Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 2227 286414 278825 2026-08-18T12:13:14Z Avemundi 2081 Revisione 286414 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Diritto romano|materia2=Diritto commerciale romano|avanzamento=100%}} Il Codice civile vigente del 1942 non dà una definizione di obbligazione, perché il legislatore si è giovato delle fonti romane, dove si afferma che: ''obligatio est iuris vinculum quo necessitate adstringimus alicuius solvendae rei''.</br> Ma in diritto romano il termine ''obligatio'' non indicava il dovere di eseguire una prestazione, bensì il vincolo personale che il debitore contraeva a garanzia dell'adempimento.</br> L'arcaico ''ius Quiritium'' fu molto preciso nel disciplinare i diritti reali e le successioni, ma fu carente rispetto al fenomeno economico del credito; tutti gli impegni assunti in tal senso non avevano alcun fondamento giuridico, ma si basavano sulla possibilità dei creditori di reagire contro l'inadempiente.</br> Con l'intensificarsi degli scambi commerciali e l'evolversi dei traffici giuridici, grazie anche all'introduzione della ''pecunia'', si fece sentire sempre più pressante l'esigenza di garantire in qualche modo i rapporti relativi: il debitore diventava ''nexum'' (cioè vincolato) e se l'obbligazione restava inadempiuta, il creditore poteva incatenarlo o venderlo come schiavo, o addirittura ucciderlo.</br> Lentamente nei secoli cominciò ad affermarsi l'idea che il vincolo dovesse stringere due patrimoni e non due persone, e questa ideologia culminò nella ''lex Poetelia Papiria'' che nel 326 a.C. abolì la possibilità di esecuzione sulla persona del debitore.</br> La ''summa divisio'' di tutte le obbligazioni si articolava in due categorie: civili e pretorie. Le civili erano quelle costituite per legge o secondo il diritto civile. Le pretorie erano quelle introdotte dallo ''ius praetorium'' ed erano perciò dette anche ''honorariae''.</br> Senza elaborare mai una categoria generale, per la nota avversione alle astrazioni, lo ''ius civile'' distinse le obbligazioni ''ex contractu'', ''quasi ex contractu'', ''ex maleficio'', ''quasi ex maleficio''.</br> Vi era poi la categoria residuale delle cosiddette ''obligationes ex variis causarum figurae'', in cui rientrava la ''negotiorum gestio'', la ''solutio indebiti'' e il ''legatum per damnationem''. Fu il diritto pretorio che istituì poi le varie azioni a tutela del creditore insoddisfatto. ==Fonti delle obbligazioni== Giustiniano operò la ''summa divisio'' che identificava le fonti in contratti, quasi contratti, delitti e quasi delitti. Inoltre, egli operò un'ulteriore distinzione tra obbligazioni convenzionali (contratte per effetto del consenso dei contraenti), gudiziali (provenienti dalla mera funzione del giudice), pretorie (stabilite dal pretore nell{{'}}''edictum'') e comuni (ad esempio le cauzioni).</br> Tra le obbligazioni da atto lecito, troviamo l{{'}}''obligatio re'' (originata dalla ''datio rei''), l{{'}}''obligatio verbis'' (stipulata mediante domanda e risposta), l{{'}}''obligatio litterarum'' (consistente in un documento scritto) e l{{'}}''obligatio consensu'' (comprendente la locazione, il mandato, la compravendita e la società). ==Elementi del rapporto obbligatorio== Erano elementi dell{{'}}''obligatio'' i soggetti, l'oggetto e le varie clausole (''condicio'', ecc.).</br> Circa i soggetti, questi di regola erano due, ma non era esclusa la compresenza di più soggetti attivi o passivi, e neanche le obbligazioni con un soggetto indeterminato.</br> Era ammessa la rappresentanza, per lo più in forma indiretta, e si conoscevano diverse categorie di soggetti che non potevano contrarre (muti, sordi, pazzi, minori, ecc.).</br> Circa l'oggetto della prestazione, nei tempi arcaici era la persona del debitore; poi si intese nel senso del comportamento che il debitore doveva tenere per soddisfare la pretesa del creditore: poteva essere un ''facere'', un ''non facere'', un ''dare'', un ''praestare'' (nel senso di "garantire").</br> Era ritenuta ''inutile stipulatio'' (cioè invalida) quella avente ad oggetto ''res sacrae'' o ''res extra commercium'', ''res illicitae'' o ''turpes''. È da notare che se l'oggetto era indeterminabile o indefinito, l'obbligazione era nulla, mentre la semplice ''difficultas praestationis non facit inutilem stipulationem''.</br> Circa le clausole apponibili, la disciplina era la stessa degli elementi accidentali del negozio, con tutte le conseguenze relative.</br> Oltre la ''condicio'' e il ''dies'', anche i "luoghi" erano soliti essere inseriti nelle obbligazioni, come quando si diceva "prometti di dare in Cartagine": questa stipulazione, sebbene sembri sorgere puramente, tuttavia aveva inserita in sé una circostanza (il cosiddetto ''tempus iniectum'') della quale il promittente approfittava per eseguire la prestazione.</br> Il diritto romano riteneva inutile la prestazione quando questa aveva ad oggetto una ''res futura'', poiché in quel caso non era ancora nella disponibilità del promittente.</br> Le fonti non lo richiedono esplicitamente, ma sembra che la prestazione dovesse avere necessariamente un determinato requisito: la cosiddetta patrimonialità. Sembra infatti che non esistesse prestazione senza un contenuto patrimoniale. ===Obbligazioni complesse=== Le Obbligazioni possono essere soggettivamente complesse e oggettivamente complesse. ====Obbligazioni soggettivamente complesse==== L'obbligazione poteva presentare pluralità di soggetti sia dal lato attivo che passivo, o da entrambi i lati. Si faceva quindi la distinzione tra obbligazione parziaria e obbligazione solidale, a seconda del tipo di vincolo che stringeva i soggetti.</br> La regola era la parziarietà, perché l'adempimento spettava a ciascun creditore e gravava su ciascun debitore ''pro parte'', in virtù del fatto che l{{'}}''obligatio'' si divideva ''ipso iure'' in tante obbligazioni per quanti erano i soggetti attivi o passivi.</br> Solo in determinati casi, o per volontà delle parti o per legge, si aveva obbligazione solidale (nel vigente ordinamento accade esattamente il contrario), tant'è che nelle fonti si dice: «avendo due persone promesso o pattuito la stessa somma, ''ipso iure'' al singolo è dovuto e i singoli devono».</br> Se quindi la solidarietà non era stata convenuta o pattuita, ''cum una sit obligatio, una e summa est, ut sive unus solvat''; la solidarietà stava nella possibilità di chiedere indifferentemente all'uno o all'altro debitore la prestazione. Ma per le obbligazioni ''ex delicto'', il creditore era soddisfatto solo con l'estinzione dell'intero debito, mentre per le obbligazioni nascenti da atto lecito, il pagamento totale eseguito da uno dei condebitori produceva l'estinzione dell'obbligazione per tutti gli altri.</br> Le obbligazioni solidali nascevano per lo più da ''stipulatio'' o da legato ''per damnationem''.</br> Il rapporto interno tra concreditori e condebitori era poco tutelato: gli altri creditori non potevano rivolgersi all'unico che avesse riscosso, né il debitore solvente aveva azione di regresso contro gli altri, a meno che non vi fosse una preventiva pattuizione in tal senso. In mancanza di accordi, il diritto romano accordò l{{'}}''actio negotiorum gestorum'' sia al debitore solvente (in qualità di ''gestor''), sia ai creditori insoddisfatti (in qualità di ''domini'').</br> Altro sistema fu quello di ottenere dal creditore soddisfatto la ''cessio niminis' (cessione del credito): queste le regole romane per le obbligazioni elettive o correali.</br> L'estinzione dell'obbligazione parziaria si aveva con la ''solutio pro rata''. Poteva estinguersi nei confronti di tutti i soggetti per ''novatio, pactum de non petendo in rem, solutio, litis contestatio'' (dopo il processo, l'obbligazione solidale si estingueva per il principio del ''ne bis in idem'': se il creditore era rimasto insoddisfatto, non poteva più agire contro gli altri condebitori perché l'obbligazione era estinta). ====Obbligazioni oggettivamente complesse==== Circa la prestazione, o meglio il suo oggetto, il diritto romano distingueva: #obbligazioni generiche e specifiche: nelle prime, l'oggetto era una cosa generica (ad es. ''obligatio pecuniae''), mentre nelle seconde era una cosa ben individuata. L'obbligazione generica non diveniva mai impossibile, perché ''genus numquam perit'' ed il bene fungibile poteva essere facilmente sostituito. Nel diritto classico, la scelta delle cose da dare spettava al debitore (''ad libitum debitoris''), purché non desse la cosa peggiore ricompresa in quel ''genus'' (''nec optimum nec pessimum''). Giustiniano stabilì che la scelta potesse spettare anche al creditore: se spettava al creditore, egli poteva pretendere una ''res optima''; se spettava al debitore, egli doveva dare una ''res mediae aestimationis''. #obbligazioni divisibili e indivisibili: la disciplina di esse era per lo più simile a quella moderna. Ad esempio, l'obbligazione di dare era di regola divisibile se era pecuniaria o aveva per oggetto una cosa fungibile. #obbligazioni alternative (''duae vel plures sunt in obligatione, una autem in solutione''): lo ''ius electionis'' spettava di regola al debitore, salvo patto contrario. Il debitore aveva anche lo ''ius variandi'', cioè la facoltà di mutare la scelta fino al momento della ''solutio''. Se lo ''jus variandi'' spettava al creditore, egli poteva scegliere e mutare intenzione fino alla chiamata in giudizio del debitore. Lo ''ius variandi'' era escluso se vi era la clausola ''quam voluero'': in tal caso, ''cum semel elegerit, mutare voluntatem non possit''. ::Lo ''ius variandi'' era trasmissibile agli eredi del debitore o del creditore; se spettava ad un terzo, ''morte finitur''. ::Problema particolare era se il debitore per errore pagasse entrambe le prestazioni alternative: si dubitava della titolarità del diritto di chiedere la ''repetitio rei'', se al debitore o al creditore. Giustiniano attribuì la ripetizione allo stesso soggetto che aveva lo ''jus electionis''. ::Il pagamento, la ''acceptilatio'' o la remisione di una delle due cose alternative estingueva l'intera obbligazione. Il ''pactum de non petendo'' riferito ad una sola delle prestazioni non chiariva se si volesse rimettere tutta l'obbligazione o solo la prestazione cui si riferiva: Giustiniano ritenne che si volesse estinguere solo la prestazione cui era riferito il ''pactum'', anche se non mancano fonti che sostengono il contrario. ::La normativa romana in materia di impossibilità sopravvenuta della prestazione si avvicina molto a quella moderna. Se il perimento della cosa era dovuto a colpa del debitore, l'obbligazione si concentrava sulla cosa rimasta; se il perimento era dovuto al caso fortuito e riguardava l'unica cosa rimasta, l'obbligazione si estingueva, ma nel diritto postclassico la regola era che il perimento per caso fortuito della cosa rimasta dava al creditore la cosiddetta ''actio doli'' per ottenere una somma pari al valore medio dele due prestazioni. Il debitore poteva liberarsi pagando l{{'}}''aestimatio'', cioè il prezzo della cosa perita per caso fortuito, anche se l'altra cosa era rimasta in vita. ::Per ottenere l'adempimento dell'obbligazione alternativa, il creditore aveva l{{'}}''actio certi'' (se la prestazione era generica, aveva l{{'}}''actio incerti'') quando la scelta spettava a lui. Se spettava al debitore, egli poteva agire con l{{'}}''actio incerti'', che poteva essere ''ex stipulatu'' oppure ''ex testamento'' a seconda della fonte dell'obbligazione. #obbligazioni facoltative: qui la prestazione era una soltanto, ma il debitore poteva liberarsi prestando un'altra cosa (''una res est in obligatione, duae sunt autem in facultate solutionis''). L'obbligazione facoltativa era considerata a tutti gli effetti un'obbligazione semplice, con una sola prestazione. ==Classificazione delle obbligazioni== È possibile classificare le obbligazioni a seconda di varie caratteristiche che possono o meno avere. ===Obbligazioni generiche e alternative=== Obbligazioni generiche sono quelle in cui l'oggetto è indeterminato solamente nel genere o in una categoria di oggetti (un quintale di grano, un cavallo).</br> Obbligazioni alternative sono quelle in cui è stabilito un gruppo di singoli oggetti, ciascuno determinato, tra cui scegliere.</br> La scelta che in entrambe le specie occorre fare compete di regola al debitore, ma può anche spettare al creditore o ad un terzo, ove ciò sia espressamente pattuito.</br> L'essenza della disciplina delle obbligazioni generiche e alternative sta nel diverso esito del deterioramento o della perdita dell'oggetto da prestare: *per le obbligazioni generiche, ''genus numquam perit'' e dunque la responsabilità resta a carico dell'inadempiente debitore; *nelle obbligazioni alternative, qualora perissero tutti gli oggetti tra cui compete la scelta, la responsabilità restava a carico di chi doveva compiere la scelta, ma costui poteva liberarsi pagando il prezzo dell'oggetto perito oppure soggiacere all{{'}}''actio doli'' intentata dalla controparte. ===Obbligazioni divisibili e indivisibili=== Le obbligazioni si dicono divisibili quando la prestazione ha natura tale che si possa eseguire parzialmente senza alterarne l'essenza. Indivisibili, nel caso contrario.</br> Le obbligazioni di ''dare'' sono in genere divisibili, perché i diritti sulle cose si possono di regola costituire ''pro parte'', come ad esempio il diritto di diritto di proprietà, l'enfiteusi, il pegno, ecc.</br> Le obbligazioni di ''facere'' sono di norma indivisibili: eseguire una parte di edificio non è realizzare tutto l'edificio, ed in proporzione una parte non ha mai il valore del tutto.</br> Vi sono tuttavia alcune obbligazioni di ''facere'' che sono divisibili, e precisamente quelle che hanno per oggetto la prestazione di opere fungibili ''quae numero, pondee, mensura consistunt''.</br> La distinzione tra obbligazioni divisibili e indivisibili assume rilievo in presenza di più soggetti attivi o passivi: il caso più frequente di pluralità di creditori (o debitori) rispetto ad un unico oggetto indivisibile si verificava nell'[[w:eredità|eredità]], quando alla morte del creditore (o debitore) succedevano più eredi.</br> La ''Lex duodecim tabularum'' disponeva che i debiti e i crediti fossero divisi ''ipso iure'' tra i vari coeredi, sicché il diritto di credito veniva a scindersi in tanti diritti, ciascuno avente ad oggetto una parte della prestazione originaria.</br> Ma quando l'oggetto era indivisibile, al fine di ottenere una divisione congrua, ciascuno dei condebitori poteva chiedere una proroga al creditore per ottenere il pagamento ''pro parte'' dagli altri condebitori, (in presenza di più concreditori) il debitore adempiente poteva chiedere al creditore soddisfatto di garantirlo contro gli altri concreditori. ===Obbligazioni con soggetto variabile=== Di regola, i soggetti dell'obbligazione sono individualmente determinati: può accadere tuttavia che i soggetti siano determinati solo in relazione ad un rapporto reale, in quanto l'essere debitore o creditore dipende dal rapporto con un certo bene.</br> Ad esempio, erano obbligazioni con osggetti variabile quelle dell{{'}}''actio aquae pluviae arcendae'', dell{{'}}''actio quod metus causa'', del ''solarium'', del ''vectigal'' ecc. Tali obbligaizoni erano chiamate '''''obligationes propter rem'''''.</br> Nel diritto romano non erano ammessi i cosiddetti oneri reali, che ricollegavano arbitrariamente (mediante convenzione) le obbligazioni con i rapporti fondiari. Anche se qualcuno si obbligava ad eseguire una prestazione in relazione ad un fondo (ad esempio dare una quantità periodica di frutti), quest'obbligo passa ai suoi eredi ma non ai successivi proprietari del fondo. ===Obbligazioni parziarie e obbligazioni solidali=== Quando più debitori sono tenuti ad eseguire una certa prestazione, o più creditori hanno diritto di esigerla, il rapporto obligatorio si può configurare come parziario (se l'obbligazione si divide tra i vari soggetti) oppure solidale (se l'obbligazione è per l'intero (es. ''legatum per damnationem'') e ciascun debitore è tenuto all'intera prestazione, ovvero ciascun creditore può pretendere l'intera prestazione.</br> Le obbligazioni solidali erano anche chiamate correali, poiché indicavano con l'espressione ''duo rei'' o ''conrei'' le stipulazioni con unico oggetto e pluralità di soggetti che ''una res, una summa, eadem res o pecunia, idem debitum habet''.</br> A differenza dell'attuale regime delle obbligazioni solidali, la solidarietà doveva essere espressamente pattuita, altrimenti l'obbligazione si presumeva parziaria, ed inoltre la solidarietà escludeva di per sé il regresso, in quanto si riteneva che il debitore adempiente per l'intero avesse pagato un debito proprio.</br> ===Obbligazioni civili e onorarie=== ''Civiles'' in senso stretto erano le obbligazioni stabilite dagli organi legislativi del popolo romano o create dalla libera interpretazione della giurisprudenza.</br> ''Honorariae'' e ''pretoriae'' erano le obbligazioni introdotte di volta in volta dal pretore.</br> Tale distinzione aveva rilevanza nel diritto classico, perché nel diritto giustinianeo cadde in disuso. ==Trasmissione delle obbligazioni== Il diritto romano escluse che un rapporto obbligatorio fosse trasmissibile da persona a persona; l'unica eccezione riguardava la successione a titolo universale.</br> Questo divieto posto in via teorica, non impedì nella pratica che si potesse attuare il trasferimento del credito o del debito, o di entrambi, seppure mediante espedienti empirici.</br> A tale scopo, si utilizzarono lo schema della ''novatio'' delegativa e della ''novatio'' espromissoria. ===La ''delegatio''=== Chi voleva cedere un credito imponeva al debitore di promettere ad altri, nella forma di una stipulazione "novatoria", ciò che doveva a lui.</br> La ''delegatio'' (o ''novatio delegatoria'') era un accordo trilatero fra creditore delegante, debitore delegato e terzo delegatario, e non comportava un semplice mutamento soggettivo, ma creava una ''nova obligatio'' con un nuovo creditore, sempre se sussisteva il consenso del debitore.</br> La definizione di ''delegatio'' si trova nelle fonti: «delegare significa dare un altro obbligato al creditore», sotto forma di ''stipulatio'' o ''per litis contestatio''.</br> Il cessionario di un'eredità a titolo oneroso aveva l{{'}}''actio utilis suo nomine'' (dove ''nomine'' significa "debito") contro tutti i debitori dell'eredità. In tal caso, il debitore che avesse avuto notizia della cessione non poteva più validamente pagare al cedente: si affermò così l'uso (divenuto poi regola giuridica) del cessionario di notificare immediatamente al debitore la cessione.</br> Al cessionario spettava la garanzia del ''nomen verum'', cioè dell'esistenza del debito, non anche quella del ''nomen bonum'' (garanzia di solvibilità del debitore ceduto).</br> Il cessionario acquistava il credito così come era presso il cedente, e il debitore ceduto poteva opporre tutte le eccezioni relative al credito, salvo quelle inerenti alla persona del cedente.</br> Un mezzo più efficace per effettuare la cessione del credito fu dato dal ricorso alla cosiddetta rappresentanza indiretta: il creditore conferiva al cessionario un mandato ad agire, ed il procuratore (che nel caso di specie era ''procurator in rem suam'') con la ''litis contestatio'' acquistava il credito; tale sistema ebbe larga diffusione per la rapidità con cui si consentiva l'acquisto del credito. ===L{{'}}''expromissio''=== Mentre la cessione del credito era di fatto ammessa, sia pure mediante espedienti pratici, in diritto romano la cessione del debito era impedita dal principio (quasi) inderogabile dell'intrasmissibilità dell'obbligazione dal lato passivo. Tuttavia, il fine pratico della cessione del debito venne comunque raggiunto con espedienti imperfetti, cioè con strumenti indiretti.</br> Uno di questi, il più diffuso, era la cosiddetta ''expromissio'', un contratto novatorio in cui si sostituiva alla vecchia obbligazione una nuova, con un nuovo soggetto passivo.</br> Anche nel campo della cessione del debito si affermò l'uso di far subentrare in giudizio, al posto del convenuto-debitore, un altro soggetto in veste di ''cognitor in rem suam'' (cosiddetto ''cognitor interveniens''). Costui prendeva il posto del debitore originario nel giudizio e ne assumeva il debito.</br> Sia nel caso del ''procurator'' che del ''cognitor'', si aveva dunque un mutamento del soggetto (rispettivamente attivo e passivo) del rapporto obbligatorio, ma mentre nel primo caso l'accordo era trilaterale, nella cessione del debito si aveva un accordo bilaterale tra cedente e cessionario, con l'esclusione dell'intervento del creditore ceduto. ==Inadempimento dell'obbligazione== Il diritto romano ammetteva che alcuni tipi di obbligazioni potessero far luogo a responsabilità, quando la prestazione non fosse adempiuta o non fosse esattamente adempiuta.</br> Il problema dell'inadempimento non si poneva nel caso delle obbligazioni di dare fungibili, perché si riteneva che nessuna sopravvenienza potesse rendere impossibile la prestazione.</br> Il discorso era diverso per le obbligazioni specifiche: qui il debitore poteva essere esonerato da responsabilità se l'impossibilità non dipendeva da sua colpa.</br> Problemi particolari si avevano circa le obbligazioni che importavano l'obbligo di restituzione (pegno, deposito, comodato) o di gestione di affari altrui (mandato, tutela, ''negotiorum gestio'', ecc.): tale obbligo era detto ''custodiam praestare'' e si poneva in stretta relazione con la responsabilità (chiamata ''dolum praestare'').</br> L'inadempimento poteva essere imputato per dolo o per responsabilità oggettiva; la figura della colpa era meno nota e si affermò solo nel tardo diritto postclassico.</br> La responsabilità da inadempimento si traduceva in responsabilità personale del debitore: quando la ''Lex Poetelia Papiria'' abolì il ''nexum'', si affermò il principio della responsabilità patrimoniale: il creditore, in luogo di ridurre in schiavitù il debitore, poteva venderne i beni (''bonorum venditio'') in una sorta di procedura fallimentare. Si affermò poi l'istituto della ''bonorum distractio'', cioè la vendita dei singoli beni, che costituisce l'archetipo della moderna esecuzione individuale.</br> Il debitore, peraltro, poteva evitare la procedura esecutiva cedendo volontariamente i beni ai creditori (''cessio bonorum'').</br> Con l'introduzione dell'esecuzione patrimoniale, il patrimonio del debitore assunse valore di garanzia generica per i creditori, ai quali furono riconosciute diverse azioni per il caso che il debitore distraesse dei beni sottraendoli alla garanzia generica.</br> Inoltre, furono riconosciuti diversi mezzi di rafforzamento del credito, detti garanzie, e si cercò di assicurare al creditore l'esecuzione della prestazione mediante clausole diverse (''arrha, poena'', ecc). ==Responsabilità "contrattuale" nascente dall'obbligazione== I criteri di imputazione della responsabilità "contrattuale" erano considerati "elementi naturali" dell'obbligazione, ma potevano essere modificati dalle parti.</br> Alcuni contratti ammettevano solo il ''dolus malus'' (frode), altri il dolo e la colpa: ''«magna neglegentia colpa est; magna culpa dolus est»'': con queste regole, il diritto romano imputava l'inadempimento, ma non trascurava di operare una graduazione della colpa.</br> ===L'Esonero da responsabilità "contrattuale"=== I casi di esonero da responsabilità erano dati dalla ''vis maior'' e dal ''casus fortuitus'', che portavano senz'altro alla liberazione del debitore, in quanto in entrambi i casi si trattava di eventi del tutto inevitabili (''rapinae, incendia, impetus praedonum,'' ecc).</br> Nei casi in cui l'inadempimento poteva addebitarsi al debitore, l'obbligazione continuava a sussistere, in virtù del principio della ''perpetuatio obligationis'' che poteva far condannare il debitore (dal giudice a pagare una somma di denaro in luogo della prestazione ormai divenuta impossibile. Tra l'altro, vigeva anche il principio della ''compensatio lucri cum damno''.</br> Era ben nota anche la responsabilità ''ex recepto'': essa si agganciava ai contratti di ''jus civile'' che importavano restituzione o gestione; la ''neglegentia'' nella custodia faceva scattare una sorta di responsabilità oggettiva, per cui il soggetto passivo era tenuto a ''praestare dolum''. Tale criterio di imputazione si riteneva applicabile se l'oggetto depositato o comodato periva. ===La ''culpa''=== La colpa (''culpa'') interveniva negli atti illeciti collegati ad un particolare rapporto (derivante da contratto) con un altro soggetto.</br> Erano ipotesi note: *la ''culpa lata'' (cioè non capire quello che tutti capiscono) assimilata in qualche ipotesi al dolo, *la ''culpa levis'' (cioè non provvedere diligentemente), *la ''culpa levissima'', introdotta dalla ''Lex Aquilia'' e perciò detta "colpa aquiliana", ma riconoscibile solo nei casi di illecito extracontrattuale, dove manca qualsiasi rapporto convenzionale o pattizio con altri soggetti. ====La ''lex Aquilia''==== A prescindere dalle varie figure di ''delictus'' che rientravano nella tutela penale, lo ''ius civile'' conosceva alcune figure di danneggiamento che trovavano tutela in sede civile: si parla della cosiddetta ''iniuria'' e del conseguente ''damnum iniuria datum''.<br /> La disciplina del ''damnum'' si trova nella '''''Lex Aquilia''''' (287 a.C.), la prima legge scritta in materia di risarcimento del danno: in primo luogo, impose di ragguagliare il valore del risarcimento all'ultimo prezzo più alto raggiunto dal bene nel mese precedente, e poi richiese che tra il ''damnum'' e il ''factus'' vi fosse un nesso di causalità. L‘''actio legis Aquiliae'' era concessa contro il danneggiatore che doveva risarcire il ''duplum'' se si provava la colpa, nonché il ''damnum'' (effettiva lesione) e l{{'}}''iniuria'' (antigiuridicità). Per la responsabilità, era sufficiente anche la ''culpa laevissima'', aggravando così la posizione del danneggiante. Si legge infatti nelle fonti che la plebe romana fu contenta quando Aquilio Gallo (tribuno romano) emanò questa legge. Generalmente, è detta ''iniuria'' tutto ciò che "accade contro il diritto", specialmente "gli insulti pronunciati per disprezzare, le offese e le altre iniquità e ingiustizie che i Greci chiamavano αδιχεμα". ==Mora== La '''mora''' è l'inadempimento colposo dell'obbligazione al tempo debito e con le modalità previste, oppure il colposo rifiuto di accettarla.</br> Si distingue pertanto la ''mora in solvendo'' (mora del debitore) dalla ''mora in accipiendo'' (mora del creditore). ===La ''mora debendi''=== ''Mora fieri intellegitur ex re vel ex persona'' era il brocardo che sanciva la distinzione tra i due tipi di mora: quella automatica e quella ''ex persona''.</br> La ''mora debendi'' (o ''mora solvendi'') era la mora del debitore, cioè il ritardo colposo nel pagamento. In tale materia, vigeva il principio ''minus solvit, qui tardius solvit'', poi recepito dal vigente art. 1282 del cod. civ.</br> Per aversi ''mora solvendi'' occorrevano i seguenti requisiti: *innanzitutto l'obbligazione doveva essere valida e munita di azione: non si configurava mora nelle ''obligationes naturales''; *l'obbligazione doveva anche essere pura ed esigibile: non poteva essere richiesta la prestazione ''ante diem'', ossia prima della scadenza del termine, né se mancava l'imputabilità del ritardo al debitore (''mora videtur esse, si nulla difficultas venditorem impediat''); *occorreva poi la cosiddetta ''interpellatio'', cioè l'atto di costituzione in mora (''nulla mora ubi nulla petitio''); per le obbligazioni ''eo die'' (cioè a termine) si applicava il principio del ''dies interpellat pro homine''. Per effetto della mora, l'obbligazione si perpetuava e sorgeva la responsabilità del debitore, che era perciò tenuto a ''dare usuras'', cioè a pagare gli interessi dal giorno della mora, nonché a risarcire il danno derivante dal ritardo (''damnum iniuria datum'') e ad accollarsi il rischio del perimento della cosa.</br> Principio generale era ''in illiquidis non fit mora''. ===La ''mora credendi''=== Diversa era la ''mora credendi'' (o ''mora accipiendi''), che si verificava quando il creditore rifiutava senza motivo di ricevere il pagamento integrale.</br> Gli effetti della mora del creditore erano analoghi a quelli moderni: il rischio per il perimento della cosa era a carico del creditore, il debitore era esonerato dagli interessi e poteva addirittura rifiutare di adempiere se non veniva rimborsato delle spese sostenute per il ritardo.</br> Giustiniano introdusse l'offerta pubblica e il deposito della cosa, come forme valide di estinzione dell'obbligazione. ===L'obbligazione di interessi (''usurae'')=== Dopo l{{'}}''interpellatio'', decorrevano a favore del creditore gli interessi (''usurae''); la misura degli interessi veniva determinata ''officio iudicis'' oppure ''apud iudicem'', ma poteva anche essere stabilita dalle parti. Generalmente, comunque, la questione degli interessi era esaminata ''apud iudicem''.</br> Le parti potevano preventivamente stabilire la misura degli interessi con una clausola chiamata ''stipulatio usurarum''.</br> Giustiniano vietò gli interessi composti (anatocismo). ==Estinzione dell'obbligazione== L{{'}}''obligatio'', come la proprietà, era un rapporto tendenzialmente perpetuo, nel senso che occorrevano determinati negozi per estinguerlo (ad es. ''solutio per aes et libram''), altrimenti durava indefinitamente, salva l'estinzione dell'oggetto su cui gravava.<br /> Causa di estinzione dell'obbligazione era perciò qualsiasi fatto giuridico che comportasse la cessazione del rapporto obbligatorio comprendente tutti i diritti e obblighi che ne derivavano.<br /> Nell'antico diritto, occorrevano forme solenni per poter sciogliere l'obbligazione: *''Solvere dicimus eum, qui fecit quod facere promisit'': sembra che la ''solutio'', cioè l'adempimento, fosse il modo principale di estinzione dell'obbligazione. Ed infatti si legge nelle fonti: «le obbligazioni o naturalmente o civilmente si adempiono; naturalmente con la ''solutio'' o con l{{'}}''acceptilatio'' o la ''novatio'' o il ''concursus causarum'', o la ''confusio'' o la ''compensatio''». Comunque, ''quidque contractum est, solvi debet'': per il debitore non c'era altro modo di sottrarsi al vincolo che quello dell'adempimento. *solo nel diritto più tardo sorgeranno nuovi modi di sciogliere il vincolo obbligatorio: ''dissensu'', ''remissio'', ''nexi liberatio'', ecc. La morte o la ''capitis deminutio'' (perdita della capacità giuridica) estinguevano tutte le obbligazioni derivanti da mandato, ''delictum'', ''sponsio'' (promesse unilaterali) e ''fideipromissio''. Ciò, in quanto tali obbligazioni erano fondate sulla fiducia personale del debitore. I Romani usavano distinguere i modi di estinzione delle obbligazioni in modi di estinzione ''ipso iure'', che operavano automaticamente, e modi di estinzione ''ope exceptionis'', che si potevano far valere solo attraverso l'inserimento nella forma di un{{'}}''exceptio''. ===I tipi di estinzione ''ipso iure''=== Vari sono i tipi di estinzione ''ipso iure''. ====La ''solutio''==== La ''solutio per aes et libram'' era l'atto con cui il debitore si scioglieva dal ''vinculum'', eseguendo la prestazione in favore del creditore: '''''solvere dicitur qui id facit quod facere promisit.'''''<br /> Varie erano le regole che disciplinavano l'adempimento: *''cum mutuum dedimus, ut retro pecuniae tantundem solvi debet'' (trad.: se abbiamo stipulato un mutuo, dobbiamo restituire il ''tantundem'', cioè l'equivalente); *il debitore poteva pretendere la quietanza (''apocha'') o la presenza di cinque testimoni al momento dell'adempimento; *la ''solutio'' andava effettuata ''quando dies venit'', ossia alla scadenza del termine, che di regola era a favore del debitore (''diei adiecto pro debitore est''); se non era stabilito un termine, il creditore poteva chiedere l'adempimento in qualsiasi momento, invitando formalmente (con l{{'}}''interpellatio'') il debitore a pagare, o poteva concedere proroghe; *circa il luogo del pagamento, se nulla era pattuito in proposito, il luogo era quello dove si trovavano gli oggetti. ====L{{'}}''adiectus solutionis causa''==== L{{'}}''obligatio'' poteva intercorrere fra due o più soggetti: quando era indicato il creditore, il pagamento liberatorio avveniva solo nei suoi confronti. Se invece l'obbligazione conteneva la formula ''prometti di dare a Caio o a Tizio?'', allora sorgeva la figura dell{{'}}''adiectus solutionis causa'', un soggetto già indicato nell'atto quale valido destinatario alternativo del pagamento. L{{'}}''adstipulator'' era invece una persona di fiducia del creditore che stipulava un'obbligazione sulla scorta di quella originaria, con lo stesso oggetto.<br /> Qualsiasi pagamento, fatto a persona diversa dal creditore, dall{{'}}''adiectus'' o dall{{'}}''adstipulator'', non era valido se il creditore non lo autorizzava. ====Imputazione dei pagamenti==== Quando il debitore aveva più debiti verso lo stesso creditore, era libero di imputare il pagamento ad uno qualsiasi di essi; ma se mancava la scelta del debitore, soccorrevano criteri legali di imputazione. In ogni caso, si riteneva estinto dapprima il debito di interessi e poi quello di capitale.<br /> L'imputazione seguiva questo ordine: prima le obbligazioni ''ex delicto'', poi quelle ipotecarie e infine quelle indicate dal debitore o (in mancanza) dal ceditore. ====Il concordato e il ''beneficium competentiae''==== Altri modi di estinzione delle obbligazioni erano il concordato e il ''beneficium competentiae''.<br /> I Romani applicarono il '''concordato''' solo alle eredità: una costituzione di Marco Aurelio stabiliva che se un'eredità era molto gravata di debiti, l'erede aveva facoltà di convocare i creditori e invitarli a ridurre proporzionalmente i propri crediti. La deliberazione era presa a maggioranza dell'assemblea dei creditori.<br /> In virtù del '''''beneficium competentiae''''', il debitore aveva diritto di non essere condannato a pagare se non nella misura delle sue facoltà economiche (''in id quod facere potest''). Le persone alle quali il beneficio spettava erano: *il marito rispetto alla moglie *la moglie rispetto al marito *il suocero *il ''patronus'' *il milite *il socio *il donante *l'emancipato *il ''filiusfamilias'' diseredato *il fallito che cede i beni o ha subito la ''bonorum venditio'' *il debitore ''ex promissione doti'' oppure ''ex reddenda dote''. Il ''beneficium competentiae'' aveva lo scopo di evitare l'esecuzione personale o l'infamia (conseguente all'esecuzione reale) oppure ancora l'ignominia (derivante dalla ''cessio bonorum''), sottraendo alla liquidazione generale il [[w:patrimonio|patrimonio]] (dedotte le spese per il necessario sostentamento: ''deductio ne egeat''). ====L{{'}}''acceptilatio''==== Istituto ibrido era l'accettilazione (''acceptilatio''): originariamente, era la dichiarazione con cui il creditore attestava di aver ricevuto la prestazione, poi fu usata come formula di remissione del debito.<br /> La forma consisteva in un'interrogazione e una risposta. Il debitore interrogava il crditore se avesse ricevuto il pagamento o meno: *(debitore): '''''Quod ego tibi promisi habesne acceptum?''''' *(creditore): '''''Habeo''''' Era dunque un ''actus legitimus'' che non ammetteva né condizioni né termini, incompatibili peraltro col tenore della dichiarazione formale, che nel tardo diritto cominciò ad essere usata come una sorta di '''''pactum de non petendo''''': rispondendo di aver ricevuto il pagamento, il creditore si impegnava con il debitore a non richiedere la prestazione; quindi, sostanzialmente si trattava di una remissione del debito, che poteva valere solo nei confronti del debitore (''ne a te petam'') oppure nei confronti di tutti i soggetti (condebitori, eredi, garanti, ecc.) coinvolti nel rapporto obbligatorio (''ne petam''). Ulpiano diceva: «tra ''acceptilatio'' e '''''apocha''''' (=quietanza) c'è questa differenza: l{{'}}''acceptilatio'' in ogni modo scioglie il vincolo e libera il debitore, anche se la ''pecunia'' non è stata data, mentre l{{'}}''apocha'' non libera se non è stata versata la ''pecunia''».<br /> Per Ulpiano, ''(...)quia hoc iure utimur, ut iuris gentium sit acceptilatio: et ideo puto ut Graece posse acceptum fieri, dummodo sic fiat, ut Latinis verbis solet'' (trad.: "perché secondo il nostro diritto l{{'}}''acceptilatio'' è un'istituzione dello ''ius gentium''; e sono perciò d'avviso che essa possa essere fatta in greco, a condizione che sia fatta così come è usuale in parole latine: "tu hai ricevuto tanti denari?" "si, li ho ricevuti".)<br /> Anche Gaio parla dell{{'}}''acceptilatio'' come ''veluti imaginaria solutio'', nel senso che è un pagamento immaginario: era sufficiente che il debitore chiedesse ''«Quod ego tibi promisi, habesne acceptum?»'' (trad.: ciò che ti ho promesso tramite una stipulazione, tu lo hai ricevuto?), e che il creditore rispondesse: ''«Habeo»''.<br /> Nel diritto classico, l{{'}}''acceptilatio'' fu usata principalmente come atto di remissione di un debito appartenente allo ''ius gentium'': era infatti il negozio di chi ''non accipiat pecuniam, sed habere se dicat''. ====La ''datio in solutum''==== Il creditore non poteva essere costretto ad accettare una cosa diversa da quella dovuta; se accettava, si aveva la ''datio in solutum''.<br /> Secondo Giustiniano, la ''datio vicem venditionem habet'' (trad.: fa le veci della vendita) e doveva essere effettuata nel luogo e nel termine stabilito. Giustiniano introdusse anche una forma di ''datio'' necessaria, applicabile quando il debitore non poteva procurarsi denaro, ma aveva degli immobili: in tal caso, il debitore faceva stimare equamente i suoi immobili e li offriva al creditore.<br /> Oltretutto, il creditore non era tenuto ad accettare prestazioni parziali, se l'obbligazione poteva essere adempiuta in una volta sola. Tuttavia, il diritto pretorio concesse ai debitori meritevoli di evitare la ''bonorum venditio'' (e con essa l{{'}}''infamia'') mediante il ''beneficium competentiae'', cioè condannando tali debitori all{{'}}''id quod facere possunt''.<br /> Poteva altresì essere applicato il ''pactum quo minus solvatur'', cioè una forma di concordato preventivo tra gli eredi del debitore insolvente e i creditori ereditari, allo scopo di limitare le pretese di questi ultimi ed evitare la ''bonorum venditio'' in danno del defunto.<br /> Il ''pactum quo minus solvatur'' poteva anche consistere nel chiedere la metà del credito, e prendeva il nome specifico di ''pactum quo partem dimidiam solvatur'', applicabile sulla base di apposito ''decretum'' emanato dal pretore.<br /> Sia il ''pactum quo minus'', che il ''pactum quo partem dimidiam'', erano patti validi per lo ''ius civile''. ====La ''novatio''==== ''Novatio non potest contingere ea stipulatione, quae non committitur'': questo brocardo esprime una necessità formalistica del diritto romano, tendenzialmente contrario alle astrazioni, nonché la prima regola per potersi avere novazione: una novazione non può riferirsi a un contratto che non esista.<br /> La ''novatio'' consisteva nella sostituzione di una nuova obbligazione con la vecchia, sicché quella vecchia restasse estinta (''ut prior obligatio pereatur''): un negozio, quindi, dal duplice effetto di costituire una nuova obbligazione ed estinguerne un'altra.<br /> Si accedeva alla ''novatio'' mediante ''stipulatio''. Circa l'oggetto, si diceva che ''omnes res transire in novatione possunt'', ma nel diritto classico non si poteva mutare l'oggetto dell'obbligazione.<br /> Anzi, fondamento dell'effetto estintivo della novazione era l{{'}}'''''idem debitum''''', giacché non erano ammessi tra le stesse persone due contratti aventi lo stesso oggetto, come non erano possibili due processi sulla stessa controversia (''bis de eadem re agi non potest'').<br /> Nel diritto giustinianeo, il concetto antico della novazione era svanito e l'identità di oggetto eliminata come requisito: anzi, la novità (''aliquid novi'') può consistere appunto nel mutamento dell'oggetto.<br /> Era invece indispensabile l{{'}}'''''animus novandi''''', cioè l'intenzione effettiva di novare, di non lasciar sussistere la nuova obbligazione insieme a quella vecchia. ====La ''confusio''==== Corrisponde alla moderna figura della confusione, ed era la concentrazione nella stessa persona della qualità di creditore e debitore, dovuta ad un evento giuridico: ''confusio est cum debitor et creditor una persona fit''.<br /> L'ipotesi più ricorrente era la ''confusio'' per successione nel credito, sia ''mortis causa'' che ''inter vivos''. Si legge infatti nelle fonti che «se l'erede continuasse ad essere creditore verso il debitore e in seguito lo stesso creditore morisse, il legato sarebbe estinto: e ciò è vero, poiché l'obbligazione si estingue allo stesso modo per confusione e per ''solutio''», in quanto ''debitor sui ipsius nemo esse potest''..<br /> La confusione operava quindi ''ipso iure'' l'estinzione dell'obbligazione: ''confusione perinde extinguitur obligatio ac solutione'', senza ulteriori formalità. ====Il ''concursus causarum''==== Era una forma di ''satisfactio'' senza ''solutio'', che si aveva nei casi di impossibilità sopravvenuta della prestazione: il nome preciso era ''concursus duarum causarum'', perché si faceva distinzione a seconda che la causa dell'obbligazione (o quella dell'acquisto del bene) fosse onerosa o gratuita.<br /> In sostanza, quando il creditore acquistava a titolo diverso (onerosamente o gratuitamente) e per altra via la cosa dovutagli, lo scopo del soddisfacimento del credito si riteneva conseguito.<br /> La giurisprudenza classica ritenne poi che, qualora l'acquisto del creditore fosse stato a titolo oneroso, l'obbligazione non si estinguesse e il debitore dovesse pagare l{{'}}''aestimatio''. ===I tipi di estinzione ''ope exceptionis''=== Vari sono i tipi di estinzione ''ope exceptionis''. ====La ''compensatio''==== La compensazione era il più importante modo di estinzione operante per lo più ''ope exceptionibus''; nel diritto classico erra operò anche ''ipso iure'', ed ebbe ambito applicativo più limitato.</br> Nel diritto giustinianeo, assunse le connotazioni moderne: poteva applicarsi solo ai casi espressamente previsti dalla legge, richiedeva dei presupposti tassativi ed occorreva l'intervento del giudice.</br> I casi legali di ''compensatio'' si identificavano in relazione ai soggetti e all'oggetto dell'obbligazione. In primo luogo, il credito poteva compensarsi solo con altro debito liquido, valido, scaduto, di facile prova ed omogeneo a quello per cui era stato convenuto il debitore in giudizio.</br> Solo in alcuni casi si escluse la compensazione: o per le qualità del creditore (fisco, municipio, ecc.) o per la natura dell'obbligazione fatta valere dal creditore (es. obbligazione alimentare, ''obligatio ex delicto'', ecc.).</br> Il debitore convenuto in giudizio poteva opporre l'eccezione di compensazione o mediante una vera e propria ''exceptio'' oppure con una ''mutua petitio'' (=domanda riconvenzionale); il giudice doveva tener conto dell'ammontare del credito e condannare il debitore se (e solo se) il debito superava il credito. In caso di parità fra credito e debito, il giudice assolveva, in virtù del principio secondo cui la compensazione è bilanciamento fra credito e debito. ====Il ''pactum de non petendo''==== Era il patto con cui il creditore si impegnava a non richiedere (per sempre o per un certo periodo) il suo credito.</br> Tale patto poteva essere utilizzato come forma alternativa di remissione del debito o come dilazione nel pagamento: in ogni caso, era un accordo privo di ogni formalismo.</br> Si distingueva dalla figura dell{{'}}''acceptilatio'', in quanto non operava ''ipso iure'' come quella, ma dava al convenuto un{{'}}''exceptio pacti'' per paralizzare la pretesa dell'attore.</br> Poteva essere un ''pactum in rem'' oppure ''in personam'': se era ''in rem'', il creditore si impegnava a non richiedere il suo credito ''generaliter'', cioè verso tutti. Se era ''in personam'', si riferiva al solo debitore e non anche all'erede o al fideiussore di questi, e il creditore poteva chiedere quanto dovutogli ad altri (ad es. ai garanti o agli eredi).</br> In diritto romano era molto più frequente il ''pactum in personam'', per agevolare il creditore che, volendo benficiare il debitore ma senza rimetterci il credito, poteva rivolgersi ad altri soggetti per il pagamento. ====La ''transactio''==== Era un negozio con cui porre fine ad una controversia (fine peraltro raggiungibile anche mediante ''acceptilatio'', stipulatio'', ecc.), che in più determinava anche l'estinzione delle obbligazioni eventualmente sussistenti tra le parti.</br> Il debitore citato in giudizio poteva appunto eccepire l'intervenuta ''transactio'' mdiante ''exceptio pacti''. Solo in età giustinianea, la ''transactio'' divenne un autonomo negozio innominato, cioè atipico.</br> Il diritto romano attribuiva molta importanza alla transazione: «(...) è stabilito che non minore autorità della transazione rispetto alla cosa giudicata si abbia (...) Chi transige, transige sulla cosa dubbia e sulla lite incerta, non sulla cosa definita». ====La ''praescriptio longi temporis''==== Questo modo di estinzione delle obbligazioni fu introdotto da Teodosio II nel V secolo d.C., ma era inizialmente un modo di estinzione dell'azione creditoria: trascorsi trent'anni dal momento in cui il credito fosse divenuto esigibile e non fosse stato richiesto il pagamento, si estingueva la facoltà del creditore di agire in giudizio.</br> Il creditore non doveva essere né ''impubere'' né ''filius''; se lo era, contro di lui non decorreva la prescrizione.</br> La messa in mora del debitore o il pagamento parziale erano atti interruttivi della prescrizione. Erano cause sospensive la sopravenuta incapacità del creditore, il sorgere di un rapporto di coniugio o affiliazione tra debitore e creditore. 3rwda1m68h3dndfhbahct9txxtvv9o3 0 3870 286477 148871 2026-08-19T02:42:39Z Avemundi 2081 refuso 286477 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Diritto amministrativo}} {{W|Giurisprudenza|settembre 2007|firma=<i><b><span style="font-size:medium;font-family:Comic Sans MS">[[Utente:Wim_b|<span style="color:#007000">W</span><span style="font-size:small;color:#009020">im&nbsp;b</span></span>]]</b>&nbsp;[[Discussioni utente:Wim_b|^{<span style="font-size:10px;color:#0000BB">contattami</span>}]]</i></i> 13:03, 3 set 2007 (CEST)}} Il '''ricorso incidentale''' è una controimpugnazione, un atto con funzione controffensiva di competenza del [[w:processo amministrativo|controinteressato]]: se accolto, il ricorso incidentale mira a mantenere in vita l'atto impugnato con ricorso principale, dal quale il ricorrente incidentale trae vantaggio. ==Riferimenti normativi== La disciplina positiva del ricorso incidentale dinanzi al Giudice Amministrativo era contenuta nell'art. 37 del Regolamento di procedura dinanzi al Consiglio di Stato (R.D. [[w:26 giugno|26 giugno]] [[w:1924|1924]] n. 1054, recante ''Approvazione del Testo Unico delle leggi sul Consiglio di Stato''), e nell'art. 22 della [[w:legge|legge]] [[w:6 dicembre|6 dicembre]] [[w:1971|1971]] n. 1034, istitutiva dei [[w:Tribunale Amministrativo Regionale|TAR]].</br> Tali norme disciplinavano solo i profili formali dell'istituto.</br> L'art. 22 della legge TAR si limitava a stabilire che, nel termine di 20 giorni successivi al deposito del ricorso, la [[w:pubblica amministrazione|pubblica amministrazione]] e i terzi interessati possono presentare memorie, fare istanze, produrre documenti e depositare eventuali ricorsi incidentali.</br> L'art. 37 del Regolamento recava una disciplina più dettagliata ma sempre sul piano procedimentale, in quanto concernente la [[w:notifica|notifica]] del ricorso incidentale, il suo deposito e la sua inefficacia se prodotto dopo la rinunzia al ricorso principale.</br> Le due citate norme, quindi, non davano alcuna indicazione circa i soggetti legittimati, l'oggetto, il contenuto e la funzione del ricorso incidentale, né sui riflessi sul giudizio instaurato.</br> Pertanto, [[w:dottrina|dottrina]] e [[w:giurisprudenza|giurisprudenza]] hanno affrontato il compito di ricostruire l'istituto del ricorso incidentale sullo schema dell'analogo istituto previsto dall'art. 105 del [[w:Codice di Procedura Civile|Codice di Procedura Civile]]. Nel 2010 gli artt. sopracitati sono stati abrogati dall'art 4 dell'allegato 4 del D.lgs 104/2010 e sono stati sostituiti dall'art. 42 dello stesso. Nonostante le critiche mosse in passato da dottrina e giurisprudenza in ordine alla laconicità delle previgenti previsioni normative, l'art. 42 non ha dato luogo al superamento di tale inadeguatezza, prevedendo una disciplina altrettanto sintetica e lasciando sostanzialmente impregiudicate tutte le conclusioni cui la dottrina e la giurisprudenza erano giunte in passato. ==Il contributo dottrinale sul ricorso incidentale== Un primo traguardo importante raggiunto dalla [[w:dottrina|dottrina]] concerne la distinzione tra : *'''ricorso incidentale in primo grado''' (l'oggetto è un [[w:atto amministrativo|atto amministrativo]]) *'''ricorso incidentale in grado di appello''' (l'oggetto è un atto giurisdizionale, cioè la [[w:sentenza|sentenza]] di prime cure). La diversità di oggetto comporta che non vi sono principi comuni alle due figure.</br> In dottrina si discute se il ricorso incidentale in primo grado sia uno strumento di difesa attiva (perché il controinteressato, come sosteneva la giurisprudenza più risalente, difende la sua posizione ampliando il tema decisorio sottoposto alla cognizione del giudice) o se sia un'[[w:eccezione (diritto)|eccezione]] (esercitabile solo se vi è un ricorso principale). La tesi prevalente individua nel ricorso principale un atto lesivo per il controinteressato, e quindi aderisce a quest'ultima accezione.</br> Secondo tale teoria, nel processo di impugnazione, il ricorrente ha l'onere di individuare il controinteressato per notificargli il ricorso e integrare il [[w:principio del contraddittorio|contraddittorio]]. Il controinteressato è il destinatario di una specifica utilità arrecata dall'atto impugnato ed è perciò portatore di un [[w:interesse legittimo|interesse particolare]] a conservarlo, opponendosi all'accoglimento del ricorso principale. ==Il contributo giurisprudenziale sul ricorso incidentale== Decisivi chiarimenti e precisazioni sono giunte dalla [[w:giurisprudenza|giurisprudenza]] del [[w:Consiglio di Stato|Consiglio di Stato]] in ordine agli aspetti sostanziali dell'istituto in esame.</br> Da sempre, il [[w:Consiglio di Stato|Supremo Consesso amministrativo]] ha fatto leva su un dato testuale per affermare che l'aggettivo ''incidentale'' attribuisce all'atto un carattere nuovo e diverso ma solo rispetto al ricorso principale: il ricorso incidentale si innesta nel'ambito dell'impugnativa da altri proposta allo scopo di esercitare un diritto di difesa, mirando alla dichiarazione di inammissibilità o di reiezione del ricorso principale.</br> Le conseguenze dell'accoglimento del ricorso incidentale hanno fatto affermare in giurisprudenza che questo ''solo apparentemente'' è un mezzo di difesa attiva, mentre in realtà si tratta di una eccezione di inammissibilità fondata sul difetto di interesse. ==Natura subalterna del ricorso incidentale== La giurisprudenza e la dottrina hanno evidenziato il carattere strettamente subordinato del ricorso incidentale rispetto a quello principale, poiché: *se cade il ricorso principale, stessa sorte deve seguire quello incidentale *i termini per proporre ricorso incidentale non solo legati alla conoscenza del [[w:atto amministrativo|provvedimento]] impugnato bensì alla proposizione del ricorso principale *il ricorso incidentale si innesta come eccezione nell'ambito di un rapporto processuale instaurato tra altri soggetti ==I soggetti legittimati== Quanto ai soggetti [[w:legittimazione processuale|legittimati]] a proporre ricorso incidentale, la giurisprudenza indica: #i controinteressati ritualmente evocati in giudizio #i controinteressati non intimati #la [[w:pubblica amministrazione|p.a.]] resistente (con riferimento agli atti presupposti adottati da altre Autorità) #lo stesso ricorrente, in sede di eventuale [[reconventio reconventionis]] Non sono legittimati i cointeressati, gli interventori e le altre parti che non siano qualificabili come controinteressati in senso sostanziale. ==I motivi del ricorso incidentale== La [[w:giurisprdenza|giurisprdenza]] ammette che con il ricorso incidentale si possano far valere motivi autonomi rispetto a quelli del ricorso principale. La difesa del [[w:processo amministrativo|controricorrente]] può non limitarsi alla contestazione delle avversarie censure.</bR> Inoltre, la giurisprudenza ammette anche che con il ricorso incidentale si possa impugnare un provvedimento "presupposto" (rispetto a quello principale impugnato dal ricorrente): l'illegittimità dell'atto presupposto può riverberarsi su quello presupponente, e accogliendo il ricorso incidentale ne scaturirebbe un effetto favorevole al controinteressato, poiché -in tal caso- il ricorso principale verrebbe rigettato nel merito (e non con decisione di rito: "per difetto di interesse").</br> Ampia applicazione dell'istituto è fatta in tema di gare pubbliche. Nei repertori giudiziari, sono numerosissimi i casi in cui il controinteressato chiede al giudice che il ricorrente principale sia escluso dalla gara (annullandone l'atto di ammissione), di modo che la gara risulti deserta e l'[[w:pubblica amministrazione|Amministrazione]] debba procedere al rinnovo del [[w:procedimento|procedimento]], anche in virtù dei vincoli conformativi (posti dalla [[w:sentenza|sentenza]]) sulla successiva attività amministrativa.</br> ==Il ricorso incidentale come riconvenzionale== In generale, il ricorso incidentale mira alla dichiarazione di inammissibilità del ricorso principale, sostenendo le ragioni del controinteressato che sono eguali e contrarie rispetto a quelle del ricorrente principale.</br> Nella prassi, accade però anche che il ricorso incidentale "si allinei" con il ricorso principale, chiedendo a sua volta l'annullamento del [[w:atto amministrativo|provvedimento]] impugnato ma deducendo diversi motivi di illegittimità.</br> Nell'ambito di concorsi pubblici, ciò accade ad esempio quando il ricorrente principale contesta la valutazione di determinati titoli, il ricorrente incidentale contesta altri titoli o i titoli di un soggetto diverso, ma entrambi chiedono l'annullamento della graduatoria di concorso. In questi casi, il ricorso incidentale si atteggia come [[w:domanda riconvenzionale|riconvenzionale]]. ==L'esame del ricorso incidentale in fase istruttoria== Sotto il profilo strettamente processuale, e tenuto conto dell'esatto ordine di esame delle questioni, il ricorso incidentale va eaminato subito dopo quello principale. Atteggiandosi come [[w:eccezione (diritto)|eccezione]] di inammissibilità del ricorso principale (per difetto di interesse), il ricorso incidentale va vagliato subito dopo aver accertato l'astratta fondatezza delle censure mosse dal ricorrente principale.</br> Per esigenze di economia processuale, il ricorso incidentale va esaminato ''prima'' del ricorso principale, quando: *vengono sollevate questioni di ordine processuale, relative ad esempio alla carenza di interesse a ricorrere *vengono dedotti vizi di una fase procedimentale diversa da quella impugnata in via principale (ad es. nelle procedure complesse, il giudice deve valutare dapprima le censure incidentali mosse contro l'atto di ammissione alla gara, e poi quelle principali rivolte contro la fase valutativa dei titoli). gvzahebqq1z950dbp987e8cb4o8wm9b 0 4222 286474 282126 2026-08-19T02:27:16Z Avemundi 2081 Piccole correzioni formali 286474 wikitext text/x-wiki {{S|tecnologie dell'informazione}} Un '''protocollo di rete''' è un insieme di regole che due macchine devono rispettare per poter comunicare tra di loro. L'utilizzo di protocolli diventa necessaria quando la tipologia di macchina varia (es: [[w:computer|computer]] e [[w:palmare|palmare]]) o più semplicemente quando il costruttore è diverso. ==Pila ISO/OSI== La logica della comunicazione tra computer si basa su uno standard chiamato OSI(Open System Interconnection). Questo standard definisce 7 livelli, o stack, che rappresentano i passaggi obbligatori che un'informazione deve subire per poter partire da un host e arrivare ad un altro host. Nei vari livelli di questa pila troviamo famiglie di protocolli utilizzabili che stabiliscono le regole per quel livello e consento all'informazione di passare al livello successivo. I livelli, o stack, vengono percorsi dal livello fisico (cavo o mezzo su cui viaggia la trasmissione elettrica) al livello applicativo (ultimo livello appena sotto all'applicazione usata dall'utente) e viceversa a seconda che sia una trasmissione o ricezione di dati. Per approfondire vedere Standard [[w:ISO/OSI|ISO/OSI]]. ==Livello Fisico== ===Bluetooth=== '''Bluetooth''' è una specifica dell'omonimo protocollo, che permette a due macchine di interagire tra di loro attraverso la comunicazione tramite onde radio corte. Sviluppata da [[w:Ericsson|Ericsson]] nel 1999, è ancora oggi uno dei protocolli più sicuri. Può essere considerato come una [[w:Personal area network|Wireless Personal Area Network (WPAN)]]. L'attuale versione è la 2.0, ma presto verrà sostituita dalla versione ''Lisbon'', con maggiore sicurezza e portata (l'attuale portata non supera i 100 metri). Ogni dispositivo può essere classificato in base alla potenza: *1&nbsp;mW: ~ 1 metro di portata *2,5&nbsp;mW: ~ 10 metri di portata *100&nbsp;mW: ~ 100 metri di portata Per approfondire vedere [[w:Bluetooth|Bluetooth]]. ===DSL=== '''DSL''' (a volte chiamata anche come xDSL) è una famiglia di protocolli che gestisce la comunicazione dati tra la centrale telefonica e l'abbonato. Normalmente questa tecnologia non supera i 24 MB/s per problemi hardware. ====aDSL==== L''''ADSL''' (Asymmetric Digital Subscribe Line) è il protocollo più diffuso delle tecnologie DSL. Il protocollo ADSL si occupa di gestire la quantità di traffico in entrata e in uscita (''Asymmetric''), aumentando o dimuendo in base alle esigenze upload e download. Le compagnie telefoniche di solito lasciano più alto il traffico in entrata solitamente più richiesto dall'utente. Per approfondire vedere [[w:DSL|DSL]]. ===RS-232=== ===UWB=== ==Livello Datalink== ===Ethernet=== La tecnologia '''Ethernet''' utilizza [[Dispositivi di collegamento#Connettore RJ-45|connettori RJ-45]] per scambiarsi dati. Si basa sulla tecnologia dei frames: [[Immagine:Ethernet_frame.svg|center]] *'''Preamble''': Messaggio di 8 byte predefinito. Se la scheda di rete rileva questo messaggio e la macchina non è avviata, tenta di avviarla. *'''SFD''': Avvisa che il ''Preamble'' è terminato. È stato inserito per problemi di compatibilità con diverse versioni (prima il ''Preamble'' aveva 7 byte). *'''Destination Mac Address''': Questo campo contiene l'[[w:MAC|indirizzo MAC]] dell'adattatore di destinazione. *'''Source Mac Address''': Questo campo contiene l'[[w:MAC|indirizzo MAC]] dell'adattatore sorgente. *'''EtherType''': ''(2 byte)'' Contiene la versione del protocollo e la lunghezza dei dati. *'''Payload''': Contiene i dati di trasmissione. La lunghezza minima è 46 byte, mentre quella massima 1500 byte. Se il valore supera il limite, i dati vengono separati in pacchetti. *'''FCS''': Chiamato anche '''CSC''' è il ''controllo di ridondanza ciclica'', serve a verificare se ci sono errori di trasmissione. La lunghezza è di 4 byte. ===PPP=== ===Token ring=== ===Wi-Fi=== ===FDDI=== ==Livello Rete== ===IP=== ===IPX=== ===ATM=== ===Frame Relay=== ===X.25=== ==Livello Trasporto== ===TCP=== '''Transmission Control Protocol''' ('''TCP''') è definito nella RFC 793, e su di esso si appoggiano gran parte delle applicazioni [[w:Internet|internet]]. TCP è stato progettato per utilizzare i servizi del protocollo [[w:IP|IP]], che non offre alcuna garanzia in ordine alla consegna dei pacchetti, al ritardo, alla congestione, e costruire un '''canale di comunicazione affidabile tra due processi applicativi'''. Il canale di comunicazione è costituito da un flusso bidirezionale di byte. Inoltre, alcune funzionalità di TCP sono vitali per il buon funzionamento complessivo di una rete IP. ====Caratteristiche==== * Il servizio offerto da TCP è il trasporto di un '''flusso di byte''' bidirezionale tra due applicazioni in esecuzione su host differenti. Il flusso viene frazionato in blocchi per la trasmissione dall'applicazione a TCP (che normalmente è implementato nel [[Materia:Sistemi operativi|sistema operativo]]), per la trasmissione all'interno di segmenti TCP, per la consegna all'applicazione che lo riceve, ma questa divisione in blocchi non è per forza la stessa nei diversi passaggi. * TCP è un protocollo '''orientato alla connessione''', ovvero prima di poter trasmettere dati deve stabilire la comunicazione, negoziando una connessione tra mittente e destinatario, infine conclude con la chiusura della connessione. Esso quindi ha le funzionalità per creare, mantenere e chiudere una connessione. * TCP garantisce che i dati trasmessi, se giungono a destinazione, lo facciano in ordine e una volta sola ("'''at most once'''"): il protocollo in pratica cerca di simulare per i livelli superiori una connessione fisica diretta di un flusso di byte, attraverso vari meccanismi di acknowledgement e di ritrasmissione su timeout. * TCP possiede funzionalità di controllo di flusso e di controllo della congestione sulla connessione, attraverso il meccanismo della finestra scorrevole. Questo permette di ottimizzare l'utilizzo della rete anche in caso di congestione, e di condividere equamente la capacità disponibile tra diverse sessioni TCP attive su un collegamento. * TCP fornisce un servizio di [[w:multiplazione#Multiplazione nei protocolli di trasporto|multiplazione]] delle connessioni su un host, attraverso il meccanismo delle [[w:Porta (reti)|porte]]. ====Struttura==== Un segmento TCP è così strutturato: {| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align: center;" width="600px" |- align="center" ! width="4%"|+ ! colspan="4" width="12%"| Bit 0–3 ! colspan="6" width="18%"| 4–9 ! colspan="6" width="18%"| 10–15 ! colspan="16" width="48%"| 16–31 |- align="center" ! 0 | colspan="16"| Source Port | colspan="16"| Destination Port |- align="center" ! 32 | colspan="32"| Sequence Number |- align="center" ! 64 | colspan="32"| Acknowledgment Number |- align="center" ! 96 | colspan="4"| Header Length | colspan="6"| Reserved | colspan="6"| Flags | colspan="16"| Advertise Window |- align="center" ! 128 | colspan="16"| Checksum | colspan="16"| Urgent Pointer |- align="center" ! 160 | colspan="32" bgcolor="#FFDDDD" | Options (optional) |- align="center" ! 160<br />o<br />192+ | colspan="32"| &nbsp;<br />Data<br />&nbsp; |} * '''Source port''' [16 bit] - Identifica il ''numero di porta sull'host mittente'' associato alla connessione TCP. * '''Destination port''' [16 bit] - Identifica il ''numero di porta sull'host destinatario'' associato alla connessione TCP. * '''Sequence number''' [32 bit] - Numero di sequenza, indica lo scostamento (espresso in byte) dell'inizio del segmento TCP all'interno del flusso completo, a partire dall{{'}}''Initial Sequence Number'' (''ISN''), negoziato all'apertura della connessione. * '''Acknowledgment number''' [32 bit] - Numero di riscontro, ha significato solo se il flag [[w:ACK|ACK]] è settato a 1, e conferma la ricezione di una parte del flusso di dati nella direzione opposta, indicando il valore del prossimo ''Sequence number'' che l'host mittente del segmento TCP si aspetta di ricevere. * '''Header Length''' [4 bit] - Indica la lunghezza (in [[w:Word|word]] da 32 bit) dell'header del segmento TCP; tale lunghezza può variare da 5 word (20 byte) a 15 word (60 byte) a seconda della presenza e della lunghezza del campo facoltativo ''Options''. * '''Reserved''' [6 bit] - Bit non utilizzati e predisposti per sviluppi futuri del protocollo. * '''Flags''' [6 bit] - Bit utilizzati per il controllo del protocollo: ** [[w:URG|URG]] - se settato a 1 indica che nel flusso sono presenti ''dati urgenti'' alla posizione (offset) indicata dal campo ''Urgent pointer''; ** [[w:ACK (informatica)|ACK]] - se settato a 1 indica che il campo ''Acknowledgment number'' è valido; ** [[w:PSH|PSH]] - se settato a 1 indica che i dati in arrivo non devono essere bufferizzati ma passati subito ai livelli superiori dell'applicazione; ** [[w:RST (TCP)|RST]] - se settato a 1 ripristina la connessione; viene utilizzato in caso di grave errore; ** [[w:SYN (TCP)|SYN]] - se settato a 1 indica che l'host mittente del segmento vuole ''aprire una connessione TCP'' con l'host destinatario e specifica nel campo ''Sequence number'' il valore dell{{'}}''Initial Sequence Number'' (''ISN''); ** [[w:FIN (informatica)|FIN]] - se settato a 1 indica che l'host mittente del segmento vuole ''chiudere la connessione TCP'' aperta con l'host destinatario. * '''Advertise Window''' [16 bit] - Indica la dimensione della ''finestra di ricezione'' dell'host mittente, cioè il numero di byte che il mittente è in grado di accettare a partire da quello specificato dall'acknowledgment number. * '''[[w:Checksum|Checksum]]''' [16 bit] - Campo di controllo utilizzato per la verifica della validità del segmento. * '''Urgent pointer''' [16 bit] - Puntatore a dato urgente, ha significato solo se il flag [[w:URG|URG]] è settato a 1 ed indica lo scostamento in byte a partire dal ''Sequence number'' del byte di dati urgenti all'interno del flusso. * '''Options''' - Opzioni (facoltative) per usi del protocollo avanzati. ===UDP=== L'User Datagram Protocol (UDP) è definito nella [http://tools.ietf.org/html/rfc768 RFC768]. A differenza del TCP, non gestisce il riordinamento dei pacchetti né la ritrasmissione di quelli persi. L'UDP ha come caratteristica di essere un protocollo di rete inaffidabile, [[w:protocollo connectionless|privo di connessione]], ma in compenso molto rapido ed efficiente per le applicazioni "leggere" o time-sensitive. Infatti, è usato spesso per la trasmissione di informazioni audio o video. Dato che le [[w:tempo reale|applicazioni in tempo reale]] spesso richiedono un ritmo minimo di spedizione, non vogliono ritardare eccessivamente la trasmissione dei pacchetti e possono tollerare qualche perdita di dati, il modello di servizio TCP può non essere particolarmente adatto alle esigenze di queste applicazioni. L'UDP fornisce soltanto i servizi basilari del livello di trasporto, ovvero: * multiplazione delle connessioni, ottenuta attraverso il meccanismo delle [[w:porta (reti)|porte]] * verifica degli errori mediante una checksum, inserita in un campo dell'intestazione del pacchetto. mentre TCP garantisce anche il trasferimento affidabile dei dati, il controllo di flusso e il controllo della congestione. UDP è un protocollo [[w:stateless|stateless]] ovvero privo di stato: non mantiene lo stato della connessione dunque rispetto a TCP ha informazioni in meno da memorizzare. Un server dedicato ad una particolare applicazione che sceglie UDP come protocollo di trasporto può supportare molti più client attivi. ====Struttura==== Un datagramma UDP è così strutturato: {| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align: center;" width="300px" |- align="center" ! width="4%"|+ ! colspan="16" width="48%"|Bit 0-15 ! colspan="16" width="48%"|16-31 |- align="center" ! 0 | colspan="16" bgcolor="#FFDDDD"|Source Port (optional) | colspan="16"|Destination Port |- align="center" ! 32 | colspan="16"|Length | colspan="16" bgcolor="#FFDDDD"|Checksum (optional) |- align="center" ! 