Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 4 30 298831 298425 2026-04-26T00:57:33Z MediaWiki message delivery 14540 /* Request for comment (global AI policy) */ 新しい節 298831 wikitext text/x-wiki {{談話室}} ある程度時間のたった議論は[[/過去ログ]]に移動されます。最新の過去ログは [[特別:固定リンク/291757|2026年01月24日 (土) 01:14(UTC)の版]]です（確認日: 2026年1月26日）。過去ログ化の方法については[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン]]を参照ください。 {{/告知}} == WikipediaからWikibooksへのテンプレートの移入とTranswiki名前空間 == Wikipediaで使用されているテンプレートの多くがWikibooks上では導入されておらず、いつものWikipediaの記法でWikibooksを執筆しようとするとテンプレート不在のエラーが多発します。そこでWikipediaからテンプレートを移入 (移植) したいのですが、3点教えて頂きたいことがございます。 # (移入かゼロから自力作成するかは問わず) Wikibooks上でのテンプレートの新規作成は、事前に合意形成などが必要なのでしょうか？それとも好き勝手作っていいものなのでしょうか？ # 仮に移入してくる時には、他言語版からの翻訳時と同様の履歴継承方法 (Oldid指定で継承元を示す、あるいはテンプレート名+日時明記する) で問題ないでしょうか？ # 「[[Wikibooks:蔵書一覧/テンプレート一覧#Transwiki名前空間]]」によると、テンプレートを置く名前空間はWikibooksテンプレート空間の場合と、Transwiki名前空間と2種類あるように読めるのですが、このTranswiki名前空間にあるテンプレート群は何なのでしょうか？ 質問の背景をお伝えしておくと、私の活動している法学の分野では伝統的に法律の概説はWikipediaに執筆し、逐条解説 (1つ1つの条文の細かい解釈や具体例などの提示) はWikibooksに譲るという棲み分けを行ってきたようです。現在私がWikipedia上で加筆している記事の記述が逐条解説まで踏み込んで肥大化してしまったので、一部はWikibooks側に書いた方が良さそうだ、と判断しました。ご存じのとおりWikipediaでは「[[w:Wikipedia:検証可能性|Wikipedia:検証可能性]]」が重視されていて、そのノリで信頼性の高い出典をガチガチに揃えて逐条解説の下書きをしていたのですが、いざ下書きをWikibooksのサンドボックスに投稿したところ ([[Special:Permalink/264757|編集差分]])、出典・脚注系のテンプレートがことごとく存在せずにエラーが出ています。 また、Transwiki名前空間にあるらしい「仮リンク」のテンプレートは、Wikipediaでも多用していたのでWikibooksでも使用したいのですが、Transwiki上にある「仮リンク」はWikibooksで <nowiki>{{{{仮リンク|あいうえお|en|ABC}}}}</nowiki> と記述してそのまま使えるのか、いまいちよく分かりません。[[特別:リンク元/Transwiki:仮リンク]] を見ても、現時点でWikibooksの標準名前空間で使用しているケースはゼロのようです。 Wikipediaと比較してWikibooksの活動が過疎ぎみなのは承知しておりまして、ここで愚痴を言いたいわけではなく、何とか使える形にしたいという前向きな質問の意図だと汲んで頂ければ幸いです。--[[利用者:ProfessorPine|ProfessorPine]] ([[利用者・トーク:ProfessorPine|トーク]]) 2024年12月7日 (土) 03:15 (UTC) :一年以上、議論が止まっていますが、重要な問題なので検討を継続したいと思います。 :個人的には、翻訳などと同様移植元の履歴が継承されていれば問題はなかろうと考えています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月26日 (月) 00:10 (UTC) ::{{コメント2|横から失礼}} 私は管理者などをやったことがないのでわからないのですが、Wiki間インポートを実施するのはいかがですか？ ::その後に、Wikibooksに合う形に微調整した方が楽に感じます。 ::おそらくですが、[[WB:IP]]を見る感じ、コピーアンドペーストは推奨されてない方法に思います。 ::私が、管理者権限を持っていたら、協力したいのですが、[[利用者:Tomzo|Tomzo]]さんなどの管理者の協力が必須に感じます…--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月4日 (水) 10:40 (UTC) == 「デスクトップLinux入門」を作りたい == サーバーではなくデスクトップ向けの，GNU/Linuxディストリビューションのインストール・利用方法を解説した文書をつくりたいと思っています。構想は[[利用者:KASAI_Toushi/デスクトップLinux入門]]にあります。 これにあたって，二つほど質問があります。 * この構想は，Wikibooksでは受け入れられますか？ * タイトルは「デスクトップLinux入門」で問題ないでしょうか？ [[利用者:KASAI Toushi|KASAI Toushi]] ([[利用者・トーク:KASAI Toushi|トーク]]) 2025年2月28日 (金) 03:55 (UTC) :内容に関してコメントはしかねますが（後述）、原則として受け入れには何ら問題はないと思います。むしろ歓迎です。 :[[情報技術]]にリンク元を作成して、後はツリー構造で作成することをお勧めします。 :「サーバーではなくデスクトップ向けの」という教科書を既存のLinux関係の教科書から分割して作成するのが適当かは不明ですので、それは知見者の方の間で相談いただければと思います。ただ、統合することのメリットが希薄なようであれば、作成することが、wikibooksにはメリットとは考えます。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年2月28日 (金) 07:06 (UTC) ご返信ありがとうございます。分割すべきかどうかはまだ分からないので、利用者ページに下書きを書いておきます。 [[利用者:KASAI Toushi|KASAI Toushi]] ([[利用者・トーク:KASAI Toushi|トーク]]) == 編集合戦の件 == @[[利用者:Tomzo|Tomzo]]様 ~2025-47348氏とHousehome100氏の編集合戦について、どの版まで差し戻しになりますか？（4月中旬から彼らが編集に関わり始めましたが、彼らが関わる前の版にまで遡るのか、編集合戦が発生した（と判断できる）編集の直前の版になるのか）。もし彼らが関わる前の版に戻すとなると、（~2025-47348氏が行った）すじ肉氏が嘗て書いた問題のある版の修正が取り消されることになるので、それの再修正に多くの労力を割くことになりそうです。--[[特別:投稿記録/&#126;2025-49873|&#126;2025-49873]] ([[利用者・トーク:&#126;2025-49873|会話]]) 2025年5月2日 (金) 08:07 (UTC) :本来、ブロック中の編集者が別アカウントで作成した記事は、ブロックの意味をなくすため新規ページは削除、加筆等の編集は削除の上、不可視化とすべきところですが、今回はあまりにも量が多いため、個別の要望を待って対処したいと思います。もし、ページ削除・不可視化等が必要でしたら、最新版を適当なものにするなどご対応の上、削除等の依頼をお願いします。過去履歴の不可視化まで必要ないとお考えであれば、適当と考えられる最新版作成（過去の版へのリバートも可）で十分足りるとは考えています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年5月2日 (金) 08:24 (UTC) == 移動依頼 == [[旧課程(-2012年度)高等学校数学A/集合と論理]]を[[高等学校数学I/集合と論理]]へ移動お願いします。 *理由:「集合と命題」の内容は2013年度以降『数学I』の範囲になっている。 --[[特別:投稿記録/&#126;2025-57596|&#126;2025-57596]] ([[利用者・トーク:&#126;2025-57596|会話]]) 2025年5月24日 (土) 02:25 (UTC) :対応に関して 「[[トーク:高等学校数学#「学習指導要領」改正に伴う課程の変動について]]」を作成しましたので、ご確認ください。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2025年5月28日 (水) 06:56 (UTC) == 検索した時に予測候補（サジェスト）が出ないようにできませんか？ == 以前は無かったはずです。人によっては不快に感じると思います。--[[特別:投稿記録/&#126;2025-67762|&#126;2025-67762]] ([[利用者・トーク:&#126;2025-67762|会話]]) 2025年6月14日 (土) 14:13 (UTC) :それは難しいと思います。--[[利用者:KINGDOM OF ITALY|KINGDOM OF ITALY]] ([[利用者・トーク:KINGDOM OF ITALY|トーク]]) 2025年7月31日 (木) 08:24 (UTC) == 管理者の再信任のための「定期的な投票」実施について == 皆さん、こんにちは。このたび、[[Wikibooks:管理者の辞任#管理者の再信任投票]]に基づく2025年9月末で任期末を迎える現管理者3名の再信任のための「定期的な投票」を実施したく存じます。方針によれば、「各管理者に対し原則として毎年」行われるべき再信任投票ですが、ここ5年間行われておらず（前回は[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票/202009|2020年9月]]）、現管理者の方3名の無投票での留任が続いております。そこで当コミュニティの事前告知期間も踏まえ2週間後の2025年9月1日（予定）に投票ページとして「[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票 202509]]」を作成いたします。そこから2週間（336時間）の投票期間を設けたいと存じます。なお、管理者の一人である {{admin|かげろん}} さんは、この再信任投票開始の時点までに活動がない場合には方針に基づき自動退任となります。以上につきまして何かコメントなどございましたらお寄せください。それでは何卒よろしくお願いいたします。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2025年8月18日 (月) 04:27 (UTC) :{{コメント2|報告}} 事前告知のとおり、[[Wikibooks:管理者への立候補/再信任投票 202509|管理者の再信任投票ページ]]を作成いたしましたので、ご報告いたします。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2025年9月1日 (月) 04:16 (UTC) == 根気が足りない…… == 現在[[沖縄語]]を執筆しているのですが、全て書き終わる前に根気が尽きてしまいそうです。 [[沖縄語]]を執筆したとて、正直誰の役に立つのか分かりませんし、需要があるのかもよく分かりませんし、そもそもwikibooksの知名度からして執筆しても自分以外見ないのではないかとさえ思うと書く意味はなんなのかなと思います。 今、完成している語学のページは、私が知る限り[[ペルシア語]]だけです。沖縄語も完成させたいという気持ちはありますが、書くべき章を整理したところあまりにも膨大で……。 章は「初級」「中級」「上級」に分けました。根気が続かなかったら途中で私は失踪すると思いますが、同時に、沖縄語は現在消滅の危機にあり、私が失踪したら誰も続きを書いてくれないだろうな……と思います。 じゃあ書かないと！とは思うのですが、なんかやる気が足りないです。 長々と申し訳ありませんでした。もしこれを読んでくださる方がおりましたら、なにかコメントをくださると嬉しいです。また、ウチナーグチのわかる方がいらっしゃいましたら、[[沖縄語]]に軽く目を通して変なところはないか見てくださると助かります。--[[利用者:さきじょーぐー|さきじょーぐー]] ([[利用者・トーク:さきじょーぐー|トーク]]) 2025年9月18日 (木) 09:28 (UTC) :お疲れ様です。 :当方も哲学・倫理学・歴史を中心にいろいろ書いているのですが、2年前の事案でウィキブレイク状態で、ほとんど大したものは書いていません。さきじょーぐーさんが沖縄語のページを充実させていらっしゃること、敬服しております。 :確かにここは知名度も低いのですが、ウィキペディアほどにはおかしな人物が来ないですし、自由にできると思ってはいかがでしょうか。 :なお、沖縄語は全くわからないのでそちらの方には力になれません……。申し訳ないです。--[[利用者:椎楽|椎楽]] ([[利用者・トーク:椎楽|トーク]]) 2025年9月21日 (日) 11:20 (UTC) ::ありがとうございます。まだwikiに参加したばかりなので出会ったことはありませんが、おかしな方があまり来ないというのは、沖縄という政治的に揉めやすいものを扱っているのもありとても嬉しいです。頑張って執筆します。--[[利用者:さきじょーぐー|さきじょーぐー]] ([[利用者・トーク:さきじょーぐー|トーク]]) 2025年9月24日 (水) 05:13 (UTC) == 申し訳ありませんがご協力ください。 == ===ご挨拶=== まずは、皆様にご挨拶させていただきます。アンサイクロペディアから参りました、「たけのこの土」と申します。まだまだ頭の硬い方には慣れていませんが、どうぞよろしくお願いします。 ===お願いしたい点=== この度、Wikipediaでも活動したいと思い、アカウント作成をしようとしたところ、まさかの自分が使用しているIPアドレスが広域ブロックを受けているということで、アカウントを作成することができませんでした。Wikipediaとアカウントが共通しているということでこちらなら出来るかもしれないとアカウント作成したところ、作成できたので…。 ということで、お手数ではございますが、IPの広域ブロック解除に詳しい方がいらっしゃいましたら、解除していただけるとありがたく存じます。--[[利用者:たけのこの土|たけのこの土]] ([[利用者・トーク:たけのこの土|トーク]]) 2025年10月9日 (木) 03:08 (UTC) == <span lang="en" dir="ltr">Help us decide the name of the new Abstract Wikipedia project</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="function1"/> {{int:Hello}}. Please help pick a name for the new Abstract Wikipedia wiki project. This project will be a wiki that will enable users to combine functions from [[:f:|Wikifunctions]] and data from Wikidata in order to generate natural language sentences in any supported languages. These sentences can then be used by any Wikipedia (or elsewhere). There will be two rounds of voting, each followed by legal review of candidates, with votes beginning on 20 October and 17 November 2025. Our goal is to have a final project name selected on mid-December 2025. If you would like to participate, then '''[[m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia/Abstract Wikipedia naming contest|please learn more and vote now]]''' at meta-wiki. {{Int:Feedback-thanks-title}} <section end="function1"/> </div> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 2025年10月20日 (月) 11:42 (UTC) <!-- User:Sannita (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29432175 のリストを使用して送信したメッセージ --> == 運動のいくつかの委員会で新任のボランティア委員を募集中 == <section begin="announcement-content" /> 例年10月から12月の期間に、ウィキメディア運動の委員会の一部では新任のボランティア委員を募集します。 それぞれの委員会の詳細は、個別のページがメタウィキにありますのでご参照ください。 * [[m:Special:MyLanguage/Affiliations Committeee|提携団体委員会]]（略称AffCom、Affiliations Committee） * [[m:Special:MyLanguage/Ombuds commission|オンブズ委員会]]（頭字語OC＝Ombuds commission） * [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Legal/Community Resilience and Sustainability/Trust and Safety/Case Review Committee|事案評価委員会]]（頭字語CRC＝Case Review Committee） これら委員会への立候補申請は2025年10月30日から受け付けます。立候補の受付〆切は、提携団体委員会が2025年12月11日、オンブズ委員会と事案評価委員会は2025年12月11日です。立候補申請の手順は[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Legal/Committee appointments|Meta-wiki（メタウィキ）にある任命ページ]]をご一読願います。ご質問はその議論ページに投稿するか、メールの場合は cst[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org 宛にお送りください。 委員会支援チームの一同より <section end="announcement-content" /> -[[m:User:MKaur (WMF)| MKaur (WMF)]] 2025年10月30日 (木) 14:12 (UTC) <!-- User:MKaur (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29517125 のリストを使用して送信したメッセージ --> == Wikimedians of Japan User Group 2025-10 == '''全体ニュース''' * 1月から6月までの[https://wikimediafoundation.org/who-we-are/transparency/2025-1/ 透明性レポート](英語)が公表されました。 * 提携団体委員会、オンブズ委員会、事案審査委員会への[[:m:Wikimedia_Foundation/Legal/Committee_appointments/ja|応募]]受付が開始されました。 '''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]] * 11月9日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_53_(9_November_2025)|オンラインミーティング]]が行われます。 '''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]] * 11月7日、8日に開催される[https://www.k-of.jp/2025/ 関西オープンフォーラム]に参加します。 * 11月22日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2025-fukuoka/ OSC福岡]に参加します。また、翌23日には[https://techplay.jp/event/987206 オープンデータを作ろう！ with ウィキメディアもくもく会 in 北九州]を[https://www.osmf.jp OSMFJ]と共催します。 '''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]] * [[:w:ja:Wikipedia:ウィキペディア・アジア月間|アジア月間]]が行われます。 * 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。 **[[:w:ja:魚梁船|魚梁船]] **[[:w:ja:生得性仮説|生得性仮説]] **[[:w:ja:炎舞|炎舞]] **[[:w:ja:エリダヌス座|エリダヌス座]] **[[:w:ja:中堀由希子|中堀由希子]] **[[:w:ja:いて座|いて座]] **[[:w:ja:スティーブン (イングランド王)|スティーブン (イングランド王)]] **[[:w:ja:君と宇宙を歩くために|君と宇宙を歩くために]] **[[:w:ja:久隔帖|久隔帖]] * 今月の1枚 [[File:Lunar eclipse of 2025 September 7 (Montage s3).jpg|alt=|left|thumb|200x200px|​2025年9月7日の皆既[[:w:ja:月食|月食]]の時系列画像]] '''[[:f:|ウィキファンクションズ]]'''[[File:Wikifunctions-logo.svg|20px|link=:f:]] * * 抽象ウィキペディア(Abstract Wikipedia)の[[:m:Abstract_Wikipedia/Abstract_Wikipedia_naming_contest|正式名称]]の第1回投票は11月3日までです。 '''11月のイベント情報''' * 11/1 [https://tobemori-seeds.com/archives/2999 とべもりウィキペディアタウン] * 11/8 [https://mykoho.jp/article/012084/9874593/9964880 ウィキペディアタウン in 北見ワークショップ] * 11/8 [https://www.lib.city-hokuto.ed.jp/akeno/event-info/316/ ウィキペディアタウン＠北杜in明野] * 11/9 [https://www2.city.tahara.aichi.jp/section/library/info/2511wikiatumi.html ウィキペディアタウンin渥美] * 11/9 [https://www.city.higashikurume.lg.jp/library/1024999/1027652.html ウィキペディアタウンin東久留米 ～武蔵野鉄道引き込み線～] * 11/15 [https://www.town.nakai.kanagawa.jp/soshiki/chiikibosaikachiikijohohan/citypromo/3716.html ウィキペディアタウンin里都] * 11/23 [https://facebook.com/events/s/wikipedia%E3%83%95%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%82%AF14%E5%9D%82%E5%8F%A3%E5%AE%89%E5%90%BE/1534587237725121/ Wikipediaブンガク 坂口安吾] * 11/29 [https://www.city.yokkaichi.lg.jp/www/contents/1724135632047/index.html みんなで「あさけ」界隈を歩いてウィキペディアと世界地図に足跡を残そう！] * 11/30 [https://www.city.inazawa.aichi.jp/museum/0000005195.html ウィキペディアタウン稲沢] '''前回配信：2025年9月30日''' <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> 配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''<br /> <small>[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。</small>2025年10月31日 (金) 09:53 (UTC) <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> <!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&oldid=29400209 のリストを使用して送信したメッセージ --> == <span lang="en" dir="ltr">Reminder: Help us decide the name of the new Abstract Wikipedia project</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="function2"/> {{int:Hello}}. Reminder: Please help to choose name for the new Abstract Wikipedia wiki project. The finalist vote starts today. The finalists for the name are: <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">Abstract Wikipedia, Multilingual Wikipedia, Wikiabstracts, Wikigenerator, Proto-Wiki</span>. If you would like to participate, then '''[[m:Special:MyLanguage/Abstract Wikipedia/Abstract Wikipedia naming contest|please learn more and vote now]]''' at meta-wiki. {{Int:Feedback-thanks-title}} <section end="function2"/> </div> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 2025年11月20日 (木) 14:21 (UTC) <!-- User:Sannita (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29583860 のリストを使用して送信したメッセージ --> == Wikimedians of Japan User Group 2025-11 == '''全体ニュース''' * ウィキメディア財団の[[:foundation:File:Wikimedia_Foundation_FY_24-25_Audit_Report.pdf|監査報告]](英語)が公表されました。 * 提携団体委員会、オンブズ委員会、事案審査委員会への[[:m:Wikimedia_Foundation/Legal/Committee_appointments/ja|応募]]は12月11日までです。 * ウィキマニア2027はチリのサンディエゴで開催されることが決定しました。 '''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]] * 12月6日17時半(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_54_(6_December_2025)|オンラインミーティング]]が行われます。 '''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]] * 12月6日に大阪大学中之島センターにて、[[:m:Wikimedians of Japan User Group/events/West-Japan Wikimedia Conference 2025|West-Japan Wikimedia Conference 2025]]を開催します。 * 翌7日には[https://opendata-mokumoku2025.peatix.com/view もくもく会]を開催します。 '''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]] * 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。 **[[:w:ja:根岸町 (仙台市)|根岸町 (仙台市)]] **[[:w:ja:遮光器土偶|遮光器土偶]] **[[:w:ja:尾去沢銅山事件|尾去沢銅山事件]] **[[:w:ja:雄勝地区|雄勝地区]] **[[:w:ja:ギャラクシー・ズー|ギャラクシー・ズー]] **[[:w:ja:ジ・アート・オブ・チャーリー・チャン・ホックチャイ|ジ・アート・オブ・チャーリー・チャン・ホックチャイ]] **[[:w:ja:第一次ポエニ戦争の講和条約|第一次ポエニ戦争の講和条約]] **[[:w:ja:道鏡|道鏡]] **[[:w:ja:八方池|八方池]] **[[:w:ja:マケドニア名称論争|マケドニア名称論争]] **[[:w:ja:連室細管|連室細管]] **[[:w:ja:オヴィリ|オヴィリ]] **[[:w:ja:原阿佐緒|原阿佐緒]] **[[:w:ja:宇佐八幡宮神託事件|宇佐八幡宮神託事件]] **[[:w:ja:薬師岳の圏谷群|薬師岳の圏谷群]] **[[:w:ja:うしかい座|うしかい座]] **[[:w:ja:上海郵便局|上海郵便局]] **[[:w:ja:日本大辞書|日本大辞書]] **[[:w:ja:細川ガラシャ|細川ガラシャ]] * 今月の1枚 [[File:Irozaki 20210131-2.jpg|alt=|thumb|200x200px|静岡県南伊豆町にある[[:w:ja:石廊崎|石廊崎]]の先端の画像|none]] '''[[:wmfblog:|Diff]]''' Diffはウィキメディアに関するブログプラットフォームです。今月から毎月Diffの掲載された記事を紹介します。タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。 * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/01/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%bf%e3%82%a6%e3%83%b3in%e5%b2%a9%e6%9d%91%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%99%e3%82%8b/ 「ウィキペディアタウンin岩村」に参加する] / Asturio Cantabrio (2025/11/01) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/02/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a%e3%82%a6%e3%82%a3/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：ウィキマニア・ナイロビ参加報告] / Wadakuramon ( 2025/11/02) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/02/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%81%ab%e3%82%83%e3%82%a6%e3%83%b3-vol-8%e2%91%a1-%e6%96%87%e5%8c%96%e8%b2%a1xwikipedia%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82/ 「ウィキペディアにゃウン vol.8② 文化財×Wikipedia」に参加する] / Asturio Cantabrio (2025/11/02) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/03/wikipedia%e8%a8%98%e4%ba%8b%e3%80%8c%e6%b8%af%e5%8d%97%e5%8f%b0%e3%82%b7%e3%83%8d%e3%82%b5%e3%83%ad%e3%83%b3%e3%80%8d%e3%82%92%e4%bd%9c%e6%88%90%e3%81%99%e3%82%8b/ Wikipedia記事「港南台シネサロン」を作成する] / Asturio Cantabrio (2025/11/03) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/03/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%82%e3%81%8f%e3%82%82%e3%81%8f%e4%bc%9a2025%e5%b9%b410%e6%9c%88%e6%9d%b1%e4%ba%ac%e3%81%a7%e8%aa%95%e7%94%9f%ef%bc%81wikidata/ ウィキメディアもくもく会2025年10月東京で誕生！Wikidata項目欠落検索ツール『Wikidata Missing』] / Ecute (2025/11/03) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/04/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a22027%e9%96%8b%e5%82%ac%e5%9c%b0%e6%b1%ba%e5%ae%9a/ ウィキマニア2027開催地決定] / Wikimania Steering Committee (2025/11/04) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/06/73%e6%ad%b3%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%ae%e4%b8%80%e6%97%a5/ 73歳のウィキメディアンの一日] / Wadakuramon (2025/11/06) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/07/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%82%ab%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a1%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b9%e3%83%bb%e3%82%bd%e3%82%a6%e3%83%ab2025%e3%80%81%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3/ ウィキカンファレンス・ソウル2025、ウィキメディアの未来は多様性にあり] / Wikimedia Korea ; Wadakuramon (2025/11/07) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/14/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e5%88%a9%e7%94%a8%e8%80%85%e3%81%ab%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%83%88%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%83%89/ ウィキペディア利用者に新しいトレンド] Marshall Miller ; Omotecho (2025/11/14) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/16/%e9%96%a2%e8%a5%bf%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a9%e3%83%bc%e3%83%a9%e3%83%a0%e3%81%a7%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a2%e3%81%ae%e8%a9%b1%e3%82%92%e3%81%97/ 関西オープンフォーラムでウィキマニアの話をしました] / Wadakuramon (2025/11/16) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/26/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%ef%bc%9a100%e4%b8%87%e4%bb%b6%e3%81%ae%e3%83%aa%e3%83%b3%e3%82%af%e3%81%a8%e3%81%9d%e3%81%ae%e5%85%88/ ウィキメディア図書館：100万件のリンクとその先] / Vipin SJ；Omotecho (2025/11/26) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/11/27/international-semantic-web-conference-2025-%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%9f%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%ae%e6%84%9f%e6%83%b3/ International Semantic Web Conference 2025 に参加したウィキメディアンの感想] / Eugene Ormandy (2025/11/27) '''前回配信：2025年10月31日''' <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> 配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''<br /> <small>[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。</small>2025年11月30日 (日) 13:06 (UTC) <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> <!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&oldid=29717105 のリストを使用して送信したメッセージ --> == Wikimedians of Japan User Group 2025-12 == '''全体ニュース''' * ウィキペディアは1月15日で25周年を迎えます。同時に[[:m:Event:Wikipedia_25_Virtual_Celebration/ja|バーチャルお祝い会]]も開催されます。 * 1月20日にBernadette Meehanさんがウィキメディア財団のCEOに就任します。 '''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]] * 2027年のESEAPサミットは日本で開催することに決定しました。 '''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]] * 1月31日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-osaka/ OSC大阪]に参加します。 * [https://www.youtube.com/@WikimediaJaUG YouTubeチャンネル]を作成しました。 * 12月6日に[[:m:Wikimedians of Japan User Group/events/West-Japan Wikimedia Conference 2025|West-Japan Wikimedia Conference 2025]]を開催しました。 '''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]] * 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。 **[[:w:ja:ロンドン自然史博物館の天井|ロンドン自然史博物館の天井]] **[[:w:ja:ミャンマーの歴史|ミャンマーの歴史]] **[[:w:ja:ボーラーン|ボーラーン]] **[[:w:ja:天蓋の聖母 (ラファエロ)|天蓋の聖母 (ラファエロ)]] **[[:w:ja:流行神|流行神]] **[[:w:ja:瑠璃坏|瑠璃坏]] **[[:w:ja:や座|や座]] **[[:w:ja:京坂キリシタン一件|京坂キリシタン一件]] **[[:w:ja:ベトナムの歴史|ベトナムの歴史]] **[[:w:ja:オニオオハシ|オニオオハシ]] **[[:w:ja:白瑠璃碗 (正倉院宝物)|白瑠璃碗 (正倉院宝物)]] **[[:w:ja:漢字|漢字]] **[[:w:ja:貞享の半知|貞享の半知]] **[[:w:ja:カンボジア文学|カンボジア文学]] **[[:w:ja:足利政知|足利政知]] * 今月の1枚 [[File:DSC_1418-DeNoiseAI-low-light_(1).jpg|alt=|thumb|200x200px|静岡県南伊豆町にある[[:w:ja:ヤマセミ|ヤマセミ]]のホバリング|none]] '''1月のイベント情報''' * 1/10 [[:w:ja:Wikipedia:オフラインミーティング/ウィキペディア25周年記念エディタソン|ウィキペディア25周年記念エディタソン]] * 1/25 [https://okunoto-archive.jp/202512/223/ ウィキペディアタウンin珠洲] * 1/25 [https://www.city.tambasasayama.lg.jp/chuotoshokan/information/27347.html ウィキペディアタウンin丹波篠山 Vol.2～丹波篠山の自慢「丹波黒」を世界に発信～] '''[[:wmfblog:|Diff]]''' タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。 * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/01/%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%82%bd%e3%83%bc%e3%82%b9%e3%82%ab%e3%83%b3%e3%83%95%e3%82%a1%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b92025kyoto%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0/ オープンソースカンファレンス2025Kyotoに参加] / VZP10224 (2025/12/01) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/03/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a6%e4%ba%ba%e3%81%ae/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：6人のオンラインフォーラム] / Wadakuramon (2025/12/03) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/13/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%bb%e3%83%af%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%83%89in%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%ef%bc%9a%e3%83%96%e3%8w3%bc/ ウィキメディア・ワールドin図書館総合展2025：ブース展示と横浜エディタソン] / Wadakuramon (2025/12/13) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/14/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%82%bf%e3%82%a6%e3%83%b3in%e5%92%8c%e6%ad%8c%e5%b1%b12025%e3%80%8d%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%99%e3%82%8b/ 「ウィキペディアタウンin和歌山2025」に参加する] / Asutrio Cantabrio (2025/12/14) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/14/12%e6%9c%88%e3%82%92%e6%b5%b7%e5%a4%96%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%a8%e9%81%8e%e3%81%94%e3%81%99/ 12月を海外のウィキメディアンと過ごす] / Wadakuramon (2025/12/14) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/16/diff%e3%81%af2026%e5%b9%b4%e3%81%be%e3%81%a7%e3%81%8a%e4%bc%91%e3%81%bf%e3%81%97%e3%81%be%e3%81%99/ Diffは2026年までお休みします] / Chris Koerner ; Wadakuramon (2025/12/16) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/17/%e6%ad%a3%e5%80%89%e9%99%a2%e5%b1%95-%e3%81%a8-%e8%a8%98%e4%ba%8b%e5%9f%b7%e7%ad%86-%e7%91%a0%e7%92%83%e5%9d%8f%e3%81%a8%e3%82%82%e3%81%86%e4%b8%80%e3%81%a4%e3%81%ae%e7%99%bd%e7%91%a0%e7%92%83/ 正倉院展 と 記事執筆 -瑠璃坏ともう一つの白瑠璃碗-] / Lin Xiangru (2025/12/17) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9e%e3%83%8b%e3%82%a22026%e3%81%ab%e5%90%91%e3%81%91%e3%81%a6/ ウィキマニア2026に向けて] / Wikimania Core Organizing Team (2025/12/19) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/west-japan-wikimedia-conference-2025%e5%8f%82%e5%8a%a0%e8%a8%98%ef%bc%9a%e6%a8%aa%e6%b5%9c%e3%82%a8%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%bf%e3%82%bd%e3%83%b3%e3%82%92%e7%b4%b9%e4%bb%8b/ West-Japan Wikimedia Conference 2025参加記：横浜エディタソンを紹介] / Wadakuramon (2025/12/19) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/19/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e8%b2%a1%e5%9b%a32026-27%e5%b9%b4%e6%ac%a1%e8%a8%88%e7%94%bb%e3%81%ae%e3%82%b4%e3%83%bc%e3%83%ab%e7%ad%96%e5%ae%9a%ef%bc%9a%e3%82%a6/ ウィキメディア財団2026-27年次計画のゴール策定：ウィキメディア運動の重点となる質問] / Selena Deckelmann ; Omotecho (2025/12/19) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2025/12/23/%e6%97%a5%e6%9c%ac%e3%81%ae%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%a1%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%83%b3%e3%81%8cwikiconference-seoul-2025%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%a6%e3%81%8d%e3%81%9f/ 日本のウィキメディアンがWikiConference Seoul 2025に参加してきた記録] / Narumi.SBT (2025/12/23) '''前回配信：2025年11月30日''' <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> 配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''<br /> <small>[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。</small>2025年12月31日 (水) 11:04 (UTC) <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> <!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&oldid=29848173 のリストを使用して送信したメッセージ --> == ほぼ同内容かつ似た題名の記事の並立について（日本語方言など） == [[日本語/方言]]と[[日本語の方言]]は同じような題で同じような内容を載せていますが、この2つはどう違うのでしょう。同じ意図で作ったものならどちらかに統合すべきだと思いますが、統合後はどちらの記事名にするのが良いでしょうか。 加えて、こういった例は他にも必ず存在する気がするのですが、そういった場合の方針などがあれば教えていただきたいです。--[[利用者:BrassSnail|BrassSnail]] ([[利用者・トーク:BrassSnail|トーク]]) 2026年1月12日 (月) 13:28 (UTC) :こちらでシスオペをやっております、[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]])と申します。 :ご指摘ありがとうございます。本件ご指摘のとおりだと思います。手続き導入からは日が浅いものの、「[[Wikibooks:統合提案]]」という手続きがありますのでご紹介いたします。そちらで、ご提案をいただけるのとありがたいのですが、お忙しいようであれば、機会を見計らい私が対応いたします。 :WBとWPが微妙に異なることとして、ある一つの事柄についての記述でも、教科書として伝える層や伝える体系が異なると記述が異なることとなり、別ページを構成することがあるということで、これは、各々の体系のもので存続させることがあります。または、共通の記述に関してリンクを貼ることで対応するなどの手法も考えられます。この辺りは、決まった手法があるわけではないので、作成の過程で議論によって決めていくことなのかなと思っています。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月12日 (月) 16:43 (UTC) ::ご教授ありがとうございます。そちらで提案させていただきました。。--[[利用者:BrassSnail|BrassSnail]] ([[利用者・トーク:BrassSnail|トーク]]) 2026年1月15日 (木) 15:27 (UTC) == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 2026年1月16日 (金) 19:45 (UTC) <!-- User:ZI Jony@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29879549 のリストを使用して送信したメッセージ --> == <span lang="en" dir="ltr">Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="announcement-content" /> I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]]. The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]]. Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])<section end="announcement-content" /> </div> 2026年1月19日 (月) 21:01 (UTC) <!-- User:Keegan (WMF)@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 のリストを使用して送信したメッセージ --> == 無期限保護について == こんばんは。本日からWikibooksの編集を始めました。なまえみていです。 色々なページを見ていて、無期限 <s>保護</s> <u>半保護</u> がなされているページが多く感じられます。もちろん、度重なる荒らし、管理者不足など理由はあるのだと思いますが、Wikipediaに慣れている私からすると、厳しすぎる対応だと思います。(Wikipediaでは基本的に無期限は合意形成がないとできない) ただでさえ、Wikibooksを編集する利用者が少ないのに、積極的に <u>半</u> 保護していると、新規利用者ができづらいと考えます。 [[日本の大学受験ガイド#入試対策]]にある大学のうち保護されているものの解除を検討していただけないでしょうか？ 学生による新規参入はWikibooksの存続に大きく影響すると思います。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月23日 (金) 16:55 (UTC) <small> 意味合いが変わってしまうので取り消し線と下線で訂正しました。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:24 (UTC)</small> :はじめまして、[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]])と申します。 :本件、一応説明いたしますと、WPに比べると当プロジェクトは、参加者もさながら管理者も圧倒的に少なく、多少の「いわゆる」民主的運営を犠牲にしてでも厳しい措置を取らざるを得ないという事情があります。また、作成保護に関して、強い保護は「Wikibooksのテーマになる可能性が非常に少ないもの」のみについてかけるようにし、その他は基本半保護のはずです（WPも実質永久半保護の記事は少なくありません）。初回ログイン後、数日平穏な編集が継続される限り、特に支障はないはずです。そのような記事に関しては、なまえみていさんも来週には編集可能となると思いますが、どうしても、すぐに編集したいという記事があるのであれば、[[Wikibooks:管理者伝言板#保護解除依頼]]に指定してご依頼ください。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:04 (UTC) ::(返信) ご丁寧にありがとうございます。 ::jawpと同じ基準ならおそらく、数時間で自動承認されるので私は困らないのですが、新規利用者が生まれにくく、利用者不足を加速させてしまうのかなと思った次第です。 ::私の方でお手伝いできることがありましたら、ご協力したいと考えています。失礼します。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年1月24日 (土) 01:20 (UTC) == Wikimedians of Japan User Group 2026-1 == '''全体ニュース''' * [[:m:Stewards/Elections_2026|スチュワード選挙2026]]及び[[:m:Stewards/Confirm/2026|現在のスチュワードへの信任投票]]への投票が2月6日 14:00 (UTC) から2月27日 14:00 (UTC) まで行われます。 * ウィキマニア2026の[[:wikimania:2026:Program|プログラム募集]]が3月1日まで行われています。 * 来年度のウィキメディア財団の年次計画についての[[:m:Talk:Wikimedia_Foundation_Annual_Plan/2026-2027|意見募集]]が行われています。 '''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]] * 2月1日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_55_(1_February_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。 '''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]] * [https://www.ospn.jp オープンソースカンファレンス]のコミュニティサポーターになりました。 * 2月27,28日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-spring/ OSC東京]に参加します。 * [[:m:「Diff」2025年日本語版記事索引|「Diff」2025年日本語版記事索引]]を公開しました。 '''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]] * 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。 **[[:w:ja:マルキアヌス|マルキアヌス]] **[[:w:ja:高瀬渓谷の噴湯丘と球状石灰石|高瀬渓谷の噴湯丘と球状石灰石]] **[[:w:ja:帯金式甲冑|帯金式甲冑]] **[[:w:ja:百済の里|百済の里]] **[[:w:ja:仙人掌群鶏図|仙人掌群鶏図]] **[[:w:ja:(54598) ビエノール|(54598) ビエノール]] **[[:w:ja:平成の大合併|平成の大合併]] **[[:w:ja:正倉院展|正倉院展]] **[[:w:ja:駿河竹千筋細工|駿河竹千筋細工]] **[[:w:ja:横浜中華街の歴史|横浜中華街の歴史]] **[[:w:ja:毛利輝元の四国・九州出兵|毛利輝元の四国・九州出兵]] * 今月の1枚 [[File:251123 Shinsenkyo Hakone Japan26s3.jpg|alt=|thumb|200x200px|神奈川県箱根町に所在する[[:w:ja:神仙郷|神仙郷]]|none]] '''2月のイベント情報''' * 1/10 [[:w:ja:Wikipedia:オフラインミーティング/ウィキペディア25周年記念エディタソン|ウィキペディア25周年記念エディタソン]] * 2/7 [https://peatix.com/event/4795657 ウィキペディアタウン神保町 Vol.3] * 2/7 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|駅まちウィキペディア 動くエディタン編集室 vol.1 京都丹後鉄道あかまつ号]] * 2/14 [https://www.city.ichinoseki.iwate.jp/library/topics/page.php?p=679 ウィキペディアタウン in 東山] * 2/15 [https://www.city.toda.saitama.jp/koho-toda/260101/kouza04.html ウィキペディアタウン戸田　つくろう！戸田市の歴史事典] * 2/15 [https://iselib.city.ise.mie.jp/ise/?id=262 ウィキペディアタウン伊勢Vol.3] * 2/28 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|丹後古墳ウォーカー 歩いて発見！古代丹後の推し古墳をウィキで紹介！ #1 大宮町東川岸]] '''[[:wmfblog:|Diff]]''' タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。 * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/09/%e5%9b%b3%e6%9b%b8%e9%a4%a8%e7%b7%8f%e5%90%88%e5%b1%952025%e3%81%ae%e3%80%8cedit-tango%e3%80%8d%e3%83%96%e3%83%bc%e3%82%b9/ 図書館総合展2025の「edit Tango」ブース] / Asturio Cantabrio (2026/01/09) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/11/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e6%97%a5%e6%9c%ac%e8%aa%9e%e7%89%88%e3%82%b3%e3%83%9f%e3%83%a5%e3%83%8b%e3%83%86%e3%82%a3%e3%81%ae%e6%ad%b4%e5%8f%b2%e3%82%92%e3%82%a6/ ウィキペディア日本語版コミュニティの歴史をウィキペディアに刻む] / Wadakuramon (2026/01/11) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/13/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%82%a8%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%bf%e3%82%bd%e3%83%b3%e3%81%ab%e5%8f%82%e5%8a%a0%e3%81%97%e3%81%be/ ウィキペディア25周年記念エディタソンに参加しました] / Wadakuramon (2026/01/13) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/21/%e3%82%a2%e3%82%b8%e3%82%a2%e6%9c%88%e9%96%932025-%e3%82%92%e7%b5%82%e3%81%88%e3%81%a6/ アジア月間2025 を終えて] / Lin Xiangru (2026/01/21) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/01/26/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%83%90%e3%83%bc%e3%82%b9%e3%83%87%e3%83%bc%e3%83%bb%e3%82%b1%e3%83%bc%e3%82%ad%e3%83%bb%e3%82%bd/ ウィキペディア25周年記念バースデー・ケーキ・ソング!] / Wadakuramon (2026/01/26) '''前回配信：2025年12月31日''' <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> 配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''<br /> <small>[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。</small>2026年1月31日 (土) 12:17 (UTC) <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> <!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&oldid=29923679 のリストを使用して送信したメッセージ --> == ほかの利用者さんとの対話について == 昨年の12月25日にある利用者さんの会話ページで話題を追加したのですが、その利用者さんは私が投稿する2週間ほど前から今月頭まで活動なさっておらず、活動再開後も現在に至るまで返答をいただけておりません。 気づいていらっしゃらないのか故意に返信なさっていないのかはわからないのですが、このような場合、再度会話ページでお知らせするのが良いのか、それとも他に適切な方法があるのでしょうか？ 私自身としてはその話題が記事の品質に大きく関わる内容であり対話を行いたいのですが、過剰に返答を求めて当該の利用者さんや他の方に粘着的な行動だと受け取られてしまうと困りますので、こちらで相談させていただきます。--[[利用者:飛火野|飛火野]] ([[利用者・トーク:飛火野|トーク]]) 2026年2月18日 (水) 14:28 (UTC) :{{コメント2|コメント}} こんにちは。初めまして。 :この場合、対話拒否としてコメント依頼を提出したりできそうですが([[Wikibooks:コメント依頼/すじにくシチュー|例]])、Wikipediaみたいに制度が整ってなさそうですし、準備が大変です。 :ひとまず、異論なしとして、[[利用者:飛火野|飛火野]]さんが正しいと思う様に編集してみたらいかがでしょうか？ :待っていても、何も始まらないですし……--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月18日 (水) 17:47 (UTC) ::一般記事は、書かれた段階で「誰が書いたか」というものではなくなりますので、適当でないと思える記述は、適当と思うものに書き換えても全く構いません。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年2月19日 (木) 12:37 (UTC) :::お二人とも、返信ありがとうございます。記事本体には追々手を加えさせていただきます。 :::返信の内容から拝察するに、私の投稿記録をご覧になっていただけたのだと思うのですが、あのような質問になった経緯を時系列順に記しますと、 :::1)当該の編集（[https://ja.wikibooks.org/w/index.php?title=%E6%B0%97%E5%80%99%E5%AD%A6/%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%B0%97%E5%80%99%E5%8C%BA%E5%88%86&oldid=251398 こちら]）を見て生成AIによる生成物を、十分に検証できないのに投稿なさっているのではないかという疑義を抱いた :::2)他の記事（[https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%BA%96%E6%83%91%E6%98%9F こちら]や[https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%8F%A4%E7%94%9F%E7%89%A9%E5%AD%A6/%E5%A4%A7%E8%A6%8F%E6%A8%A1%E7%B5%B6%E6%BB%85%E3%82%A4%E3%83%99%E3%83%B3%E3%83%88 こちら]など）でも同様の編集をなさっているのが見受けられた :::3)もし当該の編集が私の考えているような「AIで生成し、さらにその内容の検証（この場合、日本の「気候学」や「古生物学」の記述として妥当なのかの判断）を十分に行えないままで投稿なさっているのであれば、手を止めていただく必要があるのではないかと考えた :::4)しかし、私の勇み足であっては失礼ですので、まずは編集の意図を確認した :::というところです。 :::確かに、今思うと誘導尋問的で、必要以上に迂遠な聞き方になってしまっていたとは思うのですが、私としてはまず当該利用者さんの編集の意図をお伺いしたいと思っています。--[[利用者:飛火野|飛火野]] ([[利用者・トーク:飛火野|トーク]]) 2026年2月19日 (木) 14:27 (UTC) == どうしてwikibooksが必要なのか == そのまんま--[[利用者:Guest A1|Guest A1]] ([[利用者・トーク:Guest A1|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 09:28 (UTC) <del>:はじめまして。tkkn46tkkn46 と申します。</del> :wikipediaは、リンク?ハイパーテキスト?ハイパーリンク?　がステキ。(任意へリンク) :wikibooksは、目次ページがあって、章、節、号、款、目　 :（例:<nowiki>[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン]]</nowiki>） :wikibooksは、wikipediaより本のイメージに近い思います。 :wikibooksで、「単語」だけ?だと、wikipediaでイイんじゃないの思います。 :wikipediaは、辞書のイメージです。本に、ならないタイトルだとキツイと思います。 :以下、wikibooksへのいつの日にか私の希望 :①標準機能内で、本なので、目次ページを参考に、ページ間の移動が楽だと助かります。 :　F7（前頁へ）F8（後頁へ）?F6（1つ上へ）F9（1つ下へ） :　現在は、ページ内のフッターで、自作しています。 :②標準機能内で、books内の索引の自動作成機能。 :もしかしたら、誰かが開発済みカモ。アドバイスいただけると助かります。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 11:53 (UTC) :wikidiaryがあれば、Guest A1様の投稿はステキかも。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 12:12 (UTC) ::お二人に。 ::'''[[Wikibooks:児童・生徒の方々へ]]'''をきちんと読んでいただくことを希望いたします。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年2月25日 (水) 12:37 (UTC) == 過去ログ化のガイドラインについて == [[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|このガイドライン]]はすじにくシチューさん一人で作成されてから草案状態が10年経ちました。正式にガイドライン化したいと考えています。 その前に一つ提案をいたします(この議論では実際に変更するわけではありません)。今現在、日本語版wikibooksではサブページ方式ではなく、固定リンク方式を使っていますが、個人的にはサブページ方式を使ったほうがよいと思います。 理由として # サブページ方式の方が感覚的に実行しやすく、煩わしくない。 # サブページ方式の方がログの保存方法の変更がしやすい。固定リンク方式の場合「今まで1年ごとに過去ログ化していたけど10年ごとに変更したい」となったときに対応が出来ません。 # サプページ方式の欠点として、[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|ガイドライン]]では「他の方法（サブページをつくるなど）と比べて、固定版方式では編集方法をまちがった場合の差し戻しが容易なことが根拠です。」とありますが、むしろサブページ方式の方が2で挙げた場合もそうですが、差し戻し、過去ログページの削除で対応できるため簡単に対応できます。 本当はを作成されたすじにくシチューさんに理由や意図をお聞きしたいのですが、無期限ブロックされており、お聞きすることが出来ません。皆さんに賛成か反対か、反対ならその理由などをお聞きしたいです。 具体的な提案 サブページ方式で[[Wikibooks:過去ログ]]を作成し[[Wikibooks:過去ログ/談話室]]など項目別にサブページを作成する。ログを追加しないと考えられるものに関しては無期限半保護する。 wikipediaでは[[Wikipedia:談話室/過去ログ]]のような形式ですが、wikibooksでは[[Wikibooks:過去ログ]]で過去ログを一括で管理したいと考えています。「理由として」でも挙げたとおり、やり直しが利くのでとりあえず賛成していただいても大丈夫だと思います。 今後の流れ（←これに関しても意見があればお寄せください） # この議論で1週間程で御意見を募集する、議論で大まかに決める。 # 決定した内容で良いかを投票する（投票権は投票用の議論が開始された時点で自動承認されているユーザーまたはウィキメディアプロジェクトに参加してから3ヶ月経過しているユーザーで考えています。） # 実際に過去ログ化をして1ヶ月ほど経過したら問題が生じていないかを議論する # [[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン]]を正式にガイドライン化する議論をする --[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年2月28日 (土) 12:58 (UTC) :こんにちは、編集お疲れ様です。 :現在の[[Wikibooks:過去ログ化のガイドライン|過去ログ化のガイドライン]]の作成された経緯については、こちらの[[特別:固定リンク/101028#過去ログ作業の公式方針を整備すべき|談話室での議論]]をご参照ください。この議論を経て草案ではありますが、いちおうガイドラインとして現状運用されています。なまえみていさんは、現在のガイドラインとは別方式による過去ログ化のガイドラインをお考えのようですので、まずはご自身の利用者ページ下などになまえみていさん式のガイドライン草案を作成されてみてはいかがでしょうか。現行草案と別方式草案の2案を提示した方が、コミュニティの意見も集まりやすくなるのではないかと思います。また、ここ談話室では議論の呼びかけにとどめ、本格的な議論は[[Wikibooks・トーク:過去ログ化のガイドライン|ガイドライン議論ページ]]でした方がよいかと思います。--[[利用者:Shokupan|Shokupan]] ([[利用者・トーク:Shokupan|トーク]]) 2026年3月15日 (日) 23:44 (UTC) == Wikimedians of Japan User Group 2026-2 == '''全体ニュース''' * ウィキマニア2026の[[:wikimania:2026:Program|プログラム募集]]が3月1日まで行われています。 * [https://diff.wikimedia.org/2026/02/11/announcing-new-policies-related-to-the-use-of-wikimedia-sites-for-advocacy-purposes/ 一部のグローバルポリシー]が変更されました。 '''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]] * 3月7日17時30分(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_56_(7_March_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。 * [[:m:ESEAP_Conference_2026/ja|ESEAPカンファレンス2026]]の登録が開始されました。 '''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]] * 3月1日に[https://peatix.com/event/4847333/view ウィキペディア25周年記念交流会]を開催します。 '''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]] * 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。 **[[:w:ja:山田美妙|山田美妙]] **[[:w:ja:スペクトル分類|スペクトル分類]] **[[:w:ja:横手市|横手市]] **[[:w:ja:上杉憲方|上杉憲方]] **[[:w:ja:パノルムスの戦い|パノルムスの戦い]] **[[:w:ja:都市伝説解体センター|都市伝説解体センター]] **[[:w:ja:市川少女歌舞伎|市川少女歌舞伎]] **[[:w:ja:うお座|うお座]] **[[:w:ja:南アフリカ文学|南アフリカ文学]] * 今月の1枚 [[File:JRH_Senmo-Main-Line_H100-44.jpg|alt=|thumb|200x200px|オホーツク海沿岸部を走行する[[:w:ja:JR北海道H100形気動車|H100形気動車]]|none]] '''3月のイベント情報''' * 3/8 [https://www.facebook.com/events/731133399814596/ WikiGap in Kanagawa 2026] * 3/21 [[:w:ja:プロジェクト:アウトリーチ/ウィキペディアタウン#近畿|ウィキペディアタウンin網野町木津～駅まちウィキペディア「夕日ヶ浦木津温泉駅」～]] '''[[:wmfblog:|Diff]]''' タイトル / 著者；翻訳者 (掲載日) の順で記載しています。 * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/01/%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a225%e5%91%a8%e5%b9%b4%e8%a8%98%e5%bf%b5%e3%83%89%e3%82%ad%e3%83%a5%e3%83%a1%e3%83%b3%e3%82%bf%e3%83%aa%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%aa%e3%83%bc/ ウィキペディア25周年記念ドキュメンタリーシリーズ] / Wadakuramon (2026/02/01) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/12/lod%e3%83%81%e3%83%a3%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%82%b82025%e3%81%a7%e6%97%a5%e6%9c%ac%e3%81%ae%e3%80%8c%e6%b5%b7%e3%81%ae%e9%a7%85%e3%80%8d%e3%82%92%e3%82%aa%e3%83%bc%e3%83%97%e3%83%b3%e3%83%87%e3%83%bc/ LODチャレンジ2025で日本の「海の駅」をオープンデータ化 ― 約200件の海のインフラをWikidataに追加] / Ecute (2026/02/12) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/25/%e9%96%89%e6%a0%a1%e3%81%99%e3%82%8b%e5%b0%8f%e5%ad%a6%e6%a0%a1%e3%81%ae%e8%a8%98%e9%8c%b2%e3%82%92%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%ad%e3%83%9a%e3%83%87%e3%82%a3%e3%82%a2%e3%81%ab%e6%ae%8b%e3%81%99/ 閉校する小学校の記録をウィキペディアに残す] / VZP10224 (2026/02/25) * [https://diff.wikimedia.org/ja/2026/02/25/eseap%e3%83%8f%e3%83%96%e3%82%92%e6%8e%a8%e9%80%b2%e3%81%99%e3%82%8b%e4%ba%ba%e3%80%85/ ESEAPハブを推進する人々] / FelianiESEAP Hub ; Wadakuramon (2026/02/25) '''前回配信：2025年1月31日''' <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> 配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''<br /> <small>[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。</small>2026年2月28日 (土) 13:14 (UTC) <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> <!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&oldid=30083678 のリストを使用して送信したメッセージ --> == Wikibooks: (ウイキブックス コロン)が現在何種類あるか教えて下さい。 == ウイキブックス コロンの全リストのページを教えて下さい。あいうえお順が望ましいです。リンクだけ。 よろしくお願いします。 ＞Wikibooks:ウィキブックスへようこそ(参照) ＞新規参加者にとって参考になるページ ＞ページ名に「Wikibooks:」とつくものは、ウィキブックスのプロジェクトそのものに関するページです。その中でも新規参加者にとって役に立つと思われるページをリストしておきます。 11種類以上だと思います。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月13日 (金) 03:54 (UTC) :{{コメント2|コメント}} [[特別:ページ一覧|こちら]]で「名前空間」をWikibooksに指定し、検索すれば全リストが表示されます。 :なお、談話室は本来、これからのWikibooksについて話し合うものですので、個人的な質問は談話室ではなく[[WB:HD|こちら]]にお願いします。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 04:39 (UTC) == ノートページの呼び方は、全部で何通りあるか教えて下さい。 == ①ノートの呼び方の種類の数です。違いです。 ②「ノート」は　ノートページの意味ですか。 ③「議論」は 議論ページと呼びませんか。 よろしくお願いします。 ＞Help:ノートページ(wikipedia参照) ＞^ ノートページはトークページ(talk page)とも呼ばれるが、日本語版の「会話ページ」は、名前空間名がそう翻訳されている「利用者についての」トークページのみを指すことがしばしばある。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月13日 (金) 03:56 (UTC) == <span lang="en" dir="ltr">Upcoming deployment of CampaignEvents extension to Wikibooks</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="message"/> Hello everyone, We are writing to inform you that the [[mw:Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] will be deployed to all Wikibooks projects during the week of '''23 March 2026'''. This follows last year’s broader rollout across Wikimedia projects. We realized that Wikibooks was not included at the time, and we’re now addressing that to ensure consistency across all communities. The CampaignEvents extension provides tools to support event and campaign organization on-wiki, including features like on-wiki event registration and collaboration lists(global event list). We welcome any questions, feedback, or concerns you may have. We are also happy to support anyone interested in trying out the tools. ''Apologies if this message is not in your preferred language. If you’re able to help translate it for your community, please feel free to do so.'' <section end="message"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:Udehb-WMF|Udehb-WMF]] ([[User talk:Udehb-WMF|トーク]]) 2026年3月19日 (木) 18:22 (UTC)</bdi> <!