Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 1491 298501 282245 2026-04-18T04:30:13Z Nermer314 62933 298501 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|自然科学|物理学|frame=1|small=1}} {{wikipedia}} {{wikiversity|Topic:古典力学|古典力学}} {{stub}} == イントロダクション == [[古典力学/イントロダクション]]{{進捗|75%|2023-11-05}} == 物体 == 古典物理学で扱われるような物体が持つ性質としては、質量・電荷・形状がある。このうち電荷については電磁気学で扱い、本項目の古典力学では'''質量'''と'''形状'''のみを扱う。 力学的な'''物体'''のうち質量のみを持ち、大きさを持たない物体を'''質点'''という。実際の物体は大きさを持つが、運動の大きさに対して物体の大きさが無視できるほど小さければ質点と見なせる。大きさを持つ物体であれば力を加えると変形したりするなどして、物体の運動に全ての力が使われない事も多いため、そのような要因を排除して位置の変化による運動のみを考えるために理想化された物体である。もちろん「質点」のような物体は現実にはないが、しかし単純化したモデルについてまず考えることは力学の本質の理解に役立つ。 <!-- 重心を質点とみなしてよい場合についての記述がどこかにほしい --> 複数の質点の集まりを'''質点系'''という。質点系の内、質点同士の相対的な位置関係が力を加えても変わらぬ物体を'''剛体'''という。実際の物体は力を加えると多少なりとも変形するが、力を加えても変形が無視できるほど硬ければ剛体と見なしてよい。 大きさを持ち、力を加えると変形するが、力を加えるのを止めると元の状態に戻る物体を弾性体という。弾性体を代表とした、各質点の相互作用によって運動を行う系については[[連続体の力学]]で扱う。 気体や液体のように決まった形を持たず、流れる物体を流体という。流体については古典力学ではなく[[流体力学]]で扱う。 == 記号 == 様々な量を表現するために、数学ではその量を記号を用いて表す。以下に代表的な量とその記号の例を以下に挙げる。これらは単なる例であり、本書に限らず全ての量がこの表に従って書き表されているわけではない。<math>t</math> や <math>m</math> のような記号を用いて量を表現するのは冗長な表現を短くまとめる目的で行われる。 {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ | 物理量と記号 |- !| 物理量 || 記号 || 物理量 || 記号 |- || 位置 || <math>x, r, q</math> || 長さ || <math>L, l, \lambda</math> |- || 面積 || <math>S, A</math> || 体積 || <math>V, \Omega</math> |- || 半径 || <math>r, R, a</math> || 角度 || <math>\theta, \phi, \psi, \alpha, \beta</math> |- || 角速度 || <math>\omega</math> || 時刻および時間 || <math>t, \tau</math> |- || 速度 || <math>v, V, u</math> || 加速度 || <math>a, \alpha</math> |- || 躍度 || <math>j</math> || 質量 || <math>m, M, \mu</math> |- || 密度 || <math>\rho, \sigma</math> || 力 || <math>F, f</math> |- || 運動量 || <math>p, \pi</math> || 力積 || <math>I</math> |- || 仕事 || <math>W, w</math> || エネルギー || <math>E, \varepsilon</math> |- || 運動エネルギー || <math>K, T</math> || ポテンシャルエネルギー || <math>U, V, \phi, \Phi</math> |- || ばね定数 || <math>k</math> || 重力加速度 || <math>g</math> |} == 物理量 == 力学における'''[[w:系 (自然科学)|系]]''' (system)とは、最も一般的には運動する物体（の集まり）と物体が運動する空間のことだ。系には直接的ないし間接的な[[w:測定|測定]]を通じて原理的に決定可能な特徴量、'''[[w:物理量|物理量]]''' (physical quantity) が存在し、物体や物体の集団に付随する量であったり、空間に付随するものであったり、あるいは物体と空間の関係性を指し示すものであったり様々である。最も基本的な物理量としては、ある指標となる物体と空間上の一点を結ぶ'''距離'''が挙げられる。 物体が運動する場合、その物体が描く'''軌跡'''とその時々の'''時刻'''を結びつけて考えることができる。<ref>物体の運動に対する時刻としてどのようなものを選ぶかは全く明らかではないが、差し当たってごく単純な運動を基準にすることによって時刻が定められるということを認める。「単純な運動」はたとえば太陽が昇り沈む周期や月の満ち欠けだったり、季節の移り変わりや、あるいは時計の秒針の動きだったり様々である<!--これは運動の説明なのか？？？-->。このような時刻を知り時間を測るための装置ないし仕組みは、専ら「時計」と呼ばれる。我々が時計を見て時刻を知ることについては差し当たって何の制約も与えられない。従って、理想的な時計として任意の連続的な時刻を正確に示すものを考えることができる。このような仮想的な時計は唯一つに決まっているわけではなく時間の測り方によって無数の時計が存在するが、それぞれの時計が指す時刻についての対応関係がはっきりとしているならその内のどれか一つを使えばよいことになる。実際には、現実に存在する時計と同じ測り方のものを選ぶことになるだろう。このような理想的な時計によって特徴づけられる[[w:時間|時間]]そのものは、単に物体の運動を幾何学的な舞台に立たせるための道具立て以上の意味を持たない。</ref> 時間を測ることができれば、各時刻における物体の'''位置'''から物体の'''速度'''を定めることができる。速度は、[[古典力学/イントロダクション#平均の速度と瞬間の速度|前節]]で紹介したように、微小に経過した時間でその間での位置の変化量を割ったもの、すなわち物体の速度 <math>v(t)</math> は物体の位置 <math>x(t)</math> を時刻 <math>t</math> について微分したものとして定義される。物体の位置 <math>x(t)</math> および速度 <math>v(t)</math> の全体像は時刻 <math>t</math> の関数として定義される。 :<math> v(t) := \frac{dx(t)}{dt} = \lim_{h \to 0} \frac{x(t+h) - x(t)}{h}. </math> この定義は物体の位置および速度がベクトルであっても変わらない。ベクトルを太字で表せば次のようになる。 :<math> \boldsymbol{v}(t) := \frac{d\boldsymbol{x}(t)}{dt} = \lim_{h \to 0} \frac{\boldsymbol{x}(t+h) - \boldsymbol{x}(t)}{h}. </math> 同様にして、速度 <math>\boldsymbol{v}(t)</math> の変化の割合として加速度 <math>\boldsymbol{a}(t)</math> を、 :<math> \boldsymbol{a}(t) := \frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}(t)}{dt^2} </math> 加速度 <math>\boldsymbol{a}(t)</math> の変化の割合として[[w:躍度|躍度]] (jerk) :<math> \boldsymbol{j}(t) := \frac{d\boldsymbol{a}(t)}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{v}(t)}{dt^2} = \frac{d^3\boldsymbol{x}(t)}{dt^3} </math> を定義できる。高階の時間微分によって定義される量を推定するためには、直接的には位置と時刻の測定を数多く行う必要がある。たとえば速度を測定するためには、直接的には 2 つの位置と時刻の組を定めることが必要となる。同様に加速度を測るためには 2 つの時刻における速度を知る必要があるから、位置と時刻の組を 3 点測定しなければならない。 力学においてどの程度まで高階の微分を求める必要があるだろうか。先走って言えば、ニュートン力学においてはある時刻における物体の位置と速度を決定することで、その物体の未来と過去における運動を完全に予測することができ、従って運動を記述するには物体の加速度が分かっていれば充分ということになる。このニュートン力学の性質は'''ニュートンの決定性原理'''と呼ばれる。多くの物体の運動について、ニュートン力学によって正確な予測が得られる事実は、それらの現象の背後にある決定性原理の存在を暗に示していると言えるだろう。 力学において基本となる量は、位置や時間、速度や加速度のような物体の運動として直接捉えられる量の他に、[[w:力|力]]や[[w:質量|質量]]、[[w:運動量|運動量]]や[[w:エネルギー|エネルギー]]といったものがある。これらについてはまた別の節を設けて詳しく述べることにするが、掻い摘んでこれらがどのような量であるかを述べよう。 質量は物体の二つの異なる性質を決定する。一つは物体の動かしにくさと止めにくさであり、もう一つは物体の重さである。質量が大きな物体ほど動かしづらくまた止めづらい。物体の重さは質量に比例し、質量が大きいほど物体は重くなる。感覚的には質量のいずれの性質も物体の「重さ」として感じとられる。 力は物体の運動を変化させる要因である。力の発生源は様々であり、力学において特に力の発生源を特定することはない。ニュートン力学では、すべての力は物体同士を結ぶ相互作用として記述される。最も直感的な例は物体同士を衝突させたりしたときに働く接触力だろう。物を持ち運ぶ際に感じる重みは、運ばれる荷物によって及ぼされる力を原因として生じる感覚であると理解できる。他に代表的なものは万有引力と静電気力、および磁力である。これらは物体が接触していなくても働くため、非接触力とか呼ばれる（遠隔力とか遠隔作用と呼ぶこともあるが、物理学では遠隔という言葉は特別の意味を持つので、これらの語を用いる際には混同されないよう注意すべきだろう）。 力そのものは如何にその振る舞いが直感的であろうとも概念的なものであり、直接的に力を知るすべはない。しかしながら、力が及ぼされたであろう物体は、その運動に変化が生じるため、物体の加速度と結びつけて考えることができる。ここで質量は物体に加えられた力に対してどれだけの加速度が生じるかの指標として用いられる。 運動量は物体の勢いを示す量である。物体の勢いは物体の止めにくさや物体の速さに結び付けられ、運動量は物体の質量と速度に関係する量として定義される。物体の速度が大きいほど、またその質量が大きいほど物体の運動量は大きくなる。エネルギーは物体を動かす際に物体とやり取りされる量であり、これもまた物体の運動の勢いを特徴付ける。運動量とエネルギーはまた、特定の条件の下でその総量が一定に保たれることが知られる。 {{節stub}} == 運動の三法則 == 運動の三法則とは次の３つの法則のことである。 #運動の第１法則（慣性の法則）: #:物体に力が働かないとき、物体は静止状態か等速度運動を続ける。 #運動の第２法則（運動の法則）: #:加速度の大きさは力の大きさに比例し、物体の質量に反比例する。 #運動の第３法則（作用反作用の法則）: #:ある物体が他の物体に力を与えるとき、ある物体は他の物体から大きさが等しく、逆向きの力を受ける。 第１法則は運動というものが物体と観測者の相対的な関係であるため必要となる。つまり物体がとまっていても、観測者が複雑な運動をしていれば物体は（観測者から見て）複雑な運動をする。このような見かけ上の運動まで含めると力学は不必要に複雑になる（少なくとも入門レベルでは）。これを除くには観測者にも制限をつけなければならない。第１法則がその制限となる。つまり、運動の第２第３法則が成り立つのは、第１法則が成り立つような観測者であることを前提にした場合に限ることになる。このような観測者が用いる座標系を'''慣性系'''とよぶ。慣性系は運動をもっとも簡単に（あるいは「素直」に）記述できる座標系と考えてよい。 この第１法則に述べられている内容は、物理法則は全ての慣性系において等しく、慣性系に対して等速直線運動をしている系は全て慣性系であるという'''ガリレイの相対性原理'''に基づいたものである。 運動の第２法則を式で表すと、'''運動方程式''' ''F''=''ma''となる。ここで、''F''は物体に加えられた力である。次元の高い運動であり、位置''r''がベクトルで書かれる場合、この式は :<math> \vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} </math> という形になる。質量''m''はスカラーであり、位置''r''と力''F''はベクトルである。 微分方程式論における初期値問題のよく知られた結果から、ある時点での<math>\vec{r}</math>と<math>\vec{v}</math>を与えれば、この微分方程式の解は一意に存在するということが分かるため、質点の位置と速度によりその後の質点の運動は全て決定される。 これはニュートンの決定性原理の主張するところと同じである。 数学的には、<math>\vec{r}</math>の三階以上の時間微分を含む方程式を考える事もできるが、ニュートンの決定性原理により古典力学の記述にはそのような高階の微分が不要であることが分かっているのである。 第３法則は、力の釣り合いに関するものではなく、2体間の力の及ぼし合いに関する法則である。我々が地面に立つとき、自らの重さによって地面を押していることになるが、逆に同じだけの力によって地面に押し返して貰っているために地面の上で静止できるのである。地面から離れて跳び上がろうと思えば、普段より強い力で地面を蹴ることにより、同じだけの力を地面から与えられ、跳び上がることができるようになる。ただこの場合は、反作用の力を受けるのは地面を蹴った時だけであるから、地面を離れた後は、引力と反対方向の力が得られず、再び地面に引き寄せられてしまうことになる。 == 運動の三法則をどう使うか == 力学の主要な目的は法則を使って物体の運動を定量的あるいは定性的に予測すること。「運動」は物体の位置ベクトル<math>\vec{r}</math>が時間とともにどう変化するか、言い換えると<math>\vec{r}</math>が時間のどのような関数<math>\vec{r}(t)</math>になるかで表される。それで作業は<math>\vec{r}(t)</math>が満たす「運動方程式」を求め、次にそれを解くという二段階に分けられる： １.（運動方程式の導出）問題とする状況において物体が受ける力を求める。重力や電磁気力の法則を使うが、複数の物体がからむ問題では第３法則も重要な働きをする。物体が受ける力は一般にはその位置<math>\vec{r}</math>および時刻<math>t</math>に依存するので<math>\vec{F}=\vec{F}(t,\vec{r})</math>となるが、特に位置への依存性が重要な問題が多い。その結果を第２法則に代入すると :<math>m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\vec{F}(t,\vec{r})</math> となる。これが運動方程式。数学的には<math>\vec{r}</math>が満たす2階微分方程式に他ならない。 ２.（運動方程式を解く）運動方程式を解いて運動を求める。原理的には適切な初期条件を与えた上でそれを解けばよい。二階なので初期条件は初期時刻''t''_''i''での位置<math>\vec{r}(t=t_i)</math>と速度<math>d\vec{r}/dt(t=t_i)</math>が必要。物理的にはある時刻の位置と速度を決めると、それ以降の運動が完全に決まることを意味する（ボールを投げる場合を思いおこせばよい。ボールが手から離れる瞬間の位置と速度でその後のコースが決まるわけである）。 とはいえ、二階微分方程式は二次方程式のように一般的な解の公式があるわけではない。それどころか力が少々複雑になると、解が既知の関数の組合せで表せないことも普通。そこをどうするかが力学の問題となる。幸い"good news"がある： # 物理として重要な基本的な問題には、厳密に解けるものが多い。代表的な例は地球表面近く（つまり重力が一様一定）でのボールの運動、太陽の周りの惑星の問題、ばねにつながれた物の運動など。解けないものも、これら厳密に解けるものが「いくらか複雑化」したものとみなすことである程度理解できる。 # 厳密な解が得られなくても、重要な定性的性質が得られることもある。例えばいつまでも動きつづけるのか否か、有限な範囲を動き回るのか、どこまでも遠くに去ってしまうのか、など。 いずれの場合も、「保存量」がカギになる。保存量とは位置と速度をある形で組合せた式で、その値が運動の初めから終わりまで変わらぬ一定値をとるもの。力がある条件を満たす場合に存在する。これがあると運動の自由度が減るので解きやすくなる（保存量の個数が十分なら、2階の方程式を一階に直して積分で解くことが可能になる）し、また大きな制限となるので定性的性質も分かりやすくなる。代表的な保存量の候補はエネルギー、運動量、角運動量。 一方、保存量が存在しない運動、あるいは自由度に比べ保存量の数が少ない運動はたいてい複雑で、解くことも定性的性質を捉えることも難しい。そのような運動を調べるには計算機上の数値計算などが必要となる。実はこのような運動も独自の興味と重要性を持つことがある。代表的なのはカオス的な運動と呼ばれるもので、多くの研究がされてきている。 以上のような事情から、力学ではまず保存量のような基本的な概念と厳密に解ける基本的な運動を扱い、その中で多くの運動に通じる正しい直観を身に付ける。基本的な運動には等加速度運動、放物運動、円運動、楕円運動、単振動などがあり、多くの現象をこれらの運動が「複雑化」したものとして理解できる。その範疇から外れたカオス的な運動のようなものはこれらの基礎を十分身に付けた後で、いわば特論として取り組むのがよい。また運動の法則をより数学的に整理した解析力学といわれるものがある。これは保存量を系統的に求める方法や座標系を換える方法など各種の高級な技術を提供し、さらに量子力学などより進んだ物理に進むには必要不可欠なのであるが、抽象的でわかりづらい面もある。やはりある程度直観を身に付けてから学ぶのがよい。 == 運動の保存量の例：エネルギー == === エネルギーの発見 === 物理ではエネルギーや運動量などの保存量が重要な働きをする。力学においてもそれは同様であるが、特に自由度の小さい系での運動を扱う場合には、保存量の利用により運動がほとんど決定されてしまう。 もっとも簡単（でしかも重要）な例は直線上の粒子の運動で、エネルギーが保存される場合。粒子の座標を''x''とし、それが''x''だけに依存した力''F(x)''を受けるとする。例えばばねにつながれた粒子では、''F(x)=&minus;kx''になる。このとき運動方程式は :<math>m \frac{d^2x}{dt^2}=F(x)</math> これを''x''についての微分方程式とみて初期条件 「t=t_iで(x,dx/dt)=(x_i,v_i)」で解けばよい。しかし二階だと面倒なので、両辺にdx/dtを掛けてみる。すると :<math>m \frac{dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dx}{dt}F(x)</math> ここで合成関数の微分側を使うと、左辺は :<math>m \frac{dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2</math> となる。 ここで''F(x)''の原始関数を ''f(x)''とすると（'''原始関数'''とは''df/dx=F(x)''を満たす関数''f(x)''。例えば''f(x)=(k/2)x²''は''F(x)=kx''の原始関数である。) :<math>\frac{d}{dt}f(x)=\frac{dx}{dt}F(x)</math> となるので :<math>\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2=\frac{d}{dt}f(x)</math> 左辺、右辺両方ともある関数の微分なので、右辺を左辺に移行してまとめると :<math>\frac{d}{dt}\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-f(x)\right\}=0</math> ここで、{}の中身は時間に依存しない定数、即ち保存量になる。中身を足し算で書くため''U(x):=&minus;f(x)''とすると :<math>\frac{d}{dt}\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+U(x)\right\}=0</math> となる。以上の結果をまとめよう。物体がその位置だけに依存する力''F(x)''だけを受けて直線運動をする場合に、''U(x)'' を ''dU/dx=&minus;F(x)'' を満たす関数として定義し、さらに位置と速度を引数とする関数E(x,dx/dt)を次で定義する。 :<math>E\left(x, \frac{dx}{dt}\right):=\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+U(x)</math> すると、''E'' の値は運動の間、値が変わらない定数になる。つまり''E(x,dx/dt)''は保存量である。これは'''エネルギー'''と呼ばれる。 エネルギーの値は初期条件で決まる。つまりt=t_iの時の値と同じなので、 :<math>E\left(x(t),\frac{dx(t)}{dt}\right)=\frac{m}{2}v_i^2+U(x_i)</math> エネルギーは二つの項の和になっている。最初の項(m/2)v²は速度で決まるので'''運動エネルギー'''、 二番目の項''U''は位置で決まるので'''位置エネルギー'''または'''ポテンシャルエネルギー'''と呼ばれる。運動エネルギーと位置エネルギーは、それぞれ個別に見ると運動の間変化する。 しかしそれらの和は変化しない、定数になるのである。 === エネルギー保存に基づく定性的な解析 === エネルギーが保存されるという事実だけから、運動の様子がかなり分かる。エネルギーの値をE_iとすると、運動の間、常に :<math>\frac{m}{2}v^2+U(x)=E_i</math> が成り立つ。書き換えると :<math>E_i-U(x)=\frac{m}{2}v^2\ge 0</math> 従って運動でxが動くのは <math>E_i\ge U(x)</math> が成り立つ範囲に限られる。つまり横軸にx、縦軸にy=U(x)のグラフを書いた場合、 水平線<math>y=E_i</math>の下に曲線<math>y=U(x)</math>がある領域が運動の範囲となる。この二つの線が離れている領域ほど運動の速度は速い。 運動の間、vとxの間には :<math>v=\pm \sqrt{\frac{2}{m}(E_i-U(x))}</math> が成り立つ。複号のどちらをとるかは初期条件と時刻で決まる。例えば<math>v_i>0</math>の場合、vは連続にしか変わらないのでいきなり符合が変わることはありえず、 しばらくはv>0のまま同じ方向（x増加の方向）に動く。符号が変わりうるのはv=0、即ち<math>y=E_i</math>と<math>y=U(x)</math>の 交点。大雑把には交点に達するまでは同じ方向に動きつづけ、交点に達すると一瞬v=0になり、それから速度の符号が変わって逆向きに動く。 但しこれは交点で交わる角度が0よりも大きいことが前提。角度が0、つまり<math>y=E_i</math>と<math>y=U(x)</math>が 接する場合にはより細かい解析が必要で、交点に永遠に達しない時もあるし、達したところで静止することもありうる。 この交点周囲の振る舞いを調べるには運動方程式に戻る。 以上のことを直観的に捉えるにはジェットコースターの軌道のように上下する軌道の上においたボールの運動をイメージすればよい。 === エネルギー保存から得られる厳密解 === エネルギー保存則から運動方程式の解を積分の形で得られる。簡単のため、初期時刻で<math>v_i=dx/dt>0</math>とし、上の式で右辺が正の間の運動を考える（負の場合も同様の考え方で分かる）。<math>v=dx/dt</math>を入れると <math>dx/dt=\sqrt{\frac{2}{m}(E_i-U(x))}</math> 右辺は正なのでxとtの対応は一対一となり、逆にtをxの関数とみなせる。すると <math>dt/dx=1/\sqrt{(2/m)(E_i-U(x))}</math> となるので、両辺をxで積分して初期条件(t=tiでx=xi)を使うと <math>t=t_i+\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_i}^x \frac{dx'}{\sqrt{E_i-U(x')}}</math> これで一般解が得られた。力<math>F(x)</math>が与えられれば、そこからUを求め、上の右辺の積分を実行し、必要ならx=h(t)という形に直せば運動が得られる。積分が面倒そうとか、最初にx=h(t)ではなくt=g(x)という形になるのがいまいちと思うかも知れないが、それでも厳密解が定積分という閉じた形で得られることは大きな意味をもつ。 上の右辺の積分が初等的にできる特に重要な例は、ばねにつながれた物体(<math>f(x)=-kx, U(x)=kx^2/2</math>、すぐ下で詳しく扱う）。また太陽の周りの惑星の運動も後で述べる角運動量保存側を使うと１次元の問題に還元でき、太陽からの距離rとtの関係が上と同じ形の積分で表される(q,kを定数として<math>U(r)=\frac{q}{r^2}-\frac{k}{r}</math>。第一項が遠心力、次が重力を表す)。これも非常に幸いなことに、積分を初等関数で表すことができる。 なお、ルートがあるため<math>U(x)</math>の関数形が少し複雑になっただけで積分は難しくなる。それでも前節の定性的な解析は<math>U(x)</math>のグラフを睨むだけでできることに注意してほしい。例えばU(x)が三次関数のように山と谷を持つような場合には運動が山を越えるかそれとも谷に閉じ込められたまま振動するかが重要なポイントになるが、それは初期条件の<math>E_i</math>が山より高いかどうかを見れば分かるのである。まず定性的な性質をグラフで調べてから積分に取り組むことで、式をまとめる方針も見えてくる。 例としてばねにつながれた質点の運動を求めよう。力はF(x)=-kxで与えられるので、 <math>U(x)=\frac{k}{2}x^2</math> この場合エネルギーは0以上である（<math>E_i=mv_i^2/2+kx_i^2/2 \ge 0</math>）。厳密解の公式に代入すると <math>t=t_i+\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_i}^x \frac{dx'}{\sqrt{E_i-\frac{k}{2}x'^2}}</math> あとは数学の問題として積分を計算すればよいのではあるが、計算も物理的な考察を加えながら行うことでよりきれいにできる。まず運動のスケールを特徴づける量を考える。定性的な解析から分かるように、運動の範囲は<math>E_i-\frac{k}{2}x'^2\ge0</math>を満たす領域、即ち <math>-\sqrt{2E_i/k}\le x \le \sqrt{2E_i/k}</math> よって<math>L:=\sqrt{2E_i/k}</math>とおくと、この<math>L</math>が運動の（長さの）スケールになる。座標xも、「このLの何倍か（何割か）」と表すのがよい。そこで <math>X=x/L</math> とおいて公式に代入し整理すると、一番面倒な積分の部分がきれいになる。被積分関数からkや<math>E_i</math>などのパラメータを取り除けるのである。 <math>t=t_i+\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{X_i}^X \frac{LdX'}{\sqrt{E_i-\frac{k}{2}(\sqrt{2E_i/k}X')^2}}=t_i+\sqrt{\frac{m}{2E_i}}L\int_{X_i}^X \frac{dX'}{\sqrt{1-X'^2}}=t_i+\sqrt{\frac{m}{2E_i}}L(\sin^{-1}X-\sin^{-1}X_i)</math> 式の中に現れる<math>\sqrt{\frac{m}{2E_i}}L</math>という係数は時間の単位を持つので、時間のスケールになっているはず。それを<math>\frac{T}{2\pi}</math>とおく(<math>2\pi</math>を入れたのは、sinの周期が<math>2\pi</math>であることを睨んで)。また<math>\sin^{-1}X_i</math>を<math>\phi_i</math>と書く： <math>\frac{T}{2\pi}:=\sqrt{\frac{m}{2E_i}}L=\sqrt{\frac{m}{2E_i}}\sqrt{2E_i/k}=\sqrt{\frac{m}{k}}, \phi_i:=\sin^{-1}X_i</math> すると<math>t=t_i+\frac{T}{2\pi}(\sin^{-1}X-\phi_i)</math>が得られ、それをX=の形に直すと <math>X=\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T}+\phi_i)</math> という簡単な式になる。つまり質点はsinの形の振動をするのである。さらにXをxに直してまとめると <math>x=L\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T}+\phi_i), T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},L:=\sqrt\frac{2E_i}{k}=\sqrt\frac{mv_i^2+2kx_i^2}{k}, \phi_i:=\sin^{-1}X_i=\sin^{-1}\frac{x_i}{L}</math> この式は振動的な運動の基本であり、振幅<math>L</math>、周期<math>T</math>、初期位相<math>\phi_i</math>の単振動と呼ばれる。 なお基礎にした公式は元のもの（複号を持つ）の+の方のものだけなので、上の導出から得られる式は論理的にはdx/dt>0の範囲でしか保証されない。しかし結果的にはありがたいことにその制約をとっぱらった領域でも解になっている。そのことを手早く確かめるには上の解を運動方程式<math>d^2x/dt^2=-kx</math>に代入し、任意のtで 方程式が成り立っていることを確認すればよい。また初期条件に直接結び付けるには以下のように加法定理を使いsinを展開したほうがやりやすい。 <math>x=L\cos\phi_i\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T})+L\sin\phi_i\cos(2\pi\frac{t-t_i}{T}), v=\frac{dx}{dt}=2\pi\frac{L}{T}\cos\phi_i\cos(2\pi\frac{t-t_i}{T}i)-2\pi\frac{L}{T}\sin\phi_i\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T}i)</math> ここで<math>t=t_i</math>での初期条件<math>x=x_i,v=v_i</math>を使って上に出てくる<math>L,\phi_i</math>の組合せを表す。上の式に<math>t=t_i</math>を代入すると <math>x_i=L\sin\phi_i,v_i=2\pi\frac{L}{T}\cos\phi_i</math> これらから<math>L\sin\phi_i=x_i, L\cos\phi_i=\frac{v_i T}{2\pi}</math>となるので、これをxの式に入れると <math>x=\frac{v_i T}{2\pi}\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T})+x_i\cos(2\pi\frac{t-t_i}{T})</math> これが、指定した初期値から決まる運動の式となる。ここまででばねにつながれた質点の運動は完全に解かれた、と言ってよい。 == 運動の保存量の例：運動量 == 運動量を :<math> \vec p = m \vec v </math> で定義する。ここでmは物体の質量、 :<math> \vec v </math> は物体の速度である。 このとき運動方程式を用いると、物体に力が働いていないとき、 :<math> \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} \vec p = m \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} \vec v = 0 </math> となり、物体の持つ運動量が、時間的に保存することが分かる。これを運動量保存則と呼ぶ。 運動量が保存している系では系について物体の速度を変えずに位置だけをずらしたとき物体の運動が変化しないことが知られている。例えば、全く力が働いていない系では位置を変化させたとしても物体の運動は変化せず、物体は静止し続けるかもともと運動していた方向に等速直線運動を続ける。また、ある1方向にだけ一様な力が働いている系では力が働いている方向には物体の運動量は保存しないが、それ以外の方向については物体の運動方程式は物体に何の力も働いていないときと同一であるので、そちらの方向の運動量は保存する。これはある1方向に力が働いている時にもそれ以外の方向の移動に対してはこの物体の運動は変化しないことと対応している。物体をある方向に直線的に移動することを並進と呼び、並進によって物体の運動が変化しないことを系の並進対称性と呼ぶ。後に[[解析力学]]でネーターの定理と呼ばれる定理を学ぶが、この定理は系の対称性は必ずその対称性に対応する保存量があることを主張する。実際系の並進対称性に対応する保存量がまさしく運動量に対応していることが後に示される。 また、系の運動量は物体が持つ運動量だけでなく電磁場などが持つ運動量も存在する。系全体の運動量保存を考えるときには物体の場の両方が持つ運動量の保存を考えなくてはならない。これは、[[電磁気学]]、[[電磁気学II]]で導入される。 複数の物体に対して各々の間に内力（それぞれの物体の間に働く力のこと。）だけが存在し、外界から力が働いていないとき物体の集まりが持つ全運動量は保存する。全運動量とは物体系のそれぞれの粒子が持つ運動量を全て足し合わせたものである。これは、それぞれの物体の運動量について運動方程式から :<math> \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} p = f _i </math> が成り立つ中で、（<math>f_i</math>はそれぞれの物体にかかる内力を指す。iはintrinsicの略。） それぞれの物体についての運動方程式を全て足し合わせると、 左辺については :<math> \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} P </math> （Pは全運動量）が成り立ち、 右辺についてはそれぞれの和は0となる。 これは作用反作用の法則から、物体にかかる力はそれぞれ大きさが同じで反対方向をむいている対応する力を持っており、物体系全体について足し合わせたときにそれぞれの寄与が打ち消しあい、結果として和が0に等しくなるからである。 == 運動の保存量の例：角運動量 == ある質点に対して ある1点を取り、その一点からのベクトルを<math>\vec r</math>とし、 その質点が持つ運動量を<math>\vec p</math>としたとき、 <math> \vec L = \vec r \times \vec p </math> を角運動量と呼ぶ。 物体が中心力以外の力を受けないとき、角運動量は時間的に保存する。 (導出) <math> \frac {\partial {}}{\partial t } \vec L = \frac {\partial {}}{\partial t } \vec r \times \vec p + \vec r \times \frac {\partial {}}{\partial t }\vec p </math> <math> = \frac 1 m \vec p \times \vec p + \vec r \times f(r) \vec r </math> <math> = 0 </math> ( <math> \vec a \times \vec a = 0 </math> を用いた。) ある軸を中心とした角運動量が保存する系では、一般にその軸に対する回転に関して系の状態は変化しない。例えば、太陽のまわりの地球の運動が完全な円運動であったとするとき、この運動は地球が含まれる平面に直交して太陽を通過する軸を中心とした回転について不変である。これは、太陽から地球にかかる引力が、地球と太陽の距離のみによっており、上で述べたような軸を中心とする回転では地球と太陽の距離は変化しないからである。このことは系の中に回転対称性があることに対応している。解析力学で述べられるネーターの定理を用いると、この系は回転対称性に対応する保存量を持つことが分かる。実際にはこの保存量が正に角運動量に対応しているのである。 * 問題例 ** 問題 平面上を半径rの円上を角速度<math>\omega</math>で運動している物体があるとする。 このとき、この物体が円の中心に対して持つ角運動量を定義にしたがって求めよ。 ただし、物体の質量はmであるとする。 * 解答 このとき物体の座標は時間の原点を適当に選ぶことで、 :<math> \vec r = (x,y) = r(\cos \omega t ,\sin \omega t ,0) </math> とかける。ただし、物体が運動する平面をxy平面とした。このとき、物体の 速度は :<math> \vec v = \dot {\vec r } =r\omega ( -\sin \omega t ,\cos \omega t ,0) </math> で与えられる。よって、物体の持つ角運動量<math>L</math>は :<math> \vec L = r(\cos \omega t ,\sin \omega t ,0) \times m r\omega ( -\sin \omega t ,\cos \omega t ,0) </math> :<math> = m r^2 \omega (0, 0, \cos^2 \omega t + \sin ^2 \omega t) </math> :<math> = m r ^2 \omega (0,0,1) </math> となる。もしくは、角速度を :<math> |\vec v| = | \vec r| \omega </math> の関係を用いて速さで書き直すと :<math> = m r v (0,0,1) = r p (0,0,1) </math> が得られる。これは物体の位置と物体の速度が直交していることからその2つのベクトルの大きさは2つのベクトルの絶対値に等しくなるのである。 また、物体の位置と速度を含むベクトルはxy平面に含まれるのでそれら2つに直交するベクトルである角運動量ベクトルは必ずxy平面に直交する。そのため、このベクトルはz方向を向くのである。 == 等加速度直線運動 == * '''速さの公式''': <math>v=v_0+at</math> * '''位置の公式''': <math>x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2</math> * <math>v^2-{v_0}^2=2a(x-x_0)</math> 以上は容易に導かれる。以下ではその数学的演算（数学Ⅱまたは数学Ⅲの初歩程度）を詳しく述べる。 * 運動方程式: <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=f</math> (ただし、<math>\frac{d^2x}{dt^2}=a</math>…(1)) * 式(1)を時間<math>t</math>で積分すれば、左辺は<math>\int\frac{d^2x}{dt^2}dt=\frac{dx}{dt}</math>であり、右辺は<math>\int adt=at+C_0</math>(<math>C_0</math>は積分定数)より、<math>\frac{dx}{dt}=at+C_0</math>．いま、<math>t=0</math>を代入すれば<math>\frac{dx}{dt}|_{t=0}=C_0</math>であるから、<math>C_0</math>は<math>t=0</math>のときの速度である。従って<math>v=v_0+at</math>…(2)が導かれる。 * 式(2)を時間<math>t</math>で積分すれば、左辺は<math>\int\frac{dx}{dt}dt=x+C_1</math>であり、右辺は<math>\int (v_0+at)dt=v_0t+\frac{1}{2}at^2 + C_2</math>(<math>C_1, C_2</math>は積分定数)より、<math>x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 + C_2-C_1</math>．いま、<math>t=0</math>を代入すれば<math>x_{t=0}=C_2-C_1</math>であるから、<math>C_2-C_1</math>は<math>t=0</math>のときの位置である。従って<math>x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 + x_0</math>…(3)が導かれる。 * 式(2)を<math>t=\frac{v-v_0}{a}</math>と変形し、式(3)に代入すると、<math>x=v_0\frac{v-v_0}{a}+\frac{1}{2}a\frac{(v-v_0)^2}{a^2} + x_0</math>．この式において、<math>x_0</math>を左辺に移項し、右辺を展開し、両辺に<math>2a</math>を乗ずると、<math>2a(x-x_0)=v^2-{v_0}^2</math>を得る。 == 放物運動 == 放物運動は水平方向の等速度運動と鉛直方向の等加速度運動を合成したものと考えることができる。 '''初速度''':<math>v_0</math> '''初速度の水平成分''':<math>v_x=v_0 \cos \theta</math> '''初速度の鉛直成分''':<math>v_y=v_0 \sin \theta</math> '''最高点に到達するまでの時間''':運動の開始から鉛直方向の速度が0になるまでの時間であると言えるので、等加速度直線運動の速度に関する式<math>v=v_0 + at</math>を適用して<math>v=0</math>, <math>v_0=v_0 \sin \theta </math>, <math>a=-g</math> のとき、最高点に到達するまでの時間Tは　<math>T=\frac{v_0 \sin \theta}{g}</math> となる。 '''最高点の高さ''':位置に関する式<math>S=v_{0}t + \frac{1}{2} at^2</math>を適用して、<math>T=\frac{v_0 \sin \theta}{g}</math> のとき、最高点の高さhは　<math>h=\frac{v_{0} ^2 \sin^2 \theta}{g}</math> となる。 == 円運動 == * '''運動方程式の極形式表示''': <math>ma_r=f_r, ma_\phi=f_\phi \left(a_r=\frac{d^2r}{dt^2}-r\frac{d\phi}{dt}^2, a_\phi=2\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r\frac{d^2\phi}{dt^2}\right)</math>…(A) * '''円運動の運動方程式''': <math>mr\frac{d\phi}{dt}^2=-f_r, mr\frac{d^2\phi}{dt^2}=f_\phi</math>…(B) * '''等速円運動の運動方程式''': <math>mr\frac{d\phi}{dt}^2=-f_r</math> (<math>\phi</math>成分は0)…(C) 以下、上を証明する。 ** 証明 (A)の証明: <math>x=r\cos\phi, y=r\sin\phi</math>を2階時間微分し、<math>\frac{d^2x}{dt^2}=(\frac{d^2r}{dt^2}-r\frac{d\phi}{dt}^2)\cos\phi-(2\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r\frac{d^2\phi}{dt^2})\sin\phi,\frac{d^2y}{dt^2}=(\frac{d^2r}{dt^2}-r\frac{d\phi}{dt}^2)\sin\phi+(2\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r\frac{d^2\phi}{dt^2})\cos\phi</math>…(1)。また、<math>(f_x, f_y)</math>と<math>(f_r, f_\phi)</math>は、<math>f_x=f_r\cos\phi-f_\phi\sin\phi, f_y=f_r\sin\phi+f_\phi\cos\phi</math>…(2)、<math>(a_x, a_y)</math>と<math>(a_r, a_\phi)</math>は、<math>a_x=a_r\cos\phi-a_\phi\sin\phi, a_y=a_r\sin\phi+a_\phi\cos\phi</math>…(3)の関係がある。(1), (2), (3)を、運動方程式<math>m\frac{d^2x}{dt^2}=f_x, m\frac{d^2y}{dt^2}=f_y</math>に代入すると、(0)を得る。 ** ここで、<math>r</math>が一定値である(すなわち、<math>\frac{dr}{dt}=0, \frac{d^2r}{dt^2}=0</math>)ことを仮定すれば、円運動の運動方程式(B)が得られる。 ** さらに、<math>\frac{d\phi}{dt}</math>が一定値である(すなわち、<math>\frac{d^2\phi}{dt^2}=0</math>)ことを仮定すれば、等速円運動の運動方程式(C)が得られる。 == 重力二体問題 == 質量 <math>m_1,m_2</math> の質点が重力を及ぼし合うときの運動を考える。質点の座標をそれぞれ <math>\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2</math> とする。 運動方程式は、 <math> \begin{align} m_1 \ddot \boldsymbol r_1 &= -\frac{Gm_1m_2(\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2)}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|^3}\\ m_2 \ddot \boldsymbol r_2 &= -\frac{Gm_1m_2(\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1)}{|\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1|^3} \end{align} </math> となる。二式を足すと、 <math> m_1 \ddot \boldsymbol r_1 + m_2 \ddot \boldsymbol r_2 =0 </math> となる。また、それぞれの質量で割ってから二式を引くと、 <math> \ddot \boldsymbol r_2 - \ddot \boldsymbol r_1 = -G\frac{(m_1+m_2)(\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1)}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|^3} </math> となる。ここで、重心 <math>\boldsymbol r_c = \frac{m_1\boldsymbol r_1 + m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}</math> と相対位置ベクトル <math>\boldsymbol r = \boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1</math> を使って、 <math> \begin{align} \ddot \boldsymbol r_c &=0\\ m\ddot \boldsymbol r &= -GmM\frac{\boldsymbol r}{r^3} \end{align} </math> と書き直すことができる。ここで、<math>M = m_1 + m_2</math> は全質量、<math>m = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math> は換算質量である。重心 <math>\boldsymbol r_c</math> の速度は一定であるから、<math>\dot \boldsymbol r_c =0</math> となる慣性系が存在する。今後はこの慣性系で考えることにする。 エネルギーは、 <math>E = \frac 1 2 m_1 \dot\boldsymbol r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot\boldsymbol r_2^2 - \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}</math> となる。ここで、重心と相対位置ベクトルを使うと、 <math>E = \frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2 + \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 - \frac{Gm M}{r} = \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 - \frac{Gm M}{r}</math> となる。また、 <math> \begin{align} \frac{d}{dt}(\boldsymbol r \times \dot \boldsymbol r) &= \boldsymbol r \times \ddot \boldsymbol r \\ &= -GM \boldsymbol r \times \frac{\boldsymbol r}{r^3}\\ &=0 \end{align} </math> となるから、<math> \boldsymbol r </math> の角運動量ベクトル <math> \boldsymbol J = m \boldsymbol r \times \dot \boldsymbol r </math> は保存される、運動は中心を通る一定の面に限られる。この面で極座標を導入する。角運動量の大きさは <math>J = m r^2 \dot \varphi </math> となる。<math>\alpha = Gm M</math> とすると、エネルギーは <math>\begin{align}E &= \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 - \frac{Gm M}{r} \\&= \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r}\\ &=\frac 1 2 m \dot r^2 + \frac{J^2}{2m r^2} - \frac \alpha r \end{align}</math> となる。<math>U_{\rm eff}(r) = -\frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2} </math> と定義すると、<math>E = \frac 1 2 m \dot r^2 + U_{\rm eff}(r)</math> と書くことができる。すなわち、運動は有効ポテンシャル <math>U_{\rm eff}(r) </math> の中で移動する一次元運動と見なすことができる。 エネルギー保存の式を <math> dt </math> について解くと、 <math>dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E+\frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{m^2 r^2}}}</math><ref>平方根を取るときに、正負の符号が付くが、これは運動が右回りになるか左回りになるかの違いしかないから、正の方を選ぶことにする。</ref> となる。角運動量保存から <math>d\varphi = \frac{J}{m r^2} dt </math> を使うと、 <math>d\varphi = \frac{\frac{J}{r^2}dr}{\sqrt{2m(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{r^2}}} = \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} </math> となる。<math>u = \frac 1 r</math> と変数変換して、積分すると、 <math>\begin{align} \varphi &= \int \frac{-du}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \alpha u)-u^2}}\\ &= \int \frac{-du}{\sqrt{-\left(u-\frac{m\alpha}{J^2}\right)^2 + \frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4} }}\\ &= \arccos\frac{u-\frac{m\alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} + C \end{align}</math> となる<ref>積分 <math>\varphi = \int \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} </math> で、<math>\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2} = \left(c_1 - \frac{1}{r} \right)\left(\frac 1 r - c_2 \right) </math> と置き、<math>\frac 1 r = \frac{c_1 + c_2}{2} + \frac{c_1 - c_2}{2}\cos\theta</math> と変数変換することで、 <math>\varphi = \int \frac{\frac{c_1 - c_2}{2}\sin \theta d\theta}{\sqrt{\left(\frac{c_1 - c_2}{2}\right)^2(1-\cos^2 \theta )}} = \theta = \arccos \frac{\frac{1}{r} - \frac{c_1+c_2}{2}}{\frac{c_1-c_2}{2}} = \arccos \frac{\frac{1}{r}-\frac{m \alpha}{J^2}}{\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} </math>と計算することもできる。</ref>。ここで、積分定数はこれが0になるように選ぶ。さらに、 <math>p = \frac{J^2}{m\alpha},\, e= \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{m\alpha^2}}</math> とすると、 <math>\varphi = \arccos \frac{\frac p r - 1}{e} </math> あるいは、 <math>r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}</math> を得る。 従って惑星の軌道は二次曲線になる。<math>E < 0</math> のときは、<math>e<1</math> となるから、惑星の軌道は楕円になる。また、<math>E\ge 0</math> のときは、<math>e\ge 1</math> となるから、惑星の軌道は放物線あるいは双曲線となる。放物線になる場合は無限遠に於いて速度が0となる。 軌道長半径 <math> a </math> を <math>a = \frac{r(\varphi=0)+r(\varphi=\pi)}{2} = \frac{p}{1-e^2} = -\frac{\alpha}{2E} </math> で定義する。軌道が楕円の場合は軌道長半径は長軸の半分の長さである。双曲線の場合は軌道長半径は負の値となり、絶対値は双曲線の半軸に等しい。 放物線の場合は軌道長半径は無限大になる。 === 惑星の運動 === ここでは、天体の軌道が楕円となる場合、すなわち <math>E < 0</math> の場合を扱う。 時刻 <math>t</math> と軌道上の惑星の位置の関係を求める。エネルギー保存の式まで立ち返って、それを <math>\dot r</math> について解くと、 <math>\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{m}\left(E+\frac{\alpha}{r}\right)-\frac{J^2}{m^2 r^2}}</math> となる。ここで、 <math>E = -\frac{\alpha}{2a},\, J = \sqrt{m \alpha a(1-e^2)}</math> を代入すると、 <math>\dot{r} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{m a}} \sqrt{-r^2 + 2ar - a^2(1-e^2)} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{m a}} \sqrt{-(r-a)^2 + a^2e^2}</math> となる。さて、今までは楕円の焦点を原点とした座標で計算を進めていたが、これを楕円の中心を原点とした座標に移行するほうが便利である。この座標では楕円の方程式は <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math> となる。極座標で書くと、 <math>x = a\cos u,\, y = b\sin u</math> [[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|Pは惑星の位置。P'はPをy軸と平行にその外接円（青）に射影した位置である。fは真近点角、Eが離心近点角である。]] となる。ここで導入した <math>u</math> は楕円の中心から測った角度で、離心近点角という。対して、<math>\varphi</math> は楕円の焦点から測った角度で真近点角という。右図より、 <math>r \cos \varphi = a\cos u - ae</math> となる。これに、軌道の極方程式 <math>r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}</math> すなわち <math>r + re\cos\varphi = a(1-e^2)</math> を代入すると、 <math>r = a(1-e\cos u)</math> また、 <math>\dot r = ae\sin u \dot u</math> [[ファイル:Аномалии.gif|サムネイル|Bは惑星。Cは惑星の軌道の外接円にy軸に平行にBを射影した仮想上の天体。Dは外接円を一定速度（平均運動）で動く仮想上の天体。直線SBと直線SOのなす角が真近点角。角SOCが離心近点角。角SODが平均近点角である。また、右上のMは平均近点角、Eは離心近点角である。]] を得る。この式を <math>\dot r</math> の式に代入すると、 <math>\dot u = \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}} \frac{1}{1 - e \cos u} </math> となる。 平均運動を<math>n = \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}}</math> で定義すると、 <math>ndt = (1 - e \cos u)du </math> となる。積分すると、 <math>n(t-t_0) = u - e \sin u</math> を得る。<math>t_0</math> は積分定数で、<math>t = t_0</math> のとき、<math>u = 0</math> となるから近点通過時刻に対応する。 平均近点角 <math>l</math> を <math>l = n(t-t_0)</math> で定義すると、 <math>l = u - e\sin u</math> を得る。この方程式はケプラー方程式と呼ばれる。この方程式を <math>u</math> について解けば、惑星の運動が分かる。惑星が近日点を通過してから次に近日点を通過する時刻を <math>t_1</math> とする。このとき、<math>u = 2\pi</math> となる。惑星の周期は <math>T = t_1 - t_0</math>だから、ケプラー方程式より、 <math>T = \frac{2\pi}{n}</math> を得る。また、平均運動とは惑星の周期に対応する角振動数であったことも分かる。この式を変形すると <math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}</math> あるいは、平均運動を使うと、 <math> n^2 a^3 = G(m_1+m_2)</math> となる。 === ケプラーの法則 === <math>m_1</math> を太陽、<math>m_2</math> を惑星とする場合、<math>m_1</math> が <math>m_2</math> よりも十分に大きいと近似することができる。このとき、重心は太陽の位置に近似できる。また、<math>m_1 + m_2 \approx m_1</math> となる。このとき、次のケプラーの法則が成り立つ<ref>太陽と惑星以外にも、地球と月、地球と人工衛星のように、片方の質量が一方に比べて無視できるほど小さいならばケプラーの法則が成り立つ。</ref>。 ;第一法則 :惑星の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円である。 ;第二法則 :太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。 ;第三法則 :公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は惑星によらず一定である。 :[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|再掲]] 第二法則はケプラー方程式を幾何学的に表現したものである。簡単のために時間の原点を <math>t_0 </math> に取る。ケプラー方程式 <math>nt = u - e\sin u</math> を、 <math>\frac t T = \frac{u - e \sin u}{2 \pi}</math> と変形する。 ここで、扇形 <math>\rm AFP' </math> <math>=</math> 扇形 <math>\rm ACP' </math> <math>-</math> 三角形 <math>\rm FCP' </math> <math>= \frac 1 2 a^2 u - \frac 1 2 ae \times a\sin u</math> より、 <math>\frac 1 2 (u - e\sin u)</math> は、扇形 <math>\rm AFP' </math> の面積を <math>a^2</math> で割ったものに等しい。点 <math>\rm P </math> の <math>x </math> 座標を <math>\xi </math> とすると、 扇形 <math>\rm AFP</math> の面積について、 扇形 <math>\rm AFP</math> <math>= \int_\xi^a \frac b a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac 1 2 (ae-\xi) \frac b a \sqrt{a^2 - \xi^2} = \frac b a </math> 扇形 <math>\rm AFP' </math> となる。 よって、ケプラー方程式より、 <math>t \propto \frac 1 2 (u - e \sin u) \propto \rm{AFP}</math> を得る。 扇形 <math>\rm AFP </math> は太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積であるから、これが時間 <math>t </math> に比例することはケプラー第二法則に他ならない。 ケプラーの第三法則は太陽を公転するすべての惑星について述べたものである。惑星の公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}</math> であるから惑星の質量にも依存するが、<math>m_1 + m_2 \approx m_1</math> と近似できる場合は、すべての惑星についてこの比が一定となる。 === ケプラー軌道要素 === [[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|オイラー角の図。中心が太陽で、青のxy平面が黄道面でx軸は春分点の方向。赤のXY平面が軌道面でX軸の方向が近日点。緑のN軸は昇交点に対応する。]] 三次元空間中の惑星の軌道を決定するために、6つのパラメータが必要になる。軌道の形状は軌道長半径 <math>a</math> と離心率 <math>e</math> で決定される。 軌道の方向を決定するには、太陽系に基準となる基準面と方向を設定しなくてはいけない。基準面には黄道面を使うことが多い。黄道面は地球の公転する軌道面である。太陽と地球の中心を結んだ線分が地球表面と交わる点が赤道を南から北に交差する瞬間を春分という。このときの地球の方向を基準方向にする。[[File:Euler2a.gif|thumb|上図のオイラー角 α, β, γ の順に動かしたアニメーション。]] 基準面には、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直な平面である不変面や、赤道面を使うこともある。 この基準面と方向から、惑星の軌道面と近点の方向へのオイラー角によって軌道の方向を決定できる。オイラー角 <math>\alpha, \beta, \gamma</math> に対応して、それぞれ昇交点黄経 <math>\Omega</math> 、軌道傾斜角 <math>i</math> 、近点引数 <math>\omega</math> と呼ばれる。 最後に、惑星の軌道上の位置を特定するために、近点通過時刻が必要になる。 == ラザフォード散乱 == 正の電荷 <math>Z_2 e</math> を持つ荷電粒子が、原点に固定された正の電荷 <math>Z_1 e</math> を持つ原子核とによって散乱される過程を考える。原子核の作るポテンシャルは、 <math> U(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\alpha}{r}</math> である。ただし、<math>\alpha = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0}</math> である。重力場中の運動では二つの粒子には引力が働いていたが、ラザフォード散乱では斥力が働くから、ポテンシャルの符号が逆になる。 ポテンシャルは重力二体問題と同じ形だから、その軌道は <math>\varphi = \arccos\frac{\frac 1 r +\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2 m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}}</math> となる。<math>\varphi_0</math> を粒子が無限遠に飛んでいった方向と、粒子が原子核に最接近する点と原子核を結んだ線分が為す角とすると、 [[ファイル:Rutherford scattering geometry 2.svg|中央|サムネイル|350x350ピクセル|図の <math>\Phi</math> が <math>\varphi_0</math> で、<math>\theta</math> は散乱角である。]] <math>\varphi_0 = \varphi(\infty) - \varphi(r_{\rm min}) = \arccos\frac{\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} </math><ref><math>r_{\rm min}</math> では <math>\dot r = 0</math> となるから、有効ポテンシャルを <math>U_{\rm eff}(r) = \frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2}</math> とすると、<math>E = U_{\rm eff}(r_{\rm min})</math> となる。この式を変形すると、<math>\left(\frac{1}{r_{\rm min}} + \frac{m \alpha}{J^2} \right)^2 = \frac{2mE}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}</math> となる。従って、<math>\varphi(r_{\rm min}) = 0.</math></ref> となる。ここで、無限遠での速度を <math>v_\infty</math> 衝突径数を <math>b</math> とすると、<math>J = mv_\infty b,\, E = \frac 1 2 m v_\infty^2</math> となるから、<math>J^2=2mb^2E</math> である。これを代入すると <math>\varphi_0 = \arccos\frac{\frac{\alpha}{2Eb}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\alpha}{2Eb}\right)^2}} </math> となる。散乱角を <math>\theta</math> とすると、<math>\varphi_0 = \pi - 2\theta</math> となる。これを使って書き換えると、 <math>b = \frac{\alpha}{2E} {\tan\varphi_0} = \frac{\alpha}{2E} \frac{1}{\tan^2 \frac {\theta}{2}}</math> [[ファイル:ScatteringDiagram.svg|サムネイル]] を得る。 ポテンシャルによる散乱のされやすさを見るために散乱断面積を定義する。一定の速度と密度を持った粒子束を散乱中心に向かって射出する。ここで、射出された粒子束の、単位面積単位時間あたりの粒子の個数を <math>N</math> とする。 <math>dn</math> を単位時間あたりに散乱角 <math>\theta</math> から <math>\theta + d\theta</math> の間に散乱される粒子の個数とする。直感的にもわかるように <math>dn</math> が大きいほど散乱されやすいことを意味する。散乱断面積を <math>d\sigma = \frac{dn}{N}</math> と定義する。これは面積の次元を持つ（<math>dn</math> は単位時間あたりの量で、<math>N</math> は単位時間単位面積あたりの量だから）。また、散乱角<math>\theta \sim \theta + d\theta</math> に対応する衝突径数を <math>b \sim b + db</math> とすると、入射粒子が <math>b \sim b + db</math> の円環の中にある確率、つまり <math>b \sim b + db</math> の円環の面積が散乱断面積を与える。 <math>d\sigma = 2\pi b db</math> 立体角 <math>d\Omega</math> についての関係式 <math>d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta</math> で割れば、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right|</math> を得る。これを微分散乱断面積という。絶対値を付けたのは <math>\frac{db}{d\theta}</math> が負になることもあるからである。これにラザフォード散乱の衝突径数の式を代入すると、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}</math> となる。 == 単振動 == * '''運動方程式''': <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx</math> * '''一般解''': <math>x=x_\mathrm{C}+ A\sin(\omega t+\delta)</math> <math>\left(\omega=\sqrt\frac{k}{m}\right)</math> (<math>x_\mathrm{C}</math>は振動中心。<math>A</math>(振幅), <math>\delta</math>(初期位相)は初期条件から決まる) 以下、単振動の例を示す。 * (例1) ばねを<math>a</math>だけ伸ばし、それを放す。 ** 初期条件は<math> x_{t=0}= x_\mathrm{C}+a,\ \frac{dx}{dt}_{t=0}=0</math>．これを一般解とその1階時間微分に代入すると、<math>x_\mathrm{C}+ A\sin\delta = x_\mathrm{C}+ a,\ A\omega\cos\delta = 0 \quad \therefore A=a,\ \delta=\frac{\pi}{2}</math>. * (例2) 自然長の位置から、初速度<math>v_0</math>を与える。 ** 初期条件は<math> x_{t=0}= x_\mathrm{C},\ \frac{dx}{dt}_{t=0}=v_0</math>．これを一般解とその1階時間微分に代入すると、<math>x_\mathrm{C}+ A\sin\delta = x_\mathrm{C},\ A\omega\cos\delta = v_0 \quad \therefore A=\frac{v_0}{\omega},\ \delta=0</math>. == 強制振動 == == 力 == 力には様々な種類が存在するが、遠隔力（場の力）と直接働く力の2つに大きく分けられる。 :万有引力 質量を持つ物体同士が引き合う力である。万有引力は万有引力の法則<math>F=G\frac{mM}{r^2}</math>によって表される。Gは万有引力定数と呼ばれる物理定数で、約<math>6.67\times 10^{-11} \frac{\rm{m}^3}{\rm{sec}^{2} \rm{kg}}</math>。距離の二乗に反比例することが重要な特徴である。これを逆二乗の法則と呼ぶ。 :重力　万有引力と自転の遠心力の合力である。重力は''W''=''mg''によって表される。gは重力加速度と呼ばれる物理定数である。 :クーロン力　電荷を持つ物体同士が引き合ったり押し合ったりする力である。クーロン力はクーロンの法則<math>F=\frac{qQ}{r^2}=qE</math>によって表される。ただし用いる単位系によっては<math>F=k\frac{qQ}{r^2}</math>となり、kの値に用いた単位系の性質が反映される。上のようにk=1となるのはガウス単位系と呼ばれるもの。とはいえ、力学ではkの値にはあまりこだわらない。それよりクーロン力もやはり逆二乗の法則が成り立つことが重要である。万有引力には引力しかないが、クーロン力には引力も斥力もあることも忘れてはならない。 :ローレンツ力　<math>F=q(v \times B)</math> :弾性力　ばねから受ける力である。弾性力はフックの法則<math>F=-kx</math>によって表される。 :張力　ひもや糸から受ける力である。通常でTで表される。大きさは未知である。 :抗力　接している面から受ける力である。垂直抗力と摩擦力がある。 ::垂直抗力　物体を置いたり、壁を押したときに受ける面に垂直な力である。通常Nで表される。大きさは未知である。 ::摩擦力　接している面から水平に受ける力である。静止摩擦力と動摩擦力がある。 :::静止摩擦力　静止している物体が滑ろうとしている向きと反対方向に受ける力である。 :::動摩擦力　運動している物体が滑っている向きと反対方向に受ける力である。 :浮力　流体から受ける力である。鉛直上向きである。圧力の合力である。浮力はアルキメデスの原理<math>F=Vdg</math>によって表される。 == 剛体の運動 == === 慣性モーメント === 特に剛体に対して角運動量を考えるとき、慣性モーメントという量を定義すると都合がよい。慣性モーメントは数学的には2階のテンソルであり、ベクトルにかかったときにベクトルを得るという働きを持つ。特にこの量については <math> \vec L = \vec I \vec \omega </math> または、 <math> L _i = I _{ij} \omega _j </math> が成り立つ。 ここで、Lは角運動量、Iは慣性モーメント、<math>\omega</math>は、角速度である。 剛体を質点が密に結合したものと考えると、 角運動量はそれぞれの質点の和で与えられる。 ある回転軸を取ってその回りの角運動量を考えると、 <math> L = \sum m _i r _i^2 \omega </math> (<math>r _i</math>は質点iの回転軸からの距離、<math>m _i</math>は、質点iの質量。) (全ての質点は密に結合しているので、それらが同一の角速度を持つことに注意。 (導出?)) 特に、x軸、y軸、z軸方向について考えるとこの値は <math> I _{kl} = \sum _i m _i (x _{ik}x _{il} - \delta _{kl} r _i^{2}) </math> が得られる。 これはテンソルの形をしているので、これが正しい慣性モーメントの表式で あることが分る。 計算例1 ある平面上の円(面密度<math>\sigma</math>,半径a)について慣性モーメントを計算する。 原点を円の中心、z軸を円に垂直な方向に取ると <math> I _z = \int _S \sigma (x^2 + y^2 ) dxdy </math> ( <math> \int _S </math> は円の面積全体での面積分を表わす。 ) <math> =\sigma \int _0 ^a r dr \int^{2\pi } _0 d\phi r^2 </math> (z軸の方向を保って円柱座標を取る。) <math> =\sigma 2\pi \int ^a _0 r^3 dr </math> <math> =\sigma \frac \pi 2 a^4 </math> となる。 ( <math> \sigma </math> は、 <math> \sigma a^2 </math> で質量となることから、この結果が正しい次元を持っていることがわかる。) さらに、 y軸方向の回転に対する慣性モーメントも計算する。 このときには、 <math> I _y = 4\int _0 ^a x^2 \sqrt{a^2-x^2} \sigma dx </math> (1/4 円について計算してそれを4倍する。) <math> = 4 a^4\sigma \int _0 ^1 u^2 \sqrt{1-u^2} du </math> (u = x/a と置き換えた。積分内の数値は無次元であることに注意。) <!-- (For this integral, maxima gave \pi / 16. And it must be correct!) --> <!-- integrate(u^2*sqrt(1-u^2),u,0,1 ); --> <!-- could be omitted. --> <math> = 4 a^4\sigma \int _0 ^{\pi /2} \sin^2 t \cos t \cos t dt </math> ( <math> u = \sin t </math> と置き換えた。 ) <!-- Maximaを用いて --> この計算を行なうと、 積分の値が <math> \pi /16 </math> で与えられることが分る。 よって <math> I _y = \frac \pi 4 \sigma a^4 </math> となる。 ここで回転に対する対称性から <math> I _x = I _y = \frac \pi 4 \sigma a^4 </math> となることに注意。 ここで、 <math> I _z = I _x + I _y </math> となっているが、この等式は厚みがない剛体に対して 一般に成り立つ。 (導出) <math> I _z = \sum _i m _i (x _i^2+y _i^2 ) </math> , <math> I _x = \sum _i m _i (y _i^2+z _i^2 ) </math> , <math> I _y = \sum _i m _i (z _i^2+x _i^2 ) </math> であるが、厚みがない物体に対して厚みがない面と垂直な方向に z軸を取ると、 <math>I _x</math>,<math>I _y</math>について <math> I _x = \sum _i m _i y _i^2 </math> , <math> I _y = \sum _i m _i x _i^2 </math> が成り立つ。(厚みがないので<math>z _i=0</math>となる。)このことから <math> I _z = I _x + I _y </math> が得られる。 {{DEFAULTSORT:こてんりきかく}} [[Category:古典力学|*]] {{NDC|423|こてんりきかく}} 3rk166n2p35izrf9ujzvcplpslu32xn 298515 298501 2026-04-18T04:57:38Z Tomzo 248 298515 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|自然科学|物理学|frame=1|small=1}} {{wikipedia}} {{wikiversity|Topic:古典力学|古典力学}} {{stub}} == イントロダクション == [[古典力学/イントロダクション]]{{進捗|75%|2023-11-05}} == 物体 == 古典物理学で扱われるような物体が持つ性質としては、質量・電荷・形状がある。このうち電荷については電磁気学で扱い、本項目の古典力学では'''質量'''と'''形状'''のみを扱う。 力学的な'''物体'''のうち質量のみを持ち、大きさを持たない物体を'''質点'''という。実際の物体は大きさを持つが、運動の大きさに対して物体の大きさが無視できるほど小さければ質点と見なせる。大きさを持つ物体であれば力を加えると変形したりするなどして、物体の運動に全ての力が使われない事も多いため、そのような要因を排除して位置の変化による運動のみを考えるために理想化された物体である。もちろん「質点」のような物体は現実にはないが、しかし単純化したモデルについてまず考えることは力学の本質の理解に役立つ。 <!-- 重心を質点とみなしてよい場合についての記述がどこかにほしい --> 複数の質点の集まりを'''質点系'''という。質点系の内、質点同士の相対的な位置関係が力を加えても変わらぬ物体を'''剛体'''という。実際の物体は力を加えると多少なりとも変形するが、力を加えても変形が無視できるほど硬ければ剛体と見なしてよい。 大きさを持ち、力を加えると変形するが、力を加えるのを止めると元の状態に戻る物体を弾性体という。弾性体を代表とした、各質点の相互作用によって運動を行う系については[[連続体の力学]]で扱う。 気体や液体のように決まった形を持たず、流れる物体を流体という。流体については古典力学ではなく[[流体力学]]で扱う。 == 記号 == 様々な量を表現するために、数学ではその量を記号を用いて表す。以下に代表的な量とその記号の例を以下に挙げる。これらは単なる例であり、本書に限らず全ての量がこの表に従って書き表されているわけではない。<math>t</math> や <math>m</math> のような記号を用いて量を表現するのは冗長な表現を短くまとめる目的で行われる。 {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ | 物理量と記号 |- !| 物理量 || 記号 || 物理量 || 記号 |- || 位置 || <math>x, r, q</math> || 長さ || <math>L, l, \lambda</math> |- || 面積 || <math>S, A</math> || 体積 || <math>V, \Omega</math> |- || 半径 || <math>r, R, a</math> || 角度 || <math>\theta, \phi, \psi, \alpha, \beta</math> |- || 角速度 || <math>\omega</math> || 時刻および時間 || <math>t, \tau</math> |- || 速度 || <math>v, V, u</math> || 加速度 || <math>a, \alpha</math> |- || 躍度 || <math>j</math> || 質量 || <math>m, M, \mu</math> |- || 密度 || <math>\rho, \sigma</math> || 力 || <math>F, f</math> |- || 運動量 || <math>p, \pi</math> || 力積 || <math>I</math> |- || 仕事 || <math>W, w</math> || エネルギー || <math>E, \varepsilon</math> |- || 運動エネルギー || <math>K, T</math> || ポテンシャルエネルギー || <math>U, V, \phi, \Phi</math> |- || ばね定数 || <math>k</math> || 重力加速度 || <math>g</math> |} == 物理量 == 力学における'''[[w:系 (自然科学)|系]]''' (system)とは、最も一般的には運動する物体（の集まり）と物体が運動する空間のことだ。系には直接的ないし間接的な[[w:測定|測定]]を通じて原理的に決定可能な特徴量、'''[[w:物理量|物理量]]''' (physical quantity) が存在し、物体や物体の集団に付随する量であったり、空間に付随するものであったり、あるいは物体と空間の関係性を指し示すものであったり様々である。最も基本的な物理量としては、ある指標となる物体と空間上の一点を結ぶ'''距離'''が挙げられる。 物体が運動する場合、その物体が描く'''軌跡'''とその時々の'''時刻'''を結びつけて考えることができる。<ref>物体の運動に対する時刻としてどのようなものを選ぶかは全く明らかではないが、差し当たってごく単純な運動を基準にすることによって時刻が定められるということを認める。「単純な運動」はたとえば太陽が昇り沈む周期や月の満ち欠けだったり、季節の移り変わりや、あるいは時計の秒針の動きだったり様々である<!--これは運動の説明なのか？？？-->。このような時刻を知り時間を測るための装置ないし仕組みは、専ら「時計」と呼ばれる。我々が時計を見て時刻を知ることについては差し当たって何の制約も与えられない。従って、理想的な時計として任意の連続的な時刻を正確に示すものを考えることができる。このような仮想的な時計は唯一つに決まっているわけではなく時間の測り方によって無数の時計が存在するが、それぞれの時計が指す時刻についての対応関係がはっきりとしているならその内のどれか一つを使えばよいことになる。実際には、現実に存在する時計と同じ測り方のものを選ぶことになるだろう。このような理想的な時計によって特徴づけられる[[w:時間|時間]]そのものは、単に物体の運動を幾何学的な舞台に立たせるための道具立て以上の意味を持たない。</ref> 時間を測ることができれば、各時刻における物体の'''位置'''から物体の'''速度'''を定めることができる。速度は、[[古典力学/イントロダクション#平均の速度と瞬間の速度|前節]]で紹介したように、微小に経過した時間でその間での位置の変化量を割ったもの、すなわち物体の速度 <math>v(t)</math> は物体の位置 <math>x(t)</math> を時刻 <math>t</math> について微分したものとして定義される。物体の位置 <math>x(t)</math> および速度 <math>v(t)</math> の全体像は時刻 <math>t</math> の関数として定義される。 :<math> v(t) := \frac{dx(t)}{dt} = \lim_{h \to 0} \frac{x(t+h) - x(t)}{h}. </math> この定義は物体の位置および速度がベクトルであっても変わらない。ベクトルを太字で表せば次のようになる。 :<math> \boldsymbol{v}(t) := \frac{d\boldsymbol{x}(t)}{dt} = \lim_{h \to 0} \frac{\boldsymbol{x}(t+h) - \boldsymbol{x}(t)}{h}. </math> 同様にして、速度 <math>\boldsymbol{v}(t)</math> の変化の割合として加速度 <math>\boldsymbol{a}(t)</math> を、 :<math> \boldsymbol{a}(t) := \frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}(t)}{dt^2} </math> 加速度 <math>\boldsymbol{a}(t)</math> の変化の割合として[[w:躍度|躍度]] (jerk) :<math> \boldsymbol{j}(t) := \frac{d\boldsymbol{a}(t)}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{v}(t)}{dt^2} = \frac{d^3\boldsymbol{x}(t)}{dt^3} </math> を定義できる。高階の時間微分によって定義される量を推定するためには、直接的には位置と時刻の測定を数多く行う必要がある。たとえば速度を測定するためには、直接的には 2 つの位置と時刻の組を定めることが必要となる。同様に加速度を測るためには 2 つの時刻における速度を知る必要があるから、位置と時刻の組を 3 点測定しなければならない。 力学においてどの程度まで高階の微分を求める必要があるだろうか。先走って言えば、ニュートン力学においてはある時刻における物体の位置と速度を決定することで、その物体の未来と過去における運動を完全に予測することができ、従って運動を記述するには物体の加速度が分かっていれば充分ということになる。このニュートン力学の性質は'''ニュートンの決定性原理'''と呼ばれる。多くの物体の運動について、ニュートン力学によって正確な予測が得られる事実は、それらの現象の背後にある決定性原理の存在を暗に示していると言えるだろう。 力学において基本となる量は、位置や時間、速度や加速度のような物体の運動として直接捉えられる量の他に、[[w:力|力]]や[[w:質量|質量]]、[[w:運動量|運動量]]や[[w:エネルギー|エネルギー]]といったものがある。これらについてはまた別の節を設けて詳しく述べることにするが、掻い摘んでこれらがどのような量であるかを述べよう。 質量は物体の二つの異なる性質を決定する。一つは物体の動かしにくさと止めにくさであり、もう一つは物体の重さである。質量が大きな物体ほど動かしづらくまた止めづらい。物体の重さは質量に比例し、質量が大きいほど物体は重くなる。感覚的には質量のいずれの性質も物体の「重さ」として感じとられる。 力は物体の運動を変化させる要因である。力の発生源は様々であり、力学において特に力の発生源を特定することはない。ニュートン力学では、すべての力は物体同士を結ぶ相互作用として記述される。最も直感的な例は物体同士を衝突させたりしたときに働く接触力だろう。物を持ち運ぶ際に感じる重みは、運ばれる荷物によって及ぼされる力を原因として生じる感覚であると理解できる。他に代表的なものは万有引力と静電気力、および磁力である。これらは物体が接触していなくても働くため、非接触力とか呼ばれる（遠隔力とか遠隔作用と呼ぶこともあるが、物理学では遠隔という言葉は特別の意味を持つので、これらの語を用いる際には混同されないよう注意すべきだろう）。 力そのものは如何にその振る舞いが直感的であろうとも概念的なものであり、直接的に力を知るすべはない。しかしながら、力が及ぼされたであろう物体は、その運動に変化が生じるため、物体の加速度と結びつけて考えることができる。ここで質量は物体に加えられた力に対してどれだけの加速度が生じるかの指標として用いられる。 運動量は物体の勢いを示す量である。物体の勢いは物体の止めにくさや物体の速さに結び付けられ、運動量は物体の質量と速度に関係する量として定義される。物体の速度が大きいほど、またその質量が大きいほど物体の運動量は大きくなる。エネルギーは物体を動かす際に物体とやり取りされる量であり、これもまた物体の運動の勢いを特徴付ける。運動量とエネルギーはまた、特定の条件の下でその総量が一定に保たれることが知られる。 {{節stub}} == 運動の三法則 == 運動の三法則とは次の３つの法則のことである。 #運動の第１法則（慣性の法則）: #:物体に力が働かないとき、物体は静止状態か等速度運動を続ける。 #運動の第２法則（運動の法則）: #:加速度の大きさは力の大きさに比例し、物体の質量に反比例する。 #運動の第３法則（作用反作用の法則）: #:ある物体が他の物体に力を与えるとき、ある物体は他の物体から大きさが等しく、逆向きの力を受ける。 第１法則は運動というものが物体と観測者の相対的な関係であるため必要となる。つまり物体がとまっていても、観測者が複雑な運動をしていれば物体は（観測者から見て）複雑な運動をする。このような見かけ上の運動まで含めると力学は不必要に複雑になる（少なくとも入門レベルでは）。これを除くには観測者にも制限をつけなければならない。第１法則がその制限となる。つまり、運動の第２第３法則が成り立つのは、第１法則が成り立つような観測者であることを前提にした場合に限ることになる。このような観測者が用いる座標系を'''慣性系'''とよぶ。慣性系は運動をもっとも簡単に（あるいは「素直」に）記述できる座標系と考えてよい。 この第１法則に述べられている内容は、物理法則は全ての慣性系において等しく、慣性系に対して等速直線運動をしている系は全て慣性系であるという'''ガリレイの相対性原理'''に基づいたものである。 運動の第２法則を式で表すと、'''運動方程式''' ''F''=''ma''となる。ここで、''F''は物体に加えられた力である。次元の高い運動であり、位置''r''がベクトルで書かれる場合、この式は :<math> \vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} </math> という形になる。質量''m''はスカラーであり、位置''r''と力''F''はベクトルである。 微分方程式論における初期値問題のよく知られた結果から、ある時点での<math>\vec{r}</math>と<math>\vec{v}</math>を与えれば、この微分方程式の解は一意に存在するということが分かるため、質点の位置と速度によりその後の質点の運動は全て決定される。 これはニュートンの決定性原理の主張するところと同じである。 数学的には、<math>\vec{r}</math>の三階以上の時間微分を含む方程式を考える事もできるが、ニュートンの決定性原理により古典力学の記述にはそのような高階の微分が不要であることが分かっているのである。 第３法則は、力の釣り合いに関するものではなく、2体間の力の及ぼし合いに関する法則である。我々が地面に立つとき、自らの重さによって地面を押していることになるが、逆に同じだけの力によって地面に押し返して貰っているために地面の上で静止できるのである。地面から離れて跳び上がろうと思えば、普段より強い力で地面を蹴ることにより、同じだけの力を地面から与えられ、跳び上がることができるようになる。ただこの場合は、反作用の力を受けるのは地面を蹴った時だけであるから、地面を離れた後は、引力と反対方向の力が得られず、再び地面に引き寄せられてしまうことになる。 == 運動の三法則をどう使うか == 力学の主要な目的は法則を使って物体の運動を定量的あるいは定性的に予測すること。「運動」は物体の位置ベクトル<math>\vec{r}</math>が時間とともにどう変化するか、言い換えると<math>\vec{r}</math>が時間のどのような関数<math>\vec{r}(t)</math>になるかで表される。それで作業は<math>\vec{r}(t)</math>が満たす「運動方程式」を求め、次にそれを解くという二段階に分けられる： １.（運動方程式の導出）問題とする状況において物体が受ける力を求める。重力や電磁気力の法則を使うが、複数の物体がからむ問題では第３法則も重要な働きをする。物体が受ける力は一般にはその位置<math>\vec{r}</math>および時刻<math>t</math>に依存するので<math>\vec{F}=\vec{F}(t,\vec{r})</math>となるが、特に位置への依存性が重要な問題が多い。その結果を第２法則に代入すると :<math>m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\vec{F}(t,\vec{r})</math> となる。これが運動方程式。数学的には<math>\vec{r}</math>が満たす2階微分方程式に他ならない。 ２.（運動方程式を解く）運動方程式を解いて運動を求める。原理的には適切な初期条件を与えた上でそれを解けばよい。二階なので初期条件は初期時刻''t''_''i''での位置<math>\vec{r}(t=t_i)</math>と速度<math>d\vec{r}/dt(t=t_i)</math>が必要。物理的にはある時刻の位置と速度を決めると、それ以降の運動が完全に決まることを意味する（ボールを投げる場合を思いおこせばよい。ボールが手から離れる瞬間の位置と速度でその後のコースが決まるわけである）。 とはいえ、二階微分方程式は二次方程式のように一般的な解の公式があるわけではない。それどころか力が少々複雑になると、解が既知の関数の組合せで表せないことも普通。そこをどうするかが力学の問題となる。幸い"good news"がある： # 物理として重要な基本的な問題には、厳密に解けるものが多い。代表的な例は地球表面近く（つまり重力が一様一定）でのボールの運動、太陽の周りの惑星の問題、ばねにつながれた物の運動など。解けないものも、これら厳密に解けるものが「いくらか複雑化」したものとみなすことである程度理解できる。 # 厳密な解が得られなくても、重要な定性的性質が得られることもある。例えばいつまでも動きつづけるのか否か、有限な範囲を動き回るのか、どこまでも遠くに去ってしまうのか、など。 いずれの場合も、「保存量」がカギになる。保存量とは位置と速度をある形で組合せた式で、その値が運動の初めから終わりまで変わらぬ一定値をとるもの。力がある条件を満たす場合に存在する。これがあると運動の自由度が減るので解きやすくなる（保存量の個数が十分なら、2階の方程式を一階に直して積分で解くことが可能になる）し、また大きな制限となるので定性的性質も分かりやすくなる。代表的な保存量の候補はエネルギー、運動量、角運動量。 一方、保存量が存在しない運動、あるいは自由度に比べ保存量の数が少ない運動はたいてい複雑で、解くことも定性的性質を捉えることも難しい。そのような運動を調べるには計算機上の数値計算などが必要となる。実はこのような運動も独自の興味と重要性を持つことがある。代表的なのはカオス的な運動と呼ばれるもので、多くの研究がされてきている。 以上のような事情から、力学ではまず保存量のような基本的な概念と厳密に解ける基本的な運動を扱い、その中で多くの運動に通じる正しい直観を身に付ける。基本的な運動には等加速度運動、放物運動、円運動、楕円運動、単振動などがあり、多くの現象をこれらの運動が「複雑化」したものとして理解できる。その範疇から外れたカオス的な運動のようなものはこれらの基礎を十分身に付けた後で、いわば特論として取り組むのがよい。また運動の法則をより数学的に整理した解析力学といわれるものがある。これは保存量を系統的に求める方法や座標系を換える方法など各種の高級な技術を提供し、さらに量子力学などより進んだ物理に進むには必要不可欠なのであるが、抽象的でわかりづらい面もある。やはりある程度直観を身に付けてから学ぶのがよい。 == 運動の保存量の例：エネルギー == === エネルギーの発見 === 物理ではエネルギーや運動量などの保存量が重要な働きをする。力学においてもそれは同様であるが、特に自由度の小さい系での運動を扱う場合には、保存量の利用により運動がほとんど決定されてしまう。 もっとも簡単（でしかも重要）な例は直線上の粒子の運動で、エネルギーが保存される場合。粒子の座標を''x''とし、それが''x''だけに依存した力''F(x)''を受けるとする。例えばばねにつながれた粒子では、''F(x)=&minus;kx''になる。このとき運動方程式は :<math>m \frac{d^2x}{dt^2}=F(x)</math> これを''x''についての微分方程式とみて初期条件 「t=t_iで(x,dx/dt)=(x_i,v_i)」で解けばよい。しかし二階だと面倒なので、両辺にdx/dtを掛けてみる。すると :<math>m \frac{dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dx}{dt}F(x)</math> ここで合成関数の微分側を使うと、左辺は :<math>m \frac{dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2</math> となる。 ここで''F(x)''の原始関数を ''f(x)''とすると（'''原始関数'''とは''df/dx=F(x)''を満たす関数''f(x)''。例えば''f(x)=(k/2)x²''は''F(x)=kx''の原始関数である。) :<math>\frac{d}{dt}f(x)=\frac{dx}{dt}F(x)</math> となるので :<math>\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2=\frac{d}{dt}f(x)</math> 左辺、右辺両方ともある関数の微分なので、右辺を左辺に移行してまとめると :<math>\frac{d}{dt}\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-f(x)\right\}=0</math> ここで、{}の中身は時間に依存しない定数、即ち保存量になる。中身を足し算で書くため''U(x):=&minus;f(x)''とすると :<math>\frac{d}{dt}\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+U(x)\right\}=0</math> となる。以上の結果をまとめよう。物体がその位置だけに依存する力''F(x)''だけを受けて直線運動をする場合に、''U(x)'' を ''dU/dx=&minus;F(x)'' を満たす関数として定義し、さらに位置と速度を引数とする関数E(x,dx/dt)を次で定義する。 :<math>E\left(x, \frac{dx}{dt}\right):=\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+U(x)</math> すると、''E'' の値は運動の間、値が変わらない定数になる。つまり''E(x,dx/dt)''は保存量である。これは'''エネルギー'''と呼ばれる。 エネルギーの値は初期条件で決まる。つまりt=t_iの時の値と同じなので、 :<math>E\left(x(t),\frac{dx(t)}{dt}\right)=\frac{m}{2}v_i^2+U(x_i)</math> エネルギーは二つの項の和になっている。最初の項(m/2)v²は速度で決まるので'''運動エネルギー'''、 二番目の項''U''は位置で決まるので'''位置エネルギー'''または'''ポテンシャルエネルギー'''と呼ばれる。運動エネルギーと位置エネルギーは、それぞれ個別に見ると運動の間変化する。 しかしそれらの和は変化しない、定数になるのである。 === エネルギー保存に基づく定性的な解析 === エネルギーが保存されるという事実だけから、運動の様子がかなり分かる。エネルギーの値をE_iとすると、運動の間、常に :<math>\frac{m}{2}v^2+U(x)=E_i</math> が成り立つ。書き換えると :<math>E_i-U(x)=\frac{m}{2}v^2\ge 0</math> 従って運動でxが動くのは <math>E_i\ge U(x)</math> が成り立つ範囲に限られる。つまり横軸にx、縦軸にy=U(x)のグラフを書いた場合、 水平線<math>y=E_i</math>の下に曲線<math>y=U(x)</math>がある領域が運動の範囲となる。この二つの線が離れている領域ほど運動の速度は速い。 運動の間、vとxの間には :<math>v=\pm \sqrt{\frac{2}{m}(E_i-U(x))}</math> が成り立つ。複号のどちらをとるかは初期条件と時刻で決まる。例えば<math>v_i>0</math>の場合、vは連続にしか変わらないのでいきなり符合が変わることはありえず、 しばらくはv>0のまま同じ方向（x増加の方向）に動く。符号が変わりうるのはv=0、即ち<math>y=E_i</math>と<math>y=U(x)</math>の 交点。大雑把には交点に達するまでは同じ方向に動きつづけ、交点に達すると一瞬v=0になり、それから速度の符号が変わって逆向きに動く。 但しこれは交点で交わる角度が0よりも大きいことが前提。角度が0、つまり<math>y=E_i</math>と<math>y=U(x)</math>が 接する場合にはより細かい解析が必要で、交点に永遠に達しない時もあるし、達したところで静止することもありうる。 この交点周囲の振る舞いを調べるには運動方程式に戻る。 以上のことを直観的に捉えるにはジェットコースターの軌道のように上下する軌道の上においたボールの運動をイメージすればよい。 === エネルギー保存から得られる厳密解 === エネルギー保存則から運動方程式の解を積分の形で得られる。簡単のため、初期時刻で<math>v_i=dx/dt>0</math>とし、上の式で右辺が正の間の運動を考える（負の場合も同様の考え方で分かる）。<math>v=dx/dt</math>を入れると <math>dx/dt=\sqrt{\frac{2}{m}(E_i-U(x))}</math> 右辺は正なのでxとtの対応は一対一となり、逆にtをxの関数とみなせる。すると <math>dt/dx=1/\sqrt{(2/m)(E_i-U(x))}</math> となるので、両辺をxで積分して初期条件(t=tiでx=xi)を使うと <math>t=t_i+\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_i}^x \frac{dx'}{\sqrt{E_i-U(x')}}</math> これで一般解が得られた。力<math>F(x)</math>が与えられれば、そこからUを求め、上の右辺の積分を実行し、必要ならx=h(t)という形に直せば運動が得られる。積分が面倒そうとか、最初にx=h(t)ではなくt=g(x)という形になるのがいまいちと思うかも知れないが、それでも厳密解が定積分という閉じた形で得られることは大きな意味をもつ。 上の右辺の積分が初等的にできる特に重要な例は、ばねにつながれた物体(<math>f(x)=-kx, U(x)=kx^2/2</math>、すぐ下で詳しく扱う）。また太陽の周りの惑星の運動も後で述べる角運動量保存側を使うと１次元の問題に還元でき、太陽からの距離rとtの関係が上と同じ形の積分で表される(q,kを定数として<math>U(r)=\frac{q}{r^2}-\frac{k}{r}</math>。第一項が遠心力、次が重力を表す)。これも非常に幸いなことに、積分を初等関数で表すことができる。 なお、ルートがあるため<math>U(x)</math>の関数形が少し複雑になっただけで積分は難しくなる。それでも前節の定性的な解析は<math>U(x)</math>のグラフを睨むだけでできることに注意してほしい。例えばU(x)が三次関数のように山と谷を持つような場合には運動が山を越えるかそれとも谷に閉じ込められたまま振動するかが重要なポイントになるが、それは初期条件の<math>E_i</math>が山より高いかどうかを見れば分かるのである。まず定性的な性質をグラフで調べてから積分に取り組むことで、式をまとめる方針も見えてくる。 例としてばねにつながれた質点の運動を求めよう。力はF(x)=-kxで与えられるので、 <math>U(x)=\frac{k}{2}x^2</math> この場合エネルギーは0以上である（<math>E_i=mv_i^2/2+kx_i^2/2 \ge 0</math>）。厳密解の公式に代入すると <math>t=t_i+\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_i}^x \frac{dx'}{\sqrt{E_i-\frac{k}{2}x'^2}}</math> あとは数学の問題として積分を計算すればよいのではあるが、計算も物理的な考察を加えながら行うことでよりきれいにできる。まず運動のスケールを特徴づける量を考える。定性的な解析から分かるように、運動の範囲は<math>E_i-\frac{k}{2}x'^2\ge0</math>を満たす領域、即ち <math>-\sqrt{2E_i/k}\le x \le \sqrt{2E_i/k}</math> よって<math>L:=\sqrt{2E_i/k}</math>とおくと、この<math>L</math>が運動の（長さの）スケールになる。座標xも、「このLの何倍か（何割か）」と表すのがよい。そこで <math>X=x/L</math> とおいて公式に代入し整理すると、一番面倒な積分の部分がきれいになる。被積分関数からkや<math>E_i</math>などのパラメータを取り除けるのである。 <math>t=t_i+\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{X_i}^X \frac{LdX'}{\sqrt{E_i-\frac{k}{2}(\sqrt{2E_i/k}X')^2}}=t_i+\sqrt{\frac{m}{2E_i}}L\int_{X_i}^X \frac{dX'}{\sqrt{1-X'^2}}=t_i+\sqrt{\frac{m}{2E_i}}L(\sin^{-1}X-\sin^{-1}X_i)</math> 式の中に現れる<math>\sqrt{\frac{m}{2E_i}}L</math>という係数は時間の単位を持つので、時間のスケールになっているはず。それを<math>\frac{T}{2\pi}</math>とおく(<math>2\pi</math>を入れたのは、sinの周期が<math>2\pi</math>であることを睨んで)。また<math>\sin^{-1}X_i</math>を<math>\phi_i</math>と書く： <math>\frac{T}{2\pi}:=\sqrt{\frac{m}{2E_i}}L=\sqrt{\frac{m}{2E_i}}\sqrt{2E_i/k}=\sqrt{\frac{m}{k}}, \phi_i:=\sin^{-1}X_i</math> すると<math>t=t_i+\frac{T}{2\pi}(\sin^{-1}X-\phi_i)</math>が得られ、それをX=の形に直すと <math>X=\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T}+\phi_i)</math> という簡単な式になる。つまり質点はsinの形の振動をするのである。さらにXをxに直してまとめると <math>x=L\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T}+\phi_i), T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},L:=\sqrt\frac{2E_i}{k}=\sqrt\frac{mv_i^2+2kx_i^2}{k}, \phi_i:=\sin^{-1}X_i=\sin^{-1}\frac{x_i}{L}</math> この式は振動的な運動の基本であり、振幅<math>L</math>、周期<math>T</math>、初期位相<math>\phi_i</math>の単振動と呼ばれる。 なお基礎にした公式は元のもの（複号を持つ）の+の方のものだけなので、上の導出から得られる式は論理的にはdx/dt>0の範囲でしか保証されない。しかし結果的にはありがたいことにその制約をとっぱらった領域でも解になっている。そのことを手早く確かめるには上の解を運動方程式<math>d^2x/dt^2=-kx</math>に代入し、任意のtで 方程式が成り立っていることを確認すればよい。また初期条件に直接結び付けるには以下のように加法定理を使いsinを展開したほうがやりやすい。 <math>x=L\cos\phi_i\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T})+L\sin\phi_i\cos(2\pi\frac{t-t_i}{T}), v=\frac{dx}{dt}=2\pi\frac{L}{T}\cos\phi_i\cos(2\pi\frac{t-t_i}{T}i)-2\pi\frac{L}{T}\sin\phi_i\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T}i)</math> ここで<math>t=t_i</math>での初期条件<math>x=x_i,v=v_i</math>を使って上に出てくる<math>L,\phi_i</math>の組合せを表す。上の式に<math>t=t_i</math>を代入すると <math>x_i=L\sin\phi_i,v_i=2\pi\frac{L}{T}\cos\phi_i</math> これらから<math>L\sin\phi_i=x_i, L\cos\phi_i=\frac{v_i T}{2\pi}</math>となるので、これをxの式に入れると <math>x=\frac{v_i T}{2\pi}\sin(2\pi\frac{t-t_i}{T})+x_i\cos(2\pi\frac{t-t_i}{T})</math> これが、指定した初期値から決まる運動の式となる。ここまででばねにつながれた質点の運動は完全に解かれた、と言ってよい。 == 運動の保存量の例：運動量 == 運動量を :<math> \vec p = m \vec v </math> で定義する。ここでmは物体の質量、 :<math> \vec v </math> は物体の速度である。 このとき運動方程式を用いると、物体に力が働いていないとき、 :<math> \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} \vec p = m \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} \vec v = 0 </math> となり、物体の持つ運動量が、時間的に保存することが分かる。これを運動量保存則と呼ぶ。 運動量が保存している系では系について物体の速度を変えずに位置だけをずらしたとき物体の運動が変化しないことが知られている。例えば、全く力が働いていない系では位置を変化させたとしても物体の運動は変化せず、物体は静止し続けるかもともと運動していた方向に等速直線運動を続ける。また、ある1方向にだけ一様な力が働いている系では力が働いている方向には物体の運動量は保存しないが、それ以外の方向については物体の運動方程式は物体に何の力も働いていないときと同一であるので、そちらの方向の運動量は保存する。これはある1方向に力が働いている時にもそれ以外の方向の移動に対してはこの物体の運動は変化しないことと対応している。物体をある方向に直線的に移動することを並進と呼び、並進によって物体の運動が変化しないことを系の並進対称性と呼ぶ。後に[[解析力学]]でネーターの定理と呼ばれる定理を学ぶが、この定理は系の対称性は必ずその対称性に対応する保存量があることを主張する。実際系の並進対称性に対応する保存量がまさしく運動量に対応していることが後に示される。 また、系の運動量は物体が持つ運動量だけでなく電磁場などが持つ運動量も存在する。系全体の運動量保存を考えるときには物体の場の両方が持つ運動量の保存を考えなくてはならない。これは、[[電磁気学]]、[[電磁気学II]]で導入される。 複数の物体に対して各々の間に内力（それぞれの物体の間に働く力のこと。）だけが存在し、外界から力が働いていないとき物体の集まりが持つ全運動量は保存する。全運動量とは物体系のそれぞれの粒子が持つ運動量を全て足し合わせたものである。これは、それぞれの物体の運動量について運動方程式から :<math> \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} p = f _i </math> が成り立つ中で、（<math>f_i</math>はそれぞれの物体にかかる内力を指す。iはintrinsicの略。） それぞれの物体についての運動方程式を全て足し合わせると、 左辺については :<math> \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} P </math> （Pは全運動量）が成り立ち、 右辺についてはそれぞれの和は0となる。 これは作用反作用の法則から、物体にかかる力はそれぞれ大きさが同じで反対方向をむいている対応する力を持っており、物体系全体について足し合わせたときにそれぞれの寄与が打ち消しあい、結果として和が0に等しくなるからである。 == 運動の保存量の例：角運動量 == ある質点に対して ある1点を取り、その一点からのベクトルを<math>\vec r</math>とし、 その質点が持つ運動量を<math>\vec p</math>としたとき、 <math> \vec L = \vec r \times \vec p </math> を角運動量と呼ぶ。 物体が中心力以外の力を受けないとき、角運動量は時間的に保存する。 (導出) <math> \frac {\partial {}}{\partial t } \vec L = \frac {\partial {}}{\partial t } \vec r \times \vec p + \vec r \times \frac {\partial {}}{\partial t }\vec p </math> <math> = \frac 1 m \vec p \times \vec p + \vec r \times f(r) \vec r </math> <math> = 0 </math> ( <math> \vec a \times \vec a = 0 </math> を用いた。) ある軸を中心とした角運動量が保存する系では、一般にその軸に対する回転に関して系の状態は変化しない。例えば、太陽のまわりの地球の運動が完全な円運動であったとするとき、この運動は地球が含まれる平面に直交して太陽を通過する軸を中心とした回転について不変である。これは、太陽から地球にかかる引力が、地球と太陽の距離のみによっており、上で述べたような軸を中心とする回転では地球と太陽の距離は変化しないからである。このことは系の中に回転対称性があることに対応している。解析力学で述べられるネーターの定理を用いると、この系は回転対称性に対応する保存量を持つことが分かる。実際にはこの保存量が正に角運動量に対応しているのである。 * 問題例 ** 問題 平面上を半径rの円上を角速度<math>\omega</math>で運動している物体があるとする。 このとき、この物体が円の中心に対して持つ角運動量を定義にしたがって求めよ。 ただし、物体の質量はmであるとする。 * 解答 このとき物体の座標は時間の原点を適当に選ぶことで、 :<math> \vec r = (x,y) = r(\cos \omega t ,\sin \omega t ,0) </math> とかける。ただし、物体が運動する平面をxy平面とした。このとき、物体の 速度は :<math> \vec v = \dot {\vec r } =r\omega ( -\sin \omega t ,\cos \omega t ,0) </math> で与えられる。よって、物体の持つ角運動量<math>L</math>は :<math> \vec L = r(\cos \omega t ,\sin \omega t ,0) \times m r\omega ( -\sin \omega t ,\cos \omega t ,0) </math> :<math> = m r^2 \omega (0, 0, \cos^2 \omega t + \sin ^2 \omega t) </math> :<math> = m r ^2 \omega (0,0,1) </math> となる。もしくは、角速度を :<math> |\vec v| = | \vec r| \omega </math> の関係を用いて速さで書き直すと :<math> = m r v (0,0,1) = r p (0,0,1) </math> が得られる。これは物体の位置と物体の速度が直交していることからその2つのベクトルの大きさは2つのベクトルの絶対値に等しくなるのである。 また、物体の位置と速度を含むベクトルはxy平面に含まれるのでそれら2つに直交するベクトルである角運動量ベクトルは必ずxy平面に直交する。そのため、このベクトルはz方向を向くのである。 == 等加速度直線運動 == * '''速さの公式''': <math>v=v_0+at</math> * '''位置の公式''': <math>x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2</math> * <math>v^2-{v_0}^2=2a(x-x_0)</math> 以上は容易に導かれる。以下ではその数学的演算（数学Ⅱまたは数学Ⅲの初歩程度）を詳しく述べる。 * 運動方程式: <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=f</math> (ただし、<math>\frac{d^2x}{dt^2}=a</math>…(1)) * 式(1)を時間<math>t</math>で積分すれば、左辺は<math>\int\frac{d^2x}{dt^2}dt=\frac{dx}{dt}</math>であり、右辺は<math>\int adt=at+C_0</math>(<math>C_0</math>は積分定数)より、<math>\frac{dx}{dt}=at+C_0</math>．いま、<math>t=0</math>を代入すれば<math>\frac{dx}{dt}|_{t=0}=C_0</math>であるから、<math>C_0</math>は<math>t=0</math>のときの速度である。従って<math>v=v_0+at</math>…(2)が導かれる。 * 式(2)を時間<math>t</math>で積分すれば、左辺は<math>\int\frac{dx}{dt}dt=x+C_1</math>であり、右辺は<math>\int (v_0+at)dt=v_0t+\frac{1}{2}at^2 + C_2</math>(<math>C_1, C_2</math>は積分定数)より、<math>x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 + C_2-C_1</math>．いま、<math>t=0</math>を代入すれば<math>x_{t=0}=C_2-C_1</math>であるから、<math>C_2-C_1</math>は<math>t=0</math>のときの位置である。従って<math>x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 + x_0</math>…(3)が導かれる。 * 式(2)を<math>t=\frac{v-v_0}{a}</math>と変形し、式(3)に代入すると、<math>x=v_0\frac{v-v_0}{a}+\frac{1}{2}a\frac{(v-v_0)^2}{a^2} + x_0</math>．この式において、<math>x_0</math>を左辺に移項し、右辺を展開し、両辺に<math>2a</math>を乗ずると、<math>2a(x-x_0)=v^2-{v_0}^2</math>を得る。 == 放物運動 == 放物運動は水平方向の等速度運動と鉛直方向の等加速度運動を合成したものと考えることができる。 '''初速度''':<math>v_0</math> '''初速度の水平成分''':<math>v_x=v_0 \cos \theta</math> '''初速度の鉛直成分''':<math>v_y=v_0 \sin \theta</math> '''最高点に到達するまでの時間''':運動の開始から鉛直方向の速度が0になるまでの時間であると言えるので、等加速度直線運動の速度に関する式<math>v=v_0 + at</math>を適用して<math>v=0</math>, <math>v_0=v_0 \sin \theta </math>, <math>a=-g</math> のとき、最高点に到達するまでの時間Tは　<math>T=\frac{v_0 \sin \theta}{g}</math> となる。 '''最高点の高さ''':位置に関する式<math>S=v_{0}t + \frac{1}{2} at^2</math>を適用して、<math>T=\frac{v_0 \sin \theta}{g}</math> のとき、最高点の高さhは　<math>h=\frac{v_{0} ^2 \sin^2 \theta}{g}</math> となる。 == 円運動 == * '''運動方程式の極形式表示''': <math>ma_r=f_r, ma_\phi=f_\phi \left(a_r=\frac{d^2r}{dt^2}-r\frac{d\phi}{dt}^2, a_\phi=2\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r\frac{d^2\phi}{dt^2}\right)</math>…(A) * '''円運動の運動方程式''': <math>mr\frac{d\phi}{dt}^2=-f_r, mr\frac{d^2\phi}{dt^2}=f_\phi</math>…(B) * '''等速円運動の運動方程式''': <math>mr\frac{d\phi}{dt}^2=-f_r</math> (<math>\phi</math>成分は0)…(C) 以下、上を証明する。 ** 証明 (A)の証明: <math>x=r\cos\phi, y=r\sin\phi</math>を2階時間微分し、<math>\frac{d^2x}{dt^2}=(\frac{d^2r}{dt^2}-r\frac{d\phi}{dt}^2)\cos\phi-(2\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r\frac{d^2\phi}{dt^2})\sin\phi,\frac{d^2y}{dt^2}=(\frac{d^2r}{dt^2}-r\frac{d\phi}{dt}^2)\sin\phi+(2\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r\frac{d^2\phi}{dt^2})\cos\phi</math>…(1)。また、<math>(f_x, f_y)</math>と<math>(f_r, f_\phi)</math>は、<math>f_x=f_r\cos\phi-f_\phi\sin\phi, f_y=f_r\sin\phi+f_\phi\cos\phi</math>…(2)、<math>(a_x, a_y)</math>と<math>(a_r, a_\phi)</math>は、<math>a_x=a_r\cos\phi-a_\phi\sin\phi, a_y=a_r\sin\phi+a_\phi\cos\phi</math>…(3)の関係がある。(1), (2), (3)を、運動方程式<math>m\frac{d^2x}{dt^2}=f_x, m\frac{d^2y}{dt^2}=f_y</math>に代入すると、(0)を得る。 ** ここで、<math>r</math>が一定値である(すなわち、<math>\frac{dr}{dt}=0, \frac{d^2r}{dt^2}=0</math>)ことを仮定すれば、円運動の運動方程式(B)が得られる。 ** さらに、<math>\frac{d\phi}{dt}</math>が一定値である(すなわち、<math>\frac{d^2\phi}{dt^2}=0</math>)ことを仮定すれば、等速円運動の運動方程式(C)が得られる。 == 重力二体問題 == 質量 <math>m_1,m_2</math> の質点が重力を及ぼし合うときの運動を考える。質点の座標をそれぞれ <math>\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2</math> とする。 運動方程式は、 <math> \begin{align} m_1 \ddot \boldsymbol r_1 &= -\frac{Gm_1m_2(\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2)}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|^3}\\ m_2 \ddot \boldsymbol r_2 &= -\frac{Gm_1m_2(\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1)}{|\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1|^3} \end{align} </math> となる。二式を足すと、 <math> m_1 \ddot \boldsymbol r_1 + m_2 \ddot \boldsymbol r_2 =0 </math> となる。また、それぞれの質量で割ってから二式を引くと、 <math> \ddot \boldsymbol r_2 - \ddot \boldsymbol r_1 = -G\frac{(m_1+m_2)(\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1)}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|^3} </math> となる。ここで、重心 <math>\boldsymbol r_c = \frac{m_1\boldsymbol r_1 + m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}</math> と相対位置ベクトル <math>\boldsymbol r = \boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1</math> を使って、 <math> \begin{align} \ddot \boldsymbol r_c &=0\\ m\ddot \boldsymbol r &= -GmM\frac{\boldsymbol r}{r^3} \end{align} </math> と書き直すことができる。ここで、<math>M = m_1 + m_2</math> は全質量、<math>m = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math> は換算質量である。重心 <math>\boldsymbol r_c</math> の速度は一定であるから、<math>\dot \boldsymbol r_c =0</math> となる慣性系が存在する。今後はこの慣性系で考えることにする。 エネルギーは、 <math>E = \frac 1 2 m_1 \dot\boldsymbol r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot\boldsymbol r_2^2 - \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}</math> となる。ここで、重心と相対位置ベクトルを使うと、 <math>E = \frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2 + \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 - \frac{Gm M}{r} = \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 - \frac{Gm M}{r}</math> となる。また、 <math> \begin{align} \frac{d}{dt}(\boldsymbol r \times \dot \boldsymbol r) &= \boldsymbol r \times \ddot \boldsymbol r \\ &= -GM \boldsymbol r \times \frac{\boldsymbol r}{r^3}\\ &=0 \end{align} </math> となるから、<math> \boldsymbol r </math> の角運動量ベクトル <math> \boldsymbol J = m \boldsymbol r \times \dot \boldsymbol r </math> は保存される、運動は中心を通る一定の面に限られる。この面で極座標を導入する。角運動量の大きさは <math>J = m r^2 \dot \varphi </math> となる。<math>\alpha = Gm M</math> とすると、エネルギーは <math>\begin{align}E &= \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 - \frac{Gm M}{r} \\&= \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r}\\ &=\frac 1 2 m \dot r^2 + \frac{J^2}{2m r^2} - \frac \alpha r \end{align}</math> となる。<math>U_{\rm eff}(r) = -\frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2} </math> と定義すると、<math>E = \frac 1 2 m \dot r^2 + U_{\rm eff}(r)</math> と書くことができる。すなわち、運動は有効ポテンシャル <math>U_{\rm eff}(r) </math> の中で移動する一次元運動と見なすことができる。 エネルギー保存の式を <math> dt </math> について解くと、 <math>dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E+\frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{m^2 r^2}}}</math><ref>平方根を取るときに、正負の符号が付くが、これは運動が右回りになるか左回りになるかの違いしかないから、正の方を選ぶことにする。</ref> となる。角運動量保存から <math>d\varphi = \frac{J}{m r^2} dt </math> を使うと、 <math>d\varphi = \frac{\frac{J}{r^2}dr}{\sqrt{2m(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{r^2}}} = \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} </math> となる。<math>u = \frac 1 r</math> と変数変換して、積分すると、 <math>\begin{align} \varphi &= \int \frac{-du}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \alpha u)-u^2}}\\ &= \int \frac{-du}{\sqrt{-\left(u-\frac{m\alpha}{J^2}\right)^2 + \frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4} }}\\ &= \arccos\frac{u-\frac{m\alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} + C \end{align}</math> となる<ref>積分 <math>\varphi = \int \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} </math> で、<math>\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2} = \left(c_1 - \frac{1}{r} \right)\left(\frac 1 r - c_2 \right) </math> と置き、<math>\frac 1 r = \frac{c_1 + c_2}{2} + \frac{c_1 - c_2}{2}\cos\theta</math> と変数変換することで、 <math>\varphi = \int \frac{\frac{c_1 - c_2}{2}\sin \theta d\theta}{\sqrt{\left(\frac{c_1 - c_2}{2}\right)^2(1-\cos^2 \theta )}} = \theta = \arccos \frac{\frac{1}{r} - \frac{c_1+c_2}{2}}{\frac{c_1-c_2}{2}} = \arccos \frac{\frac{1}{r}-\frac{m \alpha}{J^2}}{\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} </math>と計算することもできる。</ref>。ここで、積分定数はこれが0になるように選ぶ。さらに、 <math>p = \frac{J^2}{m\alpha},\, e= \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{m\alpha^2}}</math> とすると、 <math>\varphi = \arccos \frac{\frac p r - 1}{e} </math> あるいは、 <math>r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}</math> を得る。 従って惑星の軌道は二次曲線になる。<math>E < 0</math> のときは、<math>e<1</math> となるから、惑星の軌道は楕円になる。また、<math>E\ge 0</math> のときは、<math>e\ge 1</math> となるから、惑星の軌道は放物線あるいは双曲線となる。放物線になる場合は無限遠に於いて速度が0となる。 軌道長半径 <math> a </math> を <math>a = \frac{r(\varphi=0)+r(\varphi=\pi)}{2} = \frac{p}{1-e^2} = -\frac{\alpha}{2E} </math> で定義する。軌道が楕円の場合は軌道長半径は長軸の半分の長さである。双曲線の場合は軌道長半径は負の値となり、絶対値は双曲線の半軸に等しい。 放物線の場合は軌道長半径は無限大になる。 === 惑星の運動 === ここでは、天体の軌道が楕円となる場合、すなわち <math>E < 0</math> の場合を扱う。 時刻 <math>t</math> と軌道上の惑星の位置の関係を求める。エネルギー保存の式まで立ち返って、それを <math>\dot r</math> について解くと、 <math>\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{m}\left(E+\frac{\alpha}{r}\right)-\frac{J^2}{m^2 r^2}}</math> となる。ここで、 <math>E = -\frac{\alpha}{2a},\, J = \sqrt{m \alpha a(1-e^2)}</math> を代入すると、 <math>\dot{r} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{m a}} \sqrt{-r^2 + 2ar - a^2(1-e^2)} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{m a}} \sqrt{-(r-a)^2 + a^2e^2}</math> となる。さて、今までは楕円の焦点を原点とした座標で計算を進めていたが、これを楕円の中心を原点とした座標に移行するほうが便利である。この座標では楕円の方程式は <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math> となる。極座標で書くと、 <math>x = a\cos u,\, y = b\sin u</math> [[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|Pは惑星の位置。P'はPをy軸と平行にその外接円（青）に射影した位置である。fは真近点角、Eが離心近点角である。]] となる。ここで導入した <math>u</math> は楕円の中心から測った角度で、離心近点角という。対して、<math>\varphi</math> は楕円の焦点から測った角度で真近点角という。右図より、 <math>r \cos \varphi = a\cos u - ae</math> となる。これに、軌道の極方程式 <math>r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}</math> すなわち <math>r + re\cos\varphi = a(1-e^2)</math> を代入すると、 <math>r = a(1-e\cos u)</math> また、 <math>\dot r = ae\sin u \dot u</math> [[ファイル:Аномалии.gif|サムネイル|Bは惑星。Cは惑星の軌道の外接円にy軸に平行にBを射影した仮想上の天体。Dは外接円を一定速度（平均運動）で動く仮想上の天体。直線SBと直線SOのなす角が真近点角。角SOCが離心近点角。角SODが平均近点角である。また、右上のMは平均近点角、Eは離心近点角である。]] を得る。この式を <math>\dot r</math> の式に代入すると、 <math>\dot u = \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}} \frac{1}{1 - e \cos u} </math> となる。 平均運動を<math>n = \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}}</math> で定義すると、 <math>ndt = (1 - e \cos u)du </math> となる。積分すると、 <math>n(t-t_0) = u - e \sin u</math> を得る。<math>t_0</math> は積分定数で、<math>t = t_0</math> のとき、<math>u = 0</math> となるから近点通過時刻に対応する。 平均近点角 <math>l</math> を <math>l = n(t-t_0)</math> で定義すると、 <math>l = u - e\sin u</math> を得る。この方程式はケプラー方程式と呼ばれる。この方程式を <math>u</math> について解けば、惑星の運動が分かる。惑星が近日点を通過してから次に近日点を通過する時刻を <math>t_1</math> とする。このとき、<math>u = 2\pi</math> となる。惑星の周期は <math>T = t_1 - t_0</math>だから、ケプラー方程式より、 <math>T = \frac{2\pi}{n}</math> を得る。また、平均運動とは惑星の周期に対応する角振動数であったことも分かる。この式を変形すると <math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}</math> あるいは、平均運動を使うと、 <math> n^2 a^3 = G(m_1+m_2)</math> となる。 === ケプラーの法則 === <math>m_1</math> を太陽、<math>m_2</math> を惑星とする場合、<math>m_1</math> が <math>m_2</math> よりも十分に大きいと近似することができる。このとき、重心は太陽の位置に近似できる。また、<math>m_1 + m_2 \approx m_1</math> となる。このとき、次のケプラーの法則が成り立つ<ref>太陽と惑星以外にも、地球と月、地球と人工衛星のように、片方の質量が一方に比べて無視できるほど小さいならばケプラーの法則が成り立つ。</ref>。 ;第一法則 :惑星の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円である。 ;第二法則 :太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。 ;第三法則 :公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は惑星によらず一定である。 :[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|再掲]] 第二法則はケプラー方程式を幾何学的に表現したものである。簡単のために時間の原点を <math>t_0 </math> に取る。ケプラー方程式 <math>nt = u - e\sin u</math> を、 <math>\frac t T = \frac{u - e \sin u}{2 \pi}</math> と変形する。 ここで、扇形 <math>\rm AFP' </math> <math>=</math> 扇形 <math>\rm ACP' </math> <math>-</math> 三角形 <math>\rm FCP' </math> <math>= \frac 1 2 a^2 u - \frac 1 2 ae \times a\sin u</math> より、 <math>\frac 1 2 (u - e\sin u)</math> は、扇形 <math>\rm AFP' </math> の面積を <math>a^2</math> で割ったものに等しい。点 <math>\rm P </math> の <math>x </math> 座標を <math>\xi </math> とすると、 扇形 <math>\rm AFP</math> の面積について、 扇形 <math>\rm AFP</math> <math>= \int_\xi^a \frac b a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac 1 2 (ae-\xi) \frac b a \sqrt{a^2 - \xi^2} = \frac b a </math> 扇形 <math>\rm AFP' </math> となる。 よって、ケプラー方程式より、 <math>t \propto \frac 1 2 (u - e \sin u) \propto \rm{AFP}</math> を得る。 扇形 <math>\rm AFP </math> は太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積であるから、これが時間 <math>t </math> に比例することはケプラー第二法則に他ならない。 ケプラーの第三法則は太陽を公転するすべての惑星について述べたものである。惑星の公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}</math> であるから惑星の質量にも依存するが、<math>m_1 + m_2 \approx m_1</math> と近似できる場合は、すべての惑星についてこの比が一定となる。 === ケプラー軌道要素 === [[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|オイラー角の図。中心が太陽で、青のxy平面が黄道面でx軸は春分点の方向。赤のXY平面が軌道面でX軸の方向が近日点。緑のN軸は昇交点に対応する。]] 三次元空間中の惑星の軌道を決定するために、6つのパラメータが必要になる。軌道の形状は軌道長半径 <math>a</math> と離心率 <math>e</math> で決定される。 軌道の方向を決定するには、太陽系に基準となる基準面と方向を設定しなくてはいけない。基準面には黄道面を使うことが多い。黄道面は地球の公転する軌道面である。太陽と地球の中心を結んだ線分が地球表面と交わる点が赤道を南から北に交差する瞬間を春分という。このときの地球の方向を基準方向にする。[[File:Euler2a.gif|thumb|上図のオイラー角 α, β, γ の順に動かしたアニメーション。]] 基準面には、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直な平面である不変面や、赤道面を使うこともある。 この基準面と方向から、惑星の軌道面と近点の方向へのオイラー角によって軌道の方向を決定できる。オイラー角 <math>\alpha, \beta, \gamma</math> に対応して、それぞれ昇交点黄経 <math>\Omega</math> 、軌道傾斜角 <math>i</math> 、近点引数 <math>\omega</math> と呼ばれる。 最後に、惑星の軌道上の位置を特定するために、近点通過時刻が必要になる。 == ラザフォード散乱 == 正の電荷 <math>Z_2 e</math> を持つ荷電粒子が、原点に固定された正の電荷 <math>Z_1 e</math> を持つ原子核とによって散乱される過程を考える。原子核の作るポテンシャルは、 <math> U(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\alpha}{r}</math> である。ただし、<math>\alpha = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0}</math> である。重力場中の運動では二つの粒子には引力が働いていたが、ラザフォード散乱では斥力が働くから、ポテンシャルの符号が逆になる。 ポテンシャルは重力二体問題と同じ形だから、その軌道は <math>\varphi = \arccos\frac{\frac 1 r +\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2 m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}}</math> となる。<math>\varphi_0</math> を粒子が無限遠に飛んでいった方向と、粒子が原子核に最接近する点と原子核を結んだ線分が為す角とすると、 [[ファイル:Rutherford scattering geometry 2.svg|中央|サムネイル|350x350ピクセル|図の <math>\Phi</math> が <math>\varphi_0</math> で、<math>\theta</math> は散乱角である。]] <math>\varphi_0 = \varphi(\infty) - \varphi(r_{\rm min}) = \arccos\frac{\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} </math><ref><math>r_{\rm min}</math> では <math>\dot r = 0</math> となるから、有効ポテンシャルを <math>U_{\rm eff}(r) = \frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2}</math> とすると、<math>E = U_{\rm eff}(r_{\rm min})</math> となる。この式を変形すると、<math>\left(\frac{1}{r_{\rm min}} + \frac{m \alpha}{J^2} \right)^2 = \frac{2mE}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}</math> となる。従って、<math>\varphi(r_{\rm min}) = 0.</math></ref> となる。ここで、無限遠での速度を <math>v_\infty</math> 衝突径数を <math>b</math> とすると、<math>J = mv_\infty b,\, E = \frac 1 2 m v_\infty^2</math> となるから、<math>J^2=2mb^2E</math> である。これを代入すると <math>\varphi_0 = \arccos\frac{\frac{\alpha}{2Eb}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\alpha}{2Eb}\right)^2}} </math> となる。散乱角を <math>\theta</math> とすると、<math>\varphi_0 = \pi - 2\theta</math> となる。これを使って書き換えると、 <math>b = \frac{\alpha}{2E} {\tan\varphi_0} = \frac{\alpha}{2E} \frac{1}{\tan^2 \frac {\theta}{2}}</math> [[ファイル:ScatteringDiagram.svg|サムネイル]] を得る。 ポテンシャルによる散乱のされやすさを見るために散乱断面積を定義する。一定の速度と密度を持った粒子束を散乱中心に向かって射出する。ここで、射出された粒子束の、単位面積単位時間あたりの粒子の個数を <math>N</math> とする。 <math>dn</math> を単位時間あたりに散乱角 <math>\theta</math> から <math>\theta + d\theta</math> の間に散乱される粒子の個数とする。直感的にもわかるように <math>dn</math> が大きいほど散乱されやすいことを意味する。散乱断面積を <math>d\sigma = \frac{dn}{N}</math> と定義する。これは面積の次元を持つ（<math>dn</math> は単位時間あたりの量で、<math>N</math> は単位時間単位面積あたりの量だから）。また、散乱角<math>\theta \sim \theta + d\theta</math> に対応する衝突径数を <math>b \sim b + db</math> とすると、入射粒子が <math>b \sim b + db</math> の円環の中にある確率、つまり <math>b \sim b + db</math> の円環の面積が散乱断面積を与える。 <math>d\sigma = 2\pi b db</math> 立体角 <math>d\Omega</math> についての関係式 <math>d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta</math> で割れば、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right|</math> を得る。これを微分散乱断面積という。絶対値を付けたのは <math>\frac{db}{d\theta}</math> が負になることもあるからである。これにラザフォード散乱の衝突径数の式を代入すると、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}</math> となる。 == 単振動 == * '''運動方程式''': <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx</math> * '''一般解''': <math>x=x_\mathrm{C}+ A\sin(\omega t+\delta)</math> <math>\left(\omega=\sqrt\frac{k}{m}\right)</math> (<math>x_\mathrm{C}</math>は振動中心。<math>A</math>(振幅), <math>\delta</math>(初期位相)は初期条件から決まる) 以下、単振動の例を示す。 * (例1) ばねを<math>a</math>だけ伸ばし、それを放す。 ** 初期条件は<math> x_{t=0}= x_\mathrm{C}+a,\ \frac{dx}{dt}_{t=0}=0</math>．これを一般解とその1階時間微分に代入すると、<math>x_\mathrm{C}+ A\sin\delta = x_\mathrm{C}+ a,\ A\omega\cos\delta = 0 \quad \therefore A=a,\ \delta=\frac{\pi}{2}</math>. * (例2) 自然長の位置から、初速度<math>v_0</math>を与える。 ** 初期条件は<math> x_{t=0}= x_\mathrm{C},\ \frac{dx}{dt}_{t=0}=v_0</math>．これを一般解とその1階時間微分に代入すると、<math>x_\mathrm{C}+ A\sin\delta = x_\mathrm{C},\ A\omega\cos\delta = v_0 \quad \therefore A=\frac{v_0}{\omega},\ \delta=0</math>. == 強制振動 == == 力 == 力には様々な種類が存在するが、遠隔力（場の力）と直接働く力の2つに大きく分けられる。 :万有引力 質量を持つ物体同士が引き合う力である。万有引力は万有引力の法則<math>F=G\frac{mM}{r^2}</math>によって表される。Gは万有引力定数と呼ばれる物理定数で、約<math>6.67\times 10^{-11} \frac{\rm{m}^3}{\rm{sec}^{2} \rm{kg}}</math>。距離の二乗に反比例することが重要な特徴である。これを逆二乗の法則と呼ぶ。 :重力　万有引力と自転の遠心力の合力である。重力は''W''=''mg''によって表される。gは重力加速度と呼ばれる物理定数である。 :クーロン力　電荷を持つ物体同士が引き合ったり押し合ったりする力である。クーロン力はクーロンの法則<math>F=\frac{qQ}{r^2}=qE</math>によって表される。ただし用いる単位系によっては<math>F=k\frac{qQ}{r^2}</math>となり、kの値に用いた単位系の性質が反映される。上のようにk=1となるのはガウス単位系と呼ばれるもの。とはいえ、力学ではkの値にはあまりこだわらない。それよりクーロン力もやはり逆二乗の法則が成り立つことが重要である。万有引力には引力しかないが、クーロン力には引力も斥力もあることも忘れてはならない。 :ローレンツ力　<math>F=q(v \times B)</math> :弾性力　ばねから受ける力である。弾性力はフックの法則<math>F=-kx</math>によって表される。 :張力　ひもや糸から受ける力である。通常でTで表される。大きさは未知である。 :抗力　接している面から受ける力である。垂直抗力と摩擦力がある。 ::垂直抗力　物体を置いたり、壁を押したときに受ける面に垂直な力である。通常Nで表される。大きさは未知である。 ::摩擦力　接している面から水平に受ける力である。静止摩擦力と動摩擦力がある。 :::静止摩擦力　静止している物体が滑ろうとしている向きと反対方向に受ける力である。 :::動摩擦力　運動している物体が滑っている向きと反対方向に受ける力である。 :浮力　流体から受ける力である。鉛直上向きである。圧力の合力である。浮力はアルキメデスの原理<math>F=Vdg</math>によって表される。 == 剛体の運動 == === 慣性モーメント === 特に剛体に対して角運動量を考えるとき、慣性モーメントという量を定義すると都合がよい。慣性モーメントは数学的には2階のテンソルであり、ベクトルにかかったときにベクトルを得るという働きを持つ。特にこの量については <math> \vec L = \vec I \vec \omega </math> または、 <math> L _i = I _{ij} \omega _j </math> が成り立つ。 ここで、Lは角運動量、Iは慣性モーメント、<math>\omega</math>は、角速度である。 剛体を質点が密に結合したものと考えると、 角運動量はそれぞれの質点の和で与えられる。 ある回転軸を取ってその回りの角運動量を考えると、 <math> L = \sum m _i r _i^2 \omega </math> (<math>r _i</math>は質点iの回転軸からの距離、<math>m _i</math>は、質点iの質量。) (全ての質点は密に結合しているので、それらが同一の角速度を持つことに注意。 (導出?)) 特に、x軸、y軸、z軸方向について考えるとこの値は <math> I _{kl} = \sum _i m _i (x _{ik}x _{il} - \delta _{kl} r _i^{2}) </math> が得られる。 これはテンソルの形をしているので、これが正しい慣性モーメントの表式で あることが分る。 計算例1 ある平面上の円(面密度<math>\sigma</math>,半径a)について慣性モーメントを計算する。 原点を円の中心、z軸を円に垂直な方向に取ると <math> I _z = \int _S \sigma (x^2 + y^2 ) dxdy </math> ( <math> \int _S </math> は円の面積全体での面積分を表わす。 ) <math> =\sigma \int _0 ^a r dr \int^{2\pi } _0 d\phi r^2 </math> (z軸の方向を保って円柱座標を取る。) <math> =\sigma 2\pi \int ^a _0 r^3 dr </math> <math> =\sigma \frac \pi 2 a^4 </math> となる。 ( <math> \sigma </math> は、 <math> \sigma a^2 </math> で質量となることから、この結果が正しい次元を持っていることがわかる。) さらに、 y軸方向の回転に対する慣性モーメントも計算する。 このときには、 <math> I _y = 4\int _0 ^a x^2 \sqrt{a^2-x^2} \sigma dx </math> (1/4 円について計算してそれを4倍する。) <math> = 4 a^4\sigma \int _0 ^1 u^2 \sqrt{1-u^2} du </math> (u = x/a と置き換えた。積分内の数値は無次元であることに注意。) <!-- (For this integral, maxima gave \pi / 16. And it must be correct!) --> <!-- integrate(u^2*sqrt(1-u^2),u,0,1 ); --> <!-- could be omitted. --> <math> = 4 a^4\sigma \int _0 ^{\pi /2} \sin^2 t \cos t \cos t dt </math> ( <math> u = \sin t </math> と置き換えた。 ) <!-- Maximaを用いて --> この計算を行なうと、 積分の値が <math> \pi /16 </math> で与えられることが分る。 よって <math> I _y = \frac \pi 4 \sigma a^4 </math> となる。 ここで回転に対する対称性から <math> I _x = I _y = \frac \pi 4 \sigma a^4 </math> となることに注意。 ここで、 <math> I _z = I _x + I _y </math> となっているが、この等式は厚みがない剛体に対して 一般に成り立つ。 (導出) <math> I _z = \sum _i m _i (x _i^2+y _i^2 ) </math> , <math> I _x = \sum _i m _i (y _i^2+z _i^2 ) </math> , <math> I _y = \sum _i m _i (z _i^2+x _i^2 ) </math> であるが、厚みがない物体に対して厚みがない面と垂直な方向に z軸を取ると、 <math>I _x</math>,<math>I _y</math>について <math> I _x = \sum _i m _i y _i^2 </math> , <math> I _y = \sum _i m _i x _i^2 </math> が成り立つ。(厚みがないので<math>z _i=0</math>となる。)このことから <math> I _z = I _x + I _y </math> が得られる。 ==脚注== <references/> {{DEFAULTSORT:こてんりきかく}} [[Category:古典力学|*]] {{NDC|423|こてんりきかく}} ag8rjr0h7tqogbnt8m2pyequnv7n57e 0 3240 298568 298484 2026-04-18T06:36:26Z AkiR27User 90873 2人専用なのに3人専用にあったゲームを移動 298568 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|frame=1}} ここでは、カードゲームの一種としての[[w:トランプ|トランプ]]およびトランプゲームについて解説します。なお、ここで掲載しているルールは一例にすぎず、様々なルールがあります。一部のゲームを除き「公式ルール」は存在しないので、自由にオリジナルルールなどを作ってもよいでしょう。 “[[トランプゲームの分類]]”ページは、トランプゲームをジャンル毎に分類し、やりたいトランプゲームを見つけられるページを作っています。まだ作成途中なので加筆をお願いします。 == トランプに関する基本知識 == * [[トランプ/基本知識|トランプの基本知識]] * [[トランプ/マナー・エチケット|トランプのマナー・エチケット]] * [[トランプ/トランプ教科書|トランプ教科書]] == トランプゲーム == [[File:Hand_of_traditional_British_playing_cards.jpg|thumb|right|トランプ]] [[File:Card magic.jpg|thumb|right|トランプでマジックをする様子]] * 1人用 ** [[トランプ/クロンダイク|クロンダイク]] ** [[トランプ/スパイダーソリティア|スパイダーソリティア]]（[[w:スパイダー (トランプゲーム)|ウィキペディア]]） ** [[トランプ/フリーセル|フリーセル]]（[[w:フリーセル|ウィキペディア]]） ** [[トランプ/トランプタワー]]（[[w:トランプタワー|ウィキペディア]]） ** [[クロック]] * 2人用 ** [[トランプ/スピード|スピード]] ** [[トランプ/ジンラミー|ジンラミー]] ** [[トランプ/15点|15点]] ** [[トランプ/クリスプ|クリスプ]] ** [[トランプ/ジャーマンホイスト|ジャーマンホイスト]] ** [[トランプ/スコパ|スコパ]] * 3人以上 ** 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2026-04-18T07:53:21Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298577 wikitext text/x-wiki '''コントラクトブリッジ''' {{wikipedia}} コントラクトブリッジの本のページです。 == 解説書 == # [[コントラクトブリッジ/ルール]] ## [[コントラクトブリッジ/ルール/概要]] ## [[コントラクトブリッジ/ルール/プレイ]] ## [[コントラクトブリッジ/ルール/ミニブリッジ]] ## [[コントラクトブリッジ/ルール/ビッド]] ## [[コントラクトブリッジ/ルール/スコアリング]] ## [[コントラクトブリッジ/ルール/スコアリング/点数表]] # [[コントラクトブリッジ/戦略・戦術]] ## [[コントラクトブリッジ/戦略・戦術/概要]] ## [[コントラクトブリッジ/戦略・戦術/ビディングシステム]] ## [[コントラクトブリッジ/戦略・戦術/ダミープレイテクニック]] ## [[コントラクトブリッジ/戦略・戦術/ディフェンス]] {{stub}} {{DEFAULTSORT:こんとらくとふりつ}} [[Category:ゲーム]] [[Category:コントラクトブリッジ|*]] [[Category:トランプ]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] r4s33o7pzn1kqfx9xy46wxlwx91apka 0 21098 298502 298333 2026-04-18T04:38:24Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298502 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} [[{{PAGENAME}}|スピード]]はトランプゲームの1つです。 == ルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 2人 * 使用カード ** ジョーカーを除く52枚 === 手順 === #52枚のカードを黒(♠,♣)と赤(♥,♦)の各26枚ずつに分け、一方を各自の手札とします。 #手札をよくシャッフルし、場に4枚並べます。さらにお互い1枚ずつ中央に置きます。 #場に出ているカードの前後のカード(例えば5なら4または6)を重ねていきます。なお、KとAはつながるものとして考えます。早い者勝ちです。 #カードを出して減った場札は補充し、常に4枚になるようにします。 #台札に重ねられるカードがない場合は、「スピード」などの掛け声とともに手札から各自1枚ずつ同時に場にカードを置きます。