Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 3845 300197 293364 2026-06-06T01:04:51Z ~2026-33496-09 91689 /* 骨（ほね）と、筋肉（きんにく） */ 300197 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|小学校・中学校・高等学校の学習|小学校の学習|小学校理科|frame=1}} ８月 春では、いろいろ種類の、こん虫が、多くなる。チョウや、テントウムシや、ミツバチなども多いです。 夏では、セミの成虫やカブトムシの成虫が、多くなります。 秋では、スズムシの成虫やコオロギの成虫が鳴くようになります。秋には、トンボも多いです。 スズムシは「リーンリーン」となきますが、これは、はねがこすれている音です。 秋になると、ススキに、ほが、なります。 エノコログサにも、ほがなります。エノコログサとは、ネコジャラシのことです。 秋になると、春には多かったテントウムシやミツバチなどは、秋には少なくなります。うごきも、おそいです。 テントウムシなどは、見当たらなくなりますが、死んだわけではなく、落ち葉のかげなどに、ひそんでいることがおおいです。 テントウムシやハチの冬ごしは、成虫のまま、冬をこします。 コオロギや、バッタやカマキリは、秋の間にたまごを、うみます。 コオロギやバッタは、めすが、土の中に、たまごをうみつけます。 カマキリは、めすが、木のえだなどに、たまごをうみつけます。たまごをうみつけたあとに、あわのような物で、たまごをおおいつくします。 野生のコオロギの成虫やバッタの成虫やカマキリの成虫は、冬をこせずに、死にます。 冬をこせない理由は、虫は、人間やイヌやネコなどとはちがって、体温を調節できずに、体がつめたくなってしまうからです。 また、冬は、多くの草がかれるので、虫にとってはエサになる草が、へってしまうのも、冬をこすのがむずかしい理由のひとつです。 冬には、こん虫が、ほとんど見られません。 アゲハやモンシロチョウは、さなぎで、冬をこします。 テントウムシやハチの冬ごしは、成虫のままで、冬をこします。 コオロギやバッタ、カマキリは、たまごで、冬をこします。 カエルは、土の中などで、じっと、カエルの親が、しずかにしています。このように、冬のあいだ、巣（す）などで、じっとしずかにしていることを <span style="font-size: large">冬みん</span>（とうみん、冬眠） といいます。カエルは、冬には、冬みん（とうみん）をしています。 アメリカザリガニは、土の中で、冬みんします。 土の中にいるのは、外よりも、土のなかのほうが、あたたかいからです。 クマも、冬みんします。 季節に関していうと、ほとんどの植物は、春や夏に、育つ植物が多い。冬のあいだは、植物は、せいちょうが止まることが多いです。 昆虫や虫には、植物の葉や、花のみつなど、植物をエサにしているものが多く、これらの葉や花は、春や夏に多いので、昆虫や虫も、春や夏に、多く、ふえます。 * ヘチマ まきひげという、ぼうなどがちかくにあると、それにまきつくようなものがでてくる。 ヘチマは、明るい場所で育ちます。 * 秋の植物 秋になって、すずしくなると、木は、葉の色がかわる。葉の色は、植物の種類によるが、カエデでは葉が赤くなる。イチョウでは、葉がきいろくなる。 秋になって、まず、葉の色がかわりますが、さらにすずしくなると、多くの種類（しゅるい）の木は、葉をおとします。 秋ごろに植物が葉をおとすことを <span style="font-size: large">落葉</span>（らくよう） という。 だが、じつは、種類によっては、葉をおとさない植物もあります。 マツやスギは、秋になって、すずしくなっても、葉をおとさない。このような葉をおとさない木を <span style="font-size: large">じょう緑じゅ</span>（じょうりょくじゅ、常緑樹） という。ヒノキやサザンカも常緑樹である。 いっぽう、カエデやイチョウやサクラは、あきになると、落葉して、葉をおとす。このような葉をおとす木を、<span style="font-size: large">落葉じゅ</span>（らくようじゅ、落葉樹）という。 落葉では、その木の、すべての葉をおとします。 <gallery widths="250px" heights="250px"> File:Red maple leaf.jpg|カエデの紅葉した葉。 ファイル:Ginkgo Tree 08-11-04a.jpg|イチョウ。イチョウは、秋（あき）には、葉（は）が、きいろくなる。黄葉。 ファイル:Ginkgo Tree Ginkgo biloba Leaves Rock 3008px.jpg|イチョウの葉。 </gallery> == 電池のはたらき == === かん電池と豆電球 === === 回路記号（かいろ きごう） === 電気回路（でんきかいろ）の配線（はいせん）を、図（ず）で説明（せつめい）するときに、毎回、写真のようなそっくりな絵で説明すると、せつめいする作業が、たいへんな手間になるので、記号（きごう）が回路図をかくときに、もちいられます。 :[[画像:直流電源.png|class=skin-invert-image|thumb|かんでんち。<br>ながいがわが、プラスきょくです。<br>みじかいがわが、マイナスきょくです。]] 電池にはプラス極（プラスきょく）とマイナス極（マイナスきょく）があるが、回路記号では線が長い方がプラス極です。じっさいの電池では、でっぱりのある側（がわ）がプラス極です。回路図で、短いがわは、マイナス極です。 この記号は、おぼえてください。どちらがプラス極（きょく）の側なのかも、おぼえてください。 まちがえて、ぎゃくにおぼえやすいので、注意（ちゅうい）してください。 :※ 回路図（かいろず）の、電池（でんち）の記号（きごう）の、みじかい部分が、電池のプラス極のでっぱりに見えて、まちがえてみじかいほうをプラスとおぼえてしまうことがある。これは、まちがいです。 正しい記号の意味を、もういちど、書きます。電池の回路記号で、ながいほうが、プラス極です。回路記号で、短いがわは、マイナス極です。 かん電池に豆電球とスイッチをつなぐと、あかりをつけたり消したりできます。また、モーターをつなぐと回転させることもできます。豆電球やモーターを使って、かん電池のはたらきを調べよう。 さて、豆電球はかん電池とつなぐとあかりがつきます。モーターはかん電池とつなぐと回転します。 このあかりや回転をもっと明るくしたり、速くしたりできないのでしょうか。 「かん電池をふやせばいい」、多くの人がそう答えると思います。でも、かん電池を増やしたからといって、かならず豆電球が明るくなったり速くモーターが回ったりするわけではありません。まず、＋（プラス）極から－（マイナス）極へともどってくるように、輪になるようにつながなければ電気は流れません。電池をいくつかつなぐ方法のしゅるいを２つしょうかいします。 === 電池のつなぎかた === * 直列（ちょくれつ）つなぎ :かん電池を ＋－　＋－ ･･････とじゅん番にならべてつなぎます。かん電池をふやすとたくさんの電気が流れますので、豆電球は明るくなります。<br>－＋　＋－や、＋－　－＋ と、かん電池をつないでも、電気は流れません。かん電池やどう線が熱くなったりもえたりするので！やらないようにしましょう。 :[[画像:直列接続.png|class=skin-invert-image|thumb|left|直列つなぎ。<br>右側がプラス極に、つながっている。]] {{clear}} * 並列（へいれつ）つなぎ :かん電池を横にならべて＋極どうし、－極どうしをつなぎます。そして、＋極をつないだどう線と－極をつないだどう線をモーターや豆電球につなぎます。豆電球の明るさやモーターの速さは変わりませんが、かん電池は長持ちします。 :[[画像:並列接続.png|class=skin-invert-image|thumb|left|並列つなぎ<br>右側がプラス極に、つながっている。]] {{clear}} ::※ 本書で、つぎにおしえる「ていこう」は、小学校では習わないかもしれませんが、ウィキペディアでの、画像の用意のつごうで、豆電球の回路図が見当たらないので、かわりに「ていこう」をもちいた回路図を、しょうかいします。豆電球をもちいた回路図については、市販（しはん）の参考書（さんこうしょ）などを参照（さんしょう）してください。なお、中学校では、「ていこう」を習うはずです。 電気を流れにくくする物体のことを、ていこう（抵抗）といいます。 [[File:3 Resistors.jpg|thumb|left|ていこう]] [[画像:jun_high_sci_electrical_resistance.svg|class=skin-invert-image|thumb|ていこうの記号。|なし]] 電池と抵抗だけをつないだ簡単な回路図を、れいに、しめします。 :[[画像:jun_high_sci_simple_circuit.svg|class=skin-invert-image|thumb|かいろず|なし]] {{clear}} ていこうの記号は、昔（むかし）と今（いま）とでは、じつは、記号がちがいます。小学生は、あたらしいほうの、記号をおぼえてください。あたらしいほうは、はこ型の四角い記号が、あたらしい「ていこう」の記号です。ギザギザしたほうは、昔の「ていこう」の記号です。 <gallery class="skin-invert-image"> ファイル:Resistor symbol IEC.svg|・　いま（せいれき2013年）での、ていこうの図記号 ファイル:Resistor symbol America.svg|・　むかしの、ていこうの図記号 </gallery> {{clear}} ていこうの、直列つなぎと並列つなぎを、図にすると、つぎのようになります。 :（※　画像では、「ていこう」の記号は古いギザギザのほうになっていますが、これから中学生になる小学生は、新しいハコ形の記号で「ていこう」を書いてください。ウィキペディアの画像の用意の都合で、古いほうのギザギザ記号での紹介になっています。） <gallery widths="300" heights="100" class="skin-invert-image"> ファイル:Resistors in series.svg|「ていこう」の直列つなぎ ファイル:Resistors in parallel.svg|「ていこう」の並列つなぎ </gallery> {{clear}} * まめでんきゅう 豆電球（まめでんきゅう）の回路図は、以下のようになります。 [[画像:Symbol Visual indicator1.svg|class=skin-invert-image|100px|thumb|left|まめ電球の、記号（きごう）。]] ○の中に、×を書いた記号ですね。×の、はしは、そとがわの丸に、くっついています。 ばってんの線は、丸から、はみださずに、書いてください。 {{clear}} * 回路図の図記号 小学校の３年や４年あたりで、つかうことになるかもしれない部品の、回路図の図記号を書きます。 <gallery class="skin-invert-image"> ファイル:電池.svg|電池、長いがわがプラス極） ファイル:SPST-Switch.svg|スイッチ ファイル:3wayswitch.svg|3極スイッチ ファイル:Symbole moteur.png|モータ ファイル:Wire Junction.svg|接続（せつぞく）している交点（こうてん）。 ファイル:Wire Cross.svg|配線が接続せず、十字に、かさなっているだけの場合。 ファイル:Symbol Visual indicator1.svg|電球 ファイル:Symbole amperemetre.png|電流計（でんりゅうけい） ファイル:Symbole voltmetre.png|電圧計（でんあつけい） </gallery> 電流計（でんりゅうけい）や、電圧計（でんあつけい）は、回路にながれている電気のせいしつをはかる道具です。電流計や電圧計は、使い方をまちがえると、こわれます。 学校（がっこう）の授業（じゅぎょう）の計画（けいかく）にもよりますが、学校の理科のじっけんで、もしかしたら、電流計や電圧計を、つかうかもしれません。 電流計や電圧計をつかうときは、学校の先生の指示（しじ）にしたがって、正しいつかいかたで、つかってください。 もし、理科の実験で、電流計（でんりゅうけい）などをつかわないとしても、その理由は、きっと、小学校の児童（じどう）が、電流計をこわさないように心配したからなので、きちんとした理由があってのことです。小学生のかたは、学校では、先生の授業（じゅぎょう）の計画（けいかく）に、したがってください。 <span style="font-size: large">電流</span>（でんりゅう） とは、回路がつながっているときの、かん電池とどう線の中での、電気のながれのことです。電気は、プラスきょくから出てきて、どう線を通って、マイナスきょくにもどるのでしたね。電流の単位は <span style="font-size: large">アンペア</span> です。アンペアは記号で、「A」とかきます。 <span style="font-size: large">電圧</span>（でんあつ ）とは、電流をながそうとする、つよさ（強さ）のことです。電圧の単位は <span style="font-size: large">ボルト</span> です。ボルトは記号で <span style="font-size: large">V</span> と書きます。ふつうの乾電池（かんでんち）の電圧は、だいたい1.5Vくらいです。 {{clear}} == 月と、太陽と、わく星 == [[File:Western Moon setting over the San Bernardino Mountains, High Desert, California.jpg|thumb|月。]] [[File:月の見え方.png|thumb|400px|月の見え方]] 月があかるいのは、月が太陽の光に、てらされているからです。月の表面（ひょうめん）のうち、太陽の光をあびている面が、明るく見えるので、地球から、見ることができます。月のうち、太陽にてらされていない、かげになっているほうの面は、地球からは、くらくて、見えません。 つまり、月は太陽の光を <span style="font-size: large">反射</span>（はんしゃ） しています。（※　反射　・・・　はねかえすこと。） 太陽のように、その星から光をはっしている星を、 <span style="font-size: large">こう星</span>（こうせい、恒星） といいます。いっぽう、月そのものは光を発していないので、月は こう星では、ありません。 地球から見た、月のうごきかたは、太陽と同じように、'''東の空から南の空を通り、西の空にしずんでいきます'''。また、月の形には、まるい円のかたちの <span style="font-size: large">'''満月'''</span>（まんげつ） と、はんぶんの <span style="font-size: large">'''半月'''</span>（はんげつ） と、もっとほそい <span style="font-size: large">'''三日月'''</span>（みかづき） や <span style="font-size: large">'''２６日の月'''</span> があります。 月は、三日月や満月などいろいろな形に見えますが、動き方は同じで、どの月も東の空から南の高い空を通り、西の空へ動きます。 [[File:月の一日の動き 上弦の月svg.svg|thumb|400px|left|月の1日の動き 上げんの月。午後６時に南中している。月は、東からのぼって、西にしずむ。]] 南の空で、月がもっとも高くなるので、月がもっとも高くなることを<span style="font-size: large">'''南中'''</span>（なんちゅう）といいます。 南中している月は、文字どおり、南に月があります。 満月を見るには、夕方に東からのぼるのが見え、夜中に南の空を通って、朝に西にしずみます。 三日月は、夜中でないと見えません。三日月は、朝や昼間に東からのぼっているのですが、太陽の光で地球が明るいので、朝や昼間の東からあがったばかりの月は見えません。夜中になると、西の空にしずもうとしている三日月が見えます。 半月には、午前中に見える '''下げんの月'''（かげんのつき） と、午後に見える '''上げんの月'''（じょうげんのつき） があります。 上げんの月は、右がわが明るく見える半月です。下げんの月は、左がわが明るく見える半月です。 *上げんの月 上げんの月は昼に、東からのぼり、夕方に南の空を通って、夜中、西にしずみます。 上げんの月は、昼間でも、東の空で しろっぽい上げんの月が見えます。 [[File:月の一日の動き 上弦の月svg.svg|thumb|400px|left|月の1日の動き 上弦の月]] {{-}} *下げんの月 下げんの月はま夜中に、東からのぼり、朝の6時ごろに南の空を通って、午前の11時ごろに西にしずみます。 下げんの月は、昼の午前11時ごろでも、西の空に、しろっぽい 下げんの月 が見えます。正午には、下げんの月は、しずんでいます。 [[File:月の一日の動き 下弦の月.svg|thumb|400px|left|下げんの月 の 1日のうごき ]] {{clear}} <gallery widths="200px" heights="200px"> Image:ComputerHotline - Lune (by) (9).jpg|三日月。（天体ぼうえんきょうで見たばあい。） ファイル:HalfMoon.jpg|半月。（天体ぼうえんきょうで見たばあい。） ファイル:Full moon.png|満月。（天体ぼうえんきょうで見たばあい。） </gallery> 月が、すべてかけてしまって、みえないときの月を '''新月'''（しんげつ） といいます。 {{clear}} 太陽と月の、それぞれの場所によって、地球から見える月の形が、かわって見えます。 [[Image:Moon phases en.jpg|thumb|center|nofloat|500px|月の見え方。]] 月の見える形は、毎日、すこしずつ、かわっていきます。かわる順番（じゅんばん）は、満月から始めたとすると、 :満月　→　下弦の月　→　26日の月　→　新月　→　上弦の月　→　次の満月 と、かわっていきます。 だいたい約30日で、はじめの満月から次の満月までを、くりかえします。 [[ファイル:Lunar crater Daedalus.jpg|thumb|月のクレーター。]] 月の表面に見える、黒く見える丸い穴を'''クレーター'''と言います。でこぼこした、くぼみがあります。 クレーターが出きた理由は、いん石（いんせき、隕石）が、ぶつかったからだろう、と考えられています。 クレーターとはべつに、月の表面の、黒く見えるあたりを <span style="font-size: large">海</span>（うみ） といいます。「海」と言っても、月の海には、水はありません。 そもそも、月には、水がありません。月には、空気も、ありません。 月の表面には、海がいっぱいあるけど、裏には、ほとんどありません。 月の表面の、白く見える部分を<span style="font-size: large">陸</span>（りく）と、いいます。 {{clear}} == 星座 == [[ファイル:Pegasus constellation map.svg|thumb|ペガスス座]] 夜空には、月だけでなく星もありますね。昔の人は、その中でもとくに明るい星に注目して、その集まりをいろいろな人や動物、道具に見立てて名前をつけていました。これを '''星座'''（せいざ） といいます。よくうらないで目にする12星座もその一部です。七夕の物語のように星や星座にはいろいろな神話やお話があります。星座は全部で88個です。日本からは、およそ50個の星座を見ることができます。 :※ 星うらない（ほしうらない）には、科学的な根きょはありません。 季節によって、見える星座がかわるばあいがあります。 北極星という北の空にある星と、そのまわりにある北の空の星座は、一年中、みることができます。 南の空や、東や西の空の星座は、季節によってかわります。 地球は、じつは、'''北極'''（ほっきょく）と'''南極'''（なんきょく）を中心にして、まわっています。このような、北極と南極を中心とした回転を'''自転'''（じてん）といいます。 日本は、地球の北がわの'''北半球'''（きたはんきゅう）にあるので、日本からは北極の方角にある空が見えます。南極のほうの空は、日本からは地面にかくれて見えません。地球儀（ちきゅうぎ）で、日本と南極とを糸で結んで、まっすぐに糸をのばすと、地球は丸いので、糸も丸くなりますよね。糸は丸くなれても、人間の目でみる方向は、まっすぐにしか見れません。 つまり、日本から見た南の空は、じつは、日本と南極とを結ぶ線の上にある赤道（せきどう）に向かった方角なのです。 いっぽう、南の空にある、春の星座は、いっぱんに秋にはまったく見ることができません。南の空にある、夏の星座は、冬には見られません。南の空にある、秋の星座は、春には見えません。南の空にある、冬の星座は、夏には見えません。 これは、日本が北半球にあるからです。 もし、南半球にある国の人たちが星座を見たら、南半球ではは、南の空にある星座は一年中、おなじになります。 南半球では、北の空の星座が、季節によって、かわります。 この本では、とくにことわらないかぎり、日本がある北半球にある日本から見た星座について書いています。 星座を夜の空に、さがすときは、明るい星を、手がかりにして、さがすと、さがしやすいと思います。 === 北の空の星座 === [[ファイル:Ursa Major constellation detail map.PNG|thumb|left|北斗七星（ほくと しちせい）]] [[ファイル:Cassiopeia constellation map.svg|thumb|カシオペヤ座。「W」のような形をしている5個の星が、カシオペヤ座。]] 日本から、北の空を見ると、 北斗七星（ほくと しちせい） と カシオペヤ座 が見える。 北斗七星の形は、「ひしゃく」という水をくむための道具のような形をしています。 [[Image:ItsukushimaDipperBasin7431.jpg|thumb|200px|left|ひしゃく]] そして、カシオペヤ座は、5個の星が「W」のような形で、ならんでいる星座です。 ま北の方角に、北極星があります。これは、時間がたっても、うごきません。なので、方角を知るときに、たいせつな星です。 これらの北の空の星は、一年中を通して、日本から、夜に見ることができます。 北極星は北斗七星やカシオペヤ座を利用して探すことができます。 北斗七星の「ひしゃく」の口の2つの星を結んで5倍に伸ばしたところに北極星があります。 なお、北斗七星は、星座ではなく、おおぐま座の一部です。 北極星は、星座ではなく、こぐま座の一部です。こぐま座の、しっぽの先が北極星になっています。 北極星は、一年中、見えるのですから、こぐま座もしっぽの先と、その近くは、一年中、見えるのです。 {{clear}} === 星座早見 === [[ファイル:planisphere.jpg|thumb|left|星座早見]] 夜空で星座をさがすのには、 星座早見（せいざ はやみ） という道具がべんりです。また、プラネタリウムや天文台では、ふだん目にすることのできないような星や宇宙の勉強ができます。では、星座について学習しましょう。 {{clear}} === 夏の大三角 === [[File:Summer triangle map.png|thumb|300px|right|夏の大三角。<br>「Cygnus」(キグナス)とあるのが、はくちょう座で、「Deneb」がデネブ。<br>「Aquila」がわし座で、「Altail」がアルタイル。<br>「Lyra」がこと座で、「Vega」がベガ。]] 7月7日の七夕の日に、南の空に、三角形のような星座が見えますね。この星座は、 '''夏の大三角'''（なつのだいさんかく） といいます。こと座のベガ（おりひめ星）、わし座のアルタイル（ひこ星）、はくちょう座のデネブの3つの明るい星をつないでできる星座です。 はくちょう座は、十字のような形をしている星座です。 わし座も、十字のような形の星座です ===星の動き=== 星は、じつは、時間が立つとともに動きます。 7月7日の午後7時から、さそり座を1時間ごとに観察しましょう。同じ場所で、同じ方位を見て観察することが大切です。観察するときに電信ばしらやたて物などの目じるしがあるとよりわかりやすくなります。午後8時ごろ、東の空に見えるさそり座は、午後10時ごろには南の空を通り、その後、西の空に動きます。星の動きは、太陽の動きと同じです。しかし、気づいたかもしれませんが、時間とともに星は動きますが、そのならび方はかわりません。 {{clear}} :※　あぶないので、けっして太陽の温度を、実験（しっけん）では、しらべては　いけません。太陽をちょくせつ見ると、目をいためるキケンがあります。太陽を反射させた光や、プリズムで分けた光でも、目をいためるキケンがあります。 月は、自分からは、光を出していません。太陽の光を反射（はんしゃ）しているので、月は明るく見えるだけです。月の温度は、月の光からは、わからないのです。 === 冬の大三角形 === [[ファイル:Wintersky.jpg|thumb|left|350px|赤い線:冬の大三角<br>青い線:冬のダイヤモンド]] オリオン座の '''ベテルギウス''' と、おおいぬ座の '''シリウス''' と、こいぬ座の '''プロキオン''' が、 '''冬の大三角形''' です。 ちなみに、ベテルギウスの明るさは0.4等星(れいてんよん とうせい)です。シリウスは -1.5等星(マイナスいちてんご とうせい)です。 {{clear}} === 太陽 === :※注意　太陽を{{ruby|直接|ちょくせつ}}見てはいけません。目をいためます。 :※注意　太陽を直接{{ruby|望遠鏡|ぼうえんきょう}}でのぞいてもいけません。目をいためます。 {{clear}} == 骨（ほね）と、筋肉（きんにく） == [[Image:Human_skeleton_front.svg|thumb|right|400px|人間のほね。<br>英語（えいご）ですが、日本語の翻訳（ほんやく）ができあがるまで、これで代用（だいよう）してください。]] 私たちのからだの中には '''骨'''（ほね） があります。骨によって、からだをささえています。また、ほねは、かたいので、のうや内ぞうなどをまもる役目（やくめ）もあります。 ほねのあつまりを 骨格（こっかく） といいます。 * 頭骨（とうこつ） のうをまもっている、あたまの大きな骨です。 目がはいるためのすきまが、あります。 鼻（はな）が通るためのすきまが、あります。 <gallery widths="200px" heights="200px"> File:Human skull front bones numbered.svg|前から見た、とう骨。 File:Human skull side bones numbered.svg|横から見た、とう骨。 </gallery> * 背骨（せぼね） [[File:Spinal column curvature-jp.svg|thumb|left|200px|せぼね]] せなかのまんなかにある、くびのせなかがわから、こしのあたりまでのびている、一本の長いほねです。からだをささえています。 せぼねのある動物（どうぶつ）を '''セキツイ動物''' といいます。わたしたち人間も、セキツイ動物です。 {{clear}} * ろっ骨 [[ファイル:Gray112.png|thumb|left|200px|ろっこつ。（肋骨）]] むねのあたりにある、かごのような、ほねです。「心ぞう」（しんぞう、心臓）と、「はい」（肺）を、まもっています。しんぞうとは、けつえき（血液）をおくりだすところです。「はい」とは、口（くち）からすった空気（くうき）を、からだのなかにとりこむ場所（ばしょ）です。 * 骨ばん（こつばん） [[ファイル:Gray242.png|thumb|right|200px|こつばん。（骨盤）]] 腸（ちょう）などのないぞうを、まもっている。腸（ちょう）とは、食事（しょくじ）でたべた栄養（えいよう）を、からだにとりこむ場所（ばしょ）です。 {{clear}} ;きんにく [[Image:Illu head neck muscle.jpg|thumb|left|350px|あたまの きんにく]] '''筋肉'''（きんにく） は、体（からだ）をうごかすのに、つかわれます。 ほねだけでは、からだは、うごきません。 わたしたちが、うで（腕）を、うごかすときは、きんにくによって、うでのほねをうごかして、そして、腕（うで）が、うごきます。 ;かんせつ うでには、まんなかに、ひじがありますね。骨（ほね）と、骨のつなぎめを、 '''かんせつ'''（関節） といいます。「ひじ」も、かんせつです。 かんせつは、ほとんどのかんせつの場合、そのかんせつを中心にして、まわりの骨（ほね）を、うごかすことができます。 かんせつは、ひじのほかにも、あります。てくびもかんせつです。てくびは、まげることができますよね。 * ゆび ゆびのまげられる場所もかんせつです。 * かた うでのつけねの '''かた''' にも、かんせつが、あります。<br>うでは、ひだりのうでと、みぎのうでを、べつべつにうごかせるので、みぎのかたにあるかんせつと、ひだりのかたにあるかんせつは、べつのかんせつです。 * くび くびも、くびのむきをかえることができるので、かんせつです。 * せぼね せぼねも、おなかをまるめることができるので、せぼねには、かんせつがあります。 * あしのつけね あしも、あしのつけのところで、あしをうごかせるので、そこには、かんせつが、あります。<br>あしは、ひだりのあしと、みぎのあしを、べつべつにうごかせるので、みぎのつけねにあるかんせつと、ひだりのつけねにあるかんせつは、べつのかんせつです。 * ひざ ひざのところでも、あしをまげられるので、ひざには、かんせつがあります。<br>あしにある「ひざ」と、うでにある「ひじ」は、なまえがにていますが、べつのかんせつです。 * あしのゆびや、あしくび あしくびや、あしのほねにも、かんせつが、あります。 からだをうごかすしくみは、きんにく（筋肉）が、ほね（骨）を、うごかしているのでしたね。ほね（骨）をうごかすためのきんにく（筋肉）は、きんにくのはじっこが、両方（りょうほう）とも、ほね（骨）についています。このような、ほねをうごかすためのきんにくを '''こっかくきん'''（骨格筋） といいます。 こっかくきん（骨格筋）の両はじの、ほねについているぶぶんを '''けん'''（腱） といいます。 このこっかくきんが、ちぢんだり、ゆるんで元（もと）の長さにもどることで、ほねをうごかします。 このしくみで、ほねをうごかせるためには、こっかくきんは、両はじが、べつべつのほねに、ついていなければいけません。 {{コラム|くわしい、かんせつの、しくみ| [[File:Joint white-bone.svg|class=skin-invert-image|350px|thumb|left|いっぱんてきな、関節（かんせつ）。 <br>ligament 靱帯(じんたい) <br>enthesis 腱付着部（けん ふちゃくぶ）　※腱（けん）が、くっついている場所です。 <br>synovial cavity 滑液腔（かつえきくう） <br>bursa 滑液嚢（かつえきのう） <br>articular cartilage 関節軟骨（かんせつ なんこつ） <br>joint capsule 関節包（かんせつほう） <br>tendon 腱（けん） <br>epiphyseel bone 骨端（こったん）　※ほねのはじっこのことです ]] 関節（かんせつ）は、2つの骨（ほね）から、なりたちますが、そのうちのいっぽうは、さきがまるいです。もういっぽうは、ほねのさきが、ややくぼんでいます。このようにして、うまく、くみあわさるように、なっています。骨（ほね）の先が丸く出っぱっているほうを関節頭（かんせつとう）といい、くぼんでいるほうの骨を関節窩（かんせつか）といいます。 関節（かんせつ）は、関節頭（かんせつとう）と関節（かんせつ）と関節窩（かんせつか）をつつんでいる'''関節包'''（かんせつほう）を持っています。関節包（かんせつほう）の内がわは'''滑膜'''（かつまく）と呼ばれる膜組織（まくそしき）であり、滑膜から滑液（かつえき）とよばれる液（えき）が分泌（ぶんぴつ）されて、その液が'''関節腔'''（かんせつくう）をみたしています。滑液（かつえき）にはすべるをよくするやくめと、軟骨（なんこつ）に栄養（えいよう）をあたえるやくめがあります。 関節包（かんせつほう）のまわりには、靭帯（じんたい）があって、じょうぶにしています。 }} {{clear}} ;うでのきん肉 [[ファイル:Biceps (PSF).jpg|thumb|left|250px|「うで」の きん肉<br>うでをまげるときは、BICEPS（バイセプス）が、ちぢんでいる。<br>うでをのばすときは、TRICEPS（トリセプス）が、ちぢんでいる。BICEPSは、日本語では上腕二頭筋（じょうわん にとうきん）といい、うでの力こぶのきん肉のこと。TRICEPSは、日本語では三頭筋（さんとうきん）という。]] うで（腕）の、ひじのところで、うでをまげるためのきん肉と、うでをのばすためのきん肉は、べつべつのきん肉です。 もし、ひとつのきん肉しかなかったら、たとえば、うでを曲げるためのきん肉しかなかったら、うでをのばすためには、うでをおろしたりしなければいけません。また、もしも、うでをのばすためのきん肉がないと、うでをのばしたままのかっこうで、手をあげることができません。 うでをのばすときには、うでを曲げるときにつかったほうのきん肉はゆるんでいます。 うでをのばすためのきん肉がちじむことで、うではのびます。 曲げるためのきん肉と、のばすためのきん肉が、りょうほうともあることで、わたしたちは、すばやく、からだをうごかせます。 たとえば、体育（たいいく）の授業（じゅぎょう）などで、たとえばドッジボールでボールをなげるときに、うでをのばしていますよね。 足の、ひざのところで、あしをまげるためのきん肉も、にたようなしくみになっています。 {{clear}} * その他 顔にも筋肉があります。 ウサギやコウモリやハトや魚など、動物の体にも筋肉があります。ニワトリの体にも筋肉があります。 {{clear}} == 気温 == === 気温の、はかり方 === 気温（きおん）とは、空気（くうき）の温度（おんど）のことです。気温（きおん）をはかるには、温度計（おんどけい）をつかいます。 じつは、地面（じめん）からの距離（きょり）によって、温度はかわります。だから、気温をはかるときは、高さ（たかさ）をきめるひつようが、あります。高さは、だいたい、高さは1.2m（メートル）から1.5m（メートル）くらいの高さが、気温をはかるときの高さです。 こうやって、高さをきめておかないと、もしも、ほかの人が、はかったときの温度と、くらべることができなくなって、こまります。 いっぱんに、地面にちかい場所は、太陽からの光によって、あたためられているので、地面に近づくほど、温度が高いです。 「1.2m（メートル）から1.5m（メートル）の、30cmの高さのちがいで、気温はちがわないの？」と、思うかもしれませんが、小学生は、気にしないで、大丈夫です。 温度をかえるものは、'''直しゃ日光'''（ちょくしゃ にっこう）が、あたっているか、あたっていないかでも、温度は、かわります。なので、気温をはかる場合は、どちらかにきめるひつようがありますね。 理科では、気温をはかるときは、「ひかげ」（日陰）ではかる、つまり、直しゃ日光が当たらない場所ではかる、というふうに決めています。 さらに、おなじ日かげでも、ドアやまど（窓）をしめた部屋（へや）の中のように、そとからの風（かぜ）がふかないところと、ドアや窓をあけた部屋とでは、温度はちがいますよね。風通しの少ない場所では、温度は、変化しやすくなります。いっぽう、風通しのよいところは、まわりの平均的（へいきんてき）な気温に、ちかくなります。 だから、外からの風がふく、風通し（かぜとおし）のよい場所で、気温をはかると、理科では、きめています。 気温のはかりかたを、つぎの文（ぶん）に、まとめます。 ;気温の、はかりかたの、きまり * 風通し（かぜとおし）の良い場所で、気温を、はかる。 * 地面からの高さは、1.2m（メートル）から1.5mの高さで、気温をはかる。 * 直しゃ日光（ちょくしゃにっこう）の当たらない、日かげで、気温をはかる。 です。 そのほか、気温にかぎらず、温度計をつかうときの、はかりかたとして、 * 温度計に、息（いき）を、ふきかけてはいけません。 * 液だめ（「えきだめ」、・・・温度計の下のほうにある、赤い、ふくらんだ部分です。）、液だめに、さわっては、いけません。液だめに、息をふきかけても、いけません。 === 百葉箱（ひゃくようばこ） === [[File:Stevenson screen in Ikuta Wooded Area.jpg|thumb|300px|百葉箱（ひゃくようばこ）]] 気温をはかるばあいに、正しい方法で、はかりやすいように、'''百葉箱'''（'''ひゃくようばこ'''）を、つかってはかる場合があります。 百葉箱は、つぎのような、しくみになっています。 * 屋根（やね）が、ついている。 ・・・ 日光（にっこう）をさえぎり、日かげを、つくるために、屋根が、ついています。 * 色は、白い。 ・・・ 日光を、反射（はんしゃ）するためです。 * よろい戸（よろいど）というとびらになっていて、板のすき間が、あいている。 ・・・ すきまは、風通し（かぜとおし）をよくするためです。 * 百葉箱の高さは、中にある温度計の液だめが、1.2mから1.5mになるように、工夫されています。 * なるべく広い場所に作られている。 ・・・ まわりの、たてものなどによる影響（えいきょう）を、なくしたいからです。 * とびらの方角は、北（きた）に向いています。 ・・・ 太陽の直射日光が、入らないようにするための、工夫です。太陽は、東から登って、南で高くなり、西にしずむのでしたね。 * 地面は、ふつうは、草が生えた芝生（しばふ）です。 ・・・ 日光の照り返し（てりかえし）や、地面からの熱（ねつ）の影響（えいきょう）を、少なくするためです。 ==空気と水の性質（せいしつ）== この空気（くうき）にかんする、じっけんをするときは、おかあさんなどの、おとなのかたに、見てもらってくださいね。ひとりでじっけんしたら、ダメですよ。 むりに、じっけんをしなくても、いいですよ。 つぎの、カッコのなかは、おとなのかたへの、ちゅういがきです。もし、じっけんをしたいばあいは、このちゅういがきをよんでもらってください。 :（保護者の方へ・・・本書の記述は、安全には、なるべく配慮していますが、しかし、不慮の事故の可能性などもあります。たとえば、ふくろを使った実験では、もしイタズラをすると、窒息する危険もあります。他にも、コップなどを使った実験では、ガラス製のコップなどは割れる可能性もあります。また、ウィキペディアには免責事項があります。事故が起きても、責任は取りません。ページ末尾の免責事項をお読みください。） まず、わたしたちの、まわりには、空気（くうき）があります。わたしたちは、鼻（はな）から、空気を、すっています。 目には見えませんが、空気があります。 「空気が、たしかに、せかいには、あるんだ。」ということをたしかめる方法（ほうほう）には、たとえばビニール袋（ぶくろ）に、空気を入れて、ふくろの口を手でふさいで空気を、とじこめてから、水の中に空気が入ったふくろを入れると、ふくろの口のすき間から、空気がもれて、あわがでるかもしれません。 じっけんをやるときは、あまり、ふくろが大きすぎると、くうきをあつめるのが、たいへんになります。うまく大きさを、工夫してくださいね。 あと、くれぐれも、ふくろのなかに入っては、ダメですよ。あぶないですよ。うんがわるいと、空気がすえなくなって、死（し）にますよ。 おなじように、くれぐれも、ふくろの中に、顔や鼻を入れてはダメですよ。うんがわるいと、空気がすえなくなって、死にますよ。 また、コップなどがあれば、コップの口を下に向けて、水に入れれば、空気がとじこめられます。そのまま、水の中でコップを上に向ければ、空気がうかび上がって、おおきな泡（あわ）になって、出てきます。ペットボトルのびんがあれば、それをつかっても、にたようなじっけんができます。 あわがうかびあがることから、どうやら、水のなかでは、空気が、うかびあがるらしいですね。 コップをつかう時は、おとしたら、われて、あぶないので、気をつけてくださいね。もしじっけんをするなら、できれば、プラスチックでできたコップでじっけんをやると、あんぜんだと思います。 風船（ふうせん）を、知ってるでしょうか。ふくらませると丸くなる、あのフーセンのことです。 フーセンがなければ、同じくらいの大きさのビニール袋でもかまいません。 フーセンに空気を入れて、フーセンの口をとじて、水に入れて、手をはなすと、フーセンは水に、うきますよね。 水の入った、ふくろは、どうも、うかぶらしいですね。 プールなどでつかう浮き輪（うきわ）も、おなじしくみです。 フーセンでも、ビニール袋でも、なんでもいいのですが、空気を半分くらい入れて、ふくろの口をしめてみましょう。 ふくろの口をしめるには、ちょうちょ結び（むすび）をするなり、輪ゴム（わゴム）でとめるなり、いろいろと工夫してください。 ふくろに入れる空気は、半分ぐらいまでで、いいですよ。 あんまり空気をいれすぎると、次のじっけんが、わかりづらくなるので、空気は半分くらいにしといてくださいね。 半分に空気をいれたふくろの口をとじて、ふくろを曲げようとしたら、曲げられますよね。 空気がもれていないことを、かくにんしたいなら、ふくろを水の中に入れて、じっけんすれば、いいでしょう。 このように、どうも、空気は、形をかえられるようですね。 空気はちぢめられますが、水はちぢめられません。 水をいれたピストンを押しても、水はちぢみません。 == 温度と物の変化 == :※ちゅうい　学校の理科の授業以外では、火などをつかったじっけんは、しないでください。この節（せつ）では、物をあたためるときに、おきる現象（げんしょう）を、あつかいます。 === 水と温度の関係 === [[Image:Kochendes wasser02.jpg|thumb|right|200px|水の、ふっとう。]] [[ファイル:watervapor_cup.jpg|thumb|200px|ティーカップから立ちのぼる、水蒸気（すいじょうき）をふくむ湯気（ゆげ）]] 水を熱して、お湯にする。お湯をさらに熱していくと、底から泡（あわ）がでてくる。このあわは、水にとけていた空気が、ふくらんで、出てきたものでる。 この、熱された湯から、あわがたくさん出てくる状態を '''ふっとう'''（沸騰） という。 また、'''湯気'''（'''ゆげ'''）という、白いけむりのようなものが、水面からでてくる。 湯気をよく見ると、水面の近くには、白いものが見えない。だが、この水面の近くにも、目には見えないが、水面から、水から形をかえて見えなくなったものが、空気中に出てきている。このように、熱い湯の表面から、でていく水を'''水蒸気'''（'''すいじょうき'''）という。 水蒸気は、目には見えない。 湯気は、水蒸気が、水面から、はなれていって、温度が少し下がったので、もとの水の霧（きり）にもどったものである。 沸騰した湯からは、水蒸気が多く出る。水が沸騰する温度は、'''100℃'''である。 液体の水は100℃までしか、温度が上がらない。 この理由は、加えた熱が、水を水蒸気にかえるために、使われているからである。 液体が、沸騰するときの温度を '''ふっ点'''（'''ふってん'''、沸点） といいます。 水の沸点は100℃です。 水の沸点が100℃という、きりのいい数字な理由は、じつは、温度の決め方は、水が沸騰しているときを100度として決め、水が氷になるときを0℃として決めたからです。 アルコール温度計では、80℃くらいまでしか、はかれません。もし、アルコール温度計でそれよりも高い温度を測ろうとすると、温度計がこわれます。 これは、アルコールもまた温度が高くなると沸とうし、アルコールの沸点のおよそ80度で沸とうするからです。 100度の温度をはかる時は、べつの温度計をつかいます。 [[File:Phase_change_-_ja.svg‎|thumb|right|300px|状態の変化を表した図。図中の「プラズマ」については、気にしないでください。]] 水には、氷（こおり）と水（みず）と水蒸気（すいじょうき）の、三つの状態があります。 水やアルコールのような、目に見えて、形の決まっていなくて、体積はきまっているものを '''液体'''（えきたい） と言います。 空気や、水蒸気のような、目に見えず、形もきまっていなく、体積もきまっていないものを '''気体'''（きたい） といいます。 空気にふくまれている、酸素（さんそ）や二酸化炭素（にさんかたんそ）、も気体です。 氷（こおり）や金属や木などのような、目に見えて、物を '''固体'''（こたい） といいます。 ふっ点でない水からも、じつは、すこしずつ水が気化をして、くうきに水がまじります。これを '''じょう発'''（じょうはつ、蒸発） といいます。 雨がふって、バケツの中に水たまりができても、ほうっておけば、水がなくなるのは、蒸発をしたからです。 洗濯物（せんたくもの）が、晴れ（はれ）の日に、ほすと、かわくのも、じょう発です。 汗（あせ）がかわくのも、じょう発です。 蒸発は、水の温度が高いほど、多くの水が蒸発していきます。だから、あたたかい日のほうが、水が蒸発しやすいです。 {{コラム|紙鍋は、なぜ燃（も）えないの？| [[File:Breakfast at Tamahan Ryokan, Kyoto.jpg|300px|thumb|紙鍋（かみなべ）<br />]] みなさんは、旅館などで、右の写真の右下のような「紙鍋（かみなべ）」を見たことはありますか？<br> 紙を熱していますが、紙は燃えません。なぜでしょう？<br> 紙鍋の紙には、だし（水分）が含まれています。この水分は、熱しても温度は100℃までしか上がりません。<br> しかし、紙が燃える温度は300℃～450℃くらいで、最大100℃では燃えません。<br> だから、熱しても紙鍋は、燃（も）えないのです。 }} [[Image:Hot-air-balloon.jpg|thumb|200px|right|熱気球]] 空気は、あたためられて、温度が上がると、体積がふえる。 水も、あたためられて、温度が上がると、体積が、ほんのすこし増える。 あたためられて、体積がふくらんだ空気は、密度（「みつど」・・・体積あたりの、おもさ）がちいさくなるので、上にのぼります。 熱気球（ねつききゅう）が、空をとぶのは、このしくみを利用しているからです。 おなじように、あたためられた水は、水の中を、うえにのぼります。 お風呂などで、水面にちかい、上のほうの湯があついのは、あたためられた水が、上に登るからです。 部屋の中などの、閉じた場所で、空気が、あたためられて、上に登った場合、元から上にあった空気は、押しのけられて、下に流れます。このような、空気が、じゅんかん（循環）することを '''対流'''（たいりゅう） といいます。 ;対流 [[File:ConvectionCells.svg|thumb|right|300px|上と下とで温度差のある場所での、対流の一例。下からあたためた場合に、熱は、対流によって上部へと運ばれ、液体の表面からの蒸発（じょうはつ）などの熱放出（ねつほうしゅつ）によって冷やされる。冷えた液体は下へと、もぐる。]] 水も、対流をします。あたためられた水は、密度（みつど）がちいさくなるので、うかび上がり、いっぽう、元から上にあったつめたい水は、下がります。 気体（たとえば空気など。）や液体（たとえば水など。）で、対流はおこります。水の中に、温度のちがいがあると、温度が高いところほど、ふくらむので密度（みつど）が小さくなって、浮力（ふりょく）ができるので、水が対流をします。 {{clear}} 温度が上がると、ふくらむのは、空気や水だけでは、ありません。ほとんどの物が、温度があがると、じつは、ふくらんでいます。 温度計の赤い液だめも、この現象（げんしょう）を、利用（りよう）しています。いっぱんに、赤い液だめのある、温度計にはアルコールや油が、もちいられています。 温度計では、液の入っているガラス管（ガラスかん）を細く（ほそく）することで、わずかな体積変化でも、赤い線の長さが大きくかわるように工夫しています。 温度を下げると、どうなるのでしょうか。 温度を下げると、体積は減ります。 あたためた物を、元の温度にもどすと、体積も、元の体積にもどります。 元の温度よりも、もっと温度を下げると、ほとんどの物質では、体積は小さくなります。 鉄や銅などの金属（きんぞく）の固体も、温度があがると、じつは、体積が、ふくらんでいます。 金属の、温度変化による体積の変化は、ほんのわずかです。 電線や、鉄道のレールなどは、金属が、つかわれています。これらの物は、季節によって、まわりの温度が変わるので、じつは、体積や長さも、かわっているのです。 鉄道のレールは、夏場に ふくらんでも、こわれないように、冬場は、ほんのすこしだけ、レールとレールのつぎめに、すき間があいています。 物がふくらむことを '''ぼうちょう'''（膨張） といいます。熱して（ねっして）、あたたかくすると、ふくらむことから、熱膨張（ねつぼうちょう）と、この現象（げんしょう）を、いうこともあります。 物は、温度があがると、膨張します。 体積が減る（へる）ことを、収縮（しゅうしゅく）と、いいます。 物は、温度が下がると、収縮します。 お仕事で、金属を使った製品（せいひん）をつくっている大人の人たちは、もしも製品の温度が変わって、製品が膨張や収縮をしてもも、製品がこわれないように、工夫して、製品をつくっています。 気体と液体と固体で、体積の変化の割合がいちばん大きいのは、気体です。 つぎに、温度による体積変化の割合が大きいのは液体です。 固体は、温度による体積変化の割合が、もっとも小さいです。 {{コラム|せっ氏温度|2= [[ファイル:Clinical thermometer 38.7.JPG|thumb|300px|セルシウス温度計]] 温度の単位として実用上、多く用いられている ℃ 単位の <span style="font-size: large">せっ氏温度</span>（せっしおんど、摂氏温度） を用いる。摂氏温度は セルシウス温度（セルシウスおんど、degree Celsius）とも言う。 ℃ の、「Ｃ」はセルシウス Celsius の頭文字のＣから、とった文字です。 <div style="background-color:#ccf;margin:3em"> この摂氏温度（せっしおんど）では、温度の基準（きじゅん）として、水 と こおり の共存する温度を 0℃ と決めて、また、大気圧のもとで純水が沸騰（ふっとう）するときの温度を 100℃ と決めている。 なので、水のこおる温度が、きりがよく、ほぼ0℃なのは、そもそも水のこおる温度をもとにして、セルシウス温度の 0℃ を決めたからです。 おなじような理屈（りくつ）で、水が沸騰する温度が、きりがよく、ほぼ 100℃ なのは、水の沸点（ふってん）をもとに、セルシウス温度での100℃をきめたからです。 </div> :;この説明は、{{Ruby|定義|ていぎ}}ではなく{{Ruby|由来|ゆらい}}です。教科書には2019年5月に決まった新しい定義が載っているか、触れられていないかもしれません。 温度計の種類に アルコール温度計 や 水銀温度計 などあるが、これらは物体の温度が上がることによる{{ruby|膨張|ぼうちょう}}する性質を、温度の{{ruby|測定器|そくていき}}として利用した{{ruby|器具|きぐ}}です。 :※注意 水銀は、{{ruby|毒|どく}}であり、とてもキケンなので、家庭での実験では使わないでください。 }} 日本では、ふだんは、℃の単位（たんい）である摂氏温度（せっしおんど）を用いてください。 日本では「温度」といったら、ふつうは、℃の摂氏温度（せっしおんど）のことです。 日本では、温度の たんい には、℃の摂氏温度（せっしおんど）をつかうのが、ふつうです。 === 熱の、つたわりかた === 熱（ねつ）は、外部から手を加えなければ、しぜんと温度の高い所から、温度の低いところへと、熱（ねつ）が移動（いどう）して、つたわっていきます。 その結果（けっか）、温度の高かった場所は、熱を手放していき、だんだんと温度は低くなります。いっぽう、まわりとくらべて温度のひくかった場所は、しだいに温度が高くなる。そして、いつしか、この、ふたつの場所の温度は、同じ温度になります。 == 自然の中の水 == 雨がふると地面に水たまりができました。しかし、晴れた日にはなくなっていました。これはなぜでしょうか。 これは、水が空気中に出て行ったからです。この水などが空気中に出ていこうとするはたらきを '''じょう発''' といいます。じょう発した水は '''水じょう気''' となります。また、土に水がしみこむこともありますが、このとき、つぶの大きさによって水のしみこみやすさにはちがいがあります。また、水は高いところから{{ruby|低|ひく}}いところへと流れていきます。 {{clear}} [[Category:小学校教育|理4]] [[Category:理科教育|小4]] 1zua0e1jfn4o7lne1bmwpnzs5fzuts8 0 5334 300199 275678 2026-06-06T03:28:37Z Tomzo 248 300199 wikitext text/x-wiki '''神大対策''' - リンクが本ページに転送される場合、転送元の内容に合わせて、転送元のリンクを各々以下の参照ページを転送先として更新してください。 *[[神戸大対策]] *[[神奈川大対策]] [[Category:水先案内のページ|しんたいたいさく]] qf34k94c35m27nawf1lvbzxt3l1kh6p 0 6199 300194 292983 2026-06-06T00:45:39Z ~2026-33496-09 91689 /* 衛生（えいせい） */ 300194 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|小学校・中学校・高等学校の学習|小学校の学習|小学校社会|frame=1}} {{stub|小}} == わたしたちの住む都道府県 == 3年生ではあなたの住んでいる市区町村（しくちょうそん）について勉強しましたね。ここでは、都道府県（とどうふけん）という、さらに大きなまとまりについて考えましょう。あなたの住んでいるところのことを勉強したいときは、[[小学校社会/私たちの住む都道府県の特ちょう]]を読んでみてください。 下に書いてあることは、ひとつの例です。あなたの都道府県に当てはまることはいくつありますか。 === 地形図を見てみよう === 皆さんは地形図を見たことはありますか？ 地図帳をいていると緑色や茶色になっているところがあります。（これはほんの一例です） 緑色は低い土地（低地、平地）です 茶色になっているところは、高い土地です。 山梨県や長野県を見ていると茶色に囲まれた緑色の土地があります。 このことを盆地（山に囲まれた平たい土地）といいます。 ==== 山の利用 ==== ==== 海のある町 ==== * とれた魚を水あげする漁港（ぎょこう） * 船を造る * フェリーで人が行き来する。船で、全国各地（ぜんこくかくち）や外国と、品物のやりとりもする。また、材料（ざいりょう）や、造った（つくった）ものをすぐに運べるので、大きな工場があることもあります。 ==== 平地の利用 ==== === 県の中心はどこ？ === 県全体の行政を行っている役所の建物を <span style="font-size: large">県庁</span> （けんちょう） と言います。県庁がある市町村を <span style="font-size: large">県庁所在地</span>（けんちょう しょざいち） と、いいます。 たとえば東北の青森県の県庁所在地は青森市です。沖縄県の県庁所在地は <span style="font-size: large">那覇市</span> （なは し）です。関東地方にある茨城県の県庁は水戸市（みと し）です。 県庁所在地の市町村の名前と、県の名前は、同じ場合もあれば、違う場合もあります。 たとえば，近畿地方にある三重県の県庁所在地は津市（つ し）です。 同じ近畿地方でも、和歌山県は和歌山市が県庁所在地です。 関東では、千葉県は千葉市が県庁所在地と、県名と同じです。千葉のちかくの神奈川県では、横浜市が県庁所在地というふうに、県名とは、ちがいます。 京都府や大阪府には、県庁のかわりに 府庁 （ふちょう） があります。京都府庁の所在地は京都市です。大阪府庁の所在地は大阪市です。 北海道には、 道庁 （どうちょう）があります。北海道の <span style="font-size: large">札幌市</span> （さっぽろ し） に北海道庁があります。 東京都には、県庁のかわりに 都庁 （とちょう） があります。新宿区（しんじゅく く） に、東京都庁があります。 ---- 3年生では、身近にある仕事のこと、そしてすんでいる町や市のことについて勉強をしました。4年生では、今ある、当たり前のくらしがどのようにして支えられているのか、また、わたしたちのすんでいる市にはどのようなれきしや{{ruby|伝統|でんとう}}があるのか、そしてわたしたちのすんでいる{{ruby|都道府県|とどうふけん}}のとくちょうについて少しはんいを広めて勉強していきます。 === くらしの安心をささえる === == くらしをささえる == ===ゴミのしょりと活用（かつよう）=== [[File:Isuzu Forword 1999.jpg|thumb|right|ごみ収集車]] これから、<ruby><rb>説明</rb><rp>（</rp><rt>せつめい</rt><rp>）</rp></ruby>しますが、ごみの<ruby><rb>処理</rb><rp>（</rp><rt>しょり</rt><rp>）</rp></ruby>には、たいへんな<ruby><rb>手間</rb><rp>（</rp><rt>てま</rt><rp>）</rp></ruby>が、かかります。なので、ごみを へらすために、くふうしましょう。 * ごみをへらすために、じぶんたちで、くふうできること :いらない<ruby><rb>物</rb><rp>（</rp><rt>もの</rt><rp>）</rp></ruby>をむやみに買わない。 :<ruby><rb>修理</rb><rp>（</rp><rt>しゅうり</rt><rp>）</rp></ruby>できるものは、しゅうりをたのんで、長く、つかおう。 :ごみをだすときに、<ruby><rb>分別</rb><rp>（</rp><rt>ぶんべつ</rt><rp>）</rp></ruby>できるものは、分別して、ごみに出そう。 お<ruby><rb>菓子</rb><rp>（</rp><rt>かし</rt><rp>）</rp></ruby>の<ruby><rb>空き箱</rb><rp>（</rp><rt>あきばこ</rt><rp>）</rp></ruby>、ジュースのかん、牛乳パック、パンのふくろ……。毎日、生活しているとたくさんのゴミが出ますね。そのゴミは、どうしていますか。{{ruby|燃|も}}える物と燃えない物、紙やかん、びんなどいくつかにわけてすてていますか。分けた後のゴミはどうなっているのでしょうか。ゴミ{{ruby|収集|しゅうしゅう}}車(…「パッカー車」とか「じんかい車」ともいいます)によって運ばれます。 ゴミ収集車には、最近では、電気とガソリンの両方のエネルギーで動くハイブリッド自動車が使われはじめています。使用ずみの天ぷら油などのバイオ{{ruby|燃料|ねんりょう}}などで走る収集車なども、使われはじめています。 では、運ばれたゴミがどこへいくのか、調べてみましょう。 ==== 燃えるゴミのゆくえ ==== [[画像:Katsushika_Waste_Incineration_Plant.jpg|thumb|{{ruby|東京|とうきょう}}都{{ruby|葛飾|かつしか}}区にある{{ruby|清掃|せいそう}}工場]] 燃えるゴミ({{ruby|可燃|かねん}}ゴミは、{{ruby|清掃|せいそう}}工場や {{ruby|焼却場|しょうきゃくじょう}} などとよばれる場所に運ばれて、そこで {{ruby|燃|も}}えるゴミ が燃やされます。清掃工場のことを、{{ruby|地域|ちいき}}によっては クリーンセンター とも、よびます。 まず、清掃工場にゴミ{{ruby|収集|しゅうしゅう}}車がくると、工場にある{{ruby|計量器|けいりょうき}}でゴミをつんだ収集車の重さをはかります。清掃工場の焼却{{ruby|炉|ろ}}にゴミをおろすと、ゴミのなくなった収集車の重さを、はかります。 こうして、ゴミの量を、はかります。 ゴミの量がわからないと、ゴミを燃やすための計画が立てられないからです。 もえるゴミは、燃やされ {{ruby|灰|はい}} になります。 多くの清掃工場では、ゴミを燃やすときに出る{{ruby|熱|ねつ}}を{{ruby|利用|りよう}}して、発電を行ったり、{{ruby|暖房|だんぼう}}に利用したりしています。ごみをもやしたときの熱エネルギーによる発電を、 ごみ発電 といいます。 ごみ発電のしくみには、いくつかの方式があります。よくある方式は、熱によって、湯をわかして{{ruby|水蒸気|すいじょうき}}をおこし、タービンを回すしくみです。 ちなみに、発電された電力は、一部を工場内で使って、のこりの電力は電力会社に売られるのがふつうです。 燃えるごみをもやした熱で、温水プールや、{{ruby|公衆浴場|こうしゅうよくじょう}}の水をあたためる熱源にするばあいもあります。このため、地域によっては、{{ruby|清掃|せいそう}}工場の近くに、公共の温水プールなどがある場合もあります。 ごみは、つづけて燃やしつづけたほうが、{{ruby|焼却設備|しょうきゃくせつび}}での{{ruby|効率|こうりつ}}がよいので、せいそう工場では燃やすごみの量を調節しながら、なるべく24時間燃やしつづけるようにします。 