-- User:Udehb-WMF@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Udehb-WMF/sandbox/MM_target&oldid=30284073 のリストを使用して送信したメッセージ --> == Bot Flag Request for [[{{ns:User}}:SchlurcherBot]] == Appologies for posting in English. Also, I could not locate a dedicated page for bot request in {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}}, so I am posting here. Please direct me to the correct page if one exists. Thank you. * '''Bot name''': [[{{ns:User}}:SchlurcherBot]] * '''Bot operator''': [[commons:User:Schlurcher]] * '''Bot task''': Automatically convert links from <code>http://</code> to <code>https://</code> (secure protocol migration) * '''Technical details''': Please see [[metawiki:User:SchlurcherBot|meta:User:SchlurcherBot]] for full details, including the expected number of affected URLs on {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}}. * '''Bot flags on other projects:''': [[metawiki:Steward_requests/Bot_status/2025-12#Global_bot_status_for_User:SchlurcherBot|Global bot status granted]]. Also flagged on [[:w:en:Wikipedia:Bots/Requests for approval/SchlurcherBot|English Wikipedia]], [[:w:de:Wikipedia:Bots/Anträge_auf_Botflag/Archiv/2025#2025-02-14_–_SchlurcherBot|German Wikipedia]], [[:w:fr:Wikipédia:Bot/Statut/Archive_12#(Traité)_SchlurcherBot|French Wikipedia]], [[:w:it:Wikipedia:Bot/Autorizzazioni/Archivio/2025#SchlurcherBot|Italian Wikipedia]], [[:w:pl:Wikipedia:Boty/Zgłoszenia/2025#Wikipedysta:SchlurcherBot|Polish Wikipedia]], [[:w:pt:Wikipédia:Robôs/Pedidos_de_aprovação/Arquivo/2025#SchlurcherBot|Portuguese Wikipedia]], and [[commons:Commons:Bots/Requests/SchlurcherBot2|Commons]]. For a full list, see: [[metawiki:Special:CentralAuth/SchlurcherBot|sulutil:SchlurcherBot]] * '''Comment''': The bot is globally approved and active on the top 10 Wikipedia projects. As this wiki has opted out of the global bot policy, I am requesting permission to perform these link updates on {{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}} {{SITENAME}} as well. Please let me know if a local bot flag can be granted or if you have any questions. Thank you. --[[利用者:Schlurcher|Schlurcher]] ([[利用者・トーク:Schlurcher|トーク]]) 2026年3月26日 (木) 22:21 (UTC) ::{{RFB|対処}} I have done your request.--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年3月26日 (木) 23:13 (UTC) :::Thanks. --[[利用者:Schlurcher|Schlurcher]] ([[利用者・トーク:Schlurcher|トーク]]) 2026年3月27日 (金) 08:39 (UTC) == Wikimedians of Japan User Group 2026-3 == '''全体ニュース''' * ウィキメディア財団理事会はすべての言語版のウィキニュースを閉鎖することを承認しました。ウィキニュースは5月4日から読み取り専用になります。 '''ESEAPハブからのおしらせ'''[[File:ESEAP logo horizontal.svg|40px|link=:m:ESEAP_Hub/ja]] * 4月4日16時(JST)から[[:m:Event:ESEAP_Community_Call_57_(4_April_2026)|オンラインミーティング]]が行われます。 * [[:m:ESEAP_Conference_2026/ja|ESEAPカンファレンス2026]]の登録が開始されました。 '''Wikimedians of Japan User Groupからのおしらせ'''[[File:Wikimedians of Japan User Group Logoonly.svg|20px|link=:m:Wikimedians_of_Japan_User_Group]] * 4月18日に開催される[https://event.ospn.jp/osc2026-kagawa/ OSC香川]に参加します。 '''[[:w:ja:メインページ|日本語版ウィキペディア]]'''[[File:Wikipedia-logo-v2.svg|20px|link=:w:ja:]] * 4月17日まで[[:w:ja: Wikipedia:日本・韓国_友好編集月間|日本・韓国 友好編集月間]]が行われています。 * 今月は以下の記事が[[:w:ja:Wikipedia:良質な記事/良質な記事の選考|良質な記事の選考]]を通過しました。 **[[:w:ja:普通自転車の交差点進入禁止|普通自転車の交差点進入禁止]] **[[:w:ja:京都市の観光|京都市の観光]] **[[:w:ja:克美茂愛人殺害事件|克美茂愛人殺害事件]] **[[:w:ja:アフガニスタンの歴史|アフガニスタンの歴史]] **[[:w:ja:養老山地|養老山地]] **[[:w:ja:唐津藩|唐津藩]] **[[:w:ja:京都の歴史|京都の歴史]] **[[:w:ja:ムウタスィム|ムウタスィム]] **[[:w:ja:トゥーランガリラ交響曲|トゥーランガリラ交響曲]] **[[:w:ja:ガリレオ裁判|ガリレオ裁判]] **[[:w:ja:優しい世界へ|優しい世界へ]] **[[:w:ja:金属有機構造体|金属有機構造体]] **[[:w:ja:聖なるタラ|聖なるタラ]] **[[:w:ja:ギターを弾く女|ギターを弾く女]] **[[:w:ja:八方尾根のケルン|八方尾根のケルン]] **[[:w:ja:ひばり号|ひばり号]] **[[:w:ja:マリモ|マリモ]] **[[:w:ja:スイスの歴史|スイスの歴史]] * 今月の1枚 [[File:260110_Kosei-ji_Kyoto_Japan12s3.jpg|alt=|thumb|200x200px|京都市に位置する[[:w:ja:光清寺_(京都市)|光清寺]]の心字庭「心和の庭」 |none]] '''4月のオフラインイベント情報''' * 4/19 [https://www.facebook.com/events/1437162964770290 Wikipediaブンガク 吉屋信子 ] '''前回配信：2025年2月28日''' <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> 配信元： ''[[:m:Wikimedians of Japan User Group|Wikimedians of Japan User Group]]''<br /> <small>[[:m:Talk:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン|フィードバック]]。[[:m:Wikimedians of Japan User Group/メールマガジン/targets list| 登録・削除]]。</small>2026年3月31日 (火) 11:00 (UTC) <hr style="border-top: 2px 破線 #7F9AEB; border-bottom: none;"> <!-- User:Chqaz-WMJPUG@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedians_of_Japan_User_Group/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%82%AC%E3%82%B8%E3%83%B3/targets_list&oldid=30083678 のリストを使用して送信したメッセージ --> == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[利用者:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[利用者・トーク:MediaWiki message delivery|トーク]]) 2026年4月3日 (金) 17:11 (UTC) <!-- User:ZI Jony@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 のリストを使用して送信したメッセージ --> == 「Lintエラーが生じる件について」 の対応について教えて下さい。 == ＞...このLintエラーは「優先度 高」になっていて、... 私は、機械的?な話である事を理解しました。(別件コメント:私的?には、ガイドラインの「本ガイドラインの有効性（そもそも論）」の方が「優先度 もっと高?」のような気がしました。別件コメント無視して下さい。) ＞...修正する必要があると考えます。... ＞...対応はおろか、...＞...実害がないので... ○○法第1章 :　の各行バックスラッシュ 1個を削除するだけではないカモ。 ①idが、目次ページの他に、条文ページ(判例を含む)もありました。 ②アンカー?第○章、第○条の漢字文字タイトル改正関係なしに、数字の便利さ使用もありカモ でした。←←← ③新規の目次ページ編集者は大変だろうな。感覚でした。 ④[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン/目次ページ]] 　[[Wikibooks:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン/条文ページ]] 　の2種類はどうなりますか。 <nowiki>==<span id="1"/>第1章 総則 (第1条～第5条)==</nowiki> <nowiki>:</nowiki><nowiki>[[○○法第1条|第1条]]</nowiki>(目的)== ... ⑤間違っている事をガイドラインに載せるのは、望ましくない。 フッターに影響するのは困る。 普通に他と同様に?ガイドラインのダブルスタンダードそのままで、←←←トリプル可??? 閲覧操作に違いがなければイイナです。私の理解です。 ⑥リンター?の操作は、何がいいですか。wikibooksの標準機能にありますか。手作業?見てからです。 ⑦wikipedia他はどのようにしていますか。放ったらかし? https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:LintErrors/self-closed-tag 自己終了タグ (561 件のエラー) ＞...より質の高い教科書作りに...(ガイドライン議論より) ＞...「提案に従う義務はありません。」と記載していながら、...(〃) ＞...返信もありません（編集活動は続けられています）...(〃) ＞...彼(私?)の問いかけは論理的なものではないと考えます。...(利用者・トーク:Tomzo#お願いより) と言われませんように。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月6日 (月) 13:46 (UTC) == Lint エラーの自己終了タグ (3,295 件のエラー)以外。他のエラー多数について、皆さんは、どのように考えておられますか。 == [[Wikibooks・トーク:ウィキプロジェクト 法学 コンメンタール執筆ガイドライン#Lintエラーが生じる件について]]　の続き。 談話室にしました。下に続けるのも?です。 ①他のエラー多数の扱い。 ②リンターは、自動的に編集してくれますか。抽出だけですか。 ③リンターに、自作定義オプションを追加できますか。それを編集してくれるとうれしい。 ④おすすめのリンターを教えて下さい。AIでもいけそうな気もしました。エラー全部のLLM? ＞...彼の問いかけは論理的なものではないと考えます。...(利用者・トーク:Tomzo#お願いより) と言われませんように。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月6日 (月) 13:49 (UTC) :{{コメント2|コメント}} 私たちの議論をご覧になっての質問ということで、ご回答致します。 :# 他のエラーも同様に修正するのが理想です。ただ、我々の能力的な問題があったり、量があったりでそのままにされているだけです。 :# 質問の意図が汲めなかったのですが、問題の箇所を修正すれば自動的にLintエラーのページからは表示されなくなります。 :# おそらく、我々は大元の設定はいじれないかと思います。 :# おすすめのLintエラーの意味がわかりません。ウィキペディアではBotが良く使われますが、同じエラーでもケースバイケースなのでLintエラーに対してはあまり使われていない印象です。結局、現時点では人間の判断が必要です。 :質問に対する答えになってるでしょうか？--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年4月16日 (木) 04:33 (UTC) == アイコン?テンプレート?を探しています。英語でも。このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまでマッテ。 == 他、例えば、 ・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまで余計な事言うな。 ・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。出来上がるまでコメントするな。 ・このページ「○○○」は、まだ書きかけです。△△△日まで余計な事言うな。過ぎればOK。 ・このページ「○○○」は、コメントされても、返信しません。 (参考例)　以下は、ただちにコメントOKの例。 [[トランプ#関連項目]]を転写。 このページ「○○○○」は、まだ書きかけです。加筆・訂正など、協力いただける皆様の編集を心からお待ちしております。また、ご意見などがありましたら、お気軽にトークページへどうぞ。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月11日 (土) 12:59 (UTC) == スタイルマニュアル の ナビゲーションをつける について4点教えて下さい。 == [[Wikibooks:スタイルマニュアル#ナビゲーションをつける]] ①＞このうち、1（テンプレート:Pathnav）を使用して下さい。 上記があるので、2、3を<nowiki><del></del></nowiki>にして下さい。 ②＞<nowiki>{{[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]|メインページ|親項目|子項目}}</nowiki> 　＞最上位ページは「メインページ」にすること（英語の使用の回避） メインページ　が必要ですか。1行目のアイコンと同じに見えます。 ③できれば、pathnav行を　削除したい。表示の重複。 例 [[トランプ]] <nowiki>{{Pathnav|メインページ|ゲーム|frame=1}}</nowiki> [[数学]]　<nowiki>{{Pathnav|メインページ|frame=1|small=1}}</nowiki> ゲームの場合、ゲームはイラナイのか。ナントカナルです。 ④法文は、次行をどうして使わなかったのですか。フッタを使っているのですか。 <nowiki>top:[[本のタイトル]] / previous:[[前のページ]] - up:[[章タイトル]] - next:[[次のページ]]</nowiki>--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月14日 (火) 13:30 (UTC) == カテゴリー内。最新記事の日付を表示できますか。自動更新。ついでに、全記事の最終更新日もです。 == 記事内に自動更新 日付の事例を探しています。 ①(現在)トランプ記事の総数は、...以下の 76 ページを表示しています。 [[カテゴリ:トランプ#カテゴリ: “トランプ”]] ②次行、わかりやすいです。(ちょっと年表示が気になったけど、年表示しないのがステキ。曜日も。新型手動) [[利用者:AkiR27User#※作成・編集ページ]]※4/15時点 前行、wikibooksが自動的に、表示してほしい。 4/15(水)時点のトランプ記事の総数は、...以下の 76 ページを表示しています。(カテゴリー内) ↑↑↑ ??? wikibooksの言い分。そのくらい、人間が投稿履歴を見て、判断できるだろ。情報は提供している。手動。 ??? カテゴリー内でマジックワードが使えますか。 (参考) [[w:Help:マジックワード]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月15日 (水) 03:15 (UTC) == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[利用者:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[利用者・トーク:MediaWiki message delivery|トーク]]) 2026年4月26日 (日) 00:57 (UTC) </bdi> <!-- User:Codename Noreste@metawiki が https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30424282 のリストを使用して送信したメッセージ --> r4c6uqblpaof8t6m88ttu09yigknqca 0 1933 298815 292646 2026-04-25T13:16:07Z Nermer314 62933 298815 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学III|pagename=積分法|frame=1|small=1}} ここでは、数学IIの[[高等学校数学II/微分・積分の考え|微分・積分の考え]]で学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。 [[高等学校数学]]の全ての分野を学んだ後に学習に取り組んでほしい。 == 不定積分 == === 積分の基本的な性質 === 積分法について <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx ,</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>(aは定数) が成り立つ。 導出 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺を微分すると、 左辺 =右辺 = <math> f + g</math> が従う。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺は一致する。 (実際には2つの関数の導関数が一致するとき、 それらの関数には定数だけのちがいがある。 仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。 このとき、 <math>(F(x)-G(x) )' = h(x)- h(x) = 0</math> となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。 よって、両辺を積分すると、 <math>F(x)-G(x) = C</math> となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。 より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> についても両辺を微分すると、 左辺=右辺= a f(x) が従う。 よって、 <math>\int af dx = a\int f dx</math> が成り立つことが分る。 関数 <math>f(x)</math> の原始関数を <math>F(x)</math> とすると <math>\int_a^b f(x) \, = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -\int_b^af(x)\, dx</math> である。 <math>\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> === 置換積分法 === 関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分と呼ぶ。 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> 導出 <math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、 <math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math> 再び<math>x</math>について積分すると、 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> また、特に *<math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math> *<math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math> *<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log | f(x) | + C</math> 例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。 <math>t = ax+b</math>と置く。 この両辺を微分すると <math>dt = adx</math> が成り立つことを考慮すると、 {| |- |<math>\int t^2 \frac {dt} a</math> |<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math> |- | |<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> |} となることがわかる。 実際この式をxで微分すると <math> (ax+b)^2 </math> と一致することが分る。 置換積分を使わずに計算することも出来る。 {| |- |<math>\int (ax+b)^2 dx</math> |<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math> |} (<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。) <math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> となり確かに一致する。 === 部分積分法 === 関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> 導出 積の微分法より <math>\{f(x)G(x)\}' = f'(x)G(x) + f(x)g(x)</math> である。これを移項して <math>f(x)g(x) = \{f(x)G(x)\}' - f'(x)G(x)</math> である。両辺をxで積分して <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> が得られる。 例えば、 {| |- |<math>\int x (ax+b)^3 dx</math> |<math>=\int x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)' dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math> |} 部分積分を <math>n</math> 回行うと、 <math>\begin{align} \int f(x) g(x) \, dx &= f(x) g^{(-1)}(x) - \int f'(x) g^{(-1)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) -f'(x) g^{(-2)}(x) + \int f''(x) g^{(-2)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) - f'(x) g^{(-2)}(x) + f''(x) g^{(-3)}(x) + \cdots + (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{(-n)}(x) \, dx \end{align}</math> となる。 ここで、<math>g^{(-1)}(x)</math> は <math>g(x)</math> の不定積分の任意の一つ。<math>g^{(-2)}(x)</math> は <math>g^{(-1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つ。... <math>g^{(-n)}(x)</math> は <math>g^{(-n+1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つというように定める。このように、積分記号で何回も不定積分を計算するのはやや面倒なので、次のような表を作ってみると計算しやすい。 {|class="wikitable" style="background: #ffffff; text-align: center;" |+ !符号 !微分 !積分 |- |<math>+</math> |<Math>f(x)</math> |<Math>g(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f'(x)</math> |<Math>g^{(-1)}(x)</math> |- |<math>+</math> |<Math>f''(x)</math> |<Math>g^{(-2)}(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f^{(3)}(x)</math> |<Math>g^{(-3)}(x)</math> |- |<math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |- |<math>(-)^n</math> |<Math>f^{(n)}(x)</math> |<Math>g^{(-n)}(x)</math> |} この表から、部分積分を <math>n</math> 回行った結果は、 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + <math>\int</math> n行目の符号 × n行目の微分 × n行目の積分 dx と求まる。n行目の微分 が 0 であった場合は、最後の積分は消えて、不定積分は 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + n-1行目の符号 × n-1行目の微分 × n行目の積分 + C となる。 この方法は俗に'''瞬間部分積分法'''と呼ばれており、部分積分を複数回繰り返す際の計算を非常に簡略化できるため、受験数学では重宝されるテクニックの一つである。記述で用いる場合、上の表をそのまま記述するよりも、「部分積分を繰り返し用いると」という文言の後に瞬間部分積分で求めた結果を記述するのが無難である。 === いろいろな関数の積分=== ==== 多項式関数の積分 ==== <math>n \ne -1</math>のとき、<math>\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)'=x^n</math>なので、 <math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math> <math>n = -1</math>のとき、<math>(\log |x| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、 <math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log |x| + C</math> が成り立つ。 ==== 三角関数の積分 ==== *<math>(\sin x )' = \cos x</math> *<math>(\cos x )' = -\sin x</math> *<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math> が成り立つことを考慮すると、 *<math>\int \cos x dx= \sin x + C</math> *<math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math> *<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math> となることが分る。 <math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って {| |- |<math>\int \tan x dx</math> |<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> |- | |<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \log | \cos x | + C</math> |} :　 :なお同様に、<math>\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}</math>　であるので、<math>\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx =\int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = \log \left|\sin x\right| + C</math> :　 より一般に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> について考える。 <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とおく。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>である。<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta = \frac{2t}{1+t^2}</math> である。よって <math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math> と有理関数の積分にもち込める。 幾何学的は、この変換は単位円上の点 <math>P(\cos \theta, \sin \theta)</math>と点 <math>A(-1,0)</math> を結ぶ直線の勾配 <math>t</math> で変換したものである。実際円周角の定理より <math>\angle xAP = \frac 1 2 \angle xOP = \frac \theta 2</math>より <math>t = \tan \frac{\theta} 2.</math> 被積分関数の周期が <math>\pi</math> の場合は、被積分関数は <math>\sin 2\theta,\cos 2 \theta</math> の有理関数なので、 <math>t = \tan\theta</math> と置換すると計算が楽だ。被積分関数が <math>\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta</math> の有理関数となるときもこの範疇に属する。<math>t = \tan\theta</math> と置換したとき、<math>\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+t^2}</math>, <math>\sin^2\theta = \tan^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{t^2}{1+t^2}</math> , <math>\sin\theta \cos\theta = \pm\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{t}{1+t^2}</math> (<math>\sin\theta \cos\theta</math> と <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> の正負は一致するため), <math>d \theta = \frac {dt}{1 + t^2}</math> となる。 例　<math>\int\frac{1}{\sin x \cos x}dx</math> は <math>t = \tan x</math> と置換すると、<math>\int \frac {1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac {1+t^2}{t} \frac { dt}{1+t^2} = \ln|\tan x| + C. </math> <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> と置換してしまうと、<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac {1+t^2}{t(1-t^2)}\,dt = \ln \left|\frac{t}{1-t^2}\right| + C' = \ln|\tan x| + C </math> と計算量が少し増える。 ==== 指数・対数関数の積分 ==== 指数関数について <math>(e^x )' = e^x</math> が成り立つことを用いると、 <math>\int e^x dx = e^x + C</math> が得られる。 また、 <math>\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x</math> なので、 <math>\int a^x \, dx=\frac{a^x}{\ln a}</math> である。 また、<math>\log |x|</math>の 原始関数も求めることが出来る。 {| |<math>\int \log |x| dx </math> |<math>=\int (x)' \log |x| dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x (\log |x|)' dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x \frac 1 x dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -x + C</math> |} となる。 有理関数 <math>R(x)</math> に対して、積分 <math>\int R(e^x) \, dx</math> は <math>t = e^x</math> すると <math>\frac{dt}{dx} = e^x = t</math> より <math>\int R(e^x) \, dx = \int R(t) \frac{dt}{t}.</math> ==== 二次無理関数の積分（発展） ==== 有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、積分 <math>\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx</math> について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、<math>\sqrt{p^2-x^2},\sqrt{x^2+p^2},\sqrt{x^2-p^2}</math>のいずれかの形になる。それぞれの場合について、<math>x = p\sin \theta,x = p\tan\theta,x = \frac{p}{\cos \theta}</math> と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。 また、<math>y^2 = ax^2 +bx + c</math> は二次曲線で、特に <math>a>0</math> のときは双曲線となる（<math>y^2 -a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}</math>より<ref>右辺が0のとき双曲線とはならないが、このときは簡単に平方根を外すことが出来るので考える必要はない。</ref>）。このとき、<math>y=\pm \sqrt a x + t</math> すなわち <math>t = \mp \sqrt a x + \sqrt{ax^2 + bx + c}</math> と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が <math>t</math> の直線 <math>y=\pm \sqrt a x + t</math> と双曲線のただ一つの交点 <math>(x,y)</math> を変数 <math>t</math> で表したものである。 例 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} </math> は <math>t = x + \sqrt{ x^2-1}</math> と置換すると、<math>\frac 1 t = x - \sqrt{x^2-1}</math> なので、<math>t + \frac 1 t = 2x</math> すなわち <math>2dx = \left(1 - \frac 1 {t^2}\right)dt</math> また、 <math>t - \frac 1 t = 2\sqrt{x^2-1}</math>.なので、<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{t-\frac 1 t}dt = \int \frac{dt}{t} = \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C </math> である。 ところで、この変換は双曲線 <math>y^2 = x^2 - 1</math> と直線 <math>y = -x + t</math> のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて <math>t</math> で表すと、<math>x = \frac 1 2 \left(t + \frac 1 t\right), \, y =\frac 1 2 \left(t - \frac 1 t\right)</math> を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 <math>t \rightarrow e^t</math> とすると、<math>x = \frac{e^t + e^{ -t} }{2} = \cosh t, \, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = \sinh t.</math> これは <math>x > 0</math> の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の <math>\mathrm{h}</math> はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる <math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math> は <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> とよく似ている。例示の不定積分は <math>x = \cosh t</math> と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 == 定積分 == 定積分について、不定積分と同じように以下が成り立つ。 '''定積分の置換積分法''' <math>\alpha < \beta</math>のとき、開区間<math>[\alpha, \beta]</math>で微分可能な関数<math>x=g(t)</math>に対し、<math>a=g(\alpha), b=g(\beta)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) \, dt </math> '''定積分の部分積分法''' <math>\int_{a}^{b} f(x) g'(x) \, dx = \left[ f(x) g(x) \right]^{a}_{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx </math> *問題 **以下の定積分を求めよ(Hint：5, 6は漸化式を利用する) **#<math>\int_{0}^{1} |e^x - \frac{3}{2}| \, dx</math> **#<math>\int_{1}^{0} \frac{x-2}{(3-x)^2} \, dx</math> **#<math>\int_{-5}^{5} x \sqrt{x^2-9} \, dx</math> **#<math>\int_{3}^{7} x \log (x^2 - 2) \, dx </math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx</math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx</math> === 特殊な定積分 === ==== 円 ==== <math>a < b</math> とする。積分 <math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx</math> は <math>y = \sqrt{(x-a)(b-x)}</math> とすると、<math>\left(x-\frac{a+b}{2} \right) + y^2 = \left(\frac{a-b}{2} \right)^2</math> より、被積分関数 <math>y</math> は中心 <math>\frac{a+b}{2}</math> で半径 <math>\frac{b-a}{2}</math>の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、<math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2</math> である。 ==== King Property ==== 一般に、関数 <math>f(a-x)</math> のグラフは関数 <math>f(x)</math> のグラフを直線 <math>x = \frac a 2</math> で対称移動したものである。 従って、連続関数 <math>f(x)</math> を区間 <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> で積分した値 <math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx</math> と、連続関数 <math>f(a+b-x)</math> を区間 <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> で積分した値 <math>\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x)\, dx</math> は等しい： :<math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x) \, dx.</math> この等式は単に、 <math>x \to a+b-x</math> の変数変換によっても導出できる。 この等式より、 <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)\, dx +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx </math> が導かれる。 この公式は、<math>f(x) + f(a+b-x)</math> が簡単な形になる定積分で役に立つ。 例えば、<math>\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin (\frac{\pi}{2}-x) + \cos (\frac{\pi}{2}-x)}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx = \frac{\pi}{4}.\end{align} </math> King Property の応用例は <math>\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx = \frac 1 3</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 4} \ln(1+\tan x)\, dx = \frac \pi 8 \log 2</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 2} \ln \sin x \, dx = -\frac{\pi}{2}\log 2</math> などがある。計算してみよ。 === 定積分と不等式 === 一般に、連続関数について次のことが成り立つ。 :開区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば、<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> :等号成立条件は開区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>であること。 *例題 :調和級数の第n部分和が<math>\log(n+1)</math>より大きいことを証明せよ。 *解答 自然数kに対して<math>k \leqq x \leqq k+1</math>のとき<math>\frac{1}{k} \geqq \frac{1}{x}</math>であり、等号は常には成り立たないので<math>\int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>である。故に<math>\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>。 このとき、（左辺）<math>= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{k}^{k+1} dx = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>より左辺は調和級数の第n部分和であり、(右辺)<math>= \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \left[ \log(x) \right]_{1}^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)</math>なので、題意は示された。 ===発展：広義積分=== '''広義積分'''とは、通常の定積分の範囲を超えて積分区間が無限であったり被積分関数が積分区間内で'''特異点'''（値が定義されなかったり微分不可能だったり不連続であったりする点）を持つ場合に、極限を用いて定義される定積分である。 定積分<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>において、<math>b \to \infty</math>の極限を<math>\int_a^\infty f(x) \, dx</math>、<math>a \to -\infty</math>の極限を<math>\int_{-\infty}^b f(x) \, dx</math>のように表す。 例えば、<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math>は以下のように計算できる。 :<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_0^b </math> :<math>=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{e^b} + 1)</math> :<math>=1</math> 但し、極限操作の前に定積分を計算してよいのは以下の場合に限られる。 :被積分関数が連続（定積分可能） :積分区間の内部に特異点が存在しない（特異点が端点のみ） :求めたい積分が（条件）収束する（発散しない） 積分区間の上端が正の無限大で下端が負の無限大のとき、広義積分は以下のように計算される。 :<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx</math> 決して<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A f(x) \, dx</math>（対称極限）のように計算してはならない。 例えば、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx</math>は発散するが、対称極限のように計算すると<math>\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = 0</math>という誤った結果を得る。 この例のように、非積分関数が奇関数であっても<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=0</math>は一般には成り立たない。あくまでも、'''上端と下端を独立に考えて極限を取る'''ことに注意が必要である。 例えば、以下が成り立つ。 :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> これは'''ガウス積分'''と呼ばれる有名な結果である。 この値の導出には重積分やヤコビ行列といった大学範囲の数学が必要なので省略する。 この結果は[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測#正規分布|正規分布の確率密度関数]]の導出に用いられる。 :元となる関数は<math>y=e^{-x^2}</math>。 :平均値<math>\mu</math>を軸に持ってくる平行移動をして<math>y=e^{-(x-\mu)^2}</math>。 :分布の広さ（ばらつきの大きさ）を標準偏差<math>\sigma</math>に合わせるため<math>\mu \pm \sigma</math>で極値をとるように変形して<math>y=e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> :ガウス積分の結果より<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sqrt{2\pi}\sigma</math>。 :確率密度関数は<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=1</math>を満たすので、元の関数を<math>\sqrt{2\pi}\sigma</math>（定数）で割って<math>y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>。 :これは正規分布の特徴を適切に表すため、確率密度関数として適当である。 他に、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>（'''フレネル積分'''）が有名な結果である。なお、この積分は不定積分を[[w:初等関数]]で表すことができない。 '''演習問題1''' 次の不定積分を求めよ。 :(1)<math>\int \tan xdx</math> :(2)<math>\int \frac{1}{\cos ^2x}dx</math> :(3)<math>\int \log xdx</math> :(4)<math>\int x\log xdx</math> :(5)<math>\int x^2\log xdx</math> :(6)<math>\int x^3\log xdx</math> :(7)<math>\int x\sin xdx</math> :(8)<math>\int x^2\sin xdx</math> :(9)<math>\int x^2e^xdx</math> :(10)<math>\int \frac{dx}{\sin x}</math> :(11)<math>\int \frac{dx}{\cos x}</math> {{解答}} :(1)<math>-\log |\cos x|+C</math> :(2)<math>\tan x+C</math> :(3)<math>x\log x-x+C</math> :(4)<math>\frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C</math> :(5)<math>\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3}{9}+C</math> :(6)<math>\frac{x^4\log x}{4}-\frac{x^4}{16}+C</math> :(7)<math>\sin x-x\cos x+C</math> :(8)<math>2x\sin x+(2-x^2)\cos x+C</math> :(9)<math>(x^2-2x+2)e^x+C</math> :(10) <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{dt}{t}\\ &= \log |t| + C\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{dx}{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}\\ &= \int \frac{\cos\frac x 2 dx}{2\sin\frac x 2 \cos^2 \frac x 2}\\ &= \int \frac{(\tan \frac x 2)'dx}{\tan \frac x 2}\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx\\ &= \int \frac{\sin x}{1- \cos^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 - \cos x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{(1 - \cos x)'}{1 - \cos x} dx - \frac 1 2 \int \frac{(1 + \cos x)'}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} + C. \end{align}</math> ちなみに、半角の公式より <math>\log \left|\tan\frac x 2 \right| = \frac 1 2 \log \left|\frac{\sin^2 \frac x 2}{\cos^2 \frac x 2}\right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} </math> が成り立つ。 :(11) <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{dx}{\sin(x + \frac \pi 2)}\\ &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4 \right) \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{1+t^2}{1-t^2} \frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{2dt}{1-t^2}\\ &= \int \frac{dt}{1+t} + \int \frac{dt}{1-t}\\ &= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C\\ &= \log \left|\frac{1+\tan\frac x 2}{1-\tan\frac x 2}\right| + C.\\ \Big( &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| + C \Big) \end{align}</math> なお、部分分数分解について、 <math>f(t) = \frac{2}{1-t^2} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}</math> とすると、 <math>A = \lim_{t\to -1}(1+t)f(t) = \lim_{t\to -1} \frac{2(1+t)}{1-t^2} = \lim_{t\to -1} \frac{2}{1-t} = 1</math>, <math>B = \lim_{t\to 1}(1-t)f(t) = \lim_{t\to 1} \frac{2(1-t)}{1-t^2} = \lim_{t\to 1} \frac{2}{1+t} = 1</math> より係数が求まる。 別解2 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx\\ &= \int \frac{\cos x}{1- \sin^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx\\ &= -\frac 1 2 \int \frac{(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1+\sin x}{1 - \sin x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 - \sin x} + C. \end{align}</math> これも、 <math>\log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos (x + \frac \pi 2)}{1 + \cos(x + \frac \pi 2)} = \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 -\sin x} </math> である。 {{証明終わり}} ==積分の応用== === 面積 === ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。 [[画像:Integral_x%5E2_0-1.png|right|x^2の0から1までの積分]] 例えば、 <math> \int _0 ^1 x^2 dx = \frac 1 3 </math> は、放物線<math> y = x^2</math>について <math>0 < x < 1</math>の範囲でかこまれる面積に等しい。 '''面積(Ⅰ)''' 曲線<math>y=f(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>及びx軸で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq 0</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math> 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \leqq 0</math>のとき<math>S = -\int_{a}^{b} f(x) dx </math> 厳密な証明は既に数学Ⅱで扱った。 2曲線で囲まれた領域の面積についても、同様である。 '''面積(Ⅱ)''' 2曲線<math>y=f(x), y=g(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} \{ f(x) - g(x) \} dx</math> y軸まわりで考えた場合も同様である。 '''面積(Ⅲ)''' 2曲線<math>x=h(y), x=i(y)</math>と2直線<math>y=c, y=d</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[c, d]</math>で常に<math>h(y) \geqq i(y)</math>のとき<math>S = \int_{c}^{d} \{ h(y) - i(y) \} dy</math> 媒介変数表示された曲線の場合、xとyの好きな方で面積の式を考えてパラメータに関する式へと置換積分すれば良い。 {{コラム|ガウス＝グリーンの定理| '''ガウス＝グリーンの定理'''という以下のような公式が存在する。 :閉曲面Sで囲まれた空間の領域をV、曲面の外向き法線の方向余弦を（l, m, n）、微分可能な関数をf, g, hとするとき、<math>\int_{V} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}) dV = \int_{S} (fl+gm+hn) dS </math> この定理を高校レベルの求積で使えるように調整すると、以下のようになる。 :曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math> この定理を用いると、通常の積分で面積を求めるよりも遙かに計算量が少なくて済む。 もちろん記述では使えないが、答えのみ書けば良い場合や検算用のツールとしては非常に役立つ。 }} ; '''発展：極座標系における面積''' [[高等学校数学C/平面上の曲線#極座標|極座標系]]においても、直交座標系と同様に微積分を考えることができる。ここでは、その一例として極方程式で表された曲線における面積について扱う。 '''面積(Ⅳ)''' 曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、 <math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> *証明 基本的には直交座標の場合と同様である。 :曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \tau</math>で囲まれた部分の面積を<math>S(\tau)</math>とおく。 :<math>\Delta \tau > 0</math>として<math>\tau + \Delta \tau</math>の場合を考える。 :閉区間<math>[\tau, \tau + \Delta \tau]</math>における<math>r(\theta)</math>の最小値を<math>m</math>、最大値を<math>M</math>とおくと、微小な扇形の面積を考えることにより<math>\frac{1}{2}m^2\Delta \tau \leqq S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau) \leqq \frac{1}{2} M^2 \Delta \tau</math>が得られる。 :上の不等式の各辺を<math>\Delta \tau</math>で割ると、<math>\frac{1}{2}m^2 \leqq \frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \leqq \frac{1}{2}M^2</math> :<math>\Delta \tau \to 0</math>の極限を考えると、 ::<math>r(\tau)</math>は連続関数なので<math>\frac{1}{2} m^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2, \frac{1}{2} M^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> ::微分の定義より<math>\frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \to S'(\tau)</math> :よってはさみうちの原理より<math>S'(\tau) = \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> :これにて示された。 この公式は、'''<math>\theta</math>が偏角である場合のみ用いることができる'''。もし<math>\theta</math>が偏角ではない場合、<math>\theta</math>と偏角<math>\phi</math>の関係を求めて置換積分する必要がある。 ; '''楕円の面積''' '''楕円の面積''' 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の面積は、 <math>S=\pi ab</math> *導出 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>を<math>y</math>について解くと :<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math> となる。そのうち<math>y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math>は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積''S''となるので :<math>S=2\int _{-a} ^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a}\int _{-a} ^a \sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a} \times \frac{\pi a^2}{2} = \pi ab</math> となる。 === 体積 === ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、底面積<math>S(t)</math>に極めて小さい高さ<math>dt</math><ref>なお、この時、<math>dt</math>が<math>S(t)</math>に対して積分区間で常に鉛直方向の関係にあることが保証されていなければならない。</ref>の積<math>S(t) \, dt</math>の区間<math>[a,b]</math>における累積であるので、以下の式で表すことができる。 :<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> （例1） :<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2)</math>である三角錐を考える。 :この三角錐を平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断すると、断面の三角形の各座標は<math>A_t(t,0,0), B_t(t,t,0), C_t(t,0,2t)</math>となる。この時、<math>\triangle{A_t B_t C_t}</math>の面積<math>S(t)=t^2</math>となる。 :これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}</math>となる<ref>三角錐<math>O-ABC</math>は、<math>\triangle{ABC}</math>を底面（<math>S=1</math>）とし、<math>OA</math>を高さ（<math>1</math>）とする三角錐なので、体積は、<math>\frac{1}{3}</math>となり、正しい。</ref>。 （例2） :設問 :#<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,1)</math>である立方体を想定。 :#平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断し、<math>\square{O_t A_t B_t C_t}</math>を得る。 :#線分<math>O_t A_t , A_t B_t , B_t C_t , C_t O_t </math>に、各々点<math>O_t, A_t, B_t, C_t</math>から、長さ<math>t</math>である点<math>H_t, I_t, J_t, K_t</math>をとり、<math>\square{H_t I_t J_t K_t}</math>を<math>S_t</math>とする。 :#<math>t</math>を区間<math>[0,1]</math>で変化させた時、<math>S_t</math>が通過する部分の体積<math>V</math>を求めよ。なお、<math>S_t</math>が正方形である証明は省略してよい。 :解答 :#<math>S_t</math>の1辺の長さを<math>l</math>とおくと、<math>l^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2 - 2t + 1</math> :#<math>S_t</math>の面積<math>S(t)</math>は<math>l^2</math>であるから、<math>S(t) = 2t^2 - 2t + 1</math> :#これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :#<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} (2t^2 - 2t + 1) \, dt = \left[ \frac{2t^3}{3} - t^2 +t \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}</math>となる。 ==== 回転体の体積 ==== <math>y= f(x) (a \le x \le b )</math> で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる 立体の体積Vは、 <math> V = \int _a ^b \pi \{ f(x) \}^2 dx </math> で与えられる。 導出 立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな 定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は <math> h \times \pi (f(c) )^2 </math> となる。 これを<math>a<c<b</math>満たす全てのcについて足し合わせると、 <math> S = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> が得られる。 同様に、<math>x = g(y) (c \le x \le d )</math>で与えられる曲線をy軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 :<math>V = \int _c ^d \pi \{ g(y) \}^2 dy</math> で与えられる。 例えば、 <math> y= x^2 ~(0<x<1) </math> をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 :図形の絵? <math> S = \int_0^1 \pi (x^2)^2 dx </math> <math> =\pi \int_0^1 x^4 dx </math> <math> =\frac {\pi} 5 </math> となる。 ;球の体積 球の体積<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>の導出 半径''r''の球は半円<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>を''x''軸の周りに回転させてつくることができる。 :<math>V=\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}^2 dx=\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx= \frac{4}{3}\pi r^3</math> また体積を''r''で微分すると球の表面積<math>S=4\pi r^2</math>が得られる。 ; 補：バームクーヘン積分 上記の回転体の公式の導出では「円盤の面積を積分」しているが、「円筒の側面積」を積分しても同様の結果が得られる。この考え方を'''バームクーヘン積分（円筒分割積分）'''と呼ぶ。 バームクーヘン積分による回転体の体積の公式 曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 <math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math> *導出 :閉区間<math>[x, x + \Delta x](\Delta x > 0)</math>においてx軸と曲線<math>y=f(x)</math>で挟まれた領域をy軸周りに一回転してできる立体の体積を<math>\Delta V</math>とし、同区間におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとおく。 :このとき、<math>\pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}m \leqq \Delta V \leqq \pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}M</math> :変形すると<math>\pi(2x + \Delta x)m \leqq \frac{\Delta V}{\Delta x} \leqq \pi (2x + \Delta x)M</math> :<math>\lim_{\Delta x \to + 0} m = \lim_{\Delta x \to + 0} M = f(x)</math>なのではさみうちの原理より<math>\lim_{\Delta x \to + 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\therefore \frac{dV}{dx} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\Delta x < 0</math>でも同様。 :この微分方程式を解く（詳細は[[高等学校理数数学#微分方程式|こちら]]）と、 ::<math>dV = 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>\int dV = \int 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>V = 2 \pi \int x f(x) dx + C</math>（Cは積分定数） :閉区間<math>[a, b]</math>で定積分を考えると、<math>V = 2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>となる。 記述問題で用いる場合、念のため上のように証明しておくと良い。 ; 補：パップス・ギュルダンの定理 図形Aを、図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）で求まる。 この定理は大学入試においては非常に有名な裏技であり知っておいて損はないが、記述で用いると完全にアウトである。この定理を用いるのは、選択肢形式の問題かどうしても記述の白紙解答を避けたい場合のみに限ろう。（もっとも、重心がわかる図形で出題されるのはごく稀だが。） {{コラム|一般の軸を中心とした回転体の体積の求め方| 一般に空間中の直線Lの周りの回転体（'''斜軸回転体'''）の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えて求めることができる。 ここでは、回転前の図形が座標平面上に存在する場合を扱う。 ; '''例題''' xy平面において<math>L:y=x, C:y=x^2</math>で囲まれた部分を, 直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。 解答） :曲線C上の点<math>P(x, x^2)</math>から直線Lに下ろした垂線の足を<math>H(t, t)</math>とし、直線L上に点<math>Q(x, x)</math>をとる。 :与えられた条件より<math>0 \leqq x \leqq 1</math>である。 :このとき<math>\overline{PH} = \frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}} = \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} (\because 0 \leqq x \leqq 1 \implies x \geqq x^2)</math>より、 :<math>t = \overline{OH} = \overline{OQ} - \overline{HQ} = \overline{OQ} - \overline{PH} = \sqrt{2}x - \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} = \frac{x+x^2}{\sqrt{2}}</math> :<math>\therefore dt = \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :tの積分範囲は0→√2なので、xの積分範囲は0→1である。 :故に、<math>V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \overline{PH}^2 dt = \pi \int_{0}^{1} (\frac{x-x^2}{\sqrt{2}})^2 \cdot \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :<math>= \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{1} (2x^5-3x^4+x^2) dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{4} [ \frac{1}{3} x^6 - \frac{3}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^3 ]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{2} \pi}{60}</math> この解答を簡潔に纏めると、直線Lをt軸と見做してt軸についての回転体の式を立て、それをx軸についての回転体の式へと置換積分している。 斜軸回転体の体積を求める方法は他にもあるので、簡潔に纏める。 ①傘型分割積分 上の例題で考えると、長さ<math>\overline{PQ}</math>、微小幅<math>\Delta x</math>の部分をLの周りに一回転すると、傘型状の図形（円錐の側面）になる。 その面積（正確には微小体積）を積分すると回転体の体積が出てくる。この考え方を'''傘型分割積分'''という。不足なく論理展開を記述できれば、入試でこの考え方を用いても減点される可能性は低いだろう。 この過程を一般化すると、以下の公式を導くことができる。 :曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、 :<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math> :ただし、<math>\tan \theta = m</math>（回転軸がx軸となす角がθである） この公式は完全に裏技なので、記述問題では（証明なしに）使用しない方が無難である。 ②回転移動の利用 図形全体を回転移動することにより、回転軸をx軸（もしくはy軸）に重ねることで、強引に回転体の公式に代入する方法。 回転移動には[[高等学校数学C/複素数平面#回転移動|複素数平面の知識]]、[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#一次変換|行列の知識]]のどちらを用いても良い。 この方法では、回転後の図形の方程式が媒介変数表示で出現する場合がある。その場合、回転体の公式を媒介変数についての積分へと置換積分すれば良い。 }} === 曲線の長さと運動の道のり === ==== 曲線の長さ ==== 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の長さを考える。 :<math>f(t), g(t)</math>とも2階微分可能（第一次導関数が連続）とする。 :<math>a \leqq t \leqq b</math>として閉区間<math>[a, t]</math>における曲線の長さを<math>s(t)</math>とおく。 :<math>t</math>の増分<math>\Delta t</math>が十分小さいとき、<math>\Delta s \fallingdotseq \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math>より<math>\frac{\Delta s}{\Delta t} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2}</math> :<math>\Delta t \to 0</math>のとき、<math>\frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}</math> :この微分方程式を解くと、 ::<math>ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>\int ds = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>s = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt + C</math>（Cは積分定数） :ここで<math>s(t)</math>の定義より<math>s(b) - s(a) = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> よって、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅰ) 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> 曲線の式が<math>y=f(x)</math>で与えられている場合、<math>\begin{cases} x=t \\ y=f(t) \end{cases}</math>と考えて上の公式に代入すると、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅱ) 曲線<math>y=f(x)</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dt</math> ==== 速度と道のり ==== [[高等学校数学III/微分法#速度と加速度|微分法で学んだ]]ように、数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置,速度がそれぞれ<math>x(t), v(t)</math>で与えられるとき、<math>v(t) = \frac{d}{dt} x(t)</math>という関係式が成り立った。微分と積分は逆演算の関係にあるので、<math>x(t) = \int v(t) dt + C</math>(Cは積分定数)という関係も成り立つ。このとき、積分定数Cは初期位置<math>x_0</math>を表す。 点Pが<math>t=a</math>から<math>t=b</math>まで運動するとき、位置の変化量は<math>x(b) - x(a) = \int_{a}^{b} v(t) dt</math>で与えられる。すなわち<math>x(b) = x(a) + \int_{a}^{b} v(t) dt</math>であり、<math>x(a)</math>が初期位置<math>x_0</math>を表すことが確かめられた。 また、上の場合において道のりは<math>\int_{a}^{b} |v(t)| dt</math>と計算できる。位置の変化量と道のりが一致するのは、恒等的に<math>x(t) \geqq 0</math>が成り立つ場合のみである。 平面上の運動も同様である。 なお、加速度は位置の二階微分なので、加速度を二階積分すれば位置が求まる。よって、時刻tにおける加速度が<math>a(t) = a</math>であるときの位置は、<math>x(t) = \int \! \int a(t) dt \; dt = \int (at + v_0) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0</math>である。