Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 9333 302471 297598 2026-08-18T16:31:14Z Tomzo 248 /* 第3節 金銭の支払を目的としない請求権についての強制執行（第168条～第179条） */ 302471 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|民事執行法}} [[法学]]＞[[コンメンタール民事訴訟法]]＞[[コンメンタール民事執行法]]＞[[コンメンタール民事保全法]] 民事執行法（昭和54年法律第4号　最終改正：令和6年）の逐条解説書。 ==<span id="1">第1章</span> 総則（第1条～第21条の2）== *[[民事執行法第1条|第1条]]（趣旨） *[[民事執行法第2条|第2条]]（執行機関） *[[民事執行法第3条|第3条]]（執行裁判所） *[[民事執行法第4条|第4条]]（任意的口頭弁論） *[[民事執行法第5条|第5条]]（審尋） *[[民事執行法第6条|第6条]]（執行官等の職務の執行の確保） *[[民事執行法第7条|第7条]]（立会人） *[[民事執行法第8条|第8条]]（休日又は夜間の執行） *[[民事執行法第9条|第9条]]（身分証明書等の携帯） *[[民事執行法第10条|第10条]]（執行抗告） *[[民事執行法第11条|第11条]]（執行異議） *[[民事執行法第12条|第12条]]（取消決定等に対する執行抗告） *[[民事執行法第13条|第13条]]（代理人） *[[民事執行法第14条|第14条]]（費用の予納等） *[[民事執行法第15条|第15条]]（担保の提供） *[[民事執行法第15条の2|第15条の2]]（期日の呼出しの特例） *[[民事執行法第16条|第16条]]（送達の特例） *[[民事執行法第17条|第17条]]（民事執行の事件の記録の閲覧等）（非電磁的事件記録の閲覧等） *[[民事執行法第17条の2|第17条の2]]（電磁的事件記録の閲覧等） *[[民事執行法第17条の3|第17条の3]]（事件に関する事項の証明） *[[民事執行法第18条|第18条]]（官庁等に対する援助請求等） *[[民事執行法第18条の2|第18条の2]]（記録事項証明書の提出等の省略） *[[民事執行法第19条|第19条]]（専属管轄） *[[民事執行法第19条の2|第19条の2]]（裁判所に対する電子情報処理組織による申立て等） *[[民事執行法第19条の3|第19条の3]]（裁判所に対する電子情報処理組織による申立て等の特例） *[[民事執行法第19条の4|第19条の4]]（書面等による申立て等） *[[民事執行法第19条の5|第19条の5]]（書面等に記録された事項のファイルへの記録等） *[[民事執行法第19条の6|第19条の6]]（執行官に対する申立て等） *[[民事執行法第20条|第20条]]（民事訴訟法の準用） *[[民事執行法第21条|第21条]]（最高裁判所規則） *[[民事執行法第21条の2|第21条の2]]（家庭裁判所における執行関係訴訟手続に関する特例） ==<span id="2">第2章</span> 強制執行 == ===<span id="2-1">第1節</span> 総則（第22条～第42条）=== *[[民事執行法第22条|第22条]]（債務名義） *[[民事執行法第23条|第23条]]（強制執行をすることができる者の範囲） *[[民事執行法第24条|第24条]]（外国裁判所の判決の執行判決） *[[民事執行法第25条|第25条]]（強制執行の実施） *[[民事執行法第26条|第26条]]（執行文の付与） *[[民事執行法第27条|第27条]] *[[民事執行法第28条|第28条]]（執行文の再度付与等） *[[民事執行法第29条|第29条]]（債務名義等の送達） *[[民事執行法第30条|第30条]]（期限の到来又は担保の提供に係る場合の強制執行） *[[民事執行法第31条|第31条]]（反対給付又は他の給付の不履行に係る場合の強制執行） *[[民事執行法第32条|第32条]]（執行文の付与等に関する異議の申立て） *[[民事執行法第33条|第33条]]（執行文付与の訴え） *[[民事執行法第34条|第34条]]（執行文付与に対する異議の訴え） *[[民事執行法第35条|第35条]]（請求異議の訴え） *[[民事執行法第36条|第36条]]（執行文付与に対する異議の訴え等に係る執行停止の裁判） *[[民事執行法第37条|第37条]]（終局判決における執行停止の裁判等） *[[民事執行法第38条|第38条]]（第三者異議の訴え） *[[民事執行法第39条|第39条]]（強制執行の停止） *[[民事執行法第40条|第40条]]（執行処分の取消し） *[[民事執行法第41条|第41条]]（債務者が死亡した場合の強制執行の続行） *[[民事執行法第42条|第42条]]（執行費用の負担） ===<span id="2-2">第2節</span> 金銭の支払を目的とする債権についての強制執行 === ====<span id="2-2-1">第1款</span> 不動産に対する強制執行 ==== =====<span id="2-2-1-1">第1目</span> 通則（第43条～第44条）===== *[[民事執行法第43条|第43条]]（不動産執行の方法） *[[民事執行法第44条|第44条]]（執行裁判所） =====<span id="2-2-1-2">第2目</span> 強制競売（第45条～第92条）===== *[[民事執行法第45条|第45条]]（開始決定等） *[[民事執行法第46条|第46条]]（差押えの効力） *[[民事執行法第47条|第47条]]（二重開始決定） *[[民事執行法第48条|第48条]]（差押えの登記の嘱託等） *[[民事執行法第49条|第49条]]（開始決定及び配当要求の終期の公告等） *[[民事執行法第50条|第50条]]（催告を受けた者の債権の届出義務） *[[民事執行法第51条|第51条]]（配当要求） *[[民事執行法第52条|第52条]]（配当要求の終期の変更） *[[民事執行法第53条|第53条]]（不動産の滅失等による強制競売の手続の取消し） *[[民事執行法第54条|第54条]]（差押えの登記の抹消の嘱託） *[[民事執行法第55条|第55条]]（売却のための保全処分等） *[[民事執行法第55条の2|第55条の2]]（相手方を特定しないで発する売却のための保全処分等） *[[民事執行法第56条|第56条]]（地代等の代払の許可） *[[民事執行法第57条|第57条]]（現況調査） *[[民事執行法第58条|第58条]]（評価） *[[民事執行法第59条|第59条]]（売却に伴う権利の消滅等） *[[民事執行法第60条|第60条]]（売却基準価額の決定等） *[[民事執行法第61条|第61条]]（一括売却） *[[民事執行法第62条|第62条]]（物件明細書）（電子物件明細書） *[[民事執行法第63条|第63条]]（剰余を生ずる見込みのない場合等の措置） *[[民事執行法第64条|第64条]]（売却の方法及び公告） *[[民事執行法第64条の2|第64条の2]]（内覧） *[[民事執行法第65条|第65条]]（売却の場所の秩序維持） *[[民事執行法第65条の2|第65条の2]]（暴力団員等に該当しないこと等の陳述） *[[民事執行法第66条|第66条]]（買受けの申出の保証） *[[民事執行法第67条|第67条]]（次順位買受けの申出） *[[民事執行法第68条|第68条]]（債務者の買受けの申出の禁止） *[[民事執行法第68条の2|第68条の2]]（買受けの申出をした差押債権者のための保全処分等） *[[民事執行法第68条の3|第68条の3]]（売却の見込みのない場合の措置） *[[民事執行法第68条の4|第68条の4]]（調査の嘱託） *[[民事執行法第69条|第69条]]（売却決定期日）（売却決定） *[[民事執行法第70条|第70条]]（売却の許可又は不許可に関する意見の陳述） *[[民事執行法第71条|第71条]]（売却不許可事由） *[[民事執行法第72条|第72条]]（売却の実施の終了後に執行停止の裁判等の提出があつた場合の措置） *[[民事執行法第73条|第73条]]（超過売却となる場合の措置） *[[民事執行法第74条|第74条]]（売却の許可又は不許可の決定に対する執行抗告） *[[民事執行法第75条|第75条]]（不動産が損傷した場合の売却の不許可の申出等） *[[民事執行法第76条|第76条]]（買受けの申出後の強制競売の申立ての取下げ等） *[[民事執行法第77条|第77条]]（最高価買受申出人又は買受人のための保全処分等） *[[民事執行法第78条|第78条]]（代金の納付） *[[民事執行法第79条|第79条]]（不動産の取得の時期） *[[民事執行法第80条|第80条]]（代金不納付の効果） *[[民事執行法第81条|第81条]]（法定地上権） *[[民事執行法第82条|第82条]]（代金納付による登記の嘱託） *[[民事執行法第83条|第83条]]（引渡命令） *[[民事執行法第83条の2|第83条の2]]（占有移転禁止の保全処分等の効力） *[[民事執行法第84条|第84条]]（売却代金の配当等の実施） *[[民事執行法第85条|第85条]]（配当表の作成）（電子配当表の作成） *[[民事執行法第85条の2|第85条の2]]（異議申出期間の指定） *[[民事執行法第85条の3|第85条の3]]（配当期日） *[[民事執行法第86条|第86条]]（音声の送受信による通話の方法による配当期日） *[[民事執行法第86条の2|第86条の2]]（売却代金） *[[民事執行法第87条|第87条]]（配当等を受けるべき債権者の範囲） *[[民事執行法第88条|第88条]]（期限付債権の配当等） *[[民事執行法第89条|第89条]]（配当異議の申出） *[[民事執行法第90条|第90条]]（配当異議の訴え等） *[[民事執行法第91条|第91条]]（配当等の額の供託） *[[民事執行法第92条|第92条]]（権利確定等に伴う配当等の実施） =====<span id="2-2-1-3">第3目</span> 強制管理（第93条～第111条）===== *[[民事執行法第93条|第93条]]（開始決定等） *[[民事執行法第93条の2|第93条の2]]（二重開始決定） *[[民事執行法第93条の3|第93条の3]]（給付義務者に対する競合する債権差押命令等の陳述の催告） *[[民事執行法第93条の4|第93条の4]]（給付請求権に対する競合する債権差押命令等の効力の停止等） *[[民事執行法第94条|第94条]]（管理人の選任） *[[民事執行法第95条|第95条]]（管理人の権限） *[[民事執行法第96条|第96条]]（強制管理のための不動産の占有等） *[[民事執行法第97条|第97条]]（建物使用の許可） *[[民事執行法第98条|第98条]]（収益等の分与） *[[民事執行法第99条|第99条]]（管理人の監督） *[[民事執行法第100条|第100条]]（管理人の注意義務） *[[民事執行法第101条|第101条]]（管理人の報酬等） *[[民事執行法第102条|第102条]]（管理人の解任） *[[民事執行法第103条|第103条]]（計算の報告義務） *[[民事執行法第104条|第104条]]（強制管理の停止） *[[民事執行法第105条|第105条]]（配当要求） *[[民事執行法第106条|第106条]]（配当等に充てるべき金銭等） *[[民事執行法第107条|第107条]]（管理人による配当等の実施） *[[民事執行法第108条|第108条]]（管理人による配当等の額の供託） *[[民事執行法第109条|第109条]]（執行裁判所による配当等の実施） *[[民事執行法第110条|第110条]]（弁済による強制管理の手続の取消し） *[[民事執行法第111条|第111条]]（強制競売の規定の準用） ====<span id="2-2-2">第2款</span> 船舶に対する強制執行（第112条～第121条）==== *[[民事執行法第112条|第112条]]（船舶執行の方法） *[[民事執行法第113条|第113条]]（執行裁判所） *[[民事執行法第114条|第114条]]（開始決定等） *[[民事執行法第115条|第115条]]（船舶執行の申立て前の船舶国籍証書等の引渡命令） *[[民事執行法第116条|第116条]]（保管人の選任等） *[[民事執行法第117条|第117条]]（保証の提供による強制競売の手続の取消し） *[[民事執行法第118条|第118条]]（航行許可） *[[民事執行法第119条|第119条]]（事件の移送） *[[民事執行法第120条|第120条]]（船舶国籍証書等の取上げができない場合の強制競売の手続の取消し） *[[民事執行法第121条|第121条]]（不動産に対する強制競売の規定の準用） ====<span id="2-2-3">第3款</span> 動産に対する強制執行（第122条～第142条）==== *[[民事執行法第122条|第122条]]（動産執行の開始等） *[[民事執行法第123条|第123条]]（債務者の占有する動産の差押え） *[[民事執行法第124条|第124条]]（債務者以外の者の占有する動産の差押え） *[[民事執行法第125条|第125条]]（二重差押えの禁止及び事件の併合） *[[民事執行法第126条|第126条]]（差押えの効力が及ぶ範囲） *[[民事執行法第127条|第127条]]（差押物の引渡命令） *[[民事執行法第128条|第128条]]（超過差押えの禁止等） *[[民事執行法第129条|第129条]]（剰余を生ずる見込みのない場合の差押えの禁止等） *[[民事執行法第130条|第130条]]（売却の見込みのない差押物の差押えの取消し） *[[民事執行法第131条|第131条]]（差押禁止動産） *[[民事執行法第132条|第132条]]（差押禁止動産の範囲の変更） *[[民事執行法第133条|第133条]]（先取特権者等の配当要求） *[[民事執行法第134条|第134条]]（売却の方法） *[[民事執行法第135条|第135条]]（売却の場所の秩序維持等に関する規定の準用） *[[民事執行法第136条|第136条]]（手形等の提示義務） *[[民事執行法第137条|第137条]]（執行停止中の売却） *[[民事執行法第138条|第138条]]（有価証券の裏書等） *[[民事執行法第139条|第139条]]（執行官による配当等の実施） *[[民事執行法第140条|第140条]]（配当等を受けるべき債権者の範囲） *[[民事執行法第141条|第141条]]（執行官の供託） *[[民事執行法第142条|第142条]]（執行裁判所による配当等の実施） ====<span id="2-2-4">第4款</span> 債権及びその他の財産権に対する強制執行 ==== =====<span id="2-2-4-1">第1目</span> 債権執行等（第143条～第167条）===== *[[民事執行法第143条|第143条]]（債権執行の開始） *[[民事執行法第144条|第144条]]（執行裁判所） *[[民事執行法第145条|第145条]]（差押命令） *[[民事執行法第146条|第146条]]（差押えの範囲） *[[民事執行法第147条|第147条]]（第三債務者の陳述の催告） *[[民事執行法第148条|第148条]]（債権証書の引渡し） *[[民事執行法第149条|第149条]]（差押えが一部競合した場合の効力） *[[民事執行法第150条|第150条]]（先取特権等によつて担保される債権の差押えの登記等の嘱託） *[[民事執行法第151条|第151条]]（継続的給付の差押え） *[[民事執行法第151条の2|第151条の2]]（扶養義務等に係る定期金債権を請求する場合の特例） *[[民事執行法第152条|第152条]]（差押禁止債権） *[[民事執行法第153条|第153条]]（差押禁止債権の範囲の変更） *[[民事執行法第154条|第154条]]（配当要求） *[[民事執行法第155条|第155条]]（差押債権者の金銭債権の取立て） *[[民事執行法第156条|第156条]]（第三債務者の供託） *[[民事執行法第157条|第157条]]（取立訴訟） *[[民事執行法第158条|第158条]]（債権者の損害賠償） *[[民事執行法第159条|第159条]]（転付命令） *[[民事執行法第160条|第160条]]（転付命令の効力） *[[民事執行法第161条|第161条]]（譲渡命令等） *[[民事執行法第161条の2|第161条の2]]（供託命令） *[[民事執行法第162条|第162条]]（船舶の引渡請求権の差押命令の執行） *[[民事執行法第163条|第163条]]（動産の引渡請求権の差押命令の執行） *[[民事執行法第164条|第164条]]（移転登記等の嘱託） *[[民事執行法第165条|第165条]]（配当等を受けるべき債権者の範囲） *[[民事執行法第166条|第166条]]（配当等の実施） *[[民事執行法第167条|第167条]]（その他の財産権に対する強制執行） =====<span id="2-2-4-2">第2目</span> 少額訴訟債権執行（第167条の2～第167条の14）===== *[[民事執行法第167条の2|第167条の2]]（少額訴訟債権執行の開始等） *[[民事執行法第167条の3|第167条の3]]（執行裁判所） *[[民事執行法第167条の4|第167条の4]]（裁判所書記官の執行処分の効力等） *[[民事執行法第167条の5|第167条の5]]（差押処分） *[[民事執行法第167条の6|第167条の6]]（費用の予納等） *[[民事執行法第167条の7|第167条の7]]（第三者異議の訴えの管轄裁判所） *[[民事執行法第167条の8|第167条の8]]（差押禁止債権の範囲の変更） *[[民事執行法第167条の9|第167条の9]]（配当要求） *[[民事執行法第167条の10|第167条の10]]（転付命令等のための移行） *[[民事執行法第167条の11|第167条の11]]（配当等のための移行等） *[[民事執行法第167条の12|第167条の12]]（裁量移行） *[[民事執行法第167条の13|第167条の13]]（総則規定の適用関係） *[[民事執行法第167条の14|第167条の14]]（債権執行の規定の準用） ====<span id="2-2-5">第5款</span> 扶養義務等に係る金銭債権についての強制執行の特例（第167条の15～第167条の17）==== *[[民事執行法第167条の15|第167条の15]]（扶養義務等に係る金銭債権についての間接強制） *[[民事執行法第167条の16|第167条の16]]（扶養義務等に係る定期金債権を請求する場合の特例） *[[民事執行法第167条の17|第167条の17]]（扶養義務等に係る債権に基づく財産開示手続等の申立ての特例） ===<span id="2-3">第3節</span> 金銭の支払を目的としない請求権についての強制執行（第168条～第179条）=== *[[民事執行法第168条|第168条]]（不動産の引渡し等の強制執行） *[[民事執行法第168条の2|第168条の2]]（明渡しの催告） *[[民事執行法第169条|第169条]]（動産の引渡しの強制執行） *[[民事執行法第170条|第170条]]（目的物を第三者が占有する場合の引渡しの強制執行） *[[民事執行法第171条|第171条]]（代替執行） *[[民事執行法第172条|第172条]]（間接強制） *[[民事執行法第173条|第173条]]【債権者の申し立てによる間接強制】 *[[民事執行法第174条|第174条]]（子の引渡しの強制執行） *[[民事執行法第175条|第175条]]（執行官の権限等） *[[民事執行法第176条|第176条]]（執行裁判所及び執行官の責務） *[[民事執行法第177条|第177条]]（意思表示の擬制） *[[民事執行法第178条|第178条]]〔削除・空番〕 *[[民事執行法第179条|第179条]]〔削除・空番〕 ==<span id="3">第3章</span> 担保権の実行としての競売等（第180条～第195条）== *[[民事執行法第180条|第180条]]（不動産担保権の実行の方法） *[[民事執行法第181条|第181条]]（不動産担保権の実行の開始） *[[民事執行法第182条|第182条]]（開始決定に対する執行抗告等） *[[民事執行法第183条|第183条]]（不動産担保権の実行の手続の停止） *[[民事執行法第184条|第184条]]（代金の納付による不動産取得の効果） *[[民事執行法第185条|第185条]]〔削除・空番〕 *[[民事執行法第186条|第186条]]〔削除・空番〕 *[[民事執行法第187条|第187条]]（担保不動産競売の開始決定前の保全処分等） *[[民事執行法第188条|第188条]]（不動産執行の規定の準用） *[[民事執行法第189条|第189条]]（船舶の競売） *[[民事執行法第190条|第190条]]（動産競売の要件） *[[民事執行法第191条|第191条]]（動産の差押えに対する執行異議） *[[民事執行法第192条|第192条]]（動産執行の規定の準用） *[[民事執行法第193条|第193条]]（債権及びその他の財産権についての担保権の実行の要件等） *[[民事執行法第194条|第194条]]（担保権の実行についての強制執行の総則規定の準用） *[[民事執行法第195条|第195条]]（留置権による競売及び民法 、商法 その他の法律の規定による換価のための競売） ==<span id="4">第4章</span> 債務者の財産状況の調査（第196条～第203条）== ===<span id="4-1">第1節</span> 財産開示手続（第196条～第203条）=== *[[民事執行法第196条|第196条]]（管轄） *[[民事執行法第197条|第197条]]（実施決定） *[[民事執行法第198条|第198条]]（期日指定及び期日の呼出し） *[[民事執行法第199条|第199条]]（財産開示期日） *[[民事執行法第199条の2|第199条の2]]（音声の送受信による通話の方法による財産開示期日） *[[民事執行法第199条の3|第199条の3]]（映像等の送受信による通話の方法による開示義務者の陳述） *[[民事執行法第200条|第200条]]（陳述義務の一部の免除） *[[民事執行法第201条|第201条]]（財産開示事件の記録の閲覧等の制限） *[[民事執行法第202条|第202条]]（財産開示事件に関する情報の目的外利用の制限） *[[民事執行法第203条|第203条]]（強制執行及び担保権の実行の規定の準用） ===<span id="4-2">第2節</span> 第三者からの情報取得手続（第204条～第211条）=== *[[民事執行法第204条|第204条]]（管轄） *[[民事執行法第205条|第205条]]（債務者の不動産に係る情報の取得） *[[民事執行法第206条|第206条]]（債務者の給与債権に係る情報の取得） *[[民事執行法第207条|第207条]]（債務者の預貯金債権等に係る情報の取得） *[[民事執行法第208条|第208条]]（情報の提供の方法等） *[[民事執行法第209条|第209条]]（第三者からの情報取得手続に係る事件の記録の閲覧等の制限） *[[民事執行法第210条|第210条]]（第三者からの情報取得手続に係る事件に関する情報の目的外利用の制限） *[[民事執行法第211条|第211条]]（強制執行及び担保権の実行の規定の準用） ==<span id="5">第5章</span> 罰則（第212条～第215条）== *[[民事執行法第212条|第212条]]（公示書等損壊罪） *[[民事執行法第213条|第213条]]（陳述等拒絶の罪） *[[民事執行法第214条|第214条]]（過料に処すべき場合） *[[民事執行法第215条|第215条]]（管轄等） ==附則== ==参考== *[[コンメンタール民事執行規則]] ==外部リンク== *[https://laws.e-gov.go.jp/law/354AC0000000004 e-Gov法令検索] {{stub|law}} [[Category:コンメンタール|みんししつこうほう こんめんたある]] [[Category:民事執行法|*こんめんたあるみんししつこうほう]] 7o8pyiu7vw2gbidp6g6t9b68qw8e886 0 15093 302468 302391 2026-08-18T15:02:09Z Tomzo 248 302468 wikitext text/x-wiki ==本文== :　 <div style="text-align: center;"> <div style="display: inline-block; text-align: left;"> <small> {{#invoke:Kanbun|kanbun|子曰ク、\\ 学ビテ而不レバ[レ]思ハ則チ罔くらシ、\\ 思ヒテ而不レバ[レ]学バ則チ殆あやふシ。}} </small> </div> </div> == 訓読文と語釈等 == <div> {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ ! style="width:30%;" | 訓読文 ! style="width:70%;" | 語釈等 |- |style="vertical-align:top"|<big> 子曰く、学びて<ref group="†">この時代には、端的に古典（楽典などを含む）を学習すること（[[論語/巻第一 学而第一/第一#学|「学而第一 第一『学而時習』」語釈欄参照]]）。</ref>思はざれば則ち{{ruby|罔|くら}}し<ref group="†">「[[wikt:罔|罔]]」は、「网（「あみ」の象形文字）」+音符「亡」からなる「網」の原字で、覆い隠して見えなくするの意。「盲」などと同系。学んだことを役立てることができず解決法が見つからないなど。</ref>、 思ひて学ばざれば則ち{{ruby|殆|あやふ}}し<ref group="†">殆:危ない、危険である。「危」と同意義で、「危殆」と言う熟語も形成する。 - たまたま成功する可能性もあるが、失敗する可能性も高い。</ref>。 </big> |style="vertical-align:top"|<small><references group="†"/></small> |} </div> == 現代語和訳 == [[w:下村湖人|下村湖人]][https://www.aozora.gr.jp/cards/001097/files/43785_58836.html 『現代訳論語』（青空文庫）より] :先師がいわれた。―― :「他に学ぶだけで自分で考えなければ、真理の光は見えない。自分で考えるだけで他に学ばなければ独断に陥る危険がある。」 == 解説 == 「学ぶ」とは、本を読んだり、師に尋ねたりして、すでに存在する情報を取り入れることである。情報を集めるだけで、問題の解決や目標の達成に、それをどのように使うかを考えないようであれば、意味のない行動である。一方、過去の事例などの情報の取り入れを怠って少ない情報で、解決法ばかりあれこれ考えるのは、誤解することもあり、学び漏れた失敗例と同じ轍を踏む危険性が高くなる。「学ぶ」ことは大切であるが、何のために学ぶか目的を見失ってはならないし、目的を達するためには、思い巡らすばかりでなく、できる限り先例に「学び」備えるべきであると説く。 [[Category:高等学校教育_国語_漢文|まなひておもはされは]] [[category:論語|いせい15]] 2ci3nczgz7362tl9re5tacxidp12gwz 0 20847 302459 302238 2026-08-18T12:15:58Z ~2026-44565-32 92278 /* 偏積分 */ 302459 wikitext text/x-wiki {{Advanced|解析学基礎/ベクトル解析}} ==序論== ===多変数関数の定義=== 独立変数が2つであるような関数<math>z=f(x, y)</math>を'''二変数関数'''という。独立変数が3つであるような関数<math>w=f(x, y, z)</math>を'''三変数関数'''という。一般に、独立変数が<math>n</math>個であるような関数<math>y=f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を'''<math>n</math>変数関数'''という。<math>n</math>が2以上であるとき、'''多変数関数'''という。 「関数」という語の定義から、多変数関数は（定義域・値域に於いて）「独立変数の組の各々に対して対応する従属変数が必ず存在する」「独立変数の組を一意に定めたら従属変数が一意に定まる」という性質を満たす。 なお、ここで独立変数の組<math>(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を<math>\mathbb{R}^n</math>上の点と捉えると、多変数関数とはベクトルをスカラーへ写す写像（'''スカラー関数'''）<math>F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>と考えることができる。拠って、以下で扱う話題はベクトル関数（'''[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]'''）で一般化され得る。 一般に、<math>n</math>変数関数のグラフは<math>n+1</math>次元空間ではじめて描画され得る。そのため、多変数関数の議論では（簡単な場合を除き）「グラフを考えて図形的に解釈する」手法はあまり通用しない。 多変数関数の考え方は変数が幾つであっても本質的には同じなので、以下の議論は全て(最も基本的な)二変数関数で扱うものとする。 ===多変数関数の極限=== 二変数関数の極限は、定性的には一変数関数と同様にして以下のように定義される。 :<math>z=f(x, y)</math>に於いて<math>(x, y)</math>を実定数の組<math>(a, b)</math>に<math>(a, b)</math>とは異なる値を取りながら限りなく近づけたとき、<math>z</math>が一定値<math>L</math>に近づくならば「<math>(x, y)\to(a, b)</math>のとき<math>z</math>は<math>L</math>に'''収束'''（'''収斂'''）する」といい、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=L</math>のように書く。 収束する値を'''極限値'''、収束しない場合を'''発散'''というのも同様である。 なお、ここで<math>(x, y), (a, b)</math>を<math>xy</math>平面上の点と見れば位置ベクトルを用いて :<math>\lim_{\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right)}</math> のように書くことができる。また、 :<math>\lim_{\scriptstyle x \to a \atop \scriptstyle y \to b}</math> のような書き方も許容される。 但し、 :<math>\lim_{x \to a, y\to b}</math> のような書き方は'''反復極限'''（各変数を独立に飛ばすような極限） :<math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b}</math> と受け止められるので推奨しない（この場合は<math>x</math>と<math>y</math>を同時に飛ばしているので）。 同一値に飛ばす場合は :<math>\lim_{x, y\to c}</math> のような書き方も見られる。 ここからは、二変数関数の極限を定量的に考えていく。 一変数関数の場合を復習しておくと、「関数<math>y=f(x)</math>が<math>x \to a</math>で有限値<math>L</math>に収束する」とは<math>x \neq a</math>とすると<math>\varepsilon-\delta</math>論法を用いて :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall x \in \mathbb{R} \left( |x-a| < \delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon \right)</math> で定義された。 二変数関数でも同様な定義にしたいので、<math>||</math>を適切に取り換える必要がある。高校数学を思い返してみると、<math>||</math>の意味は「実数の絶対値」から「ベクトル（複素数）の大きさ」に拡張されていた。つまり、先程と同様に変数の組<math>(x, y)</math>を<math>xy</math>平面上の点を表す位置ベクトルと見ればよい（より一般にはベクトル空間のノルム<math>\|\|</math>を用いる）。 つまり、<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies |f(x, y)-L| < \varepsilon \right)</math> とすればよい。 一変数の場合、<math>x \to a</math>の近づけ方は<math>x \to a^+</math>（右側極限）と<math>x \to a^-</math>（左側極限）の二通りしかなかった。しかし、二変数の場合は<math>xy</math>平面上のありとあらゆる方向からあらゆる経路で近づくことが考えられる。 つまり、二変数関数の収束は「2つの片側極限が一致」すれば良かった一変数の場合に比べ遙かに厳しい条件であることがわかる。 先程「反復極限のように表してはいけない」と述べたのは、反復極限では「どのような近づけ方であっても一意に収束する」ことが示せないからである。 それでは、実際に二変数関数の極限を求めるにはどうしたらよいであろうか？ <math>\varepsilon - \delta</math>法による上述の定義では、「全ての近づき方に就て一意に収束する」ことを言うしかないが、近づけ方は無数に考えられるので実務的に不可能である。ここで、「直線的に近づく」場合に限っては無数にある近づき方を纏めて判定できる方法がある。 それは、'''二次元極座標'''（'''円座標'''）を利用する方法である。 高校数学の復習だが、極座標とは極を原点に取ったときに変数変換<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>で定まる座標系だった。ここで<math>r = \left\| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right\|, \theta = \arctan \frac{y}{x}</math>である。 例えば<math>(x, y)\to(0, 0)</math>の極限を考えるとき、<math>g(r, \theta)=f(x, y)</math>と変換すると上記の関係式から<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)=\lim_{r\to0}g(r, \theta)</math>と表すことができる。ここで<math>g(r, \theta)</math>を計算したときに<math>r</math>が消えた場合、<math>g</math>は<math>\theta</math>にのみ依存するので<math>r\to0</math>の極限は存在しないと考えることに注意。 二変数関数でも極限に関する線型性などの性質はそのまま成り立つ。 *例題 **極限<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2}</math>を求めよ。 *解答 **<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2} = \lim_{r\to0}\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^3\cos^3\theta+r^2\sin^2\theta} = \lim_{r\to0}\frac{r\sin\theta\cos^3\theta}{r\cos^3\theta+\sin^2\theta}=\frac{0}{\sin^2\theta}=0</math> ***なお、<math>(x, y)\neq(0, 0)</math>より<math>\sin\theta=0</math>や<math>\cos\theta=0</math>、つまり<math>\theta=\frac{n}{2}\pi(n\in\mathbb{Z})</math>の場合は除外できるので<math>\frac{0}{\sin^2\theta}</math>は不定形ではない。 ==偏微分== ===連続性=== 二変数関数の連続性は、一変数関数と同様である。 :*二変数関数<math>z=f(x, y)</math>が「<math>(a, b)</math>で連続」とは、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math>が成り立つこと。 :*<math>(a, b)</math>で連続な<math>f(x, y), g(x, y)</math>に就て、<math>g(a, b)\neq0, c=\mathrm{const}.</math>とすると :::<math>cf(a, b), f(a, b)\pm g(a, b), f(a, b)g(a, b), \frac{f(a, b)}{g(a, b)}</math> ::は全て<math>(a, b)</math>で連続。 :*任意の<math>(a, b)\in\mathbb{R}^2</math>で連続ならば「<math>\mathbb{R}^2</math>で連続」である。 ===偏微分の定義=== <math>z=f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>近傍での変化の様子を調べるとき、極限の節で述べたように<math>(x, y)</math>の動かし方・方向は無数にあるのでそれらを全て扱う厳しい。そこで、代表的に<math>x, y</math>軸のそれぞれの方向で動かしたときの値の変化を観察し、それを併せることで変化の様子がある程度理解される。 ここで<math>(x, y)</math>を<math>x</math>軸で動かすときは<math>y</math>を<math>b</math>に、<math>y</math>軸で動かすときには<math>x</math>を<math>a</math>に固定していることに注意すると、二変数関数<math>f(x, y)</math>は実質的に一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>と見做せる。 一変数関数のある点に於ける変化の度合いはその点での微分係数で表された。則ち、<math>x/y</math>軸方向で動かした変化の様子は<math>f(x, b)/f(a, y)</math>の<math>x=a/y=b</math>での微分係数を見ればよい。 これらの微分係数を<math>f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>に於ける<math>x/y</math>に関する'''偏微分係数'''といい、<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>のように表す。 ここで、記号「<math>\partial</math>」は「デル」「パーシャル」「ラウンドディー」「ラウンディー」「ラウンド」などと読まれる。 一変数関数での微分係数の定義式より、偏微分係数の定義式は以下のようになる。 :<math>f_{\partial x}(a, b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(a, b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a, b+k)-f(a, b)}{k}</math> 偏微分係数が存在するとき、<math>f(x, y)</math>はその点で'''偏微分可能'''という。 変数<math>(x,y)</math>が<math>xy</math>平面上の領域<math>D</math>を動く時を考える。 このとき、各点<math>(x, y)\in D</math>に対し、その点での偏微分係数<math>f_{\partial x}(x, y)/f_{\partial y}(x, y)</math>を与える関数を<math>f(x, y)</math>の<math>x/y</math>に関する'''偏導関数'''という。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''という。これに対し、一変数関数の微分を'''常微分'''という。 形式的には偏微分係数の定点を変数に置き換えればいいので、 :<math>f_{\partial x}(x, y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(x, y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x, y+k)-f(x, y)}{k}</math> のように定義される。 常微分に様々な記法があったように、偏微分にも様々な記法が存在する。 *<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数の場合 ::<math>f_{\partial x}(x, y),~ f_x(x, y),~ z_{\partial x},~ z_x,~ \frac{{\partial z}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x, y)~, \partial{x}f(x, y),~ u_x\big|_{x, y}</math> なお、偏微分係数は<math>(x, y)</math>を<math>(a, b)</math>に取り替えた記法の他、代入記号「<math>|</math>」を用いて :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{x=a, y=b},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} },~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{(x, y)=(a, b)},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array} \right)}</math> などと書く記法も存在する。 偏導関数の計算は偏微分係数に立ち戻ると「偏微分変数以外の独立変数を固定してできる一変数関数」に関する常微分なので、'''偏微分したい変数以外は定数と見做して常微分'''すればよい。 例えば、<math>f(x, y)=x^5y^3</math>の場合、 :<math>x</math>に関する偏導関数は<math>y</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^3 = 5x^4y^3</math>と求まる。 :同様に、<math>y</math>に関する偏導関数は<math>x</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = x^5\left(\frac{d}{dy}y^3\right) = 3x^5y^2</math>と求まる。 ===全微分=== 前節で二変数関数の変化の様子を測る道具として偏微分を定義したが、偏微分のみでは<math>f(x, y)</math>の変化の様子が全て分かったとは到底言えない。 例えば、区分的に定義された二変数関数<math>f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} ({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle \neq \vec{0}}) \\ 0 \qquad({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle = \vec{0}}) \end{cases}</math>を考える。 この関数は<math>x, y</math>軸（則ち直線<math>y=0, x=0</math>）上では値が常に0な定数関数である。よって軸上の全ての点で微分可能なので、原点に於いて<math>x, y</math>とも偏微分可能である。 しかし、区分的に定義された上の式の<math>x, y\to0</math>の極限をとってみると、 :<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}\frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{r^2}=\sin\theta\cos\theta</math> より原点に近づけた極限は存在しない。従ってこの<math>f(x, y)</math>は原点を不連続点に持つ。 このように、常微分で成り立った「ある点で微分可能ならばその点で連続」という定理は偏微分では成り立たない。 そこで、この定理を多変数関数でも成り立たせるような新たな微分を考える。 