Wikibooks:談話室

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    <title>Wikibooks:談話室</title>
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ある程度時間のたった議論は[[/過去ログ]]に移動されます。最新の過去ログは [[特別:固定リンク/291757|2026年01月24日 (土) 01:14(UTC)の版]]です（確認日: 2026年1月26日）。過去ログ化の方法については[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン]]を参照ください。

{{/告知}}

== WikipediaからWikibooksへのテンプレートの移入とTranswiki名前空間 ==

Wikipediaで使用されているテンプレートの多くがWikibooks上では導入されておらず、いつものWikipediaの記法でWikibooksを執筆しようとするとテンプレート不在のエラーが多発します。そこでWikipediaからテンプレートを移入 (移植) したいのですが、3点教えて頂きたいことがございます。
# (移入かゼロから自力作成するかは問わず) Wikibooks上でのテンプレートの新規作成は、事前に合意形成などが必要なのでしょうか？それとも好き勝手作っていいものなのでしょうか？
# 仮に移入してくる時には、他言語版からの翻訳時と同様の履歴継承方法 (Oldid指定で継承元を示す、あるいはテンプレート名+日時明記する) で問題ないでしょうか？
# 「[[Wikibooks:蔵書一覧/テンプレート一覧#Transwiki名前空間]]」によると、テンプレートを置く名前空間はWikibooksテンプレート空間の場合と、Transwiki名前空間と2種類あるように読めるのですが、このTranswiki名前空間にあるテンプレート群は何なのでしょうか？

質問の背景をお伝えしておくと、私の活動している法学の分野では伝統的に法律の概説はWikipediaに執筆し、逐条解説 (1つ1つの条文の細かい解釈や具体例などの提示) はWikibooksに譲るという棲み分けを行ってきたようです。現在私がWikipedia上で加筆している記事の記述が逐条解説まで踏み込んで肥大化してしまったので、一部はWikibooks側に書いた方が良さそうだ、と判断しました。ご存じのとおりWikipediaでは「[[w:Wikipedia:検証可能性|Wikipedia:検証可能性]]」が重視されていて、そのノリで信頼性の高い出典をガチガチに揃えて逐条解説の下書きをしていたのですが、いざ下書きをWikibooksのサンドボックスに投稿したところ ([[Special:Permalink/264757|編集差分]])、出典・脚注系のテンプレートがことごとく存在せずにエラーが出ています。

また、Transwiki名前空間にあるらしい「仮リンク」のテンプレートは、Wikipediaでも多用していたのでWikibooksでも使用したいのですが、Transwiki上にある「仮リンク」はWikibooksで &lt;nowiki&gt;{{{{仮リンク|あいうえお|en|ABC}}}}&lt;/nowiki&gt; と記述してそのまま使えるのか、いまいちよく分かりません。[[特別:リンク元/Transwiki:仮リンク]] を見ても、現時点でWikibooksの標準名前空間で使用しているケースはゼロのようです。

Wikipediaと比較してWikibooksの活動が過疎ぎみなのは承知しておりまして、ここで愚痴を言いたいわけではなく、何とか使える形にしたいという前向きな質問の意図だと汲んで頂ければ幸いです。--[[利用者:ProfessorPine|ProfessorPine]] ([[利用者・トーク:ProfessorPine|トーク]]) 2024年12月7日 (土) 03:15 (UTC)

:一年以上、議論が止まっていますが、重要な問題なので検討を継続したいと思います。
:個人的には、翻訳などと同様移植元の履歴が継承されていれば問題はなかろうと考えています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月26日 (月) 00:10 (UTC)
::{{コメント2|横から失礼}} 私は管理者などをやったことがないのでわからないのですが、Wiki間インポートを実施するのはいかがですか？
::その後に、Wikibooksに合う形に微調整した方が楽に感じます。
::おそらくですが、[[WB:IP]]を見る感じ、コピーアンドペーストは推奨されてない方法に思います。
::私が、管理者権限を持っていたら、協力したいのですが、[[利用者:Tomzo|Tomzo]]さんなどの管理者の協力が必須に感じます…--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月4日 (水) 10:40 (UTC)

== 「デスクトップLinux入門」を作りたい ==

サーバーではなくデスクトップ向けの，GNU/Linuxディストリビューションのインストール・利用方法を解説した文書をつくりたいと思っています。構想は[[利用者:KASAI_Toushi/デスクトップLinux入門]]にあります。
これにあたって，二つほど質問があります。
* この構想は，Wikibooksでは受け入れられますか？
* タイトルは「デスクトップLinux入門」で問題ないでしょうか？
[[利用者:KASAI Toushi|KASAI Toushi]] ([[利用者・トーク:KASAI Toushi|トーク]]) 2025年2月28日 (金) 03:55 (UTC)
:内容に関してコメントはしかねますが（後述）、原則として受け入れには何ら問題はないと思います。むしろ歓迎です。
:[[情報技術]]にリンク元を作成して、後はツリー構造で作成することをお勧めします。
:「サーバーではなくデスクトップ向けの」という教科書を既存のLinux関係の教科書から分割して作成するのが適当かは不明ですので、それは知見者の方の間で相談いただければと思います。ただ、統合することのメリットが希薄なようであれば、作成することが、wikibooksにはメリットとは考えます。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年2月28日 (金) 07:06 (UTC)

ご返信ありがとうございます。分割すべきかどうかはまだ分からないので、利用者ページに下書きを書いておきます。
[[利用者:KASAI Toushi|KASAI Toushi]] ([[利用者・トーク:KASAI Toushi|トーク]])

== 編集合戦の件 ==

@[[利用者:Tomzo|Tomzo]]様

~2025-47348氏とHousehome100氏の編集合戦について、どの版まで差し戻しになりますか？（4月中旬から彼らが編集に関わり始めましたが、彼らが関わる前の版にまで遡るのか、編集合戦が発生した（と判断できる）編集の直前の版になるのか）。もし彼らが関わる前の版に戻すとなると、（~2025-47348氏が行った）すじ肉氏が嘗て書いた問題のある版の修正が取り消されることになるので、それの再修正に多くの労力を割くことになりそうです。--[[特別:投稿記録/&amp;#126;2025-49873|&amp;#126;2025-49873]] ([[利用者・トーク:&amp;#126;2025-49873|会話]]) 2025年5月2日 (金) 08:07 (UTC)

:本来、ブロック中の編集者が別アカウントで作成した記事は、ブロックの意味をなくすため新規ページは削除、加筆等の編集は削除の上、不可視化とすべきところですが、今回はあまりにも量が多いため、個別の要望を待って対処したいと思います。もし、ページ削除・不可視化等が必要でしたら、最新版を適当なものにするなどご対応の上、削除等の依頼をお願いします。過去履歴の不可視化まで必要ないとお考えであれば、適当と考えられる最新版作成（過去の版へのリバートも可）で十分足りるとは考えています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年5月2日 (金) 08:24 (UTC)

== 移動依頼 ==

[[旧課程(-2012年度)高等学校数学A/集合と論理]]を[[高等学校数学I/集合と論理]]へ移動お願いします。
*理由:「集合と命題」の内容は2013年度以降『数学I』の範囲になっている。
--[[特別:投稿記録/&amp;#126;2025-57596|&amp;#126;2025-57596]] ([[利用者・トーク:&amp;#126;2025-57596|会話]]) 2025年5月24日 (土) 02:25 (UTC)

:対応に関して 「[[トーク:高等学校数学#「学習指導要領」改正に伴う課程の変動について]]」を作成しましたので、ご確認ください。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年5月28日 (水) 06:56 (UTC)

== 検索した時に予測候補（サジェスト）が出ないようにできませんか？ ==

以前は無かったはずです。人によっては不快に感じると思います。--[[特別:投稿記録/&amp;#126;2025-67762|&amp;#126;2025-67762]] ([[利用者・トーク:&amp;#126;2025-67762|会話]]) 2025年6月14日 (土) 14:13 (UTC)

:それは難しいと思います。--[[利用者:KINGDOM OF ITALY|KINGDOM OF ITALY]] ([[利用者・トーク:KINGDOM OF ITALY|トーク]]) 2025年7月31日 (木) 08:24 (UTC)

== 管理者の再信任のための「定期的な投票」実施について ==

皆さん、こんにちは。このたび、[[Wikibooks:管理者の辞任#管理者の再信任投票]]に基づく2025年9月末で任期末を迎える現管理者3名の再信任のための「定期的な投票」を実施したく存じます。方針によれば、「各管理者に対し原則として毎年」行われるべき再信任投票ですが、ここ5年間行われておらず（前回は[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票/202009|2020年9月]]）、現管理者の方3名の無投票での留任が続いております。そこで当コミュニティの事前告知期間も踏まえ2週間後の2025年9月1日（予定）に投票ページとして「[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票 202509]]」を作成いたします。そこから2週間（336時間）の投票期間を設けたいと存じます。なお、管理者の一人である {{admin|かげろん}} さんは、この再信任投票開始の時点までに活動がない場合には方針に基づき自動退任となります。以上につきまして何かコメントなどございましたらお寄せください。それでは何卒よろしくお願いいたします。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2025年8月18日 (月) 04:27 (UTC)

:{{コメント2|報告}} 事前告知のとおり、[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票 202509|管理者の再信任投票ページ]]を作成いたしましたので、ご報告いたします。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2025年9月1日 (月) 04:16 (UTC)

== 根気が足りない…… ==

現在[[沖縄語]]を執筆しているのですが、全て書き終わる前に根気が尽きてしまいそうです。
[[沖縄語]]を執筆したとて、正直誰の役に立つのか分かりませんし、需要があるのかもよく分かりませんし、そもそもwikibooksの知名度からして執筆しても自分以外見ないのではないかとさえ思うと書く意味はなんなのかなと思います。
今、完成している語学のページは、私が知る限り[[ペルシア語]]だけです。沖縄語も完成させたいという気持ちはありますが、書くべき章を整理したところあまりにも膨大で……。
章は「初級」「中級」「上級」に分けました。根気が続かなかったら途中で私は失踪すると思いますが、同時に、沖縄語は現在消滅の危機にあり、私が失踪したら誰も続きを書いてくれないだろうな……と思います。
じゃあ書かないと！とは思うのですが、なんかやる気が足りないです。
長々と申し訳ありませんでした。もしこれを読んでくださる方がおりましたら、なにかコメントをくださると嬉しいです。また、ウチナーグチのわかる方がいらっしゃいましたら、[[沖縄語]]に軽く目を通して変なところはないか見てくださると助かります。--[[利用者:さきじょーぐー|さきじょーぐー]] ([[利用者・トーク:さきじょーぐー|トーク]]) 2025年9月18日 (木) 09:28 (UTC)

:お疲れ様です。
:当方も哲学・倫理学・歴史を中心にいろいろ書いているのですが、2年前の事案でウィキブレイク状態で、ほとんど大したものは書いていません。さきじょーぐーさんが沖縄語のページを充実させていらっしゃること、敬服しております。
:確かにここは知名度も低いのですが、ウィキペディアほどにはおかしな人物が来ないですし、自由にできると思ってはいかがでしょうか。
:なお、沖縄語は全くわからないのでそちらの方には力になれません……。申し訳ないです。--[[利用者:椎楽|椎楽]] ([[利用者・トーク:椎楽|トーク]]) 2025年9月21日 (日) 11:20 (UTC)
::ありがとうございます。まだwikiに参加したばかりなので出会ったことはありませんが、おかしな方があまり来ないというのは、沖縄という政治的に揉めやすいものを扱っているのもありとても嬉しいです。頑張って執筆します。--[[利用者:さきじょーぐー|さきじょーぐー]] ([[利用者・トーク:さきじょーぐー|トーク]]) 2025年9月24日 (水) 05:13 (UTC)

== 申し訳ありませんがご協力ください。 ==

===ご挨拶===
まずは、皆様にご挨拶させていただきます。アンサイクロペディアから参りました、「たけのこの土」と申します。まだまだ頭の硬い方には慣れていませんが、どうぞよろしくお願いします。

===お願いしたい点===
この度、Wikipediaでも活動したいと思い、アカウント作成をしようとしたところ、まさかの自分が使用しているIPアドレスが広域ブロックを受けているということで、アカウントを作成することができませんでした。Wikipediaとアカウントが共通しているということでこちらなら出来るかもしれないとアカウント作成したところ、作成できたので…。

ということで、お手数ではございますが、IPの広域ブロック解除に詳しい方がいらっしゃいましたら、解除していただけるとありがたく存じます。--[[利用者:たけのこの土|たけのこの土]] ([[利用者・トーク:たけのこの土|トーク]]) 2025年10月9日 (木) 03:08 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Help us decide the name of the new Abstract Wikipedia project&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;function1&quot;/&gt;
{{int:Hello}}. Please help pick a name for the new Abstract Wikipedia wiki project. This project will be a wiki that will enable users to combine functions from [[:f:|Wikifunctions]] and data from Wikidata in order to generate natural language sentences in any supported languages. These sentences can then be used by any Wikipedia (or elsewhere).

There will be two rounds of voting, each followed by legal review of candidates, with votes beginning on 20 October and 17 November 2025. Our goal is to have a final project name selected on mid-December 2025. If you would like to participate, then '''[[m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia/Abstract Wikipedia naming contest|please learn more and vote now]]''' at meta-wiki.
{{Int:Feedback-thanks-title}}
&lt;section end=&quot;function1&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 2025年10月20日 (月) 11:42 (UTC)
&lt;!-- User:Sannita (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29432175 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== 運動のいくつかの委員会で新任のボランティア委員を募集中 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
例年10月から12月の期間に、ウィキメディア運動の委員会の一部では新任のボランティア委員を募集します。 

それぞれの委員会の詳細は、個別のページがメタウィキにありますのでご参照ください。
* [[m:Special:MyLanguage/Affiliations Committeee|提携団体委員会]]（略称AffCom、Affiliations Committee）
* [[m:Special:MyLanguage/Ombuds commission|オンブズ委員会]]（頭字語OC＝Ombuds commission）
* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Legal/Community Resilience and Sustainability/Trust and Safety/Case Review Committee|事案評価委員会]]（頭字語CRC＝Case Review Committee）

これら委員会への立候補申請は2025年10月30日から受け付けます。立候補の受付〆切は、提携団体委員会が2025年12月11日、オンブズ委員会と事案評価委員会は2025年12月11日です。立候補申請の手順は[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Legal/Committee appointments|Meta-wiki（メタウィキ）にある任命ページ]]をご一読願います。ご質問はその議論ページに投稿するか、メールの場合は cst[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org 宛にお送りください。

委員会支援チームの一同より
&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

-[[m:User:MKaur (WMF)| MKaur (WMF)]] 2025年10月30日 (木) 14:12 (UTC)
&lt;!-- User:MKaur (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29517125 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Wikimedians of Japan User Group 2025-10 ==

'''全体ニュース'''
* 1月から6月までの[https://wikimediafoundation.org/who-we-are/transparency/2025-1/ 透明性レポート](英語)が公表されました。
* 提携団体委員会、オンブズ委員会、事案審査委員会への[[:m:Wikimedia_Foundation/Legal/Committee_appointments/ja|応募]]受付が開始されました。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 11月9日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_53_(9_November_2025)|オンラインミーティング]]が行われます。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 11月7日、8日に開催される[https://www.k-of.jp/2025/ 関西オープンフォーラム]に参加します。
* 11月22日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2025-fukuoka/ OSC福岡]に参加します。また、翌23日には[https://techplay.jp/event/987206 オープンデータを作ろう！ with ウィキメディアもくもく会 in 北九州]を[https://www.osmf.jp OSMFJ]と共催します。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* [[:w:ja:Wikipedia:ウィキペディア・アジア月間|アジア月間]]が行われます。

* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:魚梁船|魚梁船]]
**[[:w:ja:生得性仮説|生得性仮説]]
**[[:w:ja:炎舞|炎舞]]
**[[:w:ja:エリダヌス座|エリダヌス座]]
**[[:w:ja:中堀由希子|中堀由希子]]
**[[:w:ja:いて座|いて座]]
**[[:w:ja:スティーブン (イングランド王)|スティーブン (イングランド王)]]
**[[:w:ja:君と宇宙を歩くために|君と宇宙を歩くために]]
**[[:w:ja:久隔帖|久隔帖]]

* 今月の1枚
[[File:Lunar eclipse of 2025 September 7 (Montage s3).jpg|alt=|left|thumb|200x200px|​2025年9月7日の皆既[[:w:ja:月食|月食]]の時系列画像]]

'''[[:f:|ウィキファンクションズ]]'''[[File:Wikifunctions-logo.svg|20px|link=:f:]]
*
* 抽象ウィキペディア(Abstract Wikipedia)の[[:m:Abstract_Wikipedia/Abstract_Wikipedia_naming_contest|正式名称]]の第1回投票は11月3日までです。

'''11月のイベント情報'''
* 11/1 [https://tobemori-seeds.com/archives/2999 とべもりウィキペディアタウン]
* 11/8 [https://mykoho.jp/article/012084/9874593/9964880 ウィキペディアタウン in 北見ワークショップ]
* 11/8 [https://www.lib.city-hokuto.ed.jp/akeno/event-info/316/ ウィキペディアタウン＠北杜in明野]
* 11/9 [https://www2.city.tahara.aichi.jp/section/library/info/2511wikiatumi.html ウィキペディアタウンin渥美]
* 11/9 [https://www.city.higashikurume.lg.jp/library/1024999/1027652.html ウィキペディアタウンin東久留米 ～武蔵野鉄道引き込み線～]
* 11/15 [https://www.town.nakai.kanagawa.jp/soshiki/chiikibosaikachiikijohohan/citypromo/3716.html ウィキペディアタウンin里都]
* 11/23 [https://facebook.com/events/s/wikipedia%E3%83%95%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%82%AF14%E5%9D%82%E5%8F%A3%E5%AE%89%E5%90%BE/1534587237725121/ Wikipediaブンガク 坂口安吾]
* 11/29 [https://www.city.yokkaichi.lg.jp/www/contents/1724135632047/index.html みんなで「あさけ」界隈を歩いてウィキペディアと世界地図に足跡を残そう！]
* 11/30 [https://www.city.inazawa.aichi.jp/museum/0000005195.html ウィキペディアタウン稲沢]

'''前回配信：2025年9月30日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2025年10月31日 (金) 09:53 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=29400209 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Reminder: Help us decide the name of the new Abstract Wikipedia project&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;function2&quot;/&gt;
{{int:Hello}}. Reminder: Please help to choose name for the new Abstract Wikipedia wiki project. The finalist vote starts today. The finalists for the name are: &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;Abstract Wikipedia, Multilingual Wikipedia, Wikiabstracts, Wikigenerator, Proto-Wiki&lt;/span&gt;. If you would like to participate, then '''[[m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia/Abstract Wikipedia naming contest|please learn more and vote now]]''' at meta-wiki.
{{Int:Feedback-thanks-title}}
&lt;section end=&quot;function2&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 2025年11月20日 (木) 14:21 (UTC)
&lt;!-- User:Sannita (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29583860 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Wikimedians of Japan User Group 2025-11 ==

'''全体ニュース'''
* ウィキメディア財団の[[:foundation:File:Wikimedia_Foundation_FY_24-25_Audit_Report.pdf|監査報告]](英語)が公表されました。
* 提携団体委員会、オンブズ委員会、事案審査委員会への[[:m:Wikimedia_Foundation/Legal/Committee_appointments/ja|応募]]は12月11日までです。
* ウィキマニア2027はチリのサンディエゴで開催されることが決定しました。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 12月6日17時半(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_54_(6_December_2025)|オンラインミーティング]]が行われます。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 12月6日に大阪大学中之島センターにて、[[:m:Wikimedians of Japan User Group/events/West-Japan Wikimedia Conference 2025|West-Japan Wikimedia Conference 2025]]を開催します。
* 翌7日には[https://opendata-mokumoku2025.peatix.com/view もくもく会]を開催します。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:根岸町 (仙台市)|根岸町 (仙台市)]]
**[[:w:ja:遮光器土偶|遮光器土偶]]
**[[:w:ja:尾去沢銅山事件|尾去沢銅山事件]]
**[[:w:ja:雄勝地区|雄勝地区]]
**[[:w:ja:ギャラクシー・ズー|ギャラクシー・ズー]]
**[[:w:ja:ジ・アート・オブ・チャーリー・チャン・ホックチャイ|ジ・アート・オブ・チャーリー・チャン・ホックチャイ]]
**[[:w:ja:第一次ポエニ戦争の講和条約|第一次ポエニ戦争の講和条約]]
**[[:w:ja:道鏡|道鏡]]
**[[:w:ja:八方池|八方池]]
**[[:w:ja:マケドニア名称論争|マケドニア名称論争]]
**[[:w:ja:連室細管|連室細管]]
**[[:w:ja:オヴィリ|オヴィリ]]
**[[:w:ja:原阿佐緒|原阿佐緒]]
**[[:w:ja:宇佐八幡宮神託事件|宇佐八幡宮神託事件]]
**[[:w:ja:薬師岳の圏谷群|薬師岳の圏谷群]]
**[[:w:ja:うしかい座|うしかい座]]
**[[:w:ja:上海郵便局|上海郵便局]]
**[[:w:ja:日本大辞書|日本大辞書]]
**[[:w:ja:細川ガラシャ|細川ガラシャ]]
* 今月の1枚
[[File:Irozaki 20210131-2.jpg|alt=|thumb|200x200px|静岡県南伊豆町にある[[:w:ja:石廊崎|石廊崎]]の先端の画像|none]]

'''[[:wmfblog:|Diff]]'''
Diffはウィキメディアに関するブログプラットフォームです。今月から毎月Diffの掲載された記事を紹介します。タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。

* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/01/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%bf%e3%82%a6%e3%83%b3in%e5%b2%a9%e6%9d%91%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%99%e3%82%8b/ 「ウィキペディアタウンin岩村」に参加する] / Asturio Cantabrio	 (2025/11/01)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/02/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a%e3%82%a6%e3%82%a3/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：ウィキマニア・ナイロビ参加報告] / Wadakuramon (	2025/11/02)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/02/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%81%ab%e3%82%83%e3%82%a6%e3%83%b3-vol-8%e2%91%a1-%e6%96%87%e5%8c%96%e8%b2%a1xwikipedia%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82/ 「ウィキペディアにゃウン vol.8② 文化財×Wikipedia」に参加する] / Asturio Cantabrio (2025/11/02)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/03/wikipedia%e8%a8%98%e4%ba%8b%e3%80%8c%e6%b8%af%e5%8d%97%e5%8f%b0%e3%82%b7%e3%83%8d%e3%82%b5%e3%83%ad%e3%83%b3%e3%80%8d%e3%82%92%e4%bd%9c%e6%88%90%e3%81%99%e3%82%8b/ Wikipedia記事「港南台シネサロン」を作成する] / Asturio Cantabrio (2025/11/03)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/03/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%82%e3%81%8f%e3%82%82%e3%81%8f%e4%bc%9a2025%e5%b9%b410%e6%9c%88%e6%9d%b1%e4%ba%ac%e3%81%a7%e8%aa%95%e7%94%9f%ef%bc%81wikidata/ ウィキメディアもくもく会2025年10月東京で誕生！Wikidata項目欠落検索ツール『Wikidata Missing』] / Ecute (2025/11/03)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/04/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a22027%e9%96%8b%e5%82%ac%e5%9c%b0%e6%b1%ba%e5%ae%9a/ ウィキマニア2027開催地決定] / Wikimania Steering Committee (2025/11/04)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/06/73%e6%ad%b3%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%ae%e4%b8%80%e6%97%a5/ 73歳のウィキメディアンの一日] / Wadakuramon (2025/11/06)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/07/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%82%ab%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a1%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b9%e3%83%bb%e3%82%bd%e3%82%a6%e3%83%ab2025%e3%80%81%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3/ ウィキカンファレンス・ソウル2025、ウィキメディアの未来は多様性にあり] / Wikimedia Korea ; Wadakuramon (2025/11/07)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/14/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e5%88%a9%e7%94%a8%e8%80%85%e3%81%ab%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%83%88%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%83%89/ ウィキペディア利用者に新しいトレンド] Marshall Miller ; Omotecho (2025/11/14)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/16/%e9%96%a2%e8%a5%bf%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a9%e3%83%bc%e3%83%a9%e3%83%a0%e3%81%a7%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a2%e3%81%ae%e8%a9%b1%e3%82%92%e3%81%97/ 関西オープンフォーラムでウィキマニアの話をしました] / Wadakuramon (2025/11/16)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/26/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%ef%bc%9a100%e4%b8%87%e4%bb%b6%e3%81%ae%e3%83%aa%e3%83%b3%e3%82%af%e3%81%a8%e3%81%9d%e3%81%ae%e5%85%88/ ウィキメディア図書館：100万件のリンクとその先] / Vipin SJ；Omotecho (2025/11/26)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/27/international-semantic-web-conference-2025-%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%9f%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%ae%e6%84%9f%e6%83%b3/ International Semantic Web Conference 2025 に参加したウィキメディアンの感想] / Eugene Ormandy (2025/11/27)

'''前回配信：2025年10月31日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2025年11月30日 (日) 13:06 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=29717105 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Wikimedians of Japan User Group 2025-12 ==

'''全体ニュース'''
* ウィキペディアは1月15日で25周年を迎えます。同時に[[:m:Event:Wikipedia_25_Virtual_Celebration/ja|バーチャルお祝い会]]も開催されます。
* 1月20日にBernadette Meehanさんがウィキメディア財団のCEOに就任します。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 2027年のESEAPサミットは日本で開催することに決定しました。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 1月31日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-osaka/ OSC大阪]に参加します。
* [https://www.youtube.com/@WikimediaJaUG YouTubeチャンネル]を作成しました。
* 12月6日に[[:m:Wikimedians of Japan User Group/events/West-Japan Wikimedia Conference 2025|West-Japan Wikimedia Conference 2025]]を開催しました。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:ロンドン自然史博物館の天井|ロンドン自然史博物館の天井]]
**[[:w:ja:ミャンマーの歴史|ミャンマーの歴史]]
**[[:w:ja:ボーラーン|ボーラーン]]
**[[:w:ja:天蓋の聖母 (ラファエロ)|天蓋の聖母 (ラファエロ)]]
**[[:w:ja:流行神|流行神]]
**[[:w:ja:瑠璃坏|瑠璃坏]]
**[[:w:ja:や座|や座]]
**[[:w:ja:京坂キリシタン一件|京坂キリシタン一件]]
**[[:w:ja:ベトナムの歴史|ベトナムの歴史]]
**[[:w:ja:オニオオハシ|オニオオハシ]]
**[[:w:ja:白瑠璃碗 (正倉院宝物)|白瑠璃碗 (正倉院宝物)]]
**[[:w:ja:漢字|漢字]]
**[[:w:ja:貞享の半知|貞享の半知]]
**[[:w:ja:カンボジア文学|カンボジア文学]]
**[[:w:ja:足利政知|足利政知]]
* 今月の1枚
[[File:DSC_1418-DeNoiseAI-low-light_(1).jpg|alt=|thumb|200x200px|静岡県南伊豆町にある[[:w:ja:ヤマセミ|ヤマセミ]]のホバリング|none]]

'''1月のイベント情報'''
* 1/10 [[:w:ja:Wikipedia:オフラインミーティング/ウィキペディア25周年記念エディタソン|ウィキペディア25周年記念エディタソン]]
* 1/25 [https://okunoto-archive.jp/202512/223/ ウィキペディアタウンin珠洲]
* 1/25 [https://www.city.tambasasayama.lg.jp/chuotoshokan/information/27347.html ウィキペディアタウンin丹波篠山 Vol.2～丹波篠山の自慢「丹波黒」を世界に発信～]

'''[[:wmfblog:|Diff]]'''
タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/01/%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%82%bd%e3%83%bc%e3%82%b9%e3%82%ab%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a1%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b92025kyoto%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0/ オープンソースカンファレンス2025Kyotoに参加] / VZP10224 (2025/12/01)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/03/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a6%e4%ba%ba%e3%81%ae/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：6人のオンラインフォーラム] / Wadakuramon (2025/12/03)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/13/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a%e3%83%96%e3%8w3%bc/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：ブース展示と横浜エディタソン] / Wadakuramon (2025/12/13)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/14/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%bf%e3%82%a6%e3%83%b3in%e5%92%8c%e6%ad%8c%e5%b1%b12025%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%99%e3%82%8b/ 「ウィキペディアタウンin和歌山2025」に参加する] / Asutrio Cantabrio (2025/12/14)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/14/12%e6%9c%88%e3%82%92%e6%b5%b7%e5%a4%96%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%a8%e9%81%8e%e3%81%94%e3%81%99/ 12月を海外のウィキメディアンと過ごす] / Wadakuramon (2025/12/14)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/16/diff%e3%81%af2026%e5%b9%b4%e3%81%be%e3%81%a7%e3%81%8a%e4%bc%91%e3%81%bf%e3%81%97%e3%81%be%e3%81%99/ Diffは2026年までお休みします] / Chris Koerner ; Wadakuramon (2025/12/16)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/17/%e6%ad%a3%e5%80%89%e9%99%a2%e5%b1%95-%e3%81%a8-%e8%a8%98%e4%ba%8b%e5%9f%b7%e7%ad%86-%e7%91%a0%e7%92%83%e5%9d%8f%e3%81%a8%e3%82%82%e3%81%86%e4%b8%80%e3%81%a4%e3%81%ae%e7%99%bd%e7%91%a0%e7%92%83/ 正倉院展 と 記事執筆 -瑠璃坏ともう一つの白瑠璃碗-] / Lin Xiangru (2025/12/17)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a22026%e3%81%ab%e5%90%91%e3%81%91%e3%81%a6/ ウィキマニア2026に向けて] / Wikimania Core Organizing Team (2025/12/19)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/west-japan-wikimedia-conference-2025%e5%8f%82%e5%8a%a0%e8%a8%98%ef%bc%9a%e6%a8%aa%e6%b5%9c%e3%82%a8%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%bf%e3%82%bd%e3%83%b3%e3%82%92%e7%b4%b9%e4%bb%8b/ West-Japan Wikimedia Conference 2025参加記：横浜エディタソンを紹介] / Wadakuramon (2025/12/19)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e8%b2%a1%e5%9b%a32026-27%e5%b9%b4%e6%ac%a1%e8%a8%88%e7%94%bb%e3%81%ae%e3%82%b4%e3%83%bc%e3%83%ab%e7%ad%96%e5%ae%9a%ef%bc%9a%e3%82%a6/ ウィキメディア財団2026-27年次計画のゴール策定：ウィキメディア運動の重点となる質問] / Selena Deckelmann ; Omotecho (2025/12/19)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/23/%e6%97%a5%e6%9c%ac%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%8cwikiconference-seoul-2025%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%a6%e3%81%8d%e3%81%9f/ 日本のウィキメディアンがWikiConference Seoul 2025に参加してきた記録] / Narumi.SBT (2025/12/23)

'''前回配信：2025年11月30日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2025年12月31日 (水) 11:04 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=29848173 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== ほぼ同内容かつ似た題名の記事の並立について（日本語方言など） ==

[[日本語/方言]]と[[日本語の方言]]は同じような題で同じような内容を載せていますが、この2つはどう違うのでしょう。同じ意図で作ったものならどちらかに統合すべきだと思いますが、統合後はどちらの記事名にするのが良いでしょうか。

加えて、こういった例は他にも必ず存在する気がするのですが、そういった場合の方針などがあれば教えていただきたいです。--[[利用者:BrassSnail|BrassSnail]] ([[利用者・トーク:BrassSnail|トーク]]) 2026年1月12日 (月) 13:28 (UTC)

:こちらでシスオペをやっております、[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]])と申します。
:ご指摘ありがとうございます。本件ご指摘のとおりだと思います。手続き導入からは日が浅いものの、「[[Wikibooks:統合提案]]」という手続きがありますのでご紹介いたします。そちらで、ご提案をいただけるのとありがたいのですが、お忙しいようであれば、機会を見計らい私が対応いたします。
:WBとWPが微妙に異なることとして、ある一つの事柄についての記述でも、教科書として伝える層や伝える体系が異なると記述が異なることとなり、別ページを構成することがあるということで、これは、各々の体系のもので存続させることがあります。または、共通の記述に関してリンクを貼ることで対応するなどの手法も考えられます。この辺りは、決まった手法があるわけではないので、作成の過程で議論によって決めていくことなのかなと思っています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月12日 (月) 16:43 (UTC)
::ご教授ありがとうございます。そちらで提案させていただきました。。--[[利用者:BrassSnail|BrassSnail]] ([[利用者・トーク:BrassSnail|トーク]]) 2026年1月15日 (木) 15:27 (UTC)

== Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 ==

Dear Wikimedia communities,

We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year.

''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.''

In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects.

We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community.

📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]]

If you have questions about the project, please refer to the FAQs:  
* [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]]
* [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]]

''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]'''''

''Stay connected and receive updates:''  
* [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel]  
* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list]

We look forward to collaborating with you and your community.


'''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 2026年1月16日 (金) 19:45 (UTC)
&lt;!-- User:ZI Jony@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29879549 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]].

The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]].

Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate.

-- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
&lt;/div&gt;

2026年1月19日 (月) 21:01 (UTC)
&lt;!-- User:Keegan (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29905753 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== 無期限保護について ==

こんばんは。本日からWikibooksの編集を始めました。なまえみていです。

色々なページを見ていて、無期限 &lt;s&gt;保護&lt;/s&gt; &lt;u&gt;半保護&lt;/u&gt; がなされているページが多く感じられます。もちろん、度重なる荒らし、管理者不足など理由はあるのだと思いますが、Wikipediaに慣れている私からすると、厳しすぎる対応だと思います。(Wikipediaでは基本的に無期限は合意形成がないとできない)

ただでさえ、Wikibooksを編集する利用者が少ないのに、積極的に &lt;u&gt;半&lt;/u&gt; 保護していると、新規利用者ができづらいと考えます。
[[日本の大学受験ガイド#入試対策]]にある大学のうち保護されているものの解除を検討していただけないでしょうか？

学生による新規参入はWikibooksの存続に大きく影響すると思います。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月23日 (金) 16:55 (UTC) &lt;small&gt; 意味合いが変わってしまうので取り消し線と下線で訂正しました。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:24 (UTC)&lt;/small&gt;

:はじめまして、[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]])と申します。
:本件、一応説明いたしますと、WPに比べると当プロジェクトは、参加者もさながら管理者も圧倒的に少なく、多少の「いわゆる」民主的運営を犠牲にしてでも厳しい措置を取らざるを得ないという事情があります。また、作成保護に関して、強い保護は「Wikibooksのテーマになる可能性が非常に少ないもの」のみについてかけるようにし、その他は基本半保護のはずです（WPも実質永久半保護の記事は少なくありません）。初回ログイン後、数日平穏な編集が継続される限り、特に支障はないはずです。そのような記事に関しては、なまえみていさんも来週には編集可能となると思いますが、どうしても、すぐに編集したいという記事があるのであれば、[[Wikibooks:管理者伝言板#保護解除依頼]]に指定してご依頼ください。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:04 (UTC)
::(返信) ご丁寧にありがとうございます。
::jawpと同じ基準ならおそらく、数時間で自動承認されるので私は困らないのですが、新規利用者が生まれにくく、利用者不足を加速させてしまうのかなと思った次第です。
::私の方でお手伝いできることがありましたら、ご協力したいと考えています。失礼します。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:20 (UTC)

== Wikimedians of Japan User Group 2026-1 ==

'''全体ニュース'''
* [[:m:Stewards/Elections_2026|スチュワード選挙2026]]及び[[:m:Stewards/Confirm/2026|現在のスチュワードへの信任投票]]への投票が2月6日 14:00 (UTC) から2月27日 14:00 (UTC) まで行われます。
* ウィキマニア2026の[[:wikimania:2026:Program|プログラム募集]]が3月1日まで行われています。
* 来年度のウィキメディア財団の年次計画についての[[:m:Talk:Wikimedia_Foundation_Annual_Plan/2026-2027|意見募集]]が行われています。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 2月1日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_55_(1_February_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* [https://www.ospn.jp オープンソースカンファレンス]のコミュニティサポーターになりました。
* 2月27,28日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-spring/ OSC東京]に参加します。
* [[:m:「Diff」2025年日本語版記事索引|「Diff」2025年日本語版記事索引]]を公開しました。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:マルキアヌス|マルキアヌス]]
**[[:w:ja:高瀬渓谷の噴湯丘と球状石灰石|高瀬渓谷の噴湯丘と球状石灰石]]
**[[:w:ja:帯金式甲冑|帯金式甲冑]]
**[[:w:ja:百済の里|百済の里]]
**[[:w:ja:仙人掌群鶏図|仙人掌群鶏図]]
**[[:w:ja:(54598) ビエノール|(54598) ビエノール]]
**[[:w:ja:平成の大合併|平成の大合併]]
**[[:w:ja:正倉院展|正倉院展]]
**[[:w:ja:駿河竹千筋細工|駿河竹千筋細工]]
**[[:w:ja:横浜中華街の歴史|横浜中華街の歴史]]
**[[:w:ja:毛利輝元の四国・九州出兵|毛利輝元の四国・九州出兵]]
* 今月の1枚
[[File:251123 Shinsenkyo Hakone Japan26s3.jpg|alt=|thumb|200x200px|神奈川県箱根町に所在する[[:w:ja:神仙郷|神仙郷]]|none]]

'''2月のイベント情報'''
* 1/10 [[:w:ja:Wikipedia:オフラインミーティング/ウィキペディア25周年記念エディタソン|ウィキペディア25周年記念エディタソン]]
* 2/7 [https://peatix.com/event/4795657 ウィキペディアタウン神保町 Vol.3]
* 2/7 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|駅まちウィキペディア 動くエディタン編集室 vol.1 京都丹後鉄道あかまつ号]]
* 2/14 [https://www.city.ichinoseki.iwate.jp/library/topics/page.php?p=679 ウィキペディアタウン in 東山]
* 2/15 [https://www.city.toda.saitama.jp/koho-toda/260101/kouza04.html ウィキペディアタウン戸田　つくろう！戸田市の歴史事典]
* 2/15 [https://iselib.city.ise.mie.jp/ise/?id=262 ウィキペディアタウン伊勢Vol.3]
* 2/28 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|丹後古墳ウォーカー 歩いて発見！古代丹後の推し古墳をウィキで紹介！ #1 大宮町東川岸]]

'''[[:wmfblog:|Diff]]'''
タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/09/%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%e3%81%ae%e3%80%8cedit-tango%e3%80%8d%e3%83%96%e3%83%bc%e3%82%b9/ 図書館総合展2025の「edit Tango」ブース] / Asturio Cantabrio (2026/01/09)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/11/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e6%97%a5%e6%9c%ac%e8%aa%9e%e7%89%88%e3%82%b3%e3%83%9f%e3%83%a5%e3%83%8b%e3%83%86%e3%82%a3%e3%81%ae%e6%ad%b4%e5%8f%b2%e3%82%92%e3%82%a6/ ウィキペディア日本語版コミュニティの歴史をウィキペディアに刻む] / Wadakuramon (2026/01/11)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/13/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%82%a8%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%bf%e3%82%bd%e3%83%b3%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%be/ ウィキペディア25周年記念エディタソンに参加しました] / Wadakuramon (2026/01/13)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/21/%e3%82%a2%e3%82%b8%e3%82%a2%e6%9c%88%e9%96%932025-%e3%82%92%e7%b5%82%e3%81%88%e3%81%a6/ アジア月間2025 を終えて] / Lin Xiangru (2026/01/21)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/26/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%83%90%e3%83%bc%e3%82%b9%e3%83%87%e3%83%bc%e3%83%bb%e3%82%b1%e3%83%bc%e3%82%ad%e3%83%bb%e3%82%bd/ ウィキペディア25周年記念バースデー・ケーキ・ソング!] / Wadakuramon (2026/01/26)

'''前回配信：2025年12月31日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2026年1月31日 (土) 12:17 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=29923679 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== ほかの利用者さんとの対話について ==

昨年の12月25日にある利用者さんの会話ページで話題を追加したのですが、その利用者さんは私が投稿する2週間ほど前から今月頭まで活動なさっておらず、活動再開後も現在に至るまで返答をいただけておりません。

気づいていらっしゃらないのか故意に返信なさっていないのかはわからないのですが、このような場合、再度会話ページでお知らせするのが良いのか、それとも他に適切な方法があるのでしょうか？

私自身としてはその話題が記事の品質に大きく関わる内容であり対話を行いたいのですが、過剰に返答を求めて当該の利用者さんや他の方に粘着的な行動だと受け取られてしまうと困りますので、こちらで相談させていただきます。--[[利用者:飛火野|飛火野]] ([[利用者・トーク:飛火野|トーク]]) 2026年2月18日 (水) 14:28 (UTC)

:{{コメント2|コメント}} こんにちは。初めまして。
:この場合、対話拒否としてコメント依頼を提出したりできそうですが([[Wikibooks:コメント依頼/すじにくシチュー|例]])、Wikipediaみたいに制度が整ってなさそうですし、準備が大変です。
:ひとまず、異論なしとして、[[利用者:飛火野|飛火野]]さんが正しいと思う様に編集してみたらいかがでしょうか？
:待っていても、何も始まらないですし……--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月18日 (水) 17:47 (UTC)

::一般記事は、書かれた段階で「誰が書いたか」というものではなくなりますので、適当でないと思える記述は、適当と思うものに書き換えても全く構いません。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年2月19日 (木) 12:37 (UTC)
:::お二人とも、返信ありがとうございます。記事本体には追々手を加えさせていただきます。
:::返信の内容から拝察するに、私の投稿記録をご覧になっていただけたのだと思うのですが、あのような質問になった経緯を時系列順に記しますと、
:::1)当該の編集（[https://ja.wikibooks.org/w/index.php?title=%E6%B0%97%E5%80%99%E5%AD%A6/%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%B0%97%E5%80%99%E5%8C%BA%E5%88%86&amp;oldid=251398 こちら]）を見て生成AIによる生成物を、十分に検証できないのに投稿なさっているのではないかという疑義を抱いた
:::2)他の記事（[https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%BA%96%E6%83%91%E6%98%9F こちら]や[https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%8F%A4%E7%94%9F%E7%89%A9%E5%AD%A6/%E5%A4%A7%E8%A6%8F%E6%A8%A1%E7%B5%B6%E6%BB%85%E3%82%A4%E3%83%99%E3%83%B3%E3%83%88 こちら]など）でも同様の編集をなさっているのが見受けられた
:::3)もし当該の編集が私の考えているような「AIで生成し、さらにその内容の検証（この場合、日本の「気候学」や「古生物学」の記述として妥当なのかの判断）を十分に行えないままで投稿なさっているのであれば、手を止めていただく必要があるのではないかと考えた
:::4)しかし、私の勇み足であっては失礼ですので、まずは編集の意図を確認した
:::というところです。
:::確かに、今思うと誘導尋問的で、必要以上に迂遠な聞き方になってしまっていたとは思うのですが、私としてはまず当該利用者さんの編集の意図をお伺いしたいと思っています。--[[利用者:飛火野|飛火野]] ([[利用者・トーク:飛火野|トーク]]) 2026年2月19日 (木) 14:27 (UTC)

== どうしてwikibooksが必要なのか ==

そのまんま--[[利用者:Guest A1|Guest A1]] ([[利用者・トーク:Guest A1|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 09:28 (UTC)

&lt;del&gt;:はじめまして。tkkn46tkkn46 と申します。&lt;/del&gt;
:wikipediaは、リンク?ハイパーテキスト?ハイパーリンク?　がステキ。(任意へリンク)
:wikibooksは、目次ページがあって、章、節、号、款、目　
:（例:&lt;nowiki&gt;[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン]]&lt;/nowiki&gt;）
:wikibooksは、wikipediaより本のイメージに近い思います。
:wikibooksで、「単語」だけ?だと、wikipediaでイイんじゃないの思います。
:wikipediaは、辞書のイメージです。本に、ならないタイトルだとキツイと思います。
:以下、wikibooksへのいつの日にか私の希望
:①標準機能内で、本なので、目次ページを参考に、ページ間の移動が楽だと助かります。
:　F7（前頁へ）F8（後頁へ）?F6（1つ上へ）F9（1つ下へ）
:　現在は、ページ内のフッターで、自作しています。
:②標準機能内で、books内の索引の自動作成機能。
:もしかしたら、誰かが開発済みカモ。アドバイスいただけると助かります。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 11:53 (UTC)
:wikidiaryがあれば、Guest A1様の投稿はステキかも。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 12:12 (UTC)
::お二人に。
::'''[[Wikibooks:児童・生徒の方々へ]]'''をきちんと読んでいただくことを希望いたします。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 12:37 (UTC)

== 過去ログ化のガイドラインについて ==

[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|このガイドライン]]はすじにくシチューさん一人で作成されてから草案状態が10年経ちました。正式にガイドライン化したいと考えています。

その前に一つ提案をいたします(この議論では実際に変更するわけではありません)。今現在、日本語版wikibooksではサブページ方式ではなく、固定リンク方式を使っていますが、個人的にはサブページ方式を使ったほうがよいと思います。
理由として
# サブページ方式の方が感覚的に実行しやすく、煩わしくない。
# サブページ方式の方がログの保存方法の変更がしやすい。固定リンク方式の場合「今まで1年ごとに過去ログ化していたけど10年ごとに変更したい」となったときに対応が出来ません。
# サプページ方式の欠点として、[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|ガイドライン]]では「他の方法（サブページをつくるなど）と比べて、固定版方式では編集方法をまちがった場合の差し戻しが容易なことが根拠です。」とありますが、むしろサブページ方式の方が2で挙げた場合もそうですが、差し戻し、過去ログページの削除で対応できるため簡単に対応できます。

本当はを作成されたすじにくシチューさんに理由や意図をお聞きしたいのですが、無期限ブロックされており、お聞きすることが出来ません。皆さんに賛成か反対か、反対ならその理由などをお聞きしたいです。

具体的な提案
サブページ方式で[[Wikibooks:過去ログ]]を作成し[[Wikibooks:過去ログ/談話室]]など項目別にサブページを作成する。ログを追加しないと考えられるものに関しては無期限半保護する。
wikipediaでは[[Wikipedia:談話室/過去ログ]]のような形式ですが、wikibooksでは[[Wikibooks:過去ログ]]で過去ログを一括で管理したいと考えています。「理由として」でも挙げたとおり、やり直しが利くのでとりあえず賛成していただいても大丈夫だと思います。

今後の流れ（←これに関しても意見があればお寄せください）
# この議論で1週間程で御意見を募集する、議論で大まかに決める。
# 決定した内容で良いかを投票する（投票権は投票用の議論が開始された時点で自動承認されているユーザーまたはウィキメディアプロジェクトに参加してから3ヶ月経過しているユーザーで考えています。）
# 実際に過去ログ化をして1ヶ月ほど経過したら問題が生じていないかを議論する
# [[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン]]を正式にガイドライン化する議論をする
--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月28日 (土) 12:58 (UTC)
:こんにちは、編集お疲れ様です。
:現在の[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|過去ログ化のガイドライン]]の作成された経緯については、こちらの[[特別:固定リンク/101028#過去ログ作業の公式方針を整備すべき|談話室での議論]]をご参照ください。この議論を経て草案ではありますが、いちおうガイドラインとして現状運用されています。なまえみていさんは、現在のガイドラインとは別方式による過去ログ化のガイドラインをお考えのようですので、まずはご自身の利用者ページ下などになまえみていさん式のガイドライン草案を作成されてみてはいかがでしょうか。現行草案と別方式草案の2案を提示した方が、コミュニティの意見も集まりやすくなるのではないかと思います。また、ここ談話室では議論の呼びかけにとどめ、本格的な議論は[[Wikibooks・トーク:過去ログ化のガイドライン|ガイドライン議論ページ]]でした方がよいかと思います。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2026年3月15日 (日) 23:44 (UTC)

== Wikimedians of Japan User Group 2026-2 ==

'''全体ニュース'''
* ウィキマニア2026の[[:wikimania:2026:Program|プログラム募集]]が3月1日まで行われています。
* [https://diff.wikimedia.org/2026/02/11/announcing-new-policies-related-to-the-use-of-wikimedia-sites-for-advocacy-purposes/ 一部のグローバルポリシー]が変更されました。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 3月7日17時30分(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_56_(7_March_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。
* [[:m:ESEAP_Conference_2026/ja|ESEAPカンファレンス2026]]の登録が開始されました。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 3月1日に[https://peatix.com/event/4847333/view ウィキペディア25周年記念交流会]を開催します。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:山田美妙|山田美妙]]
**[[:w:ja:スペクトル分類|スペクトル分類]]
**[[:w:ja:横手市|横手市]]
**[[:w:ja:上杉憲方|上杉憲方]]
**[[:w:ja:パノルムスの戦い|パノルムスの戦い]]
**[[:w:ja:都市伝説解体センター|都市伝説解体センター]]
**[[:w:ja:市川少女歌舞伎|市川少女歌舞伎]]
**[[:w:ja:うお座|うお座]]
**[[:w:ja:南アフリカ文学|南アフリカ文学]]
* 今月の1枚
[[File:JRH_Senmo-Main-Line_H100-44.jpg|alt=|thumb|200x200px|オホーツク海沿岸部を走行する[[:w:ja:JR北海道H100形気動車|H100形気動車]]|none]]

'''3月のイベント情報'''
* 3/8 [https://www.facebook.com/events/731133399814596/ WikiGap in Kanagawa 2026]
* 3/21 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|ウィキペディアタウンin網野町木津～駅まちウィキペディア「夕日ヶ浦木津温泉駅」～]]

'''[[:wmfblog:|Diff]]'''
タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/01/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%83%89%e3%82%ad%e3%83%a5%e3%83%a1%e3%83%b3%e3%82%bf%e3%83%aa%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%aa%e3%83%bc/ ウィキペディア25周年記念ドキュメンタリーシリーズ] / Wadakuramon (2026/02/01)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/12/lod%e3%83%81%e3%83%a3%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b82025%e3%81%a7%e6%97%a5%e6%9c%ac%e3%81%ae%e3%80%8c%e6%b5%b7%e3%81%ae%e9%a7%85%e3%80%8d%e3%82%92%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%83%87%e3%83%bc/ LODチャレンジ2025で日本の「海の駅」をオープンデータ化 ― 約200件の海のインフラをWikidataに追加] / Ecute (2026/02/12)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/25/%e9%96%89%e6%a0%a1%e3%81%99%e3%82%8b%e5%b0%8f%e5%ad%a6%e6%a0%a1%e3%81%ae%e8%a8%98%e9%8c%b2%e3%82%92%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%81%ab%e6%ae%8b%e3%81%99/ 閉校する小学校の記録をウィキペディアに残す] / VZP10224 (2026/02/25)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/25/eseap%e3%83%8f%e3%83%96%e3%82%92%e6%8e%a8%e9%80%b2%e3%81%99%e3%82%8b%e4%ba%ba%e3%80%85/ ESEAPハブを推進する人々] / FelianiESEAP Hub ; Wadakuramon (2026/02/25)

'''前回配信：2025年1月31日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2026年2月28日 (土) 13:14 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=30083678 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Wikibooks: (ウイキブックス コロン)が現在何種類あるか教えて下さい。 ==

ウイキブックス コロンの全リストのページを教えて下さい。あいうえお順が望ましいです。リンクだけ。

よろしくお願いします。

＞Wikibooks:ウィキブックスへようこそ(参照)

＞新規参加者にとって参考になるページ

＞ページ名に「Wikibooks:」とつくものは、ウィキブックスのプロジェクトそのものに関するページです。その中でも新規参加者にとって役に立つと思われるページをリストしておきます。

11種類以上だと思います。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月13日 (金) 03:54 (UTC)

== ノートページの呼び方は、全部で何通りあるか教えて下さい。 ==

①ノートの呼び方の種類の数です。違いです。

②「ノート」は　ノートページの意味ですか。

③「議論」は 議論ページと呼びませんか。

よろしくお願いします。

＞Help:ノートページ(wikipedia参照)

＞^ ノートページはトークページ(talk page)とも呼ばれるが、日本語版の「会話ページ」は、名前空間名がそう翻訳されている「利用者についての」トークページのみを指すことがしばしばある。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月13日 (金) 03:56 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Upcoming deployment of CampaignEvents extension to Wikibooks&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;
Hello everyone,

We are writing to inform you that the [[mw:Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] will be deployed to all Wikibooks projects during the week of '''23 March 2026'''.
This follows last year’s broader rollout across Wikimedia projects. We realized that Wikibooks was not included at the time, and we’re now addressing that to ensure consistency across all communities.

