Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 12892 300216 295853 2026-06-07T16:40:16Z Tomzo 248 /* 判例 */ 300216 wikitext text/x-wiki *[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]] *[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]] == 条文 == （有期拘禁刑の加重） ; 第47条 : 併合罪のうちの二個以上の罪について<u>有期拘禁刑</u>に処するときは、その最も重い罪について定めた刑の長期にその2分の1を加えたものを長期とする。ただし、それぞれの罪について定めた刑の長期の合計を超えることはできない。 ===改正経緯=== 2022年、以下のとおり改正（施行日2025年6月1日）。 :（改正前）有期の懲役又は禁錮 :（改正後）有期拘禁刑 == 解説 == :有期拘禁刑は、その最も重い罪について定めた刑の長期にその他の罪の刑の2分の1を加えたものが長期となる。ただし、それぞれの罪について定めた刑の長期の合計を超えない（加重主義）。併合罪の一部が他の犯罪の確定判決後になされた場合、この範囲において執行される（[[刑法第51条|第51条]]）。 == 関連条文 == == 判例 == # [https://www.courts.go.jp/hanrei/51426/detail2/index.html 恐喝、傷害、窃盗]（最高裁判決昭和32年7月16日)[[刑事訴訟法第335条]]第1項 #;法定刑（懲役刑）を同じくするが種類を異にする数個の犯罪を併合加重する場合と法令適用の判示方 #:窃盗、傷害（懲役刑選択）、恐喝の三罪につき併合罪の加重をする場合、いずれの罪を最も重いと認めて加重をしたかを明示しなくとも、必ずしも違法ではない。 #[https://www.courts.go.jp/hanrei/50069/detail2/index.html 略取，逮捕監禁致傷，窃盗被告事件]（[[w:新潟少女監禁事件]]　、最高裁判決 平成15年7月10日）[[刑事訴訟法第495条]] #;刑法47条の法意 #:刑法47条は，併合罪のうち２個以上の罪について有期の懲役又は禁錮に処するときは，同条が定めるところに従って併合罪を構成する各罪全体に対する統一刑を処断刑として形成し，その範囲内で各罪全体に対する刑を決することとした規定であって，併合罪の構成単位である各罪について個別的な量刑判断を行うことは，法律上予定されていない。 #:*本事件においては、主に逮捕監禁致傷罪（[[刑法第221条|第221条]]）にかかる案件であるが、量刑の上限が当時の[[傷害罪]]の上限である懲役10年である一方、本件被害者の監禁は約9年2か月という長期にわたるものであり、それに最長で10年の懲役では相当性を欠くとされた。そこで、加害者の監禁期中における万引き（被害者のための下着の万引き、実行当時は被害者への賠償等を行ない起訴猶予となっており、確定判決はない）について、窃盗罪（最長10年の懲役）の評価をして、「確定判決を受けていない罪」の一つとして、併合罪適用により量刑の最大を15年（逮捕監禁致傷罪の上限10年 + 窃盗罪の上限10年 × 1/2）とした。弁護側は、起訴猶予になるほどの犯罪を援用し、その犯罪自体では課されることは想定し難い刑罰を課すことは不当であると主張したが、最高裁は、併合罪において個別の量刑判断は行うものではないと判断し、量刑の最大を15年とすることは不当ではないとした。 ---- {{前後 |[[コンメンタール刑法|刑法]] |[[コンメンタール刑法#1|第1編 総則]]<br> [[コンメンタール刑法#1-9|第9章 併合罪]]<br> |[[刑法第46条]]<br>（併科の制限） |[[刑法第48条]]<br>（罰金の併科等） }} {{stub|law}} [[Category:刑法|047]] [[Category:罪数論|047]] [[category:刑法 2022年改正（主要）|047]] ko81fv1rphk661vy7kl6ve2988hdhvd 0 12896 300217 273038 2026-06-07T20:36:35Z Tomzo 248 300217 wikitext text/x-wiki *[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]] *[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]] == 条文 == （併合罪に係る二個以上の刑の執行） ; 第51条 # 併合罪について二個以上の裁判があったときは、その刑を併せて執行する。ただし、死刑を執行すべきときは、没収を除き、他の刑を執行せず、無期拘禁刑を執行すべきときは、罰金、科料及び没収を除き、他の刑を執行しない。 # 前項の場合における有期拘禁刑の執行は、その最も重い罪について定めた刑の長期にその2分の1を加えたものを超えることができない。 ===改正経緯=== 2022年、以下のとおり改正（施行日2025年6月1日）。 #第1項 #:（改正前）無期の懲役又は禁錮 #:（改正後）無期拘禁刑 #第2項 #:（改正前）有期の懲役又は禁錮 #:（改正後）有期拘禁刑 == 解説 == 本条は、[[併合罪]]について複数の裁判がなされた場合には執行の際、一度の裁判で併合罪が裁判された場合と同様の処理をすることを定めたものである。 == 関連条文 == == 判例 == ---- {{前後 |[[コンメンタール刑法|刑法]] |[[コンメンタール刑法#1|第1編 総則]]<br> [[コンメンタール刑法#1-9|第9章 併合罪]]<br> |[[刑法第50条]]<br>（余罪の処理） |[[刑法第52条]]<br>（一部に大赦があった場合の措置） }} {{stub|law}} [[Category:刑法|051]] [[Category:罪数論|051]] [[category:刑法 2022年改正（主要）|051]] g3hli584hyxpltb49xmo5trlqcrkqw0 2 40094 300223 300191 2026-06-08T10:16:08Z Veracious 42910 300223 wikitext text/x-wiki <!-- <gallery> File:Adhisty zara sundari kusumawardhani jkt48 2 (cropped).jpg|Adhisty Zara File:JKT48 K3 IMG 2928.jpg|Alicia Chanzia File:Amanda Dwi Arista - 23062945165.jpg|Amanda Dwi Arista File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Amanina Afiqah (Afiqah).jpg|Amanina Afiqah Ibrahim File:Handshake Festival Saka Agari Surabaya IMG 9731 (Tasya).jpg|Anastasya Narwastu Tety Handuran File:Supercell Gamer's Day 2019 IMG 4529.jpg|Andela Yuwono File:JKT48 K3 IMG 2624.jpg|Angelina Christy File:Aninditha Rahma Cahyadi (Anin) JKT48 1.jpg|Aninditha Rahma Cahyadi File:Ariella Calista Ichwan JKT48 - Ariel 4.jpg|Ariella Calista Ichwan File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Aurel Mayori (Yori).jpg|Aurel Mayori Putri File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Azizi Asadel (Zee) 3.jpg|Azizi Shafaa Asadel File:Ayana Shahab (Achan) JKT48 02 (cropped).jpg|Ayana Shahab File:Ayu Safira Oktaviani (Okta) JKT48.jpg|Ayu Safira Oktaviani File:JKT48 K3 IMG 2971 (Beby).jpg|Beby Chaesara Anadila File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 - 9237.jpg|Cindy Hapsari Maharani Pujiantoro Putri File:Cindy yuvia jkt48 4.jpg|Cindy Yuvia File:JKT48 Devi Kinal Putri (22645433068).jpg|Devi Kinal Putri File:Elaine Hartanto JKT48 IMG 5815 (cropped).jpg|Elaine Hartanto File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8815.jpg|Feni Fitriyanti File:Fia at Circus Bandung 2018.jpg|Fidly Immanda Azzahra File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Freya Jayawardana (Freya).jpg|Freya Jayawardana File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 