一変数関数の常微分係数の定義式は :<math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> であったが、これは<math>h\to0</math>で<math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)</math>ということなので、'''[[高等学校数学III/微分法#ランダウの記号|ランダウの記号]]'''（'''オーダー記法'''）を用いて :<math>f(a+h)-f(a)=hf'(a)+O(h)\quad (h\to0)</math> という式が出来上がる。 これを二変数に拡張するとき、<math>hf'(a)</math>の項を「極限で飛ばす変数と導関数の内積^※」と考えることによって、以下のような表示を得る。 :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right) \quad \left(\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \to \vec{0}\right)</math> これをそのまま'''（完）全微分'''の定義式とする。 ※複素数の内積<math>\langle z, w \rangle = z\bar{w}</math>より、実数同士の積<math>ab</math>は内積<math>\langle a, b \rangle</math>と考えることができる。詳しくは[[関数解析学]]を参照。 この式が成り立つとき（諄いが二変数関数の極限値はあらゆる方向あらゆる経路で近づいても一致する必要がある）、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''（完）全微分可能'''という。 また、<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix}</math>を'''（完）全微分係数'''という。 *全微分係数が偏微分係数の組で表されることの証明 :全微分係数を<math>(\alpha, \beta)</math>とおく。 :<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能であるとき、<math>k=0</math>と固定して<math>h\to0</math>の極限をとると、 :全微分の定義式より<math>f(a+h, b)-f(a, b)=\alpha h + O(|h|) \quad(h\to0)</math> :<math>\therefore \lim_{h\to0} \frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}=\lim_{h\to0} \left\{ \alpha + \frac{O(|h|)}{h} \right\} = \alpha + 0 = \alpha</math> :最左辺は<math>f</math>の<math>x</math>に関する偏微分係数に等しいので<math>\alpha = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)</math> :<math>y</math>に就ても同様。// ここで証明したことから、以下が成り立つ。 {{定理|}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能<math>\implies</math><math>(a, b)</math>で<math>x, y</math>のどちらに関しても偏微分可能 {{定理終わり}} ここから、全微分可能は偏微分可能より強い条件であると判る。 更に、先ほど全微分を「微分可能なら連続」という定理を成り立たせる微分として導入したので、この定理が成り立つ筈である。 *証明 :<math>(x, y)</math>を全微分可能な点<math>(a, b)</math>の充分近傍にとる。 :<math>x-a=h, y-b=k</math>とすると<math>x=a+h, y=b+k</math>であり、<math>(x, y)\to(a, b)\iff h, k\to0</math>なので :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)} \{f(x, y)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \{f(a+h, b+k)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \left\{\alpha h+ \beta k + O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)\right\}</math> :<math>=\alpha\cdot0+\beta\cdot0</math> :<math>=0</math> :よって極限の分配法則より :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)-\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(a, b)=0</math> :<math>\therefore \lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math> :従って、<math>f(x, y)</math>は全微分可能な点で連続である。 なお、全微分と常微分は完全に対応するため、両者を区別せずにただ「微分」と呼ぶ文献も存在する。実際、関数が一変数か多変数かは文脈で容易に判断されるので、両者を区別しなくとも実務的な支障はない。 各点<math>(x, y)</math>に対して全微分を与える関数は微分係数→導関数と同じ議論によって :<math>f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right) \quad \left(\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} \to \vec{0}\right)</math> と表されることが判る。 これは :<math>\lim_{\scriptstyle \Delta x \to 0 \atop \scriptstyle \Delta y \to 0} \{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)\}= \lim_{\scriptstyle \Delta x \to 0 \atop \scriptstyle \Delta y \to 0}\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\Delta x + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\Delta y\right)</math> と書き直せる<math>\left(\because \lim_{\scriptstyle \Delta x \to 0 \atop \scriptstyle \Delta y \to 0}O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right)=0\right)</math>。 左辺を<math>df</math>と書くことにすると、変分<math>\Delta x, \Delta y</math>を微小量<math>dx, dy</math>に置き換えて :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy</math> これが全微分の一般表示である。これを俗に'''全導関数'''と呼ぶ場合がある。<!-- こう呼ぶと「完全微分方程式を解く=全導関数から元の関数を復元する」という用語対応が成り立って「常微分方程式を解く=(常)導関数から元の関数を復元する」・「偏微分方程式を解く=偏導関数から元の関数を復元する」と同じ関係を成せる。 --> 一変数関数に於いて、常微分可能性は「点<math>(a, f(a))</math>を通る接線の存在性」に対応した。 それでは、全微分可能性の幾何的意味は何であろうか？ 一変数の話に立ち戻ると、関数の接線とは「接点の充分近傍に於ける関数の一次近似」であった。つまり、次元を1つ上げると曲面<math>z=f(x, y)</math>は「点<math>(a, b, f(a, b))</math>を通る且つ方程式が<math>x, y, z</math>の一次方程式である」図形で一次近似される筈である。 高校数学を思い出すと、<math>xyz</math>空間で一次方程式<math>ax+by+cz+d=0</math>は平面の方程式であった。更に、ベクトル<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>はこの平面に垂直な法線ベクトルであった。 <math>f(x, y)</math>が全微分可能ならば<math>x, y</math>に関して偏微分可能なので、一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>はそれぞれ<math>x, y</math>に関して常微分可能であり、曲面<math>z=f(x, y)</math>を平面<math>y=b/x=a</math>で切った切り口の曲線の接線の傾きは<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>となる。よってこれらの接線に対してそれぞれ方向ベクトル<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>をとれる。 求める平面はこれらの接線を共に含む筈なので、<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>の両方に直交するようなベクトルが求める平面の法線ベクトルである。 よってこれらの外積を計算して、 :<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot f_{\partial y}(a, b) - f_{\partial x}(a, b) \cdot 1 \\ f_{\partial x}(a, b) \cdot 0 - 1 \cdot f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -f_{\partial x}(a, b) \\ -f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \end{pmatrix}</math> 求める平面は<math>(a, b, f(a, b))</math>を通るので、方程式の一般形に代入して :<math>-f_{\partial x}(a, b)(x-a) - f_{\partial y}(a, b)(y-b) + 1 (z-f(a, b))=0</math> :<math>\therefore z-f(a, b)=f_{\partial x}(a, b)(x-a) + f_{\partial y}(a, b)(y-b)</math> この平面を、曲線<math>z=f(x, y)</math>の点<math>(a, b, f(a, b))</math>に於ける'''接平面'''という。 則ち、全微分可能性は接平面の存在性に対応することが判った。 {{演習問題|二変数関数<math>f(x, y)=x^3+y^3</math>が(1)任意点で全微分可能であることを示し、(2)点<math>(1, 1, 2)</math>に於ける接平面の方程式を<math>z=ax+by+c</math>の形で求めよ。|(1) 全微分可能性を示すには、<math>\lim_{h, k\to0} \left\{ f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}=0</math>・・・(*)を示せばよい。<br><math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^3, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より、<br><math>f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math><br><math>=(a+h)^3+(b+k)^3-(a^3+b^3)-(3a^2h+3b^2k)</math><br><math>=3ah^2+h^3+3bk^2+k^3</math><br><math>=O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right)</math><br>ここで<math>O\left(g(x, y)\right)</math>とは<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}\frac{f(x, y)}{g(x, y)}=0</math>を満たす<math>f(x, y)</math>のことだったので、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|</math>が0に収束する点<math>(a, b)</math>が存在することを示せばよい。<br>変数変換<math>\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>により、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=\left|\frac{3ar^2\cos^2\theta+r^3\cos^3\theta+3br^2\sin^2\theta+r^3\sin^3\theta}{r}\right|</math><br><math>=|3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)|</math><br><math>\leqq3r|a\cos^2\theta+b\sin^2\theta|+r^2|\cos^3\theta+\sin^3\theta|</math>(<math>\because</math>三角不等式)<br><math>\leqq3r|a+b|+2r^2 (\because |\sin\theta|, |\cos\theta|\leqq1)</math><br>最後の式で<math>r\to0</math>とした極限は0に収束し、不等式<math>0 \leqq |3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)| \leqq 3r|a+b|+2r^2</math>と挟み撃ちの原理より<br><math>\lim_{h, k\to0}\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=0</math>なので、(*)が示された。//<br> (2) (1)で求めた偏導関数から<math>f_{\partial x}(1, 1)=3, f_{\partial y}(1, 1)=3</math>なので、<br>一般形に代入して<math>z-2=3(x-1)+3(y-1) \iff z=3x+3y-4</math>// }} ===高階偏導関数=== <math>z=f(x, y)</math>の偏導関数<math>\partial{x} f(x, y), \partial{y}f(x, y)</math>は一般に<math>x, y</math>の二変数関数である。そのため、これらが偏微分可能であればさらに偏微分することが可能である。 今、<math>f(x, y)</math>の<math>x, y</math>について偏導関数が存在し、それぞれ偏微分可能であればそれぞれ更に<math>x, y</math>についての導関数が存在する。そのため、積の法則より二回偏微分した偏導関数（'''二階偏導関数'''）は4種類存在することになる。 <math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x^2}(x, y),~ f_{xx}(x, y),~ z_{\partial x^2},~ z_{xx},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(x, y),~ \partial{x^2} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y\partial x}(x, y),~ f_{xy}(x, y),~ z_{xy},~ z_{\partial y\partial x},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}(x, y),~ \partial{y}\partial{x} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x\partial y}(x, y),~ f_{yx}(x, y),~ z_{yx},~ z_{\partial x\partial y},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(x, y),~ \partial{x}\partial{y} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y^2}(x, y),~ f_{yy}(x, y),~ z_{\partial y^2},~ z_{yy},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(x, y),~ \partial{y^2} f(x, y)</math>などと表す。 ここで、<math>\partial</math>を用いるか否かで<math>x, y</math>の順序が入れ替わっていることに注意。 また、それぞれの二階偏導関数が存在するかは一階偏導関数の偏微分可能性に依存するので、上の4種類が必ず揃う訳ではない。 先程の<math>f(x,y)=x^5y^3</math> の場合、 *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(5x^4 y^3)=5\left(\frac{d}{dx}x^4\right)y^3=5\sdot 4 x^3 y^3=20 x^3 y^3</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(5x^4 y^3)=5x^4\left(\frac{d}{dy}y^3\right)=5x^4\sdot 3y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(3x^5 y^2)=3\left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^2=3\sdot 5 x^4 y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(3x^5 y^2)=3x^5\left(\frac{d}{dy}y^2\right)=3x^5\sdot 2y=6 x^5 y</math> である。 ここで<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>が成り立っているが、これは応用上用いられるような「まとも」な関数ならば偏微分の順番が可換であることによる。 *「まとも」でない例 *::<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> *:とすると、 *::<math>f(x,0)=f(0,y)=0</math>より *::<math>\partial{x} f(0,0)=\partial{y} f(0,0)=0</math> *:一方、<math>(x,y) \ne (0,0)</math>のとき、 *::<math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\therefore \partial{x} f(0,y)=-y, \ \partial{y} f(x,0)=x</math> *:従って *::<math>\partial{x}\partial{y}f(0,0)=\lim_{h \to 0}\frac{h-0}{h}=1</math> *::<math>\partial{y}\partial{x}f(0,0)=\lim_{k \to 0}\frac{-k-0}{k}=-1</math> *:である。 「まとも」な関数が具体的にどのような関数であるかは、以下の定理により与えられる。 {{定理|(偏微分順序の可換性)}} 点<math>(a,b)</math>に於いて<math>f_{xy}(a, b), f_{yx}(a, b)</math>ともに連続ならば、 :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math> {{定理終わり}} *証明の導入 まず、<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{xy}(a,b)= \frac{\partial{f_x}}{\partial{{y}}} =\lim_{k\to 0} \frac {f_x(a,b+k) - f_x(a,b) }{k} = \lim_{k\to 0} \frac {\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \lim_{h\to 0} \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k} </math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a,b+k) \} - \{ f(a+h,b)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> であり、同様に<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{yx}(a,b)= \frac{\partial{f_y}}{\partial{{x}}} =\lim_{h\to 0} \frac {f_y(a+h,b) - f_y(a,b) }{h} = \lim_{h\to 0} \frac {\lim_{k\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \lim_{k\to 0} \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h} </math> :<math>= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h}= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a+h,b) \} - \{ f(a,b+k)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k) - f(a+h,b) -f(a,b+k) + f(a,b) } {hk}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> である。 よって、この定理は式 <math>\frac{f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h,b)+f(a,b)}{hk}</math> における <math>\lim_{k\to 0}</math> と<math>\lim_{h\to 0}</math> （反復極限）の可換を証明している。 *証明 やや天下り的だが、 :<math>F=f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h, b)+f(a, b)</math> と置くと :<math>F=\{f(a+h, b+k)-f(a+h, b)\}-\{f(a, b+k)-f(a, b)\}=\{ f(a+h, b+k)-f(a, b+k) \} - \{ f(a+h, b)-f(a, b) \} </math> である。 技巧的だが、この式を参考に :<math>\phi(x):=f(x, b+k)-f(x, b)</math> :<math>\psi(y):=f(a+h, y)-f(a, y)</math> とすると、 :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a) = \psi(b+k)-\psi(b)</math> という風に<math>F</math>を1変数関数に置き換えられる。 ここで、1変数関数に於けるラグランジュの平均値の定理を適用すると、 :<math>F=\phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(c)</math> を満たす<math>c \in (a, h)</math>が存在するので、 :<math>\theta_1 \in (0, 1)</math> として :<math>c=a+\theta_1h</math> と書いておく。 ここで偏微分係数の定義に立ち戻ると、<math>\frac{d\phi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b+k)-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b)</math>である。 なので :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(a+\theta_1h) = h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}</math> また、<math>\phi'(a+\theta_1h)</math>を<math>y</math>の関数と考えることにより、偏微分係数の定義を再び用いて :<math>F=h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k) \quad(\theta_2 \in (0, 1))</math> を得る。 一方、 :<math>F = \psi(b+k)-\psi(b)</math> と表した場合も、同様の式変形によって :<math>F=\psi(b+k)-\psi(b)=k\psi'(b+\theta_3k)=k\{f_y(a+h, b+\theta_3k)-f_y(a, b+\theta_3k)\}=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k) \quad(\theta_3, \theta_4 \in (0, 1))</math> よって :<math>F=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> <math>h, k\neq0</math>より :<math>f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=f_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> この式について、 <math>h, k\to 0</math>の極限をとれば、極限をとる順番に関係なく :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math>// <!--* 参考文献 証明の導入の参考として、 :http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henbibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/henbibun/henbibun-junnjokoukan.html （金沢工業大学 KIT数学ナビゲーション『偏微分の順序交換』） 、サイト確認日:2016年7月23日 証明中の数式の記法の参考として、 :サイエンス社『微分積分概論［新訂版］』、高橋泰嗣　加藤幹雄、2013年11月10日発行、新訂第一版、--> 二階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''三階偏導関数'''という。三階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''四階偏導関数'''という。同様に次数を上げていくことができる。次数が2以上の場合を'''高階偏導関数'''という。 一変数の場合と異なり、次数が上がるたびにそれぞれ<math>x, y</math>について偏導関数を考えるため、<math>n</math>階偏導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複順列 <math>{}_2 \Pi_n</math>に等しい。 但し、上で証明した定理を繰り返し用いると偏微分の順序が関係なくなるので、「どの変数で何回偏微分したか」のみが重要である。具体的には、一致する偏導関数たちを全体で<math>1</math>個と数えると、(偏微分が可換な)<math>n</math>階導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複組合せ <math>{}_2 \mathrm{H}_n</math>に等しくなる。 点<math>(a, b)</math>で二変数関数<math>f(x,y)</math>の<math>k</math>階偏導関数(<math>k=1, 2, \cdots, n</math>)が全て存在し、且つそれらが全て連続であるとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''<math>n</math>階連続微分可能'''といい、「<math>f</math>は<math>(a, b)</math>で<math>C^n</math>(級)関数である」という。また、定義域の全てで連続微分可能である場合は<math>f \in C^n</math>と書く。 <math>n\to\infty</math>でいえるときは<math>C^\infty</math>級関数という。 応用上で用いられる関数の殆どは<math>C^\infty</math>級関数である。 これを用いて先程の定理を言い換えると、 :<math>(a, b)</math>で<math>f</math>が<math>C^2</math>級<math>\implies f_{xy}(a, b)=f_{yx}(a, b)</math> である。 ===合成関数微分=== 二変数関数に対しても合成関数を考えることができるが、合成元の関数は一変数と二変数の二通り考えることができる。 先ずは、一変数関数の合成の場合を考える。 二変数関数<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}</math>となるような媒介変数<math>t</math>が存在するとする。このとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>を考えることができる。 <math>F</math>は勿論一変数関数なので、<math>t</math>で微分するには常微分可能性を考えればよい。則ち、極限 :<math>\lim_{h\to0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}</math> が有限値<math>L</math>に収束すればよい。 ここで<math>\begin{cases} \Delta x := \phi(t+h)-\phi(t) \\ \Delta y := \psi(t+h)-\psi(t) \end{cases}</math>とする。<math>\phi(t), \psi(t)</math>が常微分可能とすると<math>\phi(t), \psi(t)</math>は連続なので<math>h\to0</math>で<math>\Delta x , \Delta y\to0</math>である。よって :<math>L=\lim_{h\to0}\frac{f(\phi(t)+\Delta x, \psi(t)+\Delta y)-f(\phi(t), \psi(t))}{h}</math> 更に<math>f</math>が全微分可能とするとどの方向から<math>\Delta x, \Delta y\to0</math>としても :(分子)<math>=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta x+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta y</math> よって :<math>L=\lim_{h\to0} \left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta x}{h}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta y}{h} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right) \right\}</math> ここで :<math>\lim_{h\to0}\frac{\Delta x}{h}=\phi'(t), \quad \lim_{h\to0}\frac{\Delta y}{h}=\psi'(t)</math> また、 :<math>\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = \frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{h}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{h}\right)^2}</math> より :<math>\lim_{h\to\pm0}\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = 0\cdot\sqrt{\{\phi'(t)\}^2+\{\psi'(t)\}}</math> よって :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\phi}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\psi}{dt}</math> と求まる。 {{定理|(合成関数の常微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(t), y=\psi(t)</math>の何れも常微分可能であるとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>は常微分可能で :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}</math> {{定理終わり}} ここでは代入記号を省略する略記法を用いていることに注意。右辺を見ると、一変数関数の合成関数微分と同様に'''連鎖律'''（'''チェーン・ルール'''/'''チェイン・ルール'''）が成り立っていることが判る。 二変数関数の合成の場合は、偏微分の定義に立ち戻って一変数の場合に帰着すれば容易にわかる。 {{定理|(合成関数の偏微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(u, v), y=\psi(u, v)</math>の何れも<math>u/v</math>で偏微分可能であるとき、合成関数<math>F(u, v)=f(\phi(u, v), \psi(u, v))</math>は<math>u/v</math>で偏微分可能で :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{u}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}</math> :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{v}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}</math> {{定理終わり}} *証明 合成関数の常微分の証明の計算に於いて<math>t=u, v</math>とそれぞれ置くことで直ちに成り立つ。 一変数関数の場合と同様に合成関数の二階微分も考えられるが、一変数の場合より遙かに煩雑である。 例えば、<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right) + \frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>和の微分) :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>積の微分) :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math> :<math>=\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>(<math>\because</math>合成関数の偏微分) :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>// ここで、<math>f</math>が<math>C^2</math>級であれば更に変形して :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2</math> 合成関数微分の計算は、[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]に役立てられている。 例えば、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=0</math>（ラプラス方程式）という二階線型偏微分方程式を考える。 <math>f(x, y)</math>を極座標表示<math>F(r, \theta)</math>に直すとき、変換公式<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は<math>f</math>に二変数関数<math>\phi(r, \theta)=r\cos\theta, \psi(r, \theta)=r\sin\theta</math>を合成していると捉えることができる。 よって、 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}</math> 先程求めた合成関数の二階偏微分の式から :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\right)^2</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\right)^2</math> ここで<math>r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\arctan\frac{y}{x}</math>より :<math>\frac{\partial{r}}{\partial{x}}=\frac{x}{r},~ \frac{\partial{r}}{\partial{y}}=\frac{y}{r},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}=-\frac{y}{r^2},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}=\frac{x}{r^2},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}=\frac{y^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}=\frac{x^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}=\frac{2xy}{r^4},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}=-\frac{2xy}{r^4}</math> なので :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{x^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{y^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{y^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{y^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{x^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}-\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{x^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> 故に :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> と変形される。 ここで<math>f \in C^2</math>ならば<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}</math>なので :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> 更に、<math>f</math>が回転対称性（<math>\theta</math>の項を無視できる性質）を持っている場合、 :<math>\frac{d^2F}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dF}{dr}=0</math> という（元の二変数線型偏微分方程式に比べ）圧倒的に簡単な二階線型常微分方程式に帰着できる。 なお、元の偏微分方程式はベクトル解析の知識を用いると<math>\text{∆} f = 0</math>と非常に簡潔に表され、これは座標系に依らない記法なので大変便利である。 ===極値=== 一変数関数の場合と同様に、二変数関数でもテイラーの定理を考えることが可能である。 但し、先程も見たように<math>f(x, y)</math>の<math>n</math>階偏導関数の最大個数は<math>{}_2 \Pi_{n}</math>であり、その全てを式に書いたのでは非常に煩雑となって収拾がつかなくなる。 そこで、以下のような略記法を考える。 :<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}</math>を形式的に<math>\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f</math>と変形する。ここで、<math>D:=\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすれば<math>Df</math>と表せる。 この<math>D</math>は「各独立変数に関して偏微分したそれぞれの偏導関数の総和をとる」という意味の演算子として定義され得る。一般に、偏微分演算子の一次結合として定義される演算子<math>D = \sum_{i} a_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}</math>を'''一次の偏微分作用素'''という。各<math>a_i</math>のとり方で微分する方向が変わることから'''方向偏微分作用素'''ともいう。 <math>f</math>にこの<math>D</math>を複数回作用させることを考える。 :<math>D(Df)=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f\right\}</math> :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> と、四種類の二階偏導関数が全て現れている。 