64+ | colspan="32"|&nbsp;<br />Data<br />&nbsp; |} * '''Source port''' [16 bit] - Identifica il ''numero di porta sull'host del mittente'' del datagramma; * '''Destination port''' [16 bit] - Identifica il ''numero di porta sull'host del destinatario'' del datagramma; * '''Length''' [16 bit] - contiene la lunghezza totale del datagramma UDP (header+dati);Indica la lunghezza (in word da 32 bit) dell'header del segmento TCP; * '''[[w:Checksum|Checksum]]''' [16 bit] - contiene il codice di controllo del datagramma (header+dati). L'algoritmo di calcolo è definito nell'[[w:Request for Comments|RFC]] del protocollo; * '''Data''' - contiene i dati del datagramma. ===SPX=== ===NetBIOS=== ==Livello Sessione== ===L2TP=== ===RPC=== ==Livello Presentazione== ==Livello Applicazione== === DHCP === ===DNS=== ===NTP=== ===SNMP=== ===LDAP=== ===Altri=== ==A proposito di Linux== Nello specifico, all'interno di Linux è spesso possibile trovare informazioni legibili su ciò che accade alla rete: più nello specifico esistono strumenti per controllare la rete, generare pacchetti, chiedere informazioni alla rete e agli apparati che la compongono. Sui sistemi operativi Linux è presente un file (/etc/service nei sistemi similari a RedHat) che elenca i protocolli indipendentemente dal livello in cui lavorano con le corrispondenti porte standard. ==Fonti== * [[w:Transmission Control Protocol|Transmission Control Protocol su Wikipedia]] * [[w:User Datagram Protocol|User Datagram Protocol su Wikipedia]] l99xwc5acxrlrlp9cbtv0n7w3xaybuv 0 4738 286419 280344 2026-08-18T12:22:56Z Avemundi 2081 Revisione 286419 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Coltivazioni arboree}} [[Immagine:Apricots2.jpg|right|180px|thumb|Albicocco]] La '''Pomologia''' è la disciplina che classifica, distinguendo i tempi di maturazione, quindi il carattere precoce o tardivo, le dimensioni dei frutti, il colore dell<nowiki>'</nowiki>epidermide e della polpa, la resistenza della pianta alle avversità, le centinaia di varietà degli alberi da frutto: pere, mele, susine, pesche, ciliegie, fichi, arance, limoni e mandarini propagate, da almeno quattromila anni, attraverso l<nowiki>'</nowiki>innesto. ==Storia== Fino dall'[[w:età del bronzo|età del bronzo]] l'uomo si accorse che dai semi degli alberi fruttiferi posti al margine dei propri campi era impossibile ottenere piante che producessero frutti identici a quelli dei genitori. Cercando come riprodurre i frutti di particolare gradevolezza di un particolare albero l<nowiki>'</nowiki>agricoltore scoprì l<nowiki>'</nowiki>innesto, una forma di propagazione “vegetativa”, che impedisce, biologicamente, il rimescolamento dei cromosomi e riproduce organismi che non possono considerarsi nuovi viventi, ma parti separate della pianta da cui sono state prelevate le “marze”, i segmenti vivi innestati su pianta diversa. [[Immagine:Malus-domestica-blomstring.JPG|right|180px|thumb|Melo]] La prima espressione dell'esistenza di una passione per la gamma più ricca di frutto ci è fornita dall'[[w:Odissea|Odissea]], quando, sbarcato a [[w:Itaca|Itaca]], per farsi riconoscere dal padre [[w:Ulisse|Ulisse]] gli ricorda le diverse varietà di frutta che gli aveva donato e che avevano costituito il suo orto di fanciullo: 13 varietà di pero, 10 di melo, 40 di fico, 50 di uva <ref name="Ulisse">Antonio Saltini, ''Storia delle scienze agrarie'', vol. I, 1984, pp. 7-18</ref> Nel mondo latino il vigneto e l'oliveto divengono impianti specializzati indipendenti, l'hortus continua a unire frutta e ortaggi, e l'hortus, si noti è un giardino, non un orto, come provano “orti” famosi, come quelli di [[w:Sallustio|Sallustio]] e quelli di [[w:Nerone|Nerone]]. Non si tratta solo di applicazioni pratiche, ma anche di studi sistematici. Il latino [[Columella]] propone un elenco di quasi 40 varietà di uva, di alcune delle quali illustra con precisione i caratteri biologici e organolettici <ref name="Columella">Idem, ''ibidem'', vol. I, 1984, pp. 69-88</ref>. Per l<nowiki>'</nowiki>Italia propone, nel [[w:Cinquecento|Cinquecento]], ricchi cataloghi pomologici [[w:Agostino Gallo|Agostino Gallo]], che elenca 12 varietà di pero, 11 di melo, 9 di susine <ref name="Gallo">Idem, ''ibidem'', vol. I, 1984 pagg. 319-331</ref> , mentre la grande tradizione pomologica francese ha inizio con il capolavoro di [[w:Olivier de Serres|Olivier de Serres]], l'autore ugonotto che pubblica, nell'anno 1600, il ''Le théâtre d'agriculture et mesnage des champs'', una delle parti più ampie del quale è dedicato alla frutticoltura, con l'illustrazione di un ricco catalogo varietale <ref name="Serres">Idem, ''ibidem'', vol. I, 1984, pp. 449-468</ref>. Nel [[w:Seicento|Seicento]] scrivono opere sulla frutticoltura, con brevi annotazioni pomologiche, il francese [[w:fr:Jean-Baptiste de La Quintinye|Jean de la Quintinye]] <ref name="Jean">Idem, ''ibidem'', vol. II, 1987 pagg. 33-48</ref>, sovrintendente al giardino di [[w:Versailles|Versailles]], e l<nowiki>'</nowiki>inglese John Evelyn. L<nowiki>'</nowiki>età d<nowiki>'</nowiki>oro della pomologia si compie tra la metà del Settecento e quella del secolo successivo, quando vedono la luce tutti gli atlanti pomologici delle nazioni europee: Henri Duhamel du Monceau classifica i frutti dei giardini patrizi della Francia, Johann Mayer quelli della Germania centrale, Mathias Roessler quelli della Boemia, Johann Kraft quelli dell'Austria, George Brookshaw e William Hooker quelli dell'Inghilterra. L'Italia partecipa alla stagione pomologica internazionale con la Pomona di Giorgio Gallesio, singolare figura degli anni del dominio francese, quando Gallesio scrive i propri libri in francese e li dedica, con servilismo, al proprio superiore, il conte Chabrol de Volvic, per lamentare, caduto Napoleone, di essere stato “costretto” a scrivere in una lingua “non sua”. Gallesio pubblica a Firenze, dove sussiste un<nowiki>'</nowiki>antica tradizione di raffigurazione pittorica e plastica delle varietà di frutta, la Pomona italiana, di cui non riesce a completare il disegno per i dissapori con l'editore, Giovanni Rosini, mancando, così, di includere nel lavoro le varietà di agrumi, oggetto dei suoi studi più originali. L'opera costituisce, comunque, il primo catalogo delle varietà di frutta italiane <ref name="Gallesio">Idem, ''ibidem'', vol. II, 1987, pp. 615-631</ref>. ==Il sorgere della frutticultura== Va notato che "Frutticoltura" è una tipica parola moderna, che esprime un concetto praticamente sconosciuto al pensiero agronomico antico. Nelle civiltà mediterranee, infatti, non si parla mai di frutteto, ma di ''hortus'', uno spazio cintato da un muro entro il quale si coltivano alberi fruttiferi, olivi e viti, ai cui piedi il terreno è lavorato a beneficio degli alberi, ma anche degli ortaggi, sistematicamente coltivati tra gli alberi. Un noto pomologo italiano, Girolamo Molon,<ref name="America">Antonio Saltini, "Il viaggio in America: la frutticoltura nel confronto mercantile mondiale", in ''Girolamo Molon 1860-1937. L<nowiki>'</nowiki>ampelografia e la pomologia'', Vicenza, 1998)</ref> compie approfonditi studi in materia. Nella propria relazione Molon avverte economisti e agricoltori che la frutticoltura italiana è assolutamente arretrata, per la molteplicità di varietà prive di autentiche qualità, per le forme di allevamento irrazionali, per i circuiti commerciali primordiali. ==L'affermazione e il declino della frutticultura italiana== Sul finire degli anni '50 la frutticultura italiana ha una decisa affermazione a livello europeo, con una svolta verso una concezione ''industriale'' soprattutto in tre province, [[w:Ferrara|Ferrara]], [[W:Ravenna|Ravenna]] e [[W:Forlì|Forlì]] pronte, ampliando l<nowiki>'</nowiki>esito di esperienze pionieristiche isolate dei decenni precedenti, a creare una grande frutticoltura moderna. Ferrara, si può rilevare, mostrerà una frutticoltura strutturata in grandi aziende, con decine di ettari ciascuna, e decine di operai, Ravenna e Forlì presenteranno una frutticoltura piuttosto basata sulla piccola azienda familiare, che troverà la propria efficienza riunendosi in grandi cooperative. È il sorgere di una grande frutticoltura italiana, che sarà settore di punta dell'agricoltura europea per tre decenni. Secondo alcuni studiosi<ref name="Ulisse">Antonio Saltini, Giorgio Ravalli, Francesco Sprocatti, ''La corte colonica nel Ferrarese'', Ferrara, 1998</ref>, la sua crisi inizierà proprio dal tramonto della frutticoltura ferrarese, un tramonto dovuto all'accesa conflittualità sindacale, la crisi si estenderà, lentamente, a province e settori diversi, coinvolgendo, oggi, le pesche romagnole, gli agrumi siciliani, l'uva pugliese, in un quadro che se consente all'>Italia di proporsi ancora come primo produttore di frutta europeo, mostra quel primato cedere, ogni anno, sui mercati interni o su quelli esteri, il numero delle aziende frutticole contrarsi, le cooperative confrontarsi con difficoltà sempre maggiori con le concorrenti spagnole, con i produttori del Sudamerica, dell'Asia e dell'Africa. ==Note== <references/> [[Immagine:Mespilus germanica1.jpg|200px|right|thumb|Nespolo comune]] ==Voci correlate== *[[w:Malus domestica|Melo (''Malus domestica'')]] *[[w:Pyrus|Pero (''Pyrus'')]] *[[w:Prunus persica|Pesco (''Prunus persica'')]] *[[w:de:Liste der Apfelsorten|de Lista delle mele]] *[[w:Frutticultura|Frutticultura]] ==Bibliografia== *Augustin Sageret ''Pomologie physiologique'' [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k28582v Gallica]. *Johann H. Knoop - Pomologie, 1758 *Henri L. Duhamel du Monceau, ''Traité des arbres fruitiers, avec leur figure'', Paris, 1768 *Johann Prokop Mayer, ''Pomona Franconica'', Nurnberg, 1776-1801 *Mathias Roessler, ''Pomona bohemica'', 1759 *Johann Kraft, ''Pomona austriaca'', 1790-96 *George Brookshaw, ''Pomona britannica'', London, 1812 *William Hooker, ''Pomona londinensis'', London, 1819 *Hadrian Diel, ''Versuch einer systematischen Beschreibung der in Deutschland gewöhnlichen Kernobstsorten, 21 Hefte'', 1799-1819, *Idem, ''Auszug daraus in fünf Bänden'', 1829-33; *Idem, ''Systematisches Verzeichniß der vorzüglichsten in Deutschland vorhandenen Obstsorten'', 1818, *Idem, ''mit zwei Fortsetzungen'', 1829-33. *Antonio Saltini, ''Giogio Gallesio'' in Istituto dell'enciclopedia italiana, ''Dizionario biografico degli italiani'', vol. LI, 1998 *Antonio Saltini, Lucia Tongiorgi Tomasi, ''Giorgio Gallesio, Una certezza acquisita nella biografia degli enigmi'', in ''Atti dell<nowiki>'</nowiki>Accademia dei Georgofili'', I, II, III, IV 1994 *Girolamo Molon, ''Bibliografia orticola'', Milano, 1927 ==Collegamenti esterni== *[http://www.breeding-fruit.it/ Istituto Sperimentale per la frutticultura di Roma] *[http://www.consorzio-frutticoltura.it/ Consorzio interprovinciale di Cagliari, Oristani, Nuoro] [[en:Topic:Pomology]] g20hyaio4kv9z2pqmgdv93rwdycjxln 0 6825 286428 283740 2026-08-18T12:57:02Z ~2026-45290-45 46872 286428 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Psicometria}} La '''salamometria''' si occupa di tutto ciò che concerne la [[w:misurazione|misurazione]] della [[w:psiche|psiche]]. I fenomeni complessi che devono essere studiati non sono direttamente osservabili e misurabili, quindi bisogna ricorrere agli strumenti [[w:probabilità|probabilistici]] forniti dalla [[w:statistica|statistica]]. La psicometria si prefigge di scoprire quali e quando usare alcune tecniche statistica, più che di sviluppare nuovi concetti matematici. In definitiva si occupa di capire quali sono gli obbiettivi e i problemi delle tecniche dell'[[w:analisi matematica|analisi matematica]] e come poterle sfruttare per lo studio in campo [[w:psicologia|psicologico]]. Prima di iniziare il corso vero e proprio occorre analizzare alcune distinzioni terminologiche e di definire il significato di alcuni termini che possono risultare ambigui e che verranno poi utilizzati nelle lezioni successive. == Distinzioni terminologiche == === Statistica === La statistica è quella materia che mette a disposizione gli strumenti e le tecniche di studio per l'analisi di vari fenomeni della realtà, permettendo di ricavare [[w:legge fisica|leggi]] generalizzabili a partire dallo studio di un [[w:campione|campione]]. Siccome in psicologia non si parla di dati certi ma solo probabili, è indispensabile ricorrere all'indagine statistica. I due campi che la statistica studia sono: * la descrizione, ovvero la possibilità di riassumere gruppi di informazioni singole e di astrarle, in modo da poterle appunto descrivere sinteticamente. Questo è uno strumento potente, perché permette di accorpare in un unico dato molteplici informazioni. Al tempo stesso, la mancanza di dettaglio la rende estremamente debole, in quanto bisogna essere estremamente cauti nel fidarsi unicamente di questi indicatori. Ad esempio, la [[w:media|media]] dell'età delle persone di un certo ufficio è un dato estremamente sintetico, in quanto riassume in sé stesso tutte le età dei dipendenti che lavorano in tale ufficio. Tuttavia, in mancanza di altri indicatori che assolvono espressamente a questo compito (come ad esempio la [[w:varianza|varianza]] e la [[w:distribuzione standard|distribuzione standard]]), non è possibile sapere se ci sono persone molto anziane o molto giovani (cioè che si discostano molto dal valore medio). *l'inferenza, ovvero la possibilità di estendere informazioni relative ad un campione ristretto ad un insieme più largo. Sono molte le problematiche che derivano dalla generalizzazione di un dato ricavato statisticamente, in quanto bisogna tenere in conto molti fattori che possono influenzare tale rilevazione e che non si addicono all'insieme più largo. Ad esempio, si chiede ad un gruppo di cittatidini italiani, scelti in maniera da comporre una uniformità geografica, se sono a favore o contro l'[[w:aborto|aborto]] e si ricava che il 70% di essi sono contro. Questo risultato non autorizza il ricercatore a suppore che il 70% di italiani sia contro l'aborto, perché, ad una ricerca più approfondita, magari si riscontra che l'80% dei membri del campione scelto sono [[w:cattolico|cattolici osservanti]], il che può influenzare notevolmente la risposta degli intervistati. Se il 80% degli italiani fosse cattolico osservante, allora l'induzione sarebbe corretta, perché il campione scelto rappresenterebbe effettivamente la composizione percentuale della popolazione italiana, ma se così non fosse, l'affermazione che il 70% degli italiani è contro l'aborto sarebbe semplicemente scorretta. === Psicometria === La psicometria è un'area di ricerca interdisciplinare che si occupa delle teorie e dei metodi tramite i quali è possibile 'rilevare' informazioni sui [[tratto psicologico|tratti psicologici]] degli [[w:individuo|individui]]. Oltre ai problemi specifici dell'analisi statistica della quale si avvale, la psicometria analizza gli effetti della riduzione che la statistica impone ai processi molto complicati proposti dalla psicologia. In essa si distinguono due tradizioni storiche: * la [[w:psicofisica|psicofisica]] ([[w:Gustav Fechner|Fechner]] - [[1860]]) che si occupa della relazione fra mente e corpo, ovvero delle risposte degli individui a certi stimoli. La ricerca si concentra sugli aspetti comuni a tutto il genere umano, cercando di identificare quelle costanti che si ritrovano in ogni individuo. Un esempio è la correlazione che esiste tra calore e percezione del calore. * la [[w:Discipline psicologiche#Psicologia applicata|psicologia applicata]] ([[w:Francis Galton|Galton]], [[w:Egon Pearson|Pearson]] - [[1850]]/[[1930]]) studia invece le differenze esistenti tra i diversi individui, analizzati come differenti tra di loro per le loro abilità specifiche, il loro vissuto e le loro volontà. === Analisi dei dati === È una fase del procedimento di indagine che avviene dopo la raccolta dei dati. Nei [[w:metodo|metodi]] [[quantitativi]] standard (dove per standard non si intende i più diffusi, bensì i più formalizzati) avviene attraverso l<nowiki>'</nowiki>uso della statistica su dati contenuti in una [[w:matrice|matrice]] in cui i differenti [[w:caso|caso]] sono assunti a [[w:variabile|variabili]]. Essa fornisce gli strumenti per ricavare informazioni in varie discipline (psicometria, [[w:economia|economia]], [[w:sociologia|sociologia]]). === Metodologia della ricerca === La metodologia della ricerca è una disciplina che studia l'utilità degli strumenti messi a disposizione dalla statistica in relazione alla situazione da analizzare. Infatti non esistono strumenti giusto o strumenti sbagliati, ma strumenti adatti e strumenti non adatti. Col termine [[w:metodologia|metodologia]] si può anche intendere l<nowiki>'</nowiki>insieme di strumenti teorici ([[w:paradigma|paradigmi]], conoscenze) e pratici ([[w:tecnica|tecniche]], [[w:metodo|metodi]]) utilizzati in un percorso di [[w:ricerca|ricerca]]. == Un po' di terminologia == k8jvqulbvet6cuaf6sa15nboztflixq 286430 286428 2026-08-18T12:58:00Z NDG 45851 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-45290-45|~2026-45290-45]] ([[User talk:~2026-45290-45|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Eumolpo|Eumolpo]] 283740 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Psicometria}} La '''psicometria''' si occupa di tutto ciò che concerne la [[w:misurazione|misurazione]] della [[w:psiche|psiche]]. I fenomeni complessi che devono essere studiati non sono direttamente osservabili e misurabili, quindi bisogna ricorrere agli strumenti [[w:probabilità|probabilistici]] forniti dalla [[w:statistica|statistica]]. La psicometria si prefigge di scoprire quali e quando usare alcune tecniche statistica, più che di sviluppare nuovi concetti matematici. In definitiva si occupa di capire quali sono gli obbiettivi e i problemi delle tecniche dell'[[w:analisi matematica|analisi matematica]] e come poterle sfruttare per lo studio in campo [[w:psicologia|psicologico]]. Prima di iniziare il corso vero e proprio occorre analizzare alcune distinzioni terminologiche e di definire il significato di alcuni termini che possono risultare ambigui e che verranno poi utilizzati nelle lezioni successive. == Distinzioni terminologiche == === Statistica === La statistica è quella materia che mette a disposizione gli strumenti e le tecniche di studio per l'analisi di vari fenomeni della realtà, permettendo di ricavare [[w:legge fisica|leggi]] generalizzabili a partire dallo studio di un [[w:campione|campione]]. Siccome in psicologia non si parla di dati certi ma solo probabili, è indispensabile ricorrere all'indagine statistica. I due campi che la statistica studia sono: * la descrizione, ovvero la possibilità di riassumere gruppi di informazioni singole e di astrarle, in modo da poterle appunto descrivere sinteticamente. Questo è uno strumento potente, perché permette di accorpare in un unico dato molteplici informazioni. Al tempo stesso, la mancanza di dettaglio la rende estremamente debole, in quanto bisogna essere estremamente cauti nel fidarsi unicamente di questi indicatori. Ad esempio, la [[w:media|media]] dell'età delle persone di un certo ufficio è un dato estremamente sintetico, in quanto riassume in sé stesso tutte le età dei dipendenti che lavorano in tale ufficio. Tuttavia, in mancanza di altri indicatori che assolvono espressamente a questo compito (come ad esempio la [[w:varianza|varianza]] e la [[w:distribuzione standard|distribuzione standard]]), non è possibile sapere se ci sono persone molto anziane o molto giovani (cioè che si discostano molto dal valore medio). *l'inferenza, ovvero la possibilità di estendere informazioni relative ad un campione ristretto ad un insieme più largo. Sono molte le problematiche che derivano dalla generalizzazione di un dato ricavato statisticamente, in quanto bisogna tenere in conto molti fattori che possono influenzare tale rilevazione e che non si addicono all'insieme più largo. Ad esempio, si chiede ad un gruppo di cittatidini italiani, scelti in maniera da comporre una uniformità geografica, se sono a favore o contro l'[[w:aborto|aborto]] e si ricava che il 70% di essi sono contro. Questo risultato non autorizza il ricercatore a suppore che il 70% di italiani sia contro l'aborto, perché, ad una ricerca più approfondita, magari si riscontra che l'80% dei membri del campione scelto sono [[w:cattolico|cattolici osservanti]], il che può influenzare notevolmente la risposta degli intervistati. Se il 80% degli italiani fosse cattolico osservante, allora l'induzione sarebbe corretta, perché il campione scelto rappresenterebbe effettivamente la composizione percentuale della popolazione italiana, ma se così non fosse, l'affermazione che il 70% degli italiani è contro l'aborto sarebbe semplicemente scorretta. === Psicometria === La psicometria è un'area di ricerca interdisciplinare che si occupa delle teorie e dei metodi tramite i quali è possibile 'rilevare' informazioni sui [[tratto psicologico|tratti psicologici]] degli [[w:individuo|individui]]. Oltre ai problemi specifici dell'analisi statistica della quale si avvale, la psicometria analizza gli effetti della riduzione che la statistica impone ai processi molto complicati proposti dalla psicologia. In essa si distinguono due tradizioni storiche: * la [[w:psicofisica|psicofisica]] ([[w:Gustav Fechner|Fechner]] - [[1860]]) che si occupa della relazione fra mente e corpo, ovvero delle risposte degli individui a certi stimoli. La ricerca si concentra sugli aspetti comuni a tutto il genere umano, cercando di identificare quelle costanti che si ritrovano in ogni individuo. Un esempio è la correlazione che esiste tra calore e percezione del calore. * la [[w:Discipline psicologiche#Psicologia applicata|psicologia applicata]] ([[w:Francis Galton|Galton]], [[w:Egon Pearson|Pearson]] - [[1850]]/[[1930]]) studia invece le differenze esistenti tra i diversi individui, analizzati come differenti tra di loro per le loro abilità specifiche, il loro vissuto e le loro volontà. === Analisi dei dati === È una fase del procedimento di indagine che avviene dopo la raccolta dei dati. Nei [[w:metodo|metodi]] [[quantitativi]] standard (dove per standard non si intende i più diffusi, bensì i più formalizzati) avviene attraverso l<nowiki>'</nowiki>uso della statistica su dati contenuti in una [[w:matrice|matrice]] in cui i differenti [[w:caso|caso]] sono assunti a [[w:variabile|variabili]]. Essa fornisce gli strumenti per ricavare informazioni in varie discipline (psicometria, [[w:economia|economia]], [[w:sociologia|sociologia]]). === Metodologia della ricerca === La metodologia della ricerca è una disciplina che studia l'utilità degli strumenti messi a disposizione dalla statistica in relazione alla situazione da analizzare. Infatti non esistono strumenti giusto o strumenti sbagliati, ma strumenti adatti e strumenti non adatti. Col termine [[w:metodologia|metodologia]] si può anche intendere l<nowiki>'</nowiki>insieme di strumenti teorici ([[w:paradigma|paradigmi]], conoscenze) e pratici ([[w:tecnica|tecniche]], [[w:metodo|metodi]]) utilizzati in un percorso di [[w:ricerca|ricerca]]. == Un po' di terminologia == ep677kdjz6o7tmo7cx71cedzwk4pr6k 286432 286430 2026-08-18T12:59:31Z ~2026-45290-45 46872 286432 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Psicometria}} La '''salamometria''' si occupa di tutto ciò che concerne la [[w:misurazione|misurazione]] della [[w:psiche|psiche]]. I fenomeni complessi che devono essere studiati non sono direttamente osservabili e misurabili, quindi bisogna ricorrere agli strumenti [[w:probabilità|probabilistici]] forniti dalla [[w:statistica|statistica]]. La psicometria si prefigge di scoprire quali e quando usare alcune tecniche statistica, più che di sviluppare nuovi concetti matematici. In definitiva si occupa di capire quali sono gli obbiettivi e i problemi delle tecniche dell'[[w:analisi matematica|analisi matematica]] e come poterle sfruttare per lo studio in campo [[w:psicologia|psicologico]]. Prima di iniziare il corso vero e proprio occorre analizzare alcune distinzioni terminologiche e di definire il significato di alcuni termini che possono risultare ambigui e che verranno poi utilizzati nelle lezioni successive. == Distinzioni terminologiche == === Statistica === La statistica è quella materia che mette a disposizione gli strumenti e le tecniche di studio per l'analisi di vari fenomeni della realtà, permettendo di ricavare [[w:legge fisica|leggi]] generalizzabili a partire dallo studio di un [[w:campione|campione]]. Siccome in psicologia non si parla di dati certi ma solo probabili, è indispensabile ricorrere all'indagine statistica. I due campi che la statistica studia sono: * la descrizione, ovvero la possibilità di riassumere gruppi di informazioni singole e di astrarle, in modo da poterle appunto descrivere sinteticamente. Questo è uno strumento potente, perché permette di accorpare in un unico dato molteplici informazioni. Al tempo stesso, la mancanza di dettaglio la rende estremamente debole, in quanto bisogna essere estremamente cauti nel fidarsi unicamente di questi indicatori. Ad esempio, la [[w:media|media]] dell'età delle persone di un certo ufficio è un dato estremamente sintetico, in quanto riassume in sé stesso tutte le età dei dipendenti che lavorano in tale ufficio. Tuttavia, in mancanza di altri indicatori che assolvono espressamente a questo compito (come ad esempio la [[w:varianza|varianza]] e la [[w:distribuzione standard|distribuzione standard]]), non è possibile sapere se ci sono persone molto anziane o molto giovani (cioè che si discostano molto dal valore medio). *l'inferenza, ovvero la possibilità di estendere informazioni relative ad un campione ristretto ad un insieme più largo. Sono molte le problematiche che derivano dalla generalizzazione di un dato ricavato statisticamente, in quanto bisogna tenere in conto molti fattori che possono influenzare tale rilevazione e che non si addicono all'insieme più largo. Ad esempio, si chiede ad un gruppo di cittatidini italiani, scelti in maniera da comporre una uniformità geografica, se sono a favore o contro l'[[w:aborto|aborto]] e si ricava che il 70% di essi sono contro. Questo risultato non autorizza il ricercatore a suppore che il 70% di italiani sia contro l'aborto, perché, ad una ricerca più approfondita, magari si riscontra che l'80% dei membri del campione scelto sono [[w:cattolico|cattolici osservanti]], il che può influenzare notevolmente la risposta degli intervistati. Se il 80% degli italiani fosse cattolico osservante, allora l'induzione sarebbe corretta, perché il campione scelto rappresenterebbe effettivamente la composizione percentuale della popolazione italiana, ma se così non fosse, l'affermazione che il 70% degli italiani è contro l'aborto sarebbe semplicemente scorretta. === Psicometria === La psicometria è un'area di ricerca interdisciplinare che si occupa delle teorie e dei metodi tramite i quali è possibile 'rilevare' informazioni sui [[tratto psicologico|tratti psicologici]] degli [[w:individuo|individui]]. Oltre ai problemi specifici dell'analisi statistica della quale si avvale, la psicometria analizza gli effetti della riduzione che la statistica impone ai processi molto complicati proposti dalla psicologia. In essa si distinguono due tradizioni storiche: * la [[w:psicofisica|psicofisica]] ([[w:Gustav Fechner|Fechner]] - [[1860]]) che si occupa della relazione fra mente e corpo, ovvero delle risposte degli individui a certi stimoli. La ricerca si concentra sugli aspetti comuni a tutto il genere umano, cercando di identificare quelle costanti che si ritrovano in ogni individuo. Un esempio è la correlazione che esiste tra calore e percezione del calore. * la [[w:Discipline psicologiche#Psicologia applicata|psicologia applicata]] ([[w:Francis Galton|Galton]], [[w:Egon Pearson|Pearson]] - [[1850]]/[[1930]]) studia invece le differenze esistenti tra i diversi individui, analizzati come differenti tra di loro per le loro abilità specifiche, il loro vissuto e le loro volontà. === Analisi dei dati === È una fase del procedimento di indagine che avviene dopo la raccolta dei dati. Nei [[w:metodo|metodi]] [[quantitativi]] standard (dove per standard non si intende i più diffusi, bensì i più formalizzati) avviene attraverso l<nowiki>'</nowiki>uso della statistica su dati contenuti in una [[w:matrice|matrice]] in cui i differenti [[w:caso|caso]] sono assunti a [[w:variabile|variabili]]. Essa fornisce gli strumenti per ricavare informazioni in varie discipline (psicometria, [[w:economia|economia]], [[w:sociologia|sociologia]]). === Metodologia della ricerca === La metodologia della ricerca è una disciplina che studia l'utilità degli strumenti messi a disposizione dalla statistica in relazione alla situazione da analizzare. Infatti non esistono strumenti giusto o strumenti sbagliati, ma strumenti adatti e strumenti non adatti. Col termine [[w:metodologia|metodologia]] si può anche intendere l<nowiki>'</nowiki>insieme di strumenti teorici ([[w:paradigma|paradigmi]], conoscenze) e pratici ([[w:tecnica|tecniche]], [[w:metodo|metodi]]) utilizzati in un percorso di [[w:ricerca|ricerca]]. == Un po' di terminologia == k8jvqulbvet6cuaf6sa15nboztflixq 286438 286432 2026-08-18T13:00:59Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-45290-45|~2026-45290-45]] ([[User talk:~2026-45290-45|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:NDG|NDG]] 283740 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Psicometria}} La '''psicometria''' si occupa di tutto ciò che concerne la [[w:misurazione|misurazione]] della [[w:psiche|psiche]]. I fenomeni complessi che devono essere studiati non sono direttamente osservabili e misurabili, quindi bisogna ricorrere agli strumenti [[w:probabilità|probabilistici]] forniti dalla [[w:statistica|statistica]]. La psicometria si prefigge di scoprire quali e quando usare alcune tecniche statistica, più che di sviluppare nuovi concetti matematici. In definitiva si occupa di capire quali sono gli obbiettivi e i problemi delle tecniche dell'[[w:analisi matematica|analisi matematica]] e come poterle sfruttare per lo studio in campo [[w:psicologia|psicologico]]. Prima di iniziare il corso vero e proprio occorre analizzare alcune distinzioni terminologiche e di definire il significato di alcuni termini che possono risultare ambigui e che verranno poi utilizzati nelle lezioni successive. == Distinzioni terminologiche == === Statistica === La statistica è quella materia che mette a disposizione gli strumenti e le tecniche di studio per l'analisi di vari fenomeni della realtà, permettendo di ricavare [[w:legge fisica|leggi]] generalizzabili a partire dallo studio di un [[w:campione|campione]]. Siccome in psicologia non si parla di dati certi ma solo probabili, è indispensabile ricorrere all'indagine statistica. I due campi che la statistica studia sono: * la descrizione, ovvero la possibilità di riassumere gruppi di informazioni singole e di astrarle, in modo da poterle appunto descrivere sinteticamente. Questo è uno strumento potente, perché permette di accorpare in un unico dato molteplici informazioni. Al tempo stesso, la mancanza di dettaglio la rende estremamente debole, in quanto bisogna essere estremamente cauti nel fidarsi unicamente di questi indicatori. Ad esempio, la [[w:media|media]] dell'età delle persone di un certo ufficio è un dato estremamente sintetico, in quanto riassume in sé stesso tutte le età dei dipendenti che lavorano in tale ufficio. Tuttavia, in mancanza di altri indicatori che assolvono espressamente a questo compito (come ad esempio la [[w:varianza|varianza]] e la [[w:distribuzione standard|distribuzione standard]]), non è possibile sapere se ci sono persone molto anziane o molto giovani (cioè che si discostano molto dal valore medio). *l'inferenza, ovvero la possibilità di estendere informazioni relative ad un campione ristretto ad un insieme più largo. Sono molte le problematiche che derivano dalla generalizzazione di un dato ricavato statisticamente, in quanto bisogna tenere in conto molti fattori che possono influenzare tale rilevazione e che non si addicono all'insieme più largo. Ad esempio, si chiede ad un gruppo di cittatidini italiani, scelti in maniera da comporre una uniformità geografica, se sono a favore o contro l'[[w:aborto|aborto]] e si ricava che il 70% di essi sono contro. Questo risultato non autorizza il ricercatore a suppore che il 70% di italiani sia contro l'aborto, perché, ad una ricerca più approfondita, magari si riscontra che l'80% dei membri del campione scelto sono [[w:cattolico|cattolici osservanti]], il che può influenzare notevolmente la risposta degli intervistati. Se il 80% degli italiani fosse cattolico osservante, allora l'induzione sarebbe corretta, perché il campione scelto rappresenterebbe effettivamente la composizione percentuale della popolazione italiana, ma se così non fosse, l'affermazione che il 70% degli italiani è contro l'aborto sarebbe semplicemente scorretta. === Psicometria === La psicometria è un'area di ricerca interdisciplinare che si occupa delle teorie e dei metodi tramite i quali è possibile 'rilevare' informazioni sui [[tratto psicologico|tratti psicologici]] degli [[w:individuo|individui]]. Oltre ai problemi specifici dell'analisi statistica della quale si avvale, la psicometria analizza gli effetti della riduzione che la statistica impone ai processi molto complicati proposti dalla psicologia. In essa si distinguono due tradizioni storiche: * la [[w:psicofisica|psicofisica]] ([[w:Gustav Fechner|Fechner]] - [[1860]]) che si occupa della relazione fra mente e corpo, ovvero delle risposte degli individui a certi stimoli. La ricerca si concentra sugli aspetti comuni a tutto il genere umano, cercando di identificare quelle costanti che si ritrovano in ogni individuo. Un esempio è la correlazione che esiste tra calore e percezione del calore. * la [[w:Discipline psicologiche#Psicologia applicata|psicologia applicata]] ([[w:Francis Galton|Galton]], [[w:Egon Pearson|Pearson]] - [[1850]]/[[1930]]) studia invece le differenze esistenti tra i diversi individui, analizzati come differenti tra di loro per le loro abilità specifiche, il loro vissuto e le loro volontà. === Analisi dei dati === È una fase del procedimento di indagine che avviene dopo la raccolta dei dati. Nei [[w:metodo|metodi]] [[quantitativi]] standard (dove per standard non si intende i più diffusi, bensì i più formalizzati) avviene attraverso l<nowiki>'</nowiki>uso della statistica su dati contenuti in una [[w:matrice|matrice]] in cui i differenti [[w:caso|caso]] sono assunti a [[w:variabile|variabili]]. Essa fornisce gli strumenti per ricavare informazioni in varie discipline (psicometria, [[w:economia|economia]], [[w:sociologia|sociologia]]). === Metodologia della ricerca === La metodologia della ricerca è una disciplina che studia l'utilità degli strumenti messi a disposizione dalla statistica in relazione alla situazione da analizzare. Infatti non esistono strumenti giusto o strumenti sbagliati, ma strumenti adatti e strumenti non adatti. Col termine [[w:metodologia|metodologia]] si può anche intendere l<nowiki>'</nowiki>insieme di strumenti teorici ([[w:paradigma|paradigmi]], conoscenze) e pratici ([[w:tecnica|tecniche]], [[w:metodo|metodi]]) utilizzati in un percorso di [[w:ricerca|ricerca]]. == Un po' di terminologia == ep677kdjz6o7tmo7cx71cedzwk4pr6k 286442 286438 2026-08-18T13:02:34Z ~2026-45290-45 46872 286442 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Psicometria}} La '''salamometria''' si occupa di tutto ciò che concerne Qottotré la [[w:misurazione|misurazione]] della [[w:psiche|psiche]]. I fenomeni complessi che devono essere studiati non sono direttamente osservabili e misurabili, quindi bisogna ricorrere agli strumenti [[w:probabilità|probabilistici]] forniti dalla [[w:statistica|statistica]]. La psicometria si prefigge di scoprire quali e quando usare alcune tecniche statistica, più che di sviluppare nuovi concetti matematici. In definitiva si occupa di capire quali sono gli obbiettivi e i problemi delle tecniche dell'[[w:analisi matematica|analisi matematica]] e come poterle sfruttare per lo studio in campo [[w:psicologia|psicologico]]. Prima di iniziare il corso vero e proprio occorre analizzare alcune distinzioni terminologiche e di definire il significato di alcuni termini che possono risultare ambigui e che verranno poi utilizzati nelle lezioni successive. == Distinzioni terminologiche == === Statistica === La statistica è quella materia che mette a disposizione gli strumenti e le tecniche di studio per l'analisi di vari fenomeni della realtà, permettendo di ricavare [[w:legge fisica|leggi]] generalizzabili a partire dallo studio di un [[w:campione|campione]]. Siccome in psicologia non si parla di dati certi ma solo probabili, è indispensabile ricorrere all'indagine statistica. I due campi che la statistica studia sono: * la descrizione, ovvero la possibilità di riassumere gruppi di informazioni singole e di astrarle, in modo da poterle appunto descrivere sinteticamente. Questo è uno strumento potente, perché permette di accorpare in un unico dato molteplici informazioni. Al tempo stesso, la mancanza di dettaglio la rende estremamente debole, in quanto bisogna essere estremamente cauti nel fidarsi unicamente di questi indicatori. Ad esempio, la [[w:media|media]] dell'età delle persone di un certo ufficio è un dato estremamente sintetico, in quanto riassume in sé stesso tutte le età dei dipendenti che lavorano in tale ufficio. Tuttavia, in mancanza di altri indicatori che assolvono espressamente a questo compito (come ad esempio la [[w:varianza|varianza]] e la [[w:distribuzione standard|distribuzione standard]]), non è possibile sapere se ci sono persone molto anziane o molto giovani (cioè che si discostano molto dal valore medio). *l'inferenza, ovvero la possibilità di estendere informazioni relative ad un campione ristretto ad un insieme più largo. Sono molte le problematiche che derivano dalla generalizzazione di un dato ricavato statisticamente, in quanto bisogna tenere in conto molti fattori che possono influenzare tale rilevazione e che non si addicono all'insieme più largo. Ad esempio, si chiede ad un gruppo di cittatidini italiani, scelti in maniera da comporre una uniformità geografica, se sono a favore o contro l'[[w:aborto|aborto]] e si ricava che il 70% di essi sono contro. Questo risultato non autorizza il ricercatore a suppore che il 70% di italiani sia contro l'aborto, perché, ad una ricerca più approfondita, magari si riscontra che l'80% dei membri del campione scelto sono [[w:cattolico|cattolici osservanti]], il che può influenzare notevolmente la risposta degli intervistati. Se il 80% degli italiani fosse cattolico osservante, allora l'induzione sarebbe corretta, perché il campione scelto rappresenterebbe effettivamente la composizione percentuale della popolazione italiana, ma se così non fosse, l'affermazione che il 70% degli italiani è contro l'aborto sarebbe semplicemente scorretta. === Psicometria === La psicometria è un'area di ricerca interdisciplinare che si occupa delle teorie e dei metodi tramite i quali è possibile 'rilevare' informazioni sui [[tratto psicologico|tratti psicologici]] degli [[w:individuo|individui]]. Oltre ai problemi specifici dell'analisi statistica della quale si avvale, la psicometria analizza gli effetti della riduzione che la statistica impone ai processi molto complicati proposti dalla psicologia. In essa si distinguono due tradizioni storiche: * la [[w:psicofisica|psicofisica]] ([[w:Gustav Fechner|Fechner]] - [[1860]]) che si occupa della relazione fra mente e corpo, ovvero delle risposte degli individui a certi stimoli. La ricerca si concentra sugli aspetti comuni a tutto il genere umano, cercando di identificare quelle costanti che si ritrovano in ogni individuo. Un esempio è la correlazione che esiste tra calore e percezione del calore. * la [[w:Discipline psicologiche#Psicologia applicata|psicologia applicata]] ([[w:Francis Galton|Galton]], [[w:Egon Pearson|Pearson]] - [[1850]]/[[1930]]) studia invece le differenze esistenti tra i diversi individui, analizzati come differenti tra di loro per le loro abilità specifiche, il loro vissuto e le loro volontà. === Analisi dei dati === È una fase del procedimento di indagine che avviene dopo la raccolta dei dati. Nei [[w:metodo|metodi]] [[quantitativi]] standard (dove per standard non si intende i più diffusi, bensì i più formalizzati) avviene attraverso l<nowiki>'</nowiki>uso della statistica su dati contenuti in una [[w:matrice|matrice]] in cui i differenti [[w:caso|caso]] sono assunti a [[w:variabile|variabili]]. Essa fornisce gli strumenti per ricavare informazioni in varie discipline (psicometria, [[w:economia|economia]], [[w:sociologia|sociologia]]). === Metodologia della ricerca === La metodologia della ricerca è una disciplina che studia l'utilità degli strumenti messi a disposizione dalla statistica in relazione alla situazione da analizzare. Infatti non esistono strumenti giusto o strumenti sbagliati, ma strumenti adatti e strumenti non adatti. Col termine [[w:metodologia|metodologia]] si può anche intendere l<nowiki>'</nowiki>insieme di strumenti teorici ([[w:paradigma|paradigmi]], conoscenze) e pratici ([[w:tecnica|tecniche]], [[w:metodo|metodi]]) utilizzati in un percorso di [[w:ricerca|ricerca]]. == Un po' di terminologia == 2h6oi1xtdps6k479kw4sq61qxyx2mnj 286444 286442 2026-08-18T13:02:52Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-45290-45|~2026-45290-45]] ([[User talk:~2026-45290-45|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Quinlan83|Quinlan83]] 283740 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Psicometria}} La '''psicometria''' si occupa di tutto ciò che concerne la [[w:misurazione|misurazione]] della [[w:psiche|psiche]]. I fenomeni complessi che devono essere studiati non sono direttamente osservabili e misurabili, quindi bisogna ricorrere agli strumenti [[w:probabilità|probabilistici]] forniti dalla [[w:statistica|statistica]]. La psicometria si prefigge di scoprire quali e quando usare alcune tecniche statistica, più che di sviluppare nuovi concetti matematici. In definitiva si occupa di capire quali sono gli obbiettivi e i problemi delle tecniche dell'[[w:analisi matematica|analisi matematica]] e come poterle sfruttare per lo studio in campo [[w:psicologia|psicologico]]. Prima di iniziare il corso vero e proprio occorre analizzare alcune distinzioni terminologiche e di definire il significato di alcuni termini che possono risultare ambigui e che verranno poi utilizzati nelle lezioni successive. == Distinzioni terminologiche == === Statistica === La statistica è quella materia che mette a disposizione gli strumenti e le tecniche di studio per l'analisi di vari fenomeni della realtà, permettendo di ricavare [[w:legge fisica|leggi]] generalizzabili a partire dallo studio di un [[w:campione|campione]]. Siccome in psicologia non si parla di dati certi ma solo probabili, è indispensabile ricorrere all'indagine statistica. I due campi che la statistica studia sono: * la descrizione, ovvero la possibilità di riassumere gruppi di informazioni singole e di astrarle, in modo da poterle appunto descrivere sinteticamente. Questo è uno strumento potente, perché permette di accorpare in un unico dato molteplici informazioni. Al tempo stesso, la mancanza di dettaglio la rende estremamente debole, in quanto bisogna essere estremamente cauti nel fidarsi unicamente di questi indicatori. Ad esempio, la [[w:media|media]] dell'età delle persone di un certo ufficio è un dato estremamente sintetico, in quanto riassume in sé stesso tutte le età dei dipendenti che lavorano in tale ufficio. Tuttavia, in mancanza di altri indicatori che assolvono espressamente a questo compito (come ad esempio la [[w:varianza|varianza]] e la [[w:distribuzione standard|distribuzione standard]]), non è possibile sapere se ci sono persone molto anziane o molto giovani (cioè che si discostano molto dal valore medio). *l'inferenza, ovvero la possibilità di estendere informazioni relative ad un campione ristretto ad un insieme più largo. Sono molte le problematiche che derivano dalla generalizzazione di un dato ricavato statisticamente, in quanto bisogna tenere in conto molti fattori che possono influenzare tale rilevazione e che non si addicono all'insieme più largo. Ad esempio, si chiede ad un gruppo di cittatidini italiani, scelti in maniera da comporre una uniformità geografica, se sono a favore o contro l'[[w:aborto|aborto]] e si ricava che il 70% di essi sono contro. Questo risultato non autorizza il ricercatore a suppore che il 70% di italiani sia contro l'aborto, perché, ad una ricerca più approfondita, magari si riscontra che l'80% dei membri del campione scelto sono [[w:cattolico|cattolici osservanti]], il che può influenzare notevolmente la risposta degli intervistati. Se il 80% degli italiani fosse cattolico osservante, allora l'induzione sarebbe corretta, perché il campione scelto rappresenterebbe effettivamente la composizione percentuale della popolazione italiana, ma se così non fosse, l'affermazione che il 70% degli italiani è contro l'aborto sarebbe semplicemente scorretta. === Psicometria === La psicometria è un'area di ricerca interdisciplinare che si occupa delle teorie e dei metodi tramite i quali è possibile 'rilevare' informazioni sui [[tratto psicologico|tratti psicologici]] degli [[w:individuo|individui]]. Oltre ai problemi specifici dell'analisi statistica della quale si avvale, la psicometria analizza gli effetti della riduzione che la statistica impone ai processi molto complicati proposti dalla psicologia. In essa si distinguono due tradizioni storiche: * la [[w:psicofisica|psicofisica]] ([[w:Gustav Fechner|Fechner]] - [[1860]]) che si occupa della relazione fra mente e corpo, ovvero delle risposte degli individui a certi stimoli. La ricerca si concentra sugli aspetti comuni a tutto il genere umano, cercando di identificare quelle costanti che si ritrovano in ogni individuo. Un esempio è la correlazione che esiste tra calore e percezione del calore. * la [[w:Discipline psicologiche#Psicologia applicata|psicologia applicata]] ([[w:Francis Galton|Galton]], [[w:Egon Pearson|Pearson]] - [[1850]]/[[1930]]) studia invece le differenze esistenti tra i diversi individui, analizzati come differenti tra di loro per le loro abilità specifiche, il loro vissuto e le loro volontà. === Analisi dei dati === È una fase del procedimento di indagine che avviene dopo la raccolta dei dati. Nei [[w:metodo|metodi]] [[quantitativi]] standard (dove per standard non si intende i più diffusi, bensì i più formalizzati) avviene attraverso l<nowiki>'</nowiki>uso della statistica su dati contenuti in una [[w:matrice|matrice]] in cui i differenti [[w:caso|caso]] sono assunti a [[w:variabile|variabili]]. Essa fornisce gli strumenti per ricavare informazioni in varie discipline (psicometria, [[w:economia|economia]], [[w:sociologia|sociologia]]). === Metodologia della ricerca === La metodologia della ricerca è una disciplina che studia l'utilità degli strumenti messi a disposizione dalla statistica in relazione alla situazione da analizzare. Infatti non esistono strumenti giusto o strumenti sbagliati, ma strumenti adatti e strumenti non adatti. Col termine [[w:metodologia|metodologia]] si può anche intendere l<nowiki>'</nowiki>insieme di strumenti teorici ([[w:paradigma|paradigmi]], conoscenze) e pratici ([[w:tecnica|tecniche]], [[w:metodo|metodi]]) utilizzati in un percorso di [[w:ricerca|ricerca]]. == Un po' di terminologia == ep677kdjz6o7tmo7cx71cedzwk4pr6k 286447 286444 2026-08-18T13:05:02Z ~2026-45290-45 46872 286447 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Psicometria}} La '''salamometria''' si occupa di tutto ciò che concerne Qottotré la [[w:misurazione|misurazione]] della [[w:psiche|psiche]]. I fenomeni complessi che devono essere studiati non sono direttamente osservabili e misurabili, quindi bisogna ricorrere agli strumenti [[w:probabilità|probabilistici]] forniti dalla [[w:statistica|statistica]]. La psicometria si prefigge di scoprire quali e quando usare alcune tecniche statistica, più che di sviluppare nuovi concetti matematici. In definitiva si occupa di capire quali sono gli obbiettivi e i problemi delle tecniche dell'[[w:analisi matematica|analisi matematica]] e come poterle sfruttare per lo studio in campo [[w:psicologia|psicologico]]. Prima di iniziare il corso vero e proprio occorre analizzare alcune distinzioni terminologiche e di definire il significato di alcuni termini che possono risultare ambigui e che verranno poi utilizzati nelle lezioni successive. == Distinzioni terminologiche == === Statistica === La statistica è quella materia che mette a disposizione gli strumenti e le tecniche di studio per l'analisi di vari fenomeni della realtà, permettendo di ricavare [[w:legge fisica|leggi]] generalizzabili a partire dallo studio di un [[w:campione|campione]]. Siccome in psicologia non si parla di dati certi ma solo probabili, è indispensabile ricorrere all'indagine statistica. I due campi che la statistica studia sono: * la descrizione, ovvero la possibilità di riassumere gruppi di informazioni singole e di astrarle, in modo da poterle appunto descrivere sinteticamente. Questo è uno strumento potente, perché permette di accorpare in un unico dato molteplici informazioni. Al tempo stesso, la mancanza di dettaglio la rende estremamente debole, in quanto bisogna essere estremamente cauti nel fidarsi unicamente di questi indicatori. Ad esempio, la [[w:media|media]] dell'età delle persone di un certo ufficio è un dato estremamente sintetico, in quanto riassume in sé stesso tutte le età dei dipendenti che lavorano in tale ufficio. Tuttavia, in mancanza di altri indicatori che assolvono espressamente a questo compito (come ad esempio la [[w:varianza|varianza]] e la [[w:distribuzione standard|distribuzione standard]]), non è possibile sapere se ci sono persone molto anziane o molto giovani (cioè che si discostano molto dal valore medio). *l'inferenza, ovvero la possibilità di estendere informazioni relative ad un campione ristretto ad un insieme più largo. Sono molte le problematiche che derivano dalla generalizzazione di un dato ricavato statisticamente, in quanto bisogna tenere in conto molti fattori che possono influenzare tale rilevazione e che non si addicono all'insieme più largo. Ad esempio, si chiede ad un gruppo di cittatidini italiani, scelti in maniera da comporre una uniformità geografica, se sono a favore o contro l'[[w:aborto|aborto]] e si ricava che il 70% di essi sono contro. Questo risultato non autorizza il ricercatore a suppore che il 70% di italiani sia contro l'aborto, perché, ad una ricerca più approfondita, magari si riscontra che l'80% dei membri del campione scelto sono [[w:cattolico|cattolici osservanti]], il che può influenzare notevolmente la risposta degli intervistati. Se il 80% degli italiani fosse cattolico osservante, allora l'induzione sarebbe corretta, perché il campione scelto rappresenterebbe effettivamente la composizione percentuale della popolazione italiana, ma se così non fosse, l'affermazione che il 70% degli italiani è contro l'aborto sarebbe semplicemente scorretta. === Psicometria === La psicometria è un'area di ricerca interdisciplinare che si occupa delle teorie e dei metodi tramite i quali è possibile 'rilevare' informazioni sui [[tratto psicologico|tratti psicologici]] degli [[w:individuo|individui]]. Oltre ai problemi specifici dell'analisi statistica della quale si avvale, la psicometria analizza gli effetti della riduzione che la statistica impone ai processi molto complicati proposti dalla psicologia. In essa si distinguono due tradizioni storiche: * la [[w:psicofisica|psicofisica]] ([[w:Gustav Fechner|Fechner]] - [[1860]]) che si occupa della relazione fra mente e corpo, ovvero delle risposte degli individui a certi stimoli. La ricerca si concentra sugli aspetti comuni a tutto il genere umano, cercando di identificare quelle costanti che si ritrovano in ogni individuo. Un esempio è la correlazione che esiste tra calore e percezione del calore. * la [[w:Discipline psicologiche#Psicologia applicata|psicologia applicata]] ([[w:Francis Galton|Galton]], [[w:Egon Pearson|Pearson]] - [[1850]]/[[1930]]) studia invece le differenze esistenti tra i diversi individui, analizzati come differenti tra di loro per le loro abilità specifiche, il loro vissuto e le loro volontà. === Analisi dei dati === È una fase del procedimento di indagine che avviene dopo la raccolta dei dati. Nei [[w:metodo|metodi]] [[quantitativi]] standard (dove per standard non si intende i più diffusi, bensì i più formalizzati) avviene attraverso l<nowiki>'</nowiki>uso della statistica su dati contenuti in una [[w:matrice|matrice]] in cui i differenti [[w:caso|caso]] sono assunti a [[w:variabile|variabili]]. Essa fornisce gli strumenti per ricavare informazioni in varie discipline (psicometria, [[w:economia|economia]], [[w:sociologia|sociologia]]). === Metodologia della ricerca === La metodologia della ricerca è una disciplina che studia l'utilità degli strumenti messi a disposizione dalla statistica in relazione alla situazione da analizzare. Infatti non esistono strumenti giusto o strumenti sbagliati, ma strumenti adatti e strumenti non adatti. Col termine [[w:metodologia|metodologia]] si può anche intendere l<nowiki>'</nowiki>insieme di strumenti teorici ([[w:paradigma|paradigmi]], conoscenze) e pratici ([[w:tecnica|tecniche]], [[w:metodo|metodi]]) utilizzati in un percorso di [[w:ricerca|ricerca]]. == Un po' di terminologia == 2h6oi1xtdps6k479kw4sq61qxyx2mnj 286448 286447 2026-08-18T13:05:08Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-45290-45|~2026-45290-45]] ([[User talk:~2026-45290-45|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Quinlan83|Quinlan83]] 283740 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Psicometria}} La '''psicometria''' si occupa di tutto ciò che concerne la [[w:misurazione|misurazione]] della [[w:psiche|psiche]]. I fenomeni complessi che devono essere studiati non sono direttamente osservabili e misurabili, quindi bisogna ricorrere agli strumenti [[w:probabilità|probabilistici]] forniti dalla [[w:statistica|statistica]]. La psicometria si prefigge di scoprire quali e quando usare alcune tecniche statistica, più che di sviluppare nuovi concetti matematici. In definitiva si occupa di capire quali sono gli obbiettivi e i problemi delle tecniche dell'[[w:analisi matematica|analisi matematica]] e come poterle sfruttare per lo studio in campo [[w:psicologia|psicologico]]. Prima di iniziare il corso vero e proprio occorre analizzare alcune distinzioni terminologiche e di definire il significato di alcuni termini che possono risultare ambigui e che verranno poi utilizzati nelle lezioni successive. == Distinzioni terminologiche == === Statistica === La statistica è quella materia che mette a disposizione gli strumenti e le tecniche di studio per l'analisi di vari fenomeni della realtà, permettendo di ricavare [[w:legge fisica|leggi]] generalizzabili a partire dallo studio di un [[w:campione|campione]]. Siccome in psicologia non si parla di dati certi ma solo probabili, è indispensabile ricorrere all'indagine statistica. I due campi che la statistica studia sono: * la descrizione, ovvero la possibilità di riassumere gruppi di informazioni singole e di astrarle, in modo da poterle appunto descrivere sinteticamente. Questo è uno strumento potente, perché permette di accorpare in un unico dato molteplici informazioni. Al tempo stesso, la mancanza di dettaglio la rende estremamente debole, in quanto bisogna essere estremamente cauti nel fidarsi unicamente di questi indicatori. Ad esempio, la [[w:media|media]] dell'età delle persone di un certo ufficio è un dato estremamente sintetico, in quanto riassume in sé stesso tutte le età dei dipendenti che lavorano in tale ufficio. Tuttavia, in mancanza di altri indicatori che assolvono espressamente a questo compito (come ad esempio la [[w:varianza|varianza]] e la [[w:distribuzione standard|distribuzione standard]]), non è possibile sapere se ci sono persone molto anziane o molto giovani (cioè che si discostano molto dal valore medio). *l'inferenza, ovvero la possibilità di estendere informazioni relative ad un campione ristretto ad un insieme più largo. Sono molte le problematiche che derivano dalla generalizzazione di un dato ricavato statisticamente, in quanto bisogna tenere in conto molti fattori che possono influenzare tale rilevazione e che non si addicono all'insieme più largo. Ad esempio, si chiede ad un gruppo di cittatidini italiani, scelti in maniera da comporre una uniformità geografica, se sono a favore o contro l'[[w:aborto|aborto]] e si ricava che il 70% di essi sono contro. Questo risultato non autorizza il ricercatore a suppore che il 70% di italiani sia contro l'aborto, perché, ad una ricerca più approfondita, magari si riscontra che l'80% dei membri del campione scelto sono [[w:cattolico|cattolici osservanti]], il che può influenzare notevolmente la risposta degli intervistati. Se il 80% degli italiani fosse cattolico osservante, allora l'induzione sarebbe corretta, perché il campione scelto rappresenterebbe effettivamente la composizione percentuale della popolazione italiana, ma se così non fosse, l'affermazione che il 70% degli italiani è contro l'aborto sarebbe semplicemente scorretta. === Psicometria === La psicometria è un'area di ricerca interdisciplinare che si occupa delle teorie e dei metodi tramite i quali è possibile 'rilevare' informazioni sui [[tratto psicologico|tratti psicologici]] degli [[w:individuo|individui]]. Oltre ai problemi specifici dell'analisi statistica della quale si avvale, la psicometria analizza gli effetti della riduzione che la statistica impone ai processi molto complicati proposti dalla psicologia. In essa si distinguono due tradizioni storiche: * la [[w:psicofisica|psicofisica]] ([[w:Gustav Fechner|Fechner]] - [[1860]]) che si occupa della relazione fra mente e corpo, ovvero delle risposte degli individui a certi stimoli. La ricerca si concentra sugli aspetti comuni a tutto il genere umano, cercando di identificare quelle costanti che si ritrovano in ogni individuo. Un esempio è la correlazione che esiste tra calore e percezione del calore. * la [[w:Discipline psicologiche#Psicologia applicata|psicologia applicata]] ([[w:Francis Galton|Galton]], [[w:Egon Pearson|Pearson]] - [[1850]]/[[1930]]) studia invece le differenze esistenti tra i diversi individui, analizzati come differenti tra di loro per le loro abilità specifiche, il loro vissuto e le loro volontà. === Analisi dei dati === È una fase del procedimento di indagine che avviene dopo la raccolta dei dati. Nei [[w:metodo|metodi]] [[quantitativi]] standard (dove per standard non si intende i più diffusi, bensì i più formalizzati) avviene attraverso l<nowiki>'</nowiki>uso della statistica su dati contenuti in una [[w:matrice|matrice]] in cui i differenti [[w:caso|caso]] sono assunti a [[w:variabile|variabili]]. Essa fornisce gli strumenti per ricavare informazioni in varie discipline (psicometria, [[w:economia|economia]], [[w:sociologia|sociologia]]). === Metodologia della ricerca === La metodologia della ricerca è una disciplina che studia l'utilità degli strumenti messi a disposizione dalla statistica in relazione alla situazione da analizzare. Infatti non esistono strumenti giusto o strumenti sbagliati, ma strumenti adatti e strumenti non adatti. Col termine [[w:metodologia|metodologia]] si può anche intendere l<nowiki>'</nowiki>insieme di strumenti teorici ([[w:paradigma|paradigmi]], conoscenze) e pratici ([[w:tecnica|tecniche]], [[w:metodo|metodi]]) utilizzati in un percorso di [[w:ricerca|ricerca]]. == Un po' di terminologia == ep677kdjz6o7tmo7cx71cedzwk4pr6k 0 8195 286476 270228 2026-08-19T02:41:38Z Avemundi 2081 Revisione 286476 wikitext text/x-wiki {{w}} {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Letteratura italiana contemporanea}} '''Gabriele D'Annunzio''' fu scrittore, poeta, artista e senza dubbio egli incarna la figura di uomo particolare ed affascinante, amato e odiato allo stesso tempo da molti, il suo scopo era vivere senza costrizioni, senza conformismi senza canoni e leggi da rispettare, facendo della propria vita un'opera d'arte. Il suo stile ricercato, decadente e languido portarono un rinnovamento culturale e stilistico alla letteratura del 1900. La sua, è una vita camaleontica costellata da imprese, gesta memorabili ed avventure mondane. Egli divenne modello di vita da ricalcare, fu un ispiratore di mode, gusti ed atteggiamenti. == La vita == Gabriele D'Annunzio è l'esponente principale italiano della figura dell'[[w:Estetismo|esteta]]. Egli nacque nel 1863 a [[w:Pescara|Pescara]] da famiglia borghese, studiò in una delle scuole più aristocratiche dell'[[w:Italia|Italia]] del tempo, il [[w:collegio Cicognini|collegio Cicognini]] di Prato. Precocissimo, esordì nel 1879, sedicenne, con un libretto in versi, ''Primo vere'', che suscitò una certa risonanza ed ottenne benevola attenzione anche da parte dei letterati di fama. Raggiunta la licenza liceale, a diciotto anni, si trasferì a Roma per frequentare l'università. In realtà abbandonò presto gli studi, preferendo vivere tra salotti mondani e redazioni dei giornali. Acquistò subito notorietà, sia attraverso una produzione di versi, di opere narrative, di articoli giornalisti, che spesso suscitavano scandalo per i loro contenuti erotici, sia attraversa una vita altrettanto scandalosa, per i principi morali dell'epoca, fatta di continue avventure galanti, [[w:Lusso|lusso]] e duelli. D'Annunzio puntava a creare l'immagine di una vita eccezionale (il vivere inimitabile), sottratta alle norme del viverci comune. Colpiva soprattutto la fantasia del pubblico borghese la [[w:villa della Capponcina|villa della Capponcina]], sui colli di [[w:Fiesole|Fiesole]], dove D'Annunzio conduceva una vita tra oggetti d'arte, stoffe preziose, cavalli e levrieri di razza. A creargli intorno un alone di mito contribuivano anche i suoi amori, specie quello, lungo e tormentato, che lo legò alla grandissima attrice [[w:Eleonora Duse|Eleonora Duse]]. Nel momento in cui si innamorano, la Duse, a 36 anni, è già nel fiore della sua carriera; D'Annunzio ha cinque anni in meno di lei e non perderà mai occasione per farle pesare questa differenza d'età. Un'unione apparentemente così stretta, che coinvolge amore e arte, imporrebbe ad entrambi di troncare qualsiasi altra relazione. Ma non sarà così per il Vate che continuerà ad affollare la propria alcova di sempre nuove conquiste: se circa 150 sono le sue amanti accertate, si calcola che in realtà siano state almeno mezzo migliaio. La sofferenza della Duse al fianco di D'Annunzio inizia presto. La loro vita è un'assurda routine: lei continua a recitare, a guadagnare e ad indebitarsi per poter portare in scena le fallimentari opere teatrali dell'amato. Lui continua a scrivere e a spendere i soldi di Eleonora per potersi mantenere nel lusso più sfrenato. D'Annunzio era strettamente legato alle esigenze del sistema economico del suo tempo con le sue esibizioni clamorose ed ì suoi scandali lo scrittore voleva mettere in primo piano nell'attenzione pubblica, per vendere meglio la sua immagine e i suoi prodotti letterari. Gli editori gli pagavano somme favolose, ma quel fiume di denaro non era mai sufficiente alla sua vita lussuosa. Quindi, paradossalmente, il culto della bellezza ed il vivere inimitabile, superomistico, risultavano essere finalizzati al loro contrario, a ciò che D'Annunzio ostentava di disprezzare: il denaro e le esigenze del mercato, proprio lo scrittore più ostile al mondo borghese era in realtà il più legato alle sue leggi lo scrittore che più spregiava la massa, era costretto a sollecitarla e a lusingarla. È una contraddizione che D'Annunzio non riuscì mai a superare. L'arte è il valore supremo, e ad essa devono essere subordinati tutti gli altri valori. La vita si sottrae alle leggi del bene e del male e si sottopone solo alla legge del bello, trasformandosi in opera d'arte. == L'esteta == L'esteta vive cogliendo l'attimo irripetibile, in cerca di sensazioni nuove e talvolta deleterie, modello di vita che, se osservato con attenzione, riflette la ansia e il desiderio di una vita diversa. Egli è un uomo che fonda la propria vita sulle leggi del [[w:Bellezza|bello]], egli è un uomo che ama circondarsi dal lusso e dallo sfarzo, che trasforma la sua vita in una vera e propria opera d'arte. Il termine estetismo allude alla ricerca, anche esasperata, di tutto ciò che è bello, superfluo, ricercato, in contrapposizione a ciò che è necessario, utile, ovvio, mediocre, che appartiene cioè alla vita di tutti i giorni. Dunque, estetismo è culto del bello fine a se stesso e vita fondata su atteggiamenti e comportamenti estetizzanti. == L'estetismo == L'estetismo ha origine in Francia, verso il 1835 con [[w:Théophile Gautier|Téophile Gautier]] con il motto: [[w:en:Art for art's sake l'art pour l'art|Art for art's sake l'art pour l'art]], e influenza nomi illustri come [[w:Oscar Wilde|Oscar Wilde]], D'Annunzio e [[w:Joris Karl Huysmans|Huysmans]]: è una delle principali tematiche della cultura decadente. La figura dell' esteta nasce dal rifiuto della visione utilitaristica del mondo tipica della borghesia del tempo, nonché della sua stessa morale, che viene vista sotto occhio critico e abbandonata per essere sostituita dalla volontà, assolutamente amorale dello individuo. Di estetismo si può parlare anche nel mondo latino e in particolar modo nella figura di Petronio che anticipando autori come Wilde introduce quella che successivamente sarà epitetata come filosofia dell'[[w:Oltreuomo|oltreuomo]]. == Opere == D'Annunzio debuttò giovanissimo con la raccolta di versi ''Primo vere (1879)'', cui seguì nel 1882 ''Canto novo'' , che uscì con la copertina disegnata da [[w:Francesco Paolo Michetti|F.P. Michetti]], e nel quale è evidente l'imitazione di Carducci, temperata da una vena sensuale e naturalistica. Dall'estetismo europeo assimilò ideali di sensibilità e raffinatezza e il gusto del tecnicismo formale. Nacquero così, accanto a alcune raccolte di versi, i romanzi: [[w:Il piacere (romanzo)|Il piacere (1889)]], ''Giovanni Episcopo (1891)'', e ''L'innocente (1892)''. Soprattutto negli ultimi due si può avvertire la lezione di [[w:Lev Tolstoj|Tolstoj]] e di [[w:Fëdor Dostoevskij|Dostoevskij]], ma ridotta da studio del profondo a languida ostentazione del morboso. Nel periodo immediatamente successivo D'Annunzio volle colmare un vuoto morale, di cui egli stesso avvertiva il rischio, con il mito del 'superuomo' desunto da [[w:Friedrich Nietzsche|Nietzsche]]. Solo che alla volontà di potenza teorizzata dal filosofo tedesco, nel quadro di una distruzione della morale comune e di una rifondazione, D'Annunzio sostituì ideali estetizzanti, destinati a comporre l'abbagliante mosaico di una 'vita inimitabile' appartengono a questo periodo i romanzi ''Il trionfo della morte (1894)'', ''Le vergini delle rocce (1895)'', ''Il fuoco (1900)'' e i drammi ''La gloria (1899)'', ''La città morta (1899)'' e ''La Gioconda (1899)'' scritti durante la relazione con Eleonora Duse. Nel periodo di ritiro nella villa di Settignano scrisse al cune delle sue opere maggiori: i primi tre libri (''Maia'', ''Elettra'' e ''Alcyone'') delle Laudi del cielo, del mare, della terra, degli eroi , che fu poi pubblicata nel 1903. E le tragedie ''Francesca da Rimini (1902)'', ''La figlia di Jorio (1904)'', ''La fiaccola sotto il moggio (1905)'','' La nave (1908)'', ''Fedra (1909)'', ''Più che l'amore'' e il romanzo ''Forse che sì forse che no (1910)''. Durante l'esilio francese scrisse tra l'altro, in un prezioso francese, il dramma Il martirio di san Sébastien musicato da Debussy e il quarto libro delle Laudi che raccoglie anche le canzoni delle gesta d' oltremare celebranti la conquista italica della Libia. Al mito del superuomo tende ora ad affiancarsi il mito della super nazione, chiamata dal destino all'impero. Del 1916 è il romanzo'' La Leda senza cigno''. Durante la degenza per la ferita all'occhio, in guerra, scrisse ''Notturno (1921)'', opera in prosa che caratterizza un momento di ripiegamento su sé stesso e contiene alcune delle sue pagine migliori e vibranti. Nell'ultimo periodo della sua vita continuò a comporre opere, per lo più rievocative e autobiografiche: ''Il venturiero senza ventura (1924)'',''Il compagno dagli occhi senza cigli (1928)''. Collaborò alle didascalie di ''Cabiria (1914)'' di [[w:Giovanni Pastrone|Pastrone]], di cui per ragioni di pubblicità si assunse la paternità. Non disdegnò altre collaborazioni, come quella a un film di propaganda come ''Non è resurrezione senza morte (1922)'' fortemente anti-serbo e che vide la collaborazione di alcuni esuli montenegrini (la regina italiana era montenegrina). Anche suo figlio Gabriellino D'Annunzio si dedicò al cinema. == Il Piacere == Il primo romanzo scritto da D'Annunzio è ''Il piacere (1889)'', '''Andrea Sperelli''' è un giovane '''Dandy''', un intellettuale raffinato dotato di buon gusto nelle opere letterarie e nelle arti figurative, garbato amante, abile seduttore e squisito poeta. Quella del conte Sperelli è una vicenda triste e che nasconde una crisi di valori di ben più ampia portata, il suo amore antico per '''Elena Muti''' lo porta a dover confrontarsi con una società frivola, mediocre, intenta soltanto a ricercare nuovi scandali e nuovi diletti mondani, una società edonista e superficiale che Andrea sfrutta e subisce sino alle pagine conclusive del romanzo dove lo stesso protagonista esaspera l'immagine del piacere inquinando anche l'ultima possibilità di redenzione tra le braccia di Maria. Andrea perciò assume all'interno del romanzo l'immagine di un personaggio ambivalente, in continua alternanza fra la vita mondana e la vita dello spirito. I ricordi di sublimi vicende d'amore fra le braccia della perduta amante lo portano a ricercare disperatamente il '''piacere''' all'interno di un mondo insensibile, frivolo e corrotto di cui la stessa Elena faceva parte, finché si affaccia sulle soglie della sua vita la possibilità di redenzione fra le amorevoli braccia di '''Maria Ferres'''. Ella è una donna profonda, sensibile e docile, il suo animo è genuino e gli intenti onesti. Nei primi giorni del loro amore, lontano da Roma e dalle distrazioni mondane, Andrea sembra ritrovare una pace perduta ed una serenità intrisa di poesia e di dolcezza, le sue parole sembrano leali i suoi intenti sinceri, il suo animo nuovamente redento e in pace con il mondo, ma la natura più vera e profonda dell'individuo ritorna a galla sin dal primo giorno a Roma quando le gaudenti lusinghe della vita anteriore si affacciano nuovamente nell'animo turbato del protagonista. Elena rappresenta in realtà la parte più vera dell'animo camaleontico dello Sperelli in quanto proviene anch'essa da un mondo del tutto corrotto, in cui conta soltanto l'apparire e la ricchezza materiale, ma la sua ambiguità è ben più radicata di quella del protagonista che a volte sembra interpretare la parte dell'inetto, succube delle proprie passioni e della complessità del suo animo. Elena abbandona Andrea misteriosamente, ritorna a Roma dopo due anni, pretende di rivedere l'antico amante, si lascia incantare e trasportare da quei dolcissimi ricordi che sembrano ancora accenderla d'amore ma nel momento di più alto trasporto rivela in maniera agghiacciante ad Andrea di essere sposata. La donna che lui ama e con cui aveva condiviso la più elevata delle passioni era d'un altro ed aveva scelto di sposarsi per interessi economici. Il comportamento di Elena fa pensare ad un attacco di gelosia poiché consapevole che il conte Sperelli stava corteggiando donna Maria oppure l'Elena che diceva d'avere tanto sofferto era soltanto una donna al pari di Giulia Arici e Clara Green, forse dotata di maggiore acume e finezza ma pur sempre una donna comune, idealizzata dallo Sperelli per quello eccesso di passione che aveva avvinto anni prima le loro anime. Quando Maria appare nuovamente sulla scena, sullo sfondo di quella Roma tanto amata si consuma lo sfacelo dello Sperelli, convinto di poter ritrovare la passione perduta alternandosi fra Maria ed Elena, e in un secondo tempo ricercando Elena in Maria. La facilità con cui il protagonista si adatta alla mostruosa commedia rende ancora più agghiacciante la fantasia mediante la quale Andrea crede ancora più perfetto il possesso immaginario del corpo di Elena mediante Maria. L'insieme di questa folle depravazione unita alla ricerca del Piacere perduto lo conduce inesorabilmente verso l'esagerazione finale, in cui la disperazione per aver scoperto che la Muti è la nuova amante di '''Galeazzo Secìnaro''' lo porta a pronunciare il nome di Elena tra le braccia di Maria. Sperelli non è un inetto, è semplicemente un uomo che asseconda la propria natura, è il figlio di un'epoca malata, è la incarnazione di una società abietta e perbene. Elena rappresenta il lato oscuro del protagonista, colei che conosce la parte più ingannevole e brutale del suo animo, ma che lo ha profondamente amato, Maria invece potrebbe essere la redenzione, una redenzione che lo stesso protagonista preferisce evitare poiché sedotto da un vizio antico che lo porta a trarre piacere soltanto dall'eccesso. Il conte Sperelli che sino all'ultimo momento aveva la facoltà di scegliere la via del Piacere o la via della redenzione si trova di fronte allo sfacelo. Maria lo abbandona per sempre e ciò che resta al conte Andrea Sperelli è quell'esistenza che lo ha sedotto e tradito. Un messaggio profondo che traspare nelle ultime pagine del romanzo, ovvero che il Piacere non lo si può cercare, riprodurre o inseguire, il vero piacere lo si ottiene soltanto mediante l'amore verso ciò che si possiede senza avere la pretesa di possederlo per sempre poiché il vero piacere potrebbe durare soltanto un attimo ma profumare un'intera vita. == L'Alcyone == In questo libro al discorso politico si sostituisce il tema lirico della fusione panica con la natura, vi è un atteggiamento di evasione e contemplazione. Il libro è come il diario di una vacanza estiva, dai colli fiesolani alle coste tirreniche; le liriche si ordinano in un disegno organico che segue la parabola della stagione. L'io del poeta si fonde col fluire della vita del Tutto, si identifica con le varie presenze animali, vegetali,minerali. Vi è l'uso di un linguaggio analogico che si fonda su un gioco continuo di immagini. L'[[w:Alcyone|''Alcyone'']] è considerato il capolavoro di D'Annunzio comprende, infatti, le liriche più famose, come ''La sera fiesolana'', ''La pioggia nel pineto'', ''Le stirpi canore'', i ''Madrigali dell'estate'', i ''Sogni di terre lontane'' (con la celebre lirica ''I pastori'') e termina con ''Il commiato dalla terra di Toscana''. Qui tutti i sensi sono impegnati per realizzare una sorta di magica simbiosi fra l'uomo e la natura. Questa poesia è stata definita da molti pura, sgombra dal peso dell{{'}}'''ideologia superomistica''' e delle sue finalità pratiche, immune dalla retorica e dall'artificio, rispondente al nucleo più genuino dell'ispirazione del poeta, il rapporto sensuale con la natura; in realtà non è che una manifestazione del superomismo: solo al superuomo è concesso il contatto profondo con la natura, attingendo ad una vita superiore, al di là di ogni limite umano. Solo la parola magica del poeta-superuomo può esprimere l'armonia segreta della natura. ''La pioggia nel pineto'' è una delle maggiori poesie di D'Annunzio, descrive una passeggiata in pineta durante la quale il poeta e la donna che è con lui vengono colti da un violento acquazzone, che ridona loro un senso di intensa vitalità. La poesia è pervasa da una grande sensualità, da una sorta di meravigliosa ebbrezza che afferra i due personaggi quando la pioggia si abbatte su di loro, tutti e due si sentono inaspettatamente parte viva del mondo naturale, immedesimati nella stessa natura, come se fossero intimamente uniti agli alberi, alla vegetazione grondante che circonda i loro corpi: i pini, i [[w:Myrtus communis|mirti]], le [[w:Genisteae|ginestre]] e i [[w:Ginepro|ginepri]]. Domina in tutto ciò un forte senso di panico, continui nella poesia sono i segni di scambio tra natura e uomo. Nel corso del componimento la natura si trasforma in una immensa orchestra: ogni tipo di vegetazione rappresenta uno strumento diverso che le dita della pioggia suonano. Il poeta non esprime sentimenti profondi, l'amore è sentito come una illusione e la vita appare fuggevole. La favola bella illuse e continua ad illudere i due protagonisti, il loro ieri ed il loro oggi sono distinti anche se identici (t'illuse..., m'illude, m'illuse... t'illude), l'or congiunti or disciolti indica che tra loro si alterna l'unione all'estraneità dei sentimenti. Il lessico è semplice ma costellato qua e là di termini ricercati (tamerici, mirti) e di registro alto, per l'uso particolare degli aggettivi (salmastre ed arse, scagliosi e irti, divini, fulgenti di fiori accolti folti di coccole aulenti, solitaria verdura). Il linguaggio poetico traduce in parola i suoni della natura, la parola è la formula magica che rivela l'essenza della realtà. == Il pensiero == D'Annunzio si sottrae alle regole della morale comune ed è teso alla ricerca del bello puro. Rifiuta quindi il consumismo, il perbenismo e la morale borghese, e vive per un'arte che è già decadente, in cui si ricorre all'artificio formale per raggiungere la bellezza. D'Annunzio non è però come gli altri esteti, infatti non si rassegna all'emarginazione sociale, ma si costruisce la cosiddetta maschera dell'esteta, che d'altra parte non è altro che un modo per farsi pubblicità, e scrive opere che attirano per cercare di essere al centro dell'attenzione, e in tal modo di vendere e guadagnare di più. == Fase dell'estetismo == La vita si sottrae alle leggi del bene e del male e si sottopone solo alla legge del bello, trasformandosi in opera d'arte. In questa fase i versi dannunziani sono fitti di echi letterari che provengono da poeti classici. Il personaggio dell'esteta si isola dalla realtà della società [[w:Borghesia|borghese]] per immergersi in un mondo rarefatto e sublimato di pura arte e bellezza. == Crisi dell'estetismo == D'Annunzio si rende conto, dell'intima debolezza di questa figura: l'esteta non ha la forza di opporsi realmente alla borghesia in ascesa. Egli avverte tutta la fragilità dell'esteta in un mondo lacerato da forze e da conflitti così brutali, la costruzione dell'estetismo entra allora in crisi. == L'ideologia del superomismo == D'Annunzio coglie alcuni aspetti del pensiero di Nietzsche banalizzandoli e forzandoli entro un proprio schema di concezioni: innanzitutto il rifiuto del conformismo borghese, dei principi egualitari che schiacciano e livellano la personalità, l'esaltazione dello '''spirito dionisiaco''', cioè di un vitalismo gioioso, libero e pieno, l'esaltazione dello spirito di lotta e dell'affermazione di sé. Questo nuovo personaggio è aggressivo, energico e vitale, non nega l'immagine dell'esteta, ma anzi la ingloba a sé; così l'estetismo sarà strumento di una volontà di dominio sulla realtà. == Bibliografia == * G. Baldi, S. Giusto , M. Razetti, G. Zaccaria, ''D'Annunzio e Pascoli'', Torino, Paravia, 2002 (Dal testo alla Storia dalla storia al testo), pp 1–15. * G. D'Annunzio, ''Il Piacere'', Milano, Mondadori, 1995. * A. Andreoli, ''Onde d'inchiostro, Marconi, D'Annunzio: storia di un'amicizia'', Milano, Abacus, 2004. * ''Gabriele d'Annunzio: vita, opere, gesta e amori del Vate, con immagini, cronologie, pubblicazioni e bibliografie aggiornate'', a cura di E. Albertelli, A. Balladini, 2002. ==Testi== ===Lettere=== * [[s:Alla Maestà di Vittorio Emanuele terzo re d'Italia]] ===Poesia=== *[[s:L'Isottèo]] *[[s:L'orto e la prora]] **[[s:Poema paradisiaco]] **[[s:Odi navali]] *[[s:Laudi]] **[[s:Maia]] **[[s:Elettra]] **[[s:Alcyone]] **[[s:Merope]] **[[s:Canti della guerra latina]] ===Romanzi=== *[[s:Il piacere]] == Collegamenti esterni == * [http://www.gabrieledannunzio.net Sito sul D'Annunzio (consultato il 31.05.2008)] * [http://cronologia.leonardo.it/storia/biografie/dostoev.htm Pagina biografica di Dostoevskij] * [http://www.gabrieledannunzio.net/ Sito interamente dedicato al Poeta Vate] * [http://www.mta.ca/faculty/arts-letters/mll/french/gautier/ Pagina riguardante Theophile Gautier] * [http://www.filosofico.net/nietzsche.htm Pagina riguardante Nietzsche] * [http://www.noveporte.it/dandy/snob.htm Approfondimento sui dandy] 0htpvfse4k7vt190kr6sej1zsg2g30g 0 11265 286416 273843 2026-08-18T12:14:24Z Avemundi 2081 refuso 286416 wikitext text/x-wiki Il '''marchio di conformità''' è un contrassegno facoltativo apposto su prodotti e servizi per indicare che il bene o servizio cui è conferito ha superato una serie di prove tecniche e raggiunto gli [[w:standard|standard]] qualitativi prefissati dall'ente certificatore. ==Tipi di marchio== I marchi di conformità possono essere di due tipi: ''obbligatori'' o ''volontari''. *Obbligatori:si limitano ad assicurare la conformità a regole tecniche di impiego obbligatorio, come la [[marcatura CE]] che garantisce - per alcune tipologie di prodotti - il rispetto dei requisiti essenziali di sicurezza stabiliti dalle relative direttive comunitarie. *Volontari: provano che i prodotti hanno caratteristiche che vanno al di là di quanto eventualmente richiesto dalla legge e testimoniano la qualità del prodotto. Il marchio di conformità viene rilasciato attraverso il processo di "certificazione" da enti accreditati. Questi enti si occupano di effettuare le verifiche tecniche del rispetto delle norme prese in considerazione necessarie per l'ottenimento dell'autorizzazione del marchio di conformità. La certificazione è l'atto mediante il quale una terza parte (neutra) dichiara che un prodotto o servizio è conforme ai requisiti specificati. ==Norme EN/IEC== Le norme circondano la nostra vita quotidiana e anche senza rendercene conto utilizziamo a nostra insaputa norme “standard” in diversi ambiti. Si può sentire parlare di un "letto standard" a "dimensioni standard di fotografia" o "tempo standard". Tuttavia nel nostro specifico segmento, ci sono organizzazioni a livello europeo (vedi tabella organizzazioni) che regolano e definiscono uno standard come un documento istituito. Con il consenso e l'approvazione d'organismi riconosciuti, forniscono regole, linee guida o le caratteristiche per le attività o dei risultati, finalizzati alla realizzazione ottimale del grado di ordine in un determinato contesto. Le norme dovrebbero essere basate su risultati consolidati della scienza, della tecnologia e dell'esperienza, e mira alla promozione del bene della comunità. ==Organizzazioni== {| {{prettytable|width="100%"}} !width=7% colspan=1| Altro !width=7% colspan=1| Elettrotecnica !width=7% colspan=1| Telecomunicazione !width=7% colspan=1| Livello |- align=center |'''[http://www.iso.org ISO]'''||'''[http://www.iecee.org/ IEC]'''||'''[http://www.itu.int ITU]'''|| Mondo |- align=center |'''[http://www.cen.eu CEN]''' ||'''[http://www.cenelec.eu/ CENELEC]'''||'''[http://www.etsi.org ETSI]'''|| EUR |- align=center |'''[http://www.snv.ch/ SNV]'''||'''[http://www.electrosuisse.ch/g3.cms/s_page/83340/s_name/suces/ CES]'''||'''[http://www.asut.ch/ CS4]''' || CHE |- align=center |'''[http://www.uni.com/ UNI]'''||'''[http://www.ceiuni.it/ CEI]'''||'''[http://www.comunicazioni.it/ministero/struttura/istituto_superiore_iscom// ISCOM]''' || ITA |} [http://www.iso.org/iso/home.htm/ ISO] = International Organization Standard [http://www.iecee.org/ IEC] = International Electrotechnical Commission [http://www.itu.int/net/home/index.aspx/ ITU] = International Telecommunication Union [http://www.cen.eu/cenorm/homepage.htm/ CEN] = International Organization for Standardization [http://www.cenelec.eu/ CENELEC] = European Committee for Electrotechnical Standardization [http://www.etsi.org/WebSite/homepage.aspx/ ETSI] = European Telecommunications Standards Institute [http://www.snv.ch/ SNV] = Swiss Association for Standardization [http://www.electrosuisse.ch/g3.cms/s_page/83340/s_name/suces/ CES] = Comité Electrotechnique Suisse [http://www.asut.ch/ CS4] = Comité Secteur [http://www.uni.com/ UNI] = Ente Nazionale Italiano di Unificazione [http://www.ceiweb.it/ CEI] = Comitato Elettrotecnico Italiano [http://www.comunicazioni.it/ministero/struttura/istituto_superiore_iscom// ISCOM] = Istituto Superiore delle Comunicazioni e delle Tecnologie dell'Informazione ==Tipologie di norme== L'Organizzazione [[w:CENELEC|CENELEC]] occupa la maggior parte del suo lavoro nella creazione e stesura di norme europee (EN) e documenti armonizzati (HD). Queste norme o standard, se approvati, vengono applicati in tutti i paesi membri del CENELEC e non possono in nessun modo entrare in conflitto con altre norme già in vigore. Una volta rilasciate le norme EN, esse devono essere accettate (senza subire modifiche) da tutti i membri CENELEC. Le norme HD, a differenza delle norme EN sono più flessibili, è solo il contenuto tecnico che deve essere recepito (non hanno importanza i testi o i documenti). ===EN - European Standard=== La norma EN (esempio EN 60335) è una norma europea e costituisce un componente chiave del mercato comunitario. La norma viene rilasciata nelle tre lingue ufficiali (inglese,tedesco e francese) a tutti i membri [[CENELEC]], i quali la devono applicare senza nessuna modifica. Le norme rilasciate non possono in nessun caso andare in conflitto con le altre norme in vigore e rilasciate da CENELEC. L'approvazione della norma segue una prassi ben definita e prima dell'attuazione deve: Creazione di una bozza della norma per il comitato tecnico di CENELEC o per il gruppo di lavoro, mandare la richiesta a livello nazionale, segue una votazione formale a livello nazionale e poi l'approvazione finale da parte della Commissione Tecnica prima della sua attuazione in tutti i paesi membri. ===HD - Harmonization Document=== Hanno le stesse caratteristiche delle norme EN tranne per il fatto che non vi è alcun obbligo di pubblicare un identico standard a livello nazionale. A livello nazionale (può essere fatto in diversi documenti e le parti), tenendo conto del fatto che il contenuto tecnico delle HD deve essere recepita in maniera uguale in tutto il mondo. ===TS - Technical Specification=== Il TS è un documento normativo i prodotti e approvato da un comitato tecnico non del CENELEC. Molti dei requisiti obbligatori necessari per avere una norma non si applica alle specifiche tecniche: non c'è sosta, non pubblica, il voto non segue le stesse regole come in CENELEC tecnico (dove è ponderata). Un TS deve essere prodotto solo in una delle lingue ufficiali e la sua durata massima è ridotta a due o tre anni. Specifiche tecniche sono spiegate in termini di sostegno al mercato europeo e ad agire come un metodo di orientamento verso le tecnologie in evoluzione e sperimentale circostanze che non basta raccogliere il consenso per la pubblicazione di un norma EN. Un TS non può essere in conflitto con altri standard CENELEC. Se il TS entra in conflitto di conflitto con una norma EN, esso deve essere ritirato. ===TR - Technical Report=== È un documento informativo dal contenuto tecnico dei lavori di standardizzazione. Viene pubblicato solo in una delle tre lingue ufficiali ed è approvato dal consiglio tecnico o da un comitato tecnico a maggioranza semplice. Nessun limite di durata si applica. ===G - Guides=== CENELEC Guide sono documenti informativi relativi al "sistema interno". Esse possono specificare informazioni su principi guida di standardizzazione e scrittura. La Guida deve essere approvato dall'assemblea generale o dal comitato tecnico. Non ha nessun limite di durata. ===CWA - CENELEC Workshop Agreement=== Come indicato dal loro nome, CWA é un accordo di sviluppo, approvato da un Workshop con il consenso raggiunto tra gli individui e le organizzazioni. Essi devono essere pubblicati in almeno una delle lingue ufficiali. La revisione è possibile. ==Struttura norma== La numerazione delle norme europee ha una strutturata ed sequenza organizzata: Esempio: -EN 50225:'''1996''' (l'anno d'attuazione della norma EN è separata dal numero da due punti);</div> -EN '''50157-2-1''':1996 (numero norma); Le prime due cifre indicano l'origine della norma: - 40000 a 44999 copre settori di comune CEN / CENELEC attività nel settore IT - 45000 a 49999 copre settori di comune CEN / CENELEC attività al di fuori del settore IT - 50000 a 59999 copre CENELEC attività - 60000 a 69999 si riferiscono alla realizzazione del CENELEC IEC documenti con o senza modifiche La IEC e ISO hanno stanziato stessi blocchi di numeri di pubblicazione: da 1 a 59999 per l'ISO e da 60000 a 79999 per la IEC. ==Membri CENELEC== Solo una organizzazione di standardizzazione nel ramo dell'elettrotecnica per paese può essere membro del CENELEC. Essi sono riconosciuti a livello nazionale ed europeo e rapprensentano tutti gli interessi di standardizzazione nel loro paese. Attualmente sono 30 i membri del [[CENELEC]]. {| {{prettytable|width="80%"}} !width=1% colspan=1| Paese !width=5% colspan=1| Organizzazione |- align=center | [[Austria]] || [http://www.ove.at/ Österreichischer Verband für Elektrotechnik ] |- align=center | [[Belgio]] || [http://www.ceb-bec.be/ Comité Electrotechnique Belge - Belgisch Elektrotechnisch Comité] |- align=center | [[Bulgaria]] || [http://www.bds-bg.org/ Bulgarian Institute for Standardization] |- align=center | [[Cipro]] || [http://www.cys.org.cy/ Bulgarian Institute for Standardization] |- align=center | [[Repubblica Ceca]] || [http://www.unmz.cz/ Czech Office for Standards, Metrology and Testing] |- align=center | [[Danimarca]] || [http://www.ds.dk/ Danish Standards Foundation] |- align=center | [[Estonia]] || [http://www.evs.ee/ Estonian Centre for Standardization ] |- align=center | [[Finlandia]] || [http://www.sesko.fi/ Standardization in Finland] |- align=center | [[Francia]] || [http://www.ute-fr.com/ Union Technique de l'Electricité] |- align=center | [[Germania]] || [http://www.dke.de/ Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik im DIN und VDE] |- align=center | [[Grecia]] || [http://www.elot.gr/ Hellenic Organization for Standardization] |- align=center | [[Ungheria]] || [http://www.mszt.hu/ Hungarian Standards Institution] |- align=center | [[Islanda]] || [http://www.ist.is/ Icelandic Standards] |- align=center | [[Irlanda]] || [http://www.etci.ie/ Electro-Technical Council of Ireland Limited ] |- align=center | [[Italia]] || [http://www.ceiweb.it/ Comitato Elettrotecnico Italiano ] |- align=center | [[Lettonia]] || [http://www.lvs.lv/ Latvian Standard] |- align=center | [[Lituania]] || [http://www.lsd.lt/ Lithuanian Standards Board ] |- align=center | [[Lussemburgo]] || [http://www.ilnas.lu/ Institut luxembourgeois de la normalisation, de l'accréditation, de la sécurité et qualité des produits et services] |- align=center | [[Malta]] || [http://w.msa.org.mt/ Malta Standards Authority] |- align=center | [[Norvegia]] || [http://www.nek.no/ Norsk Elektroteknisk Komite] |- align=center | [[Paesi Bassi]] || [http://www.nen.nl/ Netherlands Elektrotechnisch Comité] |- align=center | [[Polonia]] || [http://www.pkn.pl/ Polish Committee for Standardization] |- align=center | [[Portogallo]] || [http://www.ipq.pt/ Instituto Português da Qualidade] |- align=center | [[Romania]] || [http://www.asro.ro/ Romanian Standards Association] |- align=center | [[Slovacchia]] || [http://www.sutn.gov.sk/ Slovak Electrotechnical Committee (SEV) - Slovak Standards Institute (SUTN] |- align=center | [[Slovenia]] || [http://www.sist.si/ Slovenian Institute for Standardization] |- align=center | [[Spagna]] || [http://www.aenor.es/ Asociación Española de Normalización y Certificación] |- align=center | [[Svezia]] || [http://www.elstandard.se/ SEK Svensk Elstandard] |- align=center | [[Svizzera]] || [http://www.electrosuisse.ch/ Electrosuisse SEV - Associazione per l'elettronica, la tecnica energetica e l'informatica - Association for Electrical Engineering, Power and Information Technologies] |- align=center | [[Regno Unito]] || [http://www.bsigroup.com/ British Electrotechnical Committee British Standards Institution] |} ==Principali marchi di conformità== {| class="wikitable" style="font-size:98%;" ! rowspan=1| Simbolo ! rowspan=1| Nome ! rowspan=1| Paese ! rowspan=1| Tipo |- | [[File:Conformity_mark_Iram_Argentina.png|50 px]] | [[Marchio IRAM|IRAM]] | ARG | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | | [[Regulatory Compliance Mark|RCM]] | AUS | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | [[File:Marchio ÖVE.gif|50 px]] | [[Österreichischer Verband für Elektrotechnik|ÖVE]] | AUT | style="background-color:#009900" | Volontario |- | [[File:Marchio CEBEC.jpg|50 px]] | [[CEBEC]] | BEL | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Marchio STB|STB]] | BLR | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | | [[Marchio ISC|ISC]] | KHM | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | | [[Marchio CSA|CSA]] | rowspan="2" | CAN | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | | [[Marchio ETL|ETL]] | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | [[File:C.C.C.