([[高等学校物理基礎/力学#等加速度直線運動|等加速度直線運動]]の式) {{コラム|ベクトル関数|変数tの値を決めるとベクトルA(t)の値が一意に定まるとき、A(t)をtの'''[[物理数学I ベクトル解析#ベクトル関数の定義|ベクトル関数]]'''という。基本ベクトルを用いると、ベクトル関数は基本ベクトルのスカラー倍の足し算に分解することができる。このとき、基本ベクトルにかかる係数をベクトル関数の'''成分'''という。ベクトル関数の定義より、成分はtの関数になる。 つまり、'''ベクトル関数に関する微積分はその成分をそれぞれ微分/積分すれば良い'''ということがわかる。 例えば、速度を表すベクトル関数<math>\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2-1 \end{pmatrix}</math>があったとして、初期位置<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>とすると時刻tにおける位置は<math>\vec{x}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int (2t) dt \\ \int (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3-t \end{pmatrix}</math>、時刻tにおける加速度は<math>\vec{a}(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}(2t) \\ \frac{d}{dt}(3t^2-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6t \end{pmatrix}</math>というベクトル関数になる。また、<math>t=0</math>から<math>t=2</math>まで運動したときの位置の変化量ベクトルは<math>\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = \int_{0}^{2} \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int_{0}^{2} (2t) dt \\ \int_{0}^{2} (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left[ t^2 \right]_{0}^{2} \\ \left[ t^3-t \right]_{0}^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}</math>と求まる 。 すなわち、速度・加速度・位置・道のり等に関する問題はベクトル関数の微積分を計算する問題であると言える。 }} == 区分求積法 == これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。 [[File:Riemann Integration 1.png|thumb|300px|面積計算]] 右図のようなある曲線<math>y=f(x)</math>がある。単純のため、ここではつねに<math>f(x)>0</math>であるものとして考える。この曲線と、''x''軸、および直線<math>x = a, x = b (a < b)</math>によって囲まれる領域の面積''S''を求める。この面積は[[#面積]]の項で学んだように、 : <math>S = \int_a^b f(x)dx</math> と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。 曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積''S''に近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[''a'',''b'']を''n''等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で<math>n \to \infty</math>の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、'''区分求積法'''と呼ぶ。 :[[File:Riemann Integration 4.png|350px|棒グラフによる近似]][[File:Riemann Integration 5.png|350px|さらに細かな棒グラフによる近似]] [[File:Integral numericky obd.svg|thumb|左側で近似]][[File:Somme-superiori.png|thumb|右側で近似]] <math>y=f(x)</math>を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。 ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]を''n''等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、 :<math>0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}</math> となる。ここで、一般に第''k''番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第''n''-1番目とする。第''k''番目の長方形の左端のx座標は<math>\frac{k}{n}</math>であるから、この長方形の高さは<math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math>となり、また長方形の幅は<math>\frac{1}{n}</math>である。そのため、この長方形の面積<math>s_k</math>は、 :<math>s_k = \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。したがって、これらの長方形の面積の総和<math>S_n</math>は、 :<math>S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} s_k = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> この<math>S_n</math>は、区間[0, 1]を''n''等分した時の長方形の面積の総和であるが、''n''を大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、<math>n\to\infty</math>の極限を考え、 :<math>S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして :<math>S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> となる。 区分求積法を計算するとき、'''シグマの範囲の有限個のズレは無視して良い'''。nを無限大に飛ばした極限を考えるとき、有限個あるズレの値は全て0に収束するからである。<br> つまり、l, mを自然数として<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{n-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math>である。 区分求積法は、より一般には次の式で表される。 :<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=l}^{n-m} f(x_k) \Delta x</math> :ただし、<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math> 証明は先ほどと同様である。<br> 大学においては、積分の定義を微分の逆演算ではなく、この式の右辺のような和('''リーマン和'''という)の極限とする場合がある。数学Ⅱで扱った微分積分学の基本定理は、リーマン和(面積計算)と原始関数(微分の逆演算)という二つの概念を結びつけている定理であると言える。 なお、<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=an+l}^{bn-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>が成り立つ。 '''演習問題2''' :次の極限値を求めよ。 :(1) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} </math> :(2) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} </math> :(3) <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n}</math><ref group="ヒント">対数を取る</ref> {{解答}} (1) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac k n} \\ &= \int_0^1 \frac{dx}{1+x}\\ &= [\log(1+x)]_0^1\\ &= \log 2. \end{align} </math> ちなみに、この結果は交代調和級数 <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots</math> の値を求めることに利用できる。実際 <math> \begin{align} \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} &= 1 - \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n+n} \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{align} </math> より、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \log 2 </math> となる。また、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{1}{2n+1}\right) = \log 2. </math> 従って、<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 </math> を得る。 (2) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}\\ &= \int_0^1 \frac{xdx}{1+x^2}\\ &= \left[\frac 1 2 \log(1+x^2)\right]_0^1\\ &= \frac 1 2 \log 2. \end{align}</math> (3) <math>\begin{align} \log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 1 n \log\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\cdots \left(\frac{n+2}{n}\right) \right\} \\ &= \frac 1 n \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \end{align}</math> となるから、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \int_0^1 \log(1+x)dx\\ &= [(1+x)\log(1+x)-(1+x)]_0^1\\ &= 2\log 2 - 1. \end{align}</math> したがって、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 4 e. \end{align}</math> {{証明終わり}} == 演習問題 == * [[高等学校数学III 積分法/演習問題|不定積分44題]] * [[/演習問題]] '''演習問題3''' 第一問、第二問は基本問題である。第三問から第六問はやや難しい。 '''第一問（ウォリスの積分）''' :<math>n</math> は非負整数とし、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \, dx</math> を示せ。 :(2) <math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad (n \ge 2)</math> を示せ。 :(3) <math>I_n</math> を求めよ。 '''第二問（ベータ関数の特殊値）''' :<math>m,n</math> は非負整数、<math>\alpha,\beta</math> は <math>\beta > \alpha</math> なる実数とし、<math>I_{m,n} = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx</math> とする。 :(1) <math>I_{m,n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1,n-1} \quad (n\ge 1) </math> を示せ。 :(2) <math>I_{m,n}</math> を求めよ。 :(3) <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta </math> を求めよ。 '''第三問（ウォリスの公式）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。必要に応じて第一問の結果を用いてよい。 :(1) <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> を示せ。 :(2) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} </math> を求めよ。 :(3) <math> I_{2n}I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt n I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(5) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} </math> を求めよ。 '''第四問（スターリングの近似）''' :数列 <math>\{a_n\}</math> を <math>a_n = \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}} </math> で定める。必要に応じて第三問の結果を用いてよい。 :(1) 整数 <math>k > 1</math> について <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n</math> について <math> - \frac{1}{4n} < \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - \left(2n+\frac 1 2\right)\log 2n + \left(n+\frac 1 2\right)\log n + n < 0 </math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めよ。 '''第五問（バーゼル問題）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x \, dx,\, J_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}x^2 \cos^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math> n > 0</math> について <math>I_{2n} = n(2n-1)J_{2n-2} - 2n^2 J_{2n}</math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> について、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math>J_{2n} \le \frac{\pi^2 I_{2n}}{8(n+1)}</math> を示せ。 :(4) <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} </math> を求めよ。 '''第六問'''（発展問題） :(1) <math> x > 0 </math> のとき、<math> 1-x^2 < e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n </math> について<math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx, \quad \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> を前問で定義した <math> I_n </math> で表せ。 :(3) <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を示せ。 :(4) <math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math> を求めよ。 '''解答''' {{解答|第一問}} (1) <math> t = \frac \pi 2 - x </math> と変数変換すると、<math> \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx = \int_{\frac \pi 2}^0 \sin^n\left(\frac \pi 2 - t\right)(-dt) = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n t dt </math> となる。 (2) <math> \begin{align} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx &= \left[-\sin^{n-1}x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= (n-1)\left(\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x dx - \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx \right)\\ \end{align} </math> 従って、<math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}</math> となる。 (3) <math> I_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2,\, I_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x dx = 1. </math> よって、<math> n </math> が偶数のときは <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 I_0 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2. \end{align} </math> <math> n </math> が奇数のときは、 <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 I_1 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} {{解答|第二問}} (1) <math>\begin{align} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx &= \left[\frac{1}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^n\right]_\alpha^\beta + \int_\alpha^\beta\frac{n}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx\\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx. \end{align} </math> (2) <math>\begin{align} I_{m,n} &= \frac{n}{m+1}I_{m+1,n-1} \\ &= \cdots \\ &= \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} I_{m+n,0} \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}I_{m+n,0} \end{align} </math> ここで、 <math>I_{m+n,0} = \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+n} dx = \frac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} </math> となる。よって、 <math>I_{m,n} = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1} </math> を得る。 (3) <math>t = \sin^2\theta </math> と変数変換すると、 <math>dt = 2\sin\theta\cos\theta d\theta </math> より、 <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta = \frac 1 2 \int_0^1 t^m (1-t)^n dt = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}. </math> {{証明終わり}} {{解答|第三問}} (1) <math>0 < x < \frac \pi 2 </math> のとき、<math>0 < \sin x < 1 </math> だから、<math>\sin^{2n+1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x </math> となる。これを積分して、<math>I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n-1} </math> を得る。よって、<math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> である。 (2) 第一問(1)より、 <math>\begin{align} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} &= \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2 \times \frac{2n+1}{2n}\frac{2n-1}{2n-2} \cdots \frac 3 2\\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n \cdot 2n} \frac \pi 2 \end{align}</math> となる。また、<math>\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} </math> となるから、(1) より、 <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = 1 + \frac{1}{2n} </math> を得る。これより、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1 </math> となるから、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> を得る。 (3) 第一問(3)より、<math>I_{2n} I_{2n+1} = \frac{1}{2n+1} \frac{\pi}{2} </math> である。 (4) <math>\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{I_{2n}I_{2n+1}}{I_{2n+1}^2} = \frac{1}{2n+1}\frac \pi 2 I_{2n+1}^{-2} </math> である。<math>\sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \frac{\sqrt \pi}{2} &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{2n}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} \end{align} </math> となるから、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> を得る。 (5) <math>\begin{align} I_{2n+1} &= \frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac 2 3\\ &= \frac{\{2n(2n-2)\cdots 2\}^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!} \end{align} </math> より、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt n}{2n+1} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n + \frac{1}{\sqrt n}} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!} \end{align} </math> となるから、 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> はウォリスの公式と呼ばれる。整数の乗除のみで円周率が計算されるという点で興味深いが、収束はとても遅く実用的ではない。例えば、<math>\pi > 3.05</math> を証明するためには <math>n=8</math> まで計算しなくてはならない<ref><math>2\cdot \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdots \frac{16\cdot 16}{15\cdot 17} =</math> 213084064972800/69850115960625 = 2147483648/703956825 = 3.05058...</ref>。また <math>\pi > 3.14</math> を示すには <math>n=493</math> まで計算する必要がある。ちなみに単調増加性は <math>\frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{1-\frac{1}{(2n)^2}} > 1</math> から従う。 また、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> もウォリスの公式と呼ばれる。これはスターリングの公式やガウス積分を証明するために必要となる。 {{証明終わり}} {{解答|第四問}} (1) [[ファイル:Bounding_the_Integral_of_log_x_with_Trapezoids.svg|サムネイル|log x の台形近似]] <math>\log x </math> は上に狭義凸な関数だから、<math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、直線 <math>x = k-1,\,x=k</math> と <math>y = \log x</math> の2つの交点を結んだ線分と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k</math> によって切り取られる台形（図の青の領域）の面積よりも大きい。台形の面積は、<math>\frac 1 2 \{\log k + \log(k-1)\} = \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\}</math> である。また、 <math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、<math>y = \log x</math> の任意の接線と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k </math> によって切り取られる台形（図のピンクの領域）の面積よりも小さい。特に <math>x = k</math> で接線を引くと、その傾きは <math>\frac 1 k</math> だから、接線と直線 <math>x = k-1</math> の交点の <math>y</math> 座標は <math>\log k - \frac 1 k</math> である。よって、この台形の面積は <math>\log k - \frac{1}{2k} </math> となる。従って、 <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> を得る。 (2) <math>\log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx </math> より、<math>\log k < \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} </math> となる。よって、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &< \int_n^{2n} \log x \, dx + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n \end{align} </math> となる。また、<math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \int_n^{2n} \log x \, dx + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2k} \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{n} + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}\right) \\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\frac 1 x </math> は <math>x > 0 </math> で単調減少だから、 <math>\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} > \int_n^{2n} \frac{dx}{x} = \log 2n - \log n </math> となる。従って、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n - \frac{1}{4n} \\ \end{align}</math> を得る。 (3) <math>\begin{align} \log \frac{a_{2n}}{a_n} &= \log a_{2n} - \log{a_n}\\ &= \log (2n)! - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + 2n - \log n! + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n - n\\ &= \sum_{k=n+1}^{2k}\log k - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n + n \end{align}</math> であるから、(2) より <math>-\frac{1}{4n} < \log \frac{a_{2n}}{a_n} < 0</math> となる。従って、 <math>\lim_{n\to\infty} \log \frac{a_{2n}}{a_n} = 0</math> あるいは、 <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n} = 1 </math> を得る。 (4) <math>\begin{align} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} &= \frac{2^{2n}}{\sqrt n} \left(\frac{n!}{n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}\right)^2 \frac{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}{(2n)!} \frac{\left(n^{n+\frac 1 2}e^{-n}\right)^2}{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2} \frac{a_n^2}{a_{2n}} \end{align}</math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt 2 \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \frac{a_{2n}}{a_n} = \sqrt{2\pi} </math> を得る。 '''解説''' (1)は凹関数の定積分の値を台形で評価する問題である。このような台形近似の問題は難関大ではよく見られる。 (4) から <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi} n^{n+1/2}e^{-n}} = 1</math> を得る。これは、<math>n</math> が大きいとき階乗を <math>n! \approx \sqrt{2\pi} n^{n+\frac 1 2} e^{-n}</math> と近似できることを意味する。これがスターリングの近似である。 本問は<math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math>を求めてから <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めさせているためやや遠回りに思うかもしれない。数列 <math>\{a_n\}</math> が0以外の実数に収束することを既知とすれば <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{\lim_{n\to \infty}a_{2n}}{\lim_{n\to \infty}a_n} = 1 </math> となることはすぐに分かる。しかし、数列が収束することの条件について高校では詳しく扱わないため、厳密に <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めるためには <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を経由する必要がある。一般に、下に有界な単調減少数列は収束するということが知られている<ref>詳しくは [[解析学基礎/実数]]を参照</ref>。これを認めれば、数列 <math>\{a_n\}</math> が収束することは、次のように証明することができる。 <math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \log n ! &= \sum_{k=2}^n \log k \\ &> \int_{1}^n \log x \, dx + \frac 1 2 \sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\\ &> n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \int_{2}^{n+1}\frac{dx}{x}\\ &= n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log 2\} \end{align} </math> <math>\begin{align} \log a_n &= \log n! - \left(n + \frac 1 2\right)\log n + n \\ &> \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log n \} + 1 - \frac 1 2 \log 2\\ &> 1 - \frac 1 2 \log 2 \end{align} </math> となるから、<math> a_n > \frac e \sqrt{2} </math> より下に有界である。 また、 <math> \begin{align} \log \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \log(n+1) - \left(n + \frac 3 2\right)\log(n+1) + n+1 + \left(n+\frac 1 2\right)\log n - n\\ &= \frac 1 2 \{\log(n+1)+\log n\} - \int_n^{n+1} \log x dx\\ &< 0 \end{align} </math> から、<math> a_{n+1} < a_n. </math> すなわち単調減少であるから、<math>\{a_n\}</math> は収束する。 {{証明終わり}} {{解答|スターリングの近似の応用}} スターリングの近似は階乗を含む極限の問題に応用できる。例えば、演習問題2の(2)は、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{2\pi}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}{\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}n^n}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2^{2n + 1/2}}{e^{n}}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \frac 4 e. \end{align}</math> また、スターリングの近似から二項分布の極限が正規分布に収束することが証明できる。 二項分布の確率分布は、 <math>P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} </math> である。スターリングの近似より、 <math>\begin{align} \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} &\approx \frac{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}{\sqrt{2\pi}k^{k+\frac 1 2}e^{-k}\sqrt{2\pi}(n-k)^{n-k+\frac 1 2}e^{-(n-k)}}p^kq^{n-k}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \end{align}</math> となる。ここで、<math>\lim_{n\to\infty} \frac k n = p </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n\frac k n (1-\frac k n)}} = \frac{1}{\sqrt{npq}}</math> となる。 次に、<math>\log (1+x) \approx x - \frac 1 2 x^2 </math> の近似式を使うと、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k &= k\log \left(1 - \frac{k-np}{k}\right) \\ &\approx -(k-np) - \frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k} \end{align}</math> <math>\begin{align}\log \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &= (n-k)\log \left(1 - \frac{n-k-nq}{n-k}\right) \\ &\approx -(n-k-nq) - \frac 1 2 \frac{(n-k-nq)^2}{n-k} \\ &= -(np-k) - \frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\end{align}</math> となる。さらに、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k}-\frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{npq}{k} + \frac{npq}{n-k}\right)\\ &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{pq}{p} + \frac{pq}{1-p}\right)\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \end{align}</math> となる。最終的に、 <math>P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}</math> を得る。これは、平均 <math>\mu = np</math> 分散 <math>\sigma^2 = npq</math> の正規分布である。 {{証明終わり}} {{解答|第五問}} (1) <math>\begin{align} I_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}x dx \\ &= \left[x\cos^{2n}x\right]_0^{\frac \pi 2} + 2n\int_0^{\frac \pi 2} x\sin x \cos^{2n-1}x dx\\ &= 2n \left[\frac 1 2 x^2 \sin x \cos^{2n-1}x\right]_0^{\frac \pi 2} - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)\sin^2 x \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)(1-\cos^2 x) \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= n(2n-1)J_{2n-2} -2n^2 J_{2n}. \end{align} </math> (2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> で <math>\sin x</math> は上に凸であるから、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> となる。 (3) <math> \begin{align} J_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} x^2 \cos^{2n}x dx \le \frac{\pi^2}{4} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 x \cos^{2n} x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} (I_{2n} - I_{2n+2}) \\ &= \frac{\pi^2}{4} \frac{I_{2n}}{2n+2} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 (4) (1) より、 <math> \begin{align} \frac{1}{n^2} &= \frac{(2n-1)J_{2n-2}}{n I_{2n}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}}\\ &= \frac{2J_{2n-2}}{I_{2n-2}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 よって、 <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2J_{2k-2}}{I_{2k-2}} - \frac{2J_{2k}}{I_{2k}}\right) = \frac{2J_{0}}{I_{0}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} </math> となる。ここで、<math>J_0 = \int_0^{\frac \pi 2} x^2 dx = \frac{\pi^3}{24},\, I_0 = \frac \pi 2</math> より、<math>\frac{2J_{0}}{I_{0}} = \frac{\pi^2}{6}. </math> また、<math> 0 < \frac{J_{2n}}{I_{2n}} \le \frac{\pi^2}{8(n+1)} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{J_{2n}}{I_{2n}} = 0 </math> となるから、<math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} </math> を得る。 '''解説''' 本問は Daniel Daners. (2012). A Short Elementary Proof of Σ 1/k² = π²/6. ''Mathematics Magazine'', ''85''(5), 361–364. https://doi.org/10.4169/math.mag.85.5.361 を参考にした。 <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> はゼータ関数と呼ばれるもので、数論において重要な関数である。この問題から <math>\zeta(2) =\frac{\pi^2}{6}</math> である。また、<math>\zeta(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> は調和級数であるため発散する。 <math>s</math> が実数のとき、<math>s > 1</math> で <math>\zeta(s)</math> は収束することを示すことができる。実際、<math>\frac{1}{n^s} < \int_{n-1}^n \frac{dx}{x^s}</math> となるから、<math>\sum_{n=2}^m \frac{1}{n^s} < \int_1^m \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}(1-m^{1-s}) < \frac{1}{s-1}</math> であるから上界を持つ。また、各項は正であるため <math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> は単調増加である。従って、 <math>\zeta(s)</math> は <math>s > 1</math> のとき収束する。 <math>s < 1</math> のとき、<math>\frac{1}{n} < \frac{1}{n^s}</math> から、<math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} < \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> となるため発散する。 解析接続という手法を用いることでゼータ関数の定義域を <math>s=1</math> を除く複素数にまで拡張することができる。 {{証明終わり}} {{解答|第六問}} (1) <math>f(x) = e^x - x - 1</math> とすると、<math>f'(x) = e^x - 1 ,\, f''(x) = e^x</math> だから、<math>f(x) </math> は上に狭義凸な関数で最小値は <math>f(0) = 0</math> である。従って、<math>x \neq 0</math> のとき <math>e^x > x + 1</math> である。よって、<math>e^{-x^2} > 1-x^2.</math> また、<math>e^{-x} < \frac{1}{1+x}</math> に <math>x^2</math> を代入して <math>e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2}</math> を得る。 (2) <math>x = \sin \theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^n dx &= \int_0^{\frac \pi 2} (1-\sin^2\theta)^n \cos\theta d\theta\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n+1}\theta d\theta\\ &= I_{2n+1} \end{align} </math> となる。また、<math>x = \tan\theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}\theta \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n-2}\theta d\theta\\ &= I_{2n-2} \end{align} </math> となる。 (3) (1) より、<math>(1-x^2)^n < e^{-nx^2} < \frac{1}{(1+x^2)^n} </math> となるから、 <math>I_{2n+1} = \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^\infty (1-x^2)^n dx< \int_0^\infty e^{-nx^2}dx < \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^n} dx = I_{2n-2} </math> を得る。ここで、<math>x \to \frac x \sqrt n </math> と変数変換すると、<math>\int_0^\infty e^{-nx^2}dx = \frac 1 \sqrt n \int_0^\infty e^{-x^2}dx </math> となる。よって、 <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を得る。 (4) 第三問より、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = 1 </math>, <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n-2} = \lim_{m\to\infty} \sqrt n \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}\frac{I_{2n-1}}{I_{2n-2}}I_{2n-2} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> となる。よって、 <math>\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt \pi}{2}. </math> 被積分関数は偶関数だから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' (4) で <math>x \to \sqrt a x</math> （<math>a</math> は正の実数）と変換すると、<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math> を得る。これを使うと正規分布の確率密度関数が<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = 1 </math> と正規化されていることが分かる。また、 <math> \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx &= [xe^{-ax^2}]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx \end{align} </math> より、<math> \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-ax^2}dx = \frac 1 2 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} </math> を得る。よって、正規分布の分散は <math> \begin{align} V[X] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \sigma^2 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} == 脚注 == <references/> <references group="ヒント"/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII せきふんほう}} [[Category:高等学校数学III|せきふんほう]] [[カテゴリ:積分法]] 7acrvtpb1qnoq8349iz06tmnhpigu66 298827 298815 2026-04-25T15:30:56Z ~2026-25437-55 91275 298827 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学III|pagename=積分法|frame=1|small=1}} ここでは、数学IIの[[高等学校数学II/微分・積分の考え|微分・積分の考え]]で学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。 [[高等学校数学]]の全ての分野を学んだ後に学習に取り組んでほしい。 == 不定積分 == === 積分の基本的な性質 === 積分法について <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx ,</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>(aは定数) が成り立つ。 導出 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺を微分すると、 左辺 =右辺 = <math> f + g</math> が従う。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺は一致する。 (実際には2つの関数の導関数が一致するとき、 それらの関数には定数だけのちがいがある。 仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。 このとき、 <math>(F(x)-G(x) )' = h(x)- h(x) = 0</math> となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。 よって、両辺を積分すると、 <math>F(x)-G(x) = C</math> となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。 より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> についても両辺を微分すると、 左辺=右辺= a f(x) が従う。 よって、 <math>\int af dx = a\int f dx</math> が成り立つことが分る。 関数 <math>f(x)</math> の原始関数を <math>F(x)</math> とすると <math>\int_a^b f(x) \, = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -\int_b^af(x)\, dx</math> である。 <math>\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> === 置換積分法 === 関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分と呼ぶ。 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> 導出 <math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、 <math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math> 再び<math>x</math>について積分すると、 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> また、特に *<math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math> *<math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math> *<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log | f(x) | + C</math> 例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。 <math>t = ax+b</math>と置く。 この両辺を微分すると <math>dt = adx</math> が成り立つことを考慮すると、 {| |- |<math>\int t^2 \frac {dt} a</math> |<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math> |- | |<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> |} となることがわかる。 実際この式をxで微分すると <math> (ax+b)^2 </math> と一致することが分る。 置換積分を使わずに計算することも出来る。 {| |- |<math>\int (ax+b)^2 dx</math> |<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math> |} (<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。) <math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> となり確かに一致する。 === 部分積分法 === 関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> 導出 積の微分法より <math>\{f(x)G(x)\}' = f'(x)G(x) + f(x)g(x)</math> である。これを移項して <math>f(x)g(x) = \{f(x)G(x)\}' - f'(x)G(x)</math> である。両辺をxで積分して <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> が得られる。 例えば、 {| |- |<math>\int x (ax+b)^3 dx</math> |<math>=\int x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)' dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math> |} 部分積分を <math>n</math> 回行うと、 <math>\begin{align} \int f(x) g(x) \, dx &= f(x) g^{(-1)}(x) - \int f'(x) g^{(-1)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) -f'(x) g^{(-2)}(x) + \int f''(x) g^{(-2)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) - f'(x) g^{(-2)}(x) + f''(x) g^{(-3)}(x) + \cdots + (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{(-n)}(x) \, dx \end{align}</math> となる。 ここで、<math>g^{(-1)}(x)</math> は <math>g(x)</math> の不定積分の任意の一つ。<math>g^{(-2)}(x)</math> は <math>g^{(-1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つ。... <math>g^{(-n)}(x)</math> は <math>g^{(-n+1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つというように定める。このように、積分記号で何回も不定積分を計算するのはやや面倒なので、次のような表を作ってみると計算しやすい。 {|class="wikitable" style="background: #ffffff; text-align: center;" |+ !符号 !微分 !積分 |- |<math>+</math> |<Math>f(x)</math> |<Math>g(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f'(x)</math> |<Math>g^{(-1)}(x)</math> |- |<math>+</math> |<Math>f''(x)</math> |<Math>g^{(-2)}(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f^{(3)}(x)</math> |<Math>g^{(-3)}(x)</math> |- |<math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |- |<math>(-)^n</math> |<Math>f^{(n)}(x)</math> |<Math>g^{(-n)}(x)</math> |} この表から、部分積分を <math>n</math> 回行った結果は、 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + <math>\int</math> n行目の符号 × n行目の微分 × n行目の積分 dx と求まる。n行目の微分 が 0 であった場合は、最後の積分は消えて、不定積分は 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + n-1行目の符号 × n-1行目の微分 × n行目の積分 + C となる。 この方法は俗に'''瞬間部分積分法'''と呼ばれており、部分積分を複数回繰り返す際の計算を非常に簡略化できるため、受験数学では重宝されるテクニックの一つである。記述で用いる場合、上の表をそのまま記述するよりも、「部分積分を繰り返し用いると」という文言の後に瞬間部分積分で求めた結果を記述するのが無難である。 === いろいろな関数の積分=== ==== 多項式関数の積分 ==== <math>n \ne -1</math>のとき、<math>\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)'=x^n</math>なので、 <math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math> <math>n = -1</math>のとき、<math>(\log |x| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、 <math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log |x| + C</math> が成り立つ。 ==== 三角関数の積分 ==== *<math>(\sin x )' = \cos x</math> *<math>(\cos x )' = -\sin x</math> *<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math> が成り立つことを考慮すると、 *<math>\int \cos x dx= \sin x + C</math> *<math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math> *<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math> となることが分る。 <math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って {| |- |<math>\int \tan x dx</math> |<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> |- | |<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \log | \cos x | + C</math> |} :　 :なお同様に、<math>\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}</math>　であるので、<math>\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx =\int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = \log \left|\sin x\right| + C</math> :　 より一般に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> について考える。 <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とおく。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>である。<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta = \frac{2t}{1+t^2}</math> である。よって <math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math> と有理関数の積分にもち込める。 幾何学的は、この変換は単位円上の点 <math>P(\cos \theta, \sin \theta)</math>と点 <math>A(-1,0)</math> を結ぶ直線の勾配 <math>t</math> で変換したものである。実際円周角の定理より <math>\angle xAP = \frac 1 2 \angle xOP = \frac \theta 2</math>より <math>t = \tan \frac{\theta} 2.</math> 被積分関数の周期が <math>\pi</math> の場合は、被積分関数は <math>\sin 2\theta,\cos 2 \theta</math> の有理関数なので、 <math>t = \tan\theta</math> と置換すると計算が楽である。被積分関数が <math>\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta</math> の有理関数となるときもこの範疇に属する。<math>t = \tan\theta</math> と置換したとき、<math>\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+t^2}</math>, <math>\sin^2\theta = \tan^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{t^2}{1+t^2}</math> , <math>\sin\theta \cos\theta = \pm\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{t}{1+t^2}</math> (<math>\sin\theta \cos\theta</math> と <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> の正負は一致するため), <math>d \theta = \frac {dt}{1 + t^2}</math> となる。 例　<math>\int\frac{1}{\sin x \cos x}dx</math> は <math>t = \tan x</math> と置換すると、<math>\int \frac {1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac {1+t^2}{t} \frac { dt}{1+t^2} = \ln|\tan x| + C. </math> <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> と置換してしまうと、<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac {1+t^2}{t(1-t^2)}\,dt = \ln \left|\frac{t}{1-t^2}\right| + C' = \ln|\tan x| + C </math> と計算量が少し増える。 ==== 指数・対数関数の積分 ==== 指数関数について <math>(e^x )' = e^x</math> が成り立つことを用いると、 <math>\int e^x dx = e^x + C</math> が得られる。 また、 <math>\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x</math> なので、 <math>\int a^x \, dx=\frac{a^x}{\ln a}</math> である。 また、<math>\log |x|</math>の 原始関数も求めることが出来る。 {| |<math>\int \log |x| dx </math> |<math>=\int (x)' \log |x| dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x (\log |x|)' dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x \frac 1 x dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -x + C</math> |} となる。 有理関数 <math>R(x)</math> に対して、積分 <math>\int R(e^x) \, dx</math> は <math>t = e^x</math> すると <math>\frac{dt}{dx} = e^x = t</math> より <math>\int R(e^x) \, dx = \int R(t) \frac{dt}{t}.</math> ==== 二次無理関数の積分（発展） ==== 有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、積分 <math>\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx</math> について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、<math>\sqrt{p^2-x^2},\sqrt{x^2+p^2},\sqrt{x^2-p^2}</math>のいずれかの形になる。それぞれの場合について、<math>x = p\sin \theta,x = p\tan\theta,x = \frac{p}{\cos \theta}</math> と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。 また、<math>y^2 = ax^2 +bx + c</math> は二次曲線で、特に <math>a>0</math> のときは双曲線となる（<math>y^2 -a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}</math>より<ref>右辺が0のとき双曲線とはならないが、このときは簡単に平方根を外すことが出来るので考える必要はない。</ref>）。このとき、<math>y=\pm \sqrt a x + t</math> すなわち <math>t = \mp \sqrt a x + \sqrt{ax^2 + bx + c}</math> と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が <math>t</math> の直線 <math>y=\pm \sqrt a x + t</math> と双曲線のただ一つの交点 <math>(x,y)</math> を変数 <math>t</math> で表したものである。 例 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} </math> は <math>t = x + \sqrt{ x^2-1}</math> と置換すると、<math>\frac 1 t = x - \sqrt{x^2-1}</math> なので、<math>t + \frac 1 t = 2x</math> すなわち <math>2dx = \left(1 - \frac 1 {t^2}\right)dt</math> また、 <math>t - \frac 1 t = 2\sqrt{x^2-1}</math>.なので、<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{t-\frac 1 t}dt = \int \frac{dt}{t} = \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C </math> である。 ところで、この変換は双曲線 <math>y^2 = x^2 - 1</math> と直線 <math>y = -x + t</math> のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて <math>t</math> で表すと、<math>x = \frac 1 2 \left(t + \frac 1 t\right), \, y =\frac 1 2 \left(t - \frac 1 t\right)</math> を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 <math>t \rightarrow e^t</math> とすると、<math>x = \frac{e^t + e^{ -t} }{2} = \cosh t, \, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = \sinh t.</math> これは <math>x > 0</math> の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の <math>\mathrm{h}</math> はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる <math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math> は <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> とよく似ている。例示の不定積分は <math>x = \cosh t</math> と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 == 定積分 == 定積分について、不定積分と同じように以下が成り立つ。 '''定積分の置換積分法''' <math>\alpha < \beta</math>のとき、開区間<math>[\alpha, \beta]</math>で微分可能な関数<math>x=g(t)</math>に対し、<math>a=g(\alpha), b=g(\beta)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) \, dt </math> '''定積分の部分積分法''' <math>\int_{a}^{b} f(x) g'(x) \, dx = \left[ f(x) g(x) \right]^{a}_{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx </math> *問題 **以下の定積分を求めよ(Hint：5, 6は漸化式を利用する) **#<math>\int_{0}^{1} |e^x - \frac{3}{2}| \, dx</math> **#<math>\int_{1}^{0} \frac{x-2}{(3-x)^2} \, dx</math> **#<math>\int_{-5}^{5} x \sqrt{x^2-9} \, dx</math> **#<math>\int_{3}^{7} x \log (x^2 - 2) \, dx </math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx</math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx</math> === 特殊な定積分 === ==== 円 ==== <math>a < b</math> とする。積分 <math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx</math> は <math>y = \sqrt{(x-a)(b-x)}</math> とすると、<math>\left(x-\frac{a+b}{2} \right) + y^2 = \left(\frac{a-b}{2} \right)^2</math> より、被積分関数 <math>y</math> は中心 <math>\frac{a+b}{2}</math> で半径 <math>\frac{b-a}{2}</math>の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、<math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2</math> である。 ==== King Property ==== 一般に、関数 <math>f(a-x)</math> のグラフは関数 <math>f(x)</math> のグラフを直線 <math>x = \frac a 2</math> で対称移動したものである。 従って、連続関数 <math>f(x)</math> を区間 <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> で積分した値 <math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx</math> と、連続関数 <math>f(a+b-x)</math> を区間 <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> で積分した値 <math>\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x)\, dx</math> は等しい： :<math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x) \, dx.</math> この等式は単に、 <math>x \to a+b-x</math> の変数変換によっても導出できる。 この等式より、 <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)\, dx +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx </math> が導かれる。 この公式は、<math>f(x) + f(a+b-x)</math> が簡単な形になる定積分で役に立つ。 例えば、<math>\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin (\frac{\pi}{2}-x) + \cos (\frac{\pi}{2}-x)}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx = \frac{\pi}{4}.\end{align} </math> King Property の応用例は <math>\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx = \frac 1 3</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 4} \ln(1+\tan x)\, dx = \frac \pi 8 \log 2</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 2} \log (\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2}\log 2</math>, <math>\int_0^{2\pi} \cos^2\left(\frac{\pi\tan{x}}{2+2\tan{x}}\right)dx=\frac{\pi}{2}</math> などがある。計算してみよ。 === 定積分と不等式 === 一般に、連続関数について次のことが成り立つ。 :開区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば、<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> :等号成立条件は開区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>であること。 *例題 :調和級数の第n部分和が<math>\log(n+1)</math>より大きいことを証明せよ。 *解答 自然数kに対して<math>k \leqq x \leqq k+1</math>のとき<math>\frac{1}{k} \geqq \frac{1}{x}</math>であり、等号は常には成り立たないので<math>\int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>である。故に<math>\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>。 このとき、（左辺）<math>= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{k}^{k+1} dx = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>より左辺は調和級数の第n部分和であり、(右辺)<math>= \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \left[ \log(x) \right]_{1}^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)</math>なので、題意は示された。 ===発展：広義積分=== '''広義積分'''とは、通常の定積分の範囲を超えて積分区間が無限であったり被積分関数が積分区間内で'''特異点'''（値が定義されなかったり微分不可能だったり不連続であったりする点）を持つ場合に、極限を用いて定義される定積分である。 定積分<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>において、<math>b \to \infty</math>の極限を<math>\int_a^\infty f(x) \, dx</math>、<math>a \to -\infty</math>の極限を<math>\int_{-\infty}^b f(x) \, dx</math>のように表す。 例えば、<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math>は以下のように計算できる。 :<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_0^b </math> :<math>=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{e^b} + 1)</math> :<math>=1</math> 但し、極限操作の前に定積分を計算してよいのは以下の場合に限られる。 :被積分関数が連続（定積分可能） :積分区間の内部に特異点が存在しない（特異点が端点のみ） :求めたい積分が（条件）収束する（発散しない） 積分区間の上端が正の無限大で下端が負の無限大のとき、広義積分は以下のように計算される。 :<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx</math> 決して<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A f(x) \, dx</math>（対称極限）のように計算してはならない。 例えば、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx</math>は発散するが、対称極限のように計算すると<math>\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = 0</math>という誤った結果を得る。 この例のように、非積分関数が奇関数であっても<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=0</math>は一般には成り立たない。あくまでも、'''上端と下端を独立に考えて極限を取る'''ことに注意が必要である。 例えば、以下が成り立つ。 :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> これは'''ガウス積分'''と呼ばれる有名な結果である。 この値の導出には重積分やヤコビ行列といった大学範囲の数学が良く用いられるが、一応は高校数学のみで証明可能である。後述の演習問題を参照。 この結果は[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測#正規分布|正規分布の確率密度関数]]の導出に用いられる。 :元となる関数は<math>y=e^{-x^2}</math>。 :平均値<math>\mu</math>を軸に持ってくる平行移動をして<math>y=e^{-(x-\mu)^2}</math>。 :分布の広さ（ばらつきの大きさ）を標準偏差<math>\sigma</math>に合わせるため<math>\mu \pm \sigma</math>で極値をとるように変形して<math>y=e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> :ガウス積分の結果より<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sqrt{2\pi}\sigma</math>。 :確率密度関数は<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=1</math>を満たすので、元の関数を<math>\sqrt{2\pi}\sigma</math>（定数）で割って<math>y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>。 :これは正規分布の特徴を適切に表すため、確率密度関数として適当である。 他に、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>（'''フレネル積分'''）が有名な結果である。なお、この積分は不定積分を[[w:初等関数]]で表すことができない。 広義積分の応用例として、'''フーリエ変換'''や'''ラプラス変換'''が存在する。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi{i}\xi{x}}dx</math> :<math>\text{ℒ}[f(x)](s):=\int_0^\infty f(x)e^{-sx}dx</math> これらは物理的には信号処理や制御工学に応用されているほか、数学では関数解析学と呼ばれる分野にも関わる概念である。 '''演習問題1''' 次の不定積分を求めよ。 :(1)<math>\int \tan xdx</math> :(2)<math>\int \frac{1}{\cos ^2x}dx</math> :(3)<math>\int \log xdx</math> :(4)<math>\int x\log xdx</math> :(5)<math>\int x^2\log xdx</math> :(6)<math>\int x^3\log xdx</math> :(7)<math>\int x\sin xdx</math> :(8)<math>\int x^2\sin xdx</math> :(9)<math>\int x^2e^xdx</math> :(10)<math>\int \frac{dx}{\sin x}</math> :(11)<math>\int \frac{dx}{\cos x}</math> {{解答}} :(1)<math>-\log |\cos x|+C</math> :(2)<math>\tan x+C</math> :(3)<math>x\log x-x+C</math> :(4)<math>\frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C</math> :(5)<math>\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3}{9}+C</math> :(6)<math>\frac{x^4\log x}{4}-\frac{x^4}{16}+C</math> :(7)<math>\sin x-x\cos x+C</math> :(8)<math>2x\sin x+(2-x^2)\cos x+C</math> :(9)<math>(x^2-2x+2)e^x+C</math> :(10) <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{dt}{t}\\ &= \log |t| + C\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{dx}{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}\\ &= \int \frac{\cos\frac x 2 dx}{2\sin\frac x 2 \cos^2 \frac x 2}\\ &= \int \frac{(\tan \frac x 2)'dx}{\tan \frac x 2}\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx\\ &= \int \frac{\sin x}{1- \cos^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 - \cos x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{(1 - \cos x)'}{1 - \cos x} dx - \frac 1 2 \int \frac{(1 + \cos x)'}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} + C. \end{align}</math> ちなみに、半角の公式より <math>\log \left|\tan\frac x 2 \right| = \frac 1 2 \log \left|\frac{\sin^2 \frac x 2}{\cos^2 \frac x 2}\right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} </math> が成り立つ。 :(11) <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{dx}{\sin(x + \frac \pi 2)}\\ &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4 \right) \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{1+t^2}{1-t^2} \frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{2dt}{1-t^2}\\ &= \int \frac{dt}{1+t} + \int \frac{dt}{1-t}\\ &= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C\\ &= \log \left|\frac{1+\tan\frac x 2}{1-\tan\frac x 2}\right| + C.\\ \Big( &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| + C \Big) \end{align}</math> なお、部分分数分解について、 <math>f(t) = \frac{2}{1-t^2} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}</math> とすると、 <math>A = \lim_{t\to -1}(1+t)f(t) = \lim_{t\to -1} \frac{2(1+t)}{1-t^2} = \lim_{t\to -1} \frac{2}{1-t} = 1</math>, <math>B = \lim_{t\to 1}(1-t)f(t) = \lim_{t\to 1} \frac{2(1-t)}{1-t^2} = \lim_{t\to 1} \frac{2}{1+t} = 1</math> より係数が求まる。 別解2 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx\\ &= \int \frac{\cos x}{1- \sin^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx\\ &= -\frac 1 2 \int \frac{(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1+\sin x}{1 - \sin x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 - \sin x} + C. \end{align}</math> これも、 <math>\log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos (x + \frac \pi 2)}{1 + \cos(x + \frac \pi 2)} = \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 -\sin x} </math> である。 {{証明終わり}} ==積分の応用== === 面積 === ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。 [[画像:Integral_x%5E2_0-1.png|right|x^2の0から1までの積分]] 例えば、 <math> \int _0 ^1 x^2 dx = \frac 1 3 </math> は、放物線<math> y = x^2</math>について <math>0 < x < 1</math>の範囲でかこまれる面積に等しい。 '''面積(Ⅰ)''' 曲線<math>y=f(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>及びx軸で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq 0</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math> 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \leqq 0</math>のとき<math>S = -\int_{a}^{b} f(x) dx </math> 厳密な証明は既に数学Ⅱで扱った。 2曲線で囲まれた領域の面積についても、同様である。 '''面積(Ⅱ)''' 2曲線<math>y=f(x), y=g(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} \{ f(x) - g(x) \} dx</math> y軸まわりで考えた場合も同様である。 '''面積(Ⅲ)''' 2曲線<math>x=h(y), x=i(y)</math>と2直線<math>y=c, y=d</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[c, d]</math>で常に<math>h(y) \geqq i(y)</math>のとき<math>S = \int_{c}^{d} \{ h(y) - i(y) \} dy</math> 媒介変数表示された曲線の場合、xとyの好きな方で面積の式を考えてパラメータに関する式へと置換積分すれば良い。 {{コラム|ガウス＝グリーンの定理| '''ガウス＝グリーンの定理'''という以下のような公式が存在する。 :閉曲面Sで囲まれた空間の領域をV、曲面の外向き法線の方向余弦を（l, m, n）、微分可能な関数をf, g, hとするとき、<math>\int_{V} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}) dV = \int_{S} (fl+gm+hn) dS </math> この定理を高校レベルの求積で使えるように調整すると、以下のようになる。 :曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math> この定理を用いると、通常の積分で面積を求めるよりも遙かに計算量が少なくて済む。 もちろん記述では使えないが、答えのみ書けば良い場合や検算用のツールとしては非常に役立つ。 }} ; '''発展：極座標系における面積''' [[高等学校数学C/平面上の曲線#極座標|極座標系]]においても、直交座標系と同様に微積分を考えることができる。ここでは、その一例として極方程式で表された曲線における面積について扱う。 '''面積(Ⅳ)''' 曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、 <math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> *証明 基本的には直交座標の場合と同様である。 :曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \tau</math>で囲まれた部分の面積を<math>S(\tau)</math>とおく。 :<math>\Delta \tau > 0</math>として<math>\tau + \Delta \tau</math>の場合を考える。 :閉区間<math>[\tau, \tau + \Delta \tau]</math>における<math>r(\theta)</math>の最小値を<math>m</math>、最大値を<math>M</math>とおくと、微小な扇形の面積を考えることにより<math>\frac{1}{2}m^2\Delta \tau \leqq S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau) \leqq \frac{1}{2} M^2 \Delta \tau</math>が得られる。 :上の不等式の各辺を<math>\Delta \tau</math>で割ると、<math>\frac{1}{2}m^2 \leqq \frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \leqq \frac{1}{2}M^2</math> :<math>\Delta \tau \to 0</math>の極限を考えると、 ::<math>r(\tau)</math>は連続関数なので<math>\frac{1}{2} m^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2, \frac{1}{2} M^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> ::微分の定義より<math>\frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \to S'(\tau)</math> :よってはさみうちの原理より<math>S'(\tau) = \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> :これにて示された。 この公式は、'''<math>\theta</math>が偏角である場合のみ用いることができる'''。もし<math>\theta</math>が偏角ではない場合、<math>\theta</math>と偏角<math>\phi</math>の関係を求めて置換積分する必要がある。 ; '''楕円の面積''' '''楕円の面積''' 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の面積は、 <math>S=\pi ab</math> *導出 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>を<math>y</math>について解くと :<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math> となる。そのうち<math>y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math>は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積''S''となるので :<math>S=2\int _{-a} ^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a}\int _{-a} ^a \sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a} \times \frac{\pi a^2}{2} = \pi ab</math> となる。 === 体積 === ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、底面積<math>S(t)</math>に極めて小さい高さ<math>dt</math><ref>なお、この時、<math>dt</math>が<math>S(t)</math>に対して積分区間で常に鉛直方向の関係にあることが保証されていなければならない。</ref>の積<math>S(t) \, dt</math>の区間<math>[a,b]</math>における累積であるので、以下の式で表すことができる。 :<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> （例1） :<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2)</math>である三角錐を考える。 :この三角錐を平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断すると、断面の三角形の各座標は<math>A_t(t,0,0), B_t(t,t,0), C_t(t,0,2t)</math>となる。この時、<math>\triangle{A_t B_t C_t}</math>の面積<math>S(t)=t^2</math>となる。 :これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}</math>となる<ref>三角錐<math>O-ABC</math>は、<math>\triangle{ABC}</math>を底面（<math>S=1</math>）とし、<math>OA</math>を高さ（<math>1</math>）とする三角錐なので、体積は、<math>\frac{1}{3}</math>となり、正しい。</ref>。 （例2） :設問 :#<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,1)</math>である立方体を想定。 :#平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断し、<math>\square{O_t A_t B_t C_t}</math>を得る。 :#線分<math>O_t A_t , A_t B_t , B_t C_t , C_t O_t </math>に、各々点<math>O_t, A_t, B_t, C_t</math>から、長さ<math>t</math>である点<math>H_t, I_t, J_t, K_t</math>をとり、<math>\square{H_t I_t J_t K_t}</math>を<math>S_t</math>とする。 :#<math>t</math>を区間<math>[0,1]</math>で変化させた時、<math>S_t</math>が通過する部分の体積<math>V</math>を求めよ。なお、<math>S_t</math>が正方形である証明は省略してよい。 :解答 :#<math>S_t</math>の1辺の長さを<math>l</math>とおくと、<math>l^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2 - 2t + 1</math> :#<math>S_t</math>の面積<math>S(t)</math>は<math>l^2</math>であるから、<math>S(t) = 2t^2 - 2t + 1</math> :#これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :#<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} (2t^2 - 2t + 1) \, dt = \left[ \frac{2t^3}{3} - t^2 +t \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}</math>となる。 ; '''回転体の体積''' <math>y= f(x) (a \le x \le b )</math> で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 <math>V = \int _a ^b \pi \{ f(x) \}^2 dx</math> で与えられる。 導出 立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな 定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は <math> h \times \pi (f(c) )^2 </math> となる。 これを<math>a<c<b</math>満たす全てのcについて足し合わせると、 <math> S = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> が得られる。 同様に、<math>x = g(y) (c \le x \le d )</math>で与えられる曲線をy軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 :<math>V = \int _c ^d \pi \{ g(y) \}^2 dy</math> で与えられる。 例えば、 <math> y= x^2 ~(0<x<1) </math> をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 :図形の絵? <math> S = \int_0^1 \pi (x^2)^2 dx </math> <math> =\pi \int_0^1 x^4 dx </math> <math> =\frac {\pi} 5 </math> となる。 ;球の体積 球の体積<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>の導出 半径''r''の球は半円<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>を''x''軸の周りに回転させてつくることができる。 :<math>V=\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}^2 dx=\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx= \frac{4}{3}\pi r^3</math> また体積を''r''で微分すると球の表面積<math>S=4\pi r^2</math>が得られる。 ; 補：バームクーヘン積分 上記の回転体の公式の導出では「円盤の面積を積分」しているが、「円筒の側面積」を積分しても同様の結果が得られる。この考え方を'''バームクーヘン積分（円筒分割積分）'''と呼ぶ。 バームクーヘン積分による回転体の体積の公式 曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 <math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math> *導出 :閉区間<math>[x, x + \Delta x](\Delta x > 0)</math>においてx軸と曲線<math>y=f(x)</math>で挟まれた領域をy軸周りに一回転してできる立体の体積を<math>\Delta V</math>とし、同区間におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとおく。 :このとき、<math>\pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}m \leqq \Delta V \leqq \pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}M</math> :変形すると<math>\pi(2x + \Delta x)m \leqq \frac{\Delta V}{\Delta x} \leqq \pi (2x + \Delta x)M</math> :<math>\lim_{\Delta x \to + 0} m = \lim_{\Delta x \to + 0} M = f(x)</math>なのではさみうちの原理より<math>\lim_{\Delta x \to + 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\therefore \frac{dV}{dx} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\Delta x < 0</math>でも同様。 :この微分方程式を解く（詳細は[[高等学校理数数学#微分方程式|こちら]]）と、 ::<math>dV = 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>\int dV = \int 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>V = 2 \pi \int x f(x) dx + C</math>（Cは積分定数） :閉区間<math>[a, b]</math>で定積分を考えると、<math>V = 2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>となる。 記述問題で用いる場合、念のため上のように証明しておくと良い。 ; 補：パップス・ギュルダンの定理 図形Aを、図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）で求まる。 この定理は大学入試においては非常に有名な裏技であり知っておいて損はないが、記述で用いると完全にアウトである。この定理を用いるのは、選択肢形式の問題かどうしても記述の白紙解答を避けたい場合のみに限ろう。（もっとも、重心がわかる図形で出題されるのはごく稀だが。） {{コラム|一般の軸を中心とした回転体の体積の求め方| 一般に空間中の直線Lの周りの回転体（'''斜軸回転体'''）の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えて求めることができる。 ここでは、回転前の図形が座標平面上に存在する場合を扱う。 ; '''例題''' xy平面において<math>L:y=x, C:y=x^2</math>で囲まれた部分を, 直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。 解答） :曲線C上の点<math>P(x, x^2)</math>から直線Lに下ろした垂線の足を<math>H(t, t)</math>とし、直線L上に点<math>Q(x, x)</math>をとる。 :与えられた条件より<math>0 \leqq x \leqq 1</math>である。 :このとき<math>\overline{PH} = \frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}} = \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} (\because 0 \leqq x \leqq 1 \implies x \geqq x^2)</math>より、 :<math>t = \overline{OH} = \overline{OQ} - \overline{HQ} = \overline{OQ} - \overline{PH} = \sqrt{2}x - \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} = \frac{x+x^2}{\sqrt{2}}</math> :<math>\therefore dt = \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :tの積分範囲は0→√2なので、xの積分範囲は0→1である。 :故に、<math>V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \overline{PH}^2 dt = \pi \int_{0}^{1} (\frac{x-x^2}{\sqrt{2}})^2 \cdot \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :<math>= \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{1} (2x^5-3x^4+x^2) dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{4} [ \frac{1}{3} x^6 - \frac{3}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^3 ]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{2} \pi}{60}</math> この解答を簡潔に纏めると、直線Lをt軸と見做してt軸についての回転体の式を立て、それをx軸についての回転体の式へと置換積分している。 斜軸回転体の体積を求める方法は他にもあるので、簡潔に纏める。 ①傘型分割積分 上の例題で考えると、長さ<math>\overline{PQ}</math>、微小幅<math>\Delta x</math>の部分をLの周りに一回転すると、傘型状の図形（円錐の側面）になる。 その面積（正確には微小体積）を積分すると回転体の体積が出てくる。この考え方を'''傘型分割積分'''という。不足なく論理展開を記述できれば、入試でこの考え方を用いても減点される可能性は低いだろう。 この過程を一般化すると、以下の公式を導くことができる。 :曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、 :<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math> :ただし、<math>\tan \theta = m</math>（回転軸がx軸となす角がθである） この公式は完全に裏技なので、記述問題では（証明なしに）使用しない方が無難である。 ②回転移動の利用 図形全体を回転移動することにより、回転軸をx軸（もしくはy軸）に重ねることで、強引に回転体の公式に代入する方法。 回転移動には[[高等学校数学C/複素数平面#回転移動|複素数平面の知識]]、[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#一次変換|行列の知識]]のどちらを用いても良い。 この方法では、回転後の図形の方程式が媒介変数表示で出現する場合がある。その場合、回転体の公式を媒介変数についての積分へと置換積分すれば良い。 }} === 曲線の長さと運動の道のり === ==== 曲線の長さ ==== 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の長さを考える。 :<math>f(t), g(t)</math>とも2階微分可能（第一次導関数が連続）とする。 :<math>a \leqq t \leqq b</math>として閉区間<math>[a, t]</math>における曲線の長さを<math>s(t)</math>とおく。 :<math>t</math>の増分<math>\Delta t</math>が十分小さいとき、<math>\Delta s \fallingdotseq \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math>より<math>\frac{\Delta s}{\Delta t} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2}</math> :<math>\Delta t \to 0</math>のとき、<math>\frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}</math> :この微分方程式を解くと、 ::<math>ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>\int ds = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>s = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt + C</math>（Cは積分定数） :ここで<math>s(t)</math>の定義より<math>s(b) - s(a) = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> よって、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅰ) 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> 曲線の式が<math>y=f(x)</math>で与えられている場合、<math>\begin{cases} x=t \\ y=f(t) \end{cases}</math>と考えて上の公式に代入すると、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅱ) 曲線<math>y=f(x)</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dt</math> ==== 速度と道のり ==== [[高等学校数学III/微分法#速度と加速度|微分法で学んだ]]ように、数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置,速度がそれぞれ<math>x(t), v(t)</math>で与えられるとき、<math>v(t) = \frac{d}{dt} x(t)</math>という関係式が成り立った。微分と積分は逆演算の関係にあるので、<math>x(t) = \int v(t) dt + C</math>(Cは積分定数)という関係も成り立つ。このとき、積分定数Cは初期位置<math>x_0</math>を表す。 点Pが<math>t=a</math>から<math>t=b</math>まで運動するとき、位置の変化量は<math>x(b) - x(a) = \int_{a}^{b} v(t) dt</math>で与えられる。すなわち<math>x(b) = x(a) + \int_{a}^{b} v(t) dt</math>であり、<math>x(a)</math>が初期位置<math>x_0</math>を表すことが確かめられた。 また、上の場合において道のりは<math>\int_{a}^{b} |v(t)| dt</math>と計算できる。位置の変化量と道のりが一致するのは、恒等的に<math>x(t) \geqq 0</math>が成り立つ場合のみである。 平面上の運動も同様である。 なお、加速度は位置の二階微分なので、加速度を二階積分すれば位置が求まる。よって、時刻tにおける加速度が<math>a(t) = a</math>であるときの位置は、<math>x(t) = \int \! \int a(t) dt \; dt = \int (at + v_0) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0</math>である。([[高等学校物理基礎/力学#等加速度直線運動|等加速度直線運動]]の式) {{コラム|ベクトル関数|変数tの値を決めるとベクトルA(t)の値が一意に定まるとき、A(t)をtの'''[[解析学基礎/ベクトル解析#ベクトル関数|ベクトル関数]]'''という。基本ベクトルを用いると、ベクトル関数は基本ベクトルのスカラー倍の足し算に分解することができる。このとき、基本ベクトルにかかる係数をベクトル関数の'''成分'''という。ベクトル関数の定義より、成分はtの関数になる。 つまり、'''ベクトル関数に関する微積分はその成分をそれぞれ微分/積分すれば良い'''ということがわかる。 例えば、速度を表すベクトル関数<math>\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2-1 \end{pmatrix}</math>があったとして、初期位置<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>とすると時刻tにおける位置は<math>\vec{x}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int (2t) dt \\ \int (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3-t \end{pmatrix}</math>、時刻tにおける加速度は<math>\vec{a}(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}(2t) \\ \frac{d}{dt}(3t^2-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6t \end{pmatrix}</math>というベクトル関数になる。また、<math>t=0</math>から<math>t=2</math>まで運動したときの位置の変化量ベクトルは<math>\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = \int_{0}^{2} \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int_{0}^{2} (2t) dt \\ \int_{0}^{2} (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left[ t^2 \right]_{0}^{2} \\ \left[ t^3-t \right]_{0}^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}</math>と求まる 。 すなわち、速度・加速度・位置・道のり等に関する問題はベクトル関数の微積分を計算する問題であると言える。 }} == 区分求積法 == これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。 [[File:Riemann Integration 1.png|thumb|300px|面積計算]] 右図のようなある曲線<math>y=f(x)</math>がある。単純のため、ここではつねに<math>f(x)>0</math>であるものとして考える。この曲線と、''x''軸、および直線<math>x = a, x = b (a < b)</math>によって囲まれる領域の面積''S''を求める。この面積は[[#面積]]の項で学んだように、 : <math>S = \int_a^b f(x)dx</math> と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。 曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積''S''に近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[''a'',''b'']を''n''等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で<math>n \to \infty</math>の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、'''区分求積法'''と呼ぶ。 :[[File:Riemann Integration 4.png|350px|棒グラフによる近似]][[File:Riemann Integration 5.png|350px|さらに細かな棒グラフによる近似]] [[File:Integral numericky obd.svg|thumb|左側で近似]][[File:Somme-superiori.png|thumb|右側で近似]] <math>y=f(x)</math>を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。 ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]を''n''等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、 :<math>0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}</math> となる。ここで、一般に第''k''番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第''n''-1番目とする。第''k''番目の長方形の左端のx座標は<math>\frac{k}{n}</math>であるから、この長方形の高さは<math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math>となり、また長方形の幅は<math>\frac{1}{n}</math>である。そのため、この長方形の面積<math>s_k</math>は、 :<math>s_k = \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。したがって、これらの長方形の面積の総和<math>S_n</math>は、 :<math>S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} s_k = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> この<math>S_n</math>は、区間[0, 1]を''n''等分した時の長方形の面積の総和であるが、''n''を大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、<math>n\to\infty</math>の極限を考え、 :<math>S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして :<math>S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> となる。 区分求積法を計算するとき、'''シグマの範囲の有限個のズレは無視して良い'''。nを無限大に飛ばした極限を考えるとき、有限個あるズレの値は全て0に収束するからである。<br> つまり、l, mを自然数として<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{n-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math>である。 区分求積法は、より一般には次の式で表される。 :<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=l}^{n-m} f(x_k) \Delta x</math> :ただし、<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math> 証明は先ほどと同様である。<br> 大学においては、積分の定義を微分の逆演算ではなく、この式の右辺のような和('''リーマン和'''という)の極限とする場合がある。数学Ⅱで扱った微分積分学の基本定理は、リーマン和(面積計算)と原始関数(微分の逆演算)という二つの概念を結びつけている定理であると言える。 なお、<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=an+l}^{bn-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>が成り立つ。 '''演習問題2''' :次の極限値を求めよ。 :(1) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} </math> :(2) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} </math> :(3) <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n}</math><ref group="ヒント">対数を取る</ref> {{解答}} (1) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac k n} \\ &= \int_0^1 \frac{dx}{1+x}\\ &= [\log(1+x)]_0^1\\ &= \log 2. \end{align} </math> ちなみに、この結果は交代調和級数 <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots</math> の値を求めることに利用できる。実際 <math> \begin{align} \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} &= 1 - \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n+n} \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{align} </math> より、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \log 2 </math> となる。また、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{1}{2n+1}\right) = \log 2. </math> 従って、<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 </math> を得る。 (2) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}\\ &= \int_0^1 \frac{xdx}{1+x^2}\\ &= \left[\frac 1 2 \log(1+x^2)\right]_0^1\\ &= \frac 1 2 \log 2. \end{align}</math> (3) <math>\begin{align} \log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 1 n \log\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\cdots \left(\frac{n+2}{n}\right) \right\} \\ &= \frac 1 n \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \end{align}</math> となるから、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \int_0^1 \log(1+x)dx\\ &= [(1+x)\log(1+x)-(1+x)]_0^1\\ &= 2\log 2 - 1. \end{align}</math> したがって、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 4 e. \end{align}</math> {{証明終わり}} == 演習問題 == * [[高等学校数学III 積分法/演習問題|不定積分44題]] * [[/演習問題]] '''演習問題3''' 第一問、第二問は基本問題である。第三問から第六問はやや難しい。 '''第一問（ウォリスの積分）''' :<math>n</math> は非負整数とし、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \, dx</math> を示せ。 :(2) <math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad (n \ge 2)</math> を示せ。 :(3) <math>I_n</math> を求めよ。 '''第二問（ベータ関数の特殊値）''' :<math>m,n</math> は非負整数、<math>\alpha,\beta</math> は <math>\beta > \alpha</math> なる実数とし、<math>I_{m,n} = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx</math> とする。 :(1) <math>I_{m,n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1,n-1} \quad (n\ge 1) </math> を示せ。 :(2) <math>I_{m,n}</math> を求めよ。 :(3) <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta </math> を求めよ。 '''第三問（ウォリスの公式）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。必要に応じて第一問の結果を用いてよい。 :(1) <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> を示せ。 :(2) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} </math> を求めよ。 :(3) <math> I_{2n}I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt n I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(5) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} </math> を求めよ。 '''第四問（スターリングの近似）''' :数列 <math>\{a_n\}</math> を <math>a_n = \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}} </math> で定める。必要に応じて第三問の結果を用いてよい。 :(1) 整数 <math>k > 1</math> について <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n</math> について <math> - \frac{1}{4n} < \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - \left(2n+\frac 1 2\right)\log 2n + \left(n+\frac 1 2\right)\log n + n < 0 </math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めよ。 '''第五問（バーゼル問題）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x \, dx,\, J_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}x^2 \cos^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math> n > 0</math> について <math>I_{2n} = n(2n-1)J_{2n-2} - 2n^2 J_{2n}</math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> について、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math>J_{2n} \le \frac{\pi^2 I_{2n}}{8(n+1)}</math> を示せ。 :(4) <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} </math> を求めよ。 '''第六問'''（発展問題） :(1) <math> x > 0 </math> のとき、<math> 1-x^2 < e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n </math> について<math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx, \quad \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> を前問で定義した <math> I_n </math> で表せ。 :(3) <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を示せ。 :(4) <math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math> を求めよ。 '''解答''' {{解答|第一問}} (1) <math> t = \frac \pi 2 - x </math> と変数変換すると、<math> \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx = \int_{\frac \pi 2}^0 \sin^n\left(\frac \pi 2 - t\right)(-dt) = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n t dt </math> となる。 (2) <math> \begin{align} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx &= \left[-\sin^{n-1}x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= (n-1)\left(\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x dx - \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx \right)\\ \end{align} </math> 従って、<math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}</math> となる。 (3) <math> I_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2,\, I_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x dx = 1. </math> よって、<math> n </math> が偶数のときは <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 I_0 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2. \end{align} </math> <math> n </math> が奇数のときは、 <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 I_1 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} {{解答|第二問}} (1) <math>\begin{align} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx &= \left[\frac{1}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^n\right]_\alpha^\beta + \int_\alpha^\beta\frac{n}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx\\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx. \end{align} </math> (2) <math>\begin{align} I_{m,n} &= \frac{n}{m+1}I_{m+1,n-1} \\ &= \cdots \\ &= \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} I_{m+n,0} \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}I_{m+n,0} \end{align} </math> ここで、 <math>I_{m+n,0} = \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+n} dx = \frac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} </math> となる。よって、 <math>I_{m,n} = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1} </math> を得る。 (3) <math>t = \sin^2\theta </math> と変数変換すると、 <math>dt = 2\sin\theta\cos\theta d\theta </math> より、 <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta = \frac 1 2 \int_0^1 t^m (1-t)^n dt = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}. </math> {{証明終わり}} {{解答|第三問}} (1) <math>0 < x < \frac \pi 2 </math> のとき、<math>0 < \sin x < 1 </math> だから、<math>\sin^{2n+1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x </math> となる。これを積分して、<math>I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n-1} </math> を得る。よって、<math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> である。 (2) 第一問(1)より、 <math>\begin{align} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} &= \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2 \times \frac{2n+1}{2n}\frac{2n-1}{2n-2} \cdots \frac 3 2\\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n \cdot 2n} \frac \pi 2 \end{align}</math> となる。また、<math>\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} </math> となるから、(1) より、 <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = 1 + \frac{1}{2n} </math> を得る。これより、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1 </math> となるから、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> を得る。 (3) 第一問(3)より、<math>I_{2n} I_{2n+1} = \frac{1}{2n+1} \frac{\pi}{2} </math> である。 (4) <math>\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{I_{2n}I_{2n+1}}{I_{2n+1}^2} = \frac{1}{2n+1}\frac \pi 2 I_{2n+1}^{-2} </math> である。<math>\sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \frac{\sqrt \pi}{2} &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{2n}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} \end{align} </math> となるから、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> を得る。 (5) <math>\begin{align} I_{2n+1} &= \frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac 2 3\\ &= \frac{\{2n(2n-2)\cdots 2\}^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!} \end{align} </math> より、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt n}{2n+1} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n + \frac{1}{\sqrt n}} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!} \end{align} </math> となるから、 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> はウォリスの公式と呼ばれる。整数の乗除のみで円周率が計算されるという点で興味深いが、収束はとても遅く実用的ではない。例えば、<math>\pi > 3.05</math> を証明するためには <math>n=8</math> まで計算しなくてはならない<ref><math>2\cdot \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdots \frac{16\cdot 16}{15\cdot 17} =</math> 213084064972800/69850115960625 = 2147483648/703956825 = 3.05058...</ref>。また <math>\pi > 3.14</math> を示すには <math>n=493</math> まで計算する必要がある。ちなみに単調増加性は <math>\frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{1-\frac{1}{(2n)^2}} > 1</math> から従う。 また、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> もウォリスの公式と呼ばれる。これはスターリングの公式やガウス積分を証明するために必要となる。 {{証明終わり}} {{解答|第四問}} (1) [[ファイル:Bounding_the_Integral_of_log_x_with_Trapezoids.svg|サムネイル|log x の台形近似]] <math>\log x </math> は上に狭義凸な関数だから、<math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、直線 <math>x = k-1,\,x=k</math> と <math>y = \log x</math> の2つの交点を結んだ線分と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k</math> によって切り取られる台形（図の青の領域）の面積よりも大きい。台形の面積は、<math>\frac 1 2 \{\log k + \log(k-1)\} = \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\}</math> である。また、 <math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、<math>y = \log x</math> の任意の接線と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k </math> によって切り取られる台形（図のピンクの領域）の面積よりも小さい。特に <math>x = k</math> で接線を引くと、その傾きは <math>\frac 1 k</math> だから、接線と直線 <math>x = k-1</math> の交点の <math>y</math> 座標は <math>\log k - \frac 1 k</math> である。よって、この台形の面積は <math>\log k - \frac{1}{2k} </math> となる。従って、 <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> を得る。 (2) <math>\log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx </math> より、<math>\log k < \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} </math> となる。よって、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &< \int_n^{2n} \log x \, dx + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n \end{align} </math> となる。また、<math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \int_n^{2n} \log x \, dx + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2k} \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{n} + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}\right) \\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\frac 1 x </math> は <math>x > 0 </math> で単調減少だから、 <math>\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} > \int_n^{2n} \frac{dx}{x} = \log 2n - \log n </math> となる。従って、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n - \frac{1}{4n} \\ \end{align}</math> を得る。 (3) <math>\begin{align} \log \frac{a_{2n}}{a_n} &= \log a_{2n} - \log{a_n}\\ &= \log (2n)! - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + 2n - \log n! + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n - n\\ &= \sum_{k=n+1}^{2k}\log k - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n + n \end{align}</math> であるから、(2) より <math>-\frac{1}{4n} < \log \frac{a_{2n}}{a_n} < 0</math> となる。従って、 <math>\lim_{n\to\infty} \log \frac{a_{2n}}{a_n} = 0</math> あるいは、 <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n} = 1 </math> を得る。 (4) <math>\begin{align} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} &= \frac{2^{2n}}{\sqrt n} \left(\frac{n!}{n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}\right)^2 \frac{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}{(2n)!} \frac{\left(n^{n+\frac 1 2}e^{-n}\right)^2}{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2} \frac{a_n^2}{a_{2n}} \end{align}</math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt 2 \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \frac{a_{2n}}{a_n} = \sqrt{2\pi} </math> を得る。 '''解説''' (1)は凹関数の定積分の値を台形で評価する問題である。このような台形近似の問題は難関大ではよく見られる。 (4) から <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi} n^{n+1/2}e^{-n}} = 1</math> を得る。これは、<math>n</math> が大きいとき階乗を <math>n! \approx \sqrt{2\pi} n^{n+\frac 1 2} e^{-n}</math> と近似できることを意味する。これがスターリングの近似である。 本問は<math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math>を求めてから <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めさせているためやや遠回りに思うかもしれない。数列 <math>\{a_n\}</math> が0以外の実数に収束することを既知とすれば <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{\lim_{n\to \infty}a_{2n}}{\lim_{n\to \infty}a_n} = 1 </math> となることはすぐに分かる。しかし、数列が収束することの条件について高校では詳しく扱わないため、厳密に <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めるためには <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を経由する必要がある。一般に、下に有界な単調減少数列は収束するということが知られている<ref>詳しくは [[解析学基礎/実数]]を参照</ref>。これを認めれば、数列 <math>\{a_n\}</math> が収束することは、次のように証明することができる。 <math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \log n ! &= \sum_{k=2}^n \log k \\ &> \int_{1}^n \log x \, dx + \frac 1 2 \sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\\ &> n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \int_{2}^{n+1}\frac{dx}{x}\\ &= n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log 2\} \end{align} </math> <math>\begin{align} \log a_n &= \log n! - \left(n + \frac 1 2\right)\log n + n \\ &> \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log n \} + 1 - \frac 1 2 \log 2\\ &> 1 - \frac 1 2 \log 2 \end{align} </math> となるから、<math> a_n > \frac e \sqrt{2} </math> より下に有界である。 また、 <math> \begin{align} \log \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \log(n+1) - \left(n + \frac 3 2\right)\log(n+1) + n+1 + \left(n+\frac 1 2\right)\log n - n\\ &= \frac 1 2 \{\log(n+1)+\log n\} - \int_n^{n+1} \log x dx\\ &< 0 \end{align} </math> から、<math> a_{n+1} < a_n. </math> すなわち単調減少であるから、<math>\{a_n\}</math> は収束する。 {{証明終わり}} {{解答|スターリングの近似の応用}} スターリングの近似は階乗を含む極限の問題に応用できる。例えば、演習問題2の(2)は、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{2\pi}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}{\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}n^n}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2^{2n + 1/2}}{e^{n}}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \frac 4 e. \end{align}</math> また、スターリングの近似から二項分布の極限が正規分布に収束することが証明できる。 二項分布の確率分布は、 <math>P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} </math> である。スターリングの近似より、 <math>\begin{align} \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} &\approx \frac{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}{\sqrt{2\pi}k^{k+\frac 1 2}e^{-k}\sqrt{2\pi}(n-k)^{n-k+\frac 1 2}e^{-(n-k)}}p^kq^{n-k}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \end{align}</math> となる。ここで、<math>\lim_{n\to\infty} \frac k n = p </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n\frac k n (1-\frac k n)}} = \frac{1}{\sqrt{npq}}</math> となる。 次に、<math>\log (1+x) \approx x - \frac 1 2 x^2 </math> の近似式を使うと、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k &= k\log \left(1 - \frac{k-np}{k}\right) \\ &\approx -(k-np) - \frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k} \end{align}</math> <math>\begin{align}\log \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &= (n-k)\log \left(1 - \frac{n-k-nq}{n-k}\right) \\ &\approx -(n-k-nq) - \frac 1 2 \frac{(n-k-nq)^2}{n-k} \\ &= -(np-k) - \frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\end{align}</math> となる。さらに、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k}-\frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{npq}{k} + \frac{npq}{n-k}\right)\\ &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{pq}{p} + \frac{pq}{1-p}\right)\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \end{align}</math> となる。最終的に、 <math>P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}</math> を得る。これは、平均 <math>\mu = np</math> 分散 <math>\sigma^2 = npq</math> の正規分布である。 {{証明終わり}} {{解答|第五問}} (1) <math>\begin{align} I_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}x dx \\ &= \left[x\cos^{2n}x\right]_0^{\frac \pi 2} + 2n\int_0^{\frac \pi 2} x\sin x \cos^{2n-1}x dx\\ &= 2n \left[\frac 1 2 x^2 \sin x \cos^{2n-1}x\right]_0^{\frac \pi 2} - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)\sin^2 x \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)(1-\cos^2 x) \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= n(2n-1)J_{2n-2} -2n^2 J_{2n}. \end{align} </math> (2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> で <math>\sin x</math> は上に凸であるから、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> となる。 (3) <math> \begin{align} J_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} x^2 \cos^{2n}x dx \le \frac{\pi^2}{4} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 x \cos^{2n} x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} (I_{2n} - I_{2n+2}) \\ &= \frac{\pi^2}{4} \frac{I_{2n}}{2n+2} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 (4) (1) より、 <math> \begin{align} \frac{1}{n^2} &= \frac{(2n-1)J_{2n-2}}{n I_{2n}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}}\\ &= \frac{2J_{2n-2}}{I_{2n-2}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 よって、 <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2J_{2k-2}}{I_{2k-2}} - \frac{2J_{2k}}{I_{2k}}\right) = \frac{2J_{0}}{I_{0}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} </math> となる。ここで、<math>J_0 = \int_0^{\frac \pi 2} x^2 dx = \frac{\pi^3}{24},\, I_0 = \frac \pi 2</math> より、<math>\frac{2J_{0}}{I_{0}} = \frac{\pi^2}{6}. </math> また、<math> 0 < \frac{J_{2n}}{I_{2n}} \le \frac{\pi^2}{8(n+1)} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{J_{2n}}{I_{2n}} = 0 </math> となるから、<math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} </math> を得る。 '''解説''' 本問は Daniel Daners. (2012). A Short Elementary Proof of Σ 1/k² = π²/6. ''Mathematics Magazine'', ''85''(5), 361–364. https://doi.org/10.4169/math.mag.85.5.361 を参考にした。 <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> はゼータ関数と呼ばれるもので、数論において重要な関数である。この問題から <math>\zeta(2) =\frac{\pi^2}{6}</math> である。また、<math>\zeta(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> は調和級数であるため発散する。 <math>s</math> が実数のとき、<math>s > 1</math> で <math>\zeta(s)</math> は収束することを示すことができる。実際、<math>\frac{1}{n^s} < \int_{n-1}^n \frac{dx}{x^s}</math> となるから、<math>\sum_{n=2}^m \frac{1}{n^s} < \int_1^m \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}(1-m^{1-s}) < \frac{1}{s-1}</math> であるから上界を持つ。また、各項は正であるため <math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> は単調増加である。従って、 <math>\zeta(s)</math> は <math>s > 1</math> のとき収束する。 <math>s < 1</math> のとき、<math>\frac{1}{n} < \frac{1}{n^s}</math> から、<math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} < \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> となるため発散する。 解析接続という手法を用いることでゼータ関数の定義域を <math>s=1</math> を除く複素数にまで拡張することができる。 {{証明終わり}} {{解答|第六問}} (1) <math>f(x) = e^x - x - 1</math> とすると、<math>f'(x) = e^x - 1 ,\, f''(x) = e^x</math> だから、<math>f(x) </math> は上に狭義凸な関数で最小値は <math>f(0) = 0</math> である。従って、<math>x \neq 0</math> のとき <math>e^x > x + 1</math> である。よって、<math>e^{-x^2} > 1-x^2.</math> また、<math>e^{-x} < \frac{1}{1+x}</math> に <math>x^2</math> を代入して <math>e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2}</math> を得る。 (2) <math>x = \sin \theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^n dx &= \int_0^{\frac \pi 2} (1-\sin^2\theta)^n \cos\theta d\theta\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n+1}\theta d\theta\\ &= I_{2n+1} \end{align} </math> となる。また、<math>x = \tan\theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}\theta \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n-2}\theta d\theta\\ &= I_{2n-2} \end{align} </math> となる。 (3) (1) より、<math>(1-x^2)^n < e^{-nx^2} < \frac{1}{(1+x^2)^n} </math> となるから、 <math>I_{2n+1} = \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^\infty (1-x^2)^n dx< \int_0^\infty e^{-nx^2}dx < \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^n} dx = I_{2n-2} </math> を得る。ここで、<math>x \to \frac x \sqrt n </math> と変数変換すると、<math>\int_0^\infty e^{-nx^2}dx = \frac 1 \sqrt n \int_0^\infty e^{-x^2}dx </math> となる。よって、 <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を得る。 (4) 第三問より、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = 1 </math>, <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n-2} = \lim_{m\to\infty} \sqrt n \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}\frac{I_{2n-1}}{I_{2n-2}}I_{2n-2} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> となる。よって、 <math>\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt \pi}{2}. </math> 被積分関数は偶関数だから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' (4) で <math>x \to \sqrt a x</math> （<math>a</math> は正の実数）と変換すると、<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math> を得る。これを使うと正規分布の確率密度関数が<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = 1 </math> と正規化されていることが分かる。また、 <math> \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx &= [xe^{-ax^2}]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx \end{align} </math> より、<math> \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-ax^2}dx = \frac 1 2 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} </math> を得る。よって、正規分布の分散は <math> \begin{align} V[X] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \sigma^2 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} == 脚注 == <references/> <references group="ヒント"/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII せきふんほう}} [[Category:高等学校数学III|せきふんほう]] [[カテゴリ:積分法]] t7bk2k6jzgx0fre1eve5ii8wpormbqv 0 3240 298839 298643 2026-04-26T10:11:00Z AkiR27User 90873 クオドリベット追加 298839 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|ゲーム|frame=1}} ここでは、カードゲームの一種としての[[w:トランプ|トランプ]]およびトランプゲームについて解説します。なお、ここで掲載しているルールは一例にすぎず、様々なルールがあります。一部のゲームを除き「公式ルール」は存在しないので、自由にオリジナルルールなどを作ってもよいでしょう。 == トランプに関する基本知識 == * [[トランプ/基本知識|トランプの基本知識]] * [[トランプ/マナー・エチケット|トランプのマナー・エチケット]] * [[トランプ/トランプ教科書|トランプ教科書]] * [[トランプゲームの分類]] == トランプゲーム == [[File:Hand_of_traditional_British_playing_cards.jpg|thumb|right|トランプ]] [[File:Card magic.jpg|thumb|right|トランプでマジックをする様子]] * 1人用 ** [[トランプ/クロンダイク|クロンダイク]] ** [[トランプ/スパイダーソリティア|スパイダーソリティア]]（[[w:スパイダー (トランプゲーム)|ウィキペディア]]） ** [[トランプ/フリーセル|フリーセル]]（[[w:フリーセル|ウィキペディア]]） ** [[トランプ/トランプタワー]]（[[w:トランプタワー|ウィキペディア]]） ** [[クロック]] * 2人用 ** [[トランプ/スピード|スピード]] ** [[トランプ/ジンラミー|ジンラミー]] ** [[トランプ/15点|15点]] ** [[トランプ/クリスプ|クリスプ]] ** [[トランプ/ジャーマンホイスト|ジャーマンホイスト]] ** [[トランプ/スコパ|スコパ]] * 3人以上 ** [[トランプ/ババ抜き|ババ抜き]] ** [[トランプ/七並べ|七並べ]] ** [[トランプ/神経衰弱|神経衰弱]] ** [[トランプ/戦争|戦争]] ** [[トランプ/ページワン|ページワン]] ** [[トランプ/うすのろ|うすのろ]] ** [[トランプ/ダウト|ダウト]] ** [[トランプ/ぶたのしっぽ|ぶたのしっぽ]] ** [[トランプ/たこ焼き|たこ焼き]] ** [[トランプ/アメリカンページワン|アメリカンページワン]] ** 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多くの有機化合物は、分子式が同じでも異なる構造をもつことがある。たとえば、分子式C{{sub|4}}H{{sub|10}}となる有機化合物の構造には、次の2つがある。 {|align="center" style="border:solid #aaffaa 1px; text-align:center;" |[[File:Butan_Lewis.svg|200px|ブタン]]||[[File:Isobutane 1.svg|150px|2-メチルプロパン]] |-style="text-align:center;" |ブタン||2-メチルプロパン |} これらは、互いに（たがいに）異なった性質を持つ。このように、分子式が同じでも構造が異なる物質を、「たがいに'''異性体'''（いせいたい、isomer）である」などという。分子を作る炭素原子の数が増加するにしたがって、異性体の数は激しく増加する。 ==== 構造異性体 ==== 同じ分子式でも、原子の結合のしかたや構造が異なることによる異性体を'''構造異性体'''（こうぞう いせいたい、stractural isomer）という。たとえば、分子式が C{{sub|5}}H{{sub|12}} となる炭化水素の炭素骨格は、次の3つが考えられる。 {|align="center" style="border:solid #aaffaa 1px; text-align:center;" |[[File:Pentane.svg|250px|ペンタン]]||[[File:Isopentane1.svg|200px|2-メチルブタン]]||[[File:Neopentane.svg|150px|2,2-ジメチルプロパン]] |-style="text-align:center;" |ペンタン||2-メチルブタン||2,2-ジメチルプロパン |} このように炭素骨格が異なる構造異性体の他に、結合の仕方が異なる異性体も存在する。たとえば、分子式がC{{sub|2}}H{{sub|6}}Oとなる有機化合物は、次の2つがある。 {|align="center" style="border:solid #aaffaa 1px; text-align:center;" |[[File:Ethanol-structure.png|150px|エタノール]]||[[File:Dimethyl-ether-2D-flat.png|180px|ジメチルエーテル]] |-style="text-align:center;" |エタノール||ジメチルエーテル |} この2つでは、たとえば水への溶けやすさや沸点といった化学的性質が大きく異なる。これは、この2つの有機化合物の'''官能基'''（かんのうき、functional group）と呼ばれる、性質を決める構造が異なるからである。官能基については次の章で詳しく学ぶことにする。 また、分子式を書くとき、たとえばエタノールを C₂H₆O という書き方ではなく、 C₂H₅OH みたいに官能基を取り出して明記する書きかたを'''示性式'''（しせいしき、rational formula）という。 炭素骨格や結合の仕方が同じであっても、その結合の位置が異なる異性体も存在する。 {|align="center" style="border:solid #aaffaa 1px; text-align:center;" |[[File:Propanol flat structure.png|200px|1-プロパノール]]||[[File:Isopropanol.svg|180px|2-プロパノール]] |-style="text-align:center;" |1-プロパノール||2-プロパノール |} ==== 幾何異性体 ==== 炭素原子間の単結合は、それを軸にして原子を回転させることができる。そのため、次のような2つの構造式で示される有機化合物は、異性体とはいえない。 {|align="center" style="border:solid #aaffaa 1px; text-align:center;" |[[File:Ethanol-rotate.svg|350px|center|エタノールの2つの構造式]] |-style="text-align:center;" |どちらも同じエタノールである。 |} 一方、炭素原子間の二重結合は、それを軸にして原子を回転させることができない。そのため、二重結合を含む化合物の中には、二重結合の両側での置換基の結合の仕方により、下のような2種類の異性体が存在するものがある。 {|align="center" style="border:solid #aaffaa 1px; text-align:center;" |[[File:Cis-2-Buten.svg|200px|シス-2-ブテン]]||&nbsp;||[[File:Trans-2-Buten.svg|200px|トランス-2-ブテン]] |-style="text-align:center;" |シス-2-ブテン||&nbsp;||トランス-2-ブテン |} 左側の図のように置換基が同じ側にあるものを'''シス型'''(cis-)といい、右側の図のように反対側にあるものを'''トランス型'''(trans-)という。このような二重結合による異性体を'''幾何異性体'''（きか いせいたい、geometrical isomer）と言う、あるいは'''シス・トランス異性体'''（cis-trans isomer）と言う。 上で用いたトランス-2-ブテンの分子模型の写真を次に示す。これを見ると、二重結合を軸にして原子が回転できないことが分かるだろう。 [[File:Trans-2-Buten 1.jpg|center|350px|trans-2-ブテンの分子模型]] ==== 光学異性体 ==== [[File:Lactic-acid enantiomer jp.svg|thumb|500px|乳酸の光学異性体]] 乳酸（にゅうさん、lactic acid）は、ヨーグルトなどに含まれているヒドロキシ酸であるが、この乳酸は炭素原子に結合している4つの原子や原子団が、4つとも異なる。このように、4本のうでにそれぞれ異なる置換基が結合した炭素原子を、'''不斉炭素原子'''（ふせい たんそげんし,asymmetric carbon atom）という。たとえば、乳酸（CH{{sub|3}}CH(OH)COOH）には不斉炭素原子が1個存在する。 [[File:Lactic acid-stereocenter.svg|300px|center|乳酸の不斉炭素原子]] 上図を見ると分かるように、*印をつけた炭素原子の周りに、それぞれ色分けされた4つの異なる置換基が結合しているのが分かる。この*印がついた炭素原子が不斉炭素原子である。 ここで上の構造式は平面上に書かれているが、現実にはこの分子は立体として存在する。不斉炭素原子を中心とした正四面体の各頂点に、結合軸が配置しているのである。すると、構造式が上のように同一であっても、立体的にはどう動かしても重ね合わせることのできないものが存在する。これらは、たがいに鏡に写した関係にある。 このように、構造式が同一であるにもかかわらず立体的には重ね合わせることのできない異性体を'''光学異性体'''（こうがく いせいたい、optical isomer）といったり、あるいは'''鏡像異性体'''（きょうぞう いせいたい、enantiomer）とよぶ。 光学異性体の一方をL体といい、もう一方をD体という。 L体とD体との関係のたとえとして、よく、右手と左手との関係にたとえられる（検定教科書でも、そういう例えが多い）。 光学異性体は、L体とD体とで、融点や密度などほとんどの物理的性質は同じだし、化学反応に対する化学的性質も同じである。しかし、偏光に対する性質や、また、味や におい などの生理作用が異なる。 偏光については、L体とD体とで、偏光をする向きが逆方向である。 乳酸のほかにも、アミノ酸の一種であるアラニンにも不斉炭素原子が存在し、よって光学異性体が存在する。 なお、乳酸は、近年では、生分解性樹脂（せいぶんかいせい じゅし）の原料としても、活用されている。 * ラセミ体 香料などに使われるメントールはアルコールの一種であるが、メントールにはL体とD体とがあり、このうち香料としての作用があるのはL体のみである。光学異性体をもつ化合物を、通常の方法で化学合成して作ろうとすると、L体とD体との等量混合物（「ラセミ体」という）が、できてしまう。 しかし近年、特別な触媒を用いた合成によって、さまざまな光学異性体の化合物のL体とD体とを区別して、そのうちの一方のほうだけを選択的に合成できる手法が確立した（不斉合成、「ふせい ごうせい」）。日本の野依（のより）などは、そのような触媒であるBINAP（バイナップ）触媒の開発によって、ノーベル賞を2001年に受賞した。 {{DEFAULTSORT:たんかすいそ ゆうきかこうふつ いせいたい}} [[Category:高等学校化学]] [[Category:高等学校教育]] hbpka3whqeuzmcpofp237hphz6x4a9i 0 18562 298834 291570 2026-04-26T06:47:14Z ~2026-25222-68 91277 /* 世界の大陸と海洋 */誤字修正 298834 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|小学校・中学校・高等学校の学習|小学校の学習|小学校社会|frame=1}} == 日本と世界の国土 == === 世界の大陸と海洋 === 世界には、６つの大陸と３つの海洋があります。 日本の西にあるのが、ユーラシア大陸 ユーラシア大陸の南にあるのが、アフリカ大陸 「オーストラリア」のある、オーストラリア大陸 オーストラリア大陸の東に、南アメリカ大陸 南アメリカ大陸の、北に、北アメリカ大陸 オーストラリア大陸の南に、南極大陸があります。 海洋は、太平洋、大西洋、インド洋があります。 ＝＝＝地図帳や地球儀で調べてね！＝＝＝ === 日本列島 === ==== 領土問題 ==== 日本では、近隣諸国と領土をめぐる問題が発生している地域や、近隣諸国が領有権を主張している地域があります。 北海道から千島列島までの間にある、{{ruby|歯舞|はぼまい}}諸島・{{ruby|色丹|しこたん}}島・{{ruby|国後|くなしり}}島・{{ruby|択捉|えとろふ}}島を{{Ruby|北方領土|ほっぽうりょうど}}といいます。北方領土は日本{{Ruby|固有|こゆう}}の領土ですが、ソ連（現在のロシア）によって太平洋戦争の終わりに{{Ruby|不法|ふほう}}に{{Ruby|占領|せんりょう}}されました。 日本は現在(2022年)でもロシアに対して、北方領土の返還を求めています。 島根県の竹島は、日本固有の領土ですが、韓国が自国の領土であると主張して太平洋戦争後の間もない時期から不法な占拠を続けています。現在も、日本政府は韓国に抗議しています。 沖縄県の尖閣諸島は、現在も日本が有効に支配する固有の領土です。中国政府は自国の領土であるとの主張を続けていますが、領土問題は存在しません。 日本はこうした島々について日本の領土であることを国際的に主張していかなければなりません。しかし、一方的なアピールだけではなく、平和的な解決に向けてねばり強い交渉を続け、日本にとっても相手国にとっても納得のいく、よい結果になるような努力を続ける必要があります。 === 地図の緯線と経線・図法 === [[ファイル:Mercator-proj.jpg|right|thumb|よこの線が緯線（いせん）。たての線が経線（けいせん）。]] [[File:Latitude_and_longitude_graticule_on_an_ellipsoid.svg|thumb|160px|地球儀での経度（<math>\lambda</math>）および緯度（<math>\phi</math>）。]] 日本地図や世界地図や地球儀（ちきゅうぎ）には、地図によっては、南北の方向にたての線が何本か引かれていたり、東西の方向に横の線が何本か引かれている場合があります。この縦（たて）の線は、北極と南極をむすぶ線です。この北極と南極をむすぶ、なんほんもある縦の線を <span style="font-size: large">経線</span>（けいせん） といいます。 横の線は、赤道に平行に引かれた線と、赤道そのものの線です。この赤道をふくむ、赤道に平行にひかれた線を <span style="font-size: large">緯線</span>（いせん） といいます。 * 北緯（ほくい）と南緯（なんい） 緯線では、赤道に、角度の数をあたえて、赤道を 0度 としています。北極の中心の北極点（ほっきょくてん）を90度として、赤道から北側の北半球（きたはんきゅう）にある緯線の角度を <span style="color:Maroon"><span style="font-size: large">北緯</span></span>（ほくい） と言います。北極点（ほっきょくてん）は 北緯90度 です。 日本の緯度は、北緯20度から、北緯46度のあいだにあります。 。赤道から南側の南半球（みなみはんきゅう）にある緯線の角度を <span style="color:Maroon"><span style="font-size: large">南緯</span></span>（なんい） と言います。南極点は、南緯90度になります。 赤道と北極のあいだの緯線は、地球の中心からの角度で、南北をくぎったものです。 緯線とは、「南北」の位置をあらわしたものでありますが、地球儀や地図に描かれるときは、緯線は「東西」にのびる直線としてかかれることに注意してください。 文字だけで覚えるのでなく、地図をながめると、理解しやすいとおもいます。 また、「北緯」や「南緯」といった言葉も、「緯線」ということばといっしょに、おぼえると、まちがえにくいとおもいます。 緯線（いせん）は、赤道に平行にひかれていることに、注意してください。 * 東経（とうけい）と西経（せいけい） [[ファイル:Royal observatory greenwich.jpg|thumb|220px|グリニッジ天文台（イギリス）]] 経線（けいせん）の0度は、イギリスのグリニッジ天文台を経度0度の線と、きめています。このグリニッジ天文台を通る経度0度の線を <span style="font-size: large">本初子午線</span>（ほんしょ しごせん） といいます。 経線では、グリニッジ天文台を基準より東側の経線の位置を　<span style="color:Maroon"><span style="font-size: large">東経</span></span>（とうけい）　といい、グリニッジ天文台の西側の経線を <span style="color:Maroon"><span style="font-size: large">西経</span></span>（せいけい） といいます。 東経は東経180度まであります。西経は西経180度まであります。東経180度と西経180度は、同じ場所です。 経線の、地球上での東西の位置は、地球の中心からの角度である、 <span style="color:Maroon"><span style="font-size: large">経度</span></span>（けいど） であらわします。 日本の経度は、東経123度から、東経154度のあいだにあります。 経線とは、「東西」の位置をあらわしたものでありますが、地球儀や地図に描かれるときは、経線は「南北」にのびる直線としてかかれることに注意してください。 文字だけで覚えるのでなく、地図をながめると、理解しやすいとおもいます。 また、「東経」や「西経」といった言葉も、「経線」ということばといっしょに、おぼえると、まちがえにくいとおもいます。 経線は、北極点と南極点を、とおります。 日本の緯度と経度をまとめます。 :日本は、緯度が北緯20度から北緯46度のあいだにあり、経度が東経123度から東経154度のあいだにあります。 ;日本の周りの国々 ;日本の地形 日本の約4分の3は山地です。 === さまざまな土地の人々の生活 === ==== 標高の低い地域でのくらし ==== [[File:Kiso River mouth in Ise Bay.jpg|thumb|300px|木曽川（奥）・揖斐川（手前）。河口の空撮。]] 岐阜県のあたりにある、木曽川（きそがわ）・長良川（ながらがわ）・揖斐川（いびがわ）の下流の流域には <span style="font-size: large">濃尾平野</span>（のうびへいや） があります。 木曽川・長良川・揖斐川の三つの川は、伊勢湾（いせわん）に通じています。 この三つの川の下流の流域は堤防で囲まれている土地が多いです。堤防で囲まれた土地を<span style="font-size: large">輪中</span>（わじゅう）と言います。 濃尾平野の川の流域には輪中が多いです。 輪中の中の土地の高さは川の水面と同じくらいか、水面よりも低いことが多いです。 この濃尾平野の輪中には、水田が多いです。 [[Image:Kaizu city Museum H02.JPG|thumb|right|200px|堀田。海津市歴史民俗資料館の敷地内に再現されている堀田。]] この土地は低地なので水がたまりやすいので、水はけがわるいです。水田は水を必要としますが、水がたまりすぎても、稲はよく育ちません。なので、この土地の人は、かわりに水田を高くしようと、土をもって、そのうえに水田をつくります。水田のまわりの土を掘って、その掘った土で田を高くするので <span style="font-size: large">堀田</span>（ほりた） といいます。 最近では、洪水は起きていませんが、もし起きても、被害（ひがい）が少なくなるように、この輪中の住人たちは工夫をしています。 この輪中の土地では、家をたてるときは、盛り土をして家の土台を高くします。 こうすることで、もし洪水が起きても、ひがいを減らしたいわけです。 さらに、洪水のときの避難場所は、高いところや、盛り土や石垣などをつんで高くした所につくられた <span style="font-size: large">水屋</span>（みずや） という倉庫を避難場所があります。水屋は、ふだんは倉庫として利用しています。 1976年（昭和51年）の９月の台風では、大雨で、長良川と揖斐川の水かさがまし、安八町（あんぱちちょう）で堤防が切れ、水害が起きました。 濃尾平野の輪中地帯の産業では、水を利用した野菜のレンコンづくりや、金魚やうなぎの養殖なども有名な産業です。 == 食料生産 == === 日本の農業 === ==== 日本の農業の特ちょう ==== 日本の耕地では、稲の栽培が、もっとも多いです。 耕地面積の38%くらいが稲です。つづいて飼料用作物が24%で、野菜が１３％で、果物が６％、麦が６％です。 耕地面積は、じっさいに植えた農地の面積です。いっぽう、年に二回植えたら２倍として計算したのべ面積を作付面積（さくつけ めんせき）といいます。 作付面積では、野菜のほうが米よりも大きくなります。 米の生産額は、現在では、21%くらいで、野菜の25%よりも少ないです。 昔は、コメの方が生産額が多かったです。1980年では、米のほうが生産額が上でした。今では、順位が変わっています。 * 日本の農家 日本の農家の総数は、2010年で、およそ252万戸です。 農家のほとんどは、農家以外でも収入を得ている<span style="color:Brown"><span style="font-size: large">兼業農家</span></span>（けんぎょうのうか）です。農家だけで収入を得ている<span style="color:Brown"><span style="font-size: large">専業農家</span></span>（せんぎょうのうか）は少ないです。 専業農家は、およそ41万戸である。（2013年に本文を執筆。） 専業農家は総農家数の17%ていどです。今では、ほとんどは、兼業農家です。 兼業農家のなかにも、農家での収入のほうが多い第一種兼業農家と、農家以外での収入が多い第二種兼業農家があります。いまでは、第二種兼業農家のほうが多いです。 第一種種兼業農家が22万戸にたいし、第二種種兼業農家は95万戸で、第二種種兼業農家が総農家の３７％をしめています。 兼業農家が多い理由として、農業での収入が低いことです。耕地がせまいので、収入をふやすこともむずかしいです。 収入をふやすために、機械を、もっと多く買って使って生産性をあげようとする農家もいます。ですが、機械を買ったり維持したりするのにも、お金はかかります。なので、なかなか収入がふえません。「機械化貧乏」（きかいかびんぼう）といって、やみくもに機械を買うだけでは、機械を買うのに借りたお金や、機械を維持するのに必要なお金で、かえって貧乏になってしまうこともあります。 なお、機械の利用率（りようりつ）を高めるための方法として、地域によっては、多くいる農家の中でも機械の活用の得意な人に買ってもらって、ほかの農家の人は、機械を買った人に注文する場合もあります。（※ 日本文教出版の小5社会の上巻） また、別の方法としては生産組合で機械を共同で購入して、その生産組合に費用を払って機械を使わせてもらったりするなどの方法もあります。 なお、農家の組合では、「JA」（ジェイエー）という団体名の組合が有名です。JAとは、日本農業組合のことです。 * 稲作（いなさく） 日本でコメ作りがさかんな地域は東北と北陸です。稲作とは、田で米のイネを作ることです。 新潟や秋田が、稲作が、とくに多いです。宮城や福島や青森などでも、稲作が、さかんです。 北海道も農地が大きいので、米の生産量は多いです。 東北と北陸をあわせて、日本国内の米の生産量の40%ちかくを生産しています。この東北と北陸は、「日本の米倉」（こめぐら）と呼ばれています。 東北や北陸で米の生産が多い理由としては、 :広い平野や盆地があり、さらに雪どけ水などで、川に多くの水がある。 :冬は積雪でべつの作物の裏作をしないので、夏の米の収穫量が多くなる。 などの理由です。 * 畑作（はたさく） 野菜の生産額は、米よりも多いです。 野菜は、いたみやすいので、消費地のちかくでつくられることが多い。 このため、東京にちかい、茨城県や埼玉県や千葉県で、野菜づくりはさかんである。 大阪や名古屋の周辺でも同様である。 このように、大都市の近くでおこなわれる農業を、 <span style="font-size: large">近郊農業</span>（きんこう のうぎょう） という。 ==== 米づくり ==== <span style="font-size: large">田</span>（た）とは、<span style="font-size: large">米</span>（こめ）を実らせる、<span style="font-size: large">稲</span>（いね）という作物を育てている農地です。 田では、田のまわりが、つちで、もりあがっています。これは、水を、ためられるように、するためです。米をみのらせる植物である、稲（いね）は、水をたくさん、根から、すうので、稲の根が、水につかるぐらいに、水をあげる必要が、あるのです。なので、田のことを、<span style="font-size: large">水田</span>（すいでん）という場合もあります。 また、田のちかくには、水を田に運ぶための、水路（すいろ）が、ある場合があります。このような、農地に水をあげるための水路を、<span style="font-size: large">用水路</span>（ようすいろ）と、言います。 米農家での、稲をそだてるスケジュールは、ふつうは、つぎのような順番（じゅんばん）です。 :* 田おこし　・・・　田を、たがやすことです。春のはじめごろに、おこないます。最近では、<span style="font-size: large">耕うん機</span>（こううんき）という機械を使います。昔の人は、鍬（くわ）や鋤（すき）といった道具をつかって、手作業で田起こしをやっていますた。 :* しろかき（代掻き）　・・・　田起こしした耕地に、水をいれること。 :* 苗づくり（なえづくり）　・・・　種籾（たねもみ）を、そのまま水田に入れても、成長が、おそい。なので、べつの場所で、そだてる。 :* 田植え　・・・　苗を、水田に、植えること。 :* 雑草取り（ざっそうとり）、など　・・・　田には、稲のほかにも、雑草が、はえます。この雑草をぬきます。 :* 中干し（なかぼし）　・・・　いったん、田の水を、ぬきます。６月か７月ごろに、おこないます。土が乾燥（かんそう）すると、植物は、水をもとめるので、根が、のびます。その仕組みを利用して、根をじょうぶにします。 :* 成長をまつ　・・・　８月ごろは、稲の成長を待ちます。日差しが強くあたたかいので、稲はグングンと成長します。 :* 収穫（しゅうかく）　・・・　９月ごろに、収穫します。 ==== その他 ==== * 専業農家（せんぎょうのうか）と兼業農家（けんぎょうのうか） 農家のなかには、農家とは　ほかの仕事も、している農家も、います。 農家だけでは、かせぎが少ないので、ほかの仕事もする場合があるのです。 このような、ほかの仕事もしている農家を兼業農家といいます。兼とは、「ふたつ や みっつ のことを、どうじにする」という意味（いみ）です。 また、新潟などの雪が多い場所の農家では、冬のあいだは、雪の少ない場所に移り住んで仕事をする場合があります。このような、ある季節のあいだ、別の場所にうつりすんで、そこで仕事をすることを <span style="font-size: large">出かせぎ</span>（でかせぎ） と、いいます。 農業の仕事だけで、お金をかせいでいる農家を <span style="font-size: large">専業農家</span>（せんぎょう のうか）といいます。 * 農業試験場 品種改良は、現代では、いくつかの地域にある農業試験場（のうぎょう しけんじょう）で、行われています。新しい農法の研究なども、この農業試験場で研究されている場合もあります。 :（※ 範囲外: ）なお、かつては、農業試験場がそれぞれの農家に、農作物の種などの配布をしていましたが、2019年現在、法改正などによって、状況が変わる可能性があります。 === 水産業 === [[File:日本の漁業別の漁獲量の遷移 小学生用.svg|thumb|500px|日本の漁業別の漁かく量（ぎょかくりょう）のうつり変わり。（農林水産省の資料などをもとに検定教科書や参考書が作成したグラフをもとに作成。）<br />図のカーブは、見やすいように簡単（かんたん）な形に変形してあるので、じっさいの漁かく量とは、少しだけ、ちがう。（※ 検定教科書も、同じように、簡単な形に変形してあります。）]] {{clear}} 日本の漁かく量は、少なくなってきている。 また、漁業で働く人の数も、年々、すくなくなっています。 1970年には、各国が沿岸から200海里（「にひゃく かいり」、およそ370km）までの魚をとるように制限する、国際的なルールができた年なので、その年をさかいに、遠洋漁業の数が、少なくなっています。 また、水産物の輸入量が増えています。 （※編集者へ:　ここに水産物の輸入量のグラフを。） 最近では、沖合漁業の数も、減ってきています。 * 沿岸漁業（えんがん ぎょぎょう）と、沖合漁業（おきあい ぎょぎょう） :*沿岸漁業（えんがん ぎょぎょう） :日帰り（ひがえり）で行けるくらいの、陸（りく）から ちかい海で、漁をすることを、<span style="font-size: large">沿岸漁業</span>（えんがん ぎょぎょう）と言います。沿岸漁業のうち、海岸に近い場所で漁をすることを 近海漁業（きんかいぎょぎょう） といいます。小型（こがた）の漁船（ぎょせん）で、行く場合が多いです。 :*沖合漁業（おきあい ぎょぎょう） :漁船（ぎょせん）で数日かけて行くような、陸から遠い海で、漁をすることを、<span style="font-size: large">沖合漁業</span>（おきあい ぎょぎょう）と言います。 中型以上の漁船で行く場合が多いです。 * 200海里 1海里は約1850mである。 沿岸から200海里までの範囲（はんい）を、経済水域（けいざいすいいき）という。 漁師さんは、船にのって、仕事をします。その船には、魚をとるための道具が、つまれています。釣り竿（つりざお）や網（あみ）というような魚をひきあげるための道具（どうぐ）が、あります。ほかにも、魚群探知機（ぎょぐんたんちき）といった、海中の魚をさがすための装置（そうち）もあります。 ひきあげた魚を冷やして（ひやして）、くさらないようにするための冷凍設備（れいとうせつび）もあります。 さかなのとり方には、いくつかのとり方が、あります。 * あみで取る方法。 * 釣り竿（つりざお）で、釣る方法 あみで取る場合は、あまりにも大きすぎる魚は、あみが、やぶけてしまうので、とれません。 あらかじめ、海のどこかにあみをしかけておくことを 定置網漁法（ていちあみ ぎょほう） といいます。 カツオは、 漁師（りょうし）がつり竿（つりざお）で釣る（つる）、 カツオの一本釣り（カツオのいっぽんづり） が有名です。あみでとる方法（ほうほう）とくらべて、一本釣りだと、魚の外見（がいけん）に傷（きず）がつきにくいので、カツオでは、一本釣りでつられることが多いのです。 魚を取るには、漁協（ぎょきょう）の許可が必要です。漁協とは、漁業協同組合（ぎょぎょう きょうどう くみあい）のことです。 漁協が、取れる量と、取ることの許される時期などを、決めています。 勝手には、魚は、取れません。 漁師が取る物は、魚だけとは、かぎりません。 仕事によっては、貝（かい）を取る仕事も、あります。ほかにも、海草（かいそう）を取る仕事もあります。 ;養しょく業 [[File:Abalone-farm1web.jpg|thumb|right|貝の、アワビの養殖（ようしょく）。]] 出荷までずっといけすや{{ruby|水槽|すいそう}}で育てる方法です。 ;さいばい漁業 さいばい漁業とは、卵から{{ruby|稚魚|ちぎょ}}になるまで人が育て、その魚{{ruby|介|かい}}類を適した海に放流し、大きくなったら海で成長したものを{{ruby|漁獲|ぎょかく}}することです。養しょく業との違いは、最後まで人の手で育てるのではなく、海でも育てることです。 * 海洋牧場（かいようぼくじょう） 海洋牧場（かいようぼくじょう）とは、海岸ちかくの沿岸部（えんがんぶ）で、魚やワカメなどの海草をそだてることです。日本国内のいくつかの海岸で、すでに実用化されています。魚がそだちやすいように、岩場（いわば）のかわりをするコンクリートでつくった人工漁礁（じんこうぎょしょう）を水中にしずめたりもします。マダイの海洋牧場が多いです。 * 沿岸漁業（えんがん ぎょぎょう）と、沖合漁業（おきあい ぎょぎょう） :*沿岸漁業（えんがん ぎょぎょう） :日帰り（ひがえり）で行けるくらいの、陸（りく）から ちかい海で、漁をすることを、<span style="font-size: large">沿岸漁業</span>（えんがん ぎょぎょう）と言います。沿岸漁業のうち、海岸に近い場所で漁をすることを 近海漁業（きんかいぎょぎょう） といいます。小型（こがた）の漁船（ぎょせん）で、行く場合が多いです。 :*沖合漁業（おきあい ぎょぎょう） :漁船（ぎょせん）で数日かけて行くような、陸から遠い海で、漁をすることを、<span style="font-size: large">沖合漁業</span>（おきあい ぎょぎょう）と言います。 中型以上の漁船で行く場合が多いです。 * 漁業での売り方 [[ファイル:Tsukiji Fish market and Tuna.JPG|thumb|200px|東京都の築地（つきじ）の、中央卸売（おろしうり）市場（いちば）での冷凍マグロのセリの様子]] 漁師が、取った魚は、<span style="font-size: large">魚市場</span>（うおいちば）などに売られます。 魚市場に売った場合、魚市場では、まず、市場の管理者が、魚を、あずかります。 そして、魚市場で、さかなを買いたい商売人の人たちに、いくらで買ってくれるか、商売人に、値段をだしてもらいます。 その商売人たちの中から、もっとも高いお金で買うことを約束した人だけが、その魚を買えます。 このような売り方を、 <span style="font-size: large">せり</span> と言います。 また、市場で、商売のために、物を買ってくる人を、<span style="font-size: large">仲買人</span>（なかがいにん）と、いいます。仲買人は、仲卸業者（なかおろし ぎょうしゃ）です。 <span style="font-size: large">せり</span>では、おおくの仲買人たちに、買値（かいね）を言わせて、そのなかで、いちばん、高い買値を出した仲買人にだけ、市場の管理者は、魚を売ります。 仲買人たちは、その魚を、魚屋などのお店に売るために、魚市場で、その魚を買っています。 仲買人は、消費地のちかくの、べつの魚市場に、魚を売りに行きます。ほかの市場に売りに行った場合は、その魚は、もう一度、せりにかけられます。そこで、べつの仲買人に、魚が買われます。 魚屋さんなどの 小売り業（こうりぎょう） は、その仲買人たちから、魚を買うことになります。魚屋さんなどの小売り業の人たちは、卸売市場では、 買出人（かいだしにん） といいます。 漁港のちかくには、かまぼこ や ちくわ などを つくる 加工業者（かこうぎょうしゃ）も います。 漁港や魚市場の ちかくに 加工業者がいるので、はこぶ時間がすくなくてすむのです。 加工業者は魚を仲買人から仕入れたり、自分で漁師さんから買ったりしています。 === これからの食料生産 === ==== 問題点 ==== {{ruby|消費|しょうひ}}されている食料が、自国でまかなえている{{ruby|割合|わりあい}}である、'''食料自給{{ruby|率|りつ}}''' が低く、2018({{ruby|平成|へいせい}}30)年の日本の食料自給率は37%でした(カロリーベース)。(参考:アメリカ:130%、カナダ:264%、イタリア:60%) : また、農業を継ぐ（つぐ）、「跡継ぎ」（あとつぎ）の若い人が少なく <span style="font-size: large">高齢化</span>（こうれいか）が、進んで（すすんで）います。 耕地がせまいのも問題です。北海道を{{ruby|除|のぞ}}くと、農家１戸あたりの耕地面積は 約 1.8{{ruby|ha|ヘクタール}}です。 1haは１辺が100mの正方形の面積です。つまり、10000m²です。 日本の国土は山が多いです。都市部に近い地域の平野では、住宅地や工業用地にも使われているので、ますます農地は少なくなっています。 == 工業 == * 現在の状況 2014年の現在では、日本は、世界でも有数の工業国である。アメリカやドイツともならび、日本はトップクラスの工業国である。 * 工業地帯 太平洋ベルト（たいへいようベルト）とよばれる日本列島の太平洋側の臨海部に多い工業地帯を中心に、明治時代高の工業は発展してきた。太平洋ベルトの中にある、 <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">中京</span></span>（ちゅうきょう）工業地帯 と <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">阪神</span></span>（はんしん）工業地帯 と <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">京浜</span></span>（けいひん）工業地帯 を現在では、 <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">三大工業地帯</span></span>（さんだい こうぎょうちたい） という。 中京工業地帯は愛知県の名古屋を中心とした工業地帯である。阪神工業地帯は大阪や兵庫を中心とした工業地帯である。京浜工業地帯は、東京や神奈川を中心とした工業地帯である。 生産額は中京工業地帯が最も多く、ついで阪神が２番目の生産額で、京浜は３番目の生産額である。 昔は北九州をふくめて中京・阪神・京葉・北九州を四大工業地帯（よんだい こうぎょうちたい）と言っていたが、近年、生産量が落ちてきているので、北九州をはずして、中京・阪神・京浜を三大工業地帯と呼んぶことがある。 === 重工業と軽工業 === * 重工業（じゅうこうぎょう） 製鉄業（せいてつぎょう）や造船業（ぞうせんぎょう）などのように、大きな設備で、とても重い製品をつくる工業を <span style="font-size: large">重工業</span>（じゅうこうぎょう） という。自動車産業（じどうしゃさんぎょう）や精密機械（せいみつきかい）、電子機械の生産も、重工業にふくめる。 化学工業を、重工業と合わせて、 重化学工業（じゅうかがくこうぎょう） と言う。 * 軽工業（けいこうぎょう） 繊維（せんい）工業や食品産業や印刷業（いんさつぎょう）などのように、軽い製品を作り、設備もそれほど大掛かりではない工業を <span style="font-size: large">軽工業</span>（けいこうぎょう） という。 日本の工業のうちわけは、重化学工業が 約70% である。（2019年） 軽工業は 約30% である。 1960年代の高度経済成長のころから、重工業がさかんになり、2019年の現在でも重工業が大きな割り合いを占める。 1960年代の高度経済成長のころから、重工業の中の機械工業がさかんになり、2019年の現在でも重工業のなかでは機械工業がさかんである。自動車などの輸送用機械の生産が、機械工業の中では、もっとも多い。（2014年）　 しかし、家庭用電気製品の業種では、最近では、人件費の安い中国や、韓国などの外国の企業が強く、 日本の海外市場での競争力は落ちている。 家電業界以外でも、海外での競争力が落ちた結果、採算性が悪くなり、事業を撤退したり倒産する企業が増えたので、その結果、国内の雇用も減っており、日本では産業の空洞化が進んでいる。 === 各地の工業地帯および工業地域 === 第二次世界大戦の前から工業がしていた４つの工業地帯である京浜と中京と阪神と北九州の工業地帯を1980年代ごろまで４大工業地帯といったが、2014年の最近では、北九州工業地帯の生産額が下がってきたので、北九州を外して三大工業地帯と言ってる。 あたらしい工業地域が、第二次大戦後に、各地で出来たので、これを３大工業地「帯」とは区別して、工業地「域」とよんでいる。 京葉工業地域、関東内陸工業地域、東海工業地域、瀬戸内工業地域、北陸工業地域などが有名である。 日本列島の太平洋沿いの地方のうち、関東地方から、東海や阪神、瀬戸内などの地方に工業地帯や工業地域などが集中しているので、これらの太平洋沿いの工業のさかんな地方をあわせて 太平洋ベルト（たいへいようベルト） といいます。 太平洋ベルトに工業が集中した理由として、よくいわれる理由は、港湾がちかいので輸出入に便利なことや、消費地がちかいこと、気候が温暖なことなどが、理由として考えられている。 === 工業地帯 === ==== 中京工業地帯 ==== <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">中京工業地帯</span></span>（ちゅうきょうこうぎょうちたい）は、愛知県を中心とした工業地帯である。 ある自動車メーカーの自動車の生産拠点があり、自動車産業が、さかんな工業地帯である。中京工業地帯の工業生産額の約40%は、自動車などの輸送用機械の生産額である。 生産額は、工業地帯の中で、第一位である。（2014年）　 生産額は、2007年で、約59兆円である。 石油化学などの化学工業も、さかんである。四日市（よっかいち）の石油化学コンビナートが有名である。 ==== 阪神工業地帯 ==== <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">阪神工業地帯</span></span>（はんしん こうぎょうちたい）は、大阪や兵庫などを中心とした工業地帯で、大阪湾ぞいの工業地帯である。重化学工業がさかんな工業地帯でもあり、沿岸の神戸や尼崎などの埋め立て地で、重化学工業がさかんである。 生産額は、2007年で、約34兆円である。生産額は中京工業地帯につづき、日本で第二位である。ただし、他の工業地域の発展もあり、だんだんと全国の生産にしめる阪神工業地帯の割合は下がってきている。 東大阪市は、中小企業の機械工場のである、いわゆる「町工場」（まちこうば）が多い場所として有名である。 他の工業地帯とくらべると，機械工業の割合は低く、阪神工業地帯の工業生産のうちの機械工業の割合は35%くらいである。 また、内陸部の門真市には、ある電気メーカーがあり、その関係する工場が多い。 ==== 京浜工業地帯 ==== <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">京浜工業地帯</span></span>（けいひん こうぎょうちたい）は、東京都と神奈川県を中心とする工業地帯である。 「京浜」（けいひん）の「京」（けい）とは東京（とうきょう）の「京」（きょう）のことであり、「浜」（ひん）とは神奈川県の横浜（よこはま）の「浜」（はま）のことである。 周辺の千葉県や埼玉県は、べつの工業地域に分類されることが多い。 機械工業がさかんである。京浜工業地帯の生産額は約31兆円である。 京浜工業地帯の工業生産のうちの機械工業の割合は45%くらいである。 海沿いの臨海地域では、重化学工業や鉄鋼業も、さかんである。重化学工業のうち、重工よりも化学工業のわりあいのほうが大きい。 東京では、印刷業も、さかんである。首都が東京なので、東京に、さまざまな情報が集中してくるので、そのため出版社が多く、それにともなって印刷会社も多い。 周辺の工業地域には、千葉に京葉工業地域があり、埼玉を中心に関東内陸工業地域がある。 ==== 北九州工業地域 ==== <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">北九州工業地域</span></span>（きたきゅうしゅう こうぎょうちいき）は、北九州の福岡が中心の工業地域である。 生産額が、ほかの工業地帯と比べて低い。生産額は約9兆円である。 かつては北九州をふくめて、京浜・中京・阪神・北九州が四大工業地帯と、1980年代ごろまでは言われていたが、現在では、北九州が工業地帯から外される場合もある。 === 工業地域 === ==== 瀬戸内工業地域 ==== 岡山県と広島県と山口県の辺りの工業地域を、瀬戸内工業地域（せとうち こうぎょうちいき）という。 他の工業地域をくらべると、化学工業の割合が大きい。石油化学コンビナートがあり、岡山県の倉敷市の水島地区や、山口県の岩国市や広島県の大竹に、石油化学コンビナートがある。 生産額は2007年で約32兆円であり、京浜工業地帯の約31兆円を抜き、関東内陸工業地域の約32兆円とともに、順位の３位・４位を争っている。 臨海部では、埋め立てによって、広い工業用地を手に入れることが出来た。 ==== 京葉工業地域 ==== 京葉（けいよう）工業地域は、東京と千葉の工業地域であり、重化学工業が、さかんである。京葉の「葉」は、千葉県の「葉」である。 千葉県の埋め立て地に形成された工業地域である。 石油化学工業や鉄鋼業が、さかんである。 君津市から千葉市にかけての埋め立て地に、重化学コンビナートや製鉄所がある。 京葉工業地域の生産額は約14兆円であり、京浜工業地帯の生産額の、ほぼ半分である。 この京葉工業地域では生産額の40%ちかくを化学工業がしめており、機械工業は15%ていどしかない。他の工業地帯や、他の多くの工業地域では、機械工業が生産額の一位を占めていることが多いが、京葉工業地域は例外的に機械工業の割合が小さいのである。 ==== 関東内陸工業地域 ==== 関東内陸工業地域（かんとうないりく こうぎょうちいき）は、埼玉県や群馬県、栃木県の工業地域であり、機械工業がさかんである。海岸には接しておらず、そのため化学工業などは、あまり発達していない。 生産額は2007年で約32兆円とあり、京浜工業地帯の生産額よりも大きい。 ==== 東海工業地域 ==== 静岡県の富士や沼津を中心とした工業地帯である。場所は、東京の京浜工業地帯と、中京工業地帯の中間辺りに位置している。 さかんな産業は、紙やパルプなどの製糸業、楽器やオートバイの生産がさかんである。 === その他の工業地域 === ==== 北陸工業地域 ==== 新潟県、福井県、富山県、石川県にある工業地域である。太平洋ベルトには、属していない。臨海部に発電所が多く、豊富な電力と用水をいかした工業が特徴である。 伝統工芸では、富山県の薬づくりや、新潟や福井の織物、石川県の漆器などが有名である。 江戸時代のころから「越中、富山の薬売り」（えっちゅう、とやまの くすりうり）と言われており、江戸の頃は富山県で生産された薬の行商が有名であった。現在（2014年に執筆）でも、製薬が、さかんである。 ==== 鹿島臨海工業地域 ==== 鹿島臨海（かしま りんかい）工業地域は、茨城県の鹿島を中心とした工業地域である。石油化学や製鉄などの重化学が発達している。関東内陸工業地域とは、べつの、独立した工業地域と見なされている。 また、工業整備特別地域に指定され、発展した工業地域であることから、太平洋ベルトに含められることがある。 ==== 北海道工業地域 ==== 北海道工業地域（ほっかいどう こうぎょうちいき）では、北海道で算出する農林資源や畜産物・水産物などの加工業が主流である。 札幌などの酪農地帯では乳製品加工業が、さかんである。釧路や函館などの臨海部では水産加工業が、さかんである。 室蘭では鉄鋼業がある。 苫小牧（とまこまい）や旭川（あさひかわ）で、紙やパルプなどの工業がさかんである。 == 工業の例 == === 自動車工業 === 自動車は、部品工場で作った部品を、組み立て工場で組み立てている。 部品を生産する会社は、親会社とは、べつの会社である。親会社の一社では、部品を作っていない。 自動車の部品は、数万点はある。 自動車の組みたては、流れ作業で行う。'''ベルト コンベア'''方式である。 自動車の組み立て工場での、組み立て手順を示す。 :ここで紹介するもの以外にも、部品工場で、それぞれの部品を作っている。 * プレス 鉄板をプレスして、形を作る。 * 溶接（ようせつ） 溶接とは、金属を高温で溶かして、金属どうしをつなぐこと。 溶接では、産業用ロボットを使っている。溶接は危険なので、ロボットに行わせている。 産業用ロボットのまわりには、安全のため、人が入らないように、カバーがあり、柵（さく）がある。 * 塗装（とそう） 自動車の場合、産業用ロボットに、塗装を行わせる。上塗り（うわぬり）、下塗り（したぬり）、と複数回の塗装をする。 * 組み立て 取り付ける部品によって、人が組み立てるか、ロボットが組み立てるかが、ことなる。ガラスやシートなどの重い部品の組み立てはロボットで行う。 * 検査 * 出荷 [[画像:Car Carrier Rhea Leader.jpg|thumb|300px|自動車を運ぶ船]] 輸出する自動車は、専用船で運んで輸出する。 ---- 自動車産業は、日本の主要産業である。また、日本の自動車は、世界でもトップクラスの売上や評判である。 関連工場とは、部品をつくってる子会社の、部品工場のこと。いわゆる、下請け工場。下請け会社である関連会社の工場なので関連工場ということ。 * 自動車の輸送（ゆそう）の方法 [[File:Car transporter 002.JPG|thumb|キャリアカー]] マイカーなどの新車を運ぶときは、自動車を運ぶ専用のトラック車のようなキャリア カーで運ぶ。日本国内で運ぶときは、高速道路を通ったりして運んでいる場合もある（※　東京書籍の小5社会科の下巻の検定教科書に記述あり）。 海外に運ぶときなどは、タンカー船などで運ぶ。 ただし、近年では、海外の工場で現地生産する量も増えており、タンカーで運ぶ自動車の量は減っている、と言われている。 自動車を購入するときの価格（かかく）には、こういった輸送にかかるお金も、ふくまれているのです（※ 東京書籍の見解）。 :※ 自動車にかかわらず、一般に、店で買える物の価格には、輸送などの費用も、ふくまれている。 :なお、自動車を買うには、大人が自動車の販売店（はんばいてん）に行って（いわゆる「自動車販売店」）、客（きゃく）が 自動車の価格のお金を払って注文すれば、自動車を買え、数週間～数か月後くらいには自宅（じたく）などに注文した自動車が届きます。 :※ 自動車の「販売店」という概念も、東京書籍などの教科書で扱っている。 * 自動車の技術と開発手法 近年の自動車には、ハイブリッド車など、最新のエンジンを積んだ自動車が増えて生きている。 なお、ハイブリッド車とは、動力としてガソリンと電気で走る車である。 また、研究開発では、酸素と水素で走る仕組みである燃料電池車の開発も進められている。 また、事故などのさいの安全の対策も、むかしからのシートベルトに加え、さらにエアバッグや、赤外線センサーなどの各種のセンターによる警告（けいこく）など、さまざまな技術がすでに導入され、すでに自動車の部品の一部として実用化されている。 自動車会社では、このような部品の安全性をたしかめるため、開発のための工場では開発時に、じっさいに、自動車の衝突の実験をしている。 衝突実験（しょうとつ じっけん）といって、人間のかわりに実験用のマネキンを乗せて自動走行させた自動車を、じっさいに障害物などに衝突させて、エアバッグなどが作動するか確認したり、また衝突時にどこが壊れやすいかなどを調べたりなどの調査を行う。(※ 東京書籍の検定教科書（小5社会科の下巻）で紹介されている。) === 中小工場 === <span style="font-size: large">中小工場</span>（ちゅうしょうこうじょう）とは、従業員数が300人 未満（みまん）の工場のこと。つまり299人 以下（いか）の工場のこと。従業員数が29人以下の工場を小工場（しょうこうじょう）と言い、30人以上〜299人以下の工場を中工場（ちゅうこうじょう）という。 ３００人以上の工場を<span style="font-size: large">大工場</span>（だいこうじょう）と言う。 中小工場は、大企業の下請けが多い。中小工場の多くは、大工場でつくっている製品の、部品などを作っている。 部品工場のことを、最終製品を作っている工場からの視点で、<span style="font-size: large">関連工場</span>（かんれんこうじょう）ともいう。 部品工場である関連工場が、かならずしも中小工場とはかぎらないので、まちがえないこと。 中小工場ではたらく人は、工場労働者の70％近い。 全工場の99%が中小工場。 === 製鉄業 === 鉄は,次のように作られます。 #{{ruby|鉄鉱石|てっこうせき}}に{{Ruby|石灰石|せっかいせき}}とコークス(石炭をむし焼きしたもの)を加熱して、とけた{{Ruby|液体|えきたい}}の鉄を作る。 #{{Ruby|余分|よぶん}}なものを取りのぞいて「{{Ruby|鋼|はがね}}」を作る。 #機械を使って加工する。 #{{Ruby|出荷|しゅっか}}する。 === 石油化学 === [[File:Crude Oil Distillation.png|thumb|right|500px|蒸留塔。<br>最上は石油ガス。<br>35℃〜180℃：　ガソリンおよびナフサ。<br>170℃〜250℃：　灯油およびジェット燃料。<br>240℃〜350℃：　軽油。<br>350℃以上：　アスファルト。<br>温度は、おぼえなくてもよいです。]] 石油を原料として、さまざまな製品をつくる産業である。 プラスチックや、ビニル袋などのビニル製品、合成ゴム、灯油や軽油やガソリン、などは、石油から作られている。 * 原油 地中から取り出したままの石油を原油（げんゆ）という。この原油が、石油工業の、おおもとの原料である。 原油そのものでは製品にはならず、この原油を工場で成分ごとに分けます。これを石油の精製（せいせい）といいます。 工場にある設備で、成分ごとに分けられます。 * '''コンビナート''' [[Image:Anacortes Refinery 31911.JPG|right|thumb|300px|アメリカの製油所。日本の製油所の画像が見つからないので、この画像で代用します。]] 石油工場では、パイプによって、関連する工場どうしがつながっている。このようなパイプラインでつながった石油工場をコンビナートという。'''コンビナート'''とは、ロシア語で、「つながり」などの意味があります。 石油化学コンビナートは、太平洋ベルトにあります。太平洋側の太平洋ベルトの臨海部にあります。臨海部にある理由は、原料を海外から輸入していることや、海岸の埋め立てで広い工場用地を確保しやすかったからです。 * 石油化学コンビナートの立地 　 原油の合計輸入量は、年にもよりますが、だいたい、２億キロリットルです。 {{clear}} === 軽工業 === 軽工業には、食品工業やせんい工業など、色々とあるが、食品工業の割合が、もっとも大きい。 ==== 食品工業 ==== たとえば小麦粉からパンをつくったり、果物からジュースをつくったりするように、農産物や畜産物、水産物を加工して <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">加工食品</span></span>（かこう しょくひん） をつくる産業である。 肉からハムを作ったり、魚からカマボコや ちくわ を作るのも食品工業です。 スーパーで売られてるようなカレーライスのルーを作ったり、インスタントラーメンなどをつくるのも食品工業です。 牛乳からバターやチーズなどの加工した乳製品をつくるのも食品工業です。 小麦からビールを作るのも、コーヒー豆からインスタントコーヒーを作るのも食品工業です。 大豆から味噌（みそ）を作ったり、醤油（しょうゆ）をつくるのも食品工業です。 調味料を作ったり、コメの精米や、小麦の製粉、漬物（つけもの）、缶詰（かんづめ）食品などの保存食づくり、お菓子工場のお菓子づくりなど、食品工業は、たくさん、あります。 食品工場の工場は、多くの工場は、中小の工場です。工場の場所は、原料の産地のちかく、または東京などの大消費地の近く、または原料の輸入する貿易港の近くが多いです。 なので、全国に工場が、ちらばっています。 ==== せんい工業 ==== 繊維（せんい）の種類には綿（めん）や、絹（きぬ）の生糸（きいと）などの天然せんい（てんねんせんい、天然繊維）や、ナイロン繊維やアクリル繊維などの化学せんい（かがくせんい、化学繊維）がある。 綿（めん）の材料は、綿花（めんか）から採れる。コットンとは、綿のことです。 絹（きぬ）の原料は、虫であるカイコの繭（まゆ）です。シルク silk とは絹のことです。 ウールとは、羊（ひつじ）の羊毛（ようもう）のことです。 化学繊維の多くは、ふつうは、石油を原料にしています。 日本では、繊維工業は、第二次世界大戦の前までは、天然繊維の製品の輸出が、日本の主要な工業であった。しかし戦後は、人件費（じんけんひ）の安い中国（中華人民共和国のほう）や東南アジアなどの外国に工場が移ったことや、ナイロンなどの化学繊維の発明によって、繊維工業の割合は低下した。 人件費（じんけんひ）とは、従業員（じゅうぎょういん）の一人あたりに支払う（しはらう）給料（きゅうりょう）のことです。 経済力の高い先進国では、高い給料を払わないと労働者が集まりにくいので、先進国では人件費が高くなる傾向があります。 [[File:1924 Non-Stop Shuttle Change Toyoda Automatic Loom, Type G 1.jpg|thumb|200px|right|無停止杼換式豊田自動織機（G型）。産業技術記念館の展示。]] 戦前の繊維工業の参考として、たとえば、現在では自動車会社で有名なトヨタ自動車も、昔は、1926年（大正15年）に創業したばかりの豊田自動織機（とよたじどうしょっき）という織機（しょっき）をつくる会社でした。 {{clear}} ==== 製紙・パルプ工業 ==== [[File:Florida Pulp and Paper Company mill, Cantonment, Florida.jpg|thumb|外国企業での、パルプの製造。1947年。]] [[Image:InternationalPaper6413.jpg|thumb|left|製紙・パルプ工場。外国企業。]] [[Image:Papermaking machine at a paper mill near Pensacola.jpg|thumb|left|300px|抄紙機（しょうしき）。]] [[File:Paper machine.ogv|thumb|製紙会社の製紙の機械。外国企業。]] ふつうの紙の原料は、木（き）です。 木材をチップにして、さらにチップから パルプ を作ります。 パルプから紙が作られます。 パルプを漂白（ひょうはく）するため過酸化水素水（かさんか すいそすい）などを使います。漂白して白くしたあと、抄紙機（しょうしき）という巨大なローラーのついた機械で、均等な厚さに伸ばしていきます。 出来た紙は巨大なので、そのままでは製品にならないので、機械で必要な大きさに裁断（さいだん）されて、取引先（とりひきさき）に出荷されます。 紙は、木材から作る他にも、古紙（こし）から作った再生パルプ（さいせいパルプ）を使ってつくる再生紙（さいせいし）があります。 {{clear}} == 貿易 == 外国と物をやりとりすることを {{ruby|貿易|ぼうえき}}といいます。外国へ商品を売ることを<span style="color:Brown"><span style="font-size: large">輸出</span></span>（ゆしゅつ）といいます。外国から、商品を買うことを<span style="color:Brown"><span style="font-size: large">輸入</span></span>（ゆにゅう）といいます。かつて、日本は '''加工貿易''' といい、外国から輸入したものを加工して輸出していました。 {{clear}} == 生活と{{Ruby|環境|かんきょう}} == === 森林 === 日本の国土の 3分の2 は森林です。これは、世界{{ruby|平均|へいきん}}の約2倍以上にもなります。 === 公害 === 工場などからでる排水や排煙などの処理が不十分だと、排水・排煙にふくまれる有害物質により、周辺の環境が汚染され、近隣の住民など多くの人の健康に被害が出る場合がある。このように、産業活動による多くの人への健康への悪影響を <span style="color:Brown"><span style="font-size: large">公害</span></span>（こうがい） という ==== 四大公害病 ==== 日本でも、かつて、大きな公害をおこしたことがある。以下の４つの公害および公害による病気が、とくに被害が大きい公害として有名である。 * 水俣病（みなまたびょう） * 四日市（よっかいち）ぜんそく * イタイイタイ病 * 新潟水俣病（にいがたみなまたびょう）[第二水俣病] この４つの公害を四大公害（よんだい　こうがい）と言います。 * 水俣病（みなまたびょう） [[File:水俣病-位置-地図.jpg |thumb|right|300px|熊本水俣病</BR>赤：水俣市、青：葦北郡、薄黄色：その他の熊本県]] 化学工場の排水にふくまれていた<span style="font-size: large">水銀</span>および水銀化合物（有機水銀、メチル水銀）が原因でおきた病気です。水銀は猛毒（もうどく）なので、この水銀に汚染された水を飲んだり、水銀に汚染された海水で育った魚や貝を食べたりすると、病気になります。体が水銀におかされると、神経細胞が破壊され、手足がしびれたり、うごかなくなります。 熊本県の水俣（みなまた）という地域や、水俣湾（みなまたわん）の周辺で、1953年ごろに新聞報道などで有名になった公害なので、水俣病（みなまたびょう）と言います。 なお、有名になったのは1953年ごろからだが、それ以前の1940年代ごろから、水俣病とおぼしき症例が知られている。 人間以外にも、猫や鳥など、水銀に汚染された魚を食べたり水を飲んだりしたと思われる動物の不審死がいくつもあり、当初は、水俣病の原因もよく分かっていなかったので、しびれている猫が踊って（おどって）るようにも見えたことから、当初は「猫おどり病」（ねこおどりびょう）とも言われた。 * 四日市（よっかいち）ぜんそく 三重県の四日市市は石油化学工業で、1940年ごろから、さかえていました。多くの石油化学工場があつまった石油化学コンビナートといわれる工場のあつまりが、あります。 1950年ごろから、この周辺では、ぜんそくや気管支炎（きかんしえん）など、のどをいためる病気の人が、ふえてきました。また、この近くの海でとれた魚は油くさい、と言われたりもしました。 四日市ぜんそくの原因の物質は <span style="font-size: large">亜硫酸ガス</span>（ありゅうさんガス） だということが、今では分かっています。 どうも、石油化学コンビナートから出る、けむりや排水（はいすい）が、環境に悪い影響をあたえているらしいと言うことが1960年ころから言われはじめ、社会問題になりました。 このうち、とくに ぜんそく の被害が有名なので、この四日市（よっかいち）でおきた公害を 四日市ぜんそく というのです。 四日市ぜんそくの、ぜんそくの原因は、今ではわかっており、けむりにふくまれる亜硫酸ガス（ありゅうさんガス）や窒素酸化物（ちっそ さんかぶつ）が、おもな原因だと分かっています。 * イタイイタイ病（イタイイタイびょう） 1955年ごろ富山県の神通川（じんづうがわ）の周辺で起きた病気であり、体の ふしぶし が痛くなり、骨が折れやすくなる病気です。 <span style="font-size: large">カドミウム</span> が原因です。カドミウムは猛毒です。 川の上流にある鉱山から流れ出る廃水にカドミウムがふくまれており、その廃水を飲んだ人や、廃水に汚染された米などの農産物などを食べた人に、被害が出ました。 * 新潟水俣病（にいがたみなまたびょう） 1964年ごろに新潟県の阿賀野川（あがのがわ）の流域で起きた、水銀および水銀化合物による公害です。 化学工場の排水中の水銀化合物が原因です。 症状は、熊本県の水俣病と同じです。 第二水俣病（だいに みなまたびょう）とも言われます。 ==== 四大公害裁判 ==== これらの公害病の原因の物質を排出した会社や工場に対し、住民らが国に裁判を、訴え（うったえ）でます。 1960年代の後半に裁判が起こされ、1970年代の前半の1971年〜1973年ごろに判決が出ます。 判決は、企業側の責任を認め、企業側は被害住民に 賠償金（ばいしょうきん） を支払うように命じた判決が出ます。 {{clear}} == メディアと{{ruby|情報|じょうほう}} == === いろいろなメディア === *　テレビ　みなさんは、テレビでニュース番組やアニメ番組などをみることがあるでしょう。 *　新聞 * ラジオ *インターネット 現代では、パソコンを使って、インターネットという仕組みをつかうことで、世界中の情報をみることができます。 また、そのようなインターネットの仕組みで公開されているページのことを「ウェブサイト」といいます。 わたしたち小学生でも、インターネット業者などにお金を{{ruby|払|はら}}えば、自分たちでもウェブサイトを公開することができます。 なので、世界中の{{ruby|企業|きぎょう}}や{{ruby|団体|だんたい}}なども、インターネットを使って、自分たちの{{ruby|運営|うんえい}}するウェブサイトのなかで、自分たちの{{ruby|組織|そしき}}のことを紹介しています。 また、インターネットでは、情報を一方的にみるだけでなく、Eメールなどを使って、自分たちから情報を相手に送ることもできます。 さて、「コンピュータ」と聞くと、ついつい、学校のコンピューター室などにあるような、パソコンばかりを思い浮かべるかもしれません。 ですが、じつは携帯電話や、いまや自動車などにも、コンピュータは入っています。 携帯電話では、けっして利用者どうしが直接に通信してるのではなくて、じつは「基地局」（きちきょく）という各地にある通信施設を経由して、利用者どうしが通信しあう仕組みです。（※ 東京書籍が、そこまで紹介している。） また、これら携帯電話や自動車などは、インターネットのような情報通信ネットワークの仕組みも使いつつ、いろいろな場所と通信しています。 === テレビ番組・新聞ができるまで === === テレビ番組 === ==== 新聞 ==== # 取材 新聞作りには欠かせません。 # 編集 記事を{{ruby|執筆|しっぴつ}}して、それを校正(正しく書かれているかチェック)します。また、それに見出しをつけます。 # 印刷 大きな機械を使って印刷します。昔は時間がかかっていましたが、今は高速で印刷できるようになりました。 # 配達 新聞を家庭などに{{ruby|届|とど}}けます。 === 情報・ネットワークと私たちの生活 === また、コンビニエンス・ストア（いわゆる「コンビニ」）などでも、売り上げなどのデータを、インターネットのような情報通信ネットワークの仕組みをつかって本社に送っています。 :※ （「POSシステム」という用語は、東京書籍の教科書では、まだ紹介していない。） :※ コンビニのレジでバーコードを読み取った時などに、自動的にそのぶんの売り上げが計算されてデータ入力される仕組みになっているようである。 さて、コンビニの売り上げのデータ報告とは別に、いまやコンビニにも銀行のお金を引き下ろせるATM（エーティーエム）がありますが、このコンビニのATMも情報通信ネットワークの仕組みを利用しています。 {{ruby|医療|いりょう}}でも、インターネットは使われています。 患者さんが、複数の病院を使うとき、ちがう病院のお医者さんどうしで、インターネットをつかって、患者さんの電子カルテなどの情報を共有しています。 また、救急車などの内部にも、指令室などとの通信のための道具がありますが、いまやその通信の道具も、コンピュータ化しています。 === {{ruby|情報|じょうほう}}の問題点 === ==== {{ruby|報道被害|ほうどうひがい}} ==== なんの{{ruby|根拠|こんきょ}}もないうそ({{ruby|風評被害|ふうひょうひがい}})などを流されてしまい、{{ruby|突然|とつぜん}}悪者にされてしまう '''{{ruby|報道被害|ほうどうひがい}}''' が発生しています。たとえば、1999({{ruby|平成|へいせい}}11)年には、あるニュース番組で、ある市で作られた野菜から ダイオキシン({{ruby|有毒|ゆうどく}}ガス) が{{ruby|検出|けんしゅつ}}されたと {{ruby|誤解|ごかい}}を{{ruby|招|まね}}く{{ruby|報道|ほうどう}}がなされ、その市で作られた野菜のねだんが{{ruby|暴落|ぼうらく}}しました({{ruby|現在|げんざい}}はうたがいは晴れています)。 ==== {{ruby|個人情報|こじんじょうほう}}の流出 ==== 名前・生年月日などの、{{ruby|個人|こじん}}の{{ruby|情報|じょうほう}}を'''{{ruby|個人情報|こじんじょうほう}}'''といいます。ですから、流出は{{ruby|許|ゆる}}されません。2015年には、日本年金{{ruby|機構|きこう}}のサーバーから 100万人以上の 個人情報が流出する{{ruby|事件|じけん}}が起きました。 {{デフォルトソート:しようかつこうしやかい5ねん}} [[Category:小学校社会|5年]] dvnbpxle83xtl2xpe5o7szx6c5ny3r1 0 26201 298832 260212 2026-04-26T02:51:36Z はいかぐら 45848 個人の意見削除 298832 wikitext text/x-wiki :※ 単元名では「意見文」と名付けられているが、しかし、この単元の内容は、議論（ディスカッション）のために意見を出す方法である。 :そのため、まず、ディスカッションとは何かを知る必要がある。 == そもそも「議論」とは == まず、「会議」と「議論」は違う。 :※ いちおう中3の検定教科書の巻末に「会議」の方法が書いてある（光村図書、東京書籍などの中3巻末）。 === 会議と議論のちがい === * 会議 会議とは、なにかの団体が、今後の行動などを決めるための相談である。そのため、会議では事前に、どのようにして、決めるのかを、あらかじめ打ち合わせしておくのが、望ましい。 たとえば、その団体の長（会長や社長など、学校ならば担任（たんにん）の教員）が決めるのか、それとも会議の出席者の多数決で決めるのか、などの決定の方法を、会議ではあらかじめ決めておくのが望ましい。 （※ なので、たとえば、「学級会」などで委員会のメンバーを選挙したりするのは、「議論」ではなく「会議」。） * 議論 議論（ぎろん、英語ではディスカッション）の目的として、なにかのトラブルなどの解決策をさぐるためのアイデアを出させたり、あるいは、なにか未解明のものを解明するのに情報を出し合うのが目的である。 なので議論をする場合、解決策になりそうな、いろんなアイデアを出させよう。 アイデアを出すのが目的だから、わざわざ2グループに分けて、勝ち負けを決める必要は無い。（なお、議論のさいに2グループに分けて、勝ち負けを決める方法で競争させて意見を出させる方法のことを「競技ディベート」という。 小学校で練習した、2グループに分けて勝負させるのは、正確には「競技ディベート」である。） ただし、あくまで解決策を出させるのが目的だから、解決策を見つけ出るのに遠回りになりそうな話題がでてきた場合、その話題は中断してもらおう。 たとえば、「転勤して他校にうつる英語教員のALT（アシスタント・ラーニング・ティーチャー）の先生に、クラスから贈り物をすべきか？」という議論のさいに、「そもそも、日本のALTの制度の始まりは、〜〜〜〜（以下略）」とかの歴史などの話題が出てきたら、たとえその歴史の内容が正しくても、議論の進行をさまたげるので中断してもらうのが普通です。 もし、ほかの人が歴史とかの話題を持ち出してきて、それに反論するために「そもそも」とかの意見をいうのなら構いません。しかし、いきなり、「そもそも」とか言い出すのは、まず、議論のさまたげになります。けっして「そもそも、〜〜」とか自分から言い出さないように、つつしみましょう。 === ※ 大前提 === 細かなノウハウの前に、まず、「～すべきだ」という意見と（たとえば「なるべく割りばしを使うのは、やめよう」）、事実やデータ（たとえば、「日本の年間の割りばし消費量は～～である」「世界の森林面積は～～である」）との区別をつけてください。 これは、小中高の国語や社会科などでの、議論などの教育の前提になっています<ref>[https://www.saga-ed.jp/kenkyu/kenkyu_chousa/h28/01_jugyoukaizen/02_tyu_kokugo/documents/jirei3.pdf 『実践事例３ 証の強さを評価しよう －目指せ！名探偵！－』 ]</ref><ref>[https://www.hiroshima-c.ed.jp/pdf/research/chouken/h24_kouki/kou04.pdf 堀江 大志『社会的事象を公正に判断する力を高める小学校社会科学習指導の工夫』 ]</ref>。 === 議論のノウハウ === この単元では、特に採決（さいけつ）をしない、「議論」について扱う。 さて、議論をするにも会議をするにも、時間にかぎりがある。なので、なるべく実現可能性の高い話題について、話し合うべきである。また、建設的な話し合いをするために、客観的に検証できような話題を議題に選ぶのがよい。 たとえどんなに高尚（こうしょう）な話題でも、客観的に検証できない話題は、議論では、あまり好ましくない。なぜなら、第三者の役に立たないからである。 たとえば、「夏目漱石と、森鴎外（もり おうがい）の、どちらが、すぐれた文豪（ぶんごう）か？」というのは、話題は文学的に高尚でありそうだが、しかし、検証方法がない。 どうしても、このような話題を話し合いたい場合、検証可能な話題に置き換える必要がある。 たとえば、出版社での今後の出版方針のために夏目と森を比較する議論なら、「夏目漱石の著作と、森鴎外の著作、どちらが今までの販売数が多いか？」などの、客観的な指標に置き換える必要がある。 学習塾での塾講師どうしの議論なら、「夏目漱石の著作と、森鴎外の著作、どちらを読むように進めるのが、塾生の全国模試での成績を上げるか？」など、客観的な指標に置き換える必要がある。 == 意見や提案の出し方 == 議論のさいに意見を求められることもある。また、「これから◯◯の賛否についての議論をしよう」という提案も、意見である。 さて、どちらの場合にせよ、まず実現可能性の高そうなアイデアをみちびけそうな意見を出すべきであう。（※ 旺文社の参考書では、そう主張している。） たとえば、「世界から病気を無くすべきだ」という主張や、「死を無くそう」とかの主張は、もはや、なにも建設的な提案をしてないのと同じである。 たとえ、一見すると高尚な字面をならべていても、実現可能性の極端に低い主張や、実現可能性を無視した主張は、議論などでは好ましくないか、そもそも「議論に値しない」として無視されかねない。 とにかく、前提として、実現可能性の高いことを、話題にすべきである。 === 例 === たとえば、「（私達は）割り箸をつかわないようにしよう」という提案があったとしましょう。（※ 教育出版の検定教科書にある例） さて、意見を提案する場合、冒頭に、あなたが「◯◯させたい」と思っている提案の内容を先に書くべきです。そのあとに、根拠を書くべきです。 つまり、たとえば :割り箸をつかわないようにするべきです。なぜなら、割り箸は森林資源を消費しているからです。 のようになります。 == もし競技ディベートをするなら == 競技ディベートを開催したいなら、議題としては、意見が「賛成」または「反対」の2種類だけに分かれる議題を選びましょう。 たとえば、 :「わが中学の図書室にマンガをもっと置くべきだ。」 という議題は、学校内での競技ディベートの議題としても、かまいません。（※　学校図書や光村図書などで、図書室マンガ案のディベートがある。） しかし、 :「わが中学の図書室に、図書室の職員から、置いてほしい本のリクエストが届いている。では、何を置くべきとリクエストすべきだろうか？」 という模索は、競技ディベートとしては不適切です。なぜなら、賛成または反対の2つの意見に分かれないからです。 べつに、こういった模索を考えること自体が悪いのでなく、競技ディベートのルールとはズレている、ということです。 なお、学校などで意見の出し方の練習として競技ディベートをする場合、賛成派と反対派のグループ分けは、くじ引きやコイン投げ などで機械的に決めます。（※ 学校図書の中2国語の検定教科書の見解。）　このため、競技ディベート中の立場が自身の本音とは違う場合もあるかもしれませんが、そういうのを体験することも勉強のひとつです。 == ※ 範囲外かもしれないこと == この節で話すのは、競技ディベートではなく、ディスカッションの仕方の説明です。 ディスカッションでの議論の議題として、「○○すべきである。」といった意見を出すときは、そう思った具体的な理由を出しましょう。 たとえば、ディスカッションにふさわしくない提案のしかたとして「わが中学の図書室にマンガをもっと置くべきだ。」という提案だけで、なぜそう思ったのか理由のない提案のしかたがあります。 この提案だけで理由が無い提案は、競技ディベートの場合の最初の議題の出し方です。ディスカッションの提案の仕方ではないのです。 なので、競技を目的としない議論としては、あまり良くない提案のしかたです。（※　いくつかの検定教科書が、競技ディベートの方法だけを「意見」として説明している。） 議論では、最初の理由の説明によって、しばらくはそれに合った話を皆でするので、よって最初の理由説明で議論の内容が大きく変わるのです。なので、議論の開催のさいには、あらかじめ、提案の根拠を述べるべきです。 たとえば、提案のときに、 :「わが中学の図書室にマンガをもっと置くべきです。なぜならマンガを置いて、図書室を利用する生徒を増やしたいからです。」 という理由なのか、あるいは、 :「わが中学の図書室にマンガをもっと置くべきです。なぜなら、マンガは今や日本が世界に誇る文化なので、過去の名作マンガも、若者が勉強するべき時代になったからです。」 という理由では、その後の議論の内容が、大きく変わってきます。 もし図書室を利用する生徒を増やしたいという理由なら、「そもそも、なぜ利用する生徒を増やす必要があるのか？　利用者が少なくても良いのでは？　少ないと困ると考えている理由を話すべきだ」という反論などのように次の議論につながります。 いっぽう、「マンガは今や日本が世界に誇る文化なので、」なら、「だったら、ゲームもマンガ同様に、日本が誇る子供文化だが、それも置くべきと考えているのか？」などの反論・議論につながります。 このように、提案者や、議論の開始時点の理由で、その後の議論の方向は、大きく変わります。 なので、マジメな議論をする場合、提案に理由をつけくわえましょう。 理由のない提案の場合、そもそも議論に、マジメな人が集まらないのが普通です。 ディスカッションは、べつに勝ち負けを争う（あらそう）ものではないので、 :「わが中学の図書室に、図書室の職員から、置いてほしい本のリクエストが着ている。では、何を置くべきとリクエストすべきだろうか？」 のような、模索をする議題でも可能です。 == プレゼンテーション == パソコンでプレゼンテーション用のソフトがあるので、それによって映像を編集できる。 また、プロジェクターがやや高価だが、電気量販店などで市販されている。すでに学校で購入ずみだろうから、それを使えばいい。 プレゼンテーションは、時間が数分と限られている場合が多いので、短時間で説明できるように、映像にする図やグラフなどをあらかじめ、まとめておく必要があります。 また、その図やグラフを作成するための資料集めなどにも、時間が掛かります。なので、仕事でプレゼンテーションにする場合、スケジュールを遅らさないように気を付けましょう。 また、プレゼンテーションにかぎらず演説などでも、外部の人の前で発表する場合は、事前に内部の人どうしでリハーサルをしましょう。 == 意見文 == 中学校で習う「意見文」というのも、読者が、上述のような議論などのさいの参考になるように、書き手が自分の意見を書いた文章のことです。とはいえ、一人で書くわけですので、限界はあります。まず、書き手は、よくありそうな反対意見を想定して、自身の意見を書くべきです。このように、反論を想定して書くことで、自分の意見が明確になります。（※ 光村図書の中2国語の見解）また、ある程度の反論に対して、理由のある再反論をすることで、自分の意見の説得力を高めることもできます。（※ 東京書籍の中2国語の見解）そして、自分の主張の根拠などを述べます。 {{コラム|推測などを述べる場合| [[ファイル:Toulmin model of argument mini illust jp.svg|thumb|トゥールミン図式]] 議論において、なにか主張をする場合は、理由を述べましょう。根拠のない反論は、議論ではなく、自分の感想の陳列（ちんれつ）です。 下記は、そのための手段の一つです。 ;事実と推測と提案の区別 東京書籍の中1国語の教科書『新しい国語1』で、文章を書くときに、事実と推測と提案の区別をして書くように との指摘がある。 学校教科書にかぎらず、ビジネス文書の書き方入門書などでも同様に、事実と意見は区別せよ、と指導するのが普通である<ref>株式会社ザ・アール『これだけは知っておきたい「レポート・報告書」の基本と常識』、2018年9月2日初版発行、100ページ</ref>。 事実（ファクト<ref>新田誠吾『はじめてでも、ふたたびでも、これならできる！レポート・論文のまとめ方』、すばる舎、2019年10月25日 第1刷発行 、94ページ</ref> fact）と意見（オピニオン<ref>新田誠吾『はじめてでも、ふたたびでも、これならできる！レポート・論文のまとめ方』、すばる舎、2019年10月25日 第1刷発行、94ページ</ref> opinion）は分離すべきです。（なお「オピニオン雑誌」というのは、政治などの議論にて、評論家の意見などの書かれた雑誌のこと。） :※ 中学の公民で、東京書籍が「トゥールミン図式」としてコラムで下記のような内容を紹介しています。 なお、20世紀の分析哲学という学問でも、「事実」と「推論」と「主張」とをいったん分離したあとに右図のように組み立てろと言われており、トゥールミン・モデルと言われています<ref>[https://www.saga-ed.jp/kenkyu/kenkyu_chousa/h19/h19syakai/zusikika/zusikika.html 『思考力をはぐくむ社会科授業』]</ref>。（オリジナルのトゥールミンモデルでは、「データ」と「理由づけ」と「主張」の3要素の構成。本コラムでは、前後の文脈に合わせて、データ→「事実」、「理由づけ」→「推論」という置き換えを行った。） :※ 大学受験の範囲外ですが、高校の公民科目も、このトゥールミン・モデルの習得が理念になっているようです<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=EI9v64Erw7k （動画）法学部で学ぼうプロジェクト『 【答えのない世界を生き抜くための切り札！】「法教育」と「公共」を考える／法学部で学ぼうプロジェクト #高校生 #公共 #大学受験 #法学部 』2024/05/03]</ref>。 }} [[カテゴリ:中学校国語]] [[カテゴリ:日本の国語科教育]] __目次非表示__ __節編集非表示__ __インデックス__ __新しい節リンク非表示__ iq0qy8sqkw0vrgxto36xbuovbn2kd62 5 27856 298813 157494 2026-04-25T12:43:42Z Tkkn46tkkn46 89925 /* Pathnavについて。どこから、いつ頃、出てきましたか。Pathnav内のメインページ挿入を、ガイドラインにするか、しないかです。 */ 新しい節 298813 wikitext text/x-wiki == [[Wikibooks:スタイルマニュアル#記事の導入|ナビゲーション]]について == === 初期提案 === 表題の件について、[[Wikibooks:談話室|談話室]]にて整備をした方が良い、との話が出た為、いくつかの提案をすると同時に、別案、ご意見頂ければと思います。