ここで形式的に :<math>(D D)f=\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\right\}f</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}\right)f</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> なので、偏微分作用素<math>D</math>と作用素の対象となる関数<math>f</math>の間に結合法則が成り立っていると見做せる。 そこで、<math>D^2:=DD</math>と定義すると、同様の議論により一般に<math>n</math>階偏導関数の総和は<math>D^nf</math>で表される。 これを用いて、以下のテイラーの定理を証明しよう。 {{定理|(二変数に於けるテイラーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^n</math>級であるとき、<math>h:=x-a, k:=y-b, D:=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i!}D^if(a, b)+\frac{1}{n!}D^nf(a+\theta h, b+\theta k)</math> を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :<math>g(t):=f(a+ht, b+kt)</math>として<math>g(t)</math>の有限マクローリン展開より ::<math>g(t)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}g^{(i)}(0)+\frac{t^n}{n!}g^{(n)}(\theta t)</math> :を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 :合成関数の常微分より ::<math>\frac{d}{dt}g(t)=\frac{dx}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=Df</math> :なので<math>g(t)</math>を常微分することと<math>f</math>に<math>D</math>を作用させることは同値であり、非負整数<math>i</math>に対して ::<math>g^{(i)}(t)=D^if(a+ht, b+kt)</math> :よって ::<math>g^{(i)}(0)=D^if(a, b)</math> ::<math>g^{(n)}(\theta t)=D^nf(a+\theta t h , b+\theta t k)</math> :より ::<math>f(a+ht, b+kt)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}D^if(a, b)+\frac{t^n}{n!}D^n(a+\theta th, b+\theta tk)</math> :ここで<math>t=1</math>とすれば定理の式を得る。// この定理の応用として最も基本的なのが、極値である。 一変数関数と同様、極小値・極大値を求めることは最大値最小値問題を解く手掛かりになるが、その求め方は複雑である。 先ずは、極値を定義する。 :<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として、 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極大'''という。 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \geq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極小'''という。 :極大/極小となるときの<math>f(a, b)</math>を'''極大値/極小値'''といい、纏めて'''極値'''と呼ぶ。 一変数の場合と異なるのは、'''どの方向から見ても極大/極小'''でなければならない点である。 例えば、曲面<math>z=x^2-y^2</math>を考える。 :この曲面を<math>zx</math>平面（則ち平面<math>y=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=x^2</math>であり、<math>y=0</math>より原点で極小値をとる。 :然し、この曲面を<math>yz</math>平面（則ち平面<math>x=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=-y^2</math>であり、<math>x=0</math>より原点で極大値をとる。 このように、方向によって極大・極小が変わるような点を、馬の{{ruby|鞍|くら}}に見えることから'''{{ruby|鞍点|あんてん}}'''といい、極値点とは区別する。極大方向・極小方向の少なくとも一方が存在しない場合は鞍点とは呼ばない。 極値をとる点を求める手掛かりとなるのが、次の定理である。 {{定理|(二変数に於けるフェルマーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極値をとる<math>\implies \partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>f(a, b)</math>が極値ならば、<math>x/y</math>軸方向で見ても極値になっている筈である。 :ここで<math>x/y</math>軸方向に見るとは、他の独立変数を固定した一変数関数として見ることだったので、<math>f(x, b), f(a, y)</math>を考えていることになる。 :このとき、一変数に於けるフェルマーの定理より ::<math>\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a}=0,~ \frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}=0</math> :であるが、 :偏微分係数の定義より ::<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=\frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}</math> :だったので、 ::<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> :である。// なお、<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math>が成り立つ点<math>(a, b)</math>を'''停留点'''という。これは、ベクトル解析的に<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0 \iff \mathrm{grad} f=\boldsymbol{0}</math>である（<math>f</math>の勾配がない）ことに由来する。 フェルマーの定理の対偶を取れば :<math>(\partial{x}f(a, b)\neq0 \lor \partial{y}f(a, b)\neq0) \implies f(a, b)</math>は極値ではない となるので、極値を取る点を求めるには停留点のみを考えればよいことになる。 停留点を求めるには、連立方程式<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b)=0 \\ \partial{y}f(a, b)=0 \end{cases}</math>を解けばよい。 但し、その解<math>(a, b)</math>が極値をとる点とは限らない（必要条件であって十分条件ではないため）。 一変数関数の場合は<math>f'(a)=0</math>を満たす<math>a</math>近傍の増減を調べればよかったが、二変数の場合はより複雑な手続きを要する。 一般に、多変数関数<math>f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>に対して<math>(\mathbf{D})_{ij}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}}</math>なるn次行列<math>\mathbf{D}</math>を'''ヘッセ行列'''という。 ヘッセ行列式（ヘッシアン）<math>D(x_1, x_2, \cdots, x_n)=\det\mathbf{D}</math>を'''判別式'''という。 二変数の場合、<math>\mathbf{D}=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math>より判別式は<math>D(x, y)=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}-\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>である。 この判別式の符号を調べることによって、極値の有無を判定することができる。 {{定理|(極値の判定)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとり、 ::(ⅰ)<math>\partial{x^2}f<0 \implies f(a, b)</math>は極大値 ::(ⅱ)<math>\partial{x^2}f>0 \implies f(a, b)</math>は極小値 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとらない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとることもとらないこともある。則ち、判別式では判定できない。 {{定理終わり}} *証明 :テイラーの定理で<math>n=2</math>の場合を考えると、<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^2</math>級ならば<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在して :<math>f(a+h, k+b)=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より変形して :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :ここで<math>f \in C^2</math>より<math>f</math>の二階偏導関数は何れも連続なので、<math>D(a, b)\gtrless0</math>ならば充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>D(a+\theta h, b+\theta k)\gtrless0</math>となる。 :ここで<math>p = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k),~ q = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k),~ r = \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k)</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}(ph^2+2khq+kr^2)</math>・・・(*) :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき ::<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)=0</math>とすると<math>D(a, b)\leq0</math>となって不適。<math>\therefore \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)\neq0</math> ::充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>p\neq0</math>より(*)の右辺を平方完成して ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{pr-q^2}{p}k^2 \right\}</math> ::<math>=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{D(a+\theta h, b+\theta k)}{p}k^2 \right\}</math> ::ここで両辺<math>0 \iff h=k=0</math>に注意すると、 ::上式の最右辺は<math>p</math>の符号と正負が一致する。 ::これは<math>(a, b)</math>の充分近傍では<math>p>0</math>で<math>f(a, b)</math>が最小値、<math>p<0</math>で<math>f(a, b)</math>が最大値をとることを意味するので、<math>f(a, b)</math>は極値である。 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき ::<math>p\gtrless0</math>のとき、平方完成した最右辺の波括弧の中身は、 :::<math>h+\frac{qk}{p}\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると負/正 :::<math>h\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると正/負 ::であるので、<math>h, k</math>のとり方によって<math>f(a+h, b+k)\gtrless f(a, b)</math>のどちらにもなり得、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で最大でも最小でもない。 ::則ち、<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 ::<math>p=0</math>のとき、<math>r\neq0</math>ならば<math>h, k</math>を二階偏導関数に置き換えることで同様の結論を得る。 ::<math>r=0</math>のとき、 ::<math>D(a+\theta h, b+\theta k)=-q^2<0</math>より<math>q\neq0</math>なので(*)より ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=qhk</math> ::これは<math>h, k</math>の符号によって正負のどちらもとり得るので同様に<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、 ::<math>h, k</math>のとり方により<math>D(a+\theta h, b+\theta k)</math>は正負のどちらもとり得る。 ::よって(1), (2)より<math>f(a, b)</math>は極値であることも極値でないこともあるので、 ::判別式では判定不能である。// {{演習問題|次の関数に極値があるかどうか調べ、あるならば求めよ。 :1. <math>f(x, y)=x^2+y^2-2xy</math> :2. <math>f(x, y)=x^2+2xy-3y^2+4x+4y+1</math> :3. <math>f(x, y)=x^3+y^3</math> |1. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y-x</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=2,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=-1</math>より :<math>D(0, 0)=2\cdot2-(-1)^2=3>0</math> :また、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}>0</math>より :<math>f(x, y)</math>は<math>(0, 0)</math>で極小値<math>0</math>をとる。 2. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+2y+4,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-6y+2x+4</math>より :停留点は<math>(-2, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=2,~ \frac{\partial^2}{\partial{y^2}}=-6,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=2</math>より :<math>D(-2, 0)=2\cdot(-6)-2^2=-16<0</math> :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。 3. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^2,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=6x,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=6y, \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=0</math>より :<math>D(0, 0)=0\cdot0-0^2=0</math> :よって判別不能。 :ここで、直線<math>y=x</math>を経路として原点から点<math>(x, y)</math>を動かしてみる。 :<math>f(x, x)=x^3+x^3=2x^3</math> :よって<math>x>0</math>で<math>f(x, y)>f(0, 0)</math>、<math>x<0</math>で<math>f(x, y)<f(0, 0)</math>より :原点近傍で<math>f(0, 0)</math>は最大でも最小でもない、則ち<math>f(0, 0)</math>は極値ではない。 :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。}} *発展問題 *:<math>f(x, y)=e^{xy}</math>を二次の項迄テイラー展開せよ。 停留点が鞍点である条件を補足しておく。 鞍点とは「関数が極大となる方向・極小となる方向の双方が存在する」ような点であった。 <math>f(x, y)</math>を停留点<math>(a, b)</math>に於けるテイラー展開で二次近似することを考える。 :テイラーの定理より厳密に ::<math>f(a+h, b+k)=\frac{1}{0!}D^0 f(a, b)+\frac{1}{1!}Df(a, b)+\frac{1}{2!}D^2f(a+\theta h, b+\theta k)</math> :であるが、<math>\theta \in(0, 1)</math>より<math>\theta\fallingdotseq0</math>と見做して近似すると ::<math>f(a, b)\fallingdotseq f(a, b)+Df(a, b)+\frac{1}{2}D^2f(a, b)</math> :<math>D=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>より ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=0</math>なので ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :ここで<math>\frac{1}{2}</math>で括られた部分に着目すると、 ::<math>h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)</math> ::<math>=h\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)+k\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>とすると ::<math>f(a+h, b+k)\fallingdotseq f(a, b)+\frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> :則ち ::<math>f(a+h, b+k) - f(a, b) \fallingdotseq \frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> 拠って、<math>\boldsymbol{v}</math>方向で極大・極小か見るには停留点から<math>\varepsilon\boldsymbol{v}</math>だけ動かしたときの :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の変化を見ればよいが、 :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2>0</math> より、結局は[[線型代数学/二次形式|二次形式]] :<math>({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の符号を見れば良いことになる。 ここでヘッセ行列<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>を対角化することを考える（ヘッセ行列は対称行列なので直交行列で対角化可能）。 :ヘッセ行列の各固有値を<math>\lambda_1, \lambda_2</math>とおくと、ある直交行列<math>\mathbf{P}</math>による相似変換で ::<math>({}^t \! \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}} = \mathrm{diag} (\lambda_1, \lambda_2)</math> :と対角化できる。 :このとき、二次形式は<math>\boldsymbol{u}={}^t \! \mathbf{P} \boldsymbol{v}</math>という一次変換で ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}</math> :と表される。 :すると<math>\boldsymbol{u}_x\times\boldsymbol{u}_y</math>の項は対角行列の零成分が掛かって消えるので、 ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}=\lambda_1 (\boldsymbol{u}_x)^2+\lambda_2 (\boldsymbol{u}_y)^2</math> :（つまりこの変換は主軸変換） 則ち、任意方向で極大か極小か調べるには'''ヘッセ行列の各固有値の符号を見ればよい'''。 固有値が全て正であるとき、どのような<math>h, k</math>に対しても<math>f(a+h, b+k) - f(a, b)>0</math>と考えられるので、<math>\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>のとり方に依らず<math>f(a, b)</math>は極小値である。 固有値が全て負であるとき、同様に<math>f(a, b)</math>は極大値である。 固有値の符号が異なるとき、<math>\boldsymbol{v}</math>のとり方によって極大か極小か変わるので、<math>(a, b)</math>は鞍点である。 零固有値を持つときは、零固有値に対応する固有ベクトル方向の情報が近似の際に切り捨てられている（則ち<math>\theta</math>- 依存性が高い）ので極大・極小・鞍点・何れでもない、の全ての場合をとり得る。 纏めると、以下のようになる。 {{定理|(極値の判定Ⅱ)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が負定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極大。 :(2)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が正定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極小。 :(3)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が不定行列ならば<math>(a, b)</math>は鞍点。 :(4)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が半正定値行列又は半負定値行列又は完全退化行列ならば<math>(a, b)</math>は極値点であることも鞍点であることもそうでないこともある。則ち、ヘッセ行列の定値性では判定できない。 {{定理終わり}} 近似の際に切り捨てた項の振舞によってはこの判定法が通用しない場合がある。特に、三変数以上で(3)を用いる場合は注意。 ヘッセ行列が正定値・負定値・半正定値・半負定値・不定値の何れであるかは、[[線型代数学/固有値と固有ベクトル|シルヴェスターの判定法]]を用いると固有値を求めることなく判別できる。 ===陰関数=== <math>y=f(x)</math>という形で陽に表示される関数を'''陽関数'''という。 これに対し、方程式<math>f(x, y)=0</math>がある区間で定義が区分的でない関数<math>y=\varphi(x)</math>を表すとき、「<math>y=\varphi(x)</math>は<math>f(x, y)=0</math>で定義された'''陰関数'''」という。このとき、方程式<math>f(x, y)=0</math>を「<math>y=\varphi(x)</math>の'''陰関数表示'''」という。一般に、陰関数は陽に表示できるとは限らない。なお、陰関数表示のことを単に陰関数と呼ぶ場合もある。 例えば、単位円の方程式<math>x^2+y^2=1</math>に対し、<math>y=\sqrt{1-x^2},\quad y=-\sqrt{1-x^2}</math>はそれぞれ単位円の方程式で定義された陰関数である。ここで、点<math>(1, 0)</math>を内部に含む開区間を考える。このような区間をどんなに小さく取ったとしても、円の上半分と下半分を両方含んでしまうため、区分的に定義しなければ一意な関数で表せず、則ち陰関数が存在しない。 それでは、方程式<math>f(x, y)=0</math>の陰関数が点<math>(x, y)</math>の充分近傍で存在する条件は何であろうか？ 先ずは、厳密なことを抜きにして考える。 形式的に、陰関数<math>y=\varphi(x)</math>は方程式<math>f(x, y)=0</math>を<math>y</math>に就て解いた解である。そのため、このような関数が存在するならば<math>f(x, \varphi(x))=0</math>という<math>x</math>の一変数方程式が成り立つ。 媒介変数を<math>t=x</math>と見て方程式の両辺を<math>x</math>で常微分すると合成関数微分の公式より<math>\frac{dz}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\frac{dt}{dx}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=0</math> :<math>\therefore \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}}</math> ここで、実際には <math>\Big|_{y=\varphi(x)}</math>が省略されていることに注意。 この式の主張を纏めると、以下の定理を得る。 {{定理|(陰関数の定理Ⅰ)}} <math>f \in C^1,~ f(a, b)=0,~ \partial{y}f(a, b)\neq0</math>であるとき、<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>f(x, y)=0</math>の定義する陰関数<math>y=\varphi(x)</math>が唯一つ存在し、 :<math>b=\varphi(a)</math> また、この陰関数は<math>x=a</math>の充分近傍で常微分可能で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> {{定理終わり}} 先程の考え方では「<math>\varphi(x)</math>の存在性・一意性・常微分可能性」を既に仮定してしまっているので、それらを担保するこの定理の証明としては用いることができない（循環論法になってしまう）。 実は、二変数の場合ならば今迄習った知識で証明可能である。以下に示す。 *証明 :<math>\Omega</math>を<math>\mathbb{R}^2</math>の開集合とする。 :<math>\partial{y}f(a, b)>0</math>とすると<math>f \in C^1</math>より<math>\partial{y}f(x, y)</math>は連続で ::<math>\exist \delta_1, \delta_2>0,~ U=\{ x\big|~ |x-a|\leq\delta_1 \},~ V=\{y\big|~ |y-b|\leq\delta_2\},\quad \partial{y}f(x, y)>0 \quad \left( {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)} \in U \times V \subset \Omega \right)</math> :<math>y \in V</math>で<math>\partial{y}f(a, y)>0</math>よりこの区間で単調増加し ::<math>f(a, y)=f(a, b)=0 \lor f(a, b-\delta_2)<0<f(a, b+\delta_2)</math> :更に<math>f</math>が連続より<math>\delta_1</math>が十分小さければ ::<math>x \in U \implies f(x, b-\delta_2)<0<f(x, b+\delta_2)</math> :中間値の定理より ::<math>\forall x\in U,~ \exist y \in V,~ f(x, y)=0</math> :<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>\partial{y}f(x, y)>0</math>よりこのような<math>y</math>は一意に定まる。（仮に二つあるとしても、<math>f(x, y_1)=f(x, y_2)=0</math>なのでロルの定理より<math>\exist d \in [y_1, y_2],~ \partial{y}f(x, d)=0</math>となり矛盾する。） :ここで<math>y=\varphi(x)</math>とおくと<math>\varphi(x)</math>は一意で<math>\mathrm{dom}\varphi = U,~ \mathrm{ran}\varphi = V</math> :上記より<math>b=\varphi(a)</math> :<math>\varphi</math>が<math>x_0 \in U</math>で連続でないとすると ::<math>\exist \varepsilon_0,~ \forall \delta>0,~ \exist x\in U,~ ( |x-x_0|<\delta \implies |\varphi(x)-\varphi(x_0)| \geq \varepsilon_0 )</math> :<math>\delta:=\frac{1}{n} (n\in\mathbb{N})</math>とすると ::<math>\forall n\in\mathbb{N},~ \exist x_n\in U,~ ( |x_n-x_0|<\frac{1}{n} \implies |\varphi(x_n)-\varphi(a)| \geq \varepsilon_0 )</math> :但し<math>\lim_{n\to\infty}x_n=x_0</math>に注意。 :ここで<math>\mathrm{ran}\varphi=V</math>より<math>\varphi(x_0)\in V</math>、則ち<math>\{\varphi(x_n)\}</math>は有界数列である。 :拠ってボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より<math>\{x_n\}</math>の部分列<math>\{x_{n_k}\}</math>が存在して ::<math>\lim_{k\to\infty}\varphi(x_{n_k})=y_0 \in V</math> :<math>f(x_{n_k}, \varphi(x_{n_k}))=0</math>且つ<math>f</math>が連続より<math>k\to\infty</math>で<math>f(x_0, y_0)=0</math>でなければならないので ::<math>y_0=\varphi(x_0)</math> :一方、 ::<math>\lim_{k\to\infty}|\varphi(x_{n_k})-\varphi(x_0)|=|y_0-\varphi(x_0)|\geq\varepsilon_0>0</math> :これは<math>y=\varphi(x_0)</math>に矛盾する。 :従って<math>\varphi</math>は<math>x_0</math>で連続である。 :<math>\varphi(x_0+h)=\varphi(x_0)+k</math>とおくと<math>\varphi</math>が連続より<math>h\to0</math>で<math>k\to0</math>であり、 :<math>h</math>を充分小さくすると<math>(x_0, \varphi(x_0))</math>と<math>(x_0+h, \varphi(x_0)+k)</math>を結ぶ線分が<math>U\times V</math>に含まれる。 :拠ってテイラーの定理より ::<math>\exist \theta\in(0, 1), 0=f(x_0+h, \varphi(x_0)+k)=f(x_0, \varphi(x_0))+\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)h + \partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)k</math> :<math>k=\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)</math>と<math>f(x_0, \varphi(x_0))</math>より変形して ::<math>\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)}{h}=-\frac{\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}{\partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}</math> :<math>h\to0</math>とすれば ::<math>\varphi'(x_0)=-\frac{\partial{x} f(x_0, \varphi(x_0))}{\partial{y} f(x_0, \varphi(x_0))}</math> :更に、 ::<math>\varphi'(x)=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> :の右辺が連続関数なので ::<math>\varphi(x) \in C^1</math> :<math>\partial{y}f(a, b)<0</math>の場合も同様に示される。// この証明は「一次元での単調性」に依存しているため、三変数以上に拡張することができない。そのため、（「解析学基礎」の範囲を大幅に超えるが）一般の場合を補足しておく。[[位相空間論]]や[[多様体論]]を修得してから戻ってくるのが良いだろう。 {{定理|(ベクトル関数に於ける陰関数の定理)}} <math>\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m</math>上の開集合を<math>\Omega</math>とする。 <math>C^r</math>級関数<math>\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m</math>に対して :<math>\begin{cases} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0} \\ \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} }\right)\neq0 \end{cases}</math> なる<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>が存在するとき、<br><math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\mathbb{R}^n</math>- 開近傍<math>U</math>、<math>\boldsymbol{\beta}</math>の<math>\mathbb{R}^m</math>- 開近傍<math>V</math>に対して<math>C^r</math>級微分同相写像<math>\boldsymbol{\varphi}:U \to V</math>が唯一つ存在して :<math>\begin{cases} U \times V \subset \Omega \\ \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\alpha}) \\ \forall {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{x} \\[-6pt] \boldsymbol{y} \end{array} \right)} \in U \times V,~ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{0} \iff \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) \\ \forall \boldsymbol{x} \in U,~ \boldsymbol{\varphi}'(\boldsymbol{x})= - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \right)^{-1} \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} *証明 :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}:\Omega\to\mathbb{R}^{m+n}</math>を ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \end{pmatrix}</math> :と定義する。 :<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>に就て<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0}</math>より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{0} \end{pmatrix}</math> :従って ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } & \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } \end{pmatrix}</math> :これは下三角行列なので ::<math>\mathrm{rank} \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=m+n</math> :階数が行列の次数に等しいのでこの行列は正則行列、則ち ::<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})\neq0</math> :（なお、三角行列に関する行列式の公式を用いると<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\det \boldsymbol{E} \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array}}\right)\neq0</math>と導かれる。） :よって逆写像定理を適用すると :<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})</math>の開近傍<math>U</math>と<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{0})</math>の開近傍<math>V</math>が存在して :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}:U \to V</math>は<math>C^r</math>級微分同相写像となる。 :ここで<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}</math>の<math>C^r</math>級逆写像を<math>\boldsymbol{\psi}</math>とすると逆写像の定義より ::<math>(\tilde{\boldsymbol{f}}\circ\boldsymbol{\psi})(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :また、<math>\boldsymbol{x}</math>は<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>の<math>1\sim n</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{\psi}_{1\sim n}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>、<math>\boldsymbol{y}</math>は<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>の<math>1\sim m</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{f}_{1\sim m}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>になるので、 ::<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>とすると定義より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :<math>\boldsymbol{y}</math>に<math>\boldsymbol{0}</math>を代入して ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}</math>の定義より<math>\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}):=\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math>とすれば :<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{0}</math> :則ち<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math> :<math>\boldsymbol{\psi} \in C^r</math>より<math>\boldsymbol{\varphi} \in C^r</math>であり、逆写像の一意性より<math>\boldsymbol{\varphi}</math>は一意に定まるので、 :<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math>は陰関数の満たすべき性質を全て満たす。