> quindi: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}</math> Sviluppando il fattoriale: <math>(m+k-1)!=(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!</math> si ha: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m+1)m(m-1)!}{k!(m-1)!}</math> Si semplifica <math>(m-1)!</math>: <math>\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}</math> Poiché: <math>k!=1\cdot2\cdot3\cdots k</math> il risultato finale è: <math>{\binom{m+k-1}{k}=\frac{m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}}</math> ==4° Calcolo e considerazioni sul binomio <math>\, \,\binom{n}{k}</math>== Il coefficiente binomiale <math>\binom{n}{k}</math> rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere <math>k</math> elementi da un insieme di <math>n</math> elementi, senza considerare l'ordine. Per definizione: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> dove il fattoriale di <math>n</math> è definito come: <math>n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1</math> e, analogamente: <math>k!=k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1</math> <math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)\cdots2\cdot1</math> Pertanto, sostituendo nella formula del coefficiente binomiale: <math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{[k(k-1)\cdots1][(n-k)(n-k-1)\cdots1]}</math> Per esempio, per <math>n=5</math> e <math>k=2</math>: <math>\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}</math> <math>=\frac{5!}{2!3!}</math> <math>=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}</math> <math>=\frac{120}{2\cdot6}</math> <math>=\frac{120}{12}</math> <math>=10</math> Quindi: <math>\binom{5}{2}=10</math> In generale, il coefficiente binomiale soddisfa le condizioni: <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math> e la relazione di simmetria: <math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> Inoltre, vale la relazione di ricorrenza di Pascal: <math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math> == 5° Calcolo delle cinquine al lotto== Nel gioco del Lotto si possono formare cinquine scegliendo 5 numeri distinti tra i 90 disponibili. Poiché l'ordine dei numeri non è importante, si tratta di un problema di combinazioni semplici. Per utilzzare IA copia e incolla le due righe sopra scritte. Il numero di cinquine possibili è dato dal coefficiente binomiale: <math>\binom{90}{5}</math> La formula delle combinazioni semplici è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Sostituendo <math>n=90</math> e <math>k=5</math> si ottiene: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}</math> Calcolando la differenza: <math>\binom{90}{5}=\frac{90!}{5!85!}</math> Scomponendo il fattoriale <math>90!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85!}{5!\cdot85!}</math> Semplificando <math>85!</math>: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}</math> Poiché: <math>5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120</math> si ha: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}</math> Calcolando il prodotto al numeratore: <math>90\cdot89=8010</math> <math>88\cdot87=7656</math> <math>8010\cdot7656\cdot86=5,282,? </math> In forma diretta, il calcolo completo è: <math>\binom{90}{5}=\frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}=43,949,268</math> Pertanto, con i 90 numeri del Lotto si possono formare: <math>43,949,268</math> cinquine differenti. In conclusione, il numero totale delle cinquine possibili è pari a <math>43,949,268</math>. == 6° Risolvi il binomio: <math>\, \,\binom{2N}{N}</math>== La formula generale per il numero di combinazioni di <math>n</math> elementi presi <math>k</math> alla volta è: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> Ponendo <math>n=2N</math> e <math>k=N</math>, si ottiene: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!(2N-N)!}</math> Semplificando il termine <math>2N-N</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{N!N!}</math> Quindi: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}</math> Sviluppando i fattoriali: <math>(2N)!=(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!</math> Pertanto: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)N!}{N!N!}</math> Semplificando un fattore <math>N!</math>: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(2N)(2N-1)(2N-2)\cdots(N+1)}{N!}</math> Poiché: <math>N!=N(N-1)(N-2)\cdots2\cdot1</math> si può anche scrivere: <math>\binom{2N}{N}=\frac{(N+1)(N+2)\cdots(2N)}{1\cdot2\cdots N}</math> In forma di prodotto: <math>\binom{2N}{N}=\prod_{k=1}^{N}\frac{N+k}{k}</math> La combinazione centrale <math>\binom{2N}{N}</math> può quindi essere calcolata direttamente tramite: <math>{\binom{2N}{N}=\frac{(2N)!}{(N!)^2}}</math> r67glceneig9ygsho5fek3dfmnnf500