Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.6 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 779 300422 285834 2026-06-15T08:57:00Z ~2026-35023-44 91765 /* 関数値の極限 */ 300422 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学III|pagename=極限|frame=1|small=1}} {{Wikiversity|Topic:極限|極限}} ここでは、極限に就て学ぶ。[[高等学校数学II/微分・積分の考え|微分・積分の考え]]では簡単な関数の極限に就て学んだが、ここでは数列の極限、更には無理関数や三角関数などの関数の極限に就て学ぶ。極限は微分積分の基礎となっており重要である。 数列<math>\{a_n\}</math> が有限個の項しか持たないとき、'''有限数列'''といい、項が限りなく続くとき'''無限数列'''という。ここでは無限数列を考えるので、断りがない場合は無限数列を単に数列と書くことにする。 == 数列の極限 == 数列 <math>\{a_n\}</math> において、項の番号 <math>n</math> が限りなく大きくなっていくとき、<math>a_n</math> がある一定の値 <math>\alpha</math> に限りなく近づいていくならば、数列 <math>\{a_n\}</math> は <math>\alpha</math> に'''収束'''（'''収斂'''）するといい、 :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha</math> または簡単に :<math>a_n\to\alpha \ (n\to\infty)</math> とかく。また、<math>\alpha</math> をこの数列の'''極限値'''という。 記号<math>\infty</math>は「無限大」と読み、限りなく大きい数（'''実数ではない'''ことに注意）を意味する。 他、数列<math>c, c, c, c, c, \cdots</math>のように、ある数列が<math>n</math>に依らず値が動かずに一定の値<math>c</math>を取るときも、この数列の極限値は<math>c</math>であると考え、<math>\lim_{n\to\infty}c=c</math>と書き表す。要するに、極限値を考えるときは <math>n\to\infty</math>のときに<math>a_n</math>がどのような値になっているかだけが問われている。 ;例題 :次の数列の極限値を求めよ。 :#<math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},\ldots</math> :#<math>2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots,\frac{n+1}{n},\ldots</math> ;解 :#分母が限りなく大きくなっていくため、項の値は次第に小さくなっていくが、nは常に正なので、項の値が負になることはなく、0に限りなく近づく。したがって :#:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math> :#式変形と1.の結果を用いると、 :#:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) =1+0=1</math> 数列には収束しないものがある。たとえば :<math>1,2,3,\ldots,n,\ldots,</math> :<math>3,-1,\ldots,7-4n,\ldots</math> のような数列は収束しない。収束しない数列は'''発散''' するという。発散する数列 <math>\{a_n\}</math> で <math>n\to\infty</math> のとき項 <math>a_n</math> の値が限りなく大きくなるときこの数列は'''正の無限大'''に発散するといい、「極限は正の無限大である」のようにいう。このことを次のように表す。 :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty</math> 逆に <math>n\to\infty</math> のとき、項 <math>a_n</math> が負の値でその絶対値が限りなく大きくなるときこの数列は'''負の無限大''' に発散するといい、「極限は負の無限大である」という。このことを次のように表す。 :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty</math> ;例題 :次の数列の極限を求めよ。 :#<math>1,4,\ldots,n^2,\ldots</math> :#<math>2,2,\ldots,3n-n^2,\ldots</math> ;解 :#<math>\lim_{n\to\infty}n^2=\infty.</math> :#<math>\lim_{n\to\infty}(3n-n^2)=-\infty.</math> 発散する数列には次のようなものもある。 :<math>-1,2,-3,\ldots,(-1)^n n,\ldots</math> :<math>1,-1,1,\ldots,-(-1)^n,\ldots</math> いずれの数列も正の無限大にも負の無限大にも発散しない。このとき、この数列の極限は'''振動'''するという。このときもこの数列には極限値が存在しない。 ;'''不定形''' <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty, \lim_{n\to\infty}b_n=\infty</math>のとき、<math>\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty, \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty, \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=0</math>は明らかに成り立つが、<math>\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n), \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}</math>の値は様々な場合がある。 例えば、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{2n-5}{n}=\lim_{n\to\infty} \frac{2-\frac{5}{n}}{1} = 2</math>であるが、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{3n+2}{4n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{2}{n}}{4+\frac{1}{n}}=\frac{3}{4}</math>と、両方とも分母分子がそれぞれ正の無限大に発散する数列であるが、その商の極限値は異なっている。 なお、<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\land\lim_{n\to\infty}b_n=\beta(>0) \implies \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty</math>が成り立つ。 一般に、<math>\pm\infty</math>でない状態の値を「有限」といい、有限である数値のことを「有限値」や「有限数」と呼ぶ。上の式を言い換えると、「正の無限大に正の有限値を掛けても正の無限大のままである」ということになる。 収束する数列には次のような性質がある。 数列<math>\{a_n\}</math>, <math>\{b_n\}</math> において, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha</math>, <math>\lim_{n\to\infty}b_n=\beta</math> とすると、 :#　<math>\lim_{n\to\infty}ka_n=k\alpha</math> （<math>k</math>は定数） :#　<math>\lim_{n\to\infty}\{a_n\pm b_n\}=\alpha\pm\beta</math> （複号同順） :#　<math>\lim_{n\to\infty}(ka_n \pm lb_n)=k\alpha \pm l\beta \; (k,l\in\mathbb{R}) </math> :#　<math>\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta</math> :#　<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}</math> （ただし、<math>\beta\not=0</math>）。 ;例題 :<math>\lim_{n\to\infty} a_n = 3</math> 、<math>\lim_{n\to\infty} b_n = 4</math> のとき、 :<math>\lim_{n\to\infty} ( a_n + b_n ) </math> を求めよ。 解 :<math>\lim_{n\to\infty} ( a_n + b_n ) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n = 3 + 4 = 7</math> :よって極限値は7である。■ 上述の収束する数列の性質の公式について、下記のように、分配法則のように lim を扱ってよい。 :*　<math>\lim_{n\to\infty}k a_n = k \lim_{n\to\infty}a_n = k\alpha</math> （<math>k</math>は定数） :*　<math>\lim_{n\to\infty}\{a_n\pm b_n\} = \alpha\pm\beta</math> （複号同順） つまり、上の最初の公式のように、 <math>n</math>と関係ない定数係数<math>k</math>は<math>\lim</math>の外側に出して良い。 また、上の次の公式のように複数の項の加減算の極限を取るときは、（各項が収束するならば）それぞれの項の極限をとってから加減算を行う結果と同じである。 :（このような性質を「線型性」という。詳細は[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#一次変換|こちら]]を参照。） ;有理化や不定形など 先ほど紹介したように、<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty, \lim_{n\to\infty}b_n=\infty</math>のとき<math>\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=\infty, \lim_{n\to\infty} a_nb_n</math>は明らかだが、<math>\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n), \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty</math>は<math>\{a_n\},\{b_n\}</math>によって異なった。 つまり、<math>\infty+\infty=\infty, \infty\cdot\infty=\infty</math>だが、<math>\infty-\infty. \frac{\infty}{\infty}</math>は一つに定まらないといえる。 このように、値が一つに定まらない<math>\infty-\infty, \frac{\infty}{\infty}</math>のような形を'''不定形'''という。 例えば、<math>\{a_n\}=\{9, 99, 999, 9999, \cdots\}, \{b_n\}=\{1, 11, 111, 1111, \cdots\}</math>としたとき、<math>\{a_n-b_n\}=\{8, 88, 888, 8888, \cdots\}</math>より<math>\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=\infty</math>である。 一方、 <math>\{b_n-a_n\}=\{-8, -88, -888, -8888, \cdots\}</math>より<math>\lim_{n\to\infty}=-\infty</math>である。 ほか、<math>\{b_n-b_n\}=\{0, 0, 0, 0, \cdots\}</math>より<math>\lim_{n\to\infty} \{b_n-b_n\}=0</math>である。 これらの例はいずれも<math>\lim_{n\to\infty} a_n = \infty, \lim_{n\to\infty} b_n=\infty</math>より<math>\infty-\infty</math>の不定形であるが、極限値は全く異なる様相を呈す（最後は同じ数列を引き算しているから当たり前の結果だが）。 不定形の計算法としては、パッと見の極限が不定形になる場合は、極限を求める前にうまく式変形をして、不定形にならないように式変形してから極限を求める（下記の「逆有理化」などと言われる計算法などを活用する）。 下記の例題で説明する。 ;例題 つぎの極限値を求めよ。 :#　<math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+4n+2}{3n^2+4}</math> :#　<math>\lim_{n\to\infty}(\sqrt{9n^2+2n}-3n)</math> :#　<math>\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}</math> ;解 :# 分母・分子ともに n² で割れば良く、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+4n+2}{3n^2+4} = \lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}{3+\frac{4}{n^2}} = \frac{1}{3} </math>となる。 :# 上記の問題で分数の場合が求まったので、その形に式変形していけばいい。このため、技巧的だが <math>\lim_{n\to\infty}(\sqrt{9n^2+2n}-3n) = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{9n^2+2n}-3n}{1}</math> と変形していき、続けて分子を下記のように逆有理化していけば、<br> <math>\lim_{n\to\infty}(\sqrt{9n^2+2n}-3n) = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{9n^2+2n}-3n }{1} = \lim_{ n\to\infty} \frac{(\sqrt{9n^2+2n})^2-(3n)^2 }{\sqrt{9n^2+2n} + 3n} </math> <br> <math> = \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\sqrt{9n^2+2n}+3n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{9+\frac{2}{n}}+3} = \frac{1}{3} </math> <br>と求まる. :# すべての <math>n</math> で、 ::::<math>-\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}</math> :::となり、 ::::<math>\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 </math> :::であるので、 ::::<math>\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0.</math> ; 例題 次の極限値を求めよ。 : 　<math>\lim_{n\to\infty} \frac{5n+3} {2n^2+1}</math> 解 分母・分子を<math>n</math>で割ればいい。 <math>\lim_{n\to\infty} \frac{5n+3} {2n^2+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{5 \frac{n}{n} + \frac{3}{n} } { 2 \frac{n^2}{n}+\frac{1}{n} } = \frac{5 + 0 } { 2 \lim n +0 } = 0 </math> である。よって極限値は 0 である。■ : （上の文数式中では<math>\lim_{n\to\infty}</math>をうまく表示できないので、分数中では<math>n\to\infty</math>を省略した。） このように、分母と分子の次数が違う場合は、約分や極限などによって次数の低い項がゼロに収束していくので、次数の高いほうの影響が大きくなる。たとえば上の例題では、分母の式が2次、分子の式が1次であるが、次数が高いのは分母のほうなので、よって分数全体の極限は 0 になる。 上の解法では一次の<math>n</math>で割ったが、代わりに二次の<math>n^2</math>で分母・分子を割る方法でも極限値を求める事が可能である。読者は練習問題として試してみよう。 一般に、多項式を<math>f(n), g(n)</math>として<math>\frac{f(n)}{g(n)}</math>という形で与えられた式の極限値は分母・分子を分母に含まれる<math>n^k</math>のうち最も次数の高いもので割ると極限値がスムーズに求まる。 分母や分子などに指数関数が入る場合は、検定教科書では微分積分の単元で扱う。 ==== 定理や原理など ==== ;定理 数列 <math>\{a_n\}</math>, <math>\{b_n\}</math> について、<math>n</math> が十分に大きいとき常に <math>a_n \leq b_n</math> を満たしていて、<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha</math> かつ <math>\{b_n\}</math> の極限値も存在するならば、 :<math>\alpha\leq \lim_{n\to\infty}b_n</math> となる。 ;証明 これを証明するためには、「限り無く近づく」という言葉の、数学的な意味を明確にする必要がある。初学者には難解な証明であるため、高校数学では直感的に成り立ちそうなことを理解してほしい。参考として、以下に証明の一例を挙げておく。 <math>\alpha>\lim_{n\to\infty}b_n</math>と仮定すると、<math>\alpha-\lim_{n\to\infty}b_n=\varepsilon'>0</math>である。 <math>b_n</math>は限りなく<math>\alpha-\varepsilon'/2</math>より小さい数に近づくから、<math>n</math>が十分大きいときは常に<math>b_n<\alpha-\varepsilon'/2</math>となる。 <math>a_n</math>は限りなく<math>\alpha</math>に近づくため、任意の正の数<math>\varepsilon</math>に対して、十分大きな数<math>N</math>であって、<math>n\geq N</math>ならば常に<math>\alpha-a_n < \varepsilon</math>が成り立つようなものが存在するはずである。いま、<math>a_n \leq b_n</math>であったから、十分大きな<math>n</math>では常に<math>b_n\geq\alpha-\varepsilon</math>となる。 <math>\varepsilon</math>は任意の正の数であったから、<math>\varepsilon=\varepsilon'/2</math>とすると、十分大きな<math>n</math>について矛盾する式が成立することになる。したがって、背理法により<math>\alpha\leq\lim_{n\to\infty}b_n</math>である。■ <small>興味を持った人は大学1年生程度を対象とする微分積分学の教科書を参照してほしい。例えば、[[解析学基礎]]など。</small> 次に、'''はさみうちの原理''' を紹介する。 例題で見たほうが早いので、例題を先に紹介。 例題 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{ \sin \frac{n }{4} \pi } {2n^2+1} </math> を求めよ。 解 不等号を使って極限値の範囲を狭めればよい。（後述する「はさみうちの原理」である） <math>n\in\mathbb{N}</math>なので、三角関数の基本性質により分子は :<math> -1 \leqq \sin \frac{n }{4} \pi \leqq 1 </math> である（三角関数 sin の絶対値は1以下である性質を利用した）。 これを例題の式と組み合わせれば、 :<math> \lim_{n\to\infty} \frac{ -1 } {2n^2+1} \leqq \lim_{n\to\infty} \frac{ \sin \frac{n }{4} \pi } {2n^2+1} \leqq \lim_{n\to\infty} \frac{ +1 } {2n^2+1}</math> と、挟まれる。極限を取っていけば、 <math>0 \leqq \lim_{n\to\infty} \frac{ \sin \frac{n }{4} \pi } {2n^2+1} \leqq 0</math> となり、極限は0しか取りえない。よって、極限値は 0 である。■ では、はさみうちの原理を一般例にまとめる。 ;はさみうちの原理 数列 <math>\{a_n\}</math>, <math>\{b_n\}</math>, <math>\{c_n\}</math> について、<math>n</math> が十分に大きいとき常に <math>a_n\leq b_n\leq c_n</math> を満たしていて、<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha</math> ならば、<math>\{b_n\}</math> の極限値も存在して、 :<math>\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha</math> となる。 ;証明 <math>\lim_{n\to\infty}b_n</math> が存在することは明らか。先の定理より、 :<math>\alpha \leqq \lim_{n\to\infty}b_n</math> かつ <math>\lim_{n\to\infty}b_n\leqq \alpha</math> であるので、実数の反対称性より :<math>\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha</math> が成立。■ ;例題 :<math>\theta</math>を任意の実数として<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sin n\theta</math>を求めよ。 ;解答 :<math>|\sin n\theta|\leqq 1</math>より<math>-\frac{1}{n}\leqq \frac{1}{n} \sin n\theta \leqq \frac{1}{n}</math>。 :ここで<math>\lim_{n\to\infty} (-\frac{1}{n})=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0</math>なので、 :はさみうちの原理より<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sin n\theta = 0</math> ; 追い出しの原理 実数の数列<Math>\{a_n\},\{b_n\}</Math>があり、全ての<Math>n</Math>について<Math>a_n \leqq b_n</Math>とする。 このとき、<Math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty</Math>ならば<Math>\lim_{n\to\infty}b_n=\infty</Math>である。 同様に、全ての<Math>n</Math>について<Math>a_n \geq b_n</Math>であり<Math>\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty</Math>ならば、 <Math>\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty</Math>である。 高校レベルでの証明はできないが、数列の各項を折れ線で結んだ<Math>a_n</Math>- <Math>n</Math>グラフを書くことで成り立つことが直感的に理解できる。 ==== 等比数列の極限 ==== 等比数列 <math>\{r^n\}</math> の極限について考えてみよう。 ;(i) <math>r>1</math> の場合： <math>r=1+h</math> とおくと、 :<math>r^n=(1+h)^n = 1+{}_n{\rm C}_1 h + {}_n{\rm C}_2 h^2 +\cdots+ {}_n{\rm C}_n h^n </math> であるので、 :<math>r^n\geq 1+nh</math>。 したがって、<math>n\to\infty</math> のとき、<math>1+nh\to\infty</math> だから、追い出しの原理より :<math>\lim_{n\to\infty}r^n=\infty</math>。 ;(ii) <math>r=1</math> の場合： <math>1</math> は何乗しても <math>1</math> だから、 :<math>\lim_{n\to\infty}r^n=1</math>。 ;(iii) <math>|r|<1</math> の場合： <math>r=0</math> ならばあきらかに、 :<math>\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>。 <math>r \ne 0</math>のとき、<math>|r|^{-1}>1</math>だから、(i) より :<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{|r|^n}=\infty</math>。 したがって、 :<math>\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>。 ;(iv) <math>r=-1</math> の場合： <math>r^n</math> は<math>n</math> が奇数の場合 <math>-1</math>、 <math>n</math> が偶数の場合 <math>1</math> となるので振動する。 ;(v) <math>r<-1</math> の場合： <math>|r|>1</math> より、 :<math>\lim_{n\to\infty}|r|^n=\infty</math> となるが、<math>r^n</math> は <math>n</math> が奇数の場合 <math>r^n<0</math>、 <math>n</math> が偶数の場合 <math>r^n>0</math> となるので振動する。 まとめると、次のようになる。 '''収束''' :*<math>|r|<1</math> のとき、<math>\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>。 :*<math>r=1</math> のとき、<math>\lim_{n\to\infty}r^n=1</math>。 '''発散''' :*<math>r>1</math> のとき、<math>\lim_{n\to\infty}r^n=\infty</math>。 :*<math>r\leq -1</math> のとき、<math>\lim_{n\to\infty}r^n</math> は存在しない。 ;例題 一般項が次のように表される数列の極限について調べ、極限値があるならばこれを求めよ。 :#<math>\frac{2^n+4^n}{3^n}.</math> :#<math>\frac{5^n+7^n}{5^n+(-7)^n}.</math> :#<math>\frac{1+4^n}{1-4^n}.</math> :#<math>\frac{3^n}{2\cdot 3^{n-1}+2^n}.</math> ;解 :#<math>\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+4^n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{4}{3}\right)^n\right\}=\infty.</math> :#<math>n</math> が偶数ならば常に、<math>\frac{5^n+7^n}{5^n+(-7)^n}=1</math> となり、奇数ならば <math>\frac{5^n+7^n}{5^n-7^n}</math> となる。この二つの数列の極限が等しければよいが、<math> \lim_{n\to\infty}\frac{5^n+7^n}{5^n-7^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{5}{7}\right)^n+1}{\left(\frac{5}{7}\right)^n-1} = -1 </math> であるので等しくない。したがって、数列 <math> \left\{\frac{5^n+7^n}{5^n+(-7)^n}\right\} </math> の極限は振動する。 :#<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1+4^n}{1-4^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^n+1}{\left(\frac{1}{4}\right)^n-1} =-1. </math> :#<math>\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2\cdot 3^{n-1}+2^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^n} = \frac{3}{2}. </math> ==== 無限級数の和 ==== 数列 <math>\{a_n\}</math> の第 <math>n</math> 項までの和を <math>S_n</math> と表すことにする。則ち、 :<math>S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k</math>。 このとき、<math>\{S_n\}</math> は数列の一種と見做すことができる。このように、ある数列の初項から第 <math>n</math> 項までを順番に足してできる数列を'''級数''' という。もとの数列 <math>\{a_n\}</math> が無限数列である場合、級数 <math>\left\{\sum_{k=1}^n a_k\right\}</math> も無限に項を持つことになる。このような級数を'''無限級数''' という。以下、単に級数というときは無限級数であるとする。 数列 <math>\{a_n\}</math> において、初項から第 <math>n</math> 項までの和を第 <math>n</math> '''部分和'''という。<math>\{a_n\}</math> から作られる級数の第 <math>n</math> 部分和　（つまり、<math>\{a_n\}</math>の初項から第ｎ項までの和）を <math>S_n</math> と表すことにし、この級数<math>\{S_n\}</math> の極限値が <math>S</math> であるとき、<math>S_n</math> は <math>S</math> に収束するといい、<math>S</math> を級数の'''和'''という。このことを次のように表す。 :<math>S=\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_n </math> または :<math>a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots = S</math> または :<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n = S</math> <small>2番目の表記はシグマ記号を使わない分直感には訴えやすい面もあるが、注意深く表記しないと「…」の指すものがはっきりしないため、あまり好ましくない。</small> 数列 <math>\{S_n\}</math> が発散するときこの級数は発散するという。 ;例題 つぎの級数の極限について調べ、和が存在するならば求めよ。 :#<math>\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n\cdot (n+1)} + \cdots. </math> :#<math>\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \cdots + \frac{2n-1}{2n}+\cdots. </math> :#<math>\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} + \cdots. </math> ;解 :#<math>\sum_{n}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1. </math> :#<math>\frac{2n-1}{2n}\geq \frac{1}{2}</math> であるから、<math> \sum_{n}^\infty \frac{2n-1}{2n} \geq \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2} = \infty </math>。 :#:したがって級数 <math>\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{2n-1}{2n}+\cdots</math> は発散する。 :#<math>\sum_{n}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \sum_{n}^\infty \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) = \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-1) = \infty. </math> ;定理 数列 <math>\{a_n\}</math> から作られる級数 <math>S_n</math> が収束する必要条件は、 :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math> である。 ;証明 <math>\alpha \ne 0</math> とし、<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha</math>とする。<math>n>1</math> のとき、 :<math>a_n=S_{n}-S_{n-1}</math> となるので、 :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(S_{n}-S_{n-1})=\alpha</math>。 しかし、<math>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S</math> であるから、これは矛盾。したがって、<math>\alpha=0</math> でなくてはならない。■ 逆に、<math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math> であっても、<math>\sum_n^\infty a_n</math> が収束するとは限らない。 この定理の対偶をとった「<math>\lim_{n\to\infty}a_n\neq0 \implies \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>が発散」は常に成り立つ。 ==== 無限等比級数の和 ==== 初項が <math>a</math> で公比が <math>r</math> の数列から作られる級数を'''無限等比級数''' または単に'''等比級数'''という。 等比級数の収束・発散について考えてみよう。この等比級数の第 <math>n</math> 部分和は、 :<math>S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}</math> となる。 ;(i) <math>a=0</math> の場合： すべての<math>n</math> で<math>a_n=0</math>となるから、 :<math>\lim_{n\to\infty}S_n=0</math>。 ;(ii) <math>a \ne 0</math> の場合： <math>|r| < 1</math> とすると、 :<math>S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}</math> であるから、 :<math>\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}</math>。 <math>r>1</math> または <math>r\leq -1</math> のときは、<math>\{ar^{n-1}\}</math> は発散するから、<math>\{S_n\}</math> は発散する。また、<math>r=1</math>のときは、 :<math>\lim_{n\to\infty}ar^{n-1}=a \ne 0</math> であるから、先の定理より <math>\{S_n\}</math> は発散する。 このことは次のようにまとめられる。 <math>a \ne 0</math> のとき、初項 <math>a</math>, 公比 <math>r</math> の等比級数は *<math>|r|<1</math> のとき収束し、 *:<math>a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots = \frac{a}{1-r}</math>。 *<math>|r|\geq 1</math> のとき発散する。 ;例題 次の等比級数の極限について調べ、収束するものについてはその和を求めよ。 :#<math>1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{8}+\cdots</math> :#<math>(\sqrt{3}-2)-1+(-\sqrt{3}-2)+\cdots</math> :#<math>100-50+25-\cdots</math> ;解 :#与えられた数列は公比が<math>\left|-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|<1</math> であるので収束する。その和は、<math>\sum_{n}^\infty \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=4-2\sqrt{3}</math>。 :#与えられた数列は公比が<math>\sqrt{3}+2>1</math> であるので発散する。 :#与えられた数列は公比が<math>-\frac{1}{2}</math> であるので収束する。その和は、<math>\sum_{n}^\infty 100\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{200}{3}</math>。 先程の極限の和の性質から、以下を得る。 :<math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S, \sum_{n=1}^\infty b_n=T</math>のとき、<math>\sum_{n=1}^{\infty} (ka_n+lb_n)=kS+lT</math>（線型性） *問題 :無限級数<math>\sum_{n=1}^{\infty} x(1-x)^{2(n-1)}</math>が収束するxの範囲を示し、その和を求めよ。 ====無限級数の応用==== 数直線上の点が規則的な反復運動を続けるとき、その点が近づいていく座標は無限級数の極限として表される（点列の極限）。 ;例題 :数直線上で点<math>\mathrm{P}</math>が原点<math>\mathrm{O}</math>から出発して、正の向きに1だけ進み、次に負の向きに<math>\frac{1}{5}</math>だけ進む。更に正の向きに<math>\frac{1}{5^2}</math>だけ進み、次に負の向きに<math>\frac{1}{5^3}</math>だけ進む。このような運動を限りなく続けるとき、点Pが近づいていく点の座標を求めよ。 ;解 :点<math>\mathrm{P}</math>の座標の推移は次の通りである。 ::<math>1, 1-\frac{1}{5}, 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}, 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{5^3},\cdots</math> :近づいていく点の座標を<math>x</math>と置くと、<math>x=\sum_{n=1}^{\infty} 1\cdot(-\frac{1}{5})^{n-1}</math>と表される。 :<math>|-\frac{1}{5}|\leqq1</math>より、この無限等比級数は収束して、 :<math>x=\frac{1}{1-(-\frac{1}{5})}=\frac{5}{6}</math>である。 :故に、点<math>\mathrm{P}</math>が近づいていく点の座標は<math>\frac{5}{6}</math>である。 この考え方は各成分を独立に考えることで一般の空間に拡張できる。 無限等比級数の考えを用いれば、循環小数を分数に直すことができる。 例えば、<math>0.3\dot{5}\dot{4}</math>は<math>0.3+0.054+0.00054+0.0000054+\cdots</math>と展開できる。右辺の第二項以降は初項<math>0.054</math>, 公比<math>0.01</math>の無限等比級数であり、<math>|0.01|<1</math>より収束して<math>0.3\dot{5}\dot{4}=0.3+\frac{0.054}{1-0.01}=\frac{3}{10}+\frac{0.054}{0.99}=\frac{3}{10}+\frac{54}{990}=\frac{297}{990}</math>と求まる。 この考え方をすることにより、<math>\frac{1}{3}=0.\dot{3}, 0.\dot{9}=1</math>というよくよく考えてみたら不思議な等式の正当性を一旦は担保できたことになる。ただし、上の考え方では「無限等比級数<math>\sum_{n=1}^{\infty}0.9(0.1)^n (=0.\dot{9})</math>が1に収束する」ことを示したのであって、厳密には「<math>0.\dot{9}</math>という数が<math>1</math>に等しい」ことを示したとは言えない。これを示すには実数や極限の厳密な定義から理論を精緻に組み立てる必要があり、そのような理論は高校範囲外である。 *応用問題 #<math>a_1=1, a_2=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_n</math>という隣接三項間漸化式で定められる数列<math>\{ a_n \}</math>の一般項を求め、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math>を求めよ。 #一周の長さが<math>a</math>の<math>\triangle \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1</math>の各辺の中点を頂点とする<math>\triangle \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\mathrm{R}_2</math>を考える。<math>\triangle \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\mathrm{R}_2</math>の各辺の中点を頂点とする<math>\triangle \mathrm{P}_3\mathrm{Q}_3\mathrm{R}_3</math>、そのまた各辺の中点を頂点とする<math>\triangle \mathrm{P}_4\mathrm{Q}_4\mathrm{R}_4 \cdots</math>と考えたとき、<math>\triangle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{R}_n</math>までの周の長さの総和<math>l_n</math>を<math>n</math>で表し、<math>\lim_{n\to\infty}l_n</math>を求めよ。 #（難）<math>x, y\in \mathbb{R} (x \neq y)</math>について、<math>a_1, a_{n+1}=xa_n+y^n</math>で定められる数列<math>\{a_n\}</math>の極限が有限の値に収束するような<math>(x,y)</math>の描く領域を座標平面上に図示せよ。 #（難）連立不等式<math>\begin{cases} 0 \leqq x \leqq 3n \\ 0 \leqq 3y \leqq 2x+3 \end{cases} (n \in \mathbb{N})</math>の表す領域内の[[高等学校数学A/数学と人間の活動#座標の考え方|格子点]]の個数を<math>a_n</math>、領域の面積を<math>S_n</math>としたとき、<math>\lim_{n\to\infty}n(\frac{a_n}{S_n}-1)</math>を求めよ。 == 関数とその極限 == === 分数関数と無理関数 === ==== 分数関数 ==== <math>y= \frac{1}{x}\ ,\ y= \frac{2x-1}{x-1}</math>のように、xの分数式で表される関数をxの'''分数関数'''という。 <math>y= \frac{k}{x}</math>のグラフは'''（直角）双曲線'''で、原点に関して対称である。双曲線<math>y= \frac{k}{x}</math>の漸近線は、x軸とy軸である。 関数<math>y= \frac{k}{x-p} +q</math>のグラフは、関数<math>y= \frac{k}{x}</math>のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したもので、漸近線は2直線<math>x=p\ ,\ y=q</math>である。 ;例題 分数関数<math>y= \frac{2x+3}{x+1}</math>のグラフの漸近線の方程式を求めよ。 ;解 :<math>y= \frac{2x+3}{x+1} = \frac{1}{x+1} +2</math> ゆえに、この関数のグラフは、双曲線<math>y= \frac{1}{x}</math>をx軸方向に-1、y軸方向に2だけ平行移動したものである。 漸近線の方程式は<math>x=-1\ ,\ y=2</math>である。 ==== 無理関数 ==== <math>\sqrt{x}\ ,\ \sqrt[3]{3x-8}</math>のように、根号の中に文字を含む式を'''無理式'''といい、変数xの無理式で表される関数をxの'''無理関数'''という。 <math>y= \sqrt{x}</math>のグラフについて考える。 <math>y= \sqrt{x}</math>の定義域は<math>x \ge 0</math>、値域は<math>y \ge 0</math>である。 <math>y= \sqrt{x}</math>の両辺を2乗すると、<math>y^2 = x</math>、すなわち :<math>x = y^2</math> <math>x = y^2</math>のグラフは原点を頂点とし、x軸を対称軸とする放物線である。 <math>y= \sqrt{x}</math>では<math>y \ge 0</math>であるから、<math>y= \sqrt{x}</math>のグラフは<math>x = y^2</math>のグラフの上半分である。 無理関数<math>y= \sqrt{ax+b}</math>について、 :<math>\sqrt{ax+b} = \sqrt{a \left(x + \frac{b}{a} \right)}</math> であるから、無理関数<math>y= \sqrt{ax+b}</math>のグラフは、<math>y= \sqrt{ax}</math>のグラフをx軸方向に<math>- \frac{b}{a}</math>だけ平行移動したものである。 ;例題 無理関数<math>y= \sqrt{-2x-6}</math>のグラフは<math>y= \sqrt{-2x}</math>のグラフをどのように平行移動したものか。 ;解 :<math>y= \sqrt{-2x-6} = \sqrt{-2(x+3)}</math> ゆえに、この関数のグラフは、<math>y= \sqrt{-2x}</math>をx軸方向に-3だけ平行移動したものである。 なお、分母がn次式である分数関数を'''n次分数関数'''、根号の中がn次式である無理関数を'''n次無理関数'''と呼ぶ場合がある。また、高校で扱う整関数・三角関数・指数関数・対数関数・分数関数・無理関数及びそれらの逆関数を総称して'''初等関数'''と呼ぶ。 === 合成関数と逆関数 === ==== 合成関数 ==== 二つの関数 <math>f(x)</math> と <math>g(x)</math> が与えられたとき、 <math>f(g(x))</math> という新しい関数を考えることができる。たとえば <math>f(x)=x^2+x+2</math>, <math>g(x)=x+1</math> とすると、 :<math>f(g(x))=\{g(x)\}^2+g(x)+2=x^2+3x+4</math> 一般に二つの関数 <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math> が与えられたとき、関数 <math>f(g(x))</math> や <math>g(f(x))</math> を <math>f(x)</math> と <math>g(x)</math> の'''合成関数'''という。合成関数 <math>f(g(x))</math> を <math>(f\circ g)(x)</math> と書くことがある。 また、<Math>(f\circ f)(x)=f^2(x)</Math>、<Math>(f^2\circ f)(x)=f^3(x)</Math>のように、<Math>f(x)</Math>同士を<Math>n</Math>回合成した関数を<Math>f^n(x)</Math>と表すことがある。ただし、三角関数（と[[高等学校数学C/平面上の曲線#二次曲線の媒介変数表示|双曲線関数]]）に限って<Math>f^n (x)</Math>は<Math>\{f (x)\}^n</Math>を意味するので注意。また、[[高等学校数学III/微分法#高次導関数|多階微分]]の記法<Math>f^{(n)} (x)</Math>とも混同しないよう注意が必要である。 ;例題 <math>f(x)=x^2-1</math>, <math>g(x)=\frac{x}{x+1}</math> のとき、合成関数 <math>(f\circ g)(x)</math> と <math>(g\circ f)(x)</math> を求めよ。 ;解 :<math>(f\circ g)(x)=\left(\frac{x}{x+1}\right)^2-1=-\frac{2x+1}{x^2+2x+1}</math> :<math>(g\circ f)(x)=\frac{x^2-1}{x^2-1+1}=\frac{x^2-1}{x^2}</math> この例題のように、一般に <math>(f\circ g)(x)</math> と <math>(g\circ f)(x)</math> は等しくない（関数の合成は非可換）。 ==== 逆関数 ==== 関数 <math>f(x)</math> と関数 <math>g(x)</math> が与えられて、 :<math>(f\circ g)(x)=x</math> :<math>(g\circ f)(x)=x</math> を定義域内の全ての <math>x</math> で満たすとき、<math>g(x)</math> を <math>f(x)</math> の逆関数といい、 :<math>g(x)=f^{-1}(x)</math> と表す。 ;例題 <math>f(x)=x^n (x\geq 0)</math> の逆関数 <math>f^{-1}(x)</math> を求めよ。 ;解 <math>y=f(x)</math> とおいて <math>x</math> について解くと、 :<math>x=\sqrt[n]{y}</math> となる。したがって、<math>f^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}</math>。 この例題のように、ある関数 <math>f(x)</math> の逆関数 <math>f^{-1}(x)</math> を求めるには <math>x</math> について解いて <math>x</math> と <math>y</math> を入れ替えればよい。 ちなみに、逆関数の記法<math>{}^{-1}</math>は「関数の逆元」と考えることができるほか、合成関数のnを負の整数に拡張したものの基本形とも捉えられる。 {{コラム|「関数」の語源| 関数の記号として数学では、よく <math>f</math>を使うが、これは関数が英語で function （ファンクション）ということに由来している。 中国語で function を音訳すると「函数」になるので、日本でも第二次世界大戦が終わるまでは「函数」の字を使っていた。 しかし、戦後の漢字改革により、「函」の字が当用漢字でなくなった事により、「関」は発音が同じことと、「関係している」の意味も兼ねて、functionの日本語訳として 「関数」 と書かれるようになった。 なお「函館（旧:箱館）」という地名から判るように、「函」の意味は「箱」に同じである。日本語でも「郵便ポストにハガキを投函する」などと言うが、その「函」の字である。このことから、関数の概念を教わる際に「ブラックボックス」を用いて説明される場合がある。 }} 次に逆関数が存在する条件について考えてみよう。逆関数も関数であるから(逆関数の)定義域に含まれるすべての <math>x</math> で <math>f^{-1}(x)</math> が一意に定まらなくてはならない。すなわち、 <math>y=f(x)</math> において、定義域の <math>x</math> と値域の <math>y</math> のどちらかを定めるともう片方が一意に定まるような関数でなくてはならない。このことを関数 <math>f(x)</math> が'''全単射'''である、または'''一対一 対応'''であるという。関数 <math>f(x)</math> が全単射であることは <math>f(x)</math> に逆関数が存在することの必要十分条件である。 詳しくは大学で'''写像'''の概念と共に学ぶ。 === 関数値の極限 === ある関数 <math>f(x)</math> において、<math>x</math> が定数 <math>a_1</math> より小さい値をとりながら <math>a_1</math> に限りなく近づくときの関数 <math>f(x)</math> の値が一定の値 <math>b_1</math> に限りなく近づくとき、 <math>f(x)</math>の'''左極限値（左側極限）'''は <math>b_1</math> であるといい、 :<math>\lim_{x\to a_1-0}f(x)=b_1</math> と表す。同様に <math>x</math> が定数 <math>a_2</math> より大きい値をとりながら <math>a_2</math> に限りなく近づくときの関数 <math>f(x)</math> の値が一定の値 <math>b_2</math> に限りなく近づくとき、 <math>f(x)</math> の'''右極限値（右側極限）'''は <math>b_2</math> であるといい、 :<math>\lim_{x\to a_2+0}f(x)=b_2</math> と表す。 右側極限と左側極限を合わせて'''片側極限'''と呼ぶ。 なお、<math>a_1+0</math>や<math>a_2-0</math>を略記して<math>a^+_1</math>や<math>a^-_2</math>と表す場合もある。 ここで、 :<math>a=a_1=a_2</math> かつ :<math>b=b_1=b_2</math> であるとき、すなわち<math>a</math> における左極限値と右極限値が等しいとき <math>f(x)</math> は <math>b</math> に'''収束（収斂）する'''といい、<math>b</math> をそのときの<math>f(x)</math> の'''極限値'''という。このことを、 :<math>\lim_{x\to a}f(x)=b</math> と表す。 <math>x \to a</math>のとき、 <math>f(x)</math> が限りなく大きくなるならば、 <math>f(x)</math> は'''正の無限大に発散する'''といい、<math>\lim_{x\to a}f(x)= \infty</math> と書く。 <math>x \to a</math>のとき、 <math>f(x)</math> が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるならば、 <math>f(x)</math> は'''負の無限大に発散する'''といい、<math>\lim_{x\to a}f(x)= - \infty</math> と書く。 xを限りなく大きくするとf(x)がある値aに限りなく近づくとき :<math>\lim_{x\to \infty}f(x)= a</math> と、xを負の値をとりながら限りなく絶対値を大きくするとf(x)がある値aに限りなく近づくとき、 :<math>\lim_{x\to -\infty}f(x)= a</math> と書き、それぞれ正の無限大における極限値、負の無限大における極限値という。 なお、数列の場合と同様にはさみうちの原理、追い出しの原理が成り立つ。 ==== 関数の連続性 ==== ある関数 <math>f(x)</math> が定義域内の点 <math>a</math> で連続であるとは、 その関数<math>f(x)</math>のグラフが<math>x=a</math>の近傍で途切れることなく続いていることを意味する。数式で表すと次のようになる。 :<math>\lim_{x\to a}f(x)=f(a)</math> であることをいう。また、ある区間で <math>f(x)</math> が連続であるとは、区間内のすべての点で連続であることをいう。 くどいかもしれないが、上式は左辺の極限値が存在して、かつ右辺と一致するということを意味する。左辺の極限値が存在しない場合はf(x)は連続ではない。 また、<Math>a</Math>が定義域の左端・右端に位置する場合、点<Math>(a, f(a))</Math>で関数が連続である条件はそれぞれ、 :左端： <Math>\lim_{x\to a+0}f(x) = f(a) </Math> :右端： <Math>\lim_{x\to a-0}f(x) = f(a) </Math> となる。 関数<Math>f(x),g(x)</Math>が定義域に含まれる値<Math>a</Math>で連続であるとき、以下の関数も<Math>x=a</Math>で連続である。 * <Math>kf(x)+lg(x)</Math> * <Math>f(x)g(x)</Math> * <Math>\frac{f(x)}{g(x)}</Math> ==== 連続関数 ==== <Math>f(x)</Math>が定義域に含まれる全ての<Math>x</Math>について連続であるとき、<Math>f(x)</Math>を'''連続関数'''と呼ぶ。一般に、初等関数は連続関数である。 なお、以下のような場合には注意が必要である。 一次分数関数<Math>y=\frac{1}{x}</Math>のグラフは<Math>x=0</Math>において途切れているが、<Math>x=0</Math>はこの関数の定義域に含まれないため連続関数か否かの議論には関係ない。 区間について、以下のように定める。 * 区間<Math> a \leq x \leq b </Math>を'''閉区間'''と呼び、<Math>[a, b]</Math>と表す。 * 区間<Math> a < x < b </Math>を'''開区間'''と呼び、<Math>(a, b)</Math>と表す。 * <Math>a \leq x < b , a < x \leq b </Math>のような区間を'''半開区間'''と呼び、<Math>[a, b) , (a, b] </Math>のように表す。 * <Math> a < x, x \leq b </Math>のような区間も<Math>(a, \infty) , (-\infty , b]</Math>のように表すこととする。このとき、<Math>\infty</Math>を含む部分は必ず小括弧()で囲むことに注意。 ある区間を<Math>f(x)</Math>の定義域と考えたとき、区間に含まれる全ての点において<Math>f(x)</Math>が連続ならば<Math>f(x)</Math>はその'''区間で連続'''であるという。 一般に、次の定理が成り立つ。 '''ワイエルシュトラスの極値定理'''（'''最大値最小値定理'''） 閉区間で連続な関数は、その閉区間で最大値・最小値を持つ 開区間で連続な関数は、その開区間に最大値・最小値を持つことも持たないこともある。 関数<Math>f(x)</Math>が閉区間<Math>[a,b]</Math>で連続ならば、この区間においてそのグラフには切れ目がなく、さらに<Math>f(a) \neq f(b)</Math>ならば<Math>f(x)</Math>は<Math>f(a)</Math>と<Math>f(b)</Math>の間の全ての値を取る。よって、次の定理が成り立つ。 '''中間値の定理（Ⅰ）''' 関数<Math>f(x)</Math>が閉区間<Math>[a,b]</Math>で連続かつ<Math>f(a) \neq f(b)</Math>ならば、<Math>f(a)</Math>と<Math>f(b)</Math>の間の任意の定数<Math>k</Math>に対し、<Math>f(c)=k</Math>を満たす実数<Math>c</Math>が、<Math>a</Math>と<Math>b</Math>の間に少なくとも一つ存在する。 '''中間値の定理（Ⅱ）''' 関数<Math>f(x)</Math>が閉区間<Math>[a,b]</Math>で連続かつ<Math>f(a)</Math>と<Math>f(b)</Math>が異符号ならば、方程式<Math>f(x)=0</Math>は<Math>a < x < b </Math>の範囲に少なくとも一つの実数解を持つ。 ==== 三角関数と極限 ==== [[File:Limit sin x x relabeled.svg|thumb|500px|左の証明のイメージ<br>左の証明において、<math>\theta</math>に変えて<math>x</math>とし、<br>[三角形OAB]、[扇形OAB]、[三角形OAB']は、各々、<br>[三角形OAP]、[扇形OAP]、[三角形OAQ]とする。]] 三角関数については、次が成り立つことが基本的である。 :<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> ;証明 まず :<math>\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> を示す。 半径1、中心角θの扇形を考える。後にθ→+0とするので0＜θ＜π/2としてよい。 扇形OABの面積は、θ/2となる。 また、三角形OABを考えると、その面積は :<math>\frac{\sin \theta}{2}</math> となる。 さらに、点Aを通る辺OAの垂線と、半直線OBとの交点をB'とすると、三角形OAB'の面積は、 :<math>\frac{\tan \theta}{2}</math> となる。 ここで、図から明らかに、面積について以下の不等式が成り立つ。 [三角形OAB]＜[扇形OAB]＜[三角形OAB'] 即ち :<math>0< \frac{\sin \theta}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{\tan \theta}{2}</math> :0＜sinθ＜θ＜tanθ 逆数をとって各辺にsinθを掛けると、 :<math>\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1</math> いま、 :<math>\lim_{\theta\to +0}\cos \theta=1</math> より、はさみうちの原理から、 :<math>\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> が示された。 また、θ＜0のときは、 :<math>\frac{\sin \theta}{\theta}=\frac{-\sin \theta}{-\theta}=\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}</math> を考えると、いま-θ＞0であり、かつθ→-0のとき-θ→+0であるから、上の結果を使うことができて、これにより、 :<math>\lim_{\theta\to -0}\frac{\sin \theta}{\theta}=\lim_{-\theta\to +0}\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}=1</math> となる。以上より、 :<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> が成り立つ。■ ==== 指数・対数関数と極限 ==== 指数・対数関数に関して、次が成り立つ :a>1のとき、<math>\lim_{x\to\infty}a^x=\infty,\lim_{x\to-\infty}a^x=0</math> :0<a<1のとき、<math>\lim_{x\to\infty}a^x=0,\lim_{x\to-\infty}a^x=\infty</math> :a>1のとき、<math>\lim_{x\to\infty}\log_ax=\infty,\lim_{x\to+0}\log_ax=-\infty</math> :0<a<1のとき、<math>\lim_{x\to\infty}\log_ax=-\infty,\lim_{x\to+0}\log_ax=\infty</math> また、自然対数は[[高等学校数学III/微分法]]で導入されるが、自然対数については、次が成り立つ。 :<math>\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1</math> ;証明 [[w:ネイピア数]]<math>e</math>の定義より、<math>\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e</math>。これの両辺の自然対数をとって<math>\lim_{n\to\infty}n\log(1+\frac{1}{n})=\log e=1</math>。ここで、<math>x=\frac{1}{n}</math>とすると、<math>n\to\infty</math>で<math>x\to0</math>なので、<math>\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1</math>となる。■ また、これを用いてネイピア数<math>e</math>については、次が導かれる。 :<math>\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1</math> ;証明 <math>\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1</math>の関係式で、<math>e^t=1+x</math>とおくと、<math>x\to0</math>のときに<math>t\to0</math>となり、<math>\frac{\log(e^t)}{e^t-1}=\frac{t}{e^t-1}\to1(t\to0)</math>。 両辺の逆数をとり、tをxに書き換えると、 <math>\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1</math>となる。■ == 演習問題 == 次の極限を求めよ # <math> \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}</math> # <math> \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}</math> # <math> \lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-1}{x}</math> :4. 半径がそれぞれ1, rの同心円C₁, C₂がある。円C₁, C₂両方に接するような円をできるだけたくさん描く。ただし、rは0 < r < 1を満たし、どの円も両隣の円と外接しているものとする。描いた円の円周の長さの総和を<math>L(r)</math>とするとき、<math>\lim_{r \to 1} L(r)</math>を求めよ。(2020年信州大 改題) *解答 #<math>\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \times \frac{1}{\cos 0} = 1</math> #<math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^2 \cdot \frac{1}{1+\cos x} = 1 \times \frac{1}{ 1 + \cos 0} = \frac{1}{2}</math> #<math>\lim_{x \to 0} \frac{x^{3x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{e^{3x}-1}{3x} = 3 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t -1}{t} = 3 \times 1 = 3</math> # n個の円が描けたとする。条件よりn個の円は全て合同で、その直径は<math>1-r</math>である。それぞれの円の中心を結んだ距離は<math>1-r</math>なので、n個の円の頂点を結んだ図形は一辺の長さが<math>1-r</math>の正n角形である。この正n角形は円C₁よりも内側かつ円C₂よりも外側に存在するので、正n角形の周の長さは円C₁の円周より長く円C₂の円周より短い。よって、<math>2\pi r < n(1-r) < 2\pi</math>が成り立つ。一つの円の円周は<math>\pi (1-r)</math>なので、<math>L(r) = n \pi (1-r)</math>であり<math>2 \pi^2 r < L(r) < 2\pi^2</math>が成り立つ。<math>\lim_{r \to 1} 2\pi^2 r = 2\pi^2</math>なので、はさみうちの原理より<math>\lim_{r \to 1} L(r) = 2\pi^2</math>である。 * [[高等学校数学III 極限 演習A|演習問題A]] * [[高等学校数学III 極限 演習B|演習問題B]] == [コラム]よく有る疑問とその回答 == === 極限値の実在 === ここでは、上述のような極限の説明に「なんかウサンクサイ」と思う生徒を対象に、そのような疑問に少しでも応えることを目標とする。よって、そのような疑問を持たない生徒が読んでも、あまり意味はない。 疑問を抱いた諸君、諸君の疑問はいたって正当である。あまりこのようなことを大っぴらに書くべきではないかもしれないが、高等学校における極限の取り扱いは「子供だまし」であり、近代以降の数学では極限という概念はもっと厳密な形で取り扱われている。しかしその内容は高校生には少し難しいし、詳しい書籍はほかにも存在する（wikibooksでも[[解析学基礎]]にある程度の記述がある）。そこでここでは、高校の教科書のように「子供だまし」をするのではなく、かといって厳密な形で議論するのでもなく、諸君を納得させられるかもしれない答えを提示したい。 さて改めて、極限値という概念に次のような疑問を持つ生徒はいないだろうか。 :「限りなくその値に近づけるというだけで、決してイコールには成らないハズだ。そのようなものを考えるのはナンセンスだ。」 ここでは、この問いに対するひとつの解答例を示したいと思う。分り易さを重視しているので厳密では無いが、ひとつの考え方の例として読んでもらいたい。 分数関数 <math>f(x) = 1/x</math> を考える。この関数の正の無限大における極限値は<math>0</math>である。 数式で書くならば以下の通りである。 :<math>\lim_{x\to \infty} f(x)=0</math> ここで敢えて、この数式には極々小さな正の誤差が紛れ込んでいる、と考える。 <math>x</math>が限りなく無限大に近づいたとしても、<math>f(x)</math>は絶対にx軸とは交わらず、漸近的に近づいていくだけであるため、無限大であっても等号が成り立つはずは無いからである。 そこで、極限という概念で考えるのではなく、直接<math>f(x)</math>に無限大を代入した値を誤差として考える。 （この時、この代入の不可能性については考えないものとする。） 当然ながら、この誤差の大きさは、<math>1/\infty</math>という大きさになるのだが、この大きさは一体どのようなものだろうか？ そもそもこの誤差の値は、実数であるかどうかすらも怪しい。何故なら、そもそも無限大という数自体が実数とは思えない性質を持っているからだ。 無限大というのは、どの実数よりも大きい数という定義である。この時点ですでに実数の定義からハズレている事がよくわかるだろう。 実数にこの無限大という数が含まれるのであれば、無限大は無限大より大きい、という矛盾が生まれる。 ゆえに、無限大は実数と言う枠組みから外し、実数でない未知の数であると考えるべきだろう。 さて、この未知の数の逆数である<math>1/\infty</math>はどういう値なのだろうか。当然ながら、これも未知の数であると言わざるを得ない。 無限大の定義より、<math>1/\infty</math>はどの正の実数よりも小さい正の数、という定義になり、無限大の時と同様に、実数でないことが証明できる。 なお、この数は一般に無限小と呼ばれ、実数に無限小と無限大という概念を加えた数を「超実数」と呼ぶ。 さて、この無限小という誤差を実数としてみるとどう見えるだろうか？ 無限小はどのような正の実数よりも小さい、というのだから、実数から見たら見かけ上<math>0</math>に見えるだろう。 そのような視点で考えているのが極限値というものである。 もう少し踏み込んで、値域を実数とする<math>f(x)</math>の値として、無限小という非実数値が出現した、という事実をどう考えるべきだろうか？ その問いに対しての極限値という概念の答えは、「強引に実数に変換する」という手法なのである。 値域を実数とする関数に、非実数をいきなり登場させるわけにはいかない、というのは誰にでもわかることだろう。 其の様な問題に対して考えられる答えは「関数の値域そのものを超実数に拡張する」又は「超実数を実数に変換して、値域を実数として保つ」というものだ。 極限(lim)と言う操作・概念はこの二つの答えの内、後者の答えを選んだものとなる。 limという記号には、<math>f(x)</math>に<math>x=a\pm1/\infty</math>をそれぞれ代入した数を計算し、その値から無限小を無視して、超実数を実数に変換するという意味合いが有る。 実数という数から見れば、無限小など全く意味の無い数であることから、等式が成り立つ、と解釈できるのである。 前者の答えを選んだ学問は超準解析と呼ばれるが、これは易しい学問ではなく、高校で教えるのには向かない。 ==== 無限大と無限小の実在について ==== 少し話をかえて、「無限大」「無限小」というモノ自体の実在について考えてみる。 上の説明では「無限大」というモノが、実数でないので何だかわからないのだが、とにかくある、という前提で話を進めてきた。ここに疑問を感じた生徒もいるかもしれない。そのような生徒に向けて、さらに補足説明する。 上でも述べたが、「超準解析」という学問においては、無限大・無限小は実体のあるものであり、数学的に厳密に取り扱われる。しかし、無限大・無限小を数学的に厳密に取り扱う事は非常に難しく、歴史的にも20世紀後半にようやく確立されたほどであった。つまり普通、数学においては無限大・無限小といったものを表に出して扱わないのである。この教科書の本文をもう一度見直してほしい。このコラムにおいて用いている「無限大に近づける（近づく）」といった表現はなく「限りなく大きくする」という表現を用いているはずである。荒っぽく言えば、「∞」は単体では意味を持たない記号であり、「<math>\lim_{x \to \infty}</math>」のような特定の文脈を与えられて初めて意味を持つ「状態を表す記号」なのである。なんらかの数を表すものではない、という事に注意してほしい。この「<math>\lim_{x \to \infty}</math>」はひと固まりで初めて意味を持つ記号であり、「xを」「∞に」「近づける」と分解するようなことはナンセンスだ、とも言える。 では、このコラムにおける説明はなんだったのか。実はこれは説明の方便である。はじめに述べたように、厳密な記述は難しいのであえて厳密でない書き方をしている。近代的な（非超準解析的な）立場の極限の取り扱い方は、実質的にはこのコラムの内容と同じことを、∞を表に出さず巧妙に表現したものである。 === 三角関数の極限の証明について === 本文の[[#三角関数と極限]]で示されている :<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> という式について、上で示した証明は、「[[w:循環論法]]になっていて証明になっていない」と言われることがある。それはどういうことか、興味がある人のために解説を加えておく。 さてここで、どのように「循環論法」が形成されているのかはっきりさせておこう。 :<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> を示す過程で扇形の面積を利用している←扇形の面積を求めるには三角関数の積分が必要である←三角関数を積分するには三角関数の微分が必要である←三角関数を微分するには <math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> という結果が必要である←…… 論理が循環している構造が分かっただろうか。「極限を求めるために、その極限を利用している」と言ってもいいだろう。 現代の数学では、もちろんこの循環論法は回避できる。もっと言えば、高校数学（新課程）の範囲内でよりよい証明を示すこともできる。しかしそれは今学んでいるより後に学習する内容を利用することにもなり、少々複雑である。 高校数学の目的は完全な論理を組み立てることではなく、むしろ数学の、高校内容の中での体系的な理解を目的としている。このような理由から、現在多くの教科書に上と同様の証明が掲載されていると考えられるし、WIKIBOOKSもこれに倣った。 しかしここでは興味のある諸君のために、「高校内容の範囲（新課程）でのよりよい証明」を示しておこう。面積を利用することは避けて、円弧の長さから問題の極限の値を導いてみよう。ただし、数学IIIの微分、積分（新課程のみの内容も含む）の内容を利用する。 まずは、「ラジアンとは何か」を考え直してみよう。というのも、ラジアンの定義には円弧の長さを利用したが、現代の数学では「[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|曲線の長さ]]」も定義なしには扱えないからである。つまりわれわれは、円弧の長さを数学的に定義すればよいということだ。このあとの積分の単元（新課程）で学習することになるが、区間''a''≦''x''≦''b''で自身と導関数がともに連続である関数''f'' について、''y'' =''f'' (''x'' )(''a''≦''x''≦''b'')で表される曲線''C'' の長さは、次の式で求められる。（証明は該当ページ参照 <!-- ※2014/02/08時点でWIKIBOOKS内では未作成　-->） :<math>\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left\{f'(x)\right\}^2}\, dx</math> ここで、''f'' (''x'' )を半円弧<math>\sqrt{1-x^2}(-1\le x\le 1)</math>とすると、円弧の長さを計算できる。ただし、積分区間に''x'' =-1もしくは''x'' =1を含めると具合が悪いので（被積分関数が値を持たない(極限は正の無限大)）、積分区間を<math>-\frac{1}{\sqrt2}\le x\le\frac{1}{\sqrt2}</math>としたものを四分円弧の長さとし、円の対称性から円弧一周の長さを決定するとよいとだけ補足しておく。 