// （補足ここ迄） 陰関数の定理の応用として、陰関数表示で与えられた曲線の接線・法線の方程式を求めることが考えられる。 :円<math>x^2+y^2=r^2</math>を考える。 :<math>f(x, y)=x^2+y^2-r^2</math>とおくと<math>f\in C^2, f(x, y)=0</math>であり、何かしらの関数の陰関数表示となっている。 :よって陰関数定理より :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}</math> :ここで :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y</math> :より<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}</math> :接点を<math>(x_0, y_0)</math>とすれば接線の方程式の公式より :<math>y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)</math> :変形すると :<math>y_0(y-y_0)+x_0(x-x_0)=0</math> :<math>xx_0+yy_0=x^2_0+y^2_0=r^2</math> :ここで<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}</math>は明らかにこの接線の法線ベクトルなので :<math>y=0</math>でも成り立つ。 :同様に法線の方程式は :<math>y=\frac{y_0}{x_0}x</math> :と求まる。// 高校数学では「<math>y</math>を<math>x</math>の関数とみて合成関数微分を行う」という考え方で求めたが、陰関数定理はそのような関数<math>y=\varphi(x)</math>の存在を保証していたのである。 一般の二次曲線やその他の陰関数曲線でもこの考え方を適用することが可能である。 二変数方程式で定義される陰関数は一変数関数であった。では、二変数関数もある三変数方程式で定義された陰関数とは考えられないだろうか？実は、一般に<math>n</math>変数方程式の定義する陰関数は<math>n-1</math>変数関数である。直観的には、「元の<math>n</math>変数方程式に陰関数<math>x_n=g(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})</math>を代入することで自由度が一個下がる」と理解される。 <math>xyz</math>空間で方程式<math>f(x, y, z)=0</math>は一般に曲面を表す。この曲面上の点<math>(a, b, c)</math>近傍で曲面の関数表示が二変数関数<math>z=\psi(x, y)</math>であるための十分条件も陰関数定理で与えられる。 {{定理|(陰関数の定理Ⅱ)}} <math>f \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=0,~ \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>ならば<math>(a, b)</math>の<math>\mathbb{R}^2</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数<math>z=\psi(x, y)</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \psi \in C^1 \\ c=\psi(a, b) \\ f(x, y, \psi(x, y))=0 \quad((x, y) \in U) \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}=-\frac{\partial{x}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{y}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} <math>\partial{x} f(a, b, c) \partial{y} f(a, b, c) \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>のとき曲面<math>f(x, y, z)=0</math>の<math>(a, b, c)</math>に於ける接平面は :<math>\partial{x}f(a, b, c)(x-a)+\partial{y}f(a, b, c)(y-b)+\partial{z}f(a, b, c)(z-c)=0</math> である。 この定理を用いると :<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b, c) = -\partial{x}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{y}f(a, b, c) = -\partial{y}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{z}f(a, b, c)\neq0 \end{cases}</math> なので :<math>z-c=\partial{x}\psi(a, b)(x-a)+\partial{y}\psi(a, b)(y-b)</math> と、全微分の節で求めた接平面の方程式に一致する。 更に、以下も成り立つ。 {{定理|(陰関数の定理Ⅲ)}} <math> f, g \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=g(a, b, c)=0,~ \begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \\[-6pt] z = c \end{array}}\neq0</math>ならば<math>x=a</math>の<math>\mathbb{R}</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数の組<math>(y, z)=(\varphi(x), \psi(x))</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \varphi, \psi \in C^1 \\ b=\varphi(a) \\ c=\psi(a) \\ f(x, \varphi(x), \psi(x))=g(x, \varphi(x), \psi(x))=0 \\ \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} , \quad \frac{d\psi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} 陰関数定理が成り立つ状況下に於て、原点近傍で以下のような変換を考える。 :<math>(s, t)=\vartheta(x, y)=(f(x, y), x)</math> このとき逆写像定理により<math>\vartheta:(x, y)\to(s, t)</math>は微分同相写像なので、<math>F(s, t)=s</math>として :<math>(F\circ\vartheta^{-1})(x, y)=x</math> が成り立つ。 これは、<math>s=f(x, y)</math>を座標軸としてみる座標変換を考えていることになる。例えば二重積分で積分領域の境界が<math>f(x, y)=\mathrm{const}.</math>であるとき、これは一般に曲線を表すので扱いづらい。しかし、このような座標変換を行うことで<math>s=\mathrm{const}.</math>という非常に単純な疆界を持つ<math>s</math>-単疆界領域となり、二重積分が容易となる。詳しくは「重積分」節で後述する。 {{演習問題| :1. 双曲線<math>x^2-2\sqrt{3}xy-y^2+4y+4=0</math>の点<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>に於ける法線を求めよ。 :2. レムニスケート<math>r^2=2a^2\cos 2\theta</math>に就いて、円<math>r=|a|</math>上を除く領域で<math>y</math>が<math>x</math>の関数として単調であることを示せ。 :3. 曲面<math>x^2+3xy-2yz+xz-y^2=0</math>の点<math>(1, 2, 1)</math>に於ける接平面の方程式を求めよ。 :4. <math>f(x, y, z)=x+y+z-3,~ g(x, y, z)=y^2+z-2</math>とする。点<math>(1, 1, 1)</math>近傍の陰関数<math>y=\varphi(x),~ z=\psi(x)</math>を具体的に表示し、その微分係数を求めよ。 | 1. :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-2\sqrt{3}y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-2y-2\sqrt{3}x</math> :<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=-4\sqrt{3}-4\sqrt{6},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-4-4\sqrt{2}\neq0</math> :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{-4\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{-4(1+\sqrt{2})}=-\sqrt{3}</math> :<math>y-(2+2\sqrt{2})=-\frac{1}{-\sqrt{3}}(x-0)</math> :<math>y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2+2\sqrt{2}</math> 2. :<math>r^2=x^2+y^2,~ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta=\left(\frac{x}{r}\right)^2-\left(\frac{y}{r}\right)^2</math>よりレムニスケートの方程式は :<math>(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0</math> :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2(x^2+y^2)(2x)-2a^2(2x)=4x(x^2+y^2-a^2)</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2(x^2+y^2)(2y)-2a^2(-2y)=4y(x^2+y^2+a^2)</math> :<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x(x^2+y^2-a^2)}{y(x^2+y^2+a^2)}</math> :ここで<math>xy</math>平面上の象限を固定して考えると、 :<math>\frac{dy}{dx}</math>の符号は<math>x^2+y^2-a^2</math>の正負で決まる。 :よって<math>x^2+y^2-a^2=0</math>則ち円<math>r=|a|</math>上を除く領域で、 :<math>y</math>は<math>x</math>の関数として単調である。 3. :<math>f(x, y, z):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+3y+z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3x-2y-2z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=x-2y</math> :<math>(1, 2, 1)</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=9,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-3,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=-3\neq0</math> :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{9}{-3}=3,~ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\frac{-3}{-3}=-1</math> :<math>z-1=3(x-1)-1(y-2)</math> :<math>z=3x-y</math> 4. :<math>f(x, y, z)=0</math>とすると<math>z=3-x-y</math>であり、<math>g(x, y, z)=0</math>に代入して :<math>y^2-(3-x-y)-2=0</math> :<math>y^2-y+1-x=0</math> :<math>y=\frac{1\pm\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>(x, y)=(1, 1)</math>となるためには :<math>y=\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>z=3-x-y=3-x-\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2} = \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :これは<math>(x, z)=(1, 1)</math>を満たす。 :根号の実数条件より<math>x\geq\frac{3}{4}</math>より「<math>x=1</math>近傍」も満たす。 :よって<math>(\varphi(x), \psi(x))=\left(\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}, \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}\right)</math> :逆にこのように<math>(\varphi(x), \psi(x))</math>を定義すると条件を満たす。 :<math>\frac{d\varphi}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\frac{1}{\sqrt{4x-3}},~ \frac{d\psi}{dx}=-1-\frac{1}{\sqrt{4x-3}}</math> :<math>x=1</math>で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=1,~ \frac{d\psi}{dx}=-2</math> }} ===条件付極値=== 先程は点<math>(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>上を自由に動ける条件の下で極値を考えた。しかし、応用上は何かしらの制約が課された状態での極値を考えることが往々にしてある（寧ろ、無条件の方が稀であろう）。 則ち、次の問題を考える。 :点<math>(x, y)</math>が'''拘束条件'''（束縛条件）<math>g(x, y)=0</math>を満たしながら変化するとき、<math>f(x, y)</math>の'''条件付極値'''を求めよ。 このような問題を（2変数1拘束条件の）'''条件付極値問題'''という。また、拘束条件を表す関数<math>g(x, y)</math>を'''制約関数'''という。 一般に<math>g(x, y)=0</math>が<math>y=\phi(x)</math>や<math>x=\psi(y)</math>のように解けるとは限らず、解けたとしても増減を簡単に調べられるとは限らない。 そこで、条件付極値問題の解法には以下の定理が用いられる。 {{定理|(ラグランジュの未定乗数法)}} <math>f(x, y), g(x, y)\in C^1</math>として<math>f(x, y)</math>が点<math>(a, b)</math>で拘束条件<math>g(x, y)=0</math>の下での条件付極値をとるとき、 :<math>L(x, y, z)=f(x, y)-zg(x, y)</math> と置くと :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\times\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math> ならば :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math> を満たす実数<math>z=\lambda</math>が存在する。 {{定理終わり}} この<math>L</math>を'''ラグランジュ関数'''、<math>\lambda</math>を'''未定乗数'''（ラグランジュ乗数）という。未定乗数法では、条件付極値の問題を「ラグランジュ関数の無条件極値問題」に帰着している。 各偏導関数を計算すると、連立方程式 :<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math> に帰着される。 *証明 :<math>(a, b)</math>を極値点、<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>とする。 :陰関数定理より<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>g(x, y)=0</math>の<math>C^1</math>級陰関数<math>y=\phi(x)</math>が存在し、<math>\phi'(x)=-\frac{\frac{\partial{g}}{{\partial{x}}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}}</math>となる。 :<math>h(x):=f(x, \phi(x))</math>とするとフェルマーの定理より<math>0=h'(a)=f_x(a, b)+f_y(a, b)\phi'(a)=f_x(a, b)-f_y(a, b)\frac{g_x(a, b)}{g_y(a, b)}</math> :ここで<math>\lambda:=\frac{f_y(a, b)}{g_y(a, b)}</math>と置くと<math>f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \iff \frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>を得る。 :定義した<math>\lambda</math>より<math>f_y(a, b) =\lambda g_y(a, b) \iff\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>。 :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>としても同様。 :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>は拘束条件から直ちに満たされる。 :よって実数<math>\lambda</math>が存在して定理の式が満たされる。// ベクトル解析の記法で書くと、未定乗数法の連立方程式は<math>\mathrm{grad} f=\lambda \mathrm{grad} g</math>と表される。これは幾何学的には、「曲面<math>z=f(x, y)</math>と曲面<math>g(x, y)=0</math>の共有点での接平面の法線ベクトルが平行」という条件である。 2曲面の共有点の<math>z</math>座標を<math>c</math>としたとき、曲面を<math>z=c</math>で切った切り口の曲線は<math>c=f(x, y), g(x, y)=0</math>であり、これらは曲面と同じ共有点を持つ。共有点で2曲線が交わるとすると「連続微分可能」という仮定より2曲面は「切れ目なく」繫がっているので、十分小さい<math>\varepsilon>0</math>に対して曲線<math>c\pm\varepsilon=f(x, y)</math>は<math>g(x, y)</math>と共有点を持つ。このとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で<math>c=f(a, b)</math>より大きい値も小さい値もとるので、<math>(a, b)</math>は極値点ではない。よって、2曲線は極値点<math>c_0=f(a, b)</math>に於いて接していなければならない。 このとき、曲線の式<math>c_0=f(x, y), g(x, y)=0</math>の両辺を<math>x</math>で微分することで<math>\begin{cases} f_x\cdot1+f_x\cdot\frac{dy}{dx}=0 \\ g_x\cdot1+g_y\cdot\frac{dy}{dx}=0 \end{cases}</math>を得、接ベクトル<math>(1, \frac{dy}{dx})</math>に直交する平行な2ベクトル<math>(f_x, f_y), (g_x, g_y)</math>をそれぞれの曲線の法線ベクトルにとることができる。よって未定乗数<math>\lambda</math>が実数として存在する。 フェルマーの定理と同様に未定乗数法の式を満たすことは条件付極値であるための必要条件なので、十分性の確認は必須である。逆に、未定乗数法は条件付極値の候補となる点を与える（未定乗数<math>\lambda</math>は「存在する」だけでこの先一切使わないが、先述のように幾何学的意味が存在する）。 先程紹介したヘッセ行列は「無制約の場合」の議論だったので今回は用いることができない。 そこで、以下のように表示される'''境界付ヘッセ行列'''（縁付ヘッセ行列）が判定に使用される（代入記号は省略した）。 :<math>\mathbf{H}_B = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial{g}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{y}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math> 今回の場合、<math>\det \mathbf{H}_B>0</math>なら条件付極小値、<math>\det \mathbf{H}_B<0</math>なら条件付極大値と判定される。 但し、3変数以上や拘束条件が増えたときの拡張は非常に煩雑で複雑なものとなるので、ここでは紹介しない。 連立方程式<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math>を更に変形する。 :第三式は拘束条件そのものなので除外する。 :第一式・第二式を行列表現に直して :<math>\begin{pmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :線型代数で扱った定理「斉次連立一次方程式が非自明解を持つ<math>\iff</math>表現行列が特異行列」より、 :<math>\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}=0</math> よって、未定乗数<math>\lambda</math>を求めなくても未定乗数法を適用できる。 この変形は2変数1拘束条件の場合のみ成り立ち、一般化はできない。 ==重積分== 本項では、微分と積分の双対性及び[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]・[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]への接続を鑑みて、一般書では深く扱わない（定義すらしないことの多い）偏積分を冒頭で扱うことにする。 ===偏積分=== 偏微分と同様にして、二変数<math>f(x, y)</math>の片方の変数を固定したときの積分を考える。 <math>xyz</math>空間で<math>y</math>を固定したとき、<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>での積分を考える。直観的には、一変数での積分（'''常積分'''）のリーマン和を用いた定義を、<math>zx</math>平面でそのまま行えば良いことになる。 具体的には、 :<math>\int_{a}^{b} f(x, y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k, y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） と定義する。 これを<math>f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する'''偏積分'''という。幾何学的には、<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積に対応する。偏微分と異なり、積分記号は常積分と同じものを用いる。 <math>y</math>に関する偏積分は同様に ::<math>\int_{c}^{d} f(x, y) dy := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x, y_k) \Delta y</math>（<math>\Delta y = \frac{d-c}{n}, y_k = c + k\Delta y</math>） と定義され、幾何学的には<math>xyz</math>空間を<math>x</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>y</math>軸、直線<math>y=c, y=d</math>の囲む符号付き面積に対応する。 定積分に関して、一変数と同様に :<math>\int_a^b f(x, y)dx+\int_b^c f(x, y)dx=\int_a^c f(x, y)dx</math> :<math>\int_b^a f(x, y)dx=-\int_a^b f(x, y)dx</math> :<math>\int_a^a f(x, y)dx=0</math> が成立することは定義から容易に示される（<math>y</math>に関しても同様）。 また、積分の平均値の定理 :<math>\exist \xi \in (a, b), \quad f(\xi, y)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x, y)dx</math> も同様に成立することが判る（<math>y</math>に関しても同様）。 不定積分は、一変数と同様に<math>F(x, y):=\int_u^x f(t, y)dt+C</math>と定義される（<math>F(u, y)=0</math>とする）。但し、<math>x</math>に関する偏積分では<math>y</math>は定数と見做されるので、'''積分定数<math>C</math>は実際には<math>y</math>の関数<math>C(y)</math>である'''ことに注意が必要である。<math>y</math>に関する不定積分でも同様に、積分定数は<math>x</math>の関数<math>C(x)</math>である。<math>\int_u^x f(t, y)dt+C(y)</math>は<math>\int f(x, y)dx+C(y)</math>と略記する 一般に、偏積分の積分定数は積分変数以外の変数を全て含む関数である。 一変数の場合と同様に、 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math>（微分積分学の基本定理） が成立する。 *証明 :<math>F(x, y):=\int_a^x f(t, y)dt</math>とする。 :先程述べた定積分の性質より :<math>F(x+h, y)-F(x, y) = \int_a^{x+h} f(t, y)dt - \int_a^x f(t, y)dt = \int_a^{x+h}f(t, t)dt+\int_x^a f(t, y)dt =\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt</math>であるが、 :積分の平均値の定理より<math>\xi\in(x, x+h)</math>が存在して :<math>\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt=hf(\xi, y)</math> :よって :<math>\frac{F(x+h, y)-F(x, y)}{h}=f(\xi, y)</math> :ここで<math>h\to0</math>の極限をとると :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{x}}=f(x, y)</math> :則ち :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int_a^x f(x, y)dx=f(x, y)</math> :一般の不定積分<math>\int f(x, y)dx=\int_u^x f(t, y)dt + C(y)</math>に関しても積分定数<math>C(y)</math>は<math>x</math>の関数でないので偏微分すると0となり、 :結局は :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math> :が成り立つ。// 則ち'''偏積分は偏微分の逆演算'''であり、被積分関数を偏導関数とみて元の関数を復元することで原始関数が求まるので偏積分が計算できることがわかる。 一変数関数で成り立った性質の多くはほぼそのまま成立する。以下、<math>y</math>に関しても同様なので<math>x</math>に関する偏積分で記述する。また、定積分表示で書くが不定積分でも同様である。 :<math>\int_a^b \{\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)\}dx=\alpha\int_a^b f(x, y)dx+\beta\int_a^b g(x, y)dy</math>（線型性） :<math>\int_a^b f(x, y)\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dx=\left[ f(x, y)g(x, y) \right]_{x=a}^{x=b} - \int_{a}^b \frac{\partial{f}}{\partial{x}}g(x, y)dx</math>（部分積分法） :<math>u=\phi(x)</math>として<math>\int_a^b f (\phi(x), y) \frac{du}{dx} dx=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u, y) du</math>（置換積分法） :<math>y=c, x\in[a, b]</math>で<math>f(x, c)\leq g(x, c)</math>ならば<math>\int_a^b f(x, c)dx\leq \int_a^b g(x, c)dx</math>（定積分不等式） 偏積分の微分に関して、以下の定理が成り立つことが知られている。 {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅰ)}} 2変数関数<math>f(x, y)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y)\in I \times[a(x), b(x)]</math>で連続且つ<math>a(x), b(x)</math>が常微分可能ならば :<math>\frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x, y)dy\right)=\left[f(x, y)\frac{dy}{dx}\right]_{y=a(x)}^{y=b(x)}+\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> {{定理終わり}} {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅱ)}} 3変数関数<math>f(x, y, z)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y, z)\in I_x \times I_y \times[a(x, y), b(x, y)]</math>で連続且つ<math>a(x, y), b(x, y)</math>が<math>x</math>で偏微分可能ならば :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} f(x, y, z)dz\right)=\left[f(x, y, z)\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right]_{z=a(x, y)}^{z=b(x, y)}+\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dz</math> {{定理終わり}} Ⅰに於いて<math>a(x)=a, b(x)=x</math>としてみよう。すると、 :<math>\frac{d}{dx}\int_a^x f(x, y)dy = f(x, x) + \int_a^x \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> である。 これは、偏微分に関する微分積分学の基本定理を「微分変数と積分変数が異なる場合」に拡張したものと見ることができる。更に、<math>f(x, y)=g(y)</math>なら<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=0</math>より常微分に関する微分積分学の基本定理に一致する。 則ち、ライプニッツの積分定理は常微分・偏微分双方の意味で「微分積分学の基本定理の拡張」と捉えることができる。 Ⅰ・Ⅱとも偏微分方程式やベクトル解析で当たり前のように用いられるので、覚えておいて損はないだろう。 ===重積分の定義=== 次に、連続関数<math>f(x, y)</math>の全ての変数が動く場合の積分に就いて考える。 変数の組<math>(x, y)</math>が動く範囲（'''積分領域'''）<math>D</math>は、点<math>(x, y)</math>の軌跡と考えることで<math>xy</math>平面上の領域として表現することができる。 先ずは、簡単な場合として矩形領域<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>の場合を考える。これは、<math>z=f(x, y)</math>を<math>xy</math>平面へ<math>z</math>方向から射影した投影面が矩形ということである。 なお、重積分の文脈では、積分領域を直積集合で表すよりも<math>D=\{(x, y)\mid a\leq x \leq b, c\leq y \leq d\}</math>や<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>のような記法が好まれる。 <math>[a, b], [c, d]</math>をそれぞれ<math>a=x_0<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_{m-1}<x_m=b, c=y_0<y_1<\cdots<y_j<\cdots<y_{n-1}<y_n=d</math>と等分割し、<math>D_{ij}:=[x_{i-1}, x_i]\times[y_{j-1}, y_j]</math>とする。この矩形領域から代表点<math>(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>をとるとき、各<math>D_{ij}</math>を底面・<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>を高さとする長方形の体積は区間<math>[x_{i-1}, x_i],[y_{j-1}, y_j]</math>の幅を<math>\Delta x_i, \Delta y_j</math>として<math>V_{mn}=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math>と表される。これは、'''リーマン和'''を2変数関数に拡張したものである。 分割を限りなく細かくしたときの極限<math>\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} V_{mn}</math>が収束するならば、<math>f(x, y)</math>は<math>D</math>で'''二重積分可能'''といい、その極限値を<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と表して<math>f(x, y)</math>の<math>D</math>に関する'''二重積分'''という。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math> 次に、<math>D</math>が有界領域の場合を考える。 <math>D</math>は有界であるから、<math>D</math>を包含するような矩形領域<math>\tilde{D}\subset\mathbb{R}^2</math>が必ず存在する。 このとき、<math>D</math>上の二変数関数<math>f(x, y)</math>を次のように拡張する。 :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} f(x, y) & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> このとき、<math>\tilde{D}\setminus D</math>に於ける<math>\tilde{f}(x, y)</math>の値は<math>0</math>なので重積分の計算結果に影響せず、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\iint_{\tilde{D}}\tilde{f}(x, y)dxdy</math> として差し支えない（右辺は先ほど定義した「矩形領域での二重積分」である）。 <math>D</math>が有界領域でない場合は後述する。 重積分では「不定積分」に相当するものを考えないことが多い。これは、積分定数の自由度が比較的高いので偏積分より扱いにくくなるためである。 <math>f(x, y)=1</math>という定数関数の重積分を考える。先ずは矩形領域に就いて考える。 リーマン和は<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})=1</math>より<math>V_{mn}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \Delta x_i \Delta y_j</math>であるが、<math>\Delta x_i \Delta y_j</math>は矩形領域<math>D_{ij}</math>の面積に等しい。よってその総和<math>V_{mn}</math>は矩形領域<math>D</math>の面積である。これは分割がどれだけ細かくなっても変わらないので、結局は<math>|D|=\iint_D 1 dxdy</math>である。このとき、1を省略して<math>\iint_D dxdy</math>と表す。 <math>D</math>が有界領域であるとき、<math>D</math>を包含する矩形領域<math>\tilde{D}</math>に関して :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} 1 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> であり、<math>\tilde{D}</math>での重積分の値は同様の議論により結局は有界領域<math>D</math>の面積に等しくなる。 一変数の積分では<math>\int_a^b dx = b-a</math>（区間の幅）であったが、二変数の重積分では<math>\iint_D dxdy= |D|</math>（領域の面積）と判った。三変数でも、同様の議論により<math>\iiint_V dxdydz = |V|</math>（領域の体積）となる。一般に、1の<math>n</math>重積分は積分領域となる図形の大きさ（<math>n</math>次のルベーグ測度）に等しい。ベクトル解析で扱う線積分・面積分・体積分でも同様の事項が成り立つ。 [[測度論]]では、逆にルベーグ測度を1の重積分として定義する流儀もある。 ===累次積分=== 次に、重積分の具体的な計算方法に就いて見ていく。 先程見たように、<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>は積分領域<math>D</math>と曲面<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体の体積と考えられる。 数学Ⅲで扱ったように、立体の体積は「立体の断面積を表す関数を積分」すれば求めることができる。つまり、「立体をある平面で切ったときの断面積」さえ求まれば計算することができると考えられる。 実は、この断面積は偏積分で与えられる。 偏積分<math>h(y)=\int_a^b f(x, y)dx</math>は「<math>D=[a, b]\times I</math>と<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体を<math>y</math>を固定した平面で切ったときの断面積」なので、これを<math>y</math>に関して区間<math>I</math>で常積分してやれば「断面積の積分=体積」が求まる。 この話を具体的に見ていく。 先ずは、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>という矩形領域を考える。 <math>y</math>を固定した平面で切った断面積は<math>\int_a^b f(x, y)dx</math>であり、この断面積を<math>[c, d]</math>で積分してやればいいので、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)dx \right) dy</math>である。 <math>x</math>を固定した平面で切った断面積で考えても同じであり、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left(\int_c^d f(x, y)dy \right)dx</math>。 