手札がなくなっている場合は場札から出します。 #こうして、先に手札と場札がなくなった人が勝ちです。 カードが傷む可能性もありますので、注意しましょう。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:すひいと}} {{カテゴリ準備|トランプ|ゲーム}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:反射神経]] [[カテゴリ:2人専用のトランプゲーム]] rbe789ruo598fkh8ybncsw09h9ggnn2 0 28382 298520 298455 2026-04-18T05:22:39Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298520 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} {{Wikipedia|大富豪}} {{Ruby|[[{{FULLPAGENAME}}|大富豪]]|だいふごう|'''(大富豪・大貧民)'''}}はトランプゲームの1つです。一昔前に人気になり、現在では日本の定番トランプゲームです。 == 基本的なルール == === 所要 === 1プレイ人数 * 3～8人ほど * おすすめは4～5人ほど * 使用カード ** 52枚のカード＋ジョーカー1枚(ジョーカーの枚数はルールにより変動します) * カードの強さ ** 強い順に ジョーカー > 2 > A > K > Q > J > 10 … 3です。2はAより強いことに注意してください。なお、マークは関係ありませんが、そのマークの数字が1枚ずつ2枚以上連続出せばマークの強い数字カードしか出せなくるマーク縛りや同じマークで、連続する数字のカードが出されると、それ以降、同じマークで1大きい数(革命時は1小さい数)しか出せなくなる激マーク縛りなどという縛りローカルルールがあります。 === 手順 === # 親はすべてのカードを均等に配ります。 # 最初にカードを出す人を決めます。ただし、「あるマーク(基本的に♦)の3」を持っている人から始めることもあります。 # 最初にカードを出す人は、同じ数字のカードの組を1～4枚(ジョーカーを含めると5枚以上となることもあります)、手札から場に出します。 # 次に、次の人は同じ枚数で、より強い同じ数字のカードの組を出します。ジョーカーはどのカードの代わりとしても使えます。 # 出せるカードがないときや、戦略上の理由がありカードを出したくない場合は「パス」をします。パスの回数に制限はありません。 # あるターンにおいて、自分以外全員がパスをしたとき、場にあるカードが流れます。 # 次は、その人が同じ要領でカードを出すことができます。 # こうして、カードを出し続け、最初に手札がなくなってあがりとなった人が「'''大富豪'''」です。以降あがった順に「'''富豪'''」「'''平民'''」「'''貧民'''」「'''大貧民'''」となります。人数によっては、平民の数を増減しましょう(「王様」「奴隷」などを増やす場合もあります)。 # 2回目以降を行うときは、カードの交換を行います。大貧民は手札の中で最も強いカード2枚を大富豪に渡し、大富豪はいらないカード2枚を大貧民に渡します。貧民は手札の中で最も強いカード1枚を富豪に渡し、富豪はいらないカード1枚を貧民に渡します。また、2回目以降は大貧民から始める場合があります。 == ローカルルールについて == このゲームには多数のローカルルールが存在し、地域などによって大きくルールが異なることもしばしばです。そのため、ゲーム開始前にローカルルールについて確認しておきましょう。なお、'''太字'''は[https://daifugojapan.com/rules/ 日本大富豪連盟の基本ルールまたはローカルルール]として定められたものです。 === ローカルルール === * '''階段 同じマークで数字が連続している3枚以上のカード(シークエンス)をまとめて出すことができます。ただし、KとAはつながっているものと考えますが、2と3はつながっているものとは考えません。次の人は、同じ枚数でより強い同じ数字のカードを出します。''' * '''スート(マーク)しばり 同じマークのカードが2回連続で出されると、その場が流れるまでそのマークのカードしか出せなくなります。複数枚の場合はそのマークの組となります。''' ** (しばりの派生) *** マークしばり　同じマークのカードが2回連続で出されると、その場が流れるまでそのマークのカードしか出せなくなります。 *** 階段しばり(数字縛り) 連続する数字のカードが出されると、それ以降、1大きい数(革命時は1小さい数)しか出せなくなります。例えば、10とJが連続で出されたときはQしか出せず、次はKしか出せなくなります。 *** 山手線 場札のカードより2大きいカードが出されると、それ以降、2大きい数(革命時は2小さい数)しか出せなくなります。例えば、9とJが連続で出されたときはKしか出せず、次は2しか出せなくなります。 *** 激しばり 同じマークで、連続する数字のカードが出されると、それ以降、同じマークで1大きい数(革命時は1小さい数)しか出せなくなります。例えば、♥4と♥5が連続で出されたときは♥6しか出せず、次は♥7しか出せなくなります。 *** 片しばり 直前に2枚以上場に出されたカードに対して、どれかのマークを「しばる」ことができます。例えば、♠5・♣5と♠9・♦9が連続して出されると、以降は2枚ペアのどちらか1枚に♠のカードを含めなければならなくなります。 * '''革命 同じ数字のカードを4枚以上出すと、カードの強さが逆転(基本的にジョーカーは除く)し、2が最弱、3が最強になります。重ねてより強い数字のカードが出したり(革命返し)、再び革命を起こしたり、1ゲームが終わったりすると元に戻ります。''' ** (革命の派生) *** 階段革命 「階段」を適用しているとき、4枚の階段(シークエンス)で革命が発生します。 *** 飛び連番革命　同じ数だけ離れた同じスートのカードを4枚以上場に出すことで革命が発生します。[例:♠︎3,♠︎5,♠︎7,♠︎9] 通常の状態ではこの組み合わせで出す事が出来ませんが、この革命ルールを採用し、革命を起こせる状況で、場に何もない時自分の番である場合のみ行うことができます。ただし、飛び連番革命に対する革命返しの時であれば、スートの共通する、革命に使われたカードと同じ枚数で同じ数だけ離れた強いカードを重ねて出す事ができる。(例えば、♠︎4♠︎7♠︎10♠︎Kで飛び連番革命をおこされた時、♦︎3♦︎6♦︎9♦︎Qであれば重ねて革命返しをする事ができる) *** エンペラー マークがすべて異なる4枚の階段(シークエンス)[例:♣9,♥10,♠J,♦Q]で革命が発生します。 *** サザンクロス　3396の数の組み合わせでカードを出すと革命が発生します。 *** 死の宣告 4で革命を起こした時、一人を指定して大貧民にし、これ以降指定した人物をそのゲーム中参加できなくする。 *** ナナサン革命 7を3枚出すと革命が発生します。 *** ラッキーセブン 7で革命を起こした後、それがそのまま残り自分の手番を迎えて流れると勝利する。 *** クーデター 9を3枚出すと革命が発生します。 *** 宗教革命　Kを3枚出すとKを最強とした強さ順になります。(K>Q>J>……>2>1) 以降、革命を起こせなくなるというルールの場合と、革命をした場合逆順になる(1>2>3>……>Q>K)という場合と、通常の並びに戻る場合と、通常の革命をした後の状態になる場合があります。同時に、この方法で革命したプレイヤーが偶数を出すと次のそのプレイヤーの番が来るまで偶数のカードしか出せず、奇数を出すと同様のタイミングまで奇数しか出せなくなるというルールが追加される場合もあります。 *** 大革命 2で革命を起こすとその時点で勝利する。 *** ジョーカー革命 ジョーカーを2枚以上使用するルールを適応しているとき、ジョーカーを2枚以上出すと革命が発生します。 *** 超革命 5枚以上のカードを使って革命を起こすと、そのゲームでは革命(返し)ができなくなります。 *** 絶対革命 5枚以上のカードを使って革命を起こすと、そのゲームではそのカードを最強のカードとした並びになります。(例えば、6を5枚で絶対革命を起こした場合、6>5>4>3>2>……>7のような強さ順になる) 以降、革命は起こせなくなります。 *** 核爆弾　6枚以上にカードで革命を起こした時、革命返しを含め、以降革命が起こせなくなります。 *** 革命選択　4枚以上のカードを出した時、革命を起こせるかどうか選択できます。 *** 融合革命　前の順のプレイヤーが出したカードと自分の手札のカードを組み合わせて革命が起こせる組み合わせが作れる場合、自分の手札の必要なカードを出すことで革命を起こして場を流す事ができる。(例えば、前のプレイヤーがジョーカーと♠︎2を出した時、自分がジョーカーと2を出すことで革命を起こせる) その後、前のプレイヤーの番を2回飛ばす自分の番を1回飛ばす、という場合もある。 *** ジョーカー最弱　革命の時ジョーカーを強さの逆転に含める場合、ジョーカーは色とスートを持たない革命を起こされた状態での2より弱いカードとして扱い、他のカードの代用としては使えなくなります。 *** 6切り　通常と強さが逆順になっている時のみ、6を出すと強制的に場が流れ、次のカードはその6を出した人が出すことができます。 *** 7切り　通常と強さが逆順になっている時のみ、7を出すと強制的に場が流れ、次のカードはその7を出した人が出すことができます。 *** 黒い7(ブラックセブン) 通常と強さが逆順になっている時のみ、♣︎7と♠︎7が全ての数字カードの中で最強になります。通常時は普通の7として扱います。 *** 赤い7(レッドセブン) 通常時、♦︎7と❤︎7が全ての数字カードで最強になります。通常と強さが逆順の時は、普通の7として扱います。 *** 7-6　7：手札交換「7」を出したプレイヤーは他のプレイヤーを1人選び、その人と手札を全て交換します。6：全員手札交換 誰かが「6」を出したら、全員自分の手札を全て今ゲームが進行している方向で次のプレイヤーに渡します。 *** 8切りなし　通常と強さが逆順になっている時のみ、８切りの効果が消えます。 *** オーメン 6を3枚出すと革命が発生します。この革命以降革命(返し)が起こせなくなるというルールでもあります。また、この効果で革命を起こすと、カードの特殊効果はなくなります。 * 禁止上がり 特定のカードで上がることを禁止します。上がってしまった場合、そのから順に最下位となります。 ** 禁止カード 2(革命時は3),ジョーカー,8(8切り適用時)など * '''都落ち 大富豪が1位であがれなかった場合、大富豪は大貧民となり、大富豪はそれ以降このゲームに参加できなくなります。''' ** 賠償金 都落ちしたプレイヤーにも参加の継続を認め、次のゲームでは都落ちしたプレイヤーより先に上がったプレイヤー全員が1枚ずつ大貧民とカードを交換してもらえます。 * 都民ファースト 都落ちが発生した場合、次のゲームは貧民から始めます。都落ちしたプレイヤーは最初の親になれません。 * 仇討ち禁止令 都落ちしたプレイヤーは、自分を都落ちさせた相手を都落ちさせて上がってはいけません。これを行おうとした場合は大貧民になります。 * 治安維持法 都落ちしたプレイヤーは、革命を起こしてはいけない。なお、他のプレイヤーが発生させた革命の効果を受けることは可能。 都落ち継続 * 下剋上 大貧民が1位であがった場合、そのゲームは強制的に終了し、大貧民は大富豪となり、全員の順位が逆転します。 * 取引 平民が2人以上いるときは、同じ数字の異なるマークのカードを平民同士で交換できます。 * モノポリー 4人でプレイする場合に、手札の中にA～Kが1枚ずつあれば、この時点で自動的に大富豪となります。 * 天和 カード交換前の時点で手札の全てのカードが同じ数字2枚ずつのペアになっている場合、すぐに上がることができる。 * テポドン　4枚の同じ数字のカードとジョーカー2枚以上を組み合わせて出した場合、その時点で自分の上りとなる。 * '''スペ3返し 単独のジョーカーに対してスペードの3を出すことができ、次の場はスペードの3を出した人が最初にカードを出せます。'''革命時はスペードの2とすることもあります。 * サルベージ　自分が3を出した場が流れた時、このゲーム中に流れた全てのカードの中から1枚手札に加える。 * 砂嵐 どんな状況でも3を3枚出すと場が流れ、次の場は3枚の3を出した人が最初にカードを出せます。「スペ3返し」と同じ扱いになることもあります。 * ゾンビ 3を3枚出すと、流されたカードから任意のカードを1枚選んで他プレイヤーに押しつける事ができます。 * サンダーボルト 3を含むカードが出された場でパスをするとパスしたプレイヤーは1ターン休みになります。 * 4切り　4を出すと強制的に場が流れ、次のカードはその4を出した人が出すことができます。 * シーフ　4を3枚出した時、自分の利き手側の隣のプレイヤーのカードを強い方から貰う。自分が大貧民の場合は2枚貰え、大富豪の場合は貰えず、それ以外の場合は1枚もらえます。 * DEATH(デス) 4を3枚出した時、自分以外のプレイヤーは最強のカードを捨てます。 * 死者蘇生　4を出した時、捨札から1枚選んで自分の手札に加える、複数枚4を出した時はその枚数分、捨て札から選んで手札に加える。 * 終焉のカウントダウン　大貧民が4を一枚出した時、任意の数字を決めます。パスするたびにその数字は減っていき、0の時にパスしたプレイヤーはその時点で敗北します。0の時にパスをした一人が敗北してこのルールが終わる場合と、このゲーム中0になってからそれ以降パスすると敗北する場合があります。 * 5スキップ 5を出すと出した枚数分を飛ばす(出せなくする)。 * 赤い5 ❤︎か♦（ダイヤは赤）の5を出した時、好きなプレイヤーを一人選んで自分のものと手札を合わせて配り直します。奇数になる場合、合わせる前少なかった方に少ない手札を渡します。 * 5縛り　出した5と同じスートのカードしか出せなくなります。同じ色のカードであれば良い場合もあります。 * 2桁封じ 6を出すと、J、Q、Kが出せなくなる。 * ろくろ首 6を2枚出すと強制的に場が流れ、次のカードはその6 を出した人が出すことができます。 * サタン　6を3枚出すとこのゲーム中に流れた全てのカードの中から1枚手札に加える。 6を3枚出すとそのゲーム中革命が発生しなくなるというルールである場合もあります。 * 7渡し 7を出すと出した枚数分だけ次の人に不要なカードを渡せます。 * 7付け　7を出すと出した枚数分だけ手札のカードを捨てます。好きなカードを捨てられる場合と、7よりも強いカードしか捨てられない場合があります。 * 黒7 ♠7または♣7が含まれたカードを出すと、流されたカードから任意のカードを1枚選んで他プレイヤーに押しつける事ができます。 * ラッキー7 3枚の7を出した時、それがそのまま上にカードを重ねられる事なく出したプレイヤーの番まで戻ってきて場が流れた場合、そのプレイヤーはその時点で上りとなる。 * ラッキーセブン 3枚の7を出すと、その時点で上がりとなる。このカードの出し方にジョーカーを用いてはならない。 * '''8切り 8を出すと強制的に場が流れ、次のカードはその8を出した人が出すことができます。''' **(8切り派生) *** 4止め 8切りされたとき、出された8の2倍の枚数の4を出すことで対抗でき、次の場は4を出した人が最初にカードを出せます *** 7カウンター　8切りされた時、♦︎7をターンに関わらず出す事ができ、8を出したプレイヤーの次の順の人からその場を続行する。 * 9リバース 9を出すと順番が反対回りになります。奇数枚の場合のみ反対回りになる場合と、9を含んでいると枚数に関係なく反対回りになる場合があります。 * ズルカルナインの鉄壁 9を出すと、出された9と同じスートのカードしか出せなくなり、場が流れる迄カードの特殊効果が無効になります。 *銀河鉄道　9を3枚出すと自分の手札の2枚とこのゲーム中に流れた全てのカードの中の2枚を交換する。 * 9シャッフル 9を2枚出すと自由に席順を変更できます。 * 9クイック　9を出すともう一度連続で手札を出せるようになる * 9拾い　9を出した枚数と同じだけ、このゲーム中に流れた全てのカードの中から手札に加える。 * 10捨て 10を出したとき、出した枚数分だけ不要なカードを捨てられます。 * 10スキップ　10を出すと出した枚数分を飛ばす(カードを出せなくする)。 * 究極点 10を出すと次のターンがどのプレイヤーになるか選べる(自分含む) * J(11)バック Jを出すとその場が流れるまで一時的に「革命」状態となり、10以下のカードしか出せなくなり、小さい数字ほど強くなります(ジョーカーは最強のままで、革命のときはQ,K,A,2の順となる)。 **(Jバックの派生) *** 6戻し　Jバック中に6を出すと、場が流れずとも通常の状態に戻ります。 *** ロックピック 縛り中に場のカードに関係なく6を出す事が出来、縛りを解除出来ます(縛られているスートの6しか出せない) *** 強化11バック　Jを3枚出すと、「革命」状態になる期間が１ターン長くなる * Qボンバー Qを出した枚数分だけ数字を宣言し、その数字のカードを持っている人はそのカードを捨てます。次の手番の人はそのQを出した次の人となります。 * ブラッディ・メアリー Qを3枚出すと出したプレイヤー以外のプレイヤーは手札から最も強い2枚を捨てなければなりません。また、Qを2枚以上でそのゲーム中は革命が起こせなくなるというルールもあります。 * Kスキップ Kを出すと次の人を飛ばす(出せなくする)ことができます。 * A税収 Aのカードを出すと、前のプレイヤーが出したカードを自分の手札に加えることができます。 * 暴君　2を出した時、全ての相手は、捨札からランダムに1枚選んで手札に加える、捨札が足りない場合は効果は不発になります。 * 暗殺(不意討ち)　2に対して3を出す事ができる、出した後は8切りと同じように場を流す、革命時は3に対し2を出す事ができる。 * Kクリムゾン　カードを出す順番を無視してＫを出すことができる、更に場が流れるまでカードの効果が使用できなくなる * ホットミルク 3が場に出た直後に9を出すと、場が流れるまで赤色のスート(ダイヤとハート)しか出せなくなる。 {{カテゴリ準備|トランプ|ゲーム}} {{デフォルトソート:たいふこう}} [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] 1lu5kyhgxhlnhj6xpi8ngmjagn6tsf5 0 28395 298514 165189 2026-04-18T04:52:07Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298514 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|51 (トランプゲーム)}} '''51'''はトランプゲームの1つです。やや難しいですが、極めると面白いです{{要出典}}。 == 基本的なルール == === 目的 === できるだけ早く同じマークで高得点のカードを揃える。 === 所要 === * プレイ人数…2～5人ほど ** おすすめは3～5人ほど * 使用カード…ジョーカーを1枚含む53枚 * カードの点数 ** 2～10：数字通りの点数 ** 絵札(J・Q・K)：10点 ** A：11点 ** ジョーカー：10点または11点 === 手順 === # 親は1人5枚ずつカードを配り、さらに5枚を場に置き、残ったカードを山札とします。 # 1巡目は手元にある不要なカードを場にあるカードと交換します。パスはできません。 # 2巡目各プレイヤーは、自分のターンになったとき、次のいずれかを行います。 #* 手札のうち不要な1枚のカードを、場にある1枚のカードと交換する。 #* 手札の5枚のカード全てを、場にある5枚のカードと総入れかえする。 #* 場の5枚のカードを流し、山から新たな5枚のカードを表向きに置く #* パス(2巡目からは可) # こうして、'''同一マークで'''高得点の5枚のカードがそろい、勝てる自信があると思ったら、「ストップ（コール）」と宣言します。それ以降、カードは1人1回しか交換できません。 # ストップがかかったら、それぞれの点数を確認し、一番順位が高い人が勝ちとなります。マークが異なると0点です。 == 関連項目 == *[[トランプ/29]]…こちらは、場に出ているカードを29点にするゲームである。 {{デフォルトソート:51}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 3luyoxt2fv2ke8rzaeyhxprbs1aal17 0 28442 298523 298399 2026-04-18T05:25:46Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298523 wikitext text/x-wiki == 基本的なルール == カードの数字の合計を21に近づけましょう。21を超えてしまったらアウトです。 === 所要 === * プレイ人数は2～6人ほど ※おすすめは2～6人ほど * 使用するカードはジョーカーを除いた52枚 * カードの点数 ** Aは1点または11点 ※都合の良いほうとすることとできます。途中で切り替えることもできます。 ** 2～10は数字通りですが、J・Q・Kは10点扱いとなります。 * チップ(なければ碁石・マッチ[引火に注意]・おはじきなど)を約100点分用意しましょう。ただしなくてもゲームとしては成立します。 === 手順 === # 親は全員に1人2枚ずつカードを配ります。 # 子はチップを賭けます(ベット)。 # 子は親からもう1枚カードをもらう(ヒット)か、もうこれ以上もらわない(スタンド)かを選びます。 # このとき、カードの合計が22を超えてしまうとドボン(バースト)となり、チップは親に没収されます。 # 親も同じようにカードを追加していきます。※合計が16以下の時は必ずカードを追加しなければならず、17以上になると追加できません。 # ドボンではなく、親より点数が高い場合または親がドボンの場合は「勝ち」となり、賭けたチップと同額のチップがもらえます。 # ドボンの場合または親より点数が低い場合は負けとなり、チップは親に没収されます。 # ドボンしておらず、親と同じ点数である場合は引き分けとなり、チップのやり取りはありません。 {{デフォルトソート:ふらつくしやつく}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] a6duzn8jiitfcx4al86sc8nvmdecv57 0 28465 298513 162850 2026-04-18T04:49:08Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298513 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|29 (トランプゲーム)}} '''29'''はトランプゲームの1つです。場に出ているカードの合計を29にしましょう。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 2～8人ほど *** おすすめは4～7人ほど * 使用カード ** 2人または4人：ジョーカーを除く52枚 ** 3人：10を1枚除いた51枚 ** 5人：10を2枚除いた50枚 ** 6人または8人：10を4枚除いた48枚 ** 7人：10を3枚除いた49枚 * カードの点数 ** A：1点 ** 2～10：数字通りの点数 ** 絵札(J・Q・K)：1点 === 手順 === # 親はすべてのカードを均等に配ります。 # 順番を決め、順番にカードを出していきます。このとき、場に出ているカードの点数の合計を宣言していきます。たとえば、7とQが出ているときに5を出せば、(7+1+5=13より)「13」と宣言します。基本的にパスはできませんが、どの手札を出してもカードの点数の合計が30点以上になってしまう場合は「パス」となります。ただし、全員がパスした場合はノーゲームとなり、場札はすべて流します。 # 場に出ているカードの合計が29点になれば、場に出たカードをすべてもらい、手札に加えることができます。 # こうして誰かの手札がなくなったとき、ゲームが終了します。このとき、一番手札が多くなっていた人が勝ちです。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:29}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] t3e9uwccm3xbq1yqbntb0ugxdb8nvri 0 28662 298510 297850 2026-04-18T04:45:27Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298510 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|ハーツ}} '''ハーツ'''(ハート・ブラックレディ)は、トランプゲームの1つです。[[w:Microsoft Windows 95|Windows 95]]から[[w:Microsoft Windows 7|Windows 7]]までのWindows パソコンに標準搭載されています([[w:Microsoft Windows XP|Windows XP]]まではインターネットハーツも搭載されていました)。 == 基本的なルール == [[ファイル:Penalty cards in Black Lady - IMG 7732.jpg|代替文=ハーツの減点対象となるカード|サムネイル|285x285ピクセル|スペードのQ,ハートの2~10,J,Q,K,Aが移った画像]] === 所要 === * プレイ人数 ** 3～6人ほど *** おすすめは4人 * 使用カード ** 4人 *** ジョーカーを除く52枚 ** 3人 *** ♣2を除いた51枚 ** 5人 *** ♣2と♦2を除いた51枚 ** 6人 *** ♣2・♦2・♣3・♦3を除いた51枚 ※♥のカードは抜かないようにします。 * カードの強さ ** 台札のマークの A > K > Q > J > 10 > 9 … > 2 > 台札以外のマークのカード(数字は関係なし) * カードの点数 ** ♥のカード13枚：各マイナス1点 ** ♠Q：マイナス13点 ** 他：0点 === 基本的な手順 === # 親はすべてのカードを配ります。 # 定められたプレイヤー(4人の場合、♣2を持っているプレイヤー)が手札から1枚、場に表向きに出します(台札)。 # その後、時計回りでカードを出していきます。最も強いカードを出した人が(強さは上参照)、すべてのカードを獲得します(とったカードはわきに置いておきます)。 #*原則、同じスート<ref>場(最初に出した人)と同じマークのこと</ref>のカードを出さなければならない。ただし、同じスートのカードが無い場合はどのカードを出しても構わない。 # こうしてすべてのカードがなくなったとき、獲得したカードに含まれる、「マイナス札」の得点を計算します(上参照)。 # こうして、獲得したマイナス点が最も小さかった人が勝ちです。 ===有名なオプションルール=== ハーツでは、次のようなオプションルールが存在する。 ;ハートブレイク :ハートは最初から出すことができないルールで、ハートを出すことができるようになること。ハートブレイクするには、次のいずれかの条件が必要である。ハートブレイク後は、誰でもハートを出すことができるようになる。 :*スートのカードがないとき :*手持ちのカードがハートしかないとき ;シュート・ザ・ムーン :上の14枚をすべて獲得した場合は、<u>他のプレイヤー全員に</u>マイナス26点とするルール。 == Windowsにおけるルール == * 4人で行う。 * マイナス札(♥、♠Q)は、1ターン目には出すことができず、出せるのは1度出されてからとなります。 * 複数回行う場合、1度ごとに 左隣の人と3枚カードを交換する→右隣の人と3枚カードを交換する→正面の人と3枚カードを交換する→交換しない を繰り返します。 * 誰かがマイナス100点に到達した時点で、順位を決定します。 ==脚注== <references/> == 関連項目 == *[[トランプ]] {{デフォルトソート:はあつ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] euiu9mj5visqpon7kb68nydlf3usead 298579 298510 2026-04-18T07:59:19Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298579 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|ハーツ}} '''ハーツ'''(ハート・ブラックレディ)は、トランプゲームの1つです。[[w:Microsoft Windows 95|Windows 95]]から[[w:Microsoft Windows 7|Windows 7]]までのWindows パソコンに標準搭載されています([[w:Microsoft Windows XP|Windows XP]]まではインターネットハーツも搭載されていました)。 == 基本的なルール == [[ファイル:Penalty cards in Black Lady - IMG 7732.jpg|代替文=ハーツの減点対象となるカード|サムネイル|285x285ピクセル|スペードのQ,ハートの2~10,J,Q,K,Aが移った画像]] === 所要 === * プレイ人数 ** 3～6人ほど *** おすすめは4人 * 使用カード ** 4人 *** ジョーカーを除く52枚 ** 3人 *** ♣2を除いた51枚 ** 5人 *** ♣2と♦2を除いた51枚 ** 6人 *** ♣2・♦2・♣3・♦3を除いた51枚 ※♥のカードは抜かないようにします。 * カードの強さ ** 台札のマークの A > K > Q > J > 10 > 9 … > 2 > 台札以外のマークのカード(数字は関係なし) * カードの点数 ** ♥のカード13枚：各マイナス1点 ** ♠Q：マイナス13点 ** 他：0点 === 基本的な手順 === # 親はすべてのカードを配ります。 # 定められたプレイヤー(4人の場合、♣2を持っているプレイヤー)が手札から1枚、場に表向きに出します(台札)。 # その後、時計回りでカードを出していきます。最も強いカードを出した人が(強さは上参照)、すべてのカードを獲得します(とったカードはわきに置いておきます)。 #*原則、同じスート<ref>場(最初に出した人)と同じマークのこと</ref>のカードを出さなければならない。ただし、同じスートのカードが無い場合はどのカードを出しても構わない。 # こうしてすべてのカードがなくなったとき、獲得したカードに含まれる、「マイナス札」の得点を計算します(上参照)。 # こうして、獲得したマイナス点が最も小さかった人が勝ちです。 ===有名なオプションルール=== ハーツでは、次のようなオプションルールが存在する。 ;ハートブレイク :ハートは最初から出すことができないルールで、ハートを出すことができるようになること。ハートブレイクするには、次のいずれかの条件が必要である。ハートブレイク後は、誰でもハートを出すことができるようになる。 :*スートのカードがないとき :*手持ちのカードがハートしかないとき ;シュート・ザ・ムーン :上の14枚をすべて獲得した場合は、<u>他のプレイヤー全員に</u>マイナス26点とするルール。 == Windowsにおけるルール == * 4人で行う。 * マイナス札(♥、♠Q)は、1ターン目には出すことができず、出せるのは1度出されてからとなります。 * 複数回行う場合、1度ごとに 左隣の人と3枚カードを交換する→右隣の人と3枚カードを交換する→正面の人と3枚カードを交換する→交換しない を繰り返します。 * 誰かがマイナス100点に到達した時点で、順位を決定します。 ==脚注== <references/> == 関連項目 == *[[トランプ]] {{デフォルトソート:はあつ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] go4qnmw0nm3kcxgk5p4nrhvsjps8bi9 0 28686 298525 208546 2026-04-18T05:27:54Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298525 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} {{Wikipedia|ウインクキラー}} [[{{PAGENAME}}|ウインクキラー]]はトランプゲームの1つです。少し変わった疑心暗鬼を楽しむゲームですが、大人数で盛り上がれます。 == ルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 4～10人ほど *** おすすめは5～7人 * 使用カード ** 人数分の枚数のカード(ジョーカーとQを各1枚ずつ入れます) === 手順 === # 親は1人1枚ずつすべてのカードを配ります。配られたカードを見て、ジョーカーだった人は「キラー(主犯者)」役、Qだった人は「共犯者」、それ以外の人は「市民」となります(「共犯者」なしとすることもあります)。 # 「キラー」と「共犯者」の目的は「市民」を全員「殺す」ことで、「市民」の目的はキラーを探すことです。 # 「キラー」と「共犯者」は、「市民」に対してウインクをすることで「殺す」ことができます。「キラー」と「共犯者」は、「キラー」および「共犯者」を「殺す」ことはできません。（お互いは殺し合えない｡） # 「市民」が「キラー」や「共犯者」にウインクを受けて「殺されて」しまった場合には、5秒ほど間をおいて(キラーや共犯者をわかりにくくするため)「殺された」と宣言し、トランプをひっくり返すなどしてそれを示します。「殺された」人は脱落となり、これ以降ゲームに参加できません。 #　「市民」は、もし「キラー」らしき参加者を見つけた場合には、「告発」などと言って手を挙げ「キラー」の指名に挑戦することができます(「キラー」および「共犯者」は行えません)。その場合には他の誰かが保証人となることが必要で(「キラー」も行えますが、「共犯者」は行えません)、保証人となろうとするプレイヤーは「告発」があった場合には、「同意」などと宣言し同じく手を挙げます。そして「告発」をした者と保証人とでタイミングを揃えて「キラー」と思う人を指さします。2人が同じ人を指差した場合は、さされた人はカードを表にしゲームから離脱します。異なる人を指した場合は「告発」をした人が脱落します(そのため「告発」した者は、保証人と一致しそうにない場合は、「却下」などといって「告発」を取りやめることもできるルールもあります)。 # そこで、指さした人が実際に「キラー」であった場合は、「キラー」の負けとなり、ゲームは終了します。それ以外であった場合、そのプレイヤーは「殺されて」ゲームから脱落します。 {{コラム|ウインクを上手く決めるには？|まぶたを閉じるときには、目の周りの筋肉を使います。まぶたを開くときは、まぶたの上の部分の筋肉を使いましょう。}} == 関連項目 == {{デフォルトソート:ういんくきらあ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] ejlhwn2tu1ihfz1egro3j5j52kx3pjh 0 28756 298503 180511 2026-04-18T04:39:04Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298503 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} '''ジンラミー'''はトランプゲームの1つです。2人でプレイする「ラミー」の派生です。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 2人 * 使用カード ** ジョーカーを除く52枚 * カードの点数 ** A:1点 ** 2～10:数字通りの点数 ** 絵札(J,Q,K):10点 === 手順 === # 親は1人10枚ずつ裏向きにカードを配ります。残りのカードは場の中央に置いて山札とします。 # 山札の一番上のカードをめくってそばに置きます。これは「捨て札」です。 # 同じ数字のカードを3枚以上か、同じマークのシークエンスを3枚以上集めていきます(このゲームではQ-K-Aというシークエンスは認められません)。 # 自分の番になると、山札または捨て札の一番上のカードをとり、不要なカードを1枚捨てていきます。 # こうして、セットになっていないカードの合計点数が10点以下になれば「ノック」と宣言することができます。また、合計点数が0点の場合は必ず「ノック」を宣言します。これを「ジン」と呼びます。 # 「ノック」または「ジン」が宣言された場合、両者手札を表向きにします。このとき、相手は、公開されたカードに対して付け札できるカードが手札にあれば、付け札を行うことができます。 # 付け札を行ったあと、点が小さいほうが勝者となり、その差分が得点となります。このとき、相手の点数のほうが小さい場合、「アンダーカット」と呼び、相手側に点数の差に10点を加えた得点が入ります。また、「ジン」の場合、自分に点数の差に10点を加えた得点が入ります。これは「10/20制」の場合で、「20/25制」などもあります。 # こうしてラウンドを繰り返し、100点を先取したプレイヤーの勝ちです。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:しんらみい}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:2人専用のトランプゲーム]] [[カテゴリ:ラミー系]] 7o68q2s4mg3cj6db5lhi2aef2juvimh 0 28757 298517 268937 2026-04-18T05:08:28Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298517 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|銀行}} '''銀行'''はトランプゲームの1つです。銀行と言っても、普通の銀行とは違い、お金を没収されてしまいます。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 2人以上 * 使用カード ** ジョーカーを除きません（５４枚）(ジョーカーを除く場合もあります) * カードの点数 ** 数札の黒いカード(♠,♣) *** 1000円(点) ** 数札の赤いカード(♥,♦) *** 2000円(点) * カードの強さ **ジョーカー＞ A > K > Q > J === 手順 === # カードをお金(2～10)と勝負札(A,K,Q,J)に分けます。 # 数札については合計点数が54000円(点)(上参照)あります。そのうち半分の27000円(点)を親[銀行員]が持ち、残りは子[預金者]に均等に配ります(余る場合は増減させます)。 # 親は勝負札をよくシャッフルし、場に7枚、自分のところに1枚、それぞれ裏向きで置きます。 # 子は勝負札を1枚選び、手札から任意の金額を賭けます。同じ勝負札に2人以上賭けてもかまいません。 # 賭けが終了したら、それぞれのカードを表向きにします。 # 子の勝負札が親より強い場合、「勝ち」となり、親から賭けた金額(点数)がもらえます。子の勝負札が親より弱い場合、「負け」となり、賭けた金額(点数)は親のものとなります。子の勝負札が親と同じ数字の場合、「引き分け」となり、やりとりはありません。 # こうして親が破産する(手札がなくなる)か、子全員が破産するとゲーム終了です。親が破産した場合は、所持金(点数)が多いプレイヤーから1位、2位、…となります。子全員が破産した場合は親の勝ちです。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:きんこう}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] c1h2d9bg7ngsj2olk1gco5asdcz877f 0 28758 298516 230719 2026-04-18T05:07:20Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298516 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} [[{{PAGENAME}}|ローリング・ストーン]]はトランプゲームの1つです。カードを出せないと…？なお、[[w:ローリング・ストーンズ|ローリング・ストーンズ]]とはなんの関係もありません。 == ルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 4～6人ほど *** おすすめは4～6人 * 使用カード ** 4人 *** 2～6を除く32枚もしくは2デッキ64枚 ** 5人 *** 2～4を除く40枚もしくは2デッキ80枚 ** 6人 *** 2を除く48枚もしくは2デッキ96枚 ** ※人数にかかわらず、1人当たりの手札が8枚になるようにします。 * カードの強さ ** A > K > Q > J > 10 > 9 > … > 3 === 手順 === # 親は1人8枚ずつすべてのカードを配ります。 # 最初の人は任意のカードを場に出します。 # それ以降、自分の手番になると同じマークのカードを出さなければなりませんが、ない場合は場に出ているすべてのカードを引き取らなければなりません。引き取られてしまうとそのトリック(1回のプレイ)は終了し、以降の人は同じマークのカードを持っていても出せません。 # こうして、引き取られるまでに最も強いカードを出した人が次のカードを出せます。 # こうして手札がなくなった人が勝ちです。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:ろおりんくすとおん}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] d8cyb57d9ttbe3tjrwyti070ybdmpos 0 28760 298511 230631 2026-04-18T04:46:01Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298511 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} '''[[{{PAGENAME}}|ノー・カード]]'''はトランプゲームの1つです。同じ数字のカードを4枚そろえましょう。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 3～10人ほど *** おすすめは4～6人ほど * 使用カード ** ジョーカーを除いた52枚もしくは2枚のデッキ104枚 === 手順 === # 親はすべてのカードを均等に配ります。 # 配られたカードの中に、同じ数字のカードが1組4枚あれば、それを表向きに場に出します。 # ゲームは時計回りに進めます。自分のターンとなれば、自分以外の一人に、同じ数字のカード1組4枚をそろえるために、自分がほしいカードを宣言します(例：「Aさん、♦8をください」)。 # その人がそのカードを持っていなければ「ノー・カード」「ありません」などと言い、手番は次の人に移ります。そのカードを持っていたらそのカードを渡し、手番はまだ続きます。指名する人を変えてもかまいません。 # こうして、同じ数字のカードが1組4枚そろえば、それを表向きに場に出します。手札がなくなった場合、ゲームから抜けます。全員の手札がなくなるとゲーム終了です。 # このとき、同じ数字のカード1組4枚を最も多くそろえた人の勝ちです。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:のおかあど}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 3scufe6wnplc6i9qu79xtya3z473son 0 28761 298512 162853 2026-04-18T04:46:31Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298512 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} '''[[{{PAGENAME}}|フォア・ジャックス]]'''はトランプゲームの1つです。Jを取らないようにしましょう。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 4～6人 *** おすすめは4～6人 * 使用カード ** 4人：ジョーカーと各マークの2～6を除く32枚 *** 5人または6人：ジョーカー・各マークの2～6・♠7・♣7を除く30枚 * カードの強さ ** A > K > Q > J > 10 > 9 > 8 > 7, ♠ > ♥ > ♦ > ♣ === 手順 === # 親はすべてのカードを均等に配ります。 # 親の右隣の人から順に1枚ずつ時計回りに順番にカードを1枚出していきます。 # このとき、なるべく台札(最初に出した人のカード)と同じマークのカードを出していきますが、出せない場合はほかのマークのカードを出します。 # こうして、最も弱いカードを出した人が場にあるカードを受け取り、わきに置いておきます(弱いカードの決め方：全員が台札と同じマークのカードを出していれば、その中で最も小さい数字のカードを出した人がカードを受け取ります。また、1人のみが台札と異なるマークのカードを出していれば、その人がカードを受け取ります。複数人いる場合は、その中で最も弱いカードを出した人が受け取ります)。 # 次の回は、台札と同じマークで最も強いカードを出した人がカードを出すことができます。 # こうしてすべてのカードがなくなると終了です。とったカードにふくまれるJの得点を調べます。Jは1枚につきー1点ですが、4枚集めると＋4点になるルールもあります。 # ゲームを繰り返す場合は、誰かの点数がー10点以下となったらその人の負けとなります。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:ふおあしやつくす}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] b3fmyrg6hp1dtygzrjg1a99q6tqm5n9 0 28774 298521 230722 2026-04-18T05:24:47Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298521 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|ナポレオン (日本のトランプゲーム)}} [[{{PAGENAME}}|ナポレオン]]はトランプゲームの1つです。これであなたもナポレオンです{{個人の意見}}。もともとこのゲームはイギリス発祥ですが、日本で独自の発展を遂げました。ここでは日本で一般的な日本式のルールを説明します。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 4～6人ほど *** おすすめは5人 * 使用カード ** ジョーカーを除く52枚もしくは2枚のデッキ104枚(ジョーカーを加えることもあります) * カードの強さ ** ♠A > 切り札(以下「切」)のJ > 切り札と同色のもう1枚のJ > 切A > 切K > 切Q > 切10 > 切9 … > 切2 > 台札と同じマーク(以下「台」)のA > 台K > 台Q > 台J > 台10 > 台9 > … > 台2 > それ以外のカード === 手順 === * '''ここでは5人の場合で説明します。( )内の数字は4人の場合や6人の場合を示します。'''「ナポレオン軍」と「連合軍」に分かれて戦います。 # 裏向きに1人10(12,8)枚ずつカードを配ります。残りの2(4)枚は裏向きに伏せて中央に置いておきます。 # カードを配り終えたら競りを行い、ナポレオンと切り札のスートを決めます。ナポレオンに立候補する人は、「♦で14枚」のように、切り札のマークと、取れる絵札の枚数(このゲームでは絵札は 各マークのA,K,Q,J,10の20枚です。以下、特に断りのない限り「絵札」というとこの20枚のことをさすものとします)を宣言します。切り札の枚数は12枚以上でなければなりません。同じ枚数であれば、切り札の強さは ♠ > ♥ > ♦ > ♣ です。ナポレオンになりたくない場合は「パス」と宣言します。競りは全員がパスするまで時計回りで何周も続けます。ナポレオンの宣言は何度でも行えますが、これまでに出たどの宣言よりも高い宣言をしなければなりません。全ての人がパスすれば競りは終了となり、最高の宣言をしたプレイヤーがナポレオンになります。宣言したスートが切り札になる。なお、誰一人宣言せずに全員がパスした場合はカードを配り直します。 # ナポレオンの競りが終了したら、ナポレオンは味方となる「副官」を決めるため、任意のカードを1枚宣言します。そのカードを持っている者が副官となります。副官が誰かは、そのカードが場に出されるまでは、連合軍にもナポレオンにも分かりません。一般的に、ナポレオンは自分が持っていないカードの中でもっとも強いカードを副官指定カードにすることが多いですが、戦略上あえて弱いカードを選ぶこともできます。切り札などを選ぶこともできます。なお、そのカードをナポレオンが持っている場合(手札に強いカードが多いときなどに指定できます)は、ナポレオンが副官を兼ね、他のプレイヤー全員が連合軍となります。 # 副官を指定したら、ナポレオンは残っていた場札の2(4)枚のカードを取り、12枚の中から不要なカードを2枚(4人・6人なら4枚だが、2枚にする場合も)裏向きに捨てます。捨てたカードは以後ゲームでは使われません。ただし、捨てたカードに絵札が含まれる場合はそれを公開し、ゲーム終了時に連合軍の得点として加算します。なお、その中に副官を指定するカードが含まれていた場合は、ナポレオンが副官を兼ねることになります。 # トリックと呼ばれる小ゲームを繰り返していきます。1トリック目では、まずナポレオンが場に任意のカードを1枚出し(リード)、以後反時計回りに他のプレイヤーが順番に一枚ずつ札を出します。なお、切り札・♠A・切り札と同色のもう1枚のJ・副官を指定したカードを出してもかまいません。 # 全員が1枚ずつカードを出し終わると、最も強いカードを出したプレイヤーがそのトリックの勝者になります。場に出された札は、流します。場に出された札の中に絵札が入っていた場合、その絵札はすべてトリックの勝者が獲得します。絵札がなければ得点とはなりません。 # これをカードがなくなるまで繰り返します。 # こうしてすべてのカードを出し終わると、ナポレオン軍(ナポレオンと副官)が獲得した絵札の枚数の合計を計算します。こうして、宣言枚数以上のカードを獲得できていればナポレオン軍の勝利、そうでなければ連合軍の勝利となります。 なお、各プレイヤーの得点を付けることもあります。 {| class="wikitable" |+ 得点のつけ方（例） |----- ! rowspan="2" | &nbsp; ! rowspan="2" | ナポレオン軍の勝利 ! colspan="2" | 連合軍の勝利 |----- ! ナポレオン軍も1枚以上獲得 ! 連合軍が20枚獲得 |----- ! ナポレオン （副官ありの場合） | +2 || -2 || -4 |----- ! ナポレオン （副官なしの場合） | +4 || -4 || -8 |----- ! 副官 | +1 || -1 || -2 |----- ! 連合軍 | -1 || +1 || +2 |} == バリエーションルール == * ジョーカーを加える ** ジョーカーは、♠Aよりも強いカードとなります。ジョーカーがリードされたら、切り札を持っている人は必ず切り札を出さなければなりません。ジョーカーを入れる場合は場札が3枚になるので、5人の場合は13枚の中から不要なカードを3枚捨てます。ジョーカーは絵札ではないので、獲得しても0点です。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:なほれおん}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] qkiff59re3bgl3rnx4il8yq7ky9ydmb 298576 298521 2026-04-18T07:50:52Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298576 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|ナポレオン (日本のトランプゲーム)}} [[{{PAGENAME}}|ナポレオン]]はトランプゲームの1つです。これであなたもナポレオンです{{個人の意見}}。もともとこのゲームはイギリス発祥ですが、日本で独自の発展を遂げました。ここでは日本で一般的な日本式のルールを説明します。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 4～6人ほど *** おすすめは5人 * 使用カード ** ジョーカーを除く52枚もしくは2枚のデッキ104枚(ジョーカーを加えることもあります) * カードの強さ ** ♠A > 切り札(以下「切」)のJ > 切り札と同色のもう1枚のJ > 切A > 切K > 切Q > 切10 > 切9 … > 切2 > 台札と同じマーク(以下「台」)のA > 台K > 台Q > 台J > 台10 > 台9 > … > 台2 > それ以外のカード === 手順 === * '''ここでは5人の場合で説明します。( )内の数字は4人の場合や6人の場合を示します。'''「ナポレオン軍」と「連合軍」に分かれて戦います。 # 裏向きに1人10(12,8)枚ずつカードを配ります。残りの2(4)枚は裏向きに伏せて中央に置いておきます。 # カードを配り終えたら競りを行い、ナポレオンと切り札のスートを決めます。ナポレオンに立候補する人は、「♦で14枚」のように、切り札のマークと、取れる絵札の枚数(このゲームでは絵札は 各マークのA,K,Q,J,10の20枚です。以下、特に断りのない限り「絵札」というとこの20枚のことをさすものとします)を宣言します。切り札の枚数は12枚以上でなければなりません。同じ枚数であれば、切り札の強さは ♠ > ♥ > ♦ > ♣ です。ナポレオンになりたくない場合は「パス」と宣言します。競りは全員がパスするまで時計回りで何周も続けます。ナポレオンの宣言は何度でも行えますが、これまでに出たどの宣言よりも高い宣言をしなければなりません。全ての人がパスすれば競りは終了となり、最高の宣言をしたプレイヤーがナポレオンになります。宣言したスートが切り札になる。なお、誰一人宣言せずに全員がパスした場合はカードを配り直します。 # ナポレオンの競りが終了したら、ナポレオンは味方となる「副官」を決めるため、任意のカードを1枚宣言します。そのカードを持っている者が副官となります。副官が誰かは、そのカードが場に出されるまでは、連合軍にもナポレオンにも分かりません。一般的に、ナポレオンは自分が持っていないカードの中でもっとも強いカードを副官指定カードにすることが多いですが、戦略上あえて弱いカードを選ぶこともできます。切り札などを選ぶこともできます。なお、そのカードをナポレオンが持っている場合(手札に強いカードが多いときなどに指定できます)は、ナポレオンが副官を兼ね、他のプレイヤー全員が連合軍となります。 # 副官を指定したら、ナポレオンは残っていた場札の2(4)枚のカードを取り、12枚の中から不要なカードを2枚(4人・6人なら4枚だが、2枚にする場合も)裏向きに捨てます。捨てたカードは以後ゲームでは使われません。ただし、捨てたカードに絵札が含まれる場合はそれを公開し、ゲーム終了時に連合軍の得点として加算します。なお、その中に副官を指定するカードが含まれていた場合は、ナポレオンが副官を兼ねることになります。 # トリックと呼ばれる小ゲームを繰り返していきます。1トリック目では、まずナポレオンが場に任意のカードを1枚出し(リード)、以後反時計回りに他のプレイヤーが順番に一枚ずつ札を出します。なお、切り札・♠A・切り札と同色のもう1枚のJ・副官を指定したカードを出してもかまいません。 # 全員が1枚ずつカードを出し終わると、最も強いカードを出したプレイヤーがそのトリックの勝者になります。場に出された札は、流します。場に出された札の中に絵札が入っていた場合、その絵札はすべてトリックの勝者が獲得します。絵札がなければ得点とはなりません。 # これをカードがなくなるまで繰り返します。 # こうしてすべてのカードを出し終わると、ナポレオン軍(ナポレオンと副官)が獲得した絵札の枚数の合計を計算します。こうして、宣言枚数以上のカードを獲得できていればナポレオン軍の勝利、そうでなければ連合軍の勝利となります。 なお、各プレイヤーの得点を付けることもあります。 {| class="wikitable" |+ 得点のつけ方（例） |----- ! rowspan="2" | &nbsp; ! rowspan="2" | ナポレオン軍の勝利 ! colspan="2" | 連合軍の勝利 |----- ! ナポレオン軍も1枚以上獲得 ! 連合軍が20枚獲得 |----- ! ナポレオン （副官ありの場合） | +2 || -2 || -4 |----- ! ナポレオン （副官なしの場合） | +4 || -4 || -8 |----- ! 副官 | +1 || -1 || -2 |----- ! 連合軍 | -1 || +1 || +2 |} == バリエーションルール == * ジョーカーを加える ** ジョーカーは、♠Aよりも強いカードとなります。ジョーカーがリードされたら、切り札を持っている人は必ず切り札を出さなければなりません。ジョーカーを入れる場合は場札が3枚になるので、5人の場合は13枚の中から不要なカードを3枚捨てます。ジョーカーは絵札ではないので、獲得しても0点です。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:なほれおん}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] 4cea7953rw2xsxk8juj2a31pb1xaqwz 0 28821 298518 292950 2026-04-18T05:17:34Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298518 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} '''[[{{PAGENAME}}|お金]]'''はトランプゲームの1つです。みんなからお金をもらいましょう。[[トランプ/銀行|銀行]]とは異なるゲームです。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 3～8人ほど * 使用カード ** ジョーカーを1枚含む53枚 ** 入れなかったり、2枚としたりすることもあります。 * カードの点数 ** 2～9 *** 100円(点) ** 10,J,Q,K *** 500円(点) ** A *** 1000円(点) ** ジョーカー *** 2000円(点) ** 点数はルールによって異なります。 === 手順 === * ルールA ** ほかに用意するもの：チップ(おはじき、碁石などでもかまいません)。「1枚当たり何円」のように金額(点数)を決めておきましょう。 # このゲームでは、カードを配らず、場に山札として積み重ねます。 # 順番を決め、順に山札から1枚ずつカードを引いていき、引いたカードの金額(点数)がもらえます。こうして山札がなくなったときに最も多くのカードを持っていた人が勝ちです。 * ルールB # 親はカードを時計回りに1枚ずつ、1人5枚配ります。 # 順番を決め、順に山札からカードを1枚ずつ引いていきます。ほかの人は、出た金額をそのプレイヤーに手札から払わなければなりません。 # なお、半端なお金を持っていない場合、お釣りをもらったり、両替をしたりしてもかまいません。 # こうして、手札(お金)がなくなった人は「破産」(ゲームオーバー)となり、ゲームから抜けます。ただし、次のターンから復活できたり、ほかの人から借金できたりするルールもあります。 # ゲーム終了時に一番多くのカードを持っていた人の勝ちです。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:おかね}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] ps5r40317v2r7e4643b5zp7ltocoqd1 0 28841 298519 163366 2026-04-18T05:21:52Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298519 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|ホイスト}} '''ホイスト'''はトランプゲームの1つです。ジュール・ヴェルヌの小説「八十日間世界一周」にも記述があります。なお、ジャーマンホイストとは全く異なるゲームです。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 4人 * 使用カード ** ジョーカーを除く52枚 * カードの強さ ** 切り札のA > 切り札のK > 切り札のQ > 切り札のJ > 切り札の10 > … > 切り札の2 > 台札と同じマークのA > 台札と同じマークのK > 台札と同じマークのQ > 台札と同じマークのJ > 台札と同じマークの10 > … > 台札と同じマークの2 > その他のカード === 手順 === # 4人を2人ずつ2チームに分け、チームごとに向かい合って座ります。なお、4枚のAをよくシャッフルして1人1枚ずつ配り、♠Aと♣Aだった人と、♥Aと♦Aだった人でチームを組むことがあります。 # 親は、親の右隣の人から時計回りに1枚ずつ、1人13枚ずつカードを配ります。このとき、最後のカード(親の手元にあります)を全員に公開します。このカードと同じマークのカードがこのラウンドの切り札となります。 # 親の左隣のプレイヤーは、手札からカードを1枚出します(手札が切り札しかない場合を除き、切り札を出してはいけません)。以降、1人1枚ずつ手札からカードを出していきます。そのカードと同じマークのカードを持っていれば、必ずそのマークのカードを出さなければなりません。ない場合は、切り札を含めほかのマークのカードを出すことができます。 # こうして、最も強いカードを出した人のチームが1トリックの勝者となります。カードの強さは、切り札がなければ台札と同じマークで一番強いカードを出した人が勝ちで、切り札があれば切り札の中で最も強いカードを出した人が勝ちとなります(上参照)。 # 次のトリックは、前のラウンドの勝者がカードを出す(リードする)ことができます。こうして13トリックが終了して手札がなくなると終了です。 # 各チームの(2人合わせた)勝ったトリック数を計算します。7トリック以上勝ったチームには、勝ったトリック数から6引いた点数がもらえます(例:9トリック勝利→3点)。 # 本来のルールでは、これを13回繰り返し、点数の高いチームの勝ちとなります。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:ほいすと}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 5g1muqxpvkqgjpg1fs6z1vp5pdqipxc 298575 298519 2026-04-18T07:46:43Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298575 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}}{{Wikipedia|ホイスト}} '''ホイスト'''はトランプゲームの1つです。ジュール・ヴェルヌの小説「八十日間世界一周」にも記述があります。なお、ジャーマンホイストとは全く異なるゲームです。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 4人 * 使用カード ** ジョーカーを除く52枚 * カードの強さ ** 切り札のA > 切り札のK > 切り札のQ > 切り札のJ > 切り札の10 > … > 切り札の2 > 台札と同じマークのA > 台札と同じマークのK > 台札と同じマークのQ > 台札と同じマークのJ > 台札と同じマークの10 > … > 台札と同じマークの2 > その他のカード === 手順 === # 4人を2人ずつ2チームに分け、チームごとに向かい合って座ります。なお、4枚のAをよくシャッフルして1人1枚ずつ配り、♠Aと♣Aだった人と、♥Aと♦Aだった人でチームを組むことがあります。 # 親は、親の右隣の人から時計回りに1枚ずつ、1人13枚ずつカードを配ります。このとき、最後のカード(親の手元にあります)を全員に公開します。このカードと同じマークのカードがこのラウンドの切り札となります。 # 親の左隣のプレイヤーは、手札からカードを1枚出します(手札が切り札しかない場合を除き、切り札を出してはいけません)。以降、1人1枚ずつ手札からカードを出していきます。そのカードと同じマークのカードを持っていれば、必ずそのマークのカードを出さなければなりません。ない場合は、切り札を含めほかのマークのカードを出すことができます。 # こうして、最も強いカードを出した人のチームが1トリックの勝者となります。カードの強さは、切り札がなければ台札と同じマークで一番強いカードを出した人が勝ちで、切り札があれば切り札の中で最も強いカードを出した人が勝ちとなります(上参照)。 # 次のトリックは、前のラウンドの勝者がカードを出す(リードする)ことができます。こうして13トリックが終了して手札がなくなると終了です。 # 各チームの(2人合わせた)勝ったトリック数を計算します。7トリック以上勝ったチームには、勝ったトリック数から6引いた点数がもらえます(例:9トリック勝利→3点)。 # 本来のルールでは、これを13回繰り返し、点数の高いチームの勝ちとなります。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:ほいすと}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] 8ix9tgr6t4es11uxrqxgvgd5higp51z 0 28846 298504 281469 2026-04-18T04:39:55Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298504 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} '''[[{{PAGENAME}}|15点]]'''はトランプゲームの1つです。ギリギリを攻めましょう。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 2人 *** 本来のルールは2人専用ですが、工夫すれば3人以上でも遊べます。 * 使用カード ** ジョーカーを除く52枚 * カードの点数 ** A *** 1点 ** 2～10 *** 数字通りの点数 ** 絵札(J・Q・K) *** 各11点・12点・13点またはすべて10点(ルールによっては異なる) === 手順 === # 親は1人1枚ずつカードを配ります。残りは山札とします。 # 合計点数をなるべく15点に近づけるように、山札からカードを引いていきます。ただし、必ずしも引く必要はありませんが、最低10点は取らなければいけません。 # こうして、手札の点数が15点に近いほうが勝ちです。ただし15点を超えると負けになります。ただし、両者15点を超えた場合は超えた点数が小さいほうの勝ちです。同点ならば引き分けです。 == 関連項目 == {{分岐スタブ|200705}} {{デフォルトソート:15てん}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:2人専用のトランプゲーム]] kl0acnoxmutvmazu7vi5z8cill1egve 0 28849 298524 260630 2026-04-18T05:26:31Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298524 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|トランプ|frame=1}} '''[[{{PAGENAME}}|ニックネーム]]'''はトランプゲームの1つです。暗記力が求められます。 == 基本的なルール == === 所要 === * プレイ人数 ** 3～8人 * 使用カード ** ジョーカーを除く52枚もしくは2枚デッキ104枚 === 手順 === # 親は親の右隣の人から時計周りに1枚ずつ、すべてのカードを裏向きに均等に配ります。配られてもカードは見ず、裏向きにしておきます。 # ここで、1人1つずつニックネームを決め、一度全員にそのニックネームを知らせておきます。ニックネームは人に言って恥ずかしくないものにしましょう。 # 順番に各自の手札から裏向きになっているカードを1枚ずつめくって場に表向きに出します。ここで、ちょうど2人が同じ数字のカードを出していれば、相手のニックネームを素早く言います。相手よりも早くニックネームを早く言えた人が勝ちです。負けた人は、自分の表向きのカードを全て勝ったプレイヤーに渡します。このカードは勝者の手札に加えることができます。 # 1人がニックネームを間違えた場合は、手札の一番上のカードを1枚、追加で相手に渡します。2人ともニックネームを間違えた、あるいは思い出せない場合は、一斉に2人とも手札からカードを1枚めくります。 # こうして誰かの手札がなくなったとき、最も多くのカードを持っていた人の勝ちです。 == 関連項目 == {{デフォルトソート:につくねえむ}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] dz8o7dtnwh1hilvat4dso0bpntyvw9r 0 31713 298495 287645 2026-04-17T19:32:02Z Tomzo 248 /* 内積 */ 298495 wikitext text/x-wiki == 平面図形 == === 三角形 === ==== 三平方の定理 ==== [[File:Right triangle ABC.svg|thumb|]] * 直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを''a''、''b''、斜辺の長さを''c''とすると、以下の関係が成り立つ。: ** <math>a^2 + b^2 = c^2</math> * 三角形の三辺の長さ''a,b,c''が<math>a^2 + b^2 = c^2</math>を満たすとき、この三角形は長さ''c''の辺を斜辺とする直角三角形となる。 (参考) [[中学校数学 3年生-図形/三平方の定理|三平方の定理]] ==== 正弦定理 ==== <math>\bigtriangleup{ABC}</math> において、<math>BC = a, CA = b, AB = c</math>, 外接円の半径を <math>R</math> とすると、 * <math>\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2R</math> (参考）[[高等学校数学I/図形と計量#正弦定理|正弦定理]] ===== 正弦定理の応用 ===== [[ファイル:Law-of-sines2.svg|thumb|310px|]] 一辺とその両端の角の大きさがわかっている時の、他の辺及び当該三角形の既知の辺に対する高さ（[[w:三角測量|三角測量]]の原理）。 :右の図において辺<math>AB=c, \angle{A} = \alpha, \angle{B} = \gamma</math>が既知である時、 :<math>\frac{c}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin (\pi - (\alpha + \gamma))} = \frac{c}{\sin (\alpha + \gamma)} =\frac{a}{\sin {\alpha}} =\frac{b}{\sin {\gamma}}</math> : : :<math>a = \frac{c\sin {\alpha}}{\sin (\alpha + \gamma)}, b = \frac{c\sin {\gamma}}{\sin (\alpha + \gamma)}</math> : : :<math>h = \frac{c\sin \alpha\sin \gamma}{\sin (\alpha+\gamma)}</math> : : ::<math>AO = b\cos \alpha = \frac{c\cos {\alpha} \sin {\gamma}}{\sin (\alpha + \gamma)}</math>, <math>BO = a\cos \gamma = \frac{c\sin {\alpha} \cos {\gamma}}{\sin (\alpha + \gamma)}</math> ==== 余弦定理 ==== <math>\bigtriangleup{ABC}</math> において、<math>BC = a, CA = b, AB = c, \alpha = \angle{CAB}, \beta = \angle{ABC}, \gamma = \angle{BCA}</math> とすると ===== 第一余弦定理 ===== * <math>a = b \cos\gamma + c \cos\beta</math> * <math>b = c \cos\alpha + a \cos\gamma</math> * <math>c = a \cos\beta + b \cos\alpha</math> ===== 第二余弦定理 ===== * <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha</math> * <math>b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos\beta</math> * <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma</math> （参考）[[高等学校数学I/図形と計量#余弦定理|余弦定理]] ===== 中線定理とスチュワートの定理 ===== [[File:Median rules.jpg|thumb|200px|中線定理]] ;中線定理 :三角形の辺 <math>BC, CA, AB</math> の長さを <math>a, b, c</math> とする。辺 <math>BC</math> 上の中点 <math>D</math> を取り、<math>AD</math> を <math>m</math> とすると、以下の式が成り立つ。 ::<math>4m^2 + a^2 = 2 ( b^2 + c^2 )</math> :::別形:<math>AB^2 + AC^2 = 2 (AD^2 + BD^2)</math>　<small>（なお、<math>BD = DC</math>）</small> :　 ::（証明） :::<math>\angle{ABC} = \beta</math>として、第2余弦定理より、 ::::<math>b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos\beta</math>、従って、<math>\cos\beta = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}</math> - ① :::同様に、 ::::<math>m^2 = c^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 - 2c \left(\frac{a}{2}\right) \cos\beta</math>、従って、<math>\cos\beta = \frac{c^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 - m^2}{ca} = \frac{4c^2 + a^2 - 4m^2}{4ca}</math> - ② :::①、②から、 ::::<math>\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} = \frac{4c^2 + a^2 - 4m^2}{4ca}</math> ::::　 ::::<math>2 c^2 + 2 a^2 - 2 b^2 = 4 c^2 + a^2 - 4 m^2</math> ::::　 ::::<math>4m^2 + a^2 = 2 ( b^2 + c^2 )</math> {{-}} [[File:Satz von Stewart Grafik.jpg|thumb|200px|スチュワートの定理]] ;スチュワートの定理 :三角形の辺 <math>BC, CA, AB</math> の長さを <math>a, b, c</math> とする。辺 <math>AB</math> 上に点 <math>M</math> を取り、<math>CM</math> を <math>d</math> とする。<math>AM, BM</math> の長さを <math>x, y</math> とすると、以下の式が成り立つ。 ::<math>a^2x + b^2y = c(d^2 + xy)</math> :<math>M</math> が辺の中点（<math>x=y</math>）のとき、この式は中線定理の式に一致する。 {{-}} ==== 三角形における正接の性質 ==== <math>\bigtriangleup{ABC}</math> において、<math>\alpha = \angle{CAB}, \beta = \angle{ABC}, \gamma = \angle{BCA}</math> とすると : <math>\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma = \tan\alpha \tan\beta \tan\gamma </math> ==== メネラウスの定理・チェバの定理 ==== [[image:Menelaos's theorem 1.png|thumb|250px|メネラウスの定理。A→F→B→D→C→E→Aの順で循環する。]] *[[w:メネラウスの定理|メネラウスの定理]] *:任意の直線<math>l</math>と<math>\bigtriangleup{ABC}</math>において、直線<math>l</math>と<math>BC, CA, AB</math>の交点をそれぞれ<math>D, E, F</math>とする。この時、次の等式が成立する。 :::<math>{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1</math> {{-}} *[[w:チェバの定理|チェバの定理]] *:<math>\bigtriangleup{ABC}</math>において、任意の点<math>O</math>をとり、直線<math>AO</math>と<math>BC</math>、<math>BO</math>と<math>CA</math>、<math>CO</math>と<math>AB</math>の交点をそれぞれ<math>D, E, F</math>とする。この時、次の等式が成立する。なお、点<math>O</math>は、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。 :::<math>{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1</math> {| |[[image:Ceva's theorem 1.svg|thumb|200px|チェバの定理。点Oが三角形の内部にある場合]] |[[image:Ceva's theorem 2.svg|thumb|200px|チェバの定理。点Oが三角形の外部にある場合]] |} ==== 三角形の5心 ==== ===== 重心 ===== :三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを'''中線'''という。各々の頂点から下ろした線分は一点で交わり、その点を'''重心'''（通常、<math>G</math>で表記される）という。 :重心は中線を角側から見て、2:1 に内分する。 ::（参照:[[#重心ベクトル|ベクトルによる表記]]） {| |[[File:Gravity center triangle.svg|thumb|200px|三角形の重心]] |} ===== 外心 ===== :三角形の3つの辺の垂直二等分線は1点で交わり、その点を'''外心'''（通常、<math>O</math>で表記される）という。 :外心は、三角形の'''外接円'''の中心である。= 外心から各角との距離は等しい。 ::（参照:[[#外心ベクトル|ベクトルによる表記]]） {| |[[File:Circumcenter triangle proof.svg|thumb|各辺の垂直二等分線と外心]] |[[File:Circumcenter triangle.svg|thumb|200px|外心と外接円]] |} ===== 内心 ===== :三角形の3角のそれぞれに対して角の二等分線を取ったとき、それぞれの直線は1点で交わり、その点を'''内心'''（通常、<math>I</math>で表記される）という。 :内心は、三角形の'''内接円'''の中心である。= 内心から各辺との距離は等しい。= 内心から内接円と辺の接点とを結ぶ線分は内接円の半径であり、辺に対して垂直。 ::（参照:[[#内心ベクトル|ベクトルによる表記]]） {| |[[File:Inner center triangle.svg|thumb|200px|各角の二等分線と内心]] |[[File:Inner center triangle proof.svg|thumb|200px|内心と内接円]] |} ===== 垂心 ===== :三角形の各頂点から対辺またはその延長に降ろした垂線は、1点で交わり、その点を'''垂心'''（通常、<math>H</math>で表記される）という。 ::（参照:[[#垂心ベクトル|ベクトルによる表記]]） {| |[[File:Orthocenter triangle.svg|thumb|200px|三角形の垂心]] |} ===== 傍心 ===== :三角形の2つの外角のそれぞれの二等分線と、残りの1つの内角の二等分線とは、一点で交わり、その点を'''傍心'''という。 :傍心は各々の頂点に対する辺の反対側に存在するため、3個存在する。 :傍心から、それに相対する辺までの距離を半径とする円は、相対する辺以外の各辺を延長した直線と接し、この円を'''傍接円'''という（[[#傍接円|下図参照]]）。 ::（参照:[[#傍心ベクトル|ベクトルによる表記]]） {| |[[File:Triangle excenter.svg|thumb|200px|三角形の傍心のひとつ]] |} ===== 5心相互の関係 ===== {{wikipedia|オイラーの定理_(平面幾何学)}} ;オイラーの定理 :三角形の外接円の半径を ''R'' 、内接円の半径を ''r'' 、内心と外心の距離を ''d'' としたとき、以下の式が成り立つ。（[[:w:オイラーの定理_(平面幾何学)#証明|→証明]]） :　 ::<math>d^2 =R(R-2r)</math> :　 :この式を変形すると <math>R \ge 2r</math> が成り立つ（'''オイラーの不等式'''）。等号が成立するのは、正三角形の時のみであり、<math>d = 0</math> ならば三角形は正三角形である。 {{-}} [[Image:Triangle.EulerLine.png|thumb|200px|オイラー線]] ;オイラー線 :三角形の外心・重心・垂心は同一の直線上にある。この直線をオイラー線という。 :*右図において、 :** 青の線の交点が垂心 <math>H</math> :** 橙色の線の交点が重心 <math>G</math> :** 緑の線の交点が外心 <math>O</math> ::であって、<math>HGO</math>は一直線上（赤線）にある。 {{-}} [[File:Orthocenter triangle proof.svg|thumb|200px|垂心の性質]] ;垂心の性質 :<math>\bigtriangleup{ABC}</math>に関して、<math>A</math>と辺<math>BC</math>に対して反対側に、四角形<math>ABPC</math>が平行四辺形となるような点<math>P</math>をとる。同様に<math>B</math>に対する点<math>Q</math>、<math>C</math>に対する点<math>R</math>をとり、<math>\bigtriangleup{ABC}</math>の各辺が中線となる<math>\bigtriangleup{PQR}</math>（<math>\bigtriangleup{ABC}</math>と相似比1:2の三角形）を得た時、 :<math>\bigtriangleup{ABC}</math>の垂心<math>H</math>は、<math>\bigtriangleup{PQR}</math>の外心となる。 {{-}} [[Image:Incircle and Excircles.svg|thumb|200px|三角形の内接円と傍接円]] ;<span id="傍接円"/>三角形の内接円と傍接円 :傍心は三角形の二等分線上にあるので、三角形の相対する角と内心の同一直線上にある。 :三角形の内心は、3つの傍心で作る三角形の垂心に一致する。 {{-}} === 四角形 === ==== トレミーの定理 ==== {{wikipedia|トレミーの定理}} [[File:Ptolemy Theorem.svg|thumb|200px|トレミーの定理]] :円に内接する四角形 ''ABCD'' において、辺の長さに関して以下の等式が成立する。（[[:w:トレミーの定理#証明|→証明]]） :　 ::<math>AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC</math> :　 :また、必ずしも円に内接しない四角形 ''ABCD'' においては、以下の不等式（'''トレミーの不等式'''）が成立する（辺の長さに関する'''オイラーの定理'''） :　 ::<math>AC\cdot BD \leqq AD\cdot BC + AB\cdot DC</math> :　 :　 :逆に、逆に、必ずしも同一平面上にない4点 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' に関して、辺の長さに関する等式： :　 ::<math>AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC</math> :　 :が成り立つならば、4点 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ''ABCD'' は同一の円に内接する。 {{-}} === 多角形 === * <math>n</math>角形の内角の和: *:<math>180(n-2)^\circ</math> * <math>n</math>角形の対角線の本数: *:<math>\frac{n(n-3)}{2}</math> === 円 === * 半径<math>r</math>の円の円周<math>l</math>: **:<math>l = 2r \pi </math> * 半径<math>r</math>、中心角<math>\alpha</math>（度）の扇形の弧の長さ<math>l</math>: **:<math>l = 2r \pi \cdot \frac{\alpha}{360}</math> * 半径<math>r</math>の円の中心点<math>O</math>と弦<math>AB</math>との距離を<math>a</math>としたときの弦<math>AB</math>の長さ: *:<math>AB = 2\sqrt{r^2 - a^2}</math> ==== 中心角と円周角 ==== {{wikipedia|円周角}} [[Image:Sehne.png|right|200px|thumb|中心角と円周角]] *円周上の点<math>A,B</math>の各々から円の中心点<math>O</math>に線分を引いた時、<math>\angle\mathrm{AOB}</math>を'''中心角'''という。 *円周上の点<math>A,B</math>の各々から、円周上の点<math>C</math>に線分を引いた時、<math>\angle\mathrm{ACB}</math>を'''円周角'''という。 **'''円周角の定理''' **:円周上にとる点の位置に関わりなく、円周角の大きさ<math>\angle\mathrm{ACB}</math>は対応する円弧^※を含む扇形の中心角の大きさ<math>\alpha</math>のみに依存し、以下のように表わされる。 **:::※:対応する円弧:<math>\alpha < \pi</math>ならば、円周上の点<math>C</math>は、線分<math>AB</math>から見て中心と同じ側にあり、<math>\alpha > \pi</math>ならば、逆側にある。 **::<math>\angle\mathrm{ACB}=\frac{\alpha}{2}</math> **::*右図において、 **::**円周角<math>\angle\mathrm{AC_3B}</math>と<math>\angle\mathrm{AC_4B}</math>は等しい。この時の中心角の大きさを<math>\psi</math>とすると、<math>\psi=\frac{\alpha}{2}</math>。 **::**円周角<math>\angle\mathrm{AC_1B}</math>と<math>\angle\mathrm{AC_2B}</math>は等しい。この時の中心角の大きさを<math>\varphi</math>とすると、<math>\varphi=\frac{\pi-\alpha}{2}</math>。 **::*:したがって、円に内接する四角形の相対する角の和は、<math>\pi</math>（=180°）となる。 **'''タレスの定理''' **:円周上の点<math>A,B</math>を結ぶ線分<math>AB</math>が円の中心<math>O</math>をとおる時（すなわち、線分<math>AB</math>が直径である時）、点<math>A,B</math>と円周上の点<math>C</math>との間になす角<math>\angle\mathrm{ACB}</math>は直角である。 **:逆である「点<math>A,B</math>と円周上の点<math>C</math>との間になす角<math>\angle\mathrm{ACB}</math>が直角であるならば、線分<math>AB</math>は円の中心<math>O</math>をとおる」もまた真である。 **:[[File:Angle in circle.svg|right|200px|thumb|接線と弦の作る角]] **'''接弦定理''' **:三角形のある一点において外接円の接線を引いた時、接線と弦の作る角（右図において角<math>\alpha</math>）は、三角形の弦に対する角（右図において角<math>\beta</math>）に等しい。 **:<math>\because</math> 角<math>\alpha</math>をなす弦の<math>X</math>ではない点を<math>A</math>、角<math>\beta</math>のある点を<math>B</math>とする。 **::<math>\angle\mathrm{XOA}</math>は、<math>\angle\mathrm{XBA}</math>を円周角とする中心角なので、<math>\angle\mathrm{XOA} = 2\beta</math> **::<math>\triangle{XOA}</math>は、<math>OX=OA</math>である二等辺三角形。したがって、<math>\angle\mathrm{OXA} = \angle\mathrm{OAX}</math> **::<math>\angle\mathrm{OXA} = \frac{\pi-2\beta}{2} = \frac{\pi}{2}-\beta</math> **::<math>X</math>において、<math>OX</math>と接線は直角をなしているから、接線と弦の作る角<math>\alpha = \frac{\pi}{2}-\angle\mathrm{OXA} = \frac{\pi}{2}- \left( \frac{\pi}{2}-\beta \right) = \beta</math> ==== 方冪の定理 ==== * 点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点<math>A,B</math>と2点<math>C,D</math>で交わっているとき(図1、図2): *:<math>PA \cdot PB = PC \cdot PD</math> * 円外の点<math>P</math>を通る2本の直線の一方が点<math>T</math>で円に接し、他方が2点<math>A,B</math>で交わっているとき(図3): *:<math>PA \cdot PB = PT^2</math> {| |[[image:houbeki 001.svg|thumb|200px|方べきの定理・図1]] |[[image:houbeki 003.svg|thumb|200px|方べきの定理・図2]] |[[image:houbeki 005.svg|thumb|200px|方べきの定理・図3]] |} (参考) [[高等学校数学A/図形の性質#方冪の定理|方冪の定理]] ====扇形==== *半径r、中心角θ[rad]の扇形について、 **弧の長さ：<math>l = \theta r</math> **弦の長さ：<math>\mathrm{crd} \, \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2}</math> **:<math>\because \mathrm{crd} \, \theta = \sqrt{\sin^2 \theta + \mathrm{versin}^2 \, \theta}</math> **::<math>= \sqrt{\sin^2 \theta + (1-\cos \theta)^2}</math> **::<math>= \sqrt{2 - 2 \cos \theta}</math> **::<math>= \sqrt{4 \cdot \frac{1 - \cos \theta}{2}}</math> **::<math>= \sqrt{4 \sin^2 \frac{\theta}{2}}</math> **::<math>= 2 \sin \frac{\theta}{2}</math> == 立体図形 == * 縦の長さ''a''、横の長さ''b''、高さ''h'' の直方体の対角線 ''l''： *:<math>l = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}</math> * 底面の半径を''r''、母線の長さ ''l''の円錐の高さ ''h''： *:<math>h = \sqrt{l^2 - r^2}</math> * 凸面体の頂点の数を''v''、辺の数を''e''、面の数を''f''とすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理): *:<math>v - e + f = 2</math> == 面積と体積 == === 平面図形の面積 === ''解説は[[/平面図形|こちらのページ]]をご覧ください'' * 三角形 ** 底辺のながさ <math>a</math>、高さ <math>h</math> の三角形の面積 <math>S</math>： **:<math>S = {1\over 2}ah </math> ** 二辺のながさが <math>a</math>, <math>b</math> でその間の角が ''&theta;'' である三角形の面積 <math>S</math>： **:<math>S = \frac{1}{2}ab\sin \theta </math> ** ある辺のながさが <math>a</math> でその両端の角が ''&theta;'', ''&delta;'' である三角形の面積 <math>S</math>： **:<math>S = \frac{a^2\sin \theta\sin \delta}{2\sin (\theta+\delta)}</math> **::※上記「[[#正弦定理の応用|正弦定理の応用]]」で、底辺と両端の角から高さが求められることを利用。 ** 三辺のながさが <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> で内接する円の半径が <math>r</math> である三角形の面積 <math>S</math>： **:<math>S = \frac{1}{2}r(a+b+c) </math> ** 三辺のながさが <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> で外接する円の半径が <math>R</math> である三角形の面積 <math>S</math>： **:<math>S = \frac{abc}{4R} </math> ** <span id="ヘロンの公式"/>三辺のながさが <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> である三角形の面積 <math>S</math>:（ヘロンの公式） **:<math>S = \sqrt{ \frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}}</math> **:また、<math>s=\frac{a + b + c}{2} </math> とすると、<math>S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} </math> **:*内接円の半径を <math>r</math> とすると、三角形の面積 <math>S = sr = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} </math> **:*:従って、 <math>r = \sqrt{ \frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{s}} </math> **:*外接円の半径を <math>R</math> とすると、三角形の面積 <math>S = \frac{abc}{4R} </math> から <math>R = \frac{abc}{4S} </math> **:*:従って、 <math>R = \frac{abc}{4\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}} </math> **:*上2式から、<math>rR = \frac{abc}{2(a+b+c)}</math> ** 一辺のながさ <math>a</math> の正三角形の面積 <math>S</math>： **:<math>S = {\sqrt{3}\over 4}a^2 </math> [[File:Midsquare quadrilateral.svg|right|200px|thumb|直交対角線四角形]] [[File:Midsquare kite.svg|right|200px|thumb|凧形]] * 四角形 ** 縦のながさ <math>a</math>、横のながさ <math>b</math> の長方形の面積 <math>S</math>： **:<math>\displaystyle S = ab </math> ** 一辺のながさ <math>a</math> の正方形の面積 <math>S</math>： **:<math>\displaystyle S = a^2 </math> ** 底辺のながさ <math>a</math>、高さ <math>h</math> の平行四辺形の面積 <math>S</math>： **:<math>\displaystyle S = ah </math> ** 上底のながさ <math>a</math>、下底のながさ <math>b</math>、高さ <math>h</math> の台形の面積 <math>S</math>： **:<math>S = {1\over 2}(a+b)h </math> ** 対角線のながさ <math>a</math>、もう一つの対角線のながさ <math>b</math> でそれらが直行する四角形([[w:直交対角線四角形|直交対角線四角形]] ⊃ 凧形・菱形・正方形）の面積 <math>S</math>： **:<math>S = {1\over 2}ab </math> ** 四辺の長さが<math>a,b,c,d</math>で円に内接する四角形の面積<math>S</math>:（ブラーマグプタの公式） **:<math>S=\sqrt{\frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)}{16}}</math> **:また、<math>s = \frac{a + b + c + d}{2} </math> とすると、<math>S = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} </math> * 正多角形 ** 一辺のながさ <math>a</math> の正<math>n</math>角形の面積 <math>S</math>: **:<math>S = \frac{n a^2}{4 \tan{\frac{\pi}{n}} }</math> ** 中心（重心、外心、内心）から各角までのながさ <math>r</math> である正<math>n</math>角形の面積 <math>S</math>: **:<math>S = \frac{n r^2}{2} \sin{\frac{2\pi}{n}}</math> **:*なお、このような正<math>n</math>角形の周の長さは、<math>2 r n \sin \frac{\pi}{n} </math> である。 * 円と扇形 ** 半径 <math>r</math> の円の面積 <math>S</math>： **:<math>S = \pi r^2 </math> ** 半径 <math>r</math> 、中心角<math>a</math>（度）の扇形の面積<math>S</math>: **:<math>S = \frac{a}{360} r^2 \pi </math> ** 半径 <math>r</math> 、中心角 ''&theta;(rad)'' の扇形の面積 <math>S</math>: **:<math>S = \frac{1}{2} \theta r^2 </math> ** 半径 <math>r</math> 、弧の長さ<math>l</math>の扇形の面積 <math>S</math>： **:<math>S = \frac{1}{2} rl </math> === 立体図形の表面積等 === ''解説は[[/表面積|こちらのページ]]をご覧ください'' * 縦のながさ <math>a</math>、横のながさ <math>b</math>、高さ <math>h</math> の直方体の表面積 <math>S</math>： *:<math>S = 2(ab + bh + ah) </math> ** 底面積 <math>b</math>： **:<math>B = 2ab </math> ** 側面積 <math>a</math>： **:<math>A = 2h(a + b) </math> * 一辺のながさ <math>a</math> の立方体の表面積 <math>S</math>： *:<math>S = 6a^2</math> * 底面の周の長さ <math>l</math>、高さ <math>h</math> の柱体の側面積 <math>L</math>： *:<math>L = lh</math> [[File:Cone rhL.jpg|right|200px|thumb|円錐]] *円錐 ** 底面が半径 <math>r</math>、母線 <math>L</math> の円錐： **:側面積 <math>S_l = \pi rL</math> **:表面積 =　側面積 + 底面積 <math> = \pi rL + \pi r^2 = \pi r (L+r)</math> ** 底面が半径 <math>r</math>、高さ <math>h</math> の円錐： **:母線 <math>R = \sqrt{r^2+h^2} </math> **:側面積 <math>L = \pi r \sqrt{r^2+h^2}</math> **:表面積 =　側面積 + 底面積 <math> = \pi r \sqrt{r^2+h^2} + \pi r^2 = \pi r ( \sqrt{r^2+h^2} + r)</math> {{-}} [[File:2D-simplex.svg|right|200px|thumb|3直角四面体]] *直角三角錐(3直角四面体) *:三角錐<math>OABC</math>において，1つの頂点<math>O</math>に集まる3つの角 <math>\angle AOB</math> ， <math>\angle BOC</math> ， <math> \angle COA</math> がいずれも直角である三角錐 *:* 以下、<math>OA=a, OB=b, OC=c</math>とする。 *:*:頂点<math>O</math>から、<math>\triangle ABC</math>に下した垂線の長さ<math>h</math>; *:*::<math>h = \frac {abc}{ \sqrt {a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}}</math> *:*:<math>\triangle ABC</math>の面積<math>S</math>; *:*::<math>S = \frac { \sqrt {a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}}{2}</math> *:*:::[[w:ド・グアの定理|ド・グアの定理]](通称:四平方の定理) {{-}} * 半径<math>r</math>の球の表面積<math>S</math>: *:<math>S = 4 \pi r^2 </math> [[File:Spherical cap diagram.tiff|thumb|200px|青で示された部分が球冠の一例である。]] * [[w:球冠|球冠]]（平面により切断された球の一部）の曲面部の表面積<math>S</math>: *:関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。 *:* 球の半径 <math>r</math> *:* 球冠の底の半径 <math>a</math> *:* 球冠の高さ <math>h</math> *:* 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の[[w:球面座標系|極角]] <math>\theta</math> *# <math>r</math> と <math>h</math> を用いて、 *#:<math>S = 2 \pi r h</math> *# <math>a</math> と <math>h</math> を用いて、 *#:<math>S =\pi (a^2 + h^2)</math> *# <math>r</math> と <math>\theta</math> を用いて、 *#: <math>S=2 \pi r^2 (1-\cos \theta)</math> {{-}} [[File:LaoHaiKugelschicht1.png|thumb|球台]] * [[w:球台|球台]]（球を1対の平行な平面で切断した立体/先端が切り取られた球冠）の曲面部（球帯）の表面積<math>S</math>: *:関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。 *:* もとの球の半径 <math>R</math> *:* 球台の底の半径 <math>r_1, r_2</math> *:* 球台の高さ（2つの平行な底面間の距離） <math>h</math> *# <math>R</math> と <math>h</math> を用いて、 *#:<math>S = 2 \pi R h</math> *# <math>R</math> と <math>r_1, r_2</math> を用いて、 *## 球を切断する平行な2平面の外に球の中心がある場合 *##:<math>S = 2 \pi R \left( \sqrt{R^2 - {r_2}^2} - \sqrt{R^2 - {r_1}^2} \right)</math>（ただし、<math>r_1 > r_2</math>） *## 球を切断する平行な2平面の間に球の中心がある場合 *##:<math>S = 2 \pi R \left( \sqrt{R^2 - {r_1}^2} + \sqrt{R^2 - {r_2}^2} \right)</math> {{-}} [[File:Torus-rotations-flaeche-r.svg|right|250px|thumb|円環体・トーラス]] * 半径<math>r</math>の円を、円の中心からの距離<math>R</math>（但し、<math>r</math>　≦　<math>R</math>とする）の直線を軸として回転させた円環体（[[w:トーラス|トーラス]]、ドーナツ型） の表面積: *:<math>S = 4 \pi^2 rR = (2 \pi r) (2 \pi R)</math> {{-}} === 体積 === ''解説は[[/体積|こちらのページ]]をご覧ください'' [[Image:A rectangular parallelepiped.JPG|right|200px|thumb|直方体]] [[File:Cone rhL.jpg|right|200px|thumb|円錐]] [[File:Usech kvadrat piramid.png|right|200px|thumb|錐台]] [[File:Geometric_wedge.png|right|200px|thumb|くさび形]] * 縦のながさ <math>a</math>、横のながさ <math>b</math>、高さ <math>h</math> の'''直方体'''の体積 <math>V</math>： *:<math> V = abh </math> * 一辺のながさ <math>a</math> の'''立方体'''の体積 <math>V</math>： *:<math> V = a^3 </math> * 底面積 <math>S</math>、高さ <math>h</math> の'''柱体'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = Sh </math> * 底面積 <math>S</math>、高さ <math>h</math> の'''錐体'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = \frac{1}{3}Sh </math> **円錐 *** 底面が半径 <math>r</math>、高さ <math>h</math> の円錐の体積 <math>V</math>： ***:<math>V = \frac{1}{3}\pi r^2 h </math> *** 底面が半径 <math>r</math>、母線 <math>L</math> の円錐の体積 <math>V</math>： ***:高さ <math>h = \sqrt{L^2-r^2} </math> ***:<math>V = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{L^2-r^2} </math> * 上底の面積 <math>S</math>、下底の面積 <math>S</math>、高さ <math>h</math> の'''錐台'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = \frac h 3 (s + \sqrt{s S} + S) </math> ** 特に、上底が半径<math>r_1</math>の円、下底が半径<math>r_2</math>の円、高さ <math>h</math> の'''円錐台'''の体積 <math>V</math>： **:<math>V = \frac {h \pi}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) </math> * 下底が 縦のながさ <math>a</math>、横のながさ <math>b</math>の長方形、縦と平行である上辺のながさ <math>c</math>、高さ <math>h</math> の'''くさび形'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right) </math> * 一辺のながさ <math>a</math> の'''正四面体'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = {\sqrt{2}\over 12}a^3 </math> * 一辺のながさ <math>a</math> の'''正八面体'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = {\sqrt{2}\over 3}a^3 </math> * 一辺のながさ <math>a</math> の'''正十二面体'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = {15 + 7\sqrt{5}\over 4}a^3 </math> * 一辺のながさ <math>a</math> の'''正二十面体'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = {5( 3 + \sqrt{5} )\over 12}a^3 </math> *'''球'''の体積 <math>V</math>： *:<math>V = {4\over 3}\pi r^3 </math> [[File:Spherical cap diagram.tiff|thumb|200px|青で示された部分が球冠の一例である。]] * [[w:球冠|球冠]]（平面により切断された球の一部）の体積<math>V</math>: *:関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。 *:* 球の半径 <math>r</math> *:* 球冠の底の半径 <math>a</math> *:* 球冠の高さ <math>h</math> *:* 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の[[w:球面座標系|極角]] <math>\theta</math> *# <math>r</math> と <math>h</math> を用いて、 *#:<math>V = \frac {\pi h^2}{3} (3r-h)</math> *# <math>a</math> と <math>h</math> を用いて、 *#:<math>V = \frac{1}{6}\pi h (3a^2 + h^2)</math> *# <math>r</math> と <math>\theta</math> を用いて、 *#: <math>V = \frac{\pi}{3} r^3 (2+\cos\theta) (1-\cos\theta)^2 </math> {{-}} [[File:LaoHaiKugelschicht1.png|thumb|球台]] * [[w:球台|球台]]（球を1対の平行な平面で切断した立体/先端が切り取られた球冠）の体積<math>V</math>: *:関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。 *:* もとの球の半径 <math>R</math> *:* 球台の底の半径 <math>r_1, r_2</math> *:* 球台の高さ（2つの平行な底面間の距離） <math>h</math> *:　 *: <math>V = \frac{\pi h}{6} \left(3 {r_1}^2 + 3 {r_2}^2 + h^2\right).</math> {{-}} [[File:Torus-rotations-flaeche-r.svg|right|250px|thumb|円環体・トーラス]] * 半径<math>r</math>の円を、円の中心からの距離<math>R</math>（但し、<math>r</math>　≦　<math>R</math>とする）の直線を軸として回転させた円環体（[[w:トーラス|トーラス]]、ドーナツ型） の体積: *:<math>V = 2 \pi^2 r^2 R = (\pi r^2) (2 \pi R)</math> {{-}} == ベクトル == [[File:Vector from A to B.svg|150px|thumb|ベクトル<math>\overrightarrow{AB}</math>]] :平面上または空間で大きさと向きをもつ量を'''ベクトル'''という<ref>広義には、多次元の要素を持つ存在（entity）を指し、本文のものは幾何ベクトル・空間ベクトルというが、初等数学においてはこの理解で足りる。</ref>。 :ベクトルが点<math>A</math>から点<math>B</math>に向かう有向線分で表されるとき，このベクトルを<math>\overrightarrow{AB}</math>と書き，<math>A</math>を'''始点'''，<math>A</math>を'''終点'''という。 :ベクトルであることを示すのに、<math>\vec{a}, \vec{x}</math>などと表記することもある。 :ベクトルの大きさは、<math>|\vec{a}|</math>と表記する。 :<math>\vec{a}</math>と大きさが同じで向きが逆のベクトルを'''逆ベクトル'''といい、<math>-\vec{a}</math>と表記する。 ::<span id="逆ベクトル"/>始点終点による表記<math>\overrightarrow{AB}</math>を<math>\vec{a}</math>とすると、<math>-\vec{a} = \overrightarrow{BA}</math>となる。 :大きさ<math>0</math>のベクトルを'''零ベクトル'''（ゼロベクトル）といい、<math>\vec{0}</math>と表記する。 :大きさ<math>1</math>のベクトルを'''単位ベクトル'''といい、しばしば、<math>\vec{e}</math>と表記される。<math>\vec{a}</math>の単位ベクトルは、<math>\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}</math>である。 ===ベクトルの演算=== ;加法 [[File:Somme vecteurs boutabout.png|thumb|200px|三角形における理解]] :<math>\bigtriangleup{ABC}</math>において、<math>\overrightarrow{AB}</math>の終点<math>B</math>を始点として<math>\overrightarrow{BC}</math>を引くと、<math>\overrightarrow{AC}</math>となる。 :これを、 :<math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}</math> :として、ベクトルの加法を定義する。 {{-}} [[File:Vecteurs somme.png|thumb|200px|ベクトルの加法]] :これは、ベクトル<math>\vec{u}</math>の終点をベクトル<math>\vec{v}</math>の始点とし、<math>\vec{u}</math>の始点から<math>\vec{v}</math>の終点までの有向線分を<math>\vec{u} + \vec{v}</math>と理解する方法であるが、各ベクトルの始点を一致させた平行四辺形の対角線をベクトルの和と理解する方法もある。 {{-}} :以上の定義により、 :<math>\vec{a}</math>と逆ベクトル:<math>-\vec{a}</math>の和は<math>\vec{0}</math>、すなわち、<math>\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}</math>である。 ;減法 [[File:Vector subtraction (new).svg|thumb|200px|ベクトルの減法]] :上記<math>\bigtriangleup{ABC}</math>において、<math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}</math>が成立していた。 :ここで、通常の計算と同様の方法で<math>\overrightarrow{BC}</math>を移項すると、<math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} </math>-① ::[[#逆ベクトル|逆ベクトル]]の定義から、<math>-\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB} </math> :(①の右辺)<math>= \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AB}</math> となり、①は成立し移項が可能であることが分かった。 {{-}} ;実数倍（スカラー倍） [[File:Scalar multiplication of vectors2.svg|thumb|right|200px|実数倍（スカラー倍）の例]] :実数<math>m</math>について、ベクトル<math>m\vec{a}</math>を以下のとおり定義する。 :#<math>m > 0</math>の時、<math>m\vec{a}</math>は、<math>\vec{a}</math>と方向が同じで、大きさが<math>m|\vec{a}|</math>であるベクトル。 :#<math>m < 0</math>の時、<math>m\vec{a}</math>は、<math>\vec{a}</math>と方向が逆で、大きさが<math>m|\vec{a}|</math>であるベクトル。 :#<math>m = 0</math>の時、<math>m\vec{a}</math>は、<math>\vec{0}</math>。 {{-}} ====1次独立==== :以下、それぞれ、零ベクトルではないベクトル<math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math>について、 :　 :<math>\vec{a},\vec{b}</math>について、<math>\vec{a} \neq k\vec{b}</math>（<math>k</math>は実数）であるとき、<math>\vec{a},\vec{b}</math>は一次独立であるといい、 :<math>p\vec{a} + q\vec{b} =\vec{0}</math>ならば、<math>p = q = 0</math> が成立する。 :したがって、<math>\vec{a},\vec{b}</math>が一次独立であるとき、 :<math>m\vec{a} + n\vec{b} = p\vec{a} + q\vec{b}</math>ならば、<math>m = p</math>かつ<math>n = q</math> である。 :逆に、<math>\vec{a},\vec{b}</math>について、<math>pq \neq 0</math>であるとき、<math>p\vec{a} + q\vec{b} =\vec{0}</math>ならば、<math>\vec{a},\vec{b}</math>は一次独立である。 :　 :三次元空間においても、<math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math>が同一平面上にないとき、<math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math>は一次独立であり、 :<math>p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c} =\vec{0}</math>ならば、<math>p = q = r = 0</math> が成立する。 :逆に、<math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math>について、<math>pqr \neq 0</math>であるとき、<math>p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{b} =\vec{0}</math>ならば、<math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math>は一次独立であり、同一平面上にない。 ====ベクトルの成分表示==== :ベクトル<math>\vec{a}</math>について、平面空間であれば2個の単位ベクトル<math>\vec{x}=(1,0), \vec{y}=(0,1)</math>、三次元空間であれば3個の単位ベクトル<math>\vec{x}=(1,0,0), \vec{y}=(0,1,0), \vec{z}=(0,0,1)</math>を用いて以下のとおり表現できる。これを、ベクトルの成分表示といい、各々の要素を、<math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分という。 :*平面ベクトル:<math>\vec{a} = p\vec{x} + q\vec{y} = (p,q)</math> :*三次元空間ベクトル:<math>\vec{a} = p\vec{x} + q\vec{y} + r\vec{z} = (p,q,z)</math> ;成分表示でのベクトル演算 :成分表示でのベクトル演算は、各々の成分に対しておこなう ::<math>\vec{a}=(a_x,a_y), \vec{b}=(b_x,b_y)</math>とすると、 ::;加減算 :::<math>\vec{a} \pm \vec{b} = (a_x \pm b_x , a_y \pm b_y)</math> ::;実数倍（スカラー倍） :::<math>m\vec{a} = (m a_x , m a_y)</math> ::;ベクトルの大きさ :::<math>|\vec{a}| = \sqrt{ a_x^2 + a_y^2 }</math> === 位置ベクトル === 以下に挙げる公式で平面ベクトルで成り立つものは、三次元空間ベクトルでも成り立つ（平面ベクトルは、三次元空間ベクトルの <math>z</math> 成分を<math>0</math> としたもの）。 *位置ベクトル:<math>\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b}, \overrightarrow{OC}=\vec{c}, \overrightarrow{OP}=\vec{p}</math>とする時、 **点<math>P</math>が、線分<math>AB</math>を<math>m:n</math>に内分するならば、<math>\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m+n}</math> ***特に、線分<math>AB</math>の中点を<math>M</math>とし、<math>\overrightarrow{OM}=\vec{m}</math>とすると、<math>\vec{m} = \frac{ \vec{a} + \vec{b}}{2}</math> ***<math>\triangle{ABC}</math>において、その重心<math>G</math>について、<math>\overrightarrow{OG}=\vec{g}</math>とすると、<math>\vec{g} = \frac{ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}</math> **点<math>P</math>が、線分<math>AB</math>を<math>m:n</math>に外分するならば、<math>\vec{p} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m-n}</math> **点<math>P</math>が、2点<math>A, B</math>を通る直線上の点とした時のベクトル方程式: <math>\vec{p} = (1-t) \vec{a} + t \vec{b}</math> **点<math>P</math>が、空間上の3点<math>A, B, C</math>を通る平面上の点とした時のベクトル方程式: <math>\vec{p} = (1-s-t) \vec{a} + s \vec{b} + t \vec{c}</math> ====三角形の5心のベクトル表示==== :三角形の五心（重心、内心、傍心、外心、垂心）の位置ベクトル <math>\vec{p}</math> は、頂点の位置ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> を用いて、 :一般式:<math>\vec{p} = \frac{w_{\text{A}} \vec{a} + w_{\text{B}} \vec{b} + w_{\text{C}} \vec{c}}{w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}}}</math>で表される。ここで <math>w_{\text{A}}, w_{\text{B}}, w_{\text{C}}</math> は重みである。 ::なお、<math>a = |\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c=|\vec{c}|</math>とし、三角形の面積を<math>S \left( 4S = \sqrt{ (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) } \right)</math>とする^{[[#ヘロンの公式|※]]}。 ;<span id="重心ベクトル"/>[[#重心|重心]] :<math>\vec{g} = \frac{ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}</math> ::<math>w_{\text{A}} = 1, w_{\text{B}} = 1, w_{\text{C}} = 1, w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}} = 3</math> ;<span id="内心ベクトル"/>[[#内心|内心]] :<math>\vec{i} = \frac{ a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a+b+c}</math> ::<math>w_{\text{A}} = a, w_{\text{B}} = b, w_{\text{C}} = c, w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}} = a+b+c</math> ;<span id="傍心ベクトル"/>[[#傍心|傍心]] :<math>\vec{e_1} = \frac{ -a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{-a+b+c}</math> ::<math>w_{\text{A}} = -a, w_{\text{B}} = b, w_{\text{C}} = c, w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}} = -a+b+c</math> :<math>\vec{e_2} = \frac{ a\vec{a} - b\vec{b} + c\vec{c}}{a-b+c}</math> ::<math>w_{\text{A}} = a, w_{\text{B}} = -b, w_{\text{C}} = c, w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}} = a-b+c</math> :<math>\vec{e_3} = \frac{ a\vec{a} + b\vec{b} - c\vec{c}}{a+b-c}</math> ::<math>w_{\text{A}} = a, w_{\text{B}} = b, w_{\text{C}} = -c, w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}} = a+b-c</math> ;<span id="外心ベクトル"/>[[#外心|外心]] :<math>\vec{o} = \frac{ \left( a^2(b^2 + c^2 - a^2) \right) \vec{a} + \left( b^2(c^2 + a^2 - b^2) \right) \vec{b} + \left( c^2(a^2 + b^2 - c^2) \right) \vec{c}}{16S^2}</math> ::<math>w_{\text{A}} = a^2(b^2 + c^2 - a^2), w_{\text{B}} = b^2(c^2 + a^2 - b^2), w_{\text{C}} = c^2(a^2 + b^2 - c^2), w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}} = 16S^2</math> ;<span id="垂心ベクトル"/>[[#垂心|垂心]] :<math>\vec{h} = \frac{ \left( a^4 - (b^2 - c^2)^2 \right) \vec{a} + \left( b^4 - (c^2 - a^2)^2 \right) \vec{b} + \left( c^4 - (a^2 - b^2)^2 \right) \vec{c}}{16S^2}</math> ::<math>w_{\text{A}} = a^4 - (b^2 - c^2)^2, w_{\text{B}} = b^4 - (c^2 - a^2)^2, w_{\text{C}} = c^4 - (a^2 - b^2)^2, w_{\text{A}} + w_{\text{B}} + w_{\text{C}} = 16S^2</math> === 内積 === * <math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> の成す角が <math>\theta</math> のとき *:<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math>（内積の定義） *:*成分表示 *:*:平面ベクトルの場合、<math>\vec{a}=(a_x,a_y)</math>, <math>\vec{b}=(b_x,b_y)</math>とすると、 *:*::<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = a_xb_x + a_yb_y </math> *:*:空間ベクトルの場合、<math>\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, <math>\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)</math>とすると、 *:*::<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z</math> * <math>\vec{a}\ne\vec{0}</math>, <math>\vec{b}\ne\vec{0}</math>のとき、 *:<math>\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0</math> * <math>\overrightarrow{OA}=\vec{a}</math>, <math>\overrightarrow{OB}=\vec{b}</math>, ''O'' は原点とするときの三角形 ''OAB'' の面積 <math>S</math>： *:<math>S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> *::<math>\because</math> <math>S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta =\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \cos ^2 \theta } </math>、ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> *:::与式に代入して、<math>S= \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> *:*成分表示 *:*:平面ベクトルの場合:<math>\vec{a}=(a_x,a_y)</math>, <math>\vec{b}=(b_x,b_y)</math>とすると、 *:*::<math>S=\frac{1}{2}|a_xb_y-a_yb_x| </math> *:*:空間ベクトルの場合、<math>\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, <math>\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)</math>とすると、 *:*::<math>S=\frac{1}{2}\sqrt{(a_y b_z - b_y a_z)^2+(a_z b_x - b_z a_x)^2+(a_x b_y - b_x a_y)^2}</math> * 二つのベクトル <math>\vec{x}</math>, <math>\vec{y}</math> に対し、 *: <math>(\vec{x}\cdot\vec{y})^2+|\vec{x}|^2\left|\vec{y}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|^2}\vec{x}\right|^2 = |\vec{x}|^2|\vec{y}|^2 </math> : よって、 :: <math>|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq |\vec{x}||\vec{y}| </math> : 等号成立は、実数 ''k'' があって <math>\vec{y} = k\vec{x}</math> とできるときのみ。 == 複素数平面 == 複素数の実部を横軸、虚部を縦軸にとった平面を'''複素数平面'''（複素平面、ガウス平面）、横軸を'''実軸'''、縦軸を'''虚軸'''という。 <math>z = a+bi</math>を複素数平面上にプロットした点<math>\mathrm{A}(a, b)</math>について、点<math>\mathrm{A}(z)</math>や点<math>z</math>のように表記する。<math>\cos\theta+i\sin\theta</math>を<math>\mathrm{cis}\,\theta</math>と略す。 *ベクトルとの対応 **複素数平面を単なる実数平面と考えれば、<math>\mathrm{A}(z)</math>は<math>\mathrm{A}(\vec{a})</math>と対応するので、<math>z = a+bi \iff \vec{a} = \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}</math> **<math>z=a+bi</math>の絶対値<math>|z|</math>は原点を基準としたときの位置ベクトル<math>\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}</math>の長さと考えて<math>|z| = \sqrt{a^2+b^2}</math> **3点<math>\mathrm{O}, \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta)</math>が一直線上にある<math>\iff \beta = k \alpha</math>となる実数<math>k</math>が存在する。 *<math>\alpha = a+bi, \beta = c+di</math>に対して、 **点<math>\alpha+\beta</math>は点<math>\alpha</math>を実軸方向にc、虚軸方向にdだけ平行移動した点 **点<math>\alpha-\beta</math>は点<math>\alpha</math>を実軸方向に-c、虚軸方向に-dだけ平行移動した点 **点<math>\alpha</math>と点<math>\beta</math>の距離は<math>|\beta-\alpha|</math> *:一つ目の平行移動は「<math>\beta</math>だけ平行移動」、二つ目の平行移動は「<math>\beta</math>だけ平行移動」と表すこともできる。 *:<math>\vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}</math>と見ればこれはベクトルの加減法そのものである。 *<math>z = a+bi</math>の共軛複素数<math>\bar{z}</math>に対して、 **<math>\bar{z} = a - bi</math> **点<math>\bar{z}</math>は点<math>z</math>を実軸に関して対称移動した点 **<math>z \bar{z} = a^2+b^2 = |z|^2</math> **<math>a=\frac{z+\bar{z}}{2}</math> **<math>b=\frac{z-\bar{z}}{2i}</math> *絶対値の性質 **<math>|z| = |-z| = |\bar{z}| = |-\bar{z}| </math> **<math>|\alpha + \beta| \leqq |\alpha| + |\beta|</math>（<math>\because \;</math>[[初等数学公式集/初等代数#絶対不等式|CS不等式]]。[[w:三角不等式]]も参照。） **<math>|\alpha\beta| = |\alpha| |\beta|</math> **<math>|\frac{\alpha}{\beta}| = \frac{|\alpha|}{|\beta|}</math> *複素共軛の性質 **<math>\overline{(\bar{z})} = z</math> **<math>z</math>が実数<math>\iff \bar{z} = z</math> **<math>z</math>が純虚数<math>\iff \bar{z} = -z \; (z \neq 0)</math> **<math>\overline{\alpha \pm \beta} = \bar{\alpha} \pm \bar{\beta}</math>（複号同順） **<math>\overline{\alpha \beta} = \bar{\alpha} \bar{\beta}</math> **<math>\overline{( \frac{\alpha}{\beta})} = \frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}}</math> **<math>\overline{(z^n)} = (\bar{z})^n</math> *複素数の極形式 **偏角を<math>\theta</math>とすると<math>z = r \mathrm{cis}\,\theta</math> **<math>\theta = \arg z</math> **<math>r = |z|</math> *<math>\alpha = r\mathrm{cis}\,\theta, \beta = \rho \mathrm{cis}\,\phi</math>とすると、 **<math>\alpha \beta = r \rho \mathrm{cis}\,(\theta+\phi)</math> **<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{r}{\rho} \mathrm{cis}\,(\theta-\phi)</math> *ド・モアブルの定理 **<math>\mathrm{cis}^n\,\theta = \mathrm{cis}\,n\theta = e^{in\theta}</math> **<math>z^n = r^n \mathrm{cis}\,n\theta</math> *n乗根 **<math>(z_k)^n = 1 \iff z_k = \mathrm{cis}\,\frac{2k\pi}{n}</math>（<math>\mathbb{Z} \ni k \in [0, n-1]</math>） **:各<math>z_k</math>は単位円周上に点<math>1</math>を頂点の一つとする正n角形を描く。 **<math>(\zeta_k)^n = z \iff \zeta_k = \sqrt[n]{|z|}\; \mathrm{cis}\,\frac{\arg z + 2k\pi}{n}</math>（<math>\mathbb{Z} \ni k \in [0, n-1]</math>） **:各<math>\zeta_k</math>は原点を中心とする正n角形を描く。 以下、点<math>\mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma)</math>で考える。 *内分・外分 **<math>\mathrm{C}</math>が線分<math>\mathrm{AB}</math>を<math>m:n</math>に内分<math>\iff \gamma = \frac{n\alpha+m\beta}{m+n}</math> **<math>\mathrm{C}</math>が線分<math>\mathrm{AB}</math>を<math>m:n</math>に外分<math>\iff \gamma = \frac{-n\alpha+m\beta}{m-n}</math> **:位置ベクトル・座標それぞれの公式に一致する。 *中点・重心 **<math>\mathrm{C}</math>が線分<math>\mathrm{AB}</math>の中点<math>\iff \gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}</math> **<math>\triangle \mathrm{ABC}</math>の重心を表す点<math>G(\eta)</math>について、<math>\eta = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}</math> *二直線のなす角 **<math>\angle \mathrm{BAC} = \arg \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}</math>（半直線<math>\mathrm{AB}</math>を始線、<math>\mathrm{AC}</math>を動径とみた正方向（左回転）の回転角） **<math>\mathrm{A, B, C}</math>が同一直線上<math>\iff \arg \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = 0, \pi \iff \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}</math>が実数 **<math>\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC} \iff \arg \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \iff \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}</math>が純虚数 **4点<math>\mathrm{A, B, C, D}</math>が同一円周上にある<math>\iff \frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\div\frac{\beta-\delta}{\alpha-\delta}\in\mathbb{R}</math> *方程式の表す図形 **<math>|z-\alpha|=r</math>を満たす点zの集合は、点<math>\alpha</math>を中心とする半径<math>r</math>の円。 **:円のベクトル方程式の複素数表示。 **<math>|z-\alpha|=|z-\beta|</math>を満たす点zの集合は、2点<math>\mathrm{A, B}</math>を通る線分の垂直二等分線。 **<math>m|z-\alpha|=n|z-\beta| (m \neq n)</math>を満たす点zの集合は、<math>\mathrm{AB}</math>を<math>m:n</math>に内分する点、外分する点をそれぞれ直径の両端に持つ'''アポロニウスの円'''。 **<math>\bar{\lambda}z+\lambda\bar{z}+c=0 \quad(\lambda \in \mathbb{C}, c \in \mathbb{R})</math>を満たす点<math>z</math>の集合は、直線。 **<math>mz\bar{z}+\bar{\nu}z+\nu\bar{z}+l=0\quad(m \in \mathbb{R}_{\neq0}, l \in \mathbb{R}, \nu \in \mathbb{C})</math>を満たす点<math>z</math>の集合は、 **:<math>|\nu|^2>ml</math>のとき点<math>-\frac{\nu}{m}</math>を中心とする半径<math>\frac{\sqrt{|\nu|^2-ml}}{|m|}</math>の円。 **:<math>|\nu|^2=ml</math>のとき点<math>-\frac{\nu}{m}</math>。 **:<math>|\nu|^2<ml</math>のとき半径<math>\frac{\sqrt{|\nu|^2-ml}}{|m|}i</math>の虚円。 *回転移動 *<math>\beta = (\mathrm{cis}\theta) \alpha \iff</math>点<math>\mathrm{B}</math>は点<math>\mathrm{A}</math>を原点中心に<math>\theta</math>だけ回転した先の点。 *複素数と行列 **<math>z = a + bi</math>は<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}</math>に対応する。 **:上の回転移動の例では、<math>\theta</math>回転を表す回転行列が<math>\mathbf{R}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}</math>であることから、これが<math>\mathrm{cis}\,\theta</math>に対応することがわかる。 == 脚注 == <references/> {{DEFAULTSORT:しよとうすうかくこうしきしゆう 01しよとうきか}} [[Category:普通教育]] [[Category:数学教育]] [[Category:初等数学公式集|きか]] im8dwnrmnywfbzku9ln29uqeoboyhtd 0 36598 298500 298472 2026-04-18T03:50:47Z Kwawe 68789 298500 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>高等学校日本史探究 　高等学校日本史探究のページです。{{進捗状況}}　本ページの目次と項目の配列は、実教出版株式会社の新課程教科書「[https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/23010423 日本史探究]」（日探702・日探007-901）に合わせて作成しています。文章の配列も原則上記教科書会社さんに従いました。学習指導要領に定められた日本史探究の標準単位数は'''３単位です。''' ※本ページは大学の二次試験まで対応させるため、日本史探究の完成時期は未定です。当面の間は日本史Ｂを参照して下さい。 == 第１部　原始・古代の日本と東アジア == INTRODUCTION === 第１章　日本文化のあけぼの === # [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅰ|日本列島最古の文化Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-09-21}}（人類の誕生と日本列島への居住） # [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅱ|日本列島最古の文化Ⅱ]]{{進捗|100%|2024-10-01}}（日本の旧石器時代） # [[高等学校日本史探究/縄文時代の社会と文化|縄文時代の社会と文化]]{{進捗|00%|2023-11-11}} # 弥生時代の社会と文化Ⅰ{{進捗|00%|2023-11-11}} # 弥生時代の社会と文化Ⅱ{{進捗|00%|2023-11-11}} === 第２章　ヤマト政権の成立と古墳文化 === # 小国の分立と邪馬台国{{進捗|00%|2023-11-11}} # 古墳の出現とヤマト政権の成立{{進捗|00%|2023-11-11}} # ヤマト政権の展開と統治の進展{{進捗|00%|2023-11-11}} # 古墳時代の生活と文化{{進捗|00%|2023-11-11}} === 第３章　律令国家の形成 === # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅰ|古代国家の形成Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-11-18}}（６世紀の朝鮮半島と倭～７世紀の東アジアと倭国） # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅱ|古代国家の形成Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-02-01}}（大化の改新～東北遠征と白村江の戦い） # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅲ|古代国家の形成Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-02-11}}（近江朝廷と壬申の乱～天武・持統期の政治改革） # [[高等学校日本史探究/飛鳥文化・白鳳文化|飛鳥文化・白鳳文化]]{{進捗|100%|2024-11-06}} # [[高等学校日本史探究/律令制度|律令制度]]{{進捗|100%|2025-06-03}}（大宝律令の官制～土地・人民の支配制度） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅰ|奈良時代の政治Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-07-21}}（遣唐使派遣と平城京遷都） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅱ|奈良時代の政治Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-11-22}}（奈良時代初期の政策～度重なる遷都と鎮護国家の仏教） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅲ|奈良時代の政治Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-12-21}}（公地公民制の修正～奈良時代後半の政争） # 天平文化 STEP UP 1　[[高等学校日本史探究/奈良時代の人々の暮らし|奈良時代の人々の暮らし]]{{進捗|100%|2026-04-09}}（奈良時代の貴族生活～生活文化の発展と庶民の苦難） === 第４章　古代の国家・社会の変容 === # 律令体制再編期の政治と社会 # 摂関政治の成立と支配体制の転換 # 国風文化 == 第２部　中世の日本と世界 == INTRODUCTION === 第１章　荘園公領制の成立と院政 === ※荘園公領制の成立と院政は２０２７年４月に記述します。 * 荘園公領制の成立と院政Ⅰ * 荘園公領制の成立と院政Ⅱ * 荘園公領制の成立と院政Ⅲ * 荘園公領制の成立と院政Ⅳ === 第２章　中世の国家・社会の展開 === # 鎌倉幕府の成立と朝廷 # 中世に生きる人々 # 蒙古襲来と幕府の衰退 # 鎌倉文化 === 第３章　中世の国家・社会の変容 === # 南北朝の動乱 # 室町幕府の政治と外交 # 室町社会の展開と応仁の乱 # 室町文化 # [[高等学校日本史探究/戦国大名の分国経営Ⅰ|戦国大名の分国経営Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-02-15}}（戦国時代の特質～戦国の争乱） # 戦国大名の分国経営Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（分国経営） # 戦国大名の分国経営Ⅲ{{進捗|00%|2025-02-15}}（都市の発達と町衆～経済の混乱） STEP UP 2　東アジアのなかのアイヌ文化・琉球文化 STEP UP 3　女性と仏教 == 第３部　近世の日本と世界 == INTRODUCTION === 第１章　東アジア世界の変容と天下統一 === # 織豊政権 # 天下統一の完成 # 近世成立期の文化 歴史資料と近世の展望 === 第２章　幕藩体制の成立と展開 === # 幕藩体制の成立 # 貿易の統制と対外関係 # 近世社会のしくみ # 幕府政治の展開 # 経済の発展 # 元禄文化と学芸の発展 STEP UP 4　近世の遊郭 === 第３章　近世の国家・社会の変容 === # 幕藩体制の動揺と幕政の改革 # 欧米列強の接近と天保の改革 # 近世文化の成熟と変容 STEP UP 5　百姓一揆と義民物語 == 第４部　近現代の地域・日本と世界 == INTRODUCTION（近代） === 第１章　開国から倒幕へ === 歴史資料と近代の展望 === 第２章　明治維新 === # 明治維新 # 文明開化 === 第３章　近代国家の形成 === # 立憲国家への道 # 議会政治の展開と日清・日露戦争 # 産業革命と社会の変化 # 近代文化の形成と展開 STEP UP 6　日露戦争のアジアへの影響 === 第４章　両大戦間の日本 === # 第一次世界大戦 # 政党政治の展開 # 市民文化の展開 STEP UP 7　近代日本の「食」と米 === 第５章　十五年戦争と日本 === # 満洲事変 # 日中戦争 # アジア・太平洋戦争（太平洋戦争） INTRODUCTION（現代） === 第６章　戦後日本の形成 === # 占領と民主改革 # 独立と日米安保体制の形成 # 高度経済成長下の日本 STEP UP 8　エネルギー革命 === 第７章　グローバル化のなかの現代日本 === # 「国際化」する経済大国Ⅰ{{進捗|00%|2023-00-00}}（ドル＝ショックと石油危機～安定成長への転換まで） # 「国際化」する経済大国Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（経済大国への道と国際化の時代） # 「国際化」する経済大国Ⅲ{{進捗|00%|2023-00-00}}（貿易摩擦とバブル経済～「豊かさ」と社会・生活の変容まで） # [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅠ|新たな世紀の日本へⅠ]]{{進捗|100%|2026-04-10}}（冷戦の終結とグローバル化～湾岸戦争と平和維持活動まで） # 新たな世紀の日本へⅡ{{進捗|00%|2023-09-03}}（政界再編と５５年体制の終結～行政改革と日米安保の変化まで） # [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅢ|新たな世紀の日本へⅢ]]{{進捗|50%|2026-04-17}}（「構造改革」と対テロ戦争～新しい世界を目指してまで） 【STEP UP 9】[[高等学校日本史探究/多文化共生|多文化共生]]{{進捗|100%|2024-09-24}} 現代の日本の課題の探究 == 読書案内・学習方法 == [[高等学校日本史探究/資料出所・読書案内|資料出所・読書案内]] [[カテゴリ:高等学校日本史|探]] mnsuudfy8b1un7ruko4meymafucgvzv 298597 298500 2026-04-18T11:23:48Z Kwawe 68789 /* 第７章　グローバル化のなかの現代日本 */ 298597 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>高等学校日本史探究 　高等学校日本史探究のページです。{{進捗状況}}　本ページの目次と項目の配列は、実教出版株式会社の新課程教科書「[https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/23010423 日本史探究]」（日探702・日探007-901）に合わせて作成しています。文章の配列も原則上記教科書会社さんに従いました。学習指導要領に定められた日本史探究の標準単位数は'''３単位です。''' ※本ページは大学の二次試験まで対応させるため、日本史探究の完成時期は未定です。当面の間は日本史Ｂを参照して下さい。 == 第１部　原始・古代の日本と東アジア == INTRODUCTION === 第１章　日本文化のあけぼの === # [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅰ|日本列島最古の文化Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-09-21}}（人類の誕生と日本列島への居住） # [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅱ|日本列島最古の文化Ⅱ]]{{進捗|100%|2024-10-01}}（日本の旧石器時代） # [[高等学校日本史探究/縄文時代の社会と文化|縄文時代の社会と文化]]{{進捗|00%|2023-11-11}} # 弥生時代の社会と文化Ⅰ{{進捗|00%|2023-11-11}} # 弥生時代の社会と文化Ⅱ{{進捗|00%|2023-11-11}} === 第２章　ヤマト政権の成立と古墳文化 === # 小国の分立と邪馬台国{{進捗|00%|2023-11-11}} # 古墳の出現とヤマト政権の成立{{進捗|00%|2023-11-11}} # ヤマト政権の展開と統治の進展{{進捗|00%|2023-11-11}} # 古墳時代の生活と文化{{進捗|00%|2023-11-11}} === 第３章　律令国家の形成 === # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅰ|古代国家の形成Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-11-18}}（６世紀の朝鮮半島と倭～７世紀の東アジアと倭国） # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅱ|古代国家の形成Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-02-01}}（大化の改新～東北遠征と白村江の戦い） # [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅲ|古代国家の形成Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-02-11}}（近江朝廷と壬申の乱～天武・持統期の政治改革） # [[高等学校日本史探究/飛鳥文化・白鳳文化|飛鳥文化・白鳳文化]]{{進捗|100%|2024-11-06}} # [[高等学校日本史探究/律令制度|律令制度]]{{進捗|100%|2025-06-03}}（大宝律令の官制～土地・人民の支配制度） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅰ|奈良時代の政治Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-07-21}}（遣唐使派遣と平城京遷都） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅱ|奈良時代の政治Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-11-22}}（奈良時代初期の政策～度重なる遷都と鎮護国家の仏教） # [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅲ|奈良時代の政治Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-12-21}}（公地公民制の修正～奈良時代後半の政争） # 天平文化 STEP UP 1　[[高等学校日本史探究/奈良時代の人々の暮らし|奈良時代の人々の暮らし]]{{進捗|100%|2026-04-09}}（奈良時代の貴族生活～生活文化の発展と庶民の苦難） === 第４章　古代の国家・社会の変容 === # 律令体制再編期の政治と社会 # 摂関政治の成立と支配体制の転換 # 国風文化 == 第２部　中世の日本と世界 == INTRODUCTION === 第１章　荘園公領制の成立と院政 === ※荘園公領制の成立と院政は２０２７年４月に記述します。 * 荘園公領制の成立と院政Ⅰ * 荘園公領制の成立と院政Ⅱ * 荘園公領制の成立と院政Ⅲ * 荘園公領制の成立と院政Ⅳ === 第２章　中世の国家・社会の展開 === # 鎌倉幕府の成立と朝廷 # 中世に生きる人々 # 蒙古襲来と幕府の衰退 # 鎌倉文化 === 第３章　中世の国家・社会の変容 === # 南北朝の動乱 # 室町幕府の政治と外交 # 室町社会の展開と応仁の乱 # 室町文化 # [[高等学校日本史探究/戦国大名の分国経営Ⅰ|戦国大名の分国経営Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-02-15}}（戦国時代の特質～戦国の争乱） # 戦国大名の分国経営Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（分国経営） # 戦国大名の分国経営Ⅲ{{進捗|00%|2025-02-15}}（都市の発達と町衆～経済の混乱） STEP UP 2　東アジアのなかのアイヌ文化・琉球文化 STEP UP 3　女性と仏教 == 第３部　近世の日本と世界 == INTRODUCTION === 第１章　東アジア世界の変容と天下統一 === # 織豊政権 # 天下統一の完成 # 近世成立期の文化 歴史資料と近世の展望 === 第２章　幕藩体制の成立と展開 === # 幕藩体制の成立 # 貿易の統制と対外関係 # 近世社会のしくみ # 幕府政治の展開 # 経済の発展 # 元禄文化と学芸の発展 STEP UP 4　近世の遊郭 === 第３章　近世の国家・社会の変容 === # 幕藩体制の動揺と幕政の改革 # 欧米列強の接近と天保の改革 # 近世文化の成熟と変容 STEP UP 5　百姓一揆と義民物語 == 第４部　近現代の地域・日本と世界 == INTRODUCTION（近代） === 第１章　開国から倒幕へ === 歴史資料と近代の展望 === 第２章　明治維新 === # 明治維新 # 文明開化 === 第３章　近代国家の形成 === # 立憲国家への道 # 議会政治の展開と日清・日露戦争 # 産業革命と社会の変化 # 近代文化の形成と展開 STEP UP 6　日露戦争のアジアへの影響 === 第４章　両大戦間の日本 === # 第一次世界大戦 # 政党政治の展開 # 市民文化の展開 STEP UP 7　近代日本の「食」と米 === 第５章　十五年戦争と日本 === # 満洲事変 # 日中戦争 # アジア・太平洋戦争（太平洋戦争） INTRODUCTION（現代） === 第６章　戦後日本の形成 === # 占領と民主改革 # 独立と日米安保体制の形成 # 高度経済成長下の日本 STEP UP 8　エネルギー革命 === 第７章　グローバル化のなかの現代日本 === # 「国際化」する経済大国Ⅰ{{進捗|00%|2023-00-00}}（ドル＝ショックと石油危機～安定成長への転換まで） # 「国際化」する経済大国Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（経済大国への道と国際化の時代） # 「国際化」する経済大国Ⅲ{{進捗|00%|2023-00-00}}（貿易摩擦とバブル経済～「豊かさ」と社会・生活の変容まで） # [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅠ|新たな世紀の日本へⅠ]]{{進捗|100%|2026-04-10}}（冷戦の終結とグローバル化～湾岸戦争と平和維持活動まで） # 新たな世紀の日本へⅡ{{進捗|00%|2023-09-03}}（政界再編と５５年体制の終結～行政改革と日米安保の変化まで） # [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅢ|新たな世紀の日本へⅢ]]{{進捗|75%|2026-04-18}}（「構造改革」と対テロ戦争～新しい世界を目指してまで） 【STEP UP 9】[[高等学校日本史探究/多文化共生|多文化共生]]{{進捗|100%|2024-09-24}} 現代の日本の課題の探究 == 読書案内・学習方法 == [[高等学校日本史探究/資料出所・読書案内|資料出所・読書案内]] [[カテゴリ:高等学校日本史|探]] 0q47cod7itaab71nbtv4710s5osbdzd 0 38303 298498 298480 2026-04-18T03:36:19Z Kwawe 68789 /* 憲法改正論と政権交代 */ 第２次安倍晋三首相の政策などを叙述。 298498 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅢ 　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません<ref>実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。</ref>。そのため、当節は２０２６年４月までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。 == 「構造改革」と対テロ戦争 == [[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、<span style="color:#f29100">'''森喜朗'''</span>が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の<span style="color:#f29100">'''小泉純一郎'''</span>内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。<span style="color:#f29100">'''郵政事業の民営化'''</span>を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記"> ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗 ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎 ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記 </gallery>２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。 [[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200"> ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ </gallery> == 憲法改正論と政権交代 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="安倍晋三・福田康夫・麻生太郎"> ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三 ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫 ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎 </gallery><gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦"> ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫 ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人 ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦 </gallery>安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチンはこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]] ２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から<span style="color:#f29100">'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''</span>が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、<span style="color:#f29100">'''菅義偉'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="明仁・徳仁・菅義偉"> ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁 ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］ ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉 </gallery>２０２１年１０月、<span style="color:#f29100">'''岸田文雄'''</span>が内閣総理大臣に選ばれました。岸田文雄は自由民主党内で何度も集まって意見を合わせながら政治を進めました。経済を成長させながらお金を国民全員に行き渡るような新しい資本主義［成長と分配の両立］を目標にしました。経済安全保障推進法を作ったり、防衛費を増やしたりして安全保障政策を変えていきました。しかし、物価高問題の対応は大きく出遅れました。エネルギー価格・生活必需品の価格が上向くと、補助金を出しました。２０２３年１２月、自民党派閥の政治資金問題が明らかになりましたその結果、岸田文雄内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２４年９月、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。２０２４年１０月、<span style="color:#f29100">'''石破茂'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも石破茂が選ばれて内閣総理大臣になりました。石破茂内閣総理大臣は地方の人口減少対策と農林水産業の振興に取り組みました。しかし、自由民主党内で意見の食い違いは続きました。また、自由民主党は政治資金問題などから衆議院と参議院の両方で半数以上の議席を失いました。その結果、石破茂は少数与党の内閣総理大臣として政治を続けるようになりました。少数与党は１９５５年以降の自民党中心の政治まで変えました。以来、石破茂は政治資金規正法の改正と党内改革を進めました。さらに、地方創生・労働市場の改革にも取り組みました。結局、石破茂は短期政権で終わりました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="岸田文雄・石破茂・高市早苗"> ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄 ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂 ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗 </gallery> ２０２５年１０月、<span style="color:#f29100">'''高市早苗'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙の結果、明治時代以降の内閣総理大臣で初めて女性の高市早苗が内閣総理大臣に選ばれました。公明党は自由民主党と組まなくなり、高市早苗内閣で与党から抜けました。その結果、これまでの自公連立政権は完全に終わりました。２０２６年２月、自由民主党は衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。２０２６年４月地点の高市早苗内閣は自民党単独政権で政治を行っています。高市早苗は自由民主党の政治資金問題で国民からの信頼を取り戻したいから政権の土台を新しく作り直しました。安全保障政策は従来の防衛費を増やしつつ、経済安全保障も同時に進めました。２０２６年３月以降、イランはアメリカ合衆国とイスラエルのイラン攻撃からホルムズ海峡を封鎖しました。一方、アメリカ合衆国も２０２６年４月からイラン領土内の港湾を海上封鎖しました。その結果、船がほとんど通れなくなりました。世界中で原油供給の不安が急速に広がりました。日本政府は原油の供給先を各国に広げて、国内のエネルギー体制を急いで強くしました。関係国と話し合いながら船を安全に通れるようにするための外交活動を続けました。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『[https://www.jikkyo.co.jp/material/dbook/R5_chireki_20220510/?pNo=6 日本史探究]』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://new-textbook.yamakawa.co.jp/j-history/ 詳説日本史探究]』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''[https://www.amazon.co.jp/E6-94-B9-E8-A8-82-E7-89-88-E5-A4-A7-E5-AD-A6-E5-85-A5-E5-AD-A6-E5-85-B1-E9-80-9A-E3-83-86-E3-82-B/dp/4046062371/ref=dp_ob_title_bk 改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本]'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%AA%AC%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6-%E4%BD%90%E8%97%A4-%E4%BF%A1/dp/4634010739/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=2JVCFQ6ZSAM4W&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6&qid=1673018227&sprefix=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%2Caps%2C229&sr=8-1 詳説日本史研究]』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『[https://www.amazon.co.jp/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%80%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8A%E3%82%84%E3%81%99%E3%81%84-%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6%E3%81%AE-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B-%E8%BF%91%E3%83%BB%E7%8F%BE%E4%BB%A3-%E3%81%AE%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E5%BA%A7/dp/4046007958/ref=sr_1_2?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=CIMV7PTZ6B3F&dib=eyJ2IjoiMSJ9.GriK5xWW68LbAbZHswVPdqimlAqFE9XRzYHcmA6-aXbgBs4lHiDE3JrDnJhg7hgM6THOuzvFqoJWj5LM__qBEkf4SPj9wmjyWiCpP-Bf4TLh3f7M1OusImkZuxAPINcTtTy4SGykxYu3CvaRGZzXllucR9IQ0iJPLci04rcWZfa-gboh-ZlcPaIEtkFEdj9FZNBvPvqXdAY_VXJS4vT6yucslRIMWqtO4GI8M6Nb9yoP0QqP5m9GCRtkInz8qTxvyr8l6qRsA-e9Lfl80cbUjscmwh3Sl12uEPTQxVVKOgU.XE0Cesmpneib9NYC1punYV8aCOlOxs-YNy9ZDwz80xQ&dib_tag=se&keywords=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B&qid=1767634402&sprefix=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2b%2Caps%2C189&sr=8-2 世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座]』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］[https://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86-%E5%85%A8%E5%9B%BD%E6%AD%B4%E5%8F%B2%E6%95%99%E8%82%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%E5%8D%94%E8%AD%B0%E4%BC%9A/dp/4634013061/ref=sr_1_1?dib=eyJ2IjoiMSJ9.9cqMPrv4JguSwZrufwQIAe_lRu9cxj698nZUEZl4Y5cDtFKaem46FQO2wLSmvQRupkpC3yFkdZ2D8ul0aM8xa646b6UUXcLCXs0zCrc-3GjbfwW3vlpzcCamrYuN_ListS2g-RoPwJlODF-y37euvc5ISOhGmlPTMzl5-RBGHyBB6ALU88qvcFaW_Z76LSjHmfTf50ajn6y511_Lhs2nOWE4YdIvlGbHPaOCVS6jqdSS7cgx_GbrQcMzbR1JgPc-acP67EycAAeavd_OOwKrAiv-MY5SwadisZWeKrqMaUQ.ub6LmuF0OPhQ9zxqmRspK09lTJems1e2BxJZ4ZP-Uas&dib_tag=se&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86&qid=1765288912&sr=8-1 日本史用語集]』株式会社山川出版社　2023年 * 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ == ここに注意！！ == [[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]] [[カテゴリ:21世紀]] 4fylisnea6g0cfprqwgvq56kv2smwek 298499 298498 2026-04-18T03:37:54Z Kwawe 68789 /* 憲法改正論と政権交代 */ 298499 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅢ 　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません<ref>実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。</ref>。そのため、当節は２０２６年４月までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。 == 「構造改革」と対テロ戦争 == [[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、<span style="color:#f29100">'''森喜朗'''</span>が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の<span style="color:#f29100">'''小泉純一郎'''</span>内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。<span style="color:#f29100">'''郵政事業の民営化'''</span>を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記"> ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗 ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎 ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記 </gallery>２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。 [[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200"> ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ </gallery> == 憲法改正論と政権交代 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="安倍晋三・福田康夫・麻生太郎"> ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三 ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫 ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎 </gallery><gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦"> ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫 ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人 ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦 </gallery>安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]] ２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から<span style="color:#f29100">'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''</span>が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、<span style="color:#f29100">'''菅義偉'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="明仁・徳仁・菅義偉"> ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁 ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］ ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉 </gallery>２０２１年１０月、<span style="color:#f29100">'''岸田文雄'''</span>が内閣総理大臣に選ばれました。岸田文雄は自由民主党内で何度も集まって意見を合わせながら政治を進めました。経済を成長させながらお金を国民全員に行き渡るような新しい資本主義［成長と分配の両立］を目標にしました。経済安全保障推進法を作ったり、防衛費を増やしたりして安全保障政策を変えていきました。しかし、物価高問題の対応は大きく出遅れました。エネルギー価格・生活必需品の価格が上向くと、補助金を出しました。２０２３年１２月、自民党派閥の政治資金問題が明らかになりましたその結果、岸田文雄内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２４年９月、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。２０２４年１０月、<span style="color:#f29100">'''石破茂'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも石破茂が選ばれて内閣総理大臣になりました。石破茂内閣総理大臣は地方の人口減少対策と農林水産業の振興に取り組みました。しかし、自由民主党内で意見の食い違いは続きました。また、自由民主党は政治資金問題などから衆議院と参議院の両方で半数以上の議席を失いました。その結果、石破茂は少数与党の内閣総理大臣として政治を続けるようになりました。少数与党は１９５５年以降の自民党中心の政治まで変えました。以来、石破茂は政治資金規正法の改正と党内改革を進めました。さらに、地方創生・労働市場の改革にも取り組みました。結局、石破茂は短期政権で終わりました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="岸田文雄・石破茂・高市早苗"> ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄 ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂 ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗 </gallery> ２０２５年１０月、<span style="color:#f29100">'''高市早苗'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙の結果、明治時代以降の内閣総理大臣で初めて女性の高市早苗が内閣総理大臣に選ばれました。公明党は自由民主党と組まなくなり、高市早苗内閣で与党から抜けました。その結果、これまでの自公連立政権は完全に終わりました。２０２６年２月、自由民主党は衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。２０２６年４月地点の高市早苗内閣は自民党単独政権で政治を行っています。高市早苗は自由民主党の政治資金問題で国民からの信頼を取り戻したいから政権の土台を新しく作り直しました。安全保障政策は従来の防衛費を増やしつつ、経済安全保障も同時に進めました。２０２６年３月以降、イランはアメリカ合衆国とイスラエルのイラン攻撃からホルムズ海峡を封鎖しました。一方、アメリカ合衆国も２０２６年４月からイラン領土内の港湾を海上封鎖しました。その結果、船がほとんど通れなくなりました。世界中で原油供給の不安が急速に広がりました。日本政府は原油の供給先を各国に広げて、国内のエネルギー体制を急いで強くしました。関係国と話し合いながら船を安全に通れるようにするための外交活動を続けました。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『[https://www.jikkyo.co.jp/material/dbook/R5_chireki_20220510/?pNo=6 日本史探究]』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://new-textbook.yamakawa.co.jp/j-history/ 詳説日本史探究]』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''[https://www.amazon.co.jp/E6-94-B9-E8-A8-82-E7-89-88-E5-A4-A7-E5-AD-A6-E5-85-A5-E5-AD-A6-E5-85-B1-E9-80-9A-E3-83-86-E3-82-B/dp/4046062371/ref=dp_ob_title_bk 改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本]'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%AA%AC%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6-%E4%BD%90%E8%97%A4-%E4%BF%A1/dp/4634010739/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=2JVCFQ6ZSAM4W&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6&qid=1673018227&sprefix=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%2Caps%2C229&sr=8-1 詳説日本史研究]』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『[https://www.amazon.co.jp/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%80%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8A%E3%82%84%E3%81%99%E3%81%84-%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6%E3%81%AE-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B-%E8%BF%91%E3%83%BB%E7%8F%BE%E4%BB%A3-%E3%81%AE%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E5%BA%A7/dp/4046007958/ref=sr_1_2?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=CIMV7PTZ6B3F&dib=eyJ2IjoiMSJ9.GriK5xWW68LbAbZHswVPdqimlAqFE9XRzYHcmA6-aXbgBs4lHiDE3JrDnJhg7hgM6THOuzvFqoJWj5LM__qBEkf4SPj9wmjyWiCpP-Bf4TLh3f7M1OusImkZuxAPINcTtTy4SGykxYu3CvaRGZzXllucR9IQ0iJPLci04rcWZfa-gboh-ZlcPaIEtkFEdj9FZNBvPvqXdAY_VXJS4vT6yucslRIMWqtO4GI8M6Nb9yoP0QqP5m9GCRtkInz8qTxvyr8l6qRsA-e9Lfl80cbUjscmwh3Sl12uEPTQxVVKOgU.XE0Cesmpneib9NYC1punYV8aCOlOxs-YNy9ZDwz80xQ&dib_tag=se&keywords=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B&qid=1767634402&sprefix=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2b%2Caps%2C189&sr=8-2 世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座]』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］[https://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86-%E5%85%A8%E5%9B%BD%E6%AD%B4%E5%8F%B2%E6%95%99%E8%82%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%E5%8D%94%E8%AD%B0%E4%BC%9A/dp/4634013061/ref=sr_1_1?dib=eyJ2IjoiMSJ9.9cqMPrv4JguSwZrufwQIAe_lRu9cxj698nZUEZl4Y5cDtFKaem46FQO2wLSmvQRupkpC3yFkdZ2D8ul0aM8xa646b6UUXcLCXs0zCrc-3GjbfwW3vlpzcCamrYuN_ListS2g-RoPwJlODF-y37euvc5ISOhGmlPTMzl5-RBGHyBB6ALU88qvcFaW_Z76LSjHmfTf50ajn6y511_Lhs2nOWE4YdIvlGbHPaOCVS6jqdSS7cgx_GbrQcMzbR1JgPc-acP67EycAAeavd_OOwKrAiv-MY5SwadisZWeKrqMaUQ.ub6LmuF0OPhQ9zxqmRspK09lTJems1e2BxJZ4ZP-Uas&dib_tag=se&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86&qid=1765288912&sr=8-1 日本史用語集]』株式会社山川出版社　2023年 * 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ == ここに注意！！ == [[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]] [[カテゴリ:21世紀]] 3xi9lyh95n7jr4ustdu4z955pk11y7x 298594 298499 2026-04-18T11:15:25Z Kwawe 68789 /* 憲法改正論と政権交代 */ 東北地方太平洋沖地震と民主党政権の混乱を叙述した。 298594 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅢ 　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません<ref>実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。</ref>。そのため、当節は２０２６年４月までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。 == 「構造改革」と対テロ戦争 == [[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、<span style="color:#f29100">'''森喜朗'''</span>が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の<span style="color:#f29100">'''小泉純一郎'''</span>内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。<span style="color:#f29100">'''郵政事業の民営化'''</span>を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記"> ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗 ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎 ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記 </gallery>２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。 [[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200"> ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ </gallery> == 憲法改正論と政権交代 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="安倍晋三・福田康夫・麻生太郎"> ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三 ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫 ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎 </gallery>２０１１年３月１１日、東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（福島第一原子力発電所事故）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の野田佳彦内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで連立政権を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦"> ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫 ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人 ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦 </gallery>安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]] ２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から<span style="color:#f29100">'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''</span>が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、<span style="color:#f29100">'''菅義偉'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="明仁・徳仁・菅義偉"> ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁 ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］ ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉 </gallery>２０２１年１０月、<span style="color:#f29100">'''岸田文雄'''</span>が内閣総理大臣に選ばれました。岸田文雄は自由民主党内で何度も集まって意見を合わせながら政治を進めました。経済を成長させながらお金を国民全員に行き渡るような新しい資本主義［成長と分配の両立］を目標にしました。経済安全保障推進法を作ったり、防衛費を増やしたりして安全保障政策を変えていきました。しかし、物価高問題の対応は大きく出遅れました。エネルギー価格・生活必需品の価格が上向くと、補助金を出しました。２０２３年１２月、自民党派閥の政治資金問題が明らかになりましたその結果、岸田文雄内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２４年９月、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。２０２４年１０月、<span style="color:#f29100">'''石破茂'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも石破茂が選ばれて内閣総理大臣になりました。石破茂内閣総理大臣は地方の人口減少対策と農林水産業の振興に取り組みました。しかし、自由民主党内で意見の食い違いは続きました。また、自由民主党は政治資金問題などから衆議院と参議院の両方で半数以上の議席を失いました。その結果、石破茂は少数与党の内閣総理大臣として政治を続けるようになりました。少数与党は１９５５年以降の自民党中心の政治まで変えました。以来、石破茂は政治資金規正法の改正と党内改革を進めました。さらに、地方創生・労働市場の改革にも取り組みました。結局、石破茂は短期政権で終わりました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="岸田文雄・石破茂・高市早苗"> ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄 ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂 ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗 </gallery> ２０２５年１０月、<span style="color:#f29100">'''高市早苗'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙の結果、明治時代以降の内閣総理大臣で初めて女性の高市早苗が内閣総理大臣に選ばれました。公明党は自由民主党と組まなくなり、高市早苗内閣で与党から抜けました。その結果、これまでの自公連立政権は完全に終わりました。２０２６年２月、自由民主党は衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。２０２６年４月地点の高市早苗内閣は自民党単独政権で政治を行っています。高市早苗は自由民主党の政治資金問題で国民からの信頼を取り戻したいから政権の土台を新しく作り直しました。安全保障政策は従来の防衛費を増やしつつ、経済安全保障も同時に進めました。２０２６年３月以降、イランはアメリカ合衆国とイスラエルのイラン攻撃からホルムズ海峡を封鎖しました。一方、アメリカ合衆国も２０２６年４月からイラン領土内の港湾を海上封鎖しました。その結果、船がほとんど通れなくなりました。世界中で原油供給の不安が急速に広がりました。日本政府は原油の供給先を各国に広げて、国内のエネルギー体制を急いで強くしました。関係国と話し合いながら船を安全に通れるようにするための外交活動を続けました。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『[https://www.jikkyo.co.jp/material/dbook/R5_chireki_20220510/?pNo=6 日本史探究]』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://new-textbook.yamakawa.co.jp/j-history/ 詳説日本史探究]』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''[https://www.amazon.co.jp/E6-94-B9-E8-A8-82-E7-89-88-E5-A4-A7-E5-AD-A6-E5-85-A5-E5-AD-A6-E5-85-B1-E9-80-9A-E3-83-86-E3-82-B/dp/4046062371/ref=dp_ob_title_bk 改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本]'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%AA%AC%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6-%E4%BD%90%E8%97%A4-%E4%BF%A1/dp/4634010739/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=2JVCFQ6ZSAM4W&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6&qid=1673018227&sprefix=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%2Caps%2C229&sr=8-1 詳説日本史研究]』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『[https://www.amazon.co.jp/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%80%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8A%E3%82%84%E3%81%99%E3%81%84-%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6%E3%81%AE-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B-%E8%BF%91%E3%83%BB%E7%8F%BE%E4%BB%A3-%E3%81%AE%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E5%BA%A7/dp/4046007958/ref=sr_1_2?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=CIMV7PTZ6B3F&dib=eyJ2IjoiMSJ9.GriK5xWW68LbAbZHswVPdqimlAqFE9XRzYHcmA6-aXbgBs4lHiDE3JrDnJhg7hgM6THOuzvFqoJWj5LM__qBEkf4SPj9wmjyWiCpP-Bf4TLh3f7M1OusImkZuxAPINcTtTy4SGykxYu3CvaRGZzXllucR9IQ0iJPLci04rcWZfa-gboh-ZlcPaIEtkFEdj9FZNBvPvqXdAY_VXJS4vT6yucslRIMWqtO4GI8M6Nb9yoP0QqP5m9GCRtkInz8qTxvyr8l6qRsA-e9Lfl80cbUjscmwh3Sl12uEPTQxVVKOgU.XE0Cesmpneib9NYC1punYV8aCOlOxs-YNy9ZDwz80xQ&dib_tag=se&keywords=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B&qid=1767634402&sprefix=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2b%2Caps%2C189&sr=8-2 世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座]』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］[https://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86-%E5%85%A8%E5%9B%BD%E6%AD%B4%E5%8F%B2%E6%95%99%E8%82%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%E5%8D%94%E8%AD%B0%E4%BC%9A/dp/4634013061/ref=sr_1_1?dib=eyJ2IjoiMSJ9.9cqMPrv4JguSwZrufwQIAe_lRu9cxj698nZUEZl4Y5cDtFKaem46FQO2wLSmvQRupkpC3yFkdZ2D8ul0aM8xa646b6UUXcLCXs0zCrc-3GjbfwW3vlpzcCamrYuN_ListS2g-RoPwJlODF-y37euvc5ISOhGmlPTMzl5-RBGHyBB6ALU88qvcFaW_Z76LSjHmfTf50ajn6y511_Lhs2nOWE4YdIvlGbHPaOCVS6jqdSS7cgx_GbrQcMzbR1JgPc-acP67EycAAeavd_OOwKrAiv-MY5SwadisZWeKrqMaUQ.ub6LmuF0OPhQ9zxqmRspK09lTJems1e2BxJZ4ZP-Uas&dib_tag=se&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86&qid=1765288912&sr=8-1 日本史用語集]』株式会社山川出版社　2023年 * 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ == ここに注意！！ == [[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]] [[カテゴリ:21世紀]] efxr729imc2h49laj0rs4axpgblmiw7 298595 298594 2026-04-18T11:18:36Z Kwawe 68789 /* 憲法改正論と政権交代 */ 重要用語を色太字化。 298595 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅢ 　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません<ref>実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。</ref>。そのため、当節は２０２６年４月までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。 == 「構造改革」と対テロ戦争 == [[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、<span style="color:#f29100">'''森喜朗'''</span>が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の<span style="color:#f29100">'''小泉純一郎'''</span>内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。<span style="color:#f29100">'''郵政事業の民営化'''</span>を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記"> ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗 ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎 ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記 </gallery>２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。 [[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200"> ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ </gallery> == 憲法改正論と政権交代 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="安倍晋三・福田康夫・麻生太郎"> ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三 ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫 ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎 </gallery> ２０１１年３月１１日、<span style="color:#f29100">'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''</span>が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（<span style="color:#f29100">'''福島第一原子力発電所事故'''</span>）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の<span style="color:#f29100">'''野田佳彦'''</span>内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで連立政権を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦"> ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫 ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人 ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦 </gallery> 安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]] ２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から<span style="color:#f29100">'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''</span>が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、<span style="color:#f29100">'''菅義偉'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="明仁・徳仁・菅義偉"> ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁 ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］ ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉 </gallery> ２０２１年１０月、<span style="color:#f29100">'''岸田文雄'''</span>が内閣総理大臣に選ばれました。岸田文雄は自由民主党内で何度も集まって意見を合わせながら政治を進めました。経済を成長させながらお金を国民全員に行き渡るような新しい資本主義［成長と分配の両立］を目標にしました。経済安全保障推進法を作ったり、防衛費を増やしたりして安全保障政策を変えていきました。しかし、物価高問題の対応は大きく出遅れました。エネルギー価格・生活必需品の価格が上向くと、補助金を出しました。２０２３年１２月、自民党派閥の政治資金問題が明らかになりましたその結果、岸田文雄内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２４年９月、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。２０２４年１０月、<span style="color:#f29100">'''石破茂'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも石破茂が選ばれて内閣総理大臣になりました。石破茂内閣総理大臣は地方の人口減少対策と農林水産業の振興に取り組みました。しかし、自由民主党内で意見の食い違いは続きました。また、自由民主党は政治資金問題などから衆議院と参議院の両方で半数以上の議席を失いました。その結果、石破茂は少数与党の内閣総理大臣として政治を続けるようになりました。少数与党は１９５５年以降の自民党中心の政治まで変えました。以来、石破茂は政治資金規正法の改正と党内改革を進めました。さらに、地方創生・労働市場の改革にも取り組みました。結局、石破茂は短期政権で終わりました。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="岸田文雄・石破茂・高市早苗"> ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄 ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂 ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗 </gallery> ２０２５年１０月、<span style="color:#f29100">'''高市早苗'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙の結果、明治時代以降の内閣総理大臣で初めて女性の高市早苗が内閣総理大臣に選ばれました。公明党は自由民主党と組まなくなり、高市早苗内閣で与党から抜けました。その結果、これまでの自公連立政権は完全に終わりました。２０２６年２月、自由民主党は衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。２０２６年４月地点の高市早苗内閣は自民党単独政権で政治を行っています。高市早苗は自由民主党の政治資金問題で国民からの信頼を取り戻したいから政権の土台を新しく作り直しました。安全保障政策は従来の防衛費を増やしつつ、経済安全保障も同時に進めました。２０２６年３月以降、イランはアメリカ合衆国とイスラエルのイラン攻撃からホルムズ海峡を封鎖しました。一方、アメリカ合衆国も２０２６年４月からイラン領土内の港湾を海上封鎖しました。その結果、船がほとんど通れなくなりました。世界中で原油供給の不安が急速に広がりました。日本政府は原油の供給先を各国に広げて、国内のエネルギー体制を急いで強くしました。関係国と話し合いながら船を安全に通れるようにするための外交活動を続けました。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『[https://www.jikkyo.co.jp/material/dbook/R5_chireki_20220510/?pNo=6 日本史探究]』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://new-textbook.yamakawa.co.jp/j-history/ 詳説日本史探究]』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''[https://www.amazon.co.jp/E6-94-B9-E8-A8-82-E7-89-88-E5-A4-A7-E5-AD-A6-E5-85-A5-E5-AD-A6-E5-85-B1-E9-80-9A-E3-83-86-E3-82-B/dp/4046062371/ref=dp_ob_title_bk 改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本]'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%AA%AC%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6-%E4%BD%90%E8%97%A4-%E4%BF%A1/dp/4634010739/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=2JVCFQ6ZSAM4W&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6&qid=1673018227&sprefix=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%2Caps%2C229&sr=8-1 詳説日本史研究]』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『[https://www.amazon.co.jp/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%80%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8A%E3%82%84%E3%81%99%E3%81%84-%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6%E3%81%AE-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B-%E8%BF%91%E3%83%BB%E7%8F%BE%E4%BB%A3-%E3%81%AE%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E5%BA%A7/dp/4046007958/ref=sr_1_2?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=CIMV7PTZ6B3F&dib=eyJ2IjoiMSJ9.GriK5xWW68LbAbZHswVPdqimlAqFE9XRzYHcmA6-aXbgBs4lHiDE3JrDnJhg7hgM6THOuzvFqoJWj5LM__qBEkf4SPj9wmjyWiCpP-Bf4TLh3f7M1OusImkZuxAPINcTtTy4SGykxYu3CvaRGZzXllucR9IQ0iJPLci04rcWZfa-gboh-ZlcPaIEtkFEdj9FZNBvPvqXdAY_VXJS4vT6yucslRIMWqtO4GI8M6Nb9yoP0QqP5m9GCRtkInz8qTxvyr8l6qRsA-e9Lfl80cbUjscmwh3Sl12uEPTQxVVKOgU.XE0Cesmpneib9NYC1punYV8aCOlOxs-YNy9ZDwz80xQ&dib_tag=se&keywords=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B&qid=1767634402&sprefix=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2b%2Caps%2C189&sr=8-2 世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座]』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］[https://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86-%E5%85%A8%E5%9B%BD%E6%AD%B4%E5%8F%B2%E6%95%99%E8%82%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%E5%8D%94%E8%AD%B0%E4%BC%9A/dp/4634013061/ref=sr_1_1?dib=eyJ2IjoiMSJ9.9cqMPrv4JguSwZrufwQIAe_lRu9cxj698nZUEZl4Y5cDtFKaem46FQO2wLSmvQRupkpC3yFkdZ2D8ul0aM8xa646b6UUXcLCXs0zCrc-3GjbfwW3vlpzcCamrYuN_ListS2g-RoPwJlODF-y37euvc5ISOhGmlPTMzl5-RBGHyBB6ALU88qvcFaW_Z76LSjHmfTf50ajn6y511_Lhs2nOWE4YdIvlGbHPaOCVS6jqdSS7cgx_GbrQcMzbR1JgPc-acP67EycAAeavd_OOwKrAiv-MY5SwadisZWeKrqMaUQ.ub6LmuF0OPhQ9zxqmRspK09lTJems1e2BxJZ4ZP-Uas&dib_tag=se&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86&qid=1765288912&sr=8-1 日本史用語集]』株式会社山川出版社　2023年 * 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ == ここに注意！！ == [[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]] [[カテゴリ:21世紀]] i62390fyc22yoydvzqbz2218luodr6g 298596 298595 2026-04-18T11:22:04Z Kwawe 68789 /* 憲法改正論と政権交代 */ 298596 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅢ 　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません<ref>実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。</ref>。そのため、当節は２０２６年４月までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。 == 「構造改革」と対テロ戦争 == [[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、<span style="color:#f29100">'''森喜朗'''</span>が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の<span style="color:#f29100">'''小泉純一郎'''</span>内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。<span style="color:#f29100">'''郵政事業の民営化'''</span>を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記"> ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗 ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎 ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記 </gallery>２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。 [[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。<gallery mode="packed" widths="200" heights="200"> ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ </gallery> == 憲法改正論と政権交代 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="安倍晋三・福田康夫・麻生太郎"> ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三 ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫 ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎 </gallery> ２０１１年３月１１日、<span style="color:#f29100">'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''</span>が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（<span style="color:#f29100">'''福島第一原子力発電所事故'''</span>）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の<span style="color:#f29100">'''野田佳彦'''</span>内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦"> ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫 ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人 ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦 </gallery> 安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]] ２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から<span style="color:#f29100">'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''</span>が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、<span style="color:#f29100">'''菅義偉'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="明仁・徳仁・菅義偉"> ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁 ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］ ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉 </gallery> ２０２１年１０月、<span style="color:#f29100">'''岸田文雄'''</span>が内閣総理大臣に選ばれました。岸田文雄は自由民主党内で何度も集まって意見を合わせながら政治を進めました。経済を成長させながらお金を国民全員に行き渡るような新しい資本主義［成長と分配の両立］を目標にしました。経済安全保障推進法を作ったり、防衛費を増やしたりして安全保障政策を変えていきました。しかし、物価高問題の対応は大きく出遅れました。エネルギー価格・生活必需品の価格が上向くと、補助金を出しました。２０２３年１２月、自民党派閥の政治資金問題が明らかになりましたその結果、岸田文雄内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２４年９月、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。２０２４年１０月、<span style="color:#f29100">'''石破茂'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも石破茂が選ばれて内閣総理大臣になりました。石破茂内閣総理大臣は地方の人口減少対策と農林水産業の振興に取り組みました。しかし、自由民主党内で意見の食い違いは続きました。また、自由民主党は政治資金問題などから衆議院と参議院の両方で半数以上の議席を失いました。その結果、石破茂は少数与党の内閣総理大臣として政治を続けるようになりました。少数与党は１９５５年以降の自民党中心の政治まで変えました。以来、石破茂は政治資金規正法の改正と党内改革を進めました。さらに、地方創生・労働市場の改革にも取り組みました。結局、石破茂は短期政権で終わりました。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="200" caption="岸田文雄・石破茂・高市早苗"> ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄 ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂 ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗 </gallery> ２０２５年１０月、<span style="color:#f29100">'''高市早苗'''</span>が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙の結果、明治時代以降の内閣総理大臣で初めて女性の高市早苗が内閣総理大臣に選ばれました。公明党は自由民主党と組まなくなり、高市早苗内閣で与党から抜けました。その結果、これまでの自公連立政権は完全に終わりました。２０２６年２月、自由民主党は衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。２０２６年４月地点の高市早苗内閣は自民党単独政権で政治を行っています。高市早苗は自由民主党の政治資金問題で国民からの信頼を取り戻したいから政権の土台を新しく作り直しました。安全保障政策は従来の防衛費を増やしつつ、経済安全保障も同時に進めました。２０２６年３月以降、イランはアメリカ合衆国とイスラエルのイラン攻撃からホルムズ海峡を封鎖しました。一方、アメリカ合衆国も２０２６年４月からイラン領土内の港湾を海上封鎖しました。その結果、船がほとんど通れなくなりました。世界中で原油供給の不安が急速に広がりました。日本政府は原油の供給先を各国に広げて、国内のエネルギー体制を急いで強くしました。関係国と話し合いながら船を安全に通れるようにするための外交活動を続けました。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『[https://www.jikkyo.co.jp/material/dbook/R5_chireki_20220510/?pNo=6 日本史探究]』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://new-textbook.yamakawa.co.jp/j-history/ 詳説日本史探究]』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''[https://www.amazon.co.jp/E6-94-B9-E8-A8-82-E7-89-88-E5-A4-A7-E5-AD-A6-E5-85-A5-E5-AD-A6-E5-85-B1-E9-80-9A-E3-83-86-E3-82-B/dp/4046062371/ref=dp_ob_title_bk 改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本]'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『[https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%AA%AC%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6-%E4%BD%90%E8%97%A4-%E4%BF%A1/dp/4634010739/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=2JVCFQ6ZSAM4W&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6&qid=1673018227&sprefix=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%2Caps%2C229&sr=8-1 詳説日本史研究]』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『[https://www.amazon.co.jp/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%80%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8A%E3%82%84%E3%81%99%E3%81%84-%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6%E3%81%AE-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B-%E8%BF%91%E3%83%BB%E7%8F%BE%E4%BB%A3-%E3%81%AE%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E5%BA%A7/dp/4046007958/ref=sr_1_2?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=CIMV7PTZ6B3F&dib=eyJ2IjoiMSJ9.GriK5xWW68LbAbZHswVPdqimlAqFE9XRzYHcmA6-aXbgBs4lHiDE3JrDnJhg7hgM6THOuzvFqoJWj5LM__qBEkf4SPj9wmjyWiCpP-Bf4TLh3f7M1OusImkZuxAPINcTtTy4SGykxYu3CvaRGZzXllucR9IQ0iJPLci04rcWZfa-gboh-ZlcPaIEtkFEdj9FZNBvPvqXdAY_VXJS4vT6yucslRIMWqtO4GI8M6Nb9yoP0QqP5m9GCRtkInz8qTxvyr8l6qRsA-e9Lfl80cbUjscmwh3Sl12uEPTQxVVKOgU.XE0Cesmpneib9NYC1punYV8aCOlOxs-YNy9ZDwz80xQ&dib_tag=se&keywords=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2B&qid=1767634402&sprefix=%E6%B2%B3%E5%90%88%E6%95%A6+%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2b%2Caps%2C189&sr=8-2 世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座]』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］[https://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86-%E5%85%A8%E5%9B%BD%E6%AD%B4%E5%8F%B2%E6%95%99%E8%82%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%E5%8D%94%E8%AD%B0%E4%BC%9A/dp/4634013061/ref=sr_1_1?dib=eyJ2IjoiMSJ9.9cqMPrv4JguSwZrufwQIAe_lRu9cxj698nZUEZl4Y5cDtFKaem46FQO2wLSmvQRupkpC3yFkdZ2D8ul0aM8xa646b6UUXcLCXs0zCrc-3GjbfwW3vlpzcCamrYuN_ListS2g-RoPwJlODF-y37euvc5ISOhGmlPTMzl5-RBGHyBB6ALU88qvcFaW_Z76LSjHmfTf50ajn6y511_Lhs2nOWE4YdIvlGbHPaOCVS6jqdSS7cgx_GbrQcMzbR1JgPc-acP67EycAAeavd_OOwKrAiv-MY5SwadisZWeKrqMaUQ.ub6LmuF0OPhQ9zxqmRspK09lTJems1e2BxJZ4ZP-Uas&dib_tag=se&keywords=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%8F%B2%E7%94%A8%E8%AA%9E%E9%9B%86&qid=1765288912&sr=8-1 日本史用語集]』株式会社山川出版社　2023年 * 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ == ここに注意！！ == [[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]] [[カテゴリ:21世紀]] psch1yq9zcjv0gl8fc0z2vsqt77wx0v 0 45683 298593 287215 2026-04-18T10:48:47Z ~2026-23917-53 91221 /* 勾配 */ 298593 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]及び[[解析学基礎/多変数関数の微積分]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字立体による表記（<math>\mathbf{p}</math>など）及び太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \sin x \\ \cos x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \mathbf{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \mathbf{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 '''直交条件の定理''' <math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう。 :所与の条件は<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 '''平行条件の定理''' <math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^a_b \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\mathbf{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h \circ g)_i (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\mathbf{X}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の第i成分に第k成分の変数が入っていたとしても、それはiと異なる独立変数なのでスカラーと見做してよい。 ベクトル場の和は、ベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}=(1,2,3), \boldsymbol{g}=(3, 4, 5)</math>について :<math>\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}=(1, 2, 3)+(3, 4, 5)=(1+3, 2+4, 3+5)=(4, 6, 8)</math>である。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上のベクトル場<math>\mathbf{X}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{X}(\mathbf{r}) (\mathbf{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>z=\mathbf{r}(t)</math>を<math>\mathbf{X}</math>の'''流線'''（streamline）という。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、方程式<math>\frac{dx_1}{X_{x_1}}=\frac{dx_2}{X_{x_2}}=\cdots=\frac{dx_n}{X_{x_n}}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 ==三次元ユークリッド空間== xyz空間上のスカラー場を<math>F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>、ベクトル場を<math>\mathbf{X}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>とする。また、<math>\mathbf{X}</math>のx, y, z成分をそれぞれ<math>X_x, X_y, X_z</math>と書くことにする。また、註がない限り凡ての議論は直交座標系のxyz空間で考えるものとする。 ===偏微分=== 三変数関数<math>f(x, y, z)</math>の'''偏導関数'''（partial derivative）はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{z}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}</math> 偏導関数は、着目する変数軸方向の傾きを表す。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''（partial differentiation）という。 つまり、偏微分とは'''着目する変数以外を定数と見做し、一変数関数とみて微分する'''操作である。 記号「<math>\partial</math>」は「デル（del）」「ラウン（ド）ディー（rounded d）」「パーシャルディー（partial d）」などと読まれる。 着目する変数以外を明示したい場合は、<math>\partial_x f(x, y, z), \; u_x |_{x,y,z}</math>などの記法が用いられる。 偏微分でも、一変数関数の微分と同様の性質が成り立つ（特に線型性と積の微分）。証明は別項に譲る。 例えば、<math>\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2+2yx+y^2)=\frac{\partial}{\partial{x}} x^2 + y \frac{\partial}{\partial{x}} x + y^2 \frac{\partial}{\partial{x}} 1 = 2x+y</math>である。 偏導関数に偏微分変数の微小量を掛けて全ての変数について足し合わせた :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> を<math>f(x, y, z)</math>の'''（完）全微分'''（total derivative）という。 全微分は、関数<math>f(x, y, z)</math>を<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z</math>だけ変化させたときの関数全体の変化量<math>\text{∆} f = f(x+\text{∆} x, y+\text{∆} y, z+\text{∆} z)-f(x,y,z)</math>の<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z \to 0</math>とした三重極限に等しい。 つまり、 :<math>f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> が成り立つ。 これを形式的に変形すると、 :<math>\frac{f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z)}{dxdydz} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}dydz} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}dzdx} + \frac{\partial{f}}{\partial{z}dxdy}</math> となるが、右辺を見ると変数名が循環していることが、左辺を見ると一変数関数の導関数の定義式に酷似していることが判る。 <math>\boldsymbol{f}= \begin{pmatrix} f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}</math>としたとき、 :<math>\mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x,y,z) = \frac{\partial{(f_1,f_2,f_3)}}{\partial{(x,y,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{f_1}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_3}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\boldsymbol{f}</math>の'''関数行列'''（functional matrix）または'''ヤコビ行列'''（'''ヤコビアン'''、Jacobian matrix）という。 これを用いると、3次元ベクトル関数<math>\boldsymbol{f} (x, y, z)</math>の全微分は以下のように求められる。 :<math>d\boldsymbol{f} = \mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x_0,y_0,z_0) d\mathbf{v}</math> ただし、<math>d\mathbf{v} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math>である。このベクトルを'''方向ベクトル'''（direction vector）という。 ===線積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲線<math>C</math>を描いているとする。 <math>C</math>上の点<math>A</math>から点<math>B</math>まで、<math>C</math>に沿って積分することを考える。 経路<math>A \to B</math>を微小線分<math>\text{∆} l</math>に分けたとき、[[高等学校数学III/積分法#区分求積法|区分求積法]]により以下のように'''線積分'''（line integral）が定義される。 :<math>\int_A^B f(x, y, z) dl = \lim_{\text{∆} l \to 0} \sum_A^B f(x, y, z) \text{∆} l</math> このとき、経路<math>A \to B</math>を'''積分（経）路'''（path）や'''積分領域'''（domain of integral）という。 なお、線積分は[[量子力学]]の経路積分（path integral）とは異なる概念なので、混同に注意。 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲線<math>C</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math>とし、初期条件を<math>\boldsymbol{p}(a)=\vec{\mathrm{OA}}, \boldsymbol{p}(b)=\vec{\mathrm{OB}}</math>とする。 このとき、閉区間<math>[a, b]</math>を長さ<math>\text{∆} t = \frac{b-a}{n}</math>の<math>n</math>個の小区間<math>[t_{n-1}, t_n]</math>に分割し、<math>C</math>上に標本点<math>\boldsymbol{p}(t_i)</math>をとる。各標本点を結ぶ線分の長さを<math>\text{∆} s_i</math>とおけば、<math>F(\boldsymbol{p} (t_i)) \text{∆} s_i</math>の総和はリーマン和である。 <math>\text{∆} t \to 0</math>の極限を考えると、 :<math>\text{∆} s_i = \|\boldsymbol{p}(t_i + \text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i)\| = \left\| \frac{\boldsymbol{p}(t_i+\text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i+0)}{\text{∆} t - 0} \right\| (\text{∆} t -0) = \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t_i)}{dt}\right\| dt</math> よりこのリーマン和の極限は収束し、 :<math>\lim_{\text{∆} t \to 0} \sum_{i=1}^n F(\boldsymbol{p}(t_i)) \text{∆} s_i = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math>// ここで、この線積分の値は（同じ向き付けを与える限り）'''媒介変数のとり方に依らない'''。 <math>\boldsymbol{p}(u) = \begin{pmatrix} x(t(u)) \\ y(t(u)) \\ z(t(u)) \end{pmatrix}, u \in [c, d]</math>という変数変換を考えると、<br>恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>のとき :<math>\int_c^d F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d \boldsymbol{p}(u)}{du} \right\| du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\| \frac{dt}{du} du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math> となり、一致する。 「恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>」は「<math>t, u</math>それぞれを用いた媒介変数表示が同じ向き付けを与える」ことと同値なので、先述の内容が確かめられた。 そこで、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math>を更に（形式的に）変形する。 :<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt = \left\| \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d}{dt} y(t) \\ \frac{d}{dt} z(t) \end{pmatrix} \right\| dt</math> :<math>= \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz(t)}{dt}\right)^2} \; dt</math> :<math>= \sqrt{ (dx(t))^2+(dy(t))^2+(dz(t))^2}</math> :<math>=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math> 最後の式を<math>dl</math>で置くと、<math>dl = \| d\boldsymbol{p} \|</math>が形式的に成り立つ。 この<math>dl</math>を'''線素'''（line element）と呼ぶ。 線素を用いることで、曲線<math>C</math>（の一部）を積分経路とするスカラー場<math>F</math>の線積分は以下のように略記される。 :<math>\int_C F dl</math> 特に積分経路が閉曲線である（'''閉経路'''）とき、この線積分を'''周回積分'''（'''閉路積分'''、closed line integral）といい :<math>\oint_C F dl</math> と表す。 線積分<math>\int_C dl</math>は<math>C</math>の長さに等しい。 :<math>\int_C dl = \int_a^b \| d\boldsymbol{p}(t) \| = \int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math> :<math>=\int_a^b \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dy(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dz(t)}{dt} \right)^2} dt</math> これは[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|平面上の曲線の長さの式]]を三次元に拡張した式であることがわかる。 <math>C</math>を<math>C</math>上任意点からの符号付き距離<math>s</math>（'''弧長パラメータ'''）で媒介変数表示することを考える。ただし、積分経路の端点をそれぞれ<math>s=\alpha, \beta</math>の場合とする。 すなわち、<math>\boldsymbol{q}(s)= \begin{pmatrix} x(s) \\ y(s) \\ z(s) \end{pmatrix}</math>と表示する。 このとき定義から<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\| ds</math>なので、両辺を<math>s</math>で微分すると微分積分学の基本定理より :<math>1=\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|</math> が恒等的に成り立つ。 これは、接線方向のベクトル（'''接ベクトル'''）が単位ベクトルであることを示す。 よって、 :<math>\int_C F dl = \int_\alpha^\beta F(\boldsymbol{q}(s)) ds</math> である。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の線積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_a^b \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(t)) \cdot \boldsymbol{p}' (t) dt</math> ここで<math>d\boldsymbol{l}</math>は'''線素ベクトル'''であり、 :<math>d\boldsymbol{l} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = dx\boldsymbol{e}_x+dy\boldsymbol{e}_y+dz\boldsymbol{e}_z</math> と定義される。 そのため、この線積分は :<math>\int_C X_x dx + X_y dy + X_z dz</math> とも書かれる。 線素ベクトルは積分経路の接ベクトルとなるので、ベクトル場の線積分を'''接線積分'''（integral of tangential component）という場合もある。 <math>C</math>を弧長パラメータ<math>s</math>で媒介変数表示すると、 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} ds</math> ここで<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|=1</math>より、内積 <math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds}</math>は<math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s))</math>を<math>\boldsymbol{q}(s)</math>方向に射影したものである。 すなわち、線積分はベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>の<math>C</math>の接線方向成分を積分したものである。これは「仕事」や「流れ」といった物理的な概念に通じ、線積分の本質を形作る。 なお、スカラー場の線積分に登場した線素<math>dl</math>は、線素ベクトルの大きさ<math>\| d\boldsymbol{l} \|</math>に等しい。これは、スカラー場の線積分が経路に沿った「長さの重み付け」積分であることを示している。 位置ベクトルを<math>\boldsymbol{r}(x, y, z)</math>とする。積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}//\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{streamline} k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{streamline} \boldsymbol{X} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（インテグラルと積分微小要素はセットのため）。 <math>C</math>の単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおくと、先ほどの議論より<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{p}(s)}{ds}</math>であり、直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=0</math>、則ち<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}</math>である。このベクトルを'''主法線ベクトル'''という。主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''という。正規化すると<math>\boldsymbol{e}_b = \boldsymbol{e}_t \times \boldsymbol{e}_n</math>、則ち<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。 主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|</math>を<math>C</math>の'''曲率'''、<math>\tau=\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{dt}</math>を<math>C</math>の'''{{ruby|捩|れい}}率'''という。 例えば、円<math>x^2+y^2=r^2</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{p}(t)=r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(u)}{dt}\right\|du = \int_0^t r dt = rt</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{r}</math> :<math>\boldsymbol{p}(s)=r\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{\boldsymbol{p}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{r} \\ \cos\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}=-\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\left\|\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}\right\|=\frac{1}{r}</math> :<math>\boldsymbol{t}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=-r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r^2 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot-r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}}{r^2\cdot\frac{1}{r}}=0</math>// 曲率・捩率を用いることで、<math>\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}</math>のs-方向微分を求めることができる。 '''フレネ=セレーの公式''' <math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> 全微分がヤコビ行列による一次変換で表されたように、こちらも一次変換の形式で表すことができた。一般に、微分操作は<math>\infty</math>次行列を表現行列とする線形写像である。詳しくは[[関数解析学]]で扱う。 また、曲線は<math>(\kappa, \tau)</math>の値と初期条件のみで定まるので、<math>(\kappa, \tau)</math>の定める曲線族を<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として一般に<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ===面積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲面<math>S</math>を描いているとする。 <math>S</math>に沿って積分することを考える。 領域<math>S</math>を微小領域に分割した表面積を<math>\text{∆} S_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''（曲）面積分'''（surface integral）が定義される。 :<math>\int_S f(x, y, z) dS = \lim_{\text{∆} S \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} S_i</math> 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲面<math>S</math>の滑らかな媒介変数表示を<math>\mathbf{p}(s, t) = \begin{pmatrix} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \end{pmatrix}</math>とする。 ここで、パラメータベクトル<math>\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}</math>が属する領域<math>T (\subset \mathbb{R}^2)</math>を微小矩形領域<math>\text{∆} T_i</math>に分割する。このとき、各iについて<math>\text{∆} T_i = [s_i, s_i+\text{∆} s_i] \times [t_i, t_i+\text{∆} t_i]</math>であり、各<math>\text{∆} T_i</math>に対応する曲面上の領域を<math>\text{∆} S_i = \mathbf{p}(\text{∆} T_i)</math>とする。 このとき、パラメータ領域の面積変化率は、各変数に関する接ベクトル同士の張る接平面上の面積ベクトルで表される。 すなわち、<math>\text{∆} s_i, \text{∆} t_i \to 0</math>のとき :<math>\text{∆} S_i = \left\| \frac{\partial{\mathbf{p}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\mathbf{p}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆} s_i \text{∆} t_i</math> である。 このリーマン和の二重極限は収束し、 :<math>\lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆}{S_i} = \lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(\mathbf{p}(s_i, t_i)) \left\| \frac{\partial{\mathbf{X}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\mathbf{X}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆}{s_i} \text{∆}{t_i}</math> :<math>=\iint_T f(\mathbf{p}(s, t)) \left\| \frac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{t}} \right\| ds dt</math>// すなわち、面積分は二重積分に帰着される。 面積分の値は（Sの向き付けが同じならば）パラメータのとり方に依らない。 証明は恒等条件<math>\det \frac{\partial(s_1, t_1)}{\partial(s_2, t_2)}>0</math>を用いて線積分と同様に行われる。 そこで、<math>F</math>の<math>S</math>上での面積分を以下のように略記する。 :<math>\int_S F dS</math> 1の面積分を考えると、 :<math>\int_S dS</math> は曲面<math>S</math>の表面積に等しいことが知られている。 そのため、<math>dS</math>を'''面（積要）素'''（surface element）と呼ぶ。 <math>S</math>が閉曲面のときは :<math>\oint_S F dS</math> とも書く。 例えば、関数<math>z=f(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>上に描く曲面の表面積は、<math>\mathbf{p}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>として :<math>\iint_T \left\| \frac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{x}} \times \frac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{y}} \right\| dx dy</math> :<math>=\iint_T \left\| \begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix} \right\| dxdy</math> :<math>=\iint_T \sqrt{ \left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)^2 + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)^2 + 1 } \; dxdy</math> と求められる。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の面積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\int_S \mathbf{X} \cdot d \vec{S} = \iint \mathbf{X} (\mathbf{p}(s, t)) \cdot \left( \frac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{t}} \right) dsdt</math> :<math>=\iint \det \begin{pmatrix} \mathbf{X}, \frac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{s}}, \frac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{t}} \end{pmatrix} ds dt</math>（<math>\because</math>ベクトル三重積の性質） ここで<math>d\vec{S}</math>は面素ベクトルであり、 :<math>d\vec{S} = \mathbf{n} dS</math> と定義される。 <math>\mathbf{n}</math>は有向曲面<math>S</math>と右手系（後述）をなすように定められた単位法線ベクトルである。 <math>\mathbf{n}</math>は、x, y, z軸それぞれとなす角度を<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、以下のような関係が成り立つ（※証明の加筆お願いします）。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、 :<math>d\vec{S} = \mathbf{e}_x dydz + \mathbf{e}_y dzdx + \mathbf{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> と表せる。 敢えてx⇒y⇒zの順で記したように、変数名が循環していることがわかる。 ===体積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に立体領域<math>V</math>を描いているとする。 <math>V</math>に沿って積分することを考える。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\text{∆} V_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''体（積）積分'''（volume integral）が定義される。 :<math>\int_V f(x, y, z) dV = \lim_{\text{∆} V \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} V_i</math> 体積分では、リーマン和の三重極限を用いて右辺の極限値を求めることが困難である（3つの極限を任意に交換できるとは限らないため）。 そのため、以下のように考える。 微小立体の体積<math>dV</math>は、各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>である直方体の体積で近似できる（どのような分割の仕方をしても微小領域では直方体に近似できるため）。 よって、<math>dV = dxdydz</math>。この<math>dV</math>を'''体（積）素'''（volume element）という。 つまり、体積分は<math>V</math>についての三重積分 :<math>\iiint_V f(x,y,z) dxdydz</math> に等しい。 <math>V</math>の媒介変数表示を<math>\mathbf{r}(s, t, u) = \begin{pmatrix} x(s, t, u) \\ y(s, t, u) \\ z(s, t, u) \end{pmatrix}</math>とすると、スカラー場の<math>V</math>に関する体積分は :<math>\int_V F(\mathbf{r}) dV = \iiint_V F (\mathbf{r}(s, t, u)) \left\| \det \frac{\partial{(x, y, z)}}{\partial{(s, t, u)}} \right\| dsdtdu</math> で表される。 積分領域<math>V</math>が閉立体であるときは :<math>\oint_V F dV</math> とも書く。 また、ベクトル場 の<math>V</math>に関する体積分は、ベクトル場の成分となるスカラー場の体積分を並べたベクトル :<math>\int_V \mathbf{X}(\mathbf{r}) dV = \begin{pmatrix} \int_V X_x(\mathbf{r}) dV \\ \int_V X_y(\mathbf{r}) dV \\ \int_V X_z(\mathbf{r}) dV \end{pmatrix}</math> で表される。 ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標のz軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。 :θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。 :z曲線：z軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\mathbf{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\mathbf{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\mathbf{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\mathbf{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \mathbf{e}_x + \sin\theta \mathbf{e}_y</math> :<math>\mathbf{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\mathbf{e}_x+\cos\theta\mathbf{e}_y</math> :<math>\mathbf{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\mathbf{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \mathbf{e}_r \\ \mathbf{e}_\theta \\ \mathbf{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{e}_x \\ \mathbf{e}_y \\ \mathbf{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \mathbf{e}_x \\ \mathbf{e}_y \\ \mathbf{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{e}_r \\ \mathbf{e}_\theta \\ \mathbf{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流がz軸に平行であることから磁場はz方向に一葉且つθ方向に回転対称なので、r方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>P(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>はz軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\vec{OP}</math>のz軸への正射影ベクトルを<math>\vec{OH}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>はx軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>P</math>からxy平面に下した垂線の足<math>Q</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>P(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle OHP</math>について<math>\angle HOP=\theta</math>なので、<math>z=\overline{OH}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle OPQ</math>について<math>\angle OPQ=\theta</math>なので、<math>\overline{OQ}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{OQ}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{OQ}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標のz軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :r曲線：原点を通る半直線。 :θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。 :φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これはz軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。 ===勾配=== スカラー場の'''勾配'''（gradient）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \mathbf{e}_x + \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \mathbf{e}_y + \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \mathbf{e}_z</math> 勾配は、幾何的にはスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは、最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからわかる。「スカラー場の各点の傾き」とは、則ち「スカラー場上の変化が最も急峻な方向及び変化の速さ」のことである。このことから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 <math>F</math>に一変数<math>f(x) ,g(y), h(z)</math>をそれぞれ代入すると、各座標軸方向の傾き（すなわち通常の導関数）を得る。このことからも、勾配がスカラー場の各点に於ける傾きを表すことが判る。 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（'''ハミルトン演算子'''<!-- 壁谷・川上「ベクトル解析入門」での呼称 -->）<math>\nabla</math>を以下のように定義する。 :<math>\nabla=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial{x}}\mathbf{e}_x + \frac{\partial}{\partial{y}} \mathbf{e}_y + \frac{\partial}{\partial{z}} \mathbf{e}_z</math> この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\text{∆}</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 空間偏微分演算子を用いることで、勾配は以下のように略記される。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \nabla F</math> <math>F</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla F</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配を用いて定義される概念として、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>E</math>は :<math>E:=-\mathrm{grad} \, \phi</math> スカラー場の全微分は :<math>dF= \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{F}}{\partial{z}}dz</math> で定義された。 これを内積の成分表示とみると、ベクトル表示は :<math>dF = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> である。 すなわち、スカラー場の全微分は :<math>dF = \nabla F \cdot d\mathbf{v}</math> と表される。 一般に、任意方向Sの単位ベクトルが方向余弦ベクトル<math>\mathbf{n}</math>で表されるとすると、<math>\mathbf{n}</math>方向の方向微分係数は勾配と方向余弦ベクトルの内積で表される。更に、スカラー場の最大傾斜が勾配ベクトル方向であると判る。 ベクトル場の全微分は :<math>d\mathbf{X} = \frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}} \cdot d\mathbf{v}</math> で定義された。 ここでn次行列 <math>\mathbf{A}</math>とn項列ベクトル <math>\mathbf{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \mathbf{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \mathbf{X}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\mathbf{X} = (\nabla \circledast \mathbf{X}) \cdot d\mathbf{v}</math> と表される。 ベクトル変数による微分を考える。ベクトル変数による微分は、変数ベクトルの各成分による偏微分を並べたベクトルで表される。 例えば、 :<math>\frac{df}{d\mathbf{r}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{r_x}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_y}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_z}} \end{pmatrix}</math> である。 これは<math>\mathbf{r}</math>の各成分が直交基底をなすとき、勾配であると考えてよい。 ===発散=== ベクトル場の'''発散'''（divergence）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{div} \, \mathbf{X}= \frac{\partial{X_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{X_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{X_z}}{\partial{z}}</math> 発散は、ベクトル場の各点における指力線ベクトルの流出入量の収支を表す。これは、右辺の式が「各軸方向のベクトルの大きさの変化率の和」になっていることからわかる。「発散」の辞書的定義は「自身から何かを湧出すること」であり、ベクトル場の発散の正負は夫々其の点に於ける指力線ベクトル全体としての流出・流入に対応している。故に、「divergence」を「発散」と訳出したことは妥当と考えられる。 発散はスカラー量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。<math>\mathbf{X}=\begin{pmatrix} X_x \\ X_y \\ X_z \end{pmatrix}</math>より、発散は空間偏微分演算子を用いると以下のように表せる。 :<math>\mathrm{div} \, \mathbf{X}= \nabla \cdot \mathbf{X}</math> 発散を用いた概念として、ガウスの法則が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電場<math>\mathbf{E}</math>、空間の誘電率<math>\varepsilon</math>とすると :<math>\mathrm{div} \, \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}</math> 極座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では<math>\mathrm{div} \, \mathbf{E}=0</math>」を証明することができる。 ベクトル場の存在する3次元領域内に体積<math>\text{∆} v</math>の閉曲面をとる。 閉曲面の有向微小表面積を<math>d\vec{S}</math>とするとき、この微小面を通過する指力線の量は :<math>\mathbf{X}_n dS = \mathbf{X} \cdot d\vec{S}</math>（<math>\mathbf{X}_n</math>は法線成分） である。 この閉曲面全体を出入りする指力線の総量は面積分 :<math>\oint_S \mathbf{X} \cdot d\vec{S}</math> で与えられる。 発散は単位体積当たりの指力線ベクトルの湧出量とも考えられるので、上式を規格化（体積で除）し体積を0に近づけた極限は発散に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \mathbf{X} = \lim_{\text{∆} V \to 0} \frac{1}{\text{∆} V} \oint_S \mathbf{X} \cdot d\vec{S}</math> これを積分形に変形すると、以下の'''ガウスの発散定理'''（Gauss' divergence theorem）を得る。 :<math>\int_{\text{∆} V} \mathrm{div} \, \mathbf{X} dV = \oint_S \mathbf{X} \cdot d\vec{S}</math> 発散はまた、ヤコビ行列の跡に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \mathbf{X} = \mathrm{tr} (\nabla \circledast \mathbf{X})</math> ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」を（暗黙の諒解として）回転軸に対して右螺子の向きにとることにする（'''右手系'''）。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl、rotation、rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \mathbf{X} = \mathrm{rot} \, \mathbf{X} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{X_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{X_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{X_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{X_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 z軸方向の成分について考える。 z軸方向の回転はフレミングの左手の法則からxy平面内の成分のみが寄与すると考えられる。z軸の正方向の回転を生むには、x軸方向の変化率を大きくしてy軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 x軸方向・y軸方向も同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 ここまで定性的に見てきたが、今度は定量的に考える。 回転の正式な定義は「微小領域境界を線積分した値の微小面積密度を並べたベクトル」である。これは以下のように陰に表示される。 :<math>(\mathrm{curl} \, \mathbf{X}) \cdot \mathbf{n} := \lim_{S\to0} \frac{1}{|S|} \oint_{\partial{S}} \mathbf{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>S</math>は<math>\mathbf{n}</math>を単位法線ベクトルとし点<math>l(\vec{l})</math>を含む微小有向面、<math>\partial{S}</math>はその境界となる微小閉曲線、<math>|S|</math>は<math>S</math>の表面積。 定義に従ってz軸方向の回転の式を導く。<math>C</math>を積分経路とする。 :<math>(\mathrm{curl} \, \mathbf{X})_z = \lim_{\text{∆} S\to0} \frac{1}{|\text{∆} S|} \oint_C \mathbf{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>= \lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \oint_C \mathbf{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( \int_{\text{∆} x} X_x (x, y, z) dl + \int_{\text{∆} y} X_y (x+\text{∆} x, y, z) dl - \int_{\text{∆} x} X_x (x, y+\text{∆} y, z) dl - \int_{\text{∆} y} X_y (x, y, z) dl \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( X_x(x, y, z) \text{∆} x + X_y(x+\text{∆} x, y, z) \text{∆} y -X_x(x, y+\text{∆} y, z) \text{∆} x - X_y(x, y, z) \text{∆} y \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} + \frac{X_y(x+\text{∆} x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x, y+\text{∆} y, z)}{\text{∆} y} - \frac{X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_y(x, y+\text{∆} y, z)-X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x+\text{∆} x, y, z) - X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} \right)</math> :<math>=\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>// 回転はベクトル量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \mathbf{X}= \nabla \times \mathbf{X}</math> と表されることが判る。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ X_x & X_y & X_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\mathbf{E}</math>、磁束密度<math>\mathbf{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \mathbf{E} = -\frac{\partial{\mathbf{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されている。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転の正式な定義から、以下の'''ストークスの定理'''（Stokes' theorem）が成り立つと判る。 :<math>\int_S \mathrm{curl} \, \mathbf{X} \cdot d\vec{S} = \oint_C \mathbf{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>C</math>は閉曲面<math>S</math>の境界曲線。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \mathbf{X} = 2 \mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \mathbf{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \mathbf{X})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \mathbf{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \mathbf{X})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 以下のように'''ラプラス演算子'''（'''ラプラス作用素'''、Laplacian）を定義する。但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 :<math>\text{∆} = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{z^2}}</math> 第二式は通常、[[w:記号の濫用]]により単に<math>\nabla^2</math>と書かれる。 スカラー場の'''ラプラシアン'''を以下のように定義する。 :<math>\text{∆} F = \frac{\partial^2F}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{z^2}}</math> ラプラス演算子の定義により、左辺は以下のように変形される。 :<math>\text{∆} F = \nabla^2 F = \nabla \cdot (\nabla F) = \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, F)</math> スカラー場のラプラシアンは、各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 ベクトル場のラプラシアンは、「各成分のラプラシアンを並べたベクトル」で表される。 :<math>\text{∆} \mathbf{X} = \begin{pmatrix} \text{∆} X_x \\ \text{∆} X_y \\ \text{∆} X_z \end{pmatrix}</math> ベクトル場では以下の等式が成り立つ。 :<math>\text{∆} \mathbf{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \mathbf{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \mathbf{X})</math> 回転が<math>\boldsymbol{0}</math>ならば<math>\text{∆} \mathbf{X} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{X})</math>であり、形式的に<math>(\nabla \cdot) \nabla = \nabla (\nabla \cdot) = \nabla^2</math>が成り立つ。 ラプラシアンは、ポアソン方程式やシュレディンガー方程式、拡散方程式・波動方程式など、物理学の様々な局面で登場する。 ベクトル場<math>\mathbf{X}</math>にスカラー関数<math>\phi</math>を掛けた関数について、その発散は以下であると容易に証明される。 :<math>\mathrm{div} \, (\phi\mathbf{X}) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \mathbf{X} + \phi \mathrm{div} \, \mathbf{X}</math> ここで、<math>\mathbf{X}</math>をスカラー関数<math>\psi</math>の勾配<math>\mathrm{grad} \, \psi</math>と見做すと、 :<math>\mathrm{div} \, (\phi \mathrm{grad} \, \psi) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \mathrm{grad} \, \psi + \phi \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, \psi)</math> 空間偏微分演算子及びラプラス演算子を用いて表記すると、 :<math>\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = \nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi</math> 両辺を三次元領域Vに関して体積分すると、 :<math>\int_V \nabla (\phi \nabla \psi) dV = \int_V (\nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi) dV</math> Vの境界曲面をSとして左辺にガウスの発散定理を適用すると、 :<math>\oint_S (\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi) dV</math> これを'''グリーンの第一定理'''（Green's first theorem）という。 グリーンの第一定理に於いて、<math>\phi</math>と<math>\psi</math>を入れ替えた式は :<math>\oint_S (\psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\psi \text{∆} \phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi) dV</math> 元の式との差をとると :<math>\int_S (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの第二定理'''（Green's second theorem）という。 <math>S</math>の単位法線ベクトルを<math>\mathbf{n}</math>、その方向の軸を<math>n</math>とすると、 :<math>(\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = (\phi \nabla \psi) \cdot \mathbf{n} dS = \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} dS</math> グリーンの第二定理の左辺を書き換えて :<math>\int_S \left( \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi \frac{\partial{\phi}}{\partial{n}} \right) dS = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの定理'''（Green's theorem）という。 ===積分定理=== {{節stub}} この節では、上述したガウスの発散定理、ストークスの定理、グリーンの定理を厳密な議論により証明する。 *ガウスの発散定理の証明 *ストークスの定理の証明 *グリーンの定理の証明 ;補足事項 一般に<math>\mathrm{rot} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{rot} \, \mathbf{X})=0</math>が成り立つ。証明は下記の演習問題で行う。 <math>\mathrm{rot} \, \mathbf{x} = \boldsymbol{0}</math>を満たすベクトル場<math>\mathbf{x}</math>を'''層状ベクトル場'''（lamellar vector field）という。回転を持たないことから'''非回転的ベクトル場'''（irrotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\mathbf{x} = \mathrm{grad} \, f</math>となるスカラー場<math>f</math>が存在する。この<math>f</math>を、<math>\mathbf{x}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）という。 <math>\mathrm{div} \, \mathbf{y} = 0</math>を満たすスカラー場<math>\mathbf{y}</math>を'''管状ベクトル場'''（solenoidal vector field）という。発散を持たないことから'''回転的ベクトル場'''（rotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\mathbf{y} = \mathrm{rot} \, \mathbf{g}</math>となるベクトル場<math>\mathbf{g}</math>が存在する。この<math>\mathbf{g}</math>を、<math>\mathbf{y}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。 スカラーポテンシャル及びベクトルポテンシャルの存在は、[[w:ポアンカレの補題]]の特別な場合であり、ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^n</math>では一般に成り立つ。 ;演習問題 #<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)= \begin{pmatrix} yz \\ zx \\ xy \end{pmatrix}</math>の曲率・捩率・流線方程式を求めよ。但し、 #<math>\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^\sqrt{1-z^2} \int_{-\sqrt{1-z^2-y^2}}^\sqrt{1-z^2-y^2} dxdydz</math>を円筒座標または極座標に変数変換し、計算せよ。 #<math>\mathrm{rot} \, (\mathbf{X}+\mathbf{Y}) = \mathrm{rot} \, \mathbf{X} + \mathrm{rot} \, \mathbf{Y}</math>を示せ。 #<math>\mathrm{curl} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{curl} \, \mathbf{X})=0</math>を証明せよ。 #<math>\text{∆} \mathbf{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \mathbf{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \mathbf{X})</math>を確かめよ。 #線素ベクトル・面素ベクトル・体素を円筒座標系の基本ベクトルを用いて表せ。 #極座標系に於ける勾配・発散・回転・ラプラシアンを導出せよ。 #層状ベクトル場上の線積分は積分経路に依存せず、始点と終点のみに依存することを証明せよ。 #<math>\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} 3x \\ 5y \\ 7z \end{pmatrix}</math>とする。円筒側面<math>x^2+y^2=1, -2\leq z \leq 2</math>上での面積分を求めよ。但し、面積ベクトルは円筒面に対して外向きとする。 ==複素ベクトル解析== [[複素解析学]]も参照。 {{節stub}} ==n次元== {{節stub}} ===多様体=== {{Advanced|多様体論}} ===微分形式=== ===勾配・発散=== {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] odvk6jl8zm9hf18x1cin68rkf5eeoh1 0 47558 298528 298335 2026-04-18T05:56:22Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298528 wikitext text/x-wiki '''概要''' [[ファイル:English pattern jack of hearts.svg|代替文=トランプのジャック|サムネイル|279x279px|トランプのジャック]] スラップジャック（Slapjack）[ジャック叩き]は、トランプを用いて行う反射神経型カードゲームである。 中央にめくられていくカードの中から、特定のカード（通常はジャック）が現れた瞬間に最も早く手で叩いたプレイヤーがカードを獲得する。ブラックジャックと名前が似ているが、ゲームの内容は全く別のゲームである。 == 所要 == プレイ人数　2~6人[推奨] 使用カード　ジョーカーを除く52枚のカード == ルール == ジョーカーを除く52枚のカードを全プレイヤーに配る、各プレイヤーは手札の山を裏向きのまま自分の前に積む。時計回りに、山札の一番上のカードをめくって中央に表向きで出す。出されたカードが「ジャック（J）」の場合、誰でもそのカードを叩く（スラップ）ことができる。<blockquote>'''最も速くスラップしたプレイヤー''' それまで中央に出ていたすべてのカードを獲得し、自分の山札の下に入れる。 '''ジャックではないカードを叩いたプレイヤー''' ペナルティとしてカードを1枚ずつ、他のプレイヤーに渡す。</blockquote> 手札がなくなったプレイヤーは、次のジャックをスラップできなければ脱落状態となる（ただし、完全にゲームから除外されるわけではない）<blockquote> 脱落したプレイヤーは、 '''次、ジャックが出た瞬間に中央の山を叩くことができれば復活''' できる。その場合、中央の山を獲得し、ゲームに戻る。 復活に失敗した場合、そのプレイヤーは完全にゲームから除外される。</blockquote>全てのカードを自分の山札にしたプレイヤーが勝利。 他のプレイヤーがすべて脱落した時点でゲーム終了となる。 == ローカルルール == 絵札（J・Q・K）すべて叩ける同じ数字が連続した場合に叩ける（スナップ混合） 特定のスートのジャックのみ叩ける（難易度上昇） 叩くときに「ジャック！」と宣言しなければ無効とするルール。 誤爆した場合に複数枚のカードを失うなど、より厳しいペナルティを設定する地域もある。 '''このページの出典'''<ref>https://www.pagat.com/slapping/slpjck.html</ref><ref>https://www.parlettgames.uk/child/slapjack.html</ref><ref>https://bicyclecards.com/how-to-play/slapjack/</ref>{{デフォルトソート:すらつふしやつく}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] <references /> [[カテゴリ:反射神経]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] i30df1fdrxju5ontaypdn1f9z3rzxls 2 47561 298509 298483 2026-04-18T04:44:04Z AkiR27User 90873 298509 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※4/15時点 以下のページに気になることがございましたら[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/ババ抜き#七抜き|ババ抜き#七抜き]] '''作成''' * [[トランプ/クロック|クロック]] * [[スラップジャック]] * [[トランプ/かぶ|かぶ]] * [[ペアーズ]] * [[エジプシャン・ラットスクリュー]] * [[カシノ]] * [[トランプ/99|99]] * [[トランプ/スプーン|スプーン]] * [[トランプ/スナップ|スナップ]] * [[スカット]] * [[カナスタ]] * [[トランプ/ユーカ|ユーカ]] * [[トランプ/ピノクル|ピノクル]] * [[トランプ/サブリナ|サブリナ]] * [[トランプ/ブリスコラ・チアマータ|ブリスコラ・チアマータ]] * [[トランプ/ユッシ|ユッシ]] * [[トランプ/インディアン・ポーカー|インディアン・ポーカー]] * [[トランプ/ケンプス|ケンプス]] * [[トランプ/ピッグ|ピッグ]] * [[トランプ/キャッチ・ザ・エース|キャッチ・ザ・エース]] * [[トランプ/カシノ・ウォー|カシノ・ウォー]] * [[トランプ/カウントアップ|カウントアップ]] * [[トランプ/カウントダウン|カウントダウン]] * [[トランプ/カットサート|カットサート]] * [[トランプ/カットスロート・ユーカー|カットスロート・ユーカー]] * [[トランプ/カット・ザ・ナイン|カット・ザ・ナイン]] * [[トランプ/ハイアンドロー|ハイアンドロー]] * [[トランプ/ハイロー|ハイロー]] * [[トランプ/カット・ザ・デック|カット・ザ・デック]] * [[トランプ/オー・ヘル|オー・ヘル]] * [[トランプ/アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー|アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー]]__インデックス__ * [[トランプ/チェイス・ザ・エース|チェイス・ザ・エース]] * [[トランプ/シェリフ|シェリフ]] * [[トランプ/クレイジーエイト|クレイジーエイト]] * [[トランプ/マフィア|マフィア]] * [[トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マナー・エチケット|マナー・エチケット]] * [[トランプ/芋ほり|芋掘り]] * [[トランプ/ジャック叩き|ジャック叩き]] * [[トランプ/ラミー500|ラミー500]] * [[トランプ/31|31]] * [[トランプ/スペード|スペード]] * [[トランプ/500ラミー|500ラミー]] * [[トランプ/ポーカー|ポーカー]] * [[トランプ/スラム|スラム]] * [[トランプ/ナーツ|ナーツ]] * [[トランプ/エジプシャン・ウォー|エジプシャン・ウォー]] * [[トランプ/ビガー・マイ・ネイバー|ビガー・マイ・ネイバー]] * [[トランプ/クリスプ|クリスプ]] * [[トランプ/ジャーマンホイスト|ジャーマンホイスト]] * [[トランプ/スコパ|スコパ]] '''総合ページ''' * [[トランプ/トランプ教科書|トランプ教科書]] * [[トランプ/トランプゲームの分類|トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マオ|マオ]] '''カテゴリ''' * [[:カテゴリ:マオ|マオ]] * [[:カテゴリ:ソリティア|ソリティア]] * [[:カテゴリ:心理戦・ブラフ系|心理戦・ブラフ系]] * [[:カテゴリ:パーティー系|パーティー系]] * [[:カテゴリ:反射神経|反射神経]] * [[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]] * [[:カテゴリ:2人専用のトランプゲーム|2人専用のトランプゲーム]] == '''利用者の声''' == 2026/03/15：wikibooksをやり続けて、デフォルトソートが理解できました。今まで私が過去に作成したページを編集してデフォルトソートを追加・編集してくれた方々、ありがとうございます。 2026/03/20：100回編集達成しました。これからもよろしくお願いします 2026/03/29：まだ未熟なところもありますが、頑張ります！1000回編集目指します!! 2026/04/05：1か月間ページ作成・編集を行っていましたが、口調が堅かったですね…もうちょっとやさしめな感じで、作成します！！ 2026/04/10：作成したページに出典を付けてページの信頼度を高めます！ 2026/04/17：300回編集達成しました！話変わりますが、“自動承認された利用者”は、アカウントし、初編集から4日かつ10回編集が条件なのですが…。まだ「自動承認されました」が来てないのでわかりません…(通知来るのかな…)。 == '''概要''' == 2026/03/03：アカウント作成&初編集 2026/03/04：10回編集達成 2026/03/20：100回編集達成 == '''謝罪''' == ※2026/03/24の活動休止宣言について、混乱を招いてしまい申し訳ありません。気持ちが落ち着いたため、編集を続けることにしました。今後は軽率な宣言を控え、落ち着いて活動していきます。 謝罪ページ知らぬ間に削除していました…申し訳ございません。 39wim1xmh6hq1mya7foq1h96u1prz5j 298526 298509 2026-04-18T05:35:14Z AkiR27User 90873 お知らせ追加 298526 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※4/15時点 以下のページに気になることがございましたら[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/ババ抜き#七抜き|ババ抜き#七抜き]] '''作成''' * [[トランプ/クロック|クロック]] * [[スラップジャック]] * [[トランプ/かぶ|かぶ]] * [[ペアーズ]] * [[エジプシャン・ラットスクリュー]] * [[カシノ]] * [[トランプ/99|99]] * [[トランプ/スプーン|スプーン]] * [[トランプ/スナップ|スナップ]] * [[スカット]] * [[カナスタ]] * [[トランプ/ユーカ|ユーカ]] * [[トランプ/ピノクル|ピノクル]] * [[トランプ/サブリナ|サブリナ]] * [[トランプ/ブリスコラ・チアマータ|ブリスコラ・チアマータ]] * [[トランプ/ユッシ|ユッシ]] * [[トランプ/インディアン・ポーカー|インディアン・ポーカー]] * [[トランプ/ケンプス|ケンプス]] * [[トランプ/ピッグ|ピッグ]] * [[トランプ/キャッチ・ザ・エース|キャッチ・ザ・エース]] * [[トランプ/カシノ・ウォー|カシノ・ウォー]] * [[トランプ/カウントアップ|カウントアップ]] * [[トランプ/カウントダウン|カウントダウン]] * [[トランプ/カットサート|カットサート]] * [[トランプ/カットスロート・ユーカー|カットスロート・ユーカー]] * [[トランプ/カット・ザ・ナイン|カット・ザ・ナイン]] * [[トランプ/ハイアンドロー|ハイアンドロー]] * [[トランプ/ハイロー|ハイロー]] * [[トランプ/カット・ザ・デック|カット・ザ・デック]] * [[トランプ/オー・ヘル|オー・ヘル]] * [[トランプ/アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー|アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー]]__インデックス__ * [[トランプ/チェイス・ザ・エース|チェイス・ザ・エース]] * [[トランプ/シェリフ|シェリフ]] * [[トランプ/クレイジーエイト|クレイジーエイト]] * [[トランプ/マフィア|マフィア]] * [[トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マナー・エチケット|マナー・エチケット]] * [[トランプ/芋ほり|芋掘り]] * [[トランプ/ジャック叩き|ジャック叩き]] * [[トランプ/ラミー500|ラミー500]] * [[トランプ/31|31]] * [[トランプ/スペード|スペード]] * [[トランプ/500ラミー|500ラミー]] * [[トランプ/ポーカー|ポーカー]] * [[トランプ/スラム|スラム]] * [[トランプ/ナーツ|ナーツ]] * 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※2026/03/24の活動休止宣言について、混乱を招いてしまい申し訳ありません。気持ちが落ち着いたため、編集を続けることにしました。今後は軽率な宣言を控え、落ち着いて活動していきます。 謝罪ページ知らぬ間に削除していました…申し訳ございません。 == '''お知らせ''' == 2026/04/18：トランプゲームに関する沢山のページに、私が新しく作ったカテゴリを追加します。編集履歴が同じ時間帯に沢山出てくると思いますが、荒らしではないということをご了承ください。 3rdjlxwte3rrol070o3w8qjbwv0eja8 298527 298526 2026-04-18T05:36:32Z AkiR27User 90873 298527 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※4/15時点 以下のページに気になることがございましたら[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/ババ抜き#七抜き|ババ抜き#七抜き]] '''作成''' * [[トランプ/クロック|クロック]] * [[スラップジャック]] * [[トランプ/かぶ|かぶ]] * [[ペアーズ]] * [[エジプシャン・ラットスクリュー]] * [[カシノ]] * [[トランプ/99|99]] * [[トランプ/スプーン|スプーン]] * [[トランプ/スナップ|スナップ]] * [[スカット]] * [[カナスタ]] * [[トランプ/ユーカ|ユーカ]] * [[トランプ/ピノクル|ピノクル]] * [[トランプ/サブリナ|サブリナ]] * [[トランプ/ブリスコラ・チアマータ|ブリスコラ・チアマータ]] * [[トランプ/ユッシ|ユッシ]] * [[トランプ/インディアン・ポーカー|インディアン・ポーカー]] * [[トランプ/ケンプス|ケンプス]] * [[トランプ/ピッグ|ピッグ]] * [[トランプ/キャッチ・ザ・エース|キャッチ・ザ・エース]] * [[トランプ/カシノ・ウォー|カシノ・ウォー]] * [[トランプ/カウントアップ|カウントアップ]] * [[トランプ/カウントダウン|カウントダウン]] * [[トランプ/カットサート|カットサート]] * [[トランプ/カットスロート・ユーカー|カットスロート・ユーカー]] * [[トランプ/カット・ザ・ナイン|カット・ザ・ナイン]] * [[トランプ/ハイアンドロー|ハイアンドロー]] * [[トランプ/ハイロー|ハイロー]] * [[トランプ/カット・ザ・デック|カット・ザ・デック]] * [[トランプ/オー・ヘル|オー・ヘル]] * [[トランプ/アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー|アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー]]__インデックス__ * [[トランプ/チェイス・ザ・エース|チェイス・ザ・エース]] * [[トランプ/シェリフ|シェリフ]] * [[トランプ/クレイジーエイト|クレイジーエイト]] * [[トランプ/マフィア|マフィア]] * [[トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マナー・エチケット|マナー・エチケット]] * [[トランプ/芋ほり|芋掘り]] * [[トランプ/ジャック叩き|ジャック叩き]] * [[トランプ/ラミー500|ラミー500]] * [[トランプ/31|31]] * [[トランプ/スペード|スペード]] * [[トランプ/500ラミー|500ラミー]] * [[トランプ/ポーカー|ポーカー]] * [[トランプ/スラム|スラム]] * [[トランプ/ナーツ|ナーツ]] * [[トランプ/エジプシャン・ウォー|エジプシャン・ウォー]] * [[トランプ/ビガー・マイ・ネイバー|ビガー・マイ・ネイバー]] * [[トランプ/クリスプ|クリスプ]] * [[トランプ/ジャーマンホイスト|ジャーマンホイスト]] * [[トランプ/スコパ|スコパ]] '''総合ページ''' * [[トランプ/トランプ教科書|トランプ教科書]] * [[トランプ/トランプゲームの分類|トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マオ|マオ]] '''カテゴリ''' * [[:カテゴリ:マオ|マオ]] * [[:カテゴリ:ソリティア|ソリティア]] * [[:カテゴリ:心理戦・ブラフ系|心理戦・ブラフ系]] * [[:カテゴリ:パーティー系|パーティー系]] * [[:カテゴリ:反射神経|反射神経]] * [[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]] * [[:カテゴリ:2人専用のトランプゲーム|2人専用のトランプゲーム]] == '''利用者の声''' == 2026/03/15：wikibooksをやり続けて、デフォルトソートが理解できました。今まで私が過去に作成したページを編集してデフォルトソートを追加・編集してくれた方々、ありがとうございます。 2026/03/20：100回編集達成しました。これからもよろしくお願いします 2026/03/29：まだ未熟なところもありますが、頑張ります！1000回編集目指します!! 2026/04/05：1か月間ページ作成・編集を行っていましたが、口調が堅かったですね…もうちょっとやさしめな感じで、作成します！！ 2026/04/10：作成したページに出典を付けてページの信頼度を高めます！ 2026/04/17：300回編集達成しました！話変わりますが、“自動承認された利用者”は、アカウントし、初編集から4日かつ10回編集が条件なのですが…。まだ「自動承認されました」が来てないのでわかりません…(通知来るのかな…)。 == '''概要''' == 2026/03/03：アカウント作成&初編集 2026/03/04：10回編集達成 2026/03/20：100回編集達成 == '''謝罪''' == ※2026/03/24の活動休止宣言について、混乱を招いてしまい申し訳ありません。気持ちが落ち着いたため、編集を続けることにしました。今後は軽率な宣言を控え、落ち着いて活動していきます。 謝罪ページ知らぬ間に削除していました…申し訳ございません。 == '''お知らせ''' == 2026/04/18：トランプゲームに関する沢山のページに、私が新しく作ったカテゴリを追加します。編集履歴(あるのかはわかりませんが…)の同じ時間帯に編集したことが沢山出てくると思いますが、荒らしではないということをご了承ください。 35hts8c653syolz5qyvcp34qq16sth1 298569 298527 2026-04-18T06:40:11Z AkiR27User 90873 完了しました。 298569 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※4/15時点 以下のページに気になることがございましたら[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/ババ抜き#七抜き|ババ抜き#七抜き]] '''作成''' * [[トランプ/クロック|クロック]] * [[スラップジャック]] * [[トランプ/かぶ|かぶ]] * [[ペアーズ]] * [[エジプシャン・ラットスクリュー]] * [[カシノ]] * [[トランプ/99|99]] * [[トランプ/スプーン|スプーン]] * [[トランプ/スナップ|スナップ]] * [[スカット]] * [[カナスタ]] * [[トランプ/ユーカ|ユーカ]] * [[トランプ/ピノクル|ピノクル]] * [[トランプ/サブリナ|サブリナ]] * [[トランプ/ブリスコラ・チアマータ|ブリスコラ・チアマータ]] * [[トランプ/ユッシ|ユッシ]] * [[トランプ/インディアン・ポーカー|インディアン・ポーカー]] * [[トランプ/ケンプス|ケンプス]] * [[トランプ/ピッグ|ピッグ]] * [[トランプ/キャッチ・ザ・エース|キャッチ・ザ・エース]] * [[トランプ/カシノ・ウォー|カシノ・ウォー]] * [[トランプ/カウントアップ|カウントアップ]] * [[トランプ/カウントダウン|カウントダウン]] * [[トランプ/カットサート|カットサート]] * [[トランプ/カットスロート・ユーカー|カットスロート・ユーカー]] * [[トランプ/カット・ザ・ナイン|カット・ザ・ナイン]] * [[トランプ/ハイアンドロー|ハイアンドロー]] * [[トランプ/ハイロー|ハイロー]] * [[トランプ/カット・ザ・デック|カット・ザ・デック]] * [[トランプ/オー・ヘル|オー・ヘル]] * [[トランプ/アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー|アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー]]__インデックス__ * [[トランプ/チェイス・ザ・エース|チェイス・ザ・エース]] * [[トランプ/シェリフ|シェリフ]] * [[トランプ/クレイジーエイト|クレイジーエイト]] * [[トランプ/マフィア|マフィア]] * [[トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マナー・エチケット|マナー・エチケット]] * [[トランプ/芋ほり|芋掘り]] * [[トランプ/ジャック叩き|ジャック叩き]] * [[トランプ/ラミー500|ラミー500]] * [[トランプ/31|31]] * [[トランプ/スペード|スペード]] * [[トランプ/500ラミー|500ラミー]] * [[トランプ/ポーカー|ポーカー]] * [[トランプ/スラム|スラム]] * [[トランプ/ナーツ|ナーツ]] * [[トランプ/エジプシャン・ウォー|エジプシャン・ウォー]] * [[トランプ/ビガー・マイ・ネイバー|ビガー・マイ・ネイバー]] * [[トランプ/クリスプ|クリスプ]] * [[トランプ/ジャーマンホイスト|ジャーマンホイスト]] * [[トランプ/スコパ|スコパ]] '''総合ページ''' * [[トランプ/トランプ教科書|トランプ教科書]] * [[トランプ/トランプゲームの分類|トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マオ|マオ]] '''カテゴリ''' * [[:カテゴリ:マオ|マオ]] * [[:カテゴリ:ソリティア|ソリティア]] * [[:カテゴリ:心理戦・ブラフ系|心理戦・ブラフ系]] * [[:カテゴリ:パーティー系|パーティー系]] * [[:カテゴリ:反射神経|反射神経]] * [[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]] * [[:カテゴリ:2人専用のトランプゲーム|2人専用のトランプゲーム]] == '''利用者の声''' == 2026/03/15：wikibooksをやり続けて、デフォルトソートが理解できました。今まで私が過去に作成したページを編集してデフォルトソートを追加・編集してくれた方々、ありがとうございます。 2026/03/20：100回編集達成しました。これからもよろしくお願いします 2026/03/29：まだ未熟なところもありますが、頑張ります！1000回編集目指します!! 2026/04/05：1か月間ページ作成・編集を行っていましたが、口調が堅かったですね…もうちょっとやさしめな感じで、作成します！！ 2026/04/10：作成したページに出典を付けてページの信頼度を高めます！ 2026/04/17：300回編集達成しました！話変わりますが、“自動承認された利用者”は、アカウントし、初編集から4日かつ10回編集が条件なのですが…。まだ「自動承認されました」が来てないのでわかりません…(通知来るのかな…)。 == '''概要''' == 2026/03/03：アカウント作成&初編集 2026/03/04：10回編集達成 2026/03/20：100回編集達成 == '''謝罪''' == ※2026/03/24の活動休止宣言について、混乱を招いてしまい申し訳ありません。気持ちが落ち着いたため、編集を続けることにしました。今後は軽率な宣言を控え、落ち着いて活動していきます。 謝罪ページ知らぬ間に削除していました…申し訳ございません。 == '''お知らせ''' == <s>2026/04/18：トランプゲームに関する沢山のページに、私が新しく作ったカテゴリ[<nowiki/>[[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]]]を追加します。編集履歴(あるのかはわかりませんが…)の同じ時間帯に編集したことが沢山出てくると思いますが、荒らしではないということをご了承ください</s>。完了しました。 rytb5jnm076onjk48f354pggtuqr3i5 298570 298569 2026-04-18T06:41:47Z AkiR27User 90873 298570 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※4/15時点 以下のページに気になることがございましたら[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/ババ抜き#七抜き|ババ抜き#七抜き]] '''作成''' * [[トランプ/クロック|クロック]] * [[スラップジャック]] * [[トランプ/かぶ|かぶ]] * [[ペアーズ]] * [[エジプシャン・ラットスクリュー]] * [[カシノ]] * [[トランプ/99|99]] * [[トランプ/スプーン|スプーン]] * [[トランプ/スナップ|スナップ]] * [[スカット]] * [[カナスタ]] * [[トランプ/ユーカ|ユーカ]] * [[トランプ/ピノクル|ピノクル]] * [[トランプ/サブリナ|サブリナ]] * [[トランプ/ブリスコラ・チアマータ|ブリスコラ・チアマータ]] * [[トランプ/ユッシ|ユッシ]] * [[トランプ/インディアン・ポーカー|インディアン・ポーカー]] * [[トランプ/ケンプス|ケンプス]] * [[トランプ/ピッグ|ピッグ]] * [[トランプ/キャッチ・ザ・エース|キャッチ・ザ・エース]] * [[トランプ/カシノ・ウォー|カシノ・ウォー]] * [[トランプ/カウントアップ|カウントアップ]] * [[トランプ/カウントダウン|カウントダウン]] * [[トランプ/カットサート|カットサート]] * [[トランプ/カットスロート・ユーカー|カットスロート・ユーカー]] * [[トランプ/カット・ザ・ナイン|カット・ザ・ナイン]] * [[トランプ/ハイアンドロー|ハイアンドロー]] * [[トランプ/ハイロー|ハイロー]] * [[トランプ/カット・ザ・デック|カット・ザ・デック]] * [[トランプ/オー・ヘル|オー・ヘル]] * [[トランプ/アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー|アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー]]__インデックス__ * [[トランプ/チェイス・ザ・エース|チェイス・ザ・エース]] * [[トランプ/シェリフ|シェリフ]] * [[トランプ/クレイジーエイト|クレイジーエイト]] * [[トランプ/マフィア|マフィア]] * [[トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マナー・エチケット|マナー・エチケット]] * [[トランプ/芋ほり|芋掘り]] * [[トランプ/ジャック叩き|ジャック叩き]] * [[トランプ/ラミー500|ラミー500]] * [[トランプ/31|31]] * [[トランプ/スペード|スペード]] * [[トランプ/500ラミー|500ラミー]] * [[トランプ/ポーカー|ポーカー]] * [[トランプ/スラム|スラム]] * [[トランプ/ナーツ|ナーツ]] * [[トランプ/エジプシャン・ウォー|エジプシャン・ウォー]] * [[トランプ/ビガー・マイ・ネイバー|ビガー・マイ・ネイバー]] * [[トランプ/クリスプ|クリスプ]] * [[トランプ/ジャーマンホイスト|ジャーマンホイスト]] * [[トランプ/スコパ|スコパ]] '''総合ページ''' * [[トランプ/トランプ教科書|トランプ教科書]] * [[トランプ/トランプゲームの分類|トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マオ|マオ]] '''カテゴリ''' * [[:カテゴリ:マオ|マオ]] * [[:カテゴリ:ソリティア|ソリティア]] * [[:カテゴリ:心理戦・ブラフ系|心理戦・ブラフ系]] * [[:カテゴリ:パーティー系|パーティー系]] * [[:カテゴリ:反射神経|反射神経]] * [[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]] * [[:カテゴリ:2人専用のトランプゲーム|2人専用のトランプゲーム]] == '''利用者の声''' == 2026/03/15：wikibooksをやり続けて、デフォルトソートが理解できました。