9003.jpg|Frieska Anastasia Laksani File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8731.jpg|Gabriela Margareth Warouw File:Gabryela marcelina aby jkt48.jpg|Gabryela Marcelina File:Hasyakyla utami kusumawardhani kyla jkt48.jpg|Hasyakyla Utami Kusumawardhani File:Helisma Putri at Konser Tunggal KIII vs KIII.jpg|Helisma Putri File:Jennifer Hanna Sutiono JKT48 1.jpg|Jennifer Hanna File:Jessica Vania Widjaja (Jeje) JKT48 Megakonser RCTI Warnai Harimu Jakarta 17-02-2013 2b.jpg|Jessica Vania Widjaja File:Jessica Veranda (22698400217).jpg|Jessica Veranda File:Jinan safa safira jkt48 3.jpg|Jinan Safa Safira File:Kathrina Irene Indarto Putri (Kathrin) JKT48.jpg|Kathrina Irene Indarto Putri File:Lidya maulida djuhandar jkt48.jpg|Lidya Maulida Djuhandar File:Maria Genoveva Natalia Desy Purnamasari Gunawan jkt48.jpg|Maria Genoveva Natalia Desy Purnamasari Gunawan File:Marsha LL 01Dec19 IMG 3656.jpg|Marsha Lenathea File:Michelle CK 18Jan20 IMG 7121.jpg|Michelle Christo Kusnadi File:Melody Nurramdhani Laksani JKT48 2.jpg|Melody Nurramdhani Laksani File:Nabilah ayu jkt48 1.jpg|Nabilah Ratna Ayu Azalia File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8666.jpg|Nadila Cindi Wantari File:Wekwek (9652333713) (Natalia).jpg|Natalia File:JKT48 K3 IMG 2980.jpg|Nurhayati File:KIII (9673620350) (Octi cropped).jpg|Octi Sevpin File:Priscillia sari dewi (sisil) jkt48.jpg|Priscillia Sari Dewi File:Ratu vienny fitrilya viny jkt48 2.jpg|Ratu Vienny Fitrilya File:Rezky Wiranti Dhike JKT48 Halloween Night Handshake Festival Jakarta 31-10-2015.jpg|Rezky Wiranti Dhike File:Rica leyona jkt48 1 (cropped).jpg|Rica Leyona File:Riska amelia putri amel jkt48 2.jpg|Riska Amelia Putri File:Sendy Ariani JKT48.jpg|Sendy Ariani File:JKT48 K3 IMG 2803.jpg|Shani Indira Natio File:JKT48 Mahagita Handshake Festival 68.jpg|Saktia Oktapyani File:Shania gracia jkt48.jpg|Shania Gracia File:Shania Junianatha (Shanju) JKT48 2.jpg|Shania Junianatha File:Shinta Naomi Prasetya JKT48.jpg|Shinta Naomi Prasetya File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Sinka Juliani (Sinka) (cropped).jpg|Sinka Juliani File:Team J & Akustik @ BCA Finhack 2019 IMG 8666.jpg|Sisca Saras File:Stephanie Pricilla Indarto Putri (Stefi) JKT48 (cropped).jpg|Stephanie Pricilla Indarto Putri File:Thalia Ivanka (23103118852).jpg|Thalia Ivanka Elizabeth File:Viviyona Apriani (Yona) JKT48 2.jpg|Viviyona Apriani file:Yessica Tamara Siallagan (Chika) JKT48 8.jpg|Yessica Tamara File:20190810 JKT48 at KAI Esport Exhibition Goes to Jogja - Zahra Nur (Ara).jpg|Zahra Nur Khaulah </gallery> --> <!-- <gallery> File:J and K3 Team JKT48 Honda GIIAS 2016 IMG 2778 (29051348271).jpg File:JKT48 K3 IMG 3172.jpg File:JKT48 K3 IMG 3223.jpg </gallery> --> rrw1wp6sx4lvfwai6tsz6jr1gc8nc6v 1 47978 300218 300215 2026-06-07T22:48:41Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 教えて下さい。＞物権であるが不動産とみなす。?動産 */ 返信 300218 wikitext text/x-wiki == 教えて下さい。＞物権であるが不動産とみなす。?動産 == ①不動産は、物権ですか。?解説の「であるが_文」ですか。 :「物権であるが」を消すと、条文第2項の一部分と同じ。 ②不動産扱いについて。 :原則と原則じゃないで、行頭の中点・2行になると思いました。(段下げは理解しています。) :どうして行頭で中点・の3行が必要ですか。?解析幾何のコラム in コラムみたいです。 ③小見出し「不動産」→「不動産扱い」「不動産とみなす」原則はイラナイかも。 :「不動産執行の対象」物。?「不動産執行の目的?」物。小見出しも不要。 ＞...ご指摘は基本的に考えて編集したものなので強い根拠がなければ拒否します....(トーク:初等数学公式集/解析幾何より)--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月2日 (土) 11:08 (UTC) : ①だから何なのですか。その点の説明を書いてほしいということですか?実質的に条文の引き写しだから不要だというのですか?それとも?②不動産と動産とみなされる不動産以外の部分まで同一レベルの字下げでなければならないとは限らないと思うのですが。字下げのレベルが異なっている理由が分からないのであれば、このページに関して内容的に意味がある指摘をすることはあなたには早すぎると言わざるをえません。③まさか、いきなり、例外の事例から解説しろとかいう趣旨ではないですよね?小見出しについては、これから解説を実質的に執筆する人が読み手のことを考えて決定するでしょうから、今口出ししたところで、従う義理はないでしょうね。まあ、現状本条の解説は解説といえるような代物ではないし、項目出しも不十分に見えるため、再説明されても何と答えることが正解なのか難しいのかもしれませんが。 --[[利用者:Kyube|kyube]] ([[利用者・トーク:Kyube|トーク]]) 2026年6月7日 (日) 11:51 (UTC) :::A-B+Cでした。 :::A-B+C → 強制執行「不動産執行」 :::B → 動産執行 :::ありがとうございました。 ::--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年6月7日 (日) 22:48 (UTC) nhtyn6pkkdf0uayhcdu08yxo0dsnpj1 2 48053 300222 300205 2026-06-08T09:42:38Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 関連項目 */ 水色へ 300222 wikitext text/x-wiki == 関連項目 == *[[Wikibooks:日本十進分類法]] ＜ [[:Category:日本十進分類法|カテゴリ:日本十進分類法]] *[[Wikibooks:蔵書一覧]] *[[:w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）|<span style="color:#3399cc">w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）</span>]]＜ [[:w:日本十進分類法|<span style="color:#3399cc">w:日本十進分類法</span>]] *[[w:ISBN#現行規格（2007年以降）|<span style="color:#3399cc">w:ISBN#現行規格（2007年以降）</span>]]　＜ [[w:ISBN|<span style="color:#3399cc>w:ISBN</span>]],014.45（資料分類法） == 総記（0類） == == 哲学（1類） == == 歴史（2類） == == 社会科学（3類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 300 社会科学 * 310 政治 ** 311 政治学、政治思想 ** 312 政治史・事情 ** 313 国家の形態、政治体制 ** 314 議会 ** 315 政党、政治結社 ** 316 国家と個人・宗教・民族 ** 317 行政 ** 318 地方自治、地方行政 ** 319 外交、国際問題 * 320 法律 ** 321 法学 ** 322 法制史 ** 323 憲法 ** 324 民法、民事法 ** 325 商法、商事法 ** 326 刑法、刑事法 ** 327 司法、訴訟手続法 ** 328 諸法 ** 329 国際法 * 330 経済 ** 331 経済学、経済思想 ** 332 経済史・事情、経済体制 ** 333 経済政策、国際経済 ** 334 人口、土地、資源 ** 335 企業、経営 ** 336 経営管理 ** 337 貨幣、通貨 ** 338 金融、銀行、信託 ** 339 保険 * 340 財政 ** 341 財政学、財政思想 ** 342 財政史・事情 ** 343 財政政策、財務行政 ** 344 予算、決算 ** 345 租税 ** 346 ** 347 公債、国債 ** 348 専売、国有財産 ** 349 地方財政 * 350 統計 * 360 社会 * 370 教育 ** 371 教育学、教育思想 ** 372 教育史・事情 ** 373 教育政策、教育制度、教育行財政 ** 374 学校経営・管理、学校保健 ** 375 教育課程、学習指導、教科別教育 ** 376 幼児・初等・中等教育 :::小学校算数,中学数学 幾何学のみ ::*[[Wikijunior:算数/小学校入学前 算数教育#かたち]] ::*[[小学校算数/1学年#かたち]] ::*[[小学校算数/2学年#ながさ]] ::*[[小学校算数/2学年#形]] ::*[[小学校算数/3学年#図形]] ::*[[小学校算数/4学年#図形]] ::*[[小学校算数/4学年#直方体と立方体]] ::*[[小学校算数/5学年#図形]] ::*[[小学校算数/5学年#角柱と円柱]] ::*[[小学校算数/6学年#量と測定]] ::*[[小学校算数/6学年#図形]] ::*[[中学数学1年 平面図形]] ::*[[中学数学1年 空間図形]] ::*[[中学数学2年 図形の調べ方]] ::*[[中学数学2年 三角形と四角形]] ::*[[中学数学3年 相似な図形]] ::*[[中学数学3年 円]] ::*[[中学数学3年 三平方の定理]] :* 377 大学、高等・専門教育、学術行政 ::*[[高等学校数学]] :::高等学校数学 幾何学のみ ::*[[高等学校数学I/図形と計量]] ::*[[高等学校数学A/図形の性質]] ::*[[高等学校数学II/図形と方程式]] ::*[[高等学校数学III/微分法]] ::*[[高等学校数学III/積分法]] ::*[[高等学校数学C/ベクトル]] ＊旧課程のままです。 ::*[[高等学校数学C/平面上の曲線]] ::*[[高等学校数学C/複素数平面]] ::*[[高等学校理数数学#円と円の共有点]] ::*[[高等学校理数数学#平面の方程式]] ::*[[大学受験数学 三角関数]] ::*[[高等学校物理]]＊スペースなしの物理 :::*[[高等学校物理/力学]] :::*[[高等学校 物理基礎]] ::::*[[高等学校 物理基礎/物理のための数学]] ::::*[[高等学校 物理]]＊スペースありの物理 ::::*[[高校物理 波]]＊高校物理 * 378 障害児教育（特別支援教育） * 379 社会教育 * 380 風俗習慣、民俗学、民族学 * 390 国防、軍事 </div> == 自然科学（4類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 400 自然科学 * 410 数学 ::初等数学シリーズ ::*[[初等数学]] ::*[[初等数学索引]] ::*[[初等数学用語索引]] ::*[[初等数学記号集]] ::*[[初等数学公式集]] :::*[[初等数学公式集/初等幾何]] ::::*[[初等数学公式集/初等幾何/平面図形]] ::::*[[初等数学公式集/初等幾何/表面積]] ::::*[[初等数学公式集/初等幾何/体積]] :::*[[初等数学公式集/初等関数の性質]] :::*[[初等数学公式集/解析幾何]] ::::*[[初等数学公式集/解析幾何/証明]] ::::*[[初等数学公式集/解析幾何/コラム]] :::::(参考)とも言う。 ::*[[初等幾何学]] ::*[[初等整数論]] ::中等数学シリーズ ::*[[中等数学]] ::高等数学シリーズ ::*[[高等数学]]（大学以上の課程で取り扱う数学） :* 411 代数学 ::*[[代数学入門]] :* 412 数論（整数論） :* 413 解析学 :* 414 幾何学 :* 415 位相数学 :* 416 :* 417 確率論、数理統計学 :* 418 計算法 :* 419 和算、中国算法 * 420 物理学 ::初等物理学シリーズ ::*[[初等物理学]] ::*[[初等物理学記号集]] ::*[[初等物理学公式集]] ::*[[初等物理学公式集/初等力学]] ** 421 理論物理学 ::テンソル シリーズ ::*[[特殊相対論]] :::*[[特殊相対論 テンソル]] ::*[[一般相対性理論]] ::*[[物理数学I]] {{進捗|75%|2023-11-05}} :::*[[物理数学I ベクトル解析#テンソル代数]] ::*[[物理数学II]] :* 422 :* 423 力学 :* 424 振動学、音響学 :* 425 光学 :* 426 熱学 :* 427 電磁気学 :* 428 物性物理学 :* 429 原子物理学 * 430 化学 * 440 天文学、宇宙科学 * 450 地球科学、地学 * 460 生物科学、一般生物学 * 470 植物学 * 480 動物学 * 490 医学 </div> == 技術（5類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 500 技術、工学 * 510 建設工学、土木工学 ** 511 土木力学、建設材料 ** 512 測量 ** 513 土木設計・施工法 ** 514 道路工学 ** 515 橋梁工学 ** 516 鉄道工学 ** 517 河海工学、河川工学 ** 518 衛生工学、都市工学 ** 519 環境工学、公害 * 520 建築学 ** 521 日本の建築 ** 522 東洋の建築、アジアの建築 ** 523 西洋の建築、その他の様式の建築 ** 524 建築構造 ** 525 建築計画・施工 ** 526 各種の建築 ** 527 住宅建築 ** 528 建築設備、設備工学 ** 529 建築意匠・装飾 * 530 機械工学 ** 531 機械力学・材料・設計 ** 532 機械工作、工作機械 ** 533 熱機関、熱工学 ** 534 流体機械、流体工学 ** 535 精密機器、光学機器 ** 536 運輸工学、車両、運搬機械 ** 537 自動車工学 ** 538 航空工学、宇宙工学 ** 539 原子力工学 * 540 電気工学 ** 541 電気回路・計測・材料 ** 542 電気機器 ** 543 発電 ** 544 送電、変電、配電 ** 545 電灯、照明、電熱 ** 547 通信工学、電気通信 ** 548 情報工学 ** 549 電子工学 * 550 海洋工学、船舶工学 ** 551 理論造船学 ** 552 船体構造・材料・施工 ** 553 船体艤装、船舶設備 ** 554 舶用機関（造機） ** 555 船舶修理、保守 ** 556 各種の船舶・艦艇 ** 557 航海、航海学 ** 558 海洋開発 ** 559 兵器、軍事工学 * 560 金属工学、鉱山工学 * 570 化学工業 * 580 製造工業 * 590 家政学、生活科学 </div> == 産業（6類） == == 芸術（7類） == == 言語（8類） == == 文学（9類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * [[:Category:日本十進分類法/900|900 文学]] ** 901 文学理論・作法 ** 902 文学史、文学思想史 ** 903 参考図書（レファレンスブック） ** 904 論文集、評論集、講演集 ** 905 逐次刊行物 ** 906 団体 ** 907 研究法、指導法、文学教育 ** 908 叢書、全集、選集 ** 909 児童文学研究 * 910 日本文学 * 920 中国文学 * 929 その他の東洋文学 * 930 英米文学 * 940 ドイツ文学 * 949 その他のゲルマン文学 * 950 フランス文学 * 959 プロバンス文学 * 960 スペイン文学 * 969 ポルトガル文学 * 970 イタリア文学 * 979 その他のロマンス文学 * 980 ロシア・ソビエト文学 * 989 その他のスラブ文学 * 990 その他の諸言語文学 ** 991 ギリシア文学 ** 992 [[:Category:日本十進分類法/992|ラテン文学]] ** 993 その他のヨーロッパ文学 ** 994 アフリカ文学 ** 995 アメリカ諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 996 ** 997 オーストラリア諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 998 ** 999 国際語（人工語）による文学 </div> aalf3c2oupmng0n75eao0jny9hzqamb 2 48107 300219 299776 2026-06-08T00:03:18Z 配合比全额更好（说说而已） 91571 300219 wikitext text/x-wiki こんにちは!