焼却（しょうきゃく）によって、生じた焼却灰（しょうきゃくばい）は、そのまま 最終処分場（さいしゅうしょぶんじょう） にすてられる場合もありますが、リサイクルで灰を熱で溶かして固めた溶融スラグ（ようゆうスラグ）を、道路工事（どうろこうじ）の土木材料（どぼくざいりょう）などに、もちいる場合もあります。 ==== 燃えないゴミのゆくえ ==== 燃えないゴミは{{ruby|埋|う}}め立て地 に送られて埋められます。 埋め立て地では、ゴミを埋めるために上から土や砂をかぶせます。 {{コラム|夢の島| [[File:Yumenoshima Stadium.JPG|thumb|夢の島{{ruby|陸上競技|りくじょうきょうぎ}}場]] {{ruby|東京湾|とうきょうわん}}の{{ruby|江東|こうとう}}区にある {{ruby|夢|ゆめ}}の{{ruby|島|しま}}は、もとは、ゴミの埋立地だった場所です。 なお、もともとは第二次世界大戦の前の1939({{ruby|昭和|しょうわ}}14)年に、{{ruby|飛行|ひこう}}場としての土地をつくるために、夢の島は、つくられました。 戦争が終わって、しばらくすると、東京のゴミ問題がでてきたので、夢の島が、ゴミの埋め立て地になりました。 1967(昭和42)年まで、夢の島のゴミの埋め立ては続きました。 今では、夢の島は、ゴミの埋め立て場所ではなくなっており、公園などになっています。}} ==== しげんゴミのゆくえ ==== ===== ペットボトルのリサイクル ===== まず、リサイクルセンターに送られます。 * 選別（せんべつ） まざりものが、取り除かれます。フタがのこっていれば、とりのぞかれます。 * 圧縮（あっしゅく） 保管しやすくするため、また運びやすくするため、プレス機などで、ペットボトルをおしつぶします。 押しつぶされたペットボトルは、たばねられる。なお、ペットボトルが、おしつぶされて、たばねられたものをベールと、いいます。 たばねられたペットボトルは、リサイクル工場に送られます。 * フレーク リサイクル工場に送られてきたペットボトルは、機械で くだかれて、フレークという、かけら にされる。フレークは、プラスチックの原料になります。 ===== あきかんのリサイクル ===== スチールは、原料の鉄鉱石から作るよりも、スチール缶をリサイクルしたほうが、消費するエネルギーが少なくて、すみます。 アルミを、原料のボーキサイトから作るのには、電力が、とても多く、かかります。 アルミ缶から、アルミをリサイクルすることで、消費するエネルギーを、なんと95%ちかくも、へらせます。 :* 選別（せんべつ） あきかんのリサイクルでは、スチール缶とアルミ缶は、わけてリサイクルされます。 スチール缶は、電磁石で、くっつけられます。空き缶のリサイクルセンターに、選別用の電磁石があります。 :* プレス 選別されたスチール缶は、まとめてプレスされます。 選別されたアルミ缶は、まとめてプレスされます。 スチール缶は、製鉄会社の製鉄所に買い取られ、鉄の原料になります。 アルミ缶は、民間のアルミ工場におくられ、アルミの原料や合金の原料になります。 ===== びんのリサイクル ===== びん のリサイクルには、リターナブルびん と、ワンウェイびんがあります。 びん のリサイクルには、洗って くりかえし つかう のが、リターナブルびん です。 びんを工場でくだいて、ガラスの原料にするのが、ワンウェイびん です。 ワンウェイびんを、こまかく くだいたものを カレット といいます。 このカレットが、ガラスの原料になります。 ワンウェイびんのリサイクル先は、びん以外にも、舗装材やグラスウールとして再利用されます。 ===== 紙のリサイクル ===== ==== ゴミをへらすために ==== 捨てるときには、ゴミ出しのルールをきちんと、まもるべきです。 燃えるゴミと、燃えないゴミとを、分別（ぶんべつ）するのは、当然です。 ガラスびんや、アルミ缶、スチール缶などで、ゴミの出し方が、ルールで分類されているときは、そのルールにしたがって、分別（ぶんべつ）してゴミを出しましょう。 資源ごみ（しげんごみ）は、資源選別センター（しげんせんべつセンター）に到着します。 選別センターの建物（たてもの）は、たいていは、清掃工場の近くに、建っている場合が多いです。 資源選別センターに到着したごみは、人によって、分別されます。 スチール缶の分別などでは、電磁石（でんじしゃく）を使った分別もおこなわれます。ですが、最終的には、人間が、ごみの分別を確認し、人間が手で分別します。 なので、ごみを出す時に、きちんと分別しないと、清掃工場の人が、こまってしまいます。 {{clear}} ==== 3R運動 ==== * 3R運動（スリーアールうんどう） :* Reduce（リデュース）　 ごみになるものを出さないようにすることです。 たとえば買い物をするときは、マイバッグなどのカバンをつかうことで、ビニールぶくろをへらせます。洗剤（せんざい）などを買うときは、つめかえようの洗剤を買うことで、容器のおもさをへらせます。 :* Reuse（リユース） つかえるものは、むやみに捨てず（すてず）に、つかいつづけることです。 いらなくなったものは、人にあげたりすることで、そのものが使いつづけられるようにすることでも、あります。洋服などの布は、切れなくなても、雑巾（ぞうきん）や布巾（ふきん）の材料にできますし、機械などの油をふきとるための ウエス という布地（ぬのじ）の材料にもなります。 :* Recycle（リサイクル） 使えなくなったものでも、その物（もの）につかわれた資源（しげん）をつかってもらえるように、してもらうことです。 空き缶（あきかん）などは、分別（ぶんべつ）してゴミにだすことで、缶（かん）の資源（しげん）として再利用してもらえます。ペットボトルも、分別してゴミに出すことで、再利用してもらえます。 食品のトレーなども、スーパーの入り口などにある回収ボックス（かいしゅうボックス）にだすことで、再利用してもらえます。 新聞紙（しんぶんし）や雑誌（ざっし）などの古紙などは、地元（じもと）の、ごみ収集所（ごみしゅうしゅうじょ）の、古紙回収（こしかいしゅう）の日に、分別して出すことで、再利用してもらえます。 3Rをすることで、ごみを減らすことができるのです。 　　　　　　 3Rにくわえ、さらに、「ことわる」という意味の Refuse（リフューズ） をくわえて、4Rというばあいもあります。 たとえば、消費者（しょうひしゃ）が、余計（よけい）なものを買わないことで、生産者（せいさんしゃ）である企業（きぎょう）に余計なものを作らせないということです。 リデュースとリフューズとの区別は、あまり、はっきりとした区別ではなく、リデュースと似たような行動をリフューズと言うばあいもあります。 === 水（みず）はどこから、そしてどこへ === [[File:浄水場の説明図 小学生用.svg|thumb|1000px|浄水場（じょうすいじょう）のしくみ]] {{-}} 私たちが、水道の蛇口（じゃぐち）から出して飲む水は、どこで、つくられているのでしょう。 飲み水は、<span style="font-size: large">浄水場</span>（じょうすいじょう）で、つくられています。 浄水場では、川の水やダムの水から、水を、とります。 浄水場では、砂（すな）や小石（こいし）や泥（どろ）を。とりのぞきます。 また、消毒をして、飲んでも病気にならないようにします。 川の上流に、ダムがあるばあいもあります。 ダムでは水をためていて、必要なときに水をながします。 では、そのダムの水はどこからきたのでしょう。ダムの水は、さらに上流にある川の水をせきとめたものです。 ダムの上の山には、森林（しんりん）が、あります。この森林は、土砂崩れ（どしゃくずれ）をふせぐためや、水を、安定的（あんていてき）に供給する（きょうきゅうする）ためにあります。このようなダムの上の森林を 水源林（すいげんりん） といいます。 次の節（せつ）で説明するように、飲める水をつくるには、たいへんな手間（てま）が、かかっています。 なので、水は、たいせつに、つかいましょう。 :たとえば、 うがい や　はみがき のときには、水を出しっぱなしにしないで、コップに水をくんで、つかいましょう。 :手洗い（てあらい）のときも、出しっぱなしにしないで、こまめに、じゃぐちを、しめましょう。 ==== 浄水場でつくる 飲み水 ==== 一般的な、浄水場での処理過程（しょりかてい）の一例（いちれい）を書く。この説明（せつめい）は、あくまで一例（いちれｎ）なので、地域（ちいき）によって、設備（せつび）が、ここでの説明とは、ちがう場合もあります * 取水塔（しゅすいとう） [[ファイル:Kanamachi-water purification plant-Edo river.JPG|thumb|250px|取水塔（金町浄水場）]] 取水塔（しゅすいとう）のような取水施設（しゅすいしせつ）によって、川などの自然環境から水を浄水場（じょうすいじょう）に取り入れる。このように取水口から取水された水は「原水」（げんすい）と呼ばれる。 * 沈砂池（ちんさち） [[ファイル:Kanamachi-water purification plant.JPG|thumb|250px|沈砂池（金町浄水場）]] 川やダムからとった原水（げんすい）には、砂や土が 含まれる（ふくまれる）ため、沈砂池（ちんさち）に導いて（みちびいて）、緩やか（ゆるやか）な 流れ（ながれ）の途中（とちゅう）で、沈殿（ちんでん）させることで、それらを取りのぞく。 * 取水ポンプ（しゅすいポンプ） 沈砂池（ちんさち）から流れてきた原水（げんすい）は、取水ポンプ（しゅすいポンプ）によって、くみあげられ、着水井（ちゃくすいせい）へ向けて送水（そうすい）される。 * 着水井（ちゃくすいせい） 着水井（ちゃくすいせい）は、原水（げんすい）にとって浄水場での最初の水槽（すいそう）であり、送水されてきた勢いによる原水の圧力変化を抑えて、以降の過程へ向けて水位を一定に保つ役割を担う。 * 凝集剤 注入設備（ぎょうしゅうざい ちゅうにゅうせつび） 凝集剤注入設備（ぎょうしゅうざい ちゅうにゅうせつび）では、水に混ざっている細かい砂や土などを沈めるため、着水井から出た原水に ポリ塩化アルミニウム などの凝集剤（ぎょうしゅうざい）が注入される。ポリ塩化アルミニウムは、PACと略されることがあります。PACとはPoly aluminum chloride（ポリ・アルミナム・クロライド）の略です。クロライドとは、塩化（えんか）という意味です。 * 薬品混和池 凝集剤（ぎょうしゅうざい）が加えられた原水は、薬品混和池（やくひん こんわ ち）で、よく混ぜられる。 * フロック形成池 フロック形成池（けいせいち）では、凝集剤の混ざった原水をゆっくりと、かきまぜて攪拌（かくはん）する。 「フロック」とは、それまで水に浮遊していた細かい砂や土などが、凝集剤の働きで寄り集まりかたまりとなったものである。 フロックが作られることで、砂や土などの粒子が比較的大きくなり沈みやすくなる。 * 沈でん池 沈でん池（ちんでんち）に導かれた水は、静かな流れの中でフロックが沈められ、砂や土が水から除かれる。 高速凝集沈殿池（こうそくぎょうしゅちんでんち）とも呼ばれる。 * オゾン接触池（オゾンせっしょくち） 水の底（そこ）のほうから、オゾンという気体（きたい）を入れます。オゾンは水よりも軽いので、水の中を、オゾンの気体が、うかびあがっていきます。オゾンの強い分解力や殺菌作用によって、水中の微生物やカビなどの有機物（ゆうきぶつ）を分解・殺菌などします。オゾンとは、酸素原子（さんそげんし）が３個、あわさって作られる気体（きたい）です。空気中にふくまれている酸素分子（さんそぶんし）は、酸素原子が２個、くみあわさったものであり、空気中の酸素分子とオゾン分子とは、べつの分子です。 * 活性炭吸着池（かっせいたん きゅうちゃくち） 活性炭のなかで生きている、微生物（びせいぶつ）のはたらきによって、汚れを分解をします。誤解をされますが、活性炭の浄化作用は、中の微生物によるものです。活性炭の素材（そざい）そのものには、分解作用（ぶんかいさよう）がありません。 * 塩素注入設備 (1) 塩素注入設備（えんそちゅうにゅうせつび）では、アンモニア窒素（アンモニアちっそ）や鉄などを取るため、沈でん池から出た水に、塩素（えんそ）が注入される。 * ろ過池 [[ファイル:Senganen6671.JPG|thumb|right|250px|仙巌園内の濾過池<br />（登録有形文化財）]] ろ過池（ろかち）によって、砂や砂利の層で水を濾して（こして）、微細な粒子状のものを、とりのぞく。 * 塩素注入設備 (2) 2つ目の塩素注入設備で、消毒のための塩素を入れる。 * 配水池 配水池（はいすいち）に、きれいになった水を溜めておく。 * 送水ポンプ 送水ポンプ（そうすいポンプ）によって、配水池の水を給水所に送り出す。水はそれぞれの配水場・配水池へ配水管を用いて送られ、各家庭や施設へ給水（きゅうすい）される。 ==== 水質の検査 ==== 浄水場からおくられてくる水の品質（ひんしつ）は、水道法（すいどうほう）で、きめられています。浄水場の人たち、水質の検査（けんさ）もしています。 浄水場の中で、これからつくる飲み水は、毎日、水質を検査しています。有害な物質がまじってないか、農薬が混じってないか、ばい菌（ばいきん）が多くないか、病原菌（びょうげんきん）がふくまれていないか、など、調べています。 ここで調べた検査の結果によって、水にいれる薬品の量が、かわります。 浄水場の中の水だけでなく、川の水や、ダムの水などでも、月に何回か、水質の検査が、されています。水質センター（すいしつセンター）の職員の人たちが、定期的に水源や川やダムの水の水質を調査しています。水質センターの名前は地域によっては水質管理センターや水質検査センターだったりします。 ==== 下水 ==== 私たちの家庭から出る、使い終わった汚れた水は、どこへいくのでしょうか。 使い終わった水は、 <span style="font-size: large">下水処理場</span>（げすいどう） へと、いきます。 下水処理場へと送るための水道が <span style="font-size: large">下水道</span>（げすいどう） です。下水道管とは、下水道の水道管です。 * 最初沈殿池 主に比重差を利用し、重力沈降により下水中の沈殿性有機物を分離・除去する。反応タンクへ流入する水・汚泥の負荷を調整し、生物処理のための準備をする役目も持つ。 * 反応タンク 曝気槽（ばっきそう）とも言う。微生物（びせいぶつ）などにより、下水中の有機物・窒素・リンを中心とした汚濁（おだく）物質を処理する。 * 最終沈殿池 反応タンクで処理された活性汚泥（かっせい おでい）の分離を行い、澄んだ（すんだ） 処理水（しょりすい）にする。 * ろ過施設 施設内で使用する水のためのものと、後述する高度処理の一環として設置されているものがある。 * 消毒施設 放流する水を滅菌（めっきん）するための施設。塩素消毒が一般的であるほか、紫外線消毒・オゾン消毒といった消毒方法や、二酸化塩素や臭素系などの薬剤による消毒、ほか、膜で細菌をろ過・除去する方法などがとられている。 * 高度処理施設 主に処理水の活用や放流先の環境保全（特に閉鎖性水域（湖沼、閉鎖性の湾など）における富栄養化対策を主眼とすることが多い）を目的として、二次処理に付加し浄化を行うための施設。当然に相応の費用が求められるため普及は捗らなかったが、2003年の下水道法改正で促進される見通しとなった。 方法としては、反応タンクの処理方式の改良、ろ過、凝集剤による沈殿促進などがある。 沈殿池（ちんでんち）の汚泥（おでい）は、水分をぬいたあとに、燃料として再利用されたり、肥料として再利用されます。 下水を処理した水は、飲水としては、使えません。 ですが、処理した水は、水資源の節約のため、飲み水の他の目的で、使われます。 下水を処理した再生水が、公共施設などでのトイレの排水につかわれたり、緑地の水やりに使われたり、いろいろと使われています。 === 用水 === [[ファイル:Yosuiro Jyohana 05a9164sv.jpg|240px|thumb|left|用水路（ようすいろ）。稲作（いなさく）などの かんがい のための'''農業用水路'''（のうぎょうようすいろ）。田・畑に水を引き込むときにつかう水門（すいもん）も、もうけられている。写真は富山県（とやまけん）の南砺市（なんとしし）。]] [[ファイル:Sakutano Unade02.jpg|thumb|日本最古（にほん さいこ）の農業用水路、「裂田の溝」（さくた の うなで）]] [[ファイル:Anti Schistosoma japonicum measure waterway.JPG|left|thumb|220px|用水路は、コンクリート化されているばあいもある。（写真は、山梨県の中巨摩郡の昭和町の上河東）]] 水（みず）のつかいみちは、家で飲む（のむ）だけではありませんし、家（いえ）で ものを洗うだけでもありません。田んぼや畑（はたけ）に水をまくためにも、水はつかわれます。工場などで、ものをつくるときにも、みずをつかうばあいがあります。 このように、水は、いろんなことにつかわれます。このように、つかわれる水のことを用水（ようすい）といいます。または、つかわれる水をひくための水路（すいろ）や水道管（すいどうかん）などの水道設備（すいどうせつび）のことも、用水（ようすい）といいます。 農業（のうぎょう）に使われる（つかわれる）水（みず）のことを 農業用水（のうぎょうようすい） といいます。農業（のうぎょう）に使用（しよう）する水（みず）、という意味です。 とくに、農業で、かんがい（灌漑）に使う用水のことを かんがい用水 というばあいもあります。 工場でつかわれる水は、工業用水（こうぎょうようすい）といいます。 用水を流している水路を、用水路（ようすいろ）といいます。用水路のことを、用水というばあいもあります。 {{clear}} == ※ 範囲外? == === 衛生（えいせい） === * 保健所（ほけんじょ） 保健所では、コレラやチフスや赤痢と言った伝染病（でんせんびょう）が広まらないように、仕事をしています。 もしも伝染病が発生した場合は、保健所は、付近の病院や県や市と連絡をとりながら、対策（たいさく）をおこないます。 市内や腸内を消毒したり、薬をくばったりします。 重い伝染病にかかった患者（かんじゃ）は、伝染病の専門（せんもん）の病院に入院させます。 伝染病の流行してないふだんは、保健所は、何〈なに〉をしているのでしょうか。 病院などの監視（かんし）や監督（かんとく）をしています。また、食品会社や飲食店に、食中毒（しょくちゅうどく）が無いかなどの監視をしています。 * 空港などでの検疫（けんえき） 外国から日本に、はいる人が、日本国内に持ち込もうとする動物や植物は、空港や港などで、病気や害虫（がいちゅう）などの検査（けんさ）をされます。 このような空港や港での、持ち込む物の、病気や害虫の検査を 検疫（けんえき） といいます。 検疫を受けていないものを、港の外や空港外に持ち出すと、罰せられます。 [[Category:社会|しょうがっこうしゃかい4]] fsj2nncbigtd4lod2uf50ucqrmj7mpq 300198 300194 2026-06-06T01:48:07Z Tomzo 248 [[Special:Contributions/~2026-33496-09|~2026-33496-09]] ([[User talk:~2026-33496-09|会話]]) による編集を取り消し、Tomzo による直前の版へ差し戻す 292983 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|小学校・中学校・高等学校の学習|小学校の学習|小学校社会|frame=1}} {{stub|小}} == わたしたちの住む都道府県 == 3年生ではあなたの住んでいる市区町村（しくちょうそん）について勉強しましたね。ここでは、都道府県（とどうふけん）という、さらに大きなまとまりについて考えましょう。あなたの住んでいるところのことを勉強したいときは、[[小学校社会/私たちの住む都道府県の特ちょう]]を読んでみてください。 下に書いてあることは、ひとつの例です。あなたの都道府県に当てはまることはいくつありますか。 === 地形図を見てみよう === 皆さんは地形図を見たことはありますか？ 地図帳をいていると緑色や茶色になっているところがあります。（これはほんの一例です） 緑色は低い土地（低地、平地）です 茶色になっているところは、高い土地です。 山梨県や長野県を見ていると茶色に囲まれた緑色の土地があります。 このことを盆地（山に囲まれた平たい土地）といいます。 ==== 山の利用 ==== ==== 海のある町 ==== * とれた魚を水あげする漁港（ぎょこう） * 船を造る * フェリーで人が行き来する。船で、全国各地（ぜんこくかくち）や外国と、品物のやりとりもする。また、材料（ざいりょう）や、造った（つくった）ものをすぐに運べるので、大きな工場があることもあります。 ==== 平地の利用 ==== === 県の中心はどこ？ === 県全体の行政を行っている役所の建物を <span style="font-size: large">県庁</span> （けんちょう） と言います。県庁がある市町村を <span style="font-size: large">県庁所在地</span>（けんちょう しょざいち） と、いいます。 たとえば東北の青森県の県庁所在地は青森市です。沖縄県の県庁所在地は <span style="font-size: large">那覇市</span> （なは し）です。関東地方にある茨城県の県庁は水戸市（みと し）です。 県庁所在地の市町村の名前と、県の名前は、同じ場合もあれば、違う場合もあります。 たとえば，近畿地方にある三重県の県庁所在地は津市（つ し）です。 同じ近畿地方でも、和歌山県は和歌山市が県庁所在地です。 関東では、千葉県は千葉市が県庁所在地と、県名と同じです。千葉のちかくの神奈川県では、横浜市が県庁所在地というふうに、県名とは、ちがいます。 京都府や大阪府には、県庁のかわりに 府庁 （ふちょう） があります。京都府庁の所在地は京都市です。大阪府庁の所在地は大阪市です。 北海道には、 道庁 （どうちょう）があります。北海道の <span style="font-size: large">札幌市</span> （さっぽろ し） に北海道庁があります。 東京都には、県庁のかわりに 都庁 （とちょう） があります。新宿区（しんじゅく く） に、東京都庁があります。 ---- 3年生では、身近にある仕事のこと、そしてすんでいる町や市のことについて勉強をしました。4年生では、今ある、当たり前のくらしがどのようにして支えられているのか、また、わたしたちのすんでいる市にはどのようなれきしや{{ruby|伝統|でんとう}}があるのか、そしてわたしたちのすんでいる{{ruby|都道府県|とどうふけん}}のとくちょうについて少しはんいを広めて勉強していきます。 === くらしの安心をささえる === == くらしをささえる == ===ゴミのしょりと活用（かつよう）=== [[File:Isuzu Forword 1999.jpg|thumb|right|ごみ収集車]] これから、<ruby><rb>説明</rb><rp>（</rp><rt>せつめい</rt><rp>）</rp></ruby>しますが、ごみの<ruby><rb>処理</rb><rp>（</rp><rt>しょり</rt><rp>）</rp></ruby>には、たいへんな<ruby><rb>手間</rb><rp>（</rp><rt>てま</rt><rp>）</rp></ruby>が、かかります。なので、ごみを へらすために、くふうしましょう。 * ごみをへらすために、じぶんたちで、くふうできること :いらない<ruby><rb>物</rb><rp>（</rp><rt>もの</rt><rp>）</rp></ruby>をむやみに買わない。 :<ruby><rb>修理</rb><rp>（</rp><rt>しゅうり</rt><rp>）</rp></ruby>できるものは、しゅうりをたのんで、長く、つかおう。 :ごみをだすときに、<ruby><rb>分別</rb><rp>（</rp><rt>ぶんべつ</rt><rp>）</rp></ruby>できるものは、分別して、ごみに出そう。 お<ruby><rb>菓子</rb><rp>（</rp><rt>かし</rt><rp>）</rp></ruby>の<ruby><rb>空き箱</rb><rp>（</rp><rt>あきばこ</rt><rp>）</rp></ruby>、ジュースのかん、牛乳パック、パンのふくろ……。毎日、生活しているとたくさんのゴミが出ますね。そのゴミは、どうしていますか。{{ruby|燃|も}}える物と燃えない物、紙やかん、びんなどいくつかにわけてすてていますか。分けた後のゴミはどうなっているのでしょうか。ゴミ{{ruby|収集|しゅうしゅう}}車(…「パッカー車」とか「じんかい車」ともいいます)によって運ばれます。 ゴミ収集車には、最近では、電気とガソリンの両方のエネルギーで動くハイブリッド自動車が使われはじめています。使用ずみの天ぷら油などのバイオ{{ruby|燃料|ねんりょう}}などで走る収集車なども、使われはじめています。 では、運ばれたゴミがどこへいくのか、調べてみましょう。 ==== 燃えるゴミのゆくえ ==== [[画像:Katsushika_Waste_Incineration_Plant.jpg|thumb|{{ruby|東京|とうきょう}}都{{ruby|葛飾|かつしか}}区にある{{ruby|清掃|せいそう}}工場]] 燃えるゴミ({{ruby|可燃|かねん}}ゴミは、{{ruby|清掃|せいそう}}工場や {{ruby|焼却場|しょうきゃくじょう}} などとよばれる場所に運ばれて、そこで {{ruby|燃|も}}えるゴミ が燃やされます。清掃工場のことを、{{ruby|地域|ちいき}}によっては クリーンセンター とも、よびます。 まず、清掃工場にゴミ{{ruby|収集|しゅうしゅう}}車がくると、工場にある{{ruby|計量器|けいりょうき}}でゴミをつんだ収集車の重さをはかります。清掃工場の焼却{{ruby|炉|ろ}}にゴミをおろすと、ゴミのなくなった収集車の重さを、はかります。 こうして、ゴミの量を、はかります。 ゴミの量がわからないと、ゴミを燃やすための計画が立てられないからです。 もえるゴミは、燃やされ {{ruby|灰|はい}} になります。 多くの清掃工場では、ゴミを燃やすときに出る{{ruby|熱|ねつ}}を{{ruby|利用|りよう}}して、発電を行ったり、{{ruby|暖房|だんぼう}}に利用したりしています。ごみをもやしたときの熱エネルギーによる発電を、 ごみ発電 といいます。 ごみ発電のしくみには、いくつかの方式があります。よくある方式は、熱によって、湯をわかして{{ruby|水蒸気|すいじょうき}}をおこし、タービンを回すしくみです。 ちなみに、発電された電力は、一部を工場内で使って、のこりの電力は電力会社に売られるのがふつうです。 燃えるごみをもやした熱で、温水プールや、{{ruby|公衆浴場|こうしゅうよくじょう}}の水をあたためる熱源にするばあいもあります。このため、地域によっては、{{ruby|清掃|せいそう}}工場の近くに、公共の温水プールなどがある場合もあります。 ごみは、つづけて燃やしつづけたほうが、{{ruby|焼却設備|しょうきゃくせつび}}での{{ruby|効率|こうりつ}}がよいので、せいそう工場では燃やすごみの量を調節しながら、なるべく24時間燃やしつづけるようにします。 焼却（しょうきゃく）によって、生じた焼却灰（しょうきゃくばい）は、そのまま 最終処分場（さいしゅうしょぶんじょう） にすてられる場合もありますが、リサイクルで灰を熱で溶かして固めた溶融スラグ（ようゆうスラグ）を、道路工事（どうろこうじ）の土木材料（どぼくざいりょう）などに、もちいる場合もあります。 ==== 燃えないゴミのゆくえ ==== 燃えないゴミは{{ruby|埋|う}}め立て地 に送られて埋められます。 埋め立て地では、ゴミを埋めるために上から土や砂をかぶせます。 {{コラム|夢の島| [[File:Yumenoshima Stadium.JPG|thumb|夢の島{{ruby|陸上競技|りくじょうきょうぎ}}場]] {{ruby|東京湾|とうきょうわん}}の{{ruby|江東|こうとう}}区にある {{ruby|夢|ゆめ}}の{{ruby|島|しま}}は、もとは、ゴミの埋立地だった場所です。 なお、もともとは第二次世界大戦の前の1939({{ruby|昭和|しょうわ}}14)年に、{{ruby|飛行|ひこう}}場としての土地をつくるために、夢の島は、つくられました。 戦争が終わって、しばらくすると、東京のゴミ問題がでてきたので、夢の島が、ゴミの埋め立て地になりました。 1967(昭和42)年まで、夢の島のゴミの埋め立ては続きました。 今では、夢の島は、ゴミの埋め立て場所ではなくなっており、公園などになっています。}} ==== しげんゴミのゆくえ ==== ===== ペットボトルのリサイクル ===== まず、リサイクルセンターに送られます。 * 選別（せんべつ） まざりものが、取り除かれます。フタがのこっていれば、とりのぞかれます。 * 圧縮（あっしゅく） 保管しやすくするため、また運びやすくするため、プレス機などで、ペットボトルをおしつぶします。 押しつぶされたペットボトルは、たばねられる。なお、ペットボトルが、おしつぶされて、たばねられたものをベールと、いいます。 たばねられたペットボトルは、リサイクル工場に送られます。 * フレーク リサイクル工場に送られてきたペットボトルは、機械で くだかれて、フレークという、かけら にされる。フレークは、プラスチックの原料になります。 ===== あきかんのリサイクル ===== スチールは、原料の鉄鉱石から作るよりも、スチール缶をリサイクルしたほうが、消費するエネルギーが少なくて、すみます。 アルミを、原料のボーキサイトから作るのには、電力が、とても多く、かかります。 アルミ缶から、アルミをリサイクルすることで、消費するエネルギーを、なんと95%ちかくも、へらせます。 :* 選別（せんべつ） あきかんのリサイクルでは、スチール缶とアルミ缶は、わけてリサイクルされます。 スチール缶は、電磁石で、くっつけられます。空き缶のリサイクルセンターに、選別用の電磁石があります。 :* プレス 選別されたスチール缶は、まとめてプレスされます。 選別されたアルミ缶は、まとめてプレスされます。 スチール缶は、製鉄会社の製鉄所に買い取られ、鉄の原料になります。 アルミ缶は、民間のアルミ工場におくられ、アルミの原料や合金の原料になります。 ===== びんのリサイクル ===== びん のリサイクルには、リターナブルびん と、ワンウェイびんがあります。 びん のリサイクルには、洗って くりかえし つかう のが、リターナブルびん です。 びんを工場でくだいて、ガラスの原料にするのが、ワンウェイびん です。 ワンウェイびんを、こまかく くだいたものを カレット といいます。 このカレットが、ガラスの原料になります。 ワンウェイびんのリサイクル先は、びん以外にも、舗装材やグラスウールとして再利用されます。 ===== 紙のリサイクル ===== ==== ゴミをへらすために ==== 捨てるときには、ゴミ出しのルールをきちんと、まもるべきです。 