さて、これでようやく円弧の長さを定義できたので、ラジアンも定義することができる。いよいよ問題の極限の値を求めてみよう。そのために一般的に、再び区間''a''≦''x''≦''b''で自身とその導関数がともに連続である関数''f'' について、''y'' =''f'' (''x'' )(''a''≦''x''≦''b'')で表される曲線''C'' を考えよう。ここで、''a''≦''x''≦''b'', ''a''≦''x''+Δ''x''≦''b'', Δ''x''≠0を満たすように''x'' およびΔ''x''をとる。また、曲線''C''上に2点P(''x'',''f'' (''x'' )),Q(''x'' +Δ''x'',''f'' (''x'' +Δ''x'' ))をとる。いま曲線PQの長さを<math>\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}</math>、直線PQの長さをPQで表すこととすると、 :<math>\lim_{\Delta x \to0}\frac{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}}=1</math> が成り立つことを示そう。 ;証明 [[高等学校数学III/微分法#平均値の定理|平均値の定理]]により、 :<math>\mathrm{P}\mathrm{Q}=\sqrt{(\Delta x)^2+\left\{f(x+\Delta x)-f(x)\right\}^2}=\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta \Delta x)\right\}^2}|\Delta x|\ (0<\theta<1)</math> を満たす実数θが存在する。また、<math>\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}</math>を先述の式により定積分で表すと、 :<math>\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=\left|\int_{x}^{x+\Delta x} \sqrt{1+\left\{f'(t)\right\}^2}\, dt\right|</math> であり、ここで、<math>\sqrt{1+\left\{f'(x)\right\}^2}</math>が、<math>x=x+\theta_M\Delta x,x+\theta_m\Delta x</math> (0≦θ_''M''≦1, 0≦θ_''m''≦1)でそれぞれ''x''から''x'' +Δ''x''の間での最大値、最小値をとるとすると、''x''から''x'' +Δ''x''の間の任意の実数''t'' に対して、 :<math>0<\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta_m\Delta x)\right\}^2}\le\sqrt{1+\left\{f'(t)\right\}^2}\le\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta_M\Delta x)\right\}^2}</math> が成り立つ。各辺''x'' から''x'' +Δ''x''まで積分することにより、 :<math>0<\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta_m \Delta x)\right\}^2}|\Delta x|\le \widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=\left|\int_{x}^{x+\Delta x} \sqrt{1+\left\{f'(t)\right\}^2}\, dt\right|\le\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta_M \Delta x)\right\}^2}|\Delta x|</math> を得る。よって :<math>\frac{\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta \Delta x)\right\}^2}}{\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta_M \Delta x)\right\}^2}}\le\frac{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}}\le\frac{\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta \Delta x)\right\}^2}}{\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta_m \Delta x)\right\}^2}}</math> ここで、 :<math>\lim_{\Delta x \to0}\frac{\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta \Delta x)\right\}^2}}{\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta_M \Delta x)\right\}^2}}=\lim_{\Delta x \to0}\frac{\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta \Delta x)\right\}^2}}{\sqrt{1+\left\{f'(x+\theta_m \Delta x)\right\}^2}}=1</math> より、はさみうちの原理から、 :<math>\lim_{\Delta x \to0}\frac{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}}=1</math>　■ さて、今度こそ問題の極限を求めてみよう。 ;証明 本文と同様にθ>0をまず考える。 :<math>f(x)=\sqrt{1-x^2}\ (-1\le x\le1)</math> として、''y'' =''f'' (''x'' )上の''x''座標が''x''である点をP,''x''+Δ''x''である点をQとし、 :<math>\angle \mathrm{P}\mathrm{O}\mathrm{Q}=2\theta\ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}</math> （ただしOは原点） とする。すると、ラジアンの定義より、<math>\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=2\theta</math> となり、また図形的考察によりPQ=2sinθであることが分かる（Oから弦PQに垂線を下ろすと分かりやすい）。ここで :<math>\lim_{\Delta x \to0}\frac{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}}</math> を考えると、Δ''x''→0のとき、θ→+0であるから、上で証明したことを用いると、 :<math>\lim_{\Delta x \to0}\frac{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{\widehat{\mathrm{P}\mathrm{Q}}}=\lim_{\theta \to+0}\frac{2\sin \theta}{2\theta}=\lim_{\theta \to+0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> θ<0のときは本文と同様である。以上より、循環論法に陥ることなく、 :<math>\lim_{\theta \to0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math> が示された。■ このように、この循環論法を避けるのは少々難しい。循環論法を避けるために三角関数の微積分を後回しにして、この証明のための道具が揃うまで話を進めるのはこと「学習／教育」においてはどう考えても非効率的で、そのような回り道をするのは本末転倒である。ということで、「循環論法」と聞いて教科書に不信感を抱いた君も、ここまで読めば致し方ないことに納得してもらえたと思う。 ところでこの循環論法を避ける方法はこれだけではない。sin''x''及びcos''x''を''x''の非負整数乗の無限級数で定義する方法や、[[高等学校理数数学#微分方程式|微分方程式]]を用いて定義する方法などが考えられるが、前者は少なくとも教科書に載せるには向かないし、後者はどう考えても高校範囲外である。ここで解説することはしないが、興味があれば次に示す参考文献を読んでみるといいかもしれない。 * 「三角関数の研究」山口格、http://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/13556/1/7_p1-23.pdf （PDF）（ここまでに示した循環論法を避ける3つの方法の解説と、その周辺の三角関数の話題） * 「循環論法で証明になっていない」川中宣明、http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~kawanaka/sinx.pdf （PDF）（この問題の全体的な解説と、sin''x''及びcos''x''を''x''の非負整数乗の無限級数で定義する方法の簡単な紹介） それにしてもこのコラムをここまで読み進めた君の好奇心は大したものである。君の成長を期待している。 {{stub|高}} {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII きよくけん}} [[Category:高等学校数学III|きよくけん]] [[カテゴリ:極限 (数学)]] 5sas96bnl0dzpggkvms5vdydrvxtz3v 0 1524 300419 299952 2026-06-14T15:04:50Z Nermer314 62933 300419 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|自然科学|物理学|frame=1|small=1}} {{sisterlinks | b = 量子力学 | commons = Quantum physics | commonscat = Quantum mechanics | d = Q944 }} {| style="float:right" |- |{{Wikipedia|量子力学|量子力学}} |- |{{Wikiversity|Topic:量子力学|量子力学}} |} == 量子力学とは == * [[量子力学/量子力学とは]] == 量子力学の発展 == * [[量子力学/量子力学の発展]] <!-- == 古典および量子統計力学 == === デュロン＝プティの法則 === [[w:結晶|結晶]]を成す物質の[[w:内部エネルギー|内部エネルギー]]および[[w:熱容量|熱容量]]を求めよう。議論を簡単にするため、[[w:結晶構造|結晶構造]]の単位である[[w:単位胞|単位胞]] 1 つをとり、これを 1 つの[[w:分子|分子]]と見なす。このような取り扱いは結晶の具体的構造によらない普遍的な性質を議論する上で重要である。結晶を構成する分子は互いに[[w:相互作用|相互作用]]するが、最も主要な効果を及ぼすのは最近接格子点上の分子であり、より遠距離にある分子同士の相互作用はそれらの間に存在する分子同士の相互作用として含めることができる。ここまでで扱うべき問題はかなり簡素になったが、結晶分子の運動がそれほど激しいものでない場合には（気体分子運動論の考えを援用すれば、この状況は結晶内部の[[w:温度|温度]]が極めて低いことに相当する）、各分子は固定された平衡点近傍を振動していると見なすことができる。この場合、分子 1 つ 1 つの運動は独立なものとして取り扱うことができ、平衡点近傍で運動する分子 1 個の周りの[[w:ポテンシャル|ポテンシャルエネルギー]]は <math>U</math> は、その平衡点を原点として以下のように表すことができる。 :<math>U=\frac{1}{2}k_x x^2 + \frac{1}{2}k_y y^2 + \frac{1}{2}k_z z^2</math> 分子の周りのポテンシャルは <math>x, y, z</math> の 3 成分に対応する 3 つの[[w:自由度|自由度]]を持っている。 また分子の[[w:運動エネルギー|運動エネルギー]] <math>K</math> は :<math>K=\frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}mv_y^2 + \frac{1}{2}mv_z^2</math> となって <math>v_x, v_y, v_z</math> の 3 つの速度成分に対応する 3 つの自由度を持っている。これらの運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は今、熱振動をする分子 1 個が持つ全エネルギーに対応し、分子のエネルギーの自由度は合わせて 6 と数えることができる。なぜならこのエネルギーは 3 次元空間上を運動する粒子の位置と速度の 6 つの独立変数 <math>x, y, z, v_x, v_y, v_z</math> によって決定されるからである。 古典的な統計力学において、[[w:熱力学的平衡|平衡状態]]では[[w:エネルギー等配分の法則|エネルギー等分配の法則]]が成り立つことから、独立に振動する結晶分子からなる系について、自由度 1 つにつき <math>kT/2</math> のエネルギーが分配され、系全体のエネルギー <math>E</math> との間に :<math>E = N\times 6 \times \frac{kT}{2} = 3NkT</math> という関係が成り立つ。ここで <math>N</math> は結晶内部に含まれる結晶分子の数であり、また <math>k \simeq 1.38\times 10^{-23}~\mathrm{[J/K]}</math> は[[w:ボルツマン定数|ボルツマン定数]]、<math>T</math> は[[w:熱力学温度|熱力学温度]]である（以下、温度とは熱力学温度のことを指すとする）。ボルツマン定数 <math>k</math> と[[w:アヴォガドロ定数|アヴォガドロ定数]] <math>N_\mathrm{A}</math> の積は[[w:気体定数|気体定数]] <math>R</math> を与える。 :<math>k =\frac{R}{N_\mathrm{A}}.</math> 結晶分子の個数 <math>N</math> をアヴォガドロ定数を用いて[[w:物質量|物質量]] <math>n = N/N_\mathrm{A}</math> に置き換えれば、上述の関係は気体定数を使って以下のように書き直すことができる。 :<math>E = 3NkT = 3nN_\mathrm{A}\frac{R}{N_\mathrm{A}}T = 3nRT.</math> 気体定数を用いた形式では分子数が現れず、代わりに物質量という量が定義されることに注意しよう。ボルツマン定数を基本定数とする立場では単なる置き換えに過ぎないが、気体定数を基本定数とする場合、ボルツマン定数を用いた形式を与えるには分子の存在をあからさまに認める必要がある。 結晶の[[w:比熱容量|1モル当たりの熱容量]] <math>C</math> は、温度変化に対するエネルギーの増減の割合を全体の物質量で割ったものに相当するから、 :<math>C = \frac{1}{n}\frac{\partial E}{\partial T} = 3R</math> となる。これは常温 (<math>T \sim 300 ~\mathrm{[K]}</math>) での結晶の比熱の測定値に一致する。この比熱は温度依存性がなく、常温の固体のモル比熱がほとんど一定であることを示す。固体のモル比熱が常温で一定の値を取るという法則は'''[[w:デュロン＝プティの法則|デュロン＝プティの法則]]''' (Dulong-Petit law) と呼ばれる。デュロンとプティはこの法則が多くの物質について良い精度で成り立つことを実験的に発見した人物である。 デュロン＝プティの法則が成り立つような系について、常温より遥かに低温の領域においても比熱が一定であることが予想されるが、実験により低温領域では比熱は 0 に収束することを示唆する結果が得られており、低温領域での比熱の温度依存性および比熱の値はデュロン＝プティの法則から外れることが知られている。 === 低温での固体の比熱 === 仮に振動数が <math>\nu</math> の[[w:調和振動子|調和振動子]]のエネルギーは <math>h\nu</math> の整数倍 <math>nh\nu</math> しか取れないとする（ただし <math>n</math> は負でないとする）。結晶内部の <math>N</math> 個の分子をそれぞれ振動数 <math>\nu</math> の調和振動子と見なせることを仮定し、全部で <math>3N</math> の自由度を持つ 1 次元調和振動子の集まりとする。 そうすると、断熱理想気体でも各分子のエネルギーが衝突などにより変動するように（気体全体の全エネルギーは一定）、固体の各振動子のエネルギーも <math>0, h\nu, 2h\nu, 3h\nu,\dots</math> という飛び飛びの値を移り変わっているとする。 そして <math>3N</math> 個の振動子のエネルギーの平均値は、仮に下記のように「ボルツマン因子を使って計算できるはず」だと仮定する（※ ボルツマン因子について分からなければ、記事『[[高等学校化学Ⅱ/化学反応の速さ]]』の[[w:反応速度論|反応速度論]]での説明（高校～大学初級レベル）、または記事『[[統計力学I ミクロカノニカル集合]]』の[[w:スターリングの公式|スターリングの公式]]を用いた統計力学モデルによる説明（大学中級～）を参照。統計力学的には他にも、ラグランジュの未定乗数法を用いてボルツマン因子の導入を行う方法もある）。 1個の振動子がエネルギー <math>\varepsilon_n = nh\nu</math> をとる[[w:確率|確率]]を <math>\operatorname{Pr}(n)</math> とし、この確率がボルツマン因子に比例するとする。 :<math>\operatorname{Pr}(n) = \frac{1}{Z}e^{-\frac{\varepsilon_n}{kT}} = \frac{1}{Z}e^{-\frac{nh\nu}{kT}}</math> この関数が通常の意味の確率であるためには、すべてのエネルギー状態についての和が 1 に規格化されている必要があるため、比例係数の <math>Z</math> は、 :<math>Z = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{\varepsilon_m}{kT}} = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{mh\nu}{kT}}</math> とならなければならない（なお、このZのような量子統計計算の規格化のための関数のことを「分配係数」または「状態和」という）。このとき確率 <math>\operatorname{Pr}(n)</math> は :<math>\operatorname{Pr}(n) = \frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}</math> となる（<math>\exp(\cdot)</math> は[[w:指数関数|指数関数]]）。エネルギーの期待値 <math>\langle\varepsilon\rangle</math> は、 :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= \sum_{n=0}^{\infty} \left\{\varepsilon_n\operatorname{Pr}(n)\right\} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu \left(\frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}\right) \right\}\\ &=\frac{1}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)} \sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)\right\} \end{align}</math> と表すことができる。ここでボルツマン定数と温度の積の逆数を <math>\beta = (kT)^{-1}</math> とし（これは[[w:逆温度|逆温度]]と呼ばれる）、エネルギーの期待値を逆温度 <math>\beta</math> に関する微分を用いて表せば、 :<math>Z(\beta) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{\varepsilon_m}{kT}\right) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)</math> より、 :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= -\frac{1}{Z(\beta)}\frac{d}{d\beta}Z(\beta)\\ &=-\frac{d}{d\beta}\ln Z(\beta) \end{align}</math> を得る。ここで具体的に右辺の対数を計算すれば、[[w:等比数列|等比級数]]の和の公式を用いて、 :<math>\begin{align} Z(\beta) &= \sum_{m=0}^{\infty}\left(e^{-\beta h\nu}\right)^n\\ &= \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)^{-1} \end{align}</math> と書き直せるから、結局エネルギーの期待値は :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= \frac{d}{d\beta}\ln \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)\\ &= h\nu\frac{e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}}\\ &= \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1} \end{align}</math> と表すことができる。 === プランク分布 === 前節で得た調和振動子のエネルギーの期待値について、調和振動子のエネルギー量子 <math>h\nu</math> に掛かる関数 :<math>\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1}</math> を'''プランク分布'''と呼ぶ。温度がエネルギー量子の大きさに比べて充分小さい場合、<math>kT \ll h\nu</math> より <math>1 \ll \beta h\nu</math> という関係が成り立ち、プランク分布は、 :<math>\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1} \approx e^{-\beta h\nu}</math> という形に漸近する。 このプランク分布を利用して、結晶内部の比熱を得ることを考える。結晶を独立な調和振動子の集まりと見なす最も簡単な場合について、結晶全体の内部エネルギーがそれぞれの調和振動子のエネルギー期待値の和にほとんど等しいことから、 :<math>E = 3\langle\varepsilon\rangle = 3N\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}</math> と表すことができる。この場合、結晶分子に対する比熱容量は、 :<math>c = \frac{1}{N}\frac{dE}{dT} = \frac{1}{N}\frac{d\beta}{dT}\frac{dE}{d\beta} = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2}</math> となる。この比熱の低温領域での振る舞いは、 :<math>c = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2} = 3k\frac{(\beta h\nu)^2}{e^{\beta h\nu}} \to 0</math> であり、0 へ収束するという点で低温領域における固体比熱の振る舞いと合致する。高温領域において（ここでいう高温とは調和振動子のエネルギー量子に対してであり、固体の融点温度に比べれば依然低温である）、比熱は :<math>c = 3ke^{\beta h\nu}\left(\frac{\beta h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}\right)^2 \to 3k</math> となる。高温領域の比熱について、分子比熱 <math>c</math> を定積モル比熱 <math>C</math> に直すと、 :<math>C = N_\mathrm{A}c \to 3N_\mathrm{A}k = 3R</math> となり、これはデュロン＝プティの法則に一致する。つまり、エネルギーの量子化という手順を踏むことで低温領域の温度依存性を再現しつつ、常温ではデュロン＝プティの法則に漸近するような分布を得られたことになる。 --> == ヒルベルト空間 == 量子力学における状態はあるヒルベルト空間の元で表される。ヒルベルト空間とは完備な複素数係数の内積空間である。ヒルベルト空間を <math>\mathcal H</math> とし、その元を <math>|\psi\rangle</math> と記す。この記法はブラケット記法と呼ばれる。 ここで、ある状態<math>|i\rangle</math>と、それと異なる状態<math>|j\rangle</math>を取る。ただし、これらの状態はハミルトニアン演算子の、互いに異なった固有値を持つ固有ベクトルであるとする。ここで、ハミルトニアンの固有値は必ず実数でなければならないことが分かる。なぜなら、そうでないときにはエネルギーが虚数になるような量子論的状態が存在することになってしまうからである。一般に、複素数の行列要素を持っており、しかもその固有値が実数になる行列の種類として、エルミート行列があげられる（エルミート行列については[[物理数学I]]を参照）。ここでは、ハミルトニアンはエルミート行列で与えられるものとする。一般に量子論の演算子は通常エルミート演算子である。 更に、あるエルミート行列に対してその行列は必ず対角化され、その固有ベクトルは互いに直交することが知られている。この結果を用いると、エルミート演算子であるハミルトニアンの固有ベクトルである<math>|i\rangle</math>と<math>|j\rangle</math>は、互いに直交することが知られる。更に、それぞれの状態の長さを適切に変更することで、任意の状態<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>についてこれらの内積を<math>\delta _{ij}</math>とすることが出来る。<math>\delta _{ij}</math>については、[[物理数学I]]を参照。ここで、状態の長さを調整することを量子状態の規格化と呼ぶ。ただし、慣習的に状態<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>の内積は<math>\langle i|j\rangle</math>のように書くことが多い。この記法を用いると、任意の<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>に対して、 :<math>\langle i|j\rangle = \delta={ij} </math> が成り立つ。ここで、ある状態<math>|i></math>とそれに対応する波動関数f(x)の関係を、 :<math> f(x) = \langle x|i\rangle </math> で取る。ここで、<math>|x></math>は対応する粒子がちょうどxで表わされる点にある状態である。この記法は、関数空間の内積の定義と、上で述べた量子論的状態の内積の定義を整合的にすることが分かる。このことを述べるためにまず、関数空間の内積について説明する。ここでは、一般的に波動関数がある複素関数であるとして考える。関数空間の性質によるとある元f(x),g(x)を関数空間の元としたとき、ある積分<math>\int</math>が存在して、 :<math> \int f^* (x) g(x) dx </math> を元f(x),g(x)の内積と呼ぶ。ここで、xについての積分の範囲は、 <math>-\infty <x<\infty</math>とする。ただし、無限大のポテンシャルがある場合のように、波動関数が0となる範囲については積分しなくてもよい。このときには積分範囲はより狭い範囲になるのである。ここで、上の記法を用いると :<math> \int f^* (x) g(x) dx = \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j \rangle </math> :<math> = \langle i|j\rangle = \delta _{ij} </math> となる。ここで、 :<math> \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j\rangle </math> についてはまず、 <math>\langle i|x \rangle \langle x|j\rangle </math>は、任意のxについてもともと<math>|j\rangle</math>の状態にあった粒子が、xで表わされる点を通過して<math>|i\rangle</math>の状態に変化することを表わしている。ここで、上では全てのxについてその結果を足し合わせているので、結局、その結果は、<math>|j\rangle</math>の状態にあった粒子が、<math>|i\rangle</math>の状態に変化すること方法の全てをつくしていると考えるのである。上で得た :<math> \int |x\rangle \langle x| = 1 </math> のような表式はベクトルの完全性と呼ばれ、このあと頻繁にでてくる性質である。特に、エルミート演算子に対しては対応する固有ベクトルが完全性の要請を満たすことが知られており、あるエルミート演算子の固有ベクトル<math>|i></math>に対して、 :<math> \Sigma _i |i\rangle \langle i| = 1 </math> が知られている。しかし、特に対応するベクトルが無限個あるときにはこの性質の数学的な証明は難しい場合が多い。 さて、上のことから分かる通り、 :<math> \int f^* (x) g(x) dx = \langle i|j \rangle = \delta _{ij} </math> となって、量子論的ベクトルの正規化と対応させるために、波動関数の長さも、1つに定める必要があることが分かる。この条件は全ての波動関数<math>\psi(x)</math>に対して、 :<math> \int |\psi(x)|^2 dx =1 </math> とすることで満たされる。このことを波動関数の正規化と呼ぶ。 ここまでで粒子がどの状態にいるのかを指定する方法が分かった。それぞれのエネルギーの固有状態は<math>|i\rangle</math>などの表示で表わされ、それらの量はどれも対応する波動関数を持つのである。ただし、これらの量はどれも正規化されていなければならない。次に粒子がある状態にいるときに、粒子が実際にどの位置にいるのかを知る方法を考える。ここでいう位置とは古典的な座標の意味であり、 あるエネルギー固有値を持った状態にいる粒子が古典的に見たときにはどの位置で発見されるのかという意味である。仮に対応するエネルギーの固有状態が偶然位置の演算子に対しても固有ベクトルとなっていたとすると、その状態は位置の演算子に対してただ1つの値を持つため、その状態にある粒子が発見される位置は決定している。一方、仮に対応するエネルギーの固有状態が位置の演算子に対して固有ベクトルとなっていなかったとすると、そのときにその粒子は様々な位置で発見されるように思える。実際実験的な結果はそのとおりであり、ある位置の固有状態でない状態にあるときその物体は位置の演算子が値を取り得る位置全体で見つかる確率がある。そして、実際にどの位置にあるかは実際に観測をしてみるまでは、知ることが出来ないのである。このことは全く不思議な結果であるが、例えば量子論的なヤングの実験などにおいてこの結果は確かに確認されているのである。 ここで、あるエネルギーの固有状態<math>|i\rangle</math>からある位置に発見されてその位置にあることが確定している状態に移行する過程は、対応する位置をxとすると、 :<math> \langle x|i\rangle </math> で与えられることが予想される。しかし、この値はちょうどある固有状態に対応する波動関数f(x)であった。 :<math> \langle x|i \rangle = f(x) </math> このことから、波動関数f(x)は対応するエネルギーの固有状態にある粒子がある場所xに発見される位置に見つかる過程について関係していることがわかる。実際には更に、この量の絶対値を2乗した量が、ちょうどこの対応する状態にある粒子がその位置に見つかる確率となっているのである。 :<math> P(x) = |f(x)|^2 </math> しかし、この量はちょうど :<math> \int dx |f(x)|^2 = P(x) =1 </math> として、波動関数の正規化を行なった量に対応するが、このことはP(x)を確率を表わす量として扱うための条件とも適合しているのである。 *問題例 **問題 波動関数f(x)が、 :<math> f(x) = \frac 1 {{}^4\sqrt \pi} e^{-x^2/2 } </math> で与えられるとする。このとき、ある点xで粒子が発見される確率を計算せよ。また、この波動関数が正しく正規化されていることを示せ。 **解答 ある点xで粒子が発見される確率P(x)について、 :<math> P(x) = |f(x)|^2 </math> が成り立つことを用いればよい。よって、 :<math> P(x) = |f(x)|^2 =\frac 1 {\sqrt \pi} e^{-x^2 } </math> が得られる。更に、ガウス積分を用いて :<math> \int _{-\infty }^{\infty} e^{-x^2} = \sqrt \pi </math> を用いると、 :<math> \int dx P(x) = 1 </math> が得られ、正しい正規化がなされていることが分かる。ガウス積分については [[物理数学I]]を参照。 実際にはある状態<math>|a></math>からある状態<math>|b></math>に移行する確率が :<math> |\langle b|a\rangle|^2 </math> で与えられることはあるエネルギーの固有状態がある位置に移行する場合だけにとどまらず、より広い場合にあてはまる。特に上の場合について :<math> \langle b|a\rangle </math> をaからbへの確率振幅と呼ぶ。波動関数は対応するエネルギーの固有状態からある位置で表わされる状態への確率振幅といえる。 ここで、あるエネルギーの固有状態<math>|i\rangle</math>と、対応する波動関数f(x)に対して :<math> \langle i|x|i \rangle = \int dx x |f(x)|^2 </math> がどのような意味を持つかを考える。ここで、<math>|f(x)|^2</math>が、対応する粒子がxで見つかる確率を表わしていることを考えると、上の式はxの期待値を表わす式そのものである。そのため、<math>\langle i|x|i \rangle</math>のようなx演算子の対角成分は、対応する状態に粒子が存在するときの粒子が見つかる位置の期待値となることが分かる。一方、位置演算子の非対角成分はそれほど簡単な解釈は持っていない。ただし、これらの量は量子力学的な摂動などでよく使われる。詳しくは[[量子力学II]]を参照。 == シュレーディンガー方程式 == 古典力学と量子力学との間の関係は、幾何光学と波動光学の間の関係に類似していると言うことができる。波動光学について簡単に復習すると、<math>f</math> を <math>\boldsymbol E</math> あるいは <math>\boldsymbol B</math> の任意の成分とすると、 <math>f = a e^{i\varphi}</math> と書くことができる。ここで、<math>a</math> は振幅であり、<math>\varphi</math> はアイコナールと呼ばれる量である。波動光学から幾何光学への移行は、波長 <math>\lambda</math> が0に近づく極限として定義される。<math>\lambda</math> は <math>\varphi</math> が <math>2\pi</math> だけ変化する距離に等しいため、<math>\varphi</math> が十分大きい量とすると幾何光学へ移行できる。十分微小な空間領域と時間領域に対して一次の項まで <math>\varphi = \varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> と近似する。このとき、 <math>f = a e^{i\left(\varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)}</math> となる。また、微小な空間領域と時間領域に対しては平面波として考えることができるから、 <math>f = a e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r - \omega t + \alpha)}</math> となる。両者の対応関係から <math>\boldsymbol k = \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r},\, \omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> を得る。これを <math>\boldsymbol k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> に代入すると、 <math>(\nabla \varphi)^2 = \frac{\omega^2}{c^2} </math> を得る。これはアイコナール方程式と呼ばれる幾何光学の基礎方程式である。アイコナール方程式はハミルトン・ヤコビ方程式と同じ形式である。簡約された作用を <math>S_0 = \varphi</math> としてハミルトン・ヤコビ方程式を書けば、 <math>\frac{(\nabla \varphi)^2}{2m} + V = E</math> となる。 <math>\frac{\omega^2}{c^2} = 2m (E-V)</math> とするとアイコナール方程式に一致する。ここで、 <math>S_0 = \varphi </math> であるから、最小作用の原理より、実現される光線は <math>\varphi</math> が最小となる経路である。 さて、幾何光学ではアイコナール <math>\varphi</math> が最小となる経路が実現されるのに対して、古典力学では作用 <math>S</math> が最小となる経路が実現される。波動力学では <math>f = a e^{i \varphi}</math> という量が存在したから、量子力学では <math>\Psi = a e^{i \frac S \hbar}</math> という関係にある量が存在すると考えることができる。ここで、<math>\hbar</math> はディラック定数と呼ばれるもので、指数の肩を無次元化するために導入した。古典力学では <math>\boldsymbol p = \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r},\, H = - \frac{\partial S}{\partial t}</math> となるから、 <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial t}\Psi ,\, \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol r}= \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r}\Psi </math> より、 <math>i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = H\Psi ,\, -i\hbar\nabla \Psi = \boldsymbol p \Psi </math> を得る。<math>H = \frac{\boldsymbol p^2}{2m} + V </math> に代入すれば、 <math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V\right)\Psi </math> を得る。これがシュレーディンガー(Schrödinger)方程式である。運動量演算子とハミルトン演算子を <math>\hat \boldsymbol p = - i \hbar \nabla</math> <math>\hat H = \frac{\hat \boldsymbol p^2}{2m} + V(\boldsymbol r) = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V(\boldsymbol r) </math> で定義すると、 シュレーディンガー方程式を、 :<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial{t}} = \hat H \Psi </math> と書くことができる。 <math>\Psi(\boldsymbol r, t) = f(t) \psi(\boldsymbol r)</math> と変数分離できたと仮定すると、 <math> i \hbar \frac 1 f \frac{df}{d{t}} = \frac 1 \psi \hat H \psi = E </math> (定数) となる。 <math>\frac{df}{dt} = \frac{-iE}{\hbar}f </math> はだたちに積分できて、 <math>f(t) = e^{\frac{-iEt}{\hbar}} </math> を得る。また、 <math>\hat H \psi = E \psi </math> となる。これを時間に依存しないシュレーディンガー方程式という。 == 波動関数 == 波動関数 <math>\Psi</math> の意味は <math>|\Psi(\boldsymbol r, t)|^2 dV</math> が位置 <math>\boldsymbol r</math> で時間 <math>t</math> の微小体積 <math>dV </math> の中に粒子が存在する確率であると解釈される。<math>\rho = |\Psi|^2</math> を確率密度とする。このとき、 <math>\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 &= \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi\\ &= \frac{1}{i\hbar}(\Psi^*\hat H \Psi - \Psi \hat H \Psi^*)\\ &= -\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\triangle \Psi - \Psi \triangle \Psi^*)\\ &= -\frac{\hbar}{2mi}\nabla(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) \end{align}</math> となる。従って、<math>\boldsymbol j = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) </math> を確率流密度と定義すると連続の式 <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol j = 0</math> が成り立つ。 == 演算子 == ここからはある物理的な定数を持つことが量子力学的にどのような意味を持つかについて考える。物理的な定数とは例えば、ある物体の持つ位置や運動量のことである。古典力学ではある物体の物理的な状態は位置、運動量などを指定することによって得ることが出来、これらの間に特別な関係は無かった。これらはそれぞれの値を適当に取ってもよい量であったのである。 量子力学的にもある物体の物理的状態を定める量は存在しており、そのような量を定めることで物体がどのような状態にあるかを指定することが出来る。問題なのは、ある場合においてこれらの間に特殊な関係があらわれ、それらの量を任意に選ぶことが出来なくなることである。重要な例として、ある物体の位置と運動量は同時に定めることが出来ない。 ここで、ある物理的な状態の全てが数え上げられたとしてこれらの状態全体で張られるベクトルを取る。通常、ある物体が持つ物理的な状態は無数のエネルギーを持ち、このような操作は不可能に思える。実際このことは量子力学の発展の初期に大きな数学的な問題となった。しかし、現在ではベクトルの内積の取り方などを工夫することで、この様な作業が実際可能であることが示されている。詳しくは[[w:ヒルベルト空間]]などを参照。 このように全ての物理的状態が数え上げられたとするとき、それらの状態はあるエネルギーを持った状態として存在する。例えば、ある状態<math>\psi _1</math>がエネルギー<math>E _1</math>を持っていたとする。数学的にはこの様な状態はある行列<math>\hat H</math>を用いて :<math> \hat H \psi _1 = E _1 \psi _1 </math> と表わせる。ここで、<math>\hat H</math>は、全ての数え上げられた物理的な状態を1つの基底として持つような行列として考えられている。更に<math>\hat H</math>は、それぞれの物理的状態に対して対角化されており、 :<math> \psi _1, \psi _2,\psi _3, \cdots </math> などの全ての物理的状態に対して対応するエネルギー<math>E _1</math>,<math>E _2</math>,<math>E _3</math>などを返すものとする。 このような行列<math>\hat H</math>は、実際にあるエネルギーを持つ状態としては、古典的な考え方と変化することは無い。なぜなら、<math>\hat H</math>は、古典的に考えてある力学系の中に存在する物体が持つと考えられるエネルギー値を全て持っているものと考えることが出来るからである。 このため、仮に全ての量子的状態がエネルギーという量だけで特定されるのならば、ある力学系が取り得るエネルギーを全て定めることが量子的状態を全て求めることになる。ここまでの議論をより数学的な用語を用いてまとめると、出て来た量で<math>\hat H</math>は全ての物理的な状態によって張られた行列であり物理的な状態を表わす<math>\psi</math>は、<math>\hat H</math>がかかることによってE倍されるようなベクトルであるので、<math>\hat H</math>の固有ベクトルであると考えられる。このときエネルギーEは、固有値方程式 :<math> \hat H \psi = E \psi </math> の固有値である。 演算子 <math>\hat A , \hat B</math> について交換関係を <math>[\hat A,\hat B] = \hat A\hat B - \hat B \hat A</math> で定める。例えば、 <math>[\hat x_i,\hat p_j]f = -i\hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_j} + i \hbar \frac{\partial }{\partial x_j}(x_i f) = i \hbar \delta_{ij}f</math> より、 <math>[\hat x_i,\hat p_j] = i \hbar \delta_{ij}</math> となる。また、 <math>[\hat x_i,\hat x_j] = 0, \, [\hat p_i,\hat p_j] = 0 </math> が成り立つ。 解析力学では、<math>\{x_i,p_j\} = \delta_{ij}</math> であることから、古典力学と量子力学の間には、 <math>[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\}</math> の関係があることが予想できる。 == 一次元量子系 == === 井戸型ポテンシャル === 1次元井戸型ポテンシャル : <math>V(x) = \begin{cases} \infty \quad (x<0)\\ 0\quad (0 \le x \le a)\\ \infty\quad (a<x) \end{cases}</math> を考える。このときのシュレーディンガー方程式は :<math>E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)</math> となる。このとき<math>V(x)=\infty</math>の領域<math>(x<0,a<x)</math>では粒子は侵入不可なので、この領域における波動関数は<math>\psi(x)=0</math>となる。波動関数<math>\psi(x)</math>は<math>x=0,x=a</math>でそれぞれ連続なので、<math>\psi(0)=\psi(a)=0</math>となる。<math>0 \le x \le a</math>におけるシュレーディンガー方程式は、 :<math>E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}</math> :<math>\psi''(x) + k^2 \psi(x) = 0</math>　　<math>\left(k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\right)</math>とした。 :となるから、 :<math>\psi(x)=A\sin (kx+\delta)</math> <math>\psi(0)=0</math> より <math>\delta=0</math> である。 <math>\psi(a)=0</math> より、<math>\sin ka = 0</math> より、<math>ka = n\pi \quad (n=1,2,\cdots)</math> で、エネルギー準位は <math>E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2ma^2}</math> となる。波動関数を、<math>\int_0^{a}(\psi(x))^2 dx = 1</math>となるように規格化すると、 :<math>A=\sqrt{\frac{2}{a}}</math> となり :<math>\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}</math> を得る。 === 有限の場合 === 次に、ポテンシャルの深さが有限 <math>V(x) = \begin{cases} V_0 \quad (x<0)\\ 0\quad (0 \le x \le a)\\ V_0\quad (a<x) \end{cases}</math> で <math>0<E < V_0 </math> の場合を考える。井戸の外側でのシュレーディンガー方程式は <math>\psi''(x) + \kappa^2 \psi(x) = 0</math>　　<math>\left(\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\right)</math> となるから、<math>x \le 0</math> で <math>\psi(x) = ae^{\kappa x}</math> となり、<math>x \ge a</math> で <math>\psi(x) = be^{-\kappa x}</math> となる。また、<math>0 \le x \le a</math> で <math>\psi(x) = c\sin(kx+\delta)</math> となる。<math>\psi,\psi'</math> は連続で井戸の外では0にはならないから <math>\frac{\psi'}{\psi}</math> も連続で、 <math>\frac{\psi'}{\psi} = \kappa \quad (x \le 0)</math> <math>\frac{\psi'}{\psi} = -\kappa \quad (x \ge a) </math> となるから、 <math>k \cot \delta = \kappa,k \cot (ka+\delta) = -\kappa </math> を得る。ここで、 <math>\kappa = k \sqrt{\frac{2mV_0}{k^2\hbar^2}-1},\,\cot x = \sqrt{\frac{1}{\sin^2x}-1} </math> を使うと、 <math>\sin\delta = -\sin(ka+\delta) = \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} </math> となるから、 <math>ka = n \pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \quad(n=1,2,\cdots) </math> を得る。この超越方程式を <math>k</math> について解くことでエネルギー準位が分かる<ref><math>\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} = \arcsin\frac{k}{\sqrt{\kappa^2+k^2}}=\arctan\frac{k}{\kappa}</math> と変形して両辺の正接を取ると、奇数の <math>n</math> に対して <math>\eta=\xi\tan\xi.</math> 偶数の <math>n</math> に対して <math>\xi=-\eta\cot\eta</math> を得る。ここで、<math>\xi = \frac{ka}{2},\eta = \frac{\kappa a}{2}</math> である。これと <math>\xi^2 +\eta^2 = \frac{mV_0 a^2}{2\hbar^2}</math> の交点を求めることに帰着される。</ref>。<math>V_0\to\infty </math> とすると無限に深い井戸型ポテンシャルと同じ <math>ka = n\pi </math> に帰着する。 超越方程式の解 <math>k</math> の厳密解を求めることは容易ではないが、固有状態の数は正確にわかる。<math>k</math> は正であり、<math>\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}}</math> が定義されるため <math>k</math> の最大値は <math>\frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}</math> である。また、方程式の右辺は各 <math>n</math> について <math>n\pi > n\pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \ge (n-1)\pi </math> であり、単調減少である。したがって、<math>ka</math> と交わる回数が固有状態の数であるから、 <math>(n-1)\pi \le \frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}a < n \pi</math> であるとき、<math>n</math> 個の固有状態が存在する。 === 階段型ポテンシャル === 1次元階段型ポテンシャル : <math>V(x)=\begin{cases} 0 \quad (x<0)\\ V_0 \quad (0 \leq x) \end{cases}</math> に入射波 <math>e^{ik_1x}</math> が左から向かってくる場合を考える。<math>E > V_0</math> の場合で、 : <math> k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} </math> : <math> k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} </math> とする。波動関数は : <math>\psi(x)=\begin{cases} e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x<0)\\ Be^{ik_2x}\quad (0 \leq x) \end{cases}</math> 波動関数が<math>x=0</math>で滑らかである条件から定数を定める。 : <math>1+A=B</math> : <math>k_1(1-A)=k_2B</math> より、 : <math>A = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}</math> : <math> B=\frac{2k_1}{k_1+k_2} </math> === 土手型ポテンシャル === 1次元土手型ポテンシャル : <math>V(x)=\begin{cases} 0 \quad (x<0)\\ V_0 \quad (0 \leq x \le a)\\ 0\quad (x>a) \end{cases}</math> に入射波 <math>e^{ik_1x}</math> が左から向かってくる場合を考える。ただし、<math>E > V_0</math> で : <math> k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} </math> : <math> k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} </math> とする。波動関数は : <math>\psi(x)=\begin{cases} e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x<0)\\ Be^{ik_2x} + B'e^{6ik_2x}\quad (0 \le x \le a)\\ Ce^{ik_1x} \quad (x > a) \end{cases}</math> 波動関数が<math>x=0,a</math>で滑らかである条件から : <math>1+A=B+B',1-A=\frac{k_2}{k_1}(B-B')</math> : <math>Be^{ik_2x}+B'e^{-ik_2a}=Ce^{ik_1a},Be^{ik_2x}-B'e^{-ik_2a}=\frac{k_1}{k_2}Ce^{ik_1a}</math> となる。後半の2式より、 <math>B = \left(1+\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2e^{i(k_1-k_2)a}</math> <math>B' = \left(1-\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2 e^{i(k_1+k_2)a}</math> となる。前半の2式から <math>2 = \left(1+\frac{k_2}{k_1}\right)B + \left(1-\frac{k_2}{k_1}\right)B'</math> となるから、 <math>C = \frac{2k_1k_2e^{-ik_1a}}{2k_1k_2\cos k_2a - i(k_1^2+k_2^2)\sin k_2a}</math> となる。したがって、透過係数は <math>T = |C|^2 = \frac{4k_1^2k_2^2}{4k_1^2k_2^2+(k_1^2-k_2^2)^2\sin^2 k_2a}</math> となる。<math>E < V_0</math> のときは <math>k_2</math> は純虚数となるから、<math>k_2 = i\kappa_2</math> と置いて、 <math>T = \frac{4k_1^2\kappa_2^2}{4k_1^2\kappa_2^2+(k_1^2+\kappa_2^2)^2\sinh^2 \kappa_2a}</math> を得る。 === 調和振動子 === ハミルトニアンが <math>\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac 1 2 m \omega^2 x^2</math> で与えられる系を考える。シュレーディンガー方程式は <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left(\frac 1 2 m \omega^2 x^2 - E\right)\psi = 0</math> となる。無次元の変数 <math>\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> を導入すると、 <math>\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + \left(\frac{2E}{\hbar \omega}- \xi^2\right)\psi = 0</math> となる。ここで、<math>\xi \to \infty</math> では <math>\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \xi^2\psi</math> と振る舞うため、漸近的に <math>\psi \sim e^{\pm \frac{\xi^2}{2}}</math> となる。波動関数は <math>\xi \to \infty</math> で有限でなくてはならないため、<math>\psi \thicksim e^{-\frac{\xi^2}{2}}</math> である。そこで、 <math>\psi = H(\xi) e^{-\frac{\xi^2}{2}}</math> と置き、<math>H(\xi)</math> に対する微分方程式を求めると、 <math>\frac{d^2H}{d\xi^2} - 2\xi \frac{dH}{d\xi} + 2n H = 0</math> となる。ここで、<math>2n = \frac{2E}{\hbar \omega} - 1</math> である。微分方程式の冪級数解 <math>H = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k</math> を仮定すると、 <math>\sum_{k=2}^\infty a_k k (k-1) \xi^{k-2} - 2\sum_{k=0}^\infty a_k k \xi^k + 2n \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k = 0</math> <math>\sum_{k=0}^\infty[ a_{k+2} (k+2) (k+1) - 2 a_k k + 2n a_k ]\xi^k = 0</math> すなわち、 <math>a_{k+2} = - \frac{2(n-k)}{(k+1)(k+2)}a_k</math> となる。<math>n</math> が非負整数ではないときは、<math>H</math> は無限級数で、漸近的に <math>\frac{a_{k+2}}{a_k} \sim \frac 2 k </math> となるから、 <math>H \propto \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \xi^{2k} = e^{\xi^2}</math> よって、<math>\psi \propto e^{\frac{\xi^2}{2}}</math> となり発散してしまう。<math>n</math> が非負整数であるなら級数は途中で打ち切られるから、<math>H</math> は多項式となる。 <math>k = n - 2l</math> と置くと、係数の関係は <math>a_{n-2l} = - \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)}{4l}a_{n-2(l-1)}</math> となるから、 <math>a_{n-2l} = (-1)^l \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)(n-2l+3)(n-2l+4)\cdots n}{4^l l(l-1)\cdots 1}a_{n} = \frac{(-1)^l n!}{4^l l! (n-2l)!}a_n</math> <math>\begin{align} H(x) &= \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} a_{n-2k} x^{n-2k}\\ &= a_n n!\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{2^{2k} k! (n-2k)!} x^{n-2k}\\ \end{align}</math> となる。ここで <math>a_n = 2^n </math> としたものをエルミート多項式 <math>H_n(x) = a_n \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}</math> とする。 エネルギー準位は、 <math>E_n = \left(n + \frac 1 2 \right)\hbar \omega</math> となる。 === 生成消滅演算子 === 生成演算子と消滅演算子をそれぞれ、 <math>\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p </math> <math>\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p </math> で定義する。数演算子を <math>\hat n = \hat a^\dagger \hat a</math> で定義する。簡単な計算から、 <math>[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 </math> <math>[\hat n, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger </math> <math>[\hat n, \hat a] = -\hat a </math> が分かる。 状態 <math>|n\rangle </math> を <math>\hat n </math> の固有状態 <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle </math> で定義する。 <math>\langle n| \hat n|n\rangle = ||\hat a |n\rangle||^2 \ge 0 </math> より、<math>n \ge 0 </math> である。 <math>\begin{align} \hat n \hat a |n\rangle &= (\hat a \hat n - \hat a)|n\rangle \\ &= (n-1) \hat a |n\rangle \end{align}</math> より、<math>\hat a |n\rangle </math> は固有値 <math>n-1 </math> に属する固有状態であり、 <math>\hat a|n\rangle = c_n |n-1\rangle</math> と書ける。 <math>\begin{align} \langle n | \hat n |n\rangle &= \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle\\ &= c_n^2 \langle n-1 | n-1 \rangle\\ &= c_n^2\\ &= n \end{align}</math> より、<math>c_n = \sqrt n</math> である。 <math>\hat a|n\rangle = \sqrt n |n-1\rangle</math> となるが、 <math>n</math> が整数でないならば <math>\hat a</math> を繰り返し適用することにより負の固有値 <math>n</math> を持つ状態が作れてしまう。<math>n</math> が整数ならば <math>\hat a |0\rangle = 0</math> より、負の固有状態は作れないことになり <math>n \ge 0</math> の条件に矛盾しない。また、基底状態が <math>|0\rangle</math> で与えられることも分かる。 同様に、 <math>\begin{align} \hat n \hat a^\dagger |n\rangle &= (\hat a^\dagger \hat n + \hat a^\dagger)|n\rangle \\ &= (n + 1) \hat a^\dagger|n\rangle \end{align}</math> となる。<math>\hat a^\dagger |n\rangle </math> は固有値 <math>n+1 </math> に属する固有状態であり、 <math>\hat a^\dagger|n\rangle = c_n |n+1\rangle</math> と書ける。 <math>\begin{align} \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle &= \langle n | \hat a \hat a^\dagger - 1 | n \rangle\\ &= c_n^2 \langle n+1 | n+1 \rangle - \langle n | n \rangle\\ &= c_n^2 - 1\\ &= n \end{align}</math> より、<math>c_n = \sqrt{n+1} </math> である。従って、 <math>\hat a^\dagger | n \rangle = \sqrt {n+1} | n+1 \rangle </math> を得る。基底状態 <math>|0\rangle </math> は <math>\hat a |0\rangle = 0</math> より波動関数は <math>\left(x + \frac{\hbar}{m\omega} \frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0</math> となるから、これを解いて <math>\psi_0(x) = C e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}</math>となる。規格化は <math>\int |\psi_0|^2 dx = |C|^2 \int e^{-\frac{m\omega}{\hbar}x^2}dx = |C^2| \sqrt{\frac{\hbar \pi}{m\omega}} = 1</math> より、<math>C = \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}</math> となる。また、 <math>|n \rangle = \frac{1}{\sqrt n} \hat a^\dagger |n-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n |0\rangle </math> となるから、<math>\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> と変数変換すると、 <math>\psi_n = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{-\frac{\xi^2}{2}} </math> となる。ここで、 <math>\begin{align} \hat a^\dagger &= \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x - \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \frac{d}{dx}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2}\left(\xi - \frac{d}{d\xi}\right)\\ &= -\frac{1}{\sqrt 2} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d}{d\xi}e^{-\frac 1 2 \xi^2} \end{align} </math> となるから <math>\begin{align} \psi_n &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\\ &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \left(e^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\right)e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} H_n(\xi) e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\ \end{align} </math> を得る。 == 角運動量 == 軌道角運動量演算子 <math>\hat L_i</math> を <math>\hat L_i = \varepsilon_{ijk} x_j \hat p_k</math> で定義する。すなわち <math>\hat L_x = y \hat p_z - z \hat p_y,\, \hat L_y = z \hat p_x - x \hat p_z,\,\hat L_z = x \hat p_y - y \hat p_x</math> である。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, x_j] &= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , x_j] \\ &= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , x_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, x_j]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{ijk}x_k \end{align}</math> を得る。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, \hat p_j] &= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , \hat p_j] \\ &= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , \hat p_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, \hat p_j]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat p_k \end{align}</math> を得る。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, \hat L_j] &= \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k \hat p_l] \\ &= \varepsilon_{jkl} x_k[\hat L_i, \hat p_l] + \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{jkl}\varepsilon_{ilm} x_k\hat p_m + i\hbar\varepsilon_{jkl} \varepsilon_{ikm}x_m\hat p_l\\ &= i\hbar(-\delta_{ij}x_{k}\hat p_k + x_i \hat p_j +\delta_{ij} x_l \hat p_l - x_j \hat p_i)\\ &= i\hbar(x_i \hat p_j - x_j \hat p_i)\\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}x_l \hat p_m\\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk} \hat L_k \end{align}</math> を得る<ref>これらは古典力学における <math>\{L_i, q_j\}= \varepsilon_{ijk}q_k, \{L_i, p_j\}= \varepsilon_{ijk}p_k, \{L_i, L_j\}= \varepsilon_{ijk}L_k</math> に対応する。このことは <math>\{q_i,p_j\}=\delta_{ij},\{q_i,q_j\}=0,\{p_i,p_j\}=0</math> によりここでやったのと全く同じ計算で示される。あるいは、<math>[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\} </math> の対応原理からもわかる。</ref>。 角運動量演算子の二乗を <math>\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat{L_x^2} +\hat{L_y^2} +\hat{L_z^2}</math> で定義する。このとき、<math>[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] = 0</math> である。実際、 <math>\begin{align} {}[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] &= [\hat{L_j^2},\hat L_i]\\ &= \hat L_j [\hat L_j, \hat L_i] + [\hat L_j, \hat L_i]\hat L_j\\ &= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k + \varepsilon_{ijk}\hat L_k \hat L_j)\\ &= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k - \varepsilon_{ikj}\hat L_k \hat L_j)\\ &=0 \end{align}</math> である。 昇降演算子を <math>\hat L_\pm = \hat L_x \pm i\hat L_y</math> で定義する。 <math>\begin{align} {}[\hat L_z, \hat L_\pm] &= [\hat L_z, \hat L_x] \pm i[\hat L_z, \hat L_y]\\ &= i\hbar \hat L_y \pm \hbar \hat L_x\\ &= \pm \hbar \hat L_\pm \end{align} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \hat L_- \hat L_+ &= (\hat L_x - i \hat L_y)(\hat L_x + i \hat L_y)\\ &= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} + i(\hat L_x \hat L_y - \hat L_y \hat L_x)\\ &= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} - \hbar \hat L_z \end{align} </math> より、<math>\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat L_- \hat L_+ +\hat{L_z^2} + \hbar \hat L_z </math> を得る。簡単のために、<math>\hbar\hat l_i = \hat L_i,\, \hat{{\boldsymbol l}^2} = \hat{l_x^2} +\hat{l_y^2} +\hat{l_z^2} </math> を定義しよう。このとき <math>[\hat{{\boldsymbol l}^2},\hat l_z] = 0</math> が成立するから、同時対角化可能で規格化された固有状態 <math>|\lambda,m \rangle </math> を <math>\hat{{\boldsymbol l}^2}|\lambda,m \rangle = \lambda |\lambda,m \rangle, \, \hat l_z|\lambda,m \rangle = m |\lambda,m \rangle </math> とする。 <math>\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = \langle \lambda,m| \hat{l_x^2} + \hat{l_y^2} |\lambda,m\rangle \ge 0 </math> ここで、<math>\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = (\lambda - m^2) \langle \lambda,m|\lambda,m\rangle = \lambda - m^2 </math> より <math>\lambda \ge m^2 </math> を得る。