僕は配合比全额更好（说说而已）。 7stv7w72surjvzonzdhusyojwrzngcw 0 48111 300220 300208 2026-06-08T03:14:01Z ~2026-33708-09 91711 /* フーリエ変換の性質 */ 300220 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 更に、周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると再右辺の式から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つことがわかる。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi_0</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がガウス型の関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(-\chi)</math>と畳み込みで表される。 :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>をフーリエ変換すると畳み込みのフーリエ変換より :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)\leftrightarrow\tilde{(\hat{f})}(\xi)\tilde{f}(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)\leftrightarrow\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> :ここから :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)=\int_{-\infty}^\infty W(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi\chi)d\xi</math> :なので、 :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(-\chi)=\int_{-\infty}^\infty W(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi\chi)d\xi = \text{ℱ}[W(\xi)](\chi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi{i} d\xi</math> :<math>\ln |f(\xi)| = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=\pm e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #プランシュレルの定理とコーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #<math>|\chi|<\frac{T}{2}</math>としたとき、(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2A}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''2'''}} 周波数シフトの性質より :<math>f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi-\xi_0)</math> <math>\xi_0</math>を<math>-\xi_0</math>に置き換えて :<math>f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi+\xi_0)</math> <math>\cos\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta + \mathrm{cis}(-\theta)}{2}, \quad \sin\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta-\mathrm{cis}(-\theta)}{2i}</math>とフーリエ変換の線型性より<math>\leftrightarrow</math>の両辺をそれぞれ足し引きして整理すると :<math>f(x)\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)+\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>f(x)\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2i}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)-\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> ここで、<math>f</math>が定数関数<math>f(x)=A</math>のとき、 :<math>A\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2}\{\delta(\xi-\xi_0)+\delta(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>A\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2i}\{\delta(\xi-\xi_0)-\delta(\xi+\xi_0)\}</math> と求まる。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''}} <math>\|\cdot\|</math>は<math>L^2</math>空間でのノルムを表すものとする。則ち、内積を<math>\langle f(x), g(x) \rangle := \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} dx</math>として<math>\|f(x)\|=\sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}=\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx}</math>。<br> <math>E(X)=0</math>より :<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^\infty |xf(x)|^2dx = \|xf(x)\|^2</math> :<math>D_0(\tilde{f})=\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\tilde{f}(\xi)|^2d\xi = \int_{-\infty}^\infty |\xi\tilde{f}(\xi)|^2d\xi =\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2</math> ここで、<math>\xi\tilde{f}(\xi)</math>の逆フーリエ変換を考える。<br><math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow [ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>であるが仮定より<math>f</math>は絶対連続且つ<math>f, f' \in L^2</math>なので<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を満たし<math>\left(\because (|f|^2)' = 2\mathrm{Re}(f\overline{f}) \in L^1 \land |f|^2 \in L^1 \right)</math>、境界項が消えるので<math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>、則ち<math>\xi\tilde{f}(\xi)\leftrightarrow \frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)</math>。<br> よってプランシュレルの定理より :<math>D_0(\tilde{f})=\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2=\left\|\frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2=\frac{1}{\tau^2}\left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2</math> 故に、示すべき不等式は :<math>\|xf(x)\|^2 \left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2 \geq \frac{1}{4}</math> である。