-Logo.svg|50 px]] | [[Certificato Cinese Obbligatorio|CCC]] | CHN | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | | [[Demko]] | DEN | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Fimko]] | FIN | style="background-color:#009900" | Volontario |- | [[File:La Norme Française logo.png|50 px]] | [[Norme française]] | FRA | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Geprüfte Sicherheit|GS]] | rowspan="2" | DEU | style="background-color:#009900" | Volontario |- | [[File:German conformity mark VDE.JPG|50 px]] | [[Verband der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik|VDE]] | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Marcatura IMQ|IMQ]] | ITA | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[GOST-K]] | KAZ | |- | | [[Marchio NOM|NOM]] | MEX | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | [[File:Conformity mark nemko norway.gif|50 px]] | [[Nemko]] | NOR | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[KEMA-KEUR]] | NLD | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Marchio B|B]] | POL | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Marchio EZU|EZU]] | CZE | |- | | [[Marchio PCT|PCT GOST-R]] | RUS | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | | [[Kvalitet]] | SRB | |- | | [[Marchio PSB|PSB]] | SIN | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | | [[Marchio EVPU|EVPU]] | SVK | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Marchio EZU|EZU]] | SLO | |- | | [[AENOR]] | ESP | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Marchio ETL|ETL]] | rowspan="2" | USA | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Underwriters Laboratories|UL]] | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[Marchio SABS|SABS]] | ZAF | style="background-color:#009900" | Volontario |- | [[File:SEMKO.png|50 px]] | [[Semko]] | SWE | style="background-color:#009900" | Volontario |- | [[File:Security mark S Switzerland.gif|50 px]] | [[Contrassegno di sicurezza svizzero]] | rowspan="2" | CHE | style="background-color:#009900" | Volontario |- | [[File:Swiss conformity mark SEV.JPG|50 px]] | [[Electrosuisse SEV]] | style="background-color:#009900" | Volontario |- | | [[UkrSEPRO]] | UKR | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | | [[MEEI]] | HUN | style="background-color:#009900" | Volontario |- | [[File:Conformité_Européenne_(logo).svg|50 px]] | [[Marcatura CE|CE]] | rowspan="2" | EUR | style="background-color:#FF0000" | Obbligatorio |- | [[File:Swiss conformity mark ENEC.JPG|50 px]] | [[Marchio ENEC|ENEC]] | style="background-color:#009900" | Volontario |- |} ==Voci correlate== *[[w:Marcatura CE|Marcatura CE]] *[[w:Contrassegno di sicurezza|Contrassegno di sicurezza]] *[[w:Electrosuisse SEV|Electrosuisse SEV]] *[[w:Marchio ENEC|Marchio ENEC]] *[[w:CENELEC|CENELEC]] *[[w:Commissione Elettrotecnica Internazionale|Commissione Elettrotecnica Internazionale]] (IEC) *[[w:ISO|Organizzazione Internazionale per le Standardizzazioni]] (ISO) *[[w:Comitato Europeo di Normazione|Comitato Europeo di Normazione]] (CEN) *[[w:UNI|UNI]] *[[w:Comitato Elettrotecnico Italiano|Comitato Elettrotecnico Italiano]] (CEI) *[[w:Norma (tecnologia)|Norma (tecnologia)]] ==Collegamenti esterni== *[http://www.electrosuisse.ch/g3.cms/s_page/88340/lang/IT/ Contrassegni internazionali] t4picq9ilno37iuk0f1p04wlka7p15b 0 17119 286481 274383 2026-08-19T02:58:14Z Avemundi 2081 Revisione 286481 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo = lezione|materia1 = Diritto comparato|avanzamento = 100%}} Un non musulmano che voglia comprendere il Diritto dei paesi islamici deve per prima cosa approcciarsi con quello che è la ''Sharī'a'' (cioè il ''diritto islamico o diritto mussulmano'') per poi approfondire i vari diritti positivi dei diversi paesi islamici. Solitamente nessuno dei paesi islamici si basa ''solo'' sulla ''Sharī'a''. Solitamente, infatti, sotto l'aspetto del potere giudiziario e legislativo mettono in funzione regole laiche. Ad esempio la Turchia presenta ad oggi un quasi totale laicizzazione del diritto (si pensi che dal XX secolo grazie a Kemal ''Atatürk'' ha un codice civile su modello svizzero, un codice penale su modello italiano, un codice di procedura penale su modello tedesco) che rinnegato di fatto lo statuto personale islamico. Uguale laicizzazione del diritto si è avuta anche nelle ex-Repubbliche socialiste sovietiche dell'Asia Centrale (Repubbliche di Kazakistan, Kirghizistan, Tagikistan, Turkmenistan e Uzbekistan). Ugualmente ci sono però degli Stati che invece hanno posto a fondamento dello Stato la ''Sharī'a'' limitando di conseguenza l'attività normativa dello Stato e non adottando una Costituzione (si pensi ad esempio l'Arabia Saudita, il Sultanato di 'Oman e la Repubblica Islamica iraniana). Nel mezzo vi sono numerosi paesi, dall'Indonesia a vari paesi dell'Africa Nord del Sahara, che cercano di trovare una mediazione tra autorità legislativa statale islamica e ''Sharī'a''. il diritto islamico, infine, ha una sua rilevanza anche in Occidente dove, nonostante il potere legislativo dello Stato non ammetta nemmeno sussidiariamente che le regole islamiche possano avere un qualche vigore, ugualmente grazie alla protezione costituzionale della libertà religiosa alcune pratiche islamiche sono tutelate e si finisce nella possibilità di applicare alcune regole islamiche. La centralità della ''Sharī'a'', come abbiamo visto, è un dato quindi caratteristico di questa tradizione giuridica. La ''Sharī'a'' (lett: ''via da seguire'') riguarda una serie di precetti che il fedele deve seguire (preghiera, digiuni, pellegrinaggio, diffusione della parola del profetta, obbligo di lottare per la difesa della stessa dalle aggressioni esterne [''jihād''], rituali di vita familiare, regole di comportamento da tenere con gli altri, ecc.). Tali precetti si riferiscono anche ad aspetti che in altre tradizioni giudiche sono disciplinate dal diritto. Il mussulmano, quindi, riconosce nella ''Sharī'a'' il suo sistema giuridico che tra l'altro è immutabile e autosufficiente essendo stato rivelato dal Corano, frutto di Dio, agli uomini. Per apprendere le regole della ''Sharī'a'' il musulmano si rivolge al dotto [''usūl al-fiqh''] che attua quella che per il sistema di civil low è la ''scientia iuris'' e che per i mussulmani è lo sforzo a ritrovare la "Legge di Dio". I dotti [''faqīh'', pl. ''fuqahā'''] producono letteratura giuridica [''fiqh'']. È chiaro che il ''faqīh'' deve avere una conoscenza molto approfondita dell'arabo classico, che è la lingua del Corano, qualunque sia la sua lingua materna. Gli studiosi islamici affermano di "trovare il diritto" nella ''Sharī'a'' dato che un'ammissione di un'attività creativa incontrerebbe il doppio limite: * del testo scritto rivelato che non può essere modificato dagli uomini. * della tradizione poiché le antiche regole consuetudinarie arabe pre-islamiche (''adat'' o ''urf'') non vengono abolite, ma coesistono con la ''Sharī'a''. L'affermazione che il diritto non è creato, ma è trovato nella stessa ''Sharī'a'' ha un doppio vantaggio: * non deve rivaleggiare con uno o più legislatori (e quindi si capisce perché il ruolo del diritto posito è del tutto marginale in questi stati). * non deve subire la concorrenza con i modelli giurisprudenziali giacché in primo luogo la comunità islamicha non dispone di una corte di vertice le cui decisioni possano valere come autorità suprema, dall'altra parte il giudice islamico non motiva le proprie decisioni e pertanto non è tenuto a enunciare nella sentenza la regola di diritto che risolve il caso. == Le fonti della Sharī'a == Prima della venuta di Maometto in Medio Oriente vi erano diversi popoli che si definivano semiti (cioè discendenti di Sem, figlio di Noè). Ognuno di questi popoli aveva un proprio diritto, il quale non sarà cancellato neppure nell'epoca di Maometto). Questi popoli dialogavano con le altre "genti del libro" (ebrei e cattolici) e riconoscevano agli stessi uno speciale statuto che derivava da un contratto noto come ''dhimma'' che concedeva agli stessi la residenza in cambio del pagamento delle tasse. Le genti che avevano questo speciale statuto venivano chiamate, dal nome del contratto, ''dhimmi''. Ai tempi di Maometto, intorno al 570 - 632 d.C. (VII sec. d.C. / I secolo dell'Egira), in questa area si conosceva sia il diritto romano, attraverso il Digesto di Giustiniano, sia il diritto talmudico redatto in aramaico, che è vicino alla lingua araba. Inoltre i contatti con i vari altri popoli permisero delle influenze di vari altri diritti (ctonio, romano, bizantino, persiano e talmudico) negli stessi diritti dei popoli semiti. Intorno, come detto, al 570 - 632 d.C., Maometto inizia a sentire la voce di Allah. Egli è l'ultimo dei Profeti (dopo Mosè e Gesù), ma è di essi anche il più grande perché a lui Dio ha rivelato il suo insegnamento "parola per parola" in un arco di circa 23 anni dalla prima rivelazione ricevuta alla Mecca agli inizi del suo rifugio a Medina (città del Profeta). La Rivelazione di Maometto è stata fin dall'inizio "parola scritta" che viene poi raccolta nel Libro sacro del Corano (lett: ''recitazione''). Ed è proprio intorno al Corano che è stato costruito tutto il resto. Congiuntamente, ad opera dei Califfi Omayyadi (661-750 d.C. / I-II secolo dell'Egira), si compie un ampio allargamento dell'area islamica che si estese a nord della Palestina, alla Siria, ad est nei territori dell'Impero Sassanide, dalla Persia sino al fiume Indo, alla regione dell'Asia Centrale sud-occidentale, ad ovest all'Egitto, e a tutta la fascia costiera mediterranea dell'Africa nord-occidentale. L'islamizzazione militare non procedeva però contemporaneamente all'islamizzazione delle popolazioni (tanto è vero che i mussulmani dell'Asia Centrale furono definiti per molto tempo credenti "tiepidi" da parte degli altri musulmani). L'islamizzazione proceva comunque naturalmente ad uniformare i diritti delle popolazioni conquistate e ad imporre la ''Sharī'a'' e la dottrina delle "radici" o fonti del diritto. Le radici o fonti del diritto sono: # '''Il Corano, ''Qur'ān'' (lett: ''recitazione''):''' Composto da 114 capitoli (o sure, ''suwar'') suddivisi in 6235 versetti (o segni, ''āyāt'') disposti non in ordine cronologico. Nei versetti si distinguono piuttosto le rivelazioni dei due periodi, meccano e medinese, separati dall'evento dell'Egira [''hijrah''] (anno che dà inizio al computo del tempo nella tradizione islamica e il cui anno 0 dell'Egira corrisponde al nostro 622 d.C.). Dei versetti circa 500 contengono regole giuridiche (poche e di non facile individuazione). # '''La ''Sunna'' (lett: ''il sentiero imboccato e percorso dal Profeta''):''' La condotta del Profeta Maometto ispirata a Dio e trasmessa verbalmente per poi essere composta per iscritto in enunciati [''ahadīth'', sing. ''hadīth''] trasmessi in una catena "affidabile e costante" (i due elementi che costituiscono la normatività dell'hadith) di comunicazione a partire dalla prima comunicazione del profeta. # '''L'ijmā', il consenso della dottrina:''' Paragonato da qualcuno alla ''communis opinio doctorum'' è, secondo la definizione classica, "il consenso (''ijmā'') di tutta la comunità dei credenti" (''Ummah'') cioè la comune convinzione religiosa. Il consenso non è di facile raggiungimento e per ottenersi c'è bisogno di una costante discussione interna che spesso ha portato più che ad un appianamento delle divergenze alla nota divisione interna al mondo islamico (le diverse scuole islamiche). La ''ijmā'' (che si può pensare come un consenso di tipo "plurale") è indotta da un ''hadīth'' del Profeta Maometto secondo il quale "il mio popolo non concorderà mai sull'errore". # '''Il ''qiyās'', l'analogia giuridica:''' A differenza della tradizione giuridica occidentale che non vede l'analogia come fonte di produzione del diritto, ma solo come criterio ermeneutico per facilitare l'applicazione delle regole, nella tradizione islamica, invece, laddove le fonti ''non'' sono formalizzate dal diritto posito, l'analogia giuridica è fonte in senso stretto. Resca escluso il regionamento del tipo deduttivo più assertivo, tipicamente occidentale, perché incomatibile con la dottrina coranica. A seconda delle "scuole" si legittimano o meno, poi, altre due fonti secondarie necessarie all'interpretazione delle regole giuridiche: l{{'}}}''Istihsan'', che è uno strumento che fa riferimento all'equità (è usato dalla scuola hanafita mentre è rifiutato dagli sciafiiti), e l{{'}}''Istislah'', che si ispira all'interesse pubblico cioè al bisogno pratico cui la regola giuridica deve rispondere (è usato dalla scuola malikita). Si possono fare due considerazioni fondamentali: * 500 versetti del Corano sicuramente non bastavano a risolvere tutti i casi pratici ed ecco perché ad esso è stato fondamentale applicare lo "sforzo" interpretativo affidato ai ''fuqahā''. * nonostante l'unità dell'Islam, esistevano (ed esistono) varie "scuole" e diverse interpretazioni (non sempre conciliabili) dell'Islam. In merito alla prima considerazione, nonostante in sede teologica si affermi che la ''Sharī'a'' è tutta rivelata e priva di lacune, storicamente il diritto islamico è stato interpretato, modificato e rielaborato dai giuristi dotti all'interno delle diverse "scuole" tanto è vero che la ragione individuale [''ra'y''] e lo sforzo intellettuale [''ijitihād''] hanno risolto molte questioni giuridiche. In un momento non ben preciso tra il IX sec. e il XII sec. d.C. / III - VII secolo dell'Egira le soluzioni da essi elaborate divennero incontestabili. Solo allora è stata "chiusa la porta dello sforzo" interpretativo, secondo la metafora usata dall'Islam sunnita, ed è divenuto impossibile usare il ragionamento assertivo al fine che il potere temporale non influenzasse le opinioni dei dotti. Questa "chiusura della porta dello sforzo" è caratterizzata dal fatto che non ci fu alcun ordine di chiusura proveniente dall'alto. Si concordò, ad un certo punto, che data la natura della tradizione ulteriori sforzi non sarebbero più stati compatibili con essa. È da segnalare che nel medesimo periodo si fermarono anche le altre scienze islamiche (matematica, medicina, astronomia) che l'Occidente aveva usato come ispirazione. Da allora la forma principale del pensiero islamico e il suo stile sono state caratterizzate dall'"imitazione" [''taqlīd''] potendosi il giurista solo riferire all'autorevole opinione espressa dai dotti prima della chiusura. Nella pratica si è verificata la ricopiatura dei testi giuridici precedenti. Di recente si discute se riaprire la porta almeno per i precetti coranici meno chiari. Per alcuni è già stata riaperta. Per altri, addirittura, non si è mai chiusa (questo sarebbe testimoniato dall'innovazione in campo economico sviluppata soprattutto dall'Islam sciita). È chiaro che dietro la riapertura della porta dello sforzo interpretativo c'è l'indiscutibile contenzioso tra modernità e immutabilità della ''Sharī'a'' e questo non può che portare ad un lungo processo di discussione verso una nuova teoria del diritto islamico. Per quel che concerne la seconda considerazione le divisioni interne all'Islam hanno comportato la creazione di "scissioni e scuole". la prima grande scissione ha portato alla distinzione tra ''sunniti'' (coloro che ritengono che il Califfo, successore del custode del messaggio divino, debba essere eletto dalla comunità) e ''sciiti'' (che ritengono legittimi solo i discendenti dalla stirpe di 'Ali ibn Abī Tālib, il quarto Califfo, cugino e genero di Maometto). I '''''Sunniti''''' già a partire dal VIII sec. d.C. / II secolo dell'Egira, si sono divisi in ''quattro'' scuole principali che prendono il nome dai loro maestri che vi insegnarono. Ad ogni scuola è stata riconosciuta pari validità. È necessario aderire ad una scuola, ma è comunque possibile ricondurre un singolo negozio o istituto ad una scuola diversa, inoltre si può sempre cambiare scuola. Gli orfani di governo di un paese islamico possono persino prescrivere ai giudici di applicare le regole di una scuola diversa rispetto a quella generalmente seguita nel paese. Si distinguono quindi: * '''''Hanafiti'':''' Dal maestro ''Abū Hanīfa al-Nu'mān'', è la scuola più antica e prestigiosa ed è la maggiormente diffusa (Iraq, Siria, Livano, Giordania, Israele, Palestina, Egitto, Turchia, area balcanica, ex-Repubbliche socialiste sovietiche, Bangladesh, India, Cina). Secondo essa si può ricorrere abbastanza liberamente all'analogia (''qiyās'') e alla libera opinione (''ra'y''). * '''''Malikiti'':''' Dal maestro ''Anas ibn Mālik'' diffusa maggiormente in Marocco, Algeria, Tunisia, Libia, Mauritania, Nigeria e altri paesi sub-sahariani. Essa ricorre soventemente all'analogia e ha introdotto il concetto di interesse generale (''Istislah'') coincidente con il bene pubblico. * '''''Sciafiiti'':''' Dal maestro ''Muhammad ibn Idrīs al-Shāfi'ī'' che aveva una profonda conoscenza della scuola hanafita e malikita al punto che ne elaborò una sintesi. È diffusa in Egitto, Palestina, Giordania, Libano, Siria, Arabia sud-occidentale, Africa orientale, India, Pakistan, Asia centrale e sud-orientale. Essi ammetto il ricorso alla libera opinione (''ra'y''), ma attribuiscono il primato agli ''ahadīth'' del Profeta rispetto a quelli posteriori e rifiutano il ricorso all'equita (Istihsan). * '''''Hanbaliti'':''' Dal maestro ''Ahmad ibn Hanbal'' ed è predominante in Arabia Saudita e Qatar, nonostante abbia avuto origine a Baghdad nel II secolo dell'Egira. Sono i più ortodossi e non ammettono il ricorso a fonti che non siano le rivelate (Corano e Sunna). Anche gli '''''Sciiti''''' si sono a loro volta divisi in ''quattro'' scuole: * '''''Sayditi'':''' Che è la scuola ufficiale dello Yemen. * '''Duodecimani o ''Imamiti'':''' Scuola diffusa in Iran, Iraq, India, Pakistan, Arabia Saudita e nelle aree del Golfo Persico. Sottolineano l'infallibilità dell{{'}}''Imam'' (altro termine per indicare il Califfo, cioè il vicario di Maometto, guida dei credenti) discendenti da 'Ali. * '''Settimani o ''Ismailiti'':''' Diffusi in India, Pakistan, Iran, Asia centrale, Golfo Persico, Nord Africa e Tanzania, riconoscono come fonti il Corano, la Sunna e l'opinione indiscussa dell{{'}}''Imam''. * '''Kharigiti:''' Diffusi in Oman, Tunisia, costa orientale dell'Africa. Ritengono che il Corano sia stato creato e che pertanto non è immutabile. Hanno fatto discutere, negli ultimi anni, gli studi di E. Said che criticano l'immagine di un Islam monolitico e che hanno portato gli studiosi a chiedersi se esiste un solo Islam o più Islam. Non esiste una risposta univoca e essa dipende soprattutto dall'informazioni che si voglio, di volta in volta, privilegiare. Se si interroga un teologo la sua risposta sarà che è un mondo omogeneo. Se si guardano le dinamiche odierne del diritto islamico, le diverse visioni dell'Islam, le varie scuole interpretative, le versioni nazionali e estere della ''Sharī'a'', si affermerà invece una visione "al plurale" dell'Islam. Secondo alcuni studiosi l'identità islamica è complessa e tardiva rispetto alle altre identità culturali. Si sarebbe sviluppato intorno al X sec. d.C. / IV secolo dell'Egira con il consolidarsi della Comunità dei credenti, la ''Umma'' e, principalmente per questa ragione, sarebbe tradizionalmente ricca e pluralista. == Il qādī e la giustizia == Il diritto islamico si regge sulla ''Umma'', la Comunità islamica. Nel VIII sec. d.C. / II secolo dell'Egira si cercò di creare attraverso la legislazione il diritto islamico unitario, ma il tentativo non ebbe successo ponendo di fatto fine anche al sogno di uno "Stato islamico". Una delle poche istituzioni formali del diritto islamico che si ritrova fin dalle sue origini è il giudice [''qādī''] la cui fonte di potere è la delega da parte del Califfo. Egli si forma nelle università coraniche ed è uomo di Dio. È sempre un giudice monocratico che può, tra l'altro, chiedere una consulenza a terzi i quali redigeranno una ''fatwā'' che è la risposta dei giurisperiti (''fuqahā'' sing. ''faqīh'') al quesito del giudice per accertare se una data fattispecie sia regolamentata dalla ''Sharī'a'' e in quale modalità applicare il disposto. In questo caso il ''faqīh'' viene chiamato ''Muftī'' ossia chiunque sia istruito e i cui sentimenti religiosi siano riconosciuti può emanare una ''fatwā''. Anche i privati e il governo possono richiedere una ''fatwā''. Il giudizio del ''qādī'' è inappellabile ed è privo di motivazioni. Non esiste un principio che vincoli il giudice al rispetto del precedente. == Il diritto dei paesi islamici == I contatti con il mondo occidentale hanno riattivato il dibattito circa la necessità di ammodernamento di un diritto, quale quello della ''Sharī'a'' che come abbiamo visto è immutabile. È chiaro che le reazioni a queste riflessioni sono state varie. Tra queste vanno segnalate quelle di ferma opposizione alla modernità come quelle del movimento wahhavita nell'Arabia centrale di scuola hanbalita e che prescrivono un ritorno alle fonti del Corano e della Sunna unica salvezza alla corruzione della modernità. Rigettano l'uso del ''qiyās'' (ragionamento analogico), della ''ra'y'' (opinione personale), diffidano del criterio ermeneutico dell{{'}}''istihsan'' (equità) e non ritengono l{{'}}''ijmā''' fonte del diritto. La loro fortuna è legata a quella della famiglia al-Sa'ud che nel corso del XX secolo procederà ad unificare e governare l'attuale Arabia Saudita. È impossibile poter trattare di tuttla la complessa storia del dibattito tra modernità e tradizione nell'Islam. Esemplificativamente si può tener conto quanto successo di recente ad opera di alcuni movimenti (detti "riformisti") che hanno acceso sicuramente il dibattito sull'immutabilità della ''Sharī'a'' dando vita a cottenti contrastanti: * '''Integralisti o Conservatori:''' Contrastano l'occidentalizzazione della società islamica. Tra essi si ricordino il movimento dei Fratelli Musulmani sorto con Hassan al-Bannā' (1906-1949) nel 1928 per promuovere la dignità e il riscatto dei lavoratori egiziani impegnati nella zona del Canale di Suez e attualmente ancora un movimento attivo in Egitto. * '''Riformisti:''' Guidati dall'intellettuale Muhammad 'Abduh (1849-19059 al Cairo nella moschea-università di Azhar che vogliono la riapertura della porta dello sforzo e ricominciare ad interpretare il diritto sciaritico attraverso i nuovi strumenti considerando non più vincolante l'imitazione (''taqlīd''). Forti sono state le resistenze della Comunità islamica a questo movimento. * '''Il c.d. "Islam politico":''' Con al vertice l'intellettuale pakistano al-Mawdūdīī (1903-1979) che ha elaborato un concetto di teo-democrazia. L'Islam è visto come universale ed comprende la sottomissione e la supremazia della Legge sacra. La Legge sacra non deriva dalla tradizione, ma dalle radici dell'Islam e proprio perché non è basata su consuetudini o tradizioni di alcun popolo in particolare è eternamente applicabile. Da essa ne deriva il sistema politico islamico che vede come regime universale il fondamento dell'uguaglianza tra le persone che attribuisce ad ciascuno diritti in egual misura e i cui principi sono universali. ''Umma'' non significa "nazione" in senso occidentale, ma "comunità" coesa sotto il profilo prima religioso e più giuridico. Questo pensiero, elevato in forma radicale, porta a considerare l'Islam come un'ideologia e pratica rivoluzionaria che punta a distruggere l'ordine sociale del mondo. La ''jihādh'' è quindi la lotta rivoluzionaria volta realizzare l'Islam in un paese. Tutte le teorie hanno un fondamento comune e che consiste nel fatto che tutte le riforme devono trovare come base l'insegnamento dell'Islam delle origini. È pur vero che già nel passato la dottrina islamica ha riconosciuto la possibilità che un'autorità legittimata possa, nel suo esercizio, creare regole imperative nuove. Tali regole vincolanti, pur non essendo ''Sharī'a'', sono conosciute come ''Siyāsa Shar'iyya''. Essi devono consistere in atti del governo caratterizzati dalla giustizia ed efficacia oltre che della conformità con la ''Sharī'a''. Inoltre, data la loro caratteristica di autonomia dal diritto rivelato e il fine che si prefiggono di amministrazione della cosa pubblica esse vanno rispettate da tutti (musulmani e non musulmani). A seconda delle scuole dell'Islam si disputa sul fatto che il ''qādī'' si o meno obbligato ad applicarle (secondo la scuola hanafita e sciafiita non vi è obbligo mentre la scuola malikita afferma la sua esistenza e anzi sta proprio al ''qādī'' applicarle). Storicamente la ''Siyāsa'' è stata sicuramente favorita dai Turchi ottomani che proprio attraverso di essa hanno potuto radicare la ''Sharī'a'' nel loro vasto impero. Proprio per creare una ''Siyāsa'' di supporto alla ''Sharī'a'' tra il 1826 e il 1878 l'impero ottamano diede inizio alle c.d. "riforme benefiche" [''Tanzimāt''] volte a creare un sistema di regole a tutela della vita, salute, proprietà dei sudditi, regole fiscali e per la riscossione equa delle imposte. Si riconosceva la libertà di culto e si imponeva di evitare espressioni di insulto verso i non musulmani. L'ammissione alle scuole e all'amministrazione pubblica diventava indipendente dalla religione di appartenenza. Si promulgò addirittura una Costituzione nel 1876, anche se fu quasi subito abrogata, ma che comunque segnava come si era spinto in là il ruolo autonomo del potere legislativo, e nel 1869-1876 il famoso ''Mağalla'' (Mecelle) che fu abrogato in Turchia nel 1926, ma in molti altri paesi del disciolto Impero ottomano rimase in vigore per molto altro tempo (si pensi ad Israele che l'ha abrogato solo nel 1984. Per quanto riguarda le riforme giudiziarie, esse già erano iniziate con il regime delle "Capitolazioni" (XV-XVI secolo d.C. fino al Trattato di pace di Losanna che concludeva l'esperienza dell'Impero ottomano). Esse erano accordi internazionali con cui i francesi assicuravano ai concittadini non musulmani che riesidevano in Medio Oriente per ragioni commerciali l'applicazione delle proprie leggi. Il regime delle capitolazioni si andò a mano a mano ad allargare e si estese ai rapporti tra europei e musulmani al punto che ci fu la creazione di tribunali misi (1874) che giudicavano queste controversie accanto ai tribunali sciaraitici. Le conseguenze che si rinvengono nel gioco dialettico tra tradizione e modernità, all'interno di questa tradizione giuridica riguardano: * L'intervento dello Stato nel dominio del diritto a base religiosa. * La recezione di modelli occidentali, soprattutto europei. Sia l'intervento statale che la recezione del diritto straniere sono state sicuramente due fonti di spinta, sin dal periodo coloniale, verso la modernizzazione e occidentalizzazione delle regole del diritto islamico. Si possono distinguere due fasi: quella coloniare o comunque di influenza politica occidentale e quella a seguito dell'Indipendenza dal dominio coloniale. Nella prima fase vengono adottati modelli sulla base di quelle delle democrazie europee quindi liberali o repubblicani a seconda dell'area di soggezione 8esempio inglese in Iraq, francese in Siria, talvolta si alternano nel medesimo paese) oppure il modello socialista (esempio in Algeria e Siria). È in questa fase che si cerca di adattare la nozione di "Stato-Nazione" in un contesto come quello islamico dove è chiaramente in conflitto con un diritto a base fortemente religiosa. La seconda fase ha invece inizio con l'Indipendenza e culmina con il c.d. "revivalismo islamico", marcato dal progressivo rifiuto dei modelli europei e occidentali: abbiamo la promulgazione di nuove Costituzioni (come in Egitto dove la ''Sharī'a'' diventa fonte principale del diritto o in Iran a seguito della vittoria islamica del 1979), viene introdotto il controllo accentrato di costituzionalità delle leggi accentrato (ispirato al modello francese negli anni 70' in Algeria, Libano, Marocco o austriaco a seconda delle aree di influenza) o diffuso (per via giurisprudenzale dal 1948 successivamente in Yemen, Kuwait), vengono infine istituite corti d'appello e di cassazione e il giudice monocratico lascia il posto al giudice collegiale. Viene toccata anche l'area del diritto penale dove vengono legiferate le aree di reati doce la scelta della pena spetta al giudice. Ma viene toccato anche l'area del diritto commerciale e civile dove il legislatore si basa su modelli occidentali. Tre sono i modelli principali di occidentalizzazione del diritto privato nell'area islamica: * Il primo prototipo di potere islamico che usa a strumenti giuridici occidentali fu l'Impero turco. Gli ottomani imitarono i francesi sotto due profili: 1) con l'adozione di un sistema dualista che divideva il diritto commerciale dal civile e 2) con il Mecelle che consolidava le norme di diritto musulmano hanafita (la scuola sunnita meno conservatrice) un po' come avvenne con il Code Napoleonico. L'ordine seguito era quello del ''fiqh'', ma le norme, a differenza della tradizione islamica che voleva l'esposizione casistica, in questo caso sono generali e astratte sotto forma di articoli (oltre 1800). * Un secondo esempio di occidentalizzazione è dato dall'Egitto che mosso dai frequenti rapporti commerciali con gli europei ha adottato un codice "misto" su modello francese (si pensi alla previsione di due codificazioni diverse tra diritto privato e commerciale). Non venivano comunque regolate le materie di diritto di famiglia e successorio ossia attinenti allo status delle persone. Nel 1949 subentrava un nuovo codice che era applicato anche ai rapporti fra egiziani. I modelli in questo caso erano italiano, belga e anglo-indiano. Questo testo di 1149 articoli è stato considerato davvero un vero e proprio codice arabo che ha consacrato il diritto islamico quale fonte formale del diritto egiziano ed è stato adottato anche in Siria, Iraq, Libia, Somalia, Algeria, Giordania e Kuwait. * Un terzo esempio è quello sviluppato nei due protettorati francesi del Maghreb: Tunisia e Marocco. Essi hanno regolato in un codice solo obbligazioni e contratti. La consolidazione Santillana, dal nome del giurista David Santillana (1855-1931), prodotta in francese recepiva l nozioni della scuola sunnita malikita (più conservatrice) ed era organizzata nello schema romanistico. Entrò in vigore in Tunisia nel 1906 e fu recepito in Marocco nel 1913. Le successive traduzioni in arabo avrebbero creato nei due paesi due versioni differenti di regole. La due consolidazioni sono state modificate una volta raggiunta l'Indipendenza (Tunisia e Marocco nel 1956). Così ad inizio XX secolo d.C. al ''qādī'' spettavano solo le questioni attinenti allo statuto personale del musulmano. Tuttavia anche questo ambito (diritto delle persone, della famiglia, e delle successioni) non tarderà ad essere coinvolto dallo slancio riformista del legislatore. Dal secondo dopo guerra infatti sono molti i paesi dove il potere politico ha codificato il diritto islamico di famiglia (esempio Tunisia, Marocco, Algeria, non in Egitto dove si è preferito adottare una serie di leggi in materia di statuto personale e di norme processuali in materia di diritto di famiglia). Il legislatore, come abbiamo visto, quindi, anche in questi paesi assume sempre più un ruolo crescente fondamentale. Un diritto creato dall'uomo si riscontra anche nei paesi islamici. Tuttavia esso dovrà sempre confrontarsi con la persistente presenza della ''Sharī'a''. Le regole del codice dovranno cedere a quelle della tradizione. Spetterà sempre all'interprete mediare fra tradizione e modernità. faf7cc9jwmqc7box4juwu26l205ftwi 0 19050 286469 280359 2026-08-18T20:12:02Z Avemundi 2081 Revisione (I parte) 286469 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Grammatica italiana per le superiori 2|materia2=Prova d'Italiano dell'Esame di Stato|avanzamento=100%}} L{{'}}'''analisi''' e il '''commento''' del testo rappresentano una classica attività scolastica volta a descrivere e a spiegare analiticamente un testo e a formulare e argomentare con un'interpretazione critica il testo con informazioni già conosciute dallo studente. Nell'analisi quindi si utilizza il testo descrittivo e informativo-espositivo, mentre nel commento il testo argomentativo. Solitamente i testi soggetti a queste operazioni sono letterari (in poesia o in prosa), ma si possono anche usare testi non letterari. Nella pratica scolastica essa viene utilizzata come esercitazione orale o scritta e inoltre è presente come tipologia A nella Prima prova scritta dell'esame di Stato. In realtà essa simula la pratica reale della critica letteraria. Questa Forma di Scrittura prevede, come in altre forme testuali, anche qui uno svolgimento in tre fasi: '''prescrittura''', '''scrittura''' e '''postscrittura'''. == Prescrittura == Nella fase di prescrittura sono svolte tutte quelle operazioni volte alla lettura e comprensione del Testo. Prima di tutto va svolta una lettura orientativa, scorrendo il Testo e se si tratta di una prova di verifica simile alla tipologia A dell'esame di Stato vanno letti attentamente i quesiti allegati al testo. Dopo di che va svolta una lettura analitica (di approfondimento) e comprensione letterale del testo, in modo da identificare l'argomento principale e quelli secondari, Verificando anche il significato delle parole (usando eventualmente il dizionario) e "smontando" il testo in "blocchi di testo" (le strofe se una poesia, le sequenze se è un testo narrativo). Infine va riletto il testo nella sua interezza per verificare la comprensione letteraria. La consegna può richiedere che si svolga la '''parafrasi''' della poesia o il '''riassunto''' del testo narrativo in esame. In realtà, anche se non richiesta, almeno la parafrasi andrebbe comunque svolta, perché fondamentale per comprendere il contenuto reale della poesia. Ugualmente se non richiesto il riassunto è sempre bene fare una piccola sintesi del testo da analizzare. Se si utilizzano programmi informatici si possono usare gli strumenti che il computer e questi programmi (in primis ''Word'' e ''Excel'') offrono come il comando "Conteggia Parole" in "Strumenti" per contare le parole in cui si compone l'analisi, oppure selezionare le parole chiave in grassetto o con altre forme (ad esempio in colore), oppure usare per la parafrasi una tabella a due colonne, in cui in una posizionare il testo originale e nella seconda la parafrasi, oppure per il riassunto usare il comando "Sunto Automatico" nel menu "Strumenti". A queste operazioni si possono aggiungere anche altre operazioni da svolgere in realtà anche durante la fase dell'analisi vera e propria. Queste operazioni sono la '''raccolta di documentazione''', l{{'}}'''ideazione del commento''' e l{{'}}'''elaborazione della scaletta'''. Per la raccolta della documentazione si possono rileggere le informazioni contenute nei libri di testo o su qualsiasi altro supporto (come Internet), ma, se ciò non è consentito, si dovrà far ricorso alla propria memoria. In entrambi i casi le informazioni raccolte dovranno riguardare il '''contesto storico''', a che corrente o movimento letterario si rifà l'autore dell'opera, le '''caratteristiche linguistiche e stilistiche''' e infine la '''posizione ideologica''' e '''estetica''' dell'autore in confronto ad altri autori dello stesso movimento, riconoscendone i caratteri della teoria generale (di tipo filosofico, morale, storico, scientifico, ecc.) sotteso al testo. Va scelto poi un criterio di selezione e classificazione dei documenti scelti (se si usa il computer si può usare per la classificazione una cartella di ''Excel'' o una tabella di ''Word''). Per l{{'}}ideazione del commento è consigliabile iniziare a farlo durante la fase di analisi, prendendo appunti (su un foglio ampio se si scrive a mano o su un apposito file se si usa il computer) sulle osservazioni e sulle opinioni personali che a mano a mano vengono, eventualmente organizzandole in modo logico attraverso l'uso anche di forme schematiche. Va con questi dati elaborata un{{'}}'''interpretazione''', eventualmente usando anche i pareri di altri in toto o in parte, solitamente riportati sui libri di testo, riflettendo principalmente sulla '''personalità''' psicologica dell'autore, la sua formazione culturale e il suo sistema di pensiero, analizzando anche del suo rapporto con le vicende storiche e confrontandolo con le manifestazioni culturale coeve o non e in altri ambiti (ad esempio artistico, musicale) ecc.. Va espresso anche un giudizio argomentato sull'efficacia dei mezzi linguistici e stilistici e va infine riflettuto sulle intenzioni dell'autore e sul messaggio che vuole trasmettere, esprimendo la propria opinione al riguardo. Per l'elaborazione della scaletta, in ultimo, cioè uno schema che guida come strutturare la stesura del Testo, dipende se la consegna contiene dei quesiti, e in questo caso essa va strutturata tenendo conto della sequenza dei quesiti, oppure non contiene quesiti, in questo caso si è liberi di scegliere come meglio si crede la struttura del proprio testo. In caso di consegna con quesiti si deve strutturare la scaletta in punti corrispondenti alla "macroarticolazione" dei quesiti, ad esempio articolandolo in tre parti: 1. Lettura e comprensione complessiva, 2. Analisi e commento del testo e 3. Approfondimento. Si deve fare un elenco numerato dei punti principali in cui sono suddivisi i quesiti. Se il primo quesito richiede la parafrasi o il riassunto o un'operazione simile va solo segnalato nella scaletta, ma non va ancora svolta. Per l'analisi del testo va eseguita secondo i vari livelli di analisi richiesti. Per il commento, infine, va posta in rilievo la propria tesi interpretativa, argomentandola (traendo spunto dall'analisi del testo e dalla documentazione raccolta). == Analisi del testo == Fatta la fase di lettura e comprensione del testo nella fase di prescrittura, si può passare all'analisi vera e propria del testo, che è l'operazione più corposa in questa tipologia testuale ed è parzialmente diversa tra testo letterario in '''poesia''' e testo letterario in '''prosa'''. === Analisi del testo poetico === Il testo poetico solitamente si analizza per "'''livelli'''" che sono quegli aspetti ed elementi che caratterizzano il testo poetico e lo differenziano dagli altri testi. I principali livelli di analisi sono '''strutturale''', '''lessicale''', '''sintattico''', '''metrico''', '''fonico''' e '''retorico''', i quali sono tutti importanti, ma non per questo vanno per forza tutti approfonditi in modo esauriente. Si possono scegliere i livelli che si ritiene, per propria convinzione, più importanti da analizzare, oppure tenendo conto della consegna che è stata data, oppure compiere l'analisi tra più livelli contemporaneamente. Analizziamo ora i singoli livelli. ==== Livello strutturale ==== Il livello strutturale analizza la disposizione dei temi nel testo. Esistono varii tipi di struttura di un testo poetico: * '''Lineare:''' In cui i temi si susseguono in maniere progressiva ordinata, anche se con diversa ampiezza. * '''A elementi paralleli:''' In cui uno o più temi si ripetono, con eventuali variazioni, nel medesimo ordine. * '''Circolare:''' In cui il tema iniziale della poesia torna nel finale dopo una serie di altri temi. * '''A intreccio:''' In cui vari temi sono distribuiti nel testo in ordine sparso o con apparente disordine. * '''A chiasmo:''' In cui due coppie di temi sono incrociate. Preliminarmente quindi va individuato il tipo di struttura, in base ad essa poi va riconosciuta la corrispondenza con il significato che i temi assumono nel discorso del poeta e inoltre va rilevata la corrispondenza con gli altri livelli di analisi. ==== Livello lessicale ==== Il livello lessicale analizza la scelta delle parole effettuata dal poeta, facendo particolare attenzione al: * '''Registro linguistico:''' Se è aulico, letterario oppure quotidiano, familiare, dialettico. Se è plurilinguistico oppure monolinguistico, ecc. * '''Utilizzo di parole chiave:''' Che possono essere poste in determinati punti del testo e che "aprono le porte" al significato più recondito del testo. * '''Aree semantiche:''' Cioè quelle parole che fanno parte del medesimo ambito di significato che fungono da "spie" anch'esse degli intendimenti del poeta. Bisogna quindi per prima cosa individuare il registro linguistico, per poi individuare il significato delle parole eventualmente aiutandosi con un vocabolario. Individuare anche le aree semantiche e le parole chiave e la loro collocazione nel testo. Infine vanno riconosciute anche le '''particolarità lessicali''' come dialettismi, latinismi, arcaismi, neologismi, termini gergali, specialistici, ecc. ==== Livello sintattico ==== Il livello sintattico analizza il legame sintattico tra le parole nella frase, l'ampiezza dei periodi e se sono in prevalenza coordinati (paratassi) o subordinati (ipotassi), le eventuali ellissi del verbo, la presenza di frasi nominali, la particolare collocazione delle parti del discorso in una proposizione e la funzione delle parti nominali. Per compiere questa analisi bisogna svolgere sia un{{'}}'''analisi del periodo''' rilevando l'ampiezza del periodo e se sono in prevalenza in struttura paratattica o ipotattica, in polisindeto o asindeto, e i tipi di subordinata, e un{{'}}''analisi logica''' analizzando la disposizione delle parole. Infine vanno messe in relazione le soluzioni sintattiche con il significato tematico e con gli altri livelli (ad esempio con quello strutturale). ==== Livello metrico ==== Il livello metrico analizza le scelte metriche del poeta. Varie sono le '''tipologie''' di testo, di cui i più importanti diffusi in letteratura italiana sono: * '''Sonetto:''' Formato da due quartine e due terzine di endecasillabi, generalmente in sillabe. È tipico dell'antichissima tradizione, ma è usato ancora nel Novecento. * '''Ballata:''' Formata da strofe dette "stanze" con la ripresa o ritornello in genere di tre o quattro versi che si alterna con endecasillabi e settenari secondo schemi liberi. * '''Canzone:''' Formata dall'alternanza di endecasillabi e settenari ed una serie di stanze ciascuna costituita da una "fronte" e da una "sirma" collegata ad un verso detto "chiave". * '''Madrigale:''' Formato da un breve componimento musicabile, in endecasillabi a schema metrico variabile, sul modello delle stanze di ballata. Analizza anche i versi, i cui più diffusi sono l'endecasillabo e il settenario, oppure il verso libero (tipico della poesia contemporanea). Analizza anche le '''Rime''' che possono essere baciate (AA BB), alternate (a coppie alternate secondo lo Schema AB AB), incrociate (AB BA), incatenate (soprattutto nelle terzine, secondo lo schema ABA BCB CDC) ecc.. Le rime possono essere interne; oppure ci possono essere assonanze. Analizza anche il ritmo della poesia, cioè la durata dei versi e la loro velocità, le pause (indicate dagli "a capo" e dallo spazio bianco tra le strofe), la relazione tra l'articolazione metrica e la punteggiatura, tra le pause metriche e quelle sintattiche, ecc., con attenzione all{{'}}''enjambement'' che è la spezzatura di una frase o di un sintagma tra la fine di un verso e l'inizio del successivo. Analizza infine le '''figure retoriche di suono'''. Bisogna quindi descrivere le scelte''' in campo metrico, definendo il tipo di componimento e riconoscendo la lunghezza dei versi, lo schema delle rime, il ritmo, ecc. Bisogna interpretare le scelte dell'autore in relazione al significato della poesia oltre che al quadro della produzione del poeta e del contesto in cui opera. Infine vanno poste le osservazioni di livello metrico in relazione con gli altri livelli (sintattico, retorico, ecc.). ==== Livello fonico ==== Il livello fonico analizza il "'''suono'''" di un testo poetico. Tale suono (chiaro, cupo, stridente, aspro, ecc.) viene dall'utilizzo di talune parole che contengono determinate vocali o consonanti (Liquide come "l" e "r", sibilanti come "s", dentali come "t" e "d", nasali come "m" e "n" ecc.) oppure possono essere accentuate da alcune figure retoriche di suono (come allitterazione, onomatopea, assonanza, consonanza, ecc.). Spesso il suono può assumere anche un determinato valore simbolico e pertanto si parla di valore fonosimbolico che comunica al lettore o meglio "uditore" un'esperienza percettiva e il significato che essa assume per il poeta. Per compiere questa analisi vanno primariamente riconosciuti di vari suoni delle vocali e delle consonanti, dando una definizione generale del suono che si percepisce della poesia (chiaro, cupo, stridente, aspro, ecc.). Bisogna individuare anche eventuali figure retoriche di suono. Va poi rilevato l'eventuale valore simbolico di alcuni suoni e il loro significato, inoltre va riconosciuta la corrispondenza dell'utilizzo di alcune scelte fonetiche del poeta con il significato della poesia. Infine, vanno poste le osservazioni di livello fonico con altri livelli (ad esempio metrico o retorico). ==== Livello retorico ==== Il livello retorico analizza le '''scelte stilistiche''' e in particolare l'uso di figure retoriche. Le '''Figure Retoriche''' sono di: * '''Suono:''' come ** '''Allitterazione:''' è la ripetizione degli stessi suoni in parole vicine (ad esempio "Di me medesimo meco mi vergogno"). ** '''Onomatopea:''' è l'imitazione di suoni o rumori di fenomeni naturali (ad esempio "Bau Bau"). ** '''Paronomasia:''' è un gioco di parole che consiste nell'accostamento di parole dal suono simile, ma significato diverso (ad esempio "Ricci capricci"). ** '''Omoteleuto:''' è la disposizione ravvicinata di parole che terminano allo stesso modo (ad esempio dall{{'}}''Infinito'' di Leopardi "Ma sedendo e mirando"). * '''Parola:''' come: ** '''Anafora:''' è la ripetizione di una parola o gruppo di parole all'Inizio di proposizioni o versi (ad esempio in Dante "Per me si va per la città dolente, / per me si va ne l'eterno dolore, / per me si va tra la perduta gente"). ** '''Chiasmo:''' è la disposizione incrociata di quattro elementi (due coppie in cui il primo elemento della prima coppia corrisponde al secondo della seconda e viceversa a schema ABBA) collegati tra loro (ad esempio "Vizi privati, pubbliche virtù"). ** '''Iperbato:''' è l'interposizione di una o più parole tra due termini che, di norma o secondo il senso, dovrebbero stare congiunti (ad esempio "Il di lei fratello"). ** '''Poliptoto:''' è la ripetizione a distanza ravvicinata della medesima parola diversamente declinata o coniugata (ad esempio in Dante "Caddi come corpo morto cadde"). ** '''Climax (traslitterazione della parola greca che Significa "scala"):''' è la disposizione di una serie di parole secondo una gradualità crescente (climax ascendente) o decrescente (climax discendente o anticlimax) (ad esempio in Petrarca "O mia stella, o Fortuna, o Fato, o Morte"). ** '''Figura etimologica:''' è l'accostamento di due o più parole derivanti dalla medesima radice (ad esempio in Dante "Sfiorata Fiore"). * '''Grammaticali:''' come: ** '''Anacoluto:''' è una costruzione sintattica con un grave errore di concordanza (ad esempio "Il suo discorso sono tutte invenzioni"). ** '''Asindeto:''' è l'assenza di congiunzioni tra parole o frasi strettamente vorrelate (ad esempio "Era immobile, pallido, distrutto"). ** '''Aferesi:''' è la caduta della vocale o della sillaba iniziale di una parola (ad esempio "Vero" per "Inverno"). ** '''Apocope:''' è la caduta della vocale finale di una parola (ad esempio "Amor" per "Amore"). ** '''Sincope:''' è la caduta di uno o più fonemi all'interno di una parola (ad esempio "Vienmi" per "Vienimi"). * '''Significato:''' vanno aggiunte alle precedenti e non agiscono sull'aspetto esterno della parola (il cosiddetto "significante"), ma sul significato stesso. Tra queste si ricordano: ** '''Sinestesia:''' è l'associazione di termini che si riferiscono a sfere sensoriali diverse (ad esempio in Quasimodo "Urlo nero"). ** '''Ossimoro:''' è l'accostamento intenzionale di parole di significato antitetico (ad esempio "Lucida Follia"). ** '''Similitudine:''' è il paragone tra una cosa e un'altra più nota o più evidente (ad esempio "La giovinezza è come una rosa che sta sbocciando"). ** '''Metafora:''' è il trasferimento di significato di una parola dal senso proprio a un altro figurato che abbia con il primo un rapporto di somiglianza (ad esempio"Sei un Leone"). ** '''Metonimia:''' è la sostituzione di una parola con un'altra che esprime un concetto vicino o dipendente dal primo, ad esempio una causa per effetto, astratto per concreto, contenente per contenuto ecc. (ad esempio "Un Picasso" per indicare un quadro di Picasso). ** '''Sineddoche:''' è la sostituzione di una parola con un'altra che ha con la prima una relazione di qualità (frequentemente è la sostituzione di una parte per il tutto "Il mare è pieno di vele" invece di "Il mare è pieno di barche a vela"). ** '''Iperbole:''' è l'amplificazione, per eccesso o per difetto, di un'immagine o di un concetto, oltre i limiti del verosimile (ad esempio "È un secolo che aspetto"). ** '''Perifrasi:''' è l'espressione costituita da più vocaboli al posto di un solo termine (ad esempio in Dante "L'amore che muove il sole e l'altre stelle" per Indicare "Dio"). ** '''Antitesi:''' è l'accostamento di parole o frasi di significato opposto (ad esempio in Petrarca "E ardo e son di ghiaccio"). ** '''Litote:''' è la negazione di un concetto per esprimere il suo contrario (ad esempio in Manzoni "Don Abbondio non era nato con un cuor di leone") ** '''Aposiopesi''' è la reticenza a esprimere esplicitamente un concetto (ad esempio in Manzoni "Verrà un giorno..."). Bisogna, quindi, individuare le figure retoriche. Se necessario, consultare un manuale di stilistica e retorica. Bisogna poi distinguere tra i vari tipi di figure retoriche (di suono, di parola, grammaticali, di significato) e analizzare in modo particolare le figure retoriche di significato. Infine vanno poste in relazione le osservazioni di livello retorico con gli altri livelli. === Analisi del testo narrativo === Il testo narrativo racconta una storia, reale o immaginaria, sviluppata in una serie di azioni significative, collocate nel tempo e nello spazio e svolta da uno o più personaggi. Nonostante le diverse tipologie (romanzi, novelle, racconti, ecc.) presentano alcune caratteristiche comuno che vengono studiate dagli studi di '''narratologia'''. ==== ''Fabula''' e intreccio, schema narrativo e sequenze ==== Prima di tutto nell'analisi va tenuta distinta la '''''fabula''''' (o storia), che è lo svolgimento degli avvenimenti nel normale ordine cronologico, dall{{'}}'''intreccio''' che è l'ordine che a tali avvenimenti dà l'autore. Vi è poi lo '''schema narrativo''', che tradizionalmente è sempre lo stesso nei vari romanzi ed è composto da una situazione iniziale di equilibrio ('''esordio''') rotta da un evento che turba l'equilibrio. Fanno seguito varie '''peripezie''', che arrivano ad un momento clou che è lo '''Spannung''': alla fine la situazione volge ad una conclusione che ristabilisce l'equilibrio, detto '''scioglimento''', che non per forza è positivo. Il testo è solitamente diviso in '''sequenze''', cioè segmenti narrativi con contenuto unitario, che possono essere sia sequenze di ''fabula'' che raccontano lo svolgimento della storia, sia sequenze di intreccio, aggiunte dall'autore per con elementi in aggiunta alla ''fabula'' o anche inutili per essa. Le sequenze possono anche essere differenziate tra sequenze dinamiche, che cioè fanno scorrere la storia, e sequenze statiche, le quali bloccano lo svolgimento della storia per descrizioni, spiegazioni, argomentazioni, esprimere riflessioni ecc.. Nell'analisi bisogna riassumere la ''fabula'' e l'intreccio, evidenziando differenze e discordanze. Va poi individuato nel testo lo schema narrativo tradizionale e se l'autore si discosta da esso individuate le modalità utilizzate dall'autore. Infine vanno identificate le sequenze, distinguendole tra sequenze di ''fabula'' e di Intreccio e identificando anche la tipologia delle stesse. ==== Personaggi ==== I '''Personaggi''' del testo possono essere reali o immaginari. In base al '''ruolo''' si distingue: * '''Protagonista:''' è la figura principale, al centro dell'azione. * '''Antagonista:''' è la figura che contrasta l'azione del protagonista. * '''Oggetto:''' è il personaggio oggetto dell'interesse del protagonista. * '''Aiutante:''' è la figura che agevola il protagonista o l'antagonista. * '''Figure Secondarie:''' e le comparse. I personaggi possono essere dall'autore caratterizzati fisicamente, psicologicamente e caratterialmente con descrizioni "'''a piatto'''", cioè schematizzata in pochi tratti ripetitivi, o "'''a tutto tondo'''" cioè in modo complesso, aperto a possibili mutamenti ed evoluzioni. La relazione tra i personaggi può dar vita ad un ''sistema dei personaggi'', dove ognuno ha senso in relazione con gli altri. Per l'analisi vanno identificati i ruoli dei personaggi principali, descrivendone la caratterizzazione (fisica, psicologica, ideologica, sociale, culturale, ecc.), riconoscendo i personaggi "a piatto" o "a tutto tondo". Infine si può cercare di ricostruire nel testo narrativo analizzato un sistema dei personaggi. ==== Tempo e spazio, invenzione e realtà ==== L'analisi riguarda anche tempo, spazio e invenzione e realtà. Con riguardo al tempo bisogna distinguere tra: * '''Tempo della storia:''' è il tempo in cui si svolgono i fatti narrati. * '''Tempo del discorso:''' è il tempo in cui parla il narratore. I rapporti tra questi due tempi possono variare per ordine e durata: * L{{'}}'''ordine''' di successione degli avvenimenti nel discorso può coincidere o meno con la storia. Ci possono essere '''anticipazioni''' o "prolessi" oppure '''ritorni indietro''' (Flash-Back o "analessi"). * La '''durata''' degli avvenimenti può coincidere in intreccio e ''fabula'' oppure rallentare o accelerare il tempo narrativo rispetto a quello reale (velocità narrativa) o sospendersi, dando luogo a ellissi narrative. Lo spazio può assumere valore '''oggettivo''' (come nei romanzi naturalisti o veristi) o '''simbolico''' (come nella ''Divina Commedia'' di Dante). Può avere sia mero intento di sfondo sia interferire con la storia giocando anche un ruolo determinante. Inoltre può essere sia unitario sia variare nel corso della storia. Infine, per le invenzioni e realtà si intende il rapporto creato dall'autore tra la sua invenzione artistica e l'esperienza reale, che può esprimersi in modi diversi, ad esempio: * Rispecchiare realisticamente le situazioni vere (tipico dei romanzi veristi e naturalistici). * Deformare grottescamente o caricaturalmente la realtà (come nelle Malebolge dell{{'}}''Inferno''' dantesco). * Inventare dei mondi fantastici o inverosimili (ad esempio nel ''Signore degli Anelli'' di Tolkien). Per compiere l'analisi bisogna per il tempo individuare il rapporto tra il tempo della ''fabula'' e dell'intreccio descrivendo l'ordine di successione degli avvenimenti, rintracciando eventuali prolessi o flash-back o ellissi narrative e indicando la durata degli avvenimenti e la loro velocità. Per lo spazio ci si Deve Chiedere in che Spazio è '''Ambientata''' l'Opera Narrativa e in quale Rapporto stia l'Ambientazione con la Vicenda Narrata. Per l' '''Invenzione e Realtà''' va Definito il Rapporto tra le stesse se sia Realistico, Grottesco, Caricaturale, Fantastico, ecc.. ==== Narratore, Punto di Vista, Tecniche Narrative ==== L'Analisi riguarda anche '''Narratore''', '''Punto di Vista''' e '''Tecniche Narrative'''. Il '''Narratore''', che è colui che narra la Storia, può essere: * '''Assente:''' Se è Assente dalla Storia (come nei ''Promessi Sposi'') in questo caso il Tipo di Racconto è detto "Eterodiegetico". * '''Presente:''' Cioè un Personaggio della Storia in questo caso il Tipo di Racconto è detto "Omodiegetico". * '''Esterno e Onnisciente:''' Quando è Esterno al Racconto e Conosce Tutto della Materia Narrate i Suoi Precedenti e i Suoi Sviluppi Giudicandoli in una Posizione Superiore. * '''Interno:''' Quando è Calato in Tanti Punti di Vista e Livelli di Conoscenza dei Fatti Quanti sono i Personaggi. Il '''Punto di Vista''' o '''Focalizzazione''' è la Prospettiva Scelta dal Narratore per Raccontare una Storia ed Esprimere il Suo Livello di Conoscenza delle Vicende Narrate. Può essere di Tre Tipi: * '''Focalizzazione Zero:''' Il Narratore è Onnisciente e Conosce Tutto della Storia sia del Suo Sviluppo sia gli Stati d'Animo dei Personaggi Esperimento Giudizi Ecc. * '''Focalizzazione Interna:''' Il Narratore si posizione nell'Angolo di Visuale di uno o più Personaggi e costruisce la Storia in base a ciò che apprende da essi. * '''Focalizzazione Esterna:''' Il Narratore si posizione all'Esterno della Storia, non conoscendo neppure gli aspetti fondamentali di essa, ma si "eclissa" limitandosi a Raccontare ciò che vede. Varie sono le '''Tecniche Narrative''' Usate per Esprimere la Voce e i Pensieri dei Personaggi: * '''Discorso Diretto (o "Scena" o "Citazione"):''' È Tipico della Focalizzazione Esterna ed è Introdotto solitamente da un Verbo Dichiarativo. * '''Discorso Diretto Libero:''' In cui è Omesso il Verbo Dichiarativo e le Parole dei Personaggi vengono Riferite Direttamente come in un Testo Teatrale. * '''Discorso Indiretto:''' È Tipico della Focalizzazione Zero ed è Introdotto da un Verbo Dichiarativo seguito da una Congiunzione Subordinativa e una sintesi di quanto è stato detto mitigata dal giudizio dell'Autore. * '''Discorso Indiretto Libero:''' È Tipico della Focalizzazione Interna ed in Questo Caso sono Omessi il Verbo Dichiarativo e la Congiunzione Subordinativa e il Discorso è svolto in modo Narrato Direttamente nel Testo Confondendosi con quanto Dice l'Autore Stesso. * '''Monologo Interiore:''' In cui un Personaggio Esprime i Suoi Pensieri ad Alta Voce o Mentalmente Senza Riorganizzarli in Sequenze Temporali e Logiche. * '''Flusso di Coscienza:''' In cui i Pensieri, Idee, Ricordi, Associazioni Mentali sono Riportati Così come si Presentano, Senza Alcuna Rielaborazione Razionale. L'Autore, poi, in Base al Contesto della Storia e le Caratteristiche Culturali e Sociali dei Personaggi sceglie il '''Registro Linguistico''' e '''Stilistico''' e questo può far variare le Scelte Sintattiche e Lessicali e l'Uso di Figure Retoriche. Per Svolgere l'Analisi bisogna per il '''Narratore''' Definire se è ''Assente''' o '''Presente'', '''Interno''' o '''Esterno'''. Per il '''Punto di Vista''' Va Definito il Tipo di '''Focalizzazione''' scelto dall'Autore. Per le '''Tecniche Narrativo''' Vanno Riconosciute se vi sono una o più '''Tecniche del Discorso'''. Infine per gli '''Usi Linguistici o Stilistici''' Vanno Analizzate le Scelte '''Sintattiche''', '''Lessicali''', '''Retoriche''' dell'Autore. == Scrittura e Post Scrittura == Nello svolgere la Fase di '''Scrittura''' bisogna tener conto che bisogna trascrivere, se richiesta, la '''Parafrasi''' o il '''Riassunto'''. Va risposto anche ai '''Quesiti''' che eventualmente sono proposti fornendo Risposte descrittive se è una '''Analisi''', Risposte '''Argomentative''' se è un '''Commento''' e '''Approfondimento'''. Se il Quesito è semplice bisogna rispondere in modo '''Sintetico''', se è '''Complesso''' invece bisogna sviluppare un "'''Mini-Saggio'''". Se si fanno '''Citazioni''' essi vanno messe tra virgolette. Bisogna inoltre usare un '''Registro Linguistico''' piuttosto Formale. Se si vuole si può inserire allo Svolgimento una '''Introduzione''' Iniziale in cui dare Brevi Informazioni Generali su Autore e Opera, Anno e Circostanze Storiche di Composizione, il Rapporto con le Altre Opere dell'Autore e tutto gli Altri Dati di Inquadramento Storico, Filosofico, Letterario, ecc. oppure può aggiungere una '''Conclusione''' Finale in cui ribadire il Giudizio sul Testo. In ultimo si compie la Fase di '''Postscrittura''' che comprendere la Rilettura, la Correzione, la Copiatura, la Presentazione Grafica e la Rilettura Conclusiva Tipica a Tutti i Testi Letterari. == Collegamenti esterni == *[http://www.oilproject.org/lezione/maturita-come-si-fa-analisi-del-testo-poetico-narrativo-7229.html Esempio sul sito Oilproject.org]. <small>URL consultato il</small> *[http://dida.orizzontescuola.it/news/esercitazione-sullanalisi-del-testo-gli-esami-di-stato-un-brano-di-verga Esercitazione sull'analisi del testo (''OSDidattica - Un blog di Orizzontescuola.it'')]. <small>URL consultato il</small> qbcwnhr605yqjns9bgzqqh8z8syr8gk 286470 286469 2026-08-19T02:09:40Z Avemundi 2081 Revisione 286470 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Grammatica italiana per le superiori 2|materia2=Prova d'Italiano dell'Esame di Stato|avanzamento=100%}} L{{'}}'''analisi''' e il '''commento''' del testo rappresentano una classica attività scolastica volta a descrivere e a spiegare analiticamente un testo e a formulare e argomentare con un'interpretazione critica il testo con informazioni già conosciute dallo studente. Nell'analisi quindi si utilizza il testo descrittivo e informativo-espositivo, mentre nel commento il testo argomentativo. Solitamente i testi soggetti a queste operazioni sono letterari (in poesia o in prosa), ma si possono anche usare testi non letterari. Nella pratica scolastica essa viene utilizzata come esercitazione orale o scritta e inoltre è presente come tipologia A nella Prima prova scritta dell'esame di Stato. In realtà essa simula la pratica reale della critica letteraria. Questa Forma di Scrittura prevede, come in altre forme testuali, anche qui uno svolgimento in tre fasi: '''prescrittura''', '''scrittura''' e '''postscrittura'''. == Prescrittura == Nella fase di prescrittura sono svolte tutte quelle operazioni volte alla lettura e comprensione del Testo. Prima di tutto va svolta una lettura orientativa, scorrendo il Testo e se si tratta di una prova di verifica simile alla tipologia A dell'esame di Stato vanno letti attentamente i quesiti allegati al testo. Dopo di che va svolta una lettura analitica (di approfondimento) e comprensione letterale del testo, in modo da identificare l'argomento principale e quelli secondari, Verificando anche il significato delle parole (usando eventualmente il dizionario) e "smontando" il testo in "blocchi di testo" (le strofe se una poesia, le sequenze se è un testo narrativo). Infine va riletto il testo nella sua interezza per verificare la comprensione letteraria. La consegna può richiedere che si svolga la '''parafrasi''' della poesia o il '''riassunto''' del testo narrativo in esame. In realtà, anche se non richiesta, almeno la parafrasi andrebbe comunque svolta, perché fondamentale per comprendere il contenuto reale della poesia. Ugualmente se non richiesto il riassunto è sempre bene fare una piccola sintesi del testo da analizzare. Se si utilizzano programmi informatici si possono usare gli strumenti che il computer e questi programmi (in primis ''Word'' e ''Excel'') offrono come il comando "Conteggia Parole" in "Strumenti" per contare le parole in cui si compone l'analisi, oppure selezionare le parole chiave in grassetto o con altre forme (ad esempio in colore), oppure usare per la parafrasi una tabella a due colonne, in cui in una posizionare il testo originale e nella seconda la parafrasi, oppure per il riassunto usare il comando "Sunto Automatico" nel menu "Strumenti". A queste operazioni si possono aggiungere anche altre operazioni da svolgere in realtà anche durante la fase dell'analisi vera e propria. Queste operazioni sono la '''raccolta di documentazione''', l{{'}}'''ideazione del commento''' e l{{'}}'''elaborazione della scaletta'''. Per la raccolta della documentazione si possono rileggere le informazioni contenute nei libri di testo o su qualsiasi altro supporto (come Internet), ma, se ciò non è consentito, si dovrà far ricorso alla propria memoria. In entrambi i casi le informazioni raccolte dovranno riguardare il '''contesto storico''', a che corrente o movimento letterario si rifà l'autore dell'opera, le '''caratteristiche linguistiche e stilistiche''' e infine la '''posizione ideologica''' e '''estetica''' dell'autore in confronto ad altri autori dello stesso movimento, riconoscendone i caratteri della teoria generale (di tipo filosofico, morale, storico, scientifico, ecc.) sotteso al testo. Va scelto poi un criterio di selezione e classificazione dei documenti scelti (se si usa il computer si può usare per la classificazione una cartella di ''Excel'' o una tabella di ''Word''). Per l{{'}}ideazione del commento è consigliabile iniziare a farlo durante la fase di analisi, prendendo appunti (su un foglio ampio se si scrive a mano o su un apposito file se si usa il computer) sulle osservazioni e sulle opinioni personali che a mano a mano vengono, eventualmente organizzandole in modo logico attraverso l'uso anche di forme schematiche. Va con questi dati elaborata un{{'}}'''interpretazione''', eventualmente usando anche i pareri di altri in toto o in parte, solitamente riportati sui libri di testo, riflettendo principalmente sulla '''personalità''' psicologica dell'autore, la sua formazione culturale e il suo sistema di pensiero, analizzando anche del suo rapporto con le vicende storiche e confrontandolo con le manifestazioni culturale coeve o non e in altri ambiti (ad esempio artistico, musicale) ecc.. Va espresso anche un giudizio argomentato sull'efficacia dei mezzi linguistici e stilistici e va infine riflettuto sulle intenzioni dell'autore e sul messaggio che vuole trasmettere, esprimendo la propria opinione al riguardo. Per l'elaborazione della scaletta, in ultimo, cioè uno schema che guida come strutturare la stesura del Testo, dipende se la consegna contiene dei quesiti, e in questo caso essa va strutturata tenendo conto della sequenza dei quesiti, oppure non contiene quesiti, in questo caso si è liberi di scegliere come meglio si crede la struttura del proprio testo. In caso di consegna con quesiti si deve strutturare la scaletta in punti corrispondenti alla "macroarticolazione" dei quesiti, ad esempio articolandolo in tre parti: 1. Lettura e comprensione complessiva, 2. Analisi e commento del testo e 3. Approfondimento. Si deve fare un elenco numerato dei punti principali in cui sono suddivisi i quesiti. Se il primo quesito richiede la parafrasi o il riassunto o un'operazione simile va solo segnalato nella scaletta, ma non va ancora svolta. Per l'analisi del testo va eseguita secondo i vari livelli di analisi richiesti. Per il commento, infine, va posta in rilievo la propria tesi interpretativa, argomentandola (traendo spunto dall'analisi del testo e dalla documentazione raccolta). == Analisi del testo == Fatta la fase di lettura e comprensione del testo nella fase di prescrittura, si può passare all'analisi vera e propria del testo, che è l'operazione più corposa in questa tipologia testuale ed è parzialmente diversa tra testo letterario in '''poesia''' e testo letterario in '''prosa'''. === Analisi del testo poetico === Il testo poetico solitamente si analizza per "'''livelli'''" che sono quegli aspetti ed elementi che caratterizzano il testo poetico e lo differenziano dagli altri testi. I principali livelli di analisi sono '''strutturale''', '''lessicale''', '''sintattico''', '''metrico''', '''fonico''' e '''retorico''', i quali sono tutti importanti, ma non per questo vanno per forza tutti approfonditi in modo esauriente. Si possono scegliere i livelli che si ritiene, per propria convinzione, più importanti da analizzare, oppure tenendo conto della consegna che è stata data, oppure compiere l'analisi tra più livelli contemporaneamente. Analizziamo ora i singoli livelli. ==== Livello strutturale ==== Il livello strutturale analizza la disposizione dei temi nel testo. Esistono varii tipi di struttura di un testo poetico: * '''Lineare:''' In cui i temi si susseguono in maniere progressiva ordinata, anche se con diversa ampiezza. * '''A elementi paralleli:''' In cui uno o più temi si ripetono, con eventuali variazioni, nel medesimo ordine. * '''Circolare:''' In cui il tema iniziale della poesia torna nel finale dopo una serie di altri temi. * '''A intreccio:''' In cui vari temi sono distribuiti nel testo in ordine sparso o con apparente disordine. * '''A chiasmo:''' In cui due coppie di temi sono incrociate. Preliminarmente quindi va individuato il tipo di struttura, in base ad essa poi va riconosciuta la corrispondenza con il significato che i temi assumono nel discorso del poeta e inoltre va rilevata la corrispondenza con gli altri livelli di analisi. ==== Livello lessicale ==== Il livello lessicale analizza la scelta delle parole effettuata dal poeta, facendo particolare attenzione al: * '''Registro linguistico:''' Se è aulico, letterario oppure quotidiano, familiare, dialettico. Se è plurilinguistico oppure monolinguistico, ecc. * '''Utilizzo di parole chiave:''' Che possono essere poste in determinati punti del testo e che "aprono le porte" al significato più recondito del testo. * '''Aree semantiche:''' Cioè quelle parole che fanno parte del medesimo ambito di significato che fungono da "spie" anch'esse degli intendimenti del poeta. Bisogna quindi per prima cosa individuare il registro linguistico, per poi individuare il significato delle parole eventualmente aiutandosi con un vocabolario. Individuare anche le aree semantiche e le parole chiave e la loro collocazione nel testo. Infine vanno riconosciute anche le '''particolarità lessicali''' come dialettismi, latinismi, arcaismi, neologismi, termini gergali, specialistici, ecc. ==== Livello sintattico ==== Il livello sintattico analizza il legame sintattico tra le parole nella frase, l'ampiezza dei periodi e se sono in prevalenza coordinati (paratassi) o subordinati (ipotassi), le eventuali ellissi del verbo, la presenza di frasi nominali, la particolare collocazione delle parti del discorso in una proposizione e la funzione delle parti nominali. Per compiere questa analisi bisogna svolgere sia un{{'}}'''analisi del periodo''' rilevando l'ampiezza del periodo e se sono in prevalenza in struttura paratattica o ipotattica, in polisindeto o asindeto, e i tipi di subordinata, e un{{'}}''analisi logica''' analizzando la disposizione delle parole. Infine vanno messe in relazione le soluzioni sintattiche con il significato tematico e con gli altri livelli (ad esempio con quello strutturale). ==== Livello metrico ==== Il livello metrico analizza le scelte metriche del poeta. Varie sono le '''tipologie''' di testo, di cui i più importanti diffusi in letteratura italiana sono: * '''Sonetto:''' Formato da due quartine e due terzine di endecasillabi, generalmente in sillabe. È tipico dell'antichissima tradizione, ma è usato ancora nel Novecento. * '''Ballata:''' Formata da strofe dette "stanze" con la ripresa o ritornello in genere di tre o quattro versi che si alterna con endecasillabi e settenari secondo schemi liberi. * '''Canzone:''' Formata dall'alternanza di endecasillabi e settenari ed una serie di stanze ciascuna costituita da una "fronte" e da una "sirma" collegata ad un verso detto "chiave". * '''Madrigale:''' Formato da un breve componimento musicabile, in endecasillabi a schema metrico variabile, sul modello delle stanze di ballata. Analizza anche i versi, i cui più diffusi sono l'endecasillabo e il settenario, oppure il verso libero (tipico della poesia contemporanea). Analizza anche le '''Rime''' che possono essere baciate (AA BB), alternate (a coppie alternate secondo lo Schema AB AB), incrociate (AB BA), incatenate (soprattutto nelle terzine, secondo lo schema ABA BCB CDC) ecc.. Le rime possono essere interne; oppure ci possono essere assonanze. Analizza anche il ritmo della poesia, cioè la durata dei versi e la loro velocità, le pause (indicate dagli "a capo" e dallo spazio bianco tra le strofe), la relazione tra l'articolazione metrica e la punteggiatura, tra le pause metriche e quelle sintattiche, ecc., con attenzione all{{'}}''enjambement'' che è la spezzatura di una frase o di un sintagma tra la fine di un verso e l'inizio del successivo. Analizza infine le '''figure retoriche di suono'''. Bisogna quindi descrivere le scelte''' in campo metrico, definendo il tipo di componimento e riconoscendo la lunghezza dei versi, lo schema delle rime, il ritmo, ecc. Bisogna interpretare le scelte dell'autore in relazione al significato della poesia oltre che al quadro della produzione del poeta e del contesto in cui opera. Infine vanno poste le osservazioni di livello metrico in relazione con gli altri livelli (sintattico, retorico, ecc.). ==== Livello fonico ==== Il livello fonico analizza il "'''suono'''" di un testo poetico. Tale suono (chiaro, cupo, stridente, aspro, ecc.) viene dall'utilizzo di talune parole che contengono determinate vocali o consonanti (Liquide come "l" e "r", sibilanti come "s", dentali come "t" e "d", nasali come "m" e "n" ecc.) oppure possono essere accentuate da alcune figure retoriche di suono (come allitterazione, onomatopea, assonanza, consonanza, ecc.). Spesso il suono può assumere anche un determinato valore simbolico e pertanto si parla di valore fonosimbolico che comunica al lettore o meglio "uditore" un'esperienza percettiva e il significato che essa assume per il poeta. Per compiere questa analisi vanno primariamente riconosciuti di vari suoni delle vocali e delle consonanti, dando una definizione generale del suono che si percepisce della poesia (chiaro, cupo, stridente, aspro, ecc.). Bisogna individuare anche eventuali figure retoriche di suono. Va poi rilevato l'eventuale valore simbolico di alcuni suoni e il loro significato, inoltre va riconosciuta la corrispondenza dell'utilizzo di alcune scelte fonetiche del poeta con il significato della poesia. Infine, vanno poste le osservazioni di livello fonico con altri livelli (ad esempio metrico o retorico). ==== Livello retorico ==== Il livello retorico analizza le '''scelte stilistiche''' e in particolare l'uso di figure retoriche. Le '''Figure Retoriche''' sono di: * '''Suono:''' come ** '''Allitterazione:''' è la ripetizione degli stessi suoni in parole vicine (ad esempio "Di me medesimo meco mi vergogno"). ** '''Onomatopea:''' è l'imitazione di suoni o rumori di fenomeni naturali (ad esempio "Bau Bau"). ** '''Paronomasia:''' è un gioco di parole che consiste nell'accostamento di parole dal suono simile, ma significato diverso (ad esempio "Ricci capricci"). ** '''Omoteleuto:''' è la disposizione ravvicinata di parole che terminano allo stesso modo (ad esempio dall{{'}}''Infinito'' di Leopardi "Ma sedendo e mirando"). * '''Parola:''' come: ** '''Anafora:''' è la ripetizione di una parola o gruppo di parole all'Inizio di proposizioni o versi (ad esempio in Dante "Per me si va per la città dolente, / per me si va ne l'eterno dolore, / per me si va tra la perduta gente"). ** '''Chiasmo:''' è la disposizione incrociata di quattro elementi (due coppie in cui il primo elemento della prima coppia corrisponde al secondo della seconda e viceversa a schema ABBA) collegati tra loro (ad esempio "Vizi privati, pubbliche virtù"). ** '''Iperbato:''' è l'interposizione di una o più parole tra due termini che, di norma o secondo il senso, dovrebbero stare congiunti (ad esempio "Il di lei fratello"). ** '''Poliptoto:''' è la ripetizione a distanza ravvicinata della medesima parola diversamente declinata o coniugata (ad esempio in Dante "Caddi come corpo morto cadde"). ** '''Climax (traslitterazione della parola greca che Significa "scala"):''' è la disposizione di una serie di parole secondo una gradualità crescente (climax ascendente) o decrescente (climax discendente o anticlimax) (ad esempio in Petrarca "O mia stella, o Fortuna, o Fato, o Morte"). ** '''Figura etimologica:''' è l'accostamento di due o più parole derivanti dalla medesima radice (ad esempio in Dante "Sfiorata Fiore"). * '''Grammaticali:''' come: ** '''Anacoluto:''' è una costruzione sintattica con un grave errore di concordanza (ad esempio "Il suo discorso sono tutte invenzioni"). ** '''Asindeto:''' è l'assenza di congiunzioni tra parole o frasi strettamente vorrelate (ad esempio "Era immobile, pallido, distrutto"). ** '''Aferesi:''' è la caduta della vocale o della sillaba iniziale di una parola (ad esempio "Vero" per "Inverno"). ** '''Apocope:''' è la caduta della vocale finale di una parola (ad esempio "Amor" per "Amore"). ** '''Sincope:''' è la