従って、<math>m </math> には最大値と最小値があり、最大値を <math>l </math> とすると、対称性より最小値は <math>-l </math> で与えられる。 <math>\begin{align} \hat l_z \hat l_{\pm}|\lambda, m \rangle &= (\hat l_\pm \hat l_z + [\hat l_z, \hat l_{\pm}])|\lambda, m \rangle\\ &= (\hat l_\pm \hat l_z \pm \hat l_\pm)|\lambda, m \rangle\\ &= (m \pm 1 )\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \end{align} </math> より、<math>\hat l_\pm |\lambda, m \rangle </math> は固有値が <math>m\pm1 </math> である <math>\hat l_z </math> の固有状態となる<ref>一般に、<math>[\hat A, \hat B] = k \hat B</math> のとき、<math>\hat B</math> は <math>\hat A</math> の固有値を <math>k</math> だけ増減する演算子である。例えば<math>[\hat n, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger, [\hat n, \hat a] = -\hat a </math> など。</ref>。従って <math>\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \propto |\lambda, m \pm 1\rangle </math> とかける。<math>m = l </math> の場合は、固有値が <math>l+1 </math> の状態は存在しないから、 <math>\hat l_+ |\lambda, l\rangle = 0 </math> となる。従って <math>\hat l_-\hat l_+ |\lambda, l\rangle = (\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z)|\lambda, l\rangle = (\lambda - l^2 - l)|\lambda, l\rangle = 0 </math> より、<math>\lambda = l(l+1) </math> を得る。今後は <math>\lambda </math> の代わりに <math>l </math> を用いて <math>|l,m \rangle </math> と書くことにする。<math>\hat l_\pm |l, m \rangle = C^\pm_{lm}|l, m \pm 1\rangle </math> とすると <math>\begin{align} \langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &= \langle l, m |\hat l_+^\dagger\hat l_+ |l, m \rangle\\ &= |C^+_{lm}|^2\langle l, m+1 |l, m+1 \rangle\\ &= |C^+_{lm}|^2 \end{align}</math> となる。また、 <math>\begin{align} \langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &= \langle l, m |\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z|l, m \rangle\\ &= l(l+1)-m(m+1) \\ &= (l-m)(l+m+1) \end{align} </math> より <math>\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)}|l, m+ 1\rangle </math> を得る。<math>\langle l, m+ 1|\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} </math> のエルミート共役を取って、 <math>\langle l, m|\hat l_- |l, m+1 \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} </math> あるいは、 <math>\langle l, m-1|\hat l_- |l, m \rangle = \sqrt{(l+m)(l-m+1)} </math> を得る。 次に、角運動量演算子を極座標で表す表式を求めよう。球座標と直交座標の関係 <math>x = r\sin\theta\cos\varphi,y = r\sin\theta\sin\varphi,z = r\cos\theta</math> の関係から、 <math>\frac{\partial}{\partial \theta} = r\cos\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial y}-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}</math> <math>\frac{\partial}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\sin\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial y}</math> となるから、 <math>\begin{align} i\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &= iz\frac{\partial}{\partial y}-iy\frac{\partial}{\partial z}\\ &= \hat l_x \end{align} </math> <math>\begin{align} i\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &= -iz\frac{\partial}{\partial x}+ix\frac{\partial}{\partial z}\\ &= \hat l_y \end{align} </math> <math>\begin{align} -i\frac{\partial}{\partial \varphi} &= iy\frac{\partial}{\partial x}-ix\frac{\partial}{\partial y}\\ &= \hat l_z \end{align} </math> を得る。また、 <math>\hat l_{\pm} = e^{\pm i \varphi}\left(\pm\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\right) </math> となる。また、 <math>\begin{align} \hat l^2 &= \hat l_- \hat l_+ + \hat l_z^2 + \hat l_z\\ &= - \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{align}</math> を得る。これはラプラシアンの角度部分である。 <math>\begin{align} \triangle &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\\ &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) -\frac{\hat l^2 }{r^2} \end{align}</math> == 水素原子 == ポテンシャル <math>V(r) = - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math> での電子の運動を考えよう。シュレーディンガー方程式は <math>\triangle \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0</math> となる。 <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}\right) -\frac{1}{r^2}\hat l^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0</math> で <math>\psi = R(r)Y(\theta,\varphi)</math> と変数分離すると、 <math>\frac 1 R \frac{d}{d r}\left(r^2 \frac{d R}{d r}\right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2}(E-V(r)) = \frac 1 Y \hat l^2 Y = \mu</math> となる。ここで、<math>\hat l^2 Y = \mu Y</math> は非負整数 <math>l</math> が存在して <math>\mu = l(l+1)</math> とかけるときのみ発散しない解が存在して、<math>Y</math> は球面調和関数 <math>Y_{l}^{m}(\theta, \phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \,} \,P_l^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}</math> となる。ここで、<math>m</math> は角運動量の <math>z</math> 成分の固有値であり、 <math>m=-l,-l+1,\cdots,l</math> をとる。 <math>R</math> についての微分方程式 <math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) -\frac{l(l+1)}{r^2}R + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))R = 0</math> は、簡単のために <math>m = e = 4 \pi \varepsilon_0 = \hbar = 1</math> となる原子単位系を採用すると、 <math>R'' + \frac 2 r R' -\frac{l(l+1)}{r^2}R + 2\left(E+\frac{Z}{r}\right)R = 0</math> となる。ここで、<math>n = \frac{Z}{\sqrt{-2E}},\, \rho = \frac{2Z}{n}r</math> と変数変換すると、 <math>R'' + \frac 2 \rho R' + \left(-\frac 1 4 + \frac n \rho - \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right)R = 0</math> となる。ここで <math>'</math> は <math>\rho</math> に対する微分である。 <math>\rho \ll 1</math> で <math>R \propto \rho^s</math> と仮定すると、 <math>\frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}\left(\rho^2 \frac{dR}{d\rho}\right) -\frac{l(l+1)}{\rho^2}R = 0</math> より、<math>s(s+1) = l(l+1)</math> を得る。<math>s = l, -l-1</math> となるが、<math>R \propto \rho^{-l-1}</math> は <math>\rho = 0</math> で発散するため <math>R \propto \rho^{l}</math> である。また、<math>\rho \to \infty</math> では <math>R'' -\frac 1 4 R = 0</math> より、<math>R \propto e^{-\frac \rho 2}</math> となる。従って、 <math>R = \rho^l e^{-\frac \rho 2}w(\rho)</math> として、<math>w</math> に対する微分方程式を求めると、 <math>\rho w'' + (2l + 2 - \rho)w' + (n - l - 1)w = 0</math> を得る。これは、一般化されたラゲール多項式 <math>L^{(\alpha)}_n(\rho) = \frac{(\alpha+1)_n}{n!}F(-n,\alpha+1;\rho)</math> が微分方程式 <math>\rho L'' + (\alpha + 1 - \rho)L' + nL = 0</math> の解であるから、 <math>w = L^{(2l+1)}_{n-l-1}(\rho)</math> と書くことができる。 エネルギー準位は <math>n</math> の定義より、 <math>E_n = -\frac{Z^2}{2n^2}</math> となる。国際単位系で書くと<ref>原子単位系でのエネルギーの単位は <math>m, e, 4 \pi \varepsilon_0, \hbar</math> からエネルギーの次元を持つ量を作ると <math>E_h = \frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = \alpha^2 mc^2</math> となる。ここで、<math>\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137}</math> は微細構造定数である。</ref>、 <math>E_n = -\frac{me^4Z^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2}</math> となる。 == 不確定性関係 == <math>\hat A, \hat B</math> をエルミート演算子とする。ある状態 <math>|\psi \rangle</math> についての演算子の期待値を <math>\langle \hat A \rangle = \langle \psi |\hat A |\psi\rangle</math> と書く。分散は <math>\sigma(A)^2 = \langle \hat A^2 \rangle - \langle \hat A \rangle ^2</math> て定義される。このとき、 <math>\sigma(A) \sigma (B) \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> が成り立つ。これを不確定性関係という。ただし正確にはロバートソンの不等式<ref>紛らわしいが、ハイゼンベルクの不確定性原理は位置の測定により系が擾乱されて運動量が変化するため、位置の誤差と運動量の擾乱を同時に小さくすることができないという主張である。これは定性的には正しいがその不等式は正しくない。この考えを定量的に示したのが小澤の不等式である。また、ここでいう不確定性関係（ロバートソンの不等式）は量子状態の測定値の分散の間の関係であり、測定による擾乱は考慮していない。</ref>である。<math>\lambda</math>を実数として、演算子 <math>\hat C = \hat A + i\lambda \hat B</math> を定義する。このとき、 <math>\langle \psi |\hat C^\dagger \hat C| \psi \rangle = || \hat C | \psi \rangle ||^2 \ge 0</math> となる。また、 <math>\langle \hat C^\dagger \hat C \rangle = \langle \hat A^2 \rangle + \lambda^2 \langle \hat B^2 \rangle + i\lambda \langle [\hat A, \hat B] \rangle \ge 0 </math> を得る。これを <math>\lambda</math> についての条件と見て、判別式を考えると <math>\sqrt{\langle \hat A^2\rangle\langle \hat B^2\rangle} \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> を得る。<math>\hat A \to \hat A - \langle \hat A \rangle ,\hat B \to \hat B - \langle \hat B \rangle</math> と置き換えると、不確定性関係 <math>\sigma(A) \sigma (B) \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> を得る。特に、<math> [\hat x,\hat p] = i\hbar </math> より <math>\sigma(x) \sigma(p) \ge \frac \hbar 2</math> となる。 '''例''' 調和振動子のエネルギー固有状態 <math>| n \rangle</math> についての不確定性を計算する。 <math>\begin{align} \hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger),\\ \hat p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a - \hat a^\dagger) \end{align}</math> であるから、 <math>\langle \hat x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)|n\rangle = 0</math> となる。同様に<math>\langle \hat p \rangle = 0</math>である。また、 <math>\langle \hat x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n|(\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a)|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (2n+1)</math> <math>\langle \hat p^2 \rangle = -\frac{m\hbar \omega}{2} \langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|n\rangle = -\frac{m\hbar \omega}{2} \langle n|(-\hat a\hat a^\dagger - \hat a^\dagger\hat a)|n\rangle = \frac{m\hbar \omega}{2} (2n+1) </math> より、 <math>\sigma(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}(n+1/2)},\sigma(p) = \sqrt{m\hbar\omega (n+1/2)} </math> となり、 <math>\sigma(x) \sigma(p) = \hbar(n+1/2) </math> を得る。従って、不確定性関係が成り立つことを直接示すことができた。 '''例2''' 複素数 <math>\alpha</math> に対して、状態 <math>|\alpha\rangle</math> を <math>|\alpha\rangle = e^{-\frac 1 2 |\alpha|^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> で定義する。簡単な計算から、 <math>\hat a |\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle ,\, \langle \alpha | \alpha \rangle = 1</math> が成り立つことから、<math>|\alpha\rangle</math> は消滅演算子の固有状態で、規格化されていることがわかる。この状態をコヒーレント状態という。<math>|\alpha\rangle</math> の不確定性を求めよう。前と同じように計算すると、 <math>\langle \hat x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle \alpha|(\hat a + \hat a^\dagger)|\alpha\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\alpha+\alpha^*)</math> <math>\langle \hat p \rangle = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\langle \alpha|(\hat a - \hat a^\dagger)|\alpha\rangle = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(\alpha-\alpha^*)</math> <math>\langle \hat x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle \alpha|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle \alpha|(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} + 2\hat a^\dagger\hat a + 1 )|\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (\alpha^2 + \alpha^{*2} + 2\alpha^*\alpha + 1)</math> <math>\langle \hat p^2 \rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} \langle \alpha|(\hat a - \hat a^\dagger)^2|\alpha\rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} \langle \alpha|(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} - 2\hat a^\dagger\hat a - 1 )|\alpha\rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} (\alpha^2 + \alpha^{*2} - 2\alpha^*\alpha - 1)</math> となる。従って、 <math>\sigma(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},\sigma(p) = \sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}} </math> <math>\sigma(x) \sigma(p) = \frac{\hbar}{2} </math> となる。すなわち、コヒーレント状態は不確定性が最小となる状態である。 == エーレンフェストの定理 == 演算子 <math>\hat A</math> に対してその時間微分の演算子 <math>\frac{d\hat A}{dt}</math> を定義したい。これは、 <math>\frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} = \left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle</math> となるように定義するのがいいだろう。 <math>\begin{align} \frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} &= \frac{d}{dt}\int \psi^* \hat A \psi dx \\ &= \int \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial t} \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \psi^* \hat A \frac{\partial \psi}{\partial t}\right) dx \\ &= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat H \psi^* \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ &= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\psi^* \hat H \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ &= \int \left(\psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* [\hat A, \hat H] \psi\right) dx \\ \end{align}</math> となる。これが、 <math>\left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle = \int \psi^* \frac{d \hat A}{dt} \psi dx</math> に等しいのだから、 <math>\frac{d \hat A}{dt} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar} [\hat A, \hat H] </math> となる。位置演算子 <math>\hat \boldsymbol r </math> の一階と二階の時間微分 <math>\hat \boldsymbol v , \, \hat \boldsymbol a </math> を作ってみよう。 <math>\hat \boldsymbol v = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol r \hat H - \hat H \hat \boldsymbol r ) = -\frac{i\hbar}{2m}(\boldsymbol r \triangle - \triangle \boldsymbol r) = -\frac{i\hbar}{m}\nabla </math> となる。また、 <math>\hat \boldsymbol a = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol v \hat H - \hat H \hat \boldsymbol v) = -\frac{1}{m}(\nabla V - V\nabla) = - \frac 1 m \nabla V </math> となる。よって、 <math>m \hat \boldsymbol a = - \nabla V </math> あるいは、 <math>m \frac{d^2 \langle\hat x\rangle}{dt^2} = - \langle \nabla V \rangle </math> を得る。これをエーレンフェストの定理という。 == エルミート多項式の性質 == エルミート多項式の母関数を求めよう。 <math>\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}t^n &= \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{ k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}t^n\\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]}</math> は <math>n - 2k \ge 0</math> を満たすすべての非負整数 <math>n,k</math> についての和である。そこで、<math>l = n - 2k</math> とし、<math>l</math> を0から∞まで走らせ、各 <math>l</math> について <math>k</math> を+1するごとに <math>n</math> に2を足すことにすると、 <math>l</math> が一定のまま <math>k</math> は0から∞まで走らせることができる。従って、総和は、 <math>\begin{align} \sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{ k! l!} (2x)^{l}t^{l+2k} &= \sum_{l=0}^\infty\frac{(2xt)^l}{l!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-t^2)^k}{k!}\\ &= e^{2xt-t^2} \end{align}</math> となる。また、 <math>\begin{align} H_n(x) &= \frac{d^n}{dt^n}e^{2xt-t^2}|_{t=0}\\ &= e^{x^2} \frac{d^n}{dt^n}e^{(x-t)^2}|_{t=0}\\ &= e^{x^2} \frac{d^n}{d(-s)^n}e^{-s^2}|_{s=x}\\ &= (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} \\ \end{align} </math> より、ロドリゲスの公式を得る。途中で、 <math>s=x-t </math> とした。 == WKB近似 == エネルギーが一定のとき作用は <math>S = S_0 - Et </math> であるから、波動関数の準古典近似は <math>\Psi = ae^{\frac i \hbar S} = ae^{\frac{-iEt}{\hbar}}e^{\frac i \hbar S_0}</math> となる。そこで、<math>\psi = a e^{\frac i \hbar S_0} </math> をシュレーディンガー方程式に代入して <math>\hbar </math> の0次と1次について計算すると<ref><math>\left(\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V \right)\psi \approx \left(\frac{1}{2m}\left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2a-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2S_0}{dx^2}a -\frac{i\hbar}{m}\frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} + Va\right)e^{\frac i \hbar S_0} </math> となる。</ref>、 <math>\frac{1}{2m} \left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2 + V(x) = E </math> <math>\frac{1}{2m} a\frac{d^2S_0}{dx^2} + \frac 1 m \frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} = 0 </math> を得る。第一式を解くと、 <math>S_0 = \pm \int \sqrt{2m(E-V(x))}dx =: \pm\int pdx </math> となる。第二式は <math>2ma </math> を掛けると <math>\frac{d}{dx}\left(a^2\frac{dS_0}{dx}\right) = 0 </math> と変形されるから、<math>C </math> を定数として <math>a = \frac{C}{\sqrt p} </math> を得る。よって波動関数は <math>\psi(x) = \frac{C_1}{\sqrt p} e^{\frac i \hbar \int pdx} + \frac{C_2}{\sqrt p} e^{-\frac i \hbar \int pdx} </math> となる。<math> E < V(x) </math> の領域では <math>p </math> は純虚数となるから <math>p = i \tilde p </math> と置いて <math>\psi(x) = \frac{C'_1}{\sqrt \tilde p} e^{\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} + \frac{C'_2}{\sqrt \tilde p} e^{-\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} </math> となる。 <math> E < V(x) </math> の領域は古典的には存在できない領域であるが、量子力学的には指数関数的に減衰するものの透過することが可能である。<math>x</math> 軸正の方向に移動する粒子を考えよう。転回点を <math>x_1 < x_2 </math> とするとき、波動関数は <math> E < V(x) </math> の領域では <math>\psi(x) \sim \exp\left(-\frac 1 \hbar \int_{x_1}^x \tilde p dx\right) </math> で減衰する。従って、ポテンシャル障壁を抜ける透過係数は <math>T \sim \exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{x_1}^{x_2} \tilde p dx\right) </math> で与えられる。 '''例''' WKB近似の応用として、アルファ崩壊について考えてみよう。アルファ粒子は原子核の内部では核力により <math>-V_0</math> のポテンシャルで束縛されおり、原子核の外部ではクーロン力を受けるとする。ポテンシャルは <math>V(r)=\begin{cases} -V_0 \quad (r<r_1)\\ \frac{\alpha}{r} \quad (r > r_1) \end{cases}</math> で与えられる。<math>r_1</math> は原子核の半径である。転回点 <math>r_2</math> は <math>E = \frac{\alpha}{r_2} </math> となる。透過係数は <math>T = \exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\frac{\alpha}{r}-E\right)} dr\right) </math> である。ここで、<math>r = r_1 \cos^2\theta </math> と変換して積分すると <math>\begin{align} \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\frac{\alpha}{r}-E\right)} dr &= 2\sqrt{2mE}r_2\int_{0}^{\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}} \sin^2\theta d\theta \\ &= \sqrt{2mE}r_2\left(\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_2}\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}\right) \end{align} </math> となる。従って <math>T = \exp\left\{-\frac{2\alpha\sqrt{2m}}{\hbar \sqrt E} \left(\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_2}\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}\right)\right\}</math> を得る。<math>r_1 \ll r_2</math> とすると <math>T = \exp\left(-\frac{\pi\alpha\sqrt{2m}}{\hbar \sqrt E}\right)</math> となる。 == スピン == 電子などの素粒子には粒子に固有の角運動量が存在する。これをスピンという。<math>\hbar</math> を単位として測ったスピン演算子を <math>\hat s_i \; (i=x,y,z)</math> とする。これは角運動量演算子と同じ交換関係 <math>[\hat s_i, \hat s_j] = i\varepsilon_{ijk} \hat s_k </math> を満たす。[[量子力学#角運動量]]では、軌道角運動量の交換関係を求めてから後は、その交換関係しか使っていない。すなわち、[[量子力学#角運動量]]で求めたことはスピン演算子でも有効である。つまり、<math>\hat s_z</math> の固有値には最大値が存在し、その最大値を <math>s</math> とする。このとき、<math>s_z = -s,-s+1,\cdots,s-1,s</math> の <math>2s+1</math> 個のスピン状態が存在する。<math>2s+1</math> は自然数であるから、<math>s = 0, \frac 1 2, 1, \frac 3 2, \cdots</math> の値を取ることができる。 スピン <math>s=\frac 1 2</math> の場合を考える。<math>\hat s_z</math> の固有状態には <math>s_z = \pm \frac 1 2</math> の二通りがある。それぞれの固有状態を <math>\left|\frac 1 2\right\rangle,\left|-\frac 1 2\right\rangle</math> とする。 <math>\hat s_z \left|\frac 1 2\right\rangle = \frac 1 2 \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_z \left|-\frac 1 2\right\rangle = -\frac 1 2 \left|-\frac 1 2\right\rangle</math> である。したがって、<math>\left|\frac 1 2\right\rangle = \binom{1}{0},\left|-\frac 1 2\right\rangle = \binom{0}{1}</math> と行列表示するとき、<math>\hat s_z</math> の行列表示は <math>\hat s_z = \begin{pmatrix} \frac 1 2 & 0 \\ 0 & -\frac 1 2 \end{pmatrix}</math> となる。また、 <math>\hat s_+ \left|-\frac 1 2\right\rangle = \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_- \left|\frac 1 2\right\rangle = \left|-\frac 1 2\right\rangle</math> より、 <math>\hat s_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\hat s_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math> となる。よって、 <math>\hat s_x =\frac 1 2 (\hat s_++\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math> <math>\hat s_y =\frac{1}{2i}(\hat s_+-\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} </math> となる。ここで、<math>\hat s_i = \frac 1 2 \sigma_i</math> となる行列 <math>\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> をパウリ行列と定義する。 == 角運動量の合成 == *[[量子力学/角運動量の合成|角運動量の合成]] == 時間に依存しない摂動論 == ハミルトニアン <math>\hat H_0</math> は完全に解かれていて <math>\hat H_0 |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math> とする。規格化されていて縮退はないとする。<math>\lambda</math> を小さい量として摂動ハミルトニアン <math>\hat H = \hat H_0 + \lambda \hat V</math> を考える。目標はシュレーディンガー方程式 <math>\hat H |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle </math> を摂動的に解くことである。 <math>|\psi_n\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle + \cdots</math> <math>E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots</math> と <math>\lambda</math> の冪で展開する。二次まででシュレーディンガー方程式に代入すると、 <math>(\hat H_0 + \lambda \hat V)(|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)}) (|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) </math> 一次の方程式は <math>\hat H_0 |\psi_n^{(1)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。二次は <math>\hat H_0 |\psi_n^{(2)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(1)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(2)}\rangle + E_n^{(1)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(2)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。まずは一次の近似について考える。 <math>|\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle </math> と展開して、 <math>\sum_k E^{(0)}_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> <math>\langle \psi_m^{(0)}| </math> を左からかけると、 <math>E^{(0)}_m c^{(1)}_m + \langle \psi_m^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c^{(1)}_m + E_n^{(1)}\langle \psi_m^{(0)}| \psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。<math>m = n </math> とすると、 <math>E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle </math> を得る。<math>m \neq n </math> のときは、 <math>c_m^{(1)} = \frac{\langle \psi_m^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} </math> となる。<math>c_n^{(1)} </math> は決定できないが、<math>c_n^{(1)}=0 </math> とする。 次に二次の摂動に移ろう。同じように、 <math>|\psi_n^{(2)}\rangle = \sum_k c^{(2)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle </math> と展開して二次の方程式に <math>\langle \psi_m^{(0)}| </math> を左からかけると、 <math>E^{(0)}_m c_m^{(2)} + \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_m^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c_m^{(2)} + E_n^{(1)} c_m^{(1)} + E_n^{(2)}\langle \psi_m^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math> となる。<math>m=n</math> とすると、 <math>E_n^{(2)} = \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = \sum_{k\neq n} \frac{|\langle \psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}</math> となる。 '''演習問題''' 調和振動子について摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_1 = \alpha \hat x^3</math> であるときにエネルギーの一次と二次の摂動を求めよ。また、摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_2 = \beta \hat x^4</math> であるときのエネルギーの一次の摂動を求めよ。 '''解答''' <math>\begin{align} \hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger),\\ \hat p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a - \hat a^\dagger) \end{align}</math> より、 <math>E_n^{(1)} = \langle n|\alpha \hat x^3|n\rangle = \alpha \left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^{\frac 3 2}\langle n|(a + a^\dagger)^3|n\rangle</math> である。演算子を展開して交換関係 <math>a a^\dagger = a^\dagger a + 1</math> を使って消滅演算子を右側に来るようにすると、 <math>(a + a^\dagger)^3 = a^{\dagger 3} + 3 a^{\dagger 2}a + 3 a^\dagger a^2 + a^3 + 3 a^\dagger + 3 a</math> となる。更に整理すると、 <math>(a + a^\dagger)^3 = a^{\dagger 3} + 3 a^\dagger a a^\dagger + 3 a a^\dagger a + a^3</math> となる。これには、<math>n \to n \pm 1, n \pm 3</math> の遷移に対応する演算子しか含まれていないから、 <math>\langle n|(a + a^\dagger)^3|n\rangle = 0, \quad E_n^{(1)} = 0</math> となる。次に、二次の摂動エネルギーを求める。行列要素を求めると、 <math>\begin{align} &\langle n+3 | a^{\dagger 3}|n \rangle = \sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)},\quad \langle n+1 | 3a^\dagger a a^\dagger |n \rangle =3(n+1)^{\frac 3 2}\\ &\langle n-1 | 3a a^\dagger a|n \rangle = 3n^{\frac 3 2},\quad \langle n-3 | a^3 |n \rangle = \sqrt{n(n-1)(n-2)} \end{align}</math> であり、これ以外の行列要素は0である。従って、 <math>E_n^{(2)} = \sum_{k=n \pm 1,n\pm 3} \frac{|\langle n|\alpha\hat x^3 |k\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} = -\frac{\alpha^2\hbar^2}{8m^3\omega^4}(30n^2+30n+11)</math> となる。 次に、摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_2 = \beta \hat x^4</math> で与えられる場合を計算しよう。同じように<math>\langle n | (a+a^\dagger)^4|n\rangle </math> の値が必要になるが、展開したときに生成演算子と消滅演算子が同数だけある項のみが一般に0とは異なる値を与える<ref>例えば、<math>a a a a^\dagger </math> のような項は <math>aaaa^\dagger |n\rangle \propto |n-2\rangle</math> となるため <math>\langle n |</math> で挟んだときに消える。</ref>。そのような項は <math>{}_4\mathrm{C}_{2}</math> 通り <math>\begin{align} &a^\dagger a^\dagger a a\\ &a^\dagger a a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + a^\dagger a\\ &a^\dagger a a a^\dagger = a^\dagger a a^\dagger a + a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + 2 a^\dagger a\\ &a a^\dagger a^\dagger a = a^\dagger a a^\dagger a + a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + 2 a^\dagger a\\ &a a^\dagger a a^\dagger = a a^\dagger a^\dagger a + a a^\dagger = a^\dagger a^\dagger a a + 3 a^\dagger a + 1\\ &a a a^\dagger a^\dagger = a a^\dagger a a^\dagger + a a^\dagger = a^\dagger a^\dagger a a + 3 a^\dagger a + 3\\ \end{align}</math> である。その和は、<math>6 a^\dagger a^\dagger a a + 12 a^\dagger a + 3</math> となる。従って、 <math>\langle n | (a+a^\dagger)^4|n\rangle = \langle n |(6 a^\dagger a^\dagger a a + 12 a^\dagger a + 3)|n\rangle = 6n^2 + 6n + 3 </math> を得る。よって、 <math>E_n^{(1)} = \frac{\beta\hbar^2}{4m^2\omega^2}(6n^2+6n+3)</math> となる。 === 永年方程式 === 縮退がある場合の摂動を考える。<math> E_n^{(0)}</math> に属する固有状態が <math>|\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle</math> であるとする。前節と同じように <math>|\psi_{n}\rangle = \sum_\alpha c_{n,\alpha}^{(0)} |\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle </math> と展開する。これを一次までで切ったシュレーディンガー方程式 <math>(\hat H_0 + \lambda \hat V)|\psi_n\rangle = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)})|\psi_n\rangle</math> に代入して <math>\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|</math> を左からかけると、 <math>\sum_\alpha (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta})c^{(0)}_{n,\alpha} = 0</math> を得る。これが、すべての <math>c^{(0)}_{n,\alpha}</math> が0とはならない解が存在するためには、 <math>\det (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta}) = 0</math> でなくてはならない。これを永年方程式という。 == 部分波 == 自由粒子のシュレーディンガー方程式の解を極座標で考えてみよう。シュレーディンガー方程式は <math>(\triangle + k^2)\psi(r,\theta,\varphi) = 0</math> となる。ここで、<math>k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}</math> である。これはヘルムホルツ方程式である。<math>\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)Y(\theta,\varphi)</math> を変数分離すると <math>\frac{1}{R}\left(\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) + r^2 k^2 R\right) = \frac 1 Y \hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)</math> より、 <math>\hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)Y</math> <math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) + \left(k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right) R = 0</math> を得る。<math>Y</math> は球面調和関数で <math>l</math> は軌道角運動量であることがわかる。動径関数は <math>R(r) = \frac{X(kr)}{\sqrt{kr}}</math> と置くと、 <math>\frac{d^2}{dr^2}X(kr) + \frac 1 r \frac{d}{dr}X(kr) + \left(k^2-\frac{(l+1/2)^2}{r^2}\right) X(kr) = 0</math> を得る。これは <math>l+ \frac 1 2</math> 次のベッセルの微分方程式であるから、<math>X(kr) = A J_{l+1/2}(kr) + BN_{l+1/2}(kr)</math> となる。球ベッセル関数 <math>j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x),\, n_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} N_{l+1/2}(x)</math> を使うと、 <math>R(r) = a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)</math> となる。最終的にヘルムホルツ方程式の解は、 <math>\psi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) </math> となる。この式のそれぞれの項は確定した角運動量 <math>l</math> と角運動量の <math>z</math> 成分 <math>m</math> を持つ波動関数である。このように角運動量の固有状態で展開することを部分波展開という。 === 平面波の部分波展開 === 平面波 <math>e^{ikz}</math> はヘルムホルツ方程式を満たす。すなわち、 <math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) </math> の形に変形することができる。まず、<math>r=0</math> で有限だから、<math>b_{lm}=0</math> である。また、左辺は <math>\varphi</math> に依存しないから、<math>m=0</math> である。よって、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) </math> となる<ref>ここでは <math>Y_{lm}(\theta,\varphi) \propto P^{|m|}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}</math> だけで十分である。規格化因子は重要ではないから、係数に吸収させた。</ref>。ここで、<math>x\to 0</math> で漸近的に <math> j_l(x) \to \frac{x^l}{(2l+1)!!}\left(1-\frac{x^2}{2(2l+3)}+\cdots\right)</math> となる。実際、 <math> J_{l+1/2}(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(l+k+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{2k+l+1/2} \to \frac{1}{\Gamma(l+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2}</math> より、 <math> j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x) \to \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\frac{2^{l+1}}{(2l+1)!!\sqrt{\pi}}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2} = \frac{x^l}{(2l+1)!!}</math> となる。また、<math> P_l(\cos\theta) </math> の最高次 <math>\cos^l\theta</math> の係数は、<math>\frac{(2l)!!}{l!}</math> である<ref>[[物理数学II/特殊関数#Legendre 多項式]]を見よ</ref>から、 <math>\sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) \to \sum_{l=0}^\infty a_l \frac{(kr\cos\theta)^l}{(2l+1)l!}</math> となる。また、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \frac{(ikr\cos\theta)^l}{l!}</math> より、<math> a_l = (2l+1)i^l </math> を得る。したがって、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)i^l j_l(kr) P_l(\cos\theta) </math> を得る。 == 散乱 == 平面波 <math>e^{ikz}</math> がポテンシャル <math>V(r)</math> に入射されて、散乱された波動関数は <math>r\to\infty</math> のところで、<math>f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}</math> の球面波の形をしている。波動関数は <math>r\to\infty</math> で <math>\psi \to e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} </math> に漸近する。<math>r\to\infty</math> ではポテンシャルの影響はなく自由粒子と仮定していいから、<math>\psi</math> はヘルムホルツ方程式の解に漸近する。入射波とポテンシャルは <math>\varphi</math> には依存しないから <math>m=0</math> である。したがって、 <math>\psi \to \sum_{l=0}^\infty (a_{l} j_l(kr) + b_{l} n_l(kr)) P_l(\cos\theta) </math> と展開される。さらに、<math>r\to\infty </math> で <math>\begin{align} j_l(kr) &\to \frac{1}{kr}\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right),\\ n_l(kr) &\to -\frac{1}{kr}\cos\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right) \end{align}</math> となることを使うと、 <math>\psi = \frac{1}{kr}\sum_{l=0}^\infty c_l\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l\right) P_l(\cos\theta) </math> となる。ここで <math>\delta_l</math> は位相のずれという。入射波 <math>e^{ikr\cos\theta} </math> も同じように部分波展開して、球面ベッセル関数の漸近形を使うと、 <math>\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{1}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty [c_l(e^{i\delta_l}i^{-l}e^{ikr}-e^{-i\delta_l}i^{l}e^{-ikr})P_l(\cos\theta) - (2l+1)i^l(i^{-l}e^{ikr}-i^le^{-ikr})P_l(\cos\theta)]</math> となる。<math>\psi - e^{ikr\cos\theta} </math> は外向きの散乱波である。したがって、内向き球面波の <math>\frac{e^{-ikr}}{r} </math> の部分の係数は0である必要がある。このことから <math>c_l </math> が決定できて、 <math>c_l = (2l+1)i^le^{i\delta_l} </math> となる。これを代入すると、 <math>\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{e^{ikr}}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)</math> を得る。すなわち、散乱振幅は <math>f(\theta) = \frac{1}{2ik}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)</math> である。散乱断面積は <math>\begin{align} \sigma &= 2\pi \int_0^\pi |f(\theta)|^2\sin\theta d\theta\\ &= 2\pi\sum_{l=0}^\infty \int_0^\pi \frac{4k^2}{(2l+1)^2}|e^{2i\delta_l}-1|^2P_l(\cos\theta)^2\sin\theta d\theta\\ &= \frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)\sin^2\delta_l \end{align}</math> となる。また、 <math>\operatorname{Im}f(0) = \frac{2l+1}{k}\sum_{l=0}^\infty \sin^2\delta_l</math> より、 <math>\sigma = \frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) </math> を得る。これを光学定理という。 == ボルン近似 == ポテンシャル <math>V </math> が十分小さいときの散乱問題を考えよう。入射波を <math>\psi^{(0)} = e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}</math> 、散乱波 <math>\psi^{(1)}</math> は <math>V</math> と同次の量とする。 <math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle + V\right)(\psi^{(0)} + \psi^{(1)}) = E(\psi^{(0)} + \psi^{(1)})</math> について、二次の微小量 <math>V\psi^{(1)}</math> を無視すると、 <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(1)} + V\psi^{(0)} = E \psi^{(1)}</math> <math>\triangle \psi^{(1)} + k^2 \psi^{(1)} = \frac{2m}{\hbar^2} V\psi^{(0)} = \frac{2m}{\hbar^2} V e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}</math> となる。ここで、 <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(0)} = E\psi^{(0)}</math> が成り立つことを使った。 この方程式の解は、<math>R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'|</math> として <math>\begin{align}\psi^{(1)}(\boldsymbol r) &= -\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') \psi^{(0)}(\boldsymbol r') e^{ikR} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R}\\ &=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r + kR)} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R} \end{align} </math> となる。<math>r \gg r' </math> のときは <math>R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'| \approx r - \boldsymbol r' \cdot \boldsymbol n</math> となる。ここで、<math>\boldsymbol n </math> は <math>\boldsymbol r </math> 方向の単位ベクトルである。さらに、 <math>\frac 1 R \approx \frac 1 r </math> とする。そうすると、 <math>\psi^{(1)}(\boldsymbol r) =-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k - \boldsymbol k')\cdot \boldsymbol r'} d^3\boldsymbol r' </math> を得る。ただし、<math>\boldsymbol k' = k \boldsymbol n </math> とした。最終的に散乱振幅は <math>f=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r </math> で与えられる。<math>\boldsymbol q = \boldsymbol k' - \boldsymbol k </math> で <math>q= 2k \sin \frac{\theta}{2} </math> となる。微分散乱断面積は <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{m^2}{4\pi^2 \hbar^4}\left|\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r\right|^2 </math> となる。 球対称ポテンシャル <math>V(r) </math> の場合は、積分を実行すると、 <math>\begin{align} \int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r &= \int_0^\infty dr \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi d\theta r^2 \sin\theta V(r) e^{-iqr\cos\theta}\\ &= 2\pi \int_0^\infty dr \, r^2 \left[\frac{1}{iqr}e^{-iqr\cos\theta}\right]_0^\pi \\ &=\frac{4\pi}{q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr \end{align} </math> となるから、 <math>f=-\frac{2m}{\hbar^2 q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr </math> となる。 例として湯川ポテンシャル <math>V(r) = \frac{\alpha}{r} e^{-\mu r} </math> の場合の微分散乱断面積を計算しよう。 <math>\begin{align} \int_0^\infty rV(r) \sin qr dr &= \int_0^\infty \alpha e^{-\mu r} \sin qr dr \\ &= \alpha \operatorname{Im} \int_0^\infty e^{-\mu r} e^{iqr} dr\\ &= \alpha \operatorname{Im} \left[\frac{e^{(-\mu + iq)r}}{qi-\mu} \right]_0^\infty \\ &= \alpha \operatorname{Im} \frac{1}{\mu- iq} = \frac{\alpha q}{\mu^2 + q^2} \end{align} </math> となる。したがって、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2}{\hbar^4} \frac{\alpha^2}{(\mu^2+q^2)^2} </math> となる。散乱断面積は <math>q^2 = 2k^2(1-\cos\theta) </math> より、 <math>\begin{align} \sigma &= 2\pi \int_0^\pi \frac{4 m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \frac{\sin\theta d\theta}{(\mu^2 + 2k^2(1-\cos\theta))^2}\\ &= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\int_0^2 \frac{dx}{(\mu^2 + 2k^2 x)^2}\\ &= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \left[\frac{-1}{2k^2}\frac{1}{(\mu^2 + 2k^2 x)}\right]_0^2\\ &= \frac{16\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\frac{1}{\mu^2(\mu^2 + 4k^2)} \end{align} </math> となる。途中で <math>x=1-\cos\theta </math> とした。 また、<math>\mu \to 0 </math> とするとポテンシャルはクーロンポテンシャルとなり、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2 \alpha^2}{\hbar^4 q^4} = \left(\frac{m\alpha}{2\hbar^2 k^2}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2} </math> となる。これは、古典力学でのラザフォード散乱に一致する。 ==脚注== <references /> {{stub}} {{DEFAULTSORT:りようしりきかく}} [[Category:量子力学|*]] {{NDC|423}} bf1wmrbe5s0o704yrw7x3bjfomka5kr 0 1933 300421 300352 2026-06-15T08:54:36Z ~2026-35023-44 91765 /* 発展：広義積分 */ 300421 wikitext text/x-wiki {{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学III|pagename=積分法|frame=1|small=1}} ここでは、数学IIの[[高等学校数学II/微分・積分の考え|微分・積分の考え]]で学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。 [[高等学校数学]]の全ての分野を学んだ後に学習に取り組んでほしい。 == 不定積分 == === 積分の基本的な性質 === 積分法について <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx ,</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>(aは定数) が成り立つ。 導出 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺を微分すると、 左辺 =右辺 = <math> f + g</math> が従う。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺は一致する。 (実際には2つの関数の導関数が一致するとき、 それらの関数には定数だけのちがいがある。 仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。 このとき、 <math>(F(x)-G(x) )' = h(x)- h(x) = 0</math> となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。 よって、両辺を積分すると、 <math>F(x)-G(x) = C</math> となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。 よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。 より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> についても両辺を微分すると、 左辺=右辺= a f(x) が従う。 よって、 <math>\int af dx = a\int f dx</math> が成り立つことが分る。 関数 <math>f(x)</math> の原始関数を <math>F(x)</math> とすると <math>\int_a^b f(x) \, = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -\int_b^af(x)\, dx</math> である。 <math>\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> === 置換積分法 === 関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分と呼ぶ。 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> 導出 <math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、 <math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math> 再び<math>x</math>について積分すると、 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> また、特に *<math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math> *<math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math> *<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log | f(x) | + C</math> 例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。 <math>t = ax+b</math>と置く。 この両辺を微分すると <math>dt = adx</math> が成り立つことを考慮すると、 {| |- |<math>\int t^2 \frac {dt} a</math> |<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math> |- | |<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> |} となることがわかる。 実際この式をxで微分すると <math> (ax+b)^2 </math> と一致することが分る。 置換積分を使わずに計算することも出来る。 {| |- |<math>\int (ax+b)^2 dx</math> |<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math> |- | |<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math> |} (<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。) <math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> となり確かに一致する。 === 部分積分法 === 関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> 導出 積の微分法より <math>\{f(x)G(x)\}' = f'(x)G(x) + f(x)g(x)</math> である。これを移項して <math>f(x)g(x) = \{f(x)G(x)\}' - f'(x)G(x)</math> である。両辺をxで積分して <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> が得られる。 例えば、 {| |- |<math>\int x (ax+b)^3 dx</math> |<math>=\int x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)' dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> |- | |<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math> |} 部分積分を <math>n</math> 回行うと、 <math>\begin{align} \int f(x) g(x) \, dx &= f(x) g^{(-1)}(x) - \int f'(x) g^{(-1)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) -f'(x) g^{(-2)}(x) + \int f''(x) g^{(-2)}(x) \, dx \\ &= f(x) g^{(-1)}(x) - f'(x) g^{(-2)}(x) + f''(x) g^{(-3)}(x) + \cdots + (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{(-n)}(x) \, dx \end{align}</math> となる。 