The CampaignEvents extension provides tools to support event and campaign organization on-wiki, including features like on-wiki event registration and collaboration lists(global event list).

We welcome any questions, feedback, or concerns you may have. We are also happy to support anyone interested in trying out the tools. 
''Apologies if this message is not in your preferred language. If you’re able to help translate it for your community, please feel free to do so.''
&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:Udehb-WMF|Udehb-WMF]] ([[User talk:Udehb-WMF|トーク]]) 2026年3月19日 (木) 18:22 (UTC)&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- User:Udehb-WMF@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Udehb-WMF/sandbox/MM_target&amp;oldid=30284073 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Bot Flag Request for [[{{ns:User}}:SchlurcherBot]] ==

Appologies for posting in English. Also, I could not locate a dedicated page for bot request in {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}}, so I am posting here. Please direct me to the correct page if one exists. Thank you.

* '''Bot name''': [[{{ns:User}}:SchlurcherBot]]
* '''Bot operator''': [[commons:User:Schlurcher]]
* '''Bot task''': Automatically convert links from &lt;code&gt;http://&lt;/code&gt; to &lt;code&gt;https://&lt;/code&gt; (secure protocol migration)
* '''Technical details''': Please see [[metawiki:User:SchlurcherBot|meta:User:SchlurcherBot]] for full details, including the expected number of affected URLs on {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}}.
* '''Bot flags on other projects:''': [[metawiki:Steward_requests/Bot_status/2025-12#Global_bot_status_for_User:SchlurcherBot|Global bot status granted]]. Also flagged on [[:w:en:Wikipedia:Bots/Requests for approval/SchlurcherBot|English Wikipedia]], [[:w:de:Wikipedia:Bots/Anträge_auf_Botflag/Archiv/2025#2025-02-14_–_SchlurcherBot|German Wikipedia]], [[:w:fr:Wikipédia:Bot/Statut/Archive_12#(Traité)_SchlurcherBot|French Wikipedia]], [[:w:it:Wikipedia:Bot/Autorizzazioni/Archivio/2025#SchlurcherBot|Italian Wikipedia]], [[:w:pl:Wikipedia:Boty/Zgłoszenia/2025#Wikipedysta:SchlurcherBot|Polish Wikipedia]], [[:w:pt:Wikipédia:Robôs/Pedidos_de_aprovação/Arquivo/2025#SchlurcherBot|Portuguese Wikipedia]], and [[commons:Commons:Bots/Requests/SchlurcherBot2|Commons]]. For a full list, see: [[metawiki:Special:CentralAuth/SchlurcherBot|sulutil:SchlurcherBot]]
* '''Comment''': The bot is globally approved and active on the top 10 Wikipedia projects. As this wiki has opted out of the global bot policy, I am requesting permission to perform these link updates on {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}} as well. Please let me know if a local bot flag can be granted or if you have any questions. Thank you. --[[利用者:Schlurcher|Schlurcher]] ([[利用者・トーク:Schlurcher|トーク]]) 2026年3月26日 (木) 22:21 (UTC)
::{{RFB|対処}} I have done your request.--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年3月26日 (木) 23:13 (UTC)
:::Thanks. --[[利用者:Schlurcher|Schlurcher]] ([[利用者・トーク:Schlurcher|トーク]]) 2026年3月27日 (金) 08:39 (UTC)

== Wikimedians of Japan User Group 2026-3 ==

'''全体ニュース'''
* ウィキメディア財団理事会はすべての言語版のウィキニュースを閉鎖することを承認しました。ウィキニュースは5月4日から読み取り専用になります。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 4月4日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_57_(4_April_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。
* [[:m:ESEAP_Conference_2026/ja|ESEAPカンファレンス2026]]の登録が開始されました。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 4月18日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-kagawa/ OSC香川]に参加します。 

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 4月17日まで[[:w:ja: Wikipedia:日本・韓国_友好編集月間|日本・韓国 友好編集月間]]が行われています。
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:普通自転車の交差点進入禁止|普通自転車の交差点進入禁止]]
**[[:w:ja:京都市の観光|京都市の観光]]
**[[:w:ja:克美茂愛人殺害事件|克美茂愛人殺害事件]]
**[[:w:ja:アフガニスタンの歴史|アフガニスタンの歴史]]
**[[:w:ja:養老山地|養老山地]]
**[[:w:ja:唐津藩|唐津藩]]
**[[:w:ja:京都の歴史|京都の歴史]]
**[[:w:ja:ムウタスィム|ムウタスィム]]
**[[:w:ja:トゥーランガリラ交響曲|トゥーランガリラ交響曲]]
**[[:w:ja:ガリレオ裁判|ガリレオ裁判]]
**[[:w:ja:優しい世界へ|優しい世界へ]]
**[[:w:ja:金属有機構造体|金属有機構造体]]
**[[:w:ja:聖なるタラ|聖なるタラ]]
**[[:w:ja:ギターを弾く女|ギターを弾く女]]
**[[:w:ja:八方尾根のケルン|八方尾根のケルン]]
**[[:w:ja:ひばり号|ひばり号]]
**[[:w:ja:マリモ|マリモ]]
**[[:w:ja:スイスの歴史|スイスの歴史]]
* 今月の1枚
[[File:260110_Kosei-ji_Kyoto_Japan12s3.jpg|alt=|thumb|200x200px|京都市に位置する[[:w:ja:光清寺_(京都市)|光清寺]]の心字庭「心和の庭」 |none]]

'''4月のオフラインイベント情報'''
* 4/19 [https://www.facebook.com/events/1437162964770290 Wikipediaブンガク 吉屋信子 ]

'''前回配信：2025年2月28日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2026年3月31日 (火) 11:00 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=30083678 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) ==

Hello everyone,

This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as &lt;code&gt;Module:Itemgroup/list&lt;/code&gt;).

'''The Change:'''&lt;br /&gt;
Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. 

We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''.

'''What You Need To Do:'''&lt;br /&gt;
To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search.

'''Deadline:'''&lt;br /&gt;
We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles.

Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[利用者:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[利用者・トーク:MediaWiki message delivery|トーク]]) 2026年4月3日 (金) 17:11 (UTC)
&lt;!-- User:ZI Jony@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29941252 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== 「Lintエラーが生じる件について」 の対応について教えて下さい。 ==

＞...このLintエラーは「優先度 高」になっていて、...

私は、機械的?な話である事を理解しました。(別件コメント:私的?には、ガイドラインの「本ガイドラインの有効性（そもそも論）」の方が「優先度 もっと高?」のような気がしました。別件コメント無視して下さい。)

＞...修正する必要があると考えます。... ＞...対応はおろか、...＞...実害がないので...

○○法第1章 :　の各行バックスラッシュ 1個を削除するだけではないカモ。

①idが、目次ページの他に、条文ページ(判例を含む)もありました。

②アンカー?第○章、第○条の漢字文字タイトル改正関係なしに、数字の便利さ使用もありカモ
 でした。←←←
③新規の目次ページ編集者は大変だろうな。感覚でした。

④[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン/目次ページ]]

　[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン/条文ページ]]

　の2種類はどうなりますか。

&lt;nowiki&gt;==&lt;span id=&quot;1&quot;/&gt;第1章 総則 (第1条～第5条)==&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;:&lt;/nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;[[○○法第1条|第1条]]&lt;/nowiki&gt;(目的)==

...

⑤間違っている事をガイドラインに載せるのは、望ましくない。

フッターに影響するのは困る。

普通に他と同様に?ガイドラインのダブルスタンダードそのままで、←←←トリプル可???

閲覧操作に違いがなければイイナです。私の理解です。

⑥リンター?の操作は、何がいいですか。wikibooksの標準機能にありますか。手作業?見てからです。

⑦wikipedia他はどのようにしていますか。放ったらかし?

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:LintErrors/self-closed-tag

自己終了タグ (561 件のエラー)

＞...より質の高い教科書作りに...(ガイドライン議論より)

＞...「提案に従う義務はありません。」と記載していながら、...(〃)

＞...返信もありません（編集活動は続けられています）...(〃)

＞...彼(私?)の問いかけは論理的なものではないと考えます。...(利用者・トーク:Tomzo#お願いより)

と言われませんように。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月6日 (月) 13:46 (UTC)

== Lint エラーの自己終了タグ (3,295 件のエラー)以外。他のエラー多数について、皆さんは、どのように考えておられますか。 ==

[[Wikibooks・トーク:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン#Lintエラーが生じる件について]]　の続き。

談話室にしました。下に続けるのも?です。

①他のエラー多数の扱い。

②リンターは、自動的に編集してくれますか。抽出だけですか。

③リンターに、自作定義オプションを追加できますか。それを編集してくれるとうれしい。

④おすすめのリンターを教えて下さい。AIでもいけそうな気もしました。エラー全部のLLM?

＞...彼の問いかけは論理的なものではないと考えます。...(利用者・トーク:Tomzo#お願いより)

と言われませんように。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月6日 (月) 13:49 (UTC)

:{{コメント2|コメント}} 私たちの議論をご覧になっての質問ということで、ご回答致します。
:# 他のエラーも同様に修正するのが理想です。ただ、我々の能力的な問題があったり、量があったりでそのままにされているだけです。
:# 質問の意図が汲めなかったのですが、問題の箇所を修正すれば自動的にLintエラーのページからは表示されなくなります。
:# おそらく、我々は大元の設定はいじれないかと思います。
:# おすすめのLintエラーの意味がわかりません。ウィキペディアではBotが良く使われますが、同じエラーでもケースバイケースなのでLintエラーに対してはあまり使われていない印象です。結局、現時点では人間の判断が必要です。
:質問に対する答えになってるでしょうか？--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 04:33 (UTC)

==  アイコン?テンプレート?を探しています。英語でも。このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまでマッテ。 ==

他、例えば、

・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまで余計な事言うな。

・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまでコメントするな。

・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。△△△日まで余計な事言うな。過ぎればOK。

・このページ「○○○」は、コメントされても、返信しません。

(参考例)　以下は、ただちにコメントOKの例。

[[トランプ#関連項目]]を転写。

このページ「○○○○」は、まだ書きかけです。加筆・訂正など、協力いただける皆様の編集を心からお待ちしております。また、ご意見などがありましたら、お気軽にトークページへどうぞ。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月11日 (土) 12:59 (UTC)

==  スタイルマニュアル の ナビゲーションをつける について4点教えて下さい。 ==

[[Wikibooks:スタイルマニュアル#ナビゲーションをつける]]

①＞このうち、1（テンプレート:Pathnav）を使用して下さい。

上記があるので、2、3を&lt;nowiki&gt;&lt;del&gt;&lt;/del&gt;&lt;/nowiki&gt;にして下さい。

②＞&lt;nowiki&gt;{{[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]|メインページ|親項目|子項目}}&lt;/nowiki&gt;

　＞最上位ページは「メインページ」にすること（英語の使用の回避）

メインページ　が必要ですか。1行目のアイコンと同じに見えます。

③できれば、pathnav行を　削除したい。表示の重複。

例

[[トランプ]] &lt;nowiki&gt;{{Pathnav|メインページ|ゲーム|frame=1}}&lt;/nowiki&gt;

[[数学]]　&lt;nowiki&gt;{{Pathnav|メインページ|frame=1|small=1}}&lt;/nowiki&gt;

ゲームの場合、ゲームはイラナイのか。ナントカナルです。

④法文は、次行をどうして使わなかったのですか。フッタを使っているのですか。

&lt;nowiki&gt;top:[[本のタイトル]] / previous:[[前のページ]] - up:[[章タイトル]] - next:[[次のページ]]&lt;/nowiki&gt;--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月14日 (火) 13:30 (UTC)

== カテゴリー内。最新記事の日付を表示できますか。自動更新。ついでに、全記事の最終更新日もです。 ==

記事内に自動更新 日付の事例を探しています。

①(現在)トランプ記事の総数は、...以下の 76 ページを表示しています。

[[カテゴリ:トランプ#カテゴリ: “トランプ”]]

②次行、わかりやすいです。(ちょっと年表示が気になったけど、年表示しないのがステキ。曜日も。新型手動)

[[利用者:AkiR27User#※作成・編集ページ]]※4/15時点

前行、wikibooksが自動的に、表示してほしい。

4/15(水)時点のトランプ記事の総数は、...以下の 76 ページを表示しています。(カテゴリー内)

↑↑↑

??? wikibooksの言い分。そのくらい、人間が投稿履歴を見て、判断できるだろ。情報は提供している。手動。

??? カテゴリー内でマジックワードが使えますか。

(参考) [[w:Help:マジックワード]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月15日 (水) 03:15 (UTC)</text>
      <sha1>msj47cjivin5k54kl5y67q6r4gs45z9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>298425</id>
      <parentid>298423</parentid>
      <timestamp>2026-04-16T04:39:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>なまえみてい</username>
        <id>90434</id>
      </contributor>
      <comment>/* Wikibooks: (ウイキブックス コロン)が現在何種類あるか教えて下さい。 */ 返信</comment>
      <origin>298425</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="86572" sha1="bfqp8m85d7cntbxpwkqjr9tw1dle802" xml:space="preserve">{{談話室}}
ある程度時間のたった議論は[[/過去ログ]]に移動されます。最新の過去ログは [[特別:固定リンク/291757|2026年01月24日 (土) 01:14(UTC)の版]]です（確認日: 2026年1月26日）。過去ログ化の方法については[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン]]を参照ください。

{{/告知}}

== WikipediaからWikibooksへのテンプレートの移入とTranswiki名前空間 ==

Wikipediaで使用されているテンプレートの多くがWikibooks上では導入されておらず、いつものWikipediaの記法でWikibooksを執筆しようとするとテンプレート不在のエラーが多発します。そこでWikipediaからテンプレートを移入 (移植) したいのですが、3点教えて頂きたいことがございます。
# (移入かゼロから自力作成するかは問わず) Wikibooks上でのテンプレートの新規作成は、事前に合意形成などが必要なのでしょうか？それとも好き勝手作っていいものなのでしょうか？
# 仮に移入してくる時には、他言語版からの翻訳時と同様の履歴継承方法 (Oldid指定で継承元を示す、あるいはテンプレート名+日時明記する) で問題ないでしょうか？
# 「[[Wikibooks:蔵書一覧/テンプレート一覧#Transwiki名前空間]]」によると、テンプレートを置く名前空間はWikibooksテンプレート空間の場合と、Transwiki名前空間と2種類あるように読めるのですが、このTranswiki名前空間にあるテンプレート群は何なのでしょうか？

質問の背景をお伝えしておくと、私の活動している法学の分野では伝統的に法律の概説はWikipediaに執筆し、逐条解説 (1つ1つの条文の細かい解釈や具体例などの提示) はWikibooksに譲るという棲み分けを行ってきたようです。現在私がWikipedia上で加筆している記事の記述が逐条解説まで踏み込んで肥大化してしまったので、一部はWikibooks側に書いた方が良さそうだ、と判断しました。ご存じのとおりWikipediaでは「[[w:Wikipedia:検証可能性|Wikipedia:検証可能性]]」が重視されていて、そのノリで信頼性の高い出典をガチガチに揃えて逐条解説の下書きをしていたのですが、いざ下書きをWikibooksのサンドボックスに投稿したところ ([[Special:Permalink/264757|編集差分]])、出典・脚注系のテンプレートがことごとく存在せずにエラーが出ています。

また、Transwiki名前空間にあるらしい「仮リンク」のテンプレートは、Wikipediaでも多用していたのでWikibooksでも使用したいのですが、Transwiki上にある「仮リンク」はWikibooksで &lt;nowiki&gt;{{{{仮リンク|あいうえお|en|ABC}}}}&lt;/nowiki&gt; と記述してそのまま使えるのか、いまいちよく分かりません。[[特別:リンク元/Transwiki:仮リンク]] を見ても、現時点でWikibooksの標準名前空間で使用しているケースはゼロのようです。

Wikipediaと比較してWikibooksの活動が過疎ぎみなのは承知しておりまして、ここで愚痴を言いたいわけではなく、何とか使える形にしたいという前向きな質問の意図だと汲んで頂ければ幸いです。--[[利用者:ProfessorPine|ProfessorPine]] ([[利用者・トーク:ProfessorPine|トーク]]) 2024年12月7日 (土) 03:15 (UTC)

:一年以上、議論が止まっていますが、重要な問題なので検討を継続したいと思います。
:個人的には、翻訳などと同様移植元の履歴が継承されていれば問題はなかろうと考えています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月26日 (月) 00:10 (UTC)
::{{コメント2|横から失礼}} 私は管理者などをやったことがないのでわからないのですが、Wiki間インポートを実施するのはいかがですか？
::その後に、Wikibooksに合う形に微調整した方が楽に感じます。
::おそらくですが、[[WB:IP]]を見る感じ、コピーアンドペーストは推奨されてない方法に思います。
::私が、管理者権限を持っていたら、協力したいのですが、[[利用者:Tomzo|Tomzo]]さんなどの管理者の協力が必須に感じます…--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月4日 (水) 10:40 (UTC)

== 「デスクトップLinux入門」を作りたい ==

サーバーではなくデスクトップ向けの，GNU/Linuxディストリビューションのインストール・利用方法を解説した文書をつくりたいと思っています。構想は[[利用者:KASAI_Toushi/デスクトップLinux入門]]にあります。
これにあたって，二つほど質問があります。
* この構想は，Wikibooksでは受け入れられますか？
* タイトルは「デスクトップLinux入門」で問題ないでしょうか？
[[利用者:KASAI Toushi|KASAI Toushi]] ([[利用者・トーク:KASAI Toushi|トーク]]) 2025年2月28日 (金) 03:55 (UTC)
:内容に関してコメントはしかねますが（後述）、原則として受け入れには何ら問題はないと思います。むしろ歓迎です。
:[[情報技術]]にリンク元を作成して、後はツリー構造で作成することをお勧めします。
:「サーバーではなくデスクトップ向けの」という教科書を既存のLinux関係の教科書から分割して作成するのが適当かは不明ですので、それは知見者の方の間で相談いただければと思います。ただ、統合することのメリットが希薄なようであれば、作成することが、wikibooksにはメリットとは考えます。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年2月28日 (金) 07:06 (UTC)

ご返信ありがとうございます。分割すべきかどうかはまだ分からないので、利用者ページに下書きを書いておきます。
[[利用者:KASAI Toushi|KASAI Toushi]] ([[利用者・トーク:KASAI Toushi|トーク]])

== 編集合戦の件 ==

@[[利用者:Tomzo|Tomzo]]様

~2025-47348氏とHousehome100氏の編集合戦について、どの版まで差し戻しになりますか？（4月中旬から彼らが編集に関わり始めましたが、彼らが関わる前の版にまで遡るのか、編集合戦が発生した（と判断できる）編集の直前の版になるのか）。もし彼らが関わる前の版に戻すとなると、（~2025-47348氏が行った）すじ肉氏が嘗て書いた問題のある版の修正が取り消されることになるので、それの再修正に多くの労力を割くことになりそうです。--[[特別:投稿記録/&amp;#126;2025-49873|&amp;#126;2025-49873]] ([[利用者・トーク:&amp;#126;2025-49873|会話]]) 2025年5月2日 (金) 08:07 (UTC)

:本来、ブロック中の編集者が別アカウントで作成した記事は、ブロックの意味をなくすため新規ページは削除、加筆等の編集は削除の上、不可視化とすべきところですが、今回はあまりにも量が多いため、個別の要望を待って対処したいと思います。もし、ページ削除・不可視化等が必要でしたら、最新版を適当なものにするなどご対応の上、削除等の依頼をお願いします。過去履歴の不可視化まで必要ないとお考えであれば、適当と考えられる最新版作成（過去の版へのリバートも可）で十分足りるとは考えています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年5月2日 (金) 08:24 (UTC)

== 移動依頼 ==

[[旧課程(-2012年度)高等学校数学A/集合と論理]]を[[高等学校数学I/集合と論理]]へ移動お願いします。
*理由:「集合と命題」の内容は2013年度以降『数学I』の範囲になっている。
--[[特別:投稿記録/&amp;#126;2025-57596|&amp;#126;2025-57596]] ([[利用者・トーク:&amp;#126;2025-57596|会話]]) 2025年5月24日 (土) 02:25 (UTC)

:対応に関して 「[[トーク:高等学校数学#「学習指導要領」改正に伴う課程の変動について]]」を作成しましたので、ご確認ください。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年5月28日 (水) 06:56 (UTC)

== 検索した時に予測候補（サジェスト）が出ないようにできませんか？ ==

以前は無かったはずです。人によっては不快に感じると思います。--[[特別:投稿記録/&amp;#126;2025-67762|&amp;#126;2025-67762]] ([[利用者・トーク:&amp;#126;2025-67762|会話]]) 2025年6月14日 (土) 14:13 (UTC)

:それは難しいと思います。--[[利用者:KINGDOM OF ITALY|KINGDOM OF ITALY]] ([[利用者・トーク:KINGDOM OF ITALY|トーク]]) 2025年7月31日 (木) 08:24 (UTC)

== 管理者の再信任のための「定期的な投票」実施について ==

皆さん、こんにちは。このたび、[[Wikibooks:管理者の辞任#管理者の再信任投票]]に基づく2025年9月末で任期末を迎える現管理者3名の再信任のための「定期的な投票」を実施したく存じます。方針によれば、「各管理者に対し原則として毎年」行われるべき再信任投票ですが、ここ5年間行われておらず（前回は[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票/202009|2020年9月]]）、現管理者の方3名の無投票での留任が続いております。そこで当コミュニティの事前告知期間も踏まえ2週間後の2025年9月1日（予定）に投票ページとして「[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票 202509]]」を作成いたします。そこから2週間（336時間）の投票期間を設けたいと存じます。なお、管理者の一人である {{admin|かげろん}} さんは、この再信任投票開始の時点までに活動がない場合には方針に基づき自動退任となります。以上につきまして何かコメントなどございましたらお寄せください。それでは何卒よろしくお願いいたします。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2025年8月18日 (月) 04:27 (UTC)

:{{コメント2|報告}} 事前告知のとおり、[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票 202509|管理者の再信任投票ページ]]を作成いたしましたので、ご報告いたします。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2025年9月1日 (月) 04:16 (UTC)

== 根気が足りない…… ==

現在[[沖縄語]]を執筆しているのですが、全て書き終わる前に根気が尽きてしまいそうです。
[[沖縄語]]を執筆したとて、正直誰の役に立つのか分かりませんし、需要があるのかもよく分かりませんし、そもそもwikibooksの知名度からして執筆しても自分以外見ないのではないかとさえ思うと書く意味はなんなのかなと思います。
今、完成している語学のページは、私が知る限り[[ペルシア語]]だけです。沖縄語も完成させたいという気持ちはありますが、書くべき章を整理したところあまりにも膨大で……。
章は「初級」「中級」「上級」に分けました。根気が続かなかったら途中で私は失踪すると思いますが、同時に、沖縄語は現在消滅の危機にあり、私が失踪したら誰も続きを書いてくれないだろうな……と思います。
じゃあ書かないと！とは思うのですが、なんかやる気が足りないです。
長々と申し訳ありませんでした。もしこれを読んでくださる方がおりましたら、なにかコメントをくださると嬉しいです。また、ウチナーグチのわかる方がいらっしゃいましたら、[[沖縄語]]に軽く目を通して変なところはないか見てくださると助かります。--[[利用者:さきじょーぐー|さきじょーぐー]] ([[利用者・トーク:さきじょーぐー|トーク]]) 2025年9月18日 (木) 09:28 (UTC)

:お疲れ様です。
:当方も哲学・倫理学・歴史を中心にいろいろ書いているのですが、2年前の事案でウィキブレイク状態で、ほとんど大したものは書いていません。さきじょーぐーさんが沖縄語のページを充実させていらっしゃること、敬服しております。
:確かにここは知名度も低いのですが、ウィキペディアほどにはおかしな人物が来ないですし、自由にできると思ってはいかがでしょうか。
:なお、沖縄語は全くわからないのでそちらの方には力になれません……。申し訳ないです。--[[利用者:椎楽|椎楽]] ([[利用者・トーク:椎楽|トーク]]) 2025年9月21日 (日) 11:20 (UTC)
::ありがとうございます。まだwikiに参加したばかりなので出会ったことはありませんが、おかしな方があまり来ないというのは、沖縄という政治的に揉めやすいものを扱っているのもありとても嬉しいです。頑張って執筆します。--[[利用者:さきじょーぐー|さきじょーぐー]] ([[利用者・トーク:さきじょーぐー|トーク]]) 2025年9月24日 (水) 05:13 (UTC)

== 申し訳ありませんがご協力ください。 ==

===ご挨拶===
まずは、皆様にご挨拶させていただきます。アンサイクロペディアから参りました、「たけのこの土」と申します。まだまだ頭の硬い方には慣れていませんが、どうぞよろしくお願いします。

===お願いしたい点===
この度、Wikipediaでも活動したいと思い、アカウント作成をしようとしたところ、まさかの自分が使用しているIPアドレスが広域ブロックを受けているということで、アカウントを作成することができませんでした。Wikipediaとアカウントが共通しているということでこちらなら出来るかもしれないとアカウント作成したところ、作成できたので…。

ということで、お手数ではございますが、IPの広域ブロック解除に詳しい方がいらっしゃいましたら、解除していただけるとありがたく存じます。--[[利用者:たけのこの土|たけのこの土]] ([[利用者・トーク:たけのこの土|トーク]]) 2025年10月9日 (木) 03:08 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Help us decide the name of the new Abstract Wikipedia project&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;function1&quot;/&gt;
{{int:Hello}}. Please help pick a name for the new Abstract Wikipedia wiki project. This project will be a wiki that will enable users to combine functions from [[:f:|Wikifunctions]] and data from Wikidata in order to generate natural language sentences in any supported languages. These sentences can then be used by any Wikipedia (or elsewhere).

There will be two rounds of voting, each followed by legal review of candidates, with votes beginning on 20 October and 17 November 2025. Our goal is to have a final project name selected on mid-December 2025. If you would like to participate, then '''[[m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia/Abstract Wikipedia naming contest|please learn more and vote now]]''' at meta-wiki.
{{Int:Feedback-thanks-title}}
&lt;section end=&quot;function1&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 2025年10月20日 (月) 11:42 (UTC)
&lt;!-- User:Sannita (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29432175 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== 運動のいくつかの委員会で新任のボランティア委員を募集中 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
例年10月から12月の期間に、ウィキメディア運動の委員会の一部では新任のボランティア委員を募集します。 

それぞれの委員会の詳細は、個別のページがメタウィキにありますのでご参照ください。
* [[m:Special:MyLanguage/Affiliations Committeee|提携団体委員会]]（略称AffCom、Affiliations Committee）
* [[m:Special:MyLanguage/Ombuds commission|オンブズ委員会]]（頭字語OC＝Ombuds commission）
* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Legal/Community Resilience and Sustainability/Trust and Safety/Case Review Committee|事案評価委員会]]（頭字語CRC＝Case Review Committee）

これら委員会への立候補申請は2025年10月30日から受け付けます。立候補の受付〆切は、提携団体委員会が2025年12月11日、オンブズ委員会と事案評価委員会は2025年12月11日です。立候補申請の手順は[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Legal/Committee appointments|Meta-wiki（メタウィキ）にある任命ページ]]をご一読願います。ご質問はその議論ページに投稿するか、メールの場合は cst[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org 宛にお送りください。

委員会支援チームの一同より
&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

-[[m:User:MKaur (WMF)| MKaur (WMF)]] 2025年10月30日 (木) 14:12 (UTC)
&lt;!-- User:MKaur (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29517125 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Wikimedians of Japan User Group 2025-10 ==

'''全体ニュース'''
* 1月から6月までの[https://wikimediafoundation.org/who-we-are/transparency/2025-1/ 透明性レポート](英語)が公表されました。
* 提携団体委員会、オンブズ委員会、事案審査委員会への[[:m:Wikimedia_Foundation/Legal/Committee_appointments/ja|応募]]受付が開始されました。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 11月9日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_53_(9_November_2025)|オンラインミーティング]]が行われます。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 11月7日、8日に開催される[https://www.k-of.jp/2025/ 関西オープンフォーラム]に参加します。
* 11月22日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2025-fukuoka/ OSC福岡]に参加します。また、翌23日には[https://techplay.jp/event/987206 オープンデータを作ろう！ with ウィキメディアもくもく会 in 北九州]を[https://www.osmf.jp OSMFJ]と共催します。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* [[:w:ja:Wikipedia:ウィキペディア・アジア月間|アジア月間]]が行われます。

* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:魚梁船|魚梁船]]
**[[:w:ja:生得性仮説|生得性仮説]]
**[[:w:ja:炎舞|炎舞]]
**[[:w:ja:エリダヌス座|エリダヌス座]]
**[[:w:ja:中堀由希子|中堀由希子]]
**[[:w:ja:いて座|いて座]]
**[[:w:ja:スティーブン (イングランド王)|スティーブン (イングランド王)]]
**[[:w:ja:君と宇宙を歩くために|君と宇宙を歩くために]]
**[[:w:ja:久隔帖|久隔帖]]

* 今月の1枚
[[File:Lunar eclipse of 2025 September 7 (Montage s3).jpg|alt=|left|thumb|200x200px|​2025年9月7日の皆既[[:w:ja:月食|月食]]の時系列画像]]

'''[[:f:|ウィキファンクションズ]]'''[[File:Wikifunctions-logo.svg|20px|link=:f:]]
*
* 抽象ウィキペディア(Abstract Wikipedia)の[[:m:Abstract_Wikipedia/Abstract_Wikipedia_naming_contest|正式名称]]の第1回投票は11月3日までです。

'''11月のイベント情報'''
* 11/1 [https://tobemori-seeds.com/archives/2999 とべもりウィキペディアタウン]
* 11/8 [https://mykoho.jp/article/012084/9874593/9964880 ウィキペディアタウン in 北見ワークショップ]
* 11/8 [https://www.lib.city-hokuto.ed.jp/akeno/event-info/316/ ウィキペディアタウン＠北杜in明野]
* 11/9 [https://www2.city.tahara.aichi.jp/section/library/info/2511wikiatumi.html ウィキペディアタウンin渥美]
* 11/9 [https://www.city.higashikurume.lg.jp/library/1024999/1027652.html ウィキペディアタウンin東久留米 ～武蔵野鉄道引き込み線～]
* 11/15 [https://www.town.nakai.kanagawa.jp/soshiki/chiikibosaikachiikijohohan/citypromo/3716.html ウィキペディアタウンin里都]
* 11/23 [https://facebook.com/events/s/wikipedia%E3%83%95%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%82%AF14%E5%9D%82%E5%8F%A3%E5%AE%89%E5%90%BE/1534587237725121/ Wikipediaブンガク 坂口安吾]
* 11/29 [https://www.city.yokkaichi.lg.jp/www/contents/1724135632047/index.html みんなで「あさけ」界隈を歩いてウィキペディアと世界地図に足跡を残そう！]
* 11/30 [https://www.city.inazawa.aichi.jp/museum/0000005195.html ウィキペディアタウン稲沢]

'''前回配信：2025年9月30日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2025年10月31日 (金) 09:53 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=29400209 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Reminder: Help us decide the name of the new Abstract Wikipedia project&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;function2&quot;/&gt;
{{int:Hello}}. Reminder: Please help to choose name for the new Abstract Wikipedia wiki project. The finalist vote starts today. The finalists for the name are: &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;Abstract Wikipedia, Multilingual Wikipedia, Wikiabstracts, Wikigenerator, Proto-Wiki&lt;/span&gt;. If you would like to participate, then '''[[m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia/Abstract Wikipedia naming contest|please learn more and vote now]]''' at meta-wiki.
{{Int:Feedback-thanks-title}}
&lt;section end=&quot;function2&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 2025年11月20日 (木) 14:21 (UTC)
&lt;!-- User:Sannita (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29583860 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Wikimedians of Japan User Group 2025-11 ==

'''全体ニュース'''
* ウィキメディア財団の[[:foundation:File:Wikimedia_Foundation_FY_24-25_Audit_Report.pdf|監査報告]](英語)が公表されました。
* 提携団体委員会、オンブズ委員会、事案審査委員会への[[:m:Wikimedia_Foundation/Legal/Committee_appointments/ja|応募]]は12月11日までです。
* ウィキマニア2027はチリのサンディエゴで開催されることが決定しました。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 12月6日17時半(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_54_(6_December_2025)|オンラインミーティング]]が行われます。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 12月6日に大阪大学中之島センターにて、[[:m:Wikimedians of Japan User Group/events/West-Japan Wikimedia Conference 2025|West-Japan Wikimedia Conference 2025]]を開催します。
* 翌7日には[https://opendata-mokumoku2025.peatix.com/view もくもく会]を開催します。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:根岸町 (仙台市)|根岸町 (仙台市)]]
**[[:w:ja:遮光器土偶|遮光器土偶]]
**[[:w:ja:尾去沢銅山事件|尾去沢銅山事件]]
**[[:w:ja:雄勝地区|雄勝地区]]
**[[:w:ja:ギャラクシー・ズー|ギャラクシー・ズー]]
**[[:w:ja:ジ・アート・オブ・チャーリー・チャン・ホックチャイ|ジ・アート・オブ・チャーリー・チャン・ホックチャイ]]
**[[:w:ja:第一次ポエニ戦争の講和条約|第一次ポエニ戦争の講和条約]]
**[[:w:ja:道鏡|道鏡]]
**[[:w:ja:八方池|八方池]]
**[[:w:ja:マケドニア名称論争|マケドニア名称論争]]
**[[:w:ja:連室細管|連室細管]]
**[[:w:ja:オヴィリ|オヴィリ]]
**[[:w:ja:原阿佐緒|原阿佐緒]]
**[[:w:ja:宇佐八幡宮神託事件|宇佐八幡宮神託事件]]
**[[:w:ja:薬師岳の圏谷群|薬師岳の圏谷群]]
**[[:w:ja:うしかい座|うしかい座]]
**[[:w:ja:上海郵便局|上海郵便局]]
**[[:w:ja:日本大辞書|日本大辞書]]
**[[:w:ja:細川ガラシャ|細川ガラシャ]]
* 今月の1枚
[[File:Irozaki 20210131-2.jpg|alt=|thumb|200x200px|静岡県南伊豆町にある[[:w:ja:石廊崎|石廊崎]]の先端の画像|none]]

'''[[:wmfblog:|Diff]]'''
Diffはウィキメディアに関するブログプラットフォームです。今月から毎月Diffの掲載された記事を紹介します。タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。

* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/01/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%bf%e3%82%a6%e3%83%b3in%e5%b2%a9%e6%9d%91%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%99%e3%82%8b/ 「ウィキペディアタウンin岩村」に参加する] / Asturio Cantabrio	 (2025/11/01)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/02/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a%e3%82%a6%e3%82%a3/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：ウィキマニア・ナイロビ参加報告] / Wadakuramon (	2025/11/02)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/02/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%81%ab%e3%82%83%e3%82%a6%e3%83%b3-vol-8%e2%91%a1-%e6%96%87%e5%8c%96%e8%b2%a1xwikipedia%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82/ 「ウィキペディアにゃウン vol.8② 文化財×Wikipedia」に参加する] / Asturio Cantabrio (2025/11/02)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/03/wikipedia%e8%a8%98%e4%ba%8b%e3%80%8c%e6%b8%af%e5%8d%97%e5%8f%b0%e3%82%b7%e3%83%8d%e3%82%b5%e3%83%ad%e3%83%b3%e3%80%8d%e3%82%92%e4%bd%9c%e6%88%90%e3%81%99%e3%82%8b/ Wikipedia記事「港南台シネサロン」を作成する] / Asturio Cantabrio (2025/11/03)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/03/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%82%e3%81%8f%e3%82%82%e3%81%8f%e4%bc%9a2025%e5%b9%b410%e6%9c%88%e6%9d%b1%e4%ba%ac%e3%81%a7%e8%aa%95%e7%94%9f%ef%bc%81wikidata/ ウィキメディアもくもく会2025年10月東京で誕生！Wikidata項目欠落検索ツール『Wikidata Missing』] / Ecute (2025/11/03)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/04/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a22027%e9%96%8b%e5%82%ac%e5%9c%b0%e6%b1%ba%e5%ae%9a/ ウィキマニア2027開催地決定] / Wikimania Steering Committee (2025/11/04)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/06/73%e6%ad%b3%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%ae%e4%b8%80%e6%97%a5/ 73歳のウィキメディアンの一日] / Wadakuramon (2025/11/06)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/07/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%82%ab%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a1%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b9%e3%83%bb%e3%82%bd%e3%82%a6%e3%83%ab2025%e3%80%81%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3/ ウィキカンファレンス・ソウル2025、ウィキメディアの未来は多様性にあり] / Wikimedia Korea ; Wadakuramon (2025/11/07)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/14/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e5%88%a9%e7%94%a8%e8%80%85%e3%81%ab%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%83%88%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%83%89/ ウィキペディア利用者に新しいトレンド] Marshall Miller ; Omotecho (2025/11/14)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/16/%e9%96%a2%e8%a5%bf%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a9%e3%83%bc%e3%83%a9%e3%83%a0%e3%81%a7%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a2%e3%81%ae%e8%a9%b1%e3%82%92%e3%81%97/ 関西オープンフォーラムでウィキマニアの話をしました] / Wadakuramon (2025/11/16)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/26/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%ef%bc%9a100%e4%b8%87%e4%bb%b6%e3%81%ae%e3%83%aa%e3%83%b3%e3%82%af%e3%81%a8%e3%81%9d%e3%81%ae%e5%85%88/ ウィキメディア図書館：100万件のリンクとその先] / Vipin SJ；Omotecho (2025/11/26)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/27/international-semantic-web-conference-2025-%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%9f%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%ae%e6%84%9f%e6%83%b3/ International Semantic Web Conference 2025 に参加したウィキメディアンの感想] / Eugene Ormandy (2025/11/27)

'''前回配信：2025年10月31日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2025年11月30日 (日) 13:06 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=29717105 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Wikimedians of Japan User Group 2025-12 ==

'''全体ニュース'''
* ウィキペディアは1月15日で25周年を迎えます。同時に[[:m:Event:Wikipedia_25_Virtual_Celebration/ja|バーチャルお祝い会]]も開催されます。
* 1月20日にBernadette Meehanさんがウィキメディア財団のCEOに就任します。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 2027年のESEAPサミットは日本で開催することに決定しました。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 1月31日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-osaka/ OSC大阪]に参加します。
* [https://www.youtube.com/@WikimediaJaUG YouTubeチャンネル]を作成しました。
* 12月6日に[[:m:Wikimedians of Japan User Group/events/West-Japan Wikimedia Conference 2025|West-Japan Wikimedia Conference 2025]]を開催しました。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:ロンドン自然史博物館の天井|ロンドン自然史博物館の天井]]
**[[:w:ja:ミャンマーの歴史|ミャンマーの歴史]]
**[[:w:ja:ボーラーン|ボーラーン]]
**[[:w:ja:天蓋の聖母 (ラファエロ)|天蓋の聖母 (ラファエロ)]]
**[[:w:ja:流行神|流行神]]
**[[:w:ja:瑠璃坏|瑠璃坏]]
**[[:w:ja:や座|や座]]
**[[:w:ja:京坂キリシタン一件|京坂キリシタン一件]]
**[[:w:ja:ベトナムの歴史|ベトナムの歴史]]
**[[:w:ja:オニオオハシ|オニオオハシ]]
**[[:w:ja:白瑠璃碗 (正倉院宝物)|白瑠璃碗 (正倉院宝物)]]
**[[:w:ja:漢字|漢字]]
**[[:w:ja:貞享の半知|貞享の半知]]
**[[:w:ja:カンボジア文学|カンボジア文学]]
**[[:w:ja:足利政知|足利政知]]
* 今月の1枚
[[File:DSC_1418-DeNoiseAI-low-light_(1).jpg|alt=|thumb|200x200px|静岡県南伊豆町にある[[:w:ja:ヤマセミ|ヤマセミ]]のホバリング|none]]

'''1月のイベント情報'''
* 1/10 [[:w:ja:Wikipedia:オフラインミーティング/ウィキペディア25周年記念エディタソン|ウィキペディア25周年記念エディタソン]]
* 1/25 [https://okunoto-archive.jp/202512/223/ ウィキペディアタウンin珠洲]
* 1/25 [https://www.city.tambasasayama.lg.jp/chuotoshokan/information/27347.html ウィキペディアタウンin丹波篠山 Vol.2～丹波篠山の自慢「丹波黒」を世界に発信～]

'''[[:wmfblog:|Diff]]'''
タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/01/%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%82%bd%e3%83%bc%e3%82%b9%e3%82%ab%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a1%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b92025kyoto%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0/ オープンソースカンファレンス2025Kyotoに参加] / VZP10224 (2025/12/01)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/03/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a6%e4%ba%ba%e3%81%ae/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：6人のオンラインフォーラム] / Wadakuramon (2025/12/03)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/13/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a%e3%83%96%e3%8w3%bc/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：ブース展示と横浜エディタソン] / Wadakuramon (2025/12/13)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/14/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%bf%e3%82%a6%e3%83%b3in%e5%92%8c%e6%ad%8c%e5%b1%b12025%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%99%e3%82%8b/ 「ウィキペディアタウンin和歌山2025」に参加する] / Asutrio Cantabrio (2025/12/14)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/14/12%e6%9c%88%e3%82%92%e6%b5%b7%e5%a4%96%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%a8%e9%81%8e%e3%81%94%e3%81%99/ 12月を海外のウィキメディアンと過ごす] / Wadakuramon (2025/12/14)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/16/diff%e3%81%af2026%e5%b9%b4%e3%81%be%e3%81%a7%e3%81%8a%e4%bc%91%e3%81%bf%e3%81%97%e3%81%be%e3%81%99/ Diffは2026年までお休みします] / Chris Koerner ; Wadakuramon (2025/12/16)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/17/%e6%ad%a3%e5%80%89%e9%99%a2%e5%b1%95-%e3%81%a8-%e8%a8%98%e4%ba%8b%e5%9f%b7%e7%ad%86-%e7%91%a0%e7%92%83%e5%9d%8f%e3%81%a8%e3%82%82%e3%81%86%e4%b8%80%e3%81%a4%e3%81%ae%e7%99%bd%e7%91%a0%e7%92%83/ 正倉院展 と 記事執筆 -瑠璃坏ともう一つの白瑠璃碗-] / Lin Xiangru (2025/12/17)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a22026%e3%81%ab%e5%90%91%e3%81%91%e3%81%a6/ ウィキマニア2026に向けて] / Wikimania Core Organizing Team (2025/12/19)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/west-japan-wikimedia-conference-2025%e5%8f%82%e5%8a%a0%e8%a8%98%ef%bc%9a%e6%a8%aa%e6%b5%9c%e3%82%a8%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%bf%e3%82%bd%e3%83%b3%e3%82%92%e7%b4%b9%e4%bb%8b/ West-Japan Wikimedia Conference 2025参加記：横浜エディタソンを紹介] / Wadakuramon (2025/12/19)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e8%b2%a1%e5%9b%a32026-27%e5%b9%b4%e6%ac%a1%e8%a8%88%e7%94%bb%e3%81%ae%e3%82%b4%e3%83%bc%e3%83%ab%e7%ad%96%e5%ae%9a%ef%bc%9a%e3%82%a6/ ウィキメディア財団2026-27年次計画のゴール策定：ウィキメディア運動の重点となる質問] / Selena Deckelmann ; Omotecho (2025/12/19)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/23/%e6%97%a5%e6%9c%ac%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%8cwikiconference-seoul-2025%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%a6%e3%81%8d%e3%81%9f/ 日本のウィキメディアンがWikiConference Seoul 2025に参加してきた記録] / Narumi.SBT (2025/12/23)

'''前回配信：2025年11月30日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2025年12月31日 (水) 11:04 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=29848173 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== ほぼ同内容かつ似た題名の記事の並立について（日本語方言など） ==

[[日本語/方言]]と[[日本語の方言]]は同じような題で同じような内容を載せていますが、この2つはどう違うのでしょう。同じ意図で作ったものならどちらかに統合すべきだと思いますが、統合後はどちらの記事名にするのが良いでしょうか。

加えて、こういった例は他にも必ず存在する気がするのですが、そういった場合の方針などがあれば教えていただきたいです。--[[利用者:BrassSnail|BrassSnail]] ([[利用者・トーク:BrassSnail|トーク]]) 2026年1月12日 (月) 13:28 (UTC)

:こちらでシスオペをやっております、[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]])と申します。
:ご指摘ありがとうございます。本件ご指摘のとおりだと思います。手続き導入からは日が浅いものの、「[[Wikibooks:統合提案]]」という手続きがありますのでご紹介いたします。そちらで、ご提案をいただけるのとありがたいのですが、お忙しいようであれば、機会を見計らい私が対応いたします。
:WBとWPが微妙に異なることとして、ある一つの事柄についての記述でも、教科書として伝える層や伝える体系が異なると記述が異なることとなり、別ページを構成することがあるということで、これは、各々の体系のもので存続させることがあります。または、共通の記述に関してリンクを貼ることで対応するなどの手法も考えられます。この辺りは、決まった手法があるわけではないので、作成の過程で議論によって決めていくことなのかなと思っています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月12日 (月) 16:43 (UTC)
::ご教授ありがとうございます。そちらで提案させていただきました。。--[[利用者:BrassSnail|BrassSnail]] ([[利用者・トーク:BrassSnail|トーク]]) 2026年1月15日 (木) 15:27 (UTC)

== Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 ==

Dear Wikimedia communities,

We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year.

''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.''

In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects.

We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community.

📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]]

If you have questions about the project, please refer to the FAQs:  
* [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]]
* [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]]

''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]'''''

''Stay connected and receive updates:''  
* [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel]  
* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list]

We look forward to collaborating with you and your community.


'''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 2026年1月16日 (金) 19:45 (UTC)
&lt;!-- User:ZI Jony@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29879549 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]].

The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]].

Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate.

-- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
&lt;/div&gt;

2026年1月19日 (月) 21:01 (UTC)
&lt;!-- User:Keegan (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29905753 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== 無期限保護について ==

こんばんは。本日からWikibooksの編集を始めました。なまえみていです。

色々なページを見ていて、無期限 &lt;s&gt;保護&lt;/s&gt; &lt;u&gt;半保護&lt;/u&gt; がなされているページが多く感じられます。もちろん、度重なる荒らし、管理者不足など理由はあるのだと思いますが、Wikipediaに慣れている私からすると、厳しすぎる対応だと思います。(Wikipediaでは基本的に無期限は合意形成がないとできない)

ただでさえ、Wikibooksを編集する利用者が少ないのに、積極的に &lt;u&gt;半&lt;/u&gt; 保護していると、新規利用者ができづらいと考えます。
[[日本の大学受験ガイド#入試対策]]にある大学のうち保護されているものの解除を検討していただけないでしょうか？

学生による新規参入はWikibooksの存続に大きく影響すると思います。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月23日 (金) 16:55 (UTC) &lt;small&gt; 意味合いが変わってしまうので取り消し線と下線で訂正しました。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:24 (UTC)&lt;/small&gt;

:はじめまして、[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]])と申します。
:本件、一応説明いたしますと、WPに比べると当プロジェクトは、参加者もさながら管理者も圧倒的に少なく、多少の「いわゆる」民主的運営を犠牲にしてでも厳しい措置を取らざるを得ないという事情があります。また、作成保護に関して、強い保護は「Wikibooksのテーマになる可能性が非常に少ないもの」のみについてかけるようにし、その他は基本半保護のはずです（WPも実質永久半保護の記事は少なくありません）。初回ログイン後、数日平穏な編集が継続される限り、特に支障はないはずです。そのような記事に関しては、なまえみていさんも来週には編集可能となると思いますが、どうしても、すぐに編集したいという記事があるのであれば、[[Wikibooks:管理者伝言板#保護解除依頼]]に指定してご依頼ください。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:04 (UTC)
::(返信) ご丁寧にありがとうございます。
::jawpと同じ基準ならおそらく、数時間で自動承認されるので私は困らないのですが、新規利用者が生まれにくく、利用者不足を加速させてしまうのかなと思った次第です。
::私の方でお手伝いできることがありましたら、ご協力したいと考えています。失礼します。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:20 (UTC)

== Wikimedians of Japan User Group 2026-1 ==

'''全体ニュース'''
* [[:m:Stewards/Elections_2026|スチュワード選挙2026]]及び[[:m:Stewards/Confirm/2026|現在のスチュワードへの信任投票]]への投票が2月6日 14:00 (UTC) から2月27日 14:00 (UTC) まで行われます。
* ウィキマニア2026の[[:wikimania:2026:Program|プログラム募集]]が3月1日まで行われています。
* 来年度のウィキメディア財団の年次計画についての[[:m:Talk:Wikimedia_Foundation_Annual_Plan/2026-2027|意見募集]]が行われています。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 2月1日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_55_(1_February_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* [https://www.ospn.jp オープンソースカンファレンス]のコミュニティサポーターになりました。
* 2月27,28日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-spring/ OSC東京]に参加します。
* [[:m:「Diff」2025年日本語版記事索引|「Diff」2025年日本語版記事索引]]を公開しました。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:マルキアヌス|マルキアヌス]]
**[[:w:ja:高瀬渓谷の噴湯丘と球状石灰石|高瀬渓谷の噴湯丘と球状石灰石]]
**[[:w:ja:帯金式甲冑|帯金式甲冑]]
**[[:w:ja:百済の里|百済の里]]
**[[:w:ja:仙人掌群鶏図|仙人掌群鶏図]]
**[[:w:ja:(54598) ビエノール|(54598) ビエノール]]
**[[:w:ja:平成の大合併|平成の大合併]]
**[[:w:ja:正倉院展|正倉院展]]
**[[:w:ja:駿河竹千筋細工|駿河竹千筋細工]]
**[[:w:ja:横浜中華街の歴史|横浜中華街の歴史]]
**[[:w:ja:毛利輝元の四国・九州出兵|毛利輝元の四国・九州出兵]]
* 今月の1枚
[[File:251123 Shinsenkyo Hakone Japan26s3.jpg|alt=|thumb|200x200px|神奈川県箱根町に所在する[[:w:ja:神仙郷|神仙郷]]|none]]

'''2月のイベント情報'''
* 1/10 [[:w:ja:Wikipedia:オフラインミーティング/ウィキペディア25周年記念エディタソン|ウィキペディア25周年記念エディタソン]]
* 2/7 [https://peatix.com/event/4795657 ウィキペディアタウン神保町 Vol.3]
* 2/7 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|駅まちウィキペディア 動くエディタン編集室 vol.1 京都丹後鉄道あかまつ号]]
* 2/14 [https://www.city.ichinoseki.iwate.jp/library/topics/page.php?p=679 ウィキペディアタウン in 東山]
* 2/15 [https://www.city.toda.saitama.jp/koho-toda/260101/kouza04.html ウィキペディアタウン戸田　つくろう！戸田市の歴史事典]
* 2/15 [https://iselib.city.ise.mie.jp/ise/?id=262 ウィキペディアタウン伊勢Vol.3]
* 2/28 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|丹後古墳ウォーカー 歩いて発見！古代丹後の推し古墳をウィキで紹介！ #1 大宮町東川岸]]

'''[[:wmfblog:|Diff]]'''
タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/09/%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%e3%81%ae%e3%80%8cedit-tango%e3%80%8d%e3%83%96%e3%83%bc%e3%82%b9/ 図書館総合展2025の「edit Tango」ブース] / Asturio Cantabrio (2026/01/09)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/11/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e6%97%a5%e6%9c%ac%e8%aa%9e%e7%89%88%e3%82%b3%e3%83%9f%e3%83%a5%e3%83%8b%e3%83%86%e3%82%a3%e3%81%ae%e6%ad%b4%e5%8f%b2%e3%82%92%e3%82%a6/ ウィキペディア日本語版コミュニティの歴史をウィキペディアに刻む] / Wadakuramon (2026/01/11)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/13/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%82%a8%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%bf%e3%82%bd%e3%83%b3%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%be/ ウィキペディア25周年記念エディタソンに参加しました] / Wadakuramon (2026/01/13)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/21/%e3%82%a2%e3%82%b8%e3%82%a2%e6%9c%88%e9%96%932025-%e3%82%92%e7%b5%82%e3%81%88%e3%81%a6/ アジア月間2025 を終えて] / Lin Xiangru (2026/01/21)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/26/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%83%90%e3%83%bc%e3%82%b9%e3%83%87%e3%83%bc%e3%83%bb%e3%82%b1%e3%83%bc%e3%82%ad%e3%83%bb%e3%82%bd/ ウィキペディア25周年記念バースデー・ケーキ・ソング!] / Wadakuramon (2026/01/26)

'''前回配信：2025年12月31日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2026年1月31日 (土) 12:17 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=29923679 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== ほかの利用者さんとの対話について ==

昨年の12月25日にある利用者さんの会話ページで話題を追加したのですが、その利用者さんは私が投稿する2週間ほど前から今月頭まで活動なさっておらず、活動再開後も現在に至るまで返答をいただけておりません。

気づいていらっしゃらないのか故意に返信なさっていないのかはわからないのですが、このような場合、再度会話ページでお知らせするのが良いのか、それとも他に適切な方法があるのでしょうか？

私自身としてはその話題が記事の品質に大きく関わる内容であり対話を行いたいのですが、過剰に返答を求めて当該の利用者さんや他の方に粘着的な行動だと受け取られてしまうと困りますので、こちらで相談させていただきます。--[[利用者:飛火野|飛火野]] ([[利用者・トーク:飛火野|トーク]]) 2026年2月18日 (水) 14:28 (UTC)

:{{コメント2|コメント}} こんにちは。初めまして。
:この場合、対話拒否としてコメント依頼を提出したりできそうですが([[Wikibooks:コメント依頼/すじにくシチュー|例]])、Wikipediaみたいに制度が整ってなさそうですし、準備が大変です。
:ひとまず、異論なしとして、[[利用者:飛火野|飛火野]]さんが正しいと思う様に編集してみたらいかがでしょうか？
:待っていても、何も始まらないですし……--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月18日 (水) 17:47 (UTC)

::一般記事は、書かれた段階で「誰が書いたか」というものではなくなりますので、適当でないと思える記述は、適当と思うものに書き換えても全く構いません。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年2月19日 (木) 12:37 (UTC)
:::お二人とも、返信ありがとうございます。記事本体には追々手を加えさせていただきます。
:::返信の内容から拝察するに、私の投稿記録をご覧になっていただけたのだと思うのですが、あのような質問になった経緯を時系列順に記しますと、
:::1)当該の編集（[https://ja.wikibooks.org/w/index.php?title=%E6%B0%97%E5%80%99%E5%AD%A6/%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%B0%97%E5%80%99%E5%8C%BA%E5%88%86&amp;oldid=251398 こちら]）を見て生成AIによる生成物を、十分に検証できないのに投稿なさっているのではないかという疑義を抱いた
:::2)他の記事（[https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%BA%96%E6%83%91%E6%98%9F こちら]や[https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%8F%A4%E7%94%9F%E7%89%A9%E5%AD%A6/%E5%A4%A7%E8%A6%8F%E6%A8%A1%E7%B5%B6%E6%BB%85%E3%82%A4%E3%83%99%E3%83%B3%E3%83%88 こちら]など）でも同様の編集をなさっているのが見受けられた
:::3)もし当該の編集が私の考えているような「AIで生成し、さらにその内容の検証（この場合、日本の「気候学」や「古生物学」の記述として妥当なのかの判断）を十分に行えないままで投稿なさっているのであれば、手を止めていただく必要があるのではないかと考えた
:::4)しかし、私の勇み足であっては失礼ですので、まずは編集の意図を確認した
:::というところです。
:::確かに、今思うと誘導尋問的で、必要以上に迂遠な聞き方になってしまっていたとは思うのですが、私としてはまず当該利用者さんの編集の意図をお伺いしたいと思っています。--[[利用者:飛火野|飛火野]] ([[利用者・トーク:飛火野|トーク]]) 2026年2月19日 (木) 14:27 (UTC)

== どうしてwikibooksが必要なのか ==

そのまんま--[[利用者:Guest A1|Guest A1]] ([[利用者・トーク:Guest A1|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 09:28 (UTC)

&lt;del&gt;:はじめまして。tkkn46tkkn46 と申します。&lt;/del&gt;
:wikipediaは、リンク?ハイパーテキスト?ハイパーリンク?　がステキ。(任意へリンク)
:wikibooksは、目次ページがあって、章、節、号、款、目　
:（例:&lt;nowiki&gt;[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン]]&lt;/nowiki&gt;）
:wikibooksは、wikipediaより本のイメージに近い思います。
:wikibooksで、「単語」だけ?だと、wikipediaでイイんじゃないの思います。
:wikipediaは、辞書のイメージです。本に、ならないタイトルだとキツイと思います。
:以下、wikibooksへのいつの日にか私の希望
:①標準機能内で、本なので、目次ページを参考に、ページ間の移動が楽だと助かります。
:　F7（前頁へ）F8（後頁へ）?F6（1つ上へ）F9（1つ下へ）
:　現在は、ページ内のフッターで、自作しています。
:②標準機能内で、books内の索引の自動作成機能。
:もしかしたら、誰かが開発済みカモ。アドバイスいただけると助かります。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 11:53 (UTC)
:wikidiaryがあれば、Guest A1様の投稿はステキかも。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 12:12 (UTC)
::お二人に。
::'''[[Wikibooks:児童・生徒の方々へ]]'''をきちんと読んでいただくことを希望いたします。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 12:37 (UTC)

== 過去ログ化のガイドラインについて ==

[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|このガイドライン]]はすじにくシチューさん一人で作成されてから草案状態が10年経ちました。正式にガイドライン化したいと考えています。

その前に一つ提案をいたします(この議論では実際に変更するわけではありません)。今現在、日本語版wikibooksではサブページ方式ではなく、固定リンク方式を使っていますが、個人的にはサブページ方式を使ったほうがよいと思います。
理由として
# サブページ方式の方が感覚的に実行しやすく、煩わしくない。
# サブページ方式の方がログの保存方法の変更がしやすい。固定リンク方式の場合「今まで1年ごとに過去ログ化していたけど10年ごとに変更したい」となったときに対応が出来ません。
# サプページ方式の欠点として、[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|ガイドライン]]では「他の方法（サブページをつくるなど）と比べて、固定版方式では編集方法をまちがった場合の差し戻しが容易なことが根拠です。」とありますが、むしろサブページ方式の方が2で挙げた場合もそうですが、差し戻し、過去ログページの削除で対応できるため簡単に対応できます。

本当はを作成されたすじにくシチューさんに理由や意図をお聞きしたいのですが、無期限ブロックされており、お聞きすることが出来ません。皆さんに賛成か反対か、反対ならその理由などをお聞きしたいです。

具体的な提案
サブページ方式で[[Wikibooks:過去ログ]]を作成し[[Wikibooks:過去ログ/談話室]]など項目別にサブページを作成する。ログを追加しないと考えられるものに関しては無期限半保護する。
wikipediaでは[[Wikipedia:談話室/過去ログ]]のような形式ですが、wikibooksでは[[Wikibooks:過去ログ]]で過去ログを一括で管理したいと考えています。「理由として」でも挙げたとおり、やり直しが利くのでとりあえず賛成していただいても大丈夫だと思います。

今後の流れ（←これに関しても意見があればお寄せください）
# この議論で1週間程で御意見を募集する、議論で大まかに決める。
# 決定した内容で良いかを投票する（投票権は投票用の議論が開始された時点で自動承認されているユーザーまたはウィキメディアプロジェクトに参加してから3ヶ月経過しているユーザーで考えています。）
# 実際に過去ログ化をして1ヶ月ほど経過したら問題が生じていないかを議論する
# [[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン]]を正式にガイドライン化する議論をする
--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月28日 (土) 12:58 (UTC)
:こんにちは、編集お疲れ様です。
:現在の[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|過去ログ化のガイドライン]]の作成された経緯については、こちらの[[特別:固定リンク/101028#過去ログ作業の公式方針を整備すべき|談話室での議論]]をご参照ください。この議論を経て草案ではありますが、いちおうガイドラインとして現状運用されています。なまえみていさんは、現在のガイドラインとは別方式による過去ログ化のガイドラインをお考えのようですので、まずはご自身の利用者ページ下などになまえみていさん式のガイドライン草案を作成されてみてはいかがでしょうか。現行草案と別方式草案の2案を提示した方が、コミュニティの意見も集まりやすくなるのではないかと思います。また、ここ談話室では議論の呼びかけにとどめ、本格的な議論は[[Wikibooks・トーク:過去ログ化のガイドライン|ガイドライン議論ページ]]でした方がよいかと思います。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2026年3月15日 (日) 23:44 (UTC)

== Wikimedians of Japan User Group 2026-2 ==

'''全体ニュース'''
* ウィキマニア2026の[[:wikimania:2026:Program|プログラム募集]]が3月1日まで行われています。
* [https://diff.wikimedia.org/2026/02/11/announcing-new-policies-related-to-the-use-of-wikimedia-sites-for-advocacy-purposes/ 一部のグローバルポリシー]が変更されました。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 3月7日17時30分(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_56_(7_March_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。
* [[:m:ESEAP_Conference_2026/ja|ESEAPカンファレンス2026]]の登録が開始されました。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 3月1日に[https://peatix.com/event/4847333/view ウィキペディア25周年記念交流会]を開催します。

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:山田美妙|山田美妙]]
**[[:w:ja:スペクトル分類|スペクトル分類]]
**[[:w:ja:横手市|横手市]]
**[[:w:ja:上杉憲方|上杉憲方]]
**[[:w:ja:パノルムスの戦い|パノルムスの戦い]]
**[[:w:ja:都市伝説解体センター|都市伝説解体センター]]
**[[:w:ja:市川少女歌舞伎|市川少女歌舞伎]]
**[[:w:ja:うお座|うお座]]
**[[:w:ja:南アフリカ文学|南アフリカ文学]]
* 今月の1枚
[[File:JRH_Senmo-Main-Line_H100-44.jpg|alt=|thumb|200x200px|オホーツク海沿岸部を走行する[[:w:ja:JR北海道H100形気動車|H100形気動車]]|none]]

'''3月のイベント情報'''
* 3/8 [https://www.facebook.com/events/731133399814596/ WikiGap in Kanagawa 2026]
* 3/21 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|ウィキペディアタウンin網野町木津～駅まちウィキペディア「夕日ヶ浦木津温泉駅」～]]

'''[[:wmfblog:|Diff]]'''
タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/01/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%83%89%e3%82%ad%e3%83%a5%e3%83%a1%e3%83%b3%e3%82%bf%e3%83%aa%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%aa%e3%83%bc/ ウィキペディア25周年記念ドキュメンタリーシリーズ] / Wadakuramon (2026/02/01)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/12/lod%e3%83%81%e3%83%a3%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b82025%e3%81%a7%e6%97%a5%e6%9c%ac%e3%81%ae%e3%80%8c%e6%b5%b7%e3%81%ae%e9%a7%85%e3%80%8d%e3%82%92%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%83%87%e3%83%bc/ LODチャレンジ2025で日本の「海の駅」をオープンデータ化 ― 約200件の海のインフラをWikidataに追加] / Ecute (2026/02/12)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/25/%e9%96%89%e6%a0%a1%e3%81%99%e3%82%8b%e5%b0%8f%e5%ad%a6%e6%a0%a1%e3%81%ae%e8%a8%98%e9%8c%b2%e3%82%92%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%81%ab%e6%ae%8b%e3%81%99/ 閉校する小学校の記録をウィキペディアに残す] / VZP10224 (2026/02/25)
* [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/25/eseap%e3%83%8f%e3%83%96%e3%82%92%e6%8e%a8%e9%80%b2%e3%81%99%e3%82%8b%e4%ba%ba%e3%80%85/ ESEAPハブを推進する人々] / FelianiESEAP Hub ; Wadakuramon (2026/02/25)

'''前回配信：2025年1月31日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2026年2月28日 (土) 13:14 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=30083678 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Wikibooks: (ウイキブックス コロン)が現在何種類あるか教えて下さい。 ==

ウイキブックス コロンの全リストのページを教えて下さい。あいうえお順が望ましいです。リンクだけ。

よろしくお願いします。

＞Wikibooks:ウィキブックスへようこそ(参照)

＞新規参加者にとって参考になるページ

＞ページ名に「Wikibooks:」とつくものは、ウィキブックスのプロジェクトそのものに関するページです。その中でも新規参加者にとって役に立つと思われるページをリストしておきます。

11種類以上だと思います。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月13日 (金) 03:54 (UTC)

:{{コメント2|コメント}} [[特別:ページ一覧|こちら]]で「名前空間」をWikibooksに指定し、検索すれば全リストが表示されます。
:なお、談話室は本来、これからのWikibooksについて話し合うものですので、個人的な質問は談話室ではなく[[WB:HD|こちら]]にお願いします。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 04:39 (UTC)

== ノートページの呼び方は、全部で何通りあるか教えて下さい。 ==

①ノートの呼び方の種類の数です。違いです。

②「ノート」は　ノートページの意味ですか。

③「議論」は 議論ページと呼びませんか。

よろしくお願いします。

＞Help:ノートページ(wikipedia参照)

＞^ ノートページはトークページ(talk page)とも呼ばれるが、日本語版の「会話ページ」は、名前空間名がそう翻訳されている「利用者についての」トークページのみを指すことがしばしばある。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月13日 (金) 03:56 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Upcoming deployment of CampaignEvents extension to Wikibooks&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;
Hello everyone,

We are writing to inform you that the [[mw:Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] will be deployed to all Wikibooks projects during the week of '''23 March 2026'''.
This follows last year’s broader rollout across Wikimedia projects. We realized that Wikibooks was not included at the time, and we’re now addressing that to ensure consistency across all communities.

The CampaignEvents extension provides tools to support event and campaign organization on-wiki, including features like on-wiki event registration and collaboration lists(global event list).

We welcome any questions, feedback, or concerns you may have. We are also happy to support anyone interested in trying out the tools. 
''Apologies if this message is not in your preferred language. If you’re able to help translate it for your community, please feel free to do so.''
&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:Udehb-WMF|Udehb-WMF]] ([[User talk:Udehb-WMF|トーク]]) 2026年3月19日 (木) 18:22 (UTC)&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- User:Udehb-WMF@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Udehb-WMF/sandbox/MM_target&amp;oldid=30284073 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Bot Flag Request for [[{{ns:User}}:SchlurcherBot]] ==

Appologies for posting in English. Also, I could not locate a dedicated page for bot request in {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}}, so I am posting here. Please direct me to the correct page if one exists. Thank you.

* '''Bot name''': [[{{ns:User}}:SchlurcherBot]]
* '''Bot operator''': [[commons:User:Schlurcher]]
* '''Bot task''': Automatically convert links from &lt;code&gt;http://&lt;/code&gt; to &lt;code&gt;https://&lt;/code&gt; (secure protocol migration)
* '''Technical details''': Please see [[metawiki:User:SchlurcherBot|meta:User:SchlurcherBot]] for full details, including the expected number of affected URLs on {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}}.
* '''Bot flags on other projects:''': [[metawiki:Steward_requests/Bot_status/2025-12#Global_bot_status_for_User:SchlurcherBot|Global bot status granted]]. Also flagged on [[:w:en:Wikipedia:Bots/Requests for approval/SchlurcherBot|English Wikipedia]], [[:w:de:Wikipedia:Bots/Anträge_auf_Botflag/Archiv/2025#2025-02-14_–_SchlurcherBot|German Wikipedia]], [[:w:fr:Wikipédia:Bot/Statut/Archive_12#(Traité)_SchlurcherBot|French Wikipedia]], [[:w:it:Wikipedia:Bot/Autorizzazioni/Archivio/2025#SchlurcherBot|Italian Wikipedia]], [[:w:pl:Wikipedia:Boty/Zgłoszenia/2025#Wikipedysta:SchlurcherBot|Polish Wikipedia]], [[:w:pt:Wikipédia:Robôs/Pedidos_de_aprovação/Arquivo/2025#SchlurcherBot|Portuguese Wikipedia]], and [[commons:Commons:Bots/Requests/SchlurcherBot2|Commons]]. For a full list, see: [[metawiki:Special:CentralAuth/SchlurcherBot|sulutil:SchlurcherBot]]
* '''Comment''': The bot is globally approved and active on the top 10 Wikipedia projects. As this wiki has opted out of the global bot policy, I am requesting permission to perform these link updates on {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}} as well. Please let me know if a local bot flag can be granted or if you have any questions. Thank you. --[[利用者:Schlurcher|Schlurcher]] ([[利用者・トーク:Schlurcher|トーク]]) 2026年3月26日 (木) 22:21 (UTC)
::{{RFB|対処}} I have done your request.--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年3月26日 (木) 23:13 (UTC)
:::Thanks. --[[利用者:Schlurcher|Schlurcher]] ([[利用者・トーク:Schlurcher|トーク]]) 2026年3月27日 (金) 08:39 (UTC)

== Wikimedians of Japan User Group 2026-3 ==

'''全体ニュース'''
* ウィキメディア財団理事会はすべての言語版のウィキニュースを閉鎖することを承認しました。ウィキニュースは5月4日から読み取り専用になります。

'''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]]
* 4月4日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_57_(4_April_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。
* [[:m:ESEAP_Conference_2026/ja|ESEAPカンファレンス2026]]の登録が開始されました。

'''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]]
* 4月18日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-kagawa/ OSC香川]に参加します。 

'''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]]
* 4月17日まで[[:w:ja: Wikipedia:日本・韓国_友好編集月間|日本・韓国 友好編集月間]]が行われています。
* 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。
**[[:w:ja:普通自転車の交差点進入禁止|普通自転車の交差点進入禁止]]
**[[:w:ja:京都市の観光|京都市の観光]]
**[[:w:ja:克美茂愛人殺害事件|克美茂愛人殺害事件]]
**[[:w:ja:アフガニスタンの歴史|アフガニスタンの歴史]]
**[[:w:ja:養老山地|養老山地]]
**[[:w:ja:唐津藩|唐津藩]]
**[[:w:ja:京都の歴史|京都の歴史]]
**[[:w:ja:ムウタスィム|ムウタスィム]]
**[[:w:ja:トゥーランガリラ交響曲|トゥーランガリラ交響曲]]
**[[:w:ja:ガリレオ裁判|ガリレオ裁判]]
**[[:w:ja:優しい世界へ|優しい世界へ]]
**[[:w:ja:金属有機構造体|金属有機構造体]]
**[[:w:ja:聖なるタラ|聖なるタラ]]
**[[:w:ja:ギターを弾く女|ギターを弾く女]]
**[[:w:ja:八方尾根のケルン|八方尾根のケルン]]
**[[:w:ja:ひばり号|ひばり号]]
**[[:w:ja:マリモ|マリモ]]
**[[:w:ja:スイスの歴史|スイスの歴史]]
* 今月の1枚
[[File:260110_Kosei-ji_Kyoto_Japan12s3.jpg|alt=|thumb|200x200px|京都市に位置する[[:w:ja:光清寺_(京都市)|光清寺]]の心字庭「心和の庭」 |none]]

'''4月のオフラインイベント情報'''
* 4/19 [https://www.facebook.com/events/1437162964770290 Wikipediaブンガク 吉屋信子 ]

'''前回配信：2025年2月28日'''

&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''&lt;br /&gt;
&lt;small&gt;[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。&lt;/small&gt;2026年3月31日 (火) 11:00 (UTC)
&lt;hr style=&quot;border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;&quot;&gt;
&lt;!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&amp;oldid=30083678 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) ==

Hello everyone,

This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as &lt;code&gt;Module:Itemgroup/list&lt;/code&gt;).

'''The Change:'''&lt;br /&gt;
Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. 

We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''.

'''What You Need To Do:'''&lt;br /&gt;
To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search.

'''Deadline:'''&lt;br /&gt;
We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles.

Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[利用者:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[利用者・トーク:MediaWiki message delivery|トーク]]) 2026年4月3日 (金) 17:11 (UTC)
&lt;!-- User:ZI Jony@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29941252 のリストを使用して送信したメッセージ --&gt;

== 「Lintエラーが生じる件について」 の対応について教えて下さい。 ==

＞...このLintエラーは「優先度 高」になっていて、...

私は、機械的?な話である事を理解しました。(別件コメント:私的?には、ガイドラインの「本ガイドラインの有効性（そもそも論）」の方が「優先度 もっと高?」のような気がしました。別件コメント無視して下さい。)

＞...修正する必要があると考えます。... ＞...対応はおろか、...＞...実害がないので...

○○法第1章 :　の各行バックスラッシュ 1個を削除するだけではないカモ。

①idが、目次ページの他に、条文ページ(判例を含む)もありました。

②アンカー?第○章、第○条の漢字文字タイトル改正関係なしに、数字の便利さ使用もありカモ
 でした。←←←
③新規の目次ページ編集者は大変だろうな。感覚でした。

④[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン/目次ページ]]

　[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン/条文ページ]]

　の2種類はどうなりますか。

&lt;nowiki&gt;==&lt;span id=&quot;1&quot;/&gt;第1章 総則 (第1条～第5条)==&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;:&lt;/nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;[[○○法第1条|第1条]]&lt;/nowiki&gt;(目的)==

...

⑤間違っている事をガイドラインに載せるのは、望ましくない。

フッターに影響するのは困る。

普通に他と同様に?ガイドラインのダブルスタンダードそのままで、←←←トリプル可???

閲覧操作に違いがなければイイナです。私の理解です。

⑥リンター?の操作は、何がいいですか。wikibooksの標準機能にありますか。手作業?見てからです。

⑦wikipedia他はどのようにしていますか。放ったらかし?

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:LintErrors/self-closed-tag

自己終了タグ (561 件のエラー)

＞...より質の高い教科書作りに...(ガイドライン議論より)

＞...「提案に従う義務はありません。」と記載していながら、...(〃)

＞...返信もありません（編集活動は続けられています）...(〃)

＞...彼(私?)の問いかけは論理的なものではないと考えます。...(利用者・トーク:Tomzo#お願いより)

と言われませんように。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月6日 (月) 13:46 (UTC)

== Lint エラーの自己終了タグ (3,295 件のエラー)以外。他のエラー多数について、皆さんは、どのように考えておられますか。 ==

[[Wikibooks・トーク:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン#Lintエラーが生じる件について]]　の続き。

談話室にしました。下に続けるのも?です。

①他のエラー多数の扱い。

②リンターは、自動的に編集してくれますか。抽出だけですか。

③リンターに、自作定義オプションを追加できますか。それを編集してくれるとうれしい。

④おすすめのリンターを教えて下さい。AIでもいけそうな気もしました。エラー全部のLLM?

＞...彼の問いかけは論理的なものではないと考えます。...(利用者・トーク:Tomzo#お願いより)

と言われませんように。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月6日 (月) 13:49 (UTC)

:{{コメント2|コメント}} 私たちの議論をご覧になっての質問ということで、ご回答致します。
:# 他のエラーも同様に修正するのが理想です。ただ、我々の能力的な問題があったり、量があったりでそのままにされているだけです。
:# 質問の意図が汲めなかったのですが、問題の箇所を修正すれば自動的にLintエラーのページからは表示されなくなります。
:# おそらく、我々は大元の設定はいじれないかと思います。
:# おすすめのLintエラーの意味がわかりません。ウィキペディアではBotが良く使われますが、同じエラーでもケースバイケースなのでLintエラーに対してはあまり使われていない印象です。結局、現時点では人間の判断が必要です。
:質問に対する答えになってるでしょうか？--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 04:33 (UTC)

==  アイコン?テンプレート?を探しています。英語でも。このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまでマッテ。 ==

他、例えば、

・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまで余計な事言うな。

・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまでコメントするな。

・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。△△△日まで余計な事言うな。過ぎればOK。

・このページ「○○○」は、コメントされても、返信しません。

(参考例)　以下は、ただちにコメントOKの例。

[[トランプ#関連項目]]を転写。

このページ「○○○○」は、まだ書きかけです。加筆・訂正など、協力いただける皆様の編集を心からお待ちしております。また、ご意見などがありましたら、お気軽にトークページへどうぞ。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月11日 (土) 12:59 (UTC)

==  スタイルマニュアル の ナビゲーションをつける について4点教えて下さい。 ==

[[Wikibooks:スタイルマニュアル#ナビゲーションをつける]]

①＞このうち、1（テンプレート:Pathnav）を使用して下さい。

上記があるので、2、3を&lt;nowiki&gt;&lt;del&gt;&lt;/del&gt;&lt;/nowiki&gt;にして下さい。

②＞&lt;nowiki&gt;{{[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]|メインページ|親項目|子項目}}&lt;/nowiki&gt;

　＞最上位ページは「メインページ」にすること（英語の使用の回避）

メインページ　が必要ですか。1行目のアイコンと同じに見えます。

③できれば、pathnav行を　削除したい。表示の重複。

例

[[トランプ]] &lt;nowiki&gt;{{Pathnav|メインページ|ゲーム|frame=1}}&lt;/nowiki&gt;

[[数学]]　&lt;nowiki&gt;{{Pathnav|メインページ|frame=1|small=1}}&lt;/nowiki&gt;

ゲームの場合、ゲームはイラナイのか。ナントカナルです。

④法文は、次行をどうして使わなかったのですか。フッタを使っているのですか。

&lt;nowiki&gt;top:[[本のタイトル]] / previous:[[前のページ]] - up:[[章タイトル]] - next:[[次のページ]]&lt;/nowiki&gt;--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月14日 (火) 13:30 (UTC)

== カテゴリー内。最新記事の日付を表示できますか。自動更新。ついでに、全記事の最終更新日もです。 ==

記事内に自動更新 日付の事例を探しています。

①(現在)トランプ記事の総数は、...以下の 76 ページを表示しています。

[[カテゴリ:トランプ#カテゴリ: “トランプ”]]

②次行、わかりやすいです。(ちょっと年表示が気になったけど、年表示しないのがステキ。曜日も。新型手動)

[[利用者:AkiR27User#※作成・編集ページ]]※4/15時点

前行、wikibooksが自動的に、表示してほしい。

4/15(水)時点のトランプ記事の総数は、...以下の 76 ページを表示しています。(カテゴリー内)

↑↑↑

??? wikibooksの言い分。そのくらい、人間が投稿履歴を見て、判断できるだろ。情報は提供している。手動。

??? カテゴリー内でマジックワードが使えますか。

(参考) [[w:Help:マジックワード]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月15日 (水) 03:15 (UTC)</text>
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    <title>量子力学</title>
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{{sisterlinks
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}}
{| style=&quot;float:right&quot;
|-
|{{Wikipedia|量子力学|量子力学}}
|-
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{{stub}}
== 量子力学とは ==
* [[量子力学/量子力学とは]]

== 量子力学の発展 ==
* [[量子力学/量子力学の発展]]
&lt;!--
== 古典および量子統計力学 ==
=== デュロン＝プティの法則 ===
[[w:結晶|結晶]]を成す物質の[[w:内部エネルギー|内部エネルギー]]および[[w:熱容量|熱容量]]を求めよう。議論を簡単にするため、[[w:結晶構造|結晶構造]]の単位である[[w:単位胞|単位胞]] 1 つをとり、これを 1 つの[[w:分子|分子]]と見なす。このような取り扱いは結晶の具体的構造によらない普遍的な性質を議論する上で重要である。結晶を構成する分子は互いに[[w:相互作用|相互作用]]するが、最も主要な効果を及ぼすのは最近接格子点上の分子であり、より遠距離にある分子同士の相互作用はそれらの間に存在する分子同士の相互作用として含めることができる。ここまでで扱うべき問題はかなり簡素になったが、結晶分子の運動がそれほど激しいものでない場合には（気体分子運動論の考えを援用すれば、この状況は結晶内部の[[w:温度|温度]]が極めて低いことに相当する）、各分子は固定された平衡点近傍を振動していると見なすことができる。この場合、分子 1 つ 1 つの運動は独立なものとして取り扱うことができ、平衡点近傍で運動する分子 1 個の周りの[[w:ポテンシャル|ポテンシャルエネルギー]]は &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; は、その平衡点を原点として以下のように表すことができる。
:&lt;math&gt;U=\frac{1}{2}k_x x^2 + \frac{1}{2}k_y y^2 + \frac{1}{2}k_z z^2&lt;/math&gt;
分子の周りのポテンシャルは &lt;math&gt;x, y, z&lt;/math&gt; の 3 成分に対応する 3 つの[[w:自由度|自由度]]を持っている。
また分子の[[w:運動エネルギー|運動エネルギー]] &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; は
:&lt;math&gt;K=\frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}mv_y^2 + \frac{1}{2}mv_z^2&lt;/math&gt;
となって &lt;math&gt;v_x, v_y, v_z&lt;/math&gt; の 3 つの速度成分に対応する 3 つの自由度を持っている。これらの運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は今、熱振動をする分子 1 個が持つ全エネルギーに対応し、分子のエネルギーの自由度は合わせて 6 と数えることができる。なぜならこのエネルギーは 3 次元空間上を運動する粒子の位置と速度の 6 つの独立変数 &lt;math&gt;x, y, z, v_x, v_y, v_z&lt;/math&gt; によって決定されるからである。

古典的な統計力学において、[[w:熱力学的平衡|平衡状態]]では[[w:エネルギー等配分の法則|エネルギー等分配の法則]]が成り立つことから、独立に振動する結晶分子からなる系について、自由度 1 つにつき &lt;math&gt;kT/2&lt;/math&gt; のエネルギーが分配され、系全体のエネルギー &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; との間に
:&lt;math&gt;E = N\times 6 \times \frac{kT}{2} = 3NkT&lt;/math&gt;
という関係が成り立つ。ここで &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; は結晶内部に含まれる結晶分子の数であり、また &lt;math&gt;k \simeq 1.38\times 10^{-23}~\mathrm{[J/K]}&lt;/math&gt; は[[w:ボルツマン定数|ボルツマン定数]]、&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; は[[w:熱力学温度|熱力学温度]]である（以下、温度とは熱力学温度のことを指すとする）。ボルツマン定数 &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; と[[w:アヴォガドロ定数|アヴォガドロ定数]] &lt;math&gt;N_\mathrm{A}&lt;/math&gt; の積は[[w:気体定数|気体定数]] &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; を与える。
:&lt;math&gt;k =\frac{R}{N_\mathrm{A}}.&lt;/math&gt;

結晶分子の個数 &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; をアヴォガドロ定数を用いて[[w:物質量|物質量]] &lt;math&gt;n = N/N_\mathrm{A}&lt;/math&gt; に置き換えれば、上述の関係は気体定数を使って以下のように書き直すことができる。
:&lt;math&gt;E = 3NkT = 3nN_\mathrm{A}\frac{R}{N_\mathrm{A}}T = 3nRT.&lt;/math&gt;
気体定数を用いた形式では分子数が現れず、代わりに物質量という量が定義されることに注意しよう。ボルツマン定数を基本定数とする立場では単なる置き換えに過ぎないが、気体定数を基本定数とする場合、ボルツマン定数を用いた形式を与えるには分子の存在をあからさまに認める必要がある。

結晶の[[w:比熱容量|1モル当たりの熱容量]] &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; は、温度変化に対するエネルギーの増減の割合を全体の物質量で割ったものに相当するから、
:&lt;math&gt;C = \frac{1}{n}\frac{\partial E}{\partial T} = 3R&lt;/math&gt;
となる。これは常温 (&lt;math&gt;T \sim 300 ~\mathrm{[K]}&lt;/math&gt;) での結晶の比熱の測定値に一致する。この比熱は温度依存性がなく、常温の固体のモル比熱がほとんど一定であることを示す。固体のモル比熱が常温で一定の値を取るという法則は'''[[w:デュロン＝プティの法則|デュロン＝プティの法則]]''' (Dulong-Petit law) と呼ばれる。デュロンとプティはこの法則が多くの物質について良い精度で成り立つことを実験的に発見した人物である。

デュロン＝プティの法則が成り立つような系について、常温より遥かに低温の領域においても比熱が一定であることが予想されるが、実験により低温領域では比熱は 0 に収束することを示唆する結果が得られており、低温領域での比熱の温度依存性および比熱の値はデュロン＝プティの法則から外れることが知られている。

=== 低温での固体の比熱 ===
仮に振動数が &lt;math&gt;\nu&lt;/math&gt; の[[w:調和振動子|調和振動子]]のエネルギーは &lt;math&gt;h\nu&lt;/math&gt; の整数倍 &lt;math&gt;nh\nu&lt;/math&gt; しか取れないとする（ただし &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; は負でないとする）。結晶内部の &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; 個の分子をそれぞれ振動数 &lt;math&gt;\nu&lt;/math&gt; の調和振動子と見なせることを仮定し、全部で &lt;math&gt;3N&lt;/math&gt; の自由度を持つ 1 次元調和振動子の集まりとする。

そうすると、断熱理想気体でも各分子のエネルギーが衝突などにより変動するように（気体全体の全エネルギーは一定）、固体の各振動子のエネルギーも &lt;math&gt;0, h\nu, 2h\nu, 3h\nu,\dots&lt;/math&gt; という飛び飛びの値を移り変わっているとする。
そして &lt;math&gt;3N&lt;/math&gt; 個の振動子のエネルギーの平均値は、仮に下記のように「ボルツマン因子を使って計算できるはず」だと仮定する（※ ボルツマン因子について分からなければ、記事『[[高等学校化学Ⅱ/化学反応の速さ]]』の[[w:反応速度論|反応速度論]]での説明（高校～大学初級レベル）、または記事『[[統計力学I ミクロカノニカル集合]]』の[[w:スターリングの公式|スターリングの公式]]を用いた統計力学モデルによる説明（大学中級～）を参照。統計力学的には他にも、ラグランジュの未定乗数法を用いてボルツマン因子の導入を行う方法もある）。

1個の振動子がエネルギー &lt;math&gt;\varepsilon_n = nh\nu&lt;/math&gt; をとる[[w:確率|確率]]を &lt;math&gt;\operatorname{Pr}(n)&lt;/math&gt; とし、この確率がボルツマン因子に比例するとする。
:&lt;math&gt;\operatorname{Pr}(n) = \frac{1}{Z}e^{-\frac{\varepsilon_n}{kT}} = \frac{1}{Z}e^{-\frac{nh\nu}{kT}}&lt;/math&gt;
この関数が通常の意味の確率であるためには、すべてのエネルギー状態についての和が 1 に規格化されている必要があるため、比例係数の &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; は、
:&lt;math&gt;Z = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{\varepsilon_m}{kT}} = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{mh\nu}{kT}}&lt;/math&gt;
とならなければならない（なお、このZのような量子統計計算の規格化のための関数のことを「分配係数」または「状態和」という）。このとき確率 &lt;math&gt;\operatorname{Pr}(n)&lt;/math&gt; は
:&lt;math&gt;\operatorname{Pr}(n) = \frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}&lt;/math&gt;
となる（&lt;math&gt;\exp(\cdot)&lt;/math&gt; は[[w:指数関数|指数関数]]）。エネルギーの期待値 &lt;math&gt;\langle\varepsilon\rangle&lt;/math&gt; は、
:&lt;math&gt;\begin{align}
\langle\varepsilon\rangle &amp;= \sum_{n=0}^{\infty} \left\{\varepsilon_n\operatorname{Pr}(n)\right\} \\
&amp;=\sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu
 \left(\frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}\right)
 \right\}\\
&amp;=\frac{1}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}
 \sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)\right\}
\end{align}&lt;/math&gt;
と表すことができる。ここでボルツマン定数と温度の積の逆数を &lt;math&gt;\beta = (kT)^{-1}&lt;/math&gt; とし（これは[[w:逆温度|逆温度]]と呼ばれる）、エネルギーの期待値を逆温度 &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; に関する微分を用いて表せば、
:&lt;math&gt;Z(\beta) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{\varepsilon_m}{kT}\right) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)&lt;/math&gt;
より、
:&lt;math&gt;\begin{align}
\langle\varepsilon\rangle &amp;= -\frac{1}{Z(\beta)}\frac{d}{d\beta}Z(\beta)\\
&amp;=-\frac{d}{d\beta}\ln Z(\beta)
\end{align}&lt;/math&gt;
を得る。ここで具体的に右辺の対数を計算すれば、[[w:等比数列|等比級数]]の和の公式を用いて、
:&lt;math&gt;\begin{align}
Z(\beta) &amp;= \sum_{m=0}^{\infty}\left(e^{-\beta h\nu}\right)^n\\
&amp;= \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)^{-1}
\end{align}&lt;/math&gt;
と書き直せるから、結局エネルギーの期待値は
:&lt;math&gt;\begin{align}
\langle\varepsilon\rangle &amp;= \frac{d}{d\beta}\ln \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)\\
&amp;= h\nu\frac{e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}}\\
&amp;= \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}
\end{align}&lt;/math&gt;
と表すことができる。

=== プランク分布 ===
前節で得た調和振動子のエネルギーの期待値について、調和振動子のエネルギー量子 &lt;math&gt;h\nu&lt;/math&gt; に掛かる関数
:&lt;math&gt;\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1}&lt;/math&gt;
を'''プランク分布'''と呼ぶ。温度がエネルギー量子の大きさに比べて充分小さい場合、&lt;math&gt;kT \ll h\nu&lt;/math&gt; より &lt;math&gt;1 \ll \beta h\nu&lt;/math&gt; という関係が成り立ち、プランク分布は、
:&lt;math&gt;\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1} \approx e^{-\beta h\nu}&lt;/math&gt;
という形に漸近する。

このプランク分布を利用して、結晶内部の比熱を得ることを考える。結晶を独立な調和振動子の集まりと見なす最も簡単な場合について、結晶全体の内部エネルギーがそれぞれの調和振動子のエネルギー期待値の和にほとんど等しいことから、
:&lt;math&gt;E = 3\langle\varepsilon\rangle = 3N\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}&lt;/math&gt;
と表すことができる。この場合、結晶分子に対する比熱容量は、
:&lt;math&gt;c = \frac{1}{N}\frac{dE}{dT} = \frac{1}{N}\frac{d\beta}{dT}\frac{dE}{d\beta} = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2}&lt;/math&gt;
となる。この比熱の低温領域での振る舞いは、
:&lt;math&gt;c = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2} = 3k\frac{(\beta h\nu)^2}{e^{\beta h\nu}} \to 0&lt;/math&gt;
であり、0 へ収束するという点で低温領域における固体比熱の振る舞いと合致する。高温領域において（ここでいう高温とは調和振動子のエネルギー量子に対してであり、固体の融点温度に比べれば依然低温である）、比熱は
:&lt;math&gt;c = 3ke^{\beta h\nu}\left(\frac{\beta h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}\right)^2 \to 3k&lt;/math&gt;
となる。高温領域の比熱について、分子比熱 &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; を定積モル比熱 &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; に直すと、
:&lt;math&gt;C = N_\mathrm{A}c \to 3N_\mathrm{A}k = 3R&lt;/math&gt;
となり、これはデュロン＝プティの法則に一致する。つまり、エネルギーの量子化という手順を踏むことで低温領域の温度依存性を再現しつつ、常温ではデュロン＝プティの法則に漸近するような分布を得られたことになる。
--&gt;

== ヒルベルト空間 ==

量子力学における状態はあるヒルベルト空間の元で表される。ヒルベルト空間とは完備な複素数係数の内積空間である。ヒルベルト空間を &lt;math&gt;\mathcal H&lt;/math&gt; とし、その元を &lt;math&gt;|\psi\rangle&lt;/math&gt; と記す。この記法はブラケット記法と呼ばれる。

ここで、ある状態&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;と、それと異なる状態&lt;math&gt;|j\rangle&lt;/math&gt;を取る。ただし、これらの状態はハミルトニアン演算子の、互いに異なった固有値を持つ固有ベクトルであるとする。ここで、ハミルトニアンの固有値は必ず実数でなければならないことが分かる。なぜなら、そうでないときにはエネルギーが虚数になるような量子論的状態が存在することになってしまうからである。一般に、複素数の行列要素を持っており、しかもその固有値が実数になる行列の種類として、エルミート行列があげられる（エルミート行列については[[物理数学I]]を参照）。ここでは、ハミルトニアンはエルミート行列で与えられるものとする。一般に量子論の演算子は通常エルミート演算子である。

更に、あるエルミート行列に対してその行列は必ず対角化され、その固有ベクトルは互いに直交することが知られている。この結果を用いると、エルミート演算子であるハミルトニアンの固有ベクトルである&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;|j\rangle&lt;/math&gt;は、互いに直交することが知られる。更に、それぞれの状態の長さを適切に変更することで、任意の状態&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;|j\rangle&lt;/math&gt;についてこれらの内積を&lt;math&gt;\delta _{ij}&lt;/math&gt;とすることが出来る。&lt;math&gt;\delta _{ij}&lt;/math&gt;については、[[物理数学I]]を参照。ここで、状態の長さを調整することを量子状態の規格化と呼ぶ。ただし、慣習的に状態&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;|j\rangle&lt;/math&gt;の内積は&lt;math&gt;\langle i|j\rangle&lt;/math&gt;のように書くことが多い。この記法を用いると、任意の&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;|j\rangle&lt;/math&gt;に対して、
:&lt;math&gt;\langle i|j\rangle = \delta={ij}
&lt;/math&gt;
が成り立つ。ここで、ある状態&lt;math&gt;|i&gt;&lt;/math&gt;とそれに対応する波動関数f(x)の関係を、
:&lt;math&gt;
f(x) = \langle x|i\rangle
&lt;/math&gt;
で取る。ここで、&lt;math&gt;|x&gt;&lt;/math&gt;は対応する粒子がちょうどxで表わされる点にある状態である。この記法は、関数空間の内積の定義と、上で述べた量子論的状態の内積の定義を整合的にすることが分かる。このことを述べるためにまず、関数空間の内積について説明する。ここでは、一般的に波動関数がある複素関数であるとして考える。関数空間の性質によるとある元f(x),g(x)を関数空間の元としたとき、ある積分&lt;math&gt;\int&lt;/math&gt;が存在して、
:&lt;math&gt;
\int f^* (x) g(x) dx
&lt;/math&gt;
を元f(x),g(x)の内積と呼ぶ。ここで、xについての積分の範囲は、
&lt;math&gt;-\infty &lt;x&lt;\infty&lt;/math&gt;とする。ただし、無限大のポテンシャルがある場合のように、波動関数が0となる範囲については積分しなくてもよい。このときには積分範囲はより狭い範囲になるのである。ここで、上の記法を用いると
:&lt;math&gt;
\int f^* (x)  g(x) dx = \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j \rangle 
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;
= \langle i|j\rangle = \delta _{ij}
&lt;/math&gt;
となる。ここで、
:&lt;math&gt;
\int dx \langle i|x\rangle \langle x|j\rangle 
&lt;/math&gt;
についてはまず、
&lt;math&gt;\langle i|x \rangle \langle x|j\rangle &lt;/math&gt;は、任意のxについてもともと&lt;math&gt;|j\rangle&lt;/math&gt;の状態にあった粒子が、xで表わされる点を通過して&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;の状態に変化することを表わしている。ここで、上では全てのxについてその結果を足し合わせているので、結局、その結果は、&lt;math&gt;|j\rangle&lt;/math&gt;の状態にあった粒子が、&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;の状態に変化すること方法の全てをつくしていると考えるのである。上で得た
:&lt;math&gt;
\int |x\rangle \langle x| = 1
&lt;/math&gt;
のような表式はベクトルの完全性と呼ばれ、このあと頻繁にでてくる性質である。特に、エルミート演算子に対しては対応する固有ベクトルが完全性の要請を満たすことが知られており、あるエルミート演算子の固有ベクトル&lt;math&gt;|i&gt;&lt;/math&gt;に対して、
:&lt;math&gt;
\Sigma _i |i\rangle \langle i| = 1
&lt;/math&gt;
が知られている。しかし、特に対応するベクトルが無限個あるときにはこの性質の数学的な証明は難しい場合が多い。

さて、上のことから分かる通り、
:&lt;math&gt;
\int f^* (x)  g(x) dx = \langle i|j \rangle = \delta _{ij}
&lt;/math&gt;
となって、量子論的ベクトルの正規化と対応させるために、波動関数の長さも、1つに定める必要があることが分かる。この条件は全ての波動関数&lt;math&gt;\psi(x)&lt;/math&gt;に対して、
:&lt;math&gt;
\int |\psi(x)|^2 dx =1
&lt;/math&gt;
とすることで満たされる。このことを波動関数の正規化と呼ぶ。

ここまでで粒子がどの状態にいるのかを指定する方法が分かった。それぞれのエネルギーの固有状態は&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;などの表示で表わされ、それらの量はどれも対応する波動関数を持つのである。ただし、これらの量はどれも正規化されていなければならない。次に粒子がある状態にいるときに、粒子が実際にどの位置にいるのかを知る方法を考える。ここでいう位置とは古典的な座標の意味であり、
あるエネルギー固有値を持った状態にいる粒子が古典的に見たときにはどの位置で発見されるのかという意味である。仮に対応するエネルギーの固有状態が偶然位置の演算子に対しても固有ベクトルとなっていたとすると、その状態は位置の演算子に対してただ1つの値を持つため、その状態にある粒子が発見される位置は決定している。一方、仮に対応するエネルギーの固有状態が位置の演算子に対して固有ベクトルとなっていなかったとすると、そのときにその粒子は様々な位置で発見されるように思える。実際実験的な結果はそのとおりであり、ある位置の固有状態でない状態にあるときその物体は位置の演算子が値を取り得る位置全体で見つかる確率がある。そして、実際にどの位置にあるかは実際に観測をしてみるまでは、知ることが出来ないのである。このことは全く不思議な結果であるが、例えば量子論的なヤングの実験などにおいてこの結果は確かに確認されているのである。

ここで、あるエネルギーの固有状態&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;からある位置に発見されてその位置にあることが確定している状態に移行する過程は、対応する位置をxとすると、
:&lt;math&gt;
\langle x|i\rangle
&lt;/math&gt;
で与えられることが予想される。しかし、この値はちょうどある固有状態に対応する波動関数f(x)であった。
:&lt;math&gt;
\langle x|i \rangle = f(x)
&lt;/math&gt;
このことから、波動関数f(x)は対応するエネルギーの固有状態にある粒子がある場所xに発見される位置に見つかる過程について関係していることがわかる。実際には更に、この量の絶対値を2乗した量が、ちょうどこの対応する状態にある粒子がその位置に見つかる確率となっているのである。
:&lt;math&gt;
P(x) = |f(x)|^2
&lt;/math&gt;
しかし、この量はちょうど
:&lt;math&gt;
\int dx |f(x)|^2 = P(x) =1
&lt;/math&gt;
として、波動関数の正規化を行なった量に対応するが、このことはP(x)を確率を表わす量として扱うための条件とも適合しているのである。