caduta di uno o più fonemi all'interno di una parola (ad esempio "Vienmi" per "Vienimi"). * '''Significato:''' vanno aggiunte alle precedenti e non agiscono sull'aspetto esterno della parola (il cosiddetto "significante"), ma sul significato stesso. Tra queste si ricordano: ** '''Sinestesia:''' è l'associazione di termini che si riferiscono a sfere sensoriali diverse (ad esempio in Quasimodo "Urlo nero"). ** '''Ossimoro:''' è l'accostamento intenzionale di parole di significato antitetico (ad esempio "Lucida Follia"). ** '''Similitudine:''' è il paragone tra una cosa e un'altra più nota o più evidente (ad esempio "La giovinezza è come una rosa che sta sbocciando"). ** '''Metafora:''' è il trasferimento di significato di una parola dal senso proprio a un altro figurato che abbia con il primo un rapporto di somiglianza (ad esempio"Sei un Leone"). ** '''Metonimia:''' è la sostituzione di una parola con un'altra che esprime un concetto vicino o dipendente dal primo, ad esempio una causa per effetto, astratto per concreto, contenente per contenuto ecc. (ad esempio "Un Picasso" per indicare un quadro di Picasso). ** '''Sineddoche:''' è la sostituzione di una parola con un'altra che ha con la prima una relazione di qualità (frequentemente è la sostituzione di una parte per il tutto "Il mare è pieno di vele" invece di "Il mare è pieno di barche a vela"). ** '''Iperbole:''' è l'amplificazione, per eccesso o per difetto, di un'immagine o di un concetto, oltre i limiti del verosimile (ad esempio "È un secolo che aspetto"). ** '''Perifrasi:''' è l'espressione costituita da più vocaboli al posto di un solo termine (ad esempio in Dante "L'amore che muove il sole e l'altre stelle" per Indicare "Dio"). ** '''Antitesi:''' è l'accostamento di parole o frasi di significato opposto (ad esempio in Petrarca "E ardo e son di ghiaccio"). ** '''Litote:''' è la negazione di un concetto per esprimere il suo contrario (ad esempio in Manzoni "Don Abbondio non era nato con un cuor di leone") ** '''Aposiopesi''' è la reticenza a esprimere esplicitamente un concetto (ad esempio in Manzoni "Verrà un giorno..."). Bisogna, quindi, individuare le figure retoriche. Se necessario, consultare un manuale di stilistica e retorica. Bisogna poi distinguere tra i vari tipi di figure retoriche (di suono, di parola, grammaticali, di significato) e analizzare in modo particolare le figure retoriche di significato. Infine vanno poste in relazione le osservazioni di livello retorico con gli altri livelli. === Analisi del testo narrativo === Il testo narrativo racconta una storia, reale o immaginaria, sviluppata in una serie di azioni significative, collocate nel tempo e nello spazio e svolta da uno o più personaggi. Nonostante le diverse tipologie (romanzi, novelle, racconti, ecc.) presentano alcune caratteristiche comuno che vengono studiate dagli studi di '''narratologia'''. ==== ''Fabula''' e intreccio, schema narrativo e sequenze ==== Prima di tutto nell'analisi va tenuta distinta la '''''fabula''''' (o storia), che è lo svolgimento degli avvenimenti nel normale ordine cronologico, dall{{'}}'''intreccio''' che è l'ordine che a tali avvenimenti dà l'autore. Vi è poi lo '''schema narrativo''', che tradizionalmente è sempre lo stesso nei vari romanzi ed è composto da una situazione iniziale di equilibrio ('''esordio''') rotta da un evento che turba l'equilibrio. Fanno seguito varie '''peripezie''', che arrivano ad un momento clou che è lo '''Spannung''': alla fine la situazione volge ad una conclusione che ristabilisce l'equilibrio, detto '''scioglimento''', che non per forza è positivo. Il testo è solitamente diviso in '''sequenze''', cioè segmenti narrativi con contenuto unitario, che possono essere sia sequenze di ''fabula'' che raccontano lo svolgimento della storia, sia sequenze di intreccio, aggiunte dall'autore per con elementi in aggiunta alla ''fabula'' o anche inutili per essa. Le sequenze possono anche essere differenziate tra sequenze dinamiche, che cioè fanno scorrere la storia, e sequenze statiche, le quali bloccano lo svolgimento della storia per descrizioni, spiegazioni, argomentazioni, esprimere riflessioni ecc.. Nell'analisi bisogna riassumere la ''fabula'' e l'intreccio, evidenziando differenze e discordanze. Va poi individuato nel testo lo schema narrativo tradizionale e se l'autore si discosta da esso individuate le modalità utilizzate dall'autore. Infine vanno identificate le sequenze, distinguendole tra sequenze di ''fabula'' e di Intreccio e identificando anche la tipologia delle stesse. ==== Personaggi ==== I '''Personaggi''' del testo possono essere reali o immaginari. In base al '''ruolo''' si distingue: * '''Protagonista:''' è la figura principale, al centro dell'azione. * '''Antagonista:''' è la figura che contrasta l'azione del protagonista. * '''Oggetto:''' è il personaggio oggetto dell'interesse del protagonista. * '''Aiutante:''' è la figura che agevola il protagonista o l'antagonista. * '''Figure Secondarie:''' e le comparse. I personaggi possono essere dall'autore caratterizzati fisicamente, psicologicamente e caratterialmente con descrizioni "'''a piatto'''", cioè schematizzata in pochi tratti ripetitivi, o "'''a tutto tondo'''" cioè in modo complesso, aperto a possibili mutamenti ed evoluzioni. La relazione tra i personaggi può dar vita ad un ''sistema dei personaggi'', dove ognuno ha senso in relazione con gli altri. Per l'analisi vanno identificati i ruoli dei personaggi principali, descrivendone la caratterizzazione (fisica, psicologica, ideologica, sociale, culturale, ecc.), riconoscendo i personaggi "a piatto" o "a tutto tondo". Infine si può cercare di ricostruire nel testo narrativo analizzato un sistema dei personaggi. ==== Tempo e spazio, invenzione e realtà ==== L'analisi riguarda anche tempo, spazio e invenzione e realtà. Con riguardo al tempo bisogna distinguere tra: * '''Tempo della storia:''' è il tempo in cui si svolgono i fatti narrati. * '''Tempo del discorso:''' è il tempo in cui parla il narratore. I rapporti tra questi due tempi possono variare per ordine e durata: * L{{'}}'''ordine''' di successione degli avvenimenti nel discorso può coincidere o meno con la storia. Ci possono essere '''anticipazioni''' o "prolessi" oppure '''ritorni indietro''' (Flash-Back o "analessi"). * La '''durata''' degli avvenimenti può coincidere in intreccio e ''fabula'' oppure rallentare o accelerare il tempo narrativo rispetto a quello reale (velocità narrativa) o sospendersi, dando luogo a ellissi narrative. Lo spazio può assumere valore '''oggettivo''' (come nei romanzi naturalisti o veristi) o '''simbolico''' (come nella ''Divina Commedia'' di Dante). Può avere sia mero intento di sfondo sia interferire con la storia giocando anche un ruolo determinante. Inoltre può essere sia unitario sia variare nel corso della storia. Infine, per le invenzioni e realtà si intende il rapporto creato dall'autore tra la sua invenzione artistica e l'esperienza reale, che può esprimersi in modi diversi, ad esempio: * Rispecchiare realisticamente le situazioni vere (tipico dei romanzi veristi e naturalistici). * Deformare grottescamente o caricaturalmente la realtà (come nelle Malebolge dell{{'}}''Inferno''' dantesco). * Inventare dei mondi fantastici o inverosimili (ad esempio nel ''Signore degli Anelli'' di Tolkien). Per compiere l'analisi bisogna per il tempo individuare il rapporto tra il tempo della ''fabula'' e dell'intreccio descrivendo l'ordine di successione degli avvenimenti, rintracciando eventuali prolessi o flash-back o ellissi narrative e indicando la durata degli avvenimenti e la loro velocità. Per lo spazio ci si deve chiedere dove è ambientata l'opera narrativa e in quale rapporto stia l'ambientazione con la vicenda narrata. Per l'invenzione e realtà va definito il rapporto tra le stesse: se sia realistico, grottesco, caricaturale, fantastico, ecc.. ==== Narratore, punto di vista, tecniche narrative ==== L'analisi riguarda anche narratore, punto di vista e tecniche narrative. Il narratore è colui che narra la storia, può essere: * '''Assente:''' se è assente dalla storia (come nei ''Promessi Sposi''), in questo caso il tipo di racconto è detto eterodiegetico. * '''Presente:''' cioè un personaggio della storia, in questo caso il tipo di racconto è detto omodiegetico. * '''Esterno e Onnisciente:''' quando è esterno al racconto e conosce tutto della materia narrata, i suoi precedenti e i suoi sviluppi, giudicandoli da una posizione superiore. * '''Interno:''' quando è calato in tanti punti di vista e livelli di conoscenza dei fatti, quanti sono i personaggi. Il punto di vista o focalizzazione è la prospettiva scelta dal narratore per raccontare una storia ed esprimere il suo livello di conoscenza delle vicende narrate. Può essere di tre tipi: * '''Focalizzazione zero:''' il narratore è onnisciente e conosce tutto della storia, sia del suo sviluppo sia degli stati d'animo dei personaggi, esperimendo giudizi. * '''Focalizzazione interna:''' il narratore si posiziona nell'angolo di visuale di uno o più personaggi e costruisce la storia in base a ciò che apprende da essi. * '''Focalizzazione esterna:''' il narratore si posizione all'esterno della storia, non conoscendo neppure gli aspetti fondamentali di essa, ma si "eclissa" limitandosi a raccontare ciò che vede. Varie sono le tecniche narrative usate per esprimere la voce e i pensieri dei personaggi: * '''Discorso diretto (o "scena" o "citazione"):''' è tipico della focalizzazione esterna ed è introdotto solitamente da un verbo dichiarativo. * '''Discorso diretto libero:''' in cui è omesso il verbo dichiarativo e le parole dei personaggi vengono riferite direttamente, come in un testo teatrale. * '''Discorso indiretto:''' è tipico della focalizzazione zero ed è introdotto da un verbo dichiarativo, seguito da una congiunzione subordinativa e una sintesi di quanto è stato detto, mitigata dal giudizio dell'autore. * '''Discorso indiretto libero:''' è tipico della focalizzazione interna ed in questo caso sono omessi il verbo dichiarativo e la congiunzione subordinativa e il discorso è svolto in modo narrato direttamente nel testo, confondendosi con quanto dice l'autore stesso. * '''Monologo interiore:''' in cui un personaggio esprime i suoi pensieri ad alta voce o mentalmente, senza riorganizzarli in sequenze temporali e logiche. * '''Flusso di coscienza:''' in cui i pensieri, idee, ricordi, associazioni mentali sono riportati così come si presentano, senza alcuna rielaborazione razionale. L'autore, poi, in base al contesto della storia e alle caratteristiche culturali e sociali dei personaggi sceglie il registro linguistico e stilistico e questo può determinare le scelte sintattiche e lessicali e l'uso di figure retoriche. Per svolgere l'analisi bisogna per il narratore definire se è assente o presente, interno o esterno. Per il punto di vista va definito il tipo di focalizzazione scelto dall'autore. Per le tecniche narrative vanno riconosciute, se vi sono, una o più tecniche del discorso. Infine per gli usi linguistici o stilistici vanno analizzate le scelte sintattiche, lessicali, retoriche dell'autore. == Scrittura e postscrittura == Nello svolgere la fase di scrittura bisogna tener conto che occorre trascrivere, se richiesta, la parafrasi o il riassunto. Occorre anche rispondere ai quesiti che eventualmente sono proposti, fornendo risposte descrittive se è una analisi, risposte argomentative se è un commento e approfondimento. Se il quesito è semplice, bisogna rispondere in modo sintetico, se è complesso invece bisogna sviluppare un "mini-saggio". Se si fanno citazioni, vanno messe tra virgolette. Bisogna inoltre usare un registro linguistico piuttosto formale. Se si vuole si può premettere allo svolgimento un'introduzione, in cui dare brevi informazioni generali su autore e opera, anno e circostanze storiche di composizione, il rapporto con le altre opere dell'autore e tutti gli altri dati di inquadramento storico, filosofico, letterario, ecc. oppure si può aggiungere una conclusione finale, in cui ribadire il giudizio sul testo. In ultimo si compie la fase di '''postscrittura''' che comprendere la rilettura, la correzione, la copiatura, la presentazione grafica e la rilettura conclusiva, tipica di tutti i testi letterari. == Collegamenti esterni == *[http://www.oilproject.org/lezione/maturita-come-si-fa-analisi-del-testo-poetico-narrativo-7229.html Esempio sul sito Oilproject.org]. *[http://dida.orizzontescuola.it/news/esercitazione-sullanalisi-del-testo-gli-esami-di-stato-un-brano-di-verga Esercitazione sull'analisi del testo (''OSDidattica - Un blog di Orizzontescuola.it'')]. 5pjsv9bmtagquc7dcqt2y7suzyelg0d 286471 286470 2026-08-19T02:14:48Z Avemundi 2081 Revisione 286471 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Grammatica italiana per le superiori 2|materia2=Prova d'Italiano dell'Esame di Stato|avanzamento=100%}} L{{'}}'''analisi''' e il '''commento''' del testo rappresentano una classica attività scolastica volta a descrivere e a spiegare analiticamente un testo e a formulare e argomentare con un'interpretazione critica il testo con informazioni già conosciute dallo studente. Nell'analisi quindi si utilizza il testo descrittivo e informativo-espositivo, mentre nel commento il testo argomentativo. Solitamente i testi soggetti a queste operazioni sono letterari (in poesia o in prosa), ma si possono anche usare testi non letterari. Nella pratica scolastica essa viene utilizzata come esercitazione orale o scritta e inoltre è presente come tipologia A nella Prima prova scritta dell'esame di Stato. In realtà essa simula la pratica reale della critica letteraria. Questa forma di scrittura prevede, come in altre forme testuali, anche qui uno svolgimento in tre fasi: '''prescrittura''', '''scrittura''' e '''postscrittura'''. == Prescrittura == Nella fase di prescrittura sono svolte tutte quelle operazioni volte alla lettura e comprensione del Testo. Prima di tutto va svolta una lettura orientativa, scorrendo il Testo e se si tratta di una prova di verifica simile alla tipologia A dell'esame di Stato vanno letti attentamente i quesiti allegati al testo. Dopo di che va svolta una lettura analitica (di approfondimento) e comprensione letterale del testo, in modo da identificare l'argomento principale e quelli secondari, Verificando anche il significato delle parole (usando eventualmente il dizionario) e "smontando" il testo in "blocchi di testo" (le strofe se una poesia, le sequenze se è un testo narrativo). Infine va riletto il testo nella sua interezza per verificare la comprensione letteraria. La consegna può richiedere che si svolga la '''parafrasi''' della poesia o il '''riassunto''' del testo narrativo in esame. In realtà, anche se non richiesta, almeno la parafrasi andrebbe comunque svolta, perché fondamentale per comprendere il contenuto reale della poesia. Ugualmente se non richiesto il riassunto è sempre bene fare una piccola sintesi del testo da analizzare. Se si utilizzano programmi informatici si possono usare gli strumenti che il computer e questi programmi (in primis ''Word'' e ''Excel'') offrono come il comando "Conteggia Parole" in "Strumenti" per contare le parole in cui si compone l'analisi, oppure selezionare le parole chiave in grassetto o con altre forme (ad esempio in colore), oppure usare per la parafrasi una tabella a due colonne, in cui in una posizionare il testo originale e nella seconda la parafrasi, oppure per il riassunto usare il comando "Sunto Automatico" nel menu "Strumenti". A queste operazioni si possono aggiungere anche altre operazioni da svolgere in realtà anche durante la fase dell'analisi vera e propria. Queste operazioni sono la '''raccolta di documentazione''', l{{'}}'''ideazione del commento''' e l{{'}}'''elaborazione della scaletta'''. Per la raccolta della documentazione si possono rileggere le informazioni contenute nei libri di testo o su qualsiasi altro supporto (come Internet), ma, se ciò non è consentito, si dovrà far ricorso alla propria memoria. In entrambi i casi le informazioni raccolte dovranno riguardare il '''contesto storico''', a che corrente o movimento letterario si rifà l'autore dell'opera, le '''caratteristiche linguistiche e stilistiche''' e infine la '''posizione ideologica''' e '''estetica''' dell'autore in confronto ad altri autori dello stesso movimento, riconoscendone i caratteri della teoria generale (di tipo filosofico, morale, storico, scientifico, ecc.) sotteso al testo. Va scelto poi un criterio di selezione e classificazione dei documenti scelti (se si usa il computer si può usare per la classificazione una cartella di ''Excel'' o una tabella di ''Word''). Per l{{'}}ideazione del commento è consigliabile iniziare a farlo durante la fase di analisi, prendendo appunti (su un foglio ampio se si scrive a mano o su un apposito file se si usa il computer) sulle osservazioni e sulle opinioni personali che a mano a mano vengono in mente, eventualmente organizzandole in modo logico attraverso l'uso anche di forme schematiche. Va con questi dati elaborata un{{'}}'''interpretazione''', eventualmente usando anche i pareri di altri in toto o in parte, solitamente riportati sui libri di testo, riflettendo principalmente sulla '''personalità''' psicologica dell'autore, la sua formazione culturale e il suo sistema di pensiero, analizzando anche del suo rapporto con le vicende storiche e confrontandolo con le manifestazioni culturale coeve o non e in altri ambiti (ad esempio artistico, musicale) ecc.. Va espresso anche un giudizio argomentato sull'efficacia dei mezzi linguistici e stilistici e va infine riflettuto sulle intenzioni dell'autore e sul messaggio che vuole trasmettere, esprimendo la propria opinione al riguardo. Per l'elaborazione della scaletta, in ultimo, cioè uno schema che guida come strutturare la stesura del testo, dipende se la consegna contiene dei quesiti, e in questo caso essa va strutturata tenendo conto della sequenza dei quesiti, oppure non contiene quesiti, in questo caso si è liberi di scegliere come meglio si crede la struttura del proprio testo. In caso di consegna con quesiti si deve strutturare la scaletta in punti corrispondenti alla "macroarticolazione" dei quesiti, ad esempio articolandolo in tre parti: 1. Lettura e comprensione complessiva, 2. Analisi e commento del testo e 3. Approfondimento. Si deve fare un elenco numerato dei punti principali in cui sono suddivisi i quesiti. Se il primo quesito richiede la parafrasi o il riassunto o un'operazione simile va solo segnalato nella scaletta, ma non va ancora svolta. Per l'analisi del testo va eseguita secondo i vari livelli di analisi richiesti. Per il commento, infine, va posta in rilievo la propria tesi interpretativa, argomentandola (traendo spunto dall'analisi del testo e dalla documentazione raccolta). == Analisi del testo == Fatta la fase di lettura e comprensione del testo nella fase di prescrittura, si può passare all'analisi vera e propria del testo, che è l'operazione più corposa in questa tipologia testuale ed è parzialmente diversa tra testo letterario in '''poesia''' e testo letterario in '''prosa'''. === Analisi del testo poetico === Il testo poetico solitamente si analizza per "'''livelli'''" che sono quegli aspetti ed elementi che caratterizzano il testo poetico e lo differenziano dagli altri testi. I principali livelli di analisi sono '''strutturale''', '''lessicale''', '''sintattico''', '''metrico''', '''fonico''' e '''retorico''', i quali sono tutti importanti, ma non per questo vanno per forza tutti approfonditi in modo esauriente. Si possono scegliere i livelli che si ritiene, per propria convinzione, più importanti da analizzare, oppure tenendo conto della consegna che è stata data, oppure compiere l'analisi tra più livelli contemporaneamente. Analizziamo ora i singoli livelli. ==== Livello strutturale ==== Il livello strutturale analizza la disposizione dei temi nel testo. Esistono varii tipi di struttura di un testo poetico: * '''Lineare:''' In cui i temi si susseguono in maniere progressiva ordinata, anche se con diversa ampiezza. * '''A elementi paralleli:''' In cui uno o più temi si ripetono, con eventuali variazioni, nel medesimo ordine. * '''Circolare:''' In cui il tema iniziale della poesia torna nel finale dopo una serie di altri temi. * '''A intreccio:''' In cui vari temi sono distribuiti nel testo in ordine sparso o con apparente disordine. * '''A chiasmo:''' In cui due coppie di temi sono incrociate. Preliminarmente quindi va individuato il tipo di struttura, in base ad essa poi va riconosciuta la corrispondenza con il significato che i temi assumono nel discorso del poeta e inoltre va rilevata la corrispondenza con gli altri livelli di analisi. ==== Livello lessicale ==== Il livello lessicale analizza la scelta delle parole effettuata dal poeta, facendo particolare attenzione al: * '''Registro linguistico:''' se è aulico, letterario oppure quotidiano, familiare, dialettico. Se è plurilinguistico oppure monolinguistico, ecc. * '''Utilizzo di parole chiave:''' che possono essere poste in determinati punti del testo e che "aprono le porte" al significato più recondito del testo. * '''Aree semantiche:''' cioè quelle parole che fanno parte del medesimo ambito di significato che fungono da "spie" anch'esse degli intendimenti del poeta. Bisogna quindi per prima cosa individuare il registro linguistico, per poi individuare il significato delle parole eventualmente aiutandosi con un vocabolario. Individuare anche le aree semantiche e le parole chiave e la loro collocazione nel testo. Infine vanno riconosciute anche le '''particolarità lessicali''' come dialettismi, latinismi, arcaismi, neologismi, termini gergali, specialistici, ecc. ==== Livello sintattico ==== Il livello sintattico analizza il legame sintattico tra le parole nella frase, l'ampiezza dei periodi e se sono in prevalenza coordinati (paratassi) o subordinati (ipotassi), le eventuali ellissi del verbo, la presenza di frasi nominali, la particolare collocazione delle parti del discorso in una proposizione e la funzione delle parti nominali. Per compiere questa analisi bisogna svolgere sia un{{'}}'''analisi del periodo''' rilevando l'ampiezza del periodo e se sono in prevalenza in struttura paratattica o ipotattica, in polisindeto o asindeto, e i tipi di subordinata, e un{{'}}''analisi logica''' analizzando la disposizione delle parole. Infine vanno messe in relazione le soluzioni sintattiche con il significato tematico e con gli altri livelli (ad esempio con quello strutturale). ==== Livello metrico ==== Il livello metrico analizza le scelte metriche del poeta. Varie sono le '''tipologie''' di testo, di cui i più importanti diffusi in letteratura italiana sono: * '''Sonetto:''' formato da due quartine e due terzine di endecasillabi, generalmente in sillabe. È tipico dell'antichissima tradizione, ma è usato ancora nel Novecento. * '''Ballata:''' formata da strofe dette "stanze" con la ripresa o ritornello in genere di tre o quattro versi che si alterna con endecasillabi e settenari secondo schemi liberi. * '''Canzone:''' formata dall'alternanza di endecasillabi e settenari ed una serie di stanze ciascuna costituita da una "fronte" e da una "sirma" collegata ad un verso detto "chiave". * '''Madrigale:''' formato da un breve componimento musicabile, in endecasillabi a schema metrico variabile, sul modello delle stanze di ballata. Analizza anche i versi, i cui più diffusi sono l'endecasillabo e il settenario, oppure il verso libero (tipico della poesia contemporanea). Analizza anche le '''Rime''' che possono essere baciate (AA BB), alternate (a coppie alternate secondo lo schema AB AB), incrociate (AB BA), incatenate (soprattutto nelle terzine, secondo lo schema ABA BCB CDC) ecc.. Le rime possono essere interne; oppure ci possono essere assonanze. Analizza anche il ritmo della poesia, cioè la durata dei versi e la loro velocità, le pause (indicate dagli "a capo" e dallo spazio bianco tra le strofe), la relazione tra l'articolazione metrica e la punteggiatura, tra le pause metriche e quelle sintattiche, ecc., con attenzione all{{'}}''enjambement'' che è la spezzatura di una frase o di un sintagma tra la fine di un verso e l'inizio del successivo. Analizza infine le '''figure retoriche di suono'''. Bisogna quindi descrivere le scelte''' in campo metrico, definendo il tipo di componimento e riconoscendo la lunghezza dei versi, lo schema delle rime, il ritmo, ecc. Bisogna interpretare le scelte dell'autore in relazione al significato della poesia oltre che al quadro della produzione del poeta e del contesto in cui opera. Infine vanno poste le osservazioni di livello metrico in relazione con gli altri livelli (sintattico, retorico, ecc.). ==== Livello fonico ==== Il livello fonico analizza il "'''suono'''" di un testo poetico. Tale suono (chiaro, cupo, stridente, aspro, ecc.) viene dall'utilizzo di talune parole che contengono determinate vocali o consonanti (Liquide come "l" e "r", sibilanti come "s", dentali come "t" e "d", nasali come "m" e "n" ecc.) oppure possono essere accentuate da alcune figure retoriche di suono (come allitterazione, onomatopea, assonanza, consonanza, ecc.). Spesso il suono può assumere anche un determinato valore simbolico e pertanto si parla di valore fonosimbolico che comunica al lettore o meglio "uditore" un'esperienza percettiva e il significato che essa assume per il poeta. Per compiere questa analisi vanno primariamente riconosciuti di vari suoni delle vocali e delle consonanti, dando una definizione generale del suono che si percepisce della poesia (chiaro, cupo, stridente, aspro, ecc.). Bisogna individuare anche eventuali figure retoriche di suono. Va poi rilevato l'eventuale valore simbolico di alcuni suoni e il loro significato, inoltre va riconosciuta la corrispondenza dell'utilizzo di alcune scelte fonetiche del poeta con il significato della poesia. Infine, vanno poste le osservazioni di livello fonico con altri livelli (ad esempio metrico o retorico). ==== Livello retorico ==== Il livello retorico analizza le '''scelte stilistiche''' e in particolare l'uso di figure retoriche. Le '''Figure Retoriche''' sono di: * '''Suono:''' come ** '''Allitterazione:''' è la ripetizione degli stessi suoni in parole vicine (ad esempio "Di me medesimo meco mi vergogno"). ** '''Onomatopea:''' è l'imitazione di suoni o rumori di fenomeni naturali (ad esempio "Bau Bau"). ** '''Paronomasia:''' è un gioco di parole che consiste nell'accostamento di parole dal suono simile, ma significato diverso (ad esempio "Ricci capricci"). ** '''Omoteleuto:''' è la disposizione ravvicinata di parole che terminano allo stesso modo (ad esempio dall{{'}}''Infinito'' di Leopardi "Ma sedendo e mirando"). * '''Parola:''' come: ** '''Anafora:''' è la ripetizione di una parola o gruppo di parole all'Inizio di proposizioni o versi (ad esempio in Dante "Per me si va per la città dolente, / per me si va ne l'eterno dolore, / per me si va tra la perduta gente"). ** '''Chiasmo:''' è la disposizione incrociata di quattro elementi (due coppie in cui il primo elemento della prima coppia corrisponde al secondo della seconda e viceversa a schema ABBA) collegati tra loro (ad esempio "Vizi privati, pubbliche virtù"). ** '''Iperbato:''' è l'interposizione di una o più parole tra due termini che, di norma o secondo il senso, dovrebbero stare congiunti (ad esempio "Il di lei fratello"). ** '''Poliptoto:''' è la ripetizione a distanza ravvicinata della medesima parola diversamente declinata o coniugata (ad esempio in Dante "Caddi come corpo morto cadde"). ** '''Climax (traslitterazione della parola greca che Significa "scala"):''' è la disposizione di una serie di parole secondo una gradualità crescente (climax ascendente) o decrescente (climax discendente o anticlimax) (ad esempio in Petrarca "O mia stella, o Fortuna, o Fato, o Morte"). ** '''Figura etimologica:''' è l'accostamento di due o più parole derivanti dalla medesima radice (ad esempio in Dante "Sfiorata Fiore"). * '''Grammaticali:''' come: ** '''Anacoluto:''' è una costruzione sintattica con un grave errore di concordanza (ad esempio "Il suo discorso sono tutte invenzioni"). ** '''Asindeto:''' è l'assenza di congiunzioni tra parole o frasi strettamente vorrelate (ad esempio "Era immobile, pallido, distrutto"). ** '''Aferesi:''' è la caduta della vocale o della sillaba iniziale di una parola (ad esempio "Vero" per "Inverno"). ** '''Apocope:''' è la caduta della vocale finale di una parola (ad esempio "Amor" per "Amore"). ** '''Sincope:''' è la caduta di uno o più fonemi all'interno di una parola (ad esempio "Vienmi" per "Vienimi"). * '''Significato:''' vanno aggiunte alle precedenti e non agiscono sull'aspetto esterno della parola (il cosiddetto "significante"), ma sul significato stesso. Tra queste si ricordano: ** '''Sinestesia:''' è l'associazione di termini che si riferiscono a sfere sensoriali diverse (ad esempio in Quasimodo "Urlo nero"). ** '''Ossimoro:''' è l'accostamento intenzionale di parole di significato antitetico (ad esempio "Lucida follia"). ** '''Similitudine:''' è il paragone tra una cosa e un'altra più nota o più evidente (ad esempio "La giovinezza è come una rosa che sta sbocciando"). ** '''Metafora:''' è il trasferimento di significato di una parola dal senso proprio a un altro figurato che abbia con il primo un rapporto di somiglianza (ad esempio "Sei un leone"). ** '''Metonimia:''' è la sostituzione di una parola con un'altra che esprime un concetto vicino o dipendente dal primo, ad esempio una causa per effetto, astratto per concreto, contenente per contenuto ecc. (ad esempio "Un Picasso" per indicare un quadro di Picasso). ** '''Sineddoche:''' è la sostituzione di una parola con un'altra che ha con la prima una relazione di qualità (frequentemente è la sostituzione di una parte per il tutto "Il mare è pieno di vele" invece di "Il mare è pieno di barche a vela"). ** '''Iperbole:''' è l'amplificazione, per eccesso o per difetto, di un'immagine o di un concetto, oltre i limiti del verosimile (ad esempio "È un secolo che aspetto"). ** '''Perifrasi:''' è l'espressione costituita da più vocaboli al posto di un solo termine (ad esempio in Dante "L'amore che muove il sole e l'altre stelle" per indicare "Dio"). ** '''Antitesi:''' è l'accostamento di parole o frasi di significato opposto (ad esempio in Petrarca "E ardo e son di ghiaccio"). ** '''Litote:''' è la negazione di un concetto per esprimere il suo contrario (ad esempio in Manzoni "Don Abbondio non era nato con un cuor di leone") ** '''Aposiopesi''' è la reticenza a esprimere esplicitamente un concetto (ad esempio in Manzoni "Verrà un giorno..."). Bisogna, quindi, individuare le figure retoriche. Se necessario, consultare un manuale di stilistica e retorica. Bisogna poi distinguere tra i vari tipi di figure retoriche (di suono, di parola, grammaticali, di significato) e analizzare in modo particolare le figure retoriche di significato. Infine vanno poste in relazione le osservazioni di livello retorico con gli altri livelli. === Analisi del testo narrativo === Il testo narrativo racconta una storia, reale o immaginaria, sviluppata in una serie di azioni significative, collocate nel tempo e nello spazio e svolta da uno o più personaggi. Nonostante le diverse tipologie (romanzi, novelle, racconti, ecc.) presentano alcune caratteristiche comuni che vengono studiate dagli studi di '''narratologia'''. ==== ''Fabula''' e intreccio, schema narrativo e sequenze ==== Prima di tutto nell'analisi va tenuta distinta la '''''fabula''''' (o storia), che è lo svolgimento degli avvenimenti nel normale ordine cronologico, dall{{'}}'''intreccio''' che è l'ordine che a tali avvenimenti dà l'autore. Vi è poi lo '''schema narrativo''', che tradizionalmente è sempre lo stesso nei vari romanzi ed è composto da una situazione iniziale di equilibrio ('''esordio''') rotta da un evento che turba l'equilibrio. Fanno seguito varie '''peripezie''', che arrivano ad un momento clou che è lo '''Spannung''': alla fine la situazione volge ad una conclusione che ristabilisce l'equilibrio, detto '''scioglimento''', che non per forza è positivo. Il testo è solitamente diviso in '''sequenze''', cioè segmenti narrativi con contenuto unitario, che possono essere sia sequenze di ''fabula'' che raccontano lo svolgimento della storia, sia sequenze di intreccio, aggiunte dall'autore per con elementi in aggiunta alla ''fabula'' o anche inutili per essa. Le sequenze possono anche essere differenziate tra sequenze dinamiche, che cioè fanno scorrere la storia, e sequenze statiche, le quali bloccano lo svolgimento della storia per descrizioni, spiegazioni, argomentazioni, esprimere riflessioni ecc.. Nell'analisi bisogna riassumere la ''fabula'' e l'intreccio, evidenziando differenze e discordanze. Va poi individuato nel testo lo schema narrativo tradizionale e, se l'autore si discosta da esso, vanno individuate le modalità utilizzate dall'autore. Infine vanno identificate le sequenze, distinguendole tra sequenze di ''fabula'' e di intreccio e identificando anche la tipologia delle stesse. ==== Personaggi ==== I personaggi del testo possono essere reali o immaginari. In base al '''ruolo''' si distingue: * '''Protagonista:''' è la figura principale, al centro dell'azione. * '''Antagonista:''' è la figura che contrasta l'azione del protagonista. * '''Oggetto:''' è il personaggio oggetto dell'interesse del protagonista. * '''Aiutante:''' è la figura che agevola il protagonista o l'antagonista. * '''Figure secondarie:''' e le comparse. I personaggi possono essere dall'autore caratterizzati fisicamente, psicologicamente e caratterialmente con descrizioni "'''a piatto'''", cioè schematizzata in pochi tratti ripetitivi, o "'''a tutto tondo'''" cioè in modo complesso, aperto a possibili mutamenti ed evoluzioni. La relazione tra i personaggi può dar vita ad un ''sistema dei personaggi'', dove ognuno ha senso in relazione con gli altri. Per l'analisi vanno identificati i ruoli dei personaggi principali, descrivendone la caratterizzazione (fisica, psicologica, ideologica, sociale, culturale, ecc.), riconoscendo i personaggi "a piatto" o "a tutto tondo". Infine si può cercare di ricostruire nel testo narrativo analizzato un sistema dei personaggi. ==== Tempo e spazio, invenzione e realtà ==== L'analisi riguarda anche tempo, spazio e invenzione e realtà. Con riguardo al tempo bisogna distinguere tra: * '''Tempo della storia:''' è il tempo in cui si svolgono i fatti narrati. * '''Tempo del discorso:''' è il tempo in cui parla il narratore. I rapporti tra questi due tempi possono variare per ordine e durata: * L{{'}}'''ordine''' di successione degli avvenimenti nel discorso può coincidere o meno con la storia. Ci possono essere '''anticipazioni''' o "prolessi" oppure '''ritorni indietro''' (Flash-Back o "analessi"). * La '''durata''' degli avvenimenti può coincidere in intreccio e ''fabula'' oppure rallentare o accelerare il tempo narrativo rispetto a quello reale (velocità narrativa) o sospendersi, dando luogo a ellissi narrative. Lo spazio può assumere valore '''oggettivo''' (come nei romanzi naturalisti o veristi) o '''simbolico''' (come nella ''Divina Commedia'' di Dante). Può avere sia mero intento di sfondo sia interferire con la storia, giocando anche un ruolo determinante. Inoltre può essere sia unitario sia variare nel corso della storia. Infine, per le invenzioni e realtà si intende il rapporto creato dall'autore tra la sua invenzione artistica e l'esperienza reale, che può esprimersi in modi diversi, ad esempio: * Rispecchiare realisticamente le situazioni vere (tipico dei romanzi veristi e naturalistici). * Deformare grottescamente o caricaturalmente la realtà (come nelle Malebolge dell{{'}}''Inferno''' dantesco). * Inventare dei mondi fantastici o inverosimili (ad esempio nel ''Signore degli Anelli'' di Tolkien). Per compiere l'analisi bisogna per il tempo individuare il rapporto tra il tempo della ''fabula'' e dell'intreccio descrivendo l'ordine di successione degli avvenimenti, rintracciando eventuali prolessi o flash-back o ellissi narrative e indicando la durata degli avvenimenti e la loro velocità. Per lo spazio ci si deve chiedere dove è ambientata l'opera narrativa e in quale rapporto stia l'ambientazione con la vicenda narrata. Per l'invenzione e realtà va definito il rapporto tra le stesse: se sia realistico, grottesco, caricaturale, fantastico, ecc.. ==== Narratore, punto di vista, tecniche narrative ==== L'analisi riguarda anche narratore, punto di vista e tecniche narrative. Il narratore è colui che narra la storia, può essere: * '''Assente:''' se è assente dalla storia (come nei ''Promessi Sposi''), in questo caso il tipo di racconto è detto eterodiegetico. * '''Presente:''' cioè un personaggio della storia, in questo caso il tipo di racconto è detto omodiegetico. * '''Esterno e Onnisciente:''' quando è esterno al racconto e conosce tutto della materia narrata, i suoi precedenti e i suoi sviluppi, giudicandoli da una posizione superiore. * '''Interno:''' quando è calato in tanti punti di vista e livelli di conoscenza dei fatti, quanti sono i personaggi. Il punto di vista o focalizzazione è la prospettiva scelta dal narratore per raccontare una storia ed esprimere il suo livello di conoscenza delle vicende narrate. Può essere di tre tipi: * '''Focalizzazione zero:''' il narratore è onnisciente e conosce tutto della storia, sia del suo sviluppo sia degli stati d'animo dei personaggi, esperimendo giudizi. * '''Focalizzazione interna:''' il narratore si posiziona nell'angolo di visuale di uno o più personaggi e costruisce la storia in base a ciò che apprende da essi. * '''Focalizzazione esterna:''' il narratore si posizione all'esterno della storia, non conoscendo neppure gli aspetti fondamentali di essa, ma si "eclissa" limitandosi a raccontare ciò che vede. Varie sono le tecniche narrative usate per esprimere la voce e i pensieri dei personaggi: * '''Discorso diretto (o "scena" o "citazione"):''' è tipico della focalizzazione esterna ed è introdotto solitamente da un verbo dichiarativo. * '''Discorso diretto libero:''' in cui è omesso il verbo dichiarativo e le parole dei personaggi vengono riferite direttamente, come in un testo teatrale. * '''Discorso indiretto:''' è tipico della focalizzazione zero ed è introdotto da un verbo dichiarativo, seguito da una congiunzione subordinativa e una sintesi di quanto è stato detto, mitigata dal giudizio dell'autore. * '''Discorso indiretto libero:''' è tipico della focalizzazione interna ed in questo caso sono omessi il verbo dichiarativo e la congiunzione subordinativa e il discorso è svolto in modo narrato direttamente nel testo, confondendosi con quanto dice l'autore stesso. * '''Monologo interiore:''' in cui un personaggio esprime i suoi pensieri ad alta voce o mentalmente, senza riorganizzarli in sequenze temporali e logiche. * '''Flusso di coscienza:''' in cui i pensieri, idee, ricordi, associazioni mentali sono riportati così come si presentano, senza alcuna rielaborazione razionale. L'autore, poi, in base al contesto della storia e alle caratteristiche culturali e sociali dei personaggi sceglie il registro linguistico e stilistico e questo può determinare le scelte sintattiche e lessicali e l'uso di figure retoriche. Per svolgere l'analisi bisogna per il narratore definire se è assente o presente, interno o esterno. Per il punto di vista va definito il tipo di focalizzazione scelto dall'autore. Per le tecniche narrative vanno riconosciute, se vi sono, una o più tecniche del discorso. Infine per gli usi linguistici o stilistici vanno analizzate le scelte sintattiche, lessicali, retoriche dell'autore. == Scrittura e postscrittura == Nello svolgere la fase di scrittura bisogna tener conto che occorre trascrivere, se richiesta, la parafrasi o il riassunto. Occorre anche rispondere ai quesiti che eventualmente sono proposti, fornendo risposte descrittive se è una analisi, risposte argomentative se è un commento e approfondimento. Se il quesito è semplice, bisogna rispondere in modo sintetico, se è complesso invece bisogna sviluppare un "mini-saggio". Se si fanno citazioni, vanno messe tra virgolette. Bisogna inoltre usare un registro linguistico piuttosto formale. Se si vuole si può premettere allo svolgimento un'introduzione, in cui dare brevi informazioni generali su autore e opera, anno e circostanze storiche di composizione, il rapporto con le altre opere dell'autore e tutti gli altri dati di inquadramento storico, filosofico, letterario, ecc. oppure si può aggiungere una conclusione finale, in cui ribadire il giudizio sul testo. In ultimo si compie la fase di '''postscrittura''' che comprendere la rilettura, la correzione, la copiatura, la presentazione grafica e la rilettura conclusiva, tipica di tutti i testi letterari. == Collegamenti esterni == *[http://www.oilproject.org/lezione/maturita-come-si-fa-analisi-del-testo-poetico-narrativo-7229.html Esempio sul sito Oilproject.org]. *[http://dida.orizzontescuola.it/news/esercitazione-sullanalisi-del-testo-gli-esami-di-stato-un-brano-di-verga Esercitazione sull'analisi del testo (''OSDidattica - Un blog di Orizzontescuola.it'')]. h57zqy9mowyh5pnyeohf8xf7zetco2z 0 20431 286472 265460 2026-08-19T02:22:13Z Avemundi 2081 refuso 286472 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Gastroenterologia}} La '''malattia di Wilson''' è una patologia caratterizzata dall'accumulo di rame all'interno di vari organi (non solo il fegato, ma anche SNC e occhi). == Epidemiologia == Si tratta di una patologia rara ma ancor oggi presente, con una prevalenza di 1/30000 nella popolazione di razza caucasica nordeuropea, nonché particolarmente diffusa in popolazioni delimitate geograficamente come quella della Sardegna, dove il matrimonio all'interno di comunità chiuse ha permesso la trasmissione della mutazione. == Eziopatologia == La causa del morbo di Wilson è da ricondurre ad una mutazione autosomica recessiva della '''ATPasi 7B''', un'ATPasi di tipo P presente al livello dell'apparato di Golgi dell'epatocita, e codificata dal gene ''ATP7B'' nel cromosoma 13. Normalmente il rame si lega alle proteine presenti nel citosol: la ATPasi ne determina l'entrata nel Golgi dove si lega alla ceruloplasmina, proteina che ne permette il circolo a livello ematico (ricordiamo che il rame è un elemento fisiologicamente presente a livello dell'organismo e che svolge svariate funzioni). Alternativamente, quando esso raggiunge un certo livello, il rame viene convogliato nei pressi della membrana plasmatica del polo biliare dell'epatocita e veicolato tramite vescicole all'esterno della cellula nella bile, attraverso la quale il metallo viene escreto nelle feci. Come si può intuire, il difetto della ATP7B determina un accumulo del rame all'interno dell'epatocita e tramite la reazione di Fenton si vengono a creare varie alterazioni cellulari, fino alla necrosi della cellula stessa. == Clinica == Le manifestezioni cliniche della malattia di Wilson sono conseguenti agli organi interessati dall'accumulo del rame. === Manifestazioni epatiche === * Dolore addominale * Epatomegalia * Transaminasi persistentemente elevate * Epatopatia cronica (ovvero tutti i quadri di danno epatico fino alla cirrosi) * Cirrosi * Epatite fulminante È importante considerare che i pazienti con manifestazioni epatiche, particolarmente con quadri cirrotici, hanno una probabilità di exitus cinque volte maggiore rispetto a quelli con manifestazioni neurologiche. === Manifestazioni neurologiche === Generalmente l'accumulo di rame nell'SNC si manifesta prevalentemente a livello dei gangli basali. * Sintomi extrapiramidali ** Tremori ** Movimenti coreiformi ** Parkinsonismi ** Disturbi dell'andatura ** Paralisi pseudobulbare (interessa la via cortico-bulbare, dando difficoltà a masticare, deglutire e parlare) * Disartria * Rigidità diastonica * Convulsioni * Cefalea migrante * Insonnia [[Immagine:Kayser-Fleischer ring.jpg|thumb|right|200px|Anello di Kayser-Fleischer]] === Manifestazioni psichiatriche === * Depressione * Nevrosi * Cambiamenti di personalità * Psicosi === Manifestazioni oftalmiche === * Anello di Kayser-Fleischer: si tratta di un alone appena visibile ad occhio nudo, determinato dal deposito di sali di rame nella cornea, a livello della membrana del Descemet. * Cataratta a girasole (data da depositi sotto il cristallino, di aspetto rosso-brunastro). ---- Generalmente la malattia di Wilson esordisce con un quadro eterogeneo di sintomi e segni, che spesso portano ad un ritardo della diagnosi. Il paziente si può presentare con un quadro di distensione addominale, un epatomegalia (che rappresenta il reperto più frequente) e un rialzo delle transaminasi; a volte può evidenziarsi un caso di epatite acuta, che regredisce spontaneamente ma evolve dopo anni in maniera asintomatica in cirrosi. Esistono anche quadri di '''malattia di Wilson fulminante''', con manifestazioni cirrotiche indistinguibili da quelle di origine virale o tossica, a volte scatenato da infezioni virali precedenti l'esordio del Wilson (soprattutto nei bambini), caratterizzato da: * Anello di Kaiser-Fleischer * Splenomegalia * Emolisi intravascolare == Diagnosi == Un sospetto di malattia di Wilson andrebbe sempre posto in caso di '''esami epatici alterati (AST, ALT, ecc)'''. Nella pratica clinica vengono generalmente seguiti i criteri di Sternlieb: # Gli esami di primo livello comprendono i test di funzionalità epatica, la '''ceruloplasmina'''<ref>La mutazione di ATP7B impedisce l'ingresso del rame nel Golgi e il legame con la proteina. La ceruloplasmina viene comunque rilasciata nel circolo ematico, tuttavia in assenza del legame col rame essa risulta altamente instabile e viene degradata in brevissimo tempo. Da qui il suo calo rilevabile tramite esame di laboratorio.</ref> che nel Wilson è bassa e la ricerca dell'anello di Kaiser-Fleischer tramite lampada a fessura. # Gli esami di secondo livello vengono effettuati nel caso in cui i precedenti non abbiano dato una risposta univoca. Essi comprendono cupremia e soprattutto la '''cupruria nelle 24 ore''', nonché la '''biopsia epatica''' in cui si va a valutare la quantità di rame per grammo di epatociti. Bisogna sempre tener conto di un possibile interessamento neurologico, valutabile tramite una RMN (che andrebbe sempre effettuata nel follow-up dei pazienti con Wilson, sia per diagnosi nei pazienti asintomatici o con solo interessamento epatico e nella valutazione della terapia chelante) o una SPECT (utile soprattutto per la diagnosi precoce nei pazienti asintomatici). Attualmente alla biopsia epatica viene preferita la valutazione della elastometria epatica ('''Fibroscan'''), molto utilizzata in quanto non invasiva, economica e facilmente ripetibile. == Terapia == La terapia della malattia di Wilson fa perno su un ristretto gruppo di farmaci, con differenti azioni: * '''Agenti chelanti del rame''': agiscono mobilizzando il rame dal tessuto epatico e facilitarne l'escrezione nelle urine. Sono utilizzate la '''penicillamina''' (che però determina nel 20-30% dei pazienti una serie di reazioni avverse) e la '''trientina''' (introdotta nel 1982 come alternativa in caso di intolleranza alla penicillamina). Ancora in fase di sperimentazione il tetratiomolibdato. * '''Inibitori dell'assorbimento intestinale di rame''': si utilizza a questo scopo lo '''zinco solfato''', che aziona le metallotioneine presenti negli enterociti le quali legano il rame impedendone l'assorbimento e l'ingresso nel circolo portale e facilitando la sua eliminazione per via fecale. Nel caso in cui la terapia specifica non abbia effetto e il paziente evolva in un quadro cirrotico, verrà attuato il follow-up tipico del cirrotico che potrà culminare in un trapianto di fegato. == Note == <references/> == Altri progetti == {{ip}} t81mp8dpxgui4u63xnt2z7wsb9fasgj 0 21233 286418 246392 2026-08-18T12:16:23Z Avemundi 2081 refuso 286418 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Scienze per la scuola media 3|avanzamento = 25%}} == Moto di rivoluzione terrestre == Il giro completo che la {{vk|Terra}} compie, in senso antiorario, attorno al Sole è detto Rivoluzione terrestre. Tale moto avviene su di un’orbita a forma ellittica molto simile ad una circonferenza detta semplicemente “ellittica”. Durante il suo moto di rivoluzione la Terra mantiene costante l’inclinazione del proprio asse rispetto al piano dell’ellittica; tale inclinazione è pari a 6° e 33’. Per questo motivo la stella polare indica sempre il Nord, in qualsiasi giorno dell’anno, ma in questo periodo la stella polare è al nord ma in passato non era così ed in futuro neanche perché l'asse terrestre compie un movimento circolare che dura circa 26000 anni e che è chiamato precessione degli equinozi. === Quali sono le conseguenze? === La conseguenza della rivoluzione terrestre è il regolare alternarsi delle stagioni. La Terra, ruotando attorno al Sole assume 4 posizioni importanti: due solstizi e due equinozi. * Solstizio d’estate: 21 giugno * Solstizio d’inverno: 22 dicembre * Equinozio di primavera: 21 marzo * Equinozio d’autunno: 23 settembre Negli equinozi la durata del giorno è uguale alla quella della notte, nel solstizio d'estate il giorno è maggiore rispetto alla notte e nel solstizio d'inverno il giorno è minore rispetto alla notte. Le stagioni si invertono passando dall'emisfero boreale a quello australe. Il tempo impiegato dalla Terra per compiere un giro completo attorno al Sole definisce una unità di misura del tempo chiamata anno. * L’anno sidereo, corrisponde all'intervallo di tempo tra due passaggi consecutivi del Sole per uno stesso punto dell'ellittica, riferito a una stella e misura la durata di una completa rivoluzione della Terra che è pari a di 365 giorni, 6 ore, 9 minuti e 10 secondi. * L’anno solare, è il periodo di tempo compreso fra due passaggi successivi del Sole all'equinozio di primavera (misura dunque il periodo di tempo che trascorre tra l'inizio della primavera e l'inizio della primavera successiva) che è di 365 giorni, 5 ore, 48 minuti, 46 secondi. Per istituire l’anno civile è stato fatto riferimento all’anno solare. L’unità di misura del tempo effettivamente utilizzata, per esigenze di praticità, è basata quindi su un arrotondamento dell'anno solare. Il numero dei giorni non è intero e pertanto vengono adottati degli aggiustamenti per ottenere l’anno civile. Il calendario misura quindi le varie divisioni del tempo: quello comunemente in uso è il calendario gregoriano per il quale un anno è formato da 365 giorni + un bisestile ogni quattro anni. In questo periodo nell’emisfero boreale i raggi del Sole arrivano poco inclinati, quindi si distribuiscono su una superficie poco estesa riscaldandola intensamente. Nel nostro emisfero (boreale) quando è estate la Terra si trova in afelio. Contemporaneamente nell’emisfero australe arrivano più obliqui distribuendosi su una superficie maggiore e determinando un minor riscaldamento. == Moto di rotazione terrestre == Viene definito moto di rotazione il movimento che compie la Terra, da ovest verso est (quindi in senso antiorario), intorno al proprio asse. === Durata === La durata di questo movimento può essere definita in relazione a una stella (giorno sidereo) o al Sole (giorno solare). Il giorno sidereo è definito come l’intervallo di tempo tra due passaggi consecutivi di una stella su un determinato meridiano della superficie terrestre ed ha una durata di 23h 56m 4s. Invece il giorno solare, ossia l’intervallo di tempo tra due passaggi consecutivi del Sole sullo stesso meridiano, ha una durata di 24 ore, 4 minuti in più del giorno sidereo. Questo perché, mentre la Terra ruota intorno al proprio asse compie anche un tratto della sua orbita intorno al sole (moto di rivoluzione), quindi, per vedere la Terra nella sua posizione iniziale bisogna dare un supplemento di rotazione uguale all’arco di orbita percorso === Che cos’è l’asse terrestre? E di quanto è inclinata? === L'asse terrestre è una linea immaginaria che congiunge i due poli e attorno alla quale la Terra compie il suo moto di rotazione.L’asse terrestre e inclinata di 23°27 === Quale sono le sue conseguenze? === Le conseguenze del moto di rotazione sono: movimento del sole e delle stelle nel corso della giornata L’alternarsi delle ore di luce (dì) e delle ore di buio (notte) === Il pendolo di Foucault === Lo scienziato Jean Bernard Léon Foucault dimostrò con un esperimento nel 1851 il moto di rotazione terrestre. Alla cupola del Pantheon di Parigi, Léon appese un cavo di circa 70 metri su cui era sospesa una palla di 28 chilogrammi che terminava con una punta, la quale oscillava su uno strato di cenere sopra il pavimento, lasciato per vedere i movimenti che fa la terra con il suo moto di rotazione. Osservando il pendolo oscillare, su uno strato di cenere, Foucault notò che il piano di oscillazione terrestre cambiava. Questo perché ogni punto sulla Terra in 24h ruota di 360°. ===I fusi orari=== Il sistema dei {{vk| fuso orario|fusi orari}} divide la Terra in 24 fusi verticali, ciascuno contenente 15 meridiani, tutti alla distanza di un grado. I fusi orari sono stati creati per superare i problemi che riguardano l’uso dell’ora solare. Il numero dei fusi orari presenti sulla Terra è tale quale alle ore di un giorno intero, ovvero 24 come il tempo che il globo terrestre impiega per fare un giro intero sul proprio asse. Greenwich è un distretto di Londra, detto meridiano fondamentale o meridiano di Greenwich. Essendo la città di Greenwich il punto fisico in cui esso passa, è proprio da lì che si iniziano a contare ore e fusi orari in tutto il mondo. Per il nostro pianeta si è fissato un {{vk|Terra|sistema di riferimento}} immaginando di tracciare sulla superficie terrestre delle circonferenze, i paralleli e i meridiani. -I paralleli sono circoli immaginari orizzontali risultanti dall’intersezione della superficie terrestre con infiniti piani perpendicolari all'asse terrestre. -I meridiani sono delle semicirconferenze verticali che si ottengono immaginando di “tagliare” la Terra con dei piani passanti per l’asse terrestre. Verso occidente le ore vengono sottratte, mentre verso oriente le ore vengono aggiunte. ESEMPIO: Angela vuole chiamare un suo parente che vive a New York e sono le 11:00 di mattina. New York si trova sei fusi orari più a ovest (occidente) dell’Italia. 11h - 6h = 5h Quindi a New York sono le 5:00 del mattino. == Precessione degli equinozi == La precessione degli equinozi è il movimento, molto lento, ma continuo, che fa cambiare l'orientamento dell'asse terrestre. Esso subisce una rotazione attorno alla propria verticale detta precessione. Tale rotazione è simile a quella di una trottola ed è dovuta all'attrazione gravitazionale della Luna e del Sole e alla forma non perfettamente sferica della Terra. La rotazione dell'asse terreste descrive, in senso orario, la superficie di un cono in circa 26.000 anni. L'asse di questo cono è perpendicolare al piano dell'orbita terreste ossia dell'eclittica. Di conseguenza i poli celesti descrivono un cerchio attorno ai corrispondenti poli dell'eclittica, mantenendosi a 23° e 26' da essi. ===conseguenza=== Il moto di Precessione non ha praticamente alcun effetto sul pianeta Terra, in quanto lascia invariata l'inclinazione dell'ellittica, da cui dipende l'ampiezza della variazione stagionale dell'inclinazione dei raggi solari, che scaldano il suolo terrestre. La manifestazione più evidente della Precessione è lo spostamento del Polo Nord Celeste tra le stelle e quindi l'avvicendamento, nel tempo, delle stelle polari, cioè delle stelle luminose che, di volta in volta, risultano più vicine ad esso. == Moto galattico == Tutte le galassie hanno un moto di rotazione attorno ad un asse. La Via Lattea ruota attorno al suo asse minore che è perpendicolare al piano dell'equatore galattico e passante per il centro, situato in prossimità della costellazione del Sagittario. Le stelle più vicine al centro ruotano più velocemente di quelle più lontane. Il moto che le stelle compiono, descrivendo un'orbita quasi circolare attorno al centro della galassia è detto moto proprio stellare o moto di rivoluzione galattica. {{ip}} 12ttsl13qtnrkqyo0mlgugy2bnnt8tu 0 24015 286475 274252 2026-08-19T02:31:16Z Avemundi 2081 Ortografia 286475 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Scienze naturali per le superiori 5|avanzamento=100%}} {{Notabene|1=''Le informazioni riportate in questa lezione derivano da testi universitari, articoli scientifici e manuali tecnico-professionali. Il livello di approfondimento è mediamente più elevato rispetto a quello delle scuole secondarie superiori (anche se compatibile quanto alla forma). Questo ciclo di lezioni tuttavia si propone soprattutto come strumento di ricerca, consolidamento e ampliamento delle informazioni.''<br> ''Questa lezione si propone anche come guida alla didattica sugli argomenti trattati e per scopi informativi non scolastici.'' '''''Tempo stimato per la lettura (lettura analitica): 3 ore'''''}} == I materiali == Prima di iniziare a considerare i processi e le strutture dell'ambiente fluviale, è bene ricapitolare alcuni elementi relativi ai materiali in gioco, poiché la terminologia relativa ricorrerà frequentemente. L'ambiente fluviale (e deltizio) è caratterizzato da processi erosivi e deposizionali che portano alla rielaborazione di materiali rocciosi in forma di particelle (granuli), che compongono i '''sedimenti'''. Nell'accezione comune si parla di ''ghiaia'', ''sabbia'', ''limo'', ''argilla''. In realtà, questi termini hanno una caratterizzazione ben precisa sulle ''dimensioni'' delle particelle di roccia che compongono i sedimenti. La classificazione dei sedimenti in base alle dimensioni delle particelle che lo compongono prende il nome di '''granulometria'''. Le particelle sono distinte in ''classi granulometriche'', diversamente definite a seconda del sistema classificatorio utilizzato; in generale, a prescindere dai parametri dimensionali adottati dai diversi sistemi di classificazione, le classi granulometriche principali sono appunto 4, in ordine di dimensione decrescente: * ghiaia * sabbia * limo o silt * argilla La scala dimensionale più utilizzata è quella di Wentworth (le dimensioni sono in mm e frazioni di mm): {| class="wikitable" |- ! Intervallo dimensionale<br />(metrico) ! Classi granulometriche<br />(Wentworth)<ref>cfr. pag 381, C. K. Wentworth (1922)</ref> |- | &gt; 256 mm | Massi (Boulder) |- | 256 - 64 mm | Ciottoli (Cobble) |- | 64 - 4 mm | Ghiaia (Pebble) |- | 4 - 2 mm | Ghiaia molto fine (Granule) |- | 2 - 1 mm | Sabbia molto grossolana (Very coarse sand) |- | 1 - 1/2 mm | Sabbia grossolana (Coarse sand) |- | 1/2 - 1/4 mm | Sabbia media (Medium sand) |- | 1/4 - 1/8 mm | Sabbia fine (Fine sand grain) |- | 1/8 – 1/16 mm | Sabbia molto fine (Very fine sand grain) |- | 1/16 – 1/256 mm | Limo (Silt) |- | &lt; 1/256 mm | Argilla (Clay particle) |} [[File:Grain-size-distribution.svg|thumb|right|verticale=2.3|Esempio di distribuzione della ''granulometria'' di campioni di sedimenti diversi. Il diagrmma è in scala semilogaritmica. Le frazioni granulometriche sono rappresentate come ''curve cumulative''. Il loro andamento esprime la proporzione delle classi granulometriche. I tratti più "ripidi" corrispondono alle frazioni che si riscontrano con maggiore frequenza (''mode''). Ad esempio, i campioni meglio ''classati'' corrispondono a sabbia fine (fine sand) e sabbia media (medium sand). Gli altri hanno una distribuzione più ampia o più irregolare. La classazione peggiore è del campione di ghiaia argilloso-sabbiosa (clayey gravel with sand), che mostra un andamento ''polimodale'' (tre ''mode'' corrispondenti alle tre classi dominanti).]] Le ''frazioni granulometriche'' vengono determinate in laboratorio mediante serie di setacci impilati "a cascata" con retinatura a diametro progressivamente minore, che lasciano passare frazioni via via più fini. I limi medio-fini e le argille non possono essere analizzati con questo metodo perché troppo fini, e si utilizzano metodi che che si basano sulla velocità di sedimentazione<ref group=N>Il campione, inserito in un tubo verticale riempito d'acqua, viene agitato e poi, durante la sedimentazione, viene campionato a intervalli di tempo standard; i campioni sono poi essiccati e pesati per determinare le frazioni granulometriche.</ref> in acqua o metodi ottici (''laser particle size'')<ref group=N>Metodo basato sui pattern di ''diffrazione'' creati dalle particelle investite da un fascio di luce laser.</ref>. Le frazioni corrispondenti a diametri standard vengono riportate su diagrammi recanti in ascissa il diametro (in scala logaritmica) e in ordinata (in scala lineare), la percentuale cumulata corrispondente (''curva granulometrica''). {{vedi anche|Statistica matematica#Funzione di ripartizione}} {{vedi anche|La Statistica Descrittiva (superiori)#Indici di posizione}} In realtà è raro trovare sedimenti composti da una sola classe granulometrica (cioè ''ben selezionati'' o ''ben classati''): generalmente abbiamo sedimenti composti da un "mix" di diverse classi: ad esempio possiamo avere sabbie siltose, o siltoso-argillose, ghiaie sabbiose, silt argillosi, argille siltose... La granulometria e il grado di ''selezione'' (o ''classazione'') di un sedimento dipendono dagli agenti naturali e dal tipo di processo deposizionale cui è stato sottoposto il sedimento stesso, e anche dall'intervallo di tempo nel quale il sedimento è stato rielaborato. Rientrano quindi nei ''criteri diagnostici'' per il riconoscimento delle ''facies sedimentarie'' (o ''facies deposizionali''), che sono espressione di ''ambienti sedimentari'' (o ''deposizionali''). I sedimenti con dimensioni dal silt in su sono '''sedimenti granulari''', ovvero composti effettivamente di particelle (''clasti'') più o meno grossolanamente sferoidali (con vari gradi di arrotondamento). In assenza di ''cementazione'' la resistenza di questi materiali è determinata dall{{'}}''attrito'' tra le particelle. Questi sedimenti derivano in massima parte dalla degradazione meccanica di rocce preesistenti (fanno eccezione alcuni tipi di granuli derivati direttamente dalla precipitazione di carbonato di Calcio, non presenti in ambiente fluviale). Sono quindi minerali ''primari'' o ''residuali''. L''''argilla''' non costituisce solo una classe dimensionale ma ha caratteristiche mineralogiche specifiche. Le argille sono minerali ''secondari''. Derivano cioè dalla degradazione chimica dei minerali primari (feldspati, miche e altri) che avviene in presenza di acqua (''idrolisi'') nella formazione dei ''suoli''. I minerali argillosi sono poi trasportati delle correnti acquee in ''sospensione'' fino al mare. I '''minerali argillosi''' sono ''silicati idrati'' di Alluminio (contenenti anche proporzioni variabili di Ferro, Magnesio, Potassio, Calcio, Sodio) con struttura ''lamellare'': in ''mineralogia'' si definiscono ''fillosilicati'' (dal greco antico φύλλον (phyllon): ''foglia'') proprio per la loro struttura a "foglietti" sovrapposti sottilissimi, di dimensioni molto piccole ( < 0.004 mm ), ma con una superficie elevatissima in rapporto allo spessore. I cristalli sono caratterizzati dalla presenza di cariche elettriche negative libere sulle superfici maggiori, quindi hanno la capacità di attrarre e "scambiare" ''cationi'' (ioni a carica elettrica positiva) con altri composti, di origine minerale e organica. Inoltre i legami tra i "foglietti" di cui è composto il minerale sono deboli, e permettono a loro volta a ioni e molecole di acqua, materia organica e altri composti di inserirsi nella struttura del minerale. {{vedi anche|Proprietà chimiche del terreno}} {{vedi anche|Proprietà fisiche dei Minerali}} L'insieme di queste caratteristiche dà ai minerali argillosi alcune proprietà importanti: * I minerali argillosi in presenza di acqua hanno spiccate ''proprietà colloidali''<ref group=N>Un ''colloide'' è una ''miscela eterogenea'' composta da una ''fase continua'' (ad esempio liquida) e da una ''fase dispersa'' (ad esempio solida). Le miscele colloidali per la loro natura eterogenea sono instabili. La fase dispersa spesso per variazioni di fattori di tipo ''elettrostatico'', fisico o chimico (variazioni di PH, di temperatura, di energia del mezzo, presenza di sostanza organica) tende a formare aggregazioni di particelle (processo di ''flocculazione'') che si separano e precipitano.</ref>, che conferiscono loro la capacità di "attrarsi" reciprocamente: quindi non si depongono come singole lamelle ma tendono a formare aggregati di cristalli (fiocchi, grumi), cioè a ''flocculare''. Questi "fiocchi" (di forma irregolare) si depongono in maniera casuale, giustapponendosi e lasciando dei vuoti tra di essi; questo conferisce alle argille una ''porosità'' molto elevata (una percentuale molto alta di "vuoti" interni al sedimento)<ref group=N>Questo è vero per le argille "recenti" (appena deposte o appena originatesi per alterazione chimica). Con il seppellimento avvengono una serie di modificazioni del sedimento argilloso che vanno dalla ''compattazione'' sotto il peso dei sedimenti soprastanti e quindi alla perdita progressiva di acqua (''de-idratazione''), alla riorganizzazione degli strati molecolari dei minerali argillosi, fino alla trasformazione di alcuni minerali. Ad esempio, la ''montmorillonite'' in questo processo tende a trasformarsi per de-idratazione in ''illite'', un minerale argilloso che non rigonfia a contatto con l'acqua. A causa di tutti questi processi, la porosità si riduce gradualmente di dimensioni e le argille divengono rocce praticamente impermeabili.</ref>. * La struttura, le caratteristiche elettrico-chimiche e le modalità di deposizione danno alle argille una grande capacità di assorbire e perdere acqua. * L'assorbimento di acqua conferisce al sedimento argilloso una notevole ''plasticità''. Viceversa, per ''disidratazione'' l'acqua viene gradualmente allontanata dalle superfici e dalla struttura dei cristalli e il sedimento argilloso indurisce. * alcuni minerali argillosi (gruppo della ''montmorillonite'') hanno la proprietà di espandere reversibilmente il reticolo cristallino in condizioni di idratazione, perciò si rigonfiano o si ritraggono in funzione dell'umidità. Conseguenza di questa proprietà è la formazione di diffuse crepacciature sul terreno, sia in superficie sia in profondità, quando è asciutto. Questo causa anche la frantumazione e la perdita di particelle e schegge di terreno che possono essere prese in carico dalle acque meteoriche e trasportate via. * Le argille, a causa della ridottissima dimensione delle particelle e alla elevata capacità di assorbimento, sono, assieme ai limi argillosi, ''rocce pseudocoerenti'', ovvero rocce le cui caratteristiche meccaniche sono determinate dalla ''coesione'' fra le particelle (e quindi dallo stato di ''idratazione'') piuttosto che dall'attrito fra le stesse. Per valori crescenti di contenuto d'acqua un terreno argilloso passa per quattro ''stati'', definiti da tre ''limiti''<ref group=N>Sono limiti espressi in termini di contenuto d'acqua (in %). Sono determinati in laboratorio per tentativi (variando il grado di umidità del campione) mediante prove ''empiriche'' effettuate con procedure standard.</ref> (che variano a seconda della composizione del terreno argilloso): <small>SOLIDO |<nowiki>---></nowiki>'''''limite di ritiro'''''<ref group=N>È il limite al di sotto del quale una ulteriore diminuzione del contenuto d'acqua non comporta una diminuzione di volume.</ref><nowiki>---></nowiki>| SEMISOLIDO |<nowiki>---></nowiki>'''''limite di plasticità'''''<nowiki>---></nowiki>| PLASTICO |<nowiki>---></nowiki>'''''limite di liquidità'''''<nowiki>---></nowiki>| LIQUIDO</small> In altre parole: l'argilla "secca" è coerente e rigida, ma generalmente friabile e fragile; l'argilla umida è coerente e ha plasticità crescente (aumentando contemporaneamente il proprio volume) con il contenuto d'acqua; l'argilla "imbevuta" d'acqua perde coerenza e diventa semiliquida, fino ad essere facilmente trasportata via dalla corrente. {{vedi anche|Pedogenesi}} <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> '''<big>Per approfondire questa parte potresti consultare i seguenti testi alle pagine indicate:</big>''' * I materiali dei sedimenti<<ref>{{cita|Ricci Lucchi (1980a)|pp. 25-36}}.</ref> * Proprietà dei sedimenti granulari e coesivi <ref>{{cita|Carmignani (2007)|pp.13-32}}.</ref> <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> == I processi di erosione e sedimentazione fluviale == L'erosione fluviale è causata sia dalla <u>turbolenza della corrente d'acqua</u>, sia dal <u>carico di sedimenti</u> che vanno a <u>erodere</u> (cioè incidere) l'<u>alveo</u> (cioè il letto) o gli argini del fiume; questo fenomeno è detto '''erosione fluviale'''. Il moto di un fluido avviene in ''regime turbolento'' quando le particelle di cui è composto il fluido si muovono secondo traiettorie caotiche e non ordinate (come invece nel ''regime di flusso laminare''). Un liquido che si muove in regime laminare ha capacità erosiva scarsa o nulla, mentre un liquido che si muove in regime turbolento ha capacità erosiva elevata. L'erosione fluviale trasporta dei sedimenti più o meno grossolani, a seconda dell'energia delle acque del fiume: più l'energia della corrente del fiume è elevata, più elevata è la quantità di sedimenti che riuscirà a trasportare. Erosione e sedimentazione sono processi complementari che asportano materiali da un'area della superficie terrestre e li depositano altrove. Prima di essere depositato, il materiale eroso è generalmente trasportato per un certo tempo e per una certa distanza, spesso dallo stesso agente che ha prodotto l'erosione. L'energia della corrente del fiume dipende soprattutto da: * velocità della corrente * portata della corrente * inclinazione dell'alveo [[File:Fluvial current particles transport.png|thumb|right|verticale=1.8|Profilo di variazione della velocità di una corrente fluviale con la profondità e corrispondenti modalità di trasporto del sedimento<ref group=N>Lo spessore dello strato a bassa velocità a contatto con il fondale è esagerato per esigenze di chiarezza dello schema.</ref>.]] La velocità della corrente è la distanza coperta da una particella ideale d'acqua nell'unità di tempo, e si misura di solito in metri/secondo ('''m/s'''). La portata di un fiume è il volume d'acqua (misurato in metri cubi) che passa attraverso una determinata sezione del corso d'acqua nell'unità di tempo, e di solito si misura in metri cubi/secondo ('''m³/s'''). La velocità della corrente è minima nello strato d'acqua a contatto con il fondale e va aumentando verso l'alto, dapprima rapidamente, poi più lentamente, fino a raggiungere la velocità della corrente che fluisce liberamente. Il sedimento trasportato dai fiumi (o ''trasporto solido'') varia lungo il battente d'acqua<ref group=N>Il profilo verticale misurato dal fondale alla superficie dell'acqua.</ref> sia come quantità (e concentrazione) che come dimensioni delle particelle. * Il ''carico di fondo'' è concentrato presso il fondale e consiste principalmente di granuli di sabbia e talora di piccoli ciottoli, che si muovono per rotolamento e trascinamento, come fossero "tappeti" mobili; massi e blocchi vengono rimossi solo in condizioni estreme di piena. La porzione superiore del carico di fondo è caratterizzata da uno strato di granuli che si muovono prevalentemente per saltazione, con traiettorie curvilinee. Lo spessore dello strato d'acqua interessato dal carico di fondo è in realtà molto scarso: va da pochi millimetri fino ad alcuni decimetri nei fiumi più importanti. * Il ''carico sospeso'' è meno concentrato (perché le particelle sono disperse nel fluido), anche se molto più abbondante di quello di fondo (mediamente da 10 a 20 volte) e di ''granulometria'' fine (limo e argilla). Il carico di fondo si muove a velocità molto minore (da pochi decimetri a poche decine di metri al giorno) rispetto al carico sospeso che viaggia alla stessa velocità della corrente (quindi la sabbia che arriva al mare è stata erosa molto prima del fango che l'accompagna in sospensione). Quando la corrente fiume perde velocità, ad esempio quando cambia la sua pendenza (ad esempio quando il fiume sbocca da una valle in una pianura) o quando arriva al mare, il fiume '''deposita''' la parte più grossolana (quindi più pesante) dei sedimenti che sta trasportando, generando le cosiddette '''forme di deposito''' (es. conoidi, barre fluviali, argini naturali, delta). [[File:Hydrographic basin.svg|thumb|left|verticale=1.2|<small>Schema di un '''bacino idrografico''', formato dall' ''asta fluviale'' principale con tutti i suoi affluenti. Il bacino è definito (linea rossa tratteggiata) dalla linea di ''displuvio'' (o ''spartiacque''). All'interno di questa linea, tutte le acque meteoriche che cadono scorrono all'interno del bacino e finiscono nei suoi corsi d'acqua; quelle che cadono oltre la linea di displuvio finiscono altrove (in altri bacini). La linea di displuvio, in concreto, è la linea che unisce tutti i punti con massima altitudine del bacino (quindi le "creste" più elevate delle colline o montagne che lo circondano).</small>]] La corrente fluviale varia anche a seconda dell'entità delle piogge (ovvero delle ''precipitazioni'' atmosferiche). Quando piove, le acque meteoriche che cadono entro il '''bacino idrografico''' del fiume, scorrono in superficie o nel sottosuolo (nella ''falda acquifera'') e vengono convogliate entro i corsi d'acqua. Si ha quindi un aumento della velocità e della portata della corrente (di conseguenza anche il livello dell'acqua nell'alveo aumenta): siamo quindi in regime di '''piena'''. Viceversa, se si ha un periodo prolungato con assenza di pioggia, la portata e la velocità della corrente, così come il livello dell'acqua nell'alveo, tendono a diminuire: siamo quindi in regime di '''magra'''. ''Piene'' e ''magre'' dipendono dalle precipitazioni, che variano generalmente con le ''stagioni''. In Italia, ad esempio, le piogge sono concentrate soprattutto nelle stagioni autunnale e primaverile, quando perciò gli eventi di ''piena'' sono più frequenti. Nella stagione primaverile, in particolare, i fiumi oltre al contributo d'acqua delle piogge avranno anche quello che deriva dallo scioglimento della neve in alta quota. In condizioni "normali" (cioè in assenza di alti e bassi pluviometrici e di apporti di altro tipo), il corso d'acqua avrà un livello intermedio tra quello di piena e di magra che si dice di '''morbida'''. Gli episodi di piena e di magra, se sono estremi (fuori dall'ordinario, ovvero molto al di sopra o al di sotto della media), possono avere ripercussioni importanti sul territorio e sulla popolazione: le piene possono dare luogo ad '''esondazioni''' (quando la portata d'acqua diviene eccessiva per le dimensioni dell'alveo) e quindi causare '''alluvioni'''. D'altro canto, eventi di magra molto pronunciati in periodi di siccità possono influire negativamente sull'approvvigionamento d'acqua per uso agricolo o per il consumo della popolazione. Inoltre, ovviamente, l'energia, la turbolenza e quindi la capacità erosiva della corrente sarà massima durante la piena e minima durante la magra. I sedimenti sabbiosi fluviali sono generalmente "sporchi", cioè con ''selezione'' piuttosto scarsa, sovente con la presenza di diverse ''mode'' granulometriche. Questo è causato dalle "pulsazioni" delle correnti fluviali, con alternanza nel tempo di condizioni di velocità di corrente più o meno elevata (piena, morbida e magra). Ad esempio, in letti di sabbie più grossolane o ciottoletti deposti in condizioni di piena (con alta velocità di corrente) si vanno a inserire entro gli interstizi granuli via via più fini trasportati in condizioni di piena calante. Un altro fattore può essere la presenza di apporti locali con condizioni di energia maggiore (affluenti, corpi di frana...) che causano variazioni locali. I granuli si presentano in generale con arrotondamento piuttosto scarso e frequenti spigoli vivi, con tacche e impronte prodotte dagli urti con altri granuli. Comunque, sia la selezione che l'arrotondamento tendono ad aumentare lungo il profilo del corso d'acqua, dalla sorgente alla foce (per l'aumentare del grado di rielaborazione dei sedimenti da parte della corrente), e la granulometria a diminuire (per l'aumento dell'usura dei granuli). Le attività dell'uomo, con modifiche alle caratteristiche del tracciato, della pendenza e della portata degli alvei dei fiumi, hanno spesso incrementato artificialmente le portate degli episodi di ''piena'', rendendo più frequenti le alluvioni e amplificandone le conseguenze. Inoltre, con il trascorrere del tempo, hanno causato una massiccia erosione del suolo o una deposizione di sedimenti dove prima non c'era, causando modificazioni del territorio spesso dannose per costruzioni, impianti e per la stessa sicurezza della popolazione. Queste problematiche rientrano nel concetto di '''dissesto idrogeologico'''. [[File:Base level (geology).png|thumb|right|verticale=2|<small>Schema ideale del concetto di ''livello di base''. Il ''livello di base finale'' è il livello medio del mare. Lungo il profilo di un fiume si avranno in generale ''livelli di base locali'' costituiti da soglie, bacini lacustri e altri elementi che inducono un rallentamento locale della corrente fluviale e un aumento della sedimentazione. Il fiume tenderà ad erodere più o meno rapidamente e ad eliminare questi fattori locali per raggiungere un ''profilo di equilibrio''.</small>]] I processi di erosione e sedimentazione sono determinati dalla posizione del '''livello di base''' dell'erosione: la superficie ideale al di sopra della quale prevalgono i fenomeni erosivi, mentre al di sotto prevalgono i fenomeni di sedimentazione. Ogni corso d'acqua tende a creare un '''profilo di equilibrio''', concavo verso l'alto e tendente asintoticamente al livello di base, nel quale da monte a valle aumenta la portata e diminuisce la granulometria del sedimento, in cui in ogni punto c’è equilibrio tra erosione e sedimentazione. Il ''livello di base'' di un fiume o torrente è il punto più basso al quale esso può scorrere. Per i grandi fiumi, il livello di base è di solito il livello del mare, ma un grande fiume o lago è parimenti il livello di base per i corsi d'acqua tributari. Un'eccezione piuttosto rara si può vedere nel Giordano, per il quale il livello di base è rappresentato dal Mar Morto, 417 m sotto l'odierno livello del mare, punto più basso di una ''area endoreica'', cioè un bacino idrografico privo di emissari. Il livello di base finale è quindi il livello medio del mare<ref group=N>Questo NON vuol dire che in mari e oceani non vi sia erosione (come vedremo), ma che prevalgono decisamente i fenomeni di sedimentazione.