なお、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>且つ<math>f(x, y)=g(x)h(y)</math>と分離できる場合は<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \left( \int_a^b g(x) dx\right)\left( \int_c^d h(y)dy \right)</math>と、非常に単純な計算で求まる。 一般の有界領域<math>D</math>に関しては、「<math>(x, y)</math>が<math>D</math>内の全ての点を1点ずつ重複なく通る」ように<math>x, y</math>をそれぞれ動かす必要がある。そのような動かし方をいきなり定めるのは困難であるため、以下のような場合を考える。 '''定義が区分的でない'''関数<math>\phi_1(x), \phi_2(x)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\}</math>と表され、'''疆界が単純閉曲線'''^※である積分領域を'''<math>x</math>-単疆界領域'''<!-- 『例から学ぶ微分積分』馬場裕・笹尾哲・山本光・山本勇(共立出版、2022年)より -->（<math>x</math>-単線領域）と呼ぶことにする（統一名称は存在せず、書籍によって様々に呼ばれる）。同様に、定義が区分的でない関数<math>\psi_1(y), \psi_2(y)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>と表され、疆界が単純閉曲線である積分領域を'''<math>y</math>-単疆界領域'''（<math>y</math>-単線領域）と呼ぶ。 ※「単純閉曲線」とは、「'''閉曲線'''（端点(始点と終点)が一致する曲線）であって自己交叉しない（端点以外で自分自身と交わらない）」曲線のことである。[[位相幾何学]]の知識を用いると単疆界領域は「単純閉曲線で囲まれた単連結領域」と言い換えられる。 <math>x</math>-単疆界領域では例えば<math>x=x_0</math>を固定すると<math>y</math>を<math>\phi_1(x_0)</math>から<math>\phi_2(x_0)</math>まで動かしたときに点<math>(x, y)</math>は線分<math>x=x_0 (\phi_1(x_0)<y<\phi_2(x_0))</math>上の点を一回ずつ通る。次に、<math>x</math>を<math>a</math>から<math>b</math>まで動かせば<math>(x, y)</math>は<math>D</math>内の全ての点を重複なく通ったことになる。 よって、矩形領域と同様の議論で二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\} \right)</math>は次のように計算される。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> <math>y</math>-単疆界領域でも同様に二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\} \right)</math>は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)dx \right) dy</math> と計算される。 このように、重積分を偏積分の常積分で表したものを'''累次積分'''（逐次積分、反復積分）という。見た目上は常積分の反復であることが名前の由来である。3変数以上の場合、最外部の積分のみ常積分で残りは積分変数以外を固定した偏積分である。 昔からの慣習として、累次積分の先に計算する部分を右側に纏めて :<math>\int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy</math> のように表す場合がある。 これは :<math>\left(\int_a^b dx\right) \left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy\right)</math> を意味しないので注意。 本項では、混乱を防ぐため通常の記法で書く。 なお、積分区間を更に詳しく明示した :<math>\int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=\phi_1(x)}^{y=\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> という記法も存在する。 単疆界領域でない領域の場合、疆界となる関数が切り替わる点（疆界点）で領域を分割することで単疆界領域になるので、それぞれの単疆界領域での重積分の和を計算すればよい。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \sum_i \iint_{D_i} f(x, y)dxdy</math> :例) :<math>x\in[-1, 1], \phi_1(x)=0, \phi_2(x)=\begin{cases} x+1 & (x<0) \\ -x+1 & (x\geq0) \end{cases}</math>のとき、 :<math>D=D_1 \cup D_2</math> :<math>D_1=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} -1 \leq x < 0 \\ 0 \leq y \leq x+1 \end{array} \right\}</math> :<math>D_2=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math> :とすれば良い。 二重積分を累次積分に直すとき、<math>D</math>の図を書くことで疆界となる区分的でない関数を正しく導くことができる。 なお、重積分でも線型性と定積分不等式が成り立つ。 :<math>\iint_D (\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) dxdy = \alpha \iint_D f(x, y)dxdy + \beta \iint_D g(x, y)dxdy</math> :<math>f(x, y)\leq g(x, y)\quad\mathrm{at}\, D \implies \iint_D f(x, y)dxdy \leq \iint_D g(x, y)dxdy</math> ===積分順序の変更=== 積分領域が<math>x</math>-単疆界領域且つ<math>y</math>-単疆界領域であるならば、累次積分で<math>x, y</math>のどちらを先に計算しても結果は同じである。単疆界領域でなくとも、単疆界領域に分割した重積分の和を考えれば同じく積分順序を交換できる。 一般に、次が成り立つ。 {{定理|(フビニの定理)}} 多変数関数が積分領域<math>D</math>で重積分可能ならば、累次積分の積分順序は可換である。 {{定理終わり}} 但し、'''積分順序を交換すると各積分の積分区間が変わる'''ことに注意が必要である。 例えば、三角形領域<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math>に於ける<math>f(x, y)=xy^2</math>の重積分を考える。 <math>D</math>は<math>x</math>-単疆界領域なのでこの重積分は累次積分により :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-x+1} xy^2 dy \right)dx</math> :<math>=\int_0^1 x\left[\frac{1}{3}y^3\right]_{1}^{-x+1} dx</math> :<math>=\frac{1}{3}\int_0^1 x(-x^3+3x^2-3x)dx</math> :<math>=\frac{1}{3} \left[ -\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}x^4-x^3 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> と計算される。 <math>D</math>の表式を今度は<math>y</math>-単疆界領域となるように変形する。 :<math>y=-x+1\iff x=-y+1</math> :<math>0\leq x \leq 1 \iff 0 \leq y \leq 1</math> :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq -y+1 \\ 0 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> 同様に重積分を計算すると :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-y+1} xy^2 dx \right)dy</math> :<math>=\int_0^1 y^2\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^{-y+1}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^1 y^2(y^2-2y)dy</math> :<math>=\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5}y^5-\frac{1}{2}y^4 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> このように、正しく積分順序を交換すれば同じ結果を得る。 また、以下のように積分順序を交換することで計算が容易となる場合がある。 {{演習問題|<math>\int_{0}^1 \left( \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}x dy \right)dx</math>を積分順序を交換することで計算せよ。| 二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と見て積分領域<math>D</math>を求めると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ -\sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2} \end{array} \right\}</math> 則ち、<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2 \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array} \right\}</math>という半円領域である。<br>これを<math>y</math>-単疆界領域となるように変形すると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \\ -1 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> よって累次積分に直して :<math>\iint_D f(x, y)dxdy=\int_{-1}^{1} \left( \int_0^{\sqrt{1-y^2}} x dx \right)dy</math> :<math>=\int_{-1}^1 \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^{\sqrt{1-y^2}}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_{-1}^1(1-y^2)dy</math> :<math>=\int_0^1 (1-y^2)dy</math> :<math>=\frac{2}{3}</math>// }} ===変数変換=== 常積分では置換積分という手法により積分変数を別の変数に変換することができた。重積分でも同様に変数変換を考えることができる。 <math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \end{cases}</math>という変数変換によって積分領域が<math>(s, t)\in E</math>から<math>(x, y)\in D</math>に写されるとする。 このとき、全単射な写像<math>\Gamma:E\to D</math>が存在すれば変換前後で重積分の計算が可能である。 一変数の置換積分では<math>dx</math>が<math>\frac{dx}{dt}dt</math>に置き換わった。同様に<math>dxdy</math>が○○倍の<math>dsdt</math>に置き換わると予想されるが、この○○に入るのは何であろうか？ <math>dx, dy</math>はそれぞれ<math>\phi(s, t), \psi(s, t)</math>の<math>s, t</math>を微小変化させたときの変化量、則ち全微分と考えられるので、 :<math>dx=\frac{\partial{\phi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\phi}}{\partial{t}}dt</math> :<math>dy=\frac{\partial{\psi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}dt</math> これを一次変換の記法で表すと :<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \end{pmatrix}</math> である。 <math>(x, y)</math>の組と<math>(s, t)</math>の組がそれぞれ一次独立であるとすると、<math>dxdy</math>と<math>dsdy</math>はそれぞれ<math>D, E</math>での微小矩形の面積を表すと解釈でき、更に行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>は正則である。 ここで、一次変換による図形の拡大率は表現行列の行列式の絶対値だったので、 :<math>dxdy = \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right|dsdt</math> が成り立つ。 則ち、重積分の変数変換の表式は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_E f(\phi(x, y), \psi(x, y)) \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right| dsdt</math> である。 行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>を'''ヤコビ行列'''（ヤコブ行列）と言い、<math>\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>と略記する。ヤコビ行列式<math>\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>を'''ヤコビアン'''という。 二次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x=s+t \\ y=s-t \end{cases}</math>（'''斜交座標'''）や<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>（'''円座標'''）が挙げられる。後者は特に、円が絡む積分領域のときに真価を発揮する。 三次元以上でも同様に全微分を一次変換表記することでヤコビ行列を得、それが変数変換の変換レートとなる。 三次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x= t+u \\ y=u+s \\ z=s+t \end{cases}</math>（'''ラヴィ変換'''）、<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases}</math>（'''円筒座標'''）、<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z= r\cos\theta \end{cases}</math>（'''球面座標'''）が挙げられる。 {{演習問題|<math>f(x, y)=x^2+y^2, D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \right\}</math>のとき、変数変換により<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>を計算せよ。| <math>\begin{cases} x=as \\ y=bt \end{cases}</math>と変換すると :<math>x^2+y^2=a^2s^2+b^2t^2</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \Bigg| s^2+t^2 \leq 1 \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\right|=ab</math> より :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy=\iint_E \{(a^2s^2+b^2t^2)ab\}dsdt</math> :<math>=a^3b\iint_E s^2dsdt + ab^3\iint_E t^2dsdt</math> 更に<math>\begin{cases} s=r\cos\theta \\ t=r\sin\theta \end{cases}</math>と変換すると :<math>s^2=r^2\cos^2\theta,\quad t^2=r^2\sin^2\theta</math> :<math>F = \left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq \theta \leq \tau \end{array} \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(s, t)}}{\partial{(r, \theta)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} \cos\theta & r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\right|=r</math> より :<math>\iint_E s^2 dsdt = \iint_F \{(r^2\cos^2\theta) r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \cos^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x+\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> :<math>\iint_E t^2dsdt=\iint_F \{(r^2\sin^2\theta)r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \sin^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x-\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> よって最終的に :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy = a^3b\cdot\frac{\pi}{4}+ab^3\cdot\frac{\pi}{4}</math> :<math>=\frac{ab\pi}{4}(a^2+b^2)</math>// }} ここで、「極座標なのに<math>r=0</math>を考えてる」「<math>\theta=0</math>と<math>\theta=\tau</math>が点として重複してる」からおかしいと思うだろうが、実は問題ないことが示される。詳細は最後の節で扱う。 積分領域が<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a \leq \varphi(x, y) \leq b \\ c \leq x \leq d \end{array} \right\}</math>と表されるとき、<math>-\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}\neq0</math>ならば「陰関数」節で述べたように原点近傍で<math>\begin{cases} s = \varphi(x, y) \\ t=x \end{cases}</math>という変数変換が有効である。 {{演習問題|<math>f(x, y)=x+y, D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2 \leq y \leq x^2+4 \\ -2 \leq x \leq 2 \end{array} \right\}</math>のとき、<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>を計算せよ。| <math>\varphi(x, y):=y-x^2</math>とすると<math>-\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=-1\neq0</math>であり、<math>0\leq \varphi(x, y)\leq 4</math><br> <math>\begin{cases} s = y-x^2 \\ t=x \end{cases}</math>と変換すると :<math>x+y=s+t+t^2</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq s \leq 4 \\ -2 \leq t \leq 2 \end{array} \right\}</math> :<math>\left| \det \frac{\partial(s, t)}{\partial(x, y)} \right|= \left|\det \begin{pmatrix} -2x & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right|=1</math> より :<math>\iint_D (x+y)dxdy = \iint_E (t+s+t^2) dsdt</math> :<math>=\int_{-2}^2 \left( \int_0^4 (s+t+t^2)ds \right)dt</math> :<math>=\int_{-2}^2 \left[ \frac{1}{2}s^2 + s(t+t^2) \right]_{s=0}^{s=4} dt</math> :<math>=\int_{-2}^2 (8+4t+4t^2)dt</math> :<math>=8\int_0^2 (2+t^2)dt</math> :<math>=8\left[ 2t+\frac{1}{3}t^3 \right]_0^2</math> :<math>=8\left( 4+\frac{8}{3} \right)</math> :<math>=\frac{160}{3}</math>// }} この問題は変数変換せずに累次積分すると<math>\iint_D (x+y)dxdy = \int_{-2}^2 \left[xy+\frac{1}{2}y^2\right]_{y=x^2}^{y=x^2+4} dx</math>とかなり煩雑な式となるが、この変数変換によって非常に単純な単疆界領域となるので計算が容易となる。 但し、積分領域が簡単になっても被積分関数がかえって煩雑になってしまうと変換をする意味が薄れるので、適切な変換を選択できるように練習を積む必要がある。 ===重積分の応用=== 重積分の応用例の一つは、体積の求積である。 先程述べたように、<math>\iiint_V dxdydz</math>は立体<math>V</math>の体積に等しい。数学Ⅲで習ったように「一変数関数の定積分」として求めようとすると、「いずれかの座標軸に垂直な平面で切った断面を考えてその面積を式で表し、座標軸で積分する」という手続きを要する。これは空間図形の素養が必要なので一般に苦しい。しかしながら、三重積分として計算すると見通しが立ちやすく、ある意味機械的な計算で求積可能である。 ここで、<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D \\ f(x, y) \leq z \leq g(x, y) \end{array} \right\}</math>のように表されるとする。<!-- \middle|が使えないから長さが足りない --> すると、三重積分は :<math>\iiint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_{f(x, y)}^{g(x, y)}dz \right) dxdy</math> のように二重積分に帰着することが可能である。 勿論、二重積分が先になるように計算したり最初から3重の累次積分に直接直しても構わない。 {{演習問題|球<math>x^2+y^2+z^2\leq1</math>と円柱<math>x^2+y^2\leq x</math>の共通部分のうち、<math>y\geq0, z\geq0</math>にある部分の体積を求めよ。| 底面に於いて、<math>x^2+y^2\leq x, y\geq 0, z=0</math>を満たす点<math>(x, y, z)</math>をどこに固定しても<math>0\leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}</math>が成り立ち、 :<math>\iint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}}dz \right)dxdy</math> :<math>=\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\quad \left(D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ y\geq 0 \end{array} \right\}\right)</math> 円座標に変換すると :<math>\sqrt{1-x^2-y^2}=\sqrt{1-r^2}</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq \cos\theta \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math> :<math>dxdy=rdrd\theta</math> よって :<math>\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy=\iint_E r\sqrt{1-r^2}drd\theta</math> :<math>= \int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( \int_0^{\cos\theta} r\sqrt{1-r^2} \right) d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\theta-1)d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi}{2}\right)</math>（<math>\because</math>ウォリスの公式） :<math>=\frac{\pi}{6}-\frac{2}{9}</math>// }} 重積分のもう一つの応用例は、曲面の表面積（'''曲面積'''）である。 詳細な議論はベクトル解析の頁に任せ、結果だけ書いておく。 {{定理|(曲面積Ⅰ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>f(x, y)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:z=f(x, y)\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> {{定理終わり}} この式は[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|一変数関数に於ける曲線の長さの式]]<math>L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx</math>の一般化である。 なお、<math>\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}</math>は「全微分」節で紹介した点<math>(x, y)</math>に於ける曲面<math>S</math>の接平面の法線ベクトル<math>\begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix}</math>の大きさに等しい。 発展として、曲面が<math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}</math>と媒介変数表示された場合の表式は以下のようになる。 {{定理|(曲面積Ⅱ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>\phi(s, t), \psi(s, t), \omega(s, t)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{\left( \frac{\partial{y}}{\partial{s}}\frac{\partial{z}}{\partial{t}} -\frac{\partial{y}}{\partial{t}}\frac{\partial{z}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{z}}{\partial{s}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} -\frac{\partial{z}}{\partial{t}}\frac{\partial{x}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{x}}{\partial{s}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}} -\frac{\partial{x}}{\partial{t}}\frac{\partial{y}}{\partial{s}} \right)^2}dsdt</math> {{定理終わり}} こちらは媒介変数表示された一変数関数に於ける曲線の長さの式<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math>の一般化である。 <math>\begin{cases} x=x \\ y=y \\ z = f(x, y) \end{cases}</math>とすればⅠの式に一致する。 ===広義重積分=== 重積分でも広義積分に相当するものを考えたい。しかし、序論から見てきたように二変数関数の変数の組<math>(x, y)</math>は<math>xy</math>平面上をありとあらゆる方向に無数の軌道で動くことができる。このため、広義積分を上手く定義できるとは一般に限らない。ここでは、上手く定義できる場合を見ていく。 先ずは、非有界領域での重積分を考える。 <math>xy</math>平面上の有界とは限らない領域<math>D</math>に対し、次を満たす有界領域<math>D_n</math>を考える。 #<math>D_1\subset D_2\subset D_3\subset \cdots \subset D_n \subset D</math> #<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D</math> #<math>\forall S(\mathrm{is\, bounded}) \subset D,\quad \exist n\in\mathbb{N},\quad S\subset D_n</math> このような有界領域の列<math>\{D_n\}</math>を<math>D</math>の'''近似増加列'''という。 <math>\{D_n\}</math>の選び方に依らず<math>\lim_{n\to\infty}\iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math>が収束するとき、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{n\to\infty} \iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math> と定義する。これを'''広義二重積分'''という。 次に、積分領域が特異点<math>\alpha</math>を含む場合を考える。 このときは、「<math>\alpha \notin D_n</math>（近似増加列は特異点を含まない）」且つ「<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D\setminus\{\alpha\}</math>（近似増加列の和集合が積分領域から特異点を除いたものに等しい）」且つ「<math>\left(\bigcup_{n=1}^\infty D_n\right)^-=D</math>（近似増加列の閉包が積分領域に等しい）」となるように近似増加列<math>\{D_n\}</math>をとり、同様に極限値として広義二重積分を定義すればよい。 極座標変換に於ける<math>r=0</math>や<math>\theta=\tau</math>が積分領域の境界として許されているのは、広義重積分によって特異点を含んでも問題なく計算可能なことが示されるからである。定性的・直観的には、「特異点の測度は0なので測度の総和である積分結果には影響しない」という説明がなされる。 次の定理が成り立つ。 {{定理|}} 多変数関数が非負関数または非正関数であるとき、ある<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分が収束するならば任意の<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分は収束する。 {{定理終わり}} ここから、「広義重積分が収束するような簡単な近似増加列を見つければよい」という結論に至る。 広義重積分の有名な使用例を以下に示す。 *例題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D_n=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2\leq n^2 \\ x\geq0, y\geq0 \end{array} \right\}</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy</math>を計算せよ。 *解答 :<math>e^{-(x^2+y^2)}</math>は明らかに非負関数であり、<math>\{D_n\}</math>が近似列であることも自明である。 :円座標に変換して<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-r^2}</math>、<math>E_n=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r\leq n \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math>、<math>dxdy=rdrd\theta</math> :<math>\iint_{D_n}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\iint_{E_n}re^{-r^2}drd\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left(\int_0^n re^{-r^2}dr \right)d\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_0^n d\theta</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( 1-e^{-n^2}\right) d\theta</math> :<math>=\frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right)</math> :よって広義重積分の値は :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\lim_{n\to\infty} \frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right) = \frac{\tau}{8}</math>// ここで<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-x^2}e^{-y^2}</math>であり、、<math>x, y</math>は独立に半開区間<math>[0, \infty)</math>を動くので有界矩形領域の場合と同様に分離することができる。則ち、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2} dx \right)\left(\int_0^\infty e^{-y^2}dy \right)</math> 右辺に於いて積分変数のラベルは関係ないので<math>y</math>を<math>x</math>に取り換えると、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2</math> ここで左辺に先程求めた値を代入すると :<math>\frac{\tau}{8}=\left( \int_0^\infty e^{-x^2}dx \right)^2</math> 両辺正なので平方根をとって :<math>\sqrt{\frac{\tau}{8}}=\int_0^\infty e^{-x^2}dx</math> 則ち、 :<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> 左辺の被積分関数は非負なので<math>\int_0^\infty |e^{-x^2}|<\infty</math>より絶対収束し、偶関数・奇関数の対称積分の性質を広義積分でも適用できる。<br> よって :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = 2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}</math> こうして、ガウス積分の値が求まった。 *発展問題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D'_n=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ 0 \leq y \leq \frac{1}{n} \end{array} \right\}</math>として<math>D_n=D\setminus D'_n</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D \frac{dxdy}{x+y}</math>を計算せよ。 [[カテゴリ:微分積分学|たへんすうかんすうのひせきふん]] kziss1mh0fvnz80jgq8n32j1n0c6y3m 0 37830 302460 301758 2026-08-18T13:34:38Z BrassSnail 71325 /* ウィキブックスでの編集方針 */ 表現 302460 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|語学|frame=1}} {{Wikipedia|アイヌ語}} {{Wiktionary|カテゴリ:アイヌ語}} '''アイヌ語'''（{{lang|ain|Aynu itak}}）は、北海道を中心に樺太、千島列島、本州北部などで話されてきた言語です。日本語と同じく、他の言語との系統関係の分かっていない「孤立した言語」に分類されます。日本語にとっては唯一の陸続きの言語で、古くから互いに言葉を借用し合うなどの大きな関わりがありました。日常の語彙、特に儀礼用語には、日本語とアイヌ語とで共通するものや似ているものが数多くあります。語法の面でも、「〜をやってみる」などの表現は日本語と全く同じような言い方で、隣り合って話されてきた近さが感じられます。 アイヌ語の基本的な語順は日本語と同じ主語-目的語-述語です。母音は五種類で、子音も日本語と同じものが多く、上述のように同じ発想の表現もあるため、日本語話者にとっては比較的習得しやすい言語といえます。 その一方、非常に強力な造語力を持ち、多くの要素を繋げて一つの長い単語で文のような役割を表すことなどもできます。 == ウィキブックスでの編集方針 == アイヌ語には表記法にバリエーションがある。ウィキブックスは教科書の類に入るので、学習時の分かり易さのためとして、最も多く使われている表記とは異なる表記を採ることがある。ただし、これまでに全く使われていない独自表記は避けた。 表記変換器も用意しており、これを使えば自分の好きな表記で見ることもできる。 表記変換するには、[https://www.tampermonkey.net/ Tampermonkey]をインストールし、こちらのユーザースクリプトをインストールする。<br> [https://greasyfork.org/ja/scripts/581917 ウィキメディア・プロジェクトのアイヌ語の表記変換] ユーザースクリプトが使えないブラウザでは、こちらのサイトにあるブックマークレットを実行する。<br> [https://toracatman.github.io/WikimediaBookmarklet/index.html ウィキメディア・プロジェクトのアイヌ語の表記変換ブックマークレット] また、長きに亙って公的な言語として使われてこなかったなどの理由から、アイヌ語には現代社会の事物・概念を表す言葉が不足しがちである。これを解決するために、様々な場で新語や新しい表現などを作り使おうとする取り組みが行われているが、本書ではこれらを教材の中に積極的に取り入れることはせず、使用する場合であっても、試行的な表現であることやこれまで実際に使われてきた表現とは違うことなどができるだけ判るようにする。 ==[[アイヌ語 入門編|入門編]]== *[[アイヌ語の世界へようこそ]] *[[アイヌ語 文字入力の準備|文字入力の準備]] *[[アイヌ語 文字と発音|文字と発音]] **[[アイヌ語 付録:キリル文字対照表|付録:キリル文字対照表]] *[[アイヌ語 アクセント|アクセント]] *[[アイヌ語 音の変化|音の変化]] *[[付録：アイヌ語 表記の揺れについて|付録：表記の揺れについて]] *[[付録：アイヌ語 方言について|付録：アイヌ語の方言について]] ==話す、聞く== === 会話練習 === #[[アイヌ語定型文練習 タンペ へマンタ アン?|これは何？]] #[[アイヌ語 自己紹介|自己紹介]] === 例文集（慣用句、よく使う文） === * 挨拶 * == [[アイヌ語 文法|文法]] == *「～は～だ」の形の文 *否定 *動詞の種類 *人称接辞 *位置名詞 ==[[アイヌ語 テーマ別重要語彙|テーマ別 重要語彙]]== *[[アイヌ語 数の数え方|数の数え方]] *[[アイヌ語 暦|暦]] *[[アイヌ語 人称接辞の一覧|地域毎の人称接辞一覧]] *[[アイヌ語 位置名詞の一覧|位置名詞一覧]] *[[アイヌ語 親族名称|親族名称]] *[[アイヌ語 代表的な動植物の一覧|動植物]] == 学習に役立つ本・ウェブサイト<!-- 辞書欄を除いては、情報が溢れないようにし、入門者にも使いやすく信頼の置けるものを重点的に載せてください。 -->== === 総合 === * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/index.html アイヌ民族文化財団　アイヌ語ポータルサイト] * [https://www.bunka.go.jp/seisaku/kokugo_nihongo/kokugo_shisaku/kikigengo/ainu/index.html 文化庁　アイヌ語に関するリンク集] === 音声を聞く === * [https://ainugo.nam.go.jp/search/media?typeCont=on&typeAudio=on&typeVideo=on 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ　資料検索] * [https://ainugo.hm.pref.hokkaido.lg.jp/generalSearchResult.aspx ほっかいどう　アイヌ語アーカイブ｜北海道博物館] * [https://www.youtube.com/@user-jr8bk2iy1n YouTube 公益財団法人アイヌ民族文化財団のチャンネル] * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/learn/language/animation/index.html オルｼペスウォﾌﾟ　口承文芸視聴覚資料作成事業｜アイヌ民族文化財団] * [https://www.stv.jp/radio/ainugo/index.html STVアイヌ語ラジオ講座] :: テキストなどは[https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/radio.html ここ]から見れる。 === 独習書・文法書など === * 『ニューエクスプレスプラス　アイヌ語』（ISBN 978-4-560-08868-5）中川裕（2021） ::「会話から文法を一冊で学べる入門書に」という言葉の通り、初めてアイヌ語を学ぶ人にはおすすめの一冊。CDやアプリで音声を聞く事もできる。 * 『アイヌ語広文典』（ISBN 978-4-560-09963-6）中川裕（2025） ::アイヌ語学習のためのハンドブック。発音・表記から諸方言の違い、文法、表現、文芸、歴史までを解説する大著。本格的に学ぼうとするときにはたいへん役に立つ。 *『言語学大辞典』第一巻（ISBN 978-4-385-15213-4）亀井孝 他編　所収「アイヌ語」田村すゞ子（1997） :: 分冊版の『言語学大辞典セレクション 日本列島の言語』（ISBN 4-385-15207-1）にも同じ内容が書かれている。 === 辞書・単語集 === パソコンの場合、これらのページでControl (Ctrl) + Fキーを押すと、素早く検索できる。 ==== 書籍版 ==== *『アイヌ語千歳方言辞典』中川裕（1995） *『アイヌ語沙流方言辞典』田村すゞ子（1996） *『萱野茂のアイヌ語辞典』萱野茂（1996） ==== ウェブサイト ==== *[https://ainugo.nam.go.jp/ 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ] ::辞書以外の資料からも検索できる。辞書は、田村すず子『アイヌ語沙流方言辞典』（1996）、萱野茂著『萱野茂のアイヌ語辞典』（1996）、知里真志保『分類アイヌ語辞典　植物編・動物編』（1953）の3冊を基にしている。 *アイヌ語ポータルサイトより ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/ishikari_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－石狩川－] ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/saru_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－沙流－] ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/karahuto_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－カラフト]－ * [https://kampisos.aynu.io/ kampisos.aynu.io — Kampisos - アイヌ語コーパス検索] *[https://itah.aynu.org/ja 樺太アイヌ語の単語リスト] *[http://tommy1949.world.coocan.jp/aynudictionary.htm 富田隆 氏によるアイヌ語電子辞書] :: === 物語 === *『アイヌ神謡集』知里幸惠 ISBN 978-4-00-320801-4、[https://www.aozora.gr.jp/cards/001529/files/44909_29558.html 青空文庫] == その他 == === アイヌ語を使って創作、執筆などを行う取り組み=== [[incubator:Wp/ain/Main_Page|アイヌ語版ウィキペディア]] [https://otarunay.at-ninja.jp/taimuzu.html アイヌタイムズ] [https://wiki.aynu.org/wiki/Mosem Aynuwiki] [https://parunpe.mystrikingly.com/ パルンペ（parunpe）] === アイヌ語やアイヌ文化を題材、モチーフとした創作 === ==== 漫画 ==== *[https://www.shueisha.co.jp/books/search/search.html?seriesid=37334 ゴールデンカムイ] [[カテゴリ:語学]] [[カテゴリ:アイヌ語|*]] 7lg3r5dgky0ad9a8ui5mp7w5hqgnrjy 302461 302460 2026-08-18T13:36:29Z BrassSnail 71325 /* ウィキブックスでの編集方針 */ 編集方針そのものと言うよりは補足情報な気がしたので 302461 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|語学|frame=1}} {{Wikipedia|アイヌ語}} {{Wiktionary|カテゴリ:アイヌ語}} '''アイヌ語'''（{{lang|ain|Aynu itak}}）は、北海道を中心に樺太、千島列島、本州北部などで話されてきた言語です。日本語と同じく、他の言語との系統関係の分かっていない「孤立した言語」に分類されます。日本語にとっては唯一の陸続きの言語で、古くから互いに言葉を借用し合うなどの大きな関わりがありました。日常の語彙、特に儀礼用語には、日本語とアイヌ語とで共通するものや似ているものが数多くあります。語法の面でも、「〜をやってみる」などの表現は日本語と全く同じような言い方で、隣り合って話されてきた近さが感じられます。 アイヌ語の基本的な語順は日本語と同じ主語-目的語-述語です。母音は五種類で、子音も日本語と同じものが多く、上述のように同じ発想の表現もあるため、日本語話者にとっては比較的習得しやすい言語といえます。 その一方、非常に強力な造語力を持ち、多くの要素を繋げて一つの長い単語で文のような役割を表すことなどもできます。 == ウィキブックスでの編集方針 == アイヌ語には表記法にバリエーションがある。ウィキブックスは教科書の類に入るので、学習時の分かり易さのためとして、最も多く使われている表記とは異なる表記を採ることがある。ただし、これまでに全く使われていない独自表記は避けた。 （表記変換器も用意しており、これを使えば自分の好きな表記で見ることもできる。 表記変換するには、[https://www.tampermonkey.net/ Tampermonkey]をインストールし、こちらのユーザースクリプトをインストールする。<br> [https://greasyfork.org/ja/scripts/581917 ウィキメディア・プロジェクトのアイヌ語の表記変換] ユーザースクリプトが使えないブラウザでは、こちらのサイトにあるブックマークレットを実行する。<br> [https://toracatman.github.io/WikimediaBookmarklet/index.html ウィキメディア・プロジェクトのアイヌ語の表記変換ブックマークレット]） また、長きに亙って公的な言語として使われてこなかったなどの理由から、アイヌ語には現代社会の事物・概念を表す言葉が不足しがちである。これを解決するために、様々な場で新語や新しい表現などを作り使おうとする取り組みが行われているが、本書ではこれらを教材の中に積極的に取り入れることはせず、使用する場合であっても、試行的な表現であることやこれまで実際に使われてきた表現とは違うことなどができるだけ判るようにする。 ==[[アイヌ語 入門編|入門編]]== *[[アイヌ語の世界へようこそ]] *[[アイヌ語 文字入力の準備|文字入力の準備]] *[[アイヌ語 文字と発音|文字と発音]] **[[アイヌ語 付録:キリル文字対照表|付録:キリル文字対照表]] *[[アイヌ語 アクセント|アクセント]] *[[アイヌ語 音の変化|音の変化]] *[[付録：アイヌ語 表記の揺れについて|付録：表記の揺れについて]] *[[付録：アイヌ語 方言について|付録：アイヌ語の方言について]] ==話す、聞く== === 会話練習 === #[[アイヌ語定型文練習 タンペ へマンタ アン?|これは何？]] #[[アイヌ語 自己紹介|自己紹介]] === 例文集（慣用句、よく使う文） === * 挨拶 * == [[アイヌ語 文法|文法]] == *「～は～だ」の形の文 *否定 *動詞の種類 *人称接辞 *位置名詞 ==[[アイヌ語 テーマ別重要語彙|テーマ別 重要語彙]]== *[[アイヌ語 数の数え方|数の数え方]] *[[アイヌ語 暦|暦]] *[[アイヌ語 人称接辞の一覧|地域毎の人称接辞一覧]] *[[アイヌ語 位置名詞の一覧|位置名詞一覧]] *[[アイヌ語 親族名称|親族名称]] *[[アイヌ語 代表的な動植物の一覧|動植物]] == 学習に役立つ本・ウェブサイト<!-- 辞書欄を除いては、情報が溢れないようにし、入門者にも使いやすく信頼の置けるものを重点的に載せてください。 -->== === 総合 === * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/index.html アイヌ民族文化財団　アイヌ語ポータルサイト] * [https://www.bunka.go.jp/seisaku/kokugo_nihongo/kokugo_shisaku/kikigengo/ainu/index.html 文化庁　アイヌ語に関するリンク集] === 音声を聞く === * [https://ainugo.nam.go.jp/search/media?typeCont=on&typeAudio=on&typeVideo=on 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ　資料検索] * [https://ainugo.hm.pref.hokkaido.lg.jp/generalSearchResult.aspx ほっかいどう　アイヌ語アーカイブ｜北海道博物館] * [https://www.youtube.com/@user-jr8bk2iy1n YouTube 公益財団法人アイヌ民族文化財団のチャンネル] * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/learn/language/animation/index.html オルｼペスウォﾌﾟ　口承文芸視聴覚資料作成事業｜アイヌ民族文化財団] * [https://www.stv.jp/radio/ainugo/index.html STVアイヌ語ラジオ講座] :: テキストなどは[https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/radio.html ここ]から見れる。 === 独習書・文法書など === * 『ニューエクスプレスプラス　アイヌ語』（ISBN 978-4-560-08868-5）中川裕（2021） ::「会話から文法を一冊で学べる入門書に」という言葉の通り、初めてアイヌ語を学ぶ人にはおすすめの一冊。CDやアプリで音声を聞く事もできる。 * 『アイヌ語広文典』（ISBN 978-4-560-09963-6）中川裕（2025） ::アイヌ語学習のためのハンドブック。発音・表記から諸方言の違い、文法、表現、文芸、歴史までを解説する大著。本格的に学ぼうとするときにはたいへん役に立つ。 *『言語学大辞典』第一巻（ISBN 978-4-385-15213-4）亀井孝 他編　所収「アイヌ語」田村すゞ子（1997） :: 分冊版の『言語学大辞典セレクション 日本列島の言語』（ISBN 4-385-15207-1）にも同じ内容が書かれている。 === 辞書・単語集 === パソコンの場合、これらのページでControl (Ctrl) + Fキーを押すと、素早く検索できる。 ==== 書籍版 ==== *『アイヌ語千歳方言辞典』中川裕（1995） *『アイヌ語沙流方言辞典』田村すゞ子（1996） *『萱野茂のアイヌ語辞典』萱野茂（1996） ==== ウェブサイト ==== *[https://ainugo.nam.go.jp/ 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ] ::辞書以外の資料からも検索できる。辞書は、田村すず子『アイヌ語沙流方言辞典』（1996）、萱野茂著『萱野茂のアイヌ語辞典』（1996）、知里真志保『分類アイヌ語辞典　植物編・動物編』（1953）の3冊を基にしている。 *アイヌ語ポータルサイトより ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/ishikari_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－石狩川－] ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/saru_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－沙流－] ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/karahuto_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－カラフト]－ * [https://kampisos.aynu.io/ kampisos.aynu.io — Kampisos - アイヌ語コーパス検索] *[https://itah.aynu.org/ja 樺太アイヌ語の単語リスト] *[http://tommy1949.world.coocan.jp/aynudictionary.htm 富田隆 氏によるアイヌ語電子辞書] :: === 物語 === *『アイヌ神謡集』知里幸惠 ISBN 978-4-00-320801-4、[https://www.aozora.gr.jp/cards/001529/files/44909_29558.html 青空文庫] == その他 == === アイヌ語を使って創作、執筆などを行う取り組み=== [[incubator:Wp/ain/Main_Page|アイヌ語版ウィキペディア]] [https://otarunay.at-ninja.jp/taimuzu.html アイヌタイムズ] [https://wiki.aynu.org/wiki/Mosem Aynuwiki] [https://parunpe.mystrikingly.com/ パルンペ（parunpe）] === アイヌ語やアイヌ文化を題材、モチーフとした創作 === ==== 漫画 ==== *[https://www.shueisha.co.jp/books/search/search.html?seriesid=37334 ゴールデンカムイ] [[カテゴリ:語学]] [[カテゴリ:アイヌ語|*]] epn5nb4a53lldwnnd4r72dhher0s7tx 302462 302461 2026-08-18T13:38:44Z BrassSnail 71325 /* ウィキブックスでの編集方針 */ 302462 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|語学|frame=1}} {{Wikipedia|アイヌ語}} {{Wiktionary|カテゴリ:アイヌ語}} '''アイヌ語'''（{{lang|ain|Aynu itak}}）は、北海道を中心に樺太、千島列島、本州北部などで話されてきた言語です。日本語と同じく、他の言語との系統関係の分かっていない「孤立した言語」に分類されます。日本語にとっては唯一の陸続きの言語で、古くから互いに言葉を借用し合うなどの大きな関わりがありました。日常の語彙、特に儀礼用語には、日本語とアイヌ語とで共通するものや似ているものが数多くあります。語法の面でも、「〜をやってみる」などの表現は日本語と全く同じような言い方で、隣り合って話されてきた近さが感じられます。 アイヌ語の基本的な語順は日本語と同じ主語-目的語-述語です。母音は五種類で、子音も日本語と同じものが多く、上述のように同じ発想の表現もあるため、日本語話者にとっては比較的習得しやすい言語といえます。 その一方、非常に強力な造語力を持ち、多くの要素を繋げて一つの長い単語で文のような役割を表すことなどもできます。 == ウィキブックスでの編集方針 == アイヌ語には表記法にバリエーションがある。ウィキブックスは教科書の類に入るので、学習時の分かり易さのためとして、最も多く使われている表記とは異なる表記を採ることがある。ただし、これまでに全く使われていない独自表記は避けた。 （表記変換器も用意しており、これを使えば自分の好きな表記で見ることもできる。 表記変換するには、[https://www.tampermonkey.net/ Tampermonkey]または類似の拡張機能を各自の[[w:ja:ウェブブラウザ|ブラウザ]]にインストールし、こちらのユーザースクリプトをインストールする。<br> [https://greasyfork.org/ja/scripts/581917 ウィキメディア・プロジェクトのアイヌ語の表記変換] ユーザースクリプトが使えないブラウザでは、こちらのサイトにあるブックマークレットを実行する。<br> [https://toracatman.github.io/WikimediaBookmarklet/index.html ウィキメディア・プロジェクトのアイヌ語の表記変換ブックマークレット]） また、長きに亙って公的な言語として使われてこなかったなどの理由から、アイヌ語には現代社会の事物・概念を表す言葉が不足しがちである。これを解決するために、様々な場で新語や新しい表現などを作り使おうとする取り組みが行われているが、本書ではこれらを教材の中に積極的に取り入れることはせず、使用する場合であっても、試行的な表現であることやこれまで実際に使われてきた表現とは違うことなどができるだけ判るようにする。 ==[[アイヌ語 入門編|入門編]]== *[[アイヌ語の世界へようこそ]] *[[アイヌ語 文字入力の準備|文字入力の準備]] *[[アイヌ語 文字と発音|文字と発音]] **[[アイヌ語 付録:キリル文字対照表|付録:キリル文字対照表]] *[[アイヌ語 アクセント|アクセント]] *[[アイヌ語 音の変化|音の変化]] *[[付録：アイヌ語 表記の揺れについて|付録：表記の揺れについて]] *[[付録：アイヌ語 方言について|付録：アイヌ語の方言について]] ==話す、聞く== === 会話練習 === #[[アイヌ語定型文練習 タンペ へマンタ アン?|これは何？]] #[[アイヌ語 自己紹介|自己紹介]] === 例文集（慣用句、よく使う文） === * 挨拶 * == [[アイヌ語 文法|文法]] == *「～は～だ」の形の文 *否定 *動詞の種類 *人称接辞 *位置名詞 ==[[アイヌ語 テーマ別重要語彙|テーマ別 重要語彙]]== *[[アイヌ語 数の数え方|数の数え方]] *[[アイヌ語 暦|暦]] *[[アイヌ語 人称接辞の一覧|地域毎の人称接辞一覧]] *[[アイヌ語 位置名詞の一覧|位置名詞一覧]] *[[アイヌ語 親族名称|親族名称]] *[[アイヌ語 代表的な動植物の一覧|動植物]] == 学習に役立つ本・ウェブサイト<!-- 辞書欄を除いては、情報が溢れないようにし、入門者にも使いやすく信頼の置けるものを重点的に載せてください。 -->== === 総合 === * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/index.html アイヌ民族文化財団　アイヌ語ポータルサイト] * [https://www.bunka.go.jp/seisaku/kokugo_nihongo/kokugo_shisaku/kikigengo/ainu/index.html 文化庁　アイヌ語に関するリンク集] === 音声を聞く === * [https://ainugo.nam.go.jp/search/media?typeCont=on&typeAudio=on&typeVideo=on 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ　資料検索] * [https://ainugo.hm.pref.hokkaido.lg.jp/generalSearchResult.aspx ほっかいどう　アイヌ語アーカイブ｜北海道博物館] * [https://www.youtube.com/@user-jr8bk2iy1n YouTube 公益財団法人アイヌ民族文化財団のチャンネル] * [https://www.ff-ainu.or.jp/web/learn/language/animation/index.html オルｼペスウォﾌﾟ　口承文芸視聴覚資料作成事業｜アイヌ民族文化財団] * [https://www.stv.jp/radio/ainugo/index.html STVアイヌ語ラジオ講座] :: テキストなどは[https://www.ff-ainu.or.jp/web/potal_site/radio.html ここ]から見れる。 === 独習書・文法書など === * 『ニューエクスプレスプラス　アイヌ語』（ISBN 978-4-560-08868-5）中川裕（2021） ::「会話から文法を一冊で学べる入門書に」という言葉の通り、初めてアイヌ語を学ぶ人にはおすすめの一冊。CDやアプリで音声を聞く事もできる。 * 『アイヌ語広文典』（ISBN 978-4-560-09963-6）中川裕（2025） ::アイヌ語学習のためのハンドブック。発音・表記から諸方言の違い、文法、表現、文芸、歴史までを解説する大著。本格的に学ぼうとするときにはたいへん役に立つ。 *『言語学大辞典』第一巻（ISBN 978-4-385-15213-4）亀井孝 他編　所収「アイヌ語」田村すゞ子（1997） :: 分冊版の『言語学大辞典セレクション 日本列島の言語』（ISBN 4-385-15207-1）にも同じ内容が書かれている。 === 辞書・単語集 === パソコンの場合、これらのページでControl (Ctrl) + Fキーを押すと、素早く検索できる。 ==== 書籍版 ==== *『アイヌ語千歳方言辞典』中川裕（1995） *『アイヌ語沙流方言辞典』田村すゞ子（1996） *『萱野茂のアイヌ語辞典』萱野茂（1996） ==== ウェブサイト ==== *[https://ainugo.nam.go.jp/ 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ] ::辞書以外の資料からも検索できる。辞書は、田村すず子『アイヌ語沙流方言辞典』（1996）、萱野茂著『萱野茂のアイヌ語辞典』（1996）、知里真志保『分類アイヌ語辞典　植物編・動物編』（1953）の3冊を基にしている。 *アイヌ語ポータルサイトより ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/ishikari_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－石狩川－] ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/saru_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－沙流－] ** [https://www.ff-ainu.or.jp/teach/files/karahuto_tango.pdf 単語リスト（アイヌ語・日本語）－カラフト]－ * [https://kampisos.aynu.io/ kampisos.aynu.io — Kampisos - アイヌ語コーパス検索] *[https://itah.aynu.org/ja 樺太アイヌ語の単語リスト] *[http://tommy1949.world.coocan.jp/aynudictionary.htm 富田隆 氏によるアイヌ語電子辞書] :: === 物語 === *『アイヌ神謡集』知里幸惠 ISBN 978-4-00-320801-4、[https://www.aozora.gr.jp/cards/001529/files/44909_29558.html 青空文庫] == その他 == === アイヌ語を使って創作、執筆などを行う取り組み=== [[incubator:Wp/ain/Main_Page|アイヌ語版ウィキペディア]] [https://otarunay.at-ninja.jp/taimuzu.html アイヌタイムズ] [https://wiki.aynu.org/wiki/Mosem Aynuwiki] [https://parunpe.mystrikingly.com/ パルンペ（parunpe）] === アイヌ語やアイヌ文化を題材、モチーフとした創作 === ==== 漫画 ==== *[https://www.shueisha.co.jp/books/search/search.html?seriesid=37334 ゴールデンカムイ] [[カテゴリ:語学]] [[カテゴリ:アイヌ語|*]] i1hhhoz51daf4p7yvka8vz5oaacduv5 0 38108 302463 299723 2026-08-18T13:46:34Z BrassSnail 71325 /* アイヌ語で使われる文字 */ 302463 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > [[アイヌ語 入門編|入門編]] > 文字と発音 == アイヌ語で使われる文字 == アイヌ語は元々文字を持たない言語だったが、江戸時代ごろから日本人（仮名）やロシア人（キリル文字）などによる記録が始まった。また、イタリア人やイギリス人がラテン文字での記録を行った。この事と地理的な要因とからアイヌ語は現在、主に3種類の文字によって表記される。アルファベット（ここではキリル文字とラテン文字のこと）の各文字の呼び名は定まっていない。<ref>現在は英語やロシア語の読みをそのまま、またはそれらを日本語化した形で呼ぶことが多いような気がするが、これからの流れによっては[[w:ja:キルディン・サーミ語|キルディン・サーミ語]]のように、呼び名を決めないという選択もできるかもしれない。</ref> === 1.仮名 === 日本語などで使われている文字。現在はほとんどの場合カタカナを使う。日本語と発音の異なる文字があるので日本語話者は注意が必要。 * 使われる文字 {| class="wikitable" |ア |イ |ウ |エ/𛀀 |オ | rowspan="12" | | |- |カ |キ |ク |ケ |コ |ㇰ |- |サ |シ |ス |セ |ソ |ㇱㇲ |- |サ゚/チャ |チ |ス゚/チュ |セ゚/チェ |ソ゚/チョ | |- |タ | |ツ/トゥ/ツ゚/ト゚ |テ |ト |ッ/ㇳ |- |パ |ピ |プ |ペ |ポ |ㇷ゚ |- |ラ |リ |ル |レ |ロ |ㇻㇼㇽㇾㇿ |- |ハ |ヒ |フ |ヘ |ホ |ㇵㇶㇷㇸㇹ |- |ナ |ニ |ヌ |ネ |ノ |<small>ン</small>/𛅧/ン/ㇴ |- |マ |ミ |ム |メ |モ |ㇺ |- |ヤ |イ |ユ |𛄡/イェ/ｲｪ |ヨ |ィ/イ |- |ワ |(ヰ/ウィ) |ウ |ヱ/ウェ |ヲ/ウォ |ゥ/ウ |} 記号：長音符「ー」を使う。アクセントを示すために「　⃣︎」・「´」などの記号や<span style="text-emphasis-style: sesame;">傍点</span>を使うこともある。アクセントのある音節のみを平仮名で書くという方式もあった。 === 2.キリル文字 === ロシア語などのスラブ系の言語やそのほかの東欧・アジア北部の言語で主に使われている文字。 * 使われることのある文字 {| class="wikitable" |А |Б |В |Г |Д |Е | |И |Й |К |Л |М | |Н |О |П |Р |С |Т |У |Ў |Ф |Х |Ц |Ч | |Ш | |Ю |Я |- |а |б |в |г |д |е |ѕ |и |й |к |л<ref name=":0">外来語のみ。</ref> |м |ԩ |н |о |п |р |с |т |у |ў |ф |х |ц |ч |џ |ш<ref name=":0" /> |ь |ю |я |} * この記事で主に使う文字 {| class="wikitable" |А |В |Е |И |Й |К |М | |Н |О |П |Р |С |Т |У |Ў |Х |Ч | |Ю |Я |- |а |в |е |и |й |к |м |ԩ |н |о |п |р |с |т |у |ў |х |ч |ь |ю |я |} 実際の表記で同時に使われるのは、たいてい子音字11〜12種と母音字(а,и,у,э,о)5種。 記号：主に分音符（アポストロフィ「’」など）、陽音符（アキュートアクセント「´」）、長音符（マクロン「¯」）、長陽音符（サーカムフレックス「＾」）の4種を使う<ref>キリル文字の場合、これらの分音記号が正確に表示できないことも多いため、使わず表記することも多い。</ref>。 === 3.ラテン文字（ローマ字） === 世界中の多くの言語で使われている文字。 * 使われることのある文字 {| class="wikitable" |A |B |C |Ċ |Č |CH/Ch |D |E |G |H |I |J |K |M |N |O |P |R |R̥ |R̬ |S |Ṡ |Š |SH/Sh |T |U |Ŭ |V |W |(X) |Y |Z |DZ/Dz |- |a |b |c |ċ |č |ch |d |e |g |h |i |j |k |m |n |o |p |r |r̥ |r̬ |s |ṡ |š |sh |t |u |ŭ |v |w |x |y |z <ref name=":32">これらはすべて同じ音素を表す。またc、ċ、č、chとも同じ音素であるから、これらの文字を使うことはほとんどない。</ref> |dz <ref name=":32" /> |} * この記事で主に使う文字 {| class="wikitable" |A |C |E |H |I |J |K |M |N |O |P |R |S |T |U |Ŭ |W |(X) |Y |- |a |c |e |h |i |j |k |m |n |o |p |r |s |t |u |ŭ |w |x |y |} 実際の表記で同時に使われるのは、たいてい子音字11〜12種と母音字(a,i,u,e,o)5種。 記号：アキュートアクセント(á)、マクロン(ā)、アポストロフィなど(’)、サーカムフレックス(â)の4種。 == 0.アイヌ語の発音の構造 == アイヌ語の発音は、音節というものを単位にして考えるとわかりやすい。アイヌ語には、「子音+母音」の'''開音節'''と、「子音+母音+子音」の'''閉音節'''とがある。 == 1.開音節の発音 == アイヌ語の開音節の表は、概ね日本語の五十音図と一致する。（ここでは、日本語の表とは少し並びを変えてある。） {| class="wikitable" |+開音節の表 !ローマ/キリル !a/а !i/и !u/у !e/э !o/о !m/м n/н |- !Ꞌ/ꞌ<ref>Ꞌ/ꞌは表記しないことが多い。</ref> |ア |イ |ウ |エ/𛀀<ref>yeに𛄡を使用した時に、見間違いを防ぐために使う。日本語では古く(eとyeの区別が無くなった平安時代初期)に使われなくなった。</ref> |オ |ン/ㇺ<ref>特殊な場合。ḿ'm（ンンまたはㇺㇺ）、kor-'ḿ'm（コㇿンンまたはコㇿㇺㇺ）に含まれる。</ref> |- !k/к |カ |キ |ク |ケ |コ | |- !s/с |サ |シ |ス |セ |ソ | |- !c/ч |サ゚/チャ |チ |ス゚/チュ |セ゚/チェ |ソ゚/チョ | |- !t/т |タ |<ref>この音は存在せず、tとiが連続した時はチ/ci/чиになる。</ref> |ツ/トゥ/ツ゚/ト゚ |テ |ト | |- !r/р |ラ |リ |ル |レ |ロ | |- !p/п |パ<ref>北海道北部方言では、アクセントのある音節でサ゚(チャ)/ca/чаに変化する。</ref> |ピ |プ |ペ |ポ | |- !h/'''һ'''(х) |ハ |ヒ |フ |ヘ |ホ |ン゚/ㇷㇺ/ㇷン<ref>特殊な発音。この音を含むものにはhm(うん）やhńta（何、何か）hntá（さあ）などがある。</ref> |- !n/н |ナ |ニ |ヌ |ネ |ノ | |- !m/м |マ |ミ |ム |メ |モ | |- !y(j)/й<ref>軟母音字(я,ю,е,ё)を使うこともある。</ref> |ヤ |イ<ref name=":02">yやwの後にiやuが連続するとき等（青森：アウンモシㇼaw-un-mosir）に現れるが、iやuと別の音節として存在するかは意見が分かれている。</ref> |ユ |𛄡/イェ |ヨ | |- !w(v)/ў |ワ |ヰ/ウィ<ref>複合語や一部の擬音語・擬態語にのみ存在する。 【kirikewihri　キリケウィﾋリ（中略）股の関節kirikew-ihri（略）[kirikew(上肢)+ihri(関節)]】ただし、wとiの間を分けてキリケゥイㇶリのように発音することも多い。 wiにならない例 【uciw-itara　[u-ciw-itara 互い・にささる・(状態が続いていることを表す接尾辞)][雅](いくすじもの光が)互いに反射し合いきらめき合う。（中略）☆参考 wi '''ウィ''' という発音がないため､ w ウ と i イ の間で音節を分けて発音している。】 出典：国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ</ref> |ウ<ref name=":02" /> |ヱ/ウェ |ヲ/ウォ | |} === 母音 「a, i, u, e, o」 / 「а, и, у, э, о」 === 日本語（標準語・共通語・関東弁）のア行とほぼ同じ。ただし、ウ（ウ段にある他の行の音も同様）は関東の日本語のウよりも唇を丸めて舌を奥に引いて発音する(日本語話者にはオのように聞こえることもある)。 より厳密な発音を示す。 '''ア a а''', '''イ i и'''は日本語のものとほぼ同じ。[a],[i] * キ ki кй　する　｜　パ pa па　年 '''ウ u у'''は、日本語の「ウ」とは異なり、[u] よりも若干口の丸めの弱い、広がった音 [u̜]。日本語より唇を丸めて下を奥に引くようにして発音する。日本語話者には「オ」に聞こえることがある。 {| class="wikitable" |+｢ウ｣の感じ（何となく） ! !舌がより前 ! !舌がより後ろ |- !唇を丸める |[ü](関西弁) |[u̟](関西弁) |[u] |- ! |[ü̜] | |[u̜](アイヌ語) |- ! |[ɯ̹̈](関東弁) | |[ɯ̹] |- !丸めが弱い |[ɯ̈](関東弁) | |[ɯ] |} * プ pu пу　倉　｜　ス su су　鍋 '''エ(𛀀) э e'''は、日本語の「エ」に近いが少し狭い [e]。 * ネ ne нэ　である　｜　𛀀 ʻe ʻэ　〜を食べる '''オ o о'''は、日本語の「オ」に近いが少し狭い [o]。 * ト to то　日、湖　｜　ホ ho һо　はい（返事の言葉） === 子音 === ==== ア行　「’/ʼ/'/ʻ/Ꞌ,ꞌ など」 ==== : 上に示したとおり。基本的には、[[w:声門閉鎖音|声門破裂音[ʔ]]]ないし声門の緊張またはせばめを持つ、はっきりした声立てで発音される。子音の文字としてラテン文字とキリル文字では「[[w:ja:’|’]]」や「[[w:Ja:ʼ|ʼ]]」、「[[w:ja:'|']]」、「[[w:ja:ʻ|ʻ]]」のほか「Ꞌ/ꞌ」が使われることもある。ただし可読性が下がると考えられてか、現在多くの文書でこれらの記号や文字は初学者向けの文書、もしくは前の文字との関係で特に切れ目を表す必要のある部分（hioyʻoyやteʻetaなど）ぐらいにしか使われない。ただし、ウィキブックスではすべてのア行音に’を付ける。 : 例： :* アオㇷ゚ ’a’op ’а’оп　乗り物　｜　テエタ te’eta теʻета　昔 ; ==== カ行 / 「k-g」 / 「к-г」 ==== : 日本語のカ行とほぼ同じ。無声音（清音）で発音されることも、有声音（濁音）で発音され、ガ行のように聞こえることもある。日本語のように鼻濁音になることはない。 : 例： :* キ ki ки　する　｜　イク ’iku ’ику　酒を飲む ==== タ行 / 「t-d」 / 「т-д」 ==== : 日本語のタ行とほぼ同じ。音節tiは存在せず、チ,ci,чиに変化する。無声音（清音）で発音されることも、有声音（濁音）でダ行のように発音されることもある。 : 例： :* ト to то　日、湖　｜　チセ cise чисэ　家 ==== パ行 / 「p-b」 / 「п-б」 ==== : 日本語のパ行とほぼ同じ。北海道北部方言ではアクセントのあるパ pa паの音がチャ/サ゚ ca чаに変わる。無声音（清音）で発音されることも、有声音（濁音）でバ行のように発音されることもある。 : 例： :* プ pu пу　鍋　｜　パィカㇻ pajkar пайкар　春 ==== サ゚行(チャ行) / 「c-z[č-ž, ċ-ż], ch-zh, c-dz[dž, dż] など」 / 「ч-џ, ч-ж, ц-ѕ, ц-з など」 ==== : 日本語のチャ行のように発音される。ツァ行のように発音しても通じるが、そう発音されることはあまりない。また、もともと日本語にない音であるため、カナ表記には揺れがある。ここで示した表記のほか、この行の音のために独自の仮名を創る試みもある。（[https://note.com/qvarie/n/n5f935a37b354 ここ]を参照。）無声音（清音）で発音されることも、有声音（濁音）で発音され、ヂャ,ヂ,ヂュ,ヂェ,ヂョのように聞こえることもある。 : 例： :* マッカチ matkaci маткачи　少女　｜　セ゚ㇷ゚/チェㇷ゚ cep чэп　魚 ==== ラ行 / 「r̊-r」 / 「ҏ-р」 ==== : 基本的に日本語と同じである（日本語のラ行でも通じる）が、日本語のラ行<ref>母語話者が意識することはほぼないが、日本語のラ行も状況によって多様に発音される、かなり複雑な音である。</ref>より少し複雑である。日本語のラ行でも通じる。 :: より詳細な発音は、 ::* 舌の先は1回だけ歯茎に触れる。 ::*: より正確には触れるというよりも舌先でタップするのである。タップとは日本語の「舌打ち」「舌鼓」にあたる。声を出さずに舌打ちをすると「タッ」とも「ツッ」とも聞こえる（英語では tut-tut）タップ音がする。神謡におけるアイヌ語の r では実際にタップ音が聞かれることもあるが、話し言葉ではそれよりも弱くタップすると同時か少し早めに母音を発声するのである。 ::* 基本の音は、[ɾ]。〔多くの日本語話者がラ行を発音するときと同じ。〕 ::* 語頭では、「[t] と [d] の中間の音」と、さらに [ɾ] との中間音に聞こえる。 ::*: 21世紀初頭の今から３～４世代程度昔の日本語話者が、英語 ''radio'' を「ダヂオ」に近く発音していたことに似る。 ::* n の後では、[d] に近い [^{<small>d</small>}ɾ]。〔ダのようにラを発音する〕 ::* k, p の後では、無声音化して [ɾ̊]。〔タのようにラを発音する〕 ::* t の後では、無声音化し、更に摩擦を帯びる [ɾ̊ˢ]。〔ツァやチャに少し近いタのようにラを発音する〕 ::* s の後では、完全に無声摩擦の [ɾ̊s]。〔ツァやチャのようにラを発音する〕（[[wikt:付録:アイヌ語の発音表記|ウィクショナリー「付録:アイヌ語の発音表記」]]より抜粋、「〔〕」部分補筆） :: とあるが、話者によって大きく揺れがあり、例えば[l]で発音する人もいるという。<ref group="引用元">世界言語学大辞典（ISBN 978-4-385-15213-4）または世界言語学大辞典セレクション 日本列島の言語（ISBN 978-4-385-15207-3）7頁</ref>また、上の解説がどの地域のものなのか、どの程度信頼できるものなのかは分からない（恐らく知里真志保の著作によるものです。正確な情報のある方は追記をお願いします）。日本語のラ行でも全く問題なく通じるので、そこまで気に病む必要はない。 :* ルスィ rusuy русуй　欲しい　｜　ピラサ pirasa пираса　広げる　｜　ケ<small>ン</small>ル kenru кэнру　家　｜　イㇰラ ’ikra ’икра　送る　｜　キッラポ kitrapo китрапо　山女魚（ヤマメ）　｜　カㇱレ kasre касрэ　（くぼみなどが）浅い ; ==== サ行 / 「s [ṡ, š]」/ 「ш, с」 ==== : 日本語のサ行またはシャ行と同じように発音される。つまり、話者によって「サ,シ,ス,セ,ソ」または「シャ,シ,シュ,シェ,ショ」のように発音される。<ref>IPA（国際音声記号）で表すと、[s]から[ʃ]の間の音で発音される。[ɕ](日本語のシャ行の音)などもこの音の範囲に含まれる。</ref>音節si/сиが「スィ」のように発音されることは少ない。<u>必ず無声音（清音）で発音され、濁らない。</u> :* アシ ’asi аси　〜を立てる　｜　サㇰサィヌ Saksaynu Саксайну　シャクシャイン(人名) ==== ハ行 / 「h」 / 「һ, х」 ==== : 日本語のハ行とほぼ同じだが、より柔らかい音だという。 :* ホプニ hopuni һопуни　起き上がる　｜　イリヒ ’irihi ’ириһи　（衣服の）衿（えり） ; ==== ナ行 / 「n」 / 「н」 ==== : 日本語のナ行とほぼ同じ。 :* ウニ ’uni ’уни　家　｜　ク<small>ン</small>ネ kunne куннэ　黒い ==== マ行 / 「m」 / 「м」 ==== : 日本語のマ行とほぼ同じ。 :* メノコ menoko мэноко　女　｜　イカㇱマ ’ikasma ’икасма　余る ; ==== ヤ行 / 「j, y」 / 「й」 ==== : 日本語のヤ行とほぼ同じ。日本語と違いyeの音はe（エ）とは別の音である。イェと書かれることもあるがイ・エのようには切らず、他の音と同じように一音で発音する。 :* イェ(ｲｪ)/𛄡　ye/je　йэ　言う　｜　ユㇰ　juk/yuk　йук　鹿、獲物全般 ==== ワ行 / 「w, v」 / 「ў, в」 ==== : 日本語のワ行とほぼ同じ。キリル文字ではЎが入力できなければВ（日本語入力ではヴェーと入力すれば出てくる）で代用しても良い。 : wiの音は原則的に存在しない。複合語や極少数の擬音語、擬態語にのみ現れる。複合語でwとiが連続しても通常は分けて発音される。 :* ワウォ wawo ўаўо　アオバト　｜　クヱカィ kuwekaj куўэкай　二月 === 濁音について === アイヌ語では、濁音と清音（有声音と無声音）を区別しない。そのため、カ・タ・サ゚・パ行音が濁ったり、ラ行音が無声音になってタ行音に近く聞こえたりすることがある。（サ行の音は濁らず常に無声音で発音される。）有声音（濁音）は、女性よりは男性に、子供よりは大人に、丁寧な発音よりはぞんざいな発音に、シラフではなく酩酊状態のときに表出する。また、鼻音の後や語頭には比較的よく現れる。 * サ<small>ン</small>ペ（心臓）　サンペ〜サンベで発音される。 == 2.閉音節の発音 == 閉音節は開音節（roなど）の後に音節末子音（kなど）が付いたもの（rokなど）である。この音節末子音はカナ表記では主に小書きガナを使って表記する。これらの音の多くは日本語にも現れるが、ふつう区別なく「っ」や「ん」などとして認識される。 {| class="wikitable" |+音節末子音 ! |k |t |p |x/h |r |s |n |m |y/j |w/v |- !キリル文字 |к |т |п |х |р |с |н |м |й |ў |- !カナ |ㇰ |ッ/ㇳ |ㇷ゚ |ㇵㇶㇷㇸㇹ |ㇻㇼㇽㇾㇿ |ㇱㇲ |𛅧/ン/ㇴ |ㇺ |ィ/イ |ゥ/ウ |} ====== それぞれの発音 ====== * カ、タ、パ行音の子音は、kㇰк、tッㇳт、pㇷ゚п、であらわすが、日本語話者には全て小さい「っ」のように聞こえる。これらの発音は、 ** '''【kㇰк】'''は「がっかり」と言ったときの「っ」の発音、 ** '''【tッт'''】は「あった」と言ったときの「っ」の発音、 ** '''【pㇷ゚п】'''は「あっぱれ」と言ったときの「っ」の発音に、それぞれ近い。 *** サㇰ sak　夏<ref>「～がない」という同音の別の単語もある。</ref>　サㇰケㇱ／サッケㇱ sakkes　晩夏　｜　サッ sat　乾く　サッテㇰ sattek　痩せている　｜　サㇷ゚ sap　下りる､行く　サㇷ゚パ／サッパ sappa　くだる *** サㇷ゚テ sapte　出す　｜　カッケマッ／カㇳケマッ katkemat　淑女　｜　アㇰペ ’akpe　罠 ** また'''【sㇱㇲс'''】は「あっさり」「わっしょい」と言ったときの「っ」の発音に近い。これらを「っ」の部分までで止めると発音できる。場所によって結構音が変わる。（語末、sとw以外の子音の前ではㇱのように、wの前ではㇲのように発音されることが多い。sの前では促音のようになる） *** サㇱ sas {{Furi|蛭|ひる}}<ref>同じ音で昆布、マコンブという意味の語と、合掌材（建材の一）という意味の語もある。</ref>　アㇲサ／アッサ／アㇱサ ’assa *** カㇱレ kasre　浅い *** アㇲワ／アㇱ ワ ’as wa　立てて * '''【x(h)ㇵㇶㇷㇸㇹх】は'''、「樺太アイヌ語での音節末子音」の項を参照。 * '''【rㇻㇼㇽㇾㇿр】'''は、その前の母音の口の形のまま舌先でラ行の音を軽くはじく。「前後の（多くの場合前の）母音の口の形をしながら舌先だけをrの位置に持って行って軽くはじくので、あとに何も続かないときは前の母音が響いて聞こえることがある。<ref group="引用元">[https://ainugo.nam.go.jp/pages/ainu_basic.html 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ　アイヌ語沙流方言略説]</ref>」とある。<ref>続いて、「沙流川すじでも中流の二風谷やペナコリの話者の発音では特にこの傾向が強い。しかしrの後に母音音素があるかないかははっきりしており、たとえばretar《白い》とre tara《三俵》、etor《鼻汁》とetoro《いびきをかく》とははっきり区別して発音される。次に子音が続くときは、その音によって、音色はいろいろに変わる。」とある。</ref>表記も直前の母音と同じ母音のラ行の小書きを使うことが多い。<ref>ただし、これらはすべて同じ音素なので全てㇽで書く、という人も一定の割合でいる。</ref>このとき、ユカㇻ（ユカㇽのように発音）やアㇻキ（アㇼキ／アㇽキのように発音）などは発音に似せて書くことも原則どおりに書くこともある。 ** ロㇿ ror　上座　｜　カㇻパ karpa　作る * '''【n𛅧ンㇴн'''】は、日本語のンとは少し違う。終わるときやt,n,cの前に続く時は「あんなに」というときの「ん」の音に近い。pやmの前では[m]となり、ㇺと同じように発音される。kの前では[ŋ]となる。これらは日本語と似ているが、日本語のように[[w:ja:鼻母音|鼻母音]]になることはない。 ** カ<small>ン</small>ト kanto 天空 /kanto/　｜　ア<small>ン</small>ペ anpe 真実 /ampe/　｜　ハ<small>ン</small>ク hanku 臍 /haŋku/ * '''【mㇺм'''】は、英語でhamやsomeと言うときのmの音に近い。「あんまり」というときの「ん」の音に近い。 ** フㇺ hum　音　｜　フㇺペ humpe　鯨　｜　アトㇺテ ’atomte　丁寧な * '''【yィй'''】,【'''wゥў'''】はイ、ウとほぼ同じに発音しても構わないが、この音を強く発音することはない。 ** アィヌ ’Ajnu 人　｜　ハゥ haw 声 k,s,pの子音が連続するときは、ㇰ、ㇱ･ㇲ、ㇷ゚ではなく日本語のようにッを使って書くこともあるが、誤解が生じる可能性がある。これを避けるためこのページではッは原則tのみに使う。例えばwakkaはワㇰカと書く。 == 3.その他の発音 == === 長音（記号「ー」、「¯」） === 樺太アイヌ語では（全ての語ではないが）母音の長短が区別される。このうち、長母音で発音される音節は主に以下である。 # 単音節かつ開音節の自立語。エ　’é　’э́ → エー ’ee ’ээ（食べる）など。 # 北海道アイヌ語の例外アクセントに当たる音節。ウーセィ ’uusey ’уусэй（お湯）（北海道では'''ウ'''セィ ’úsey）など(「アクセント」の項も参照)。 # 渡り音が弱まったもの。イオマ<small>ン</small>テ’i’omante → イヨマ<small>ン</small>テ’iyomante（ここでのyを渡り音という） → ヨーマ<small>ン</small>テyōmanteなど # これらの単語の複合語。 # 多くの例外。 長音は、カナでは長音符「ー」で表す。キリル文字とラテン文字では母音の上に「¯」（マクロン）を付ける（’ūsey）か同じ母音を続けて書く（’uusey）。また、アクセント表記を同時にする場合は特に定まっていない（そもそも樺太アイヌ語ではアクセントが不明確な地域も多い）。 また、北海道アイヌ語などでも意味は変わらないものの特定の音節を長く発音することがある。この場合はカナでのみ長音符を付けて示すことが多い。 * エー/’e (はい、承諾の返事)　｜　ヒオーィオィ, hi’oy’oy (ありがとう) === アクセント === 個別ページを参照。 === 外来語音 === === 音が切れることを示すアポストロフィー「’」 === 同じ母音が続く時や、子音+母音となるが、別々に発音する時、アルファベット表記では2つの音を切って発音することを示すために、アポストロフィ「’」を使う。<ref>前に書いたように、実際はア行音全てで表記されるべきだがこのような、誤解を防ぐための用途でしか使用されないことが多い。</ref>カナ表記ではすでに発音どおりに区別して書かれているため使わない。 * テエタ…te’eta/тэ’эта（なければ「テータ」になる）実際に/te'eta/[teʔeta]と発音されることもある。ちなみに、この音はア行音をはっきり言うときなどに、日本語でもよく現れる。 * ヒオィオィ…hioy’oy/хиой’ой（なければ「ヒオヨィ」になる）シサㇺイタㇰ…sisam’itak/сисам’итак また、アクセント表記を行うときは「テ'''エ'''タ」などの、トレマのつく場所にすでにアクセントがある単語にはトレマを付けない。(teétaとする<ref>二個目の音にアクセントがあるので、一個目とは別の音だと明らかであるため。</ref>。)要は、発音が一つに決まればよいのである。 == ４.符号 == アイヌ語でも他の多くの言語と同じように、紙に書いたとき読みやすくする為、何種類かの符号を使う事がある。 {| class="wikitable" |+符号の例 !カナ !アルファベット !名前 !役割 |- !(なし) != ⹀ |人称ハイフン |人称接辞を示す(必須ではない) |- !｡ !. |句点／ピリオド |文末を示す |- !､ !, |読点／コンマ |文の切れ目を示す |- !｢ ｣ !“ ” « » _{<small>など</small>} |引用符 |引用部分を示す |- !･ !- |中点／ハイフン |複合語の繋ぎ目などを示す<ref>語の切れ目を分かりやすくするために、学習用に使われることが多い。</ref> |} この他にも括弧類など、比較的自由に使われる。日本語と同じように使って良い。 == アルファベット一覧 == {| class="wikitable" |+母音一覧 ! !単体 ! !A/a !I/i !U/u !E/e !O/o ! !А/а !И/и !У/у !Э/э !О/о |- |鋭記号(高調のある音) |́ | |Á/á |Í/í |Ú/ú |É/é |Ó/ó | |А́/а́ |И́/и́ |У́/у́ |Э́/э́ |О́/о́ |- |長音符(長音) |̄ | |Ā/ā |Ī/ī |Ū/ū |Ē/ē |Ō/ō | |А̄/а̄ |Ӣ/ӣ |Ӯ/ӯ |Э̄/э̄ |О̄/о̄ |- |曲折符号(高調のある長音) |̂ | |Â/â |Î/î |Û/û |Ê/ê |Ô/ô | |А̂/а̂ |И̂/и̂ |У̂/у̂ |Э̂/э̂ |О̂/о̂ |- |分音記号(前の音と分けて発音) |̈ | |Ä/ä |Ï/ï |Ü/ü |Ë/ë |Ö/ö | |Ӓ/ӓ |Ӥ/ӥ |Ӱ/ӱ |Ӭ/ӭ |Ӧ/ӧ |} キリル文字の斜体（イタリック体）には立体（ブロック体）と形状のかなり異なる文字が多くあり、読む際には（ラテン文字との混同に加えて）注意が必要です。アイヌ語で使うことがある文字について、あなたの機器での斜体の見え方を示しました。 ちなみに、斜体の元となった書体である筆記体（手で書く文字）には、国や地域、書く人や状況などによって本当に様々な形があります。立体からは想像のできないような形も数多くあり、斜体や筆記体はキリル文字を学ぶ上では厄介でもあり面白くもある存在です。 {| class="wikitable" |+アイヌ語キリル文字の立体と斜体 |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">А</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Б</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">В</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Г</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Д</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ж</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ѕ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">И</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Й</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">К</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">М</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Н</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">О</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">П</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Р</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ҏ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">С</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Т</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">У</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ў</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Х</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Һ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ц</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ч</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Џ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ш</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Э</span></big> |- |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''А''</span></big> |<big>''<span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Б</span>''</big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''В''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Г''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Д''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ж''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ѕ''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''И''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Й''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''К''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''М''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Н''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''О''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''П''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Р''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ҏ''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''С''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Т''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''У''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ў''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Х''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Һ''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ц''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ч''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Џ''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ш''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Э''</span></big> |- | colspan="27" | |- |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">а</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">б</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">в</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">г</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">д</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ж</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ѕ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">и</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">й</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">к</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">м</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">н</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">о</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">п</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">р</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ҏ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">с</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">т</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">у</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ў</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">х</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">һ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ц</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ч</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">џ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ш</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">э</span></big> |- |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">а</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">б</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">в</span></big>''''' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">г</span></big>''''' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">д</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ж</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ѕ</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">и</span></big>''''' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">й</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">к</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">м</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">н</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">о</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">п</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">р</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ҏ</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">с</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">т</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">у</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ў</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">х</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">һ</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ц</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ч</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">џ</span></big>''''' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ш</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">э</span></big>'' |} 下の表をコピーし、Excel[エクセル]などの表計算ソフトで、A1セルを選択した状態で貼り付けてください。アイヌ語入力でのキリル文字変換が出来ます。(音素表記での変換。ハ行、サ行、カ行などは自分の好みで変えてください。また、少しいじれば好みの表音式表記にすることもできます。） {| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |A |А |=SUBSTITUTE(C2,A1,B1) | rowspan="3" |iránkarapte! IRÁNKARAPTE! | rowspan="3" |=SUBSTITUTE(C2,A1,B1) |- |Á |А́ |=SUBSTITUTE(C3,A2,B2) |- |Ā |А̄ |=SUBSTITUTE(C4,A3,B3) |- |Ä |Ӓ |=SUBSTITUTE(C5,A4,B4) |↑ここに入力 |↑変換後 |- |a |а |=SUBSTITUTE(C6,A5,B5) | | |- |á |а́ |=SUBSTITUTE(C7,A6,B6) | | |- |ā |а̄ |=SUBSTITUTE(C8,A7,B7) | | |- |ä |ӓ |=SUBSTITUTE(C9,A8,B8) | | |- |I |И |=SUBSTITUTE(C10,A9,B9) | | |- |Í |И́ |=SUBSTITUTE(C11,A10,B10) | | |- |Ī |Ӣ |=SUBSTITUTE(C12,A11,B11) | | |- |Ï |Ӥ |=SUBSTITUTE(C13,A12,B12) | | |- |i |и |=SUBSTITUTE(C14,A13,B13) | | |- |í |и́ |=SUBSTITUTE(C15,A14,B14) | | |- |ī |ӣ |=SUBSTITUTE(C16,A15,B15) | | |- |ï |ӥ |=SUBSTITUTE(C17,A16,B16) | | |- |U |У |=SUBSTITUTE(C18,A17,B17) | | |- |Ú |У́ |=SUBSTITUTE(C19,A18,B18) | | |- |Ū |Ӯ |=SUBSTITUTE(C20,A19,B19) | | |- |Ü |Ӱ |=SUBSTITUTE(C21,A20,B20) | | |- |u |у |=SUBSTITUTE(C22,A21,B21) | | |- |ú |у́ |=SUBSTITUTE(C23,A22,B22) | | |- |ū |ӯ |=SUBSTITUTE(C24,A23,B23) | | |- |ü |ӱ |=SUBSTITUTE(C25,A24,B24) | | |- |E |Э |=SUBSTITUTE(C26,A25,B25) | | |- |É |Э́ |=SUBSTITUTE(C27,A26,B26) | | |- |Ē |Э̄ |=SUBSTITUTE(C28,A27,B27) | | |- |Ë |Ӭ |=SUBSTITUTE(C29,A28,B28) | | |- |e |э |=SUBSTITUTE(C30,A29,B29) | | |- |é |э́ |=SUBSTITUTE(C31,A30,B30) | | |- |ē |э̄ |=SUBSTITUTE(C32,A31,B31) | | |- |ë |ӭ |=SUBSTITUTE(C33,A32,B32) | | |- |O |О |=SUBSTITUTE(C34,A33,B33) | | |- |Ó |О́ |=SUBSTITUTE(C35,A34,B34) | | |- |Ō |О̄ |=SUBSTITUTE(C36,A35,B35) | | |- |Ö |Ӧ |=SUBSTITUTE(C37,A36,B36) | | |- |o |о |=SUBSTITUTE(C38,A37,B37) | | |- |ó |о́ |=SUBSTITUTE(C39,A38,B38) | | |- |ō |о̄ |=SUBSTITUTE(C40,A39,B39) | | |- |ö |ӧ |=SUBSTITUTE(C41,A40,B40) | | |- |K |К |=SUBSTITUTE(C42,A41,B41) | | |- |k |к |=SUBSTITUTE(C43,A42,B42) | | |- |S |Ш |=SUBSTITUTE(C44,A43,B43) | | |- |s |ш |=SUBSTITUTE(C45,A44,B44) | | |- |C |Ч |=SUBSTITUTE(C46,A45,B45) | | |- |c |ч |=SUBSTITUTE(C47,A46,B46) | | |- |T |Т |=SUBSTITUTE(C48,A47,B47) | | |- |t |т |=SUBSTITUTE(C49,A48,B48) | | |- |P |П |=SUBSTITUTE(C50,A49,B49) | | |- |p |п |=SUBSTITUTE(C51,A50,B50) | | |- |H |Һ |=SUBSTITUTE(C52,A51,B51) | | |- |h |һ |=SUBSTITUTE(C53,A52,B52) | | |- |X |Х |=SUBSTITUTE(C54,A53,B53) | | |- |x |х |=SUBSTITUTE(C55,A54,B54) | | |- |R |Р |=SUBSTITUTE(C56,A55,B55) | | |- |r |р |=SUBSTITUTE(C57,A56,B56) | | |- |N |Н |=SUBSTITUTE(C58,A57,B57) | | |- |n |н |=SUBSTITUTE(C59,A58,B58) | | |- |M |М |=SUBSTITUTE(C60,A59,B59) | | |- |m |м |=SUBSTITUTE(C61,A60,B60) | | |- |Y |Й |=SUBSTITUTE(C62,A61,B61) | | |- |y |й |=SUBSTITUTE(C63,A62,B62) | | |- |W |Ў |=SUBSTITUTE(C64,A63,B63) | | |- |w |ў |=SUBSTITUTE(D1,A64,B64) |} == 脚注 == <references responsive="" /> == 参考文献とリンク == <references group="引用元" /> [[カテゴリ:アイヌ語|もしとはつおん]] equt7vtw3z5wkxmujaf00osc7khk7m7 302466 302463 2026-08-18T13:52:04Z BrassSnail 71325 /* ラ行 / 「r̊-r」 / 「ҏ-р」 */ 注釈にL音について加筆 302466 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > [[アイヌ語 入門編|入門編]] > 文字と発音 == アイヌ語で使われる文字 == アイヌ語は元々文字を持たない言語だったが、江戸時代ごろから日本人（仮名）やロシア人（キリル文字）などによる記録が始まった。また、イタリア人やイギリス人がラテン文字での記録を行った。この事と地理的な要因とからアイヌ語は現在、主に3種類の文字によって表記される。アルファベット（ここではキリル文字とラテン文字のこと）の各文字の呼び名は定まっていない。<ref>現在は英語やロシア語の読みをそのまま、またはそれらを日本語化した形で呼ぶことが多いような気がするが、これからの流れによっては[[w:ja:キルディン・サーミ語|キルディン・サーミ語]]のように、呼び名を決めないという選択もできるかもしれない。</ref> === 1.仮名 === 日本語などで使われている文字。現在はほとんどの場合カタカナを使う。日本語と発音の異なる文字があるので日本語話者は注意が必要。 * 使われる文字 {| class="wikitable" |ア |イ |ウ |エ/𛀀 |オ | rowspan="12" | | |- |カ |キ |ク |ケ |コ |ㇰ |- |サ |シ |ス |セ |ソ |ㇱㇲ |- |サ゚/チャ |チ |ス゚/チュ |セ゚/チェ |ソ゚/チョ | |- |タ | |ツ/トゥ/ツ゚/ト゚ |テ |ト |ッ/ㇳ |- |パ |ピ |プ |ペ |ポ |ㇷ゚ |- |ラ |リ |ル |レ |ロ |ㇻㇼㇽㇾㇿ |- |ハ |ヒ |フ |ヘ |ホ |ㇵㇶㇷㇸㇹ |- |ナ |ニ |ヌ |ネ |ノ |<small>ン</small>/𛅧/ン/ㇴ |- |マ |ミ |ム |メ |モ |ㇺ |- |ヤ |イ |ユ |𛄡/イェ/ｲｪ |ヨ |ィ/イ |- |ワ |(ヰ/ウィ) |ウ |ヱ/ウェ |ヲ/ウォ |ゥ/ウ |} 記号：長音符「ー」を使う。アクセントを示すために「　⃣︎」・「´」などの記号や<span style="text-emphasis-style: sesame;">傍点</span>を使うこともある。アクセントのある音節のみを平仮名で書くという方式もあった。 === 2.キリル文字 === ロシア語などのスラブ系の言語やそのほかの東欧・アジア北部の言語で主に使われている文字。 * 使われることのある文字 {| class="wikitable" |А |Б |В |Г |Д |Е | |И |Й |К |Л |М | |Н |О |П |Р |С |Т |У |Ў |Ф |Х |Ц |Ч | |Ш | |Ю |Я |- |а |б |в |г |д |е |ѕ |и |й |к |л<ref name=":0">外来語のみ。</ref> |м |ԩ |н |о |п |р |с |т |у |ў |ф |х |ц |ч |џ |ш<ref name=":0" /> |ь |ю |я |} * この記事で主に使う文字 {| class="wikitable" |А |В |Е |И |Й |К |М | |Н |О |П |Р |С |Т |У |Ў |Х |Ч | |Ю |Я |- |а |в |е |и |й |к |м |ԩ |н |о |п |р |с |т |у |ў |х |ч |ь |ю |я |} 実際の表記で同時に使われるのは、たいてい子音字11〜12種と母音字(а,и,у,э,о)5種。 記号：主に分音符（アポストロフィ「’」など）、陽音符（アキュートアクセント「´」）、長音符（マクロン「¯」）、長陽音符（サーカムフレックス「＾」）の4種を使う<ref>キリル文字の場合、これらの分音記号が正確に表示できないことも多いため、使わず表記することも多い。</ref>。 === 3.ラテン文字（ローマ字） === 世界中の多くの言語で使われている文字。 * 使われることのある文字 {| class="wikitable" |A |B |C |Ċ |Č |CH/Ch |D |E |G |H |I |J |K |M |N |O |P |R |R̥ |R̬ |S |Ṡ |Š |SH/Sh |T |U |Ŭ |V |W |(X) |Y |Z |DZ/Dz |- |a |b |c |ċ |č |ch |d |e |g |h |i |j |k |m |n |o |p |r |r̥ |r̬ |s |ṡ |š |sh |t |u |ŭ |v |w |x |y |z <ref name=":32">これらはすべて同じ音素を表す。またc、ċ、č、chとも同じ音素であるから、これらの文字を使うことはほとんどない。</ref> |dz <ref name=":32" /> |} * この記事で主に使う文字 {| class="wikitable" |A |C |E |H |I |J |K |M |N |O |P |R |S |T |U |Ŭ |W |(X) |Y |- |a |c |e |h |i |j |k |m |n |o |p |r |s |t |u |ŭ |w |x |y |} 実際の表記で同時に使われるのは、たいてい子音字11〜12種と母音字(a,i,u,e,o)5種。 記号：アキュートアクセント(á)、マクロン(ā)、アポストロフィなど(’)、サーカムフレックス(â)の4種。 == 0.アイヌ語の発音の構造 == アイヌ語の発音は、音節というものを単位にして考えるとわかりやすい。アイヌ語には、「子音+母音」の'''開音節'''と、「子音+母音+子音」の'''閉音節'''とがある。 == 1.開音節の発音 == アイヌ語の開音節の表は、概ね日本語の五十音図と一致する。（ここでは、日本語の表とは少し並びを変えてある。） {| class="wikitable" |+開音節の表 !ローマ/キリル !a/а !i/и !u/у !e/э !o/о !m/м n/н |- !Ꞌ/ꞌ<ref>Ꞌ/ꞌは表記しないことが多い。</ref> |ア |イ |ウ |エ/𛀀<ref>yeに𛄡を使用した時に、見間違いを防ぐために使う。日本語では古く(eとyeの区別が無くなった平安時代初期)に使われなくなった。</ref> |オ |ン/ㇺ<ref>特殊な場合。ḿ'm（ンンまたはㇺㇺ）、kor-'ḿ'm（コㇿンンまたはコㇿㇺㇺ）に含まれる。</ref> |- !k/к |カ |キ |ク |ケ |コ | |- !s/с |サ |シ |ス |セ |ソ | |- !c/ч |サ゚/チャ |チ |ス゚/チュ |セ゚/チェ |ソ゚/チョ | |- !t/т |タ |<ref>この音は存在せず、tとiが連続した時はチ/ci/чиになる。</ref> |ツ/トゥ/ツ゚/ト゚ |テ |ト | |- !r/р |ラ |リ |ル |レ |ロ | |- !p/п |パ<ref>北海道北部方言では、アクセントのある音節でサ゚(チャ)/ca/чаに変化する。</ref> |ピ |プ |ペ |ポ | |- !h/'''һ'''(х) |ハ |ヒ |フ |ヘ |ホ |ン゚/ㇷㇺ/ㇷン<ref>特殊な発音。この音を含むものにはhm(うん）やhńta（何、何か）hntá（さあ）などがある。</ref> |- !n/н |ナ |ニ |ヌ |ネ |ノ | |- !m/м |マ |ミ |ム |メ |モ | |- !y(j)/й<ref>軟母音字(я,ю,е,ё)を使うこともある。</ref> |ヤ |イ<ref name=":02">yやwの後にiやuが連続するとき等（青森：アウンモシㇼaw-un-mosir）に現れるが、iやuと別の音節として存在するかは意見が分かれている。</ref> |ユ |𛄡/イェ |ヨ | |- !w(v)/ў |ワ |ヰ/ウィ<ref>複合語や一部の擬音語・擬態語にのみ存在する。 【kirikewihri　キリケウィﾋリ（中略）股の関節kirikew-ihri（略）[kirikew(上肢)+ihri(関節)]】ただし、wとiの間を分けてキリケゥイㇶリのように発音することも多い。 wiにならない例 【uciw-itara　[u-ciw-itara 互い・にささる・(状態が続いていることを表す接尾辞)][雅](いくすじもの光が)互いに反射し合いきらめき合う。（中略）☆参考 wi '''ウィ''' という発音がないため､ w ウ と i イ の間で音節を分けて発音している。】 出典：国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ</ref> |ウ<ref name=":02" /> |ヱ/ウェ |ヲ/ウォ | |} === 母音 「a, i, u, e, o」 / 「а, и, у, э, о」 === 日本語（標準語・共通語・関東弁）のア行とほぼ同じ。ただし、ウ（ウ段にある他の行の音も同様）は関東の日本語のウよりも唇を丸めて舌を奥に引いて発音する(日本語話者にはオのように聞こえることもある)。 より厳密な発音を示す。 '''ア a а''', '''イ i и'''は日本語のものとほぼ同じ。[a],[i] * キ ki кй　する　｜　パ pa па　年 '''ウ u у'''は、日本語の「ウ」とは異なり、[u] よりも若干口の丸めの弱い、広がった音 [u̜]。日本語より唇を丸めて下を奥に引くようにして発音する。日本語話者には「オ」に聞こえることがある。 {| class="wikitable" |+｢ウ｣の感じ（何となく） ! !舌がより前 ! !舌がより後ろ |- !唇を丸める |[ü](関西弁) |[u̟](関西弁) |[u] |- ! |[ü̜] | |[u̜](アイヌ語) |- ! |[ɯ̹̈](関東弁) | |[ɯ̹] |- !丸めが弱い |[ɯ̈](関東弁) | |[ɯ] |} * プ pu пу　倉　｜　ス su су　鍋 '''エ(𛀀) э e'''は、日本語の「エ」に近いが少し狭い [e]。 * ネ ne нэ　である　｜　𛀀 ʻe ʻэ　〜を食べる '''オ o о'''は、日本語の「オ」に近いが少し狭い [o]。 * ト to то　日、湖　｜　ホ ho һо　はい（返事の言葉） === 子音 === ==== ア行　「’/ʼ/'/ʻ/Ꞌ,ꞌ など」 ==== : 上に示したとおり。基本的には、[[w:声門閉鎖音|声門破裂音[ʔ]]]ないし声門の緊張またはせばめを持つ、はっきりした声立てで発音される。子音の文字としてラテン文字とキリル文字では「[[w:ja:’|’]]」や「[[w:Ja:ʼ|ʼ]]」、「[[w:ja:'|']]」、「[[w:ja:ʻ|ʻ]]」のほか「Ꞌ/ꞌ」が使われることもある。ただし可読性が下がると考えられてか、現在多くの文書でこれらの記号や文字は初学者向けの文書、もしくは前の文字との関係で特に切れ目を表す必要のある部分（hioyʻoyやteʻetaなど）ぐらいにしか使われない。ただし、ウィキブックスではすべてのア行音に’を付ける。 : 例： :* アオㇷ゚ ’a’op ’а’оп　乗り物　｜　テエタ te’eta теʻета　昔 ; ==== カ行 / 「k-g」 / 「к-г」 ==== : 日本語のカ行とほぼ同じ。無声音（清音）で発音されることも、有声音（濁音）で発音され、ガ行のように聞こえることもある。日本語のように鼻濁音になることはない。 : 例： :* キ ki ки　する　｜　イク ’iku ’ику　酒を飲む ==== タ行 / 「t-d」 / 「т-д」 ==== : 日本語のタ行とほぼ同じ。音節tiは存在せず、チ,ci,чиに変化する。無声音（清音）で発音されることも、有声音（濁音）でダ行のように発音されることもある。 : 例： :* ト to то　日、湖　｜　チセ cise чисэ　家 ==== パ行 / 「p-b」 / 「п-б」 ==== : 日本語のパ行とほぼ同じ。北海道北部方言ではアクセントのあるパ pa паの音がチャ/サ゚ ca чаに変わる。無声音（清音）で発音されることも、有声音（濁音）でバ行のように発音されることもある。 : 例： :* プ pu пу　鍋　｜　パィカㇻ pajkar пайкар　春 ==== サ゚行(チャ行) / 「c-z[č-ž, ċ-ż], ch-zh, c-dz[dž, dż] など」 / 「ч-џ, ч-ж, ц-ѕ, ц-з など」 ==== : 日本語のチャ行のように発音される。ツァ行のように発音しても通じるが、そう発音されることはあまりない。また、もともと日本語にない音であるため、カナ表記には揺れがある。ここで示した表記のほか、この行の音のために独自の仮名を創る試みもある。（[https://note.com/qvarie/n/n5f935a37b354 ここ]を参照。）無声音（清音）で発音されることも、有声音（濁音）で発音され、ヂャ,ヂ,ヂュ,ヂェ,ヂョのように聞こえることもある。 : 例： :* マッカチ matkaci маткачи　少女　｜　セ゚ㇷ゚/チェㇷ゚ cep чэп　魚 ==== ラ行 / 「r̊-r」 / 「ҏ-р」 ==== : 基本的に日本語と同じである（日本語のラ行でも通じる）が、日本語のラ行<ref>母語話者が意識することはほぼないが、日本語のラ行も状況によって多様に発音される、かなり複雑な音である。</ref>より少し複雑である。日本語のラ行でも通じる。 :: より詳細な発音は、 ::* 舌の先は1回だけ歯茎に触れる。 ::*: より正確には触れるというよりも舌先でタップするのである。タップとは日本語の「舌打ち」「舌鼓」にあたる。声を出さずに舌打ちをすると「タッ」とも「ツッ」とも聞こえる（英語では tut-tut）タップ音がする。神謡におけるアイヌ語の r では実際にタップ音が聞かれることもあるが、話し言葉ではそれよりも弱くタップすると同時か少し早めに母音を発声するのである。 ::* 基本の音は、[ɾ]。〔多くの日本語話者がラ行を発音するときと同じ。〕 ::* 語頭では、「[t] と [d] の中間の音」と、さらに [ɾ] との中間音に聞こえる。 ::*: 21世紀初頭の今から３～４世代程度昔の日本語話者が、英語 ''radio'' を「ダヂオ」に近く発音していたことに似る。 ::* n の後では、[d] に近い [^{<small>d</small>}ɾ]。〔ダのようにラを発音する〕 ::* k, p の後では、無声音化して [ɾ̊]。〔タのようにラを発音する〕 ::* t の後では、無声音化し、更に摩擦を帯びる [ɾ̊ˢ]。〔ツァやチャに少し近いタのようにラを発音する〕 ::* s の後では、完全に無声摩擦の [ɾ̊s]。〔ツァやチャのようにラを発音する〕（[[wikt:付録:アイヌ語の発音表記|ウィクショナリー「付録:アイヌ語の発音表記」]]より抜粋、「〔〕」部分補筆） :: とあるが、話者によって大きく揺れがあり、例えば[l]で発音する人もいるという。<ref group="引用元">世界言語学大辞典（ISBN 978-4-385-15213-4）または世界言語学大辞典セレクション 日本列島の言語（ISBN 978-4-385-15207-3）7頁 ただし[l]音については疑わしい</ref>また、上の解説がどの地域のものなのか、どの程度信頼できるものなのかは分からない（恐らく知里真志保の著作によるものです。正確な情報のある方は追記をお願いします）。日本語のラ行でも全く問題なく通じるので、そこまで気に病む必要はない。 :* ルスィ rusuy русуй　欲しい　｜　ピラサ pirasa пираса　広げる　｜　ケ<small>ン</small>ル kenru кэнру　家　｜　イㇰラ ’ikra ’икра　送る　｜　キッラポ kitrapo китрапо　山女魚（ヤマメ）　｜　カㇱレ kasre касрэ　（くぼみなどが）浅い ; ==== サ行 / 「s [ṡ, š]」/ 「ш, с」 ==== : 日本語のサ行またはシャ行と同じように発音される。つまり、話者によって「サ,シ,ス,セ,ソ」または「シャ,シ,シュ,シェ,ショ」のように発音される。<ref>IPA（国際音声記号）で表すと、[s]から[ʃ]の間の音で発音される。[ɕ](日本語のシャ行の音)などもこの音の範囲に含まれる。</ref>音節si/сиが「スィ」のように発音されることは少ない。<u>必ず無声音（清音）で発音され、濁らない。