<br> 仮定より<math>1=\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx</math>であるが、右辺を部分積分すると<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)\in L^2</math>より<math>\lim_{|x|\to\infty}|f(x)|^2=0</math>なので境界項が消えて :<math>1=-\int_{-\infty}^\infty x\frac{d}{dx}|f(x)|^2dx</math> :<math>=-2\mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right)</math> 両辺の絶対値をとると :<math>\frac{1}{2} = \left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| \leq \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|</math> ここで、コーシー=シュワルツの不等式より内積の絶対値はノルムの積以下の値をとるので :<math>|\langle xf(x), f'(x) \rangle| \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> よって :<math>\frac{1}{2} \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> 両辺を二乗しても大小関係は変わらないので :<math>\frac{1}{4} \leq \|xf(x)\|^2 \|f'(x)\|^2</math> これで示された。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''（補足）}} 等号成立の場合を調べてみる。 :<math>\frac{1}{2}=\left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| = \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|=\|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> CS不等式で等号のとき、 :<math>|\cos\theta|=1 \iff \theta=0^\circ, 180^\circ \iff</math>一次従属 :<math>\therefore f'(x)=\lambda xf(x)\quad (\lambda\in\mathbb{C})</math> また、2, 3項目より<math>\langle xf(x), f'(x) \rangle \in \mathbb{R}</math>なので<math>\lambda = c \in \mathbb{R}</math>であり、微分方程式 :<math>f'(x)=cxf(x)</math> を得る。これは変数分離形なので :<math>\frac{df}{f(x)}=cxdx</math> :<math>\ln|f(x)|=\frac{c}{2}x^2+A</math> :<math>f(x)=\pm e^{A}e^{\frac{c}{2}x^2}</math> ここで、<math>f \in L^2</math>より<math>c<0</math>が課される。<br> よって、不確定性関係で等号成立の場合はガウス型関数<math>f(x)=Ce^{-ax^2} \quad(C\neq0, a>0)</math>であることが分かる。 フーリエ変換の固有関数と異なるのは、ガウス関数の裾の広がり方を定める正数<math>a</math>の値が一つに定まらないことである。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf, #223)|title='''4'''}} :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> <math>f(x)</math>を逆フーリエ変換表記して :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi \right) \overline{\left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}\{\tau\zeta(x+\chi)\} d\zeta \right)}dx</math> フビニの定理を用いて<math>x\to\zeta\to\xi</math>の順に積分すると^※ :<math>=\iiint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}\{\tau(\xi-\zeta)x\}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi)d\xi d\zeta dx</math> :<math>=\iint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi) \left(\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{\tau(\xi-\zeta)x\} dx\right) d\xi d\zeta</math> :<math>=\iint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi) \delta(\xi-\zeta) d\xi d\zeta</math>（<math>\because1</math>のフーリエ変換） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\xi)}\mathrm{cis}(-\tau\chi\xi)d\xi</math>（<math>\because</math>デルタ関数の3番目の性質） :<math>=\int_{-\infty}^\infty |\tilde{f}(\xi)|^2\mathrm{cis}(-\tau\chi\xi)d\xi</math> よって<math>R(\chi)\leftrightarrow W(\xi)</math>// ※積分領域は自明なので省略した。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf, #223)|title='''5'''（相互相関関数）}} 二乗余弦波を<math>f(x)</math>, 両側指数波を<math>g(x)</math>とすると相互相関関数は :<math>R_{fg}(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> :<math>=A^2\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx</math> :<math>=\frac{A^2}{2}\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx+\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right)\exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx\right\}</math> :<math>=\frac{A^2}{2}\left[\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^{-\chi} \exp\left(\frac{x}{T}\right)dx+\int_{-\frac{T}{2}}^{-\chi} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right)\exp\left(\frac{x}{T}\right)dx\right\}+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)\left\{\int_{-\chi}^\frac{T}{2} \exp\left(-\frac{x}{T}\right)dx+\int_{-\chi}^\frac{T}{2} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right) \exp\left(-\frac{x}{T}\right)dx\right\}\right]</math> ここで<math>\int \cos axe^{px}dx = \frac{a\sin ax+p\cos ax}{a^2+p^2}e^{px}+C</math>を利用して :<math>=\frac{A^2T}{2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)\left\{\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\exp\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}\exp(-\frac{\chi}{T}) - \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{2}\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{2}\right)}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{1}{2}\right) \right\}</math> ::<math>+\frac{A^2T}{2}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)\left\{ \exp\left(-\frac{1}{2}\right) - \exp\left(\frac{\chi}{T}\right) + \frac{\tau\sin\left(\frac{\tau}{2}\right)-\cos\left(\frac{\tau}{2}\right)}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)-\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right) \right\}</math> :<math>=\frac{A^2T}{2}-\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)+\frac{A^2T}{2}\frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}-\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\frac{-1}{1+\tau^2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)</math> ::<math>+\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\frac{A^2T}{2}+\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\frac{1}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\frac{AT^2}{2}\frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)-\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}</math> :<math>=\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\left\{\frac{\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)}{1+\tau^2}+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right) - \exp\left( \frac{\chi}{T} \right) \right\} + \frac{A^2T}{1+\tau^2}\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)</math> :<math>=\frac{A^2T}{\sqrt{e}}\left\{ \frac{\cosh\left(\frac{\chi}{T}\right)}{1+\tau^2} - \sinh\left(\frac{\chi}{T}\right) \right\} + \frac{A^2T}{1+\tau^2}\cos\left(\frac{\tau}{T}\chi\right)</math> {{NavBottom}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] dais6zvrw7m2fdqno6sd7gm8hqry574 300221 300220 2026-06-08T05:11:48Z ~2026-33708-09 91711 /* フーリエ変換の性質 */ 300221 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 更に、周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると再右辺の式から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つことがわかる。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi_0</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>f</math>が実関数とする。 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がガウス型の関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(-\chi)</math>と畳み込みで表される。 :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>をフーリエ変換すると畳み込みのフーリエ変換より :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)\leftrightarrow\tilde{(\hat{f})}(\xi)\tilde{f}(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)\leftrightarrow\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> :ここから :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)=\int_{-\infty}^\infty W(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi\chi)d\xi</math> :なので、 :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(-\chi)=\int_{-\infty}^\infty W(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi\chi)d\xi = \text{ℱ}[W(\xi)](\chi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 <math>f</math>が実関数の場合、相互エネルギースペクトル密度は相互相関関数をそのままフーリエ変換するよりも以下の関係を使用した方が簡単である。 :<math>\text{ℱ}[R_{fg}(\chi)](\xi)=\tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{g}(-\xi)}</math> *証明 :<math>R_{fg}(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{g(y)}dy</math> :<math>f^\circ(y):=f(-y), h(y):=\overline{g(y)}</math>とすると :<math>=(f^\circ\ast{h})(\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[R_{fg}(\chi)]=\text{ℱ}[(f^\circ\ast{h})(\chi)](\xi)</math> :<math>=\tilde{f^\circ}(\xi)\tilde{h}(\xi)</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)\tilde{g}(-\xi)}</math> :<math>=\tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{g}(-\xi)}</math>// 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi{i} d\xi</math> :<math>\ln |f(\xi)| = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=\pm e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #プランシュレルの定理とコーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #<math>|\chi|<\frac{T}{2}</math>としたとき、(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2\frac{A}{T}}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2AT}{1+\tau^2T^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''2'''}} 周波数シフトの性質より :<math>f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi-\xi_0)</math> <math>\xi_0</math>を<math>-\xi_0</math>に置き換えて :<math>f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi+\xi_0)</math> <math>\cos\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta + \mathrm{cis}(-\theta)}{2}, \quad \sin\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta-\mathrm{cis}(-\theta)}{2i}</math>とフーリエ変換の線型性より<math>\leftrightarrow</math>の両辺をそれぞれ足し引きして整理すると :<math>f(x)\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)+\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>f(x)\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2i}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)-\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> ここで、<math>f</math>が定数関数<math>f(x)=A</math>のとき、 :<math>A\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2}\{\delta(\xi-\xi_0)+\delta(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>A\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2i}\{\delta(\xi-\xi_0)-\delta(\xi+\xi_0)\}</math> と求まる。