ここで、<math>g^{(-1)}(x)</math> は <math>g(x)</math> の不定積分の任意の一つ。<math>g^{(-2)}(x)</math> は <math>g^{(-1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つ。... <math>g^{(-n)}(x)</math> は <math>g^{(-n+1)}(x)</math> の不定積分の任意の一つというように定める。このように、積分記号で何回も不定積分を計算するのはやや面倒なので、次のような表を作ってみると計算しやすい。 {|class="wikitable" style="background: #ffffff; text-align: center;" |+ !符号 !微分 !積分 |- |<math>+</math> |<Math>f(x)</math> |<Math>g(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f'(x)</math> |<Math>g^{(-1)}(x)</math> |- |<math>+</math> |<Math>f''(x)</math> |<Math>g^{(-2)}(x)</math> |- |<math>-</math> |<Math>f^{(3)}(x)</math> |<Math>g^{(-3)}(x)</math> |- |<math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |<Math>\cdots</math> |- |<math>(-)^n</math> |<Math>f^{(n)}(x)</math> |<Math>g^{(-n)}(x)</math> |} この表から、部分積分を <math>n</math> 回行った結果は、 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + <math>\int</math> n行目の符号 × n行目の微分 × n行目の積分 dx と求まる。n行目の微分 が 0 であった場合は、最後の積分は消えて、不定積分は 一行目の符号 × 一行目の微分 × 二行目の積分 + 二行目の符号 × 二行目の微分 × 三行目の積分 + ... + n-1行目の符号 × n-1行目の微分 × n行目の積分 + C となる。 この方法は俗に'''瞬間部分積分法'''と呼ばれており、部分積分を複数回繰り返す際の計算を非常に簡略化できるため、受験数学では重宝されるテクニックの一つである。記述で用いる場合、上の表をそのまま記述するよりも、「部分積分を繰り返し用いると」という文言の後に瞬間部分積分で求めた結果を記述するのが無難である。 === いろいろな関数の積分=== ==== 多項式関数の積分 ==== <math>n \ne -1</math>のとき、<math>\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)'=x^n</math>なので、 <math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math> <math>n = -1</math>のとき、<math>(\log |x| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、 <math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log |x| + C</math> が成り立つ。 ==== 三角関数の積分 ==== *<math>(\sin x )' = \cos x</math> *<math>(\cos x )' = -\sin x</math> *<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math> が成り立つことを考慮すると、 *<math>\int \cos x dx= \sin x + C</math> *<math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math> *<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math> となることが分る。 <math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って {| |- |<math>\int \tan x dx</math> |<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> |- | |<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math> |- | |<math>= - \log | \cos x | + C</math> |} :　 :なお同様に、<math>\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}</math>　であるので、<math>\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx =\int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = \log \left|\sin x\right| + C</math> :　 より一般に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> について考える。 <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とおく。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>である。<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta = \frac{2t}{1+t^2}</math> である。よって <math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math> と有理関数の積分にもち込める。 幾何学的は、この変換は単位円上の点 <math>P(\cos \theta, \sin \theta)</math>と点 <math>A(-1,0)</math> を結ぶ直線の勾配 <math>t</math> で変換したものである。実際円周角の定理より <math>\angle xAP = \frac 1 2 \angle xOP = \frac \theta 2</math>より <math>t = \tan \frac{\theta} 2.</math> 被積分関数の周期が <math>\pi</math> の場合は、被積分関数は <math>\sin 2\theta,\cos 2 \theta</math> の有理関数なので、 <math>t = \tan\theta</math> と置換すると計算が楽である。被積分関数が <math>\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta</math> の有理関数となるときもこの範疇に属する。<math>t = \tan\theta</math> と置換したとき、<math>\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+t^2}</math>, <math>\sin^2\theta = \tan^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{t^2}{1+t^2}</math> , <math>\sin\theta \cos\theta = \pm\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{t}{1+t^2}</math> (<math>\sin\theta \cos\theta</math> と <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> の正負は一致するため), <math>d \theta = \frac {dt}{1 + t^2}</math> となる。 例　<math>\int\frac{1}{\sin x \cos x}dx</math> は <math>t = \tan x</math> と置換すると、<math>\int \frac {1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac {1+t^2}{t} \frac { dt}{1+t^2} = \ln|\tan x| + C. </math> <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> と置換してしまうと、<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac {1+t^2}{t(1-t^2)}\,dt = \ln \left|\frac{t}{1-t^2}\right| + C' = \ln|\tan x| + C </math> と計算量が少し増える。 ==== 指数・対数関数の積分 ==== 指数関数について <math>(e^x )' = e^x</math> が成り立つことを用いると、 <math>\int e^x dx = e^x + C</math> が得られる。 また、 <math>\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x</math> なので、 <math>\int a^x \, dx=\frac{a^x}{\ln a}</math> である。 また、<math>\log |x|</math>の 原始関数も求めることが出来る。 {| |<math>\int \log |x| dx </math> |<math>=\int (x)' \log |x| dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x (\log |x|)' dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int x \frac 1 x dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -\int dx </math> |- | |<math>=x \log |x| -x + C</math> |} となる。 有理関数 <math>R(x)</math> に対して、積分 <math>\int R(e^x) \, dx</math> は <math>t = e^x</math> すると <math>\frac{dt}{dx} = e^x = t</math> より <math>\int R(e^x) \, dx = \int R(t) \frac{dt}{t}.</math> ==== 二次無理関数の積分（発展） ==== 有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、積分 <math>\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx</math> について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、<math>\sqrt{p^2-x^2},\sqrt{x^2+p^2},\sqrt{x^2-p^2}</math>のいずれかの形になる。それぞれの場合について、<math>x = p\sin \theta,x = p\tan\theta,x = \frac{p}{\cos \theta}</math> と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。 また、<math>y^2 = ax^2 +bx + c</math> は二次曲線で、特に <math>a>0</math> のときは双曲線となる（<math>y^2 -a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}</math>より<ref>右辺が0のとき双曲線とはならないが、このときは簡単に平方根を外すことが出来るので考える必要はない。</ref>）。このとき、<math>y=\pm \sqrt a x + t</math> すなわち <math>t = \mp \sqrt a x + \sqrt{ax^2 + bx + c}</math> と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が <math>t</math> の直線 <math>y=\pm \sqrt a x + t</math> と双曲線のただ一つの交点 <math>(x,y)</math> を変数 <math>t</math> で表したものである。 例 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} </math> は <math>t = x + \sqrt{ x^2-1}</math> と置換すると、<math>\frac 1 t = x - \sqrt{x^2-1}</math> なので、<math>t + \frac 1 t = 2x</math> すなわち <math>2dx = \left(1 - \frac 1 {t^2}\right)dt</math> また、 <math>t - \frac 1 t = 2\sqrt{x^2-1}</math>.なので、<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{t-\frac 1 t}dt = \int \frac{dt}{t} = \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C </math> である。 ところで、この変換は双曲線 <math>y^2 = x^2 - 1</math> と直線 <math>y = -x + t</math> のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて <math>t</math> で表すと、<math>x = \frac 1 2 \left(t + \frac 1 t\right), \, y =\frac 1 2 \left(t - \frac 1 t\right)</math> を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 <math>t \rightarrow e^t</math> とすると、<math>x = \frac{e^t + e^{ -t} }{2} = \cosh t, \, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = \sinh t.</math> これは <math>x > 0</math> の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の <math>\mathrm{h}</math> はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる <math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math> は <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> とよく似ている。例示の不定積分は <math>x = \cosh t</math> と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 == 定積分 == 定積分について、不定積分と同じように以下が成り立つ。 '''定積分の置換積分法''' <math>\alpha < \beta</math>のとき、閉区間<math>[\alpha, \beta]</math>で微分可能な関数<math>x=g(t)</math>に対し、<math>a=g(\alpha), b=g(\beta)</math>ならば<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) \, dt </math> '''定積分の部分積分法''' <math>\int_{a}^{b} f(x) g'(x) \, dx = \left[ f(x) g(x) \right]^{a}_{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx </math> *問題 **以下の定積分を求めよ(Hint：5, 6は漸化式を利用する) **#<math>\int_{0}^{1} |e^x - \frac{3}{2}| \, dx</math> **#<math>\int_{1}^{0} \frac{x-2}{(3-x)^2} \, dx</math> **#<math>\int_{-5}^{5} x \sqrt{x^2-9} \, dx</math> **#<math>\int_{3}^{7} x \log (x^2 - 2) \, dx </math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx</math> **#<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx</math> === 特殊な定積分 === ==== 円 ==== <math>a < b</math> とする。積分 <math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx</math> は <math>y = \sqrt{(x-a)(b-x)}</math> とすると、<math>\left(x-\frac{a+b}{2} \right) + y^2 = \left(\frac{a-b}{2} \right)^2</math> より、被積分関数 <math>y</math> は中心 <math>\frac{a+b}{2}</math> で半径 <math>\frac{b-a}{2}</math>の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、<math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2</math> である。 ==== King Property ==== 一般に、関数 <math>f(a-x)</math> のグラフは関数 <math>f(x)</math> のグラフを直線 <math>x = \frac a 2</math> で対称移動したものである。 従って、連続関数 <math>f(x)</math> を区間 <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> で積分した値 <math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx</math> と、連続関数 <math>f(a+b-x)</math> を区間 <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> で積分した値 <math>\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x)\, dx</math> は等しい： :<math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x) \, dx.</math> この等式は単に、 <math>x \to a+b-x</math> の変数変換によっても導出できる。 この等式より、 <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)\, dx +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx </math> が導かれる。 この公式は、<math>f(x) + f(a+b-x)</math> が簡単な形になる定積分で役に立つ。 例えば、<math>\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin (\frac{\pi}{2}-x) + \cos (\frac{\pi}{2}-x)}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx = \frac{\pi}{4}.\end{align} </math> King Property の応用例は <math>\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx = \frac 1 3</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 4} \ln(1+\tan x)\, dx = \frac \pi 8 \log 2</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 2} \log (\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2}\log 2</math>, <math>\int_0^{2\pi} \cos^2\left(\frac{\pi\tan{x}}{2+2\tan{x}}\right)dx=\frac{\pi}{2}</math> などがある。計算してみよ。 === 定積分と不等式 === 一般に、連続関数について次のことが成り立つ。 :閉区間<math>[a, b]</math>において<math>f(x) \leqq g(x)</math>ならば、<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leqq \int_{a}^{b} g(x) \, dx</math> :等号成立条件は閉区間<math>[a, b]</math>において恒等的に<math>f(x) = g(x)</math>であること。 *例題 :調和級数の第n部分和が<math>\log(n+1)</math>より大きいことを証明せよ。 *解答 自然数kに対して<math>k \leqq x \leqq k+1</math>のとき<math>\frac{1}{k} \geqq \frac{1}{x}</math>であり、等号は常には成り立たないので<math>\int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>である。故に<math>\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{k} > \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}</math>。 このとき、（左辺）<math>= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{k}^{k+1} dx = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>より左辺は調和級数の第n部分和であり、(右辺)<math>= \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \left[ \log(x) \right]_{1}^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)</math>なので、題意は示された。 ===発展：広義積分=== '''広義積分'''とは、通常の定積分の範囲を超えて積分区間が無限であったり被積分関数が積分区間内で'''特異点'''（値が定義されなかったり微分不可能だったり不連続であったりする点）を持つ場合に、極限を用いて定義される定積分である。 定積分<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>において、<math>b \to \infty</math>の極限を<math>\int_a^\infty f(x) \, dx</math>、<math>a \to -\infty</math>の極限を<math>\int_{-\infty}^b f(x) \, dx</math>のように表す。 例えば、<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math>は以下のように計算できる。 :<math>\int_0^\infty e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} dx</math> :<math>=\lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_0^b </math> :<math>=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{e^b} + 1)</math> :<math>=1</math> 但し、極限操作の前に定積分を計算してよいのは以下の場合に限られる。 :被積分関数が連続（定積分可能） :積分区間の内部に特異点が存在しない（特異点が端点のみ） :求めたい積分が（条件）収束する（発散しない） 積分区間の上端が正の無限大で下端が負の無限大のとき、広義積分は以下のように計算される。 :<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{a\to\infty} \int_{-a}^0 f(x)dx + \lim_{b\to\infty} \int_{0}^b f(x)dx</math> 決して<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A f(x) \, dx</math>（対称極限）のように計算してはならない^※。 例えば、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx</math>は :<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx=\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^0 \frac{x}{1+x^2}dx + \lim_{b\to\infty} \int_{0}^b \frac{x}{1+x^2}</math> :<math>=\lim_{a\to\infty}\left[ -\frac{1}{2} \log(1+x^2) \right]_{-a}^0+\lim_{b\to\infty}\left[ \frac{1}{2} \log(1+x^2) \right]_{0}^b</math> :<math>=-\frac{1}{2}\lim_{a\to\infty} \log(1+a^2) + \frac{1}{2} \lim_{b\to\infty}\log(1+b^2)</math> :<math>=\infty-\infty</math> のように発散するが、対称極限のように計算すると :<math>\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = \lim_{A\to\infty}0 =0</math> という誤った結果を得る。 この例のように、非積分関数が奇関数であっても<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=0</math>は一般には成り立たない。あくまでも、'''上端と下端を独立に考えて極限を取る'''ことに注意が必要である。 特異点<math>(\lambda, f(\lambda))</math>を含む区間<math>[a, b]</math>での定積分は以下のように計算される。 :<math>\int_a^b f(x)dx = \lim_{c\to\lambda^-} \int_a^c f(x)dx + \lim_{d\to\lambda^+} \int_d^b f(x)dx </math> 先程と同様に、対称極限 <math>\lim_{\varepsilon\to\lambda} \left(\int_a^\varepsilon f(x)dx + \int_\varepsilon^b f(x)dx\right)</math>として計算してはならない。 例えば<math>\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}</math>は :<math>\int_{-1}^1 \frac{dx}{x}=\lim_{a\to0^-}\int_{-1}^a \frac{dx}{d} + \lim_{b\to0^+} \int_{b}^1 \frac{dx}{x}</math> :<math>=\lim_{a\to0^-} \left[ \log|x| \right]_{-1}^a + \lim_{b\to0^+} \left[ \log|x| \right]_{b}^1</math> :<math>=\lim_{a\to0^-} \left( \log |a| - \log 1 \right) + \lim_{b\to0^+} \left( \log 1 - \log b \right)</math> :<math>=\infty-\infty</math> と発散するが、対称極限のように計算すると :<math>\lim_{\varepsilon\to0^+} \left(\int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{dx}{x} + \int_\varepsilon^1 \frac{dx}{x} \right)</math> :<math>=\lim_{\varepsilon\to0^+} \left( \log \varepsilon - \log \varepsilon \right) = 0</math> と誤った結果を得る。 この例のように、特異点を含む場合は特異点に片側から異なる近づけ方で近づける片側極限の和として考える必要がある。 ※広義積分を対称極限として計算した値を'''コーシー主値'''という。物理系への応用では通常の広義積分でなくコーシー主値を採用する場面もある。 例えば、以下が成り立つ。 :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> これは'''ガウス積分'''と呼ばれる有名な結果である。 この値の導出には重積分やヤコビ行列といった大学範囲の数学が良く用いられるが、一応は高校数学のみで証明可能である。後述の演習問題を参照。 この結果は[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測#正規分布|正規分布の確率密度関数]]の導出に用いられる。 :元となる関数は<math>y=e^{-x^2}</math>。 :平均値<math>\mu</math>を軸に持ってくる平行移動をして<math>y=e^{-(x-\mu)^2}</math>。 :分布の広さ（ばらつきの大きさ）を標準偏差<math>\sigma</math>に合わせるため<math>\mu \pm \sigma</math>で極値をとるように変形して<math>y=e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> :ガウス積分の結果より<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sqrt{2\pi}\sigma</math>。 :確率密度関数は<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=1</math>を満たすので、元の関数を<math>\sqrt{2\pi}\sigma</math>（定数）で割って<math>y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>。 :これは正規分布の特徴を適切に表すため、確率密度関数として適当である。 他に、<math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>（'''フレネル積分'''）が有名な結果である。なお、この積分は不定積分を[[w:初等関数]]で表すことができない。 広義積分の応用例として、'''フーリエ変換'''や'''ラプラス変換'''が存在する。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi{i}\xi{x}}dx</math> :<math>\text{ℒ}[f(x)](s):=\int_0^\infty f(x)e^{-sx}dx</math> これらは物理的には信号処理や制御工学に応用されているほか、数学では関数解析学と呼ばれる分野にも関わる概念である。 '''演習問題1''' 次の不定積分を求めよ。 :(1)<math>\int \tan xdx</math> :(2)<math>\int \frac{1}{\cos ^2x}dx</math> :(3)<math>\int \log xdx</math> :(4)<math>\int x\log xdx</math> :(5)<math>\int x^2\log xdx</math> :(6)<math>\int x^3\log xdx</math> :(7)<math>\int x\sin xdx</math> :(8)<math>\int x^2\sin xdx</math> :(9)<math>\int x^2e^xdx</math> :(10)<math>\int \frac{dx}{\sin x}</math> :(11)<math>\int \frac{dx}{\cos x}</math> {{解答}} :(1)<math>-\log |\cos x|+C</math> :(2)<math>\tan x+C</math> :(3)<math>x\log x-x+C</math> :(4)<math>\frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C</math> :(5)<math>\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3}{9}+C</math> :(6)<math>\frac{x^4\log x}{4}-\frac{x^4}{16}+C</math> :(7)<math>\sin x-x\cos x+C</math> :(8)<math>2x\sin x+(2-x^2)\cos x+C</math> :(9)<math>(x^2-2x+2)e^x+C</math> :(10) <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{dt}{t}\\ &= \log |t| + C\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{dx}{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}\\ &= \int \frac{\cos\frac x 2 dx}{2\sin\frac x 2 \cos^2 \frac x 2}\\ &= \int \frac{(\tan \frac x 2)'dx}{\tan \frac x 2}\\ &= \log \left|\tan\frac x 2 \right| + C. \end{align}</math> <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\sin x} &= \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx\\ &= \int \frac{\sin x}{1- \cos^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 - \cos x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{(1 - \cos x)'}{1 - \cos x} dx - \frac 1 2 \int \frac{(1 + \cos x)'}{1 + \cos x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} + C. \end{align}</math> ちなみに、半角の公式より <math>\log \left|\tan\frac x 2 \right| = \frac 1 2 \log \left|\frac{\sin^2 \frac x 2}{\cos^2 \frac x 2}\right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} </math> が成り立つ。 :(11) <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{dx}{\sin(x + \frac \pi 2)}\\ &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4 \right) \right| + C. \end{align}</math> 別解 <math> t = \tan\frac x 2 </math> と置換すると、 <math> \begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{1+t^2}{1-t^2} \frac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int \frac{2dt}{1-t^2}\\ &= \int \frac{dt}{1+t} + \int \frac{dt}{1-t}\\ &= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C\\ &= \log \left|\frac{1+\tan\frac x 2}{1-\tan\frac x 2}\right| + C.\\ \Big( &= \log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| + C \Big) \end{align}</math> なお、部分分数分解について、 <math>f(t) = \frac{2}{1-t^2} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}</math> とすると、 <math>A = \lim_{t\to -1}(1+t)f(t) = \lim_{t\to -1} \frac{2(1+t)}{1-t^2} = \lim_{t\to -1} \frac{2}{1-t} = 1</math>, <math>B = \lim_{t\to 1}(1-t)f(t) = \lim_{t\to 1} \frac{2(1-t)}{1-t^2} = \lim_{t\to 1} \frac{2}{1+t} = 1</math> より係数が求まる。 別解2 <math>\begin{align} \int \frac{dx}{\cos x} &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx\\ &= \int \frac{\cos x}{1- \sin^2 x} dx\\ &= \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx\\ &= -\frac 1 2 \int \frac{(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} dx + \frac 1 2 \int \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} dx\\ &= \frac 1 2 \log \left|\frac{1+\sin x}{1 - \sin x} \right| + C \\ &= \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 - \sin x} + C. \end{align}</math> これも、 <math>\log \left|\tan\left(\frac x 2 + \frac \pi 4\right) \right| = \frac 1 2 \log \frac{1-\cos (x + \frac \pi 2)}{1 + \cos(x + \frac \pi 2)} = \frac 1 2 \log \frac{1+\sin x}{1 -\sin x} </math> である。 {{証明終わり}} ==積分の応用== === 面積 === ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。 [[画像:Integral_x%5E2_0-1.png|right|x^2の0から1までの積分]] 例えば、 <math> \int _0 ^1 x^2 dx = \frac 1 3 </math> は、放物線<math> y = x^2</math>について <math>0 < x < 1</math>の範囲でかこまれる面積に等しい。 '''面積(Ⅰ)''' 曲線<math>y=f(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>及びx軸で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq 0</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math> 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \leqq 0</math>のとき<math>S = -\int_{a}^{b} f(x) dx </math> 厳密な証明は既に数学Ⅱで扱った。 2曲線で囲まれた領域の面積についても、同様である。 '''面積(Ⅱ)''' 2曲線<math>y=f(x), y=g(x)</math>と2直線<math>x=a, x=b</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[a, b]</math>で常に<math>f(x) \geqq g(x)</math>のとき<math>S = \int_{a}^{b} \{ f(x) - g(x) \} dx</math> y軸まわりで考えた場合も同様である。 '''面積(Ⅲ)''' 2曲線<math>x=h(y), x=i(y)</math>と2直線<math>y=c, y=d</math>で囲まれた領域の面積は、 閉区間<math>[c, d]</math>で常に<math>h(y) \geqq i(y)</math>のとき<math>S = \int_{c}^{d} \{ h(y) - i(y) \} dy</math> 媒介変数表示された曲線の場合、xとyの好きな方で面積の式を考えてパラメータに関する式へと置換積分すれば良い。 {{コラム|ガウス＝グリーンの定理| '''ガウス＝グリーンの定理'''という以下のような公式が存在する。 :閉曲面Sで囲まれた空間の領域をV、曲面の外向き法線の方向余弦を（l, m, n）、微分可能な関数をf, g, hとするとき、<math>\int_{V} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}) dV = \int_{S} (fl+gm+hn) dS </math> この定理を高校レベルの求積で使えるように調整すると、以下のようになる。 :曲線<math>\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}</math>について、<math>[a, b]</math>の範囲でtの増加とともに点<math>P(f(t), g(t))</math>がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分<math>OP</math>が通過する領域の面積は、<math>\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \{ x g'(t) - y f'(t) \} dt</math> この定理を用いると、通常の積分で面積を求めるよりも遙かに計算量が少なくて済む。 もちろん記述では使えないが、答えのみ書けば良い場合や検算用のツールとしては非常に役立つ。 }} ; '''発展：極座標系における面積''' [[高等学校数学C/平面上の曲線#極座標|極座標系]]においても、直交座標系と同様に微積分を考えることができる。ここでは、その一例として極方程式で表された曲線における面積について扱う。 '''面積(Ⅳ)''' 曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \beta</math>で囲まれた部分の面積は、 <math>S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \{ r(\theta) \}^2 d\theta</math> *証明 基本的には直交座標の場合と同様である。 :曲線<math>r=r(\theta)</math>と2直線<math>\theta = \alpha, \theta = \tau</math>で囲まれた部分の面積を<math>S(\tau)</math>とおく。 :<math>\Delta \tau > 0</math>として<math>\tau + \Delta \tau</math>の場合を考える。 :閉区間<math>[\tau, \tau + \Delta \tau]</math>における<math>r(\theta)</math>の最小値を<math>m</math>、最大値を<math>M</math>とおくと、微小な扇形の面積を考えることにより<math>\frac{1}{2}m^2\Delta \tau \leqq S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau) \leqq \frac{1}{2} M^2 \Delta \tau</math>が得られる。 :上の不等式の各辺を<math>\Delta \tau</math>で割ると、<math>\frac{1}{2}m^2 \leqq \frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \leqq \frac{1}{2}M^2</math> :<math>\Delta \tau \to 0</math>の極限を考えると、 ::<math>r(\tau)</math>は連続関数なので<math>\frac{1}{2} m^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2, \frac{1}{2} M^2 \to \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> ::微分の定義より<math>\frac{S(\tau + \Delta \tau) - S(\tau)}{\Delta \tau} \to S'(\tau)</math> :よってはさみうちの原理より<math>S'(\tau) = \frac{1}{2} \{ r(\tau) \}^2</math> :これにて示された。 この公式は、'''<math>\theta</math>が偏角である場合のみ用いることができる'''。もし<math>\theta</math>が偏角ではない場合、<math>\theta</math>と偏角<math>\phi</math>の関係を求めて置換積分する必要がある。 ; '''楕円の面積''' '''楕円の面積''' 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の面積は、 <math>S=\pi ab</math> *導出 楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>を<math>y</math>について解くと :<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math> となる。そのうち<math>y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math>は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積''S''となるので :<math>S=2\int _{-a} ^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a}\int _{-a} ^a \sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a} \times \frac{\pi a^2}{2} = \pi ab</math> となる。 === 体積 === ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、底面積<math>S(t)</math>に極めて小さい高さ<math>dt</math><ref>なお、この時、<math>dt</math>が<math>S(t)</math>に対して積分区間で常に鉛直方向の関係にあることが保証されていなければならない。</ref>の積<math>S(t) \, dt</math>の区間<math>[a,b]</math>における累積であるので、以下の式で表すことができる。 :<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> （例1） :<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2)</math>である三角錐を考える。 :この三角錐を平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断すると、断面の三角形の各座標は<math>A_t(t,0,0), B_t(t,t,0), C_t(t,0,2t)</math>となる。この時、<math>\triangle{A_t B_t C_t}</math>の面積<math>S(t)=t^2</math>となる。 :これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}</math>となる<ref>三角錐<math>O-ABC</math>は、<math>\triangle{ABC}</math>を底面（<math>S=1</math>）とし、<math>OA</math>を高さ（<math>1</math>）とする三角錐なので、体積は、<math>\frac{1}{3}</math>となり、正しい。</ref>。 （例2） :設問 :#<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,1)</math>である立方体を想定。 :#平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断し、<math>\square{O_t A_t B_t C_t}</math>を得る。 :#線分<math>O_t A_t , A_t B_t , B_t C_t , C_t O_t </math>に、各々点<math>O_t, A_t, B_t, C_t</math>から、長さ<math>t</math>である点<math>H_t, I_t, J_t, K_t</math>をとり、<math>\square{H_t I_t J_t K_t}</math>を<math>S_t</math>とする。 :#<math>t</math>を区間<math>[0,1]</math>で変化させた時、<math>S_t</math>が通過する部分の体積<math>V</math>を求めよ。なお、<math>S_t</math>が正方形である証明は省略してよい。 :解答 :#<math>S_t</math>の1辺の長さを<math>l</math>とおくと、<math>l^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2 - 2t + 1</math> :#<math>S_t</math>の面積<math>S(t)</math>は<math>l^2</math>であるから、<math>S(t) = 2t^2 - 2t + 1</math> :#これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :#<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} (2t^2 - 2t + 1) \, dt = \left[ \frac{2t^3}{3} - t^2 +t \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}</math>となる。 ; '''回転体の体積''' <math>y= f(x) (a \le x \le b )</math> で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 <math>V = \int _a ^b \pi \{ f(x) \}^2 dx</math> で与えられる。 導出 立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな 定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は <math> h \times \pi (f(c) )^2 </math> となる。 これを<math>a<c<b</math>満たす全てのcについて足し合わせると、 <math> S = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> が得られる。 同様に、<math>x = g(y) (c \le x \le d )</math>で与えられる曲線をy軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 :<math>V = \int _c ^d \pi \{ g(y) \}^2 dy</math> で与えられる。 例えば、 <math> y= x^2 ~(0<x<1) </math> をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 :図形の絵? <math> S = \int_0^1 \pi (x^2)^2 dx </math> <math> =\pi \int_0^1 x^4 dx </math> <math> =\frac {\pi} 5 </math> となる。 ;球の体積 球の体積<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>の導出 半径''r''の球は半円<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>を''x''軸の周りに回転させてつくることができる。 :<math>V=\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}^2 dx=\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx= \frac{4}{3}\pi r^3</math> また体積を''r''で微分すると球の表面積<math>S=4\pi r^2</math>が得られる。 ; 補：バームクーヘン積分 上記の回転体の公式の導出では「円盤の面積を積分」しているが、「円筒の側面積」を積分しても同様の結果が得られる。この考え方を'''バームクーヘン積分（円筒分割積分）'''と呼ぶ。 バームクーヘン積分による回転体の体積の公式 曲線<math>y=f(x)</math>とx軸、直線<math>x=a, x=b</math>に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、 <math>V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math> *導出 :閉区間<math>[x, x + \Delta x](\Delta x > 0)</math>においてx軸と曲線<math>y=f(x)</math>で挟まれた領域をy軸周りに一回転してできる立体の体積を<math>\Delta V</math>とし、同区間におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとおく。 :このとき、<math>\pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}m \leqq \Delta V \leqq \pi \{(x + \Delta x)^2 - x^2 \}M</math> :変形すると<math>\pi(2x + \Delta x)m \leqq \frac{\Delta V}{\Delta x} \leqq \pi (2x + \Delta x)M</math> :<math>\lim_{\Delta x \to + 0} m = \lim_{\Delta x \to + 0} M = f(x)</math>なのではさみうちの原理より<math>\lim_{\Delta x \to + 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\therefore \frac{dV}{dx} = 2 \pi x f(x)</math> :<math>\Delta x < 0</math>でも同様。 :この微分方程式を解く（詳細は[[高等学校理数数学#微分方程式|こちら]]）と、 ::<math>dV = 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>\int dV = \int 2 \pi x f(x) dx</math> ::<math>V = 2 \pi \int x f(x) dx + C</math>（Cは積分定数） :閉区間<math>[a, b]</math>で定積分を考えると、<math>V = 2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) dx</math>となる。 記述問題で用いる場合、念のため上のように証明しておくと良い。 ; 補：パップス・ギュルダンの定理 図形Aを、図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）で求まる。 この定理は大学入試においては非常に有名な裏技であり知っておいて損はないが、記述で用いると完全にアウトである。この定理を用いるのは、選択肢形式の問題かどうしても記述の白紙解答を避けたい場合のみに限ろう。（もっとも、重心がわかる図形で出題されるのはごく稀だが。） {{コラム|一般の軸を中心とした回転体の体積の求め方| 一般に空間中の直線Lの周りの回転体（'''斜軸回転体'''）の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えて求めることができる。 ここでは、回転前の図形が座標平面上に存在する場合を扱う。 ; '''例題''' xy平面において<math>L:y=x, C:y=x^2</math>で囲まれた部分を, 直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。 解答） :曲線C上の点<math>\mathrm{P}(x, x^2)</math>から直線Lに下ろした垂線の足を<math>\mathrm{H}(t, t)</math>とし、直線L上に点<math>\mathrm{Q}(x, x)</math>をとる。 :与えられた条件より<math>0 \leqq x \leqq 1</math>である。 :このとき<math>\overline{\mathrm{PH}} = \frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}} = \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} (\because 0 \leqq x \leqq 1 \implies x \geqq x^2)</math>より、 :<math>t = \overline{\mathrm{OH}} = \overline{\mathrm{OQ}} - \overline{\mathrm{HQ}} = \overline{\mathrm{OQ}} - \overline{\mathrm{PH}} = \sqrt{2}x - \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} = \frac{x+x^2}{\sqrt{2}}</math> :<math>\therefore dt = \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :tの積分範囲は0→√2なので、xの積分範囲は0→1である。 :故に、<math>V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \overline{\mathrm{PH}}^2 dt = \pi \int_{0}^{1} \left(\frac{x-x^2}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot \frac{1+2x}{\sqrt{2}} dx</math> :<math>= \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{1} (2x^5-3x^4+x^2) dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{4} \left[ \frac{1}{3} x^6 - \frac{3}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} </math> :<math>= \frac{\sqrt{2} \pi}{60}</math> この解答を簡潔に纏めると、直線Lをt軸と見做してt軸についての回転体の式を立て、それをx軸についての回転体の式へと置換積分している。 斜軸回転体の体積を求める方法は他にもあるので、簡潔に纏める。 ①傘型分割積分 上の例題で考えると、長さ<math>\overline{\mathrm{PQ}}</math>、微小幅<math>\Delta x</math>の部分をLの周りに一回転すると、傘型状の図形（円錐の側面）になる。 その面積（正確には微小体積）を積分すると回転体の体積が出てくる。この考え方を'''傘型分割積分'''という。不足なく論理展開を記述できれば、入試でこの考え方を用いても減点される可能性は低いだろう。 この過程を一般化すると、以下の公式を導くことができる。 :曲線<math>y=f(x)</math>と直線<math>mx+n, x=a, x=b</math>で囲まれた部分を直線<math>y=mx+n</math>の周りで一回転した体積は、 :<math>V = \pi \cos \theta \int_{a}^{b} \{ f(x) - (mx+n) \}^2 dx</math> :ただし、<math>\tan \theta = m</math>（回転軸がx軸となす角がθである） この公式は完全に裏技なので、記述問題では（証明なしに）使用しない方が無難である。 例題の別解1) :傘型分割積分の公式より<math>V=\pi\cos\frac{\pi}{4} \int_0^1 (x^2-x)^2dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}} \int_0^1 (x^4-2x^3+x^2)dx </math> :<math>= \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)</math> :<math>=\frac{\pi}{30\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}</math> ②回転移動の利用 図形全体を回転移動することにより、回転軸をx軸（もしくはy軸）に重ねることで、強引に回転体の公式に代入する方法。 回転移動には[[高等学校数学C/複素数平面#回転移動|複素数平面の知識]]、[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#一次変換|行列の知識]]のどちらを用いても良い。 この方法では、回転後の図形の方程式が媒介変数表示で出現する場合がある。その場合、回転体の公式を媒介変数についての積分へと置換積分すれば良い。 例題の別解2-1) :<math>y=f(x)</math>を原点中心に<math>\theta</math>回転した図形の方程式は<math>-x\sin\theta+y\cos\theta=f(x\cos\theta+y\sin\theta)</math>なので、 :<math>-\frac{\pi}{4}</math>回転してLをx軸に重ねるとCの方程式は :<math>\frac{y-x}{\sqrt{2}}=\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2</math> :<math>\begin{cases}s=x+y \\ t=x-y \end{cases}</math>と置換すると<math>t=\frac{s^2}{\sqrt{2}}</math>であり、 :上下の和と差を考えて<math>\begin{cases} 2x=s+t \\ 2t= s-t \end{cases}</math> :よって媒介変数表示は :<math>\begin{cases} x=\frac{s+\frac{s^2}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}s+s^2}{2\sqrt{2}} \\ y= \frac{s-\frac{s^2}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}s-s^2}{2\sqrt{2}} \end{cases}</math> :交点<math>(1,1)</math>は<math>(0, \sqrt{2})</math>に移るので :<math>V=\pi\int_0^\sqrt{2} y^2dx=\pi\int_0^\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}s-s^2}{2\sqrt{2}}\right)^2 \frac{d}{ds}\left(\frac{\sqrt{2}s+s^2}{2\sqrt{2}}\right)ds</math> :<math>=\frac{\pi}{16}\int_0^\sqrt{2} (s^4-2\sqrt{2}s^3+2s^2)(\sqrt{2}s+1)ds</math> :<math>=\frac{\pi}{16}\int_0^\sqrt{2} (\sqrt{2}s^5-3s^4+2s^2)ds</math> :<math>=\frac{\pi}{16}\left[\frac{\sqrt{2}}{6}s^6-\frac{3}{5}s^5+\frac{2}{3}s^3\right]_0^\sqrt{2}</math> :<math>=\frac{\pi}{16}\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{12\sqrt{2}}{5}+\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}(\frac{10}{15}-\frac{9}{15})</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}</math> 例題の別解2-2) :<math>C</math>上の点<math>(t, t^2)</math>を<math>-\frac{\pi}{4}</math>回転した点を<math>X, Y</math>とする。 :<math>\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(-\frac{\pi}{4}) & -\sin(-\frac{\pi}{4}) \\ \sin(-\frac{\pi}{4}) & \cos(-\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ t^2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t \\ t^2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t^2+t \\ t^2-t \end{pmatrix}</math> :交点<math>(1,1)</math>は<math>(0, \sqrt{2})</math>に移るので :<math>V=\pi\int_0^\sqrt{2} Y^2 dX=\pi\int_0^1 \left( \frac{t^2-t}{\sqrt{2}} \right)^2 \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2+t}{\sqrt{2}}\right) dt</math> :<math>=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_0^1 (t^4-2t^3+t^2)(2t+1)dt</math> :<math>=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_0^1 (2t^5-3t^4+t^2)dt</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\left[ \frac{1}{3}t^6-\frac{3}{5}t^5+\frac{1}{3}t^3 \right]_0^1</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{3}{5}\right)</math> :<math>=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}</math> }} === 曲線の長さと運動の道のり === ==== 曲線の長さ ==== 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の長さを考える。 :<math>f(t), g(t)</math>とも2階微分可能（第一次導関数が連続）とする。 :<math>a \leqq t \leqq b</math>として閉区間<math>[a, t]</math>における曲線の長さを<math>s(t)</math>とおく。 :<math>t</math>の増分<math>\Delta t</math>が十分小さいとき、<math>\Delta s \fallingdotseq \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math>より<math>\frac{\Delta s}{\Delta t} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2}</math> :<math>\Delta t \to 0</math>のとき、<math>\frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}</math> :この微分方程式を解くと、 ::<math>ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>\int ds = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> ::<math>s = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt + C</math>（Cは積分定数） :ここで<math>s(t)</math>の定義より<math>s(b) - s(a) = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> よって、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅰ) 曲線<math>\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt</math> 曲線の式が<math>y=f(x)</math>で与えられている場合、<math>\begin{cases} x=t \\ y=f(t) \end{cases}</math>と考えて上の公式に代入すると、以下のようになる。 曲線の長さ(Ⅱ) 曲線<math>y=f(x)</math>の閉区間<math>[a, b]</math>における長さLは、 <math>L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dt</math> ==== 速度と道のり ==== [[高等学校数学III/微分法#速度と加速度|微分法で学んだ]]ように、数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置,速度がそれぞれ<math>x(t), v(t)</math>で与えられるとき、<math>v(t) = \frac{d}{dt} x(t)</math>という関係式が成り立った。微分と積分は逆演算の関係にあるので、<math>x(t) = \int v(t) dt + C</math>(Cは積分定数)という関係も成り立つ。このとき、積分定数Cは初期位置<math>x_0</math>を表す。 点Pが<math>t=a</math>から<math>t=b</math>まで運動するとき、位置の変化量は<math>x(b) - x(a) = \int_{a}^{b} v(t) dt</math>で与えられる。すなわち<math>x(b) = x(a) + \int_{a}^{b} v(t) dt</math>であり、<math>x(a)</math>が初期位置<math>x_0</math>を表すことが確かめられた。 また、上の場合において道のりは<math>\int_{a}^{b} |v(t)| dt</math>と計算できる。位置の変化量と道のりが一致するのは、恒等的に<math>x(t) \geqq 0</math>が成り立つ場合のみである。 平面上の運動も同様である。 なお、加速度は位置の二階微分なので、加速度を二階積分すれば位置が求まる。よって、時刻tにおける加速度が<math>a(t) = a</math>であるときの位置は、<math>x(t) = \int \! \int a(t) dt \; dt = \int (at + v_0) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0</math>である。([[高等学校物理基礎/力学#等加速度直線運動|等加速度直線運動]]の式) {{コラム|ベクトル関数|変数tの値を決めるとベクトルA(t)の値が一意に定まるとき、A(t)をtの'''[[解析学基礎/ベクトル解析#ベクトル関数|ベクトル関数]]'''という。基本ベクトルを用いると、ベクトル関数は基本ベクトルのスカラー倍の足し算に分解することができる。このとき、基本ベクトルにかかる係数をベクトル関数の'''成分'''という。ベクトル関数の定義より、成分はtの関数になる。 つまり、'''ベクトル関数に関する微積分はその成分をそれぞれ微分/積分すれば良い'''ということがわかる。 例えば、速度を表すベクトル関数<math>\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2-1 \end{pmatrix}</math>があったとして、初期位置<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>とすると時刻tにおける位置は<math>\vec{x}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int (2t) dt \\ \int (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3-t \end{pmatrix}</math>、時刻tにおける加速度は<math>\vec{a}(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}(2t) \\ \frac{d}{dt}(3t^2-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6t \end{pmatrix}</math>というベクトル関数になる。また、<math>t=0</math>から<math>t=2</math>まで運動したときの位置の変化量ベクトルは<math>\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = \int_{0}^{2} \vec{v}(t) dt = \begin{pmatrix} \int_{0}^{2} (2t) dt \\ \int_{0}^{2} (3t^2-1) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left[ t^2 \right]_{0}^{2} \\ \left[ t^3-t \right]_{0}^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}</math>と求まる 。 すなわち、速度・加速度・位置・道のり等に関する問題はベクトル関数の微積分を計算する問題であると言える。 }} == 区分求積法 == これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。 [[File:Riemann Integration 1.png|thumb|300px|面積計算]] 右図のようなある曲線<math>y=f(x)</math>がある。単純のため、ここではつねに<math>f(x)>0</math>であるものとして考える。この曲線と、''x''軸、および直線<math>x = a, x = b (a < b)</math>によって囲まれる領域の面積''S''を求める。この面積は[[#面積]]の項で学んだように、 : <math>S = \int_a^b f(x)dx</math> と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。 曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積''S''に近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[''a'',''b'']を''n''等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で<math>n \to \infty</math>の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、'''区分求積法'''と呼ぶ。 :[[File:Riemann Integration 4.png|350px|棒グラフによる近似]][[File:Riemann Integration 5.png|350px|さらに細かな棒グラフによる近似]] [[File:Integral numericky obd.svg|thumb|左側で近似]][[File:Somme-superiori.png|thumb|右側で近似]] <math>y=f(x)</math>を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。 ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]を''n''等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、 :<math>0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}</math> となる。ここで、一般に第''k''番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第''n''-1番目とする。第''k''番目の長方形の左端のx座標は<math>\frac{k}{n}</math>であるから、この長方形の高さは<math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math>となり、また長方形の幅は<math>\frac{1}{n}</math>である。そのため、この長方形の面積<math>s_k</math>は、 :<math>s_k = \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。したがって、これらの長方形の面積の総和<math>S_n</math>は、 :<math>S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} s_k = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> この<math>S_n</math>は、区間[0, 1]を''n''等分した時の長方形の面積の総和であるが、''n''を大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、<math>n\to\infty</math>の極限を考え、 :<math>S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして :<math>S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> となる。 区分求積法を計算するとき、'''シグマの範囲の有限個のズレは無視して良い'''。nを無限大に飛ばした極限を考えるとき、有限個あるズレの値は全て0に収束するからである。<br> つまり、l, mを自然数として<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{n-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math>である。 区分求積法は、より一般には次の式で表される。 :<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=l}^{n-m} f(x_k) \Delta x</math> :ただし、<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math> 証明は先ほどと同様である。