</u> :* アシ ’asi аси　〜を立てる　｜　サㇰサィヌ Saksaynu Саксайну　シャクシャイン(人名) ==== ハ行 / 「h」 / 「һ, х」 ==== : 日本語のハ行とほぼ同じだが、より柔らかい音だという。 :* ホプニ hopuni һопуни　起き上がる　｜　イリヒ ’irihi ’ириһи　（衣服の）衿（えり） ; ==== ナ行 / 「n」 / 「н」 ==== : 日本語のナ行とほぼ同じ。 :* ウニ ’uni ’уни　家　｜　ク<small>ン</small>ネ kunne куннэ　黒い ==== マ行 / 「m」 / 「м」 ==== : 日本語のマ行とほぼ同じ。 :* メノコ menoko мэноко　女　｜　イカㇱマ ’ikasma ’икасма　余る ; ==== ヤ行 / 「j, y」 / 「й」 ==== : 日本語のヤ行とほぼ同じ。日本語と違いyeの音はe（エ）とは別の音である。イェと書かれることもあるがイ・エのようには切らず、他の音と同じように一音で発音する。 :* イェ(ｲｪ)/𛄡　ye/je　йэ　言う　｜　ユㇰ　juk/yuk　йук　鹿、獲物全般 ==== ワ行 / 「w, v」 / 「ў, в」 ==== : 日本語のワ行とほぼ同じ。キリル文字ではЎが入力できなければВ（日本語入力ではヴェーと入力すれば出てくる）で代用しても良い。 : wiの音は原則的に存在しない。複合語や極少数の擬音語、擬態語にのみ現れる。複合語でwとiが連続しても通常は分けて発音される。 :* ワウォ wawo ўаўо　アオバト　｜　クヱカィ kuwekaj куўэкай　二月 === 濁音について === アイヌ語では、濁音と清音（有声音と無声音）を区別しない。そのため、カ・タ・サ゚・パ行音が濁ったり、ラ行音が無声音になってタ行音に近く聞こえたりすることがある。（サ行の音は濁らず常に無声音で発音される。）有声音（濁音）は、女性よりは男性に、子供よりは大人に、丁寧な発音よりはぞんざいな発音に、シラフではなく酩酊状態のときに表出する。また、鼻音の後や語頭には比較的よく現れる。 * サ<small>ン</small>ペ（心臓）　サンペ〜サンベで発音される。 == 2.閉音節の発音 == 閉音節は開音節（roなど）の後に音節末子音（kなど）が付いたもの（rokなど）である。この音節末子音はカナ表記では主に小書きガナを使って表記する。これらの音の多くは日本語にも現れるが、ふつう区別なく「っ」や「ん」などとして認識される。 {| class="wikitable" |+音節末子音 ! |k |t |p |x/h |r |s |n |m |y/j |w/v |- !キリル文字 |к |т |п |х |р |с |н |м |й |ў |- !カナ |ㇰ |ッ/ㇳ |ㇷ゚ |ㇵㇶㇷㇸㇹ |ㇻㇼㇽㇾㇿ |ㇱㇲ |𛅧/ン/ㇴ |ㇺ |ィ/イ |ゥ/ウ |} ====== それぞれの発音 ====== * カ、タ、パ行音の子音は、kㇰк、tッㇳт、pㇷ゚п、であらわすが、日本語話者には全て小さい「っ」のように聞こえる。これらの発音は、 ** '''【kㇰк】'''は「がっかり」と言ったときの「っ」の発音、 ** '''【tッт'''】は「あった」と言ったときの「っ」の発音、 ** '''【pㇷ゚п】'''は「あっぱれ」と言ったときの「っ」の発音に、それぞれ近い。 *** サㇰ sak　夏<ref>「～がない」という同音の別の単語もある。</ref>　サㇰケㇱ／サッケㇱ sakkes　晩夏　｜　サッ sat　乾く　サッテㇰ sattek　痩せている　｜　サㇷ゚ sap　下りる､行く　サㇷ゚パ／サッパ sappa　くだる *** サㇷ゚テ sapte　出す　｜　カッケマッ／カㇳケマッ katkemat　淑女　｜　アㇰペ ’akpe　罠 ** また'''【sㇱㇲс'''】は「あっさり」「わっしょい」と言ったときの「っ」の発音に近い。これらを「っ」の部分までで止めると発音できる。場所によって結構音が変わる。（語末、sとw以外の子音の前ではㇱのように、wの前ではㇲのように発音されることが多い。sの前では促音のようになる） *** サㇱ sas {{Furi|蛭|ひる}}<ref>同じ音で昆布、マコンブという意味の語と、合掌材（建材の一）という意味の語もある。</ref>　アㇲサ／アッサ／アㇱサ ’assa *** カㇱレ kasre　浅い *** アㇲワ／アㇱ ワ ’as wa　立てて * '''【x(h)ㇵㇶㇷㇸㇹх】は'''、「樺太アイヌ語での音節末子音」の項を参照。 * '''【rㇻㇼㇽㇾㇿр】'''は、その前の母音の口の形のまま舌先でラ行の音を軽くはじく。「前後の（多くの場合前の）母音の口の形をしながら舌先だけをrの位置に持って行って軽くはじくので、あとに何も続かないときは前の母音が響いて聞こえることがある。<ref group="引用元">[https://ainugo.nam.go.jp/pages/ainu_basic.html 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ　アイヌ語沙流方言略説]</ref>」とある。<ref>続いて、「沙流川すじでも中流の二風谷やペナコリの話者の発音では特にこの傾向が強い。しかしrの後に母音音素があるかないかははっきりしており、たとえばretar《白い》とre tara《三俵》、etor《鼻汁》とetoro《いびきをかく》とははっきり区別して発音される。次に子音が続くときは、その音によって、音色はいろいろに変わる。」とある。</ref>表記も直前の母音と同じ母音のラ行の小書きを使うことが多い。<ref>ただし、これらはすべて同じ音素なので全てㇽで書く、という人も一定の割合でいる。</ref>このとき、ユカㇻ（ユカㇽのように発音）やアㇻキ（アㇼキ／アㇽキのように発音）などは発音に似せて書くことも原則どおりに書くこともある。 ** ロㇿ ror　上座　｜　カㇻパ karpa　作る * '''【n𛅧ンㇴн'''】は、日本語のンとは少し違う。終わるときやt,n,cの前に続く時は「あんなに」というときの「ん」の音に近い。pやmの前では[m]となり、ㇺと同じように発音される。kの前では[ŋ]となる。これらは日本語と似ているが、日本語のように[[w:ja:鼻母音|鼻母音]]になることはない。 ** カ<small>ン</small>ト kanto 天空 /kanto/　｜　ア<small>ン</small>ペ anpe 真実 /ampe/　｜　ハ<small>ン</small>ク hanku 臍 /haŋku/ * '''【mㇺм'''】は、英語でhamやsomeと言うときのmの音に近い。「あんまり」というときの「ん」の音に近い。 ** フㇺ hum　音　｜　フㇺペ humpe　鯨　｜　アトㇺテ ’atomte　丁寧な * '''【yィй'''】,【'''wゥў'''】はイ、ウとほぼ同じに発音しても構わないが、この音を強く発音することはない。 ** アィヌ ’Ajnu 人　｜　ハゥ haw 声 k,s,pの子音が連続するときは、ㇰ、ㇱ･ㇲ、ㇷ゚ではなく日本語のようにッを使って書くこともあるが、誤解が生じる可能性がある。これを避けるためこのページではッは原則tのみに使う。例えばwakkaはワㇰカと書く。 == 3.その他の発音 == === 長音（記号「ー」、「¯」） === 樺太アイヌ語では（全ての語ではないが）母音の長短が区別される。このうち、長母音で発音される音節は主に以下である。 # 単音節かつ開音節の自立語。エ　’é　’э́ → エー ’ee ’ээ（食べる）など。 # 北海道アイヌ語の例外アクセントに当たる音節。ウーセィ ’uusey ’уусэй（お湯）（北海道では'''ウ'''セィ ’úsey）など(「アクセント」の項も参照)。 # 渡り音が弱まったもの。イオマ<small>ン</small>テ’i’omante → イヨマ<small>ン</small>テ’iyomante（ここでのyを渡り音という） → ヨーマ<small>ン</small>テyōmanteなど # これらの単語の複合語。 # 多くの例外。 長音は、カナでは長音符「ー」で表す。キリル文字とラテン文字では母音の上に「¯」（マクロン）を付ける（’ūsey）か同じ母音を続けて書く（’uusey）。また、アクセント表記を同時にする場合は特に定まっていない（そもそも樺太アイヌ語ではアクセントが不明確な地域も多い）。 また、北海道アイヌ語などでも意味は変わらないものの特定の音節を長く発音することがある。この場合はカナでのみ長音符を付けて示すことが多い。 * エー/’e (はい、承諾の返事)　｜　ヒオーィオィ, hi’oy’oy (ありがとう) === アクセント === 個別ページを参照。 === 外来語音 === === 音が切れることを示すアポストロフィー「’」 === 同じ母音が続く時や、子音+母音となるが、別々に発音する時、アルファベット表記では2つの音を切って発音することを示すために、アポストロフィ「’」を使う。<ref>前に書いたように、実際はア行音全てで表記されるべきだがこのような、誤解を防ぐための用途でしか使用されないことが多い。</ref>カナ表記ではすでに発音どおりに区別して書かれているため使わない。 * テエタ…te’eta/тэ’эта（なければ「テータ」になる）実際に/te'eta/[teʔeta]と発音されることもある。ちなみに、この音はア行音をはっきり言うときなどに、日本語でもよく現れる。 * ヒオィオィ…hioy’oy/хиой’ой（なければ「ヒオヨィ」になる）シサㇺイタㇰ…sisam’itak/сисам’итак また、アクセント表記を行うときは「テ'''エ'''タ」などの、トレマのつく場所にすでにアクセントがある単語にはトレマを付けない。(teétaとする<ref>二個目の音にアクセントがあるので、一個目とは別の音だと明らかであるため。</ref>。)要は、発音が一つに決まればよいのである。 == ４.符号 == アイヌ語でも他の多くの言語と同じように、紙に書いたとき読みやすくする為、何種類かの符号を使う事がある。 {| class="wikitable" |+符号の例 !カナ !アルファベット !名前 !役割 |- !(なし) != ⹀ |人称ハイフン |人称接辞を示す(必須ではない) |- !｡ !. |句点／ピリオド |文末を示す |- !､ !, |読点／コンマ |文の切れ目を示す |- !｢ ｣ !“ ” « » _{<small>など</small>} |引用符 |引用部分を示す |- !･ !- |中点／ハイフン |複合語の繋ぎ目などを示す<ref>語の切れ目を分かりやすくするために、学習用に使われることが多い。</ref> |} この他にも括弧類など、比較的自由に使われる。日本語と同じように使って良い。 == アルファベット一覧 == {| class="wikitable" |+母音一覧 ! !単体 ! !A/a !I/i !U/u !E/e !O/o ! !А/а !И/и !У/у !Э/э !О/о |- |鋭記号(高調のある音) |́ | |Á/á |Í/í |Ú/ú |É/é |Ó/ó | |А́/а́ |И́/и́ |У́/у́ |Э́/э́ |О́/о́ |- |長音符(長音) |̄ | |Ā/ā |Ī/ī |Ū/ū |Ē/ē |Ō/ō | |А̄/а̄ |Ӣ/ӣ |Ӯ/ӯ |Э̄/э̄ |О̄/о̄ |- |曲折符号(高調のある長音) |̂ | |Â/â |Î/î |Û/û |Ê/ê |Ô/ô | |А̂/а̂ |И̂/и̂ |У̂/у̂ |Э̂/э̂ |О̂/о̂ |- |分音記号(前の音と分けて発音) |̈ | |Ä/ä |Ï/ï |Ü/ü |Ë/ë |Ö/ö | |Ӓ/ӓ |Ӥ/ӥ |Ӱ/ӱ |Ӭ/ӭ |Ӧ/ӧ |} キリル文字の斜体（イタリック体）には立体（ブロック体）と形状のかなり異なる文字が多くあり、読む際には（ラテン文字との混同に加えて）注意が必要です。アイヌ語で使うことがある文字について、あなたの機器での斜体の見え方を示しました。 ちなみに、斜体の元となった書体である筆記体（手で書く文字）には、国や地域、書く人や状況などによって本当に様々な形があります。立体からは想像のできないような形も数多くあり、斜体や筆記体はキリル文字を学ぶ上では厄介でもあり面白くもある存在です。 {| class="wikitable" |+アイヌ語キリル文字の立体と斜体 |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">А</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Б</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">В</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Г</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Д</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ж</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ѕ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">И</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Й</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">К</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">М</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Н</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">О</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">П</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Р</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ҏ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">С</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Т</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">У</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ў</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Х</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Һ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ц</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ч</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Џ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Ш</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Э</span></big> |- |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''А''</span></big> |<big>''<span lang="ain-cyrl" dir="ltr">Б</span>''</big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''В''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Г''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Д''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ж''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ѕ''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''И''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Й''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''К''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''М''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Н''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''О''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''П''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Р''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ҏ''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''С''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Т''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''У''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ў''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Х''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Һ''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ц''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ч''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Џ''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Ш''</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">''Э''</span></big> |- | colspan="27" | |- |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">а</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">б</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">в</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">г</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">д</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ж</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ѕ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">и</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">й</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">к</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">м</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">н</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">о</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">п</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">р</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ҏ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">с</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">т</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">у</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ў</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">х</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">һ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ц</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ч</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">џ</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ш</span></big> |<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">э</span></big> |- |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">а</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">б</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">в</span></big>''''' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">г</span></big>''''' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">д</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ж</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ѕ</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">и</span></big>''''' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">й</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">к</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">м</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">н</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">о</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">п</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">р</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ҏ</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">с</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">т</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">у</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ў</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">х</span></big>'' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">һ</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ц</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ч</span></big>'' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">џ</span></big>''''' |'''''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">ш</span></big>''''' |''<big><span lang="ain-cyrl" dir="ltr">э</span></big>'' |} 下の表をコピーし、Excel[エクセル]などの表計算ソフトで、A1セルを選択した状態で貼り付けてください。アイヌ語入力でのキリル文字変換が出来ます。(音素表記での変換。ハ行、サ行、カ行などは自分の好みで変えてください。また、少しいじれば好みの表音式表記にすることもできます。） {| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |A |А |=SUBSTITUTE(C2,A1,B1) | rowspan="3" |iránkarapte! IRÁNKARAPTE! | rowspan="3" |=SUBSTITUTE(C2,A1,B1) |- |Á |А́ |=SUBSTITUTE(C3,A2,B2) |- |Ā |А̄ |=SUBSTITUTE(C4,A3,B3) |- |Ä |Ӓ |=SUBSTITUTE(C5,A4,B4) |↑ここに入力 |↑変換後 |- |a |а |=SUBSTITUTE(C6,A5,B5) | | |- |á |а́ |=SUBSTITUTE(C7,A6,B6) | | |- |ā |а̄ |=SUBSTITUTE(C8,A7,B7) | | |- |ä |ӓ |=SUBSTITUTE(C9,A8,B8) | | |- |I |И |=SUBSTITUTE(C10,A9,B9) | | |- |Í |И́ |=SUBSTITUTE(C11,A10,B10) | | |- |Ī |Ӣ |=SUBSTITUTE(C12,A11,B11) | | |- |Ï |Ӥ |=SUBSTITUTE(C13,A12,B12) | | |- |i |и |=SUBSTITUTE(C14,A13,B13) | | |- |í |и́ |=SUBSTITUTE(C15,A14,B14) | | |- |ī |ӣ |=SUBSTITUTE(C16,A15,B15) | | |- |ï |ӥ |=SUBSTITUTE(C17,A16,B16) | | |- |U |У |=SUBSTITUTE(C18,A17,B17) | | |- |Ú |У́ |=SUBSTITUTE(C19,A18,B18) | | |- |Ū |Ӯ |=SUBSTITUTE(C20,A19,B19) | | |- |Ü |Ӱ |=SUBSTITUTE(C21,A20,B20) | | |- |u |у |=SUBSTITUTE(C22,A21,B21) | | |- |ú |у́ |=SUBSTITUTE(C23,A22,B22) | | |- |ū |ӯ |=SUBSTITUTE(C24,A23,B23) | | |- |ü |ӱ |=SUBSTITUTE(C25,A24,B24) | | |- |E |Э |=SUBSTITUTE(C26,A25,B25) | | |- |É |Э́ |=SUBSTITUTE(C27,A26,B26) | | |- |Ē |Э̄ |=SUBSTITUTE(C28,A27,B27) | | |- |Ë |Ӭ |=SUBSTITUTE(C29,A28,B28) | | |- |e |э |=SUBSTITUTE(C30,A29,B29) | | |- |é |э́ |=SUBSTITUTE(C31,A30,B30) | | |- |ē |э̄ |=SUBSTITUTE(C32,A31,B31) | | |- |ë |ӭ |=SUBSTITUTE(C33,A32,B32) | | |- |O |О |=SUBSTITUTE(C34,A33,B33) | | |- |Ó |О́ |=SUBSTITUTE(C35,A34,B34) | | |- |Ō |О̄ |=SUBSTITUTE(C36,A35,B35) | | |- |Ö |Ӧ |=SUBSTITUTE(C37,A36,B36) | | |- |o |о |=SUBSTITUTE(C38,A37,B37) | | |- |ó |о́ |=SUBSTITUTE(C39,A38,B38) | | |- |ō |о̄ |=SUBSTITUTE(C40,A39,B39) | | |- |ö |ӧ |=SUBSTITUTE(C41,A40,B40) | | |- |K |К |=SUBSTITUTE(C42,A41,B41) | | |- |k |к |=SUBSTITUTE(C43,A42,B42) | | |- |S |Ш |=SUBSTITUTE(C44,A43,B43) | | |- |s |ш |=SUBSTITUTE(C45,A44,B44) | | |- |C |Ч |=SUBSTITUTE(C46,A45,B45) | | |- |c |ч |=SUBSTITUTE(C47,A46,B46) | | |- |T |Т |=SUBSTITUTE(C48,A47,B47) | | |- |t |т |=SUBSTITUTE(C49,A48,B48) | | |- |P |П |=SUBSTITUTE(C50,A49,B49) | | |- |p |п |=SUBSTITUTE(C51,A50,B50) | | |- |H |Һ |=SUBSTITUTE(C52,A51,B51) | | |- |h |һ |=SUBSTITUTE(C53,A52,B52) | | |- |X |Х |=SUBSTITUTE(C54,A53,B53) | | |- |x |х |=SUBSTITUTE(C55,A54,B54) | | |- |R |Р |=SUBSTITUTE(C56,A55,B55) | | |- |r |р |=SUBSTITUTE(C57,A56,B56) | | |- |N |Н |=SUBSTITUTE(C58,A57,B57) | | |- |n |н |=SUBSTITUTE(C59,A58,B58) | | |- |M |М |=SUBSTITUTE(C60,A59,B59) | | |- |m |м |=SUBSTITUTE(C61,A60,B60) | | |- |Y |Й |=SUBSTITUTE(C62,A61,B61) | | |- |y |й |=SUBSTITUTE(C63,A62,B62) | | |- |W |Ў |=SUBSTITUTE(C64,A63,B63) | | |- |w |ў |=SUBSTITUTE(D1,A64,B64) |} == 脚注 == <references responsive="" /> == 参考文献とリンク == <references group="引用元" /> [[カテゴリ:アイヌ語|もしとはつおん]] hnu4b8lpryvmg7iii00xp4jbb6esmz9 0 39879 302469 249944 2026-08-18T15:11:35Z Tomzo 248 302469 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[コンメンタール民事訴訟法]]＞[[コンメンタール民事執行法]] ==条文== （子の引渡しの強制執行） ;第174条 #子の引渡しの強制執行は、次の各号に掲げる方法のいずれかにより行う。 ##執行裁判所が決定により執行官に子の引渡しを実施させる方法 ##[[民事執行法第172条|第172条]]第1項に規定する方法【[[間接強制]]】 #前項第1号に掲げる方法による強制執行の申立ては、次の各号のいずれかに該当するときでなければすることができない。 ##[[民事執行法第172条|第172条]]第1項の規定による決定が確定した日から2週間を経過したとき（当該決定において定められた債務を履行すべき一定の期間の経過がこれより後である場合にあつては、その期間を経過したとき）。 ##前項第2号に掲げる方法による強制執行を実施しても、債務者が子の監護を解く見込みがあるとは認められないとき。 ##子の急迫の危険を防止するため直ちに強制執行をする必要があるとき。 #執行裁判所は、第1項第1号の規定による決定をする場合には、債務者を審尋しなければならない。ただし、子に急迫した危険があるときその他の審尋をすることにより強制執行の目的を達することができない事情があるときは、この限りでない。 #執行裁判所は、第1項第1号の規定による決定において、執行官に対し、債務者による子の監護を解くために必要な行為をすべきことを命じなければならない。 #[[民事執行法第171条|第171条]]第2項の規定は第1項第1号の執行裁判所について、[[民事執行法第171条|同条]]第4項の規定は同号の規定による決定をする場合について、それぞれ準用する。 #第2項の強制執行の申立て又は前項において準用する[[民事執行法第171条|第171条]]第4項の申立てについての裁判に対しては、執行抗告をすることができる。 ===改正経緯=== 2019改正により、本条に定められていた「意思表示の擬制」に関する規定は、[[民事執行法第177条|第177条]]に移動し、現行条項を新設。 ==解説== ==参照条文== ==判例== ---- {{前後 |[[コンメンタール民事執行法|民事執行法]] |[[コンメンタール民事執行法#2|第2章 強制執行]]<br> [[コンメンタール民事執行法#2-3|第3節 金銭の支払を目的としない請求権についての強制執行]]<br> |[[民事執行法第173条]]<br>【債権者の申し立てによる間接強制】 |[[民事執行法第175条]]<br>（執行官の権限等） }} {{stub|law}} [[category:民事執行法|174]] [[category:民事執行法 2019年改正|174]] izstqgvrffaaoda7l4rdt3djqmw5uzl 0 40212 302467 299771 2026-08-18T13:59:45Z BrassSnail 71325 /* i. 基本的な原理 */ 302467 wikitext text/x-wiki アクセントはそれほど難しくない。日本語よりも遥かに簡単。 == i. 基本的な原理 == アイヌ語のアクセントは高低アクセントである。アクセントのある音節の後は高くても低くても良い<ref>基本的には段々と自然に下がってゆく。または、語や句の最後の音節付近で下がる。</ref>が、アクセントのある音節の前の音節は必ず低く発音する。樺太方言や北海道の美幌方言、静内方言などではアクセントの区別ははっきりしない。 基本的に、初めの音節が開音節か閉音節かで決まる。 # 1音節の単語では、開音節でも閉音節でも、当然アクセントはその音節にある。また、開音節の単語は樺太アイヌ語で長音になる。 #* 例）<span style="text-emphasis-style: sesame;">キ</span>ㇰ kík　〜を叩く　|　<span style="text-emphasis-style: sesame;">プ</span> pú (樺:<span style="text-emphasis-style: sesame;">プ</span>ー pū)　倉　|　'''エ''' é (樺:'''エー''' ē)　食べる # 最初の音節が閉音節なら、最初の音節にアクセントがある。 #* 例）<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ィヌ áy-nu　人　|　'''ポ'''<small>ン</small>ノ pón-no　少し　|　チ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ョ</span>ㇿポキヒ cór-po-ki-hi　〜の枝 # 最初の音節が開音節なら、2つ目の音節にアクセントがある。 #* 例）チ<span style="text-emphasis-style: sesame;">セ</span> ci-sé　家　|　カ'''ム'''ィ ka-múy　神　|　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ク</span>パスィ i-kú-pa-suy　奉酒箆 # ただし、3.には例外も少数ある。これを例外アクセントというが、そこまで例外的でもない。詳しくは下を参照。 #* 例）<span style="text-emphasis-style: sesame;">ユ</span>カㇻ yú-kar (樺太:<span style="text-emphasis-style: sesame;">ユ</span>ーカラ yū-ka-ra)　ユカル(神謡)<ref>北海道方言ではこの意味だが、樺太方言では単に「歌」という意味。</ref>　|　'''シ'''サㇺ sí-sam (樺:'''シー'''サㇺ sī-sam)　和人 アクセントは基本的に1単語につき1個だが、複合語などの場合、稀に2個以上アクセントを持つ単語がある。このとき、2つ目のアクセントの前も音を下げる。(<span style="text-emphasis-style: sesame;">コ</span><small>ン</small>カ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ニ</span> kónkaní 金、シ'''ロ'''カ'''ニ''' sirókaní 銀など)また、付属語類(アナㇰ anak ～は 等)にアクセントが付くことは通常ない。 アクセントの後は、急な変化をセず、自然に少しづつ下がっていくことが多い。 == ii. 例外アクセント == 最初の音節が開音節でも、その音節にアクセントのある単語がある。このような単語を例外アクセントの単語という。この一部を日本語訳とともに下に示した。また、このとき、樺太アイヌ語では、アクセントの部分(はじめの音節)が長母音になる(例：'''ウ'''セィ úsey '''у'''шэй → '''ウー'''セィ ūsey уушэй)。元は北海道アイヌ語（の原型）でも長母音で、その後に長短の区別が消滅してアクセントの区別に変化したと言われている。 先頭の語が一音節の合成語だと、そのアクセント位置が移動せずに例外アクセントになることがある（mát + ák → mátakなど）。ただし、移動することもある（mát + ápa → matápaなど）。これには一定の規則のようなものはあるが、方言によって変わることもあるし、一つ一つ覚えていった方が多分早い。 {| class="wikitable sortable mw-collapsible mw-collapsed" |+単語の例 !カナ !ラテン !キリル !日本語訳 |- |イネ |íne |инэ |４の |- |ウセィ |usey |ушэй |湯 |- |ウナ |úna |уна |灰 |- |カニ |kani |кани |私 |- |クスヱㇷ゚ |kusuwep |кушуўэп |ハト |- |クレ |kure |курэ |飲ませる |- |ケラ |kera |кэра |味 |- |シサㇺ |sísam |шишам |和人 |- |シノ |sino |шино |本当に |- |セセㇰ |sesek |шэшэк |熱い |- |サ゚ペ(チャペ) |cape |чапэ |猫 |- |チポ |cipo |чипо |船に乗る/漕ぐ |- |ソ゚カ(チョカ) |coka |чока |（相手を含まない）わたしたち |- |タタタタ |tatatata |тaтaтaтa |〜を切り刻む |- |ツ゚キ(トゥキ) |tuki |туки |杯 |- |テレ |tere |тэрэ |～を待つ |- |トカㇷ゚ |tokap |токaп |昼間 |- |トペ𛅧(トペ<small>ン</small>) |topen |топэн |甘い |- |パセ |pase |пашэ |重い,えらい |- |ペカ𛅧ケ(ペカ<small>ン</small>ケ) |pekanke |пэкaнкэ |浮かぶ |- |ハポ |hapo |гaпо |お母さん |- |フチ |huci |гучи |祖母、おばあさん |- |フラ |hura |гурa |におい |- |フレ |hure |гурэ |赤い |- |レラ |rera |рэрa |風 |- |ニサㇷ゚ |nisap |нишaп |急に |- |ニナ |nina |нинa |薪取りをする |- |ヌマ𛅧(ヌマ<small>ン</small>) |numan |нумaн |昨日 |- |ミチ |mici |мичи |父 |- |ミナ |mina |минa |笑う |- |ユカㇻ |yukar |йукaр |ユカㇻ（英雄叙事詩） |- |ユポ |yupo |йупо |お兄さん |} == iii. アクセントの移動 == 単語の頭に人称接辞<ref>動詞や名詞などについて、誰の動作や物かを示す部分。アイヌ語の学習で特に大事なものの一つ。x章のx回(未定)で詳しく説明する。今は読み流すだけでもよい。</ref>がついた場合、アクセントが移動することがある。これは方言によっても相異なる。 === 沙流方言の場合 === * ''e='', ''ci='', の場合は開音節なので、その次の音節にアクセントが来る。 ** e=é ** ci=kár * ''en='', ''un='' の場合は閉音節なので、アクセントは人称接辞に来る。 ** én=kore * ''a='', ''i='', ''eci=''がついた場合、元の位置から移動しない。 ** a=nukár, a=réspa ** i=nukár, i=eháyta ** eci=nukár, eci=síknu == iv. 表記の仕方「´」 == アクセントの表記には、(ラテン、キリル両方の)アルファベットでは、アキュートアクセント(´)を使う。カナでは定まった表記法がない。また、長音にアクセントがある場合、サーカムフレックスを付けて、アクセントと長音を表す。また、どの文字でも、状況や表記方針、人によって、 # 全てのアクセントを表記する。 # 例外アクセントの単語のみ表記する。 # アクセントを表記しない。 と、対応が分かれる。 また、仮名表記では確立した方法がない。表記する場合、 # 傍点を使う。例：カ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ム</span>ィ # 太字にする。例：カ'''ム'''ィ # 囲み文字を使う。例：カム⃣ィ # 平仮名を使う。カむィ などの方法がある。 全てのアクセントを表記するときの例を下に示した。 イソ⃣サ<small>ン</small>ケカムィ　アナㇰ　パ⃣セ　カム⃣ィ　ネ　ルヱ　ネ。　isósankekamuy anak páse kamúy ne ruwe ne.　フクロウはえらいカムイなのだ。 '''タ'''<small>ン</small>ト　'''ア'''リキキノ　ク'''ネ'''ㇷ゚キ　クス　ク'''テ'''ケヘ　'''ア'''ㇻカ。　今日は一生懸命働いたので、手が痛い。（ニューエクスプレス　アイヌ語〈白水社、中川裕 著〉より引用、どちらも沙流方言） == v. 付属語のアクセント == 「anak 〜は」「yakka 〜けれど」「hine 〜して」などの付属語類は、前の単語と一まとまりでで発音されることが多く、通常アクセントは付かない。 == 註釈 == [[カテゴリ:アイヌ語]] [[カテゴリ:アクセントと声調]] n48mgntebwan30qs5antt5s9kpo3rjy 0 48714 302470 2026-08-18T15:12:05Z Tomzo 248 新規リダイレクト 302470 wikitext text/x-wiki #転送 [[民事執行法第172条]] fic3wugwuc2k80l0654d83lmjx8amds