今まで私が過去に作成したページを編集してデフォルトソートを追加・編集してくれた方々、ありがとうございます。 2026/03/20：100回編集達成しました。これからもよろしくお願いします 2026/03/29：まだ未熟なところもありますが、頑張ります！1000回編集目指します!! 2026/04/05：1か月間ページ作成・編集を行っていましたが、口調が堅かったですね…もうちょっとやさしめな感じで、作成します！！ 2026/04/10：作成したページに出典を付けてページの信頼度を高めます！ 2026/04/17：300回編集達成しました！話変わりますが、“自動承認された利用者”は、アカウントし、初編集から4日かつ10回編集が条件なのですが…。まだ「自動承認されました」が来てないのでわかりません…(通知来るのかな…)。 == '''概要''' == 2026/03/03：アカウント作成&初編集 2026/03/04：10回編集達成 2026/03/20：100回編集達成 == '''謝罪''' == ※2026/03/24の活動休止宣言について、混乱を招いてしまい申し訳ありません。気持ちが落ち着いたため、編集を続けることにしました。今後は軽率な宣言を控え、落ち着いて活動していきます。 謝罪ページ知らぬ間に削除していました…申し訳ございません。 == '''お知らせ''' == <s>2026/04/18：トランプゲームに関する沢山のページに、私が新しく作ったカテゴリ[<nowiki/>[[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]]]を追加します。編集履歴(あるのかはわかりませんが…)の同じ時間帯に編集したことが沢山出てくると思いますが、荒らしではないということをご了承ください</s>。 上記の件ですが、完了しました。 hl8dj0cummu1vxxg9st81uyo290wohn 298573 298570 2026-04-18T07:43:25Z AkiR27User 90873 298573 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※4/15時点 以下のページに気になることがございましたら[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/ババ抜き#七抜き|ババ抜き#七抜き]] '''作成''' * [[トランプ/クロック|クロック]] * [[スラップジャック]] * [[トランプ/かぶ|かぶ]] * [[ペアーズ]] * [[エジプシャン・ラットスクリュー]] * [[カシノ]] * [[トランプ/99|99]] * [[トランプ/スプーン|スプーン]] * [[トランプ/スナップ|スナップ]] * [[スカット]] * [[カナスタ]] * [[トランプ/ユーカ|ユーカ]] * [[トランプ/ピノクル|ピノクル]] * [[トランプ/サブリナ|サブリナ]] * [[トランプ/ブリスコラ・チアマータ|ブリスコラ・チアマータ]] * [[トランプ/ユッシ|ユッシ]] * [[トランプ/インディアン・ポーカー|インディアン・ポーカー]] * [[トランプ/ケンプス|ケンプス]] * [[トランプ/ピッグ|ピッグ]] * [[トランプ/キャッチ・ザ・エース|キャッチ・ザ・エース]] * [[トランプ/カシノ・ウォー|カシノ・ウォー]] * [[トランプ/カウントアップ|カウントアップ]] * [[トランプ/カウントダウン|カウントダウン]] * [[トランプ/カットサート|カットサート]] * [[トランプ/カットスロート・ユーカー|カットスロート・ユーカー]] * [[トランプ/カット・ザ・ナイン|カット・ザ・ナイン]] * [[トランプ/ハイアンドロー|ハイアンドロー]] * [[トランプ/ハイロー|ハイロー]] * [[トランプ/カット・ザ・デック|カット・ザ・デック]] * [[トランプ/オー・ヘル|オー・ヘル]] * [[トランプ/アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー|アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー]]__インデックス__ * [[トランプ/チェイス・ザ・エース|チェイス・ザ・エース]] * [[トランプ/シェリフ|シェリフ]] * [[トランプ/クレイジーエイト|クレイジーエイト]] * [[トランプ/マフィア|マフィア]] * [[トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マナー・エチケット|マナー・エチケット]] * [[トランプ/芋ほり|芋掘り]] * [[トランプ/ジャック叩き|ジャック叩き]] * [[トランプ/ラミー500|ラミー500]] * [[トランプ/31|31]] * [[トランプ/スペード|スペード]] * [[トランプ/500ラミー|500ラミー]] * [[トランプ/ポーカー|ポーカー]] * [[トランプ/スラム|スラム]] * [[トランプ/ナーツ|ナーツ]] * [[トランプ/エジプシャン・ウォー|エジプシャン・ウォー]] * [[トランプ/ビガー・マイ・ネイバー|ビガー・マイ・ネイバー]] * [[トランプ/クリスプ|クリスプ]] * [[トランプ/ジャーマンホイスト|ジャーマンホイスト]] * [[トランプ/スコパ|スコパ]] '''総合ページ''' * [[トランプ/トランプ教科書|トランプ教科書]] * [[トランプ/トランプゲームの分類|トランプゲームの分類]] * [[トランプ/マオ|マオ]] '''カテゴリ''' * [[:カテゴリ:マオ|マオ]] * [[:カテゴリ:ソリティア|ソリティア]] * [[:カテゴリ:心理戦・ブラフ系|心理戦・ブラフ系]] * [[:カテゴリ:パーティー系|パーティー系]] * [[:カテゴリ:反射神経|反射神経]] * [[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]] * [[:カテゴリ:2人専用のトランプゲーム|2人専用のトランプゲーム]] == '''利用者の声''' == 2026/03/15：wikibooksをやり続けて、デフォルトソートが理解できました。今まで私が過去に作成したページを編集してデフォルトソートを追加・編集してくれた方々、ありがとうございます。 2026/03/20：100回編集達成しました。これからもよろしくお願いします 2026/03/29：まだ未熟なところもありますが、頑張ります！1000回編集目指します!! 2026/04/05：1か月間ページ作成・編集を行っていましたが、口調が堅かったですね…もうちょっとやさしめな感じで、作成します！！ 2026/04/10：作成したページに出典を付けてページの信頼度を高めます！ 2026/04/17：300回編集達成しました！話変わりますが、“自動承認された利用者”は、アカウントし、初編集から4日かつ10回編集が条件なのですが…。まだ「自動承認されました」が来てないのでわかりません…(通知来るのかな…)。 == '''概要''' == 2026/03/03：アカウント作成&初編集 2026/03/04：10回編集達成 2026/03/20：100回編集達成 == '''謝罪''' == ※2026/03/24の活動休止宣言について、混乱を招いてしまい申し訳ありません。気持ちが落ち着いたため、編集を続けることにしました。今後は軽率な宣言を控え、落ち着いて活動していきます。 謝罪ページ知らぬ間に削除していました…申し訳ございません。 == '''お知らせ''' == 2026/04/18：トランプゲームに関する沢山のページに、私が新しく作ったカテゴリ[3人以上で遊べるトランプゲーム]を追加します。編集履歴(あるのかはわかりませんが…)の同じ時間帯に編集したことが沢山出てくると思いますが、荒らしではないということをご了承ください。 すみません。また新しいカテゴリを作成しましたのでよろしくお願いいたします。 hbnxgdikdm75dnsf4dpbtpmxnzp62kf 0 47592 298529 295646 2026-04-18T05:56:53Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298529 wikitext text/x-wiki かぶは、トランプを用いて遊ぶ日本の伝統的な数合わせゲームである。 手札の合計値の下一桁を競う点が特徴で、花札の「こいこい」に似た雰囲気を持つ。 運の要素が強く、少人数から大人数まで幅広く遊ばれている。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚 === カードの点数 === A…1点、2~9…数字通り、10,J,Q,K…0点 合計値の下一桁が最終的な点数となる。 == ゲーム == # プレイヤー全員に2枚のカードを配る。必要に応じて1枚追加で引くルールを採用する場合もある。 # プレイヤーは配られたカードの合計値を計算し、下一桁を自分の点数とする。 例：7と8→合計15→点数は5、Kと9→合計9→点数は9、10と3→合計3→点数は3 最も点数が高いプレイヤーが勝者となる。9が最強であり、これを「'''カブ'''」と呼ぶ。 === ローカルルール === <blockquote>かぶには多くのローカルルールが存在する。以下は代表例である。 * 3 枚目を引くかどうか選べる * 同点の場合は引き分け * A・2・3 の組み合わせを特別役とする * K・Q・J の組み合わせを強い役とする 地域によって大きく異なるため、プレイ前に確認することが望ましい。</blockquote> {{デフォルトソート:かふ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 9kxkfme1u8tjjbeun8nc60qjpccoyns 0 47593 298530 297506 2026-04-18T05:57:47Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298530 wikitext text/x-wiki ペアーズ（Pairs）は、トランプを用いて遊ぶシンプルなカードゲームである。 場に現れるカードの数字が重なるとペナルティとなり、 最終的に獲得したカードの合計点が最も少ないプレイヤーが勝者となる。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚、プレイ人数は一般的に2〜8人。 ペアーズは「'''できるだけカードを取らない'''」ことを目的とするゲームである。 同じ数字のカードが出たときにペナルティとしてカードを引き取るため、 運と判断のバランスが求められる。 == ゲーム == # トランプをよく切り、山札として中央に置く。 # プレイヤーは順番を決め、場には最初の1枚を表向きに置く。 # プレイヤーは順番に山札から1枚カードをめくり、場に表向きで置く。 === ペアができた場合 === <blockquote>場に出ているカードと同じ数字が出た場合、そのプレイヤーは場にあるすべてのカードを引き取る。 引き取ったカードは自分の得点として扱う[Aは1点、2～10は数字通りの点Jは11点、Qは12点、Kは13点となる]</blockquote> === ペアができなかった場合 === <blockquote>そのまま次のプレイヤーに順番が移る。</blockquote>山札が尽きた時点でゲーム終了となる。 各プレイヤーは引き取ったカードの数字を合計し、<u>合計点が最も少ないプレイヤー</u>が勝者となる。 === ローカルルール === <blockquote>10・J・Q・K をすべて 10 として扱う A を 1 ではなく 0 として扱う 場のカードが一定枚数を超えたら強制的に引き取る</blockquote> {{デフォルトソート:へああす}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 6sldn04alubdcuxq1ir65cptwkxbs0x 0 47601 298531 298337 2026-04-18T05:58:54Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298531 wikitext text/x-wiki エジプシャン・ラットスクリュー（ERS）は、トランプを用いて遊ぶ反射神経型のカードゲームである。 プレイヤーは順番にカードを場に出し、特定の組み合わせが現れた瞬間に場のカードに手を置くことで、 そのカードを獲得することができる。 海外では広く知られているが、日本では比較的マイナーなゲームである。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚。一般的なプレイ人数は2〜6人。 場に出されたカードの山を獲得し、 最終的にすべてのカードを集めたプレイヤーが勝者となる。 トランプをよく切り、全プレイヤーに均等に配る。 # 各プレイヤーは自分のカードを裏向きの山札として持つ。（手札を見てはいけない） == ゲーム == プレイヤーは順番に、自分の山札の一番上のカードをめくり、 中央の場に表向きで置く。 ==== スラップ(叩く)条件 ==== 場に出ているカードが以下の条件を満たした場合、 '''最初に場を叩いたプレイヤー'''が場のカードをすべて獲得する。 === 代表的なスラップ条件 === <blockquote>'''ダブル（Double）'''：同じ数字が連続して出る 例：7→7 '''サンドイッチ（Sandwich）'''：同じ数字が1枚挟んで出る 例：5→K→5 '''フェイスカード（絵札）ルール'''： 絵札（J・Q・K・A）が出た場合、次のプレイヤーは 指定ターン数以内に絵札を出さなければならない。 Jは1回ターン、Qは2ターン以内、Kは3ターン以内、Aは4ターン以内<blockquote>'''詳細''' 例として「Q（クイーン）」が出た場合： # あなたの前のプレイヤーがQを出す # あなたは2ターン以内に絵札を出さなければならない # 出せなかったら、Qを出したあなたが場のカードをぜ部獲得する '''絵札を出せた場合''' その絵札を出したプレイヤーに「挑戦権」が移る。 例： あなたがJを出す→次の人が1回目でKを出す → 今度はその次の人が3ターン以内に絵札を出す必要がある つまり、絵札が続くと「挑戦ターン数」がリセットされていく。</blockquote></blockquote> ===== 　スラップに成功した場合 ===== <blockquote>場のカードをすべて自分の山札の下に加える。</blockquote> ===== 　スラップに失敗した場合 ===== <blockquote>自分の山札の一番上のカードを場に追加する（ペナルティ）。</blockquote>山札がなくなったプレイヤーは一時的に脱落する[完全敗退ではない]ただし、脱落してもカードをたたくことができる。もし、スラップに成功すれば復帰できる。復帰できずにゲームが終了した場合、そのプレイヤーは敗退となる。 '''最後までカードを持っていたプレイヤー'''が勝者となる。 {{デフォルトソート:えしふしやんらつとすくりゆう}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] __インデックス__ [[カテゴリ:反射神経]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] ewkyj4ip7cv8814de2mrsxs5iniaqpw 0 47611 298533 295305 2026-04-18T06:00:22Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298533 wikitext text/x-wiki 99（ナインティナイン）は、トランプを使ったシンプルな加算ゲームで、「合計を 99 以下に保つ」ことを目的とする。 運と判断力のバランスが良く、初心者でもすぐ遊べる。 == 所要 == * ジョーカー抜きのトランプ52枚。一般的なプレイ人数は2~6人 * 場の合計値を99以下に保ちながらカードを出し続ける。 99 を超えるカードを出してしまったプレイヤーが負けとなる。 * デッキをよく切り、各プレイヤーに3枚ずつ配る。残りは山札として中央に置く場の合計値は'''0'''からスタートする。 * カードの効果は複数のローカルルールが存在するため、[[99/トランプ#ローカルルール|'''#ローカルルール''']]で紹介する。 == ゲーム == ==== 手番のプレイヤー ==== 手番が来たプレイヤーは以下の通りにプレイする。 <blockquote> '''カードを出す''' * 出したカードの効果を場の合計に反映する * 合計が99を超えたら負け '''山札から1枚補充する''' * 常に手札は3枚にする '''次のプレイヤーに手番が移る''' * 時計回りに進行する </blockquote> === ゲーム終了条件 === * 99を超えるカードを出した時点でゲーム終了。99を超えるカードを出したプレイヤーが負け。 == ローカルルール == 99には地域などでルールが違う === ローカルルールA・数字も効果を持つ === 以下の場合4と9も効果を持つ、日本の家庭ルールでよく見られる {| class="wikitable" !カード !効果 |- |2〜3、5~8 |数字通り |- |4,J |0 |- |9,K |合計を 99 にする |- |10 | -10 |- |Q | +10 |- |A | +1または+11[プレイヤーがどちらかを選択できる] |} === ローカルルールB・効果は絵札のみ === 効果を持つのは絵札のみ、初心者向け {| class="wikitable" !カード !効果 |- |2〜10 |数字通り加 |- |A | +1または+11[プレイヤーがどちらかを選択できる] |- |J |0 |- |Q | +10 |- |K |合計を99にする |} === ローカルルールC・パーティーゲーム寄り === アクションカードが追加される {| class="wikitable" !カード !効果 |- |A |1 |- |2,3,5,9,10 |数字通り |- |4 |次の人をスキップ |- |7 |順番逆回り（UNOのリバース） |- |8 |指名（次に出す人を選べる） |- |J |0 |- |Q | +10 |- |K |99固定 or 0扱い（地域差あり） |} {{デフォルトソート:ないんてえいないん}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] ars2y1yizj1defurofijkzpzm803czv 0 47621 298534 295306 2026-04-18T06:03:50Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298534 wikitext text/x-wiki スプーン（Spoons）は、トランプとスプーンを使って遊ぶパーティーゲーム。 テンポが速く、反射神経と観察力が試される。 人数が多いほど盛り上がるのが特徴。 == 所要 == * ジョーカー抜きのトランプ52枚。（スプーン人数-1本）。プレイ人数は3~10人程度。 * スプーンをテーブル中央に並べる（人数−1本）プレイヤーは円形に座る。ディーラーを1人決める{{Efn|ディーラーもゲームに参加するので人数に換算する。}}。 * 同じ数字のカード4枚を揃え、揃った人はスプーンを取り、一人がスプーンをとった時点で、スプーンを全員で争奪する。スプーンを取れなかった人が負け（椅子取りゲーム方式） == ゲーム == ディーラーはカードを配り、各プレイヤーは4枚持つ、ディーラーは山札から1枚引き、手札に加え、いらないカードを左隣に渡す。受け取ったプレイヤーも同じように、いらないカードを次へ回す。これを'''高速で繰り返す''' === スプーン === * 手札が '''同じ数字4枚''' になったら、そっとスプーンを1本取る。誰かが取ったら、他の人も気づいた時点でスプーンを取ってよい。最後に残った人が負けとなる。 * スプーンを取れなかった人が脱落となり、スプーンを1本減らして次のラウンドへ移る。最後まで残った人が勝者となる。 == 脚注 == {{Notelist}} {{デフォルトソート:すふうん}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] h80c5hjuxipn88iop2na2pigz2hl6i3 0 47622 298535 298336 2026-04-18T06:08:45Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298535 wikitext text/x-wiki スナップ（Snap）は、トランプを使った反射神経系のゲーム。カードを順番にめくり、同じ数字が連続して出たときに最も早く「スナップ」と宣言することで勝敗が決まる。子どもから大人まで楽しめるシンプルなゲーム。 == 所要 == * ジョーカー抜きのトランプ52枚。人数は2~6人程度。 * 同じ数字が連続して出た瞬間に、誰よりも早く「スナップ」と言う。最終的にカードを多く集めた人が勝ち * トランプをよく切り、各プレイヤーに配る。各プレイヤーは自分の山札を裏向きのまま持つ。 == ゲーム == 順番に、自分の山札の一番上のカードを表向きにして場に出す。場に出ているカードの'''一番上の数字と、直前のカードの数字が同じ'''なら、その瞬間に、誰でも「'''スナップ！'''」と宣言してよい。 一番早く宣言した人が、場のカードをすべて獲得し、自分の山札の下に加える 山札がなくなった人は脱落。最後まで残った人が勝者となる。 {{デフォルトソート:すなつふ}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:反射神経]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] a64oibzbssw5romhtkxuj7rpo71v82z 0 47633 298538 295316 2026-04-18T06:16:34Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298538 wikitext text/x-wiki ユーカ（Euchre）は、アメリカやカナダで広く遊ばれているトリックテイキングゲームで、4人・2対2のチーム戦が最も一般的。ジョーカーを最強カードとして扱う独特のルールがあり、短時間で遊べるのが特徴。 == 所要 == トランプの中の【 A・K・Q・J・10・9（各スート）+ジョーカー1枚】→合計25枚を使う。 * ジョーカーは'''「Benny（ベニー）」'''と呼ばれ、最強カード。 * ユーカ最大の特徴はJ（ジャック）が最強クラス[ジョーカーの次]になること。 プレイ人数は4人「2対2のチーム戦」3人・6人用のバリエーションも存在する。 トリックを取り、先に10点に到達すると勝利する。宣言したチーム（メイカー）が3トリック以上取れば得点となる。逆に、宣言して負けると相手に大きな得点が入る。 '''カードの強さ'''<blockquote>(強い順) # ジョーカー（Benny） # Right Bower（ライトバウアー＝トランプスートのJ） # Left Bower（レフトバウアー＝トランプと同色のJ） # A # K # Q # J（同じ色でも同じマークでもないJ） # 10 # 9 例：トランプが♠の場合 * Right Bower：♠J * Left Bower：♣J（同色） </blockquote> == ゲーム == ディーラーを決め、各プレイヤーに5枚配る。山札の一番上を表向きにして場に置く（アップカード）アップカードのスートをトランプにするかどうかを順番に宣言する。 「Order it up」：そのスートをトランプにする。誰も選ばなければ、別のスートを宣言できる。宣言したチームがメイカー（攻撃側）となる。 '''プレイ''' ディーラーの左隣からカードを出す。同じスートのカードを出さなければならない。全員が1枚ずつカードを出して、1番強いカードを出した人が“その束”を取る。その束を'''1トリック'''という。 ユーカでは1ラウンド＝5トリックで構成される。5トリック中、3トリック以上取ればメイカーの得点となる。が、相手に3トリック以上とられると相手に2点を与えることとなる。 点数は以下の通り。 {| class="wikitable" !状況 !得点 |- |メイカーが3〜4トリック取る |1点 |- |メイカーが5トリック全取り（ユーカー） |2点 |- |メイカーが負ける（相手が3以上） |相手に2点 |- |ソロで宣言して5トリック取る |4点 |} '''ソロのルール''' トランプを宣言するときに「Alone（ひとりで）」と言う。パートナーはそのラウンド時は参加不可。自分一人[ソロ]で5トリックに挑み、5トリック全部取れたらソロ成功となり、4点を獲得できる。 ラウンド数は自由に決めてよい。最終的に得点が多かったチームが勝利となる。 {{デフォルトソート:ゆうか}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] pzti6tnuik6ktl75cs9wn7zr6xor0uz 298580 298538 2026-04-18T08:05:53Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298580 wikitext text/x-wiki ユーカ（Euchre）は、アメリカやカナダで広く遊ばれているトリックテイキングゲームで、4人・2対2のチーム戦が最も一般的。ジョーカーを最強カードとして扱う独特のルールがあり、短時間で遊べるのが特徴。 == 所要 == トランプの中の【 A・K・Q・J・10・9（各スート）+ジョーカー1枚】→合計25枚を使う。 * ジョーカーは'''「Benny（ベニー）」'''と呼ばれ、最強カード。 * ユーカ最大の特徴はJ（ジャック）が最強クラス[ジョーカーの次]になること。 プレイ人数は4人「2対2のチーム戦」3人・6人用のバリエーションも存在する。 トリックを取り、先に10点に到達すると勝利する。宣言したチーム（メイカー）が3トリック以上取れば得点となる。逆に、宣言して負けると相手に大きな得点が入る。 '''カードの強さ'''<blockquote>(強い順) # ジョーカー（Benny） # Right Bower（ライトバウアー＝トランプスートのJ） # Left Bower（レフトバウアー＝トランプと同色のJ） # A # K # Q # J（同じ色でも同じマークでもないJ） # 10 # 9 例：トランプが♠の場合 * Right Bower：♠J * Left Bower：♣J（同色） </blockquote> == ゲーム == ディーラーを決め、各プレイヤーに5枚配る。山札の一番上を表向きにして場に置く（アップカード）アップカードのスートをトランプにするかどうかを順番に宣言する。 「Order it up」：そのスートをトランプにする。誰も選ばなければ、別のスートを宣言できる。宣言したチームがメイカー（攻撃側）となる。 '''プレイ''' ディーラーの左隣からカードを出す。同じスートのカードを出さなければならない。全員が1枚ずつカードを出して、1番強いカードを出した人が“その束”を取る。その束を'''1トリック'''という。 ユーカでは1ラウンド＝5トリックで構成される。5トリック中、3トリック以上取ればメイカーの得点となる。が、相手に3トリック以上とられると相手に2点を与えることとなる。 点数は以下の通り。 {| class="wikitable" !状況 !得点 |- |メイカーが3〜4トリック取る |1点 |- |メイカーが5トリック全取り（ユーカー） |2点 |- |メイカーが負ける（相手が3以上） |相手に2点 |- |ソロで宣言して5トリック取る |4点 |} '''ソロのルール''' トランプを宣言するときに「Alone（ひとりで）」と言う。パートナーはそのラウンド時は参加不可。自分一人[ソロ]で5トリックに挑み、5トリック全部取れたらソロ成功となり、4点を獲得できる。 ラウンド数は自由に決めてよい。最終的に得点が多かったチームが勝利となる。 {{デフォルトソート:ゆうか}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] mowr3wuusu4k8nx2yavsxhp3f81x3xt 0 47634 298539 295333 2026-04-18T06:17:18Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298539 wikitext text/x-wiki ピノクル（Pinochle）は、アメリカで人気のあるトリックテイキングゲームで、メルド（組札）による得点とトリックでの得点の両方を競うのが特徴。2人戦・3人戦・4人戦があり、特に4人戦（2対2） が一般的。 == 所要 == トランプ2セットの中の A・10・K・Q・J・9[すべてのスート]を使う。人数は2~4人で遊べる。4人の場合は2対2のチーム戦となる。 メルド（組札）やトリック（勝負）でも得点を獲得。合計点が150点または500点（地域差あり）に先に到達したチームが勝者となる。 '''カードの強さ(トリック時)'''<blockquote>（強い順） # A # 10 # K # Q # J # 9 ※Aと10が上位なのが特徴。</blockquote>ラウンド開始時に、手札から特定の組み合わせを公開して得点する。 各トリックの勝者がカードを獲得できる。点数は以下の通り。 {| class="wikitable" !カード !点数 |- |A |11 |- |10 |10 |- |K |4 |- |Q |3 |- |J |2 |- |9 |0 |} '''主なメルド''' {| class="wikitable" !メルド名 !内容 !点数 |- |Run（ラン） |トランプの A・10・K・Q・J |15点 |- |Marriage（マリッジ） |K＋Q（同スート） |2点（トランプなら4点） |- |Pinochle（ピノクル） |♦J＋♠Q |4点 |- |Double Pinochle |♦J×2＋♠Q×2 |30点 |- |Aces Around |A×4スート |10点 |- |Kings Around |K×4スート |8点 |- |Queens Around |Q×4スート |6点 |- |Jacks Around |J×4スート |4点 |} ※同じカード2枚ずつだと点数が倍以上になる。 ディーラーがカードを配る（4人戦では各プレイヤーに12枚）残りは使わない。 == ゲーム == どのチームがトランプを決めるかを競い、最も高いビッドをしたプレイヤーがトランプスートを宣言宣言したチームはビッド点数以上を取らないと敗北となる。 各プレイヤーが手札からメルドを公開し得点を記録する。メルドしたカードは手札に戻してよい[戻したカードは使える] 最初の人がカードを出し、他の人は同じスートを出さなければならない。全員出した後、出されたカードの中で最も強かったカードを出した人がトリックをとることができる。 メルド点＋トリック点を合計し、ビッドしたチームが目標点に届かなければマイナスとなる。規定点に達するまでゲームを繰り返す。 {{デフォルトソート:ひのくる}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] opmfn3sicxtl5o4x72k763sdu9vvcgn 298581 298539 2026-04-18T09:02:18Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298581 wikitext text/x-wiki ピノクル（Pinochle）は、アメリカで人気のあるトリックテイキングゲームで、メルド（組札）による得点とトリックでの得点の両方を競うのが特徴。2人戦・3人戦・4人戦があり、特に4人戦（2対2） が一般的。 == 所要 == トランプ2セットの中の A・10・K・Q・J・9[すべてのスート]を使う。人数は2~4人で遊べる。4人の場合は2対2のチーム戦となる。 メルド（組札）やトリック（勝負）でも得点を獲得。合計点が150点または500点（地域差あり）に先に到達したチームが勝者となる。 '''カードの強さ(トリック時)'''<blockquote>（強い順） # A # 10 # K # Q # J # 9 ※Aと10が上位なのが特徴。</blockquote>ラウンド開始時に、手札から特定の組み合わせを公開して得点する。 各トリックの勝者がカードを獲得できる。点数は以下の通り。 {| class="wikitable" !カード !点数 |- |A |11 |- |10 |10 |- |K |4 |- |Q |3 |- |J |2 |- |9 |0 |} '''主なメルド''' {| class="wikitable" !メルド名 !内容 !点数 |- |Run（ラン） |トランプの A・10・K・Q・J |15点 |- |Marriage（マリッジ） |K＋Q（同スート） |2点（トランプなら4点） |- |Pinochle（ピノクル） |♦J＋♠Q |4点 |- |Double Pinochle |♦J×2＋♠Q×2 |30点 |- |Aces Around |A×4スート |10点 |- |Kings Around |K×4スート |8点 |- |Queens Around |Q×4スート |6点 |- |Jacks Around |J×4スート |4点 |} ※同じカード2枚ずつだと点数が倍以上になる。 ディーラーがカードを配る（4人戦では各プレイヤーに12枚）残りは使わない。 == ゲーム == どのチームがトランプを決めるかを競い、最も高いビッドをしたプレイヤーがトランプスートを宣言宣言したチームはビッド点数以上を取らないと敗北となる。 各プレイヤーが手札からメルドを公開し得点を記録する。メルドしたカードは手札に戻してよい[戻したカードは使える] 最初の人がカードを出し、他の人は同じスートを出さなければならない。全員出した後、出されたカードの中で最も強かったカードを出した人がトリックをとることができる。 メルド点＋トリック点を合計し、ビッドしたチームが目標点に届かなければマイナスとなる。規定点に達するまでゲームを繰り返す。 {{デフォルトソート:ひのくる}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] mvzbm73ptdxb7vm7mep5fc1q5yo7g8o 0 47635 298540 295350 2026-04-18T06:17:57Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298540 wikitext text/x-wiki サブリナは3人専用のトリックテイキングゲーム。1ラウンドが短く、テンポよく遊べるのが特徴。ハーツと似ているが簡単なゲームである。 トランプ1組の2~6を抜いて、7~K、A[32枚]を使用する。このゲームは3人専用である。 特定のカードを取ると失点してしまう。ラウンド終了時に最も点数が少ない人が勝利となる。 ［カードの強さ］A ＞ K ＞ Q ＞ J ＞ 10 ＞ 9 ＞ 8 ＞ 7 == ゲーム == 各プレイヤーに10枚配る。残りの2枚は場に伏せて捨て札とする。捨て札は誰も見てはいけない。 ディーラーの左隣が最初に出す。他のプレイヤーは同じスートを出さなければならない。同じスートが出せない場合は何を出してもよい。最初に出されたカードと同じスートでスートで最も強いカードを出した人がトリック[出されたカードの束]を取る。失点カードが入っている束を取ると、その点数が全部自分のものになる。<blockquote>サブリナでは、以下のカードを取ると失点になる。 {| class="wikitable" !カード !失点 |- |♠Q |5点 |- |♥A |4点 |- |♥K |3点 |- |♥Q |2点 |- |♥J |1点 |} [[トランプ/ハーツ|ハーツ]]はハートが失点となるが、サブリナは特定のカードだけが失点になるのが特徴。</blockquote>10トリック終わったら、 取った失点カードの合計を記録する。規定ラウンド（例：5ラウンド）終了後、最も失点が少ないプレイヤーが勝利となる。{{デフォルトソート:さふりな}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 2m2r8teb7awwnzftxexeodwldg6mhbp 0 47636 298541 295351 2026-04-18T06:19:13Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298541 wikitext text/x-wiki ブリスコラ・チアマータは、イタリアで広く遊ばれている5人用のトリックテイキングゲームである。通常のブリスコラを拡張した形式で、入札（ビッド）によってトランプのランクを宣言し、そのランクのカードを持つプレイヤーが'''秘密の味方'''になるという点が最大の特徴。 == 所要 == トランプ全カードから8・9・10を抜いたカード。5人専用。 カードのランク<blockquote>（強い順） # '''A（11点）''' # '''3（10点）''' # '''K（4点）''' # '''Q（3点）''' # '''J（2点）''' # '''7・6・5・4・2（0点）''' 合計点数は120点。</blockquote>入札で勝ったプレイヤー（チアマンテ）が宣言した点数以上の得点を、味方と協力して獲得すること。ただし、味方はチアマンテが呼んだランクのカードを持つプレイヤーであり、ゲーム開始時点では誰が味方かは公開されない。 == ゲーム == 各プレイヤーに8枚配る。時計回りに、プレイヤーは「自分が何点取れるか」を宣言する。<blockquote>（例） * 61点 * 62点 * 63点 … * 最大 120点まで </blockquote>最も高い点数を宣言したプレイヤーがチアマンテ（攻撃側）となる。 チアマンテ(攻撃側)はどのランクをトランプにするかを宣言する。<blockquote>（例） * 「A を呼ぶ」 * 「K を呼ぶ」 * 「3 を呼ぶ」 </blockquote>このとき、そのランクのカードを持つプレイヤーが味方になる。ただし、味方は名乗らない。 '''ゲームの流れ''' チアマンテの左隣からカードを出す。カードは同じスートを出さないといけないというルールはない。宣言したランクのスートがトランプとなる。5人の中で最も強いカードを出したプレイヤーがトリックを取る。<blockquote> {| class="wikitable" !カード !点数 |- |A |11 |- |3 |10 |- |K |4 |- |Q |3 |- |J |2 |- |その他 |0 |} チアマンテ＋味方の合計点が'''入札で宣言した点数以上'''なら勝利。届かなければ敗北となる。</blockquote> == チーム構成 == * '''チアマンテ（攻撃側）'''：1名 * '''秘密の味方'''：1名（呼ばれたランクのカードを持つ人） * '''敵チーム'''：残り3名 味方は途中で行動から推測されることが多い。 {{デフォルトソート:ふりすこらちあまあた}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 2dpfupp3dmcvpxmt2qzlzzpxxuyyrkv 298583 298541 2026-04-18T09:04:13Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298583 wikitext text/x-wiki ブリスコラ・チアマータは、イタリアで広く遊ばれている5人用のトリックテイキングゲームである。通常のブリスコラを拡張した形式で、入札（ビッド）によってトランプのランクを宣言し、そのランクのカードを持つプレイヤーが'''秘密の味方'''になるという点が最大の特徴。 == 所要 == トランプ全カードから8・9・10を抜いたカード。5人専用。 カードのランク<blockquote>（強い順） # '''A（11点）''' # '''3（10点）''' # '''K（4点）''' # '''Q（3点）''' # '''J（2点）''' # '''7・6・5・4・2（0点）''' 合計点数は120点。</blockquote>入札で勝ったプレイヤー（チアマンテ）が宣言した点数以上の得点を、味方と協力して獲得すること。ただし、味方はチアマンテが呼んだランクのカードを持つプレイヤーであり、ゲーム開始時点では誰が味方かは公開されない。 == ゲーム == 各プレイヤーに8枚配る。時計回りに、プレイヤーは「自分が何点取れるか」を宣言する。<blockquote>（例） * 61点 * 62点 * 63点 … * 最大 120点まで </blockquote>最も高い点数を宣言したプレイヤーがチアマンテ（攻撃側）となる。 チアマンテ(攻撃側)はどのランクをトランプにするかを宣言する。<blockquote>（例） * 「A を呼ぶ」 * 「K を呼ぶ」 * 「3 を呼ぶ」 </blockquote>このとき、そのランクのカードを持つプレイヤーが味方になる。ただし、味方は名乗らない。 '''ゲームの流れ''' チアマンテの左隣からカードを出す。カードは同じスートを出さないといけないというルールはない。宣言したランクのスートがトランプとなる。5人の中で最も強いカードを出したプレイヤーがトリックを取る。<blockquote> {| class="wikitable" !カード !点数 |- |A |11 |- |3 |10 |- |K |4 |- |Q |3 |- |J |2 |- |その他 |0 |} チアマンテ＋味方の合計点が'''入札で宣言した点数以上'''なら勝利。届かなければ敗北となる。</blockquote> == チーム構成 == * '''チアマンテ（攻撃側）'''：1名 * '''秘密の味方'''：1名（呼ばれたランクのカードを持つ人） * '''敵チーム'''：残り3名 味方は途中で行動から推測されることが多い。 {{デフォルトソート:ふりすこらちあまあた}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] a58ytw7jbjst7z4i5crl7ey47vu3051 0 47637 298542 295649 2026-04-18T06:19:40Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298542 wikitext text/x-wiki ユッシ（Jass[ジャズと発音されることがある]）は、スイスで最も広く遊ばれているトリックテイキングゲームの総称である。特に有名なのはシュナプセン（Schieber Jass）とコイフェル（Coiffeur Jass）で、スイスではテレビ番組・大会・アプリなども存在するほどの国民的ゲームである。 == 所要 == トランプ52枚のA, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6 ×4スートを使用。4人（2対2）が基本。<blockquote>一般的には * シェル（♦） * ローゼン（♥） * シュペード（♠） * アイクル（♣） </blockquote> == カードの強さ == ユッシの最大の特徴は、トランプの強さが独特なことである。 J(バウアー[トランプスートと同スートのJ])＞9(ネル)＞A＞K＞Q＞J(非トランプ)＞10＞9＞8＞7＞6 === トランプ時のの得点 === <blockquote>（トランプ時） * J（バウアー）：20点 * 9（ネル）：14点 * A：11点 * K：4点 * Q：3点 * J（非トランプ）：2点 * その他[10＞8＞7＞6]：0点 * 最後のトリック：5点 </blockquote> === オーバー/ウンター時の強さ/得点 === A＞K＞Q＞J＞10＞9＞8＞7＞6[ウンター時は逆]<blockquote>オーバーとウンター時のカード点数は同じ * A ：11点 * 10：10点 * K：4点 * Q：3点 * J：2点 * その他：0点 * 最後のトリック5点 </blockquote>トリックを取り、カード点を集める。チームで2500点[地域差あり]を先に達成した方が勝利。 == ゲーム == 各プレイヤーに9枚配る。 ディーラーの左隣がトランプスートを選ぶ。選択肢は以下の通り。 * 4スートのいずれか * オーバー （トランプスートは関係なく、高いカードが強いルール）※スイス独自ルール。 * ウンター （トランプスートは関係なく、低いカードが強いルール）※スイス独自ルール。 左側の人から時計回りにカードを出していく。トランプスートを同じマークを出さなければならない。トランプはいつでも切ることができる。全員出したとき、出されたカードの中でカードを出した人がトリック[出されたカード]を取る。9トリックで1ラウンド終了する。最終的に持っている[[トランプ/ユッシ#カードの強さ|カードの点数]]が最も高い人が勝ち。 {{デフォルトソート:ゆつし}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] f62vid08prh1xn9ps89nm8gepmj1w17 298585 298542 2026-04-18T09:05:19Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298585 wikitext text/x-wiki ユッシ（Jass[ジャズと発音されることがある]）は、スイスで最も広く遊ばれているトリックテイキングゲームの総称である。特に有名なのはシュナプセン（Schieber Jass）とコイフェル（Coiffeur Jass）で、スイスではテレビ番組・大会・アプリなども存在するほどの国民的ゲームである。 == 所要 == トランプ52枚のA, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6 ×4スートを使用。4人（2対2）が基本。<blockquote>一般的には * シェル（♦） * ローゼン（♥） * シュペード（♠） * アイクル（♣） </blockquote> == カードの強さ == ユッシの最大の特徴は、トランプの強さが独特なことである。 J(バウアー[トランプスートと同スートのJ])＞9(ネル)＞A＞K＞Q＞J(非トランプ)＞10＞9＞8＞7＞6 === トランプ時のの得点 === <blockquote>（トランプ時） * J（バウアー）：20点 * 9（ネル）：14点 * A：11点 * K：4点 * Q：3点 * J（非トランプ）：2点 * その他[10＞8＞7＞6]：0点 * 最後のトリック：5点 </blockquote> === オーバー/ウンター時の強さ/得点 === A＞K＞Q＞J＞10＞9＞8＞7＞6[ウンター時は逆]<blockquote>オーバーとウンター時のカード点数は同じ * A ：11点 * 10：10点 * K：4点 * Q：3点 * J：2点 * その他：0点 * 最後のトリック5点 </blockquote>トリックを取り、カード点を集める。チームで2500点[地域差あり]を先に達成した方が勝利。 == ゲーム == 各プレイヤーに9枚配る。 ディーラーの左隣がトランプスートを選ぶ。選択肢は以下の通り。 * 4スートのいずれか * オーバー （トランプスートは関係なく、高いカードが強いルール）※スイス独自ルール。 * ウンター （トランプスートは関係なく、低いカードが強いルール）※スイス独自ルール。 左側の人から時計回りにカードを出していく。トランプスートを同じマークを出さなければならない。トランプはいつでも切ることができる。全員出したとき、出されたカードの中でカードを出した人がトリック[出されたカード]を取る。9トリックで1ラウンド終了する。最終的に持っている[[トランプ/ユッシ#カードの強さ|カードの点数]]が最も高い人が勝ち。 {{デフォルトソート:ゆつし}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] pmkqcrkjuer2sbhq8bsfxg3s2rm6at6 0 47639 298543 298301 2026-04-18T06:20:05Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298543 wikitext text/x-wiki インディアン・ポーカーは、自分のカードだけ見えない状態で勝負する心理戦中心のトランプゲームである。他人のカードは見えるが、自分のカードは見えないため、相手の表情・反応・賭け方を読み取ることが重要。今回はチップを使わない簡易版も紹介する。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚。一般的に2〜10人。 自分のカードの強さを推理し、勝負に勝ってまたはポイントを増やす。 == ゲーム == 各プレイヤーに1枚ずつカードを配り、プレイヤーはカードを見ずに額に掲げる【他人のカードは見えるが、自分のカードは見えない】<blockquote>ポーカーと同様に、以下の行動が可能： # '''ベット'''（賭ける） # '''コール'''（続ける） # '''レイズ'''（賭け金を上げる） # '''フォールド'''（降りる） </blockquote>チップを使わない簡易版では <blockquote>以下の行動が可能 # 勝負する # 降りる </blockquote>最後まで勝負に残ったプレイヤー同士でカードを公開。最も強いカードを持つプレイヤーが勝利。場に出ているチップ[簡易版の場合はポイント]をすべて獲得。カードの強さは通常のポーカーと同じ：A ＞ K ＞ Q ＞ J ＞ 10 ＞ … ＞ 2 カードを回収し、再び1枚ずつ配って同じ手順を繰り返す。 {{デフォルトソート:いんていあんほおかあ}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:心理戦・ブラフ系]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] b4x3mly2t4ukb9juo8er0ljko8btjqi 0 47641 298544 295595 2026-04-18T06:20:49Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298544 wikitext text/x-wiki ケンプス（Kemps）は、2人1組のペアで戦う心理戦＋スピード＋観察力のカードゲームである。目的は、自分が[又は味方が]同じ数字のカード4枚（フォーカード）を揃え、揃えたら秘密の合図を送り[又は受け取り]、味方[又はあなたが]が「Kemps!」と宣言すること。逆に、相手チームの合図を見破って 「カウンター（Cut!）」と宣言することもできる。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚。基本は4人[2対2]だが基本6人[3対3]や8人[4対4]でも遊べる。 ペアを決め、向かい合って座り、ゲーム開始前に、ペア[チーム]ごとに秘密の合図を決める。 * バレたら負けなので、自然な動作が理想。 == ゲーム == 全員に4枚ずつ配り、中央に4枚を並べる。プレイヤーは、自由に高速に、手札のいらないカードを場に捨て、場のカードを取って手札にする。 同じ数字4枚が揃ったら、 パートナー[味方]にゲーム前に決めた秘密の合図を送り、合図を受け取ったパートナー[味方]が「'''Kemps!'''［ケンプス］」と言えば1ポイント。もし、相手チームが合図を送っていると感じたら、「'''Cut!'''[カット]」と宣言できる。もし相手がフォーカードであればカウンター成功で1ポイント獲得できるが、相手がまだ揃っていない場合はカウンター失敗となる。先に5ポイントとったチームの勝利した。 {{デフォルトソート:けんふす}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 3d9cm49v2wrzrv5c5en9gzrlk4q67pp 0 47645 298545 295645 2026-04-18T06:21:24Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298545 wikitext text/x-wiki ピッグ（Pig）は、ケンプスの簡易版で盛り上がるパーティーゲーム。4枚同じ数字を揃えたら鼻を触る（又は決めた合図）というのが特徴。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚。プレイ人数は3~8人。 同じ数字4枚[フォーカード]を揃え、鼻を触るなどの合図が出来ると勝利。合図を見破ると逆転できる == ゲーム == 全員で共通の合図を決め、各プレイヤーに4枚配り、残りは山札にする。 手番のプレイヤーは山札から1枚引き、いらないカードを1枚、左隣に渡す[ローカルルールとして全員同時の場合もある。それを繰り返す。 同じ数字4枚が揃ったら、そっと合図をする。合図ができたら勝利。 誰かが合図をしているのに気づいたら「ピッグ！」と叫び阻止できる。阻止できたらその人が勝利。 {{デフォルトソート:ひつく}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] loq6b3ivvhwtnfco0cravm9693h34pa 0 47647 298546 295679 2026-04-18T06:21:54Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298546 wikitext text/x-wiki キャッチ・ザ・エース は、特定のカード（多くはA=エース）を引いたプレイヤーが、こっそり合図を送り、他の人がそれに気づけるかを競うゲーム。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚のトランプ。プレイ人数は3~8人。 エースを引いたら合図を送り、送れた場合は勝利する。合図を送った人、又は見破った人が勝利。 == ゲーム == 全員に1枚配る。配られたカードが、エースだった場合は合図を送る。エースを持って、合図ができたら勝利となるが、もし誰も持っていない場合はもう一度配る。 誰かが合図していると気づいたら、'''「キャッチ！」'''と宣言する。成功した場合はその人が勝利となるが、もし空振りしてしまった場合は敗北となる。 {{デフォルトソート:きやつちさええす}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] rncvja21mgszlkiof4plauye67nqswu 0 47648 298547 295680 2026-04-18T06:22:27Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298547 wikitext text/x-wiki カシノ・ウォー（Casino War）は、「1枚ずつカードを出して、強い方が勝つ」というシンプルなゲーム。カジノにも存在する。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚。プレイ人数は2人以上。[ディーラーvsプレイヤー] ===== カードの強さ ===== A ＞ K ＞ Q ＞ J ＞ 10 ＞ … ＞ 2 == ゲーム == === '''ベット[賭け]''' === * チップの代わりに、ポイント[例：最初のポイントは10点]を賭けたい数だけ賭ける。 * ディーラー（親）とプレイヤーに1枚ずつ裏向きに配り、同時に表向きにし、強いカードを出した方が勝利となる。もしプレイヤーが勝利できたら、賭けた分だけ2倍になる。 === '''ウォー''' === 同じ数字が出たら'''ウォー'''と言う。 * 追加で3枚伏せて配り、4枚目を表にし、そのカードで勝った方が勝利。 {{デフォルトソート:かしのうおお}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] __インデックス__ [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] cl0r5r15cgik3clsnr71vi51ecy75fb 0 47654 298549 295701 2026-04-18T06:25:02Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298549 wikitext text/x-wiki カウントダウン（Countdown）は、手札の数字を使って場の合計値を0に近づけることを目的とした、シンプルで戦略性のあるカードゲームである。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚。プレイ人数は2~6人。 場の合計値を0にする。できなかった場合はラウンド終了時、0に最も近いプレイヤーが勝利。 各プレイヤーに5枚ずつ配り、残りを山札として中央に置く。 ===== 場の合計値の設定 ===== 場の合計値を50に設定する<blockquote>'''設定のバリエーション''' * 短時間で遊ぶ場合：30 * 長時間で遊ぶ場合：100 </blockquote> ===== カードの値 ===== {| class="wikitable" !カード !値 |- |2〜10 |数字通り |- |J,Q,K |11,12,13 |- |A |1（または14にしてもよい） |} == ゲーム == 手版のプレイヤーは出したカードの値を場の合計値から引く。 * 「例：合計が50→7を出す→合計は43」 山札から1枚引き、手札を常に5枚に戻す。次のプレイヤーに移る。 '''合計が0になったら、そのプレイヤーが勝利。0を下回った場合は、そのプレイヤーは敗北となる。''' * 誰かが敗北した場合、そのゲームは終了。0に最も近いプレイヤーが勝利。 {{デフォルトソート:かうんとたうん}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] dgt0awjudv6vacj4ouhg6c3gx5al9ee 0 47655 298548 295702 2026-04-18T06:24:35Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298548 wikitext text/x-wiki カウントダウン（Count up）は、手札の数字を使って場の合計値を100に近づけることを目的としたカードゲームである。このゲームは[[トランプ/カウントダウン|'''カウントダウン''']]と類似ゲームである == 所要 == '''[[トランプ/カウントダウン#所要]]'''の1,3行目,6行目の表を参照 2行目　場の合計値を100にする。出来なければラウンド終了時、100に最も近いプレイヤーが勝利。 == ゲーム == '''[[トランプ/カウントダウン#ゲーム]]'''の2行目 1行目訂正　手版のプレイヤーは出したカードの値を場の合計値から引く。 * 「例：合計が50→7を出す→合計は57」 4行目訂正 '''合計が100になると、そのプレイヤーが勝利。100を上回る場合は、そのプレイヤーは敗北となる。''' * 誰かが敗北した場合、そのゲームは終了。100に最も近いプレイヤーが勝利。 {{デフォルトソート:かうんとあつふ}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] khu8kq24lbv5fm33zumglkagoovpva2 0 47656 298550 295769 2026-04-18T06:25:29Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298550 wikitext text/x-wiki カットサート（Cutthroat）は、3人で遊ぶユーカー（Euchre）のバリエーションで、全員が敵（ノーパートナー）となるトリックテイキングゲームである。 実際には、カットスロート・ユーカー（Cutthroat Euchre）と呼ばれることが多い。 == 所要 == トランプの9,10,J,Q,K,A[すべてのスート]のカード[24枚]を使用。3人専用。 ==== カードの強さ ==== <blockquote>(強い順) # Right Bower（ライトバウアー＝トランプ[切り札]と同じスートのJ） # Left Bower（レフトバウアー＝トランプと同色のJ） # A # K # Q # J（同じ色でも同じマークでもないJ） # 10 # 9 </blockquote> == ゲーム == 各プレイヤーに5枚配り、残りのカードは山札として中央に置く。山札の一番上を表にする。 ディーラーの左隣から順にそのスートを切り札にするかをを選ぶ。誰かがそのスートを選択したら、そのスートがトランプになる。全員がパスしたらもう一回。 ディーラーの左隣が手番。以降は時計回り。トランプと同じスートを持っていれば必ず出さなければならないが、持っていなければ何を出してもよい。全員出した時、最も強いカードを出した人がトリックと、出されたカードの束を取る。5トリック行う。 5トリック行い、得点を換算する。 ==== 得点 ==== <blockquote>'''3トリック以上取る'''…1点 '''5トリック取る[マーチ]'''…2点又は[3点] '''0トリック[ノートリック]'''…-1点</blockquote>何ラウンドか対戦し、結果的に得点が最も高かったプレイヤーが勝利。 {{デフォルトソート:かつとさあと}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] oabx278eo1k902a89xchzp0b4gm8uo5 298586 298550 2026-04-18T09:06:18Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298586 wikitext text/x-wiki カットサート（Cutthroat）は、3人で遊ぶユーカー（Euchre）のバリエーションで、全員が敵（ノーパートナー）となるトリックテイキングゲームである。 実際には、カットスロート・ユーカー（Cutthroat Euchre）と呼ばれることが多い。 == 所要 == トランプの9,10,J,Q,K,A[すべてのスート]のカード[24枚]を使用。3人専用。 ==== カードの強さ ==== <blockquote>(強い順) # Right Bower（ライトバウアー＝トランプ[切り札]と同じスートのJ） # Left Bower（レフトバウアー＝トランプと同色のJ） # A # K # Q # J（同じ色でも同じマークでもないJ） # 10 # 9 </blockquote> == ゲーム == 各プレイヤーに5枚配り、残りのカードは山札として中央に置く。山札の一番上を表にする。 ディーラーの左隣から順にそのスートを切り札にするかをを選ぶ。誰かがそのスートを選択したら、そのスートがトランプになる。全員がパスしたらもう一回。 ディーラーの左隣が手番。以降は時計回り。トランプと同じスートを持っていれば必ず出さなければならないが、持っていなければ何を出してもよい。全員出した時、最も強いカードを出した人がトリックと、出されたカードの束を取る。5トリック行う。 5トリック行い、得点を換算する。 ==== 得点 ==== <blockquote>'''3トリック以上取る'''…1点 '''5トリック取る[マーチ]'''…2点又は[3点] '''0トリック[ノートリック]'''…-1点</blockquote>何ラウンドか対戦し、結果的に得点が最も高かったプレイヤーが勝利。 {{デフォルトソート:かつとさあと}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] rxix2u0oihi825w5cssd15rsuyjcw8q 0 47658 298551 295771 2026-04-18T06:25:52Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298551 wikitext text/x-wiki カット・ザ・ナイン（Cut the Nine）は、手札の合計値が9を超えたら負けという、ブラックジャックの超簡易版のようなカードゲームである。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚。プレイ人数は2～6人。 手札の合計を9以下に保つ。9を超えたら即敗北。最後まで残ったプレイヤーが勝利。 == ゲーム == 各プレイヤーにに3枚ずつ配る[手札は自由に見てよい]残りは山札として中央に置く。 === カードの値 === {| class="wikitable" !カード !値 |- |A |1 |- |2〜9 |数字通り |- |10・J・Q・K |0（または10扱いのルールもある） |} === 手番プレイヤーはカードを1枚出す === 出したカードの値を'''自分の合計に足す'''[例:合計4→3を出す→合計7] 合計が9を超えたらそのプレイヤーは脱落。手札は捨て札にし、出した後は山札から1枚引き、手札は常に3枚にし、次のプレイヤーに手番が移る。最後の一人になるまでゲームは続行。最後まで生き残ったプレイヤーが勝利。 {{デフォルトソート:かつとさないん}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] ejy8v4r56un7romz1cnavafz652vsx6 0 47660 298552 295772 2026-04-18T06:26:21Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298552 wikitext text/x-wiki '''ハイアンドロー（High and Low）'''は、「次にめくるカードが今より'''高い[High]'''か'''低い[Low]'''かを予想する」だけのシンプルな予想ゲームである。 == 所要 == ジョーカーに抜きの52枚のトランプを使用。プレイ人数は1人以上。 カードの強さ：A＞K＞Q＞J＞10＞…＞2 == ゲーム == 山札をよく切り、最初の1枚を表向きに置く。そのカードを基準に予想を始める。 表向きのカードを見て、次のカードが「High（高い）」か「Low（低い）」かを宣言する。 High→8〜A、Low→2〜6、同じ数字は負け扱いにするのが一般的だが、 Even（同じ数字）という選択も追加し、当たれば高得点というバリエーションも存在する。 予想が当たれば続行し、外れたら脱落。 ==== 勝敗の決め方[例] ==== * 最初に外れた人が罰ゲーム * 3回外れたら脱落 * 最後まで残った人が勝ち * 最も多く連続で当てた人が勝ち {{デフォルトソート:はいあんとろお}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] icnfcvy64xo72injzju6e778qcqv2r3 0 47662 298553 295814 2026-04-18T06:26:52Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298553 wikitext text/x-wiki カット・ザ・デック（Cut the Deck）は、山札を好きな位置でカットし、引いたカードの強さを競うだけの超シンプルな運ゲームである。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚を使用。プレイ人数は1人以上。 強い順：A＞K＞Q＞J＞10＞…＞2 == ゲーム == 山札をよく切り、テーブルに伏せて置くき、最初のプレイヤーから順にカットしていく。 山札を好きなところでカットし、カットした位置の一番上のカードを引く。 全員カードを引き、最も強いカードを引いた人が勝利。 {{デフォルトソート:かつとさてつく}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] fu049p4s8mtrti2j49jogx8sxrj0x7c 0 47663 298554 295897 2026-04-18T06:27:22Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298554 wikitext text/x-wiki オー・ヘル（Oh Hell!）は、「自分が何トリック取るかを正確に予想する」ことが目的の世界的に人気のトリックテイキングゲームである。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚を使用。プレイ人数は3~7人。 ===== 目的 ===== * 各ラウンドで「自分が何トリック取るか」を宣言（ビッド）し、その通りに取ること。 * 最終的に最も得点が高いプレイヤーが勝利。 ===== オー・ヘルの特徴 ===== * オー・ヘルの特徴は、ラウンドごとに配る枚数が変わること。 * 例：1枚→2枚→3枚→…→10枚→9枚→…→1枚のように「山型」に進行する。 ===== 準備 ===== * ディーラーを決め、ラウンドごとに決められた枚数を配る。 * 山札の次の1枚を表にして切り札となるスートを決める。 * [切り札が不要な“ノートランプラウンド”を採用することもある] == ゲーム == ===== ビット ===== <blockquote>ディーラーの左隣から順に「このラウンドで何トリック取るか」を宣言する。 最後のプレイヤーは全体の合計が配られた枚数と一致するビッドを禁止。</blockquote> ===== トリック ===== <blockquote>切り札となるスートと同じスートを出さなければならない。できない場合は何を出してもよい。だが切り札と同じスートが最も強い。トリック勝者は出された全てのカードの束を獲得できる。トリック勝者は、次のリードを行う</blockquote> ===== ラウンド終了 ===== * ビッド通りに取った場合→10点＋取ったトリック数 * ビッドを外した場合 →0点 全ラウンド終了後、'''最も得点が高いプレイヤー'''が勝利。 {{デフォルトソート:おおへる}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] k0f6a8yjjpxqx2rlgmycssrzckjvkek 298587 298554 2026-04-18T09:06:56Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298587 wikitext text/x-wiki オー・ヘル（Oh Hell!）は、「自分が何トリック取るかを正確に予想する」ことが目的の世界的に人気のトリックテイキングゲームである。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚を使用。プレイ人数は3~7人。 ===== 目的 ===== * 各ラウンドで「自分が何トリック取るか」を宣言（ビッド）し、その通りに取ること。 * 最終的に最も得点が高いプレイヤーが勝利。 ===== オー・ヘルの特徴 ===== * オー・ヘルの特徴は、ラウンドごとに配る枚数が変わること。 * 例：1枚→2枚→3枚→…→10枚→9枚→…→1枚のように「山型」に進行する。 ===== 準備 ===== * ディーラーを決め、ラウンドごとに決められた枚数を配る。 * 山札の次の1枚を表にして切り札となるスートを決める。 * [切り札が不要な“ノートランプラウンド”を採用することもある] == ゲーム == ===== ビット ===== <blockquote>ディーラーの左隣から順に「このラウンドで何トリック取るか」を宣言する。 最後のプレイヤーは全体の合計が配られた枚数と一致するビッドを禁止。</blockquote> ===== トリック ===== <blockquote>切り札となるスートと同じスートを出さなければならない。できない場合は何を出してもよい。だが切り札と同じスートが最も強い。トリック勝者は出された全てのカードの束を獲得できる。トリック勝者は、次のリードを行う</blockquote> ===== ラウンド終了 ===== * ビッド通りに取った場合→10点＋取ったトリック数 * ビッドを外した場合 →0点 全ラウンド終了後、'''最も得点が高いプレイヤー'''が勝利。 {{デフォルトソート:おおへる}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] abe92qzmktasb7s0f3c7ale8ukstk7g 0 47666 298536 296138 2026-04-18T06:09:19Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298536 wikitext text/x-wiki スカット（Scat）は、トランプを使って遊ぶ「31点系」のゲームで、手札3枚の合計を31点に近づけることを目的とする。ブラックジャックより簡単で、短時間で遊べるのが特徴。 == 所要 == ジョーカー抜きのトランプ52枚。プレイ人数は2~9人推奨 * 手札3枚のうち、'''同じスート'''で31点に最も近い合計を作る。 * ラウンドごとに最下位のプレイヤーが脱落し、最後まで残った人が勝者 {| class="wikitable" !カード !点数 |- |A |11 |- |K / Q / J |10 |- |10〜2 |数字のまま |} '''同じスート'''（♥♦♣♠）'''の合計のみ'''を使う。 == ゲーム == 各プレイヤーに3枚ずつ配り、残りを山札として中央に置く。それに加え、捨て札置き場を用意する。 自分の番になったら、以下のどちらかを行う。 * 山札から1枚引き、不要な1枚を捨てる * 捨て札の一番上を取って、不要な1枚を捨てる 手札は常に3枚にする。 === ノック（Knock） === <blockquote>手札が十分強いと思ったら、'''「ノック」'''と宣言してラウンドを終了させる。 * ノック後、他のプレイヤーは1回だけ行動できる * その後、全員が手札を公開する </blockquote>31点に最も近いプレイヤーが勝ち。最下位のプレイヤーは脱落する。そして次のラウンドに移る。 最後まで残ったプレイヤーが勝者となる。 == ルール == '''31点ちょうど'''を作った場合、即座に「スカット！」と宣言し、そのラウンドは自動勝利 同点の場合は引き分けとなる。 ローカルルールとして、ノック後の行動を「引くのみ」に制限する場合もある。 == バリエーション == {| class="wikitable" |} '''Blitz（ブリッツ）'''：31が出た場合、他の全員が脱落する。 '''Ride the Bus'''：ノックなしで全員が勝負する。 '''31（サーティワン）'''：日本でも遊ばれる簡易版。 {{デフォルトソート:すかつと}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 0s244omr1b00ghnbnc13szp3fsdz522 0 47667 298537 296140 2026-04-18T06:11:28Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298537 wikitext text/x-wiki カナスタ（Canasta） は、ラミー系のカードゲームで、 同じ数字のカードを7枚以上集める「メルド」 を作ることを目的とする。 2人戦・4人戦（2対2）が一般的で、戦略性が高く、世界中で遊ばれている。 == 所要 == ジョーカー含めた'''トランプ2組'''（108枚）プレイ人数は2人または4人（2対2のチーム戦） 同じ数字のカードを集めてメルド（組札）を作る。特に7枚以上のメルド「'''カナスタ」'''を作ると高得点規定点数（例：5000点）に先に到達したプレイヤー（またはチーム）が勝者 カードの点数は以下の通り {| class="wikitable" !カード !点数 |- |ジョーカー |50 |- |2（ワイルド） |20 |- |A |20 |- |K / Q / J / 10 / 9 / 8 |10 |- |7〜4 |5 |- |3（赤） |100（ボーナス） |- |3（黒） |捨て札に置けない特殊カード |} 各プレイヤーに11枚配り、残りを山札として中央に置き、捨て札置き場も作る。 == ゲーム == 自分の番では以下を行う。 '''山札から1枚引く''' * または捨て札の山全体を取る（条件あり） <blockquote>メルドを作る（任意） * 同じ数字のカードを'''3枚以上'''で場に出す * ワイルドカード（ジョーカー・2）は使用可能だが、ワイルドカードの数は自然カードより少なくなければならない </blockquote>手札から1枚捨てて終了 === カナスタ === 同じ数字のカードを7枚以上集めたメルド * '''赤カナスタ'''：ワイルドカードなし（高得点） * '''黒カナスタ'''：ワイルドカードあり == ゲーム終了 == 誰かが手札を出し切るとラウンド終了となる。チーム戦では、味方の許可が必要な場合がある。メルドの点数＋ボーナス点を合計する === 点数 === 基本点…メルドに含まれるカードの点数の合計 ボーナス点… {| class="wikitable" !内容 !点数 |- |赤カナスタ |500 |- |黒カナスタ |300 |- |赤い3（1枚） |100 |- |すべての赤い3を集めた |800 |- |上がり（手札を出し切る） |100 |} {{デフォルトソート:かなすた}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] dvz6pzjjpr9cp0a57w2da2zsaq9n8pv 298582 298537 2026-04-18T09:03:21Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298582 wikitext text/x-wiki カナスタ（Canasta） は、ラミー系のカードゲームで、 同じ数字のカードを7枚以上集める「メルド」 を作ることを目的とする。 2人戦・4人戦（2対2）が一般的で、戦略性が高く、世界中で遊ばれている。 == 所要 == ジョーカー含めた'''トランプ2組'''（108枚）プレイ人数は2人または4人（2対2のチーム戦） 同じ数字のカードを集めてメルド（組札）を作る。特に7枚以上のメルド「'''カナスタ」'''を作ると高得点規定点数（例：5000点）に先に到達したプレイヤー（またはチーム）が勝者 カードの点数は以下の通り {| class="wikitable" !カード !点数 |- |ジョーカー |50 |- |2（ワイルド） |20 |- |A |20 |- |K / Q / J / 10 / 9 / 8 |10 |- |7〜4 |5 |- |3（赤） |100（ボーナス） |- |3（黒） |捨て札に置けない特殊カード |} 各プレイヤーに11枚配り、残りを山札として中央に置き、捨て札置き場も作る。 == ゲーム == 自分の番では以下を行う。 '''山札から1枚引く''' * または捨て札の山全体を取る（条件あり） <blockquote>メルドを作る（任意） * 同じ数字のカードを'''3枚以上'''で場に出す * ワイルドカード（ジョーカー・2）は使用可能だが、ワイルドカードの数は自然カードより少なくなければならない </blockquote>手札から1枚捨てて終了 === カナスタ === 同じ数字のカードを7枚以上集めたメルド * '''赤カナスタ'''：ワイルドカードなし（高得点） * '''黒カナスタ'''：ワイルドカードあり == ゲーム終了 == 誰かが手札を出し切るとラウンド終了となる。チーム戦では、味方の許可が必要な場合がある。メルドの点数＋ボーナス点を合計する === 点数 === 基本点…メルドに含まれるカードの点数の合計 ボーナス点… {| class="wikitable" !内容 !点数 |- |赤カナスタ |500 |- |黒カナスタ |300 |- |赤い3（1枚） |100 |- |すべての赤い3を集めた |800 |- |上がり（手札を出し切る） |100 |} {{デフォルトソート:かなすた}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] 7pty61qawyypk6yuoq4c7i6638fa01l 0 47671 298532 297543 2026-04-18T05:59:32Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298532 wikitext text/x-wiki カシノ（Casino）は、トランプを用いて遊ぶ伝統的なカード獲得ゲームである。 場に出ているカードと手札のカードを組み合わせ、'''数字の合計が一致するようにカードを取る'''のが特徴である。 イタリアやアメリカで古くから遊ばれているが、日本では比較的知られていない。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚。一般的なプレイ人数は2〜4人。 カードの点数、A…1点、2~10…数字通りの点数、J…11点、Q…12点、K…13点 得点計算は別で行う[詳しくは[[カシノ#得点|'''得点''']]で] プレイヤーに4枚ずつカードを配る。場にも4枚を表向きに並べ、残りは山札として置く。 == ゲーム == プレイヤーは手番で以下のいずれかを行う。 ===== '''1,場のカードを取る（キャプチャ）''' ===== 手札のカードを使い、場のカードと '''数字の合計が一致'''するように取る。 「例」手札：8、場：5・3・7→”5+3=8”なので、5と3を取れる→7は取れない ===== 2,場にカードを出す（ビルド）※ローカルルール[完全に必須ではない] ===== ビルドについて詳しい方、加筆をお願いします。 ===== 3,何も取れない場合はカードを出す ===== 場にカードを追加するだけのターンになる。 全員の手札がなくなったら、山札から再び 4 枚ずつ配り続行する。山札が尽きたらラウンド終了。 ※ラウンド数は自由に決めていい。 == 得点 == ラウンド終了後、獲得したカードに応じて得点を計算する。 最も多くのカードをとったプレイヤー…+3点 最も多くのスペードをとったプレイヤー…+1点 スペードの2[ビッグツー]…+1点 ダイヤの10[ビッグテン]…+2点 最終的に得点が最も高いプレイヤーが勝者となる。 {{Stub}}{{デフォルトソート:かしの}} [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:スタブ]] sg6mlcuoypzlqt5m000jn4yny06qoko 0 47676 298555 296039 2026-04-18T06:27:56Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298555 wikitext text/x-wiki アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー（Up and Down the River）は、トリックテイキング系のカードゲームで、各ラウンドごとに配られるカード枚数が増減するのが特徴である。プレイヤーは各ラウンドで「自分が何回トリックを取れるか」を予想し、その的中数に応じて得点を獲得する。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚。プレイ人数は3～7人。 各ラウンドで「自分が何トリック取れるか」を予想し、その予想を的中させ、最終的に最も得点を獲得したプレイヤーが勝者となる。 ===== ラウンド構成 ===== ゲームは複数ラウンドで構成される。 例（4人プレイの場合）1枚配り→2枚配り→ … →13枚配り→12枚配り→ … → 1枚配り この「上り（Up）」と「下り（Down）」がゲーム名の由来。 '''最大配布枚数は、使用するカード枚数（通常52枚）をプレイヤー人数で割った値により決まる。''' ディーラーは各プレイヤーに規定枚数のカードを配る。残りの山札の一番上をめくり、そのスートが 切り札（トランプ）となる。 ===== ビット ===== 全員が、「このラウンドで自分が何トリック取れるか」を順番に宣言する。 == ゲーム == 手版のプレイヤーから時計回りに1枚ずつカードを出す。切り札と同じスートを出すのがルールだが、もし持っていない場合は違うスートでも構わない。 ===== 結果 ===== <blockquote>'''切り札が出ている場合…'''最も強い切り札が勝つ '''切り札が出ていない場合…'''最初に出されたスートの中で最も強いカードが勝つ</blockquote>勝利した場合、トリックをとることができる。 ===== 得点 ===== {| class="wikitable" !条件 !得点 |- |ビッド（予想）が的中 |10点 + 取ったトリック数 |- |ビッドを外した |取ったトリック数のみ（または0点） |} すべてのラウンドが終了したら、合計得点を比較し、最も高いプレイヤーが勝者となる。 == オー・ヘルとの違い == {| class="wikitable" !項目 !アップ・アンド・ダウン・ザ・リバー !オー・ヘル（Oh Hell） |- |'''<small>ゲームの系統</small>''' |<small>オー・ヘルのバリエーション</small><small>で扱われることが多い</small> |元となる代表的ルール |- |'''<small>ラウンド構成</small>''' |<small>人数に応じて最大配布枚数を柔軟に決める</small> |固定構成が多い<small>（例：1→2→→10→…→1）</small> |- |'''<small>最大配布枚数</small>''' |人数によって変動<small>（例：6人なら最大8枚）</small> |多くは10枚前後で固定 |- |'''<small>ビッド制限</small>''' |<small>最後のプレイヤーが「合計一致ビッド禁止」にならない場合がある</small> |<small>最後の</small><small>プレイヤーは「合計がカード枚数と一致するのビッド禁止」が標準</small> |- |'''得点方式''' |地域差が大きい<small>^{（0点方式、ボーナス方式など多様）}</small> |10点＋取ったトリック数が標準 |- |'''切り札の決め方''' |<small>^{山札の1枚}</small><small>^{目が一般的、決めないバリエーションも存在}</small> |山札の1枚めくりで決めるのが標準 |- |'''名称の扱い''' |^{<small>地域によっては「オー・ヘルの別名」として扱われる</small>} |独立したゲーム名として確立 |- |'''プレイ感''' |よりカジュアルでハウスルールが多い |ルールが比較的統一されている |- |'''目的''' |自分のビッドを的中させる |同じくビッドを的中させる |} {{デフォルトソート:あつふあんとたうんさりはあ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 9wilb1hmsu3x8gb71jx6oecs1whtzry 0 47694 298556 296066 2026-04-18T06:28:22Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298556 wikitext text/x-wiki チェイス・ザ・エース（Chase the Ace）は、手札1枚だけで勝負するシンプルなパーティーゲーム。