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''}} <math>\|\cdot\|</math>は<math>L^2</math>空間でのノルムを表すものとする。則ち、内積を<math>\langle f(x), g(x) \rangle := \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} dx</math>として<math>\|f(x)\|=\sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}=\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx}</math>。<br> <math>E(X)=0</math>より :<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^\infty |xf(x)|^2dx = \|xf(x)\|^2</math> :<math>D_0(\tilde{f})=\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\tilde{f}(\xi)|^2d\xi = \int_{-\infty}^\infty |\xi\tilde{f}(\xi)|^2d\xi =\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2</math> ここで、<math>\xi\tilde{f}(\xi)</math>の逆フーリエ変換を考える。<br><math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow [ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>であるが仮定より<math>f</math>は絶対連続且つ<math>f, f' \in L^2</math>なので<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を満たし<math>\left(\because (|f|^2)' = 2\mathrm{Re}(f\overline{f}) \in L^1 \land |f|^2 \in L^1 \right)</math>、境界項が消えるので<math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>、則ち<math>\xi\tilde{f}(\xi)\leftrightarrow \frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)</math>。<br> よってプランシュレルの定理より :<math>D_0(\tilde{f})=\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2=\left\|\frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2=\frac{1}{\tau^2}\left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2</math> 故に、示すべき不等式は :<math>\|xf(x)\|^2 \left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2 \geq \frac{1}{4}</math> である。<br> 仮定より<math>1=\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx</math>であるが、右辺を部分積分すると<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)\in L^2</math>より<math>\lim_{|x|\to\infty}|f(x)|^2=0</math>なので境界項が消えて :<math>1=-\int_{-\infty}^\infty x\frac{d}{dx}|f(x)|^2dx</math> :<math>=-2\mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right)</math> 両辺の絶対値をとると :<math>\frac{1}{2} = \left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| \leq \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|</math> ここで、コーシー=シュワルツの不等式より内積の絶対値はノルムの積以下の値をとるので :<math>|\langle xf(x), f'(x) \rangle| \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> よって :<math>\frac{1}{2} \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> 両辺を二乗しても大小関係は変わらないので :<math>\frac{1}{4} \leq \|xf(x)\|^2 \|f'(x)\|^2</math> これで示された。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''（補足）}} 等号成立の場合を調べてみる。 :<math>\frac{1}{2}=\left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| = \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|=\|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> CS不等式で等号のとき、 :<math>|\cos\theta|=1 \iff \theta=0^\circ, 180^\circ \iff</math>一次従属 :<math>\therefore f'(x)=\lambda xf(x)\quad (\lambda\in\mathbb{C})</math> また、2, 3項目より<math>\langle xf(x), f'(x) \rangle \in \mathbb{R}</math>なので<math>\lambda = c \in \mathbb{R}</math>であり、微分方程式 :<math>f'(x)=cxf(x)</math> を得る。これは変数分離形なので :<math>\frac{df}{f(x)}=cxdx</math> :<math>\ln|f(x)|=\frac{c}{2}x^2+A</math> :<math>f(x)=\pm e^{A}e^{\frac{c}{2}x^2}</math> ここで、<math>f \in L^2</math>より<math>c<0</math>が課される。<br> よって、不確定性関係で等号成立の場合はガウス型関数<math>f(x)=Ce^{-ax^2} \quad(C\neq0, a>0)</math>であることが分かる。 フーリエ変換の固有関数と異なるのは、ガウス関数の裾の広がり方を定める正数<math>a</math>の値が一つに定まらないことである。