燃えるゴミと、燃えないゴミとを、分別（ぶんべつ）するのは、当然です。 ガラスびんや、アルミ缶、スチール缶などで、ゴミの出し方が、ルールで分類されているときは、そのルールにしたがって、分別（ぶんべつ）してゴミを出しましょう。 資源ごみ（しげんごみ）は、資源選別センター（しげんせんべつセンター）に到着します。 選別センターの建物（たてもの）は、たいていは、清掃工場の近くに、建っている場合が多いです。 資源選別センターに到着したごみは、人によって、分別されます。 スチール缶の分別などでは、電磁石（でんじしゃく）を使った分別もおこなわれます。ですが、最終的には、人間が、ごみの分別を確認し、人間が手で分別します。 なので、ごみを出す時に、きちんと分別しないと、清掃工場の人が、こまってしまいます。 {{clear}} ==== 3R運動 ==== * 3R運動（スリーアールうんどう） :* Reduce（リデュース）　 ごみになるものを出さないようにすることです。 たとえば買い物をするときは、マイバッグなどのカバンをつかうことで、ビニールぶくろをへらせます。洗剤（せんざい）などを買うときは、つめかえようの洗剤を買うことで、容器のおもさをへらせます。 :* Reuse（リユース） つかえるものは、むやみに捨てず（すてず）に、つかいつづけることです。 いらなくなったものは、人にあげたりすることで、そのものが使いつづけられるようにすることでも、あります。洋服などの布は、切れなくなても、雑巾（ぞうきん）や布巾（ふきん）の材料にできますし、機械などの油をふきとるための ウエス という布地（ぬのじ）の材料にもなります。 :* Recycle（リサイクル） 使えなくなったものでも、その物（もの）につかわれた資源（しげん）をつかってもらえるように、してもらうことです。 空き缶（あきかん）などは、分別（ぶんべつ）してゴミにだすことで、缶（かん）の資源（しげん）として再利用してもらえます。ペットボトルも、分別してゴミに出すことで、再利用してもらえます。 食品のトレーなども、スーパーの入り口などにある回収ボックス（かいしゅうボックス）にだすことで、再利用してもらえます。 新聞紙（しんぶんし）や雑誌（ざっし）などの古紙などは、地元（じもと）の、ごみ収集所（ごみしゅうしゅうじょ）の、古紙回収（こしかいしゅう）の日に、分別して出すことで、再利用してもらえます。 3Rをすることで、ごみを減らすことができるのです。 　　　　　　 3Rにくわえ、さらに、「ことわる」という意味の Refuse（リフューズ） をくわえて、4Rというばあいもあります。 たとえば、消費者（しょうひしゃ）が、余計（よけい）なものを買わないことで、生産者（せいさんしゃ）である企業（きぎょう）に余計なものを作らせないということです。 リデュースとリフューズとの区別は、あまり、はっきりとした区別ではなく、リデュースと似たような行動をリフューズと言うばあいもあります。 === 水（みず）はどこから、そしてどこへ === [[File:浄水場の説明図 小学生用.svg|thumb|1000px|浄水場（じょうすいじょう）のしくみ]] {{-}} 私たちが、水道の蛇口（じゃぐち）から出して飲む水は、どこで、つくられているのでしょう。 飲み水は、<span style="font-size: large">浄水場</span>（じょうすいじょう）で、つくられています。 浄水場では、川の水やダムの水から、水を、とります。 浄水場では、砂（すな）や小石（こいし）や泥（どろ）を。とりのぞきます。 また、消毒をして、飲んでも病気にならないようにします。 川の上流に、ダムがあるばあいもあります。 ダムでは水をためていて、必要なときに水をながします。 では、そのダムの水はどこからきたのでしょう。ダムの水は、さらに上流にある川の水をせきとめたものです。 ダムの上の山には、森林（しんりん）が、あります。この森林は、土砂崩れ（どしゃくずれ）をふせぐためや、水を、安定的（あんていてき）に供給する（きょうきゅうする）ためにあります。このようなダムの上の森林を 水源林（すいげんりん） といいます。 次の節（せつ）で説明するように、飲める水をつくるには、たいへんな手間（てま）が、かかっています。 なので、水は、たいせつに、つかいましょう。 :たとえば、 うがい や　はみがき のときには、水を出しっぱなしにしないで、コップに水をくんで、つかいましょう。 :手洗い（てあらい）のときも、出しっぱなしにしないで、こまめに、じゃぐちを、しめましょう。 ==== 浄水場でつくる 飲み水 ==== 一般的な、浄水場での処理過程（しょりかてい）の一例（いちれい）を書く。この説明（せつめい）は、あくまで一例（いちれｎ）なので、地域（ちいき）によって、設備（せつび）が、ここでの説明とは、ちがう場合もあります * 取水塔（しゅすいとう） [[ファイル:Kanamachi-water purification plant-Edo river.JPG|thumb|250px|取水塔（金町浄水場）]] 取水塔（しゅすいとう）のような取水施設（しゅすいしせつ）によって、川などの自然環境から水を浄水場（じょうすいじょう）に取り入れる。このように取水口から取水された水は「原水」（げんすい）と呼ばれる。 * 沈砂池（ちんさち） [[ファイル:Kanamachi-water purification plant.JPG|thumb|250px|沈砂池（金町浄水場）]] 川やダムからとった原水（げんすい）には、砂や土が 含まれる（ふくまれる）ため、沈砂池（ちんさち）に導いて（みちびいて）、緩やか（ゆるやか）な 流れ（ながれ）の途中（とちゅう）で、沈殿（ちんでん）させることで、それらを取りのぞく。 * 取水ポンプ（しゅすいポンプ） 沈砂池（ちんさち）から流れてきた原水（げんすい）は、取水ポンプ（しゅすいポンプ）によって、くみあげられ、着水井（ちゃくすいせい）へ向けて送水（そうすい）される。 * 着水井（ちゃくすいせい） 着水井（ちゃくすいせい）は、原水（げんすい）にとって浄水場での最初の水槽（すいそう）であり、送水されてきた勢いによる原水の圧力変化を抑えて、以降の過程へ向けて水位を一定に保つ役割を担う。 * 凝集剤 注入設備（ぎょうしゅうざい ちゅうにゅうせつび） 凝集剤注入設備（ぎょうしゅうざい ちゅうにゅうせつび）では、水に混ざっている細かい砂や土などを沈めるため、着水井から出た原水に ポリ塩化アルミニウム などの凝集剤（ぎょうしゅうざい）が注入される。ポリ塩化アルミニウムは、PACと略されることがあります。PACとはPoly aluminum chloride（ポリ・アルミナム・クロライド）の略です。クロライドとは、塩化（えんか）という意味です。 * 薬品混和池 凝集剤（ぎょうしゅうざい）が加えられた原水は、薬品混和池（やくひん こんわ ち）で、よく混ぜられる。 * フロック形成池 フロック形成池（けいせいち）では、凝集剤の混ざった原水をゆっくりと、かきまぜて攪拌（かくはん）する。 「フロック」とは、それまで水に浮遊していた細かい砂や土などが、凝集剤の働きで寄り集まりかたまりとなったものである。 フロックが作られることで、砂や土などの粒子が比較的大きくなり沈みやすくなる。 * 沈でん池 沈でん池（ちんでんち）に導かれた水は、静かな流れの中でフロックが沈められ、砂や土が水から除かれる。 高速凝集沈殿池（こうそくぎょうしゅちんでんち）とも呼ばれる。 * オゾン接触池（オゾンせっしょくち） 水の底（そこ）のほうから、オゾンという気体（きたい）を入れます。オゾンは水よりも軽いので、水の中を、オゾンの気体が、うかびあがっていきます。オゾンの強い分解力や殺菌作用によって、水中の微生物やカビなどの有機物（ゆうきぶつ）を分解・殺菌などします。オゾンとは、酸素原子（さんそげんし）が３個、あわさって作られる気体（きたい）です。空気中にふくまれている酸素分子（さんそぶんし）は、酸素原子が２個、くみあわさったものであり、空気中の酸素分子とオゾン分子とは、べつの分子です。 * 活性炭吸着池（かっせいたん きゅうちゃくち） 活性炭のなかで生きている、微生物（びせいぶつ）のはたらきによって、汚れを分解をします。誤解をされますが、活性炭の浄化作用は、中の微生物によるものです。活性炭の素材（そざい）そのものには、分解作用（ぶんかいさよう）がありません。 * 塩素注入設備 (1) 塩素注入設備（えんそちゅうにゅうせつび）では、アンモニア窒素（アンモニアちっそ）や鉄などを取るため、沈でん池から出た水に、塩素（えんそ）が注入される。 * ろ過池 [[ファイル:Senganen6671.JPG|thumb|right|250px|仙巌園内の濾過池<br />（登録有形文化財）]] ろ過池（ろかち）によって、砂や砂利の層で水を濾して（こして）、微細な粒子状のものを、とりのぞく。 * 塩素注入設備 (2) 2つ目の塩素注入設備で、消毒のための塩素を入れる。 * 配水池 配水池（はいすいち）に、きれいになった水を溜めておく。 * 送水ポンプ 送水ポンプ（そうすいポンプ）によって、配水池の水を給水所に送り出す。水はそれぞれの配水場・配水池へ配水管を用いて送られ、各家庭や施設へ給水（きゅうすい）される。 ==== 水質の検査 ==== 浄水場からおくられてくる水の品質（ひんしつ）は、水道法（すいどうほう）で、きめられています。浄水場の人たち、水質の検査（けんさ）もしています。 浄水場の中で、これからつくる飲み水は、毎日、水質を検査しています。有害な物質がまじってないか、農薬が混じってないか、ばい菌（ばいきん）が多くないか、病原菌（びょうげんきん）がふくまれていないか、など、調べています。 ここで調べた検査の結果によって、水にいれる薬品の量が、かわります。 浄水場の中の水だけでなく、川の水や、ダムの水などでも、月に何回か、水質の検査が、されています。水質センター（すいしつセンター）の職員の人たちが、定期的に水源や川やダムの水の水質を調査しています。水質センターの名前は地域によっては水質管理センターや水質検査センターだったりします。 ==== 下水 ==== 私たちの家庭から出る、使い終わった汚れた水は、どこへいくのでしょうか。 使い終わった水は、 <span style="font-size: large">下水処理場</span>（げすいどう） へと、いきます。 下水処理場へと送るための水道が <span style="font-size: large">下水道</span>（げすいどう） です。下水道管とは、下水道の水道管です。 * 最初沈殿池 主に比重差を利用し、重力沈降により下水中の沈殿性有機物を分離・除去する。反応タンクへ流入する水・汚泥の負荷を調整し、生物処理のための準備をする役目も持つ。 * 反応タンク 曝気槽（ばっきそう）とも言う。微生物（びせいぶつ）などにより、下水中の有機物・窒素・リンを中心とした汚濁（おだく）物質を処理する。 * 最終沈殿池 反応タンクで処理された活性汚泥（かっせい おでい）の分離を行い、澄んだ（すんだ） 処理水（しょりすい）にする。 * ろ過施設 施設内で使用する水のためのものと、後述する高度処理の一環として設置されているものがある。 * 消毒施設 放流する水を滅菌（めっきん）するための施設。塩素消毒が一般的であるほか、紫外線消毒・オゾン消毒といった消毒方法や、二酸化塩素や臭素系などの薬剤による消毒、ほか、膜で細菌をろ過・除去する方法などがとられている。 * 高度処理施設 主に処理水の活用や放流先の環境保全（特に閉鎖性水域（湖沼、閉鎖性の湾など）における富栄養化対策を主眼とすることが多い）を目的として、二次処理に付加し浄化を行うための施設。当然に相応の費用が求められるため普及は捗らなかったが、2003年の下水道法改正で促進される見通しとなった。 方法としては、反応タンクの処理方式の改良、ろ過、凝集剤による沈殿促進などがある。 沈殿池（ちんでんち）の汚泥（おでい）は、水分をぬいたあとに、燃料として再利用されたり、肥料として再利用されます。 下水を処理した水は、飲水としては、使えません。 ですが、処理した水は、水資源の節約のため、飲み水の他の目的で、使われます。 下水を処理した再生水が、公共施設などでのトイレの排水につかわれたり、緑地の水やりに使われたり、いろいろと使われています。 === 用水 === [[ファイル:Yosuiro Jyohana 05a9164sv.jpg|240px|thumb|left|用水路（ようすいろ）。稲作（いなさく）などの かんがい のための'''農業用水路'''（のうぎょうようすいろ）。田・畑に水を引き込むときにつかう水門（すいもん）も、もうけられている。写真は富山県（とやまけん）の南砺市（なんとしし）。]] [[ファイル:Sakutano Unade02.jpg|thumb|日本最古（にほん さいこ）の農業用水路、「裂田の溝」（さくた の うなで）]] [[ファイル:Anti Schistosoma japonicum measure waterway.JPG|left|thumb|220px|用水路は、コンクリート化されているばあいもある。（写真は、山梨県の中巨摩郡の昭和町の上河東）]] 水（みず）のつかいみちは、家で飲む（のむ）だけではありませんし、家（いえ）で ものを洗うだけでもありません。田んぼや畑（はたけ）に水をまくためにも、水はつかわれます。工場などで、ものをつくるときにも、みずをつかうばあいがあります。 このように、水は、いろんなことにつかわれます。このように、つかわれる水のことを用水（ようすい）といいます。または、つかわれる水をひくための水路（すいろ）や水道管（すいどうかん）などの水道設備（すいどうせつび）のことも、用水（ようすい）といいます。 農業（のうぎょう）に使われる（つかわれる）水（みず）のことを 農業用水（のうぎょうようすい） といいます。農業（のうぎょう）に使用（しよう）する水（みず）、という意味です。 とくに、農業で、かんがい（灌漑）に使う用水のことを かんがい用水 というばあいもあります。 工場でつかわれる水は、工業用水（こうぎょうようすい）といいます。 用水を流している水路を、用水路（ようすいろ）といいます。用水路のことを、用水というばあいもあります。 {{clear}} == ※ 範囲外? == === 衛生（えいせい） === * 保健所（ほけんじょ） 保健所では、コレラやチフスや赤痢と言った伝染病（でんせんびょう）が広まらないように、仕事をしています。 もしも伝染病が発生した場合は、保健所は、付近の病院や県や市と連絡をとりながら、対策（たいさく）をおこないます。 市内や腸内を消毒したり、薬をくばったりします。 重い伝染病にかかった患者（かんじゃ）は、伝染病の専門（せんもん）の病院に入院させます。 伝染病の流行してないふだんは、保健所は、なにをしているのでしょうか。 病院などの監視（かんし）や監督（かんとく）をしています。また、食品会社や飲食店に、食中毒（しょくちゅうどく）が無いかなどの監視をしています。 * 空港などでの検疫（けんえき） 外国から日本に、はいる人が、日本国内に持ち込もうとする動物や植物は、空港や港などで、病気や害虫（がいちゅう）などの検査（けんさ）をされます。 このような空港や港での、持ち込む物の、病気や害虫の検査を 検疫（けんえき） といいます。 検疫を受けていないものを、港の外や空港外に持ち出すと、罰せられます。 [[Category:社会|しようかつこうしやかい4]] 4y1jm90yveemrt8660czek4wkvy52cz 0 9002 300195 271149 2026-06-06T00:58:16Z ~2026-33496-09 91689 /* わり算の筆算 */ 300195 wikitext text/x-wiki == 大きな数 == 3年生まででは、千万の位についてまで学びましたが、それより大きい数について学びましょう。 === 億（おく） === 次の数字を読んでみましょう。 どんな数でも、10倍すると、位が1つ上がり、右はしに0を1こつけた数になりますね。千万を10倍した数を、 <big>'''一億'''</big> （いちおく）といいます。 次の数を読みましょう。 128734906 答えは、'''{{ruby|一億|いちおく}} {{ruby|二千八百七十三万|にせんはっぴゃくななじゅうさんまん}} {{ruby|四千九百六|よんせんきゅうしゃくろく}}'''です。 100000000が 1億 です。 1 のうしろに 0 が 8個 あります。 一億の次は、十億、百億、千億です。 === 兆（ちょう） === 千億の十倍は、何かを考えてみましょう。千億を10倍すると、位がひとつ上がり、 '''<big>'''一兆'''</big>'''（いっちょう）という数になります。億の位の次は、兆の位になるのです。 1000000000000 が 1兆 です。 1 のうしろに 0 が 12個 あります。 一兆の次は、十兆、百兆、千兆です。 === 整数を作ろう === 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10この数を使って、一番大きい整数を作りましょう。一番大きい整数を作るには、大きい数からじゅんにならべましょう。答えは、'''9876543210'''です。 0、1、2、3、4、5、6、7、8の9つの数を使って、一番小さい整数を作りましょう。しかし、「012345678」ではありません。'''0は、一番左はしにつけることはできません。'''そのため、0は、左から2番目につけて、答えは、'''102345678'''となります。 === 兆から先のくらい === 1兆に1000をかけた数は 1000兆（せんちょう） です。 1兆に10000をかけた数は 1京（いっけい） と いいます。 10000000000000000 が 1京 です。1京は 1 のうしろに 0 が 16個 あります。 小学校の算数では、ふつうは 1000兆の位までの数字しか、つかいません。 さらにそのさきは、つぎのようになっています。 :1の後ろに0が20個で 1垓（1がい） です。 :1の後ろに0が24個で 1𥝱（1じょ） です。 :1の後ろに0が28個で 1穣（1じょう） です。 :1の後ろに0が32個で 1溝（1こう） です。 :1の後ろに0が36個で 1澗（1かん） です。 :1の後ろに0が40個で 1正（1せい） です。 :1の後ろに0が44個で 1載（1さい） です。 :1の後ろに0が48個で 1極（1ごく） です。 :1の後ろに0が52個は 1恒河沙（1ごうがしゃ） です。 :1の後ろに0が56個で 1阿僧祇（1あそうぎ） です。 :1の後ろに0が60個で 1那由他（1なゆた） です。 :1の後ろに0が64個で 1不可思議（1ふかしぎ） です。 :1の後ろに0が68個で 無量大数（むりょうたいすう） です。 小学校の算数の計算では、ふつうは、「垓」や「𥝱」や「無量大数」などの大きな位（くらい）は、使いません。 小学校の算数では、億（おく）や兆（ちょう）の使い方を、おぼえてください。 == わり算の筆算 == {{節stub}} *たてる *かける *ひく *おろす たとえば48かける3は十の位の4を3でわり、商1を十の位にたてる。3と1をかける。4から3をひく。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1の位の8をおろす。18を3でわり、商6を1のくらいにたてる。　3と6をかける。18から18をひく。　答えは16です。 == 計算のきまり == 今までに、たし算・ひき算・かけ算・わり算の4つを勉強しました。ここでは、それらがまざった式の計算について学習しましょう。 このような計算は、下のようなじゅんばんで計算するのがきまりです。 # かっこが式にある場合はかっこの中を先に計算 # かけ算・わり算 # たし算・ひき算 また、同じじゅんいにあるものは式の左にあるものから計算することになっています。 では、次の計算をしてみましょう。 * <math>\begin{matrix}2+5\times(8\div2-3)\times4-1\end{matrix}</math> この式にはかっこがあるのでかっこの中身を先に計算します。またかっこの中にある式の計算のじゅんばんも上にある通りです。まずはかっこの中にあるわり算から計算します。<math>8\div2=4</math> なので、このような式になります。 <math>\begin{matrix}2+5\times(4-3)\times4-1\end{matrix}</math> まだ かっこの中には 式があるので 次はその部分を 計算します。 <math>\begin{matrix}4-3=1\end{matrix}</math> です。 このように かっこの 中身を 全て 計算すること を '''かっこを外す''' と言います。 <math>\begin{matrix}2+5\times1\times4-1\end{matrix}</math> これで かっこを 外すことが できました。 たし算 と かけ算 が のこっていますが 上のじゅんばんを 見ると つぎ に やるのは かけ算 です。 左から 計算 するので、 まずは <math>5\times1=5</math> を計算します。 <math>\begin{matrix}2+5\times4-1\end{matrix}</math> つぎはさっき計算しなかった かけ算 の <math>5\times4=20</math> を 計算します。 <math>\begin{matrix}2+20-1\end{matrix}</math> これで かけ算が すべて終わりました。 のこり は たし算 ですが、 これも 同じように 左から 計算します。<math>\begin{matrix}2+20=22\end{matrix}</math>です。 <math>\begin{matrix}22-1=21\end{matrix}</math> 最後に のこった式を 計算します。 すると 答えの 21が 出てきました。 たし算・ひき算・かけ算・わり算が まじった式を計算する場合は このように行います。 {{コラム|4つの4| 「4つの4」とは、4つの4と計算記号を使って いろいろな数を作るパズルです。 たとえば、答えが0になる式には、<br> <math>4 + 4 - 4 - 4</math><br> <math>4 \times 4 - 4 \times 4</math><br> <math>(4 -4 )\times (4-4)</math><br> などがあります。 このようにして、答えが1から9になる式を作ってみましょう。<br> 考えてみた後、答えを見てください。　[[小学校算数/4学年/4つの4の答え|4つの4の答え]] }} == 小数 == {{節stub}} みなさんは、「1.5」や「0.3」のような数を見たことをありますか？このように、「.」がつく数について学習しましょう。 0.1 や 0.5 や 4.8 のような数を <big>小数</big> （しょうすう）といいます。真ん中の「.」を、 <big>小数点</big>（しょうすうてん） といいます。小数点の右の数字を「小数第1位」（しょうすう だい いちい）や「<math>\frac{1}{10}</math>の位」（じゅうぶんのいちのくらい）と、いいます。 0 や 1 や 10 などのような数を、つまり 小数では ない 数を、 <big>整数</big> （せいすう）と いいます。 たとえば 3563 は整数です。たとえば 100.01 は整数では、ありません。 === 小数×整数=== === 小数÷整数=== == 分数 == 分数は例えば<math>\frac{1}{2}</math>（にぶんのいち）や<math>1 \frac{2}{3}</math>（いちとさんぶんのに）があります。 ===分数の種類=== 分数の種類には、大きく分けて3通りあります。 ; 真分数(しんぶんすう) : 分母よりも分子の数が小さい分数です。 : たとえば　<math>\frac 2 3</math>　とか　<math>\frac 3 4</math>　とか　<math>\frac 5 7</math> のようなものです。 ; 仮分数(かぶんすう) : 分母と分子の数字が同じであるか、分子の数が分母より大きい分数のことです。 : たとえば　<math>\frac 2 2</math> 　とか　<math>\frac 7 4</math>　とか　<math>\frac 9 5</math> のようなものがあります。 ; 帯分数(たいぶんすう) : 整数と真分数の和を表します。真分数の左に整数がついたものです。 : たとえば　<math>1 \frac 1 2</math>（<math>1 +\frac 1 2</math>)　とか　<math>3 \frac 1 4</math>　とか　<math>4 \frac 3 5</math> のようなものがあります。 {{clear}} === 分数のたし算とひき算 === ==== 分母が同じ計算 ==== * 分数の計算の考え方 :<math>\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=</math> を計算しましょう。 分数の足し算は、つぎのように、考えて、計算します。 つぎの図を、見てください。 分母が同じ場合の、分数の、足し算 : : [[File:Fraction sum1.svg]] :[[File:fraction sum2.svg]] よって、 :<math>\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}</math>(=<math>1\frac{1}{7}</math>) です。 * 分数の引き算の例 : :<math>\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=</math> を計算すると、どうでしょうか。 : [[File:Fraction diff.svg]] よって、 :<math>\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{2}{7}</math> です。 次のたし算の問題を解いてみましょう。 * ジュースがパックに、<math>\frac{3}{5}</math>L、ペットボトルに<math>\frac{4}{5}</math>L入っています。合わせて何リットルありますか。 式は<math>\frac{3}{5} + \frac{4}{5}</math>となります。 計算のしかたを考えてみましょう。 <math>\frac{3}{5}</math>は<math>\frac{1}{5}</math>の3こ分、<math>\frac{4}{5}</math>は<math>\frac{1}{5}</math>の4こ分です。 したがって、<math>\frac{1}{5}</math>が(3+4=7) より7こ分あります。 <math>\frac{1}{5}</math>が7こ集まると、<math>\frac{7}{5}</math>となります。 なので、'''<math>\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}</math>'''となります。答えは<math>\frac{7}{5}</math>Lです。 答えを<math> 1\ \frac{2}{5}</math>Lと{{ruby|帯|たい}}分数に直してもかまいません。 次のひき算の問題を解いてみましょう。 *ジュースが<math>\frac{7}{6}</math>Lあります。<math>\frac{2}{6}</math>L飲むと、残りは何Lですか。 式は<math>\frac{7}{6} - \frac{2}{6}</math>となります。 計算のしかたを考えてみましょう。 <math>\frac{7}{6}</math>は<math>\frac{1}{6}</math>が7個、<math>\frac{2}{6}</math>は<math>\frac{1}{6}</math>が2こ分です。 したがって、<math>\frac{1}{6}</math>が(7-2=5)より5こ分あります。 <math>\frac{1}{6}</math>が5こ集まると、<math>\frac{5}{6}</math>となります。 なので、'''<math>\frac{7}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5}{6}</math>'''となります。答えは<math>\frac{5}{6}</math>Lです。 ==== 分母が違う計算 ==== <!-- 通分が必要な分数の和差について ---> {{節stub}} == 数のはんい == 数のはんいの表し方には「以上」「以下」「未満」があります。 === {{ruby|以上|いじょう}} === :'''その数と{{ruby|等|ひと|しい}}か、その数よりも大きいことを {{ruby|以上|いじょう}} といいます。''' :たとえば、「5以上」といえば、5, 6, 7, 8, 9...のように、5と5より大きい数をさします。 === {{ruby|以下|いか}} === :'''その数と{{ruby|等|ひと|しい}}か、その数よりも小さいことを {{ruby|以下|いか}} といいます。''' :たとえば、「5以下」といえば、5, 4, 3, 2, 1...のように、5と5より小さい数をさします。 === {{ruby|未満|みまん}} === :'''ある数よりも小さい場合、その数の 未満（みまん） である、というふうに言います。''' :たとえば、「5未満」といえば、'''5は数えずに'''4, 3, 2, 1...のように、5より小さい数をさします。 == がい数 == *{{ruby|東京|とうきょう}}23区の人口は 9272740人 です<small>(2015({{ruby|平成|へいせい}}27)年10月1日の {{ruby|国勢調査|こくせいちょうさ}} による）</small> この数は人口をくわしく知りたい時には{{ruby|便利|べんり}}ですが、およそ何人かを知りたいときには{{ruby|不便|ふべん}}です。 そこで、数を分かりやすくするために およその数 について考えてみましょう。 およその数のことを '''がい数''' といいます。 === 切り上げ（きりあげ）と 切り捨て（きりすて） === ある位を見た時に、 '''その数字の1つ上の位に1を足して、それ以下の数字を全て0にする''' ことを '''切り上げ''' （きりあげ）といいます。 また、逆に '''その数字の位以下の数字を全て0にする''' ことを '''切り捨て''' （きりすて）といいます。 では東京23区の人口を一万の位で切り上げたり切り捨ててみましょう。一万の位で切り上げる場合は1つ上の位である十万の位に1を足して、一万の位以下の全ての位を0にします。例えばこの場合は 9300000人 となります。 同じように一万の位で切り捨ててみると、一万の位以下の全ての位を0にすればいいので、 9200000人 となります。 === 四捨五入 === ある位を見た時に、 '''その数字が0～4の場合は切り捨てて、5～9の場合は切り上げる''' ことを <big>四捨五入</big> （ししゃ ごにゅう）といいます。