*問題例
**問題
波動関数f(x)が、
:&lt;math&gt;
f(x) = \frac 1 {{}^4\sqrt \pi} e^{-x^2/2 }
&lt;/math&gt;
で与えられるとする。このとき、ある点xで粒子が発見される確率を計算せよ。また、この波動関数が正しく正規化されていることを示せ。
**解答
ある点xで粒子が発見される確率P(x)について、
:&lt;math&gt;
P(x) = |f(x)|^2
&lt;/math&gt;
が成り立つことを用いればよい。よって、
:&lt;math&gt;
P(x) = |f(x)|^2
=\frac 1 {\sqrt \pi} e^{-x^2 }
&lt;/math&gt;
が得られる。更に、ガウス積分を用いて
:&lt;math&gt;
\int  _{-\infty }^{\infty} e^{-x^2} = \sqrt \pi
&lt;/math&gt;
を用いると、
:&lt;math&gt;
\int dx P(x) = 1
&lt;/math&gt;
が得られ、正しい正規化がなされていることが分かる。ガウス積分については
[[物理数学I]]を参照。

実際にはある状態&lt;math&gt;|a&gt;&lt;/math&gt;からある状態&lt;math&gt;|b&gt;&lt;/math&gt;に移行する確率が
:&lt;math&gt;
|\langle b|a\rangle|^2
&lt;/math&gt;
で与えられることはあるエネルギーの固有状態がある位置に移行する場合だけにとどまらず、より広い場合にあてはまる。特に上の場合について
:&lt;math&gt;
\langle b|a\rangle
&lt;/math&gt;
をaからbへの確率振幅と呼ぶ。波動関数は対応するエネルギーの固有状態からある位置で表わされる状態への確率振幅といえる。


ここで、あるエネルギーの固有状態&lt;math&gt;|i\rangle&lt;/math&gt;と、対応する波動関数f(x)に対して
:&lt;math&gt;
\langle i|x|i \rangle = \int dx x |f(x)|^2
&lt;/math&gt;
がどのような意味を持つかを考える。ここで、&lt;math&gt;|f(x)|^2&lt;/math&gt;が、対応する粒子がxで見つかる確率を表わしていることを考えると、上の式はxの期待値を表わす式そのものである。そのため、&lt;math&gt;\langle i|x|i \rangle&lt;/math&gt;のようなx演算子の対角成分は、対応する状態に粒子が存在するときの粒子が見つかる位置の期待値となることが分かる。一方、位置演算子の非対角成分はそれほど簡単な解釈は持っていない。ただし、これらの量は量子力学的な摂動などでよく使われる。詳しくは[[量子力学II]]を参照。

== シュレーディンガー方程式 ==

古典力学と量子力学との間の関係は、幾何光学と波動光学の間の関係に類似していると言うことができる。波動光学について簡単に復習すると、&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; を &lt;math&gt;\boldsymbol E&lt;/math&gt; あるいは &lt;math&gt;\boldsymbol B&lt;/math&gt; の任意の成分とすると、

&lt;math&gt;f = a e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

と書くことができる。ここで、&lt;math&gt;a&lt;/math&gt; は振幅であり、&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; はアイコナールと呼ばれる量である。波動光学から幾何光学への移行は、波長 &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; が0に近づく極限として定義される。&lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; だけ変化する距離に等しいため、&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が十分大きい量とすると幾何光学へ移行できる。十分微小な空間領域と時間領域に対して一次の項まで

&lt;math&gt;\varphi = \varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}&lt;/math&gt;

と近似する。このとき、

&lt;math&gt;f = a e^{i\left(\varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)}&lt;/math&gt;

となる。また、微小な空間領域と時間領域に対しては平面波として考えることができるから、

&lt;math&gt;f = a e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r - \omega t + \alpha)}&lt;/math&gt;

となる。両者の対応関係から

&lt;math&gt;\boldsymbol k = \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r},\, \omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}&lt;/math&gt;

を得る。これを &lt;math&gt;\boldsymbol k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}&lt;/math&gt; に代入すると、

&lt;math&gt;(\nabla \varphi)^2 = \frac{\omega^2}{c^2} &lt;/math&gt;

を得る。これはアイコナール方程式と呼ばれる幾何光学の基礎方程式である。アイコナール方程式はハミルトン・ヤコビ方程式と同じ形式である。簡約された作用を &lt;math&gt;S_0 = \varphi&lt;/math&gt; としてハミルトン・ヤコビ方程式を書けば、

&lt;math&gt;\frac{(\nabla \varphi)^2}{2m} + V = E&lt;/math&gt;

となる。

&lt;math&gt;\frac{\omega^2}{c^2} = 2m (E-V)&lt;/math&gt;

とするとアイコナール方程式に一致する。ここで、

&lt;math&gt;S_0 = \varphi &lt;/math&gt;

であるから、最小作用の原理より、実現される光線は &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が最小となる経路である。

さて、幾何光学ではアイコナール &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が最小となる経路が実現されるのに対して、古典力学では作用 &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; が最小となる経路が実現される。波動力学では &lt;math&gt;f = a e^{i \varphi}&lt;/math&gt; という量が存在したから、量子力学では

&lt;math&gt;\Psi = a e^{i \frac S \hbar}&lt;/math&gt;

という関係にある量が存在すると考えることができる。ここで、&lt;math&gt;\hbar&lt;/math&gt; はディラック定数と呼ばれるもので、指数の肩を無次元化するために導入した。古典力学では

&lt;math&gt;\boldsymbol p = \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r},\, H = - \frac{\partial S}{\partial t}&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial t}\Psi ,\, \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol r}= \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r}\Psi &lt;/math&gt;

より、

&lt;math&gt;i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = H\Psi ,\, -i\hbar\nabla \Psi = \boldsymbol p \Psi &lt;/math&gt;

を得る。&lt;math&gt;H = \frac{\boldsymbol p^2}{2m} + V &lt;/math&gt; に代入すれば、

&lt;math&gt;i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V\right)\Psi &lt;/math&gt;

を得る。これがシュレーディンガー(Schrödinger)方程式である。運動量演算子とハミルトン演算子を

&lt;math&gt;\hat \boldsymbol p = - i \hbar \nabla&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\hat H = \frac{\hat \boldsymbol p^2}{2m} + V(\boldsymbol r) = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V(\boldsymbol r) &lt;/math&gt;

で定義すると、

シュレーディンガー方程式を、
:&lt;math&gt;
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial{t}} = \hat H \Psi
&lt;/math&gt;
と書くことができる。

&lt;math&gt;\Psi(\boldsymbol r, t) = f(t) \psi(\boldsymbol r)&lt;/math&gt; と変数分離できたと仮定すると、

&lt;math&gt;
i \hbar \frac 1 f \frac{df}{d{t}} = \frac 1 \psi \hat H \psi = E
&lt;/math&gt; (定数)

となる。

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{-iE}{\hbar}f &lt;/math&gt;

はだたちに積分できて、

&lt;math&gt;f(t) = e^{\frac{-iEt}{\hbar}} &lt;/math&gt;

を得る。また、

&lt;math&gt;\hat H \psi = E \psi &lt;/math&gt;

となる。これを時間に依存しないシュレーディンガー方程式という。

== 波動関数 ==
波動関数 &lt;math&gt;\Psi&lt;/math&gt; の意味は

&lt;math&gt;|\Psi(\boldsymbol r, t)|^2 dV&lt;/math&gt;

が位置 &lt;math&gt;\boldsymbol r&lt;/math&gt; で時間 &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; の微小体積 &lt;math&gt;dV &lt;/math&gt; の中に粒子が存在する確率であると解釈される。&lt;math&gt;\rho = |\Psi|^2&lt;/math&gt; を確率密度とする。このとき、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 &amp;= \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} +  \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi\\
&amp;= \frac{1}{i\hbar}(\Psi^*\hat H \Psi - \Psi \hat H \Psi^*)\\
&amp;= -\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\triangle \Psi - \Psi \triangle \Psi^*)\\
&amp;= -\frac{\hbar}{2mi}\nabla(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*)
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。従って、&lt;math&gt;\boldsymbol j = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) &lt;/math&gt; を確率流密度と定義すると連続の式

&lt;math&gt;\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol j = 0&lt;/math&gt;

が成り立つ。

== 演算子 ==
ここからはある物理的な定数を持つことが量子力学的にどのような意味を持つかについて考える。物理的な定数とは例えば、ある物体の持つ位置や運動量のことである。古典力学ではある物体の物理的な状態は位置、運動量などを指定することによって得ることが出来、これらの間に特別な関係は無かった。これらはそれぞれの値を適当に取ってもよい量であったのである。

量子力学的にもある物体の物理的状態を定める量は存在しており、そのような量を定めることで物体がどのような状態にあるかを指定することが出来る。問題なのは、ある場合においてこれらの間に特殊な関係があらわれ、それらの量を任意に選ぶことが出来なくなることである。重要な例として、ある物体の位置と運動量は同時に定めることが出来ない。

ここで、ある物理的な状態の全てが数え上げられたとしてこれらの状態全体で張られるベクトルを取る。通常、ある物体が持つ物理的な状態は無数のエネルギーを持ち、このような操作は不可能に思える。実際このことは量子力学の発展の初期に大きな数学的な問題となった。しかし、現在ではベクトルの内積の取り方などを工夫することで、この様な作業が実際可能であることが示されている。詳しくは[[w:ヒルベルト空間]]などを参照。

このように全ての物理的状態が数え上げられたとするとき、それらの状態はあるエネルギーを持った状態として存在する。例えば、ある状態&lt;math&gt;\psi _1&lt;/math&gt;がエネルギー&lt;math&gt;E _1&lt;/math&gt;を持っていたとする。数学的にはこの様な状態はある行列&lt;math&gt;\hat H&lt;/math&gt;を用いて
:&lt;math&gt;
\hat H \psi  _1 = E _1 \psi  _1
&lt;/math&gt;
と表わせる。ここで、&lt;math&gt;\hat H&lt;/math&gt;は、全ての数え上げられた物理的な状態を1つの基底として持つような行列として考えられている。更に&lt;math&gt;\hat H&lt;/math&gt;は、それぞれの物理的状態に対して対角化されており、
:&lt;math&gt;
\psi _1, \psi _2,\psi _3, \cdots
&lt;/math&gt;
などの全ての物理的状態に対して対応するエネルギー&lt;math&gt;E _1&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;E _2&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;E _3&lt;/math&gt;などを返すものとする。

このような行列&lt;math&gt;\hat H&lt;/math&gt;は、実際にあるエネルギーを持つ状態としては、古典的な考え方と変化することは無い。なぜなら、&lt;math&gt;\hat H&lt;/math&gt;は、古典的に考えてある力学系の中に存在する物体が持つと考えられるエネルギー値を全て持っているものと考えることが出来るからである。

このため、仮に全ての量子的状態がエネルギーという量だけで特定されるのならば、ある力学系が取り得るエネルギーを全て定めることが量子的状態を全て求めることになる。ここまでの議論をより数学的な用語を用いてまとめると、出て来た量で&lt;math&gt;\hat H&lt;/math&gt;は全ての物理的な状態によって張られた行列であり物理的な状態を表わす&lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\hat H&lt;/math&gt;がかかることによってE倍されるようなベクトルであるので、&lt;math&gt;\hat H&lt;/math&gt;の固有ベクトルであると考えられる。このときエネルギーEは、固有値方程式
:&lt;math&gt;
\hat H \psi =  E \psi
&lt;/math&gt;
の固有値である。

演算子 &lt;math&gt;\hat A , \hat B&lt;/math&gt; について交換関係を

&lt;math&gt;[\hat A,\hat B] = \hat A\hat B - \hat B \hat A&lt;/math&gt;

で定める。例えば、

&lt;math&gt;[\hat x_i,\hat p_j]f = -i\hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_j} + i \hbar \frac{\partial }{\partial x_j}(x_i f) = i \hbar \delta_{ij}f&lt;/math&gt;

より、

&lt;math&gt;[\hat x_i,\hat p_j] = i \hbar \delta_{ij}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;[\hat x_i,\hat x_j] = 0, \, [\hat p_i,\hat p_j] = 0 &lt;/math&gt;

が成り立つ。

解析力学では、&lt;math&gt;\{x_i,p_j\} = \delta_{ij}&lt;/math&gt; であることから、古典力学と量子力学の間には、

&lt;math&gt;[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\}&lt;/math&gt;

の関係があることが予想できる。

== 一次元量子系 ==

=== 井戸型ポテンシャル ===
1次元井戸型ポテンシャル
: &lt;math&gt;V(x) = \begin{cases}
 \infty \quad (x&lt;0)\\
 0\quad (0 \le x \le a)\\
 \infty\quad (a&lt;x)
\end{cases}&lt;/math&gt;
を考える。このときのシュレーディンガー方程式は
:&lt;math&gt;E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)&lt;/math&gt;

となる。このとき&lt;math&gt;V(x)=\infty&lt;/math&gt;の領域&lt;math&gt;(x&lt;0,a&lt;x)&lt;/math&gt;では粒子は侵入不可なので、この領域における波動関数は&lt;math&gt;\psi(x)=0&lt;/math&gt;となる。波動関数&lt;math&gt;\psi(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;x=0,x=a&lt;/math&gt;でそれぞれ連続なので、&lt;math&gt;\psi(0)=\psi(a)=0&lt;/math&gt;となる。&lt;math&gt;0 \le x \le a&lt;/math&gt;におけるシュレーディンガー方程式は、
:&lt;math&gt;E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\psi''(x) + k^2 \psi(x) = 0&lt;/math&gt;　　&lt;math&gt;\left(k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\right)&lt;/math&gt;とした。
:となるから、
:&lt;math&gt;\psi(x)=A\sin (kx+\delta)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\psi(0)=0&lt;/math&gt; より &lt;math&gt;\delta=0&lt;/math&gt; である。 &lt;math&gt;\psi(a)=0&lt;/math&gt; より、&lt;math&gt;\sin ka = 0&lt;/math&gt; より、&lt;math&gt;ka = n\pi \quad (n=1,2,\cdots)&lt;/math&gt; で、エネルギー準位は

&lt;math&gt;E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2ma^2}&lt;/math&gt;

となる。波動関数を、&lt;math&gt;\int_0^{a}(\psi(x))^2 dx = 1&lt;/math&gt;となるように規格化すると、
:&lt;math&gt;A=\sqrt{\frac{2}{a}}&lt;/math&gt;

となり
:&lt;math&gt;\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}&lt;/math&gt;

を得る。

=== 有限の場合 ===
次に、ポテンシャルの深さが有限

&lt;math&gt;V(x) = \begin{cases}
 V_0 \quad (x&lt;0)\\
 0\quad (0 \le x \le a)\\
 V_0\quad (a&lt;x)
\end{cases}&lt;/math&gt;

で &lt;math&gt;0&lt;E &lt; V_0
&lt;/math&gt; の場合を考える。井戸の外側でのシュレーディンガー方程式は

&lt;math&gt;\psi''(x) + \kappa^2 \psi(x) = 0&lt;/math&gt;　　&lt;math&gt;\left(\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\right)&lt;/math&gt;

となるから、&lt;math&gt;x \le 0&lt;/math&gt; で

&lt;math&gt;\psi(x) = ae^{\kappa x}&lt;/math&gt;

となり、&lt;math&gt;x \ge a&lt;/math&gt; で

&lt;math&gt;\psi(x) = be^{-\kappa x}&lt;/math&gt;

となる。また、&lt;math&gt;0 \le x \le a&lt;/math&gt; で

&lt;math&gt;\psi(x) = c\sin(kx+\delta)&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\psi,\psi'&lt;/math&gt; は連続で井戸の外では0にはならないから &lt;math&gt;\frac{\psi'}{\psi}&lt;/math&gt; も連続で、

&lt;math&gt;\frac{\psi'}{\psi} = \kappa \quad (x \le 0)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\psi'}{\psi} = -\kappa \quad (x \ge a)
&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;k \cot \delta = \kappa,k \cot (ka+\delta) = -\kappa
&lt;/math&gt;

を得る。ここで、

&lt;math&gt;\kappa = k \sqrt{\frac{2mV_0}{k^2\hbar^2}-1},\,\cot x = \sqrt{\frac{1}{\sin^2x}-1}
&lt;/math&gt;

を使うと、

&lt;math&gt;\sin\delta = -\sin(ka+\delta) = \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}}
&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;ka = n \pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \quad(n=1,2,\cdots)
&lt;/math&gt;

を得る。この超越方程式を &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; について解くことでエネルギー準位が分かる&lt;ref&gt;&lt;math&gt;\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} = \arcsin\frac{k}{\sqrt{\kappa^2+k^2}}=\arctan\frac{k}{\kappa}&lt;/math&gt; と変形して両辺の正接を取ると、奇数の &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; に対して &lt;math&gt;\eta=\xi\tan\xi.&lt;/math&gt; 偶数の &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; に対して &lt;math&gt;\xi=-\eta\cot\eta&lt;/math&gt; を得る。ここで、&lt;math&gt;\xi = \frac{ka}{2},\eta = \frac{\kappa a}{2}&lt;/math&gt; である。これと &lt;math&gt;\xi^2 +\eta^2 = \frac{mV_0 a^2}{2\hbar^2}&lt;/math&gt; の交点を求めることに帰着される。&lt;/ref&gt;。&lt;math&gt;V_0\to\infty
&lt;/math&gt; とすると無限に深い井戸型ポテンシャルと同じ &lt;math&gt;ka = n\pi
&lt;/math&gt; に帰着する。

超越方程式の解 &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; の厳密解を求めることは容易ではないが、固有状態の数は正確にわかる。&lt;math&gt;k&lt;/math&gt; は正であり、&lt;math&gt;\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}}&lt;/math&gt; が定義されるため &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; の最大値は &lt;math&gt;\frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}&lt;/math&gt; である。また、方程式の右辺は各 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; について

&lt;math&gt;n\pi &gt; n\pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \ge (n-1)\pi
&lt;/math&gt;

であり、単調減少である。したがって、&lt;math&gt;ka&lt;/math&gt; と交わる回数が固有状態の数であるから、

&lt;math&gt;(n-1)\pi \le \frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}a &lt; n \pi&lt;/math&gt;

であるとき、&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; 個の固有状態が存在する。

=== 階段型ポテンシャル ===
1次元階段型ポテンシャル
: &lt;math&gt;V(x)=\begin{cases}
 0 \quad (x&lt;0)\\
 V_0 \quad (0 \leq x)
\end{cases}&lt;/math&gt;
に入射波 &lt;math&gt;e^{ik_1x}&lt;/math&gt; が左から向かってくる場合を考える。&lt;math&gt;E &gt; V_0&lt;/math&gt; の場合で、
: &lt;math&gt; k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} &lt;/math&gt;
とする。波動関数は
: &lt;math&gt;\psi(x)=\begin{cases}
 e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x&lt;0)\\
 Be^{ik_2x}\quad (0 \leq x)
\end{cases}&lt;/math&gt;
波動関数が&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;で滑らかである条件から定数を定める。
: &lt;math&gt;1+A=B&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;k_1(1-A)=k_2B&lt;/math&gt;
より、
: &lt;math&gt;A = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; B=\frac{2k_1}{k_1+k_2} &lt;/math&gt;

=== 土手型ポテンシャル ===
1次元土手型ポテンシャル
: &lt;math&gt;V(x)=\begin{cases}
 0 \quad (x&lt;0)\\
 V_0 \quad (0 \leq x \le a)\\
 0\quad (x&gt;a)
\end{cases}&lt;/math&gt;
に入射波 &lt;math&gt;e^{ik_1x}&lt;/math&gt; が左から向かってくる場合を考える。ただし、&lt;math&gt;E &gt; V_0&lt;/math&gt; で
: &lt;math&gt; k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} &lt;/math&gt;
とする。波動関数は
: &lt;math&gt;\psi(x)=\begin{cases}
 e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x&lt;0)\\
 Be^{ik_2x} + B'e^{ik_2x}\quad (0 \le x \le x)\\
 Ce^{ik_1x} \quad (x &gt; a)
\end{cases}&lt;/math&gt;
波動関数が&lt;math&gt;x=0,a&lt;/math&gt;で滑らかである条件から
: &lt;math&gt;1+A=B+B',1-A=\frac{k_2}{k_1}(B-B')&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;Be^{ik_2x}+B'e^{-ik_2a}=Ce^{ik_1a},Be^{ik_2x}-B'e^{-ik_2a}=\frac{k_1}{k_2}Ce^{ik_1a}&lt;/math&gt;
となる。後半の2式より、

&lt;math&gt;B = \left(1+\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2e^{i(k_1-k_2)a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;B' = \left(1-\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2 e^{i(k_1+k_2)a}&lt;/math&gt;

となる。前半の2式から &lt;math&gt;2 = \left(1+\frac{k_2}{k_1}\right)B + \left(1-\frac{k_2}{k_1}\right)B'&lt;/math&gt; となるから、

&lt;math&gt;C = \frac{2k_1k_2e^{-ik_1a}}{2k_1k_2\cos k_2a - i(k_1^2+k_2^2)\sin k_2a}&lt;/math&gt;

となる。したがって、透過係数は

&lt;math&gt;T = |C|^2 = \frac{4k_1^2k_2^2}{4k_1^2k_2^2+(k_1^2-k_2^2)^2\sin^2 k_2a}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;E &lt; V_0&lt;/math&gt; のときは &lt;math&gt;k_2&lt;/math&gt; は純虚数となるから、&lt;math&gt;k_2 = i\kappa_2&lt;/math&gt; と置いて、

&lt;math&gt;T = \frac{4k_1^2\kappa_2^2}{4k_1^2\kappa_2^2+(k_1^2+\kappa_2^2)^2\sinh^2 \kappa_2a}&lt;/math&gt;

を得る。

=== 調和振動子 ===
ハミルトニアンが

&lt;math&gt;\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac 1 2 m \omega^2 x^2&lt;/math&gt;

で与えられる系を考える。シュレーディンガー方程式は

&lt;math&gt;-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left(\frac 1 2 m \omega^2 x^2 - E\right)\psi = 0&lt;/math&gt;

となる。無次元の変数 &lt;math&gt;\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x&lt;/math&gt; を導入すると、

&lt;math&gt;\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + \left(\frac{2E}{\hbar \omega}- \xi^2\right)\psi = 0&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;\xi \to \infty&lt;/math&gt; では

&lt;math&gt;\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \xi^2\psi&lt;/math&gt;

と振る舞うため、漸近的に &lt;math&gt;\psi \sim e^{\pm \frac{\xi^2}{2}}&lt;/math&gt; となる。波動関数は &lt;math&gt;\xi \to \infty&lt;/math&gt; で有限でなくてはならないため、&lt;math&gt;\psi \thicksim e^{-\frac{\xi^2}{2}}&lt;/math&gt; である。そこで、

&lt;math&gt;\psi = H(\xi) e^{-\frac{\xi^2}{2}}&lt;/math&gt;

と置き、&lt;math&gt;H(\xi)&lt;/math&gt; に対する微分方程式を求めると、

&lt;math&gt;\frac{d^2H}{d\xi^2} - 2\xi \frac{dH}{d\xi} + 2n H = 0&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;2n = \frac{2E}{\hbar \omega} - 1&lt;/math&gt; である。微分方程式の冪級数解

&lt;math&gt;H = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k&lt;/math&gt;

を仮定すると、

&lt;math&gt;\sum_{k=2}^\infty a_k k (k-1) \xi^{k-2} - 2\sum_{k=0}^\infty a_k k \xi^k + 2n \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty[ a_{k+2} (k+2) (k+1) - 2 a_k k + 2n a_k ]\xi^k = 0&lt;/math&gt;

すなわち、

&lt;math&gt;a_{k+2} = - \frac{2(n-k)}{(k+1)(k+2)}a_k&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; が非負整数ではないときは、&lt;math&gt;H&lt;/math&gt; は無限級数で、漸近的に &lt;math&gt;\frac{a_{k+2}}{a_k} \sim \frac 2 k &lt;/math&gt; となるから、

&lt;math&gt;H \propto \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \xi^{2k} = e^{\xi^2}&lt;/math&gt;

よって、&lt;math&gt;\psi \propto e^{\frac{\xi^2}{2}}&lt;/math&gt; となり発散してしまう。&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; が非負整数であるなら級数は途中で打ち切られるから、&lt;math&gt;H&lt;/math&gt; は多項式となる。

&lt;math&gt;k = n - 2l&lt;/math&gt; と置くと、係数の関係は

&lt;math&gt;a_{n-2l} = - \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)}{4l}a_{n-2(l-1)}&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;a_{n-2l} = (-1)^l \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)(n-2l+3)(n-2l+4)\cdots n}{4^l l(l-1)\cdots 1}a_{n} = \frac{(-1)^l n!}{4^l l! (n-2l)!}a_n&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{align}
H(x) &amp;= \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} a_{n-2k} x^{n-2k}\\
&amp;= a_n n!\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{2^{2k} k! (n-2k)!} x^{n-2k}\\
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。ここで &lt;math&gt;a_n = 2^n &lt;/math&gt; としたものをエルミート多項式

&lt;math&gt;H_n(x) = a_n \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}&lt;/math&gt;

とする。

エネルギー準位は、

&lt;math&gt;E_n = \left(n + \frac 1 2 \right)\hbar \omega&lt;/math&gt;

となる。

=== 生成消滅演算子 ===
生成演算子と消滅演算子をそれぞれ、

&lt;math&gt;\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p &lt;/math&gt;

で定義する。数演算子を &lt;math&gt;\hat n = \hat a^\dagger \hat a&lt;/math&gt; で定義する。簡単な計算から、

&lt;math&gt;[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\hat n, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\hat n, \hat a] = -\hat a &lt;/math&gt;

が分かる。

状態 &lt;math&gt;|n\rangle &lt;/math&gt; を &lt;math&gt;\hat n &lt;/math&gt; の固有状態

&lt;math&gt;\hat n |n\rangle = n |n\rangle &lt;/math&gt;

で定義する。

&lt;math&gt;\langle n| \hat n|n\rangle = ||\hat a |n\rangle||^2 \ge 0 &lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;n \ge 0 &lt;/math&gt; である。

&lt;math&gt;\begin{align}
\hat n \hat a |n\rangle &amp;= (\hat a \hat n - \hat a)|n\rangle \\
&amp;= (n-1) \hat a |n\rangle
\end{align}&lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;\hat a |n\rangle &lt;/math&gt; は固有値 &lt;math&gt;n-1 &lt;/math&gt; に属する固有状態であり、

&lt;math&gt;\hat a|n\rangle = c_n |n-1\rangle&lt;/math&gt;

と書ける。

&lt;math&gt;\begin{align}
\langle n | \hat n |n\rangle &amp;= \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle\\
&amp;= c_n^2 \langle n-1 | n-1 \rangle\\
&amp;= c_n^2\\
&amp;= n
\end{align}&lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;c_n = \sqrt n&lt;/math&gt; である。

&lt;math&gt;\hat a|n\rangle = \sqrt n |n-1\rangle&lt;/math&gt;

となるが、 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; が整数でないならば &lt;math&gt;\hat a&lt;/math&gt; を繰り返し適用することにより負の固有値 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; を持つ状態が作れてしまう。&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; が整数ならば

&lt;math&gt;\hat a |0\rangle = 0&lt;/math&gt;

より、負の固有状態は作れないことになり &lt;math&gt;n \ge 0&lt;/math&gt; の条件に矛盾しない。また、基底状態が &lt;math&gt;|0\rangle&lt;/math&gt; で与えられることも分かる。

同様に、

&lt;math&gt;\begin{align}
\hat n \hat a^\dagger |n\rangle &amp;= (\hat a^\dagger \hat n + \hat a^\dagger)|n\rangle \\
&amp;= (n + 1) \hat a^\dagger|n\rangle
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\hat a^\dagger |n\rangle &lt;/math&gt; は固有値 &lt;math&gt;n+1 &lt;/math&gt; に属する固有状態であり、

&lt;math&gt;\hat a^\dagger|n\rangle = c_n |n+1\rangle&lt;/math&gt;

と書ける。

&lt;math&gt;\begin{align}
\langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle &amp;= \langle n | \hat a \hat a^\dagger - 1 | n \rangle\\
&amp;= c_n^2 \langle n+1 | n+1 \rangle - \langle n | n \rangle\\
&amp;= c_n^2 - 1\\
&amp;= n
\end{align}&lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;c_n = \sqrt{n+1} &lt;/math&gt; である。従って、

&lt;math&gt;\hat a^\dagger | n \rangle = \sqrt {n+1} | n+1 \rangle &lt;/math&gt;

を得る。基底状態 &lt;math&gt;|0\rangle &lt;/math&gt; は

&lt;math&gt;\hat a |0\rangle = 0&lt;/math&gt;

より波動関数は

&lt;math&gt;\left(x + \frac{\hbar}{m\omega} \frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0&lt;/math&gt;

となるから、これを解いて &lt;math&gt;\psi_0(x) = C e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}&lt;/math&gt;となる。規格化は

&lt;math&gt;\int |\psi_0|^2 dx = |C|^2 \int e^{-\frac{m\omega}{\hbar}x^2}dx = |C^2| \sqrt{\frac{\hbar \pi}{m\omega}} = 1&lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;C = \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}&lt;/math&gt; となる。また、

&lt;math&gt;|n \rangle = \frac{1}{\sqrt n} \hat a^\dagger |n-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n |0\rangle &lt;/math&gt;

となるから、&lt;math&gt;\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x&lt;/math&gt; と変数変換すると、

&lt;math&gt;\psi_n = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{-\frac{\xi^2}{2}} &lt;/math&gt;

となる。ここで、

&lt;math&gt;\begin{align}
\hat a^\dagger &amp;= \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x - \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \frac{d}{dx}\\
&amp;= \frac{1}{\sqrt 2}\left(\xi - \frac{d}{d\xi}\right)\\
&amp;= -\frac{1}{\sqrt 2} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d}{d\xi}e^{-\frac 1 2 \xi^2}
\end{align} &lt;/math&gt;

となるから

&lt;math&gt;\begin{align}
\psi_n &amp;= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\\
&amp;= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \left(e^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\right)e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\
&amp;= \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} H_n(\xi) e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\
\end{align} &lt;/math&gt;

を得る。

== 角運動量 ==

軌道角運動量演算子 &lt;math&gt;\hat L_i&lt;/math&gt; を &lt;math&gt;\hat L_i = \varepsilon_{ijk} x_j \hat p_k&lt;/math&gt; で定義する。すなわち

&lt;math&gt;\hat L_x = y \hat p_z - z \hat p_y,\, \hat L_y = z \hat p_x - x \hat p_z,\,\hat L_z = x \hat p_y - y \hat p_x&lt;/math&gt;

である。

&lt;math&gt;\begin{align}
{}[\hat L_i, x_j] &amp;= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , x_j] \\
&amp;= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , x_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, x_j]\hat p_l \\
&amp;= i\hbar\varepsilon_{ijk}x_k
\end{align}&lt;/math&gt;

を得る。

&lt;math&gt;\begin{align}
{}[\hat L_i, \hat p_j] &amp;= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , \hat p_j] \\
&amp;= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , \hat p_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, \hat p_j]\hat p_l \\
&amp;= i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat p_k
\end{align}&lt;/math&gt;

を得る。

&lt;math&gt;\begin{align}
{}[\hat L_i, \hat L_j] &amp;= \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k \hat p_l] \\
&amp;= \varepsilon_{jkl} x_k[\hat L_i, \hat p_l] + \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k]\hat p_l \\
&amp;= i\hbar\varepsilon_{jkl}\varepsilon_{ilm} x_k\hat p_m + i\hbar\varepsilon_{jkl} \varepsilon_{ikm}x_m\hat p_l\\
&amp;= i\hbar(-\delta_{ij}x_{k}\hat p_k + x_i \hat p_j +\delta_{ij} x_l \hat p_l - x_j \hat p_i)\\
&amp;= i\hbar(x_i \hat p_j - x_j \hat p_i)\\
&amp;= i\hbar \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}x_l \hat p_m\\
&amp;= i\hbar \varepsilon_{ijk} \hat L_k
\end{align}&lt;/math&gt;

を得る&lt;ref&gt;これらは古典力学における &lt;math&gt;\{L_i, q_j\}= \varepsilon_{ijk}q_k, \{L_i, p_j\}= \varepsilon_{ijk}p_k, \{L_i, L_j\}= \varepsilon_{ijk}L_k&lt;/math&gt; に対応する。このことは &lt;math&gt;\{q_i,p_j\}=\delta_{ij},\{q_i,q_j\}=0,\{p_i,p_j\}=0&lt;/math&gt; によりここでやったのと全く同じ計算で示される。あるいは、&lt;math&gt;[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\}
&lt;/math&gt; の対応原理からもわかる。&lt;/ref&gt;。

角運動量演算子の二乗を

&lt;math&gt;\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat{L_x^2} +\hat{L_y^2} +\hat{L_z^2}&lt;/math&gt;

で定義する。このとき、&lt;math&gt;[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] = 0&lt;/math&gt; である。実際、

&lt;math&gt;\begin{align}
{}[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] &amp;= [\hat{L_j^2},\hat L_i]\\
&amp;= \hat L_j [\hat L_j, \hat L_i] + [\hat L_j, \hat L_i]\hat L_j\\
&amp;= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k + \varepsilon_{ijk}\hat L_k \hat L_j)\\
&amp;= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k - \varepsilon_{ikj}\hat L_k \hat L_j)\\
&amp;=0
\end{align}&lt;/math&gt;

である。

昇降演算子を &lt;math&gt;\hat L_\pm = \hat L_x \pm i\hat L_y&lt;/math&gt; で定義する。

&lt;math&gt;\begin{align}
{}[\hat L_z, \hat L_\pm] &amp;= [\hat L_z, \hat L_x] \pm i[\hat L_z, \hat L_y]\\
&amp;= i\hbar \hat L_y \pm \hbar \hat L_x\\
&amp;= \pm \hbar \hat L_\pm
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\begin{align}
\hat L_- \hat L_+ &amp;= (\hat L_x - i \hat L_y)(\hat L_x + i \hat L_y)\\
&amp;= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} + i(\hat L_x \hat L_y - \hat L_y \hat L_x)\\
&amp;= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} - \hbar \hat L_z
\end{align} &lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat L_- \hat L_+ +\hat{L_z^2} + \hbar \hat L_z &lt;/math&gt; を得る。簡単のために、&lt;math&gt;\hbar\hat l_i = \hat L_i,\, \hat{{\boldsymbol l}^2} = \hat{l_x^2} +\hat{l_y^2} +\hat{l_z^2} &lt;/math&gt; を定義しよう。このとき &lt;math&gt;[\hat{{\boldsymbol l}^2},\hat l_z] = 0&lt;/math&gt; が成立するから、同時対角化可能で規格化された固有状態 &lt;math&gt;|\lambda,m \rangle &lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;\hat{{\boldsymbol l}^2}|\lambda,m \rangle = \lambda |\lambda,m \rangle, \, \hat l_z|\lambda,m \rangle = m |\lambda,m \rangle &lt;/math&gt;

とする。

&lt;math&gt;\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = \langle \lambda,m| \hat{l_x^2} + \hat{l_y^2} |\lambda,m\rangle \ge 0
 &lt;/math&gt;

ここで、&lt;math&gt;\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = (\lambda - m^2) 
\langle \lambda,m|\lambda,m\rangle = \lambda - m^2
 &lt;/math&gt; より &lt;math&gt;\lambda \ge m^2
 &lt;/math&gt; を得る。従って、&lt;math&gt;m
 &lt;/math&gt; には最大値と最小値があり、最大値を &lt;math&gt;l
 &lt;/math&gt; とすると、対称性より最小値は &lt;math&gt;-l
 &lt;/math&gt; で与えられる。

&lt;math&gt;\begin{align}
\hat l_z \hat l_{\pm}|\lambda, m \rangle &amp;= (\hat l_\pm \hat l_z + [\hat l_z, \hat l_{\pm}])|\lambda, m \rangle\\
&amp;= (\hat l_\pm \hat l_z \pm \hat l_\pm)|\lambda, m \rangle\\
&amp;= (m \pm 1 )\hat l_\pm |\lambda, m \rangle
\end{align}
 &lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;\hat l_\pm |\lambda, m \rangle
 &lt;/math&gt; は固有値が &lt;math&gt;m\pm1
 &lt;/math&gt; である &lt;math&gt;\hat l_z
 &lt;/math&gt; の固有状態となる。従って &lt;math&gt;\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \propto |\lambda, m \pm 1\rangle &lt;/math&gt; とかける。&lt;math&gt;m = l &lt;/math&gt; の場合は、固有値が &lt;math&gt;l+1
 &lt;/math&gt; の状態は存在しないから、

&lt;math&gt;\hat l_+ |\lambda, l\rangle = 0
 &lt;/math&gt;

となる。従って

&lt;math&gt;\hat l_-\hat l_+ |\lambda, l\rangle = (\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z)|\lambda, l\rangle = (\lambda - l^2 - l)|\lambda, l\rangle = 0 &lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;\lambda = l(l+1)
 &lt;/math&gt; を得る。今後は &lt;math&gt;\lambda
 &lt;/math&gt; の代わりに &lt;math&gt;l
 &lt;/math&gt; を用いて &lt;math&gt;|l,m \rangle
 &lt;/math&gt; と書くことにする。&lt;math&gt;\hat l_\pm |l, m \rangle = C^\pm_{lm}|l, m \pm 1\rangle &lt;/math&gt; とすると

&lt;math&gt;\begin{align}
\langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &amp;= \langle l, m |\hat l_+^\dagger\hat l_+ |l, m \rangle\\
&amp;= |C^+_{lm}|^2\langle l, m+1 |l, m+1 \rangle\\
&amp;= |C^+_{lm}|^2
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\begin{align}
\langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &amp;= \langle l, m |\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z|l, m \rangle\\
&amp;= l(l+1)-m(m+1) \\
&amp;= (l-m)(l+m+1)
\end{align} &lt;/math&gt;

より &lt;math&gt;\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)}|l, m+ 1\rangle &lt;/math&gt; を得る。&lt;math&gt;\langle l, m+ 1|\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} &lt;/math&gt; のエルミート共役を取って、

&lt;math&gt;\langle l, m|\hat l_- |l, m+1 \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} &lt;/math&gt;

あるいは、

&lt;math&gt;\langle l, m-1|\hat l_- |l, m \rangle = \sqrt{(l+m)(l-m+1)} &lt;/math&gt;

を得る。

次に、角運動量演算子を極座標で表す表式を求めよう。球座標と直交座標の関係

&lt;math&gt;x = r\sin\theta\cos\varphi,y = r\sin\theta\sin\varphi,z = r\cos\theta&lt;/math&gt;

の関係から、

&lt;math&gt;\frac{\partial}{\partial \theta} = r\cos\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial y}-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\partial}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\sin\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial y}&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;\begin{align}
i\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &amp;=
iz\frac{\partial}{\partial y}-iy\frac{\partial}{\partial z}\\
&amp;= \hat l_x
\end{align} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{align}
i\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &amp;=
-iz\frac{\partial}{\partial x}+ix\frac{\partial}{\partial z}\\
&amp;= \hat l_y
\end{align} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{align}
-i\frac{\partial}{\partial \varphi} &amp;=
iy\frac{\partial}{\partial x}-ix\frac{\partial}{\partial y}\\
&amp;= \hat l_z
\end{align} &lt;/math&gt;

を得る。また、

&lt;math&gt;\hat l_{\pm} = e^{\pm i \varphi}\left(\pm\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\right) &lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\begin{align}
\hat l^2 &amp;= \hat l_- \hat l_+ + \hat l_z^2 + \hat l_z\\
&amp;= - \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
\end{align}&lt;/math&gt;

を得る。これはラプラシアンの角度部分である。

&lt;math&gt;\begin{align}
\triangle &amp;= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\\
&amp;=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) -\frac{\hat l^2 }{r^2}
\end{align}&lt;/math&gt;

== 水素原子 ==
ポテンシャル &lt;math&gt;V(r) = - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r}&lt;/math&gt; での電子の運動を考えよう。シュレーディンガー方程式は

&lt;math&gt;\triangle \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0&lt;/math&gt;

となる。

&lt;math&gt;\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}\right) -\frac{1}{r^2}\hat l^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0&lt;/math&gt;

で &lt;math&gt;\psi = R(r)Y(\theta,\varphi)&lt;/math&gt; と変数分離すると、

&lt;math&gt;\frac 1 R \frac{d}{d r}\left(r^2 \frac{d R}{d r}\right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2}(E-V(r)) = \frac 1 Y \hat l^2 Y = \mu&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;\hat l^2 Y = \mu Y&lt;/math&gt; は非負整数 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; が存在して &lt;math&gt;\mu = l(l+1)&lt;/math&gt; とかけるときのみ発散しない解が存在して、&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; は球面調和関数となる。&lt;math&gt;R&lt;/math&gt; についての微分方程式

&lt;math&gt;\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) -\frac{l(l+1)}{r^2}R + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))R = 0&lt;/math&gt;

は、簡単のために &lt;math&gt;m = e = 4 \pi \varepsilon_0 = \hbar = 1&lt;/math&gt; となる原子単位系を採用すると、

&lt;math&gt;R'' + \frac 2 r R' -\frac{l(l+1)}{r^2}R + 2\left(E+\frac{Z}{r}\right)R = 0&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;n = \frac{Z}{\sqrt{-2E}},\, \rho = \frac{2Z}{n}r&lt;/math&gt; と変数変換すると、

&lt;math&gt;R'' + \frac 2 \rho R' + \left(-\frac 1 4 + \frac n \rho - \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right)R = 0&lt;/math&gt;

となる。ここで &lt;math&gt;'&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; に対する微分である。 &lt;math&gt;\rho \ll 1&lt;/math&gt; で &lt;math&gt;R \propto \rho^s&lt;/math&gt; と仮定すると、

&lt;math&gt;\frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}\left(\rho^2 \frac{dR}{d\rho}\right) -\frac{l(l+1)}{\rho^2}R = 0&lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;s(s+1) = l(l+1)&lt;/math&gt; を得る。&lt;math&gt;s = l, -l-1&lt;/math&gt; となるが、&lt;math&gt;R \propto \rho^{-l-1}&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\rho = 0&lt;/math&gt; で発散するため &lt;math&gt;R \propto \rho^{l}&lt;/math&gt; である。また、&lt;math&gt;\rho \to \infty&lt;/math&gt; では

&lt;math&gt;R'' -\frac 1 4 R = 0&lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt;R \propto e^{-\frac \rho 2}&lt;/math&gt; となる。従って、

&lt;math&gt;R = \rho^l e^{-\frac \rho 2}w(\rho)&lt;/math&gt;

として、&lt;math&gt;w&lt;/math&gt; に対する微分方程式を求めると、

&lt;math&gt;\rho w'' + (2l + 2 - \rho)w' + (n - l - 1)w = 0&lt;/math&gt;

を得る。これは、一般化されたラゲール多項式

&lt;math&gt;L^{(\alpha)}_n(\rho) = \frac{(\alpha+1)_n}{n!}F(-n,\alpha+1;\rho)&lt;/math&gt;

が微分方程式

&lt;math&gt;\rho L'' + (\alpha + 1 - \rho)L' + nL = 0&lt;/math&gt;

の解であるから、

&lt;math&gt;w = L^{(2l+1)}_{n-l-1}(\rho)&lt;/math&gt;

と書くことができる。

エネルギー準位は &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; の定義より、

&lt;math&gt;E_n = -\frac{Z^2}{2n^2}&lt;/math&gt;

となる。国際単位系で書くと&lt;ref&gt;原子単位系でのエネルギーの単位は &lt;math&gt;m, e, 4 \pi \varepsilon_0, \hbar&lt;/math&gt; からエネルギーの次元を持つ量を作ると &lt;math&gt;E_h = \frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = \alpha^2 mc^2&lt;/math&gt; となる。ここで、&lt;math&gt;\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137}&lt;/math&gt; は微細構造定数である。&lt;/ref&gt;、

&lt;math&gt;E_n = -\frac{me^4Z^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2}&lt;/math&gt;

となる。

== エーレンフェストの定理 ==
演算子 &lt;math&gt;\hat A&lt;/math&gt; に対してその時間微分の演算子 &lt;math&gt;\frac{d\hat A}{dt}&lt;/math&gt; を定義したい。これは、

&lt;math&gt;\frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} = \left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle&lt;/math&gt;

となるように定義するのがいいだろう。

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} &amp;= \frac{d}{dt}\int \psi^* \hat A \psi dx \\
&amp;= \int \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial t} \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \psi^* \hat A \frac{\partial \psi}{\partial t}\right) dx \\
&amp;= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat H \psi^* \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ 
&amp;= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\psi^* \hat H \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ 
&amp;= \int \left(\psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* [\hat A, \hat H] \psi\right) dx \\ 

\end{align}&lt;/math&gt;

となる。これが、

&lt;math&gt;\left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle = \int \psi^* \frac{d \hat A}{dt} \psi dx&lt;/math&gt;

に等しいのだから、

&lt;math&gt;\frac{d \hat A}{dt} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar} [\hat A, \hat H] &lt;/math&gt;

となる。位置演算子 &lt;math&gt;\hat \boldsymbol r  &lt;/math&gt; の一階と二階の時間微分 &lt;math&gt;\hat \boldsymbol v , \, \hat \boldsymbol a &lt;/math&gt; を作ってみよう。

&lt;math&gt;\hat \boldsymbol v = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol r \hat H - \hat H \hat \boldsymbol r ) = -\frac{i\hbar}{2m}(\boldsymbol r \triangle - \triangle \boldsymbol r) = -\frac{i\hbar}{m}\nabla &lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\hat \boldsymbol a = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol v \hat H - \hat H \hat \boldsymbol v) = -\frac{1}{m}(\nabla V - V\nabla) = - \frac 1 m \nabla V &lt;/math&gt;

となる。よって、

&lt;math&gt;m \hat \boldsymbol a = - \nabla V &lt;/math&gt;

あるいは、

&lt;math&gt;m \frac{d^2 \langle\hat x\rangle}{dt^2} = - \langle \nabla V \rangle &lt;/math&gt;

を得る。これをエーレンフェストの定理という。

== エルミート多項式の性質 ==
エルミート多項式の母関数を求めよう。

&lt;math&gt;\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}t^n &amp;= \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{ k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}t^n\\
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]}&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;n - 2k \ge 0&lt;/math&gt; を満たすすべての非負整数 &lt;math&gt;n,k&lt;/math&gt; についての和である。そこで、&lt;math&gt;l = n - 2k&lt;/math&gt; とし、&lt;math&gt;l&lt;/math&gt; を0から∞まで走らせ、各 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; について &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; を+1するごとに &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; に2を足すことにすると、 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; が一定のまま &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; は0から∞まで走らせることができる。従って、総和は、

&lt;math&gt;\begin{align}
\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{ k! l!} (2x)^{l}t^{l+2k} &amp;= \sum_{l=0}^\infty\frac{(2xt)^l}{l!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-t^2)^k}{k!}\\
&amp;= e^{2xt-t^2}
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\begin{align}
H_n(x) &amp;= \frac{d^n}{dt^n}e^{2xt-t^2}|_{t=0}\\
&amp;= e^{x^2} \frac{d^n}{dt^n}e^{(x-t)^2}|_{t=0}\\
&amp;= e^{x^2} \frac{d^n}{d(-s)^n}e^{-s^2}|_{s=x}\\
&amp;= (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} \\
\end{align} &lt;/math&gt;

より、ロドリゲスの公式を得る。途中で、 &lt;math&gt;s=x-t &lt;/math&gt; とした。

== WKB近似 ==
エネルギーが一定のとき作用は &lt;math&gt;S = S_0 - Et &lt;/math&gt; であるから、波動関数の準古典近似は

&lt;math&gt;\Psi = ae^{\frac i \hbar S} = ae^{\frac{-iEt}{\hbar}}e^{\frac i \hbar S_0}&lt;/math&gt;

となる。そこで、&lt;math&gt;\psi = a e^{\frac i \hbar S_0} &lt;/math&gt; をシュレーディンガー方程式に代入して &lt;math&gt;\hbar &lt;/math&gt; の0次と1次について計算すると&lt;ref&gt;&lt;math&gt;\left(\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V \right)\psi \approx \left(\frac{1}{2m}\left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2a-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2S_0}{dx^2}a -\frac{i\hbar}{m}\frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} + Va\right)e^{\frac i \hbar S_0} &lt;/math&gt; となる。&lt;/ref&gt;、

&lt;math&gt;\frac{1}{2m} \left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2 + V(x) = E &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{2m} a\frac{d^2S_0}{dx^2} + \frac 1 m \frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} = 0 &lt;/math&gt;

を得る。第一式を解くと、

&lt;math&gt;S_0 = \pm \int \sqrt{2m(E-V(x))}dx =: \pm\int pdx &lt;/math&gt;

となる。第二式は &lt;math&gt;2ma &lt;/math&gt; を掛けると

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(a^2\frac{dS_0}{dx}\right) = 0 &lt;/math&gt;

と変形されるから、&lt;math&gt;C &lt;/math&gt; を定数として

&lt;math&gt;a = \frac{C}{\sqrt p} &lt;/math&gt;

を得る。よって波動関数は

&lt;math&gt;\psi(x) = \frac{C_1}{\sqrt p} e^{\frac i \hbar \int pdx} + \frac{C_2}{\sqrt p} e^{-\frac i \hbar \int pdx} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt; E &lt; V(x) &lt;/math&gt; の領域では &lt;math&gt;p &lt;/math&gt; は純虚数となるから &lt;math&gt;p = i \tilde p &lt;/math&gt; と置いて

&lt;math&gt;\psi(x) = \frac{C'_1}{\sqrt \tilde p} e^{\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} + \frac{C'_2}{\sqrt \tilde p} e^{-\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} &lt;/math&gt;

となる。
== スピン ==
電子などの素粒子には粒子に固有の角運動量が存在する。これをスピンという。&lt;math&gt;\hbar&lt;/math&gt; を単位として測ったスピン演算子を &lt;math&gt;\hat s_i \; (i=x,y,z)&lt;/math&gt; とする。これは角運動量演算子と同じ交換関係

&lt;math&gt;[\hat s_i, \hat s_j] = i\varepsilon_{ijk} \hat s_k
&lt;/math&gt;