各ラウンドで最も弱いカードを持っていたプレイヤーが負けとなる。カード交換の駆け引きと、最後の公開で盛り上がるのが特徴。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚。プレイ人数は3人以上。 ラウンドごとに最弱カード（通常A）を避ける。最後までライフを残したプレイヤーが勝者。各プレイヤーはライフ（チップ・コインなど）を3つ持つ。ディーラーを決め、全員に1枚ずつカードを配る。 == ゲーム == 数字が大きいほど強い。A（エース）が最弱。 左から順番に以下の行動を選ぶ * '''交換する'''→左隣のプレイヤーとカードを交換する。 ※ただし、左隣がK（キング）を持っていた場合、交換は拒否される（Kは最強） * 交換しない（スタンド）→そのまま保持する。 ディーラーは山札の一番上と交換してもよいが、交換しない選択も可能。 全員がカードを公開し、最弱カードを持っていたプレイヤーがライフを1つ失う。 ライフが0になったプレイヤーは脱落。最後まで残ったプレイヤーが勝者 {{デフォルトソート:ちえいすさええす}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] __インデックス__ __新しい節リンク__ [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 0lgsnw98dlkuqom135gfpg2x11s0n0i 0 47832 298557 298302 2026-04-18T06:28:51Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298557 wikitext text/x-wiki トランプのマフィアは、トランプカードを用いて遊ぶ推理型のパーティーゲームである。一般的な「マフィアゲーム」や「人狼ゲーム」と同様に、プレイヤーは市民陣営とマフィア陣営に分かれ、議論と推理を通して相手陣営を排除することを目的とする。 == 所要 == ジョーカーを含むトランプ54枚。プレイ人数は4~12人。司会は1人（任意） 使用する役職を決め、対応するカードを選び、よく混ぜる。プレイヤーに1枚ずつ裏向きで配り、各プレイヤーは自分のカードを確認し、他者には見せない。 ==== 役職 ==== {| class="wikitable" !役職 !陣営 !対象カード !説明 |- |マフィア |人狼 |絵札（J・Q・K） |夜のターンに市民を1名排除する。 |- |市民 |市民 |数字カード（2〜10） |能力を持たない役職。議論と投票でマフィアを探す。 |} 他の役職は人数に応じて、調整することができる。詳しくは[[トランプ/マフィア#バリエーション|バリエーション]]で。 == ゲーム == ==== 夜のターン ==== <blockquote>司会の指示に従い、プレイヤーは目を閉じて行動する。 * マフィア：目を開け、排除するプレイヤーを1名指名する。 </blockquote> ==== 昼ターン ==== <blockquote>司会が夜の結果を発表する（排除されたプレイヤーがいた場合） 生存者全員で議論を行う。投票により、処刑するプレイヤーを1名決定する。 処刑されたプレイヤーはゲームから退場する。</blockquote>どちらかの陣営の勝利条件に達するまで、繰り返す。 == 勝利条件 == * 市民陣営の勝利：マフィアを全員排除する。 * マフィア陣営の勝利：市民の人数がマフィア以下になる。 == バリエーション == {| class="wikitable" !役職 !陣営 !対象カード !説明 |- |占い師 |市民 |スペード[♠]のA |夜に1名を調査し、マフィアかどうかを知る。 |- |騎士 |市民 |ハート[♥]のA |夜に1名を守り、その人への襲撃を無効化する。 |- |<small>ボディーガード</small> |市民 |クラブ[♣]のA |夜に1名を護衛。その人が襲撃された場合、身代わりに。 |- |霊媒師 |市民 |ダイヤ[♦]のA |襲撃/処刑されたプレイヤーがマフィアかどうかを知る。 |- |村長 |市民 |スペードのK |投票時に票が2票分になる。[人数が多いとき推奨] |- |狼男 |市民 |（任意） |市民陣営だが、占われるとマフィアと判定される。 |- |狂人 |市民 |ジョーカー[色] |市民陣営だが勝利条件はマフィア陣営。マフィアを守る。 |- |暗殺者 |人狼 |スペードのQ |1ゲームだけ、昼に1回即座に1名を排除できる。 |- |恋人 |第三 |同じ数字のペア |2人1組で。どちらかが死ぬともう片方も死亡する。 |- |てるてる坊主 |第三 |ジョーカー[黒] |処刑されると勝利する。 |} あくまでもルールの一例である。 {{デフォルトソート:まふいあ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] __インデックス__ [[カテゴリ:心理戦・ブラフ系]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] pz3gkaups3wz6lnyeasf2w0zzc4cs2u 0 47833 298558 297293 2026-04-18T06:29:22Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298558 wikitext text/x-wiki クレイジーエイト（Crazy Eights）は、トランプを用いて遊ぶカードゲームである。 場に出ているカードと「同じスート」または「同じ数字」のカードを順番に出していき、最初に手札をすべて出したプレイヤーが勝利となる。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚使用。プレイ人数は2人以上。 カードをよくシャッフルし、各プレイヤーに以下の枚数分配る * 2人プレイ:7枚、3〜5人プレイ:5枚 残りのカードは山札とする。山札の一番上を表向きにして捨て札の山を作る。 == ゲーム == プレイヤーは時計回りに手番を行い、以下のいずれかを行う。 ==== カードを出す ==== <blockquote>一番上のカードと'''同じスート'''または'''同じ数字'''のカードを所持している場合、カードを1枚出す。</blockquote> ==== 山札から引く ==== <blockquote>上の条件[カードを出す]の条件を満たさない場合は、山札からカードを1枚引く。引いたカードが出せる場合はカードを出すことができる。 出せない場合は次の人へ手番が移る。</blockquote> ==== 特殊カード[ワイルドカード] ==== <blockquote>8は［カードを出す］条件を満たさない場合でも出すことができる。 さらに、次に出すスートも決めることができる。</blockquote> === ラウンド終了 === 以下の条件を満たした場合はラウンドが終了する。 * 誰かが手札をすべて出した場合。 * 全員が連続でパスした場合 ==== 得点 ==== ラウンド勝者は、他プレイヤーの手札の点数合計を得点として獲得する。 {| class="wikitable" !カード !点数 |- |8 |50点 |- |絵札（J/Q/K） |10点 |- |A |1点 |- |2〜10 |数字通り |} 一定の得点に達したプレイヤーがゲームの勝者となる。 {{デフォルトソート:くれいしいえいと}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 14oywkr9am3ylfex384itoq0oe381ix 0 47835 298559 297309 2026-04-18T06:29:55Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298559 wikitext text/x-wiki シェリフ（Sheriff）は、トランプ21枚を使用して遊ぶ3人専用のトリックテイキングゲームである。 プレイヤーは3つの役割を担当し、それぞれ異なる得点条件を満たすことで勝利を目指す。役割ごとに狙うカードや、価値が変わる点が特徴である。 == 所要 == トランプの、A,K,Q,J,10と、ジョーカー1枚（計21枚）を使用。プレイ人数は3人専用。 ==== カードの強さ ==== カードの強さは以下の通り<blockquote>（強い順） # A # K # Q # J # 10 # ジョーカー ※ジョーカーは最弱のカードだが、</blockquote>すべてのカードをよく混ぜ、各プレイヤーに7枚ずつ配る。 ジョーカーを所持しているプレイヤーは手札を公開せずに「持っている」と宣言する。 ==== 役職決め ==== ジョーカーを所持している人から順に以下の役職を選択する。<blockquote>役職 * 市長（Mayor） * 保安官（Sheriff） * 強盗（Robber） </blockquote>市長が切り札スートを宣言する。「切り札なし」も選択可能。 == ゲーム == 最初のリードは市長から行う。以降は前のトリックの勝者がリードする 切り札スートと同じスートを所持している場合は必ず出さなければならないが、条件を満たさない場合は任意のカードを出すことが可能。 ==== トリックの勝敗 ==== <blockquote>トリックの勝敗は以下の通り。 * 基本[切り札と同じスートが出ていない場合]：リードスートの中で最も強いカードが勝つ * 切り札と同じスートが出た場合：切り札の中で最も強いカードが勝つ </blockquote> ==== ジョーカー ==== 切り札と同じスートのカードを所持したとしても、ジョーカーは'''いつでも出せる'''。'''が、必ず負ける。''' * ジョーカーでリードした場合、次のプレイヤーが自由にスートを決めるリード扱いになる == 得点 == 7トリック終了後、役割ごとに得点を計算する。 === 市長 === * 所持しているQ、J：1枚につき市長に+1点 * 強盗が取った10のカードの枚数分、市長に-1点 === 保安官 === * 所持しているK：1枚につき、保安官に+1点 * ただし取れなかったKの数だけ-1点（最低0点） === 強盗 === * 所持している10の枚数：1枚につき強盗に+1点。市長に-1点 == ゲーム終了 == 誰かが規定点（一般的には8点）に到達したらゲーム終了。同点の場合は延長戦を行う {{デフォルトソート:しえりふ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] filvyqjc5mel8s1rpwdlvvnzsa0gxmz 0 47838 298571 298485 2026-04-18T07:32:41Z AkiR27User 90873 人数系分類を追加 298571 wikitext text/x-wiki このぺージでは、さまざまなトランプゲームをジャンルや人数ごとに分類します。 リンクをクリックすると、そのカテゴリに飛ぶことができます。 === ジャンル系 === * [[:カテゴリ:ソリティア|ソリティア系]] * [[:カテゴリ:心理戦・ブラフ系|心理戦・ブラフ系]] * [[:カテゴリ:トリックテイキング系|トリックテイキング系]] * [[:カテゴリ:パーティー系|パーティー系]] * [[:カテゴリ:ラミー系|ラミー系]] * [[トランプ/トランプゲーム分類:カジノ系|カジノ系]] * [[:カテゴリ:反射神経|反射神経系]] === 人数系分類 === * [[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]] * [[:カテゴリ:2人専用のトランプゲーム|2人専用のトランプゲーム]] {{Stub}}{{デフォルトソート:とらんふけえむのふんるい}} [[カテゴリ:トランプ|*]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:スタブ]] h2z36p3fsxopbebh7sop0mndc2x4gdf 298572 298571 2026-04-18T07:38:58Z AkiR27User 90873 リンク編集 298572 wikitext text/x-wiki このぺージでは、さまざまなトランプゲームをジャンルや人数ごとに分類します。 リンクをクリックすると、そのカテゴリに飛ぶことができます。 === ジャンル系 === * [[:カテゴリ:ソリティア|ソリティア系]] * [[:カテゴリ:心理戦・ブラフ系|心理戦・ブラフ系]] * [[:カテゴリ:トリックテイキング|トリックテイキング系]] * [[:カテゴリ:パーティー系|パーティー系]] * [[:カテゴリ:ラミー|ラミー系]] * [[トランプ/トランプゲーム分類:カジノ|カジノ系]] * [[:カテゴリ:反射神経|反射神経系]] === 人数系分類 === * [[:カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム|3人以上で遊べるトランプゲーム]] * [[:カテゴリ:2人専用のトランプゲーム|2人専用のトランプゲーム]] {{Stub}}{{デフォルトソート:とらんふけえむのふんるい}} [[カテゴリ:トランプ|*]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:スタブ]] gkpki6ujuwtms8pojae7l3sxyh63oe1 0 47853 298560 297500 2026-04-18T06:30:29Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298560 wikitext text/x-wiki 芋掘り（いもほり）は、トランプを使った日本の子ども向けゲームの一つである。場に並べたカードの中から、同じ数字のカードを「芋づる式」に引き当てていくことからこの名前がついたとされる。運と記憶力の両方が試されるゲームである。 == 所要 == * ジョーカー抜きの52枚を使用。プレイ人数は2人以上。 * トランプをよく切り、すべてのカードを裏向きにして、机の上に広げる{{Efn|整列させても、ランダムに散らしてもよい}}。 == ゲーム == # プレイヤーは順番にカードを1枚めくり、めくったカードと同じ数字のカードを、場から探してめくる。 # 同じ数字のカードをすべて見つけられたら、そのカードを「獲得」できる。 # 途中で違う数字をめくってしまったら、そのターンは終了し、カードを元に戻す。 # これを繰り返し、最終的に獲得したカードの枚数が多い人が勝ち。 == バリエーション == 地域や家庭によってルールが異なることがある。 ====== '''めくる数''' ====== <blockquote>'''1.ペア(2枚)で揃える方式''' * 同じ数字のカードを2枚揃えたら獲得する。神経衰弱に近い遊び方。 '''2.4枚揃える方式''' * 同じ数字の4枚セットを揃える。難易度が上がり、記憶力がより重要になる。 '''3.芋づる式連続めくり''' * 同じ数字をめくり続けられる限り、ターンが続く。失敗したら次の人に交代。 </blockquote>カード配置<blockquote>神経衰弱は整然と並べるのが普通。 芋掘りは散らしてもOKというゆるさがある。</blockquote> == 脚注 == {{Notelist}} {{デフォルトソート:いもほり}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] c506l6rc4a6zug6eaaf7zd42lnsnhy8 0 47859 298561 297539 2026-04-18T06:31:05Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298561 wikitext text/x-wiki ラミー500（Rummy 500）、手札から「セット」や「ラン」と呼ばれる組み合わせを作り、それらの価値を点数として積み上げていくカードゲーム。複数のラミー系ゲームの中でも、捨て札の山を自由度高く利用できる点が特徴で、運と戦略の両方が求められる。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚を使用。プレイ人数は2~8人。 * ラウンドごとに獲得した点数を積み重ね、最初に500点以上に到達することが目的。 ディーラーを決め、カードを配る「2人なら13枚、3人以上なら7枚」残りのカードを山札にし、上から1枚を表向きにして捨て札置き場を作る。 == ゲーム == '''1.カードを引く''' 手版のプレイヤーは以下の行動のどちらかを選択する。<blockquote>'''山札から引く''' * 最も基本的な行動。 '''捨て札置き場からカードを取る''' * 取りたいカードより上に積まれているカードは'''すべて一緒に取る'''。 * 取りたいカードはその手番中に'''必ず組み合わせに使う'''必要がある。 * 上に乗っていたカードは使っても使わなくてもよい。 </blockquote>'''2.メルド（組み合わせを場に出す）''' 手札から次のいずれかを作って場に置く。<blockquote>'''セット''' * 同じ数字のカード3〜4枚。例：8を3枚、Jを4枚 '''ラン''' * 同じスートで数字が連続するカード3枚以上。例：♥2-3-4、♠9-10-J-Q * A は2の前にもKの後にも置けるが、K–A–2を場に出すことは出来ない。 </blockquote>'''3.レイオフ（セットやランに追加する）''' 場にある既存の組み合わせにカードを追加できる。 * 他のプレイヤーの組み合わせにも追加できるが、 追加したカードは自分の得点として扱われる。 <blockquote>例： 8が3枚のセットに、8を追加。 ♥3-4-5のランに、♥2（又は♥6）を追加。</blockquote>'''4.捨て札''' 手札から1枚を捨てて手番終了。 === ラウンド終了条件 === <blockquote>次のいずれかでラウンドが終わる。 * 誰かが手札をすべて使い切った場合。 * 山札が尽きた場合 </blockquote> == 得点計算 == '''加点（プラス点）''' {| class="wikitable" !カード !点数 |- |数字（2~10）カード | +数字の値点「例：2なら+2点」 |- |絵札（J,Q,K）カード | +10点 |- |A | +15点 |- |ジョーカー（ワイルドカードとして使った場合） | +15点 |} '''減点（マイナス点）''' * 手札に残ったカードは上記と同じ点数をマイナスとして計算する。 === 勝利条件 === * 合計点が'''500点以上'''になったプレイヤーが勝ち。 * 同じラウンドで複数が500点を超えた場合は、最も高い点数のプレイヤーが勝つ。 == ローカルルール == '''30点ルール'''：一定点数（例：30点）以上を出さないと加算できない。 '''山札が尽きた場合のルール'''：山札が尽きたら捨て札をシャッフルして続行。 '''捨て札ルール'''：捨て札が他の組み合わせに使える場合に宣言して取るルール。 {{デフォルトソート:らみい500}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] __インデックス__ __新しい節リンク__ [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] s93igv4ri32elooahpeosv8n2eww5vq 0 47861 298562 297884 2026-04-18T06:32:40Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298562 wikitext text/x-wiki スペード（Spades）は、4人で遊ぶトリックテイキング系カードゲームで、2人1組のチーム戦が基本となる。宣言（ビッド）を達成できるかどうかで得点が決まる。ゲーム全体を通してスペードが切り札として扱われるのが特徴。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚を使用。プレイ人数は4人。2対2のチーム戦。チームは向かい合って座る。 ディーラーを決め、各プレイヤーに13枚ずつ配る。 == ゲーム == '''1.ビッド（宣言）'''<blockquote>各プレイヤーは、自分がそのラウンドで取れると思うトリック数を宣言する。 * 0~13までの数字を宣言（チームのビッドは2人の合計値） * 0「ニル」を宣言することも可能。 * ニル「0を宣言」は成功すれば高得点、失敗すれば大きな失点。 </blockquote>'''2.トリック''' 最初のトリックはディーラーの左隣がカードを出す。 次の人は、同じスートを出さなければならないが、ない場合は別のスートでも構わない。 '''スペードはどのカードよりも強い。'''ただし、スペードは'''ブレイク'''されるまで出すことはできない。<blockquote>ブレイク： * 誰かがスペードで他スートを切ったとき 「最初に出されたカードと同じカードがないため、スペードを出した場合」 * または手札がスペードしかないとき </blockquote>'''勝敗''' * スペードが出ていれば、最も強いスペードが勝つ。 * スペードが出ていなければ、リードスートの最も強いカードが勝つ。 '''1トリックにつき13回プレイする。''' == 得点 == ビッド「宣言」を超えて取ったトリックはバッグと呼ぶ {| class="wikitable" !条件 !特典 |- |ビッド達成 |チームのビッド×+10点。バッグ1つにつき +1点 |- |ビッド未達成 |チームのビッド×－10点。 |- |バッグが10個たまった場合 |バッグが10個たまると-100点 |- |ニル（0ビッド） |成功：＋100点。失敗：－100点 |} 500点に到達したチームが勝利。どちらも到達していない場合は、もう1トリックプレイする。 {{デフォルトソート:すへえと}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] qhccbbmnv8fa6z4gdtbt1dq40y412p2 298578 298562 2026-04-18T07:54:48Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298578 wikitext text/x-wiki スペード（Spades）は、4人で遊ぶトリックテイキング系カードゲームで、2人1組のチーム戦が基本となる。宣言（ビッド）を達成できるかどうかで得点が決まる。ゲーム全体を通してスペードが切り札として扱われるのが特徴。 == 所要 == ジョーカー抜きの52枚を使用。プレイ人数は4人。2対2のチーム戦。チームは向かい合って座る。 ディーラーを決め、各プレイヤーに13枚ずつ配る。 == ゲーム == '''1.ビッド（宣言）'''<blockquote>各プレイヤーは、自分がそのラウンドで取れると思うトリック数を宣言する。 * 0~13までの数字を宣言（チームのビッドは2人の合計値） * 0「ニル」を宣言することも可能。 * ニル「0を宣言」は成功すれば高得点、失敗すれば大きな失点。 </blockquote>'''2.トリック''' 最初のトリックはディーラーの左隣がカードを出す。 次の人は、同じスートを出さなければならないが、ない場合は別のスートでも構わない。 '''スペードはどのカードよりも強い。'''ただし、スペードは'''ブレイク'''されるまで出すことはできない。<blockquote>ブレイク： * 誰かがスペードで他スートを切ったとき 「最初に出されたカードと同じカードがないため、スペードを出した場合」 * または手札がスペードしかないとき </blockquote>'''勝敗''' * スペードが出ていれば、最も強いスペードが勝つ。 * スペードが出ていなければ、リードスートの最も強いカードが勝つ。 '''1トリックにつき13回プレイする。''' == 得点 == ビッド「宣言」を超えて取ったトリックはバッグと呼ぶ {| class="wikitable" !条件 !特典 |- |ビッド達成 |チームのビッド×+10点。バッグ1つにつき +1点 |- |ビッド未達成 |チームのビッド×－10点。 |- |バッグが10個たまった場合 |バッグが10個たまると-100点 |- |ニル（0ビッド） |成功：＋100点。失敗：－100点 |} 500点に到達したチームが勝利。どちらも到達していない場合は、もう1トリックプレイする。 {{デフォルトソート:すへえと}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] 4ujdb8b95wjmw6773310ok6f8btlajh 0 47875 298522 298303 2026-04-18T05:25:21Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298522 wikitext text/x-wiki ポーカーは、複数のプレイヤーがカードを組み合わせ、“役”を作り、手札の強さを競い合うゲームです。ここでは点数を使ったゲーム進行(賭けなし)のトランプ遊びとして説明します。{{wikipedia|ポーカー}} == 所要 == [[ファイル:Poker hands - Fr.png|代替文=ポーカーの役一覧|サムネイル|355x355px|ポーカーの役一覧]] ジョーカーを抜いたトランプ52枚を使用。プレイ人数は2人以上。 ポーカーの勝敗は、役の組み合わせの強さにあります。 以下は強い順に並べた役の一覧です。 * '''ロイヤルフラッシュ：'''A・K・Q・J・10 が同じスート * '''ストレートフラッシュ：'''同じスートで連続した5枚 * '''フォーカード：'''同じランク4枚 * '''フルハウス：'''スリーカード＋ワンペア * '''フラッシュ：'''同じスート5枚 * '''ストレート：'''連続した5枚（スート不問） * '''スリーカード：'''同じランク3枚 * '''ツーペア：'''2種類のペア * '''ワンペア：'''同じランク2枚 * '''ハイカード：'''役がない場合、最も高いカードで比較 [[ファイル:Two Pair - Aces and Twos - Poker Hand (15094740846).jpg|代替文=ツーペア|左|サムネイル|239x239ピクセル|ポーカーの役、ツーペアの例]] '''練習''' 左のカードは、何の役と思いますか？下から選んでください。 ツーペア、ストレート、スリーカード 答え：”A,A,2,2,9”のカード5枚。Aのペアに、2のペア、つまり2種類のペアが5枚のカードに含まれているので、'''ツーペア'''ということが分かります。 == ゲーム == '''1,カードを配る''' * 各プレイヤーに一定枚数の手札を配ります。 '''2,交換または公開の段階''' * ゲームの種類に応じて、カード交換や場札の公開が行われます。 '''3,点数のやり取り''' * 最終的に役を比べて、順位に応じて点数をやり取りします。 == 勝敗 == 点数の例「4人で遊ぶ場合」 {| class="wikitable" !順位 !点数 |- |勝者「1位」 | +3 |- |2位 | +1 |- |3位 | -1 |- |最下位 | -3 |} {{デフォルトソート:ほおかあ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:心理戦・ブラフ系]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] o143t90ck25nin8isetb19sptnplbte 0 47884 298497 298456 2026-04-18T00:16:43Z Tomzo 248 /* 成分表示による外積の定義の検証 */ 298497 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直行するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直行の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直行するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直行する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直行するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== {{wikipedia|クロス積}} [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②右手系の方向に、③両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さにとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> :;「外積」の呼称 ::ここまで、[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼んできたが、「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては「外積」で統一する。 :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ② :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、交代法則ということもある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ③ :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記のとおり交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基準ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基準ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3})(x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 ===外積の用途=== ===さらに発展:外積と行列=== {{stub|高}} [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] 9r9kzxpv60thsl2hvw5qddzq96hko93 298584 298497 2026-04-18T09:04:27Z Tomzo 248 298584 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直行するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直行の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直行するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直行する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直行するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== {{wikipedia|クロス積}} [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②右手系の方向に、③両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さにとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> :;「外積」の呼称 ::ここまで、[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼んできたが、「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては「外積」で統一する。 :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ② :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、交代法則ということもある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ③ :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記のとおり交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基準ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基準ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3})(x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 ===外積の応用と用途=== ====平行六面体==== {{wikipedia|平行六面体}} [[File:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|右|250px|サムネイル|ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体]] :原点<math>O</math>ではない、空間上の異なる点<math>A, B, C</math>について<math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}</math> として、点<math>D, E, F, G</math>を<math>\overrightarrow{OD} = \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OE} = \vec{b}+\vec{c}, \overrightarrow{OF} = \vec{c}+ \vec{a}, \overrightarrow{OG} = \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}</math> となるようにとる。 :この、点<math>O, A, B, C, D, E, F, G</math>で囲まれる立体は、6面の平行四辺形で構成されている立体であり平行六面体と呼ばれる。なお、直方体や立方体も平行六面体の一種である。 :（ベクトル方程式としては、<math>s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}</math>ただし<math>0 \le s, t, u \le 1</math>を領域とする立体とも表現される） :;平行六面体の体積 ::この平行六面体の体積は、平行四辺形<math>OADB</math>の面積<math>S</math>に、平行四辺形<math>OADB</math>に相対する平行四辺形<math>CFEG</math>までの距離（高さ）<math>h</math>をかけた<math>Sh</math>である。 ::この値は、外積を使うことにより、簡単に求められる。 :::平行四辺形<math>OADB</math>は、ベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math>により、作られる図形であり、外積の定義から<math>|\vec{a} \times \vec{b}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい。 :::また、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>は、平行四辺形<math>OADB</math>に垂直であることから、高さの方向ベクトルの向きになっている。ここで、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>ともう一つの要素である<math>\vec{c}</math>の成す角を<math>\theta</math>とすると、<math>h = |\vec{c}| \cos \theta</math>となる。 :::<math>\cos \theta</math> を得るのには内積を用いれば良いので、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>と<math>\vec{c}</math>の内積を計算する。 ::::<math> (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = Sh</math> :::と、<math>\cos \theta</math>の値を得るまでもなく、体積を得ることができた。 :したがって、ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体の体積は、<math> |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|</math> と表すことができる。 ===さらに発展:外積と行列=== {{stub|高}} [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] 381o5l80ubggtxskrwjhvq2zostc0j2 298588 298584 2026-04-18T09:07:25Z Tomzo 248 /* 平行六面体 */ 298588 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直行するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直行の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直行するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直行する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直行するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== {{wikipedia|クロス積}} [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②右手系の方向に、③両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さにとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> :;「外積」の呼称 ::ここまで、[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼んできたが、「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては「外積」で統一する。 :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ② :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、交代法則ということもある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ③ :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記のとおり交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基準ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基準ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3})(x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 ===外積の応用と用途=== ====平行六面体==== {{wikipedia|平行六面体}} [[File:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|右|250px|サムネイル|ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体]] :原点<math>O</math>ではない、空間上の異なる点<math>A, B, C</math>について<math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}</math> として、点<math>D, E, F, G</math>を<math>\overrightarrow{OD} = \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OE} = \vec{b}+\vec{c}, \overrightarrow{OF} = \vec{c}+ \vec{a}, \overrightarrow{OG} = \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}</math> となるようにとる。 :この、点<math>O, A, B, C, D, E, F, G</math>で囲まれる立体は、6面の平行四辺形で構成されている立体であり平行六面体と呼ばれる。なお、直方体や立方体も平行六面体の一種である。 :（ベクトル方程式としては、<math>s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}</math>ただし<math>0 \le s, t, u \le 1</math>を領域とする立体とも表現される） :;平行六面体の体積 ::この平行六面体の体積は、平行四辺形<math>OADB</math>の面積<math>S</math>に、平行四辺形<math>OADB</math>に相対する平行四辺形<math>CFEG</math>までの距離（高さ）<math>h</math>をかけた<math>Sh</math>である。 ::この値は、外積を使うことにより、簡単に求められる。 :::平行四辺形<math>OADB</math>は、ベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math>により、作られる図形であり、外積の定義から<math>|\vec{a} \times \vec{b}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい。 :::また、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>は、平行四辺形<math>OADB</math>に垂直であることから、高さの方向ベクトルの向きになっている。ここで、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>ともう一つの要素である<math>\vec{c}</math>の成す角を<math>\theta</math>とすると、<math>h = |\vec{c}| \cos \theta</math>となる。 :::<math>\cos \theta</math> を得るのには内積を用いれば良いので、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>と<math>\vec{c}</math>の内積を計算する。 ::::<math>| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |= ||\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta| = Sh</math> :::と、<math>\cos \theta</math>の値を得るまでもなく、体積を得ることができた。 :したがって、ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体の体積は、<math> |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|</math> と表すことができる。 ===さらに発展:外積と行列=== {{stub|高}} [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] 2r4a49h12qkmv10zc0mbg17fqz0xt5a 298590 298588 2026-04-18T09:08:33Z Tomzo 248 /* 平行六面体 */ 298590 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直行するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直行の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直行するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直行する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直行するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== {{wikipedia|クロス積}} [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②右手系の方向に、③両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さにとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> :;「外積」の呼称 ::ここまで、[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼んできたが、「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては「外積」で統一する。 :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ② :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、交代法則ということもある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ③ :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記のとおり交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基準ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基準ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3})(x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 ===外積の応用と用途=== ====平行六面体==== {{wikipedia|平行六面体}} [[File:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|右|250px|サムネイル|ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体]] :原点<math>O</math>ではない、空間上の異なる点<math>A, B, C</math>について<math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}</math> として、点<math>D, E, F, G</math>を<math>\overrightarrow{OD} = \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OE} = \vec{b}+\vec{c}, \overrightarrow{OF} = \vec{c}+ \vec{a}, \overrightarrow{OG} = \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}</math> となるようにとる。 :この、点<math>O, A, B, C, D, E, F, G</math>で囲まれる立体は、6面の平行四辺形で構成されている立体であり平行六面体と呼ばれる。なお、直方体や立方体も平行六面体の一種である。 :（ベクトル方程式としては、<math>s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}</math>（ただし<math>0 \le s, t, u \le 1</math>）を領域とする立体とも表現される） :;平行六面体の体積 ::この平行六面体の体積は、平行四辺形<math>OADB</math>の面積<math>S</math>に、平行四辺形<math>OADB</math>に相対する平行四辺形<math>CFEG</math>までの距離（高さ）<math>h</math>をかけた<math>Sh</math>である。 ::この値は、外積を使うことにより、簡単に求められる。 :::平行四辺形<math>OADB</math>は、ベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math>により、作られる図形であり、外積の定義から<math>|\vec{a} \times \vec{b}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい。 :::また、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>は、平行四辺形<math>OADB</math>に垂直であることから、高さの方向ベクトルの向きになっている。ここで、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>ともう一つの要素である<math>\vec{c}</math>の成す角を<math>\theta</math>とすると、<math>h = |\vec{c}| \cos \theta</math>となる。 :::<math>\cos \theta</math> を得るのには内積を用いれば良いので、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>と<math>\vec{c}</math>の内積を計算する。 ::::<math>| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |= ||\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta| = Sh</math> :::と、<math>\cos \theta</math>の値を得るまでもなく、体積を得ることができた。 :したがって、ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体の体積は、<math> |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|</math> と表すことができる。 ===さらに発展:外積と行列=== {{stub|高}} [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] obkzlc7xm6bsbyuvif5zzd8j2pt4rnf 298592 298590 2026-04-18T10:46:19Z ~2026-23917-53 91221 /* 外積とは */ 298592 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直行するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直行するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直行の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直行するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直行するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直行する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直行するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== {{wikipedia|クロス積}} [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②右手系の方向に、③両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さにとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> :;「外積」の呼称 ::ここまで、[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼んできたが、「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては「外積」で統一する。 :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ② :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、'''反交換法則'''と呼ぶことがある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ③ :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記の通り交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基本ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基本ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3})(x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 ===外積の応用と用途=== ====平行六面体==== {{wikipedia|平行六面体}} [[File:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|右|250px|サムネイル|ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体]] :原点<math>O</math>ではない、空間上の異なる点<math>A, B, C</math>について<math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}</math> として、点<math>D, E, F, G</math>を<math>\overrightarrow{OD} = \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OE} = \vec{b}+\vec{c}, \overrightarrow{OF} = \vec{c}+ \vec{a}, \overrightarrow{OG} = \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}</math> となるようにとる。 :この、点<math>O, A, B, C, D, E, F, G</math>で囲まれる立体は、6面の平行四辺形で構成されている立体であり平行六面体と呼ばれる。なお、直方体や立方体も平行六面体の一種である。 :（ベクトル方程式としては、<math>s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}</math>（ただし<math>0 \le s, t, u \le 1</math>）を領域とする立体とも表現される） :;平行六面体の体積 ::この平行六面体の体積は、平行四辺形<math>OADB</math>の面積<math>S</math>に、平行四辺形<math>OADB</math>に相対する平行四辺形<math>CFEG</math>までの距離（高さ）<math>h</math>をかけた<math>Sh</math>である。 ::この値は、外積を使うことにより、簡単に求められる。 :::平行四辺形<math>OADB</math>は、ベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math>により、作られる図形であり、外積の定義から<math>|\vec{a} \times \vec{b}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい。 :::また、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>は、平行四辺形<math>OADB</math>に垂直であることから、高さの方向ベクトルの向きになっている。ここで、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>ともう一つの要素である<math>\vec{c}</math>の成す角を<math>\theta</math>とすると、<math>h = |\vec{c}| \cos \theta</math>となる。 :::<math>\cos \theta</math> を得るのには内積を用いれば良いので、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>と<math>\vec{c}</math>の内積を計算する。 ::::<math>| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |= ||\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta| = Sh</math> :::と、<math>\cos \theta</math>の値を得るまでもなく、体積を得ることができた。 :したがって、ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体の体積は、<math> |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|</math> と表すことができる。 ===さらに発展:外積と行列=== {{stub|高}} [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] 2igwumy5ww1awtr4naw1k26z9k82009 0 47905 298563 298282 2026-04-18T06:33:15Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298563 wikitext text/x-wiki このページでは、マオに関する複数の解説ページへの案内をまとめています。 マオ(Mao)は、トランプを使ったパーティーゲームです。最大の特徴は「ルールを説明してはいけない」という点にあります。プレイヤーはゲーム中の出来事を観察して、暗黙のルールを推測しながら進めます。 マオは「ルール非公開」という性質を持つので、[[メインページ|Wikibooks]]では以下の2種類のページに分けて解説します。 == 解説ページ == '''体験版'''<blockquote>'''[[マオ/体験版]]''' * 初めてマオを知る人向け。ゲームの雰囲気・特徴・進行の流れを説明しますが、ネタバレ(具体的なカード効果やペナルティ内容)は書きません。 オススメ(こういう人向け) * 初めてマオを知る * 雰囲気だけ知りたい * 推理しながら遊ぶ体験を守りたい </blockquote>'''実用版'''<blockquote>'''[[マオ/実用版]]''' * 実際に遊べるように、代表的なカード効果・ペナルティ・ローカルルール例まで詳しく解説。 オススメ(こういう人向け) * ルールを全部知りたい * 自分でマオを主催したい * 自分でローカルルールを作りたい </blockquote>{{デフォルトソート:まお}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:マオ|*]] __インデックス__ [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] pwd4ivx9n5w17cih8mqt3c5yl8h5z31 0 47917 298564 298381 2026-04-18T06:33:46Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298564 wikitext text/x-wiki スラム(slam)は、スピード系のパーティーゲームです。場にあるカードの上下の数字を素早く重ねていき、手札を一番早く出し切った人が勝ちです。ターン制ではなく、全員が同時にカードを出せるので、 反射神経と判断力が試されます。 == 所要 == * トランプ52枚を使用します(ジョーカーは基本使用しません) * プレイ人数は2~4人です。 * 自分の手札をすべて出し切ること。 全員同じ枚数(一般的には10～15枚程度)を配ります。残りのカードは中央に裏向きで置いてください(これを山札という)。山札の上から4枚を表向きにして場に並べます(人数が少ない場合は3枚にすることもあります) == ゲーム == スラムは全員同時に出してよいです。 '''出せるカード''' * 場にあるカードの'''1つ上の数字'''または'''1つ下の数字''' * スートは関係ない。 '''出せるカードがないとき''' * 山札から1枚引く。 '''誰も出せなくなった場合''' * 山札から新しいカードを1枚めくって場に追加する。 * まだ誰かが出している場合は出せなくなるまで待つ。 == 勝利条件 == 手札をすべて出し切ったプレイヤーの勝利。 == バリエーション == * ジョーカーを「何にでもなるカード」として使う * 場のカードを3枚に減らす * 手札を10枚固定にする {{デフォルトソート:すらむ}} [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:反射神経]] __インデックス__ [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] ebupw2s73v94ertfsy1hyniqp87obu0 298589 298564 2026-04-18T09:08:27Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298589 wikitext text/x-wiki スラム(slam)は、スピード系のパーティーゲームです。場にあるカードの上下の数字を素早く重ねていき、手札を一番早く出し切った人が勝ちです。ターン制ではなく、全員が同時にカードを出せるので、 反射神経と判断力が試されます。 == 所要 == * トランプ52枚を使用します(ジョーカーは基本使用しません) * プレイ人数は2~4人です。 * 自分の手札をすべて出し切ること。 全員同じ枚数(一般的には10～15枚程度)を配ります。残りのカードは中央に裏向きで置いてください(これを山札という)。山札の上から4枚を表向きにして場に並べます(人数が少ない場合は3枚にすることもあります) == ゲーム == スラムは全員同時に出してよいです。 '''出せるカード''' * 場にあるカードの'''1つ上の数字'''または'''1つ下の数字''' * スートは関係ない。 '''出せるカードがないとき''' * 山札から1枚引く。 '''誰も出せなくなった場合''' * 山札から新しいカードを1枚めくって場に追加する。 * まだ誰かが出している場合は出せなくなるまで待つ。 == 勝利条件 == 手札をすべて出し切ったプレイヤーの勝利。 == バリエーション == * ジョーカーを「何にでもなるカード」として使う * 場のカードを3枚に減らす * 手札を10枚固定にする {{デフォルトソート:すらむ}} [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:反射神経]] __インデックス__ [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:パーティー系]] ou73mwm5rnkj8wr1gfkzkfm668s9i4n 0 47918 298565 298383 2026-04-18T06:34:11Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298565 wikitext text/x-wiki ナーツ(Nertz)は、複数人で同時にプレイする高速カードゲームです。スピード(Speed)とソリティア(クロンダイク)を合わせたような遊びです。全員が同時にカードを出し合い、自分の山札(ナーツ山)をすべてなくすことを目指します。 == 所要 == * プレイヤーごとに1組のジョーカー抜きのトランプ52枚 * 人数分のデッキが必要 * プレイ人数は2~6人 * 自分のナーツ山(13枚の山札)を誰よりも早く全部なくすこと。 各プレイヤーは自分のデッキをよく混ぜて、13枚を裏向きで積みます。(これがナーツ山)ナーツ山一番上のカードだけ表にします。デッキのうち、手札として4枚を表向きに並べます。残りは自分の山札として手元に置きます。 == ゲーム == [[ファイル:Klondike (solitare).png|代替文=クロンダイク|サムネイル|クロンダイク]] ターン制はなく、出せると思った瞬間に出す(全員同時にプレイ)。 出せる場所は2種類あります。 <u>'''1,中央の共有場('''</u>右の画像の右上) * A(エース)から順に積み上げる。スートごとにA→2→3→…→Kと重ねることができて、誰でも置けます。 2,自分の場(右の画像の下半分)(ワークパイル) * 色(赤／黒)を交互に数字を1つずつ下げて重ねます。ソリティアのルールと同じです。 * ソリティアのルールは[[トランプ/クロンダイク|'''こちら''']]まで。 '''ナーツ山のカードを出す''' * ナーツ山の表向きカードは 出せる場所があればすぐ出すことができます。出したら次のカードをめくります。 '''山札のからの補充''' * 自分の山札をめくり、 ワークパイルに置けるカードがあれば置く。 == 勝利条件 == 誰かがナーツ山をすべて出し切ったらラウンド終了。 得点計算はローカルルールが多いが、一般的には * 中央の共有場に置いたカード:1枚1点 * ナーツ山に残ったカード:1枚−2点 合計点が最も高いプレイヤーが勝利。 == ローカルルール == * ナーツ山を10枚にする * ワークパイルを5列にする * 山札のめくり方を「3枚めくり」にする {{デフォルトソート:なあつ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:反射神経]] [[カテゴリ:ソリティア]] __インデックス__ [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] 4zj1ap6epwtwrztfipyn8rkko7ezzd0 0 47919 298566 298450 2026-04-18T06:34:40Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298566 wikitext text/x-wiki エジプシャン・ウォーは、[[トランプ/戦争|戦争]]（War）と[[トランプ/スラップジャック|スラップジャック]]（Slapjack）を組み合わせたような、反射神経と運が強く関わるパーティーゲームです。カードを叩く（スラップ）動作が特徴で、海外では非常に人気があります。 == 所要 == * トランプ52枚（ジョーカーは使いません） * プレイ人数は2~6人 場に出たカードの組み合わせを見て、条件がそろった瞬間に場を叩き、カードを総取りする。最終的に すべてのカードを集めた人が勝ち。 # 全カードをよく混ぜ、プレイヤー全員に均等に配ります。 # 各プレイヤーは自分の山札を裏向きで持ちます。 # 手札は見てはいけません（山札からめくるだけ） == ゲーム == ; 1. 順番にカードを1枚ずつ場に出す : 時計回りで、山札の一番上をめくって中央に置きます。 ; 2. 特定の組み合わせが出たら「'''叩く'''」 : 場に出たカードが'''[[トランプ/エジプシャン・ウォー/叩く条件|特定のパターン]]'''になった瞬間、誰でも叩いていいです。 : 叩いた人が'''場のカードを全部獲得'''し、自分の山札の下に加えます。 == 叩く条件 == 代表的なたたき方を紹介します。 * '''ダブル'''：同じ数字が2枚連続　例:7→7 * '''サンドイッチ'''：同じ数字が1枚飛ばしで出る　例:5→K→5 * '''フェイスカード'''：絵札勝負 絵札（J,Q,K,A）が出たら、次の人は決められたターン数以内に絵札を出さないと敗北となります。 例： * J が出た→次の人は'''1ターン以内'''に絵札を出す * Q→'''2ターン以内''' * K→'''3ターン以内''' * A→'''4ターン以内''' 出せなければ、絵札を出した人が場を総取りできます。 == 勝利条件 == すべてのカードを集めたプレイヤーが勝利です。 == バリエーション == * 叩きミスはペナルティ（カード没収など） * 同じスートが2連続でも叩ける。 * 連番（6→7→8）でも叩ける。 {{デフォルトソート:えしふしあんうおお}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:パーティー系]] [[カテゴリ:反射神経]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] gwark1y8gqvgcq7a6ggt7e6wzbpz8c4 0 47920 298567 298397 2026-04-18T06:35:11Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298567 wikitext text/x-wiki ビガー・マイ・ネイバーは、 2人以上で遊べる 押し付け合い型のカードゲームです。プレイヤーは順番にカードを出し、絵札(J,Q,K,A)が出たときに勝負が発生します。最終的に すべてのカードを集めたプレイヤーが勝利します。 [[トランプ/エジプシャン・ウォー|エジプシャン・ウォー]]と似ている点がありますが別のゲームです。 == 所要 == * トランプ52枚を使います(ジョーカーは使いません) * プレイ人数は2～4人です。 場に出たカードを押し付けたり奪ったりし、最終的に全カードを自分の山札に集めます。 # 全カードをよく混ぜ、プレイヤーに均等に配ります。 # 各プレイヤーは自分の山札を裏向きで持ちます。 # 手札は見ません(山札からめくるだけ) ここまではエジプシャン・ウォーとほぼ同じです。 == ゲーム == 1. 順番にカードを1枚ずつ場に出します。 * 時計回りで、山札の上から1枚めくって中央に置きます。 2. 絵札が出たら“勝負”が始まります。 * 絵札(J,Q,K,A)が出たら、次のプレイヤーは決められたターン数以内に絵札を出さないと敗北となります。 絵札ごとの「挑戦ターン数」は： * J→1ターン以内 * Q→2ターン以内 * K→3ターン以内 * A→4ターン以内 挑戦回数内に絵札を出せなかったら、負けた人が場のカードを全部“山札に”引き取ります。が、挑戦中に絵札を出したら、今度は相手が挑戦される側になります。 == 勝利条件 == 最後までカードを持っていた人が勝ち。山札のカードは含まれない。 == 違い == ビガー・マイ・ネイバーとエジプシャン・ウォーの違い {| class="wikitable" !特徴 !'''ビガー・マイ・ネイバー''' !エジプシャン・ウォー |- |ジャンル |叩く(スラップ)&戦争系 |戦争系(叩かない) |- |叩くという動作 |ある(条件成立で叩く) |ない |- |テンポ |超高速・反射神経勝負 |ゆっくり(低速)押し付け合い |- |カードを出す |順番に出すが、叩きは誰でも参加 |順番に1枚ずつ出すだけ |} {{デフォルトソート:ひかあまいねいはあ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:反射神経]] [[カテゴリ:パーティー系]] [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] g63qixrq52dhvn8nuy47h9lws0gl98m 0 47921 298505 298407 2026-04-18T04:40:22Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298505 wikitext text/x-wiki クリスプ(Crisp)は2人専用のゴーアウト系(手札を出し切るタイプ)のトランプゲームです。[[トランプ/大富豪|大富豪]]に似た カードの強さ比べ”をしながら進みます。このゲームはカードを出すたびに山札から補充されるのが最大の特徴です。 == 所要 == * トランプ52枚を使用します * ジョーカーは通常は使いません * Aが最強、2が最弱です * 2人専用ゲーム * スート(♠♥♦♣)に強弱ありません。 準備 # 2人にそれぞれ5枚ずつ配ります # 残りを裏向きで山札にします # 最初のプレイヤーを決めます(じゃんけんなど) == ゲーム == 1. プレイヤーは交互にカードを出す * 先攻がカードを1枚出したら、後攻はそれ以上の強さのカードを出す必要があります * 例:先攻が「8」を出した→後攻は「9・10・J・Q・K・A」のどれかを出す * 出せない場合 → パス 2. どちらかがパスしたら「場」が流れる * どちらかがパスした時点で勝負終了します * 最後にカードを出したプレイヤー(パスしていないプレイヤー)がその場の勝者です * 場のカードは捨て札にし、勝者が次の場の先攻になります 3. カードを出したら必ず補充 * カードを出したプレイヤーは山札から1枚引きます * これにより手札が減りにいので、強いカードを出すタイミングが非常に重要になります 4. 山札が尽きたら最終戦 * 山札がなくなった場合、以降は'''補充なし'''となります * 手札が尽きたプレイヤーが勝利します == 勝利条件 == 手札をすべて出し切ったプレイヤーが勝利。 == バリエーション == * 初期枚数を3枚にする * 同じ数字の場合2枚出せるルールを追加する * 初期枚数を10枚にし、補充なしのルールにする {{デフォルトソート:くりすふ}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:2人専用のトランプゲーム]] b9m73ydu7ewho3dqsw5qelb2mp90s4h 0 47922 298506 298409 2026-04-18T04:40:59Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298506 wikitext text/x-wiki ジャーマンホイストは、2人専用のトリックテイキングゲームです。ゲームは前半(カード獲得)と 後半(勝負)の2段階で進んでいきます。前半で強いカードを集めて、後半でそのカードを使ってトリックを取り合う構造になっています。 == 所要 == * トランプの52枚を使用します * ジョーカーは基本使用しません * Aが最強で、2が最弱です * 2人専用です * スートに強弱はありません === 準備 === # 各プレイヤーに13枚配ります # 残り26枚を山札として置きます # 山札の一番上をめくり、そのスートを切り札(トランプ)にします(後半で使います) # 先攻を決めます == 前半 == 前半はカードを獲得します。より強いカードを手札に集めることが目的です。 * 先攻がカードを1枚出します。(先攻は出すカードのスートは自由です) * 後攻は同じスートがあれば必ず同じスートを出してください。 [[トランプ/ジャーマンホイスト#トリック|カードの勝敗]]を決めます * '''勝った人'''は山札の表向きカードを取って、手札に加えます * '''負けた人'''は 山札の裏向きカードを引きます(この引いたカードが切り札) 山札が尽きるまで勝負を繰り返します。前半で集めたカードが後半の勝負に使われます。 == 後半 == 後半は前半で集めたカードを使います。通常のトリックテイキングとして進行します。 * 後前半で集めた13枚の手札だけを使ってトリックを取り合います。 * 山札は使いません。 * 前半の最後のトリックに勝ったプレイヤーが先攻となります。 先攻は手札からカードを1枚出します。後攻は、同じスートを持っていれば必ず同じスートを出しま。 持っていない場合は、どのカードでも出せます。 カードの勝敗を決めます。勝ったらその場に出されたカードの束(トリック)を取ります。 勝ったプレイヤーがそのトリックのカードをまとめて取ります。 取ったカードは点数ではなく、トリックの数(勝ち数)です。 トリックに勝ったプレイヤーが次の先攻になります。 これを13回繰り返します。 == トリック == 勝敗は次の順で決まります。 * '''両者が同じスートを出した場合'''は数字の大きい方が勝ちます。 * '''後攻がフォローできず、切り札を出した場合'''は切り札が勝ちます。 * '''後攻がフォローできず、切り札でもないカードを出した場合'''は先攻が勝ちます。 == 勝利条件 == 後半で より多くのトリックを取ったプレイヤーが勝利です。 {{デフォルトソート:しああまんほいすと}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:2人専用のトランプゲーム]] sbucxahb433tat9zdol8inslqqvoh3n 298574 298506 2026-04-18T07:45:54Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298574 wikitext text/x-wiki ジャーマンホイストは、2人専用のトリックテイキングゲームです。ゲームは前半(カード獲得)と 後半(勝負)の2段階で進んでいきます。前半で強いカードを集めて、後半でそのカードを使ってトリックを取り合う構造になっています。 == 所要 == * トランプの52枚を使用します * ジョーカーは基本使用しません * Aが最強で、2が最弱です * 2人専用です * スートに強弱はありません === 準備 === # 各プレイヤーに13枚配ります # 残り26枚を山札として置きます # 山札の一番上をめくり、そのスートを切り札(トランプ)にします(後半で使います) # 先攻を決めます == 前半 == 前半はカードを獲得します。より強いカードを手札に集めることが目的です。 * 先攻がカードを1枚出します。(先攻は出すカードのスートは自由です) * 後攻は同じスートがあれば必ず同じスートを出してください。 [[トランプ/ジャーマンホイスト#トリック|カードの勝敗]]を決めます * '''勝った人'''は山札の表向きカードを取って、手札に加えます * '''負けた人'''は 山札の裏向きカードを引きます(この引いたカードが切り札) 山札が尽きるまで勝負を繰り返します。前半で集めたカードが後半の勝負に使われます。 == 後半 == 後半は前半で集めたカードを使います。通常のトリックテイキングとして進行します。 * 後前半で集めた13枚の手札だけを使ってトリックを取り合います。 * 山札は使いません。 * 前半の最後のトリックに勝ったプレイヤーが先攻となります。 先攻は手札からカードを1枚出します。後攻は、同じスートを持っていれば必ず同じスートを出しま。 持っていない場合は、どのカードでも出せます。 カードの勝敗を決めます。勝ったらその場に出されたカードの束(トリック)を取ります。 勝ったプレイヤーがそのトリックのカードをまとめて取ります。 取ったカードは点数ではなく、トリックの数(勝ち数)です。 トリックに勝ったプレイヤーが次の先攻になります。 これを13回繰り返します。 == トリック == 勝敗は次の順で決まります。 * '''両者が同じスートを出した場合'''は数字の大きい方が勝ちます。 * '''後攻がフォローできず、切り札を出した場合'''は切り札が勝ちます。 * '''後攻がフォローできず、切り札でもないカードを出した場合'''は先攻が勝ちます。 == 勝利条件 == 後半で より多くのトリックを取ったプレイヤーが勝利です。 {{デフォルトソート:しああまんほいすと}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:2人専用のトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] em3tgkbdwiebi9udpk3pktg43bvvd8j 0 47924 298507 298422 2026-04-18T04:42:34Z AkiR27User 90873 カテゴリー追加 298507 wikitext text/x-wiki スコパ（scopa）は、イタリアで広く親しまれている伝統的なカードゲームです。場札と数値を対応させて獲得する方式が特徴です。名称はイタリア語の“掃く（scopa）”に由来し、場札をすべて取り除く行為を指します。 == 所要 == * トランプ40枚を使用します * 標準トランプ52枚から8.9.10のカード（12枚）を抜いてください * プレイ人数は2人です 複数ラウンドを通じて得点を獲得し、所定点(基本は11点)に到達することが目標です。 # 各プレイヤーに3枚配ります # 場に4枚を表向きに配置してます # 残りは山札として中央に置きます === カードの値と扱い === スコパでは、絵札の数値が独自に調整されます {| class="wikitable" !カード !カードの値と扱い |- |A |1 |- |2~7 |2~7(数字通り) |- |J.Q.K |J=8.Q=9.K=10 |} == ゲーム == === 手番の行動 === プレイヤーは手札から1枚を場に出し、以下のいずれかを行います。 <blockquote>'''数字一致による獲得''' * 出したカードと同じ数値の場札を取る。 * 例:8が場札にある→8を出す→取ることができます ==== 合計一致による獲得 ==== * 出したカードの数値と、場札の複数枚の合計が一致する場合は、それらをまとめて取ることことができます * 例:2と6が場札にある→Jを出す(2+6=8)→2と6をとることができます ==== 獲得できない場合 ==== 出したカードをそのまま場に残します</blockquote>場札からカードをとった枚数分、山札から補充します。次の人に手番が移ります。 === スコパ（掃く） === 手番で'''場札をすべて取り切った（掃いた）場合'''、そのプレイヤーは'''1点'''を得ることができます。 == ラウンド終了 == 山札が尽き、両者の手札がなくなった時点でラウンドは終了します。場に残ったカードは最後に場札を獲得したプレイヤーがまとめて獲得できます。 == 得点 == ラウンド終了後、以下の項目について比較し、該当する側に1点が与えられます。 * 総獲得枚数が多い * ダイヤ（♦）の獲得枚数が多い * 7の獲得枚数が多い * カード「7♦（セッテベッロ）」を保持している * スコパの回数（1回＝1点） これらの合計点を加算し、先に規定点へ到達したプレイヤーが勝者となります。 {{デフォルトソート:すこは}} [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] [[カテゴリ:2人専用のトランプゲーム]] dz04v4tyb0fx8di55vwscrzceklik6x 1 47934 298496 2026-04-17T21:27:29Z Tkkn46tkkn46 89925 /* ながさ を 長さ に置換をお願いします。 */ 新しい節 298496 wikitext text/x-wiki == ながさ を 長さ に置換をお願いします。 == 30箇所です。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月17日 (金) 21:27 (UTC) rdjincot3qs7jqwk1o4d9yjephm9coi 14 47935 298508 2026-04-18T04:43:23Z AkiR27User 90873 ページの作成:「{{Pathnav|主要カテゴリ|生活|趣味|ゲーム|テーブルゲーム|カードゲーム|トランプ|}} {{デフォルトソート:ふたりせんようのとらんぷけえむ}} [[Category:トランプ]]」 298508 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|主要カテゴリ|生活|趣味|ゲーム|テーブルゲーム|カードゲーム|トランプ|}} {{デフォルトソート:ふたりせんようのとらんぷけえむ}} [[Category:トランプ]] 9q6qhsbwm05lm780oifnhvrs6nn6xc5 14 47936 298591 2026-04-18T09:14:05Z AkiR27User 90873 ページの作成:「{{Pathnav|主要カテゴリ|生活|趣味|ゲーム|テーブルゲーム|カードゲーム|トランプ|}} {{デフォルトソート:とりつくていきんく}} [[Category:トランプ]]」 298591 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|主要カテゴリ|生活|趣味|ゲーム|テーブルゲーム|カードゲーム|トランプ|}} {{デフォルトソート:とりつくていきんく}} [[Category:トランプ]] jtawikkc8fuveg5d9bwvyk0zarn82pp