また、概数（がいすう）と言われるものは ほとんどの場合は 四捨五入のことを指します。 では、東京23区の人口を、千の位と一万の位で四捨五入してみましょう。 千の位の数字は「2」です。つまり、この場合は切り捨てればよいのです。すると、 9270000人 となります。 また、一万の位の数字は「7」です。つまり、この場合は切り上げればよいのです。すると、 9300000人 となります。 ==== 四捨五入の位 ==== 問題では「一万の位'''で'''四捨五入」や「千の位'''まで'''四捨五入」、「上から1けたまでのがい数」という書かれ方をよくします。この時、四捨五入をする位が少し違ってきます。 例えば、「一万の位'''で'''四捨五入」の「で」の場合、その位（ここでは一万の位）で四捨五入をします。 一方で、「千の位'''まで'''四捨五入」の「まで」の場合、その1つ下の位（ここでは百の位）で四捨五入をします。 さらに、「上から1けたまでのがい数」という場合は指定された1つ下の位（ここでは上から2けた目の位）で四捨五入をします。 *まとめ 「で」とついている場合は指定された位で四捨五入します。また「まで」となっている場合は指定された位の1つ下の位で四捨五入します。 === がい算 === 四捨五入やがい数をつかって、おおよその計算をすることを がい算 といいます。 たとえば :4187603 + 2705626 = 6893229 を、十万未満の位は、四捨五入で計算した場合、 :4200000 + 2700000 = 6900000 に、なります。だいたい同じ数字になりましたね。 これはがい算を、したことになります。 がい算は、べつに足し算だけでは、ありません。引き算でもかけ算でもわり算でも、四捨五入や切り上げ・切り捨てなどをしてがい数を使って計算していればがい算です。 == 図形 == === 角とその大きさ === [[File:Protractor mk.png|250px|right|分度器]] 角の大きさは、{{ruby|分度器|ぶんどき}}を使ってはかることができます。 :角の大きさの{{Ruby|単位|たんい}}は「<math>^\circ</math>」とかき、「{{Ruby|度|ど}}」とよみます。一回転したときの角の大きさは<math>360^\circ</math>です。 :<math>90^\circ</math>の角の大きさを'''直角'''といいます。 :三角じょうぎの角度 === 面積 === [[File:Rectangle 4x5.svg|right|250px]] '''{{ruby|面積|めんせき}}'''は、物の広さを表すものです。しかし、いままでの単位では、どうやって表せばいいかわかりません。 そこで、1辺が1cmの正方形の面積を'''1cm²'''(1平方センチメートル)とします。 面積は、1辺1cmの正方形がいくつ分かで表します。 たて4cm、よこ5cmの長方形の面積を考えてみましょう。 1辺が1cmの正方形がたてに4つ、よこに5つしきつめられているので、 :<math> 4\times 5 = 20 </math>より、20cm²です。 このように、長方形の面積は、 '''たて×横''' で、{{ruby|求|もと}}められます(「横×たて」でもかまいません)。 また、正方形はたてと横が同じ長さなので、面積は'''1{{ruby|辺|ぺん}}×1辺'''で、求められます。 {{-}} ---- === 垂直・平行と四角形 === ==== 垂直と平行 ==== ===== 垂直 ===== 2本の直線でできる角が直角であるとき、その2本の直線は'''{{ruby|垂直|すいちょく}}である'''といいます。 <br clear="all" /> [[File:垂直説明.png|thumb|left|120px|垂直]] ===== 平行 ===== 2本の直線が1本の直線に垂直なとき、その2本の直線は'''{{ruby|平行|へいこう}}である'''といいます。 左の図で2本の黒の直線は平行になっています。また、平行な2本の直線は交わりません。 [[File:平行説明.png|thumb|left|120px|平行]] <br clear="all" /> [[File:Isosceles trapezoid definition.svg|thumb|left|120px|台形]] ==== いろいろな四角形 ==== ===== 台形 ===== 向かい合った1組の{{ruby|辺|へん}}が平行な四角形を、'''{{ruby|台形|だいけい}}'''といいます。 左の図で、上の辺と下の辺は平行になっています。 <br clear="all" /> [[Image:Parallelogram.svg|thumb|left|120px|平行四辺形]] ===== 平行四辺形 ===== 向かい合った2組の辺が平行な四角形を、'''{{ruby|平行四辺形|へいこうしへんけい}}'''といいます。 平行四辺形の、向かい合った辺の長さは等しくなっています。 また、向かい合った角の大きさも等しくなっています。となり合った角の角度をたすと、180°になります。 <br clear="all" /> [[File:Rhombus definition2.svg|thumb|left|120px|ひし形]] [[File:Rhombus definition.svg|thumb|right|120px|ひし形]] ===== ひし形 ===== 4つの辺の長さがみな等しい四角形を、'''ひし形'''（ひしがた）といいます。 ひし形の、向かい合った辺は平行で、向かい合った角の大きさは等しくなっています（右の図を見てください）。 <br clear="all" /> [[File:Diagonal (PSF).png|thumb|left|120px|対角線]] ==== 四角形の対角線 ==== 向かい合った頂点をつないだ直線を、'''対角線'''（たいかくせん）といいます。左の図では、ABが対角線になっています。 四角形の対角線の数は2本です。 <br clear="all" /> {{-}} == 直方体と立方体 == {{-}} [[File:Balk geometrie.png|thumb|left|180px|直方体]] ** 直方体 **:ふでばこのような同じ大きさの長方形でかこまれた立体を <big>直方体</big> （ちょくほうたい）といいます。 {{-}} 立方体や直方体は、正方形や長方形で、かこまれています。 立方体や直方体をかこんでいる、図形のことを '''{{ruby|面|めん}}''' といいます。 たとえば立方体の面は6個あって、6個とも、面は、すべて、正方形です。 直方体には、{{Ruby|頂点|ちょうてん}}が 8個 あります。（数えてみてください。） 直方体には、辺が 12本 あります。（数えてみてください。） [[Image:QuaderNetz.svg|thumb|直方体の展開図のうちの一つ]] 直方体の展開図は11種類あります。 <!--展開図とは？--> {{-}} [[File:Cube Animation.gif|thumb|right|80px|立方体]] ** 立方体 **:さいころのような、すべての面が同じ大きさの正方形である立体を <big>立方体</big> （りっぽうたい）と言います。 *見取図 *立体全体のおおよその形がわかるように書いた図を '''{{ruby|見取図|みとりず}}''' といいます。 * 展開図 立体を辺にそって、つながったまま、切り開いたものを <big>展開図</big>（てんかいず） といいます。 立方体の展開図は、次の11種類です。 [[File:Planificacao cubo.gif|Planificacao cubo.gif]] == 計算の答え == === {{ruby|和|わ}} === たし算の答えのことを {{ruby|和|わ}} といいます。 === {{ruby|差|さ}} === ひき算の答えのことを {{ruby|差|さ}} といいます。 === {{ruby|積|せき}} === かけ算の答えのことを {{ruby|積|せき}} といいます。 === {{ruby|商|しょう}} === わり算の答えのことを {{ruby|商|しょう}} といいます。 :たとえば、13÷3=4あまり1 となりますが、このときの商は4です。あまりの1は商ではありません。 == 折れ線グラフ == [[ファイル:Ladakhtemp2.svg|thumb|600px|１年間の気温の、折れ線グラフの例。月平均で最低気温と最高気温が示されている。<br>Jは1月のこと、Fは2月のこと、Mは3月、・・・、Dは12月。<br>Month とは、1月や２月などの「月」のこと。<br>Temparature とは「温度」のこと。]] 右のグラフのように、数を折れ線でつないだものを <big>{{ruby|折|お}}れ線グラフ</big>という。 {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ ある国での、ある年の月平均気温。　　（℃） ! 月 !! 最高気温 !! 最低気温 |- ! 1月（J） | ー8 || ー14 |- ! 2月（F） | ー5 || ー12 |- ! 3月（M） | 0 || ー6 |- ! 4月（A） | 6 || ー1 |- ! 5月（M） | 10 || 3 |- ! 6月（J） | 14 || 7 |- ! 7月（J） | 17 || 10 |- ! 8月（A） | 17 || 10 |- ! 9月（S） | 13 || 5 |- ! 10月（O） | 7 || ー1 |- ! 11月（N） | 1 || ー7 |- ! 12月（D） | ー5 || ー11 |- |} 上の表で、0℃よりも、ひくい、氷点下の温度は、マイナス「ー」で、あらわした。 {{clear}} 折れ線グラフにすると、かわっていくようすが、わかりやすい。 折れ線が右上がりの場合は、{{ruby|増|ふ}}えていく場合である。折れ線が右下がりの場合は、{{ruby|減|へ}}っていく（へっていく）場合である。 折れ線が平らな場合は、増えも減りもせず、かわらない場合である。 {{clear}} {{clear}} == 算数ドリル == 今までに習った知しきを使って、問題をもっとたくさんときたい人は、<br>「4年生のための算数ドリル」のページを見に行ってください。<br> 下の「4年生のための算数ドリル」の文字をおすと、<br>見ているページがドリルのぺージにかわります。 * [[算数演習 小学校4年生|4年生のための算数ドリル]] [[Category:小学校算数|4かくねん]] 01wvj4l1nki3fwti3rlqu1xzkmq6hgf 300196 300195 2026-06-06T01:00:42Z ~2026-33496-09 91689 300196 wikitext text/x-wiki == 大きな数 == 3年生まででは、千万の位についてまで学びましたが、それより大きい数について学びましょう。 === 億（おく） === 次の数字を読んでみましょう。 どんな数でも、10倍すると、位が1つ上がり、右はしに0を1こつけた数になりますね。千万を10倍した数を、 <big>'''一億'''</big> （いちおく）といいます。 次の数を読みましょう。 128734906 答えは、'''{{ruby|一億|いちおく}} {{ruby|二千八百七十三万|にせんはっぴゃくななじゅうさんまん}} {{ruby|四千九百六|よんせんきゅうしゃくろく}}'''です。 100000000が 1億 です。 1 のうしろに 0 が 8個 あります。 一億の次は、十億、百億、千億です。 === 兆（ちょう） === 千億の十倍は、何かを考えてみましょう。千億を10倍すると、位がひとつ上がり、 '''<big>'''一兆'''</big>'''（いっちょう）という数になります。億の位の次は、兆の位になるのです。 1000000000000 が 1兆 です。 1 のうしろに 0 が 12個 あります。 一兆の次は、十兆、百兆、千兆です。 === 整数を作ろう === 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10この数を使って、一番大きい整数を作りましょう。一番大きい整数を作るには、大きい数からじゅんにならべましょう。答えは、'''9876543210'''です。 0、1、2、3、4、5、6、7、8の9つの数を使って、一番小さい整数を作りましょう。しかし、「012345678」ではありません。'''0は、一番左はしにつけることはできません。'''そのため、0は、左から2番目につけて、答えは、'''102345678'''となります。 === 兆から先のくらい === 1兆に1000をかけた数は 1000兆（せんちょう） です。 1兆に10000をかけた数は 1京（いっけい） と いいます。 10000000000000000 が 1京 です。1京は 1 のうしろに 0 が 16個 あります。 小学校の算数では、ふつうは 1000兆の位までの数字しか、つかいません。 さらにそのさきは、つぎのようになっています。 :1の後ろに0が20個で 1垓（1がい） です。 :1の後ろに0が24個で 1𥝱（1じょ） です。 :1の後ろに0が28個で 1穣（1じょう） です。 :1の後ろに0が32個で 1溝（1こう） です。 :1の後ろに0が36個で 1澗（1かん） です。 :1の後ろに0が40個で 1正（1せい） です。 :1の後ろに0が44個で 1載（1さい） です。 :1の後ろに0が48個で 1極（1ごく） です。 :1の後ろに0が52個は 1恒河沙（1ごうがしゃ） です。 :1の後ろに0が56個で 1阿僧祇（1あそうぎ） です。 :1の後ろに0が60個で 1那由他（1なゆた） です。 :1の後ろに0が64個で 1不可思議（1ふかしぎ） です。 :1の後ろに0が68個で 無量大数（むりょうたいすう） です。 小学校の算数の計算では、ふつうは、「垓」や「𥝱」や「無量大数」などの大きな位（くらい）は、使いません。 小学校の算数では、億（おく）や兆（ちょう）の使い方を、おぼえてください。 == わり算の筆算 == {{節stub}} *たてる *かける *ひく *おろす たとえば48かける3は十の位の4を3でわり、商1を十の位にたてる。3と1をかける。4から3をひく。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1の位の8をおろす。18を3でわり、商6を1のくらいにたてる。　3と6をかける。18から18をひく。　答えは16です。こうやって筆算をします。 == 計算のきまり == 今までに、たし算・ひき算・かけ算・わり算の4つを勉強しました。ここでは、それらがまざった式の計算について学習しましょう。 このような計算は、下のようなじゅんばんで計算するのがきまりです。 # かっこが式にある場合はかっこの中を先に計算 # かけ算・わり算 # たし算・ひき算 また、同じじゅんいにあるものは式の左にあるものから計算することになっています。 では、次の計算をしてみましょう。 * <math>\begin{matrix}2+5\times(8\div2-3)\times4-1\end{matrix}</math> この式にはかっこがあるのでかっこの中身を先に計算します。またかっこの中にある式の計算のじゅんばんも上にある通りです。まずはかっこの中にあるわり算から計算します。<math>8\div2=4</math> なので、このような式になります。 <math>\begin{matrix}2+5\times(4-3)\times4-1\end{matrix}</math> まだ かっこの中には 式があるので 次はその部分を 計算します。 <math>\begin{matrix}4-3=1\end{matrix}</math> です。 このように かっこの 中身を 全て 計算すること を '''かっこを外す''' と言います。 <math>\begin{matrix}2+5\times1\times4-1\end{matrix}</math> これで かっこを 外すことが できました。 たし算 と かけ算 が のこっていますが 上のじゅんばんを 見ると つぎ に やるのは かけ算 です。 左から 計算 するので、 まずは <math>5\times1=5</math> を計算します。 <math>\begin{matrix}2+5\times4-1\end{matrix}</math> つぎはさっき計算しなかった かけ算 の <math>5\times4=20</math> を 計算します。 <math>\begin{matrix}2+20-1\end{matrix}</math> これで かけ算が すべて終わりました。 のこり は たし算 ですが、 これも 同じように 左から 計算します。<math>\begin{matrix}2+20=22\end{matrix}</math>です。 <math>\begin{matrix}22-1=21\end{matrix}</math> 最後に のこった式を 計算します。 すると 答えの 21が 出てきました。 たし算・ひき算・かけ算・わり算が まじった式を計算する場合は このように行います。 {{コラム|4つの4| 「4つの4」とは、4つの4と計算記号を使って いろいろな数を作るパズルです。 たとえば、答えが0になる式には、<br> <math>4 + 4 - 4 - 4</math><br> <math>4 \times 4 - 4 \times 4</math><br> <math>(4 -4 )\times (4-4)</math><br> などがあります。 このようにして、答えが1から9になる式を作ってみましょう。<br> 考えてみた後、答えを見てください。　[[小学校算数/4学年/4つの4の答え|4つの4の答え]] }} == 小数 == {{節stub}} みなさんは、「1.5」や「0.3」のような数を見たことをありますか？このように、「.」がつく数について学習しましょう。 0.1 や 0.5 や 4.8 のような数を <big>小数</big> （しょうすう）といいます。真ん中の「.」を、 <big>小数点</big>（しょうすうてん） といいます。小数点の右の数字を「小数第1位」（しょうすう だい いちい）や「<math>\frac{1}{10}</math>の位」（じゅうぶんのいちのくらい）と、いいます。 0 や 1 や 10 などのような数を、つまり 小数では ない 数を、 <big>整数</big> （せいすう）と いいます。 たとえば 3563 は整数です。たとえば 100.01 は整数では、ありません。 === 小数×整数=== === 小数÷整数=== == 分数 == 分数は例えば<math>\frac{1}{2}</math>（にぶんのいち）や<math>1 \frac{2}{3}</math>（いちとさんぶんのに）があります。 ===分数の種類=== 分数の種類には、大きく分けて3通りあります。 ; 真分数(しんぶんすう) : 分母よりも分子の数が小さい分数です。 : たとえば　<math>\frac 2 3</math>　とか　<math>\frac 3 4</math>　とか　<math>\frac 5 7</math> のようなものです。 ; 仮分数(かぶんすう) : 分母と分子の数字が同じであるか、分子の数が分母より大きい分数のことです。 : たとえば　<math>\frac 2 2</math> 　とか　<math>\frac 7 4</math>　とか　<math>\frac 9 5</math> のようなものがあります。 ; 帯分数(たいぶんすう) : 整数と真分数の和を表します。真分数の左に整数がついたものです。 : たとえば　<math>1 \frac 1 2</math>（<math>1 +\frac 1 2</math>)　とか　<math>3 \frac 1 4</math>　とか　<math>4 \frac 3 5</math> のようなものがあります。 {{clear}} === 分数のたし算とひき算 === ==== 分母が同じ計算 ==== * 分数の計算の考え方 :<math>\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=</math> を計算しましょう。 分数の足し算は、つぎのように、考えて、計算します。 つぎの図を、見てください。 分母が同じ場合の、分数の、足し算 : : [[File:Fraction sum1.svg]] :[[File:fraction sum2.svg]] よって、 :<math>\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}</math>(=<math>1\frac{1}{7}</math>) です。 * 分数の引き算の例 : :<math>\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=</math> を計算すると、どうでしょうか。 : [[File:Fraction diff.svg]] よって、 :<math>\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{2}{7}</math> です。 次のたし算の問題を解いてみましょう。 * ジュースがパックに、<math>\frac{3}{5}</math>L、ペットボトルに<math>\frac{4}{5}</math>L入っています。合わせて何リットルありますか。 式は<math>\frac{3}{5} + \frac{4}{5}</math>となります。 計算のしかたを考えてみましょう。 <math>\frac{3}{5}</math>は<math>\frac{1}{5}</math>の3こ分、<math>\frac{4}{5}</math>は<math>\frac{1}{5}</math>の4こ分です。 したがって、<math>\frac{1}{5}</math>が(3+4=7) より7こ分あります。 <math>\frac{1}{5}</math>が7こ集まると、<math>\frac{7}{5}</math>となります。 なので、'''<math>\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}</math>'''となります。答えは<math>\frac{7}{5}</math>Lです。 答えを<math> 1\ \frac{2}{5}</math>Lと{{ruby|帯|たい}}分数に直してもかまいません。 次のひき算の問題を解いてみましょう。 *ジュースが<math>\frac{7}{6}</math>Lあります。<math>\frac{2}{6}</math>L飲むと、残りは何Lですか。 式は<math>\frac{7}{6} - \frac{2}{6}</math>となります。 計算のしかたを考えてみましょう。 <math>\frac{7}{6}</math>は<math>\frac{1}{6}</math>が7個、<math>\frac{2}{6}</math>は<math>\frac{1}{6}</math>が2こ分です。 したがって、<math>\frac{1}{6}</math>が(7-2=5)より5こ分あります。 <math>\frac{1}{6}</math>が5こ集まると、<math>\frac{5}{6}</math>となります。 なので、'''<math>\frac{7}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5}{6}</math>'''となります。答えは<math>\frac{5}{6}</math>Lです。 ==== 分母が違う計算 ==== <!-- 通分が必要な分数の和差について ---> {{節stub}} == 数のはんい == 数のはんいの表し方には「以上」「以下」「未満」があります。 === {{ruby|以上|いじょう}} === :'''その数と{{ruby|等|ひと|しい}}か、その数よりも大きいことを {{ruby|以上|いじょう}} といいます。''' :たとえば、「5以上」といえば、5, 6, 7, 8, 9...のように、5と5より大きい数をさします。 === {{ruby|以下|いか}} === :'''その数と{{ruby|等|ひと|しい}}か、その数よりも小さいことを {{ruby|以下|いか}} といいます。''' :たとえば、「5以下」といえば、5, 4, 3, 2, 1...のように、5と5より小さい数をさします。 === {{ruby|未満|みまん}} === :'''ある数よりも小さい場合、その数の 未満（みまん） である、というふうに言います。''' :たとえば、「5未満」といえば、'''5は数えずに'''4, 3, 2, 1...のように、5より小さい数をさします。 == がい数 == *{{ruby|東京|とうきょう}}23区の人口は 9272740人 です<small>(2015({{ruby|平成|へいせい}}27)年10月1日の {{ruby|国勢調査|こくせいちょうさ}} による）</small> この数は人口をくわしく知りたい時には{{ruby|便利|べんり}}ですが、およそ何人かを知りたいときには{{ruby|不便|ふべん}}です。 そこで、数を分かりやすくするために およその数 について考えてみましょう。 およその数のことを '''がい数''' といいます。 === 切り上げ（きりあげ）と 切り捨て（きりすて） === ある位を見た時に、 '''その数字の1つ上の位に1を足して、それ以下の数字を全て0にする''' ことを '''切り上げ''' （きりあげ）といいます。 また、逆に '''その数字の位以下の数字を全て0にする''' ことを '''切り捨て''' （きりすて）といいます。 では東京23区の人口を一万の位で切り上げたり切り捨ててみましょう。一万の位で切り上げる場合は1つ上の位である十万の位に1を足して、一万の位以下の全ての位を0にします。例えばこの場合は 9300000人 となります。 同じように一万の位で切り捨ててみると、一万の位以下の全ての位を0にすればいいので、 9200000人 となります。 === 四捨五入 === ある位を見た時に、 '''その数字が0～4の場合は切り捨てて、5～9の場合は切り上げる''' ことを <big>四捨五入</big> （ししゃ ごにゅう）といいます。また、概数（がいすう）と言われるものは ほとんどの場合は 四捨五入のことを指します。 では、東京23区の人口を、千の位と一万の位で四捨五入してみましょう。 千の位の数字は「2」です。つまり、この場合は切り捨てればよいのです。すると、 9270000人 となります。 また、一万の位の数字は「7」です。つまり、この場合は切り上げればよいのです。すると、 9300000人 となります。 ==== 四捨五入の位 ==== 問題では「一万の位'''で'''四捨五入」や「千の位'''まで'''四捨五入」、「上から1けたまでのがい数」という書かれ方をよくします。この時、四捨五入をする位が少し違ってきます。 例えば、「一万の位'''で'''四捨五入」の「で」の場合、その位（ここでは一万の位）で四捨五入をします。 一方で、「千の位'''まで'''四捨五入」の「まで」の場合、その1つ下の位（ここでは百の位）で四捨五入をします。 さらに、「上から1けたまでのがい数」という場合は指定された1つ下の位（ここでは上から2けた目の位）で四捨五入をします。 *まとめ 「で」とついている場合は指定された位で四捨五入します。また「まで」となっている場合は指定された位の1つ下の位で四捨五入します。 === がい算 === 四捨五入やがい数をつかって、おおよその計算をすることを がい算 といいます。 たとえば :4187603 + 2705626 = 6893229 を、十万未満の位は、四捨五入で計算した場合、 :4200000 + 2700000 = 6900000 に、なります。だいたい同じ数字になりましたね。 これはがい算を、したことになります。 がい算は、べつに足し算だけでは、ありません。引き算でもかけ算でもわり算でも、四捨五入や切り上げ・切り捨てなどをしてがい数を使って計算していればがい算です。 == 図形 == === 角とその大きさ === [[File:Protractor mk.png|250px|right|分度器]] 角の大きさは、{{ruby|分度器|ぶんどき}}を使ってはかることができます。 :角の大きさの{{Ruby|単位|たんい}}は「<math>^\circ</math>」とかき、「{{Ruby|度|ど}}」とよみます。一回転したときの角の大きさは<math>360^\circ</math>です。 :<math>90^\circ</math>の角の大きさを'''直角'''といいます。 :三角じょうぎの角度 === 面積 === [[File:Rectangle 4x5.svg|right|250px]] '''{{ruby|面積|めんせき}}'''は、物の広さを表すものです。しかし、いままでの単位では、どうやって表せばいいかわかりません。 そこで、1辺が1cmの正方形の面積を'''1cm²'''(1平方センチメートル)とします。 面積は、1辺1cmの正方形がいくつ分かで表します。 たて4cm、よこ5cmの長方形の面積を考えてみましょう。 1辺が1cmの正方形がたてに4つ、よこに5つしきつめられているので、 :<math> 4\times 5 = 20 </math>より、20cm²です。 このように、長方形の面積は、 '''たて×横''' で、{{ruby|求|もと}}められます(「横×たて」でもかまいません)。 また、正方形はたてと横が同じ長さなので、面積は'''1{{ruby|辺|ぺん}}×1辺'''で、求められます。 {{-}} ---- === 垂直・平行と四角形 === ==== 垂直と平行 ==== ===== 垂直 ===== 2本の直線でできる角が直角であるとき、その2本の直線は'''{{ruby|垂直|すいちょく}}である'''といいます。 <br clear="all" /> [[File:垂直説明.png|thumb|left|120px|垂直]] ===== 平行 ===== 2本の直線が1本の直線に垂直なとき、その2本の直線は'''{{ruby|平行|へいこう}}である'''といいます。 左の図で2本の黒の直線は平行になっています。また、平行な2本の直線は交わりません。 [[File:平行説明.png|thumb|left|120px|平行]] <br clear="all" /> [[File:Isosceles trapezoid definition.svg|thumb|left|120px|台形]] ==== いろいろな四角形 ==== ===== 台形 ===== 向かい合った1組の{{ruby|辺|へん}}が平行な四角形を、'''{{ruby|台形|だいけい}}'''といいます。 左の図で、上の辺と下の辺は平行になっています。 <br clear="all" /> [[Image:Parallelogram.svg|thumb|left|120px|平行四辺形]] ===== 平行四辺形 ===== 向かい合った2組の辺が平行な四角形を、'''{{ruby|平行四辺形|へいこうしへんけい}}'''といいます。 平行四辺形の、向かい合った辺の長さは等しくなっています。 また、向かい合った角の大きさも等しくなっています。となり合った角の角度をたすと、180°になります。 <br clear="all" /> [[File:Rhombus definition2.svg|thumb|left|120px|ひし形]] [[File:Rhombus definition.svg|thumb|right|120px|ひし形]] ===== ひし形 ===== 4つの辺の長さがみな等しい四角形を、'''ひし形'''（ひしがた）といいます。 ひし形の、向かい合った辺は平行で、向かい合った角の大きさは等しくなっています（右の図を見てください）。 <br clear="all" /> [[File:Diagonal (PSF).png|thumb|left|120px|対角線]] ==== 四角形の対角線 ==== 向かい合った頂点をつないだ直線を、'''対角線'''（たいかくせん）といいます。左の図では、ABが対角線になっています。 四角形の対角線の数は2本です。 <br clear="all" /> {{-}} == 直方体と立方体 == {{-}} [[File:Balk geometrie.png|thumb|left|180px|直方体]] ** 直方体 **:ふでばこのような同じ大きさの長方形でかこまれた立体を <big>直方体</big> （ちょくほうたい）といいます。 {{-}} 立方体や直方体は、正方形や長方形で、かこまれています。 立方体や直方体をかこんでいる、図形のことを '''{{ruby|面|めん}}''' といいます。 たとえば立方体の面は6個あって、6個とも、面は、すべて、正方形です。 直方体には、{{Ruby|頂点|ちょうてん}}が 8個 あります。（数えてみてください。） 直方体には、辺が 12本 あります。（数えてみてください。） [[Image:QuaderNetz.svg|thumb|直方体の展開図のうちの一つ]] 直方体の展開図は11種類あります。 <!--展開図とは？--> {{-}} [[File:Cube Animation.gif|thumb|right|80px|立方体]] ** 立方体 **:さいころのような、すべての面が同じ大きさの正方形である立体を <big>立方体</big> （りっぽうたい）と言います。 *見取図 *立体全体のおおよその形がわかるように書いた図を '''{{ruby|見取図|みとりず}}''' といいます。 * 展開図 立体を辺にそって、つながったまま、切り開いたものを <big>展開図</big>（てんかいず） といいます。 立方体の展開図は、次の11種類です。 [[File:Planificacao cubo.gif|Planificacao cubo.gif]] == 計算の答え == === {{ruby|和|わ}} === たし算の答えのことを {{ruby|和|わ}} といいます。 === {{ruby|差|さ}} === ひき算の答えのことを {{ruby|差|さ}} といいます。 === {{ruby|積|せき}} === かけ算の答えのことを {{ruby|積|せき}} といいます。 === {{ruby|商|しょう}} === わり算の答えのことを {{ruby|商|しょう}} といいます。 :たとえば、13÷3=4あまり1 となりますが、このときの商は4です。あまりの1は商ではありません。 == 折れ線グラフ == [[ファイル:Ladakhtemp2.svg|thumb|600px|１年間の気温の、折れ線グラフの例。月平均で最低気温と最高気温が示されている。<br>Jは1月のこと、Fは2月のこと、Mは3月、・・・、Dは12月。<br>Month とは、1月や２月などの「月」のこと。<br>Temparature とは「温度」のこと。]] 右のグラフのように、数を折れ線でつないだものを <big>{{ruby|折|お}}れ線グラフ</big>という。 {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ ある国での、ある年の月平均気温。　　（℃） ! 月 !! 最高気温 !! 最低気温 |- ! 1月（J） | ー8 || ー14 |- ! 2月（F） | ー5 || ー12 |- ! 3月（M） | 0 || ー6 |- ! 4月（A） | 6 || ー1 |- ! 5月（M） | 10 || 3 |- ! 6月（J） | 14 || 7 |- ! 7月（J） | 17 || 10 |- ! 8月（A） | 17 || 10 |- ! 9月（S） | 13 || 5 |- ! 10月（O） | 7 || ー1 |- ! 11月（N） | 1 || ー7 |- ! 12月（D） | ー5 || ー11 |- |} 上の表で、0℃よりも、ひくい、氷点下の温度は、マイナス「ー」で、あらわした。 {{clear}} 折れ線グラフにすると、かわっていくようすが、わかりやすい。 折れ線が右上がりの場合は、{{ruby|増|ふ}}えていく場合である。折れ線が右下がりの場合は、{{ruby|減|へ}}っていく（へっていく）場合である。 折れ線が平らな場合は、増えも減りもせず、かわらない場合である。 {{clear}} {{clear}} == 算数ドリル == 今までに習った知しきを使って、問題をもっとたくさんときたい人は、<br>「4年生のための算数ドリル」のページを見に行ってください。<br> 下の「4年生のための算数ドリル」の文字をおすと、<br>見ているページがドリルのぺージにかわります。 * [[算数演習 小学校4年生|4年生のための算数ドリル]] [[Category:小学校算数|4かくねん]] hzdmmw25tzoh3tjykxuz6gtaeu6254b 2 40094 300190 300084 2026-06-05T14:36:07Z Veracious 42910 300190 wikitext text/x-wiki <!-- <gallery> File:Adhisty zara sundari kusumawardhani jkt48 2 (cropped).jpg|Adhisty Zara File:JKT48 K3 IMG 2928.jpg|Alicia Chanzia File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Amanina Afiqah (Afiqah).jpg|Amanina Afiqah Ibrahim File:Handshake Festival Saka Agari Surabaya IMG 9731 (Tasya).jpg|Anastasya Narwastu Tety Handuran File:Supercell Gamer's Day 2019 IMG 4529.jpg|Andela Yuwono File:JKT48 K3 IMG 2624.jpg|Angelina Christy File:Aninditha Rahma Cahyadi (Anin) JKT48 1.jpg|Aninditha Rahma Cahyadi File:Ariella Calista Ichwan JKT48 - Ariel 4.jpg|Ariella Calista Ichwan File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Aurel Mayori (Yori).jpg|Aurel Mayori Putri File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Azizi Asadel (Zee) 3.jpg|Azizi Shafaa Asadel File:Ayana Shahab (Achan) JKT48 02 (cropped).jpg|Ayana Shahab File:Ayu Safira Oktaviani (Okta) JKT48.jpg|Ayu Safira Oktaviani File:JKT48 K3 IMG 2971 (Beby).jpg|Beby Chaesara Anadila File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 - 9237.jpg|Cindy Hapsari Maharani Pujiantoro Putri File:Cindy yuvia jkt48 4.jpg|Cindy Yuvia File:JKT48 Devi Kinal Putri (22645433068).jpg|Devi Kinal Putri File:Elaine Hartanto JKT48 IMG 5815 (cropped).jpg|Elaine Hartanto File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8815.jpg|Feni Fitriyanti File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Freya Jayawardana (Freya).jpg|Freya Jayawardana File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 9003.jpg|Frieska Anastasia Laksani File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8731.jpg|Gabriela Margareth Warouw File:Gabryela marcelina aby jkt48.jpg|Gabryela Marcelina File:Hasyakyla utami kusumawardhani kyla jkt48.jpg|Hasyakyla Utami Kusumawardhani File:Helisma Putri at Konser Tunggal KIII vs KIII.jpg|Helisma Putri File:Jennifer Hanna Sutiono JKT48 1.jpg|Jennifer Hanna File:Jessica Vania Widjaja (Jeje) JKT48 Megakonser RCTI Warnai Harimu Jakarta 17-02-2013 2b.jpg|Jessica Vania Widjaja File:Jessica Veranda (22698400217).jpg|Jessica Veranda File:Jinan safa safira jkt48 3.jpg|Jinan Safa Safira File:Kathrina Irene Indarto Putri (Kathrin) JKT48.jpg|Kathrina Irene Indarto Putri File:Lidya maulida djuhandar jkt48.jpg|Lidya Maulida Djuhandar File:Maria Genoveva Natalia Desy Purnamasari Gunawan jkt48.jpg|Maria Genoveva Natalia Desy Purnamasari Gunawan File:Michelle CK 18Jan20 IMG 7121.jpg|Michelle Christo Kusnadi File:Melody Nurramdhani Laksani JKT48 2.jpg|Melody Nurramdhani Laksani File:Nabilah ayu jkt48 1.jpg|Nabilah Ratna Ayu Azalia File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8666.jpg|Nadila Cindi Wantari File:Wekwek (9652333713) (Natalia).jpg|Natalia File:JKT48 K3 IMG 2980.jpg|Nurhayati File:KIII (9673620350) (Octi cropped).jpg|Octi Sevpin File:Priscillia sari dewi (sisil) jkt48.jpg|Priscillia Sari Dewi File:Ratu vienny fitrilya viny jkt48 2.jpg|Ratu Vienny Fitrilya File:Rezky Wiranti Dhike JKT48 Halloween Night Handshake Festival Jakarta 31-10-2015.jpg|Rezky Wiranti Dhike File:Rica leyona jkt48 1 (cropped).jpg|Rica Leyona File:Riska amelia putri amel jkt48 2.jpg|Riska Amelia Putri File:Sendy Ariani JKT48.jpg|Sendy Ariani File:JKT48 K3 IMG 2803.jpg|Shani Indira Natio File:JKT48 Mahagita Handshake Festival 68.jpg|Saktia Oktapyani File:Shania gracia jkt48.jpg|Shania Gracia File:Shania Junianatha (Shanju) JKT48 2.jpg|Shania Junianatha File:Shinta Naomi Prasetya JKT48.jpg|Shinta Naomi Prasetya File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Sinka Juliani (Sinka) (cropped).jpg|Sinka Juliani File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8666.jpg|Sisca Saras File:Stephanie Pricilla Indarto Putri (Stefi) JKT48 (cropped).jpg|Stephanie Pricilla Indarto Putri File:Thalia Ivanka (23103118852).jpg|Thalia Ivanka Elizabeth File:Viviyona Apriani (Yona) JKT48 2.jpg|Viviyona Apriani file:Yessica Tamara Siallagan (Chika) JKT48 8.jpg|Yessica Tamara File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Zahra Nur (Ara).jpg|Zahra Nur Khaulah </gallery> --> <!-- <gallery> File:J and K3 Team JKT48 Honda GIIAS 2016 IMG 2778 (29051348271).jpg File:JKT48 K3 IMG 3172.jpg File:JKT48 K3 IMG 3223.jpg </gallery> --> cozw9vfu1b7mt9pbsafsfo46fzvvfyb 300191 300190 2026-06-05T14:40:34Z Veracious 42910 300191 wikitext text/x-wiki <!-- <gallery> File:Adhisty zara sundari kusumawardhani jkt48 2 (cropped).jpg|Adhisty Zara File:JKT48 K3 IMG 2928.jpg|Alicia Chanzia File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Amanina Afiqah (Afiqah).jpg|Amanina Afiqah Ibrahim File:Handshake Festival Saka Agari Surabaya IMG 9731 (Tasya).jpg|Anastasya Narwastu Tety Handuran File:Supercell Gamer's Day 2019 IMG 4529.jpg|Andela Yuwono File:JKT48 K3 IMG 2624.jpg|Angelina Christy File:Aninditha Rahma Cahyadi (Anin) JKT48 1.jpg|Aninditha Rahma Cahyadi File:Ariella Calista Ichwan JKT48 - Ariel 4.jpg|Ariella Calista Ichwan File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Aurel Mayori (Yori).jpg|Aurel Mayori Putri File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Azizi Asadel (Zee) 3.jpg|Azizi Shafaa Asadel File:Ayana Shahab (Achan) JKT48 02 (cropped).jpg|Ayana Shahab File:Ayu Safira Oktaviani (Okta) JKT48.jpg|Ayu Safira Oktaviani File:JKT48 K3 IMG 2971 (Beby).jpg|Beby Chaesara Anadila File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 - 9237.jpg|Cindy Hapsari Maharani Pujiantoro Putri File:Cindy yuvia jkt48 4.jpg|Cindy Yuvia File:JKT48 Devi Kinal Putri (22645433068).jpg|Devi Kinal Putri File:Elaine Hartanto JKT48 IMG 5815 (cropped).jpg|Elaine Hartanto File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8815.jpg|Feni Fitriyanti File:Fia at Circus Bandung 2018.jpg|Fidly Immanda Azzahra File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Freya Jayawardana (Freya).jpg|Freya Jayawardana File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 9003.jpg|Frieska Anastasia Laksani File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8731.jpg|Gabriela Margareth Warouw File:Gabryela marcelina aby jkt48.jpg|Gabryela Marcelina File:Hasyakyla utami kusumawardhani kyla jkt48.jpg|Hasyakyla Utami Kusumawardhani File:Helisma Putri at Konser Tunggal KIII vs KIII.jpg|Helisma Putri File:Jennifer Hanna Sutiono JKT48 1.jpg|Jennifer Hanna File:Jessica Vania Widjaja (Jeje) JKT48 Megakonser RCTI Warnai Harimu Jakarta 17-02-2013 2b.jpg|Jessica Vania Widjaja File:Jessica Veranda (22698400217).jpg|Jessica Veranda File:Jinan safa safira jkt48 3.jpg|Jinan Safa Safira File:Kathrina Irene Indarto Putri (Kathrin) JKT48.jpg|Kathrina Irene Indarto Putri File:Lidya maulida djuhandar jkt48.jpg|Lidya Maulida Djuhandar File:Maria Genoveva Natalia Desy Purnamasari Gunawan jkt48.jpg|Maria Genoveva Natalia Desy Purnamasari Gunawan File:Marsha LL 01Dec19 IMG 3656.jpg|Marsha Lenathea File:Michelle CK 18Jan20 IMG 7121.jpg|Michelle Christo Kusnadi File:Melody Nurramdhani Laksani JKT48 2.jpg|Melody Nurramdhani Laksani File:Nabilah ayu jkt48 1.jpg|Nabilah Ratna Ayu Azalia File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8666.jpg|Nadila Cindi Wantari File:Wekwek (9652333713) (Natalia).jpg|Natalia File:JKT48 K3 IMG 2980.jpg|Nurhayati File:KIII (9673620350) (Octi cropped).jpg|Octi Sevpin File:Priscillia sari dewi (sisil) jkt48.jpg|Priscillia Sari Dewi File:Ratu vienny fitrilya viny jkt48 2.jpg|Ratu Vienny Fitrilya File:Rezky Wiranti Dhike JKT48 Halloween Night Handshake Festival Jakarta 31-10-2015.jpg|Rezky Wiranti Dhike File:Rica leyona jkt48 1 (cropped).jpg|Rica Leyona File:Riska amelia putri amel jkt48 2.jpg|Riska Amelia Putri File:Sendy Ariani JKT48.jpg|Sendy Ariani File:JKT48 K3 IMG 2803.jpg|Shani Indira Natio File:JKT48 Mahagita Handshake Festival 68.jpg|Saktia Oktapyani File:Shania gracia jkt48.jpg|Shania Gracia File:Shania Junianatha (Shanju) JKT48 2.jpg|Shania Junianatha File:Shinta Naomi Prasetya JKT48.jpg|Shinta Naomi Prasetya File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Sinka Juliani (Sinka) (cropped).jpg|Sinka Juliani File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8666.jpg|Sisca Saras File:Stephanie Pricilla Indarto Putri (Stefi) JKT48 (cropped).jpg|Stephanie Pricilla Indarto Putri File:Thalia Ivanka (23103118852).jpg|Thalia Ivanka Elizabeth File:Viviyona Apriani (Yona) JKT48 2.jpg|Viviyona Apriani file:Yessica Tamara Siallagan (Chika) JKT48 8.jpg|Yessica Tamara File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Zahra Nur (Ara).jpg|Zahra Nur Khaulah </gallery> --> <!-- <gallery> File:J and K3 Team JKT48 Honda GIIAS 2016 IMG 2778 (29051348271).jpg File:JKT48 K3 IMG 3172.jpg File:JKT48 K3 IMG 3223.jpg </gallery> --> 9ae0lhcykb2wvufvbq6q8llqcap3iee 2 48053 300182 300086 2026-06-05T12:02:50Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 自然科学（4類） */ 初等数学公式集/初等関数の性質 を追加。 300182 wikitext text/x-wiki == 関連項目 == *[[Wikibooks:日本十進分類法]] ＜ [[:Category:日本十進分類法|カテゴリ:日本十進分類法]] *[[Wikibooks:蔵書一覧]] *[[:w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）|<span style="color:#3399cc">w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）</span>]] ＜ [[:w:日本十進分類法|<span style="color:#3399cc">w:日本十進分類法</span>]] == 総記（0類） == == 哲学（1類） == == 歴史（2類） == == 社会科学（3類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 300 社会科学 * 310 政治 ** 311 政治学、政治思想 ** 312 政治史・事情 ** 313 国家の形態、政治体制 ** 314 議会 ** 315 政党、政治結社 ** 316 国家と個人・宗教・民族 ** 317 行政 ** 318 地方自治、地方行政 ** 319 外交、国際問題 * 320 法律 ** 321 法学 ** 322 法制史 ** 323 憲法 ** 324 民法、民事法 ** 325 商法、商事法 ** 326 刑法、刑事法 ** 327 司法、訴訟手続法 ** 328 諸法 ** 329 国際法 * 330 経済 ** 331 経済学、経済思想 ** 332 経済史・事情、経済体制 ** 333 経済政策、国際経済 ** 334 人口、土地、資源 ** 335 企業、経営 ** 336 経営管理 ** 337 貨幣、通貨 ** 338 金融、銀行、信託 ** 339 保険 * 340 財政 ** 341 財政学、財政思想 ** 342 財政史・事情 ** 343 財政政策、財務行政 ** 344 予算、決算 ** 345 租税 ** 346 ** 347 公債、国債 ** 348 専売、国有財産 ** 349 地方財政 * 350 統計 * 360 社会 * 370 教育 ** 371 教育学、教育思想 ** 372 教育史・事情 ** 373 教育政策、教育制度、教育行財政 ** 374 学校経営・管理、学校保健 ** 375 教育課程、学習指導、教科別教育 ** 376 幼児・初等・中等教育 :::小学校算数,中学数学 幾何学のみ ::*[[Wikijunior:算数/小学校入学前 算数教育#かたち]] ::*[[小学校算数/1学年#かたち]] ::*[[小学校算数/2学年#ながさ]] ::*[[小学校算数/2学年#形]] ::*[[小学校算数/3学年#図形]] ::*[[小学校算数/4学年#図形]] ::*[[小学校算数/4学年#直方体と立方体]] ::*[[小学校算数/5学年#図形]] ::*[[小学校算数/5学年#角柱と円柱]] ::*[[小学校算数/6学年#量と測定]] ::*[[小学校算数/6学年#図形]] ::*[[中学数学1年 平面図形]] ::*[[中学数学1年 空間図形]] ::*[[中学数学2年 図形の調べ方]] ::*[[中学数学2年 三角形と四角形]] ::*[[中学数学3年 相似な図形]] ::*[[中学数学3年 円]] ::*[[中学数学3年 三平方の定理]] :* 377 大学、高等・専門教育、学術行政 ::*[[高等学校数学]] :::高等学校数学 幾何学のみ ::*[[高等学校数学I/図形と計量]] ::*[[高等学校数学A/図形の性質]] ::*[[高等学校数学II/図形と方程式]] ::*[[高等学校数学III/微分法]] ::*[[高等学校数学III/積分法]] ::*[[高等学校数学C/ベクトル]] ＊旧課程のままです。 ::*[[高等学校数学C/平面上の曲線]] ::*[[高等学校数学C/複素数平面]] ::*[[高等学校理数数学#円と円の共有点]] ::*[[高等学校理数数学#平面の方程式]] ::*[[大学受験数学 三角関数]] ::*[[高等学校物理]]＊スペースなしの物理 :::*[[高等学校物理/力学]] :::*[[高等学校 物理基礎]] ::::*[[高等学校 物理基礎/物理のための数学]] ::::*[[高等学校 物理]]＊スペースありの物理 ::::*[[高校物理 波]]＊高校物理 * 378 障害児教育（特別支援教育） * 379 社会教育 * 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column-gap:24px;"> * [[:Category:日本十進分類法/900|900 文学]] ** 901 文学理論・作法 ** 902 文学史、文学思想史 ** 903 参考図書（レファレンスブック） ** 904 論文集、評論集、講演集 ** 905 逐次刊行物 ** 906 団体 ** 907 研究法、指導法、文学教育 ** 908 叢書、全集、選集 ** 909 児童文学研究 * 910 日本文学 * 920 中国文学 * 929 その他の東洋文学 * 930 英米文学 * 940 ドイツ文学 * 949 その他のゲルマン文学 * 950 フランス文学 * 959 プロバンス文学 * 960 スペイン文学 * 969 ポルトガル文学 * 970 イタリア文学 * 979 その他のロマンス文学 * 980 ロシア・ソビエト文学 * 989 その他のスラブ文学 * 990 その他の諸言語文学 ** 991 ギリシア文学 ** 992 [[:Category:日本十進分類法/992|ラテン文学]] ** 993 その他のヨーロッパ文学 ** 994 アフリカ文学 ** 995 アメリカ諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 996 ** 997 オーストラリア諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 998 ** 999 国際語（人工語）による文学 </div> lz5ra19i3anqqxtdgws6lhgk6ptkjvs 300204 300182 2026-06-06T09:52:12Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 関連項目 */ ISBN を追加。 