を満たす。[[量子力学#角運動量]]では、軌道角運動量の交換関係を求めてから後は、その交換関係しか使っていない。すなわち、[[量子力学#角運動量]]で求めたことはスピン演算子でも有効である。つまり、&lt;math&gt;\hat s_z&lt;/math&gt; の固有値には最大値が存在し、その最大値を &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; とする。このとき、&lt;math&gt;s_z = -s,-s+1,\cdots,s-1,s&lt;/math&gt; の &lt;math&gt;2s+1&lt;/math&gt; 個のスピン状態が存在する。&lt;math&gt;2s+1&lt;/math&gt; は自然数であるから、&lt;math&gt;s = 0, \frac 1 2, 1, \frac 3 2, \cdots&lt;/math&gt; の値を取ることができる。

スピン &lt;math&gt;s=\frac 1 2&lt;/math&gt; の場合を考える。&lt;math&gt;\hat s_z&lt;/math&gt; の固有状態には &lt;math&gt;s_z = \pm \frac 1 2&lt;/math&gt; の二通りがある。それぞれの固有状態を &lt;math&gt;\left|\frac 1 2\right\rangle,\left|-\frac 1 2\right\rangle&lt;/math&gt; とする。

&lt;math&gt;\hat s_z \left|\frac 1 2\right\rangle = \frac 1 2 \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_z \left|-\frac 1 2\right\rangle = -\frac 1 2 \left|-\frac 1 2\right\rangle&lt;/math&gt;

である。したがって、&lt;math&gt;\left|\frac 1 2\right\rangle = \binom{1}{0},\left|-\frac 1 2\right\rangle = \binom{0}{1}&lt;/math&gt; と行列表示するとき、&lt;math&gt;\hat s_z&lt;/math&gt; の行列表示は

&lt;math&gt;\hat s_z = \begin{pmatrix} \frac 1 2 &amp; 0 \\ 0 &amp; -\frac 1 2 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\hat s_+ \left|-\frac 1 2\right\rangle = \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_- \left|\frac 1 2\right\rangle = \left|-\frac 1 2\right\rangle&lt;/math&gt;

より、

&lt;math&gt;\hat s_+ = \begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 0 \end{pmatrix},\hat s_- = \begin{pmatrix} 0 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 \end{pmatrix} &lt;/math&gt;

となる。よって、

&lt;math&gt;\hat s_x =\frac 1 2 (\hat s_++\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0 \end{pmatrix} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\hat s_y =\frac{1}{2i}(\hat s_+-\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 &amp; -i \\ i &amp; 0 \end{pmatrix} &lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;\hat s_i = \frac 1 2 \sigma_i&lt;/math&gt; となる行列

&lt;math&gt;\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0 \end{pmatrix},\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 &amp; -i \\ i &amp; 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 \end{pmatrix} &lt;/math&gt;

をパウリ行列と定義する。

== 角運動量の合成 ==
*[[量子力学/角運動量の合成|角運動量の合成]]

== 時間に依存しない摂動論 ==
ハミルトニアン &lt;math&gt;\hat H_0&lt;/math&gt; は完全に解かれていて

&lt;math&gt;\hat H_0 |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle&lt;/math&gt;

とする。規格化されていて縮退はないとする。&lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; を小さい量として摂動ハミルトニアン

&lt;math&gt;\hat H = \hat H_0  + \lambda \hat V&lt;/math&gt;

を考える。目標はシュレーディンガー方程式

&lt;math&gt;\hat H |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle &lt;/math&gt;

を摂動的に解くことである。

&lt;math&gt;|\psi_n\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle + \cdots&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots&lt;/math&gt;

と &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; の冪で展開する。二次まででシュレーディンガー方程式に代入すると、

&lt;math&gt;(\hat H_0  + \lambda \hat V)(|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)}) (|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) &lt;/math&gt;

一次の方程式は

&lt;math&gt;\hat H_0 |\psi_n^{(1)}\rangle  + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle &lt;/math&gt;

となる。二次は

&lt;math&gt;\hat H_0 |\psi_n^{(2)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(1)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(2)}\rangle + E_n^{(1)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(2)}|\psi_n^{(0)}\rangle &lt;/math&gt;

となる。まずは一次の近似について考える。

&lt;math&gt;|\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle &lt;/math&gt;

と展開して、

&lt;math&gt;\sum_k E^{(0)}_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle  + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\langle \psi_m^{(0)}| &lt;/math&gt; を左からかけると、

&lt;math&gt;E^{(0)}_m c^{(1)}_m + \langle \psi_m^{(0)}| 
 \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c^{(1)}_m + E_n^{(1)}\langle \psi_m^{(0)}| 
\psi_n^{(0)}\rangle &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;m = n &lt;/math&gt; とすると、

&lt;math&gt;E_n^{(1)} = \langle \psi_m^{(0)}| 
 \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle &lt;/math&gt;

を得る。&lt;math&gt;m \neq n &lt;/math&gt; のときは、

&lt;math&gt;c_m^{(1)} = \frac{\langle \psi_m^{(0)}| 
 \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;c_n^{(1)} &lt;/math&gt; は決定できないが、&lt;math&gt;c_n^{(1)}=0 &lt;/math&gt; とする。

次に二次の摂動に移ろう。同じように、

&lt;math&gt;|\psi_n^{(2)}\rangle = \sum_k c^{(2)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle &lt;/math&gt;

と展開して二次の方程式に &lt;math&gt;\langle \psi_m^{(0)}| &lt;/math&gt; を左からかけると、

&lt;math&gt;E^{(0)}_m c_m^{(2)} + \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_m^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c_m^{(2)} + E_n^{(1)} c_m^{(1)} + E_n^{(2)}\langle \psi_m^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;m=n&lt;/math&gt; とすると、

&lt;math&gt;E_n^{(2)} = \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_m^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = \sum_{k\neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}&lt;/math&gt;

となる。

=== 永年方程式 ===
縮退がある場合の摂動を考える。&lt;math&gt; E_n^{(0)}&lt;/math&gt; に属する固有状態が &lt;math&gt;|\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle&lt;/math&gt; であるとする。前節と同じように

&lt;math&gt;|\psi_{n}\rangle = \sum_\alpha c_{n,\alpha}^{(0)} |\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle
&lt;/math&gt;

と展開する。これを一次までで切ったシュレーディンガー方程式

&lt;math&gt;(\hat H_0  + \lambda \hat V)|\psi_n\rangle = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)})|\psi_n\rangle&lt;/math&gt;

に代入して &lt;math&gt;\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|&lt;/math&gt; を左からかけると、

&lt;math&gt;\sum_\alpha (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta})c^{(0)}_{n,\alpha} = 0&lt;/math&gt;

を得る。これが、すべての &lt;math&gt;c^{(0)}_{n,\alpha}&lt;/math&gt; が0とはならない解が存在するためには、

&lt;math&gt;\det (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta}) = 0&lt;/math&gt;

でなくてはならない。これを永年方程式という。

== 部分波 ==
自由粒子のシュレーディンガー方程式の解を極座標で考えてみよう。シュレーディンガー方程式は

&lt;math&gt;(\triangle + k^2)\psi(r,\theta,\varphi) = 0&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}&lt;/math&gt; である。これはヘルムホルツ方程式である。&lt;math&gt;\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)Y(\theta,\varphi)&lt;/math&gt; を変数分離すると

&lt;math&gt;\frac{1}{R}\left(\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right)  + r^2 k^2 R\right) = \frac 1 Y  \hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)&lt;/math&gt;

より、

&lt;math&gt;\hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)Y&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right)  + \left(k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right) R = 0&lt;/math&gt;

を得る。&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; は球面調和関数で &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; は軌道角運動量であることがわかる。動径関数は &lt;math&gt;R(r) = \frac{X(kr)}{\sqrt{kr}}&lt;/math&gt; と置くと、

&lt;math&gt;\frac{d^2}{dr^2}X(kr) + \frac 1 r \frac{d}{dr}X(kr) + \left(k^2-\frac{(l+1/2)^2}{r^2}\right) X(kr) = 0&lt;/math&gt;

を得る。これは &lt;math&gt;l+ \frac 1 2&lt;/math&gt; 次のベッセルの微分方程式であるから、&lt;math&gt;X(kr) = A J_{l+1/2}(kr) + BN_{l+1/2}(kr)&lt;/math&gt; となる。球ベッセル関数

&lt;math&gt;j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x),\, n_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} N_{l+1/2}(x)&lt;/math&gt;

を使うと、

&lt;math&gt;R(r) = a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)&lt;/math&gt;

となる。最終的にヘルムホルツ方程式の解は、

&lt;math&gt;\psi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) &lt;/math&gt;

となる。この式のそれぞれの項は確定した角運動量 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; と角運動量の &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;  成分 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; を持つ波動関数である。このように角運動量の固有状態で展開することを部分波展開という。

=== 平面波の部分波展開 ===
平面波 &lt;math&gt;e^{ikz}&lt;/math&gt; はヘルムホルツ方程式を満たす。すなわち、

&lt;math&gt;e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) &lt;/math&gt;

の形に変形することができる。まず、&lt;math&gt;r=0&lt;/math&gt; で有限だから、&lt;math&gt;b_{lm}=0&lt;/math&gt; である。また、左辺は &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; に依存しないから、&lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; である。よって、

&lt;math&gt;e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) &lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;ここでは &lt;math&gt;Y_{lm}(\theta,\varphi) \propto P^{|m|}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}&lt;/math&gt; だけで十分である。規格化因子は重要ではないから、係数に吸収させた。&lt;/ref&gt;。ここで、&lt;math&gt;x\to 0&lt;/math&gt; で漸近的に

&lt;math&gt; j_l(x) \to \frac{x^l}{(2l+1)!!}\left(1-\frac{x^2}{2(2l+3)}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

となる。実際、

&lt;math&gt; J_{l+1/2}(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(l+k+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{2k+l+1/2} \to \frac{1}{\Gamma(l+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2}&lt;/math&gt;

より、

&lt;math&gt; j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x) \to \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\frac{2^{l+1}}{(2l+1)!!\sqrt{\pi}}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2} = \frac{x^l}{(2l+1)!!}&lt;/math&gt;

となる。また、&lt;math&gt; P_l(\cos\theta) &lt;/math&gt; の最高次 &lt;math&gt;\cos^l\theta&lt;/math&gt; の係数は、&lt;math&gt;\frac{(2l)!!}{l!}&lt;/math&gt; である&lt;ref&gt;[[物理数学II/特殊関数#Legendre 多項式]]を見よ&lt;/ref&gt;から、

&lt;math&gt;\sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) \to \sum_{l=0}^\infty a_l \frac{(kr\cos\theta)^l}{(2l+1)l!}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \frac{(ikr\cos\theta)^l}{l!}&lt;/math&gt;

より、&lt;math&gt; a_l = (2l+1)i^l &lt;/math&gt; を得る。したがって、

&lt;math&gt;e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)i^l j_l(kr) P_l(\cos\theta) &lt;/math&gt;

を得る。

== 散乱 ==
平面波 &lt;math&gt;e^{ikz}&lt;/math&gt; がポテンシャル &lt;math&gt;V(r)&lt;/math&gt; に入射されて、散乱された波動関数は &lt;math&gt;r\to\infty&lt;/math&gt; のところで、&lt;math&gt;f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}&lt;/math&gt; の球面波の形をしている。波動関数は &lt;math&gt;r\to\infty&lt;/math&gt; で

&lt;math&gt;\psi \to e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} &lt;/math&gt;

に漸近する。&lt;math&gt;r\to\infty&lt;/math&gt; ではポテンシャルの影響はなく自由粒子と仮定していいから、&lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt; はヘルムホルツ方程式の解に漸近する。入射波とポテンシャルは &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; には依存しないから &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; である。したがって、

&lt;math&gt;\psi \to \sum_{l=0}^\infty (a_{l} j_l(kr) + b_{l} n_l(kr)) P_l(\cos\theta) &lt;/math&gt;

と展開される。さらに、&lt;math&gt;r\to\infty &lt;/math&gt; で

&lt;math&gt;\begin{align}
j_l(kr) &amp;\to \frac{1}{kr}\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right),\\
n_l(kr) &amp;\to -\frac{1}{kr}\cos\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right)
\end{align}&lt;/math&gt;

となることを使うと、

&lt;math&gt;\psi = \frac{1}{kr}\sum_{l=0}^\infty c_l\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l\right) P_l(\cos\theta) &lt;/math&gt;

となる。ここで &lt;math&gt;\delta_l&lt;/math&gt; は位相のずれという。入射波 &lt;math&gt;e^{ikr\cos\theta} &lt;/math&gt; も同じように部分波展開して、球面ベッセル関数の漸近形を使うと、

&lt;math&gt;\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{1}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty [c_l(e^{i\delta_l}i^{-l}e^{ikr}-e^{-i\delta_l}i^{l}e^{-ikr})P_l(\cos\theta) - (2l+1)i^l(i^{-l}e^{ikr}-i^le^{-ikr})P_l(\cos\theta)]&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\psi - e^{ikr\cos\theta} &lt;/math&gt; は外向きの散乱波である。したがって、内向き球面波の &lt;math&gt;\frac{e^{-ikr}}{r} &lt;/math&gt; の部分の係数は0である必要がある。このことから &lt;math&gt;c_l &lt;/math&gt; が決定できて、

&lt;math&gt;c_l = (2l+1)i^le^{i\delta_l} &lt;/math&gt;

となる。これを代入すると、

&lt;math&gt;\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{e^{ikr}}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)&lt;/math&gt;

を得る。すなわち、散乱振幅は

&lt;math&gt;f(\theta) = \frac{1}{2ik}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)&lt;/math&gt;

である。散乱断面積は

&lt;math&gt;\begin{align}
\sigma &amp;= 2\pi \int_0^\pi |f(\theta)|^2\sin\theta d\theta\\
&amp;= 2\pi\sum_{l=0}^\infty \int_0^\pi \frac{4k^2}{(2l+1)^2}|e^{2i\delta_l}-1|^2P_l(\cos\theta)^2\sin\theta d\theta\\
&amp;= \frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)\sin^2\delta_l
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\operatorname{Im}f(0) = \frac{2l+1}{k}\sum_{l=0}^\infty \sin^2\delta_l&lt;/math&gt;

より、

&lt;math&gt;\sigma = \frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) &lt;/math&gt;

を得る。これを光学定理という。

== ボルン近似 ==
ポテンシャル &lt;math&gt;V &lt;/math&gt; が十分小さいときの散乱問題を考えよう。入射波を &lt;math&gt;\psi^{(0)} = e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}&lt;/math&gt; 、散乱波 &lt;math&gt;\psi^{(1)}&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; と同次の量とする。

&lt;math&gt;\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle + V\right)(\psi^{(0)} + \psi^{(1)}) = E(\psi^{(0)} + \psi^{(1)})&lt;/math&gt;

について、二次の微小量 &lt;math&gt;V\psi^{(1)}&lt;/math&gt; を無視すると、

&lt;math&gt;-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(1)} + V\psi^{(0)} = E \psi^{(1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\triangle \psi^{(1)} + k^2 \psi^{(1)} = \frac{2m}{\hbar^2} V\psi^{(0)} = \frac{2m}{\hbar^2} V e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}&lt;/math&gt;

となる。ここで、

&lt;math&gt;-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(0)} = E\psi^{(0)}&lt;/math&gt;

が成り立つことを使った。

この方程式の解は、&lt;math&gt;R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'|&lt;/math&gt; として

&lt;math&gt;\begin{align}\psi^{(1)}(\boldsymbol r) &amp;= -\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') \psi^{(0)}(\boldsymbol r') e^{ikR} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R}\\
&amp;=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r + kR)} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R}
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;r \gg r' &lt;/math&gt; のときは &lt;math&gt;R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'| \approx r - \boldsymbol r' \cdot \boldsymbol n&lt;/math&gt; となる。ここで、&lt;math&gt;\boldsymbol n &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\boldsymbol r &lt;/math&gt; 方向の単位ベクトルである。さらに、 &lt;math&gt;\frac 1 R \approx \frac 1 r &lt;/math&gt; とする。そうすると、

&lt;math&gt;\psi^{(1)}(\boldsymbol r) 
=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k - \boldsymbol k')\cdot \boldsymbol r'} d^3\boldsymbol r' &lt;/math&gt;

を得る。ただし、&lt;math&gt;\boldsymbol k' = k \boldsymbol n &lt;/math&gt; とした。最終的に散乱振幅は

&lt;math&gt;f=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r &lt;/math&gt;

で与えられる。&lt;math&gt;\boldsymbol q = \boldsymbol k' - \boldsymbol k &lt;/math&gt; で &lt;math&gt;q= 2k \sin \frac{\theta}{2} &lt;/math&gt; となる。微分散乱断面積は

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{m^2}{4\pi^2 \hbar^4}\left|\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r\right|^2 &lt;/math&gt;

となる。

球対称ポテンシャル &lt;math&gt;V(r) &lt;/math&gt; の場合は、積分を実行すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r &amp;= \int_0^\infty dr \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi d\theta r^2 \sin\theta V(r) e^{-iqr\cos\theta}\\
&amp;= 2\pi \int_0^\infty dr \, r^2 \left[\frac{1}{iqr}e^{-iqr\cos\theta}\right]_0^\pi \\
&amp;=\frac{4\pi}{q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr
\end{align} &lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;f=-\frac{2m}{\hbar^2 q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr &lt;/math&gt;

となる。

例として湯川ポテンシャル &lt;math&gt;V(r) = \frac{\alpha}{r} e^{-\mu r} &lt;/math&gt; の場合の微分散乱断面積を計算しよう。

&lt;math&gt;\begin{align}
\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr &amp;= \int_0^\infty \alpha e^{-\mu r} \sin qr dr \\
&amp;= \alpha \operatorname{Im} \int_0^\infty e^{-\mu r} e^{iqr} dr\\
&amp;= \alpha \operatorname{Im} \left[\frac{e^{(-\mu + iq)r}}{qi-\mu} \right]_0^\infty \\
&amp;= \alpha \operatorname{Im} \frac{1}{\mu- iq} = \frac{\alpha q}{\mu^2 + q^2}
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。したがって、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2}{\hbar^4} \frac{\alpha^2}{(\mu^2+q^2)^2} &lt;/math&gt;

となる。散乱断面積は &lt;math&gt;q^2 = 2k^2(1-\cos\theta) &lt;/math&gt; より、

&lt;math&gt;\begin{align}
\sigma &amp;= 2\pi \int_0^\pi \frac{4 m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \frac{\sin\theta d\theta}{(\mu^2 + 2k^2(1-\cos\theta))^2}\\
&amp;= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\int_0^2 \frac{dx}{(\mu^2 + 2k^2 x)^2}\\
&amp;= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \left[\frac{-1}{2k^2}\frac{1}{(\mu^2 + 2k^2 x)}\right]_0^2\\
&amp;= \frac{16\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\frac{1}{\mu^2(\mu^2 + 4k^2)}
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。途中で &lt;math&gt;x=1-\cos\theta &lt;/math&gt; とした。

また、&lt;math&gt;\mu \to 0 &lt;/math&gt; とするとポテンシャルはクーロンポテンシャルとなり、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2 \alpha^2}{\hbar^4 q^4} = \left(\frac{m\alpha}{2\hbar^2 k^2}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2} &lt;/math&gt;

となる。これは、古典力学でのラザフォード散乱に一致する。{{stub}}

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    <title>解析力学 運動方程式の一般化</title>
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        <username>Nermer314</username>
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本書を読むための前提知識は、基本的な解析学の知識で十分である。

== 質点系の力学 ==
=== ニュートンの運動の法則 ===

;第一法則
:ある座標系が存在し、その座標系では、すべての力が働いていない質点は、静止するか直線上を一定の速度で運動をする（これを慣性系という)。

;第二法則
:慣性系において、質点に加わる力は質点の質量と加速度の積に等しい。

;第三法則
:二つの質点1,2が互いに力を及ぼし合うとき、質点1が質点2に作用する力と、質点2が質点1に作用する力とは、大きさが等しく逆向きである。

&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; 個の質点の系を考える。この系の自由度は &lt;math&gt;3N&lt;/math&gt; だから、その座標を &lt;math&gt;x_1,\dots, x_{3N}&lt;/math&gt; と書く事が出来る。各 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; について、第二法則は、

&lt;math&gt;m_i \ddot x_i = F_i &lt;/math&gt;

となる。ここで、関数 &lt;math&gt;U(x_1,\dots, x_{3N})&lt;/math&gt; が存在して、

&lt;math&gt;F_i  =  -\frac{\partial U(x_1,\dots, x_{3N})}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と書く事が出来るとき、これを保存力という。質点系に保存力のみが働く場合、ラグランジアンを

&lt;math&gt;L = \sum_i \frac{1}{2}m_i \dot {x_i}^2 - U &lt;/math&gt;

と定義すると、運動方程式は、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0&lt;/math&gt;

と変形することが出来る。これをオイラー・ラグランジュ方程式という。この方程式の重要なことは、これが座標変換によって形を変えないということである。

実際に、&lt;math&gt;q_i = q_i(x,t)&lt;/math&gt; のように座標変換するとき、

&lt;math&gt;\frac{dx_i}{dt} = \frac{dq_k}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial q_k} + \frac{\partial x_i}{\partial t}&lt;/math&gt;

から、

&lt;math&gt;\frac{\partial \dot x_i}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial x_i} = \frac{\partial x_l}{dt}\frac{\partial}{\partial x_l}\left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) = \frac{\partial}{\partial x_l}\left( \frac{dx_l}{dt} \frac{\partial q_k}{\partial x_l} \right) = \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_l}&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} &amp;= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_i} \\
&amp;= \frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\right)\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial q_k}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} \\
&amp;= \frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right]
\end{align}&lt;/math&gt;

ここで、&lt;math&gt;\det \left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) \neq 0&lt;/math&gt; ならば、線形方程式 &lt;math&gt;\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right] = 0&lt;/math&gt; を解いて、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0&lt;/math&gt;

を得る。

== 変分原理 ==
オイラー・ラグランジュ方程式は変分原理からも導出することができる。それはラグランジアン &lt;math&gt;L(q_1,q_2,\cdots,q_K,\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_K)&lt;/math&gt; の運動に沿った積分

&lt;math&gt;S = \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t),t) &lt;/math&gt;

が極値を取る経路が実現されるというものである。

まずは簡単な例として、関数 &lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; について考えよう。&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; が最小値を取るとき、&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となるのだった。&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となることは、&lt;math&gt;x &lt;/math&gt; を微小量 &lt;math&gt;\delta x &lt;/math&gt; だけ変化させたとき、&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta f := f(x+\delta x) - f(x) &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta f = 0 &lt;/math&gt; になるということである。

ここからの類推で、&lt;math&gt;S(q,\dot q) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; について、&lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; を少しだけ変化させて &lt;math&gt;q(t) + \delta q(t) &lt;/math&gt; （ただし、境界条件 &lt;math&gt;\delta q_i(t_0) = \delta q_i(t_1) = 0 &lt;/math&gt; を課す）としたときの &lt;math&gt;S &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta S = S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)  &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta S = 0 &lt;/math&gt; となると考えることが出来る。


&lt;math&gt;\begin{align} \delta S &amp;= S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)\\ 
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t)) \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, [L(q(t) + \delta q(t) ,\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - L(q(t),\dot q(t))] \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \sum_{k=1}^{K} \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K} \int_{t_0}^{t_1} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} q_k(t)|_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\right] \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) \\
&amp;= 0
\end{align} &lt;/math&gt;


ここで、 &lt;math&gt;\delta q_k(t) &lt;/math&gt; は任意であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 &lt;/math&gt;

を得る。
==一般化運動量==
一般化運動量 &lt;math&gt;p_i&lt;/math&gt; を
:&lt;math&gt;
p_i = \frac {\partial L}{\partial {\dot q_i} } 
&lt;/math&gt;
で定義する。デカルト座標を使った場合、質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; の粒子のラグランジアンは、 &lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) -U(x,y,z)&lt;/math&gt; であるから、

&lt;math&gt;p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x&lt;/math&gt;

となって、通常の運動量に一致する。また、極座標では、&lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 ) -U(r,\theta)&lt;/math&gt; より、

&lt;math&gt;p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\dot r,\, p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = mr^2 \dot \theta &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; に共役な運動量は角運動量に一致する。

== 保存則 ==
ラグランジアン &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; が陽に &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; に依存しないならば、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{dL}{dt} &amp;= \frac{dq_i}{dt} \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{d\dot q_i}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\\
&amp;= \dot q_i \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \ddot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \\
&amp;= \frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。変形すると、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\right) = 0&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;E = \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L&lt;/math&gt;

は保存する。この量 &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; はエネルギーと呼ばれる。

ラグランジアンに

&lt;math&gt;\dot x_i = \dot q_k \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

を代入して一般座標で書くと、

&lt;math&gt;\begin{align}
L &amp;= \frac 1 2 m_i \dot x_i^2 - U(x) \\
&amp;= \frac 1 2 m_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} \dot q_k \dot q_l - U(q) \\
&amp;= \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l - U(q) 
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;a_{kl}(q) = m_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} &lt;/math&gt; とした。

運動エネルギーの部分を &lt;math&gt;T(q,\dot q) = \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l &lt;/math&gt; と置くと、同次関数に対するオイラーの定理より、

&lt;math&gt;\dot q_i \frac{\partial T} {\partial \dot q_i} = 2T&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;\begin{align}
E &amp;= \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp;= \dot q_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp; = 2T -(T-U)\\
&amp;= T+U

\end{align}&lt;/math&gt;

を得る。エネルギーとは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であるということが分かる。

== 重力二体問題 ==
質量 &lt;math&gt;m_1,m_2&lt;/math&gt; の質点が重力を及ぼし合うときの運動を考える。質点の座標をそれぞれ &lt;math&gt;\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2&lt;/math&gt; とすればラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m_1 \dot\boldsymbol r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot\boldsymbol r_2^2 + \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}&lt;/math&gt;

となる。ここで、重心 &lt;math&gt;\boldsymbol r_c = \frac{m_1\boldsymbol r_1 + m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; と相対位置ベクトル &lt;math&gt;\boldsymbol r = \boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1&lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2 + \frac 1 2 \mu \dot\boldsymbol r^2 + \frac{G\mu M}{r}&lt;/math&gt;

と書き直すことができる。ここで、&lt;math&gt;M = m_1 + m_2&lt;/math&gt; は全質量、&lt;math&gt;\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; は換算質量である。&lt;math&gt;\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は循環座標だから、&lt;math&gt;M \dot\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は保存する。すなわち、ラグランジアンの &lt;math&gt;\frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2&lt;/math&gt; の部分は定数だから取り除いて、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 \mu \dot\boldsymbol r^2 + \frac{G\mu M}{r}&lt;/math&gt;

とすることができる。すなわち、質量 &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; を持った質点の距離に反比例するポテシャルでの運動に帰着される。このように中心対称の場での運動では、角運動量は保存されるから、質点の運動は中心を通るある面に限られる。この面で極座標を導入し、&lt;math&gt;\alpha = G\mu M&lt;/math&gt; とすると、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + \frac{\alpha}{r}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が循環座標であるから、角運動量 &lt;math&gt;J = \mu r^2 \dot \varphi &lt;/math&gt; が保存される。また、エネルギー

&lt;math&gt;E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + \frac{J^2}{2\mu r^2} - \frac \alpha r &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = -\frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2\mu r^2} &lt;/math&gt; と定義すると、&lt;math&gt;E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U_{\rm eff}(r)&lt;/math&gt; と書くことができる。すなわち、運動は有効ポテンシャル &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) &lt;/math&gt; の中で移動する一次元運動と見なすことができる。&lt;/ref&gt;

も保存されるから、

&lt;math&gt;dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu}(E+\frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{\mu^2 r^2}}}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;平方根を取るときに、正負の符号が付くが、これは運動が右回りになるか左回りになるかの違いしかないから、正の方を選ぶことにする。&lt;/ref&gt;

あるいは、&lt;math&gt;d\varphi = \frac{J}{\mu r^2} dt &lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;d\varphi = \frac{\frac{J}{r^2}dr}{\sqrt{2\mu(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{r^2}}} = \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;u = \frac 1 r&lt;/math&gt; と変数変換して、積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\varphi &amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \alpha u)-u^2}}\\
&amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{-\left(u-\frac{\mu\alpha}{J^2}\right)^2 + \frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4} }}\\
&amp;= \arccos\frac{u-\frac{\mu\alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4}}} + C
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;積分 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2} = \left(c_1 - \frac{1}{r} \right)\left(\frac 1 r - c_2 \right) &lt;/math&gt; と置き、&lt;math&gt;\frac 1 r = \frac{c_1 + c_2}{2} + \frac{c_1 - c_2}{2}\cos\theta&lt;/math&gt; と変数変換することで、 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{c_1 - c_2}{2}\sin \theta d\theta}{\sqrt{\left(\frac{c_1 - c_2}{2}\right)^2(1-\cos^2 \theta )}} = \theta = \arccos \frac{\frac{1}{r} - \frac{c_1+c_2}{2}}{\frac{c_1-c_2}{2}} = \arccos \frac{\frac{1}{r}-\frac{\mu \alpha}{J^2}}{\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;と計算することもできる。&lt;/ref&gt;。ここで、積分定数はこれが0になるように選ぶ。さらに、

&lt;math&gt;p = \frac{J^2}{\mu\alpha},\, e= \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{\mu\alpha^2}}&lt;/math&gt;

とすると、

&lt;math&gt;\varphi = \arccos \frac{\frac p r - 1}{e} &lt;/math&gt;

あるいは、

&lt;math&gt;r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

を得る。

従って惑星の軌道は二次曲線になる。&lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e&lt;1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は楕円になる。また、&lt;math&gt;E\ge 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e\ge 1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は放物線あるいは双曲線となる。放物線になる場合は無限遠に於いて速度が0となる。

=== 惑星の運動 ===
ここでは、天体の軌道が楕円となる場合、すなわち &lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; の場合を扱う。

時刻 &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; と軌道上の惑星の位置の関係を求める。エネルギー保存の式まで立ち返って、それを &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; について解くと、

&lt;math&gt;\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{\mu}\left(E+\frac{\alpha}{r}\right)-\frac{J^2}{\mu^2 r^2}}&lt;/math&gt;

となる。ここで、

&lt;math&gt;E = -\frac{\alpha}{2a},\, J = \sqrt{\mu \alpha a(1-e^2)}&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;\dot{r} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a}} \sqrt{\frac{2}{\mu}(-r^2 + 2ar - a^2(1-e^2)} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a}} \sqrt{-(r-a)^2 + a^2e^2}&lt;/math&gt;

となる。さて、今までは楕円の焦点を原点とした座標で計算を進めていたが、これを楕円の中心を原点とした座標に移行するほうが便利である。この座標では楕円の方程式は

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1&lt;/math&gt;

となる。極座標で書くと、

&lt;math&gt;x = a\cos u,\, y = b\sin u&lt;/math&gt;
[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|Pは惑星の位置。P'はPをy軸と平行にその外接円（青）に射影した位置である。fは真近点角、Eが離心近点角である。]]
となる。ここで導入した &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; は離心近点角という。対して、&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; は真近点角という。右図より、

&lt;math&gt;r \cos \varphi = a\cos u - ae&lt;/math&gt;

となる。これに、軌道の極方程式

&lt;math&gt;r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;a = \frac{r(\varphi=0)+r(\varphi=\pi)}{2} = \frac{p}{1-e^2}&lt;/math&gt; より、&lt;math&gt;p = a(1-e^2)&lt;/math&gt; である。&lt;/ref&gt; すなわち &lt;math&gt;r + re\cos\varphi = a(1-e^2)&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;r = a(1-e\cos u)&lt;/math&gt;
[[ファイル:Аномалии.gif|サムネイル|Bは惑星。Cは惑星の軌道の外接円にy軸に平行にBを射影した仮想上の天体。Dは外接円を一定速度（平均運動）で動く仮想上の天体。直線SBと直線SOのなす角が真近点角。角SOCが離心近点角。角SODが平均近点角である。また、右上のMは平均近点角、Eは離心近点角である。]]
を得る。この式を &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; の式に代入すると、

&lt;math&gt;\dot u = \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}} \frac{1}{1 - e \cos u} &lt;/math&gt;

さらに積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int\sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}} dt &amp;= \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}}(t-t_0) \\
&amp;= \int(1 - e \cos u)du\\
&amp;= u - e\sin u
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;t_0&lt;/math&gt; は積分定数で、&lt;math&gt;t = t_0&lt;/math&gt; のとき、&lt;math&gt;u = 0&lt;/math&gt; となるから近点通過時刻に対応する。

平均運動 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;n = \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}}&lt;/math&gt;

と定義する。平均運動を使って平均近点角 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;l = n(t-t_0)&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;l = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を得る。この方程式はケプラー方程式と呼ばれる。この方程式を &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; について解けば、惑星の運動が分かる。惑星が近日点を通過してから次に近日点を通過する時刻を &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; とする。このとき、&lt;math&gt;u = 2\pi&lt;/math&gt; となる。惑星の周期は &lt;math&gt;T = t_1 - t_0&lt;/math&gt;だから、ケプラー方程式より、

&lt;math&gt;T = \frac{2\pi}{n}&lt;/math&gt;

を得る。また、平均運動とは惑星の周期に対応する角振動数であったことも分かる。この式を変形すると

&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt;

あるいは、平均運動を使うと、

&lt;math&gt; n^2 a^3 = G(m_1+m_2)&lt;/math&gt;

となる。

ケプラー方程式を
&lt;math&gt;u - l =  e\sin u&lt;/math&gt;

とすると、&lt;math&gt;u-l&lt;/math&gt; は周期 &lt;math&gt;2\pi &lt;/math&gt; の周期関数で奇関数である。従って、

&lt;math&gt;e\sin u = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kl&lt;/math&gt;

とフーリエ展開できる。フーリエ係数は、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 \pi \int_{0}^\pi e\sin u \sin kl dl &lt;/math&gt;

となる。部分積分して、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int_{0}^\pi e\sin u \sin kl \, dl &amp;= \left[-\frac{1}{k} e \sin u \cos kl\right]_0^\pi + \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(e\sin u)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(u-l)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du - \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos k(u - e \sin u) \, du \\
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。最後の積分は、ベッセル関数 &lt;math&gt;J_n(x) = \frac 1 \pi \int_0^\pi \cos(n\theta-x\sin\theta)d\theta &lt;/math&gt; で表せるから、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 k J_k(ke) &lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
u &amp;= l + e \sin u \\
&amp;= l + \sum_{k=1}^\infty \frac 2 k J_k(ke) \sin kl
\end{align} &lt;/math&gt;

を得る。

=== ケプラーの法則 ===

&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; を太陽、&lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; を惑星とする場合、&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; よりも十分に大きいと近似することができる。このとき、重心は太陽の位置に近似できる。また、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; となる。このとき、次のケプラーの法則が成り立つ&lt;ref&gt;太陽と惑星以外にも、地球と月、地球と人工衛星のように、片方の質量が一方に比べて無視できるほど小さいならばケプラーの法則が成り立つ。&lt;/ref&gt;。
;第一法則
:惑星の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円である。

;第二法則
:太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。

;第三法則
:公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は惑星によらず一定である。
:[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|再掲]]

第二法則はケプラー方程式を幾何学的に表現したものである。簡単のために時間の原点を &lt;math&gt;t_0 &lt;/math&gt; に取る。ケプラー方程式

&lt;math&gt;nt = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を、

&lt;math&gt;\frac t T = \frac{u - e \sin u}{2 \pi}&lt;/math&gt;

と変形する。

ここで、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;=&lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm ACP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;-&lt;/math&gt; 三角形 &lt;math&gt;\rm FCP'  &lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \frac 1 2 a^2 u - \frac 1 2 ae \times a\sin u&lt;/math&gt; より、 &lt;math&gt;\frac 1 2 (u - e\sin u)&lt;/math&gt; は、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; の面積を &lt;math&gt;a^2&lt;/math&gt; で割ったものに等しい。点 &lt;math&gt;\rm P &lt;/math&gt; の &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; 座標を &lt;math&gt;\xi &lt;/math&gt; とすると、 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; の面積について、

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \int_\xi^a \frac b a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac 1 2 (ae-\xi) \frac b a \sqrt{a^2 - \xi^2} = \frac b a  &lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP'  &lt;/math&gt; となる。 

よって、ケプラー方程式より、 &lt;math&gt;t \propto \frac 1 2 (u - e \sin u) \propto \rm{AFP}&lt;/math&gt; を得る。 

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP &lt;/math&gt; は太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積であるから、これが時間 &lt;math&gt;t &lt;/math&gt; に比例することはケプラー第二法則に他ならない。

ケプラーの第三法則は太陽を公転するすべての惑星について述べたものである。惑星の公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt; であるから惑星の質量にも依存するが、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; と近似できる場合は、すべての惑星についてこの比が一定となる。

=== ケプラー軌道要素 ===
[[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|オイラー角の図。中心が太陽で、青のxy平面が黄道面でx軸は春分点の方向。赤のXY平面が軌道面でX軸の方向が近日点。緑のN軸は昇交点に対応する。]]
三次元空間中の惑星の軌道を決定するために、6つのパラメータが必要になる。軌道の形状は軌道長半径 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; と離心率 &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; で決定される。

軌道の方向を決定するには、太陽系に基準となる基準面と方向を設定しなくてはいけない。基準面には黄道面を使うことが多い。黄道面は地球の公転する軌道面である。太陽と地球の中心を結んだ線分が地球表面と交わる点が赤道を南から北に交差する瞬間を春分という。このときの地球の方向を基準方向にする。[[File:Euler2a.gif|thumb|上図のオイラー角 α, β, γ の順に動かしたアニメーション。]]

基準面には、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直な平面である不変面や、赤道面を使うこともある。

この基準面と方向から、惑星の軌道面と近点の方向へのオイラー角によって軌道の方向を決定できる。オイラー角 &lt;math&gt;\alpha, \beta, \gamma&lt;/math&gt; に対応して、それぞれ昇交点黄経 &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; 、軌道傾斜角 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; 、近点引数 &lt;math&gt;\omega&lt;/math&gt; と呼ばれる。

最後に、惑星の軌道上の位置を特定するために、近点通過時刻が必要になる。

== ラザフォード散乱 ==
原点に固定された正の電荷 &lt;math&gt;Z_1 e&lt;/math&gt; を持つ原子核と正の電荷 &lt;math&gt;Z_2 e&lt;/math&gt; と質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; を持つ荷電粒子のラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;重力場中の運動では引力が働くが、ラザフォード散乱では斥力が働くから、ポテンシャルの符号が逆になっている。我々は係数 &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; が正となるように設定している。&lt;/ref&gt;

となる。原子核は十分重いため移動しないと考えていい。また、&lt;math&gt;\alpha = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0}&lt;/math&gt; である。

ラグランジアンはケプラー問題と同じ形だから、その軌道は

&lt;math&gt;\varphi = \arccos\frac{\frac 1 r +\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2 m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; を粒子が無限遠に飛んでいった方向と、粒子が原子核に最接近する点と原子核を結んだ線分が為す角とすると、
[[ファイル:Rutherford scattering geometry 2.svg|中央|サムネイル|350x350ピクセル|図の &lt;math&gt;\Phi&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; は散乱角である。]]
&lt;math&gt;\varphi_0 = \varphi(\infty) - \varphi(r_{\rm min}) = \arccos\frac{\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;r_{\rm min}&lt;/math&gt; では &lt;math&gt;\dot r = 0&lt;/math&gt; となるから、有効ポテンシャルを &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = \frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2}&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;E = U_{\rm eff}(r_{\rm min})&lt;/math&gt; となる。この式を変形すると、&lt;math&gt;\left(\frac{1}{r_{\rm min}} + \frac{m \alpha}{J^2} \right)^2 = \frac{2mE}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}&lt;/math&gt; となる。従って、&lt;math&gt;\varphi(r_{\rm min}) = 0.&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;

となる。ここで、無限遠での速度を &lt;math&gt;v_\infty&lt;/math&gt; 衝突径数を &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;J = mv_\infty b,\, E = \frac 1 2 m v_\infty^2&lt;/math&gt; となるから、&lt;math&gt;J^2=2mb^2E&lt;/math&gt; である。これを代入すると

&lt;math&gt;\varphi_0 = \arccos\frac{\frac{\alpha}{2Eb}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\alpha}{2Eb}\right)^2}} &lt;/math&gt;

となる。散乱角を &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;\varphi_0 = \pi - 2\theta&lt;/math&gt; となる。これを使って書き換えると、

&lt;math&gt;b = \frac{\alpha}{2E} {\tan\varphi_0} = \frac{\alpha}{2E} \frac{1}{\tan^2 \frac {\theta}{2}}&lt;/math&gt;
[[ファイル:ScatteringDiagram.svg|サムネイル]]
を得る。

ポテンシャルによる散乱のされやすさを見るために散乱断面積を定義する。一定の速度と密度を持った粒子束を散乱中心に向かって射出する。ここで、射出された粒子束の、単位面積単位時間あたりの粒子の個数を &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; とする。 &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; を単位時間あたりに散乱角 &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; から &lt;math&gt;\theta + d\theta&lt;/math&gt; の間に散乱される粒子の個数とする。直感的にもわかるように &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt;  が大きいほど散乱されやすいことを意味する。散乱断面積を

&lt;math&gt;d\sigma = \frac{dn}{N}&lt;/math&gt;

と定義する。これは面積の次元を持つ（&lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; は単位時間あたりの量で、&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; は単位時間単位面積あたりの量だから）。また、散乱角&lt;math&gt;\theta \sim \theta + d\theta&lt;/math&gt; に対応する衝突径数を &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; とすると、入射粒子が &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の中にある確率、つまり &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の面積が散乱断面積を与える。

&lt;math&gt;d\sigma = 2\pi b db&lt;/math&gt;

立体角 &lt;math&gt;d\Omega&lt;/math&gt; についての関係式

&lt;math&gt;d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta&lt;/math&gt;

で割れば、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right|&lt;/math&gt;

を得る。これを微分散乱断面積という。絶対値を付けたのは &lt;math&gt;\frac{db}{d\theta}&lt;/math&gt; が負になることもあるからである。これにラザフォード散乱の衝突径数の式を代入すると、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}&lt;/math&gt;

となる。

== 振動 ==

==正準方程式==
ハミルトニアン &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;H = \sum_i \dot q_i p_i - L&lt;/math&gt;

で定義する。ハミルトニアンの全微分は、

&lt;math&gt;\begin{align}
dH &amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - dL\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - (\sum\dot p_i dq_i + \sum p_i d\dot q_i)\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i - \sum \dot p_i d q_i
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。従って、ハミルトニアンは、&lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; の関数 &lt;math&gt;H(q,p)&lt;/math&gt; である。また、

&lt;math&gt;dH = \sum \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \sum \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i&lt;/math&gt;

と比較すれば、
:&lt;math&gt; \dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i} &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i} &lt;/math&gt;

が成り立つ。これを'''正準方程式'''という。

== 正準変換 ==
変数変換 &lt;math&gt;Q_i = Q_i(q,p,t),\, P_i = P_i(q,p,t)&lt;/math&gt; についてある関数 &lt;math&gt;H'(Q,P)&lt;/math&gt; が存在し、

&lt;math&gt; \dot{Q}_i=\frac{\partial{}H'}{\partial{}P_i} ,\, \dot{P}_i=-\frac{\partial{}H'}{\partial{}Q_i} &lt;/math&gt;

が成立するとき、この変換を正準変換という。新旧変数の間の関係を求めよう。変分原理からは、

&lt;math&gt;\delta \int (p_i  dq_i - Hdt) = 0&lt;/math&gt;

となる。同様に新変数に対しても、

&lt;math&gt;\delta \int (P_i  dQ_i - H'dt) = 0&lt;/math&gt;

が成り立つ。すなわち、この被積分関数の差はある関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; の全微分でなくてはならない。すなわち、

&lt;math&gt;p_i  dq_i - Hdt = P_i  dQ_i - H'dt + dF &lt;/math&gt;

となる。整理すると、

&lt;math&gt;dF = p_i  dq_i - P_i  dQ_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;F&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q,Q,t&lt;/math&gt; の関数ということも分かる。また、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial F}{\partial q_i},\, P_i = -\frac{\partial F}{\partial Q_i},\, H' = H + \frac{\partial F}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; を正準変換の母関数という。一般に母関数は新旧変数の関数 &lt;math&gt;F(q,p,Q,P,t)&lt;/math&gt; である。母関数の変数が &lt;math&gt;q,P&lt;/math&gt; で表される場合について、正準変換の公式を求めておこう。

&lt;math&gt;d(F+P_iQ_i) = p_i  dq_i + Q_i  dP_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

と書き換える。母関数 &lt;math&gt;\Phi = F + P_i Q_i&lt;/math&gt; を定義すると、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial \Phi}{\partial q_i},\, Q_i = \frac{\partial \Phi}{\partial P_i},\, H' = H + \frac{\partial \Phi}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。

==ポアソン括弧==
関数 &lt;math&gt;f(q,p,t)&lt;/math&gt; の時間微分は、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{dq_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial q_i} +  \frac{dp_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となる。正準方程式より、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となるから、ポアソン括弧を、

&lt;math&gt;\{f,H\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\} &lt;/math&gt;

と書くことができる。一般の関数 &lt;math&gt;f,g&lt;/math&gt; に対しては、

&lt;math&gt;\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

と定義する。関数 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; が時間に陽に依存しない場合は

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \{f,H\} &lt;/math&gt;

となる。特に、

&lt;math&gt;\dot p_i = \{p_i,H\},\dot q_i = \{q_i,H\}&lt;/math&gt;

となるが、これは正準方程式である。

次のポアソン括弧の一般的な性質は簡単に示すことができる。&lt;math&gt;f,g,h&lt;/math&gt; は関数、&lt;math&gt;c&lt;/math&gt; は定数である。

&lt;math&gt;\{f,g\} = -\{g,f\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f,c\} = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f+g,h\} = \{f,h\} + \{g,h\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{fg,h\} = f\{g,h\} + g\{f,h\}&lt;/math&gt;

また、ヤコビ恒等式と呼ばれる次の恒等式が成り立つ。

&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0&lt;/math&gt;

例えば、&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; を展開して出てくる項は、 &lt;math&gt;\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial^2 g}{\partial q_j \partial p_i} \frac{\partial h}{\partial q_i}&lt;/math&gt; のように &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; あるいは &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; の二階偏導関数とその他の2関数の一階偏導関数の積である。そこで、左辺の内 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する項だけを集めて計算しよう。&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; に &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は登場しないから、それが登場するのは、

&lt;math&gt;\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\}&lt;/math&gt;

である。ここで、ポアソン括弧を線形微分演算子として

&lt;math&gt;\begin{align}
D_g(\varphi) &amp;= \{g,\varphi \} \\&amp;= \left(\frac{\partial g}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial p_i} \frac{\partial}{\partial q_i}\right)\varphi\\
&amp;=\xi_i\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}
\end{align}&lt;/math&gt;

と書く。簡単のために &lt;math&gt;x_i = q_i,\, x_{K+i} = p_i \quad (i = 1,\dots, K)&lt;/math&gt;と定義し &lt;math&gt;q,p&lt;/math&gt; をひとまとめに扱った。&lt;math&gt;K&lt;/math&gt; は系の自由度である。また、&lt;math&gt;\xi_i =- \frac{\partial g}{\partial q_i}  ,\, \xi_{K+i} = \frac{\partial g}{\partial p_i} &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q_i,p_i&lt;/math&gt; の関数である。同様に、

&lt;math&gt;D_h = \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と置く。そうすると、&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する部分について、

&lt;math&gt;\begin{align}
\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} &amp;= \{g,\{h,f\}\} - \{h,\{g,f\}\}\\
&amp;= D_gD_hf - D_h D_gf \\
&amp;= \xi_i\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\eta_j\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) - \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\xi_j \frac{\partial f}{\partial x_j}\right) \\
&amp;=  \xi_i\frac{\partial \eta_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} - \eta_i \frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j}
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;数学的に言うと、ポアソン括弧は多様体上のベクトル場として考えることができ、ベクトル場の括弧積はまたベクトル場になるということである。&lt;/ref&gt;。&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は打ち消し合って、残っているのは &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についての二階偏導関数である。 &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についてもその二階偏導関数を持つ項は打ち消し合うから、結局、表式は0となる。

== ハミルトン–ヤコビ方程式 ==
正準変換によって、新ハミルトニアンが恒等的に0となる変換を求めてみよう。新しい運動量を &lt;math&gt;\alpha_i&lt;/math&gt;、新しい座標を &lt;math&gt;\beta_i&lt;/math&gt; とすると、正準方程式は、

&lt;math&gt; \dot{\beta}_i=0 ,\, \dot{\alpha}_i=0 &lt;/math&gt;

となるから、&lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; は定数となる。この変換の母関数を &lt;math&gt;S(q,\alpha,t)&lt;/math&gt; とすると、正準変換の公式より、

&lt;math&gt;H + \frac{\partial S}{\partial t} = H' = 0&lt;/math&gt;

となる。旧ハミルトニアンの中の運動量を &lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}&lt;/math&gt; によって書き換えると、

&lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right) = 0 &lt;/math&gt;

を得る。この偏微分方程式をハミルトン–ヤコビ方程式という。

ハミルトン–ヤコビ方程式の解 &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; が求まったら、代数方程式

&lt;math&gt;\beta_i = \frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial \alpha_i} &lt;/math&gt;

を &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; について解くことによって、座標 &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; を定数 &lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; 及び時間の関数によって表すことができる。運動量は

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} &lt;/math&gt;

によって求まる。{{stub}}

== 参考文献 ==

* エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、広重徹、水戸巌訳『力学（増訂第3版）』東京図書（1974）
* 須藤靖『解析力学・量子論』東京大学出版会（2019）

==脚注==
&lt;references group=&quot;注&quot; /&gt;

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[[Category:解析力学|* うんとうほうていしきのいつはんか]]</text>
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        <username>Nermer314</username>
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本書を読むための前提知識は、基本的な解析学の知識で十分である。

== 質点系の力学 ==
=== ニュートンの運動の法則 ===

;第一法則
:ある座標系が存在し、その座標系では、すべての力が働いていない質点は、静止するか直線上を一定の速度で運動をする（これを慣性系という)。

;第二法則
:慣性系において、質点に加わる力は質点の質量と加速度の積に等しい。

;第三法則
:二つの質点1,2が互いに力を及ぼし合うとき、質点1が質点2に作用する力と、質点2が質点1に作用する力とは、大きさが等しく逆向きである。

&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; 個の質点の系を考える。この系の自由度は &lt;math&gt;3N&lt;/math&gt; だから、その座標を &lt;math&gt;x_1,\dots, x_{3N}&lt;/math&gt; と書く事が出来る。各 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; について、第二法則は、