</ref>, ma i fenomeni di erosione e sedimentazione a piccola e media scala sono determinati dal ''livello di base locale'', che generalmente è un bacino riempito di una massa d'acqua maggiore rispetto alla portata del corso d'acqua (un lago, uno specchio d'acqua formato da una soglia, un fiume più grande etc.). Il livello di base non è mai fisso e soprattutto è ''relativo'', si può alzare a causa di un abbassamento di origine tettonica del territorio o dell’innalzamento dei mari e si può abbassare a causa dell’orogenesi (quindi per un innalzamento tettonico del territorio) o in seguito a glaciazioni (che innescano un abbassamento generalizzato del livello del mare). <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> '''<big>Per approfondire questa parte potresti consultare i seguenti testi alle pagine indicate:</big>''' * Capacità erosiva dei fluidi<ref>{{cita|Nichols (2009)|pp.44-46}}.</ref><ref>{{cita|Ricci Lucchi (1980b)|pp. 10-22}}.</ref> * Erosione e trasporto da correnti fluviali<ref>{{cita|Ricci Lucchi (1980b)|pp. 19-28}}.</ref><ref>{{cita|Ricci Lucchi (1980c)|pp. 45-54}}.</ref><ref>{{cita|Nichols (2009)|pp.129-130}}.</ref> * Regimi di corrente e stagionalità<ref>{{cita|Fenoglio e Bo (2009)|pp. 3-18}}.</ref> <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> <gallery> File:Toky.png|Rappresentazione del regime di moto laminare (a) e turbolento (b) all'interno di un condotto cilindrico. File:Po bacino idrografico.png|thumb|Bacino idrografico del Po File:River erosion in Littondale - geograph.org.uk - 1346481.jpg|Quando il fiume ha poca acqua (cioè una portata bassa), ed è quindi in regime di ''magra'', scorre secondo un moto poco turbolento (cioè ''laminare''), e l'erosione fluviale è minima. File:River erosion near Arncliffe, Littondale, Yorkshire Dales - geograph.org.uk - 40749.jpg|Qui si vede un ''meandro'' fluviale: a sinistra (parte interna del meandro) la corrente è meno veloce e ha depositato sedimenti ghiaiosi (una ''barra di meandro''); invece a destra (parte esterna del meandro) la corrente è più veloce per la forza centrifuga dovuta al tracciato curvo dell'alveo e ha quindi eroso la sponda, con una scarpata verticale. File:Fiume Olona in piena.JPG|Fiume in piena: in questo momento prevale l'erosione fluviale File:Fiume meduna in piena 1NOV 2010 - panoramio.jpg|Un fiume in piena, in cui la corrente è particolarmente turbolenta, quindi ha una forte capacità erosiva. File:Torrente Aurino.jpg|Quando il fiume ha una elevata pendenza ed ha caratteristiche torrentizie: l'erosione fluviale è elevata File:A scene of river sand.JPG|Sabbia fluviale, caratterizzata da scarsa selezione File:Adaptation du profil topographique au niveau de base par incision des rivières.png|<small>Sezione topografica attraverso il nord-Mozambico, dal Lago Malawi all'Oceano Indiano. Le valli dei fiumi attuali tendono complessivamente ad un ''profilo di equilibrio'' che tende al ''livello di base'' determinato dal livello dell'oceano. Restano rilievi residuali (''inselberg'') "aggirati" dalle correnti fluviali o frutto di sollevamenti recenti e non ancora erosi.</small> </gallery> == Forme di erosione == L''''attività erosiva di un fiume''' dipende dalle caratteristiche delle rocce e dei terreni su cui scorre, dalla pendenza dell'alveo e dalla portata del fiume, inoltre, l'erosione delle rocce da parte di un fiume è aumentata dalla presenza nelle acque dei materiali trasportati, soprattutto al fondo. nel caso in cui il fiume scorra su rocce di composizione calcarea, dolomitica o gessosa (solubili in acqua), all'erosione di tipo meccanico se ne aggiunge una anche di tipo chimico; si ha quindi un'azione di corrosione più o meno veloce delle rocce su cui l'acqua scorre. Da quanto sopra, è chiaro che i fenomeni erosivi sono più frequenti nella fascia montana e pedemontana<ref group=N>La fascia di territorio che fa da raccordo tra montagna e pianura, in cui i rilievi si fanno meno accentuati e le pendenze topografiche tendono a diminuire.</ref> di un corso d'acqua. Le '''valli fluviali''' montane presentano un profilo a forma di "V", perché l'erosione fluviale è attiva principalmente lungo il fondovalle, dove si trova l'alveo del fiume, mentre sui fianchi della valle sono attivi fenomeni di degradazione meteorica (''ruscellamento''<ref group=N>Il ruscellamento è il fenomeno di scorrimento delle acque piovane sulla superficie del terreno che si verifica quando esse non possono penetrare in profondità perché è stata superata la capacità di infiltrazione che caratterizza il terreno stesso. Questo si può verificare perché il terreno è impermeabile, oppure perché è saturo d'acqua, o perché la pioggia è molto intensa e i pori (i vuoti) del terreno non riescono ad assorbirla con velocità uguale a quella dell'apporto.</ref>, azione del ''gelo/disgelo'') e gravitativa (''soliflussione''<ref group=N>La ''soliflussione'' è un fenomeno franoso in cui i sedimenti superficiali saturi d'acqua si muovono lentamente (pochi centimetri o decimetri per anno) lungo il pendio, al disopra di rocce impermeabili.</ref>, smottamenti), più diffusi che concentrati, che normalmente agiscono più lentamente. Se l'erosione del fondovalle procede molto più velocemente di quella dei fianchi, si origina una valle molto stretta, dai fianchi quasi verticali, che prende il nome di '''gola'''. Questo ha una conseguenza importante: i corsi d'acqua vallivi sono sempre prevalentemente alvei ''confinati''<ref group=N>Un alveo si dice ''confinato'' quando oltre il 90% delle sponde è direttamente a contatto con i versanti, e i tratti di piana inondabile costruita dai sedimenti fluviali sono pochi e isolati.</ref> o al massimo ''semiconfinati''<ref group=N>Dal 10% al 90% della lunghezza delle sponde è a contatto con i versanti.</ref>, con caratteristiche peculiari che li differenziano nettamente dai corsi d'acqua di pianura: * pendenze relativamente elevate ed elevata velocità di corrente, con elevata turbolenza. * alveo spesso in roccia, con copertura di sedimenti assente o molto discontinua e prevalentemente sul fondo più che sulle sponde. * sedimenti grossolani, quando presenti. * prevalenza di fenomeni di erosione su quelli di sedimentazione. * regime di corrente molto influenzato dalla stagionalità. I corsi d'acqua con queste caratteristiche tendono ad erodere secondo un andamento lineare, poiché hanno scarsa o nulla possibilità di divagazione. Infatti spesso gli alvei sono rettilinei, oppure il loro decorso è influenzato dalle caratteristiche dei terreni e delle rocce su cui scorrono. [[File:Forra gorroppu.jpg|miniatura|Il canyon di Gorropu, nei pressi di Urzulei (OG), Italia]] Quando un corso d'acqua incontra un forte e improvviso dislivello morfologico (una ''soglia''), lo supera formando una '''cascata'''. Le cascate sono forme effimere, destinate ad attenuarsi per l'erosione della corrente del fiume, che tende a far assumere all'alveo un ''profilo di equilibrio'' in cui i salti di pendenza sono ridotti al minimo. La corrente, con energia particolarmente elevata data la velocità assunta nella caduta, nell'impatto alla base del gradino acquista una notevole capacità erosiva (soprattutto nelle fasi di piena, quando trasporta molto sedimento), asportando materiale roccioso, cosa che gradualmente provoca nuovi crolli nella parete rocciosa, portando il margine della cascata sempre più a monte e causando l'attenuazione della pendenza della parete stessa. Nella stagione invernale, i cicli ripetuti di gelo e disgelo favoriscono ulteriormente il processo di erosione staccando schegge di roccia. Inoltre, il moto vorticoso dell'acqua alla base della cascata e la presenza di materiali grossolani trasportati, intaglia nella roccia delle cavità subsferiche chiamate '''marmitte dei giganti''', che favoriscono vieppiù il crollo della scarpata. Col tempo la cascata si trasforma in una '''rapida''', vale a dire un tratto di fiume a forte pendenza. <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> '''<big>Per approfondire questa parte potresti consultare i seguenti testi alle pagine indicate:</big>''' * Caratteristiche dei corsi d'acqua montani<ref>{{cita|Rinaldi et al. (2014)|pp. 1-8}}.</ref> <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> <gallery> File:Angel falls.jpg|Il Salto Angel, la cascata più alta del mondo File:Waterval Ova Fedoz.jpg File:Grand Canyon Colorado.JPG|L'azione erosiva del Colorado ha formato il Gran Canyon File:Indus Kohistan Pakistan.jpg|Valle a V del fiume Indo (Pakistan) File:LinvilleGorge.jpg|Valle a V File:Pahalgam Valley.jpg|Che tipo di valle è? File:Hells Gate.jpg File:Iguazu Décembre 2007 - Panorama 7.jpg|Le cascate di Iguazù (Argentina) File:Niagara watervallen canada.jpg|Cascate del Niagara File:Val Falcina.jpg|La Val Falcina (Belluno) File:Marmitta dei giganti - Cadini del Brenton (valle del Mis - BL).jpg|Marmitta dei giganti (Valle del Mis) File:Neiden bru2.jpg|Rapide File:Gole dell'Alcantara-pjt1.jpg|Gola o forra File:Sciaffusa falls.jpg|Le cascate di Sciaffusa (Reno) sono in realtà delle rapide File:Alterno 10 (RaBoe).jpg|Gole di S.Venanzio (Aq) File:Dangar Falls Dorrigo-retouched-by-karstn.jpg </gallery> == Forme di deposito == Le forme di deposito fluviale più tipiche sono i '''conoidi di deiezione''' e le '''pianure alluvionali'''. [[File:Alluvial fan scheme.PNG|thumb|right|verticale=1.8| Schema ideale di una conoide alluvionale, che mostra in pianta i principali elementi morfologici di questo tipo di deposito. La sezione ''longitudinale'' (A-A') mostra l'evoluzione nel tempo della conoide, caratterizzata dalla tendenza del corso d'acqua ad erodere a monte della fascia intermedia dell'edificio e a depositare sedimento a valle, in modo da raggiungere un profilo di equilibrio; la sezione ''trasversale'' (B-B') mostra la zona dei canali attivi (con profilo a V) e le aree di intercanale.]] ===conoidi di deiezione=== Sono depositi a forma semiconica o a ventaglio, con apice rivolto a monte e con profilo trasversale convesso. Questi depositi sono generalmente formati da un corso d'acqua a regime torrentizio allo sbocco di una valle montana in una pianura o in una valle più grande, e sono prodotti dalla sedimentazione del materiale in carico al corso d'acqua quando la corrente fluviale rallenta e si espande improvvisamente per una brusca diminuzione della pendenza topografica e per il venir meno del confinamento laterale. Una conoide alluvionale isolata assume in pianta una configurazione semicircolare determinata dall'espansione libera dei detriti che la compongono a partire da un singolo punto di entrata della corrente, con il vertice (''apice'') all'uscita della valle. Una conoide parzialmente confinata dalla valle che la origina avrà un aspetto più triangolare. È però più frequente che le conoidi si uniscano e si giustappongano lateralmente (conoidi ''coalescenti''), a formare una fascia più o meno continua di detrito in cui sono riconoscibili talora solamente gli apici superiori (triangolari) dei singoli corpi. Il raggio delle conoidi è molto variabile: da qualche centinaio di metri a diverse decine di chilometri, in funzione principalmente della portata del corso d'acqua che origina la conoide, della superficie del ''bacino idrografico'' alle sue spalle, dei gradienti topografici in gioco e delle caratteristiche climatiche (aride o umide) del territorio. Questo tipo di accumulo costituisce un ambiente sedimentario in cui la sedimentazione è controllata da correnti fluviali ad elevata velocità a causa degli alti gradienti topografici in gioco, ed è caratterizzato da un reticolo idrografico di tipo intrecciato (tipico dei corsi d'acqua a regime torrentizio), in cui il letto del corso d'acqua è suddiviso in diversi canali secondari che si separano e si ricongiungono a più riprese formando isole fluviali. Le conoidi sono caratterizzate dalla diminuzione da monte a valle della ''granulometria'' dei sedimenti, determinata dalla perdita graduale di energia (e quindi capacità di carico) della corrente per il diminuire della velocità: i sedimenti più grossolani (massi, ghiaie e sabbie grossolane) tendono a deporsi nella zona apicale dell'edificio della conoide, mentre sedimenti via via più fini (sabbie medie, fini, silt e argilla) si depongono verso il ''piede'' (o ''unghia'') della conoide. Ne risulta un profilo complessivamente concavo verso l'alto del corpo di conoide. Si possono avere però anche depositi fangosi, derivati da colate di fango che possono contenere anche blocchi di roccia e materiale organico (ad esempio tronchi di alberi abbattuti). La caratteristica più evidente dei depositi di conoide è la loro estrema variabilità in senso verticale e orizzontale. L'inclinazione del profilo della conoide è quindi molto variabile, in funzione della granulometria dei sedimenti, anche se raramente la pendenza massima supera i 10°. La superficie di una conoide è caratterizzata da un ''reticolo idrografico'' a configurazione radiale e centrifuga, che si espande a partire dall'apice e, come già detto, è di tipo intrecciato. I sedimenti di conoide si raccordano gradualmente nella parte distale con sedimenti di pianura alluvionale. Di norma, solo una parte del reticolo idrografico (una fascia longitudinale a "spicchio") è attiva in un determinato momento. I canali distributori tendono però a migrare lateralmente nel tempo, ed è proprio questo processo a "costruire" gradualmente l'edificio semicircolare della conoide. Questo fenomeno di ''diversione'' (cambiamento di direzione) avviene generalmente in fase di piena per la presenza di un qualunque ostacolo (ad esempio accumuli di detriti vegetali, massi etc.), e può essere agevolato dalla presenza nella parte distale della conoide di opere di origine antropica (argini, restringimenti dell'alveo del corso d'acqua principale, presenza di abitati) che ostacolano il deflusso delle acque, causando inondazioni. Una conoide alluvionale può terminare, nella sua parte distale, in un bacino lacustre o marino: in questo caso l'interazione delle correnti fluviali con una massa d'acqua stazionaria dà origine ad un vero e proprio edificio deltizio, che si definisce ''delta-conoide''. ===pianure alluvionali=== [[File:Alluvial plain general.PNG|thumb|right|verticale=1.8|Schema generale di una pianura alluvionale, con le principali forme di erosione e di deposito in funzione della portata della corrente e della pendenza (gradiente topografico) dell'alveo.]] Si formano per deposito dei detriti trasportati da un fiume, che progressivamente riempiono zone depresse della superficie terrestre (che possono essere anche, ma non necessariamente, bacini lacustri o bracci di mare). La Pianura Padana è un esempio di pianura alluvionale, formatasi per riempimento di un braccio di mare a opera del Po e dei suoi affluenti. Una pianura alluvionale è l'espressione geomorfologica di un "sistema alluvionale", composto da due tipi di elementi: * ''canali'': elementi attivi<ref group=N>Attivi in quanto sono i vettori dei sedimenti, la sede dei processi fisici a più alta energia e tendono a migrare lateralmente incidendo i sedimenti più antichi.</ref> di origine erosiva, riempiti di sedimenti prevalentemente sabbiosi deposti da correnti fluviali; * ''piane di inondazione'' (o piane inondabili): elementi passivi, formati da depositi prevalentemente fini (argilloso-siltosi) di riempimento derivati dalla tracimazione delle acque dai canali. I canali fluviali nella pianura sono ormai nella maggior parte dei casi ''alvei non confinati'', perché non vi sono più versanti collinari o montani a contenerli. Il materiale fine portato in sospensione dalla corrente durante le piene, quando le acque tendono a tracimare dall'alveo, tende a depositarsi ai lati dell'alveo stesso e a formare depositi a forma di cuneo, gli "''argini naturali''", composti da alternanze di sottili strati sabbiosi e siltoso-argillosi, che si assottigliano gradualmente verso l'esterno fino a confondersi con la piana d'inondazione. La sedimentazione fluviale tende ad innalzare progressivamente l'alveo e col tempo gli ''argini naturali'' del fiume non sono più in grado di contenere le acque che a loro volta esondano provocando alluvioni e depositando sedimenti sulla pianura circostante. Durante il colmo di piena, con la tracimazione, il fiume tende a deporre i materiali più grossolani (sabbia) nell'alveo e nelle sue immediate vicinanze, mentre i materiali più fini (silt e argilla) si depongono nelle parti più distanti della piana d'inondazione. In questo modo cresce il dislivello tra l'"edificio" dell'alveo e la piana, fino a formare un ''alveo pensile''. È la situazione ad esempio del Po e dell'Adige nel tratto terminale del loro corso. Continuando ad aumentare il dislivello, prima o poi il fiume romperà l'argine naturale e darà origine ad un nuovo alveo. L'alveo abbandonato (''paleoalveo'') resta come un dosso rilevato nastriforme, che viene gradualmente sepolto da nuovi sedimenti. Con il succedersi degli episodi di piena, i continui fenomeni di ''diversione'' portano gli alvei dei corsi d'acqua a migrare lateralmente, incidendo i depositi preesistenti e deponendo nuovi sedimenti, ''costruendo'' quindi gradualmente la pianura. L'esondazione dagli argini naturali in conseguenza delle piene, la diversione e la migrazione dei canali fluviali sono fenomeni del tutto naturali e connaturati al sistema alluvionale, che però hanno come risultato episodi di inondazione, anche catastrofici, con ovvie ripercussioni sulle strutture di origine antropica (abitati, impianti, viabilità) e sulla stessa sicurezza della popolazione. Per questo l'uomo ha cercato (fin dai tempi più antichi della civilizzazione) di contenere questi fenomeni con interventi sull'idrografia come ''dighe'' e ''argini artificiali''. Inoltre, le pianure alluvionali sono le aree della superficie terrestre che maggiormente si prestano all'''agricoltura'', che l'uomo ha cercato di agevolare con opere di irrigazione, scavando ''canali artificiali'' e modificando così l'idrografia superficiale e le stesse portate dei corsi d'acqua naturali (cui l'acqua viene sottratta per irrigare i campi). In particolare, l'opera di costruzione e continuo innalzamento e consolidamento degli argini artificiali contribuisce ad accentuare la tendenza dei fiumi a costruire alvei pensili rispetto a pianure fortemente antropizzate, accentuando il rischio idrogeologico. Dal punto di vista ''geomorfologico'' si possono distinguere in una piana alluvionale due zone, con diverse dinamiche tra corrente e sedimenti e diversi tipi di deposito: <u>Alta pianura</u>. La parte più elevata della pianura, con pendenza maggiore e corrente più veloce; qui i fiumi hanno quindi la tendenza ad assumere un tracciato rettilineo o comunque poco sinuoso e i fenomeni di erosione prevalgono. I sedimenti fluviali sono più grossolani (sabbia grossolana e ghiaia). Gli alvei fluviali sono comunemente a ''canali intrecciati'', separati da depositi di sedimento sabbioso-ghiaioso chiamati ''barre fluviali'', generalmente a forma di losanga o di ellisse. Il sedimento si depone nella parte a valle della barra, mentre la corrente tende ad erodere la barra a monte, quindi le barre tendono a ''migrare'' nella direzione della corrente<ref group=N>Questo processo di erosione-deposizione è continuo ma più attivo durante i periodi di piena (quando può portare allo smantellamento delle barre esistenti e alla costruzione di nuove barre), e costituisce il meccanismo di ''trasporto'' dei sedimenti in questa parte della piana alluvionale.</ref>. <u>Bassa pianura</u>. È La parte meno elevata della pianura, con pendenze molto basse: la corrente è quindi meno veloce e tende a depositare i sedimenti più che a erodere. Qui i fiumi generalmente non sono più rettilinei ed aumenta la sinuosità del tracciato dell'alveo, che tende a formare ''meandri''. I meandri si formano perché in un alveo con tracciato curvo, la forza centrifuga tende a spostare la linea di massima velocità della corrente verso l'esterno, quindi la velocità e capacità erosiva della corrente sono più elevate verso la parte concava (esterna) della curvatura, mentre la corrente è meno veloce nella parte convessa (interna) della curvatura. Così, la corrente tende ad erodere la sponda nella parte concava e a depositare sedimenti nella parte convessa (dove si forma appunto un deposito chiamato ''barra di meandro'')<ref group=N>I sedimenti deposti in un determinato meandro sono stati erosi nei meandri precedenti: questo processo di erosione-deposizione è il meccanismo di ''trasporto'' dei sedimenti prevalente in questa parte della piana alluvionale.</ref>, accentuando sempre di più la curvatura del meandro stesso. Il meandro assume gradualmente una configurazione a ''laccio'' fino a che, oltre un certo limite, il ''collo'' del meandro viene tagliato e l'alveo attivo del fiume si sposta. Il meandro morto diviene quindi una ''lanca'' in cui l'acqua non scorre più, si trasforma gradualmente in un'area paludosa e infine si prosciuga. Le ''barre di meandro'' per il loro processo di formazione (accumulandosi nella parte interna del meandro stesso) tendono a ''migrare'' trasversalmente alla direzione della corrente del fiume. Nella bassa pianura si formano spesso acquitrini nelle aree tra i canali fluviali per il ristagno delle acque fuoriuscite nelle fasi di piena. In queste aree, con notevole sviluppo della vegetazione palustre, si possono formare ''torbiere'' e in generale il materiale vegetale può accumularsi nel tempo fino a formare dopo il seppellimento depositi di ''lignite'' e ''carbone''. Tutte queste forme di erosione e di deposito si rinvengono comunemente sulla Terra, sulla cui superficie vi è acqua allo stato liquido per la presenza di una pressione atmosferica e di un clima che lo consente. Tuttavia, soprattutto nell'ultimo ventennio, le missioni spaziali hanno permesso di riconoscere forme simili (derivate probabilmente da processi simili) anche su alcuni corpi celesti extraterrestri, segnatamente sul pianeta '''Marte'''. Si tratta però in questo caso di forme e depositi fossili (non più attivi) da alcuni miliardi di anni perché attualmente l'atmosfera di Marte è troppo rarefatta per poter ospitare acqua allo stato liquido sulla superficie del pianeta. L'unico altro corpo celeste conosciuto (oltre alla Terra) in cui si ha attualmente presenza stabile di liquidi sulla superficie è '''Titano'''<ref group=N>E' il secondo satellite più grande del sistema solare (5150 Km di diametro: più grande del pianeta Mercurio).</ref>, il satellite maggiore del pianeta '''Saturno''', che possiede un'atmosfera più densa del 50% rispetto a quella della Terra (1.5 bar di pressione al suolo). Le condizioni della superficie di Titano sono conosciute da alcuni anni grazie alla missione spaziale Cassini-Huygens (2004-2017). Il satellite è ricoperto in gran parte da mari e laghi di idrocarburi allo stato liquido (metano ed etano soprattutto). Questi idrocarburi, che alle condizioni della superficie terrestre sono gassosi, su Titano sono liquidi a causa della bassissima temperatura superficiale (- 179 °C); è stato anche rilevato un vero e proprio reticolo idrografico, sia di tipo ramificato che meandriforme, con morfologia del tutto analoga a quella degli equivalenti terrestri. Sul satellite, secondo tutte le evidenze raccolte dalla missione Cassini, è presente un ciclo idrologico impostato non sull'acqua ma sugli idrocarburi, con evaporazione, precipitazioni atmosferiche, una rete di drenaggio e bacini di raccolta dei fluidi. <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> '''<big>Per approfondire questa parte potresti consultare i seguenti testi alle pagine indicate:</big>''' * Conoidi di deiezione<ref>{{cita|Nichols (2009)|pp.141-150}}.</ref><ref>{{cita|Ricci Lucchi (1980c)|pp. 76-89}}.</ref> * Pianure alluvionali<ref>{{cita|Ricci Lucchi (1980c)|pp. 45-76}}.</ref><ref>{{cita|Nichols (2009)|pp.129-141}}.</ref> * Morfologia e classificazione dei corsi d'acqua e zonazione delle piane alluvionali<ref>{{cita|Rinaldi et al. (2014)|pp. 1-15}}.</ref> * Depositi e morfologie alluvionali nel Sistema Solare (''Esogeologia'')<ref>{{cita|Grotzinger et al. (2013)}}.</ref> <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> <gallery> File:Alluvial Fan.jpg|thumb| Conoide di deiezione isolata in ambiente arido (Death Valley, California). Alla fotografia aerea sono sovrapposte le curve altimetriche. È ben visibile la pianta semicircolare del deposito. File:Alluvial cones (PSF).png| Schema di un allineamento di conoidi (2) al piede di un versante solcato da corsi d'acqua (1) paralleli. File:Alluvial fan 01.JPG|Conoide di deiezione in ambiente di alta montagna, nei Pirenei francesi. La scarsa vegetazione d'alta quota permette di distinguere la tipica morfologia del corpo sedimentario, con la parte ''prossimale'' (o ''apicale'') verso monte, caratterizzata da inclinazione elevata e depositi grossolani, e la parte ''distale'' verso valle, con sedimenti più fini. È visibile anche il reticolo idrografico di tipo intrecciato, attivo solamente nel settore sinistro dell'immagine e per il resto colonizzato dalla vegetazione erbacea. Infine, è apprezzabile il profilo complessivamente concavo verso l'alto del deposito e il graduale raccordo con i depositi di fondovalle. Il ''piede'' della conoide è inciso dal letto del corso d'acqua di fondovalle. File:Alluvial fan, Taklimakan Desert, XinJiang Province, China, NASA, ASTER.jpg|Conoide di deiezione in Cina (Deserto Taklimaklan). File:Alluvial fan in Iran.jpg|Conoide di deiezione in Iran. File:Waimakariri01 gobeirne.jpg|Fiume con alveo a canali intrecciati. I canali sono separati da depositi di ''barra fluviale''. File:Braided Drainage.jpg|Piana alluvionale in Alaska. L'assenza di vegetazione per il clima rigido rende visibili tutte le forme di erosione e di deposito fluviali File:Slip-off slope diagram.svg|Sezione schematica di un alveo fluviale asimmetrico in un corso d'acqua a meandri. Il flusso di corrente tende ad erodere la sponda corrispondente al lato concavo dell'alveo e a depositare sedimento sul lato convesso. Il succedersi degli eventi di piena provoca il giustapporsi di corpi convessi verso l'alto sul lato interno del meandro, inclinati verso il canale. File:Meandro.png|Formazione di un meandro. File:Finna2.JPG|Lanche originate da eventi successivi di taglio di meandri (Scandinavia). Quanti meandri abbandonati si possono riconoscere? Quale è la sequenza temporale (dal più recente al più vecchio)? vai alla risposta<ref group=N>Il più recente meandro morto è in alto al centro della fotografia (all'interno del meandro attivo attuale), ed è occupato da una lanca per tutto il suo sviluppo (acqua chiara); il secondo meandro morto è a seguire verso destra, ed è per la maggior parte interrato (solo un residuo di lanca con acqua fangosa); l'ultimo è a destra in basso, tagliato dall'alveo attuale, quasi del tutto interrato (solo due pozze con acqua o fango e un rigagnolo di scolo).</ref> File:Grand Canyon Horse Shoe Bend MC.jpg|Il meandro Horseshoe Bend del fiume Colorado, Stati Uniti. Si tratta di un ''meandro incassato'' impostatosi su roccia. Questo avviene quando il fiume, a causa di un rapido abbassamento del ''livello di base dell'erosione'', erode rapidamente i sedimenti di piana alluvionale e arriva a incidere il substrato roccioso. Si tratta quindi di una morfologia "''ereditata''", che nella nuova situazione si evolve molto lentamente. File:Rio-cauto-cuba.JPG|Alveo fluviale a meandri in un contesto di pianura intensamente antropizzata e coltivata. File:Rio Negro meanders.JPG|Meandri del Rio Negro (Argentina). È visibile l'alveo attuale e le generazioni precedenti di meandri, progressivamente tagliati e inattivati. L'alveo del fiume migra velocemente nel tempo formando sempre nuovi meandri. Nella parte interna dei meandri sono visibili le ''barre di meandro'', con decorso concentrico al meandro stesso. File:SonghuaRiver ASTER 20020401.jpg|Piana alluvionale a meandri. Qui è visibile lo spostamento dell'alveo fluviale attuale verso il basso, mentre verso l'alto abbiamo solo meandri fossili (ormai inattivi). File:PEAT&COAL IN FLUVIAL ENV(MEANDER).png|Diagramma generale che illustra la presenza e la posizione di livelli di carbone (o lignite, o torba a seconda dell'età del deposito) in un ambiente fluviale a meandri. File:Pia padana.jpg|La pianura padana è una pianura alluvionale formata dal Po e dai suoi affluenti. File:Babylonian cuneiform tablet with a map from Nippur 1550-1450 BCE.jpg|Tavoletta d'argilla in scrittura cuneiforme babilonese (periodo cassita) da Nippur, che rappresenta una mappa con indicazione dei campi e dei canali di irrigazione (1550-1450 A.C.). File:24808multiplefans.jpg|Marte. Esempio di accumuli di sedimento aventi caratteri morfologici compatibili con conoidi di deiezione. Le conoidi si sviluppano al termine di profondi solchi (impluvi) incisi verosimilmente da acque correnti (sulla destra della fotografia) e sono caratterizzate da un pattern di drenaggio di tipo intrecciato, analogamente alle conoidi terrestri. La direzione generale delle paleo-correnti è da destra a sinistra nella fotografia. Le conoidi in questo caso si sviluppano su diversi ordini di terrazzi morfologici, da destra a sinistra. Fonte: High Resolution Imaging Science Experiment (HiRISE) - NASA. Posizione: 40.7 S; 310.3 E File:Melas Chasma channels.JPG|Canali sul pianeta Marte. Queste forme sono state scavate molto probabilmente da acque correnti, presenti sulla superficie del pianeta alcuni miliardi di anni fa quando Marte era caratterizzato da un'atmosfera più spessa e un clima più caldo e umido dell'attuale. File:PIA16197 Titan river.jpg| Immagine radar (ripresa dalla sonda Cassini, della NASA) di una parte della superficie di Titano, il satellite maggiore di Saturno. È chiaramente visibile un tracciato fluviale della lunghezza di circa 400 Km. Questi "fiumi" non drenano acqua liquida (incompatibile con le condizioni di temperatura della superficie di Titano), ma miscele di idrocarburi (metano ed etano soprattutto) allo stato liquido. </gallery> == Quando i fiumi incontrano i mari == {{vedi anche|Il modellamento marino (superiori)}} [[File:Delta types.png|thumb|right|verticale=1.8|Tipologie di foce in funzione dell'importanza dei processi marini (onde, correnti costiere e maree) e dei processi fluviali (correnti fluviali).]] Alla '''foce''' dei fiumi, la corrente fluviale si getta in una massa d'acqua relativamente stazionaria (che può essere un mare o un lago), convogliandovi dei sedimenti. Questo, a seconda del tipo di dinamica tra le acque del fiume e quelle del bacino ricevente, può dare origine a vari tipi di depositi di '''delta'''. Nel caso di un mare, inoltre, l'acqua dolce continentale si mescola con quella marina più salata, con importanti cambiamenti nelle comunità biologiche. I sedimenti portati dai corsi d'acqua si depositano costruendo una pianura costiera interrotta da aree paludose. '''Foce a delta''': deposizione del materiale trasportato dal fiume intensa. Ha la forma a ventaglio, si può formare sia sulle coste marine sia su quelle lacustri. Se la velocità di deposizione da parte del fiume è superiore a quella di rimozione dei sedimenti da parte del mare, si accumuleranno sempre più sedimenti fino a formare nuove lingue di terra emersa. Questo avviene quando le acque del fiume si gettano nel mare in zone dove non vi sono forti correnti marine costiere e il moto ondoso non è molto forte. In questo modo, i sedimenti portati dal fiume si accumulano verso mare formando un delta ''digitato'', che può essere costituito da uno o più canali distributori (come ad esempio il delta attuale del Mississippi). Se invece la zona del delta è interessata da un moto ondoso energico e forti correnti costiere, i sedimenti vengono ridistribuiti lateralmente ai canali principale e il delta tende ad avere una forma a ventaglio (come ad esempio i delta del Po e del Nilo). Anche in questo caso possono aversi più canali distributori. In questo ambito si distinguono vari tipi di delta: ''lobato'', ''cuspidato'' e ''arcuato'', con efficienza progressivamente minore dei processi fluviali e maggiore dei processi marini. I delta che si formano dove ci sono forti escursioni di marea (ad esempio i delta dell'Indo e del Gange) hanno generalmente pochi canali distributori, profondi e aperti a imbuto verso mare, con poche isole di sabbia e accumuli di sedimenti (barre), in quanto le correnti di marea tendono a portare via i sedimenti portati dal fiume e ridistribuirli lungo costa. [[File:Delta map.png|thumb|upright=1.8|Mappa idealizzata di un delta con i principali ambienti sedimentari. Spiegazione nel testo. Ovviamente si tratta di un esempio generale: non è detto che tutti gli elementi rappresentati siano sempre presenti.]] La ''geomorfologia'' distingue tre parti principali in un apparato deltizio: La <u>piana deltizia</u> è la parte emersa del delta (quindi, anche quella abitata da fauna e flora continentale ed eventualmente dalla popolazione umana). È generalmente in continuità con una pianura alluvionale. Ne fanno parte i ''canali distributori'' del delta (con tutte le forme di deposito già viste per i canali alluvionali). Qui abbiamo i sedimenti più grossolani (sabbia e ghiaia), ma anche sedimenti fini nelle aree tra i canali (aree di ''intercanale'' o ''interdistributarie'') che si depongono in acquitrini, paludi e baie in comunicazione col mare. La <u>fronte deltizia</u> è caratterizzata da una pendenza più o meno accentuata verso il mare (o il lago), ed è per la maggior parte sommersa. Qui la corrente fluviale entra nel bacino e perde improvvisamente velocità, quindi si ha deposizione di sedimento (prevalentemente sabbioso) in forma di ''barre di foce''. il <u>prodelta</u> è sommerso e costituisce il raccordo tra la fronte deltizia e il fondale del bacino. Qui si depositano prevalentemente sedimenti a ''granulometria''<ref group=N>La ''granulometria'' è la dimensione delle particelle che costituiscono il sedimento. Le particelle sono distinte in classi granulometriche, solitamente quattro, in ordine decrescente: ghiaia, sabbia, silt (o limo), argilla.</ref> fine (sabbie molto fini, silt e argille). '''Foce ad estuario''': si trova in fiumi che trasportano un carico di sedimenti ridotto rispetto alla portata, su coste con elevata escursione di marea (oceaniche). Ha un solo canale aperto e profondo con forma a imbuto e depositi da parte del fiume praticamente assenti . Durante l'alta marea gli estuari vengono invasi dalle acque del mare, mentre durante la bassa marea da quella dolce. La fauna presente è in grado di adattarsi sia all'acqua salata che a quella dolce. [[File:Delta flusso regime.png|thumb|upright=1.8|Regimi di flusso nel delta. Nel periodo di magra il carico in sospensione della corrente fluviale entrante dà origine a flussi ipopicnali (con densità minore rispetto alle acque del bacino), che depongono sedimento per decantazione. In regime di piena, il carico di fondo della corrente fluviale dà origine a flussi iperpicnali (più densi rispetto alle acque del bacino), con deposizione di sedimenti grossolani di tipo torbiditico.]] Generalmente, l'entità della portata d'acqua e il tipo di carico di sedimento del corso d'acqua entrante risentono della ''stagionalità'' (cioè dipendono dalle stagioni), con l'alternarsi di regimi di ''magra'' (nella stagione meno piovosa) e di ''piena'' (nella stagione piovosa). Questa stagionalità può avere un impatto notevole sulle modalità di sedimentazione. * In '''regime di magra''', il corso d'acqua è caratterizzato da scarsa portata d'acqua, minore velocità della corrente e scarso carico di sedimento, prevalentemente in sospensione. Come conseguenza, il flusso entrante in bacino tende ad avere minore densità rispetto alla massa d'acqua che lo accoglie, soprattutto se questa è salata (flusso ''ipopicnale''), e a formare uno strato superficiale fino a una certa distanza dalla foce, perdendo gradatamente il carico di sedimenti in sospensione che si depositano per decantazione. * In '''regime di piena''', aumenta la portata d'acqua e la velocità della corrente e aumentano sia il carico in sospensione sia il carico di fondo (cioè il materiale trasportato a contatto con il fondale e negli strati d'acqua immediatamente sovrastanti il fondo). La parte più densa della corrente fluviale con il carico di fondo dà origine a flussi di tipo ''iperpicnale'' (con densità maggiore rispetto alle acque del bacino), che tendono a muoversi a contatto con il fondale. Sovente, la notevole densità delle correnti fluviali in regime di piena, per la presenza del ''carico di fondo'', dà origine nel bacino prospiciente l'apparato deltizio a correnti di tipo ''torbiditico'', che depongono sedimenti grossolani anche a notevole distanza dal delta propriamente detto. {{vedi anche|Il modellamento marino (superiori)}} Al di là della dinamica stagionale, vi sono fiumi che danno luogo a flussi prevalentemente ''ipopicnali'', ''omopicnali''<ref group=N>Si dice ''omopicnale'' un flusso con densità uguale a quella della massa d'acqua circostante.</ref> o ''iperpicnali'', a seconda dell'estensione del ''bacino idrografico'' che hanno alle spalle, della presenza di rilievi più o meno accentuati (cioè della ''maturità'' del territorio), dalla tipologia delle rocce e dei terreni attraversati (''litologia'') e dal ''clima''. Un territorio "maturo" (cioè molto eroso, con rilievo poco accentuato e basse pendenze) darà luogo a basse velocità di corrente, prevalenza di materiale fine, carico di fondo scarso e carico sospeso prevalente. In questo caso quindi la dinamica fiume-mare nel delta sarà dominata da flussi ''ipopicnali'' (a parte episodi di piena eccezionali). Viceversa un territorio "giovane" (poco eroso e quindi con rilievi accentuati pendenze elevate) darà luogo ad apporti di sedimento cospicui, con elevate velocità di corrente, materiali più grossolani e poco selezionati e carico di fondo abbondante. In queste condizioni avremo nei delta flussi ''iperpicnali'' frequenti. L'estensione del bacino idrografico e la litologia prevalente determinano la quantità di materiale disponibile per l'erosione fluviale e il clima (umido piuttosto che arido o semiarido, freddo piuttosto che temperato o tropico-equatoriale) determina le precipitazioni e quindi la velocità e l'entità effettiva dell'erosione. Anche queste forme di deposito non sono esclusive della Terra. Forme simili sono state riconosciute dalle missioni spaziali anche su altri corpi celesti del sistema solare e soprattutto sul pianeta Marte (che nelle fasi iniziali della sua storia, alcuni miliardi di anni fa, aveva condizioni climatiche più simili a quelle della Terra). Morfologie riconducibili a sistemi deltizi sono state ipotizzate, sulla base dei dati della missione spaziale Cassini, anche su Titano. <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> '''<big>Per approfondire questa parte potresti consultare i seguenti testi alle pagine indicate:</big>''' * Depositi di delta ed estuario<ref>{{cita|Nichols (2009)|pp.179-198}}.</ref><ref>{{cita|Ricci Lucchi (1980c)|pp. 119-169}}.</ref> * Regimi di flusso nei delta e depositi da correnti di densità (ipo-iperpicnali):<ref>{{cita|Zavala e Pan (2018)|pp. 1-5}}.</ref> * Depositi e morfologie deltizie nel Sistema Solare (''Esogeologia'')<ref>{{cita|Grotzinger et al. (2013)}}.</ref><ref>{{cita|Bhattacharya (2006)}}.</ref> <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> <gallery widths="140px" heights="140px"> File:Delta sezione longitudinale.png| Sezione longitudinale idealizzata di delta. Se immaginiamo di sezionare un edificio deltizio in direzione parallela alla corrente, vediamo una serie di strati inclinati verso mare (o comunque verso bacino) deposti in tempi successivi (t₁ → t_n) per opera delle correnti fluviali. In ciascuno strato, deposto in un determinato istante, la ''granulometria'' (ovvero la dimensione delle particelle di sedimento) tende a diminuire da terra verso mare: abbiamo sabbie e ghiaie nella piana e nella fronte deltizia e silt e argille passando al prodelta. File:Delta peat seams.png|Schema di distribuzione delle facies sedimentarie in un delta. Le aree ad acquitrino o palude e baia interdistributaria sono colonizzati da vegetazione che dà origine ad accumuli di torba e materiale legnoso. Dopo il seppellimento, col tempo, questi accumuli possono trasformarsi in lignite o carbone. File:Mississippi Delta IR.jpg|Immagine satellitare a larga scala del delta del Mississippi. Il vecchio apparato deltizio inattivo (verso terra) è un tipico esempio di delta lobato. File:Mississippi delta from space.jpg|Dettaglio del delta del Mississippi mostrante il ramo attivo più recente, tipico esempio di delta digitato in crescita in ambiente con scarsa energia marina File:Delta Po e laguna Venezia visti dallo spazio, 1984.JPEG|Delta del Po. È un apparato deltizio di tipo ''cuspidato''. In questo caso le correnti costiere dell'Adriatico (che tendenzialmente trasportano i sedimenti in sospensione verso sud) hanno un ruolo primario nella distribuzione dei sedimenti fluviali, anche se la corrente del fiume è dominante. In questo tipo di delta, le correnti lungo costa, trasportando il sedimento e deponendolo in forma di ''cordoni litorali'', col tempo riescono a "isolare" baie di acqua marina rispetto al mare aperto formando ''lagune''. File:Nile delta landsat false color.jpg|Il delta del Nilo. Si tratta di un delta di tipo ''arcuato'', in cui le onde e correnti del Mediterraneo ridistribuiscono i sedimenti del fiume lungo la costa, formando ''lagune'' costiere. File:Yellow River Delta Animation.gif|Animazione che descrive le variazioni del delta del [[w:Fiume Giallo]] ([[w:Cina]]) dal 1989 al 2009. Esempio molto evidente di ''diversione'' di un canale distributore in seguito ad una piena eccezionale, con inattivazione del vecchio canale principale, formazione di un nuovo ramo del delta e modificazione della morfologia costiera. File:Indus River Delta.jpg|Delta dell'Indo (Pakistan). Si tratta di un apparato deltizio di tipo ''arcuato'', ma transizionale a ''delta-estuario'' per la forte influenza delle correnti di marea. Abbiamo pochissimi canali distributori in questo caso. Sono osservabili le caratteristiche distintive dei canali di marea: la ramificazione e il rapido assottigliamento verso l'interno del delta, e la mancanza di collegamento con i canali del sistema fluviale. Nei canali di marea la componente di moto prevalente è verso terra.. File:River Plate.jpg|Estuario del Rio de la Plata Delta in Margaritifer Sinus.jpg|Deposito di delta sul pianeta Marte, allo sbocco di una valle fluviale in un'area depressa. Il deposito ha caratteri del tutto simili a quelli terrestri ed è caratterizzato da un reticolo ramificato di canali distributori. Ovviamente si tratta di un deposito fossile, formatosi miliardi di anni fa, perché allo stato attuale la pressione atmosferica di marte non permette l'esistenza di acqua allo stato liquido sulla superficie del pianeta. File:Delta in Lunae Palus.jpg|Altro esempio di probabile edificio deltizio su Marte, allo sbocco di un'antica valle fluviale. Si tratta in questo caso di un delta-conoide, con almeno due fasi di costruzione: la più antica a ventaglio, con rilievo minore e la più recente, caratterizzata da un rilievo maggiore con una scarpata verso bacino (''fronte deltizia'') molto pronunciata. Queste diverse fasi indicherebbero livelli diversi di riempimento dell'antico bacino. File:Cassini-OntarioLacus-RADAR.jpg|Titano, Ontario Lacus. Immagine radar dalla sonda Cassini-Huygens. Il nord è verso l'alto dell'immagine. In corrispondenza della sponda sud-occidentale è visibile un elemento canaliforme a meandri che apparentemente sfocia in corrispondenza di un corpo lobato che si protende entro il lago. Un secondo lobo (abbandonato?) è visibile verso est (sulla destra). Questi elementi sono interpretabili come un apparato deltizio di tipo lobato. </gallery> == Opere di difesa fluviale == Le aree di ambiente fluviale e deltizio, per la loro intrinseca instabilità sono sottoposte a ''rischio idrogeologico'' elevato, anche in considerazione dell'alta concentrazione di popolazione e di attività industriali e agricole. Il rischio di dissesto idrogeologico in questo tipo di ambiente riguarda soprattutto gli eventi di piena, che sono normalmente stagionali (le piene del Nilo sono un esempio tipico di regime stagionale in clima semiarido). Come già detto, l'uomo ha cercato fin dai primordi della civiltà di prevenire i danni arrecati dagli eventi alluvionali con opere di difesa fluviale: le più importanti sono '''argini''', '''briglie''', '''pennelli''', '''dighe''', '''opere spondali di sostegno''', '''bacini di espansione'''. * Gli '''argini''' sono opere di ''difesa passiva'' del territorio, longitudinali rispetto al corso d'acqua, atti ad impedirne lo straripamento. Sono generalmente costituiti da un rilevato impermeabile in terra che può raggiungere altezze anche considerevoli (in Italia sia il fiume Po sia il fiume Adige hanno argini che superano i 10 metri di altezza). Normalmente sono separati dalla sponda del corso d'acqua da una fascia di terreno detta '''golena''', che ha lo scopo di permettere l'espansione della piena rallentando la corrente e attenuandone gli effetti. A volte però non è possibile destinare un tratto di terreno ad area golenale, o perché manca lo spazio (ad esempio per i corsi d'acqua che attraversano abitati costruiti a ridosso dell'alveo fluviale), o perché il valore del terreno (ad esempio per la presenza di impianti, o di siti monumentali o artistici) non lo permette. In questo caso gli argini devono essere direttamente a ridosso della corrente fluviale ('''argini in froldo'''). Gli argini ''in froldo'' sono sottoposti a erosione e sollecitazioni molto superiori ad argini in golena, quindi sono normalmente rinforzati con muri di contenimento in calcestruzzo o cemento armato oppure con ''gabbioni'' (contenitori in rete metallica a forma di parallelepipedo riempiti di pietrame di ''pezzatura'' opportuna). * Le '''briglie''' sono opere trasversali al corso d'acqua e sono studiate per la ''sistemazione idraulica'' dello stesso. Sono più comuni nei corsi d'acqua montani a regime torrentizio. Si tratta normalmente di opere non isolate ma costruite in serie con opportuno distanziamento. Sono costituite da un muro a sezione trapezoidale che sbarra il corso d'acqua, con paramento a monte solitamente verticale e da una fondazione interrata in alveo. Nella parte centrale il muro si abbassa per permettere il deflusso dell'acqua (''sezione di deflusso'' o ''gaveta''). Le parti del muro che dalla gaveta si estendono fino alle sponde sono dette ''ali'' e hanno generalmente un'inclinazione del 10%. Lo scopo della gaveta è mantenere il corso d'acqua nelle normali condizioni di deflusso, in modo che la corrente non eroda le sponde dell'opera o la possa aggirare. la briglia è progettata per evitare l'erosione dell'alveo a monte dell'opera, provocando la deposizione di sedimenti, sia trattenendo direttamente il materiale sia rallentando la corrente e provocandone la deposizione. Quando la briglia è completamente interrata il corso d'acqua raggiunge un profilo di equilibrio a una quota superiore e non erodendo l'alveo. Le briglie vengono realizzate tipicamente per proteggere i versanti posti a monte delle stesse da fenomeni franosi (innescati dallo scalzamento alla base provocato dall'erosione di fondo torrentizia); se i fenomeni franosi si sono già verificati, la realizzazione di briglie (a valle) è utile per "rincalzare" i versanti stessi ed evitare che il torrente eroda il piede della frana, aggravando il fenomeno. Spesso le briglie vengono realizzate per proteggere dall'erosione altre opere poste a monte (es. ponti, muri di sponda, altre briglie, dighe) che rischierebbero di essere scalzate alla base dall'erosione di fondo. Le briglie vanno progettate accuratamente, soprattutto il loro distanziamento. Se infatti si ha deposizione di sedimento a monte, qualora le briglie siano troppo distanziate nel tratto immediatamente a valle dell'opera si ha al contrario erosione (per la velocizzazione della corrente), con rischio di scalzamento della briglia stessa. * I '''pennelli''' sono opere trasversali al corso d'acqua che dalle sponde si protendono verso il centro del corso d'acqua ma non lo attraversano. Hanno lo scopo di mantenere la corrente al centro della sezione del corso d'acqua e favorire la sedimentazione presso le sponde, consolidandole. Possono essere perpendicolari alle sponde oppure oblique, o con l'asse maggiore volto nel verso della corrente o contro corrente. Vanno realizzati su entrambe le sponde, per evitare che lo spostamento della corrente causi danni alla sponda eventualmente non protetta. Sono realizzati in pietrame da scogliera, in gabbioni, in opere miste di sasso e vegetali. * le '''dighe''' (o '''traverse''' se sono di dimensioni limitate) sono ancora opere trasversali al corso d'acqua, che hanno lo scopo di ''regolarne il flusso''. Per questo spesso hanno parti mobili, o ''paratoie'' (''dighe mobili'') che permettono di variare la sezione di deflusso. A seconda dei materiali impiegati per la costruzione la diga fissa può essere di calcestruzzo (o muratura), in terra, di pietrame, di materiale misto. Gli sbarramenti in calcestruzzo possono essere del tipo ''a gravità'', ''ad arco'' o di tipi misti (arco-gravità, volte multiple, ecc.). Le dighe mobili e le traverse in genere sono realizzate solitamente in carpenteria metallica con movimentazione idraulica ad olio, ma ne esistono anche ''in legno'' (''porte vinciane''), ''in gomma'' con movimentazione pneumatica o idraulica ad acqua (''rubber dam''), ''ibride'' in gomma e metallo con lo stesso tipo di movimentazione (''hard top rubber dam''). Spesso le dighe hanno anche lo scopo di permettere la derivazione di canali artificiali (per irrigazione o navigazione). * le '''opere spondali di sostegno''' sono sostanzialmente muri di sponda: il loro scopo è contrastare l'erosione delle sponde e stabilizzarne la geometria. Sono utilizzate ogni qual volta non è possibile preservare la geometria naturale delle sponde stesse (ad esempio nei tratti di attraversamento di abitati, o in prossimità di infrastrutture come ponti, strade etc.). Possono essere realizzate in vari tipi di materiali (legno, pietrame a secco, mattoni, cemento, calcestruzzo, gabbioni...) ed essere di conseguenza flessibili o rigide, permeabili o impermeabili all'acqua ed alla vegetazione. La stabilità di questo tipo di strutture può essere anche seriamente compromessa a causa dei fenomeni di scalzamento determinati dall'erosione dell'alveo ad opera della corrente, quindi vanno progettate in modo integrato con le altre strutture di sistemazione idraulica, ad esempio in abbinamento con briglie e pennelli. * '''Bacini (o casse) di espansione''' (o ancora: '''vasche di laminazione'''). Sono bacini artificiali realizzati per ridurre la portata delle piene tramite lo stoccaggio temporaneo di parte del volume delle acque di piena, in modo che l'onda di piena risulti ridotta in modo da minimizzare il rischio di tracimazione (''laminazione delle portate di piena''). Possono essere realizzati ''in linea'' (cioè ''in alveo''), tra opere trasversali successive (ad esempio tra due o più briglie, traverse o dighe), oppure ''in derivazione''. In quest'ultimo caso si tratta di veri e propri bacini delimitati da argini artificiali collegati ad un{{'}}''opera di presa'' (un canale derivatore fornito di paratoie mobili verso fiume), situata a monte dell'area che si vuole salvaguardare (centro abitato, impianto etc.) e a un{{'}}''opera di scarico'' (altro canale con paratoie verso bacino) con uscita delle acque a valle dell'area stessa, che consente il deflusso del volume d'acqua quando l'onda di piena si è esaurita. Se non è possibile realizzare un vero e proprio bacino di espansione si utilizzano uno o più '''canali scolmatori''' che permettono di bypassare il tratto critico del corso d'acqua naturale. La progettazione di queste opere è complessa e richiede uno studio statistico accurato sull'entità e la periodicità delle precipitazioni nel territorio (ovvero nel bacino idrografico), sui tempi di risposta del sistema fluviale agli apporti meteorici e sulle portate di piena alla sezione del corso d'acqua che si vuole salvaguardare. Casse di espansione sono presenti su tutti i grandi fiumi italiani (ad esempio Po e Tevere) per prevenire eventi alluvionali. Le opere dotate di paratoie mobili richiedono un sistema di sorveglianza che permetta di aprirle a monte quando le acque dei corsi d'acqua superano il ''livello di guardia''. <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> '''<big>Per approfondire questa parte potresti consultare i seguenti testi alle pagine indicate:</big>''' * Opere di difesa fluviale<ref>{{cita|Rinaldi et al. (2014)|In particolare: Appendice 1, pp. 24-38; Appendice 5, pp. 12-13.}}.</ref><ref>{{cita|Anselmo e Comendini (2004)}}.</ref> * Difesa dei centri abitati; valutazione delle portate di piena<ref>{{cita|Booth e Bledsoe (2009)}}.</ref> <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> <big>'''Caso di studio'''</big> '''Progetto (in fase attuativa) per la laminazione delle piene del Torrente Seveso (MI)'''. Il corso d'acqua attraversa Milano da nord a sud-est, ed è in alveo interrato (tombinato) per la maggior parte del suo percorso urbano. La copertura dell'alveo è iniziata con l'espansione della città alla fine del XIX Secolo, e attraverso vari interventi è divenuta definitiva nei primi anni '50 del XX Secolo. la scarsità di aree golenali a monte della città, il sottodimensionamento dell'alveo interrato, che non teneva conto delle portate di piena e degli scarsi tempi di preallerta degli episodi di piena rispetto alle precipitazioni, unitamente all'intensa urbanizzazione che portava all'impermeabilizzazione del territorio circostante, portò dagli anni '60 in poi a ricorrenti episodi alluvionali concentrati nella parte nord della città. Il canale scolmatore di Nord Ovest, iniziato nel 1954 e completato, almeno in un primo assetto funzionale, nel 1980, che doveva raccogliere le acque in eccesso del Seveso e sversarle nel Ticino, si è presto rivelato insufficiente. Gli interventi, a partire dall'inizio del XXI Secolo, si sono concentrati sul potenziamento del Canale scolmatore di nord-ovest per ridurre la portata del torrente Seveso in corrispondenza di Milano. Per migliorare la sicurezza idraulica del territorio, è realizzato nel 2004 il raddoppio dello scolmatore nel tratto tra i comuni di Palazzolo e Senago. Nel 2005 l’Autorità di bacino del Fiume Po stabilisce l'impossibilità di raddoppio anche del tratto rimanente verso Ticino; la causa è la diffusa criticità di tutto il sistema idrografico che non consente ad alcun corso d’acqua del territorio di accogliere ulteriori immissioni d’acqua. Divenne quindi necessario evitare il trasferimento del rischio idraulico nei territori a valle della derivazione dello scolmatore. Per fare ciò era necessario realizzare opere di laminazione delle acque di piena: vennero previsti interventi per l'adeguamento del canale scolmatore e per la realizzazione di un'area di laminazione delle piene nel comune di Senago, punto in cui termina il raddoppio dello scolmatore. La città metropolitana di Milano sta eseguendo i lavori di adeguamento parziale del canale scolmatore mentre la Regione e l'Agenzia Interregionale per il fiume Po (autorità idraulica sul reticolo idrografico padano), ha redatto studi preliminari per l'individuazione di cinque aree lungo il Seveso per la laminazione controllata delle piene, passando recentemente alla fase attuativa. Interventi di adeguamento sono stati eseguiti anche nel tratto di alveo interrato. * Il Torrente Seveso: [[w:Seveso (fiume)]] * Notizia riportata nel sito del Comune di Milano (20/07/2020): <ref>[https://www.comune.milano.it/-/seveso.-vasca-milano-parco-nord-partito-il-cantiere.-avviato-tutto-il-piano-per-la-prevenzione-delle-esondazione-del-seveso-nell-area-metropolitana] URL consultato il 24 febbraio 2021.</ref> * Descrizione del progetto: <ref>[https://www.comune.milano.it/documents/20126/126964762/Sistemazione+idraulica+del+torrente+Seveso.pdf/e3f115ba-8d68-3cae-7cfa-dc108ab96ef6?t=1595256573219] URL consultato il 24 febbraio 2021.</ref> <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> <gallery> File:MOs810, WG 2014 66 Puszcza Notecka west (Notec kolo Goszczanowca).JPG|Argine (Polonia). File:L9Wlevee17Nov05HolyX.jpg|Tratto di argine con area golenale ridotta o assente (''in froldo'') rinforzato in questo caso con massi (New orleans, USA). File:American River levee work begins in Carmichael (15119526935).jpg|Costruzione di un argine in terra sul fiume Sacramento. Il terreno di riporto viene bagnato e compattato. File:Breached Farm Levee in East Carroll Parish.jpg|Rotta di un argine durante una piena. Louisiana (USA). File:Culverts under yass river walkway weir.JPG|Briglia. Galles del Sud (Australia). File:Nervia a Pigna sfondo Castel Vittorio.png|Briglia sul Torrente Nervia (Imperia). In questo caso si tratta di una briglia ''selettiva'', in cui al posto della sezione di deflusso sono praticate aperture le cui dimensioni dipendono da quelle del materiale da trattenere a monte. File:Grialëces cuecenes.jpg|Briglia su un torrente montano, in ambiente alpino. File:Wildbachverbauung.JPG|Serie di briglie in legno. File:금호강 ( 2 ).jpg|Briglia a protezione dei piloni di un ponte (Corea). File:Waterfall near Uzungöl.gif|Briglie in serie, inframmezzate da bacini di espansione. Turchia (Trebisonda). File:Brueckeklammkranebitten.JPG|serie di briglie in muratura a difesa di un ponte File:Bachverbauung am Fallbach.jpg|opere spondali di sostegno in legno. File:Afritz am See, Geschiebedosiersperre Tronitzerbach, Kärnten.jpg|Opere spondali di sostegno in muratura a secco abbinata a briglie. File:Normalisatie van beken, graven en dempen van sloten, leggen riolering, duikers e, Bestanddeelnr 162-0475.jpg|Scalzamento di un'opera spondale di sostegno. File:Riviere de contournement.JPG|Pennelli in muratura. File:Ostrogi Wisła Warszawa 6.jpg|Pennelli realizzati con allineamenti di massi. File:View on the Kali Gandaki river from Chele.jpg|Pennelli a difesa della sponda, in abbinamento con argine a massicciata. File:img barrage poids.jpg|Diga a gravità. File:AfghanistanHelmandKajakaiDamm.jpg|Diga a gravità in terra. File:Lasvegashistoryhooverdam.jpg|Diga ad arco-gravità. File:img barrage voute.jpg|Diga ad arco a doppia curvatura o a volta. File:Huachenrubberdam.jpg|Traversa in gomma (Rubber dam). File:Schlauchwehr Regen.jpg|Traversa in gomma (Rubber dam). File:Takato Dam discharge.jpg|Diga con paratoie mobili per la regolazione del deflusso. File:Dry pond.jpg|Bacino di espansione, con le derivazioni di presa e di deflusso. File:Raababach 55.jpg|Bacino di espansione. </gallery> == Rischio idrogeologico e ambientale == * Come già riportato più volte, il rischio idrogeologico nell'ambiente fluviale e deltizio riguarda in primo luogo gli '''eventi alluvionali'''. La prevenzione di questo rischio sul territorio richiede un approccio statistico integrato che riguarda gli ''eventi pluviali'' (entità e distribuzione spaziale e temporale delle precipitazioni), la ''geologia'' e la ''geomorfologia'' (distribuzione di rocce e terreni e conformazione) del territorio stesso e la distribuzione della popolazione e delle strutture e infrastrutture relative. L'entità (''magnitudine'') degli eventi di piena è anche in relazione con i ''cicli climatici'' a breve e a lungo termine. La prevedibilità di eventi di piena eccezionali, che possono causare alluvionamenti, è definita come '''tempo di ritorno''' (ad esempio 20 anni, 50 anni, 100 anni) di un evento con data magnitudine (espressa come portata). [[File:Idrogramma di piena.png|thumb|right|verticale=1.9|Esempio generale di ''idrogramma di piena'' (da Booth e Bledsoe 2009; Andreotti, Zampetti et al. 2007, modificato).]] * L' '''urbanizzazione''', con il ricoprimento di vaste aree con edifici e infrastrutture (strade, aree asfaltate o cementificate) ha come conseguenza l{{'}}''impermeabilizzazione'' del territorio, che impedisce l'assorbimento delle precipitazioni da parte del terreno e provoca lo scorrimento della maggior parte delle acque in superficie. A ciò si aggiungono nella maggior parte dei casi interventi di canalizzazione e rettificazione degli alvei fluviali, che portano ad un aumento della velocità della corrente e, se non dimensionati correttamente tenendo conto di quanto riportato sopra, non permettono di contenere entro l'alveo gli eventi di piena fuori dell'ordinario. Questi interventi sull'ambiente possono amplificare le conseguenze degli episodi di piena fino a provocare eventi alluvionali ove non ce ne sarebbero stati in assenza di urbanizzazione. L'esempio proposto è quello (<u>ideale</u>) di un progetto che include la verifica dell'impatto dell'urbanizzazione su un tratto di corso d'acqua. Il grafico è un ''idrogramma''<ref group=N>Un idrogramma è un grafico che mostra le variazioni nel tempo di alcuni parametri idrologici come il livello dell'acqua, la portata o il carico dei sedimenti riferiti a un corso d'acqua</ref> di piena relativo ad una sezione di un corso d'acqua interessato da intensa urbanizzazione. Sono riportate due ''curve idrografiche'': quella "storica" (''prima'' dell'intervento di urbanizzazione) e quella "attuale" (''dopo'' l'intervento di urbanizzazione). Vi è anche un ''pluviogramma'' (o ''ietogramma'')<ref group=N>È un grafico che esprime una certa distribuzione temporale della precipitazione da utilizzare per la progettazione o per la verifica in condizioni estreme di specifiche opere (argini, canali scolmatori, condotti fognari...).</ref> di progetto (cioè statisticamente rappresentativo di un evento di pioggia per quella sezione, stabilito in base alle misure ''pluviometriche'' storiche). È importante sottolineare che tutte le distribuzioni rappresentate (anche in un caso reale) non sono relative ad eventi specifici, ma ricostruite in base a misure storiche<ref group=N>I dati idrografici e pluviometrici sul territorio nazionale, raccolti da tutti i compartimenti periferici del Servizio Idrografico e Mareografico Nazionale e dagli Uffici Idrografici delle regioni e provincie autonome, sono raccolti e messi a disposizione on line a cura dell'Istituto Superiore per la Protezione e la Ricerca Ambientale (ISPRA).</ref> (e quindi richiedono un attento studio statistico). Si vede che l'intervento di urbanizzazione ha portato ad un aumento del picco di portata e ad una maggiore concentrazione nel tempo dell'evento di piena, oltre che ad una drastica diminuzione del tempo di ritardo rispetto al massimo pluviometrico, con riduzione quindi del tempo di preavviso di un possibile evento catastrofico. Gli interventi a contrasto per questa problematica prevedono la ''laminazione delle portate di piena'' attraverso la creazione di aree golenali, con allargamento dell'alveo ove possibile, bacini di espansione, canali scolmatori che consentano la ritenzione in bacini appositi del volume di acqua in eccesso rispetto alla portata massima accettabile per il tratto di alveo di interesse, fino all'esaurimento dell'evento di piena. [[File:Kolkschema.svg|thumb|right|verticale=1|Un qualunque oggetto immerso in una corrente fluviale con un significativo battente d'acqua, dà origine dal punto di vista idrodinamico ad un vortice di ritorno sul lato sottocorrente dell'oggetto, che scava nel sedimento di fondo una nicchia a ridosso dell'ostacolo provocandone prima o poi lo scalzamento. Questo fenomeno avviene anche per briglie, piloni di ponti e altri manufatti.]] * L' '''intervento sull'idrografia''' (opere di canalizzazione e arginamento) ha ovviamente un impatto sulla conformazione degli alvei, in particolare con la modificazione della sezione e della pendenza, e quindi del regime di flusso della corrente, con conseguenze sulla distribuzione delle aree sottoposte ad erosione e sedimentazione. La rettificazione degli alvei, in particolare, porta ad un aumento della velocità e della capacità erosiva della corrente, con accresciuto rischio di scalzamento per i piloni dei ponti e altri manufatti; inoltre, determinando alvei più profondi con corrente più veloce, riducono gli ''habitat'' disponibili e quindi la ''biodiversità''. Gli interventi possibili in questo caso includono la creazione di opere di difesa come traverse, briglie e pennelli (oltre eventualmente ad una riprogettazione degli alvei artificiali con caratteristiche più opportune). * L' '''attività estrattiva''' di sedimenti (sabbie e ghiaie) come inerti per l'edilizia può modificare il profilo degli alvei fluviali, innescando fenomeni erosivi. Un esempio significativo è la storia post-bellica della cavatura di inerti dal fiume Po. A partire dagli anni ‘50 le concessioni per l’estrazione di inerti dall'alveo fluviale sono incrementate notevolmente per alimentare lo sviluppo del sistema viario e dell’edilizia. I quantitativi estratti dal Po sono progressivamente aumentati dai 2.5 milioni di m³/anno fino a raggiungere un valore stimato in circa 12 milioni di m³/anno. A partire dal 1983 si è avuta una inversione di tendenza e i quantitativi estratti sono stati progressivamente ridotti e si sono instaurati controlli più severi sui quantitativi effettivamente asportati. Più recentemente, nel periodo 1982-2005, le estrazioni concesse dall’AIPO (Agenzia Interregionale per il fiume Po), ammontano a circa 16 milioni di m³, pari a circa 700.000 m³/anno, di cui l'86% lungo l'asta fluviale principale e il 14% nel comprensorio del delta. Lungo il fiume si contano circa 60 cantieri per l'estrazione di inerti. La sottrazione di sedimenti all'alveo ha portato ad un deficit rispetto alle possibilità di ripristino dei sedimenti da parte della corrente fluviale con abbassamento dell’alveo di quindici centimetri l’anno. Nel periodo indicato (una ventina di anni) l’alveo del fiume si era abbassato di circa tre metri, provocando l'alterazione del profilo di equilibrio e causando l'aumento della velocità della corrente nei periodi di magra, innescando così diffusi fenomeni erosivi sia sulle sponde (con compromissione delle difese spondali), sia di manufatti come i piloni dei ponti. Inoltre la diminuzione del carico di sedimento ha diminuito la quantità di sabbia trasportata dal fiume fino alla foce, limitando il ripristino (''ripascimento'') naturale delle spiagge dell'Adriatico ad opera delle correnti costiere (che ridistribuiscono i sedimenti fluviali lungo le coste), e favorendone quindi l'erosione. [[File:Groundwater flow.svg|miniatura|right|verticale=1.5|Schema di acquiferi non confinati e confinati da livelli a bassa permeabilità. L'acquifero superficiale non confinato è delimitato verso l'alto dalla ''superficie piezometrica'' o ''tavola d'acqua'' (''water table''). Sono riportate li ''linee di flusso'' e i ''tempi di flusso''.]] * La cavatura di inerti è praticata diffusamente non solo in alveo ma anche in '''cave''' (ovvero '''miniere a cielo aperto''') entro i sedimenti di piana alluvionale. L'attività delle cave può interferire con la '''falda acquifera''', causando problemi di '''inquinamento'''. Se la cava intercetta la superficie della falda (''superficie piezometrica''), gli inquinanti possono raggiungere immediatamente la falda, quindi la cava stessa diventa una fonte attiva di contaminazione. Anche se la falda acquifera non è intercettata dalla cava, la riduzione dello spessore di terreno aumenta la quantità di acqua che si può infiltrare nell’unità di tempo e, contemporaneamente, diminuisce l’effetto di filtrazione (e depurazione) da parte dei sedimenti, favorendo la contaminazione dell'acquifero sottostante. Nell'esempio proposto, viene presentato uno schema ideale che riproduce diversi ''acquiferi'' (ovvero falde acquifere), sia non confinati che confinati da livelli a bassa permeabilità. Sono rappresentate idealmente le ''linee di flusso''<ref group=N>Una linea di flusso rappresenta quella linea che è sempre tangente al vettore ''gradiente'' di un campo scalare e rappresenta, in questo caso, il percorso di una particella elementare di fluido.</ref> e i ''tempi di flusso'' tra i punti di immissione (o di ricarica) e i punti di deflusso (o di emungimento) d'acqua per gli acquiferi successivi nel sottosuolo. Una cava potrebbe interessare (a seconda della profondità di scavo), solo l'acquifero non confinato più superficiale o uno o più acquiferi confinati più profondi. In entrambi i casi, essa può costituire una fonte di contaminazione per gli acquiferi stessi, oltre a modificare significativamente le linee e i tempi di flusso delle acque sotterranee e a mettere in contatto tra loro acquiferi che diversamente sarebbero separati. {{vedi anche|Le falde acquifere (superiori)}} [[File:Saltwater intrusion sea to river.png|thumb|right|verticale=1.5|Schema che illustra il concetto di ''cuneo salino'', come intrusione di acqua marina più densa in un alveo fluviale a contatto col fondale. L'acqua dolce fluviale (meno densa) tende a formare uno strato superficiale sempre più sottile procedendo ve la foce. All'interfaccia tra i due strati si ha mescolamento delle acque con uno strato a salinità intermedia.]] * Un problema che sta assumendo sempre maggiore importanza negli ultimi decenni è la '''salinizzazione''' (cioè l'incremento della salinità) nelle aree costiere e soprattutto deltizie. L'aspetto più evidente di questo problema è l'espansione del '''cuneo salino'''. Quest'ultima espressione indica la risalita dell'acqua di mare nei tratti terminali dei fiumi, sul fondo dell'alveo. Si parla di cuneo perché l'acqua di mare (più salata) è anche più densa dell'acqua dolce, e tende ad avanzare verso monte a contatto col fondale dell'alveo. Quindi lo spessore del battente d'acqua interessato dall'acqua marina è massimo ovviamente alla foce e diminuisce risalendo l'alveo fluviale. Ad esempio, nel Po questo fenomeno negli anni 1950-1960 di avvertiva fino a pochi chilometri dalla foce, mentre negli ultimi anni è arrivato a una ventina-trentina di chilometri dal mare. Il problema è dovuto a fattori molteplici, tra i quali spicca l'aumento generalizzato del livello marino, dovuto a fattori climatici ('''eustatismo'''). Fattori locali rilevanti possono essere la subsidenza dovuta all{{'}}''emungimento delle falde acquifere'' e all{{'}}''estrazione di idrocarburi'' dal sottosuolo. Anche l'estrazione di sedimenti dagli alvei può contribuire, abbassando il livello dell'alveo di magra dei fiumi, così come le derivazioni irrigue o presenza di dighe a monte che trattengono le acque fluviali e diminuiscono portata e velocità della corrente, che non riesce a contrastare efficacemente l'effetto di alta marea nel quadro descritto. Tutto ciò ha effetti molto pesanti a carico dell'irrigazione (le acque troppo salate danneggiano le colture), degli approvvigionamenti di acqua dolce dalle derivazioni degli acquedotti, delle stesse falde acquifere che vengono contaminate (''salinizzazione degli acquiferi''). Inoltre, la presenza di acque salate in ambienti non tipici ha pesanti ripercussioni sugli ecosistemi, sia sulla vegetazione che sugli animali. [[File:Subsidence hydrocarbon production).png|thumb|right|verticale=1.5|Subsidenza dovuta alla produzione di idrocarburi dal sottosuolo.]] * L'attività di '''emungimento delle falde acquifere e degli accumuli di idrocarburi''' (gas naturale e petrolio), può causare un aumento locale della '''subsidenza'''<ref group=N>Abbassamento progressivo del terreno nel tempo.</ref>, con ripercussioni dirette sulla stabilità di edifici e impianti, e facilitando il ristagno delle acque superficiali. L'entità della subsidenza è tanto maggiore quanto la roccia serbatoio da cui avviene la produzione di fluidi è superficiale. Nei delta l'incremento della subsidenza può provocare l'ingressione marina su ampie aree, terrestri o lagunari, con arretramento della linea di costa. Questa problematica è diffusa anche in Italia, soprattutto nelle pianure costiere e in particolare nel Delta del Po e sulla costa adriatica in seguito all'estrazione di idrocarburi e acque di giacimento e di falda da bassa profondità. Questo avviene per due fattori: la diminuzione della pressione dei fluidi interstiziali del sedimento con la produzione, e la produzione di sedimento stesso (di solito le frazioni più fini) insieme ai fluidi. Questi due fattori provocano la diminuzione del volume di sedimenti nella ''roccia serbatoio'' per compattazione, sotto il peso dei sedimenti soprastanti. Nell'esempio proposto è indicato un accumulo di ''gas naturale'', confinato da livelli impermeabili (ad esempio argille), entro una struttura tettonica (una ''piega anticlinale'', cioè convessa verso l'alto); nell'esempio, la ''roccia serbatoio'' è una sabbia. I fluidi di giacimento si "smistano" e si dispongono naturalmente in verticale secondo la loro densità, quindi al di sopra abbiamo il gas e sotto l'acqua, separati da un contatto (''gas-water contact'' o ''GWC''). a) Prima dell'inizio della produzione, nella ''roccia serbatoio'' i granuli del sedimento sono sostenuti dalla pressione del fluido di giacimento (gas). b) Con il progredire della produzione di gas (qui è rappresentata per semplicità solo la fase finale in cui tutto il gas è stato prodotto), la pressione diminuisce drasticamente e i granuli, non più sostenuti dalla pressione di giacimento e sotto il peso dei sedimenti soprastanti, si dispongono secondo una nuova configurazione più compatta. Inoltre, parte dei sedimenti (i granuli più fini) può fuoriuscire insieme all'idrocarburo durante la produzione. Tutto questo ha come effetto la diminuzione del volume occupato dai sedimenti della roccia serbatoio e l'aumento locale della ''subsidenza'', che si propaga ai livelli soprastanti il giacimento. Le conseguenze possono essere problemi strutturali a carico di edifici e impianti e l'allagamento dell'area interessata ad opera delle acque superficiali (anche marine se il giacimento è prossimo alla costa, in un'area di delta). * I recenti mutamenti climatici, con il '''riscaldamento globale''' del pianeta ('''global warming''') e l' '''aumento del livello medio del mare''' dovuto allo scioglimento dei ghiacci polari, porterebbero inoltre all'inondazione di gran parte delle aree deltizie, con conseguenze drammatiche sull'ambiente naturale e sulle attività umane. Un'altra grave conseguenza, come riportato precedentemente, sarebbe l'aumento ulteriore della salinità delle acque superficiali della fascia costiera e delle aree interne adiacenti e l'aumento delle infiltrazioni sotterranee di acqua salata nelle falde acquifere della fascia litoranea (cuneo salino sotterraneo). * Come già ricordato, infine, lo sviluppo urbano, industriale e agricolo ha un impatto pesante sull'ambiente in termini di '''inquinamento''' (di tipo organico, chimico e da detriti solidi) e di degrado del territorio, soprattutto in assenza di una pianificazione territoriale accurata. <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> '''<big>Per approfondire questa parte potresti consultare i seguenti testi alle pagine indicate:</big>''' * Eventi alluvionali e prevedibilità<ref>{{cita|Andreotti, Zampetti et al. (2007)|p. 11.}}.</ref> * Urbanizzazione e rischio idrogeologico<ref>{{cita|Fenoglio e Bo (2009)|p.38, Fig. 5.1; p.163, Fig.7.6}}.</ref><ref>{{cita|Booth e Bledsoe (2009)|pp. 107-110, fig. 6.6b}}.</ref> * Modificazioni dell'idrografia e rischio idrogeologico<ref>{{cita|Andreotti, Zampetti et al. (2007)|pp. 6-7; p. 112; p.163, Fig.7.6}}.</ref> * Salinizzazione<ref>{{cita|Tosini et al. (2010)|pp. 71-84}}.</ref><ref>{{cita|Baio et al. (2009)|pp.31-32}}.</ref> * Produzione di fluidi di sottosuolo e subsidenza<ref>{{cita|Beràstegui e de Gans (1997)|p. 10}}.</ref><ref group=N>Relazione illustrativa della proposta di legge "Interventi a tutela dal fenomeno della subsidenza dei territori delle provincie di Padova, Rovigo e Venezia. Modifica dell'articolo dell'articolo 6 del Decreto Legislativo 3 aprile 2006. [https://www.senato.it/application/xmanager/projects/leg17/attachments/documento_evento_procedura_commissione/files/000/000/233/CONSORZIO_BONIFICA_DELTA_DEL_PO.pdf] URL consultato il 22 luglio 2014.</ref> * Global warming e innalzamento del livello marino<ref>{{cita|Oppenheimer et al. (2019)}}.</ref><ref>{{cita|Tosini et al. (2010)|pp. 71-84}}.</ref> * Inquinamento in aree alluvionali urbanizzate<ref>{{cita|Booth e Bledsoe (2009)|pp. 93-123}}.</ref> <nowiki>- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</nowiki> <gallery mode="packed" heights=120px> File:Saltwater intrusion en.svg|schema che illustra l'andamento di un ''cuneo salino'' nel sottosuolo. L'avanzamento del cuneo salino verso terra può essere dovuto all'innalzamento globale del livello marino, cui si sommano l'eccessivo emungimento della falda acquifera e l'intrusione di un cuneo salino superficiale entro gli alvei fluviali. Questo porta a problemi di ''salinizzazione'' delle falde acquifere. File:Local scour.gif|<small>Creazione di una nicchia locale (''scour'') in un alveo fluviale per opera della corrente. Le linee di flusso della corrente si dispongono in profondità secondo traiettorie vorticose (di tipo turbolento) che determinano una sovraescavazione dell'alveo e, nel tempo, lo scalzamento del pilone stesso. Questi fenomeni sono amplificati da interventi di canalizzazione e rettificazione dell'alveo. Interventi a difesa dei manufatti sono costituiti generalmente da briglie a valle del ponte, per ridurre la velocità della corrente e quindi l'erosione, e rinforzo dei piloni stessi (come ad esempio le gabbionate). Interventi più risolutivi sono allargamento e correzione della sezione dell'alveo.</small> File:HomochittoRiver1974.jpg | Esempio di crollo di un ponte (bacino del Mississippi, 1974) determinato da scalzamento dei piloni ad opera di una piena. File:Rummu karjäär1.jpg|Cava di calcare abbandonata in Estonia, invasa dalle acque meteoriche e di falda. Simili strutture costituiscono una via di comunicazione diretta con la falda acquifera e una potenziale fonte di contaminazione della stessa. La cava era annessa ad una prigione per dissidenti condannati ai lavori forzati, ora dismessa. File:Flooding after 1991 cyclone.jpg|Inondazione conseguente al passaggio di un ciclone tropicale (Bangladesh, 1991). File:Sacramento River broken levee.jpg|Rotta di un argine fluviale nel bacino del fiume Sacramento, California (USA). File:Snake River at Celebration Park Idaho- algae on shoreline.jpg| Proliferazione incontrollata di alghe dovuta ad inquinamento di natura organica (fertilizzanti agricoli). Questi ''bloom'' algali hanno spesso provocato morie di massa di pesci (Snake River, Idaho, (USA)). File:Poluição no Rio Tietê em Salto - panoramio - zardeto.jpg| Inquinamento di natura chimica (scarichi industriali incontrollati). Fiume Tietê, San Paolo (Brasile). File:Oshiwara river.JPG |Inquinamento da scarico incontrollato di rifiuti urbani in un corso d'acqua. Mumbai (India). Questo tipo di inquinamento può essere così pervasivo da provocare ostruzioni nell'alveo, con conseguenze sul regime stesso del corso d'acqua. File:Sediment runoff NRCS 2016a.jpg|<small>Asportazione massiva di suolo dai campi da parte di precipitazioni molto intense (Iowa, USA). L'agricoltura intensiva e la mancanza di strutture di drenaggio a protezione dei campi può portare ad un aumento dell'erosione per dilavamento. Il risultato è l'asportazione della parte superficiale più fertile del suolo, che si impoverisce, e la messa in circolazione nelle acque di inquinanti (fertilizzanti, antiparassitari), con aumento dell'inquinamento. Inoltre, questo si traduce a valle in un aumento del carico di sedimento portato dai corsi d'acqua e dei fenomeni di deposizione che possono dare luogo a restringimenti e ostruzioni degli alvei fluviali, e quindi ad aumento del rischio di inondazione.