<br> 大学においては、積分の定義を微分の逆演算ではなく、この式の右辺のような和('''リーマン和'''という)の極限とする場合がある。数学Ⅱで扱った微分積分学の基本定理は、リーマン和(面積計算)と原始関数(微分の逆演算)という二つの概念を結びつけている定理であると言える。 なお、<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=an+l}^{bn-m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>が成り立つ。 '''演習問題2''' :次の極限値を求めよ。 :(1) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} </math> :(2) <math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} </math> :(3) <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n}</math><ref group="ヒント">対数を取る</ref> {{解答}} (1) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac k n} \\ &= \int_0^1 \frac{dx}{1+x}\\ &= [\log(1+x)]_0^1\\ &= \log 2. \end{align} </math> ちなみに、この結果は交代調和級数 <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots</math> の値を求めることに利用できる。実際 <math> \begin{align} \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} &= 1 - \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n+n} \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{align} </math> より、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \log 2 </math> となる。また、 <math> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{1}{2n+1}\right) = \log 2. </math> 従って、<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 </math> を得る。 (2) <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2} &= \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}\\ &= \int_0^1 \frac{xdx}{1+x^2}\\ &= \left[\frac 1 2 \log(1+x^2)\right]_0^1\\ &= \frac 1 2 \log 2. \end{align}</math> (3) <math>\begin{align} \log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 1 n \log\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\cdots \left(\frac{n+2}{n}\right) \right\} \\ &= \frac 1 n \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \end{align}</math> となるから、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \int_0^1 \log(1+x)dx\\ &= [(1+x)\log(1+x)-(1+x)]_0^1\\ &= 2\log 2 - 1. \end{align}</math> したがって、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \frac 4 e. \end{align}</math> {{証明終わり}} == 演習問題 == * [[高等学校数学III 積分法/演習問題|不定積分44題]] * [[/演習問題]] '''演習問題3''' 第一問、第二問は基本問題である。第三問から第六問はやや難しい。 '''第一問（ウォリスの積分）''' :<math>n</math> は非負整数とし、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \, dx</math> を示せ。 :(2) <math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad (n \ge 2)</math> を示せ。 :(3) <math>I_n</math> を求めよ。 '''第二問（ベータ関数の特殊値）''' :<math>m,n</math> は非負整数、<math>\alpha,\beta</math> は <math>\beta > \alpha</math> なる実数とし、<math>I_{m,n} = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx</math> とする。 :(1) <math>I_{m,n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1,n-1} \quad (n\ge 1) </math> を示せ。 :(2) <math>I_{m,n}</math> を求めよ。 :(3) <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta </math> を求めよ。 '''第三問（ウォリスの公式）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。必要に応じて第一問の結果を用いてよい。 :(1) <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> を示せ。 :(2) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} </math> を求めよ。 :(3) <math> I_{2n}I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt n I_{2n+1} </math> を求めよ。 :(5) <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} </math> を求めよ。 '''第四問（スターリングの近似）''' :数列 <math>\{a_n\}</math> を <math>a_n = \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}} </math> で定める。必要に応じて第三問の結果を用いてよい。 :(1) 整数 <math>k > 1</math> について <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) 正の整数 <math>n</math> について <math> - \frac{1}{4n} < \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - \left(2n+\frac 1 2\right)\log 2n + \left(n+\frac 1 2\right)\log n + n < 0 </math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を求めよ。 :(4) <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めよ。 '''第五問（バーゼル問題）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x \, dx,\, J_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}x^2 \cos^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math> n > 0</math> について <math>I_{2n} = n(2n-1)J_{2n-2} - 2n^2 J_{2n}</math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> について、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> が成り立つことを示せ。 :(3) <math>J_{2n} \le \frac{\pi^2 I_{2n}}{8(n+1)}</math> を示せ。 :(4) <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} </math> を求めよ。 '''第六問（ガウス積分）''' :非負整数 <math>n</math> に対し、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x </math> とする。必要に応じて第三問の結果を用いて良い。 :(1) <math> x > 0 </math> のとき、<math> 1-x^2 < e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2} </math> が成り立つことを示せ。 :(2) <math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> とする。正の整数 <math>n </math> について <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> を示せ。 :(3) <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を示せ。ただし、<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty} \int_0^a e^{-x^2}dx </math> である。 :(4) <math> \int_{0}^\infty e^{-x^2}dx </math> を求めよ。 '''解答''' {{解答|第一問}} (1) <math> t = \frac \pi 2 - x </math> と変数変換すると、<math> \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx = \int_{\frac \pi 2}^0 \sin^n\left(\frac \pi 2 - t\right)(-dt) = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n t dt </math> となる。 (2) <math> \begin{align} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx &= \left[-\sin^{n-1}x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= (n-1)\left(\int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-2} x dx - \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x dx \right)\\ \end{align} </math> 従って、<math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}</math> となる。 (3) <math> I_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2,\, I_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x dx = 1. </math> よって、<math> n </math> が偶数のときは <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 I_0 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2. \end{align} </math> <math> n </math> が奇数のときは、 <math> \begin{align} I_n &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 I_1 \\ &= \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \cdots \frac 2 3 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} {{解答|第二問}} (1) <math>\begin{align} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx &= \left[\frac{1}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^n\right]_\alpha^\beta + \int_\alpha^\beta\frac{n}{m+1}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx\\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}dx. \end{align} </math> (2) <math>\begin{align} I_{m,n} &= \frac{n}{m+1}I_{m+1,n-1} \\ &= \cdots \\ &= \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} I_{m+n,0} \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}I_{m+n,0} \end{align} </math> ここで、 <math>I_{m+n,0} = \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{m+n} dx = \frac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} </math> となる。よって、 <math>I_{m,n} = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1} </math> を得る。 (3) <math>t = \sin^2\theta </math> と変数変換すると、 <math>dt = 2\sin\theta\cos\theta d\theta </math> より、 <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}\theta \cos^{2n+1}\theta d\theta = \frac 1 2 \int_0^1 t^m (1-t)^n dt = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}. </math> {{証明終わり}} {{解答|第三問}} (1) <math>0 < x < \frac \pi 2 </math> のとき、<math>0 < \sin x < 1 </math> だから、<math>\sin^{2n+1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x </math> となる。これを積分して、<math>I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n-1} </math> を得る。よって、<math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}</math> である。 (2) 第一問(1)より、 <math>\begin{align} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} &= \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac 1 2 \frac \pi 2 \times \frac{2n+1}{2n}\frac{2n-1}{2n-2} \cdots \frac 3 2\\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n \cdot 2n} \frac \pi 2 \end{align}</math> となる。また、<math>\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} </math> となるから、(1) より、 <math>1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = 1 + \frac{1}{2n} </math> を得る。これより、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1 </math> となるから、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> を得る。 (3) 第一問(3)より、<math>I_{2n} I_{2n+1} = \frac{1}{2n+1} \frac{\pi}{2} </math> である。 (4) <math>\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{I_{2n}I_{2n+1}}{I_{2n+1}^2} = \frac{1}{2n+1}\frac \pi 2 I_{2n+1}^{-2} </math> である。<math>\sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{2n+1} I_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \frac{\sqrt \pi}{2} &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{2n}} I_{2n+1}\\ &= \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} \end{align} </math> となるから、<math>\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> を得る。 (5) <math>\begin{align} I_{2n+1} &= \frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac 2 3\\ &= \frac{\{2n(2n-2)\cdots 2\}^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!} \end{align} </math> より、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}I_{2n+1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt n}{2n+1} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n + \frac{1}{\sqrt n}} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt n} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!} \end{align} </math> となるから、 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> を得る。 '''解説''' <math> \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac \pi 2 </math> はウォリスの公式と呼ばれる。整数の乗除のみで円周率が計算されるという点で興味深いが、収束はとても遅く実用的ではない。例えば、<math>\pi > 3.05</math> を証明するためには <math>n=8</math> まで計算しなくてはならない<ref><math>2\cdot \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdots \frac{16\cdot 16}{15\cdot 17} =</math> 213084064972800/69850115960625 = 2147483648/703956825 = 3.05058...</ref>。また <math>\pi > 3.14</math> を示すには <math>n=493</math> まで計算する必要がある。ちなみに単調増加性は <math>\frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{1-\frac{1}{(2n)^2}} > 1</math> から従う。 また、<math> \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt \pi </math> もウォリスの公式と呼ばれる。これはスターリングの公式やガウス積分を証明するために必要となる。 {{証明終わり}} {{解答|第四問}} (1) [[ファイル:Bounding_the_Integral_of_log_x_with_Trapezoids.svg|サムネイル|log x の台形近似]] <math>\log x </math> は上に狭義凸な関数だから、<math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、直線 <math>x = k-1,\,x=k</math> と <math>y = \log x</math> の2つの交点を結んだ線分と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k</math> によって切り取られる台形（図の青の領域）の面積よりも大きい。台形の面積は、<math>\frac 1 2 \{\log k + \log(k-1)\} = \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\}</math> である。また、 <math>\int_{k-1}^k \log x \, dx</math> は、<math>y = \log x</math> の任意の接線と <math>x</math> 軸、直線 <math>x = k-1,k </math> によって切り取られる台形（図のピンクの領域）の面積よりも小さい。特に <math>x = k</math> で接線を引くと、その傾きは <math>\frac 1 k</math> だから、接線と直線 <math>x = k-1</math> の交点の <math>y</math> 座標は <math>\log k - \frac 1 k</math> である。よって、この台形の面積は <math>\log k - \frac{1}{2k} </math> となる。従って、 <math> \log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx < \log k - \frac{1}{2k} </math> を得る。 (2) <math>\log k - \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} < \int_{k-1}^k \log x \, dx </math> より、<math>\log k < \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac 1 2 \{\log k - \log(k-1)\} </math> となる。よって、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &< \int_n^{2n} \log x \, dx + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 (\log 2n - \log n) \\ &= \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n \end{align} </math> となる。また、<math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \int_n^{2n} \log x \, dx + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2k} \\ &= \left[x\log x - x\right]_n^{2n} + \frac 1 2 \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{n} + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}\right) \\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\frac 1 x </math> は <math>x > 0 </math> で単調減少だから、 <math>\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} > \int_n^{2n} \frac{dx}{x} = \log 2n - \log n </math> となる。従って、 <math>\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2n} \log k &> \left(2n + \frac 1 2\right)\log 2n - \left(n + \frac 1 2 \right) \log n - n - \frac{1}{4n} \\ \end{align}</math> を得る。 (3) <math>\begin{align} \log \frac{a_{2n}}{a_n} &= \log a_{2n} - \log{a_n}\\ &= \log (2n)! - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + 2n - \log n! + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n - n\\ &= \sum_{k=n+1}^{2k}\log k - \left(2n + \frac 1 2 \right) \log 2n + \left(n + \frac 1 2 \right)\log n + n \end{align}</math> であるから、(2) より <math>-\frac{1}{4n} < \log \frac{a_{2n}}{a_n} < 0</math> となる。従って、 <math>\lim_{n\to\infty} \log \frac{a_{2n}}{a_n} = 0</math> あるいは、 <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n} = 1 </math> を得る。 (4) <math>\begin{align} \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} &= \frac{2^{2n}}{\sqrt n} \left(\frac{n!}{n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}\right)^2 \frac{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}{(2n)!} \frac{\left(n^{n+\frac 1 2}e^{-n}\right)^2}{(2n)^{2n+\frac 1 2}e^{-2n}}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2} \frac{a_n^2}{a_{2n}} \end{align}</math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt 2 \frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \frac{a_{2n}}{a_n} = \sqrt{2\pi} </math> を得る。 '''解説''' (1)は凹関数の定積分の値を台形で評価する問題である。このような台形近似の問題は難関大ではよく見られる。 (4) から <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi} n^{n+1/2}e^{-n}} = 1</math> を得る。これは、<math>n</math> が大きいとき階乗を <math>n! \approx \sqrt{2\pi} n^{n+\frac 1 2} e^{-n}</math> と近似できることを意味する。これがスターリングの近似である。 本問は<math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math>を求めてから <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めさせているためやや遠回りに思うかもしれない。数列 <math>\{a_n\}</math> が0以外の実数に収束することを既知とすれば <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{\lim_{n\to \infty}a_{2n}}{\lim_{n\to \infty}a_n} = 1 </math> となることはすぐに分かる。しかし、数列が収束することの条件について高校では詳しく扱わないため、厳密に <math> \lim_{n\to \infty}a_n </math> を求めるためには <math> \lim_{n\to \infty}\frac{a_{2n}}{a_n} </math> を経由する必要がある。一般に、下に有界な単調減少数列は収束するということが知られている<ref>詳しくは [[解析学基礎/実数]]を参照</ref>。これを認めれば、数列 <math>\{a_n\}</math> が収束することは、次のように証明することができる。 <math>\log k > \int_{k-1}^k \log x \, dx + \frac{1}{2k} </math> より、 <math>\begin{align} \log n ! &= \sum_{k=2}^n \log k \\ &> \int_{1}^n \log x \, dx + \frac 1 2 \sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\\ &> n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \int_{2}^{n+1}\frac{dx}{x}\\ &= n\log n - n + 1 + \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log 2\} \end{align} </math> <math>\begin{align} \log a_n &= \log n! - \left(n + \frac 1 2\right)\log n + n \\ &> \frac 1 2 \{\log(n+1) - \log n \} + 1 - \frac 1 2 \log 2\\ &> 1 - \frac 1 2 \log 2 \end{align} </math> となるから、<math> a_n > \frac e \sqrt{2} </math> より下に有界である。 また、 <math> \begin{align} \log \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \log(n+1) - \left(n + \frac 3 2\right)\log(n+1) + n+1 + \left(n+\frac 1 2\right)\log n - n\\ &= \frac 1 2 \{\log(n+1)+\log n\} - \int_n^{n+1} \log x dx\\ &< 0 \end{align} </math> から、<math> a_{n+1} < a_n. </math> すなわち単調減少であるから、<math>\{a_n\}</math> は収束する。 {{証明終わり}} {{解答|スターリングの近似の応用}} スターリングの近似は階乗を含む極限の問題に応用できる。例えば、演習問題2の(2)は、 <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^\frac{1}{n} &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{2\pi}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}{\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}n^n}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2^{2n + 1/2}}{e^{n}}\right)^\frac{1}{n}\\ &= \frac 4 e. \end{align}</math> また、スターリングの近似から二項分布の極限が正規分布に収束することが証明できる。 二項分布の確率分布は、 <math>P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} </math> である。スターリングの近似より、 <math>\begin{align} \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} &\approx \frac{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac 1 2}e^{-n}}{\sqrt{2\pi}k^{k+\frac 1 2}e^{-k}\sqrt{2\pi}(n-k)^{n-k+\frac 1 2}e^{-(n-k)}}p^kq^{n-k}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \end{align}</math> となる。ここで、<math>\lim_{n\to\infty} \frac k n = p </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n\frac k n (1-\frac k n)}} = \frac{1}{\sqrt{npq}}</math> となる。 次に、<math>\log (1+x) \approx x - \frac 1 2 x^2 </math> の近似式を使うと、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k &= k\log \left(1 - \frac{k-np}{k}\right) \\ &\approx -(k-np) - \frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k} \end{align}</math> <math>\begin{align}\log \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &= (n-k)\log \left(1 - \frac{n-k-nq}{n-k}\right) \\ &\approx -(n-k-nq) - \frac 1 2 \frac{(n-k-nq)^2}{n-k} \\ &= -(np-k) - \frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\end{align}</math> となる。さらに、 <math>\begin{align}\log \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{k}-\frac 1 2 \frac{(np-k)^2}{n-k}\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{npq}{k} + \frac{npq}{n-k}\right)\\ &\approx -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \left(\frac{pq}{p} + \frac{pq}{1-p}\right)\\ &= -\frac 1 2 \frac{(k-np)^2}{npq} \end{align}</math> となる。最終的に、 <math>P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}</math> を得る。これは、平均 <math>\mu = np</math> 分散 <math>\sigma^2 = npq</math> の正規分布である。 {{証明終わり}} {{解答|第五問}} (1) <math>\begin{align} I_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n}x dx \\ &= \left[x\cos^{2n}x\right]_0^{\frac \pi 2} + 2n\int_0^{\frac \pi 2} x\sin x \cos^{2n-1}x dx\\ &= 2n \left[\frac 1 2 x^2 \sin x \cos^{2n-1}x\right]_0^{\frac \pi 2} - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)\sin^2 x \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= - n\int_0^{\frac \pi 2} x^2 \{\cos^{2n}x - (2n-1)(1-\cos^2 x) \cos^{2n-2}x \} dx \\ &= n(2n-1)J_{2n-2} -2n^2 J_{2n}. \end{align} </math> (2) <math> 0 \le x \le \frac \pi 2</math> で <math>\sin x</math> は上に凸であるから、<math> \frac{2}{\pi}x \le \sin x</math> となる。 (3) <math> \begin{align} J_{2n} &= \int_0^{\frac \pi 2} x^2 \cos^{2n}x dx \le \frac{\pi^2}{4} \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 x \cos^{2n} x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} (I_{2n} - I_{2n+2}) \\ &= \frac{\pi^2}{4} \frac{I_{2n}}{2n+2} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 (4) (1) より、 <math> \begin{align} \frac{1}{n^2} &= \frac{(2n-1)J_{2n-2}}{n I_{2n}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}}\\ &= \frac{2J_{2n-2}}{I_{2n-2}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} \end{align} </math> となる。ただし、最後の行への変形で第一問(2)の漸化式を使った。 よって、 <math> \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2J_{2k-2}}{I_{2k-2}} - \frac{2J_{2k}}{I_{2k}}\right) = \frac{2J_{0}}{I_{0}} - \frac{2J_{2n}}{I_{2n}} </math> となる。ここで、<math>J_0 = \int_0^{\frac \pi 2} x^2 dx = \frac{\pi^3}{24},\, I_0 = \frac \pi 2</math> より、<math>\frac{2J_{0}}{I_{0}} = \frac{\pi^2}{6}. </math> また、<math> 0 < \frac{J_{2n}}{I_{2n}} \le \frac{\pi^2}{8(n+1)} </math> より、<math>\lim_{n\to\infty}\frac{J_{2n}}{I_{2n}} = 0 </math> となるから、<math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} </math> を得る。 '''解説''' 本問は Daniel Daners. (2012). A Short Elementary Proof of Σ 1/k² = π²/6. ''Mathematics Magazine'', ''85''(5), 361–364. https://doi.org/10.4169/math.mag.85.5.361 を参考にした。 <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> はゼータ関数と呼ばれるもので、数論において重要な関数である。この問題から <math>\zeta(2) =\frac{\pi^2}{6}</math> である。また、<math>\zeta(1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> は調和級数であるため発散する。 <math>s</math> が実数のとき、<math>s > 1</math> で <math>\zeta(s)</math> は収束することを示すことができる。実際、<math>\frac{1}{n^s} < \int_{n-1}^n \frac{dx}{x^s}</math> となるから、<math>\sum_{n=2}^m \frac{1}{n^s} < \int_1^m \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}(1-m^{1-s}) < \frac{1}{s-1}</math> であるから上界を持つ。また、各項は正であるため <math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> は単調増加である。従って、 <math>\zeta(s)</math> は <math>s > 1</math> のとき収束する。 <math>s < 1</math> のとき、<math>\frac{1}{n} < \frac{1}{n^s}</math> から、<math>\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} < \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^s}</math> となるため発散する。 解析接続という手法を用いることでゼータ関数の定義域を <math>s=1</math> を除く複素数にまで拡張することができる。 {{証明終わり}} {{解答|第六問}} (1) <math>f(x) = e^x - x - 1</math> とすると、<math>f'(x) = e^x - 1 ,\, f''(x) = e^x</math> だから、<math>f(x) </math> は上に狭義凸な関数で最小値は <math>f(0) = 0</math> である。従って、<math>x \neq 0</math> のとき <math>e^x > x + 1</math> である。よって、<math>e^{-x^2} > 1-x^2.</math> また、<math>e^{-x} < \frac{1}{1+x}</math> に <math>x^2</math> を代入して <math>e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2}</math> を得る。 (2) (1) より、<math>(1-x^2)^n < e^{-nx^2} </math> であるから、積分して <math>\int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^1 e^{-nx^2} dx </math> を得る。同様に、<math>e^{-nx^2} < \frac{1}{(1+x^2)^n}</math> を積分して <math>\int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan\theta_0}\frac{1}{(1+x^2)^n}dx</math> を得る。<math> \frac \pi 4 < \theta_0 < \frac \pi 2 </math> より、<math>1 < \tan\theta_0</math> である。また、<math>e^{-nx^2} > 0</math> から <math>\int_0^{1}e^{-nx^2} dx < \int_0^{\tan \theta_0}e^{-nx^2} dx </math> となる。したがって、 <math> \int_0^1 (1-x^2)^n dx < \int_0^{\tan\theta_0} e^{-nx^2}dx < \int_0^{\tan \theta_0} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx </math> である。 (3) <math>x = \sin \theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^n dx &= \int_0^{\frac \pi 2} (1-\sin^2\theta)^n \cos\theta d\theta\\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \cos^{2n+1}\theta d\theta\\ &= I_{2n+1} \end{align} </math> となる。また、<math>x = \tan\theta</math> と変数変換して、 <math>\begin{align} \int_0^{\tan \theta_0} \frac{dx}{(1+x^2)^n} &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n}\theta \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &= \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta \end{align} </math> となる。 <math>x \to \frac x \sqrt n </math> と変数変換すると、<math>\int_0^{\tan \theta_0} e^{-nx^2}dx = \frac 1 \sqrt n \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx </math> となる。よって、 <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx < \sqrt n \int_0^{\theta_0} \cos^{2n-2}\theta d\theta </math> となる。ここで、<math> \theta_0 \to \frac \pi 2 - 0</math> の極限を取ると <math> \lim_{\theta_0 \to \frac \pi 2 - 0}\int_0^{\frac{\tan\theta_0}{\sqrt n}} e^{-x^2}dx = \lim_{a \to \infty}\int_0^{a} e^{-x^2}dx = \int_0^\infty e^{-x^2}dx </math> となるから <math> \sqrt n I_{2n+1} < \int_0^\infty e^{-x^2}dx < \sqrt n I_{2n-2} </math> を得る。 (4) 第三問より、<math>\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = 1 </math>, <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n+1} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> であるから、 <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n I_{2n-2} = \lim_{m\to\infty} \sqrt n \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}\frac{I_{2n-1}}{I_{2n-2}}I_{2n-2} = \frac{\sqrt \pi}{2} </math> となる。よって、 <math>\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt \pi}{2}. </math> '''解説''' (4) の被積分関数は偶関数だから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt \pi </math> となる。ここで、 <math>x \to \sqrt a x</math> （<math>a</math> は正の実数）と変換すると、<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math> を得る。これを使うと正規分布の確率密度関数が<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = 1 </math> と正規化されていることが分かる。また、 <math> \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx &= [xe^{-ax^2}]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty 2ax^2 e^{-ax^2}dx \end{align} </math> より、<math> \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-ax^2}dx = \frac 1 2 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} </math> を得る。よって、正規分布の分散は <math> \begin{align} V[X] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \sigma^2 \end{align} </math> となる。 {{証明終わり}} == 脚注 == <references/> <references group="ヒント"/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII せきふんほう}} [[Category:高等学校数学III|せきふんほう]] [[カテゴリ:積分法]] dljx7gqmlh47wzeua9ey9x3vssfuys5 1 1934 300418 300355 2026-06-14T13:53:02Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 今後の参考にして下さい。数学IIIの積分の応用 面積について。???0<x<1の範囲でかこまれる面積に等しい。 */ 新しい節 300418 wikitext text/x-wiki <math> \int \frac 1 x dx = \ln |x| </math> の導出を書かなくては...。 --[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年5月8日 (日) 05:11 (UTC) == 区分求積法 == 区分求積法の記述が見当たらないと思ったのですが、なぜでしょうか？ 高校学習指導要領から消えたからですかね？ たとえそうであったとしても、概念としてかなり重要になるものですし、発展内容・コラム的な内容で入れることはできないでしょうか。 個人的な考えで言えば、初学者に対しては区分求積法を積分の定義として、その微分がもとの関数に戻ることを示してから積分は微分の逆演算である、としたほうが理解が早まると思っていますので、入れるべきだと思います。--[[利用者:Yamazzaki|Yamazzaki]] 2010年3月7日 (日) 15:45 (UTC) : Yamazzakiさんの仰るとおり、区分求積法についても書くべきと考えます。区分求積法を積分の定義とするか否かについては議論の余地があると思いますが、積分の理解の上では不可欠ですし、大学入試を考えたときに区分求積法の知識が問われることもありますので、あるべきものです。この教科書では数学IIの[[高等学校数学II 微分・積分の考え]]で積分法を定義していますし、現在の多くの検定教科書ではこの方法が取られています。その上で極限を導入した後区分求積法を解説します。「区分求積法を積分の定義として」解説する方法は初学者にとって易しいものであろうという点はわたしも同意しますが、高校数学の体系からすると、微分の逆演算として数学IIにおいて定義した後に「こういうこともできるよね」と数学IIIで導入するしかないような気がします。--[[利用者:Ninomy|Ninomy]]<small>-[[利用者‐会話:Ninomy|chat]]</small> 2010年3月7日 (日) 17:16 (UTC) : 区分求積法についての記述がどこかにあるべきということには全面的に同意します。積分を学ぶからにはぜひ知っておくべき内容です。ただ私は個人的には、区分求積を積分の定義として持ってくるのは、ある生徒にとってはわかりやすくなるというのはわかりますが、あまねくすべての生徒にとって分かりやすいとは思えません。その辺を議論してもあまり意味がないでしょうから詳しく議論はしませんが、広く大衆に対して教育するカリキュラムたる高校数学のカリキュラムが今のような形式であるのは、私は妥当だと思います。--[[特別:投稿記録/211.1.219.126|211.1.219.126]] 2010年3月9日 (火) 11:42 (UTC) ::意見を総括しますと、兎も角「区分求積法については書くべき」という意見で一致のようですね。 ::特に反対意見も内容ですので、コラムまたは発展的内容の形で掲載、という方向で掲載しましょう。 ::あとは実際に書くだけですね。誰でも良いので何らかの投稿をお願いします。 ::自分で書きたいのは山々なんですが、区分求積法については所々忘れてまして、むしろ解説を読みたい側です。--[[利用者:Yamazzaki|Yamazzaki]] 2010年3月9日 (火) 17:27 (UTC) : [[File:Riemann sum (leftbox).gif|thumb]]区分求積法について、[[高等学校数学III 積分法#区分求積法]]の項を書いてみました。荒っぽく上手でない解説かなと恐縮しておりますが、イメージは掴めるのではないかとおもいます。図を検索したところ、区間[''a'', ''b'']の面積を求めるものしかありませんでしたが、実際に高等学校で教えられているのは[0,1]の場合のみとなります。また、面積計算よりは極限計算の考え方として取り上げられることが多いように思います。極限計算法と、積分の意味という2つの観点からもう少しうまく解説できればよいと思っております。また、今回は静止画像のみ含めましたが、右のような動画もありますので、うまく利用すると良いかもしれません。--[[利用者:Ninomy|Ninomy]]<small>-[[利用者‐会話:Ninomy|chat]]</small> 2010年3月9日 (火) 18:53 (UTC) == 1行削除へ。検討をお願いします。 == :＞高等学校数学の全ての分野を学んだ後に学習に取り組んでほしい。 :?条文の全ての分野を学んだ後に条文に取り組んでほしい。に見えます。 :もしかしたら、高校数学の最後の単元の意味カモ。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月5日 (火) 23:17 (UTC) == ＞開区間[a,b]において...間違ったビミョーだと思いました。無難に開区間[a,b]→区間[a,b]へ。3箇所です。 == ①[[高等学校数学III/積分法#定積分と不等式]] :?→開区間(a,b) ?広義積分の意味でしょうか。 ②(ついでに)省略 :「定積分の○○法」があるから、不定積分で「○○法」→「不定積分の○○法」は、意味が通じるから省略。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月6日 (水) 09:42 (UTC) == 導出の事例を探しています。「積分の基本的な性質」について教えて下さい。 == [[高等学校数学III/積分法#積分の基本的な性質]] ①導出について。 :もしかしたら、[[w:不定積分#不定積分の定義]]からですか。線形性の意味ですか? :＞...の両辺を微分すると、... :＞...の両辺は一致する。... :?最初に証明する(すべき)式を並べて、両辺を微分してあります。 :【要望】左辺=...　⇔　(?同値変形)　...⇔　=右辺　になりました。 :左辺→右辺と、ならないものですか。(左辺の微分→右辺の微分カモ) ②本節の最後の3行。不定積分の節内の定積分です。 :＞関数  f(x) の原始関数を F(x) とすると... :説明追加(?定積分で)、又は3行を定積分に移動だと思いました。 (外部リンク) :KIT数学ナビゲーション :https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/futeisekibun-no-kihonsiki-2.html 事例をよろしくお願いします。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月7日 (木) 09:30 (UTC) == 今後の参考にして下さい。私は、少しずつワカッテきました。 == :わかる　3個 :分かる　2個 :分る　　3個 :事例をよろしくお願いします。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月13日 (水) 13:51 (UTC) == 教えて下さい。高等学校数学IIIの置換積分法でdg(x)と学習しますか。 == :修正不要です。 :[[高等学校数学III/積分法#置換積分法]] :導出は、合成関数の導関数(limit省略)からが、いいと思いました。 :dy/dt=dy/dx・dx/dt=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)。両辺積分です。 :チョット気になる本文2ステップ。積分記号の中にxとtの混在。 :本文はレベルが高いと思いました。初等数学公式集レベルかも。 :(参考) :https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/chikansekibun.html --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年6月12日 (金) 09:55 (UTC) == 今後の参考にして下さい。数学IIIの積分の応用 面積について。???0<x<1の範囲でかこまれる面積に等しい。 == :[[高等学校数学III/積分法#積分の応用]] :次行の数学IIの表現でいいと思いました。 :[[高等学校数学II/微分・積分の考え#定積分と面積]] --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年6月14日 (日) 13:53 (UTC) a3fwg26v9p6pwuv1x9yki4mtirgej7t 0 3661 300423 287861 2026-06-15T08:57:13Z ~2026-35223-85 91766 /* 判例 */ 300423 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[コンメンタール民法]]＞[[第4編 親族 (コンメンタール民法)]] ==条文== （[[扶養]]義務者） ;第877条 # 直系血族及び兄弟姉妹は、互いに扶養をする義務がある。 # [[家庭裁判所]]は、特別の事情があるときは、前項に規定する場合のほか、三親等内の[[親族]]間においても扶養の義務を負わせることができる。 # 前項の規定による審判があった後事情に変更を生じたときは、家庭裁判所は、その審判を取り消すことができる。 ==解説== {{wikipedia|扶養}} :親族間の扶養の義務について定める。この場合、扶養とは、事実としての生活の扶助等又はそれに要する費用の負担を言う。[[民法第954条#参考|明治民法第954条]]の趣旨（扶養の範囲など）を継承。 :夫婦を除いて（[[民法第752条]]）、扶養義務において順位はつけられていないため、扶養者の連帯による扶養を行い、その負担の分担は扶養者間の協議に委ねられる。協議が整わない場合、家庭裁判所の審判による場合もある。この場合、一応は親等の差などが目安とはなろうが、その他、扶養者の資力等も総合的に判断されることとなる。 :1項の直系血族には、離婚等により親権を失った親子を当然に含み（[[民法第766条|第766条]]により、「子の監護に要する費用の分担」を定めていたとしても、それを根拠に、扶養を要する子が自らの権利「扶養を受ける権利」を放棄したものではないから（[[民法第881条|第881条]]扶養請求権の処分の禁止）、親権者である親の一方が子の扶養を十分に履行しない又は履行できない場合、他方の親に扶養に要する費用を請求できる）、また、兄弟姉妹とは、父母の双方を共通にする全血兄弟姉妹か、父母の一方のみを共通にする半血兄弟姉妹かを問わない。 :2項で3親等内の親族の扶養義務を定めるが、直系血族の配偶者<ref name="姻族">扶養義務ある直系血族等が亡くなった場合、その配偶者は[[民法第728条|第728条]]第2項に定める姻族関係を終了させる意思を表示しないかぎり扶養義務を負う可能性がある。</ref>、おじおば、甥姪、その各配偶者<ref name="姻族"/>にまで扶養義務が生ずることになることから、特別の事情と家庭裁判所の審判を必要とした。 ==参照条文== *[[民法第878条|第878条]]（扶養の順位） *[[民法第879条|第879条]]（扶養の程度又は方法） *[[民法第880条|第880条]]（扶養に関する協議又は審判の変更又は取消し） *[[民法第881条|第881条]]（扶養請求権の処分の禁止） *[[扶養義務の準拠法に関する法律]] ==判例== #[https://www.courts.go.jp/hanrei/55977/detail2/index.html 扶養料立替等請求](最高裁判決 昭和26年02月13日) #;扶養義務者の意に反して扶養権利者を引き取り扶養した他の扶養義務者と扶養費用の負担 #:現に扶養をしている扶養義務者の意に反して扶養権利者を引き取つて扶養したという事実だけでは、引き取つた他の扶養義務者が自己のみで扶養費用を負担すべきものとすることはできない。 #[https://www.courts.go.jp/hanrei/69637/detail2/index.html 損害賠償請求事件](最高裁判決 平成12年9月7日)[[民法第416条]]、[[民法第709条]] #;不法行為によって扶養者が死亡した場合における被扶養者の将来の扶養利益喪失による損害額の算定方法 #::*不法行為によって扶養者が死亡し、当該扶養者に多額の借財があって被扶養者である相続人が相続を放棄した場合に、加害者に対し扶養利益の喪失による損害賠償を請求することができるか、また、その算定基準について。 #:不法行為によって扶養者が死亡した場合における被扶養者の将来の扶養利益喪失による損害額は、扶養者の生前の収入、そのうち被扶養者の生計の維持に充てるべき部分、被扶養者各人につき扶養利益として認められるべき比率割合、扶養を要する状態が存続すべき期間などの具体的事情に応じて算定すべきである。 #:*不法行為によって死亡した者の配偶者及び子が右死亡者から扶養を受けていた場合に、加害者は右配偶者等の固有の利益である扶養請求権を侵害したものであるから、右配偶者等は、相続放棄をしたときであっても、加害者に対し、扶養利益の喪失による損害賠償を請求することができる。 #:*その扶養利益喪失による損害額は、相続により取得すべき死亡者の逸失利益の額と当然に同じ額となるものではなく、個々の事案において、扶養者の生前の収入、そのうち被扶養者の生計の維持に充てるべき部分、被扶養者各人につき扶養利益として認められるべき比率割合、扶養を要する状態が存続する期間などの具体的事情に応じて適正に算定すべきものである。 #[https://www.courts.go.jp/hanrei/92090/detail2/index.html 婚姻費用分担申立て却下審判に対する抗告審の変更決定に対する許可抗告事件](最高裁決定 令和5年5月17日)[[民法第760条]]、[[民法第772条]] #;婚姻費用分担審判において、夫とその妻が婚姻後に出産し戸籍上夫婦の嫡出子とされている子であって民法772条による嫡出の推定を受けないものとの間の父子関係の存否を審理判断することなく、夫の上記子に対する上記父子関係に基づく扶養義務を認めた原審の判断に違法があるとされた事例 #:婚姻費用分担審判において、夫とその妻が婚姻後に出産し戸籍上夫婦の嫡出子とされている子であって民法772条による嫡出の推定を受けないものとの間の父子関係の存否は訴訟において最終的に判断されるべきものであることを理由に、上記父子関係の不存在を確認する旨の判決が確定するまで夫は扶養義務を免れないとして、上記父子関係の存否を審理判断することなく、夫の上記子に対する上記父子関係に基づく扶養義務を認めた原審の判断には、違法がある。 #福岡高等裁判所 令和元年9月2日 決定<ref>家庭の法と裁判 39号54頁</ref><br>（原審 福岡家庭裁判所小倉支部 平成30年11月30日 審判<ref>家庭の法と裁判 39号58頁</ref>） #;大学在学中に精神疾患（双極性感情障害等）を発症し、卒業が遅れた当時26歳の子が、離婚した父に対し、成人後（養育費支払合意の終期である22歳以降）の扶養料を請求した事案。 #:*裁判所は、子が成人に達していても、精神疾患により稼働能力が制限されている期間は、親は「未成熟子に対する生活保持義務」を負うと判示した。父側は、子が成人していることや過去の合意（22歳まで）を理由に免責を主張したが、裁判所は、子が自立できない原因が本人に帰責できない病気にあることや、父が子の窮状を知りつつ接触を拒否していた事情などを考慮し、請求を認め、父に対して288万円の支払いを命じた。 #:*一方で、「抗告人が大学を卒業後にいかなる職に就くかは、抗告人が自らの判断により決すべき事柄であり、抗告人が未だ就労に至っていないからといって、稼働能力を有しないということはできない」として、大学在学中の病状をもとに大学卒業後の扶養義務を判断することはできないと判示した。 #:*成人後であっても、病気等の正当な事由があれば、生活保持義務に基づく標準算定方式（養育費算定表の基礎となる計算式）を用いて扶養料が算定されることが示された。 #東京高等裁判所 令和7年12月22日 決定<ref>LEX/DB 25624938</ref><br>（原審 千葉家庭裁判所木更津支部 令和7年8月20日 審判<ref>LEX/DB 25624241・同 25624239</ref>） #;[[:w:中央大学法学部|中央大学法学部]]（[[:w:中央大学法学部通信教育課程|通信教育課程]]）を卒業したものの、PTSDおよび二次性うつ病により就労できない当時26歳の子に対し、両親が「大学卒業」等を理由に「仕送りの停止通告」と題する書面をもって扶養料の履行を一方的に停止した事案。子は仕送り停止後に生活保護を受給していた。 #:*高等裁判所は抗告を棄却し、家庭裁判所の審判を概ね踏襲する形で、抗告人（子）を「成年子（未成熟子）」と定義づけた上で、精神疾患により自活能力がない以上、両親が負うべき扶養義務は「生活扶助義務」ではなく、「生活保持義務」であると認定した。終期や解除条件は設定されなかった。 #:*裁判所は「生活保護は、民法上の扶養義務者による扶養に劣後して行われるものである」として、子が生活保護を受給していても、その受給額を子の収入として認定して扶養料算定の基礎収入から控除することはできないと判示した。 #:*父（年収約1172万円）と母（年収約110万円）に対し、生活保持義務に基づき改定標準算定方式を適用し、合計月額17万円という比較的高額な扶養料の支払いを命じた。 #:*さらに、抗告人（子）が障害基礎年金の受給見込みがあると判示しながらも、年金受給見込み額は収入として計上しなかった。これにより、「本件での認容額月額17万円」と「障害基礎年金月額約7万円」の合わせて約24万円が扶養権利者である子の非課税収入となるという極めて高額なものとなった。 #:*以前の判例（福岡高等裁判所 令和元年9月2日 決定）が「大学在学中」という学生身分を要素としていたのに対し、本決定は「大学卒業後」であっても、純粋に疾病による稼働不能をもって終期を定めない生活保持義務を認めた点で、扶養義務の範囲をより実質的に捉える傾向を示し、大幅に前進させたものといえる。 ==注== <references/> ==参考== 明治民法において、本条には親権に関する以下の規定があった。戦後改正による家制度廃止に伴って大きく改正され、[[民法第818条]]及び[[民法第819条]]に継承された。 #子ハ其家ニ在ル父ノ親権ニ服ス但独立ノ生計ヲ立ツル成年者ハ此限ニ在ラス #父カ知レサルトキ、死亡シタルトキ、家ヲ去リタルトキ又ハ親権ヲ行フコト能ハサルトキハ家ニ在ル母之ヲ行フ ---- {{前後 |[[コンメンタール民法|民法]] |[[第4編 親族 (コンメンタール民法)|第4編 親族]]<br> [[第4編 親族 (コンメンタール民法)#7|第7章 扶養]]<br> |[[民法第876条の10]]<br>（補助の事務及び補助人の任務の終了等） |[[民法第878条]]<br>（扶養の順位） }} {{stub|law}} [[category:民法|877]] ak07mlp1wkmo5x1cdfb60x3zemrvlyh 0 17157 300417 300393 2026-06-14T12:46:53Z Nermer314 62933 [[Special:Contributions/~2026-34826-94|~2026-34826-94]] ([[User talk:~2026-34826-94|トーク]]) による版 [[Special:Diff/300393|300393]] を取り消し 300417 wikitext text/x-wiki == 問題 == 次の不定積分を計算せよ。 #<math>\int \left(\frac{x+2}{x}\right)^2 dx</math> #<math>\int \left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)dx</math> #<math>\int \left(\sqrt{2x}+3\right)^2 dx</math> #<math>\int \frac{x-\cos^2x}{x\cos^2x} dx</math> #<math>\int \left(\tan^2x+\frac{1}{\tan^2x}\right) dx</math> #<math>\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right) dx</math> #<math>\int 3^{x+2} dx</math> #<math>\int (x+2)(x^2+4x+1)^3 dx</math> #<math>\int \frac{x+1}{(3x-1)^3} dx</math> #<math>\int \cos^3x \cdot \sin^2 x dx</math> #<math>\int \frac{dx}{(1+\tan x)\cos^2x}</math> #<math>\int (2x+1)e^{x^2+x+5} dx</math> #<math>\int \frac{e^{4x}}{e^{2x}+1} dx</math> #<math>\int x\sqrt{1-x} dx</math> #<math>\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx</math> #<math>\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx</math> #<math>\int \frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4} dx</math> #<math>\int \frac{3x+2}{x(x+1)^3} dx</math> #<math>\int \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}-1} dx</math> #<math>\int \frac{\cos x}{\sin x(\sin x+1)} dx</math> #<math>\int \left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right)^2 dx</math> #<math>\int \tan^4x dx</math> #<math>\int \frac{\sin 2x}{1+\sin x} dx</math> #<math>\int \frac{x}{1-\cos x} dx</math> #<math>\int \frac{1}{1-\sin x} dx</math> #<math>\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1} dx</math> #<math>\int \log(x^2-1) dx</math> #<math>\int \frac{e^{3x}}{e^x-1} dx</math> #<math>\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}} dx</math> #<math>\int \frac{dx}{3x^2-4x-2}</math> #<math>\int \frac{dx}{\sqrt{2x^2-4x+3}}</math> #<math>\int \frac{\tan x}{\cos^3 x}dx</math> #<math>\int \frac{dx}{1+\cos x}</math> #<math>\int x\tan^2x dx</math> #<math>\int e^x \cos x dx</math> #<math>\int \sqrt{x^2-x-1} dx</math> #<math>\int \sin 2x \cdot \cos 3x dx</math> #<math>\int \left(\sin x+\frac{1}{\sin x}\right)^2 dx</math> #<math>\int \frac{1+\cos^3x}{\cos^2x}dx</math> #<math>\int \frac{dx}{1+\sin x}</math> #<math>\int \frac{dx}{e^x+1}</math> #<math>\int \left(\log x\right)^2 dx</math> #<math>\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}dx</math> #<math>\int \frac{dx}{x\sqrt{2x-x^2}}</math> == 解答 == 以下の解答においては、問iにおいて計算すべき積分をI_iとおくことにする。 <math> \begin{align} I_1&= \int \left(\frac{x+2}{x}\right)^2 dx \\ &= \int \left(1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right) dx \\ &= x+4\log|x|-\frac{4}{x}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_2&= \int \left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right) dx \\ &= \int \left(x-\sqrt{x}-2\right) dx \\ &= \frac{x^2}{2}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x+C \\ \end{align} </math> <math> \begin{align} I_3&=\int \left(\sqrt{2x}+3\right)^2 dx \\ &=\int \left(2x+6\sqrt{2x}+9\right) dx \\ &=x^2+4x\sqrt{2x}+9x+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_4&= \int \frac{x-\cos^2x}{x\cos^2x} dx \\ &= \int \left(\frac{1}{\cos^2x}-\frac{1}{x}\right) dx \\ &= \tan x-\log|x|+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_5&=\int \left(\tan^2x+\frac{1}{\tan^2x}\right) dx \\ &=\int \left( \left(\frac{1}{\cos^2 x}-1\right)+\left(\frac{1}{\sin^2x}-1 \right)\right) dx\\ &=\tan x-\frac{1}{\tan x}-2x+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_6&=\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right) dx \\ &=e^x+\log|x|+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_7&=\int 3^{x+2} dx \\ &=\frac{3^{x+2}}{\log 3}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_8&=\int (x+2)(x^2+4x+1)^3 dx \\ \end{align} </math> <math>t=x^2+4x+1</math>とおくと<math>dt=(2x+4)dx=2(x+2)dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_8&=\int \frac{t^3}{2} dt \\ &=\frac{t^4}{8}+C \\ &=\frac{1}{8}(x^2+4x+1)^4+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_9&=\int \frac{x+1}{(3x-1)^3} dx\\ &=\int \left(\frac{1}{3(3x-1)^2}+\frac{4}{3(3x-1)^3}\right) dx \\ &=-\frac{1}{9(3x-1)}-\frac{2}{9(3x-1)^2}+C \\ &=-\frac{3x+1}{9(3x-1)^2}+C \end{align} </math> 別解 <math>t=3x-1</math>と置く。 <math>x=\frac{t+1}{3},\;\;x+1=\frac{t+4}{3},\;\;\frac{dt}{dx}=3,\;\;dt=3dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{9}&=\frac{1}{9}\int \left(\frac{t+4}{t^3} \right)dt\\ &=\frac{1}{9}\int \left(\frac{1}{t^2}+\frac{4}{t^3} \right)dt\\ &=-\frac{1}{9} \left(\frac{1}{t}+\frac{2}{t^2} \right)+C\\ &=-\frac{1}{9} \left(\frac{1}{3x-1}+\frac{2}{(3x-1)^2} \right)+C\\ &=-\frac{3x+1}{9(3x-1)^2} +C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{10}&=\int \cos^3x \cdot \sin^2 x dx \\ &=\int \cos x(1-\sin^2x)\sin^2x dx \\ &=\int \cos x(\sin^2x-\sin^4x) dx \\ \end{align}</math> <math>t=\sin x</math>とおくと<math>dt=\cos xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{10}&=\int(t^2-t^4)dt \\ &=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C \\ &=\frac{1}{3}\sin^3x-\frac{1}{5}\sin^5x+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{11}&=\int \frac{dx}{(1+\tan x)\cos^2x} \\ \end{align}</math> <math>t=\tan x</math>とおくと<math>dt=\frac{dx}{\cos^2x}</math>なので、 <math> \begin{align} I_{11}&=\int \frac{dt}{1+t} \\ &=\log |1+t|+C \\ &=\log |1+\tan x|+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{12}&=\int (2x+1)e^{x^2+x+5} dx \\ \end{align}</math> <math>t=x^2+x+5</math>とおくと<math>dt=(2x+1)dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{12}&=\int e^t dt \\ &=e^t+C \\ &=e^{x^2+x+5}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{13}&=\int \frac{e^{4x}}{e^{2x}+1} dx \\ \end{align}</math> <math>t=e^{2x}+1</math>とおくと<math>dt=2e^{2x}dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{13}&=\int \frac{t-1}{2t} dt \\ &=\frac{1}{2} \int \left(1-\frac{1}{t}\right) dt \\ &=\frac{1}{2}(t-\log t)+C' \\ &=\frac{1}{2}\left(e^{2x}+1-\log(e^{2x}+1)\right)+C' \\ &=\frac{1}{2}\left(e^{2x}-\log(e^{2x}+1)\right)+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{14}&=\int x\sqrt{1-x} dx \\ \end{align}</math> <math>t=\sqrt{1-x}</math>とおくと、<math>t^2=1-x,\;\;x=1-t^2,\;\;dx=-2tdt</math>なので、 <math> \begin{align} I_{14}&=-2\int (1-t^2)\cdot t\cdot t dt \\ &=-2\int (t^2-t^4) dt \\ &=-2\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}\right)+C \\ &=-\frac{2t^3}{15}(5-3t^2)+C \\ &=-\frac{2}{15}(1-x)\sqrt{1-x}(5-3(1-x))+C \\ &=-\frac{2}{15}(3x+2)(1-x)\sqrt{1-x}+C \\ \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{15}&=\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx \\ \end{align}</math> <math>t=\sqrt{x+1}</math>とおくと、<math>t^2=x+1,\;\;x=t^2-1,\;\;dx=2tdt</math>なので、 <math> \begin{align} I_{15}&=\int\frac{3(t^2-1)-1}{t}\cdot 2t dt \\ &=2\int (3t^2-4) dt \\ &=2(t^3-4t)+C \\ &=2t(t^2-4)+C \\ &=2((x+1)-4)\sqrt{x+1}+C \\ &=2(x-3)\sqrt{x+1}+C \\ \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{16}&=\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx \\ \end{align}</math> <math>t=x^2+4</math>とおくと<math>dt=2xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{16}&=\int \frac{dt}{2t^2} \\ &=-\frac{1}{2t}+C \\ &=-\frac{1}{2(x^2+4)}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{17}&=\int \frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4} dx \\ &=\frac{1}{3}\int \left(\frac{5}{x^2-4}-\frac{2}{x^2-1} \right) dx \\ &=\frac{1}{3}\int \left(\frac{5}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)-\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\right) dx \\ &=\frac{5}{12}\log\left|\frac{x-2}{x+2}\right|-\frac{1}{3}\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C \\ &=\frac{1}{3}\log\left|\frac{x+1}{x-1}\right|-\frac{5}{12}\log\left|\frac{x+2}{x-2}\right|+C \\ \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{18}&=\int \frac{3x+2}{x(x+1)^3} dx \\ &=\int \left(\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{2}{x(x+1)^2}\right) dx \\ &=\int \left(\frac{1}{(x+1)^3}-\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{2}{x(x+1)}\right) dx \\ &=\int \left(\frac{1}{(x+1)^3}-\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1} \right) dx \\ &=-\frac{1}{2(x+1)^2}+\frac{2}{x+1}+2\log\left|\frac{x}{x+1}\right|+C \\ &=2\log\left|\frac{x}{x+1}\right|+\frac{2}{x+1}-\frac{1}{2(x+1)^2}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{19}&=\int \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}-1} dx \\ &=\int \frac{x\left(\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}{x} dx \\ &=\int \left((x+1)^\frac{2}{3}+(x+1)^\frac{1}{3}+1\right) dx \\ &=\frac{3}{5}(x+1)^\frac{5}{3}+\frac{3}{4}(x+1)^\frac{4}{3}+x+C \\ \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{20}&=\int \frac{\cos x}{\sin x(\sin x+1)} dx \\ \end{align}</math> <math>t=\sin x</math>とおくと<math>dt=\cos xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{20}&=\int \frac{dt}{t(t+1)} \\ &=\int \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right) dt \\ &=\log\left|\frac{t}{t+1}\right|+C \\ &=\log\left|\frac{\sin x}{\sin x+1}\right|+C \\ \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{21}&=\int \left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right)^2 dx \\ &=\int\left(\tan^2x+2+\frac{1}{\tan^2x}\right) dx \\ &=\int \left( \left(\frac{1}{\cos^2 x}-1\right)+2+\left(\frac{1}{\sin^2x}-1 \right)\right) dx\\ &=\tan x-\frac{1}{\tan x}+C \\ \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{22}&=\int \tan^4x dx \\ &=\int \tan^2x \tan^2x dx \\ &=\int \tan^2x \left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right) dx \\ &=\int \left(\frac{\tan^2x}{\cos^2x}-\tan^2x\right) dx \\ &=\int \left(\frac{\tan^2x}{\cos^2x} -\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)\right)dx \\ &=\int \frac{\tan^2x}{\cos^2x}dx - (\tan x-x) \\ \end{align}</math> <math>t=\tan x</math>とおくと<math> dt=\frac{1}{\cos^2x}dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{22}&=\int t^2 dt - (\tan x-x) \\ &=\frac{1}{3}t^3-\tan x+x+C \\ &=\frac{1}{3}\tan^3x-\tan x+x+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{23}&=\int \frac{\sin 2x}{1+\sin x} dx \\ &=\int \frac{2\sin x \cos x}{1+\sin x} dx \end{align}</math> <math>t=\sin x</math>とおくと<math>dt=\cos xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{23}&=\int \frac{2t}{1+t} dt \\ &=2\int \left(1-\frac{1}{1+t}\right) dt \\ &=2t-2\log|1+t|+C \\ &=2\sin x-2\log\left(1+\sin x\right)+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{24}&=\int \frac{x}{1-\cos x} dx \\ &=\int \frac{x}{2\sin^2 \frac{x}{2}} dx \\ &=-\frac{x}{\tan \frac{x}{2}}+\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} dx \\ &=-\frac{x}{\tan \frac{x}{2}}+\int \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx \end{align}</math> <math>t=\sin\frac{x}{2}</math>とおくと<math>dt=\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{24}&=-\frac{x}{\tan \frac{x}{2}}+2\int \frac{dt}{t} \\ &=-\frac{x}{\tan \frac{x}{2}}+2\log|t|+C \\ &=-\frac{x}{\tan \frac{x}{2}}+2\log\left|\sin\frac{x}{2}\right|+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{25}&=\int \frac{1}{1-\sin x} dx \\ &=\int \frac{1+\sin x}{1-\sin^2x}dx \\ &=\int \left(\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{\sin x}{\cos^2x}\right) dx \\ &=\tan x+\int \frac{\sin x}{\cos^2x} dx \end{align}</math> <math>t=\cos x</math>とおくと<math>dt=-\sin xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{25}&=\tan x-\int\frac{dt}{t^2} \\ &=\tan x+\frac{1}{t}+C \\ &=\tan x+\frac{1}{\cos x}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{26}&=\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1} dx \end{align}</math> <math>t=\sqrt[4]{x^3}</math>とおくと<math>dt=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{26}&=\frac{4}{3}\int \frac{t}{t+1} dt \\ &=\frac{4}{3}\int \left(1-\frac{1}{t+1}\right) dt \\ &=\frac{4}{3}t-\frac{4}{3}\log|t+1|+C \\ &=\frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3}-\frac{4}{3}\log\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right)+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{27}&=\int \log(x^2-1) dx \\ &=\int \log(x+1)(x-1) dx \\ &=\int \left(\log|x+1|+\log|x-1|\right) dx \\ &=(x+1)\log|x+1|-x+(x-1)\log|x-1|-x+C \\ &=(x+1)\log|x+1|+(x-1)\log|x-1|-2x+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{28}&=\int \frac{e^{3x}}{e^x-1} dx \end{align}</math> <math>t=e^x</math>とおくと<math>dt=e^xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{28}&=\int \frac{t^{2}}{t-1} dt \\ &=\int \left(t+1+\frac{1}{t-1}\right) dt \\ &=\frac{1}{2}t^2+t+\log|t-1|+C \\ &=\frac{1}{2}e^{2x}+e^x+\log|e^x-1|+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{29}&=\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}} dx \\ \end{align}</math> 分子分母に<math>e^{x}</math>を掛けて、 <math> \begin{align} I_{29}&=\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1} dx \end{align}</math> <math>t=e^{2x}</math>とおくと<math>dt=2e^{2x}dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{29}&=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t-1} \\ &=\frac{1}{2}\log|t-1|+C \\ &=\frac{1}{2}\log|e^{2x}-1|+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{30}&=\int \frac{dx}{3x^2-4x-2} \\ &=\int \frac{3}{\left(3x-2-\sqrt{10}\right)\left(3x-2+\sqrt{10}\right)}dx \\ &=\int \frac{3}{2\sqrt{10}}\left(\frac{1}{3x-2-\sqrt{10}}-\frac{1}{3x-2+\sqrt{10}}\right) dx \\ &=\frac{1}{2\sqrt{10}} \left(\log|3x-2-\sqrt{10}|-\log|3x-2+\sqrt{10}|\right)+C \\ &=\frac{1}{2\sqrt{10}} \log\left|\frac{3x-2-\sqrt{10}}{3x-2+\sqrt{10}}\right|+C \end{align} </math> *<math>I_{30}</math>について補足 *:2行目から3行目への変形では、<math>\frac{1}{3x-2-\sqrt{10}}-\frac{1}{3x-2+\sqrt{10}}=\frac{(3x-2+\sqrt{10})-(3x-2-\sqrt{10})}{(3x-2-\sqrt{10})(3x-2+\sqrt{10})}=\frac{2\sqrt{10}}{(3x-2-\sqrt{10})(3x-2+\sqrt{10})}</math>であることに注意せよ。 *:3行目から4行目への変形では、<math>\left(\log|3x-2-\sqrt{10}|\right)'=\frac{3}{3x-2-\sqrt{10}},\ \left(\log|3x-2+\sqrt{10}|\right)'=\frac{3}{3x-2+\sqrt{10}}</math>であることに注意せよ。 <math> \begin{align} I_{31}&=\int \frac{dx}{\sqrt{2x^2-4x+3}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{2}}} \\ \end{align}</math> <math>t=x-1+\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{2}}</math>とおくと<math>dt=\frac{x-1+\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{2}}}{\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{2}}}dx</math>なので、 <math>\begin{align} I_{31}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\log|t|+C \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\log\left(x-1+\sqrt{(x-1)^2+\frac{1}{2}}\right)+C \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\log\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+\frac{3}{2}}\right)+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{32}&=\int \frac{\tan x}{\cos^3 x}dx \\ &=\int \frac{\sin x}{\cos^4 x}dx \\ \end{align}</math> <math>t=\cos x</math>とおくと<math>dt=-\sin xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{32}&=-\int \frac{dt}{t^4} \\ &=\frac{1}{3t^3}+C \\ &=\frac{1}{3\cos^3x}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{33}&=\int \frac{dx}{1+\cos x} \\ &=\int \frac{1-\cos x}{1-\cos^2x} dx \\ &=\int \left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{\cos x}{\sin^2x} \right) dx \\ &=-\frac{1}{\tan x}-\int \frac{\cos x}{\sin^2x} dx \end{align}</math> <math>t=\sin x</math>とおくと<math>dt=\cos xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{33}&=-\frac{1}{\tan x}-\int \frac{dt}{t^2} \\ &=-\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{t}+C \\ &=-\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\sin x}+C \end{align} </math> 別解 <math> \begin{align} I_{33}&=\int \frac{dx}{1+\cos x} \\ &=\int \frac{dx}{2\cos^2 \frac{x}{2}} \\ &=\tan\frac{x}{2}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{34}&=\int x\tan^2x dx \\ &=\int \left(\frac{x}{\cos^2x}-x\right) dx \\ &=x\tan x-\int \tan x dx -\frac{1}{2}x^2\\ &=x\tan x+\log|\cos x|-\frac{1}{2}x^2+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{35}&=\int e^x \cos x dx \\ &=e^x \cos x+\int e^x \sin x dx \\ &=e^x \cos x+e^x\sin x-\int e^x \cos x dx \\ &=e^x \cos x+e^x\sin x-I_{35} \end{align}</math> なので、 <math> \begin{align} 2I_{35}&=e^x \sin x+e^x\cos x+C' \\ I_{35}&=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{36}&=\int \sqrt{x^2-x-1} dx \\ &=\int \sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}}dx \\ \end{align}</math> <math>t=x-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}}</math>とすると<math>dt=\frac{x-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}}}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}}} dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{36}&=\int \frac{\left(\frac{t}{2}+\frac{5}{8t}\right)^2-\frac{5}{4}}{t}dt \\ &=\frac{1}{2}\int \left(\frac{t}{2}-\frac{5}{4t}+\frac{25}{32t^3}\right) dt \\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{t^2}{4}-\frac{5}{4}\log|t|-\frac{25}{64t^2}\right)+C \\ &=\frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)\sqrt{x^2-x-1}-\frac{5}{4}\log\left|x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x-1}\right|\right)+C \end{align} </math> 別解 <math>t=x-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}}</math>と置く。…① <math>\left \{ t-\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right \}^{2}=\left ( \sqrt{\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{5}{4}} \right )^{2}</math> <math>2t\left ( x-\frac{1}{2} \right )=t^{2}+\frac{5}{4}</math> <math>x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left ( t+\frac{5}{4t} \right )</math>…② ①②より、<math>\sqrt{\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{5}{4}}=t-\left ( x-\frac{1}{2} \right ) =t-\frac{1}{2}\left ( t+\frac{5}{4t} \right ) =\frac{1}{2}\left ( t-\frac{5}{4t} \right )</math>…③ ②をtで微分すると、<math>\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}-\frac{5}{8t^{2}}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{5}{4t^{2}} \right )</math> <math>dx=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{5}{4t^{2}}\right )dt</math>…④ ②③④より <math> \begin{align} I_{36}&=\int \frac{1}{2} \left ( t-\frac{5}{4t} \right )\cdot \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{5}{4t^{2}} \right )dt\\ &=\frac{1}{4}\int \left ( t-\frac{10}{4t} +\frac{25}{16t^{3}}\right )dt\\ &=\frac{1}{4}\left ( \frac{t^{2}}{2}-\frac{5}{2}\log\left | t \right | -\frac{25}{32t^{2}} \right )+C\\ &=\frac{1}{8}\left ( t^{2} -\frac{25}{16t^{2}}\right )-\frac{5}{8}\log \left | t \right |+C\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\left ( t+\frac{5}{4t} \right )\frac{1}{2}\left ( t-\frac{5}{4t} \right )-\frac{5}{8}\log \left | t \right |+C\\ &=\frac{1}{2}\left ( x-\frac{1}{2} \right )\sqrt{x^{2}-x-1}-\frac{5}{8}\log \left | x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^{2}-x-1} \right |+C\\ \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{37}&=\int \sin 2x \cdot \cos 3x dx \\ &=\frac{1}{2}\int (\sin 5x-\sin x)dx \\ &=-\frac{1}{10}\cos 5x+\frac{1}{2}\cos x +C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{38}&=\int \left(\sin x+\frac{1}{\sin x}\right)^2 dx \\ &=\int \left(\sin^2x+2+\frac{1}{\sin^2x}\right) dx \\ &=\int \left(\frac{1-\cos 2x}{2}+2+\frac{1}{\sin^2x}\right) dx \\ &=\frac{5}{2}x-\frac{\sin 2x}{4}-\frac{1}{\tan x}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{39}&=\int \frac{1+\cos^3x}{\cos^2x}dx \\ &=\int \left(\frac{1}{\cos^2x}+\cos x\right) dx \\ &=\tan x+\sin x+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{40}&=\int \frac{dx}{1+\sin x} \\ &=\int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} dx \\ &=\int \left(\frac{1}{\cos^2x}-\frac{\sin x}{\cos^2x}\right) dx \\ &=\tan x-\int\frac{\sin x}{\cos^2x} dx \\ \end{align}</math> <math>t=\cos x</math>とおくと<math>dt=-\sin xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{40}&=\tan x+\int\frac{dt}{t^2} \\ &=\tan x-\frac{1}{t}+C \\ &=\tan x-\frac{1}{\cos x}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{41}&=\int \frac{dx}{e^x+1} \end{align}</math> <math>t=e^x</math>とおくと<math>dt=e^xdx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{41}&=\int \frac{dt}{t(t+1)} \\ &=\int \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)dt \\ &=\log|t|-\log|t+1|+C \\ &=x-\log(e^x+1)+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{42}&=\int \left(\log x\right)^2 dx \\ &=x\left(\log x\right)^2-2\int \log xdx \\ &=x\left(\log x\right)^2-2x\log x+2x+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{43}&=\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}dx \end{align}</math> <math>t=\sqrt{1-x^2}</math>とおくと<math>dt=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{43}&=\int \frac{t^2}{t^2-1}dt \\ &=\int \left(1+\frac{1}{t^2-1}\right) dt \\ &=\int \left(1+\frac{1}{2(t-1)}-\frac{1}{2(t+1)}\right) dt \\ &=t+\log\sqrt{\left|\frac{t-1}{t+1}\right|}+C \\ &=\sqrt{1-x^2}+\log\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}+C \end{align} </math> <math> \begin{align} I_{44}&=\int \frac{dx}{x\sqrt{2x-x^2}} \\ \end{align}</math> <math>t=\frac{1}{x}</math>とおくと<math>dt=-\frac{1}{x^2}dx</math>なので、 <math> \begin{align} I_{44}&=-\int \frac{dt}{\sqrt{2t-1}} \\ &=-\sqrt{2t-1}+C \\ &=-\sqrt\frac{2-x}{x}+C \end{align}</math> [[カテゴリ:高等学校数学III]] oi4vox5x4i6ylcgcu50otmibddyz1fn 0 37830 300420 299775 2026-06-15T05:51:45Z BrassSnail 71325 /* テーマ別 重要語彙 */ 300420 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|語学|frame=1}} {{Wikipedia|アイヌ語}} {{Wiktionary|カテゴリ:アイヌ語}} '''アイヌ語'''は、北海道を中心に樺太、千島列島、本州北部などで話されてきた言語です。日本語と同じく、他の言語との系統関係の分かっていない「孤立した言語」に分類されます。日本語にとっては唯一の陸続きの言語で、古くから互いに言葉を借用し合うなどの大きな関わりがありました。日常の語彙、特に儀礼用語には、日本語とアイヌ語とで共通するものや似ているものが数多くあります。語法の面でも、「〜をやってみる」などの表現は日本語と全く同じような言い方で、隣り合って話されてきた近さが感じられます。 アイヌ語の基本的な語順は日本語と同じ主語-目的語-述語です。母音は五種類で、子音も日本語と同じものが多く、上述のように同じ発想の表現もあるため、日本語話者にとっては比較的習得しやすい言語といえます。 その一方、非常に強力な造語力を持ち、多くの要素を繋げて一つの長い単語で文のような役割を表すことなどもできます。 == ウィキブックスでの編集方針 == アイヌ語には表記法にバリエーションがある。ウィキブックスは教科書の類に入るので、学習時の分かり易さのためとして、最も多く使われている表記とは異なる表記を採ることがある。ただし、これまでに全く使われていない独自表記は避けた。 また、長きに亙って公的な言語として使われてこなかったなどの理由から、アイヌ語には現代社会の事物・概念を表す言葉が不足しがちである。これを解決するために、様々な場で新語や新しい表現などを作り使おうとする取り組みが行われているが、本書ではこれらを教材の中に積極的に取り入れることはせず、使用する場合であっても、試行的な表現であることやこれまで実際に使われてきた表現とは違うことなどができるだけ判るようにする。 ==[[アイヌ語 入門編|入門編]]== *[[アイヌ語の世界へようこそ]] *[[アイヌ語 文字入力の準備|文字入力の準備]] *[[アイヌ語 文字と発音|文字と発音]] **[[アイヌ語 付録:キリル文字対照表|付録:キリル文字対照表]] *[[アイヌ語 アクセント|アクセント]] *[[アイヌ語 音の変化|音の変化]] *[[付録：アイヌ語 表記の揺れについて|付録：表記の揺れについて]] *[[付録：アイヌ語 方言について|付録：アイヌ語の方言について]] ==話す、聞く== === 会話練習 === #[[アイヌ語定型文練習 タンペ へマンタ アン?|これは何？]] #[[アイヌ語 自己紹介|自己紹介]] === 例文集（慣用句、よく使う文） === * 挨拶 * == [[アイヌ語 文法|文法]] == *「～は～だ」の形の文 *否定 *動詞の種類 *人称接辞 *位置名詞 ==[[アイヌ語 テーマ別重要語彙|テーマ別 重要語彙]]== *[[アイヌ語 数の数え方|数の数え方]] *[[アイヌ語 暦|暦]] *[[アイヌ語 人称接辞の一覧|地域毎の人称接辞一覧]] *[[アイヌ語 位置名詞の一覧|位置名詞一覧]] *[[アイヌ語 親族名称|親族名称]] *[[アイヌ語 代表的な動植物の一覧|動植物]] == 学習に役立つ本・ウェブサイト<!-- 辞書欄を除いては、情報が溢れないようにし、入門者にも使いやすく信頼の置けるものを重点的に載せてください。 -->== === 総合 === * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/index.html アイヌ民族文化財団　アイヌ語ポータルサイト] * [https://www.bunka.go.jp/seisaku/kokugo_nihongo/kokugo_shisaku/kikigengo/ainu/index.html 文化庁　アイヌ語に関するリンク集] === 音声を聞く === * [https://ainugo.nam.go.jp/search/media?typeCont=on&typeAudio=on&typeVideo=on 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ　資料検索] * [https://ainugo.hm.pref.hokkaido.lg.jp/generalSearchResult.aspx ほっかいどう　アイヌ語アーカイブ｜北海道博物館] * [https://www.youtube.com/@user-jr8bk2iy1n YouTube 公益財団法人アイヌ民族文化財団のチャンネル] * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/learn/language/animation/index.html オルｼペスウォﾌﾟ　口承文芸視聴覚資料作成事業｜アイヌ民族文化財団] * [https://www.stv.jp/radio/ainugo/index.html STVアイヌ語ラジオ講座] :: テキストなどは[https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/radio.html ここ]から見れる。 === 独習書・文法書など === * 『ニューエクスプレスプラス　アイヌ語』（ISBN 978-4-560-08868-5）中川裕（2021） ::「会話から文法を一冊で学べる入門書に」という言葉の通り、初めてアイヌ語を学ぶ人にはおすすめの一冊。CDやアプリで音声を聞く事もできる。 * 『アイヌ語広文典』（ISBN 978-4-560-09963-6）中川裕（2025） ::アイヌ語学習のためのハンドブック。発音・表記から諸方言の違い、文法、表現、文芸、歴史までを解説する大著。本格的に学ぼうとするときにはたいへん役に立つ。 *『言語学大辞典』第一巻（ISBN 978-4-385-15213-4）亀井孝 他編　所収「アイヌ語」田村すゞ子（1997） :: 分冊版の『言語学大辞典セレクション 日本列島の言語』（ISBN 4-385-15207-1）にも同じ内容が書かれている。 === 辞書・単語集 === パソコンの場合、これらのページでControl (Ctrl) + Fキーを押すと、素早く検索できる。 ==== 書籍版 ==== *『アイヌ語千歳方言辞典』中川裕（1995） *『アイヌ語沙流方言辞典』田村すゞ子（1996） *『萱野茂のアイヌ語辞典』萱野茂（1996） ==== ウェブサイト ==== *[https://ainugo.nam.go.jp/ 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ] ::辞書以外の資料からも検索できる。辞書は、田村すず子『アイヌ語沙流方言辞典』（1996）、萱野茂著『萱野茂のアイヌ語辞典』（1996）、知里真志保『分類アイヌ語辞典　植物編・動物編』（1953）の3冊を基にしている。 *アイヌ語ポータルサイトより ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/ishikari_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－石狩川－] ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/saru_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－沙流－] ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/karahuto_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－カラフト]－ * [https://kampisos.aynu.io/ kampisos.aynu.io — Kampisos - アイヌ語コーパス検索] *[https://itah.aynu.org/ja 樺太アイヌ語の単語リスト] *[http://tommy1949.world.coocan.jp/aynudictionary.htm 富田隆 氏によるアイヌ語電子辞書] :: === 物語 === *『アイヌ神謡集』知里幸惠 ISBN 978-4-00-320801-4、[https://www.aozora.gr.jp/cards/001529/files/44909_29558.html 青空文庫] == その他 == === アイヌ語を使って創作、執筆などを行う取り組み=== [[incubator:Wp/ain/Main_Page|アイヌ語版ウィキペディア]] [https://otarunay.at-ninja.jp/taimuzu.html アイヌタイムズ] [https://wiki.aynu.org/wiki/Mosem Aynuwiki] [https://parunpe.mystrikingly.com/ パルンペ（parunpe）] === アイヌ語やアイヌ文化を題材、モチーフとした創作 === ==== 漫画 ==== *[https://www.shueisha.co.jp/books/search/search.html?seriesid=37334 ゴールデンカムイ] [[カテゴリ:語学]] [[カテゴリ:アイヌ語|*]] 5rd0adnk6dx7y7tl8uo8lau390079xf 0 39295 300425 298803 2026-06-15T10:50:12Z Nermer314 62933 300425 wikitext text/x-wiki == Γ函数 == 階乗を複素数にまで拡張することを考えてみよう。<math>x</math> を正の整数とする。このとき、 <math>\begin{align} (x-1)! &= \frac{x!(n+x)!}{x(x+n)!}\\ &= \frac{(n+x)!}{x(x+1)\cdots(x+n)}\\ &= \frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots(x+n)} \frac{n+1}{n}\frac{n+2}{n}\cdots \frac{n+x}{n} \end{align}</math> となる。ここで、<math>n</math> は任意の非負整数である。<math>\frac{n+1}{n}\frac{n+2}{n}\cdots \frac{n+x}{n}</math> の部分が定義されるには <math>x</math> が正の整数である必要があるが、<math>n</math> の極限を取ると、 <math>\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{n}\frac{n+2}{n}\cdots \frac{n+x}{n} = 1</math> より、この部分が消えてくれるので <math>(x-1)! = \lim_{n\to\infty}\frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots(x+n)} </math> となり、右辺は複素数に拡張可能な式が得られる。これを <math>\Gamma(s) = \lim_{n\to\infty}\frac{n^s n!}{s(s+1)\cdots(s+n)} </math> としてΓ函数を定義する。 Γ函数は定義より、 正の整数 <math>x </math> について <math>\Gamma(x) = (x-1)!</math> が成り立つ。特に、<math>\Gamma(1) = 1</math> である。 <math>\begin{align} \Gamma(s+1) &= \lim_{n\to\infty}\frac{n^{s+1} n!}{(s+1)\cdots(s+1+n)}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{s n}{s+1+n}\frac{n^{s} n!}{s(s+1)\cdots(s+n)}\\ &= s \Gamma(s) \end{align} </math> となる。これは、 <math>s! = s(s-1)!</math> に対応する。Γ函数の収束について議論するには無限積の形に変形するほうがやりやすい。 <math>\begin{align} \frac{s(s+1)(s+2)\cdots (s+n)}{n^s n!} &= \frac{s}{n^s} \left(1+\frac s 1 \right)\left(1+\frac s 2 \right)\cdots \left(1+\frac s n \right)\\ &= se^{(\frac 1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 n -\ln n)s} \left(1+\frac s 1 \right)e^{-s}\left(1+\frac s 2 \right)e^{-\frac s 2}\cdots \left(1+\frac s n \right)e^{-\frac s n} \end{align}</math> となるから、 <math>\frac{1}{\Gamma(s)} = s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac s n \right) e^{-\frac s n}</math> を得る。与えられた <math>s</math> に対して<math>|s| \le \frac R 2</math> が成り立つ十分大きな正の整数 <math>R</math> を取る。任意の <math>n > R</math> について <math>\begin{align} \left|\ln\left(1+\frac s n\right) - \frac s n\right| &\le -\frac 1 2 \left|\frac s n\right|^2 +\frac 1 3 \left|\frac s n\right|^3 - \frac 1 4 \left|\frac s n\right|^4 + \cdots\\ &= \left|\frac s n\right|^2 \left(1+\left|\frac s n\right|+\left|\frac s n\right|^2+\cdots\right)\\ &= \frac 1 4 \left|\frac R n\right|^2\left\{1+\left(\frac 1 2\right)+\left(\frac 1 2\right)^2+\cdots\right\}\\ &\le \frac 1 2 \left(\frac R n\right)^2 \end{align}</math> となる。<math>\sum_{n=R+1}^\infty \frac 1 2 \frac{R^2}{n^2}</math> は収束するから、 <math>\sum_{n=R+1}^\infty \left\{\ln\left(1+\frac s n\right) - \frac s n \right\}</math> は <math>|s| \le \frac R 2</math> ならば絶対に一様収束する。従って、<math>\prod_{n=R+1}^\infty \left(1 + \frac s n \right) e^{-\frac s n}</math> は正則函数である。すなわち、<math>s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac s n \right) e^{-\frac s n}</math> は正則函数である。<math>R</math> は任意であるから、すべての有限の <math>s</math> について成り立つ。 '''定理''' 実函数 <math>f(s)</math> が <math>s>0</math> で # <math>f(s+1)=sf(s)</math> # <math>f(s) > 0</math> であり <math>\ln f(s)</math> は凸函数 を満たせば、<math>f(s) = f(1) \Gamma(s)</math> である。 '''証明''' 凸函数 <math>g(x) = \ln f(x)</math> に対して <math>x_1 < x < x_2</math> とすると、 <math>\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1} \le \frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{g(x_2)-g(x)}{x_2-x}</math> が成り立つ。<math>0 < s < 1</math> として、また <math>n\ge 2</math> を自然数として、不等式に <math>n < n+s < n+1</math> と <math>n-1 < n < n+s</math> を代入すると、 <math>\underline{\frac{\ln f(n+s)-\ln f(n)}{s}} \le \underline{\ln f(n+1)-\ln f(n)} \le \frac{\ln f(n+s)-\ln f(n+s)}{1-s}</math> <math>\underline{\ln f(n)-\ln f(n-1)} \le \frac{\ln f(n+s)-f(n-1)}{s+1} \le \underline{\frac{\ln f(n+s)-\ln f(n)}{s}}</math> となる。ここから下線部を抜き出して <math>\ln f(n)-\ln f(n-1) \le \frac{\ln f(n+s)-\ln f(n)}{s} \le \ln f(n+1)-\ln f(n)</math> を得る。<math>f(s+1)=sf(s)</math> を使うと、 <math>\ln (n-1) \le \frac{\ln f(n+s)-\ln f(n)}{s} \le \ln n</math>, <math>(n-1)^s f(n) \le f(n+s) \le n^s f(n)</math> となる。<math>f(n+s) = (n+s-1)(n+s-2)\cdots (s+1)sf(s) </math> より、 <math>\frac{(n-1)^s f(n)}{s(s+1)\cdots (n+s-1)} \le f(s) \le \frac{n^s f(n)}{s(s+1)\cdots (n+s-1)}</math> 左側の不等式で <math>n</math> を <math>n+1</math> に変えれば、 <math>\frac{n^s f(n+1)}{s(s+1)\cdots (n+s)} \le f(s) \le \frac{n^s f(n)}{s(s+1)\cdots (n+s-1)} = \frac{n^s f(n+1)}{s(s+1)\cdots (n+s)}\frac{s+n}{n} </math> すなわち、 <math>f(s)\frac{n}{s+n} \le \frac{n^s f(n+1)}{s(s+1)\cdots (n+s)} \le f(s) </math> となる。ここに、<math>f(n+1) = n! f(1) </math> を代入して、<math>n\to \infty </math> とすると、 <math>f(s) = f(1)\lim_{n\to\infty}\frac{n^s n!}{s(s+1)\cdots(s+n)} = f(1)\Gamma(s) </math> が <math>0 < s < 1 </math> について成り立つ。<math>s =1 </math> では自明に成り立つから、<math>0 < s \le 1 </math> について成り立つ。任意の <math>s > 0 </math> については、<math>s = m + x, \, 0< x \le 1 ,\, m \in \mathbb N </math> と置いて、 <math>\begin{align} \Gamma(s) &= \lim_{n\to\infty}\frac{n^s n!}{s(s+1)\cdots(s+n)}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots(x+n)} \frac{n^m x(x+1)\cdots(x+m-1)}{(x+n+1)\cdots(x+n+m)}\\ &= \frac{f(x)}{f(1)} x(x+1)\cdots(x+m-1)\\ &= \frac{f(s)}{f(1)} \end{align} </math> より成り立つ。 '''例1''' <math>x > 0 </math> について、 <math>\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt </math> である。 <math>f(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt </math> とすると、 <math>\begin{align} f(x+1) &= \int_0^\infty t^{x}e^{-t}dt\\ &= -t^x e^{-t}\Big|_0^\infty + x\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt\\ &= xf(x) \end{align} </math> が成り立つ。また、 <math>f'(x) = \int_0^\infty (\log t) t^{x-1}e^{-t}dt </math> <math>f''(x) = \int_0^\infty (\log t)^2 t^{x-1}e^{-t}dt </math> より、任意の実数 <math>u </math> について <math>\begin{align} u^2 f + 2u f' + f'' &= \int_0^\infty \left\{u^2 + 2u \ln t + (\ln t)^2\right\}t^{x-1}e^{-t}dt \\ &= \int_0^\infty (u + \ln t)^2 t^{x-1}e^{-t}dt\\ &\ge 0 \end{align} </math> であるから、これを <math>u </math> についての二次式と考えると判別式は <math>f'^2 - f f'' \le 0 </math> となる。従って、 <math>\frac{d^2}{dx^2}\ln f(x) = \frac{ff''-f'^2}{f^2} \ge 0 </math> より、<math>\ln f(x) </math> は凸函数である。<math>f(1) = \int_0^\infty e^{-t}dt = 1 </math> より、<math>f(x) = \Gamma(x) </math> を得る。 '''例2''' <math>x > 0, \, y > 0 </math> について <math>\Beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt </math> とすると、 <math>\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> である。 <math>y </math> を固定して <math>f(x) = \Gamma(x+y)\Beta(x,y) </math> と置くと、 <math>\begin{align} \Beta(x+1,y) &= \int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}dt\\ &= \int_0^1 (1-t)^{x+y-1}\left(\frac{t}{1-t}\right)^x dt\\ &= - \left.\frac{(1-t)^{x+y}}{x+y}\left(\frac{t}{1-t}\right)^x\right|_0^1 + \frac{x}{x+y}\int_0^1 (1-t)^{x+y}\frac{1}{(1-t)^2}\left(\frac{t}{1-t}\right)^{x-1} dt\\ &= \frac{x}{x+y}\Beta(x,y) \end{align}</math> となるから、<math>f(x+1) = \Gamma(x+y+1)\Beta(x,y) = x\Gamma(x+y)\Beta(x,y) = xf(x). </math> また、<math>g(x) = \Beta(x,y) </math> に対し、 <math>g'(x) = \int_0^1 (\log t) t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt </math> <math>g''(x) = \int_0^1 (\log t)^2 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt </math> となるから、 <math>u^2g + 2ug' + g'' = \int_0^1 (u+ \ln t)^2 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \ge 0 </math> より、例1と同じように <math>\ln g(x) </math> は凸函数である。従って、 <math>\ln f(x) = \ln \Gamma(x+y) + \ln \Beta(x,y) </math> も凸函数である。<math>\Beta(1,y) = \int_0^1 (1-t)^{y-1}dt = \frac 1 y </math> より、<math>f(1) = \frac 1 y \Gamma(y+1) = \Gamma(y) </math> である。従って、 <math>f(x) = \Gamma(y)\Gamma(x) </math> すなわち、 <math>\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} </math> を得る。 '''相反公式''' <math>\begin{align} \frac{1}{\Gamma(s)\Gamma(1-s)} &= \frac{1}{-s\Gamma(s)\Gamma(-s)}\\ &= \frac{1}{-s}se^{\gamma s}(-se^{-\gamma s})\prod_{n=1}^\infty \left(1+ \frac s n\right) e^{-\frac s n}\left(1-\frac s n\right) e^{\frac s n}\\ &= s\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{s^2}{n^2}\right)\\ &= \frac{\sin \pi s}{\pi} \end{align} </math> となる。ただし、三角函数の無限乗積展開 <math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right) </math> を使った。従って、 <math>\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s} </math> を得る。これを相反公式という。<math>s=\frac 1 2 </math> とすると <math>\Gamma\left(\frac 1 2\right) = \sqrt{\pi} </math> がわかる。 <math>\begin{align} \Gamma\left(\frac 1 2\right) &= \int_{0}^\infty t^{-\frac 1 2}e^{-t}dt\\ &= 2 \int_{0}^\infty e^{-x^2}dx \quad (t = x^2)\\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \end{align} </math> であるから、Gauss 積分 <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt \pi </math> を得る。 '''Gaussの乗法公式''' <math>\Gamma\left(\frac x n\right)\Gamma\left(\frac{x+1}{n}\right)\cdots \Gamma\left(\frac{x+n-1}{n}\right) = \frac{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}}{n^{x-\frac 1 2}} \Gamma(x).</math> '''証明''' <math>f(x) = n^x \Gamma\left(\frac x n\right)\Gamma\left(\frac{x+1}{n}\right)\cdots \Gamma\left(\frac{x+n-1}{n}\right)</math> とする。 このとき、 <math>\begin{align} f(x+1) &= n^{x+1}\Gamma\left(\frac{x+1}{n}\right)\cdots \Gamma\left(\frac{x+n-1}{n}\right)\Gamma\left(\frac{x+n}{n}\right)\\ &= n^{x+1}\Gamma\left(\frac{x+1}{n}\right)\cdots \Gamma\left(\frac{x+n-1}{n}\right)\frac{x}{n}\Gamma\left(\frac{x}{n}\right)\\ &= xn^{x}\Gamma\left(\frac{x}{n}\right)\Gamma\left(\frac{x+1}{n}\right)\cdots \Gamma\left(\frac{x+n-1}{n}\right)\\ &= xf(x) \end{align}</math> である。また、 <math>\ln f(x) = x\ln n + \sum_{k=0}^{n-1}\ln \Gamma\left(\frac{x+k}{n}\right)</math> は凸函数である。 <math>f(1) = n \Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\Gamma\left(\frac{2}{n}\right)\cdots \Gamma\left(\frac{n-1}{n}\right)\Gamma(1)</math> <math>\begin{align} f(1)^2 &= n^2 \prod_{k=1}^{n-1}\Gamma\left(\frac{k}{n}\right)\Gamma\left(\frac{n-k}{n}\right)\\ &= n^2 \prod_{k=1}^{n-1}\frac{\pi}{\sin \frac{k\pi}{n}}\\ \end{align}</math> となる。後に証明するが、 <math>\prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}</math> であることを使うと、 <math>f(1)= (2\pi)^{\frac{n-1}{2}} \sqrt{n}</math> となるから、 <math>\frac{f(x)}{n^x} = \frac{f(1)\Gamma(x)}{n^x} = \frac{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}}{n^{x-\frac{1}{2}}}\Gamma(x) </math> より、Gaussの乗法公式を得る。一般には <math> x \to nx </math> とした <math>\Gamma\left(x\right)\Gamma\left(x+\frac{1}{n}\right)\cdots \Gamma\left(x+\frac{n-1}{n}\right) = (2\pi)^{\frac{n-1}{2}} n^{\frac 1 2 - nx} \Gamma(nx)</math> がGaussの乗法公式と言われる。 Gauss の乗法公式で <math>n=2 </math> の場合は <math>\Gamma(x)\Gamma\left(x + \frac 1 2\right) = \sqrt{\pi} 2^{1-2x}\Gamma(2x) </math> となる。これは Legendre の倍数公式と言われる。 最後に、<math>\prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}</math> を証明する。<math>\zeta = e^{\frac{2\pi i}{n}}</math> とする。 <math>z^n - 1 = (z-1)(z-\zeta)\cdots (z-\zeta^{n-1})</math> と <math>\frac{z^n - 1}{z-1} = 1+z+z^2 + \cdots + z^{n-1}</math> より、 <math>1+z+z^2 + \cdots + z^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1}(z-\zeta^k)</math> となる。ここで、<math>z=1</math> とすると、 <math>n = \prod_{k=1}^{n-1}(1-\zeta^k)</math> を得る。 <math>1 - \zeta^k = e^{\frac{\pi i k}{n}}\left(e^{-\frac{\pi i k}{n}} - e^{\frac{\pi i k}{n}}\right) = e^{\frac{\pi i k}{n}}\left(-2i\sin{\frac{\pi k}{n}}\right)</math> であるから、 <math>\prod_{k=1}^{n-1}(1-\zeta^k) = \prod_{k=1}^{n-1}e^{\frac{\pi i k}{n}}\left(-2i\sin{\frac{\pi k}{n}}\right) = 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin{\frac{\pi k}{n}} </math> より、<math>\prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}</math> を得る。 '''Β函数の諸公式''' <math>\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} </math> から、 # <math>\Beta(x,y) = \Beta(y,x)</math> # <math>\Beta(x+1,y) = \frac{x}{x+y}\Beta(x,y) </math> # <math>\Beta(1,y) = \frac 1 y</math> がすぐにわかる。また、2, 3 は例2を証明するために既に証明している。 また、相反公式から、 <math>\Beta(x,1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x} \quad (0 < x < 1)</math> となる。Legendre の倍数公式から <math>\Beta\left(x,\frac 1 2 \right) = 2^{2x-1} \frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} = 2^{2x-1}\Beta(x,x)</math> となる。 == Gauss の超幾何函数 == Gauss の超幾何函数を <math>F(\alpha, \beta ; \gamma;z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_n (\beta)_n}{(\gamma)_n} \frac{z^n}{n!}</math> で定義する。これは <math>|z| < 1</math> で絶対収束する。また、Gauss の超幾何微分方程式 <math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2} + (\gamma-(\alpha+\beta+1))\frac{dw}{dz} + \alpha\beta w = 0</math> の解となる。 Gauss の超幾何函数で様々な函数を表すことができる。例えば、 Legendre 多項式 <math>P_n(z)=F\left(-n,n+1;1 ;\frac{1-z}{2}\right)</math> Gegenbauer 多項式（超球多項式） <math>C_n^{(\alpha)}(z)=\frac{(2\alpha)_n}{n!} F\left(-n,n+2\alpha;\alpha+\frac 1 2 ;\frac{1-z}{2}\right)</math> Tschebyscheff 多項式 <math>\begin{align}T_n(z)&=F\left(-n,n;\frac 1 2 ;\frac{1-z}{2}\right),\\ U_n(z)&=(n+1)F\left(-n,n+2;\frac 3 2 ;\frac{1-z}{2}\right)\end{align}</math> Jacobi 多項式 <math>P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} F\left(-n,n+\alpha+\beta+1;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right)</math> 完全楕円積分 <math>\begin{align}K(k) &= \int_0^{\frac \pi 2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}},\\ E(k) &= \int_0^{\frac \pi 2} {\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta\end{align}</math> == 球函数 == === Legendre 函数 === Legendre の微分方程式 <math>(1-x^2)\frac{d^2w}{dx^2} - 2x \frac{dw}{dx} + \nu (\nu+1)w = 0</math> は、<math>z = \frac{1-x}{2}</math> と変換すると、 <math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2} + (1-2z)\frac{dw}{dz} + \nu(\nu+1)w = 0</math> となる。これは、Gauss の超幾何微分方程式で、<math>\alpha = \nu+1,\beta = -\nu,\gamma = 1</math> とした場合だから、微分方程式の解は超幾何函数を使って、 <math>w = F(\nu+1,-\nu,1,z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\nu+1)_k(-\nu)_k}{(k!)^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k</math> とかける。これを <math>\nu</math> 次 Legendre 函数 <math>P_\nu(x)</math> という。 次に、<math>P_\nu(x)</math> に線型独立なもう一つの解を定数変化法で求める。 <math>w = P_\nu(x) v(x) </math> とおいて、Legendre の微分方程式に代入すると、 <math>(1-x^2)P_\nu v'' + \{2(1-x^2)P_\nu' -2xP_\nu \}v' = 0</math> これは、<math>v'</math> に対する微分方程式として <math>\frac{dv'}{v'} + \frac{dx\{2(1-x^2)P_\nu'P_\nu-2x{P_\nu}^2 \}}{(1-x^2){P_\nu}^2} = 0</math> 即ち、 <math>\frac{dv'}{v'} + \frac{d[(1-x^2)P_\nu^2]}{(1-x^2){P_\nu}^2} = 0</math> と変形できる。 これを積分して、 <math>v' = \frac{C}{(1-x^2){P_\nu}^2}</math> を得る。もう一度積分すると、 <math>v(x) = C\int \frac{dx}{(1-x^2){P_\nu}^2} + C'</math> となるから、 <math>w(x) = P_\nu(x) v(x) = CP_\nu(x)\int\frac{dx}{(1-x^2){P_\nu}^2} + C' P_\nu(x)</math> である。今求めているのは、<math>P_\nu(x)</math> に独立な解であるから <math>C' = 0</math> としていい。<math>C = 1</math> とし、積分範囲を <math>\int_\infty^x</math> と取るときの <math>w(x)</math> を第二種 Legendre 函数 <math>Q_\nu(x)</math> と定義する。 すなわち、 <math>Q_\nu(x) = P_\nu(x)\int_\infty^x\frac{dx}{(1-x^2){P_\nu(x)}^2} </math> である。 === Legendre 多項式 === <math>k > n </math> ならば、<math>(-n)_k = 0 </math>となるから、Legendre 函数 <math>P_\nu(x) </math> は <math>\nu </math> が非負整数 <math>n </math> のとき多項式になる。 <math>P_n(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(n+1)_k(-n)_k}{(k!)^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^n \frac{(n+1)_k(-n)_k}{(k!)^2}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k</math> Pochhammer 記号について、 <math>(n)_k = n(n+1)\cdots (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!} </math> <math>(-n)_k = (-n)(-n+1)\cdots(-n+k-1) = (-1)^kn(n-1)\cdots(n-k+1) = (-1)^k \frac{n!}{(n-k)!}</math> (ただし、<math>k \le n </math> のとき) となる性質を用いると、 <math>P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(n+k)!}{(k!)^2(n-k)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^k </math> を得る。Legendre 多項式は Rodrigues の公式 <math>P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n</math> によっても表される。 実際、 <math>\begin{align}P_n(x) &= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \{(x-1)^n(2+x-1)^n\} \\ &= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k} (x-1)^{n+k} \\ &= \frac{1}{2^n n!} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n+k)!}{k!} 2^{n-k} (x-1)^{k} \\ &= \sum_{k=0}^n \frac{(n+k)!}{(k!)^2(n-k)!} \left(\frac{x-1}{2}\right)^k \\ \end{align}</math> となる。 次に、Legendre 多項式の <math>x</math> の冪での表示を求める。Rodrigues の公式を展開して、 <math>\begin{align}P_n(x) &= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n \\ &= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}(-1)^k x^{2n-2k} \\ &= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac n 2 \right]} \frac{(-1)^k}{k!(n-k)!} \frac{(2n-2k)!}{(n-2k)!}x^{n-2k} \end{align}</math> ここで、いくつかの項は微分で落ちる。項が残る条件は <math>n - 2k \ge 0</math> で、 <math>k</math> が整数だから、 <math>\left[\frac n 2\right] \ge k</math> である。 さらに、 <math>\begin{align} P_n(x) &= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac n 2 \right]} \frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k} \\ &= \sum_{k=0}^{\left[\frac n 2 \right]} \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{(2n-2k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k} \\ &= \sum_{k=0}^{\left[\frac n 2 \right]} \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{(2n-2k-1)!!}{k!(n-2k)!} x^{n-2k} \end{align}</math> として Legendre 多項式の表示が得られる。ここで、<math>(2k)!! = 2^kk!, (2k-1)!! = \frac{(2k)!}{(2k)!!} = \frac{(2k)!}{2^kk!}</math> となることを使った。 Rodrigues の公式に Goursat の公式を使うと、 <math>P_n(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_x \left\{\frac{t^2-1}{2(t-x)}\right\}^n \frac{dt}{t-x}</math> となる。ここで、<math>\frac{t^2-1}{2(t-x)} = \frac{1}{\zeta}</math> と変換をすると、<math>\zeta t^2 -2t + 2x - \zeta = 0</math> となるから、<math>t</math> について解いて、 <math>t = \frac{1-\sqrt{1-2x\zeta + \zeta^2}}{\zeta} = \frac{1-R}{\zeta}</math> となる。ここで、<math>R = \sqrt{1-2x\zeta + \zeta^2}</math> と置いた。<math>dR = \frac{\zeta - x}{R}d\zeta</math> となるから、<math>t </math> の微分は<math>dt =-\frac{d\zeta}{\zeta^2}(1-R) - \frac{dR}{\zeta} = \frac{1-R-x\zeta}{\zeta^2R}d\zeta </math> となる。<math>t - x = \frac{1-R-x\zeta}{\zeta} </math> であったから、<math>\frac{dt}{t-x} = \frac{d \zeta}{R\zeta}. </math> <math>P_n(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_0 \frac{1}{\sqrt{1-2x\zeta + \zeta^2}}\frac{d\zeta}{\zeta^{n+1}}</math> これは、 <math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n</math> ということを意味する。すなわち、これが Legendre 多項式の母函数である。 === Legendre の陪函数 === Legendre の陪微分方程式 <math>(1-x^2)\frac{d^2w}{dx^2} - 2x\frac{dw}{dx} + \left\{n(n+1) - \frac{m^2}{1-x^2}\right\} w = 0</math> の解を求めたい。 