&lt;math&gt;m_i \ddot x_i = F_i &lt;/math&gt;

となる。ここで、関数 &lt;math&gt;U(x_1,\dots, x_{3N})&lt;/math&gt; が存在して、

&lt;math&gt;F_i  =  -\frac{\partial U(x_1,\dots, x_{3N})}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と書く事が出来るとき、これを保存力という。質点系に保存力のみが働く場合、ラグランジアンを

&lt;math&gt;L = \sum_i \frac{1}{2}m_i \dot {x_i}^2 - U &lt;/math&gt;

と定義すると、運動方程式は、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0&lt;/math&gt;

と変形することが出来る。これをオイラー・ラグランジュ方程式という。この方程式の重要なことは、これが座標変換によって形を変えないということである。

実際に、&lt;math&gt;q_i = q_i(x,t)&lt;/math&gt; のように座標変換するとき、

&lt;math&gt;\frac{dx_i}{dt} = \frac{dq_k}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial q_k} + \frac{\partial x_i}{\partial t}&lt;/math&gt;

から、

&lt;math&gt;\frac{\partial \dot x_i}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial x_i} = \frac{\partial x_l}{dt}\frac{\partial}{\partial x_l}\left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) = \frac{\partial}{\partial x_l}\left( \frac{dx_l}{dt} \frac{\partial q_k}{\partial x_l} \right) = \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_l}&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} &amp;= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_i} \\
&amp;= \frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\right)\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial q_k}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} \\
&amp;= \frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right]
\end{align}&lt;/math&gt;

ここで、&lt;math&gt;\det \left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) \neq 0&lt;/math&gt; ならば、線形方程式 &lt;math&gt;\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right] = 0&lt;/math&gt; を解いて、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0&lt;/math&gt;

を得る。

== 変分原理 ==
オイラー・ラグランジュ方程式は変分原理からも導出することができる。それはラグランジアン &lt;math&gt;L(q_1,q_2,\cdots,q_K,\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_K)&lt;/math&gt; の運動に沿った積分

&lt;math&gt;S = \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t),t) &lt;/math&gt;

が極値を取る経路が実現されるというものである。

まずは簡単な例として、関数 &lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; について考えよう。&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; が最小値を取るとき、&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となるのだった。&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となることは、&lt;math&gt;x &lt;/math&gt; を微小量 &lt;math&gt;\delta x &lt;/math&gt; だけ変化させたとき、&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta f := f(x+\delta x) - f(x) &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta f = 0 &lt;/math&gt; になるということである。

ここからの類推で、&lt;math&gt;S(q,\dot q) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; について、&lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; を少しだけ変化させて &lt;math&gt;q(t) + \delta q(t) &lt;/math&gt; （ただし、境界条件 &lt;math&gt;\delta q_i(t_0) = \delta q_i(t_1) = 0 &lt;/math&gt; を課す）としたときの &lt;math&gt;S &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta S = S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)  &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta S = 0 &lt;/math&gt; となると考えることが出来る。


&lt;math&gt;\begin{align} \delta S &amp;= S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)\\ 
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t)) \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, [L(q(t) + \delta q(t) ,\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - L(q(t),\dot q(t))] \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \sum_{k=1}^{K} \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K} \int_{t_0}^{t_1} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} q_k(t)|_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\right] \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) \\
&amp;= 0
\end{align} &lt;/math&gt;


ここで、 &lt;math&gt;\delta q_k(t) &lt;/math&gt; は任意であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 &lt;/math&gt;

を得る。
==一般化運動量==
一般化運動量 &lt;math&gt;p_i&lt;/math&gt; を
:&lt;math&gt;
p_i = \frac {\partial L}{\partial {\dot q_i} } 
&lt;/math&gt;
で定義する。デカルト座標を使った場合、質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; の粒子のラグランジアンは、 &lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) -U(x,y,z)&lt;/math&gt; であるから、

&lt;math&gt;p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x&lt;/math&gt;

となって、通常の運動量に一致する。また、極座標では、&lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 ) -U(r,\theta)&lt;/math&gt; より、

&lt;math&gt;p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\dot r,\, p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = mr^2 \dot \theta &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; に共役な運動量は角運動量に一致する。

== 保存則 ==
ラグランジアン &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; が陽に &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; に依存しないならば、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{dL}{dt} &amp;= \frac{dq_i}{dt} \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{d\dot q_i}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\\
&amp;= \dot q_i \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \ddot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \\
&amp;= \frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。変形すると、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\right) = 0&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;E = \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L&lt;/math&gt;

は保存する。この量 &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; はエネルギーと呼ばれる。

ラグランジアンに

&lt;math&gt;\dot x_i = \dot q_k \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

を代入して一般座標で書くと、

&lt;math&gt;\begin{align}
L &amp;= \frac 1 2 m_i \dot x_i^2 - U(x) \\
&amp;= \frac 1 2 m_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} \dot q_k \dot q_l - U(q) \\
&amp;= \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l - U(q) 
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;a_{kl}(q) = m_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} &lt;/math&gt; とした。

運動エネルギーの部分を &lt;math&gt;T(q,\dot q) = \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l &lt;/math&gt; と置くと、同次関数に対するオイラーの定理より、

&lt;math&gt;\dot q_i \frac{\partial T} {\partial \dot q_i} = 2T&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;\begin{align}
E &amp;= \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp;= \dot q_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp; = 2T -(T-U)\\
&amp;= T+U

\end{align}&lt;/math&gt;

を得る。エネルギーとは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であるということが分かる。

== 重力二体問題 ==
質量 &lt;math&gt;m_1,m_2&lt;/math&gt; の質点が重力を及ぼし合うときの運動を考える。質点の座標をそれぞれ &lt;math&gt;\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2&lt;/math&gt; とすればラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m_1 \dot\boldsymbol r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot\boldsymbol r_2^2 + \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}&lt;/math&gt;

となる。ここで、重心 &lt;math&gt;\boldsymbol r_c = \frac{m_1\boldsymbol r_1 + m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; と相対位置ベクトル &lt;math&gt;\boldsymbol r = \boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1&lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2 + \frac 1 2 \mu \dot\boldsymbol r^2 + \frac{G\mu M}{r}&lt;/math&gt;

と書き直すことができる。ここで、&lt;math&gt;M = m_1 + m_2&lt;/math&gt; は全質量、&lt;math&gt;\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; は換算質量である。&lt;math&gt;\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は循環座標だから、&lt;math&gt;M \dot\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は保存する。すなわち、ラグランジアンの &lt;math&gt;\frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2&lt;/math&gt; の部分は定数だから取り除いて、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 \mu \dot\boldsymbol r^2 + \frac{G\mu M}{r}&lt;/math&gt;

とすることができる。すなわち、質量 &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; を持った質点の距離に反比例するポテシャルでの運動に帰着される。このように中心対称の場での運動では、角運動量は保存されるから、質点の運動は中心を通るある面に限られる。この面で極座標を導入し、&lt;math&gt;\alpha = G\mu M&lt;/math&gt; とすると、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + \frac{\alpha}{r}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が循環座標であるから、角運動量 &lt;math&gt;J = \mu r^2 \dot \varphi &lt;/math&gt; が保存される。また、エネルギー

&lt;math&gt;E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + \frac{J^2}{2\mu r^2} - \frac \alpha r &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = -\frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2\mu r^2} &lt;/math&gt; と定義すると、&lt;math&gt;E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U_{\rm eff}(r)&lt;/math&gt; と書くことができる。すなわち、運動は有効ポテンシャル &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) &lt;/math&gt; の中で移動する一次元運動と見なすことができる。&lt;/ref&gt;

も保存されるから、

&lt;math&gt;dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu}(E+\frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{\mu^2 r^2}}}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;平方根を取るときに、正負の符号が付くが、これは運動が右回りになるか左回りになるかの違いしかないから、正の方を選ぶことにする。&lt;/ref&gt;

あるいは、&lt;math&gt;d\varphi = \frac{J}{\mu r^2} dt &lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;d\varphi = \frac{\frac{J}{r^2}dr}{\sqrt{2\mu(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{r^2}}} = \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;u = \frac 1 r&lt;/math&gt; と変数変換して、積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\varphi &amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \alpha u)-u^2}}\\
&amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{-\left(u-\frac{\mu\alpha}{J^2}\right)^2 + \frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4} }}\\
&amp;= \arccos\frac{u-\frac{\mu\alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4}}} + C
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;積分 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2} = \left(c_1 - \frac{1}{r} \right)\left(\frac 1 r - c_2 \right) &lt;/math&gt; と置き、&lt;math&gt;\frac 1 r = \frac{c_1 + c_2}{2} + \frac{c_1 - c_2}{2}\cos\theta&lt;/math&gt; と変数変換することで、 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{c_1 - c_2}{2}\sin \theta d\theta}{\sqrt{\left(\frac{c_1 - c_2}{2}\right)^2(1-\cos^2 \theta )}} = \theta = \arccos \frac{\frac{1}{r} - \frac{c_1+c_2}{2}}{\frac{c_1-c_2}{2}} = \arccos \frac{\frac{1}{r}-\frac{\mu \alpha}{J^2}}{\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;と計算することもできる。&lt;/ref&gt;。ここで、積分定数はこれが0になるように選ぶ。さらに、

&lt;math&gt;p = \frac{J^2}{\mu\alpha},\, e= \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{\mu\alpha^2}}&lt;/math&gt;

とすると、

&lt;math&gt;\varphi = \arccos \frac{\frac p r - 1}{e} &lt;/math&gt;

あるいは、

&lt;math&gt;r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

を得る。

従って惑星の軌道は二次曲線になる。&lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e&lt;1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は楕円になる。また、&lt;math&gt;E\ge 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e\ge 1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は放物線あるいは双曲線となる。放物線になる場合は無限遠に於いて速度が0となる。

軌道が楕円の場合は軌道長半径 &lt;math&gt; a &lt;/math&gt; を軌道の長軸の半分の長さとして、

&lt;math&gt;a = \frac{r(\varphi=0)+r(\varphi=\pi)}{2} = \frac{p}{1-e^2}&lt;/math&gt;

と定義する。&lt;math&gt;a = \frac{\alpha}{2|E|}&lt;/math&gt; である。

また、双曲線の場合も同様に軌道長半径を定義することができ、双曲線の半軸に等しい。放物線の場合は軌道長半径は無限大になる。

=== 惑星の運動 ===
ここでは、天体の軌道が楕円となる場合、すなわち &lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; の場合を扱う。

時刻 &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; と軌道上の惑星の位置の関係を求める。エネルギー保存の式まで立ち返って、それを &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; について解くと、

&lt;math&gt;\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{\mu}\left(E+\frac{\alpha}{r}\right)-\frac{J^2}{\mu^2 r^2}}&lt;/math&gt;

となる。ここで、

&lt;math&gt;E = -\frac{\alpha}{2a},\, J = \sqrt{\mu \alpha a(1-e^2)}&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;\dot{r} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a}} \sqrt{-r^2 + 2ar - a^2(1-e^2)} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a}} \sqrt{-(r-a)^2 + a^2e^2}&lt;/math&gt;

となる。さて、今までは楕円の焦点を原点とした座標で計算を進めていたが、これを楕円の中心を原点とした座標に移行するほうが便利である。この座標では楕円の方程式は

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1&lt;/math&gt;

となる。極座標で書くと、

&lt;math&gt;x = a\cos u,\, y = b\sin u&lt;/math&gt;
[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|Pは惑星の位置。P'はPをy軸と平行にその外接円（青）に射影した位置である。fは真近点角、Eが離心近点角である。]]
となる。ここで導入した &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; は離心近点角という。対して、&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; は真近点角という。右図より、

&lt;math&gt;r \cos \varphi = a\cos u - ae&lt;/math&gt;

となる。これに、軌道の極方程式

&lt;math&gt;r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

すなわち

&lt;math&gt;r + re\cos\varphi = a(1-e^2)&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;r = a(1-e\cos u)&lt;/math&gt;
[[ファイル:Аномалии.gif|サムネイル|Bは惑星。Cは惑星の軌道の外接円にy軸に平行にBを射影した仮想上の天体。Dは外接円を一定速度（平均運動）で動く仮想上の天体。直線SBと直線SOのなす角が真近点角。角SOCが離心近点角。角SODが平均近点角である。また、右上のMは平均近点角、Eは離心近点角である。]]
を得る。この式を &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; の式に代入すると、

&lt;math&gt;\dot u = \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}} \frac{1}{1 - e \cos u} &lt;/math&gt;

さらに積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int\sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}} dt &amp;= \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}}(t-t_0) \\
&amp;= \int(1 - e \cos u)du\\
&amp;= u - e\sin u
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;t_0&lt;/math&gt; は積分定数で、&lt;math&gt;t = t_0&lt;/math&gt; のとき、&lt;math&gt;u = 0&lt;/math&gt; となるから近点通過時刻に対応する。

平均運動 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;n = \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}}&lt;/math&gt;

と定義する。平均運動を使って平均近点角 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;l = n(t-t_0)&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;l = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を得る。この方程式はケプラー方程式と呼ばれる。この方程式を &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; について解けば、惑星の運動が分かる。惑星が近日点を通過してから次に近日点を通過する時刻を &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; とする。このとき、&lt;math&gt;u = 2\pi&lt;/math&gt; となる。惑星の周期は &lt;math&gt;T = t_1 - t_0&lt;/math&gt;だから、ケプラー方程式より、

&lt;math&gt;T = \frac{2\pi}{n}&lt;/math&gt;

を得る。また、平均運動とは惑星の周期に対応する角振動数であったことも分かる。この式を変形すると

&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt;

あるいは、平均運動を使うと、

&lt;math&gt; n^2 a^3 = G(m_1+m_2)&lt;/math&gt;

となる。

ケプラー方程式を
&lt;math&gt;u - l =  e\sin u&lt;/math&gt;

とすると、&lt;math&gt;u-l&lt;/math&gt; は周期 &lt;math&gt;2\pi &lt;/math&gt; の周期関数で奇関数である。従って、

&lt;math&gt;e\sin u = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kl&lt;/math&gt;

とフーリエ展開できる。フーリエ係数は、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 \pi \int_{0}^\pi e\sin u \sin kl dl &lt;/math&gt;

となる。部分積分して、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int_{0}^\pi e\sin u \sin kl \, dl &amp;= \left[-\frac{1}{k} e \sin u \cos kl\right]_0^\pi + \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(e\sin u)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(u-l)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du - \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos k(u - e \sin u) \, du \\
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。最後の積分は、ベッセル関数 &lt;math&gt;J_n(x) = \frac 1 \pi \int_0^\pi \cos(n\theta-x\sin\theta)d\theta &lt;/math&gt; で表せるから、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 k J_k(ke) &lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
u &amp;= l + e \sin u \\
&amp;= l + \sum_{k=1}^\infty \frac 2 k J_k(ke) \sin kl
\end{align} &lt;/math&gt;

を得る。

=== ケプラーの法則 ===

&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; を太陽、&lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; を惑星とする場合、&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; よりも十分に大きいと近似することができる。このとき、重心は太陽の位置に近似できる。また、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; となる。このとき、次のケプラーの法則が成り立つ&lt;ref&gt;太陽と惑星以外にも、地球と月、地球と人工衛星のように、片方の質量が一方に比べて無視できるほど小さいならばケプラーの法則が成り立つ。&lt;/ref&gt;。
;第一法則
:惑星の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円である。

;第二法則
:太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。

;第三法則
:公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は惑星によらず一定である。
:[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|再掲]]

第二法則はケプラー方程式を幾何学的に表現したものである。簡単のために時間の原点を &lt;math&gt;t_0 &lt;/math&gt; に取る。ケプラー方程式

&lt;math&gt;nt = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を、

&lt;math&gt;\frac t T = \frac{u - e \sin u}{2 \pi}&lt;/math&gt;

と変形する。

ここで、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;=&lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm ACP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;-&lt;/math&gt; 三角形 &lt;math&gt;\rm FCP'  &lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \frac 1 2 a^2 u - \frac 1 2 ae \times a\sin u&lt;/math&gt; より、 &lt;math&gt;\frac 1 2 (u - e\sin u)&lt;/math&gt; は、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; の面積を &lt;math&gt;a^2&lt;/math&gt; で割ったものに等しい。点 &lt;math&gt;\rm P &lt;/math&gt; の &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; 座標を &lt;math&gt;\xi &lt;/math&gt; とすると、 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; の面積について、

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \int_\xi^a \frac b a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac 1 2 (ae-\xi) \frac b a \sqrt{a^2 - \xi^2} = \frac b a  &lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP'  &lt;/math&gt; となる。 

よって、ケプラー方程式より、 &lt;math&gt;t \propto \frac 1 2 (u - e \sin u) \propto \rm{AFP}&lt;/math&gt; を得る。 

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP &lt;/math&gt; は太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積であるから、これが時間 &lt;math&gt;t &lt;/math&gt; に比例することはケプラー第二法則に他ならない。

ケプラーの第三法則は太陽を公転するすべての惑星について述べたものである。惑星の公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt; であるから惑星の質量にも依存するが、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; と近似できる場合は、すべての惑星についてこの比が一定となる。

=== ケプラー軌道要素 ===
[[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|オイラー角の図。中心が太陽で、青のxy平面が黄道面でx軸は春分点の方向。赤のXY平面が軌道面でX軸の方向が近日点。緑のN軸は昇交点に対応する。]]
三次元空間中の惑星の軌道を決定するために、6つのパラメータが必要になる。軌道の形状は軌道長半径 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; と離心率 &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; で決定される。

軌道の方向を決定するには、太陽系に基準となる基準面と方向を設定しなくてはいけない。基準面には黄道面を使うことが多い。黄道面は地球の公転する軌道面である。太陽と地球の中心を結んだ線分が地球表面と交わる点が赤道を南から北に交差する瞬間を春分という。このときの地球の方向を基準方向にする。[[File:Euler2a.gif|thumb|上図のオイラー角 α, β, γ の順に動かしたアニメーション。]]

基準面には、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直な平面である不変面や、赤道面を使うこともある。

この基準面と方向から、惑星の軌道面と近点の方向へのオイラー角によって軌道の方向を決定できる。オイラー角 &lt;math&gt;\alpha, \beta, \gamma&lt;/math&gt; に対応して、それぞれ昇交点黄経 &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; 、軌道傾斜角 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; 、近点引数 &lt;math&gt;\omega&lt;/math&gt; と呼ばれる。

最後に、惑星の軌道上の位置を特定するために、近点通過時刻が必要になる。

== ラザフォード散乱 ==
原点に固定された正の電荷 &lt;math&gt;Z_1 e&lt;/math&gt; を持つ原子核と正の電荷 &lt;math&gt;Z_2 e&lt;/math&gt; と質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; を持つ荷電粒子のラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;重力場中の運動では引力が働くが、ラザフォード散乱では斥力が働くから、ポテンシャルの符号が逆になっている。我々は係数 &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; が正となるように設定している。&lt;/ref&gt;

となる。原子核は十分重いため移動しないと考えていい。また、&lt;math&gt;\alpha = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0}&lt;/math&gt; である。

ラグランジアンはケプラー問題と同じ形だから、その軌道は

&lt;math&gt;\varphi = \arccos\frac{\frac 1 r +\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2 m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; を粒子が無限遠に飛んでいった方向と、粒子が原子核に最接近する点と原子核を結んだ線分が為す角とすると、
[[ファイル:Rutherford scattering geometry 2.svg|中央|サムネイル|350x350ピクセル|図の &lt;math&gt;\Phi&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; は散乱角である。]]
&lt;math&gt;\varphi_0 = \varphi(\infty) - \varphi(r_{\rm min}) = \arccos\frac{\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;r_{\rm min}&lt;/math&gt; では &lt;math&gt;\dot r = 0&lt;/math&gt; となるから、有効ポテンシャルを &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = \frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2}&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;E = U_{\rm eff}(r_{\rm min})&lt;/math&gt; となる。この式を変形すると、&lt;math&gt;\left(\frac{1}{r_{\rm min}} + \frac{m \alpha}{J^2} \right)^2 = \frac{2mE}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}&lt;/math&gt; となる。従って、&lt;math&gt;\varphi(r_{\rm min}) = 0.&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;

となる。ここで、無限遠での速度を &lt;math&gt;v_\infty&lt;/math&gt; 衝突径数を &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;J = mv_\infty b,\, E = \frac 1 2 m v_\infty^2&lt;/math&gt; となるから、&lt;math&gt;J^2=2mb^2E&lt;/math&gt; である。これを代入すると

&lt;math&gt;\varphi_0 = \arccos\frac{\frac{\alpha}{2Eb}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\alpha}{2Eb}\right)^2}} &lt;/math&gt;

となる。散乱角を &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;\varphi_0 = \pi - 2\theta&lt;/math&gt; となる。これを使って書き換えると、

&lt;math&gt;b = \frac{\alpha}{2E} {\tan\varphi_0} = \frac{\alpha}{2E} \frac{1}{\tan^2 \frac {\theta}{2}}&lt;/math&gt;
[[ファイル:ScatteringDiagram.svg|サムネイル]]
を得る。

ポテンシャルによる散乱のされやすさを見るために散乱断面積を定義する。一定の速度と密度を持った粒子束を散乱中心に向かって射出する。ここで、射出された粒子束の、単位面積単位時間あたりの粒子の個数を &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; とする。 &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; を単位時間あたりに散乱角 &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; から &lt;math&gt;\theta + d\theta&lt;/math&gt; の間に散乱される粒子の個数とする。直感的にもわかるように &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt;  が大きいほど散乱されやすいことを意味する。散乱断面積を

&lt;math&gt;d\sigma = \frac{dn}{N}&lt;/math&gt;

と定義する。これは面積の次元を持つ（&lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; は単位時間あたりの量で、&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; は単位時間単位面積あたりの量だから）。また、散乱角&lt;math&gt;\theta \sim \theta + d\theta&lt;/math&gt; に対応する衝突径数を &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; とすると、入射粒子が &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の中にある確率、つまり &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の面積が散乱断面積を与える。

&lt;math&gt;d\sigma = 2\pi b db&lt;/math&gt;

立体角 &lt;math&gt;d\Omega&lt;/math&gt; についての関係式

&lt;math&gt;d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta&lt;/math&gt;

で割れば、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right|&lt;/math&gt;

を得る。これを微分散乱断面積という。絶対値を付けたのは &lt;math&gt;\frac{db}{d\theta}&lt;/math&gt; が負になることもあるからである。これにラザフォード散乱の衝突径数の式を代入すると、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}&lt;/math&gt;

となる。

== 振動 ==

==正準方程式==
ハミルトニアン &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;H = \sum_i \dot q_i p_i - L&lt;/math&gt;

で定義する。ハミルトニアンの全微分は、

&lt;math&gt;\begin{align}
dH &amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - dL\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - (\sum\dot p_i dq_i + \sum p_i d\dot q_i)\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i - \sum \dot p_i d q_i
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。従って、ハミルトニアンは、&lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; の関数 &lt;math&gt;H(q,p)&lt;/math&gt; である。また、

&lt;math&gt;dH = \sum \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \sum \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i&lt;/math&gt;

と比較すれば、
:&lt;math&gt; \dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i} &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i} &lt;/math&gt;

が成り立つ。これを'''正準方程式'''という。

== 正準変換 ==
変数変換 &lt;math&gt;Q_i = Q_i(q,p,t),\, P_i = P_i(q,p,t)&lt;/math&gt; についてある関数 &lt;math&gt;H'(Q,P)&lt;/math&gt; が存在し、

&lt;math&gt; \dot{Q}_i=\frac{\partial{}H'}{\partial{}P_i} ,\, \dot{P}_i=-\frac{\partial{}H'}{\partial{}Q_i} &lt;/math&gt;

が成立するとき、この変換を正準変換という。新旧変数の間の関係を求めよう。変分原理からは、

&lt;math&gt;\delta \int (p_i  dq_i - Hdt) = 0&lt;/math&gt;

となる。同様に新変数に対しても、

&lt;math&gt;\delta \int (P_i  dQ_i - H'dt) = 0&lt;/math&gt;

が成り立つ。すなわち、この被積分関数の差はある関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; の全微分でなくてはならない。すなわち、

&lt;math&gt;p_i  dq_i - Hdt = P_i  dQ_i - H'dt + dF &lt;/math&gt;

となる。整理すると、

&lt;math&gt;dF = p_i  dq_i - P_i  dQ_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;F&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q,Q,t&lt;/math&gt; の関数ということも分かる。また、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial F}{\partial q_i},\, P_i = -\frac{\partial F}{\partial Q_i},\, H' = H + \frac{\partial F}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; を正準変換の母関数という。一般に母関数は新旧変数の関数 &lt;math&gt;F(q,p,Q,P,t)&lt;/math&gt; である。母関数の変数が &lt;math&gt;q,P&lt;/math&gt; で表される場合について、正準変換の公式を求めておこう。

&lt;math&gt;d(F+P_iQ_i) = p_i  dq_i + Q_i  dP_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

と書き換える。母関数 &lt;math&gt;\Phi = F + P_i Q_i&lt;/math&gt; を定義すると、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial \Phi}{\partial q_i},\, Q_i = \frac{\partial \Phi}{\partial P_i},\, H' = H + \frac{\partial \Phi}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。

==ポアソン括弧==
関数 &lt;math&gt;f(q,p,t)&lt;/math&gt; の時間微分は、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{dq_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial q_i} +  \frac{dp_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となる。正準方程式より、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となるから、ポアソン括弧を、

&lt;math&gt;\{f,H\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\} &lt;/math&gt;

と書くことができる。一般の関数 &lt;math&gt;f,g&lt;/math&gt; に対しては、

&lt;math&gt;\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

と定義する。関数 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; が時間に陽に依存しない場合は

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \{f,H\} &lt;/math&gt;

となる。特に、

&lt;math&gt;\dot p_i = \{p_i,H\},\dot q_i = \{q_i,H\}&lt;/math&gt;

となるが、これは正準方程式である。

次のポアソン括弧の一般的な性質は簡単に示すことができる。&lt;math&gt;f,g,h&lt;/math&gt; は関数、&lt;math&gt;c&lt;/math&gt; は定数である。

&lt;math&gt;\{f,g\} = -\{g,f\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f,c\} = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f+g,h\} = \{f,h\} + \{g,h\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{fg,h\} = f\{g,h\} + g\{f,h\}&lt;/math&gt;

また、ヤコビ恒等式と呼ばれる次の恒等式が成り立つ。

&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0&lt;/math&gt;

例えば、&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; を展開して出てくる項は、 &lt;math&gt;\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial^2 g}{\partial q_j \partial p_i} \frac{\partial h}{\partial q_i}&lt;/math&gt; のように &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; あるいは &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; の二階偏導関数とその他の2関数の一階偏導関数の積である。そこで、左辺の内 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する項だけを集めて計算しよう。&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; に &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は登場しないから、それが登場するのは、

&lt;math&gt;\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\}&lt;/math&gt;

である。ここで、ポアソン括弧を線形微分演算子として

&lt;math&gt;\begin{align}
D_g(\varphi) &amp;= \{g,\varphi \} \\&amp;= \left(\frac{\partial g}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial p_i} \frac{\partial}{\partial q_i}\right)\varphi\\
&amp;=\xi_i\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}
\end{align}&lt;/math&gt;

と書く。簡単のために &lt;math&gt;x_i = q_i,\, x_{K+i} = p_i \quad (i = 1,\dots, K)&lt;/math&gt;と定義し &lt;math&gt;q,p&lt;/math&gt; をひとまとめに扱った。&lt;math&gt;K&lt;/math&gt; は系の自由度である。また、&lt;math&gt;\xi_i =- \frac{\partial g}{\partial q_i}  ,\, \xi_{K+i} = \frac{\partial g}{\partial p_i} &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q_i,p_i&lt;/math&gt; の関数である。同様に、

&lt;math&gt;D_h = \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と置く。そうすると、&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する部分について、

&lt;math&gt;\begin{align}
\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} &amp;= \{g,\{h,f\}\} - \{h,\{g,f\}\}\\
&amp;= D_gD_hf - D_h D_gf \\
&amp;= \xi_i\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\eta_j\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) - \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\xi_j \frac{\partial f}{\partial x_j}\right) \\
&amp;=  \xi_i\frac{\partial \eta_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} - \eta_i \frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j}
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;数学的に言うと、ポアソン括弧は多様体上のベクトル場として考えることができ、ベクトル場の括弧積はまたベクトル場になるということである。&lt;/ref&gt;。&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は打ち消し合って、残っているのは &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についての二階偏導関数である。 &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についてもその二階偏導関数を持つ項は打ち消し合うから、結局、表式は0となる。

== ハミルトン–ヤコビ方程式 ==
正準変換によって、新ハミルトニアンが恒等的に0となる変換を求めてみよう。新しい運動量を &lt;math&gt;\alpha_i&lt;/math&gt;、新しい座標を &lt;math&gt;\beta_i&lt;/math&gt; とすると、正準方程式は、

&lt;math&gt; \dot{\beta}_i=0 ,\, \dot{\alpha}_i=0 &lt;/math&gt;

となるから、&lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; は定数となる。この変換の母関数を &lt;math&gt;S(q,\alpha,t)&lt;/math&gt; とすると、正準変換の公式より、

&lt;math&gt;H + \frac{\partial S}{\partial t} = H' = 0&lt;/math&gt;

となる。旧ハミルトニアンの中の運動量を &lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}&lt;/math&gt; によって書き換えると、

&lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right) = 0 &lt;/math&gt;

を得る。この偏微分方程式をハミルトン–ヤコビ方程式という。

ハミルトン–ヤコビ方程式の解 &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; が求まったら、代数方程式

&lt;math&gt;\beta_i = \frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial \alpha_i} &lt;/math&gt;

を &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; について解くことによって、座標 &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; を定数 &lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; 及び時間の関数によって表すことができる。運動量は

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} &lt;/math&gt;

によって求まる。{{stub}}

== 参考文献 ==

* エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、広重徹、水戸巌訳『力学（増訂第3版）』東京図書（1974）
* 須藤靖『解析力学・量子論』東京大学出版会（2019）

==脚注==
&lt;references group=&quot;注&quot; /&gt;

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[[Category:解析力学|* うんとうほうていしきのいつはんか]]</text>
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      <contributor>
        <username>Nermer314</username>
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本書を読むための前提知識は、基本的な解析学の知識で十分である。

== 質点系の力学 ==
=== ニュートンの運動の法則 ===

;第一法則
:ある座標系が存在し、その座標系では、すべての力が働いていない質点は、静止するか直線上を一定の速度で運動をする（これを慣性系という)。

;第二法則
:慣性系において、質点に加わる力は質点の質量と加速度の積に等しい。

;第三法則
:二つの質点1,2が互いに力を及ぼし合うとき、質点1が質点2に作用する力と、質点2が質点1に作用する力とは、大きさが等しく逆向きである。

&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; 個の質点の系を考える。この系の自由度は &lt;math&gt;3N&lt;/math&gt; だから、その座標を &lt;math&gt;x_1,\dots, x_{3N}&lt;/math&gt; と書く事が出来る。各 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; について、第二法則は、

&lt;math&gt;m_i \ddot x_i = F_i &lt;/math&gt;

となる。ここで、関数 &lt;math&gt;U(x_1,\dots, x_{3N})&lt;/math&gt; が存在して、

&lt;math&gt;F_i  =  -\frac{\partial U(x_1,\dots, x_{3N})}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と書く事が出来るとき、これを保存力という。質点系に保存力のみが働く場合、ラグランジアンを

&lt;math&gt;L = \sum_i \frac{1}{2}m_i \dot {x_i}^2 - U &lt;/math&gt;

と定義すると、運動方程式は、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0&lt;/math&gt;

と変形することが出来る。これをオイラー・ラグランジュ方程式という。この方程式の重要なことは、これが座標変換によって形を変えないということである。

実際に、&lt;math&gt;q_i = q_i(x,t)&lt;/math&gt; のように座標変換するとき、

&lt;math&gt;\frac{dx_i}{dt} = \frac{dq_k}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial q_k} + \frac{\partial x_i}{\partial t}&lt;/math&gt;

から、

&lt;math&gt;\frac{\partial \dot x_i}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial x_i} = \frac{\partial x_l}{dt}\frac{\partial}{\partial x_l}\left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) = \frac{\partial}{\partial x_l}\left( \frac{dx_l}{dt} \frac{\partial q_k}{\partial x_l} \right) = \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_l}&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} &amp;= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_i} \\
&amp;= \frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\right)\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial q_k}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} \\
&amp;= \frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right]
\end{align}&lt;/math&gt;

ここで、&lt;math&gt;\det \left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) \neq 0&lt;/math&gt; ならば、線形方程式 &lt;math&gt;\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right] = 0&lt;/math&gt; を解いて、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0&lt;/math&gt;

を得る。

== 変分原理 ==
オイラー・ラグランジュ方程式は変分原理からも導出することができる。それはラグランジアン &lt;math&gt;L(q_1,q_2,\cdots,q_K,\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_K)&lt;/math&gt; の運動に沿った積分

&lt;math&gt;S = \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t),t) &lt;/math&gt;

が極値を取る経路が実現されるというものである。

まずは簡単な例として、関数 &lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; について考えよう。&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; が最小値を取るとき、&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となるのだった。&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となることは、&lt;math&gt;x &lt;/math&gt; を微小量 &lt;math&gt;\delta x &lt;/math&gt; だけ変化させたとき、&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta f := f(x+\delta x) - f(x) &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta f = 0 &lt;/math&gt; になるということである。

ここからの類推で、&lt;math&gt;S(q,\dot q) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; について、&lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; を少しだけ変化させて &lt;math&gt;q(t) + \delta q(t) &lt;/math&gt; （ただし、境界条件 &lt;math&gt;\delta q_i(t_0) = \delta q_i(t_1) = 0 &lt;/math&gt; を課す）としたときの &lt;math&gt;S &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta S = S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)  &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta S = 0 &lt;/math&gt; となると考えることが出来る。


&lt;math&gt;\begin{align} \delta S &amp;= S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)\\ 
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t)) \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, [L(q(t) + \delta q(t) ,\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - L(q(t),\dot q(t))] \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \sum_{k=1}^{K} \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K} \int_{t_0}^{t_1} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} q_k(t)|_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\right] \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) \\
&amp;= 0
\end{align} &lt;/math&gt;


ここで、 &lt;math&gt;\delta q_k(t) &lt;/math&gt; は任意であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 &lt;/math&gt;

を得る。
==一般化運動量==
一般化運動量 &lt;math&gt;p_i&lt;/math&gt; を
:&lt;math&gt;
p_i = \frac {\partial L}{\partial {\dot q_i} } 
&lt;/math&gt;
で定義する。デカルト座標を使った場合、質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; の粒子のラグランジアンは、 &lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) -U(x,y,z)&lt;/math&gt; であるから、

&lt;math&gt;p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x&lt;/math&gt;

となって、通常の運動量に一致する。また、極座標では、&lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 ) -U(r,\theta)&lt;/math&gt; より、

&lt;math&gt;p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\dot r,\, p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = mr^2 \dot \theta &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; に共役な運動量は角運動量に一致する。

== 保存則 ==
ラグランジアン &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; が陽に &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; に依存しないならば、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{dL}{dt} &amp;= \frac{dq_i}{dt} \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{d\dot q_i}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\\
&amp;= \dot q_i \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \ddot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \\
&amp;= \frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。変形すると、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\right) = 0&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;E = \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L&lt;/math&gt;

は保存する。この量 &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; はエネルギーと呼ばれる。

ラグランジアンに

&lt;math&gt;\dot x_i = \dot q_k \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

を代入して一般座標で書くと、

&lt;math&gt;\begin{align}
L &amp;= \frac 1 2 m_i \dot x_i^2 - U(x) \\
&amp;= \frac 1 2 m_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} \dot q_k \dot q_l - U(q) \\
&amp;= \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l - U(q) 
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;a_{kl}(q) = m_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} &lt;/math&gt; とした。

運動エネルギーの部分を &lt;math&gt;T(q,\dot q) = \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l &lt;/math&gt; と置くと、同次関数に対するオイラーの定理より、

&lt;math&gt;\dot q_i \frac{\partial T} {\partial \dot q_i} = 2T&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;\begin{align}
E &amp;= \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp;= \dot q_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp; = 2T -(T-U)\\
&amp;= T+U

\end{align}&lt;/math&gt;

を得る。エネルギーとは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であるということが分かる。

== 重力二体問題 ==
質量 &lt;math&gt;m_1,m_2&lt;/math&gt; の質点が重力を及ぼし合うときの運動を考える。質点の座標をそれぞれ &lt;math&gt;\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2&lt;/math&gt; とすればラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m_1 \dot\boldsymbol r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot\boldsymbol r_2^2 + \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}&lt;/math&gt;

となる。ここで、重心 &lt;math&gt;\boldsymbol r_c = \frac{m_1\boldsymbol r_1 + m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; と相対位置ベクトル &lt;math&gt;\boldsymbol r = \boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1&lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2 + \frac 1 2 \mu \dot\boldsymbol r^2 + \frac{G\mu M}{r}&lt;/math&gt;

と書き直すことができる。ここで、&lt;math&gt;M = m_1 + m_2&lt;/math&gt; は全質量、&lt;math&gt;\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; は換算質量である。&lt;math&gt;\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は循環座標だから、&lt;math&gt;M \dot\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は保存する。すなわち、ラグランジアンの &lt;math&gt;\frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2&lt;/math&gt; の部分は定数だから取り除いて、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 \mu \dot\boldsymbol r^2 + \frac{G\mu M}{r}&lt;/math&gt;

とすることができる。すなわち、質量 &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; を持った質点の距離に反比例するポテシャルでの運動に帰着される。このように中心対称の場での運動では、角運動量は保存されるから、質点の運動は中心を通るある面に限られる。この面で極座標を導入し、&lt;math&gt;\alpha = G\mu M&lt;/math&gt; とすると、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + \frac{\alpha}{r}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が循環座標であるから、角運動量 &lt;math&gt;J = \mu r^2 \dot \varphi &lt;/math&gt; が保存される。また、エネルギー

&lt;math&gt;E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + \frac{J^2}{2\mu r^2} - \frac \alpha r &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = -\frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2\mu r^2} &lt;/math&gt; と定義すると、&lt;math&gt;E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U_{\rm eff}(r)&lt;/math&gt; と書くことができる。すなわち、運動は有効ポテンシャル &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) &lt;/math&gt; の中で移動する一次元運動と見なすことができる。&lt;/ref&gt;

も保存されるから、

&lt;math&gt;dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu}(E+\frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{\mu^2 r^2}}}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;平方根を取るときに、正負の符号が付くが、これは運動が右回りになるか左回りになるかの違いしかないから、正の方を選ぶことにする。&lt;/ref&gt;

あるいは、&lt;math&gt;d\varphi = \frac{J}{\mu r^2} dt &lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;d\varphi = \frac{\frac{J}{r^2}dr}{\sqrt{2\mu(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{r^2}}} = \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;u = \frac 1 r&lt;/math&gt; と変数変換して、積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\varphi &amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \alpha u)-u^2}}\\
&amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{-\left(u-\frac{\mu\alpha}{J^2}\right)^2 + \frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4} }}\\
&amp;= \arccos\frac{u-\frac{\mu\alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4}}} + C
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;積分 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2} = \left(c_1 - \frac{1}{r} \right)\left(\frac 1 r - c_2 \right) &lt;/math&gt; と置き、&lt;math&gt;\frac 1 r = \frac{c_1 + c_2}{2} + \frac{c_1 - c_2}{2}\cos\theta&lt;/math&gt; と変数変換することで、 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{c_1 - c_2}{2}\sin \theta d\theta}{\sqrt{\left(\frac{c_1 - c_2}{2}\right)^2(1-\cos^2 \theta )}} = \theta = \arccos \frac{\frac{1}{r} - \frac{c_1+c_2}{2}}{\frac{c_1-c_2}{2}} = \arccos \frac{\frac{1}{r}-\frac{\mu \alpha}{J^2}}{\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;と計算することもできる。&lt;/ref&gt;。ここで、積分定数はこれが0になるように選ぶ。さらに、

&lt;math&gt;p = \frac{J^2}{\mu\alpha},\, e= \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{\mu\alpha^2}}&lt;/math&gt;

とすると、

&lt;math&gt;\varphi = \arccos \frac{\frac p r - 1}{e} &lt;/math&gt;

あるいは、

&lt;math&gt;r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

を得る。

従って惑星の軌道は二次曲線になる。&lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e&lt;1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は楕円になる。また、&lt;math&gt;E\ge 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e\ge 1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は放物線あるいは双曲線となる。放物線になる場合は無限遠に於いて速度が0となる。

軌道が楕円の場合は軌道長半径 &lt;math&gt; a &lt;/math&gt; を軌道の長軸の半分の長さとして、

&lt;math&gt;a = \frac{r(\varphi=0)+r(\varphi=\pi)}{2} = \frac{p}{1-e^2}&lt;/math&gt;

と定義する。&lt;math&gt;a = \frac{\alpha}{2|E|}&lt;/math&gt; である。

また、双曲線の場合も軌道長半径を双曲線の半軸として定義すると、

&lt;math&gt;a = \frac{-r(\varphi=\pi)-r(\varphi=0)}{2} = \frac{p}{e^2-1}=\frac{\alpha}{2|E|}&lt;/math&gt;

となる。放物線の場合は軌道長半径は無限大になる。

=== 惑星の運動 ===
ここでは、天体の軌道が楕円となる場合、すなわち &lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; の場合を扱う。

時刻 &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; と軌道上の惑星の位置の関係を求める。エネルギー保存の式まで立ち返って、それを &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; について解くと、

&lt;math&gt;\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{\mu}\left(E+\frac{\alpha}{r}\right)-\frac{J^2}{\mu^2 r^2}}&lt;/math&gt;

となる。ここで、

&lt;math&gt;E = -\frac{\alpha}{2a},\, J = \sqrt{\mu \alpha a(1-e^2)}&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;\dot{r} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a}} \sqrt{-r^2 + 2ar - a^2(1-e^2)} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a}} \sqrt{-(r-a)^2 + a^2e^2}&lt;/math&gt;

となる。さて、今までは楕円の焦点を原点とした座標で計算を進めていたが、これを楕円の中心を原点とした座標に移行するほうが便利である。この座標では楕円の方程式は

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1&lt;/math&gt;

となる。極座標で書くと、

&lt;math&gt;x = a\cos u,\, y = b\sin u&lt;/math&gt;
[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|Pは惑星の位置。P'はPをy軸と平行にその外接円（青）に射影した位置である。fは真近点角、Eが離心近点角である。]]
となる。ここで導入した &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; は離心近点角という。対して、&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; は真近点角という。右図より、

&lt;math&gt;r \cos \varphi = a\cos u - ae&lt;/math&gt;

となる。これに、軌道の極方程式

&lt;math&gt;r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

すなわち

&lt;math&gt;r + re\cos\varphi = a(1-e^2)&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;r = a(1-e\cos u)&lt;/math&gt;
[[ファイル:Аномалии.gif|サムネイル|Bは惑星。Cは惑星の軌道の外接円にy軸に平行にBを射影した仮想上の天体。Dは外接円を一定速度（平均運動）で動く仮想上の天体。直線SBと直線SOのなす角が真近点角。角SOCが離心近点角。角SODが平均近点角である。また、右上のMは平均近点角、Eは離心近点角である。]]
を得る。この式を &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; の式に代入すると、

&lt;math&gt;\dot u = \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}} \frac{1}{1 - e \cos u} &lt;/math&gt;

さらに積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int\sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}} dt &amp;= \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}}(t-t_0) \\
&amp;= \int(1 - e \cos u)du\\
&amp;= u - e\sin u
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;t_0&lt;/math&gt; は積分定数で、&lt;math&gt;t = t_0&lt;/math&gt; のとき、&lt;math&gt;u = 0&lt;/math&gt; となるから近点通過時刻に対応する。

平均運動 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;n = \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}}&lt;/math&gt;

と定義する。平均運動を使って平均近点角 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;l = n(t-t_0)&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;l = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を得る。この方程式はケプラー方程式と呼ばれる。この方程式を &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; について解けば、惑星の運動が分かる。惑星が近日点を通過してから次に近日点を通過する時刻を &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; とする。このとき、&lt;math&gt;u = 2\pi&lt;/math&gt; となる。惑星の周期は &lt;math&gt;T = t_1 - t_0&lt;/math&gt;だから、ケプラー方程式より、

&lt;math&gt;T = \frac{2\pi}{n}&lt;/math&gt;

を得る。また、平均運動とは惑星の周期に対応する角振動数であったことも分かる。この式を変形すると

&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt;

あるいは、平均運動を使うと、

&lt;math&gt; n^2 a^3 = G(m_1+m_2)&lt;/math&gt;

となる。

ケプラー方程式を
&lt;math&gt;u - l =  e\sin u&lt;/math&gt;

とすると、&lt;math&gt;u-l&lt;/math&gt; は周期 &lt;math&gt;2\pi &lt;/math&gt; の周期関数で奇関数である。従って、

&lt;math&gt;e\sin u = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kl&lt;/math&gt;

とフーリエ展開できる。フーリエ係数は、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 \pi \int_{0}^\pi e\sin u \sin kl dl &lt;/math&gt;

となる。部分積分して、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int_{0}^\pi e\sin u \sin kl \, dl &amp;= \left[-\frac{1}{k} e \sin u \cos kl\right]_0^\pi + \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(e\sin u)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(u-l)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du - \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos k(u - e \sin u) \, du \\
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。最後の積分は、ベッセル関数 &lt;math&gt;J_n(x) = \frac 1 \pi \int_0^\pi \cos(n\theta-x\sin\theta)d\theta &lt;/math&gt; で表せるから、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 k J_k(ke) &lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
u &amp;= l + e \sin u \\
&amp;= l + \sum_{k=1}^\infty \frac 2 k J_k(ke) \sin kl
\end{align} &lt;/math&gt;

を得る。

=== ケプラーの法則 ===

&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; を太陽、&lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; を惑星とする場合、&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; よりも十分に大きいと近似することができる。このとき、重心は太陽の位置に近似できる。また、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; となる。このとき、次のケプラーの法則が成り立つ&lt;ref&gt;太陽と惑星以外にも、地球と月、地球と人工衛星のように、片方の質量が一方に比べて無視できるほど小さいならばケプラーの法則が成り立つ。&lt;/ref&gt;。
;第一法則
:惑星の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円である。

;第二法則
:太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。

;第三法則
:公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は惑星によらず一定である。
:[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|再掲]]

第二法則はケプラー方程式を幾何学的に表現したものである。簡単のために時間の原点を &lt;math&gt;t_0 &lt;/math&gt; に取る。ケプラー方程式

&lt;math&gt;nt = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を、

&lt;math&gt;\frac t T = \frac{u - e \sin u}{2 \pi}&lt;/math&gt;

と変形する。

ここで、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;=&lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm ACP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;-&lt;/math&gt; 三角形 &lt;math&gt;\rm FCP'  &lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \frac 1 2 a^2 u - \frac 1 2 ae \times a\sin u&lt;/math&gt; より、 &lt;math&gt;\frac 1 2 (u - e\sin u)&lt;/math&gt; は、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; の面積を &lt;math&gt;a^2&lt;/math&gt; で割ったものに等しい。点 &lt;math&gt;\rm P &lt;/math&gt; の &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; 座標を &lt;math&gt;\xi &lt;/math&gt; とすると、 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; の面積について、

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \int_\xi^a \frac b a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac 1 2 (ae-\xi) \frac b a \sqrt{a^2 - \xi^2} = \frac b a  &lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP'  &lt;/math&gt; となる。 

よって、ケプラー方程式より、 &lt;math&gt;t \propto \frac 1 2 (u - e \sin u) \propto \rm{AFP}&lt;/math&gt; を得る。 

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP &lt;/math&gt; は太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積であるから、これが時間 &lt;math&gt;t &lt;/math&gt; に比例することはケプラー第二法則に他ならない。

ケプラーの第三法則は太陽を公転するすべての惑星について述べたものである。惑星の公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt; であるから惑星の質量にも依存するが、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; と近似できる場合は、すべての惑星についてこの比が一定となる。

=== ケプラー軌道要素 ===
[[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|オイラー角の図。中心が太陽で、青のxy平面が黄道面でx軸は春分点の方向。赤のXY平面が軌道面でX軸の方向が近日点。緑のN軸は昇交点に対応する。]]
三次元空間中の惑星の軌道を決定するために、6つのパラメータが必要になる。軌道の形状は軌道長半径 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; と離心率 &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; で決定される。

軌道の方向を決定するには、太陽系に基準となる基準面と方向を設定しなくてはいけない。基準面には黄道面を使うことが多い。黄道面は地球の公転する軌道面である。太陽と地球の中心を結んだ線分が地球表面と交わる点が赤道を南から北に交差する瞬間を春分という。このときの地球の方向を基準方向にする。[[File:Euler2a.gif|thumb|上図のオイラー角 α, β, γ の順に動かしたアニメーション。]]

基準面には、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直な平面である不変面や、赤道面を使うこともある。

この基準面と方向から、惑星の軌道面と近点の方向へのオイラー角によって軌道の方向を決定できる。オイラー角 &lt;math&gt;\alpha, \beta, \gamma&lt;/math&gt; に対応して、それぞれ昇交点黄経 &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; 、軌道傾斜角 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; 、近点引数 &lt;math&gt;\omega&lt;/math&gt; と呼ばれる。

最後に、惑星の軌道上の位置を特定するために、近点通過時刻が必要になる。

== ラザフォード散乱 ==
原点に固定された正の電荷 &lt;math&gt;Z_1 e&lt;/math&gt; を持つ原子核と正の電荷 &lt;math&gt;Z_2 e&lt;/math&gt; と質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; を持つ荷電粒子のラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;重力場中の運動では引力が働くが、ラザフォード散乱では斥力が働くから、ポテンシャルの符号が逆になっている。我々は係数 &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; が正となるように設定している。&lt;/ref&gt;

となる。原子核は十分重いため移動しないと考えていい。また、&lt;math&gt;\alpha = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0}&lt;/math&gt; である。