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf, #223)|title='''4'''}} :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> <math>f(x)</math>を逆フーリエ変換表記して :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi \right) \overline{\left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}\{\tau\zeta(x+\chi)\} d\zeta \right)}dx</math> フビニの定理を用いて<math>x\to\zeta\to\xi</math>の順に積分すると^※ :<math>=\iiint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}\{\tau(\xi-\zeta)x\}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi)d\xi d\zeta dx</math> :<math>=\iint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi) \left(\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{\tau(\xi-\zeta)x\} dx\right) d\xi d\zeta</math> :<math>=\iint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi) \delta(\xi-\zeta) d\xi d\zeta</math>（<math>\because1</math>のフーリエ変換） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\xi)}\mathrm{cis}(-\tau\chi\xi)d\xi</math>（<math>\because</math>デルタ関数の3番目の性質） :<math>=\int_{-\infty}^\infty |\tilde{f}(\xi)|^2\mathrm{cis}(-\tau\chi\xi)d\xi</math> よって<math>R(\chi)\leftrightarrow W(\xi)</math>// ※積分領域は自明なので省略した。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf, #223)|title='''5'''（相互相関関数）}} 二乗余弦波を<math>f(x)</math>, 両側指数波を<math>g(x)</math>とすると相互相関関数は :<math>R_{fg}(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> :<math>=A^2\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx</math> :<math>=\frac{A^2}{2}\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx+\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right)\exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx\right\}</math> :<math>=\frac{A^2}{2}\left[\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^{-\chi} \exp\left(\frac{x}{T}\right)dx+\int_{-\frac{T}{2}}^{-\chi} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right)\exp\left(\frac{x}{T}\right)dx\right\}+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)\left\{\int_{-\chi}^\frac{T}{2} \exp\left(-\frac{x}{T}\right)dx+\int_{-\chi}^\frac{T}{2} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right) \exp\left(-\frac{x}{T}\right)dx\right\}\right]</math> ここで<math>\int \cos axe^{px}dx = \frac{a\sin ax+p\cos ax}{a^2+p^2}e^{px}+C</math>を利用して :<math>=\frac{A^2T}{2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)\left\{\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\exp\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}\exp(-\frac{\chi}{T}) - \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{2}\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{2}\right)}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{1}{2}\right) \right\}</math> ::<math>+\frac{A^2T}{2}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)\left\{ \exp\left(-\frac{1}{2}\right) - \exp\left(\frac{\chi}{T}\right) + \frac{\tau\sin\left(\frac{\tau}{2}\right)-\cos\left(\frac{\tau}{2}\right)}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)-\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right) \right\}</math> :<math>=\frac{A^2T}{2}-\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)+\frac{A^2T}{2}\frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}-\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\frac{-1}{1+\tau^2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)</math> ::<math>+\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\frac{A^2T}{2}+\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\frac{1}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\frac{AT^2}{2}\frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)-\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}</math> :<math>=\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\left\{\frac{\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)}{1+\tau^2}+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right) - \exp\left( \frac{\chi}{T} \right) \right\} + \frac{A^2T}{1+\tau^2}\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)</math> :<math>=\frac{A^2T}{\sqrt{e}}\left\{ \frac{\cosh\left(\frac{\chi}{T}\right)}{1+\tau^2} - \sinh\left(\frac{\chi}{T}\right) \right\} + \frac{A^2T}{1+\tau^2}\cos\left(\frac{\tau}{T}\chi\right)</math> {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf, #223)|title='''5'''（相互エネルギースペクトル密度）}} <math>f</math>は実関数なので :<math>\text{ℱ}[R_{fg}(\chi)](\xi)=\tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{g}(-\xi)}</math> を利用でき、更に<math>g</math>も実関数なので :<math>=\tilde{f}(\xi)\tilde{g}(-\xi)</math> ここで、(1-2), (1-3)の結果を用いて :<math>=\left\{\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)\right\} \cdot \frac{2AT}{1+\tau^2T^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{A^2T^2}{2} \cdot \frac{ \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + 2 \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)}{1+\tau^2T^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] 5k45z7mr4c6xswqzqnp84m2jps5urw9