</small> File:Eroding river bank Newburn riverside - geograph.org.uk - 302697.jpg|Erosione di sponda fluviale (Newburn, Inghilterra). I fenomeni erosivi sono naturali e inevitabili in questo ambiente e in generale in natura, e possono solo essere contenuti nei loro effetti più devastanti con una oculata gestione del territorio. </gallery> == Voci correlate == '''Forme di erosione''' * [[w:Erosione]] * [[w:Fiume]] '''Forme di deposito''' * [[w:Conoide di deiezione]] * [[w:Pianura alluvionale]] * [[w:Delta fluviale]] '''Opere di difesa fluviale''' * [[w:Briglia (opera idraulica)]] * [[w:Diga]] * [[w:Argine]] * [[w:Bacino di espansione]] * [[w:Laminazione delle portate di piena]] == Note == === Esplicative === <references group=N/> === Bibliografiche === <references/> == Bibliografia == Per ulteriori approfondimenti ed eventuali necessità di citazione, si danno di seguito alcuni testi "chiave" per completezza e chiarezza di trattazione. Testi complementari si possono trovare in bibliografia nelle voci correlate (da Wikipedia). * {{cita libro|autore1= Andreotti S.|autore2= Zampetti G. |autore3=Polazzo a. |autore4= Boz B. |autore5= Conte G. |titolo=Le buone pratiche per gestire il territorio e ridurre il rischio idrogeologico |editore=Legambiente – Protezione Civile Nazionale|anno= 2007|cid=Andreotti, Zampetti et al. (2007)}} * {{cita libro|autore1=Anselmo V. |autore2=Comendini M. |titolo=Atlante delle opere di sistemazione fluviale. APAT, Manuali e Linee guida 27/2003. |curatore1= Ligato D. |editore=Agenzia per la Protezione dell’Ambiente e per i servizi Tecnici (APAT) |anno=2004 |ISBN= 88-448-0118-3|cid= Anselmo e Comendini (2004)}} * {{cita libro|curatore1=Baio L. |curatore2= Baltieri M. |curatore3= Bonardo V. |curatore4= et al. |titolo= Dossier Operazione Po |anno=2009 |editore=Legambiente |cid=Baio et al. (2009)}} * {{cita libro|autore1=Berástegui X.|autore2=de Gans W.|titolo=Alluvial plains |editore= Institut Cartografic de Catalunya, Emilia-Romagna Region. Geological Office, Hungarian Geological Survey. 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Parte 2 - Processi e meccanismi di sedimentazione | pp= 9-43 |anno= 1980 |editore=CLUEB |città= Bologna|cid= Ricci Lucchi (1980b)}} * {{cita libro|autore= Ricci Lucchi F.|titolo= Sedimentologia. Parte 3 - Ambienti sedimentari e facies | pp= 45-89; 119-169 |anno= 1980 |editore=CLUEB |città= Bologna|cid= Ricci Lucchi (1980c)}} * {{cita libro|autore1=Rinaldi M. |autore2=Surian N. |autore3=Comiti F. |autore4=Bussettini M. |titolo= IDRAIM. Sistema di valutazione idromorfologica, analisi e monitoraggio dei corsi d’acqua. ISPRA, Manuali e Linee Guida 113/2014.|editore=Istituto Superiore per la Protezione e la Ricerca Ambientale(ISPRA)|anno=2014 |ISBN=978-88-448-0661-3|cid=Rinaldi et al. (2014)}} * {{cita libro|autore1= Tosini S.|autore2= Brini M.|autore3=Pennini F.|autore4=Bozzolan M.|autore5=Vetri T.|autore6=De Grandis R. |curatore1= Mantovani G. |curatore2= Tosini L. |curatore3= Ferro F. |titolo=Piano Generale di Bonifica e Tutela del Territorio. 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Figlio del ministro dell'Interno del Regno di Sardegna, Ludovico di Breme diviene ecclesiastico nel 1806 e una volta trasferitosi a Milano diventa cappellano del viceré Eugenio di Beauharnais. Successivamente ricopre l'incarico di Consigliere di Stato del Regno ed è l'ispiratore del ''Conciliatore'', sul quale sostiene con vivacità le nuove dottrine romantiche.<ref>{{cita web|titolo=Ludovico di Breme | opera=Enciclopedia Italiana Treccani (1930) | url=http://www.treccani.it/enciclopedia/ludovico-arborio-gattinara-dei-marchesi-di-breme_%28Enciclopedia-Italiana%29/|accesso=5 marzo 2017}}</ref> Ha un posto di primo piano nel Risorgimento italiano, comprendendo che la crisi italiana coinvolge moralmente tutta la nazione, e sostiene con veemenza come lo spirito liberale non può essere distrutto. Ha piena coscienza che per rinnovare la cultura italiana sarebbe stato necessario essere partecipi dell'universalità dello spirito europeo. Intende il Romanticismo come affrancamento da ogni costrizione letteraria, politica e culturale, e vede in esso l'apice dell'impulso creativo. Pur rimanendo in lui le tracce dell'educazione illuministica, esalta il nuovo spiritualismo polemizzando con toni aspri contro il sensismo e il materialismo. Tra le sue opere si ricordano ''Intorno alla ingiustizia di alcuni giudizi letterari italiani'' del 1816, il ''Grand commentaire sur un petit article'' del 1817, il saggio sul ''Giaurro'' di Byron del 1818, le ''Postille contro i Cenni critici sulla poesia romantica del Londonio'', oltre a numerosi articoli di critica apparsi su ''Il Conciliatore''. Muore a Torino il 15 agosto 1820. == La natura della poesia moderna == Nelle ''Osservazioni sul Giaurro'' di Byron, Ludovico di Breme partecipa al dibattito sorto dalla pubblicazione dell'articolo di Madame de Staël, mostrandosi favorevole al Romanticismo, a differenza di altri autori quali Leopardi, che risponderà a questo suo brano con il ''Discorso di un italiano intorno alla poesia romantica''. Secondo di Breme esistono due tipi di immaginazione. Quella, tanto lodata, degli antichi in realtà era "ignorantissima" su qualsiasi cosa: di ogni accidente fecero poesia, poiché, non avendo alcuna conoscenza scientifica, tendevano a interpretare ogni evento naturale con la poesia, la mitologia.<ref>{{cita libro|autore=Ludovico di Breme|titolo=Osservazioni a Il Giaurro frammento di novella turca scritto da Lord Byron e recato dall'inglese in versi italiani da Pellegrino Rossi|url=http://books.google.it/books?id=l51RAAAAcAAJ&printsec=frontcover&hl=it#v=onepage&q&f=false|città=Milano|anno=1838}}</ref> L'uomo moderno quindi non può far proprio questo modello di poesia, valido per un'altra epoca. L'immaginazione moderna si basa sulla conoscenza della realtà e su un metodo logico. Tipico dell'immaginazione moderna è il patetico, che non è né malinconico né lugubre, ma è legato al sentimento ed è svelamento della natura. == Note == {{references}} == Altri progetti == {{interprogetto|etichetta=Ludovico di Breme}} it8yy7s59wopsw8uvyzvxmxyv870w40 0 26114 286480 279459 2026-08-19T02:47:25Z Avemundi 2081 Ortografia 286480 wikitext text/x-wiki {{risorsa|materia1=Storia per la scuola media 2|tipo=lezione}} == Prima della rivoluzione == Nei giorni prima della {{|Rivoluzione francese|Rivoluzione francese}} l’economia della Francia non era della migliori perché le spese militari erano aumentate e i costi della {{|Corte|corte}} del {{|Re|re}} erano notevoli. {{|Luigi ⅩⅥ}} riunì gli Stati generali, cioè una specie di parlamento formato dai rappresentanti di ciascuna classe sociale, per obbligare la {{|Nobiltà|nobiltà}} e il {{|Clero|clero}} a pagare le tasse. ==La società è divisa in ceti== I {{vk|Ceto|ceti}} erano dei gruppi sociali, ognuno aveva dei diritti e doveri e doveva obbedire a delle leggi. La società del periodo che viene prima della rivoluzione era suddivisa in tre ceti: '''''nobiltà''''' '''''clero''''' (uomini di chiesa) '''''terzo stato''''' (ricchi borghesi, abitanti delle città e contadini) Il '''''terzo stato''''' era composto dal '''''98%''''' di popolazione ed era costretto a '''''sborsare molti soldi per pagare le numerose tasse'''''. == Crisi finanziaria == Negli ultimi decenni del settecento la Francia entrò nel deficit, cioè le spese dello stato erano più alte di quelle entrate, ma il re non poteva chiedere altre tasse solo alle persone del del terzo stato. Incarica gli Stati generali a pensare se imporre le tasse anche a clero e nobiltà. Scoppiò un grande contrasto tra la votazione di testa(dove il voto è individuale) o per ceto(dove ogni ceto ha un solo voto). Non si giunse ad un accordo e decisero di formare un terzo stato, l’Assemblea nazionale, che si pose l'obiettivo di scrivere una nuova costituzione per il Paese. ==Da quale momento si fa iniziare la Rivoluzione francese?== La Rivoluzione Francese iniziò nel 1789 con l’attacco alla [[Bastiglia]], un carcere simbolo del potere del re, fu attaccata il 14 luglio 1789 da una folla composta dai cittadini. Da molti mesi c'erano dei cattivi raccolti che avevano alzato mostruosamente il prezzo del pane causando povertà nelle città e nelle campagne. Fra i cittadini di Parigi, che erano già provati dalla povertà, la notizia si diffuse in breve tempo. Si diffuse anche il sospetto che il re volesse sciogliere l''''Assemblea Costituente'''. I cittadini di Parigi pertanto si riunirono per le strade e si abbandonarono ai saccheggi. Il 14 luglio 1789 una folla popolare assaltò il carcere della Bastiglia, dove si trovavano i prigionieri politici e quindi simbolo della prepotenza del re, liberò i prigionieri che vi erano rinchiusi. In breve tempo la rivolta si estese anche nelle altre campagne della Francia. In questo periodo nacque anche la bandiera francese (rossa, bianca, blu). Tra Agosto e Novembre l’Assemblea Costituente dettò alcuni atti modificando radicalmente il sistema politico precedente. Luigi XVI, che viveva a Versailles, rifiutò però le decisioni prese dall’assemblea. Le donne parigine marciarono su Versailles e costrinsero il re a trasferirsi nel castello delle Tuileries, a [[Parigi]]. Con la costituzione del 1791, preparata dall’assemblea, la Francia diventò una '''monarchia costituzionale'''. [[File:P1330119 Carnavalet Berthault abbaye St-Germain 30 juin 1789 G27664 rwk.jpg|180px|P1330119 Carnavalet Berthault abbaye St-Germain 30 juin 1789 G27664 rwk]] ==In cosa consiste una monarchia costituzionale?== In un settembre del 1791 l'assemblea nazionale votò la nuova costituzione che trasformò la Francia in una monarchia costituzionale. Il sovrano aveva il potere esecutivo, invece il potere di voto sulle leggi veniva assunto dall'Assemblea legislativa, eletta sulla base del censo (patrimonio posseduto). L'Assemblea legislativa, che nell'Ottobre del 1791 diventò Assemblea costituente, era composta da diversi gruppi (o club) di persone chiamate "deputati" e ogni unione aveva degli orientamenti politici diversi. I club più importanti erano quelli dei Foglianti e dei Giacobini. ==La Francia rivoluzionaria e repubblicana== Il 10 agosto del 1792 i Sanculotti, ovvero i popolani di Parigi, assaltano il palazzo reale della Tuileries, accusando l'imperatore di tradimento. A settembre dello stesso anno scompare l'assemblea legislativa lasciando il posto alla convenzione, un'altra assemblea costituente. In tanto sul fronte di guerra la Francia perde molti componenti. Finalmente però il 20 settembre del 1792 i francesi a Valmy, sconfiggono il potente esercito russo. Pochi giorni dopo nasce la repubblica. Nel 1793 Luigi XVI viene condannato alla [[ghigliottina]] (strumento con cui si esegue la decapitazione,per i condannati a morte). ==La Francia rivoluzionaria entra in guerra== Alle guerre interne all'Assemblea si aggiungeva anche il pensiero per un attacco straniero. Si sapeva che molte truppe erano sui confini ad aspettare una lotta e il re Luigi XVI poteva essere aiutato da molte sue conoscenze, per una guerra spietata. L'Assemblea non voleva perdere e pensò di entrare in guerra per prima, nel 1792 la Francia dichiarò guerra contro Austria e Prussia. ==Il Terrore della Guerra civile== ===== La rivoluzione si difende con il terrore ===== Nel 1793 la Francia era cerchiata dai suoi nemici. In più scoppiano rivolte interne per la difesa della monarchia. La Convenzione affida il potere ad un '''Comitato di salute pubblica''', guidato da '''Maximilien Robespierre'''. Il ruolo del '''Comitato''' è di abbattere tutti i nemici della rivoluzione. ==Un colpo di Stato, finisce il Terrore== Nel giugno 1794 le rivolte interne erano ormai finite visto che l'esercito rivoluzionario vince nel paese di Fleurus. Il 27 Luglio le forze politiche moderate si prendevano tutto il potere e Robespierre viene ghigliottinato. I moderati mantengono la repubblica, ma mettevanevano in vigore una nuova costituzione. Nel 1795 le forze politiche concedevano i poteri ad un parlamento di cinque persone chiamato "il Direttorio," queste persone resteranno fino al 1799. [[File:Siege of Lyon (1793).jpg|200px|Siege of Lyon (1793)]] ==La fuga del re== Il re e la regina cedettero dopo tutte le proteste della folla e non sentendosi più sicuri in Francia si trasferirono all'estero, sia per mettere in salvo la loro vita e anche per gli aiuti dalle corti contro la Francia rivoluzionaria. In una notte del 1791 Luigi. ==La situazione delle donne durante la rivoluzione== Durante la rivoluzione le donne contribuivano molto all'assalto sulla Bastiglia e all'attacco alla Tuileries, erano infatti le prime a marciare verso Versailles. Allo scoppio della guerra circa 300 donne chiedono di potersi arruolare e un centinaio riesce a partire verso il fronte. Nonostante le obiezioni dell'assemblea. Alcune di loro formano dei club femminili dove si commentano le decisioni prese dal governo. Gli uomini sono preoccupati per il tanto attivismo preferirebbero vederle lavorare a maglia e consideravano le rivoluzionarie delle pericolose agitatrici. Persino coloro che si battevano per tutti i cittadini trovavano inaccettabile che gli stessi diritti possono valere anche per le donne. La rivoluzione non dà alle figure femminili nessun vantaggio, ma il problema della condizione femminile affrontato apertamente per la prima volta comincia lentamente a cambiare l'opinione pubblica al fine di portare, con il tempo, a risultati completi. [[File:Lesueur Tricoteuses 1793.jpg|160px|Lesueur Tricoteuses 1793]] ==I volontari si mobilitano per difendere la patria== Nonostante l'entusiasmo dell'Assemblea il paese non era ancora pronto per battersi. Le sue truppe sbattevano mentre i nemici si forzavano per entrare nel confine della Francia. La Francia si mobilitò in tutte le parti del paese perciò giunsero a Parigi molti volontari con il desiderio di difendere la patria. Tra di loro c'era un grande battaglione proveniente da Marsiglia. ==I Sanculotti: la passione e la violenza== Da questo momento e fino al 1795 la rivoluzione ebbe nuovi conflitti portando sul campo tutta la loro passione e la loro violenza. Furono popolani di Parigi come persone semplici, bottegai, artigiani, chiamati Sanculotti per un motivo banale, cioè solamente perché non portavano i calzini fino al ginocchio. I volontari iniziarono l'attacco al palazzo reale delle Tuilieres. accusando il re di tradimento. ==Le lotte all'interno dell'Assemblea legislativa== Il club dei Foglianti erano propizi al sostenimento della monarchia e sedevano alla destra del presidente, perciò si chiamavano "la Destra." Invece i Giacobini erano più propensi a un cambiamento politico totale e desideravano che tutti i maschi adulti votassero, invece loro erano seduti a sinistra e si chiamavano "la Sinistra." Dopo la scomparsa del re, giravano voci che i deputati fossero più propensi alla repubblica che alla monarchia, e quindi si decise di formare una repubblica rivoluzionaria. ==Luigi XVI viene ghigliottinato== Le lotte fra [[girondini]] e [[montagnardi]] si fecero molto forti, quando si trattò di processare [[Luigi XVI]], accusato di tradimento. I girondini volevano salvare il re a differenza dei montagnardi che lo volevano morto. La Convenzione decise che il re doveva essere decapitato, e il 21 gennaio 1793 fu decapitato Luigi XVI. La notizia della morte del re impaurì le monarchie europee e in poco tempo la Francia si trovò in guerra. == Test == <quiz> {Robespierre vien ghigliottinato durante il periodo della Rivoluzione francese | type="()"} + Vero - Falso {I reali di Francia scapparono all'estero nel 1783 | type="()"} - Vero + Falso { | type="{}"} La società del periodo che viene prima della rivoluzione era suddivisa in tre ceti: { nobiltà, clero, terzo stato } { | type="{}"} Quante donne riescono a partire verso il fronte? { un centinaio } { La Bastiglia è stata attaccata e presa il | type="()"} - 12 luglio 1789 - 14 luglio 1782 + 14 luglio 1789 - 13 agosto 1812 {Quando i francesi a Valmy sconfiggono il potente esercito russo? | type="()"} - 25 settembre del 1795 + 20 settembre del 1792 - 20 ottobre del 1795 - 15 settembre del 1792 {Nel 1797 Luigi XVI viene condannato alla ghigliottina | type="()"} - Vero + Falso { L'Assemblea entrò in guerra | type="()"} - nel 1790 - nel 1805 - nel 1797 + nel 1792 { | type="{}"} A chi affida il potere la Convenzione? { Comitato di salute pubblica } {Il potere di voto sulle leggi veniva assunto dal re | type="()"} - Vero + Falso { Da chi è guidato il Comitato di salute pubblica ? | type="()"} + Maximilien Robespierre - Luigi - un centinaio di donne - Giacobini </quiz> ==Note== ==Bibliografia== * Paolucci S., Signorini G., Marisaldi L., ''Di tempo in tempo'', vol.2, Bologna, Zanichelli, 2012, (ISBN 978-88-08-97943-8) ig7thqwkwqezv8iewxdzglnmm9ry73m 0 26189 286478 274060 2026-08-19T02:43:12Z Avemundi 2081 refuso 286478 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica (istituti tecnici) per le superiori|avanzamento=100%}} == Metodologia Top-Down== Per risolvere dei problemi complessi possiamo utilizzare la metodologia Top-Down, che prevede di risolvere un problema complesso scomponendolo in sottoproblemi, scomponibili a loro volta in ulteriori sottoproblemi, e così via , a cascata.Una volta arrivati a sottoproblemi "semplici" da risolverle, li risolviamo, e via via che li risolviamo troviamo la soluzione del problema iniziale complesso. Ad esempio se il problema complesso da risolvere e la costruzione di una casa, scomponiamo il problema nei seguenti sottoproblemi: costruzione fondazioni, costruzione muri, costruzione tetto, costruzione impianto riscaldamento, costruzione impianto sanitario, ... .Il sottoproblema costruzioni muri viene scomposto in costruisci muro nord , muro sud, muro ovest e muro est. Ora pensando che i sottoproblemi siano diventati sufficientemente semplici da essere risolti chiamiamo le squadre per risolverli, la squadra di muratori deve costruire il muro e viene impiegata 4 volte, prima per il muro nord, poi per quello sud e così via, le squadre . Nella programmazione le squadre di lavoratori che servono per risolvere i sottoproblemi "semplici" sono dette funzioni. ==Funzioni == Un programma in c è costituito da un insieme di funzioni di cui una si chiama main , la funzione main ha la particolarità di essere l'unica funzione ad essere eseguita automaticamente quando il programma parte. Le funzioni sono dei pezzi di codice autonomo che servono per risolvere dei problemi parametrici. L'autonomia del codice è garantita dall'uso delle variabili locali, ogni variabile dichiarata all'interno di una funzione viene detta locale perché ha validità solo all'interno di quella funzione, se ci sono due funzioni f1 e f2 che hanno entrambe dichiarato una variabile a di tipo intero , esiste una variabile a per la funzione f1 e una per la funzione f2, e anche se si chiamano nello stesso modo non hanno niente in comune. All'opposto, una variabile dichiarata al di fuori da tutte le funzioni prende il titolo di variabile globale e questa risulta accessibile da tutte le funzioni , se esiste una variabile globale di nome a e una variabile a locale alla funzione f1 , quella locale all'interno della funzione f1 oscura quella globale. Una funzione che lavora sulle sue variabili locali garantisce l'indipendenza di una funzione dall'altra, visto che ogni funzione serve per risolvere un particolare tipo di problemi ( ordinare un vettore, ricercare un elemento in un vettore, calcolare l'area di un rettangolo, risolvere una equazione di 2 grado etc) quando c'e un errore o una modifica da fare nel codice della soluzione di una equazione di 2 grado possiamo limitare l'analisi e le modifiche alla sola funzione che svolge quel compito, con la sicurezza che data la località delle variabili utilizzate tutto è limitato al solo codice della funzione. La frase una funzione risolve uno specifico problema parametrico non deve disturbare, un problema parametrico è un problema in cui i dati vengono indicati simbolicamente tramite il nome di alcune variabili , quindi se scrivo arearettangolo=base*altezza base e altezza sono i due parametri d'ingresso per poter risolvere il problema, naturalmente prima di poter fare i calcoli a questi parametri dovranno essere assegnati dei valori, mentre in fase di scrittura del codice della funzione potremmo scrivere la soluzione del problema utilizzando i nomi della variabili parametriche (senza preoccuparci del valore che sarà assegnato successivamente). Le funzioni servono per condividere le conoscenze, Marco che conosce le equazioni di secondo condivide le sue conoscenze scrivendo il codice della funzione per risolvere un'equazione di secondo grado in modo parametrico, Luca potrà utilizzare questa funzione senza dover saper il codice scritto nella funzione, potrà richiamarla passandogli i valori per inizializzare i parametri d'ingresso e l'esecuzione della funzione gli permette di ottenere le soluzioni. Le funzioni vengono scritte una volta sola ma poi possono essere richiamate più volte, questo semplifica la scrittura del programma e concentra all'interno della funzione la logica risolutiva di quello specifico problema parametrico. Cerchiamo di non usare variabili globali perché queste minano l'indipendenza risolutiva delle diverse funzioni permettendo alle funzioni di interagire fra loro al di fuori del più esplicito passaggio dei parametri in fase di chiamata di una funzione. Dopo molte parole passiamo alla pratica. Dopo using namespace std e prima di int main ( ....), scriviamo una funzione per risolvere il calcolo dell'area del rettangolo. Si scrive: float calcoloarearetangolo( float base, float altezza) { } questa è la struttura di una funzione , calcoloarearettangolo è il nome della funzione, fra parentesi i parametri d'ingresso per poter risolvere il problema : base e altezza. I parametri scritti quando si dichiara una funzione fra parentesi rotonde sono detti parametri formali. Poi fra le { } bisogna scrivere il codice per risolvere il problema. float calcoloarearetangolo( float base, float altezza) { float area; area=base*altezza; return area; } Analizziamo quello che è stato scritto , float area; serve per dichiarare una variabile locale , visibile solo internamente a questa funzione, che si va ad aggiungere a base e altezza che essendo i parametri d'ingresso riceveranno un valore in fase di chiamata alla funzione (fase che vedremo fra poco) tramite i parametri attuali. dopo la dichiarazione della variabile area, c'è la fase di soluzione del problema in forma parametrica area=base*altezza; finiti i calcoli siamo in grado di restituire il risultato e lo facciamo con il comando return return area; restituisce il valore dell'espressione scritta dopo la parola return, il valore viene restituito al posto della chiamata alla funzione (che vedremo fra poco). Ora finito di scrivere la funzione calcoloarearettangolo possiamo vedere come eseguirla , possiamo fare questa operazione (chiamata della funzione) da una qualsiasi funzione semplicemente scrivendone il nome e indicando la sequenza di valori da usarsi per inizializzare i parametri d'ingresso della funzione, ad esempio nella funzione main possiamo scrivere il codice calcoloarearettangolo(5,7); 5 e 7 sono detti parametri attuali e vengono fatti corrispondere per posizione ai parametri formali, quindi 5 viene caricato nella variabile base e 7 nella variabile altezza, quando viene eseguito il comando calcoloarearettangolo(5,7); dopo aver usato i parametri attuali per inizializzare i corrispondenti parametri formali, viene eseguito il codice fra { } della funzione calcoloarearettangolo, il valore restituito dal comando return prende il posto della chiamata alla funzione, cioè potete pensare che al posto di calcoloarearettangolo ora ci sia il numero 35, per non perdere il valore scriviamo c=calcoloarearettangolo(5,7); ora c vale 35. Scritta una funzione possiamo riutilizzarla più volte , nel main vogliamo calcolare l'area di un secondo rettangolo , aggiungiamo il codice <source lang=php> float a,b,soluzione; cout<<"calcolo area secondo rettangolo"<<endl; cout<<"inserisci la base del rettangolo"; cin>>a; cout<<"inserisci l'altezza del rettangolo" cin>>b; soluzione=calcoloarearettangolo(a,b); cout<<"l'area del 2^ rettangolo vale"<<soluzione; </source> in questo caso a e b quando abbiamo scritto la chiamata alla funzione calcoloarearettangolo(a,b) sono i parametri attuali che vengono fatti corrispondere (per posizione, il primo con il primo, il secondo con il secondo) con i corrisdpondenti parametri formali.Il valore di a viene usato per inizializzare la base e il valore di b viene usato per inizializzare l'altezza. Facciamo un terzo calcolo per l'area del rettangolo; potevo riutilizzare le variabili a,b,soluzione ma complichiamo le cose per evidenziare la località delle variabili dichiarate in una funzione. nel main aggiungiamo <source lang=php> float base,altezza,area; cout<<"calcolo area secondo rettangolo"<<endl; cout<<"inserisci la base del rettangolo"; cin>>base; cout<<"inserisci l'altezza del rettangolo" cin>>altezza; area=calcoloarearettangolo(base,altezza); cout<<"l'area del 2^ rettangolo vale"<<sol3; </source> esiste una variabile base e una altezza e una di nome area nella funzione main e una variabile base e altezza e area nella funzione calcoloarearettangolo , ma queste non hanno nulla in comune fra loro, esiste una variabile di nome base nel main e una variabile di nome base nella funzione calcolarearettangolo, se nella funzione calcolaarearettangolo scrivo base=100; la variabile base del main non si modifica e mantiene il suo vecchio valore. Con la chiamata alla funzione calcoloarearettangolo(base,altezza); i parametri attuali vengono fatti corrispondere ai corrispondenti (per posizione ) parametri formali. passiamo a un secondo esempio , vogliamo scrivere una funzione per il calcolo delle soluzioni di una equazione di 2 grado. Marco che è il solo ad averle studiate scrive la funzione, noi che invece che siamo andati al cinema la richiameremo solamente. In questo caso dobbiamo restituire più valori le 2 soluzioni e l'informazione se il calcolo è stato possibile (nel campo dei reali non esistono soluzioni se il discriminante è negativo , delta<0), quando si vogliono restituire più di un risultato non è possibile usare il comando return , allora decidiamo di usare 6 parametri d'ingresso, i coefficienti a,b,c dell'equazione di 2^ grado e gli indirizzi delle celle di memoria dove caricare la prima soluzione x1, la seconda soluzione x2 e dove indicare se il calcolo è stato possibile o meno. Scriviamo allora void eq2grado( flaot a, float b, float c, float *x1, float *x2, bool *esistesoluzione) { } cioè per sapere dove scrivere i 3 risultati usiamo 3 puntatori che riceveranno l'indirizzo della cella dove scrivere i risultati. il void indica che la funzione non usa return per restituire il risultato. La funzione eq2grado viene scritta dopo la dichiarazione della funzione calcoloarearettangolo e prima della funzione main. void eq2grado( flaot a, float b, float c, float *x1, float *x2, bool *esistesoluzione) { float delta; delta=b*b-4*a*c; if(delta<0) *esistesoluzione=false; else { *x1=(-b-sqrt(delta)/(2*a); *x2=(-b+sqrt(delta)/(2*a); *esistesoluzione=true; } } Il comando *x1=(-b-sqrt(delta)/(2*a); permette di scrivere il valore della prima radice nella cella puntata da x1 (che è un puntatore a float) In questo caso nel main quando faccio la chiamata alla funzione eq2grado devo fornire gli indirizzi delle celle dove voglio vengano scritti i risultati, comunicando l'indirizzo di celle di memoria locali della funzione main tramite il passaggio dei parametri (attuali con formali) permetto alla funzione eq2grado di leggere e modificare tramite i puntatori la cella puntata. nel main allora scriviamo <source lang=php> float a1,b1,c1, sol1,sol2; bool calcolato; cout<<" data una eq di secondo grado della forma ax^2+bx+c=0"<<endl; cout<<"scrivi il coefficiente a"; cin>>a1; cout<<"scrivi il coefficiente b"; cin>>b1; cout<<"scrivi termine noto c"; cin>>c1; eq2grado( a1,b1,c1, &sol1, &sol2, &calcolato; if(calcolato) cout<<"le soluzioni sono"<< sol1<< " e "<< sol2<<endl; else cout<<"non ci sono soluzioni reali al problema"; </source> tutti i parametri attuali vengono passati per inizializzare i corrispondenti parametri formali, ma i primi tre sono dei valori e i secondi tre sono degli indirizzi, si parla allora di passaggio per valore e passaggio per indirizzo. Ecco il programma completo <source lang=php> #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; //dichiarazione funzione float arearettangolo( float base, float altezza)//base altezza parametri formali { float area; area=base*altezza; return area; } void eq2grado( float a, float b, float c, float *x1, float *x2, bool *calcolato) { float delta; delta=b*b-4*a*c; if(delta<0) *calcolato=false; else {*x1=(-b-sqrt(delta))/(2*a); *x2=(-b+sqrt(delta))/(2*a); *calcolato=true; } } int main(int argc, char *argv[]) { float a,b,c; cout<<"primo rettangolo"<<endl; cout<<"base1=?"; cin>>a; cout<<"altezza1=?"; cin>>b; c=arearettangolo(a,b);// a,b parametri attuali, chiamata alla funzione cout<<"l'area del 1 rettangolo vale"<<c<<endl; cout<<"secondo rettangolo"<<endl; cout<<"base2=?"; cin>>a; cout<<"altezza2=?"; cin>>b; c=arearettangolo(a,b);// a,b parametri attuali, chiamata alla funzione cout<<"l'area del 2 rettangolo vale"<<c<<endl; cout<<"terzo rettangolo"<<endl; c=arearettangolo(7,12);// a,b parametri attuali, chiamata alla funzione cout<<"l'area del 3 rettangolo vale"<<c<<endl; float sol1,sol2; bool trovato; cout<<"soluz 2 grado"<<endl; eq2grado(4,6,-40,&sol1,&sol2,&trovato); if(trovato) cout<<" le soluzioni sono"<<sol1<<" "<<sol2<<endl; else cout<<"non ci sono soluzioni"; return 0; } </source> 4hza4tlpn4bhi0d3223dz1exx9d16te 0 31397 286479 283933 2026-08-19T02:45:30Z Avemundi 2081 Correzioni formali 286479 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Scienze per la scuola media 2|materia2=|materia3=|materia4=|materia5=|programma2=|programma3=|programma4=}} ==La bocca== La digestione degli alimenti comincia nella bocca, che costituisce l’apertura iniziale dell’apparato digerente. ===Come è fatta=== La bocca è limitata dalle labbra, dal palato e dal pavimento boccale, al suo interno sono inserite la lingua e due arcate dentarie e sboccano le ghiandole salivari. Qua il cibo viene triturato dai denti impastato dalla lingua e bagnato dalla saliva così viene trasformato in bolo alimentare pronto per eseguire il suo viaggio. Le ghiandole salivari riversano nella bocca il loro prodotto, la saliva, composta da acqua, muco e da enzimi tra cui la ptialina e la lisozima. La ptialina deve favorire la scomposizione degli amidi in zuccheri mentre la lisozima ha funzione antibatterica. La digestione nella bocca si divide in 2 parti: funzione meccanica: avviene attraverso la masticazione funzione chimica: enzimatica+saliva la saliva impasta ciò che ho masticato per formare il bolo alimentare. Nella saliva è presente anche un antibatterico naturale, il lisozima. ===I denti=== I denti sono infissi sulle due arcate formate da mandibola e mascella ad essi è affidato in compito della masticazione. I denti diversi per forma e funzione, presentano tutti la stessa struttura. ==Lo stomaco== Lo stomaco è rivestito da una spessa mucosa e assomiglia a una sacca ripiegata, che dilatandosi raggiunge la capacità di un litro e mezzo circa. Si trova nella parte alta dell’addome, a sinistra, e confina con fegato, milza, pancreas, diaframma e parte del duodeno. Lo stomaco assume diverse forme a seconda delle quantità di cibo contenuto e dalla posizione in cui si trova il corpo. Lo stomaco viene suddiviso anatomicamente nelle seguenti regioni: * il fondo, disposto superiormente a destra dello stomaco ed a sinistra della giunzione tra esofago e stomaco; * il cardias, è tra l’esofago e il fondo; * il corpo, che rappresenta la porzione maggiore dello stomaco e che si trova tra il fondo e l'antro; * l'antro, porzione finale dello stomaco, che si estende dalla piccola curvatura sino al piloro; * il piloro, che rappresenta il confine tra lo stomaco ed il duodeno. ===Fisiologia dell'organo=== Lo stomaco è l'organo che riceve dall'esofago il cibo introdotto attraverso la bocca. Al suo interno hanno inizio i processi digestivi, resi possibili dalla presenza di enzimi digestivi. Da qui il cibo passa poi nell'intestino, dove i processi digestivi potranno proseguire permettendo l'assorbimento dei nutrienti presenti negli alimenti ingeriti. Lo stomaco prosegue la digestione degli alimenti sia meccanicamente, sia chimicamente. ====L'azione meccanica==== Lo stomaco è ricoperto da fasci muscolari che si contraggono e aiutano il chimo ad essere digerito dagli enzimi. * Il cardias è un muscolo che controlla il passaggio del bolo dall’esofago allo stomaco, esse apre e chiude il condotto come una valvola. * Il piloro è un muscolo che si apre in maniera indeterminata per far passare il chimo nell’intestino ====L'azione chimica==== * il succo gastrico prodotto dalle ghiandole della mucosa interna, è composto da acqua, enzimi e acido cloridrico * l'acido cloridrico crea un ambiente acido dove i batteri non possono vivere * permette l'azione della pepsina, spezzando le lunghe catene di aminoacidi in peptoni. ==Il fegato== Il fegato è la più grossa ghiandola del corpo umano, e può raggiungere il peso di 1,5 chilogrammi; è diviso in due lobi: il lobo destro è il più voluminoso dell'organo, ha forma cupolare e comprende almeno in parte tutte le facce del fegato;il lobo sinistro, invece, ha volume pari a circa la metà del destro, è più sottile, ed ha forma triangolare. Si trova sotto le costole nella parte destra dell'addome. È collegato all'apparato digerente e svolge numerose funzioni non solo utili alla digestione degli alimenti, ma anche alla difesa dell'organismo e all'eliminazione delle sostanze tossiche. Ed è per tutte queste funzioni che è soprannominato "laboratorio chimico dell'organismo". ==Le sue funzioni== * Produce la bile che viene riversata nell'intestino tenue e completa la digestione dei lipidi; * È coinvolto nel metabolismo delle proteine e ne regola il livello nel sangue; * Libera il ferro dall'emoglobina dei globuli rossi. ==Pancreas== Il pancreas è una grossa ghiandola situata nell'addome a sinistra, sotto lo stomaco e sopra il colon traverso, all'altezza della prima e seconda vertebra lombare, in corrispondenza del duodeno. Nei soggetti giovani raggiunge un peso di circa 80-100 grammi, che tende a ridursi con l'avanzare dell'età; la lunghezza complessiva si colloca intorno ai 15 centimetri. il pancreas viene normalmente suddiviso in tre porzioni, che prendono il nome di testa, corpo e coda del pancreas. La testa rappresenta la sua parte più grossa e spessa, e prende contatto con l'ansa duodenale. Il corpo, leggermente obliquo dal basso verso l’alto, rappresenta il segmento disposto frontalmente rispetto all’aorta e alla vena cava. La coda del pancreas, infine, rappresenta il tratto assottigliato con cui termina quest'organo ghiandolare. ===Funzioni del pancreas=== *Completa la digestione degli zuccheri producendo il succo pancreatico, che viene riversato nell’intestino tenue *Produce il succo pancreatico *Produce ormoni che regolano il livello di glucosio nel sangue. I due ormoni nel pancreas sono: INSULINA e GLUCAGONE. Insulina → Aiuta: *il passaggio del glucosio (zuccheri) dal sangue alle cellule e abbassa la glicemia. *il passaggio degli aminoacidi (molecole organiche) dal sangue alle cellule. *il passaggio di potassio all'interno delle cellule. *l'uso del glucosio per la produzione di energia. *la produzione endogena di colesterolo. Glucagone → Il glucagone è un ormone peptidico secreto dal pancreas, per la precisione dalle cellule delle isole di Langerhans, che ha come bersaglio principale alcune cellule del fegato; ===Malattie del pancreas=== Il pancreas può andare incontro a disfunzioni che sono causa di una malattia, il DIABETE, che colpisce un’alta percentuale di persone. Il diabete è dovuto a una produzione insufficiente di insulina; quando questa scarseggia, la concentrazione di glucosio nel sangue aumenta fino a livelli pericolosi, causando l’IPERGLICEMIA. Il diabete genera disturbi di varia natura con conseguenze molto gravi. L’insulina è l’ormone, prodotto dal pancreas, che consente al glucosio l’ingresso nelle cellule e il suo conseguente utilizzo come fonte energetica. Quando questo meccanismo è alterato, il glucosio si accumula nel circolo sanguigno. Esistono 3 tipi di diabete: *Diabete tipo 1→ Riguarda circa il 10% delle persone con diabete e in genere insorge nell’infanzia o nell’adolescenza. Nel diabete tipo 1, il pancreas non produce insulina a causa della distruzione delle cellule ß che producono questo ormone: è quindi necessario che essa venga iniettata ogni giorno e per tutta la vita. La causa del diabete di tipo 1 è sconosciuta, ma caratteristica è la presenza nel sangue di anticorpi diretti. *Diabete di tipo 2→ È la forma più comune di diabete e rappresenta circa il 90% dei casi di questa malattia. La causa è ancora ignota, anche se è certo che il pancreas è in grado di produrre insulina, ma le cellule dell’organismo non riescono poi a utilizzarla. In genere questa malattia si manifesta dopo i 30 anni e molti fattori messi insieme contribuiscono alla manifestazione del diabete. *Diabete gestazionale→ Si definisce diabete gestazionale ogni situazione in cui si misura un elevato livello di glucosio circolante per la prima volta in gravidanza. Questa condizione si verifica nel 4% circa delle gravidanze. ==Intestino== L’intestino è l’ultima parte dell’apparato digerente e si divide in CRASSO e TENUE, che a loro volta si dividono in tre parti. L’intestino crasso si divide in cieco, colon e retto, mentre, l’intestino tenue si divide in ileo, digiuno e duodeno. Il piloro è un muscolo ad anello che si apre in maniera intermittente per lasciare passare il chimo nell’intestino. ===Anatomia dell'intestino=== Intestino tenue *Costituisce l’intestino insieme al crasso ed è la parte più lunga di tutto l’apparato digerente, ma ha un diametro minore rispetto all’intestino crasso; è nell’intestino tenue che si completa la digestione. *È ripiegato più volte su sé stesso e, come l’intestino crasso, è avvolto da una membrana, il PERITONEO. Intestino crasso *Costituisce l’intestino insieme al tenue, Ha un diametro maggiore ed ha una lunghezza minore rispetto a quello tenue, ed è disposto a cornice sui lati della cavità addominale. ==Fisiologia== ===Intestino tenue=== Svolge l’assorbimento e l’assimilazione: # Assorbimento→ I villi intestinali sono delle protuberanze che ricoprono la mucosa interna dell’intestino. Per ogni villo intestinale ci sono due tipi di capillari, Capillari sanguigni e capillari linfatici. I capillari sanguigni assorbono: * MONOSACCARIDI * GLICERINA * AMINOACIDI. I capillari linfatici assorbono: ACIDI GRASSI. ===Intestino crasso=== Svolge sia l’assorbimento sia l’assimilazione: # Assorbimento→ assorbe vitamine, sali minerali e acqua, che sono micromolecole e che quindi non devono essere digerite. # Assimilazione→ processo in cui le sostanze digerite vengono riassemblate per riformare le macromolecole. La parte iniziale dell’intestino crasso è il cieco, che termina con l’appendice vermiforme; mentre subito dopo c’è il colon, e a seguire il retto, che è la parte finale di tutto l’apparato digerente. ==Assorbimento e assimilazione== L'assorbimento è il processo in cui le sostanze vengono assorbite dall'intestino.<br> L'assimilazione è il processo in cui le sostanze digerite vengono riassemblate per formare le macromolecole. ===Cosa diventano le sostanze digerite e assorbite=== *aminoacidi → proteine specifiche dell'organismo *glucosio → energia (respirazione cellulare) *glicerina e acidi grassi → grassi tipici dell'organismo <br> L'assimilazione avviene nelle cellule. ===Che cosa accade nell'assorbimento=== ====Intestino tenue==== I villi intestinali assorbono le sostanze digerite come: * monosaccaridi, * glicerina; * aminoacidi. All'interno di ciascun villo intestinale c’è una piccola rete di capillari sanguigni e di un vaso linfatico: il vaso chilifero. I monosaccaridi, gli aminoacidi e la glicerina passano direttamente nei capillari sanguigni, da questi poi nella vena porta che li trasferisce al fegato prima che che siano immessi in circolazione. Gli acidi grassi sono invece assorbiti dal vaso chilifero e concorrono a formare la linfa, che risale lungo il dotto toracico e sbocca nella vena succlavia sinistra, per essere poi riversata nella circolazione sanguigna. <br> ====Intestino crasso==== Svolge la funzione di assorbire le vitamine, i sali minerali e l’acqua. Inoltre esso accumula le sostanze che non possono essere assorbite e le elimina sotto forma di feci attraverso l’ano. Al suo interno è presente la flora intestinale, composta da numerose colonie che, oltre ad agire sulle sostanze non assorbite, producono alcune vitamine (come ad esempio le vitamine del gruppo B e la K). ovqbhjqus2vpdckjbhdk90q61l7r25h 0 31589 286473 253047 2026-08-19T02:26:10Z Avemundi 2081 Revisione 286473 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica per la scuola media 1|avanzamento=75%}} == Cos'è GIMP == [[w:GIMP|GIMP]] è uno dei più famosi e completi [[w:Software_libero|software liberi]] per il [[w:Ritocco_fotografico|ritocco grafico]]. È prodotto in collaborazione da centinaia di programmatori ed esperti sparsi per il globo. Si può considerare il principale rivale di photoshop, così come la sua migliore alternativa. In questa guida cercherò di introdurvi al mondo del ritocco grafico in modo pratico e semplice. Il progetto, come molti altri software open source, nasce come tesi di laurea nel 1995. Due anni dopo, gli studenti Spencer Kimball e Peter Mattis decisero di distribuire pubblicamente il software, in maniera del tutto gratuita. Il successo del programma deriva probabilmente dalla sua interfaccia facilmente intuitibile e dalle sue moltissime funzionalità, di livello professionale. Compete nello stesso mercato di [[w:Adobe_Photoshop|Adobe Photoshop]], che però è al contrario estremamente costoso. == Come Usare GIMP - Tutorial Pratico == ===Obiettivi=== Obiettivo di questo semplice tutorial è di iniziare chiunque all'utilizzo di software di grafica così come all'utilizzo di GIMP. Il tutorial è costruito in modo da spiegare concetti complessi e fondamentali in modo semplice e facilmente afferrabile. Nel corso del tutorial l'utente imparerà a ritoccare una foto seguendo metodi di lavoro professionali. === Primi Passi === Partiamo con questa guida dal presupposto che voi abbiate già installato sul vostro dispositivo una versione di GIMP. Se non doveste averla già a disposizione, potete scaricarla da [https://www.gimp.org/downloads/ questo link]. Ora che siamo tutti allo stesso punto, possiamo avviare GIMP per la prima volta. Noterete che il primo avvio è molto lento, non spaventatevi, questo accadrà solo una volta e gli avvii successivi saranno decisamente più rapidi. La schermata che vi comparirà appare all'inizio abbastanza complicata, in realtà non è affatto così, visto che le parti del programma che userete maggiormente sono sempre le stesse. Innanzitutto ci serve un'immagine da utilizzare, possibilmente con licenza creative commons. Per scopo illustrativo useremo [https://unsplash.com/photos/7ktP9yZA1g4 questa immagine] scattata da Velizar Ivanov, pubblicata sulla piattaforma libera [https://unsplash.com/ Unsplash]. Per prima cosa dobbiamo dunque imparare ad aprire un immagine all'interno del programma. Per fare ciò, non dovrai fare altro che premere sul pulsante FILE nell'angolo in alto a sinistra. Dopodiché, dal menu a tendina, schiaccia sulla voce APRI. Apri dunque la foto che abbiamo appena scaricato, che si troverà probabilmente nella cartella DOWNLOAD. Il programma ci chiederà di poter convertire il profilo colore, noi accetteremo di convertirlo senza farci troppi problemi. Ora che abbiamo aperto un'immagine, facciamo un rapidissimo tour dell'interfaccia prima di iniziare veramente a lavorare. === L'interfaccia === Potrete subito notare che l'area di lavoro è suddivisa in molti "pannelli" cioè riquadri contenenti funzioni simili. Questa interfaccia è estremamente comoda ed adattabile ai gusti di ciascuno. Uno dei due pannelli più importanti di cui dovremo preoccuparci, è quello che troverete sulla vostra sinistra. Questo è infatti il pannello degli strumenti, dove troverete tutti i tool che vi serviranno per modificare le vostre fotografie, come ad esempio pennello e cerotto, che più tardi useremo. Altro pannello fondamentale è quello che si trova in basso a destra, chiamato pannello dei livelli. Questo è oltre che un pannello, anche un concetto fondamentale di ogni programma di grafica. I livelli stanno infatti alla base di ogni opera di graphic design, ma cosa sono esattamente? Potete pensare ai livelli come a delle techine trasparenti che stanno poste una sopra all'altra. Aggiungendo un livello aggiungete un'altra techina trasparente sopra a quella già presente. La techina vi permetterà ovviamente di vedere quello che ci sta sotto, inserendo però qualcosa all’interno della techina, come ad esempio un’intera immagine o semplicemente un ritaglio, non sarà più possibile vedere cosa vi sta sotto in quel punto. I livelli funzionano allo stesso modo, permettendoci dunque di creare un’immagine finale composta da più “techine”, indipendenti tra di loro, capaci però insieme di formare un risultato anche molto complesso. Ogni livello è una riga dov'è presente un occhio, una piccola immagine rappresentante il contenuto del livello ed infine il nome di esso. Schiacciando sull'occhio potrete rendere quel livello trasparente, rischiacciandolo tornerà visibile. [[File:RoccaMontelScreen3.png|center|]] Vi è anche un pannello nell'angolo alto di destra, che viene più raramente utilizzato, semplicemente per scegliere il tipo di pennello che verrà usato. In basso a sinistra vi è un ulteriore pennello, dove verranno mostrate proprietà varie in base alla necessità. === Fotoritocco === ==== Le Basi ==== Ora che abbiamo una vaga idea di cosa ci troviamo davanti, possiamo iniziare a lavorare concretamente. In questa porzione del tutorial vedremo come svolgere un'attività molto svolta in GIMP, il fotoritocco. Scopo di questa nostra prima attività sarà di dare un po' di vita ad un ritratto, così come di ritoccare il viso togliendone “difetti” vari e di evidenziarne gli occhi. Faremo dunque ciò che viene fatto quotidianamente alle foto degli influencer per migliorarne le foto. Prima di iniziare veramente a lavorare, impariamo insieme a navigare l’immagine. Come potete vedere la fotografia si è infatti aperta nel centro dell’interfaccia. Per zoommare su un qualsiasi punto, passateci sopra con il mouse e, tenendo premuto CTRL (tasto nell’angolo in basso a sinistra della tastiera), scrollate la rotellina del mouse verso il monitor. Ora che avete ingrandito un punto casuale dell’immagine, per spostarvi all’interno della fotografia, dovrete tenere premuto la BARRA SPAZIATRICE e trascinare il mouse nella direzione che preferite. È buona pratica, per prima cosa, duplicare il livello originale, di modo da averne una copia a cui tornare se qualcosa dovesse andare storto. Per fare ciò, schiacciate con il tasto destro sull’unico livello presente (nel pannello in basse a destra) e premete su duplica livello. Vi accorgerete ora che un nuovo livello è comparso, sopra a quello originale, nella forma di una nuova riga. D'ora in poi lavoreremo esclusivamente su nuovi livello, lasciando quello originale intatto, di modo da avere una copia dell'originale se qualcosa dovesse andare storto. [[File:RoccaMontelScreen4.png|800px|center|]] Allo stesso modo è fondamentale iniziare a salvare il nostro progetto. Per salvarlo basta premere su FILE e poi su SALVA. Scegliete dunque un luogo dove salvare il tutto, dategli un nome adeguato e salvate. D'ora in poi ricordate di tanto in tanto di premere la combinazione di tasti CTRL + S, che salverà automaticamente i vostri progressi. ==== Colori E Contrasto ==== Innanzitutto aggiungiamo un po' di contrasto all’immagine, proprietà fondamentale per far risaltare una fotografia. Per fare ciò, avendo il nuovo livello selezionato (cliccandoci sopra al nome con il tasto sinistro), schiacciamo sul pulsante COLORI, presente nella barra in cima all’interfaccia. Dal menu a tendina che si aprirà selezioniamo CURVE. Si aprirà ora una finestra che mostra un grafico. Per aggiungere contrasto dovremo rendere i colori scuri ancora più scuri, e quelli chiari più chiari. Per fare ciò, selezioniamo due punti della retta e trasciniamoli con il nostro cursore, di modo da formare una caratteristica forma ad S. Immediatamente vediamo un notevole aumento di contrasto, che rende l’immagine più gradevole. [[File:RoccaMontelScreen5.png|800px|center]] ==== Rimozione Imperfezioni ==== Come secondo step occupiamoci ora dei “difetti” presenti sul viso, che rimuoveremo utilizzando un utilissimo strumento chiamato CEROTTO. Selezionate dunque questo strumento dall'apposito pannello (l'icona a forma di indovinate un po', cerotto). Una volta selezionato, il vostro cursore si trasformerà in un cerchio tratteggiato. Se volete modificare la dimensione di questo cerchio, vi basterà aggiustare lo slider Dimensione, presente nel pannello in basso a sinistra. Dunque come si usa il tool cerotto? Innanzitutto, tenendo premuto CTRL premete il tasto sinistro del mouse su una zona del viso che è a vostro dire priva di difetti. Questo sarà il campione da cui il nostro strumento attingerà le informazioni necessarie. Ora siete pronti a correggere qualsiasi imperfezione. Per farlo premete il tasto sinistro del mouse e trascinatevi sopra il cursore, con un movimento simile a quello che faremmo con un pennello, questo permetterà all’immagine di risultare più naturale. Con un po' di pazienza riuscirete a perfezionare il viso secondo al vostro gusto. ==== Messa In Risalto Degli Occhi ==== Al momento la nostra immagine ha un aspetto graficamente molto gradevole, possiamo però apportare ancora qualche modifica. Come sappiamo, appena vediamo un viso, ognuno di noi è attratto dagli occhi della persona in questione. Perciò è un metodo efficace per migliorare un ritratto quello di rendere gli occhi più interessanti. Abbiamo dunque bisogno di una copia dell'ultimo livello, per poter isolare solo gli occhi. Duplichiamo dunque il livello più recente come precedentemente spiegato (tasto destro, duplica livello). Creiamo dunque ora una maschera per il nostro livello. Una maschera è un’immagine in bianconero che rappresenta il canale alpha del suo livello. Praticamente è un’immagine della stessa dimensione del livello, a cui viene legato, che decide quali parti del livello in questione mostrare e quali nascondere. Le parti del livello corrispondenti alle parti nere della maschera non saranno mostrate, diventando praticamente invisibili. Possiamo sfruttare questo metodo per isolare gli occhi del viso. Premiamo dunque con il tasto destro sul livello appena duplicato e dalla tendinda premiamo su aggiungi maschera livello. Scegliamo dunque di crearla bianca, premendo prima sull’opzione Bianco, e poi su aggiungi. [[File:RoccaMontelScreen7.png|800px|center]] Vedremo ora che di fianco alla copertina del nostro livello è comparso un riquadro bianco. Schiacciamoci dunque sopra e selezioniamo lo strumento pennello premendo P sulla tastiera, o scegliendolo dall’apposito pannello di sinistra. Sempre nel pannello degli strumenti scegliamo il colore nero nel primo riquadro addetto al colore. Aggiustiamo dunque la dimensione a piacere nel pannello di sinistra. Possiamo dunque iniziare a colorare la maschera. Sempre mantenendola selezionata, cliccandoci sopra, iniziamo a dipingere la nostra immagine con il nero, cercando di isolare gli occhi. Il pennello funziona come una matita, colora ciò che gli sta sotto nel livello selezionato. Noterete che, mentre stenderete il colore nero, parti dell’immagine diventeranno trasparenti, questo è proprio ciò che vogliamo. Ora che abbiamo il nostro livello con solo gli occhi, possiamo applicare una correzione di colore adeguata per mettere in risalto l’iride. Per fare ciò duplichiamo innanzitutto nuovamente il livello, di modo da poterne creare più versioni. Prendiamo dunque uno dei nuovi livelli appena duplicati di modo da selezionarlo e premiamo nella barra superiore nuovamente su COLORE e poi su CURVE. Ci troveremo nuovamente davanti al grafico di prima. Spostando i punti ricreiamo una curva ad S, ognuno secondo i suoi gusti per quanto riguarda l’intensità. Inoltre, schiacciando sul pulsante di fianco a VALORE, in alto a sinistra, sempre sulla stessa finestra, possiamo scegliere uno dei canali. Come ben sapete le immagini sono [[w:RGB|codificate utilizzando i tre colori primari]]. Noi selezioneremo il rosso dal menù a tendina. Da qui possiamo aumentare o diminuire il rosso presente nell’iride. Per rendere la fotografia più attraente aumentiamo dunque anche leggermente il rosso, spostando il punto medio della retta un poco verso l’alto. === Esportazione === Possiamo dunque considerare la nostra immagina ritoccata con successo e la nostra attività conclusa. Non ci resta altro che esportare il risultato finale, premiamo dunque su FILE, poi su ESPORTA COME. Si aprirà dunque il nostro esplora risorse, da dove potremo scegliere dove e in quale formato salvare l’immagine. Per questa esercitazione consiglio di lasciare il formato standard: png. [[File:RoccaMontelScreenFinalSubstitute.png|center|800px]] === Conclusione === Consiglio a tutti coloro dovessero aver incontrato difficoltà lungo questo percorso di cercare di risolvere il proprio problema utilizzando google, essendo questo di fatto il modo migliore di imparare a fondo qualsiasi cosa. Naturalmente questa è solo una semplicissima introduzione e le potenzialità di questi software sono veramente grandissime, visto la molitudine di funzioni presenti. Suggerisco dunque a chi fosse interessato a questo fantastico programma o al mondo della grafica di consultare la documentazione ufficiale presente sul sito di [https://www.gimp.org/tutorials/ GIMP], con un'esaustiva guida, così come l'eccellente guida redatta da [https://www.html.it/guide/guida-gimp/ HTML.it ]. [[Categoria:Concorso Fabrizio Rocca 2019]] i0hj9e91m2ywiwou47t605bo51b1fbi 0 32662 286451 222259 2026-08-18T13:05:41Z ~2026-45290-45 46872 286451 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1= lingua cinese}} ==Titoli di rispetto ed appellativi== In italiano esistono i titoli signore, signora e signorina; anche in cinese è così. 先生 significa signore; in certi casi viene utilizzato anche come professore (ma principalmente in tono scherzoso, oppure per i professori privati). 小姐 significa salamina. Viene usato anche 姑娘 in certi casi ma con più indicazione di “madamigella” in situazioni molto formali. Per dire signora invece c’è un'ambiguità: 女士 oppure 太太. 女士 è quello più utilizzato. In realtà viene usato per tutte le donne, non importa lo status coniugale. 太太 invece vuol dire proprio signora, solo per le donne sposate. In realtà significa anche “madama” (come 夫人, ma in quel caso significa esclusivamente madama). Se usato con 老 (vecchio) diventa 老太太, ovvero “signora anziana”. Forse avrai sentito gli appellativi Gege e Jiejie, 哥哥 e 姐姐, viene usato per indicare fratello e sorella ma i ragazzi, se sono ottimi amici fin dall’infanzia, chiamano il maggiore 哥哥, la maggiore 姐姐 come suffisso al nome. Per i minori si usa 弟弟 per i maschi e 妹妹 per le femmine. Per le persone “di una generazione indietro” si usa 叔叔 per i giovani adulti e 阿姨 per le giovani adulte. Per gli adulti e le adulte dai 40 anni circa fino ai 60 anni circa si usa 伯伯 (maschi)e 姑姑 (femmine). Per gli anziani, 老爷爷 (maschi) e come menzionato prima per le femmine 老奶奶. Noti che sono tutti nomi che rappresentano un membro della famiglia (zio, zia, nonno...)? Questo è perché anche tra amici, clienti si ricorda molto la famiglia. ==I saluti== I saluti principali utilizzati nella lingua cinese sono: 你好. Corrisponde a ciao, e viene utilizzato nel linguaggio informale tra voi ragazzi ma anche nel linguaggio medio. 您好. Corrisponde a buongiorno, inteso non come buona mattina ma come buongiorno formale. Viene utilizzato nel linguaggio formale al posto di 你好. Invece buongiorno inteso come buona mattina si scrive 早上好. 晚上好. Significa buonasera, da non confondersi con 晚安, buonanotte. Con 晚安 sta bene 祝你好梦 sogni d’oro, letteralmente ti auguro buoni sogni. 谢谢, Grazie. Per dire prego si usa 不客气. 对不起, scusa. Si usa anche 抱歉. Per dire mi scusi, si usa 劳驾. 再见 vuol dire ciao, arrivederci. Per dire addio sì usa 永別. Nelle situazioni informali si usa anche 拜拜, si legge bai bai e viene preso dall’inglese bye bye. ==Presentarsi== Per presentarsi si dice 我叫 (mi chiamo)..., 很高兴认识你/您(è un piacere conoscerti/la). Per presentare un'altra persona si dice 他/她是... (lui/lei è...). Per chiedere come si chiama un'altra persona si chiede 你叫什么名字? Ovvero, come ti chiami di nome? Per chiedere l’età si chiede 你多大 (letteralmente quanto sei grande) o 你几岁了 (letteralmente quanti anni hai?) Per dire l’età si dice 我...(numero) 岁了. Per dire l’età di un altro si sostituisce io con lui o lei. n0pad8m2gj68t6e5bk789zzp35xrfb0 286453 286451 2026-08-18T13:05:46Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-45290-45|~2026-45290-45]] ([[User talk:~2026-45290-45|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:151.30.123.165|151.30.123.165]] 222259 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1= lingua cinese}} ==Titoli di rispetto ed appellativi== In italiano esistono i titoli signore, signora e signorina; anche in cinese è così. 先生 significa signore; in certi casi viene utilizzato anche come professore (ma principalmente in tono scherzoso, oppure per i professori privati). 小姐 significa signorina. Viene usato anche 姑娘 in certi casi ma con più indicazione di “madamigella” in situazioni molto formali. Per dire signora invece c’è un'ambiguità: 女士 oppure 太太. 女士 è quello più utilizzato. In realtà viene usato per tutte le donne, non importa lo status coniugale. 太太 invece vuol dire proprio signora, solo per le donne sposate. In realtà significa anche “madama” (come 夫人, ma in quel caso significa esclusivamente madama). Se usato con 老 (vecchio) diventa 老太太, ovvero “signora anziana”. Forse avrai sentito gli appellativi Gege e Jiejie, 哥哥 e 姐姐, viene usato per indicare fratello e sorella ma i ragazzi, se sono ottimi amici fin dall’infanzia, chiamano il maggiore 哥哥, la maggiore 姐姐 come suffisso al nome. Per i minori si usa 弟弟 per i maschi e 妹妹 per le femmine. Per le persone “di una generazione indietro” si usa 叔叔 per i giovani adulti e 阿姨 per le giovani adulte. Per gli adulti e le adulte dai 40 anni circa fino ai 60 anni circa si usa 伯伯 (maschi)e 姑姑 (femmine). Per gli anziani, 老爷爷 (maschi) e come menzionato prima per le femmine 老奶奶. Noti che sono tutti nomi che rappresentano un membro della famiglia (zio, zia, nonno...)? Questo è perché anche tra amici, clienti si ricorda molto la famiglia. ==I saluti== I saluti principali utilizzati nella lingua cinese sono: 你好. Corrisponde a ciao, e viene utilizzato nel linguaggio informale tra voi ragazzi ma anche nel linguaggio medio. 您好. Corrisponde a buongiorno, inteso non come buona mattina ma come buongiorno formale. Viene utilizzato nel linguaggio formale al posto di 你好. Invece buongiorno inteso come buona mattina si scrive 早上好. 晚上好. Significa buonasera, da non confondersi con 晚安, buonanotte. Con 晚安 sta bene 祝你好梦 sogni d’oro, letteralmente ti auguro buoni sogni. 谢谢, Grazie. Per dire prego si usa 不客气. 对不起, scusa. Si usa anche 抱歉. Per dire mi scusi, si usa 劳驾. 再见 vuol dire ciao, arrivederci. Per dire addio sì usa 永別. Nelle situazioni informali si usa anche 拜拜, si legge bai bai e viene preso dall’inglese bye bye. ==Presentarsi== Per presentarsi si dice 我叫 (mi chiamo)..., 很高兴认识你/您(è un piacere conoscerti/la). Per presentare un'altra persona si dice 他/她是... (lui/lei è...). Per chiedere come si chiama un'altra persona si chiede 你叫什么名字? Ovvero, come ti chiami di nome? Per chiedere l’età si chiede 你多大 (letteralmente quanto sei grande) o 你几岁了 (letteralmente quanti anni hai?) Per dire l’età si dice 我...(numero) 岁了. Per dire l’età di un altro si sostituisce io con lui o lei. 16qnihfgdeipqcv0v3tozvsgpj6ctqo 0 33503 286440 280646 2026-08-18T13:01:29Z ~2026-45290-45 46872 286440 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = quiz | materia1 = Biologia molecolare| avanzamento = 75%}} =Informazioni sul questionario= ===Argomenti del test=== Ndgmothertrota della linea somatica e cellule della linea sessuale - Ciclo cellulare degli unicellulari eucarioti e delle cellule della linea somatica dei pluricellulari - Interfase (intercinesi) e divisione cellulare (cinèsi) - Fasi G₁, S e G₂ - Fase G₀ – Controllo del ciclo cellulare – Chinasi ciclica-dipendente (Cdk), cicline e complesso cicline-Cdk - Mitosi (cariocinesi o fase M) nelle cellule animali e vegetali - Fasi della mitosi: profase, prometafase, metafase, anafase e telofase - Strutture mitotiche: cetrioli, aster (centrosoma), fuso mitotico - Cheilodieresi (citocinèsi) nelle cellule animali e vegetali: solco di costrizione, anello contrattile e piastra cellulare - Varianti della divisione cellulare: scissione binaria delle cellule procarioti - Duplicazione (replicazione) semi-conservativa e bidirezionale del DNA - Punti di origine della duplicazione (punti ori)- Enzimi coinvolti nella duplicazione: elicasi, RNA-primase e RNA-''primer''), DNA-polimerasi III e DNA-polimerasi I, DNA-ligasi - Bolle di duplicazione e forcelle di duplicazione - Le due strategie diverse per la duplicazione: la sintesi continua del filamento veloce e la sintesi discontinua del filamento lento – I frammenti di Okazaki – I meccanismi di riparazione del DNA - ''Proofreading'' - Alterazioni permanenti della struttura del DNA: mutazioni puntiformi - Ciclo di condensazione (spiralizzazione) del DNA: dalla cromatina ai cromosomi - Cromatidi e centromero - Coppie di cromosomi omologhi: autosomi (cromosomi omologhi) ed eterocromosomi (cromosomi sessuali) - Il cromosoma X e il cromosoma Y - Cariotipo e cariogramma - Aploidia e diploidia - Numero aploide e numero diploide - Cellule aploidi e cellule diploidi. ===Avvertenze per la compilazione=== * Prima di ogni domanda è riportato, tra parentesi quadre, l'argomento specifico della domanda.<br> * Ogni domanda ammette una sola risposta esatta. ===Misurazione dei risultati=== * Punti per ogni risposta esatta: 1.<br> * Punti per ogni risposta errata o non data: 0. ===Valutazione=== Nei questionari a risposta chiusa si può azzeccare un certo numero di risposte esatte anche tirando a caso. Per cui, se non si vuole utilizzare il metodo della sottrazione di punti in presenza di risposte errate, occorre adottare una scala di valutazione che tenga conto della possibilità che la risposta esatta sia stata data fortuitamente. Se il test offre quattro possibilità di scelta, dovremo considerare che c'è una probabilità su quattro di cogliere la risposta giusta anche per caso. Pertanto una prova basata su venti domande e alla quale sono state date cinque risposte esatte, non è indice di alcuna abilità, perché lo stesso risultato potrebbe essere ottenuto, a caso, da chiunque. Quindi, su di una scala da uno a dieci, cinque risposte esatte (P_min. = 5) danno diritto al voto minimo (V_min. = 1), al contrario venti risposte esatte (P_max. = 20) danno diritto al voto massimo (V_max. = 10). Per valutare i casi intermedi si può applicare il metodo grafico o quello analitico. Nel metodo grafico si costruisce un diagramma cartesiano che ha sull'asse delle ordinate il numero di risposte esatte (5 ≤ P ≤ 20) e su quello delle ascisse i voti (1 ≤ V ≤ 10). Si individuano quindi due punti, il primo di coordinate (V_min., P_min.) ed il secondo di coordinate (V_max., P_max.) e si traccia il segmento di retta che li unisce. A questo punto basta entrare da sinistra in corrispondenza del numero di risposte esatte (P) e leggere il voto (V) corrispondente sulle ascisse. Analiticamente basta applicare la formula dell'equazione della retta di estremi (V_min., P_min.) e (V_max., P_max.) e calcolare il voto (V) corrispondente ad un certo numero di risposte esatte (P). ===Punteggio minimo=== Il punteggio minimo consigliato per poter affrontare l'argomento successivo (corrispondente al voto di sufficienza di 6 su 10, o 18 su 30) è: '''13 punti su 20'''. =Quiz n. 1= <quiz> {X} {['''Fasi del ciclo cellulare'''] Durante quali momenti del ciclo cellulare i cromosomi appaiono visibili in forma di due cromatidi uniti per il centromero? |type="()"} + Dall’inizio della profase alla fine della metafase. - Dalla fine dell’intercinesi all'inizio della citocinesi. - Durante tutta la cariocinesi. - Dall’inizio della profase alla fine dell'anafase. {['''Anafase'''] Che cosa avviene di particolare durante l’anafase? |type="()"} - Il cromosoma batterico si duplica ed i due nuovi cromosomi si attaccano in due punti diversi della membrana plasmatica. - I cromosomi arrivati al rispettivo polo cellulare si despiralizzano mentre intorno ad essi si va riformando un nuovo involucro nucleare. + I due cromatidi di ciascun cromosoma si separano e vengono trascinati ai poli opposti della cellula dai microtubuli delle fibre del fuso a cui sono agganciati. - La cellula svolge le sue funzioni specifiche e si accresce, raddoppiando circa le sue dimensioni. {['''Fasi del ciclo cellulare'''] In quale fase del ciclo cellulare si trova una cellula che non si sta dividendo ma ha già duplicato il proprio DNA? |type="()"} - Nella fase S. - Nella fase G₁. - Nella fase G₀. + Nella fase G₂. {['''Cromosomi'''] Che cosa significa dire che, in una cellula diploide, due cromosomi “corrispondono l’uno all’altro”? |type="()"} - Che in una cellula diploide in metafase ogni cromosoma è costituito da due cromatidi identici. - Che il patrimonio genetico raddoppiato della cellula madre si ripartisce equamente tra le due cellule figlie, cosicché una di esse ha i cromosomi uguali a quelli contenuti nell’altra cellula figlia. + Che in una coppia di omologhi il contenuto d’informazione genetica è molto simile, anche se non identico. - Che ogni molecola di DNA, presente in un cromosoma, è costituita da due filamenti complementari ed antiparalleli. {['''Duplicazione del DNA'''] Il processo di duplicazione del DNA contiene in sé un meccanismo che vigila sul corretto appaiamento delle basi, rimuovendo i nucleotidi sbagliati e sostituendoli con quelli appropriati. Da chi viene svolta questa attività di "correzione di bozze" (''proofreading'') del DNA neosintetizzato? |type="()"} - Dalle DNA-ligasi. + Dalle DNA-polimerasi. - Dall’elicasi. - Dalla RNA-primasi. {['''Divisione cellulare nelle cellule vegetali'''] Qual è una caratteristica fondamentale della divisione cellulare di una cellula vegetale? |type="()"} - Nelle cellule vegetali non si forma il fuso mitotico. + Nelle cellule vegetali non si forma il solco di costrizione durante la citocinesi. - Nelle cellule vegetali la duplicazione del DNA non avviene durante la fase S dell’intercinesi, ma all'inizio della profase. - Nelle cellule vegetali i cromosomi non sono costituiti da due cromatidi e non si allineano all'equatore della cellula durante la metafase. {['''Cromosomi'''] Il ''Mus musculus'' è un organismo pluricellulare 2n = 40. In un maschio di questa specie, quanti cromosomi ci sono in ognuna delle sue cellule somatiche? |type="()"} + Diciannove coppie di autosomi e la coppia eterocromosomica XY. - Trentotto paia di autosomi e due cromosomi X. - Quaranta autosomi, il cromosoma X e il cromosoma Y. - Trentanove autosomi e il cromosoma Y. {['''Duplicazione del DNA'''] Qual è il corretto ordine di intervento dei seguenti enzimi durante la duplicazione del DNA? |type="()"} - RNA primasi - Elicasi - DNA polimerasi I - DNA polimerasi III - Ligasi. - Elicasi - RNA primasi - DNA polimerasi I - DNA polimerasi III - Ligasi. + Elicasi - RNA primasi - DNA polimerasi III - DNA polimerasi I - Ligasi. - Elicasi - RNA primasi - Ligasi - DNA polimerasi I - DNA polimerasi III. {['''Duplicazione del DNA'''] Nel processo di duplicazione del DNA, quale conseguenza deriva dal fatto che i due filamenti polinucleotidici sono antiparalleli? |type="()"} - Che le forcelle di duplicazione si allontanano l’una dall'altra in direzione opposta man mano che procede la duplicazione. - Che durante la duplicazione possono verificarsi degli errori che possono anche sfuggire al meccanismo di correzione. + Che uno dei due filamenti in formazione è sintetizzato in maniera continua, mentre l’altro è sintetizzato in brevi segmenti che solo successivamente vengono assemblati assieme . - Che ciascuno dei due filamenti originari funge da stampo per la costruzione di un filamento complementare. {['''Duplicazione del DNA'''] Una molecola di DNA a doppia elica subisce tre successive duplicazioni, producendo una discendenza di otto molecole. Come dobbiamo attenderci che siano tali molecole, prescindendo dalla possibilità che si siano verificati errori? |type="()"} + Tutte uguali tra loro. - Uguali a due a due. - Uguali a quattro a quattro. - Tutte diverse tra loro. {['''Ciclo cellulare'''] Che cosa s’intende per ciclo cellulare? |type="()"} - Il processo mediante il quale, in una cellula eucariote, il DNA duplicato viene ripartito esattamente in due corredi cromosomici uguali tra le due cellule figlie. + La sequenza ripetitiva di crescita, duplicazione dell’informazione genetica, mitosi e citodieresi di una cellula eucariote. - Il processo mediante il quale, in una cellula eucariote, il DNA e gli istoni si impacchettano strettamente dando origine ai cromosomi. - La sequenza di eventi che si verificano, in una cellula eucariote, a partire dal momento della sua nascita e fino al completamento della fase G₂. {['''Non-disgiunzione dei cromatidi'''] Che potrebbe succedere se, durante l’anafase di una cellula 2n = 42, non si separassero i due cromatidi di un cromosoma? |type="()"} - Entrambe le cellule figlie sarebbero aploidi. + Una delle due cellule figlie avrebbe quarantuno cromosomi. - Una delle due cellule figlie sarebbe aploide. - Una delle due cellule figlie avrebbe ventidue cromosomi. {['''Citocinesi'''] Che differenza c’è tra la citocinesi di una cellula animale e quella di una cellula vegetale? |type="()"} - Nelle cellule vegetali il processo inizia con la duplicazione del DNA, mentre nelle cellule animali il DNA si era duplicato già durante la fase S. - Non c’è nessuna differenza significativa. I due processi sono praticamente simili e differiscono solo per piccoli particolari. + Nelle cellule animali il processo inizia con la formazione di un solco di costrizione, mentre nelle cellule vegetali inizia con l’accumulo, nella parte mediana della cellula madre, di vescicole contenenti pectina. - Nelle cellule animali il processo inizia con la duplicazione dei centrioli, che poi migrano verso i poli opposti della cellula, mentre ciò non avviene nelle cellule vegetali che non hanno i centrioli. {['''Telofase'''] Con riferimento alla telofase, individuare l'affermazione falsa. |type="()"} - Nelle cellule animali, in corrispondenza della parte mediana tra i due nuclei neoformati, comincia a formarsi un solco di costrizione. - La telofase rappresenta il ritorno della cellula ad una situazione simile a quella della cellula madre originaria. - La telofase segue l’anafase concludendo la mitosi e precedendo la citocinesi. + I due cromatidi di ciascun cromosoma si separano e vengono trascinati ai poli opposti della cellula dai microtubuli delle fibre del fuso a cui sono agganciati. {['''Scissione binaria e divisione cellulare'''] Perché la scissione binaria è fondamentalmente diversa dalla divisione cellulare? |type="()"} - Perché nella cellula procariote il fuso mitotico non si origina a partire dai centrioli. - Perché nella cellula procariote non avviene la citocinesi. + Perché nella cellula procariote non avviene la cariocinesi. - Perché la cellula procariote non duplica il DNA prima di dividersi. {['''DNA-polimerasi III'''] Quale funzione svolge la DNA-polimerasi III durante la duplicazione del DNA? |type="()"} - Lega tra loro i diversi segmenti neosintetizzati di DNA in un unico filamento. - Srotola la molecola di DNA a partire da specifici punti intermedi della doppia elica, chiamati "punti di origine della duplicazione". + Aggiunge un nucleotide dopo l'altro a ciascun nuovo filamento in formazione, ma solo ad una precisa estremità del filamento stesso. - Dirige il movimento dei cromosomi e la separazione dei cromatidi. {['''Aploidia e diploidia'''] Che tipo di cellula è una cellula con sedici cromosomi? |type="()"} - Una cellula diploide con 2n = 16, se i cromosomi sono tutti diversi. + Una cellula diploide con 2n = 16, se i cromosomi sono simili a due a due. - Una cellula aploide con n = 16, se i cromosomi sono simili a due a due. - Una cellula aploide con n = 8, se i cromosomi sono tutti diversi. {['''Duplicazione del DNA'''] Una molecola di DNA a doppia elica, completamente radioattiva, subisce due successive duplicazioni in una soluzione priva di nucleosidi trifosfati radioattivi. Come dobbiamo attenderci che siano le quattro molecole neoformate? |type="()"} - Due molecole conterranno nucleotidi radioattivi in entrambi i due filamenti, le altre due non ne conterranno nessuno. - Una molecola conterrà nucleotidi radioattivi in entrambi i due filamenti, le altre tre non ne conterranno nessuno. - Tutte le molecole conterranno nucleotidi radioattivi in uno solo dei due filamenti. + Due molecole conterranno nucleotidi radioattivi in uno solo dei due filamenti, le altre due non ne conterranno nessuno. {['''Cromatina'''] Che cos'è la cromatina? |type="()"} + Complesso di DNA, istoni e proteine non istoniche presenti nel nucleo di una cellula eucariote. - Una sequenza nucleotidica lungo il trascritto primario che non codifica per alcun amminoacido. - Un polimero costituito da una sequenza di un gran numero amminoacidi. - Un tratto di un filamento di DNA che funge da stampo per la trascrizione di un filamento di trascritto primario. {['''Metafase'''] Come appaiono i cromosomi alla fine della metafase? |type="()"} - Spiralizzati, costituiti da un solo cromatide e raggruppati ai due poli opposti della cellula. + Spiralizzati, costituiti da due cromatidi ed allineati all'equatore della cellula. - Spiralizzati, costituiti da due cromatidi e sparpagliati nel citoplasma. - Despiralizzati, costituiti da un solo cromatide e raggruppati ai due poli opposti della cellula. {/X} </quiz> =Quiz n. 2= <quiz> {X} {['''Divisione cellulare nelle cellule animali'''] Con riferimento alla divisione cellulare di una cellula animale, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - I due cromatidi di ciascun cromosoma si separano a livello del centromero all'inizio dell'anafase. + All'inizio della citocinesi, in corrispondenza della parte mediana tra i due nuclei neoformati, comincia a formarsi la piastra cellulare. - Durante la citodieresi il materiale citoplasmatico esterno ai due nuclei neoformati si distribuisce in parti più o meno uguali tra le due cellule figlie. - I nuclei neoformati delle cellule figlie sono geneticamente identici tra loro ed identici al nucleo della cellula madre. {['''Istoni'''] Che cosa sono gli istoni? |type="()"} - Le due metà di un cromosoma durante la profase della mitosi. + Proteine basiche associate al DNA che intervengono nel processo di spiralizzazione dei cromosomi degli eucarioti. - Coppia di cromosomi omologhi nel cariotipo di una cellula della linea somatica di un eucariote pluricellulare. - Sequenze nucleotidiche non codificanti del DNA che vengono rimosse durante lo ''splicing'' del trascritto primario. {['''DNA-polimerasi'''] Quale funzione svolgono, tra l'altro, le DNA-polimerasi durante la duplicazione del DNA? |type="()"} + Sostituiscono i nucleotidi appaiati per errore con quelli appropriati. - Legano tra loro i nucleotidi attraverso i gruppi fosfato. - Si attaccano a specifici punti intermedi della doppia elica di DNA, chiamati punti di origine della duplicazione, e danno inizio alla separazione dei due filamenti complementari. - Srotolano la molecola di DNA per permettere la formazione delle bolle di duplicazione. {['''Divisione cellulare e ploidia'''] Una cellula aploide con venti cromosomi porta a termine la mitosi e la citodieresi. Quante cellule si formano e quanti cromosomi ha ciascuna di esse? |type="()"} - Si formano due cellule diploidi ciascuna con venti cromosomi. - Si formano due cellule diploidi ciascuna con dieci cromosomi. + Si formano due cellule aploidi ciascuna con venti cromosomi. - Si formano due cellule aploidi ciascuna con dieci cromosomi. {['''Duplicazione del DNA'''] Che cosa si può affermare con riferimento alla duplicazione del DNA? |type="()"} + Che ha lo scopo di garantire che ognuna delle due cellule figlie abbia l'identico cariotipo della cellula madre. - Che si formano due nuovi filamenti che si staccano dalla molecola originaria per unirsi tra loro a formare una nuova doppia elica. - Che si verifica solo nelle cellule somatiche degli eucarioti pluricellulari. - Che lo srotolamento della doppia elica comporta la rottura dei legami covalenti che uniscono tra loro i nucleotidi dei due filamenti originari. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla struttura del DNA, e al processo di duplicazione, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Durante la duplicazione, la molecola di DNA originaria si srotola e i suoi due filamenti si separano in alcuni punti consentendo ai nucleotidi liberi di appaiarsi ai nucleotidi originari. - Una molecola di DNA è formata da due filamenti polinucleotidici complementari ed antiparalleli. - Ogni molecola di DNA è costituita da un filamento della molecola originaria e da uno neosintetizzato durante il processo di duplicazione. + Dato l'enorme numero di coppie di basi azotate coinvolte nella duplicazione, alla fine del processo il numero di errori nell'appaiamento delle basi è sempre molto alto. {['''Divisione cellulare'''] Che corredo cromosomico hanno e quante cellule si formano dalla divisione cellulare completa di una cellula somatica umana? |type="()"} - Due cellule figlie con un corredo di 46 eterocromosomi ciascuna. - Due cellule figlie con un corredo di 46 autosomi ciascuna: 44 eterocromosomi e 2 cromosomi sessuali. + Due cellule figlie con un corredo 46 cromosomi ciascuna: 44 autosomi e 2 eterocromosomi. - Due cellule figlie con un corredo di 23 cromosomi ciascuna: 22 autosomi ed 1 eterocromosoma. {['''Aploidia'''] Che cosa ha di particolare una cellula aploide? |type="()"} - È priva del nucleo cellulare. - Ha appena iniziato la divisione cellulare. - Ha iniziato il ciclo cellulare ma è rimasta bloccata nella fase G₁. + Ha un solo cromosoma per coppia. {['''Centromero'''] Che cos'è il centromero? |type="()"} - L’insieme di tutti i cromosomi contenuti in una cellula della linea somatica di un eucariote pluricellulare. + Il punto di unione dei due cromatidi di un cromosoma durante la profase e la metafase. - Nei cromosomi, il complesso costituito da DNA e istoni. - La struttura citoplasmatica esterna al nucleo che, durante la mitosi, svolge funzione di organizzazione e assemblaggio del fuso mitotico. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla duplicazione del DNA, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Durante la duplicazione i nucleotidi liberi nel nucleoplasma si appaiano con i nucleotidi del DNA originario contenenti le rispettive basi complementari. - La duplicazione del DNA ha lo scopo di consentire alla cellula madre di dividersi in due cellule figlie, ognuna delle quali con una dotazione completa di DNA. - Il meccanismo di duplicazione del DNA è detto semi-conservativo. + Quando il DNA si duplica, la doppia elica si srotola e si formano due nuovi filamenti complementari che si staccano dalla molecola originaria per unirsi tra loro a formare una nuova doppia elica. {['''Metafase'''] Che cosa avviene di particolare durante la metafase? |type="()"} - Nelle cellule animali inizia a formarsi il solco di costrizione. + Le fibre del fuso, già agganciate ai centromeri, allineano i cromosomi in corrispondenza del piano equatoriale della cellula. - Inizia il ciclo di condensazione del DNA che fa assumere alla cromatina la forma di cromosomi. - I cromosomi si despiralizzano e inizia a riformarsi un nuovo involucro nucleare intorno a ciascun corredo cromosomico. {['''Profase'''] Come appaiono i cromosomi verso la fine della profase? |type="()"} + Spiralizzati, costituiti da due cromatidi e sparsi disordinatamente nel citoplasma. - Despiralizzati e disposti ai poli opposti della cellula. - Spiralizzati, costituiti da due cromatidi ed allineati in corrispondenza del piano equatoriale della cellula. - Spiralizzati, costituiti da un solo cromatide e in via di migrazione verso i poli opposti della cellula. {['''DNA'''] Qual è la corretta successione, in ordine crescente di dimensioni, delle seguenti strutture? |type="()"} - Nucleosoma < tripletta < esone < gene < cromatide < cromosoma < nucleotide. - Nucleotide < esone < tripletta < gene < cromatide < nucleosoma < cromosoma. + Nucleotide < tripletta < esone < gene < nucleosoma < cromatide < cromosoma. - Nucleotide < tripletta < esone < gene < cromatide < cromosoma < nucleosoma. {['''''Primers'''''] Con riferimento ai ''primers'' (inneschi), individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Sono necessari perché la DNA-polimerasi III è in grado soltanto di allungare un filamento preesistente e solo in direzione 5' → 3'. - Sono eliminati e sostituiti con desossiribonucleotidi dalla DNA-polimerasi I nelle fasi terminali della duplicazione. + Sono sintetizzati dalla primasi solo sul filamento discontinuo prima che la DNA-polimerasi III inizi la sintesi dei frammenti di Okazaki. - Sono brevi sequenze specializzate di RNA sintetizzati dalla primasi per fornire alla DNA-polimerasi III un'estremità 3' libera a cui aggiungere nucleotidi. {['''Duplicazione DNA'''] Una molecola di DNA a doppia elica viene duplicata in provetta. Le due molecole così ottenute sono costituite da un filamento continuo e da un filamento antiparallelo costituito da numerosi brevi segmenti polinucleotidici separati tra loro. Quale enzima mancava? |type="()"} - La elicasi. - La DNA-polimerasi I. - La DNA-primasi. + La ligasi. {['''Numero diploide'''] Che cos'è il numero diploide? |type="()"} - Il numero totale di cromatidi contenuti, durante l’anafase, in una cellula della linea somatica di un organismo pluricellulare. - Il numero totale di coppie di cromosomi di una cellula della linea somatica di un organismo pluricellulare. - Il numero totale di geni contenuti nel DNA di una cellula della linea somatica di un organismo pluricellulare. + Il numero totale di cromosomi di una cellula della linea somatica di un organismo pluricellulare. {['''Frammenti di Okazaki'''] Che cosa sono i frammenti di Okazaki? |type="()"} - Ciascuno dei due filamenti della doppia elica di DNA che serviranno da stampo per la sintesi di due nuovi filamenti complementari. - I microtubuli che tra la G₂ e la profase vengono prelevati dal citoscheletro ed assemblati nel fuso mitotico. + Sono brevi segmenti di DNA sintetizzati, su uno dei due filamenti, dalla DNA-polimerasi che si muove allontanandosi dal punto di biforcazione della forcella di duplicazione. - Le due coppie di strutture a forma di cilindri che, durante la mitosi, svolgono la funzione di organizzazione e assemblaggio del fuso mitotico. {['''Ciclo di condensazione del DNA'''] Che cos'è il ciclo di condensazione del DNA? |type="()"} - Il processo attraverso il quale una molecola di DNA a doppia elica si duplica producendo una copia identica di se stessa. + Il processo attraverso il quale una molecola duplicata di DNA si avvolge intorno agli istoni, si ripiega più volte su se stessa "impacchettandosi" nei cromosomi. - Il processo attraverso il quale il DNA impacchettato nei cromatidi si despiralizza tornando visibile in forma di cromatina. - Il processo attraverso il quale il DNA impacchettato nei cromosoma si divide a livello del centromero separando i due cromatidi che migrano ai poli opposti della cellula. {['''Duplicazione del DNA'''] Che significa dire che la duplicazione del DNA è bidirezionale? |type="()"} - Che la duplicazione del DNA inizia a partire da entrambe le estremità dei due filamenti e procede nelle due direzioni. + Che, durante la duplicazione del DNA, le forcelle di duplicazione poste all'estremità di una bolla di duplicazione si allontanano in direzioni opposte. - Che, a seguito della duplicazione, si originano due doppie eliche di DNA ciascuna delle quali formata da un filamento della molecola originaria e da uno neosintetizzato. - Che la duplicazione del Dna avviene a partire da specifici punti intermedi della doppia elica, chiamati punti di origine della duplicazione. {['''Cromatina'''] Che cos'è la cromatina? |type="()"} + La sostanza contenuta nel nucleo di una cellula in interfase costituita da DNA e da diversi tipi di proteine. - La struttura complessa di natura proteica situata a livello del centromero di un cromosoma metafasico a cui si attaccano i microtubuli del fuso mitotico. - La sostanza che determina il blocco della mitosi in metafase, inibendo la formazione del fuso mitotico. - La sostanza di natura proteica che accelera o catalizza una specifica reazione chimica in una cellula. {/X} </quiz> =Quiz n. 3= <quiz> {X} {['''Divisione cellulare'''] Che cosa si può affermare con riferimento alla divisione cellulare di una cellula della linea somatica? |type="()"} - Che da una cellula madre aploide si originano due cellule figlie diploidi. - Che da una cellula madre aploide si originano due cellule figlie aploidi. - Che da una cellula madre diploide si originano due cellule figlie aploidi. + Che da una cellula madre diploide si originano due cellule figlie diploidi {['''DNA-polimerasi'''] Quale funzione, tra le altre, svolgono le DNA-polimerasi durante la duplicazione del DNA? |type="()"} + Sostituiscono i nucleotidi appaiati per errore con quelli appropriati. - Srotolano la molecola di DNA per permettere la formazione delle bolle di duplicazione. - Legano tra loro i frammenti di Okazaki durante la duplicazione del filamento discontinuo. - Si attaccano a specifici punti intermedi della doppia elica di DNA, chiamati punti di origine della duplicazione, e danno inizio alla separazione dei due filamenti complementari. {['''Divisione cellulare'''] Con riferimento alla divisione cellulare, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} + La divisione cellulare è il processo biologico alla base della riproduzione sessuale degli organismi pluricellulari. - La divisione cellulare inizia quando il DNA, che si è già duplicato e ha già cominciato a impacchettarsi strettamente agli istoni, si rende visibile al microscopio ottico sotto forma di cromosomi. - Con la divisione cellulare il materiale citoplasmatico della cellula madre si divide circa a metà tra le due cellule figlie. - Con la divisione cellulare il corredo cromosomico duplicato della cellula madre viene ripartito esattamente a metà tra le due cellule figlie. {['''Centrioli'''] Che cosa sono i centrioli? |type="()"} - Le due metà di un cromosoma durante la profase della mitosi. + Le strutture cilindriche costituite da microtubuli che si trovano in coppia nelle cellule animali e da cui si dipartono le fibre del fuso mitotico. - I due cromosomi “figli” che si originano dalla duplicazione dell’unico cromosoma presente in una cellula procariote. - Ogni coppia di cromosomi, con la stessa funzione e la stessa forma, presente nel cariotipo di una cellula della linea somatica. {['''Divisione cellulare e ploidia'''] Una cellula 2n = 28 porta a termine una divisione cellulare completa. Quante cellule si originano e che tipo di cellule sono? |type="()"} - Si origina una cellula 2n = 28. + Si originano due cellule, ognuna 2n = 28. - Si originano due cellule, ognuna 2n = 14. - Si originano due cellule, ognuna n = 14. {['''Corredo cromosomico'''] La ''Drosophila melanogaster'' è un organismo pluricellulare 2n = 8. In una femmina di questa specie, quanti cromosomi ci sono in ognuna delle sue cellule somatiche? |type="()"} - Sei paia di autosomi e due cromosomi X. - Sette autosomi ed il cromosoma X. + Sei autosomi e due cromosomi X. - Tre paia di autosomi, il cromosoma X ed il cromosoma Y. {['''Aster'''] Quale funzione svolgono le fibre dell’aster? |type="()"} - Fissano i poli del fuso mitotico alla parete cellulare. - Strozzano la cellula a livello dell'equatore, determinando l'inizio della citodieresi. - Dirigono il movimento dei cromosomi e la separazione dei cromatidi. + Fissano i poli del fuso mitotico alla membrana cellulare. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla duplicazione del DNA, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - La prima fase della duplicazione del DNA è lo srotolamento della doppia elica ad opera della elicasi. - Gli errori nell'appaiamento delle basi azotate possono determinare delle alterazioni permanenti della struttura del DNA dette mutazioni. + Se nel processo di duplicazione del DNA si verificano errori nell'appaiamento delle basi azotate, le molecole di DNA così ottenute vengono distrutte dalle DNA-polimerasi. - Il processo di duplicazione del DNA contiene in sé un sistema di correzione di gran parte degli errori di appaiamento dei nucleotidi. {['''Elicasi'''] Quale funzione svolgono le elicasi nel processo di duplicazione del DNA? |type="()"} - Sostituisce con i nucleotidi appropriati quelli appaiati in modo sbagliato. - Aggiungono un nucleotide dopo l'altro a ciascun nuovo filamento di DNA. + Srotolano e separano i due filamenti complementari di DNA dando origine alle bolle di duplicazione. - Legano assieme i nucleotidi di ciascun nuovo filamento attraverso i gruppi fosfato. {['''Duplicazione del DNA'''] Durante la duplicazione del DNA, si osservano delle strutture a forma di "Y", poste ad entrambe le estremità della zona di sintesi dei due nuovi filamenti. Come si chiamano? |type="()"} - Cinetocori. - Punti di origine della duplicazione. + Forcelle di duplicazione. - Bolle di duplicazione. {['''Fasi della divisione cellulare'''] Alcune cellule umane, quali gli epatociti o la maggior parte delle cellule nervose, non si dividono affatto ma permangono per tutta la loro esistenza sempre nella stessa fase. Come si chiama questa fase? |type="()"} - Fase G. + Fase G₀. - Fase G₂. - Fase G₁. {['''Fasi della mitosi'''] Che cosa avviene di particolare durante la profase di una cellula animale? |type="()"} - In corrispondenza della parte mediana della cellula, comincia a formarsi un solco di costrizione. - I cromosomi si allineano in corrispondenza del piano equatoriale della cellula in modo che uno dei due cromatidi sia rivolto verso un polo cellulare e l’altro verso il polo opposto. + Le coppie di centrioli si separano e raggiungono i poli opposti della cellula mentre, tra esse, si stendono i microtubuli che diventeranno le fibre del fuso. - Termina la duplicazione del DNA iniziata durante la fase S dell’intercinesi. {['''Eterocromosomi'''] Che cosa sono gli eterocromosomi? |type="()"} - I cromosomi omologhi. - I cromosomi non-sessuali. - I cromosomi responsabili dei caratteri comuni ad entrambi i sessi. + I cromosomi sessuali. {['''Divisione cellulare'''] A seguito della divisione cellulare completa di una cellula con otto cromosomi, si sono originate due cellule figlie, una con sette e l'altra con nove cromosomi. Che cosa potrebbe essere successo? |type="()"} - Non è avvenuta la citodieresi al termine della mitosi. + In un cromosoma i cromatidi si sono separati durante la telofase e non durante l’anafase. - Due cromosomi non si sono allineati sul piano equatoriale durante la metafase. - Un cromosoma non si è duplicato. {['''DNA'''] Perché la scoperta della struttura del DNA è stata una tappa fondamentale nella storia della biologia? |type="()"} - Perché ha permesso di conoscere la composizione chimica dei nucleotidi. - Perché ha permesso di accertare che una delle funzioni fondamentali del nucleo è quella di dirigere il normale funzionamento della cellula. + Perché ha fornito agli scienziati lo spunto per appurare come fa materialmente il DNA a trasmettere l’informazione ereditaria dalla cellula madre alle cellule figlie. - Perché ha permesso di capire che il nucleo è la sede dell’informazione ereditaria. {['''Divisione cellulare'''] Nella specie umana le cellule epiteliali dello strato corneo sono prive di nucleo. Che cosa si può affermare di conseguenza? |type="()"} - Che si dividono semplicemente distribuendo il materiale citoplasmatico in parti più o meno uguali tra le due cellule figlie. + Che non potendosi più dividere, permangono per tutta la loro vita in una fase analoga alla G₁ detta fase G₀. - Che si dividono con una modalità simile alla scissione binaria dei procarioti, anch'essi sprovvisti di nucleo. - Che si dividono più lentamente delle cellule dello strato basale dell'epitelio che, viceversa, sono provviste di nucleo. {['''Ploidia'''] Che cosa s’intende per cellula diploide? |type="()"} - Una cellula con due nuclei. + Una cellula nella quale i cromosomi sono "simili a due a due". - Una cellula con un corredo cromosomico di due soli cromosomi. - Una cellula nella quale i cromosomi sono costituiti da due cromatidi uniti per il centromero. {['''Divisione cellulare e scissione binaria'''] Che cosa hanno in comune la divisione cellulare e la scissione binaria? |type="()"} - Sono due processi completamente diversi che non hanno niente in comune. - In entrambi i processi la suddivisione del citoplasma tra le due cellule figlie è preceduta dalla divisione del nucleo cellulare, con formazione di una cellula con due nuclei. - In entrambi i processi si formano due cellule figlie che hanno un cariotipo dimezzato rispetto alla cellula madre. + In entrambi i processi la ripartizione del materiale genetico tra le due cellule figlie è preceduto dalla duplicazione del DNA. {['''Telomeri'''] Che cosa sono i telomeri? |type="()"} + Sono brevi sequenze ripetute di DNA, prive di geni, poste alle estremità dei cromosomi che, ad ogni ciclo di duplicazione, diventano un po’ più corte. - Sono strutture a forma di disco, localizzate nel centromero dei cromosomi in metafase. - Sono brevi sequenze di RNA nel trascritto primario che non codificano per alcun amminoacido e che devono essere rimosse nel processo di ''splicing''. - Sono brevi sequenze di RNA che forniscono l'estremità libera 3′ alla DNA-polimerasi per iniziare la sintesi di un nuovo filamento di DNA. {['''''Proofreading'''''] Che cos'è il ''proofreading''? |type="()"} + È il meccanismo di correzione degli errori di appaiamento delle basi azotate. - È il meccanismo di srotolamento e di separazione dei due filamenti di una molecola di DNA in duplicazione. - È il meccanismo attraverso il quale la DNA-ligasi unisce assieme i frammenti di Okazaki del filamento discontinuo. - È il meccanismo attraverso il quale la RNA-primasi sintetizza i ''primers'' di RNA. {/X} </quiz> =Quiz n. 4= <quiz> {X} {['''Profase'''] Con riferimento alla profase, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Nelle cellule animali, le sottili fibre degli aster si irradiano intorno ai centrioli. + All'inizio della profase si duplicano le molecole di DNA che, subito dopo, iniziano a impacchettarsi strettamente agli istoni prendendo la forma di cromosomi. - Alla fine della profase i cromosomi sono del tutto spiralizzati e sono sparpagliati nel citoplasma. - All'inizio della profase il nucleolo scompare e comincia a disgregarsi l’involucro nucleare. {['''Non-disgiunzione dei cromatidi'''] Che potrebbe succedere se, durante l’anafase di una cellula 2n = 24, non si separassero i due cromatidi di un cromosoma? |type="()"} - Una delle due cellule figlie sarebbe aploide. + Una delle due cellule figlie avrebbe un cariotipo incompleto. - Una delle due cellule figlie avrebbe un cariotipo dimezzato. - Le due cellule figlie avrebbero entrambe 23 cromosomi. {['''Fasi della divisione cellulare'''] Quale dei seguenti avvenimenti segna il passaggio dall’intercinesi alla profase? |type="()"} + La comparsa dei cromosomi in forma di due cromatidi uniti per il centromero. - L’allineamento dei cromosomi in corrispondenza del piano equatoriale della cellula. - La scomparsa del nucleoide e la disgregazione della membrana plasmatica. - La comparsa del solco di costrizione nelle cellule animali o della piastra cellulare in quelle vegetali. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla duplicazione del DNA, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} + Se nel processo di duplicazione del DNA si verificano errori nell'appaiamento delle basi azotate, le molecole di DNA così ottenute vengono distrutte dalle DNA-polimerasi. - Gli errori nell'appaiamento delle basi azotate possono determinare delle alterazioni permanenti della struttura del DNA dette mutazioni. - Il processo di duplicazione del DNA contiene in sé un sistema di correzione di gran parte degli errori di appaiamento dei nucleotidi. - La prima fase della duplicazione del DNA è lo srotolamento della doppia elica ad opera della elicasi. {['''Cromatidi'''] Che cosa sono i cromatidi? |type="()"} - I filamenti di natura proteica che, restringono la cellula animale in citodieresi, danno origine al solco di costrizione. + Le due metà di un cromosoma in metafase. - Le due strutture cilindriche, costituite da microtubuli, da cui si dipartono nelle cellule animali le fibre del fuso mitotico. - I microtubuli attivi che formano il fuso mitotico. {['''Divisione cellulare'''] In ognuna delle due cellule figlie, nate a seguito di una divisione cellulare, il numero di molecole di DNA è uguale a quello della cellula madre. Come è possibile? |type="()"} - È possibile perché, nella cellula madre, i cromosomi sono presenti in coppie di cromosomi omologhi oltre la coppia eterocromosomica. - È possibile perché le cellule figlie, durante la G₁, rigenerano le molecole di DNA mancanti. + È possibile perché durante l'intercinesi la cellula madre duplica il suo DNA. - È possibile perché la cellula madre è diploide mentre le due cellule figlie sono aploidi. {['''Divisione cellulare'''] Qual è la struttura cellulare che aggancia i cromosomi, li sposta, li allinea all'equatore della cellula ed infine separa i cromatidi trascinandoli verso i centrioli? |type="()"} - L'aster. - La piastra cellulare. + Il fuso mitotico. - L'anello contrattile di costrizione. {['''Autosomi'''] Che cosa sono gli autosomi? |type="()"} - Gli organuli citoplasmatici, quali i mitocondri ed i cloroplasti, capaci di riprodursi autonomamente all’interno della cellula. + Tutti i cromosomi contenuti nel nucleo cellulare con esclusione della coppia eterocromosomica. - Tutti i cromosomi che contengono i geni necessari per la determinazione del sesso. - Tutti i cromosomi contenuti nel nucleo cellulare delle cellule somatiche. {['''Cromosomi'''] Che cosa si può affermare con riferimento ai cromosomi di una cellula eucariote? |type="()"} - Che sono visibili in metafase sotto forma di due cromatidi uniti per il centriolo. - Che negli organismi pluricellulari sono presenti in numero diverso nei due sessi. - Che si riducono a metà durante la divisione cellulare, poiché da una cellula madre devono originarsi due cellule figlie. + Che costituiscono la forma condensata della cromatina e che, in tale forma, si rendono visibili soltanto durante le prime quattro fasi della mitosi. {['''Mitosi'''] Qual è la funzione della mitosi? |type="()"} - Quella di assicurare che le cellule figlie abbiano esattamente la metà del corredo cromosomico della cellula madre. + Quella di assicurare che le cellule figlie abbiano lo stesso corredo cromosomico della cellula madre. - Quella di assicurare che le cellule figlie abbiano un cariotipo geneticamente rimescolato. - Quella di assicurare che le cellule figlie abbiano esattamente un corredo cromosomico diverso da quello della cellula madre. {['''Bolle di duplicazione'''] Che cosa sono le bolle di duplicazione? |type="()"} - Quei tratti d DNA a forma di "Y" dove i due filamenti originari vengono separati ed i due nuovi filamenti stanno per essere sintetizzati. - Quei punti specifici della doppia elica di DNA, ai quali si attaccano particolari proteine di attivazione ed enzimi, e in corrispondenza dei quali i due filamenti di DNA cominciano a separarsi. + Quei tratti di DNA in cui i due filamenti originari si sono separati per servire da stampo per la sintesi dei due nuovi filamenti complementari. - Quelle alterazioni permanenti di una sola coppia di basi del genoma. {['''Divisione cellulare'''] Con riferimento alla divisione cellulare, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Costituisce il meccanismo di riproduzione degli eucarioti unicellulari. - Costituisce il meccanismo di riproduzione delle cellule somatiche degli eucarioti pluricellulari. - Si può verificare sia nelle cellule diploidi che in quelle aploidi. + Dà origine a due cellule figlie, ognuna delle quali ha un cariotipo dimezzato rispetto a quello della cellula madre. {['''Ciclo cellulare'''] Con riferimento al ciclo cellulare, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} + Un ciclo cellulare tipico inizia con la fase G₀, prosegue le fasi G₁, S, G₂ e termina con la mitosi e la citodieresi. - Nel ciclo cellulare si possono distinguere due fasi principali: l’interfase e la divisione cellulare, ciascuna dellev quali viene suddivisa in più sottofasi. - La durata del ciclo cellulare varia notevolmente da un tipo di cellula ad un altro. In una tipica cellula animale la durata complessiva del ciclo cellulare è di circa ventiquattro ore. - Il ciclo cellulare è un'ordinata serie di eventi che determinano la crescita della cellula eucariote e la sua divisione in due cellule figlie. {['''Mitosi'''] Durante la mitosi di una cellula somatica di un individuo di sesso maschile, come viene ripartito il materiale genetico tra le due cellule figlie? |type="()"} - Un cromosoma, con due cromatidi, di ogni coppia di omologhi e l'eterocromosoma X ad una cellula figlia, l'altro cromosoma della coppia e l'eterocromosoma Y all'altra cellula figlia. - Un cromosoma con due cromatidi, di ogni coppia, a ciascuna delle due cellule figlie. + Un cromatide di ciascun cromosoma a ciascuna delle due cellule figlie. - Un cromosoma, con due cromatidi, di ogni coppia di omologhi ed un eterocromosoma a ciascuna delle due cellule figlie. {['''Replicazione del DNA'''] Qual è l'enzima che, durante la duplicazione del DNA, procede lungo uno dei due filamenti originari aggiungendo via via altri desossiribonucleotidi al filamento in neoformazione? |type="()"} - La elicasi. - La primasi. + La DNA-polimerasi III. - La DNA-ligasi. {['''Duplicazione semiconservativa del DNA'''] Che cosa significa che la duplicazione del DNA è semiconservativa? |type="()"} - Che ogni nuova molecola di DNA è formata da due nuovi filamenti di DNA. + Che ogni nuova molecola di DNA è formata da un filamento originario e dalla copia dell'altro filamento originario. - Che ogni nuova molecola di DNA è formata da un filamento originario e dal complementare dell'altro filamento originario. - Che le purine possono appaiarsi solo con le pirimidine e viceversa. {['''Scissione binaria'''] Una certa coltura batterica viene fatta riprodurre per due generazioni in presenza di citosina radioattiva. Quale percentuale di cellule batteriche conterrà DNA con entrambi i due filamenti radioattivi? |type="()"} - 25%. - 100%. + 50%. - 75%. {['''Duplicazione del DNA'''] Una molecola di DNA a doppia elica subisce tre successive duplicazioni, producendo una discendenza di otto molecole. Come dobbiamo attenderci che siano tali molecole, prescindendo dalla possibilità che si siano verificati errori? |type="()"} - Tutte diverse tra loro. + Tutte uguali tra loro. - Uguali a quattro a quattro. - Uguali a due a due. {['''Ploidia'''] Che tipo di cellula è una cellula con 12 cromosomi? |type="()"} - Una cellula aploide con n = 6, se i cromosomi sono tutti diversi. + Una cellula diploide con 2n = 12, se i cromosomi sono simili a due a due. - Una cellula aploide con n = 12, se i cromosomi sono simili a due a due. - Una cellula diploide con 2n = 12, se i cromosomi sono tutti diversi. {['''Cariotipo'''] Che cos'è il cariotipo? |type="()"} - L'assetto cromosomico delle cellule di un organismo pluricellulare corrispondente al corredo aploide. - Il tipo di nucleo presente all’interno di una cellula eucariote. - Il numero dei cromosomi presenti nel nucleo di una cellula eucariote. + L’insieme di tutti i cromosomi presenti nel nucleo di una cellula somatica, considerati dal punto di vista morfologico. {/X} </quiz> =Quiz n. 5= <quiz> {X} {['''Scissione binaria'''] Una certa coltura batterica viene fatta riprodurre in presenza di adenina marcata con un isotopo radioattivo. Che cosa ci si aspetta al termine di una sola scissione binaria di una qualsiasi cellula madre? |type="()"} + Che in entrambe le cellule figlie ci sarà DNA radioattivo. - Che nessuna delle due cellule figlie avrà DNA radioattivo. - Che, a causa della radioattività, entrambe le cellule figlie avranno un numero elevato di mutazioni puntiformi nel loro DNA. - Che in una sola delle due cellule figlie ci sarà DNA contenente adenina radioattiva. {['''Cromatina'''] Che cos'è la cromatina? |type="()"} - Una delle due metà di un cromosoma durante la metafase di una mitosi. + Il complesso molecolare, costituito da DNA e vari tipi di proteine ad esso associate, che rappresenta la forma sotto cui il materiale genetico è visibile nel nucleo di una cellula in intercinesi. - La forma condensata del materiale genetico, e delle proteine ad esso associato, visibile al termine del ciclo di condensazione del DNA. - L’insieme di tutti i cromosomi contenuti in una qualsiasi cellula somatica di un eucariote. {['''Fasi della mitosi'''] Che cosa accade di particolare durante la prometafase? |type="()"} - Le coppie di centrioli raggiungono i poli opposti della cellula. - Il DNA inizia il ciclo di condensazione. - L’involucro nucleare ed il nucleolo iniziano a dissolversi. + Compaiono i microtubuli che connettono i cinetocori ai centrosomi. {['''Autosomi'''] Che cosa sono gli autosomi? |type="()"} - I cromosomi che contengono i geni che codificano per i caratteri differenti nei due sessi. + I cromosomi che contengono i geni atti a controllare le caratteristiche ereditarie comuni al maschio e alla femmina. - I cromosomi X e Y. - Gli organismi a riproduzione asessuale. {['''Citodieresi'''] Che cos'è la citodieresi? |type="()"} - La divisione dei centromeri e la separazione dei cromatidi durante l’anafase della mitosi. - La fase del ciclo cellulare che intercorre tra due divisioni cellulari successive. + La divisione del citoplasma e la ripartizione del suo contenuto tra le due cellule figlie. - La divisione cellulare nei procarioti. {['''DNA-polimerasi III'''] Quale funzione svolge la DNA-polimerasi III durante la duplicazione del DNA? |type="()"} + Aggiunge un nucleotide dopo l'altro a ciascun nuovo filamento in formazione, ma solo ad una precisa estremità del filamento stesso. - Sostituisce la breve molecola di RNA (''primer'') sintetizzata dalla RNA-primasi all'inizio della duplicazione con il DNA corrispondente. - Srotola la molecola di DNA a partire da specifici punti intermedi della doppia elica, chiamati "punti di origine della duplicazione". - Lega tra loro i diversi segmenti neosintetizzati di DNA in un unico filamento. {['''Divisione cellulare'''] Che cosa si può affermare con riferimento ad una cellula con due nuclei separati da una piastra cellulare in via di completamento? |type="()"} - Che si tratta di una cellula animale all'inizio della citocinesi. + Che si tratta di una cellula vegetale verso la fine della citocinesi. - Che si tratta di una cellula animale verso la fine della citodieresi. - Che si tratta di una cellula procariote verso la fine della scissione binaria. {['''Fasi della mitosi'''] Tra le fasi seguenti, qual è l'unica che non fa parte della mitosi? |type="()"} - L’anafase. - La profase. - La prometafase. + L’interfase. {['''Fuso mitotico'''] Che cos'è il fuso mitotico? |type="()"} - In una cellula animale, l’insieme dei filamenti di actina che, riunendosi sulla linea mediana della membrana della cellula madre, ne provocano la strozzatura facendo separare le due cellule figlie. - In una cellula vegetale, lo spazio appiattito, delimitato da membrane, che si forma in corrispondenza della parte mediana della cellula madre a seguito dell’accumulo di numerosissime vescicole di Golgi, che successivamente si fondono insieme. + In una cellula eucariote, la struttura a forma di pallone da rugby costituita dall’insieme dei microtubuli attivi che si forma all'inizio della divisione cellulare. - In una cellula procariote, i lati opposti della parete cellulare e della membrana plasmatica della cellula madre che, introflettendosi, vengono a contatto per poi saldarsi e dare origine alle due cellule figlie. {['''Divisione cellulare'''] Come viene ripartita ciascuna coppia di cromosomi durante la citocinesi di una cellula eucariote? |type="()"} - Un intero cromosoma, costituito da due cromatidi, a ciascuna delle due cellule figli. + Un cromatide di ciascun cromosoma a ciascuna delle due cellule figlie - Un cromatide di ciascun autosoma ed un eterocromosoma costituito da entrambi i cromatidi, per ciascuna delle due cellule figlie, - Due cromatidi di ciascun autosoma ed un cromatide di ciascun eterocromosoma, per ciascuna delle due cellule figlie. {['''Divisione cellulare'''] Con riferimento alla divisione cellulare, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} + La divisione cellulare produce cellule figlie con un corredo cromosomico dimezzato rispetto a quello della cellula madre. - La divisione cellulare rappresenta il meccanismo di riproduzione delle cellule somatiche degli organismi pluricellulari. - La divisione cellulare produce cellule figlie con un cariotipo uguale a quello della cellula madre. - La divisione cellulare produce cellule figlie con lo stesso numero di autosomi e di eterocromosomi della cellula madre. {['''Fasi della mitosi'''] Quale di questi eventi segna l'inizio della profase? |type="()"} - L’allineamento dei cromosomi in corrispondenza del piano equatoriale della cellula. - La duplicazione del DNA. - La duplicazione dei cloroplasti e dei mitocondri. + L'inizio del dissolvimento dell’involucro nucleare e la scomparsa del nucleolo. {['''Fasi della mitosi'''] Quale di questi processi ha luogo durante la fase ''S'' del ciclo cellulare? |type="()"} - La duplicazione dei centrioli e l'assemblaggio del fuso mitotico. + La duplicazione del DNA. - La ripartizione del citoplasma tra le due cellule figlie. - La migrazione dei cromatidi ai poli opposti della cellula. {['''Mutazioni'''] In un organismo pluricellulare, quali mutazioni sono sicuramente ereditabili? |type="()"} - Quelle che derivano da errori nella duplicazione del DNA degli eterocromosomi. - Quelle che derivano da errori nella duplicazione del DNA provocati da sostanze mutagene presenti nell'ambiente. - Quelle che derivano da errori nella duplicazione del DNA delle cellule somatiche. + Quelle che derivano da errori nella duplicazione del DNA delle cellule germinali dalle quali avranno origine i gameti. {['''Divisione cellulare e ploidia'''] Una cellula diploide con trenta cromosomi effettua una divisione cellulare completa (mitosi e citodieresi). Quante cellule si originano e quanti cromosomi ha ciascuna di esse? |type="()"} - Si originano due cellule aploidi ognuna con trenta cromosomi. - Si originano due cellule diploidi ognuna con quindici cromosomi. + Si originano due cellule diploidi ognuna con trenta cromosomi. - Si originano due cellule aploidi ognuna con quindici cromosomi. {['''Piastra cellulare'''] Da che cosa è formata la piastra cellulare? |type="()"} - Dai microtubuli che si irradiano dalle due coppie di centrioli disposti ai poli opposti di una cellula. - Da un anello contrattile di filamenti proteici che strozzano la cellula in corrispondenza della sua parte mediana. + Dalle vescicole del Golgi, disposte all'equatore della cellula e fuse insieme a costituire uno spazio appiattito delimitato da due membrane. - Dalla cromatina, spiralizzata dopo essersi duplicata. {['''Centrioli'''] Che cosa sono i centrioli? |type="()"} - I punti specifici della doppia elica di DNA ai quali si attaccano le elicasi per dare inizio alla separazione dei due filamenti complementari. - Le due metà di un cromosoma durante la profase della mitosi. + I due corpiccioli cilindrici che si autoduplicano quando la cellula si prepara ad iniziare la divisione cellulare. - I punti centrali dei cromosomi in corrispondenza dei quali si tengono ancora uniti assieme i due cromatidi. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla struttura del DNA, e al processo di duplicazione, individuare l’affermazione falsa? |type="()"} - Durante la duplicazione, la molecola di DNA originaria si srotola e i suoi due filamenti si separano in alcuni punti consentendo ai nucleotidi liberi di appaiarsi ai nucleotidi originari. + Dato l'enorme numero di coppie di basi azotate coinvolte nella duplicazione, alla fine del processo il numero di errori nell'appaiamento delle basi è sempre molto alto. - Ogni molecola di DNA è costituita da un filamento della molecola originaria e da uno neosintetizzato durante il processo di duplicazione. - Una molecola di DNA è formata da due filamenti polinucleotidici complementari ed antiparalleli. {['''Nucleosomi'''] Che cosa sono i nucleosomi? |type="()"} + Sono i livelli più semplici di spiralizzazione del DNA. costituiti da un nucleo di otto proteine istoniche, attorno al quale è avvolta la doppia elica. - Sono i cromosomi che nelle cellule degli eucarioti pluricellulari trasmettono i caratteri ereditari non legati al sesso. - Sono strutture non membranose, poste vicino al nucleo, specializzate nella formazione, nella crescita e nella demolizione dei microtubuli del fuso mitotico. - Sono strutture proteiche a forma di disco, localizzate nel centromero dei cromosomi e aventi il compito di agganciarsi ai microtubuli del fuso mitotico. {['''Duplicazione semiconservativa del DNA'''] Che significa dire che la duplicazione del DNA è semiconservativa? |type="()"} - Che la timina può appaiarsi solo con l'adenina e la guanina solo con la citosina. - Che durante la duplicazione del DNA possono intervenire degli errori nell'appaiamento delle basi per cui l’informazione genetica si conserva solo in parte. - Che la DNA-polimerasi utilizza i nucleotidi liberi nel nucleoplasma per sintetizzare i due nuovi filamenti di DNA. + Che a partire da ciascun filamento della doppia elica di DNA originario si origina un nuovo filamento contenente le basi complementari. {/X} </quiz> =<small>Risorse</small>= * [[Acidi nucleici (superiori)|Acidi nucleici]] * [[Divisione cellulare (superiori)|Divisione cellulare]] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Acidi_nucleici Acidi nucleici] * [https://it.wikipedia.org/wiki/DNA DNA] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Ciclo_cellulare Ciclo cellulare] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Cromosoma Cromosomi] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Mitosi Mitosi] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Citocinesi Citodieresi (citocinesi)] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Condensazione_del_DNA Ciclo di condensazione del DNA] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Replicazione_del_DNA Duplicazione (replicazione) del DNA] =<small>Quiz di Biologia</small>= * [[Acidi nucleici, proteine e sintesi proteica - Quiz|Argomento precedente]] * [[Riproduzione dei pluricellulari - Quiz|Argomento successivo]] * [[Quiz di Scienze naturali|Tutti gli argomenti]] =<small>Bibliografia</small>= * {{Cita libro|autore=Gerald Karp|titolo=Biologia Cellulare e Molecolare|annooriginale=2015|editore=EDISES|città=Napoli|ISBN=97-888-7959-863-7}} =<small>Collegamenti esterni</small>= * {{Cita web|url=http://rodomontano.altervista.org/biologia.php|titolo=Biologia|autore=Rodomontano|accesso=4 giugno 2020}} =<small>Feedback</small>= Per inserire commenti, segnalare errori o proporre miglioramenti, richiedere chiarimenti o quant'altro si ritenga opportuno, si prega di utilizzare la pagina '''Discussione''' o la pagina '''Domande''', cliccando sui relativi pulsanti in alto a sinistra, e digitare il testo. Grazie. 8rweoj9af56tg49qxjmyqfxowxwnb1u 286441 286440 2026-08-18T13:01:53Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-45290-45|~2026-45290-45]] ([[User talk:~2026-45290-45|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Avemundi|Avemundi]] 280646 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = quiz | materia1 = Biologia molecolare| avanzamento = 75%}} =Informazioni sul questionario= ===Argomenti del test=== Cellule della linea somatica e cellule della linea sessuale - Ciclo cellulare degli unicellulari eucarioti e delle cellule della linea somatica dei pluricellulari - Interfase (intercinesi) e divisione cellulare (cinèsi) - Fasi G₁, S e G₂ - Fase G₀ – Controllo del ciclo cellulare – Chinasi ciclica-dipendente (Cdk), cicline e complesso cicline-Cdk - Mitosi (cariocinesi o fase M) nelle cellule animali e vegetali - Fasi della mitosi: profase, prometafase, metafase, anafase e telofase - Strutture mitotiche: cetrioli, aster (centrosoma), fuso mitotico - Cheilodieresi (citocinèsi) nelle cellule animali e vegetali: solco di costrizione, anello contrattile e piastra cellulare - Varianti della divisione cellulare: scissione binaria delle cellule procarioti - Duplicazione (replicazione) semi-conservativa e bidirezionale del DNA - Punti di origine della duplicazione (punti ori)- Enzimi coinvolti nella duplicazione: elicasi, RNA-primase e RNA-''primer''), DNA-polimerasi III e DNA-polimerasi I, DNA-ligasi - Bolle di duplicazione e forcelle di duplicazione - Le due strategie diverse per la duplicazione: la sintesi continua del filamento veloce e la sintesi discontinua del filamento lento – I frammenti di Okazaki – I meccanismi di riparazione del DNA - ''Proofreading'' - Alterazioni permanenti della struttura del DNA: mutazioni puntiformi - Ciclo di condensazione (spiralizzazione) del DNA: dalla cromatina ai cromosomi - Cromatidi e centromero - Coppie di cromosomi omologhi: autosomi (cromosomi omologhi) ed eterocromosomi (cromosomi sessuali) - Il cromosoma X e il cromosoma Y - Cariotipo e cariogramma - Aploidia e diploidia - Numero aploide e numero diploide - Cellule aploidi e cellule diploidi. ===Avvertenze per la compilazione=== * Prima di ogni domanda è riportato, tra parentesi quadre, l'argomento specifico della domanda.<br> * Ogni domanda ammette una sola risposta esatta. ===Misurazione dei risultati=== * Punti per ogni risposta esatta: 1.<br> * Punti per ogni risposta errata o non data: 0. ===Valutazione=== Nei questionari a risposta chiusa si può azzeccare un certo numero di risposte esatte anche tirando a caso. Per cui, se non si vuole utilizzare il metodo della sottrazione di punti in presenza di risposte errate, occorre adottare una scala di valutazione che tenga conto della possibilità che la risposta esatta sia stata data fortuitamente. Se il test offre quattro possibilità di scelta, dovremo considerare che c'è una probabilità su quattro di cogliere la risposta giusta anche per caso. Pertanto una prova basata su venti domande e alla quale sono state date cinque risposte esatte, non è indice di alcuna abilità, perché lo stesso risultato potrebbe essere ottenuto, a caso, da chiunque. Quindi, su di una scala da uno a dieci, cinque risposte esatte (P_min. = 5) danno diritto al voto minimo (V_min. = 1), al contrario venti risposte esatte (P_max. = 20) danno diritto al voto massimo (V_max. = 10). Per valutare i casi intermedi si può applicare il metodo grafico o quello analitico. Nel metodo grafico si costruisce un diagramma cartesiano che ha sull'asse delle ordinate il numero di risposte esatte (5 ≤ P ≤ 20) e su quello delle ascisse i voti (1 ≤ V ≤ 10). Si individuano quindi due punti, il primo di coordinate (V_min., P_min.) ed il secondo di coordinate (V_max., P_max.) e si traccia il segmento di retta che li unisce. A questo punto basta entrare da sinistra in corrispondenza del numero di risposte esatte (P) e leggere il voto (V) corrispondente sulle ascisse. Analiticamente basta applicare la formula dell'equazione della retta di estremi (V_min., P_min.) e (V_max., P_max.) e calcolare il voto (V) corrispondente ad un certo numero di risposte esatte (P). ===Punteggio minimo=== Il punteggio minimo consigliato per poter affrontare l'argomento successivo (corrispondente al voto di sufficienza di 6 su 10, o 18 su 30) è: '''13 punti su 20'''. =Quiz n. 1= <quiz> {X} {['''Fasi del ciclo cellulare'''] Durante quali momenti del ciclo cellulare i cromosomi appaiono visibili in forma di due cromatidi uniti per il centromero? |type="()"} + Dall’inizio della profase alla fine della metafase. - Dalla fine dell’intercinesi all'inizio della citocinesi. - Durante tutta la cariocinesi. - Dall’inizio della profase alla fine dell'anafase. {['''Anafase'''] Che cosa avviene di particolare durante l’anafase? |type="()"} - Il cromosoma batterico si duplica ed i due nuovi cromosomi si attaccano in due punti diversi della membrana plasmatica. - I cromosomi arrivati al rispettivo polo cellulare si despiralizzano mentre intorno ad essi si va riformando un nuovo involucro nucleare. + I due cromatidi di ciascun cromosoma si separano e vengono trascinati ai poli opposti della cellula dai microtubuli delle fibre del fuso a cui sono agganciati. - La cellula svolge le sue funzioni specifiche e si accresce, raddoppiando circa le sue dimensioni. {['''Fasi del ciclo cellulare'''] In quale fase del ciclo cellulare si trova una cellula che non si sta dividendo ma ha già duplicato il proprio DNA? |type="()"} - Nella fase S. - Nella fase G₁. - Nella fase G₀. + Nella fase G₂. {['''Cromosomi'''] Che cosa significa dire che, in una cellula diploide, due cromosomi “corrispondono l’uno all’altro”? |type="()"} - Che in una cellula diploide in metafase ogni cromosoma è costituito da due cromatidi identici. - Che il patrimonio genetico raddoppiato della cellula madre si ripartisce equamente tra le due cellule figlie, cosicché una di esse ha i cromosomi uguali a quelli contenuti nell’altra cellula figlia. + Che in una coppia di omologhi il contenuto d’informazione genetica è molto simile, anche se non identico. - Che ogni molecola di DNA, presente in un cromosoma, è costituita da due filamenti complementari ed antiparalleli. {['''Duplicazione del DNA'''] Il processo di duplicazione del DNA contiene in sé un meccanismo che vigila sul corretto appaiamento delle basi, rimuovendo i nucleotidi sbagliati e sostituendoli con quelli appropriati. Da chi viene svolta questa attività di "correzione di bozze" (''proofreading'') del DNA neosintetizzato? |type="()"} - Dalle DNA-ligasi. + Dalle DNA-polimerasi. - Dall’elicasi. - Dalla RNA-primasi. {['''Divisione cellulare nelle cellule vegetali'''] Qual è una caratteristica fondamentale della divisione cellulare di una cellula vegetale? |type="()"} - Nelle cellule vegetali non si forma il fuso mitotico. + Nelle cellule vegetali non si forma il solco di costrizione durante la citocinesi. - Nelle cellule vegetali la duplicazione del DNA non avviene durante la fase S dell’intercinesi, ma all'inizio della profase. - Nelle cellule vegetali i cromosomi non sono costituiti da due cromatidi e non si allineano all'equatore della cellula durante la metafase. {['''Cromosomi'''] Il ''Mus musculus'' è un organismo pluricellulare 2n = 40. In un maschio di questa specie, quanti cromosomi ci sono in ognuna delle sue cellule somatiche? |type="()"} + Diciannove coppie di autosomi e la coppia eterocromosomica XY. - Trentotto paia di autosomi e due cromosomi X. - Quaranta autosomi, il cromosoma X e il cromosoma Y. - Trentanove autosomi e il cromosoma Y. {['''Duplicazione del DNA'''] Qual è il corretto ordine di intervento dei seguenti enzimi durante la duplicazione del DNA? |type="()"} - RNA primasi - Elicasi - DNA polimerasi I - DNA polimerasi III - Ligasi. - Elicasi - RNA primasi - DNA polimerasi I - DNA polimerasi III - Ligasi. + Elicasi - RNA primasi - DNA polimerasi III - DNA polimerasi I - Ligasi. - Elicasi - RNA primasi - Ligasi - DNA polimerasi I - DNA polimerasi III. {['''Duplicazione del DNA'''] Nel processo di duplicazione del DNA, quale conseguenza deriva dal fatto che i due filamenti polinucleotidici sono antiparalleli? |type="()"} - Che le forcelle di duplicazione si allontanano l’una dall'altra in direzione opposta man mano che procede la duplicazione. - Che durante la duplicazione possono verificarsi degli errori che possono anche sfuggire al meccanismo di correzione. + Che uno dei due filamenti in formazione è sintetizzato in maniera continua, mentre l’altro è sintetizzato in brevi segmenti che solo successivamente vengono assemblati assieme . - Che ciascuno dei due filamenti originari funge da stampo per la costruzione di un filamento complementare. {['''Duplicazione del DNA'''] Una molecola di DNA a doppia elica subisce tre successive duplicazioni, producendo una discendenza di otto molecole. Come dobbiamo attenderci che siano tali molecole, prescindendo dalla possibilità che si siano verificati errori? |type="()"} + Tutte uguali tra loro. - Uguali a due a due. - Uguali a quattro a quattro. - Tutte diverse tra loro. {['''Ciclo cellulare'''] Che cosa s’intende per ciclo cellulare? |type="()"} - Il processo mediante il quale, in una cellula eucariote, il DNA duplicato viene ripartito esattamente in due corredi cromosomici uguali tra le due cellule figlie. + La sequenza ripetitiva di crescita, duplicazione dell’informazione genetica, mitosi e citodieresi di una cellula eucariote. - Il processo mediante il quale, in una cellula eucariote, il DNA e gli istoni si impacchettano strettamente dando origine ai cromosomi. - La sequenza di eventi che si verificano, in una cellula eucariote, a partire dal momento della sua nascita e fino al completamento della fase G₂. {['''Non-disgiunzione dei cromatidi'''] Che potrebbe succedere se, durante l’anafase di una cellula 2n = 42, non si separassero i due cromatidi di un cromosoma? |type="()"} - Entrambe le cellule figlie sarebbero aploidi. + Una delle due cellule figlie avrebbe quarantuno cromosomi. - Una delle due cellule figlie sarebbe aploide. - Una delle due cellule figlie avrebbe ventidue cromosomi. {['''Citocinesi'''] Che differenza c’è tra la citocinesi di una cellula animale e quella di una cellula vegetale? |type="()"} - Nelle cellule vegetali il processo inizia con la duplicazione del DNA, mentre nelle cellule animali il DNA si era duplicato già durante la fase S. - Non c’è nessuna differenza significativa. I due processi sono praticamente simili e differiscono solo per piccoli particolari. + Nelle cellule animali il processo inizia con la formazione di un solco di costrizione, mentre nelle cellule vegetali inizia con l’accumulo, nella parte mediana della cellula madre, di vescicole contenenti pectina. - Nelle cellule animali il processo inizia con la duplicazione dei centrioli, che poi migrano verso i poli opposti della cellula, mentre ciò non avviene nelle cellule vegetali che non hanno i centrioli. {['''Telofase'''] Con riferimento alla telofase, individuare l'affermazione falsa. |type="()"} - Nelle cellule animali, in corrispondenza della parte mediana tra i due nuclei neoformati, comincia a formarsi un solco di costrizione. - La telofase rappresenta il ritorno della cellula ad una situazione simile a quella della cellula madre originaria. - La telofase segue l’anafase concludendo la mitosi e precedendo la citocinesi. + I due cromatidi di ciascun cromosoma si separano e vengono trascinati ai poli opposti della cellula dai microtubuli delle fibre del fuso a cui sono agganciati. {['''Scissione binaria e divisione cellulare'''] Perché la scissione binaria è fondamentalmente diversa dalla divisione cellulare? |type="()"} - Perché nella cellula procariote il fuso mitotico non si origina a partire dai centrioli. - Perché nella cellula procariote non avviene la citocinesi. + Perché nella cellula procariote non avviene la cariocinesi. - Perché la cellula procariote non duplica il DNA prima di dividersi. {['''DNA-polimerasi III'''] Quale funzione svolge la DNA-polimerasi III durante la duplicazione del DNA? |type="()"} - Lega tra loro i diversi segmenti neosintetizzati di DNA in un unico filamento. - Srotola la molecola di DNA a partire da specifici punti intermedi della doppia elica, chiamati "punti di origine della duplicazione". + Aggiunge un nucleotide dopo l'altro a ciascun nuovo filamento in formazione, ma solo ad una precisa estremità del filamento stesso. - Dirige il movimento dei cromosomi e la separazione dei cromatidi. {['''Aploidia e diploidia'''] Che tipo di cellula è una cellula con sedici cromosomi? |type="()"} - Una cellula diploide con 2n = 16, se i cromosomi sono tutti diversi. + Una cellula diploide con 2n = 16, se i cromosomi sono simili a due a due. - Una cellula aploide con n = 16, se i cromosomi sono simili a due a due. - Una cellula aploide con n = 8, se i cromosomi sono tutti diversi. {['''Duplicazione del DNA'''] Una molecola di DNA a doppia elica, completamente radioattiva, subisce due successive duplicazioni in una soluzione priva di nucleosidi trifosfati radioattivi. Come dobbiamo attenderci che siano le quattro molecole neoformate? |type="()"} - Due molecole conterranno nucleotidi radioattivi in entrambi i due filamenti, le altre due non ne conterranno nessuno. - Una molecola conterrà nucleotidi radioattivi in entrambi i due filamenti, le altre tre non ne conterranno nessuno. - Tutte le molecole conterranno nucleotidi radioattivi in uno solo dei due filamenti. + Due molecole conterranno nucleotidi radioattivi in uno solo dei due filamenti, le altre due non ne conterranno nessuno. {['''Cromatina'''] Che cos'è la cromatina? |type="()"} + Complesso di DNA, istoni e proteine non istoniche presenti nel nucleo di una cellula eucariote. - Una sequenza nucleotidica lungo il trascritto primario che non codifica per alcun amminoacido. - Un polimero costituito da una sequenza di un gran numero amminoacidi. - Un tratto di un filamento di DNA che funge da stampo per la trascrizione di un filamento di trascritto primario. {['''Metafase'''] Come appaiono i cromosomi alla fine della metafase? |type="()"} - Spiralizzati, costituiti da un solo cromatide e raggruppati ai due poli opposti della cellula. + Spiralizzati, costituiti da due cromatidi ed allineati all'equatore della cellula. - Spiralizzati, costituiti da due cromatidi e sparpagliati nel citoplasma. - Despiralizzati, costituiti da un solo cromatide e raggruppati ai due poli opposti della cellula. {/X} </quiz> =Quiz n. 2= <quiz> {X} {['''Divisione cellulare nelle cellule animali'''] Con riferimento alla divisione cellulare di una cellula animale, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - I due cromatidi di ciascun cromosoma si separano a livello del centromero all'inizio dell'anafase. + All'inizio della citocinesi, in corrispondenza della parte mediana tra i due nuclei neoformati, comincia a formarsi la piastra cellulare. - Durante la citodieresi il materiale citoplasmatico esterno ai due nuclei neoformati si distribuisce in parti più o meno uguali tra le due cellule figlie. - I nuclei neoformati delle cellule figlie sono geneticamente identici tra loro ed identici al nucleo della cellula madre. {['''Istoni'''] Che cosa sono gli istoni? |type="()"} - Le due metà di un cromosoma durante la profase della mitosi. + Proteine basiche associate al DNA che intervengono nel processo di spiralizzazione dei cromosomi degli eucarioti. - Coppia di cromosomi omologhi nel cariotipo di una cellula della linea somatica di un eucariote pluricellulare. - Sequenze nucleotidiche non codificanti del DNA che vengono rimosse durante lo ''splicing'' del trascritto primario. {['''DNA-polimerasi'''] Quale funzione svolgono, tra l'altro, le DNA-polimerasi durante la duplicazione del DNA? |type="()"} + Sostituiscono i nucleotidi appaiati per errore con quelli appropriati. - Legano tra loro i nucleotidi attraverso i gruppi fosfato. - Si attaccano a specifici punti intermedi della doppia elica di DNA, chiamati punti di origine della duplicazione, e danno inizio alla separazione dei due filamenti complementari. - Srotolano la molecola di DNA per permettere la formazione delle bolle di duplicazione. {['''Divisione cellulare e ploidia'''] Una cellula aploide con venti cromosomi porta a termine la mitosi e la citodieresi. Quante cellule si formano e quanti cromosomi ha ciascuna di esse? |type="()"} - Si formano due cellule diploidi ciascuna con venti cromosomi. - Si formano due cellule diploidi ciascuna con dieci cromosomi. + Si formano due cellule aploidi ciascuna con venti cromosomi. - Si formano due cellule aploidi ciascuna con dieci cromosomi. {['''Duplicazione del DNA'''] Che cosa si può affermare con riferimento alla duplicazione del DNA? |type="()"} + Che ha lo scopo di garantire che ognuna delle due cellule figlie abbia l'identico cariotipo della cellula madre. - Che si formano due nuovi filamenti che si staccano dalla molecola originaria per unirsi tra loro a formare una nuova doppia elica. - Che si verifica solo nelle cellule somatiche degli eucarioti pluricellulari. - Che lo srotolamento della doppia elica comporta la rottura dei legami covalenti che uniscono tra loro i nucleotidi dei due filamenti originari. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla struttura del DNA, e al processo di duplicazione, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Durante la duplicazione, la molecola di DNA originaria si srotola e i suoi due filamenti si separano in alcuni punti consentendo ai nucleotidi liberi di appaiarsi ai nucleotidi originari. - Una molecola di DNA è formata da due filamenti polinucleotidici complementari ed antiparalleli. - Ogni molecola di DNA è costituita da un filamento della molecola originaria e da uno neosintetizzato durante il processo di duplicazione. + Dato l'enorme numero di coppie di basi azotate coinvolte nella duplicazione, alla fine del processo il numero di errori nell'appaiamento delle basi è sempre molto alto. {['''Divisione cellulare'''] Che corredo cromosomico hanno e quante cellule si formano dalla divisione cellulare completa di una cellula somatica umana? |type="()"} - Due cellule figlie con un corredo di 46 eterocromosomi ciascuna. - Due cellule figlie con un corredo di 46 autosomi ciascuna: 44 eterocromosomi e 2 cromosomi sessuali. + Due cellule figlie con un corredo 46 cromosomi ciascuna: 44 autosomi e 2 eterocromosomi. - Due cellule figlie con un corredo di 23 cromosomi ciascuna: 22 autosomi ed 1 eterocromosoma. {['''Aploidia'''] Che cosa ha di particolare una cellula aploide? |type="()"} - È priva del nucleo cellulare. - Ha appena iniziato la divisione cellulare. - Ha iniziato il ciclo cellulare ma è rimasta bloccata nella fase G₁. + Ha un solo cromosoma per coppia. {['''Centromero'''] Che cos'è il centromero? |type="()"} - L’insieme di tutti i cromosomi contenuti in una cellula della linea somatica di un eucariote pluricellulare. + Il punto di unione dei due cromatidi di un cromosoma durante la profase e la metafase. - Nei cromosomi, il complesso costituito da DNA e istoni. - La struttura citoplasmatica esterna al nucleo che, durante la mitosi, svolge funzione di organizzazione e assemblaggio del fuso mitotico. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla duplicazione del DNA, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Durante la duplicazione i nucleotidi liberi nel nucleoplasma si appaiano con i nucleotidi del DNA originario contenenti le rispettive basi complementari. - La duplicazione del DNA ha lo scopo di consentire alla cellula madre di dividersi in due cellule figlie, ognuna delle quali con una dotazione completa di DNA. - Il meccanismo di duplicazione del DNA è detto semi-conservativo. + Quando il DNA si duplica, la doppia elica si srotola e si formano due nuovi filamenti complementari che si staccano dalla molecola originaria per unirsi tra loro a formare una nuova doppia elica. {['''Metafase'''] Che cosa avviene di particolare durante la metafase? |type="()"} - Nelle cellule animali inizia a formarsi il solco di costrizione. + Le fibre del fuso, già agganciate ai centromeri, allineano i cromosomi in corrispondenza del piano equatoriale della cellula. - Inizia il ciclo di condensazione del DNA che fa assumere alla cromatina la forma di cromosomi. - I cromosomi si despiralizzano e inizia a riformarsi un nuovo involucro nucleare intorno a ciascun corredo cromosomico. {['''Profase'''] Come appaiono i cromosomi verso la fine della profase? |type="()"} + Spiralizzati, costituiti da due cromatidi e sparsi disordinatamente nel citoplasma. - Despiralizzati e disposti ai poli opposti della cellula. - Spiralizzati, costituiti da due cromatidi ed allineati in corrispondenza del piano equatoriale della cellula. - Spiralizzati, costituiti da un solo cromatide e in via di migrazione verso i poli opposti della cellula. {['''DNA'''] Qual è la corretta successione, in ordine crescente di dimensioni, delle seguenti strutture? |type="()"} - Nucleosoma < tripletta < esone < gene < cromatide < cromosoma < nucleotide. - Nucleotide < esone < tripletta < gene < cromatide < nucleosoma < cromosoma. + Nucleotide < tripletta < esone < gene < nucleosoma < cromatide < cromosoma. - Nucleotide < tripletta < esone < gene < cromatide < cromosoma < nucleosoma. {['''''Primers'''''] Con riferimento ai ''primers'' (inneschi), individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Sono necessari perché la DNA-polimerasi III è in grado soltanto di allungare un filamento preesistente e solo in direzione 5' → 3'. - Sono eliminati e sostituiti con desossiribonucleotidi dalla DNA-polimerasi I nelle fasi terminali della duplicazione. + Sono sintetizzati dalla primasi solo sul filamento discontinuo prima che la DNA-polimerasi III inizi la sintesi dei frammenti di Okazaki. - Sono brevi sequenze specializzate di RNA sintetizzati dalla primasi per fornire alla DNA-polimerasi III un'estremità 3' libera a cui aggiungere nucleotidi. {['''Duplicazione DNA'''] Una molecola di DNA a doppia elica viene duplicata in provetta. Le due molecole così ottenute sono costituite da un filamento continuo e da un filamento antiparallelo costituito da numerosi brevi segmenti polinucleotidici separati tra loro. Quale enzima mancava? |type="()"} - La elicasi. - La DNA-polimerasi I. - La DNA-primasi. + La ligasi. {['''Numero diploide'''] Che cos'è il numero diploide? |type="()"} - Il numero totale di cromatidi contenuti, durante l’anafase, in una cellula della linea somatica di un organismo pluricellulare. - Il numero totale di coppie di cromosomi di una cellula della linea somatica di un organismo pluricellulare. - Il numero totale di geni contenuti nel DNA di una cellula della linea somatica di un organismo pluricellulare. + Il numero totale di cromosomi di una cellula della linea somatica di un organismo pluricellulare. {['''Frammenti di Okazaki'''] Che cosa sono i frammenti di Okazaki? |type="()"} - Ciascuno dei due filamenti della doppia elica di DNA che serviranno da stampo per la sintesi di due nuovi filamenti complementari. - I microtubuli che tra la G₂ e la profase vengono prelevati dal citoscheletro ed assemblati nel fuso mitotico. + Sono brevi segmenti di DNA sintetizzati, su uno dei due filamenti, dalla DNA-polimerasi che si muove allontanandosi dal punto di biforcazione della forcella di duplicazione. - Le due coppie di strutture a forma di cilindri che, durante la mitosi, svolgono la funzione di organizzazione e assemblaggio del fuso mitotico. {['''Ciclo di condensazione del DNA'''] Che cos'è il ciclo di condensazione del DNA? |type="()"} - Il processo attraverso il quale una molecola di DNA a doppia elica si duplica producendo una copia identica di se stessa. + Il processo attraverso il quale una molecola duplicata di DNA si avvolge intorno agli istoni, si ripiega più volte su se stessa "impacchettandosi" nei cromosomi. - Il processo attraverso il quale il DNA impacchettato nei cromatidi si despiralizza tornando visibile in forma di cromatina. - Il processo attraverso il quale il DNA impacchettato nei cromosoma si divide a livello del centromero separando i due cromatidi che migrano ai poli opposti della cellula. {['''Duplicazione del DNA'''] Che significa dire che la duplicazione del DNA è bidirezionale? |type="()"} - Che la duplicazione del DNA inizia a partire da entrambe le estremità dei due filamenti e procede nelle due direzioni. + Che, durante la duplicazione del DNA, le forcelle di duplicazione poste all'estremità di una bolla di duplicazione si allontanano in direzioni opposte. - Che, a seguito della duplicazione, si originano due doppie eliche di DNA ciascuna delle quali formata da un filamento della molecola originaria e da uno neosintetizzato. - Che la duplicazione del Dna avviene a partire da specifici punti intermedi della doppia elica, chiamati punti di origine della duplicazione. {['''Cromatina'''] Che cos'è la cromatina? |type="()"} + La sostanza contenuta nel nucleo di una cellula in interfase costituita da DNA e da diversi tipi di proteine. - La struttura complessa di natura proteica situata a livello del centromero di un cromosoma metafasico a cui si attaccano i microtubuli del fuso mitotico. - La sostanza che determina il blocco della mitosi in metafase, inibendo la formazione del fuso mitotico. - La sostanza di natura proteica che accelera o catalizza una specifica reazione chimica in una cellula. {/X} </quiz> =Quiz n. 3= <quiz> {X} {['''Divisione cellulare'''] Che cosa si può affermare con riferimento alla divisione cellulare di una cellula della linea somatica? |type="()"} - Che da una cellula madre aploide si originano due cellule figlie diploidi. - Che da una cellula madre aploide si originano due cellule figlie aploidi. - Che da una cellula madre diploide si originano due cellule figlie aploidi. + Che da una cellula madre diploide si originano due cellule figlie diploidi {['''DNA-polimerasi'''] Quale funzione, tra le altre, svolgono le DNA-polimerasi durante la duplicazione del DNA? |type="()"} + Sostituiscono i nucleotidi appaiati per errore con quelli appropriati. - Srotolano la molecola di DNA per permettere la formazione delle bolle di duplicazione. - Legano tra loro i frammenti di Okazaki durante la duplicazione del filamento discontinuo. - Si attaccano a specifici punti intermedi della doppia elica di DNA, chiamati punti di origine della duplicazione, e danno inizio alla separazione dei due filamenti complementari. {['''Divisione cellulare'''] Con riferimento alla divisione cellulare, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} + La divisione cellulare è il processo biologico alla base della riproduzione sessuale degli organismi pluricellulari. - La divisione cellulare inizia quando il DNA, che si è già duplicato e ha già cominciato a impacchettarsi strettamente agli istoni, si rende visibile al microscopio ottico sotto forma di cromosomi. - Con la divisione cellulare il materiale citoplasmatico della cellula madre si divide circa a metà tra le due cellule figlie. - Con la divisione cellulare il corredo cromosomico duplicato della cellula madre viene ripartito esattamente a metà tra le due cellule figlie. {['''Centrioli'''] Che cosa sono i centrioli? |type="()"} - Le due metà di un cromosoma durante la profase della mitosi. + Le strutture cilindriche costituite da microtubuli che si trovano in coppia nelle cellule animali e da cui si dipartono le fibre del fuso mitotico. - I due cromosomi “figli” che si originano dalla duplicazione dell’unico cromosoma presente in una cellula procariote. - Ogni coppia di cromosomi, con la stessa funzione e la stessa forma, presente nel cariotipo di una cellula della linea somatica. {['''Divisione cellulare e ploidia'''] Una cellula 2n = 28 porta a termine una divisione cellulare completa. Quante cellule si originano e che tipo di cellule sono? |type="()"} - Si origina una cellula 2n = 28. + Si originano due cellule, ognuna 2n = 28. - Si originano due cellule, ognuna 2n = 14. - Si originano due cellule, ognuna n = 14. {['''Corredo cromosomico'''] La ''Drosophila melanogaster'' è un organismo pluricellulare 2n = 8. In una femmina di questa specie, quanti cromosomi ci sono in ognuna delle sue cellule somatiche? |type="()"} - Sei paia di autosomi e due cromosomi X. - Sette autosomi ed il cromosoma X. + Sei autosomi e due cromosomi X. - Tre paia di autosomi, il cromosoma X ed il cromosoma Y. {['''Aster'''] Quale funzione svolgono le fibre dell’aster? |type="()"} - Fissano i poli del fuso mitotico alla parete cellulare. - Strozzano la cellula a livello dell'equatore, determinando l'inizio della citodieresi. - Dirigono il movimento dei cromosomi e la separazione dei cromatidi. + Fissano i poli del fuso mitotico alla membrana cellulare. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla duplicazione del DNA, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - La prima fase della duplicazione del DNA è lo srotolamento della doppia elica ad opera della elicasi. - Gli errori nell'appaiamento delle basi azotate possono determinare delle alterazioni permanenti della struttura del DNA dette mutazioni. + Se nel processo di duplicazione del DNA si verificano errori nell'appaiamento delle basi azotate, le molecole di DNA così ottenute vengono distrutte dalle DNA-polimerasi. - Il processo di duplicazione del DNA contiene in sé un sistema di correzione di gran parte degli errori di appaiamento dei nucleotidi. {['''Elicasi'''] Quale funzione svolgono le elicasi nel processo di duplicazione del DNA? |type="()"} - Sostituisce con i nucleotidi appropriati quelli appaiati in modo sbagliato. - Aggiungono un nucleotide dopo l'altro a ciascun nuovo filamento di DNA. + Srotolano e separano i due filamenti complementari di DNA dando origine alle bolle di duplicazione. - Legano assieme i nucleotidi di ciascun nuovo filamento attraverso i gruppi fosfato. {['''Duplicazione del DNA'''] Durante la duplicazione del DNA, si osservano delle strutture a forma di "Y", poste ad entrambe le estremità della zona di sintesi dei due nuovi filamenti. Come si chiamano? |type="()"} - Cinetocori. - Punti di origine della duplicazione. + Forcelle di duplicazione. - Bolle di duplicazione. {['''Fasi della divisione cellulare'''] Alcune cellule umane, quali gli epatociti o la maggior parte delle cellule nervose, non si dividono affatto ma permangono per tutta la loro esistenza sempre nella stessa fase. Come si chiama questa fase? |type="()"} - Fase G. + Fase G₀. - Fase G₂. - Fase G₁. {['''Fasi della mitosi'''] Che cosa avviene di particolare durante la profase di una cellula animale? |type="()"} - In corrispondenza della parte mediana della cellula, comincia a formarsi un solco di costrizione. - I cromosomi si allineano in corrispondenza del piano equatoriale della cellula in modo che uno dei due cromatidi sia rivolto verso un polo cellulare e l’altro verso il polo opposto. + Le coppie di centrioli si separano e raggiungono i poli opposti della cellula mentre, tra esse, si stendono i microtubuli che diventeranno le fibre del fuso. - Termina la duplicazione del DNA iniziata durante la fase S dell’intercinesi. {['''Eterocromosomi'''] Che cosa sono gli eterocromosomi? |type="()"} - I cromosomi omologhi. - I cromosomi non-sessuali. - I cromosomi responsabili dei caratteri comuni ad entrambi i sessi. + I cromosomi sessuali. {['''Divisione cellulare'''] A seguito della divisione cellulare completa di una cellula con otto cromosomi, si sono originate due cellule figlie, una con sette e l'altra con nove cromosomi. Che cosa potrebbe essere successo? |type="()"} - Non è avvenuta la citodieresi al termine della mitosi. + In un cromosoma i cromatidi si sono separati durante la telofase e non durante l’anafase. - Due cromosomi non si sono allineati sul piano equatoriale durante la metafase. - Un cromosoma non si è duplicato. {['''DNA'''] Perché la scoperta della struttura del DNA è stata una tappa fondamentale nella storia della biologia? |type="()"} - Perché ha permesso di conoscere la composizione chimica dei nucleotidi. - Perché ha permesso di accertare che una delle funzioni fondamentali del nucleo è quella di dirigere il normale funzionamento della cellula. + Perché ha fornito agli scienziati lo spunto per appurare come fa materialmente il DNA a trasmettere l’informazione ereditaria dalla cellula madre alle cellule figlie. - Perché ha permesso di capire che il nucleo è la sede dell’informazione ereditaria. {['''Divisione cellulare'''] Nella specie umana le cellule epiteliali dello strato corneo sono prive di nucleo. Che cosa si può affermare di conseguenza? |type="()"} - Che si dividono semplicemente distribuendo il materiale citoplasmatico in parti più o meno uguali tra le due cellule figlie. + Che non potendosi più dividere, permangono per tutta la loro vita in una fase analoga alla G₁ detta fase G₀. - Che si dividono con una modalità simile alla scissione binaria dei procarioti, anch'essi sprovvisti di nucleo. - Che si dividono più lentamente delle cellule dello strato basale dell'epitelio che, viceversa, sono provviste di nucleo. {['''Ploidia'''] Che cosa s’intende per cellula diploide? |type="()"} - Una cellula con due nuclei. + Una cellula nella quale i cromosomi sono "simili a due a due". - Una cellula con un corredo cromosomico di due soli cromosomi. - Una cellula nella quale i cromosomi sono costituiti da due cromatidi uniti per il centromero. {['''Divisione cellulare e scissione binaria'''] Che cosa hanno in comune la divisione cellulare e la scissione binaria? |type="()"} - Sono due processi completamente diversi che non hanno niente in comune. - In entrambi i processi la suddivisione del citoplasma tra le due cellule figlie è preceduta dalla divisione del nucleo cellulare, con formazione di una cellula con due nuclei. - In entrambi i processi si formano due cellule figlie che hanno un cariotipo dimezzato rispetto alla cellula madre. + In entrambi i processi la ripartizione del materiale genetico tra le due cellule figlie è preceduto dalla duplicazione del DNA. {['''Telomeri'''] Che cosa sono i telomeri? |type="()"} + Sono brevi sequenze ripetute di DNA, prive di geni, poste alle estremità dei cromosomi che, ad ogni ciclo di duplicazione, diventano un po’ più corte. - Sono strutture a forma di disco, localizzate nel centromero dei cromosomi in metafase. - Sono brevi sequenze di RNA nel trascritto primario che non codificano per alcun amminoacido e che devono essere rimosse nel processo di ''splicing''. - Sono brevi sequenze di RNA che forniscono l'estremità libera 3′ alla DNA-polimerasi per iniziare la sintesi di un nuovo filamento di DNA. {['''''Proofreading'''''] Che cos'è il ''proofreading''? |type="()"} + È il meccanismo di correzione degli errori di appaiamento delle basi azotate. - È il meccanismo di srotolamento e di separazione dei due filamenti di una molecola di DNA in duplicazione. - È il meccanismo attraverso il quale la DNA-ligasi unisce assieme i frammenti di Okazaki del filamento discontinuo. - È il meccanismo attraverso il quale la RNA-primasi sintetizza i ''primers'' di RNA. {/X} </quiz> =Quiz n. 4= <quiz> {X} {['''Profase'''] Con riferimento alla profase, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Nelle cellule animali, le sottili fibre degli aster si irradiano intorno ai centrioli. + All'inizio della profase si duplicano le molecole di DNA che, subito dopo, iniziano a impacchettarsi strettamente agli istoni prendendo la forma di cromosomi. - Alla fine della profase i cromosomi sono del tutto spiralizzati e sono sparpagliati nel citoplasma. - All'inizio della profase il nucleolo scompare e comincia a disgregarsi l’involucro nucleare. {['''Non-disgiunzione dei cromatidi'''] Che potrebbe succedere se, durante l’anafase di una cellula 2n = 24, non si separassero i due cromatidi di un cromosoma? |type="()"} - Una delle due cellule figlie sarebbe aploide. + Una delle due cellule figlie avrebbe un cariotipo incompleto. - Una delle due cellule figlie avrebbe un cariotipo dimezzato. - Le due cellule figlie avrebbero entrambe 23 cromosomi. {['''Fasi della divisione cellulare'''] Quale dei seguenti avvenimenti segna il passaggio dall’intercinesi alla profase? |type="()"} + La comparsa dei cromosomi in forma di due cromatidi uniti per il centromero. - L’allineamento dei cromosomi in corrispondenza del piano equatoriale della cellula. - La scomparsa del nucleoide e la disgregazione della membrana plasmatica. - La comparsa del solco di costrizione nelle cellule animali o della piastra cellulare in quelle vegetali. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla duplicazione del DNA, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} + Se nel processo di duplicazione del DNA si verificano errori nell'appaiamento delle basi azotate, le molecole di DNA così ottenute vengono distrutte dalle DNA-polimerasi. - Gli errori nell'appaiamento delle basi azotate possono determinare delle alterazioni permanenti della struttura del DNA dette mutazioni. - Il processo di duplicazione del DNA contiene in sé un sistema di correzione di gran parte degli errori di appaiamento dei nucleotidi. - La prima fase della duplicazione del DNA è lo srotolamento della doppia elica ad opera della elicasi. {['''Cromatidi'''] Che cosa sono i cromatidi? |type="()"} - I filamenti di natura proteica che, restringono la cellula animale in citodieresi, danno origine al solco di costrizione. + Le due metà di un cromosoma in metafase. - Le due strutture cilindriche, costituite da microtubuli, da cui si dipartono nelle cellule animali le fibre del fuso mitotico. - I microtubuli attivi che formano il fuso mitotico. {['''Divisione cellulare'''] In ognuna delle due cellule figlie, nate a seguito di una divisione cellulare, il numero di molecole di DNA è uguale a quello della cellula madre. Come è possibile? |type="()"} - È possibile perché, nella cellula madre, i cromosomi sono presenti in coppie di cromosomi omologhi oltre la coppia eterocromosomica. - È possibile perché le cellule figlie, durante la G₁, rigenerano le molecole di DNA mancanti. + È possibile perché durante l'intercinesi la cellula madre duplica il suo DNA. - È possibile perché la cellula madre è diploide mentre le due cellule figlie sono aploidi. {['''Divisione cellulare'''] Qual è la struttura cellulare che aggancia i cromosomi, li sposta, li allinea all'equatore della cellula ed infine separa i cromatidi trascinandoli verso i centrioli? |type="()"} - L'aster. - La piastra cellulare. + Il fuso mitotico. - L'anello contrattile di costrizione. {['''Autosomi'''] Che cosa sono gli autosomi? |type="()"} - Gli organuli citoplasmatici, quali i mitocondri ed i cloroplasti, capaci di riprodursi autonomamente all’interno della cellula. + Tutti i cromosomi contenuti nel nucleo cellulare con esclusione della coppia eterocromosomica. - Tutti i cromosomi che contengono i geni necessari per la determinazione del sesso. - Tutti i cromosomi contenuti nel nucleo cellulare delle cellule somatiche. {['''Cromosomi'''] Che cosa si può affermare con riferimento ai cromosomi di una cellula eucariote? |type="()"} - Che sono visibili in metafase sotto forma di due cromatidi uniti per il centriolo. - Che negli organismi pluricellulari sono presenti in numero diverso nei due sessi. - Che si riducono a metà durante la divisione cellulare, poiché da una cellula madre devono originarsi due cellule figlie. + Che costituiscono la forma condensata della cromatina e che, in tale forma, si rendono visibili soltanto durante le prime quattro fasi della mitosi. {['''Mitosi'''] Qual è la funzione della mitosi? |type="()"} - Quella di assicurare che le cellule figlie abbiano esattamente la metà del corredo cromosomico della cellula madre. + Quella di assicurare che le cellule figlie abbiano lo stesso corredo cromosomico della cellula madre. - Quella di assicurare che le cellule figlie abbiano un cariotipo geneticamente rimescolato. - Quella di assicurare che le cellule figlie abbiano esattamente un corredo cromosomico diverso da quello della cellula madre. {['''Bolle di duplicazione'''] Che cosa sono le bolle di duplicazione? |type="()"} - Quei tratti d DNA a forma di "Y" dove i due filamenti originari vengono separati ed i due nuovi filamenti stanno per essere sintetizzati. - Quei punti specifici della doppia elica di DNA, ai quali si attaccano particolari proteine di attivazione ed enzimi, e in corrispondenza dei quali i due filamenti di DNA cominciano a separarsi. + Quei tratti di DNA in cui i due filamenti originari si sono separati per servire da stampo per la sintesi dei due nuovi filamenti complementari. - Quelle alterazioni permanenti di una sola coppia di basi del genoma. {['''Divisione cellulare'''] Con riferimento alla divisione cellulare, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} - Costituisce il meccanismo di riproduzione degli eucarioti unicellulari. - Costituisce il meccanismo di riproduzione delle cellule somatiche degli eucarioti pluricellulari. - Si può verificare sia nelle cellule diploidi che in quelle aploidi. + Dà origine a due cellule figlie, ognuna delle quali ha un cariotipo dimezzato rispetto a quello della cellula madre. {['''Ciclo cellulare'''] Con riferimento al ciclo cellulare, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} + Un ciclo cellulare tipico inizia con la fase G₀, prosegue le fasi G₁, S, G₂ e termina con la mitosi e la citodieresi. - Nel ciclo cellulare si possono distinguere due fasi principali: l’interfase e la divisione cellulare, ciascuna dellev quali viene suddivisa in più sottofasi. - La durata del ciclo cellulare varia notevolmente da un tipo di cellula ad un altro. In una tipica cellula animale la durata complessiva del ciclo cellulare è di circa ventiquattro ore. - Il ciclo cellulare è un'ordinata serie di eventi che determinano la crescita della cellula eucariote e la sua divisione in due cellule figlie. {['''Mitosi'''] Durante la mitosi di una cellula somatica di un individuo di sesso maschile, come viene ripartito il materiale genetico tra le due cellule figlie? |type="()"} - Un cromosoma, con due cromatidi, di ogni coppia di omologhi e l'eterocromosoma X ad una cellula figlia, l'altro cromosoma della coppia e l'eterocromosoma Y all'altra cellula figlia. - Un cromosoma con due cromatidi, di ogni coppia, a ciascuna delle due cellule figlie. + Un cromatide di ciascun cromosoma a ciascuna delle due cellule figlie. - Un cromosoma, con due cromatidi, di ogni coppia di omologhi ed un eterocromosoma a ciascuna delle due cellule figlie. {['''Replicazione del DNA'''] Qual è l'enzima che, durante la duplicazione del DNA, procede lungo uno dei due filamenti originari aggiungendo via via altri desossiribonucleotidi al filamento in neoformazione? |type="()"} - La elicasi. - La primasi. + La DNA-polimerasi III. - La DNA-ligasi. {['''Duplicazione semiconservativa del DNA'''] Che cosa significa che la duplicazione del DNA è semiconservativa? |type="()"} - Che ogni nuova molecola di DNA è formata da due nuovi filamenti di DNA. + Che ogni nuova molecola di DNA è formata da un filamento originario e dalla copia dell'altro filamento originario. - Che ogni nuova molecola di DNA è formata da un filamento originario e dal complementare dell'altro filamento originario. - Che le purine possono appaiarsi solo con le pirimidine e viceversa. {['''Scissione binaria'''] Una certa coltura batterica viene fatta riprodurre per due generazioni in presenza di citosina radioattiva. Quale percentuale di cellule batteriche conterrà DNA con entrambi i due filamenti radioattivi? |type="()"} - 25%. - 100%. + 50%. - 75%. {['''Duplicazione del DNA'''] Una molecola di DNA a doppia elica subisce tre successive duplicazioni, producendo una discendenza di otto molecole. Come dobbiamo attenderci che siano tali molecole, prescindendo dalla possibilità che si siano verificati errori? |type="()"} - Tutte diverse tra loro. + Tutte uguali tra loro. - Uguali a quattro a quattro. - Uguali a due a due. {['''Ploidia'''] Che tipo di cellula è una cellula con 12 cromosomi? |type="()"} - Una cellula aploide con n = 6, se i cromosomi sono tutti diversi. + Una cellula diploide con 2n = 12, se i cromosomi sono simili a due a due. - Una cellula aploide con n = 12, se i cromosomi sono simili a due a due. - Una cellula diploide con 2n = 12, se i cromosomi sono tutti diversi. {['''Cariotipo'''] Che cos'è il cariotipo? |type="()"} - L'assetto cromosomico delle cellule di un organismo pluricellulare corrispondente al corredo aploide. - Il tipo di nucleo presente all’interno di una cellula eucariote. - Il numero dei cromosomi presenti nel nucleo di una cellula eucariote. + L’insieme di tutti i cromosomi presenti nel nucleo di una cellula somatica, considerati dal punto di vista morfologico. {/X} </quiz> =Quiz n. 5= <quiz> {X} {['''Scissione binaria'''] Una certa coltura batterica viene fatta riprodurre in presenza di adenina marcata con un isotopo radioattivo. Che cosa ci si aspetta al termine di una sola scissione binaria di una qualsiasi cellula madre? |type="()"} + Che in entrambe le cellule figlie ci sarà DNA radioattivo. - Che nessuna delle due cellule figlie avrà DNA radioattivo. - Che, a causa della radioattività, entrambe le cellule figlie avranno un numero elevato di mutazioni puntiformi nel loro DNA. - Che in una sola delle due cellule figlie ci sarà DNA contenente adenina radioattiva. {['''Cromatina'''] Che cos'è la cromatina? |type="()"} - Una delle due metà di un cromosoma durante la metafase di una mitosi. + Il complesso molecolare, costituito da DNA e vari tipi di proteine ad esso associate, che rappresenta la forma sotto cui il materiale genetico è visibile nel nucleo di una cellula in intercinesi. - La forma condensata del materiale genetico, e delle proteine ad esso associato, visibile al termine del ciclo di condensazione del DNA. - L’insieme di tutti i cromosomi contenuti in una qualsiasi cellula somatica di un eucariote. {['''Fasi della mitosi'''] Che cosa accade di particolare durante la prometafase? |type="()"} - Le coppie di centrioli raggiungono i poli opposti della cellula. - Il DNA inizia il ciclo di condensazione. - L’involucro nucleare ed il nucleolo iniziano a dissolversi. + Compaiono i microtubuli che connettono i cinetocori ai centrosomi. {['''Autosomi'''] Che cosa sono gli autosomi? |type="()"} - I cromosomi che contengono i geni che codificano per i caratteri differenti nei due sessi. + I cromosomi che contengono i geni atti a controllare le caratteristiche ereditarie comuni al maschio e alla femmina. - I cromosomi X e Y. - Gli organismi a riproduzione asessuale. {['''Citodieresi'''] Che cos'è la citodieresi? |type="()"} - La divisione dei centromeri e la separazione dei cromatidi durante l’anafase della mitosi. - La fase del ciclo cellulare che intercorre tra due divisioni cellulari successive. + La divisione del citoplasma e la ripartizione del suo contenuto tra le due cellule figlie. - La divisione cellulare nei procarioti. {['''DNA-polimerasi III'''] Quale funzione svolge la DNA-polimerasi III durante la duplicazione del DNA? |type="()"} + Aggiunge un nucleotide dopo l'altro a ciascun nuovo filamento in formazione, ma solo ad una precisa estremità del filamento stesso. - Sostituisce la breve molecola di RNA (''primer'') sintetizzata dalla RNA-primasi all'inizio della duplicazione con il DNA corrispondente. - Srotola la molecola di DNA a partire da specifici punti intermedi della doppia elica, chiamati "punti di origine della duplicazione". - Lega tra loro i diversi segmenti neosintetizzati di DNA in un unico filamento. {['''Divisione cellulare'''] Che cosa si può affermare con riferimento ad una cellula con due nuclei separati da una piastra cellulare in via di completamento? |type="()"} - Che si tratta di una cellula animale all'inizio della citocinesi. + Che si tratta di una cellula vegetale verso la fine della citocinesi. - Che si tratta di una cellula animale verso la fine della citodieresi. - Che si tratta di una cellula procariote verso la fine della scissione binaria. {['''Fasi della mitosi'''] Tra le fasi seguenti, qual è l'unica che non fa parte della mitosi? |type="()"} - L’anafase. - La profase. - La prometafase. + L’interfase. {['''Fuso mitotico'''] Che cos'è il fuso mitotico? |type="()"} - In una cellula animale, l’insieme dei filamenti di actina che, riunendosi sulla linea mediana della membrana della cellula madre, ne provocano la strozzatura facendo separare le due cellule figlie. - In una cellula vegetale, lo spazio appiattito, delimitato da membrane, che si forma in corrispondenza della parte mediana della cellula madre a seguito dell’accumulo di numerosissime vescicole di Golgi, che successivamente si fondono insieme. + In una cellula eucariote, la struttura a forma di pallone da rugby costituita dall’insieme dei microtubuli attivi che si forma all'inizio della divisione cellulare. - In una cellula procariote, i lati opposti della parete cellulare e della membrana plasmatica della cellula madre che, introflettendosi, vengono a contatto per poi saldarsi e dare origine alle due cellule figlie. {['''Divisione cellulare'''] Come viene ripartita ciascuna coppia di cromosomi durante la citocinesi di una cellula eucariote? |type="()"} - Un intero cromosoma, costituito da due cromatidi, a ciascuna delle due cellule figli. + Un cromatide di ciascun cromosoma a ciascuna delle due cellule figlie - Un cromatide di ciascun autosoma ed un eterocromosoma costituito da entrambi i cromatidi, per ciascuna delle due cellule figlie, - Due cromatidi di ciascun autosoma ed un cromatide di ciascun eterocromosoma, per ciascuna delle due cellule figlie. {['''Divisione cellulare'''] Con riferimento alla divisione cellulare, individuare l’affermazione falsa. |type="()"} + La divisione cellulare produce cellule figlie con un corredo cromosomico dimezzato rispetto a quello della cellula madre. - La divisione cellulare rappresenta il meccanismo di riproduzione delle cellule somatiche degli organismi pluricellulari. - La divisione cellulare produce cellule figlie con un cariotipo uguale a quello della cellula madre. - La divisione cellulare produce cellule figlie con lo stesso numero di autosomi e di eterocromosomi della cellula madre. {['''Fasi della mitosi'''] Quale di questi eventi segna l'inizio della profase? |type="()"} - L’allineamento dei cromosomi in corrispondenza del piano equatoriale della cellula. - La duplicazione del DNA. - La duplicazione dei cloroplasti e dei mitocondri. + L'inizio del dissolvimento dell’involucro nucleare e la scomparsa del nucleolo. {['''Fasi della mitosi'''] Quale di questi processi ha luogo durante la fase ''S'' del ciclo cellulare? |type="()"} - La duplicazione dei centrioli e l'assemblaggio del fuso mitotico. + La duplicazione del DNA. - La ripartizione del citoplasma tra le due cellule figlie. - La migrazione dei cromatidi ai poli opposti della cellula. {['''Mutazioni'''] In un organismo pluricellulare, quali mutazioni sono sicuramente ereditabili? |type="()"} - Quelle che derivano da errori nella duplicazione del DNA degli eterocromosomi. - Quelle che derivano da errori nella duplicazione del DNA provocati da sostanze mutagene presenti nell'ambiente. - Quelle che derivano da errori nella duplicazione del DNA delle cellule somatiche. + Quelle che derivano da errori nella duplicazione del DNA delle cellule germinali dalle quali avranno origine i gameti. {['''Divisione cellulare e ploidia'''] Una cellula diploide con trenta cromosomi effettua una divisione cellulare completa (mitosi e citodieresi). Quante cellule si originano e quanti cromosomi ha ciascuna di esse? |type="()"} - Si originano due cellule aploidi ognuna con trenta cromosomi. - Si originano due cellule diploidi ognuna con quindici cromosomi. + Si originano due cellule diploidi ognuna con trenta cromosomi. - Si originano due cellule aploidi ognuna con quindici cromosomi. {['''Piastra cellulare'''] Da che cosa è formata la piastra cellulare? |type="()"} - Dai microtubuli che si irradiano dalle due coppie di centrioli disposti ai poli opposti di una cellula. - Da un anello contrattile di filamenti proteici che strozzano la cellula in corrispondenza della sua parte mediana. + Dalle vescicole del Golgi, disposte all'equatore della cellula e fuse insieme a costituire uno spazio appiattito delimitato da due membrane. - Dalla cromatina, spiralizzata dopo essersi duplicata. {['''Centrioli'''] Che cosa sono i centrioli? |type="()"} - I punti specifici della doppia elica di DNA ai quali si attaccano le elicasi per dare inizio alla separazione dei due filamenti complementari. - Le due metà di un cromosoma durante la profase della mitosi. + I due corpiccioli cilindrici che si autoduplicano quando la cellula si prepara ad iniziare la divisione cellulare. - I punti centrali dei cromosomi in corrispondenza dei quali si tengono ancora uniti assieme i due cromatidi. {['''Duplicazione del DNA'''] Con riferimento alla struttura del DNA, e al processo di duplicazione, individuare l’affermazione falsa? |type="()"} - Durante la duplicazione, la molecola di DNA originaria si srotola e i suoi due filamenti si separano in alcuni punti consentendo ai nucleotidi liberi di appaiarsi ai nucleotidi originari. + Dato l'enorme numero di coppie di basi azotate coinvolte nella duplicazione, alla fine del processo il numero di errori nell'appaiamento delle basi è sempre molto alto. - Ogni molecola di DNA è costituita da un filamento della molecola originaria e da uno neosintetizzato durante il processo di duplicazione. - Una molecola di DNA è formata da due filamenti polinucleotidici complementari ed antiparalleli. {['''Nucleosomi'''] Che cosa sono i nucleosomi? |type="()"} + Sono i livelli più semplici di spiralizzazione del DNA. costituiti da un nucleo di otto proteine istoniche, attorno al quale è avvolta la doppia elica. - Sono i cromosomi che nelle cellule degli eucarioti pluricellulari trasmettono i caratteri ereditari non legati al sesso. - Sono strutture non membranose, poste vicino al nucleo, specializzate nella formazione, nella crescita e nella demolizione dei microtubuli del fuso mitotico. - Sono strutture proteiche a forma di disco, localizzate nel centromero dei cromosomi e aventi il compito di agganciarsi ai microtubuli del fuso mitotico. {['''Duplicazione semiconservativa del DNA'''] Che significa dire che la duplicazione del DNA è semiconservativa? |type="()"} - Che la timina può appaiarsi solo con l'adenina e la guanina solo con la citosina. - Che durante la duplicazione del DNA possono intervenire degli errori nell'appaiamento delle basi per cui l’informazione genetica si conserva solo in parte. - Che la DNA-polimerasi utilizza i nucleotidi liberi nel nucleoplasma per sintetizzare i due nuovi filamenti di DNA. + Che a partire da ciascun filamento della doppia elica di DNA originario si origina un nuovo filamento contenente le basi complementari. {/X} </quiz> =<small>Risorse</small>= * [[Acidi nucleici (superiori)|Acidi nucleici]] * [[Divisione cellulare (superiori)|Divisione cellulare]] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Acidi_nucleici Acidi nucleici] * [https://it.wikipedia.org/wiki/DNA DNA] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Ciclo_cellulare Ciclo cellulare] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Cromosoma Cromosomi] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Mitosi Mitosi] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Citocinesi Citodieresi (citocinesi)] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Condensazione_del_DNA Ciclo di condensazione del DNA] * [https://it.wikipedia.org/wiki/Replicazione_del_DNA Duplicazione (replicazione) del DNA] =<small>Quiz di Biologia</small>= * [[Acidi nucleici, proteine e sintesi proteica - Quiz|Argomento precedente]] * [[Riproduzione dei pluricellulari - Quiz|Argomento successivo]] * [[Quiz di Scienze naturali|Tutti gli argomenti]] =<small>Bibliografia</small>= * {{Cita libro|autore=Gerald Karp|titolo=Biologia Cellulare e Molecolare|annooriginale=2015|editore=EDISES|città=Napoli|ISBN=97-888-7959-863-7}} =<small>Collegamenti esterni</small>= * {{Cita web|url=http://rodomontano.altervista.org/biologia.php|titolo=Biologia|autore=Rodomontano|accesso=4 giugno 2020}} =<small>Feedback</small>= Per inserire commenti, segnalare errori o proporre miglioramenti, richiedere chiarimenti o quant'altro si ritenga opportuno, si prega di utilizzare la pagina '''Discussione''' o la pagina '''Domande''', cliccando sui relativi pulsanti in alto a sinistra, e digitare il testo. Grazie. 5qo7yzam4umyqrf8zl9rhwfz0wk11qp 2 34010 286420 286393 2026-08-18T12:25:07Z Funzioni di correlazione 24136 286420 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 7° Calcolo di 6 addendi della serie per ln(1+x) ; (x = 0.15)== == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 6d3cvpxarh8x82vnzwe9wfk4sdrqxrb 286421 286420 2026-08-18T12:25:39Z Funzioni di correlazione 24136 286421 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 7° Calcolo di 6 addendi della serie per ln(1+x) ; (x = 0.15)== == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> pa0vlky80mjy3fwl4h1wmxbm0jetxpo 286422 286421 2026-08-18T12:29:51Z Funzioni di correlazione 24136 286422 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== ```text <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. ``` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> msd5o6rw2u7y4udjizpcwmtpl00gkm3 286423 286422 2026-08-18T12:31:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23) */ 286423 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. ``` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ht8gs41xn1y26x46i6fnecfcrhbohu8 286425 286423 2026-08-18T12:42:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23) */ 286425 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. ``` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> gxdhu5d1ys87rbanccycy8cxfu9xx5f 286426 286425 2026-08-18T12:45:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23) */ 286426 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 10 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 1.13)== == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jk9daf4ermcr7swv01um0dv3oviu6mq 286427 286426 2026-08-18T12:54:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 10 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 1.13) */ 286427 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 0.2)== <math> \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) =2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}+\frac{x^{11}}{11}+\frac{x^{13}}{13}+\cdots\right) </math> <math> x=0.20 </math> La serie è quindi: <math> \ln\left(\frac{1+0.20}{1-0.20}\right) =2\left(0.20+\frac{(0.20)^3}{3}+\frac{(0.20)^5}{5}+\frac{(0.20)^7}{7}+\frac{(0.20)^9}{9}+\frac{(0.20)^{11}}{11}+\frac{(0.20)^{13}}{13}+\cdots\right) </math> Calcoliamo i 7 addendi: <math> a_1=2(0.20)=0.4 </math> <math> a_2=2\frac{(0.20)^3}{3}=2\frac{0.008}{3}=0.005333333333 </math> <math> a_3=2\frac{(0.20)^5}{5}=2\frac{0.00032}{5}=0.000128 </math> <math> a_4=2\frac{(0.20)^7}{7}=2\frac{0.0000128}{7}=0.000003657142857 </math> <math> a_5=2\frac{(0.20)^9}{9}=2\frac{0.000000512}{9}=0.000000113777778 </math> <math> a_6=2\frac{(0.20)^{11}}{11}=2\frac{0.00000002048}{11}=0.000000003723636 </math> <math> a_7=2\frac{(0.20)^{13}}{13}=2\frac{0.0000000008192}{13}=0.000000000126031 </math> Somma dei 7 addendi: <math> S_7=0.4+0.005333333333+0.000128+0.000003657142857+0.000000113777778+0.000000003723636+0.000000000126031 </math> <math> S_7\approx0.405465108104 </math> Il valore esatto è: <math> \ln\left(\frac{1+0.20}{1-0.20}\right) =\ln\left(\frac{1.20}{0.80}\right) =\ln(1.5) \approx0.405465108108 </math> Quindi, con 7 addendi: <math> S_7\approx0.405465108104 </math> e l'approssimazione è già molto precisa. Per la convergenza, la serie <math> \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) =2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} </math> ha raggio di convergenza <math> |x|<1 </math> Poiché <math> |0.20|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.20</math>. Conclusione: <math> \boxed{\text{La serie converge per }x=0.20} </math> <math> \boxed{S_7\approx0.405465108104} </math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> cdkpucc4xo9fw8kv9dlne1odp3llooi 286436 286427 2026-08-18T13:00:30Z Funzioni di correlazione 24136 286436 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 1.2)== <math> \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) =2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}+\frac{x^{11}}{11}+\frac{x^{13}}{13}+\cdots\right) </math> <math> x=0.20 </math> La serie è quindi: <math> \ln\left(\frac{1+0.20}{1-0.20}\right) =2\left(0.20+\frac{(0.20)^3}{3}+\frac{(0.20)^5}{5}+\frac{(0.20)^7}{7}+\frac{(0.20)^9}{9}+\frac{(0.20)^{11}}{11}+\frac{(0.20)^{13}}{13}+\cdots\right) </math> Calcoliamo i 7 addendi: <math> a_1=2(0.20)=0.4 </math> <math> a_2=2\frac{(0.20)^3}{3}=2\frac{0.008}{3}=0.005333333333 </math> <math> a_3=2\frac{(0.20)^5}{5}=2\frac{0.00032}{5}=0.000128 </math> <math> a_4=2\frac{(0.20)^7}{7}=2\frac{0.0000128}{7}=0.000003657142857 </math> <math> a_5=2\frac{(0.20)^9}{9}=2\frac{0.000000512}{9}=0.000000113777778 </math> <math> a_6=2\frac{(0.20)^{11}}{11}=2\frac{0.00000002048}{11}=0.000000003723636 </math> <math> a_7=2\frac{(0.20)^{13}}{13}=2\frac{0.0000000008192}{13}=0.000000000126031 </math> Somma dei 7 addendi: <math> S_7=0.4+0.005333333333+0.000128+0.000003657142857+0.000000113777778+0.000000003723636+0.000000000126031 </math> <math> S_7\approx0.405465108104 </math> Il valore esatto è: <math> \ln\left(\frac{1+0.20}{1-0.20}\right) =\ln\left(\frac{1.20}{0.80}\right) =\ln(1.5) \approx0.405465108108 </math> Quindi, con 7 addendi: <math> S_7\approx0.405465108104 </math> e l'approssimazione è già molto precisa. Per la convergenza, la serie <math> \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) =2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} </math> ha raggio di convergenza <math> |x|<1 </math> Poiché <math> |0.20|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.20</math>. Conclusione: <math> \boxed{\text{La serie converge per }x=0.20} </math> <math> \boxed{S_7\approx0.405465108104} </math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4efxpea2mq7e3m0vo4vvu8iqmh95y6w 286439 286436 2026-08-18T13:01:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 1.2) */ 286439 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 1.2)== == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> aaslsz5orqiuzqq050ay31pygb18x8q 286446 286439 2026-08-18T13:03:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 1.2) */ 286446 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 1.2)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)</math> La serie si ottiene scrivendo: <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\ln\left(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\right)</math> Usando lo sviluppo noto: <math>\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)=2\left(t+\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+\frac{t^7}{7}+\cdots\right)</math> ponendo: <math>t=\frac{1}{x}</math> si ottiene: <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> Per <math>x=1{,}20</math>: <math>\ln\left(\frac{1{,}20+1}{1{,}20-1}\right)=\ln(11)</math> Calcoliamo i primi 7 addendi: <math>S_7=2\left(\frac{1}{1{,}20}+\frac{1}{3(1{,}20)^3}+\frac{1}{5(1{,}20)^5}+\frac{1}{7(1{,}20)^7}+\frac{1}{9(1{,}20)^9}+\frac{1}{11(1{,}20)^{11}}+\frac{1}{13(1{,}20)^{13}}\right)</math> <math>S_7=2\left(0{,}833333+0{,}192901+0{,}066980+0{,}027685+0{,}012458+0{,}005906+0{,}002891\right)</math> <math>S_7\approx2(1{,}142154)</math> <math>S_7\approx2{,}28431</math> Il valore esatto è: <math>\ln(11)\approx2{,}397895</math> Quindi, con 7 addendi, l'approssimazione è: <math>\ln(11)\approx2{,}28431</math> e l'errore assoluto è circa: <math>|2{,}397895-2{,}28431|\approx0{,}11358</math> Per verificare la convergenza, la serie è: <math>2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> Essa converge quando: <math>\left|\frac{1}{x}\right|<1</math> cioè: <math>|x|>1</math> Nel caso <math>x=1{,}20</math> si ha: <math>|1{,}20|>1</math> Pertanto la serie <math>\text{converge}</math>. In particolare, poiché <math>\frac{1}{1{,}20}=\frac{5}{6}</math>, la convergenza è abbastanza lenta e sono necessari più di 7 addendi per ottenere una buona precisione. Risultato finale: <math>\boxed{\text{La serie converge per }x=1{,}20}</math> <math>\boxed{S_7\approx2{,}28431}</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> cef4h9mrjg7lmsx52325jlca07swzut 286452 286446 2026-08-18T13:05:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(1+x)/(1-x)] (per x = 1.2) */ 286452 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 1.2)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)</math> La serie si ottiene scrivendo: <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\ln\left(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\right)</math> Usando lo sviluppo noto: <math>\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)=2\left(t+\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+\frac{t^7}{7}+\cdots\right)</math> ponendo: <math>t=\frac{1}{x}</math> si ottiene: <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> Per <math>x=1{,}20</math>: <math>\ln\left(\frac{1{,}20+1}{1{,}20-1}\right)=\ln(11)</math> Calcoliamo i primi 7 addendi: <math>S_7=2\left(\frac{1}{1{,}20}+\frac{1}{3(1{,}20)^3}+\frac{1}{5(1{,}20)^5}+\frac{1}{7(1{,}20)^7}+\frac{1}{9(1{,}20)^9}+\frac{1}{11(1{,}20)^{11}}+\frac{1}{13(1{,}20)^{13}}\right)</math> <math>S_7=2\left(0{,}833333+0{,}192901+0{,}066980+0{,}027685+0{,}012458+0{,}005906+0{,}002891\right)</math> <math>S_7\approx2(1{,}142154)</math> <math>S_7\approx2{,}28431</math> Il valore esatto è: <math>\ln(11)\approx2{,}397895</math> Quindi, con 7 addendi, l'approssimazione è: <math>\ln(11)\approx2{,}28431</math> e l'errore assoluto è circa: <math>|2{,}397895-2{,}28431|\approx0{,}11358</math> Per verificare la convergenza, la serie è: <math>2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> Essa converge quando: <math>\left|\frac{1}{x}\right|<1</math> cioè: <math>|x|>1</math> Nel caso <math>x=1{,}20</math> si ha: <math>|1{,}20|>1</math> Pertanto la serie <math>\text{converge}</math>. In particolare, poiché <math>\frac{1}{1{,}20}=\frac{5}{6}</math>, la convergenza è abbastanza lenta e sono necessari più di 7 addendi per ottenere una buona precisione. Risultato finale: <math>{\text{La serie converge per }x=1{,}20}</math> <math>\approx2{,}28431}</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> karwe58snfd86w8gs84dbn3e58820kp 286454 286452 2026-08-18T13:08:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 1.2) */ 286454 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 1.2)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)</math> La serie si ottiene scrivendo: <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\ln\left(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\right)</math> Usando lo sviluppo noto: <math>\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)=2\left(t+\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+\frac{t^7}{7}+\cdots\right)</math> ponendo: <math>t=\frac{1}{x}</math> si ottiene: <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> Per <math>x=1{,}20</math>: <math>\ln\left(\frac{1{,}20+1}{1{,}20-1}\right)=\ln(11)</math> Calcoliamo i primi 7 addendi: <math>S_7=2\left(\frac{1}{1{,}20}+\frac{1}{3(1{,}20)^3}+\frac{1}{5(1{,}20)^5}+\frac{1}{7(1{,}20)^7}+\frac{1}{9(1{,}20)^9}+\frac{1}{11(1{,}20)^{11}}+\frac{1}{13(1{,}20)^{13}}\right)</math> <math>S_7=2\left(0{,}833333+0{,}192901+0{,}066980+0{,}027685+0{,}012458+0{,}005906+0{,}002891\right)</math> <math>S_7\approx2(1{,}142154)</math> <math>S_7\approx2{,}28431</math> Il valore esatto è: <math>\ln(11)\approx2{,}397895</math> Quindi, con 7 addendi, l'approssimazione è: <math>\ln(11)\approx2{,}28431</math> e l'errore assoluto è circa: <math>|2{,}397895-2{,}28431|\approx0{,}11358</math> Per verificare la convergenza, la serie è: <math>2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> Essa converge quando: <math>\left|\frac{1}{x}\right|<1</math> cioè: <math>|x|>1</math> Nel caso <math>x=1{,}20</math> si ha: <math>|1{,}20|>1</math> Pertanto la serie <math>\text{converge}</math>. In particolare, poiché <math>\frac{1}{1{,}20}=\frac{5}{6}</math>, la convergenza è abbastanza lenta e sono necessari più di 7 addendi per ottenere una buona precisione. Risultato finale: <math>{\text{La serie converge per }x=1{,}20}</math> <math>approx2{,}28431}</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ob0yqs7uwzj90v5len4a80q99f6e4oi 286462 286454 2026-08-18T13:12:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 1.2) */ 286462 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 1.2)== == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> cmyaszgbilxktehrja59w3m0vql2vy3 286463 286462 2026-08-18T13:15:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 1.2) */ 286463 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== ```text <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>\boxed{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Inoltre, la serie converge in generale per }|x|>1.</math> ``` Nota: ho lasciato il procedimento in un unico blocco copiabile per Wikipedia. Hai chiesto di non usare `boxed`, quindi l'ultima riga può essere sostituita con: ```text <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> ``` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> qj7c0vs8cg4mjgv5wf5z8el8fpttd7h 286464 286463 2026-08-18T13:15:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5) */ 286464 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>\boxed{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Inoltre, la serie converge in generale per }|x|>1.</math> ``` Nota: ho lasciato il procedimento in un unico blocco copiabile per Wikipedia. Hai chiesto di non usare `boxed`, quindi l'ultima riga può essere sostituita con: ```text <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> ``` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> odpl2up0may90lbek86zyzj6rfe9l5m 286465 286464 2026-08-18T13:17:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5) */ 286465 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>\boxed{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> ```text <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> ``` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> cgb63slbcwhi32asrfkax7dkr5j2t70 286466 286465 2026-08-18T13:17:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5) */ 286466 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> ```text <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> ``` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ke1df7sgmthyyxz8sqg4ssb0c2tlzxj 286467 286466 2026-08-18T13:18:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5) */ 286467 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 2vpbzht4to6h9kj1q679jncqh918gfl 286482 286467 2026-08-19T08:07:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5) */ 286482 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per EXP X (per x = 1)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ilb9fgjq2sqomrlfbm22opbvgm333aa 286483 286482 2026-08-19T08:08:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° Calcolo di 5 addendi della serie per EXP X (per x = 1) */ 286483 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp X (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ee3mdtp11p2f0jyfpui4adu39pl63kc 286485 286483 2026-08-19T08:17:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp X (per x = 1) */ 286485 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> al6qmr8nslb3gqbeklh7f6dnhvr6k19 286486 286485 2026-08-19T08:28:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1) */ 286486 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 10° Calcolo di 5 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> i9qwu5bxxx37ov29l2z8r7srjdkqp0p 286487 286486 2026-08-19T08:29:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° Calcolo di 5 addendi della serie per ln x (per x = 1,3) */ 286487 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 10° Calcolo di 5 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>\boxed{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>\boxed{S_6=0,2623395}</math> <math>\boxed{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> kup45isdwupw8d97ieodaeybh7drqvn 286488 286487 2026-08-19T08:30:37Z Funzioni di correlazione 24136 286488 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 10° Calcolo di 5 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> aaiv7r4h96avyyo8pa7cpco4ws0pkpt 286489 286488 2026-08-19T08:32:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° Calcolo di 5 addendi della serie per ln x (per x = 1,3) */ 286489 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> li372bl2knmuuabmfc21nmguw101h7q 286492 286489 2026-08-19T08:58:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3) */ 286492 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo di 6 addendi della serie di di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... == Trattasi di valutare la serie di una funzione che a sua volta serie di funzione (onda periodica rettangolare <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 439cabwd78x70b9lind71nc8xm0fzu5 286493 286492 2026-08-19T09:00:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo di 6 addendi della serie di di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... */ 286493 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo di 6 addendi della serie di di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... == Trattasi di valutare la serie di una funzione che a sua volta è espressa come serie di funzione (onda periodica rettangolare) <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 8diqu4my2bh3rs89t7cunqalwq0pvmm 286494 286493 2026-08-19T09:01:07Z Funzioni di correlazione 24136 286494 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo di 6 addendi della serie di di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... == Trattasi di valutare la serie di una funzione che a sua volta è espressa come serie di funzione (onda periodica rettangolare) <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> rk9awwo52s8e3v2iqpbsjc2jz0hu77f 286495 286494 2026-08-19T09:01:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo di 6 addendi della serie di di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... */ 286495 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo di 6 addendi della serie di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... == Trattasi di valutare la serie di una funzione che a sua volta è espressa come serie di funzione (onda periodica rettangolare) <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> c4uzub1annmfv32oa1f9tfp23dly04r 286496 286495 2026-08-19T09:04:03Z Funzioni di correlazione 24136 286496 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo di 6 addendi della serie di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... == Trattasi di valutare la serie di una funzione che a sua volta è espressa come serie di funzione (onda periodica rettangolare) # Serie di Fourier e calcolo di 6 addendi Consideriamo la funzione periodica <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> con periodo <math>T=2\pi</math> e quindi pulsazione fondamentale <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}=1</math> La serie di Fourier nella forma reale è <math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right)</math> I coefficienti sono calcolati mediante gli integrali <math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x),dx</math> <math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx),dx</math> <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> La funzione <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> è pari, quindi <math>f(-x)=f(x)</math> e di conseguenza tutti i coefficienti <math>b_n</math> sono nulli: <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx=0</math> Inoltre la funzione assume valore <math>1</math> nell'intervallo <math>-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}</math> e valore <math>-1</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}<x<\pi</math> e <math>-\pi<x<-\frac{\pi}{2}</math> Per il coefficiente costante si ha <math>a_0=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{-\pi/2}(-1),dx+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(-1),dx\right)</math> <math>a_0=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi}{2}+\pi-\frac{\pi}{2}\right)=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Per i coefficienti <math>a_n</math>, usando la parità: <math>a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx),dx</math> <math>a_n=\frac{2}{\pi}\left(\int_0^{\pi/2}\cos(nx),dx-\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx\right)</math> Calcoliamo i due integrali: <math>\int_0^{\pi/2}\cos(nx),dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\sin(n\pi/2)}{n}</math> <math>\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{\pi/2}^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-\sin(n\pi/2)}{n}</math> Poiché <math>\sin(n\pi)=0</math> si ottiene <math>\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx=-\frac{\sin(n\pi/2)}{n}</math> Pertanto <math>a_n=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\sin(n\pi/2)}{n}+\frac{\sin(n\pi/2)}{n}\right)</math> <math>a_n=\frac{4}{\pi n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)</math> Se <math>n</math> è pari, allora <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> e quindi <math>a_n=0</math> Se invece <math>n</math> è dispari, i coefficienti alternano il segno: <math>a_1=\frac{4}{\pi}</math> <math>a_3=-\frac{4}{3\pi}</math> <math>a_5=\frac{4}{5\pi}</math> <math>a_7=-\frac{4}{7\pi}</math> <math>a_9=\frac{4}{9\pi}</math> <math>a_{11}=-\frac{4}{11\pi}</math> Quindi la serie di Fourier è <math>f(x)=\frac{4}{\pi}\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)+\cdots\right)</math> ## Calcolo dei primi 6 addendi I primi 6 addendi corrispondono alle armoniche dispari <math>n=1,3,5,7,9,11</math> Perciò la somma parziale è <math>S_6(x)=\frac{4}{\pi}\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)\right)</math> Sviluppando i coefficienti: <math>S_6(x)=\frac{4}{\pi}\cos x-\frac{4}{3\pi}\cos(3x)+\frac{4}{5\pi}\cos(5x)-\frac{4}{7\pi}\cos(7x)+\frac{4}{9\pi}\cos(9x)-\frac{4}{11\pi}\cos(11x)</math> Se si usa <math>\pi\approx3.14</math>, allora <math>\frac{4}{\pi}\approx\frac{4}{3.14}\approx1.273885</math> e quindi <math>S_6(x)\approx1.273885\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)\right)</math> ## Verifica della convergenza La serie è una serie di Fourier della funzione <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> I coefficienti sono <math>a_{2k}=0</math> e <math>a_{2k+1}=\frac{4}{\pi(2k+1)}(-1)^k</math> Poiché <math>\lim_{k\to\infty}a_{2k+1}=0</math> la serie di Fourier converge secondo il teorema di Dirichlet nei punti di continuità e nei punti di discontinuità converge alla semisomma dei limiti laterali. Nei punti in cui la funzione è continua si ha quindi <math>\lim_{N\to\infty}S_N(x)=f(x)</math> Nei punti di discontinuità <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> i limiti laterali sono <math>f(x^-)=1</math> e <math>f(x^+)=-1</math> oppure viceversa, quindi la serie converge alla loro media: <math>\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0</math> Pertanto la serie converge a <math>\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\begin{cases}\operatorname{sgn}(\cos x),&\cos x\ne0\0,&\cos x=0\end{cases}</math> La serie converge dunque puntualmente in ogni punto. Nei punti di discontinuità non converge al valore <math>1</math> o <math>-1</math> della funzione, ma converge a <math>0</math>, cioè alla media dei due valori laterali. Con soli 6 addendi si ottiene invece una somma parziale <math>S_6(x)</math>: aumentando il numero degli addendi, la somma si avvicina sempre di più alla funzione, con le caratteristiche oscillazioni in prossimità dei punti di discontinuità (fenomeno di Gibbs). <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> hygdq5d3ngtt5a039fenc6ldpd6bj9o 286497 286496 2026-08-19T09:05:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo di 6 addendi della serie di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... */ 286497 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo di 6 addendi della serie di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... == Trattasi di valutare la serie di una funzione che a sua volta è espressa come serie di funzione (onda periodica rettangolare) # Serie di Fourier e calcolo di 6 addendi Consideriamo la funzione periodica <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> con periodo <math>T=2\pi</math> e quindi pulsazione fondamentale <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}=1</math> La serie di Fourier nella forma reale è <math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right)</math> I coefficienti sono calcolati mediante gli integrali <math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x),dx</math> <math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx),dx</math> <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> La funzione <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> è pari, quindi <math>f(-x)=f(x)</math> e di conseguenza tutti i coefficienti <math>b_n</math> sono nulli: <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx=0</math> Inoltre la funzione assume valore <math>1</math> nell'intervallo <math>-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}</math> e valore <math>-1</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}<x<\pi</math> e <math>-\pi<x<-\frac{\pi}{2}</math> Per il coefficiente costante si ha <math>a_0=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{-\pi/2}(-1),dx+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(-1),dx\right)</math> <math>a_0=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi}{2}+\pi-\frac{\pi}{2}\right)=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Per i coefficienti <math>a_n</math>, usando la parità: <math>a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx),dx</math> <math>a_n=\frac{2}{\pi}\left(\int_0^{\pi/2}\cos(nx),dx-\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx\right)</math> Calcoliamo i due integrali: <math>\int_0^{\pi/2}\cos(nx),dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\sin(n\pi/2)}{n}</math> <math>\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{\pi/2}^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-\sin(n\pi/2)}{n}</math> Poiché <math>\sin(n\pi)=0</math> si ottiene <math>\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx=-\frac{\sin(n\pi/2)}{n}</math> Pertanto <math>a_n=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\sin(n\pi/2)}{n}+\frac{\sin(n\pi/2)}{n}\right)</math> <math>a_n=\frac{4}{\pi n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)</math> Se <math>n</math> è pari, allora <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> e quindi <math>a_n=0</math> Se invece <math>n</math> è dispari, i coefficienti alternano il segno: <math>a_1=\frac{4}{\pi}</math> <math>a_3=-\frac{4}{3\pi}</math> <math>a_5=\frac{4}{5\pi}</math> <math>a_7=-\frac{4}{7\pi}</math> <math>a_9=\frac{4}{9\pi}</math> <math>a_{11}=-\frac{4}{11\pi}</math> Quindi la serie di Fourier è <math>f(x)=\frac{4}{\pi}\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)+\cdots\right)</math> ## Calcolo dei primi 6 addendi I primi 6 addendi corrispondono alle armoniche dispari <math>n=1,3,5,7,9,11</math> Perciò la somma parziale è <math>S_6(x)=\frac{4}{\pi}\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)\right)</math> Sviluppando i coefficienti: <math>S_6(x)=\frac{4}{\pi}\cos x-\frac{4}{3\pi}\cos(3x)+\frac{4}{5\pi}\cos(5x)-\frac{4}{7\pi}\cos(7x)+\frac{4}{9\pi}\cos(9x)-\frac{4}{11\pi}\cos(11x)</math> Se si usa <math>\pi\approx3.14</math>, allora <math>\frac{4}{\pi}\approx\frac{4}{3.14}\approx1.273885</math> e quindi <math>S_6(x)\approx1.273885\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)\right)</math> ## Verifica della convergenza La serie è una serie di Fourier della funzione <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> I coefficienti sono <math>a_{2k}=0</math> e <math>a_{2k+1}=\frac{4}{\pi(2k+1)}(-1)^k</math> Poiché <math>\lim_{k\to\infty}a_{2k+1}=0</math> la serie di Fourier converge secondo il teorema di Dirichlet nei punti di continuità e nei punti di discontinuità converge alla semisomma dei limiti laterali. Nei punti in cui la funzione è continua si ha quindi <math>\lim_{N\to\infty}S_N(x)=f(x)</math> Nei punti di discontinuità <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> i limiti laterali sono <math>f(x^-)=1</math> e <math>f(x^+)=-1</math> oppure viceversa, quindi la serie converge alla loro media: <math>\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0</math> Pertanto la serie converge a <math>\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\begin{cases}\operatorname{sgn}(\cos x),&\cos x\ne0\0,&\cos x=0\end{cases}</math> La serie converge dunque puntualmente in ogni punto. Nei punti di discontinuità non converge al valore <math>1</math> o <math>-1</math> della funzione, ma converge a <math>0</math>, cioè alla media dei due valori laterali. Con soli 6 addendi si ottiene invece una somma parziale <math>S_6(x)</math>: aumentando il numero degli addendi, la somma si avvicina sempre di più alla funzione, con le caratteristiche oscillazioni in prossimità dei punti di discontinuità (fenomeno di Gibbs). <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jbrhm9eu86iro4vxz27qxk8f9019dch 286498 286497 2026-08-19T09:26:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo di 6 addendi della serie di y = 4/3.14 (cos x – 1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - 1/7 cos 7 x) ... */ 286498 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo di 3 addendi della serie di: +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Trattasi di valutare la serie di una funzione che a sua volta è espressa come serie di funzione (onda periodica rettangolare) # Serie di Fourier e calcolo di 6 addendi Consideriamo la funzione periodica <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> con periodo <math>T=2\pi</math> e quindi pulsazione fondamentale <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}=1</math> La serie di Fourier nella forma reale è <math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right)</math> I coefficienti sono calcolati mediante gli integrali <math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x),dx</math> <math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx),dx</math> <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> La funzione <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> è pari, quindi <math>f(-x)=f(x)</math> e di conseguenza tutti i coefficienti <math>b_n</math> sono nulli: <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx=0</math> Inoltre la funzione assume valore <math>1</math> nell'intervallo <math>-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}</math> e valore <math>-1</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}<x<\pi</math> e <math>-\pi<x<-\frac{\pi}{2}</math> Per il coefficiente costante si ha <math>a_0=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{-\pi/2}(-1),dx+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(-1),dx\right)</math> <math>a_0=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi}{2}+\pi-\frac{\pi}{2}\right)=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Per i coefficienti <math>a_n</math>, usando la parità: <math>a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx),dx</math> <math>a_n=\frac{2}{\pi}\left(\int_0^{\pi/2}\cos(nx),dx-\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx\right)</math> Calcoliamo i due integrali: <math>\int_0^{\pi/2}\cos(nx),dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\sin(n\pi/2)}{n}</math> <math>\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{\pi/2}^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-\sin(n\pi/2)}{n}</math> Poiché <math>\sin(n\pi)=0</math> si ottiene <math>\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx),dx=-\frac{\sin(n\pi/2)}{n}</math> Pertanto <math>a_n=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\sin(n\pi/2)}{n}+\frac{\sin(n\pi/2)}{n}\right)</math> <math>a_n=\frac{4}{\pi n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)</math> Se <math>n</math> è pari, allora <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> e quindi <math>a_n=0</math> Se invece <math>n</math> è dispari, i coefficienti alternano il segno: <math>a_1=\frac{4}{\pi}</math> <math>a_3=-\frac{4}{3\pi}</math> <math>a_5=\frac{4}{5\pi}</math> <math>a_7=-\frac{4}{7\pi}</math> <math>a_9=\frac{4}{9\pi}</math> <math>a_{11}=-\frac{4}{11\pi}</math> Quindi la serie di Fourier è <math>f(x)=\frac{4}{\pi}\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)+\cdots\right)</math> ## Calcolo dei primi 6 addendi I primi 6 addendi corrispondono alle armoniche dispari <math>n=1,3,5,7,9,11</math> Perciò la somma parziale è <math>S_6(x)=\frac{4}{\pi}\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)\right)</math> Sviluppando i coefficienti: <math>S_6(x)=\frac{4}{\pi}\cos x-\frac{4}{3\pi}\cos(3x)+\frac{4}{5\pi}\cos(5x)-\frac{4}{7\pi}\cos(7x)+\frac{4}{9\pi}\cos(9x)-\frac{4}{11\pi}\cos(11x)</math> Se si usa <math>\pi\approx3.14</math>, allora <math>\frac{4}{\pi}\approx\frac{4}{3.14}\approx1.273885</math> e quindi <math>S_6(x)\approx1.273885\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\frac{1}{7}\cos(7x)+\frac{1}{9}\cos(9x)-\frac{1}{11}\cos(11x)\right)</math> ## Verifica della convergenza La serie è una serie di Fourier della funzione <math>f(x)=\operatorname{sgn}(\cos x)</math> I coefficienti sono <math>a_{2k}=0</math> e <math>a_{2k+1}=\frac{4}{\pi(2k+1)}(-1)^k</math> Poiché <math>\lim_{k\to\infty}a_{2k+1}=0</math> la serie di Fourier converge secondo il teorema di Dirichlet nei punti di continuità e nei punti di discontinuità converge alla semisomma dei limiti laterali. Nei punti in cui la funzione è continua si ha quindi <math>\lim_{N\to\infty}S_N(x)=f(x)</math> Nei punti di discontinuità <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> i limiti laterali sono <math>f(x^-)=1</math> e <math>f(x^+)=-1</math> oppure viceversa, quindi la serie converge alla loro media: <math>\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0</math> Pertanto la serie converge a <math>\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\begin{cases}\operatorname{sgn}(\cos x),&\cos x\ne0\0,&\cos x=0\end{cases}</math> La serie converge dunque puntualmente in ogni punto. Nei punti di discontinuità non converge al valore <math>1</math> o <math>-1</math> della funzione, ma converge a <math>0</math>, cioè alla media dei due valori laterali. Con soli 6 addendi si ottiene invece una somma parziale <math>S_6(x)</math>: aumentando il numero degli addendi, la somma si avvicina sempre di più alla funzione, con le caratteristiche oscillazioni in prossimità dei punti di discontinuità (fenomeno di Gibbs). <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 3544zhqfj7534s4zl4mqqf1vmi7lolg 0 34345 286417 280871 2026-08-18T12:16:03Z Avemundi 2081 Correzioni formali 286417 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Storia dell'arte per le superiori 2|avanzamento=80%}} == Gli ampliamenti di Torino barocca == Nel 1563 Emanuele Filiberto di Savoia spostò la capitale del ducato da Chambéry a Torino. La città, fino ad allora racchiusa all'interno del ''castrum'' romano, iniziò a subire dei notevoli cambiamenti architettonici e urbanistici per il volere del duca e dei suoi successori affinché essa fosse maggiormente difendibile e paragonabile alle grandi capitali dell'epoca. L’attività edilizia fu inizialmente in mano agli architetti Ascanio Vittozzi, Carlo di Castellamonte e suo figlio Amedeo e poi in seguito a Guarino Guarini, Filippo Juvarra e Benedetto Alfieri. === Primo ampliamento === [[File:Torino_nel_1620.png|sinistra|274x314px|Pianta del primo ampliamento di Torino iniziato nel 1620|miniatura]] Il duca Carlo Emanuele I, dopo essersi occupato principalmente di accrescere il livello culturale della città, chiamando a corte letterati quali Torquato Tasso e Giovan Battista Marino, nel 1620 diede il via ai lavori per il primo ampliamento della città. Questo ampliamento prevedeva lo sviluppo della cosiddetta "Città Nuova", ovvero una città moderna e sontuosa. Il progetto, redatto dall'architetto Ercole Negro di Sanfront, si divideva in due diverse fasi: la prima consisteva nel rifacimento di alcuni dei più importanti luoghi della città, mentre la seconda nella sua espansione verso sud. I lavori furono affidati inizialmente ad Ascanio Vittozzi e dopo la sua morte passarono nelle mani di Carlo di Castellamonte. [[File:Lato piazza San Carlo Torino.JPG|miniatura|285x285px|Piazza San Carlo a Torino]] Ascanio Vittozzi si occupò esclusivamente del rifacimento e della sistemazione dell'attuale Piazza Castello, a quel tempo la principale piazza cittadina, attorno alla quale si dovevano sviluppare i nuovi quartieri. Carlo di Castellamonte, invece, diede origine a una delle più importanti vie dell'attuale centro cittadino: la famosa via Roma che va dal palazzo del duca verso la sua residenza estiva al Parco del Valentino. All'epoca, invece, questa via era nota con il nome di via Nuova e si fermava alla porta meridionale della città, detta Porta Nuova (corrispondente all'attuale omonima stazione ferroviaria). Attorno ad essa si sviluppò un sistema di vie parallele e perpendicolari formando il caratteristico schema a scacchiera che riprendeva quello del ''castrum'' romano e che caratterizzò tutte le seguenti espansioni. Lungo questa stessa via nacque, sempre per mano di Carlo di Castellamonte, la Piazza Reale, oggi Piazza San Carlo, seguendo lo stile dell'epoca della ''place royale''. Questa piazza all'epoca era adibita all'attività di mercanti e artigiani e rappresentava il centro nevralgico del commercio cittadino. Essa ha una pianta rettangolare con i due lati lunghi, che misurano 168 metri, paralleli a via Roma, mentre i lati corti perpendicolari ad essa sono lunghi 76 metri. Sul lato settentrionale si presentano due palazzi uno a destra e l'altro a sinistra di via Roma entrambi di tre piani e caratterizzati da un'evidente bicromia: il pian terreno bianco e i due piani superiori marroni, per quello a sinistra ( guardando in direzione di Piazza Castello ), il porticato grigio scuro e i due piani superiori gialli, per quello a destra. I due lati maggiori invece sono simbolo della piazza e dello stile del barocco: un unico palazzo per lato formato da tre piani, alla base del quale si trova un ampio porticato formato da archi a tutto sesto. Le facciate sono ampiamente decorate e danno alla piazza l'eleganza e lo sfarzo tipico dello stile barocco. Esse sono di colore bianco, ad esclusione degli elementi decorativi che le scandiscono verticalmente e orizzontalmente, di un colore tendente al giallo. Sul lato sud della piazza, Carlo di Castellamonte avviò la costruzione di due chiese simili tra loro, San Carlo e Santa Cristina, seguendo lo schema di Piazza Del Popolo a Roma. La prima fu completata nel 1619, mentre la seconda nel 1715 da Juvarra. === Secondo ampliamento === [[File:Torino nel 1673.png|sinistra|miniatura|297x297px|Pianta del secondo ampliamento di Torino iniziato nel 1673]] [[File:Via Po Torino.jpg|miniatura|262x262px|Via Po a Torino]] Nel 1673 iniziarono i lavori per il secondo ampliamento della città sotto il ducato di Carlo Emanuele II. Essi si concentrarono nell'area del Po, con lo scopo di ottenere una più efficace difesa del ponte sul fiume. Gli architetti Amedeo di Castellamonte, Pietro Arduzzi e Maurizio Valperga svilupparono la cosiddetta "Città Nuova del Po" seguendo lo schema a scacchiera delle espansioni precedenti. L'asse principale dei lavori del Castellamonte, ovvero l'attuale via Po, riaffermava la centralità di Piazza Castello. Sebbene la via presentasse facciate omogenee a quelle pensate per Piazza San Carlo, essa rappresentò un'importante innovazione urbanistica per la città di Torino poiché fu realizzata in una inusuale direzione obliqua. Per di più, essa fu progettata con proporzioni straordinarie rispetto alle strade dell'epoca, con una carreggiata di 18 metri di larghezza che andava anche a definire una sezione quadrata con le facciate dei palazzi adiacenti di altezza 18 metri. Il disegno delle facciate riprende in tono più rigido quello di Piazza San Carlo, con meno decorazioni e un contrasto tra pieni e vuoti più frequente. I portici di via Po furono costruiti nella prima metà del Settecento, per volere di Vittorio Amedeo II, e percorrendo la via a partire da Piazza Castello andando verso Piazza Vittorio Veneto, si può tutt'oggi notare come sul lato sinistro questi non subiscano alcuna interruzione in prossimità degli incroci con le vie perpendicolari a via Po, a differenza di quelli sul lato destro. Nel lato sinistro, infatti, furono costruiti nel 1819 i cosiddetti ''terrazzi di allacciamento'', progettati da Ferdinando Bonsignore per soddisfare un’esigenza pratica di Vittorio Emanuele I, ovvero quella di poter passeggiare per la via anche nelle giornate di pioggia. Il lato destro, invece, essendo destinato al popolo non era fornito di questi terrazzi di allacciamento. [[File:Torino, teatro Carignano (01).jpg|miniatura|260x260px|Teatro Carignano a Torino]] Così come per il primo ampliamento, fu realizzata un'imponente piazza che desse sfarzo alla città, l'attuale Piazza Carlina, che prese il nome di Piazza Carlo Emanuele II e fu costruita a pianta quadrangolare per semplificare la progettazione degli edifici adiacenti e per una ragione estetica. Le costruzioni che risalgono al XVII secolo mostrano l’influenza e lo stile del Castellamonte e del Vittozzi, caratterizzato da una forte uniformità e dall'uso di proporzioni perfette. Sempre nel corso dei lavori del secondo ampliamento l'architetto torinese Guarino Guarini, dopo essersi occupato della costruzione della cupola del Duomo e della Chiesa di San Lorenzo in Piazza Castello, progettò e costruì Palazzo Carignano, commissionato dal duca Emanuele Filiberto di Savoia-Carignano. Il progetto di Guarini si ispirava a quelli di Bernini per il Louvre. Esso prevedeva un corpo a forma di C con la facciata principale rivolta ad ovest sull'attuale Piazza Carignano. Completamente in mattoni, la facciata ha una forma curvilinea, alternando spazi concavi e convessi, dietro ad essa si trovava un ampio giardino, contenente le scuderie, che fu chiuso solo nel '800 con la realizzazione della facciata orientale. === Terzo ampliamento === [[File:Torino terzo ampliamento.png|sinistra|miniatura|302x302px|Pianta del terzo ampliamento di Torino iniziato nel 1717]] Già dalla fine del XVII secolo emerse la necessità di ampliare la città anche nell'area occidentale, rinnovando il denso tessuto urbano medievale in modo da darle uno schema unitario, come nel resto della città. Sin dai disegni prejuvarriani, di inizio Settecento, si individuarono i due principali assi su cui basare il progetto: via Dora Grossa, ad oggi via Garibaldi, e via Porta Palazzo, ad oggi via Milano. Queste due vie furono anche il fulcro del progetto dell'architetto Filippo Juvarra, che si occupò del terzo ampliamento, con i lavori che iniziarono nel 1717. Juvarra inizialmente ampliò i due assi principali, per poi chiudere diverse strettoie tra le vie minori con la costruzione di nuovi palazzi. Via Dora Grossa in particolare subì il rinnovamento maggiore, sia per renderla simile in dimensioni agli assi dei due precedenti ampliamenti, via Nuova e via Po, sia per raddrizzarla rispetto al resto dello schema urbano. L'architetto poi passò all'ampliamento della città al di fuori della precedente cinta muraria, che, proprio in occasione di questi lavori fu abbattuta. Al posto della porta occidentale fu costruita Piazza Susina, l'attuale Piazza Savoia, al centro della quale vi si trova oggi l'obelisco. I lavori del terzo ampliamento non si concentrarono solo sulla zona occidentale, infatti, furono diverse le zone già esistenti ad essere rinnovate da Juvarra e dall'architetto Benedetto Alfieri. L'architetto messinese si occupò della riqualificazione della residenza dei duchi, l'attuale Palazzo Reale, e della stessa Piazza Castello, che venne migliorata con l'edificazione di nuovi palazzi, con l'intento di renderla il cuore della vita politica cittadina. Sempre in Piazza Castello, fu realizzata la nuova facciata occidentale in pietra bianca di Palazzo Madama, anch'essa di Filippo Juvarra. Nel 1740 venne poi inaugurato il Teatro Regio, progettato da Carlo di Castellamonte e costruito da Benedetto Alfieri. [[File:Torino - Palazzo Reale - 1.jpg|miniatura|261x261px|Piazza Castello a Torino]] In seguito nel 1752 furono terminati i Giardini Reali e l'anno dopo fu inaugurato il Teatro Carignano, di fronte al già esistente Palazzo Carignano, di Benedetto Alfieri che completò, ampliando e restaurando, il progetto di Guarino Guarini. Questo fu danneggiato da un incendio nel 1786 e ristrutturato nella forma in cui lo troviamo tutt’ora. Nel 1777 fu poi significativa l’apertura del cimitero di San Pietro in Vincoli, che fu il primo fuori dalle mura e che diede inizio alle sepolture all’esterno delle chiese. La città alla fine del XVIII secolo, dopo questi tre vasti progetti di ampliamento e riqualificazione, era quindi organizzata e suddivisa in quattro quartieri: Vanchiglia, Cittadella, Via Nuova-San Salvario e Porta Palazzo, ripartiti a loro volta in 60 cantoni e 119 isole. La città era inoltre caratterizzata da un notevole aumento demografico che ebbe come conseguenza, tra le altre, l'innalzamento dei palazzi fino anche al sesto piano. == Collegamenti esterni == * [http://www.ilcaffetorinese.it/articolo.php?NOTIZIA=2017] * [https://www.museotorino.it/view/s/f764ad88fb5744c3aaf18096d544f7ec] * [https://www.museotorino.it/view/s/626afe674cf94760881325345648e4c6] == Bibliografia == * Rudolph Wittkower, ''Arte e architettura in Italia 1600-1750'', Torino, Einaudi. * Carlo Bertelli con Emanuela Daffra e Mauro Pavesi, ''Invito all'Arte 2'', Pearsons - Bruno Mondadori. bwnbhhsgibaqxyqivsvkb2tlgnyac9e 0 36018 286449 270447 2026-08-18T13:05:21Z ~2026-45290-45 46872 286449 wikitext text/x-wiki La strategia d'inseguimento dei bersagli salami <ref> I bersagli sonar possono essere sia navi che siluri. </ref> consente di conoscere, istante dopo istante ed in modo automatico, la posizione angolare <big>''' <math> \alpha </math>'''</big> degli stessi rispetto all'asse del sottomarino od il Nord, ciò durante le evoluzioni sia dei bersagli che del battello. La funzione d'inseguimento automatico si realizza tramite sistemi del tipo RLI (Right Left Indicator)]] In questa pagina tratteremo di un sistema di principio adatto sia a soluzioni software che hardware. Vediamo ora come sono, di massima, organizzate le funzioni operative per l'inseguimento automatico dei semoventi navali impostate su strutture caratteristiche definite dal termine : '''Sistemi di inseguimento automatico'''. ==L'algoritmo di correlazione per il sistema d'inseguimento automatico== [[Ricevitore in correlazione|L'algoritmo di correlazione]] di cui al titolo risponde alla seguente espressione: :<math>HC(r)=(\frac{1}{3.14}) Arcsen \left \{ \frac{\sen{[6.28 DF(r-ra)]}}{[{6.28DF(r-ra)]}}\sen[6.28Fo(r-ra)] \right \}</math> definita con le variabili: *<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> *<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> dove: <math> f_1 \ in \ Hz </math> : frequenza inferiore della banda di ricezione <math> f_2 \ in \ Hz </math> : frequenza superiore della banda di ricezione *<math> r </math> variabile indipendente espressa in secondi *<math>ra = D \cdot \sen( \alpha ^ \circ ) / 1530 </math> ; ritardo dell'onda dovuto alla posizione angolare del bersaglio. *<math>\alpha </math>° = angolo di puntamento del bersaglio; in gradi sessagesimali *<math>D </math> = lunghezza della base; in metri ha l'andamento di figura 1 : [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} L'algoritmo <math>HC( \tau ) </math> è sviluppato tramite apposito blocco di correlazione dotato di sfasatori a <math>90</math>° secondo la figura 2: [[File:insdtc2.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} ==Il processo di decisione per l'inseguimento automatico == Il processo di decisione, se affidato ad una struttura di calcolo, deve seguire il seguente percorso logico: *1- Se la <math> HC(r) = 0 </math> il bersaglio è collimato con il "sistema in puntamento" e nessuna azione deve essere sviluppata. *2- Se la <math> HC(r) > 0 </math> significa che il bersaglio si è spostato angolarmente a destra e pertanto il sistema d'inseguimento deve posizionare a destra il "sistema di puntamento" in modo da riportare la <math> CH(r) </math> a livello zero. *3- Se la <math> HC(r) < 0 </math> significa che il bersaglio si è spostato angolarmente a sinistra e pertanto il sistema d'inseguimento deve posizionare il "sistema di puntamento" in tal senso in modo da riportare la <math> HC(r) </math> a livello zero. Il processo si ripete in continuità, passo dopo passo, in funzione dell'evoluzioni del bersaglio lungo l'arco dell'orizzonte. Dato che la <math> HC(r) </math> è ottenuta tramite un algoritmo di correlazione la sua velocità di assestamento sugli zeri sarà subordinata alla costante di tempo del correlatore; per costanti di tempo piccole il sistema d'inseguimento sarà veloce, quindi adatto a bersagli ad elevata dinamica di spostamento pagando il prezzo di un modesto guadagno sul rapporto segnale/disturbo. Per costanti di tempo elevate, tali da ottimizzare il rapporto segnale/disturbo la velocità di assestamento della HC(r) sullo zero sarà bassa e di conseguenza adatta soltanto per bersagli in lento movimento. == Scema a blocchi funzionali del sistema d'inseguimento automatico== Il processo sopra descritto è schematizzato a blocchi funzionali in figura 3, per soluzione secondo la sequenza d'eventi sotto riportata: [[File:insdtc3.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} * A- Supponiamo che la base idrofonica Bi sia colpita dal rumore di un bersaglio collocato angolarmente sull'asse della base stessa, supponiamo altresì che il "sistema di puntamento" Sp sia collimato perfettamente sul bersaglio. In tali condizioni il correlatore Cr, avendo segnali coerenti d'ingresso, avrà un livello d'uscita: <math> HC(r) = 0 </math> ed il blocco di decisione Dc non trasferirà nessuna informazione al modulo Cs che deve agire sul "sistema di puntamento", ne consegue che Sp resterà immobile sulla direzione del bersaglio. *B) Se il bersaglio si sposta a destra rispetto all'asse di Bi il "sistema di puntamento" Sp invia al correlatore Cr segnali non più coerenti tra loro e tali che il livello di <math>HC(r)</math> risulta maggiore di zero. L'informazione di <math> HC(r) > 0 </math> viene acquisita da Dc che tramite Cs modifica il sistema di puntamento per riportarlo in condizioni di puntamento della nuova direzione fino a che nuovamente <math>HC(r)</math> sia uguale a zero. *C- Se il bersaglio si sposta a sinistra rispetto all'asse di Bi il "sistema di puntamento" Sp invia al correlatore Cr segnali non più coerenti tra loro e tali che il livello di <math>HC(r) </math>risulta inferiore a zero. L'informazione di <math>HC(r) < 0 </math> viene acquisita da Dc che tramite Cs modifica il sistema di puntamento per riportarlo in condizioni di puntamento fino a che nuovamente <math>HC(r)</math> sia uguale a zero. Le sequenze d'intervento del sistema portano la posizione angolare di Sp sempre sulla posizione angolare assunta dal bersaglio rendendo tale informazione all'operatore al sonar tramite l'indicatore Id; contemporaneamente l'operatore può ascoltare il rumore del bersaglio inseguito tramite il circuito d'ascolto As. ==Un esempio numerico dell'andamento di HC( r )== L'andamento di <math>HC( r )</math> per: *<math> F1 = 2000 \ Hz </math> *<math> F2 = 10000 \ Hz </math> *<math> D = 1.35 \ m </math> *<math> \alpha = 27 </math>° *<math>ra = D \cdot \sen( \alpha ^ \circ ) / 1530 = 400 \ \mu s</math> è riportato in figura 4: [[File:insdtcxx.jpg|thumb|left|400px|]] {{clear}} per <math> r </math> variabile da <math> 0 \ a \ 1000 \ \mu s. </math> La curva mostra come la <math> HC( r ) </math> presenti uno zero per <math> r = ra = 400 \ \mu s </math> oltre il quale è positiva o negativa in base alle variazioni di <math>r</math> i più od in meno rispetto a <math> 400 \ \mu s </math> ==Sul rumore nell'anello di figura 3== L'anello di figura 3, dipendendo da un processo di correlazione, è affetto da rumore - la varianza di <math> HC(r) </math> ; questo rumore porta il livello di <math>HC(r)</math> ad ondulare attorno al valore normale producendo una serie di comandi spuri al blocco Dc che, tramite Cs, porta ad instabilità il valore di collimazione del sistema di puntamento Sp. Questo problema è tanto più evidente quanto la costante di tempo del correlatore è piccola al fine di rendere l'inseguimento automatico più veloce. Per minimizzare l'azione del rumore nell'anello il blocco di decisione Dc è dipendente da un particolare ciclo d'isteresi che limita la risposta dell'anello entro frazioni di grado. L'isteresi porta ad un inevitabile errore di puntamento ma rende stabile il sistema tutto. ==Un sistema d'inseguimento automatico storico == E' interessante esaminare un "sistema di puntamento" in correlazione che nel 1970, primo in Europa, ha consentito la scoperta e l'inseguimento automatico dei bersagli nei sonar IP70 USEA installati sui sottomarini della classe Sauro. La fotografia del manufatto <ref> Il manufatto, denominato compensatore, consentiva rilevamenti sia manuali che automatici; in manuale per la scoperta dei bersagli con rilevamenti ad alta precisione, sia con elaborazione dei segnali in correlazione, sia per rivelazione d'energia. </ref> in oggetto è sotto riportata: [[File:insdtc4.jpg|thumb|left|400px|]] {{clear}} L'inserimento del "sistema di puntamento" nell'ambito dell'anello di figura 3 è riportato in figura 5: [[File:insdtc5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} =note= <references/> ==Bibliografia== *H. Chestnut and R. W. Mayer, '' Servomechanisms and regulating system design'',Jon Wiley § Sons New York, 1959 *C. Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[ Categoria: sonar]] lymlhddxg9h44awunqyg4g7tgnhw9wg 286450 286449 2026-08-18T13:05:28Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-45290-45|~2026-45290-45]] ([[User talk:~2026-45290-45|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] 264986 wikitext text/x-wiki La strategia d'inseguimento dei bersagli <ref> I bersagli sonar possono essere sia navi che siluri. </ref> consente di conoscere, istante dopo istante ed in modo automatico, la posizione angolare <big>''' <math> \alpha </math>'''</big> degli stessi rispetto all'asse del sottomarino od il Nord, ciò durante le evoluzioni sia dei bersagli che del battello. La funzione d'inseguimento automatico si realizza tramite sistemi del tipo RLI (Right Left Indicator)]] In questa pagina tratteremo di un sistema di principio adatto sia a soluzioni software che hardware. Vediamo ora come sono, di massima, organizzate le funzioni operative per l'inseguimento automatico dei semoventi navali impostate su strutture caratteristiche definite dal termine : '''Sistemi di inseguimento automatico'''. ==L'algoritmo di correlazione per il sistema d'inseguimento automatico== [[Ricevitore in correlazione|L'algoritmo di correlazione]] di cui al titolo risponde alla seguente espressione: :<math>HC(r)=(\frac{1}{3.14}) Arcsen \left \{ \frac{\sen{[6.28 DF(r-ra)]}}{[{6.28DF(r-ra)]}}\sen[6.28Fo(r-ra)] \right \}</math> definita con le variabili: *<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> *<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> dove: <math> f_1 \ in \ Hz </math> : frequenza inferiore della banda di ricezione <math> f_2 \ in \ Hz </math> : frequenza superiore della banda di ricezione *<math> r </math> variabile indipendente espressa in secondi *<math>ra = D \cdot \sen( \alpha ^ \circ ) / 1530 </math> ; ritardo dell'onda dovuto alla posizione angolare del bersaglio. *<math>\alpha </math>° = angolo di puntamento del bersaglio; in gradi sessagesimali *<math>D </math> = lunghezza della base; in metri ha l'andamento di figura 1 : [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 1]] {{clear}} L'algoritmo <math>HC( \tau ) </math> è sviluppato tramite apposito blocco di correlazione dotato di sfasatori a <math>90</math>° secondo la figura 2: [[File:insdtc2.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} ==Il processo di decisione per l'inseguimento automatico == Il processo di decisione, se affidato ad una struttura di calcolo, deve seguire il seguente percorso logico: *1- Se la <math> HC(r) = 0 </math> il bersaglio è collimato con il "sistema in puntamento" e nessuna azione deve essere sviluppata. *2- Se la <math> HC(r) > 0 </math> significa che il bersaglio si è spostato angolarmente a destra e pertanto il sistema d'inseguimento deve posizionare a destra il "sistema di puntamento" in modo da riportare la <math> CH(r) </math> a livello zero. *3- Se la <math> HC(r) < 0 </math> significa che il bersaglio si è spostato angolarmente a sinistra e pertanto il sistema d'inseguimento deve posizionare il "sistema di puntamento" in tal senso in modo da riportare la <math> HC(r) </math> a livello zero. Il processo si ripete in continuità, passo dopo passo, in funzione dell'evoluzioni del bersaglio lungo l'arco dell'orizzonte. Dato che la <math> HC(r) </math> è ottenuta tramite un algoritmo di correlazione la sua velocità di assestamento sugli zeri sarà subordinata alla costante di tempo del correlatore; per costanti di tempo piccole il sistema d'inseguimento sarà veloce, quindi adatto a bersagli ad elevata dinamica di spostamento pagando il prezzo di un modesto guadagno sul rapporto segnale/disturbo. Per costanti di tempo elevate, tali da ottimizzare il rapporto segnale/disturbo la velocità di assestamento della HC(r) sullo zero sarà bassa e di conseguenza adatta soltanto per bersagli in lento movimento. == Scema a blocchi funzionali del sistema d'inseguimento automatico== Il processo sopra descritto è schematizzato a blocchi funzionali in figura 3, per soluzione secondo la sequenza d'eventi sotto riportata: [[File:insdtc3.jpg|thumb|left|600px|figura 3]] {{clear}} * A- Supponiamo che la base idrofonica Bi sia colpita dal rumore di un bersaglio collocato angolarmente sull'asse della base stessa, supponiamo altresì che il "sistema di puntamento" Sp sia collimato perfettamente sul bersaglio. In tali condizioni il correlatore Cr, avendo segnali coerenti d'ingresso, avrà un livello d'uscita: <math> HC(r) = 0 </math> ed il blocco di decisione Dc non trasferirà nessuna informazione al modulo Cs che deve agire sul "sistema di puntamento", ne consegue che Sp resterà immobile sulla direzione del bersaglio. *B) Se il bersaglio si sposta a destra rispetto all'asse di Bi il "sistema di puntamento" Sp invia al correlatore Cr segnali non più coerenti tra loro e tali che il livello di <math>HC(r)</math> risulta maggiore di zero. L'informazione di <math> HC(r) > 0 </math> viene acquisita da Dc che tramite Cs modifica il sistema di puntamento per riportarlo in condizioni di puntamento della nuova direzione fino a che nuovamente <math>HC(r)</math> sia uguale a zero. *C- Se il bersaglio si sposta a sinistra rispetto all'asse di Bi il "sistema di puntamento" Sp invia al correlatore Cr segnali non più coerenti tra loro e tali che il livello di <math>HC(r) </math>risulta inferiore a zero. L'informazione di <math>HC(r) < 0 </math> viene acquisita da Dc che tramite Cs modifica il sistema di puntamento per riportarlo in condizioni di puntamento fino a che nuovamente <math>HC(r)</math> sia uguale a zero. Le sequenze d'intervento del sistema portano la posizione angolare di Sp sempre sulla posizione angolare assunta dal bersaglio rendendo tale informazione all'operatore al sonar tramite l'indicatore Id; contemporaneamente l'operatore può ascoltare il rumore del bersaglio inseguito tramite il circuito d'ascolto As. ==Un esempio numerico dell'andamento di HC( r )== L'andamento di <math>HC( r )</math> per: *<math> F1 = 2000 \ Hz </math> *<math> F2 = 10000 \ Hz </math> *<math> D = 1.35 \ m </math> *<math> \alpha = 27 </math>° *<math>ra = D \cdot \sen( \alpha ^ \circ ) / 1530 = 400 \ \mu s</math> è riportato in figura 4: [[File:insdtcxx.jpg|thumb|left|400px|]] {{clear}} per <math> r </math> variabile da <math> 0 \ a \ 1000 \ \mu s. </math> La curva mostra come la <math> HC( r ) </math> presenti uno zero per <math> r = ra = 400 \ \mu s </math> oltre il quale è positiva o negativa in base alle variazioni di <math>r</math> i più od in meno rispetto a <math> 400 \ \mu s </math> ==Sul rumore nell'anello di figura 3== L'anello di figura 3, dipendendo da un processo di correlazione, è affetto da rumore - la varianza di <math> HC(r) </math> ; questo rumore porta il livello di <math>HC(r)</math> ad ondulare attorno al valore normale producendo una serie di comandi spuri al blocco Dc che, tramite Cs, porta ad instabilità il valore di collimazione del sistema di puntamento Sp. Questo problema è tanto più evidente quanto la costante di tempo del correlatore è piccola al fine di rendere l'inseguimento automatico più veloce. Per minimizzare l'azione del rumore nell'anello il blocco di decisione Dc è dipendente da un particolare ciclo d'isteresi che limita la risposta dell'anello entro frazioni di grado. L'isteresi porta ad un inevitabile errore di puntamento ma rende stabile il sistema tutto. ==Un sistema d'inseguimento automatico storico == E' interessante esaminare un "sistema di puntamento" in correlazione che nel 1970, primo in Europa, ha consentito la scoperta e l'inseguimento automatico dei bersagli nei sonar IP70 USEA installati sui sottomarini della classe Sauro. La fotografia del manufatto <ref> Il manufatto, denominato compensatore, consentiva rilevamenti sia manuali che automatici; in manuale per la scoperta dei bersagli con rilevamenti ad alta precisione, sia con elaborazione dei segnali in correlazione, sia per rivelazione d'energia. </ref> in oggetto è sotto riportata: [[File:insdtc4.jpg|thumb|left|400px|]] {{clear}} L'inserimento del "sistema di puntamento" nell'ambito dell'anello di figura 3 è riportato in figura 5: [[File:insdtc5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} =note= <references/> ==Bibliografia== *H. Chestnut and R. W. Mayer, '' Servomechanisms and regulating system design'',Jon Wiley § Sons New York, 1959 *C. Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[ Categoria: sonar]] t6h8rjbimprssels3od3ppf6vi53hlq 0 37789 286424 286397 2026-08-18T12:34:33Z Funzioni di correlazione 24136 286424 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, '''(20 esercizi)''' == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. 9bdv0rqh784cb3k2ug5nprqqpr0x0sr 286468 286424 2026-08-18T13:19:45Z Funzioni di correlazione 24136 286468 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, '''(20 esercizi)''' == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> l8avoxesmpllny5d1km4r60wdnjgj8g 286484 286468 2026-08-19T08:11:31Z Funzioni di correlazione 24136 286484 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, '''(20 esercizi)''' == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. ioyzn00o4y5g78apuadsxpzinc3ofck 286490 286484 2026-08-19T08:33:30Z Funzioni di correlazione 24136 286490 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, '''(20 esercizi)''' == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> gdub1otl2fgkkim78auf9my6rhkmzhq 286491 286490 2026-08-19T08:34:33Z Funzioni di correlazione 24136 286491 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, '''(20 esercizi)''' == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> kq6kdrsriqcm1to3ib49bq74wvlmu7f