ラグランジアンはケプラー問題と同じ形だから、その軌道は

&lt;math&gt;\varphi = \arccos\frac{\frac 1 r +\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2 m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; を粒子が無限遠に飛んでいった方向と、粒子が原子核に最接近する点と原子核を結んだ線分が為す角とすると、
[[ファイル:Rutherford scattering geometry 2.svg|中央|サムネイル|350x350ピクセル|図の &lt;math&gt;\Phi&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; は散乱角である。]]
&lt;math&gt;\varphi_0 = \varphi(\infty) - \varphi(r_{\rm min}) = \arccos\frac{\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;r_{\rm min}&lt;/math&gt; では &lt;math&gt;\dot r = 0&lt;/math&gt; となるから、有効ポテンシャルを &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = \frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2}&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;E = U_{\rm eff}(r_{\rm min})&lt;/math&gt; となる。この式を変形すると、&lt;math&gt;\left(\frac{1}{r_{\rm min}} + \frac{m \alpha}{J^2} \right)^2 = \frac{2mE}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}&lt;/math&gt; となる。従って、&lt;math&gt;\varphi(r_{\rm min}) = 0.&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;

となる。ここで、無限遠での速度を &lt;math&gt;v_\infty&lt;/math&gt; 衝突径数を &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;J = mv_\infty b,\, E = \frac 1 2 m v_\infty^2&lt;/math&gt; となるから、&lt;math&gt;J^2=2mb^2E&lt;/math&gt; である。これを代入すると

&lt;math&gt;\varphi_0 = \arccos\frac{\frac{\alpha}{2Eb}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\alpha}{2Eb}\right)^2}} &lt;/math&gt;

となる。散乱角を &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;\varphi_0 = \pi - 2\theta&lt;/math&gt; となる。これを使って書き換えると、

&lt;math&gt;b = \frac{\alpha}{2E} {\tan\varphi_0} = \frac{\alpha}{2E} \frac{1}{\tan^2 \frac {\theta}{2}}&lt;/math&gt;
[[ファイル:ScatteringDiagram.svg|サムネイル]]
を得る。

ポテンシャルによる散乱のされやすさを見るために散乱断面積を定義する。一定の速度と密度を持った粒子束を散乱中心に向かって射出する。ここで、射出された粒子束の、単位面積単位時間あたりの粒子の個数を &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; とする。 &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; を単位時間あたりに散乱角 &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; から &lt;math&gt;\theta + d\theta&lt;/math&gt; の間に散乱される粒子の個数とする。直感的にもわかるように &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt;  が大きいほど散乱されやすいことを意味する。散乱断面積を

&lt;math&gt;d\sigma = \frac{dn}{N}&lt;/math&gt;

と定義する。これは面積の次元を持つ（&lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; は単位時間あたりの量で、&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; は単位時間単位面積あたりの量だから）。また、散乱角&lt;math&gt;\theta \sim \theta + d\theta&lt;/math&gt; に対応する衝突径数を &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; とすると、入射粒子が &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の中にある確率、つまり &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の面積が散乱断面積を与える。

&lt;math&gt;d\sigma = 2\pi b db&lt;/math&gt;

立体角 &lt;math&gt;d\Omega&lt;/math&gt; についての関係式

&lt;math&gt;d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta&lt;/math&gt;

で割れば、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right|&lt;/math&gt;

を得る。これを微分散乱断面積という。絶対値を付けたのは &lt;math&gt;\frac{db}{d\theta}&lt;/math&gt; が負になることもあるからである。これにラザフォード散乱の衝突径数の式を代入すると、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}&lt;/math&gt;

となる。

== 振動 ==

==正準方程式==
ハミルトニアン &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;H = \sum_i \dot q_i p_i - L&lt;/math&gt;

で定義する。ハミルトニアンの全微分は、

&lt;math&gt;\begin{align}
dH &amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - dL\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - (\sum\dot p_i dq_i + \sum p_i d\dot q_i)\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i - \sum \dot p_i d q_i
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。従って、ハミルトニアンは、&lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; の関数 &lt;math&gt;H(q,p)&lt;/math&gt; である。また、

&lt;math&gt;dH = \sum \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \sum \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i&lt;/math&gt;

と比較すれば、
:&lt;math&gt; \dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i} &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i} &lt;/math&gt;

が成り立つ。これを'''正準方程式'''という。

== 正準変換 ==
変数変換 &lt;math&gt;Q_i = Q_i(q,p,t),\, P_i = P_i(q,p,t)&lt;/math&gt; についてある関数 &lt;math&gt;H'(Q,P)&lt;/math&gt; が存在し、

&lt;math&gt; \dot{Q}_i=\frac{\partial{}H'}{\partial{}P_i} ,\, \dot{P}_i=-\frac{\partial{}H'}{\partial{}Q_i} &lt;/math&gt;

が成立するとき、この変換を正準変換という。新旧変数の間の関係を求めよう。変分原理からは、

&lt;math&gt;\delta \int (p_i  dq_i - Hdt) = 0&lt;/math&gt;

となる。同様に新変数に対しても、

&lt;math&gt;\delta \int (P_i  dQ_i - H'dt) = 0&lt;/math&gt;

が成り立つ。すなわち、この被積分関数の差はある関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; の全微分でなくてはならない。すなわち、

&lt;math&gt;p_i  dq_i - Hdt = P_i  dQ_i - H'dt + dF &lt;/math&gt;

となる。整理すると、

&lt;math&gt;dF = p_i  dq_i - P_i  dQ_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;F&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q,Q,t&lt;/math&gt; の関数ということも分かる。また、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial F}{\partial q_i},\, P_i = -\frac{\partial F}{\partial Q_i},\, H' = H + \frac{\partial F}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; を正準変換の母関数という。一般に母関数は新旧変数の関数 &lt;math&gt;F(q,p,Q,P,t)&lt;/math&gt; である。母関数の変数が &lt;math&gt;q,P&lt;/math&gt; で表される場合について、正準変換の公式を求めておこう。

&lt;math&gt;d(F+P_iQ_i) = p_i  dq_i + Q_i  dP_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

と書き換える。母関数 &lt;math&gt;\Phi = F + P_i Q_i&lt;/math&gt; を定義すると、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial \Phi}{\partial q_i},\, Q_i = \frac{\partial \Phi}{\partial P_i},\, H' = H + \frac{\partial \Phi}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。

==ポアソン括弧==
関数 &lt;math&gt;f(q,p,t)&lt;/math&gt; の時間微分は、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{dq_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial q_i} +  \frac{dp_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となる。正準方程式より、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となるから、ポアソン括弧を、

&lt;math&gt;\{f,H\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\} &lt;/math&gt;

と書くことができる。一般の関数 &lt;math&gt;f,g&lt;/math&gt; に対しては、

&lt;math&gt;\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

と定義する。関数 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; が時間に陽に依存しない場合は

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \{f,H\} &lt;/math&gt;

となる。特に、

&lt;math&gt;\dot p_i = \{p_i,H\},\dot q_i = \{q_i,H\}&lt;/math&gt;

となるが、これは正準方程式である。

次のポアソン括弧の一般的な性質は簡単に示すことができる。&lt;math&gt;f,g,h&lt;/math&gt; は関数、&lt;math&gt;c&lt;/math&gt; は定数である。

&lt;math&gt;\{f,g\} = -\{g,f\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f,c\} = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f+g,h\} = \{f,h\} + \{g,h\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{fg,h\} = f\{g,h\} + g\{f,h\}&lt;/math&gt;

また、ヤコビ恒等式と呼ばれる次の恒等式が成り立つ。

&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0&lt;/math&gt;

例えば、&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; を展開して出てくる項は、 &lt;math&gt;\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial^2 g}{\partial q_j \partial p_i} \frac{\partial h}{\partial q_i}&lt;/math&gt; のように &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; あるいは &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; の二階偏導関数とその他の2関数の一階偏導関数の積である。そこで、左辺の内 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する項だけを集めて計算しよう。&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; に &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は登場しないから、それが登場するのは、

&lt;math&gt;\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\}&lt;/math&gt;

である。ここで、ポアソン括弧を線形微分演算子として

&lt;math&gt;\begin{align}
D_g(\varphi) &amp;= \{g,\varphi \} \\&amp;= \left(\frac{\partial g}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial p_i} \frac{\partial}{\partial q_i}\right)\varphi\\
&amp;=\xi_i\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}
\end{align}&lt;/math&gt;

と書く。簡単のために &lt;math&gt;x_i = q_i,\, x_{K+i} = p_i \quad (i = 1,\dots, K)&lt;/math&gt;と定義し &lt;math&gt;q,p&lt;/math&gt; をひとまとめに扱った。&lt;math&gt;K&lt;/math&gt; は系の自由度である。また、&lt;math&gt;\xi_i =- \frac{\partial g}{\partial q_i}  ,\, \xi_{K+i} = \frac{\partial g}{\partial p_i} &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q_i,p_i&lt;/math&gt; の関数である。同様に、

&lt;math&gt;D_h = \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と置く。そうすると、&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する部分について、

&lt;math&gt;\begin{align}
\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} &amp;= \{g,\{h,f\}\} - \{h,\{g,f\}\}\\
&amp;= D_gD_hf - D_h D_gf \\
&amp;= \xi_i\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\eta_j\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) - \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\xi_j \frac{\partial f}{\partial x_j}\right) \\
&amp;=  \xi_i\frac{\partial \eta_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} - \eta_i \frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j}
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;数学的に言うと、ポアソン括弧は多様体上のベクトル場として考えることができ、ベクトル場の括弧積はまたベクトル場になるということである。&lt;/ref&gt;。&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は打ち消し合って、残っているのは &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についての二階偏導関数である。 &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についてもその二階偏導関数を持つ項は打ち消し合うから、結局、表式は0となる。

== ハミルトン–ヤコビ方程式 ==
正準変換によって、新ハミルトニアンが恒等的に0となる変換を求めてみよう。新しい運動量を &lt;math&gt;\alpha_i&lt;/math&gt;、新しい座標を &lt;math&gt;\beta_i&lt;/math&gt; とすると、正準方程式は、

&lt;math&gt; \dot{\beta}_i=0 ,\, \dot{\alpha}_i=0 &lt;/math&gt;

となるから、&lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; は定数となる。この変換の母関数を &lt;math&gt;S(q,\alpha,t)&lt;/math&gt; とすると、正準変換の公式より、

&lt;math&gt;H + \frac{\partial S}{\partial t} = H' = 0&lt;/math&gt;

となる。旧ハミルトニアンの中の運動量を &lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}&lt;/math&gt; によって書き換えると、

&lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right) = 0 &lt;/math&gt;

を得る。この偏微分方程式をハミルトン–ヤコビ方程式という。

ハミルトン–ヤコビ方程式の解 &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; が求まったら、代数方程式

&lt;math&gt;\beta_i = \frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial \alpha_i} &lt;/math&gt;

を &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; について解くことによって、座標 &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; を定数 &lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; 及び時間の関数によって表すことができる。運動量は

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} &lt;/math&gt;

によって求まる。{{stub}}

== 参考文献 ==

* エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、広重徹、水戸巌訳『力学（増訂第3版）』東京図書（1974）
* 須藤靖『解析力学・量子論』東京大学出版会（2019）

==脚注==
&lt;references group=&quot;注&quot; /&gt;

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[[Category:解析力学|* うんとうほうていしきのいつはんか]]</text>
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      <contributor>
        <username>Nermer314</username>
        <id>62933</id>
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本書を読むための前提知識は、基本的な解析学の知識で十分である。

== 質点系の力学 ==
=== ニュートンの運動の法則 ===

;第一法則
:ある座標系が存在し、その座標系では、すべての力が働いていない質点は、静止するか直線上を一定の速度で運動をする（これを慣性系という)。

;第二法則
:慣性系において、質点に加わる力は質点の質量と加速度の積に等しい。

;第三法則
:二つの質点1,2が互いに力を及ぼし合うとき、質点1が質点2に作用する力と、質点2が質点1に作用する力とは、大きさが等しく逆向きである。

&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; 個の質点の系を考える。この系の自由度は &lt;math&gt;3N&lt;/math&gt; だから、その座標を &lt;math&gt;x_1,\dots, x_{3N}&lt;/math&gt; と書く事が出来る。各 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; について、第二法則は、

&lt;math&gt;m_i \ddot x_i = F_i &lt;/math&gt;

となる。ここで、関数 &lt;math&gt;U(x_1,\dots, x_{3N})&lt;/math&gt; が存在して、

&lt;math&gt;F_i  =  -\frac{\partial U(x_1,\dots, x_{3N})}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と書く事が出来るとき、これを保存力という。質点系に保存力のみが働く場合、ラグランジアンを

&lt;math&gt;L = \sum_i \frac{1}{2}m_i \dot {x_i}^2 - U &lt;/math&gt;

と定義すると、運動方程式は、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0&lt;/math&gt;

と変形することが出来る。これをオイラー・ラグランジュ方程式という。この方程式の重要なことは、これが座標変換によって形を変えないということである。

実際に、&lt;math&gt;q_i = q_i(x,t)&lt;/math&gt; のように座標変換するとき、

&lt;math&gt;\frac{dx_i}{dt} = \frac{dq_k}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial q_k} + \frac{\partial x_i}{\partial t}&lt;/math&gt;

から、

&lt;math&gt;\frac{\partial \dot x_i}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial x_i} = \frac{\partial x_l}{dt}\frac{\partial}{\partial x_l}\left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) = \frac{\partial}{\partial x_l}\left( \frac{dx_l}{dt} \frac{\partial q_k}{\partial x_l} \right) = \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_l}&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} &amp;= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_i} \\
&amp;= \frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\right)\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial q_k}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} \\
&amp;= \frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right]
\end{align}&lt;/math&gt;

ここで、&lt;math&gt;\det \left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) \neq 0&lt;/math&gt; ならば、線形方程式 &lt;math&gt;\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right] = 0&lt;/math&gt; を解いて、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0&lt;/math&gt;

を得る。

== 変分原理 ==
オイラー・ラグランジュ方程式は変分原理からも導出することができる。それはラグランジアン &lt;math&gt;L(q_1,q_2,\cdots,q_K,\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_K)&lt;/math&gt; の運動に沿った積分

&lt;math&gt;S = \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t),t) &lt;/math&gt;

が極値を取る経路が実現されるというものである。

まずは簡単な例として、関数 &lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; について考えよう。&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; が最小値を取るとき、&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となるのだった。&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となることは、&lt;math&gt;x &lt;/math&gt; を微小量 &lt;math&gt;\delta x &lt;/math&gt; だけ変化させたとき、&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta f := f(x+\delta x) - f(x) &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta f = 0 &lt;/math&gt; になるということである。

ここからの類推で、&lt;math&gt;S(q,\dot q) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; について、&lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; を少しだけ変化させて &lt;math&gt;q(t) + \delta q(t) &lt;/math&gt; （ただし、境界条件 &lt;math&gt;\delta q_i(t_0) = \delta q_i(t_1) = 0 &lt;/math&gt; を課す）としたときの &lt;math&gt;S &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta S = S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)  &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta S = 0 &lt;/math&gt; となると考えることが出来る。


&lt;math&gt;\begin{align} \delta S &amp;= S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)\\ 
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t)) \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, [L(q(t) + \delta q(t) ,\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - L(q(t),\dot q(t))] \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \sum_{k=1}^{K} \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K} \int_{t_0}^{t_1} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} q_k(t)|_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\right] \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) \\
&amp;= 0
\end{align} &lt;/math&gt;


ここで、 &lt;math&gt;\delta q_k(t) &lt;/math&gt; は任意であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 &lt;/math&gt;

を得る。
==一般化運動量==
一般化運動量 &lt;math&gt;p_i&lt;/math&gt; を
:&lt;math&gt;
p_i = \frac {\partial L}{\partial {\dot q_i} } 
&lt;/math&gt;
で定義する。デカルト座標を使った場合、質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; の粒子のラグランジアンは、 &lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) -U(x,y,z)&lt;/math&gt; であるから、

&lt;math&gt;p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x&lt;/math&gt;

となって、通常の運動量に一致する。また、極座標では、&lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 ) -U(r,\theta)&lt;/math&gt; より、

&lt;math&gt;p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\dot r,\, p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = mr^2 \dot \theta &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; に共役な運動量は角運動量に一致する。

== 保存則 ==
ラグランジアン &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; が陽に &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; に依存しないならば、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{dL}{dt} &amp;= \frac{dq_i}{dt} \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{d\dot q_i}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\\
&amp;= \dot q_i \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \ddot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \\
&amp;= \frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。変形すると、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\right) = 0&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;E = \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L&lt;/math&gt;

は保存する。この量 &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; はエネルギーと呼ばれる。

ラグランジアンに

&lt;math&gt;\dot x_i = \dot q_k \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

を代入して一般座標で書くと、

&lt;math&gt;\begin{align}
L &amp;= \frac 1 2 m_i \dot x_i^2 - U(x) \\
&amp;= \frac 1 2 m_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} \dot q_k \dot q_l - U(q) \\
&amp;= \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l - U(q) 
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;a_{kl}(q) = m_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} &lt;/math&gt; とした。

運動エネルギーの部分を &lt;math&gt;T(q,\dot q) = \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l &lt;/math&gt; と置くと、同次関数に対するオイラーの定理より、

&lt;math&gt;\dot q_i \frac{\partial T} {\partial \dot q_i} = 2T&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;\begin{align}
E &amp;= \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp;= \dot q_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp; = 2T -(T-U)\\
&amp;= T+U

\end{align}&lt;/math&gt;

を得る。エネルギーとは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であるということが分かる。

== 重力二体問題 ==
質量 &lt;math&gt;m_1,m_2&lt;/math&gt; の質点が重力を及ぼし合うときの運動を考える。質点の座標をそれぞれ &lt;math&gt;\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2&lt;/math&gt; とすればラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m_1 \dot\boldsymbol r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot\boldsymbol r_2^2 + \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}&lt;/math&gt;

となる。ここで、重心 &lt;math&gt;\boldsymbol r_c = \frac{m_1\boldsymbol r_1 + m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; と相対位置ベクトル &lt;math&gt;\boldsymbol r = \boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1&lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2 + \frac 1 2 \mu \dot\boldsymbol r^2 + \frac{G\mu M}{r}&lt;/math&gt;

と書き直すことができる。ここで、&lt;math&gt;M = m_1 + m_2&lt;/math&gt; は全質量、&lt;math&gt;\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; は換算質量である。&lt;math&gt;\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は循環座標だから、&lt;math&gt;M \dot\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は保存する。すなわち、ラグランジアンの &lt;math&gt;\frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2&lt;/math&gt; の部分は定数だから取り除いて、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 \mu \dot\boldsymbol r^2 + \frac{G\mu M}{r}&lt;/math&gt;

とすることができる。すなわち、質量 &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; を持った質点の距離に反比例するポテシャルでの運動に帰着される。このように中心対称の場での運動では、角運動量は保存されるから、質点の運動は中心を通るある面に限られる。この面で極座標を導入し、&lt;math&gt;\alpha = G\mu M&lt;/math&gt; とすると、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + \frac{\alpha}{r}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が循環座標であるから、角運動量 &lt;math&gt;J = \mu r^2 \dot \varphi &lt;/math&gt; が保存される。また、エネルギー

&lt;math&gt;E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + \frac{J^2}{2\mu r^2} - \frac \alpha r &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = -\frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2\mu r^2} &lt;/math&gt; と定義すると、&lt;math&gt;E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U_{\rm eff}(r)&lt;/math&gt; と書くことができる。すなわち、運動は有効ポテンシャル &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) &lt;/math&gt; の中で移動する一次元運動と見なすことができる。&lt;/ref&gt;

も保存されるから、

&lt;math&gt;dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu}(E+\frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{\mu^2 r^2}}}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;平方根を取るときに、正負の符号が付くが、これは運動が右回りになるか左回りになるかの違いしかないから、正の方を選ぶことにする。&lt;/ref&gt;

あるいは、&lt;math&gt;d\varphi = \frac{J}{\mu r^2} dt &lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;d\varphi = \frac{\frac{J}{r^2}dr}{\sqrt{2\mu(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{r^2}}} = \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;u = \frac 1 r&lt;/math&gt; と変数変換して、積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\varphi &amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \alpha u)-u^2}}\\
&amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{-\left(u-\frac{\mu\alpha}{J^2}\right)^2 + \frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4} }}\\
&amp;= \arccos\frac{u-\frac{\mu\alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4}}} + C
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;積分 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\frac{2\mu}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2} = \left(c_1 - \frac{1}{r} \right)\left(\frac 1 r - c_2 \right) &lt;/math&gt; と置き、&lt;math&gt;\frac 1 r = \frac{c_1 + c_2}{2} + \frac{c_1 - c_2}{2}\cos\theta&lt;/math&gt; と変数変換することで、 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{c_1 - c_2}{2}\sin \theta d\theta}{\sqrt{\left(\frac{c_1 - c_2}{2}\right)^2(1-\cos^2 \theta )}} = \theta = \arccos \frac{\frac{1}{r} - \frac{c_1+c_2}{2}}{\frac{c_1-c_2}{2}} = \arccos \frac{\frac{1}{r}-\frac{\mu \alpha}{J^2}}{\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2} + \frac{\mu^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;と計算することもできる。&lt;/ref&gt;。ここで、積分定数はこれが0になるように選ぶ。さらに、

&lt;math&gt;p = \frac{J^2}{\mu\alpha},\, e= \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{\mu\alpha^2}}&lt;/math&gt;

とすると、

&lt;math&gt;\varphi = \arccos \frac{\frac p r - 1}{e} &lt;/math&gt;

あるいは、

&lt;math&gt;r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

を得る。

従って惑星の軌道は二次曲線になる。&lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e&lt;1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は楕円になる。また、&lt;math&gt;E\ge 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e\ge 1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は放物線あるいは双曲線となる。放物線になる場合は無限遠に於いて速度が0となる。

軌道長半径 &lt;math&gt; a &lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;a = \frac{r(\varphi=0)+r(\varphi=\pi)}{2} = \frac{p}{1-e^2} = -\frac{\alpha}{2E} &lt;/math&gt;

で定義する。軌道が楕円の場合は軌道長半径は長軸の半分の長さである。双曲線の場合は軌道長半径は負の値となり、絶対値は双曲線の半軸に等しい。
放物線の場合は軌道長半径は無限大になる。

=== 惑星の運動 ===
ここでは、天体の軌道が楕円となる場合、すなわち &lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; の場合を扱う。

時刻 &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; と軌道上の惑星の位置の関係を求める。エネルギー保存の式まで立ち返って、それを &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; について解くと、

&lt;math&gt;\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{\mu}\left(E+\frac{\alpha}{r}\right)-\frac{J^2}{\mu^2 r^2}}&lt;/math&gt;

となる。ここで、

&lt;math&gt;E = -\frac{\alpha}{2a},\, J = \sqrt{\mu \alpha a(1-e^2)}&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;\dot{r} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a}} \sqrt{-r^2 + 2ar - a^2(1-e^2)} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a}} \sqrt{-(r-a)^2 + a^2e^2}&lt;/math&gt;

となる。さて、今までは楕円の焦点を原点とした座標で計算を進めていたが、これを楕円の中心を原点とした座標に移行するほうが便利である。この座標では楕円の方程式は

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1&lt;/math&gt;

となる。極座標で書くと、

&lt;math&gt;x = a\cos u,\, y = b\sin u&lt;/math&gt;
[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|Pは惑星の位置。P'はPをy軸と平行にその外接円（青）に射影した位置である。fは真近点角、Eが離心近点角である。]]
となる。ここで導入した &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; は離心近点角という。対して、&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; は真近点角という。右図より、

&lt;math&gt;r \cos \varphi = a\cos u - ae&lt;/math&gt;

となる。これに、軌道の極方程式

&lt;math&gt;r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

すなわち

&lt;math&gt;r + re\cos\varphi = a(1-e^2)&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;r = a(1-e\cos u)&lt;/math&gt;
[[ファイル:Аномалии.gif|サムネイル|Bは惑星。Cは惑星の軌道の外接円にy軸に平行にBを射影した仮想上の天体。Dは外接円を一定速度（平均運動）で動く仮想上の天体。直線SBと直線SOのなす角が真近点角。角SOCが離心近点角。角SODが平均近点角である。また、右上のMは平均近点角、Eは離心近点角である。]]
を得る。この式を &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; の式に代入すると、

&lt;math&gt;\dot u = \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}} \frac{1}{1 - e \cos u} &lt;/math&gt;

さらに積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int\sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}} dt &amp;= \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}}(t-t_0) \\
&amp;= \int(1 - e \cos u)du\\
&amp;= u - e\sin u
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;t_0&lt;/math&gt; は積分定数で、&lt;math&gt;t = t_0&lt;/math&gt; のとき、&lt;math&gt;u = 0&lt;/math&gt; となるから近点通過時刻に対応する。

平均運動 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;n = \sqrt{\frac{\alpha}{\mu a^3}}&lt;/math&gt;

と定義する。平均運動を使って平均近点角 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;l = n(t-t_0)&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;l = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を得る。この方程式はケプラー方程式と呼ばれる。この方程式を &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; について解けば、惑星の運動が分かる。惑星が近日点を通過してから次に近日点を通過する時刻を &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; とする。このとき、&lt;math&gt;u = 2\pi&lt;/math&gt; となる。惑星の周期は &lt;math&gt;T = t_1 - t_0&lt;/math&gt;だから、ケプラー方程式より、

&lt;math&gt;T = \frac{2\pi}{n}&lt;/math&gt;

を得る。また、平均運動とは惑星の周期に対応する角振動数であったことも分かる。この式を変形すると

&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt;

あるいは、平均運動を使うと、

&lt;math&gt; n^2 a^3 = G(m_1+m_2)&lt;/math&gt;

となる。

ケプラー方程式を
&lt;math&gt;u - l =  e\sin u&lt;/math&gt;

とすると、&lt;math&gt;u-l&lt;/math&gt; は周期 &lt;math&gt;2\pi &lt;/math&gt; の周期関数で奇関数である。従って、

&lt;math&gt;e\sin u = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kl&lt;/math&gt;

とフーリエ展開できる。フーリエ係数は、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 \pi \int_{0}^\pi e\sin u \sin kl dl &lt;/math&gt;

となる。部分積分して、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int_{0}^\pi e\sin u \sin kl \, dl &amp;= \left[-\frac{1}{k} e \sin u \cos kl\right]_0^\pi + \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(e\sin u)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(u-l)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du - \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos k(u - e \sin u) \, du \\
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。最後の積分は、ベッセル関数 &lt;math&gt;J_n(x) = \frac 1 \pi \int_0^\pi \cos(n\theta-x\sin\theta)d\theta &lt;/math&gt; で表せるから、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 k J_k(ke) &lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
u &amp;= l + e \sin u \\
&amp;= l + \sum_{k=1}^\infty \frac 2 k J_k(ke) \sin kl
\end{align} &lt;/math&gt;

を得る。

=== ケプラーの法則 ===

&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; を太陽、&lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; を惑星とする場合、&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; よりも十分に大きいと近似することができる。このとき、重心は太陽の位置に近似できる。また、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; となる。このとき、次のケプラーの法則が成り立つ&lt;ref&gt;太陽と惑星以外にも、地球と月、地球と人工衛星のように、片方の質量が一方に比べて無視できるほど小さいならばケプラーの法則が成り立つ。&lt;/ref&gt;。
;第一法則
:惑星の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円である。

;第二法則
:太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。

;第三法則
:公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は惑星によらず一定である。
:[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|再掲]]

第二法則はケプラー方程式を幾何学的に表現したものである。簡単のために時間の原点を &lt;math&gt;t_0 &lt;/math&gt; に取る。ケプラー方程式

&lt;math&gt;nt = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を、

&lt;math&gt;\frac t T = \frac{u - e \sin u}{2 \pi}&lt;/math&gt;

と変形する。

ここで、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;=&lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm ACP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;-&lt;/math&gt; 三角形 &lt;math&gt;\rm FCP'  &lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \frac 1 2 a^2 u - \frac 1 2 ae \times a\sin u&lt;/math&gt; より、 &lt;math&gt;\frac 1 2 (u - e\sin u)&lt;/math&gt; は、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; の面積を &lt;math&gt;a^2&lt;/math&gt; で割ったものに等しい。点 &lt;math&gt;\rm P &lt;/math&gt; の &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; 座標を &lt;math&gt;\xi &lt;/math&gt; とすると、 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; の面積について、

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \int_\xi^a \frac b a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac 1 2 (ae-\xi) \frac b a \sqrt{a^2 - \xi^2} = \frac b a  &lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP'  &lt;/math&gt; となる。 

よって、ケプラー方程式より、 &lt;math&gt;t \propto \frac 1 2 (u - e \sin u) \propto \rm{AFP}&lt;/math&gt; を得る。 

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP &lt;/math&gt; は太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積であるから、これが時間 &lt;math&gt;t &lt;/math&gt; に比例することはケプラー第二法則に他ならない。

ケプラーの第三法則は太陽を公転するすべての惑星について述べたものである。惑星の公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt; であるから惑星の質量にも依存するが、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; と近似できる場合は、すべての惑星についてこの比が一定となる。

=== ケプラー軌道要素 ===
[[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|オイラー角の図。中心が太陽で、青のxy平面が黄道面でx軸は春分点の方向。赤のXY平面が軌道面でX軸の方向が近日点。緑のN軸は昇交点に対応する。]]
三次元空間中の惑星の軌道を決定するために、6つのパラメータが必要になる。軌道の形状は軌道長半径 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; と離心率 &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; で決定される。

軌道の方向を決定するには、太陽系に基準となる基準面と方向を設定しなくてはいけない。基準面には黄道面を使うことが多い。黄道面は地球の公転する軌道面である。太陽と地球の中心を結んだ線分が地球表面と交わる点が赤道を南から北に交差する瞬間を春分という。このときの地球の方向を基準方向にする。[[File:Euler2a.gif|thumb|上図のオイラー角 α, β, γ の順に動かしたアニメーション。]]

基準面には、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直な平面である不変面や、赤道面を使うこともある。

この基準面と方向から、惑星の軌道面と近点の方向へのオイラー角によって軌道の方向を決定できる。オイラー角 &lt;math&gt;\alpha, \beta, \gamma&lt;/math&gt; に対応して、それぞれ昇交点黄経 &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; 、軌道傾斜角 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; 、近点引数 &lt;math&gt;\omega&lt;/math&gt; と呼ばれる。

最後に、惑星の軌道上の位置を特定するために、近点通過時刻が必要になる。

== ラザフォード散乱 ==
原点に固定された正の電荷 &lt;math&gt;Z_1 e&lt;/math&gt; を持つ原子核と正の電荷 &lt;math&gt;Z_2 e&lt;/math&gt; と質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; を持つ荷電粒子のラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;重力場中の運動では引力が働くが、ラザフォード散乱では斥力が働くから、ポテンシャルの符号が逆になっている。我々は係数 &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; が正となるように設定している。&lt;/ref&gt;

となる。原子核は十分重いため移動しないと考えていい。また、&lt;math&gt;\alpha = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0}&lt;/math&gt; である。

ラグランジアンはケプラー問題と同じ形だから、その軌道は

&lt;math&gt;\varphi = \arccos\frac{\frac 1 r +\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2 m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; を粒子が無限遠に飛んでいった方向と、粒子が原子核に最接近する点と原子核を結んだ線分が為す角とすると、
[[ファイル:Rutherford scattering geometry 2.svg|中央|サムネイル|350x350ピクセル|図の &lt;math&gt;\Phi&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; は散乱角である。]]
&lt;math&gt;\varphi_0 = \varphi(\infty) - \varphi(r_{\rm min}) = \arccos\frac{\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;r_{\rm min}&lt;/math&gt; では &lt;math&gt;\dot r = 0&lt;/math&gt; となるから、有効ポテンシャルを &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = \frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2}&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;E = U_{\rm eff}(r_{\rm min})&lt;/math&gt; となる。この式を変形すると、&lt;math&gt;\left(\frac{1}{r_{\rm min}} + \frac{m \alpha}{J^2} \right)^2 = \frac{2mE}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}&lt;/math&gt; となる。従って、&lt;math&gt;\varphi(r_{\rm min}) = 0.&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;

となる。ここで、無限遠での速度を &lt;math&gt;v_\infty&lt;/math&gt; 衝突径数を &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;J = mv_\infty b,\, E = \frac 1 2 m v_\infty^2&lt;/math&gt; となるから、&lt;math&gt;J^2=2mb^2E&lt;/math&gt; である。これを代入すると

&lt;math&gt;\varphi_0 = \arccos\frac{\frac{\alpha}{2Eb}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\alpha}{2Eb}\right)^2}} &lt;/math&gt;

となる。散乱角を &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;\varphi_0 = \pi - 2\theta&lt;/math&gt; となる。これを使って書き換えると、

&lt;math&gt;b = \frac{\alpha}{2E} {\tan\varphi_0} = \frac{\alpha}{2E} \frac{1}{\tan^2 \frac {\theta}{2}}&lt;/math&gt;
[[ファイル:ScatteringDiagram.svg|サムネイル]]
を得る。

ポテンシャルによる散乱のされやすさを見るために散乱断面積を定義する。一定の速度と密度を持った粒子束を散乱中心に向かって射出する。ここで、射出された粒子束の、単位面積単位時間あたりの粒子の個数を &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; とする。 &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; を単位時間あたりに散乱角 &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; から &lt;math&gt;\theta + d\theta&lt;/math&gt; の間に散乱される粒子の個数とする。直感的にもわかるように &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt;  が大きいほど散乱されやすいことを意味する。散乱断面積を

&lt;math&gt;d\sigma = \frac{dn}{N}&lt;/math&gt;

と定義する。これは面積の次元を持つ（&lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; は単位時間あたりの量で、&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; は単位時間単位面積あたりの量だから）。また、散乱角&lt;math&gt;\theta \sim \theta + d\theta&lt;/math&gt; に対応する衝突径数を &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; とすると、入射粒子が &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の中にある確率、つまり &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の面積が散乱断面積を与える。

&lt;math&gt;d\sigma = 2\pi b db&lt;/math&gt;

立体角 &lt;math&gt;d\Omega&lt;/math&gt; についての関係式

&lt;math&gt;d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta&lt;/math&gt;

で割れば、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right|&lt;/math&gt;

を得る。これを微分散乱断面積という。絶対値を付けたのは &lt;math&gt;\frac{db}{d\theta}&lt;/math&gt; が負になることもあるからである。これにラザフォード散乱の衝突径数の式を代入すると、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}&lt;/math&gt;

となる。

== 振動 ==

==正準方程式==
ハミルトニアン &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;H = \sum_i \dot q_i p_i - L&lt;/math&gt;

で定義する。ハミルトニアンの全微分は、

&lt;math&gt;\begin{align}
dH &amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - dL\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - (\sum\dot p_i dq_i + \sum p_i d\dot q_i)\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i - \sum \dot p_i d q_i
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。従って、ハミルトニアンは、&lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; の関数 &lt;math&gt;H(q,p)&lt;/math&gt; である。また、

&lt;math&gt;dH = \sum \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \sum \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i&lt;/math&gt;

と比較すれば、
:&lt;math&gt; \dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i} &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i} &lt;/math&gt;

が成り立つ。これを'''正準方程式'''という。

== 正準変換 ==
変数変換 &lt;math&gt;Q_i = Q_i(q,p,t),\, P_i = P_i(q,p,t)&lt;/math&gt; についてある関数 &lt;math&gt;H'(Q,P)&lt;/math&gt; が存在し、

&lt;math&gt; \dot{Q}_i=\frac{\partial{}H'}{\partial{}P_i} ,\, \dot{P}_i=-\frac{\partial{}H'}{\partial{}Q_i} &lt;/math&gt;

が成立するとき、この変換を正準変換という。新旧変数の間の関係を求めよう。変分原理からは、

&lt;math&gt;\delta \int (p_i  dq_i - Hdt) = 0&lt;/math&gt;

となる。同様に新変数に対しても、

&lt;math&gt;\delta \int (P_i  dQ_i - H'dt) = 0&lt;/math&gt;

が成り立つ。すなわち、この被積分関数の差はある関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; の全微分でなくてはならない。すなわち、

&lt;math&gt;p_i  dq_i - Hdt = P_i  dQ_i - H'dt + dF &lt;/math&gt;

となる。整理すると、

&lt;math&gt;dF = p_i  dq_i - P_i  dQ_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;F&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q,Q,t&lt;/math&gt; の関数ということも分かる。また、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial F}{\partial q_i},\, P_i = -\frac{\partial F}{\partial Q_i},\, H' = H + \frac{\partial F}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; を正準変換の母関数という。一般に母関数は新旧変数の関数 &lt;math&gt;F(q,p,Q,P,t)&lt;/math&gt; である。母関数の変数が &lt;math&gt;q,P&lt;/math&gt; で表される場合について、正準変換の公式を求めておこう。

&lt;math&gt;d(F+P_iQ_i) = p_i  dq_i + Q_i  dP_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

と書き換える。母関数 &lt;math&gt;\Phi = F + P_i Q_i&lt;/math&gt; を定義すると、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial \Phi}{\partial q_i},\, Q_i = \frac{\partial \Phi}{\partial P_i},\, H' = H + \frac{\partial \Phi}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。

==ポアソン括弧==
関数 &lt;math&gt;f(q,p,t)&lt;/math&gt; の時間微分は、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{dq_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial q_i} +  \frac{dp_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となる。正準方程式より、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となるから、ポアソン括弧を、

&lt;math&gt;\{f,H\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\} &lt;/math&gt;

と書くことができる。一般の関数 &lt;math&gt;f,g&lt;/math&gt; に対しては、

&lt;math&gt;\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

と定義する。関数 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; が時間に陽に依存しない場合は

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \{f,H\} &lt;/math&gt;

となる。特に、

&lt;math&gt;\dot p_i = \{p_i,H\},\dot q_i = \{q_i,H\}&lt;/math&gt;

となるが、これは正準方程式である。

次のポアソン括弧の一般的な性質は簡単に示すことができる。&lt;math&gt;f,g,h&lt;/math&gt; は関数、&lt;math&gt;c&lt;/math&gt; は定数である。

&lt;math&gt;\{f,g\} = -\{g,f\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f,c\} = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f+g,h\} = \{f,h\} + \{g,h\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{fg,h\} = f\{g,h\} + g\{f,h\}&lt;/math&gt;

また、ヤコビ恒等式と呼ばれる次の恒等式が成り立つ。

&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0&lt;/math&gt;

例えば、&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; を展開して出てくる項は、 &lt;math&gt;\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial^2 g}{\partial q_j \partial p_i} \frac{\partial h}{\partial q_i}&lt;/math&gt; のように &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; あるいは &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; の二階偏導関数とその他の2関数の一階偏導関数の積である。そこで、左辺の内 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する項だけを集めて計算しよう。&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; に &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は登場しないから、それが登場するのは、

&lt;math&gt;\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\}&lt;/math&gt;

である。ここで、ポアソン括弧を線形微分演算子として

&lt;math&gt;\begin{align}
D_g(\varphi) &amp;= \{g,\varphi \} \\&amp;= \left(\frac{\partial g}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial p_i} \frac{\partial}{\partial q_i}\right)\varphi\\
&amp;=\xi_i\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}
\end{align}&lt;/math&gt;

と書く。簡単のために &lt;math&gt;x_i = q_i,\, x_{K+i} = p_i \quad (i = 1,\dots, K)&lt;/math&gt;と定義し &lt;math&gt;q,p&lt;/math&gt; をひとまとめに扱った。&lt;math&gt;K&lt;/math&gt; は系の自由度である。また、&lt;math&gt;\xi_i =- \frac{\partial g}{\partial q_i}  ,\, \xi_{K+i} = \frac{\partial g}{\partial p_i} &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q_i,p_i&lt;/math&gt; の関数である。同様に、

&lt;math&gt;D_h = \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と置く。そうすると、&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する部分について、

&lt;math&gt;\begin{align}
\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} &amp;= \{g,\{h,f\}\} - \{h,\{g,f\}\}\\
&amp;= D_gD_hf - D_h D_gf \\
&amp;= \xi_i\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\eta_j\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) - \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\xi_j \frac{\partial f}{\partial x_j}\right) \\
&amp;=  \xi_i\frac{\partial \eta_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} - \eta_i \frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j}
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;数学的に言うと、ポアソン括弧は多様体上のベクトル場として考えることができ、ベクトル場の括弧積はまたベクトル場になるということである。&lt;/ref&gt;。&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は打ち消し合って、残っているのは &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についての二階偏導関数である。 &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についてもその二階偏導関数を持つ項は打ち消し合うから、結局、表式は0となる。

== ハミルトン–ヤコビ方程式 ==
正準変換によって、新ハミルトニアンが恒等的に0となる変換を求めてみよう。新しい運動量を &lt;math&gt;\alpha_i&lt;/math&gt;、新しい座標を &lt;math&gt;\beta_i&lt;/math&gt; とすると、正準方程式は、

&lt;math&gt; \dot{\beta}_i=0 ,\, \dot{\alpha}_i=0 &lt;/math&gt;

となるから、&lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; は定数となる。この変換の母関数を &lt;math&gt;S(q,\alpha,t)&lt;/math&gt; とすると、正準変換の公式より、

&lt;math&gt;H + \frac{\partial S}{\partial t} = H' = 0&lt;/math&gt;

となる。旧ハミルトニアンの中の運動量を &lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}&lt;/math&gt; によって書き換えると、

&lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right) = 0 &lt;/math&gt;

を得る。この偏微分方程式をハミルトン–ヤコビ方程式という。

ハミルトン–ヤコビ方程式の解 &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; が求まったら、代数方程式

&lt;math&gt;\beta_i = \frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial \alpha_i} &lt;/math&gt;

を &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; について解くことによって、座標 &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; を定数 &lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; 及び時間の関数によって表すことができる。運動量は

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} &lt;/math&gt;

によって求まる。{{stub}}

== 参考文献 ==

* エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、広重徹、水戸巌訳『力学（増訂第3版）』東京図書（1974）
* 須藤靖『解析力学・量子論』東京大学出版会（2019）

==脚注==
&lt;references group=&quot;注&quot; /&gt;

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[[Category:解析力学|* うんとうほうていしきのいつはんか]]</text>
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      <contributor>
        <username>Nermer314</username>
        <id>62933</id>
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本書を読むための前提知識は、基本的な解析学の知識で十分である。

== 質点系の力学 ==
=== ニュートンの運動の法則 ===

;第一法則
:ある座標系が存在し、その座標系では、すべての力が働いていない質点は、静止するか直線上を一定の速度で運動をする（これを慣性系という)。

;第二法則
:慣性系において、質点に加わる力は質点の質量と加速度の積に等しい。

;第三法則
:二つの質点1,2が互いに力を及ぼし合うとき、質点1が質点2に作用する力と、質点2が質点1に作用する力とは、大きさが等しく逆向きである。

&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; 個の質点の系を考える。この系の自由度は &lt;math&gt;3N&lt;/math&gt; だから、その座標を &lt;math&gt;x_1,\dots, x_{3N}&lt;/math&gt; と書く事が出来る。各 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; について、第二法則は、

&lt;math&gt;m_i \ddot x_i = F_i &lt;/math&gt;

となる。ここで、関数 &lt;math&gt;U(x_1,\dots, x_{3N})&lt;/math&gt; が存在して、

&lt;math&gt;F_i  =  -\frac{\partial U(x_1,\dots, x_{3N})}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と書く事が出来るとき、これを保存力という。質点系に保存力のみが働く場合、ラグランジアンを

&lt;math&gt;L = \sum_i \frac{1}{2}m_i \dot {x_i}^2 - U &lt;/math&gt;

と定義すると、運動方程式は、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0&lt;/math&gt;

と変形することが出来る。これをオイラー・ラグランジュ方程式という。この方程式の重要なことは、これが座標変換によって形を変えないということである。

実際に、&lt;math&gt;q_i = q_i(x,t)&lt;/math&gt; のように座標変換するとき、

&lt;math&gt;\frac{dx_i}{dt} = \frac{dq_k}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial q_k} + \frac{\partial x_i}{\partial t}&lt;/math&gt;

から、

&lt;math&gt;\frac{\partial \dot x_i}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

となる。また、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial x_i} = \frac{\partial x_l}{dt}\frac{\partial}{\partial x_l}\left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) = \frac{\partial}{\partial x_l}\left( \frac{dx_l}{dt} \frac{\partial q_k}{\partial x_l} \right) = \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_l}&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} &amp;= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_i} \\
&amp;= \frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\right)\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial q_k}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} \\
&amp;= \frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right]
\end{align}&lt;/math&gt;

ここで、&lt;math&gt;\det \left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) \neq 0&lt;/math&gt; ならば、線形方程式 &lt;math&gt;\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right] = 0&lt;/math&gt; を解いて、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0&lt;/math&gt;

を得る。

== 変分原理 ==
オイラー・ラグランジュ方程式は変分原理からも導出することができる。それはラグランジアン &lt;math&gt;L(q_1,q_2,\cdots,q_K,\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_K)&lt;/math&gt; の運動に沿った積分

&lt;math&gt;S = \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t),t) &lt;/math&gt;

が極値を取る経路が実現されるというものである。

まずは簡単な例として、関数 &lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; について考えよう。&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; が最小値を取るとき、&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となるのだった。&lt;math&gt;f'(x) = 0 &lt;/math&gt; となることは、&lt;math&gt;x &lt;/math&gt; を微小量 &lt;math&gt;\delta x &lt;/math&gt; だけ変化させたとき、&lt;math&gt;f(x) &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta f := f(x+\delta x) - f(x) &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta f = 0 &lt;/math&gt; になるということである。

ここからの類推で、&lt;math&gt;S(q,\dot q) &lt;/math&gt; を最小にする &lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; について、&lt;math&gt;q(t) &lt;/math&gt; を少しだけ変化させて &lt;math&gt;q(t) + \delta q(t) &lt;/math&gt; （ただし、境界条件 &lt;math&gt;\delta q_i(t_0) = \delta q_i(t_1) = 0 &lt;/math&gt; を課す）としたときの &lt;math&gt;S &lt;/math&gt; の変化量 &lt;math&gt;\delta S = S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)  &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;\delta S = 0 &lt;/math&gt; となると考えることが出来る。


&lt;math&gt;\begin{align} \delta S &amp;= S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)\\ 
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t)) \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \, [L(q(t) + \delta q(t) ,\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - L(q(t),\dot q(t))] \\
&amp;= \int_{t_0}^{t_1} dt \sum_{k=1}^{K} \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K} \int_{t_0}^{t_1} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} q_k(t)|_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\right] \\
&amp;= \sum_{k=1}^{K}\int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) \\
&amp;= 0
\end{align} &lt;/math&gt;


ここで、 &lt;math&gt;\delta q_k(t) &lt;/math&gt; は任意であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 &lt;/math&gt;

を得る。
==一般化運動量==
一般化運動量 &lt;math&gt;p_i&lt;/math&gt; を
:&lt;math&gt;
p_i = \frac {\partial L}{\partial {\dot q_i} } 
&lt;/math&gt;
で定義する。デカルト座標を使った場合、質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; の粒子のラグランジアンは、 &lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) -U(x,y,z)&lt;/math&gt; であるから、

&lt;math&gt;p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x&lt;/math&gt;

となって、通常の運動量に一致する。また、極座標では、&lt;math&gt;L = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 ) -U(r,\theta)&lt;/math&gt; より、

&lt;math&gt;p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\dot r,\, p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = mr^2 \dot \theta &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; に共役な運動量は角運動量に一致する。

== 保存則 ==
ラグランジアン &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; が陽に &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; に依存しないならば、

&lt;math&gt;\begin{align}
\frac{dL}{dt} &amp;= \frac{dq_i}{dt} \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{d\dot q_i}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\\
&amp;= \dot q_i \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \ddot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \\
&amp;= \frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。変形すると、

&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\right) = 0&lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;E = \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L&lt;/math&gt;

は保存する。この量 &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; はエネルギーと呼ばれる。

ラグランジアンに

&lt;math&gt;\dot x_i = \dot q_k \frac{\partial x_i}{\partial q_k}&lt;/math&gt;

を代入して一般座標で書くと、

&lt;math&gt;\begin{align}
L &amp;= \frac 1 2 m_i \dot x_i^2 - U(x) \\
&amp;= \frac 1 2 m_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} \dot q_k \dot q_l - U(q) \\
&amp;= \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l - U(q) 
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。ここで、&lt;math&gt;a_{kl}(q) = m_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} &lt;/math&gt; とした。

運動エネルギーの部分を &lt;math&gt;T(q,\dot q) = \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l &lt;/math&gt; と置くと、同次関数に対するオイラーの定理より、

&lt;math&gt;\dot q_i \frac{\partial T} {\partial \dot q_i} = 2T&lt;/math&gt;

となるから、

&lt;math&gt;\begin{align}
E &amp;= \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp;= \dot q_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - L\\
&amp; = 2T -(T-U)\\
&amp;= T+U

\end{align}&lt;/math&gt;

を得る。エネルギーとは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であるということが分かる。

== 重力二体問題 ==
質量 &lt;math&gt;m_1,m_2&lt;/math&gt; の質点が重力を及ぼし合うときの運動を考える。質点の座標をそれぞれ &lt;math&gt;\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2&lt;/math&gt; とすればラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m_1 \dot\boldsymbol r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot\boldsymbol r_2^2 + \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}&lt;/math&gt;

となる。ここで、重心 &lt;math&gt;\boldsymbol r_c = \frac{m_1\boldsymbol r_1 + m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; と相対位置ベクトル &lt;math&gt;\boldsymbol r = \boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1&lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2 + \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 + \frac{Gm M}{r}&lt;/math&gt;

と書き直すことができる。ここで、&lt;math&gt;M = m_1 + m_2&lt;/math&gt; は全質量、&lt;math&gt;m = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}&lt;/math&gt; は換算質量である。&lt;math&gt;\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は循環座標だから、&lt;math&gt;M \dot\boldsymbol r_c&lt;/math&gt; は保存する。すなわち、ラグランジアンの &lt;math&gt;\frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2&lt;/math&gt; の部分は定数だから取り除いて、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 + \frac{Gm M}{r}&lt;/math&gt;

とすることができる。すなわち、質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; を持った質点の距離に反比例するポテシャルでの運動に帰着される。このように中心対称の場での運動では、角運動量は保存されるから、質点の運動は中心を通るある面に限られる。この面で極座標を導入し、&lt;math&gt;\alpha = Gm M&lt;/math&gt; とすると、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + \frac{\alpha}{r}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; が循環座標であるから、角運動量 &lt;math&gt;J = m r^2 \dot \varphi &lt;/math&gt; が保存される。また、エネルギー