300204 wikitext text/x-wiki == 関連項目 == *[[Wikibooks:日本十進分類法]] ＜ [[:Category:日本十進分類法|カテゴリ:日本十進分類法]] *[[Wikibooks:蔵書一覧]] *[[:w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）|<span style="color:#3399cc">w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）</span>]] ＜ [[:w:日本十進分類法|<span style="color:#3399cc">w:日本十進分類法</span>]] *[[w:ISBN]],014.45（資料分類法） == 総記（0類） == == 哲学（1類） == == 歴史（2類） == == 社会科学（3類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 300 社会科学 * 310 政治 ** 311 政治学、政治思想 ** 312 政治史・事情 ** 313 国家の形態、政治体制 ** 314 議会 ** 315 政党、政治結社 ** 316 国家と個人・宗教・民族 ** 317 行政 ** 318 地方自治、地方行政 ** 319 外交、国際問題 * 320 法律 ** 321 法学 ** 322 法制史 ** 323 憲法 ** 324 民法、民事法 ** 325 商法、商事法 ** 326 刑法、刑事法 ** 327 司法、訴訟手続法 ** 328 諸法 ** 329 国際法 * 330 経済 ** 331 経済学、経済思想 ** 332 経済史・事情、経済体制 ** 333 経済政策、国際経済 ** 334 人口、土地、資源 ** 335 企業、経営 ** 336 経営管理 ** 337 貨幣、通貨 ** 338 金融、銀行、信託 ** 339 保険 * 340 財政 ** 341 財政学、財政思想 ** 342 財政史・事情 ** 343 財政政策、財務行政 ** 344 予算、決算 ** 345 租税 ** 346 ** 347 公債、国債 ** 348 専売、国有財産 ** 349 地方財政 * 350 統計 * 360 社会 * 370 教育 ** 371 教育学、教育思想 ** 372 教育史・事情 ** 373 教育政策、教育制度、教育行財政 ** 374 学校経営・管理、学校保健 ** 375 教育課程、学習指導、教科別教育 ** 376 幼児・初等・中等教育 :::小学校算数,中学数学 幾何学のみ ::*[[Wikijunior:算数/小学校入学前 算数教育#かたち]] ::*[[小学校算数/1学年#かたち]] ::*[[小学校算数/2学年#ながさ]] ::*[[小学校算数/2学年#形]] 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::::*[[初等数学公式集/初等幾何/平面図形]] ::::*[[初等数学公式集/初等幾何/表面積]] ::::*[[初等数学公式集/初等幾何/体積]] :::*[[初等数学公式集/初等関数の性質]] :::*[[初等数学公式集/解析幾何]] ::::*[[初等数学公式集/解析幾何/証明]] ::::*[[初等数学公式集/解析幾何/コラム]] :::::(参考)とも言う。 ::*[[初等幾何学]] ::*[[初等整数論]] ::中等数学シリーズ ::*[[中等数学]] ::高等数学シリーズ ::*[[高等数学]]（大学以上の課程で取り扱う数学） :* 411 代数学 ::*[[代数学入門]] :* 412 数論（整数論） :* 413 解析学 :* 414 幾何学 :* 415 位相数学 :* 416 :* 417 確率論、数理統計学 :* 418 計算法 :* 419 和算、中国算法 * 420 物理学 ::初等物理学シリーズ ::*[[初等物理学]] ::*[[初等物理学記号集]] ::*[[初等物理学公式集]] ::*[[初等物理学公式集/初等力学]] ** 421 理論物理学 ::テンソル シリーズ ::*[[特殊相対論]] :::*[[特殊相対論 テンソル]] ::*[[一般相対性理論]] ::*[[物理数学I]] {{進捗|75%|2023-11-05}} :::*[[物理数学I ベクトル解析#テンソル代数]] ::*[[物理数学II]] :* 422 :* 423 力学 :* 424 振動学、音響学 :* 425 光学 :* 426 熱学 :* 427 電磁気学 :* 428 物性物理学 :* 429 原子物理学 * 430 化学 * 440 天文学、宇宙科学 * 450 地球科学、地学 * 460 生物科学、一般生物学 * 470 植物学 * 480 動物学 * 490 医学 </div> == 技術（5類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 500 技術、工学 * 510 建設工学、土木工学 ** 511 土木力学、建設材料 ** 512 測量 ** 513 土木設計・施工法 ** 514 道路工学 ** 515 橋梁工学 ** 516 鉄道工学 ** 517 河海工学、河川工学 ** 518 衛生工学、都市工学 ** 519 環境工学、公害 * 520 建築学 ** 521 日本の建築 ** 522 東洋の建築、アジアの建築 ** 523 西洋の建築、その他の様式の建築 ** 524 建築構造 ** 525 建築計画・施工 ** 526 各種の建築 ** 527 住宅建築 ** 528 建築設備、設備工学 ** 529 建築意匠・装飾 * 530 機械工学 ** 531 機械力学・材料・設計 ** 532 機械工作、工作機械 ** 533 熱機関、熱工学 ** 534 流体機械、流体工学 ** 535 精密機器、光学機器 ** 536 運輸工学、車両、運搬機械 ** 537 自動車工学 ** 538 航空工学、宇宙工学 ** 539 原子力工学 * 540 電気工学 ** 541 電気回路・計測・材料 ** 542 電気機器 ** 543 発電 ** 544 送電、変電、配電 ** 545 電灯、照明、電熱 ** 547 通信工学、電気通信 ** 548 情報工学 ** 549 電子工学 * 550 海洋工学、船舶工学 ** 551 理論造船学 ** 552 船体構造・材料・施工 ** 553 船体艤装、船舶設備 ** 554 舶用機関（造機） ** 555 船舶修理、保守 ** 556 各種の船舶・艦艇 ** 557 航海、航海学 ** 558 海洋開発 ** 559 兵器、軍事工学 * 560 金属工学、鉱山工学 * 570 化学工業 * 580 製造工業 * 590 家政学、生活科学 </div> == 産業（6類） == == 芸術（7類） == == 言語（8類） == == 文学（9類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * [[:Category:日本十進分類法/900|900 文学]] ** 901 文学理論・作法 ** 902 文学史、文学思想史 ** 903 参考図書（レファレンスブック） ** 904 論文集、評論集、講演集 ** 905 逐次刊行物 ** 906 団体 ** 907 研究法、指導法、文学教育 ** 908 叢書、全集、選集 ** 909 児童文学研究 * 910 日本文学 * 920 中国文学 * 929 その他の東洋文学 * 930 英米文学 * 940 ドイツ文学 * 949 その他のゲルマン文学 * 950 フランス文学 * 959 プロバンス文学 * 960 スペイン文学 * 969 ポルトガル文学 * 970 イタリア文学 * 979 その他のロマンス文学 * 980 ロシア・ソビエト文学 * 989 その他のスラブ文学 * 990 その他の諸言語文学 ** 991 ギリシア文学 ** 992 [[:Category:日本十進分類法/992|ラテン文学]] ** 993 その他のヨーロッパ文学 ** 994 アフリカ文学 ** 995 アメリカ諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 996 ** 997 オーストラリア諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 998 ** 999 国際語（人工語）による文学 </div> r2erkuvdpm8dg5hv6ovip4v5vdeh8n2 300205 300204 2026-06-06T09:55:23Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 関連項目 */ 現行規格を追加。 300205 wikitext text/x-wiki == 関連項目 == *[[Wikibooks:日本十進分類法]] ＜ [[:Category:日本十進分類法|カテゴリ:日本十進分類法]] *[[Wikibooks:蔵書一覧]] *[[:w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）|<span style="color:#3399cc">w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）</span>]] ＜ [[:w:日本十進分類法|<span style="color:#3399cc">w:日本十進分類法</span>]] *[[w:ISBN#現行規格（2007年以降）]]＜[[w:ISBN]],014.45（資料分類法） == 総記（0類） == == 哲学（1類） == == 歴史（2類） == == 社会科学（3類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 300 社会科学 * 310 政治 ** 311 政治学、政治思想 ** 312 政治史・事情 ** 313 国家の形態、政治体制 ** 314 議会 ** 315 政党、政治結社 ** 316 国家と個人・宗教・民族 ** 317 行政 ** 318 地方自治、地方行政 ** 319 外交、国際問題 * 320 法律 ** 321 法学 ** 322 法制史 ** 323 憲法 ** 324 民法、民事法 ** 325 商法、商事法 ** 326 刑法、刑事法 ** 327 司法、訴訟手続法 ** 328 諸法 ** 329 国際法 * 330 経済 ** 331 経済学、経済思想 ** 332 経済史・事情、経済体制 ** 333 経済政策、国際経済 ** 334 人口、土地、資源 ** 335 企業、経営 ** 336 経営管理 ** 337 貨幣、通貨 ** 338 金融、銀行、信託 ** 339 保険 * 340 財政 ** 341 財政学、財政思想 ** 342 財政史・事情 ** 343 財政政策、財務行政 ** 344 予算、決算 ** 345 租税 ** 346 ** 347 公債、国債 ** 348 専売、国有財産 ** 349 地方財政 * 350 統計 * 360 社会 * 370 教育 ** 371 教育学、教育思想 ** 372 教育史・事情 ** 373 教育政策、教育制度、教育行財政 ** 374 学校経営・管理、学校保健 ** 375 教育課程、学習指導、教科別教育 ** 376 幼児・初等・中等教育 :::小学校算数,中学数学 幾何学のみ ::*[[Wikijunior:算数/小学校入学前 算数教育#かたち]] ::*[[小学校算数/1学年#かたち]] ::*[[小学校算数/2学年#ながさ]] ::*[[小学校算数/2学年#形]] ::*[[小学校算数/3学年#図形]] ::*[[小学校算数/4学年#図形]] ::*[[小学校算数/4学年#直方体と立方体]] ::*[[小学校算数/5学年#図形]] ::*[[小学校算数/5学年#角柱と円柱]] ::*[[小学校算数/6学年#量と測定]] ::*[[小学校算数/6学年#図形]] ::*[[中学数学1年 平面図形]] ::*[[中学数学1年 空間図形]] ::*[[中学数学2年 図形の調べ方]] 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[[:Category:日本十進分類法/992|ラテン文学]] ** 993 その他のヨーロッパ文学 ** 994 アフリカ文学 ** 995 アメリカ諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 996 ** 997 オーストラリア諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 998 ** 999 国際語（人工語）による文学 </div> 5a61q120j64qc21rsc8s09sfsc45nql 0 48111 300187 300178 2026-06-05T13:02:26Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 300187 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>\tilde{R}(\xi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi d\xi</math> :<math>\ln f(\xi) = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #コーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2A}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] 4jchezmpz7myc8rgyhrghub7z2gp1f1 300188 300187 2026-06-05T13:04:24Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 300188 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>\tilde{R}(\xi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi{i} d\xi</math> :<math>\ln f(\xi) = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #コーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2A}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] 9vx480rl8pkb0c01mfub1vlqaf5sjmn 300189 300188 2026-06-05T13:08:30Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 300189 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>\tilde{R}(\xi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi{i} d\xi</math> :<math>\ln |f(\xi)| = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=\pm e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #コーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2A}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] nnod39dzf9sh9kq88m1nb2owub022tf 300201 300189 2026-06-06T07:40:10Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 300201 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>\tilde{R}(\xi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi{i} d\xi</math> :<math>\ln |f(\xi)| = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=\pm e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #プランシュレルの定理とコーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2A}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''2'''}} 周波数シフトの性質より :<math>f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi-\xi_0)</math> <math>\xi_0</math>を<math>-\xi_0</math>に置き換えて :<math>f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi+\xi_0)</math> <math>\cos\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta + \mathrm{cis}(-\theta)}{2}, \quad \sin\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta-\mathrm{cis}(-\theta)}{2i}</math>とフーリエ変換の線型性より<math>\leftrightarrow</math>の両辺をそれぞれ足し引きして整理すると :<math>f(x)\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)+\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>f(x)\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2i}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)-\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> ここで、<math>f</math>が定数関数<math>f(x)=A</math>のとき、 :<math>A\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2}\{\delta(\xi-\xi_0)+\delta(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>A\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2i}\{\delta(\xi-\xi_0)-\delta(\xi+\xi_0)\}</math> と求まる。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''}} <math>\|\cdot\|</math>は<math>L^2</math>空間でのノルムを表すものとする。則ち、内積を<math>\langle f(x), g(x) \rangle := \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} dx</math>として<math>\|f(x)\|=\sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}=\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx}</math>。<br> <math>E(X)=0</math>より :<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^\infty |xf(x)|^2dx = \|xf(x)\|^2</math> :<math>D_0(\tilde{f})=\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\tilde{f}(\xi)|^2d\xi = \int_{-\infty}^\infty |\xi\tilde{f}(\xi)|^2d\xi =\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2</math> ここで、<math>\xi\tilde{f}(\xi)</math>の逆フーリエ変換を考える。<br><math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow [ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>であるが仮定より<math>f</math>は絶対連続且つ<math>f, f' \in L^2</math>なので<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を満たし<math>\left(\because (|f|^2)' = 2\mathrm{Re}(f\overline{f}) \in L^1 \land |f|^2 \in L^1 \right)</math>、境界項が消えるので<math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>、則ち<math>\xi\tilde{f}(\xi)\leftrightarrow \frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)</math>。<br> よってプランシュレルの定理より :<math>D_0(\tilde{f})=\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2=\left\|\frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2=\frac{1}{\tau^2}\left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2</math> 故に、示すべき不等式は :<math>\|xf(x)\|^2 \left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2 \geq \frac{1}{4}</math> である。<br> 仮定より<math>1=\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx</math>であるが、右辺を部分積分すると<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)\in L^2</math>より<math>\lim_{|x|\to\infty}|f(x)|^2=0</math>なので境界項が消えて :<math>1=-\int_{-\infty}^\infty x\frac{d}{dx}|f(x)|^2dx</math> :<math>=-2\mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right)</math> 両辺の絶対値をとると :<math>\frac{1}{2} = \left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| \leq \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|</math> ここで、コーシー=シュワルツの不等式より内積の絶対値はノルムの積以下の値をとるので :<math>|\langle xf(x), f'(x) \rangle| \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> よって :<math>\frac{1}{2} \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> 両辺を二乗しても大小関係は変わらないので :<math>\frac{1}{4} \leq \|xf(x)\|^2 \|f'(x)\|^2</math> {{NavBottom}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] 7jtvhfh3cqbpgm6ttsnj5i0i1c0ss7u 300202 300201 2026-06-06T08:10:35Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 300202 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がガウス型の関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>\tilde{R}(\xi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi{i} d\xi</math> :<math>\ln |f(\xi)| = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=\pm e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #プランシュレルの定理とコーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2A}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''2'''}} 周波数シフトの性質より :<math>f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi-\xi_0)</math> <math>\xi_0</math>を<math>-\xi_0</math>に置き換えて :<math>f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi+\xi_0)</math> <math>\cos\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta + \mathrm{cis}(-\theta)}{2}, \quad \sin\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta-\mathrm{cis}(-\theta)}{2i}</math>とフーリエ変換の線型性より<math>\leftrightarrow</math>の両辺をそれぞれ足し引きして整理すると :<math>f(x)\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)+\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>f(x)\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2i}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)-\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> ここで、<math>f</math>が定数関数<math>f(x)=A</math>のとき、 :<math>A\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2}\{\delta(\xi-\xi_0)+\delta(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>A\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2i}\{\delta(\xi-\xi_0)-\delta(\xi+\xi_0)\}</math> と求まる。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''}} <math>\|\cdot\|</math>は<math>L^2</math>空間でのノルムを表すものとする。則ち、内積を<math>\langle f(x), g(x) \rangle := \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} dx</math>として<math>\|f(x)\|=\sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}=\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx}</math>。