まず、ナビゲーションの規定について以下の変更、追加を加えたいと考えています。 #ナビゲーションは[[Template:Pathnav]]の形式を使用すること（全体の統一） ##最上位ページは「[[メインページ]]」にすること（英語の使用の回避） ##Fream引数「1」を指定すること（見易さ向上） ##Hide引数「1」を指定すること（見易さ向上） #カテゴリのナビゲーションは[[Template:Topicpath]]を使用すること（[[Template:Catnav|Catnav]]よりも[[Template:Pathnav|Pathnav]]に形式が近い為） 上記2項目（下位含め4項目）を実行することで、今まで編集者によって異なっていたナビゲーションスタイルを統一することが出来、ウィキブックスに統一性を持たせられます。 ご意見等頂ければ幸いです。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月26日 (日) 06:53 (UTC) :{{コメント2|条件付賛成}}現在の[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]は改善すべき点が多いと考えます。幸い現時点で使用中のページが少ないので、呼び出し元ページの入力を省略できるようにするなどの改善をすべきではと考えます。また、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]も文字の大きさを変更すれば[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]と遜色なく扱えるので、へたしたらCatnavの方が適している可能性も十分考えられます。そもそも、カテゴリページもPathnavで十分であるかもしれません。[[:カテゴリ:中学校英語]]をご参照いただければお分かりいただけると思うのですが、Pathnavでもカテゴリページへの対応が可能です。 :それから(順番がおかしいですが)、[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]の引数frame並びにhideを指定する理由ってあります(あったら教えてください…)？ 引数frameを指定しなくても、その後に改行すれば問題ないと考えます(ちなみにですが、自分はカテゴリページでのみ指定しています)。また、[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]も[[テンプレート:Catnav|Catnav]]も呼び出したページがデフォルトで表示されるので、呼び出したページをどこかの引数で指定しない限り引数hideは不要ではないかと思うのですが。 :長くなってしまいましたが、お聞かせいただければと思います。--{{利用者:ダーフレ/English|+}}2020年4月26日 (日) 08:38 (UTC) ::{{コメント2|返信}}ご意見ありがとうございます。まず、[[Template:Topicpath]]についてですが、確かめましたところ、確かにカテゴリについても[[Template:Pathnav]]で事足りると感じました（テンプレートの説明ページに「カテゴリページなどの冒頭のナビゲーションに適しています」とありますし）。次に引数freamの理由についてですが、freamを指定することで、カッコ内にも書いてあるように見易さが向上すると考えています。枠が形成されることで、本文との境界を明確にする目的で引数freamの指定させて頂いています。引数hideについては[[Template:Pathnav]]の例に表記されていた為、入れただけで深い意味はありません。 ::で、再び引数freamの話になってしまうのですが、[[利用者:ダーフレ|ダーフレ]]様の仰る様に改行すれば問題ありません。ですが、引数freamを使用することで、本文と色分けされ、上記の通り本文との境界を明確に出来ます。無論、これらの考えはあくまで私の意見ですので、[[利用者:ダーフレ|ダーフレ]]様含め、他の方々の意見を頂ければと思います。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月26日 (日) 14:07 (UTC) :::{{コメント2|返信}}なるほどです。引数frameの件、確かに境目を明確にできるという点から賛成させていただきます。 :::で、カテゴリページなどをすべて[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]で表示する場合、「[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]並びに[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]の区別をどうするか」という問題があります。これらをすべて[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]に統合するのか、名前空間などによって分けるのかということです。 :::また、このナビゲーションに関する改訂はウィキブックス日本語版のほぼ全ての項目に影響を与えます。しかし、ウィキブックスはウィキペディアなどに比べ、より専門的な内容を扱うことが多く、特に外国語などは基本的に1人の方が執筆されているほか、その分野を執筆できる編集者が誰もいない分野もあるため、もしかするとこれらの改訂がWikibooks全体には浸透しない可能性もあります。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月26日 (日) 15:10 (UTC) ::::{{コメント2|返信}}（Pathテンプレートの区別について）私としましては、上記で述べている通り[[Template:Topicpath]]及び[[Template:Catnav]]はいずれも、[[Template:Pathnav]]で事足りるため、いずれも[[Template:Pathnav]]に統合で良いと思います。 ::::（改訂の浸透について）残念なことに、現在ほぼ毎日活動している編集者は（私の把握する範囲では）五名程度です。（敢えてユーザー名は言いませんが）左記五名含むアクティブな利用者のトークページにガイドラインが改訂された旨を通知すればアクティブな利用者に浸透することが可能と考えます。また、新規利用者にはトークページにてガイドラインへの誘導も行っているようですし、荒らしではない、れっきとしたウィキブッキアンには浸透すると思うのですが、如何でしょう。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月26日 (日) 15:33 (UTC) :::::{{コメント2|返信}}了解です。Pathnav以外のテンプレートは統合する方針でいきたいと思います。 :::::通知に関してですが、ログインされないIPユーザーの方や、頻繁ではなくてもページを作成される方は約10名いらっしゃいます。確かjawpではIPユーザの方はページの新規作成ができなかったはずですが、jawbでは可能なので、全員に通知させていただくのは大変ですし、[[テンプレート:RC話題]]で十分だと思います。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月26日 (日) 16:08 (UTC) {{Outdent|:::::}}{{コメント2|返信}}畏まりました。ガイドラインの更新に関しては草案なのでとりあえず編集し、反対意見あり次第、議論させて頂きます。無知で申し訳ないのですが、[[Template:RC話題]]ってどういう風に通知されるんですか？--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月26日 (日) 16:16 (UTC) :{{コメント2|返信}}[[テンプレート:RC話題]]は談話室やコミュニティポータル、最近の更新に表示されます。あと、[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]以外のテンプレートは順次[[Template:Pathnav|Pathnav]]に置き換え、すべてのページから取り除き次第、削除を依頼したいと思います。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月27日 (月) 12:35 (UTC) ::{{コメント2|返信}}そうなのですね。置き換えの件は把握しました。よろしくお願いします。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年4月27日 (月) 13:30 (UTC) :::{{コメント2|返信|報告}}とりあえず、ソースが原始的な[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]に関しては、置き換えを完了しました。で、[[テンプレート:Catpath|Catpath]]の方ですが、[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]と構造がほぼ同じなので、おそらくリダイレクト化あたりで十分と思います。 :::それからもう1つ。ガイドラインを変えたとはいえ、わざわざ既存のメインページがない[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]やソース直書きの物を修正する理由にして良いのでしょうか。「ガイドラインが変更されたから」としてそれだけを変えるための編集をすべきでしょうか。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月27日 (月) 16:06 (UTC) ::::{{コメント2|返信}}[[Template:Topicpath|Topicpath]]の置き換えについては把握しました。で、既存のメインページがない、とはどういうことでしょうか？　[[Template:Pathnav]]の書き換えのみの編集については以後、慎みたいと思います。[[特別:最近の更新|最近の更新]]の見通しを悪くする連投にあたってしまうかもですし。申し訳ありません。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年4月27日 (月) 16:27 (UTC) :::::{{コメント2|返信}}文章を書くのが下手なもので、意図を伝えられなかったみたいです。ごめんなさい。「引数1にメインページを指定していないもの」と言いたかったのだと思います。つまるところ、雪津風明石さんのおっしゃるように、「最近の更新をそれだけのためにうめて良いのか」ということです。その点が伝わっていたので、よかったです。--[[利用者:ダーフレ|Darfre]]([[利用者・トーク:ダーフレ|会話]]) 2020年4月28日 (火) 10:07 (UTC) === [[Template:RC話題]]について === 過去ログ化された時の見易さを考え、項で分けさせていただきました。ガイドラインを暫定的に変えたことを通知する[[Template:RC話題]]についてですが、以下の様な文を考えてみました。 （ここから）<br />「[[Wikibooks:スタイルマニュアル#記事の導入]]」について、[[Wikibooks・トーク:スタイルマニュアル|トークページ]]での合意に基づき、暫定的に変更が加えられました。ご確認下さい。この変更について、反対される方は[[Wikibooks・トーク:スタイルマニュアル|トークページ]]にて、反対の意思とその理由を書き加えて下さい。<br />（ここまで） トークページについて、ここでは太字になってしまっていますが、リンクはされています。如何でしょうか。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年4月27日 (月) 14:22 (UTC) :{{コメント2|返信}}特に問題はないと思いますが、しいて言えば[[テンプレート:RC話題|RC話題]]は文(章)があまり使われない傾向にある(履歴参照)ので、短くしても良いかもしれません。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月27日 (月) 16:06 (UTC) ::{{コメント2|返信}}畏まりました。文を短くして、そのまま投稿してしまいます。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年4月27日 (月) 16:14 (UTC) === もう1つありました === {{コメント2|報告}}「[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]に関しては、置き換えを完了しました」などと言いましたが、新たに「[[テンプレート:Navi]]」を発見しました。これは中身が[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]と大して変わらず、リンクなどが手入力です。現在試行されているガイドラインの変更がこのまま認められた暁には、他の編集のついでに修正していただけると幸いです。 また、上でも一度言った、[[テンプレート:Catnav|Catpath]]のリダイレクト化も今回の変更が認められてからにしたいと思います。予めご承知おき願います。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年5月1日 (金) 07:16 (UTC) :{{コメント2|返信}}なんと。類似のテンプレートが沢山ありますね……。一応の確認ですが、「他の編集のついでに修正」というのは、ガイドライン改訂が認められ次第[[Template:Catnav]]同様に[[Template:Pathnav]]に統合する、ということでしょうか？--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年5月1日 (金) 15:25 (UTC) ::{{コメント2|返信}}あ、そういうことではなく…。「統合」という言い方は語弊がありました。[[Wikibooks:ページの分割と統合|ページを合体させる方]]じゃないので、忘れてください。 ::要約しますと、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]は基本的な構造が[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]に酷似しているので、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]を[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]へのリダイレクトに設定すれば、'''[[テンプレート:Catnav|Catnav]]を置き換える必要は無い'''、でも'''[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]や[[テンプレート:Navi|Navi]]'''はソースが原始的で壊れやすく、外観も揃えずらいので、'''[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]に置き換えてほしい'''、 ::ただし、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]のリダイレクト化、[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]や[[テンプレート:Navi|Navi]]の置き換えは「ガイドライン改訂が認められてから」「置き換えは他の編集のついでに」という条件があります、という内容です。相変わらず説明能力が低いもので、申し訳ありません。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年5月1日 (金) 16:09 (UTC) :::{{コメント2|返信}}いえいえ。私の方こそ理解が足りず申し訳ありません。置き換え、リダイレクトの件は理解しました。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年5月1日 (金) 16:13 (UTC) === a week passed === {{コメント2|報告}}今回の変更が行われた4月27日から1週間が経過しましたが、特に反対等の意見がありませんでしたので、今回の変更は正式化されます(そもそも[[WB:MOS]]は草案ですが…)。これに伴い、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]のリダイレクト化を行いました。不具合等あれば早急に報告願います。また、他の編集のついでで結構ですので、ソース直書きの物や[[テンプレート:Navi|Navi]]の置き換えもよろしくお願いいたします。今回の議論に参加してくださった皆様、ありがとうございました。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年5月5日 (火) 01:54 (UTC) :{{コメント2|返信}}正式化の報告、ありがとうございます。確かにスタイルマニュアル自体草案なんですよね……。ちょっとWikibooksには草案が多すぎる気もしますが、別に慌ててやるほどの事でもないので困るんですよね……。{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年5月5日 (火) 03:36 (UTC) == Pathnavについて。どこから、いつ頃、出てきましたか。Pathnav内のメインページ挿入を、ガイドラインにするか、しないかです。 == ①メインページへ移動は、1行目クリックでいいような気がします。例外がありますか。 :できれば、重複(部分)を見たくないです。 :例. :[[トランプ]] 　{{Pathnav|メインページ|ゲーム|frame=1}} :[[数学]]　{{Pathnav|メインページ|frame=1|small=1}} ②上記の行がなくても、意味が通じる。ガイドラインにありません。 :ゲームの場合、ゲームはイラナイのか。ナントカナルです --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月25日 (土) 12:43 (UTC) ql4fns1v18vo16ivtllvkpy0l2d9qq5 298814 298813 2026-04-25T12:52:20Z Tkkn46tkkn46 89925 /* Pathnavについて。どこから、いつ頃、出てきましたか。Pathnav内のメインページ挿入を、ガイドラインにするか、しないかです。 */ 298814 wikitext text/x-wiki == [[Wikibooks:スタイルマニュアル#記事の導入|ナビゲーション]]について == === 初期提案 === 表題の件について、[[Wikibooks:談話室|談話室]]にて整備をした方が良い、との話が出た為、いくつかの提案をすると同時に、別案、ご意見頂ければと思います。まず、ナビゲーションの規定について以下の変更、追加を加えたいと考えています。 #ナビゲーションは[[Template:Pathnav]]の形式を使用すること（全体の統一） ##最上位ページは「[[メインページ]]」にすること（英語の使用の回避） ##Fream引数「1」を指定すること（見易さ向上） ##Hide引数「1」を指定すること（見易さ向上） #カテゴリのナビゲーションは[[Template:Topicpath]]を使用すること（[[Template:Catnav|Catnav]]よりも[[Template:Pathnav|Pathnav]]に形式が近い為） 上記2項目（下位含め4項目）を実行することで、今まで編集者によって異なっていたナビゲーションスタイルを統一することが出来、ウィキブックスに統一性を持たせられます。 ご意見等頂ければ幸いです。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月26日 (日) 06:53 (UTC) :{{コメント2|条件付賛成}}現在の[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]は改善すべき点が多いと考えます。幸い現時点で使用中のページが少ないので、呼び出し元ページの入力を省略できるようにするなどの改善をすべきではと考えます。また、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]も文字の大きさを変更すれば[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]と遜色なく扱えるので、へたしたらCatnavの方が適している可能性も十分考えられます。そもそも、カテゴリページもPathnavで十分であるかもしれません。[[:カテゴリ:中学校英語]]をご参照いただければお分かりいただけると思うのですが、Pathnavでもカテゴリページへの対応が可能です。 :それから(順番がおかしいですが)、[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]の引数frame並びにhideを指定する理由ってあります(あったら教えてください…)？ 引数frameを指定しなくても、その後に改行すれば問題ないと考えます(ちなみにですが、自分はカテゴリページでのみ指定しています)。また、[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]も[[テンプレート:Catnav|Catnav]]も呼び出したページがデフォルトで表示されるので、呼び出したページをどこかの引数で指定しない限り引数hideは不要ではないかと思うのですが。 :長くなってしまいましたが、お聞かせいただければと思います。--{{利用者:ダーフレ/English|+}}2020年4月26日 (日) 08:38 (UTC) ::{{コメント2|返信}}ご意見ありがとうございます。まず、[[Template:Topicpath]]についてですが、確かめましたところ、確かにカテゴリについても[[Template:Pathnav]]で事足りると感じました（テンプレートの説明ページに「カテゴリページなどの冒頭のナビゲーションに適しています」とありますし）。次に引数freamの理由についてですが、freamを指定することで、カッコ内にも書いてあるように見易さが向上すると考えています。枠が形成されることで、本文との境界を明確にする目的で引数freamの指定させて頂いています。引数hideについては[[Template:Pathnav]]の例に表記されていた為、入れただけで深い意味はありません。 ::で、再び引数freamの話になってしまうのですが、[[利用者:ダーフレ|ダーフレ]]様の仰る様に改行すれば問題ありません。ですが、引数freamを使用することで、本文と色分けされ、上記の通り本文との境界を明確に出来ます。無論、これらの考えはあくまで私の意見ですので、[[利用者:ダーフレ|ダーフレ]]様含め、他の方々の意見を頂ければと思います。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月26日 (日) 14:07 (UTC) :::{{コメント2|返信}}なるほどです。引数frameの件、確かに境目を明確にできるという点から賛成させていただきます。 :::で、カテゴリページなどをすべて[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]で表示する場合、「[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]並びに[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]の区別をどうするか」という問題があります。これらをすべて[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]に統合するのか、名前空間などによって分けるのかということです。 :::また、このナビゲーションに関する改訂はウィキブックス日本語版のほぼ全ての項目に影響を与えます。しかし、ウィキブックスはウィキペディアなどに比べ、より専門的な内容を扱うことが多く、特に外国語などは基本的に1人の方が執筆されているほか、その分野を執筆できる編集者が誰もいない分野もあるため、もしかするとこれらの改訂がWikibooks全体には浸透しない可能性もあります。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月26日 (日) 15:10 (UTC) ::::{{コメント2|返信}}（Pathテンプレートの区別について）私としましては、上記で述べている通り[[Template:Topicpath]]及び[[Template:Catnav]]はいずれも、[[Template:Pathnav]]で事足りるため、いずれも[[Template:Pathnav]]に統合で良いと思います。 ::::（改訂の浸透について）残念なことに、現在ほぼ毎日活動している編集者は（私の把握する範囲では）五名程度です。（敢えてユーザー名は言いませんが）左記五名含むアクティブな利用者のトークページにガイドラインが改訂された旨を通知すればアクティブな利用者に浸透することが可能と考えます。また、新規利用者にはトークページにてガイドラインへの誘導も行っているようですし、荒らしではない、れっきとしたウィキブッキアンには浸透すると思うのですが、如何でしょう。--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月26日 (日) 15:33 (UTC) :::::{{コメント2|返信}}了解です。Pathnav以外のテンプレートは統合する方針でいきたいと思います。 :::::通知に関してですが、ログインされないIPユーザーの方や、頻繁ではなくてもページを作成される方は約10名いらっしゃいます。確かjawpではIPユーザの方はページの新規作成ができなかったはずですが、jawbでは可能なので、全員に通知させていただくのは大変ですし、[[テンプレート:RC話題]]で十分だと思います。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月26日 (日) 16:08 (UTC) {{Outdent|:::::}}{{コメント2|返信}}畏まりました。ガイドラインの更新に関しては草案なのでとりあえず編集し、反対意見あり次第、議論させて頂きます。無知で申し訳ないのですが、[[Template:RC話題]]ってどういう風に通知されるんですか？--[[利用者:雪津風明石|雪津風明石]] ([[利用者・トーク:雪津風明石|トーク]]) 2020年4月26日 (日) 16:16 (UTC) :{{コメント2|返信}}[[テンプレート:RC話題]]は談話室やコミュニティポータル、最近の更新に表示されます。あと、[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]以外のテンプレートは順次[[Template:Pathnav|Pathnav]]に置き換え、すべてのページから取り除き次第、削除を依頼したいと思います。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月27日 (月) 12:35 (UTC) ::{{コメント2|返信}}そうなのですね。置き換えの件は把握しました。よろしくお願いします。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年4月27日 (月) 13:30 (UTC) :::{{コメント2|返信|報告}}とりあえず、ソースが原始的な[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]に関しては、置き換えを完了しました。で、[[テンプレート:Catpath|Catpath]]の方ですが、[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]と構造がほぼ同じなので、おそらくリダイレクト化あたりで十分と思います。 :::それからもう1つ。ガイドラインを変えたとはいえ、わざわざ既存のメインページがない[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]やソース直書きの物を修正する理由にして良いのでしょうか。「ガイドラインが変更されたから」としてそれだけを変えるための編集をすべきでしょうか。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月27日 (月) 16:06 (UTC) ::::{{コメント2|返信}}[[Template:Topicpath|Topicpath]]の置き換えについては把握しました。で、既存のメインページがない、とはどういうことでしょうか？　[[Template:Pathnav]]の書き換えのみの編集については以後、慎みたいと思います。[[特別:最近の更新|最近の更新]]の見通しを悪くする連投にあたってしまうかもですし。申し訳ありません。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年4月27日 (月) 16:27 (UTC) :::::{{コメント2|返信}}文章を書くのが下手なもので、意図を伝えられなかったみたいです。ごめんなさい。「引数1にメインページを指定していないもの」と言いたかったのだと思います。つまるところ、雪津風明石さんのおっしゃるように、「最近の更新をそれだけのためにうめて良いのか」ということです。その点が伝わっていたので、よかったです。--[[利用者:ダーフレ|Darfre]]([[利用者・トーク:ダーフレ|会話]]) 2020年4月28日 (火) 10:07 (UTC) === [[Template:RC話題]]について === 過去ログ化された時の見易さを考え、項で分けさせていただきました。ガイドラインを暫定的に変えたことを通知する[[Template:RC話題]]についてですが、以下の様な文を考えてみました。 （ここから）<br />「[[Wikibooks:スタイルマニュアル#記事の導入]]」について、[[Wikibooks・トーク:スタイルマニュアル|トークページ]]での合意に基づき、暫定的に変更が加えられました。ご確認下さい。この変更について、反対される方は[[Wikibooks・トーク:スタイルマニュアル|トークページ]]にて、反対の意思とその理由を書き加えて下さい。<br />（ここまで） トークページについて、ここでは太字になってしまっていますが、リンクはされています。如何でしょうか。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年4月27日 (月) 14:22 (UTC) :{{コメント2|返信}}特に問題はないと思いますが、しいて言えば[[テンプレート:RC話題|RC話題]]は文(章)があまり使われない傾向にある(履歴参照)ので、短くしても良いかもしれません。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年4月27日 (月) 16:06 (UTC) ::{{コメント2|返信}}畏まりました。文を短くして、そのまま投稿してしまいます。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年4月27日 (月) 16:14 (UTC) === もう1つありました === {{コメント2|報告}}「[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]に関しては、置き換えを完了しました」などと言いましたが、新たに「[[テンプレート:Navi]]」を発見しました。これは中身が[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]と大して変わらず、リンクなどが手入力です。現在試行されているガイドラインの変更がこのまま認められた暁には、他の編集のついでに修正していただけると幸いです。 また、上でも一度言った、[[テンプレート:Catnav|Catpath]]のリダイレクト化も今回の変更が認められてからにしたいと思います。予めご承知おき願います。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年5月1日 (金) 07:16 (UTC) :{{コメント2|返信}}なんと。類似のテンプレートが沢山ありますね……。一応の確認ですが、「他の編集のついでに修正」というのは、ガイドライン改訂が認められ次第[[Template:Catnav]]同様に[[Template:Pathnav]]に統合する、ということでしょうか？--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年5月1日 (金) 15:25 (UTC) ::{{コメント2|返信}}あ、そういうことではなく…。「統合」という言い方は語弊がありました。[[Wikibooks:ページの分割と統合|ページを合体させる方]]じゃないので、忘れてください。 ::要約しますと、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]は基本的な構造が[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]に酷似しているので、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]を[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]へのリダイレクトに設定すれば、'''[[テンプレート:Catnav|Catnav]]を置き換える必要は無い'''、でも'''[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]や[[テンプレート:Navi|Navi]]'''はソースが原始的で壊れやすく、外観も揃えずらいので、'''[[テンプレート:Pathnav|Pathnav]]に置き換えてほしい'''、 ::ただし、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]のリダイレクト化、[[テンプレート:Topicpath|Topicpath]]や[[テンプレート:Navi|Navi]]の置き換えは「ガイドライン改訂が認められてから」「置き換えは他の編集のついでに」という条件があります、という内容です。相変わらず説明能力が低いもので、申し訳ありません。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年5月1日 (金) 16:09 (UTC) :::{{コメント2|返信}}いえいえ。私の方こそ理解が足りず申し訳ありません。置き換え、リダイレクトの件は理解しました。--{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年5月1日 (金) 16:13 (UTC) === a week passed === {{コメント2|報告}}今回の変更が行われた4月27日から1週間が経過しましたが、特に反対等の意見がありませんでしたので、今回の変更は正式化されます(そもそも[[WB:MOS]]は草案ですが…)。これに伴い、[[テンプレート:Catnav|Catnav]]のリダイレクト化を行いました。不具合等あれば早急に報告願います。また、他の編集のついでで結構ですので、ソース直書きの物や[[テンプレート:Navi|Navi]]の置き換えもよろしくお願いいたします。今回の議論に参加してくださった皆様、ありがとうございました。--{{利用者:ダーフレ/English}}2020年5月5日 (火) 01:54 (UTC) :{{コメント2|返信}}正式化の報告、ありがとうございます。確かにスタイルマニュアル自体草案なんですよね……。ちょっとWikibooksには草案が多すぎる気もしますが、別に慌ててやるほどの事でもないので困るんですよね……。{{利用者:雪津風明石/署名}}2020年5月5日 (火) 03:36 (UTC) == Pathnavについて。どこから、いつ頃、出てきましたか。Pathnav内のメインページ挿入を、ガイドラインにするか、しないかです。 == ①メインページへ移動は、1行目クリックでいいような気がします。例外がありますか。 :できれば、重複(部分)を見たくないです。 :例. :[[トランプ]] <nowiki>{{Pathnav|メインページ|ゲーム|frame=1}}</nowiki>　 :[[数学]]　<nowiki>　{{Pathnav|メインページ|frame=1|small=1}}</nowiki> ②上記の行がなくても、意味が通じる。ガイドラインにありません。 :ゲームの場合、ゲームはイラナイのか。ナントカナルです --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月25日 (土) 12:43 (UTC) tf0g50wzvjig9icigd98ojn9tw93nda 0 45683 298828 298593 2026-04-25T15:48:38Z ~2026-25437-55 91275 298828 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]及び[[解析学基礎/多変数関数の微積分]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 '''直交条件の定理''' <math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう。 :所与の条件は<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 '''平行条件の定理''' <math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^a_b \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h \circ g)_i (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{X}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の第i成分に第k成分の変数が入っていたとしても、それはiと異なる独立変数なのでスカラーと見做してよい。 ベクトル場の和は、ベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}=(1,2,3), \boldsymbol{g}=(3, 4, 5)</math>について :<math>\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}=(1, 2, 3)+(3, 4, 5)=(1+3, 2+4, 3+5)=(4, 6, 8)</math>である。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上のベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>z=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{X}</math>の'''流線'''（streamline）という。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、方程式<math>\frac{dx_1}{X_{x_1}}=\frac{dx_2}{X_{x_2}}=\cdots=\frac{dx_n}{X_{x_n}}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 ==三次元ユークリッド空間== xyz空間上のスカラー場を<math>F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>、ベクトル場を<math>\boldsymbol{X}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>とする。また、<math>\boldsymbol{X}</math>のx, y, z成分をそれぞれ<math>X_x, X_y, X_z</math>と書くことにする。また、註がない限り凡ての議論は直交座標系のxyz空間で考えるものとする。 ===偏微分=== 三変数関数<math>f(x, y, z)</math>の'''偏導関数'''（partial derivative）はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{z}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}</math> 偏導関数は、着目する変数軸方向の傾きを表す。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''（partial differentiation）という。 つまり、偏微分とは'''着目する変数以外を定数と見做し、一変数関数とみて微分する'''操作である。 記号「<math>\partial</math>」は「デル（del）」「ラウン（ド）ディー（rounded d）」「パーシャルディー（partial d）」などと読まれる。 着目する変数以外を明示したい場合は、<math>\partial_x f(x, y, z), \; u_x |_{x,y,z}</math>などの記法が用いられる。 偏微分でも、一変数関数の微分と同様の性質が成り立つ（特に線型性と積の微分）。証明は別項に譲る。 例えば、<math>\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2+2yx+y^2)=\frac{\partial}{\partial{x}} x^2 + y \frac{\partial}{\partial{x}} x + y^2 \frac{\partial}{\partial{x}} 1 = 2x+y</math>である。 偏導関数に偏微分変数の微小量を掛けて全ての変数について足し合わせた :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> を<math>f(x, y, z)</math>の'''（完）全微分'''（total derivative）という。 全微分は、関数<math>f(x, y, z)</math>を<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z</math>だけ変化させたときの関数全体の変化量<math>\text{∆} f = f(x+\text{∆} x, y+\text{∆} y, z+\text{∆} z)-f(x,y,z)</math>の<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z \to 0</math>とした三重極限に等しい。 つまり、 :<math>f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> が成り立つ。 これを形式的に変形すると、 :<math>\frac{f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z)}{dxdydz} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}dydz} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}dzdx} + \frac{\partial{f}}{\partial{z}dxdy}</math> となるが、右辺を見ると変数名が循環していることが、左辺を見ると一変数関数の導関数の定義式に酷似していることが判る。 <math>\boldsymbol{f}= \begin{pmatrix} f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}</math>としたとき、 :<math>\mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x,y,z) = \frac{\partial{(f_1,f_2,f_3)}}{\partial{(x,y,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{f_1}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_3}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\boldsymbol{f}</math>の'''関数行列'''（functional matrix）または'''ヤコビ行列'''（'''ヤコビアン'''、Jacobian matrix）という。 これを用いると、3次元ベクトル関数<math>\boldsymbol{f} (x, y, z)</math>の全微分は以下のように求められる。 :<math>d\boldsymbol{f} = \mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x_0,y_0,z_0) d\boldsymbol{v}</math> ただし、<math>d\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math>である。このベクトルを'''方向ベクトル'''（direction vector）という。 ===線積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲線<math>C</math>を描いているとする。 <math>C</math>上の点<math>A</math>から点<math>B</math>まで、<math>C</math>に沿って積分することを考える。 経路<math>A \to B</math>を微小線分<math>\text{∆} l</math>に分けたとき、[[高等学校数学III/積分法#区分求積法|区分求積法]]により以下のように'''線積分'''（line integral）が定義される。 :<math>\int_A^B f(x, y, z) dl = \lim_{\text{∆} l \to 0} \sum_A^B f(x, y, z) \text{∆} l</math> このとき、経路<math>A \to B</math>を'''積分（経）路'''（path）や'''積分領域'''（domain of integral）という。 なお、線積分は[[量子力学]]の経路積分（path integral）とは異なる概念なので、混同に注意。 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲線<math>C</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math>とし、初期条件を<math>\boldsymbol{p}(a)=\vec{\mathrm{OA}}, \boldsymbol{p}(b)=\vec{\mathrm{OB}}</math>とする。 このとき、閉区間<math>[a, b]</math>を長さ<math>\text{∆} t = \frac{b-a}{n}</math>の<math>n</math>個の小区間<math>[t_{n-1}, t_n]</math>に分割し、<math>C</math>上に標本点<math>\boldsymbol{p}(t_i)</math>をとる。各標本点を結ぶ線分の長さを<math>\text{∆} s_i</math>とおけば、<math>F(\boldsymbol{p} (t_i)) \text{∆} s_i</math>の総和はリーマン和である。 <math>\text{∆} t \to 0</math>の極限を考えると、 :<math>\text{∆} s_i = \|\boldsymbol{p}(t_i + \text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i)\| = \left\| \frac{\boldsymbol{p}(t_i+\text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i+0)}{\text{∆} t - 0} \right\| (\text{∆} t -0) = \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t_i)}{dt}\right\| dt</math> よりこのリーマン和の極限は収束し、 :<math>\lim_{\text{∆} t \to 0} \sum_{i=1}^n F(\boldsymbol{p}(t_i)) \text{∆} s_i = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math>// ここで、この線積分の値は（同じ向き付けを与える限り）'''媒介変数のとり方に依らない'''。 <math>\boldsymbol{p}(u) = \begin{pmatrix} x(t(u)) \\ y(t(u)) \\ z(t(u)) \end{pmatrix}, u \in [c, d]</math>という変数変換を考えると、<br>恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>のとき :<math>\int_c^d F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d \boldsymbol{p}(u)}{du} \right\| du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\| \frac{dt}{du} du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math> となり、一致する。 「恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>」は「<math>t, u</math>それぞれを用いた媒介変数表示が同じ向き付けを与える」ことと同値なので、先述の内容が確かめられた。 そこで、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math>を更に（形式的に）変形する。 :<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt = \left\| \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d}{dt} y(t) \\ \frac{d}{dt} z(t) \end{pmatrix} \right\| dt</math> :<math>= \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz(t)}{dt}\right)^2} \; dt</math> :<math>= \sqrt{ (dx(t))^2+(dy(t))^2+(dz(t))^2}</math> :<math>=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math> 最後の式を<math>dl</math>で置くと、<math>dl = \| d\boldsymbol{p} \|</math>が形式的に成り立つ。 この<math>dl</math>を'''線素'''（line element）と呼ぶ。 線素を用いることで、曲線<math>C</math>（の一部）を積分経路とするスカラー場<math>F</math>の線積分は以下のように略記される。 :<math>\int_C F dl</math> 特に積分経路が閉曲線である（'''閉経路'''）とき、この線積分を'''周回積分'''（'''閉路積分'''、closed line integral）といい :<math>\oint_C F dl</math> と表す。 線積分<math>\int_C dl</math>は<math>C</math>の長さに等しい。 :<math>\int_C dl = \int_a^b \| d\boldsymbol{p}(t) \| = \int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math> :<math>=\int_a^b \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dy(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dz(t)}{dt} \right)^2} dt</math> これは[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|平面上の曲線の長さの式]]を三次元に拡張した式であることがわかる。 <math>C</math>を<math>C</math>上任意点からの符号付き距離<math>s</math>（'''弧長パラメータ'''）で媒介変数表示することを考える。ただし、積分経路の端点をそれぞれ<math>s=\alpha, \beta</math>の場合とする。 すなわち、<math>\boldsymbol{q}(s)= \begin{pmatrix} x(s) \\ y(s) \\ z(s) \end{pmatrix}</math>と表示する。 このとき定義から<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\| ds</math>なので、両辺を<math>s</math>で微分すると微分積分学の基本定理より :<math>1=\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|</math> が恒等的に成り立つ。 これは、接線方向のベクトル（'''接ベクトル'''）が単位ベクトルであることを示す。 よって、 :<math>\int_C F dl = \int_\alpha^\beta F(\boldsymbol{q}(s)) ds</math> である。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の線積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_a^b \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(t)) \cdot \boldsymbol{p}' (t) dt</math> ここで<math>d\boldsymbol{l}</math>は'''線素ベクトル'''であり、 :<math>d\boldsymbol{l} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = dx\boldsymbol{e}_x+dy\boldsymbol{e}_y+dz\boldsymbol{e}_z</math> と定義される。 そのため、この線積分は :<math>\int_C X_x dx + X_y dy + X_z dz</math> とも書かれる。 線素ベクトルは積分経路の接ベクトルとなるので、ベクトル場の線積分を'''接線積分'''（integral of tangential component）という場合もある。 <math>C</math>を弧長パラメータ<math>s</math>で媒介変数表示すると、 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} ds</math> ここで<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|=1</math>より、内積 <math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds}</math>は<math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s))</math>を<math>\boldsymbol{q}(s)</math>方向に射影したものである。 すなわち、線積分はベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>の<math>C</math>の接線方向成分を積分したものである。これは「仕事」や「流れ」といった物理的な概念に通じ、線積分の本質を形作る。 なお、スカラー場の線積分に登場した線素<math>dl</math>は、線素ベクトルの大きさ<math>\| d\boldsymbol{l} \|</math>に等しい。これは、スカラー場の線積分が経路に沿った「長さの重み付け」積分であることを示している。 位置ベクトルを<math>\boldsymbol{r}(x, y, z)</math>とする。積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}//\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{X} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。 <math>C</math>の単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおくと、先ほどの議論より<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{p}(s)}{ds}</math>であり、直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=0</math>、則ち<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}</math>である。このベクトルを'''主法線ベクトル'''という。主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''という。正規化すると<math>\boldsymbol{e}_b = \boldsymbol{e}_t \times \boldsymbol{e}_n</math>、則ち<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。 主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|</math>を<math>C</math>の'''曲率'''、<math>\tau=\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{dt}</math>を<math>C</math>の'''{{ruby|捩|れい}}率'''という。 例えば、円<math>x^2+y^2=r^2</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{p}(t)=r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(u)}{dt}\right\|du = \int_0^t r dt = rt</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{r}</math> :<math>\boldsymbol{p}(s)=r\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{\boldsymbol{p}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{r} \\ \cos\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}=-\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\left\|\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}\right\|=\frac{1}{r}</math> :<math>\boldsymbol{t}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=-r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r^2 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot-r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}}{r^2\cdot\frac{1}{r}}=0</math>// 曲率・捩率を用いることで、<math>\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}</math>のs-方向微分を求めることができる。 '''フレネ=セレーの公式''' <math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> 全微分がヤコビ行列による一次変換で表されたように、こちらも一次変換の形式で表すことができた。一般に、微分操作は<math>\infty</math>次行列を表現行列とする線形写像である。詳しくは[[関数解析学]]で扱う。 また、曲線は<math>(\kappa, \tau)</math>の値と初期条件のみで定まるので、<math>(\kappa, \tau)</math>の定める曲線族を<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として一般に<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ===面積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲面<math>S</math>を描いているとする。 <math>S</math>に沿って積分することを考える。 領域<math>S</math>を微小領域に分割した表面積を<math>\text{∆} S_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''（曲）面積分'''（surface integral）が定義される。 :<math>\int_S f(x, y, z) dS = \lim_{\text{∆} S \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} S_i</math> 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲面<math>S</math>の滑らかな媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(s, t) = \begin{pmatrix} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \end{pmatrix}</math>とする。 ここで、パラメータベクトル<math>\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}</math>が属する領域<math>T (\subset \mathbb{R}^2)</math>を微小矩形領域<math>\text{∆} T_i</math>に分割する。このとき、各iについて<math>\text{∆} T_i = [s_i, s_i+\text{∆} s_i] \times [t_i, t_i+\text{∆} t_i]</math>であり、各<math>\text{∆} T_i</math>に対応する曲面上の領域を<math>\text{∆} S_i = \boldsymbol{p}(\text{∆} T_i)</math>とする。 このとき、パラメータ領域の面積変化率は、各変数に関する接ベクトル同士の張る接平面上の面積ベクトルで表される。 すなわち、<math>\text{∆} s_i, \text{∆} t_i \to 0</math>のとき :<math>\text{∆} S_i = \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆} s_i \text{∆} t_i</math> である。 このリーマン和の二重極限は収束し、 :<math>\lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆}{S_i} = \lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(\boldsymbol{p}(s_i, t_i)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆}{s_i} \text{∆}{t_i}</math> :<math>=\iint_T f(\boldsymbol{p}(s, t)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right\| ds dt</math>// すなわち、面積分は二重積分に帰着される。 面積分の値は（Sの向き付けが同じならば）パラメータのとり方に依らない。 証明は恒等条件<math>\det \frac{\partial(s_1, t_1)}{\partial(s_2, t_2)}>0</math>を用いて線積分と同様に行われる。 そこで、<math>F</math>の<math>S</math>上での面積分を以下のように略記する。 :<math>\iint_S F dS</math> 1の面積分を考えると、 :<math>\iint_S dS</math> は曲面<math>S</math>の表面積に等しいことが知られている。 そのため、<math>dS</math>を'''面（積要）素'''（surface element）と呼ぶ。 <math>S</math>が閉曲面のときは :<math>\oiint_S F dS</math> とも書く。 例えば、関数<math>z=f(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>上に描く曲面の表面積は、<math>\boldsymbol{p}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>として :<math>\iint_T \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{x}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{y}} \right\| dx dy</math> :<math>=\iint_T \left\| \begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix} \right\| dxdy</math> :<math>=\iint_T \sqrt{ \left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)^2 + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)^2 + 1 } \; dxdy</math> と求められる。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の面積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\iint_S \boldsymbol{X} \cdot d \vec{S} = \iint \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(s, t)) \cdot \left( \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right) dsdt</math> :<math>=\iint \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{X}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \end{pmatrix} ds dt</math>（<math>\because</math>ベクトル三重積の性質） ここで<math>d\vec{S}</math>は面素ベクトルであり、 :<math>d\vec{S} = \boldsymbol{n} dS</math> と定義される。 <math>\boldsymbol{n}</math>は有向曲面<math>S</math>と右手系（後述）をなすように定められた単位法線ベクトルである。 <math>\boldsymbol{n}</math>は、x, y, z軸それぞれとなす角度を<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、以下のような関係が成り立つ（※証明の加筆お願いします）。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、 :<math>d\vec{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> と表せる。 敢えてx⇒y⇒zの順で記したように、変数名が循環していることがわかる。 ===体積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に立体領域<math>V</math>を描いているとする。 <math>V</math>に沿って積分することを考える。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\text{∆} V_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''体（積）積分'''（volume integral）が定義される。 :<math>\iiint_V f(x, y, z) dV = \lim_{\text{∆} V \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} V_i</math> 体積分では、リーマン和の三重極限を用いて右辺の極限値を求めることが困難である（3つの極限を任意に交換できるとは限らないため）。 そのため、以下のように考える。 微小立体の体積<math>dV</math>は、各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>である直方体の体積で近似できる（どのような分割の仕方をしても微小領域では直方体に近似できるため）。 よって、<math>dV = dxdydz</math>。この<math>dV</math>を'''体（積）素'''（volume element）という。 つまり、体積分は<math>V</math>についての三重積分 :<math>\iiint_V f(x,y,z) dxdydz</math> に等しい。 <math>V</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{r}(s, t, u) = \begin{pmatrix} x(s, t, u) \\ y(s, t, u) \\ z(s, t, u) \end{pmatrix}</math>とすると、スカラー場の<math>V</math>に関する体積分は :<math>\iiint_V F(\boldsymbol{r}) dV = \iiint_V F (\boldsymbol{r}(s, t, u)) \left\| \det \frac{\partial{(x, y, z)}}{\partial{(s, t, u)}} \right\| dsdtdu</math> で表される。 積分領域<math>V</math>が閉立体であるときは :<math>\oiiint_V F dV</math> とも書く。 また、ベクトル場 の<math>V</math>に関する体積分は、ベクトル場の成分となるスカラー場の体積分を並べたベクトル :<math>\iiint_V \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) dV = \begin{pmatrix} \iiint_V X_x(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_y(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_z(\boldsymbol{r}) dV \end{pmatrix}</math> で表される。 ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標のz軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。 :θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。 :z曲線：z軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流がz軸に平行であることから磁場はz方向に一葉且つθ方向に回転対称なので、r方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>P(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>はz軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\vec{OP}</math>のz軸への正射影ベクトルを<math>\vec{OH}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>はx軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>P</math>からxy平面に下した垂線の足<math>Q</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>P(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle OHP</math>について<math>\angle HOP=\theta</math>なので、<math>z=\overline{OH}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle OPQ</math>について<math>\angle OPQ=\theta</math>なので、<math>\overline{OQ}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{OQ}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{OQ}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標のz軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :r曲線：原点を通る半直線。 :θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。 :φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これはz軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。 ===勾配=== スカラー場の'''勾配'''（gradient）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z</math> 勾配は、幾何的にはスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは、最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからわかる。「スカラー場の各点の傾き」とは、則ち「スカラー場上の変化が最も急峻な方向及び変化の速さ」のことである。このことから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 <math>F</math>に一変数<math>f(x) ,g(y), h(z)</math>をそれぞれ代入すると、各座標軸方向の傾き（すなわち通常の導関数）を得る。このことからも、勾配がスカラー場の各点に於ける傾きを表すことが判る。 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（'''ハミルトン演算子'''<!-- 壁谷・川上「ベクトル解析入門」での呼称 -->）<math>\nabla</math>を以下のように定義する。 :<math>\nabla=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial{x}}\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z</math> この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\text{∆}</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 空間偏微分演算子を用いることで、勾配は以下のように略記される。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \nabla F</math> <math>F</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla F</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配を用いて定義される概念として、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>E</math>は :<math>E:=-\mathrm{grad} \, \phi</math> スカラー場の全微分は :<math>dF= \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{F}}{\partial{z}}dz</math> で定義された。 これを内積の成分表示とみると、ベクトル表示は :<math>dF = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> である。 すなわち、スカラー場の全微分は :<math>dF = \nabla F \cdot d\boldsymbol{v}</math> と表される。 一般に、任意方向Sの単位ベクトルが方向余弦ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>で表されるとすると、<math>\boldsymbol{n}</math>方向の方向微分係数は勾配と方向余弦ベクトルの内積で表される。更に、スカラー場の最大傾斜が勾配ベクトル方向であると判る。 ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{X} = \frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}} \cdot d\boldsymbol{v}</math> で定義された。 ここでn次行列 <math>\mathbf{A}</math>とn項列ベクトル <math>\boldsymbol{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \boldsymbol{X}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{X} = (\nabla \circledast \boldsymbol{X}) \cdot d\boldsymbol{v}</math> と表される。 ベクトル変数による微分を考える。ベクトル変数による微分は、変数ベクトルの各成分による偏微分を並べたベクトルで表される。 例えば、 :<math>\frac{df}{d\boldsymbol{r}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{r_x}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_y}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_z}} \end{pmatrix}</math> である。 これは<math>\boldsymbol{r}</math>の各成分が直交基底をなすとき、勾配であると考えてよい。 ===発散=== ベクトル場の'''発散'''（divergence）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \frac{\partial{X_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{X_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{X_z}}{\partial{z}}</math> 発散は、ベクトル場の各点における指力線ベクトルの流出入量の収支を表す。これは、右辺の式が「各軸方向のベクトルの大きさの変化率の和」になっていることからわかる。「発散」の辞書的定義は「自身から何かを湧出すること」であり、ベクトル場の発散の正負は夫々其の点に於ける指力線ベクトル全体としての流出・流入に対応している。故に、「divergence」を「発散」と訳出したことは妥当と考えられる。 発散はスカラー量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。<math>\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix} X_x \\ X_y \\ X_z \end{pmatrix}</math>より、発散は空間偏微分演算子を用いると以下のように表せる。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \nabla \cdot \boldsymbol{X}</math> 発散を用いた概念として、ガウスの法則が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電場<math>\boldsymbol{E}</math>、空間の誘電率<math>\varepsilon</math>とすると :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}</math> 極座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}=0</math>」を証明することができる。 ベクトル場の存在する3次元領域内に体積<math>\text{∆} v</math>の閉曲面をとる。 閉曲面の有向微小表面積を<math>d\vec{S}</math>とするとき、この微小面を通過する指力線の量は :<math>\boldsymbol{X}_n dS = \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math>（<math>\boldsymbol{X}_n</math>は法線成分） である。 この閉曲面全体を出入りする指力線の総量は面積分 :<math>\oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> で与えられる。 発散は単位体積当たりの指力線ベクトルの湧出量とも考えられるので、上式を規格化（体積で除）し体積を0に近づけた極限は発散に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \lim_{\text{∆} V \to 0} \frac{1}{\text{∆} V} \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> これを積分形に変形すると、以下の'''ガウスの発散定理'''（Gauss' divergence theorem）を得る。 :<math>\iiint_{\text{∆} V} \mathrm{div} \, \boldsymbol{X} dV = \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> 発散はまた、ヤコビ行列の跡に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{tr} (\nabla \circledast \boldsymbol{X})</math> ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」を（暗黙の諒解として）回転軸に対して右螺子の向きにとることにする（'''右手系'''）。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl、rotation、rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{X_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{X_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{X_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{X_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 z軸方向の成分について考える。 z軸方向の回転はフレミングの左手の法則からxy平面内の成分のみが寄与すると考えられる。z軸の正方向の回転を生むには、x軸方向の変化率を大きくしてy軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 x軸方向・y軸方向も同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 ここまで定性的に見てきたが、今度は定量的に考える。 回転の正式な定義は「微小領域境界を線積分した値の微小面積密度を並べたベクトル」である。これは以下のように陰に表示される。 :<math>(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}) \cdot \boldsymbol{n} := \lim_{S\to0} \frac{1}{|S|} \oint_{\partial{S}} \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>S</math>は<math>\boldsymbol{n}</math>を単位法線ベクトルとし点<math>l(\vec{l})</math>を含む微小有向面、<math>\partial{S}</math>はその境界となる微小閉曲線、<math>|S|</math>は<math>S</math>の表面積。 定義に従ってz軸方向の回転の式を導く。<math>C</math>を積分経路とする。 :<math>(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})_z = \lim_{\text{∆} S\to0} \frac{1}{|\text{∆} S|} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>= \lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( \int_{\text{∆} x} X_x (x, y, z) dl + \int_{\text{∆} y} X_y (x+\text{∆} x, y, z) dl - \int_{\text{∆} x} X_x (x, y+\text{∆} y, z) dl - \int_{\text{∆} y} X_y (x, y, z) dl \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( X_x(x, y, z) \text{∆} x + X_y(x+\text{∆} x, y, z) \text{∆} y -X_x(x, y+\text{∆} y, z) \text{∆} x - X_y(x, y, z) \text{∆} y \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} + \frac{X_y(x+\text{∆} x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x, y+\text{∆} y, z)}{\text{∆} y} - \frac{X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_y(x, y+\text{∆} y, z)-X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x+\text{∆} x, y, z) - X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} \right)</math> :<math>=\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>// 回転はベクトル量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}= \nabla \times \boldsymbol{X}</math> と表されることが判る。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ X_x & X_y & X_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\boldsymbol{E}</math>、磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されている。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転の正式な定義から、以下の'''ストークスの定理'''（Stokes' theorem）が成り立つと判る。 :<math>\int_S \mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S} = \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>C</math>は閉曲面<math>S</math>の境界曲線。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = 2 \mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 以下のように'''ラプラス演算子'''（'''ラプラス作用素'''、Laplacian）を定義する。但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 :<math>\text{∆} = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{z^2}}</math> 第二式は通常、[[w:記号の濫用]]により単に<math>\nabla^2</math>と書かれる。 スカラー場の'''ラプラシアン'''を以下のように定義する。 :<math>\text{∆} F = \frac{\partial^2F}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{z^2}}</math> ラプラス演算子の定義により、左辺は以下のように変形される。 :<math>\text{∆} F = \nabla^2 F = \nabla \cdot (\nabla F) = \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, F)</math> スカラー場のラプラシアンは、各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 ベクトル場のラプラシアンは、「各成分のラプラシアンを並べたベクトル」で表される。 :<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \text{∆} X_x \\ \text{∆} X_y \\ \text{∆} X_z \end{pmatrix}</math> ベクトル場では以下の等式が成り立つ。 :<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})</math> 回転が<math>\boldsymbol{0}</math>ならば<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{X})</math>であり、形式的に<math>(\nabla \cdot) \nabla = \nabla (\nabla \cdot) = \nabla^2</math>が成り立つ。 ラプラシアンは、ポアソン方程式やシュレディンガー方程式、拡散方程式・波動方程式など、物理学の様々な局面で登場する。 ベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>にスカラー関数<math>\phi</math>を掛けた関数について、その発散は以下であると容易に証明される。 :<math>\mathrm{div} \, (\phi\boldsymbol{X}) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \boldsymbol{X} + \phi \mathrm{div} \, \boldsymbol{X}</math> ここで、<math>\boldsymbol{X}</math>をスカラー関数<math>\psi</math>の勾配<math>\mathrm{grad} \, \psi</math>と見做すと、 :<math>\mathrm{div} \, (\phi \mathrm{grad} \, \psi) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \mathrm{grad} \, \psi + \phi \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, \psi)</math> 空間偏微分演算子及びラプラス演算子を用いて表記すると、 :<math>\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = \nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi</math> 両辺を三次元領域Vに関して体積分すると、 :<math>\int_V \nabla (\phi \nabla \psi) dV = \int_V (\nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi) dV</math> Vの境界曲面をSとして左辺にガウスの発散定理を適用すると、 :<math>\oint_S (\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi) dV</math> これを'''グリーンの第一定理'''（Green's first theorem）という。 グリーンの第一定理に於いて、<math>\phi</math>と<math>\psi</math>を入れ替えた式は :<math>\oint_S (\psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\psi \text{∆} \phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi) dV</math> 元の式との差をとると :<math>\int_S (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの第二定理'''（Green's second theorem）という。 <math>S</math>の単位法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>、その方向の軸を<math>n</math>とすると、 :<math>(\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = (\phi \nabla \psi) \cdot \boldsymbol{n} dS = \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} dS</math> グリーンの第二定理の左辺を書き換えて :<math>\int_S \left( \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi \frac{\partial{\phi}}{\partial{n}} \right) dS = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの定理'''（Green's theorem）という。 ===積分定理=== {{節stub}} この節では、上述したガウスの発散定理、ストークスの定理、グリーンの定理を厳密な議論により証明する。 *ガウスの発散定理の証明 *ストークスの定理の証明 *グリーンの定理の証明 ;補足事項 一般に<math>\mathrm{rot} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})=0</math>が成り立つ。証明は下記の演習問題で行う。 <math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}</math>を満たすベクトル場<math>\boldsymbol{x}</math>を'''層状ベクトル場'''（lamellar vector field）という。回転を持たないことから'''非回転的ベクトル場'''（irrotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\boldsymbol{x} = \mathrm{grad} \, f</math>となるスカラー場<math>f</math>が存在する。この<math>f</math>を、<math>\boldsymbol{x}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）という。 <math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{y} = 0</math>を満たすスカラー場<math>\boldsymbol{y}</math>を'''管状ベクトル場'''（solenoidal vector field）という。発散を持たないことから'''回転的ベクトル場'''（rotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\boldsymbol{y} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{g}</math>となるベクトル場<math>\boldsymbol{g}</math>が存在する。この<math>\boldsymbol{g}</math>を、<math>\boldsymbol{y}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。 スカラーポテンシャル及びベクトルポテンシャルの存在は、[[w:ポアンカレの補題]]の特別な場合であり、ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^n</math>では一般に成り立つ。 ;演習問題 #<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)= \begin{pmatrix} yz \\ zx \\ xy \end{pmatrix}</math>の曲率・捩率・流線方程式を求めよ。但し、 #<math>\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^\sqrt{1-z^2} \int_{-\sqrt{1-z^2-y^2}}^\sqrt{1-z^2-y^2} dxdydz</math>を円筒座標または極座標に変数変換し、計算せよ。 #<math>\mathrm{rot} \, (\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}) = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} + \mathrm{rot} \, \boldsymbol{Y}</math>を示せ。 #<math>\mathrm{curl} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})=0</math>を証明せよ。 #<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})</math>を確かめよ。 #線素ベクトル・面素ベクトル・体素を円筒座標系の基本ベクトルを用いて表せ。 #極座標系に於ける勾配・発散・回転・ラプラシアンを導出せよ。 #層状ベクトル場上の線積分は積分経路に依存せず、始点と終点のみに依存することを証明せよ。 #<math>\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} 3x \\ 5y \\ 7z \end{pmatrix}</math>とする。円筒側面<math>x^2+y^2=1, -2\leq z \leq 2</math>上での面積分を求めよ。但し、面積ベクトルは円筒面に対して外向きとする。 ==複素ベクトル解析== [[複素解析学]]も参照。 {{節stub}} ==n次元== {{節stub}} ===多様体=== {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} ===微分形式=== ===勾配・発散=== {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] gn5r1x385w6thlrgf42qapdmjukkckw 2 47561 298836 298733 2026-04-26T07:26:11Z AkiR27User 90873 298836 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ|トランプゲーム]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※4/20時点 以下のページに気になることがございましたら[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/クロンダイク|クロンダイク]] * [[トランプ/スピード|スピード]] * [[トランプ/ジンラミー|ジンラミー]] * [[トランプ/15点|15点]] * [[トランプ/ババ抜き|ババ抜き]] * [[トランプ/七並べ|七並べ]] * [[トランプ/神経衰弱|神経衰弱]] * [[トランプ/戦争|戦争]] * [[トランプ/ページワン|ページワン]] * [[トランプ/うすのろ|うすのろ]] * [[トランプ/ダウト|ダウト]] * [[トランプ/ぶたのしっぽ|ぶたのしっぽ]] * [[トランプ/たこ焼き|たこ焼き]] * [[トランプ/アメリカンページワン|アメリカンページワン]] * [[トランプ/セブンブリッジ|セブンブリッジ]] * [[トランプ/ハーツ|ハーツ]] * [[トランプ/ノー・カード|ノー・カード]] * [[トランプ/フォア・ジャックス|フォア・ジャックス]] * [[トランプ/29|29]] * [[トランプ/51|51]] * [[トランプ/ローリング・ストーン|ローリング・ストーン]] * [[トランプ/銀行|銀行]] * [[トランプ/お金|お金]] * [[トランプ/ホイスト|ホイスト]] * [[トランプ/大富豪|大富豪]]（[[トランプ/大富豪|大貧民]]） * [[トランプ/ナポレオン|ナポレオン]] * [[トランプ/ポーカー|ポーカー]] * [[トランプ/ブラックジャック|ブラックジャック]] * [[コントラクトブリッジ]] * [[トランプ/ニックネーム|ニックネーム]] * [[トランプ/ウインクキラー|ウインクキラー]] '''作成''' * [[トランプ/クロック|クロック]] * [[スラップジャック]] * [[トランプ/かぶ|かぶ]] * [[ペアーズ]] * [[エジプシャン・ラットスクリュー]] * [[カシノ]] * [[トランプ/99|99]] * [[トランプ/スプーン|スプーン]] * [[トランプ/スナップ|スナップ]] * [[スカット]] * [[カナスタ]] * [[トランプ/ユーカ|ユーカ]] * [[トランプ/ピノクル|ピノクル]] * [[トランプ/サブリナ|サブリナ]] * [[トランプ/ブリスコラ・チアマータ|ブリスコラ・チアマータ]] * [[トランプ/ユッシ|ユッシ]] * [[トランプ/インディアン・ポーカー|インディアン・ポーカー]] * [[トランプ/ケンプス|ケンプス]] * [[トランプ/ピッグ|ピッグ]] * [[トランプ/キャッチ・ザ・エース|キャッチ・ザ・エース]] * [[トランプ/カシノ・ウォー|カシノ・ウォー]] * 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<s>2026/04/18：トランプゲームに関する沢山のページに、私が新しく作ったカテゴリ[3人以上で遊べるトランプゲーム]を追加します。編集履歴(あるのかはわかりませんが…)の同じ時間帯に編集したことが沢山出てくると思いますが、荒らしではないということをご了承ください。</s> <s>すみません。また新しいカテゴリを作成しましたのでよろしくお願いいたします。</s> 完了しました。 06otnd6luhrz3qsh1d24803tl6p1fmb 298840 298836 2026-04-26T10:11:33Z AkiR27User 90873 クオドリベット追加 298840 wikitext text/x-wiki AkiR27Userです。主に趣味の'''[[トランプ|トランプゲーム]]'''に関したページを作成・編集を行っています。初心者で拙いところもありますが、どうぞよろしくお願いします。 作成・編集ページに関して気になることや、ご指摘がありましたら、ぜひ[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。今後の改善に役立てたいと思います。 == '''作成・編集ページ''' == ※4/20時点 以下のページに気になることがございましたら[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[トランプ]] * [[トランプ/クロンダイク|クロンダイク]] * [[トランプ/スピード|スピード]] * [[トランプ/ジンラミー|ジンラミー]] * [[トランプ/15点|15点]] * [[トランプ/ババ抜き|ババ抜き]] * [[トランプ/七並べ|七並べ]] * [[トランプ/神経衰弱|神経衰弱]] * [[トランプ/戦争|戦争]] * [[トランプ/ページワン|ページワン]] * [[トランプ/うすのろ|うすのろ]] * [[トランプ/ダウト|ダウト]] * [[トランプ/ぶたのしっぽ|ぶたのしっぽ]] * [[トランプ/たこ焼き|たこ焼き]] * [[トランプ/アメリカンページワン|アメリカンページワン]] * [[トランプ/セブンブリッジ|セブンブリッジ]] * [[トランプ/ハーツ|ハーツ]] * [[トランプ/ノー・カード|ノー・カード]] * 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2026/03/15：wikibooksをやり続けて、デフォルトソートが理解できました。今まで私が過去に作成したページを編集してデフォルトソートを追加・編集してくれた方々、ありがとうございます。 2026/03/20：100回編集達成しました。これからもよろしくお願いします 2026/03/29：まだ未熟なところもありますが、頑張ります！1000回編集目指します!! 2026/04/05：1か月間ページ作成・編集を行っていましたが、口調が堅かったですね…もうちょっとやさしめな感じで、作成します！！ 2026/04/10：作成したページに出典を付けてページの信頼度を高めます！ 2026/04/17：300回編集達成しました！話変わりますが、“自動承認された利用者”は、アカウント作成から4日かつ10回編集が条件なのですが…。まだ「自動承認されました」が来てないのでわかりません…(通知来るのかな…)。 2026/04/19：400回編集達成しました!! == '''概要''' == 2026/03/03：アカウント作成&初編集 2026/03/04：10回編集達成 2026/03/20：100回編集達成 == '''謝罪''' == ※2026/03/24の活動休止宣言について、混乱を招いてしまい申し訳ありません。気持ちが落ち着いたため、編集を続けることにしました。今後は軽率な宣言を控え、落ち着いて活動していきます。 謝罪ページ知らぬ間に削除していました…申し訳ございません。 == '''お知らせ''' == <s>2026/04/18：トランプゲームに関する沢山のページに、私が新しく作ったカテゴリ[3人以上で遊べるトランプゲーム]を追加します。編集履歴(あるのかはわかりませんが…)の同じ時間帯に編集したことが沢山出てくると思いますが、荒らしではないということをご了承ください。</s> <s>すみません。また新しいカテゴリを作成しましたのでよろしくお願いいたします。</s> 完了しました。 cpthvdkfeu84zvi1t7xejldm59gh95d 0 47884 298812 298777 2026-04-25T12:42:35Z Tomzo 248 これはご指摘通り 298812 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 また、本コラムや[[初等数学公式集/解析幾何/証明|本章の証明]]では、できるかぎり計算過程を残すようにしている。大学など高等数学で取り扱う場合には、多くは結論を理解することが目的であり、逆に結論さえ理解していれば、結論への過程は忘れていいものであるが、ここでは、上で述べたとおり実際の過程（計算）の結果として結論（公式）が導き出せることの「発見」を期待するものだからである。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直交するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直交の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直交するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直交するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直交するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直交する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直交するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== :（高等数学での取り扱いは[[線型代数学/ベクトル#外積]]を参照） ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さを③右手系の方向にとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> {{wikipedia|クロス積}} :;「外積」の呼称 ::「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼称することで統一する。 [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ② :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量（実際には、これは「面積を長さとして表現する」ために方向（法線方向）を付け加えた量とみなすことができる）が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ③ :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、'''反交換法則'''と呼ぶことがある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#::（注意点） :#:::[[初等数学公式集/解析幾何/証明|本章の証明]]や[[#三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル|上記の振り返り]]などでは、正負いずれの方向であっても支障がなかったため、「向き」を特定した解法をとっておらず、また、上で説明したベクトルの量が関係する算式であっても2乗するなり絶対値を取るなりすることで正負の違いが解消されていたこともあって、この性質を厳密に適用していないが、「外積」計算自体では「向き」を一方に特定する必要がある。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記の通り交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> #<span id="計算則8"></span><math> (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2</math> #:<math>\because</math> 内積の定義より<math>\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} </math>、したがって、<math>{\cos}^2 \theta = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{| \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2} </math> #::また、外積の定義より<math>\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta \vec{n}</math>、したがって、<math>|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = | \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2 {\sin}^2 \theta </math>（<math>\because</math> <math>\vec{n}</math>は単位ベクトルであるから、<math>|\vec{n}|^2 = 1</math>） #::よって、<math>{\sin}^2 \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|^2}{| \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2 }</math> #:※内積は「同じ方向の成分」、外積は「垂直方向の成分」を表しており、この式はそれらが直交的に分解されていることを意味している。 ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基本ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基本ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}) \times (x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 :#::なお、[[#計算則8|上記外積の計算8.]]を用いると、<math> |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a} \times \vec{b}|^2 </math> であり、式を展開せず外積を利用できる。 ===外積の応用と用途=== ====平行六面体==== {{wikipedia|平行六面体}} [[File:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|右|250px|サムネイル|ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体]] :原点<math>O</math>ではない、空間上の異なる点<math>A, B, C</math>について<math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}</math> として、点<math>D, E, F, G</math>を<math>\overrightarrow{OD} = \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OE} = \vec{b}+\vec{c}, \overrightarrow{OF} = \vec{c}+ \vec{a}, \overrightarrow{OG} = \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}</math> となるようにとる。 :この、点<math>O, A, B, C, D, E, F, G</math>で囲まれる立体は、6面の平行四辺形で構成されている立体であり平行六面体と呼ばれる。なお、直方体や立方体も平行六面体の一種である。 :（ベクトル方程式としては、<math>s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}</math>（ただし<math>0 \le s, t, u \le 1</math>）を領域とする立体とも表現される） :;平行六面体の体積 ::この平行六面体の体積は、平行四辺形<math>OADB</math>の面積<math>S</math>に、平行四辺形<math>OADB</math>に相対する平行四辺形<math>CFEG</math>までの距離（高さ）<math>h</math>をかけた<math>Sh</math>である。 ::この値は、外積を使うことにより、簡単に求められる。 :::平行四辺形<math>OADB</math>は、ベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math>により、作られる図形であり、外積の定義から<math>|\vec{a} \times \vec{b}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい。 :::また、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>は、平行四辺形<math>OADB</math>に垂直であることから、高さの方向ベクトルの向きになっている。ここで、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>ともう一つの要素である<math>\vec{c}</math>の成す角を<math>\theta</math>とすると、<math>h = |\vec{c}| \cos \theta</math>となる。 :::<math>\cos \theta</math> を得るのには内積を用いれば良いので、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>と<math>\vec{c}</math>の内積を計算する。 ::::<math>| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |= ||\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta| = Sh</math> :::と、<math>\cos \theta</math>の値を得るまでもなく、体積を得ることができた。 :したがって、ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体の体積は、<math> |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|</math> と表すことができる。 :;四面体の体積 ::原点<math>O, A, B, C</math>による四面体の体積は上記平行六面体の体積から簡単に求めることができる。 :::点<math>C</math>を頂点とし、平行四辺形<math>OADB</math>を底面とする四角錐は、上記平行六面体と共通の高さを持つので、体積は平行六面体の<math>\frac{1}{3}</math>である。 :::原点<math>O, A, B, C</math>による四面体は、点<math>C</math>を頂点とし<math>\triangle OAB</math>を底面とする三角錐であり、<math>\triangle OAB</math>は平行四辺形<math>OADB</math>の一部であり、その面積は平行四辺形<math>OADB</math>の<math>\frac{1}{2}</math>であるので、体積は上記四角錐の<math>\frac{1}{2}</math>である。 :::したがって、原点<math>O, A, B, C</math>による四面体の体積は<math>\frac{|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|}{6}</math> と表すことができる。 ::::※[[初等数学公式集/解析幾何#四面体|公式集]]における以下の式は、原点<math>O(0, 0, 0)</math>および3点<math>P,Q,R</math>について、<math>\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}</math>として、成分表示によったものである。 :::::<math>\frac{|a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1 |}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_1 c_2 - b_2 c_1) a_3 + (c_1 a_2 - c_2 a_1) b_3 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) c_3 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR}|}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_1 c_3 - b_3 c_1) a_2 + (c_1 a_3 - c_3 a_1) b_2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1) c_2 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OR}) \cdot \overrightarrow{OQ}|}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_2 c_3 - b_3 c_2) a_1 + (c_2 a_3 - c_3 a_2) b_1 + (a_2 b_3 - a_3 b_2) c_1 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OQ} \times \overrightarrow{OR}) \cdot \overrightarrow{OP}|}{6}</math> ::::::（順序の違いにより符号は変わりうるが、絶対値は一致する） ====外積の用途==== 外積は、空間の位置関係の把握だけでなく様々な分野で用いられる。 =====物理計算===== ;力のモーメント（トルク） {{wikipedia|力のモーメント}} [[File:Torque_animation.gif|thumb|right|400px|<small>固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント <math>\vec{\tau}</math>と位置ベクトル <math>\vec{r}</math> と力 <math>\vec{F}</math> との関係（上の式:本文に示す）、なお、下の式は角運動量 <math>\vec{L}</math> と位置ベクトル <math>\vec{r}</math> と運動量 <math>\vec{p}</math> との関係である（参考）。</small>]] ::ある点<math>P</math>のまわりの、物体を回転させる作用の強さを表す「力のモーメント（特に回転軸を持つものを「トルク」という）」は、 :::<math>r</math>：点<math>P</math>と力の及ぼされる点（作用点）を結ぶ位置ベクトル :::<math>F</math>：力 ::として、 :::<math>\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}</math> ::によって定義されるベクトルである。 ::この式から、 ::*大きさ：<math>|\vec{r}| |\vec{F}| \sin{\theta}</math>（回転の強さ） ::*向き：右ねじの方向（回転軸） ::が同時に表されていることがわかる。 ::力のモーメントは「どれだけ回そうとするか」という量であり、力の大きさだけでなく、作用点の位置と方向の関係によって決まる。特に、力の向きが回転軸に垂直な成分だけが回転に寄与する。そのため、単なる積ではなく、外積という形で表される。 ::高校物理では、未履修であるため外積を用いずに「距離×力」や「回転方向の符号」で扱っているが、これらはこの式の一部だけを取り出したものである。 ::（[[高等学校物理/力学#角運動量と力のモーメント]]参照） :{{-}} ;磁場中を運動する電荷に働く力（ローレンツ力） {{wikipedia|ローレンツ力}} [[File:Lorentzkraft-graphic-part1.PNG|thumb|ローレンツ力の向き。電荷で考えた場合。<br>速度<math>\vec{v}</math>から磁束密度<math>\vec{B}</math>に右ねじを回した向きがローレンツ力<math>\vec{F}</math>の向き。]] :荷電粒子が磁場中を動いているとき、磁場から力を受ける。これを「ローレンツ力」という。 :ここで、 ::<math>q</math>：荷電粒子の電荷 ::<math>\vec{v}</math>：荷電粒子の速度（方向と「速さ」を持つベクトル。なお、電荷が負の場合は力の向きは逆になる。） ::<math>\vec{B}</math>：磁束密度（ベクトル） :とすると、電荷に働くローレンツ力は、 ::<math>\vec{F}= q(\vec{v} \times \vec{B})</math> :とベクトルの形式で表される。 :磁場による力は、速度と磁場の両方に垂直な方向に働く。したがって、磁場は粒子の速さを変えるのではなく、進行方向だけを変える働きをする。 :　 :高校物理での取り扱いは、以下を参照。 :*[[高等学校物理基礎/電気と磁気#ローレンツ力]] :*[[高校物理_電磁気学#ローレンツ力]] {{-}} これらの例からわかるように、外積は単なる計算規則ではなく、「空間の向き（右手系）」と「大きさ（面積や回転の強さ）」を同時に表現する統一的な仕組みである。 =====意外な利用法:コンピューター・グラフィック===== コンピューター・グラフィックでは、物体の表面の向きを求めるために外積が用いられる。ポリゴン（多角形）の2辺ベクトルの外積を取ることで、その面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を得ることができ、これが光の当たり方（陰影計算）に利用される。 ===さらに発展:外積と行列=== {{stub|高}} [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] 2tevk88cgj6f93rnx98elmu591d5hz3 298833 298812 2026-04-26T06:37:51Z Tomzo 248 298833 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 また、本コラムや[[初等数学公式集/解析幾何/証明|本章の証明]]では、できるかぎり計算過程を残すようにしている。大学など高等数学で取り扱う場合には、多くは結論を理解することが目的であり、逆に結論さえ理解していれば、結論への過程は忘れていいものであるが、ここでは、上で述べたとおり実際の過程（計算）の結果として結論（公式）が導き出せることの「発見」を期待するものだからである。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直交するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直交の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直交するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直交するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直交するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直交する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直交するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== :（高等数学での取り扱いは[[線型代数学/ベクトル#外積]]を参照） ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さを③右手系の方向にとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> {{wikipedia|クロス積}} :;「外積」の呼称 ::「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼称することで統一する。 [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ② :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量（実際には、これは「面積を長さとして表現する」ために方向（法線方向）を付け加えた量とみなすことができる）が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ③ :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、'''反交換法則'''と呼ぶことがある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#::（注意点） :#:::[[初等数学公式集/解析幾何/証明|本章の証明]]や[[#三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル|上記の振り返り]]などでは、正負いずれの方向であっても支障がなかったため、「向き」を特定した解法をとっておらず、また、上で説明したベクトルの量が関係する算式であっても2乗するなり絶対値を取るなりすることで正負の違いが解消されていたこともあって、この性質を厳密に適用していないが、「外積」計算自体では「向き」を一方に特定する必要がある。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記の通り交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> #<span id="計算則8"></span><math> (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2</math> #:<math>\because</math> 内積の定義より<math>\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} </math>、したがって、<math>{\cos}^2 \theta = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{| \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2} </math> #::また、外積の定義より<math>\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta \vec{n}</math>、したがって、<math>|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = | \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2 {\sin}^2 \theta </math>（<math>\because</math> <math>\vec{n}</math>は単位ベクトルであるから、<math>|\vec{n}|^2 = 1</math>） #::よって、<math>{\sin}^2 \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|^2}{| \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2 }</math> #:※内積は「同じ方向の成分」、外積は「垂直方向の成分」を表しており、この式はそれらが直交的に分解されていることを意味している。 ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基本ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基本ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}) \times (x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 :#::なお、[[#計算則8|上記外積の計算8.]]を用いると、<math> |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a} \times \vec{b}|^2 </math> であり、式を展開せず外積を利用できる。 ===外積の応用と用途=== ====平行六面体==== {{wikipedia|平行六面体}} [[File:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|右|250px|サムネイル|ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体]] :原点<math>O</math>ではない、空間上の異なる点<math>A, B, C</math>について<math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}</math> として、点<math>D, E, F, G</math>を<math>\overrightarrow{OD} = \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OE} = \vec{b}+\vec{c}, \overrightarrow{OF} = \vec{c}+ \vec{a}, \overrightarrow{OG} = \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}</math> となるようにとる。 :この、点<math>O, A, B, C, D, E, F, G</math>で囲まれる立体は、6面の平行四辺形で構成されている立体であり平行六面体と呼ばれる。なお、直方体や立方体も平行六面体の一種である。 :（ベクトル方程式としては、<math>s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}</math>（ただし<math>0 \le s, t, u \le 1</math>）を領域とする立体とも表現される） :;平行六面体の体積 ::この平行六面体の体積は、平行四辺形<math>OADB</math>の面積<math>S</math>に、平行四辺形<math>OADB</math>に相対する平行四辺形<math>CFEG</math>までの距離（高さ）<math>h</math>をかけた<math>Sh</math>である。 ::この値は、外積を使うことにより、簡単に求められる。 :::平行四辺形<math>OADB</math>は、ベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math>により、作られる図形であり、外積の定義から<math>|\vec{a} \times \vec{b}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい。 :::また、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>は、平行四辺形<math>OADB</math>に垂直であることから、高さの方向ベクトルの向きになっている。ここで、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>ともう一つの要素である<math>\vec{c}</math>の成す角を<math>\theta</math>とすると、<math>h = |\vec{c}| \cos \theta</math>となる。 :::<math>\cos \theta</math> を得るのには内積を用いれば良いので、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>と<math>\vec{c}</math>の内積を計算する。 ::::<math>| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |= ||\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta| = Sh</math> :::と、<math>\cos \theta</math>の値を得るまでもなく、体積を得ることができた。 :したがって、ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体の体積は、<math> |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|</math> と表すことができる。 :;四面体の体積 ::原点<math>O, A, B, C</math>による四面体の体積は上記平行六面体の体積から簡単に求めることができる。 :::点<math>C</math>を頂点とし、平行四辺形<math>OADB</math>を底面とする四角錐は、上記平行六面体と共通の高さを持つので、体積は平行六面体の<math>\frac{1}{3}</math>である。 :::原点<math>O, A, B, C</math>による四面体は、点<math>C</math>を頂点とし<math>\triangle OAB</math>を底面とする三角錐であり、<math>\triangle OAB</math>は平行四辺形<math>OADB</math>の一部であり、その面積は平行四辺形<math>OADB</math>の<math>\frac{1}{2}</math>であるので、体積は上記四角錐の<math>\frac{1}{2}</math>である。 :::したがって、原点<math>O, A, B, C</math>による四面体の体積は<math>\frac{|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|}{6}</math> と表すことができる。 ::::※[[初等数学公式集/解析幾何#四面体|公式集]]における以下の式は、原点<math>O(0, 0, 0)</math>および3点<math>P,Q,R</math>について、<math>\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}</math>として、成分表示によったものである。 :<span id="四面体の体積"></span> :::::<math>\frac{|a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1 |}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_1 c_2 - b_2 c_1) a_3 + (c_1 a_2 - c_2 a_1) b_3 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) c_3 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR}|}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_1 c_3 - b_3 c_1) a_2 + (c_1 a_3 - c_3 a_1) b_2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1) c_2 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OR}) \cdot \overrightarrow{OQ}|}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_2 c_3 - b_3 c_2) a_1 + (c_2 a_3 - c_3 a_2) b_1 + (a_2 b_3 - a_3 b_2) c_1 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OQ} \times \overrightarrow{OR}) \cdot \overrightarrow{OP}|}{6}</math> ::::::（順序の違いにより符号は変わりうるが、絶対値は一致する） ====外積の用途==== 外積は、空間の位置関係の把握だけでなく様々な分野で用いられる。 =====物理計算===== ;力のモーメント（トルク） {{wikipedia|力のモーメント}} [[File:Torque_animation.gif|thumb|right|400px|<small>固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント <math>\vec{\tau}</math>と位置ベクトル <math>\vec{r}</math> と力 <math>\vec{F}</math> との関係（上の式:本文に示す）、なお、下の式は角運動量 <math>\vec{L}</math> と位置ベクトル <math>\vec{r}</math> と運動量 <math>\vec{p}</math> との関係である（参考）。</small>]] ::ある点<math>P</math>のまわりの、物体を回転させる作用の強さを表す「力のモーメント（特に回転軸を持つものを「トルク」という）」は、 :::<math>r</math>：点<math>P</math>と力の及ぼされる点（作用点）を結ぶ位置ベクトル :::<math>F</math>：力 ::として、 :::<math>\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}</math> ::によって定義されるベクトルである。 ::この式から、 ::*大きさ：<math>|\vec{r}| |\vec{F}| \sin{\theta}</math>（回転の強さ） ::*向き：右ねじの方向（回転軸） ::が同時に表されていることがわかる。 ::力のモーメントは「どれだけ回そうとするか」という量であり、力の大きさだけでなく、作用点の位置と方向の関係によって決まる。特に、力の向きが回転軸に垂直な成分だけが回転に寄与する。そのため、単なる積ではなく、外積という形で表される。 ::高校物理では、未履修であるため外積を用いずに「距離×力」や「回転方向の符号」で扱っているが、これらはこの式の一部だけを取り出したものである。 ::（[[高等学校物理/力学#角運動量と力のモーメント]]参照） :{{-}} ;磁場中を運動する電荷に働く力（ローレンツ力） {{wikipedia|ローレンツ力}} [[File:Lorentzkraft-graphic-part1.PNG|thumb|ローレンツ力の向き。電荷で考えた場合。<br>速度<math>\vec{v}</math>から磁束密度<math>\vec{B}</math>に右ねじを回した向きがローレンツ力<math>\vec{F}</math>の向き。]] :荷電粒子が磁場中を動いているとき、磁場から力を受ける。これを「ローレンツ力」という。 :ここで、 ::<math>q</math>：荷電粒子の電荷 ::<math>\vec{v}</math>：荷電粒子の速度（方向と「速さ」を持つベクトル。なお、電荷が負の場合は力の向きは逆になる。） ::<math>\vec{B}</math>：磁束密度（ベクトル） :とすると、電荷に働くローレンツ力は、 ::<math>\vec{F}= q(\vec{v} \times \vec{B})</math> :とベクトルの形式で表される。 :磁場による力は、速度と磁場の両方に垂直な方向に働く。したがって、磁場は粒子の速さを変えるのではなく、進行方向だけを変える働きをする。 :　 :高校物理での取り扱いは、以下を参照。 :*[[高等学校物理基礎/電気と磁気#ローレンツ力]] :*[[高校物理_電磁気学#ローレンツ力]] {{-}} これらの例からわかるように、外積は単なる計算規則ではなく、「空間の向き（右手系）」と「大きさ（面積や回転の強さ）」を同時に表現する統一的な仕組みである。 =====意外な利用法:コンピューター・グラフィック===== コンピューター・グラフィックでは、物体の表面の向きを求めるために外積が用いられる。ポリゴン（多角形）の2辺ベクトルの外積を取ることで、その面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を得ることができ、これが光の当たり方（陰影計算）に利用される。 ===さらに発展:外積と行列=== 最後に、外積と行列の関係に触れる。現在の高校数学において、「[[行列]]」も本格的に取り上げられているわけではないため、ここでは、あまり深く立ち入らず、「外積」と「行列」という数学的な操作が、何か関係していろうだ、という現象にちょっとだけ触れる。「行列」自体は、本Wikibooks内にも教科書があるので、あまり馴染みのない読者は、斜め読みで良いからその箇所を読んで読み進めてほしい（[[行列 (高校数学)]]、[[行列 (高校数学・発展)]]など）。 ;行列式 :まず、ここで、行列の演算の中で重要な「行列式」について復習しておく。 :二次行列<Math>A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</Math>に対し、<Math>ad-bc</Math>という式を'''行列式'''といい、<Math>|A|</Math> 又は <Math>det(A)</Math>で表す。 :これは、 :*行列<Math>A</Math>が<Math>\vec{v_1}=(a,b),\vec{v_2}=(c,d)</Math> 又は <Math>\vec{u_1}=(a,c),\vec{u_2}=(b,d)</Math>の組み合わせによるものであるとした場合、<Math>ad-bc=0</Math>ならば、<Math>\vec{v_1} \parallel \vec{v_2}</Math>、<Math>\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}</Math>となっている。 :*<Math>\vec{v_1}=(a,b),\vec{v_2}=(c,d)</Math> による平行四辺形の面積<Math>S</Math>は<Math>S=|ad-bc|</Math>で表される。 :* :*行列<Math>A</Math>に対して、<Math>AB=BA= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</Math>（単位行列）となる行列<Math>B</Math> を逆行列と言い<Math>A^{-1}</Math> と表すが、<Math>A^{-1}= \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\\ \end{pmatrix}</Math> である。 :*:従って、<Math>ad-bc \neq 0</Math>は、行列<Math>A</Math>に逆行列が存在する必要十分条件となっている。 :*行列<Math>A</Math>に対して、<math>A^2 - (a+d) A + (ad-bc) E = O</math>　が成り立つ（[[ケイリー・ハミルトンの定理]]）。 :と繰り返し登場する重要な式である。 ;外積の各成分と行列式 :以下、三次元空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> について考察する。 :この2個のベクトルで外積<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> が得られることは、繰り返し述べてきたところである。 ::ここで、<math>\vec{a}, \vec{b}</math> から、<Math>x</Math>成分を取り去ったベクトル<math>\vec{a_x}=(y_1,z_1), \vec{b_x}=(y_2,z_2)</math> を各々列ベクトルとした行列を<Math>A_x = \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{pmatrix}</Math> とする。 ::同様に、<Math>A_y = \begin{pmatrix} z_1 & z_2 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix}</Math>，<Math>A_z = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix}</Math> :さて、ここで突然ではあるが <math>(det(A_x), det(A_y), det(A_z))</math> というベクトルを考えてみる。 ::<math>(det(A_x), det(A_y), det(A_z)) = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 ) = \vec{a} \times \vec{b}</math> :という結果を得るのである。 :（すなわち、外積の各成分は、他の2成分を取り出した小行列式として表される） ;三次行列の行列式 :[[File:Schema sarrus-regel.png|alt=|thumb|サラスの方法: 左三列の行列式は、赤線で結んだ斜め三項の積の和から青線で結んだ逆斜め三項の積の和を引いたものになる。]] :行列式は二次行列だけではなく3行3列の三次行列でも定義できる。 : :この場合 :<math>A = \begin{pmatrix} a_{1 1} &a_{1 2} &a_{1 3} \\ a_{2 1} &a_{2 2} &a_{2 3} \\ a_{3 1} &a_{3 2} &a_{3 3} \end{pmatrix}</math> :に対して、 ::<math> det(A) = a_{1 1}a_{2 2}a_{3 3} + a_{1 2}a_{2 3}a_{3 1} + a_{1 3}a_{2 1}a_{3 2} - a_{1 3}a_{2 2}a_{3 1} - a_{1 1}a_{2 3}a_{3 2} - a_{1 2}a_{2 1}a_{3 3}</math> :となる。 :これは、一見覚えにくいように思えるが、右図のように考えると、二次行列同様、右下りの要素をかけあわせたものから、右上がりの要素を掛け合わせたものを引くという操作であることがわかる（[[w:サラスの方法]]、これは3次行列式の計算規則の一つの見方であり、外積の成分表示と同じ構造が現れている。なお、四次以上の行列には適用できない）。 ;三次行列の行列式と外積 :ここで、互いに一次独立であるベクトル <math>\vec{p}=(a_1, b_1, c_1)</math>, <math>\vec{q}=(a_2, b_2, c_2)</math>, <math>\vec{r}=(a_3, b_3, c_3)</math> を考える。これも、各々を列ベクトルとした行列にすると、 ::<math>A = \begin{pmatrix} a_1 &a_2 &a_3 \\ b_1 &b_2 &b_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \end{pmatrix}</math> :が得られ、この行列式を計算すると、 ::<math>det(A) = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1</math> :となる。どこかで見た覚えがないであろうか。そう、これは<math>\vec{p},\vec{q},\vec{r}</math> で作る[[#四面体の体積|四面体の体積の成分表示]]の分子の中の式である。この体積を6倍すると、<math>\vec{p},\vec{q},\vec{r}</math> で作る平行六面体の体積の絶対値の中の式となり、これはすなわち <math>(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{r}</math> となっている。 この関係がなぜ成立するかなどについては、もはやコラムの領域を超えるので割愛するが、このように、このように、外積は「面積」や「体積」といった量を、行列式という形で統一的に表す仕組みと深く結びついているということを心に留めておいてもらいたい。 [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] c4ivh7g2jfbojo6iugytncetlx8pmxx 298835 298833 2026-04-26T06:48:03Z Tomzo 248 /* さらに発展:外積と行列 */ 298835 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 また、本コラムや[[初等数学公式集/解析幾何/証明|本章の証明]]では、できるかぎり計算過程を残すようにしている。大学など高等数学で取り扱う場合には、多くは結論を理解することが目的であり、逆に結論さえ理解していれば、結論への過程は忘れていいものであるが、ここでは、上で述べたとおり実際の過程（計算）の結果として結論（公式）が導き出せることの「発見」を期待するものだからである。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直交するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直交の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直交するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直交するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直交するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直交する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直交するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== :（高等数学での取り扱いは[[線型代数学/ベクトル#外積]]を参照） ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さを③右手系の方向にとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> {{wikipedia|クロス積}} :;「外積」の呼称 ::「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼称することで統一する。 [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ② :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量（実際には、これは「面積を長さとして表現する」ために方向（法線方向）を付け加えた量とみなすことができる）が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ③ :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、'''反交換法則'''と呼ぶことがある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#::（注意点） :#:::[[初等数学公式集/解析幾何/証明|本章の証明]]や[[#三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル|上記の振り返り]]などでは、正負いずれの方向であっても支障がなかったため、「向き」を特定した解法をとっておらず、また、上で説明したベクトルの量が関係する算式であっても2乗するなり絶対値を取るなりすることで正負の違いが解消されていたこともあって、この性質を厳密に適用していないが、「外積」計算自体では「向き」を一方に特定する必要がある。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記の通り交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> #<span id="計算則8"></span><math> (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2</math> #:<math>\because</math> 内積の定義より<math>\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} </math>、したがって、<math>{\cos}^2 \theta = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{| \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2} </math> #::また、外積の定義より<math>\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta \vec{n}</math>、したがって、<math>|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = | \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2 {\sin}^2 \theta </math>（<math>\because</math> <math>\vec{n}</math>は単位ベクトルであるから、<math>|\vec{n}|^2 = 1</math>） #::よって、<math>{\sin}^2 \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|^2}{| \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2 }</math> #:※内積は「同じ方向の成分」、外積は「垂直方向の成分」を表しており、この式はそれらが直交的に分解されていることを意味している。 ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基本ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基本ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}) \times (x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 :#::なお、[[#計算則8|上記外積の計算8.]]を用いると、<math> |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a} \times \vec{b}|^2 </math> であり、式を展開せず外積を利用できる。 ===外積の応用と用途=== ====平行六面体==== {{wikipedia|平行六面体}} [[File:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|右|250px|サムネイル|ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体]] :原点<math>O</math>ではない、空間上の異なる点<math>A, B, C</math>について<math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}</math> として、点<math>D, E, F, G</math>を<math>\overrightarrow{OD} = \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OE} = \vec{b}+\vec{c}, \overrightarrow{OF} = \vec{c}+ \vec{a}, \overrightarrow{OG} = \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}</math> となるようにとる。 :この、点<math>O, A, B, C, D, E, F, G</math>で囲まれる立体は、6面の平行四辺形で構成されている立体であり平行六面体と呼ばれる。なお、直方体や立方体も平行六面体の一種である。 :（ベクトル方程式としては、<math>s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}</math>（ただし<math>0 \le s, t, u \le 1</math>）を領域とする立体とも表現される） :;平行六面体の体積 ::この平行六面体の体積は、平行四辺形<math>OADB</math>の面積<math>S</math>に、平行四辺形<math>OADB</math>に相対する平行四辺形<math>CFEG</math>までの距離（高さ）<math>h</math>をかけた<math>Sh</math>である。 ::この値は、外積を使うことにより、簡単に求められる。 :::平行四辺形<math>OADB</math>は、ベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math>により、作られる図形であり、外積の定義から<math>|\vec{a} \times \vec{b}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい。 :::また、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>は、平行四辺形<math>OADB</math>に垂直であることから、高さの方向ベクトルの向きになっている。ここで、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>ともう一つの要素である<math>\vec{c}</math>の成す角を<math>\theta</math>とすると、<math>h = |\vec{c}| \cos \theta</math>となる。 :::<math>\cos \theta</math> を得るのには内積を用いれば良いので、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>と<math>\vec{c}</math>の内積を計算する。 ::::<math>| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |= ||\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta| = Sh</math> :::と、<math>\cos \theta</math>の値を得るまでもなく、体積を得ることができた。 :したがって、ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体の体積は、<math> |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|</math> と表すことができる。 :;四面体の体積 ::原点<math>O, A, B, C</math>による四面体の体積は上記平行六面体の体積から簡単に求めることができる。 :::点<math>C</math>を頂点とし、平行四辺形<math>OADB</math>を底面とする四角錐は、上記平行六面体と共通の高さを持つので、体積は平行六面体の<math>\frac{1}{3}</math>である。 :::原点<math>O, A, B, C</math>による四面体は、点<math>C</math>を頂点とし<math>\triangle OAB</math>を底面とする三角錐であり、<math>\triangle OAB</math>は平行四辺形<math>OADB</math>の一部であり、その面積は平行四辺形<math>OADB</math>の<math>\frac{1}{2}</math>であるので、体積は上記四角錐の<math>\frac{1}{2}</math>である。 :::したがって、原点<math>O, A, B, C</math>による四面体の体積は<math>\frac{|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|}{6}</math> と表すことができる。 ::::※[[初等数学公式集/解析幾何#四面体|公式集]]における以下の式は、原点<math>O(0, 0, 0)</math>および3点<math>P,Q,R</math>について、<math>\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}</math>として、成分表示によったものである。 :<span id="四面体の体積"></span> :::::<math>\frac{|a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1 |}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_1 c_2 - b_2 c_1) a_3 + (c_1 a_2 - c_2 a_1) b_3 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) c_3 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR}|}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_1 c_3 - b_3 c_1) a_2 + (c_1 a_3 - c_3 a_1) b_2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1) c_2 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OR}) \cdot \overrightarrow{OQ}|}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_2 c_3 - b_3 c_2) a_1 + (c_2 a_3 - c_3 a_2) b_1 + (a_2 b_3 - a_3 b_2) c_1 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OQ} \times \overrightarrow{OR}) \cdot \overrightarrow{OP}|}{6}</math> ::::::（順序の違いにより符号は変わりうるが、絶対値は一致する） ====外積の用途==== 外積は、空間の位置関係の把握だけでなく様々な分野で用いられる。 =====物理計算===== ;力のモーメント（トルク） {{wikipedia|力のモーメント}} [[File:Torque_animation.gif|thumb|right|400px|<small>固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント <math>\vec{\tau}</math>と位置ベクトル <math>\vec{r}</math> と力 <math>\vec{F}</math> との関係（上の式:本文に示す）、なお、下の式は角運動量 <math>\vec{L}</math> と位置ベクトル <math>\vec{r}</math> と運動量 <math>\vec{p}</math> との関係である（参考）。</small>]] ::ある点<math>P</math>のまわりの、物体を回転させる作用の強さを表す「力のモーメント（特に回転軸を持つものを「トルク」という）」は、 :::<math>r</math>：点<math>P</math>と力の及ぼされる点（作用点）を結ぶ位置ベクトル :::<math>F</math>：力 ::として、 :::<math>\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}</math> ::によって定義されるベクトルである。 ::この式から、 ::*大きさ：<math>|\vec{r}| |\vec{F}| \sin{\theta}</math>（回転の強さ） ::*向き：右ねじの方向（回転軸） ::が同時に表されていることがわかる。 ::力のモーメントは「どれだけ回そうとするか」という量であり、力の大きさだけでなく、作用点の位置と方向の関係によって決まる。特に、力の向きが回転軸に垂直な成分だけが回転に寄与する。そのため、単なる積ではなく、外積という形で表される。 ::高校物理では、未履修であるため外積を用いずに「距離×力」や「回転方向の符号」で扱っているが、これらはこの式の一部だけを取り出したものである。 ::（[[高等学校物理/力学#角運動量と力のモーメント]]参照） :{{-}} ;磁場中を運動する電荷に働く力（ローレンツ力） {{wikipedia|ローレンツ力}} [[File:Lorentzkraft-graphic-part1.PNG|thumb|ローレンツ力の向き。電荷で考えた場合。<br>速度<math>\vec{v}</math>から磁束密度<math>\vec{B}</math>に右ねじを回した向きがローレンツ力<math>\vec{F}</math>の向き。]] :荷電粒子が磁場中を動いているとき、磁場から力を受ける。これを「ローレンツ力」という。 :ここで、 ::<math>q</math>：荷電粒子の電荷 ::<math>\vec{v}</math>：荷電粒子の速度（方向と「速さ」を持つベクトル。なお、電荷が負の場合は力の向きは逆になる。） ::<math>\vec{B}</math>：磁束密度（ベクトル） :とすると、電荷に働くローレンツ力は、 ::<math>\vec{F}= q(\vec{v} \times \vec{B})</math> :とベクトルの形式で表される。 :磁場による力は、速度と磁場の両方に垂直な方向に働く。したがって、磁場は粒子の速さを変えるのではなく、進行方向だけを変える働きをする。 :　 :高校物理での取り扱いは、以下を参照。 :*[[高等学校物理基礎/電気と磁気#ローレンツ力]] :*[[高校物理_電磁気学#ローレンツ力]] {{-}} これらの例からわかるように、外積は単なる計算規則ではなく、「空間の向き（右手系）」と「大きさ（面積や回転の強さ）」を同時に表現する統一的な仕組みである。 =====意外な利用法:コンピューター・グラフィック===== コンピューター・グラフィックでは、物体の表面の向きを求めるために外積が用いられる。ポリゴン（多角形）の2辺ベクトルの外積を取ることで、その面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を得ることができ、これが光の当たり方（陰影計算）に利用される。 ===さらに発展:外積と行列=== 最後に、外積と行列の関係に触れる。現在の高校数学において、「[[行列]]」も本格的に取り上げられているわけではないため、ここでは、あまり深く立ち入らず、「外積」と「行列」という数学的な操作が、何か関係していろうだ、という現象にちょっとだけ触れる。「行列」自体は、本Wikibooks内にも教科書があるので、あまり馴染みのない読者は、斜め読みで良いからその箇所を読んで読み進めてほしい（[[行列 (高校数学)]]、[[行列 (高校数学・発展)]]など）。 ;行列式 :まず、ここで、行列の演算の中で重要な「行列式」について復習しておく。 :二次行列<Math>A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</Math>に対し、<Math>ad-bc</Math>という式を'''行列式'''といい、<Math>|A|</Math> 又は <Math>det(A)</Math>で表す。 :これは、 :*行列<Math>A</Math>が<Math>\vec{v_1}=(a,b),\vec{v_2}=(c,d)</Math> 又は <Math>\vec{u_1}=(a,c),\vec{u_2}=(b,d)</Math>の組み合わせによるものであるとした場合、<Math>ad-bc=0</Math>ならば、<Math>\vec{v_1} \parallel \vec{v_2}</Math>、<Math>\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}</Math>となっている。 :*<Math>\vec{v_1}=(a,b),\vec{v_2}=(c,d)</Math> による平行四辺形の面積<Math>S</Math>は<Math>S=|ad-bc|</Math>で表される。 :* :*行列<Math>A</Math>に対して、<Math>AB=BA= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</Math>（単位行列）となる行列<Math>B</Math> を逆行列と言い<Math>A^{-1}</Math> と表すが、<Math>A^{-1}= \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\\ \end{pmatrix}</Math> である。 :*:従って、<Math>ad-bc \neq 0</Math>は、行列<Math>A</Math>に逆行列が存在する必要十分条件となっている。 :*行列<Math>A</Math>に対して、<math>A^2 - (a+d) A + (ad-bc) E = O</math>　が成り立つ（[[ケイリー・ハミルトンの定理]]）。 :と繰り返し登場する重要な式である。 ;外積の各成分と行列式 :以下、三次元空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> について考察する。 :この2個のベクトルで外積<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> が得られることは、繰り返し述べてきたところである。 ::ここで、<math>\vec{a}, \vec{b}</math> から、<Math>x</Math>成分を取り去ったベクトル<math>\vec{a_x}=(y_1,z_1), \vec{b_x}=(y_2,z_2)</math> を各々列ベクトルとした行列を<Math>A_x = \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{pmatrix}</Math> とする。 ::同様に、<Math>A_y = \begin{pmatrix} z_1 & z_2 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix}</Math>，<Math>A_z = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix}</Math> :さて、ここで突然ではあるが <math>(det(A_x), det(A_y), det(A_z))</math> というベクトルを考えてみる。 ::<math>(det(A_x), det(A_y), det(A_z)) = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 ) = \vec{a} \times \vec{b}</math> :という結果を得るのである。 :（すなわち、外積の各成分は、他の2成分を取り出した小行列式として表される） ;三次行列の行列式 :[[File:Schema sarrus-regel.png|alt=|thumb|サラスの方法: 左三列の行列式は、赤線で結んだ斜め三項の積の和から青線で結んだ逆斜め三項の積の和を引いたものになる。]] :行列式は二次行列だけではなく3行3列の三次行列でも定義できる。 : :この場合 :<math>A = \begin{pmatrix} a_{1 1} &a_{1 2} &a_{1 3} \\ a_{2 1} &a_{2 2} &a_{2 3} \\ a_{3 1} &a_{3 2} &a_{3 3} \end{pmatrix}</math> :に対して、 ::<math> det(A) = a_{1 1}a_{2 2}a_{3 3} + a_{1 2}a_{2 3}a_{3 1} + a_{1 3}a_{2 1}a_{3 2} - a_{1 3}a_{2 2}a_{3 1} - a_{1 1}a_{2 3}a_{3 2} - a_{1 2}a_{2 1}a_{3 3}</math> :となる。 :これは、一見覚えにくいように思えるが、右図のように考えると、二次行列同様、右下りの要素をかけあわせたものから、右上がりの要素を掛け合わせたものを引くという操作であることがわかる（[[w:サラスの方法]]、これは3次行列式の計算規則の一つの見方であり、外積の成分表示と同じ構造が現れている。なお、四次以上の行列には適用できない）。 ;三次行列の行列式と外積 :ここで、互いに一次独立であるベクトル <math>\vec{p}=(a_1, b_1, c_1)</math>, <math>\vec{q}=(a_2, b_2, c_2)</math>, <math>\vec{r}=(a_3, b_3, c_3)</math> を考える。これも、各々を列ベクトルとした行列にすると、 ::<math>A = \begin{pmatrix} a_1 &a_2 &a_3 \\ b_1 &b_2 &b_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \end{pmatrix}</math> :が得られ、この行列式を計算すると、 ::<math>det(A) = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1</math> :となる。どこかで見た覚えがないであろうか。そう、これは<math>\vec{p},\vec{q},\vec{r}</math> で作る[[#四面体の体積|四面体の体積の成分表示]]の分子の中の式である。この体積を6倍すると、<math>\vec{p},\vec{q},\vec{r}</math> で作る平行六面体の体積の絶対値の中の式となり、これはすなわち <math>(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{r}</math> となっている。 この関係がなぜ成立するかなどについては、もはやコラムの領域を超えるので割愛するが、このように、外積は「面積」や「体積」といった量を、行列式という形で統一的に表す仕組みと深く結びついているということを心に留めておいてもらいたい。 [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] nd0haqttyt3f0jr96wircv91e37edgt 298837 298835 2026-04-26T08:42:01Z Tomzo 248 /* さらに発展:外積と行列 */ 298837 wikitext text/x-wiki このページは、[[初等数学公式集/解析幾何|初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項]]についてのコラムである。 高校数学における三次元の問題の多くは、「計算すれば求まる」ように作られている。しかしその計算は、しばしば試行錯誤的であり、どこに向かっているのか見えにくい場合もある。 本コラムで扱う内容は、そのような計算の背後にある構造を示すものである。すなわち、「なぜその形の計算をすればよいのか」「どの方向に進めばよいのか」という見通しを与える“地図”のような役割を果たすものである。 学習指導要領に定められた高校数学の範囲を超える事項について言及する場合があり、このページの内容や登場する数式を暗記することはもちろん必要ないし、すべてを理解することを目的とはしていない。しかし、入試問題をはじめとした高校数学に隠された意図等について伝わることによって、この単元の理解が深まることが期待できる。それを踏まえ、本ページに記載されたことが理解できるか否かを気にせず、直観を養うための一種の頭の体操として読んでほしい。 なお、ここで現れる関係式は公式として暗記することも可能であるが、本来は計算によって導くことができるものであり、その構造を理解することが重要である。このような見通しを持つことで、個々の計算は単なる作業ではなく、一定の方向性をもった操作として理解できるようになる。 また、本コラムや[[初等数学公式集/解析幾何/証明|本章の証明]]では、できるかぎり計算過程を残すようにしている。大学など高等数学で取り扱う場合には、多くは結論を理解することが目的であり、逆に結論さえ理解していれば、結論への過程は忘れていいものであるが、ここでは、上で述べたとおり実際の過程（計算）の結果として結論（公式）が導き出せることの「発見」を期待するものだからである。 ==三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル== :本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するものである。 :この方向ベクトル（大きさは考慮する必要がない）の計算は、数値が与えられていれば、ごく簡単に求められ、一般式にしても比較的容易に求めることができる。 :　 :（計算例） ::<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> とするとき、各々に直交するベクトル<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>を求める（なお、法線は英語でnormal又はnormal line、フランス語でnormaleであるので、しばしば、法線ベクトルは<math>\vec{n}</math>と表される。）。 :::直交の条件から ::::<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = ap + bq + cr = 0</math> - ① ::::<math>\vec{V} \cdot \vec{n} = aP + bQ + cR = 0</math> - ② :::これを満たす<math>a,b,c</math>を求めるのに、①× <math>R</math> - ②× <math>r</math> として、 ::::<math>apR + bqR + crR = aPr + bQr + cRr</math> ::::<math>apR + bqR = aPr + bQr</math> ::::<math>(pR - Pr)a = (Qr - qR)b</math> - ③ :::<math>a,b</math> 2変数を解くものであるが、方向ベクトルを得ることが目的であるので、この場合、<math>a,b</math> の比が求まれば足りる。したがって、③を満たす<math>a,b</math>の一つは、 ::::<math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = pR - Pr</math> （符号を揃えるために順序を入れ替えた） :::となる。これを①に代入して、 ::::<math>cr = -ap - bq = -(Qr - qR)p - (pR - Pr)q = -pQr + pqR - pqR + Pqr = -pQr + Pqr </math> ::::辺々<math>r</math> で割って <math>c = Pq -pQ</math> :::これらは、<math>p,q,r,P,Q,R</math> に関して、対称性を示しているので整理すると、 ::::<span id="外積式1"></span><math>a = Qr - qR</math> ::::<math>b = Rp - rP</math> ::::<math>c = Pq - pQ</math> :::と表すことができ、これが「<math>\vec{v}=(p,q,r), \vec{V}=(P,Q,R)</math> 各々に直交するベクトル<math>\vec{n}</math>の『ひとつ』^※」である。 ::::::※このようなベクトルは無数に存在し、ここで求めたものはその一例である（定数倍しても同様に直交する）。 :　 :このベクトルは、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分、<math>y</math>成分、<math>z</math>成分の6個の要素により構成されてるが、単純なルールにより構成されており、比較的覚えやすい（ただし、繰り返し述べるが、高校範囲における試験等の出題では、この関係は計算で出すことができるようになっており、公式として形を暗記することを目的としてはいけない）。 ::ここで、<math>\vec{n}</math>の<math>x</math>成分（<math>a</math>）を例にとると以下のようになっていることがわかる。なお、前提として、ここに登場する成分は<math>p \to q \to r \to p, P \to Q \to R \to P</math>のような循環順序とする。 ::*<math>x</math>成分には、<math>\vec{v}, \vec{V}</math>の <math>x</math>成分は含まれない。 ::*2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積から、1番めのベクトル（<math>\vec{v}</math>）の2番め（<math>y</math>成分）と2番めのベクトル（<math>\vec{V}</math>）の3番め（<math>z</math>成分）の積を引いたものとなる。 ::同じ、性質が<math>y</math>成分（<math>b</math>）にも<math>z</math>成分（<math>c</math>）にも当てはまっていることがわかる。 :　 :ここで、添字を使って表記すると対称性がより明らかになる。 ::<span id="外積式2"></span><math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> とするとき、各々に直交するベクトルを<math>\vec{n} = (x,y,z)</math>とすると。 :::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :　 :'''注目点''' :#「三次元空間において2個のベクトルに直交するベクトル」は、三次元空間を扱う場合、頻繁に利用される。公式集とその証明においては、以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :##点と直線がなす平面 :##:直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>\vec{d}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の点<math>Q</math>による方向ベクトル<math>\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 -z_0)</math>に直交するベクトル<math>\vec{d}=(a,b,c)</math>として、 :##::<math>a = r (y_1 - y_0) - q (z_1 - z_0)</math> :##::<math>b = p (z_1 - z_0) - r (x_1 - x_0)</math> :##::<math>c = q (x_1 - x_0) - p (y_1 - y_0)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積1|→参照]]）。ここで、<math>x_1 - x_0 = P, y_1 - y_0 = Q , z_1 -z_0 = R</math>とすれば、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##平行な2直線が属する平面 :##:平行な2直線<math>l_1.l_2</math>において方向ベクトル<math> \vec{d}=(p,q,r)</math>であり、<math>l_1.l_2</math>上の点を<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math>とするとき、<math>\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math>。この2つのベクトルに直交するベクトルを<math>\vec{n}=(a,b,c)</math>とすると、その例として、 :##::<math>a = r(y_2 - y_1) - q(z_2 - z_1)</math> :##::<math>b = p(z_2 - z_1) - r(x_2 - x_1)</math> :##::<math>c = q(x_2 - x_1) - p(y_2 - y_1)</math> :##:を得ている（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）。ここで、<math>x_2 - x_1 = P, y_2 - y_1 = Q , z_2 -z_1 = R</math>とすれば、やはり、[[#外積式1|上で示した式]]に一致する。 :##交点を持つ2直線が属する平面 :##:交点を持つ各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> である2直線<math>l_1, l_2</math>について、<math>l_1, l_2</math>に直交するベクトルを<math>\vec{n} = (a,b,c)</math>とすると、これを満たす例としてのベクトルは、 :##::<math>a = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> :##::<math>b = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> :##::<math>c = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> :##:であり（[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積2|→参照]]）、まさに、[[#外積式2|添字を使って上で示した式]]に一致する。「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#直線がねじれの位置にある場合|直線がねじれの位置にある場合]]」の解法にも用いる。 :##同一直線上にない3点を通る平面の式 :##:[[初等数学公式集/解析幾何/証明#外積4|証明]]参照。 :#ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる。 :##点と直線の距離（[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の距離|公式集]]、[[初等数学公式集/解析幾何/証明#三次元空間上の点と直線との距離|証明]]） :##:<math> d = \frac{ \sqrt{ \{(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q\}^2 + \{(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r\}^2 + \{(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p\}^2 } }{ \sqrt{p^2 + q^2 + r^2} } </math> :##::ここに登場する数式を以下のように置く。 :##:::<math>(y_0 - y_1)r - (z_0 - z_1)q = s</math> :##:::<math>(z_0 - z_1)p - (x_0 - x_1)r = t</math> :##:::<math>(x_0 - x_1)q - (y_0 - y_1)p = u</math> :##::そうすると、<math>\vec{v}=(s,t,u)</math>は、直線の方向ベクトル<math>\vec{p}=(p,q,r)</math>と直線外の点<math>P</math>と直線上の所与の点<math>Q_0</math>によるベクトル<math>\overrightarrow{PQ_0} = \vec{a_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 , z_1 - z_0)</math>と直交するベクトルの形をしていることがわかる。 :##<span id="2直線がねじれの位置にある場合"></span>2直線がねじれの位置にある場合 :##:ねじれの位置にある2直線の各々の方向ベクトルが<math>\vec{v_1} = (p_1,q_1,r_1), \vec{v_2} = (p_2,q_2,r_2)</math> であって、各々、点<math>P_1 (x_1,y_1,z_1), P_2 (x_2,y_2,z_2)</math> をとおる場合、この2直線<math>l_1,l_2</math> は以下の式で表される。 :##::<math>l_1: \frac{x-x_1}{p_1}=\frac{y-y_1}{q_1}=\frac{z-z_1}{r_1}</math>, <math>l_2: \frac{x-x_2}{p_2}=\frac{y-y_2}{q_2}=\frac{z-z_2}{r_2}</math> :##:また、<math>\overrightarrow{P_1 P_2} = \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1 , z_2 - z_1)</math>である。 :##::2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直交する共通垂線の箇所であり、その距離<math>d</math>は以下の式で表される。 :##:::<math> d = \frac{|(x_2 - x_1)(q_2 r_1 - q_1 r_2) + (y_2 - y_1)(r_2 p_1 - r_1 p_2) + (z_2 - z_1)(p_2 q_1 - p_1 q_2) |}{ \sqrt{(q_2 r_1 - q_1 r_2)^2 + (r_2 p_1 - r_1 p_2)^2 + (p_2 q_1 - p_1 q_2)^2} } </math> - ① :##:<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math>に直交するベクトルのひとつは、今まで述べてきたことから、 :##::<math>\vec{n}=(q_2 r_1 - q_1 r_2, r_2 p_1 - r_1 p_2, p_2 q_1 - p_1 q_2)</math> であることがわかる。 :##:登場する数式を再構成すると、①式の分子は、<math>\vec{a}</math> と<math>\vec{n}</math> の内積であり、分母は <math>\vec{n}</math>の大きさ（長さ）となっていることがわかる。 :##:この理由については、「[[初等数学公式集/解析幾何/証明#2直線がねじれの位置にある場合|証明]]」にて解説する。 :　 :実は、<math>\vec{v_1}, \vec{v_2}</math> の各成分を用いて<math>\vec{n}</math> のように表す操作は「外積」と言って、高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）で用いる重要な操作、すなわち、「2つのベクトルに直交するベクトルを系統的に与える公式」であり、外積ではこれを一つの演算としてまとめて扱うものであるが、高校数学では範囲外であるので、その操作が直接教えられることはない。しかし、三次元空間での取り扱いでは、点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。この背景を理解しておくことで、出題意図の見通しが多少でも良くなることを期待して、次節以降で入門編として解説したい。 ==外積とは== :（高等数学での取り扱いは[[線型代数学/ベクトル#外積]]を参照） ===定義に先立って=== さて、ここで「外積」について考えるが、「外積とは何か」という定義に先立って、これから取り扱うものは、あくまでも高校数学における三次元空間の具体的な成分計算による演算に関するものである。 すなわち、このコラムで想定する「外積」とは、成分表示された2個の空間ベクトル<math>\vec{v_1}=(p_1,q_1,r_1), \vec{v_2}=(p_2,q_2,r_2)</math> の各成分を用いて、以下の形式で表されるものである、 :<math>\vec{n} = (x,y,z)</math> ::<math>x = q_2 r_1 - q_1 r_2</math> ::<math>y = r_2 p_1 - r_1 p_2</math> ::<math>z = p_2 q_1 - p_1 q_2</math> ここでは、この形により外積を具体的に理解することを目的とする。 ここでは、「外積」の利用法の一つとして、三次元空間の問題にどのように現れるかを中心に扱うが、「外積」の本質は、空間幾何に限らず、さまざまな局面で利用される概念であり、成分による表示は、その一つの具体的な表現に過ぎないからである。さらに、これまで、外積によって得られるベクトルは「向き」に注目して扱ってきた。しかし実際には、このベクトルは「大きさ」にも重要な意味を持っている。さらに、この成分表示そのものが計算の中で直接用いられることにも注意が必要である。 ===外積の定義=== あらためて、ここで「外積」を定義する。外積とは、 :<span id="定義"></span>'''3次元空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算（2つの対象から新たな対象を決定する規則）であり、3次元空間の2つのベクトルに対し、①両者に垂直で②両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さを③右手系の方向にとったベクトルを得るもの（二項演算）である。''' ::2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積は乗算記号または角括弧を用いて以下のように表される。 ::* 乗算記号を用いる場合：<math>\vec{a} \times \vec{b} </math> ::* 角括弧を用いる場合：<math>[\vec{a}, \vec{b}] </math> {{wikipedia|クロス積}} :;「外積」の呼称 ::「外積」は"exterior product"の訳だけではなく、さらに高次の高等数学で用いられる関連概念である"outer product"の訳（ただし、一般には「直積」や「テンソル積」と訳される）に当てられる場合もあり、明確に区別するため「'''クロス積'''（ウィキペディアの見出しにはこちらが用いられている）」と呼んだり「'''ベクトル積'''」と呼んだりすることもあるが、本稿においては[[#定義|上の定義]]によるものを「外積」と呼称することで統一する。 [[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|260px|サムネイル|3次元ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}</math>の外積（<math>\vec{a} \times \vec{b} </math>）。]] :以下、定義について解説する。ここでは、2つのベクトルを<math>\vec{a}, \vec{b}</math>として、外積となるベクトル <math>\vec{e} = \vec{a} \times \vec{b} </math>とする。 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直 - ① :#:これは、今まで繰り返し出てきた性質である。すなわち、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:となる。 :#ベクトルの長さは両ベクトルのなす平行四辺形の面積と等しい長さ - ② :#:すなわち、 :#::<math>|\vec{e}| = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta </math>（<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角） :#:ということになる。この計算の形は、内積の形が<math>| \vec{a} | | \vec{b} |\cos \theta </math>であることと、好対照である。 :#::（コラム in コラム） :#:::外積の大きさが面積に等しいとされることに違和感を覚えるかもしれない。「長さ」と「面積」という異なる「次元」の量（実際には、これは「面積を長さとして表現する」ために方向（法線方向）を付け加えた量とみなすことができる）が対応しているように見えるためである。 :#:::しかし、数学においては、このように異なる意味を持つ量であっても、共通の構造に基づいて同一の形式で扱われることがある。すなわち、対象の「属性」そのものよりも、それらの間に成り立つ関係や構造が重視されるのである。 :#:::外積の場合、2つのベクトルが張る平面の「向き」と「広がり」を同時に表す量として、その大きさが面積に対応し、その方向が平面に垂直な方向を与える。 :#:::このように、外積は「向き」と「面積」という異なる意味を同時に扱う量であり、数学における抽象化の考え方と、現実の計算（例えば三次元空間における図形の扱い）における有用性とを結びつける代表的な例の一つである。 :#2つのベクトルに対し、右手系の方向 - ③ :#:[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|200px|右手の法則による外積の向き]] :#:「2つのベクトルに対し、両者に垂直」という場合、方向が2つあるということがイメージできるだろうか。すなわち、3次元空間において、<math>z</math>軸は、<math>xy</math>平面<math>(z=0)</math>に対して垂直であるが、<math>z>0</math>の領域と<math>z<0</math>の領域を持っている。ベクトルの始点からの方向は一意に決まる必要があるから、いずれかの方向に決めなければならない。 :#:外積においては、「[[w:右手系|右手系]]」（右図で、<math>\vec{a}</math>を人差し指、<math>\vec{b}</math>を中指の方向とした時、親指の方向）の方向と定める。 :#:このように方向を定めることは単なる約束ではなく、空間における向きの一貫性（向きづけ）を保つために必要なものである。 :#:　 :#:これを決めることにより、何が起こるかというと、<math>\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}</math> ということ、すなわち、外積には交換法則は適用できないということである。 :#:すなわち、2つのベクトルのうち、どちらを先に扱うかで正負が逆転し、<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> ということになる。これを交換法則に代えて、'''反交換法則'''と呼ぶことがある。 :#:これは、ベクトルの並び順そのものが幾何的な意味（向き）を持つことを示している。 :#::（注意点） :#:::[[初等数学公式集/解析幾何/証明|本章の証明]]や[[#三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル|上記の振り返り]]などでは、正負いずれの方向であっても支障がなかったため、「向き」を特定した解法をとっておらず、また、上で説明したベクトルの量が関係する算式であっても2乗するなり絶対値を取るなりすることで正負の違いが解消されていたこともあって、この性質を厳密に適用していないが、「外積」計算自体では「向き」を一方に特定する必要がある。 :以上をまとめると、 ::<math> \vec{a} \times \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta \ \vec{n}</math> :::なお、<math>\theta</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math>がなす角、<math>\vec{n}</math>は<math>\vec{a}, \vec{b}</math>に直交する右手系に従って定まる方向の単位ベクトル（<math>\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{b} \cdot \vec{n} = 0, |\vec{n}|=1</math>）である。 ====外積の計算==== 外積の計算は、上記の通り交換法則が成り立たないなど、スカラーの計算を主とする初等数学とは、かなり異なっている。以下に外積の計算のパターンを示すが、高校の数学の範囲で、本来、外積の計算（ベクトル演算）をすることはないので、これも参考程度で眺めておけば良い。なお、"・"は、内積を表す。 #<math>\lambda \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \lambda \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})</math> #<math>\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math> #:[[交換法則]]は成り立たない。 #<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>、また、<math>(\vec{a} + \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}</math> #:[[分配法則]]は成り立っている。 #:*定義に従った簡易な証明 #:*:<math>\vec{a}</math>を固定し、<math>\vec{b}, \vec{c}</math>を考えると、<math>\vec{a} \times \vec{b} , \vec{a} \times \vec{c}</math>はそれぞれ、<math>\vec{a}</math>と各ベクトルが張る平行四辺形の向き付き面積を表す。一方、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})</math>は、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b} + \vec{c}</math>による平行四辺形を表すが、この図形は、<math>\vec{b}</math>による部分と<math>\vec{c}</math>による部分に分解することができる。 #:*:したがって、面積は加法的であり、向きも一致することから、<math>\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}</math>が成り立つ。 #<math> \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}</math> #:すなわち、[[結合法則]]は成り立っていない。これらは、以下の等式となる（[[ベクトル三重積の公式]]・ラグランジュの公式）。 #::<math>\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}</math> #::<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}</math> #<math>\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}</math> #:<math>\because</math> <math>\vec{a}</math>と<math>\vec{a}</math>がなす角<math> \theta = 0</math>であるので、<math> \vec{a} \times \vec{a} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{a} \right| \sin \theta \ \vec{n} = \vec{0}</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0</math> #<math> \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> #<span id="計算則8"></span><math> (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2</math> #:<math>\because</math> 内積の定義より<math>\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} </math>、したがって、<math>{\cos}^2 \theta = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{| \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2} </math> #::また、外積の定義より<math>\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta \vec{n}</math>、したがって、<math>|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = | \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2 {\sin}^2 \theta </math>（<math>\because</math> <math>\vec{n}</math>は単位ベクトルであるから、<math>|\vec{n}|^2 = 1</math>） #::よって、<math>{\sin}^2 \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|^2}{| \vec{a} |^2 | \vec{b} |^2 }</math> #:※内積は「同じ方向の成分」、外積は「垂直方向の成分」を表しており、この式はそれらが直交的に分解されていることを意味している。 ====外積の成分表示==== :成分表示された空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> を用いて<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>の定義を検証する。 :ここでは、<math>\vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} = (x_e,y_e,z_e)</math>とする。 :　 :成分表示による計算にあたって、基本ベクトル（[[標準基底]]）<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0), \vec{e_3}=(0,0,1)</math>相互の計算結果について確認し、これを利用する。 :#<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> が成り立っている。 :#::なぜならば、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2}</math> は、定義から<math>\vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0)</math> に垂直、すなわち、<math>z</math>軸上にある位置ベクトル<math>(0,0,z)</math>であり、右手系であることから、<math>z>0</math>である。また、<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}</math>が形成する平行四辺形の面積は、1辺が1である正方形であるので1。従って、<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} =(0,0,1)=\vec{e_3}</math>となる。同様にして、基本ベクトル間には以下の関係（<span id="※"></span>※）が成立している。 :#::*<math>\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}</math> :#::*<math>\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}</math> :#::*<math>\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}</math> :#<math>\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}</math>を用いると、 :#::<math>\vec{a}=x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}</math> :#::<math>\vec{b}=x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3}</math> :#:と表すことができる。外積は一般には結合法則を満たさないが、ここで行う計算は分配法則とスカラー倍に関する性質、および基底ベクトル間の関係を用いることで展開することができる。 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = (x_1 \vec{e_1} + y_1 \vec{e_2} +z_1 \vec{e_3}) \times (x_2 \vec{e_1} + y_2 \vec{e_2} +z_2 \vec{e_3})</math> :#:::<math> = x_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_1} + x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2} + z_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_3}</math> :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + x_1 z_2 \vec{e_1} \times \vec{e_3} + y_1 x_2 \vec{e_2} \times \vec{e_1} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} + z_1 y_2 \vec{e_3} \times \vec{e_2}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} - x_1 z_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - y_1 x_2 \vec{e_1} \times \vec{e_2} + y_1 z_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3} + z_1 x_2 \vec{e_3} \times \vec{e_1} - z_1 y_2 \vec{e_2} \times \vec{e_3}</math>（<math>\because \vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}</math>） :#:::<math> = x_1 y_2 \vec{e_3} - x_1 z_2 \vec{e_2} - y_1 x_2 \vec{e_3} + y_1 z_2 \vec{e_1} + z_1 x_2 \vec{e_2} - z_1 y_2 \vec{e_1}</math>（<math>\because</math> [[#※|上記※より]]） :#:::<math> = (y_1 z_2 - z_1 y_2) \vec{e_1} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{e_2} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{e_3} </math> :#:文字順を揃え、 :#::<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> :#:となる。 :以上を踏まえて、 :#3次元空間の2つのベクトルに対し、両者に垂直であれば、以下の式を満たす。 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{e} = 0</math> :#:上記の結果を代入すると、 :#::<math>\vec{a} \cdot \vec{e} = x_1 x_e + y_1 y_e + z_1 z_e = x_1 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_1 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_1 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#::<math>\vec{b} \cdot \vec{e} = x_2 x_e + y_2 y_e + z_2 z_e = x_2 (y_1 z_2 - y_2 z_1) + y_2 (z_1 x_2 - z_2 x_1) + z_2 (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0</math> :#:となり、成立している。 :#外積<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい長さである。 :#:<math>S = | \vec{a} | | \vec{b} |\sin \theta = | \vec{a} | | \vec{b} | \sqrt{1 - {\cos \theta}^2} </math>。ここで、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta </math> より <math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math> :#:与式に代入して、<math>S= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{ 1 - \frac{(\vec{a}\cdot\vec{b}) ^2 }{|\vec{a}| ^2 |\vec{b}| ^2 } } =\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math> :#:<math>|\vec{a}|^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2</math>、<math>|\vec{b}|^2 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2</math>、<math>\vec{a}\cdot\vec{b} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}</math> であるから、 :#::<math>S= \sqrt{({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2)({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2)-({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2})^2}=\sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2+(z_1 x_2 - z_2 x_1)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}</math> :#:となり（[[初等数学公式集/初等代数#式の変形]]の[[w:ラグランジュの恒等式 (曖昧さ回避)|ラグランジュの恒等式]]参照）、これは、成分表示した<math>\vec{e}</math>の長さ<math>|\vec{e}|</math>に一致する。 :#::なお、[[#計算則8|上記外積の計算8.]]を用いると、<math> |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a} \times \vec{b}|^2 </math> であり、式を展開せず外積を利用できる。 ===外積の応用と用途=== ====平行六面体==== {{wikipedia|平行六面体}} [[File:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|右|250px|サムネイル|ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体]] :原点<math>O</math>ではない、空間上の異なる点<math>A, B, C</math>について<math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}</math> として、点<math>D, E, F, G</math>を<math>\overrightarrow{OD} = \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OE} = \vec{b}+\vec{c}, \overrightarrow{OF} = \vec{c}+ \vec{a}, \overrightarrow{OG} = \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}</math> となるようにとる。 :この、点<math>O, A, B, C, D, E, F, G</math>で囲まれる立体は、6面の平行四辺形で構成されている立体であり平行六面体と呼ばれる。なお、直方体や立方体も平行六面体の一種である。 :（ベクトル方程式としては、<math>s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}</math>（ただし<math>0 \le s, t, u \le 1</math>）を領域とする立体とも表現される） :;平行六面体の体積 ::この平行六面体の体積は、平行四辺形<math>OADB</math>の面積<math>S</math>に、平行四辺形<math>OADB</math>に相対する平行四辺形<math>CFEG</math>までの距離（高さ）<math>h</math>をかけた<math>Sh</math>である。 ::この値は、外積を使うことにより、簡単に求められる。 :::平行四辺形<math>OADB</math>は、ベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math>により、作られる図形であり、外積の定義から<math>|\vec{a} \times \vec{b}|</math>はベクトル<math>\vec{a},\vec{b}</math>のなす平行四辺形の面積<math>S</math>と等しい。 :::また、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>は、平行四辺形<math>OADB</math>に垂直であることから、高さの方向ベクトルの向きになっている。ここで、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>ともう一つの要素である<math>\vec{c}</math>の成す角を<math>\theta</math>とすると、<math>h = |\vec{c}| \cos \theta</math>となる。 :::<math>\cos \theta</math> を得るのには内積を用いれば良いので、<math>\vec{a} \times \vec{b}</math>と<math>\vec{c}</math>の内積を計算する。 ::::<math>| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |= ||\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta| = Sh</math> :::と、<math>\cos \theta</math>の値を得るまでもなく、体積を得ることができた。 :したがって、ベクトル <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>による平行六面体の体積は、<math> |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|</math> と表すことができる。 :;四面体の体積 ::原点<math>O, A, B, C</math>による四面体の体積は上記平行六面体の体積から簡単に求めることができる。 :::点<math>C</math>を頂点とし、平行四辺形<math>OADB</math>を底面とする四角錐は、上記平行六面体と共通の高さを持つので、体積は平行六面体の<math>\frac{1}{3}</math>である。 :::原点<math>O, A, B, C</math>による四面体は、点<math>C</math>を頂点とし<math>\triangle OAB</math>を底面とする三角錐であり、<math>\triangle OAB</math>は平行四辺形<math>OADB</math>の一部であり、その面積は平行四辺形<math>OADB</math>の<math>\frac{1}{2}</math>であるので、体積は上記四角錐の<math>\frac{1}{2}</math>である。 :::したがって、原点<math>O, A, B, C</math>による四面体の体積は<math>\frac{|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|}{6}</math> と表すことができる。 ::::※[[初等数学公式集/解析幾何#四面体|公式集]]における以下の式は、原点<math>O(0, 0, 0)</math>および3点<math>P,Q,R</math>について、<math>\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}</math>として、成分表示によったものである。 :<span id="四面体の体積"></span> :::::<math>\frac{|a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1 |}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_1 c_2 - b_2 c_1) a_3 + (c_1 a_2 - c_2 a_1) b_3 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) c_3 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR}|}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_1 c_3 - b_3 c_1) a_2 + (c_1 a_3 - c_3 a_1) b_2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1) c_2 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OR}) \cdot \overrightarrow{OQ}|}{6}</math> :::::<math>= \frac{|(b_2 c_3 - b_3 c_2) a_1 + (c_2 a_3 - c_3 a_2) b_1 + (a_2 b_3 - a_3 b_2) c_1 |}{6} = \frac{|(\overrightarrow{OQ} \times \overrightarrow{OR}) \cdot \overrightarrow{OP}|}{6}</math> ::::::（順序の違いにより符号は変わりうるが、絶対値は一致する） ====外積の用途==== 外積は、空間の位置関係の把握だけでなく様々な分野で用いられる。 =====物理計算===== ;力のモーメント（トルク） {{wikipedia|力のモーメント}} [[File:Torque_animation.gif|thumb|right|400px|<small>固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント <math>\vec{\tau}</math>と位置ベクトル <math>\vec{r}</math> と力 <math>\vec{F}</math> との関係（上の式:本文に示す）、なお、下の式は角運動量 <math>\vec{L}</math> と位置ベクトル <math>\vec{r}</math> と運動量 <math>\vec{p}</math> との関係である（参考）。</small>]] ::ある点<math>P</math>のまわりの、物体を回転させる作用の強さを表す「力のモーメント（特に回転軸を持つものを「トルク」という）」は、 :::<math>r</math>：点<math>P</math>と力の及ぼされる点（作用点）を結ぶ位置ベクトル :::<math>F</math>：力 ::として、 :::<math>\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}</math> ::によって定義されるベクトルである。 ::この式から、 ::*大きさ：<math>|\vec{r}| |\vec{F}| \sin{\theta}</math>（回転の強さ） ::*向き：右ねじの方向（回転軸） ::が同時に表されていることがわかる。 ::力のモーメントは「どれだけ回そうとするか」という量であり、力の大きさだけでなく、作用点の位置と方向の関係によって決まる。特に、力の向きが回転軸に垂直な成分だけが回転に寄与する。そのため、単なる積ではなく、外積という形で表される。 ::高校物理では、未履修であるため外積を用いずに「距離×力」や「回転方向の符号」で扱っているが、これらはこの式の一部だけを取り出したものである。 ::（[[高等学校物理/力学#角運動量と力のモーメント]]参照） :{{-}} ;磁場中を運動する電荷に働く力（ローレンツ力） {{wikipedia|ローレンツ力}} [[File:Lorentzkraft-graphic-part1.PNG|thumb|ローレンツ力の向き。電荷で考えた場合。<br>速度<math>\vec{v}</math>から磁束密度<math>\vec{B}</math>に右ねじを回した向きがローレンツ力<math>\vec{F}</math>の向き。]] :荷電粒子が磁場中を動いているとき、磁場から力を受ける。これを「ローレンツ力」という。 :ここで、 ::<math>q</math>：荷電粒子の電荷 ::<math>\vec{v}</math>：荷電粒子の速度（方向と「速さ」を持つベクトル。なお、電荷が負の場合は力の向きは逆になる。） ::<math>\vec{B}</math>：磁束密度（ベクトル） :とすると、電荷に働くローレンツ力は、 ::<math>\vec{F}= q(\vec{v} \times \vec{B})</math> :とベクトルの形式で表される。 :磁場による力は、速度と磁場の両方に垂直な方向に働く。したがって、磁場は粒子の速さを変えるのではなく、進行方向だけを変える働きをする。 :　 :高校物理での取り扱いは、以下を参照。 :*[[高等学校物理基礎/電気と磁気#ローレンツ力]] :*[[高校物理_電磁気学#ローレンツ力]] {{-}} これらの例からわかるように、外積は単なる計算規則ではなく、「空間の向き（右手系）」と「大きさ（面積や回転の強さ）」を同時に表現する統一的な仕組みである。 =====意外な利用法:コンピューター・グラフィック===== コンピューター・グラフィックでは、物体の表面の向きを求めるために外積が用いられる。ポリゴン（多角形）の2辺ベクトルの外積を取ることで、その面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を得ることができ、これが光の当たり方（陰影計算）に利用される。 ===さらに発展:外積と行列=== 最後に、外積と行列の関係に触れる。現在の高校数学において、「[[行列]]」も本格的に取り上げられているわけではないため、ここでは、あまり深く立ち入らず、「外積」と「行列」という数学的な操作が、何か関係していそうだ、という現象にちょっとだけ触れる。「行列」自体は、本Wikibooks内にも教科書があるので、あまり馴染みのない読者は、斜め読みで良いからその箇所（[[行列 (高校数学)]]、[[行列 (高校数学・発展)]]など）を読んで、本稿を読み進めてほしい。 ;行列式 :まず、ここで、行列の演算の中で重要な「行列式」について復習しておく。 :二次行列<Math>A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</Math>に対し、<Math>ad-bc</Math>という式を'''行列式'''といい、<Math>|A|</Math> 又は <Math>det(A)</Math>で表す。 :これは、 :*行列<Math>A</Math>が<Math>\vec{v_1}=(a,b),\vec{v_2}=(c,d)</Math> 又は <Math>\vec{u_1}=(a,c),\vec{u_2}=(b,d)</Math>の組み合わせによるものであるとした場合、<Math>ad-bc=0</Math>ならば、<Math>\vec{v_1} \parallel \vec{v_2}</Math>、<Math>\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}</Math>となっている。 :*<Math>\vec{v_1}=(a,b),\vec{v_2}=(c,d)</Math> による平行四辺形の面積<Math>S</Math>は<Math>S=|ad-bc|</Math>で表される。 :* :*行列<Math>A</Math>に対して、<Math>AB=BA= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</Math>（単位行列）となる行列<Math>B</Math> を逆行列と言い<Math>A^{-1}</Math> と表すが、<Math>A^{-1}= \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\\ \end{pmatrix}</Math> である。 :*:従って、<Math>ad-bc \neq 0</Math>は、行列<Math>A</Math>に逆行列が存在する必要十分条件となっている。 :*行列<Math>A</Math>に対して、<math>A^2 - (a+d) A + (ad-bc) E = O</math>　が成り立つ（[[ケイリー・ハミルトンの定理]]）。 :と繰り返し登場する重要な式である。 ;外積の各成分と行列式 :以下、三次元空間ベクトル<math>\vec{a}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)</math> について考察する。 :この2個のベクトルで外積<math>\vec{a} \times \vec{b} = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 )</math> が得られることは、繰り返し述べてきたところである。 ::ここで、<math>\vec{a}, \vec{b}</math> から、<Math>x</Math>成分を取り去ったベクトル<math>\vec{a_x}=(y_1,z_1), \vec{b_x}=(y_2,z_2)</math> を各々列ベクトルとした行列を<Math>A_x = \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{pmatrix}</Math> とする。 ::同様に、<Math>A_y = \begin{pmatrix} z_1 & z_2 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix}</Math>，<Math>A_z = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix}</Math> :さて、ここで突然ではあるが <math>(det(A_x), det(A_y), det(A_z))</math> というベクトルを考えてみる。 ::<math>(det(A_x), det(A_y), det(A_z)) = ( y_1 z_2 - y_2 z_1,\; z_1 x_2 - z_2 x_1,\; x_1 y_2 - x_2 y_1 ) = \vec{a} \times \vec{b}</math> :という結果を得るのである。 :（すなわち、外積の各成分は、他の2成分を取り出した小行列式として表される） ;三次行列の行列式 :[[File:Schema sarrus-regel.png|alt=|thumb|サラスの方法: 左三列の行列式は、赤線で結んだ斜め三項の積の和から青線で結んだ逆斜め三項の積の和を引いたものになる。]] :行列式は二次行列だけではなく3行3列の三次行列でも定義できる。 : :この場合 :<math>A = \begin{pmatrix} a_{1 1} &a_{1 2} &a_{1 3} \\ a_{2 1} &a_{2 2} &a_{2 3} \\ a_{3 1} &a_{3 2} &a_{3 3} \end{pmatrix}</math> :に対して、 ::<math> det(A) = a_{1 1}a_{2 2}a_{3 3} + a_{1 2}a_{2 3}a_{3 1} + a_{1 3}a_{2 1}a_{3 2} - a_{1 3}a_{2 2}a_{3 1} - a_{1 1}a_{2 3}a_{3 2} - a_{1 2}a_{2 1}a_{3 3}</math> :となる。 :これは、一見覚えにくいように思えるが、右図のように考えると、二次行列同様、右下りの要素をかけあわせたものから、右上がりの要素を掛け合わせたものを引くという操作であることがわかる（[[w:サラスの方法]]、これは3次行列式の計算規則の一つの見方であり、外積の成分表示と同じ構造が現れている。なお、四次以上の行列には適用できない）。 ;三次行列の行列式と外積 :ここで、互いに一次独立であるベクトル <math>\vec{p}=(a_1, b_1, c_1)</math>, <math>\vec{q}=(a_2, b_2, c_2)</math>, <math>\vec{r}=(a_3, b_3, c_3)</math> を考える。これも、各々を列ベクトルとした行列にすると、 ::<math>A = \begin{pmatrix} a_1 &a_2 &a_3 \\ b_1 &b_2 &b_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \end{pmatrix}</math> :が得られ、この行列式を計算すると、 ::<math>det(A) = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1</math> :となる。どこかで見た覚えがないであろうか。そう、これは<math>\vec{p},\vec{q},\vec{r}</math> で作る[[#四面体の体積|四面体の体積の成分表示]]の分子の中の式である。この体積を6倍すると、<math>\vec{p},\vec{q},\vec{r}</math> で作る平行六面体の体積の絶対値の中の式となり、これはすなわち <math>(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{r}</math> となっている。 この関係がなぜ成立するかなどについては、もはやコラムの領域を超えるので割愛するが、このように、外積は「面積」や「体積」といった量を、行列式という形で統一的に表す仕組みと深く結びついているということを心に留めておいてもらいたい。 [[Category:初等数学公式集|かいせききかこらむ]] h8s52uttbghg6obv2lhq8owbxqplp47 0 47886 298817 298800 2026-04-25T14:49:23Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298817 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 dv5iz2def01uyt7cgla5zumedbvxvcx 298818 298817 2026-04-25T15:01:34Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 写真４枚追加。 298818 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。<gallery mode="nolines" widths="200" heights="150"> ファイル:Cervus nippon 002.jpg|ニホンジカ ファイル:Sus scrofa leucomystax.jpg|イノシシ ファイル:Lepus brachyurus.JPG|ウサギ ファイル:Néolithique 0001.jpg|磨製石器 </gallery>縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 mtou3f1xfmk389rk7up7vzp0hj22ipp 298819 298818 2026-04-25T15:03:04Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298819 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 <gallery mode="nolines" widths="200" heights="150"> ファイル:Cervus nippon 002.jpg|ニホンジカ ファイル:Sus scrofa leucomystax.jpg|イノシシ ファイル:Lepus brachyurus.JPG|ウサギ ファイル:Néolithique 0001.jpg|磨製石器 </gallery> 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 3kgwzk3yrkfdb324a8u45a4l56cq8oo 298820 298819 2026-04-25T15:05:05Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298820 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 <gallery mode="nolines" widths="200" heights="150"> ファイル:Cervus nippon (male) eating grass.jpg|二ホンジカ ファイル:Sus scrofa leucomystax.jpg|イノシシ ファイル:Lepus brachyurus.JPG|ウサギ ファイル:Néolithique 0001.jpg|磨製石器 </gallery> 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 nsj6c78nohv8emrs3rm0vm4o42gv9s3 298821 298820 2026-04-25T15:05:51Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298821 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="150"> ファイル:Cervus nippon (male) eating grass.jpg|二ホンジカ ファイル:Sus scrofa leucomystax.jpg|イノシシ ファイル:Lepus brachyurus.JPG|ウサギ ファイル:Néolithique 0001.jpg|磨製石器 </gallery> 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 a7puovuogw6frwl11qyev81wzpwcvlh 298822 298821 2026-04-25T15:10:20Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298822 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 3im0j5lijdxylrp2fmqeaxq5dh2epd9 298823 298822 2026-04-25T15:10:53Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298823 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span 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== 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 tf7ozkm3quzp31ek7enju1kuq103yzp 298824 298823 2026-04-25T15:11:49Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298824 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。<gallery mode="packed" widths="200" heights="150" caption="二ホンジカ・イノシシ・ウサギ"> ファイル:Cervus nippon (male) eating grass.jpg|二ホンジカ ファイル:Sus scrofa leucomystax.jpg|イノシシ ファイル:Lepus brachyurus.JPG|ウサギ </gallery> 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 dddau4vamrl7mmihlouafh7ln4exlo7 298825 298824 2026-04-25T15:15:44Z Kwawe 68789 298825 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="150"> ファイル:Cervus nippon 002.jpg|ニホンジカ ファイル:Sus scrofa leucomystax.jpg|イノシシ ファイル:Lepus brachyurus.JPG|ウサギ ファイル:Néolithique 0001.jpg|磨製石器 </gallery> 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 m5ovj4asl6c4whhh5lw7aqyjqf0cdno 298826 298825 2026-04-25T15:18:50Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298826 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 <gallery mode="packed" widths="200" heights="150" caption> ファイル:Cervus nippon 002.jpg|ニホンジカ ファイル:Sus scrofa leucomystax.jpg|イノシシ ファイル:Lepus brachyurus.JPG|ウサギ ファイル:Néolithique 0001.jpg|磨製石器 </gallery> 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 6vo6a0go45llbx8gynh7vactwm3cq38 298830 298826 2026-04-25T16:32:18Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298830 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 dv5iz2def01uyt7cgla5zumedbvxvcx 298841 298830 2026-04-26T10:49:44Z Kwawe 68789 /* 縄文文化の成立 */ 298841 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>縄文時代の社会と文化 ※本節では縄文時代を扱います。最新の歴史研究結果をもとに叙述しています。 == 縄文文化の成立 == 気候の温暖化は更新世末期から<span style="color:#f29100">'''完新世'''</span>初期にかけて進みました。氷河が気候の温暖化から溶け始めると、海面も次第に上昇しました。その結果、日本列島は約１万年前までにユーラシア大陸から切り離されて現在の形になりました。約７０００年前、日本列島の海面は現在より平均２～３メートル高くなりました。約６０００年前、陸地部分が海面上昇で一時的に海になりました（縄文海進）。浅くて砂泥質の環境が日本列島各地に広がり、魚介類もそこへ住み着きました。気候の温暖化から亜寒帯性・冷温帯性の針葉樹林が東日本で減少しました。東日本の樹木は落葉広葉樹林［ブナ・ナラなど］に変わりました。一方、照葉樹林［シイ・カシなど］は西日本で広がりました。 ナウマンゾウ・ヘラジカは更新世末期までに日本列島から絶滅しました。また、オオツノジカも縄文時代草創期までに日本列島から絶滅しました。その後、中型動物と小型動物［ニホンシカ・イノシシ・ウサギ・鳥類など］が日本列島に残りました。この変化に合わせて、日本人の生活も大きく変えました。中型動物と小型動物を狩るために<span style="color:#f29100">'''弓矢'''</span>を作ったり、<span style="color:#f29100">'''土器'''</span>を作って食料を煮たり、石を川辺で拾って全体を綺麗に磨いて<span style="color:#f29100">'''磨製石器'''</span>を作ったりしました（<span style="color:#f29100">'''縄文文化'''</span>）。 縄文文化は最新のＡＭＳ法［加速器質量分析法］と年輪補正から約１万６５００年前より開始と考えられています。当時、青森県大平山元遺跡の無文土器などが作られていました。なお、無文土器は日本最古の土器になります。ユーラシア大陸北東部のアムール川中流でも中国湖南省・中国江西省の洞穴遺跡でも無文土器より古い土器が見つかっています。こうして、人間は土器を使って食料を煮炊き出来るようになりました。木の実を土器に入れてアク抜きまで出来るようになりました。 縄文人は豊かな自然の恵みを上手く採り入れながら、食料を森・川・海で集めていました。この事実は土器の窪み・種実・脂質分析結果でも明らかになっており、縄文時代からクリ・アズキ・エゴマなどを集落の近くで大切に育てたり、自然の恵みを上手に活かしたりしました。縄文人は縄文土器を毎日使ったり、磨製石器を作ったり、弓矢の改良をしたりしました。同じ場所にずっと住み続けながら、食料を狩猟と採集で集めていました。磨製石器と土器の使用はユーラシア大陸の新石器時代で共通していても、動物飼育と農業は縄文文化で取り入れていません。なお、様々な学説が縄文時代の開始時期で挙げられています。竪穴住居と貝塚の出現〈約１万１５００年前〉からなのか、土器の使用時期〈約１万５０００年前〉からなのか、土器の出現時期〈約１万６５００年前〉からなのかで現在でも争われています。 石鏃を弓矢に取り付けたり、地面を深く掘って落とし穴を作ったり、様々な罠を上手に使い分けていました。縄文時代早期の落とし穴が東京都・神奈川県の多摩丘陵に数多く見つかっています。また、イヌを狩猟仲間として一緒に連れていきました。 == 縄文時代の生活と習俗 == == 縄文社会と縄文人 == == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社　2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［原始～鎌倉］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 2un4bhx2s974wna8een4esp1ay2eei0 1 47904 298811 298366 2026-04-25T12:24:40Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 直行 を 直交 に置換をお願いします。 */ 新しい節 298811 wikitext text/x-wiki == 「操作」使用例を探しています。「操作」は高等数学の固有名詞ですか? == ①「操作_文」何?。 実は、v1v2 の各成分を用いてn のように表す操作は「外積」と言って、 　　↓ 実は、v1v2 の各成分を用いてn のように表すのは「外積」と言って、 　　↓ 実は、nを、v1v2 の各成分を用いて表すのは「外積」と言って、 「nが重要か,v1,v2の各成分が重要か_文」でした。 ②「使わなくていい言葉文」 点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。 　　↓ 点・直線・平面の関係が各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。 　　↓ 点・直線・平面の関係を表す出題がある。 　　↓ ／ 点・直線・平面の関係の出題がある。 ③＞...高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）... 初等数学は何?　高校数学と別物と理解していました。高校数学、初等数学、高等数学。 ④「操作」使用例を探しています。「操作」は高等数学の固有名詞ですか? ＞ただ言い回しは単に好みの問題です。(トーク:初等数学公式集/解析幾何/証明 より) かもしれません。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月12日 (日) 01:47 (UTC) == 一次独立 が本章に見当たりません。 == ①＞本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのべクトルと直行するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するもので。 一次独立 が本章に見当たりません。繰り返し登場? どこですか。 ②タイトルから一次独立を消して、本文で、一次独立の条件が必要です。でいいと思いました。 ③参考　と　コラム　の表示の不一致です。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月13日 (月) 14:28 (UTC) == 直行 を 直交 に置換をお願いします。 == 9箇所です。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月25日 (土) 12:24 (UTC) a966ajxw1hwe2plqhbyqbweki1u9dwl 0 47953 298838 2026-04-26T10:09:41Z AkiR27User 90873 クオドリベットについてまとめました 298838 wikitext text/x-wiki クオドリベット(Quodlibet)は、中央ヨーロッパを中心に伝わる伝統的なカードゲームです。複数の小さなゲーム(契約)を連続して行う形式が特徴です。4人で遊ばれて、各契約ごとに異なる目標が設定されるため、 プレイヤーは毎回異なる戦略を求められます。 == 所要 == * プレイ人数は4人です。 * トランプカード52枚のうち、A,K,Q,J,10,9,8,7の計32枚を使用します。 * 12 種類の契約を通して、もっとも少ないペナルティ点で終えることが目標です。 * ランクの強さ：A＞K＞Q＞J＞10＞9＞8＞7 == ゲーム == クオドリベットは、契約(ミニゲーム)を順番に行うことで1セットが成立します。契約ごとに「避けるべきカード」や「取ってはいけないトリック」が異なります。 '''契約の決め方''' * クオドリベットでは、誰がどのミニゲームを選ぶのかが明確に決まっています。 * ゲーム開始時にディーラー(カードを配る人)を決めます。 * 最初に決められたディーラーは、契約をどの順番で行うかを決めることができます。 * 1トリック終わったらディーラーを交代します。 * 契約の種類は[[トランプ/クオドリベット#契約の種類]]まで。 '''プレイの流れ''' # 各プレイヤーに8枚ずつ配ります。 # ディーラーの左隣からカードを出し、以降は反時計回りに進行します。 # 最初に出されたカードと同じスートのカードを所持している場合は、必ず同じスートを持っていれば必ず出します。所持していない場合は自由に好きなカードを出すことができます。 # 最も強いカードを出したプレイヤーがトリックを取ります。 # '''契約ごとに定められた条件'''に従って得点(主にペナルティ)を計算します。 トリックなどの用語を知らない方は[[トランプ/第二巻・トランプ用語解説]]まで。 == 契約の種類 == それぞれの契約で、やってはいけないこと、目標が異なります。 '''プラス''' * できるだけ多くのトリックを取ることが目標です。 * 取れなかったトリック分、ペナルティ。 '''マイナス''' * トリックを取らないことが目標です。 * 取ったトリック分、ペナルティ。 '''赤なし(No Hearts)''' * ハートを含むトリックを取るとペナルティ。 '''クイーン禁止(No Queens)''' * Q(クイーン)を1枚取るごとにペナルティ。 '''ジャック禁止(No Jacks)''' * J(ジャック)を取るとペナルティ。 '''最初のトリック禁止(No First Trick)''' * 最初のトリックを取るとペナルティ。 '''最後のトリック禁止(No Last Trick)''' * 最後のトリックを取るとペナルティ。 '''赤の10禁止(No Ten of Hearts)''' * ハートの10を取ると重いペナルティ。 '''トリック交互(Odd–Even)''' * 奇数番目または偶数番目のトリックを取るとペナルティ。 * どちらが禁止かは契約開始前に決める。 '''ブラックレディ(Black Lady)''' * スペードのQ(黒い女王)を取ると大きなペナルティ。 契約ごとにペナルティ点が定められており、全契約終了後に'''もっともペナルティの少ないプレイヤーが勝者'''となります。得点方式は地域によって異なるが、特定のカードを取ると+10 点、禁止トリックを取ると+50 点、など、比較的シンプルな加算方式が多い。 {{デフォルトソート:くおとりへつと}} [[カテゴリ:3人以上で遊べるトランプゲーム]] [[カテゴリ:トリックテイキング]] [[カテゴリ:トランプ]] [[カテゴリ:カードゲーム]] [[カテゴリ:ボードゲーム]] [[カテゴリ:ゲーム]] [[カテゴリ:テーブルゲーム]] __インデックス__ 9jh4fly5f3sqg3jhga6smuhhkhvuii6