&lt;math&gt;E = \frac 1 2 m \dot r^2 + \frac{J^2}{2m r^2} - \frac \alpha r &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = -\frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2} &lt;/math&gt; と定義すると、&lt;math&gt;E = \frac 1 2 m \dot r^2 + U_{\rm eff}(r)&lt;/math&gt; と書くことができる。すなわち、運動は有効ポテンシャル &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) &lt;/math&gt; の中で移動する一次元運動と見なすことができる。&lt;/ref&gt;

も保存されるから、

&lt;math&gt;dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E+\frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{m^2 r^2}}}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;平方根を取るときに、正負の符号が付くが、これは運動が右回りになるか左回りになるかの違いしかないから、正の方を選ぶことにする。&lt;/ref&gt;

あるいは、&lt;math&gt;d\varphi = \frac{J}{m r^2} dt &lt;/math&gt; を使って、

&lt;math&gt;d\varphi = \frac{\frac{J}{r^2}dr}{\sqrt{2m(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{r^2}}} = \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;u = \frac 1 r&lt;/math&gt; と変数変換して、積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\varphi &amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \alpha u)-u^2}}\\
&amp;= \int \frac{-du}{\sqrt{-\left(u-\frac{m\alpha}{J^2}\right)^2 + \frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4} }}\\
&amp;= \arccos\frac{u-\frac{m\alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} + C
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;積分 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} &lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2} = \left(c_1 - \frac{1}{r} \right)\left(\frac 1 r - c_2 \right) &lt;/math&gt; と置き、&lt;math&gt;\frac 1 r = \frac{c_1 + c_2}{2} + \frac{c_1 - c_2}{2}\cos\theta&lt;/math&gt; と変数変換することで、 &lt;math&gt;\varphi = \int \frac{\frac{c_1 - c_2}{2}\sin \theta d\theta}{\sqrt{\left(\frac{c_1 - c_2}{2}\right)^2(1-\cos^2 \theta )}} = \theta = \arccos \frac{\frac{1}{r} - \frac{c_1+c_2}{2}}{\frac{c_1-c_2}{2}} = \arccos \frac{\frac{1}{r}-\frac{m \alpha}{J^2}}{\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;と計算することもできる。&lt;/ref&gt;。ここで、積分定数はこれが0になるように選ぶ。さらに、

&lt;math&gt;p = \frac{J^2}{m\alpha},\, e= \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{m\alpha^2}}&lt;/math&gt;

とすると、

&lt;math&gt;\varphi = \arccos \frac{\frac p r - 1}{e} &lt;/math&gt;

あるいは、

&lt;math&gt;r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

を得る。

従って惑星の軌道は二次曲線になる。&lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e&lt;1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は楕円になる。また、&lt;math&gt;E\ge 0&lt;/math&gt; のときは、&lt;math&gt;e\ge 1&lt;/math&gt; となるから、惑星の軌道は放物線あるいは双曲線となる。放物線になる場合は無限遠に於いて速度が0となる。

軌道長半径 &lt;math&gt; a &lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;a = \frac{r(\varphi=0)+r(\varphi=\pi)}{2} = \frac{p}{1-e^2} = -\frac{\alpha}{2E} &lt;/math&gt;

で定義する。軌道が楕円の場合は軌道長半径は長軸の半分の長さである。双曲線の場合は軌道長半径は負の値となり、絶対値は双曲線の半軸に等しい。
放物線の場合は軌道長半径は無限大になる。

=== 惑星の運動 ===
ここでは、天体の軌道が楕円となる場合、すなわち &lt;math&gt;E &lt; 0&lt;/math&gt; の場合を扱う。

時刻 &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; と軌道上の惑星の位置の関係を求める。エネルギー保存の式まで立ち返って、それを &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; について解くと、

&lt;math&gt;\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{m}\left(E+\frac{\alpha}{r}\right)-\frac{J^2}{m^2 r^2}}&lt;/math&gt;

となる。ここで、

&lt;math&gt;E = -\frac{\alpha}{2a},\, J = \sqrt{m \alpha a(1-e^2)}&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;\dot{r} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{m a}} \sqrt{-r^2 + 2ar - a^2(1-e^2)} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{m a}} \sqrt{-(r-a)^2 + a^2e^2}&lt;/math&gt;

となる。さて、今までは楕円の焦点を原点とした座標で計算を進めていたが、これを楕円の中心を原点とした座標に移行するほうが便利である。この座標では楕円の方程式は

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1&lt;/math&gt;

となる。極座標で書くと、

&lt;math&gt;x = a\cos u,\, y = b\sin u&lt;/math&gt;
[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|Pは惑星の位置。P'はPをy軸と平行にその外接円（青）に射影した位置である。fは真近点角、Eが離心近点角である。]]
となる。ここで導入した &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; は離心近点角という。対して、&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; は真近点角という。右図より、

&lt;math&gt;r \cos \varphi = a\cos u - ae&lt;/math&gt;

となる。これに、軌道の極方程式

&lt;math&gt;r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}&lt;/math&gt;

すなわち

&lt;math&gt;r + re\cos\varphi = a(1-e^2)&lt;/math&gt;

を代入すると、

&lt;math&gt;r = a(1-e\cos u)&lt;/math&gt;
[[ファイル:Аномалии.gif|サムネイル|Bは惑星。Cは惑星の軌道の外接円にy軸に平行にBを射影した仮想上の天体。Dは外接円を一定速度（平均運動）で動く仮想上の天体。直線SBと直線SOのなす角が真近点角。角SOCが離心近点角。角SODが平均近点角である。また、右上のMは平均近点角、Eは離心近点角である。]]
を得る。この式を &lt;math&gt;\dot r&lt;/math&gt; の式に代入すると、

&lt;math&gt;\dot u = \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}} \frac{1}{1 - e \cos u} &lt;/math&gt;

さらに積分すると、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int\sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}} dt &amp;= \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}}(t-t_0) \\
&amp;= \int(1 - e \cos u)du\\
&amp;= u - e\sin u
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;t_0&lt;/math&gt; は積分定数で、&lt;math&gt;t = t_0&lt;/math&gt; のとき、&lt;math&gt;u = 0&lt;/math&gt; となるから近点通過時刻に対応する。

平均運動 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;n = \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}}&lt;/math&gt;

と定義する。平均運動を使って平均近点角 &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;l = n(t-t_0)&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;l = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を得る。この方程式はケプラー方程式と呼ばれる。この方程式を &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; について解けば、惑星の運動が分かる。惑星が近日点を通過してから次に近日点を通過する時刻を &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; とする。このとき、&lt;math&gt;u = 2\pi&lt;/math&gt; となる。惑星の周期は &lt;math&gt;T = t_1 - t_0&lt;/math&gt;だから、ケプラー方程式より、

&lt;math&gt;T = \frac{2\pi}{n}&lt;/math&gt;

を得る。また、平均運動とは惑星の周期に対応する角振動数であったことも分かる。この式を変形すると

&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt;

あるいは、平均運動を使うと、

&lt;math&gt; n^2 a^3 = G(m_1+m_2)&lt;/math&gt;

となる。

ケプラー方程式を
&lt;math&gt;u - l =  e\sin u&lt;/math&gt;

とすると、&lt;math&gt;u-l&lt;/math&gt; は周期 &lt;math&gt;2\pi &lt;/math&gt; の周期関数で奇関数である。従って、

&lt;math&gt;e\sin u = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kl&lt;/math&gt;

とフーリエ展開できる。フーリエ係数は、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 \pi \int_{0}^\pi e\sin u \sin kl dl &lt;/math&gt;

となる。部分積分して、

&lt;math&gt;\begin{align}
\int_{0}^\pi e\sin u \sin kl \, dl &amp;= \left[-\frac{1}{k} e \sin u \cos kl\right]_0^\pi + \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(e\sin u)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(u-l)}{dl} \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du - \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, dl \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du \\
&amp;= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos k(u - e \sin u) \, du \\
\end{align}&lt;/math&gt;

となる。最後の積分は、ベッセル関数 &lt;math&gt;J_n(x) = \frac 1 \pi \int_0^\pi \cos(n\theta-x\sin\theta)d\theta &lt;/math&gt; で表せるから、

&lt;math&gt;b_k = \frac 2 k J_k(ke) &lt;/math&gt;

となる。従って、

&lt;math&gt;\begin{align}
u &amp;= l + e \sin u \\
&amp;= l + \sum_{k=1}^\infty \frac 2 k J_k(ke) \sin kl
\end{align} &lt;/math&gt;

を得る。

=== ケプラーの法則 ===

&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; を太陽、&lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; を惑星とする場合、&lt;math&gt;m_1&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;m_2&lt;/math&gt; よりも十分に大きいと近似することができる。このとき、重心は太陽の位置に近似できる。また、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; となる。このとき、次のケプラーの法則が成り立つ&lt;ref&gt;太陽と惑星以外にも、地球と月、地球と人工衛星のように、片方の質量が一方に比べて無視できるほど小さいならばケプラーの法則が成り立つ。&lt;/ref&gt;。
;第一法則
:惑星の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円である。

;第二法則
:太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。

;第三法則
:公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は惑星によらず一定である。
:[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|再掲]]

第二法則はケプラー方程式を幾何学的に表現したものである。簡単のために時間の原点を &lt;math&gt;t_0 &lt;/math&gt; に取る。ケプラー方程式

&lt;math&gt;nt = u - e\sin u&lt;/math&gt;

を、

&lt;math&gt;\frac t T = \frac{u - e \sin u}{2 \pi}&lt;/math&gt;

と変形する。

ここで、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;=&lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm ACP' &lt;/math&gt; &lt;math&gt;-&lt;/math&gt; 三角形 &lt;math&gt;\rm FCP'  &lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \frac 1 2 a^2 u - \frac 1 2 ae \times a\sin u&lt;/math&gt; より、 &lt;math&gt;\frac 1 2 (u - e\sin u)&lt;/math&gt; は、扇形 &lt;math&gt;\rm AFP' &lt;/math&gt; の面積を &lt;math&gt;a^2&lt;/math&gt; で割ったものに等しい。点 &lt;math&gt;\rm P &lt;/math&gt; の &lt;math&gt;x &lt;/math&gt; 座標を &lt;math&gt;\xi &lt;/math&gt; とすると、 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; の面積について、

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \int_\xi^a \frac b a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac 1 2 (ae-\xi) \frac b a \sqrt{a^2 - \xi^2} = \frac b a  &lt;/math&gt; 扇形 &lt;math&gt;\rm AFP'  &lt;/math&gt; となる。 

よって、ケプラー方程式より、 &lt;math&gt;t \propto \frac 1 2 (u - e \sin u) \propto \rm{AFP}&lt;/math&gt; を得る。 

扇形 &lt;math&gt;\rm AFP &lt;/math&gt; は太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積であるから、これが時間 &lt;math&gt;t &lt;/math&gt; に比例することはケプラー第二法則に他ならない。

ケプラーの第三法則は太陽を公転するすべての惑星について述べたものである。惑星の公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は&lt;math&gt;\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}&lt;/math&gt; であるから惑星の質量にも依存するが、&lt;math&gt;m_1 + m_2 \approx m_1&lt;/math&gt; と近似できる場合は、すべての惑星についてこの比が一定となる。

=== ケプラー軌道要素 ===
[[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|オイラー角の図。中心が太陽で、青のxy平面が黄道面でx軸は春分点の方向。赤のXY平面が軌道面でX軸の方向が近日点。緑のN軸は昇交点に対応する。]]
三次元空間中の惑星の軌道を決定するために、6つのパラメータが必要になる。軌道の形状は軌道長半径 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; と離心率 &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; で決定される。

軌道の方向を決定するには、太陽系に基準となる基準面と方向を設定しなくてはいけない。基準面には黄道面を使うことが多い。黄道面は地球の公転する軌道面である。太陽と地球の中心を結んだ線分が地球表面と交わる点が赤道を南から北に交差する瞬間を春分という。このときの地球の方向を基準方向にする。[[File:Euler2a.gif|thumb|上図のオイラー角 α, β, γ の順に動かしたアニメーション。]]

基準面には、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直な平面である不変面や、赤道面を使うこともある。

この基準面と方向から、惑星の軌道面と近点の方向へのオイラー角によって軌道の方向を決定できる。オイラー角 &lt;math&gt;\alpha, \beta, \gamma&lt;/math&gt; に対応して、それぞれ昇交点黄経 &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; 、軌道傾斜角 &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; 、近点引数 &lt;math&gt;\omega&lt;/math&gt; と呼ばれる。

最後に、惑星の軌道上の位置を特定するために、近点通過時刻が必要になる。

== ラザフォード散乱 ==
原点に固定された正の電荷 &lt;math&gt;Z_1 e&lt;/math&gt; を持つ原子核と正の電荷 &lt;math&gt;Z_2 e&lt;/math&gt; と質量 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; を持つ荷電粒子のラグランジアンは、

&lt;math&gt;L = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;重力場中の運動では引力が働くが、ラザフォード散乱では斥力が働くから、ポテンシャルの符号が逆になっている。我々は係数 &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; が正となるように設定している。&lt;/ref&gt;

となる。原子核は十分重いため移動しないと考えていい。また、&lt;math&gt;\alpha = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0}&lt;/math&gt; である。

ラグランジアンはケプラー問題と同じ形だから、その軌道は

&lt;math&gt;\varphi = \arccos\frac{\frac 1 r +\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2 m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}}&lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; を粒子が無限遠に飛んでいった方向と、粒子が原子核に最接近する点と原子核を結んだ線分が為す角とすると、
[[ファイル:Rutherford scattering geometry 2.svg|中央|サムネイル|350x350ピクセル|図の &lt;math&gt;\Phi&lt;/math&gt; が &lt;math&gt;\varphi_0&lt;/math&gt; で、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; は散乱角である。]]
&lt;math&gt;\varphi_0 = \varphi(\infty) - \varphi(r_{\rm min}) = \arccos\frac{\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;r_{\rm min}&lt;/math&gt; では &lt;math&gt;\dot r = 0&lt;/math&gt; となるから、有効ポテンシャルを &lt;math&gt;U_{\rm eff}(r) = \frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2}&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;E = U_{\rm eff}(r_{\rm min})&lt;/math&gt; となる。この式を変形すると、&lt;math&gt;\left(\frac{1}{r_{\rm min}} + \frac{m \alpha}{J^2} \right)^2 = \frac{2mE}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}&lt;/math&gt; となる。従って、&lt;math&gt;\varphi(r_{\rm min}) = 0.&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;

となる。ここで、無限遠での速度を &lt;math&gt;v_\infty&lt;/math&gt; 衝突径数を &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;J = mv_\infty b,\, E = \frac 1 2 m v_\infty^2&lt;/math&gt; となるから、&lt;math&gt;J^2=2mb^2E&lt;/math&gt; である。これを代入すると

&lt;math&gt;\varphi_0 = \arccos\frac{\frac{\alpha}{2Eb}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\alpha}{2Eb}\right)^2}} &lt;/math&gt;

となる。散乱角を &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; とすると、&lt;math&gt;\varphi_0 = \pi - 2\theta&lt;/math&gt; となる。これを使って書き換えると、

&lt;math&gt;b = \frac{\alpha}{2E} {\tan\varphi_0} = \frac{\alpha}{2E} \frac{1}{\tan^2 \frac {\theta}{2}}&lt;/math&gt;
[[ファイル:ScatteringDiagram.svg|サムネイル]]
を得る。

ポテンシャルによる散乱のされやすさを見るために散乱断面積を定義する。一定の速度と密度を持った粒子束を散乱中心に向かって射出する。ここで、射出された粒子束の、単位面積単位時間あたりの粒子の個数を &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; とする。 &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; を単位時間あたりに散乱角 &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; から &lt;math&gt;\theta + d\theta&lt;/math&gt; の間に散乱される粒子の個数とする。直感的にもわかるように &lt;math&gt;dn&lt;/math&gt;  が大きいほど散乱されやすいことを意味する。散乱断面積を

&lt;math&gt;d\sigma = \frac{dn}{N}&lt;/math&gt;

と定義する。これは面積の次元を持つ（&lt;math&gt;dn&lt;/math&gt; は単位時間あたりの量で、&lt;math&gt;N&lt;/math&gt; は単位時間単位面積あたりの量だから）。また、散乱角&lt;math&gt;\theta \sim \theta + d\theta&lt;/math&gt; に対応する衝突径数を &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; とすると、入射粒子が &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の中にある確率、つまり &lt;math&gt;b \sim b + db&lt;/math&gt; の円環の面積が散乱断面積を与える。

&lt;math&gt;d\sigma = 2\pi b db&lt;/math&gt;

立体角 &lt;math&gt;d\Omega&lt;/math&gt; についての関係式

&lt;math&gt;d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta&lt;/math&gt;

で割れば、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right|&lt;/math&gt;

を得る。これを微分散乱断面積という。絶対値を付けたのは &lt;math&gt;\frac{db}{d\theta}&lt;/math&gt; が負になることもあるからである。これにラザフォード散乱の衝突径数の式を代入すると、

&lt;math&gt;\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}&lt;/math&gt;

となる。

== 振動 ==

==正準方程式==
ハミルトニアン &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; を

&lt;math&gt;H = \sum_i \dot q_i p_i - L&lt;/math&gt;

で定義する。ハミルトニアンの全微分は、

&lt;math&gt;\begin{align}
dH &amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - dL\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - (\sum\dot p_i dq_i + \sum p_i d\dot q_i)\\
&amp;= \sum \dot q_i dp_i - \sum \dot p_i d q_i
\end{align} &lt;/math&gt;

となる。従って、ハミルトニアンは、&lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; の関数 &lt;math&gt;H(q,p)&lt;/math&gt; である。また、

&lt;math&gt;dH = \sum \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \sum \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i&lt;/math&gt;

と比較すれば、
:&lt;math&gt; \dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i} &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt; \dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i} &lt;/math&gt;

が成り立つ。これを'''正準方程式'''という。

== 正準変換 ==
変数変換 &lt;math&gt;Q_i = Q_i(q,p,t),\, P_i = P_i(q,p,t)&lt;/math&gt; についてある関数 &lt;math&gt;H'(Q,P)&lt;/math&gt; が存在し、

&lt;math&gt; \dot{Q}_i=\frac{\partial{}H'}{\partial{}P_i} ,\, \dot{P}_i=-\frac{\partial{}H'}{\partial{}Q_i} &lt;/math&gt;

が成立するとき、この変換を正準変換という。新旧変数の間の関係を求めよう。変分原理からは、

&lt;math&gt;\delta \int (p_i  dq_i - Hdt) = 0&lt;/math&gt;

となる。同様に新変数に対しても、

&lt;math&gt;\delta \int (P_i  dQ_i - H'dt) = 0&lt;/math&gt;

が成り立つ。すなわち、この被積分関数の差はある関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; の全微分でなくてはならない。すなわち、

&lt;math&gt;p_i  dq_i - Hdt = P_i  dQ_i - H'dt + dF &lt;/math&gt;

となる。整理すると、

&lt;math&gt;dF = p_i  dq_i - P_i  dQ_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

となる。&lt;math&gt;F&lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q,Q,t&lt;/math&gt; の関数ということも分かる。また、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial F}{\partial q_i},\, P_i = -\frac{\partial F}{\partial Q_i},\, H' = H + \frac{\partial F}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。関数 &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; を正準変換の母関数という。一般に母関数は新旧変数の関数 &lt;math&gt;F(q,p,Q,P,t)&lt;/math&gt; である。母関数の変数が &lt;math&gt;q,P&lt;/math&gt; で表される場合について、正準変換の公式を求めておこう。

&lt;math&gt;d(F+P_iQ_i) = p_i  dq_i + Q_i  dP_i + (H' - H) dt &lt;/math&gt;

と書き換える。母関数 &lt;math&gt;\Phi = F + P_i Q_i&lt;/math&gt; を定義すると、

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial \Phi}{\partial q_i},\, Q_i = \frac{\partial \Phi}{\partial P_i},\, H' = H + \frac{\partial \Phi}{\partial t} &lt;/math&gt;

を得る。

==ポアソン括弧==
関数 &lt;math&gt;f(q,p,t)&lt;/math&gt; の時間微分は、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{dq_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial q_i} +  \frac{dp_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となる。正準方程式より、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}&lt;/math&gt;

となるから、ポアソン括弧を、

&lt;math&gt;\{f,H\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

で定義すると、

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\} &lt;/math&gt;

と書くことができる。一般の関数 &lt;math&gt;f,g&lt;/math&gt; に対しては、

&lt;math&gt;\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}&lt;/math&gt;

と定義する。関数 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; が時間に陽に依存しない場合は

&lt;math&gt;\frac{df}{dt} = \{f,H\} &lt;/math&gt;

となる。特に、

&lt;math&gt;\dot p_i = \{p_i,H\},\dot q_i = \{q_i,H\}&lt;/math&gt;

となるが、これは正準方程式である。

次のポアソン括弧の一般的な性質は簡単に示すことができる。&lt;math&gt;f,g,h&lt;/math&gt; は関数、&lt;math&gt;c&lt;/math&gt; は定数である。

&lt;math&gt;\{f,g\} = -\{g,f\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f,c\} = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{f+g,h\} = \{f,h\} + \{g,h\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\{fg,h\} = f\{g,h\} + g\{f,h\}&lt;/math&gt;

また、ヤコビ恒等式と呼ばれる次の恒等式が成り立つ。

&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0&lt;/math&gt;

例えば、&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; を展開して出てくる項は、 &lt;math&gt;\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial^2 g}{\partial q_j \partial p_i} \frac{\partial h}{\partial q_i}&lt;/math&gt; のように &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; あるいは &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; の二階偏導関数とその他の2関数の一階偏導関数の積である。そこで、左辺の内 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する項だけを集めて計算しよう。&lt;math&gt;\{f,\{g,h\}\}&lt;/math&gt; に &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は登場しないから、それが登場するのは、

&lt;math&gt;\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\}&lt;/math&gt;

である。ここで、ポアソン括弧を線形微分演算子として

&lt;math&gt;\begin{align}
D_g(\varphi) &amp;= \{g,\varphi \} \\&amp;= \left(\frac{\partial g}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial p_i} \frac{\partial}{\partial q_i}\right)\varphi\\
&amp;=\xi_i\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}
\end{align}&lt;/math&gt;

と書く。簡単のために &lt;math&gt;x_i = q_i,\, x_{K+i} = p_i \quad (i = 1,\dots, K)&lt;/math&gt;と定義し &lt;math&gt;q,p&lt;/math&gt; をひとまとめに扱った。&lt;math&gt;K&lt;/math&gt; は系の自由度である。また、&lt;math&gt;\xi_i =- \frac{\partial g}{\partial q_i}  ,\, \xi_{K+i} = \frac{\partial g}{\partial p_i} &lt;/math&gt; は &lt;math&gt;q_i,p_i&lt;/math&gt; の関数である。同様に、

&lt;math&gt;D_h = \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}&lt;/math&gt;

と置く。そうすると、&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数が登場する部分について、

&lt;math&gt;\begin{align}
\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} &amp;= \{g,\{h,f\}\} - \{h,\{g,f\}\}\\
&amp;= D_gD_hf - D_h D_gf \\
&amp;= \xi_i\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\eta_j\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) - \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\xi_j \frac{\partial f}{\partial x_j}\right) \\
&amp;=  \xi_i\frac{\partial \eta_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} - \eta_i \frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j}
\end{align}&lt;/math&gt;

となる&lt;ref&gt;数学的に言うと、ポアソン括弧は多様体上のベクトル場として考えることができ、ベクトル場の括弧積はまたベクトル場になるということである。&lt;/ref&gt;。&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; の二階偏導関数は打ち消し合って、残っているのは &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についての二階偏導関数である。 &lt;math&gt;g,h&lt;/math&gt; についてもその二階偏導関数を持つ項は打ち消し合うから、結局、表式は0となる。

== ハミルトン–ヤコビ方程式 ==
正準変換によって、新ハミルトニアンが恒等的に0となる変換を求めてみよう。新しい運動量を &lt;math&gt;\alpha_i&lt;/math&gt;、新しい座標を &lt;math&gt;\beta_i&lt;/math&gt; とすると、正準方程式は、

&lt;math&gt; \dot{\beta}_i=0 ,\, \dot{\alpha}_i=0 &lt;/math&gt;

となるから、&lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; は定数となる。この変換の母関数を &lt;math&gt;S(q,\alpha,t)&lt;/math&gt; とすると、正準変換の公式より、

&lt;math&gt;H + \frac{\partial S}{\partial t} = H' = 0&lt;/math&gt;

となる。旧ハミルトニアンの中の運動量を &lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}&lt;/math&gt; によって書き換えると、

&lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right) = 0 &lt;/math&gt;

を得る。この偏微分方程式をハミルトン–ヤコビ方程式という。

ハミルトン–ヤコビ方程式の解 &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; が求まったら、代数方程式

&lt;math&gt;\beta_i = \frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial \alpha_i} &lt;/math&gt;

を &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; について解くことによって、座標 &lt;math&gt;q_i&lt;/math&gt; を定数 &lt;math&gt;\alpha_i, \beta_i&lt;/math&gt; 及び時間の関数によって表すことができる。運動量は

&lt;math&gt;p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} &lt;/math&gt;

によって求まる。{{stub}}

== 参考文献 ==

* エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、広重徹、水戸巌訳『力学（増訂第3版）』東京図書（1974）
* 須藤靖『解析力学・量子論』東京大学出版会（2019）

==脚注==
&lt;references group=&quot;注&quot; /&gt;

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== 関連項目 ==
* [[w:トランプ|Wikipedia:トランプ]]
* [[花札]]
* [[麻雀]]

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    <title>トランプ/トランプゲームの分類</title>
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このぺージでは、さまざまなトランプゲームをジャンルごとに分類し、体系的にまとめる。&lt;blockquote&gt;
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    <title>初等数学公式集/解析幾何/コラム</title>
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      <text bytes="20024" sha1="3r184uix8s0ya3xi1v9ka1qy00dqjlm" xml:space="preserve">このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。

高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。

本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。

学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。

なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。

==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル==
:本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。
:この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。
:　
:（計算例）
::&lt;math&gt;\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)&lt;/math&gt; とするとき、各々に直行するベクトル&lt;math&gt;\vec{n} = (a,b,c)&lt;/math&gt;を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは&lt;math&gt;\vec{n}&lt;/math&gt;と表される。）。
:::直行の条件から
::::&lt;math&gt;\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0&lt;/math&gt; - ①
::::&lt;math&gt;\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0&lt;/math&gt; - ②
:::これを満たす&lt;math&gt;a,b,c&lt;/math&gt;を求めるのに、①× &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; - ②× &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; として、
::::&lt;math&gt;apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr&lt;/math&gt;
::::&lt;math&gt;apR + bqR = aPr + bQr&lt;/math&gt;
::::&lt;math&gt;(pR - Pr)a = (Qr - qR)b&lt;/math&gt; - ③
:::&lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、&lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす&lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt;の一つは、
::::&lt;math&gt;a = Qr - qR&lt;/math&gt;
::::&lt;math&gt;b = pR - Pr&lt;/math&gt; （符号を揃えるために順序を入れ替えた）
:::となる。これを①に代入して、
::::&lt;math&gt;cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr  = -pQr + Pqr &lt;/math&gt;
::::辺々&lt;math&gt;r&lt;/math&gt; で割って &lt;math&gt;c = Pq -pQ&lt;/math&gt;
:::これらは、&lt;math&gt;p,q,r,P,Q,R&lt;/math&gt; に関して、対称性を示しているので整理すると、
::::&lt;span id=&quot;外積式1&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;math&gt;a = Qr - qR&lt;/math&gt;
::::&lt;math&gt;b = Rp - rP&lt;/math&gt;
::::&lt;math&gt;c = Pq - pQ&lt;/math&gt;
:::と表すことができ、これが「&lt;math&gt;\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)&lt;/math&gt; 各々に直行するベクトル&lt;math&gt;\vec{n}&lt;/math&gt;の『ひとつ』&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;」である。
::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。
:　
:このベクトルは、&lt;math&gt;\vec{v}, \vec{V}&lt;/math&gt;の &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;成分、&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;成分、&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。
::ここで、&lt;math&gt;\vec{n}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;成分（&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は&lt;math&gt;p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P&lt;/math&gt;のような循環順序とする。
::*&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;成分には、&lt;math&gt;\vec{v}, \vec{V}&lt;/math&gt;の &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;成分は含まれない。
::*2番めのベクトル（&lt;math&gt;\vec{V}&lt;/math&gt;）の2番め（&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;成分）と1番めのベクトル（&lt;math&gt;\vec{v}&lt;/math&gt;）の3番め（&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;成分）の積から、1番めのベクトル（&lt;math&gt;\vec{v}&lt;/math&gt;）の2番め（&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;成分）と2番めのベクトル（&lt;math&gt;\vec{V}&lt;/math&gt;）の3番め（&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;成分）の積を引いたものとなる。
::同じ、性質が&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;成分（&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;）にも&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;成分（&lt;math&gt;c&lt;/math&gt;）にも当てはまっていることがわかる。
:　
:ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。
::&lt;span id=&quot;外積式2&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;math&gt;\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)&lt;/math&gt; とするとき、各々に直行するベクトルを&lt;math&gt;\vec{n} = (x,y,z)&lt;/math&gt;とすると。
:::&lt;math&gt;x = q_2 r_1 - q_1 r_2&lt;/math&gt;
:::&lt;math&gt;y = r_2 p_1 - r_1 p_2&lt;/math&gt;
:::&lt;math&gt;z = p_2 q_1 - p_1 q_2&lt;/math&gt;
:　
:'''注目点'''
:#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。
:##点と直線がなす平面
:##:直線&lt;math&gt;l&lt;/math&gt;の方向ベクトル&lt;math&gt;\vec{d}=(p,q,r)&lt;/math&gt;と直線外の点&lt;math&gt;P&lt;/math&gt;と直線上の点&lt;math&gt;Q&lt;/math&gt;による方向ベクトル&lt;math&gt;\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)&lt;/math&gt;に直交するベクトル&lt;math&gt;\vec{d}=(a,b,c)&lt;/math&gt;として、
:##::&lt;math&gt;a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)&lt;/math&gt;
:##::&lt;math&gt;b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)&lt;/math&gt;
:##::&lt;math&gt;c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)&lt;/math&gt;
:##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、&lt;math&gt;x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R&lt;/math&gt;とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。
:##平行な2直線が属する平面
:##:平行な2直線&lt;math&gt;l_1.l_2&lt;/math&gt;において方向ベクトル&lt;math&gt; \vec{d}=(p,q,r)&lt;/math&gt;であり、&lt;math&gt;l_1.l_2&lt;/math&gt;上の点を&lt;math&gt;P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)&lt;/math&gt;とするとき、&lt;math&gt;\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) &lt;/math&gt;。この2つのベクトルに直交するベクトルを&lt;math&gt;\vec{n}=(a,b,c)&lt;/math&gt;とすると、その例として、
:##::&lt;math&gt;a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)&lt;/math&gt;
:##::&lt;math&gt;b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)&lt;/math&gt;
:##::&lt;math&gt;c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)&lt;/math&gt;
:##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、&lt;math&gt;x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R&lt;/math&gt;とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。
:##交点を持つ2直線が属する平面
:##:交点を持つ各々の方向ベクトルが&lt;math&gt;\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)&lt;/math&gt; である2直線&lt;math&gt;l_1, l_2&lt;/math&gt;について、&lt;math&gt;l_1, l_2&lt;/math&gt;に直行するベクトルを&lt;math&gt;\vec{n} = (a,b,c)&lt;/math&gt;とすると、これを満たす例としてのベクトルは、
:##::&lt;math&gt;a = q_2 r_1 - q_1 r_2&lt;/math&gt;
:##::&lt;math&gt;b = r_2 p_1 - r_1 p_2&lt;/math&gt;
:##::&lt;math&gt;c = p_2 q_1 - p_1 q_2&lt;/math&gt;
:##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。
:##同一直線上にない3点を通る平面の式
:##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。
:#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。
:##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]）
:##:&lt;math&gt; d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } &lt;/math&gt;
:##::ここに登場する数式を以下のように置く。
:##:::&lt;math&gt;(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s&lt;/math&gt;
:##:::&lt;math&gt;(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t&lt;/math&gt;
:##:::&lt;math&gt;(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u&lt;/math&gt;
:##::そうすると、&lt;math&gt;\vec{v}=(s,t,u)&lt;/math&gt;は、直線の方向ベクトル&lt;math&gt;\vec{p}=(p,q,r)&lt;/math&gt;と直線外の点&lt;math&gt;P&lt;/math&gt;と直線上の所与の点&lt;math&gt;Q_0&lt;/math&gt;によるベクトル&lt;math&gt;\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)&lt;/math&gt;と直交するベクトルの形をしていることがわかる。
:##&lt;span id=&quot;2直線がねじれの位置にある場合&quot;&gt;&lt;/span&gt;2直線がねじれの位置にある場合
:##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが&lt;math&gt;\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)&lt;/math&gt; であって、各々、点&lt;math&gt;P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)&lt;/math&gt; をとおる場合、この2直線&lt;math&gt;l_1,l_2&lt;/math&gt; は以下の式で表される。
:##::&lt;math&gt;l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}&lt;/math&gt;
:##:また、&lt;math&gt;\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)&lt;/math&gt;である。
:##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直行する共通垂線の箇所であり、その距離&lt;math&gt;d&lt;/math&gt;は以下の式で表される。
:##:::&lt;math&gt; d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } &lt;/math&gt; - ①
:##:&lt;math&gt;\vec{v_1}, \vec{v_2}&lt;/math&gt;に直行するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、
:##::&lt;math&gt;\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)&lt;/math&gt; であることがわかる。
:##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、&lt;math&gt;\vec{a}&lt;/math&gt; と&lt;math&gt;\vec{n}&lt;/math&gt; の内積であり、分母は &lt;math&gt;\vec{n}&lt;/math&gt;の大きさ（長さ）となっていることがわかる。
:##:この理由については、「[[/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。
:　
:実は、&lt;math&gt;\vec{v_1}, \vec{v_2}&lt;/math&gt; の各成分を用いて&lt;math&gt;\vec{n}&lt;/math&gt; のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。

==外積とは==
===定義に先立って===
さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。

すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル&lt;math&gt;\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)&lt;/math&gt; の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、
:&lt;math&gt;\vec{n} = (x,y,z)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;x = q_2 r_1 - q_1 r_2&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;y = r_2 p_1 - r_1 p_2&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;z = p_2 q_1 - p_1 q_2&lt;/math&gt;
ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。

ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。
===外積の定義===
{{wikipedia|クロス積}}
[[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル &lt;math&gt;\vec{a}, \vec{b}&lt;/math&gt;の外積（&lt;math&gt;\vec{a} \times \vec{b} &lt;/math&gt;）。]]
あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、
:&lt;span id=&quot;定義&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②右手系の方向に、③両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さにとったベクトルを得るもの（二項演算）である。'''
::2つのベクトルを&lt;math&gt;\vec{a}, \vec{b}&lt;/math&gt;として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。
::* 乗算記号を用いる場合：&lt;math&gt;\vec{a} \times \vec{b} &lt;/math&gt;
::* 角括弧を用いる場合：&lt;math&gt;[\vec{a}, \vec{b}] &lt;/math&gt;
:;「外積」の呼称
::ここまで、[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼んできたが、「外積」は&quot;exterior product&quot;の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である&quot;outer product&quot;の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては「外積」で統一する。
:以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを&lt;math&gt;\vec{a}, \vec{b}&lt;/math&gt;として、外積となるベクトル &lt;math&gt;\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} &lt;/math&gt;とする。
:#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ①
:#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、
:#::&lt;math&gt;\vec{a} \cdot \vec{e} = 0&lt;/math&gt;
:#::&lt;math&gt;\vec{b} \cdot \vec{e} = 0&lt;/math&gt;
:#:となる。
:#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ②
:#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]]
:#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;軸は、&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面&lt;math&gt;(z=0)&lt;/math&gt;に対して垂直であるが、&lt;math&gt;z&gt;0&lt;/math&gt;の領域と&lt;math&gt;z&lt;0&lt;/math&gt;の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。
:#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、&lt;math&gt;\vec{a}&lt;/math&gt;を人差し指、&lt;math&gt;\vec{b}&lt;/math&gt;を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。
:#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。
:#:　
:#:これを決めることにより、何が起こるかというと、&lt;math&gt;\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}&lt;/math&gt; ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。
:#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、&lt;math&gt;\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}&lt;/math&gt; ということになる。これを交換法則に代えて、交代法則ということもある。
:#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。
:#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ③
:#:すなわち、
:#::&lt;math&gt;|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta &lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\vec{a}&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\vec{b}&lt;/math&gt;がなす角）
:#:ということになる。この計算の形は、内積の形が&lt;math&gt;| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta &lt;/math&gt;であることと、好対照である。
:#::（コラム in コラム）
:#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量が対応しているように見えるためである。
:#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。
:#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。
:#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。
:以上をまとめると、
::&lt;math&gt;  \vec{a} \times \vec{b}   = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}&lt;/math&gt;
:::なお、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\vec{a}&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\vec{b}&lt;/math&gt;がなす角、&lt;math&gt;\vec{n}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\vec{a}, \vec{b}&lt;/math&gt;に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（&lt;math&gt;\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1&lt;/math&gt;）である。
===外積の用途===
===さらに発展:外積と行列===
{{stub|高}}
[[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]]</text>
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    <title>トーク:トランプ/トランプゲームの分類</title>
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      <comment>/* &lt;blockquote&gt;の使い方を確認して下さい。 */ 返信</comment>
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      <text bytes="2144" sha1="ikpc0hc8cwgo7351eejtmrxo4gxj3fd" xml:space="preserve">== 本タイトル名称:トランプゲームの分類→トランプゲームの分類(ジャンル別) ==

①前ページ?の一覧は、トランプゲームの分類(人数別で作成日順)　かも。

②分類名に種別、目的が必要。あれば、何通りの目的分類してあります。(ジャンル数の意味でありません)

③全ゲームの総数?はでした。表示が一箇所必要かも。ナンバリング追い番号は、タイトル名とかぶるかも。(51)

④常に数量チェックが必要かも。(分類パターン?数。そのパターンの内訳数)

⑤markdown一覧表が見やすいかも。(例)1列目のゲーム名。2列目に人数。3列目にジャンル。4列目に戦略。5列目に歴史。

--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月13日 (月) 14:56 (UTC)

== &lt;nowiki&gt;&lt;blockquote&gt;&lt;/nowiki&gt;の使い方を確認して下さい。 ==

[[w:Help:ページの編集#引用]]

①&lt;nowiki&gt;&lt;blockquote&gt;&lt;/nowiki&gt;は、wikibooks内使用の新型?ですか。そこまでしなくてもです。

行頭は、　シャープ#　又は　アスタリスク*　又は　コロン:　がいいと思いました。

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;は総数がわかっていいですよ。数えなくていいです。途中新規挿入も楽です。

②カードタイトルの連番だと数字がかぶる?かも。(例51)

返信不要でお願いします。参考にして下さい。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月15日 (水) 03:30 (UTC)

:{{コメント2|横から失礼}} Tkkn46tkkn46さんのコメントも行頭は # にされると良いかと思うのですが、いかがでしょうか？[[#本タイトル名称:トランプゲームの分類→トランプゲームの分類(ジャンル別)|こちら]]などは行頭を変えるだけでかなり読みやすくなるかと思います。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 03:44 (UTC)</text>
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      <comment>/* 本タイトル名称:トランプゲームの分類→トランプゲームの分類(ジャンル別) */ 返信</comment>
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      <text bytes="2532" sha1="quo7zpcxtpu3wg90m8uiq92v1ejkh0s" xml:space="preserve">== 本タイトル名称:トランプゲームの分類→トランプゲームの分類(ジャンル別) ==

①前ページ?の一覧は、トランプゲームの分類(人数別で作成日順)　かも。

②分類名に種別、目的が必要。あれば、何通りの目的分類してあります。(ジャンル数の意味でありません)

③全ゲームの総数?はでした。表示が一箇所必要かも。ナンバリング追い番号は、タイトル名とかぶるかも。(51)

④常に数量チェックが必要かも。(分類パターン?数。そのパターンの内訳数)

⑤markdown一覧表が見やすいかも。(例)1列目のゲーム名。2列目に人数。3列目にジャンル。4列目に戦略。5列目に歴史。

--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月13日 (月) 14:56 (UTC)

:@[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]]様。アドバイスありがとうございます。参考にさせていただきます。&lt;sub&gt;下のトピックで返信不要とおっしゃっていたのでこちらのほうで返信させて頂きました。--&lt;/sub&gt;[[利用者:AkiR27User|AkiR27User]] ([[利用者・トーク:AkiR27User|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 05:54 (UTC)

== &lt;nowiki&gt;&lt;blockquote&gt;&lt;/nowiki&gt;の使い方を確認して下さい。 ==

[[w:Help:ページの編集#引用]]

①&lt;nowiki&gt;&lt;blockquote&gt;&lt;/nowiki&gt;は、wikibooks内使用の新型?ですか。そこまでしなくてもです。

行頭は、　シャープ#　又は　アスタリスク*　又は　コロン:　がいいと思いました。

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;は総数がわかっていいですよ。数えなくていいです。途中新規挿入も楽です。

②カードタイトルの連番だと数字がかぶる?かも。(例51)

返信不要でお願いします。参考にして下さい。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月15日 (水) 03:30 (UTC)

:{{コメント2|横から失礼}} Tkkn46tkkn46さんのコメントも行頭は # にされると良いかと思うのですが、いかがでしょうか？[[#本タイトル名称:トランプゲームの分類→トランプゲームの分類(ジャンル別)|こちら]]などは行頭を変えるだけでかなり読みやすくなるかと思います。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 03:44 (UTC)</text>
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    <title>テンプレート・トーク:メインページメニュー</title>
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      <comment>/* ＞分類の仕方は改善の余地あり */ 返信</comment>
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      <text bytes="1554" sha1="i7s68pr3eux8g7174e7fl1685fwtz2t" xml:space="preserve">== ＞分類の仕方は改善の余地あり ==

より

3パターンあってもいい。他。

①wikibooksのEnglish版のメインページの翻訳

②[[w:日本十進分類法]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月15日 (水) 11:57 (UTC)

:{{コメント2|返信}} おそらく、[[特別:差分/298373|私の編集]]をご覧になってコメントしてくださったのかな？と思います。ご意見ありがとうございます。
:# 一つ目の意見について、私も一度考えたのですが、日本での学問の分類の仕方とは少し異なるように感じるため、日本版には適さないのかなと思います。
:# 二つ目の意見について、「これはありだな」と思いました。ただ、日本十進分類法の「3 社会科学」「4 自然科学」は分類の仕方が抽象的すぎると感じるため、さらなる議論が必要だと思います。
::: 自然科学の中に数学や物理学があって、数学の中には代数学、幾何学、解析学があって、解析学の中に微積分学があって…　とどこまでを分類するか、どう分類するかのご意見が欲しいです。
:（Tkkn46tkkn46さんのご意見もぜひお聞かせください。学問の分類表たるものを作っていただいても構いません）--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 04:05 (UTC)</text>
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      <comment>/* ＞分類の仕方は改善の余地あり */ 返信</comment>
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      <text bytes="2473" sha1="l69iqs3ggwd3u2qyfz0lxuz2umnb9xq" xml:space="preserve">== ＞分類の仕方は改善の余地あり ==

より

3パターンあってもいい。他。

①wikibooksのEnglish版のメインページの翻訳

②[[w:日本十進分類法]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月15日 (水) 11:57 (UTC)

:{{コメント2|返信}} おそらく、[[特別:差分/298373|私の編集]]をご覧になってコメントしてくださったのかな？と思います。ご意見ありがとうございます。
:# 一つ目の意見について、私も一度考えたのですが、日本での学問の分類の仕方とは少し異なるように感じるため、日本版には適さないのかなと思います。
:# 二つ目の意見について、「これはありだな」と思いました。ただ、日本十進分類法の「3 社会科学」「4 自然科学」は分類の仕方が抽象的すぎると感じるため、さらなる議論が必要だと思います。
::: 自然科学の中に数学や物理学があって、数学の中には代数学、幾何学、解析学があって、解析学の中に微積分学があって…　とどこまでを分類するか、どう分類するかのご意見が欲しいです。
:（Tkkn46tkkn46さんのご意見もぜひお聞かせください。学問の分類表たるものを作っていただいても構いません）--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 04:05 (UTC)
::①【希望】日本語版のwikibooksの全ページをEnglish版に紐付け?してほしい。言語の追加?の操作です。日本での学問とEnglish版の学問との異なりをみたい。(各記事を含む。)
::　＞...とどこまでを分類するか、どう分類するか... ＞適さない
::　page to page で、ねじ込む？カテゴリー使用ありカモ。
::②現況?ではどうでしょうか。学問の分類表?。小数は想定していません。小数は、図書館によって違いがあるそうです。参考文献に合わせる。
::　[[w:日本十進分類法#社会科学（3類）]]
::　[[w:日本十進分類法#自然科学（4類）]]
::③416,486のwikipedia調査が必要です。
::返信ありがとうございました。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 10:45 (UTC)</text>
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    <title>トランプ/スコパ</title>
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        <username>AkiR27User</username>
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      <comment>スコパについてまとめました</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2720" sha1="bp03dpivjb21bwwoghw0bhaxdva4uxw" xml:space="preserve">スコパ(scopa)は、イタリアで広く親しまれている伝統的なカードゲームです。場札と数値を対応させて獲得する方式が特徴です。名称はイタリア語の“掃く(scopa)”に由来し、場札をすべて取り除く行為を指します。

== 所要 ==

* トランプ40枚を使用します
* 標準トランプ52枚から8.9.10のカード(12枚)を抜いてください
* プレイ人数は2人です

複数ラウンドを通じて得点を獲得し、所定点(基本は11点)に到達することが目標です。

# 各プレイヤーに3枚配ります
# 場に4枚を表向きに配置してます
# 残りは山札として中央に置きます

カードの値と扱い

* スコパでは、絵札の数値が独自に調整されます

{| class=&quot;wikitable&quot;
!カード
!カードの値と扱い
|-
|A
|1
|-
|2~7
|2~7(数字通り)
|-
|J.Q.K
|J=8.Q=9.K=10
|}

== ゲーム ==
'''手番の行動'''

* プレイヤーは手札から1枚を場に出し、以下のいずれかを行います。

&lt;blockquote&gt;'''数字一致による獲得'''

* 出したカードと同じ数値の場札を取る。
* 例:8が場札にある→8を出す→取ることができます

==== 合計一致による獲得 ====

* 出したカードの数値と、場札の複数枚の合計が一致する場合は、それらをまとめて取ることことができます
* 例:2と6が場札にある→Jを出す(2+6=8)→2と6をとることができます

==== 獲得できない場合 ====
出したカードをそのまま場に残します&lt;/blockquote&gt;場札からカードをとった枚数分、山札から補充します。次の人に手番が移ります。

'''スコパ(掃く)'''

手番で'''場札をすべて取り切った(掃いた)場合'''、そのプレイヤーは'''1点'''を得ることができます。

== ラウンド終了 ==
山札が尽き、両者の手札がなくなった時点でラウンドは終了します。場に残ったカードは最後に場札を獲得したプレイヤーがまとめて獲得できます。

== 得点 ==
ラウンド終了後、以下の項目について比較し、該当する側に1点が与えられます。

* 総獲得枚数が多い
* ダイヤ（♦）の獲得枚数が多い
* 7の獲得枚数が多い
* カード「7♦(セッテベッロ)」を保持している
* スコパの回数（1回＝1点）

これらの合計点を加算し、先に規定点へ到達したプレイヤーが勝者となります。
{{デフォルトソート:すこは}}
[[カテゴリ:トランプ]]
[[カテゴリ:カードゲーム]]
[[カテゴリ:ボードゲーム]]
[[カテゴリ:テーブルゲーム]]</text>
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        <username>なまえみてい</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>cl: 括弧は全角を「（）」を使うことが一般的です。(数式などは除く)</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2747" sha1="5yqem7ki6if544bgadg9hg7g1itrbwi" xml:space="preserve">スコパ（scopa）は、イタリアで広く親しまれている伝統的なカードゲームです。場札と数値を対応させて獲得する方式が特徴です。名称はイタリア語の“掃く（scopa）”に由来し、場札をすべて取り除く行為を指します。

== 所要 ==
* トランプ40枚を使用します
* 標準トランプ52枚から8.9.10のカード（12枚）を抜いてください
* プレイ人数は2人です

複数ラウンドを通じて得点を獲得し、所定点(基本は11点)に到達することが目標です。

# 各プレイヤーに3枚配ります
# 場に4枚を表向きに配置してます
# 残りは山札として中央に置きます

=== カードの値と扱い ===
スコパでは、絵札の数値が独自に調整されます

{| class=&quot;wikitable&quot;
!カード
!カードの値と扱い
|-
|A
|1
|-
|2~7
|2~7(数字通り)
|-
|J.Q.K
|J=8.Q=9.K=10
|}

== ゲーム ==
=== 手番の行動 ===
プレイヤーは手札から1枚を場に出し、以下のいずれかを行います。

&lt;blockquote&gt;'''数字一致による獲得'''
* 出したカードと同じ数値の場札を取る。
* 例:8が場札にある→8を出す→取ることができます

==== 合計一致による獲得 ====
* 出したカードの数値と、場札の複数枚の合計が一致する場合は、それらをまとめて取ることことができます
* 例:2と6が場札にある→Jを出す(2+6=8)→2と6をとることができます

==== 獲得できない場合 ====
出したカードをそのまま場に残します&lt;/blockquote&gt;場札からカードをとった枚数分、山札から補充します。次の人に手番が移ります。

=== スコパ（掃く） ===
手番で'''場札をすべて取り切った（掃いた）場合'''、そのプレイヤーは'''1点'''を得ることができます。

== ラウンド終了 ==
山札が尽き、両者の手札がなくなった時点でラウンドは終了します。場に残ったカードは最後に場札を獲得したプレイヤーがまとめて獲得できます。

== 得点 ==
ラウンド終了後、以下の項目について比較し、該当する側に1点が与えられます。

* 総獲得枚数が多い
* ダイヤ（♦）の獲得枚数が多い
* 7の獲得枚数が多い
* カード「7♦（セッテベッロ）」を保持している
* スコパの回数（1回＝1点）

これらの合計点を加算し、先に規定点へ到達したプレイヤーが勝者となります。

{{デフォルトソート:すこは}}
[[カテゴリ:トランプ]]
[[カテゴリ:カードゲーム]]
[[カテゴリ:ボードゲーム]]
[[カテゴリ:テーブルゲーム]]</text>
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