<br> <math>E(X)=0</math>より :<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^\infty |xf(x)|^2dx = \|xf(x)\|^2</math> :<math>D_0(\tilde{f})=\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\tilde{f}(\xi)|^2d\xi = \int_{-\infty}^\infty |\xi\tilde{f}(\xi)|^2d\xi =\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2</math> ここで、<math>\xi\tilde{f}(\xi)</math>の逆フーリエ変換を考える。<br><math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow [ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>であるが仮定より<math>f</math>は絶対連続且つ<math>f, f' \in L^2</math>なので<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を満たし<math>\left(\because (|f|^2)' = 2\mathrm{Re}(f\overline{f}) \in L^1 \land |f|^2 \in L^1 \right)</math>、境界項が消えるので<math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>、則ち<math>\xi\tilde{f}(\xi)\leftrightarrow \frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)</math>。<br> よってプランシュレルの定理より :<math>D_0(\tilde{f})=\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2=\left\|\frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2=\frac{1}{\tau^2}\left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2</math> 故に、示すべき不等式は :<math>\|xf(x)\|^2 \left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2 \geq \frac{1}{4}</math> である。<br> 仮定より<math>1=\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx</math>であるが、右辺を部分積分すると<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)\in L^2</math>より<math>\lim_{|x|\to\infty}|f(x)|^2=0</math>なので境界項が消えて :<math>1=-\int_{-\infty}^\infty x\frac{d}{dx}|f(x)|^2dx</math> :<math>=-2\mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right)</math> 両辺の絶対値をとると :<math>\frac{1}{2} = \left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| \leq \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|</math> ここで、コーシー=シュワルツの不等式より内積の絶対値はノルムの積以下の値をとるので :<math>|\langle xf(x), f'(x) \rangle| \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> よって :<math>\frac{1}{2} \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> 両辺を二乗しても大小関係は変わらないので :<math>\frac{1}{4} \leq \|xf(x)\|^2 \|f'(x)\|^2</math> {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''（補足）}} 等号成立の場合を調べてみる。 :<math>\frac{1}{2}=\left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| = \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|=\|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> CS不等式で等号のとき、 :<math>|\cos\theta|=1 \iff \theta=0^\circ, 180^\circ \iff</math>一次従属 :<math>\therefore f'(x)=\lambda xf(x)\quad (\lambda\in\mathbb{C})</math> また、2, 3項目より<math>\langle xf(x), f'(x) \rangle \in \mathbb{R}</math>なので<math>\lambda = c \in \mathbb{R}</math>であり、微分方程式 :<math>f'(x)=cxf(x)</math> を得る。これは変数分離形なので :<math>\frac{df}{f(x)}=cxdx</math> :<math>\ln|f(x)|=\frac{c}{2}x^2+A</math> :<math>f(x)=\pm e^{A}e^{\frac{c}{2}x^2}</math> ここで、<math>f \in L^2</math>より<math>c<0</math>が課される。<br> よって、不確定性関係で等号成立の場合はガウス型関数<math>f(x)=Ce^{-ax^2} \quad(C\neq0, a>0)</math>であることが分かる。 フーリエ変換の固有関数と異なるのは、ガウス関数の裾の広がり方を定める正数<math>a</math>の値が一つに定まらないことである。 {{NavTop}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] 4z0p81n9takxix14qq7acg77u3zoxrt 300203 300202 2026-06-06T08:13:45Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 300203 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がガウス型の関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>\tilde{R}(\xi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi{i} d\xi</math> :<math>\ln |f(\xi)| = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=\pm e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #プランシュレルの定理とコーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2A}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''2'''}} 周波数シフトの性質より :<math>f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi-\xi_0)</math> <math>\xi_0</math>を<math>-\xi_0</math>に置き換えて :<math>f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi+\xi_0)</math> <math>\cos\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta + \mathrm{cis}(-\theta)}{2}, \quad \sin\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta-\mathrm{cis}(-\theta)}{2i}</math>とフーリエ変換の線型性より<math>\leftrightarrow</math>の両辺をそれぞれ足し引きして整理すると :<math>f(x)\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)+\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>f(x)\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2i}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)-\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> ここで、<math>f</math>が定数関数<math>f(x)=A</math>のとき、 :<math>A\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2}\{\delta(\xi-\xi_0)+\delta(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>A\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2i}\{\delta(\xi-\xi_0)-\delta(\xi+\xi_0)\}</math> と求まる。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''}} <math>\|\cdot\|</math>は<math>L^2</math>空間でのノルムを表すものとする。則ち、内積を<math>\langle f(x), g(x) \rangle := \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} dx</math>として<math>\|f(x)\|=\sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}=\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx}</math>。<br> <math>E(X)=0</math>より :<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^\infty |xf(x)|^2dx = \|xf(x)\|^2</math> :<math>D_0(\tilde{f})=\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\tilde{f}(\xi)|^2d\xi = \int_{-\infty}^\infty |\xi\tilde{f}(\xi)|^2d\xi =\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2</math> ここで、<math>\xi\tilde{f}(\xi)</math>の逆フーリエ変換を考える。<br><math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow [ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>であるが仮定より<math>f</math>は絶対連続且つ<math>f, f' \in L^2</math>なので<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を満たし<math>\left(\because (|f|^2)' = 2\mathrm{Re}(f\overline{f}) \in L^1 \land |f|^2 \in L^1 \right)</math>、境界項が消えるので<math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>、則ち<math>\xi\tilde{f}(\xi)\leftrightarrow \frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)</math>。<br> よってプランシュレルの定理より :<math>D_0(\tilde{f})=\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2=\left\|\frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2=\frac{1}{\tau^2}\left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2</math> 故に、示すべき不等式は :<math>\|xf(x)\|^2 \left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2 \geq \frac{1}{4}</math> である。<br> 仮定より<math>1=\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx</math>であるが、右辺を部分積分すると<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)\in L^2</math>より<math>\lim_{|x|\to\infty}|f(x)|^2=0</math>なので境界項が消えて :<math>1=-\int_{-\infty}^\infty x\frac{d}{dx}|f(x)|^2dx</math> :<math>=-2\mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right)</math> 両辺の絶対値をとると :<math>\frac{1}{2} = \left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| \leq \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|</math> ここで、コーシー=シュワルツの不等式より内積の絶対値はノルムの積以下の値をとるので :<math>|\langle xf(x), f'(x) \rangle| \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> よって :<math>\frac{1}{2} \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> 両辺を二乗しても大小関係は変わらないので :<math>\frac{1}{4} \leq \|xf(x)\|^2 \|f'(x)\|^2</math> {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''（補足）}} 等号成立の場合を調べてみる。 :<math>\frac{1}{2}=\left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| = \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|=\|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> CS不等式で等号のとき、 :<math>|\cos\theta|=1 \iff \theta=0^\circ, 180^\circ \iff</math>一次従属 :<math>\therefore f'(x)=\lambda xf(x)\quad (\lambda\in\mathbb{C})</math> また、2, 3項目より<math>\langle xf(x), f'(x) \rangle \in \mathbb{R}</math>なので<math>\lambda = c \in \mathbb{R}</math>であり、微分方程式 :<math>f'(x)=cxf(x)</math> を得る。これは変数分離形なので :<math>\frac{df}{f(x)}=cxdx</math> :<math>\ln|f(x)|=\frac{c}{2}x^2+A</math> :<math>f(x)=\pm e^{A}e^{\frac{c}{2}x^2}</math> ここで、<math>f \in L^2</math>より<math>c<0</math>が課される。<br> よって、不確定性関係で等号成立の場合はガウス型関数<math>f(x)=Ce^{-ax^2} \quad(C\neq0, a>0)</math>であることが分かる。 フーリエ変換の固有関数と異なるのは、ガウス関数の裾の広がり方を定める正数<math>a</math>の値が一つに定まらないことである。 {{NavBottom}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] s9wgfhqcizo7wakof7ptv2bc2f9j2eq 2 48118 300184 300175 2026-06-05T12:05:32Z AkiR27User 90873 300184 wikitext text/x-wiki 下記は[[利用者:AkiR27User|AkiR27User]]が作成・編集した、野球に関するページです。 何か気になることがあれば、このページのトークページではなく、こちらの[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[野球]] '''作成''' * [[野球/指名打者]] * [[野球/投手]] * [[野球/先発投手]] * [[野球/変化球]] (以下は変化球類) * [[野球/変化球/フォーシーム]] * [[野球/変化球/ツーシームファスト]] * [[野球/変化球/ムービングファスト]] * [[野球/変化球/ワンシーム]] * [[野球/変化球/スローボール]] * [[野球/変化球/イーファス]] * [[野球/変化球/スライダー]] * [[野球/変化球/高速スライダー]] *[[野球/変化球/スイーパー]] *[[野球/変化球/スラッター]] *[[野球/変化球/カーブ]] *[[野球/変化球/スローカーブ]] *[[野球/変化球/スラーブ]] *[[野球/変化球/ドロップカーブ]] *[[野球/変化球/パワーカーブ]] *[[野球/変化球/ナックルカーブ]] *[[野球/変化球/フォーク]] *[[野球/変化球/SFF]] *[[野球/変化球/ナックル]] *[[野球/変化球/パーム]] *[[野球/変化球/シンカー・スクリュー]] *[[野球/変化球/高速シンカー]] *[[野球/変化球/シンキングファスト]] *[[野球/変化球/シュート]] *[[野球/変化球/高速シュート]] *[[野球/変化球/ランニングファスト]] *[[野球/変化球/チェンジアップ]] *[[野球/変化球/サークルチェンジ]] *[[野球/変化球/バルカンチェンジ]] *[[野球/変化球/ファストチェンジ]] *[[野球/変化球/スプリットチェンジ]] *[[野球/変化球/パームボールチェンジ]] '''作成(総合ページ)''' '''作成(曖昧さ回避)''' [[DH]] [[ピッチャー]] '''作成(転送ページ)''' *[[野球/変化球/ツーシーム]] *[[変化球]] *[[投手]] *[[指名打者]] '''カテゴリー''' * [[:カテゴリ:野球|野球]] '''テンプレート''' * [[テンプレート:変化球マップ|変化球マップ]] jjvtzir1mdzdmft1ui1a68vzs3qu6k5 300185 300184 2026-06-05T12:06:09Z AkiR27User 90873 300185 wikitext text/x-wiki 下記は[[利用者:AkiR27User|AkiR27User]]が作成・編集した、野球に関するページです。 何か気になることがあれば、このページのトークページではなく、こちらの[[利用者・トーク:AkiR27User|'''トークページ''']]までお願いします。 '''編集''' * [[野球]] '''作成''' * [[野球/指名打者]] * [[野球/投手]] * [[野球/先発投手]] * [[野球/変化球]] (以下は変化球類) * [[野球/変化球/フォーシーム]] * [[野球/変化球/ツーシームファスト]] * [[野球/変化球/ムービングファスト]] * [[野球/変化球/ワンシーム]] * [[野球/変化球/スローボール]] * [[野球/変化球/イーファス]] * [[野球/変化球/スライダー]] * [[野球/変化球/高速スライダー]] *[[野球/変化球/スイーパー]] *[[野球/変化球/スラッター]] *[[野球/変化球/カーブ]] *[[野球/変化球/スローカーブ]] *[[野球/変化球/スラーブ]] *[[野球/変化球/ドロップカーブ]] *[[野球/変化球/パワーカーブ]] *[[野球/変化球/ナックルカーブ]] *[[野球/変化球/フォーク]] *[[野球/変化球/SFF]] *[[野球/変化球/ナックル]] *[[野球/変化球/パーム]] *[[野球/変化球/シンカー・スクリュー]] *[[野球/変化球/高速シンカー]] *[[野球/変化球/シンキングファスト]] *[[野球/変化球/シュート]] *[[野球/変化球/高速シュート]] *[[野球/変化球/ランニングファスト]] *[[野球/変化球/チェンジアップ]] *[[野球/変化球/サークルチェンジ]] *[[野球/変化球/バルカンチェンジ]] *[[野球/変化球/ファストチェンジ]] *[[野球/変化球/スプリットチェンジ]] *[[野球/変化球/パームボールチェンジ]] '''作成(総合ページ)''' '''作成(曖昧さ回避)''' *[[DH]] *[[ピッチャー]] '''作成(転送ページ)''' *[[野球/変化球/ツーシーム]] *[[変化球]] *[[投手]] *[[指名打者]] '''カテゴリー''' * [[:カテゴリ:野球|野球]] '''テンプレート''' * [[テンプレート:変化球マップ|変化球マップ]] cf16ot982u4prynuak22i111ifbl87z 0 48119 300183 300170 2026-06-05T12:03:23Z AkiR27User 90873 リンク修正 300183 wikitext text/x-wiki '''概要''' 投手(Pitcher)とは、野球において打者に対して投球を行う守備側の中心的な選手を意味します。試合の流れを大きく左右するポジションであり、戦術・体力・技術のすべてが求められます。 == 基本 == '''役割''' * 投球 ** [[野球/ストライクゾーン|ストライクゾーン]]を狙って投げる ** 打者を[[野球/アウト|アウト]]にするための球種 ** コース選択試合のテンポを作る * 守備 ** [[野球/バント|バント]]処理やゴロの捕球 ** [[野球/走者|走者]]の[[野球/牽制|牽制]] '''種類''' * [[野球/先発投手|先発投手]] ** 試合開始時に登板し、長い[[野球/イニング|イニング]]を投げることが求められます * [[野球/中継ぎ投手|中継ぎ投手]] ** 試合中盤に登板し、状況に応じて短いイニングを担当します * [[野球/抑え投手|抑え投手]] ** 終盤のリードしている場面で登板する。[[野球/セーブ|セーブ]]を記録する役割 == 投球 == [[野球/セットポジション|セットポジション]]と[[野球/ワインドアップ|ワインドアップ]] * 投球前の姿勢で、走者の有無で使い分けます [[野球/投球フォーム|投球フォーム]] *腕を振る角度により分類されます。 **[[オーバースロー|オーバースロー]] **[[野球/スリークォーター|スリークォーター]] **[[野球/サイドスロー|サイドスロー]] **[[野球/アンダースロー|アンダースロー]] [[野球/ボーク|ボーク]] * 不正な投球動作で、ペナルティとして走者が進塁します == 球種 == {{main|野球/変化球}} == ルール == * 監督がマウンドに行く。または審判に交代を告げます '''DHとの関係''' * 投手が打席に立つと[[DH]]が消滅します * 守備変更でもDHが消滅する場合があります {{デフォルトソート:とうしゆ}} [[カテゴリ:野球]] am9lnak354zwof48fsylg5cbx6nxj02 1 48120 300179 299877 2026-06-05T12:00:47Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 今後の参考にして下さい。もしかしたら「過程、課程シリーズ」かもしれません。他 */ 新しい節 300179 wikitext text/x-wiki == 今後の参考にして下さい。 相互シリーズ == :[[初等数学公式集/初等関数の性質]] :目次 :1三角関数 :1.1基本公式 :1.1.1三角関数相互の関係 :1.1.2三角比の相互関係　　←←←相互の関係へ :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月26日 (火) 11:27 (UTC) == 今後の参考にして下さい。もしかしたら「過程、課程シリーズ」かもしれません。他 == :①過程、課程シリーズ :[[初等数学公式集/初等関数の性質#三角方程式]] :＞初等数学（高等学校履修過程）においては、...　←←←ありましたgoogle検索。もしかして: "履修課程" :＞（計算過程・有理化は略） :②あるとき。_文　と するとき、_文　の「。」です。 :[[初等数学公式集/初等関数の性質#三角比の相互関係]] :＞...であるとき。...  (3行連続)　←←←意味は通じます。 :＞...とするとき、 :③「。」の前の丸括弧()について、私は気になりました。 :...である（真数の存在条件/真数条件）。 :(参考) :＞...予防することが重要であり、支払うべき対価も少ないことを意味する成句。 :＞...普段からの注意を怠っていない人たち（曲突徙薪）を...と言う戒め。[[高等学校古典探究/曲突徙薪に恩沢なく、燋頭爛額上客となる#曲突徙薪]]の切り取りより :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年6月5日 (金) 12:00 (UTC) ooufdopts1wiakh6q1yd6p7fl5h9g8i 0 48202 300180 2026-06-05T12:01:33Z AkiR27User 90873 ピッチャーの曖昧さ回避ページを作成しました。 300180 wikitext text/x-wiki ピッチャー - リンクが本ページに転送される場合、転送元の内容に合わせて、転送元のリンクを各々以下の参照ページを転送先として更新してください。 *野球の試合で、マウンドに立って投げるポジション。 ー [[野球/投手]]。 *水差し・注ぎ口のある容器 ー [[ピッチャー(容器)]] {{DEFAULTSORT:ひつちやあ}} [[カテゴリ: 水先案内のページ]] hc4sdulndebtt7fd14he6qo2h7d2rod 300181 300180 2026-06-05T12:02:14Z AkiR27User 90873 リンク修正 300181 wikitext text/x-wiki ピッチャー - リンクが本ページに転送される場合、転送元の内容に合わせて、転送元のリンクを各々以下の参照ページを転送先として更新してください。 *野球の試合で、マウンドに立って投げるポジション。 ー [[野球/投手]]。 *水差し・注ぎ口のある容器 ー [[容器/ピッチャー]] {{DEFAULTSORT:ひつちやあ}} [[カテゴリ: 水先案内のページ]] eju8dubi9556ef7larqe1pvgg15qtco 0 48203 300186 2026-06-05T12:35:34Z AkiR27User 90873 死球についてまとめました。 300186 wikitext text/x-wiki 死球は、投手が投じたボールが打者の身体または衣服に触れた場合に宣告され、打者は一塁へ進塁する、試合の流れを左右するルールの一つです。 == 条件 == '''死球になるケース''' 打者の身体に触れる *避けようとしたかは審判の判断に委ねられます。 *頭部に当たった場合は[[野球/危険球退場|危険球退場]]となります。(例外あり) 衣服に掠った場合 *ユニフォームに触れただけでも死球となります。 '''死球にならないケース''' ストライクゾーン内 *ストライクゾーン内で当たった場合、死球ではなくストライクと判定されることがあります。 == 故意死球 == 審判は、投手が故意に打者へボールを当てたと判断した場合は以下の措置を取ることがあります。 *宣告 *投手または監督の退場 故意死球はスポーツマンシップに反する行為として厳しく扱われます。 == 防具 == {{Main|野球/防具}} == 扱い == 死球が宣告されると、打者は一塁へ進塁し、走者がいる場合はフォースプレイに応じて進塁が発生します。 死球は投手にとって与四死球として記録されるので、試合の評価にも影響します。 {{DEFAULTSORT:やきゆうしきゆう}} [[Category:野球]] 5p6ks1ap1cktr5rzcoakfls32xim6kg 0 48205 300200 2026-06-06T05:59:33Z AkiR27User 90873 [[野球/変化球]]へのリダイレクト。 300200 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[野球/変化球]] 49p82qzbebdjoyhlk4dg639glblzyhq