Legendre の微分方程式 <math>(1-x^2)\frac{d^2w}{dx^2} - 2x \frac{dw}{dx} + n(n+1)w = 0</math> で <math>w = (1-x^2)^{\frac m 2} v</math> とおいて、Legendre の陪微分方程式に代入すると、 <math>\frac{dw}{dx} = (1-x^2)^{\frac m 2} v' -mx(1-x^2)^{\frac m 2} v</math> <math>\frac{d^2w}{dx^2} = (1-x^2)^{\frac m 2}v'' - 2mx(1-x^2)^{{\frac m 2}-1}v' + m(1-x^2)^{{\frac m 2}-1} v + m(m -2)x^2(1-x^2)^{{\frac m 2}-2} v</math> となるから、<math>(1-x^2)^{\frac m 2}</math> で割って、<math>\frac{x^2}{1-x^2} = -1 + \frac{1}{1-x^2}</math> に注意して計算すると、 <math>(1-x^2)v'' - 2(m+1)v' + (n-m)(n+m+1)v = 0</math> を得る。 次に、Legendre の微分方程式を <math>w</math> の代わりに <math>u</math> とおいて、一回微分すると、 <math>(1-x^2)\frac{d^3u}{dx^3} - 2(1+1)x \frac{d^2u}{dx^2} + \{n(n+1) - 2\}\frac{du}{dx} = 0</math> もう一回微分すると、 <math>(1-x^2)\frac{d^4u}{dx^3} - 2(1+1+1)x \frac{d^3u}{dx^2} + \{n(n+1) - 2 - 4\}\frac{d^2u}{dx^2} = 0</math> すなわち、Legendre の微分方程式を <math>m</math> 階微分すると、<math>2(1+2+\cdots +m) = m(m+1)</math> となるから、 <math>(1-x^2)\frac{d^{m+2}u}{dx^{m+2}} - 2(m+1)x \frac{d^{m+1}u}{dx^{m+1}} + (n-m)(n+m+1)\frac{d^mu}{dx^m} = 0</math> である。 よって、 <math>v = \frac{d^mu}{dx^m}</math> の関係があることがわかる。ここで、<math>u</math> は Legendre の微分方程式の解だから、 <math>u = P_n(x),Q_n(x)</math> を代入して、 Legendre の陪微分方程式の解として、 <math>w = (1-x^2)^{\frac m 2}\frac{d^mP_n}{dx^m},(1-x^2)^{\frac m 2}\frac{d^mQ_n}{dx^m}</math> を得る。この解をLengendre 陪函数として、 <math>P^m_n(x) = (1-x^2)^{\frac m 2}\frac{d^mP_n}{dx^m},\, Q^m_n(x) = (1-x^2)^{\frac m 2}\frac{d^mQ_n}{dx^m}</math> と定義する。 === 直交関係 === <math>Q(x)</math> を <math>n-1</math> 次以下の次数の多項式とする。このとき、 <math>\int_{-1}^1 Q(x) P_n(x) dx = 0</math> となる。実際、<math>F = (x^2-1)^n</math> とすれば、 <math>\int_{-1}^1 Q(x) P_n(x) dx = \frac{1}{2^nn!}[QF^{(n-1)} - Q'F^{(n-2)} + \cdots + (-1)^{n-1}Q^{(n-1)}F]_{-1}^1 = 0</math> となる。 また、 <math>\int_{-1}^1 P_n P_{n+1}' dx = P_nP_{n+1}|_{-1}^1 - \int_{-1}^1 P_n' P_{n+1} dx</math> となる。ここで、<math>P_n</math> の <math>x^n</math> の係数は <math>\frac{(2n-1)!!}{n!}</math> となる。また、<math>P_{n+1}'</math> の <math>x^n</math> の係数は、<math>\frac{(2(n+1)-1)!!}{(n+1)!}(n+1) = \frac{(2n+1)!!}{n!}</math> となる。よって、<math>n-1</math> 次の多項式 <math>Q</math> が存在して <math>P_{n+1}' = (2n+1)P_n + Q</math> と書くことができる。従って、 <math>\int_{-1}^1 P_n P_{n+1}' dx = (2n+1)\int_{-1}^1 (P_n)^2 dx</math> <math>P_nP_{n+1}|_{-1}^1 - \int_{-1}^1 P_n' P_{n+1} dx = 2</math> より、 <math>\int_{-1}^1 (P_n)^2 dx = \frac{2}{2n+1}</math> となる。最終的に、直交関係 <math>\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2m+1}\delta_{mn}</math> を得る。 Legendre の陪函数の直交性は <math>\int_{-1}^1 P^m_k P^m_l dx = \frac{(k+m)!}{(k-m)!} \frac{2}{2k+1}\delta_{kl} </math> となる。 <math>(1-x^2)v'' - 2(m+1)v' + (n-m)(n+m+1)v = 0</math> で <math>m \to m-1</math> に置き換えると、 <math>(1-x^2)v'' - 2mv' + (n-m+1)(n+m)v = 0</math> となる。ここで、<math>v = D^{m-1}P_n</math> を代入して <math>(1-x^2)^{m-1}</math> を掛けると <math>(1-x^2)^mD^{m+1}P_n - 2m(1-x^2)^{m-1}D^mP_n + (n-m+1)(n+m)(1-x^2)^{m-1}D^{m-1}P_n = 0</math> <math>D[(1-x^2)^mD^mP_n] + (n-m+1)(n+m)(1-x^2)^{m-1}D^{m-1}P_n = 0</math> となる。部分積分をして <math>\begin{align} \int_{-1}^1 P^m_k P^m_l dx &= \int_{-1}^1 (1-x^2)^m D^mP_k D^mP_l dx\\ &= (k-m+1)(k+m)\int_{-1}^1 (1-x^2)^{m-1} D^{m-1}P_k D^{m-1}P_l dx \\ &= \cdots \\ &= \frac{(k+m)!}{(k-m)!} \int_{-1}^1 P_kP_l dx \\ &= \frac{(k+m)!}{(k-m)!} \frac{2}{2k+1}\delta_{kl} \end{align}</math> を得る。 === 球面調和函数 === Laplace 方程式 <math>\triangle \Psi = 0</math> を球座標で表すと、 <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial \Psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \Lambda \Psi = 0</math> となる。だたし、 <math>\Lambda = \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial} {\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}</math> である。<math>\Psi</math> が <math>C^2</math> 級函数で、 <math>\Psi(r,\theta, \varphi) = r^nY_n(\theta,\varphi)</math> の形であるとき、<math>Y_n(\theta, \varphi)</math> を <math>n</math> 次の球面調和函数という。これを Laplace 方程式に代入すると、<math>Y_n(\theta, \varphi)</math> の方程式として <math>-\Lambda Y_n = n(n+1)Y_n</math> すなわち、 <math>\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial Y_n} {\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y_n}{\partial \varphi^2} + n(n+1)Y_n = 0</math> を得る。 <math>Y_n(\theta, \varphi) = \Theta(\theta)\Phi(\varphi)</math> と変数分離を仮定して、 <math>\frac{1}{\Theta \sin \theta} \frac{d}{d\theta}\left(\sin \theta \frac{d\Theta}{d\theta}\right) + n(n+1) = -\frac{1}{\Phi \sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}</math> あるいは、 <math>\frac{\sin \theta}{\Theta} \frac{d}{d\theta}\left(\sin \theta \frac{d\Theta}{d \theta}\right) + n(n+1) \sin^2 \theta = -\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d \varphi^2} = m^2</math> となる。両辺は <math>\theta ,\varphi</math> のいずれにも依存しないから、定数であるからこれを <math>m^2</math> と置くと、 <math>\frac{d^2 \Phi}{d \varphi^2} = -m^2\Phi</math> この解は、 <math>\Phi = C e^{im \varphi}</math> となる。<math>\Phi(\varphi)</math> は一価函数であるから、<math>\Phi(\varphi + 2\pi) = \Phi(\varphi)</math> より、 <math>m</math> は整数である。 次に、 <math>\Theta</math> に関する微分方程式 <math>\frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta}\right) + n(n+1)\Theta - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\Theta = 0</math> は、 <math>x = \cos \theta</math> と変換すると、 <math>\frac{d}{dx}\left\{(1-x^2)\frac{d\Theta}{dx}\right\} + \left\{n(n+1)- \frac{m^2}{1-x^2} \right\}\Theta = 0</math> となる。これは、Legendre の陪微分方程式だから、 <math>\Theta = P^m_n(x)</math> あるいは、 <math>\Theta(\theta) = P^m_n(\cos \theta)</math> を得る。ここで、<math>\Theta(\theta) = Q^m_n(\cos \theta)</math> も陪微分方程式の解であるが、<math>\theta = 0</math> で連続ではない。 結局、<math>n</math> 次球面調和函数として、 <math>Y_n(\theta,\varphi) = P_n(\cos\theta), P^m_n(\cos\theta) e^{i m \varphi}</math> (<math>m = -n,-n+1,\cdots , n</math>) の <math>2n+1</math> 個の解を得る。 == 円柱函数 == === Bessel 函数 === 電磁気学や量子力学などで、微分方程式 <math>\frac{d^2w}{dz^2} + \frac 1 z \frac{dw}{dz} + \left(1 - \frac{\nu^2}{z^2}\right)w = 0 </math> を解く必要が発生する。この微分方程式の解を Bessel 函数という。 <math>w = \sum_{k=0}^\infty c_k z^{\rho + k}</math> の形の級数展開を仮定する。 このとき、 <math> \frac{d^2w}{dz^2} =\sum_{k=0}^\infty (\rho + k)(\rho + k - 1)c_k z^{\rho + k-2} </math> <math> \frac 1 z \frac{dw}{dz} =\sum_{k=0}^\infty (\rho + k)c_k z^{\rho + k-2} </math> であるから、微分方程式は、 <math>\sum_{k=0}^\infty \left[\{(\rho+k)^2 - \nu^2\}c_kz^{\rho+k-2} + c_kz^{\rho + k}\right] = 0</math> となる。 <math>\frac{1}{z^2}</math> の項は、<math>(\rho^2 - \nu^2)c_0 = 0</math> であるから、<math>\rho = \pm \nu</math>. <math>\frac{1}{z}</math> の項は、<math>\{(\rho+1) - \nu^2\}c_1 = 0</math> であるから、<math>c_1 = 0</math>. <math>k \ge 0</math> について、<math>-c_{k-2} = \{(\rho+k)^2 - \nu^2\}c_k</math> を得る。これより、<math>c_{2k+1} = 0</math> がわかる。 <math>\rho = \nu</math> のときは、 <math>c_{2k} = \frac{-c_{2(k-1)}}{2(\nu+k)\cdot 2k}</math> であるから、 <math>c_{2k} = \frac{(-1)^k}{2^{2k}k!(\nu+k)(\nu+k-1)\cdots(\nu+1)} = \frac{(-1)^k\Gamma(\nu+1)}{2^{2k}k!\Gamma(\nu+k+1)}</math> である。すなわち、 <math>w = c_0\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\Gamma(\nu+1)}{2^{2k}k!\Gamma(\nu+k+1)} z^{2k}</math> ここで、<math>c_0 = \frac{1}{2^{\nu} \Gamma(\nu+1)}</math> に選んだものを <math>\nu</math> 次 Bessel 函数 <math>J_\nu(z)</math> とする。 すなわち、 <math>J_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac z 2\right)^{2k+\nu} </math> である。<math>\rho = -\nu</math> のときも同様に計算することで、同じ式になる。 ==== 性質 ==== 負の整数 <math>-n</math> 次の Bessel 函数について、 <math>J_{-n}(z) = \sum_{k=n}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(-n+k+1)} \left(\frac z 2\right)^{2k-n} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+n}}{(k+n)!\Gamma(k+1)} \left(\frac z 2\right)^{2k+n} = (-1)^nJ_{n}(z) </math> Bessel 函数の母函数は、 <math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)t^n &= \sum_{n=0}^\infty J_n(z)t^n + \sum_{n=1}^\infty (-1)^nJ_n(z)t^{-n} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!(n+m)!} \left(\frac z 2\right)^{2m+n}t^n + \sum_{n=1}^\infty \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^{l+n}}{l!(n+l)!} \left(\frac z 2\right)^{2l+n}t^{-n} \end{align}</math> ここで、第一の総和で、<math>l = m + n</math> 、第二の総和で、<math>m = l + n</math> と置くと、 <math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)t^n &= \sum_{m=0}^\infty \sum_{l=m}^\infty \frac{(-1)^m}{m!l!} \left(\frac z 2\right)^{m+l}t^{l-m} + \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=l+1}^\infty \frac{(-1)^{m}}{l!m!} \left(\frac z 2\right)^{l+m}t^{l-m}\\ &= \sum_{m,l = 0}^{\infty} \frac{1}{m!l!} \left(\frac{zt}{2}\right)^l \left(-\frac{z}{2t}\right)^m \\ &= \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{1}{l!} \left(\frac{zt}{2}\right)^l \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{m!}\left(-\frac{z}{2t}\right)^m \\ &= e^{\frac z 2 \left(t - \frac 1 t\right)} \end{align}</math> となる。 また、母函数を <math>t^{n+1}</math> で割ると、 <math>\frac{e^{\frac z 2 \left(t - \frac 1 t\right)}}{t^{n+1}} = \frac{J_n(z)}{t} + \sum_{k=-\infty,k \neq n}^\infty J_k(z)t^{k-n-1} </math> となるから、<math>t</math> について原点反時計回りに積分すると、 <math>J_n(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_0 \frac{e^{\frac z 2 \left(t - \frac 1 t\right)}}{t^{n+1}} dt</math> が得られる。<math>t = e^{i\theta}</math> とすると、 <math>J_n(z) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{z\frac{e^{i\theta}- e^{-i\theta}}{2}}e^{-in\theta}d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{iz\sin\theta - in\theta}d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}[\cos(z\sin\theta - n\theta) + i\sin(z\sin\theta - n\theta)]d\theta</math> ここで、<math>\sin(z\sin\theta - n\theta)</math> は奇函数だから積分は0。<math>\cos(z\sin\theta - n\theta)</math> は偶函数だから、 <math>J_n(z) = \frac 1 \pi \int_0^\pi\cos(n\theta - z\sin\theta)d\theta</math> を得る。Bessel はこの積分により Bessel 函数を定義した。 また、 <math>J_n(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{iz \sin \theta - i n \theta} d\theta</math> で、<math>\theta = \varphi + \frac \pi 2</math> と変換すると、積分範囲は被積分函数の周期性より変更する必要はないから、 <math>J_n(z) = \frac{1}{2\pi i^n} \int_{-\pi}^{\pi} e^{iz \cos \varphi}(\cos n\varphi - i \sin n\varphi) d\varphi</math> となる。前のように奇函数と偶函数の性質を利用すると、 Hansen の積分表示 <math>J_n(z) = \frac{1}{\pi i^n} \int_{0}^{\pi} e^{iz \cos\varphi}\cos n \varphi \, d\varphi</math> を得る。 母函数に<math>t=1</math> を代入すると、 <math>\sum_{k=-\infty}^{\infty} J_k(z) = 1</math> あるいは、 <math>J_0(z) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(z) =1</math> を得る。 <math>e^{\frac{x+y}{2}(t-1/t)} = e^{\frac{x}{2}(t-1/t)}e^{\frac{y}{2}(t-1/t)}</math> であるから、Bessel 函数の加法定理 <math>J_n(x+y) = \sum_{m=-\infty}^\infty J_{n-m}(x)J_m(y)</math> を得る。 上昇演算子と <math>\overset{(\nu)}{T} </math> 下降演算子 <math>\underset{(\nu)}{T} </math> を次のように定義する。 <math>\overset{(\nu)}{T} = z^\nu\frac{d}{dz}z^{-\nu} =\frac{d}{dz} -\frac{\nu}{z} </math> <math>\underset{(\nu)}{T} = z^{-\nu}\frac{d}{dz}z^\nu = \frac{d}{dz} + \frac{\nu}{z} </math> ここで、右辺は、<math>\overset{(\nu)}{T}f = z^\nu\frac{d}{dz}(z^{-\nu}f) = z^\nu\left(-\nu z^{-\nu-1}f+ z^{-\nu}\frac{df}{dz} \right) =\left(\frac{d}{dz} -\frac{\nu}{z}\right)f </math> から成り立つ。下降演算子についても同様である。 これを Bessel 函数に作用させると、 <math>\begin{align}\overset{(\nu)}{T} J_\nu(z) &= z^\nu \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{2^{2k+\nu}k!\Gamma(\nu+k+1)} \\ &= z^\nu \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k-1}}{2^{2k+\nu-1}(k-1)!\Gamma(\nu+k+1)} \\ &= -\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+1+\nu}}{2^{2k+\nu+1}k!\Gamma(\nu+1+k+1)} \\ &= -J_{\nu+1}(z) \end{align} </math> となる。また、 <math>\begin{align}\underset{(\nu)}{T} J_\nu(z) &= z^{-\nu} \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+2\nu}}{2^{2k+\nu}k!\Gamma(\nu+k+1)} \\ &= z^{-\nu} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (k+\nu) z^{2k+2\nu-1}}{2^{2k+\nu-1}k!\Gamma(\nu+k+1)} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+\nu-1}}{2^{2k+\nu-1}k!\Gamma(\nu+k)} \\ &= J_{\nu-1}(z) \end{align} </math> である。すなわち、 <math>J^'_\nu(z) - \frac{\nu}{z}J_\nu(z) = -J_{\nu+1}(z)</math> <math>J^'_\nu(z) + \frac{\nu}{z}J_\nu(z) = J_{\nu-1}(z) </math> 二式を辺々加えて、 <math>2J^'_{\nu}(z) = J_{\nu-1}(z) - J_{\nu+1}(z) </math> または、辺々引いて、 <math>\frac{2\nu}{z}J_\nu(z) = J_{\nu-1}(z) + J_{\nu+1}(z) </math> を得る。 ところで、明らかに <math>\underset{(\nu+1)}{T}\overset{(\nu)}{T}J_\nu(z) = - J_\nu(z)</math> となる。この式は二階の微分方程式であるから、Bessel の微分方程式に帰着するはずである。実際、左辺を展開すると、 <math>\underset{(\nu+1)}{T}\overset{(\nu)}{T} = \left(\frac{d}{dz} +\frac{\nu+1}{z}\right) \left(\frac{d}{dz} -\frac{\nu}{z}\right) = \frac{d^2}{dz^2} +\frac{1}{z}\frac{d}{dz} - \frac{\nu^2}{z^2} </math> となる。逆に考えると、昇降演算子とは微分方程式を因数分解したものだとも考えられる。 === 第二種 Bessel 函数 === <math>\nu</math> が非整数のときは、<math>J_\nu(z),J_{-\nu}(z)</math> が独立な2解を与えるが、整数のときは、<math>J_{-n}(z) = (-1)^nJ_{n}(z) </math> という関係があるから、独立ではない。そこで、位数 <math>n</math> のときの Bessel の微分方程式の独立なもうひとつの解が存在する。Bessel の微分方程式を <math>\nu </math> で偏微分すれば、 <math>\frac{d^2}{dz^2} \left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu}\right) \right|_{\nu=n} + \frac 1 z \frac{d}{dz}\left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu}\right) \right|_{\nu=n} + \left(1 - \frac{n^2}{z^2}\right) \left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu}\right) \right|_{\nu=n} = 0 </math> となるから、<math>\left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu} \right) \right|_{\nu=n} </math> は微分方程式の解である。<math>\left.\left(\frac{\partial J_{-\nu}(z)} {\partial \nu} \right) \right|_{\nu=n} </math> も同じ微分方程式を満たすから、その線形結合として、 <math>Y_n(z) = \frac 1 \pi \left(\left.\left(\frac{\partial J_\nu(z)} {\partial \nu}\right) \right|_{\nu=n} - (-1)^n \left.\left(\frac{\partial J_{-\nu(z)}} {\partial \nu} \right) \right|_{\nu=n} \right) </math> を定義すると、<math>J_n (z) </math> に独立な解を与える。非整数の <math>\nu </math> に対しては、 <math>Y_\nu (z) = \frac{\cos \nu \pi J_\nu (z) - J_{-\nu} (z)}{\sin \nu \pi} </math> と定義すると、 <math>\nu \rightarrow n </math> の極限として、 <math>Y_n(z) </math> を得ることができる。 第一種、第二種 Hankel 函数をそれぞれ <math>H^{(1)}_\nu(z) = J_\nu(z) + i Y_\nu(z)</math> <math>H^{(2)}_\nu(z) = J_\nu(z) - i Y_\nu(z) </math> で定義する。 == 楕円積分と楕円函数 == 第一種完全楕円積分 <math>K(k)</math> と第二種完全楕円積分 <math>E(k)</math> は <math>\begin{align}K(k) &= \int_0^{\frac \pi 2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}},\\ E(k) &= \int_0^{\frac \pi 2} {\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta\end{align}</math> で定義される。 Taylor 展開して、 <math>\begin{align}K(k) &= \int_0^{\frac \pi 2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac 1 2}{n}(-1)^n k^{2n}\sin^{2n}\theta d\theta \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{{(2n)!!}}k^{2n}\int_0^{\frac \pi 2}\sin^{2n}\theta d\theta \\ &= \frac \pi 2 \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{{(2n)!!}}\right)^2 k^{2n} \\ \end{align}</math> <math>\begin{align}E(k) &= \int_0^{\frac \pi 2} {\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta \\ &= \int_0^{\frac \pi 2} \sum_{n=0}^\infty \binom{\frac 1 2}{n}(-1)^n k^{2n}\sin^{2n}\theta d\theta \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{-(2n-1)!!}{{(2n-1)(2n)!!}} k^{2n}\int_0^{\frac \pi 2}\sin^{2n}\theta d\theta \\ &= \frac \pi 2 \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{{(2n)!!}}\right)^2 \frac{k^{2n}}{1-2n} \\ \end{align}</math> となる。あるいは、超幾何函数を使うと、 <math>K(k) = \frac \pi 2 F\left(\frac 1 2, \frac 1 2; 1; k^2 \right)</math> <math>E(k) = \frac \pi 2 F\left(\frac 1 2, -\frac 1 2; 1; k^2 \right)</math> となる。この変形に、 <math>\left(\frac 1 2 \right)_n = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1+2}{2}\right)\cdots \left(\frac{1+2n-2}{2}\right) = \frac{(2n-1) !!}{2^n}</math> <math>\left(-\frac 1 2 \right)_n = \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1+2}{2}\right)\cdots \left(\frac{1+2n-4}{2}\right) = -\frac{(2n-3) !!}{2^n} </math> を使う。 === Theta函数 === <math>\vartheta(z,\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi in^2\tau + 2\pi inz}</math> <math>\vartheta_{01}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi in^2\tau + 2\pi in\left(z+\frac 1 2\right)} = \vartheta\left(z+\frac 1 2, \tau\right)</math> <math>\vartheta_{10}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i\left(n + \frac 1 2 \right)^2\tau + 2\pi i\left(n+\frac 1 2\right)z} = e^{\frac 1 4 \pi i \tau + \pi i z}\vartheta\left(z+\frac 1 2, \tau\right)</math> <math>\vartheta_{11}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i\left(n + \frac 1 2 \right)^2\tau + 2\pi i\left(n+\frac 1 2\right)\left(z+\frac 1 2\right)} = e^{\frac 1 4 \pi i \tau + \pi i \left(z + \frac 1 2\right)}\vartheta\left(z+\frac 1 2, \tau\right)</math> と定義する。<math>\vartheta_{00}(z,\tau) = \vartheta(z,\tau) </math> とする。 <math>\vartheta(z+1,\tau) = \vartheta(z,\tau)</math> <math>\vartheta(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i (\tau + 2z)}\vartheta(z,\tau)</math> さらに、 <math>\vartheta_{00}(z+1,\tau) = \vartheta_{00}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{01}(z+1,\tau) = \vartheta_{01}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{10}(z+1,\tau) = -\vartheta_{10}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{11}(z+1,\tau) = -\vartheta_{11}(z,\tau)</math> また、 <math>\vartheta_{00}(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i (\tau + 2z)}\vartheta_{00}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{01}(z+\tau,\tau) = -e^{-\pi i (\tau + 2z)} \vartheta_{01}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{10}(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i (\tau + 2z)}\vartheta_{10}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{11}(z+\tau,\tau) = -e^{-\pi i (\tau + 2z)} \vartheta_{11}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{00}\left(z+\frac 1 2,\tau\right) = \vartheta_{01}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{01}\left(z+\frac 1 2,\tau\right) = \vartheta_{00}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{10}\left(z+\frac 1 2,\tau\right) = -\vartheta_{11}(z,\tau)</math> <math>\vartheta_{11}\left(z+\frac 1 2,\tau\right) = -\vartheta_{10}(z,\tau)</math> === 楕円函数 === Jacobi の楕円函数を <math>\operatorname{sn} u = -\frac{\vartheta_{00} \vartheta_{11}(\zeta)}{\vartheta_{10}\vartheta_{01}(\zeta)}</math> <math>\operatorname{cn} u = \frac{\vartheta_{01} \vartheta_{10}(\zeta)}{\vartheta_{10}\vartheta_{01}(\zeta)}</math> <math>\operatorname{dn} u = \frac{\vartheta_{01} \vartheta_{00}(\zeta)}{\vartheta_{00}\vartheta_{01}(\zeta)}</math> で定義する。ただし、<math>k = \left(\frac{\vartheta_{10}}{\vartheta_{00}}\right)^2</math> ,<math>u = \pi \vartheta_{00}^2 \zeta</math> である。 第一種不完全楕円積分<math>u(x) = \int_{0}^{x} \frac{dz}{\sqrt{1-z^2} \sqrt{1-l^2z^2}} (l \in [0, 1])</math>を用いると、 <math>\operatorname{sn} x = u^{-1} (x)</math> <math>\operatorname{cn} x = \sqrt{1 - ( \operatorname{sn} x )^2 }</math> <math>\operatorname{dn} x = \sqrt{1 - (l \operatorname{sn} x )^2 }</math> と定義することもできる。 定義より <math>( \operatorname{sn} x )^2 + ( \operatorname{cn} x )^2 = 1</math> <math>( \operatorname{sn} x )^2 + ( l \operatorname{dn} x )^2 = 1</math> は直ちに成り立つ。 また、以下の加法定理が成り立つ。 <math>\operatorname{sn} (x+y) = \frac{\operatorname{sn} x \operatorname{cn} y \operatorname{dn} y - \operatorname{sn} y \operatorname{cn} x \operatorname{dn} x}{1-(l\operatorname{sn} x \operatorname{sn} y)^2}</math> <math>\operatorname{cn} (x+y) = \frac{\operatorname{cn} x \operatorname{cn} y - \operatorname{sn} x \operatorname{sn} y \operatorname{dn} x \operatorname{dn} y}{1 - (l \operatorname{sn} x \operatorname{sn} y)^2}</math> <math>\operatorname{dn} (x+y) = \frac{\operatorname{dn} x \operatorname{dn} y - l^2 \operatorname{sn} x \operatorname{sn}y \operatorname{cn} x \operatorname{cn} y}{1-(l\operatorname{sn} x \operatorname{sn} y)^2}</math> それぞれの函数の微分は以下のようになる。 <math>\frac{d}{dx} \operatorname{sn} x = \operatorname{cn} x \operatorname{dn} x</math> <math>\frac{d}{dx} \operatorname{cn} x = - \operatorname{sn} x \operatorname{dn} x</math> <math>\frac{d}{dx} \operatorname{dn} x = -l^2 \operatorname{sn} x \operatorname{cn} x</math> 先ほどの第一種不完全楕円積分の式において、<math>l = 0</math>を代入すると<math>u (x) = \int_{0}^{x} \frac{dz}{\sqrt{1-z^2}} = \arcsin x</math>となる。このとき、<math>\operatorname{sn} x = \sin x, \operatorname{cn} x = \cos x</math>が恒等的に成り立つ。 今度は<math>l=1</math>を代入すると、<math>u(x) = \int_{0}^{x} \frac{dz}{1-z^2} = \mathrm{artanh} x</math>となる。このとき、<math>\operatorname{sn} x = \tanh x, \operatorname{cn} x = \operatorname{dn} x = \frac{1}{\cosh x}</math>が恒等的に成り立つ。 すなわち、三角関数と双曲線関数は楕円函数の一種である。 == 脚注 == === 注釈 === {{Notelist}} {{Reflist}} === 参考文献 === * 寺沢寛一『自然科学者のための数学概論(増訂版)』岩波書店、1983年。 * 高木貞治『定本 解析概論』岩波書店、2010年。 * 犬井鉄郎『特殊函数』岩波書店、1962年。 {{stub}} {{DEFAULTSORT:とくしゆかんすう}} [[Category:物理数学]] 9gfpqw26mvvpsottsnanigtpd1j5bbr 0 47836 300426 300412 2026-06-15T10:56:27Z Linguae 449 /* 「表記のゆれ」一覧 */ 300426 wikitext text/x-wiki <!--【2026年03月29日起稿】-->[[Category:ガリア戦記|**]] [[ガリア戦記]]&nbsp;＞&nbsp;[[ガリア戦記/注解編|注解編]]&nbsp;＞&nbsp;'''表記のゆれ''' :　 <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:18pt;color:darkgreen;text-align:center;background-color:#efe;">C・IVLII・CAESARIS・COMMENTARII・DE・BELLO・GALLICO</div> 『[[ガリア戦記]]』の校訂版などにおける単語の「表記のゆれ」のまとめ。 ==「表記のゆれ」一覧== *「表記１」がおもに辞書や近代の完本などで見られる表記、 *「表記２」が中世の主要写本に見られる古い表記などで、 *:できるだけ「表記２」を尊重した。 :　 {| class="wikitable sortable" cellspacing=1 |- !表記1 !表記2 !備　考 |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【acclivis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:acclivis#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">c</span>clīvis]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adclivis#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>clīvis]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【accommodatae】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:accommodatae|a<span style="background-color:#ff0;">c</span>commodātae]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adcommodatae|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>commodātae]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【allatis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:allatis|a<span style="background-color:#ff0;">l</span>lātīs]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adlatis|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>lātīs]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aduatuca】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aduatuca#Latin|A<span style="background-color:#ff0;">d</span>uātucam]] | style="font-size:20pt;" |A<span style="background-color:#ff0;">t</span>uātucam | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aduatuci】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aduatuci|A<span style="background-color:#ff0;">d</span>uatucī]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:de:Atuatuci|A<span style="background-color:#ff0;">t</span>uatucī]] | style="font-size:10pt;" | |- 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style="background-color:#ff0;">p</span>propinquāvērunt]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquaverunt|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquāvērunt]] | style="font-size:10pt;" | vē が縮約された形が、<br>前項の [[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]] |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appropinquavit】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appropinquavit|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>propinquāvit]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquavit|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquāvit]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appulso】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appulso#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>pulsō]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpulso|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>pulsō]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【arripere】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:arripere|a<span style="background-color:#ff0;">r</span>ripere]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adripere|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>ripere]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【articlis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:articlis|articlīs]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:articulis|artic<span style="background-color:#ff0;">u</span>līs]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【ascendissent】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adscendissent|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>scendissent]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【ascensu】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adscensu#Noun|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>scēnsū]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【assidua】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:assidua#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">s</span>siduā]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adsidua|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>siduā]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【assiduis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:assiduis#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">s</span>siduīs]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adsiduis#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>siduīs]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |} <!-- <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"> ▲, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (), , , , , , , , [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], [[wikt:en:clientis|clientīs]], [[wikt:en:cohortis|cohortīs]], [[wikt:en:coicere|coicere]], [[wikt:en:coicerent|coicerent]], [[wikt:en:coici|coicī]], [[wikt:en:coiciant|coiciant]], [[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]], [[wikt:en:coiciunt|coiciunt]], [[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]], [[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]], [[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]], [[wikt:en:coiecta|coiecta]], [[wikt:en:coiecti|coiectī]], [[wikt:en:coiectis|coiectīs]], [[wikt:en:collatis|collātīs]], [[wikt:en:collaudantur|collaudantur]], [[wikt:en:collaudat|collaudat]], [[wikt:en:collaudatis#Participle|collaudātīs]], [[wikt:en:collis#Latin|collīs]], [[wikt:en:collocabant|collocābant]], [[wikt:en:collocabat|collocābat]], [[wikt:en:collocandis|collocandīs]], [[wikt:en:collocant#Latin|collocant]], [[wikt:en:collocantur#Latin|collocantur]], [[wikt:en:collocarat|collocārat]], [[wikt:en:collocare#Latin|collocāre]], [[wikt:en:collocaret|collocāret]], [[wikt:en:collocari|collocārī]], [[wikt:en:collocatas|collocātās]], [[wikt:en:collocati#Latin|collocātī]], [[wikt:en:collocatis#Participle|collocātīs]], [[wikt:en:collocaverat#Latin|collocāverat]], [[wikt:en:collocavit|collocāvit]], [[wikt:en:collocuti|collocūtī]], [[wikt:en:colloquantur|colloquantur]], [[wikt:en:colloquendi|colloquendī]], [[wikt:en:colloqui#Latin|colloquī]], [[wikt:en:colloquium#Latin|colloquium]], [[wikt:en:compluribus|complūribus]], [[wikt:en:compluris|complūrīs]], [[wikt:en:comprehensis|comprehēnsīs]], [[wikt:en:comprehensos|comprehēnsōs]], [[wikt:en:conantis|cōnantīs]], [[wikt:en:consili|cōnsilī]], [[wikt:en:dubitantis#Participle_2|dubitantīs]], [[wikt:en:egredientis#Etymology_2|ēgredientīs]], [[wikt:en:ei#Latin|eī]], [[wikt:en:eis#Latin|eīs]], [[wikt:en:existit#Latin|existit]], [[wikt:en:exposcentis#Participle_2|exposcentīs]], [[wikt:en:ferventis#Latin|ferventīs]], [[wikt:en:finis#Latin|fīnīs]], [[wikt:en:glandis#Latin|glandīs]], [[wikt:en:haesitantis#Participle_2|haesitantīs]], [[wikt:en:hostis#Latin|hostīs]], [[wikt:en:ignis#Latin|ignīs]], [[wikt:en:illatas|illātās]], [[wikt:en:immittit|immittit]], [[wikt:en:immittunt|immittunt]], [[wikt:en:imparatum|imparātum]], [[wikt:en:impedita#Latin|impedīta]], [[wikt:en:imperi#Latin|imperī]], [[wikt:en:incolumis#Latin|incolumīs]], [[wikt:en:indignantis#Participle_2|indignantīs]], [[wikt:en:inopinantis#Adjective_2|inopīnantīs]], [[wikt:en:irridere#Latin|irrīdēre]], [[wikt:en:irrumpere|irrumpere]], [[wikt:en:irrumpit|irrumpit]], [[wikt:en:irruperunt|irrūpērunt]], [[wikt:en:laborantis#Etymology_2|labōrantīs]], [[wikt:en:montis|montīs]], [[wikt:en:natalis#Latin|nātālīs]], [[wikt:en:navis#Latin|nāvīs]], [[wikt:en:negoti|negōtī]], nōn nūllae, nōn nūllōs, [[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:opportunitate#Latin|opportūnitāte]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], subficere (×subficereは使われていない) [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]] </span> などは、 <br>それぞれ <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"> ▼, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (), , , , , , , , [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], [[wikt:en:clientes#Latin|clientēs]], [[wikt:en:cohortes#Latin|cohortēs]], [[wikt:en:conicere|conicere]], [[wikt:en:conicerent|conicerent]], [[wikt:en:conici#Latin|conicī]], [[wikt:en:coniciant|coniciant]], [[wikt:en:coniciebant|coniciēbant]], [[wikt:en:coniciunt|coniciunt]], [[wikt:en:coniecerant|coniēcerant]], [[wikt:en:coniecerunt|coniēcērunt]], [[wikt:en:coniecisse|coniēcisse]], [[wikt:en:coniecta|coniecta]], [[wikt:en:coniecti|coniectī]], [[wikt:en:coniectis|coniectīs]], [[wikt:en:conlatis|conlātīs]], [[wikt:en:conlaudantur|conlaudantur]], [[wikt:en:conlaudat|conlaudat]], [[wikt:en:conlaudatis#Participle|conlaudātīs]], [[wikt:en:colles#Latin|collēs]], [[wikt:en:conlocabant|conlocābant]], [[wikt:en:conlocabat|conlocābat]], [[wikt:en:conlocandis|conlocandīs]], [[wikt:en:conlocant|conlocant]], [[wikt:en:conlocantur#Latin|conlocantur]], [[wikt:en:conlocarat|conlocārat]], [[wikt:en:conlocare|conlocāre]], [[wikt:en:conlocaret|conlocāret]], [[wikt:en:conlocari|conlocārī]], [[wikt:en:conlocatas|conlocātās]], [[wikt:en:conlocati|conlocātī]], [[wikt:en:conlocatis#Participle|conlocātīs]], [[wikt:en:conlocaverat#Latin|conlocāverat]], [[wikt:en:conlocavit|conlocāvit]], [[wikt:en:conlocuti|conlocūtī]], [[wikt:en:conloquantur|conloquantur]], [[wikt:en:conloquendi|conloquendī]], [[wikt:en:conloqui#Latin|conloquī]], [[wikt:en:conloquium#Latin|conloquium]], [[wikt:en:conpluribus|conplūribus]], [[wikt:en:complures#Latin|complūrēs]], [[wikt:en:conprehensis|conprehēnsīs]], [[wikt:en:conprehensos|conprehēnsōs]], [[wikt:en:conantes|cōnantēs]], [[wikt:en:consilii|cōnsiliī]], [[wikt:en:dubitantes|dubitantēs]], [[wikt:en:egredientes|ēgredientēs]], [[wikt:en:ii#Latin|iī]], [[wikt:en:iis#Latin|iīs]], [[wikt:en:exsistit|exsistit]], [[wikt:en:exposcentes#Latin|exposcentēs]], [[wikt:en:ferventes#Latin|ferventēs]], [[wikt:en:fines#Latin|fīnēs]], [[wikt:en:glandes#Latin|glandēs]], [[wikt:en:haesitantes#Latin|haesitantēs]], [[wikt:en:hostes#Latin|hostēs]], [[wikt:en:ignes|ignēs]], [[wikt:en:inlatas|inlātās]], [[wikt:en:inmittit|inmittit]], [[wikt:en:inmittunt|inmittunt]], [[wikt:en:inparatum|inparātum]], [[wikt:en:inpedita#Latin|inpedīta]], [[wikt:en:imperii#Latin|imperiī]], [[wikt:en:incolumes|incolumēs]], [[wikt:en:indignantes#Latin|indignantēs]], [[wikt:en:inopinantes|inopīnantēs]], [[wikt:en:inridere|inrīdēre]], [[wikt:en:inrumpere|inrumpere]], [[wikt:en:inrumpit|inrumpit]], [[wikt:en:inruperunt|inrūpērunt]], [[wikt:en:laborantes#Latin|labōrantēs]], [[wikt:en:montes#Latin|montēs]], [[wikt:en:natales#Latin|nātālēs]], [[wikt:en:naves#Latin|nāvēs]], [[wikt:en:negotii|negōtiī]], [[wikt:en:nonnullae|nōnnūllae]], [[wikt:en:nonnullos|nōnnūllōs]], [[wikt:en:officii#Latin|officiī]], [[wikt:en:omnes#Latin|omnēs]], ([[wikt:en:oportunitate#Latin|oportūnitāte]) [[wikt:en:partes#Latin|partēs]], [[wikt:en:periculum#Latin|perīculum]], [[wikt:en:plures|plūrēs]], [[wikt:en:praesidii|praesidiī]], [[wikt:en:proelii|proeliī]], [[wikt:en:proficiscentes|proficīscentēs]], [[wikt:en:resistentes#Latin|resistentēs]], [[wikt:en:singulares#Latin|singulārēs]], [[wikt:en:solacii|sōlāciī]], [[wikt:en:spatii#Latin|spatiī]], [[wikt:en:subeuntes|subeuntēs]], [[wikt:en:subfossis|subfossīs]], 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wikitext text/x-wiki <!--【2026年03月29日起稿】-->[[Category:ガリア戦記|**]] [[ガリア戦記]]&nbsp;＞&nbsp;[[ガリア戦記/注解編|注解編]]&nbsp;＞&nbsp;'''表記のゆれ''' :　 <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:18pt;color:darkgreen;text-align:center;background-color:#efe;">C・IVLII・CAESARIS・COMMENTARII・DE・BELLO・GALLICO</div> 『[[ガリア戦記]]』の校訂版などにおける単語の「表記のゆれ」のまとめ。 ==「表記のゆれ」一覧== *「表記１」がおもに辞書や近代の完本などで見られる表記、 *「表記２」が中世の主要写本に見られる古い表記などで、 *:できるだけ「表記２」を尊重した。 :　 {| class="wikitable sortable" cellspacing=1 |- !表記1 !表記2 !備　考 |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【acclivis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:acclivis#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">c</span>clīvis]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adclivis#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>clīvis]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【accommodatae】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:accommodatae|a<span style="background-color:#ff0;">c</span>commodātae]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adcommodatae|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>commodātae]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【allatis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:allatis|a<span style="background-color:#ff0;">l</span>lātīs]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adlatis|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>lātīs]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aduatuca】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aduatuca#Latin|A<span style="background-color:#ff0;">d</span>uātucam]] | style="font-size:20pt;" |A<span style="background-color:#ff0;">t</span>uātucam | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aduatuci】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aduatuci|A<span style="background-color:#ff0;">d</span>uatucī]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:de:Atuatuci|A<span style="background-color:#ff0;">t</span>uatucī]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aduatucis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aduatucis|A<span style="background-color:#ff0;">d</span>uatucīs]] | style="font-size:20pt;" |A<span style="background-color:#ff0;">t</span>uatucīs | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aduatucos】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aduatucos|A<span style="background-color:#ff0;">d</span>uatucōs]] | style="font-size:20pt;" |A<span style="background-color:#ff0;">t</span>uatucōs | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aeduae】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aeduae|Aeduae]] | style="font-size:20pt;" |<span style="background-color:#ff0;">H</span>aeduae | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aedui】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Haedui|<span style="background-color:#ff0;">H</span>aeduī]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aeduis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Haeduis|<span style="background-color:#ff0;">H</span>aeduīs]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aeduorum】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Haeduorum|<span style="background-color:#ff0;">H</span>aeduōrum]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aeduos】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Haeduos|<span style="background-color:#ff0;">H</span>aeduōs]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Aeduus】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]] | style="font-size:20pt;" |<span style="background-color:#ff0;">H</span>aeduus | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【aequinocti】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:aequinocti|aequinoct<span style="background-color:#ff0;">ī</span>]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:aequinoctii|aequinoct<span style="background-color:#ff0;">iī</span>]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【affecti】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:affecti|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>fectī]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adfecti|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>fectī]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【affecto】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:affecto#Participle|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>fectō]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adfecto#Participle|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>fectō]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【affectus】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:affectus#Participle|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>fectus]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adfectus#Adjective|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>fectus]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【afferat】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:afferat|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>ferat]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adferat|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>ferat]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【afferebat】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:afferebat|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>ferēbat]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adferebat|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>ferēbat]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【afferret】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:afferret|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>ferret]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adferret|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>ferret]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【afferretur】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:afferretur|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>ferrētur]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adferretur|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>ferrētur]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【afflictae】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:afflictae|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>flīctae]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adflictae|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>flīctae]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【affligunt】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:affligunt|a<span style="background-color:#ff0;">f</span>flīgunt]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adfligunt|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>flīgunt]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【aggregabat】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:aggregabat|a<span style="background-color:#ff0;">g</span>gregābat]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adgregabat|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>gregābat]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【aggregarant】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:aggregarant|a<span style="background-color:#ff0;">g</span>gregārant]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adgregarant|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>gregārant]] | style="font-size:10pt;" |次項の [[wikt:en:adgregaverant|adgregā<span style="background-color:#ff0;">ve</span>rant]] の<br> ve が縮約された形。 |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【aggregaverant】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:aggregaverant|a<span style="background-color:#ff0;">g</span>gregā<u>ve</u>rant]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adgregaverant|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>gregā<u>ve</u>rant]] | style="font-size:10pt;" | ve が縮約された形が、<br>前項の [[wikt:en:adgregarant|adgregārant]] |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【allato】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:allato|a<span style="background-color:#ff0;">l</span>lātō]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adlato|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>lātō]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【Alpis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Alpis#Latin|Alp<span style="background-color:#ff0;">ī</span>s]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:Alpes#Latin|Alp<span style="background-color:#ff0;">ē</span>s]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appelluntur】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appelluntur|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>pelluntur]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpelluntur|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>pelluntur]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appetebat】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appetebat|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>petēbat]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpetebat|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>petēbat]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【apportari】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:apportari|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>portārī]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adportari|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>portārī]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【applicant】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:applicant#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>plicant]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adplicant|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>plicant]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【approbant】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:approbant#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>probant]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adprobant#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>probant]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appropinquabat】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appropinquabat|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>propinquābat]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquabat|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquābat]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appropinquare】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appropinquare#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>propinquāre]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquare|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquāre]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appropinquarent】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appropinquarent|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>propinquārent]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquarent|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquārent]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appropinquassent】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appropinquassent|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>propinquāssent]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquassent|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquāssent]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appropinquarunt】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appropinquarunt|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>propinquārunt]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquarunt|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquārunt]] | style="font-size:10pt;" |次項の [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquā<span style="background-color:#ff0;">vē</span>runt]] の<br> vē が縮約された形。 |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appropinquaverunt】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appropinquaverunt|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>propinquāvērunt]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquaverunt|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquāvērunt]] | style="font-size:10pt;" | vē が縮約された形が、<br>前項の [[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]] |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appropinquavit】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appropinquavit|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>propinquāvit]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpropinquavit|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>propinquāvit]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【appulso】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:appulso#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">p</span>pulsō]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adpulso|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>pulsō]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【arripere】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:arripere|a<span style="background-color:#ff0;">r</span>ripere]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adripere|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>ripere]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【articlis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:articlis|articlīs]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:articulis|artic<span style="background-color:#ff0;">u</span>līs]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【ascendissent】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adscendissent|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>scendissent]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【ascensu】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adscensu#Noun|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>scēnsū]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【assidua】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:assidua#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">s</span>siduā]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adsidua|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>siduā]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【assiduis】--> | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:assiduis#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">s</span>siduīs]] | style="font-size:20pt;" |[[wikt:en:adsiduis#Latin|a<span style="background-color:#ff0;">d</span>siduīs]] | style="font-size:10pt;" | |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | 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style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | 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<!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |- style="font-family:Times New Roman;" <!--【】--> | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:20pt;" | | style="font-size:10pt;" |<span style="background-color:#ff0;"></span> |} <!-- <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"> ▲, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (), , , , , , , , [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], [[wikt:en:clientis|clientīs]], [[wikt:en:cohortis|cohortīs]], [[wikt:en:coicere|coicere]], [[wikt:en:coicerent|coicerent]], [[wikt:en:coici|coicī]], [[wikt:en:coiciant|coiciant]], [[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]], [[wikt:en:coiciunt|coiciunt]], [[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]], [[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]], [[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]], [[wikt:en:coiecta|coiecta]], [[wikt:en:coiecti|coiectī]], [[wikt:en:coiectis|coiectīs]], [[wikt:en:collatis|collātīs]], [[wikt:en:collaudantur|collaudantur]], [[wikt:en:collaudat|collaudat]], [[wikt:en:collaudatis#Participle|collaudātīs]], 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[[wikt:en:dubitantis#Participle_2|dubitantīs]], [[wikt:en:egredientis#Etymology_2|ēgredientīs]], [[wikt:en:ei#Latin|eī]], [[wikt:en:eis#Latin|eīs]], [[wikt:en:existit#Latin|existit]], [[wikt:en:exposcentis#Participle_2|exposcentīs]], ([[wikt:en:extruxerunt#Latin|extruxerunt]]実際の発音に近い表記), [[wikt:en:ferventis#Latin|ferventīs]], [[wikt:en:finis#Latin|fīnīs]], [[wikt:en:glandis#Latin|glandīs]], [[wikt:en:haesitantis#Participle_2|haesitantīs]], [[wikt:en:hostis#Latin|hostīs]], [[wikt:en:ignis#Latin|ignīs]], [[wikt:en:illatas|illātās]], [[wikt:en:immittit|immittit]], [[wikt:en:immittunt|immittunt]], [[wikt:en:imparatum|imparātum]], ([[wikt:en:impedita#Latin|impedīta]]), [[wikt:en:imperi#Latin|imperī]], [[wikt:en:incolumis#Latin|incolumīs]], [[wikt:en:indignantis#Participle_2|indignantīs]], [[wikt:en:inopinantis#Adjective_2|inopīnantīs]], [[wikt:en:irridere#Latin|irrīdēre]], [[wikt:en:irrumpere|irrumpere]], [[wikt:en:irrumpit|irrumpit]], [[wikt:en:irruperunt|irrūpērunt]], [[wikt:en:laborantis#Etymology_2|labōrantīs]], ([[wikt:en:materiem#Latin|materiem]]), [[wikt:en:montis|montīs]], [[wikt:en:natalis#Latin|nātālīs]], [[wikt:en:navis#Latin|nāvīs]], [[wikt:en:negoti|negōtī]], nōn nūllae, nōn nūllōs, [[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:opportunitate#Latin|opportūnitāte]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], subficere (×subficereは使われていない) [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]](共和制末期の表記に近い), [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]] </span> などは、 <br>それぞれ <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"> ▼, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (), , , , , , , , [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], [[wikt:en:clientes#Latin|clientēs]], [[wikt:en:cohortes#Latin|cohortēs]], [[wikt:en:conicere|conicere]], [[wikt:en:conicerent|conicerent]], [[wikt:en:conici#Latin|conicī]], [[wikt:en:coniciant|coniciant]], [[wikt:en:coniciebant|coniciēbant]], [[wikt:en:coniciunt|coniciunt]], [[wikt:en:coniecerant|coniēcerant]], [[wikt:en:coniecerunt|coniēcērunt]], [[wikt:en:coniecisse|coniēcisse]], [[wikt:en:coniecta|coniecta]], [[wikt:en:coniecti|coniectī]], [[wikt:en:coniectis|coniectīs]], [[wikt:en:conlatis|conlātīs]], [[wikt:en:conlaudantur|conlaudantur]], [[wikt:en:conlaudat|conlaudat]], [[wikt:en:conlaudatis#Participle|conlaudātīs]], [[wikt:en:colles#Latin|collēs]], [[wikt:en:conlocabant|conlocābant]], [[wikt:en:conlocabat|conlocābat]], [[wikt:en:conlocandis|conlocandīs]], [[wikt:en:conlocant|conlocant]], [[wikt:en:conlocantur#Latin|conlocantur]], [[wikt:en:conlocarat|conlocārat]], [[wikt:en:conlocare|conlocāre]], [[wikt:en:conlocaret|conlocāret]], [[wikt:en:conlocari|conlocārī]], [[wikt:en:conlocatas|conlocātās]], [[wikt:en:conlocati|conlocātī]], [[wikt:en:conlocatis#Participle|conlocātīs]], [[wikt:en:conlocaverat#Latin|conlocāverat]], [[wikt:en:conlocavit|conlocāvit]], [[wikt:en:conlocuti|conlocūtī]], [[wikt:en:conloquantur|conloquantur]], [[wikt:en:conloquendi|conloquendī]], [[wikt:en:conloqui#Latin|conloquī]], [[wikt:en:conloquium#Latin|conloquium]], [[wikt:en:conpluribus|conplūribus]], [[wikt:en:complures#Latin|complūrēs]], [[wikt:en:conprehensis|conprehēnsīs]], [[wikt:en:conprehensos|conprehēnsōs]], [[wikt:en:conantes|cōnantēs]], [[wikt:en:consilii|cōnsiliī]], [[wikt:en:dubitantes|dubitantēs]], [[wikt:en:egredientes|ēgredientēs]], [[wikt:en:ii#Latin|iī]], [[wikt:en:iis#Latin|iīs]], [[wikt:en:exsistit|exsistit]], [[wikt:en:exposcentes#Latin|exposcentēs]], ([[wikt:en:exstruxerunt#Latin|exstruxerunt]] 共和制末期の表記) [[wikt:en:ferventes#Latin|ferventēs]], [[wikt:en:fines#Latin|fīnēs]], [[wikt:en:glandes#Latin|glandēs]], [[wikt:en:haesitantes#Latin|haesitantēs]], [[wikt:en:hostes#Latin|hostēs]], [[wikt:en:ignes|ignēs]], [[wikt:en:inlatas|inlātās]], [[wikt:en:inmittit|inmittit]], [[wikt:en:inmittunt|inmittunt]], [[wikt:en:inparatum|inparātum]], ([[wikt:en:inpedita#Latin|inpedīta]]), [[wikt:en:imperii#Latin|imperiī]], [[wikt:en:incolumes|incolumēs]], [[wikt:en:indignantes#Latin|indignantēs]], [[wikt:en:inopinantes|inopīnantēs]], [[wikt:en:inridere|inrīdēre]], [[wikt:en:inrumpere|inrumpere]], [[wikt:en:inrumpit|inrumpit]], [[wikt:en:inruperunt|inrūpērunt]], [[wikt:en:laborantes#Latin|labōrantēs]], ([[wikt:en:materiam#Latin|materiam]]共和制末期に近い表記), [[wikt:en:montes#Latin|montēs]], [[wikt:en:natales#Latin|nātālēs]], [[wikt:en:naves#Latin|nāvēs]], [[wikt:en:negotii|negōtiī]], [[wikt:en:nonnullae|nōnnūllae]], [[wikt:en:nonnullos|nōnnūllōs]], [[wikt:en:officii#Latin|officiī]], [[wikt:en:omnes#Latin|omnēs]], ([[wikt:en:oportunitate#Latin|oportūnitāte]) [[wikt:en:partes#Latin|partēs]], [[wikt:en:periculum#Latin|perīculum]], [[wikt:en:plures|plūrēs]], [[wikt:en:praesidii|praesidiī]], [[wikt:en:proelii|proeliī]], [[wikt:en:proficiscentes|proficīscentēs]], [[wikt:en:resistentes#Latin|resistentēs]], [[wikt:en:singulares#Latin|singulārēs]], [[wikt:en:solacii|sōlāciī]], [[wikt:en:spatii#Latin|spatiī]], [[wikt:en:subeuntes|subeuntēs]], [[wikt:en:subfossis|subfossīs]], [[wikt:en:subministrata|subministrāta]], [[wikt:en:submissis|submissīs]], [[wikt:en:submittantur#Latin|submittantur]], [[wikt:en:submittebat|submittēbat]], [[wikt:en:submittit|submittit]], [[wikt:en:submotis|submōtīs]], [[wikt:en:submoveri|submovērī]], [[wikt:en:supplicii|suppliciī]], [[wikt:en:timentes|timentēs]], [[wikt:en:Titurii|Titūriī]], [[wikt:en:Trinovantes#Latin|Trinovantēs]], [[wikt:en:tres#Latin|trēs]], [[wikt:en:turres#Latin|turrēs]], [[wikt:en:utiles#Latin|ūtilēs]], [[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]] </span> などとした。 --> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="color:#b00;"></span> <span style="color:#800;"></span> <span style="font-size:10pt;"></span> <span style="background-color:#ff0;"></span> ==脚注== <references /> ==関連項目== ==外部リンク== mdnedgxy8ohx4a2l1xyovvya6ov4n7l 0 48251 300427 300398 2026-06-15T11:10:38Z Linguae 449 /* 整形テキスト */ 300427 wikitext text/x-wiki <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;">C &middot; IVLII &middot; CAESARIS &middot; COMMENTARIORVM &middot; BELLI &middot; GALLICI</div> <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;">LIBER &middot; SEPTIMVS</div> <br> {| id="toc" style="align:center;clear:all;" align="center" cellpadding="5" |- ! style="background:#bbf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &nbsp; | style="background:#ccf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] &nbsp; | style="background:#eef; text-align:center;"| &nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/23節|23節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/24節|24節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/25節|25節]] &nbsp; |} __notoc__ == 原文テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。</ref> </div> <span style="background-color:#ffc;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;テキスト引用についての注記 <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;"></span> == 整形テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。</ref> </div> <span style="color:#800;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;注記 <!-- *原文の <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], [[wikt:en:aequinocti|aequinoctī]], [[wikt:en:affecti|affectī]], [[wikt:en:affectus#Participle|affectus]], [[wikt:en:afferat|afferat]], [[wikt:en:afferebat|afferēbat]], [[wikt:en:afferret|afferret]], [[wikt:en:afferretur|afferrētur]], [[wikt:en:afflictae|afflīctae]], [[wikt:en:affligunt|afflīgunt]], [[wikt:en:aggregabat|aggregābat]], [[wikt:en:aggregaverant|aggregāverant]] ([[wikt:en:aggregarant|aggregārant]]), [[wikt:en:allato|allātō]], [[wikt:en:Alpis#Latin|Alpīs]], [[wikt:en:appelluntur|appelluntur]], [[wikt:en:appetebat|appetēbat]], [[wikt:en:apportari|apportārī]], [[wikt:en:applicant#Latin|applicant]], [[wikt:en:approbant#Latin|approbant]], [[wikt:en:appropinquabat|appropinquābat]], [[wikt:en:appropinquare#Latin|appropinquāre]], [[wikt:en:appropinquarent|appropinquārent]], [[wikt:en:appropinquassent|appropinquāssent]], [[wikt:en:appropinquaverunt|appropinquāvērunt]] ([[wikt:en:appropinquarunt|appropinquārunt]]), [[wikt:en:appropinquavit|appropinquāvit]], [[wikt:en:appulso#Latin|appulsō]], [[wikt:en:arripere|arripere]], [[wikt:en:articlis|articlīs]], [[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]], [[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]], [[wikt:en:assidua#Latin|assiduā]], [[wikt:en:assiduis#Latin|assiduīs]], [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], [[wikt:en:clientis|clientīs]], [[wikt:en:cohortis|cohortīs]], [[wikt:en:coicere|coicere]], [[wikt:en:coicerent|coicerent]], [[wikt:en:coici|coicī]], [[wikt:en:coiciant|coiciant]], [[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]], [[wikt:en:coiciunt|coiciunt]], [[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]], [[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]], [[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]], [[wikt:en:coiecta|coiecta]], [[wikt:en:coiecti|coiectī]], [[wikt:en:coiectis|coiectīs]], [[wikt:en:collatis|collātīs]], [[wikt:en:collaudantur|collaudantur]], [[wikt:en:collaudat|collaudat]], [[wikt:en:collaudatis#Participle|collaudātīs]], [[wikt:en:collis#Latin|collīs]], [[wikt:en:collocabant|collocābant]], [[wikt:en:collocabat|collocābat]], [[wikt:en:collocandis|collocandīs]], [[wikt:en:collocant#Latin|collocant]], [[wikt:en:collocantur#Latin|collocantur]], [[wikt:en:collocarat|collocārat]], [[wikt:en:collocare#Latin|collocāre]], [[wikt:en:collocaret|collocāret]], [[wikt:en:collocari|collocārī]], [[wikt:en:collocatas|collocātās]], [[wikt:en:collocati#Latin|collocātī]], [[wikt:en:collocatis#Participle|collocātīs]], [[wikt:en:collocaverat#Latin|collocāverat]], [[wikt:en:collocavit|collocāvit]], [[wikt:en:collocuti|collocūtī]], [[wikt:en:colloquantur|colloquantur]], [[wikt:en:colloquendi|colloquendī]], [[wikt:en:colloqui#Latin|colloquī]], [[wikt:en:colloquium#Latin|colloquium]], [[wikt:en:compluribus|complūribus]], [[wikt:en:compluris|complūrīs]], [[wikt:en:comprehensis|comprehēnsīs]], [[wikt:en:comprehensos|comprehēnsōs]], [[wikt:en:conantis|cōnantīs]], [[wikt:en:consili|cōnsilī]], [[wikt:en:dubitantis#Participle_2|dubitantīs]], [[wikt:en:egredientis#Etymology_2|ēgredientīs]], [[wikt:en:ei#Latin|eī]], [[wikt:en:eis#Latin|eīs]], [[wikt:en:existit#Latin|existit]], [[wikt:en:exposcentis#Participle_2|exposcentīs]], [[wikt:en:ferventis#Latin|ferventīs]], [[wikt:en:finis#Latin|fīnīs]], [[wikt:en:glandis#Latin|glandīs]], [[wikt:en:haesitantis#Participle_2|haesitantīs]], [[wikt:en:hostis#Latin|hostīs]], [[wikt:en:ignis#Latin|ignīs]], [[wikt:en:illatas|illātās]], [[wikt:en:immittit|immittit]], [[wikt:en:immittunt|immittunt]], [[wikt:en:imparatum|imparātum]], [[wikt:en:impedita#Latin|impedīta]], [[wikt:en:imperi#Latin|imperī]], [[wikt:en:incolumis#Latin|incolumīs]], [[wikt:en:indignantis#Participle_2|indignantīs]], [[wikt:en:inopinantis#Adjective_2|inopīnantīs]], [[wikt:en:irridere#Latin|irrīdēre]], [[wikt:en:irrumpere|irrumpere]], [[wikt:en:irrumpit|irrumpit]], [[wikt:en:irruperunt|irrūpērunt]], [[wikt:en:laborantis#Etymology_2|labōrantīs]], [[wikt:en:montis|montīs]], [[wikt:en:natalis#Latin|nātālīs]], [[wikt:en:navis#Latin|nāvīs]], [[wikt:en:negoti|negōtī]], nōn nūllae, nōn nūllōs, [[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]] </span> などは、<br>それぞれ <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], [[wikt:en:clientes#Latin|clientēs]], [[wikt:en:cohortes#Latin|cohortēs]], [[wikt:en:conicere|conicere]], [[wikt:en:conicerent|conicerent]], [[wikt:en:conici#Latin|conicī]], [[wikt:en:coniciant|coniciant]], [[wikt:en:coniciebant|coniciēbant]], [[wikt:en:coniciunt|coniciunt]], [[wikt:en:coniecerant|coniēcerant]], [[wikt:en:coniecerunt|coniēcērunt]], [[wikt:en:coniecisse|coniēcisse]], [[wikt:en:coniecta|coniecta]], [[wikt:en:coniecti|coniectī]], [[wikt:en:coniectis|coniectīs]], [[wikt:en:conlatis|conlātīs]], [[wikt:en:conlaudantur|conlaudantur]], [[wikt:en:conlaudat|conlaudat]], [[wikt:en:conlaudatis#Participle|conlaudātīs]], [[wikt:en:colles#Latin|collēs]], [[wikt:en:conlocabant|conlocābant]], [[wikt:en:conlocabat|conlocābat]], [[wikt:en:conlocandis|conlocandīs]], [[wikt:en:conlocant|conlocant]], [[wikt:en:conlocantur#Latin|conlocantur]], [[wikt:en:conlocarat|conlocārat]], [[wikt:en:conlocare|conlocāre]], [[wikt:en:conlocaret|conlocāret]], [[wikt:en:conlocari|conlocārī]], [[wikt:en:conlocatas|conlocātās]], [[wikt:en:conlocati|conlocātī]], [[wikt:en:conlocatis#Participle|conlocātīs]], [[wikt:en:conlocaverat#Latin|conlocāverat]], [[wikt:en:conlocavit|conlocāvit]], [[wikt:en:conlocuti|conlocūtī]], [[wikt:en:conloquantur|conloquantur]], [[wikt:en:conloquendi|conloquendī]], [[wikt:en:conloqui#Latin|conloquī]], [[wikt:en:conloquium#Latin|conloquium]], [[wikt:en:conpluribus|conplūribus]], [[wikt:en:complures#Latin|complūrēs]], [[wikt:en:conprehensis|conprehēnsīs]], [[wikt:en:conprehensos|conprehēnsōs]], [[wikt:en:conantes|cōnantēs]], [[wikt:en:consilii|cōnsiliī]], [[wikt:en:dubitantes|dubitantēs]], [[wikt:en:egredientes|ēgredientēs]], [[wikt:en:ii#Latin|iī]], [[wikt:en:iis#Latin|iīs]], [[wikt:en:exsistit|exsistit]], [[wikt:en:exposcentes#Latin|exposcentēs]], [[wikt:en:ferventes#Latin|ferventēs]], [[wikt:en:fines#Latin|fīnēs]], [[wikt:en:glandes#Latin|glandēs]], [[wikt:en:haesitantes#Latin|haesitantēs]], [[wikt:en:hostes#Latin|hostēs]], [[wikt:en:ignes|ignēs]], [[wikt:en:inlatas|inlātās]], [[wikt:en:inmittit|inmittit]], [[wikt:en:inmittunt|inmittunt]], [[wikt:en:inparatum|inparātum]], [[wikt:en:inpedita#Latin|inpedīta]], [[wikt:en:imperii#Latin|imperiī]], [[wikt:en:incolumes|incolumēs]], [[wikt:en:indignantes#Latin|indignantēs]], [[wikt:en:inopinantes|inopīnantēs]], [[wikt:en:inridere|inrīdēre]], [[wikt:en:inrumpere|inrumpere]], [[wikt:en:inrumpit|inrumpit]], [[wikt:en:inruperunt|inrūpērunt]], [[wikt:en:laborantes#Latin|labōrantēs]], [[wikt:en:montes#Latin|montēs]], [[wikt:en:natales#Latin|nātālēs]], [[wikt:en:naves#Latin|nāvēs]], [[wikt:en:negotii|negōtiī]], [[wikt:en:nonnullae|nōnnūllae]], [[wikt:en:nonnullos|nōnnūllōs]], [[wikt:en:officii#Latin|officiī]], [[wikt:en:omnes#Latin|omnēs]], [[wikt:en:partes#Latin|partēs]], [[wikt:en:periculum#Latin|perīculum]], [[wikt:en:plures|plūrēs]], [[wikt:en:praesidii|praesidiī]], [[wikt:en:proelii|proeliī]], [[wikt:en:proficiscentes|proficīscentēs]], [[wikt:en:resistentes#Latin|resistentēs]], [[wikt:en:singulares#Latin|singulārēs]], [[wikt:en:solacii|sōlāciī]], [[wikt:en:spatii#Latin|spatiī]], [[wikt:en:subeuntes|subeuntēs]], [[wikt:en:subfossis|subfossīs]], [[wikt:en:subministrata|subministrāta]], [[wikt:en:submissis|submissīs]], [[wikt:en:submittantur#Latin|submittantur]], [[wikt:en:submittebat|submittēbat]], [[wikt:en:submittit|submittit]], [[wikt:en:submotis|submōtīs]], [[wikt:en:submoveri|submovērī]], [[wikt:en:supplicii|suppliciī]], [[wikt:en:timentes|timentēs]], [[wikt:en:Titurii|Titūriī]], [[wikt:en:Trinovantes#Latin|Trinovantēs]], [[wikt:en:tres#Latin|trēs]], [[wikt:en:turres#Latin|turrēs]], [[wikt:en:utiles#Latin|ūtilēs]], [[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]] </span> などとした。 --> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="color:#b00;"></span> <span style="color:#800;"></span> <span style="font-size:10pt;"></span> <span style="background-color:#ff0;"></span> == 注解 == === 1項 === <span style="font-family:Times New Roman;font-size:20pt;"></span> ;語釈 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="background-color:#ccffcc;"></span> <!-- ;対訳 《　》　内は、訳者が説明のために補った語。<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">{</span>　<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">}</span>　内は関係文。 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> --> == 訳文 == *<span style="background-color:#dff;">訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#24節]]</span> == 脚注 == {{Reflist}} == 解説 == <!-- {| class="wikitable" style="text-align:center" |- style="height:23em;" | | |} --> == 関連項目 == *[[ガリア戦記]] **[[ガリア戦記/注解編]] ***[[ガリア戦記 第7巻/注解]] **[[ガリア戦記/用例集]] == 関連記事 == == 外部リンク == [[Category:ガリア戦記 第7巻|24節]] f7c36jyku4fifufalrsx8002ks1w8hm 300429 300427 2026-06-15T11:34:23Z Linguae 449 /* 原文テキスト */ 300429 wikitext text/x-wiki <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;">C &middot; IVLII &middot; CAESARIS &middot; COMMENTARIORVM &middot; BELLI &middot; GALLICI</div> <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;">LIBER &middot; SEPTIMVS</div> <br> {| id="toc" style="align:center;clear:all;" align="center" cellpadding="5" |- ! style="background:#bbf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &nbsp; | style="background:#ccf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] &nbsp; | style="background:#eef; text-align:center;"| &nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/23節|23節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/24節|24節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/25節|25節]] &nbsp; |} __notoc__ == 原文テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。</ref> 24. &nbsp;&nbsp; <!--❶-->¹His tot rebus <span style="background-color:#ffc;">impedita</span><!--inpedita--> oppugnatione milites, cum toto tempore <!--(α) om.--><!--(β) luto─--> frigore et <span style="background-color:#ffc;">assiduis</span><!--adsiduis--> imbribus <!--─--> tardarentur, tamen continenti labore omnia haec superaverunt et diebus XXV aggerem latum pedes CCCXXX, altum pedes LXXX <span style="background-color:#ffc;">exstruxerunt</span><!--extruxerunt-->. &nbsp;<!--◆-->&nbsp; <!--❷-->²Cum is murum hostium paene contingeret<!--,--> et Caesar ad opus consuetudine excubaret militesque hortaretur<!--,--> ne quod omnino tempus ab opere intermitteretur, paulo ante tertiam vigiliam est animadversum fumare aggerem, quem cuniculo hostes succenderant<!--,-->; &nbsp;<!--◆-->&nbsp; <!--❸-->³eodemque tempore toto muro clamore sublato, duabus portis ab utroque latere turrium eruptio fiebat<!--,-->. &nbsp;<!--◆-->&nbsp; <!--❹-->⁴Alii faces atque aridam <!--(α) --><span style="background-color:#ffc;">materiam</span><!--(β) materiem--> de muro in aggerem eminus iaciebant, picem reliquasque res<!--,--> quibus ignis excitari potest<!--,--> fundebant, ut<!--,--> quo primum <!--(α) -->curreretur<!--(β) occurreretur--> aut cui rei ferretur auxilium<!--,--> vix ratio iniri posset. &nbsp;<!--◆-->&nbsp; <!--❺-->⁵Tamen, quod instituto Caesaris <!--(α) -->semper duae<!--(β) duae semper--> legiones pro castris excubabant pluresque partitis temporibus erant in opere, celeriter factum est<!--,--> ut alii eruptionibus resisterent<!--,--> alii <span style="background-color:#ffc;">turris</span><!--turres--> reducerent aggeremque interscinderent, omnis vero ex castris multitudo ad restinguendum concurreret. </div> <span style="background-color:#ffc;"></span> ---- ;テキスト引用についての注記 *<span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:impedita#Latin|impedita]] : &nbsp; [[wikt:en:inpedita#Latin|inpedita]]</span> と表記している校訂版もある。 *<span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:assiduis#Latin|assiduis]] : &nbsp; [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduis]]</span> と表記している校訂版もある。 *<span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:exstruxerunt#Latin|ex<u>s</u>truxerunt]] : &nbsp; [[wikt:en:extruxerunt#Latin|extruxerunt]]</span> と表記している校訂版もある。 *<span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:materiam#Latin|materiam]] : &nbsp; [[wikt:en:materiem#Latin|materiem]]</span> と表記している校訂版もある。 *<span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:turris#Latin|turrīs]] : &nbsp; [[wikt:en:turres#Latin|turrēs]]</span> と表記している校訂版もある。 <!--　[[wikt:en:|　--> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;"></span> == 整形テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。</ref> </div> <span style="color:#800;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;注記 <!-- *原文の <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], [[wikt:en:aequinocti|aequinoctī]], [[wikt:en:affecti|affectī]], [[wikt:en:affectus#Participle|affectus]], [[wikt:en:afferat|afferat]], [[wikt:en:afferebat|afferēbat]], [[wikt:en:afferret|afferret]], [[wikt:en:afferretur|afferrētur]], [[wikt:en:afflictae|afflīctae]], [[wikt:en:affligunt|afflīgunt]], [[wikt:en:aggregabat|aggregābat]], [[wikt:en:aggregaverant|aggregāverant]] ([[wikt:en:aggregarant|aggregārant]]), [[wikt:en:allato|allātō]], [[wikt:en:Alpis#Latin|Alpīs]], [[wikt:en:appelluntur|appelluntur]], [[wikt:en:appetebat|appetēbat]], [[wikt:en:apportari|apportārī]], [[wikt:en:applicant#Latin|applicant]], [[wikt:en:approbant#Latin|approbant]], [[wikt:en:appropinquabat|appropinquābat]], [[wikt:en:appropinquare#Latin|appropinquāre]], [[wikt:en:appropinquarent|appropinquārent]], [[wikt:en:appropinquassent|appropinquāssent]], [[wikt:en:appropinquaverunt|appropinquāvērunt]] ([[wikt:en:appropinquarunt|appropinquārunt]]), [[wikt:en:appropinquavit|appropinquāvit]], [[wikt:en:appulso#Latin|appulsō]], [[wikt:en:arripere|arripere]], [[wikt:en:articlis|articlīs]], [[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]], [[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]], [[wikt:en:assidua#Latin|assiduā]], [[wikt:en:assiduis#Latin|assiduīs]], [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], [[wikt:en:clientis|clientīs]], [[wikt:en:cohortis|cohortīs]], [[wikt:en:coicere|coicere]], [[wikt:en:coicerent|coicerent]], [[wikt:en:coici|coicī]], [[wikt:en:coiciant|coiciant]], [[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]], [[wikt:en:coiciunt|coiciunt]], [[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]], [[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]], [[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]], [[wikt:en:coiecta|coiecta]], [[wikt:en:coiecti|coiectī]], [[wikt:en:coiectis|coiectīs]], [[wikt:en:collatis|collātīs]], [[wikt:en:collaudantur|collaudantur]], [[wikt:en:collaudat|collaudat]], [[wikt:en:collaudatis#Participle|collaudātīs]], [[wikt:en:collis#Latin|collīs]], [[wikt:en:collocabant|collocābant]], [[wikt:en:collocabat|collocābat]], 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[[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]] </span> などは、<br>それぞれ <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], [[wikt:en:clientes#Latin|clientēs]], [[wikt:en:cohortes#Latin|cohortēs]], [[wikt:en:conicere|conicere]], [[wikt:en:conicerent|conicerent]], [[wikt:en:conici#Latin|conicī]], [[wikt:en:coniciant|coniciant]], [[wikt:en:coniciebant|coniciēbant]], [[wikt:en:coniciunt|coniciunt]], [[wikt:en:coniecerant|coniēcerant]], [[wikt:en:coniecerunt|coniēcērunt]], [[wikt:en:coniecisse|coniēcisse]], [[wikt:en:coniecta|coniecta]], [[wikt:en:coniecti|coniectī]], [[wikt:en:coniectis|coniectīs]], [[wikt:en:conlatis|conlātīs]], [[wikt:en:conlaudantur|conlaudantur]], [[wikt:en:conlaudat|conlaudat]], [[wikt:en:conlaudatis#Participle|conlaudātīs]], [[wikt:en:colles#Latin|collēs]], [[wikt:en:conlocabant|conlocābant]], [[wikt:en:conlocabat|conlocābat]], [[wikt:en:conlocandis|conlocandīs]], [[wikt:en:conlocant|conlocant]], [[wikt:en:conlocantur#Latin|conlocantur]], [[wikt:en:conlocarat|conlocārat]], [[wikt:en:conlocare|conlocāre]], [[wikt:en:conlocaret|conlocāret]], [[wikt:en:conlocari|conlocārī]], [[wikt:en:conlocatas|conlocātās]], 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=== <span style="font-family:Times New Roman;font-size:20pt;"></span> ;語釈 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="background-color:#ccffcc;"></span> <!-- ;対訳 《　》　内は、訳者が説明のために補った語。<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">{</span>　<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">}</span>　内は関係文。 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> --> == 訳文 == *<span style="background-color:#dff;">訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#24節]]</span> == 脚注 == {{Reflist}} == 解説 == <!-- {| class="wikitable" style="text-align:center" |- style="height:23em;" | | |} --> == 関連項目 == *[[ガリア戦記]] **[[ガリア戦記/注解編]] ***[[ガリア戦記 第7巻/注解]] **[[ガリア戦記/用例集]] == 関連記事 == == 外部リンク == [[Category:ガリア戦記 第7巻|24節]] a2hwc3k27t3567u2qv0rno69jn6ir8u 0 48252 300424 300406 2026-06-15T09:10:16Z ~2026-35032-14 91767 300424 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[コンメンタール家事事件手続法]] ==条文== （更正決定） ;第77条 #審判に計算違い、誤記その他これらに類する明白な誤りがあるときは、家庭裁判所は、申立てにより又は職権で、いつでも更正決定をすることができる。 #更正決定は、裁判書を作成してしなければならない。 #更正決定に対しては、更正後の審判が原審判であるとした場合に即時抗告をすることができる者に限り、即時抗告をすることができる。 #第一項の申立てを不適法として却下する裁判に対しては、即時抗告をすることができる。 #審判に対し適法な即時抗告があったときは、前二項の即時抗告は、することができない。 ==解説== :家事審判についての更正決定は、家事事件手続法第77条に定めがあるところ、同条の趣旨は、審判等の内容には実質において誤りがないが、審判書に、計算違い、誤記その他これに類する、裁判所の意思と審判書における表現との不一致という明白な誤りがあるときに、審判書の記載内容の同一性を阻害することなく、その表現の誤りの簡易迅速な是正を許すことにある。 :したがって、同条による更正決定をするためには、審判書自体又はその記載に照らし、少なくとも当該記載が単なる表現上の誤りであることが明らかであり、かつ、家庭裁判所の意図した記載が一義的に明らかであることを要するのであって、この限度を超えて原審判の記載を変更することは許されないと解される(東京家庭裁判所立川支部令和7年3月28日決定・同庁令和6年(家)第2061号（[[:w:判例時報|判例時報]]2647号85頁))。 ==判例== :本件審判の１頁３（２）の１行目には、「父の名前である「Ｘ１」を使用した場合の」との記載（以下「本件記載」という。）があるが、申立人の父の名前は「Ａ」であるから、本件記載にはたしかに誤記が含まれている。本件記載については、「父の名前に類似する「Ｘ１」を使用した場合の…」と記載する意図であったが本件記載となったのか、「父の名前である「Ａ」と「◯」の字が同じである名前を使用した場合の…」と記載する意図であったが本件記載となったのか、必ずしも明らかではない。したがって、本件は、「家庭裁判所の意図した記載が一義的に明らか」な場合に当たるとは言い難いと言わざるを得ない。よって、本件更正決定の申立ては理由がない(東京家庭裁判所立川支部令和7年3月28日決定・同庁令和6年(家)第2061号（[[:w:判例時報|判例時報]]2647号85頁))。 ==参照条文== *[[非訟事件手続法第58条]] ---- {{前後 |[[コンメンタール家事事件手続法|家事事件手続法]] |[[コンメンタール家事事件手続法#2|第2編 家事審判に関する手続]]<br> [[コンメンタール家事事件手続法#2-1|第1章 総則]]<br> [[コンメンタール家事事件手続法#2-1-1|第1節 家事審判の手続]]<br> [[コンメンタール家事事件手続法#2-1-1-7|第7款 審判等]] |[[家事事件手続法第76条]]<br>(審判の方式及び審判書) |[[家事事件手続法第78条]]<br>(審判の取消し又は変更) }} {{stub|law}} [[category:家事事件手続法|078]] s6vd30ept9eygv7xk9xumcnvwma9vhm 0 48253 300428 2026-06-15T11:12:50Z Linguae 449 25節 300428 wikitext text/x-wiki <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;">C &middot; IVLII &middot; CAESARIS &middot; COMMENTARIORVM &middot; BELLI &middot; GALLICI</div> <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;">LIBER &middot; SEPTIMVS</div> <br> {| id="toc" style="align:center;clear:all;" align="center" cellpadding="5" |- ! style="background:#bbf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &nbsp; | style="background:#ccf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] &nbsp; | style="background:#eef; text-align:center;"| &nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/24節|24節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/25節|25節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/26節|26節]] &nbsp; |} __notoc__ == 原文テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。</ref> </div> <span style="background-color:#ffc;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;テキスト引用についての注記 <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;"></span> == 整形テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。</ref> </div> <span style="color:#800;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;注記 <!-- *原文の <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], 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[[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]] </span> などは、<br>それぞれ <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], 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</span> などとした。 --> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="color:#b00;"></span> <span style="color:#800;"></span> <span style="font-size:10pt;"></span> <span style="background-color:#ff0;"></span> == 注解 == === 1項 === <span style="font-family:Times New Roman;font-size:20pt;"></span> ;語釈 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="background-color:#ccffcc;"></span> <!-- ;対訳 《　》　内は、訳者が説明のために補った語。<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">{</span>　<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">}</span>　内は関係文。 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> --> == 訳文 == *<span style="background-color:#dff;">訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#25節]]</span> == 脚注 == {{Reflist}} == 解説 == <!-- {| class="wikitable" style="text-align:center" |- style="height:23em;" | | |} --> == 関連項目 == *[[ガリア戦記]] **[[ガリア戦記/注解編]] ***[[ガリア戦記 第7巻/注解]] **[[ガリア戦記/用例集]] == 関連記事 == == 外部リンク == [[Category:ガリア戦記 第7巻|25節]] 67bavcf466eqa5wo9np12f71v1d8eaw